OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Kommutative Algebra/Modultheorie/Eigenschaften der Determinante/Fakt/Beweis

Es sei zunächst $f\colon R^{n}\times \ ...\ \times R^{n}\to R$ eine andere Abbildung mit den gewünschten Eigenschaften:
Die Zeilen der Einheitsmatrix $E_{n}$ sind die im Beispiel definierten Basislemente des $R^{n}$.
Zu $a\in R^{n}$ ist $a=\sum _{j=1}^{n}(a)_{j}\cdot e_{j}$, dementsprechend ist zu $(a_{i})_{i\in \{1,...,n\}}\ a_{i}=\sum _{j=1}^{n}(a_{i})_{j}e_{j}$
Dann gilt nach Fakt
    $f(a_{1},\ldots ,a_{n})=\sum _{(j_{1},\ldots ,j_{n})\in \{1,...,n\}^{n}}(a_{1})_{j_{1}}\cdot ...\cdot (a_{n})_{j_{n}}\cdot f(e_{j_{1}},...,e_{j_{n}})\,$
    ${\begin{aligned}f(a_{1},\ldots ,a_{n})&=\sum _{j_{1},\ldots ,j_{n}}^{n}(a_{1})_{j_{1}}\cdot ...\cdot (a_{n})_{j_{n}}\cdot f(e_{j_{1}},...,e_{j_{n}})\\&=\sum _{\sigma \in S_{n}}(a_{1})_{\sigma (1)}\cdot ...\cdot (a_{n})_{\sigma (n)}\cdot f(e_{j_{1}},...,e_{j_{n}})\\&=\sum _{\sigma \in S_{n}}(a_{1})_{\sigma (1)}\cdot ...\cdot (a_{n})_{\sigma (n)}\cdot sgn(\sigma )f(e_{1},...,e_{n})\\&=det(A).\end{aligned}}$
Nun wird gezeigt, dass $det$ multilinear und alternierend ist:
Um die Multilinearität von $det=\sum _{\sigma \in S_{n}}\prod _{i\in \{1,...,n\}}a_{i,\sigma (i)}$ zu zeigen, genügt es für $\sigma \in S_{n}$ die Multilinearität von $\prod _{i\in \{1,...,n\}}a_{i,\sigma (i)}$ zu zeigen (Die Menge der multilinearen Abbildungen bilden einen Modul).
Die Multilinearität folgt daraus, dass die Multiplikation multilinear und das Auswählen einer Komponente R-linear sind.
Die Alterniertheit von $det$ ergibt sich aus direkt aus Fakt.
# Konkave Funktion/Intervall/Definition

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Man sagt, dass $f$ konkav ist, wenn der Subgraph $S(f)$ konvex ist.
# Elliptische Kurve/L-Reihe/Alle a p sind 0/Aufgabe

Es sei $a_{1}=1$ und $a_{p}=0$ für alle Primzahlen $p$. Wir betrachten die Dirichletreihe
    $L(s)=\sum a_{n}n^{-s}\,$
zu multiplikativen Koeffizienten $a_{n}$. Zeige unter Verwendung von Aufgabe, dass
    $L(s)=\sum _{k\in \mathbb {N} _{+}}\lambda (k)k^{1-2s}\,$
ist, wobei
    $\lambda (k)={\begin{cases}1,{\text{ falls die Anzahl aller Primfaktoren von }}k{\text{ gerade ist}},\\-1{\text{ sonst}},\end{cases}}\,$
bezeichnet.
# Projektiver Raum/R/Kählermodul/Fakt

Es sei ${\mathbb {P} }_{R}^{n}=\operatorname {Proj} {\left(R[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]\right)}$ der projektive Raum über einem kommutativen Ring $R$.
Dann wird der ${\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}$-Modul der Kähler-Differentiale $\Omega _{{\mathbb {P} }_{R}^{n}{|}R}$ durch die kurze exakte Sequenz
abbildet, beschrieben.
# Kommutative Algebra/Modultheorie/Isomorphie zwischen Grundring und Raum der alternierenden Abbildungen/Fakt/Beweis

$\phi$ ist klarerweise ein $R$-Modulhomomorphismus.
Aus Fakt ergibt sich, dass $\Psi$ bereits durch die die Werte auf den Basiselementen $(x_{i})_{i\in \{1,...,n\}}$ festgelegt, also injektiv ist.
Um die Surjektivität zu zeigen muss eine Abbildung $\triangle \in Alt_{R}(M^{n},R)$ gefunden werden, mit der Eigenschaft, dass $\triangle ((x_{i})_{i\in \{1,...,n\}})=1$ ist.
Es bietet sich die multilineare Abbildung $\pi \colon ((x_{i})_{i\in I})\mapsto \prod _{i}f(i)\cdot x_{i}$, mit $f(i):=x_{i}^{*}$, an.
Diese ist allerdings im Gegensatz zu folgender Abbildung $\triangle$ nicht alternierend:
    $\triangle ((x_{i})_{i\in \{1,...,n\}})=\sum _{\sigma \in S_{n}}sgn(\sigma )\pi \circ \sigma ,$
die Alterniertheit ergibt sich aus Fakt.
Für $\triangle$ gilt weiterhin $\triangle ((x_{i})_{i\in I})=1$.
Zu $r\in R$ ist $r\cdot \triangle \in Alt_{R}(I,M,R)$ ein Urbild, $\phi$ ist surjektiv und letztendlich ein Isomorphismus.
# Kontravarianter Funktor/Additive Kategorie/Additiv/Definition

Es seien ${\mathcal {A}}$ und ${\mathcal {B}}$ additive Kategorien. Ein kontravarianter Funktor $F\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}$ heißt additiv,
wenn für Objekte $G,H\in {\mathcal {A}}$ die Abbildungen
    $\operatorname {Mor} {\left(G,H\right)}\longrightarrow \operatorname {Mor} {\left(F(H),F(G)\right)},\,\varphi \longmapsto F(\varphi ),$
Gruppenhomomorphismen sind.
# Elliptische Kurve/L-Reihe/Potenzreihe/Konvergenz/Aufgabe

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über $\mathbb {Q}$ und es sei $\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}a_{n}n^{-s}$ die zugehörige $L$-Reihe. Zeige, dass die Potenzreihe $\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}a_{n}q^{n}$ für $\vert {q}\vert <1$ konvergiert.
# Projektiver Raum/R/Tangentialgarbe/Fakt

Es sei ${\mathbb {P} }_{R}^{n}=\operatorname {Proj} {\left(R[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]\right)}$ der projektive Raum über einem kommutativen Ring $R$.
Dann wird die Tangentialgarbe auf ${\mathbb {P} }_{R}^{n}$ durch die kurze exakte Sequenz
beschrieben.
Dabei geht hinten das globale Element $X_{i}e_{j}$ (das in der $j$-ten Komponente steht) auf die globale Derivation $X_{i}{\frac {\partial }{\partial X_{j}}}$.
# Kommutative Algebra/Modultheorie/Multilineare Abbildung/Distributivgesetz/Fakt/Beweis

Für $i_{0}\in I$ ist $\Phi$ linear in der $i_{0}$-ten Komponente von $\sum _{j\in J}a_{j,i}\cdot x_{j},i\in I$. Daraus folgt
    $\Phi \left(\left(\sum _{j\in J}a_{j,i}\cdot x_{j}\right)_{i\in I}\right)=\sum _{k\in J}\Phi (f(i)_{i\in I})\,,$
mit
    $(f(i))_{i\in I}={\begin{cases}\sum _{j\in J}a_{j,i}\cdot x_{j},{\text{ falls }}i\neq i_{0},\\a_{k,i_{0}}\cdot x_{k},\,{\text{ falls }}i=i_{0}\,.\end{cases}}$
Wiederholtes Anwenden dieses Schrittes auf die endlich vielen Komponenten ergibt:
    $\Phi \left(\left(\sum _{j\in J}a_{j,i}\cdot x_{j}\right)_{i\in I}\right)=\sum ...\sum \Phi (a_{j',i'}\cdot x_{j'})\,,$
wobei es für jedes $i\in I$ einmal summiert wird, was wiederum bedeutet:
    $\Phi {\left({\left(\sum _{j\in J}a_{j,i}\cdot x_{j}\right)}_{i\in I}\right)}=\sum _{j_{i}\in J^{I}}{\left({\left(\prod _{i\in I}a_{j,i}\right)}\Phi ((x_{j_{i}})_{i\in I})\right)}\,,$
denn die $a_{j,i}$ können aufgrund der Multilinearität jeweils aus den Komponenten herausgezogen werden.
# Konvexe Funktion/Intervall/Definition

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Man sagt, dass $f$ konvex ist, wenn der Epigraph $E(f)$ konvex ist.
# Elliptische Kurve/L-Reihe/Rekursionsbedingung/Beziehung zu Abweichungszahlen/Aufgabe

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über $\mathbb {Z}$ mit guter Reduktion modulo einer Primzahl $p$. Es seien $a_{p^{r}}$ die in der Definition rekursiv definierten Zahlen und es seien
    $b_{p^{r}}:=p^{r}+1-{\#\left(E_{p}({\mathbb {F} }_{p^{r}})\right)}\,.$
Zeige, dass die Differenzen $f_{r}=b_{p^{r}}-a_{p^{r}}$ die Rekursion
    $f_{r+1}=a_{p}f_{r}-pf_{r-1}\,$
mit $f_{0}=1$ und $f_{1}=0$ erfüllen.
# Projektiver Raum/Zahlbereich/Absolute Höhe/Schrankensatz/Fakt

Zu jeder vorgegebenen Gradschranke $d\in \mathbb {N} _{+}$ und jeder Höhenschranke $S\in \mathbb {R} _{+}$
ist die Menge
endlich.
# Kommutative Algebra/Modultheorie/Multiplikativität der Determinante/Fakt/Beweis

Es ist
    ${\begin{aligned}det(A)det(B)&={\left(\sum _{\sigma \in S_{n}}sgn(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}\right)}\cdot {\left(\sum _{\tau \in S_{n}}sgn(\tau )\prod _{j=1}^{n}b_{j,\tau (j)}\right)}\\&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\sum _{\tau \in S_{n}}sgn(\sigma )sgn(\tau )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}b_{i,\tau (i)},\end{aligned}}$
da für $\tau ,\sigma \in S_{n}\colon \tau \mapsto \tau \circ \sigma :=\lambda$ bijektiv ist ergibt sich:
    ${\begin{aligned}\sum _{\sigma \in S_{n}}\sum _{\tau \in S_{n}}sgn(\sigma )sgn(\tau )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}b_{i,\tau (i)}&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\sum _{\tau \in S_{n}}sgn(\sigma )sgn(\tau )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}b_{\sigma (i),\tau \circ \sigma (i)}\\&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\sum _{\lambda \in S_{n}}sgn(\lambda )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}b_{\sigma (i),\lambda (i)}.\end{aligned}}$
Andererseits ist
    ${\begin{aligned}det(A\cdot B)&=\sum _{\lambda \in S_{n}}sgn(\lambda )\prod _{i=1}^{n}(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{j\lambda _{j}})\\&=\sum _{\lambda \in S_{n}}sgn(\lambda )\sum _{j_{i}}(\prod _{i=1}^{n}a_{i,j_{i}}b_{j_{i},\lambda (i)}\\&=\sum _{j_{i}}\sum _{\lambda \in S_{n}}sgn(\lambda )\prod _{i=1}^{n}a_{i,j_{i}}b_{j_{i},\lambda (i)},\end{aligned}}$
wobei $j,i\in \{1,...,n\}$ und $j_{i}\in \{1,...,n\}^{n}$ alle möglichen Kombinationen durchgeht. Sind in $j_{i}$ zwei Komponenten gleich, so ist:
    ${\begin{aligned}\sum _{\lambda \in S_{n}}sgn(\lambda )\prod _{i=1}^{n}a_{i,j_{i}}b_{j_{i},\lambda (i)}&=\prod _{i=1}^{n}a_{i,j_{i}}\sum _{\lambda \in S_{n}}sgn(\lambda )\prod _{i=1}^{n}b_{j_{i},\lambda (i)}\\&=\prod _{i=1}^{n}a_{i,j_{i}}det(b_{j_{i},s})_{s\in \{1,...,n\}}\\&=0,\end{aligned}}$
denn in $b_{j_{i},s}$ sind zwei Zeilen gleich.
Und somit letztendlich:
    $det(A\cdot B)=\sum _{\lambda \in S_{n}}sgn(\lambda )\prod _{i=1}^{n}a_{i,j_{i}}b_{j_{i},\lambda (i)}=\sum _{\sigma \in S_{n}}\sum _{\lambda \in S_{n}}sgn(\lambda )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}b_{\sigma (i),\lambda (i)}=det(A)\cdot det(B)\,.$
# Konvexe Geometrie/Gitter (R hoch n)/Grundmasche/Definition

Zu einem durch linear unabhängige Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ gegebenen Gitter bezeichnet man die konvexe Hülle der Vektoren $\epsilon _{1}v_{1}+\cdots +\epsilon _{n}v_{n}$ mit $\epsilon _{i}\in \{0,1\}$ als die Grundmasche
(oder Fundamentalmasche ) des Gitters.
# Elliptische Kurve/Legendreform/Familie/Polynomring/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $R=K[t]$ der Polynomring in einer Variablen und sei $K(t)=Q(K[t])$ sein Quotientenkörper. Wir betrachten die elliptische Kurve $E$ über $K(t)$, die in Legendrescher Normalform
    $y^{2}=x(x-1)(x-t)\,$
gegeben sei.
* Zeige, dass man jede elliptische Kurve über $K$ in Legendrescher Normalform als Reduktion von $E$ mittels $t\mapsto \lambda$ im Sinne von Fakt erhalten kann.
* Für welche $\lambda \in K$ ist die Reduktion keine elliptische Kurve?
* Welche $K(t)$-rationalen Punkte von $E$ gibt es und welche Reduktionspunkte definieren sie?
# Projektiver Raum/Zahlbereich/Höhe/Körpererweiterung/Fakt

Es sei $K$ ein Zahlkörper, $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad $d$ und sei $P\in {\mathbb {P} }_^{m}(K)\subseteq {\mathbb {P} }_^{m}(L)$.
Dann gilt für die Höhen die Beziehung
# Kommutative Algebra/Modultheorie/Surjektiver Modulhomomorphismus/Fakt/Beweis

$(1)\Rightarrow (2)$ Sei $f\colon M\rightarrow N$ surjektiv und $(x_{i})_{i\in I}$ ein Erzeugendensystem von $M$.
Dann gibt es zu jedem $n\in N$ ein $m\in M$ derart, dass $f(m)=n$ ist.
Es sei nun $m=\sum _{i\in I}\lambda _{i}\cdot x_{i}$ daraus ergibt sich:
    ${\begin{aligned}f(m)&=f{\left(\sum _{i\in I}\lambda _{i}\cdot x_{i}\right)}\\&=\sum _{i\in I}f{\left(\lambda _{i}\cdot x_{i}\right)}\\&=\sum _{i\in I}\lambda _{i}\cdot f(x_{i})\\&=n.\end{aligned}}$
$f(x_{i})_{i\in I}$ ist also wie behauptet ein Erzeugendensystem von $N$.
$(2)\Rightarrow (1)$ Es sei $(x_{i})_{i\in I}$ ein Erzeugendensystem von $M$, $(f(x_{i}))_{i\in I}$ eines von $N$ und $n\in N$.
Dann gilt $n=\sum _{i\in I}\lambda _{i}\cdot (f(x_{i}))$.
Für $m=\sum _{i\in I}\lambda _{i}\cdot x_{i}\in M$ ist $f(m)=n$, $f$ ist also surjektiv.
# Konvexe Geometrie/Konvexe Hülle (R hoch n)/Definition

Zu einer Teilmenge $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ heißt die kleinste konvexe Teilmenge $T$, die $U$ umfasst, die konvexe Hülle von $U$.
# Elliptische Kurve/Q/Reduktion/Restklassenringe/1/Aufgabe

Bestimme für die durch $y^{2}=x^{3}+1$ gegebene elliptische Kurve die Reduktionen für die Punktemenge
    ${\mathfrak {O}},\,(-1,0),\,(0,1),\,(0,-1),\,(2,3),\,(2,-3)$
für die Primzahlen $p=2,3,5,7$. Für welche dieser Primzahlen ist die Reduktion wieder eine elliptische Kurve?
# Projektives Schema/Körper/Garbe/Euler-Charakteristik/Additivität/Fakt

Es sei $X$ ein projektives Schema über einem Körper $K$.
Dann ist die Euler-Charakteristik von kohärenten Garben auf $X$ additiv für kurze exakte Sequenzen.
D.h. für eine kurze exakte Sequenz von kohärenten Garben
    $0\longrightarrow {\mathcal {F}}\longrightarrow {\mathcal {G}}\longrightarrow {\mathcal {H}}\longrightarrow 0$
ist
    $\chi {\left({\mathcal {G}}\right)}=\chi {\left({\mathcal {F}}\right)}+\chi {\left({\mathcal {H}}\right)}\,.$
# Kommutative Algebra/Modultheorie/Wohldefiniertheit des Ranges/Fakt/Beweis

Da $R$ ein kommutativer Ring ist, gibt es nach Fakt ein maximales Ideal ${\mathfrak {a}}$ in $R$. Dementsprechend ist der Restklassenring $R/{\mathfrak {a}}$ nach Fakt ein Körper. Der Untermodul $M/{\mathfrak {a}}M$ wird dann zu einem $R/{\mathfrak {a}}$-Vektorraum.
$M$ hat als $R$-Modul die Basis ${\mathfrak {v}}$, also $M=\bigoplus _{v\in {\mathfrak {v}}}Rv$. Dementsprechend ist ${\mathfrak {a}}M=\bigoplus _{v\in {\mathfrak {v}}}{\mathfrak {a}}v$.
Hieraus folgt die Isomorphie
    ${\begin{aligned}M/{\mathfrak {a}}M&={\left(\bigoplus _{v\in {\mathfrak {v}}}Rv\right)/\left(\bigoplus _{v\in {\mathfrak {v}}}{\mathfrak {a}}v\right)}\\&\cong \bigoplus _{v\in {\mathfrak {v}}}{\left(Rv\right)}/{\left({\mathfrak {a}}v\right)}\\&\cong \bigoplus _{v\in {\mathfrak {v}}}R/{\mathfrak {a}}\end{aligned}}$
Somit hat $M/{\mathfrak {a}}M$ als $R/{\mathfrak {a}}$-Vektorraum eine Basis der Mächtigkeit von ${\mathfrak {v}}$.
Da wir für Vektorräume wissen, dass je zwei Basen gleiche Kardinalität haben, folgt die Aussage.
# Konvexe Geometrie/Konvexe Teilmengen/konvex (R hoch n)/Definition

Eine Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten $P,Q\in T$ auch jeder Punkt der Verbindungsstrecke, also jeder Punkt der Form
    $rP+(1-r)Q{\text{ mit }}r\in [0,1],$
ebenfalls zu $T$ gehört.
# Elliptische Kurve/Q/Reduktion/Restklassenringe/2/Aufgabe

Bestimme für die durch $y^{2}=x^{3}-x$ gegebene elliptische Kurve die Reduktionen für die Punktemenge
    $(0,0),\,(1,0),\,(-1,0),\,{\mathfrak {O}}$
für die Primzahlen $p=2,3,5,7$. Für welche dieser Primzahlen ist die Reduktion wieder eine elliptische Kurve?
# Proportionaler Zusammenhang/Elementare Eigenschaften/Ohne Quotient/Fakt

Es sei ein proportionaler Zusammenhang
    $y=cx\,$
zwischen den beiden Größen $x$ und $y$ gegeben. Dann gelten folgende Eigenschaften.
# Konvexe Geometrie/Zentralsymmetrisch/Definition

Eine Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ heißt zentralsymmetrisch, wenn mit jedem Punkt $P\in T$ auch der Punkt $-P$ zu $T$ gehört.
# Elliptische Kurve/Q/Y^2 ist X^3+16/Andere Darstellung/Aufgabe

Zeige, dass die beiden affinen Gleichungen
    $Y^{2}=X^{3}+16\,$
und
    $V^{2}+V=U^{3}\,$
die gleiche elliptische Kurve über $\mathbb {Q}$ definieren.
# Prädikatenlogik/Aussagenlogische Tautologie/Einsetzen/Fakt

Es sei $\varphi$ eine in den Aussagenvariablen $p_{1},\ldots ,p_{n}$ formulierte aussagenlogische Tautologie und es seien $\beta _{1},\ldots ,\beta _{n}\in L^{S}$ prädikatenlogische Ausdrücke über einem Symbolalphabet $S$.
Dann ist auch der prädikatenlogische Ausdruck $\varphi '$, der entsteht, wenn man in $\varphi$ jedes Auftreten der Aussagenvariablen $p_{i}$ durch $\beta _{i}$ ersetzt, eine prädikatenlogische Tautologie.
# Kommutative Algebren/Injektiver Modul/Beziehung/Fakt/Beweis

Es seien $A\subseteq B$ $S$-Moduln und
    $\varphi \colon A\longrightarrow \operatorname {Hom} _{R}{\left(S,I\right)},\,a\longmapsto \varphi _{a},$
ein $S$-Modulhomomorphismus. Dies bedeutet explizit, dass $\varphi _{a}(s)=\varphi _{as}(1)$ gilt. Wir betrachten $A$ und $B$ als $R$-Moduln und wir betrachten den $R$-Modulhomomorphismus
    $A{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}\operatorname {Hom} _{R}{\left(S,I\right)}{\stackrel {\theta \mapsto \theta (1)}{\longrightarrow }}I.$
Aufgrund der Injektivität von $I$ als $R$-Modul gibt es eine $R$-lineare Fortsetzung ${\tilde {\varphi }}\colon B\rightarrow I$ dieser Hintereinanderschaltung. Wir behaupten, dass die Abbildung
    $B\longrightarrow \operatorname {Hom} _{R}{\left(S,I\right)},\,b\longmapsto (s\mapsto {\tilde {\varphi }}(sb)),$
ein $S$-Modulhomomorphismus ist. Zunächst ist klar, dass die Abbildung
    $S{\stackrel {1\mapsto b}{\longrightarrow }}B{\stackrel {\tilde {\varphi }}{\longrightarrow }}I$
zu $\operatorname {Hom} _{R}{\left(S,I\right)}$ gehört. Die Gesamtzuordnung ist $S$-linear aufgrund der $S$-Modulstruktur von $\operatorname {Hom} _{R}{\left(S,I\right)}$. Für $a\in A$ gilt ${\tilde {\varphi }}(sa)=\varphi _{as}(1)=\varphi _{a}(s)$, sodass in der Tat eine Fortsetzung gegeben ist.
# Konvexe Hülle/Dreieck/Definition

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und drei Punkte $v_{1},v_{2},v_{3}\in V$
gegeben. Dann nennt man die konvexe Hülle (also die Fläche die von den drei Punkten aufgespannt wird) ein Dreieck. Die Punkte $v_{1},v_{2},v_{3}$ heißen Eckpunkte
des Dreiecks.
# Elliptische Kurve/Q/Y^2 ist X^3+16/Andere Darstellung/Reduktionseigenschaften/Aufgabe

Bestimme für die beiden affinen Gleichungen
    $Y^{2}=X^{3}+16\,$
und
    $V^{2}+V=U^{3}\,,$
die nach Aufgabe die gleiche elliptische Kurve über $\mathbb {Q}$ definieren, jeweils die Primzahlen $p$, für die die Kurve über $\mathbb {Z} /(p)$ glatt ist.
# Prädikatenlogik/Elementare Äquivalenz/Endlich viele Klassen/Trennende Ausdrücke/Fakt

Es sei $S$ ein Symbolalphabet erster Stufe und $M$ eine $S$-Struktur mit der Eigenschaft, dass es in $M$ nur endlich viele Klassen zur elementaren Äquivalenz gibt.
Dann gibt es zu jeder Äquivalenzklasse $[m]\subseteq M$ einen $S$-Ausdruck $\alpha _{[m]}$ in einer freien Variablen $x$, der die Klasse $[m]$ beschreibt, für den also
gilt.
# Kommutative endliche Gruppe/Körper mit Einheitswurzeln/Charaktergruppe/Isomorph/Fakt/Beweis

Nach Fakt (2) und Fakt kann man annehmen, dass $G=\mathbb {Z} /(n)$ eine endliche zyklische Gruppe ist, und dass $K$ eine $n$-te primitive Einheitswurzel besitzt. Jeder Gruppenhomomorphismus
    $\varphi \colon G\longrightarrow K^{\times }$
ist durch $\zeta =\varphi (1)$ eindeutig festgelegt, und wegen
    $\zeta ^{n}=(\varphi (1))^{n}=\varphi (n)=\varphi (0)=1\,$
ist $\zeta$ eine $n$-te Einheitswurzel. Umgekehrt kann man zu jeder $n$-ten Einheitswurzel $\zeta$ durch die Zuordnung $1\mapsto \zeta$ nach Fakt und Fakt einen Gruppenhomomorphismus von $\mathbb {Z} /(n)$ nach $K^{\times }$ definieren. Die Menge der $n$-ten Einheitswurzeln ist, da eine primitive Einheitswurzel vorhanden ist, eine zyklische Gruppe der Ordnung $n$. Also gibt es $n$ solche Homomorphismen. Wenn $\zeta$ eine primitive Einheitswurzel ist, dann besitzt der durch $1\mapsto \zeta$ festgelegte Homomorphismus die Ordnung $n$ und ist damit ein Erzeuger der Charaktergruppe, also $(\mathbb {Z} /(n))^{\vee }\cong \mathbb {Z} /(n)$.
# Kosinusreihe und Sinusreihe/Definition

Für $z\in {\mathbb {C} }$ heißt
    $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n}}{(2n)!}}$
die Kosinusreihe und
    $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{(2n+1)!}}$
die Sinusreihe zu $z$.
# Elliptische Kurve/Q/Y^2 ist X^3+16/Andere Darstellung/Reduktionstyp/Aufgabe

Bestimme für die beiden affinen Gleichungen
    $Y^{2}=X^{3}+16\,$
und
    $V^{2}+V=U^{3}\,,$
die nach Aufgabe die gleiche elliptische Kurve über $\mathbb {Q}$ definieren, den Reduktionstyp für die Primzahlen $p$ mit schlechter Reduktion.
# Prädikatenlogik/Elementare Äquivalenz/Trennende Ausdrücke/Relationen und Funktionen wohldefiniert/Fakt

Es sei $S$ ein Symbolalphabet erster Stufe und $M$ eine $S$-Struktur. Für jede elementare Äquivalenzklasse $[m]\subseteq M$ gebe es einen $S$-Ausdruck $\alpha _{[m]}$ in einer freien Variablen $x$, der die Klasse $[m]$ beschreibt, für den also
    $n\in [m]{\text{ genau dann, wenn }}I{\frac {n}{x}}\vDash \alpha _{[m]}$
gilt.
Dann gelten folgende Aussagen.
# Kommutative Gruppe/Einbettung in divisible Gruppe/Fakt/Beweis

Wir schreiben $G=\mathbb {Z} ^{(J)}/H$ mit einer geeigneten Indexmenge $J$, die ein Erzeugendensystem von $G$ indiziere. Die freie Gruppe $\mathbb {Z} ^{(J)}$ kann man in die divisible Gruppe $\mathbb {Q} ^{(J)}$ einbetten. Daher gibt es eine Einbettung
    $G\subseteq \mathbb {Q} ^{(J)}/H\,$
und letztere ist nach Fakt divisibel.
# Kosinusreihe und Sinusreihe/R/Definition

Für $x\in \mathbb {R}$ heißt
    $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}$
    $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$
die Sinusreihe zu $x$.
# Elliptische Kurve/Q/Y^2 ist X^3-X+6/Reelle Extrema/Endliche Erweiterung/Aufgabe

Wir betrachten die elliptische Kurve $E$, die durch die affine Gleichung
    $Y^{2}=X^{3}-X+6\,$
gegeben ist.
* Bestimme die Torsionsuntergruppe der Ordnung $2$ für $E(\mathbb {R} )$.
* Bestimme die Torsionsuntergruppe der Ordnung $2$ für $E({\mathbb {C} })$.
* Parametrisiere den oberen Bogen von $E(\mathbb {R} )$ als Funktion über einem geeigneten Definitionsbereich.
* Bestimme die Koordinaten der Punkte von $E(\mathbb {R} )$, wo die Funktion aus (3) lokale Extrema annimmt.
* Beschreibe eine endliche Körpererweiterung $\mathbb {Q} \subseteq K$ derart, dass die Punkte aus Teil (4) zu $E(K)$ gehören.
# Prädikatenlogik/Endlichkeitssatz für Erfüllbarkeit/Fakt

Es sei $S$ ein Symbolalphabet und $\Gamma$ eine Menge an $S$-Ausdrücken. Es sei jede endliche Teilmenge $\Gamma _{e}\subseteq \Gamma$ erfüllbar.
Dann ist $\Gamma$ erfüllbar.
# Kommutative Gruppe/Homomorphismus/Primzahl/Tate-Modul/Fakt/Beweis

Zu jedem $n\in \mathbb {N}$ liegt ein Gruppenhomomorphismus
    $\varphi \colon G[\ell ^{n}]\longrightarrow H[\ell ^{n}]$
vor. Dabei liegt ein kommutatives Diagramm
    ${\begin{matrix}G[\ell ^{n+1}]&{\stackrel {\cdot \ell }{\longrightarrow }}&G[\ell ^{n}]&\\\!\!\!\!\!\varphi \downarrow &&\downarrow \varphi \!\!\!\!\!&\\H[\ell ^{n+1}]&{\stackrel {\ell }{\longrightarrow }}&H[\ell ^{n}]&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
vor. Daher setzen sich die Gruppenhomomorphismen zu einem Homomorphismus zwischen den projektiven Limiten zusammen.
# Kosinusreihe/C/Definition

Für $z\in {\mathbb {C} }$ heißt
    $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n}}{(2n)!}}$
die Kosinusreihe zu $z$.
# Elliptische Kurve/Q/Y^2 ist X^3-X/Reelle Extrema/Endliche Erweiterung/Aufgabe

Wir betrachten die elliptische Kurve $E$, die durch die affine Gleichung
    $Y^{2}=X^{3}-X\,$
gegeben ist.
* Parametrisiere den oberen Bogen von $E(\mathbb {R} )$ für $x\in [-1,0]$.
* Bestimme den Punkt $P$ aus $E(\mathbb {R} )$ mit $x\in [-1,0]$ und mit der maximalen $y$-Koordinate.
* Beschreibe eine endliche Körpererweiterung $\mathbb {Q} \subseteq K$ derart, dass $P\in E(K)$ liegt.
# Prädikatenlogik/Endlichkeitssatz/Fakt

Es sei $S$ ein Symbolalphabet, $\Gamma$ eine Menge an $S$-Ausdrücken und $\alpha$ ein weiterer $S$-Ausdruck.
Dann gilt $\Gamma \vDash \alpha$ genau dann, wenn es eine endliche Teilmenge $\Gamma _{e}\subseteq \Gamma$ gibt mit $\Gamma _{e}\vDash \alpha$.
# Kommutative Gruppe/Höhenfunktion/Endlich erzeugt/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Es sei zunächst $G$ endlich erzeugt. Dann ist nach dem Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen
    $G=\mathbb {Z} ^{r}\times T\,$
mit einer endlichen Torsionsgruppe $T$. Wir betrachten
    $\mathbb {Z} ^{r}\times T{\stackrel {p_{1}}{\longrightarrow }}\mathbb {Z} ^{r}\hookrightarrow \mathbb {R} ^{r}.$
Dann ergibt jede Norm auf $\mathbb {R} ^{r}$ eine Seminorm auf $G$, die auch die Endlichkeitsbedingung einer Höhenfunktion erfüllt, da in einem Ball nur endlich viele Gitterpunkte liegen (man denke etwa an die Maximumsnorm). Ferner ist
    $G/mG=\mathbb {Z} ^{r}\times T/m{\left(\mathbb {Z} ^{r}\times T\right)}={\left(\mathbb {Z} /(m)\right)}^{r}\times T/mT\,$
endlich.
Zum Beweis der Umkehrung sei eine Höhenfunktion $h$ gegeben und seien $x_{1},\ldots ,x_{k}\in G$ Repräsentanten für die nach Voraussetzung endliche Gruppe $G/mG$. Wir setzen
    $b={\max {\left(h(x_{i}),i=1,\ldots ,k\right)}}\,.$
Es sei $F$ die von den endlich vielen Elementen ${\left\{x\in G\mid h(x)\leq b\right\}}$ erzeugte Untergruppe von $G$. Wir behaupten $F=G$. Nehmen wir an, dass es ein $y\in G\setminus F$ gibt, dann ist insbesondere $h(y)>b$. Da die Menge ${\left\{x\in G\mid h(x)\leq h(y)\right\}}$ endlich ist, können wir annehmen, dass $y$ unter allen Elementen außerhalb von $F$ die minimale Höhe besitzt. Wegen
    $G/mG=F/mF\,$
gibt es ein $x\in F$ und ein $z\in G$ mit
    $y=x+mz\,.$
Dann ist
    ${\begin{aligned}2h(z)&\leq mh(z)\\&=h(mz)\\&=h(y-x)\\&\leq h(y)+h(x)\\&\leq h(y)+b\\&<2h(y).\end{aligned}}$
Damit ist
    $h(z)<h(y)\,$
und wegen der Minimalitätsbedingung an $y$ folgt $z\in F$. Doch dann ist auch $y\in F$, ein Widerspruch.
# Kosinusreihe/R/Definition

Für $x\in \mathbb {R}$ heißt
    $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}$
die Kosinusreihe zu $x$.