OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Prädikatenlogik/Junktoren/Dreiecke/Einführung/Textabschnitt

Eine weitere Art von mathematischen Aussagen entsteht dadurch, dass man Aussagen selbst zueinander in eine logische Beziehung setzt, indem man beispielsweise sagt, dass aus der Aussage $\alpha$ die Aussage $\beta$ folgt, oder dass $\alpha$ und $\beta$ zueinander äquivalent sind. Der Satz des Pythagoras besagt, dass wenn zwischen drei Punkten $A,B,C$ in der Ebene die Beziehung der Rechtwinkligkeit am Punkt $A$ besteht, dass dann zwischen den durch die drei Punkte definierten Streckenlängen ebenfalls eine bestimmte Beziehung zwischen den Abständen besteht. Wenn man die Rechtwinkligkeit wie oben mit dem dreistelligen Relationssymbol $R$ und die pythagoreische Längenbeziehung mit dem dreistelligen Relationssymbol $S$ bezeichnet, so gilt also
    ${\text{ aus }}R(A,B,C){\text{ folgt }}S(A,B,C),$
was wir formal als
    $\forall A\forall B\forall C(R(A,B,C)\longrightarrow S(A,B,C))$
schreiben. Gilt davon auch die Umkehrung? Folgt also aus $S(A,B,C)$, dass ein rechter Winkel an $A$ vorliegt? Dies ist in der Tat der Fall! Der Kosinussatz besagt für ein beliebiges (echtes) Dreieck mit einem an $A$ anliegenden Winkel $\alpha$, dass
    $d(B,C)^{2}=d(A,B)^{2}+d(A,C)^{2}-2d(A,B)d(A,C)\cos \alpha \,$
gilt, wobei $d$ den Abstand zwischen zwei Punkten bezeichne. Der „Störterm“ rechts entfällt genau dann, wenn $\cos \alpha =0$ ist, und dies ist nur bei $90$ Grad der Fall. Daher gilt die Äquivalenz
    $\forall A\forall B\forall C(R(A,B,C)\longleftrightarrow S(A,B,C))$
(ein Dreieck, bei dem zwei Eckpunkte zusammenfallen, akzeptieren wir als rechtwinklig an dem doppelten Punkt).
Unser Rechtwinkligkeitsprädikat $R(A,B,C)$ besagt, dass der Winkel am Eckpunkt $A$ ein Rechter ist. Wenn man sich dafür interessiert, ob überhaupt ein rechtwinkliges Dreieck vorliegt, so muss $R(A,B,C)$ oder $R(B,C,A)$ oder $R(C,A,B)$ gelten. Die Oderverknüpfung wird formal als
    $(R(A,B,C)\vee R(B,C,A))\vee R(C,A,B)$
geschrieben (die Assoziativität der oder-Verknüpfung steht im Moment noch nicht zur Verfügung).
Für ein echtes Dreieck haben wir oben gefordert, dass die konstituierenden Punkte $A,B,C$ paarweise verschieden sind. Die Gleichheit von zwei Punkten wird durch $A=B$ und die Negation davon, also die Verschiedenheit der beiden Punkte, wird in der Mathematik durch $A\neq B$, in der Logik aber durch $\neg {\left(A=B\right)}$ ausgedrückt. Dass drei Punkte paarweise verschieden sind, erfordert ein logisches und, das durch $\wedge$ symbolisiert wird, sodass sich die Echtheit eines Dreiecks durch
    ${\left(\neg {\left(A=B\right)}\wedge \neg {\left(A=C\right)}\right)}\wedge \neg {\left(B=C\right)}$
ausdrücken lässt.
    Fußnoten
# Affine Varietäten/Affin-algebraische Menge in der Ebene/Durch Variablen definiert/Beispiel

Wir betrachten die affine Ebene ${\mathbb {A} }_{K}^{2}$ und darin einige affin-algebraische Teilmengen, die durch die Variablen $X$ und $Y$ definiert sind. Das Nullstellengebilde $V(X,Y)$ besteht einfach aus dem Nullpunkt $(0,0)$. Die Bedingung sagt ja hier, dass beide Variablen null sein müssen. Die Menge $V(X)$ ist die $Y$- Achse (alle Punkte der Form $(0,y)$) und $V(Y)$ ist die $X$-Achse. Die Menge $V(X+Y)$ besteht aus allen Punkten $(x,y)$ mit $y=-x$. Das ist also die Gegendiagonale. Die Menge $V(XY)$ besteht aus den Punkten $(x,y)$, wo das Produkt $xy=0$ sein muss. Über einem Körper kann ein Produkt aber nur dann null sein, wenn einer der Faktoren null ist. D.h. es ist $V(XY)=V(X)\cup V(Y)$ und es liegt das Achsenkreuz vor.
# Dimensionstheorie/Varietät/Lokal/Lineares Schnittverhalten/Bemerkung

Ein wichtiger und suggestiver Ansatz, um die lokale Dimension einer (eingebetteten) Varietät $V\subseteq K^{n}$ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ in einem Punkt $P\in V$ zu erfassen, ist es, $V$ mit affin-linearen Unterräumen $L$ unterschiedlicher Dimension, die durch den Punkt verlaufen, zu schneiden, und zu schauen, ob der Durchschnitt den Punkt isoliert, ob also in einer offenen Umgebung des Punktes $V\cap L=\{P\}$ gilt. Die lokale Dimension $d$ im Punkt $P$ ist dann definiert durch die Eigenschaft, dass es $n-d$-dimensionale lineare Räume durch den Punkt $P$ gibt, die den Punkt isolieren, aber keine $n-d+1$-dimensionale Räume mit dieser Eigenschaft. Beispielsweise ist
    $P\in V\subseteq K^{3}\,$
zweidimensional, wenn es Geraden gibt, die den Punkt herausschneiden, aber der Schnitt mit jeder Ebene den Punkt nicht herausschneidet.
# Abschätzung/n hoch n+1 und n+1 hoch n/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $n^{n+1}=n\cdot n^{n}\,$
und
    $(n+1)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}n^{n-k}=n^{n}+n\cdot n^{n-1}+{\binom {n}{2}}n^{n-2}+\cdots +{\binom {n}{n-1}}n^{1}+1\,.$
Hier stehen $n+1$ Summanden, wobei der allerletzte gleich $1$ ist. Wir vergleichen die Summanden mit $n^{n}$. Die ersten beiden Summanden sind gleich $n^{n}$, für $k\geq 2$ ist
    ${\binom {n}{k}}n^{n-k}={\frac {n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k!}}n^{n-k}<n^{k}\cdot n^{n-k}=n^{n}\,.$
Bei
    $n\geq 3\,$
$n^{n}$
$\leq n\cdot n^{n}$
# Zirkel und Lineal/Elementare Konstruktion/Gerade/Definition

Es sei $M\subseteq E$ eine Teilmenge der Ebene $E$. Eine Gerade $G\subseteq E$ heißt aus $M$ elementar konstruierbar, wenn es zwei Punkte $P,Q\in M$, $P\neq Q$, derart gibt, dass die Verbindungsgerade von $P$ und $Q$ gleich $G$ ist.
# Rationale Zahlen/Brüche/Ausführlich/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Unter einer rationalen Zahl versteht man einen Ausdruck der Form
    ${\frac {a}{b}},$
wobei $a,b\in \mathbb {Z}$ und $b\neq 0$ sind, und wobei zwei Ausdrücke ${\frac {a}{b}}$ und ${\frac {c}{d}}$ genau dann als gleich betrachtet werden, wenn $ad=bc$ (in $\mathbb {Z}$) gilt. Die Menge aller rationalen Zahlen wird mit $\mathbb {Q}$ bezeichnet.
Einen Ausdruck ${\frac {a}{b}}$ nennt man Bruch, wobei $a$ der Zähler und $b$ der Nenner des Bruches heißt. Eine rationale Zahl wird durch verschiedene Brüche beschrieben und kann mit unterschiedlichen Zählern und Nennern dargestellt werden, beispielsweise ist
    ${\frac {5}{10}}={\frac {1}{2}}\,.$
Man sagt auch, dass diese beiden Brüche gleichwertig sind. Für die rationale Zahl ${\frac {a}{1}}$ schreibt man einfach $a$. In diesem Sinne sind ganze Zahlen insbesondere auch rationale Zahlen. Insbesondere gibt es die Null $0={\frac {0}{1}}$ und die Eins $1={\frac {1}{1}}$. Es gelten die folgenden Identitäten (dabei seien $c,d\neq 0$, ansonsten seien $a,b,c,d\in \mathbb {Z}$ beliebig).
    ${\frac {1}{-1}}=-1\,,$
    ${\frac {0}{c}}=0\,,$
    ${\frac {c}{c}}=1\,,$
    ${\frac {a}{c}}={\frac {ad}{cd}}\,.$
Die Begründung für de Richtigkeit dieser Regeln liegt in der Überkreuzregel. Die letzte Regel heißt Erweiterungsregel (wenn man sie von links nach rechts liest) bzw. Kürzungsregel (wenn man sie von rechts nach links liest). Der Wert eines Bruches (also die rationale Zahl, die durch den Bruch festgelegt ist) ändert sich also nicht, wenn man sowohl den Zähler als auch den Nenner mit der gleichen, von $0$ verschiedenen ganzen Zahl multipliziert. Wegen
    ${\frac {a}{b}}={\frac {-a}{-b}}\,$
kann man jede rationale Zahl mit einem positiven Nenner schreiben. Zwei Brüche mit einem gemeinsamen Nenner, also von der Form ${\frac {a}{r}}$ und ${\frac {c}{r}}$, heißen gleichnamig. Zwei beliebige Brüche ${\frac {a}{b}}$ und ${\frac {c}{d}}$ kann man gleichnamig machen, indem man sie durch Erweiterung auf einen Hauptnenner bringt. Eine Möglichkeit ist, die beiden Nenner miteinander zu multiplizieren und zu den gleichwertigen Brüchen ${\frac {ad}{bd}}$ und ${\frac {cb}{bd}}$ überzugehen. Statt mit $bd$ kann man mit jedem gemeinsamen Vielfachen der beiden Nenner arbeiten.

## Definition

Ein Bruch $a/b$ heißt gekürzt, wenn $a$ und $b$ teilerfremd sind.
Zu jeder rationalen Zahl gibt es eine gekürzte Darstellung. Wenn man den Nenner positiv wählt, ist diese Darstellung sogar eindeutig. Man erhält sie, indem man in einer beliebigen Darstellung durch den größten gemeinsamen Teiler des Zählers und des Nenners dividiert und das Vorzeichen anpasst.

## Definition

Eine rationale Zahl der Form ${\frac {1}{n}}$, $n\in \mathbb {N} _{+}$, heißt Stammbruch.
    Fußnoten
# Affine Varietäten/Affine Gerade/Zariski-Topologie/Beispiel

Die Zariski-Topologie auf der affinen Geraden ${\mathbb {A} }_{K}^{1}$ über einem Körper $K$ lässt sich einfach beschreiben. Als (Zariski)-abgeschlossene Teilmenge haben wir zunächst einmal die gesamte affine Gerade, die durch $V(0)$ beschrieben wird. Alle anderen abgeschlossenen Teilmengen werden durch $V({\mathfrak {a}})$ mit ${\mathfrak {a}}\neq 0$ beschrieben. Da $K[X]$ ein Hauptidealbereich ist, kann man sogar ${\mathfrak {a}}=(f)$, $f\neq 0$, ansetzen. Die zugehörige Nullstellenmenge besteht also aus endlich vielen Punkten. Andererseits ist jeder einzelne Punkt $P$ mit der Koordinate $a$ die einzige Nullstelle des linearen Polynoms $X-a$, also ist $\{P\}=V(X-a)$ Zariski-abgeschlossen. Eine endliche Ansammlung von Punkten $P_{1},\ldots ,P_{k}$ mit den Koordinaten $a_{1},\ldots ,a_{k}$ ist die Nullstellenmenge des Polynoms $(X-a_{1})\cdots (X-a_{k})$. Die Zariski-abgeschlossenen Mengen der affinen Geraden bestehen also aus allen endlichen Teilmengen (einschließlich der leeren) und der gesamten Menge.
# Division mit Rest/N/Auffinden/Bemerkung

Zu gegebenen natürlichen Zahlen $n,d$ mit $d\geq 1$ findet man die Division mit Rest, also die Darstellung $n=qd+r$, indem man der Reihe nach die Vielfachen von $d$ betrachtet. Das größte Vielfache von $d$ (gleich oder) unterhalb von $n$ ist das gesuchte $qd$, insbesondere muss das nächste Vielfache $(q+1)d>n$ sein. Der Rest ergibt sich dann als $r=n-qd$.
# Abschätzung/R/Potenzen und Brüche/1/Aufgabe/Lösung

Wegen
    $x^{-s}={\frac {1}{x^{s}}}\leq {\frac {1}{2^{s}}}\leq {\frac {1}{2}}<1\,$
ist
    $1-x^{-s}>0\,.$
Wir können also die Abschätzungen nachweisen, wenn wir mit $1-x^{-s}$ multiplizieren. Die linke Abschätzung folgt somit aus
    $(1+x^{-s})(1-x^{-s})=1-(x^{-s})^{2}<1\,.$
Für die rechte Abschätzung ist
    $1\leq (1+2x^{-s})(1-x^{-s})=1+x^{-s}-2x^{-s}x^{-s}=1+x^{-s}(1-2x^{-s})\,$
nachzuweisen. Aus der obigen Abschätzung $x^{-s}\leq {\frac {1}{2}}$ ergibt sich $-2x^{-s}\geq -1$ bzw. $1-2x^{-s}\geq 0$, was
    $1\leq 1+x^{-s}(1-2x^{-s})\,$
# Zirkel und Lineal/Elementare Konstruktion/Kreis/Definition

Es sei $M\subseteq E$ eine Teilmenge der Ebene $E$. Ein Kreis $C\subseteq E$ heißt aus $M$ elementar konstruierbar, wenn es zwei Punkte $Z,S\in M$, $Z\neq S$, derart gibt, dass der Kreis mit dem Mittelpunkt $Z$ und durch den Punkt $S$ gleich $C$ ist.
# Direkte Summe/Orthogonalräume im Dualraum/Aufgabe

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum mit einer direkten Summenzerlegung
    $V=V_{1}\oplus V_{2}\,.$
Zeige
    ${V}^{*}=V_{1}^{\perp }\oplus V_{2}^{\perp }\,$
und dass die Einschränkung der dualen Abbildung
    ${V}^{*}\longrightarrow {V_{1}}^{*}$
auf $V_{2}^{\perp }$ ein Isomorphismus ist.
# Satz über implizite Abbildungen/Faser ist Mannigfaltigkeit/Fakt/Beweis

Wir setzen $Q=0$ Aufgrund von Fakt gibt es zu jedem Punkt $P\in Z$ eine offene Umgebung $P\in W\subseteq G$ und einen $C^{1}$-Diffeomorphismus
    $\theta \colon W\longrightarrow V\times V'$
mit offenen Mengen $V\subseteq \mathbb {R} ^{n-m}$ und $V'\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ derart, dass $\theta$ eine Bijektion zwischen $Z\cap W$ und $V\times \{0\}\cong V$ induziert. Die Einschränkungen dieser Diffeomorphismen auf $Z\cap W$ bzw. $V$ nehmen wir als Karten für $Z$. Zum Nachweis, dass dies eine differenzierbare Struktur auf $Z$ definiert, seien offene Umgebungen (im $\mathbb {R} ^{n}$) $W_{1}$ und $W_{2}$ von $P\in Z$ gegeben zusammen mit Diffeomorphismen
    $\theta _{1}\colon W_{1}\longrightarrow V_{1}\times V_{1}'$
    $\theta _{2}\colon W_{2}\longrightarrow V_{2}\times V_{2}'.$
Durch Übergang zu $W=W_{1}\cap W_{2}$ können wir annehmen, dass beide offenen Mengen gleich sind. Die Übergangsabbildung $\theta _{2}\circ \theta _{1}^{-1}$ ist ein $C^{1}$-Diffeomorphismus zwischen (offenen Teilmengen von) $V_{1}\times V_{1}'$ und $V_{2}\times V_{2}'$, der $V_{1}\times \{0\}$ in $V_{2}\times \{0\}$ überführt. Daher ist nach Aufgabe auch die auf diese Teilmengen eingeschränkte Übergangsabbildung ein $C^{1}$-Diffeomorphismus (zwischen offenen Teilmengen des $\mathbb {R} ^{n-m}$).
# Affine Varietäten/Affiner Raum/Verschwindungsideal zu Punkt/Beispiel

Es sei $P=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$. Dann ist das Verschwindungsideal $\operatorname {Id} \,(P)$ gleich dem Ideal $(X_{1}-a_{1},\ldots ,X_{n}-a_{n})$. Zunächst ist klar, dass die linearen Polynome $X_{i}-a_{i}$ im Punkt $P$ verschwinden (wegen $(X_{i}-a_{i})(P)=a_{i}-a_{i}=0$). Damit gehört auch das von diesen Polynomen erzeugte Ideal zum Verschwindungsideal. Es sei umgekehrt $F$ ein Polynom mit $F(P)=0$. Wir schreiben $F$ in den „neuen Variablen“
    ${\tilde {X}}_{1}=X_{1}-a_{1},\ldots ,{\tilde {X}}_{n}=X_{n}-a_{n},$
indem wir $X_{i}$ durch $X_{i}-a_{i}+a_{i}$ ersetzen. In den neuen Variablen sei $F=\sum _{\nu }b_{\nu }{\tilde {X}}^{\nu }$. Dieses Polynom besteht aus der Konstanten $b_{0}$, in jedem anderen Monom kommt mindestens eine Variable vor. Also können wir
    $F=F_{1}{\tilde {X}}_{1}+\cdots +F_{n}{\tilde {X}}_{n}+c\,$
mit gewissen Polynomen $F_{i}$ schreiben. Daher ist $F(P)=c=0$ und $F\in ({\tilde {X}}_{1},\ldots ,{\tilde {X}}_{n})$.
# Divisionsalgorithmus/Periodenlänge/Bemerkung

Über die Periodenlänge kann man einige präzise Aussagen machen, die über Fakt (4) hinausgehen und die wir im Moment noch nicht beweisen können. Es seien $a$ und $b$ teilerfremd und $b$ sei auch teilerfremd zu $10$. Dann hängt die Periodenlänge $\ell$ der Division $a:b$ allein davon ab, welche minimale Zehnerpotenz $10^{k}$ mit $k\geq 1$ bei Division durch $b$ den Rest $1$ besitzt. Für den Fall $a=1$ siehe Aufgabe. Der minimale Exponent ist die Periodenlänge. Wenn $b=p$ eine Primzahl ist, so ist diese Periodenlänge ein Teiler von $p-1$. Wenn die Periodenlänge von $1:p$ genau $p-1$ ist, so gilt dies bei sämtlichen Divisionen $a:p$ mit $a$ teilerfremd zu $p$, und die Reihenfolge der Ziffern ist eine zyklische Vertauschung der Reihenfolge der Ziffern zu $1:p$. Siehe als Beispiel hierzu Aufgabe.
# Abstandsbedingung/10 mal 10/Punkteanzahl/Aufgabe/Lösung

* Wir platzieren die Leute auf den Positionen das sind $6\cdot 6=36$ Leute.
    $(2i,2j),0\leq i,j\leq 5,$
* Für Leute, die am Rand platziert sind, muss nicht der volle Umkreis innerhalb der vorgegebenen Fläche liegen.
* Zu jeder Person gehört ein Umkreis mit Radius $1$, und zu verschiedenen Personen sind diese Kreise zueinander disjunkt. Zu jeder Person gehört also eine Fläche mit Flächeninhalt $\pi \cdot 1^{2}=\pi$. Diese Flächen liegen zwar nicht ganz in der Gesamtfläche der Größe $10\cdot 10=100$, da der Mittelpunkt aber zu der quadratischen $10\times 10$-Fläche gehört, gibt es an den Rändern höchstens einen Überstand von $1$. D.h. dass diese Kreise ganz in der umgebenden $12\times 12$-Fläche liegt. Wegen ist dies für $46$ Personen nicht möglich.
    $46\cdot \pi \geq 46\cdot 3,14=144,44>144=12^{2}\,$
* Wir platzieren die Leute auf den Punkten eines Rasters, das aus gleichseitigen Dreiecken mit Seitenlänge $2$ aufgebaut ist. Die Höhe eines solchen gleichseitigen Dreieckes ist nach dem Satz von Pythagoras gleich ${\sqrt {3}}$. Wegen ist daher kann man auf dem etwas größeren Rechteck nun sieben Zeilen platzieren (die erste Zeile sei der untere Rand des Rechtecks). Auf den Zeilen haben abwechselnd $6$ bzw. $5$ Leute Platz, dies ergibt $6+5+6+5+6+5+6=39$ Leute.
    $36\cdot 3=108<110,25=10,5^{2}\,$
    $6{\sqrt {3}}\leq 10,5\,,$
# Zirkel und Lineal/Elementare Punktkonstruktion als Schnitt/Definition

Es sei $M\subseteq E$ eine Teilmenge der Ebene $E$. Dann heißt ein Punkt $P\in E$ aus $M$ in einem Schritt konstruierbar, wenn eine der folgenden Möglichkeiten zutrifft.
* Es gibt zwei aus $M$ elementar konstruierbare Geraden $G_{1}$ und $G_{2}$ mit $G_{1}\cap G_{2}=\{P\}$.
* Es gibt eine aus $M$ elementar konstruierbare Gerade $G$ und einen aus $M$ elementar konstruierbaren Kreis $C$ derart, dass $P$ ein Schnittpunkt von $G$ und $C$ ist.
* Es gibt zwei aus $M$ elementar konstruierbare Kreise $C_{1}$ und $C_{2}$ derart, dass $P$ ein Schnittpunkt der beiden Kreise ist.
# Direkte Summe/Projektion/Lineare Abbildung/Aufgabe

Es sei
    $V=V_{1}\oplus \cdots \oplus V_{m}\,$
eine direkte Zerlegung eines $K$-Vektorraumes $V$ in Untervektorräume $V_{1},\ldots ,V_{m}$. Zeige, dass für jedes $i$ die Abbildung
    $\pi _{i}\colon V\longrightarrow V_{i},\,v\longmapsto v_{i},$
wobei $v=\sum _{j=1}^{n}v_{j}$ die eindeutige Summenzerlegung von $v$ ist, linear ist.
# Satz über implizite Abbildungen/Globale Diffeomorphismen/Induzierte Diffeomorphismen zwischen Faser und Achsenräumen/Fakt/Beweis

Diese Aussage wurde im Beweis des Satzes über implizite Abbildungen mitbewiesen. Der Zusatz ergibt sich aus
    $\operatorname {kern} \left(D\varphi \right)_{Q}\cong \operatorname {kern} \left(Dp_{2}\right)_{\theta (Q)}=\mathbb {R} ^{n-m}\,.$
# Affine Varietäten/Algebraische Funktionen/ux-vy/Funktion auf D(x,y)/Beispiel

Es sei $V=V(WX-ZY)\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{4}}$ und sei $U=D(X,Y)=D(X)\cup D(Y)\subset V$ die durch $X$ und $Y$ definierte Zariski-offene Menge. Auf $U$ ist die durch
    $f={\frac {Z}{X}}={\frac {W}{Y}}\,$
definierte Funktion algebraisch. Die beiden rationalen Darstellungen liefern offenbar eine algebraische Funktion auf den beiden offenen Teilmengen $D(X)$ und $D(Y)$. Damit es eine Funktion auf $U$ definiert muss sichergestellt werden, dass die Brüche auf dem Durchschnitt, also auf $D(X)\cap D(Y)=D(XY)$, die gleichen Funktionswerte haben. Es sei also $Q=(w,x,y,z)\in D(XY)$, $Q\in V$. D.h. $x,y\neq 0$ und $wx=zy$. Dann ist aber sofort
    ${\frac {Z}{X}}(Q)={\frac {z}{x}}={\frac {w}{y}}={\frac {W}{Y}}(Q)\,.$
# E8-Singularität/Komplettierung/Faktoriell/Einzigartigkeit/Bemerkung

Die Komplettierung des Ringes $R={\mathbb {C} }[X,Y,Z]/{\left(X^{2}+Y^{3}+Z^{5}\right)}$ am maximalen Ideal $R_{+}$ ist ${\hat {R}}={\mathbb {C} }[\![X,Y,Z]\!]/{\left(X^{2}+Y^{3}+Z^{5}\right)}$. Dieser Ring ist ebenfalls faktoriell (die Komplettierung eines faktoriellen Ringes muss im Allgemeinen nicht faktoriell sein). Es gilt sogar, dass dieser Ring der einzige zweidimensionale komplette Ring (bis auf Isomorphie) über ${\mathbb {C} }$ ist, der faktoriell, aber nicht regulär, also nicht der Potenzreihenring ${\mathbb {C} }[\![X,Y]\!]$ ist.
# Absteigende alternierende Zahlen/Summe/Aufgabe/Lösung

Zwei in einer solchen Reihe aufeinanderfolgende Zahlen ergeben
    $k+-(k-1)=k-k+1=1\,.$
Ein solches Paar trägt also mit $1$ zur Gesamtsumme bei. Wenn $n$ gerade ist, so gibt es $n/2$ solche Paare und die Gesamtsumme ist $n/2$. Wenn $n$ ungerade ist, so gibt es ${\frac {n-1}{2}}$ solche Paare sowie die letzte alleinstehende Zahl $1$, die positiv eingeht. Also ist die Gesamtsumme in diesem Fall gleich
    ${\frac {n-1}{2}}+1={\frac {n+1}{2}}\,.$
# Direkte Summe/Über Dimension/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und seien $U_{1},\ldots ,U_{n}$ Untervektorräume von $V$, deren Summe $V$ ergibt. Zeige, dass diese Summe genau dann direkt ist, wenn die Dimensionsbeziehung
    $\dim _{K}{\left(V\right)}=\sum _{i=1}^{n}\dim _{K}{\left(U_{i}\right)}\,$
gilt.
# Abbildung/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es seien $L$ und $M$ Mengen. Eine Abbildung $F$ von $L$ nach $M$ ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge $L$ genau ein Element der Menge $M$ zugeordnet wird. Das zu $x\in L$ eindeutig bestimmte Element wird mit $F(x)$ bezeichnet. Die Abbildung drückt man als Ganzes häufig durch
    $F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),$
aus.
Bei einer Abbildung $F\colon L\rightarrow M$ heißt $L$ die Definitionsmenge (oder Definitionsbereich) der Abbildung und $M$ die Wertemenge (oder Wertevorrat oder Zielbereich) der Abbildung. Zu einem Element $x\in L$ heißt das Element
    $F(x)\in M\,$
der Wert von $F$ an der Stelle $x$. Statt Stelle sagt man auch häufig Argument.
Zwei Abbildungen $F\colon L_{1}\rightarrow M_{1}$ und $G\colon L_{2}\rightarrow M_{2}$ sind gleich, wenn die Definitionsmengen und die Wertemengen übereinstimmen und wenn für alle $x\in L_{1}=L_{2}$ die Gleichheit $F(x)=G(x)$ in $M_{1}=M_{2}$ gilt. Die Gleichheit von Abbildungen wird also zurückgeführt auf die Gleichheit von Elementen in einer Menge. Abbildungen werden häufig auch Funktionen genannt. Wir werden den Begriff Funktion für solche Abbildungen reservieren, deren Wertemenge ein Zahlbereich wie die reellen Zahlen $\mathbb {R}$ ist.
Zu jeder Menge $L$ nennt man die Abbildung
    $L\longrightarrow L,\,x\longmapsto x,$
also die Abbildung, die jedes Element auf sich selbst schickt, die Identität (auf $L$). Sie wird mit $\operatorname {Id} _{L}$ bezeichnet. Zu einer weiteren Menge $M$ und einem fixierten Element $c\in M$ nennt man die Abbildung
    $L\longrightarrow M,\,x\longmapsto c,$
die also jedem Element $x\in L$ den konstanten Wert $c$ zuordnet, die konstante Abbildung (mit dem Wert $c$). Sie wird häufig wieder mit $c$ bezeichnet.
Für eine Abbildung gibt es mehrere Darstellungsmöglichkeiten, z.B. Wertetabelle, Balkendiagramm, Kuchendiagramm, Pfeildiagramm, den Graphen der Abbildung. Dabei sind die Übergänge zwischen der formalen Definition einer Abbildung und den visuellen Realisierungen fließend. In der Mathematik wird eine Abbildung zumeist durch eine Abbildungsvorschrift beschrieben, die es erlaubt, die Werte der Abbildung zu berechnen. Solche Abbildungsvorschriften sind beispielsweise (jeweils von $\mathbb {R}$ nach $\mathbb {R}$) $x\mapsto x^{2}$, $x\mapsto x^{3}-e^{x}+\sin \left(x\right)$, etc. In den Naturwissenschaften und Sozialwissenschaften sind empirische Funktionen wichtig, die reale Bewegungen oder Entwicklungen beschreiben, doch auch bei solchen Funktionen erhebt sich die Frage, ob man diese auch mathematisch gut beschreiben (approximieren) kann.
    Fußnoten
* ↑ Von Hilbert stammt die etwas überraschende Aussage, die Kunst der Bezeichnung in der Mathematik besteht darin, unterschiedliche Sachen mit denselben Symbolen zu bezeichnen.
# Affine Varietäten/Irreduzible Teilmengen/Reell und komplex/Y^2+X^2(X+1)^2/Beispiel

Wir betrachten die Gleichung
    $F=Y^{2}+X^{2}(X+1)^{2}=0\,.$
In den reellen Zahlen hat diese Gleichung zwei Lösungen: da ein reelles Quadrat nie negativ ist, kann $F$ nur dann $0$ sein, wenn beide Summanden null sind, und das impliziert einerseits $Y=0$ und andererseits $X=0$ oder $X=-1$. Insbesondere ist die reelle Lösungsmenge nicht zusammenhängend und nicht irreduzibel (und das Verschwindungsideal zur reellen Situation ist sehr groß).
Betrachtet man $F$ dagegen über den komplexen Zahlen, so gibt es eine Faktorisierung
    $F=(Y+{\mathrm {i} }X(X+1))(Y-{\mathrm {i} }X(X+1))\,$
in irreduzible Polynome. Dies zeigt zugleich, dass $F$ als Polynom in $\mathbb {R} [X,Y]$ irreduzibel ist (obwohl das reelle Nullstellengebilde nicht irreduzibel ist). Die Nullstellenmenge über den komplexen Zahlen besteht aus den beiden Graphen $Y=\pm {\mathrm {i} }X(X+1)$, die sich in $(0,0)$ und $(-1,0)$ schneiden.
Bei der Gleichung $Y^{2}+Z^{2}+X^{2}(X+1)^{2}$ gibt es wieder nur zwei reelle Lösungspunkte, das Polynom ist aber sowohl reell als auch komplex betrachtet irreduzibel.
# Ebene algebraische Kurven/Glatter Punkt/Tangente/Bemerkung

Für einen glatten Punkt $P=(a,b)\in C=V(F)$ einer ebenen algebraischen Kurve nennt man die durch die Gleichung
    ${\frac {\partial F}{\partial X}}(P)(X-a)+{\frac {\partial F}{\partial Y}}(P)(Y-b)=0\,$
gegebene Gerade die Tangente im Punkt $P$ an die Kurve. Bei $P=(0,0)\in C$ kann man die Glattheit und die Tangente einfach ablesen. Man zerlegt $F$ in die homogenen Komponenten
    $F=F_{0}+F_{1}+F_{2}+\cdots +F_{d}\,.$
Dabei ist der konstante Term $F_{0}=0$, da der Nullpunkt ein Punkt der Kurve ist, und der lineare Term ist $F_{1}=uX+vY$. Hierbei ist
    ${\frac {\partial F}{\partial X}}(P)=u\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {\partial F}{\partial Y}}(P)=v$
(da die höheren homogenen Komponenten von $F$ keinen Beitrag zu den partiellen Ableitungen im Nullpunkt leisten), es liegt genau dann ein glatter Punkt vor, wenn $F_{1}\neq 0$ und die Bedingung $uX+vY=0$ beschreibt die Tangente.