# Endomorphismus/Hauptraum/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Zu einer linearen Abbildung $\varphi$ auf einem $K$-Vektorraum $V$ und einem Eigenwert $\lambda \in K$ nennt man
    $\operatorname {Haupt} _{\lambda }(\varphi )=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\operatorname {kern} {\left(\varphi -\lambda \operatorname {Id} \right)}^{n}\,$
den Hauptraum zu $\varphi$ zu diesem Eigenwert.
Wenn $V$ endlichdimensional ist, so wird die Kette
    $\operatorname {kern} {\left(\varphi -\lambda \operatorname {Id} \right)}\subseteq \operatorname {kern} {\left(\varphi -\lambda \operatorname {Id} \right)}^{2}\subseteq \operatorname {kern} {\left(\varphi -\lambda \operatorname {Id} \right)}^{3}\subseteq ...\,$
stationär, d.h. es gibt ein $r\in \mathbb {N}$ mit
    $\operatorname {Haupt} _{\lambda }(\varphi )=\operatorname {kern} {\left(\varphi -\lambda \operatorname {Id} \right)}^{r}\,.$
Haupträume sind nach Aufgabe invariant unter der linearen Abbildung. Es gilt nach Definition
    $\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\subseteq \operatorname {Haupt} _{\lambda }(\varphi )\,,$
wobei für diagonalisierbares $\varphi$ Gleichheit gilt, siehe Aufgabe. Trigonalisierbare Abbildungen werden wir über ihre Haupträume verstehen.

## Satz

Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
ein Endomorphismus auf dem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$ und sei $\lambda \in K$.
Dann ist die Dimension des Hauptraumes $\operatorname {Haupt} _{\lambda }(\varphi )$ gleich der algebraischen Vielfachheit von $\lambda$.

### Beweis

Wir schreiben das charakteristische Polynom zu $\varphi$ als
    $\chi _{\varphi }=(X-\lambda )^{k}Q\,,$
wobei $(X-\lambda )$ in $Q$ nicht als Linerarfaktor vorkommt, d.h. $k$ ist die algebraische Vielfachheit von $\lambda$. Dann sind $P=(X-\lambda )^{k}$ und $Q$ teilerfremd und nach Fakt ist dann
    $V=\operatorname {kern} P(\varphi )\oplus \operatorname {kern} Q(\varphi )\,$
und
    $P(\varphi )={\left(\varphi -\lambda \operatorname {Id} \right)}^{k}\colon \operatorname {kern} Q(\varphi )\longrightarrow \operatorname {kern} Q(\varphi )$
ist eine Bijektion. Es ist ferner
    $H:=\operatorname {Haupt} _{\lambda }(\varphi )=\operatorname {kern} P(\varphi )\,,$
wobei die Inklusion $\supseteq$ klar ist und die andere Inklusion sich daraus ergibt, dass höhere Potenzen von $X-\lambda$ wegen der eben erwähnten Bijektivität auf $\operatorname {kern} Q(\varphi )$ keine weiteren Elemente annullieren. Für das charakteristische Polynom gilt wegen der direkten Summenzerlegung nach Fakt die Beziehung
    $\chi _{\varphi }=\chi _{1}\cdot \chi _{2}\,,$
wobei $\chi _{1}$ das charakteristische Polynom zu $\varphi {|}_{H}$ und $\chi _{2}$ das charakteristische Polynom zu $\varphi {|}_{\operatorname {kern} Q(\varphi )}$ ist. Da $(\varphi -\lambda )^{k}$ auf $H$ die Nullabbildung ist, ist das Minimalpolynom zu $\varphi {|}_{H}$ und damit auch das charakteristische Polynom $\chi _{1}$ eine Potenz von $(X-\lambda )$, sagen wir
    $\chi _{1}=(X-\lambda )^{d}\,,$
wobei
    $d=\dim _{K}{\left(H\right)}\,$
sei. Insbesondere ist somit $d\leq k$, da $\chi _{1}$ ein Teiler von $\chi _{\varphi }$ ist. Bei $d<k$ müsste $\lambda$ eine Nullstelle von $\chi _{2}$ sein und $\lambda$ wäre ein Eigenwert von $\varphi {|}_{\operatorname {kern} Q(\varphi )}$. Dies ist aber ein Widerspruch dazu, dass $P(\varphi )$ auf diesem Raum eine Bijektion ist.
$\Box$

## Korollar

Zu einer linearen Abbildung $\varphi \colon V\rightarrow V$ auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$ und zwei Eigenwerten $\lambda \neq \delta$
haben die zugehörigen Haupträume den Durchschnitt $0$, also

### Beweis

Das charakteristische Polynom von $\varphi$ sei
    $\chi _{\varphi }=(X-\lambda )^{k}(X-\delta )^{\ell }F\,,$
wobei in $F$ weder $\lambda$ noch $\delta$ eine Nullstelle sei. Nach Fakt, angewendet auf $Q=(X-\delta )^{\ell }F$, ist
    $\operatorname {Haupt} _{\lambda }(\varphi )\cap \operatorname {kern} Q(\varphi )=0\,.$
Wegen $\operatorname {Haupt} _{\delta }(\varphi )\subseteq \operatorname {kern} Q(\varphi )$ folgt daraus sofort
    $\operatorname {Haupt} _{\lambda }(\varphi )\cap \operatorname {Haupt} _{\delta }(\varphi )=0\,.$
$\Box$

## Satz

Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
ein trigonalisierbarer $K$-Endomorphismus auf dem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$.
Dann ist $V$ die direkte Summe der Haupträume, also
auf den Haupträumen.

### Beweis

Es sei
    $\chi _{\varphi }=(X-\lambda _{1})^{k_{1}}\cdots (X-\lambda _{m})^{k_{m}}\,$
das charakteristische Polynom, das nach Fakt in Linearfaktoren zerfällt, wobei die $\lambda _{i}$ verschieden seien. Wir führen Induktion über $m$. Bei $m=1$ gibt es nur einen Eigenwert $\lambda$ und nur einen Hauptraum. Nach Fakt ist dann auch das Minimalpolynom von der Form $(X-\lambda )^{s}$ und daher ist $V=\operatorname {Haupt} _{\lambda }(\varphi )$. Es sei die Aussage nun für kleineres $m$ bewiesen. Wir setzen $P=(X-\lambda _{1})^{k_{1}}$ und $Q=(X-\lambda _{2})^{k_{2}}\cdots (X-\lambda _{m})^{k_{m}}$ und sind damit in der Situation von Fakt und Fakt. Wir haben also eine direkte Summenzerlegung in $\varphi$-invariante Untervektorräume
    $V=\operatorname {Haupt} _{\lambda _{1}}(\varphi )\oplus \operatorname {kern} Q(\varphi )\,.$
Das charakteristische Polynom ist nach Fakt das Produkt der charakteristischen Polynome der Einschränkungen auf die beiden Räume. Nach Fakt ist $(X-\lambda _{1})^{k_{1}}$ das charakteristische Polynom der Einschränkung auf den ersten Hauptraum, daher muss $Q$ das charakteristische Polynom der Einschränkung auf $\operatorname {kern} Q(P)$ sein. Das heißt insbesondere, dass diese Einschränkung ebenfalls trigonalisierbar ist. Nach der Induktionsvoraussetzung ist also $\operatorname {kern} Q(P)$ die direkte Summe der Haupträume zu $\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{m}$ und daraus ergibt sich insgesamt die direkte Summenzerlegung für $V$ und für $\varphi$.
$\Box$