OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Prädikatenlogik/Homomorphismus/Ein Relationssymbol/Mathematische Beispiele/Aufgabe

Es sei $S$ ein Symbolalphabet, das neben Variablen aus einem einzigen einstelligen Relationssymbol besteht. Was bedeutet ein $S$-Homomorphismus? Welche mathematische Signifikanz hat dieser Begriff?
# Prädikatenlogik/Gleichheitstautologien/Folgerungen/Funktion und Relation/Allgemeingültig/Direkt/Aufgabe

Zeige direkt, dass die folgenden Ausdrücke allgemeingültig sind (dabei seien $r,s,t,s_{1},\ldots ,s_{n},t_{1},\ldots ,t_{n}$ Terme, $f$ ein $n$-stelliges Funktionssymbol und $R$ ein $n$-stelliges Relationssymbol).
    $\vDash s=t\rightarrow t=s.$
    $\vDash r=s\wedge s=t\rightarrow r=t.$
    $\vDash s_{1}=t_{1}\wedge \ldots \wedge s_{n}=t_{n}\rightarrow fs_{1}\ldots s_{n}=ft_{1}\ldots t_{n}.$
    $\vDash s_{1}=t_{1}\wedge \ldots \wedge s_{n}=t_{n}\wedge Rs_{1}\ldots s_{n}\rightarrow Rt_{1}\ldots t_{n}.$
# Prädikatenlogik/Homomorphismus/Mathematische Beispiele/Aufgabe

Zeige, dass die Begriffe Gruppenhomomorphismus, Ringhomomorphismus, monotone Abbildung zwischen geordneten Mengen und lineare Abbildung unter den abstrakten Homomorphiebegriff (über welchem erststufigen Symbolalphabet $S$?) fallen.
# Prädikatenlogik/Gleichheitstautologien/Folgerungen/Funktion und Relation/Aufgabe

Es seien $s_{1},\ldots ,s_{n},t_{1},\ldots ,t_{n}$ Terme, $f$ ein $n$-stelliges Funktionssymbol und $R$ ein $n$-stelliges Relationssymbol. Zeige, dass die folgenden Aussagen im Prädikatenkalkül ableitbar sind.
    $\vdash s_{1}=t_{1}\wedge \ldots \wedge s_{n}=t_{n}\rightarrow fs_{1}\ldots s_{n}=ft_{1}\ldots t_{n}.$
    $\vdash s_{1}=t_{1}\wedge \ldots \wedge s_{n}=t_{n}\wedge Rs_{1}\ldots s_{n}\rightarrow Rt_{1}\ldots t_{n}.$
# Prädikatenlogik/Homomorphismus/Ein einstelliges Funktionssymbol/Mathematische Beispiele/Aufgabe

Es sei $S$ ein Symbolalphabet, das neben Variablen aus einem einzigen einstelligen Funktionssymbol besteht. Was bedeutet ein $S$-Homomorphismus? Welche mathematische Signifikanz hat dieser Begriff?
# Prädikatenlogik/Homomorphismus/Verknüpfung/Aufgabe

Es sei $S$ ein erststufiges Symbolalphabet und $L,M,N$ seien $S$-Strukturen. Zeige folgende Aussagen.
* Die Identität ist ein Isomorphismus.
    $\operatorname {Id} _{M}\colon M\longrightarrow M$
* Zu einem Isomorphismus ist die Umkehrabbildung ein Isomorphismus.
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
    $\varphi ^{-1}\colon N\longrightarrow M$
* Es seien und Homomorphismen (Isomorphismen). Dann ist auch die Hintereinanderschaltung $\varphi \circ \psi$ ein Homomorphismus (Isomorphismus).
    $\psi \colon L\longrightarrow M$
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
# Vektorraum mit Skalarprodukt/Orthonormalsystem/Definition

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$. Eine Familie von Vektoren $v_{i}$, $i\in I$, von $V$ heißt Orthonormalsystem, wenn
    $\left\langle v_{i},v_{i}\right\rangle =1{\text{ für alle }}i\in I{\text{ und }}\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =0{\text{ für }}i\neq j$
gilt.
# Vektorraum mit Skalarprodukt/Orthonormalbasis/Definition

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$. Eine Basis $v_{i}$, $i\in I$, von $V$ heißt Orthonormalbasis, wenn
    $\left\langle v_{i},v_{i}\right\rangle =1{\text{ für alle }}i\in I{\text{ und }}\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =0{\text{ für }}i\neq j$
gilt.
# Vektorraum mit Skalarprodukt/R/Endlichdimensional/Orthogonales Komplement/Direkte Summe/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$ und sei $U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Zeige, dass $V$ die direkte Summe aus $U$ und dem orthogonalen Komplement $U^{\perp }$ ist.
# Vektorraum mit Skalarprodukt/Orthonormalbasis/Definition/Begriff

Eine Orthonormalbasis in einem ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt.
# Topologie/Überlagerungen/Abbildungen der universellen Überlagerung/Fakt/Beweis

Es sei $q\colon {\tilde {X}}\to X$ eine universelle Überlagerung, wobei $X$ zusammenhängend und lokal weg-zusammenhängend ist. Es sei weiter $x_{0}\in X$ und $G=\pi _{1}(X,x_{0})$. Nach obigem Satz
$q\colon {\tilde {X}}\to X$
$G$
$q^{-1}(x_{0})$
$\operatorname {Aut} _{G}(q^{-1}(x_{0}))$
$G$
$y\in q^{-1}(x_{0})$
${\overline {G}}$
$G$
$G$
    ${\overline {G}}\times G=G\times G{\xrightarrow {\mu }}G={\overline {G}}\,,$
$\mu$
$G$
    $\psi _{y}\colon {\overline {G}}\to q^{-1}(x_{0})\ \ \ g\mapsto y\cdot g\,$
$G$
    $\psi _{y}(g\cdot h)=y\cdot (g\cdot h)=(y\cdot g)\cdot h=\psi _{y}(g)\cdot h\,.$
$\psi _{y}$
$G_{y}=q_{\ast }(\pi _{1}({\tilde {X}},y))$
trivial ist, und surjektiv, weil nach obigem Satz
$\pi _{0}({\tilde {X}})\cong q^{-1}(x_{0})/G$
    $\operatorname {Aut} _{G}(q^{-1}(x_{0}))\cong \operatorname {Aut} _{G}({\overline {G}})\,$
    $\phi \colon G\to \operatorname {Aut} _{G}({\overline {G}})\ \ \ g\mapsto (h\mapsto g\cdot h)\,,$
$\phi$
$\phi$
$h\mapsto g\cdot h$
$g=1_{G}$
$\xi$
$G$
${\overline {G}}$
    $\xi (h)=\xi (1\cdot h)=\xi (1)\cdot h\,\forall \,h\in {\overline {G}}\,,$
was die Surjektivität liefert.
# Topologie/Überlagerungen/Disjunkte Vereinigung/Fakt

Es seien $p_{1}\colon E_{1}\to X_{1},p_{1}\colon E_{2}\to X_{2}$ Überlagerungen. Dann ist auch die Abbildung
    $p_{1}\coprod p_{2}\colon E_{1}\coprod E_{2}\to X_{1}\coprod X_{2},\ x\mapsto {\begin{cases}p_{1}(x)&x\in E_{1}\\p_{2}(x)&x\in E_{2}\end{cases}}\,$
eine Überlagerung. Ist $X_{1}=X_{2}=X$ so ist auch die Abbildung
    $p_{1}\cup p_{2}\colon E_{1}\coprod E_{2}\to X,\ x\mapsto {\begin{cases}p_{1}(x)&x\in E_{1}\\p_{2}(x)&x\in E_{2}\end{cases}}\,$
eine Überlagerung.
# Topologie/Überlagerungen/Abbildungen der universellen Überlagerung/Reell projektiver Raum/Beispiel

Es sei $p\colon S^{n}\to \mathbb {RP} ^{n}$ die kanonische Überlagerung und $n\geq 2$. Dann ist $S^{n}$ einfach-zusammenhängend nach diesem Beispiel. Da $\mathbb {RP} ^{n}$ semi-lokal einfach-zusammenhängend und zusammenhängend ist, ist die Decktransformationengruppe von $p\colon S^{n}\to \mathbb {RP} ^{n}$ isomorph zur Fundamentalgruppe von $\mathbb {RP} ^{n}$. Man sieht relativ leicht, dass es genau zwei Decktransformationen gibt: die Identität und die Abbildung $x\mapsto -x$. Also ist die Fundamentalgruppe von $\mathbb {RP} ^{n}$ die Gruppe mit zwei Elementen.
# Topologie/Überlagerungen/Abbildungen von Überlagerungen/Fakt/Beweis

Es sei $\phi \colon p^{-1}(x_{0})\to q^{-1}(x_{0})$ eine Abbildung von rechten $G$-Mengen. Um diese zu einer Abbildung $f\colon E\to F$ von Überlagerungen von $X$ zu erweitern, sei $E^{\prime }$ eine Wegzusammenhangskomponente von $E$. Da $X$ nach Voraussetzung lokal weg-zusammenhängend ist, ist es auch $E$ nach dieser Aussage. Insbesondere ist der topologische Raum $E$ die disjunkte Vereinigung seiner Wegzusammenhangskomponenten nach diesem Satz. Zudem ist $p^{\prime }\colon E^{\prime }\hookrightarrow E{\xrightarrow {p}}X$ wieder eine Überlagerung. Es reicht also, eine Abbildung $f\colon E^{\prime }\to F$ von Überlagerungen anzugeben, die auf $p^{-1}(x_{0})\cap E^{\prime }$ mit $\phi$ übereinstimmt. Dies geschieht mit Hilfe des Liftungssatzes.
Es sei $y_{0}\in p^{-1}(x_{0})\cap E^{\prime }$ und $e_{0}=\phi (y_{0})\in q^{-1}(x_{0})\subseteq F$. Der Liftungssatz liefert die Existenz (genau) einer stetigen Abbildung $f\colon E^{\prime }\to F$ mit $q\circ f=p\vert _{E^{\prime }}$ genau dann, wenn $p_{\ast }\pi _{1}(E^{\prime },y_{0})\subseteq q_{\ast }\pi _{1}(F,e_{0})$ gilt. Nach obigem Satz ist $p_{\ast }\pi _{1}(E^{\prime },y_{0})=G_{y_{0}}$. Weil $\phi$ eine Abbildung von rechten $G$-Mengen ist, gilt $G_{y_{0}}\subseteq G_{e_{0}}$. Wieder nach obigem Satz ist $G_{e_{0}}=q_{\ast }\pi _{1}(F,e_{0})$. Also ist der Liftungssatz anwendbar, und es existiert eine stetige Abbildung $f\colon E^{\prime }\to F$ mit $q\circ f=p\vert _{E^{\prime }}$, die auf $y_{0}$ mit $\phi$ übereinstimmt. Nun ist jedes Element in $p^{-1}(x_{0})\cap E^{\prime }$ nach obigem Satz von der Form $y_{0}\cdot [u]$ für ein $[u]\in \pi _{1}(X,x_{0})=G$. Dies impliziert, dass $f$ auf ganz $p^{-1}(x_{0})\cap E^{\prime }$ mit $\phi$ übereinstimmt. Somit ist gezeigt, dass die Abbildung
    $\operatorname {Hom} _{X}(E,F)\to \operatorname {Hom} _{G}(p^{-1}(x_{0}),q^{-1}(x_{0}))\,$
surjektiv ist.
Das obige Argument zeigt, dass die Abbildung $f\colon E^{\prime }\to F$ von Überlagerungen von $X$ schon durch die Angabe des Bildes eines Punktes eindeutig bestimmt ist. Dies zeigt die Injektivität der Abbildung zusammen mit der universellen Eigenschaft der disjunkten Vereinigung.
# Topologie/Überlagerungen/Disjunkte Vereinigung/Fakt/Beweis

Es sei $\{U_{\alpha }\subseteq X_{1}\}_{\alpha \in A}$ eine Elementar-Überdeckung für $p_{1}$, mit topologischen Äquivalenzen
    $\phi _{\alpha }\colon p_{1}^{-1}(U_{\alpha }){\xrightarrow {\cong }}U_{\alpha }\times F_{\alpha }\,,$
$\{V_{\beta }\subseteq X_{2}\}_{\beta \in B}$ eine Elementar-Überdeckung für $p_{2}$, mit topologischen Äquivalenzen
    $\psi _{\beta }\colon p_{2}^{-1}(V_{\beta }){\xrightarrow {\cong }}V_{\beta }\times G_{\beta }\,.$
    $\{U_{\alpha }\subseteq X_{1}\subseteq X_{1}\coprod X_{2}\}\cup \{V_{\beta }\subseteq X_{2}\subseteq X_{1}\coprod X_{2}\}_{\beta \in B}\,$
$p_{1}\coprod p_{2}$
    $\phi _{\alpha }\colon (p_{1}\coprod p_{2})^{-1}(U_{\alpha })=p_{1}^{-1}(U_{\alpha }){\xrightarrow {\cong }}U_{\alpha }\times F_{\alpha }\quad \psi _{\beta }\colon (p_{1}\coprod p_{2})^{-1}(V_{\beta })=p_{2}^{-1}(V_{\beta })\to ^{\cong }V_{\beta }\times G_{\beta }\,$
sind nach wie vor topologische Äquivalenzen. Also ist $p_{1}\coprod p_{2}$ eine Überlagerung.
Es sei nun $X_{1}=X_{2}=X$. Die offene Überdeckung
    $\{U_{\alpha }\cap V_{\beta }\subseteq X\}_{(\alpha ,\beta )\in A\times B}\,$
    $(p_{1}\cup p_{2})^{-1}(U_{\alpha }\cap V_{\beta })=p_{1}^{-1}(U_{\alpha }\cap V_{\beta })\coprod p_{2}^{-1}(U_{\alpha }\cap V_{\beta })\,.$
Die Einschränkungen von $\phi _{\alpha }$ und $\psi _{\beta }$ auf $U_{\alpha }\cap V_{\beta }$ definieren eine topologische Äquivalenz
    $(p_{1}\cup p_{2})^{-1}(U_{\alpha }\cap V_{\beta })=p_{1}^{-1}(U_{\alpha }\cap V_{\beta })\coprod p_{2}^{-1}(U_{\alpha }\cap V_{\beta })\to (U_{\alpha }\cap V_{\beta })\times F_{\alpha }\coprod (U_{\alpha }\cap V_{\beta })\times G_{\beta }\cong (U_{\alpha }\cap V_{\beta })\times (F_{\alpha }\coprod G_{\beta })\,,$
wobei die durch $\cong$ symbolisierte topologische Äquivalenz leicht einzusehen ist. Es folgt, dass $p_{1}\cup p_{2}$ eine Überlagerung ist.
# Topologie/Zusammenhang/Nicht zusammenhängend/Nichttriviale stetige idempotente Abbildungen/Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum, der nicht leer und nicht zusammenhängend sei. Zeige, dass es dann eine stetige Abbildung $f:X\rightarrow \mathbb {R}$, $f\neq 0,1$, ($\mathbb {R}$ sei mit der metrischen Topologie versehen) gibt, die idempotent im Ring der stetigen Funktionen auf $X$ ist.
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/Ergänzungssatz 2/Fakt mit Beweisklappe
## 2. Ergänzungssatz

Für eine ungerade Primzahl $p$ gilt:
    $\left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p^{2}-1}{8}}=\left\{{\begin{matrix}1\,,&{\mbox{falls}}&p=\pm 1\mod 8\,,\\-1&{\mbox{sonst}}&{\mbox{(also }}p=\pm 3\mod 8{\mbox}}&\,.\end{matrix}}\right.\,$

### Beweis

Wir benutzen Fakt und haben zu bestimmen, wie viele der Zahlen $2i$, $i=1,\ldots ,t={\frac {p-1}{2}}$, in $S_{-}$ liegen. Nun ist $2i\in S_{-}$ genau dann, wenn $2i>{\frac {p-1}{2}}$ ist (alle zu betrachtenden Vielfachen von $2$ sind kleiner als $p$). Dies ist äquivalent zu $i>{\frac {p-1}{4}}$ und wir haben das kleinste $i$ mit dieser Eigenschaft zu finden. Ist $p-1$ ein Vielfaches von $4$, so ist ${\frac {p-1}{4}}+1$ das kleinste $i$ und insgesamt gibt es in diesem Fall
    ${\frac {p-1}{2}}-{\left({\frac {p-1}{4}}+1\right)}+1={\frac {p-1}{4}}\,$
solche $i$. Diese Anzahl ist bei $p=1\mod 8$ gerade und bei $p=5\mod 8$ ungerade, was das Ergebnis in diesen Fällen ergibt.
Es sei also nun $p=3,7\mod 8$ bzw. $p=3\mod 4$. Dann ist das kleinste $i$ derart, dass $2i>{\frac {p-1}{2}}$ ist, gleich ${\frac {p-1}{4}}+{\frac {1}{2}}$, und es gibt insgesamt
    ${\frac {p-1}{2}}-{\left({\frac {p-1}{4}}+{\frac {1}{2}}\right)}+1={\frac {p-1}{4}}+{\frac {1}{2}}={\frac {p+1}{4}}\,$
solche $i$. Diese Anzahl ist bei $p=3\mod 8$ ungerade und bei $p=7\mod 8$ gerade, was die Behauptung in diesen Fällen ergibt.
$\Box$
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/Ergänzungssatz 1/Fakt/Name

Der erste Ergänzungssatz zum quadratischen Reziprozitätsgesetz.
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/Ergänzungssatz 2/Fakt/Beweisverweis

Dies wird weiter unten bewiesen.
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/Ergänzungssatz 2/Fakt/Name

Der zweite Ergänzungssatz zum quadratischen Reziprozitätsgesetz.
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/Ergänzungssatz 1/Fakt/Beweis

Die Gleichung von links und rechts wurde bereits in Fakt bewiesen. Die erste Gleichung ist auch ein Spezialfall von Fakt und die zweite Gleichung ist elementar.
# Tellenbach, Hubertus (1961)

Tellenbach, Hubertus: Melancholie. 3. Auflage. Problemgeschichte, Endogenität, Typologie, Pathogenese, Klinik. Mit einem Geleitwort von V. E. von Gebsattel. Berlin, Göttingen, Heidelberg: Springer 1976, XV, 220 S., 2 Blatt Verl. Anz.
Der Erstdruck erschien 1961: Melancholie. Zur Problemgeschichte, Typologie, Pathogenese und Klinik. Der Bergriff Endogenität (s. o.) wurde ab der 3. Auflage in den Titel aufgenommen.
Hubertus Tellenbach (1914 – 1994) war von 1958 bis 1979 a. o. Professor an der Psychiatrischen Universitätsklinik Heidelberg. In seiner Monographie «Melancholie» entwickelte er den anthropologisch-psychiatrischen Begriff des Typus melancholicus, der eine Persönlichkeitsstruktur definiert, die bei monopolaren endogenen Depressionen überdurchschnittlich häufig als Primärpersönlichkeit anzutreffen sei.
Dieser Typus melancholicus ist festgelegt auf Ordnung und Ordentlichkeit. Die Folgen sind ein Mangel an Originalität, der Hang zum Konventionellen, hoher Selbstanspruch an Leistung und Gewissen, Pflichterfüllung
und Treue.
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    Übersicht
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# Template ohne Erläuterungen

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## Infobox

* Titel = XXX
* chefred = XXX
* weblink = XXX
* beschreibung = XXXXXX
* Typus der Quelle = XXX
* Status der Quelle = XXX
* Datum der Veröffentlichung = XXX
* Bezug zu der Oberthematik des Projekts:XXX
* Seiten = XXX
* Link zu einem Wikipediaartikel = XXX

## Fragen:

Fragentypen:
* VF: Verständnisfrage
* FF: Formalitätenfrage
* FzF: Frage zu den Fakten
* A: Argumentation
* U: Frage zur Umsetzung
* Z: Zielsetzungsfrage
* SN: Frage zu System und Nebeneffekte
* EzF: Frage zum Entstehungszusammenhang
* V: Vergleich mit anderen Papieren und Forderungen
* GV: Gegenvorschlag
* BB: Bearbeitungsbitte - Vorschlag, was noch untersucht werden müsste (wenn möglich mit Bearbeitungsvorschlag)

## Evaluation
### Systemische Analyse

aufzeigen, wie die einzelnen Vorschläge in einandergreifen (oder eben nicht)
# Tempus

Tempus (lat. tempus (Zeit), Plural: tempora - nicht tempi!) bezeichnet die verschiedenen Zeitformen in der Konjugation.
Dazu gehören:
Gegenwart:
Vergangenheit:
* Imperfekt
* Perfekt
* Plusquamperfekt
Zukunft:
* Futur I
* Futur II

## Präsensstamm
### Präsens

Präsens ist im Lateinischen wie auch im Deutschen die Gegenwartsform.
# Untervektorraum/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Eine Teilmenge $U\subseteq V$ heißt Untervektorraum, wenn die folgenden Eigenschaften gelten.
* $0\in U$.
* Mit $u,v\in U$ ist auch $u+v\in U$.
* Mit $u\in U$ und $s\in K$ ist auch $su\in U$.
Auf einem solchen Untervektorraum kann man die Addition und die skalare Multiplikation einschränken. Daher ist ein Untervektorraum selbst ein Vektorraum, siehe Aufgabe. Die einfachsten Untervektorräume in einem Vektorraum $V$ sind der Nullraum $0$ und der gesamte Vektorraum $V$.

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper und
    ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}$
ein homogenes lineares Gleichungssystem über $K$.
Dann ist die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein Untervektorraum des $K^{n}$ (mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation).

### Beweis

$\Box$
Man spricht daher auch vom Lösungsraum des Gleichungssystems. Insbesondere ist die Summe von zwei Lösungen eines linearen Gleichungssystems wieder eine Lösung. Die Lösungsmenge eines inhomogenen Gleichungssystems ist kein Vektorraum. Man kann aber zu einer Lösung eines inhomogenen Gleichungssystems eine Lösung des zugehörigen homogenen Gleichungssystems hinzuaddieren und erhält wieder eine Lösung des inhomogenen Gleichungssystems.
# Untervektorraum/Q^2/Skizziere/Aufgabe

Beschreibe sämtliche Untervektorräume des $\mathbb {Q} ^{2}$.
# Untervektorraum/K/Aufgabe

Zeige, dass ein Körper $K$, aufgefasst als Vektorraum, nur zwei Untervektorräume besitzt, nämlich den Nullraum $0$ und sich selbst.
# Vektorraum/Ein Axiom fehlt/Assoziativität/Beispiel/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für einen Körper $K$, eine kommutative Gruppe $(V,+,0)$ und eine Abbildung
    $K\times V\longrightarrow V,\,(s,v)\longmapsto sv,$
derart, dass diese Struktur alle Vektorraumaxiome außer
    $(6)\,\,\,r(su)=(rs)u$
erfüllt.
# Vektorraum/Dualraum/Situation

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum mit dem Dualraum ${V}^{*}$
# Vektorraum/Dualraum/Dualität/Nicht linear/Aufgabe

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum mit Dualraum ${V}^{*}$. Zeige, dass die natürliche Abbildung
    $V\times {V}^{*}\longrightarrow K,\,(v,f)\longmapsto f(v),$
nicht linear ist.
# Riemannsche Fläche/Kompakt/Divisoren/Sequenz/Aufgabe

Zeige, dass auf einer zusammenhängenden kompakten riemannschen Fläche der exakte Komplex
    $1\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times }\longrightarrow {\mathcal {M}}{\left(X\right)}^{\times }\longrightarrow \operatorname {Div} {\left(X\right)}\longrightarrow \operatorname {DKG} {\left(X\right)}\longrightarrow 0$
vorliegt.
# Wahrscheinlichkeit/Lottogewinn/Doppelt/Aufgabe

* Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei zwei aufeinander folgenden Lottoziehungen die gleichen Zahlen gezogen werden?
* Bauer Ernst spielt jede Woche Lotto. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zweimal hintereinander sechs Richtige hat?
# Wahrscheinlichkeit/Münzwurf/Kopfanzahl/Vergleich/Aufgabe

Es sei $A$ das Ereignis, dass bei einem zehnfachen Münzwurf keinmal Kopf fällt, und es sei $B$ das Ereignis, dass bei einem hundertfachen Münzwurf höchstens zehnmal Kopf fällt. Welches Ereignis ist wahrscheinlicher?
# Vektorraum/Untervektorraum/Prädikatenlogische Charakterisierung/Aufgabe

Formalisiere prädikatenlogisch mit einem geeigneten Symbolalphabet $S$, dass ein Untervektorraum in einem Vektorraum über einem Körper vorliegt.
# Abbildung/Graph/Bild/Urbild/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es seien $L$ und $M$ Mengen und es sei
    $F\colon L\longrightarrow M$
eine Abbildung. Dann nennt man
    $\Gamma =\Gamma _{F}={\left\{(x,F(x))\mid x\in L\right\}}\subseteq L\times M\,$
den Graphen der Abbildung $F$.
Ein Graph ist ein mengentheoretisches Konzept. Ob man ihn „graphisch“ veranschaulichen kann, hängt davon ab, ob man die Produktmenge $L\times M$ veranschaulichen kann.

## Definition

Es seien $L$ und $M$ Mengen und es sei
    $F\colon L\longrightarrow M$
eine Abbildung. Zu einer Teilmenge $S\subseteq L$ heißt
    $F(S)={\left\{y\in M\mid {\text{es gibt ein }}x\in S{\text{ mit }}F(x)=y\right\}}\,$
das Bild von $S$ unter $F$. Für $S=L$ heißt
    $F(L)=\operatorname {bild} F\,$
das Bild der Abbildung.

## Definition

Es seien $L$ und $M$ Mengen und es sei
    $F\colon L\longrightarrow M$
eine Abbildung. Zu einer Teilmenge $T\subseteq M$ heißt
    $F^{-1}(T)={\left\{x\in L\mid F(x)\in T\right\}}\,$
das Urbild von $T$ unter $F$. Für eine einelementige Teilmenge $T=\{y\}$ heißt
    $F^{-1}(\{y\})$
das Urbild von $y$.
# Abbildung/Hintereinanderschaltung/Assoziativ/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Zwei Abbildungen $\alpha ,\beta \colon L\rightarrow P$ sind genau dann gleich, wenn für jedes $x\in L$ die Gleichheit $\alpha (x)=\beta (x)$ gilt. Es sei also $x\in L$. Dann ist
    ${\begin{aligned}(H\circ (G\circ F))(x)&=H((G\circ F)(x))\\&=H(G(F(x)))\\&=(H\circ G)(F(x))\\&=((H\circ G)\circ F)(x).\end{aligned}}$
# Abbildung/Graph (Menge)/Definition/Begriff

Der Graph zu einer Abbildung $F\colon L\rightarrow M$.
# 2D-Animation/Hintergrund

Animationen in Pencil2D sind in Ebenen organisiert. Das Hintergrundbild befindet sich in der ersten Ebene, andere Ebenen, wie das Personensymbol, werden über die Hintergrundebene gelegt. Für die Beispielanimation wurde das folgende Hintergrundbild verwendet.

## Aufgaben für Lernende

* (Hintergrundbild importieren) Importieren Sie das rechts abgebildete Hintergrundbild in die OpenSource-Software Pencil2D und benennen Sie die Ebene mit dem Namen "Hintergrund" um.
* (Hintergrundbild in LibreOffice Draw erstellen) Erstellen Sie Ihr eigenes Hintergrundbild in LibreOffice Draw und exportieren Sie Ihr eigenes Hintergrundbild als PNG-Datei.
* (Hintergrundbild - Details abdecken) Im oberen Beispiel mit der GIF-Animation für das SIR-Modell werden die Objekte über die Hintergrundebene bewegt. Es ist auch möglich, Details in das Hintergrundbild einzufügen und die Details mit Rechtecken oder Linien über dem Hintergrundbild zu verdecken. Dies ist auch eine Option, die Sie in Verbindung mit Hintergrundbildern haben. In der ersten Folie werden einige Details im Hintergrundbild mit einem weißen geometrischen Objekt abgedeckt und in den folgenden Frames der Animation wird das abgedeckte geometrische Element entfernt. Dadurch entsteht auch die Illusion, dass Objekte in der Animation erscheinen, aber alles ist bereits von Anfang an definiert. Dieser Ansatz ist sinnvoll, wenn die Details auf der Seite statisch sind und Sie das Detail in der Animation nur schrittweise freilegen wollen. Es spart etwas Zeit für die Positionierung der erscheinenden Details auf dem Bildschirm. Wenn Sie das Objekt bewegen wollen, ist die Cover-Uncover-Methode nicht zu empfehlen. Analysieren Sie die AudioSlides4Web-Animation und stellen Sie fest, welche Inhaltselemente mit der Cover-Uncover-Methode erzeugt werden und welche Bilder mit Ebenen auf dem Hintergrund hinzugefügt werden.
# 2D-Animation/Image Magick

Angenommen, Sie haben eine Liste von Dateien, die Dateinamen mit der folgenden Aufzählung haben:
Das Image Magick verwendet Bilder mit einer alphanumerischen Ordnung. Dort benötigt man das Präfix "00" für einen Index kleiner als 10 und ein Präfix "0" für Bilder mit einem Bildindex zwischen 10 und 99. Die Bilddateien sind beispielsweise die Einzelbilder aus der Animation zum SIR-Model.
Der folgende Befehl wandelt die Bildsequenz in ein animiertes GIF mit dem Namen myanimation.gif um. Zwischen den Einzelbilder wartet die GIF-Animation 100 Millisekunden -delay 100 bis der nächste Frame der Animation dargestellt wird. Mit kürzerer Delay-Zeit kann man einen Zeitraffer für die Bildsequenz erzeugen und mit einer höheren Wartezeit zwischen den Einzelbildern kann man eine Zeitlupe generieren. Die Einzelbilder kann man auch für mit Pencil2D als Exportformat generieren. Es entsteht eine zerlegte Bildsequenz aus den Einzelbildern der Animation. -loop 5 legt die Anzahl der Wiederholung der Animation fest (hier also 5 Wiederholungen). -loop 0 wiederholt die Animation unendlich oft.

## Lernaufgabe

* (Programmierung) Erstellen Sie ein AppLSAC, das Folgendes verwendet
** die Bibliothek loadfile4dom.js zum Hochladen einer Liste von Bildern in den Browser (nicht auf den Server)
** die Datei umbenennen
*** image0.png in image000.png,
*** image1.png in image001.png,
** speichert die umbenannten Dateien in eine ZIP-Datei mit jszip.js und
** mit einem Save-Button speichert die AppLSAC die erzeugte ZIP-Datei im Download-Ordner Ihres Browsers mit der Bibliothek filesaver.js
    Stellen Sie das endgültige AppLSAC als Link zu einem GitLab- oder GitHub-Repository hier in der Lernressource zur Verfügung, so dass andere Lerner die Umbenennungsaufgabe automatisch durchführen können.