OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Konvergente Potenzreihen/C/Diskreter Bewertungsring/Fakt

Der Ring der konvergenten Potenzreihen ${\mathbb {C} }\langle \!\langle T\rangle \!\rangle$
ist ein diskreter Bewertungsring.
# Konvergente Potenzreihe/Stammfunktion/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $x\in U{\left(0,r\right)}$. Nach Voraussetzung und nach Fakt ist dann auch die Reihe
    $\sum _{n=0}^{\infty }\vert {a_{n}x^{n}}\vert$
konvergent. Für jedes $n\geq \vert {x}\vert$ gelten die Abschätzungen
    $\vert {{\frac {a_{n-1}}{n}}x^{n}}\vert \leq \vert {a_{n-1}x^{n-1}}\vert \vert {\frac {x}{n}}\vert \leq \vert {a_{n-1}x^{n-1}}\vert \,.$
Daher gilt für ein $k\geq \vert {x}\vert$ die Abschätzung
    $\sum _{n=k}^{\infty }\vert {{\frac {a_{n-1}}{n}}x^{n}}\vert \leq \sum _{n=k}^{\infty }\vert {a_{n-1}x^{n-1}}\vert \,.$
Die rechte Reihe konvergiert nach Voraussetzung und ist daher eine konvergente Majorante für die linke Reihe. Daher konvergiert auch $\sum _{n=1}^{\infty }\vert {{\frac {a_{n-1}}{n}}x^{n}}\vert$ und nach Fakt auch $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}}{n}}x^{n}$. Die Stammfunktionseigenschaft folgt aus
# Konvergente Potenzreihen/C/Diskreter Bewertungsring/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass der Ring der konvergenten Potenzreihen ${\mathbb {C} }\langle \!\langle T\rangle \!\rangle$ ein diskreter Bewertungsring ist.
# Lemniskate/Projektive Punkte/Aufgabe

Bestimme für die durch $V{\left({\left(X^{2}+Y^{2}\right)}^{2}-X^{2}+Y^{2}\right)}$ gegebene Lemniskate von Bernoulli die Singularitäten sowie die unendlich fernen Punkte in ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}$. Berechne in all diesen Punkten die Multiplizität und die Tangenten.
# Lemma von Zorn/Obere Schranke/Fakt/Name

Das Lemma von Zorn.
# Lemma von Zorn/Total geordnet/Aufgabe

Beweise das Lemma von Zorn für eine total geordnete Menge.
# Lineare Projektion/Beschreibung mit Matrix/Aufgabe

Es sei $\varphi \colon V\rightarrow V$ eine lineare Projektion auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$. Zeige, dass $\varphi$ bezüglich einer geeigneten Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$ von $V$ durch eine Matrix der Form
    ${\begin{pmatrix}1&0&\cdots &\cdots &\cdots &0\\0&\ddots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots \\\vdots &\ddots &1&\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0&\ddots &\vdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &\cdots &\cdots &0&0\end{pmatrix}}$
beschrieben wird.
# Lineare Projektion/Spur/Aufgabe

Bestimme die Spur zu einer linearen Projektion
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$.
# Hilbertscher Nullstellensatz (algebraisch)/Endlich erzeugte Körpererweiterung ist endlich/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise die algebraische Version des Hilbertschen Nullstellensatzes.
# Hilbertscher Nullstellensatz (algebraisch)/Endlich erzeugte Körpererweiterung ist endlich/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir setzen $L=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$. Es sei $K_{i}$ der Quotientenkörper von $K[x_{1},\ldots ,x_{i}]$ (innerhalb von $L$). Wir haben also eine Körperkette
    $K=K_{0}\subseteq K_{1}\subseteq \ldots \subseteq K_{n}=L\,.$
Wir wollen zeigen, dass $L$ endlich über $K$ ist, und dazu genügt es nach Fakt zu zeigen, dass jeder Schritt in der Körperkette endlich ist. Es sei angenommen, dass $K_{i}\subseteq K_{i+1}$ nicht endlich ist, aber alle folgenden Schritte endlich sind. Wir wenden Fakt auf
    $K\subseteq K_{i+1}\subset L\,$
an und erhalten, dass $K_{i+1}$ endlich erzeugt über $K$ ist. Dann ist insbesondere $K_{i+1}$ auch endlich erzeugt über $K_{i}$. Andererseits ist $K_{i+1}$ der Quotientenkörper von $K_{i}[x_{i+1}]$. Wir haben also eine Kette
    $K_{i}\subseteq K_{i}[x_{i+1}]\subseteq Q(K_{i}[x_{i+1}])=K_{i+1}\,,$
wo $K_{i+1}$ endlich erzeugt über $K_{i}$ ist, aber nicht endlich. Wäre $x_{i+1}$ algebraisch über $K_{i}$, so auch endlich, und dann wäre $K_{i}[x_{i+1}]$ bereits ein Körper nach Aufgabe. Dann wäre die letzte Kette insgesamt endlich, im Widerspruch zur Wahl von $i$. Also ist $x_{i+1}$ transzendent über $K_{i}$. Dann ist aber $K_{i}[x_{i+1}]$ isomorph zu einem Polynomring in einer Variablen und $Q(K_{i}[x_{i+1}])$ ist isomorph zum rationalen Funktionenkörper über $K_{i}$. Dieser ist aber nach Fakt
# Hilbertscher Nullstellensatz (algebraisch)/Endlich erzeugte Körpererweiterung ist endlich/Fakt/Name

Die algebraische Version des Hilbertschen Nullstellensatzes.
# MDLUL/Ableitung (Modallogik)

Start=Ableitung (Modallogik)
Ziel=Modallogik/K/Ableitung/Definition
# MDLUL/Ableitung (Prädikatenlogik)

Start=Ableitung (Prädikatenlogik)
Ziel=Prädikatenlogik/Ableitbar/Definition
# MDLUL/Ableitung (Aussagenlogik)

Start=Ableitung (Aussagenlogik)
Ziel=Aussagenlogik/Syntaktische Tautologien/Grundtautologien und Modus ponens/Definition
# MDLUL/Ableitung

Start=Ableitung
Ziel=Ableitung/K/Ableitungsfunktion/Definition
# MDLUL/Ableitung (C)

Start=Ableitung (C)
Ziel=Ableitung/K/Ableitungsfunktion/Definition
# MDLUL/Ableitung (Kurve)

Start=Ableitung (Kurve)
Ziel=Kurve/Euklidischer Vektorraum/Differenzierbar/Definition
# MDLUL/Ableitung (Punkt R)

Start=Ableitung (Punkt R)
Ziel=Differenzierbar/D_in_R/Über_Limes/Definition
# MDLUL/Ableiten (R)

Start=Ableiten (R)
Ziel=Differenzierbar/D_in_R/Über_Limes/Definition
# MDLUL/Ableitung (R)

Start=Ableitung (R)
Ziel=Differenzierbar/D in R/Über Limes/Definition
# MDLUL/Ableitung (K)

Start=Ableitung (K)
Ziel=Differenzierbar/D offen K/Über Limes/Definition
# MDLUL/Alleinführung im Antezedens

Start=Alleinführung im Antezedens
Ziel=Prädikatenlogik/Existenzeinführung im Sukzedens/Axiom
# MDLUL/Alternierend

Start=Alternierend
Ziel=Multilineare Abbildung/Alternierend/Definition
# MDLUL/Anfangsbedingung (gdg)

Start=Anfangsbedingung (gdg)
Ziel=Gewöhnliche Differentialgleichung/1/Anfangswertproblem/Definition
# MDLUL/Algebren von endlichem Typ

Start=Algebren von endlichem Typ
Siehe=Algebra von endlichem Typ MDLUL/Algebra von endlichem Typ Ziel=Kommutative Ringtheorie/Algebra von endlichem Typ/Definition
# MDLUL/Alphabete

Start=Alphabete
Siehe=Alphabet MDLUL/Alphabet Ziel=Alphabet/Zeichenreihe/Definition
# MDLUL/Anfangsbedingung

Start=Anfangsbedingung
Ziel=Gewöhnliche Differentialgleichung/1/Anfangswertproblem/Definition
# MDLUL/Alleinführung im Sukzedens

Start=Alleinführung im Sukzedens
Ziel=Prädikatenlogik/Alleinführung_im_Sukzedens/Regel/Axiom
# MDLUL/Alphabet

Start=Alphabet
Ziel=Alphabet/Zeichenreihe/Definition
# MDLUL/Alphabet einer Sprache erster Stufe

Start=Alphabet einer Sprache erster Stufe
Ziel=Alphabet_erster_Stufe/Symbole_für_Relationen_und_Funktionen/Grunddaten/Definition
# MDLUL/Anfangsbedingung (dgl)

Start=Anfangsbedingung (dgl)
Ziel=[]
# MDLUL/Artinsymbol

Start=Artinsymbol
Ziel=Zahlbereich/Galoiserweiterung/Artinsymbol/Bemerkung
# MDLUL/Assoziativ

Start=Assoziativ
Ziel=Verknüpfung/Assoziativ/Definition
# MDLUL/Atlas

Start=Atlas
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Reell/C^k/Ergänzungsstrukturen/Definition
# MDLUL/Artinsymbols

Start=Artinsymbols
Siehe=Artinsymbol MDLUL/Artinsymbol Ziel=Zahlbereich/Galoiserweiterung/Artinsymbol/Bemerkung
# MDLUL/Assoziiertes Primideal

Start=Assoziiertes Primideal
Ziel=Modultheorie/Assoziiertes Primideal/Definition
# MDLUL/Arkustangens

Start=Arkustangens
Ziel=Trigonometrische Funktionen/Arkustangens/Definition
# MDLUL/Assoziativität

Start=Assoziativität
Ziel=Verknüpfung/Assoziativ/Definition
# MDLUL/Assoziiertheit (Einheit)

Start=Assoziiertheit (Einheit)
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Einheiten/Assoziiert/Definition
# MDLUL/Assoziiertheit (Ring)

Start=Assoziiertheit (Ring)
Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Einheiten/Assoziiert/Definition
# MDLUL/Atlanten

Start=Atlanten
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Reell/C^k/Ergänzungsstrukturen/Definition
# Homogenes lineares Gleichungssystem/Dimensionsabschätzung/Fakt/Name/Inhalt

Es sei ein homogenes lineares Gleichungssystem aus $k$ Gleichungen in $n$ Variablen gegeben. Dann ist die Dimension des Lösungsraumes des Systems mindestens gleich $n-k$.
# Homogenes lineares Gleichungssystem/Dimensionsabschätzung/Fakt/Name

Die Dimensionsabschätzung für den Lösungsraum eines linearen Gleicungssystems.
# Homogenes lineares Gleichungssystem/Q/Nichttriviale Lösung/Z/Aufgabe

Es sei ein homogenes lineares Gleichungssystem über $\mathbb {Q}$ gegeben, das eine nichttriviale Lösung besitze. Zeige, dass es auch eine ganzzahlige nichttriviale Lösung besitzt.
# Homogenisierung/Dehomogenisierung/Beispiel/1/Aufgabe

* Homogenisiere das Polynom bezüglich der neuen Variablen $Z$.
    $X^{3}Y^{2}-8X^{4}Y-6X^{2}Y^{2}+5Y^{4}-10X^{3}+9XY+1$
* Dehomogenisiere das Polynom bezüglich der Variablen $Z$.
    $3X^{6}+2X^{2}Y^{2}Z^{2}-7X^{4}Y^{2}-6X^{2}Y^{3}Z+11XY^{4}Z-11X^{3}Y^{2}Z-4XYZ^{4}+Z^{6}$
# Homogenes lineares Gleichungssystem/Lösungsraum/Basis/1/Aufgabe

Bestimme eine Basis für den Lösungsraum des linearen Gleichungssystems
    ${\begin{matrix}3x-6y-5z&=&0\\x+7y+4z&=&0\,\end{matrix}}$
über $\mathbb {Q}$.
# MDLUL/Grad (Polynomring)

Start=Grad (Polynomring)
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Polynomring (mehrere Variablen)/Grad/Definition
# MDLUL/Grad (P)

Start=Grad (P)
Ziel=Polynomring/Grad/Definition
# MDLUL/Grad (Polynom n)

Start=Grad (Polynom n)
Ziel=Polynomring_über_Körper/Standard_Z-Graduierung/Beispiel
# MDLUL/Grad (Weildivisor)

Start=Grad (Weildivisor)
Ziel=Glatte projektive Kurve/Weildivisor/Grad/Definition
# MDLUL/Grad (Zahlbereich)

Start=Grad (Zahlbereich)
Siehe=Grad (Körpererweiterung) MDLUL/Grad (Körpererweiterung) Ziel=Körpertheorie/Körpererweiterung/Grad/Definition
# MDLUL/Grad (Kurvenmorphismus)

Start=Grad (Kurvenmorphismus)
Ziel=Irreduzible Kurve/Algebraisch abgeschlossen/Endliche Abbildung/Grad/Definition
# MDLUL/Grad (Körpererweiterung)

Start=Grad (Körpererweiterung)
Ziel=Körpertheorie/Körpererweiterung/Grad/Definition
# MDLUL/Grad (K)

Start=Grad (K)
Ziel=Körpertheorie/Körpererweiterung/Grad/Definition
# MDLUL/Grad (Polynom)

Start=Grad (Polynom)
Ziel=Polynomring_über_Körper/Standard_Z-Graduierung/Beispiel
# MDLUL/Grad (Kurvenabbildung)

Start=Grad (Kurvenabbildung)
Ziel=Irreduzible Kurve/Algebraisch abgeschlossen/Endliche Abbildung/Grad/Definition
# MDLUL/Körper mit zwei Elementen

Start=Körper mit zwei Elementen
Ziel=Körper/Zwei Elemente/Beispiel
# MDLUL/Körperisomorphismus

Start=Körperisomorphismus
Ziel=Körpertheorie/Isomorphismus/Direkt/Definition
# MDLUL/Körperautomorphismen

Start=Körperautomorphismen
Siehe=Körperautomorphismus MDLUL/Körperautomorphismus Ziel=Körpertheorie/Körperautomorphismus/Definition
# MDLUL/Körpererweiterungen

Start=Körpererweiterungen
Siehe=Körpererweiterung MDLUL/Körpererweiterung Ziel=Körpertheorie/Körpererweiterung/Definition
# MDLUL/Körpern

Start=Körpern
Siehe=Körper MDLUL/Körper Ziel=Körpertheorie_(Algebra)/Körper/Direkt/Definition
# MDLUL/Körperautomorphismus

Start=Körperautomorphismus
Ziel=Körpertheorie/Körperautomorphismus/Definition
# MDLUL/Körperaxiome

Start=Körperaxiome
Ziel=Körpertheorie (Algebra)/Körper/Direkt/Definition
# MDLUL/Körperaxiomen

Start=Körperaxiomen
Siehe=Körperaxiome MDLUL/Körperaxiome Ziel=Körpertheorie (Algebra)/Körper/Direkt/Definition
# MDLUL/Körpererweiterung

Start=Körpererweiterung
Ziel=Körpertheorie/Körpererweiterung/Definition
# MDLUL/Körpererweiterung (endlich)

Start=Körpererweiterung (endlich)
Ziel=Körpertheorie/Endliche Körpererweiterung/Definition
# MDLUL/Volumen (Borel-Lebesgue)

Start=Volumen (Borel-Lebesgue)
Ziel=R^n/Borel-Lebesgue-Maß/Definition
# MDLUL/Volumenform

Start=Volumenform
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Volumenform/Definition
# MDLUL/Vorschub

Start=Vorschub
Ziel=Stetige Abbildung/Prägarbe/Vorschub/Definition
# MDLUL/Volumen

Start=Volumen
Ziel=R^n/Borel-Lebesgue-Maß/Definition
# MDLUL/Vorschub (Divisor)

Start=Vorschub (Divisor)
Ziel=Glatte Kurven/Morphismus/Vorgeschobener Divisor/Definition
# MDLUL/Wachstumsverhalten (abb)

Start=Wachstumsverhalten (abb)
Ziel=Reelle Funktion/Wachsend und fallend/Definition
# MDLUL/Volumen (n)

Start=Volumen (n)
Ziel=R^n/Borel-Lebesgue-Maß/Definition
# MDLUL/Wachstumsverhalten

Start=Wachstumsverhalten
Ziel=Angeordneter Körper/Folge/Wachsend und fallend/Monoton/Definition
# MDLUL/Volumenfom

Start=Volumenfom
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Volumenform/Definition
# MDLUL/Vorschub (Garbe)

Start=Vorschub (Garbe)
Ziel=Stetige Abbildung/Prägarbe/Vorschub/Definition
# Kleinsche Vierergruppe/Matrixrealisierung/Aufgabe

Zeige, dass die Matrizen
    ${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$
eine kommutative Gruppe bilden, in der jedes Element zu sich selbst invers ist.
# Kleinsche Vierergruppe/Nicht in SL2C/GL2C/Aufgabe

Zeige, dass man die Kleinsche Vierergruppe nicht als Untergruppe der $\operatorname {SL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$, wohl aber als Untergruppe der $\operatorname {GL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ realisieren kann.
# Kleinsche Vierergruppe/Definition

Die Kleinsche Vierergruppe ist die Produktgruppe $\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$.
# Kleinsche Vierergruppe/In S4 und in Würfelgruppe/Aufgabe

Zeige, dass die Kleinsche Vierergruppe zu einer Untergruppe der Permutationsgruppe $S_{4}$ isomorph ist. Wie sieht eine Realisierung als Untergruppe der Würfelgruppe aus?
# MDLUL/Taylorentwicklung (n)

Start=Taylorentwicklung
Ziel=Mehrere Variablen/R/Taylor-Polynom/leq k/Definition
# MDLUL/Taylorpolynom (R)

Start=Taylorpolynom (R)
Ziel=Differenzierbar/R/n-mal/Taylor-Polynom vom Grad n/Definition
# MDLUL/Teilbarkeit (N)

Start=Teilbarkeit (N)
Ziel=Teilbarkeitstheorie (N)/Teilen/Definition
# MDLUL/Taylorpolynom (n)

Start=Taylorpolynom (n)
Ziel=Mehrere Variablen/R/Taylor-Polynom/leq k/Definition
# MDLUL/Taylorreihe

Start=Taylorreihe
Ziel=Funktion/C/Unendlich oft differenzierbar/Taylor-Reihe/Definition
# MDLUL/Taylorentwicklung

Start=Taylorentwicklung
Ziel=Differenzierbar/n-mal/Taylor-Polynom vom Grad n/Definition
# MDLUL/Taylorpolynom (mehr)

Start=Taylorpolynom (mehr)
Ziel=Mehrere Variablen/R/Taylor-Polynom/leq k/Definition
# MDLUL/Teilbarkeit (Monoid)

Start=Teilbarkeit (Monoid)
Ziel=Kommutatives Monoid/Teilbarkeit/Definition
# MDLUL/Taylorentwicklung (C)

Start=Taylorentwicklung (C)
Ziel=Differenzierbar/n-mal/Taylor-Polynom vom Grad n/Definition
# MDLUL/Teilen

Start=Teilen
Ziel=Teilbarkeitstheorie (Z)/Teilen/Definition
# MDLUL/abgeschlossenen Einbettungen (Schema)

Start=abgeschlossenen Einbettungen (Schema)
Siehe=abgeschlossene Einbettung (Schema) MDLUL/abgeschlossene Einbettung (Schema) Ziel=Schema/Morphismus/Abgeschlossene Einbettung/Definition
# MDLUL/abgeschlossenen Einheitskreisscheibe

Start=abgeschlossenen Einheitskreisscheibe
Siehe=abgeschlossene Einheitskreisscheibe MDLUL/abgeschlossene Einheitskreisscheibe Ziel=Einheitskugel/R^n/Definition
# MDLUL/abgeschlossene Untervarietät (affin)

Start=abgeschlossene Untervarietät (affin)
Ziel=Affine Varietäten/Affin-algebraische Menge/Definition
# MDLUL/abgeschlossene Untervarietäten (affin)

Start=abgeschlossene Untervarietäten (affin)
Siehe=abgeschlossene Untervarietät (affin) MDLUL/abgeschlossene Untervarietät (affin) Ziel=Affine Varietäten/Affin-algebraische Menge/Definition
# MDLUL/abgeschlossenen (mr)

Start=abgeschlossenen (mr)
Siehe=Abgeschlossen (mr) MDLUL/Abgeschlossen (mr) Ziel=Metrischer Raum/Abgeschlossene Menge/Komplement/Definition
# MDLUL/abgeschlossenen Bälle

Start=abgeschlossenen Bälle
Siehe=abgeschlossener Ball MDLUL/abgeschlossener Ball Ziel=Metrischer Raum/Abgeschlossene Kugel/Definition
# MDLUL/abgeschlossenen Einbettung (Schema)

Start=abgeschlossenen Einbettung (Schema)
Siehe=Abgeschlossene Einbettung (Schema) MDLUL/Abgeschlossene Einbettung (Schema) Ziel=Schema/Morphismus/Abgeschlossene Einbettung/Definition
# MDLUL/abgeschlossenen Einheitskugel

Start=abgeschlossenen Einheitskugel
Siehe=abgeschlossene Einheitskugel MDLUL/abgeschlossene Einheitskugel Ziel=Metrischer Raum/Abgeschlossene Kugel/Definition
# MDLUL/abgeschlossenen (Topologie)

Start=abgeschlossenen (Topologie)
Siehe=abgeschlossen (Topologie) MDLUL/abgeschlossen (Topologie) Ziel=Topologie/Abgeschlossene Menge/Komplement/Definition
# MDLUL/abgeschlossenen Bälle (mr)

Start=abgeschlossenen Bälle (mr)
Siehe=abgeschlossener Ball (mr) MDLUL/abgeschlossener Ball (mr) Ziel=Metrischer Raum/Abgeschlossene Kugel/Definition
# Kommutativer Halbring/Binomi/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den binomischen Lehrsatz für einen kommutativen Halbring $R$.
# Kommutativer Halbring/Binomi/Fakt/Name

Der binomische Lehrsatz für einen kommutativen Halbring.
# Kommutativer Halbring/Ausführlich/Definition/Begriff

Ein kommutativer Halbring.
# Kommutativer Ring/Ideal/Erzeuger/Prädikatenlogische Charakterisierung/Aufgabe

Es sei $k\in \mathbb {N}$ fixiert. Formalisiere prädikatenlogisch mit einem geeigneten Symbolalphabet $S$ den Sachverhalt, dass $k$ Elemente eines kommutativen Ringes ein gegebenes Ideal erzeugen.
# Lineare Algebra 2/Gemischte Satzabfrage/18/Aufgabe/Lösung

* Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum und $u_{1},\ldots ,u_{n}$ eine Orthonormalbasis von $V$. Es sei eine lineare Abbildung und $M$ die beschreibende Matrix zu $\varphi$ bezüglich der gegebenen Basis. Dann ist $\varphi$ genau dann eine Isometrie, wenn ist.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
    ${M^{\text{tr}}}M=E_{n}\,$
* Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum und ein Endomorphismus. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
** $\varphi$ ist stabil.
** Zu jedem $v\in V$ ist die Folge $\varphi ^{n}(v)$, $n\in \mathbb {N}$, beschränkt.
** Es gibt ein Erzeugendensystem $v_{1},\ldots ,v_{m}\in V$ derart, dass $\varphi ^{n}(v_{j})$, $j=1,\ldots ,m$, beschränkt ist.
** Der Betrag eines jeden komplexen Eigenwerts von $\varphi$ ist kleiner oder gleich $1$ und die Eigenwerte mit Betrag $1$ sind diagonalisierbar, d.h. ihre algebraische Vielfachheit ist gleich ihrer geometrischen Vielfachheit.
** Für eine beschreibende Matrix $M$ von $\varphi$, aufgefasst über ${\mathbb {C} }$, sind die Jordan-Blöcke der jordanschen Normalform gleich mit $\vert {\lambda }\vert <1$ oder gleich $(\lambda )$ mit $\vert {\lambda }\vert =1$.
    ${\begin{pmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\cdots &0&\lambda &1\\0&\cdots &\cdots &0&\lambda \end{pmatrix}}$
* Es sei $K$ ein Körper und seien $V_{1},\ldots ,V_{n}$ endlichdimensionale Vektorräume über $K$. Dann ist die Dimension des Tensorproduktes gleich
    $\dim _{K}{\left(V_{1}\otimes _\cdots \otimes _V_{n}\right)}=\dim _{K}{\left(V_{1}\right)}\cdots \dim _{K}{\left(V_{n}\right)}\,.$
# Lineare Algebra 2/Gemischte Satzabfrage/19/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Kosinussatz.
* Der Spektralsatz für selbstadjungierte Endomorphismen.
* Der Charakterisierungssatz für stabile Endomorphismen.
# Lineare Algebra 2/Gemischte Satzabfrage/2/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über das Verhalten der Gramschen Matrizen zu einer Bilinearform bei einem Basiswechsel.
* Der Spektralsatz für selbstadjungierte Endomorphismen.
* Der Satz über die universelle Eigenschaft des Dachproduktes.
# Lineare Algebra 2/Gemischte Satzabfrage/16/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über das Verhalten der Gramschen Matrizen zu einer Bilinearform bei einem Basiswechsel.
* Der Satz über die Untergruppen von $\mathbb {Z}$.
* Der Satz über Basen in einem Dachprodukt.
# Lineare Algebra 2/Gemischte Satzabfrage/16/Aufgabe/Lösung

* Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und $\left\langle -,-\right\rangle$ eine Bilinearform auf $V$. Es seien ${\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{n}$ zwei Basen von $V$ und es seien $G$ bzw. $H$ die Gramschen Matrizen von $\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basen. Zwischen den Basiselementen gelte die Beziehungen die wir durch die Übergangsmatrix $A=(a_{ij})_{i,j}$ ausdrücken. Dan
    $w_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}v_{i}\,,$
* Die Untergruppen von $\mathbb {Z}$ sind genau die Teilmengen der Form mit einer eindeutig bestimmten nicht-negativen Zahl $d$.
    $\mathbb {Z} d={\left\{kd\mid k\in \mathbb {Z} \right\}}\,$
* Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum der Dimension $m$. Es sei $v_{1},\ldots ,v_{m}$ eine Basis von $V$ und es sei $n\in \mathbb {N}$. Dann bilden die Dachprodukte eine Basis von $\bigwedge ^{n}V$.
    $v_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge v_{i_{n}}{\text{ mit }}1\leq i_{1}<\ldots <i_{n}\leq m$
# Lineare Algebra 2/Gemischte Satzabfrage/18/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Charakterisierung von reellen Isometrien mit Matrizen.
* Der Charakterisierungssatz für stabile Endomorphismen.
* Der Satz über die Dimension des Tensorproduktes.
# Lineare Algebra 2/Gemischte Satzabfrage/17/Aufgabe/Lösung

* Zwei Dreiecke in einer euklidischen Ebene sind genau dann zueinander kongruent, wenn ihre Seitenlängen übereinstimmen.
* Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform $\left\langle -,-\right\rangle$ vom Typ $(p,q)$. Dann ist die Gramsche Matrix von $\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich einer jeden Orthogonalbasis eine Diagonalmatrix mit $p$ positiven und $q$ negativen Einträgen.
* Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und $n\in \mathbb {N}$. Es sei eine alternierende multilineare Abbildung in einen weiteren $K$-Vektorraum $W$. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung derart, dass das Diagramm kommutiert.
    $\psi \colon V^{n}\longrightarrow W$
    ${\tilde {\psi }}\colon \bigwedge ^{n}V\longrightarrow W$
    ${\begin{matrix}V^{n}&{\stackrel{\longrightarrow }}&\bigwedge ^{n}V&\\&\searrow &\downarrow &\\&&W&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
# Lineare Algebra 2/Gemischte Satzabfrage/17/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Kongruenzsatz für Dreiecke.
* Der Trägheitssatz von Sylvester.
* Der Satz über die universelle Eigenschaft des Dachproduktes.
# Lineare Algebra 2/Gemischte Satzabfrage/19/Aufgabe/Lösung

* In einem Dreieck $(A,B,C)$ mit den Seitenlängen $a,b,c$ und dem Winkel $\gamma$ an $C$ gilt
    $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \,.$
* Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt und sei ein selbstadjungierter Endomorphismus. Dann gibt es eine Orthonormalbasis von $V$ aus Eigenvektoren zu $\varphi$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
* Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum und ein Endomorphismus. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
** $\varphi$ ist stabil.
** Zu jedem $v\in V$ ist die Folge $\varphi ^{n}(v)$, $n\in \mathbb {N}$, beschränkt.
** Es gibt ein Erzeugendensystem $v_{1},\ldots ,v_{m}\in V$ derart, dass $\varphi ^{n}(v_{j})$, $j=1,\ldots ,m$, beschränkt ist.
** Der Betrag eines jeden komplexen Eigenwerts von $\varphi$ ist kleiner oder gleich $1$ und die Eigenwerte mit Betrag $1$ sind diagonalisierbar, d.h. ihre algebraische Vielfachheit ist gleich ihrer geometrischen Vielfachheit.
** Für eine beschreibende Matrix $M$ von $\varphi$, aufgefasst über ${\mathbb {C} }$, sind die Jordan-Blöcke der jordanschen Normalform gleich mit $\vert {\lambda }\vert <1$ oder gleich $(\lambda )$ mit $\vert {\lambda }\vert =1$.
    ${\begin{pmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\cdots &0&\lambda &1\\0&\cdots &\cdots &0&\lambda \end{pmatrix}}$
# MDLUL/endlich (Ring)

Start=endlich (Ring)
Ziel=Ring/Endlich/Definition
# MDLUL/endlich (Ringhomomorphismus)

Start=endlich (Ringhomomorphismus)
Ziel=Kommutative Algebra/Modultheorie/Endlicher Modul/Definition
# MDLUL/endlich (stetig)

Start=endlich (stetig)
Ziel=Topologische Räume/Stetige Abbildung/Endlich/Definition
# MDLUL/endlich axiomatisierbar

Start=endlich axiomatisierbar
Ziel=Theorie/Erster Stufe/Ableitbar/Endlich axiomatisierbar/Definition
# MDLUL/endlich (Sigma)

Start=endlich (Sigma)
Ziel=Prämaß/Sigma-endlich/Definition
# MDLUL/endlich (sigma)

Start=endlich (sigma)
Ziel=Prämaß/Sigma-endlich/Definition
# MDLUL/endlich (eigentlich)

Start=endlich (eigentlich)
Ziel=Topologische Räume/Stetige Abbildung/Endlich/Definition
# MDLUL/endlich (stetige Abbildung)

Start=endlich (stetige Abbildung)
Ziel=Topologische Räume/Stetige Abbildung/Endlich/Definition
# MDLUL/endlich (ganz)

Start=endlich (ganz)
Ziel=Kommutative Algebra/Algebra/Endlicher Modul/Definition