OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# MDLUL/Abbildungen (differenzierbar Mfk)

Start=Abbildungen (differenzierbar Mfk)
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/C^k-Diffeomorphismus/Definition
# MDLUL/Abbildungen

Start=Abbildungen
Siehe=Abbildung MDLUL/Abbildung Ziel=Theorie der Abbildungen/Abbildung/Definition
# MDLUL/Abbildungen (Differenzierbare Mannigfaltigkeit)

Start=Abbildungen (Differenzierbare Mannigfaltigkeit)
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Definition
# MDLUL/ADE-Singularität

Start=ADE-Singularität
Siehe=Singularität (ADE) MDLUL/Singularität (ADE) Ziel=Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Vorlesung 8
# MDLUL/Abbildung (Differenzierbare Mannigfaltigkeit)

Start=Abbildung (Differenzierbare Mannigfaltigkeit)
Ziel=Differenzierbare_Mannigfaltigkeit/Differenzierbare_Abbildung/Definition
# MDLUL/Abbildung (n)

Start=Abbildung (n)
Ziel=Theorie_der_Abbildungen/Abbildung/Definition
# MDLUL/Abbildungen (differenzierbare Mannigfaltigkeit)

Start=Abbildungen (differenzierbare Mannigfaltigkeit)
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Definition
# MDLUL/Abbildungen (n)

Start=Abbildungen (n)
Siehe=Abbildung (n) MDLUL/Abbildung (n) Ziel=Theorie_der_Abbildungen/Abbildung/Definition
# Kommutative Ringtheorie/Urbild eines maximalen Ideals/Nicht maximal/Aufgabe

Zeige, dass das Urbild eines maximalen Ideals unter einem Ringhomomorphismus nicht maximal sein muss.
# Kommutative Ringtheorie/Z ist normal/Wurzeln aus ganzen Zahlen sind irrational/2/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Irrationalität der Wurzeln aus natürlichen Zahlen.
# Kommutative Ringtheorie/Transitivität der Endlichkeit (Algebren)/Aufgabe

Es seien $R,S,T$ kommutative Ringe und seien $\varphi :R\rightarrow S$ und $\psi :S\rightarrow T$ Ringhomomorphismen derart, dass $S$ endlich über $R$ und $T$ endlich über $S$ ist. Zeige, dass dann auch $T$ endlich über $R$ ist.
# Kommutative Ringtheorie/Theorie der noetherschen kommutativen Ringe/Textabschnitt
## Definition

Ein kommutativer Ring $R$ heißt noethersch, wenn jedes Ideal darin endlich erzeugt ist.

## Proposition

Für einen kommutativen Ring $R$ sind folgende Aussagen äquivalent.
* $R$ ist noethersch.
* Jede aufsteigende Idealkette wird stationär, d.h. es gibt ein $n$ mit ${\mathfrak {a}}_{n}={\mathfrak {a}}_{n+1}=\ldots$.
    ${\mathfrak {a}}_{1}\subseteq {\mathfrak {a}}_{2}\subseteq {\mathfrak {a}}_{3}\subseteq \ldots$

### Beweis

(1) $\Rightarrow$ (2). Sei
    ${\mathfrak {a}}_{1}\subseteq {\mathfrak {a}}_{2}\subseteq {\mathfrak {a}}_{3}\subseteq \ldots$
eine aufsteigende Idealkette in $R$. Wir betrachten die Vereinigung ${\mathfrak {a}}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {a}}_{n}$, die wieder ein Ideal in $R$ ist. Da $R$ noethersch ist, ist ${\mathfrak {a}}$ endlich erzeugt, d.h. ${\mathfrak {a}}=(f_{1},\ldots ,f_{k})$. Da diese $f_{i}$ in der Vereinigung der Ideale ${\mathfrak {a}}_{n}$ liegen, und da die Ideale aufsteigend sind, muss es ein $n$ derart geben, dass $f_{1},\ldots ,f_{k}\in {\mathfrak {a}}_{n}$ liegt. Wegen
    $(f_{1},\ldots ,f_{k})\subseteq {\mathfrak {a}}_{n}\subseteq {\mathfrak {a}}_{n+m}\subseteq \bigcup _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {a}}_{n}\subseteq (f_{1},\ldots ,f_{k})\,$
für $m\geq 0$ muss hier Gleichheit gelten, sodass die Idealkette ab $n$ stationär ist.
(2) $\Rightarrow$ (1). Es sei ${\mathfrak {a}}$ ein Ideal in $R$. Wir nehmen an, ${\mathfrak {a}}$ sei nicht endlich erzeugt, und konstruieren sukzessive eine unendliche echt aufsteigende Idealkette ${\mathfrak {a}}_{n}\subset {\mathfrak {a}}$, wobei die ${\mathfrak {a}}_{n}$ alle endlich erzeugt sind. Es sei dazu
    ${\mathfrak {a}}_{1}\subset {\mathfrak {a}}_{2}\subset \ldots \subset {\mathfrak {a}}_{n}\subseteq {\mathfrak {a}}$
bereits konstruiert. Da ${\mathfrak {a}}_{n}$ endlich erzeugt ist, aber ${\mathfrak {a}}$ nicht, ist die Inklusion ${\mathfrak {a}}_{n}\subseteq {\mathfrak {a}}$ echt und es gibt ein Element
    $f_{n+1}\in {\mathfrak {a}},\,f_{n+1}\not \in {\mathfrak {a}}_{n}.$
Dann setzt das Ideal ${\mathfrak {a}}_{n+1}:={\mathfrak {a}}_{n}+(f_{n+1})$ die Idealkette echt aufsteigend fort.
$\Box$

## Lemma

Es sei $R$ ein noetherscher Ring.
Dann ist auch jeder Restklassenring $R/{\mathfrak {b}}$ noethersch.

### Beweis

Es sei ${\mathfrak {a}}\subseteq R/{\mathfrak {b}}$ ein Ideal und sei ${\tilde {\mathfrak {a}}}\subseteq R$ das Urbildideal davon. Dieses ist endlich erzeugt nach Voraussetzung, also ${\tilde {\mathfrak {a}}}=(f_{1},\ldots ,f_{n})$. Die Restklassen dieser Erzeuger, also ${\bar {f}}_{1},\ldots ,{\bar {f}}_{n}$, bilden ein Idealerzeugendensystem von ${\mathfrak {a}}$: Für ein Element ${\bar {g}}\in {\mathfrak {a}}$ gilt ja $g=\sum _{i=1}^{n}r_{i}f_{i}$ in $R$ und damit ${\bar {g}}=\sum _{i=1}^{n}{\bar {r}}_{i}{\bar {f}}_{i}$ in $R/{\mathfrak {b}}$.
$\Box$
# Kommutative Ringtheorie/Z ist normal/Wurzeln aus ganzen Zahlen sind irrational/2/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Nehmen wir an, dass die rationale Zahl
    $q={\frac {a}{b}}\,$
die Eigenschaft
    $q^{k}={\left({\frac {a}{b}}\right)}^{k}={\frac {a^{k}}{b^{k}}}=n\,$
besitzt. Wir multiplizieren mit $b^{k}$ und erhalten in $\mathbb {N}$ die Gleichung
    $a^{k}=b^{k}\cdot n\,.$
Wegen Fakt besitzt diese Zahl, nennen wir sie $z$, eine eindeutige Primfaktorzerlegung und insbesondere ist der $p$-Exponent
$p$
$p$
$p$
$n$
$k$
$p$
$z$
$k$
# MDLUL/Drehung

Start=Drehung
Ziel=R^2/Drehung/Definition
# MDLUL/Divisorenklassengruppen (Kurve)

Start=Divisorenklassengruppen (Kurve)
Siehe=Divisorenklassengruppe (Kurve) MDLUL/Divisorenklassengruppe (Kurve) Ziel=Glatte Kurve/Divisorenklassengruppe/Definition
# MDLUL/Divisorklasse (Dedekindbereich)

Start=Divisorklasse (Dedekindbereich)
Siehe=Divisorenklassengruppe (Dedekindbereich) MDLUL/Divisorenklassengruppe (Dedekindbereich) Ziel=Dedekindbereich/Divisorenklassengruppe/Definition
# MDLUL/Drehmatrizen

Start=Drehmatrizen
Siehe=Drehmatrix MDLUL/Drehmatrix Ziel=R^2/Drehung/Definition
# MDLUL/Drehgruppe

Start=Drehgruppe
Ziel=Drehgruppe/Zweidimensional/Trigonometrisch/Definition
# MDLUL/Divisorenklassengruppe (riemannsche Fläche)

Start=Divisorenklassengruppe (riemannsche Fläche)
Ziel=Riemannsche Fläche/Divisorenklassengruppe/Definition
# MDLUL/Divisorenklassengruppen

Start=Divisorenklassengruppen
Siehe=Divisorenklassengruppe MDLUL/Divisorenklassengruppe Ziel=Noethersches normales integres Schema/Divisorenklassengruppe/Definition
# MDLUL/Drehmatrix

Start=Drehmatrix
Ziel=R^2/Drehung/Definition
# MDLUL/Divisorenklassengruppe (normales Schema)

Start=Divisorenklassengruppe (normales Schema)
Ziel=Noethersches normales integres Schema/Divisorenklassengruppe/Definition
# MDLUL/Divisorenklassengruppe (riemannsche Fläche 0)

Start=Divisorenklassengruppe (riemannsche Fläche 0)
Ziel=Riemannsche Fläche/Kompakt/Divisorenklassengruppe/Grad 0/Definition
# MDLUL/Standardskalarproduktes (C)

Start=Standardskalarproduktes (C)
Siehe=Standardskalarprodukt (C) MDLUL/Standardskalarprodukt (C) Ziel=C^n/Standardskalarprodukt/Definition
# MDLUL/Standardraum

Start=Standardraum
Ziel=Vektorraum/K^n komponentenweise/Beispiel
# MDLUL/Standardskalarprodukt (C)

Start=Standardskalarprodukt (C)
Ziel=C^n/Standardskalarprodukt/Definition
# MDLUL/Standardskalarprodukt (komplex)

Start=Standardskalarprodukt (komplex)
Ziel=C^n/Standardskalarprodukt/Definition
# MDLUL/Standardskalarproduktes (R)

Start=Standardskalarproduktes (R)
Siehe=Standardskalarprodukt (R) MDLUL/Standardskalarprodukt (R) Ziel=R^n/Standardskalarprodukt/Beispiel
# MDLUL/Standardparabel

Start=Standardparabel
Ziel=Standardparabel/Funktionsgraph/Definition
# MDLUL/Standardrealisierung (Graph)

Start=Standardrealisierung (Graph)
Ziel=Ungerichteter Graph/Geometrische Realisierung/Achsen/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/Standardskalarprodukt (R)

Start=Standardskalarprodukt (R)
Ziel=R^n/Standardskalarprodukt/Beispiel
# MDLUL/Standardskalarprodukt

Start=Standardskalarprodukt
Ziel=R^n/Standardskalarprodukt/Beispiel
# MDLUL/Standardskalarproduktes

Start=Standardskalarproduktes
Siehe=Standardskalarprodukt MDLUL/Standardskalarprodukt Ziel=R^n/Standardskalarprodukt/Beispiel
# Graph/Adjazenzmatrix/Beispiel/1/Aufgabe

Erstelle die Adjazenzmatrix zum gerichteten Graphen rechts.
# Graph/3/Voll/Eigenwerte/Aufgabe

Bestimme das charakteristische Polynom, die Eigenwerte mit Vielfachheiten und die Eigenräume zur reellen Matrix
    ${\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}}.$
# Graph/Adjazenzmatrix/Beispiel/1/Aufgabe/Lösung

Die Adjazenzmatrix ist
    ${\begin{pmatrix}0&0&0&0\\1&0&0&1\\0&1&1&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}.$
# Graph/3 Punkte/1 Kante/Automorphismengruppe/Aufgabe

Bestimme die Automorphismengruppe des abgebildeten Graphen.
# Graph/Adjazenzmatrix/Stochastische Matrix/Beispiel/1/Aufgabe

Erstelle die Adjazenzmatrix und die stochastische Matrix zum angegebenen gerichteten Graphen, wobei es für jeden Punkt auch einen Pfeil auf sich selbst gebe.
# Kreis/Fundamentalgruppe/Fakt

Die Fundamentalgruppe des Kreises $S^{1}$
ist $\mathbb {Z}$.
# Kreis/Mittelpunkt Ursprung/Graph/Tangente durch (0,s)/x-Koordinate/Aufgabe

Es sei ein Kreis mit Mittelpunkt $(0,0)$ und Radius $r$ und ein $s>r$ gegeben.
a) Beschreibe den oberen Kreisbogen als Graph einer Funktion
    $f\colon [-r,r]\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}.$
b) Für welches $x\in [-r,r]$ verläuft die Tangente durch den Punkt $(x,f(x))$ durch den Punkt $(s,0)$?
# Literatureintrag/Kerner von Wahl Mathematik für Physiker

Autor=Kerner, Hans Autor2=von Wahl, Wolf Titel=Mathematik für Physiker Verlag=Springer Erscheinungsjahr=2006 ISBN=3-540-25393-9
# Literatureintrag/Gänssler Stute Wahrscheinlichkeitstheorie

Autor=Gänssler, Peter Autor2=Stute, Winfried Titel=Wahrscheinlichkeitstheorie Verlag=Springer Ort=Berlin Erscheinungsjahr= 1977. Auflage ISBN=3-540-08418-5
# Literatureintrag/Hainzl Mathematik für Naturwissenschaftler

Autor=Hainzl, Josef Titel=Mathematik für Naturwissenschaftler Verlag=Teubner Erscheinungsjahr=1981 3. Auflage ISBN=3-519-22326-0
# Literatureintrag/Hartshorne Algebraic Geometry

Autor=Hartshorne, Robin Titel=Algebraic Geometry Verlag=Springer Erscheinungsjahr=1977
# Literatureintrag/Klein Vorlesungen über das Ikosaeder

Autor=Klein, Félix Titel=Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade Verlag=Teubner Ort=Leipzig Erscheinungsjahr=1884 ISBN=---
# Literatureintrag/Gundlach Zahlentheorie

Autor=Gundlach, Karl-Bernhard Titel=Einführung in die Zahlentheorie Verlag=Wissenschaftsverlag Erscheinungsjahr=1972
# Literatureintrag/Kendig Alg Geo

Autor=Kendig, Keith Titel=Elementary Algebraic Geometry Verlag=Springer Erscheinungsjahr=1977
# Literatureintrag/Jänich Funktionentheorie

Autor=Jänich, Klaus Titel=Funktionentheorie, Eine Einführung Verlag=Springer Erscheinungsjahr=1993 ISBN=3-540-66152-2
# Literatureintrag/Husemöller Elliptic Curves

Autor=Husemöller, Dale Titel=Elliptic Curves Verlag=Springer Erscheinungsjahr=2004 2. Auflage ISBN=978-1-4419-3025-5
# Literatureintrag/Hulek Alg Geo

Autor=Hulek, Klaus Titel=Elementare Algebraische Geometrie Verlag=Viehweg Erscheinungsjahr=2000
# MDLUL/Komplex-Homomorphismus

Start=Komplex-Homomorphismus
Ziel=Gruppe/Kettenkomplex/Homomorphismus/Definition
# MDLUL/Komplexe (Gruppe)

Start=Komplexe (Gruppe)
Siehe=Komplex (Gruppe) MDLUL/Komplex (Gruppe) Ziel=Gruppen/Kettenkomplex/Definition
# MDLUL/Komplex (homologische Algebra)

Start=Komplex (homologische Algebra)
Ziel=Kommutativer Ring/Komplex/Definition
# MDLUL/Komplex konjugiert

Start=Komplex konjugiert
Ziel=Komplexe Zahl/Komplexe Konjugation/Definition
# MDLUL/Komplex

Start=Komplex
Ziel=Komplexe Zahlen/Als Paare/Definition
# MDLUL/Komplex (Garbe)

Start=Komplex (Garbe)
Ziel=Garbe/Gruppen/Komplex/Definition
# MDLUL/Komplex (Gruppe)

Start=Komplex (Gruppe)
Ziel=Gruppen/Kettenkomplex/Definition
# MDLUL/Komplex (Algebra)

Start=Komplex (Algebra)
Ziel=Kommutativer Ring/Komplex/Definition
# MDLUL/Komplex (Garben)

Start=Komplex (Garben)
Ziel=Garbe/Gruppen/Komplex/Definition
# MDLUL/Komplex (Homologie)

Start=Komplex (Homologie)
Ziel=Kommutativer Ring/Komplex/Definition
# Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Größergleichrelation/Natürliche Addition/Definition/Begriff

Die Größergleichrelation auf den ganzen Zahlen.
# Kommutative Ringtheorie/Hauptidealbereiche sind Dedekindbereiche/Fakt mit Beweisklappe
## Satz

Hauptidealbereiche sind Dedekindbereiche.

### Beweis

Die Normalität folgt aus Fakt und Fakt. Die Eigenschaft noethersch folgt, da in einem Hauptidealbereich jedes Ideal sogar von einem Element erzeugt wird. Die Maximalität der von $0$ verschiedenen Primideale folgt aus Fakt.
$\Box$
# Kommutative Ringtheorie/Hauptidealbereich/Produkt irreduzibel/Fakt mit Beweisklappe
## Lemma

In einem Hauptidealbereich lässt sich jede Nichteinheit $a\neq 0$ als ein Produkt von irreduziblen Elementen darstellen.

### Beweis

Angenommen, jede Zerlegung $a=p_{1}\cdots p_{k}$ enthalte nicht irreduzible Elemente. Dann gibt es in jedem solchen Produkt einen Faktor, der ebenfalls keine Zerlegung in irreduzible Faktoren besitzt. Wir erhalten also eine unendliche Kette $a_{1}=a,a_{2},a_{3},\ldots$, wobei $a_{n+1}$ ein nicht-trivialer Teiler von $a_{n}$ ist. Somit haben wir eine echt aufsteigende Idealkette
    $(a_{1})\subset (a_{2})\subset (a_{3})\subset \cdots \,.$
Die Vereinigung dieser Ideale ist aber nach Aufgabe ebenfalls ein Ideal und nach Voraussetzung ein Hauptideal. Dies ist ein Widerspruch.
$\Box$
# Kommutative Ringtheorie/Hauptidealbereich/ist faktoriell/Fakt mit Beweisklappe
## Satz

In einem Hauptidealbereich lässt sich jede Nichteinheit $a\neq 0$ darstellen als Produkt von Primelementen. Diese Darstellung ist eindeutig bis auf Reihenfolge und Assoziiertheit. Wählt man aus jeder Assoziiertheitsklasse von Primelementen einen festen Repräsentanten $p$, so gibt es eine bis auf die Reihenfolge eindeutige Darstellung $a=u\cdot p_{1}^{r_{1}}\cdot p_{2}^{r_{2}}\cdots p_{k}^{r_{k}}$, wobei $u$ eine Einheit ist und die $p_{i}$ Repräsentanten sind.

### Beweis

Die erste Aussage folgt direkt aus Fakt und Fakt.
Die behauptete Eindeutigkeit bis auf Umordnung bedeutet, dass wenn
    $a=u\cdot p_{1}\cdots p_{k}=v\cdot q_{1}\cdots q_{m}\,$
zwei Primfaktorzerlegungen sind, dass dann $k=m$ ist und es eine Permutation $\tau$ auf $\{1,\ldots ,k\}$ gibt derart, dass $p_{i}$ und $q_{\tau (i)}$ assoziiert sind für alle $i\in \{1,\ldots ,k\}$. Wir beweisen diese Aussage durch Induktion über $k$. Es sei zuerst $k=0$ (das sei zugelassen). Dann steht links eine Einheit, also muss auch rechts eine Einheit stehen, was $m=0$ bedeutet.
Es sei also $k>0$ und die Aussage sei für alle kleineren $k$ bewiesen. Die Gleichung $(*)$ bedeutet insbesondere, dass $p_{k}$ das Produkt rechts teilt. Da $p_{k}$ prim ist, muss $p_{k}$ nach dem Lemma von Euklid einen der Faktoren rechts teilen. Nach Umordnung kann man annehmen, dass $q_{m}$ von $p_{k}$ geteilt wird. Da $q_{m}$ ebenfalls prim ist, sind $q_{m}$ und $p_{k}$ assoziiert. Also ist
    $q_{m}=wp_{k}\,$
mit einer Einheit $w$ und man kann die Gleichung $(*)$ nach $p_{k}$ kürzen und erhält
    $u\cdot p_{1}\cdots p_{k-1}=(vw)\cdot q_{1}\cdots q_{m-1}\,.$
Die Induktionsvoraussetzung liefert dann $k-1=m-1$ und dass jedes $p_{i}$ zu einem $q_{j}$ assoziiert ist.
$\Box$
# Kommutative Ringtheorie/Hauptidealring/Definition

Ein kommutativer Ring, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, heißt Hauptidealring.
# Kommutative Ringtheorie/Hauptidealbereiche sind Dedekindbereiche/Fakt

Hauptidealbereiche sind Dedekindbereiche.
# Kommutative Ringtheorie/Hauptidealring und Bereich/Definition

Ein kommutativer Ring, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, heißt Hauptidealring. Ein integrer Hauptidealring heißt Hauptidealbereich.
# MDLUL/Nilpotent (abb)

Start=Nilpotent (abb)
Ziel=Endomorphismus/Nilpotent/Definition
# MDLUL/Niveaumenge zum Wert 0

Start=Niveaumenge zum Wert 0
Siehe=Niveaumenge Ziel=/Definition [[MDLUL/Niveaumenge Ziel=/Definition]] Ziel=[[{{:MDLUL/Niveaumenge Ziel=/Definition|opt=Ziel}}]]
# MDLUL/Norm

Start=Norm
Ziel=Vektorraum/K/Norm/Definition
# MDLUL/Norm (Determinante)

Start=Norm (Determinante)
Ziel=Endliche Körpererweiterung/Norm eines Elementes/Definition
# MDLUL/Norm (Ideal)

Start=Norm (Ideal)
Ziel=Zahlbereich/Norm eines Ideals/Definition
# MDLUL/Nilpotente Abbildung

Start=Nilpotente Abbildung
Ziel=Endomorphismus/Nilpotent/Definition
# MDLUL/Nilpotentes Element

Start=Nilpotentes Element
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Nilpotentes Element/Definition
# MDLUL/Niveaumenge

Start=Niveaumenge
Ziel=Niveaumenge/K/Definition
# MDLUL/Nilradikal

Start=Nilradikal
Ziel=Idealtheorie (kommutative Algebra)/Radikal/Definition
# MDLUL/Niveaumenge (R)

Start=Niveaumenge (R)
Ziel=Niveaumenge/R/Definition
# MDLUL/komplexe Tori (1)

Start=komplexe Tori (1)
Siehe=komplexer Torus (1) MDLUL/komplexer Torus (1) Ziel=Komplexe Zahlen/Gitter/Eindimensionaler Torus/Definition
# MDLUL/komplexe Zahlen

Start=komplexe Zahlen
Siehe=Komplexe Zahl MDLUL/Komplexe Zahl Ziel=Komplexe Zahlen/Als Paare/Definition
# MDLUL/komplexen

Start=komplexen
Siehe=Komplex MDLUL/Komplex Ziel=Komplexe Zahlen/Als Paare/Definition
# MDLUL/komplexen Eigenwerts

Start=komplexen Eigenwerts
Siehe=komplexer Eigenwert MDLUL/komplexer Eigenwert Ziel=Lineare Abbildung/Eigenwert/Definition
# MDLUL/komplexe Skalarprodukt

Start=komplexe Skalarprodukt
Siehe=komplexes Skalarprodukt MDLUL/komplexes Skalarprodukt Ziel=Vektorraum/K/Skalarprodukt/Definition
# MDLUL/komplexe Topologie

Start=komplexe Topologie
Ziel=C-Spektrum/Natürliche Topologie/Aufgabe
# MDLUL/komplexe Torus (1)

Start=komplexe Torus (1)
Siehe=komplexer Torus (1) MDLUL/komplexer Torus (1) Ziel=Komplexe Zahlen/Gitter/Eindimensionaler Torus/Definition
# MDLUL/komplexe Vektorräume

Start=komplexe Vektorräume
Ziel=Vektorraum/Definition
# MDLUL/komplexe Zahl

Start=komplexe Zahl
Ziel=Komplexe Zahlen/Als Paare/Definition
# MDLUL/komplexen Betrag

Start=komplexen Betrag
Siehe=Komplexer Betrag MDLUL/Komplexer Betrag Ziel=Komplexe Zahl/Betrag/Definition
# Gold/Kleiner Würfel/Wert/Aufgabe

Wenn man die Gesamtgoldmenge der Welt auf alle Menschen aufteilt, so erhält jeder Mensch einen Goldwürfel, dessen Seitenlänge $1,085$ Zentimeter beträgt. Gold wiegt $19,3$ Gramm pro Kubikzentimeter. Der Wert von einem Kilogramm Gold beträgt ca. $50.000$ Euro im Jahr $2020$. Wie viel Euro besitzt jeder Mensch in Gold?
# MDLUL/Supremum (R)

Start=Supremum (R)
Ziel=Reelle Zahlen/Teilmenge/Supremum/Definition
# MDLUL/Supremumsnorm

Start=Supremumsnorm
Ziel=Funktion nach K/Supremumsnorm/Definition
# MDLUL/Surjektive Abbildung

Start=Surjektive Abbildung
Ziel=Abbildung/Surjektiv/Definition
# MDLUL/Supremum

Start=Supremum
Ziel=Geordnete Menge/Teilmenge/Supremum/Definition
# MDLUL/Supremumsnorm (abb)

Start=Supremumsnorm (abb)
Ziel=Funktion nach K/Supremumsnorm/Definition
# MDLUL/Summennorm

Start=Summennorm
Ziel=K^n/Summennorm/Beispiel
# MDLUL/Suprema

Start=Suprema
Siehe=Supremum MDLUL/Supremum Ziel=Geordnete Menge/Teilmenge/Supremum/Definition
# MDLUL/Supremum (Ordnung)

Start=Supremum (Ordnung)
Ziel=Geordnete Menge/Teilmenge/Supremum/Definition
# MDLUL/Supremum (ang)

Start=Supremum (ang)
Ziel=Angeordneter Körper/Teilmenge/Supremum/Definition
# MDLUL/Supremumsnorm (Menge)

Start=Supremumsnorm (Menge)
Ziel=Funktion nach K/Supremumsnorm/Definition
# MDLUL/linear unabhängiges (Modul)

Start=linear unabhängiges (Modul)
Siehe=linear unabhängig (Modul) MDLUL/linear unabhängig (Modul) Ziel=Modultheorie/Linear_unabhängig/Definition
# MDLUL/linear unabhängige

Start=linear unabhängige
Siehe=Linear unabhängig MDLUL/Linear unabhängig Ziel=Lineare Algebra/Linear unabhängig/Definition
# MDLUL/linear unabhängige (Modul)

Start=linear unabhängige (Modul)
Siehe=linear unabhängig (Modul) MDLUL/linear unabhängig (Modul) Ziel=Modultheorie/Linear_unabhängig/Definition
# MDLUL/linear unabhängiges (Modul, kommutativ)

Start=linear unabhängiges (Modul, kommutativ)
Siehe=linear unabhängig (Modul, kommutativ) MDLUL/linear unabhängig (Modul, kommutativ) Ziel=Kommutative_Algebra/Modultheorie/Linear_unabhängig/Definition
# MDLUL/linear unabhängig (Modul, kommutativ)

Start=linear unabhängig (Modul, kommutativ)
Ziel=Kommutative_Algebra/Modultheorie/Linear_unabhängig/Definition
# MDLUL/linear unabhängigen

Start=linear unabhängigen
Siehe=Linear unabhängig MDLUL/Linear unabhängig Ziel=Lineare Algebra/Linear unabhängig/Definition
# MDLUL/linear unabhängigen (Modul)

Start=linear unabhängigen (Modul)
Siehe=linear unabhängig (Modul) MDLUL/linear unabhängig (Modul) Ziel=Modultheorie/Linear_unabhängig/Definition
# MDLUL/linear unabhängig (Modul)

Start=linear unabhängig (Modul)
Ziel=Modultheorie/Linear_unabhängig/Definition
# MDLUL/linear unabhängiges

Start=linear unabhängiges
Siehe=Linear unabhängig MDLUL/Linear unabhängig Ziel=Lineare Algebra/Linear unabhängig/Definition
# MDLUL/linear unabhängig

Start=linear unabhängig
Ziel=Lineare Algebra/Linear unabhängig/Definition
# Komplexe Zahlen/Holomorphe Automorphismen/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.
# Komplexe Zahlen/Holomorphe Funktion/Fixpunkte/Häufungspunkt/Aufgabe

Es sei $f\colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion. Die Menge der Fixpunkte von $f$ besitze einen Häufungspunkt. Zeige, dass $f$ die Identität ist.
# MDLUL/diskrete Fourier-Transformation

Start=diskrete Fourier-Transformation
Ziel=Fourier-Matrix/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/disjunktive Normalform

Start=disjunktive Normalform
Ziel=Aussagenlogik/Disjunktive Normalform/Definition
# MDLUL/diskrete (Topologie)

Start=diskrete (Topologie)
Siehe=diskrete Topologie MDLUL/diskrete Topologie Ziel=Topologie/Diskret/Definition
# MDLUL/disjunktiver Normalform

Start=disjunktiver Normalform
Siehe=disjunktive Normalform MDLUL/disjunktive Normalform Ziel=Aussagenlogik/Disjunktive Normalform/Definition
# MDLUL/diskret (Topologie)

Start=diskret (Topologie)
Siehe=diskrete Topologie MDLUL/diskrete Topologie Ziel=Topologie/Diskret/Definition
# MDLUL/diskrete Bewertungsringe

Start=diskrete Bewertungsringe
Siehe=diskreter Bewertungsring MDLUL/diskreter Bewertungsring Ziel=Kommutative Ringtheorie/Diskreter Bewertungsring/Definition
# MDLUL/diskrete Garbe

Start=diskrete Garbe
Ziel=Topologischer Raum/Diskrete Garbe/Definition
# MDLUL/diskrete Metrik

Start=diskrete Metrik
Siehe=Diskrete Metrik MDLUL/Diskrete Metrik Ziel=Menge/Diskrete Metrik/Beispiel
# MDLUL/disjunkten Zerlegung

Start=disjunkten Zerlegung
Siehe=disjunkte Zerlegung MDLUL/disjunkte Zerlegung Ziel=Mengentheorie/Zerlegung/Definition
# MDLUL/diskrete Menge

Start=diskrete Menge
Ziel=Topologie/Diskret/Definition
# MDLUL/lokal frei (Modul)

Start=lokal frei (Modul)
Ziel=Kommutativer Ring/Modul/Lokal frei/Definition
# MDLUL/lokal frei (Schema)

Start=lokal frei (Schema)
Ziel=Schema/Lokal freie Garbe/Definition
# MDLUL/lokal freie Garben

Start=lokal freie Garben
Siehe=lokal freie Garbe MDLUL/lokal freie Garbe Ziel=Beringter Raum/Lokal freie Garbe/Definition
# MDLUL/lokal faktoriell (Schema)

Start=lokal faktoriell (Schema)
Ziel=Schema/Lokal faktoriell/Definition
# MDLUL/lokal frei (Garbe)

Start=lokal frei (Garbe)
Ziel=Beringter Raum/Lokal freie Garbe/Definition
# MDLUL/lokal freie Garbe

Start=lokal freie Garbe
Ziel=Beringter Raum/Lokal freie Garbe/Definition
# MDLUL/lokal freien Garbe

Start=lokal freien Garbe
Siehe=lokal freie Garbe MDLUL/lokal freie Garbe Ziel=Beringter Raum/Lokal freie Garbe/Definition
# MDLUL/lokal faktorielles (Schema)

Start=lokal faktorielles (Schema)
Siehe=lokal faktoriell (Schema) MDLUL/lokal faktoriell (Schema) Ziel=Schema/Lokal faktoriell/Definition
# MDLUL/lokal frei

Start=lokal frei
Ziel=Beringter Raum/Lokal freie Garbe/Definition
# MDLUL/lokal freien Garben

Start=lokal freien Garben
Siehe=lokal freie Garbe MDLUL/lokal freie Garbe Ziel=Beringter Raum/Lokal freie Garbe/Definition
# MDLUL/lokaler Ring

Start=lokaler Ring
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Lokaler Ring/Definition
# MDLUL/lokaler Parameter (riemannsche Fläche)

Start=lokaler Parameter (riemannsche Fläche)
Ziel=Riemannsche Fläche/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/lokaler Ring (affine Varietät)

Start=lokaler Ring (affine Varietät)
Ziel=Affin-algebraische Menge/Punkt/Affiner Koordinatenring/Lokalisierung/Definition
# MDLUL/lokaler Homomorphismus (Ring)

Start=lokaler Homomorphismus (Ring)
Ziel=Lokale Ringe/Lokaler Ringhomomorphismus/Definition
# MDLUL/lokaler Homöomorphismus

Start=lokaler Homöomorphismus
Ziel=Stetige Abbildung/Lokaler Homöomorphismus/Definition