OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Messbare Funktion/Auf sigmaendlichem Maßraum/Graph hat Maß null/Fakt/Beweis

Die Mengen $f^{-1}(\infty )\times \{\infty \}$ und $f^{-1}(-\infty )\times \{-\infty \}$, die beide Teilmengen des Graphen sind, sind Nullmengen in $M\times {\overline {\mathbb {R} }}$. Man kann also annehmen, dass von vornherein eine messbare Funktion
    $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$
vorliegt. Ferner können wir annehmen, dass $\mu$ ein endliches Maß ist, da zu einer Ausschöpfung $M_{n}\uparrow M$ mit $\mu (M_{n})<\infty$ auch $M_{n}\times \mathbb {R}$ eine Ausschöpfung von $M\times \mathbb {R}$ ist. Wenn der Durchschnitt des Graphen mit allen $M_{n}\times \mathbb {R}$ das Maß $0$ hat, so auch der Gesamtgraph.  Nehmen wir nun an, dass ${\left(\mu \otimes \lambda ^{1}\right)}{\left(\Gamma (f)\right)}>0$ ist. Es ist
    $\Gamma (f)=\biguplus _{n\in \mathbb {Z} }{\left(\Gamma (f)\cap (M\times [n,n+1\right)}\,$
eine disjunkte abzählbare Vereinigung, sodass mindestens einer dieser „Streifen“ ein positives Maß haben muss. Wir können $M$ durch $f^{-1}([n,n+1$ ersetzen und daher annehmen, dass das Bild von $f$ in $[n,n+1]$ liegt. Wir betrachten die abzählbar unendlich vielen Verschiebungen
    $\Gamma (f)+q{\text{ mit }}q\in \mathbb {Q} \cap [0,1].$
Diese sind paarweise disjunkt und sie liegen alle in $M\times [n,n+2]$. Wegen der Translationsinvarianz von $\lambda ^{1}$ ist auch für jedes $q$ die Abbildung
    $M\times \mathbb {R} \longrightarrow M\times \mathbb {R} ,\,(x,t)\longmapsto (x,t+q),$
maßtreu (man betrachte die Quader, die das Produktmaß festlegen, siehe Aufgabe), und daher besitzt jede Verschiebung des Graphen das gleiche Maß wie der Graph selbst. Aus
    ${\begin{aligned}\sum _{q\in \mathbb {Q} \cap [0,1]}{\left(\mu \otimes \lambda ^{1}\right)}{\left(\Gamma (f)+q\right)}&=(\mu \otimes \lambda ^{1}){\left(\biguplus _{q\in \mathbb {Q} \cap [0,1]}(\Gamma (f)+q)\right)}\\&\leq (\mu \otimes \lambda ^{1})(M\times [n,n+2])\\&=\mu (M)\cdot 2\\&<\infty \end{aligned}}$
ergibt sich ein Widerspruch.
# Projektiver Raum/Hyperfläche/Grad/Definition

Zu einer projektiven Hyperfläche
    $V_{+}(F)=\operatorname {Proj} {\left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F)\right)}\subset {\mathbb {P} }_{K}^{n}\,$
zu einem homogenen Polynom $F\in K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ nennt man den Grad von $F$ auch den Grad der Hyperfläche.
# Ableitung/Hintereinanderschaltung/Induktion/Aufgabe

Es sei
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
eine differenzierbare Funktion. Zeige durch Induktion, dass für die $n$-fache Hintereinanderschaltung ($n\geq 1$)
    $f^{\circ n}=f\circ f\circ \cdots \circ f\,\,\,(n{\text{ mal}})$
die Beziehung
    ${\left(f^{\circ n}\right)}'=f'\cdot \prod _{i=1}^{n-1}{\left(f'\circ f^{\circ i}\right)}\,$
gilt.
# Spektralradius/Maximumsnorm/Fakt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum und
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
ein Endomorphismus. Es sei eine Norm auf $V$ gegeben und $\Vert {-}\Vert _{\rm {max}}$ die entsprechende Norm auf dem Endomorphismenraum.
Dann gilt für den Spektralradius die Abschätzung
# Messbare Funktion/Monotone Approximation durch einfache Funktionen/Fakt/Beweis

Die Idee ist, die Funktion $f$ im $n$-ten Schritt durch eine einfache Funktion $f_{n}$ zu approximieren, deren Werte rationale Zahlen der Form ${\frac {k}{2^{n}}}$ mit $0\leq k\leq n2^{n}$ sind. Dies sind nur endlich viele Zahlen. Für jede nichtnegative reelle Zahl $a$ ist entweder $a\geq n$, oder es gibt ein eindeutig bestimmtes $k$ zwischen $0$ und $n2^{n}-1$ mit ${\frac {k}{2^{n}}}\leq a<{\frac {k+1}{2^{n}}}$. Daher ist die folgende einfache Funktion wohldefiniert.
    $f_{n}(x):={\begin{cases}{\frac {k}{2^{n}}},\,{\text{ falls }}{\frac {k}{2^{n}}}\leq f(x)<{\frac {k+1}{2^{n}}}{\text{ mit }}k\leq n2^{n}-1\,,\\n{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,$
Sie ist messbar, da aufgrund der Messbarkeit von $f$ die Mengen ${\left\{x\in M\mid {\frac {k}{2^{n}}}\leq f(x)<{\frac {k+1}{2^{n}}}\right\}}$ messbar sind. Die Folge dieser Funktionen wächst offenbar gegen $f$.
# Projektiver Raum/Logarithmische Höhe/Definition

Zu $P\in {\mathbb {P} }_^{m}({\overline {\mathbb {Q} }})$ nennt man
    $h(P):=\ln H(P)\,,$
wobei $H(P)$ die absolute Höhe von $P$ bezeichnet, die logarithmische Höhe
von $P$.
# Ableitung/K/Produkt von n Funktionen/Aufgabe

Es sei $D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen und seien
    $f_{i}\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} },\,i=1,\ldots ,n,$
differenzierbare Funktionen. Beweise die Formel
    $(f_{1}{\cdots }f_{n})'=\sum _{i=1}^{n}f_{1}{\cdots }f_{i-1}f_{i}'f_{i+1}{\cdots }f_{n}\,.$
# Spektrum/Faktorieller Bereich/Prägarbe/Strukturgarbe/Fakt

Es sei $R$ ein faktorieller Integritätsbereich.
Dann ist für offene Mengen $U\subseteq \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ die Zuordnung
gleich der Strukturgarbe auf $\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$.
# Messbare Funktion/Tschebyschow-Abschätzung/Fakt/Beweis

Es sei $T={\left\{x\in M\mid f(x)\geq a\right\}}$. Dann ist
    $T\times [0,a]\subseteq S(f)\,,$
also
    $a\cdot \mu (T)=(\mu \otimes \lambda ^{1})(T\times [0,a])\leq (\mu \otimes \lambda ^{1})(S(f))=\int _{M}f\,d\mu \,.$
# Projektiver Raum/Zahlbereich/Absolute Höhe/Definition

Es sei $P\in {\mathbb {P} }_^{m}({\overline {\mathbb {Q} }})$ und sei $K$ ein Zahlkörper, über den der Punkt $P$ definiert ist. Dann nennt man
    $H(P):=H_{K}(P)^{\frac {1}{\operatorname {grad} _{\mathbb {Q} }K}}={\sqrt[{\operatorname {grad} _{\mathbb {Q} }K}]{H_{K}(P)}}\,$
die absolute Höhe
von $P$.
# Ableitung/Quotientenversion/Aufgabe

Es sei $f\colon I\rightarrow \mathbb {R} _{+}$ eine auf einem offenen Intervall definierte Funktion. Wir interessieren uns für den Limes
    $\operatorname {lim} _{h\rightarrow 0}\,{\left({\frac {f(x+h)}{f(x)}}\right)}^{\frac {1}{h}}$
zu einem Punkt $x\in I$.
* Bestimme diesen Limes für die Funktion mit einem $a\in \mathbb {R} _{+}$.
    $f(x)=a^{x}\,$
* Es sei $f$ in $x\in I$ differenzierbar. Zeige
    $\operatorname {lim} _{h\rightarrow 0}\,{\left({\frac {f(x+h)}{f(x)}}\right)}^{\frac {1}{h}}=\exp \left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)\,$
* Überprüfe das Ergebnis aus (1) mit Hilfe der Formel aus (2).
# Spektrum/Modul/Garbe/Fakt

Zu einem $R$-Modul über einem kommutativen Ring $R$ ist ${\widetilde {M}}$
ein ${\mathcal {O}}_{X}$-Modul auf dem affinen Schema $X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$.
# Messbare Funktionen/Abzählbare Indexmenge/Supremum und Infimum/Fakt/Beweis

Für jedes $a\in \mathbb {R}$ ist
    ${\left\{x\in M\mid {\operatorname {sup} \,(f_{i},i\in I)}(x)\geq a\right\}}=\bigcap _{k\in \mathbb {N} _{+}}{\left(\bigcup _{i\in I}{\left\{x\in M\mid f_{i}(x)\geq a-{\frac {1}{k}}\right\}}\right)}\,.$
Zum Beweis dieser Gleichung sei $x$ links enthalten und $k\in \mathbb {N} _{+}$ vorgegeben. Wegen ${\operatorname {sup} \,(f_{i}(x),i\in I)}\geq a$ kann nicht
    $f_{i}(x)<a-{\frac {1}{k}}\,$
für alle $i$ gelten, da sonst das Supremum echt kleiner als $a$ wäre. Es gibt also ein $i\in I$ mit $f_{i}(x)\geq a-{\frac {1}{k}}$, und $x$ gehört auch rechts dazu. Wenn umgekehrt $x$ zur rechten Menge dazugehört, so gibt es für jedes $k\in \mathbb {N} _{+}$ ein $i\in I$ mit $f_{i}(x)\geq a-{\frac {1}{k}}$. Daher ist ${\operatorname {sup} \,(f_{i}(x),i\in I)}\geq a-{\frac {1}{k}}$ für alle $k$ und somit ${\operatorname {sup} \,(f_{i}(x),i\in I)}\geq a$.
Die Menge rechts ist als abzählbarer Durchschnitt von abzählbaren Vereinigungen von nach Voraussetzung messbaren Mengen wieder messbar. Nach Fakt folgt daraus die Messbarkeit der Supremumsabbildung. Die Messbarkeit der Infimumsabbildung beweist man ähnlich oder führt sie durch Betrachten der negativen Funktionen auf die Messbarkeit der Supremumsabbildung zurück.
# Projektiver Raum/Zahlbereich/Höhe/Definition

Es sei $K$ ein Zahlkörper und sei $P\in {\mathbb {P} }_{K}^{m}$ ein $K$-Punkt mit den homogenen Koordinaten $P=\left(x_{0},\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{m}\right)$. Dann versteht man unter der Höhe
(über $K$) von $P$ die reelle Zahl
    $H_{K}(P):=\prod _{v\in M_{K}}\max\{\vert {x_{0}}\vert _{v}^{n_{v}},\vert {x_{1}}\vert _{v}^{n_{v}},\ldots ,\vert {x_{m}}\vert _{v}^{n_{v}}\}=\prod _{v\in M_{K}}\max\{\Vert {x_{0}}\Vert _{v},\Vert {x_{1}}\Vert _{v},\ldots ,\Vert {x_{m}}\Vert _{v}\}\,.$
# Ableitung/R/Produkt von n Funktionen/Aufgabe

Es sei $D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge und seien
    $f_{i}\colon D\longrightarrow \mathbb {R} ,\,i=1,\ldots ,n,$
differenzierbare Funktionen. Beweise die Formel
    ${\left(\prod _{i=1}^{n}f_{i}\right)}'=\sum _{i=1}^{n}f_{i}'\cdot \prod _{j=1,j\neq i}^{n}f_{j}\,.$
# Spektrum/Strukturgarbe/Garbe/Fakt

Die Strukturgarbe ${\mathcal {O}}_{X}$ auf dem Spektrum $X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ eines kommutativen Ringes $R$
ist eine Garbe von kommutativen Ringen.
# Messbare Funktionen/Folge/Supremum und Infimum/Fakt/Beweis

Für jedes $a\in \mathbb {R}$ ist
    ${\left\{x\in M\mid {\operatorname {sup} \,(f_{n},n\in \mathbb {N} )}(x)\geq a\right\}}=\bigcap _{k}(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }{\left\{x\in M\mid f_{n}(x)\geq a-{\frac {1}{k}}\right\}})\,.$
Diese Menge ist als abzählbarer Durchschnitt von abzählbaren Vereinigungen von nach Voraussetzung messbaren Mengen wieder messbar. Nach Fakt folgt dadurch die Messbarkeit der Supremumsabbildung. Die Messbarkeit der Infimumsabbildung beweist man ähnlich oder führt sie durch Betrachten der negativen Funktionen auf die Messbarkeit der Supremumsabbildung zurück.
# Projektives Schema/Körper/Garbe/Euler-Charakteristik/Definition

Es sei $X$ ein projektives Schema über einem Körper $K$. Zu einer kohärenten Garbe ${\mathcal {G}}$ nennt man
    $\chi {\left({\mathcal {G}}\right)}:=\sum _{i=0}^{\operatorname {dim} {\left(X\right)}}(-1)^{i}h^{i}(X,{\mathcal {G}})\,$
die Euler-Charakteristik
von ${\mathcal {G}}$.
# Ableitung/Umkehrfunktion/Falscher Beweis/Aufgabe

Es sei
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
eine bijektive differenzierbare Funktion mit $f'(x)\neq 0$ für alle $x\in \mathbb {R}$ und der Umkehrfunktion $f^{-1}$. Was ist an folgendem „Beweis“ für die Ableitung der Umkehrfunktion nicht korrekt?
Es ist
    ${\left(f\circ f^{-1}\right)}(y)=y\,.$
Mit der Kettenregel erhalten wir durch beidseitiges Ableiten die Gleichung
    $f'{\left(f^{-1}(y)\right)}{\left(f^{-1}\right)}'(y)=1\,.$
Also ist
    ${\left(f^{-1}\right)}'(y)={\frac {1}{f'{\left(f^{-1}(y)\right)}}}\,.$
# Spezielle lineare Gruppe/2/Z/Erzeuger/Eigenschaften/Fakt

In $\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}$ mit
    $S={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}\,$
und
    $T={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}\,$
gelten die Beziehungen
# Messbare numerische Funktion/Betragsfunktion messbar/Fakt/Beweis

Dies folgt wegen $\vert {f}\vert ={\operatorname {sup} \,(f,-f)}$ aus Fakt (1) und aus Fakt.
# Prädikatenlogik/Ableitbar/Definition

Ein Ausdruck $\alpha \in L^{S}$ heißt ableitbar
im Prädikatenkalkül (oder eine syntaktische Tautologie ), wenn er sich aus den Grundtautologien, also
durch sukzessive Anwendung der Ableitungsregeln Modus ponens und der Existenzeinführung im Antezedens erhalten lässt. Die Ableitbarkeit wird durch
    $\vdash \alpha$
ausgedrückt.
# Ableitungskalkül/Aussagenmengen/Vereinigung und Durchschnitt/Aufgabe

Es seien $\Gamma _{1},\Gamma _{2}\subseteq L^{V}$ Ausdrucksmengen in der Sprache der Aussagenlogik zu einer Aussagenvariablenmenge $V$ und seien $\alpha ,\beta \in L^{V}$.
* Es gelte $\Gamma _{1}\vdash \alpha$ und $\Gamma _{2}\vdash \beta$. Zeige $\Gamma _{1}\cup \Gamma _{2}\vdash \alpha \wedge \beta$.
* Es gelte $\Gamma _{1}\vdash \alpha$ und $\Gamma _{2}\vdash \alpha$. Folgt daraus $\Gamma _{1}\cap \Gamma _{2}\vdash \alpha$?
# Spezielle lineare Gruppe/2/Z/Erzeuger/Fakt

Die spezielle lineare Gruppe $\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}$
wird von den beiden Matrizen $S={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}$ und $T={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}$ erzeugt.
# Messbare numerische Funktion/Charakterisierung mit Urbilder von halbseitigen Intervallen/Fakt/Beweis

Die Bedingungen (2), (3), (4), (5) sind jeweils notwendig, da halbseitig unbeschränkte Intervalle Borel-Mengen von ${\overline {\mathbb {R} }}$ sind. Ist umgekehrt eine der Bedingungen (2), (3), (4) oder (5) erfüllt, so betrachtet man für $a<b$ die Menge ${[a,b=[a,\infty ]\setminus [b,\infty ]$ (unter Bedingung (2) bzw. entsprechende Mengen unter den anderen Bedingungen). Nach Voraussetzung sind dann auch die Urbilder von diesen halboffenen Intervallen messbare Teilmengen in $M$. Da die halboffenen Intervalle nach Fakt ein Erzeugendensystem der Borel-Mengen von $\mathbb {R}$ bilden, folgt die Aussage aus Fakt.
# Prädikatenlogik/Atomarer Ausdruck/Definition

Unter einem atomaren Ausdruck
versteht man Ausdrücke der Form $s=t$, wobei $s$ und $t$ Terme sind, und der Form $Rt_{1}\ldots t_{n}$, wobei $R$ ein $n$-stelliges Relationssymbol ist und $t_{1},\ldots ,t_{n}$ Terme sind.
# Ableitungskalkül/Aussagenvariablenmenge als Aussagenmenge/Beispiele/1/Aufgabe

Es sei $V=\{p,q,r\}$ eine Aussagenvariablenmenge. Welche der folgenden Aussagen aus $L^{V}$ lassen sich aus $\Gamma =V$ ableiten?
    $p,$
    $p\wedge q\rightarrow r,$
    $\neg p\wedge q\rightarrow r,$
    $\neg p\wedge \neg q\rightarrow \neg r,$
    $p\rightarrow (q\rightarrow r),$
    $p\rightarrow (q\rightarrow \neg r),$
    $\neg q.$
# Stammbruchquadrat/Summe/Bernoulli-Polynome/Fakt

Es ist
# Messbare numerische Funktionen/Punktweise konvergent/Grenzfunktion/Fakt/Beweis

Wir zeigen, dass die Urbilder von Mengen der Form $]a,\infty ]$ unter der Grenzfunktion $f$ messbare Mengen sind. Daraus folgt nach Fakt die Messbarkeit von $f$. Für jedes $a\in \mathbb {R}$ gilt die Gleichheit
    ${\left\{x\in M\mid f(x)>a\right\}}=\bigcup _{k\in \mathbb {N} _{+}}{\left(\bigcup _{n_{0}\in \mathbb {N} }{\left(\bigcap _{n\geq n_{0}}{\left\{x\in M\mid f_{n}(x)>a+{\frac {1}{k}}\right\}}\right)}\right)}\,.$
Zum Beweis dieser Gleichheit sei zuerst $f(x)>a$. Dann gilt auch $f(x)>a+{\frac {1}{k}}$ für ein hinreichend großes $k$. D.h. dass $]a+{\frac {1}{k}},\infty ]$ eine offene Umgebung von $f(x)$ ist. Dann gehört $x$ auch zur inneren Vereinigung der rechten Seite, da diese die mengentheoretische Formulierung für den Sachverhalt ist, dass es ein $n_{0}$ derart gibt, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Folgenglieder $f_{n}(x)$ ebenfalls zu $]a+{\frac {1}{k}},\infty ]$ gehören. Wenn hingegen $x$ zur rechten Seite gehört, so bedeutet dies, dass es $k,n_{0}\in \mathbb {N} _{+}$ derart gibt, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Beziehung $f_{n}(x)>a+{\frac {1}{k}}$ besteht. Dann gilt für den Limes $f(x)\geq a+{\frac {1}{k}}$ und damit $f(x)>a$.
Die rechte Seite der Gleichung zeigt, dass es sich um eine messbare Menge handelt, da abzählbare Durchschnitte und abzählbare Vereinigungen von messbaren Mengen wieder messbar sind.
# Prädikatenlogik/Ausdrucksmenge/Ableitbar/Definition

Es sei $S$ ein Symbolalphabet, $\Gamma$ eine Menge an $S$-Ausdrücken
$\alpha$
$S$
$\alpha$
$\Gamma$
    $\Gamma \vdash \alpha ,$
$\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\in \Gamma$ derart gibt, dass
    $\vdash \alpha _{1}\wedge \ldots \wedge \alpha _{n}\rightarrow \alpha$
gilt.
# Abschätzung/2n^n und (n+1)^n/Aufgabe

Zeige die Abschätzung
    $2n^{n}\leq (n+1)^{n}\,$
für $n\in \mathbb {N} _{+}$.
# Messraum/Messbare Funktion/Subgraph ist messbar/Fakt/Beweis

Die Projektion
    $p_{2}\colon M\times {\overline {\mathbb {R} }}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,(x,y)\longmapsto y,$
ist nach Fakt messbar, und ebenso ist
    $\psi :M\times {\overline {\mathbb {R} }}{\stackrel {p_{1}}{\longrightarrow }}M{\stackrel {f}{\longrightarrow }}{\overline {\mathbb {R} }}$
messbar. Nach Fakt und Fakt ist dann auch die Abbildung
    $\varphi :M\times {\overline {\mathbb {R} }}{\stackrel {\psi \times p_{2}}{\longrightarrow }}{\overline {\mathbb {R} }}\times {\overline {\mathbb {R} }}{\stackrel {-}{\longrightarrow }}{\overline {\mathbb {R} }}$
messbar. Es ist
    $\Gamma (f)={\left\{(x,y)\in M\times {\overline {\mathbb {R} }}\mid y=f(x)\right\}}=\varphi ^{-1}(0)\,$
und
    $S(f)={\left\{(x,y)\in M\times {\overline {\mathbb {R} }}\mid 0\leq y\leq f(x)\right\}}=p_{2}^{-1}{\left({\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}\right)}\cap \varphi ^{-1}{\left({\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}\right)}\,,$
sodass diese beiden Mengen messbar sind.
# Prädikatenlogik/Modell/Elementare Äquivalenz für Elemente/Definition

Es sei $S$ ein erststufiges Symbolalphabet und $M$ eine $S$-Struktur. Wir nennen zwei Elemente $m,n\in M$ elementar äquivalent,
wenn für jeden Ausdruck $\alpha \in L_{1}^{S}$ in der einen freien Variablen $x$ und jede Variablenbelegung $\lambda$ auf $M$ die Beziehung
    $I{\frac {m}{x}}\vDash \alpha {\text{ genau dann, wenn }}I{\frac {n}{x}}\vDash \alpha$
gilt.
# Abschätzung/n hoch n+1 und n+1 hoch n/Aufgabe

Zeige, dass für $n\geq 3$ die Abschätzung
    $n^{n+1}\geq (n+1)^{n}\,$
gilt.
# Stammfunktion/Rationale Funktion in Exponentialfunktion/Fakt

Es sei $f$ eine rationale Funktion in der Exponentialfunktion, d.h. es gebe Polynome $P,Q\in \mathbb {R} [X]$, $Q\neq 0$, derart, dass
    $f(t)={\frac {P{\left(e^{t}\right)}}{Q{\left(e^{t}\right)}}}\,$
gilt.
Dann kann man durch die Substitution $t=\ln s$ das Integral $\int _^f(t)\,dt$ auf das Integral einer rationalen Funktion zurückführen.
# Metrische Räume/Abbildung/Grenzwert/Charakterisierungen/Fakt/Beweis

$(1)\Rightarrow (2)$. Da $V$ offen ist gibt es ein $\epsilon >0$ mit $U{\left(b,\epsilon \right)}\subseteq V$. Aufgrund von (1) gibt es ein $\delta >0$ mit
    $f(T\cap U{\left(a,\delta \right)})\subseteq U{\left(b,\epsilon \right)}\,$
und wir können $U=T\cap U{\left(a,\delta \right)}$ nehmen. $(2)\Rightarrow (3)$. Es sei eine gegen $a$ konvergente Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in T$ und ein $\epsilon >0$ gegeben. Für die offene Menge $V=U{\left(b,\epsilon \right)}$ gibt es nach (2) eine offene Menge $U\subseteq M$ mit $a\in U$ und $f(U\cap T)\subseteq V$. Wegen der Offenheit von $U$ gibt es auch ein $\delta >0$ mit $U{\left(a,\delta \right)}\cap T\subseteq U\cap T$. Da die Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $a$ konvergiert, gibt es ein $N\in \mathbb {N}$ mit $x_{n}\in U{\left(a,\delta \right)}$ für alle $n\geq N$. Für diese $n$ ist dann $f(x_{n})\in U{\left(b,\epsilon \right)}$, d.h. die Bildfolge konvergiert gegen $b$. $(3)\Rightarrow (1)$. Nehmen wir an, dass $b$ nicht der Grenzwert ist. Dann gibt es ein $\epsilon >0$ derart, dass es für alle $\delta >0$ ein $x\in T$ gibt mit $x\in U{\left(a,\delta \right)}$ und mit $f(x)\notin U{\left(b,\epsilon \right)}$. Wir wenden diese Eigenschaft auf die Stammbrüche $\delta =1/n$ , $n\in \mathbb {N}$, an und erhalten eine Folge
    $x_{n}\in U{\left(a,1/n\right)}{\text{ und }}f(x_{n})\not \in U{\left(b,\epsilon \right)}.$
${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$
$a$
${\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$
$b$
# Prädikatenlogik/Rang eines Ausdrucks/Definition

Es sei ein Alphabet einer Sprache erster Stufe gegeben. Dann definiert man für Ausdrücke $\alpha \in L^{S}$ den Rang
$\rho$ von $\alpha$ durch
* $\rho (\alpha )=0$, falls $\alpha$ atomar ist.
* $\rho (\alpha )=\rho (\beta )+1$, falls $\alpha =\neg (\beta )$ ist.
* $\rho (\alpha )=\rho (\beta )+\rho (\gamma )+1$, falls $\alpha =(\beta )\circ (\gamma )$ mit $\circ =\wedge ,\,\vee ,\,\rightarrow ,\leftrightarrow$ ist.
* $\rho (\alpha )=\rho (\beta )+1$, falls $\alpha =\exists x\beta$ oder $\alpha =\forall x\beta$ ist.
# Abschätzung/n! und n+1 durch 2 hoch n/Aufgabe

Zeige die Abschätzung
    $n!\leq {\left({\frac {n+1}{2}}\right)}^{n}\,$
für $n\in \mathbb {N} _{+}$.
# Stammfunktion/Rationale Funktion in Hyperbelfunktionen/Fakt

Es sei eine rationale Funktion in den Hyperbelfunktionen $\sinh$ und $\cosh$ gegeben, d.h. es gebe zwei Polynome $P$ und $Q$ in zwei Variablen mit $Q\neq 0$ derart, dass
    $f(t)={\frac {P(\sinh t,\cosh t)}{Q(\sinh t,\cosh t)}}\,$
gilt.
Dann lässt sich das Integral
auf das Integral einer rationalen Funktion in der Exponentialfunktion zurückführen und damit lösen.
# Metrische Räume/Stetige Abbildung/Charakterisierung in einem Punkt/Fakt/Beweis

Die Äquivalenz von (1) und (2) ist klar. Es sei nun (2) erfüllt und sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $L$, die gegen $x$ konvergiert. Wir müssen zeigen, dass $\lim _{n\rightarrow \infty }f(x_{n})=f(x)$ ist. Dazu sei $\epsilon >0$ gegeben. Wegen (2) gibt es ein $\delta$ mit der angegebenen Eigenschaft und wegen der Konvergenz von ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $x$ gibt es eine natürliche Zahl $n_{0}$ derart, dass für alle $n\geq n_{0}$ die Abschätzung
    $d(x_{n},x)\leq \delta \,$
gilt. Nach der Wahl von $\delta$ ist dann
    $d(f(x_{n}),f(x))\leq \epsilon {\text{ für alle }}n\geq n_{0},$
$f(x)$
Es sei (3) erfüllt und $\epsilon >0$ vorgegeben. Wir nehmen an, dass es für alle $\delta >0$ Elemente $z\in L$ gibt, deren Abstand zu $x$ maximal gleich $\delta$ ist, deren Wert $f(z)$ unter der Abbildung aber zu $f(x)$ einen Abstand größer als $\epsilon$ besitzt. Dies gilt dann insbesondere für die Stammbrüche $\delta =1/n$, $n\in \mathbb {N}$. D.h. für jede natürliche Zahl $n$ gibt es ein $x_{n}\in L$ mit
    $d(x_{n},x)\leq {\frac {1}{n}}{\text{ und mit }}d(f(x_{n}),f(x))>\epsilon .$
Diese so konstruierte Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert gegen $x$, aber die Bildfolge konvergiert nicht gegen $f(x)$, da der Abstand der Bildfolgenwerte zu $f(x)$ zumindest $\epsilon$ ist. Dies ist ein Widerspruch zu (3).
# Prädikatenlogik/Variablensubstitution/Ausdrücke/Definition

Es sei ein Symbolalphabet $S$ einer Sprache erster Stufe gegeben. Es seien $x_{1},\ldots ,x_{k}$ paarweise verschiedene Variablen und $t_{1},\ldots ,t_{k}$ fixierte $S$-Terme. Dann definiert man rekursiv über den Aufbau der $S$-Ausdrücke die Substitution
$\alpha {\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}$ für jeden $S$-Ausdruck $\alpha$.
* Für Terme $s_{1},s_{2}$ setzt man
    $(s_{1}=s_{2}){\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}:=s_{1}{\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}=s_{2}{\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}\,.$
* Für ein $n$-stelliges Relationssymbol $R$ und $n$ Terme $s_{1},\ldots ,s_{n}$ setzt man
    $(Rs_{1}\ldots s_{n}){\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}:=Rs_{1}{\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}\ldots s_{n}{\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}\,.$
* Für einen Ausdruck $\alpha$ setzt man
    $(\neg \alpha ){\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}:=\neg \alpha {\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}\,.$
* Für Ausdrücke $\alpha$ und $\beta$ setzt man und ebenso für die anderen zweistelligen Junktoren.
    $(\alpha \wedge \beta ){\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}:=\alpha {\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}\wedge \beta {\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}\,$
* Für einen Ausdruck $\alpha$ seien $x_{i_{1}},\ldots ,x_{i_{r}}$ diejenigen Variablen (unter den $x_{1},\ldots ,x_{k}$), die in $\forall x\alpha$ frei vorkommen. Es sei $v=x$, falls $x$ nicht in $t_{i_{1}},\ldots ,t_{i_{r}}$ vorkommt. Andernfalls sei $v$ die erste Variable (in einer fixierten Variablenaufzählung, falls es abzählbar viele Variablen gibt, bzw. in einer fixierten Wohlordnung der Variablenmenge), die weder in $\alpha$ noch in $t_{i_{1}},\ldots ,t_{i_{r}}$ vorkommt. Dann setzt man und ebenso für den Existenzquantor.
    $(\forall x\alpha ){\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}:=\forall v\alpha {\frac {t_{i_{1}},\ldots ,t_{i_{r}},v}{x_{i_{1}},\ldots ,x_{i_{r}},x}}\,$