# Riemannsche Fläche/Kompakt/Holomorphe Differentialformen/Erste Kohomologie/Residuum/Fakt/Beweis

Jede Hauptteilverteilung besitzt endlich viele Trägerpunkte. Da der verbindende Homomorphismus und die Residuenabbildung ${\mathbb {C} }$-linear sind, können wir davon ausgehen, das die Hauptteilverteilung in einem einzigen Punkt $P$ konzentriert ist. Die Hauptteilverteilung wird dann durch eine meromorphe Differentialform $\tau$ auf einer offenen Kreisscheibenumgebung $U$, wobei $\tau$ auf $U\setminus \{P\}$ holomorph sei, und durch die Nullform auf $V=X\setminus \{P\}$ repräsentiert. Der erste Čech-Kozykel in $\Omega _{X}$, also $\delta \tau$, wird dann durch die holomorphe Differentialform $\tau$ auf
    $U\cap V=U\setminus \{P\}\,$
repräsentiert. Für diesen gibt es wiederum $1$-Formen $\omega _{1}\in \Gamma {\left(U,{{\mathcal {E}}^{(1,0)}}\right)}$ und $\omega _{2}\in \Gamma {\left(V,{{\mathcal {E}}^{(1,0)}}\right)}$ mit
    $\tau =\omega _{1}-\omega _{2}\,$
auf $U\setminus \{P\}$. Da $\tau$ holomorph ist, ist
    $d\tau =0\,$
nach Fakt. Somit legen diese $1$-Formen die $2$-Form $\sigma \in H^{0}(X,{\mathcal {E}}^{(2)})$ fest, wobei lokal
    $d\omega _{1}=\sigma =d\omega _{2}\,$
gilt. Ferner gilt
    $\delta \tau =\delta \sigma \,$
in $H^{1}(X,\Omega _{X})$, wobei die beiden $\delta$ verbindende Homomorphismen zu unterschiedlichen Garbensequenzen bezeichnen. Nach der Definition des Residuums für eine holomorphe Kohomologieklasse muss man $\sigma$ über der Fläche intergrieren.
Es seien $P\in U'\subset U^{\prime \prime }\subset U$ offene Kreisumgebungen (in der Karte) mit unterschiedlichen Radien. Es sei $f$ eine reellwertige unendlich oft differenzierbare Funktion auf $X$, die auf $U'$ den konstanten Wert $1$ und außerhalb von $U^{\prime \prime }$ den konstanten Wert $0$ besitzt, was es nach Fakt gibt. Wir setzen $g:=1-f$. Die Form $g\omega _{2}$ ist auf $V$ definiert, da sie aber auf $U'$ den Wert $0$ hat, kann man sie zu einer globalen Form aus ${{\mathcal {E}}^{(1,0)}}$ fortsetzen. Ferner besitzt $f\omega _{2}$ auf $U'\setminus \{P\}$ die Eigenschaft
    $d(f\omega _{2})=d\omega _{2}=d{\left(\omega _{1}-\tau \right)}=d\omega _{1}\,,$
da $\tau$ holomorph ist. Dies sichert, dass man die Form $d(f\omega _{2})$ als globale Form auffassen kann. Insgesamt gilt
    $\sigma =dg\omega _{2}+df\omega _{2}\,,$
wobei dies auf $V$ unmittelbar wegen $g+f=1$ gilt und auf $U'$ ebenso aufgrund der konstruierten Fortsetzungen. Nach dem Satz von Stokes (ohne Rand) ist
    $\int _{X}d(g\omega _{2})=0\,.$
Also ist unter Verwendung des Satzes von Stokes (mit Rand)
    ${\begin{aligned}\operatorname {Res} _\left(\delta (\tau )\right)&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{X}\sigma \\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{X}dg\omega _{2}+df\omega _{2}\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{X}df\omega _{2}\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{U}df\omega _{2}\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{U}d{\left(f\omega _{1}-f\tau \right)}\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }f\omega _{1}-f\tau \\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }-f\tau \\&=\operatorname {Res} _{P}\left(f\tau \right)\\&=\operatorname {Res} _{P}\left(\tau \right),\end{aligned}}$
wobei $\gamma$ eine einfache Umrundung mit dem Uhrzeigersinn von $P$ in $U\setminus U^{\prime \prime }$ ist und worauf $f\omega _{1}$ gleich $0$ ist.