OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Modell/Nichtstandardmodell/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt eine weitere $S$-Struktur $M'$, die zu $M$ elementar äquivalent, aber nicht zu $M$ $S$-isomorph ist, ein Nichtstandardmodell von $M$.
# Modell/Teilmenge/Funktional abgeschlossen/Definition/Begriff/Inhalt

Die Teilmenge $T$ heißt funktional abgeschlossen, wenn für jede Konstante $c\in S$ das Element $c^{M}$ zu $T$ gehört und für jedes $k$-stellige Funktionssymbol $f$ und beliebige Elemente $m_{1},\ldots ,m_{k}\in T$ auch $f^{M}(m_{1},\ldots ,m_{k})$ zu $T$ gehört.
# Modultheorie (kommutative Algebra)/Noetherscher Modul/Definition/Begriff/Inhalt

Der $R$-Modul $M$ heißt noethersch, wenn jeder $R$-Untermodul von $M$ endlich erzeugt ist.
# Natürliche Zahlen/Addition mit n/Als Verschiebung/Definition/Begriff/Inhalt

Die Addition $n+k$ wird über die Addition $\alpha _{n}$ mit festem $n$ definiert, wobei $\alpha _{n}$ die eindeutig bestimmte Abbildung
    $\alpha _{n}\colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,k\longmapsto \alpha _{n}(k),$
ist, für die
    $\alpha _{n}(0)=n{\text{ und }}\alpha _{n}(k')=(\alpha _{n}(k))'{\text{ für alle }}k\in \mathbb {N}$
gilt.
# Natürliche Zahlen/Addition mit n/Nachfolgerzählen/Definition/Begriff/Inhalt

Die Summe $n+k$ ist diejenige natürliche Zahl, die man erhält, wenn man von $n$ ausgehend $k$-fach den Nachfolger nimmt.
# Natürliche Zahlen/Multiplikation mit n/Definition/Begriff/Inhalt

Die Multiplikation mit $n$ ist diejenige aufgrund von Fakt eindeutig bestimmte Abbildung
    $\mu _{n}\colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,k\longmapsto \mu _{n}(k),$
für die
    $\mu _{n}(0)=0{\text{ und }}\mu _{n}(k')=\mu _{n}(k)+n{\text{ für alle }}k\in \mathbb {N}$
gilt.
# Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Definition/Begriff/Inhalt

Das Produkt $a\cdot b$ ist definiert als die $a$-fache Summe der Zahl $b$ mit sich selbst.
# Natürliche Zahlen/Potenzierung/Selbstmultiplikation/Definition/Begriff/Inhalt

Unter der $n$-ten Potenz von $a$ versteht man die $n$-fache Multiplikation von $a$ mit sich selbst
    $a\cdot a\cdots a\cdot a$
($n$ Faktoren).
# Numerische Halbgruppe/Teilerfremde Erzeuger/Numerische Einbettungsdimension/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt die minimale Anzahl von Elementen in einem Erzeugendensystem für $M$ die Einbettungsdimension von $M$.
# Numerische Halbgruppe/Teilerfremde Erzeuger/Singularitätsgrad/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt die Anzahl der Lücken, d.h. der natürlichen Zahlen $\mathbb {N} \setminus M$, den Singularitätsgrad von $M$.
# Numerische Monoide/Teilerfremde Erzeuger/Numerische Multiplizität/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt das minimale positive Element $e\in M$, $e\geq 1$, die Multiplizität von $M$.
# Ordnungstheorie/Lineare Ordnung/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Ordnungsrelation $\preccurlyeq$ auf $I$ heißt lineare Ordnung, wenn zu je zwei Elementen $x,y\in I$ die Beziehung $x\preccurlyeq y$ oder $y\preccurlyeq x$ gilt.
# Ordnungstheorie/Ordnungsrelation/Definition/Begriff/Inhalt

Die Relation $\preccurlyeq$ heißt Ordnungsrelation, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.
* Es ist $i\preccurlyeq i$ für alle $i\in I$.
* Aus $i\preccurlyeq j$ und $j\preccurlyeq k$ folgt stets $i\preccurlyeq k$.
* Aus $i\preccurlyeq j$ und $j\preccurlyeq i$ folgt $i=j$.
# Permutation/Transposition/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Transposition auf $M$ ist eine Permutation auf $M$, die genau zwei Elemente miteinander vertauscht und alle anderen Elemente unverändert lässt.
# Permutation/Zykel/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Permutation $\pi$ auf ${\{1,\ldots ,n\}}$ heißt Zykel der Ordnung $r$, wenn es eine $r$-elementige Teilmenge $Z\subseteq M$ derart gibt, dass $\pi$ auf $M\setminus Z$ die Identität ist und $\pi$ die Elemente aus $Z$ zyklisch vertauscht
# Primzahlen/Fermatsche Primzahlen/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Primzahl der Form $2^{s}+1$, wobei $s$ eine positive natürliche Zahl ist, heißt Fermatsche Primzahl.
# Prädikatenlogik/Allgemeingültig/Jedes Modell/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt $\alpha$ allgemeingültig, wenn er in jeder $S$-Interpretation $I$ gilt.
# Prädikatenlogik/Atomarer Ausdruck/Definition/Begriff/Inhalt

Unter einem atomaren Ausdruck versteht man Ausdrücke der Form $s=t$, wobei $s$ und $t$ Terme sind, und der Form $Rt_{1}\ldots t_{n}$, wobei $R$ ein $n$-stelliges Relationssymbol ist und $t_{1},\ldots ,t_{n}$ Terme sind.
# Prädikatenlogik/Erfüllbar/Durch Modell/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt $\alpha$ erfüllbar, wenn es eine $S$-Interpretation $I$ mit $I\vDash \alpha$ gibt.
# Prädikatenlogik/Folgerung/Über Modelle/Definition/Begriff/Inhalt

Man sagt, dass $\alpha$ aus $\Gamma$ folgt, wenn für jede $S$-Interpretation $I$ mit $I\vDash \Gamma$ auch $I\vDash \alpha$ gilt.
# Prädikatenlogik/Modell/Elementare Äquivalenz für Elemente/Definition/Begriff/Inhalt

Zwei Elemente $m,n\in M$ heißen elementar äquivalent, wenn für jeden Ausdruck $\alpha \in L_{1}^{S}$ in der einen freien Variablen $x$ und jede Variablenbelegung $\lambda$ auf $M$ die Beziehung
    $I{\frac {m}{x}}\vDash \alpha {\text{ genau dann, wenn }}I{\frac {n}{x}}\vDash \alpha$
gilt.
# Prädikatenlogik/Strukturen/Elementar äquivalent/Definition/Begriff/Inhalt

Die beiden $S$-Strukturen $M$ und $N$ heißen elementar äquivalent, wenn jeder $S$-Satz, der in $M$ gilt, auch in $N$ gilt.
# Prädikatenlogik/Variablensubstitution/Ausdrücke/Definition/Begriff/Inhalt

Die Variablensubstitution definiert man rekursiv über den Aufbau der $S$-Ausdrücke.
* Für Terme $s_{1},s_{2}$ setzt man
    $(s_{1}=s_{2}){\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}:=s_{1}{\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}=s_{1}{\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}.$
* Für ein $n$-stelliges Relationssymbol $R$ und $n$ Terme $s_{1},\ldots ,s_{n}$ setzt man
    $(Rs_{1}\ldots s_{n}){\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}:=Rs_{1}{\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}\ldots s_{n}{\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}.$
* Für einen Ausdruck $\alpha$ setzt man
    $(\neg \alpha ){\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}:=\neg \alpha {\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}.$
* Für Ausdrücke $\alpha$ und $\beta$ setzt man und ebenso für die anderen zweistelligen Junktoren.
    $(\alpha \wedge \beta ){\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}:=\alpha {\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}\wedge \beta {\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}$
* Für einen Ausdruck $\alpha$ seien $x_{i_{1}},\ldots ,x_{i_{r}}$ diejenigen Variablen (unter den $x_{1},\ldots ,x_{k}$), die in $\forall x\alpha$ frei vorkommen. Es sei $v=x$, falls $x$ nicht in $t_{i_{1}},\ldots ,t_{i_{r}}$ vorkommt. Andernfalls sei $v$ die erste Variable (in einer fixierten Variablenaufzählung, falls es abzählbar viele Variablen gibt, bzw. in einer fixierten Wohlordnung der Variablenmenge), die weder in $\alpha$ noch in $t_{i_{1}},\ldots ,t_{i_{r}}$ vorkommt. Dann setzt man und ebenso für den Existenzquantor.
    $(\forall x\alpha ){\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}:=\forall v\alpha {\frac {t_{i_{1}},\ldots ,t_{i_{r}},v}{x_{i_{1}},\ldots ,x_{i_{r}},x}}$
# Quadratischer Zahlbereich/Klassenzahl/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt die Anzahl der Elemente in der Klassengruppe von $R$ die Klassenzahl von $R$.
# Quadratischer Zahlbereich/Reell und imaginär/Definition/Begriff/Inhalt

Der quadratische Zahlbereich $A_{D}$ heißt reell-quadratisch, wenn $D$ positiv ist, und imaginär-quadratisch, wenn $D$ negativ ist.
# Quotientenkörper/Polynomring/Eine Variable/Rationaler Funktionenkörper/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt den Quotientenkörper $Q(K[X])$ zum Polynomring $K[X]$ den rationalen Funktionenkörper über $K$.
# Rationale Funktion/Körper/Definition/Begriff/Inhalt

Zu zwei Polynomen $P,Q\in K[X]$, $Q\neq 0$, heißt die Funktion
    $D\longrightarrow K,\,z\longmapsto {\frac {P(z)}{Q(z)}},$
wobei $D\subseteq K$ das Komplement der Nullstellen von $Q$ ist, eine rationale Funktion.
# Rationale Zahl/Gemischter Bruch/Definition/Begriff/Inhalt

Unter einem gemischten Bruch versteht man einen Ausdruck der Form
    $n{\frac {a}{b}}$
mit einer natürlichen Zahl $n$ und einer rationalen Zahl ${\frac {a}{b}}$ mit $a,b\in \mathbb {N} _{+}$ und $a<b$.
# Rationale Zahlen/Gaußklammer/Definition/Begriff/Inhalt

Zu einer rationalen Zahl $x$ ist die Gaußklammer $\left\lfloor x\right\rfloor$ durch
    $\left\lfloor x\right\rfloor =n,{\text{ falls }}x\in [n,n+1[{\text{ und }}n\in \mathbb {Z} ,$
definiert.
# Rationaler Funktionenkörper/n Variablen/Definition/Begriff/Inhalt

Unter dem rationalen Funktionenkörper in $n$ Variablen versteht man den Quotientenkörper des Polynomringes $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ über einem Körper $K$.
# Reell abgeschlossener Körper/Definition/Begriff/Inhalt

Ein angeordneter Körper $K$ heißt reell-abgeschlossen,
wenn folgende Eigenschaften gelten.
* Jedes nichtnegative Element aus $K$ besitzt eine Quadratwurzel in $K$.
* Jedes Polynom $P\in K[X]$ mit ungeradem Grad besitzt in $K$ eine Nullstelle.
# Reell rationale Funktion/Definition/Begriff/Inhalt

Eine rationale Funktion ist eine Funktion $f$, die man als Quotient aus zwei Polynomen $P,Q\in \mathbb {R} [X]$ mit $Q\neq 0$ darstellen kann, also $f=P/Q$ (sie ist außerhalb der Nullstellen von $Q$ definiert).
# Reelle Folge/Limes inferior/Definition/Begriff/Inhalt

Es sei $H$ die Menge der Häufungspunkte der Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$. Dann nennt man
    $\operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left((x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\right)}=\inf \,{\left(H\right)}$
(eventuell $-\infty$) den Limes inferior der Folge.
# Reelle Zahlen/Folge/Limes und Konvergenz/Grenzwert/Definition/Begriff/Inhalt

Man sagt, dass die Folge den Limes $x$ besitzt, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Zu jedem positiven $\epsilon >0$, $\epsilon \in \mathbb {R}$, gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Abschätzung
    $\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon$
gilt.
# Reelle Zahlen/Potenzreihe/Definition/Begriff/Inhalt

Es sei ${\left(c_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge von reellen Zahlen und $x$ eine weitere reelle Zahl. Dann heißt die Reihe
    $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}$
die Potenzreihe in $x$ zu den Koeffizienten ${\left(c_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$.
# Reelle Zahlen/Rationale Cauchy-Folgen/Definition/Begriff/Inhalt

Der Restklassenring $C/N$ des Ringes $C$ der rationalen Cauchy-Folgen modulo des Ideals $N$ der Nullfolgen heißt Cauchy-Folgen-Modell der reellen Zahlen.
# Reelle Zahlen/Teilmenge/Funktion/Grenzwert/Definition/Begriff/Inhalt

Die reelle Zahl $b$ heißt Grenzwert von $f$ in $a$, wenn für jede Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $T$, die gegen $a$ konvergiert, auch die Bildfolge ${\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $b$ konvergiert.
# Reeller endlichdimensionaler Vektorraum/Orientierter Vektorraum/Definition/Begriff/Inhalt

Ein reeller Vektorraum $V$ heißt orientiert, wenn er endlichdimensional und auf ihm eine Orientierung erklärt ist.
# Reeller endlichdimensionaler Vektorraum/Orientierung als Äquivalenzklasse/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Orientierung auf $V$ ist eine Äquivalenzklasse von Basen von $V$ unter der Äquivalenzrelation, orientierungsgleich zu sein.
# Reeller Vektorraum/Vektorfeld/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Vektorfeld ist eine Abbildung
    $f\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$
wobei $I$ ein reelles Intervall ist.
# Reellwertige Funktion/Auf Menge/Maximum/Definition/Begriff/Inhalt

Man sagt, dass $f$ in $x\in M$ das Maximum annimmt, wenn
    $f(x)\geq f(x'){\text{ für alle }}x'\in M{\text{ gilt}}.$
# Registermaschine/Berechenbare Funktion/Mehrstellig/Definition/Begriff/Inhalt

Die Funktion
    $F\colon \mathbb {N} ^{k}\longrightarrow \mathbb {N}$
heißt $R$-berechenbar, wenn es ein Programm $P$ für eine Registermaschine gibt, die bei jeder Eingabe $(r_{1},\ldots ,r_{k})$ (in den ersten $k$ Registern) anhält und $F(r_{1},\ldots ,r_{k})$ als (einzige) Ausgabe besitzt.
# Registermaschine/Teilmenge der natürlichen Zahlen/Aufzählbarkeit/Definition/Begriff/Inhalt

Man sagt, dass $T$ $R$-aufzählbar ist, wenn es ein Programm $P$ für eine Registermaschine gibt, die bei Eingabe von $0$ nach und nach genau die Zahlen aus $T$ ausdruckt.
# Registermaschine/Teilmenge der natürlichen Zahlen/Entscheidbarkeit/Definition/Begriff/Inhalt

Die Teilmenge $T$ heißt Register-entscheidbar, wenn es ein Programm $P$ für eine Registermaschine gibt, die bei jeder Eingabe anhält und für die die Äquivalenz
    $n\in T{\text{ genau dann, wenn }}P(n){\text{ die Ausgabe }}0{\text{ besitzt}}$
gilt.
# Registermaschine/Zahlen/Befehle/Programm/Definition/Begriff/Inhalt

Die Befehle für eine Registermaschine sind (dabei bezeichnen $R_{i}$ Register und $B_{j}$ Befehlszeilen).
* $i+$ (erhöhe den Inhalt des Registers $R_{i}$ um $1$, d.h. um einen Strich).
* $i-$ (reduziere den Inhalt des Registers $R_{i}$ um $1$, d.h. ziehe einen Strich ab; wenn der Inhalt leer ist, so lasse ihn leer).
* $C(ij)$ (wenn das $i$-te Register leer ist, so gehe zum Befehl $B_{j}$, andernfalls zum nächsten Befehl).
* Drucke (drucke den Inhalt des ersten Registers).
* Halte an.
# Restklassengruppe/Repräsentant/Definition/Begriff/Inhalt

Die Quotientenmenge
    $G/H$
mit der eindeutig bestimmten Gruppenstruktur heißt Restklassengruppe von $G$ modulo $H$.
# Restklassenringe (Z)/Einheitengruppen/Eulersche Funktion/Definition/Begriff/Inhalt

Zu einer natürlichen Zahl $n$ bezeichnet ${\varphi (n)}$ die Anzahl der Elemente von $(\mathbb {Z} /(n))^{\times }$.
# Richtungsableitung/Punkt/Definition/Begriff/Inhalt

Unter der Richtungsableitung von $f$ in $P$ in Richtung $v$ versteht man den Grenzwert
    $\operatorname {lim} _{s\rightarrow 0,s\neq 0}\,{\frac {f(P+sv)-f(P)}{s}},$
falls dieser existiert.
# Richtungsableitung/R/n mal stetig differenzierbar/Jede Reihenfolge/Definition/Begriff/Inhalt

Die $n$-fache stetige Differenzierbarkeit liegt vor, wenn für jede Auswahl $v_{1},\ldots ,v_{n}$ von $n$ Vektoren aus $V$ die höhere Richtungsableitung
    $D_{v_{n}}(...D_{v_{2}}(D_{v_{1}}f)\ldots )$
in Richtung $v_{1},\ldots ,v_{n}$ existiert und stetig ist.
# Riemann integrierbar/Integralfunktion/Definition/Begriff/Inhalt

Die Funktion
    $I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \int _{a}^{x}f(t)\,dt,$
heißt die Integralfunktion zu $f$ zum Startpunkt $a$.
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/C^1/Skalarproduktfunktion/Definition/Begriff/Inhalt

Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit $M$ heißt riemannsche Mannigfaltigkeit, wenn auf jedem Tangentialraum $T_{P}M$, $P\in M$, ein Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle _{P}$ erklärt ist derart, dass für jede Karte
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
mit $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ die Funktionen (für $1\leq i,j\leq n$)
    $g_{ij}\colon V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,Q\longmapsto g_{ij}(Q)=\left\langle T(\alpha ^{-1})(e_{i}),T(\alpha ^{-1})(e_{j})\right\rangle _{\alpha ^{-1}(Q)},$
$C^{1}$-differenzierbar sind.
# Riemannsche Mannigfaltigkeit/Orientiert/Kanonische Volumenform/Definition/Begriff/Inhalt

Zu $P\in M$ sei $\omega _{P}$ diejenige alternierende Form auf $T_{P}M$ (bzw. das entsprechende Element aus $\bigwedge ^{n}T_{P}^{*}M$), die jeder die Orientierung repräsentierenden Orthonormalbasis den Wert $1$ zuordnet. Dann heißt die $n$-Differentialform
    $M\longrightarrow \bigwedge ^{n}T^{*}M,\,P\longmapsto \omega _{P},$
die kanonische Volumenform auf $M$.
# Ringtheorie/Einheitengruppe/Definition/Begriff/Inhalt

Die Einheitengruppe in $R$ ist die Teilmenge aller Einheiten in $R$.
# R^2/Kreislinie/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt die Menge
    ${\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\right\}}$
den Kreis mit dem Mittelpunkt $M$ und dem Radius $r$.
# Sigmaalgebra/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Teilmengensystem ${\mathcal {A}}$ auf $M$ heißt $\sigma$-Algebra, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.
* Es ist $M\in {\mathcal {A}}$.
* Mit $T\in {\mathcal {A}}$ gehört auch das Komplement $M\setminus T$ zu ${\mathcal {A}}$.
* Für jede abzählbare Familie $T_{i}\in {\mathcal {A}}$, $i\in I$, ist auch
    $\bigcup _{i\in I}T_{i}\in {\mathcal {A}}.$
# Spezielle Primzahlen/Sophie Germain Primzahlen/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Sophie-Germain-Primzahl ist eine Primzahl $p$ mit der Eigenschaft, dass auch $2p+1$ eine Primzahl ist.
# Stetig differenzierbar/K/Höher/Definition/Begriff/Inhalt

Man sagt, dass $f$ $n$-mal stetig differenzierbar ist, wenn $f$ n-mal differenzierbar ist und die n-te Ableitung $f^{(n)}$ stetig ist.
# Stetig differenzierbar/R/Definition/Begriff/Inhalt

Man sagt, dass $f$ stetig differenzierbar ist, wenn $f$ differenzierbar ist und die Ableitung $f'$ stetig ist.
# Stetige Funktion/K/Stetige Fortsetzung/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Abbildung
    ${\tilde {f}}\colon {\tilde {T}}\longrightarrow {\mathbb {K} }$
heißt eine stetige Fortsetzung von $f$, wenn ${\tilde {f}}$ stetig ist und ${\tilde {f}}(x)=f(x)$ für alle $x\in T$ gilt.
# Stetigkeit in einem Punkt/K/Allgemein/Definition/Begriff/Inhalt

Man sagt, dass $f$ stetig im Punkt $a$ ist, wenn es zu jedem $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ derart gibt, dass für alle $x$ mit $\vert {a-x}\vert \leq \delta$ die Abschätzung $\vert {f(a)-f(x)}\vert \leq \epsilon$ gilt.
# Teilbarkeitstheorie (N)/Gemeinsamer Teiler/Definition/Begriff/Inhalt

Eine natürliche Zahl $t$ heißt gemeinsamer Teiler der $a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn $t$ jedes $a_{i}$ teilt für $i=1,\ldots ,k$.
# Teilbarkeitstheorie (N)/Gemeinsamer Teiler/Ggt/Größerbeziehung/Definition/Begriff/Inhalt

Eine natürliche Zahl $g$ heißt größter gemeinsamer Teiler der $a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn $g$ ein gemeinsamer Teiler ist und wenn $g$ unter allen gemeinsamen Teilern der $a_{1},\ldots ,a_{k}$ der (bezüglich der Ordnungsrelation auf den natürlichen Zahlen) Größte ist.
# Teilbarkeitstheorie (N)/Gemeinsames Vielfaches/Definition/Begriff/Inhalt

Die natürliche Zahl $b$ heißt ein gemeinsames Vielfaches der $a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn $b$ ein Vielfaches von jedem $a_{i}$ ist, also von jedem $a_{i}$ geteilt wird.
# Teilbarkeitstheorie (N)/Gemeinsames Vielfaches/KgV/Größerbeziehung/Definition/Begriff/Inhalt

Die Zahl $b$ heißt das kleinste gemeinsame Vielfache der $a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn $b$ ein gemeinsames Vielfaches ist und unter allen gemeinsamen Vielfachen $\neq 0$ der $a_{1},\ldots ,a_{k}$ das Kleinste ist.
# Teilbarkeitstheorie (N)/Größter gemeinsamer Teiler/Definition/Begriff/Inhalt

Eine natürliche Zahl $g$ heißt größter gemeinsamer Teiler der $a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn $g$ ein gemeinsamer Teiler der $a_{i}$ ist und wenn jeder gemeinsame Teiler $t$ der $a_{i}$ dieses $g$ teilt
# Teilereigenschaften (Z)/Befreundete Zahlen/Definition/Begriff/Inhalt

Zwei verschiedene natürliche Zahlen $m$ und $n$ heißen befreundet, wenn $m$ gleich der Summe der echten Teiler von $n$ ist und umgekehrt.
# Teilmenge/R^n/Sternförmig/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ heißt sternförmig bezüglich eines Punktes $P\in T$, wenn für jeden Punkt $Q\in T$ die Verbindungsstrecke $sQ+(1-s)P$, $s\in [0,1]$, ganz in $T$ liegt.
# Term/Variablenmenge/Funktionssymbole/Grundmenge/Definition/Begriff/Inhalt

Die Bestandteile einer Grundtermmenge besteht aus den folgenden (untereinander disjunkten) Mengen.
* eine Variablenmenge $V$,
* eine Konstantenmenge $K$,
* zu jedem $n\in \mathbb {N} _{+}$ eine Menge $F_{n}$ von Funktionssymbolen.
# Term/Variablenmenge/Funktionssymbole/Grundmenge/Rekursiv definierte Termmenge/Definition/Begriff/Inhalt

Die Termmenge ist diejenige Teilmenge $T=T(G)$ der Wörter $A^{*}$ über dem Termalphabet $A=V\cup K\cup \bigcup _{n\in \mathbb {N} _{+}}F_{n}$, die durch die folgenden rekursiven Vorschriften festgelegt wird.
* Jede Variable $v\in V$ ist ein Term.
* Jede Konstante $c\in K$ ist ein Term.
* Für jedes $f\in F_{n}$ und $n$ Terme $t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}$ ist auch $ft_{1}t_{2}\ldots t_{n}$ ein Term.
# Theorie der Abbildungen/Abbildung/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Abbildung $F$ von $L$ nach $M$ ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge $L$ genau ein Element der Menge $M$ zugeordnet wird.
# Theorie/Erster Stufe/Ableitbar/Vollständig/Definition/Begriff/Inhalt

Die Theorie $T$ heißt vollständig, wenn für jeden Satz $\alpha \in L_{0}^{S}$ gilt $\alpha \in T$ oder $\neg \alpha \in T$.
# Topologie/Basis/Definition/Begriff/Inhalt

Ein System ${\mathcal {C}}$ von offenen Mengen in $X$ heißt Basis der Topologie, wenn man jede offene Menge in ${\mathcal {T}}$ als Vereinigung von offenen Mengen aus ${\mathcal {C}}$ erhalten kann.
# Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Familie ${\mathcal {T}}$ von Teilmengen von $X$ heißt Topologie auf $X$, wenn die folgenden Axiome erfüllt sind:
* Es ist $\emptyset \in {\mathcal {T}}$ und $X\in {\mathcal {T}}$.
* Sind $U\in {\mathcal {T}}$ und $V\in {\mathcal {T}}$, so ist auch $U\cap V\in {\mathcal {T}}$.
* Ist $I$ eine Indexmenge und $U_{i}\in {\mathcal {T}}$ für alle $i\in I$, so ist auch $\bigcup _{i\in I}U_{i}\in {\mathcal {T}}$.
# Topologie/Raum mit abzählbarer Basis/Definition/Begriff/Inhalt

Man sagt, dass $X$ eine abzählbare Basis besitzt, wenn es eine Basis der Topologie gibt, die nur aus abzählbar vielen offenen Mengen besteht.
# Topologische Grundbegriffe/Zusammenhängender Raum/Definition/Begriff/Inhalt

Ein topologischer Raum $X$ heißt zusammenhängend, wenn es in $X$ genau zwei Teilmengen gibt (nämlich $\emptyset$ und der Gesamtraum $X\neq \emptyset$), die sowohl offen als auch abgeschlossen sind.
# Topologischer Raum/Hausdorff/Definition/Begriff/Inhalt

Der topologische Raum $X$ heißt hausdorffsch, wenn es zu je zwei verschiedenen Punkten $x,y\in X$ zwei offene Mengen $U$ und $V$ gibt mit $x\in U,\,y\in V$ und $U\cap V=\emptyset$.
# Uneigentliches Integral/Randpunkt von Intervall/Definition/Begriff/Inhalt

Unter dem uneigentlichen Integral zu $f$ versteht man den Grenzwert
    $\operatorname {lim} _{x\rightarrow \infty }\,\int _{0}^{x}f(t)\,dt,$
falls dieser existiert.
# Ungerichteter Graph/Automorphismengruppe/Definition/Begriff/Inhalt

Zu einem Graphen $G$ nennt man die Gruppe aller Automorphismen
    $\varphi \colon G\longrightarrow G$
die Automorphismengruppe von $G$.
# Ungerichteter Graph/Eulerscher Kantenzug/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Kantenzug $e_{1},\ldots ,e_{m}$ in $G$ heißt eulersch, wenn in ihm jede Kante aus $E$ genau einmal vorkommt.
# Ungerichteter Graph/Komplementärer Graph/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt $(V,{\mathfrak {P}}_{2}\,(V)\setminus E)$ den komplementären Graphen zu $G$.
# Ungerichteter Graph/Umfang/Definition/Begriff/Inhalt

Der Umfang eines zyklischen Graphen $G$ ist die längste Länge eines Kreises in $G$.
# Vektorfeld/Gewöhnliche Differentialgleichung/Anfangswertproblem/Definition/Begriff/Inhalt

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, $U\subseteq V$ eine offene Menge und
    $f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$
ein Vektorfeld auf $U$. Es sei $(t_{0},w)\in I\times U$ gegeben. Dann nennt man
    $v'=f(t,v){\text{ und }}v(t_{0})=w$
das Anfangswertproblem zur gewöhnlichen Differentialgleichung $v'=f(t,v)$ mit der Anfangsbedingung $v(t_{0})=w$.
# Vektorfeld/Gewöhnliche Differentialgleichung/Lösung/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Abbildung
    $v\colon J\longrightarrow V,\,t\longmapsto v(t),$
auf einem offenen (Teil)Intervall $J\subseteq I$ heißt eine Lösung der Differentialgleichung, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.
* Es ist $v(t)\in U$ für alle $t\in J$.
* Die Abbildung $v$ ist differenzierbar.
* Es ist $v'(t)=f(t,v(t))$ für alle $t\in J$.
# Vektorfelder/Zeitabhängig/Lipschitz Bedingung/Definition/Begriff/Inhalt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, $I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, $U\subseteq V$ eine offene Menge und
    $f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$
ein Vektorfeld auf $U$. Man sagt, dass das Vektorfeld $f$ einer Lipschitz-Bedingung genügt, wenn es eine reelle Zahl $L\geq 0$ gibt mit
    $\Vert {f(t,u)-f(t,v)}\Vert \leq L\cdot \Vert {u-v}\Vert$
für alle $t\in I$ und $u,v\in U$.