# Monoidring/Universelle Eigenschaft/Funktorialität/Einführung/Textabschnitt
## Satz

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $M$ ein kommutatives Monoid. Es sei $B$ eine kommutative $R$-Algebra und
    $\varphi \colon M\longrightarrow B$
ein Monoidhomomorphismus (bezüglich der multiplikativen Struktur von $B$).
Dann gibt es einen eindeutig bestimmten $R$-Algebrahomomorphismus
kommutiert.

### Beweis

Ein $R$-Modulhomomorphismus ${\tilde {\varphi }}\colon R[M]\rightarrow B$ ist festgelegt durch die Bilder der Basiselemente $X^{m}$, $m\in M$. Das Diagramm kommutiert genau dann, wenn ${\tilde {\varphi }}{\left(X^{m}\right)}=\varphi (m)$ ist. Durch diese Bedingung ist die Abbildung also eindeutig festgelegt und ist bereits ein $R$-Modulhomomorphismus. Es ist zu zeigen, dass dieser Homomorphismus auch die Multiplikation respektiert. Es ist ${\tilde {\varphi }}(1)={\tilde {\varphi }}{\left(X^{0}\right)}=\varphi (0)=1$. Ferner ist
    ${\tilde {\varphi }}{\left(X^{m}X^{k}\right)}={\tilde {\varphi }}{\left(X^{m+k}\right)}={\varphi (m+k)}=\varphi (m)\cdot \varphi (k)={\tilde {\varphi }}{\left(X^{m}\right)}\cdot {\tilde {\varphi }}{\left(X^{k}\right)}\,.$
Auf der Ebene der Monome respektiert die Abbildung also die Multiplikation. Daraus folgen für Elemente $f=\sum _{m\in M}a_{m}X^{m}$ und $g=\sum _{k\in M}b_{k}X^{k}$ die Identitäten
    ${\begin{aligned}{\tilde {\varphi }}{\left({\left(\sum _{m\in M}a_{m}X^{m}\right)}{\left(\sum _{k\in M}b_{k}X^{k}\right)}\right)}&={\tilde {\varphi }}{\left(\sum _{\ell \in M}{\left(\sum _{m+k=\ell }a_{m}b_{k}\right)}X^{\ell }\right)}\\&=\sum _{\ell \in M}{\left(\sum _{m+k=\ell }a_{m}b_{k}\right)}\varphi (\ell )\\&=\sum _{m,k\in M}a_{m}b_{k}\varphi (m)\varphi (k)\\&={\left(\sum _{m\in M}a_{m}\varphi (m)\right)}{\left(\sum _{k\in M}b_{k}\varphi (k)\right)}\\&={\tilde {\varphi }}{\left(\sum _{m\in M}a_{m}X^{m}\right)}{\tilde {\varphi }}{\left(\sum _{k\in M}b_{k}X^{k}\right)},\end{aligned}}$
sodass die Abbildung ein Ringhomomorphismus ist.
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## Korollar

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Es seien $M$ und $N$ kommutative Monoide und sei
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
ein Monoidhomomorphismus.
Dann induziert dies einen $R$-Algebrahomomorphismus zwischen den zugehörigen Monoidringen

### Beweis

Dies folgt aus Fakt angewandt auf die $R$-Algebra $B=R[N]$ und den zusammengesetzten Monoidhomomorphismus $M{\stackrel {\varphi }{\rightarrow }}N\rightarrow R[N]$.
$\Box$

## Bemerkung

Eine Familie von Elementen $m_{i}\in M$, $i\in I$, in einem Monoid $M$ ergibt einen Monoidhomomorphismus $\mathbb {N} ^{(I)}\rightarrow M$, indem das $i$-te Basiselement $e_{i}$ auf $m_{i}$ geschickt wird. Dies ist insbesondere für endliche Indexmengen $I={\{1,\ldots ,n\}}$ relevant. Der Monoidhomomorphismus induziert dann nach Fakt einen $R$-Algebrahomomorphismus $R[\mathbb {N} ^{n}]=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]\rightarrow R[M]$ von der Polynomalgebra in den Monoidring. Diese Abbildung ist der Einsetzungshomomorphismus, der durch $X_{i}\mapsto X^{m_{i}}$ gegeben ist.

## Definition

Zu einem kommutativen Monoid $M$ und einem kommutativen Ring $R$ nennt man einen Monoidhomomorphismus
    $M\longrightarrow (R,\cdot ,1)$
auch einen $R$-wertigen Punkt von $M$.

## Bemerkung

Ein $R$-wertiger Punkt ist nach Fakt äquivalent zu einem $R$-Algebrahomomorphismus von $R[M]$ nach $R$. Diese Sprechweise ist insbesondere im Fall eines Grundkörpers $K$ üblich. Dann haben wir also
    $K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[M]\right)}=\operatorname {Hom} _{K}^{\rm {alg}}\,{\left(K[M],K\right)}=\operatorname {Mor} _{\operatorname {mon} }\,(M,K)=\{K-{\text{wertige Punkte von }}M\}\,.$
Das bedeutet, dass hier das $K$-Spektrum bereits auf der Ebene des Monoids eine einfache Beschreibung besitzt, die rein multiplikativ ist. Das impliziert, wie wir sehen werden, dass es für die $K$-Spektren der Monoidringe im Allgemeinen eine viel übersichtlichere Beschreibung gibt als sonst. Man beachte allerdings, dass zur Definition der Zariski-Topologie und der Garbe der algebraischen Funktionen auf $K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[M]\right)}$ der Monoidring unverzichtbar ist.

## Bemerkung

Ein kommutatives Monoid wird häufig durch endlich viele Erzeuger $e_{1},\ldots ,e_{r}$ zusammen mit binomialen Gleichungen zwischen den Erzeugern beschrieben. Diese sind von der Form
    $n_{1}e_{1}+\cdots +n_{r}e_{r}=m_{1}e_{1}+\cdots +m_{r}e_{r}\,$
mit $n_{i}\in \mathbb {N}$. Ein $K$-wertiger Punkt $\varphi \colon M\rightarrow K$ ist durch die Werte $a_{i}=\varphi (e_{i})$ eindeutig festgelegt. Dabei muss die Bedingung
    $a_{1}^{n_{1}}\cdots a_{r}^{n_{r}}=a_{1}^{m_{1}}\cdots a_{r}^{m_{r}}\,$
erfüllt sein, und zwar für jede im Monoid gültige binomiale Gleichung.

## Lemma

Es sei $R$ ein von $0$ verschiedener kommutativer Ring. Es seien $M$ und $N$ kommutative Monoide und sei $\varphi \colon M\rightarrow N$ ein Monoidhomomorphismus.
Dann ist $\varphi$ genau dann injektiv (surjektiv), wenn der zugehörige $R$-Algebrahomomorphismus ${\tilde {\varphi }}\colon R[M]\rightarrow R[N]$ injektiv (surjektiv) ist.

### Beweis

Es sei $\varphi$ injektiv, und angenommen, dass
    ${\tilde {\varphi }}{\left(\sum _{m\in M}a_{m}X^{m}\right)}=\sum _{m\in M}a_{m}X^{\varphi (m)}=0\,.$
Da die $\varphi (m),\,m\in M$, alle verschieden sind, folgt daraus $a_{m}=0$. Ist umgekehrt $\varphi$ nicht injektiv, sagen wir $\varphi (m)=\varphi (k),\,m\neq k$, so ist auch ${\tilde {\varphi }}(X^{m})={\tilde {\varphi }}(X^{k})$, obwohl $X^{m}\neq X^{k}$ ist.
Ist $\varphi$ surjektiv, so kann man für ein beliebiges Element $\sum _{n\in N}a_{n}X^{n}$ aus $R[N]$ sofort ein Urbild angeben, nämlich $\sum _{n\in N}a_{n}X^{m_{n}}$, wobei $m_{n}$ ein beliebiges Urbild von $n$ sei. Ist hingegen $\varphi$ nicht surjektiv, so sei $n\in N$ ein Element, das nicht zum Bild gehört. Dann ist das Monom $X^{n}$ von $0$ verschieden und kann nicht im Bild des Algebrahomomorphismus liegen.
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## Korollar

Es sei $R$ ein von $0$ verschiedener kommutativer Ring. Es sei $M$ ein kommutatives Monoid und $m_{i}\in M,\,i\in I$, eine Familie von Elementen aus $M$.
Dann bilden die $m_{i}$ genau dann ein Monoid-Erzeugendensystem für $M$, wenn die $X^{m_{i}},\,i\in I$, ein $R$-Algebra-Erzeugendensystem für den Monoidring $R[M]$ bilden.

### Beweis

Die $m_{i},\,i\in I$, bilden genau dann ein Monoid-Erzeugendensystem für $M$, wenn der Monoidhomomorphismus ${\mathbb {N} }^{(I)}\rightarrow M$ surjektiv ist. Dies ist nach Fakt genau dann der Fall, wenn der zugehörige Homomorphismus
    $R[X_{i},i\in I]\longrightarrow R[M],\,X_{i}\longmapsto X^{m_{i}},$
surjektiv ist. Dies ist aber genau dann der Fall, wenn die $X^{m_{i}}$ ein $R$-Algebra-Erzeugendensystem bilden.
$\Box$

## Korollar

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $S$ eine $R$-Algebra. Es sei $M$ ein kommutatives Monoid.
Dann gibt es einen natürlichen $R$-Algebrahomomorphismus
(die Koeffizienten aus $R$ werden also einfach in $S$ aufgefasst).

### Beweis

Dies folgt aus Fakt, angewandt auf die $R$-Algebra $S[M]$ und den Monoidhomorphismus $M\rightarrow S[M]$.
$\Box$