# Topologischer Raum/Kompakt/Stone-Weierstrass/Textabschnitt
## Definition

Es sei $X$ eine Menge und sei $T\subseteq \operatorname {Abb} \,{\left(X,{\mathbb {K} }\right)}$ eine Menge von auf $X$ definierten ${\mathbb {K} }$-wertigen Funktionen. Man sagt, dass $T$ die Punkte von $X$ trennt, wenn es zu je zwei Punkten $x,y\in X$ eine Funktion $f\in T$ mit $f(x)\neq f(y)$ gibt.
Hier wird $X$ stets eine topologischer Raum und $T$ wird eine Teilmenge von stetigen Funktionen auf $X$ sein. Ein wichtiges Beispiel ist ${\mathbb {K} }=\mathbb {R}$, $X=[a,b]$ und $T$ die Menge der polynomialen Funktionen auf dem Intervall.

## Lemma

Es sei $X$ eine Menge und sei $T\subseteq \operatorname {Abb} \,{\left(X,{\mathbb {K} }\right)}$ eine
$\mathbb {R}$-Unteralgebra, die die Punkte aus $X$ trennt.
Dann gibt es zu Punkten $x\neq y$ aus $X$ und zu vorgegebenen Werten $a,b\in \mathbb {R}$ ein $g\in T$ mit $g(x)=a$ und $g(y)=b$.

### Beweis

$\Box$

## Lemma

Es sei $X$ ein kompakter topologischer Raum und $T\subseteq C(X,\mathbb {R} )$ eine abgeschlossene $\mathbb {R}$-Unteralgebra.
Dann gehört mit $f$ auch $\vert {f}\vert$ zu $T$.

### Beweis

Es sei $f$ gegeben. Wegen
    $\vert {f}\vert ={\sqrt {f^{2}}}\,$
genügt es zu zeigen, dass mit einer nichtnegativen Funktion $g$ auch deren Quadratwurzel zu $T$ gehört. Durch Multiplikation mit einer Konstanten können wir nach Fakt davon ausgehen, dass $\vert {g}\vert \leq 1$ ist. Es gibt nach Aufgabe eine Folge von Polynomen $P_{n}(t)$, die auf $[0,1]$ gleichmäßig gegen ${\sqrt {t}}$ konvergiert. Dann konvergiert in $C(X,\mathbb {R} )$ auch $P_{n}\circ g$ gegen ${\sqrt {g}}$, die polynomialen Ausdrücke $P_{n}\circ g$ in $g$ gehören zu $T$ und wegen der Abgeschlossenheit von $T$ ist auch
${\sqrt {g}}\in T$.
$\Box$

## Korollar

Es sei $X$ ein kompakter topologischer Raum und $T\subseteq C(X,\mathbb {R} )$ eine abgeschlossene $\mathbb {R}$-Unteralgebra.
Dann gehören mit $f$ und $g$ auch $\operatorname {max} \left(f,\,g\right)$ und $\operatorname {min} \left(f,\,g\right)$ zu $T$.

### Beweis

Dies folgt wegen
    $\operatorname {max} \left(f,\,g\right)={\frac {1}{2}}(f+g+\vert {f-g}\vert )\,$
aus Fakt.
$\Box$
Der folgende Satz heißt Approximationssatz von Stone-Weierstrass.

## Satz

Es sei $X$ ein kompakter topologischer Raum und $T\subseteq C(X,\mathbb {R} )$ eine $\mathbb {R}$-Unteralgebra, die die Punkte aus $X$ trennt.
Dann ist
D.h. jede stetige Funktion $f\colon X\rightarrow \mathbb {R}$ lässt sich beliebig gut durch Funktionen aus $T$ approximieren.

### Beweis

Es sei die stetige Funktion
    $f\colon X\longrightarrow \mathbb {R}$
und ein $\epsilon >0$ gegeben. Wegen der Trennungseigenschaft gibt es für je zwei Punkte $x,y$ nach Fakt eine Funktion $g_{xy}\in T$ mit $g_{xy}(x)=f(x)$ und $g_{xy}(y)=f(y)$. Diese seien für jedes Punktepaar gewählt. Wir betrachten zu $x\in X$ die offenen Mengen
    $U_{y}={\left\{z\in X\mid g_{xy}(z)<f(z)+\epsilon \right\}}\,,$
die $y$ enthalten. Wegen $X=\bigcup _{y\in X}U_{y}$ und der Kompaktheit von $X$ gibt es endlich viele Punkte $y_{1},\ldots ,y_{n}$ mit $X=\bigcup _{i=1}^{n}U_{y_{i}}$. Wir setzen
    $g_{x}:=\operatorname {min} \left(g_{xy_{i}}{|}i=1,\ldots ,n\right)\,,$
diese Funktionen gehören nach Fakt zu $T$. Nach Konstruktion ist
    $g_{x}<f+\epsilon \,$
auf ganz $X$. Ferner ist $g_{x}(x)=f(x)$, da dies für jedes der beteiligten $g_{xy_{i}}$ gilt. Deshalb gibt es wiederum eine offene Umgebung $x\in V_{x}$, auf der
    $f-\epsilon <g_{x}\,$
gilt. Es gibt wieder endliche viele Punkte $x_{1},\ldots ,x_{m}$ derart, dass die $V_{x_{j}}$ bereits $X$ überdecken. Daher gehört wegen Fakt
    $h:=\operatorname {max} \left(g_{x_{j}}{|}j=1,\ldots ,m\right)\,$
zu $T$. Es gilt
    $f-\epsilon <h<f+\epsilon \,$
und somit hat man ein $h\in T$ aus der $\epsilon$-Umgebung von $f$ gefunden.
$\Box$
Wir erwähnen die folgenden Spezialfälle.

## Satz

Es sei
$T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine kompakte Teilmenge und sei $f\colon T\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion.
Dann gibt es zu jedem $\epsilon >0$ ein reelles Polynom $p$ in $n$ Variablen mit
für alle $z\in T$.
Die Polynomalgebra $\mathbb {R} [x_{1},\ldots ,x_{n}]$ ist dicht in $C(T,\mathbb {R} )$.

### Beweis

Dies folgt aus Fakt, da Polynome Punkte trennen.
$\Box$

## Satz

Es sei $[a,b]$ ein abgeschlossenes Intervall und $f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion.
Dann gibt es zu jedem $\epsilon >0$ ein reelles Polynom $p$ mit
für alle $t\in [a,b]$.
Die Polynomalgebra $\mathbb {R} [t]$ ist dicht in $C([a,b],\mathbb {R} )$.

### Beweis

Dies folgt aus Fakt, da $[a,b]$ kompakt ist und Polynome Punkte trennen.
$\Box$