# Wahrscheinlichkeitsraum
### Einführung

Ein Wahrscheinlichkeitsraum besteht aus einem Tripel $(\Omega ,{\mathcal {S}},P)$, wobei
* $\Omega$ die Menge aller möglichen Ergebnisse des Zufallsexperimentes ($\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$ Würfelwurf)
* ${\mathcal {S}}$ als Mengensystem von Teilmenge von Omega als die Menge alle Ereignisse (z.B. ${\mathcal {S}}\subseteq \wp (\Omega )$ ) und
* $P:{\mathcal {S}}\rightarrow [0,1]$ die Funktion ist, die jeder messbaren Menge $A\in {\mathcal {S}}$ eine Wahrscheinlichkeit $P(A)$ zuordnet (z.B. $P(A)={\frac {1}{2}}$ mit $A:=\{1,3,5\}$).

### Sigma-Algebra

Sei $\Omega \not =\emptyset$. Ein Teilmenge ${\mathcal {S}}$ der Potenzmenge $\wp (\Omega )$ heißt $\sigma$-Algebra, wenn folgende Bedingungen gelten:
* $\Omega \in {\mathcal {S}}$
* $A\in {\mathcal {S}}\Longrightarrow A^{c}=\Omega \setminus A\in {\mathcal {S}}$
* $A_{n}\in {\mathcal {S}}$ für alle $n\in \mathbb {N}$, dann gilt $\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\in {\mathcal {S}}$

#### Anmerkung

Die Strucktur der $\sigma$-Algerba ist Grundlage für viele Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes.

### Messraum

Sei $\Omega \not =\emptyset$ und ${\mathcal {S}}$ eine $\sigma$-Algebra über $\Omega$, dann heißt $(\Omega ,{\mathcal {S}})$ einen Messraum.

### Aufgabe 1

Sei $\Omega \not =\emptyset$ und ${\mathcal {S}}'\subseteq \wp (\Omega )$. Ziel der Aufgabe ist es, ${\mathcal {S}}'\subseteq \wp (\Omega )$ so zu ${\mathcal {S}}\subseteq \wp (\Omega )$ zu erweitern, dass $(\Omega ,{\mathcal {S}})$ ein Messraum ist.
* Sei $\Omega :=\{1,2,3,4,5,6\}$ und ${\mathcal {S}}':=\{\Omega ,\{1,2\},\{5,6\}\}$. Ergänzen Sie Menge ${\mathcal {S}}'$ minimal so zu ${\mathcal {S}}$, dass ${\mathcal {S}}$ eine $\sigma -$Algebra ist.

### Aufgabe 2

Die Borelsche $\sigma -$Algebra von den abgeschlossenen Intervallen ${\mathcal {E}}:=\{[a,b]|a,b\in \mathbb {R} \wedge a<b\}$ erzeugt:
* Begründen Sie mit dem Erzeuger der ${\mathcal {E}}$ und den Eigenschaften einer $\sigma$-Algebra, dass $\{x\}\in {\mathcal {B}}$ auch alle Einpunktmengen $\{x\}\in {\mathcal {B}}$ enthält.

### Definition - Messbare Abbildung

Seien $(\Omega _{1},{\mathcal {S}}_{1})$ und $(\Omega _{2},{\mathcal {S}}_{2})$ Messräume. Eine Abbildung $X:\Omega _{1}\longrightarrow \Omega _{2}$ heißt $({\mathcal {S}}_{1},{\mathcal {S}}_{2})$-messbar, wenn gilt:
    $\forall _{B\in {\mathcal {S}}_{2}}\ :\ X^{-1}(B)\in {\mathcal {S}}_{1}$

### Bemerkung - Induzierte W-Verteilung

Über eine messbare Abbildung $X:\Omega _{1}\longrightarrow \Omega _{2}$ kann man eine Wahrscheinlichkeitsverteilung $P_{X}$ von dem Messraum $(\Omega _{1},{\mathcal {S}}_{1})$ auf $(\Omega _{2},{\mathcal {S}}_{2})$ induzieren. Es gilt
    $P_{X}(B):=P(X^{-1}(B))$
für alle $B\in {\mathcal {S}}_{2}$.

### Beispiel

Seien $(\Omega _{1},{\mathcal {S}}_{1})$ und $(\Omega _{2},{\mathcal {S}}_{2})$ als Messräume wie folgt definiert:
* $\Omega _{1}:=\{1,2,3,4,5,6\}^{2}$ zweimaliges Würfeln mit ${\mathcal {S}}_{1}:=\wp (\Omega _{1})$ (Potenzmenge von $\Omega _{1}$).
* $\Omega _{2}:=\mathbb {R}$ mit ${\mathcal {S}}_{2}:={\mathcal {B}}$ (Borelsche $\sigma$-Algebra).
* $X(w_{1},w_{2}):=w_{1}+w_{2}$ für alle $(w_{1},w_{2})\in \Omega _{1}:=\{1,2,3,4,5,6\}^{2}$
Bestimmen Sie mit $X:\Omega _{1}\longrightarrow \Omega _{2}$ die Menge $B:=\{1,\,4\}\subset \Omega _{2}$ die Menge $X^{-1}(B)=X^{-1}(\{1,\,4\})\subseteq \Omega _{1}$!

### Defintion - Wahrscheinlichkeitsverteilung

Sei $(\Omega ,{\mathcal {S}})$ ein Messraum und eine Abbildung $P:{\mathcal {S}}\longrightarrow \mathbb {R}$ gegeben, die folgende Eigenschaften besitzt:
* (Nichtnegativität) $P(A)\geq 0$ für alle $A\in {\mathcal {S}}$
* (Normiertheit) $P(\Omega )=1$
* ($\sigma$-Additivität) $A_{n}\in {\mathcal {S}}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ und paarweise disjunkt folgt: $P\left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\right)=\sum _{n\in \mathbb {N} }P\left(A_{n}\right)$.
$P$ nennt man dann Wahrscheinlichkeitsmaß bzw. Wahrscheinlichkeitsverteilung auf $(\Omega ,{\mathcal {S}})$ und $(\Omega ,{\mathcal {S}},P)$ bezeichnet man als Wahrscheinlichkeitsraum.

### Weitere Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes

* $0\leq P(A)\leq 1$
* $P(\emptyset )=0$
* $P(\Omega \setminus A)=1-P(A)$
* $P(A\setminus B)=P(A)-P(B)$ falls $B\subseteq A$
* $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
* Gilt $A\subseteq B$, so folgt $P(A)\leq P(B)$.

#### Aufgabe

Vergleichen Sie die Eigenschaften der $\sigma$-Algerba mit den erweitereten Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes. Welche Parallelen stellen Sie fest.

### Zufallsgröße

Sei $(\Omega _{1},{\mathcal {S}}_{1},P_{1})$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und $(\Omega _{2},{\mathcal {S}}_{2})=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}})$ die Borelsche $\sigma$-Algebra, dann nennt man die $({\mathcal {S}}_{1},{\mathcal {B}})$-messbare Abbildung $X:\Omega _{1}\to \mathbb {R}$ eine (eindimensionale) Zufallsgröße.
Bemerkung: Die Messbarkeit von $X$ sorgt dafür, dass $P$ auf der Menge $X^{-1}(B)\in {\mathcal {S}}_{1}$ definiert ist.

### Induzierte reellwertige Wahrscheinlichkeitsverteilung

Sei $(\Omega ,{\mathcal {S}},P)$ ein Zufallsexperiment und $X:\Omega \rightarrow \mathbb {R}$ eine Zufallsgröße auf dem Messraum $(\Omega ,{\mathcal {S}})$. Die induzierte Wahrscheinlichkeitsverteilung $P_{X}$ ist dann mit ${\mathcal {B}}$ als Borelsche $\sigma$-Algebra wie folgt definiert:
    $P_{X}:{\mathcal {B}}\rightarrow [0,1]$ mit $B\mapsto P_{X}(B):=P(\underbrace {X^{-1}(B)} _{\in \,{\mathcal {S}}})$
$(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}},P_{X})$ nennt man eine induzierte W-Verteilung der Zufallsgröße $X:\Omega \rightarrow \mathbb {R}$