# Sistema de coordenadas curvilíneo

En geometría, las coordenadas curvilíneas son sistemas de referencia utilizados en el espacio euclídeo en los que las líneas que definen las coordenadas pueden ser curvas. Estas coordenadas se pueden obtener a partir de un conjunto de coordenadas cartesianas mediante el uso de transformaciones que son localmente invertibles (aplicaciones uno a uno) en cada punto. Esto significa que se puede convertir un punto dado en un sistema de coordenadas cartesiano a sus coordenadas curvilíneas y viceversa. El nombre de coordenadas curvilíneas, acuñado por el matemático francés Gabriel Lamé (1795-1870), deriva del hecho de que las líneas de referencia de estos sistemas son curvas.
Ejemplos bien conocidos de sistemas de coordenadas curvilíneas en el espacio euclídeo tridimensional (R$^3$) son las coordenadas cilíndricas y las esféricas. Un ejemplo de superficie definida en coordenadas cartesianas en este espacio es un plano coordenado, de manera que cuando (z = 0), se define el plano (x-y). En el mismo espacio, la superficie de coordenadas (r = 1) en coordenadas esféricas es la superficie de una esfera unitaria, que es una superficie curva. La formalización de los sistemas de coordenadas curvilíneas proporciona una descripción general y unificada de los distintos sistemas de referencia.
Las coordenadas curvilíneas se utilizan a menudo para definir la ubicación o distribución de cantidades físicas que pueden ser, por ejemplo, escalares, vectores o tensores. Las expresiones matemáticas que involucran estas cantidades en el cálculo vectorial y en el cálculo tensorial (como el gradiente, la divergencia, el rotacional y o el laplaciano) se pueden transformar de un sistema de coordenadas a otro, de acuerdo con las reglas de transformación para escalares, vectores y tensores. Estas expresiones se vuelven válidas para cualquier sistema de coordenadas curvilíneo.
Un sistema de coordenadas curvilíneo puede ser más sencillo de utilizar que el sistema de coordenadas cartesiano para algunas aplicaciones. El movimiento de partículas bajo la influencia de una fuerza central suele ser más fácil de resolver en coordenadas esféricas que en coordenadas cartesianas, lo que también es cierto para muchos problemas físicos con simetría esférica definidos en R$^3$. Las ecuaciones con condiciones de contorno que siguen superficies de coordenadas para un sistema de coordenadas curvilíneo particular pueden ser más fáciles de resolver en ese sistema. Si bien se podría describir el movimiento de una partícula en una caja rectangular usando coordenadas cartesianas, es más fácil describir el movimiento sobre una esfera con coordenadas esféricas. Las coordenadas esféricas son los sistemas de coordenadas curvilíneas más comunes y se utilizan en ciencias de la Tierra, cartografía, mecánica cuántica, teoría de la relatividad e ingeniería.

## Coordenadas curvilíneas ortogonales en tres dimensiones
### Coordenadas, bases y vectores

Por ahora, considérese el espacio tridimensional. Un punto P en el espacio 3-D (o su posición r) se puede definir usando coordenadas cartesianas (x, y, z) [escrito de manera equivalente (x$^1$, x$^2$, x$^3$)], por $\mathbf {r} =x\mathbf {e} _{x}+y\mathbf {e} _{y}+z\mathbf {e} _{z}$, donde e$_x$, e$_y$, e$_z$ son los vectores de la base canónica.
También puede definirse por sus coordenadas curvilíneas (q$^1$, q$^2$, q$^3$) si este triplete de números define un único punto de forma inequívoca. La relación entre las coordenadas viene dada por las funciones de transformación reversibles:
    $x=f^{1}(q^{1},q^{2},q^{3}),\,y=f^{2}(q^{1},q^{2},q^{3}),\,z=f^{3}(q^{1},q^{2},q^{3})$
    $q^{1}=g^{1}(x,y,z),\,q^{2}=g^{2}(x,y,z),\,q^{3}=g^{3}(x,y,z)$
Las superficies q$^1$ = constante, q$^2$ = constante, q$^3$ = constante se denominan superficies de coordenadas; y las curvas espaciales formadas por su intersección dos a dos se denominan curvas de coordenadas. Los ejes de coordenadas están determinados por las tangentes a las curvas de coordenadas en la intersección de tres superficies. En general, no son direcciones fijas en el espacio, como ocurre con las coordenadas cartesianas simples y, por lo tanto, generalmente no existe una base global natural para las coordenadas curvilíneas.
En el sistema cartesiano, los vectores de una base estándar se pueden deducir de la derivada de la ubicación del punto P con respecto a la coordenada local
    $\mathbf {e} _{x}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial x}};\;\mathbf {e} _{y}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial y}};\;\mathbf {e} _{z}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial z}}.$
Aplicando las mismas derivadas al sistema curvilíneo localmente en el punto P se definen los vectores de la base natural:
    $\mathbf {h} _{1}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{1}}};\;\mathbf {h} _{2}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{2}}};\;\mathbf {h} _{3}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{3}}}.$
Una base de este tipo, cuyos vectores cambian su dirección y/o magnitud de un punto a otro, se denomina base local. Todas las bases asociadas con coordenadas curvilíneas son necesariamente locales. Los vectores de la base que son iguales en todos los puntos son bases globales y solo pueden asociarse con sistemas de coordenadas lineales o afines.
Para este artículo, la notación e está reservada para la base canónica (cartesiana) y h o b se asignan a las bases curvilíneas.
Es posible que no tengan longitud unidad y que tampoco sean ortogonales. En el caso de que sean ortogonales en todos los puntos donde las derivadas están bien definidas, se definen los coeficientes de Lamé (en referencia a Gabriel Lamé) por
    $h_{1}=|\mathbf {h} _{1}|;\;h_{2}=|\mathbf {h} _{2}|;\;h_{3}=|\mathbf {h} _{3}|$
y los vectores de una base ortonormal curvilínea por
    $\mathbf {b} _{1}={\dfrac {\mathbf {h} _{1}}{h_{1}}};\;\mathbf {b} _{2}={\dfrac {\mathbf {h} _{2}}{h_{2}}};\;\mathbf {b} _{3}={\dfrac {\mathbf {h} _{3}}{h_{3}}}.$
Estos vectores de la base también pueden depender de la posición de P; y por lo tanto, es necesario que no se suponga que son constantes en una región (técnicamente, forman una base para fibrados tangentes de $\mathbb {R} ^{3}$ en P y, por lo tanto, son locales para cada punto P).
En general, las coordenadas curvilíneas permiten que los vectores de la base natural h$_i$ no sean todos mutuamente perpendiculares entre sí, y no es necesario que sean de longitud unidad: pueden ser de magnitud y dirección arbitrarias. Pero el uso de una base ortogonal hace que las manipulaciones vectoriales sean más simples que en el caso de las bases no ortogonales. Sin embargo, algunas áreas de la física y de la ingeniería, particularmente la mecánica de fluidos y la mecánica de medios continuos, requieren bases no ortogonales para describir deformaciones y transporte de fluidos, con el fin de tener en cuenta complejas dependencias direccionales de cantidades físicas. Una discusión del caso general aparece más adelante en esta página.

## Cálculo vectorial
### Elementos diferenciales

En coordenadas curvilíneas ortogonales, dado que el cambio diferencial de una función en r es
    $d\mathbf {r} ={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{1}}}dq^{1}+{\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{2}}}dq^{2}+{\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{3}}}dq^{3}=h_{1}dq^{1}\mathbf {b} _{1}+h_{2}dq^{2}\mathbf {b} _{2}+h_{3}dq^{3}\mathbf {b} _{3}$
entonces los factores de escala son $h_{i}=\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\right|$
En coordenadas no ortogonales, la longitud de $d\mathbf {r} =dq^{1}\mathbf {h} _{1}+dq^{2}\mathbf {h} _{2}+dq^{3}\mathbf {h} _{3}$ es la raíz cuadrada positiva de $d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} =dq^{i}dq^{j}\mathbf {h} _{i}\cdot \mathbf {h} _{j}$ (con Convenio de suma de Einstein). Los seis productos escalares independientes g$_{ij}$=h$_i$.h$_j$ de los vectores de base natural generalizan los tres factores de escala definidos anteriormente para coordenadas ortogonales. Los nueve g$_{ij}$ son los componentes del tensor métrico, que tiene solo tres componentes distintos de cero en coordenadas ortogonales: g$_{11}$=h$_1$h$_1$, g $_{22}$=h$_2$h$_2$, g$_{33}$=h$_3$h$_3$.

## Bases covariantes y contravariantes

Los gradientes espaciales, las distancias, las derivadas del tiempo y los factores de escala están interrelacionados dentro de un sistema de coordenadas mediante dos grupos de vectores base:
* vectores de base que son localmente tangentes a su línea de coordenadas asociada: :$\mathbf {b} _{i}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}$ son contravariant vectors (indicados por índices reducidos), y
* vectores de base que son localmente normales a la isosuperficie creada por las otras coordenadas: :$\mathbf {b} ^{i}=\nabla q^{i}$ son covariant vectors (indicados por índices elevados), ? es nabla operator.
Tenga en cuenta que, debido a la convención de suma de Einstein, la posición de los índices de los vectores es opuesta a la de las coordenadas.
En consecuencia, un sistema de coordenadas curvilíneo general tiene dos conjuntos de vectores base para cada punto: b$_1$, b$_2$, b$_3$ es la base contravariante, y b$^1$, b$^2$, b$^3$ es la base covariante (también conocida como recíproca). Los tipos de vectores de base covariante y contravariante tienen dirección idéntica para sistemas de coordenadas curvilíneas ortogonales, pero como es habitual tienen unidades invertidas entre sí.
Tenga en cuenta la siguiente igualdad importante:
    $\mathbf {b} ^{i}\cdot \mathbf {b} _{j}=\delta _{j}^{i}$
donde $\delta _{j}^{i}$ denota generalized Kronecker delta.
* Demostración
* En el sistema de coordenadas cartesiano $(\mathbf {e} _{x},\mathbf {e} _{y},\mathbf {e} _{z})$, podemos escribir el producto escalar como:
* $\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} ^{j}=\left({\dfrac {\partial x}{\partial q_{i}}},{\dfrac {\partial y}{\partial q_{i}}},{\dfrac {\partial z}{\partial q_{i}}}\right)\cdot \left({\dfrac {\partial q_{j}}{\partial x}},{\dfrac {\partial q_{j}}{\partial y}},{\dfrac {\partial q_{j}}{\partial z}}\right)={\dfrac {\partial x}{\partial q_{i}}}{\dfrac {\partial q_{j}}{\partial x}}+{\dfrac {\partial y}{\partial q_{i}}}{\dfrac {\partial q_{j}}{\partial y}}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{i}}}{\dfrac {\partial q_{j}}{\partial z}}$
* Considere un desplazamiento infinitesimal $d\mathbf {r} =dx\cdot \mathbf {e} _{x}+dy\cdot \mathbf {e} _{y}+dz\cdot \mathbf {e} _{z}$. Sean dq$_1$, dq$_2$ y dq$_3$ los cambios infinitesimales correspondientes en las coordenadas curvilíneas q$_1$, q$_2$ y q$_3$ respectivamente.
* Según la regla de la cadena, dq$_1$ se puede expresar como:
* $dq_{1}={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}dx+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}dy+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}dz={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}dx+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}\left({\dfrac {\partial y}{\partial q_{1}}}dq_{1}+{\dfrac {\partial y}{\partial q_{2}}}dq_{2}+{\dfrac {\partial y}{\partial q_{3}}}dq_{3}\right)+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}\left({\dfrac {\partial z}{\partial q_{1}}}dq_{1}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{2}}}dq_{2}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{3}}}dq_{3}\right)$
* Si el desplazamiento dr es tal que dq$_2$= dq$_3$= 0, es decir, el vector de posición r se mueve una cantidad infinitesimal en el eje de coordenadas q$_2$=const y q$_3$=const, entonces:
* $dq_{1}={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}dx+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}{\dfrac {\partial y}{\partial q_{1}}}dq_{1}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}{\dfrac {\partial z}{\partial q_{1}}}dq_{1}$
* Dividiendo por dq$_1$, y tomando el límite dq$_1$ → 0:
* $1={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}{\dfrac {\partial x}{\partial q_{1}}}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}{\dfrac {\partial y}{\partial q_{1}}}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}{\dfrac {\partial z}{\partial q_{1}}}={\dfrac {\partial x}{\partial q_{1}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}+{\dfrac {\partial y}{\partial q_{1}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{1}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}$
* o equivalente:
* $\mathbf {b} _{1}\cdot \mathbf {b} ^{1}=1$
* Ahora bien, si el desplazamiento dr es tal que dq$_1$=dq$_3$=0, es decir, el vector de posición r se mueve una cantidad infinitesimal en la coordenada eje q$_1$=const y q$_3$=const, entonces:
* $0={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}dx+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}{\dfrac {\partial y}{\partial q_{2}}}dq_{2}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}{\dfrac {\partial z}{\partial q_{2}}}dq_{2}$
* Dividiendo por dq$_2$ y tomando el límite dq$_2$ → 0:
* $0={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}{\dfrac {\partial x}{\partial q_{2}}}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}{\dfrac {\partial y}{\partial q_{2}}}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}{\dfrac {\partial z}{\partial q_{2}}}={\dfrac {\partial x}{\partial q_{2}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}+{\dfrac {\partial y}{\partial q_{2}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{2}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}$
* o equivalente:
* $\mathbf {b} _{2}\cdot \mathbf {b} ^{1}=0$
* Y así sucesivamente con los demás productos punto.
* Prueba alternativa:
* $\delta _{j}^{i}dq^{j}=dq^{i}=\nabla q^{i}\cdot d\mathbf {r} =\mathbf {b} ^{i}\cdot {\dfrac {\partial \mathbf {r} }{q}}^{j}dq^{j}=b^{i}b_{j}dq^{j}$
* y el Convenio de suma de Einstein está implícito.
Un vector v se puede especificar en términos de cualquier base, es decir,
    $\mathbf {v} =v^{1}\mathbf {b} _{1}+v^{2}\mathbf {b} _{2}+v^{3}\mathbf {b} _{3}=v_{1}\mathbf {b} ^{1}+v_{2}\mathbf {b} ^{2}+v_{3}\mathbf {b} ^{3}$
Usando la convención de suma de Einstein, los vectores base se relacionan con los componentes mediante$^{:30–32}$
    $\mathbf {v} \cdot \mathbf {b} ^{i}=v^{k}\mathbf {b} _{k}\cdot \mathbf {b} ^{i}=v^{k}\delta _{k}^{i}=v^{i}$
    $\mathbf {v} \cdot \mathbf {b} _{i}=v_{k}\mathbf {b} ^{k}\cdot \mathbf {b} _{i}=v_{k}\delta _{i}^{k}=v_{i}$
y
    $\mathbf {v} \cdot \mathbf {b} _{i}=v^{k}\mathbf {b} _{k}\cdot \mathbf {b} _{i}=g_{ki}v^{k}$
    $\mathbf {v} \cdot \mathbf {b} ^{i}=v_{k}\mathbf {b} ^{k}\cdot \mathbf {b} ^{i}=g^{ki}v_{k}$
donde g es el tensor métrico (ver más abajo).
Un vector se puede especificar con coordenadas covariantes (índices reducidos, escritos v$_k$) o coordenadas contravariantes (índices elevados, escritos v$^k$). De las sumas de vectores anteriores, se puede ver que las coordenadas contravariantes están asociadas con vectores de base covariantes, y las coordenadas covariantes están asociadas con vectores de base contravariantes.
Una característica clave de la representación de vectores y tensores en términos de componentes indexados y vectores base es la "invariancia" en el sentido de que los componentes vectoriales que se transforman de manera covariante (o contravariante) se emparejan con vectores base que se transforman de una manera manera contravariante (o manera covariante).

## Integración
### Construyendo una base covariante en una dimensión

Considere la curva unidimensional que se muestra en la Fig. 3. En el punto P, tomado como origin, x es una de las coordenadas cartesianas y q$^1$ es una de las coordenadas curvilíneas. . El vector de base local (no unitario) es b$_1$ (anotado h$_1$ arriba, con b reservado para vectores unitarios) y está construido sobre el Eje q$^1$ que es tangente a esa línea de coordenadas en el punto P. El eje q$^1$ y, por tanto, el vector b$_1$ forman un ángulo $\alpha$ con el eje cartesiano x y el vector de base cartesiana e$_1$.
Se puede ver en el triángulo PAB que
    $\cos \alpha ={\cfrac {|\mathbf {e} _{1}|}{|\mathbf {b} _{1}|}}|e_{1}|=|b_{1}|$
donde|e$_1$|,|b$_1$|son las magnitudes de los dos vectores base, es decir, el escalar intercepta a PB y PA. PA es también la proyección de b$_1$ en el eje x.
Sin embargo, este método para transformaciones de vectores de base utilizando "cosenos direccionales" no es aplicable a coordenadas curvilíneas por las siguientes razones:
* Al aumentar la distancia desde P, el ángulo entre la línea curva q$^1$ y el eje cartesiano x se desvía cada vez más de $\alpha$.
* A la distancia PB el verdadero ángulo es el que forma la tangente en el punto C con el eje x y este último ángulo es claramente diferente de $\alpha$.
Los ángulos que forman la línea q$^1$ y ese eje con el eje x se vuelven más cercanos en valor cuanto más nos acercamos al punto P y se vuelven exactamente iguales en P.
Supongamos que el punto E esté ubicado muy cerca de P, tan cerca que la distancia PE es infinitamente pequeña. Entonces PE medido en el eje q$^1$ casi coincide con PE medido en la línea q$^1$. Al mismo tiempo, la relación PD/PE (siendo PD la proyección de PE en el eje x) se vuelve casi exactamente igual a $\cos \alpha$.
Dejemos que las intersecciones infinitamente pequeñas PD y PE estén etiquetadas, respectivamente, como dx y dq$^1$. Entonces
    $\cos \alpha ={\cfrac {dx}{dq^{1}}}={\frac {|\mathbf {e} _{1}|}{|\mathbf {b} _{1}|}}$.
Por lo tanto, los cosenos direccionales se pueden sustituir en transformaciones con relaciones más exactas entre intersecciones de coordenadas infinitamente pequeñas. De ello se deduce que la componente (proyección) de b$_1$ en el eje x es
    $p^{1}=\mathbf {b} _{1}\cdot {\cfrac {\mathbf {e} _{1}}{|\mathbf {e} _{1}|}}=|b_{1}|{|\mathbf {e} _{1}|}{|\mathbf {e} _{1}|}=|b_{1}|dxdq^{1}p^{1}{|\mathbf {b} _{1}|}=dxdq^{1}$.
Si q$^i$= q$^i$(x$_1$, x$_2$, x$_3$) y x$_i$= x$_i$(q $^1$, q$^2$, q$^3$) son funciones smooth (continuamente diferenciables) y las razones de transformación se pueden escribir como ${\cfrac {\partial q^{i}}{\partial x_{j}}}$ y ${\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{j}}}$. Es decir, esas relaciones son derivada parcial de coordenadas que pertenecen a un sistema con respecto a coordenadas que pertenecen al otro sistema.

### Construyendo una base covariante en tres dimensiones

Haciendo lo mismo para las coordenadas en las otras 2 dimensiones, b$_1$ se puede expresar como:
    $\mathbf {b} _{1}=p^{1}\mathbf {e} _{1}+p^{2}\mathbf {e} _{2}+p^{3}\mathbf {e} _{3}={\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{1}+{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{2}+{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{3}$
Se aplican ecuaciones similares para b$_2$ y b$_3$, de modo que la base estándar e$_1$, e$_2$, e$_3$ se transforma a una base local (ordenada y normalizada) b$_1$, b$_2$, b$_3$ por el siguiente sistema de ecuaciones:
    ${\begin{aligned}\mathbf {b} _{1}&={\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{1}+{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{2}+{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{3}\\\mathbf {b} _{2}&={\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{2}}}\mathbf {e} _{1}+{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{2}}}\mathbf {e} _{2}+{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{2}}}\mathbf {e} _{3}\\\mathbf {b} _{3}&={\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{3}}}\mathbf {e} _{1}+{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{3}}}\mathbf {e} _{2}+{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{3}}}\mathbf {e} _{3}\end{aligned}}$
Mediante un razonamiento análogo, se puede obtener la transformación inversa de base local a base estándar:
    ${\begin{aligned}\mathbf {e} _{1}&={\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{1}}}\mathbf {b} _{1}+{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{1}}}\mathbf {b} _{2}+{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{1}}}\mathbf {b} _{3}\\\mathbf {e} _{2}&={\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{2}}}\mathbf {b} _{1}+{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{2}}}\mathbf {b} _{2}+{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{2}}}\mathbf {b} _{3}\\\mathbf {e} _{3}&={\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{3}}}\mathbf {b} _{1}+{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{3}}}\mathbf {b} _{2}+{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{3}}}\mathbf {b} _{3}\end{aligned}}$

### Jacobiano de la transformación

El sistema de ecuaciones lineales anterior se puede escribir en forma matricial usando la convención de suma de Einstein como
    ${\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{k}}}\mathbf {e} _{i}=\mathbf {b} _{k},\quad {\cfrac {\partial q^{i}}{\partial x_{k}}}\mathbf {b} _{i}=\mathbf {e} _{k}$.
Este coefficient matrix del sistema lineal es el Matriz y determinante jacobianos (y su inverso) de la transformación. Estas son las ecuaciones que se pueden utilizar para transformar una base cartesiana en una base curvilínea y viceversa.
En tres dimensiones, las formas expandidas de estas matrices son
    $\mathbf {J} ={\begin{bmatrix}{\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{1}}}&{\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{2}}}&{\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{3}}}\\{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{1}}}&{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{2}}}&{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{3}}}\\{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{1}}}&{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{2}}}&{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{3}}}\\\end{bmatrix}},\quad \mathbf {J} ^{-1}={\begin{bmatrix}{\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{1}}}&{\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{2}}}&{\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{3}}}\\{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{1}}}&{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{2}}}&{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{3}}}\\{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{1}}}&{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{2}}}&{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{3}}}\\\end{bmatrix}}$
En la transformación inversa (segundo sistema de ecuaciones), las incógnitas son los vectores de base curvilínea. Para cualquier ubicación específica solo puede existir uno y solo un conjunto de vectores base (de lo contrario, la base no está bien definida en ese punto). Esta condición se cumple si y solo si el sistema de ecuaciones tiene una única solución. En álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales tiene una solución única (no trivial) solo si el determinante de la matriz de su sistema es distinto de cero:
    $\det(\mathbf {J} ^{-1})\neq 0$
que muestra la razón detrás del requisito anterior relativo al determinante de la matriz jacobiana inversa.

## Generalización a n dimensiones

El formalismo se extiende a cualquier dimensión finita de la siguiente manera:
Considere el espacio n-dimensional real Euclidean, es decir R$^n$= R × R × ... × R (n veces) donde R es el set de número real y × denota el Producto cartesiano, que es un espacio vectorial.
El sistema de coordenadas de este espacio se puede indicar mediante: x= (x$_1$, x$_2$,...,x$_n$). Como se trata de un vector (un elemento del espacio vectorial), se puede escribir como:
    $\mathbf {x} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} ^{i}$
donde e$^1$= (1,0,0...,0), e$^2$= (0,1,0...,0), e$^3$= (0,0,1...,0),...,e$^n$= (0,0,0...,1) es el conjunto de vectores base canónica para el espacio R$^n$, y i= 1, 2,...n es un índice que etiqueta los componentes. Cada vector tiene exactamente un componente en cada dimensión (o "eje") y son mutuamente orthogonal (perpendicularidad) y normalizados (tiene unit magnitude).
De manera más general, podemos definir los vectores base b$_i$ para que dependan de q= (q$_1$, q$_2$,..., q$_n$), es decir, cambian de un punto a otro: b$_i$= b$_i$(q). En cuyo caso definir el mismo punto x en términos de esta base alternativa: los coordinates con respecto a esta base v$_i$ también dependen necesariamente de x también, es decir v$_i$= v$_i$(x). Entonces un vector v' en este espacio, con respecto a estas coordenadas alternativas y vectores base, se puede expandir como combinación lineal en esta base (lo que simplemente significa multiplicar cada base vector e$_i$ por un número v$_i$ multiplicación escalar):
    $\mathbf {v} =\sum _{j=1}^{n}{\bar {v}}^{j}\mathbf {b} _{j}=\sum _{j=1}^{n}{\bar {v}}^{j}(\mathbf {q} )\mathbf {b} _{j}(\mathbf {q} )$
La suma vectorial que describe v' en la nueva base se compone de diferentes vectores, aunque la suma en sí sigue siendo la misma.

## Transformación de coordenadas

Desde una perspectiva más general y abstracta, un sistema de coordenadas curvilíneo es simplemente un coordinate patch en el variedad diferenciable E$^n$ (Espacio euclídeo n-dimensional) que es diffeomorphic al parche de coordenadas Cartesian en el colector. No es necesario que dos parches de coordenadas difeomorfas en una variedad diferencial se superpongan de manera diferenciable. Con esta definición simple de un sistema de coordenadas curvilíneo, todos los resultados que siguen a continuación son simplemente aplicaciones de teoremas estándar en topología diferencial.
Las funciones de transformación son tales que existe una relación uno a uno entre los puntos en las coordenadas "antiguas" y "nuevas", es decir, esas funciones son función biyectiva y cumplen los siguientes requisitos dentro de sus domain:
* 1. Son funciones suaves: q$^i$= q$^i$(x)
* 2. El determinante de la matriz jacobiana inversa
    $J^{-1}={\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{n}}}\\{\dfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial q^{n}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial q^{n}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial q^{n}}{\partial x_{n}}}\end{vmatrix}}\neq 0$
    no es cero; lo que significa que la transformación x$_i$(q) es invertible según el teorema de la función inversa. La condición de que el determinante jacobiano no sea cero refleja el hecho de que tres superficies de diferentes familias se cruzan en un solo punto y, por lo tanto, determinan la posición de este punto de una manera única.

## Álgebra vectorial y tensorial en coordenadas curvilíneas tridimensionales

El álgebra elemental de vectores y tensores en coordenadas curvilíneas se utiliza en parte de la literatura científica más antigua en mecánica y física y puede ser indispensable para comprender el trabajo de principios y mediados del siglo XX, por ejemplo, el texto de Green y Zerna. En esta sección se dan algunas relaciones útiles en el álgebra de vectores y tensores de segundo orden en coordenadas curvilíneas. La notación y el contenido son principalmente de Ogden, Naghdi, Simmonds, Green y Zerna, Basar y Weichert, y Ciarlet.

## Tensores en coordenadas curvilíneas

Un tensor de segundo orden se puede expresar como
    ${\boldsymbol {S}}=S^{ij}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} _{j}=S^{i}_{j}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}=S_{i}^{j}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} _{j}=S_{ij}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}$
donde $\scriptstyle \otimes$ denota producto tensorial. Los componentes S$^{ij}$ se denominan componentes contravariantes, S$^i$ $_j$ los componentes covariantes derechos mixtos, S$_i$ $^j$ los componentes izquierdos mixtos'. componentes -covariantes y S$_{ij}$ los componentes covariantes del tensor de segundo orden. Los componentes del tensor de segundo orden están relacionados por
    $S^{ij}=g^{ik}S_{k}^{j}=g^{jk}S^{i}_{k}=g^{ik}g^{j\ell }S_{k\ell }$

### El tensor métrico en coordenadas curvilíneas ortogonales

En cada punto, se puede construir un pequeño elemento lineal dx, por lo que el cuadrado de la longitud del elemento lineal es el producto escalar dx  dx y se llama metric de el espacio (física), dado por:
    $d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} ={\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{j}}}{\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{k}}}dq^{j}dq^{k}$.
La siguiente parte de la ecuación anterior
    ${\cfrac {\partial x_{k}}{\partial q^{i}}}{\cfrac {\partial x_{k}}{\partial q^{j}}}=g_{ij}(q^{i},q^{j})=\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}$
es un tensor simétrico llamado fundamental (or metric) tensor de Espacio euclídeo en coordenadas curvilíneas.
Los índices pueden ser raised and lowered según la métrica:
    $v^{i}=g^{ik}v_{k}$

#### Relación con los coeficientes de Lamé

Definición de los factores de escala h$_i$ mediante
    $h_{i}h_{j}=g_{ij}=\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}\quad \Rightarrow \quad h_{i}={\sqrt {g_{ii}}}=\left|\mathbf {b} _{i}\right|=\left|{\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{i}}}\right|$
da una relación entre el tensor métrico y los coeficientes de Lamé, y
    $g_{ij}={\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{i}}}\cdot {\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{j}}}=\left(h_{ki}\mathbf {e} _{k}\right)\cdot \left(h_{mj}\mathbf {e} _{m}\right)=h_{ki}h_{kj}$
donde h$_{ij}$ son los coeficientes de Lamé. Para una base ortogonal también tenemos:
    $g=g_{11}g_{22}g_{33}=h_{1}^{2}h_{2}^{2}h_{3}^{2}\quad \Rightarrow \quad {\sqrt {g}}=h_{1}h_{2}h_{3}=J$

#### Ejemplo: coordenadas polares

Si consideramos las coordenadas polares de 'R$^2$,
    $(x,y)=(r\cos \theta ,r\sin \theta )$
(r, ?) son las coordenadas curvilíneas, y el determinante jacobiano de la transformación (r,?) ? (r cos ?, r sin ?) es r .
Los vectores base ortogonalidad (matemática) son b'$_r$= (cos ?, sin ?), b'$_θ$= (-r sin ?, r cos ?). Los factores de escala son h$_r$= 1 y h$_θ$= r. El tensor fundamental es g$_{11}$=1, g$_{22}$=r$^2$, g$_{12}$= g$_{21}$=0.

### El tensor alterno

En términos ortonormales para diestros, el alternating tensor de tercer orden se define como
    ${\boldsymbol {\mathcal {E}}}=\varepsilon _{ijk}\mathbf {e} ^{i}\otimes \mathbf {e} ^{j}\otimes \mathbf {e} ^{k}$
En una base curvilínea general, el mismo tensor se puede expresar como
    ${\boldsymbol {\mathcal {E}}}={\mathcal {E}}_{ijk}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}\otimes \mathbf {b} ^{k}={\mathcal {E}}^{ijk}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} _{j}\otimes \mathbf {b} _{k}$
También se puede demostrar que
    ${\mathcal {E}}^{ijk}={\cfrac {1}{J}}\varepsilon _{ijk}={\cfrac {1}{+{\sqrt {g}}}}\varepsilon _{ijk}$

### Símbolo de Christoffel
#### Símbolos de Christoffel de primera especie $\Gamma _{kij}$

    $\mathbf {b} _{i,j}={\frac {\partial \mathbf {b} _{i}}{\partial q^{j}}}=\mathbf {b} ^{k}\Gamma _{kij}\quad \Rightarrow \quad \mathbf {b} _{k}\cdot \mathbf {b} _{i,j}=\Gamma _{kij}$
donde la coma indica derivada parcial (véase cálculo tensorial). Para expresar G$_{kij}$ en términos de g$_{ij}$,
    ${\begin{aligned}g_{ij,k}&=(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j})_{,k}=\mathbf {b} _{i,k}\cdot \mathbf {b} _{j}+\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j,k}=\Gamma _{jik}+\Gamma _{ijk}\\g_{ik,j}&=(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,j}=\mathbf {b} _{i,j}\cdot \mathbf {b} _{k}+\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{k,j}=\Gamma _{kij}+\Gamma _{ikj}\\g_{jk,i}&=(\mathbf {b} _{j}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,i}=\mathbf {b} _{j,i}\cdot \mathbf {b} _{k}+\mathbf {b} _{j}\cdot \mathbf {b} _{k,i}=\Gamma _{kji}+\Gamma _{jki}\end{aligned}}$
Desde
    $\mathbf {b} _{i,j}=\mathbf {b} _{j,i}\quad \Rightarrow \quad \Gamma _{kij}=\Gamma _{kji}$
usarlos para reorganizar las relaciones anteriores da
    $\Gamma _{kij}={\frac {1}{2}}(g_{ik,j}+g_{jk,i}-g_{ij,k})={\frac {1}{2}}[(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,j}+(\mathbf {b} _{j}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,i}-(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j})_{,k}]$

#### Símbolos de Christoffel de segunda especie $\Gamma ^{k}_{ji}$

    $\Gamma ^{k}_{ij}=g^{kl}\Gamma _{lij}=\Gamma ^{k}_{ji},\quad {\cfrac {\partial \mathbf {b} _{i}}{\partial q^{j}}}=\mathbf {b} _{k}\Gamma ^{k}_{ij}$
Esto implica que
    $\Gamma ^{k}_{ij}={\cfrac {\partial \mathbf {b} _{i}}{\partial q^{j}}}\cdot \mathbf {b} ^{k}=-\mathbf {b} _{i}\cdot {\cfrac {\partial \mathbf {b} ^{k}}{\partial q^{j}}}\quad$ desde $\quad {\cfrac {\partial }{\partial q^{j}}}(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} ^{k})=0$.
Otras relaciones que siguen son
    ${\cfrac {\partial \mathbf {b} ^{i}}{\partial q^{j}}}=-\Gamma ^{i}_{jk}\mathbf {b} ^{k},\quad {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {b} _{i}=\Gamma ^{k}_{ij}\mathbf {b} _{k}\otimes \mathbf {b} ^{j},\quad {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {b} ^{i}=-\Gamma ^{i}_{jk}\mathbf {b} ^{k}\otimes \mathbf {b} ^{j}$

### Operaciones vectoriales

* 1. Producto escalar:
    El producto escalar de dos vectores en coordenadas curvilíneas es$^{:32}$
    $\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =u^{i}v_{i}=u_{i}v^{i}=g_{ij}u^{i}v^{j}=g^{ij}u_{i}v_{j}$
* 2. Producto vectorial:
    El producto vectorial de dos vectores viene dado por$^{:32–34}$
    $\mathbf {u} \times \mathbf {v} =\epsilon _{ijk}{u}_{j}{v}_{k}\mathbf {e} _{i}$
    donde $\epsilon _{ijk}$ es símbolo de Levi-Civita y $\mathbf {e} _{i}$ es un vector de base cartesiana. En coordenadas curvilíneas, la expresión equivalente es
    $\mathbf {u} \times \mathbf {v} =[(\mathbf {b} _{m}\times \mathbf {b} _{n})\cdot \mathbf {b} _{s}]u^{m}v^{n}\mathbf {b} ^{s}={\mathcal {E}}_{smn}u^{m}v^{n}\mathbf {b} ^{s}$
    donde ${\mathcal {E}}_{ijk}$ es third-order alternating tensor.

## Cálculo vectorial y tensorial en coordenadas curvilíneas tridimensionales

Es necesario realizar ajustes en el cálculo de line, surface y volume integrals. Para simplificar, lo siguiente se limita a tres dimensiones y coordenadas curvilíneas ortogonales. Sin embargo, los mismos argumentos se aplican a espacios de "n" dimensiones. Cuando el sistema de coordenadas no es ortogonal, hay algunos términos adicionales en las expresiones.
Simmonds, en su libro sobre campos tensoriales, cita a Albert Einstein diciendo
El cálculo vectorial y tensorial en coordenadas curvilíneas generales se utiliza en el análisis tensorial en variedad (matemáticas) curvilíneos de cuatro dimensiones en relatividad general, en el mechanics de shells curvo, para examinar las propiedades invariance de Ecuaciones de Maxwell que ha sido de interés en metamaterial y en muchos otros campos. .
En esta sección se dan algunas relaciones útiles en el cálculo de vectores y tensores de segundo orden en coordenadas curvilíneas. La notación y el contenido son principalmente de Ogden, Simmonds, Green y Zerna, Basar y Weichert, y Ciarlet.
Sea f= f(x) un campo escalar bien definido y v= v(x) un campo vectorial bien definido , y ?$_1$, ?$_2$... sean parámetros de las coordenadas

### Elementos geométricos

* 1. Tangent vector: Si x(λ) parametriza una curva C en coordenadas cartesianas, entonces
    ${\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda }={\partial \mathbf {x} \over \partial q^{i}}{\partial q^{i} \over \partial \lambda }=\left(h_{ki}{\cfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda }}\right)\mathbf {b} _{k}$
    es un vector tangente a C en coordenadas curvilíneas (usando regla de la cadena). Usando la definición de los coeficientes de Lamé, y la de la métrica g$_{ij}$= 0 cuando i ≠ j, la magnitud es:
    $\left|{\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda }\right|={\sqrt {h_{ki}h_{kj}{\cfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda }}{\cfrac {\partial q^{j}}{\partial \lambda }}}}=g_{i}jq^{i}q^{j}=h_{i}^{2}(q^{i})^{2}$
* 2. Elemento Tangente (geometría): Si x(λ$_1$, λ$_2$) parametriza una superficie S en coordenadas cartesianas, entonces se cumple lo siguiente El producto cruzado de vectores tangentes es un vector normal a S con la magnitud del elemento plano infinitesimal, en coordenadas curvilíneas. Usando el resultado anterior,
    ${\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{1}}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{2}}=\left({\partial \mathbf {x} \over \partial q^{i}}{\partial q^{i} \over \partial \lambda _{1}}\right)\times \left({\partial \mathbf {x} \over \partial q^{j}}{\partial q^{j} \over \partial \lambda _{2}}\right)={\mathcal {E}}_{kmp}\left(h_{ki}{\partial q^{i} \over \partial \lambda _{1}}\right)\left(h_{mj}{\partial q^{j} \over \partial \lambda _{2}}\right)\mathbf {b} _{p}$
    donde ${\mathcal {E}}$ es el símbolo de Levi-Civita. En forma determinante:
    ${\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{1}}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{2}}={\begin{vmatrix}\mathbf {e} _{1}&\mathbf {e} _{2}&\mathbf {e} _{3}\\h_{1i}{\dfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda _{1}}}&h_{2i}{\dfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda _{1}}}&h_{3i}{\dfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda _{1}}}\\h_{1j}{\dfrac {\partial q^{j}}{\partial \lambda _{2}}}&h_{2j}{\dfrac {\partial q^{j}}{\partial \lambda _{2}}}&h_{3j}{\dfrac {\partial q^{j}}{\partial \lambda _{2}}}\end{vmatrix}}$

### Integración

    Operador Campo escalar Campo vectorial Integral de línea $\int _{C}\varphi (\mathbf {x} )ds=\int _{a}^{b}\varphi (\mathbf {x} (\lambda ))\left|{\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda }\right|d\lambda$ $\int _{C}\mathbf {v} (\mathbf {x} )\cdot d\mathbf {s} =\int _{a}^{b}\mathbf {v} (\mathbf {x} (\lambda ))\cdot \left({\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda }\right)d\lambda$ Integral de superficie $\int _{S}\varphi (\mathbf {x} )dS=\iint _{T}\varphi (\mathbf {x} (\lambda _{1},\lambda _{2}))\left|{\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{1}}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{2}}\right|d\lambda _{1}d\lambda _{2}$ $\int _{S}\mathbf {v} (\mathbf {x} )\cdot dS=\iint _{T}\mathbf {v} (\mathbf {x} (\lambda _{1},\lambda _{2}))\cdot \left({\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{1}}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{2}}\right)d\lambda _{1}d\lambda _{2}$ Integral de volumen $\iiint _{V}\varphi (x,y,z)dV=\iiint _{V}\chi (q_{1},q_{2},q_{3})Jdq_{1}dq_{2}dq_{3}$ $\iiint _{V}\mathbf {u} (x,y,z)dV=\iiint _{V}\mathbf {v} (q_{1},q_{2},q_{3})Jdq_{1}dq_{2}dq_{3}$

### Diferenciación

Las expresiones para el gradiente, la divergencia y el laplaciano se pueden extender directamente a "n" dimensiones; sin embargo, el rizo solo se define en 3D.
El campo vectorial b'i es tangente a la curva de coordenadas q$^i$ y forma una base natural en cada punto de la curva. Esta base, como se analizó al principio de este artículo, también se denomina base curvilínea covariante. También podemos definir una base recíproca o una base curvilínea contravariante, b$^i$. Todas las relaciones algebraicas entre los vectores de base, como se analiza en la sección sobre álgebra tensorial, se aplican a la base natural y su recíproco en cada punto x.
    Operador Campo escalar Campo vectorial Campo tensorial de segundo orden Gradiente $\nabla \varphi ={\cfrac {1}{h_{i}}}{\partial \varphi \over \partial q^{i}}\mathbf {b} ^{i}$ $\nabla \mathbf {v} ={\cfrac {1}{h_{i}^{2}}}{\partial \mathbf {v} \over \partial q^{i}}\otimes \mathbf {b} _{i}$ ${\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {S}}={\cfrac {\partial {\boldsymbol {S}}}{\partial q^{i}}}\otimes \mathbf {b} ^{i}$ Divergencia N/A $\nabla \cdot \mathbf {v} ={\cfrac {1}{\prod _{j}h_{j}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}(v^{i}\prod _{j\neq i}h_{j})$ $({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}})\cdot \mathbf {a} ={\boldsymbol {\nabla }}\cdot ({\boldsymbol {S}}\cdot \mathbf {a} )$ donde a es un vector constante arbitrario. En coordenadas curvilíneas, ${\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}}=\left[{\cfrac {\partial S_{ij}}{\partial q^{k}}}-\Gamma _{ki}^{l}S_{lj}-\Gamma _{kj}^{l}S_{il}\right]g^{ik}\mathbf {b} ^{j}$ Operador laplaciano $\nabla ^{2}\varphi ={\cfrac {1}{\prod _{j}h_{j}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left({\cfrac {\prod _{j}h_{j}}{h_{i}^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial q^{i}}}\right)$ $\nabla ^{2}\mathbf {v} \equiv \nabla \nabla \cdot \mathbf {v} -\nabla \times \nabla \times \mathbf {v}$ $~~~={\hat {\mathbf {x} }}\nabla ^{2}v_{x}+{\hat {\mathbf {y} }}\nabla ^{2}v_{y}+{\hat {\mathbf {z} }}\nabla ^{2}v_{z}$ (Primera igualdad solo en 3D; segunda igualdad solo en componentes cartesianas) Rotacional N/A Solo para campos vectoriales en 3D, $\nabla \times \mathbf {v} ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\mathbf {e} _{i}\epsilon _{ijk}h_{i}{\frac {\partial (h_{k}v_{k})}{\partial q^{j}}}$ donde $\epsilon _{ijk}$ es el símbolo de Levi-Civita. Véase Rotacional de un campo tensorial

## Fuerzas ficticias en coordenadas curvilíneas generales

Por definición, si una partícula sobre la que no actúan fuerzas tiene su posición expresada en un sistema de coordenadas inercial, (x$_1$, x$_2$, x$_3$, t), entonces allí no tendrá aceleración (d$^2$x$_j$/dt$^2$ = 0). En este contexto, un sistema de coordenadas puede no ser "inercial" ya sea debido a ejes de tiempo no rectos o ejes espaciales no rectos (o ambos). En otras palabras, los vectores base de las coordenadas pueden variar en el tiempo en posiciones fijas, o pueden variar con la posición en momentos fijos, o ambas cosas. Cuando las ecuaciones de movimiento se expresan en términos de cualquier sistema de coordenadas no inercial (en este sentido), aparecen términos adicionales, llamados símbolos de Christoffel. Estrictamente hablando, estos términos representan componentes de la aceleración absoluta (en la mecánica clásica), pero también podemos optar por seguir considerando d$^2$x$_j$/dt$^2$ como la aceleración (como si las coordenadas fueran inercial) y trata los términos adicionales como si fueran fuerzas, en cuyo caso se llaman fuerzas ficticias. La componente de cualquier fuerza ficticia normal a la trayectoria de la partícula y en el plano de curvatura de la trayectoria se llama entonces fuerza centrífuga.
Este contexto más general deja clara la correspondencia entre los conceptos de fuerza centrífuga en rotating coordinate system y en sistemas de coordenadas curvilíneos estacionarios. (Ambos conceptos aparecen frecuentemente en la literatura.) Para un ejemplo simple, considere una partícula de masa m que se mueve en un círculo de radio r con velocidad angular w relativa a un Sistema de coordenadas polares que gira con velocidad angular W. La ecuación radial de movimiento es mr” = F$_r$ + mr(w + W)$^2$ . Por lo tanto, la fuerza centrífuga es "mr" multiplicada por el cuadrado de la velocidad de rotación absoluta "A" = "w" + "W" de la partícula. Si elegimos un sistema de coordenadas que gira a la velocidad de la partícula, entonces W=A y w=0, en cuyo caso la fuerza centrífuga es mrA$^2$, mientras que si elegimos un sistema de coordenadas estacionario tenemos W = 0 y w = A, en cuyo caso la centrífuga la fuerza es nuevamente mrA$^2$. La razón de esta igualdad de resultados es que en ambos casos los vectores base en la ubicación de la partícula cambian en el tiempo exactamente de la misma manera. Por lo tanto, estas son en realidad dos formas diferentes de describir exactamente la misma cosa, una descripción en términos de coordenadas giratorias y la otra en términos de coordenadas curvilíneas estacionarias, las cuales son no inerciales según el significado más abstracto de ese término. .
Al describir el movimiento general, las fuerzas reales que actúan sobre una partícula a menudo se refieren al círculo osculador instantáneo tangente a la trayectoria del movimiento, y este círculo en el caso general no está centrado en una ubicación fija, por lo que la descomposición en centrífugo y Coriolis Los componentes cambian constantemente. Esto es cierto independientemente de si el movimiento se describe en términos de coordenadas estacionarias o giratorias.