# Coordenadas parabólicas cilíndricas

En matemáticas, las coordenadas parabólicas cilíndricas (también denominadas coordenadas cilíndricas parabólicas) son un sistema de coordenadas tridimensional ortogonal que resulta de proyectar un sistema de coordenadas parabólicas bidimensional en la dirección perpendicular $z$. Por lo tanto, las superficies coordenadas son cilindros confocales parabólicos. Las coordenadas parabólicas cilíndricas han encontrado muchas aplicaciones, por ejemplo, en la teoría del potencial de aristas.

## Definición básica

Las coordenadas parabólicas cilíndricas (σ, τ, z) se definen en términos de coordenadas cartesianas (x, y, z) por:
    ${\begin{aligned}x&=\sigma \tau \\y&={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{2}-\sigma ^{2}\right)\\z&=z\end{aligned}}$
Las superficies de σ constante forman cilindros parabólicos confocales
    $2y={\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}$
que se abren hacia +y, mientras que las superficies de τ constante forman cilindros parabólicos confocales
    $2y=-{\frac {x^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}$
que se abren en sentido contrario, es decir, hacia −y. Los focos de todos estos cilindros parabólicos se encuentran en la línea definida por x = y = 0. El radio r también tiene una fórmula simple
    $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\frac {1}{2}}\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)$
lo que resulta útil para resolver la ecuación de Hamilton-Jacobi en coordenadas parabólicas para el problema de una fuerza central proporcional al inverso del cuadrado en mecánica gravitatoria. Para obtener más detalles, consúltese el artículo sobre el vector de Runge-Lenz.

## Factores de escala

Los factores de escala para las coordenadas parabólicas cilíndricas σ y τ son:
    ${\begin{aligned}h_{\sigma }&=h_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\\h_{z}&=1\end{aligned}}$

## Elementos diferenciales

El elemento infinitesimal de volumen es
    $dV=h_{\sigma }h_{\tau }h_{z}d\sigma d\tau dz=(\sigma ^{2}+\tau ^{2})d\sigma \,d\tau \,dz$
El desplazamiento diferencial viene dado por:
    $d\mathbf {l} ={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\,d\sigma \,{\boldsymbol {\hat {\sigma }}}+{\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\,d\tau \,{\boldsymbol {\hat {\tau }}}+dz\,\mathbf {\hat {z}}$
El área normal diferencial viene dada por:
    $d\mathbf {S} ={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\,d\tau \,dz{\boldsymbol {\hat {\sigma }}}+{\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\,d\sigma \,dz{\boldsymbol {\hat {\tau }}}+\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)\,d\sigma \,d\tau \mathbf {\hat {z}}$

## Operadores diferenciales

Sea f un campo escalar. El gradiente viene dado por
    $\nabla f={\frac {1}{\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}{\partial f \over \partial \sigma }{\boldsymbol {\hat {\sigma }}}+{\frac {1}{\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}{\partial f \over \partial \tau }{\boldsymbol {\hat {\tau }}}+{\partial f \over \partial z}\mathbf {\hat {z}}$
El laplaciano viene dado por
    $\nabla ^{2}f={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \tau ^{2}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}$
Sea A un campo vectorial de la forma:
    $\mathbf {A} =A_{\sigma }{\boldsymbol {\hat {\sigma }}}+A_{\tau }{\boldsymbol {\hat {\tau }}}+A_{z}\mathbf {\hat {z}}$
La divergencia viene dada por
    $\nabla \cdot \mathbf {A} ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left({\partial ({\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}A_{\sigma }) \over \partial \sigma }+{\partial ({\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}A_{\tau }) \over \partial \tau }\right)+{\partial A_{z} \over \partial z}$
El rotacional viene dado por
    $\nabla \times \mathbf {A} =\left({\frac {1}{\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}{\frac {\partial A_{z}}{\partial \tau }}-{\frac {\partial A_{\tau }}{\partial z}}\right){\boldsymbol {\hat {\sigma }}}-\left({\frac {1}{\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}{\frac {\partial A_{z}}{\partial \sigma }}-{\frac {\partial A_{\sigma }}{\partial z}}\right){\boldsymbol {\hat {\tau }}}+{\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left({\frac {\partial \left({\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}A_{\tau }\right)}{\partial \sigma }}-{\frac {\partial \left({\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}A_{\sigma }\right)}{\partial \tau }}\right)\mathbf {\hat {z}}$
Otros operadores diferenciales se pueden expresar en las coordenadas (σ, τ) sustituyendo los factores de escala en las fórmulas generales que se encuentran en las coordenadas ortogonales.

## Relación con otros sistemas de coordenadas

Relación con las coordenadas cilíndricas (ρ, φ, z):
    ${\begin{aligned}\rho \cos \varphi &=\sigma \tau \\\rho \sin \varphi &={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{2}-\sigma ^{2}\right)\\z&=z\end{aligned}}$
Vectores unitarios parabólicos expresados en términos de vectores unitarios cartesianos:
    ${\begin{aligned}{\boldsymbol {\hat {\sigma }}}&={\frac {\tau {\hat {\mathbf {x} }}-\sigma {\hat {\mathbf {y} }}}{\sqrt {\tau ^{2}+\sigma ^{2}}}}\\{\boldsymbol {\hat {\tau }}}&={\frac {\sigma {\hat {\mathbf {x} }}+\tau {\hat {\mathbf {y} }}}{\sqrt {\tau ^{2}+\sigma ^{2}}}}\\\mathbf {\hat {z}} &=\mathbf {\hat {z}} \end{aligned}}$

## Armónicos del cilindro parabólico

Dado que todas las superficies de σ, τ y z constantes son conicoides, la ecuación de Laplace es separable en coordenadas parabólicas cilíndricas. Utilizando la técnica del método de separación de variables, se puede escribir una solución separada de la ecuación de Laplace:
    $V=S(\sigma )T(\tau )Z(z)$
y la ecuación de Laplace, dividida por V, se escribe:
    ${\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left[{\frac {\ddot {S}}{S}}+{\frac {\ddot {T}}{T}}\right]+{\frac {\ddot {Z}}{Z}}=0$
Como la ecuación Z está separada del resto, se puede escribir
    ${\frac {\ddot {Z}}{Z}}=-m^{2}$
donde m es constante. Z(z) tiene la solución:
    $Z_{m}(z)=A_{1}\,e^{imz}+A_{2}\,e^{-imz}$
Sustituyendo −m$^2$ por ${\ddot {Z}}/Z$, la ecuación de Laplace ahora se puede escribir:
    $\left[{\frac {\ddot {S}}{S}}+{\frac {\ddot {T}}{T}}\right]=m^{2}(\sigma ^{2}+\tau ^{2})$
Entonces, se pueden separar las funciones S y T e introducir otra constante n$^2$ para obtener:
    ${\ddot {S}}-(m^{2}\sigma ^{2}+n^{2})S=0$
    ${\ddot {T}}-(m^{2}\tau ^{2}-n^{2})T=0$
Las soluciones de estas ecuaciones son las funciones del cilindro parabólico
    $S_{mn}(\sigma )=A_{3}y_{1}(n^{2}/2m,\sigma {\sqrt {2m}})+A_{4}y_{2}(n^{2}/2m,\sigma {\sqrt {2m}})$
    $T_{mn}(\tau )=A_{5}y_{1}(n^{2}/2m,i\tau {\sqrt {2m}})+A_{6}y_{2}(n^{2}/2m,i\tau {\sqrt {2m}})$
Los armónicos del cilindro parabólico para (m, n) son ahora el producto de las soluciones. La combinación reducirá el número de constantes y la solución general de la ecuación de Laplace se puede escribir como:
    $V(\sigma ,\tau ,z)=\sum _{m,n}A_{mn}S_{mn}T_{mn}Z_{m}$

## Aplicaciones

Las aplicaciones clásicas de las coordenadas parabólicas cilíndricas son la resolución de ecuaciones en derivadas parciales, por ejemplo, la ecuación de Laplace o la ecuación de Helmholtz, para las que dichas coordenadas permiten disponer de un método de separación de variables. Un ejemplo típico sería el campo eléctrico que rodea una placa conductora plana semiinfinita.