# Charakteristik 0/Auflösbare Körpererweiterung/Auflösbare Gruppe/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei zuerst die Körpererweiterung $K\subseteq L$ auflösbar, und zwar sei $L\subseteq M$ eine Körpererweiterung derart, dass $K\subseteq M$ eine Radikalerweiterung ist. Es sei $m$ dabei ein gemeinsamer „Radikalexponent“ der beteiligten einfachen Radikalerweiterungen. Da wir in Charakteristik $0$ sind, können wir zu $M$ eine $m$-te primitive Einheitswurzel $\zeta$ adjungieren und erhalten eine $m$-Radikalerweiterung $K\subseteq M'=M(\zeta )$. Wir ersetzen $M'$ durch seine normale Hülle $M^{\prime \prime }$, die nach Fakt ebenfalls eine $m$-Radikalerweiterung von $K$ ist. Da wir in Charakteristik $0$ sind, ist $K\subseteq M^{\prime \prime }$ eine Galoiserweiterung. Wir können also davon ausgehen, dass eine Kette
    $K=L_{0}\subseteq K(\zeta )=L_{1}\subseteq L_{2}\subseteq \ldots \subseteq L_{k}=M\,$
vorliegt, wobei $K\subseteq M$ galoissch ist und wo die sukzessiven Körpererweiterungen $L_{i}\subseteq L_{i+1}$ einfache Radikalerweiterungen sind. Es sei $G=\operatorname {Gal} \,(M{|}K)$ und wir setzen
    $G_{i}=\operatorname {Gal} \,(M{|}L_{i})\,.$
Dabei gelten nach Fakt (2) die natürlichen Inklusionen
    $G_{k}=\{\operatorname {Id} \}\subseteq G_{k-1}\subseteq G_{k-2}\subseteq \ldots \subseteq G_{1}\subseteq G_{0}=G\,.$
Da die Zwischenerweiterungen $L_{i}\subseteq L_{i+1}$ für $i\geq 1$ einfache Radikalerweiterungen und in $L_{1}$ die benötigten Einheitswurzeln vorhanden sind, folgt aus Fakt, dass es sich um Galoiserweiterungen mit abelscher Galoisgruppe handelt. Aufgrund von Fakt (2) sind daher die $G_{i+1}$ Normalteiler in $G_{i}$ und die Restklassengruppen $G_{i}/G_{i+1}$ sind kommutativ. Die Erweiterung $K\subseteq K(\zeta )=L_{1}$ besitzt nach Aufgabe ebenfalls eine abelsche Galoisgruppe. Daher liegt insgesamt eine Filtrierung vor, die $G$ als auflösbar erweist. Da $K\subseteq L$ eine Galoiserweiterung ist, gilt wieder nach Fakt die Beziehung
    $\operatorname {Gal} \,(L{|}K)=G/\operatorname {Gal} \,(M{|}L)\,,$
sodass auch $\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ wegen Fakt eine auflösbare Gruppe ist.
Es sei nun vorausgesetzt, dass die Galoisgruppe $G=\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ auflösbar ist, und sei
    $\{\operatorname {Id} \}=G_{k}\subseteq G_{k-1}\subseteq G_{k-2}\subseteq \ldots \subseteq G_{1}\subseteq G_{0}=G\,$
eine Filtrierung mit Untergruppen derart, dass jeweils $G_{i+1}\subseteq G_{i}$ ein Normalteiler ist mit abelscher Restklassengruppe $G_{i}/G_{i+1}$. Wir setzen $L_{i}=\operatorname {Fix} \,(G_{i})$, sodass nach Fakt (1) und Fakt die Körperkette
    $K=L_{0}\subseteq L_{1}\subseteq \ldots \subseteq L_{k}=L\,$
vorliegt. Dabei sind nach Fakt die Körpererweiterungen $L_{i}\subseteq L$ galoissch, und ihre Galoisgruppen sind $G_{i}$ gemäß Fakt. Da die $G_{i+1}$ Normalteiler in $G_{i}$ sind, sind aufgrund von Fakt die Körpererweiterungen $L_{i}\subseteq L_{i+1}$ galoissch mit Galoisgruppe $\operatorname {Gal} \,(L_{i+1}{|}L_{i})=G_{i}/G_{i+1}$. Diese sukzessiven Erweiterungen sind also Galoiserweiterungen mit abelscher Galoisgruppe. Es sei $m$ der Exponent von $G$. Es sei $L\subseteq M$ ein $m$-ter Kreisteilungskörper, also ein Zerfällungskörper von $X^{m}-1$ über $L$, und sei $\zeta \in M$ eine $m$-te primitive Einheitswurzel. Es ist somit $M=L(\zeta )$. Wir setzen $M_{i}=L_{i}(\zeta )$ (innerhalb von $M$) und haben dann die Körperkette
    $K\subseteq M_{0}=K(\zeta )\subseteq M_{1}\subseteq \ldots \subseteq M_{k}=M\,.$
Hierbei gilt $M_{i+1}=M_{i}L_{i+1}$. Nach Fakt ist $M_{i}\subseteq M_{i+1}$ ebenfalls galoissch, und es gilt die Untergruppenbeziehung
    $\operatorname {Gal} \,(M_{i+1}{|}M_{i})=\operatorname {Gal} \,(L_{i+1}{|}L_{i+1}\cap M_{i})\subseteq \operatorname {Gal} \,(L_{i+1}{|}L_{i})\,,$
sodass diese Galoisgruppen auch abelsch sind. Da die $m$-te primitive Einheitswurzel $\zeta$ zu $M_{0}$ gehört, sind die Erweiterungen $M_{i}\subseteq M_{i+1}$ allesamt Kummererweiterungen und damit nach Fakt auch Radikalerweiterungen. Da auch $K\subseteq M_{0}=K(\zeta )$ eine (einfache) Radikalerweiterung ist, ist insgesamt $K\subseteq M$ eine Radikalerweiterung, die $L$ umfasst. Somit ist $K\subseteq L$