OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Affine Kurven/Monomiale Kurven/Beschreibende binomiale Gleichungen/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Dass die angegebenen Elemente zum Kernideal gehören folgt direkt aus
    $\varphi {\left(\prod _{i\in I_{1}}X_{i}^{r_{i}}\right)}=\prod _{i\in I_{1}}{\left(t^{e_{i}}\right)}^{r_{i}}=t^{\sum _{i\in I_{1}}r_{i}e_{i}}\,.$
Für die Umkehrung sei $F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Polynom mit $\varphi (F)=0$. Wir schreiben
    $F=\sum _{\nu }a_{\nu }X^{\nu }\,$
(mit $\nu =(\nu _{1},\ldots ,\nu _{n})$). Daher ist
    $\varphi (F)=\sum _{\nu }a_{\nu }t^{\sum _{i=1}^{n}\nu _{i}e_{i}}=\sum _{k=0}{\left(\sum _{\nu :\,\sum _{i=1}^{n}\nu _{i}e_{i}=k}a_{\nu }\right)}t^{k}\,.$
Da dieses Polynom gleich $0$ ist müssen alle Koeffizienten $0$ sein, d.h. zu jedem $k$ gehört auch
    $F_{k}=\sum _{\nu :\,\sum _{i=1}^{n}\nu _{i}e_{i}=k}a_{\nu }X^{\nu }\,$
zum Kern. Wir können also annehmen, dass in $F$ nur Monome $X^{\nu }$ mit dem gleichen Wert $\sum _{i=1}^{n}\nu _{i}e_{i}=k$ vorkommen. Betrachten wir ein solches Monom aus $F$, sagen wir $X^{\nu }$ (mit $a_{\nu }\neq 0$). Es muss in $F$ mindestens noch ein weiteres Monom, sagen wir $X^{\mu }$, vorkommen, da ein einzelnes Monom nicht auf $0$ abgebildet wird. Wir schreiben
    $F=a_{\nu }(X^{\nu }-X^{\mu })+{\left(F-a_{\nu }X^{\nu }+a_{\nu }X^{\mu }\right)}\,.$
Im Summand rechts kommt $X^{\nu }$ nicht mehr vor, und es kommt auch kein neues Monom hinzu. In $X^{\nu }-X^{\mu }$ können wir diejenigen Variablen, die beidseitig auftreten, so weit ausklammern, dass sich ein Ausdruck der Form
    $X^{\nu }-X^{\mu }=X_{1}^{b_{1}}\cdots X_{n}^{b_{n}}{\left(\prod _{i\in I_{1}}X_{i}^{r_{i}}-\prod _{i\in I_{2}}X_{i}^{s_{i}}\right)}\,$
mit disjunkten $I_{1}$ und $I_{2}$ und mit $\sum _{i\in I_{1}}e_{i}r_{i}=\sum _{i\in I_{2}}e_{i}s_{i}$
$F$
# Achter Kreisteilungsring/Hauptideal/X^2+1/Norm/Aufgabe

Bestimme die Norm des Ideals $(X^{2}+1)$ im Zahlbereich $\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{4}+1\right)}$.
# Beschränkter Verband/Total geordnet/Trivial/Aufgabe

Zeige, dass ein total geordneter beschränkter komplementärer Verband gleich $\{0\}$ oder gleich $\{0,1\}$ ist.
# Beschränkte und kompakte Teilmengen/Produktmenge/Beschränkt und kompakt/Aufgabe

Es seien $T_{1}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und $T_{2}\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ Teilmengen und $T_{1}\times T_{2}\subseteq \mathbb {R} ^{n+m}$ ihre Produktmenge.
a) Zeige, dass wenn $T_{1}$ und $T_{2}$ beschränkt sind, dass dann auch $T_{1}\times T_{2}$ beschränkt ist.
b) Zeige, dass wenn $T_{1}$ und $T_{2}$ kompakt sind, dass dann auch $T_{1}\times T_{2}$ kompakt ist.
# Beschränkte Funktion/Nicht Riemann integrierbar/Beispiel/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer beschränkten Funktion
    $f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,$
die nicht Riemann-integrierbar ist.
# Differentialgeometrie/Gemischte Definitionsabfrage/7/Aufgabe/Lösung

* Man nennt das Produkt $\kappa _{1}\cdot \kappa _{2}$ der beiden Hauptkrümmungen in $P$ die Gaußkrümmung der Fläche $Y$ in $P$.
* Ein topologischer Hausdorff-Raum $M$ heißt eine topologische Mannigfaltigkeit der Dimension $n$, wenn es eine offene Überdeckung $M=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ derart gibt, dass jedes $U_{i}$ homöomorph zu einer offenen Teilmenge des $\mathbb {R} ^{n}$ ist.
* Eine Abbildung mit der Eigenschaft, dass $F(P)\in T_{P}M$ für jeden Punkt $P\in M$ ist, heißt (zeitunabhängiges) Vektorfeld.
    $F\colon M\longrightarrow TM$
* Eine $k$-Differentialform ist ein Schnitt im $k$-fachen Dachprodukt des Kotangentialbündels.
* Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit $M$ heißt riemannsche Mannigfaltigkeit, wenn auf jedem Tangentialraum $T_{P}M$, $P\in M$, ein Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle _{P}$ erklärt ist derart, dass für jede Karte mit $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ die Funktionen (für $1\leq i,j\leq n$) $C^{1}$-differenzierbar sind.
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
    $g_{ij}\colon V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,Q\longmapsto g_{ij}(Q)=\left\langle T(\alpha ^{-1})(e_{i}),T(\alpha ^{-1})(e_{j})\right\rangle _{\alpha ^{-1}(Q)},$
* Der Zusammenhang heißt torsionsfrei, wenn für beliebige Vektorfelder $V,W$ gilt.
    $\nabla _{V}W-\nabla _{W}V=[V,W]\,$
# Differentialgeometrie/Gemischte Definitionsabfrage/9/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein Hausdorff-Raum $X$.
* Eine differenzierbare Abbildung zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten $L$ und $M$.
    $\varphi \colon L\longrightarrow M$
* Das Tangentialbündel zu einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$.
* Die zweite Fundamentalmatrix zu einer lokalen Parametrisierung (mit $V\subseteq \mathbb {R} ^{n-1}$ offen) einer differenzierbaren Hyperfläche $Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
    $V\longrightarrow U\subseteq Y$
* Die äußere Ableitung zu einer stetig differenzierbaren Differentialform $\omega \in {\mathcal {E}}^{k}(M)$ auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$.
* Eine der Überdeckung untergeordnete Partition der Eins, wobei $X=\bigcup _{i\in I}W_{i}$ eine offene Überdeckung eines topologischen Raumes $X$ ist.
# Differentialgeometrie/Gemischte Definitionsabfrage/9/Aufgabe/Lösung

* Der topologische Raum $X$ heißt hausdorffsch, wenn es zu je zwei verschiedenen Punkten $x,y\in X$ zwei offene Mengen $U$ und $V$ gibt mit $x\in U,\,y\in V$ und $U\cap V=\emptyset$.
* Es seien $(U_{i},U_{i}',\alpha _{i},i\in I)$ und $(V_{j},V_{j}',\beta _{j},j\in J)$ die Atlanten von $M$ und $N$. Die Abbildung heißt differenzierbar, wenn sie stetig ist und wenn für alle $i\in I$ und alle $j\in J$ die Abbildungen stetig differenzierbar sind.
    $\varphi \colon L\longrightarrow M$
    $\beta _{j}\circ \varphi \circ (\alpha _{i})^{-1}\colon \alpha _{i}(\varphi ^{-1}(V_{j})\cap U_{i})\longrightarrow V_{j}'$
* Man nennt die Menge versehen mit der Projektionsabbildung das Tangentialbündel von $M$.
    $TM=\biguplus _{P\in M}T_{P}M\,,$
    $\pi \colon TM\longrightarrow M,\,(P,v)\longmapsto P,$
* Es sei $Y$ durch ein Einheitsnormalenfeld $N$ orientiert, wobei wir $N$ als Feld auf $V$ auffassen. Dann setzt man Die zweite Fundamentalmatrix zu $\varphi$ ist die (von $Q\in V$) abhängige Matrix
    $h_{ij}=\left\langle \partial _{i}\partial _{j}\varphi ,N\right\rangle \,.$
    $H={\left(h_{ij}\right)}_{1\leq i,j\leq n-1}\,.$
* Die äußere Ableitung von $\omega$ wird lokal auf einer Karte, auf der $\omega$ die Gestalt besitzt, durch definiert.
    $\omega =\sum _{{\#\left(I\right)}=k,\,I\subseteq \{1,\ldots ,\operatorname {dim} \,M\}}f_{I}dx_{I}\,$
    $d\omega =\sum _{{\#\left(I\right)}=k}d(f_{I})\wedge dx_{I}\,$
* Eine Familie von Funktionen mit $j\in J$ heißt eine der Überdeckung untergeordnete Partition der Eins, wenn folgende Eigenschaften gelten.
    $h_{j}\colon X\longrightarrow \mathbb {R}$
** Es ist $h_{j}(X)\subseteq [0,1]$ für alle $j\in J$.
** Jeder Punkt $P\in X$ besitzt eine offene Umgebung $P\in U$ derart, dass die eingeschränkten Funktionen $h_{j}{|}_{U}$ bis auf endlich viele Ausnahmen die Nullfunktion sind.
** Es ist $\sum _{j\in J}h_{j}=1$.
** Für jedes $j\in J$ gibt es eine offene Menge $W_{i(j)}$ aus der Überdeckung derart, dass der Träger von $h_{j}$ in $W_{i(j)}$ liegt.
# Differentialgeometrie/Gemischte Definitionsabfrage/7/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Gaußkrümmung zu einer differenzierbaren Fläche $Y\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ in einem Punkt $P\in Y$.
* Eine topologische Mannigfaltigkeit der Dimension $n$.
* Ein zeitunabhängiges Vektorfeld auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$.
* Eine Differentialform vom Grad $k$ auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$.
* Eine riemannsche Mannigfaltigkeit.
* Ein torsionsfreier linearer Zusammenhang auf dem Tangentialbündel einer riemannschen Mannigfaltigkeit $M$.
# Differentialgeometrie/Gemischte Definitionsabfrage/8/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Gauß-Abbildung zu einer differenzierbaren Hyperfläche $Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
* Eine topologische Karte auf einer topologischen Mannigfaltigkeit $M$.
* Eine $C^{1}$-differenzierbare Mannigfaltigkeit $M$.
* Die $n$-te äußere Potenz zu einem $K$-Vektorraum $V$ (es genügt, das Symbol dafür anzugeben).
* Eine lokale Isometrie $\varphi \colon L\rightarrow M$ zwischen riemannschen Mannigfaltigkeiten.
* Ein lokal integrabler Zusammenhang auf einem differenzierbaren Vektorbündel $p\colon E\rightarrow X$ über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $X$.
# Differentialgeometrie/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über das Bild der Gauß-Abbildung eine Hyperfläche.
* Die Formel für den Flächeninhalt einer Rotationsfläche zu einer differenzierbaren Kurve mit $y(t)>0$.
    $\gamma \colon ]a,b[\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (x(t),y(t)),$
* Die Produktregel für die äußere Ableitung.
# Differentialgeometrie/Gemischte Satzabfrage/10/Aufgabe/Lösung

* Es sei $N$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension $n$ und es sei $M\subseteq N$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit der Dimension $m$. Dann ist für jeden Punkt $P\in M$ die Tangentialabbildung $T_{P}M\longrightarrow T_{P}N$ injektiv. D.h. der Tangentialraum $T_{P}M$ ist ein Untervektorraum der Dimension $m$ von $T_{P}N$.
* Es seien $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und $V\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ offene Teilmengen, deren Koordinaten mit $x_{1},\ldots ,x_{n}$ bzw. mit $y_{1},\ldots ,y_{m}$ bezeichnet seien. Es sei eine differenzierbare Abbildung und es sei $\omega$ eine $k$-Differentialform auf $V$ mit der Darstellung wobei $f_{I}\colon V\rightarrow \mathbb {R}$ Funktionen sind. Dann besitzt die zurückgezogene Form die Darstellung
    $\varphi \colon U\longrightarrow V$
    $\omega =\sum _{I,\,{\#\left(I\right)}=k}f_{I}dy_{I}\,,$
    ${\begin{aligned}\varphi ^{*}\omega &=\sum _{I,\,{\#\left(I\right)}=k}{\left(f_{I}\circ \varphi \right)}\left(\sum _{J,\,{\#\left(J\right)}=k}\det {\left({\left({\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j}}}\right)}_{i\in I,j\in J}\right)}dx_{J}\right)\\&=\sum _{J,\,{\#\left(J\right)}=k}\left(\sum _{I,\,{\#\left(I\right)}=k}{\left(f_{I}\circ \varphi \right)}\det {\left({\left({\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j}}}\right)}_{i\in I,j\in J}\right)}\right)dx_{J}.\end{aligned}}$
* Eine zweifach differenzierbare Kurve $\gamma \colon I\rightarrow M$ auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit $M$ ist genau dann eine geodätische Kurve (bezüglich des Levi-Civita-Zusammenhangs), wenn sie auf jeder Karte das gewöhnliche Differentialgleichungssystem zweiter Ordnung $\gamma _{k}^{\prime \prime }+\sum _{ij}\Gamma _{ij}^{k}\gamma _{i}'\gamma _{j}'=0\,$ (für alle $k$) erfüllt.
# Differentialgeometrie/Gemischte Definitionsabfrage/8/Aufgabe/Lösung

* Es sei eine Orientierung auf $Y$ fixiert. Dann heißt die Abbildung die jeden Punkt $P\in Y$ auf seinen durch die Orientierung fixierten Einheitsnormalenvektor abbildet, die Gauß-Abbildung zu $Y$.
    $Y\longrightarrow S^{n-1},$
* Eine topologische Karte ist jede Homöomorphie wobei $U\subseteq M$ und $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen sind.
    $\varphi \colon U\longrightarrow V,$
* Ein topologischer Hausdorff-Raum $M$ zusammen mit einer offenen Überdeckung $M=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und Karten mit $V_{i}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen derart, dass die Übergangsabbildungen $C^{1}$-Diffeomorphismen für alle $i,j\in I$ sind, heißt differenzierbare Mannigfaltigkeit.
    $\alpha _{i}\colon U_{i}\longrightarrow V_{i}$
    $\alpha _{j}\circ (\alpha _{i})^{-1}\colon V_{i}\cap \alpha _{i}(U_{i}\cap U_{j})\longrightarrow V_{j}\cap \alpha _{j}(U_{i}\cap U_{j})$
* Man nennt den $K$-Vektorraum $\bigwedge ^{n}V$ das $n$-te Dachprodukt von $V$.
* Eine differenzierbare Abbildung $\varphi \colon L\rightarrow M$ heißt lokale Isometrie, wenn für jeden Punkt $P\in L$ die Tangentialabbildung eine Isometrie bezüglich der gegebenen Skalarprodukte ist.
    $T_{P}\varphi \colon T_{P}L\longrightarrow T_{\varphi (P)}M$
* Der Zusammenhang heißt lokal integrabel, wenn es zu jedem Punkt $e\in E$ einen auf einer offenen Umgebung $p(e)\in U\subseteq X$ definierten horizontalen Schnitt durch $e$ gibt.
    $s\colon U\longrightarrow E{|}_{U}$
# Differentialgeometrie/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe/Lösung

* Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge und sei eine stetig differenzierbare Funktion. Die Faser $Y=h^{-1}(c)$ von $h$ zu $c\in \mathbb {R}$ sei kompakt und in jedem Punkt regulär. Dann ist die Gauß-Abbildung $Y\longrightarrow S^{n-1}$ surjektiv.
    $h\colon W\longrightarrow \mathbb {R}$
* Es sei eine differenzierbare Kurve mit $y(t)>0$, die einen Diffeomorphismus zu $M=\gamma (I)$ induziere, wobei $M\subseteq G$ eine eindimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit in einer offenen Menge $G\subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R} _{+}$ sei. Dann ist die zugehörige Rotationsfläche eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von $\mathbb {R} ^{3}$ ohne die $x$-Achse, und ihr Flächeninhalt ist gleich $2\pi \int _{a}^{b}{\sqrt {(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}}}\cdot y(t)\,dt.$
    $\gamma \colon ]a,b[\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (x(t),y(t)),$
* Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und es seien $\omega \in {\mathcal {E}}_{1}^{k}(U)$ und $\tau \in {\mathcal {E}}_{1}^{\ell }(U)$ differenzierbare Differentialformen auf $U$. Dann gilt die Produktregel $d(\omega \wedge \tau )=(d\omega )\wedge \tau +(-1)^{k}\omega \wedge (d\tau )\,.$
# Differentialgeometrie/Gemischte Satzabfrage/10/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über den Tangentialraum einer abgeschlossenen Untermannigfaltigkeit $M\subseteq N$.
* Der Satz über die Gestalt einer zurückgezogenen Differentialform $\varphi ^{*}\omega$ unter einer differenzierbaren Abbildung (mit offenen Teilmengen $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und $V\subseteq \mathbb {R} ^{m}$, deren Koordinaten mit $x_{1},\ldots ,x_{n}$ bzw. mit $y_{1},\ldots ,y_{m}$ bezeichnet seien) von einer $k$-Differentialform auf $V$ mit der Darstellung wobei $f_{I}\colon V\rightarrow \mathbb {R}$ Funktionen sind.
    $\varphi \colon U\longrightarrow V$
    $\omega =\sum _{I,\,{\#\left(I\right)}=k}f_{I}dy_{I}\,,$
* Der Satz über die Charakterisierung von geodätischen Kurven bezüglich des Levi-Civita-Zusammenhangs auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit $M$.
# Differenzierbarkeit/C^n nach C/Cauchy-Riemann Differentialgleichung/Fakt/Beweis

Wir haben
    $({\frac {\partial \varphi }{\partial y_{j}}})(P)=({\frac {\partial (g+{\mathrm {i} }h)}{\partial y_{j}}})(P)=({\frac {\partial g}{\partial y_{j}}})(P)+{\mathrm {i} }({\frac {\partial h}{\partial y_{j}}})(P)$
und analog
    $({\frac {\partial \varphi }{\partial x_{j}}})(P)=({\frac {\partial g}{\partial x_{j}}})(P)+{\mathrm {i} }({\frac {\partial h}{\partial x_{j}}})(P).$
Damit übersetzt sich die Bedingung von Satz in
    $({\frac {\partial g}{\partial y_{j}}})(P)+{\mathrm {i} }({\frac {\partial h}{\partial y_{j}}})(P)={\mathrm {i} }(({\frac {\partial g}{\partial x_{j}}})(P)+{\mathrm {i} }({\frac {\partial h}{\partial x_{j}}})(P)).$
Vergleich des Real- und Imaginärteils liefert die gewünschten Bedingungen
    $({\frac {\partial g}{\partial y_{j}}})(P)=-({\frac {\partial h}{\partial x_{j}}})(P){\text{ und }}({\frac {\partial h}{\partial y_{j}}})(P)=({\frac {\partial g}{\partial x_{j}}})(P).$
# Differenzierbarkeit/C nach C/Cauchy-Riemann Differentialgleichung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen.
# Differenzierbarkeit/C nach C/Cauchy-Riemann Differentialgleichung/Fakt/Beweis

Die reelle Jacobi-Matrix von $(x,y)\mapsto (g(x,y),h(x,y))$ im Punkt $P$ ist
    ${\begin{pmatrix}{\frac {\partial g}{\partial x}}(P)&{\frac {\partial g}{\partial y}}(P)\\{\frac {\partial h}{\partial x}}(P)&{\frac {\partial h}{\partial y}}(P)\end{pmatrix}}.$
Diese beschreibt eine reell-lineare Abbildung
    $\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$
bezüglich der reellen Basis $1$ und ${\mathrm {i} }$ und die komplexe Differenzierbarkeit bedeutet, dass sie auch komplex-linear ist. Die Multiplikation mit einer komplexen Zahl $a+b{\mathrm {i} }$ wird reell durch die Matrix
    ${\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}$
beschrieben, und die Bedingungen im Satz beschreiben genau diese Beziehungen.
# Differenzierbarkeit/C nach C/Cauchy-Riemann Differentialgleichung/Fakt/Name

Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen.
# Differenzierbarkeit/Direkte Berechnung der Ableitung1/Aufgabe

Es sei $U\subseteq \mathbb {R}$ eine Umgebung der $0$ und $f\colon U\rightarrow \mathbb {R}$ eine Funktion mit der Eigenschaft, dass $\vert {f(x)}\vert \,\leq \,\vert {x}\vert ^{a}$ mit einem $a>1$ gilt. Zeige, dass $f$ in $x_{0}=0$ differenzierbar ist und berechne den Wert der Ableitung an dieser Stelle.
# Differenzierbarkeit/C nach C/Cauchy-Riemann Differentialgleichung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Die reelle Jacobi-Matrix von $(x,y)\mapsto (g(x,y),h(x,y))$ im Punkt $P$ ist
    ${\begin{pmatrix}{\frac {\partial g}{\partial x}}(P)&{\frac {\partial g}{\partial y}}(P)\\{\frac {\partial h}{\partial x}}(P)&{\frac {\partial h}{\partial y}}(P)\end{pmatrix}}.$
Diese beschreibt eine reell-lineare Abbildung
    $\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$
bezüglich der reellen Basis $1$ und ${\mathrm {i} }$ und die komplexe Differenzierbarkeit bedeutet, dass sie auch komplex-linear ist. Die Multiplikation mit einer komplexen Zahl $a+b{\mathrm {i} }$ wird reell durch die Matrix
    ${\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}$
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/20/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die Produktregel für konvergente Folgen in einem angeordneten Körper.
* Das Leibnizkriterium für alternierende Reihen.
* Der Satz über die Ableitung einer Potenzreihe.
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/21a/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die allgemeine binomische Formel für $(a+b)^{n}$.
* Die Bernoulli-Ungleichung für reelle Zahlen.
* Der Satz von Bolzano-Weierstraß.
* Die Konvergenzaussage für die geometrische Reihe in ${\mathbb {C} }$.
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/21a/Aufgabe/Lösung

* Für $a,b$ in einem Körper $K$ gilt
    $(a+b)^{n}=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}a^{i}b^{n-i}\,.$
* Für $x\geq -1$ und $n\in \mathbb {N}$ ist
    $(1+x)^{n}\geq 1+nx\,.$
* Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine beschränkte Folge von reellen Zahlen. Dann besitzt die Folge eine konvergente Teilfolge.
* Für alle komplexen Zahlen $z$ mit ${|z|}<1$ konvergiert die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}$ absolut und es gilt
    $\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}={\frac {1}{1-z}}\,.$
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/22/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die Bernoulli-Ungleichung für einen angeordneten Körper $K$.
* Der Satz über das Konvergenzverhalten einer Potenzreihe
    $f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}\,.$
* Die Formel für die Stammfunktion der Umkehrfunktion.
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/22/Aufgabe/Lösung

* Für $x\geq -1$ und $n\in \mathbb {N}$ ist
    $(1+x)^{n}\geq 1+nx\,.$
* Die Potenzreihe $f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}$ sei für eine komplexe Zahl $z=b$, $b\neq a$, konvergent. Dann ist für jeden reellen Radius $r$ mit $0<r<\vert {b-a}\vert$ die Potenzreihe $f(z)$ auf der abgeschlossenen Kreisscheibe $B\left(a,r\right)$ punktweise absolut und gleichmäßig konvergent.
* Es sei $f\colon [a,b]\rightarrow [c,d]$ eine bijektive differenzierbare Funktion und es sei $F$ eine Stammfunktion von $f$. Dann ist eine Stammfunktion der Umkehrfunktion $f^{-1}$.
    $G(y):=yf^{-1}(y)-F(f^{-1}(y))\,$
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/2/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die allgemeine binomische Formel für $(a+b)^{n}$.
* Der Identitätssatz für Potenzreihen.
* Die Substitutionsregel zur Integration von stetigen Funktionen.
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/20/Aufgabe/Lösung

* Es seien ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen in $K$. Dann ist die Folge ${\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent und es gilt
    $\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)}\cdot {\left(\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}\right)}\,.$
* Es sei ${\left(x_{k}\right)}_{k\in \mathbb {N} }$ eine fallende Nullfolge von nichtnegativen reellen Zahlen. Dann konvergiert die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}x_{k}$.
* Es sei eine konvergente Potenzreihe mit dem Konvergenzradius $R>0$. Dann ist auch die formal abgeleitete Potenzreihe konvergent mit demselben Konvergenzradius. Die durch die Potenzreihe $g$ dargestellte Funktion $f$ ist in jedem Punkt $z\in U{\left(a,R\right)}$ differenzierbar mit
    $g=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-a)^{n}\,$
    ${\tilde {g}}=\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}(z-a)^{n-1}\,$
    $f'(z)={\tilde {g}}(z)\,.$
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/21/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die Quotientenregel für konvergente Folgen.
* Die Division mit Rest im Polynomring $K[X]$ über einem Körper $K$.
* Das Ableitungskriterium für konstante Funktionen.
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/21/Aufgabe/Lösung

* Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge in einem angeordneten Körper mit dem Grenzwert $\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\neq 0$ und mit $x_{n}\neq 0$ für alle $n\in \mathbb {N}$, Dann ist ${\left({\frac {1}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit
    $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{x_{n}}}={\frac {1}{x}}\,.$
* Es seien $P,T\in K[X]$ zwei Polynome mit $T\neq 0$. Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome $Q,R\in K[X]$ mit
    $P=TQ+R{\text{ und mit }}\operatorname {grad} \,(R)<\operatorname {grad} \,(T){\text{ oder }}R=0.$
* Sei eine differenzierbare Funktion mit $f'(x)=0$ für alle $x\ina,b$. Dann ist $f$ konstant.
    $f\colona,b\longrightarrow \mathbb {R}$
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/2/Aufgabe/Lösung

* Für $a,b$ in einem Körper $K$ gilt
    $(a+b)^{n}=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}a^{i}b^{n-i}\,.$
* Es seien $f=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ und $g=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}z^{n}$ Potenzreihen mit positiven Konvergenzradien und derart, dass es ein $\epsilon >0$ gibt, dass die dadurch definierten Funktionen übereinstimmen. Dann ist $a_{n}=b_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$.
    $f,g\colon U{\left(0,\epsilon \right)}\longrightarrow {\mathbb {K} }$
* Es sei $I$ ein reelles Intervall und sei eine stetige Funktion. Es sei stetig differenzierbar. Dann gilt
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
    $g\colon [a,b]\longrightarrow I$
    $\int _{a}^{b}f(g(t))g'(t)\,dt=\int _{g(a)}^{g(b)}f(s)\,ds\,.$
# Affiner Raum/Glatt/Aufgabe

Zeige, dass der affine Raum ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ glatt ist.
# Affiner Raum/Endliche Punktfamilie/Affine Basis/Charakterisierung/Aufgabe

Es sei $E$ ein affiner Raum über einem $K$-Vektorraum $V$ und es sei $P_{1},\ldots ,P_{n}$ eine endliche Familie von Punkten aus $E$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
* Die Punkte bilden eine affine Basis von $E$.
* Die Punkte bilden ein minimales affines Erzeugendensystem von $E$.
* Die Punkte sind maximal affin unabhängig.
# Elliptische Kurve/Algebraisch abgeschlossen/Isogenie/Separabel/Kernanzahl und Grad/Fakt/Beweis2

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.
# Elliptische Kurve/Algebraisch abgeschlossen/Isogenie/Separabel/Kernanzahl und Grad/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt, da nach Fakt für einen étalen Morphismus zwischen glatten projektiven Kurven die Anzahl der Punkte in jeder Faser konstant gleich dem Grad ist.
# Elementarsymmetrische Polynome/R/Kritische Punkte/Aufgabe

Bestimme die kritischen Punkte der durch die elementarsymmetrischen Polynome definierten Gesamtabbildung
    $\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,{\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)}\longmapsto {\left(E_{1}{\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)},\ldots ,E_{n}{\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)}\right)}.$
# Eliminationsverfahren/Induktionsprinzip/Aufgabe

Inwiefern hat das Eliminationsverfahren für lineare Gleichungssysteme mit dem Induktionsprinzip zu tun?