OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Elliptische Kurve/Y^2 ist X^3+1/Endlicher Körper/Punkteanzahl/Beispiel

Wir betrachten die elliptische Kurve, die durch
    $y^{2}=x^{3}+1\,$
gegeben ist, für verschiedene endliche Körper der Charakteristik
$p\geq 5$.
Es sei $K=\mathbb {Z} /(5)$. Die rechte Seite der Gleichung ist durch
gegeben. Im Körper mit $5$ Elementen besitzen $0,1,4$ Quadratwurzeln und daher sind die Lösungen der Gleichung gleich
    $(0,1),\,(0,-1),\,(2,2),\,(2,-2),\,(4,0),\,{\mathfrak {O}},$
also $6$ Stück, was genau mit $p+1$ übereinstimmt.
Es sei $K=\mathbb {Z} /(7)$. Die rechte Seite der Gleichung ist durch
gegeben. Im Körper mit $7$ Elementen besitzen $0,1,2,4$ Quadratwurzeln, es kommen also nur Quadrate in der rechten Seite der Gleichung vor. Daher sind die Lösungen der Gleichung gleich
    $(0,1),\,(0,-1),\,(1,3),\,(1,-3),\,(2,3),\,(2,-3),\,(3,0),\,(4,3),\,(4,-3),\,(5,0),\,(6,0),\,{\mathfrak {O}},$
also $12$ Stück. Es ist
    $12-8=4\leq 2{\sqrt {7}}\sim 5,29\,,$
von der Hasse-Schranke her könnte es noch einen Punkt mehr geben, wir sind aber schon relativ nah an der oberen Schranke.
Es sei $K=\mathbb {Z} /(11)$. Die rechte Seite der Gleichung ist durch
gegeben. Im Körper mit $11$ Elementen besitzen $0,1,3,4,5,-2$ Quadratwurzeln, es kommen also nur Quadrate in der rechten Seite der Gleichung vor. Daher sind die Lösungen der Gleichung gleich
    $(0,1),\,(0,-1),\,(2,3),\,(2,-3),\,(5,4),\,(5,-4),\,(-4,5),\,(-4,-5),\,(-2,2),\,(-2,-2),\,(-1,0),\,{\mathfrak {O}},$
also $12$ Stück, was genau mit $p+1$ übereinstimmt. Von der Hasse-Schranke her, die bei kleinen Primzahlen ziemlich grob ist, wäre eine Lösungsanzahl zwischen $6$ und $18$ denkbar.
# Varietät/Glatter Punkt/Selbstprodukt/Beschreibung der Diagonalen/Fakt/Beweis

Es sei $R=K[X_{1},\ldots ,X_{m}]/{\mathfrak {a}}$ der Koordinatenring von $V$ und sei ${\mathfrak {m}}_{P}$ das maximale Ideale zu $P$ in $R$. Im lokalen Ring ${\mathcal {O}}_{P}=R_{{\mathfrak {m}}_{P}}$ gibt es nach Voraussetzung und Fakt eine Beschreibung der Form ${\mathfrak {m}}_{P}={\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}$. Wir können nach Fakt $V$ verkleinern, d.h. zu einer affinen offenen Teilmenge
    $P\in U=D(g)\subseteq V\,$
übergehen und dann annehmen, dass $f_{1},\ldots ,f_{n}\in R$ und dort bereits ${\mathfrak {m}}_{P}={\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}$ gilt. Es ist $R\otimes _{K}R$ nach Fakt und Fakt der Koordinatenring des Produktes $V\times V$. Wir betrachten die Funktionen
    $h_{i}=f_{i}\otimes 1-1\otimes f_{i}\in R\otimes _{K}R\,,$
diese Funktionen wirken auf $V\times V$ durch
    ${\left(f_{i}\otimes 1-1\otimes f_{i}\right)}(Q,Q')=f_{i}(Q)-f_{i}(Q')\,.$
Bezüglich der Einbettung (vergleiche Fakt)
    $V\cong V\times \{P\}\longrightarrow V\times V$
erhält man durch einschränken aus den $h_{i}$ die $f_{i}$ zurück. Da die $f_{i}$ modulo ${\mathfrak {m}}_{P}^{2}$ linear unabhängig sind, gilt dies auch für $h_{i}$ modulo ${\mathfrak {m}}_{(P,P)}^{2}$.
Für die Diagonale ist offenbar
    $\Delta \subseteq V(h_{1},\ldots ,h_{n})\,.$
Der Punkt $(P,P)\in \Delta$ ist in $V\times V$ nach Fakt ein glatter Punkt und damit ist der lokale Ring ${\mathcal {O}}_{(P,P)}$ regulär nach Fakt. Seine Dimension ist $2n$ nach Fakt. Nach Fakt ist ${\mathcal {O}}_{V\times V,(P,P)}/(h_{1},\ldots ,h_{n})$ regulär der Dimension $n$. Insbesondere ist $(h_{1},\ldots ,h_{n})$ nach Fakt ein Primideal in ${\mathcal {O}}_{V\times V,(P,P)}$ der Dimension $n$ und daher muss $\Delta =V(h_{1},\ldots ,h_{n})$ gelten.
# Bruch/Nullen/Stellensystem unbekannt/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\frac {541000}{3520000}}={\frac {541}{3520}}\,$
$n$
$b^{n}$
$b$
# Endomorphismus/Polynom/Trigonalisierbar/Aufgabe

Es sei $\varphi \colon V\rightarrow V$ ein trigonalisierbarer Endomorphismus auf dem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$ und sei $P\in K[X]$ ein Polynom. Zeige, dass $P(\varphi )$ ebenfalls trigonalisierbar ist.
# Elliptische Kurve/Y^2 ist X^3+1/Endlicher Körper/Zeta-Funktion/Beispiel

Wir betrachten über dem endlichen Körper $\mathbb {Z} /(5)$ die elliptische Kurve $E$, die durch
    $y^{2}=x^{3}+1\,$
gegeben ist. Sie besitzt nach Beispiel sechs Elemente, also $N_{1}=6$. Das charakteristische Polynom der Darstellung des Frobenius auf dem Tate-Modul ist nach Fakt gleich
    $T^{2}+5=(T-{\sqrt {5}}{\mathrm {i} })(T+{\sqrt {5}}{\mathrm {i} })\,,$
also $\alpha ,\beta =\pm {\sqrt {5}}{\mathrm {i} }$ in der Notation von Fakt. Die Anzahl der Punkte von $E$ über ${\mathbb {F} }_{5^{n}}$ ist
    ${\#\left(E({\mathbb {F} }_{q^{n}})\right)}=5^{n}+1-(-{\sqrt {5}})^{n}{\mathrm {i} }^{n}-{\sqrt {5}}^{n}{\mathrm {i} }^{n}=5^{n}+1-((-1)^{n}+1){\sqrt {5}}^{n}{\mathrm {i} }^{n}\,.$
Für $n$ ungerade ist also die Anzahl gleich $5^{n}+1$. Für $n=2\mod 4$ ist die Anzahl gleich $5^{n}+1+2\cdot 5^{n/2}$ und für $n=0\mod 4$ ist die Anzahl gleich $5^{n}+1-2\cdot 5^{n/2}$. Für gerades $n$ wird also die Hasse-Schranke ausgeschöpft. Die Zeta-Funktion von $E$ ist nach Fakt gleich
    $Z(E;t)={\frac {1+5t^{2}}{(1-t)(1-5t)}}\,.$
# Varietäten/Glatte Punkte/Produkt/Fakt/Beweis

Es sei $P\in V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{m}}$ wobei $V$ durch die Polynome $f_{1},\ldots ,f_{r}$ auf dem affinen Raum ${{\mathbb {A} }_{K}^{m}}$ beschrieben werde, deren Jacobimatrix im Punkt $P$ einen Rang $\geq m-\operatorname {dim} V$ besitze. Entsprechend sei $Q\in W\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ wobei $W$ durch die Polynome $g_{1},\ldots ,g_{s}$ auf dem affinen Raum ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ beschrieben werde, deren Jacobimatrix im Punkt $Q$ einen Rang $\geq n-\operatorname {dim} {\left(W\right)}$ besitze. Dann beschreiben die Polynome
    $(f,g)=(f_{1},\ldots ,f_{r},g_{1},\ldots ,g_{s})\colon {{\mathbb {A} }_{K}^{m}}\times {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1}$
(wobei die $f_{i}$ nur von den vorderen und die $g_{j}$ nur von den hinteren Variablen abhängen) die Produktvarietät $V\times W$. Die Jacobimatrix zu $(f,g)$ ist eine Blockmatrix, deshalb ist ihr Rang gleich der Summe der Einzelränge und insbesondere $\geq m-\operatorname {dim} {\left(V\right)}+n-\operatorname {dim} {\left(W\right)}$. Die Dimension von $V\times W$ ist nach Fakt gleich $\operatorname {dim} {\left(V\right)}+\operatorname {dim} {\left(W\right)}$, daher erfüllen $(f_{1},\ldots ,f_{r},g_{1},\ldots ,g_{s})$ insgesamt die Rangbedingung und $(P,Q)$ ist ein glatter Punkt.
# Bruch/Primfaktorzerlegung/Allgemein/Aufgabe/Lösung

Zum Beweis der Existenz sei
    $z={\frac {a}{b}}\,$
mit $a\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}$ (sonst wäre die Zahl gleich $0$) und $b\in \mathbb {N} _{+}$. Wir schreiben die Zahlen in ihrer Primfaktorzerlegung, also
    $a=\pm \prod _{p}p^{\exp _{p}(a)}\,$
und
    $b=\prod _{p}p^{\exp _{p}(b)}\,,$
wobei wir annehmen dürfen, dass sich beide Produkte über die gleichen Primzahlen erstrecken (und manche Exponenten gleich $0$ sind). Dann ist unter der Verwendung von Potenzgesetzen
    ${\begin{aligned}z&={\frac {a}{b}}\\&={\frac {\pm \prod _{p}p^{\exp _{p}(a)}}{\prod _{p}p^{\exp _{p}(b)}}}\\&=\pm {\left(\prod _{p}p^{\exp _{p}(a)}\right)}{\left(\prod _{p}p^{\exp _{p}(b)}\right)}^{-1}\\&=\pm {\left(\prod _{p}p^{\exp _{p}(a)}\right)}{\left(\prod _{p}p^{-{\exp _{p}(b)}}\right)}\\&=\pm \prod _{p}p^{{\exp _{p}(a)}-{\exp _{p}(b)}}\end{aligned}}$
mit ${\exp _{p}(a)}-{\exp _{p}(b)}\in \mathbb {Z}$. Zum Beweis der Eindeutigkeit sei
    $\pm \prod _{p}p^{r_{p}}=\pm \prod _{p}p^{s_{p}}\,$
mit $r_{p},s_{p}\in \mathbb {Z}$, wobei wir annehmen können, dass sich die Produkte über die gleiche endliche Menge von Primzahlen erstrecken. Das Vorzeichen muss links und rechts gleich sein, da eine negative rationale Zahl nicht mit einer positiven rationalen Zahl übereinstimmen kann. Wir können also annehmen, dass zwei positive Zahlen vorliegen. Wenn ein Exponent $r_{p}$ negativ ist, so können wir mit $p^{-r_{p}}$ beidseitig multiplizieren und erhalten so letztlich eine Gleichheit, in der nur noch nichtnegative Exponenten vorkommen und somit positive natürliche Zahlen dastehen. Der Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie
# Endomorphismus/Potenz ist Identität/Eigenwerte sind Einheitswurzeln/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung mit
    $\varphi ^{n}=\operatorname {Id} _{V}\,$
für ein gewisses $n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass jeder Eigenwert $\lambda$ von $\varphi$ die Eigenschaft $\lambda ^{n}=1$ besitzt.
# Polynomring/Auswertung/Bemerkung

Es sei $K$ ein Körper, $K[X]$ der Polynomring über $K$ und $a\in K$. Dann ist die Einsetzungsabbildung
    $K[X]\longrightarrow K,\,P\longmapsto P(a),$
$K$-linear. Darüber hinaus gilt
    $(PQ)(a)=P(a)Q(a)\,,$
siehe Aufgabe.
# Elliptische Kurve/Y^2 ist X^3+1/Reduktionsverhalten/Beispiel

Wir betrachten die elliptische Kurve $E$, die durch die affine Gleichung
    $Y^{2}=X^{3}+1\,$
gegeben ist. Die partiellen Ableitungen sind
    $2Y\,\,{\text{ und }}\,\,3X^{2}.$
Bei $p\neq 2,3$ verschwinden die beiden partiellen Ableitungen nur im Punkt $(0,0)$, doch dies ist kein Punkt der Kurve. Für $p\geq 5$ ist die Kurve $E_{p}$ also glatt und es liegt gute Reduktion vor. Bei $p=2$ liegt in $(0,1)$ ein singulärer Punkt der Kurve vor. In den lokalen Koordinaten $(X,Y-1)$ wird das beschreibende Polynom zu $(Y-1)^{2}-X^{3}$. Das ist eine Neilsche Parabel und es liegt eine Kuspe, also additive Reduktion vor. Bei $p=3$ liegt in $(-1,0)$ ein singulärer Punkt der Kurve vor. In den lokalen Koordinaten $(X+1,Y)$ wird das beschreibende Polynom zu $Y^{2}-(X+1)^{3}$. Das ist wieder eine Neilsche Parabel und es liegt wieder additive Reduktion vor.
# Vektor/Linearform/Nulltest/Fakt/Beweis

Der eindimensionale $K$-Untervektorraum $Kv\subseteq V$ besitzt ein direktes Komplement, also
    $V=Kv\oplus U\,$
mit einem Untervektorraum $U\subseteq V$. Die Projektion auf $Kv$ zu dieser Zerlegung bildet $v$ auf $1$ ab.
# Bruch/Vielfaches/Dezimalbruch/1/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\frac {1}{84}}={\frac {1}{2\cdot 2\cdot 3\cdot 7}}\,.$
Das $21$-ste Vielfache davon ist
    $21\cdot {\frac {1}{84}}={\frac {1}{4}}\,,$
$21$
$3$ oder $7$
# Endomorphismus/Spur/Wohldefiniertheit/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $n\in \mathbb {N} _{+}$ und seien $M,N\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ Matrizen, die in der Beziehung
    $M=BNB^{-1}$
mit einer invertierbaren Matrix $B\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ stehen. Zeige, ohne das charakteristische Polynom zu verwenden, dass
    $\operatorname {Spur} {\left(N\right)}=\operatorname {Spur} {\left(M\right)}\,$
ist.
# Polynomring/Charakteristik 0/Differentialoperatoren/Unitär/Bemerkung

Die Differentialoperatoren ${\frac {\partial ^{\alpha }}{\alpha !}}$ haben die besondere Eigenschaft, dass sie $X^{\alpha }$ auf $1$ abbilden. Generell gibt es für jedes Polynom $f\neq 0$ einen Operator, der dieses Polynom auf $1$ abbildet. Wenn $f$ die Form
    $f=\sum _{\beta =d}c_{\beta }X^{\beta }+\sum _{\beta <d}c_{\beta }X^{\beta }\,$
mit einem $c_{\alpha }\neq 0$ vom Grad $d$ für ein bestimmtes $\alpha$, so ist ${\frac {\partial ^{\alpha }}{\alpha !}}$ ein Operator, der $f$ auf $c_{\alpha }$ abbildet.
# Elliptische Kurve/Y^2 ist X^3+X/Z mod 5/Anzahl und Grad/Beispiel

WIr betrachten die durch die Gleichung
    $Y^{2}=X^{3}+X\,$
über dem Körper $\mathbb {Z} /(5)$ gegebene elliptische Kurve $E$. Wegen
    $h(X)=X^{3}+X=X(X+2)(X+3)\,$
liegt in der Tat Glattheit vor. Die über $\mathbb {Z} /(5)$ definierten Punkte sind
    ${\mathfrak {O}},(0,0),(3,0),(2,0),$
was nach Fakt genau die vier Torsionspunkte zur Ordnung $2$ sind. Der Frobenius ist durch $X\mapsto X^{5},\,Y\mapsto Y^{5}$ gegeben und besitzt nach Fakt den Grad $5$, auf der Punktebene ist es die Abbildung
    $\Phi \colon E_{\overline {\mathbb {Z} /(5)}}\longrightarrow E_{\overline {\mathbb {Z} /(5)}},\,(x,y)\longmapsto (x^{5},y^{5}).$
Entsprechend wird die Abbildung $\operatorname {Id} _{E_{\overline {\mathbb {Z} /(5)}}}-\Phi$ durch
    $\Phi \colon E_{\overline {\mathbb {Z} /(5)}}\longrightarrow E_{\overline {\mathbb {Z} /(5)}},\,(x,y)\longmapsto (x,y)-(x^{5},y^{5}),$
gegeben. Unter Verwendung von Fakt ist
    $(x,y)-(x^{5},y^{5})=(x,y)+(x^{5},-y^{5})=\left(\alpha ^{2}-x-x^{5},\,-\alpha ^{3}+\alpha (x+x^{5})-y+\alpha x\right)\,$
mit $\alpha ={\frac {-y^{5}-y}{x^{5}-x}}={\frac {x^{2}+x^{6}+x^{10}+1}{-y^{5}+y}}$. Nach Fakt ist der Grad dieser Abbildung gleich $4$. Diese Abbildung stimmt mit der Verdoppelungsabbildung überein, siehe Aufgabe.
# Bruch/Vierersystem/Rechnung/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\frac {321}{203}}+{\frac {131}{301}}={\frac {321\cdot 301+131\cdot 203}{203\cdot 301}}\,.$
Die Multiplikationen berechnen wir einzeln. Es ist
    $321\cdot 301=223221\,,$
    $131\cdot 203=33313\,$
und
    $203\cdot 301=122303\,.$
Die obige Summe ergibt somit
    ${\frac {223221+33313}{122303}}={\frac {323200}{122303}}\,.$
# Endomorphismus/Stabil/Direkte Summenzerlegung/Aufgabe

Es sei
    $V=U\oplus W\,$
eine direkte Summenzerlegung eines endlichdimensionalen ${\mathbb {K} }$-Vektorraumes und es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
ein Endomorphismus mit einer direkten Summenzerlegung
    $\varphi =\psi \oplus \theta \,.$
Zeige, dass $\varphi$ genau dann stabil ist, wenn sowohl $\psi$ als auch $\theta$ stabil sind.
# Polynomring/Charakteristik p/Differentialoperatoren/Taylor-Reihe/Unitär/Bemerkung

Die mehrdimensionale Taylor-Formel (bis zur Ordnung $k$) hat die Form (siehe Fakt)
    $f(P+v)\sim \sum _{\vert {\,\alpha \,}\vert \leq k}{\frac {\partial ^{\alpha }(f)}{\alpha !}}\cdot v^{\alpha }\,.$
Dabei ist $f$ eine hinreichend oft differenzierbare Funktion in einer Umgebung eines Punktes $P\in \mathbb {R} ^{n}$, $v$ repräsentiert einen von $P$ ausgehenden Vektor und $\sim$ bedeutet, dass der Fehlerterm in einem gewissen Sinne klein ist. Wenn $f$ ein Polynom über einem beliebigen Körper ist, so gilt diese Beziehung nach wie vor (bei $k$ hinreichend groß handelt es sich um eine Gleichung), und zwar im Polynomring $K[X_{1},\ldots ,X_{n},V_{1},\ldots ,V_{n}]$, und diese Beziehung lässt sich direkt algebraisch beweisen. Beispielsweise ist für $f=X^{2}+XY+Y^{3}$
    ${\begin{aligned}(X+U)^{2}+(X+U)(Y+V)+(Y+V)^{3}&=X^{2}+2XU+U^{2}+XY+XV+UY+UV+Y^{3}+3YV^{2}+3Y^{2}V+V^{3}\\&=X^{2}+XY+Y^{3}+{\left(2X+Y\right)}U+{\left(X+3Y^{2}\right)}V+UV+U^{2}+3YV^{2}+V^{3}.\end{aligned}}$
Die Koeffizientenfunktion vor $U^{2}$, also die konstante Funktion $1$, kann man als $\partial _{X}(f)/2!$ erhalten. Da die Gleichung aber algebraisch ist, gilt sie in jeder Charakteristik. In der Tat kann man den Ausdrücken ${\frac {\partial ^{\alpha }}{\alpha !}}(f)$ auch in positiver Charakteristik einen wohldefinierten Sinn zuordnen, nämlich eben als Koeffizientenfunktion zu $V^{\alpha }$ in der Taylor-Entwicklung. Zur Berechnung kann man dabei so vorgehen, dass man „normal“ vollständig ableitet und die vorgezogenen Exponenten erstmal in $\mathbb {Z}$ belässt, dann mit $\alpha !$ kürzt (das Ergebnis bleibt in $\mathbb {Z}$) und erst dann diese Zahl in $K$ interpretiert.
Über einem Körper der Charakteristik $p$ gibt es also auch die Differentialoperatoren ${\frac {\partial ^{\alpha }}{\alpha !}}$. Insbesondere ist
    ${\frac {\partial ^{\alpha }}{\alpha !}}(X^{\alpha })=1\,.$
Diese Operatoren sind aber nicht, wie in Charakteristik $0$, als eine Hintereinanderschaltung von partiellen Ableitungen realisierbar. Der Ring aller Differentialoperatoren ist in positiver Charakteristik nicht endlich erzeugt.
# Elliptische Kurve/Y^2 ist X^3-X/Reduktionsverhalten/Beispiel

Wir betrachten die elliptische Kurve $E$, die durch die affine Gleichung
    $Y^{2}=X^{3}-X=X(X-1)(X+1)\,$
gegeben ist. Die partiellen Ableitungen sind
    $2Y\,\,{\text{ und }}\,\,3X^{2}-1.$
Bei $p\neq 2$ verschwindet die erste partielle Ableitung nur bei $Y=0$. Wegen der Kurvengleichung ist dann $X=0,1,-1$ doch dann verschwindet die zweite partielle Ableitung nicht. Für $p\geq 3$ ist die Kurve $E_{p}$ also glatt und es liegt gute Reduktion vor. Bei $p=2$ liegt in $(1,0)$ ein singulärer Punkt der Kurve vor. In den lokalen Koordinaten $(X-1,Y)$ wird das beschreibende Polynom zu $Y^{2}+(X+1)^{3}+(X+1)^{2}$. Wir schreiben dies mit $W=X+1$ als
    $Y^{2}+(X+1)^{3}+(X+1)^{2}=Y^{2}+W^{3}+W^{2}=(Y+W)^{2}+W^{3}\,$
und somit ist dies eine Neilsche Parabel. Es liegt also additive Reduktion vor.
# Vektorfeld/Stetig partiell differenzierbar in Raumrichtung/Lokal Lipschitz Bedingung/Fakt/Beweis

Sei $P=(t,v)=(t,v_{1},\ldots ,v_{n})$
$I\times U$
    $U{\left(t,\epsilon \right)}\times U{\left(v,\epsilon \right)}$
$P$
$I\times U$
    $B=B\left(t,\epsilon \right)\times B\left(v,\epsilon \right)\subseteq I\times U\,$
ist. Dieses $B$ ist eine abgeschlossene Umgebung von $P$ und daher kompakt. Da die partiellen Ableitungen ${\frac {\partial f_{i}}{\partial v_{j}}}$ nach Voraussetzung stetig sind, gibt es nach Fakt eine gemeinsame Schranke $c\in \mathbb {R}$ mit
    $\Vert {{\frac {\partial f_{i}}{\partial v_{j}}}(Q)}\Vert \leq c\,$
für alle $Q\in B$. Daher gibt es für die Matrizen ${\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial v_{j}}}(Q)\right)}_{1\leq i,j\leq n}$ eine Schranke $L$ mit
    $\Vert {{\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial v_{j}}}(Q)\right)}_{1\leq i,j\leq n}}\Vert \leq L\,.$
Man kann daher zu jedem festen Zeitpunkt $s\in U{\left(t,\epsilon \right)}$ Fakt anwenden und erhält für $u,u'\in U{\left(v,\epsilon \right)}$ die Abschätzung
    $\Vert {f(s,u)-f(s,u')}\Vert \leq L\cdot \Vert {u-u'}\Vert \,.$
# Brüche/Produkte/Induktion/Aufgabe/Lösung

Induktionsanfang. Für $n=2$ steht links
    $1-{\frac {1}{4}}={\frac {3}{4}}\,$
und rechts ebenfalls
    ${\frac {2+1}{4}}={\frac {3}{4}}\,.$
Als Induktionsvoraussetzung nehmen wir an, dass die Gleichheit für ein bestimmtes $n$ gilt. Dann ist
    ${\begin{aligned}\prod _{k=2}^{n+1}{\left(1-{\frac {1}{k^{2}}}\right)}&={\left(\prod _{k=2}^{n}{\left(1-{\frac {1}{k^{2}}}\right)}\right)}\cdot {\left(1-{\frac {1}{(n+1)^{2}}}\right)}\\&={\frac {n+1}{2n}}\cdot {\left(1-{\frac {1}{(n+1)^{2}}}\right)}\\&={\frac {n+1}{2n}}\cdot {\frac {(n+1)^{2}-1}{(n+1)^{2}}}\\&={\frac {n+1}{2n}}\cdot {\frac {n^{2}+2n+1-1}{(n+1)^{2}}}\\&={\frac {n+1}{2n}}\cdot {\frac {n(n+2)}{(n+1)^{2}}}\\&={\frac {n+2}{2(n+1)}}\\&={\frac {(n+1)+1}{2(n+1)}}.\end{aligned}}$
$n+1$
# Endomorphismus/Unterraumbedingung/Matrizen/Aufgabe

Im $\mathbb {R} ^{3}$ seien die Vektoren $u={\begin{pmatrix}6\\9\\-2\end{pmatrix}}$ und $v={\begin{pmatrix}4\\-4\\7\end{pmatrix}}$ gegeben. Wir betrachten den Untervektorraum
    $U\subseteq \operatorname {Hom} _{\mathbb {R} }{\left(\mathbb {R} ^{3},\mathbb {R} ^{3}\right)}\,,$
der aus allen linearen Abbildungen $\varphi$ besteht, die gleichzeitig die beiden folgenden Bedingungen erfüllen:
a) $\varphi (u)\in \langle {\begin{pmatrix}2\\8\\3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}7\\0\\5\end{pmatrix}}\rangle$.
b) $\varphi (v)\in \langle {\begin{pmatrix}6\\-5\\4\end{pmatrix}}\rangle$.
* Bestimme die Dimension von $U$.
* Beschreibe den entsprechenden Unterraum des Matrizenraums bezüglich passend gewählter Basen durch lineare Gleichungen.
* Beschreibe den entsprechenden Unterraum des Matrizenraums bezüglich passend gewählter Basen durch eine Basis.
# Polynomring/Differentialoperatoren/Offene Teilmenge bzw. Nenneraufnahme/Bemerkung

Einen Differentialoperator auf $K^{n}$ bzw. auf $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ kann man auf jede offene Menge $U\subseteq K^{n}$ einschränken. Er ist dann definiert auf der entsprechenden Funktionsklasse auf $U$. Dies gilt auch im algebraischen Kontext.
Die partiellen Ableitungen $\partial _{i}$ sind lokal in dem Sinne, dass $(\partial _{i}(f))(P)$ nur von einer offenen Umgebung des Punktes $P$ abhängt und $f$ auch nur auf einer solchen Umgebung definiert sein muss. Insbesondere ist $\partial _{i}{\left({\frac {f}{g}}\right)}$ für rationale Funktionen (also $f,g$ Polynome mit $g\neq 0$) wohldefiniert, und ergibt wieder eine rationale Funktion, die außerhalb der Nullstellenmenge von $g$ definiert ist. Dies überträgt sich auf alle Differentialoperatoren. Insbesondere führt ein Differentialoperator $E$ auf $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ zu einem Differentialoperator auf dem Körper der rationalen Funktionen
    $K(X_{1},\ldots ,X_{n})={\left\{{\frac {f}{g}}\mid f,g\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}],\,g\neq 0\right\}}\,.$
Umgekehrt lässt sich nicht jeder auf einer offenen Menge definierte Differentialoperator sinnvoll auf den Gesamtraum fortsetzen. Beispielsweise ist ein Operator wie ${\frac {1}{X}}\partial _{X}$ auf der Nenneraufnahme $K[X]_{X}$ (geometrisch: dort, wo $X\neq 0$ ist) definiert, aber nicht überall. Alle unter der Verwendung verschiedener Nennerpolynome aufgestellten Differentialoperatoren kann man als Differentialoperator auf $K(X_{1},\ldots ,X_{n})$ auffassen und vergleichen. Dabei gilt, dass ein Differentialoperator
    $E\colon K(X_{1},\ldots ,X_{n})\longrightarrow K(X_{1},\ldots ,X_{n})$
genau dann auf einem Unterring
    $R\subseteq K(X_{1},\ldots ,X_{n})\,$
einen sinnvollen Differentialoperator definiert, wenn $E(R)\subseteq R$ gilt. Es wird dann einfach der Definitionsbereich und der Bildbereich auf $R$ eingeschränkt.
# Endlichdimensionaler Vektorraum/Skalare Multiplikation/Polynomring/Beispiel

Auf einem $K$-Vektorraum $V$ operiert die Einheitengruppe $K^{\times }$ durch skalare Multiplikation. Die entsprechende Operation auf dem Polynomring $K[V]$ ist für $\lambda \in K^{\times }$ durch $f\mapsto \lambda f$ für eine Linearform $f$ gegeben. Ein Produkt $f_{1}\cdots f_{d}$ von Linearformen wird auf $\lambda ^{d}f_{1}\cdots f_{d}$ abgebildet.
# Vektorraum mit Skalarprodukt/Endlichdimensional/Orthogonales Komplement/Direkte Summe/Fakt/Beweis

Aus $u\in U\cap U^{\perp }$ folgt direkt
    $\left\langle u,u\right\rangle =0\,$
und daher $u=0$. Somit ist die Summe direkt. Es sei $u_{1},\ldots ,u_{k}$ eine Orthonormalbasis von $U$, die wir zu einer Orthonormalbasis $u_{1},\ldots ,u_{n}$ von $V$ ergänzen. Dann ist
    $U^{\perp }=\langle u_{k+1},\ldots ,u_{n}\rangle \,$
und somit ist $V$ die Summe aus den Unterräumen.
# C nach C/Holomorphe Abbildung/Hauptdivisor/Periode/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten $X={\mathbb {C} }$ und die rationale Funktion
    $f(z)={\frac {z}{z-1}}\,,$
derer Hauptdivisor gleich $1\cdot \{0\}-1\cdot \{1\}$ ist. Wir nehmen die Differentialform $\omega =dz$ und den linearen Verbindungsweg $\gamma$ von $1$ nach $0$, also
    $\gamma (t)=1-t\,$
für $t\in [0,1]$. Dann ist
    $\int _{\gamma }dz=\int _{0}^{1}\gamma '(t)dt=\int _{0}^{1}-1=-1\,.$
$\omega$
${\mathbb {C} }$
# SU2C und SO3R/Gruppenbeziehung/2/Fakt/Beweis

Explizite Variante:
Um zu zeigen, dass ein Gruppenhomomorphismus vorliegt, seien ${\begin{pmatrix}u&-{\overline {v}}\\v&{\overline {u}}\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}w&-{\overline {z}}\\z&{\overline {w}}\end{pmatrix}}$ mit
    $u=a+bi,\,v=c+di,\,w=e+fi,\,z=g+hi$
gegeben. Ihr Produkt ist
    ${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}u&-{\overline {v}}\\v&{\overline {u}}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}w&-{\overline {z}}\\z&{\overline {w}}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}uw-{\overline {v}}z&-u{\overline {z}}-{\overline {vw}}\\vw+{\overline {u}}z&-v{\overline {z}}+{\overline {uw}}\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}$
und dabei ist
    ${\begin{aligned}uw-{\overline {v}}z&={\left(a+bi\right)}{\left(e+fi\right)}-{\left(c-di\right)}{\left(g+hi\right)}\\&=ae-bf-cg-dh+{\left(af+be-ch+dg\right)}i\end{aligned}}$
und
    ${\begin{aligned}vw+{\overline {u}}z&={\left(c+di\right)}{\left(e+fi\right)}-{\left(a-bi\right)}{\left(g+hi\right)}\\&=ce-df-ag-bh+{\left(cf+de-ah+bg\right)}i.\end{aligned}}$
Wir zeigen die Gleichheit exemplarisch für den Matrixeintrag links oben. Das Ergebnis für diesen Eintrag ist einerseits (von der letzten Matrix ausgehend) gleich
    ${\begin{aligned}{\left(ae-bf-cg-dh\right)}^{2}+{\left(ce-df-ag-bh\right)}^{2}-{\left(af+be-ch+dg\right)}^{2}-{\left(cf+de-ah+bg\right)}^{2}&=a^{2}e^{2}+b^{2}f^{2}+c^{2}g^{2}+d^{2}h^{2}+c^{2}e^{2}+d^{2}f^{2}+a^{2}g^{2}+b^{2}h^{2}-a^{2}f^{2}-b^{2}e^{2}-c^{2}h^{2}-d^{2}g^{2}-c^{2}f^{2}-d^{2}e^{2}-a^{2}h^{2}-b^{2}g^{2}-2aebf-2aecg-2aedh+2bfcg+2cgdh-2cedf-2ceag-2cebh+2dfag+2dfbh+2agbh-2afbe+2afch-2afdg+2bech-2bedg+2chdg-2cfde+2cfah-2cfbg+2deah-2debg+2ahbg\\\end{aligned}}$
und andererseits gleich
    ${\begin{aligned}{\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}\right)}{\left(e^{2}+f^{2}-g^{2}-h^{2}\right)}+4{\left(-ad+bc\right)}{\left(eh+fg\right)}+4{\left(ac+bd\right)}{\left(-eg+fh\right)}&=\\\end{aligned}}$
[[Kategorie:SU2C und SO3R/Gruppenbeziehung/2/Fakt/Beweise]]
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