# Stetige Abbildungen/Metrischer und euklidischer Raum/Textabschnitt

Wir erinnern an die Definition der Supremumsnorm.
Es sei $T$ eine Menge und
    $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion. Dann nennt man
    $\Vert {f}\Vert :=\Vert {f}\Vert _{T}={\operatorname {sup} \,(\vert {f(x)}\vert {|}x\in T)}\,$
das Supremum (oder die Supremumsnorm) von $f$. Es ist eine nichtnegative reelle Zahl oder $\infty$.
Diese Definition kann man direkt verallgemeinern, wenn die Werte der Abbildungen in einem euklidischen Vektorraum liegen. Es sei also $T$ eine Menge und $E$ sei ein euklidischer Vektorraum. In dieser Situation definiert man zu einer Abbildung
    $f\colon T\longrightarrow E$
    $\Vert {f}\Vert :=\Vert {f}\Vert _{T}={\operatorname {sup} \,(\Vert {f(x)}\Vert ,x\in T)}\,$
und nennt dies das Supremum (oder die Supremumsnorm) von $f$ (falls das Supremum nicht existiert, ist dies als $\infty$ zu interpretieren).
Wir setzen $M=\operatorname {Abb} (T,E)$; dies ist ein (i.A. unendlichdimensionaler) reeller Vektorraum. Die Supremumsnorm erfüllt die folgenden Eigenschaften (die geeignet zu interpretieren sind, falls $\infty$ auftritt).
* Es ist $\Vert {f}\Vert \geq 0$ für alle $f\in M$.
* Es ist $\Vert {f}\Vert =0$ genau dann, wenn $f=0$ ist.
* Für $\lambda \in \mathbb {R}$ und $f\in M$ gilt
    $\Vert {\lambda f}\Vert =\vert {\lambda }\vert \cdot \Vert {f}\Vert \,.$
* Für $g,f\in M$ gilt
    $\Vert {g+f}\Vert \leq \Vert {g}\Vert +\Vert {f}\Vert \,.$
Wenn $T$ ein metrischer Raum ist, so betrachtet man
    $C={\left\{f:T\rightarrow E\mid f{\text{ stetig}}\right\}}\,.$
Dieser ist ein reeller Untervektorraum von $M$. Wenn $T\subseteq \mathbb {R} ^{k}$ nichtleer, abgeschlossen und beschränkt ist, so ist nach Fakt das Supremum von $\Vert {f(x)}\Vert$, $x\in T$, gleich dem Maximum, d.h. es gibt ein $x\in T$ derart, dass $\Vert {f(x')}\Vert \leq \Vert {f(x)}\Vert$ für alle $x'\in T$ gilt. Daher ist in diesem Fall das Supremum stets eine reelle Zahl, und stimmt mit dem Maximum überein. Man spricht daher auch von der Maximumsnorm.

## Satz

Es sei $T\subseteq \mathbb {R} ^{k}$ eine kompakte Teilmenge, es sei $E$ ein euklidischer Vektorraum und es sei $C=C(T,E)$ der Vektorraum der stetigen Abbildungen von $T$ nach $E$.
Dann ist $C$, versehen mit der Maximumsnorm, ein vollständiger metrischer Raum.

### Beweis

Es sei
    $f_{n}\colon T\longrightarrow E$
eine Cauchy-Folge von stetigen Abbildungen. Wir müssen zeigen, dass diese Folge gegen eine Grenzabbildung konvergiert, die ebenfalls stetig ist. Zu jedem $\epsilon >0$ gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für $n,m\geq n_{0}$ die Beziehung
    $\Vert {f_{n}(x)-f_{m}(x)}\Vert \leq \epsilon \,$
für alle $x\in T$} gilt. Daher ist für jedes $x\in T$ die Folge ${\left(f_{n}(x)\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in $E$ und somit, wegen der Vollständigkeit von euklidischen Räumen, konvergent in $E$. Wir nennen den Grenzwert dieser Folge $f(x)$, sodass sich insgesamt eine Grenzabbildung
    $f\colon T\longrightarrow E,\,x\longmapsto f(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x),$
ergibt, gegen die die Funktionenfolge punktweise konvergiert. Da ${\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge ist, gibt es zu jedem vorgegebenen $\epsilon >0$ stets ein $n_{0}$ derart, dass die Cauchy-Bedingung für alle $x\in T$ gilt, konvergiert die Funktionenfolge sogar gleichmäßig gegen $f$ (und das bedeutet die Konvergenz in der Supremumsnorm). Aufgrund von Fakt ist daher $f$ stetig und daher ist $f\in C$.
$\Box$