OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Kegelschnitt/Kreisdrehung/3/Aufgabe

Wir betrachten den Standardkegel $V(Z^{2}-X^{2}-Y^{2})\subset {{\mathbb {A} }_{\mathbb {R} }^{3}}$ und die Ebenen, die durch die Drehachse $V(X-1,Z-1)$ verlaufen. Bestimme, in Abhängigkeit vom Drehwinkel $\alpha$ (gemessen in der $x-z$-Ebene gegen den Uhrzeigersinn), den Typ des durch die Ebene $E_{\alpha }$ gegebenen Kegelschnitts.
# Reelles Polynom/X^4+1/Zerlegung/Beispiel

Das Polynom $X^{4}+1$ ist im Reellen stets positiv und hat daher keine reelle Nullstelle. Daher besitzt es in $\mathbb {R} [X]$ nach Fakt auch keinen linearen Faktor. Wegen der Zerlegung
    $X^{4}+1={\left(X^{2}+{\sqrt {2}}X+1\right)}{\left(X^{2}-{\sqrt {2}}X+1\right)}\,$
ist das Polynom aber nicht irreduzibel.
# Imaginär-quadratischer Zahlbereich/Logarithmische Ableitung/Aufgabe/Lösung

Bei $R=\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ ist
    $R^{\times }=\{1,-1,{\mathrm {i} },-{\mathrm {i} }\}\,.$
Nach Fakt ist
    $\Omega _{\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]{|}\mathbb {Z} }\cong R/{\left(2{\mathrm {i} }\right)}\cong R/{\left(2\right)}\,,$
da ja ${\mathrm {i} }$ eine Einheit ist. Der Kählermodul besitzt die vier Elemente $0,d{\mathrm {i} },{\mathrm {i} }d{\mathrm {i} },(1+{\mathrm {i} })d{\mathrm {i} }$. Die logarithmische Abbildung bildet $-1$ auf $0$ (das gilt immer) und ${\mathrm {i} }$ $-{\mathrm {i} }$ auf
$-{\mathrm {i} }d{\mathrm {i} }={\mathrm {i} }d{\mathrm {i} }$ ab.
Bei $R=\mathbb {Z} [{\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}]\cong \mathbb {Z} [X]/{\left(X^{2}+X+1\right)}$ ist mit der primitivendritten Einheitswurzel
    $\zeta ={\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}\,$
ist die Einheitengruppe gleich
    $R^{\times }=\{1,-1,\zeta ,-\zeta ,\zeta ^{2},-\zeta ^{2}\}\,.$
Nach Fakt ist
    $\Omega _{\mathbb {Z} [\zeta ]{|}\mathbb {Z} }\cong R/{\left({\sqrt {-3}}\right)}=R/{\left(2\zeta +1\right)}\,$
mit den drei Elementen $0,d\zeta =-2\zeta d\zeta =\zeta d\zeta ,2d\zeta$. Unter der logarithmischen Abbildung geht $1$ auf $0$, $\zeta$ auf
    $\zeta ^{-1}d\zeta =\zeta ^{2}d\zeta =-(\zeta +1)d\zeta =\zeta d\zeta =d\zeta \,$
und demnach $\zeta ^{2}$ auf
    $\zeta ^{-2}d\zeta ^{2}=2d\zeta \,.$
Die negierten Einheiten haben das gleiche Bild.
Für alle anderen imaginär-quadratischen Zahlbereiche ist nach Fakt
$\{\pm 1\}$
$0$
# Kegelschnitte/Schnitt mit verschiedenen Ebenen/Berechne/Aufgabe

Es sei $S$ das Nullstellengebilde in ${{\mathbb {A} }_{K}^{3}}$, das durch die Gleichung
    $x^{2}+y^{2}=z^{2}\,$
gegeben ist. Der Schnitt von $S$ mit einer Ebene $E$ ist eine Kurve und wird in $E$ durch eine Gleichung in zwei (geeigneten) Variablen beschrieben. Finde eine solche Gleichung für die Ebenen
    $E_{1}=V(x),\,E_{2}=V(z-1),\,E_{3}=V(x+2y+3z),\,E_{4}=V(3x-2z).$
# Registermaschine/Gleichheit von zwei Registerinhalten/Beispiel

Wir wollen überprüfen, ob die Inhalte von zwei Registern $R_{i}$ und $R_{j}$ übereinstimmen. Dazu kann man das Programm aus Beispiel einfach abändern zu
* $C(j,6)$
* $j-$
* $C(i,9)$
* $i-$
* Gehe zu $1$
* $C(i,8)$
* Gehe zu $9$
* $k+$
* Halte an
Bei Gleichheit erhält man $r_{k}=1$, bei Ungleichheit $r_{k}=0$.
# Indikatorfolge/Primzahlen/Aufgabe/Lösung

* Es ist $x_{117}=0$, da $117$ keine Primzahl ist, und $x_{127}=1$, da $127$ eine Primzahl ist.
* Die Folge konvergiert nicht, da sie unendlich oft den Wert $1$ und unendlich oft den Wert $0$ annimmt, da es unendlich viele Primzahlen gibt und da es unendlich viele Zahlen (beispielsweise die geraden Zahlen $\neq 2$) gibt, die keine Primzahlen sind.
# Kein Quadrat/Quadratisches Polynom/Irreduzibel/Aufgabe

Es sei $R$ ein Integritätsbereich und $r\in R$ ein Element, das keine Quadratwurzel in $R$ besitze. Zeige, dass das Polynom $X^{2}-r\in R[X]$ irreduzibel ist.
# Registermaschine/Goldbachvermutung/Check/Beispiel

Es sollen die geraden Zahlen $\geq 4$ daraufhin überprüft werden, ob sie die Eigenschaft in der Goldbachvermutung erfüllen, also ob sie die Summe von zwei Primzahlen sind. Das Programm soll die Ausgabe $0$ machen, falls ein Gegenbeispiel gefunden wurde. Dies leistet das folgende Programm mit den Registern $R_{n}$, $R_{k}$ und $R_{i}$, die alle zu Beginn auf $0$ gesetzt seien. Auch das Ausgaberegister $R_{1}$ soll zu Beginn leer sein. Wir testen ab $6$, um uns auf ungerade Primzahlen als Summanden beschränken zu können.
* $n++++$
* $n++$
* Leere $R_{k}$
* $k+$
* $k++$
* Wenn $r_{k}\geq r_{n}$, so gehe zu 12
* Wenn $r_{k}$ eine Primzahl ist, so gehe zu 9
* Gehe zu 5
* Berechne $r_{n}-r_{k}$, schreibe das Ergebnis in $R_{i}$
* Wenn $r_{i}$ eine Primzahl ist, so gehe zu 2
* Gehe zu 5
* Drucke
* Halte an
# Indikatorfolge/Zweierpotenz/Aufgabe/Lösung

* Es ist $x_{8}=1$ und $x_{9}=0$.
* Die Folge konvergiert nicht, da sie unendlich oft den Wert $1$ und unendlich oft den Wert $0$ annimmt.
# Kern/Lineare Abbildung/2 3 0 -1/4 2 2 5/Aufgabe

Bestimme den Kern der durch die Matrix
    $M={\begin{pmatrix}2&3&0&-1\\4&2&2&5\end{pmatrix}}\,$
gegebenen linearen Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{4}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}.$
# Registermaschine/Größenvergleich von zwei Registerinhalten/Beispiel

Es soll mit einer Registermaschine festgestellt werden, ob der Inhalt $r_{i}$ des Registers $R_{i}$ größer oder gleich dem Inhalt $r_{j}$ des Registers $R_{j}$ ist. Dazu reserviert man das leere Register $R_{k}$ ($i,j,k$ seien paarweise verschieden) und baut einen Programmabschnitt der folgenden Art.
* $C(j,6)$
* $j-$
* $C(i,7)$
* $i-$
* Gehe zu $1$
* $k+$
* Halte an
Wenn dieser Programmabschnitt abgelaufen ist, so steht im Register $R_{k}$ der Wert $r_{k}=1$ oder $r_{k}=0$, je nachdem, ob $r_{i}\geq r_{j}$ ist oder nicht, und zwar unabhängig davon, ob man damit die Eingangsdaten oder Zwischendaten, wenn das Programm den ersten Befehl abarbeitet, meint. Die Korrektheit dieses Programms beruht darauf, dass $r\geq s$ genau dann gilt, wenn $r-1\geq s-1$ ist. Dies ermöglicht einen Induktionsbeweis.
# Induktion/6^(n+2)+7^(2n+1) teilbar durch 43/Aufgabe/Lösung

Induktionsanfang. Für $n=0$ ist
    $6^{2}+7=43\,$
ein Vielfaches von $43$. Induktionsschritt. Es sei nun die Aussage für $n$ bewiesen und betrachten wir den Ausdruck für $n+1$. Dieser ist
    ${\begin{aligned}6^{n+1+2}+7^{2(n+1)+1}&=6\cdot 6^{n+2}+7^{2}\cdot 7^{2n+1}\\&=6\cdot 6^{n+2}+(6+43)7^{2n+1}\\&=6{\left(6^{n+2}+7^{2n+1}\right)}+43\cdot 7^{2n+1}\\&=6\cdot 43\cdot s+43\cdot 7^{2n+1}\\&=43\cdot {\left(6\cdot s+7^{2n+1}\right)},\end{aligned}}$
wobei im vorletzten Schritt die Induktionsvoraussetzung verwendet wurde (nämlich die Eigenschaft, dass $6^{n+2}+7^{2n+1}$ ein Vielfaches von $43$ ist).
$43$
# Kettenregel/R/x^2+5x-2 durch x+1 und y-2 durch y^2+3/Bestätige/Aufgabe

Es sei $f(x)={\frac {x^{2}+5x-2}{x+1}}$ und $g(y)={\frac {y-2}{y^{2}+3}}$ und es sei $h(x):=g(f(x))$ die Hintereinanderschaltung.
* Berechne $h$ (das Ergebnis muss als eine rationale Funktion vorliegen).
* Berechne die Ableitung von $h$ mit Hilfe von Teil 1.
* Berechne die Ableitung von $h$ mit Hilfe der Kettenregel.
# Registermaschine/Multiplikation von zwei Registerinhalten/Beispiel

Die beiden Registerinhalte $r_{i}$ (von $R_{i}$) und $r_{j}$ (von $R_{j}$) sollen multipliziert werden, wobei das Produkt zum Schluss in $R_{k}$ stehen soll (es seien $i,j,k$ paarweise verschieden). Dies leistet das folgende Programm mit dem Hilfsregister $R_{\ell }$.
* Leere $R_{k}$
* Übertrage den Inhalt von $R_{i}$ nach $R_{\ell }$ ohne $R_{i}$ zu leeren
* $C(j,7)$
* Addiere den Inhalt von $R_{\ell }$ zu $R_{k}$ hinzu
* $j-$
* Gehe zu $2$
* Halte an
Die Korrektheit dieses Programms beruht auf $r\cdot s=(r-1)s+s$; für das Produkt $rs$ muss man $r$-mal $s$ mit sich selbst addieren.
# Induktion/Wechselsumme der Quadrate/Aufgabe/Lösung

Induktionsanfang. Für $n=1$ kommt links nur der Summand zu $k=2$ vor, und dieser ist
    $(-1)^{0}1^{2}=1\,.$
Rechts steht ebenfalls
    $(-1)^{2}{\frac {1\cdot 2}{2}}=1\,.$
Induktionsschluss. Die Aussage sei für $n$ bewiesen, wir erschließen daraus auf die Gültigkeit für $n+1$. Es ist
    ${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n+1}(-1)^{k-1}k^{2}&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}k^{2}+(-1)^{n}(n+1)^{2}\\&=(-1)^{n+1}{\frac {n(n+1)}{2}}+(-1)^{n+2}(n+1)(n+1)\\&=(-1)^{n+2}{\frac {-n(n+1)}{2}}+{\frac {(-1)^{n+2}2(n+1)(n+1)}{2}}\\&=(-1)^{n+2}{\frac {-n(n+1)+2(n+1)(n+1)}{2}}\\&=(-1)^{n+2}{\frac {(n+1)(-n+2n+2)}{2}}\\&=(-1)^{n+2}{\frac {(n+1)(n+2)}{2}}.\end{aligned}}$
$n$
# Kettenregel/R/x^3+4x^2-1 und y^2-y+2/Bestätige/Aufgabe

Es sei $f(x)=x^{3}+4x^{2}-1$ und $g(y)=y^{2}-y+2$. Bestimme die Ableitung der Hintereinanderschaltung $h(x)=g(f(x))$ direkt und mittels der Kettenregel.
# Registermaschine/Teilbarkeitsbeziehung von zwei Registerinhalten/Beispiel

Es soll überprüft werden, ob der Registerinhalt $r_{t}$ (von $R_{t}$) den Registerinhalt $r_{j}$ (von $R_{j}$) teilt. Falls ja soll das Programm $1$ ausgeben, andernfalls $0$. Dies leistet das folgende Programm mit den Hilfsregistern $R_{k}$ und $R_{\ell }$
(für Teilprogramme braucht man noch weitere Hilfsregister). Das Ausgaberegister $R_{1}$ soll zu Beginn leer sein.
* Leere $R_{\ell }$
* Berechne $r_{t}\cdot r_{\ell }$ und schreibe das Ergebnis in $R_{k}$ (ohne $r_{t},r_{\ell }$ zu verändern)
* Bei $r_{k}>r_{j}$ gehe zu 8
* Bei $r_{k}=r_{j}$ gehe zu 7
* $\ell +$
* Gehe zu 2
* $1+$
* Drucke
* Halte an
# Induktionsaufgabe/3^n \geq n^4/Aufgabe/Lösung

Induktionsanfang für $n=10$. Es ist
    $3^{10}=9^{5}=81\cdot 81\cdot 9\geq 6000\cdot 9\geq 10000=n^{4}\,.$
Zum Induktionsschluss sei $n\geq 10$. Dann ist
    $3^{n+1}=3\cdot 3^{n}\geq 3\cdot n^{4}=n^{4}+{\frac {1}{2}}n^{4}+{\frac {1}{2}}n^{4}+{\frac {1}{2}}n^{4}+{\frac {1}{2}}n^{4}\,.$
Andererseits ist nach der binomischen Formel
    $(n+1)^{4}=n^{4}+4n^{3}+6n^{2}+4n+1\,.$
Wir müssen
    $n^{4}+{\frac {1}{2}}n^{4}+{\frac {1}{2}}n^{4}+{\frac {1}{2}}n^{4}+{\frac {1}{2}}n^{4}\geq n^{4}+4n^{3}+6n^{2}+4n+1\,$
nachweisen. Der erste Summand stimmt links und rechts überein, für die anderen Summanden zeigen wir, dass die linken, also jeweils ${\frac {1}{2}}n^{4}$, mindestens so groß wie die rechten sind. Dies folgt aber direkt aus $n^{4}\geq 8n^{3}$ (da $n\geq 10$), aus $n^{4}\geq 12n^{2}$, da ja $n^{2}\geq 12$ ist, aus $n^{4}\geq 8n$ und aus
$n^{4}\geq 2$
# Kettenregel/Verträglichkeit von Ableitung und Zurückziehen von Funktion und Differentialform/Aufgabe

Es seien $W\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ und $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offene Teilmengen und sei
    $\psi \colon W\longrightarrow U$
eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei
    $f\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetig differenzierbare Funktion. Folgere aus der Kettenregel, dass
    $d(\psi ^{*}f)=\psi ^{*}(df)\,$
gilt, wobei $\psi ^{*}$ das Zurückziehen von Differentialformen bezeichnet.
# Reguläre Punkte und Extrema/(x,y) nach x hoch y/Beispiel

Wir betrachten die Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{y}.$
Nach Aufgabe ist
    $x^{y}=e^{(\ln x)\cdot y}\,.$
Die partiellen Ableitungen sind
    ${\frac {\partial \varphi }{\partial x}}={\frac {y}{x}}\cdot e^{(\ln x)\cdot y}={\frac {y}{x}}\cdot x^{y}\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}=(\ln x)\cdot e^{(\ln x)\cdot y}=(\ln x)\cdot x^{y}.$
Da die Exponentialfunktion stets positiv ist, ist $P=(1,0)$ der einzige kritische Punkt. Die Hesse-Matrix in einem Punkt $(x,y)$ ist
    ${\begin{pmatrix}{\frac {-y+y^{2}}{x^{2}}}\cdot e^{(\ln x)\cdot y}&{\frac {1+y\ln x}{x}}\cdot e^{(\ln x)\cdot y}\\{\frac {1+y\ln x}{x}}\cdot e^{(\ln x)\cdot y}&(\ln x)^{2}\cdot e^{(\ln x)\cdot y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {-y+y^{2}}{x^{2}}}\cdot x^{y}&{\frac {1+y\ln x}{x}}\cdot x^{y}\\{\frac {1+y\ln x}{x}}\cdot x^{y}&(\ln x)^{2}\cdot x^{y}\end{pmatrix}}\,.$
In $P$ ist dies
    $\operatorname {Hess} _{P}\,\varphi ={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\,.$
Nach Fakt ist daher die Hesse-Form im kritischen Punkt weder positiv definit noch negativ definit. Man kann direkt zeigen, dass diese Matrix indefinit ist (vom Typ $(1,1)$), da diese Bilinearform auf ${\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$ positiv und auf ${\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}$ negativ definit ist. Nach Fakt liegt in diesem Punkt also kein Extremum vor.
Dies kann man auch ohne Differentialrechnung erkennen. Für $x=1$ oder $y=0$ ist $x^{y}=1$. Ansonsten gelten die folgenden Beziehungen.
* Für $0<x<1$ und $y>0$ ist $x^{y}<1$.
* Für $x>1$ und $y>0$ ist $x^{y}>1$.
* Für $0<x<1$ und $y<0$ ist $x^{y}>1$.
* Für $x>1$ und $y<0$ ist $x^{y}<1$.
Daher gibt es in jeder Umgebung von $(1,0)$ Punkte, an denen die Funktionswerte größer bzw. kleiner als $1$ sind.
# Inhomogene lineare Differentialgleichung/y' ist - sin t durch cos t y +(t^2-3) cos t/y(0) ist 7/Aufgabe/Lösung

a) Wir berechnen zuerst die Lösungen der zugehörigen homogenen linearen Differentialgleichung
    $y'=-{\frac {\sin t}{\cos t}}y.$
Eine Stammfunktion zu $g(t)=-{\frac {\sin t}{\cos t}}$ ist $G(t)=\ln {\left(\cos t\right)}$. Daher sind (mit $c\in \mathbb {R}$)
    $c\cdot e^{\ln {\left(\cos t\right)}}=c\cdot \cos t\,$
die Lösungen der homogenen Gleichung.
Zur Bestimmung einer Lösung der inhomogenen Gleichung müssen wir eine Stammfunktion zu
    $(t^{2}-3)\cdot \cos t\cdot (\cos t)^{-1}=t^{2}-3$
${\frac {1}{3}}t^{3}-3t$
    ${\left({\frac {1}{3}}t^{3}-3t\right)}\cos t+c\cdot \cos t,c\in \mathbb {R} .$
b) Zur Lösung des Anfangswertproblems müssen wir das $c$ aus Teil a) bestimmen. Die Anfangsbedingung führt auf
    $c\cos 0=7\,,$
also ist $c=7$ und
    ${\left({\frac {1}{3}}t^{3}-3t\right)}\cos t+7\cdot \cos t$
# Kettenregel/x^2-1 durch x und y^2 durch y-1/Bestätige/Aufgabe

Es sei $f(x)={\frac {x^{2}-1}{x}}$ und $g(y)={\frac {y^{2}}{y-1}}$.
a) Bestimme die Ableitung von $f$ und von $g$.
b) Berechne die Hintereinanderschaltung $h(x)=g(f(x))$.
c) Bestimme die Ableitung von $h$ mit Hilfe von Teil b).
d) Bestimme die Ableitung von $h$ mittels der Kettenregel.
# Reguläre Punkte und Fasern/(x,y) nach x durch y/Beispiel

Wir betrachten die differenzierbare Funktion
    $\varphi \colon \mathbb {R} \times (\mathbb {R} \setminus \{0\})\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto {\frac {x}{y}}.$
Die Jacobi-Matrix dieser Funktion ist
    ${\left({\frac {1}{y}},-{\frac {x}{y^{2}}}\right)},$
sodass die Funktion in jedem Punkt regulär ist und der Satz über implizite Abbildungen anwendbar ist. In diesem Fall kann man die Fasern auch direkt bestimmen. Die Bedingung
    ${\frac {x}{y}}=c\,$
mit $c\in \mathbb {R}$ führt auf $x=cy$, sodass die Fasern der Abbildung die punktierten Geraden (d.h. ein Punkt ist rausgenommen) durch den Nullpunkt sind (außer der $x$-Achse, auf der die Abbildung nicht definiert ist). Damit hat man explizit eine Auflösung der Faser nach $x$ gegeben. Dass die Fasern unter dieser Divisionsabbildung (punktierte) Geraden sind ist ein Ausdruck davon, dass man Brüche erweitern kann, ohne ihren Wert zu ändern.
Der Tangentialraum in $P=(x,y)$ wird nach der Definition durch den Kern der Jacobi-Matrix gegeben, und dieser wird durch den Vektor $(x,y)$ selbst aufgespannt. Der Tangentialraum an $P$ ist hier also die Gerade, die durch $P$ und den Nullpunkt definiert ist, und stimmt (bis auf den Nullpunkt) mit der Faser überein.
# Integral/(x^2-1)^n/-1 bis 1/Rekursionsformel/Aufgabe/Lösung

* Wir schreiben und erhalten mittels partieller Integration Eine Umstellung ergibt und somit
    ${\left(x^{2}-1\right)}^{n}=1\cdot {\left(x^{2}-1\right)}^{n}\,$
    ${\begin{aligned}\int _{-1}^{1}{\left(x^{2}-1\right)}^{n}dx&=\left(x{\left(x^{2}-1\right)}^{n}\right)|_{-1}^{1}-2n\int _{-1}^{1}x^{2}{\left(x^{2}-1\right)}^{n-1}dx\\&=-2n\int _{-1}^{1}x^{2}{\left(x^{2}-1\right)}^{n-1}dx\\&=-2n\int _{-1}^{1}{\left(x^{2}-1\right)}{\left(x^{2}-1\right)}^{n-1}dx-2n\int _{-1}^{1}{\left(x^{2}-1\right)}^{n-1}dx\\&=-2n\int _{-1}^{1}{\left(x^{2}-1\right)}^{n}dx-2n\int _{-1}^{1}{\left(x^{2}-1\right)}^{n-1}dx.\end{aligned}}$
    $(2n+1)\int _{-1}^{1}{\left(x^{2}-1\right)}^{n}dx=-2n\int _{-1}^{1}{\left(x^{2}-1\right)}^{n-1}dx\,$
    $\int _{-1}^{1}{\left(x^{2}-1\right)}^{n}dx=-{\frac {2n}{2n+1}}\int _{-1}^{1}{\left(x^{2}-1\right)}^{n-1}dx\,.$
* Wir beweisen dies durch Induktion, der Fall $n=0$ ist klar. Unter Verwendung von Teil (1) ist
    ${\begin{aligned}\int _{-1}^{1}{\left(x^{2}-1\right)}^{n}dx&=-{\frac {2n}{2n+1}}\int _{-1}^{1}{\left(x^{2}-1\right)}^{n-1}dx\\&=-{\frac {2n}{2n+1}}\cdot (-1)^{n-1}\cdot 2\cdot {\frac {2^{n-1}((n-1)!)}{(2n-1)(2n-3)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}}\\&=(-1)^{n}\cdot 2\cdot {\frac {2^{n}(n!)}{(2n+1)(2n-1)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}}.\end{aligned}}$
# KgV/Erste Zahlen/Verhalten/2/Aufgabe

Zu einer positiven natürlichen Zahl $n$ sei $a_{n}$ das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen $1,2,3,\ldots ,n$.
* Bestimme $a_{n}$ für $n=1,2,3,4,5,6,7,8,9$.
* Was ist die kleinste Zahl $n$ mit
    $a_{n}=a_{n+1}=a_{n+2}=a_{n+3}\,?$
# Reguläre Punkte und Fasern/(x,y) nach x hoch y/Beispiel

Wir betrachten die Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{y}$
und knüpfen an Beispiel an. Der einzige kritische Punkt ist $P=(1,0)$, ansonsten ist die Abbildung in jedem Punkt regulär und daher lassen sich lokal die Fasern als Graphen beschreiben. Die Faser über $1$ besteht aus der durch $x=1$ gegebenen Geraden und der durch $y=0$ gegebenen Halbgeraden, die sich im kritischen Punkt senkrecht schneiden. Ansonsten sind die Fasern durch die Gleichung
    $x^{y}=c\,$
mit einem $c\in \mathbb {R} _{+}$, $c\neq 1$, bestimmt (für nichtpositives $c$ sind die Fasern leer). Wir schreiben diese Bedingung als $e^{(\ln x)y}=c$ und daher als
    $(\ln x)y=\ln c\,.$
Wegen $x\neq 1$ kann man dies zu $y={\frac {\ln c}{\ln x}}$ auflösen und wegen $y\neq 0$ zu
    $x=e^{\frac {\ln c}{y}}\,.$
Die Faser besteht jeweils aus zwei Komponenten, die $x>1$ bzw. $x<1$ entsprechen.
# Integral/Parameterabhängig/at^2-a^2t/-1 nach 2/Extrema/Aufgabe/Lösung

Es sei
    $f(a)=\int _{-1}^{2}at^{2}-a^{2}t\,dt\,.$
Dann ist
    ${\begin{aligned}f(a)&=\left({\frac {1}{3}}at^{3}-{\frac {1}{2}}a^{2}t^{2}\right)|_{-1}^{2}\\&={\frac {1}{3}}a\cdot 2^{3}-{\frac {1}{2}}a^{2}\cdot 2^{2}-{\left(a{\frac {1}{3}}(-1)-a^{2}{\frac {1}{2}}(-1)^{2}\right)}\\&={\left(-2+{\frac {1}{2}}\right)}a^{2}+{\left({\frac {8}{3}}+{\frac {1}{3}}\right)}a\\&=-{\frac {3}{2}}a^{2}+3a.\end{aligned}}$
Es ist
    $f'(a)=-3a+3\,$
mit der einzigen Nullstelle bei
    $a=1\,$
und
    $f''(a)=-3\,.$
Das bedeutet nach Fakt, dass das bestimmte Integral für den Parameter
    $a=1\,$
# KgV/Erste Zahlen/Verhalten/Aufgabe

Zu einer positiven natürlichen Zahl $n$ sei $a_{n}$ das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen $1,2,3,\ldots ,n$.
a) Bestimme $a_{n}$ für $n=1,2,3,4,5$.
b) Was ist die kleinste Zahl $n$ mit
    $a_{n}=a_{n+1}\,?$
c) Was ist die kleinste Zahl $n$ mit
    $a_{n}=a_{n+1}=a_{n+2}\,?$
# Regulärer Ring/Zweidimensional/Koszul-Auflösung/Beispiel

Es sei $R$ ein zweidimensionaler lokaler regulärer Ring mit dem maximalen Ideal ${\mathfrak {m}}=(x,y)$. Dann ist
    $0\longrightarrow R{\stackrel {\begin{pmatrix}y\\-x\end{pmatrix}}{\longrightarrow }}R^{2}{\stackrel {(x,y)}{\longrightarrow }}R\longrightarrow R/{\mathfrak {m}}\longrightarrow 0$
eine freie Auflösung des Restklassenkörpers $R/{\mathfrak {m}}$. Dieser besitzt also die projektive Dimension $2$. Die einzige Stelle, an der die Exaktheit nicht direkt klar ist, ist für $R^{2}$. Es seien $(a,b)\in R^{2}$ mit $ax+by=0$. Dies bedeutet $ax=-by$ und dies bedeutet $ax=0$ in $R/(y)$. Nach Fakt ist dies ein regulärer Ring der Dimension $1$ und $x$ erzeugt darin das maximale Ideal. Wegen Fakt ist $R/(y)$ ein Integritätsbereich und somit ist dort $a=0$. Dies heißt zurückübersetzt nach $R$, dass $a=cy$ ist. Da $y$ ein Nichtnullteiler in $R$ ist, folgt $b=-cx$ und somit ist
    ${\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}=c{\begin{pmatrix}y\\-x\end{pmatrix}}\,.$
# Integral/Polarkoordinaten/1 durch 1 +(x^2+y^2)^2/Aufgabe/Lösung

Nach Fakt mit $x=r\cos \theta$ und $y=r\sin \theta$ ist das Integral gleich
    ${\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} _{\geq 0}}\int _{0}^{2\pi }{\frac {r}{1+r^{4}}}drd\theta &=2\pi \int _{0}^{\infty }{\frac {r}{1+r^{4}}}dr\\&=2\pi \left({\frac {1}{2}}\arctan r^{2}\right)|_{0}^{\infty }\\&=2\pi \cdot {\frac {\pi }{4}}\\&={\frac {\pi ^{2}}{2}}.\end{aligned}}$
# KgV/Erste Zahlen/Verhalten/Stammbruchkonvergenz/Aufgabe

Zu einer positiven natürlichen Zahl $n$ sei $a_{n}$ das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen $1,2,3,\ldots ,n$.
* Was ist die kleinste Zahl $n$ mit
    $a_{n}=a_{n+1}=a_{n+2}\,?$
* Zeige, dass die Reihe konvergiert.
    $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{a_{n}}}$
# Reihe/Harmonische Reihe/Beispiel

Die harmonische Reihe ist die Reihe
    $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}.$
    $1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+\ldots .$
Diese Reihe divergiert: Für die $2^{n}$ Zahlen $k=2^{n}+1,\ldots ,2^{n+1}$ ist
    $\sum _{k=2^{n}+1}^{2^{n+1}}{\frac {1}{k}}\geq \sum _{k=2^{n}+1}^{2^{n+1}}{\frac {1}{2^{n+1}}}=2^{n}{\frac {1}{2^{n+1}}}={\frac {1}{2}}\,.$
Daher ist
    $\sum _{k=1}^{2^{n+1}}{\frac {1}{k}}=1+\sum _{i=0}^{n}\left(\sum _{k=2^{i}+1}^{2^{i+1}}{\frac {1}{k}}\right)\geq 1+(n+1){\frac {1}{2}}\,.$
Damit ist die Folge der Partialsummen unbeschränkt und kann nach Fakt nicht konvergent sein.
# Integral/rst+t sin s/Über Einheitswürfel/Aufgabe/Lösung

Aufgrund des Satzes von Fubini ist
    ${\begin{aligned}\int _{W}rst+t\sin s\,d\lambda ^{3}&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\left(rst+t\sin s\right)}drdsdt\\&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\left({\frac {1}{2}}r^{2}st+rt\sin s\right)}|_{0}^{1}dsdt\\&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\left({\frac {1}{2}}st+t\sin s\right)}dsdt\\&=\int _{0}^{1}{\left({\frac {1}{4}}s^{2}t-t\cos s\right)}|_{0}^{1}dt\\&=\int _{0}^{1}{\left({\frac {1}{4}}t-t\cos 1+t\right)}dt\\&=\int _{0}^{1}{\left({\left({\frac {5}{4}}-\cos 1\right)}t\right)}dt\\&={\left({\frac {1}{2}}{\left({\frac {5}{4}}-\cos 1\right)}t^{2}\right)}|_{0}^{1}\\&={\frac {5}{8}}-{\frac {1}{2}}\cos 1.\end{aligned}}$
# Kleine Einmaleins/Primzahl als Basis/Aufgabe

Es sei $n\geq 2$. Woran erkennt man am Kleinen Einmaleins im $n$-System (ohne die Nuller- und die Zehnerreihe), ob $n$ eine Primzahl ist.
# Reine Gleichung über K/Capelli/Grad 2 oder 3/Beispiel

Es sei $K$ ein Körper, $a\in K$ und $n\in \mathbb {N}$ derart, dass $X^{n}-a$ irreduzibel ist. Dann ist $K\subseteq K[X]/(X^{n}-a)$ nach Fakt und nach Fakt eine $\mathbb {Z} /(n)$-graduierte Körpererweiterung.
Eine notwendige Voraussetzung für die Irreduzibilität von $X^{n}-a$ ist, dass $a$ in $K$ keine $n$-te Wurzel besitzt, da sonst das Polynom sofort einen Linearfaktor besitzt. Bei $n=2$ oder $n=3$ ist diese Bedingung auch hinreichend. Bei $n=2$ und wenn die Charakteristik von $K$ nicht gleich $2$ ist, so ist $1\neq -1$ und der nichttriviale Charakter
    $\chi \colon D=\mathbb {Z} /(2)\longrightarrow K^{\times }$
mit $\chi (0)=1$ und $\chi (1)=-1$ definiert über Fakt den nichttrivialen $K$-Körperautomorphismus mit $x\mapsto -x$ (wobei $x$ die Restklasse von $X$ sei), also die Konjugation in der quadratischen Körpererweiterung $K\subseteq K[X]/(X^{2}-a)$.
# Integral/s^2t+r cos t/Über Einheitswürfel/Aufgabe/Lösung

Aufgrund des Satzes von Fubini ist
    ${\begin{aligned}\int _{W}s^{2}t+r\cos t\,d\lambda ^{3}&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\left(s^{2}t+r\cos t\right)}drdsdt\\&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\left(rs^{2}t+{\frac {1}{2}}r^{2}\cos t\right)}|_{0}^{1}dsdt\\&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\left(s^{2}t+{\frac {1}{2}}\cos t\right)}dsdt\\&=\int _{0}^{1}{\left({\frac {1}{3}}s^{3}t+s{\frac {1}{2}}\cos t\right)}|_{0}^{1}dt\\&=\int _{0}^{1}{\left({\frac {1}{3}}t+{\frac {1}{2}}\cos t\right)}dt\\&={\left({\frac {1}{6}}t^{2}+{\frac {1}{2}}\sin t\right)}|_{0}^{1}\\&={\frac {1}{6}}+{\frac {1}{2}}\sin 1.\end{aligned}}$
# Kleine Einmaleins/Ziffernanzahl/Aufgabe

Zeige, dass im kleinen Einmaleins (ohne die Zehnerreihe) zur Basis $n\geq 2$ nur ein- und zweistellige Zahlen auftreten.