OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Mathematik 2/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein Skalarprodukt auf einem reellen Vektorraum $V$.
* Die Stetigkeit einer Abbildung zwischen metrischen Räumen $L$ und $M$ in einem Punkt $x\in L$.
    $f\colon L\longrightarrow M$
* Eine differenzierbare Kurve auf einem reellen Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$.
    $\gamma \colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
* Der Eigenraum zu $\lambda \in K$ und einem Endomorphismus auf einem $K$-Vektorraum $V$.
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
* Eine trigonalisierbare lineare Abbildung $\varphi \colon V\rightarrow V$, wobei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum ist.
* Ein homogenes lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.
* Die Jacobi-Matrix zu einer partiell differenzierbaren Abbildung in einem Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n}$.
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$
* Das totale Differential in einem Punkt $P\in V$ einer in diesem Punkt total differenzierbaren Abbildung (dabei seien $V$ und $W$ endlichdimensionale reelle Vektorräume).
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
# Quadrik in zwei Variablen/Rationale Parametrisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Parametrisierung von Quadriken.
# Quadrik in zwei Variablen/Rationale Parametrisierung/Fakt/Name

Der Satz über die Parametrisierung von Quadriken.
# Projektiver Raum/Hyperebenen/Projektiver Raum/Aufgabe

Zeige, dass die Menge aller Hyperebenen im projektiven Raum selbst einen projektiven Raum der gleichen Dimension bilden.
# Raum mit Halbmetrik/Offene Menge/Topologie/Fakt

Es sei $M$ eine Menge, die mit einer Halbmetrik versehen sei.
Dann ist $M$ ein topologischer Raum.
# Raum/Ebenengleichung/Beispiel zu Durchschnitt/R/Beispiel

Wir betrachten die beiden Mengen
    $E={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\mid 5x-y+3z=0\right\}}\,$
(aus Beispiel) und
    $F={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\mid 4x+2y-7z=0\right\}}\,$
und interessieren uns für den Durchschnitt
    $G:=E\cap F={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\mid 5x-y+3z=0{\text{ und }}4x+2y-7z=0\right\}}\,.$
Ein Punkt liegt genau dann im Durchschnitt, wenn er simultan beide Bedingungen, also beide Gleichungen (nennen wir sie $I$ und $II$), erfüllt. Gibt es eine „einfachere“ Beschreibung dieser Durchschnittsmenge? Ein Punkt, der die beiden Gleichungen erfüllt, erfüllt auch die Gleichung, die entsteht, wenn man die beiden Gleichungen miteinander addiert oder die Gleichungen mit einer Zahl $s\in \mathbb {R}$ multipliziert. Eine solche Linearkombination der Gleichungen ist beispielsweise
    $4I-5II=-14y+47z=0\,.$
Daher ist
    ${\begin{aligned}G&={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\mid 5x-y+3z=0{\text{ und }}4x+2y-7z=0\right\}}\\&={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\mid 5x-y+3z=0{\text{ und }}-14y+47z=0\right\}},\end{aligned}}$
da man aus der neuen zweiten Gleichung die alte zweite Gleichung zurückkonstruieren kann und daher die Bedingungen links und rechts insgesamt äquivalent sind. Der Vorteil der zweiten Beschreibung ist, dass man die Variable $x$ in der neuen zweiten Gleichung eliminiert hat. Daher kann man nach $y$ auflösen und erhält
    $y={\frac {47}{14}}z\,$
und für $x$ muss dann
    $x={\frac {1}{5}}y-{\frac {3}{5}}z={\frac {1}{5}}\cdot {\frac {47}{14}}z-{\frac {3}{5}}z={\frac {47}{70}}z-{\frac {42}{70}}z={\frac {1}{14}}z\,$
sein. Auch diese zwei aufgelösten Gleichungen sind zusammen äquivalent zu den beiden ersten und somit ist
    $G={\left\{{\begin{pmatrix}{\frac {1}{14}}z\\{\frac {47}{14}}z\\z\end{pmatrix}}\mid z\in \mathbb {R} \right\}}\,.$
Diese Beschreibung liefert einen expliziteren Überblick über die Menge $G$.
# Raum mit Halbmetrik/Metrik/Hausdorff-Raum/Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge, die mit einer Halbmetrik $d$ versehen sei. Zeige, dass $d$ genau dann eine Metrik ist, wenn der topologische Raum $M$ ein Hausdorffraum ist.
# Raum/Ebenengleichung/Beispiel zu Durchschnitt/Q/Beispiel

Wir betrachten die beiden Mengen
    $E={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {Q} ^{3}\mid 5x-y+3z=0\right\}}\,$
(aus Beispiel) und
    $F={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {Q} ^{3}\mid 4x+2y-7z=0\right\}}\,$
und interessieren uns für den Durchschnitt
    $G:=E\cap F={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {Q} ^{3}\mid 5x-y+3z=0{\text{ und }}4x+2y-7z=0\right\}}\,.$
Ein Punkt liegt genau dann im Durchschnitt, wenn er simultan beide Bedingungen, also beide Gleichungen (nennen wir sie $I$ und $II$), erfüllt. Gibt es eine „einfachere“ Beschreibung dieser Durchschnittsmenge? Ein Punkt, der die beiden Gleichungen erfüllt, erfüllt auch die Gleichung, die entsteht, wenn man die beiden Gleichungen miteinander addiert oder die Gleichungen mit einer Zahl $s\in \mathbb {Q}$ multipliziert. Eine solche Linearkombination der Gleichungen ist beispielsweise
    $4I-5II=-14y+47z=0\,.$
Daher ist
    ${\begin{aligned}G&={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {Q} ^{3}\mid 5x-y+3z=0{\text{ und }}4x+2y-7z=0\right\}}\\&={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {Q} ^{3}\mid 5x-y+3z=0{\text{ und }}-14y+47z=0\right\}},\end{aligned}}$
da man aus der neuen zweiten Gleichung die alte zweite Gleichung zurückkonstruieren kann und daher die Bedingungen links und rechts insgesamt äquivalent sind. Der Vorteil der zweiten Beschreibung ist, dass man die Variable $x$ in der neuen zweiten Gleichung eliminiert hat. Daher kann man nach $y$ auflösen und erhält
    $y={\frac {47}{14}}z\,$
und für $x$ muss dann
    $x={\frac {1}{5}}y-{\frac {3}{5}}z={\frac {1}{5}}\cdot {\frac {47}{14}}z-{\frac {3}{5}}z={\frac {47}{70}}z-{\frac {42}{70}}z={\frac {1}{14}}z\,$
sein. Auch diese zwei aufgelösten Gleichungen sind zusammen äquivalent zu den beiden ersten und somit ist
    $G={\left\{{\begin{pmatrix}{\frac {1}{14}}z\\{\frac {47}{14}}z\\z\end{pmatrix}}\mid z\in \mathbb {Q} \right\}}\,.$
Diese Beschreibung liefert einen expliziteren Überblick über die Menge $G$.
# Raum mit Halbmetrik/Offene Menge/Topologie/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge, die mit einer Halbmetrik versehen sei. Zeige, dass $M$ ein topologischer Raum ist.
# Stammfunktion/Stückweise definiert/1/Aufgabe

Berechne das bestimmte Integral $\int _{0}^{8}f(t)\,dt$, wobei die Funktion $f$ durch
    $f(t)={\begin{cases}t+1,{\text{ falls }}0\leq t\leq 2\,,\\t^{2}-6t+11,{\text{ falls }}2<t\leq 5\,,\\6,{\text{ falls }}5<t\leq 6\,,\\-2t+18\,,{\text{ falls }}6<t\leq 8\,,\end{cases}}$
gegeben ist.
# Stammfunktion/Umkehrfunktion/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Stammfunktion der Umkehrfunktion.
# Stammfunktion/Umkehrfunktion/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Ableiten unter Verwendung von Fakt und Fakt ergibt
    ${\begin{aligned}{\left(yf^{-1}(y)-F{\left(f^{-1}(y)\right)}\right)}'&=f^{-1}(y)+y{\frac {1}{f'(f^{-1}(y))}}-f{\left(f^{-1}(y)\right)}{\frac {1}{f'{\left(f^{-1}(y)\right)}}}\\&=f^{-1}(y).\end{aligned}}$
# Stammfunktion/Substitution/Direkt/Aufgabe/Lösung

Man kann für jeden Summanden einzeln direkt eine Stammfunktion angeben, insgesamt ist
    $-e^{\sin x}+\cos \left(e^{x}\right)+{\frac {7}{2}}\ln \left(x^{2}+3\right)$
# Stammfunktion/Umkehrfunktion/Fakt/Name

Die Formel für die Stammfunktion der Umkehrfunktion.
# Reelle Zahlen/Additive Gruppe und positive multiplikative Gruppe/Bijektion/Aufgabe

Stifte einen Gruppenisomorphismus zwischen der additiven Gruppe der reellen Zahlen $(\mathbb {R} ,0,+)$ und der multiplikativen Gruppe der positiven reellen Zahlen $(\mathbb {R} _{+},1,\cdot )$.
# R^n/Offene Menge/Trivialer Zusammenhang/Ableitungseigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

* Dies ergibt sich aus der expliziten Beschreibung der vertikalen Ableitung zu einem linearen Zusammenhang, siehe Bemerkung.
* Klar wegen (1).
* Folgt aus (2) und aus Fakt.
* Wir schreiben $V=\sum _{i=1}^{n}{h_{i}}\partial _{i}$ und $W=\sum _{j=1}^{n}{f_{j}}\partial _{j}$. Nach Fakt und den schon bewiesenen Teilen ist Für einen Punkt $P\in U$ ist dies Ebenso ist
    ${\begin{aligned}\nabla _{V}W&=\nabla _{\sum _{i=1}^{n}{h_{i}}\partial _{i}}{\left(\sum _{j=1}^{n}{f_{j}}\partial _{j}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{n}h_{i}\partial _{i}f_{j}\right)}\partial _{j}.\end{aligned}}$
    $\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{n}h_{i}(P)(\partial _{i}f_{j})(P)\right)}\partial _{j}.$
    ${\begin{aligned}{\left(DW\right)}_{P}{\left(V(P)\right)}&={\left((\partial _{j}f_{i})(P)\right)}_{ji}{\begin{pmatrix}h_{1}(P)\\\vdots \\h_{n}(P)\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\sum _{i=1}^{n}h_{i}(P){\left(\partial _{i}f_{1}\right)}(P)\\\vdots \\\sum _{i=1}^{n}h_{i}(P){\left(\partial _{i}f_{n}\right)}(P)\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$
# R^n/Orthogonal auf orthogonal/Nicht winkeltreu/Aufgabe

Man gebe zu jedem $r$, $0\leq r<n$, eine lineare Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$
vom Rang $r$ an, die orthogonale Vektoren auf orthogonale Vektoren abbildet, aber keine winkeltreue Abbildung ist.
# R^n/Ohne endlich viele Punkte/Nicht sternförmig/Aufgabe

Es seien $P_{1},\ldots ,P_{k}$ ($k\geq 1$) endlich viele Punkte im $\mathbb {R} ^{n}$. Zeige, dass $\mathbb {R} ^{n}\setminus \{P_{1},\ldots ,P_{k}\}$ nicht sternförmig ist.
# Schultz-Hencke, Harald (1931)

Schultz-Hencke, H.: Schicksal und Neurose. Versuch einer Neurosenlehre vom Bewusstsein her. Jena: G. Fischer 1931, Erstausgabe.
Harald Schultz-Hencke (1892 – 1953) war Arzt und Psychoanalytiker in Berlin. In "Schicksal und Neurose" kritisiert er die klassische Psychoanalyse. Er entwickelte eine eigene, nicht tiefenpsychologisch ausgerichtet Psychotherapie, die er Neopsychoanalyse nannte.
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# Schultz-Hencke, Harald (1940)

Schultz-Hencke, H.: Der gehemmte Mensch. Grundlagen einer Desmologie als Beitrag zur Tiefenpsychologie. Leipzig: G. Thieme 1940, Erstausgabe.
Harald Schultz-Hencke (1892 – 1953) war Arzt und Psychotherapeut. Er verknüpfte die tiefenpsychologischen Theorien S. Freuds, C. G. Jungs und A. Adlers zur Neopsychoanalyse. Schultz-Hencke führte Neurosen auf Hemmungen der „originären Antriebe“ Besitz -, Geltungs- oder Sexualstreben zurück.
Selbstkommentar Schultz-Henckes: Die Lehren Freuds, Adlers und Jungs wurden in ihrer Gegensätzlichkeit als historisch, d. h. überholt behandelt und eine echte, nicht eklektische Synthese der nur scheinbaren „gegensätzlichen“ Lehrmeinungen der drei Forscher dargestellt. (Vorwort zu Lehrbuch der Traumanalyse 1949)
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# Schultz, J. H. (1932)

Schultz, J. H.: Das Autogene Training (konzentrative Selbstentspannung). Versuch einer klinisch-praktischen Darstellung. Mit 16 Abbildungen. Leipzig: G. Thieme 1932, Erstausgabe.
Johannes Heinrich Schultz (1884 – 1970) war von 1936 bis 1945 Leiter des Berliner Instituts für Psychotherapie und Psychoanalyse. Nach dem 2. Weltkrieg betrieb er eine Privatpraxis. Er gilt als bedeutender Vertreter der nicht-analytischen Psychotherapie. Auf ihn gehen die Begriffe Fremd-, Rand-, Schicht- und Kernneurose zurück. Er ereichte bleibende Wirkung mit der von ihm begründeten autosuggestiven Entspannung „Autogenes Training“.
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# Schultz-Hencke, Harald (1949)

Schultz-Hencke, H.: Lehrbuch der Traumanalyse. Stuttgart: G. Thieme 1949, Erstausgabe.
Das Lehrbuch zählt zu den Hauptwerken des Begründers der Neopsychoanalyse Harald Schultz-Hencke (1892 – 1953).
Die ursprüngliche Fassung war 1933 unter dem Titel „Lehre vom Traum“ abgeschlossen,
jedoch wegen der Sexualsymbole im Traum („allzuviel Sexualität“) der Zensur zum Opfer gefallen.
Im Vorwort schreibt Schultz-Hencke 1949: Die Lehre der Tiefenpsychologie hat noch keinen Stand der Reife erreicht, keine hierarchische Ordnung des Wissens, die es erlauben würde, sich, wie das sonst in der Wissenschaft üblich ist, auf eine Fülle von bekannten und gesicherten Forschungsschritten zu beziehen. Hinsichtlich der Traumanalyse vertritt Schultz-Hencke die Auffassung, dass es sich hierbei um ein mehrdimensionales Geschehen handelt, ohne lineare Anordnung der Themen, ohne eindeutige Rangordnung, um Einzelthemen von fließendem Charakter.
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# Schultz. J. H. (1936)

Schultz, J. H.: Neurose Lebensnot ärztliche Pflicht. Klinische Vorlesungen über Psychotherapie für Ärzte und Studierende. Leipzig: G. Thieme 1936
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# Nicht-noethersche Ringe/Beispiel/Reduktion ist Körper/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel eines nicht-noetherschen Ringes, dessen Reduktion ein Körper ist.
# Nevelson, Louise (ca.1960)

Nevelson, Louise (1899 -1988) : Assemblage (Anfang 2. Hälfte 20. Jh.).
Verbund von drei vertikal angeordneten Holzfächern, jeweils 33 x 29,5 x 4,5cm, in die Schreinerei-Holzabfälle montiert sind, einheitlich schwarz gestrichen.
Louise Berliawsky Nevelson (Leah Berliawsky), * 1899 in Kiew, † 1988 in New York) war eine US-amerikanische Bildhauerin und Malerin. Ihre Werke werden dem abstrakten Expressionismus zu geschrieben. Schwerpunkt ihrer Arbeiten bilden relief- und stelenartige Assemblagen aus Möbelfragmenten und Holzabfällen, in der Regel mit schwarzem, aber auch weißem oder goldenem Farbauftrag. Louise Nevelson war Teilnehmerin der documenta III (1964) und der documenta IV (1968). weiter Übersicht zurück
# Riemannsche Fläche/Konstante Funktionen/Holomorphe Funktionen/Holomorphe Differentialform/Nicht höherdimensional/Aufgabe

Zeige, dass für eine höherdimensionale komplexe Mannigfaltigkeit die Sequenz aus Fakt nicht exakt ist.
# Riemannsche Fläche/Komplexe Mannigfaltigkeit/Definition/Begriff

Eine riemannsche Fläche.
# Riemannsche Fläche/Konstante Funktionen/Holomorphe Funktionen/Holomorphe Differentialform/Fakt

Auf einer riemannschen Fläche $X$
liegt die kurze exakte Garbensequenz
vor, wobei ${\mathbb {C} }$ hier die Garbe der lokal konstanten Funktionen mit Werten in ${\mathbb {C} }$ bezeichnet.
# Riemannsche Fläche/Konstante Funktionen/Holomorphe Funktionen/Holomorphe Differentialform/Fakt/Beweis

Dies ist eine lokale Aussage, die auf einer Kreisscheibe aus den entsprechenden Aussagen der Funktionentheorie folgt: Eine holomorphe Funktion ist genau dann konstant, wenn ihre Ableitung gleich $0$ ist, und eine holomorphe Differentialform besitzt auf einer Kreisscheibe eine Stammfunktion, da man zu einer Potenzreihe direkt eine Stammreihe angeben kann, die den gleichen Konvergenzradius besitzt.
# Totale Differenzierbarkeit/K/Polynomiale Funktion/Aufgabe

Zeige, dass eine Polynomfunktion
    $f\colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto f(x_{1},\ldots ,x_{n}),$
in jedem Punkt total differenzierbar ist.
# Totale Differenzierbarkeit/K/R/Aufgabe

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen und
    $\varphi \colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }^{m}$
eine in $P\in {\mathbb {C} }$ total differenzierbare Abbildung. Zeige, dass $\varphi$ auch aufgefasst als Abbildung von $U\subseteq \mathbb {R} ^{2n}$ nach $\mathbb {R} ^{2m}$ in $P$ total differenzierbar ist.
# Quadratischer Zahlbereich/Ideal/Norm ist prim/Maximal/Aufgabe

Es sei $R$ ein quadratischer Zahlbereich und ${\mathfrak {a}}$ ein Ideal in $R$ mit der Eigenschaft, dass die Norm von ${\mathfrak {a}}$ eine Primzahl ist. Zeige, dass ${\mathfrak {a}}$ ein maximales Ideal ist.
# Quadratischer Zahlbereich/Ideal/Zweiter Koeffizient/Ideal/Aufgabe

Es sei $R$ ein quadratischer Zahlbereich mit der $\mathbb {Z}$-Basis $1$ und $\omega$ und einem von $0$ verschiedenen Ideal ${\mathfrak {a}}$. Zeige, dass
    ${\left\{s\mid {\text{Es gibt }}r+s\omega \in {\mathfrak {a}}\right\}}$
ein Ideal in $\mathbb {Z}$ ist.
# Quadratischer Zahlbereich/Idealpotenz ist Hauptideal/Fakt/Name

Der Satz über die Potenzen von Idealen in einem quadratischen Zahlbereich.
# Totales Differential/Komplexe Konjugation/Aufgabe

Ist die komplexe Konjugation ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$, $z\longmapsto {\overline {z}}$ komplex-differenzierbar? Ist sie reell-differenzierbar?
# Totales Differential/Parabel/-3/Aufgabe

Ist die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2},$
im Punkt $-3$ total differenzierbar? Was ist das totale Differential in diesem Punkt?
# Totales Differential/R/Addition und Multiplikation/Aufgabe

Berechne für die Addition
    $+\colon {\mathbb {R} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {R} },\,(x,y)\longmapsto x+y,$
und für die Multiplikation
    $\cdot \colon {\mathbb {R} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {R} },\,(x,y)\longmapsto x\cdot y,$
das totale Differential.
# Totales Differential/R/Eindimensionale Produktregel/Aufgabe

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall und seien
    $f,g\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
zwei differenzierbare Funktionen. Beweise die Produktregel aus der allgemeinen Kettenregel unter Verwendung von Aufgabe.
# Totales Differential/K/xy-2y^3+5,x^3-xy^2+y/Aufgabe

a) Berechne das totale Differential der Abbildung
    $\varphi \colon {\mathbb {K} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{2},\,(x,y)\longmapsto \left(xy-2y^{3}+5,\,x^{3}-xy^{2}+y\right),$
in jedem Punkt.
b) Was ist das totale Differential im Punkt $(1,2)$?
c) Berechne die Richtungsableitung in diesem Punkt in Richtung $(4,-3)$.
d) Berechne den Wert von $\varphi$ in diesem Punkt.
# Totales Differential/K/xy-zy+2z^2,sin(x^2yz)/Aufgabe

a) Berechne das totale Differential der Abbildung
    $\varphi \colon {\mathbb {K} }^{3}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{2},\,(x,y,z)\longmapsto (xy-zy+2z^{2},\sin(x^{2}yz)),$
in jedem Punkt.
b) Was ist das totale Differential im Punkt $(1,-1,\pi )$?
c) Berechne die Richtungsableitung in diesem Punkt in Richtung $(2,0,5)$.
d) Berechne den Wert von $\varphi$ in diesem Punkt.
# Totales Differential/R/Kettenregel/(u^2,uv,u-v^2) und (x+y^2-z,x^2yz) und (r^2s,s^2)/Vier Möglichkeiten/Aufgabe

Wir betrachten die Funktionen
    $\mathbb {R} ^{2}{\stackrel {f}{\longrightarrow }}\mathbb {R} ^{3}{\stackrel {g}{\longrightarrow }}\mathbb {R} ^{2}{\stackrel {h}{\longrightarrow }}\mathbb {R} ^{2}$
mit
    $f(u,v)=(u^{2},uv,u-v^{2}),$
    $g(x,y,z)=(x+y^{2}-z,x^{2}yz),$
und
    $h(r,s)=(r^{2}s,s^{2}).$
Berechne das totale Differential von $h\circ g\circ f$ in einem beliebigen Punkt $P=(u,v)$ auf vier verschiedene Arten.
# Totales Differential/K/x+y^2,xy,exp(x)/Aufgabe

a) Berechne das totale Differential der Abbildung
    $\varphi \colon {\mathbb {K} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{3},\,(x,y)\longmapsto (x+y^{2},xy,\exp x),$
in jedem Punkt.
b) Was ist das totale Differential im Punkt $(3,2)$?
c) Berechne die Richtungsableitung in diesem Punkt in Richtung $(-1,-7)$.
d) Berechne den Wert von $\varphi$ in diesem Punkt.
# Tschirnhausen Kubik/Projektive Punkte/Aufgabe

Bestimme für die durch $V{\left(X^{3}+3X^{2}-Y^{2}\right)}$ gegebene Tschirnhausen Kubik die Singularitäten unter Berücksichtigung der unendlich fernen Punkte. Bestimme die Tangenten in den Singularitäten und in den unendlich fernen Punkten.
# Tübke, Werner (1987)

Tübke, Werner (1929 - 2004): Mordszene (1987). Lithographie, Darstellung 19,2 x 31,8 cm, Exemplar 33/60, signiert, hinter Passepartout und unter Glas gerahmt. Provenienz: Galerie am Sachsensplatz Leipzig, Mai 2010.
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# U-Bahn/Graphinterpretationen/Graphhomomorphismus/Aufgabe

Bringe die drei Interpretationen eines U-Bahn-Netzes aus Beispiel mit dem Konzept Untergraph in Verbindung.
# Turmzug/Schachbrett/Knotengrad/Aufgabe

Bestimme für den durch den Turm auf dem Schachbrett gegebenen Erreichbarkeitsgraphen, wie viele Punkte welchen Grad besitzen. Was ist die durchschnittliche Gradzahl?
# Riemannsche Flächen/Biholomorphe Abbildungen/Einführung/Textabschnitt
## Satz

Es seien $X$ und $Y$ riemannsche Flächen und sei $\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine bijektive holomorphe Abbildung.
Dann ist auch die Umkehrabbildung $\varphi ^{-1}\colon Y\rightarrow X$ holomorph.

### Beweis

Wegen Fakt ist auch die Umkehrabbildung $\varphi ^{-1}$ stetig. Die Holomorphe der Umkehrabbildung folgt mit Fakt (5) aus der lokalen Version Fakt.
$\Box$

## Definition

Zwei riemannsche Flächen $X$ und $Y$ heißen biholomorph, wenn es holomorphe Abbildungen $\varphi \colon X\rightarrow Y$ und $\psi \colon Y\rightarrow X$ gibt mit $\psi \circ \varphi =\operatorname {Id} _{X}$ und $\varphi \circ \psi =\operatorname {Id} _{Y}$.
Statt biholomorph sagt man häufig auch einfach isomorph. Fakt besagt, dass eine bijektive holomorphe Abbildung automatisch biholomorph ist. Biholomorphe riemannsche Flächen sind insbesondere homöomorph und als reelle Mannigfaltigkeiten diffeomorph. Die Umkehrung gilt dabei nicht, wie das folgende Beispiel zeigt.

## Beispiel

Die komplexen Zahlen ${\mathbb {C} }$ und die offene Kreisscheibe $U{\left(0,1\right)}$ sind nicht biholomorph, da jede holomorphe Funktion ${\mathbb {C} }\rightarrow U{\left(0,1\right)}$ nach Fakt konstant ist.
# Riemannsche Flächen/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine riemannsche Fläche.
* Ein eindimensionaler komplexer Torus.
* Die analytische Fortsetzung eines holomorphen Funktionskeimes längs eines stetigen Weges $\gamma \colon [0,1]\rightarrow X$ auf einer riemannschen Fläche $X$.
* Der Hauptteil zu einer meromorphen Funktion $f$ auf einer riemannschen Fläche $X$.
* Die Divisorenklassengruppe einer riemannschen Fläche.
* Das Periodengitter einer zusammenhängenden kompakten riemannschen Fläche $X$.
# Riemannsche Flächen/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Decktransformation zu einer Überlagerung $p\colon Y\rightarrow X$.
* Ein Gitter in den komplexen Zahlen ${\mathbb {C} }$.
* Eine Garbe ${\mathcal {G}}$ auf einem topologischen Raum $X$.
* Eine holomorphe Differentialform $\omega$ auf einer riemannschen Fläche $X$.
* Der Hauptdivisor zu einer meromorphen Funktion $f\neq 0$ auf einer zusammenhängenden riemannschen Fläche $X$.
* Die Jacobische Varietät zu einer zusammenhängenden kompakten riemannschen Fläche $X$.
# Riemannsche Flächen/C und Kreis/Nicht biholomorph/Beispiel

Die komplexen Zahlen ${\mathbb {C} }$ und die offene Kreisscheibe $U{\left(0,1\right)}$ sind nicht biholomorph, da jede holomorphe Funktion ${\mathbb {C} }\rightarrow U{\left(0,1\right)}$ nach Fakt konstant ist.
# Stammfunktion/(sqrt(x^2+x+1))^2 +4 sqrt(x^2+x+1) x^3 -3 x durch x^2 sqrt(x^2+x+1)/Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion
    ${\frac {({\sqrt {x^{2}+x+1}})^{2}+4x^{3}{\sqrt {x^{2}+x+1}}-3x}{x^{2}{\sqrt {x^{2}+x+1}}}}.$
# Stammbrüche/Promille/Aufgabe

Drücke die Stammbrüche bis ${\frac {1}{20}}$ in gerundeten Promille aus.
# Stammfunktion/(sqrt(x^2+x+1))^3 +4 sqrt(x^2+x+1) x^3 -3 sqrt(x^2+x+1) x durch x^2 sqrt(x^2+x+1)/Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion
    ${\frac {({\sqrt {x^{2}+x+1}})^{3}+4x^{3}{\sqrt {x^{2}+x+1}}-3x{\sqrt {x^{2}+x+1}}}{x^{2}{\sqrt {x^{2}+x+1}}}}.$
# Stammbrüche/Reihendivergenz/Filter?/Aufgabe

Wir betrachten die Menge
    ${\mathcal {G}}={\left\{T\subseteq \mathbb {N} _{+}\mid \sum _{n\in T}{\frac {1}{n}}{\text{ ist eine divergente Reihe}}\right\}}.$
Ist ${\mathcal {G}}$ ein Filter?
# Stammfunktion/1+3 sechte Wurzel x-2 durch dritte Wurzel (x-2)^2 - Wurzel x-2/Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion
    ${\frac {1+3{\sqrt[{6}]{x-2}}}{{\sqrt[{3}]{(x-2)^{2}}}-{\sqrt {x-2}}}}.$
# Transitivität der Teilbarkeit/Ableitung/Aufgabe

Formuliere mit dem zweistelligen Funktionssymbol $\cdot$ die Aussage, dass wenn eine Zahl $a$ die Zahl $b$ teilt und $b$ die Zahl $c$ teilt, dass dann $a$ auch $c$ teilt.
Erstelle eine Ableitung für diese Aussage.