OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Endomorphismus/Endlich/Eigenwerte/Duale Abbildung/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung und es sei
    $\varphi ^{*}\colon \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,K\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,K\right)},\,f\longmapsto f\circ \varphi ,$
die dazu duale Abbildung. Zeige, dass jeder Eigenwert von $\varphi$ auch ein Eigenwert von $\varphi ^{*}$ ist.
# Endomorphismus/Trigonalisierbar/Untere Dreiecksmatrix/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Zeige, dass $\varphi$ genau dann trigonalisierbar ist, wenn $\varphi$ bezüglich einer geeigneten Basis durch eine untere Dreiecksmatrix
    ${\begin{pmatrix}a_{1}&0&\cdots &\cdots &0\\\ast &a_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\ast &\cdots &\ast &a_{n-1}&0\\\ast &\cdots &\cdots &\ast &a_{n}\end{pmatrix}}$
beschrieben wird.
# Lineare Abbildung/Endlich dimensional/Eigenwerte durch Dimension beschränkt/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Zeige, dass es maximal $\dim _{K}{\left(V\right)}$ viele Eigenwerte zu $\varphi$ gibt.
# Lineare Abbildung/Endlichdimensional/Endlich viele Eigenwerte/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Zeige, dass es dann nur endlich viele Eigenwerte zu $\varphi$ gibt.
# Minimalpolynom/0 Nullstelle/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung und sei $Q$ das Minimalpolynom von $\varphi$. Zeige, dass $0$ genau dann eine Nullstelle von $Q$ ist, wenn $\varphi$ nicht injektiv ist.
# Differenzierbar/D in R/Rechenregeln/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge, $a\in D$ ein Punkt und
    $f,g\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
Funktionen, die in $a$ differenzierbar seien. Dann gelten folgende Differenzierbarkeitsregeln.
* Die Summe $f+g$ ist differenzierbar in $a$ mit
    $(f+g)'(a)=f'(a)+g'(a).$
* Das Produkt $f\cdot g$ ist differenzierbar in $a$ mit
    $(f\cdot g)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a).$
* Für $c\in \mathbb {R}$ ist auch $cf$ in $a$ differenzierbar mit
    $(cf)'(a)=cf'(a).$
* Wenn $g$ keine Nullstelle in $D$ besitzt, so ist $1/g$ differenzierbar in $a$ mit
    ${\left({\frac {1}{g}}\right)}'(a)={\frac {-g'(a)}{(g(a))^{2}}}.$
* Wenn $g$ keine Nullstelle in $D$ besitzt, so ist $f/g$ differenzierbar in $a$ mit
    ${\left({\frac {f}{g}}\right)}'(a)={\frac {f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{(g(a))^{2}}}.$
# Lineare Abbildung/Trigonalisierbar/Über obere Dreiecksgestalt/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Eine lineare Abbildung $\varphi \colon V\rightarrow V$
heißt trigonalisierbar, wenn sie bezüglich einer geeigneten Basis durch eine obere Dreiecksmatrix beschrieben wird.
# Maßraum/Mengen mit endlichem Maß/Mengen-Präring/Aufgabe

Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum. Zeige, dass die Mengen
    ${\left\{T\in {\mathcal {A}}\mid \mu (T)<\infty \right\}},$
einen Mengen-Präring, aber im Allgemeinen keine Mengen-Algebra bilden.
# Angeordneter Körper/Konvergente Folge/Folge mit Nullfolge als Differenz/Konvergenz/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und es seien ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ Folgen in $K$, wobei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $x$ konvergiere. Die Differenzenfolge $x_{n}-y_{n}$ sei eine Nullfolge. Zeige, dass ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls gegen $x$ konvergiert.
# Abbildung/Injektiv und Urbildnehmen surjektiv/Aufgabe

Es seien $L$ und $M$ Mengen und es sei
    $F\colon L\longrightarrow M$
eine Abbildung. Zeige, dass $F$ genau dann injektiv ist, wenn das Urbildnehmen
    ${\mathfrak {P}}\,(M)\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,(L),\,T\longmapsto F^{-1}(T),$
surjektiv ist.
# Abbildung/Surjektiv und Urbildnehmen injektiv/Aufgabe

Es seien $L$ und $M$ Mengen und es sei
    $F\colon L\longrightarrow M$
eine Abbildung. Zeige, dass $F$ genau dann surjektiv ist, wenn das Urbildnehmen
    ${\mathfrak {P}}\,(M)\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,(L),\,T\longmapsto F^{-1}(T),$
injektiv ist.
# Angeordneter Körper/8^(1/2) und 25^(1/3)/Vergleiche/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Es sei vorausgesetzt, dass in $K$ die (positiven) Elemente $8^{1/2}$ und $25^{1/3}$ existieren. Welches ist größer?
# Angeordneter Körper/Abbildung x nach min(x,1/x)/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Man untersuche die Abbildung
    $\varphi \colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto \varphi (x),$
    $\varphi (x)={\begin{cases}\operatorname {min} \left(x,\,x^{-1}\right){\text{ für }}x>0\,,\\0{\text{ für }}x=0\,,\\\operatorname {max} \left(x,\,x^{-1}\right){\text{ für }}x<0\,.\end{cases}}$
Mögliche Fragestellungen bzw. Stichpunkte sind
# Angeordneter Körper/Abschnitt/Reell/Intervall/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Zeige, dass jedes Intervall (einschließlich der unbeschränkten Intervalle) in $K$ ein Abschnitt ist.
Man gebe ein Beispiel für einen Abschnitt in $\mathbb {Q}$, der kein Intervall ist.
Zeige, dass in $\mathbb {R}$ jeder Abschnitt ein Intervall ist.
# Angeordneter Körper/Beschränkte Folge/Nullfolge/Produkt/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper, es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge in $K$ und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine beschränkte Folge in $K$. Zeige, dass dann auch die Produktfolge $(x_{n}y_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge ist.
# Angeordneter Körper/Cauchy-Folge/Beschränkt/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Zeige, dass eine Cauchy-Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in $K$ beschränkt ist.
# Angeordneter Körper/Cauchy-Folge/Konvergente Teilfolge/Konvergenz/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in $K$, die eine konvergente Teilfolge enthalte. Zeige, dass die Folge konvergiert.
# Angeordneter Körper/Enthält Q/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Betrachte die in Aufgabe konstruierte injektive Zuordnung $\mathbb {Z} \subset K$. Zeige, dass man diese Zuordnung zu einer Zuordnung $\mathbb {Q} \subseteq K$ fortsetzen kann, und zwar derart, dass die Verknüpfungen in $\mathbb {Q}$ mit den Verknüpfungen in $K$ übereinstimmen.
# Angeordneter Körper/Enthält Z/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Zeige, dass man jeder natürlichen Zahl $n\in \mathbb {N}$ ein Körperelement $n_{K}$ derart zuordnen kann, dass $0_{K}$ das Nullelement in $K$ und $1_{K}$ das Einselement in $K$ ist und dass
    $(n+1)_{K}=n_{K}+1_{K}$
    $(n+m)_{K}=n_{K}+m_{K}{\text{ und }}(nm)_{K}=n_{K}\cdot m_{K}$
Erweitere diese Zuordnung auf die ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$ und zeige, dass die angeführten strukturellen Eigenschaften dann ebenfalls gelten.
# Angeordneter Körper/Folgen/Quetschkriterium/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und es seien ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },\,{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ drei Folgen in $K$. Es gelte $x_{n}\leq y_{n}\leq z_{n}{\text{ für alle }}n\in \mathbb {N}$ und ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert $a$. Zeige, dass dann auch ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen diesen Grenzwert $a$ konvergiert.
# Angeordneter Körper/Enthält Q/Verknüpfung und Ordnung/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Betrachte die in Aufgabe konstruierte Zuordnung $\mathbb {Z} \rightarrow K$.
a) Zeige, dass diese Zuordnung injektiv ist.
b) Zeige, dass man diese Zuordnung zu einer injektiven Abbildung $\mathbb {Q} \rightarrow K$ fortsetzen kann, und zwar derart, dass die Verknüpfungen in $\mathbb {Q}$ mit den Verknüpfungen in $K$ übereinstimmen und die Ordnung auf $\mathbb {Q}$ mit der Ordnung auf $K$ übereinstimmt.
# Angeordneter Körper/Konvergente Folge/Betrag/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge in $K$ mit Grenzwert $x$. Zeige, dass dann auch die Folge
    ${\left(\vert {x_{n}}\vert \right)}_{n\in \mathbb {N} }$
konvergiert, und zwar gegen $\vert {x}\vert$.
# Angeordneter Körper/Konvergente Folgen/Rechenregeln/4/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge in $K$ mit $x_{n}\neq 0$ für alle $n\in \mathbb {N}$ und $\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\neq 0$. Zeige, dass ${\left({\frac {1}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit
    $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{x_{n}}}={\frac {1}{x}}$
ist.
# Angeordneter Körper/Min(x,y)/Strukturelle Eigenschaften/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Man untersuche die Verknüpfung
    $K\times K\longrightarrow K,\,(x,y)\longmapsto \operatorname {min} \,(x,y),$
auf Assoziativität, Kommutativität, die Existenz von einem neutralen Element und die Existenz von inversen Elementen.
# Angeordneter Körper/Monoton wachsend/Supremum/Limes/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine wachsende Folge in $K$. Zeige, dass die Folge genau dann konvergiert, wenn die Menge ${\left\{x_{n}\mid n\in \mathbb {N} \right\}}$ ein Supremum besitzt.
# Angeordneter Körper/Negative von positivem Element ist negativ/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und $x\in K$. Zeige, dass $x>0$ genau dann gilt, wenn $-x<0$ ist.
# Angeordneter Körper/Quadrate sind nicht negativ/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Zeige, dass für jedes $x\in K$ die Beziehung $x^{2}=xx\geq 0$ gilt.
# Angeordneter Körper/Supremum/Vollständig/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper mit der Eigenschaft, dass in ihm jede nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge ein Supremum besitzt. Zeige, dass $K$ vollständig ist.
# Angeordneter Körper/x geq y/Negative/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und $x>y$. Zeige, dass dann $-x<-y$ ist.
# Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/K/Fundamentalsystem von Lösungen/Definition

Es sei
    $v'=Mv\,$
mit $M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })$ ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten. Dann heißt eine Basis des Lösungsraumes ein Fundamentalsystem von Lösungen dieses Systems.
# Angeordneter Körper/Z/Kanonische Abbildung ist injektiv/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Zeige, dass die in Aufgabe eingeführte Abbildung
    $\mathbb {Z} \longrightarrow K,\,n\longmapsto n_{K},$
injektiv ist.
# Archimedisch angeordneter Körper/Beschränkte monoton fallende Folge/Ist Cauchyfolge/Aufgabe

Es sei $K$ ein archimedisch angeordneter Körper. Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine fallende, nach unten beschränkte Folge. Zeige, dass ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge ist.
# Natürliche Zahlen/Zehnersystem/Größenvergleich/1/Aufgabe

Bestimme, welche der beiden Zahlen im Zehnersystem größer ist.
    $m=52866396034807681104629504792853235\,\,{\text{ oder }}\,\,n=52876373480104695047954506002853673.$
# Archimedisch angeordneter Körper/Rationale Folgen/Konvergenzverhalten/Aufgabe

Es sei $K$ ein archimedisch angeordneter Körper und seien $P(x)=\sum _{i=0}^{d}a_{i}x^{i}$ und $Q(x)=\sum _{i=0}^{e}b_{i}x^{i}$ Polynome mit $a_{d},b_{e}\neq 0$. Man bestimme in Abhängigkeit von $d$ und $e$, ob die durch
    $z_{n}={\frac {P(n)}{Q(n)}}$
(für $n$ hinreichend groß) definierte Folge konvergiert oder nicht, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.
# Natürliche Zahlen/Zehnersystem/Größenvergleich/2/Aufgabe

Bestimme, welche der beiden Zahlen im Zehnersystem größer ist.
    $m=528663960348076811044629504792853235\,\,{\text{ oder }}\,\,n=52876373480104695047954506002853673.$
# Eigentliche Bewegungsgruppe/Endlich/Drei Halbachsenklassen/Operation injektiv/Aufgabe

Es sei $G\subseteq \operatorname {SO} _{3}\,(\mathbb {R} )$ eine endliche Untergruppe der Gruppe der eigentlichen, linearen Isometrien des $\mathbb {R} ^{3}$ mit drei Halbachsenklassen und es sei $K$ eine davon. Zeige, dass der Gruppenhomomorphismus
    $G\longrightarrow \operatorname {Perm} \,(K),\,g\longmapsto \sigma _{g}:H\mapsto g(H),$
injektiv ist. Zeige, dass dies nicht stimmt, wenn es nur zwei Halbachsenklassen gibt.
# Eigentliche Bewegungsgruppe/Endlich/Klasseneinteilung/Zugehöriger Gruppenhomomorphismus/Kern/Aufgabe

Es sei $G\subseteq \operatorname {SO} _{3}\,(\mathbb {R} )$ eine endliche Untergruppe der Gruppe der eigentlichen, linearen Isometrien des $\mathbb {R} ^{3}$ mit einer fixierten Halbachsenklasse $K$. Bestimme den Kern des Gruppenhomomorphismus
    $G\longrightarrow \operatorname {Perm} \,(K),\,g\longmapsto \sigma _{g}:H\mapsto g(H).$
# Endliche Symmetriegruppe/Eine Halbachsenklasse/Numerische Bedingung/Aufgabe

Es sei $G\subseteq \operatorname {SO} _{3}\,(\mathbb {R} )$ eine endliche Untergruppe der Gruppe der eigentlichen, linearen Isometrien des $\mathbb {R} ^{3}$, die nur eine Halbachsenklasse $K$ besitze. Welche numerische Beziehung würde zwischen ${\#\left(G\right)}$, ${\#\left(K\right)}$ und ${\#\left(G_{H}\right)}$ ($H\in K$) bestehen? Folgere, dass es eine solche Symmetriegruppe nicht geben kann.
# Endomorphismus auf endlich dimensionalem Vektorraum/Algebraisch/Ohne Cayley-Hamilton/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein endlichdimensionaler
$K$
    $f\colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung, also $f\in \operatorname {End} \,(V)$. Zeige, dass die von $f$ erzeugte $K$-Algebra $K[f]$ kommutativ ist, und zeige, dass $f$ algebraisch ist, ohne den Satz von Cayley-Hamilton zu verwenden.
# Endomorphismus/Diagonalisierbar/Direkte Summe der Eigenräume/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Zeige, dass $\varphi$ genau dann diagonalisierbar ist, wenn $V$ die direkte Summe seiner Eigenräume ist.
# Endomorphismus/Eigenwert und charakteristisches Polynom/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein $n$-dimensionaler Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Zeige, dass $\lambda \in K$ genau dann ein Eigenwert von $\varphi$ ist, wenn $\lambda$ eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms $\chi _{\varphi }$ ist.
# Familie komplexer Zahlen/Absolut summierbar/Summierbar/Aufgabe

Es sei $I$ eine Indexmenge und $a_{i}$, $i\in I$, eine Familie von komplexen Zahlen. Die Betragsfamilie $\vert {a_{i}}\vert$, $i\in I$, sei summierbar. Zeige, dass $a_{i}$, $i\in I$, summierbar ist.
# Familie komplexer Zahlen/Summierbar und nach oben beschränkt/Aufgabe

Es sei $I$ eine Indexmenge und $a_{i}$, $i\in I$, eine Familie von komplexen Zahlen. Zeige, dass diese Familie genau dann summierbar ist, wenn die Familie
    $\vert {a_{E}}\vert =\vert {\sum _{i\in E}a_{i}}\vert ,E\subseteq I,\,E{\text{ endlich}},$
nach oben beschränkt ist.
# Familie komplexer Zahlen/Summierbar/Absolut summierbar/Aufgabe

Es sei $I$ eine Indexmenge und $a_{i}$, $i\in I$, eine Familie von komplexen Zahlen. Die Familie $a_{i}$, $i\in I$, sei summierbar. Zeige, dass $\vert {a_{i}}\vert$, $i\in I$, summierbar ist.
# Folge/Bestimmt divergent und Beschränktheit/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Zeige, dass eine bestimmt gegen $+\infty$ divergente Folge in $K$ nach unten beschränkt ist.
Man gebe ein Beispiel einer Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$, die nach unten, aber nicht nach oben beschränkt ist, und die nicht bestimmt divergent gegen $+\infty$ ist.
# Folge/Bestimmt divergente Teilfolgen/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Man gebe ein Beispiel einer Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$, für die es sowohl eine bestimmt gegen $+\infty$ als auch eine bestimmt gegen $-\infty$ divergente Teilfolge gibt.
# Folge/Metrischer Raum/Konvergenz/Topologie/Aufgabe

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $M$. Zeige, dass die Folge in $M$ genau dann im Sinne der Metrik konvergiert, wenn sie im Sinne der Topologie konvergiert.
# Folge/n durch 2 hoch n/Aufgabe

Es sei $K$ ein archimedisch angeordneter Körper. Zeige, dass die Folge
    ${\left({\frac {n}{2^{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$
gegen $0$ konvergiert.
# Folge/n hoch 2 durch 2 hoch n/Aufgabe

Es sei $K$ ein archimedisch angeordneter Körper. Zeige, dass die Folge
    ${\left({\frac {n^{2}}{2^{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$
gegen $0$ konvergiert.
# Folge/n hoch 3 durch 2 hoch n/Aufgabe

Es sei $K$ ein archimedisch angeordneter Körper. Zeige, dass die Folge
    ${\left({\frac {n^{3}}{2^{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$
gegen $0$ konvergiert.
# Folge/Positiv/Bestimmt divergent und reziproke Nullfolge/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $K$ mit $x_{n}>0$ für alle $n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass die Folge genau dann bestimmt divergent gegen $+\infty$ ist, wenn ${\left({\frac {1}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $0$ konvergiert.
# Graduierte Körpererweiterung/Hinreichend viele Einheitswurzeln/Normalbasis/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $D$ eine endliche kommutative Gruppe und $K\subseteq L$ eine $D$-graduierte Körpererweiterung. Der Körper $K$ enthalte eine $m$-te primitive Einheitswurzel, wobei $m$ der Exponent von $D$ sei. Zeige, dass es ein Element $v\in L$ derart gibt, dass die Menge
    ${\left\{\varphi (v)\mid \varphi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)\right\}}$
eine $K$-Basis von $L$ bildet.
# Graduierter endliche Körpererweiterung/Unterring zu Untermonoid ist Körper/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $D$ eine endliche kommutative Gruppe und $K\subseteq L$ eine $D$-graduierte Körpererweiterung. Zeige, dass zu einem Untermonoid $M\subseteq D$ der $K$-Vektorraum
    $\oplus _{d\in M}A_{d}$
ein Unterkörper von $A$ ist.
# Kommutative Ringtheorie/Polynomring/Nilpotente Elemente und Einheiten/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $r\in R$ ein nilpotentes Element. Konstruiere dazu ein lineares Polynom in $R[X]$, das eine Einheit ist. Man gebe auch das Inverse dazu an.
# Sigmaendlicher Maßraum/Offenes Intervall/Funktion/Situation

Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum, $I$ ein nichtleeres offenes Intervall und
    $f\colon I\times M\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,x)\longmapsto f(t,x),$
eine Funktion
# Kurze exakte Sequenz/Modul/Duale Sequenz/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,L\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,M\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,N\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
eine kurze exakte Sequenz von $R$-Moduln $L,M,N$. Zeige, dass dies zu einer exakten Sequenz
    $0\longrightarrow {N}^{*}\longrightarrow {M}^{*}\longrightarrow {L}^{*}$
der dualen Moduln führt.
# Sigmaendlicher Maßraum/Messbare numerische nichtnegative Funktion/Situation

Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum und
    $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
eine messbare numerische nichtnegative Funktion
# Maß zu Dichte/Ist ein Maß/Aufgabe

Es sei $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum und es sei
    $g\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$
eine nichtnegative messbare Funktion. Zeige, dass die Zuordnung
    ${\mathcal {A}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0},\,T\longmapsto \int _{T}g\,d\mu$
ein Maß auf $M$ ist.
# Metrischer Raum/Abgeschlossene Kugel/Ist abgeschlossen/Aufgabe

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum. Zeige, dass die abgeschlossenen Kugeln $B\left(x,\epsilon \right)$ abgeschlossen sind.
# Metrischer Raum/Disjunkte Vereinigung/Mindestensabstand/Aufgabe

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und sei $M=A\cup B$ mit nichtleeren Teilmengen $A,B\subseteq M$ und $A\cap B=\emptyset$. Es gebe ein $\delta >0$ mit
    $d(x,y)\geq \delta {\text{ für alle }}x\in A,\,y\in B.$
Zeige, dass $A$ (und auch $B$) sowohl offen als auch abgeschlossen ist.
# Metrischer Raum/Hausdorffeigenschaft/Aufgabe

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum. Zeige, dass in $M$ die sogenannte Hausdorff-Eigenschaft gilt, d.h. zu je zwei verschiedenen Punkten $x$ und $y$ gibt es offene Mengen $U$ und $V$ mit
    $x\in U{\text{ und }}y\in V{\text{ und }}U\cap V=\emptyset .$
# Metrischer Raum/Identität/Stetig/Aufgabe

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum. Zeige, dass die Identität
    $M\longrightarrow M,\,x\longmapsto x,$
stetig ist.
# Metrischer Raum/Offene Kugel/Ist offen/Aufgabe

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum. Zeige, dass die offenen Kugeln $U{\left(x,\epsilon \right)}$ offen sind.
# Metrischer Raum/Strukturelle Eigenschaften der offenen Mengen/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum. Zeige, dass folgende Eigenschaften gelten.
* Die leere Menge $\emptyset$ und die Gesamtmenge $M$ sind offen.
* Es sei $I$ eine beliebige Indexmenge und seien $U_{i}$, $i\in I$, offene Mengen. Dann ist auch die Vereinigung offen.
    $\bigcup _{i\in I}U_{i}$
* Es sei $I$ eine endliche Indexmenge und seien $U_{i}$, $i\in I$, offene Mengen. Dann ist auch der Durchschnitt offen.
    $\bigcap _{i\in I}U_{i}$
# Vektorraum/Basisergänzungssatz/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum der Dimension $n=\dim _{K}{\left(V\right)}$. Es seien
    $u_{1},\ldots ,u_{k}$
linear unabhängige Vektoren in $V$. Dann gibt es Vektoren
    $u_{k+1},\ldots ,u_{n}$
derart, dass
    $u_{1},\ldots ,u_{k},u_{k+1},\ldots ,u_{n}$
eine Basis von $V$ bilden.
# Metrischer Raum/Verbindbarkeit durch stetige Wege/Äquivalenzrelation/Aufgabe

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum. Betrachte die folgende Relation auf $X$: Es ist
    $x\sim y,\,{\text{ falls es eine stetige Abbildung }}\gamma :[a,b]\longrightarrow X{\text{ mit }}\gamma (a)=x{\text{ und }}\gamma (b)=y{\text{ gibt}}.$
Zeige, dass es sich dabei um eine Äquivalenzrelation handelt.
# Natürliche Zahlen/Dedekind-Peano/Eindeutigkeit der Addition/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $(\mathbb {N} ,0,^{\prime })$ ein Dedekind-Peano-Modell der natürlichen Zahlen. Zeige, dass die Addition durch die Bedingungen
    $x+0=x{\text{ für alle }}x\in \mathbb {N} {\text{ und }}x+y'=(x+y)'{\text{ für alle }}x,y\in \mathbb {N}$
eindeutig bestimmt ist.
# Natürliche Zahlen/Kleinergleich und Addition/Aufgabe

Es sei $(\mathbb {N} ,0,^{\prime })$ ein Dedekind-Peano-Modell der natürlichen Zahlen. Zeige, dass für $x,y\in \mathbb {N}$ die Beziehung $x\leq y$ genau dann gilt, wenn es ein $z\in \mathbb {N}$ gibt mit $y=x+z$.
# Nichtnullteiler/Produkt ist Nichtnullteiler/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und seien $f,g$ Nichtnullteiler in $R$. Zeige, dass das Produkt $fg$ ebenfalls ein Nichtnullteiler ist.
# Polynomring/Angeordneter Körper/Anordnung auf Quotientenkörper/Nicht archimedisch angeordnet/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper, $K[X]$ der Polynomring und
    $Q=K(X)$
der Körper der rationalen Funktionen über $K$. Zeige unter Verwendung von Aufgabe, dass man $Q$ zu einem angeordneten Körper machen kann, der nicht archimedisch angeordnet ist.
# Polynomring/Primelement bleibt prim/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $p\in R$ ein Primelement. Zeige, dass $p$ auch im Polynomring $R[X]$ prim ist.
# Abbildung/Situation

Es seien $L$ und $M$ Mengen und es sei
    $F\colon L\longrightarrow M$
eine Abbildung
# Skalarprodukt/K/Zugehöriger Abstand über Norm/Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $V$ ein Vektorraum über ${\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$. Zeige, dass der zugehörige Abstand die folgenden Eigenschaften besitzt (dabei sind $u,v,w\in V$).
* Es ist $d(v,w)\geq 0$.
* Es ist $d(v,w)=0$ genau dann, wenn $v=w$.
* Es ist $d(v,w)=d(w,v)$.
* Es ist
    $d(u,w)\leq d(u,v)+d(v,w).$
# Riemann integrierbar/Elementare Eigenschaften/Maximum/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $I=[a,b]$ ein kompaktes Intervall und es seien $f,g\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ zwei Riemann-integrierbare Funktionen. Zeige, dass auch ${\max {\left(f,g\right)}}$ Riemann-integrierbar ist.