# X^2+Y^3+Z^3/Charakteristik 2/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel

Zu
    $F=X^{2}+Y^{3}+Z^{3}\,$
in Charakteristik $2$. Die relevanten Taylor-Ableitungen sind
    ${\frac {1}{2}}{\left({\frac {\partial }{\partial X}}\right)}^{2}(F)=1\,,$
    ${\frac {\partial }{\partial y}}(F)=Y^{2}\,,$
    ${\frac {1}{2}}{\left({\frac {\partial }{\partial Y}}\right)}^{2}(F)=Y\,,$
    ${\frac {1}{6}}{\left({\frac {\partial }{\partial Y}}\right)}^{3}(F)=1\,$
und ebenso für $Z$
    ${\begin{pmatrix}&1&A&B&C\\1&0&0&0&0\\A&0&0&0&0\\B&Y^{2}&0&0&0\\C&Z^{2}&0&0&0\\A^{2}&1&0&0&0\\AB&0&Y^{2}&0&0\\AC&0&Z^{2}&0&0\\B^{2}&Y&0&Y^{2}&0\\BC&0&0&Z^{2}&Y^{2}\\C^{2}&Z&0&0&Z^{2}\end{pmatrix}}$
    ${\begin{pmatrix}&1&A&B&C&A^{2}&AB&AC&B^{2}&BC&C^{2}\\1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\A&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\B&Y^{2}&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\C&Z^{2}&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\A^{2}&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\AB&0&Y^{2}&0&0&0&0&0&0&0&0\\AC&0&Z^{2}&0&0&0&0&0&0&0&0\\B^{2}&Y&0&Y^{2}&0&0&0&0&0&0&0\\BC&0&0&Z^{2}&Y^{2}&0&0&0&0&0&0\\C^{2}&Z&0&0&Z^{2}&0&0&0&0&0&0\\A^{3}&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\A^{2}B&0&0&1&0&Y^{2}&0&0&0&0&0\\A^{2}C&0&0&0&1&Z^{2}&0&0&0&0&0\\AB^{2}&0&Y&0&0&0&Y^{2}&0&0&0&0\\ABC&0&0&0&0&0&Z^{2}&Y^{2}&0&0&0\\AC^{2}&0&Z&0&0&0&0&Z^{2}&0&0&0\\B^{3}&1&0&Y&0&0&0&0&Y^{2}&0&0\\B^{2}C&0&0&0&Y&0&0&0&Z^{2}&Y^{2}&0\\BC^{2}&0&0&Z&0&0&0&0&0&Z^{2}&Y^{2}\\C^{3}&1&0&0&Z&0&0&0&0&0&Z^{2}\end{pmatrix}}.$
Unitäre Operatoren sind (Ordnung:Operator:Zeilenelimination)
    ${\text{Ordnung }}0:\,1:\,1,$
    ${\text{Ordnung }}1:\,\delta ={\frac {\partial }{\partial X}}:\,A,$
    ${\text{Ordnung }}2:\,{\frac {\partial }{\partial Y}}-Y^{2}{\left({\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial X}}\circ {\frac {\partial }{\partial X}}\right)}:B-Y^{2}A^{2}\,,Z^{2}{\left({\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial X}}\circ {\frac {\partial }{\partial X}}\right)}-{\frac {\partial }{\partial Z}}:\,C-Z^{2}A^{2},$
    ${\text{Ordnung }}3:\,{\frac {\partial }{\partial X}}\circ {\frac {\partial }{\partial Y}}-Y^{2}{\left({\frac {1}{6}}{\frac {\partial }{\partial X}}\circ {\frac {\partial }{\partial X}}\circ {\frac {\partial }{\partial X}}\right)}:\,AB-Y^{2}A^{3},$
    ${\text{Ordnung }}3:\,{\frac {\partial }{\partial Y}}\circ {\frac {\partial }{\partial Z}}+Z^{2}{\left({\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial X}}\circ {\frac {\partial }{\partial X}}\circ {\frac {\partial }{\partial Y}}\right)}+Y^{2}{\left({\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial X}}\circ {\frac {\partial }{\partial X}}\circ {\frac {\partial }{\partial Z}}\right)}:\,BC+Z^{2}A^{2}B+Y^{2}A^{2}C.$
Die unitären Operatoren wachsen also $1/1,2/3,4/6,7/10,...$.
    ${\begin{pmatrix}&A^{3}&A^{2}B&A^{2}C&AB^{2}&ABC&AC^{2}&B^{3}&B^{2}C&BC^{2}&C^{3}\\A^{4}&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\A^{3}B&Y^{2}&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\A^{3}C&Z^{2}&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\A^{2}B^{2}&0&Y^{2}&0&0&0&0&0&0&0&0\\A^{2}BC&0&Z^{2}&Y^{2}&0&0&0&0&0&0&0\\A^{2}C^{2}&0&0&Z^{2}&0&0&0&0&0&0&0\\AB^{3}&0&0&0&Y^{2}&0&0&0&0&0&0\\AB^{2}C&0&0&0&Z^{2}&Y^{2}&0&0&0&0&0\\ABC^{2}&0&0&0&0&Z^{2}&Y^{2}&0&0&0&0\\AC^{3}&0&0&0&0&0&Z^{2}&0&0&0&0\\B^{4}&0&0&0&0&0&0&Y^{2}&0&0&0\\B^{3}C&0&0&0&0&0&0&Z^{2}&Y^{2}&0&0\\B^{2}C^{2}&0&0&0&0&0&0&0&Z^{2}&Y^{2}&0\\BC^{3}&0&0&0&0&0&0&0&0&Z^{2}&Y^{2}\\C^{4}&0&0&0&0&0&0&0&0&0&Z^{2}\end{pmatrix}}.$
    ${\begin{pmatrix}&1&A&B&C&A^{2}&AB&AC&B^{2}&BC&C^{2}&A^{3}&A^{2}B&A^{2}C&AB^{2}&ABC&AC^{2}&B^{3}&B^{2}C&BC^{2}&C^{3}\\A^{4}&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\A^{3}B&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&Y^{2}&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\A^{3}C&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&Z^{2}&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\A^{2}B^{2}&0&0&0&0&Y&0&0&1&0&0&0&Y^{2}&0&0&0&0&0&0&0&0\\A^{2}BC&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&Z^{2}&Y^{2}&0&0&0&0&0&0&0\\A^{2}C^{2}&0&0&0&0&Z&0&0&0&0&1&0&0&Z^{2}&0&0&0&0&0&0&0\\AB^{3}&0&1&0&0&0&Y&0&0&0&0&0&0&0&Y^{2}&0&0&0&0&0&0\\AB^{2}C&0&0&0&0&0&0&Y&0&0&0&0&0&0&Z^{2}&Y^{2}&0&0&0&0&0\\ABC^{2}&0&0&0&0&0&Z&0&0&0&0&0&0&0&0&Z^{2}&Y^{2}&0&0&0&0\\AC^{3}&0&1&0&0&0&0&Z&0&0&0&0&0&0&0&0&Z^{2}&0&0&0&0\\B^{4}&0&0&1&0&0&0&0&Y&0&0&0&0&0&0&0&0&Y^{2}&0&0&0\\B^{3}C&0&0&0&1&0&0&0&0&Y&0&0&0&0&0&0&0&Z^{2}&Y^{2}&0&0\\B^{2}C^{2}&0&0&0&0&0&0&0&Z&0&Y&0&0&0&0&0&0&0&Z^{2}&Y^{2}&0\\BC^{3}&0&0&1&0&0&0&0&0&Z&0&0&0&0&0&0&0&0&0&Z^{2}&Y^{2}\\C^{4}&0&0&0&1&0&0&0&0&0&Z&0&0&0&0&0&0&0&0&0&Z^{2}\end{pmatrix}}.$