# Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten/Zurückziehen unter Abbildungen/Textabschnitt
## Definition

Es seien $L$ und $M$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und es sei
    $\varphi \colon L\longrightarrow M$
eine differenzierbare Abbildung. Es sei $\omega$ eine $k$-Differentialform auf $M$. Dann nennt man die $k$-Form auf $L$, die der durch
    $(P,v_{1},\ldots ,v_{k})\longmapsto \omega (\varphi (P),T_{P}(\varphi )(v_{1}),\ldots ,T_{P}(\varphi )(v_{k}))$
gegebenen alternierenden Abbildung entspricht, die mit $\varphi$ zurückgezogene $k$-Form. Sie wird mit
    $\varphi ^{*}\omega$
bezeichnet.

## Lemma

Es seien $L$ und $M$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und
    $\varphi \colon L\longrightarrow M$
eine differenzierbare Abbildung. Dann erfüllt das Zurückziehen von Differentialformen folgende Eigenschaften.

### Beweis

(1) folgt unmittelbar aus der Definition. (2). Wir müssen für Differentialformen $\omega _{1}$ und $\omega _{2}$ und Skalare $a,b\in \mathbb {R}$ zeigen, dass $\varphi ^{*}(a\omega _{1}+b\omega _{2})=a\varphi ^{*}\omega _{1}+b\varphi ^{*}\omega _{2}$ gilt. Eine solche Gleichheit von Differentialformen bedeutet, dass die Gleichheit in jedem Punkt $P\in L$ und für jedes $k$-Tupel von Tangentialvektoren $v_{1},\ldots ,v_{k}\in T_{P}L$ gilt. Daher folgt die Behauptung aus
    ${\begin{aligned}{\left(\varphi ^{*}(a\omega _{1}+b\omega _{2})\right)}{\left(P,v_{1},\ldots ,v_{k}\right)}&=(a\omega _{1}+b\omega _{2}){\left(\varphi (P),T_{P}(\varphi )(v_{1}),\ldots ,T_{P}(\varphi )(v_{k})\right)}\\&=a\omega _{1}{\left(\varphi (P),T_{P}(\varphi )(v_{1}),\ldots ,T_{P}(\varphi )(v_{k})\right)}\\&\,\,\,\,\,+b\omega _{2}{\left(\varphi (P),T_{P}(\varphi )(v_{1}),\ldots ,T_{P}(\varphi )(v_{k})\right)}\\&={\left(a\varphi ^{*}\omega _{1}\right)}(P,v_{1},\ldots ,v_{k})+{\left(b\varphi ^{*}\omega _{2}\right)}(P,v_{1},\ldots ,v_{k}).\end{aligned}}$
(3) folgt unmittelbar aus der Definition. (4). Es sei $Q\in L$, $u_{1},\ldots ,u_{k}\in T_{Q}L$ und $\omega$ eine $k$-Form auf $N$. Dann gilt unter Verwendung von Fakt (4)
    ${\begin{aligned}((\psi \circ \varphi )^{*}(\omega ))(Q,u_{1},\ldots ,u_{k})&=\omega {\left((\psi \circ \varphi )(Q),T_{Q}(\psi \circ \varphi )(u_{1}),\ldots ,T_{Q}(\psi \circ \varphi )(u_{k})\right)}\\&=\omega {\left(\psi (\varphi (Q)),{\left(T_{\varphi (Q)}\psi \right)}((T_{Q}\varphi )(u_{1})),\ldots ,{\left(T_{\varphi (Q)}\psi \right)}((T_{Q}\varphi )(u_{k}))\right)}\\&={\left(\psi ^{*}(\omega )\right)}{\left(\varphi (Q),T_{Q}(\varphi )(u_{1}),\ldots ,T_{Q}(\varphi )(u_{k})\right)}\\&={\left(\varphi ^{*}{\left(\psi ^{*}(\omega )\right)}\right)}(Q,u_{1},\ldots ,u_{k}),\,\end{aligned}}$
und dies ist die Behauptung.
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## Lemma

Es seien $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und $V\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ offene Teilmengen, deren Koordinaten mit $x_{1},\ldots ,x_{n}$ bzw. mit $y_{1},\ldots ,y_{m}$ bezeichnet seien. Es sei
    $\varphi \colon U\longrightarrow V$
eine differenzierbare Abbildung und es sei $\omega$ eine $k$-Differentialform auf $V$ mit der Darstellung
    $\omega =\sum _{I,\,{\#\left(I\right)}=k}f_{I}dy_{I}\,,$
wobei $f_{I}\colon V\rightarrow \mathbb {R}$ Funktionen sind.
Dann besitzt die zurückgezogene Form die Darstellung
    ${\begin{aligned}\varphi ^{*}\omega &=\sum _{I,\,{\#\left(I\right)}=k}{\left(f_{I}\circ \varphi \right)}\left(\sum _{J,\,{\#\left(J\right)}=k}\det {\left({\left({\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j}}}\right)}_{i\in I,j\in J}\right)}dx_{J}\right)\\&=\sum _{J,\,{\#\left(J\right)}=k}\left(\sum _{I,\,{\#\left(I\right)}=k}{\left(f_{I}\circ \varphi \right)}\det {\left({\left({\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j}}}\right)}_{i\in I,j\in J}\right)}\right)dx_{J}.\end{aligned}}$

### Beweis

Die zweite Gleichung beruht auf einer einfachen Umordnung. Aufgrund von Fakt (2) kann man sich auf den Fall $\omega =f_{I}dy_{I}$ beschränken. Wir setzen $f=f_{I}$ und dürfen $I=\{1,\ldots ,k\}$ annehmen. Wir zeigen die Gleichheit der beiden $k$-Formen auf $U$, indem wir zeigen, dass sie für jeden Punkt $P\in U$ und jedes Dachprodukt $e_{j_{1}}\wedge \ldots \wedge e_{j_{k}}$ mit $1\leq j_{1}=\ldots =j_{k}\leq n$ den gleichen Wert liefern. Es ist einerseits
    ${\begin{aligned}\varphi ^{*}(fdy_{1}\wedge \ldots \wedge dy_{k})(P,e_{j_{1}}\wedge \ldots \wedge e_{j_{k}})&=(fdy_{1}\wedge \ldots \wedge dy_{k})(\varphi (P),T_{P}(\varphi )(e_{j_{1}})\wedge \ldots \wedge T_{P}(\varphi )(e_{j_{k}}))\\&=f(\varphi (P))(dy_{1}\wedge \ldots \wedge dy_{k})({\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{j_{1}}}}(P)\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{j_{1}}}}(P)\end{pmatrix}}\wedge \ldots \wedge {\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{j_{k}}}}(P)\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{j_{k}}}}(P)\end{pmatrix}})\\&=f(\varphi (P))\cdot \det {\left((dy_{i}){\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{j_{\ell }}}}(P)\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{j_{\ell }}}}(P)\end{pmatrix}}\right)}_{1\leq i,\ell \leq k}\\&=f(\varphi (P))\cdot \det {\left({\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j_{\ell }}}}(P)\right)}_{1\leq i,\ell \leq k}.\,\end{aligned}}$
Wenn man andererseits die Summe auf $e_{j_{1}}\wedge \ldots \wedge e_{j_{k}}$ anwendet, so ist $dx_{J}(e_{j_{1}}\wedge \ldots \wedge e_{j_{k}})=0$ außer bei $J=\{j_{1},\ldots ,j_{k}\}$, wo sich der Wert $1$ ergibt, sodass sich also der gleiche Wert ergibt.
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## Korollar

Es seien $U,V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offene Teilmengen, deren Koordinaten mit $x_{1},\ldots ,x_{n}$ bzw. mit $y_{1},\ldots ,y_{n}$ bezeichnet seien. Es sei
    $\varphi \colon U\longrightarrow V$
eine differenzierbare Abbildung und es sei $\omega$ eine $n$-Differentialform auf $V$ mit der Darstellung
    $\omega =fdy_{1}\wedge \ldots \wedge dy_{n}\,.$
Dann besitzt die zurückgezogene Form die Darstellung

### Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.
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