# Endomorphismus/Cayley-Hamilton/Textabschnitt

Einer der Höhepunkte der linearen Algebra ist der Satz von Cayley-Hamilton. Um ihn formulieren zu können erinnern wir daran, dass man in Polynome quadratische Matrizen einsetzen kann. Dabei ersetzt man an jeder Stelle die Variable $X$ durch die Matrix $M$ und muss die Potenzen $M^{i}$ als das $i$-te Matrixprodukt von $M$ mit sich selbst verstehen und die Addition als die (komponentenweise) Addition von Matrizen interpretieren. Ein Skalar $a$ wird dabei als das $a$-fache der Einheitsmatrix interpretiert. Für das Polynom
    $P=3X^{2}-5X+2\,$
und die Matrix
    $M={\begin{pmatrix}2&4\\3&1\end{pmatrix}}\,$
ist also
    ${\begin{aligned}P(M)&=3{\begin{pmatrix}2&4\\3&1\end{pmatrix}}^{2}-5{\begin{pmatrix}2&4\\3&1\end{pmatrix}}+2\\&={\begin{pmatrix}3&0\\0&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}16&12\\9&13\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-5&0\\0&-5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&4\\3&1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}40&16\\12&36\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$
Zu einer fixierten Matrix $M\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ gibt es also eine Einsetzungsabbildung
    $K[X]\longrightarrow \operatorname {Mat} _{n}(K),\,P\longmapsto P(M).$
Dies ist - ebenso wie die Einsetzungsabbildung zu $a\in K$ - ein Ringhomomorphismus, d.h. es gelten die Beziehungen (vergleiche Fakt)
    $(P+Q)(M)=P(M)+Q(M),\,(P\cdot Q)(M)=P(M)\circ Q(M){\text{ und }}1(M)=E_{n}.$
Der Satz von Cayley-Hamilton beantwortet nun die Frage, was passiert, wenn man eine Matrix in ihr charakteristisches Polynom einsetzt.

## Satz

Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $n\times n$-Matrix über $K$. Es sei
    $\chi _{M}=X^{n}+c_{n-1}X^{n-1}+\cdots +c_{1}X+c_{0}\,$
das charakteristische Polynom zu $M$.
Dann gilt
Das heißt, dass die Matrix das charakteristische Polynom annulliert.

### Beweis

Wir fassen die Matrix $XE_{n}-M$ als eine Matrix auf, deren Einträge im Körper $K(X)$ liegen. Die adjungierte Matrix
    $(XE_{n}-M)^{\operatorname {adj} }$
liegt ebenfalls in $\operatorname {Mat} _{n}(K(X))$. Die einzelnen Einträge der adjungierten Matrix sind nach Definition Determinanten von $(n-1)\times (n-1)$-Untermatrizen von $XE_{n}-M$. In den Einträgen dieser Matrix kommt die Variable $X$ maximal in der ersten Potenz vor, sodass in den Einträgen der adjungierten Matrix die Variable maximal in der $(n-1)$-ten Potenz vorkommt. Wir schreiben
    $(XE_{n}-M)^{\operatorname {adj} }=X^{n-1}A_{n-1}+X^{n-2}A_{n-2}+\cdots +XA_{1}+A_{0}\,$
mit Matrizen
    $A_{i}\in \operatorname {Mat} _{n}(K)\,,$
d.h. man schreibt die einzelnen Einträge als Polynom und fasst dann zu $X^{i}$ die Koeffizienten zu einer Matrix zusammen. Aufgrund von Fakt gilt
    ${\begin{aligned}\chi _{M}E_{n}&=(XE_{n}-M)\circ (XE_{n}-M)^{\operatorname {adj} }\\&=(XE_{n}-M)\circ (X^{n-1}A_{n-1}+X^{n-2}A_{n-2}+\cdots +XA_{1}+A_{0})\\&=X^{n}A_{n-1}+X^{n-1}(A_{n-2}-M\circ A_{n-1})+X^{n-2}(A_{n-3}-M\circ A_{n-2})+\cdots +X^{1}(A_{0}-M\circ A_{1})-M\circ A_{0}.\end{aligned}}$
Wir können auch die Matrix links nach den Potenzen von $X$ aufteilen, dann ist
    $\chi _{M}E_{n}=X^{n}E_{n}+X^{n-1}c_{n-1}E_{n}+X^{n-2}c_{n-2}E_{n}+\cdots +X^{1}c_{1}E_{n}+c_{0}E_{n}\,.$
Da diese zwei Polynome übereinstimmen, müssen jeweils ihre Koeffizienten übereinstimmen. D.h. wir haben ein System von Gleichungen
    ${\begin{matrix}E_{n}&=&A_{n-1}\\c_{n-1}E_{n}&=&A_{n-2}-M\circ A_{n-1}\\c_{n-2}E_{n}&=&A_{n-3}-M\circ A_{n-2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\c_{1}E_{n}&=&A_{0}-M\circ A_{1}\\c_{0}E_{n}&=&-M\circ A_{0}\,.\end{matrix}}$
Wir multiplizieren diese Gleichungen von links von oben nach unten mit $M^{n},M^{n-1},M^{n-2},\ldots ,M^{1},E_{n}$ und erhalten das Gleichungssystem
    ${\begin{matrix}M^{n}&=&M^{n}\circ A_{n-1}\\c_{n-1}M^{n-1}&=&M^{n-1}\circ A_{n-2}-M^{n}\circ A_{n-1}\\c_{n-2}M^{n-2}&=&M^{n-2}\circ A_{n-3}-M^{n-1}\circ A_{n-2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\c_{1}M^{1}&=&MA_{0}-M^{2}\circ A_{1}\\c_{0}E_{n}&=&-M\circ A_{0}\,.\end{matrix}}$
Wenn wir die linke Spalte dieses Gleichungssystem aufsummieren, so erhalten wir gerade $\chi _{M}\,(M)$. Wenn wir die rechte Seite aufsummieren, so erhalten wir $0$, da jeder Teilsummand $M^{i+1}\circ A_{i}$ einmal positiv und einmal negativ vorkommt. Also ist $\chi _{M}\,(M)=0$.
$\Box$

## Satz

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper $K$ und es sei
    $f\colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung.
Dann gilt für das charakteristische Polynom die Beziehung

### Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.
$\Box$