OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# MDLUL/gewöhnlichen Differentialgleichung

Start=gewöhnlichen Differentialgleichung
Siehe=Gewöhnliche Differentialgleichung MDLUL/Gewöhnliche Differentialgleichung Ziel=Gewöhnliche Differentialgleichung/1/Definition
# MDLUL/gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen

Start=gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen
Siehe=Gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen MDLUL/Gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen Ziel=Gewöhnliche Differentialgleichung/Getrennte Variablen/Definition
# MDLUL/gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung

Start=gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung
Ziel=Differentialgleichungen_höherer_Ordnung/Definition
# MDLUL/gewöhnliche Differentialgleichungen

Start=gewöhnliche Differentialgleichungen
Siehe=Gewöhnliche Differentialgleichung MDLUL/Gewöhnliche Differentialgleichung Ziel=Gewöhnliche Differentialgleichung/1/Definition
# MDLUL/gewöhnliche Differentialgleichung (System)

Start=gewöhnliche Differentialgleichung (System)
Ziel=Vektorfeld/Gewöhnliche_Differentialgleichung/Definition
# MDLUL/gewöhnliche Differentialgleichungssystem zweiter Ordnung

Start=gewöhnliche Differentialgleichungssystem zweiter Ordnung
Siehe=gewöhnliches Differentialgleichungssystem zweiter Ordnung MDLUL/gewöhnliches Differentialgleichungssystem zweiter Ordnung Ziel=Vektorfeld/Gewöhnliche Differentialgleichung/Definition
# MDLUL/gewöhnliche Differentialgleichung höherer Ordnung

Start=gewöhnliche Differentialgleichung höherer Ordnung
Ziel=Differentialgleichungen_höherer_Ordnung/Definition
# MDLUL/gewöhnlichen Differentialgleichung (1)

Start=gewöhnlichen Differentialgleichung (1)
Siehe=gewöhnliche Differentialgleichung (1) MDLUL/gewöhnliche Differentialgleichung (1) Ziel=Gewöhnliche Differentialgleichung/1/Definition
# MDLUL/gewöhnlichen Differentialgleichung (System)

Start=gewöhnlichen Differentialgleichung (System)
Siehe=gewöhnliche Differentialgleichung (System) MDLUL/gewöhnliche Differentialgleichung (System) Ziel=Vektorfeld/Gewöhnliche_Differentialgleichung/Definition
# MDLUL/gewöhnliche Potenz (Ideal)

Start=gewöhnliche Potenz (Ideal)
Ziel=Idealoperationen/Idealprodukt/Definition
# MDLUL/affin-lineare

Start=affin-lineare
Siehe=Affin-linear MDLUL/Affin-linear Ziel=Vektorraum/Affin-lineare Abbildung/Definition
# MDLUL/affin-lineare Approximation

Start=affin-lineare Approximation
Ziel=Differenzierbarkeit/Vektorraum/K/Lineare_Approximation/Definition
# MDLUL/affin-lineare Kurve

Start=affin-lineare Kurve
Ziel=Vektorraum/Affin-lineare Abbildung/Definition
# MDLUL/affin-lineare Variablentransformation

Start=affin-lineare Variablentransformation
Ziel=Affiner Raum/Lineare Variablentransformation/Definition
# MDLUL/affin-lineare Äquivalenz

Start=affin-lineare Äquivalenz
Ziel=Affin-algebraische Mengen/Affin-linear äquivalent/Definition
# MDLUL/affin-lineare Funktionen

Start=affin-lineare Funktionen
Siehe=Affin-lineare Funktion MDLUL/Affin-lineare Funktion Ziel=Vektorraum/Affin-lineare Abbildung/Definition
# MDLUL/affin-linear äquivalent

Start=affin-linear äquivalent
Ziel=Affin-algebraische Mengen/Affin-linear äquivalent/Definition
# MDLUL/affin-lineare Abbildung

Start=affin-lineare Abbildung
Siehe=Affin-lineare Abbildung MDLUL/Affin-lineare Abbildung Ziel=Affiner Raum/Affin-lineare Abbildung/Definition
# MDLUL/affin-lineare Funktion

Start=affin-lineare Funktion
Siehe=Affin-lineare Funktion MDLUL/Affin-lineare Funktion Ziel=Vektorraum/Affin-lineare Abbildung/Definition
# MDLUL/affin-linearen

Start=affin-linearen
Ziel=Vektorraum/Affin-lineare Abbildung/Definition
# Natürliche Zahlen/Kommutativer Halbring/Fakt/Name/Inhalt

Die natürlichen Zahlen $\mathbb {N}$ bilden einen kommutativen Halbring.
# Natürliche Zahlen/Kommutativer Halbring/Fakt/Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt und aus Fakt.
# Natürliche Zahlen/Kommutativer Halbring/Fakt/Name

Der Satz über die algebraische Struktur der natürlichen Zahlen.
# Maßtheorie und Mannigfaltigkeiten/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Der positive Teil einer Funktion wobei $M$ eine Menge bezeichnet.
    $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R} ,$
* Das Bildmaß unter einer messbaren Abbildung von einem Maßraum $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ in einen Messraum $(N,{\mathcal {B}})$.
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
* Ein translationsinvariantes Maß auf $(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}))$.
* Der Limes superior zu einer reellen Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$.
* Ein überdeckungskompakter topologischer Raum.
* Zwei in einem Punkt $P\in M$ einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$ tangential äquivalente differenzierbare Kurven (dabei sei $0\in I$ ein offenes reelles Intervall und $\gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)=P$).
    $\gamma _{1},\gamma _{2}\colon I\longrightarrow M$
* Die zurückgezogene Differentialform $\varphi ^{*}\omega$ zu einer Differentialform $\omega \in {\mathcal {E}}^{k}(M)$ bezüglich einer stetig differenzierbaren Abbildung $\varphi \colon L\rightarrow M$ zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten $L$ und $M$.
* Die kanonische Volumenform auf einer orientierten riemannschen Mannigfaltigkeit $M$.
# Maßtheorie und Mannigfaltigkeiten/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe/Lösung

* Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum und es sei eine Folge von nichtnegativen messbaren numerischen Funktionen. Dann gilt
    $f_{n}\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
    $\int _{M}\operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left(f_{n}\right)}\,d\mu \leq \operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left(\int _{M}f_{n}\,d\mu \right)}\,$
* Für eine messbare Funktion ist $f$ genau dann integrierbar auf $H$, wenn die Hintereinanderschaltung $f\circ \varphi$ auf $G$ integrierbar ist. In diesem Fall gilt wobei $J(\varphi )$ die Determinante des totalen Differentials $D\varphi$ bezeichnet.
    $f\colon H\longrightarrow \mathbb {R}$
    $\int _{H}f\,d\lambda ^{n}=\int _{G}(f\circ \varphi )\vert {J(\varphi )}\vert \,d\lambda ^{n}\,,$
* Es seien $U,V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offene Teilmengen, deren Koordinaten mit $x_{1},\ldots ,x_{n}$ bzw. mit $y_{1},\ldots ,y_{n}$ bezeichnet seien. Es sei eine differenzierbare Abbildung und es sei $\omega$ eine $n$-Differentialform auf $V$ mit der Darstellung Dann besitzt die zurückgezogene Form die Darstellung $\varphi ^{*}\omega =(f\circ \varphi )\cdot \det {\left({\left({\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j}}}\right)}_{1\leq i,j\leq n}\right)}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\,.$
    $\varphi \colon U\longrightarrow V$
    $\omega =fdy_{1}\wedge \ldots \wedge dy_{n}\,.$
* Es sei $M$ eine $n$-dimensionale orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand $\partial M$ und mit abzählbarer Basis der Topologie, und es sei $\omega$ eine stetig differenzierbare $(n-1)$-Differentialform mit kompaktem Träger auf $M$. Dann ist
    $\int _{M}d\omega =\int _{\partial M}\omega \,.$
# Maßtheorie und Mannigfaltigkeiten/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Abzählbarkeit einer Menge $M$.
* Eine $\sigma$-Algebra auf einer Menge $M$.
* Der Kegel zu einer Basismenge $B\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ und einer Spitze $P\in \mathbb {R} ^{3}$.
* Ein zusammenhängender topologischer Raum $X$.
* Die Tangentialabbildung in einem Punkt $P\in M$ zu einer differenzierbaren Abbildung wobei $M$ und $N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind.
    $\varphi \colon M\longrightarrow N,$
* Das Wegintegral zu einer $1$-Differentialform $\omega \in {\mathcal {E}}^{1}(M)$ auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$ bezüglich einer stetig differenzierbaren Kurve $\gamma \colon [a,b]\rightarrow M$.
* Eine geschlossene Differentialform $\omega$ auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$.
* Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand.
# Maßtheorie und Mannigfaltigkeiten/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Lemma von Fatou.
* Die Transformationsformel für Integrale zu einem $C^{1}$-Diffeomorphismus wobei $G$ und $H$ offene Teilmengen des $\mathbb {R} ^{n}$ sind.
    $\varphi \colon G\longrightarrow H,$
* Die Formel für die zurückgezogene Volumenform $\varphi ^{*}\omega$ zu $\omega =fdy_{1}\wedge \ldots \wedge dy_{n}$ unter einer stetig differenzierbaren Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}.$
* Der Satz von Stokes für Mannigfaltigkeiten mit Rand.
# Maßtheorie und Mannigfaltigkeiten/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe/Lösung

* Die Funktion heißt der positive Teil von $f$.
    $f_{+}={\operatorname {sup} \,(f,0)}\,$
* Unter dem Bildmaß versteht man das für messbare Teilmengen $T\subseteq N$ durch definierte Maß auf $N$.
    $\nu (T):=\mu (\varphi ^{-1}(T))\,$
* Ein Maß auf $(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}))$ heißt translationsinvariant, wenn für alle messbaren Teilmengen $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und alle Vektoren $v\in \mathbb {R} ^{n}$ die Gleichheit gilt.
    $\mu (T)=\mu (T+v)\,$
* Es sei $H$ die Menge der Häufungspunkte der Folge $x_{n}$. Dann setzt man und nennt diese Zahl (eventuell $+\infty$) den Limes superior der Folge.
    $\operatorname {lim} \operatorname {sup} \,{\left((x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\right)}={\operatorname {sup} \,(H)}\,$
* Ein topologischer Raum $X$ heißt überdeckungskompakt, wenn es zu jeder offenen Überdeckung eine endliche Teilmenge $J\subseteq I$ derart gibt, dass ist.
    $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,\,\,{\text{ mit }}U_{i}{\text{ offen und einer beliebigen Indexmenge }}$
    $X=\bigcup _{i\in J}U_{i}\,$
* Die beiden Kurven $\gamma _{1}$ und $\gamma _{2}$ heißen tangential äquivalent in $P$, wenn es eine offene Umgebung $P\in U$ und eine Karte mit $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ derart gibt, dass gilt.
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
    ${\left(\alpha \circ {\left(\gamma _{1}{|}_{\gamma _{1}^{-1}(U)}\right)}\right)}'(0)={\left(\alpha \circ {\left(\gamma _{2}{|}_{\gamma _{2}^{-1}(U)}\right)}\right)}'(0)\,$
* Die zurückgezogene Differentialform $\varphi ^{*}\omega$ ist für $P\in L$ und $v_{1},\ldots ,v_{k}\in T_{P}L$ durch definiert.
    $(\varphi ^{*}\omega )(P,v_{1},\ldots ,v_{k}):=\omega (\varphi (P),T_{P}\varphi (v_{1}),\ldots ,T_{P}\varphi (v_{k}))\,$
* Zu $P\in M$ sei $\omega _{P}$ diejenige alternierende Form auf $T_{P}M$ (bzw. das entsprechende Element aus $\bigwedge ^{n}T_{P}^{*}M$), die jeder die Orientierung repräsentierenden Orthonormalbasis den Wert $1$ zuordnet. Dann heißt die $n$-Differentialform die kanonische Volumenform auf $M$.
    $M\longrightarrow \bigwedge ^{n}T^{*}M,\,P\longmapsto \omega _{P},$
# Maßtheorie/Wahrscheinlichkeitsraum/Definition/Begriff

Ein Wahrscheinlichkeitsraum.
# Maßtheorie und Mannigfaltigkeiten/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe/Lösung

* Die Menge $M$ heißt abzählbar, wenn sie leer ist oder wenn es eine surjektive Abbildung gibt.
    $\mathbb {N} \longrightarrow M$
* Ein Teilmengensystem ${\mathcal {A}}$ auf $M$ heißt $\sigma$-Algebra, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.
** Es ist $M\in {\mathcal {A}}$.
** Mit $T\in {\mathcal {A}}$ gehört auch das Komplement $M\setminus T$ zu ${\mathcal {A}}$.
** Für jede abzählbare Familie $T_{i}\in {\mathcal {A}}$, $i\in I$, ist auch
    $\bigcup _{i\in I}T_{i}\in {\mathcal {A}}.$
* Unter dem Kegel versteht man die Menge
    $K_{B}={\left\{P+t(Q-P)\mid Q\in B,\,t\in [0,1]\right\}}\,.$
* Ein topologischer Raum $X$ heißt zusammenhängend, wenn es in $X$ genau zwei Teilmengen gibt (nämlich $\emptyset$ und der Gesamtraum $X\neq \emptyset$), die sowohl offen als auch abgeschlossen sind.
* Unter der Tangentialabbildung im Punkt $P$ versteht man die Abbildung
    $T_{P}M\longrightarrow T_{\varphi (P)}N,\,[\gamma ]\longmapsto [\varphi \circ \gamma ].$
* Das Wegintegral ist durch definiert.
    $\int _{\gamma }\omega =\int _{a}^{b}\gamma ^{*}\omega \,$
* Eine differenzierbare Differentialform $\omega$ auf $M$ heißt geschlossen, wenn ihre äußere Ableitung $d\omega =0$ ist.
* Ein topologischer Hausdorff-Raum $M$ heißt eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand, wenn es eine offene Überdeckung $M=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und Karten gibt, wobei die $V_{i}\subseteq H\subset \mathbb {R} ^{n}$ offene Mengen im euklidischen Halbraum und die Übergangsabbildungen Diffeomorphismen sind.
    $\alpha _{i}\colon U_{i}\longrightarrow V_{i}$
    $\alpha _{j}\circ \alpha _{i}^{-1}\colon V_{i}\cap \alpha _{i}(U_{i}\cap U_{j})\longrightarrow V_{j}\cap \alpha _{j}(U_{i}\cap U_{j})$
# MDLUL/differenzierbare Funktion(1 K)

Start=differenzierbare Funktion(1 K)
Ziel=Ableitung/K/Ableitungsfunktion/Definition
# MDLUL/differenzierbare Funktion (K)

Start=differenzierbare Funktion (K)
Siehe=Differenzierbare Funktion (K) MDLUL/Differenzierbare Funktion (K) Ziel=Differenzierbar/D offen K/Über Limes/Definition
# MDLUL/differenzierbare Funktion (Mfkt)

Start=differenzierbare Funktion (Mfkt)
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Definition
# MDLUL/differenzierbare Funktion (Mfk)

Start=differenzierbare Funktion (Mfk)
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Definition
# MDLUL/differenzierbare Funktion (1 R)

Start=differenzierbare Funktion (1 R)
Ziel=Ableitung/R/Ableitungsfunktion/Definition
# MDLUL/differenzierbare Funktion (C höher)

Start=differenzierbare Funktion (C höher)
Ziel=Eine Variable/K/Höhere Ableitung/Rekursiv/Definition
# MDLUL/differenzierbare Funktion (Mannigfaltigkeit)

Start=differenzierbare Funktion (Mannigfaltigkeit)
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Definition
# MDLUL/differenzierbare Funktion

Start=differenzierbare Funktion
Ziel=Ableitung/K/Ableitungsfunktion/Definition
# MDLUL/differenzierbare Funktion (1 K)

Start=differenzierbare Funktion (1 K)
Ziel=Ableitung/K/Ableitungsfunktion/Definition
# MDLUL/differenzierbare Fläche (Hyperfläche)

Start=differenzierbare Fläche (Hyperfläche)
Ziel=Differentialgeometrie/Hyperfläche/Einführung/Textabschnitt
# Mannigfaltigkeit/Nicht leerer Rand/Retraktion/Aufgabe

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einem nichtleeren Rand. Zeige, dass es eine differenzierbare Abbildung $M\rightarrow \partial M$ gibt.
# Mannigfaltigkeit/Nullbündel/Zusammenhang/Aufgabe

Bestimme die Zusammenhänge auf dem Nullbündel auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $X$.
# Mannigfaltigkeit/Linearer Zusammenhang/Nullschnitt horizontal/Aufgabe

Es sei $\nabla$ ein linearer Zusammenhang auf einem differenzierbaren Vektorbündel $E$ über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $X$. Zeige, dass der Nullschnitt horizontal ist.
# Messbare numerische Funktion/Definition/Begriff/Inhalt

Die numerische Funktion
    $M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$
heißt messbar, wenn sie ${\mathcal {A}}-{\overline {\mathcal {B}}}$-messbar ist.
# Messbare numerische Funktion/Definition/Begriff

Die Messbarkeit einer numerischen Funktion
    $M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},$
wobei $(M,{\mathcal {A}})$ einen Messraum bezeichnet.
# Messbare numerische Funktion/Definition

Es sei $(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum. Dann nennt man eine numerische Funktion
    $M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$
messbar, wenn sie ${\mathcal {A}}-{\overline {\mathcal {B}}}$-messbar ist.
# Matrix/1100010000230002/Haupträume/Aufgabe

Bestimme die Haupträume zur Matrix
    ${\begin{pmatrix}1&1&0&0\\0&1&0&0\\0&0&2&3\\0&0&0&2\end{pmatrix}}.$
# Matrix/1102/Nicht selbstadjungiert/Verschiedene Charakterisierungen/Aufgabe

Zeige, dass die Matrix
    ${\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}},$
aufgefasst als lineare Abbildung von $\mathbb {R} ^{2}$ nach $\mathbb {R} ^{2}$, nicht selbstadjungiert ist, und zwar mit den folgenden Methoden.
* Bestimme die adjungierte Abbildung zu $M$.
* Fakt (1) ist nicht erfüllt.
* Fakt (3) ist nicht erfüllt.
* Es gibt keine Orthonormalbasis von $\mathbb {R} ^{2}$ aus Eigenvektoren zu $M$ (d.h. die Konklusion aus Fakt ist nicht erfüllt.)
# Matrix/2/Charakteristisches Polynom/Aufgabe

Bestimme das charakteristische Polynom zu einer Matrix
    ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}.$
Welche Bedeutungen haben die Koeffizienten dieses Polynoms?
# Matrix/1562 57-4-3 00-28 0019/Trigonalisierbar/Aufgabe

Bestimme, ob die reelle Matrix
    ${\begin{pmatrix}1&5&6&2\\5&7&-4&-3\\0&0&-2&8\\0&0&1&9\end{pmatrix}}$
trigonalisierbar ist oder nicht.
# Matrix/2/C/Selbstadjungiert/Diagonalisiere/Aufgabe

Es sei
    $\varphi \colon {\mathbb {C} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{2}$
die lineare Abbildung, die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix ${\begin{pmatrix}4&-2+9{\mathrm {i} }\\-2-9{\mathrm {i} }&5\end{pmatrix}}$ gegeben sei. Bestimme die Eigenwerte und die Eigenvektoren von $\varphi$.
# Rationale Funktion/Bestimme Ableitung/x^2+x-1 durch x^3-x+2/Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion
    $f\colon D\longrightarrow {\mathbb {C} },\,x\longmapsto f(x)={\frac {x^{2}+x-1}{x^{3}-x+2}},$
wobei $D$ die Menge sei, auf der das Nennerpolynom nicht verschwindet.
# Rationale Funktion/Exponentialfunktion/Stammfunktion/Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion
    ${\frac {e^{2t}+e^{3t}}{e^{4t}-1}}.$
# Rationale Funktion/C/Konvergente Potenzreihenentwicklung/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt und Fakt (2).
# Rationale Funktion/C/1 durch z^2-1/Potenzreihe/Partialbruchzerlegung und Taylor/Aufgabe

Bestimme für die rationale Funktion ${\frac {1}{z^{2}-1}}$ die Potenzreihenentwicklung im Entwicklungspunkt $0$ durch
* Partialbruchzerlegung und geometrische Reihe.
* Taylorentwicklung.
# Rationale Funktion/Bestimme Ableitung/x^n/n in Z/Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion
    $f\colon {\mathbb {C} }\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,x\longmapsto f(x)=x^{n},$
für jedes $n\in \mathbb {Z}$.
# Punktierte Ebene/Komplexe Potenz/Fundamentalgruppe/Aufgabe

Es sei
    $\varphi \colon {\mathbb {C} }\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{0\},\,z\longmapsto z^{n},$
das komplexe Potenzieren zum Exponenten $n$. Beschreibe den zugehörigen Gruppenhomomorphismus
    $\pi (\varphi )\colon \pi _{1}({\mathbb {C} }\setminus \{0\})\longrightarrow \pi _{1}({\mathbb {C} }\setminus \{0\}).$
# Punktierte Ebene/Komplexe Potenz/Geschlossener Weg/Liftung/Aufgabe

Es sei
    $\varphi \colon {\mathbb {C} }\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{0\},\,z\longmapsto z^{n},$
das komplexe Potenzieren zum Exponenten $n$. Zeige, dass die Liftung eines geschlossenen stetigen Weges $\gamma$ genau dann geschlossen ist, wenn $\gamma$ homotop zur $n$-fachen Hintereinanderlegung eines geschlossenen Weges ist.
# Punktierte Ebene/Fundamentalgruppe/Fakt

Die Fundamentalgruppe der punktierten Ebene $\mathbb {R} ^{2}\setminus \{P\}$
ist $\mathbb {Z}$.
# Punktierte Ebene/Fundamentalgruppe/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Beispiel, Fakt und Fakt.
# Ponyhof/Ausflug/Aufgabe

Hanny, Nanny, Fanny und Sanny leben auf dem Ponyhof. Heute machen sie einen Ausflug mit den Ponies Pona, Pone, Pono und Ponu. Jedes der Mädchen sitzt dabei genau auf einem Pony, und sie reiten hintereinander. Folgende Fakten sind bekannt.
* Fanny sitzt nicht auf Pona.
* Pone und Ponu vertragen sich nicht so gut und laufen daher nicht direkt hintereinander.
* Nanny sitzt auf Pone oder auf Pono.
* Sanny reitet auf Pona oder auf Pone.
* Nanny reitet direkt hinter Sanny.
* Auf Ponu sitzt nicht Sanny.
* Pona läuft direkt zwischen Pone und Pono.
* Auf Pono sitzt weder Fanny noch Hanny.
* Sanny reitet weiter vorne als Hanny.
Wer sitzt auf welchem Pony und in welcher Reihenfolge laufen sie?
# Ponyhof/Ausflug/Aufgabe/Lösung

Nach (7) liegt der Ponyabschnitt Pone-Pona-Pono oder Pono-Pona-Pone vor. Nach (2) sind somit nur die Ponyreihenfolgen Pone-Pona-Pono-Ponu oder Ponu-Pono-Pona-Pone möglich. Nach (8) sitzt auf Pono Nanny oder Sanny, nach (4) sitzt aber Sanny auf Pona oder Pone. Deshalb sitzt Nanny auf Pono. Nach (5) reitet Nanny direkt hinter Sanny. Bei der Reihenfolge Ponu-Pono-Pona-Pone müsste also Sanny auf Ponu reiten, was nach (4) ausgeschlossen ist. Also ist die Reihenfolge Pone-Pona-Pono-Ponu und Sanny reitet auf Pona. Nach (9) reitet Hanny auf Ponu und folglich reitet Fanny auf Pone.
# Reguläre Darstellung/Gruppenhomomorphismus/Aufgabe

Überprüfe, dass die reguläre Darstellung in der Tat ein Gruppenhomomorphismus ist. Wie sieht es aus, wenn man die reguläre Darstellung mit der Rechtsmultiplikation statt mit der Linksmultiplikation definiert?
# Reguläre Punkte/(x,y,z) nach (x+y+z,xy+yz+xz,xyz)/Kleine Diagonalen/Aufgabe

Betrachte die Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y,z)\longmapsto (x+y+z,xy+xz+yz,xyz).$
Zeige, dass ein Punkt $(x,y,z)$ genau dann ein kritischer Punkt von $\varphi$ ist, wenn in $(x,y,z)$ zwei Zahlen doppelt vorkommen.
# Reguläre Punkte(x,y) nach (y^2 durch x,y^3 durch x^2)/Differential der Umkehrabbildung zu (1,2)/Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} \setminus \{0\}\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto \left({\frac {y^{2}}{x}},\,{\frac {y^{3}}{x^{2}}}\right).$
a) Bestimme die regulären Punkte der Abbildung $\varphi$.
b) Zeige, dass $\varphi$ in $P=(1,2)$ lokal eine differenzierbare Umkehrabbildung $\psi =\varphi ^{-1}$ besitzt, und bestimme das totale Differential von $\psi$ im Punkt $\varphi (P)$.
c) Man gebe alle Punkte $Q\in \mathbb {R} \setminus \{0\}\times \mathbb {R}$ an, in denen $\varphi$ nicht lokal invertierbar ist.
# Reguläre Punkte/(1,0)/Totales Differential der Umkehrabbildung/(x,y) nach (x^2y,x-sin y)/Aufgabe/Kommentar

Die Abbildung ist auf ganz $\mathbb {R} ^{2}$ definiert und überall partiell differenzierbar. Nach Fakt ist $\varphi$ folglich total differenzierbar. Die regulären Punkte $Q$ sind genau diejenigen, in denen das totale Differential vollen Rang besitzt, also $\operatorname {rang} (D\varphi )_{Q}=2$. Als lineare Abbildung wird das totale Differential durch die Jacobi-Matrix beschrieben. In unserem Fall ist die zugehörige Jacobi-Matrix quadratisch, sodass wir mittels der Determinante überprüfen können, ob das totale Differential maximalen Rang besitzt. Entsprechend ist $Q$ genau dann ein regulärer Punkt, wenn
    $\det(\operatorname {Jak} (\varphi )_{Q})\neq 0$
gilt. Für welche Punkte gilt dies, wenn man das berechnet?
Für die regulären Punkte gilt nun nach dem Satz über die lokale Umkehrbarkeit, dass $\varphi$ in einer (möglicherweise sehr kleinen) Umgebung von $\varphi (Q)$ eine Umkehrabbildung existiert, die sogar stetig differenzierbar ist. Ist dies ein Diffeomorphismus? Im Allgemeinen existiert eine solche Umkehrabbildung nicht global, sondern nur lokal in einer Umgebung von $\varphi (Q)$. Für $\varphi$ kann man das auch direkt nachvollziehen, weil $\varphi$ nicht injektiv ist (der Punkt $(0,0)$ hat beispielsweise viele Urbilder).
In der Regel ist es schwierig, diese Umkehrabbildung explizit zu berechnen, aber wir können zumindest das totale Differential der lokalen Umkehrabbildung (die wir mit $\psi$ bezeichnen) angeben. Für die Hintereinanderschaltung $\psi \circ \varphi$ wissen wir, dass dies die Identitätsabbildung in einer Umgebung von $Q$ ist. Durch Verwenden der der Kettenregel können wir daher folgern, dass
    $\operatorname {Jak} (\psi )_{\varphi (Q)}\circ \operatorname {Jak} (\varphi )_{Q}$
die Identitätsmatrix sein muss. Die Jacobi-Matrizen sind also invers zueinander. Für $P=(1,0)$ lässt sich das totale Differential der Umkehrabbildung somit über die Inverse der Jacobi-Matrix von $\varphi$ berechnen.
$Q$
# Reguläre Punkte/(1,0)/Totales Differential der Umkehrabbildung/(x,y) nach (x^2y,x-sin y)/Aufgabe

Bestimme die regulären Punkte der Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x^{2}y,x-\sin y).$
Zeige, dass $\varphi$ in $P=(1,0)$ regulär ist und bestimme das totale Differential der Umkehrabbildung von $\varphi |_{U}$ in $\varphi (P)$, wobei $U$ eine offene Umgebung von $P$ sei (die nicht explizit angegeben werden muss).