OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Endliche Erweiterung/KX/Explizit/Relation über X invers/Aufgabe/Lösung

Wir multiplizieren die gegebene Ganzheitsgleichung mit $X^{-kn}$ und erhalten (im Quotientenkörper $Q$ von $K[X,Y]$ modulo Gleichung) die Gleichung
    $Y^{n}X^{-kn}+\sum _{i=0}^{n-1}P_{i}Y^{i}X^{-kn}=0\,.$
Dabei ist
    $Y^{n}X^{-kn}=(YX^{-k})^{n}\,$
und
    $P_{i}Y^{i}X^{-kn}=P_{i}Y^{i}X^{-ki}X^{-k(n-i)}=(YX^{-k})^{i}P_{i}X^{-k(n-i)}\,.$
Die Bedingung an $k$ stellt sicher, dass $P_{i}X^{-k(n-i)}$ ein Polynom in $X^{-1}$ ist. Somit ist die entstehende Gleichung eine Ganzheitsgleichung für $YX^{-k}$ über $K[X^{-1}]$. Diese ist in $K[X^{-1},YX^{-k}]$ irreduzibel, da man andernfalls durch Multiplikation mit $X^{kn}$ sofoert eine Zerlegung des Ausgangspolynoms finden würde. Dabei ist
    $K[X^{-1}][YX^{-k}]\subseteq Q\,,$
$X^{k}$
# Geradenbündel/Varietät/Faser ist affine Gerade/Addition/Aufgabe

Es sei $U$ eine Varietät und $p\colon L\rightarrow U$ ein Geradenbündel über $U$. Zeige, dass es zu jedem Punkt $P\in U$ eine wohldefinierte $K$-Vektorraumstruktur auf der Faser $p^{-1}(P)$ gibt.
# Endliche geometrische Reihe/Körper/Induktion/Aufgabe/Lösung

Für $n=0$ steht beidseitig $1$. Es sei die Gleichung für ein bestimmtes $n$ bewiesen. Dann ist
    ${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n+1}x^{k}&=\sum _{k=0}^{n}x^{k}+x^{n+1}\\&={\frac {x^{n+1}-1}{x-1}}+x^{n+1}\\&={\frac {x^{n+1}-1+x^{n+1}(x-1)}{x-1}}\\&={\frac {x^{n+1}-1+x^{n+2}-x^{n+1}}{x-1}}\\&={\frac {x^{n+2}-1}{x-1}},\end{aligned}}$
$n+1$
# Geradenbündel/Varietät/Faser ist affine Gerade/Aufgabe

Es sei $U$ eine Varietät und $p\colon L\rightarrow U$ ein Geradenbündel über $U$. Zeige, dass zu jedem Punkt $P\in U$ die Faser $p^{-1}(P)$ isomorph zu einer affinen Geraden ${\mathbb {A} }_{K}^{1}$ ist.
# Lineare Gleichung/Zwei Variablen/Parameter/Trivialisierung/Beispiel

Wir betrachten die allgemeine reelle lineare Gleichung
    $su+tv=0\,$
in den Variablen $u,v$ und den Parametern $s,t$, die als unbestimmte Koeffizienten der linearen Gleichung dienen. Wir möchten den Lösungsraum
    $L_{(s,t)}={\left\{(u,v)\mid su+tv=0\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{2}\,$
in Abhängigkeit von den Parametern $(s,t)$ verstehen. Ein Extremfall liegt bei $(s,t)=(0,0)$ vor, dann ist die Gleichung für beliebige $(u,v)$ erfüllt und der Lösungsraum ist der volle zweidimensionale $\mathbb {R} ^{2}$. Bei $(s,t)\neq (0,0)$ ist der Lösungsraum eindimensional, und ein Basisvektor für diese Lösungsgerade ist durch ${\begin{pmatrix}t\\-s\end{pmatrix}}$ gegeben. Insbesondere kann man den Lösungsraum über dem Parameterraum $\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}$ pauschal beschreiben, es ist
    $L_{(s,t)}={\left\{c{\begin{pmatrix}t\\-s\end{pmatrix}}\mid c\in \mathbb {R} \right\}}\,.$
Eine kompaktere Interpretation dieses Sachverhaltes ergibt sich, wenn man den Gesamtlösungsraum der Gleichung als
    $L={\left\{(s,t,u,v)\mid su+tv=0\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{4}\,$
ansetzt. Man beachte, dass $L$ kein linearer Untervektorraum des $\mathbb {R} ^{4}$ ist. Der Lösungsraum zu einem speziellen Parameterwert $(s,t)$ ergibt sich daraus, wenn man $L$ mit den affinen Ebenen $(s,t)\times \mathbb {R} ^{2}$ schneidet. Unter der Gesamtabbildung $p=p_{s,t}$
    $L\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}{\stackrel {p_{s,t}}{\longrightarrow }}\mathbb {R} ^{2},\,(s,t,u,v)\longmapsto ,(s,t),$
ist $L_{(s,t)}$ die Faser zu $(s,t)$. Im Gesamtlösungsraum ist die Variation der Lösungsgeraden in Abhängigkeit vom Parameter und die Degenerierung zu einer Lösungsebene über dem Nullpunkt sichtbar. Das Verhalten außerhalb des Parameternullpunktes wird durch die eingeschränkte Abbildung
    $L'=L\setminus {\left(\mathbb {R} ^{2}\times (0,0)\right)}=p^{-1}{\left(\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\right)}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}$
beschrieben. Jede Faser dieser eingeschränkten Projektion ist der eindimensionale Lösungsraum. Ferner gibt es eine bijektive Abbildung
    ${\left(\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\right)}\times \mathbb {R} \longrightarrow L',\,(s,t;c)\longmapsto (s,t,ct,-cs),$
die für jeden Parameter $(s,t)$ linear ist. Links steht ein direktes Produkt aus dem Basisraum $\mathbb {R} ^{2}\times (0,0)$ und der Faser $\mathbb {R}$, die unabhängig vom Basispunkt ist, und rechts steht eine Familie von variierenden Geraden im $\mathbb {R} ^{2}$, doch die angegebene Bijektion zeigt, dass man das eine in das andere übersetzen kann.
# Endliche kommutative Ringe/6 Elemente/Charakterisiere/Aufgabe/Lösung

Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit sechs Elementen und sei $\mathbb {Z} \rightarrow R$ der kanonische Ringhomomorphismus, der $1$ auf $1$ schickt. Die (additive) Ordnung der $1$ in $R$ (also die Charakteristik von $R$) ist ein Teiler von $6$. Die Ordnung eins ist nicht möglich, das wäre der Nullring. Bei Ordnung $2$ (oder $3$) wäre $R$ eine ${\mathbb {F} }_{2}$ (bzw. ${\mathbb {F} }_{3}$-)Algebra, also insbesondere ein Vektorraum über diesem Körper. Dann müsste aber die Anzahl eine Primzahlpotenz sein, was nicht der Fall ist. Also ist die Ordnung $6$ und der kanonische Homomorphismus ist surjektiv, also $R\cong \mathbb {Z} /(6)$,
# Geradenbündel/Verklebungsdatum/Konkret/Aufgabe

Zeige, dass ein Verklebungsdatum für ein Geradenbündel zu einer offenen Überdeckung $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ das gleiche ist wie eine Familie von stetigen nullstellenfreien Funktionen $f_{ij}\colon U_{i}\cap U_{j}\rightarrow \mathbb {R}$, die auf $U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k}$ jeweils die Bedingung $f_{ki}=f_{kj}\cdot f_{ji}$ erfüllen.
# Lineare Unabhängigkeit/(3,3,3), (0,4,5), (4,8,9)/Beispiel

Die drei Vektoren
    ${\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}},\,\,{\begin{pmatrix}0\\4\\5\end{pmatrix}}\,{\text{ und }}\,{\begin{pmatrix}4\\8\\9\end{pmatrix}}$
sind linear abhängig. Es ist nämlich
    $4{\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}}+3{\begin{pmatrix}0\\4\\5\end{pmatrix}}-3{\begin{pmatrix}4\\8\\9\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}\,$
eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors.
# Peano-Axiome/Erststufig/Textabschnitt

Wir betrachten zwei erststufige Varianten der Dedekind-Peano-Axiome. Dabei wird in der ersten Variante die Nachfolgerfunktion beibehalten und das Induktionsaxiom, das oben für beliebige Teilmengen formuliert wurde, wird durch ein Induktionsaxiom für die in der Sprache erster Stufe formulierbaren Ausdrücke ersetzt. Das Induktionsaxiom gilt somit lediglich für Teilmengen, die in der gegebenen Sprache charakterisierbar sind. Man spricht vom Induktionsschema, da es sich nicht um ein einzelnes Axiom handelt, sondern um eine ganze Familie von Axiomen.

## Axiom

Die Peano-Axiome für die Nachfolgerfunktion in der ersten Stufe werden (in der Sprache $L$ zur Symbolmenge mit einer Konstanten $0$ und einem einstelligen Funktionssymbol $N$) folgendermaßen definiert.
* $\forall x(\neg (Nx=0))$.
* $\forall x\forall y((Nx=Ny)\rightarrow (x=y))$.
* Für jeden Ausdruck $\alpha$ von $L$ mit einer freien Variablen $x$ gilt
    $\alpha {\frac {0}{x}}\wedge \forall x{\left(\alpha \rightarrow \alpha {\frac {Nx}{x}}\right)}\rightarrow \forall x\alpha .$
Aus der obigen zweitstufigen Formulierung der Axiomatik, die nur die Nachfolgerabbildung verwendet, kann man in jedem Modell in eindeutiger Weise eine Addition und eine Multiplikation definieren. Dafür ist das obige erststufige Axiomensystem zu schwach. Stattdessen werden wir unter der Peano-Arithmetik das folgende Axiomensystem verstehen, das mit zwei Konstanten $0$ und $1$ und zwei zweistelligen Operationen $+$ und $\cdot$ auskommt. Die Nachfolgerfunktion ist dann durch $Nx=x+1$ definiert und es braucht dafür kein eigenes Funktionssymbol.

## Axiom

Die Peano-Axiome für Addition und Multiplikation in der ersten Stufe werden (in der Sprache $L^{\rm {Ar}}$ zur Symbolmenge mit den beiden Konstanten $0$ und $1$ und zwei zweistelligen Funktionssymbolen $+$ und $\cdot$) folgendermaßen definiert.
* $\forall x(\neg (x+1=0))$.
* $\forall x\forall y((x+1=y+1)\rightarrow (x=y))$.
* $\forall x(x+0=x)$.
* $\forall x\forall y(x+(y+1)=(x+y)+1))$.
* $\forall x(x\cdot 0=0)$.
* $\forall x\forall y(x\cdot (y+1)=(x\cdot y)+x)$.
* Für jeden Ausdruck $\alpha$ von $L^{Ar}$ mit einer freien Variablen $x$ gilt
    $\alpha {\frac {0}{x}}\wedge \forall x{\left(\alpha \rightarrow \alpha {\frac {x+1}{x}}\right)}\rightarrow \forall x\alpha .$
Die Axiome $(1),(2)$ und $(7)$ entsprechen dabei direkt den Nachfolgeraxiomen von oben. Die Axiome $(3)$ und $(4)$ spiegeln die Grundregeln in der zweistufigen Peano-Arithmetik für die rekursive Definition der Addition wider, und die Axiome $(5)$ und $(6)$ entsprechen den Grundregeln für die rekursive Definition der Multiplikation. Diese Axiome gelten für die (zweitstufig festgelegten) natürlichen Zahlen. Anders als bei der obigen zweitstufigen Axiomatik gibt es aber von $\mathbb {N}$ verschiedene Modelle (nicht Standard-Arithmetiken), die die erststufige Peano-Arithmetik erfüllen. Dies ist aber kein „zufälliges“ Defizit der gewählten Axiomatik, sondern dahinter verbirgt sich eine grundsätzliche Schwäche der Sprache erster Stufe, die durch die Gödelschen Unvollständigkeitssätze präzisiert werden wird.
# Endliche Körper/Anzahl primitiver Elemente/73/125/64/113/Aufgabe/Lösung

Da die Einheitengruppe eines Körpers mit $n$ Elementen zyklisch ist, geht es um die Anzahl der Erzeuger von $\mathbb {Z} /(n-1)$, die mit der eulerschen $\varphi$-Funktion berechnet werden kann.
a) Es ist
    $72=2^{3}\cdot 3^{2}\,,$
die Anzahl der primitiven Elemente ist somit
    $4\cdot 2\cdot 3=24\,.$
b) Es ist
    $124=2^{2}\cdot 31\,,$
die Anzahl der primitiven Elemente ist somit
    $2\cdot 30=60\,.$
c) Es ist
    $63=3^{2}\cdot 7\,,$
die Anzahl der primitiven Elemente ist somit
    $2\cdot 3\cdot 6=36\,.$
d) Es ist
    $112=2^{4}\cdot 7\,,$
die Anzahl der primitiven Elemente ist somit
    $8\cdot 6=48\,.$
# Geradengleichung/Punktrichtungsform/1/Aufgabe

Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung
    $4x+7y=3\,$
im $\mathbb {Q} ^{2}$ gegebene Gerade.
# Linearer Graph/Knotenüberdeckungszahl/Beispiel

Es sei $G$ ein linearer Graph mit $n$ Knotenpunkten. Dann muss in einer Knotenüberdeckung zumindest jeder zweite Knoten (in der natürlichen Reihenfolge auf einem linearen Graphen) vorkommen. Minimale Knotenüberdeckungen sind beispielsweise durch die Knotenfolgen $\{1,3,5,\ldots \}$ und $\{2,4,6,\ldots \}$ gegeben, wobei der letzte Knoten, $n-1$ oder $n$, davon abhängt, ob $n$ gerade oder ungerade ist. Bei $n$ gerade sind beide optimal, bei $n$ ungerade ist nur die zweite Knotenüberdeckung optimal. Die Knotenüberdeckungszahl beträgt in beiden Fällen $\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor$ Knoten. Es gibt aber auch noch ganz andere minimale Knotenüberdeckungen, beispielsweise $\{1,3,4,6,7,9,10\}$ bei $n=11$.
# Peano-Axiome/Multiplikation/Rechengesetze/Einführung/Textabschnitt

    Multiplikation auf natürlichen Zahlen
Zur Definition der Multiplikation verwenden wir erneut das Prinzip der induktiven Definition. Zu einer natürlichen Zahl $n\in \mathbb {N}$ betrachten wir den Startwert $0$ und die durch die Addition mit $n$ definierte Abbildung $\alpha _{n}\colon \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$.

## Definition

Es sei $(\mathbb {N} ,0,^{\prime })$ ein Dedekind-Peano-Modell der natürlichen Zahlen und $n\in \mathbb {N}$. Dann definieren wir die Multiplikation mit $n$ als diejenige aufgrund von Fakt eindeutig bestimmte Abbildung
    $\mu _{n}\colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,k\longmapsto \mu _{n}(k),$
für die
    $\mu _{n}(0)=0{\text{ und }}\mu _{n}(k')=\mu _{n}(k)+n{\text{ für alle }}k\in \mathbb {N}$
gilt.
Damit definieren wir die Multiplikation von zwei natürlichen Zahlen $n,k\in \mathbb {N}$ durch
    $n\cdot k:=\mu _{n}(k)\,.$
Es gilt also $n\cdot 0=0$ und $n\cdot k^{\prime }=n\cdot k+n$. Diese beiden Eigenschaften legen bereits die Multiplikationsverknüpfung eindeutig fest.

## Lemma

Es sei $(\mathbb {N} ,0,^{\prime })$ ein Dedekind-Peano-Modell der natürlichen Zahlen.
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Verknüpfung
erfüllt.

### Beweis

$\Box$

## Lemma

Es sei $(\mathbb {N} ,0,^{\prime })$ ein Dedekind-Peano-Modell der natürlichen Zahlen mit der in Definition festgelegten Multiplikation.
Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

$\Box$
# Endliche Körper/Erweiterung/Primitives Element/Potenz/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Untergruppenbeziehung
    ${\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }\subseteq {\left({\mathbb {F} }_{q}\right)}^{\times }\,.$
Die Gruppen besitzen $p-1$ bzw. $q-1$ Elemente. Wegen
    $q-1=p^{e}-1=(p-1){\left(p^{e-1}+p^{e-2}+\cdots +p^{2}+p+1\right)}\,$
besitzt die Restklassengruppe
    ${\left({\mathbb {F} }_{q}\right)}^{\times }/{\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$
genau
    $p^{e-1}+p^{e-2}+\cdots +p^{2}+p+1$
Elemente. Da alle beteiligten Gruppen zyklisch sind, ist der Restklassenhomomorphismus gleich
    ${\left({\mathbb {F} }_{q}\right)}^{\times }\cong \mathbb {Z} /(q-1)\longrightarrow \mathbb {Z} /(p^{e-1}+p^{e-2}+\cdots +p^{2}+p+1),$
wobei der Erzeuger auf einen Erzeuger geht. Deshalb wird der Kern von $p^{e-1}+p^{e-2}+\cdots +p^{2}+p+1$ erzeugt. Es ist also
    $u^{p^{e-1}+p^{e-2}+\cdots +p^{2}+p+1}$
$\mathbb {Z} /(p)$
# Geradengleichung/Punktrichtungsform/2/Aufgabe

Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung
    $-2x+9y=5\,$
im $\mathbb {Q} ^{2}$ gegebene Gerade.
# Endliche Körper/F125/Frobenius/Matrix/Aufgabe/Lösung

Das Polynom $X^{3}+X+1\in \mathbb {Z} /(5)[X]$ ist irreduzibel, da es Grad $3$ hat und in $\mathbb {Z} /(5)$ keine Nullstelle besitzt. Daher ist
    $L=\mathbb {Z} /(5)[X]/(X^{3}+X+1)$
ein Körper mit $125$ Elementen, und die Restklassen von $1,X,X^{2}$ (die wir mit $1,x,x^{2}$ bezeichnen) bilden eine $\mathbb {Z} /(5)$-Basis von $L$. Wir beschreiben den Frobenius bezüglich dieser Basis unter Verwendung von $x^{3}=-x-1$. Es ist
    $1^{5}=1,$
    $x^{5}=x^{2}(-x-1)=-x^{3}-x^{2}=-x^{2}+x+1=4x^{2}+x+1\,$
und
    ${\begin{aligned}(x^{2})^{5}&=x^{10}\\&=(-x^{2}+x+1)^{2}\\&=x^{4}+x^{2}+1-2x^{3}-2x^{2}+2x\\&=x(-x-1)-2(-x-1)-x^{2}+2x+1\\&=-x^{2}-x+2x+2-x^{2}+2x+1\\&=-2x^{2}+3x+3\\&=3x^{2}+3x+3.\end{aligned}}$
In den Spalten der beschreibenden Matrix stehen die Koeffizienten der Bildvektoren bezüglich der Basis, also ist die Matrix gleich
    ${\begin{pmatrix}1&1&3\\0&1&3\\0&4&3\end{pmatrix}}.$
# Pellsche Gleichung/Zahlbereich/Motivation/Textabschnitt

Betrachten wir eine Zahlbereichserweiterung
    $\mathbb {Z} =\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]=\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} {\sqrt {D}}\,$
mit einer ganzen Zahl $D$, die beiden Fälle $D=7$ und $D=-1$ haben wir schon etwas genauer in den Blick genommen (es sei $D$ quadratfrei, enthalte also keinen Primfaktor mehrfach). Auch der Frage, wie in diesen Ringen die Einheiten aussehen, sind wir schon begegnet. Betrachten wir allgemein die Bedingung, ob es zu $a+b{\sqrt {D}}$ ein Element $c+e{\sqrt {D}}$ mit
    ${\left(a+b{\sqrt {D}}\right)}{\left(c+e{\sqrt {D}}\right)}=1\,.$
Wenn $a$ und $b$ nicht teilerfremd sind, so kann es keine Lösung geben, seien also $a$ und $b$ teilerfremd. Dann folgt aus
    $bc+ae=0\,,$
dass bis auf einen gemeinsamen Vorfaktor
    $c=fa\,$
und
    $e=-fb\,$
gilt, und der Vorfaktor muss $1$ oder $-1$ sein. Die Frage nach den Einheiten ist also im Wesentlichen die Frage, ob
    ${\left(a+b{\sqrt {D}}\right)}{\left(a-b{\sqrt {D}}\right)}=a^{2}-b^{2}D=\pm 1\,.$
Es geht also darum, welche ganzzahligen Lösungen bei gegebenem $D$ die Gleichung
    $x^{2}-y^{2}D=\pm 1\,$
besitzt. Man spricht von der Pellschen Gleichung, deren Lösungsverhalten wesentlich von $D$ positiv oder negativ abhängt.
# Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/59-1-1/Lösung/Beispiel

Wir betrachten das lineare Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten
    $v'=Mv\,$
mit
    $M={\begin{pmatrix}5&9\\-1&-1\end{pmatrix}}\,.$
Das charakteristische Polynom der Matrix ist
    $\chi _{M}=\det {\begin{pmatrix}t-5&-9\\1&t+1\end{pmatrix}}=(t-5)(t+1)+9=t^{2}-4t+4=(t-2)^{2}\,.$
Das bedeutet, dass $2$ ein Eigenwert der Matrix mit algebraischer Vielfachheit $2$ ist. Der Kern der Matrix
    ${\begin{pmatrix}-3&-9\\1&3\end{pmatrix}}$
ist von ${\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}}$ erzeugt, dies ist also ein einfacher Eigenvektor und die geometrische Vielfachheit des Eigenwertes ist $1$. Aus Fakt ergibt sich direkt die Lösung
    $\varphi (t)=e^{2t}{\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}}\,.$
Um alle Lösungen zu finden, arbeiten wir mit Fakt und mit Fakt. Wir verwenden die Basis ${\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}-5\\2\end{pmatrix}}$ (der zweite Vektor ist gewählt, um Jordanform zu erreichen, was aber für das Lösungsverfahren nicht wesentlich ist) und berechnen mit
    $B^{-1}={\begin{pmatrix}3&-5\\-1&2\end{pmatrix}}\,$
und
    $B={\begin{pmatrix}2&5\\1&3\end{pmatrix}}\,$
    $N=BMB^{-1}={\begin{pmatrix}2&5\\1&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}5&9\\-1&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&-5\\-1&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&5\\1&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}6&-7\\-2&3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}}\,.$
Für das transformierte System $w'=Nw$ ergibt sich direkt die Lösung $e^{2t}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$. Um eine weitere Lösung zu erhalten muss man mit einer nichttrivialen Lösung der zweiten Zeile $w_{2}'=2w_{2}$ starten, also mit $w_{2}(t)=e^{2t}$. Die erste Zeile führt dann auf
    $w_{1}'(t)=2w_{1}(t)+w_{2}(t)=2w_{1}(t)+e^{2t}\,.$
Die zugehörige homogene Gleichung hat die Lösung $e^{2t}$, gemäß Fakt brauchen wir eine Stammfunktion von
    $e^{-2t}e^{2t}=1\,.$
Eine solche ist $t$ und daher ist
    $w_{2}(t)=te^{2t}\,$
die Lösung in der ersten Komponenten. Eine zweite Lösung ist also
    ${\begin{pmatrix}te^{2t}\\e^{2t}\end{pmatrix}}.$
Um Lösungen für das ursprüngliche System zu erhalten, müssen wir mit $B^{-1}$ zurücktransformieren. Aus der ersten Lösung erhält man die schon bekannte Lösung zum Eigenvektor und aus der soeben gefundenen Lösung erhält man
    $\psi (t)=B^{-1}{\begin{pmatrix}te^{2t}\\e^{2t}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3&-5\\-1&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}te^{2t}\\e^{2t}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3te^{2t}-5e^{2t}\\-te^{2t}+2e^{2t}\end{pmatrix}}\,.$
# Geradengleichung/Punktrichtungsform/3/Aufgabe

Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung
    $-7x+3y=-4\,$
im $\mathbb {Q} ^{2}$ gegebene Gerade.
# Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/Trigonalgestalt/Explizit/Beispiel

Wir betrachten das lineare Differentialgleichungssystem
    ${\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}\lambda &\gamma \\0&\mu \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}\,.$
Für
    $v_{2}(t)=0\,$
(also die konstante Nullfunktion in der zweiten Komponente) ergibt sich aus der ersten Zeile (bis auf skalare Vielfache) sofort $v_{1}=e^{\lambda t}$, was insgesamt der Lösung (der ersten Fundamentallösung)
    ${\begin{pmatrix}e^{\lambda t}\\0\end{pmatrix}}$
zum Eigenvektor ${\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ gemäß Fakt entspricht.
Es sei nun $v_{2}\neq 0$. Dann führt die zweite Zeile zu $v_{2}=e^{\mu t}$, was wir Fakt entsprechend zu einer Gesamtlösung fortsetzen. Die erste Zeile lautet somit
    $v_{1}'=\lambda v_{1}+\gamma e^{\mu t}\,.$
Die Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung ist $c\cdot e^{\lambda t}$, sodass sich mit der Variation der Konstanten der Ansatz $v_{1}(t)=c(t)\cdot e^{\lambda t}$ mit
    $c'(t)=\gamma \cdot e^{\mu t}\cdot e^{-\lambda t}=\gamma \cdot e^{(\mu -\lambda )t}\,$
ergibt.
Bei $\mu =\lambda$ ergibt sich $c(t)=\gamma t$ und damit die zweite Fundamentallösung
    $v(t)={\begin{pmatrix}\gamma te^{\lambda t}\\e^{\lambda t}\end{pmatrix}}\,.$
Bei $\gamma \neq 0$ gehört diese zweite Lösung nicht zu einem Eigenvektor.
Bei $\mu \neq \lambda$ ergibt sich $c(t)={\frac {\gamma }{\mu -\lambda }}e^{(\mu -\lambda )t}$ und damit die zweite Fundamentallösung
    $v(t)={\begin{pmatrix}{\frac {\gamma }{\mu -\lambda }}e^{\mu t}\\e^{\mu t}\end{pmatrix}}=e^{\mu t}{\begin{pmatrix}{\frac {\gamma }{\mu -\lambda }}\\1\end{pmatrix}}\,.$
Dies ist wieder eine Lösung, die zu einem Eigenvektor gehört.
# Endliche Körper/F25/Frobenius/Matrix/Aufgabe/Lösung

Wegen $1^{2}=(-1)^{2}=1$ und $2^{2}=3^{2}=4$ in ${\mathbb {F} }_{5}=\mathbb {Z} /(5)$ ist $X^{2}-2$ irreduzibel über ${\mathbb {F} }_{5}$. Daher ist ${\mathbb {F} }_{25}=\mathbb {Z} /(5)[X]/(X^{2}-2)$. Wir betrachten den Frobeniushomomorphismus bezüglich der Basis $1$ und $x$ ($x$ sei die Restklasse von $X$). Dabei ist $1^{5}=1$ und
    $x^{5}=x^{2}\cdot x^{2}\cdot x=2\cdot 2\cdot x=4x\,.$
Also ist
    ${\begin{pmatrix}1&0\\0&4\end{pmatrix}}$
# Geradengleichung/Punktrichtungsform/4/Aufgabe

Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung
    $5x-8y=6\,$
im $\mathbb {Q} ^{2}$ gegebene Gerade.
# Lineares Gleichungssystem/2x2/1/Beispiel

Wir knüpfen an Beispiel an, d.h. wir möchten das lineare Gleichungssystem
    $7x+5y=46\,$
und
    $4x+6y=42\,$
lösen. Wir wollen geeignete Vielfache der beiden Gleichungen miteinander addieren mit dem Ziel, dass in der Summe eine Variable herausfällt. Man kann beispielsweise das Vierfache der ersten Gleichung mit dem $-7$-fachen der zweiten Gleichung addieren. Diese Vielfachengleichungen sind
    $28x+20y=184\,$
bzw.
    $-28x-42y=-294\,.$
Wenn man diese beiden Gleichungen addiert, so erhält man
    $-22y=-110\,$
und damit
    $y=5\,.$
Somit kennt man den Preis für einen Aufnäher. Diese Information kann man mit einer der Ausgangsgleichungen weiter verarbeiten. Es ist
    $7x+5\cdot 5=46\,$
und somit
    $7x=46-25=21\,,$
also
    $x=3\,.$
# Endliche Körper/F27/Frobenius/Matrix/Aufgabe/Lösung

Das Polynom $X^{3}+2X+1$ ist irreduzibel in $\mathbb {Z} /(3)[X]$, da es keine Nullstellen hat. Also ist
    ${\mathbb {F} }_{27}\cong \mathbb {Z} /(3)[X]/{\left(X^{3}+2X+1\right)}\,,$
wir nehmen $1,X,X^{2}$ als $\mathbb {Z} /(3)$-Basis. Der Frobenius sendet $1$ auf $1$, $X$ auf
    $X^{3}=-2X-1=X+2\,$
und $X^{2}$ auf
    $X^{6}=(X+2)^{2}=X^{2}+4X+4=X^{2}+X+1\,.$
Die beschreibende Matrix ist also
    ${\begin{pmatrix}1&2&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}}.$
# Geradengleichung/Punktrichtungsform/5/Aufgabe

Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung
    $-7x+5y=-4\,$
im $\mathbb {Q} ^{2}$ gegebene Gerade.
# Lineares Gleichungssystem/Homogen und inhomogen/Affiner Raum/1/Beispiel

Die homogene lineare Gleichung
    $7x-3y+4z=0\,$
hat den Lösungsraum
    $U=\langle {\begin{pmatrix}3\\7\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\4\\3\end{pmatrix}}\rangle \,$
und die inhomogene lineare Gleichung
    $7x-3y+4z=2\,$
hat die Lösungsmenge
    $E={\begin{pmatrix}0\\0\\{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}+U={\begin{pmatrix}0\\0\\{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}+\langle {\begin{pmatrix}3\\7\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\4\\3\end{pmatrix}}\rangle \,.$
Die affine Addition ist die Abbildung
    $U\times E\longrightarrow E,\,(u,P)\longmapsto (u+P),$
die einem Paar bestehend aus einer Lösung der homogenen Gleichung und einer Lösung der inhomogenen Gleichung ihre Summe zuordnet, die eine Lösung der inhomogenen Gleichung ist. Zu zwei Lösungen der inhomogenen Gleichung ist die Differenz eine Lösung der homogenen Gleichung. Zu
    $u=-2{\begin{pmatrix}3\\7\\0\end{pmatrix}}+3{\begin{pmatrix}0\\4\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-6\\-2\\9\end{pmatrix}}\in U\,$
ist beispielsweise
    ${\begin{pmatrix}0\\0\\{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-6\\-2\\9\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-6\\2\\{\frac {19}{2}}\end{pmatrix}}\,$
eine weitere Lösung aus $E$. Die beiden Lösungen ${\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}2\\4\\0\end{pmatrix}}$ aus $E$ werden durch den Verbindungsvektor
    ${\begin{pmatrix}2\\4\\0\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}}\,$
ineinander überführt.