OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Fachbereich Geowissenschaften

Die Erforschung der Erdoberfläche ist einer der Kernbereiche der Geowissenschaften.
Lust auf Plaudern und Kaffee? Die Cafeteria des Fachbereichs ist gerade eröffnet worden.
Neuigkeiten, Artikel, Zeitungsmeldungen - alles zu finden im Fachbereichs-Blog.
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* Wikipedia: Geowissenschaften
* Wikipedia (en): Earth science
6. November 2006
Wenn Du Ideen hast, wie dieser Bereich voran getrieben werden kann, neue Kurse erstellen oder Dich an der Schaffung eines gerade entstehenden Kurses beteiligen willst, oder wenn Du ein eigenes Forschungsprojekt starten willst und dafür noch andere Leute suchst, kannst Du sofort damit loslegen. Dies ist ein Wiki - jede und jeder kann und soll daran mitarbeiten, denn nur so können wir Umfang und Qualität her- und sicherstellen.
Du bist natürlich auch herzlich willkommen, beim Kolloquium Geowissenschaften reinzuschauen - dem Platz für alle fachlichen Fragen und Diskussionen.

## Verwaiste Kurse und Projekte

Hier stehen bereits eingerichtete Institute des Fachbereichs. Sie werden von uns langsam mit Inhalten, das heißt mit Kursen und Projekten gefüllt. Du bist herzlich eingeladen, daran mitzuwirken. Entweder suchst Du Dir einen Kurs zum Lernen aus dem vorhandenen Angebot aus, oder Du arbeitest wissenschaftlich mit an unseren Projekten.
** Kurs:Die Globale Erwärmung (im Aufbau)
* Institut für Kartographie (im Aufbau)
** Forschungsprojekt zur kartografischen Aufbereitung von Geodaten (im Aufbau)
* Institut für Fernerkundung (im Aufbau)
* Institut für Meeresbiologie
* Institut für Bodenkunde (im Aufbau)
** Profildiskussion
** Kursskizze:Bodenphysik (im Aufbau)

### Denkbare weitere Einrichtungen

Hier finden sich weitere angedachte oder vorgeschlagene Einrichtungen, die gut in die Wikiversity passen würden oder in nicht-virtuellen Universitäten Standard sind. Beachte bei der Gründung eines neuen Institutes bitte, dass es auch mit Inhalt gefüllt werden muss, und überlege ob ein einzelner Kurs möglicherweise gut in ein bereits eingerichtetes Institut passt. Die Diskussion über die Einrichtung weiterer Institute, Projekte oder Kurse findet in der Fachbereichs-Denkschmiede statt.
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Dies ist der Platz für Fragen und Diskussionen rund um das Themengebiet „Germanistik“.
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# Fachbereich Germanistik

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Willkommen im Fachbereich Germanistik. Aufgabe der Germanistik ist es, die deutsche Sprache und die deutschsprachige Literatur in ihren historischen und gegenwärtigen Erscheinungsformen zu erforschen, zu dokumentieren und im Unterricht zu vermitteln. Unser Fachbereich untergliedert sich in die drei Bereiche Ältere Deutsche Literatur (etwa 500 - 1500), Neuere Deutsche Literatur (ab 1500) sowie in den Bereich Sprachwissenschaft des Deutschen, also die Linguistik. Für weitere Infos zum Fach und zur Geschichte der Germanistik sei auf den entsprechenden Artikel in der Wikipedia verwiesen.

## Essays zur deutschen Literatur

* «Die pilgernde Törin». Eine Humoreske in «Wilhelm Meisters Wanderjahre» .
Zu Goethe:
* Goethes Faust. Eine heitere Tragödie.
* «Die gefährliche Wette». Zum psychologischen Gehalt und zur literarischen Gattung einer Kurzgeschichte Goethes.
* „Was die Welt im Innersten zusammenhält“. Goethe über die geheime Doppelnatur des Menschen.
* Die essayistischen Einschaltungen in Goethes «Dichtung und Wahrheit».
Zu Thomas Mann:
* Das Kapitel «Schnee» in Thomas Manns Roman «Der Zauberberg».
* Erstausgaben Thomas Manns. Ein bibliographischer Atlas.
* Thomas Mann als Aphoristiker
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## Archiv-Übersicht

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* Fachbereich Germanistik/Kolloquium/Archiv/2007
# Geordnete Menge/Induktiv geordnet/Definition/Begriff

Eine induktiv geordnete Menge $(I,\preccurlyeq )$.
# Geordnete Menge/Extremalelemente/Textabschnitt
## Definition

Es sei $(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Menge. Ein Element $x\in I$ heißt maximal (in $I$) oder ein maximales Element (von $I$), wenn es kein Element $y\in I$, $y\neq x$, mit $x\preccurlyeq y$ gibt.

## Definition

Es sei $(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Menge. Ein Element $x\in I$ heißt minimal (in $I$) oder ein minimales Element (von $I$), wenn es kein Element $y\in I$, $y\neq x$, mit $y\preccurlyeq x$ gibt.

## Definition

Es sei $(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Menge. Ein Element $x\in I$ heißt größtes Element von $I$, wenn $y\preccurlyeq x$ für jedes $y\in I$ gilt.

## Definition

Es sei $(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Menge. Ein Element $x\in I$ heißt kleinstes Element von $I$, wenn $x\preccurlyeq y$ für jedes $y\in I$ gilt.

## Definition

Es sei $(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Menge und $J\subseteq I$ eine Teilmenge. Ein Element $s\in I$ heißt obere Schranke für $J$, wenn $y\preccurlyeq s$ für jedes $y\in J$ gilt.

## Definition

Es sei $(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Menge und $J\subseteq I$ eine Teilmenge. Ein Element $s\in I$ heißt untere Schranke für $J$, wenn $s\preccurlyeq x$ für jedes $x\in J$ gilt.

## Definition

Es sei $(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Menge und $J\subseteq I$ eine Teilmenge. Ein Element $s\in I$ heißt Supremum von $J$, wenn $s$ die kleinste obere Schranke von $J$ ist.

## Definition

Es sei $(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Menge und $J\subseteq I$ eine Teilmenge. Ein Element $s\in I$ heißt Infimum von $J$, wenn $s$ die größte untere Schranke von $J$ ist.
# C nach C/Holomorphe Abbildung/Hauptdivisor/Periode/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine nichtkompakte zusammenhängende riemannsche Fläche $X$ zusammen mit einer meromorphen Funktion $f$ mit einem Hauptdivisor der Form $P-Q$ und einer holomorphen Differentialform $\omega$ derart, dass $\int _{\gamma }\omega$ nicht zur Periodengruppe von $\omega$ gehört, wobei $\gamma$ ein Verbindungsweg von $Q$ nach $P$ ist.
# C nach C/Reell-differenzierbar/Komplex-differenzierbar/Ort/1/Aufgabe

Wir betrachten die reell total differenzierbare Abbildung
    $\varphi \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,x+y{\mathrm {i} }\longmapsto x^{2}-y^{2}+xy+{\left(x^{3}-xy+y\right)}{\mathrm {i} }.$
Bestimme die Punkte, in denen $\varphi$ komplex differenzierbar ist.
# C nach C/Reell-differenzierbar/Komplex-differenzierbar/Ort/2/Aufgabe

Wir betrachten die reell total differenzierbare Abbildung
    $\varphi \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,x+y{\mathrm {i} }\longmapsto x^{2}y-y^{3}+xy^{2}+{\left(x^{2}-3xy-2y^{2}\right)}{\mathrm {i} }.$
Bestimme die Punkte, in denen $\varphi$ komplex-differenzierbar ist.
# C nach C/Komplex-differenzierbar/Flächentreu/Charakterisierung/Aufgabe

Charakterisiere diejenigen zweifach komplex differenzierbaren Abbildungen
    $f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },$
die flächentreu sind (das bedeutet, dass die Determinante der reellen Jacobimatrix konstant gleich $1$ ist).
# Kommutatives Binoid/(NxZ/2Z)^Inf/Beispiel

Binoid: $M=(\mathbb {N} \times \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{\infty }$.
Eigenschaften:
Das Binoid ist integer.
Das Binoid ist kürzbar.
Das Binoid ist nicht positiv.
Das Binoid ist semipositiv.
Das Binoid ist nicht torsionsfrei bis auf Nilpotenz.
Dimension: $1$.
Binoidalgebra: $K[M]=K[X,Y]/(Y^{2}-1)$.
# Kommutatives Binoid/(N^Inf)/r=s/Beispiel

Binoid: $M=(\mathbb {N} ^{\infty })/(r=s){\text{, }}1\leq r<s$.
Eigenschaften:
Das Binoid ist integer.
Das Binoid ist nicht kürzbar.
Das Binoid ist positiv.
Das Binoid ist zyklisch.
Dimension: $1$.
Binoidalgebra: $K[M]=K[X]/(X^{r}-X^{s})$.
# Kommutatives Binoid/(N^Inf)x(N^Inf)/Beispiel

Binoid: $M=\mathbb {N} ^{\infty }\times \mathbb {N} ^{\infty }$.
Eigenschaften:
Das Binoid ist nicht boolesch.
Das Binoid ist endlich erzeugt.
Das Binoid ist nicht integer.
Das Binoid ist kürzbar.
Das Binoid ist positiv.
Binoidalgebra: $K[M]=K[X]\times K[Y]\times K[X,Y]$.
# Kommutatives Binoid/(N geq 1^Inf)^n/Beispiel

Binoid: $M=((\mathbb {N} _{\geq 1}^{\infty })^{n})^{0}{\text{, }}n\geq 2$.
Eigenschaften:
Das Binoid ist nicht endlich erzeugt.
# Kommutatives Binoid/(N geq 2)^Inf cup 0 /Beispiel

Binoid: $M=\mathbb {N} _{\geq 2}^{\infty }\cup \{0\}$.
Eigenschaften:
Das Binoid ist endlich erzeugt.
Das Binoid ist integer.
Das Binoid ist kürzbar.
Das Binoid ist positiv.
Dimension: $1$.
# Kommutatives Binoid/(N^Inf)/r=Inf/Beispiel

Binoid: $M=\mathbb {N} ^{\infty }/(m=\infty ){\text{, }}m\geq 2$.
Eigenschaften:
Das Binoid ist positiv.
Das Binoid ist nicht reduziert.
Das Binoid ist zyklisch.
Dimension: $1$.
Binoidalgebra: $K[M]=K[X]/(X^{m})$.
# Kommutatives Binoid/(N^Inf)^3/(x+y=3z)/Beispiel

Binoid: $M=(\mathbb {N} ^{\infty })^{3}/(x+y=3z)$.
Eigenschaften:
Das Binoid ist endlich erzeugt.
Binoidalgebra: $K[M]=K[X,Y,Z]/(XY-Z^{3})$.
# Kommutatives Binoid/(N^Inf)^n/Beispiel

Binoid: $M=(\mathbb {N} ^{\infty })^{n}{\text{, }}n\geq 2$.
Eigenschaften:
Das Binoid ist nicht boolesch.
Das Binoid ist endlich erzeugt.
Das Binoid ist nicht integer.
Das Binoid ist positiv.
Das Binoid ist reduziert.
Das Binoid ist torsionsfrei bis auf Nilpotenz.
Dimension: $2n-1$.
# Kommutatives Binoid/(N^Inf Bipointed union N^Inf)/((k;1)=(l;2) neq Inf)/Beispiel

Binoid: $M=(\mathbb {N} ^{\infty }\bigcup \mathbb {N} ^{\infty })/((k;1)=(l;2)\neq \infty ){\text{, }}k,l\geq 2$.
Eigenschaften:
Das Binoid ist endlich erzeugt.
Binoidalgebra: $K[M]=K[X,Y]/(XY,X^{k}-Y^{l})$.
# Kommutatives Binoid/(Q geq 0,+,0,Inf)/Beispiel

Binoid: $M=(\mathbb {Q} _{\geq 0}^{\infty },+,0,\infty )$.
Eigenschaften:
Das Binoid ist nicht boolesch.
Das Binoid ist nicht endlich erzeugt.
Das Binoid ist nicht semifrei.
Das Binoid ist integer.
Das Binoid ist kürzbar.
Das Binoid ist positiv.
Das Binoid ist nicht separiert.
# Inverse Matrix/Polynomring/1/Aufgabe

Bestimme die inverse Matrix zur Matrix
    ${\begin{pmatrix}1&x\\x^{2}&{\frac {x+1}{x^{2}}}\end{pmatrix}}$
über dem Körper der rationalen Funktionen $\mathbb {R} (X)$.
# Endomorphismus/Minimalpolynom/Charakteristisches Polynom/Textabschnitt
## Korollar

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper $K$ und es sei
    $f\colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung.
Dann ist das charakteristische Polynom $\chi _{f}$ ein Vielfaches des Minimalpolynoms $\mu _{f}$ zu $f$.

### Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt und Fakt.
$\Box$
Insbesondere ist der Grad des Minimalpolynoms zu $\varphi \colon V\rightarrow V$ durch die Dimension des Vektorraums $V$ beschränkt. Minimalpolynom und charakteristisches Polynom stimmen in verschiedener Hinsicht überein, beispielsweise besitzen sie die gleichen Nullstellen.

## Lemma

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper $K$ und es sei
    $f\colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Es sei $v\in V$ ein Eigenvektor von $f$ zum Eigenwert $\lambda$ und es sei $P\in K[X]$ ein Polynom.
Dann ist
Insbesondere ist $v$ ein Eigenvektor von $P(f)$ zum Eigenwert $P(\lambda )$. Der Vektor $v\neq 0$ gehört genau dann zum Kern von $P(f)$, wenn $\lambda$ eine Nullstelle von $P$ ist.

### Beweis

Es ist
    $(f^{k})(v)=\lambda ^{k}v\,.$
Daher folgt alles daraus, dass die Zuordnung $P\mapsto P(f)$ mit der Addition und der Skalarmultiplikation verträglich ist.
$\Box$

## Lemma

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper $K$ und es sei
    $f\colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung.
Dann besitzen das charakteristische Polynom $\chi _{f}$ und das Minimalpolynom $\mu _{f}$ die gleichen Nullstellen.

### Beweis

Dass die Nullstellen des Minimalpolynoms auch Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind, folgt direkt aus Cayley-Hamilton.
Umgekehrt sei $\lambda \in K$ eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms und sei $v\in V$ ein Eigenvektor von $f$ zum Eigenwert $\lambda$, den es nach Fakt gibt. Das Minimalpolynom schreiben wir als
    $\mu _{f}=(X-\lambda _{1})^{m_{1}}\cdots (X-\lambda _{k})^{m_{k}}Q\,,$
wobei $Q$ nullstellenfrei sei. Dann ist
    ${\begin{aligned}0&=\mu _{f}(f)\\&={\left((X-\lambda _{1})^{m_{1}}\cdots (X-\lambda _{k})^{m_{k}}Q\right)}(f)\\&=(f-\lambda _{1}\operatorname {Id} _{V})^{m_{1}}\cdots (f-\lambda _{k}\operatorname {Id} _{V})^{m_{k}}Q(f).\end{aligned}}$
Wir wenden dies auf $v$ an. Nach Fakt bilden die Faktoren den Vektor $v$ auf $(\lambda -\lambda _{i})^{m_{i}}v$ bzw. auf $Q(\lambda )v$ ab. Insgesamt wird somit $v$ auf
    $(\lambda -\lambda _{1})^{m_{1}}\cdots (\lambda -\lambda _{k})^{m_{k}}Q(\lambda )v$
abgebildet. Da die Gesamtabbildung die Nullabbildung und $Q(\lambda )\neq 0$ ist, muss ein $\lambda _{i}=\lambda$ sein.
$\Box$
# Endomorphismus/Minimalpolynom/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und
    $f\colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Dann heißt das eindeutig bestimmte normierte Polynom $\mu _{f}\in K[X]$ minimalen Grades mit
    $\mu _{f}(f)=0\,$
das Minimalpolynom von $f$.

## Korollar

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper $K$ und es sei
    $f\colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung.
Dann ist die Menge
ein Hauptideal im Polynomring $K[X]$, das vom Minimalpolynom $\mu _{f}$ erzeugt wird.

### Beweis

$\Box$

## Beispiel

Zur Identität $\operatorname {Id} _{V}$ auf einem $K$-Vektorraum $V$ ist das Minimalpolynom gleich $X-1$. Dieses geht ja unter dem Einsetzungshomomorphismus auf
    $\operatorname {Id} _{V}-\operatorname {Id} _{V}=0\,.$
Ein konstantes Polynom $a_{0}$ geht auf $a_{0}\operatorname {Id}$, was, außer bei $a_{0}=0$ oder $V=0$, nicht die Nullabbildung ist.
Für eine Streckung, also eine Abbildung der Form $\lambda \operatorname {Id} _{V}$, ist das Minimalpolynom, vorausgesetzt $\lambda \neq 0$ und $V\neq 0$, gleich $X-\lambda$. Für die Nullabbildung auf $V\neq 0$ ist $X$ das Minimalpolynom, bei $V=0$ ist es das konstante Polynom $1$.

## Beispiel

Zu einer Diagonalmatrix
    $M={\begin{pmatrix}d_{1}&0&\cdots &0\\0&d_{2}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&d_{n}\end{pmatrix}}\,$
mit verschiedenen Einträgen $d_{i}$ ist das Minimalpolynom gleich
    $P=(X-d_{1})(X-d_{2})\cdots (X-d_{n})\,.$
Dieses Polynom geht unter der Einsetzung auf
    $(M-d_{1}E_{n})\circ (M-d_{2}E_{n})\circ (M-d_{n}E_{n}).$
Wenden wir darauf den Standardvektor $e_{i}$ an, so wird er von dem Faktor $(M-d_{j}E_{n})$ auf $(d_{i}-d_{j})e_{i}$ abgebildet. Der $i$-te Faktor sichert also, dass $e_{i}$ insgesamt annulliert wird. Da somit eine Basis durch $P(M)$ auf $0$ abgebildet wird, muss es sich insgesamt um die Nullabbildung handeln.
Angenommen, $P$ wäre nicht das Minimalpolynom $\mu$. Dann gibt es nach Fakt ein Polynom $Q$ mit
    $P=Q\mu \,$
und nach Fakt muss $\mu$ ein Teilprodukt der Linearfaktoren von $P$ sein. Sobald man aber einen Faktor von $P$ weglässt, sagen wir $X-d_{i}$, so wird $e_{i}$ durch die zugehörige Abbildung nicht mehr annulliert.

## Beispiel

Zur Matrix
    $M={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\,$
ist $X^{2}$ das Minimalpolynom. Dieses Polynom wird beim Einsetzen zur Nullabbildung, wegen
    $M^{2}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}\,.$
Die Teiler von $X^{2}$ von kleinerem Grad sind konstante Polynome $\neq 0$ und $a_{1}X$ mit $a_{1}\neq 0$, aber diese Polynome annullieren nicht $M$.
# Endomorphismus/Nicht bijektiv/Bildmaß nicht sigmaendlich/Aufgabe

Es sei
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
ein linearer Endomorphismus, der nicht bijektiv sei. Zeige, dass das Bildmaß $\varphi _{*}\lambda ^{n}$ nicht $\sigma$-endlich ist.
# Differenzierbare Funktion/Intervall/Konvexität und Ableitung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise die Charakterisierung mit Ableitungen von konvexen Funktionen $f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$.
# Differenzierbare Funktion/Intervall/Konvexität und Ableitung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei zunächst $f$ konvex und seien zwei Punkte $a<b$ aus $I$ gegeben. Es sei $g\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ die lineare Funktion, die $(a,f(a))$ und $(b,f(b))$ verbindet. Aufgrund der Konvexität ist $f(x)\leq g(x)$ für alle $x\in [a,b]$. Für die Differenzenquotienten gilt daher
    ${\begin{aligned}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}&\leq {\frac {g(x)-f(a)}{x-a}}\\&={\frac {g(x)-g(a)}{x-a}}\\&={\frac {g(b)-g(a)}{b-a}}\\&={\frac {g(b)-g(x)}{b-x}}\\&={\frac {f(b)-g(x)}{b-x}}\\&\leq {\frac {f(b)-f(x)}{b-x}}.\end{aligned}}$
Durch Übergang zu den Limiten für $x\rightarrow a$ bzw. $x\rightarrow b$ folgt
    $f'(a)\leq {\frac {g(b)-g(a)}{b-a}}\leq f'(b)\,.$
Es sei nun $f$ als nicht konvex vorausgesetzt und seien zwei Punkte $a<b$ aus $I$ mit der Eigenschaft gegeben, dass die verbindende Gerade von $(a,f(a))$ und $(b,f(b))$ nicht vollständig oberhalb des Graphen von $f$ verläuft. Es gibt also ein $c\in [a,b]$ mit $g(c)<f(c)$, wobei wieder $g$ die verbindende lineare Funktion ist. Durch Übergang zu $f-g$ können wir $f(a)=f(b)=0$ und $f(c)>0$ annehmen. Nach dem Mittelwertsatz gibt es Punkte $s\in [a,c]$ und $t\in [c,b]$ mit $f'(s)>0$ und $f'(t)<0$,
$f'$
# Differenzierbare Funktion/Intervall/Konvexität und zweite Ableitung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine zweimal differenzierbare Funktion. Zeige, dass $f$ genau dann eine konvexe Funktion ist, wenn für die zweite Ableitung $f^{\prime \prime }(x)\geq 0$ für alle $x\in I$ gilt.
# Differenzierbare Funktion/Invariant unter Multiplikation mit Skalar/Ableitung/Aufgabe

Es sei $a\in {\mathbb {C} }$ $a\neq 0$, und es sei
    $f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto f(z),$
eine differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft, dass die Gleichheit $f(az)=f(z)$ für alle $z\in {\mathbb {C} }$ gelte. Zeige, dass die Ableitung die Beziehung $f'(az)=a^{-1}f'(z)$ erfüllt.
# Differenzierbare Funktion/Intervall/Konvexität und Ableitung/Fakt/Name

Der Satz über die differentielle Charakterisierung von konvexen Funktionen.
# Fallende Funktion/Uneigentliches Integral und Reihe/Vergleichskriterium/Fakt/Name

Das Vergleichskriterium für eine fallende Funktion
    $[0,+\infty [\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}.$
# Fallstudien

Selbstorganisiertes Lernen mit Lernzeitoptimierung
Beispiele für selbstgesteuertes Lernen
Fallstudie: Mathematik selbstgesteuert lernen
Fallstudie: Mathematik selbstgesteuert Lernen, html-Version
Notebookeinsatz beim selbstgestuerten Lernen
Selbstgesteuertes Lernen
# Familie komplexer Zahlen/Cauchy-Familie/Definition/Begriff

Eine Cauchy-Familie $a_{i}$, $i\in I$, von komplexen Zahlen.
# Familie/Alter/Lineares Gleichungssystem/2/Aufgabe

Eine Mutter ist $21$ Jahre älter als ihr Kind und in $6$ Jahren wird das Kind $5$ mal jünger sein, als die Mutter. Wo ist der Vater?
# Fallende Funktion/Uneigentliches Integral und Reihe/Vergleichskriterium/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wenn das uneigentliche Integral existiert, so betrachten wir die Abschätzung
    $\sum _{n=2}^{k}f(n)\leq \int _{1}^{k}f(t)\,dt\,,$
die darauf beruht, dass die linke Seite das Treppenintegral zu einer unteren Treppenfunktion für $f$ auf $[1,k]$ ist. Da die rechte Seite beschränkt ist, gilt dies auch für die linke Seite, sodass wegen $f(n)\geq 0$ die Reihe konvergiert. Ist umgekehrt die Reihe konvergent, so betrachten wir die Abschätzung
    $\int _{1}^{k}f(t)\,dt\leq \sum _{n=1}^{k-1}f(n)\,,$
die gilt, da die rechte Seite das Treppenintegral zu einer oberen Treppenfunktion ist. Wegen $f(t)\geq 0$ ist die Integralfunktion $x\mapsto \int _{1}^{x}f(t)\,dt$ wachsend und beschränkt, da die rechte Seite wegen der Konvergenz der Reihe beschränkt ist. Daher besitzt die Integralfunktion für $x\mapsto \infty$ einen Grenzwert
# Endomorphismus/Diagonalisierbar/Algebraische und geometrische Vielfachheit/Fakt/Name

Der Satz über Diagonalisierbarkeit und Vielfachheiten.
# Gebiet/Holomorphe Funktion/Minimumsprinzip/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wegen
    $\vert {f(z)}\vert \geq \vert {f(a)}\vert >0\,$
ist $f$ auf $G$ invertierbar. Es gilt
    $\vert {\frac {1}{f(z)}}\vert ={\frac {1}{\vert {f(z)}\vert }}\leq {\frac {1}{\vert {f(a)}\vert }}=\vert {\frac {1}{f(a)}}\vert \,.$
Man kann daher das Maximumsprinzip
${\frac {1}{f}}$
# Gebiet/Holomorphe Funktion/Maximumsprinzip/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise das Maximumsprinzip für holomorphe Funktionen.
# Gebiet/Holomorphe Funktion/Maximumsprinzip/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir zeigen, dass $f$ in einer offenen Kreisscheibenumgebung von $a$ konstant ist und daher wegen Fakt überhaupt konstant ist. Es sei
    $B\left(a,r\right)\subseteq U\,.$
Mit Fakt ist dann
    ${\begin{aligned}\vert {f(a)}\vert &=\vert {{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f{\left(a+re^{{\mathrm {i} }t}\right)}dt}\vert \\&\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\vert {f{\left(a+re^{{\mathrm {i} }t}\right)}}\vert dt\\&\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\vert {f(a)}\vert dt\\&=\vert {f(a)}\vert ,\end{aligned}}$
daher muss hier sogar überall Gleichheit gelten. Dies bedeutet insbesondere
    $\int _{0}^{2\pi }\vert {f(a)}\vert -\vert {f{\left(a+re^{{\mathrm {i} }t}\right)}}\vert dt=0\,,$
wobei der Integrand wegen der Maximumsbedingung nichtnegativ ist. Dann ist aber nach Aufgabe der Integrand bereits konstant gleich $0$. Dies gilt auch für jeden Radius $\leq r$, und daher ist überhaupt $\vert {f(z)}\vert =\vert {f(a)}\vert$ in einer offenen Umgebung von $a$. Aus Fakt
$f$
# Gebiet/Holomorphe Funktion/Maximumsprinzip/Fakt/Name

Das Maximumsprinzip für holomorphe Funktionen.
# Kosinus hyperbolicus/Monotonieverhalten/Aufgabe

Zeige, dass der Kosinus hyperbolicus auf $\mathbb {R} _{\leq 0}$ streng fallend und auf $\mathbb {R} _{\geq 0}$ streng wachsend ist.
# Kosinus hyperbolicus/R/Potenzreihe/Ungerade Koeffizienten 0/Aufgabe

Zeige, dass in der Potenzreihe $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}$ des Kosinus hyperbolicus die Koeffizienten $c_{n}$ für ungerades $n$ gleich $0$ sind.
# Kosinus vom Logarithmus/Erste und zweite Ableitung/Aufgabe

Wir betrachten die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=\cos(\ln x).$
a) Bestimme die Ableitung $f'$.
b) Bestimme die zweite Ableitung $f^{\prime \prime }$.
# Kosinusfunktion/Komplex/Reelle Nullstellen/Aufgabe

Zeige, dass die Kosinusfunktion
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \cos z,$
nur reelle Nullstellen besitzt.
# Ebene projektive Kurve/Abbildung nach P^1 über Projektion von einem Punkt/Fakt/Name

Der Satz über die noethersche Normalisierung für projektive Kurven.