# Lineare Abbildung
## Definition: Lineare Abbildung

Seien $V$ und $W$ Vektorräume über einem gemeinsamen Grundkörper $\mathbb {K}$. Eine Abbildung $f\colon V\to W$ heißt lineare Abbildung, wenn für alle $x,y\in V$ und $\lambda \in \mathbb {K}$ die folgenden Bedingungen gelten:
* $f$ ist homogen:
    $f\left(\lambda \cdot x\right)=\lambda \cdot f\left(x\right)$
* $f$ ist additiv:
    $f\left(x+y\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)$

## Alternative Definition Lin. Abb.

Die zwei obigen Bedingungen kann man auch zusammenfassen:
    $f\left(\lambda \cdot x+y\right)=\lambda \cdot f\left(x\right)+f\left(y\right)$
* Für $y=0_{V}\in V$ liefert diese die Bedingung für die Homogenität und
* für $\lambda =1\in \mathbb {K}$ in Eigenschaft für die Additivität.
Eine weitere, gleichwertige Bedingung ist die Forderung, dass der Graph der Abbildung $f$ ein Untervektorraum der Summe der Vektorräume $V$ und $W$ ist.

## Übung

Seien $V,W$ zwei $\mathbb {K}$-Vektorräume und $f:V\rightarrow W$ eine Abbildung. Beweisen Sie, dass die folgende Äquivalenz gilt:
    $f{\mbox{ linear }}\Longleftrightarrow$
    $\qquad \forall _{x,y\in V,\lambda \in \mathbb {K} }\ :\ f\left(\lambda \cdot x+y\right)=\lambda \cdot f\left(x\right)+f\left(y\right)$
* Zeit: 10min
* Formale Schreibweise - Hinweise - Beweistypen

## Beispiele 1

Für $V=W=\mathbb {R}$ hat jede lineare Abbildung die Gestalt $f(x)=mx$ mit $m\in \mathbb {R}$. In der Schule werden lineare Funktionen behandelt. Dort bezeichnet man in der Regel Funktionen $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ der Form $f(x)=mx+b$ mit $m,b\in \mathbb {R}$ als linear. Solche affinelineare Abbildungen sind aber nur für $b=0$ tatsächlich lineare Abbildungen: Für $m=1$ und $b=3$ ist $f(x)=x+3$ und die Linearitätseigenschaften ist nicht erfüllt:
    $f(2x)=2x+3\neq 2x+6=2f(x)$.

## Beispiele 2

Es sei $V=\mathbb {R} ^{n}$ und $W=\mathbb {R} ^{m}$. Dann wird für jede $m\times n$-Matrix $A$ mit Hilfe der Matrizenmultiplikation eine lineare Abbildung
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ durch
    $f(x)=A\,x={\begin{pmatrix}a_{11}&\dots &a_{1n}\\\vdots &&\vdots \\a_{m1}&\dots &a_{mn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$
definiert. Jede lineare Abbildung von $\mathbb {R} ^{n}$ nach $\mathbb {R} ^{m}$ kann so dargestellt werden.

## Beispiele 3

* Ist $I\subset \mathbb {R}$ ein offenes Intervall, $V=C^{1}(I,\mathbb {R} )$ der $\mathbb {R}$-Vektorraum der stetig differenzierbaren Funktionen auf $I$ und
* $W=C^{0}(I,\mathbb {R} )$ der $\mathbb {R}$-Vektorraum der stetigen Funktionen auf $I$, so ist die Abbildung
    $D\colon C^{1}(I,\mathbb {R} )\to C^{0}(I,\mathbb {R} )$, $f\mapsto f'$,
die jeder Funktion $f\in C^{1}(I,\mathbb {R} )$ ihre Ableitung zuordnet, linear. Entsprechendes gilt für andere lineare Differentialoperatoren.

## Beispiele 4

* Ist $I:=[a,b]\subset \mathbb {R}$ ein abgeschlossene Intervall, $V=C([a,b],\mathbb {R} )$ der $\mathbb {R}$-Vektorraum der stetigen Funktionen auf $I$ und
* $\mu (f):=\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx$ das Riemannintegral für $f\in C([a,b],\mathbb {R} )$.
Zeigen Sie, dass $\mu :V\to \mathbb {R}$ eine lineare Abbildung ist.

## Bild

Zwei bei der Betrachtung linearer Abbildungen wichtige Mengen sind das Bild und der Kern einer linearen Abbildung $f\colon V\to W$.
* Das Bild $\mathrm {im} (f)$ der Abbildung ist die Menge der Bildvektoren unter $f$, also die Menge aller $f(v)$ mit $v$ aus $V$. Die Bildmenge wird daher auch durch $f(V)$ notiert.
* Das Bild ist ein Untervektorraum von $W$.

## Kern

* Der Kern $\mathrm {Ker} (f)$ der Abbildung ist die Menge der Vektoren aus $V$, die durch $f$ auf den Nullvektor von $W$ abgebildet werden.
* Der Kern ist ein Untervektorraum von $V$. Die Abbildung $f$ ist genau dann injektiv, wenn der Kern nur den Nullvektor enthält.

## Klassifizierung von linearen Abbildungen

Lineare Abbildungen (Vektorraumhomomorphismen) können wie folgt klassifziert werden:
* Monomorphismus: Injektive lineare Abbildung
* Epimorphismus: Surjektive lineare Abbildung
* Isomorphismus: Bijektive lineare Abbildung
* Endomorphismus: Lineare Selbstabbildung
* Automorphismus: Bijektive lineare Selbstabbildung

### Monomorphismus: Injektivität

Ein Monomorphismus zwischen Vektorräumen ist eine lineare Abbildung $f\colon V\to W$, die injektiv ist. Dies trifft genau dann zu, wenn die Spaltenvektoren der Darstellungsmatrix linear unabhängig sind.

### Epimorphismus: Surjektivität

Ein Epimorphismus zwischen Vektorräumen ist eine lineare Abbildung $f\colon V\to W$, die surjektiv ist. Das ist genau dann der Fall, wenn der Rang der Darstellungsmatrix gleich der Dimension von $W$ ist.

### Isomorphismus: Bijektivität

Ein Isomorphismus zwischen Vektorräumen ist eine lineare Abbildung $f\colon V\to W$, die bijektiv ist. Das ist genau der Fall, wenn die Darstellungsmatrix regulär ist. Die beiden Räume $V$ und $W$ bezeichnet man dann als isomorph.

### Endomorphismus: Lineare Selbstabbildung

Ein Endomorphismus zwischen Vektorräumen ist eine lineare Abbildung, bei der die Räume $V$ und $W$ gleich sind: $f\colon V\to V$. Die Darstellungsmatrix dieser Abbildung ist eine quadratische Matrix.

### Automorphismus: Bijektive lineare Selbstabbildung

Ein Automorphismus zwischen Vektorräumen ist eine bijektive lineare Abbildung, bei der die Räume $V$ und $W$ gleich sind. Er ist also sowohl ein Isomorphismus als auch ein Endomorphismus. Die Darstellungsmatrix dieser Abbildung ist eine reguläre Matrix.

## Folgenräume

Die innere und äußere Verknüpfungen auf den Folgenräumen sind jeweils komponentenweise definiert mit $a:=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, $b:=(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ und $c:=(c_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ aus $V:=\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }$ wie folgt definiert:
    $+:V\times V\to V$ mit $(a,b)\mapsto a+b:=c$ und $c_{n}:=a_{n}+b_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$.
    $\cdot :\mathbb {K} \times V\to V$ mit $(\lambda ,a)\mapsto \lambda \cdot a:=c$ und $c_{n}:=\lambda \cdot a_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$.

### Absolute konvergente Reihen

Man betrachtet nun die folgende Teilmenge von $\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }$.
    $\quad \ell ^{1}(\mathbb {C} ):=\left\{(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }\,:\,\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|<\infty \right\}$
und die Abbildung:
    $f:\ell ^{1}(\mathbb {K} )\to \mathbb {C}$ mit $f\left((a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\right)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
* Zeigen Sie, dass die $f$ linear ist.
* Bestimmen Sie die Abbildungseigenschaften (injektiv, surjektiv) in Abhängigkeit von $\mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C}$

### Konstruktion von Homomorphismen

Konstruieren Sie unterschiedliche Homomorphismen von $\ell ^{1}(\mathbb {C} )$ auf$\ell ^{1}(\mathbb {C} )$, die nicht der Identität auf $\ell ^{1}(\mathbb {C} )$ entsprechen
* Monomorphismus (nur injektiv, aber nicht surjektiv),
* Epimorphismus (nur surjektiv, aber nicht injektiv),
* Automorphismus (aber nicht Identität).