# Elliptische Kurve/Divisorenklassengruppe/Isomorphie/Textabschnitt
## Lemma

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über dem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ mit dem Nullpunkt ${\mathfrak {O}}\in E$. Es seien $P_{1},P_{2}\in E$.
Dann gibt es einen Punkt $A\in E$ derart, dass die Divisoren $P_{1}+P_{2}$ und ${\mathfrak {O}}+A$ zueinander linear äquivalent sind.

### Beweis

Es sei $E=V_{+}(F)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ mit $F$ homogen vom Grad $3$. Bei $P_{1}\neq P_{2}$ betrachten wir die projektive Gerade $L\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ durch die beiden Punkte. Bei $P_{1}=P_{2}$ betrachten wir die
Tangente
$L\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ an den Punkt. Es wird $L$ durch eine Linearform $\ell _{1}\neq 0$ beschrieben. Der Weil-Divisor zu dieser Linearform ist $(\ell _{1})=P_{1}+P_{2}+P_{3}$, da ja $E\cap L$ aus drei Punkten (mit Multiplizitäten) besteht. Die Punkte $P_{3},{\mathfrak {O}}$ definieren in der gleichen Weise eine weitere Gerade und eine zugehörige Linearform $\ell _{2}$ mit $(\ell _{2})=P_{3}+{\mathfrak {O}}+A$. Die Funktion ${\frac {\ell _{1}}{\ell _{2}}}$ ist eine rationale Funktion auf $E$ und definiert den Hauptdivisor
    ${\left({\frac {\ell _{1}}{\ell _{2}}}\right)}=P_{1}+P_{2}+P_{3}-{\left(P_{3}+{\mathfrak {O}}+A\right)}=P_{1}+P_{2}-{\mathfrak {O}}-A\,.$
Damit ist $P_{1}+P_{2}={\mathfrak {O}}+A$.
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## Satz

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über dem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ mit dem Nullpunkt ${\mathfrak {O}}\in E$.
Dann ist die Abbildung
ein Gruppenisomorphismus.

### Beweis

Wir zeigen zuerst die Injektivität. Seien $P,Q\in E$ verschiedene Punkte. Wenn $P-{\mathfrak {O}}$ und $Q-{\mathfrak {O}}$ zueinander linear äquivalent sind, so sind auch $P$ und $Q$ zueinander linear äquivalent. Dann gibt es eine rationale Funktion $f$ auf $E$ mit $\operatorname {div} {\left(f\right)}=P-Q$. Wenn wir $f$ als einen Morphismus nach ${\mathbb {P} }_{K}^{1}$ auffassen, so hat dieser nach Fakt den Grad $1$. Doch dann wäre die elliptische Kurve isomorph zu ${\mathbb {P} }_{K}^{1}$, was Fakt widerspricht.
Zum Nachweis der Surjektivität sei ein Divisor $D$ vom Grad $0$ gegeben, sagen wir $D=P_{1}+P_{2}+\cdots +P_{n}-Q_{1}-Q_{2}-\cdots -Q_{n}$, wobei Punkte mehrfach vorkommen können. Mit Hilfe von Fakt kann man zeigen, dass dieser Divisor linear äquivalent zu
    $(n-1){\mathfrak {O}}+A-((n-1){\mathfrak {O}}+B)=A-B\,.$
Die Punkte $A$ und ${\mathfrak {O}}$ definieren wie in Fakt eine Gerade und einen dritten Schnittpunkt $C$. Ebenso definieren $B$ und $C$ eine Gerade und einen dritten Schnittpunkt $D$. Es ist dann
    $A-B\sim A-B+(B+C+D-A-{\mathfrak {O}}-C)=D-{\mathfrak {O}}\,.$
Zum Nachweis der Homomorphie seien Punkte $P,Q\in E$ gegeben. Es sei $L$ die durch $P$ und $Q$ gegebene Gerade mit der Linearform $\ell _{1}$ und dem dritten Schnittpunkt $C$ und es sei $L_{2}$ die Gerade durch $C$ und ${\mathfrak {O}}$ mit der Linearform $\ell _{2}$ und dem dritten Schnittpunkt $D$. Nach Definition ist $D$ gleich $P+Q$ in der Gruppenstruktur auf der elliptischen Kurve. In der Divisorenklassengruppe ist
    ${\begin{aligned}\,[P]-[{\mathfrak {O}}]+[Q]-[{\mathfrak {O}}]&=[P]+[Q]-2[{\mathfrak {O}}]\\&=[P]+[Q]-2[{\mathfrak {O}}]+[{\mathfrak {O}}]+[D]-[P]-[Q]\\&=[D]-[{\mathfrak {O}}],\end{aligned}}$
es liegt also ein Gruppenhomomorphismus vor.
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