# Komplexe Mannigfaltigkeit/Tangentialraum über holomorphe Kurven/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $M$ eine komplexe Mannigfaltigkeit und $P\in M$ ein Punkt. Es seien
    $\gamma _{1}\colon B_{1}\longrightarrow M$
und
    $\gamma _{2}\colon B_{2}\longrightarrow M$
zwei auf offenen Bällen $0\in B_{1},B_{2}\subseteq {\mathbb {C} }$ definierte holomorphe Kurven mit $\gamma _{1}(0)=P=\gamma _{2}(0)$. Dann heißen $\gamma _{1}$ und $\gamma _{2}$ tangential äquivalent in $P$, wenn es eine offene Umgebung $P\in U$ und eine Karte
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
mit $V\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ derart gibt, dass
    ${\left(\alpha \circ {\left(\gamma _{1}{|}_{\gamma _{1}^{-1}(U)}\right)}\right)}'(0)={\left(\alpha \circ {\left(\gamma _{2}{|}_{\gamma _{2}^{-1}(U)}\right)}\right)}'(0)\,$
gilt.
Wir brauchen einige einfache Lemmata, um nachzuweisen, dass es sich hierbei um einen sinnvollen Begriff handelt.

## Lemma

Es sei $M$ eine komplexe Mannigfaltigkeit und $P\in M$ ein Punkt. Es seien
    $\gamma _{1}\colon B_{1}\longrightarrow M$
und
    $\gamma _{2}\colon B_{2}\longrightarrow M$
zwei auf offenen Bällen $0\in B_{1},B_{2}\subseteq {\mathbb {C} }$ definierte holomorphe Kurven mit $\gamma _{1}(0)=P=\gamma _{2}(0)$.
Dann sind $\gamma _{1}$ und $\gamma _{2}$ genau dann tangential äquivalent in $P$, wenn für jede Karte
gilt.

### Beweis

Für eine holomorphe Kurve
    $\gamma \colon B\longrightarrow M$
mit $0\in B$ und $\gamma (0)=P$ und eine Karte
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
(mit $P\in U$ und $V\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$) ändert sich der Ausdruck
    ${\left(\alpha \circ {\left(\gamma {|}_{\gamma ^{-1}(U)}\right)}\right)}'(0)$
nicht, wenn man zu einem kleineren offenen Ball $0\in B'\subseteq B$ und einer kleineren offenen Menge $P\in U'\subseteq U$ (mit der induzierten Karte) übergeht. Wir können also davon ausgehen, dass $\gamma _{1}$ und $\gamma _{2}$ auf dem gleichen offenen Ball definiert sind und ihre Bilder in $U$ liegen, und dass es für dieses $U$ zwei Karten
    $\alpha _{1}\colon U\longrightarrow V_{1}$
und
    $\alpha _{2}\colon U\longrightarrow V_{2}$
gibt. Dann folgt aus
    $(\alpha _{1}\circ \gamma _{1})'(0)=(\alpha _{1}\circ \gamma _{2})'(0)\,$
nach der Kettenregel unter Verwendung der komplexen Differenzierbarkeit der Übergangsabbildung $\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}$ sofort
    ${\begin{aligned}{\left(\alpha _{2}\circ \gamma _{1}\right)}'(0)&={\left({\left(\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}\right)}\circ {\left(\alpha _{1}\circ \gamma _{1}\right)}\right)}'(0)\\&={\left(D\left(\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}\right)\right)}_{\alpha _{1}(P)}{\left({\left(\alpha _{1}\circ \gamma _{1}\right)}'(0)\right)}\\&={\left(D\left(\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}\right)\right)}_{\alpha _{1}(P)}{\left({\left(\alpha _{1}\circ \gamma _{2}\right)}'(0)\right)}\\&={\left(\alpha _{2}\circ \gamma _{2}\right)}'(0).\end{aligned}}$
$\Box$

## Lemma

Es sei $M$ eine komplexe Mannigfaltigkeit und $P\in M$ ein Punkt.
Dann ist die tangentiale Äquivalenz von holomorphen Kurven durch $P$ eine Äquivalenzrelation.

### Beweis

Die Reflexiviät und die Symmetrie der Relation sind unmittelbar klar. Zum Nachweis der Transitivität seien drei holomorphe Kurven
    $\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3}\colon B\longrightarrow M$
gegeben, wobei wir sofort annehmen dürfen, dass sie auf dem gleichen offenen Ball $0\in B\subseteq {\mathbb {C} }$ definiert sind. Es seien $P\in U_{1},U_{2}$ offene Mengen, mit denen man die tangentiale Gleichheit von $\gamma _{1}$ und $\gamma _{2}$ bzw. von $\gamma _{2}$ und $\gamma _{3}$ nachweisen kann. Dann kann man nach Fakt mit $U=U_{1}\cap U_{2}$ die tangentiale Gleichheit von $\gamma _{1}$ und $\gamma _{3}$ nachweisen.
$\Box$
Aufgrund dieses Lemmas ist die folgende Definition sinnvoll.

## Definition

Es sei $M$ eine komplexe Mannigfaltigkeit und $P\in M$ ein Punkt. Unter einem Tangentialvektor an $P$ versteht man eine Äquivalenzklasse von tangential äquivalenten holomorphen Kurven durch $P$. Die Menge dieser Tangentialvektoren wird mit
    $T_{P}M$
bezeichnet.

## Lemma

Es sei $M$ eine komplexe Mannigfaltigkeit, $P\in M$ ein Punkt und $\alpha \colon U\rightarrow V$ eine Karte. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

(1). Die Wohldefiniertheit der Abbildung ist wegen Fakt klar. Die Injektivität folgt unmittelbar aus der Definition. Zur Surjektivität sei $v\in {\mathbb {C} }^{n}$. Wir betrachten die affin-lineare Kurve
    $\theta \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{n},\,z\longmapsto \theta (z)=\alpha (P)+zv,$
dessen Ableitung in $0$ gerade $v$ ist. Wir schränken diese Kurve auf einen Ball $0\in B\subseteq {\mathbb {C} }$ derart ein, dass $\theta (B)\subseteq V$ ist und betrachten
    $\gamma =\alpha ^{-1}\circ \theta \colon B\longrightarrow M.$
Für diese Kurve gilt
    $\gamma (0)={\left(\alpha ^{-1}\circ \theta \right)}(0)=\alpha ^{-1}(\theta (0))=\alpha ^{-1}(\alpha (P))=P\,$
und
    ${\left(\alpha \circ \gamma \right)}'(0)={\left(\alpha \circ {\left(\alpha ^{-1}\circ \theta \right)}\right)}'(0)=\theta '(0)=v\,.$
(2). Durch Übergang zu kleineren offenen Mengen können wir annehmen, dass zwei Karten
    $\alpha _{1}\colon U\longrightarrow V_{1}$
und
    $\alpha _{2}\colon U\longrightarrow V_{2}$
vorliegen. Die Übergangsabbildung
    $\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}\colon V_{1}\longrightarrow V_{2}$
ist biholomorph und für ihr totales Differential in $\alpha _{1}(P)$ gilt nach der Kettenregel die Beziehung
    ${\left(D(\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1})\right)}_{\alpha _{1}(P)}{\left((\alpha _{1}\circ \gamma )'(0)\right)}=(\alpha _{2}\circ \gamma )'(0)\,.$
Das bedeutet, dass das Diagramm
    ${\begin{matrix}T_{P}M&{\stackrel{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }^{n}&\\&\searrow &\downarrow &\\&&{\mathbb {C} }^{n}&\!\!\!\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$
wobei vertikal das totale Differential zu $\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}$ steht, kommutiert. Da das totale Differential eine lineare Abbildung ist, die in der gegebenen Situation bijektiv ist, macht es keinen Unterschied, ob man die Addition und die Skalarmultiplikation auf $T_{P}M$ unter Bezug auf die obere oder die untere horizontale Abbildung definiert.
$\Box$

## Definition

Es sei $M$ eine komplexe Mannigfaltigkeit und $P\in M$ ein Punkt. Unter dem Tangentialraum an $P$, geschrieben $T_{P}M$, versteht man die Menge der Tangentialvektoren an $P$ versehen mit der durch eine beliebige Karte gegebenen komplexen Vektorraumstruktur.
Die Dimension des Tangentialraumes als komplexer Vektorraum stimmt mit der komplexen Dimension der Mannigfaltigkeit überein. Jede Karte induziert einen Isomorphismus zwischen $T_{p}M$ und dem ${\mathbb {C} }^{n}$, aber diese Isomorphismen hängen von der gewählten Karte ab. Insbesondere gibt es auf dem Tangentialraum keine Standardbasis.

## Lemma

Es sei $M$ eine komplexe Mannigfaltigkeit und $P\in M$ ein Punkt.
Dann gibt es eine natürliche Identifizierung zwischen dem komplexen Tangentialraum $T_{P}M$ und dem Tangentialraum in $P$ von $M$ als differenzierbare Mannigfaltigkeit.

### Beweis

Wir schreiben $T_{P}^{\mathbb {C} }M$ und $T_{P}^{\mathbb {R} }M$ für den komplexen bzw. den reellen Tangentialraum. Dabei ist $T_{P}^{\mathbb {C} }M$ ein komplexer Vektorraum der komplexen Dimension $n$, wobei $n$ die komplexe Dimension der komplexen Mannigfaltigkeit $M$ ist. Damit ist $T_{P}^{\mathbb {C} }M$ insbesondere ein reeller Vektorraum der reellen Dimension $2n$. Da $M$ als reelle differenzierbare Mannigfaltigkeit die Dimension $2n$ besitzt, hat auch $T_{P}^{\mathbb {R} }M$ die reelle Dimension $2n$. Wir betrachten die Abbildung
    $T_{P}^{\mathbb {C} }M\longrightarrow T_{P}^{\mathbb {R} }M,\,[\gamma ]\longmapsto [\gamma {|}_{\mathbb {R} }],$
die einem holomorphen Tangentialvektor, der durch eine holomorphe Kurve $\gamma \colon B\rightarrow M$ mit $0\in B\subseteq {\mathbb {C} }$ und $\gamma (0)=P$ repräsentiert wird, den reellen Tangentialvektor zuordnet, der durch den reellen differenzierbaren Weg $\gamma {|}_{B\cap \mathbb {R} }$ repräsentiert wird. Diese Abbildung ist wohldefiniert und $\mathbb {R}$-linear. Zum Nachweis der Bijektivität betrachten wir zu einer Karte $\alpha \colon U\rightarrow V\subseteq {\mathbb {C} }^{n}\cong \mathbb {R} ^{2n}$ das Diagramm
    ${\begin{matrix}T_{P}^{\mathbb {C} }M&{\stackrel{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }^{n}&\\\downarrow &&\downarrow &\\T_{P}^{\mathbb {R} }M&{\stackrel{\longrightarrow }}&\mathbb {R} ^{2n}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
wobei die horizontalen Abbildungen die Bijektionen aus Fakt bzw. Fakt sind. Wegen
    $(\alpha \circ \gamma )'(0)=(\alpha \circ \gamma {|}_{\mathbb {R} })'(0)\,$
ist das Diagramm kommutativ, daher ist die linke vertikale Abbildung ein reeller Isomorphismus.
$\Box$