OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Produkt von Kreisen/Exponentielle Parametrisierung/Zusammenhang in C/Horizontale Liftung/Aufgabe/Lösung

* Es ist
    $\Psi _{\ell ,w}(0)=\left(1,\,\ldots ,\,1,\,w\right)\,.$
* Es ist
    $\Psi _{\ell ,w}(2\pi )=\left(1,\,\ldots ,\,1,\,we^{2\pi {\mathrm {i} }z_{\ell }}\right)\,.$
* Es ist klar, dass eine Liftung vorliegt. Zeige, dass $\Psi _{\ell ,w}$ eine horizontale Liftung längs $\psi _{\ell }$ ist.
* Zeige, dass ${\mathbb {C} }$-linear ist.
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,w\longmapsto \Psi _{\ell ,w}(1),$
* Es sei eine stetig differenzierbare Kurve und $\psi \circ \varphi$ die zugehörige Kurve in ${\left(S^{1}\right)}^{n}$. Bestimme eine horizontale Liftung zu $\psi \circ \varphi$.
    $\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,u\longmapsto \left(\varphi _{1}(u),\,\ldots ,\,\varphi _{n}(u)\right)$
* Zu $\left(k_{1},\,\ldots ,\,k_{n}\right)\in \in \mathbb {Z} ^{n}$ sei und $\theta _{\left(k_{1},\,\ldots ,\,k_{n}\right),w}$ die zugehörige Liftung mit Zeige, dass ein Gruppenhomomorphismus ist.
    $\mathbb {R} \longrightarrow {\left(S^{1}\right)}^{n},\,t\longmapsto \left(e^{{\mathrm {i} }k_{1}t},\,\ldots ,\,e^{{\mathrm {i} }k_{n}t}\right),$
    $\theta _{\left(k_{1},\,\ldots ,\,k_{n}\right),w}(0)=w\,.$
    $\mathbb {Z} ^{n}\longrightarrow \operatorname {GL} _{1}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}\cong {\mathbb {C} }^{\times },\,\left(k_{1},\,\ldots ,\,k_{n}\right)\longmapsto {\left(w\mapsto \theta _{\left(k_{1},\,\ldots ,\,k_{n}\right),w}(1)\right)},$
# Offenes Intervall/Trivialer Zusammenhang/Basisschnitte/Christoffelsymbole/1/Aufgabe/Lösung

* Es ist stets positiv, daher sind die beiden Vektoren $f_{1}(t)$ und $f_{2}(t)$ zu jedem $t\in \mathbb {R}$ eine Basis.
    $\det {\begin{pmatrix}1+t^{2}&t^{3}\\t&1+t^{2}\end{pmatrix}}=1+2t^{2}+t^{4}-t^{4}=1+2t^{2}>0\,$
* Aus der Beziehung folgt also und
    ${\begin{pmatrix}f_{1}\\f_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1+t^{2}&t^{3}\\t&1+t^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}e_{1}\\e_{2}\end{pmatrix}}\,$
    ${\begin{pmatrix}e_{1}\\e_{2}\end{pmatrix}}={\frac {1}{1+2t^{2}}}{\begin{pmatrix}1+t^{2}&-t^{3}\\-t&1+t^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}f_{1}\\f_{2}\end{pmatrix}}\,,$
    $e_{1}={\frac {1+t^{2}}{1+2t^{2}}}f_{1}-{\frac {t^{3}}{1+2t^{2}}}f_{2}\,$
    $e_{2}=-{\frac {t}{1+2t^{2}}}f_{1}+{\frac {1+t^{2}}{1+2t^{2}}}f_{2}\,.$
* Für den trivialen Zusammenhang ist Somit ist und Die Koeffizientenfunktionen sind die Christoffelsymbole.
    $\nabla _{\partial }(f)=\partial f\,.$
    ${\begin{aligned}\nabla _{\partial }(f_{1})&=\nabla _{\partial }{\left({\left(1+t^{2}\right)}e_{1}+t^{3}e_{2}\right)}\\&=2te_{1}+3t^{2}e_{2}\\&=2t{\left({\frac {1+t^{2}}{1+2t^{2}}}f_{1}-{\frac {t^{3}}{1+2t^{2}}}f_{2}\right)}+3t^{2}{\left(-{\frac {t}{1+2t^{2}}}f_{1}+{\frac {1+t^{2}}{1+2t^{2}}}f_{2}\right)}\\&={\left({\frac {2t+2t^{3}}{1+2t^{2}}}-{\frac {3t^{3}}{1+2t^{2}}}\right)}f_{1}+{\left(-{\frac {t^{3}}{1+2t^{2}}}+{\frac {3t^{2}+3t^{4}}{1+2t^{2}}}\right)}f_{2}\\&={\frac {2t-t^{3}}{1+2t^{2}}}f_{1}+{\frac {3t^{2}-t^{3}+3t^{4}}{1+2t^{2}}}f_{2}\end{aligned}}$
    ${\begin{aligned}\nabla _{\partial }(f_{2})&=\nabla _{\partial }{\left(te_{1}+{\left(1+t^{2}\right)}e_{2}\right)}\\&=e_{1}+2te_{2}\\&={\frac {1+t^{2}}{1+2t^{2}}}f_{1}-{\frac {t^{3}}{1+2t^{2}}}f_{2}+2t{\left(-{\frac {t}{1+2t^{2}}}f_{1}+{\frac {1+t^{2}}{1+2t^{2}}}f_{2}\right)}\\&={\left({\frac {1+t^{2}}{1+2t^{2}}}-{\frac {2t^{2}}{1+2t^{2}}}\right)}f_{1}+{\left(-{\frac {t^{3}}{1+2t^{2}}}+{\frac {2t+2t^{3}}{1+2t^{2}}}\right)}f_{2}\\&={\frac {1-t^{2}}{1+2t^{2}}}f_{1}+{\frac {2t+t^{3}}{1+2t^{2}}}f_{2}.\end{aligned}}$
# Zylinder/Geodätische Differentialgleichung/Aufgabe/Lösung

* Wir betrachten die isometrische (inverse) Karte Dabei ist $\varphi (0,3)=(1,0,3)$. Die Christoffelsymbole sind trivial, daher ist die geodätische Differentialgleichung gleich Die angegebenen Bedingungen bedeuten auf der Karte und
    $\varphi \colon ]-\pi ,\pi [\times \mathbb {R} \longrightarrow S^{1}\setminus \{(-1,0)\}\times \mathbb {R} ,\,(t,v)\longmapsto \left(\cos t,\,\sin t,\,v\right).$
    $\gamma ^{\prime \prime }=0\,.$
    $\gamma (0)=(0,3)\,$
    $\gamma '(0)=(1,-4)\,.$
* Eine Lösung in der Karte ist
    $\gamma (t)=(0,3)+t(1,-4)=(t,3-4t)\,.$
* Eine geodätische Kurve mit den Anfangsbedingungen ist daher
    $\psi (t)=\varphi (\gamma (t))=\left(\cos t,\,\sin t,\,3-4t\right)\,.$
# Ellipse/Gaußabbildung/Bijektiv/Aufgabe/Lösung

Als Einheitsnormalenfeld können wir vom Gradienten der beschreibenden Funktion, also von
    $G(x,y)={\begin{pmatrix}2\alpha x\\2\beta y\end{pmatrix}}\,$
ausgehen, durch Normalisierung erhalten wir
    $N(x,y)={\frac {1}{\sqrt {\alpha ^{2}x^{2}+\beta ^{2}y^{2}}}}{\begin{pmatrix}\alpha x\\\beta y\end{pmatrix}}\,.$
Die Gauß-Abbildung ist also
    $\varphi \colon Y={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}\mid \alpha x^{2}+\beta y^{2}=1\right\}}\longrightarrow S^{1},\,{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\longmapsto {\frac {1}{\sqrt {\alpha ^{2}x^{2}+\beta ^{2}y^{2}}}}{\begin{pmatrix}\alpha x\\\beta y\end{pmatrix}}.$
Fakt. Zum Nachweis der Injektivität betrachten wir die Bedingung
    ${\frac {1}{\sqrt {\alpha ^{2}x^{2}+\beta ^{2}y^{2}}}}{\begin{pmatrix}\alpha x\\\beta y\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {\alpha ^{2}z^{2}+\beta ^{2}w^{2}}}}{\begin{pmatrix}\alpha z\\\beta w\end{pmatrix}}\,.$
Das bedeutet, dass ${\begin{pmatrix}\alpha x\\\beta y\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}\alpha z\\\beta w\end{pmatrix}}$ linear abhängig sind mit einem positiven Faktor $c$ und dass ihre Normierungen gleich sind. Dann ist aber
    ${\begin{pmatrix}\alpha x\\\beta y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\alpha z\\\beta w\end{pmatrix}}\,$
und daher $x=z$ und
$y=w$
# Eingebetteter Torus/Einheitsnormalenfeld/Weingartenabbildung/1/Aufgabe/Lösung

* Es ist und $T=h^{-1}(r^{2})$. Der Gradient von $h$ ist Das Einheitsnormalenfeld ist daher
    $h(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-2{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}R+z^{2}+R^{2}\,$
    $\operatorname {Grad} \,h=2{\begin{pmatrix}x-xR{\left(x^{2}+y^{2}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}\\y-yR{\left(x^{2}+y^{2}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}\\z\end{pmatrix}}\,.$
    $N(x,y,z)={\frac {1}{\sqrt {{\left(x-xR{\left(x^{2}+y^{2}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}\right)}^{2}+{\left(y-yR{\left(x^{2}+y^{2}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}\right)}^{2}+z^{2}}}}{\begin{pmatrix}x-xR{\left(x^{2}+y^{2}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}\\y-yR{\left(x^{2}+y^{2}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}\\z\end{pmatrix}}\,.$
* Die zweite partielle Ableitung ist Im angegeben Punkt ist dies
    ${\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,{\frac {\partial }{\partial y}}N\\&={\frac {1}{\sqrt {{\left(-xR{\left(x^{2}+y^{2}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}\right)}^{2}+{\left(y-yR{\left(x^{2}+y^{2}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}\right)}^{2}+z^{2}}}}{\begin{pmatrix}xyR{\left(x^{2}+y^{2}\right)}^{-{\frac {3}{2}}}\\1-R{\left(x^{2}+y^{2}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}+y^{2}R{\left(x^{2}+y^{2}\right)}^{-{\frac {3}{2}}}\\0\end{pmatrix}}\\&=+{\frac {2{\left(x-xR{\left(x^{2}+y^{2}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}\right)}{\left(+xyR{\left(x^{2}+y^{2}\right)}^{-{\frac {3}{2}}}\right)}+2{\left(y-yR{\left(x^{2}+y^{2}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}\right)}{\left(1-R{\left(x^{2}+y^{2}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}+y^{2}R{\left(x^{2}+y^{2}\right)}^{\frac {3}{2}}\right)}}{{\left({\left(x-xR{\left(x^{2}+y^{2}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}\right)}^{2}+{\left(y-yR{\left(x^{2}+y^{2}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}\right)}^{2}+z^{2}\right)}^{3/2}}}{\begin{pmatrix}x-xR{\left(x^{2}+y^{2}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}\\y-yR{\left(x^{2}+y^{2}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}\\z\end{pmatrix}}.\,\end{aligned}}$
# Eingebetteter Torus/Drehung/Isometrie/Aufgabe/Lösung

Die Abbildung ist auf
    $\mathbb {R} ^{3}=\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} \,$
das Produkt einer ebenen Drehung mit der Identität. Daher liegt eine euklidische Isometrie des $\mathbb {R} ^{3}$ vor. Es sei $(x,y,z)\in T$ und
    $\Psi _{\alpha }(x,y,z)=(u,v,z)\,.$
Dann ist
    ${\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,{\left({\sqrt {u^{2}+v^{2}}}-R\right)}^{2}+z^{2}\\&={\left({\sqrt {{\left(x\cos \alpha -y\sin \alpha \right)}^{2}+{\left(x\sin \alpha +y\cos \alpha \right)}^{2}}}-R\right)}^{2}+z^{2}\\&={\left({\sqrt {x^{2}\cos ^{2}\alpha +y^{2}\sin ^{2}\alpha -2xy\cos \alpha \sin \alpha +x^{2}\sin ^{2}\alpha +y^{2}\cos ^{2}\alpha +2xy\cos \alpha \sin \alpha }}-R\right)}^{2}+z^{2}\\&={\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-R\right)}^{2}+z^{2}\\&=r^{2},\,\end{aligned}}$
also $\Psi _{\alpha }(x,y,z)\in T$. Es ist also
    $\Psi _{\alpha }\colon T\longrightarrow T$
$T$
# Eingebetteter Torus/Einheitsnormalenfeld/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $h(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-2{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}R+z^{2}+R^{2}\,$
und $T=h^{-1}(r^{2})$. Der Gradient von $h$ ist
    $\operatorname {Grad} \,h=2{\begin{pmatrix}x-xR{\left(x^{2}+y^{2}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}\\y-yR{\left(x^{2}+y^{2}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}\\z\end{pmatrix}}\,.$
Das Einheitsnormalenfeld ist daher
    $N(x,y,z)={\frac {1}{\sqrt {{\left(x-xR{\left(x^{2}+y^{2}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}\right)}^{2}+{\left(y-yR{\left(x^{2}+y^{2}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}\right)}^{2}+z^{2}}}}{\begin{pmatrix}x-xR{\left(x^{2}+y^{2}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}\\y-yR{\left(x^{2}+y^{2}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}\\z\end{pmatrix}}\,.$
# Rationale Funktion/K/Differenzierbar/Fakt

Es seien $P,Q\in {\mathbb {K} }[X]$ Polynome und es sei $U:={\left\{x\in {\mathbb {K} }\mid Q(x)\neq 0\right\}}$.
Dann ist die rationale Funktion
# Rationale Funktion/K/Körper/Eigenschaften/Fakt

Es sei ${\mathbb {K} }(X)$ die Menge der rationalen Funktionen über ${\mathbb {K} }$. Dann gelten folgende Eigenschaften.
# Komplexe Potenzreihen/Nullstellen/Häufungspunkt/Null/Fakt

Es sei $f=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ eine Potenzreihe mit positivem Konvergenzradius und derart, dass die Nullstellen von $f$ einen Häufungspunkt innerhalb der offenen Konvergenzscheibe besitzen.
Dann liegt die Nullreihe vor.
# Gebiet/Holomorphe Funktion/Mittelwerteigenschaft/Fakt

Es sei $B=B\left(a,r\right)\subseteq {\mathbb {C} }$ ein abgeschlossener Ball und sei $f\colon B\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine stetige Funktion, die in $U{\left(a,r\right)}$ holomorph sei.
Dann gilt für den Weg
# Komplexe Zahlen/Reell-differenzierbare Funktionen/Holomorphe Ableitung/Rechenregeln/Fakt

Es sei $G\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und seien $f,g\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ reell total differenzierbare Abbildungen. Dann erfüllt die holomorphe Ableitung ${\frac {\partial }{\partial z}}$ folgende Regeln.
# Vier natürliche Zahlen/Hintereinander/Produkt/Teilbar durch 8/Aufgabe/Lösung

Bei $n$ gerade ist
    $n=2k\,$
mit einem $k\in \mathbb {N}$ und daher
    $n+2=2k+2=2(k+1)\,.$
Das angegebene Produkt hat also die Form
    $n(n+1)(n+2)(n+3)=2\cdot k\cdot 2(k+1)(n+1)(n+3)=4k(k+1)(n+1)(n+3)\,.$
Bei $k$ gerade ist $4k$ durch $8$ teilbar und damit ist auch das Gesamtprodukt durch $8$ teilbar, bei $k$ ungerade ist $k+1$ gerade und man kann entsprechend schließen.
Bei $n$ ungerade ist $n+1$ gerade und daher
    $n+1=2k\,$
mit einem $k\in \mathbb {N}$. In diesem Fall ist
    $n+3=n+1+2=2k+2=2(k+1)\,$
# Bernoullische Ungleichung/Exponent ist 2,3,4/Alle x/Aufgabe/Lösung

* Es ist da Quadrate positiv sind.
    $(1+x)^{2}=1+2x+x^{2}\geq 1+2x\,,$
* Es sei $x=-4$. Dann ist einerseits und andererseits was größer ist.
    $(1+x)^{3}=(1-4)^{3}=(-3)^{3}=-27\,$
    $1+3x=1+3(-4)=-11\,,$
* Es ist nach dem binomischen Lehrsatz und es ist zu zeigen, dass dies $\geq 1+4x$ ist. Dies ist äquivalent zur Abschätzung Wir können den Faktor vorziehen und daher ist dies äquivalent zu Wegen ist dies erfüllt.
    $(1+x)^{4}=1+4x+6x^{2}+4x^{3}+x^{4}\,,$
    $6x^{2}+4x^{3}+x^{4}\geq 0\,.$
    $x^{2}\geq 0\,$
    $6+4x+x^{2}\geq 0\,.$
    $x^{2}+4x+6=(x+2)^{2}-4+6=(x+2)^{2}+2\geq 0\,$
# Termvereinfachung/Bruch aus Quadratwurzel hoch Quadratwurzel/1/Aufgabe/Lösung

Es ist ${\sqrt {8}}=2{\sqrt {2}}$. Daher ist unter Verwendung der Potenzgesetze (siehe Fakt)
    ${\frac {{\sqrt {8}}^{\sqrt {2}}}{{\sqrt {2}}^{\sqrt {8}}}}={\frac {{\left(2{\sqrt {2}}\right)}^{\sqrt {2}}}{{\sqrt {2}}^{\left(2{\sqrt {2}}\right)}}}={\frac {2^{\sqrt {2}}{\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}{{\left({\sqrt {2}}^{2}\right)}^{\sqrt {2}}}}={\frac {2^{\sqrt {2}}{\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}{2^{\sqrt {2}}}}=2^{\sqrt {2}}\,.$
# Komplexe Zahlen/Reell-differenzierbare Funktionen/Holomorphe Ableitung/Quotientenregel/Fakt

Es sei $G\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und seien $f,g\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ reell total differenzierbare Abbildungen. Dann erfüllt die holomorphe Ableitung die Quotientenregel
    ${\frac {\partial {\frac {f}{g}}}{\partial z}}={\frac {g{\frac {\partial f}{\partial z}}-f{\frac {\partial g}{\partial z}}}{g^{2}}}\,$
auf dem nullstellenfreien Ort zu $g$.
# Komplexe Zahlen/Reell-differenzierbare Funktionen/Antiholomorphe Ableitung/Produktregel/Fakt

Es sei $G\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und seien $f,g\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ reell total differenzierbare Abbildungen. Dann erfüllt die antiholomorphe Ableitung ${\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}$ die Produktregel
    ${\frac {\partial (fg)}{\partial {\overline {z}}}}=f{\frac {\partial g}{\partial {\overline {z}}}}+g{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}\,.$
# Holomorphe Funktion/Ableitung nullstellenfrei/Offen/Fakt

Es sei $U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge und $f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion mit $f'(P)\neq 0$ für alle $P\in U$.
Dann ist $f$ eine offene Abbildung.
# Komplexe Zahl/Berechnung der Quadratwurzel/Explizit für b nichtnegativ/Aufgabe

Bestätige, dass bei $b\geq 0$ die Zahl
    $u={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\left({\sqrt {\vert {z}\vert +a}}+{\mathrm {i} }{\sqrt {\vert {z}\vert -a}}\right)}\,$
eine Quadratwurzel der komplexen Zahl $z=a+b{\mathrm {i} }$ ist.
# Komplexe Potenzreihe/Nullreihe/Offen und abgeschlossen/Aufgabe/Lösung

Es sei $f$ die durch die Potenzreihe gegebene Funktion auf $U{\left(0,R\right)}$. Wir betrachten die Menge
    $N={\left\{w\in U{\left(0,R\right)}\mid {\text{ die umentwickelte Potenzreihe um }}w{\text{ ist die Nullreihe}}\right\}}\,.$
Nach Voraussetzung gehört $b$ zu $N$, die Menge $N$ ist also nicht leer. Die Menge $N$ ist offen: Wenn $w\in N$ ist, und also die umentwickelte Reihe $\sum a_{n}(z-w)^{n}$ auf $U{\left(w,r\right)}$ die Nullreihe ist, so gilt dies auch für alle Punkte $w'\in U{\left(w,r\right)}$. Die Menge $N$ ist aber auch abgeschlossen. Es sei $w_{n}$ eine Folge in $N$, die gegen $w\in U{\left(0,R\right)}$ konvergiere. Da die Potenzreihen mit Entwicklungspunkt $w_{n}$ die Nullreihen sind, ist insbesondere $f(w_{n})=0$. Für die Potenzreihe mit Entwicklungspunkt $w$ ergibt sich also, dass der Entwicklungspunkt ein Häufungspunkt der Nullstellen ist. Daraus folgt nach Fakt,
$N$
$N$
$U{\left(0,R\right)}$
# Komplexe Potenzreihen/Nullstellen/Häufungspunkt ist Entwicklungspunkt/Nullreihe/Fakt

Es sei $f=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ eine Potenzreihe mit positivem Konvergenzradius und derart, dass der Entwicklungspunkt $0$ ein Häufungspunkt der Nullstellen von $f$ ist.
Dann liegt die Nullreihe vor.
# 1-Form/K/Vektorräume/Koordinatendarstellung/Fakt

Es seien $V,W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume, sei $G\subseteq V$ eine offene Teilmenge. Es seien $x_{1},\ldots ,x_{n}$ die Koordinaten zu einer fixierten Basis auf $V$ mit den zugehörigen Differentialformen $dx_{i}$.
Dann lässt sich jede $W$-wertige $1$-Form $\omega$ auf $G$ eindeutig in der Form
# Komplexe Invertierungsfunktion/Potenzreihe/Taylorentwicklung/Aufgabe/Lösung

Die $n$-te Ableitung der Funktion $f(z)=z^{-1}$ ist
    $f^{(n)}(z)=(-1)^{n}n!z^{-n-1}\,.$
Es ist also
    $f^{(n)}(c)=(-1)^{n}n!c^{-n-1}\,.$
Der $n$-te Koeffizient der Potenzreihe mit Entwicklungspunkt $c$ ist also gleich $(-1)^{n}c^{-n-1}$, und die Potenzreihe ist somit gleich
    $\sum _{n=0}^{\infty }(-1)c^{-n-1}(z-c)^{n}.$
# Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Wegintegral/Umparametrisierung/Fakt

Es seien $V,W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume, $G\subseteq V$ eine offene Menge und $\omega \in {\mathcal {E}}^(G,W)$ eine messbare $W$-wertige Differentialform. Es sei
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow G$
eine stetig differenzierbare Kurve. Es sei
    $g\colon [c,d]\longrightarrow [a,b]$
eine bijektive, monoton wachsende, stetig differenzierbare Funktion und sei ${\tilde {\gamma }}=\gamma \circ g$.
Dann gilt
# Kubische Körpererweiterung/Q/Dritte Wurzel von 7/Rechnung/1/Aufgabe

Wir betrachten den Unterring
    $L={\left\{a+b\cdot 7^{1/3}+c\cdot 7^{2/3}\mid a,b,c\in \mathbb {Q} \right\}}\subseteq \mathbb {R} \,.$
Berechne
    ${\left(2-3\cdot 7^{1/3}+4\cdot 7^{2/3}\right)}{\left(1+{\frac {1}{2}}\cdot 7^{1/3}-5\cdot 7^{2/3}\right)}.$
Zeige dabei insbesondere, dass das Ergebnis wieder zu $L$ gehört.
# Algebraerweiterung über Körper/Minimalpolynom und Einsetzung/Fakt/Beweis

Wir betrachten den kanonischen Einsetzungshomorphismus
    $K[X]\longrightarrow A,\,X\longmapsto f.$
Dessen Kern ist nach Fakt ein Ideal und nach Fakt ein Hauptideal, sagen wir ${\mathfrak {a}}=(F)$, wobei wir $F$ als normiert annehmen dürfen (im nicht-algebraischen Fall liegt das Nullideal vor und die Aussage ist trivialerweise richtig). Das Minimalpolynom $P$ gehört zu ${\mathfrak {a}}$. Andererseits ist der Grad von $F$ größer oder gleich dem Grad von $P$, da ja dessen Grad minimal gewählt ist. Daher muss der Grad gleich sein und somit ist $P=F$, da beide normiert sind.
# Körpererweiterung/Vektorraum/Fakt

Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung.
Dann ist $L$ in natürlicher Weise ein $K$-Vektorraum.
# Natürliche Zahl/Zehnersystem/Größenvergleich/Fakt/Beweis2

Bei
    $k>\ell \,$
ist nach Fakt
    $m\geq 10^{\ell }>n\,.$
Sei also $k=\ell$. Es sei $s$ die größte Stelle, an der die Ziffern verschieden sind, d.h. es sei
    $a_{k-1}=b_{k-1},\ldots ,a_{s+1}=b_{s+1},a_{s}\neq b_{s}.$
Aufgrund der Verträglichkeit der Ordnungsbeziehung mit der Addition können wir
    $a_{k-1}\cdot 10^{k-1}+a_{k-2}\cdot 10^{k-2}+\cdots +a_{s+1}\cdot 10^{s+1}$
beidseitig abziehen, d.h. wir können annehmen, dass $k=\ell$ und $a_{k-1}\neq b_{k-1}$ ist und wir müssen zeigen, dass
    $m>n\,$
genau dann gilt, wenn
    $a_{k-1}>b_{k-1}\,$
ist. Hierbei müssen wir wegen der Symmetrie der Situation nur die Rückrichtung zeigen. Es ist
    ${\begin{aligned}m&=a_{k-1}\cdot 10^{k-1}+a_{k-2}\cdot 10^{k-2}+\cdots +a_{1}\cdot 10+a_{0}\\&\geq a_{k-1}\cdot 10^{k-1}\\&\geq {\left(b_{k-1}+1\right)}\cdot 10^{k-1}\\&=b_{k-1}\cdot 10^{k-1}+10^{k-1}\\&>b_{k-1}\cdot 10^{k-1}+b_{k-2}\cdot 10^{k-2}+\cdots +b_{1}\cdot 10+b_{0}\\&=n,\end{aligned}}$
wobei wir im vorletzten Schritt wieder Fakt verwendet haben.
# Restklassenring (Z)/Einheitengruppe/p ist zwei/Nicht zyklisch/Fakt/Beweis2

Bei $r=3$ ist dies eine direkte Berechnung. Generell ist für $r\geq 3$ die Abbildung
    ${\left(\mathbb {Z} /(2^{r})\right)}^{\times }\longrightarrow {\left(\mathbb {Z} /(8)\right)}^{\times }$
surjektiv (da genau die ungeraden Elemente die Einheiten sind). Da eine Restklassengruppe einer zyklischen Gruppe wieder zyklisch ist, folgt, dass ${\left(\mathbb {Z} /(2^{r})\right)}^{\times }$ nicht zyklisch sein kann.
# Holomorphe Funktion/Wert nicht 0/Wurzeln/Fakt/Beweis

Wir betrachten die holomorphe Funktion
    $\varphi \colon U\times {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(z,w)\longmapsto f(z)-w^{k},$
in zwei Variablen, es sei
$Q\in {\mathbb {C} }$ ein Punkt mit $Q^{k}=f(P)$. Es ist $\varphi (P,Q)=0$. Die Abbildung $\varphi$ besitzt die partiellen Ableitungen $f'(z)$ und $kw^{k-1}$. Im Punkt $(P,Q)$ ist definitiv die zweite partielle Ableitung $\neq 0$, daher ist das totale Differential in diesem Punkt surjektiv und man kann (eine explizite Version von) Fakt anwenden. D.h. es gibt eine auf einer offenen Menge $V\subseteq {\mathbb {C} }$ definierte holomorphe Funktion
    $V\longrightarrow {\mathbb {C} }^{2},\,z\longmapsto (z,h(z)),$
die auf der Faser von $\varphi$ über $0$ liegt und $h(P)=Q$ erfüllt. Damit ist
    $\varphi (z,h(z))=f(z)-h(z)^{n}=0\,,$
also $h(z)^{n}=f(z)$ für alle $z\in V$.
# Polynom/C/Monom in z und z konjugiert/Ableitung/Aufgabe

Bestimme die Ableitungen ${\frac {\partial }{\partial z}}$ und ${\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}$ von $f(z)=z^{a}{\overline {z}}^{b}$.
# Riemannsche Fläche/Wurzelfläche zur Identität/Aufgabe

Zeige, dass die Wurzelfläche zu $f(z)=z$ im Sinne von Fakt in natürlicher Bijektion mit ${\mathbb {C} }$ selbst steht, wobei der Projektion die Quadratabbildung entspricht.
# Potenzabbildung/C/Lokaler Exponent/Aufgabe

Bestimme den lokalen Exponenten im Sinne von Fakt der Funktion
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{k},$
in jedem Punkt $P\in {\mathbb {C} }$.
# Polynom/C/Ableitung faktorisiert/Lokaler Exponent/Aufgabe

Bestimme den lokalen Exponenten eines Polynoms $f$, dessen Ableitung durch
    $f'(z)={\left(z-a_{1}\right)}^{r_{1}}\cdots {\left(z-a_{m}\right)}^{r_{m}}\,$
(mit verschiedenen $a_{i}$) gegeben ist, in jedem Punkt $P\in {\mathbb {C} }$.
# Komplexe Zahlen/Polynom/Identität/Abbildung auf projektiver Gerade/Aufgabe

Zeige, dass das identische Polynom $f(z)=z$ im Sinne von Fakt zur Identität auf ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ führt.
# Komplexe Zahlen/Polynom/Potenz/Abbildung auf projektiver Gerade/Aufgabe

Zeige, dass für eine Potenzierung $f(z)=z^{k}$ die zugehörige holomorphe Fortsetzung im Sinne von Fakt auf der zweiten Karte ebenfalls die $k$-te Potenzierung ist.
# Komplexe Zahlen/Polynom/Quadrat/Abbildung auf projektiver Gerade/Vorstellung/Aufgabe

Illustriere die Abbildung $f(z)=z^{2}$ als Abbildung im Sinne von Fakt von der Sphäre $S^{2}$ in die Sphäre.
# Fakultätsfunktion/Reell/Funktionalgleichung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise die Funktionalgleichung der Fakultätsfunktion $\operatorname {Fak} \,(x)$ für $x>0$.
# Mehrere Variablen/Taylor-Formel/Abschätzung auf Ballumgebung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise die Taylor-Formel für eine beliebig oft differenzierbare Funktion
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$
in einem Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n}$.
# Schlange/Durchschlängeln/Differenzierbar/Aufgabe

Eine Schlange ist im ausgestreckten Ruhezustand einen Meter lang und ziemlich dünn, sie wird durch ihre Länge $[0,1]$ (gemessen vom Kopf bis zum Schlangenende) parametrisiert. Die Schlange schlängelt sich im Zeitintervall $[a,b]$ über den Boden. Diese Bewegung wird durch eine differenzierbare Abbildung
    $\varphi \colon [0,1]\times [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(s,t)\longmapsto \varphi (s,t),$
beschrieben, dabei bezeichnet $\varphi (s,t)$ den Ortspunkt, wo sich zum Zeitpunkt $t$ der Schlangenpunkt $s$ befindet.
* Welche Signifikanz besitzt die Abbildung
    $[a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \varphi (0,t)?$
* Welche Signifikanz besitzt die Abbildung zu einem festen Zeitpunkt $c\in [a,b]$?
    $[0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,s\longmapsto \varphi (s,c),$
* Welche Signifikanz besitzt die Bedingung für ein (für alle) $c\in [a,b]$.
    $\int _{0}^{1}\Vert {{\frac {\partial \varphi }{\partial s}}(s,c)ds}\Vert =1\,$
* Welche Signifikanz besitzt die Bedingung für alle $r\in [0,1]$ und alle $c\in [a,b]$?
    $\int _{0}^{r}\Vert {{\frac {\partial \varphi }{\partial s}}(s,c)ds}\Vert =r\,$
# (x,y)' ist (x^2-ty,txy)/Polygonzugverfahren/Beispiel/Hohe Berechnung/Computer/2/Aufgabe

a) Man schreibe ein Computerprogramm, das zu dem Vektorfeld aus Beispiel zu einem Startzeitpunkt $t_{0}$, einem Startpunkt $P_{0}={\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}$ und einer vorgegebenen Schrittweite $s>0$ die approximierenden Punkte $P_{n}$ berechnet.
b) Berechne mit diesem Programm die Punkte $P_{n}$ für
* $t_{0}=0$, $P_{0}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$, $s={\frac {1}{10}}$, $n=0,1,2,3,4,5,10$.
* $t_{0}=0$, $P_{0}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$, $s={\frac {1}{100}}$, $n=100$.
* $t_{0}=0$, $P_{0}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$, $s={\frac {1}{1000}}$, $n=1000$.
* $t_{0}=0$, $P_{0}={\begin{pmatrix}0,999\\1,001\end{pmatrix}}$, $s={\frac {1}{1000}}$, $n=1000$.
* $t_{0}=0$, $P_{0}={\begin{pmatrix}0,99\\1,01\end{pmatrix}}$, $s={\frac {1}{1000}}$, $n=1000$.
* $t_{0}=0$, $P_{0}={\begin{pmatrix}0,9\\1,1\end{pmatrix}}$, $s={\frac {1}{1000}}$, $n=1000$.
* $t_{0}=-4$, $P_{0}={\begin{pmatrix}-3\\5\end{pmatrix}}$, $s={\frac {1}{10}}$, $n=100$.
* $t_{0}=0$, $P_{0}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$, $s={\frac {1}{1000}}$, $n=1000$.