# Pascal's triangle with multiplied columns

Many number triangles related to Boolean functions are Pascal's triangle with columns multiplied by the entries of a sequence.
Compare Triangle Oak with multiplied columns.
🌊    Pascal :
| kn | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | sums |
| 0 | 1 | | | | | | 1 |
| 1 | 1 | 1 | | | | | 2 |
| 2 | 1 | 2 | 1 | | | | 4 |
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | | | 8 |
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | | 16 |
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | 32 |
💧    PascalDrop :
| kn | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | sums |
| 0 | 1 | | | | | | 1 |
| 1 | 0 | 1 | | | | | 1 |
| 2 | 0 | 1 | 1 | | | | 2 |
| 3 | 0 | 1 | 2 | 1 | | | 4 |
| 4 | 0 | 1 | 3 | 3 | 1 | | 8 |
| 5 | 0 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | 16 |

## related to Boolean functions

triangle pair Cedar    diagonal Grass    + half :
🌊    triangle Cedar    row sums Crocus :
| kn | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | sums |
| 0 | 1 · 2 2 | | | | | | 2 |
| 1 | 1 · 2 2 | 1 · 4 4 | | | | | 6 |
| 2 | 1 · 2 2 | 2 · 4 8 | 1 · 16 16 | | | | 26 |
| 3 | 1 · 2 2 | 3 · 4 12 | 3 · 16 48 | 1 · 256 256 | | | 318 |
| 4 | 1 · 2 2 | 4 · 4 16 | 6 · 16 96 | 4 · 256 1024 | 1 · 65536 65536 | | 66674 |
| 5 | 1 · 2 2 | 5 · 4 20 | 10 · 16 160 | 10 · 256 2560 | 5 · 65536 327680 | 1 · 4294967296 4294967296 | 4295297718 |
💧    triangle CedarDrop    row sums CrocusDrop :
| kn | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | sums |
| 0 | 1 · 2 2 | | | | | | 2 |
| 1 | 0 | 1 · 4 4 | | | | | 4 |
| 2 | 0 | 1 · 4 4 | 1 · 16 16 | | | | 20 |
| 3 | 0 | 1 · 4 4 | 2 · 16 32 | 1 · 256 256 | | | 292 |
| 4 | 0 | 1 · 4 4 | 3 · 16 48 | 3 · 256 768 | 1 · 65536 65536 | | 66356 |
| 5 | 0 | 1 · 4 4 | 4 · 16 64 | 6 · 256 1536 | 4 · 65536 262144 | 1 · 4294967296 4294967296 | 4295231044 |
triangle pair HalfCedar    diagonal HalfGrass :
🌊    triangle HalfCedar    row sums HalfCrocus (A246418) :
| kn | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | sums |
| 0 | 1 · 1 1 | | | | | | 1 |
| 1 | 1 · 1 1 | 1 · 2 2 | | | | | 3 |
| 2 | 1 · 1 1 | 2 · 2 4 | 1 · 8 8 | | | | 13 |
| 3 | 1 · 1 1 | 3 · 2 6 | 3 · 8 24 | 1 · 128 128 | | | 159 |
| 4 | 1 · 1 1 | 4 · 2 8 | 6 · 8 48 | 4 · 128 512 | 1 · 32768 32768 | | 33337 |
| 5 | 1 · 1 1 | 5 · 2 10 | 10 · 8 80 | 10 · 128 1280 | 5 · 32768 163840 | 1 · 2147483648 2147483648 | 2147648859 |
💧    triangle HalfCedarDrop    row sums HalfCrocusDrop :
| kn | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | sums |
| 0 | 1 · 1 1 | | | | | | 1 |
| 1 | 0 | 1 · 2 2 | | | | | 2 |
| 2 | 0 | 1 · 2 2 | 1 · 8 8 | | | | 10 |
| 3 | 0 | 1 · 2 2 | 2 · 8 16 | 1 · 128 128 | | | 146 |
| 4 | 0 | 1 · 2 2 | 3 · 8 24 | 3 · 128 384 | 1 · 32768 32768 | | 33178 |
| 5 | 0 | 1 · 2 2 | 4 · 8 32 | 6 · 128 768 | 4 · 32768 131072 | 1 · 2147483648 2147483648 | 2147615522 |
triangle pair Hickory    diagonal Orchid :
🌊    triangle Hickory    row sums Hyacinth (2·A059301) :
| kn | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | sums |
| 0 | 1 · 0 0 | | | | | | 0 |
| 1 | 1 · 0 0 | 1 · 2 2 | | | | | 2 |
| 2 | 1 · 0 0 | 2 · 2 4 | 1 · 6 6 | | | | 10 |
| 3 | 1 · 0 0 | 3 · 2 6 | 3 · 6 18 | 1 · 38 38 | | | 62 |
| 4 | 1 · 0 0 | 4 · 2 8 | 6 · 6 36 | 4 · 38 152 | 1 · 942 942 | | 1138 |
| 5 | 1 · 0 0 | 5 · 2 10 | 10 · 6 60 | 10 · 38 380 | 5 · 942 4710 | 1 · 325262 325262 | 330422 |
💧    triangle HickoryDrop    row sums HyacinthDrop :
| kn | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | sums |
| 0 | 1 · 0 0 | | | | | | 0 |
| 1 | 0 | 1 · 2 2 | | | | | 2 |
| 2 | 0 | 1 · 2 2 | 1 · 6 6 | | | | 8 |
| 3 | 0 | 1 · 2 2 | 2 · 6 12 | 1 · 38 38 | | | 52 |
| 4 | 0 | 1 · 2 2 | 3 · 6 18 | 3 · 38 114 | 1 · 942 942 | | 1076 |
| 5 | 0 | 1 · 2 2 | 4 · 6 24 | 6 · 38 228 | 4 · 942 3768 | 1 · 325262 325262 | 329284 |
triangle pair Robinia    diagonal Violet :
🌊    triangle Robinia    row sums Primula (A246537) :
| kn | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | sums |
| 0 | 1 · 1 1 | | | | | | 1 |
| 1 | 1 · 1 1 | 1 · 0 0 | | | | | 1 |
| 2 | 1 · 1 1 | 2 · 0 0 | 1 · 2 2 | | | | 3 |
| 3 | 1 · 1 1 | 3 · 0 0 | 3 · 2 6 | 1 · 90 90 | | | 97 |
| 4 | 1 · 1 1 | 4 · 0 0 | 6 · 2 12 | 4 · 90 360 | 1 · 31826 31826 | | 32199 |
| 5 | 1 · 1 1 | 5 · 0 0 | 10 · 2 20 | 10 · 90 900 | 5 · 31826 159130 | 1 · 2147158386 2147158386 | 2147318437 |
💧    triangle RobiniaDrop    row sums PrimulaDrop :
| kn | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | sums |
| 0 | 1 · 1 1 | | | | | | 1 |
| 1 | 0 | 1 · 0 0 | | | | | 0 |
| 2 | 0 | 1 · 0 0 | 1 · 2 2 | | | | 2 |
| 3 | 0 | 1 · 0 0 | 2 · 2 4 | 1 · 90 90 | | | 94 |
| 4 | 0 | 1 · 0 0 | 3 · 2 6 | 3 · 90 270 | 1 · 31826 31826 | | 32102 |
| 5 | 0 | 1 · 0 0 | 4 · 2 8 | 6 · 90 540 | 4 · 31826 127304 | 1 · 2147158386 2147158386 | 2147286238 |
triangle pair Willow    diagonal Lotus    + half :
🌊    triangle Willow    row sums Grass (A001146) :
| kn | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | sums |
| 0 | 1 · 2 2 | | | | | | 2 |
| 1 | 1 · 2 2 | 1 · 2 2 | | | | | 4 |
| 2 | 1 · 2 2 | 2 · 2 4 | 1 · 10 10 | | | | 16 |
| 3 | 1 · 2 2 | 3 · 2 6 | 3 · 10 30 | 1 · 218 218 | | | 256 |
| 4 | 1 · 2 2 | 4 · 2 8 | 6 · 10 60 | 4 · 218 872 | 1 · 64594 64594 | | 65536 |
| 5 | 1 · 2 2 | 5 · 2 10 | 10 · 10 100 | 10 · 218 2180 | 5 · 64594 322970 | 1 · 4294642034 4294642034 | 4294967296 |
💧    triangle WillowDrop    row sums GrassDrop (~A111403) :
| kn | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | sums |
| 0 | 1 · 2 2 | | | | | | 2 |
| 1 | 0 | 1 · 2 2 | | | | | 2 |
| 2 | 0 | 1 · 2 2 | 1 · 10 10 | | | | 12 |
| 3 | 0 | 1 · 2 2 | 2 · 10 20 | 1 · 218 218 | | | 240 |
| 4 | 0 | 1 · 2 2 | 3 · 10 30 | 3 · 218 654 | 1 · 64594 64594 | | 65280 |
| 5 | 0 | 1 · 2 2 | 4 · 10 40 | 6 · 218 1308 | 4 · 64594 258376 | 1 · 4294642034 4294642034 | 4294901760 |
triangle pair HalfWillow    diagonal HalfLotus :
🌊    triangle HalfWillow    row sums HalfGrass (~A058891) :
| kn | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | sums |
| 0 | 1 · 1 1 | | | | | | 1 |
| 1 | 1 · 1 1 | 1 · 1 1 | | | | | 2 |
| 2 | 1 · 1 1 | 2 · 1 2 | 1 · 5 5 | | | | 8 |
| 3 | 1 · 1 1 | 3 · 1 3 | 3 · 5 15 | 1 · 109 109 | | | 128 |
| 4 | 1 · 1 1 | 4 · 1 4 | 6 · 5 30 | 4 · 109 436 | 1 · 32297 32297 | | 32768 |
| 5 | 1 · 1 1 | 5 · 1 5 | 10 · 5 50 | 10 · 109 1090 | 5 · 32297 161485 | 1 · 2147321017 2147321017 | 2147483648 |
💧    triangle HalfWillowDrop    row sums HalfGrassDrop (~A040996) :
| kn | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | sums |
| 0 | 1 · 1 1 | | | | | | 1 |
| 1 | 0 | 1 · 1 1 | | | | | 1 |
| 2 | 0 | 1 · 1 1 | 1 · 5 5 | | | | 6 |
| 3 | 0 | 1 · 1 1 | 2 · 5 10 | 1 · 109 109 | | | 120 |
| 4 | 0 | 1 · 1 1 | 3 · 5 15 | 3 · 109 327 | 1 · 32297 32297 | | 32640 |
| 5 | 0 | 1 · 1 1 | 4 · 5 20 | 6 · 109 654 | 4 · 32297 129188 | 1 · 2147321017 2147321017 | 2147450880 |
triangle pair Chestnut    diagonal Pansy :
🌊    triangle Chestnut    row sums ~Grass :
| kn | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | sums |
| 0 | 1 · 2 2 | | | | | | 2 |
| 1 | 1 · 2 2 | 1 · 0 0 | | | | | 2 |
| 2 | 1 · 2 2 | 2 · 0 0 | 1 · 2 2 | | | | 4 |
| 3 | 1 · 2 2 | 3 · 0 0 | 3 · 2 6 | 1 · 8 8 | | | 16 |
| 4 | 1 · 2 2 | 4 · 0 0 | 6 · 2 12 | 4 · 8 32 | 1 · 210 210 | | 256 |
| 5 | 1 · 2 2 | 5 · 0 0 | 10 · 2 20 | 10 · 8 80 | 5 · 210 1050 | 1 · 64384 64384 | 65536 |
💧    triangle ChestnutDrop    row sums ~GrassDrop :
| kn | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | sums |
| 0 | 1 · 2 2 | | | | | | 2 |
| 1 | 0 | 1 · 0 0 | | | | | 0 |
| 2 | 0 | 1 · 0 0 | 1 · 2 2 | | | | 2 |
| 3 | 0 | 1 · 0 0 | 2 · 2 4 | 1 · 8 8 | | | 12 |
| 4 | 0 | 1 · 0 0 | 3 · 2 6 | 3 · 8 24 | 1 · 210 210 | | 240 |
| 5 | 0 | 1 · 0 0 | 4 · 2 8 | 6 · 8 48 | 4 · 210 840 | 1 · 64384 64384 | 65280 |
triangle pair Chinkapin    diagonal Peony :
🌊    triangle Chinkapin    row sums ~Grass :
| kn | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | sums |
| 0 | 1 · 0 0 | | | | | | 0 |
| 1 | 1 · 0 0 | 1 · 2 2 | | | | | 2 |
| 2 | 1 · 0 0 | 2 · 2 4 | 1 · 0 0 | | | | 4 |
| 3 | 1 · 0 0 | 3 · 2 6 | 3 · 0 0 | 1 · 10 10 | | | 16 |
| 4 | 1 · 0 0 | 4 · 2 8 | 6 · 0 0 | 4 · 10 40 | 1 · 208 208 | | 256 |
| 5 | 1 · 0 0 | 5 · 2 10 | 10 · 0 0 | 10 · 10 100 | 5 · 208 1040 | 1 · 64386 64386 | 65536 |
💧    triangle ChinkapinDrop    row sums ~GrassDrop :
| kn | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | sums |
| 0 | 1 · 0 0 | | | | | | 0 |
| 1 | 0 | 1 · 2 2 | | | | | 2 |
| 2 | 0 | 1 · 2 2 | 1 · 0 0 | | | | 2 |
| 3 | 0 | 1 · 2 2 | 2 · 0 0 | 1 · 10 10 | | | 12 |
| 4 | 0 | 1 · 2 2 | 3 · 0 0 | 3 · 10 30 | 1 · 208 208 | | 240 |
| 5 | 0 | 1 · 2 2 | 4 · 0 0 | 6 · 10 60 | 4 · 208 832 | 1 · 64386 64386 | 65280 |

## related to seals

triangle pair Ash    diagonal Aster :
🌊    triangle Ash    row sums Daisy (A006116) :
| kn | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | sums |
| 0 | 1 · 1 1 | | | | | | | | 1 |
| 1 | 1 · 1 1 | 1 · 1 1 | | | | | | | 2 |
| 2 | 1 · 1 1 | 2 · 1 2 | 1 · 2 2 | | | | | | 5 |
| 3 | 1 · 1 1 | 3 · 1 3 | 3 · 2 6 | 1 · 6 6 | | | | | 16 |
| 4 | 1 · 1 1 | 4 · 1 4 | 6 · 2 12 | 4 · 6 24 | 1 · 26 26 | | | | 67 |
| 5 | 1 · 1 1 | 5 · 1 5 | 10 · 2 20 | 10 · 6 60 | 5 · 26 130 | 1 · 158 158 | | | 374 |
| 6 | 1 · 1 1 | 6 · 1 6 | 15 · 2 30 | 20 · 6 120 | 15 · 26 390 | 6 · 158 948 | 1 · 1330 1330 | | 2825 |
| 7 | 1 · 1 1 | 7 · 1 7 | 21 · 2 42 | 35 · 6 210 | 35 · 26 910 | 21 · 158 3318 | 7 · 1330 9310 | 1 · 15414 15414 | 29212 |
💧    triangle Aspen    row sums Dahlia (~A182176) :
| kn | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | sums |
| 0 | 1 · 1 1 | | | | | | | | 1 |
| 1 | 0 | 1 · 1 1 | | | | | | | 1 |
| 2 | 0 | 1 · 1 1 | 1 · 2 2 | | | | | | 3 |
| 3 | 0 | 1 · 1 1 | 2 · 2 4 | 1 · 6 6 | | | | | 11 |
| 4 | 0 | 1 · 1 1 | 3 · 2 6 | 3 · 6 18 | 1 · 26 26 | | | | 51 |
| 5 | 0 | 1 · 1 1 | 4 · 2 8 | 6 · 6 36 | 4 · 26 104 | 1 · 158 158 | | | 307 |
| 6 | 0 | 1 · 1 1 | 5 · 2 10 | 10 · 6 60 | 10 · 26 260 | 5 · 158 790 | 1 · 1330 1330 | | 2451 |
| 7 | 0 | 1 · 1 1 | 6 · 2 12 | 15 · 6 90 | 20 · 26 520 | 15 · 158 2370 | 6 · 1330 7980 | 1 · 15414 15414 | 26387 |
triangle pair Sloe    diagonal Verbena :
🌊    triangle Sloe    row sums Valerian :
| kn | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | sums |
| 0 | 1 · 1 1 | | | | | | | | 1 |
| 1 | 1 · 1 1 | 1 · 1 1 | | | | | | | 2 |
| 2 | 1 · 1 1 | 2 · 1 2 | 1 · 2 2 | | | | | | 5 |
| 3 | 1 · 1 1 | 3 · 1 3 | 3 · 2 6 | 1 · 6 6 | | | | | 16 |
| 4 | 1 · 1 1 | 4 · 1 4 | 6 · 2 12 | 4 · 6 24 | 1 · 20 20 | | | | 61 |
| 5 | 1 · 1 1 | 5 · 1 5 | 10 · 2 20 | 10 · 6 60 | 5 · 20 100 | 1 · 78 78 | | | 264 |
| 6 | 1 · 1 1 | 6 · 1 6 | 15 · 2 30 | 20 · 6 120 | 15 · 20 300 | 6 · 78 468 | 1 · 300 300 | | 1225 |
| 7 | 1 · 1 1 | 7 · 1 7 | 21 · 2 42 | 35 · 6 210 | 35 · 20 700 | 21 · 78 1638 | 7 · 300 2100 | 1 · 1092 1092 | 5790 |
💧    triangle SloeDrop    row sums ValerianDrop :
| kn | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | sums |
| 0 | 1 · 1 1 | | | | | | | | 1 |
| 1 | 0 | 1 · 1 1 | | | | | | | 1 |
| 2 | 0 | 1 · 1 1 | 1 · 2 2 | | | | | | 3 |
| 3 | 0 | 1 · 1 1 | 2 · 2 4 | 1 · 6 6 | | | | | 11 |
| 4 | 0 | 1 · 1 1 | 3 · 2 6 | 3 · 6 18 | 1 · 20 20 | | | | 45 |
| 5 | 0 | 1 · 1 1 | 4 · 2 8 | 6 · 6 36 | 4 · 20 80 | 1 · 78 78 | | | 203 |
| 6 | 0 | 1 · 1 1 | 5 · 2 10 | 10 · 6 60 | 10 · 20 200 | 5 · 78 390 | 1 · 300 300 | | 961 |
| 7 | 0 | 1 · 1 1 | 6 · 2 12 | 15 · 6 90 | 20 · 20 400 | 15 · 78 1170 | 6 · 300 1800 | 1 · 1092 1092 | 4565 |