OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Stetige Abbildung/Fundamentalgruppe/Erste Homologie/Gruppenhomomorphismus/Funktorialität/Fakt

Es seien $X,Y,Z$ wegzusammenhängende topologische Räume, es seien $\varphi \colon X\rightarrow Y$ und
    $\psi \colon Y\longrightarrow Z$
stetige Abbildungen. Dann erfüllen die zugehörigen Gruppenhomomorphismen zwischen den ersten Homologiegruppen die folgenden Eigenschaften.
# Stetige Abbildung/Fundamentalgruppe/Erste Homologie/Gruppenhomomorphismus/Funktorialität/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es seien $X,Y,Z$ wegzusammenhängende topologische Räume, es seien $\varphi \colon X\rightarrow Y$ und
    $\psi \colon Y\longrightarrow Z$
stetige Abbildungen. Zeige, dass die zugehörigen Gruppenhomomorphismen zwischen den ersten Homologiegruppen die folgenden Eigenschaften erfüllen.
* Es ist
    $H_{1}(\psi \circ \varphi )=H_{1}(\psi )\circ H_{1}(\varphi )\,.$
* Wenn $\varphi$ und $\psi$ invers zueinander sind (was $X=Z$ voraussetzt), so sind $H_{1}(\psi )$ und $H_{1}(\varphi )$ invers zueinander.
* Wenn $\varphi$ ein Homöomorphismus ist, dann ist $H_{1}(\varphi )$ ein Isomorphismus.
# Stetige Abbildung/Fundamentalgruppe/Gruppenhomomorphismus/Fakt

Es sei $\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen und $x\in X$ mit $\varphi (x)=y$.
Dann definiert die Zuordnung
# Stetige Abbildung/Fundamentalgruppe/Gruppenhomomorphismus/Funktorialität/Fakt

Es seien $X,Y,Z$ topologische Räume, es seien $\varphi \colon X\rightarrow Y$ und
    $\psi \colon Y\longrightarrow Z$
stetige Abbildungen und $x\in X$ mit $\varphi (x)=y$ und $z=\psi (y)$. Dann erfüllen die zugehörigen Gruppenhomomorphismen zwischen den Fundamentalgruppen die folgenden Eigenschaften.
# Stetige Abbildung/Fundamentalgruppe/Gruppenhomomorphismus/Funktorialität/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es seien $X,Y,Z$ topologische Räume, es seien $\varphi \colon X\rightarrow Y$ und
    $\psi \colon Y\longrightarrow Z$
stetige Abbildungen und $x\in X$ mit $\varphi (x)=y$ und $z=\psi (y)$. Zeige, dass die zugehörigen Gruppenhomomorphismen zwischen den Fundamentalgruppen die folgenden Eigenschaften erfüllen.
* Es ist
    $\pi (\psi \circ \varphi )=\pi (\psi )\circ \pi (\varphi )\,.$
* Wenn $\varphi$ und $\psi$ invers zueinander sind (was $X=Z$ voraussetzt), so sind $\pi (\psi )$ und $\pi (\varphi )$ invers zueinander.
* Wenn $\varphi$ ein Homöomorphismus ist, dann ist $\pi (\varphi )$ ein Isomorphismus.
# Stetige Abbildungen/Homotop/Fundamentalgruppe/Fakt

Es seien $(X,x_{0})$ und $(Y,y_{0})$ (punktierte) topologische Räume und seien $f,g\colon (X,x_{0})\rightarrow (Y,y_{0})$ zueinander homotope stetige Abbildungen.
Dann ist
# Stetige Abbildungen/Homotop/Fundamentalgruppe/Fakt/Beweis

Es sei
    $H\colon X\times [0,1]\longrightarrow Y$
eine Homotopie zwischen
$f$ und $g$ und sei $\gamma \colon [0,1]\rightarrow X$ ein geschlossener stetiger Weg. Dann ist
    ${\tilde {H}}=H\circ (\gamma \times \operatorname {Id} _{[0,1]})\colon [0,1]\times [0,1]\longrightarrow Y$
eine Homotopie zwischen $f\circ \gamma$ und $g\circ \gamma$. Es ist ja
    ${\tilde {H}}(s,0)=H((\gamma \times \operatorname {Id} _{[0,1]})(s,0))=H(\gamma (s),0)=f(\gamma (s))\,,$
    ${\tilde {H}}(s,1)=H((\gamma \times \operatorname {Id} _{[0,1]})(s,1))=H(\gamma (s),1)=g(\gamma (s))\,,$
    ${\tilde {H}}(0,t)=H((\gamma \times \operatorname {Id} _{[0,1]})(0,t))=H(\gamma (0),t)=H(x_{0},t)=y_{0}\,$
und
    ${\tilde {H}}(1,t)=H((\gamma \times \operatorname {Id} _{[0,1]})(1,t))=H(\gamma (1),t)=H(x_{0},t)=y_{0}\,.$
Deshalb ist
    $[f\circ \gamma ]=[g\circ \gamma ]\,$
in $\pi _{1}(Y,y_{0})$ für jeden Weg $\gamma$ und somit ist $\pi (f)=\pi (g)$.
# Stetige Funktion/Auf R +/Graph/Abschluss/Abgeschlossenes Intervall/Aufgabe

Es sei $f\colon \mathbb {R} _{+}\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion und sei $\Gamma \subseteq \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R}$ der Graph von $f$. Es sei ${\overline {\Gamma }}\subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R}$ der Abschluss von $\Gamma$ und sei
    $M={\left(0\times \mathbb {R} \right)}\cap {\overline {\Gamma }}\,.$
Zeige, dass $M$ leer oder ein abgeschlossenes Intervall ist.
# Stetige Funktion/Auf R +/Graph/Abschluss/Abgeschlossenes Intervall/Realisierung/Aufgabe

Es sei $f\colon \mathbb {R} _{+}\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion und sei $\Gamma \subseteq \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R}$ der Graph von $f$. Es sei ${\overline {\Gamma }}\subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R}$ der Abschluss von $\Gamma$ und sei
    $M={\left(0\times \mathbb {R} \right)}\cap {\overline {\Gamma }}\,.$
Zeige, dass jedes abgeschlossene Intervall als ein solches $M$ zu einer stetigen Funktion $f$ auftritt.
# Stetige Funktion/Graph/Äußeres Maß/Aufgabe

Es sei $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion und sei $\Gamma \subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R}$ ihr Graph. Zeige, dass das Infimum der Summen der Rechtecksinhalte über alle Überpflasterungen von $\Gamma$ mit achsenparallelen Rechtecken gleich $0$ ist.
# Stetige Funktion/Intervall/Stift/Polynomiale Überdeckung/Aufgabe

Es sei $f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion und es sei ein Stift gegeben, der einen Strich mit der Dicke $\epsilon >0$ zeichnet. Zeige, dass es ein reelles Polynom derart gibt, dass wenn man seinen Graphen mit dem Stift nachfährt, auch den Graphen von $f$ vollständig überdeckt.
# Spur/Nicht multiplikativ/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Zeige, dass die Spur
    $\operatorname {Mat} _{n\times n}(K)\longrightarrow K,\,A\longmapsto \operatorname {Spur} {\left(A\right)},$
im Allgemeinen nicht mit der Multiplikation verträglich ist (dass also im Allgemeinen $\operatorname {Spur} {\left(A\circ B\right)}\neq \operatorname {Spur} {\left(A\right)}\cdot \operatorname {Spur} {\left(B\right)}$ gilt).
# Stetige Funktion/R/Transzendent/Aufgabe

Es sei $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion und sei $P\in \mathbb {R} [X]$ ein Polynom mit
    $P(f(t))=0\,$
für alle $t\in \mathbb {R}$. Zeige, dass $f$ eine konstante Funktion ist oder dass $P$ das Nullpolynom ist.
# Stetige Funktionen/Keim/Lokaler Ring/Aufgabe

Es sei $X$ ein metrischer Raum (oder topologischer Raum oder eine Teilmenge von $\mathbb {R}$ oder von ${\mathbb {C} }$). Wir betrachten zu einer offenen Teilmenge $U\subseteq X$ den kommutativen Ring
    $C(U)={\left\{f:U\rightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ stetig}}\right\}}\,$
(man kann auch ${\mathbb {C} }$ statt $\mathbb {R}$ nehmen, oder, falls $X\subseteq {\mathbb {K} }^{n}$ offen ist, auch differenzierbare Funktionen). Zu einem Punkt $P\in X$ sei
    $C_{P}={\left\{f:U\rightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ stetig}},\,P\in U{\text{ offene Umgebung}}\right\}}\,$
wobei zwei Funktionen $f,g$ miteinander identifiziert werden, wenn sie auf einer offenen Umgebung von $P$ übereinstimmen.
* Zeige, dass $C_{P}$ ein kommutativer Ring ist (dieser Ring heißt Ring der Keime stetiger Funktionen).
* Zeige, dass $C_{P}$ ein lokaler Ring.
# Stetige reelle Funktion/Subgraph/Einfach zusammenhängend/Aufgabe

Es sei $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion und sei
    $S={\left\{(x,y)\mid y\leq f(x)\right\}}\,$
der nach unten offene Subgraph der Funktion. Zeige, dass $S$ einfach zusammenhängend ist.
# Stetiger geschlossener Weg/Nullhomotop/Definition

Ein stetiger geschlossener Weg $\gamma \colon [0,1]\rightarrow X$ mit Aufpunkt $x=\gamma (0)=\gamma (1)$ in einem topologischen Raum $X$ heißt nullhomotop,
wenn er homotop zum konstanten Weg $x$ ist.
# Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitstheorie/Gemeinsamer Teiler/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $a_{1},\ldots ,a_{k}\in R$. Dann heißt ein Element $t\in R$ gemeinsamer Teiler der $a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn $t$ jedes $a_{i}$ teilt ($i=1,\ldots ,k$).
# Stetiger Weg/Umparametrisierung/Wegintegral/Holomorphe Differentialform/Aufgabe

Es sei $\omega =fdz$ eine holomorphe Differentialform auf einer offenen Menge $U\subseteq {\mathbb {C} }$, sei $[a,b]\rightarrow U$ ein stetiger Weg und sei $\theta \colon [c,d]\rightarrow [a,b]$ stetig mit $\theta (c)=a$ und $\theta (d)=b$. Zeige, dass
    $\int _{\gamma }\omega =\int _{\theta \circ \gamma }\omega \,$
gilt.
# Sägezahnfunktion/Identität auf Einheitsintervall/Fourierreihe/Fakt

Die Identität auf dem Einheitsintervall (die Sägezahnfunktion)
besitzt die Fourierreihe
# Sägezahnfunktion/Identität auf Einheitsintervall/Fourierreihe/Fakt/Beweis

Mit partieller Integration ist für $n\neq 0$
    ${\begin{aligned}c_{n}&=\int _{0}^{1}te^{-2\pi {\mathrm {i} }nt}dt\\&={\frac {\mathrm {i} }{2\pi n}}te^{-2\pi {\mathrm {i} }nt}|_{0}^{1}-\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {i} }{2\pi n}}e^{-2\pi {\mathrm {i} }nt}dt\\&={\frac {\mathrm {i} }{2\pi n}},\end{aligned}}$
da der hintere Integrand eine periodische Stammfunktion besitzt. Ferner ist $c_{0}={\frac {1}{2}}$. Somit ist gemäß Fakt $a_{n}=c_{n}+c_{-n}=0$ und
    $b_{n}={\mathrm {i} }{\left(c_{n}-c_{-n}\right)}={\mathrm {i} }{\left({\frac {\mathrm {i} }{2\pi n}}-{\frac {\mathrm {i} }{2\pi (-n)}}\right)}=-{\frac {1}{\pi n}}\,.$
Die Fourierreihe ist also
    ${\frac {1}{2}}+\sum _{n\neq 0}{\frac {\mathrm {i} }{2\pi n}}e^{2\pi {\mathrm {i} }nt}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\pi }}\cdot \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin \left(2\pi nt\right)}{n}}\,.$
# Tangentialbündel/Linearer Zusammenhang/Torsionsfrei/Basisschnitte/Aufgabe

Es sei ein linearer Zusammenhang $\nabla$ auf dem Tangentialbündel $TX$ einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $X$ gegeben. Es gebe Basisschnitte $V_{1},\ldots ,V_{n}$ mit
    $\nabla _{V_{i}}V_{j}-\nabla _{V_{j}}V_{i}=[V_{i},V_{j}]\,$
für alle $i,j$. Zeige, dass $\nabla$ torsionsfrei ist.
# Tangentialraum/Einheitskugel/Orthogonale Zerlegung/Aufgabe

Es sei $Y\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ die Einheitskugeloberfläche. Bestimme die orthogonale Zerlegung des Vektors ${\begin{pmatrix}6\\7\\-3\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}$ in die tangentiale und in die orthogonale Komponente zum Punkt ${\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}\in Y$.
# Tangentialraum/Ellipsoidoberfläche/Orthogonale Zerlegung/Aufgabe

Es sei $Y$ die Hyperfläche, die durch die Bedingung
    $2x^{2}+3y^{2}+5z^{2}=10\,$
im $\mathbb {R} ^{3}$ gegeben ist. Bestimme die orthogonale Zerlegung des Vektors ${\begin{pmatrix}4\\2\\-5\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}$ in die tangentiale und in die orthogonale Komponente zum Punkt ${\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix}}\in Y$.
# Tangentialraum/Ellipsoidoberfläche/Tangentialraum/Orthogonale Zerlegung/Aufgabe

Es sei $Y$ die Hyperfläche, die durch die Bedingung
    $2x^{2}+3y^{2}+5z^{2}=10\,$
im $\mathbb {R} ^{3}$ gegeben ist. Es sei $P={\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix}}\in Y$ und $w={\begin{pmatrix}-3\\2\\4\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}$.
* Bestimme den Tangentialraum $T_{P}Y$.
* Bestimme die orthogonale Zerlegung $w$ in die tangentiale und in die orthogonale Komponente zum Punkt $P$.
* Realisiere die tangentiale Komponente von $w$ in $T_{P}Y$ durch eine differenzierbare Kurve, die ganz auf $Y$ verläuft.
# Tight closure/Arithmetische Deformation/Brenner und Katzman/Textabschnitt
## Example

Consider $\mathbb {Z} [x,y,z]/{\left(x^{7}+y^{7}+z^{7}\right)}$ and take the ideal $I={\left(x^{4},y^{4},z^{4}\right)}$ and the element $f=x^{3}y^{3}$. Consider reductions $\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /(p)$. Then
    $f\in I^{*}{\text{ holds in }}\mathbb {Z} /(p)[x,y,z]/(x^{7}+y^{7}+z^{7}){\text{ for }}p\equiv 3\!\!\!\mod 7$
and
    $f\not \in I^{*}{\text{ holds in }}\mathbb {Z} /(p)[x,y,z]/(x^{7}+y^{7}+z^{7}){\text{ for }}p\equiv 2\!\!\!\mod 7.$
In particular, the bundle $\operatorname {Syz} {\left(x^{4},y^{4},z^{4}\right)}$ is semistable in the generic fiber, but not strongly semistable for any reduction $p\equiv 2\!\!\!\mod 7$. The corresponding torsor is an affine scheme for infinitely many prime reductions and not an affine scheme for infinitely many prime reductions.
In terms of affineness (or local cohomology) this example has the following properties: the ideal
    $(x,y,z)\subseteq \mathbb {Z} /(p)[x,y,z,s_{1},s_{2},s_{3}]/{\left(x^{7}+y^{7}+z^{7},s_{1}x^{4}+s_{2}y^{4}+s_{3}z^{4}+x^{3}y^{3}\right)}\,$
has cohomological dimension $1$ if $p=3\mod 7$ and has cohomological dimension $0$ (equivalently, $D(x,y,z)$ is an affine scheme) if $p=2\mod 7$.
# Tight closure/Test exponent/Einführung/Textabschnitt

The problem with an algorithmic computation of tight closure is that we have to check infinitely many conditions. For a test element $z$ (a well established theory) a test exponent is a number $e_{0}$ such that $zf^{q}\in I^{[q]}$ for all $q=p^{e}$ and $e\leq e_{0}$ implies $f\in I^{*}$. This makes also sense for a restricted class of ideals. But even for parameter ideals nothing substantial is known.
The following variant is more promising and has the same computational effect: Let $\tau$ denote the test ideal of $R$. We call $e_{0}$ a test ideal exponent (for a class of ideals) if
    $zf^{q}\in I^{[q]}{\text{ for all }}z\in \tau$
and for all $q=p^{e}$ and $e\leq e_{0}$ implies $f\in I^{*}$. For this one has to know the test ideal, but this is known in many cases. For the class of parameter ideals in the Gorenstein case this works, because then $I^{*}=(I:\tau )$ and so we can take even $0$ as test ideal exponent.
The methods from above allow us to extend this to homogeneous primary ideals in a standard-graded two-dimensional domain over a finite field. The test ideal exponent is however huge and not suitable for computations. It depends on the genus, the number of ideal generators and most importantly on the number of elements in the field (via the finite number of semistable bundles in the moduli space).

## Theorem

Let $R$ be a standard-graded, two-dimensional (geometrically) normal Gorenstein domain over a finite field. Fix $n$ and suppose that $p=4(g-1)(n-1)^{3}$, where $g$ is the genus of the curve.
Then there exists a test ideal exponent for the class of primary homogeneous ideals generated by $n$ elements.
The finite field assumption in the last two statements is necessary. Both proofs rely on the fact that for fixed rank and degree there exists only finitely many semistable sheaves defined over the field with these numerical data.
# Tight closure/Zweidimensional/Standard-graduiert/Syzygienbündel/Einführung/Textabschnitt

Let $R$ be a two-dimensional standard-graded normal domain over an algebraically closed field $K$. Let $C=\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ be the corresponding smooth projective curve and let
    $I={\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}\,$
be an $R_{+}$-primary homogeneous ideal with generators of degrees $d_{1},\ldots ,d_{n}$. Then we get on $C$ the short exact sequence
    $0\longrightarrow \operatorname {Syz} {\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}(m)\longrightarrow \bigoplus _{i=1}^{n}{\mathcal {O}}_{C}(m-d_{i}){\stackrel {f_{1},\ldots ,f_{n}}{\longrightarrow }}{\mathcal {O}}_{C}(m)\longrightarrow 0.$
Here $\operatorname {Syz} {\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}(m)$ is a vector bundle, called the syzygy bundle, of rank $n-1$ and of degree
    $((n-1)m-\sum _{i=1}^{n}d_{i})\operatorname {deg} \,(C).$
Recall that the degree of a vector bundle ${\mathcal {S}}$ on a projective curve is defined as the degree of the invertible sheaf $\bigwedge ^{r}{\mathcal {S}}$, where $r$ is the rank of ${\mathcal {S}}$. The degree is additive on short exact sequences.
A homogeneous element $f$ of degree $m$ defines an element in $\Gamma (C,{\mathcal {O}}_{C}(m))$ and thus a cohomology class $\delta (f)\in H^{1}(C,\operatorname {Syz} {\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}(m))$, so this defines a torsor over the projective curve. We mention an alternative description of the torsor corresponding to a first cohomology class in a locally free sheaf which is better suited for the projective situation.

## Remark

Let ${\mathcal {S}}$ denote a locally free sheaf on a scheme $X$. For a cohomology class $c\in H^{1}(X,{\mathcal {S}})$ one can construct a geometric object: Because of $H^{1}(X,{\mathcal {S}})\cong \operatorname {Ext} ^{1}({\mathcal {O}}_{X},{\mathcal {S}})$, the class defines an extension
    $0\longrightarrow {\mathcal {S}}\longrightarrow {{\mathcal {S}}'}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X}\longrightarrow 0.$
This extension is such that under the connecting homomorphism of cohomology, $1\in \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$ is sent to $c\in H^{1}(X,{\mathcal {S}})$. The extension yields a projective subbundle
    ${\mathbb {P} }({\mathcal {S}}^{\vee })\subset {\mathbb {P} }({{\mathcal {S}}'}^{\vee })\,.$
If $V$ is the corresponding geometric vector bundle of ${\mathcal {S}}$, one may think of ${\mathbb {P} }({\mathcal {S}}^{\vee })$ as ${\mathbb {P} }(V)$ which consists for every base point $x\in X$ of all the lines in the fiber $V_{x}$ passing through the origin. The projective subbundle ${\mathbb {P} }(V)$ has codimension one inside ${\mathbb {P} }(V')$, for every point it is a projective space lying (linearly) inside a projective space of one dimension higher. The complement is then over every point an affine space. One can show that the global complement
    $T={\mathbb {P} }({{\mathcal {S}}'}^{\vee })\setminus {\mathbb {P} }({\mathcal {S}}^{\vee })\,$
is another model for the torsor given by the cohomology class. The advantage of this viewpoint is that we may work, in particular when $X$ is projective, in an entirely projective setting.
# Topologische Gruppe/Diskrete Untergruppe/Quotient/Überlagerung/Fakt

Es sei $G$ eine topologische Gruppe und sei $D\subseteq G$ eine diskrete Untergruppe.
Dann ist die Quotientenabbildung
eine Überlagerung.
# Topologische Gruppe/Diskrete Untergruppe/Quotient/Überlagerung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $G$ eine topologische Gruppe und sei $D\subseteq G$ eine diskrete Untergruppe. Zeige, dass die Quotientenabbildung
    $G\longrightarrow G/D$
eine Überlagerung ist.
# Topologische Räume/Relatives Produkt/Abbildung/Rückzug/Aufgabe

Es seien $X,Y,Z$ und $X'$ topologische Räume und es liege ein kommutatives Diagramm von stetigen Abbildungen
    ${\begin{matrix}&Y&{\stackrel{\longrightarrow }}&Z\\&&\searrow &\downarrow \\&X'&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&X\end{matrix}}$
vor. Es sei $Y'=\varphi ^{*}Y=Y\times _{X}X'$ und $Z'=\varphi ^{*}Z=Z\times _{X}X'$. Zeige, dass ein kommutatives Diagramm
    ${\begin{matrix}&Y'&{\stackrel{\longrightarrow }}&Z'\\&&\searrow &\downarrow \\&&&X'\end{matrix}}$
vorliegt.
# Topologische Räume/Stetige Abbildung/Keime der stetigen Funktionen/Ringhomomorphismus/Aufgabe

Es seien $X$ und $Y$ topologische Räume und sei $\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine stetige Abbildung. Es sei $P\in X$ und $Q=\varphi (P)=Y$. Zu jeder stetigen Funktion $V\rightarrow {\mathbb {K} }$ zu $Q\in V$ offen gehört die stetige Funktion
    $f\circ \varphi \colon \varphi ^{-1}(V)\longrightarrow {\mathbb {K} }.$
Zeige, dass durch diese Zuordnung ein Ringhomomorphismus
    $\varphi ^{*}\colon C_{Y,Q}\longrightarrow C_{X,P}$
zwischen den Ringen der Keime stetiger Funktionen festgelegt ist.
# Topologischer Raum/Abzählbare Basis/Folge/Teilfolge/Häufungspunkt/Aufgabe

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in einem topologischen Raum $X$, der eine abzählbare Basis besitze, und sei $x\in X$. Zeige, dass $x$ genau dann ein Häufungspunkt der Folge ist, wenn es eine gegen $x$ konvergente Teilfolge gibt.
# Topologischer Raum/Beschränkte stetige Funktionen/Punktauswertung/Stetig/Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum und sei $C^{b}(X,{\mathbb {K} })$ der ${\mathbb {K} }$-Vektorraum der stetigen beschränkten ${\mathbb {K} }$-wertigen Funktionen auf $X$, versehen mit der Supremumsnorm. Es sei $x\in X$. Zeige, dass die Auswertung an $x$, also die Abbildung
    $C^{b}(X,{\mathbb {K} })\longrightarrow {\mathbb {K} },\,f\longmapsto f(x),$
${\mathbb {K} }$-linear und stetig ist.
# Topologischer Raum/Deformationsretrakt/Definition

Ein Unterraum $Y\subseteq X$ eines topologischen Raumes $X$ heißt Deformationsretrakt
von $X$, wenn es eine stetige Abbildung
    $H\colon X\times [0,1]\longrightarrow X$
gibt mit
    $H(x,0)=x\,$
für alle $x\in X$,
    $H(x,1)\in Y\,$
für alle $x\in X$,
    $H(y,t)=y\,$
für alle $y\in Y$ und alle $t$.
# Topologischer Raum/Deformationsretrakt/Fundamentalgruppe/Fakt

Es sei $Y\subseteq X$ ein Deformationsretrakt eines topologischen Raumes $X$ und $P\in Y$.
Dann sind die Fundamentalgruppen $\pi _{1}(Y,P)$ und $\pi _{1}(X,P)$ zueinander kanonisch isomorph.
# Topologischer Raum/Deformationsretrakt/Fundamentalgruppe/Fakt/Beweis

Die kanonischen Abbildungen
    $\pi _{1}(Y,P)\longrightarrow \pi _{1}(X,P){\stackrel {\pi (H(-,1))}{\longrightarrow }}\pi _{1}(Y,P)$
zeigen, da die Hintereinanderschaltung die Identität ist, dass $\pi _{1}(Y,P)$ eine Untergruppe von $\pi _{1}(X,P)$ ist. Es sei $\gamma$ ein stetiger Weg in $X$ mit Aufpunkt $P$. Wir müssen zeigen, dass er homotop zu einem Weg in $Y$ ist. Wir betrachten dazu die zusammengesetzte Abbildung $\Psi$
    $[0,1]\times [0,1]{\stackrel {\gamma \times \operatorname {Id} _{[0,1]}}{\longrightarrow }}X\times [0,1]{\stackrel {H}{\longrightarrow }}X$
und behaupten, dass dies eine Homotopie zwischen $\gamma$ und dem Weg $H(-,1)\circ \gamma$ ist, der ganz in $Y$ verläuft. Dies folgt aus
    $\Psi (s,0)=H(\gamma (s),0)=\gamma (s)\,$
für alle $s$,
    $\Psi (s,1)=H(\gamma (s),1)\in Y\,$
für alle $s$,
    $\Psi (0,t)=H(\gamma (0),t)=H(P,t)=P\,$
für alle $t$ und
    $\Psi (1,t)=H(\gamma (1),t)=H(P,t)=P\,$
für alle $t$.
# Topologischer Raum/Endlich viele Funktionen/Beschränkte Erzeugung/Gleichgradig stetig/Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum und seien $f_{1},\ldots ,f_{n}$ stetige reellwertige Funktionen auf $X$. Es sei $c\geq 0$. Zeige, dass die Menge
    $T={\left\{c_{1}f_{1}+\cdots +c_{n}f_{n}\mid \vert {c_{i}}\vert \leq c\right\}}\,$
gleichgradig stetig ist.
# Topologischer Raum/Folge/Teilfolge/Häufungspunkt/Aufgabe

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in einem topologischen Raum $X$ und sei $x\in X$. Es gebe eine gegen $x$ konvergente Teilfolge. Zeige, dass $x$ ein Häufungspunkt der Folge ist.
# Topologischer Raum/Kompakt/C/Stone-Weierstrass/Fakt

${\mathbb {C} }$
Es sei $X$ ein kompakter topologischer Raum und $T\subseteq C(X,{\mathbb {C} })$ eine ${\mathbb {C} }$-Unteralgebra, die die Punkte aus $X$ trennt und die mit jeder Funktion auch ihre komplex-konjugierte Funktion enthält.
Dann ist
D.h. jede stetige Funktion $f\colon X\rightarrow {\mathbb {C} }$ lässt sich beliebig gut durch Funktionen aus $T$ approximieren.
# Polynomring/Körper/Eine Variable/Erläuterungen/Bemerkung

Ein Polynom
    $P=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$
ist formal gesehen nichts anderes als das Tupel $(a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n})$, die die Koeffizienten des Polynoms heißen. Zwei Polynome sind genau dann gleich, wenn sie in allen ihren Koeffizienten übereinstimmen. Dabei nennt man $X$ die Variable des Polynomrings. Der Körper $K$ heißt in diesem Zusammenhang der Grundkörper des Polynomrings. Aufgrund der komponentenweisen Definition der Addition liegt unmittelbar eine kommutative Gruppe vor, mit dem Nullpolynom (bei dem alle Koeffizienten $0$ sind) als neutralem Element. Die Polynome mit $a_{i}=0$ für alle $i\geq 1$ heißen konstante Polynome, man schreibt sie einfach als $a_{0}$.
Die für ein einfaches Tupel zunächst ungewöhnliche Schreibweise deutet in suggestiver Weise an, wie die Multiplikation aussehen soll, das Produkt $X^{n}\cdot X^{m}$ ist nämlich durch die Addition der Exponenten, also $X^{n}\cdot X^{m}:=X^{n+m}$, gegeben. Für beliebige Polynome ergibt sich die Multiplikation aus dieser einfachen Multiplikationsregel durch distributive Fortsetzung gemäß der Vorschrift, „alles mit allem“ zu multiplizieren. Die Multiplikation ist also explizit durch folgende Regel gegeben:
    ${\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\right)}\cdot {\left(\sum _{j=0}^{m}b_{j}X^{j}\right)}=\sum _{k=0}^{n+m}c_{k}X^{k}{\text{ mit }}c_{k}=\sum _{r=0}^{k}a_{r}b_{k-r}.$
Die Multiplikation ist assoziativ, kommutativ, distributiv und besitzt das konstante Polynom $1$ als neutrales Element, siehe Aufgabe. Insgesamt liegt also ein kommutativer Ring vor.