OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Fallende Funktion/Uneigentliches Integral und Reihe/Vergleichskriterium/Fakt/Beweis

Wenn das uneigentliche Integral existiert, so betrachten wir die Abschätzung
    $\sum _{n=2}^{k}f(n)\leq \int _{1}^{k}f(t)\,dt\,,$
die darauf beruht, dass die linke Seite das Treppenintegral zu einer unteren Treppenfunktion für $f$ auf $[1,k]$ ist. Da die rechte Seite beschränkt ist, gilt dies auch für die linke Seite, sodass wegen $f(n)\geq 0$ die Reihe konvergiert. Ist umgekehrt die Reihe konvergent, so betrachten wir die Abschätzung
    $\int _{1}^{k}f(t)\,dt\leq \sum _{n=1}^{k-1}f(n)\,,$
die gilt, da die rechte Seite das Treppenintegral zu einer oberen Treppenfunktion ist. Wegen $f(t)\geq 0$ ist die Integralfunktion $x\mapsto \int _{1}^{x}f(t)\,dt$ wachsend und beschränkt, da die rechte Seite wegen der Konvergenz der Reihe beschränkt ist. Daher besitzt die Integralfunktion für $x\mapsto \infty$ einen Grenzwert und das uneigentliche Integral existiert.
# Graduierter Ring/Projektives Spektrum/Verschiebung/Twist/Definition

Es sei $R$ ein $\mathbb {Z}$-graduierter kommutativer Ring und $R(n)$ der um $n$ verschobene graduierte Ring. Dann bezeichnet man mit
    ${\mathcal {O}}_{Y}(n):={\widehat {R(n)}}\,$
den zugehörigen ${\mathcal {O}}_{Y}$-Modul auf $Y=\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$. Man spricht von den getwisteten Strukturgarben.
# Topologischer Raum/Drei Punkte/Generischer Punkt/Keine Aufspaltung/Aufgabe

Zeige anhand des topologischen Raumes $X=\{a,b,c\}$ mit den offenen Mengen $\emptyset ,X,\{a\},U=\{a,b\},V=\{a,c\}$, dass Aufgabe ohne die Normalitätsvoraussetzung nicht gilt.
# Lokaler regulärer Ring/Parameter/Regularität/Fakt

Es sei $(R,{\mathfrak {m}})$ ein lokaler regulärer Ring der Dimension $d$ und seien $f_{1},\ldots ,f_{n}\in {\mathfrak {m}}$ Elemente. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
# Familie komplexer Zahlen/Summierbar/Cauchy-Kriterium/Fakt/Beweis

Es sei zunächst die Familie summierbar mit der Summe $s$, und sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Zu $\epsilon /2$ gibt es eine endliche Teilmenge $E_{0}\subseteq I$ derart, dass für alle endlichen Mengen $E\subseteq I$ mit $E_{0}\subseteq E$ die Abschätzung $\vert {a_{E}-s}\vert \leq \epsilon /2$ gilt. Für jede zu $E_{0}$ disjunkte endliche Teilmenge $D$ gilt dann
    ${\begin{aligned}\vert {a_{D}}\vert &=\vert {a_{D}+a_{E_{0}}-s-a_{E_{0}}+s}\vert \\&\leq \vert {a_{D}+a_{E_{0}}-s}\vert +\vert {a_{E_{0}}-s}\vert \\&=\vert {a_{E_{0}\cup D}-s}\vert +\vert {a_{E_{0}}-s}\vert \\&\leq \epsilon /2+\epsilon /2\\&=\epsilon ,\end{aligned}}$
sodass die Cauchy-Bedingung erfüllt ist. Es sei nun $a_{i}$ , $i\in I$, eine Cauchy-Familie. Wir brauchen zunächst einen Kandidaten für die Summe. Für jedes $n\in \mathbb {N} _{+}$ gibt es eine endliche Teilmenge $E_{n}\subseteq I$ derart, dass für jede endliche Teilmenge $D\subseteq I$ mit $E_{n}\cap D=\emptyset$ die Abschätzung $\vert {a_{D}}\vert \leq 1/n$ gilt. Wir können annehmen, dass $E_{n}\subseteq E_{n+1}$ für alle $n$ gilt. Wir setzen
    $x_{n}:=a_{E_{n}}=\sum _{i\in E_{n}}a_{i}\,.$
Für $k\geq m\geq n$ gilt
    $\vert {x_{k}-x_{m}}\vert =\vert {\sum _{i\in E_{k}}a_{i}-\sum _{i\in E_{m}}a_{i}}\vert =\vert {a_{E_{k}\setminus E_{m}}}\vert \leq 1/m\leq 1/n\,,$
da die Menge $E_{k}\setminus E_{m}$ disjunkt zu $E_{m}$ ist. Daher ist ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge und somit wegen der Vollständigkeit von ${\mathbb {C} }$ konvergent gegen ein $s\in {\mathbb {C} }$. Wir behaupten, dass die Familie summierbar ist mit der Summe $s$. Es sei dazu ein $\epsilon >0$ vorgegeben. Es gibt $n\in \mathbb {N} _{+}$ mit $1/n\leq \epsilon /2$. Dann ist wegen der Folgenkonvergenz und der Abschätzung von eben $\vert {x_{n}-s}\vert \leq \epsilon /2$. Für jedes endliche $E\supseteq E_{n}$ schreiben wir $E=E_{n}\cup D$ mit $E_{n}\cap D=\emptyset$. Damit gelten die Abschätzungen
    ${\begin{aligned}\vert {a_{E}-s}\vert &=\vert {a_{E_{n}}+a_{D}-s}\vert \\&\leq \vert {a_{E_{n}}-s}\vert +\vert {a_{D}}\vert \\&\leq \epsilon /2+\epsilon /2\\&=\epsilon .\end{aligned}}$
# Graduierter Ring/Projektives Spektrum/Zariski-Topologie/Definition

Es sei $R$ ein $\mathbb {Z}$-graduierter kommutativer Ring. Dann nennt man die Menge der homogenen Primideale von $R$, die nicht $R_{+}$ umfassen, zusammen mit der Topologie, bei der die Teilmengen
    $D_{+}{\left({\mathfrak {a}}\right)}={\left\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Proj} {\left(R\right)}\mid {\mathfrak {a}}\not \subseteq {\mathfrak {p}}\right\}}\,$
als offen erklärt werden, das projektive Spektrum
von $R$.
# Topologischer Raum/Kompakt/Diskrete Garbe/Erste Kohomologie/Aufgabe

Es sei $X$ ein normaler topologischer Raum und sei ${\mathcal {G}}$ eine diskrete Garbe von kommutativen Gruppen auf $X$. Zeige ${\check {H}}^{1}(X,{\mathcal {G}})=0$.
# Lokaler Ring/Einbettungsdimension ist Dimension des Kotangentialraumes/Fakt

Es sei $(R,{\mathfrak {m}},K)$ ein noetherscher lokaler Ring.
Dann ist die Einbettungsdimension gleich
# Fermat-Zahlen/Eigenschaften von Primteilern/Fakt/Beweis

Es sei also $p$ ein Primteiler von $F_{r}=2^{2^{r}}+1$. Dies bedeutet, dass in $\mathbb {Z} /(p)$ die Gleichung
    $2^{2^{r}}=-1\,$
vorliegt. Nach quadrieren ist $2^{2^{r+1}}=1$ und die Ordnung von $2$ ist $2^{r+1}$ (eine kleinere Ordnung ist nicht möglich, da diese ein Teiler von $2^{r+1}$ sein muss, aber $2^{2^{r}}\neq 1$ ist). Diese Ordnung ist ein Teiler von $p-1$, woraus folgt, dass $p=1\mod 8$ ist. Dies bedeutet nach dem zweiten Ergänzungssatz zum quadratischen Reziprozitätsgesetz, dass $2$ ein Quadratrest modulo $p$ ist. Es sei $x^{2}=2\mod p$. Dann ist aber die Ordnung von $x$ genau $2^{r+2}$. Nach dem Schluss von eben ist $2^{r+2}$ ein Teiler von $p-1$, was $p=2^{r+2}a+1$ bedeutet.
# Graduierter Ring/Saturierung eines Ideals/Definition

Für ein homogenes Ideal $I$ in $R=A[X_{0},\ldots ,X_{n}]$ mit der Standardgraduierung definiert man die Sättigung
(oder Saturierung ) von $I$ als
    ${\left\{r\in R\mid {\text{es existiert ein }}n{\text{ mit }}r\cdot (R_{+})^{n}\subseteq I\right\}}.$
Dabei ist $R_{+}$ das irrelevante Ideal $\bigoplus _{d\geq 1}R_{d}=(X_{0},\ldots ,X_{n})$.
# Lokaler Ring/Endliche freie Auflösung/Direkter Summand/Fakt

Es sei $R$ ein lokaler noetherscher Ring und $L=M\oplus N$ ein endlich erzeugter $R$-Modul mit einer endlichen projektiven Dimension.
Dann besitzen auch die direkten Summanden $M$ und $N$ eine endliche projektive Dimension, die höchstens so groß wie die von $L$ ist.
# Fermat-Zahlen/Paarweise teilerfremd/Fakt/Beweis

Sei $m>n$. Dann ist
    $F_{m}-2=2^{2^{m}}-1={\left(2^{2^{n}}\right)}^{2^{m-n}}-1\,.$
Hierbei ist $2^{m-n}$ gerade, und daher ist $F_{n}=2^{2^{n}}+1$ ein Teiler von dieser Zahl. Das bedeutet, dass ein gemeinsamer Teiler von $F_{m}$ und von $F_{n}$ auch ein Teiler von $F_{m}-2$ ist, also ein Teiler von $2$. Da alle Fermat-Zahlen ungerade sind, bleibt nur $1$ als gemeinsamer Teiler übrig.
# Graduierter Ring/Z/Kegelabbildung/Schema/Definition

Es sei $R$ ein $\mathbb {Z}$-graduierter Ring. Dann versteht man unter der Kegelabbildung
den Schemamorphismus
    $D(R_{+})\longrightarrow \operatorname {Proj} {\left(R\right)},\,{\mathfrak {p}}\longmapsto {\mathfrak {p}}^{h},$
der auf den offenen Mengen zu homogenen Elementen $f\in R_{+}$ durch die Spektrumsabbildung zu ${\left(R_{f}\right)}_{0}\rightarrow R_{f}$ gegeben ist.
# Topologischer Raum/Wegzusammenhängend/Fundamentalgruppe/Isomorphismus/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $X$ ein wegzusammenhängender topologischer Raum und seien $x,y\in X$ Punkte. Zeige, dass die Fundamentalgruppen und $\pi _{1}(X,x)$ und $\pi _{1}(X,y)$ zueinander isomorph sind.
# Lokaler Ring/Krullscher Durchschnittsatz/Fakt

Es sei $R$ ein noetherscher lokaler Ring und ${\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {m}}$ ein Ideal.
Dann ist $\bigcap _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {a}}^{n}=0$.
# Fermatsche Primzahlen/Exponentenlemma/Fakt/Beweis

Wir schreiben $s=2^{k}u$ mit $u$ ungerade. Damit ist
    $2^{2^{k}u}+1={\left(2^{2^{k}}\right)}^{u}+1\,.$
Für ungerades $u$ gilt generell die polynomiale Identität (da $-1$ eine Nullstelle ist)
    $X^{u}+1=(X+1){\left(X^{u-1}-X^{u-2}+X^{u-3}-\ldots +X^{2}-X+1\right)}\,.$
Also ist $2^{2^{k}}+1\geq 3$ ein Teiler von $2^{2^{k}u}+1$. Da diese Zahl nach Voraussetzung prim ist, müssen beide Zahlen gleich sein, und dies bedeutet $u=1$.
# Graph/Färbung/Chromatische Zahl/Definition

Zu einem Graphen $G=(V,E)$ nennt man die minimale Anzahl an Farben, die man für eine zulässige Färbung benötigt, die chromatische Zahl
des Graphen. Sie wird mit $\chi (G)$ bezeichnet.
# Torus/Produktstruktur/Basis der Fundamentalgruppe/Aufgabe

Es sei $T$ ein Torus. Zeige, dass die Vorgabe einer Basis der Fundamentalgruppe von $T$ im Wesentlichen äquivalent zur Angabe einer Homöomorphie $T\cong S^{1}\times S^{1}$ ist.
# Lokaler Ring/Lemma von Nakayama/Fakt

Es sei $(R,{\mathfrak {m}})$ ein lokaler Ring und sei $V$ ein endlich erzeugter $R$-Modul. Es sei ${\mathfrak {m}}V=V$ vorausgesetzt.
Dann ist $V=0$.
# Flächenstück/Durch stetige Funktionen begrenzt/Funktion darauf/Cavalieri/Fakt/Beweis

Dies folgt aus dem Cavalieri-Prinzip: Indem man $f_{+}$ und $f_{-}$ getrennt betrachtet, kann man annehmen, dass $f$ keine negativen Werte annimmt. Für diese Funktionen ist das Integral durch das Volumen des Subgraphen definiert. Der Flächeninhalt der Querschnittsfläche des Subgraphen zu $x_{0}\in [a,b]$ ist gerade $\int _{g(x_{0})}^{h(x_{0})}f(x_{0},y)dy$. Diese Flächeninhalte hängen stetig von $x_{0}$ ab und somit ist das Integral über diese Flächeninhalte nach dem Cavalieri-Prinzip das Volumen des Subgraphen.
# Graph/Färbungen/Chromatisches Polynom/Definition

Zu einem Graphen $G=(V,E)$ versteht man unter dem chromatischen Polynom
$P_{G}$ die Funktion, die durch
    $P_{G}\left(k\right)={\#{\left\{f:V\rightarrow \{1,\ldots ,k\}\mid f{\text{ zulässige Färbung}}\right\}}}\,$
gegeben ist.
# Totales Differential/R/Kettenregel/Funktion/Aufgabe

Es sei $G\subseteq V$ eine offene Teilmenge in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum $V$, sei $f\colon G\rightarrow \mathbb {R}$ eine total differenzierbare Funktion und $g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine differenzierbare Funktion. Zeige
    $\left(D{\left(g\circ f\right)}\right)_{P}=g'(f(P))\cdot \left(Df\right)_{P}\,$
für $P\in G$.
# Lokaler Ring/Lemma von Nakayama/Untermodul/Fakt

Es sei $(R,{\mathfrak {m}})$ ein lokaler Ring und sei $V$ ein endlich erzeugter $R$-Modul und $U\subseteq V$ ein Untermodul. Es gelte $U+{\mathfrak {m}}V=V$.
Dann ist $U=V$.
# Folgen/Konvergenz im R^n/Komponentenweise/Fakt/Beweis

Es sei die Gesamtfolge konvergent gegen $w=(w_{1},\ldots ,w_{m})$. Wir behaupten, dass die $i$-te Komponentenfolge ${\left(z_{in}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $w_{i}$ konvergiert. Sei (ohne Einschränkung) $i=1$ und $\epsilon >0$ vorgegeben. Wegen der Konvergenz der Gesamtfolge gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ mit $d{\left(z_{n},w\right)}\leq \epsilon$ für alle $n\geq n_{0}$. Daher ist
    ${\begin{aligned}\vert {z_{1n}-w_{1}}\vert &={\sqrt {{\left(z_{1n}-w_{1}\right)}^{2}}}\\&\leq {\sqrt {{\left(z_{1n}-w_{1}\right)}^{2}+{\left(z_{2n}-w_{2}\right)}^{2}+\cdots +{\left(z_{mn}-w_{m}\right)}^{2}}}\\&=d{\left(z_{n},w\right)}\\&\leq \epsilon .\end{aligned}}$
Es seien nun alle Komponentenfolgen konvergent, wobei die $i$-te Folge den Grenzwert $w_{i}$ besitzen möge, und sei ein $\epsilon >0$ vorgegeben. Wir setzen $w=(w_{1},\ldots ,w_{m})$ und behaupten, dass die Folge gegen $w$ konvergiert. Zu $\epsilon /m$ gibt es für jede Komponentenfolge ein $n_{0i}$ derart, dass $\vert {z_{in}-w_{i}}\vert \leq \epsilon /m$ für alle $n\geq n_{0i}$ gilt. Dann gilt für alle
    $n\geq n_{0}:={\max {\left(n_{0i},i=1,\ldots ,m\right)}}\,$
die Beziehung
    ${\begin{aligned}d{\left(z_{n},w\right)}&={\sqrt {{\left(z_{1n}-w_{1}\right)}^{2}+\cdots +{\left(z_{mn}-w_{m}\right)}^{2}}}\\&\leq {\sqrt {{\left({\frac {\epsilon }{m}}\right)}^{2}+\cdots +{\left({\frac {\epsilon }{m}}\right)}^{2}}}\\&={\sqrt {\frac {\epsilon ^{2}}{m}}}\\&={\frac {\epsilon }{\sqrt {m}}}\\&\leq \epsilon .\end{aligned}}$
# Graph/Knotenüberdeckung/Definition

Es sei $G=(V,E)$ ein Graph. Eine Teilmenge $W\subseteq V$ heißt Knotenüberdeckung
von $G$, wenn jede Kante mindestens einen Knoten aus $W$ trifft.
# Uneigentliches Integral/1 durch x(x-1)/Aufgabe

Wir betrachten die Funktion
    $f(t)={\frac {1}{t(t-1)}}\,,$
die auf
    $\mathbb {R} \setminus \{0,1\}=[-\infty ,0[\,\cup \,]0,1[\,\cup \,]1,+\infty ]\,$
definiert ist. Entscheide für jedes Teilintervall und jeden (uneigentlichen) Randpunkt, ob das uneigentliche Integral existiert oder nicht.
# Lokaler Ring/Lemma von Nakayama/Untermoduln/Inklusion/Fakt

Es sei $(R,{\mathfrak {m}})$ ein lokaler Ring und sei $W$ ein $R$-Modul und $U,V\subseteq W$ endlich erzeugte Untermoduln. Es gelte $U\subseteq V+{\mathfrak {m}}U$.
Dann ist $U\subseteq V$.
# Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Konstante nicht null, dann Einheit/Fakt/Beweis

Die angegebene Bedingung ist notwendig, da die Abbildung
    $K[\![T]\!]\longrightarrow K,\,F\longmapsto a_{0},$
die eine Potenzreihe $F$ auf ihren konstanten Term schickt, ein Ringhomomorphismus ist, siehe Aufgabe. Für die Umkehrung müssen wir eine Potenzreihe $G={\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}$ mit
    $FG={\left({\sum }_{i=0}^{\infty }a_{i}T^{i}\right)}{\left({\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}\right)}=1\,$
angeben. Für $b_{0}$ ergibt sich daraus die Bedingung $a_{0}b_{0}=1$, die wegen $a_{0}\neq 0$ eine eindeutige Lösung besitzt, nämlich $b_{0}=a_{0}^{-1}$. Nehmen wir induktiv an, dass die Koeffizienten $b_{j}$ für $j<n$ schon konstruiert seien, und zwar derart, dass sämtliche Koeffizienten $c_{k}$, $1\leq k<n$, der Produktreihe $FG$ gleich $0$ sind. Für den $n$-ten Koeffizienten ergibt sich die Bedingung
    $0=c_{n}=a_{0}b_{n}+a_{1}b_{n-1}+\cdots +a_{n-1}b_{1}+a_{n}b_{0}\,.$
Dabei sind bis auf $b_{n}$ alle Werte schon festgelegt, und wegen $a_{0}\neq 0$ ergibt sich eine eindeutige Lösung für $b_{n}$.
# Graph/Knotenüberdeckung/Minimal/Definition

Es sei $G=(V,E)$ ein Graph. Eine Knotenüberdeckung $W\subseteq V$ von $G$ heißt minimal,
wenn $W\setminus \{w\}$ zu jedem $w\in W$ keine Knotenüberdeckung ist.
# Uneigentliches Integral/e^(-at)/0 bis infty/Aufgabe

Sei $a>0$ fixiert. Bestimme das uneigentliche Integral
    $\int _{0}^{\infty }e^{-at}\,dt.$
# Lokaler Ring/Modul/Freie Auflösung/Minimal/Ränge/Fakt

Es sei $R$ ein lokaler noetherscher Ring, $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul und
    $\ldots \longrightarrow F_{2}\longrightarrow F_{1}\longrightarrow F_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0$
eine minimale freie Auflösung von $M$.
Dann ist der Rang von $F_{i}$ gleich der $R/{\mathfrak {m}}$-Dimension von $M_{i}\otimes _{R}R/{\mathfrak {m}}$ mit $M_{i}=\operatorname {kern} \left(\theta _{i-1}\right)$.
# Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/T+../Transformierbar auf T/Fakt/Beweis

Wir zeigen zunächst, dass es eine Potenzreihe $F={\sum }_{i=0}^{\infty }a_{i}T^{i}$ mit $F(G)=T$ gibt. Dabei muss $a_{0}=0$ und $a_{1}=b_{1}^{-1}$ sein. Es sei nun die Potenreihe $F$ mit der gewünschten Eigenschaft bis zum $(k-1)$-Koeffizienten bereits konstruiert. Für den Koeffizienten $c_{k}$ hat man nach der Definition die Bedingung
    ${\begin{aligned}0&=c_{k}\\&=\sum _{s=0}^{k}a_{s}{\left(\sum _{j_{1}+\cdots +j_{s}=k}b_{j_{1}}\cdots b_{j_{s}}\right)}\\&=\sum _{s=0}^{k-1}a_{s}{\left(\sum _{j_{1}+\cdots +j_{s}=k}b_{j_{1}}\cdots b_{j_{s}}\right)}+a_{k}b_{1}^{k}.\end{aligned}}$
Daraus ergibt sich eine eindeutig lösbare Bedingung an $a_{k}$.
Wir betrachten nun die Hintereinanderschaltung
    $K[\![T]\!]{\stackrel {T\mapsto F}{\longrightarrow }}K[\![T]\!]{\stackrel {T\mapsto G}{\longrightarrow }}K[\![T]\!].$
Dabei ist die Gesamtabbildung der Einsetzungshomomorphismus $T\mapsto T$, und das ist die Identität. Insbesondere ist die hintere Abbildung surjektiv. Da $K[\![T]\!]$ nach Fakt ein diskreter Bewertungsring, sind die Ideale darin bekannt, und nur das Nullideal kommt als Kern der Abbildung in Frage. Die Abbildung ist also auch injektiv und damit bijektiv.
# Graph/Knotenüberdeckung/Optimal/Definition

Es sei $G=(V,E)$ ein Graph. Eine Knotenüberdeckung $W\subseteq V$ von $G$ heißt optimal,
wenn es keine Knotenüberdeckung von $G$ mit weniger als ${\#\left(W\right)}$ Elementen gibt.
# Untergarbe/Ausbreitungsraum/Teilmenge/Aufgabe

Es sei ${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {G}}$ eine Untergarbe. Zeige, dass der Ausbreitungsraum $E$ zu ${\mathcal {F}}$ in natürlicher Weise ein Unterraum des Ausbreitungsraumes $E'$ von ${\mathcal {G}}$ ist.
# Lokales Extremum/Richtungsableitung/Totales Differential/Fakt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und $G\subseteq V$ eine offene Teilmenge. Es sei
    $f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion, die im Punkt $P\in G$ ein lokales Extremum besitzt. Dann gelten folgende Aussagen.
# Fourier-Matrix/Inverse Matrix/Fakt/Beweis

Wir wenden die Regel „Zeile mal Spalte“ auf die Zeile $r$ und die Spalte $s$ an (wir arbeiten konsequent mit der Indexmenge $\{0,\ldots ,N-1\}$), dies ergibt den Eintrag
    ${\begin{aligned}&a_{r,s}\sum _{j=0}^{N-1}\zeta ^{rj}\cdot {\overline {\zeta ^{js}}}\\&=\sum _{j=0}^{N-1}\zeta ^{rj}\cdot \zeta ^{-js}\\&=\sum _{j=0}^{N-1}\zeta ^{(r-s)j}.\end{aligned}}$
Dies ist gleich $N$ bei $r=s$ und andernfalls gleich $0$ nach der endlichen geometrischen Reihe.
# Graph/Knotenüberdeckungszahl/Definition

Es sei $G=(V,E)$ ein Graph. Die minimale Anzahl von Knoten in einer Knotenüberdeckung von $G$ heißt Knotenüberdeckungszahl
von $G$.
# Vektorraum/Körper/Charakteristik 0/Halbierung/Aufgabe

Es sei $V$ ein Vektorraum über einem Körper der Charakteristik $0$. Zeige $V/2V=0$.
# L^2-Raum/Stetige Linearform/Gradientenrealisierung/Identifizierung/Fakt

Es sei $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum und $L^{2}(X)$ der zugehörige Lebesgueraum der quadratintegriebaren Funktionen. Es sei
    $\varphi \colon L^{2}(X)\longrightarrow {\mathbb {K} }$
eine stetige Linearform.
Dann gibt es eine quadratintegrierbare Funktion $g\in L^{2}(X)$ mit
# Fourier-Matrix/Periodische Faltung/Produkt/Fakt/Beweis

Es sei $\zeta$ die erste primitive $N$-te Einheitswurzel. Es ist
    ${\begin{aligned}(DFT(y*z))_{r}&={\left({\frac {1}{N}}{\overline {F_{N}}}(y*z)\right)}_{r}\\&={\frac {1}{N}}{\left({\overline {F_{N}}}{\left({\left({\frac {1}{N}}\sum _{j=0}^{N-1}y_{j}z_{k-j}\right)}_{k=0,\ldots ,N-1}\right)}\right)}_{r}\\&={\frac {1}{N^{2}}}{\left(\sum _{k=0}^{N-1}\zeta ^{-rk}{\left(\sum _{\ell +m=k}y_{\ell }z_{m}\right)}\right)}\\&={\frac {1}{N^{2}}}{\left(\sum _{0\leq \ell ,m\leq N-1}\zeta ^{-r(\ell +m)}y_{\ell }z_{m}\right)}\\&={\frac {1}{N^{2}}}{\left(\sum _{\ell =0}^{N-1}\zeta ^{-r\ell }y_{\ell }\right)}\cdot {\left(\sum _{m=0}^{N-1}\zeta ^{-rm}z_{m}\right)}\\&={\frac {1}{N^{2}}}{\left({\overline {F_{N}}}(y)\right)}_{r}\cdot {\left({\overline {F_{N}}}(z)\right)}_{r}\\&=(DFT(y))_{r}\cdot (DFT(z))_{r}.\end{aligned}}$
# Gruppe/Charaktergruppe in Körper/Definition

Es sei $G$ ein Gruppe und $K$ ein Körper. Dann nennt man die Menge der Charaktere
    $G^{\vee }:=\operatorname {Char} \,(G,K)={\left\{\chi :G\rightarrow K^{\times }\mid \chi {\text{ Charakter}}\right\}}\,$
die Charaktergruppe von $G$ (in $K$).
# Vektorraum/Körper/Charakteristik nicht 2/Halbierung/Aufgabe

Es sei $V$ ein Vektorraum über einem Körper der Charakteristik $\neq 2$. Zeige $V/2V=0$.
# Mannigfaltigkeit mit Rand/Rand/Elementare Eigenschaften/Fakt

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand $\partial M$. Dann gelten folgende Aussagen.
# Fourier-Transformation/Ableitungseigenschaften/Fakt/Beweis

Mit Induktion genügt es, die Aussage für $D_{1}$ zu zeigen. Unter Verwendung von Fakt, angewendet auf das Maß $fd\lambda ^{n}$ und die Funktion ${\mathfrak {t}}\mapsto e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {t}}\right\rangle }$, ist
    ${\begin{aligned}{\left(D_{1}{\hat {f}}\right)}{\left({\mathfrak {u}}\right)}&={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}D_{1}{\left(e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {t}}\right\rangle }\right)}f({\mathfrak {t}})d{\mathfrak {t}}\\&={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\left(-{\mathrm {i} }\right)}{\mathfrak {t}}_{1}{\left(e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {t}}\right\rangle }\right)}f({\mathfrak {t}})d{\mathfrak {t}}\\&={\left(-{\mathrm {i} }{\mathfrak {t}}_{1}f\right)}^{\hat {\,}}.\end{aligned}}$
# Gruppe/Charaktergruppe in Ring/Definition

Es sei $G$ ein Gruppe und $R$ ein Ring. Dann nennt man die Menge der Charaktere
    $G^{\vee }:=\operatorname {Char} \,(G,R)={\left\{\chi :G\rightarrow R^{\times }\mid \chi {\text{ Charakter}}\right\}}\,$
die Charaktergruppe von $G$ (in $R$).
# Wachsende Funktion/Intervall/Subgraph/Sternförmig/Aufgabe

Es sei
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$
eine wachsende Funktion. Zeige, dass der Subgraph
    $S={\left\{(x,y)\mid a\leq x\leq b,\,0\leq y\leq f(x)\right\}}\,$
sternförmig ist.
# Mannigfaltigkeit mit Rand/Satz von Stokes/Fakt

Es sei $M$ eine $n$-dimensionale orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand $\partial M$ und mit abzählbarer Basis der Topologie, und es sei $\omega$ eine stetig differenzierbare $(n-1)$-Differentialform mit kompaktem Träger auf $M$.
Dann ist
# Fourier-Transformation/Faltungssatz/Fakt/Beweis

Nach Fakt (für Dichten) angewendet auf die Addition und Fakt ist
    ${\begin{aligned}{\widehat {f*g}}({\mathfrak {u}})&={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\cdot \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {t}}\right\rangle }(f*g)({\mathfrak {u}})d{\mathfrak {t}}\\&={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\cdot \int _{\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}}e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {t}}_{1}+{\mathfrak {t}}_{2}\right\rangle }f({\mathfrak {t}}_{1})g({\mathfrak {t}}_{2})d{\mathfrak {t}}_{1}d{\mathfrak {t}}_{2}\\&={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\cdot {\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {t}}_{1}\right\rangle }f({\mathfrak {t}}_{1})d{\mathfrak {t}}_{1}\right)}\cdot {\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {t}}_{2}\right\rangle }g({\mathfrak {t}}_{2})d{\mathfrak {t}}_{2}\right)}\\&=(2\pi )^{n/2}\cdot {\hat {f}}({\mathfrak {u}})\cdot {\hat {g}}({\mathfrak {u}}).\end{aligned}}$
# Gruppe/Endliche Untergruppe der GL/Klein/Definition

Eine endliche Untergruppe $G\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ über einem Körper $K$ heißt klein,
wenn sie keine Pseudoreflektion enthält.
# Wechselseitige Potenz/Jacobi-Matrix/Kritische Punkte/Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} _{>0}\times \mathbb {R} _{>0}\longrightarrow \mathbb {R} _{>0}\times \mathbb {R} _{>0},\,\left(x,\,y\right)\longmapsto \left(x^{y},\,y^{x}\right).$
* Bestimme die Jacobi-Matrix zu $\varphi$.
* Bestimme die kritischen Punkte von $\varphi$.
* Zeige, dass es zu jedem $x\in \mathbb {R} _{>0}$ ein eindeutiges $y$ derart gibt, dass $(x,y)$ ein kritischer Punkt ist.