OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Gruppe/Lösbarkeit von Gleichungen/Fakt/Beweis

Wir betrachten die linke Gleichung. Aus beidseitiger Multiplikation mit $a^{-1}$ (bzw. mit $a$) von links folgt, dass nur
    $x=a^{-1}\circ b\,$
als Lösung in Frage kommt. Wenn man dies einsetzt, so sieht man, dass es sich in der Tat um eine Lösung handelt.
# Kommutative Ringtheorie/Einheiten/Assoziiert/Definition

Zwei Elemente $a$ und $b$ eines kommutativen Ringes $R$ heißen assoziiert, wenn es eine Einheit $u\in R$ derart gibt, dass $a=ub$ ist.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Tate-Modul/Isomorphismus mit Z^2/Aufgabe

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter und $E={\mathbb {C} }/\Gamma$ der zugehörige komplexe Torus. Es sei $\ell$ eine Primzahl. Zeige, dass ein Isomorphismus $\Gamma \cong \mathbb {Z} ^{2}$ einen Isomorphismus
    $T_{\ell }(E)\cong {\hat {\mathbb {Z} }}_{\ell }\times {\hat {\mathbb {Z} }}_{\ell }\,$
induziert.
# Gruppe/Normalteiler/Restklassengruppe/Fakt/Beweis

Da die kanonische Projektion zu einem Gruppenhomomorphismus werden soll, muss die Verknüpfung durch
    $[x][y]=[xy]\,$
gegeben sein. Wir müssen also zeigen, dass durch diese Vorschrift eine wohldefinierte Verknüpfung auf $G/H$ definiert ist, die unabhängig von der Wahl der Repräsentanten ist. D.h. wir haben für $[x]=[x']$ und $[y]=[y']$ zu zeigen, dass $[xy]=[x'y']$ ist. Nach Voraussetzung können wir $x'=xh$ und $hy'={\tilde {h}}y=yh'$ mit $h,{\tilde {h}},h'\in H$ schreiben. Damit ist
    $x'y'=(xh)y'=x(hy')=x(yh')=xyh'\,.$
Somit ist $[xy]=[x'y']$. Aus der Wohldefiniertheit der Verknüpfung auf $G/H$ folgen die Gruppeneigenschaften, die Homomorphieeigenschaft der Projektion und die Eindeutigkeit.
# Kommutative Ringtheorie/Erzwingende Algebra/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei ${\mathfrak {a}}=(f_{1},\ldots ,f_{n})$ ein endlich erzeugtes Ideal. Es sei $f\in R$ ein weiteres Element. Dann nennt man die $R$-Algebra
    $A=R[T_{1},\ldots ,T_{n}]/(f_{1}T_{1}+\cdots +f_{n}T_{n}+f)\,$
die erzwingende Algebra zu den $f_{1},\ldots ,f_{n},f$.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Tate-Modul/Streckung/Isogenie/Determinante/Aufgabe

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter und $E={\mathbb {C} }/\Gamma$ der zugehörige komplexe Torus. Es sei $s\in {\mathbb {C} }$, $s\neq 0$, mit $s\Gamma \subseteq \Gamma$ und es sei
    $\varphi \colon E\longrightarrow E$
die zugehörige Isogenie. Zeige, dass der Grad von $\varphi$ mit der Determinante von
    $s\colon \Gamma \longrightarrow \Gamma$
und mit der Determinante des zugehörigen Endomorphismus des Tate-Moduls
    $\varphi _{\ell }\colon T_{\ell }(E)\longrightarrow T_{\ell }(E)$
für jede Primzahl $\ell$ übereinstimmt.
# Normale endliche Körpererweiterung/Konjugierte Elemente und Automorphismus/Fakt

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche normale Körpererweiterung und es seien $\alpha ,\beta \in L$.
Dann sind $\alpha$ und $\beta$ genau dann konjugiert, wenn es einen $K$-Automorphismus $\varphi \colon L\rightarrow L$ mit $\varphi (\alpha )=\beta$ gibt.
# Gruppe/Potenzgesetze/Fakt/Beweis

(1) folgt aus Aufgabe, da $K\setminus \{0\}$ eine Gruppe ist. (2). Bei $n\in \mathbb {N}$ ist die linke Gleichheit eine Definition und die Behauptung folgt aus
    ${\left(a^{-1}\right)}^{n}\cdot a^{n}={\left(a^{-1}a\right)}^{n}=1^{n}=1\,.$
Daraus folgt auch die Aussage für negatives $n$. Für (3), (4) siehe Aufgabe.
# Kommutative Ringtheorie/Euklidischer Bereich/Definition

Ein euklidischer Bereich
(oder euklidischer Ring ) ist ein Integritätsbereich $R$, für den eine Abbildung $\delta \colon R\setminus \{0\}\rightarrow \mathbb {N}$ existiert, die die folgende Eigenschaft erfüllt:
Für Elemente $a,b$ mit $b\neq 0$ gibt es $q,r\in R$ mit
    $a=qb+r{\text{ und }}r=0{\text{ oder }}\delta (r)<\delta (b).$
# Gitter/Komplexe Zahlen/Torsionsuntergruppe/Aufgabe

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter und $E={\mathbb {C} }/\Gamma$ der zugehörige komplexe Torus. Zeige, dass die Torsionsuntergruppe zur Ordnung $m$ von $E$ in kanonischer Weise isomorph zur Restklassengruppe ${\frac {1}{m}}\Gamma /\Gamma$ ist, und das diese wiederum isomorph zu $\Gamma /m\Gamma$ ist.
# Normale endliche Körpererweiterung/Verhalten unter Kompositum/Fakt

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche normale Körpererweiterung und sei $K\subseteq K'$ eine weitere Körpererweiterung mit dem gemeinsamen Oberkörper $M$, in dem das Kompositum $L'=LK'$ gebildet sei.
Dann ist $K'\subseteq L'$ ebenfalls eine normale Körpererweiterung.
# Gruppenhomomorphismus/Bild ist Untergruppe/Fakt/Beweis

Es sei $B:=\operatorname {bild} \varphi$. Dann ist $e_{H}=\varphi (e_{G})\in B$. Es seien $h_{1},h_{2}\in B$. Dann gibt es $g_{1},g_{2}\in G$ mit $\varphi (g_{1})=h_{1}$ und $\varphi (g_{2})=h_{2}$. Damit ist $h_{1}\cdot h_{2}=\varphi (g_{1})\cdot \varphi (g_{2})=\varphi (g_{1}\cdot g_{2})\in B$. Ebenso gibt es für $h\in B$ ein $g\in G$ mit $\varphi (g)=h$. Somit ist $h^{-1}=(\varphi (g))^{-1}=\varphi (g^{-1})\in B$.
# Kommutative Ringtheorie/Faktorieller Bereich/Über prim/Definition

Ein Integritätsbereich heißt faktorieller Bereich, wenn jede Nichteinheit $f\neq 0$ sich als ein Produkt von Primelementen schreiben lässt.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Untergitter durch Erzeuger/Isogenie/Kern/Aufgabe

Es sei $\Gamma =\mathbb {Z} u+\mathbb {Z} v\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter und sei $\Gamma '=\mathbb {Z} (mu)+\mathbb {Z} (nv)\subseteq \Gamma$ mit $m,n\in \mathbb {N} _{+}$. Bestimme den Kern (mit Anzahl) der Isogenie ${\mathbb {C} }/\Gamma '\rightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma$.
# Normale endliche Körpererweiterung/Zwischenkörper/Charakterisierung von normal über Grundkörper durch Automorphismen/Fakt

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche normale Körpererweiterung und sei $M$, $K\subseteq M\subseteq L$, ein Zwischenkörper.
Dann ist $K\subseteq M$ genau dann normal, wenn für jeden $K$-Algebraautomorphismus
die Beziehung $\varphi (M)\subseteq M$ gilt.
# Gruppenhomomorphismus/Homomorphiesatz/Surjektiv und Kern/Fakt/Beweis

Wir zeigen zuerst die Eindeutigkeit. Für jedes Element $u\in Q$ gibt es mindestens ein $g\in G$ mit $\psi (g)=u$. Wegen der Kommutativität des Diagramms muss
    ${\tilde {\varphi }}(u)=\varphi (g)\,$
gelten. Das bedeutet, dass es maximal ein ${\tilde {\varphi }}$ geben kann. Wir haben zu zeigen, dass durch diese Bedingung eine wohldefinierte Abbildung gegeben ist. Es seien also $g,g'\in G$ zwei Urbilder von $u$. Dann ist
    $\psi {\left(g'g^{-1}\right)}=uu^{-1}=e_{Q}\,$
und somit ist $g'g^{-1}\in \operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi$. Daher ist $\varphi (g)=\varphi (g')$. Die Abbildung ist also wohldefiniert. Seien $u,v\in Q$ und seien $g,h\in G$ Urbilder davon. Dann ist $gh$ ein Urbild von $uv$ und daher ist
    ${\tilde {\varphi }}(uv)=\varphi (gh)=\varphi (g)\varphi (h)={\tilde {\varphi }}(u){\tilde {\varphi }}(v)\,.$
D.h. ${\tilde {\varphi }}$ ist ein Gruppenhomomorphismus.
# Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganz-abgeschlossen/Definition

Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe und $R\subseteq S$ eine Ringerweiterung. Man nennt $R$ ganz-abgeschlossen in $S$, wenn der ganze Abschluss von $R$ in $S$ gleich $R$ ist.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Untergitter durch Erzeuger/Kernanzahl/Determinante/Aufgabe

Es sei $\Gamma =\mathbb {Z} u+\mathbb {Z} v\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter und sei $\Gamma '=\langle au+bv,cu+dv\rangle \subseteq \Gamma$ ein Untergitter. Zeige, dass die Anzahl von $\Gamma /\Gamma '$ gleich dem Betrag der Determinante von ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ ist.
# Normale Körpererweiterung/Charakterisierung mit Nullstellen/Fakt

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
# Gruppenhomomorphismus/Injektivität und Kern/Fakt/Beweis

Wenn $\varphi$ injektiv ist, so darf auf jedes Element $h\in H$ höchstens ein Element aus $G$ gehen. Da $e_{G}$ auf $e_{H}$ geschickt wird, darf kein weiteres Element auf $e_{H}$ gehen, d.h. $\ker \varphi =\{e_{G}\}$. Es sei umgekehrt dies der Fall und sei angenommen, dass $g,{\tilde {g}}\in G$ beide auf $h\in H$ geschickt werden. Dann ist
    $\varphi {\left(g{\tilde {g}}^{-1}\right)}=\varphi (g)\varphi ({\tilde {g}})^{-1}=hh^{-1}=e_{H}\,$
und damit ist $g{\tilde {g}}^{-1}\in \operatorname {kern} \varphi$, also $g{\tilde {g}}^{-1}=e_{G}$ nach Voraussetzung und damit $g={\tilde {g}}$.
# Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganze Algebra/Definition

Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe und sei $R\subseteq S$ eine Ringerweiterung. Dann heißt $S$ ganz über $R$, wenn jedes Element $x\in S$ ganz über $R$ ist.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Untergitter/Topologische Überlagerung/Typ/Aufgabe

Bestimme die topologische Gestalt der Überlagerungen
    ${\mathbb {C} }/\Gamma _{1}\cong S^{1}\times S^{1}\longrightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma _{2}\cong S^{1}\times S^{1}$
zu einem Untergitter $\Gamma _{1}\subseteq \Gamma _{2}\subseteq {\mathbb {C} }$.
# Gruppenhomomorphismus/Inverses auf Inverses/Fakt/Beweis

Zum Beweis der ersten Aussage betrachten wir
    $\varphi (e_{G})=\varphi (e_{G}e_{G})=\varphi (e_{G})\varphi (e_{G})\,.$
Durch Multiplikation mit $\varphi (e_{G})^{-1}$ folgt $e_{H}=\varphi (e_{G})$.
Zum Beweis der zweiten Behauptung verwenden wir
    $\varphi {\left(g^{-1}\right)}\varphi (g)=\varphi {\left(g^{-1}g\right)}=\varphi (e_{G})=e_{H}\,.$
Das heißt, dass $\varphi {\left(g^{-1}\right)}$ die Eigenschaft besitzt, die für das Inverse von $\varphi (g)$ charakteristisch ist. Da das Inverse in einer Gruppe nach Fakt eindeutig bestimmt ist, muss $\varphi {\left(g^{-1}\right)}=(\varphi (g))^{-1}$ gelten.
# Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganzer Abschluss/Definition

Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe und $R\subseteq S$ eine Ringerweiterung. Dann nennt man die Menge der Elemente $x\in S$, die ganz über $R$ sind, den ganzen Abschluss von $R$ in $S$.
# Gitter/Tate-Modul/Zusammenhang/Aufgabe

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter und
    $E={\mathbb {C} }/\Gamma \,$
der zugehörige komplexe Torus, aufgefasst als elliptische Kurve. Beschreibe, inwiefern das Gitter $\Gamma$ mit den Tate-Moduln $T_{\ell }(E)$ ($\ell$ Primzahl) zusammenhängt.
# Normaler Integritätsbereich/Quotientenkörper/Einheitswurzeln/Fakt

Es sei $R$ ein normaler Integritätsbereich mit Quotientenkörper $Q(R)$.
Dann ist $\mu _{\left(R\right)}=\mu _{\left(Q(R)\right)}$.
# Gruppenhomomorphismus/Surjektiv und Restklassengruppe/Fakt/Beweis

Wir wenden Fakt auf $Q=G/\operatorname {kern} \varphi$ und die kanonische Projektion $q\colon G\rightarrow G/\operatorname {kern} \varphi$ an. Dies induziert einen Gruppenhomomorphismus
    ${\tilde {\varphi }}\colon G/\operatorname {kern} \varphi \longrightarrow H$
mit $\varphi ={\tilde {\varphi }}\circ q$, der surjektiv ist. Sei $[x]\in G/\operatorname {kern} \varphi$ und $[x]\in \operatorname {kern} {\tilde {\varphi }}$. Dann ist
    ${\tilde {\varphi }}([x])=\varphi (x)=e_{H}\,,$
also $x\in \operatorname {kern} \varphi$. Damit ist $[x]=e_{Q}$, d.h. der Kern von ${\tilde {\varphi }}$ ist trivial und nach Fakt ist ${\tilde {\varphi }}$ auch injektiv.
# Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganzes Element/Definition

Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe und $R\subseteq S$ eine Ringerweiterung. Ein Element $x\in S$ heißt ganz
(über $R$), wenn $x$ eine Ganzheitsgleichung mit Koeffizienten aus $R$ erfüllt.
# Gitter/Torus/Elliptische Kurve/Invarianten/Aufgabe

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter in ${\mathbb {C} }$ mit dem Torus ${\mathbb {C} }/\Gamma$ und der zugehörigen elliptischen Kurve aus Fakt. Zeige, dass die Festlegungen in Definition und Definition mit den Festlegungen in Definition und Definition übereinstimmen.
# Normaler noetherscher Bereich/Divisorenklassengruppe/Faktoriell/Fakt

Es sei $R$ ein normaler noetherscher Integritätsbereich und es bezeichne $\operatorname {DKG} {\left(R\right)}$ die Divisorenklassengruppe von $R$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
* $R$ ist faktoriell.
* Jedes Primideal der Höhe $1$ ist ein Hauptideal.
* Jeder Divisor ist ein Hauptdivisor.
* Es ist $\operatorname {DKG} {\left(R\right)}=0$.
# Gruppenhomomorphismus/Z nach Gruppe/Fakt/Beweis

Es sei $g\in G$ fixiert. Dass die Abbildung
    $\varphi _{g}\colon \mathbb {Z} \longrightarrow G,\,n\longmapsto g^{n},$
ein Gruppenhomomorphismus ist, ist eine Umformulierung der Potenzgesetze. Wegen $\varphi _{g}(1)=g^{1}=g$ erhält man aus der Potenzabbildung das Gruppenelement zurück. Umgekehrt ist ein Gruppenhomomorphismus $\varphi \colon \mathbb {Z} \rightarrow G$ durch $\varphi (1)$ eindeutig festgelegt, da $\varphi (n)=(\varphi (1))^{n}$ für $n$ positiv und $\varphi (n)={\left((\varphi (1))^{-1}\right)}^{-n}$ für $n$ negativ gelten muss.
# Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganzheitsgleichung/Definition

Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe und sei $R\subseteq S$ eine Ringerweiterung. Für ein Element $x\in S$ heißt eine Gleichung der Form
    $x^{n}+r_{n-1}x^{n-1}+r_{n-2}x^{n-2}+\cdots +r_{1}x+r_{0}=0\,,$
wobei die Koeffizienten $r_{i},\,i=0,\ldots ,n-1$, zu $R$ gehören, eine Ganzheitsgleichung für $x$.
# Gitter/Weierstraßfunktion/Zweite Ableitung/Aufgabe

Es sei $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter in ${\mathbb {C} }$ und $\wp$ die zugehörige Weierstraßsche Funktion. Drücke $\wp ^{\prime \prime }$ als rationale Kombination in $\wp$ und $\wp '$ aus.
# Normaler noetherscher Bereich/Durchschnitt/Lokalisierungen zur Höhe 1/Fakt

Es sei $R$ ein normaler noetherscher Integritätsbereich.
Dann ist
wobei ${\mathfrak {p}}$ über alle Primideale ${\mathfrak {p}}$ der Höhe $1$ von $R$ läuft.
# Gruppenoperation/Integritätsbereich/Fundamentale Eigenschaften/Fakt/Beweis

(1) ist wegen $R^{G}\subseteq R$ klar. (2). Es sei $K=Q(R)$ der Quotientenkörper von $R$. Zu jedem $\sigma \in G$ setzt sich der Ringautomorphismus $f\mapsto f\sigma$ aufgrund der universellen Eigenschaft der Nenneraufnahme zu einem Körperautomorphismus ${\frac {f}{g}}\mapsto {\frac {f\sigma }{g\sigma }}$ fort. (3). Ein Element aus dem Quotientenkörper $Q{\left(R^{G}\right)}$ hat die Form ${\frac {f}{g}}$ mit invarianten Elementen $f,g\in R^{G}$. Es ist also insbesondere invariant unter der induzierten Operation auf $K$. Daher gilt $Q{\left(R^{G}\right)}\subseteq (Q(R))^{G}$. (4). Die Inklusion $R^{G}\subseteq R\cap Q(R)^{G}$ ist direkt klar. Die andere Inklusion ergibt sich, da die Operation von $G$ auf $Q(R)$ eingeschränkt auf $R$ die ursprüngliche Operation ist. Wenn also $f\in R$ ist und aufgefasst in $Q(R)$ invariant ist, so ist es überhaupt invariant.
# Kommutative Ringtheorie/Hauptideal/Definition

Ein Ideal ${\mathfrak {a}}$ in einem kommutativen Ring $R$ der Form
    ${\mathfrak {a}}=(a)=Ra=\{ra:\,r\in R\}\,$
heißt Hauptideal.
# Glatte ebene projektive Kurve/Homogener Quotient/Hauptdivisor/Berechnung/Aufgabe

Es sei $C=V_{+}(F)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ eine glatte projektive Kurve und seien $H,G\in K[X,Y,Z]$ homogene Polynome vom Grad $d$. Es seien $G$ und $H$ keine Vielfache von $F$ und es sei $q={\frac {H}{G}}$ die zugehörige rationale Funktion im Funktionenkörper der Kurve. Es sei
    $C\cap V_{+}(G)=\sum _{P}m_{P}P\,$
und
    $C\cap V_{+}(H)=\sum _{P}n_{P}P\,,$
wobei $m_{P}$ bzw. $n_{P}$ die Schnittmultiplizitäten bezeichnen. Zeige, dass für den Hauptdivisor zu $q$ auf $C$ die Gleichheit
    $\operatorname {div} {\left(q\right)}=\sum _{P}(m_{P}-n_{P})P\,$
gilt.
# Normaler noetherscher Bereich/Ordnung an Primstelle/Erste Eigenschaften/Fakt

Es sei $R$ ein normaler noetherscher Integritätsbereich und ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal in $R$ der Höhe $1$. Dann hat die Ordnung an ${\mathfrak {p}}$, also die Abbildung
    $R\setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {N} ,\,f\longmapsto \operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f),$
folgende Eigenschaften.
* $\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(fg)=\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)+\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(g)$.
* $\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f+g)\geq \min\{\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f),\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(g)\}$.
* $f\in {\mathfrak {p}}$ genau dann, wenn $\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)\geq 1$.
# Gruppentheorie (Algebra)/Satz von Lagrange/Fakt/Beweis

Betrachte die Linksnebenklassen $gH:={\left\{gh\mid h\in H\right\}}$ für sämtliche $g\in G$. Es ist
    $H\longrightarrow gH,\,h\longmapsto gh,$
eine Bijektion zwischen $H$ und $gH$, sodass alle Nebenklassen gleich groß sind (und zwar ${\#\left(H\right)}$ Elemente haben). Die Nebenklassen bilden (als Äquivalenzklassen) zusammen eine Zerlegung von $G$, sodass ${\#\left(G\right)}$ ein Vielfaches von ${\#\left(H\right)}$ sein muss.
# Kommutative Ringtheorie/Ideal/Definition

Eine Teilmenge ${\mathfrak {a}}$ eines kommutativen Ringes $R$ heißt Ideal, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
* $0\in {\mathfrak {a}}$.
* Für alle $a,b\in {\mathfrak {a}}$ ist auch $a+b\in {\mathfrak {a}}$.
* Für alle $a\in {\mathfrak {a}}$ und $r\in R$ ist auch $ra\in {\mathfrak {a}}$.
# Glatte Kurven/Algebraisch abgeschlossen/Morphismus/Endlich/Faser/Verzweigungsordnung/Aufgabe

Es seien $C$ und $D$ irreduzible glatte Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ und sei
    $\varphi \colon C\longrightarrow D$
eine nichtkonstante Abbildung. Es sei $Q\in C$ und $\varphi (Q)=P$. Zeige
    $\operatorname {Verz} {\left(Q{|}P\right)}=\dim _{K}{\left({\mathcal {O}}_{C,Q}/{\mathfrak {m}}_{P}{\mathcal {O}}_{C,Q}\right)}\,.$
# Normaler noetherscher Bereich/Teilbarkeit/Höhe 1/Fakt

Es sei $R$ ein normaler noetherscher Integritätsbereich und seien $f,g\in R$.
Dann ist $g\in fR$ genau dann, wenn $g\in fR_{\mathfrak {p}}$ für jedes Primideal ${\mathfrak {p}}$ der Höhe $1$ von $R$ gilt.
# Gruppentheorie/Elementordnung vom Produkt/Fakt/Beweis

Sei $(xy)^{k}=1$. Wir haben zu zeigen, dass $k$ ein Vielfaches von $nm$ ist. Es ist
    $1={\left(x^{k}y^{k}\right)}^{n}=x^{kn}y^{kn}=y^{kn}\,,$
da ja $n$ die Ordnung von $x$ ist. Aus dieser Gleichung erhält man, dass $kn$ ein Vielfaches der Ordnung von $y$, also von $m$ sein muss. Da $n$ und $m$ teilerfremd sind, folgt aus Fakt, dass $k$ ein Vielfaches von $m$ ist. Ebenso ergibt sich, dass $k$ ein Vielfaches von $n$ ist, sodass $k$, wieder aufgrund der Teilerfremdheit, ein Vielfaches von $nm$ sein muss.
# Kommutative Ringtheorie/Idealtheorie/Endlich Erzeugtes Ideal/Definition

Zu einer Familie von Elementen $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\in R$ in einem kommutativen Ring $R$ bezeichnet $(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})$ das von diesen Elementen erzeugte Ideal. Es besteht aus allen Linearkombinationen
    $r_{1}a_{1}+r_{2}a_{2}+\cdots +r_{n}a_{n},$
wobei $r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}\in R$ sind.
# Gradientenfeld/Potential/Eindeutig/Vereinigung sternförmiger Mengen/Aufgabe

* Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine zusammenhängende offene Menge und sei $G\colon U\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ ein Gradientenfeld auf $U$. Zeige, dass das Potential zu $G$ bis auf eine Konstante eindeutig bestimmt ist.
* Es seien $S,T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offene sternförmige Mengen mit der Eigenschaft, dass $S\cap T$ zusammenhängend ist. Es sei ein stetig differenzierbares Vektorfeld, das die Integrabilitätsbedingung erfüllt. Zeige, dass $G$ ein Gradientenfeld ist.
    $G\colon S\cup T\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
# Normaler torischer Monoidring/Graduierung/Invariantenring/Zusammenhang/K algebraisch abgeschlossen Charakteristik 0/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik $0$. Für eine kommutative $K$-Algebra $R$ sind folgende Aussagen äquivalent.
# Gruppentheorie/Endlich/Ordnung/Verschieden/Fakt/Beweis

Da $G$ endlich ist, muss es unter den Potenzen zu den positiven Exponenten
    $g^{1},\,g^{2},\,g^{3},\ldots$
eine Wiederholung geben, sagen wir $g^{m}=g^{n}$ mit $m<n$. Wir multiplizieren diese Gleichung mit $g^{-m}$ und erhalten
    $g^{n-m}=g^{m}g^{-m}=(g^{1}g^{-1})^{m}=e_{G}^{m}=e_{G}\,.$
Also ist die Ordnung von $g$ maximal gleich $n-m$. Mit dem gleichen Argument kann man die Annahme, dass es unterhalb der Ordnung zu einer Wiederholung kommt, zum Widerspruch führen.
# Kommutative Ringtheorie/Idealtheorie/Erzeugtes Ideal/Definition

Zu einer Familie von Elementen $a_{j}\in R$, $j\in J$, in einem kommutativen Ring $R$ bezeichnet $(a_{j}:j\in J)$ das von den $a_{j}$ erzeugte Ideal. Es besteht aus allen (endlichen) Linearkombinationen
    $\sum _{j\in J_{0}}r_{j}a_{j},$
wobei $J_{0}\subseteq J$ eine endliche Teilmenge und $r_{j}\in R$ ist.
# Grenzwert/Funktion/sin x^2 durch sin 2x/Aufgabe

Bestimme den Grenzwert der Funktion $f(x)={\frac {\sin \left(x^{2}\right)}{\sin \left(2x\right)}}$ für $x\rightarrow 0$.
# Normales Schema/Affine Eigenschaft/Fakt

Für ein Schema $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ sind folgende Eigenschaften äquivalent.
# Gruppentheorie/Isomorphiesatz für Restklassengruppen/Fakt/Beweis

Für die erste Aussage siehe Aufgabe. Damit ist die Restklassengruppe $Q/{\overline {H}}$ wohldefiniert. Wir betrachten die Komposition
    $p\circ q:G\longrightarrow Q\longrightarrow Q/{\overline {H}}.$
Wegen
    ${\begin{aligned}\operatorname {kern} \left(p\circ q\right)&={\left\{x\in G\mid (p\circ q)(x)=e\right\}}\\&={\left\{x\in G\mid q(x)\in \operatorname {kern} p\right\}}\\&={\left\{x\in G\mid q(x)\in {\overline {H}}\right\}}\\&=H\end{aligned}}$
ist $\operatorname {kern} \left(p\circ q\right)=H$. Daher ergibt Fakt die kanonische Isomorphie
    $G/H\longrightarrow Q/{\overline {H}}.$
# Kommutative Ringtheorie/Idempotentes Element/Definition

Ein Element $e$ eines kommutativen Ringes heißt idempotent, wenn $e^{2}=e$ gilt.
# Gruppen/Exakte Sequenz/Diskrete Topologie/Garbenversion/Aufgabe

Es sei
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,F\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,G\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,H\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
eine kurze exakte Sequenz von kommutativen Gruppen, die wir alle mit der diskreten Topologie versehen. Zeige, dass dann für jeden topologischen Raum $X$ die zugehörige Sequenz der Garben der stetigen Abbildungen in diese Gruppen (also die lokal konstanten Abbildungen), also
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,F)\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,G)\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,H)\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0,$
ebenfalls exakt. Zeige ferner, dass in diesem Fall für jede offenen Teilmenge $U\subseteq X$ die Sequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,C^{0}(U,F)\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,C^{0}(U,G)\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,C^{0}(U,H)\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0,$
exakt ist.