OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Quadratwurzel/Potenzreihe/1/Aufgabe

Bestimme in der Potenzreihenentwicklung $\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}(Z-1)^{n}$ mit Entwicklungspunkt $1$ der Quadratwurzel von $Z$ mit dem konstanten Koeffizienten $c_{0}=1$ die Koeffizienten $c_{1},c_{2},c_{3},c_{4}$. Wie lautet die Antwort bei $c_{0}=-1$?
# Quadratwurzel/Potenzreihe/i/Aufgabe

Bestimme in der Potenzreihenentwicklung $\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}(Z-{\mathrm {i} })^{n}$ mit Entwicklungspunkt ${\mathrm {i} }$ der Quadratwurzel von $Z$ mit dem konstanten Koeffizienten $c_{0}={\frac {1+{\mathrm {i} }}{\sqrt {2}}}$ die Koeffizienten $c_{1},c_{2},c_{3},c_{4}$. Wie lautet die Antwort bei $c_{0}=-{\frac {1+{\mathrm {i} }}{\sqrt {2}}}$?
# Punktierte Ebene/Invertierung/Stammfunktion/Analytische Fortsetzung/Aufgabe

Wir betrachten die Funktion $f(z)={\frac {1}{z}}$ auf ${\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ und die Parametrisierung
    $[0,2\pi ]\longrightarrow S^{1}\subseteq {\mathbb {C} },\,t\longmapsto e^{{\mathrm {i} }t}=\cos t+{\mathrm {i} }\sin t,$
des komplexen Einheitskreises.
* Bestimme die Potenzreihen von $f$ in den Punkten $1,{\mathrm {i} },-1,-{\mathrm {i} }$. Diese Reihen seien $f_{1},f_{2},f_{3},f_{4}$. Was ist ihr Konvergenzradius?
* Bestimme für die Potenzreihen $f_{1},f_{2},f_{3},f_{4}$ aus (1) Stammreihen $g_{1},g_{2},g_{3},g_{4}$. Dabei sollen die Reihen $g_{i}$ und $g_{i+1}$ für $i=1,2,3$ in ihren Übergangsbereichen übereinstimmen.
* Zeige, dass $g_{4}$ und $g_{1}$ in ihrem Übergangsbereich nicht übereinstimmen.
* Bestimme eine Stammreihe $g_{5}$ von $f_{1}$, die mit $g_{4}$ auf dem Übergangsbereich übereinstimmt.
* Zeige, dass der Funktionskeim $g_{5}$ aus dem Funktionskeim $g_{1}$ durch analytische Fortsetzung längs $\gamma$ hervorgeht.
# Riemannsche Fläche/Lokal konstante Funktionen/Holomorphe Differentialform/Kohomologieklasse/Geschlossener Weg/Skizze/Aufgabe

Skizziere die Situation aus dem Beweis zu Fakt für $n=1,2,3,4$.
# Integral/(x^2-1)^n/-1 bis 1/Rekursionsformel/Aufgabe

Wir betrachten die Polynome $f_{n}={\left(x^{2}-1\right)}^{n}$.
* Zeige
    $\int _{-1}^{1}{\left(x^{2}-1\right)}^{n}dx=-{\frac {2n}{2n+1}}\int _{-1}^{1}{\left(x^{2}-1\right)}^{n-1}dx\,.$
* Man folgere
    $\int _{-1}^{1}{\left(x^{2}-1\right)}^{n}dx=(-1)^{n}\cdot 2\cdot {\frac {2^{n}(n!)}{(2n+1)(2n-1)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}}\,.$
# Rationale Funktion/K/Linearform/Potenz/Differenzierbar/Fakt

Für $a\in {\mathbb {K} }$ ist die (auf ${\mathbb {K} }\setminus \{a\}$ definierte) rationale Funktion $(x-a)^{n}$ mit $n\in \mathbb {Z} _{-}$
differenzierbar, mit der Ableitung
# Semilinear/R-linear/Skalar i/Aufgabe

Es seien $V$ und $W$ komplexe Vektorräume und es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
eine Abbildung. Zeige, dass $\varphi$ genau dann $\mathbb {C}$-antilinear ist, wenn $\varphi ({\mathrm {i} }v)=-{\mathrm {i} }\varphi (v)$ für alle $v\in V$ gilt.
# Wegintegral/C/z^2dz/Weg/Beispiel

Wir betrachten die holomorphe Differentialform $z^{2}dz$ und den Weg
    $\gamma \colon [0,1]\longrightarrow {\mathbb {C} },\,t\longmapsto t^{2}-t{\mathrm {i} }.$
Es ist $\gamma '(t)=2t-{\mathrm {i} }$ und somit ist
    ${\begin{aligned}\int _{\gamma }z^{2}dz&=\int _{0}^{1}(\gamma (t))^{2}\cdot \gamma '(t)dt\\&=\int _{0}^{1}{\left(t^{2}-t{\mathrm {i} }\right)}^{2}{\left(2t-{\mathrm {i} }\right)}dt\\&=\int _{0}^{1}{\left(t^{4}-t^{2}-2{\mathrm {i} }t^{3}\right)}{\left(2t-{\mathrm {i} }\right)}dt\\&=\int _{0}^{1}{\left(2t^{5}-2t^{3}-2t^{3}+{\left(-t^{4}+t^{2}-4t^{4}\right)}{\mathrm {i} }\right)}dt\\&=\int _{0}^{1}{\left(2t^{5}-4t^{3}+{\left(-5t^{4}+t^{2}\right)}{\mathrm {i} }\right)}dt\\&=\left({\frac {1}{3}}t^{6}-t^{4}\right)|_{0}^{1}+{\mathrm {i} }\left(-t^{5}+{\frac {1}{3}}t^{3}\right)|_{0}^{1}\\&=-{\frac {2}{3}}-{\frac {2}{3}}{\mathrm {i} }.\end{aligned}}$
# Differentialform/Exakt/Stammform/Eindeutig/Vereinigung sternförmiger Mengen/Aufgabe

Es seien $V,W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume.
* Es sei $U\subseteq V$ eine zusammenhängende offene Menge und sei $\omega \colon U\rightarrow \operatorname {Hom} _{\mathbb {K} }{\left(V,W\right)}$ eine exakte Differentialform auf $U$. Zeige, dass die Stammform zu $\omega$ bis auf eine Konstante eindeutig bestimmt ist.
* Es seien $S,T\subseteq V$ offene sternförmige Mengen mit der Eigenschaft, dass $S\cap T$ zusammenhängend ist. Es sei eine stetig differenzierbare geschlossene Differentialform. Zeige, dass $\omega$ exakt ist.
    $\omega \colon S\cup T\longrightarrow \operatorname {Hom} _{\mathbb {K} }{\left(V,W\right)}$
# Differentialform/Exakt/Stammform/Eindeutig/Vereinigung sternförmiger Mengen/Aufgabe/Lösung

* Es seien $\varphi ,\psi \colon U\rightarrow W$ Stammformen für die exakte Differentialform, d.h. es gilt Dann ist es ist also zu zeigen, dass die Nullform nur die konstanten Abbildungen als Stammformen besitzt. Es seien $P,Q$ Punkte in $U$ und sei $\gamma$ ein stetig differenzierbarer Weg, der $P$ und $Q$ verbindet. Für das Wegintegral zur Nullform $N$ über $\gamma$ und einer Stammform $\theta$ gilt nach Fakt d.h. $\theta$ ist konstant.
    ${\left(D\varphi \right)}=\omega ={\left(D\psi \right)}\,.$
    ${\left(D(\varphi -\psi )\right)}=\omega -\omega =0\,,$
    $0=\int _{\gamma }N=\theta (Q)-\theta (P)\,,$
* Nach Fakt besitzt $\omega$ auf $S$ eine Stammform, sagen wir $\varphi$, und ebenso besitzt $\omega$ auf $T$ eine Stammform, sagen wir $\psi$. Es sei $P\in S\cap T$ ein Punkt des Durchschnittes. Wir ersetzen die Stammform $\psi$ auf $T$ durch die verschobene Stammform Es ist dann Da $S\cap T$ zusammenhängend ist, unterscheiden sich zwei Stammformen darauf nur um eine Konstante. Daher stimmt die Stammform $\varphi$, eingeschränkt auf $S\cap T$, mit der Stammform ${\tilde {\psi }}$, eingeschränkt auf $S\cap T$, überein, da sie in einem Punkt übereinstimmen. Die beiden Stammformen $\varphi$ und ${\tilde {\psi }}$ passen also auf der Übergangsmenge $S\cap T$ zusammen und definieren daher auf $S\cup T$ eine Stammform.
    ${\tilde {\psi }}=\psi +\varphi (P)-\psi (P)\,.$
    ${\tilde {\psi }}(P)=\varphi (P)\,.$
# Konvergente Potenzreihe/C/Umkehrabbildung/Fixpunkt der Rekursion/Aufgabe/Lösung

Wir ersetzen in $G=S+S^{2}H(S)$ die Variable $S$ durch $F$ und erhalten
    $T=G(F)=F+F^{2}H(F)\,$
und durch eine Umstellung
    $F=T-F^{2}H(F)\,.$
# Ganze Funktion/C/Bild dicht/Aufgabe/Lösung

Nehmen wir an, dass das Bild von $f$ nicht dicht ist. Dann gibt es einen Punkt $P\in {\mathbb {C} }$ und ein $r>0$ derart, dass die offene Kreisscheibe $U{\left(P,r\right)}$ disjunkt zum Bild ist. Durch verschieben können wir $P=0$ erreichen, es ist dann
    $\vert {f(z)}\vert \geq r\,$
für alle $z\in {\mathbb {C} }$. Die Hintereinanderschaltung
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto (f(z))^{-1},$
ist ebenfalls holomorph und es gilt
    $\vert {(f(z))^{-1}}\vert \leq {\frac {1}{r}}\,$
für alle $z\in {\mathbb {C} }$, im Widerspruch zu
# Komplexes Polynom/Abgeschlossene Kreisscheibe/Maxima/1/Aufgabe/Lösung

Aufgrund von Fakt müssen wir nur den Rand der abgeschlossenen Einheitskreisscheibe betrachten. Diesen können wir trigonometrisch parametrisieren und davon das Wachstumsverhalten untersuchen. Es ist
    $\vert {z-1}\vert =\vert {x-1+y{\mathrm {i} }}\vert ={\sqrt {(x-1)^{2}+y^{2}}}\,.$
Statt dieser Wurzelfunktion können wir direkt den Radikanden betrachten. Es ist
    $(x-1)^{2}+y^{2}=x^{2}-2x+1+y^{2}\,,$
die Parametrisierung führt auf
    $\cos ^{2}t-2\cos t+1+\sin ^{2}t=2-2\cos t\,.$
Aufgrund des Funktionsverlaufs der Kosinusfunktion wird das Maximum für $t=0$ (also in $(1,0)$)
# Holomorphe Funktion/C/Lokaler Exponent/Ableitung/Fakt

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine zusammenhängende offene Teilmenge, $P\in U$ ein Punkt und $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine nichtkonstante holomorphe Funktion.
Dann ist der lokale Exponent von $f$ in $P$ genau dann $\geq 2$, wenn $f'(P)=0$ ist.
# Polynom/x^4-x^3/Verlauf/Extrema/Aufgabe

Wir betrachten die Funktion
    $F(x)=x^{4}-x^{3}\,.$
* Bestimme die Nullstellen der Funktion.
* Bestimme, in welchen Abschnitten die Funktion positiv bzw. negativ ist.
* Bestimme die Extrema der Funktion.
# Polynom/x^4-x^3/Einheitsintervall/Flächeninhalt/Aufgabe

Zeige, dass die Funktion
    $F(x)=x^{4}-x^{3}\,$
im Innern von $[0,1]$ stets negativ ist und berechne den Flächeninhalt der durch den Graphen unterhalb von $[0,1]$ eingeschlossenen Fläche.
# Die Zahl pi/Kosinus/Nullstelle/Berechnung/Pseudocode/Aufgabe

Wir möchten $\pi /2$ möglichst genau als kleinste Nullstelle des Kosinus mit Hilfe der Kosinusreihe
    $\cos x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k}}{(2k)!}}\,$
und der Intervallhalbierung des Zwischenwertsatzes (im Sinne von Fakt) bestimmen. Dabei haben wir das Problem, dass der Kosinus numerisch nicht exakt berechnet werden kann, da er ja unendlich viele Summanden besitzt. Deshalb verwenden wir die Idee, als $n$-te Approximation $y_{n}$ für $\pi /2$ die untere Intervallgrenze der $n$-ten Intervallhalbierung (des Ausgangsintervalls $[1,2]$) für die Nullstelle der abgeschnittenen Kosinusreihe $\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\frac {x^{2k}}{(2k)!}}$ zu verwenden (man macht also eine zunehmend feinere Intervallschachtelung einer zunehmend besseren Approximation der Kosinusfunktion)
Man entwerfe ein Computer-Programm (Pseudocode), das die Folgenglieder $y_{n}$ berechnet und nacheinander ausdruckt, unter den folgenden Bedingungen.
# Gaußsche Zahlen/Beal-Vermutung/Gegenbeispiel/Aufgabe

Bestätige die Gleichung
    $(-2+{\mathrm {i} })^{3}+(-2-{\mathrm {i} })^{3}=(1+{\mathrm {i} })^{4}\,.$
# Quadratzahlen/Gleicher Abstand/Aufgabe

Finde drei Quadratzahlen
    $u^{2}<v^{2}<w^{2}\,$
derart, dass der Abstand von $u^{2}$ zu $v^{2}$ gleich dem Abstand von $v^{2}$ zu $w^{2}$ ist.
# Funktionenkörper/Rationale Abbildung/Grad/Maximum/Ausnahme/Aufgabe

Diskutiere die Ausnahmen für die Gradbedingung im Beweis zu Fakt an den Beispielen
    $f(x)={\frac {x+1}{x}}\,.$
    $f(x)={\frac {3x^{2}+5x-3}{4x^{2}-x+1}}\,.$
    $f(x)={\frac {x}{x^{2}-5}}\,.$
# Elliptische Kurve/Y hoch 2 ist X hoch 3 -3X-2/X/Faser/Aufgabe

Bestimme die Faser zum Morphismus
    $V(Y^{2}-X^{3}+3X+2)\longrightarrow {\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{1},\,(x,y)\longmapsto x,$
für die Punkte
    $P=0\,,$
    $Q=2\,,$
    $R=3\,.$
# Rationale Zahlen/Beträge/Produktformel/Aufgabe

Zeige, dass für $f\in \mathbb {Q}$, $f\neq 0$, die Gleichung
    $\prod _{x\in M_{\mathbb {Q} }}\vert {f}\vert _{x}=1\,$
gilt.
# Spezielle Gleichung/Finde Lösung/1/Aufgabe

Finde eine reelle Lösung für die Gleichung
    $3^{x}-{\sqrt {3}}^{x+4}+20=0\,$
# Reelle Zahlen/Maximum/Differenz/Aufgabe

Zeige, dass für beliebige reelle Zahlen die Abschätzung
    $\operatorname {max} \left(\vert {a-b}\vert ,\,\vert {b}\vert \right)\geq {\frac {1}{2}}\operatorname {max} \left(\vert {a}\vert ,\,\vert {b}\vert \right)\,$
gilt.
# Reelle Funktion/Stetig in irrationalen Zahlen/Aufgabe

Wir betrachten die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
mit
    $f(x)={\begin{cases}0,\,{\text{ falls }}x\notin \mathbb {Q} \,,\\{\frac {1}{b}},\,{\text{ bei }}x\in \mathbb {Q} {\text{ und }}x={\frac {a}{b}}{\text{ gekürzt}}\,.\end{cases}}\,$
* Zeige, dass $f$ in den rationalen Zahlen nicht stetig ist.
* Zeige, dass $f$ in den irrationalen Zahlen stetig ist.
# Elliptische Kurve/Y^2 ist X^3+17/8 ganzzahlige Punkte/Beschränkt/Aufgabe

Finde acht Punkte $(x,y)$ mit ganzzahligen Komponenten, die die Bedingung
    $y^{2}=x^{3}+17\,$
erfüllen.
# Differentialgleichung/Getrennte Variablen/Ableitung/Aufgabe

Es sei
    $y'=g(t)h(y)\,$
eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen, wobei $g$ und $h$ differenzierbar seien. Zeige, dass eine Lösungsfunktion $y(t)$ zweimal differenzierbar ist und bestimme ihre zweite Ableitung.
# Zeitunabhängige Differentialgleichung/y' ist e hoch -y/Aufgabe

Finde die Lösung des Anfangwertproblems
    $y'=e^{-y}\,$
mit
    $y(0)=1\,.$
# Zeitunabhängige Differentialgleichung/y' ist e hoch t mal e hoch -y/Aufgabe

Finde die Lösung des Anfangwertproblems
    $y'=e^{t-y}\,$
mit
    $y(0)=5\,.$
# Differentialgleichung/Zweite Ordnung/y'' ist y'/Aufgabe

Bestimme sämtliche Lösungen der Differentialgleichung zweiter Ordnung
    $y^{\prime \prime }=y'\,.$
# Differentialgleichung/y' ist Betrag von y/Aufgabe

Bestimme sämtliche Lösungen der Differentialgleichung
    $y'=\vert {y}\vert \,.$
# Reelle Zahl/Dezimalentwicklung/Ziffern/Information/Aufgabe

Ene und Odo wissen beide über eine reelle Zahl $x$, dass sie zwischen $0$ und $1$ liegt. Ene weiß, dass die Ziffernentwicklung (im Dezimalsystem) von $x$ die Form
    $x=0,73*******...\,$
besitzt, Odo weiß, dass die Ziffernentwicklung die Form
    $x=0,**5143***...\,$
($*$ bedeutet, dass keine Information über diese Stelle vorhanden ist). Wer weiß mehr über die Zahl?
# Vektorfeld/y+t/Nicht trennbar/Aufgabe

Zeige, dass auf die Differentialgleichung
    $y'=t+y\,$
nicht der Lösungsansatz für getrennte Variablen anwendbar ist.
# Gewöhnliche Differentialgleichung/Eindimensional/Polynomiale Lösung/1/Aufgabe

Die Differentialgleichung
    $y'=yt-2t^{4}+t^{3}+2t^{2}-5t+4\,$
besitzt eine polynomiale Lösung vom Grad $3$. Bestimme diese.
# Differentialgleichung/Zweite Ordnung/Linear/Ist 3y'-4/Aufgabe

Finde eine Lösung für die Differentialgleichung zweiter Ordnung
    $y^{\prime \prime }=3y'-4\,.$
# Gewöhnliche Differentialgleichung/Rational-homogen/1/Aufgabe

Wir betrachten die Differentialgleichung
    $y'={\frac {4y+5t}{2y-3t}}\,.$
Zeige, dass man mit dem Ansatz
    $y=z\cdot t\,$
mit einer unbekannten Funktion $z(t)$ eine Differentialgleichung für $z$ mit getrennten Variablen erhält.
# Logistische Differentialgleichung/y' ist y mal (5-3y)/Aufgabe

Löse die logistische Differentialgleichung
    $y'=y(5-3y)\,$
mit der Anfangsbedingung
    $y(0)=1\,.$
# Verschobene Parabel/x^2-1/Flächeninhalt/Aufgabe

Bestimme den Flächeninhalt der Fläche, die durch die $x$-Achse und den Graphen der Funktion
    $f(x)=x^{2}-1\,$
begrenzt wird.
# Stromkreis/Induktivität/Differentialgleichung/Verschiedene Spannungen/Aufgabe

Es sei ein Stromkreis mit Widerstand $R$ und mit Induktivität $L$ gegeben (beide konstant und positiv). Die anliegende Spannung $U(t)$ und die dadurch hervorgerufene Stromstärke $I(t)$ hängen von der Zeit ab. Dabei gilt das Gesetz
    $L\cdot I'(t)+R\cdot I(t)=U(t)\,.$
* Bestimme die Lösungen für $I(t)$, wenn ist.
    $U(t)=0\,$
* Bestimme die Lösungen für $I(t)$, wenn konstant ist.
    $U(t)=u\,$
* Zeige, dass es bei eine Lösung der Form gibt.
    $U(t)=u\cos \left(\omega t\right)\,$
    $I(t)=\alpha \cos \left(\omega t\right)+\beta \sin \left(\omega t\right)\,$
# Knopfloch/Gerücht/Ausbreitung/Logistisch/Aufgabe

Eine Person verbreitet auf dem Campus das Gerücht, Professor Knopfloch hätte gestern zwei verschiedene Schuhe angehabt, nämlich eine Sandale und einen Gummistiefel. Das Gerücht verbreitet sich auf dem Campus derart, dass jede Person, die es hört, das Gerücht an jedem folgenden Tag einer weiteren Person erzählt, die es dann auch glaubt. Am Tag $1$ glaubt das Gerücht also eine Person, am Tag $2$ zwei Personen, am Tag $3$ vier Personen u.s.w.
* Erstelle eine Differentialgleichung, die die Verbreitung des Gerüchtes auf dem Campus beschreibt (Zeit in Tage), wenn das Gerücht stets einer neuen Person erzählt wird, die es noch nicht kennt. Wie lautet die Lösung dieser Differentialgleichung?
* Nach wie vor erzählt jede Person, die von dem Gerücht gehört hat, das Gerücht pro Tag einer Person auf dem Campus. Wir berücksichtigen nun aber den Umstand, dass die Zielperson das Gerücht eventuell schon kennt, was zu Beginn der Gerüchtausbreitung zwar unerheblich ist, aber mit den Tagen zunehmend an Bedeutung gewinnt. Auf dem Campus bewegen sich $10000$ Personen. Ob das Gerücht einer Person erzählt wird, die das Gerücht schon kennt, hängt einfach von der Rate ab, wie viele das Gerücht schon kennen. Erstelle eine Differentialgleichung, die die Verbreitung des Gerüchtes in diesem Modell beschreibt.
* Zeige, dass es in der Situation aus Teil (2) eine Lösung der Form gibt.
    $z(t)={\frac {10000}{1+2^{c-t}}}\,$
* Wie ist in Teil (3) $c$ zu wählen?
# Fermatkubik/C/Schnitt mit X+2Y+Z ist 0/Aufgabe

Bestimme die Schnittpunkte der Fermatkubik
    $V_{+}{\left(X^{3}+Y^{3}+Z^{3}\right)}\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}\,$
mit der Geraden $V_{+}{\left(X+2Y+Z\right)}$.
# Quotientenregel/Bruchumkehr/Aufgabe

Zeige, dass für nullstellenfreie differenzierbare Funktionen
    $f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
die Beziehung
    ${\left({\frac {f}{g}}\right)}'=-\left({\frac {f}{g}}\right)^{2}{\left({\frac {g}{f}}\right)}'\,$
gilt.
# Polynom/z und z konjugiert/Ableitung/1/Aufgabe

Bestimme die Ableitung ${\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}$ von
    $f(z)={\overline {z}}^{3}+5z^{2}{\overline {z}}^{2}-3z^{2}{\overline {z}}+z{\overline {z}}^{2}+2z{\overline {z}}+4z+3{\overline {z}}\,.$
# Hyperelliptische Gleichung/Grad 5/Dichte Perioden/Zweite Differentialform/Aufgabe

Führe die Überlegungen aus Beispiel für die holomorphe Differentialform
    $\omega _{2}={\frac {zdz}{w}}\,$
durch.
# Inverse trigonometrische Funktionen/Arkustangens/Inverses Argument/Konstant/Aufgabe

Wir betrachten auf $\mathbb {R} _{+}$ die Funktion
    $f(x)=\arctan x+\arctan {\left(x^{-1}\right)}\,.$
* Zeige mit Hilfe der Ableitung, dass $f$ konstant ist.
* Bestimme den konstanten Wert von $f$.
# Quadratisches Polynom/R/Minimale Maximumsnorm/-1 bis 1/Aufgabe

Wir betrachten das reelle Polynom
    $f(x)=x^{2}-{\frac {1}{2}}\,$
* Skizziere $\vert {f(x)}\vert$ auf dem Intervall $[-1,1]$.
* Zeige, dass $f$ die Eigenschaft besitzt, dass ist.
    ${\max {\left(\vert {f(x)}\vert ,-1\leq x\leq 1\right)}}={\frac {1}{2}}\,$
* Zeige, dass es außer $f$ kein weiteres normiertes reelles Polynom vom Grad $2$ gibt, das die in Teil (2) beschriebene Eigenschaft erfüllt.
# Uneigentliches Integral/1 durch 1+t^2/Über R/Aufgabe

Zeige
    $\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{1+t^{2}}}dt=\pi \,.$
# Ableitung/x mal Logarithmus/Aufgabe

Bestimme die Ableitung von
    $f(x)=x\ln x\,$
auf $\mathbb {R} _{+}$.
# Kommutative Monoidringe/Funktorialität im Monoid/Fakt/Beweis2

Ein $R$-Algebrahomomorphismus ${\tilde {\varphi }}:R[M]\rightarrow R[N]$, der mit den Monoideinbettungen kommutiert, muss $X^{m}$ auf $X^{\varphi (m)}$ schicken. Dadurch ist eindeutig ein $R$-Modulhomomorphismus ${\tilde {\varphi }}:R[M]\rightarrow R[N]$ festgelegt. Es ist zu zeigen, dass dieser auch die Multiplikation respektiert. Es ist ${\tilde {\varphi }}(1)={\tilde {\varphi }}(X^{0})=X^{\varphi (0)}=X^{0}=1$. Ferner ist
    ${\tilde {\varphi }}(X^{m}X^{k})={\tilde {\varphi }}(X^{m+k})=X^{\varphi (m+k)}=X^{\varphi (m)+\varphi (k)}=X^{\varphi (m)}\cdot X^{\varphi (k)}={\tilde {\varphi }}(X^{m})\cdot {\tilde {\varphi }}(X^{k})\,.$
Auf der Ebene der Monome respektiert die Abbildung also die Multiplikation. Daraus folgt für zwei Elemente $f=\sum _{m\in M}a_{m}X^{m}$ und $g=\sum _{k\in M}a_{k}X^{k}$
    ${\begin{aligned}{\tilde {\varphi }}((\sum _{m\in M}a_{m}X^{m})(\sum _{k\in M}b_{k}X^{k}))&={\tilde {\varphi }}(\sum _{\ell \in M}(\sum _{m+k=\ell }a_{m}b_{k})X^{\ell })\\&=\sum _{\ell \in M}(\sum _{m+k=\ell }a_{m}b_{k}){\tilde {\varphi }}(X^{\ell })\\&=\sum _{\ell \in M}(\sum _{m+k=\ell }a_{m}b_{k})X^{\varphi (\ell )}\\&=\sum _{m,k\in M}a_{m}b_{k}X^{\varphi (m)}X^{\varphi (k)}\\&=(\sum _{m\in M}a_{m}X^{\varphi (m)})(\sum _{k\in M}b_{k}X^{\varphi (k)})\\&={\tilde {\varphi }}(\sum _{m\in M}a_{m}X^{m}){\tilde {\varphi }}(\sum _{k\in M}b_{k}X^{k}),\end{aligned}}$
sodass die Abbildung ein Ringhomomorphismus ist.
# Quadratwurzel/Entwicklungspunkt 1/Potenzreihenansatz/Aufgabe

* Bestimme die Taylorreihe zur Funktion im Entwicklungspunkt $1$.
    $f(x)=x^{2}\,$
* Es sei und es sei die Taylorreihe zu $g$ im Entwicklungspunkt $1$. Bestimme die Koeffizienten $b_{0},b_{1},b_{2},b_{3},b_{4}$ aus der Gleichung
    $g(y)={\sqrt {y}}\,$
    $b_{0}+b_{1}(y-1)+b_{2}(y-1)^{2}+\ldots =\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}(y-1)^{k}\,$
    $g(f(x))=x\,.$
# Quadratisches Polynom/Eingeschlossene Fläche/Aufgabe

Wir betrachten die Funktion
    $f(x)=x^{2}+2x-3\,.$
Bestimme den Flächeninhalt des durch die $x$-Achse und den Graphen von $f$ eingeschränkten Gebietes.
# Ebene Kurven/Algebraisch abgeschlossener Körper/Noethersche Normalisierung/Anwendung auf Y ist X^2-2X durch X^2-1/Aufgabe

Wende den Beweis zu Fakt auf die algebraische Kurve an, die zur rationalen Funktion
    $Y={\frac {X^{2}-2X}{X^{2}-1}}\,$
gehört.
# Rationale Funktion/Ableitung/1/Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion
    $f(x)={\frac {x^{3}-9x^{2}-x+5}{x^{2}-6x+5}}\,.$
# Elimination/Zwei quadratische Gleichungen/Direkt/Fakt/Beweis2

Wir haben zunächst
    $a_{2}F_{1}-a_{1}F_{2}=(a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2})X+a_{2}c_{1}-a_{1}c_{2}\,.$
Daraus ergibt sich der Ausdruck (dieses Argument ist nicht ganz richtig, es lässt sich aber auch rigoroser durchführen)
    $X=-{\frac {a_{2}c_{1}-a_{1}c_{2}}{a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2}}}\,.$
Wir setzen das in $F_{1}$ ein und multiplizieren mit dem Quadrat des Nenners und erhalten
    $a_{1}(a_{2}c_{1}-a_{1}c_{2})^{2}-b_{1}(a_{2}c_{1}-a_{1}c_{2})(a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2})+c_{1}(a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2})^{2}.$
Hier kommt im zweiten Summand $-b_{1}a_{2}c_{1}a_{2}b_{1}$ und im dritten Summand $c_{1}a_{2}^{2}b_{1}^{2}$ vor; diese beiden Summanden heben sich weg, in allen übrigen Monomen kommt $a_{1}$ vor. Wir können also $a_{1}$ wegkürzen und übrig bleibt
    $(a_{2}c_{1}-a_{1}c_{2})^{2}-b_{1}(-a_{2}c_{1}b_{2}-c_{2}a_{2}b_{1}+a_{1}b_{2}c_{2})+c_{1}(a_{1}b_{2}^{2}-2a_{2}b_{1}b_{2}).$
# Quadratisches Polynom/Eingeschlossene Fläche/2/Aufgabe

Wir betrachten die Funktion
    $f(x)=x^{2}-3x-2\,.$
Bestimme den Flächeninhalt des durch die $x$-Achse und den Graphen von $f$ eingeschränkten Gebietes.
# Stammfunktion/Substitution/Direkt/Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion von
    $f(x)=-e^{\sin x}\cos x-e^{x}\sin \left(e^{x}\right)+{\frac {7x}{x^{2}+3}}\,.$
# Konvexe Geometrie/Gitterpunktsatz/Abschätzungskette/detail

    $\operatorname {Vol} ({\mathfrak {N}})\geq \operatorname {Vol} (X\cup Y\cup B)=\operatorname {Vol} (\bigcup _{i\in I}{\tilde {T_{i}}})+\operatorname {Vol} (B)>\sum _{i\in I}\operatorname {Vol} ({\tilde {T}}_{i})=\sum _{i\in I}\operatorname {Vol} (T_{i})=\operatorname {Vol} (T)\geq 2^{n}\operatorname {Vol} ({\mathfrak {M}})=\operatorname {Vol} ({\mathfrak {N}})\,.$
# Ableitung/Quotientenregel/1/Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion
    $f(x)={\frac {e^{x}-\cos x}{x^{2}+5x-6}}\,$
# Kubisches Polynom/Bijektiv/Umkehrfunktion/Ableitung/Aufgabe

Wir betrachten das Polynom
    $f(x)=x^{3}+5x\,.$
* Zeige, dass $f$ bijektiv ist.
* Bestimme die Ableitung der Umkehrfunktion $f^{-1}$ im Nullpunkt.
# Polynomring/Mehrere Variablen über K/Faktoriell/Fakt/Beweis

Dies folgt durch induktive Anwendung von Fakt auf die Kette
    $K\subset K[X_{1}]\subset (K[X_{1}])[X_{2}]\subset (K[X_{1},X_{2}])[X_{3}]\subset \ldots \,$
# Stammfunktion/1 durch x ln x/Aufgabe

Bestimme den Flächeninhalt der Fläche, die oberhalb des Intervalls $[3,7]$ von der $x$-Achse und dem Graphen der Funktion
    $f(x)={\frac {1}{x\ln x}}\,$
eingeschlossen wird.
# Taylorpolynom/Quadratwurzel aus kubischem Polynom/Aufgabe

Wir betrachten die Funktion
    $f(x)={\sqrt {x^{3}-x+2}}\,.$
Bestimme das Taylorpolynom zu $f$ vom Grad $2$ im Entwicklungspunkt $2$.
# Vektorfeld/Konstante Richtung/Monomial/Abhängig/(3,2)/Aufgabe

Löse das Differentialgleichungssystem
    ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'=txy{\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}}\,$
mit der Anfangsbedingung
    ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}\,$
zum Zeitpunkt $0$.
# Lineare Approximation/Koordinaten/1/Aufgabe

Bestimme die affin-lineare Approximation zu
    $f(x,y)=3x^{2}-2x^{3}\,$
im Punkt $(-5,6)$ im Sinne von Bemerkung.
# Lineare Approximation/Koordinaten/2/Aufgabe

Bestimme die affin-lineare Approximation zu
    $f(x,y,z)=4xyz^{2}-3z^{2}+9x^{2}y+7x^{3}z\,$
im Punkt $(2,4,-5)$ im Sinne von Bemerkung.
# Polynom/Zwei Variablen/Interpolation/1/Aufgabe

Finde ein Polynom $p(x,y)$ der Form
    $p(x,y)=a+bx+cy+dx^{2}+exy+fy^{2}\,,$
das die Bedingungen
    $p(0,0)=0\,,$
    $p(0,1)=1\,,$
    $p(1,0)=0\,,$
    $p(1,1)=3\,,$
    $p(0,2)=6\,,$
    $p(-1,1)=1\,,$
erfüllt.
# Extrema/Kosinus mal Sinus^2/Aufgabe

Bestimme die Extrema der Funktion
    $f(x)={\left(\cos x\right)}{\left(\sin ^{2}x\right)}\,$
auf dem Intervall $[0,{\frac {\pi }{2}}]$.