OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Verband/Ordnung/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Eine geordnete Menge $(M,\leq )$ mit der Eigenschaft, dass für je zwei Elemente $x,y\in M$ ein Infimum $x\sqcap y$ und ein Supremum $x\sqcup y$ existiert, heißt Verband.
Es muss also $x,y\leq x\sqcup y$ gelten und jedes $z$ oberhalb von $x$ und von $y$ ist auch oberhalb von $x\sqcup y$. Durch die allgemeine Existenz und auch dadurch, dass man oft endliche Verbände betrachtet, spielen die aus den reellen Zahlen bekannten Schwierigkeiten mit den Begriffen Infimum und Supremum hier keine Rolle.

## Beispiel

Eine total geordnete Menge $(M,\leq )$ ist stets ein Verband, da ja zu zwei Elementen $x,y\in M$ das eine Element das Minimum und das andere das Maximum der beiden ist.

## Beispiel

Die positiven natürlichen Zahlen $\mathbb {N} _{+}$ bilden mit der Teilbarkeit als Ordnung und dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen als Supremum und dem größten gemeinsamen Teiler als Infimum einen Verband. Dies gilt auch für $\mathbb {N}$ mit der Teilbarkeitsrelation, wobei dann der größte gemeinsame Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache richtig zu definieren sind.

## Beispiel

Es sei $S$ eine Menge und $M={\mathfrak {P}}\,(S)$ die zugehörige Potenzmenge mit der durch die Inklusion gegebenen Ordnung. Dann liegt ein Verband vor, wobei das Infimum durch den mengentheoretischen Durchschnitt und das Supremum durch die Vereinigung gegeben ist. Man spricht vom Teilmengenverband.
Das vorstehende Beispiel ist der Grund für die Wahl der Symbole $\sqcap$ und $\sqcup$ in der allgemeinen Definition eines Verbandes.

## Beispiel

Es sei $G$ eine Gruppe und $V$ die Menge aller Untergruppen von $G$. Dann ist $V$ mit der Inklusion als Ordnung ein Verband. Das Infimum ist durch den Durchschnitt von Untergruppen und das Supremum ist durch die von zwei Untergruppen erzeugte Untergruppe gegeben. Man spricht vom Untergruppenverband.

## Beispiel

Es sei $K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und $V$ die Menge aller Zwischenkörper. Dann ist $V$ mit der Inklusion als Ordnung ein Verband. Das Infimum ist durch den Durchschnitt von Zwischenkörpern und das Supremum ist durch das Kompositum von zwei Zwischenkörpern (also dem durch zwei Zwischenkörper erzeugte Unterring, der wegen der Endlichkeitsvoraussetzung wieder ein Körper ist) gegeben.

## Beispiel

Wir betrachten eine Menge $M$ von Aussagen, wobei wir äquivalente Aussagen miteinander identifizieren. Dies kann man informal oder aber bezogen auf die aussagenlogische Sprache zu einer Menge von Aussagenvariablen verstehen. Im letzteren Fall sind etwa die beiden Aussagen $p\rightarrow q$ und $\neg q\rightarrow \neg p$ zueinander äquivalent (Kontraposition). Über die Implikation $\alpha \rightarrow \beta$ ist diese Menge $M$ eine Ordnung. Mit der Konjunktion $\alpha \wedge \beta$ (und) als Infimum und der Disjunktion $\alpha \vee \beta$ (oder) als Supremum liegt ein Verband vor.
# Gewöhnliche Differentialgleichung/Rational-homogen/1/Aufgabe/Lösung

Mit dem Ansatz
    $y=z\cdot t\,$
wird die rechte Seite der Differentialgleichung zu
    ${\frac {4y+5t}{2y-3t}}={\frac {4zt+5t}{2zt-3t}}={\frac {4z+5}{2z-3}}\,$
und die linke Seite zu
    $y'=(z\cdot t)'=z+tz'\,.$
Die Bedingung wird zu
    $z+tz'={\frac {4z+5}{2z-3}}\,$
bzw. zu
    $tz'={\frac {4z+5}{2z-3}}-z={\frac {4z+5-z(2z-3)}{2z-3}}={\frac {-2z^{2}+7z+5}{2z-3}}\,$
bzw. zur Differentialgleichung mit getrennten Variablen
    $z'={\frac {1}{t}}\cdot {\frac {-2z^{2}+7z+5}{2z-3}}\,.$
# Integral/Dreieck (0,2), (1,-1), (-2,-1)/x^2y/Realisiere als Vektorfeld/Aufgabe

Es sei $T$ das durch $(0,2),\,(1,-1)$ und $(-2,-1)$ gegebene Dreieck und $h(x,y)=x^{2}y$. Finde ein stetig differenzierbares Vektorfeld $F$ mit
    $h(x,y)={\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}\,$
und berechne damit $\int _{T}hd\lambda ^{2}$ durch ein Wegintegral über den Dreiecksrand.
# Projektiver Raum/Getwistetes Geradenbündel/Geometrische Realisierung/Beispiel

Wir betrachten den projektiven Raum
    ${\mathbb {P} }_{K}^{n}=\operatorname {Proj} {\left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]\right)}\,$
und das projektive Spektrum
    $W_{k}=\operatorname {Proj} {\left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n},Y]\right)}\,,$
wobei die Grade von $X_{i}$ gleich $1$ sind und $Y$ den Grad $k$ bekommt. Gemäß Fakt induziert die homogene Inklusion
    $K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]\subset K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n},Y]\,$
einen Schemamorphismus
    $p\colon W_{k}\supset D_{+}(X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n})=V_{k}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n}.$
Auf $D_{+}(X_{i})$ liegt die Abbildung
    $D_{+}(X_{i})\cong \operatorname {Spek} {\left(K[{\frac {X_{j}}{X_{i}}},j\neq i,{\frac {Y}{X_{i}^{k}}}]\right)}\longrightarrow D_{+}(X_{i})\cong \operatorname {Spek} {\left(K[{\frac {X_{j}}{X_{i}}},j\neq i]\right)}$
vor, also ein triviales Geradenbündel. Zu $D_{+}(X_{i})$ und $D_{+}(X_{j})$ werden die Übergangsabbildungen über
    $\Gamma {\left(D_{+}(X_{i}X_{j}),{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}\right)}=K[{\frac {X_{r}}{X_{i}}},r\neq i,{\frac {X_{s}}{X_{j}}},s\neq j]\,$
durch ${\frac {Y}{X_{i}^{k}}}\mapsto {\frac {Y}{X_{j}^{k}}}\cdot {\frac {X_{j}^{k}}{X_{i}^{k}}}$ gegeben. Diese sind also linear und es liegt ein Geradenbündel über dem projektiven Raum vor.
# Verknüpfung und Gruppenbegriff/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Eine Verknüpfung $\circ$ auf einer Menge $M$ ist eine Abbildung
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto \circ (x,y)=x\circ y.$
Statt $\circ (x,y)$ schreibt man $x\circ y$ oder $x*y$ oder einfach $xy$.
Wenn $X$ ein geometrisches Objekt ist, und $M=\operatorname {Bew} \,(X)$ die Menge der Bewegungen auf $X$ (also die bijektiven Abbildungen von $X$ nach $X$, die die geometrische Struktur von $X$ respektieren), so ist die Hintereinanderschaltung von Bewegungen, also
    $\operatorname {Bew} \,(X)\times \operatorname {Bew} \,(X)\longrightarrow \operatorname {Bew} \,(X),\,(f,g)\longmapsto g\circ f,$
eine Verknüpfung.

## Definition

Ein Monoid ist eine Menge $M$ zusammen mit einer Verknüpfung
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M$
und einem ausgezeichneten Element $e\in M$ derart, dass folgende beiden Bedingungen erfüllt sind.
* Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. es gilt für alle $x,y,z\in M$.
    $(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)\,$
* $e$ ist neutrales Element der Verknüpfung, d.h. es gilt für alle $x\in M$.
    $x\circ e=x=e\circ x\,$
Die Hintereinanderausführung von Bewegungen ist assoziativ, da es allgemeiner bei der Hintereinanderausführung von Abbildungen nicht auf die Klammerung ankommt. Die identische Bewegung ist die neutrale Bewegung. In einem Monoid ist das neutrale Element eindeutig bestimmt. Wenn es nämlich zwei Elemente $e_{1}$ und $e_{2}$ gibt mit der neutralen Eigenschaft, so folgt sofort
    $e_{1}=e_{1}e_{2}=e_{2}\,.$

## Definition

Ein Monoid $(G,e,\circ )$ heißt Gruppe, wenn jedes Element ein inverses Element besitzt, d.h. wenn es zu jedem $x\in G$ ein $y\in G$ mit $x\circ y=e=y\circ x$ gibt.
Die Menge aller Abbildungen auf einer Menge $X$ in sich selbst ist mit der Hintereinanderschaltung ein Monoid; die nicht bijektiven Abbildungen sind aber nicht umkehrbar, sodass sie kein Inverses besitzen und daher keine Gruppe vorliegt. Die Menge der bijektiven Selbstabbildungen einer Menge und die Menge der Bewegungen eines geometrischen Objektes sind hingegen eine Gruppe.

## Lemma

Es sei $(G,e,\circ )$ eine Gruppe.
Dann ist zu jedem $x\in G$ das Element $y\in G$ mit
eindeutig bestimmt.

### Beweis

Es sei
    $x\circ y=y\circ x=e\,$
und
    $x\circ z=z\circ x=e\,.$
Dann ist
    $y=y\circ e=y\circ (x\circ z)=(y\circ x)\circ z=e\circ z=z\,.$
$\Box$
Daher schreibt man das zu einem Gruppenelement $x\in G$ eindeutig bestimmte inverse Element als
    $x^{-1}.$

## Definition

Eine Gruppe $(G,e,\circ )$ heißt kommutativ (oder abelsch), wenn die Verknüpfung kommutativ ist, wenn also $x\circ y=y\circ x$ für alle $x,y\in G$ gilt.
# Gewöhnliche Differentialgleichung/y' ist Wurzel von 1-y^2 durch y/Aufgabe/Lösung

Wir müssen für die invertierte Funktion, also für
    ${\frac {y}{\sqrt {1-y^{2}}}}$
eine Stammfunktion finden. Eine solche ist
    $-{\sqrt {1-y^{2}}}.$
Über den Ansatz
    $z=-{\sqrt {1-y^{2}}}\,$
erhalten wir
    $z^{2}=1-y^{2}\,$
und damit
    $y={\sqrt {1-z^{2}}}\,.$
Daher sind
    $y(t)={\sqrt {1-(t+c)^{2}}}\,$
# Integral/Dreieck (0,2), (1,-1), (-2,-1)/x^2ydxdy/Stammform/Aufgabe

Es sei $D$ das durch $(0,2),\,(1,-1)$ und $(-2,-1)$ gegebene Dreieck und $\tau =x^{2}ydx\wedge dy$ eine $2$-Differentialform auf $D$. Finde eine Stammform für $\tau$ und berechne damit $\int _{D}\tau$ durch ein Integral über dem Dreiecksrand.
# Projektiver Raum/Invertierbare Garbe/Untergarbe/Beispiel

Es sei $K$ ein Körper und ${\mathbb {P} }_{K}^{n}$ der projektive Raum über $K$. Die Strukturgarbe ist für jede offene Teilmenge $U$ eine Teilmenge des Funktionenkörpers
    $\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}\right)}\subseteq K({\frac {X_{1}}{X_{0}}},\ldots ,{\frac {X_{n}}{X_{0}}})\,.$
Wegen der Faktorialität des Polynomringes gibt es zu jedem homogenen Ideal ${\mathfrak {a}}$ ein bis auf Multiplikation mit einem Skalar eindeutig bestimmtes homogenes Polynom $f$ von maximalem Grad ohne mehrfache Faktoren mit
    $D_{+}({\mathfrak {a}})\subseteq D_{+}(f)\,$
(daei ist hier $f=1$ erlaubt, wobei dann allerdings die Schreibweise $D_{+}(f)$ nicht verwendet wird.). Wegen Fakt ist der globale Schnittring gleich
    $\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}\right)}=\Gamma {\left(D_{+}(f),{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}\right)}={\left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]_{f}\right)}_{0}\subseteq K({\frac {X_{1}}{X_{0}}},\ldots ,{\frac {X_{n}}{X_{0}}})\,.$
Sei $\ell \in \mathbb {Z}$ fixiert. Wir definieren eine Garbe ${\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}(\ell )$ durch
    $\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}(\ell )\right)}=\Gamma {\left(D_{+}(f),{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}(\ell )\right)}:={\left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]_{f}\right)}_{\ell }\,.$
Dabei handelt es sich um eine invertierbare Garbe. Auf $D_{+}(X_{0})$ (und ebenso auf den $D_{+}(X_{i})$) ist nämlich
    ${\left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]_{X_{0}}\right)}_{0}\longrightarrow {\left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]_{X_{0}}\right)}_{\ell },\,{\frac {F}{G}}\longmapsto X_{0}^{\ell }\cdot {\frac {F}{G}},$
ein ${\left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]_{X_{0}}\right)}_{0}$-Modulisomorphismus, der sich auf die kleineren offenen Teilmengen überträgt. Die globale Auswertung auf dem projektiven Raum ist einfach ${\left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]\right)}_{\ell }$, was zeigt, dass (bei $n\geq 1$) diese invertierbaren Garben zu $\ell \geq 0$ nicht zueinander isomorph sind (das stimmt für alle $\ell$).
# Verknüpfung/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Eine Verknüpfung $\circ$ auf einer Menge $M$ ist eine Abbildung
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto \circ (x,y)=x\circ y.$
Eine Verknüpfung macht also aus einem Paar
    $(x,y)\in M\times M\,$
ein einziges Element
    $x\circ y\in M\,.$
Eine Vielzahl von mathematischen Konstruktionen fällt unter diesen Begriff: Die Addition, die Differenz, die Multiplikation, die Division von Zahlen, die Verknüpfung von Abbildungen, der Durchschnitt oder die Vereinigung von Mengen, etc. Als Verknüpfungssymbol kommt eine ganze Reihe in Frage, z.B. $\circ ,\cdot ,+,-,\oplus ,\clubsuit ,\heartsuit$ u.s.w. Je nach dem gewählten Symbol spricht man statt Verknüpfung auch von Multiplikation oder Addition, ohne dass man damit eine inhaltliche Bedeutung verbinden sollte. Wichtige strukturelle Eigenschaften einer Verknüpfung werden in den folgenden Definitionen aufgelistet.

## Definition

Eine Verknüpfung
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$
auf einer Menge $M$ heißt kommutativ, wenn für alle $x,y\in M$ die Gleichheit
    $x\circ y=y\circ x\,$
gilt.

## Definition

Eine Verknüpfung
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$
auf einer Menge $M$ heißt assoziativ, wenn für alle $x,y,z\in M$ die Gleichheit
    $(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)\,$
gilt.

## Definition

Es sei eine Menge $M$ mit einer Verknüpfung
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$
gegeben. Dann heißt ein Element $e\in M$ neutrales Element der Verknüpfung, wenn für alle $x\in M$ die Gleichheit $x\circ e=x=e\circ x$ gilt.
Im kommutativen Fall muss man natürlich für das neutrale Element nur eine Reihenfolge betrachten.

## Definition

Es sei eine Menge $M$ mit einer Verknüpfung
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$
und einem neutralen Element $e\in M$ gegeben. Dann heißt zu einem Element $x\in M$ ein Element $y\in M$ inverses Element (zu $x$). wenn die Gleichheit
    $x\circ y=e=y\circ x\,$
gilt.
# Gitter/C/Repräsentant im Fundamentalbereich/4/Aufgabe/Lösung

Wir strecken das Gitter mit dem Inversen von $3+{\mathrm {i} }$, also mit
    ${\left(3+{\mathrm {i} }\right)}^{-1}={\frac {3-{\mathrm {i} }}{{\left(3+{\mathrm {i} }\right)}{\left(3-{\mathrm {i} }\right)}}}={\frac {3}{10}}-{\frac {1}{10}}{\mathrm {i} }\,.$
Wegen
    ${\left(-1+2{\mathrm {i} }\right)}{\left({\frac {3}{10}}-{\frac {1}{10}}{\mathrm {i} }\right)}=-{\frac {3}{10}}+{\frac {2}{10}}+{\left({\frac {6}{10}}+{\frac {1}{10}}\right)}{\mathrm {i} }=-{\frac {1}{10}}+{\frac {7}{10}}{\mathrm {i} }=\sigma \,$
ist das Gitter streckungsäquivalent zu
    $\langle 1,-{\frac {1}{10}}+{\frac {7}{10}}{\mathrm {i} }\rangle .$
Der zweite Erzeuger $\sigma$ liegt nicht im Fundamentalbereich, sein Betragsquadrat ist
    ${\frac {1}{100}}+{\frac {49}{100}}={\frac {1}{2}}<1\,.$
Es ist
    $-\sigma ^{-1}=-{\frac {1}{\frac {1}{2}}}{\left(-{\frac {1}{10}}-{\frac {7}{10}}{\mathrm {i} }\right)}=2{\left({\frac {1}{10}}+{\frac {7}{10}}{\mathrm {i} }\right)}={\frac {1}{5}}+{\frac {7}{5}}{\mathrm {i} }\,.$
Der Betrag hiervon ist $>1$ und der Realteil ist zwischen $-{\frac {1}{2}}$ und ${\frac {1}{2}}$, diese Element liegt also im Fundamentalbereich. Es ist also
    $\tau ={\frac {1}{5}}+{\frac {7}{5}}{\mathrm {i} }\,.$
# Integral/Parameterabhängig/at^2-a^2t/-1 nach 2/Extrema/Aufgabe

Bestimme, für welche $a\in \mathbb {R}$ die Funktion
    $a\longmapsto \int _{-1}^{2}at^{2}-a^{2}t\,dt$
ein Maximum oder ein Minimum besitzt.
# Verknüpfung/Produktmenge bekannt/Natürliche Zahlen/Elementare Einführung/Textabschnitt
## Definition

Eine Verknüpfung $\circ$ auf einer Menge $M$ ist eine Abbildung
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto \circ (x,y)=x\circ y.$
Statt Verknüpfung sagt man auch Operation. Das Verknüpfungszeichen $\circ$ ist hier einigermaßen willkürlich gewählt, um vorschnelle Assoziationen zu vermeiden. In vielen konkreten Situation steht hier $+$ oder $\cdot$. Das „neue“ Element $x\circ y$ heißt dann auch das Ergebnis der Operation. Da das Ergebnis wieder zur Ausgangsmenge $M$ gehört, kann man es weiter verknüpfen mit weiteren Elementen. Dies erfordert im Allgemeinen Klammerungen, um zu wissen, in welcher Reihenfolge welche Elemente miteinander verknüpft werden sollen. Im Allgemeinen ist
    $a\circ (b\circ c)\neq (a\circ b)\circ c\,.$

## Definition

Eine Verknüpfung
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$
auf einer Menge $M$ heißt assoziativ, wenn für alle $x,y,z\in M$ die Gleichheit
    $(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)\,$
gilt.
Man sagt auch, dass für die Verknüpfung das Assoziativgesetz oder die Klammerregel gilt.

## Definition

Eine Verknüpfung
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$
auf einer Menge $M$ heißt kommutativ, wenn für alle $x,y\in M$ die Gleichheit
    $x\circ y=y\circ x\,$
gilt.
Man sagt auch, dass für die Verknüpfung das Kommutativgesetz oder das Vertauschungsgesetz gilt. Die Addition und die Multiplikation auf den natürlichen Zahlen sind beide assoziativ und kommutativ.

## Definition

Es sei eine Menge $M$ mit einer Verknüpfung
    $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$
gegeben. Dann heißt ein Element $e\in M$ neutrales Element der Verknüpfung, wenn für alle $x\in M$ die Gleichheit $x\circ e=x=e\circ x$ gilt.
Bei der Addition auf den natürlichen Zahlen ist $0$ das neutrale Element und bei der Multiplikation auf den natürlichen Zahlen ist $1$ das neutrale Element. Deshalb ist es in der abstrakten Formulierung sinnvoll, eine unbelastete Bezeichnung zu wählen. Wenn die Verknüpfung kommutativ ist, so muss man die Eigenschaft des neutralen Elementes nur von einer Seite überprüfen.
# Projektiver Raum/Körper/Divisorenklassengruppe/Beispiel

Wir wollen die Weildivisoren und die Divisorenklassengruppe des projektiven Raumes ${\mathbb {P} }_{K}^{d}$ über einem Körper $K$ verstehen ($d\geq 1$). Wir betrachten die disjunkte Zerlegung
    ${\mathbb {P} }_{K}^{d}=D_{+}(X_{0})\cup V_{+}(X_{0})={{\mathbb {A} }_{K}^{d}}\cup {\mathbb {P} }_{K}^{d-1}\,,$
d.h. wir fixieren die Hyperebene
    $H=V_{+}(X_{0})\cong {\mathbb {P} }_{K}^{d-1}\,$
im „Unendlichen“. Ein Primdivisor des projektiven Raumes stimmt also entweder mit der Hyperebene rechts überein oder sie schneidet den affinen Raum links nichtleer und kann als ein Primideal der Höhe $1$ im Polynomring $K[{\frac {X_{1}}{X_{0}}},\ldots ,{\frac {X_{d}}{X_{0}}}]$ aufgefasst werden. Jede Funktion $f$ des Funktionenkörpers lässt sich (bis auf Skalierung und kürzen) eindeutig als $f={\frac {P}{Q}}$ mit Polynomen $P,Q\in K[{\frac {X_{1}}{X_{0}}},\ldots ,{\frac {X_{d}}{X_{0}}}]$ schreiben. Mit den Primfaktorzerlegungen zu $P$ und $Q$ kann man direkt
    $f=\prod _{i=1}^{n}cP_{i}^{\nu _{i}}\,$
(mit einer Konstanten
$c\neq 0$ und $\nu _{i}\in \mathbb {Z}$) schreiben und daraus den Hauptdivisor zu $f$ ablesen, sofern er such auf die Komponenten im affinen Raum bezieht. Die („unendlich ferne“) Ordnung von $f$ an $V_{+}(X_{0})$ ergibt sich folgendermaßen. Der lokale Ring zu diesem Primdivisor ist
    ${\begin{aligned}K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]_{((X_{0}))}&={\left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]_{K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]\setminus (X_{0})\cap {\text{ homogene Elemente }}}\right)}_{0}\\&=K{\left({\frac {X_{2}}{X_{1}}},\ldots ,{\frac {X_{d}}{X_{1}}}\right)}[{\frac {X_{0}}{X_{1}}}]_{\left({\frac {X_{0}}{X_{1}}}\right)}.\end{aligned}}$
Man schreibt $P$ (bzw. $Q$ oder $f$), indem man überall ${\frac {X_{i}}{X_{0}}}$ durch ${\frac {X_{i}}{X_{1}}}\cdot {\frac {X_{1}}{X_{0}}}$ ersetzt. Dies betrachtet man als rationale Funktion über dem Körper $K{\left({\frac {X_{2}}{X_{1}}},\ldots ,{\frac {X_{d}}{X_{1}}}\right)}$ in der einen Variablen ${\frac {X_{0}}{X_{1}}}$. Der (typischerweise negative) Grad bezüglich ${\frac {X_{0}}{X_{1}}}$ ist die Ordnung.
Beispielsweise ist bei
    $P={\frac {X_{1}}{X_{0}}}+{\left({\frac {X_{2}}{X_{0}}}\right)}^{3}={\frac {X_{1}}{X_{0}}}+{\left({\frac {X_{2}}{X_{1}}}\right)}^{3}{\left({\frac {X_{1}}{X_{0}}}\right)}^{3}={\left({\left({\frac {X_{0}}{X_{1}}}\right)}^{2}+{\left({\frac {X_{2}}{X_{1}}}\right)}^{3}\right)}{\left({\frac {X_{0}}{X_{1}}}\right)}^{-3}\,$
und die Ordnung ist $-3$. Da jeder Weildivisor mit einem Hauptdivisor auf dem affinen Raum wegen der Faktorialität des Polynomringes übereinstimmt, ist jeder Weildivisor linear äquivalent zu einem Divisor der Form $nV_{+}(X_{0})$ mit $n\in \mathbb {Z}$ (die Klasse zu $V_{+}(X_{0})$ nennt man auch die Hyperebenenklasse.). Ein solcher Divisor ist aber bei $n\neq 0$ kein Hauptdivisor, da ein solcher Hauptdivisor auf dem affinen Raum trivial ist und daher von einer Konstanten herrühren muss. Eine solche besitzt aber auch im Unendlichen die Ordnung $0$. Die Divisorenklassengruppe des projektiven Raumes ist also $\mathbb {Z}$, als Erzeuger kann man jede Hyperebene nehmen.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Streckung/Isogenie/Kernanzahl und Determinante/Aufgabe/Lösung

Nach Fakt ist die Anzahl des Kernes der Isogenie gleich der Anzahl von $\Gamma /s\Gamma$. Es liegt ein kommutatives Diagramm
    ${\begin{matrix}\Gamma &{\stackrel {s}{\longrightarrow }}&\Gamma &{\stackrel{\longrightarrow }}&\Gamma /s\Gamma &\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\\mathbb {Z} ^{2}&{\stackrel {M}{\longrightarrow }}&\mathbb {Z} ^{2}&{\stackrel{\longrightarrow }}&\mathbb {Z} ^{2}/\operatorname {bild} M&\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$
wobei die vertikalen Abbildungen Isomorphismen sind. Die Aussage folgt somit mit dem Betrag der Determinante aus Aufgabe. Es ist noch zu zeigen, dass die Determinante stets positiv ist. Es sei $s=r+t{\mathrm {i} }$ und $u,v$ eine Basis des Gitters. Nach Voraussetzung gilt
    $su=au+bv\,$
und
    $sv=cu+dv\,$
mit $a,b,c,d\in \mathbb {Z}$. Als Isomorphismus des reellen Vektorraumes ${\mathbb {C} }=\mathbb {R} ^{2}$ wird die Multiplikation mit $s$ einerseits bezüglich der Standardbasis $1,{\mathrm {i} }$ durch die reelle Matrix ${\begin{pmatrix}r&-t\\t&r\end{pmatrix}}$ mit der positiven Determinante $r^{2}+t^{2}$ und andererseits bezüglich der reellen Basis $u,v$ durch die Matrix
    $M={\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}\,$
# Integral/Parameterabhängig/x^3+2x^2/a nach a+2/Extrema/Aufgabe

Bestimme, für welches $a\in [-4,2]$ die Funktion
    $a\longmapsto \int _{a}^{a+2}x^{3}+2x^{2}\,dx$
ihr globales Maximum annimmt.
# Projektiver Raum/O(n)/Sehr ampel/Beispiel

Auf dem projektiven Raum ${\mathbb {P} }_{R}^{n}$ über einem kommutativen Ring $R$ sind die invertierbaren Garben ${\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}(k)$ für $k\geq 1$ sehr ampel. Es ist
    $\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{R}^{n},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}(k)\right)}=R[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]_{k}\,$
und wir betrachten das durch sämtliche Monome aus $R[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ vom Grad $k$ erzeugte lineare System und den zugehörigen Morphismus
    $\varphi \colon {\mathbb {P} }_{R}^{n}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{R}^{m},$
wobei $m$ die Anzahl dieser Monome weniger $1$ bezeichne. Auf $D_{+}(X_{0})={\left({\mathbb {P} }_{R}^{n}\right)}_{X_{0}^{k}}$ ist die Abbildung durch
    ${{\mathbb {A} }_{R}^{n}}\longrightarrow D_{+}(Y_{\nu })\subseteq {\mathbb {P} }_{R}^{m},\,\left({\frac {X_{1}}{X_{0}}},\,\ldots ,\,{\frac {X_{n}}{X_{0}}}\right)\longmapsto \left({\frac {X^{\mu }}{X_{0}^{k}}},\,\mu {\text{ Monom vom Grad }}k{\text{ in }}n+1{\text{ Variablen}}\right)$
gegeben (und entsprechend auf den anderen $D_{+}(X_{i})$). Auf der Ebene der Polynomringe ist dies der Einsetzungshomomorphismus
    $R[S_{\mu },\,\mu \in I_{k}]\longrightarrow R[T_{1},\ldots ,T_{n}],\,S_{\mu }\longmapsto T^{\mu },$
wobei $I_{k}$ die Indexmenge aller Monome in $n$ Variablen vom Grad $\leq k$ (!) bezeichnet. Diese Abbildung ist surjektiv und somit liegt eine abgeschlossene Einbettung vor.
Bei $k\leq 0$ und $n\geq 1$ sind die ${\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}(k)$ nicht sehr ampel.
# Glatte ebene projektive Kurve/Homogener Quotient/Hauptdivisor/Berechnung/Aufgabe/Lösung

Es sei $P\in C$ ein Punkt der Kurve und es sei (ohne Einschränkung) $P\in D_{+}(Z)$ eine affine Umgebung des Punktes. Sowohl die Schnittmultiplizitäten als auch der Wert des Hauptdivisors an $P$ wird im lokalen Ring ${\mathcal {O}}_{C,P}$ berechnet. Es seien ${\tilde {F}},{\tilde {G}},{\tilde {H}}$ die Dehomogenisierungen von $F,G,H$. Der Punkt $P$ entspricht dem maximalen Ideal
    ${\mathfrak {m}}\subseteq K[x,y]\,$
(mit $x={\frac {X}{Z}}$ und $y={\frac {Y}{Z}}$). Der lokale Ring ist
    ${\mathcal {O}}_{C,P}=K[x,y]_{\mathfrak {m}}/({\tilde {F}})\,.$
Die Schnittmultiplizität von $C$ mit $V_{+}(G)$ im Punkt $P$ ist die $K$-Dimension
$K[x,y]_{\mathfrak {m}}/({\tilde {F}},{\tilde {G}})$
${\tilde {G}}$
${\mathcal {O}}_{C,P}$
${\tilde {G}}$
$K[x,y]/({\tilde {F}})$
${\mathcal {O}}_{C,P}$
${\tilde {H}}$
${\mathcal {O}}_{C,P}$
$0$
# Integral/rst+t sin s/Über Einheitswürfel/Aufgabe

Berechne das Integral zur Funktion
    $f(r,s,t)=rst+t\sin s\,$
über dem Einheitswürfel $W=[0,1]^{3}$.