# Triangle Oak with multiplied columns

Many number triangles related to Boolean functions are the triangle of 2-binomial coefficients, here called Oak, with columns multiplied by the entries of a sequence.
Compare Pascal's triangle with multiplied columns.
triangle pair Oak :
🌊    triangle Oak (A022166)    row sums Daisy (A006116) :
| kn | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | sums |
| 0 | 1 | | | | | | | | 1 |
| 1 | 1 | 1 | | | | | | | 2 |
| 2 | 1 | 3 | 1 | | | | | | 5 |
| 3 | 1 | 7 | 7 | 1 | | | | | 16 |
| 4 | 1 | 15 | 35 | 15 | 1 | | | | 67 |
| 5 | 1 | 31 | 155 | 155 | 31 | 1 | | | 374 |
| 6 | 1 | 63 | 651 | 1395 | 651 | 63 | 1 | | 2825 |
| 7 | 1 | 127 | 2667 | 11811 | 11811 | 2667 | 127 | 1 | 29212 |
💧    triangle Maple (~A289537)    row sums Dahlia (~A182176) :
| kn | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | sums |
| 0 | 1 | | | | | | | | 1 |
| 1 | 0 | 1 | | | | | | | 1 |
| 2 | 0 | 2 | 1 | | | | | | 3 |
| 3 | 0 | 4 | 6 | 1 | | | | | 11 |
| 4 | 0 | 8 | 28 | 14 | 1 | | | | 51 |
| 5 | 0 | 16 | 120 | 140 | 30 | 1 | | | 307 |
| 6 | 0 | 32 | 496 | 1240 | 620 | 62 | 1 | | 2451 |
| 7 | 0 | 64 | 2016 | 10416 | 11160 | 2604 | 126 | 1 | 26387 |

## related to Boolean functions

triangle pair Poplar    diagonal Lily    + half :
🌊    triangle Poplar    row sums Grass :
| kn | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | sums |
| 0 | 1 · 2 2 | | | | | | 2 |
| 1 | 1 · 2 2 | 1 · 2 2 | | | | | 4 |
| 2 | 1 · 2 2 | 3 · 2 6 | 1 · 8 8 | | | | 16 |
| 3 | 1 · 2 2 | 7 · 2 14 | 7 · 8 56 | 1 · 184 184 | | | 256 |
| 4 | 1 · 2 2 | 15 · 2 30 | 35 · 8 280 | 15 · 184 2760 | 1 · 62464 62464 | | 65536 |
| 5 | 1 · 2 2 | 31 · 2 62 | 155 · 8 1240 | 155 · 184 28520 | 31 · 62464 1936384 | 1 · 4293001088 4293001088 | 4294967296 |
💧    triangle PoplarDrop    row sums GrassDrop :
| kn | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | sums |
| 0 | 1 · 2 2 | | | | | | 2 |
| 1 | 0 | 1 · 2 2 | | | | | 2 |
| 2 | 0 | 2 · 2 4 | 1 · 8 8 | | | | 12 |
| 3 | 0 | 4 · 2 8 | 6 · 8 48 | 1 · 184 184 | | | 240 |
| 4 | 0 | 8 · 2 16 | 28 · 8 224 | 14 · 184 2576 | 1 · 62464 62464 | | 65280 |
| 5 | 0 | 16 · 2 32 | 120 · 8 960 | 140 · 184 25760 | 30 · 62464 1873920 | 1 · 4293001088 4293001088 | 4294901760 |
triangle pair HalfPoplar    diagonal HalfLily :
🌊    triangle HalfPoplar    row sums HalfGrass :
| kn | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | sums |
| 0 | 1 · 1 1 | | | | | | 1 |
| 1 | 1 · 1 1 | 1 · 1 1 | | | | | 2 |
| 2 | 1 · 1 1 | 3 · 1 3 | 1 · 4 4 | | | | 8 |
| 3 | 1 · 1 1 | 7 · 1 7 | 7 · 4 28 | 1 · 92 92 | | | 128 |
| 4 | 1 · 1 1 | 15 · 1 15 | 35 · 4 140 | 15 · 92 1380 | 1 · 31232 31232 | | 32768 |
| 5 | 1 · 1 1 | 31 · 1 31 | 155 · 4 620 | 155 · 92 14260 | 31 · 31232 968192 | 1 · 2146500544 2146500544 | 2147483648 |
💧    triangle HalfPoplarDrop    row sums HalfGrassDrop :
| kn | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | sums |
| 0 | 1 · 1 1 | | | | | | 1 |
| 1 | 0 | 1 · 1 1 | | | | | 1 |
| 2 | 0 | 2 · 1 2 | 1 · 4 4 | | | | 6 |
| 3 | 0 | 4 · 1 4 | 6 · 4 24 | 1 · 92 92 | | | 120 |
| 4 | 0 | 8 · 1 8 | 28 · 4 112 | 14 · 92 1288 | 1 · 31232 31232 | | 32640 |
| 5 | 0 | 16 · 1 16 | 120 · 4 480 | 140 · 92 12880 | 30 · 31232 936960 | 1 · 2146500544 2146500544 | 2147450880 |
triangle pair Olive    diagonal Aloe :
🌊    triangle Olive (A227725)    row sums Thyme (A000231) :
| kn | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | sums |
| 0 | 1 · 2 2 | | | | | | 2 |
| 1 | 1 · 2 2 | 1 · 1 1 | | | | | 3 |
| 2 | 1 · 2 2 | 3 · 1 3 | 1 · 2 2 | | | | 7 |
| 3 | 1 · 2 2 | 7 · 1 7 | 7 · 2 14 | 1 · 23 23 | | | 46 |
| 4 | 1 · 2 2 | 15 · 1 15 | 35 · 2 70 | 15 · 23 345 | 1 · 3904 3904 | | 4336 |
| 5 | 1 · 2 2 | 31 · 1 31 | 155 · 2 310 | 155 · 23 3565 | 31 · 3904 121024 | 1 · 134156284 134156284 | 134281216 |
💧    triangle OliveDrop    row sums ThymeDrop :
| kn | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | sums |
| 0 | 1 · 2 2 | | | | | | 2 |
| 1 | 0 | 1 · 1 1 | | | | | 1 |
| 2 | 0 | 2 · 1 2 | 1 · 2 2 | | | | 4 |
| 3 | 0 | 4 · 1 4 | 6 · 2 12 | 1 · 23 23 | | | 39 |
| 4 | 0 | 8 · 1 8 | 28 · 2 56 | 14 · 23 322 | 1 · 3904 3904 | | 4290 |
| 5 | 0 | 16 · 1 16 | 120 · 2 240 | 140 · 23 3220 | 30 · 3904 117120 | 1 · 134156284 134156284 | 134276880 |
triangle pair Forsythia    diagonal truncated Aloe :
🌊    triangle Forsythia    row sums Dandelion :
| kn | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | sums |
| 0 | 1 · 1 1 | | | | | | 1 |
| 1 | 1 · 1 1 | 1 · 2 2 | | | | | 3 |
| 2 | 1 · 1 1 | 3 · 2 6 | 1 · 23 23 | | | | 30 |
| 3 | 1 · 1 1 | 7 · 2 14 | 7 · 23 161 | 1 · 3904 3904 | | | 4080 |
| 4 | 1 · 1 1 | 15 · 2 30 | 35 · 23 805 | 15 · 3904 58560 | 1 · 134156284 134156284 | | 134215680 |
| 5 | 1 · 1 1 | 31 · 2 62 | 155 · 23 3565 | 155 · 3904 605120 | 31 · 134156284 4158844804 | 1 · 288230371925149328 288230371925149328 | 288230376084602880 |
💧    triangle ForsythiaDrop    row sums DandelionDrop :
| kn | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | sums |
| 0 | 1 · 1 1 | | | | | | 1 |
| 1 | 0 | 1 · 2 2 | | | | | 2 |
| 2 | 0 | 2 · 2 4 | 1 · 23 23 | | | | 27 |
| 3 | 0 | 4 · 2 8 | 6 · 23 138 | 1 · 3904 3904 | | | 4050 |
| 4 | 0 | 8 · 2 16 | 28 · 23 644 | 14 · 3904 54656 | 1 · 134156284 134156284 | | 134211600 |
| 5 | 0 | 16 · 2 32 | 120 · 23 2760 | 140 · 3904 546560 | 30 · 134156284 4024688520 | 1 · 288230371925149328 288230371925149328 | 288230375950387200 |
triangle pair Rhododendron    diagonal Chrysanthemum :
triangle [[|Rhododendron]]    row sums [[|Ranunculus]] (A028361) :
| kn | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | sums |
| 0 | 1 · 1 1 | | | | | | | | 1 |
| 1 | 1 · 1 1 | 1 · 1 1 | | | | | | | 2 |
| 2 | 1 · 1 1 | 3 · 1 3 | 1 · 2 2 | | | | | | 6 |
| 3 | 1 · 1 1 | 7 · 1 7 | 7 · 2 14 | 1 · 8 8 | | | | | 30 |
| 4 | 1 · 1 1 | 15 · 1 15 | 35 · 2 70 | 15 · 8 120 | 1 · 64 64 | | | | 270 |
| 5 | 1 · 1 1 | 31 · 1 31 | 155 · 2 310 | 155 · 8 1240 | 31 · 64 1984 | 1 · 1024 1024 | | | 4590 |
| 6 | 1 · 1 1 | 63 · 1 63 | 651 · 2 1302 | 1395 · 8 11160 | 651 · 64 41664 | 63 · 1024 64512 | 1 · 32768 32768 | | 151470 |
| 7 | 1 · 1 1 | 127 · 1 127 | 2667 · 2 5334 | 11811 · 8 94488 | 11811 · 64 755904 | 2667 · 1024 2731008 | 127 · 32768 4161536 | 1 · 2097152 2097152 | 9845550 |
💧    triangle [[|RhododendronDrop]]    row sums [[|RanunculusDrop]] :
| kn | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | sums |
| 0 | 1 * 1 1 | | | | | | | | 1 |
| 1 | 0 | 1 * 1 1 | | | | | | | 1 |
| 2 | 0 | 2 * 1 2 | 1 * 2 2 | | | | | | 4 |
| 3 | 0 | 4 * 1 4 | 6 * 2 12 | 1 * 8 8 | | | | | 24 |
| 4 | 0 | 8 * 1 8 | 28 * 2 56 | 14 * 8 112 | 1 * 64 64 | | | | 240 |
| 5 | 0 | 16 * 1 16 | 120 * 2 240 | 140 * 8 1120 | 30 * 64 1920 | 1 * 1024 1024 | | | 4320 |
| 6 | 0 | 32 * 1 32 | 496 * 2 992 | 1240 * 8 9920 | 620 * 64 39680 | 62 * 1024 63488 | 1 * 32768 32768 | | 146880 |
| 7 | 0 | 64 * 1 64 | 2016 * 2 4032 | 10416 * 8 83328 | 11160 * 64 714240 | 2604 * 1024 2666496 | 126 * 32768 4128768 | 1 * 2097152 2097152 | 9694080 |

## related to seals

triangle pair MapleCore    diagonal powers of two :
🌊    triangle MapleCore (~A289537)    row sums DahliaCore (A182176) :
| kn | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | sums |
| 0 | 1 · 1 1 | | | | | | | | 1 |
| 1 | 1 · 1 1 | 1 · 2 2 | | | | | | | 3 |
| 2 | 1 · 1 1 | 3 · 2 6 | 1 · 4 4 | | | | | | 11 |
| 3 | 1 · 1 1 | 7 · 2 14 | 7 · 4 28 | 1 · 8 8 | | | | | 51 |
| 4 | 1 · 1 1 | 15 · 2 30 | 35 · 4 140 | 15 · 8 120 | 1 · 16 16 | | | | 307 |
| 5 | 1 · 1 1 | 31 · 2 62 | 155 · 4 620 | 155 · 8 1240 | 31 · 16 496 | 1 · 32 32 | | | 2451 |
| 6 | 1 · 1 1 | 63 · 2 126 | 651 · 4 2604 | 1395 · 8 11160 | 651 · 16 10416 | 63 · 32 2016 | 1 · 64 64 | | 26387 |
| 7 | 1 · 1 1 | 127 · 2 254 | 2667 · 4 10668 | 11811 · 8 94488 | 11811 · 16 188976 | 2667 · 32 85344 | 127 · 64 8128 | 1 · 128 128 | 387987 |
💧    triangle Sycamore    row sums Azalea :
| kn | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | sums |
| 0 | 1 · 1 1 | | | | | | | | 1 |
| 1 | 0 | 1 · 2 2 | | | | | | | 2 |
| 2 | 0 | 2 · 2 4 | 1 · 4 4 | | | | | | 8 |
| 3 | 0 | 4 · 2 8 | 6 · 4 24 | 1 · 8 8 | | | | | 40 |
| 4 | 0 | 8 · 2 16 | 28 · 4 112 | 14 · 8 112 | 1 · 16 16 | | | | 256 |
| 5 | 0 | 16 · 2 32 | 120 · 4 480 | 140 · 8 1120 | 30 · 16 480 | 1 · 32 32 | | | 2144 |
| 6 | 0 | 32 · 2 64 | 496 · 4 1984 | 1240 · 8 9920 | 620 · 16 9920 | 62 · 32 1984 | 1 · 64 64 | | 23936 |
| 7 | 0 | 64 · 2 128 | 2016 · 4 8064 | 10416 · 8 83328 | 11160 · 16 178560 | 2604 · 32 83328 | 126 · 64 8064 | 1 · 128 128 | 361600 |