OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Komplexe Zahlen ohne null/Positive reelle Zahlen/Finde surjektiven Gruppenhomomorphismus/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Abbildung
    ${\mathbb {C} }\setminus \{1\}\longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,z\longmapsto \vert {z}\vert .$
Für $z=a+b{\mathrm {i} }$ ist dabei
    $\vert {z}\vert ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\,.$
Für $z\neq 0$ ist $a\neq 0$ oder $b\neq 0$, sodass der Betrag positiv ist. Nach Fakt (4) gilt
    $\vert {zw}\vert =\vert {z}\vert \vert {w}\vert \,,$
daher liegt ein Gruppenhomomorphismus vor. Eine positive reelle Zahl $a=a+0{\mathrm {i} }$
$a$
# Komplexe Einheitswurzel/Operation/Reell aufgefasst/Invariantenringe/Aufgabe

Wir betrachten die Operation der $r$-ten komplexen Einheitswurzeln $G=\mu _{r}{\left({\mathbb {C} }\right)}$ auf ${\mathbb {C} }$ durch Multiplikation und die zugehörige Operation auf dem Polynomring ${\mathbb {C} }[X]$, dessen Fixring ${\mathbb {C} }[X^{r}]$ ist. Ferner betrachten wir die reelle Entsprechung dieser Situation, also die Operation auf $\mathbb {R} ^{2}$ durch die Gruppe der Drehmatrizen der Ordnung $r$ und die zugehörige Operation auf $\mathbb {R} [X,Y]$.
a) Zeige
    $\mathbb {R} [\operatorname {Re} \,{\left(z^{r}\right)},\,\operatorname {Im} \,{\left(z^{r}\right)}]\subseteq \mathbb {R} [X,Y]^{G}\,.$
b) Zeige, dass diese Inklusion echt sein kann.
# S^2/Orientierte Mannigfaltigkeit/Flächenform/Beispiel

Wir betrachten die $2$-Sphäre $S^{2}$ als Faser über $0$ zur differenzierbaren Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto x^{2}+y^{2}+z^{2}-1.$
Wir können darauf Fakt anwenden und erhalten durch
    $\bigwedge ^{2}T_{P}S^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,v_{1}\wedge v_{2}\longmapsto \det(\operatorname {Grad} \,\varphi (P),v_{1},v_{2}),$
(wobei die Tangentenvektoren $v_{1}$ und $v_{2}$ wegen $T_{P}S^{2}\subseteq T_{P}\mathbb {R} ^{3}=\mathbb {R} ^{3}$ direkt im $\mathbb {R} ^{3}$ aufgefasst werden können.), eine stetige nullstellenfreie Flächenform $\omega$. Dies führt zu einer positiven Flächenform und zu einer Orientierung auf $S^{2}$. Zwei linear unabhängige Tangentialvektoren $v_{1}$ und $v_{2}$ repräsentieren die Orientierung, wenn $\omega (v_{1},v_{2})>0$ ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn die drei Vektoren $\operatorname {Grad} \,\varphi (P),\,v_{1},\,v_{2}$ die Standardorientierung des $\mathbb {R} ^{3}$ repräsentieren. Nach Fakt kann man diese Flächenform auch als das Doppelte von
    $xdy\wedge dz-ydx\wedge dz+zdx\wedge dy$
schreiben.
# Komplexe Zahlen/17. Potenz/Äquivalenzrelation/Aufgabe/Lösung

* Zwei komplexe Zahlen gelten als äquivalent, wenn sie unter der Abbildung den gleichen Wert besitzen. In einer solchen Situation liegt stets eine Äquivalenzrelation vor.
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{17},$
* Da ${\mathbb {C} }$ ein Körper ist, besteht die Äquivalenzklasse zu $0$ allein aus $0$, sie ist also einelementig. Die Äquivalenzklasse zu $1$ besteht aus den $17$ $17$-ten Einheitswurzeln. Für von $0$ verschiedene Zahlen ist genau dann, wenn wenn also $w/z$ eine $17$-te Einheitswurzel ist. Somit besteht die Äquivalenzklasse zu $z\neq 0$ aus der $17$ Elementen $z\zeta$, wobei $\zeta$ die $17$-ten Einheitswurzeln durchläuft.
    $z^{17}=w^{17}\,$
    ${\left({\frac {w}{z}}\right)}^{17}=1\,,$
# Komplexe Einheitswurzel/Potenzmatrix/Determinante für kleine n/Aufgabe

Es sei $n\in \mathbb {N} _{+}$ und sei $\zeta =e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{n}}$. Berechne die Determinante der $(n\times n)$-Matrix
    $((\zeta ^{r+s})_{0\leq r,s\leq n-1})$
für $n=1,2,3,4$.
# Taylorpolynom/x sin x/x ist pi viertel/Ordnung 4/Beispiel

Wir möchten für die Funktion
    $f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,x\longmapsto x\sin x,$
das Taylor-Polynom der Ordnung $4$ im Entwicklungspunkt $a={\frac {\pi }{4}}$ bestimmen. Es ist
    $f'(x)=\sin x+x\cos x\,,$
    $f^{\prime \prime }(x)=\cos x+\cos x-x\sin x=2\cos x-x\sin x\,,$
    $f^{\prime \prime \prime }(x)=-2\sin x-\sin x-x\cos x=-3\sin x-x\cos x\,,$
    $f^{\prime \prime \prime \prime }(x)=-3\cos x-\cos x+x\sin x=-4\cos x+x\sin x\,.$
Unter Verwendung von
    $\sin {\frac {\pi }{4}}=\cos {\frac {\pi }{4}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,$
ist somit
    $f{\left({\frac {\pi }{4}}\right)}={\frac {\pi }{4}}{\frac {1}{\sqrt {2}}}={\frac {\pi }{4{\sqrt {2}}}}\,,$
    $f'{\left({\frac {\pi }{4}}\right)}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\left(1+{\frac {\pi }{4}}\right)}={\frac {4+\pi }{4{\sqrt {2}}}}\,,$
    $f^{\prime \prime }{\left({\frac {\pi }{4}}\right)}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\left(2-{\frac {\pi }{4}}\right)}={\frac {8-\pi }{4{\sqrt {2}}}}\,,$
    $f^{\prime \prime \prime }{\left({\frac {\pi }{4}}\right)}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\left(-3-{\frac {\pi }{4}}\right)}={\frac {-12-\pi }{4{\sqrt {2}}}}\,,$
    $f^{\prime \prime \prime \prime }{\left({\frac {\pi }{4}}\right)}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\left(-4+{\frac {\pi }{4}}\right)}={\frac {-16+\pi }{4{\sqrt {2}}}}\,.$
Das Taylor-Polynom vom Grad $4$ ist daher
    ${\frac {\pi }{4{\sqrt {2}}}}+{\frac {4+\pi }{4{\sqrt {2}}}}{\left(x-{\frac {\pi }{4}}\right)}+{\frac {8-\pi }{8{\sqrt {2}}}}{\left(x-{\frac {\pi }{4}}\right)}^{2}+{\frac {-12-\pi }{24{\sqrt {2}}}}{\left(x-{\frac {\pi }{4}}\right)}^{3}+{\frac {-16+\pi }{96{\sqrt {2}}}}{\left(x-{\frac {\pi }{4}}\right)}^{4}.$
# Komplexe Zahlen/Allgemeine binomische Formel/Aufgabe/Lösung

Nach dem binomischen Lehrsatz ist
    ${\begin{aligned}(x+{\mathrm {i} }y)^{n}&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}{\mathrm {i} }^{k}y^{k}\\&=\sum _{k\leq n{\text{ gerade}}}(-1)^{k/2}{\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}+{\mathrm {i} }{\left(\sum _{k\leq n{\text{ ungerade}}}(-1)^{(k-1)/2}{\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}\right)}.\end{aligned}}$
# Komplexe Einheitswurzeln/Schwerpunktsformel/Aufgabe

Es seien $n\in \mathbb {N} _{+}$ und $j\in \mathbb {Z}$. Zeige
    $\sum _{k=0}^{n-1}e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }jk}{n}}={\begin{cases}n,{\text{ falls }}j{\text{ ein Vielfaches von }}n{\text{ ist}},\\0{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,$
# Taylorreihe/R/Invertierte Funktion/1 durch cos/Bestimmung bis Grad 6/Beispiel

Wir möchten die Taylor-Reihe bis zum Grad $6$ von ${\frac {1}{\cos x}}$ im Entwicklungspunkt $0$ gemäß Bemerkung bestimmen. Nach Definition ist
    $\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}=1-{\frac {1}{2!}}x^{2}+{\frac {1}{4!}}x^{4}-{\frac {1}{6!}}x^{6}\ldots =1-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{24}}x^{4}-{\frac {1}{720}}x^{6}\ldots \,.$
Zur Berechnung des Taylor-Polynoms bis zum Grad $6$ braucht man nur die angeführte Entwicklung des Kosinus bis zum Grad $6$. Das Taylorpolynom bis zum Grad $6$ von $1/\cos x$ im Nullpunkt ist somit
    ${\begin{aligned}1-{\left(-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{24}}x^{4}-{\frac {1}{720}}x^{6}\right)}+{\left(-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{24}}x^{4}-{\frac {1}{720}}x^{6}\right)}^{2}-{\left(-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{24}}x^{4}-{\frac {1}{720}}x^{6}\right)}^{3}&=1+{\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{24}}x^{4}+{\frac {1}{720}}x^{6}+{\frac {1}{4}}x^{4}-{\frac {1}{24}}x^{6}+\cdots +{\frac {1}{8}}x^{6}+\ldots \\&=1+{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {5}{24}}x^{4}+{\frac {61}{720}}x^{6}+\ldots .\,\end{aligned}}$
Dabei wurden nur die für den Grad $6$ relevanten Monome ausgerechnet. Das gesuchte Taylorpolynom ist also
    $1+{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {5}{24}}x^{4}+{\frac {61}{720}}x^{6}.$
# Komplexe Zahlen/Einfache Rechenbeispiele/1/Aufgabe/Lösung

a) Es ist
    $(4-7{\mathrm {i} })(5+3{\mathrm {i} })=20+21-35{\mathrm {i} }+12{\mathrm {i} }=41-23{\mathrm {i} }\,.$
b) Das inverse Element zu $z$ ist ${\frac {\overline {z}}{z{\overline {z}}}}$, also ist
    $z^{-1}={\frac {a-b{\mathrm {i} }}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {3-4{\mathrm {i} }}{3^{2}+4^{2}}}={\frac {3}{25}}-{\frac {4}{25}}{\mathrm {i} }\,.$
c) Der Abstand von $z$ zum Nullpunkt ist $\vert {z}\vert ={\sqrt {25}}=5$,
$z^{-1}$
${\frac {1}{5}}$
# Komplexe Einheitswurzeln/Zyklische Gruppe/Isomorph/Aufgabe

Es sei $n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass die Gruppe der $n$-ten Einheitswurzeln in ${\mathbb {C} }$ und die Gruppe $\mathbb {Z} /(n)$ isomorph sind.
# Komplexe Zahlen/Konjugation Realteil Betrag/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Sei $z=a+b{\mathrm {i} }$.
* Es ist
    ${\begin{aligned}\vert {z}\vert &={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\\&={\sqrt {(a+b{\mathrm {i} })(a-b{\mathrm {i} })}}\\&={\sqrt {z\ {\overline {z}}}}.\end{aligned}}$
* Es ist
    ${\begin{aligned}{\frac {z+{\overline {z}}}{2}}&={\frac {a+b{\mathrm {i} }+a-b{\mathrm {i} }}{2}}\\&={\frac {2a}{2}}\\&=a\\&=\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}.\end{aligned}}$
* Es ist
    ${\frac {z-{\overline {z}}}{2{\mathrm {i} }}}={\frac {a+b{\mathrm {i} }-{\left(a-b{\mathrm {i} }\right)}}{2{\mathrm {i} }}}={\frac {2b{\mathrm {i} }}{2{\mathrm {i} }}}=b=\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}\,.$
* Ist klar.
* Sei $z\neq 0$. Dann ist unter Verwendung von Teil (1) also sind $z$ und ${\frac {\overline {z}}{\vert {z}\vert ^{2}}}$ invers zueinander.
    ${\begin{aligned}z\cdot {\frac {\overline {z}}{\vert {z}\vert ^{2}}}&={\frac {z\cdot {\overline {z}}}{\vert {z}\vert ^{2}}}\\&={\frac {z\cdot {\overline {z}}}{z\cdot {\overline {z}}}}\\&=1,\end{aligned}}$
# Komplexe Folge/Real- und Imaginärteil/Aufgabe

Zeige, dass eine Folge komplexer Zahlen
    $z_{n}=x_{n}+{\mathrm {i} }y_{n}\,$
genau dann konvergiert, wenn sowohl $x_{n}$ als auch $y_{n}$ konvergiert. Für den Grenzwert gilt dabei
    $\lim _{n\rightarrow \infty }z_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}+{\mathrm {i} }\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}\,.$
# Komplexe Zahlen/Potenzen/Kleiner 1/Konvergenz/Aufgabe/Lösung

Es sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Es ist
    $\vert {z^{n}}\vert =\vert {z}\vert ^{n}\,,$
sodass es genügt, die Aussage für reelles $r$, $0\leq r<1$, zu zeigen. Es ist
    $t:={\frac {1}{r}}>1\,,$
wir schreiben $t=1+\delta$ mit $\delta >0$. Aufgrund des Archimedes-Prinzips gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass
    $n_{0}\delta \geq {\frac {1}{\epsilon }}\,$
ist. Nach der Bernoullischen Ungleichung gilt somit für $n\geq n_{0}$ die Abschätzung
    $t^{n}=t^{n_{0}}=(1+\delta )^{n_{0}}\geq 1+{n_{0}}\delta \geq {\frac {1}{\epsilon }}\,.$
Also ist
    $r^{n}={\left({\frac {1}{t}}\right)}^{n}\leq \epsilon \,$
für
$n\geq n_{0}$
# Komplexe Funktion/Exponentialgleichung/Ableitung/Aufgabe

Es sei
    $f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto f(z),$
eine Funktion, die die Funktionalgleichung
    $f(z+w)=f(z)\cdot f(w)\,$
für alle $z,w\in {\mathbb {C} }$ erfülle und die in $0$ differenzierbar sei. Zeige, dass dann $f$ in jedem Punkt differenzierbar ist und die Beziehung $f'(z)=\lambda f(z)$ mit einem festen $\lambda \in {\mathbb {C} }$ gilt.
# Tensorprodukt/Abbildungsräume/Produktmenge/Motivation/Beispiel

Es sei $K$ ein Körper. Wir betrachten zu zwei endlichen Indexmengen $I$ und $J$ die Abbildungsräume $\operatorname {Abb} \,{\left(I,K\right)}$ und $\operatorname {Abb} \,{\left(J,K\right)}$, die beide $K$-Vektorräume sind. In welcher Beziehung stehen sie zur Abbildungsmenge
    $\operatorname {Abb} \,{\left(I\times J,K\right)}?$
Zu Abbildungen $f\in \operatorname {Abb} \,{\left(I,K\right)}$ und $g\in \operatorname {Abb} \,{\left(J,K\right)}$ kann man einfach eine Abbildung auf $I\times J$ erhalten, die man $f\otimes g$ nennt (sprich $f$ tensor $g$) und die durch
    $(f\otimes g)(i,j):=f(i)\cdot g(j)\,$
festgelegt ist. Für die Standardvektoren gilt dabei
    $e_{i}\otimes e_{j}=e_{(i,j)}\,.$
Jedes Element $h\in \operatorname {Abb} \,{\left(I\times J,K\right)}$ kann man insbesondere als eine Linearkombination zu Elementen $f\otimes g$ schreiben, aber nicht jedes $h$ hat diese einfache Gestalt. Es gilt
    $(a_{1}f_{1}+a_{2}f_{2})\otimes g=a_{1}(f_{1}\otimes g)+a_{2}(f_{2}\otimes g)\,$
und entsprechend in der zweiten Komponente.
# Komplexe Zahlen/Punktiert/Holomorphe Standardform/Wegintegral/Stammfunktionen/Aufgabe/Lösung

Wir verwenden auf $U$ den sogenannten Hauptzweig des Logarithmus, für diesen gilt
    $\ln {\mathrm {i} }={\frac {{\mathrm {i} }\pi }{2}}\,$
und
    $\ln \left(-{\mathrm {i} }\right)=-{\frac {{\mathrm {i} }\pi }{2}}\,.$
Auf $V$ nehmen wir die Funktion
    $l_{2}(z):=\ln \left(-z\right)\,.$
Es ist daher
    $l_{2}({\mathrm {i} })=-{\frac {{\mathrm {i} }\pi }{2}}\,$
und
    $l_{2}(-{\mathrm {i} })={\frac {{\mathrm {i} }\pi }{2}}\,.$
Wir zerlegen den Weg $\gamma$ in die Teilwege $\gamma _{1}$ von $1$ nach ${\mathrm {i} }$ (in $U$), $\gamma _{2}$ von ${\mathrm {i} }$ nach $-{\mathrm {i} }$ (in $V$) und $\gamma _{3}$ von $-{\mathrm {i} }$ nach $1$ (in $U$). Es ist somit
    ${\begin{aligned}\int _{\gamma }{\frac {dz}{z}}&=\int _{\gamma _{1}}{\frac {dz}{z}}+\int _{\gamma _{2}}{\frac {dz}{z}}+\int _{\gamma _{3}}{\frac {dz}{z}}\\&={\left(\ln {\mathrm {i} }-\ln 1\right)}+{\left(l_{2}(-{\mathrm {i} })-l_{2}({\mathrm {i} })\right)}+{\left(\ln 1-\ln \left(-{\mathrm {i} }\right)\right)}\\&={\frac {{\mathrm {i} }\pi }{2}}+{\frac {{\mathrm {i} }\pi }{2}}+{\frac {{\mathrm {i} }\pi }{2}}+{\frac {{\mathrm {i} }\pi }{2}}\\&=2{\mathrm {i} }\pi .\end{aligned}}$
# Komplexe Konjugation/Rechenregeln/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass für die komplexe Konjugation die folgenden Rechenregeln gelten.
* Es ist ${\overline {z+w}}={\overline {z}}+{\overline {w}}$.
* Es ist ${\overline {-z}}=-{\overline {z}}$.
* Es ist ${\overline {z\cdot w}}={\overline {z}}\cdot {\overline {w}}$.
* Für $z\neq 0$ ist ${\overline {1/z}}=1/{\overline {z}}$.
* Es ist ${\overline {\overline {z}}}=z$.
* Es ist ${\overline {z}}=z$ genau dann, wenn $z\in \mathbb {R}$ ist.
# Term/Variablenmenge/Funktionssymbole/Grundmenge/N mit Operationen/Beispiel

Wir betrachten ein Modell für die Termmenge der natürlichen Zahlen. Als Grundtermmenge nehmen wir eine Variablenmenge $V$, die Konstantenmenge $K=\{0\}$, die einstelligen Funktionssymbolmenge $F_{1}=\{N\}$ ($N$ steht für Nachfolger) und die zweistellige Funktionssymbolmenge $F_{2}=\{\alpha ,\mu \}$ (für Addition und Multiplikation). Allein aus der Konstante $0$ und dem Nachfolgersymbol $N$ kann man dann für jede natürliche Zahl eine Repräsentierung finden, nämlich
    $N0\,,NN0,\,NNN0,\,NNNN0,\,etc.$
Typische Terme sind dann Ausdrücke wie ($u,v,w$ seien Variablen)
    $\alpha NN0NNNv,\,\mu NN0\alpha NN0NNN0,\,\mu \alpha NNN0\mu NNuN0NNNNw,\,{\text{etc}}.$
Wenn man $x'$ statt $Nx$, $(x+y)$ statt $\alpha xy$ und $(x\cdot y)$ statt $\mu xy$ schreibt, so „verschönern“ sich diese Terme zu
    $(0^{\prime \prime }+v^{\prime \prime \prime }),\,(0^{\prime \prime }\cdot (0^{\prime \prime }+0^{\prime \prime \prime })),\,((0^{\prime \prime \prime }+(u^{\prime \prime }\cdot 0^{\prime }))\cdot w^{\prime \prime \prime \prime }),\,{\text{etc}}.$
Mit den Abkürzungen $1=0^{\prime }$, $2=0^{\prime \prime }$ etc. wird daraus
    $2+v^{\prime \prime \prime },\,(2\cdot (2+3)),\,((3+(u^{\prime \prime }\cdot 1))\cdot w^{\prime \prime \prime \prime }),\,{\text{etc}}..$
Man beachte, dass die Einführung dieser Abkürzungen nicht bedeutet, dass dadurch die üblicherweise mit diesen Symbolen verwendeten Rechenregeln erlaubt sind. Der zweite Term oben ist nicht gleich $10$, dem zehnten Nachfolger der $0$.
# Komplexe Zahlen/Quadratabbildung/Wegeliftung/Explizit/Aufgabe/Lösung

Wir nehmen
    ${\tilde {\gamma }}(t):={\begin{cases}{\sqrt {t}}{\text{ für }}t\geq 0\,,\\{\mathrm {i} }{\sqrt {-t}}{\text{ für }}t<0\,,\end{cases}}\,$
wobei stets die positive reelle Quadratwurzel genommen wird. Die Abbildung ist stetig und es gilt auf beiden Abschnitten
    $({\tilde {\gamma }}(t))^{2}=t\,,$
$-{\sqrt {t}}$
# Komplexe Mannigfaltigkeiten/Holomorphe Abbildung/Tangential äquivalent/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es seien $M$ und $N$ komplexe Mannigfaltigkeiten und es sei
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
eine holomorphe Abbildung. Es sei $P\in M$ und $Q=\varphi (P)$ und es seien
    $\gamma _{1},\gamma _{2}\colon B\longrightarrow M$
zwei holomorphe Kurven mit einem offenen Ball $0\in B$ und $\gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)=P$. Es seien $\gamma _{1}$ und $\gamma _{2}$ im Punkt $P$ tangential äquivalent. Zeige, dass dann auch die Verknüpfungen $\varphi \circ \gamma _{1}$ und $\varphi \circ \gamma _{2}$ tangential äquivalent in $Q$ sind.
# Term/Variablenmenge/Funktionssymbole/Grundmenge/Phantasie/Beispiel

Eine Grundtermmenge sei durch die Variablenmenge $V=\{x,y,z\}$, eine Konstantenmenge $K=\{c_{1},c_{2}\}$, die einstelligen Funktionssymbole $F_{1}=\{f,g\}$ und die zweistelligen Funktionssymbole $F_{2}=\{\alpha ,\beta ,\gamma \}$ gegeben. Dann sind die folgenden Wörter Terme.
    $x,y,z,c_{1},c_{2},fx,fc_{1},gz,\alpha xy,\alpha xx,\alpha xfy,\alpha fxgc_{1},\gamma \gamma xxx,\beta \alpha xgc_{2}\gamma fy\alpha gzx.$
Auch wenn es für das Auge etwas ungewohnt aussieht, so sind diese Terme auch ohne Klammern allesamt wohldefiniert. Davon überzeugt man sich, indem man die Terme von links nach rechts liest, und dabei bei jedem Funktionssymbol die zugehörige Stelligkeit bestimmt (zu welchem $F_{n}$ gehört das Funktionssymbol?) und dann die folgenden Symbole in die geforderten $n$ Terme aufspaltet (wenn dies nicht geht, so ist das Wort kein Term). Dabei entsteht schnell eine große Verschachtelungstiefe. Den letzten angeführten Term, also
    $\beta \alpha xgc_{2}\gamma fy\alpha gzx,$
kann man mit (suggestiven) Klammern und Kommata nach und nach lesbarer gestalten. Er beginnt mit dem zweistelligen Funktionssymbol $\beta$, also muss das Folgende aus zwei Termen bestehen. Es folgt zunächst das ebenfalls zweistellige Funktionssymbol $\alpha$, worauf zwei Terme folgen müssen. Wenn diese gefunden sind, muss der verbleibende Rest (also alles, was weiter rechts steht) den zweiten Term bilden, der von $\beta$ verlangt wird. Die beiden Terme des an zweiter Stelle stehenden $\alpha$ sind $x$ und $gc_{2}$. Man kann also den Term nach dieser Analyse auch als
    $\beta (\alpha (x,g(c_{2})),\gamma fy\alpha gzx)$
schreiben. Wenn man ebenso den zweiten Term für das äußere $\beta$ auflöst, so erhält man
    $\beta (\alpha (x,g(c_{2})),\gamma (f(y),\alpha (g(z),x))).$
Übrigens kann man auch bei einem beliebigen Funktionssymbol mittendrin beginnen und die zugehörigen Terme, auf die es Bezug nimmt, bestimmen. Besonders übersichtlich wird die Termstruktur durch einen Termstammbaum ausgedrückt. Dabei werden die verwendeten Variablen und Konstanten (mehrfach, um die unterschiedlichen Stellen, in die sie eingesetzt werden, beachten zu können) als Blätter nebeneinander aufgeführt. Sie bilden die $0$-te Reihe des Baumes. Wenn ein $n$-stelliges Funktionssymbol auf $n$ solche Blätter angewendet wird, so zeichnet man einen Knoten, bezeichnet ihn mit dem Funktionssymbol (bzw. dem Funktionssymbol mit den eingelesenen Termen) und verbindet es mit den eingelesenen Blättern (die Einlesungsreihenfolge entspricht der Blätterreihenfolge). So entsteht aus allen Funktionssymbolen, die nur auf Variablen und Konstanten Bezug nehmen, die erste Reihe des Baumes. Die Funktionssymbole, die auf solche Knoten (und Blätter) Bezug nehmen, bilden die nächste Reihe, u.s.w. Der Stamm des Baumes ist dann der in Frage stehende Term. In unserem Beispiel sieht das so aus:
# Komplexe Zahlen/Riemannsche Fläche/Polynom/Tangentialabbildung/1/Aufgabe/Lösung

In der gegebenen Situation wird die Tangentialabbildung einfach durch das total Differential, also durch die Ableitung beschrieben. Da die Tangentialabbildung eine lineare Abbildung von ${\mathbb {C} }$ nach ${\mathbb {C} }$ ist, ist bijektiv äquivalent zu $\neq 0$. Es ist
    $(z^{3}+z)'=3z^{2}+1\,,$
die Nullstellen der Ableitung sind
    $z=\pm {\frac {\mathrm {i} }{\sqrt {3}}}\,,$
# Komplexe Multiplikation/Betrag 1/Flächentreu/Aufgabe

Es sei $u\in {\mathbb {C} }$ eine komplexe Zahl mit $\vert {u}\vert =1$. Zeige, dass die Multiplikationsabbildung
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto uz,$
flächentreu ist.
# Topologischer Raum/Garbe/Globale Auswertung/Linksexakt und genügend Injektive/Beispiel

Es sei $X$ ein topologischer Raum und es sei ${\mathcal {A}}$ die Kategorie der Garben von kommutativen Gruppen auf $X$, also die Zuordnung ${\mathcal {G}}\mapsto \Gamma {\left(X,{\mathcal {G}}\right)}$. Es sei
    ${\mathcal {B}}=\operatorname {ABEL} \,$
die Kategorie der abelschen Gruppen und $F$ sei die globale Auswertung auf $X$. Dann besitzt ${\mathcal {A}}$ genügend Injektive und $F$ ist ein kovarianter additiver linksexakter Funktor. Die Linksexaktheit beruht auf Fakt, die Existenz von hinreichend vielen injektiven Garben auf Fakt.
# Komplexe Zahlen/Summe und Produkt ganzzahlig/Potenzen/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $(X-\alpha )(X-\beta )=X^{2}-(\alpha +\beta )X+\alpha \beta =X^{2}+pX+q\,$
mit ganz Zahlen
    $p=-\alpha -\beta \,$
und
    $q=\alpha \beta \,.$
Da $\alpha$ und $\beta$ Nullstellen des quadratischen Polynoms sind, gilt nach Fakt ist
    $\alpha ,\beta ={\frac {-p\pm {\sqrt {p^{2}-4q}}}{2}}\,.$
Wir setzen
    $r=p^{2}-4q\in \mathbb {Z} \,$
Es ist
    ${\begin{aligned}\alpha ^{n}+\beta ^{n}&=\left({\frac {-p+{\sqrt {p^{2}-4q}}}{2}}\right)^{n}+\left({\frac {-p-{\sqrt {p^{2}-4q}}}{2}}\right)^{n}\\&={\frac {\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{k}}(-p)^{n-k}{\sqrt {p^{2}-4q}}^{k}+\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{k}}(-p)^{n-k}(-{\sqrt {p^{2}-4q}})^{k}}{2^{n}}}\\&={\frac {\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{k}}(-p)^{k}{\sqrt {p^{2}-4q}}^{n-k}+\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{k}}(-p)^{k}(-{\sqrt {p^{2}-4q}})^{n-k}}{2^{n}}}\end{aligned}}$
# Topologischer Raum/Komplexe Exponentialsequenz/Stetig/Beispiel

Wir betrachten die kurze exakte Exponentialsequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,2\pi {\mathrm {i} }\mathbb {Z} \,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathbb {C} }\,{\stackrel {\operatorname {exp} }{\longrightarrow }}\,{\mathbb {C} }^{\times }\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
von topologischen Gruppen. Die Exaktheit in der Mitte beruht auf Fakt (2), die Homomorphieeigenschaft beruht auf der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion und die komplexe Exponentialfunktion bildet nach Fakt surjektiv auf ${\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ ab (sie ist eine Überlagerung, siehe Beispiel). Da es lokal einen Logarithmus gibt, sind die Voraussetzungen von Fakt erfüllt. Somit gibt es zu jedem topologischen Raum $X$ eine kurze exakte Garbensequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,\mathbb {Z} )\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,{\mathbb {C} })\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,{\mathbb {C} }^{\times })\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0,$
die die (stetige komplexe) Exponentialsequenz heißt. Links steht die lokal konstante Garbe mit Werten in $\mathbb {Z}$, in der Mitte die Garbe der komplexwertigen stetigen Funktionen und rechts die Garbe der nullstellenfreien komplexwertigen stetigen Funktionen. Wenn man
$X={\mathbb {C} }^{\times }$ setzt, so ist die globale Auswertung der hinteren Abbildung nicht surjektiv, da die Identität nicht im Bild liegt.
# Komplexe Zahlen/T^2-exp/Irreduzibel/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $T^{2}-\exp z={\left(T-\exp {\frac {z}{2}}\right)}{\left(T+\exp {\frac {z}{2}}\right)}\,$
# Komplexe Potenz/Reell/Jacobi-Determinante/Mit Polarkoordinaten/Aufgabe

Bestimme die Jacobi-Matrix und die Jacobi-Determinante zur Abbildung
    ${\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow {\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} ^{2},\,z\longmapsto z^{n},$
in einem beliebigen Punkt $P=(a,b)$ mit der Hilfe von Polarkoordinaten.
# Topologischer Raum/Konstante Prägarbe/Beispiel

Auf einem topologischen Raum $X$ und zu einer fixierten Menge $M$ ist die Zuordnung, die jeder offenen Menge $U\subseteq X$ die Menge $M$ und jeder Inklusion die Identität auf $M$ zuordnet, eine Prägarbe, die die konstante Prägarbe heißt.
# Komplexer Vektorraum/Mannigfaltigkeit/Polynomiale Abbildung/Tangentialabbildung/1/Aufgabe/Lösung

In der gegebenen Situation wird die Tangentialabbildung einfach durch das total Differential beschrieben. Da die Tangentialabbildung eine lineare Abbildung von ${\mathbb {C} }^{2}$ nach ${\mathbb {C} }$ ist, ist surjektiv äquivalent zu $\neq 0$. Das totale Differential ist
    $\left(3z^{2}+w,\,z+2w\right).$
Wir müssen bestimmen, wann beide Komponenten gleich $0$ sind. Wir lösen die Bedingung $3z^{2}+w=0$ nach $w$ auf und setzen dies in die zweite Gleichung ein und erhalten
    $0=z+2w=z-6z^{2}=z(1-6z)\,.$
Also ist $z=0$ oder $z={\frac {1}{6}}$. Daher ist die Tangentialabbildung genau in den beiden Punkten $\left(0,\,0\right)$ und $\left({\frac {1}{6}},\,-{\frac {1}{12}}\right)$