OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Dedekindbereich/Primideal/Unzerlegt/Definition

Es sei $R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper $K$, $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung vom Grad $n$ und $S$ der ganze Abschluss von $R$ in $L$. Ein von $0$ verschiedenes Primideal ${\mathfrak {p}}$ von $R$ heißt unzerlegt
in $S$, wenn es genau ein Primideal in $S$ oberhalb von ${\mathfrak {p}}$ gibt.
# Rationale Zahlen/Elementar/Anordnung/Definition/Begriff/Inhalt

Auf den rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ wird die Größergleichrelation $\geq$ durch ${\frac {a}{b}}\geq {\frac {c}{d}}$ (bei positiven Nennern $b,d\in \mathbb {N} _{+}$), falls $ad\geq cb$ in $\mathbb {Z}$ gilt, definiert.
# Stetige Funktion/Nullfolge/Iterationen/Aufgabe

Es sei $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion mit $f(0)=0$ und sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge. Zu $k\in \mathbb {N} _{+}$ bezeichne $f^{k}$ die $k$-fache Hintereinanderschaltung von $f$ mit sich selbst.
* Sei $k$ fixiert. Zeige, dass die Folge $f^{k}(x_{n})$, $n\in \mathbb {N}$, eine Nullfolge ist.
* Man gebe ein Beispiel, das zeigt, dass die Folge $f^{n}(x_{n})$, $n\in \mathbb {N}$, keine Nullfolge sein muss.
# Kommutativer Halbring/Erste binomische Formel/Fakt

In einem kommutativen Halbring $R$
gilt die erste binomische Formel, also die Beziehung
# Diskrete Bewertungsringe/Charakterisierung/1/Fakt/Beweis

$(1)\Rightarrow (2)$ folgt direkt aus der Definition.
$(2)\Rightarrow (3)$ folgt aus Fakt.
$(3)\Rightarrow (4)$ folgt aus Fakt.
$(4)\Rightarrow (5)$. Es sei $f\in {\mathfrak {m}}$, $f\neq 0$. Dann ist $R/(f)$ ein noetherscher lokaler Ring mit nur einem Primideal (nämlich ${\tilde {\mathfrak {m}}}={\mathfrak {m}}R/(f)$). Daher gibt es nach Fakt ein $n\in \mathbb {N}$ mit ${\tilde {\mathfrak {m}}}^{n}=0$. Zurückübersetzt nach $R$ heißt das, dass ${\mathfrak {m}}^{n}\subseteq (f)$ gilt. Wir wählen $n$ minimal mit den Eigenschaften
    ${\mathfrak {m}}^{n}\subseteq (f)\,\,{\text{ und }}\,\,{\mathfrak {m}}^{n-1}\not \subseteq (f).$
Wähle $g\in {\mathfrak {m}}^{n-1}$ mit $g\not \in (f)$ und betrachte
    $h:={\frac {f}{g}}\in Q(R)\,$
(es ist $g\neq 0$). Das Inverse, also $h^{-1}={\frac {g}{f}}$, gehört nicht zu $R$, sonst wäre $g\in (f)$. Da $R$ nach Voraussetzung normal ist, ist $h^{-1}$ auch nicht ganz über $R$. Nach dem Modulkriterium Fakt für die Ganzheit gilt insbesondere für das maximale Ideal ${\mathfrak {m}}\subset R$ die Beziehung
    $h^{-1}{\mathfrak {m}}\not \subseteq {\mathfrak {m}}\,$
ist. Nach Wahl von $g$ ist aber auch
    $h^{-1}{\mathfrak {m}}={\frac {g}{f}}{\mathfrak {m}}\subseteq {\frac {{\mathfrak {m}}^{n}}{f}}\subseteq R\,.$
Daher ist $h^{-1}{\mathfrak {m}}$ ein Ideal in $R$, das nicht im maximalen Ideal enthalten ist. Also ist $h^{-1}{\mathfrak {m}}=R$. Das heißt einerseits $h\in {\mathfrak {m}}$ und andererseits gilt für ein beliebiges $x\in {\mathfrak {m}}$ die Beziehung $h^{-1}x\in R$, also $x=h(h^{-1}x)$, also $x\in (h)$ und somit $(h)={\mathfrak {m}}$.
$(5)\Rightarrow (1)$. Sei ${\mathfrak {m}}=(\pi )$. Dann ist $\pi$ ein Primelement und zwar bis auf Assoziiertheit das einzige. Es sei $f\in R$, $f\neq 0$ keine Einheit. Dann ist $f\in {\mathfrak {m}}$ und daher $f=\pi g_{1}$. Dann ist $g_{1}$ eine Einheit oder $g_{1}\in {\mathfrak {m}}$. Im zweiten Fall ist wieder $g_{1}=\pi g_{2}$ und $f=\pi ^{2}g_{2}$.
Wir behaupten, dass man $f=\pi ^{k}u$ mit einem $k\in \mathbb {N}$ und einer Einheit $u$ schreiben kann. Andernfalls könnte man $f=\pi ^{n}g_{n}$ mit beliebig großem $n$ schreiben. Nach Fakt gibt es ein $m\in \mathbb {N}$ mit $(\pi ^{m})={\mathfrak {m}}^{m}\subseteq (f)$. Bei $n\geq m+1$ ergibt sich $\pi ^{m}=af=a\pi ^{m+1}b$ und der Widerspruch $1=ab\pi$.
Es lässt sich also jede Nichteinheit $\neq 0$ als Produkt einer Potenz des Primelements mit einer Einheit schreiben. Insbesondere ist $R$ faktoriell. Für ein beliebiges Ideal ${\mathfrak {a}}=(f_{1},\ldots ,f_{s})$ ist $f_{i}=\pi ^{n_{i}}u_{i}$ mit Einheiten $u_{i}$. Dann sieht man leicht, dass ${\mathfrak {a}}=(\pi ^{n})$ ist mit $n=\min _{i}\{n_{i}\}$.
# Dedekindbereich/Primideal/Voll zerlegt/Definition

Es sei $R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper $K$, $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung vom Grad $n$ und $S$ der ganze Abschluss von $R$ in $L$. Ein von $0$ verschiedenes Primideal ${\mathfrak {p}}$ von $R$ heißt voll zerlegt
in $S$, wenn es $n$ Primideale in $S$ oberhalb von ${\mathfrak {p}}$ gibt.
# Reelle Basis/Rationale Potenz/Definition/Begriff/Inhalt

Zu $b\in \mathbb {R} _{+}$ und $q\in \mathbb {Q}$ mit $q={\frac {r}{s}}$ ($s>0$) setzt man
    $b^{q}=b^{\frac {r}{s}}:={\sqrt[{s}]{b^{r}}}\,.$
# Stetige Funktion/Quetschkriterium/Aufgabe

Es sei $a\in \mathbb {R}$ und seien $f,g,h\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ Funktionen. Dabei seien $g$ und $h$ stetig im Punkt $a$, es gelte $g(a)=f(a)=h(a)$ und es gelte $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$ für alle $x\in \mathbb {R}$. Zeige, dass auch $f$ in $a$ stetig ist.
# Kommutativer Halbring/Multinomialsatz/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Halbring und seien $x_{1},\ldots ,x_{k}\in R$ Elemente und $n\in \mathbb {N}$.
Dann ist
# Diskreter Bewertungsring/Endliche integre Erweiterung/Reduzierte Faser/Normal/Fakt/Beweis

Es sei ${\mathfrak {p}}$ ein maximales Ideal von $R$. Wir betrachten das kommutative Diagramm
    ${\begin{matrix}B&{\stackrel{\longrightarrow }}&R&{\stackrel{\longrightarrow }}&R_{\mathfrak {p}}&\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\B/(p)&{\stackrel{\longrightarrow }}&R/pR&{\stackrel{\longrightarrow }}&(R/pR)_{\mathfrak {p}}\cong R_{\mathfrak {p}}/pR_{\mathfrak {p}}&\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}$
Als Lokalisierung eines nach Voraussetzung reduzierten Ringes ist der Ring rechts unten reduziert, also hier sogar ein Körper. Dies heißt aber, dass
    $(p)R_{\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}\,$
gilt und das bedeutet, dass $R_{\mathfrak {p}}$ ein diskreter Bewertungsring ist.
# Dedekindbereich/Produkt von gebrochenen Idealen/Definition

Es sei $R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper $Q(R)$. Dann definiert man für gebrochene Ideale ${\mathfrak {f}}$ und ${\mathfrak {g}}$ das Produkt ${\mathfrak {f}}\cdot {\mathfrak {g}}$ als den von allen Produkten erzeugten $R$-Untermodul von $Q(R)$, also
    ${\mathfrak {f}}\cdot {\mathfrak {g}}:=R\langle gf:\,f\in {\mathfrak {f}},\,g\in {\mathfrak {g}}\rangle \,,$
wobei die Produkte in $Q(R)$ zu nehmen sind.
# Reelle Exponentialfunktion/Basis/Über Logarithmus/Definition/Begriff/Inhalt

Die Exponentialfunktion zur Basis $b$ ist als
    $b^{x}:=\exp(x\ln b)\,$
definiert.
# Stetige Funktionen/Teilmenge/Nullstellenfrei/Multiplikatives System/Aufgabe

Es sei $Y\subseteq \mathbb {R}$ eine fixierte Teilmenge. Zeige, dass die Menge
    $S={\left\{f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ stetig}},\,f{\text{ besitzt in }}T{\text{ keine Nullstelle}}\right\}}\,$
ein multiplikatives System im Ring der stetigen Funktionen auf $\mathbb {R}$ ist.
# Kommutativer Halbring/Potenzgesetze/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Halbring, $a,b\in R$ und $m,n\in \mathbb {N}$. Dann gelten die folgenden Potenzgesetze.
# Diskreter Bewertungsring/Erweiterung/Monogenitätstest/Nakayama/Fakt/Beweis

Wir betrachten die endliche Erweiterung
    $R=B[h]\subseteq S\,,$
die als identisch nachzuweisen ist. Es ist ${\mathfrak {m}}=B[h]\cap {\mathfrak {q}}$ das maximale Ideal von $B[h]$, der ebenfalls ein lokaler Ring ist, und es ist ${\mathfrak {m}}S=hS={\mathfrak {q}}$. Ferner ist
    $B[h]+hS=S\,.$
Für $f\in S$ gilt ja im Restekörper $\kappa ({\mathfrak {q}})$
    ${\overline {f}}={\overline {P}}({\overline {h}})\,$
mit einem Polynom ${\overline {P}}$ über $\kappa ({\mathfrak {p}})$. In $S$ gilt deshalb
    $f=P(h)+hg\,$
mit $g\in S$. Nach dem Lemma von Nakayama gilt $R=S$.
# Dedekindbereich/Quotientenkörper/Hauptdivisor/Definition

Es sei $R$ ein Dedekindbereich und $q\in Q(R)$, $q\neq 0$. Dann heißt die Abbildung, die jedem Primideal ${\mathfrak {p}}\neq 0$ in $R$ die Ordnung $\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(q)$ zuordnet, der durch $q$ definierte Hauptdivisor. Er wird mit $\operatorname {div} {\left(q\right)}$ bezeichnet und als formale Summe
    $\operatorname {div} {\left(q\right)}=\sum _{\mathfrak {p}}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(q)\cdot {\mathfrak {p}}\,$
geschrieben.
# Reelle Folge/Limes superior/Definition/Begriff/Inhalt

Es sei $H$ die Menge der Häufungspunkte der Folge $x_{n}$. Dann setzt man
    $\operatorname {lim} \operatorname {sup} \,{\left((x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\right)}={\operatorname {sup} \,(H)}\,$
und nennt diese Zahl (eventuell $+\infty$) den Limes superior der Folge.
# Strahlgraph/Knotenüberdeckungszahl/Aufgabe

Wir betrachten Graphen
    $G=S(n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k})\,$
von der folgenden Bauart: Es gibt ein Zentrum $z$, an das $k$ lineare Graphen (Strahlen) der Länge $n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k}$ anliegen. Ansonsten gibt es keine weiteren Kanten.
* Skizziere einen solchen Graphen für $k=5$ und
    $(n_{1},n_{2},n_{3},n_{4},n_{5})=(2,3,1,3,4)\,.$
* Erstelle eine Formel für die Anzahl der Knoten und die Anzahl der Kanten von $G$.
* Beschreibe eine minimale Knotenüberdeckung von $G$, die $z$ enthält, und eine minimale Knotenüberdeckung, die $z$ nicht enthält.
* Bestimme die Knotenüberdeckungszahl von $G$.
# Kommutativer noetherscher Ring/Hauptidealsatz/Allgemein/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer noetherscher Ring und $f_{1},\ldots ,f_{n}\in R$.
Dann besitzt jedes Primideal ${\mathfrak {p}}$, das oberhalb von $(f_{1},\ldots ,f_{n})$ liegt und minimal mit dieser Eigenschaft ist, eine Höhe $\leq n$.
# Diskreter Bewertungsring/Normiertes Polynom/Reduzierte Faser/Normal/Fakt/Beweis

Wir können direkt annehmen, dass die $F_{i}$ zu $B[X]$ gehören. Die maximalen Ideale von $R$ sind $(p,F_{j})$ für $j=1,\ldots ,s$. Die Voraussetzung bedeutet für $B[X]$ die Beziehung $F_{1}\cdots F_{s}=F+pH$ und für
    $R=B[X]/(F)\,$
die Gleichheit
    $F_{1}\cdots F_{s}=pH\,.$
Da $F_{i}$ und $F_{j}$ teilerfremd sind, sind die $F_{i}$ Einheiten in der Lokalisierung $R_{(p,F_{j})}$ und daher ist
    $F_{j}={\frac {H}{F_{1}\cdots F_{j-1}F_{j+1}\cdots F_{s}}}\cdot p\,.$
D.h. in $R_{(p,F_{j})}$ ist das maximale Ideal ein Hauptideal mit dem Erzeuger $p$ und daher liegt nach Fakt ein diskreter Bewertungsring vor. Somit ist $R$ normal.
# Dedekindscher Schnitt/Q/Definition

Unter einem Dedekindschen Schnitt
versteht man ein Paar $(A,B)$ bestehend aus Teilmengen der rationalen Zahlen, die folgende Eigenschaften erfüllen.
* $A$ und $B$ sind nicht leer.
* d.h. es liegt eine Zerlegung der Menge aller rationalen Zahlen in zwei Teilmengen vor.
    $A\uplus B=\mathbb {Q} \,,$
* Für jedes $x\in A$ und jedes $y\in B$ ist $x<y$.
* Zu $x\in A$ gibt es ein $x'\in A$ mit $x'>x$.
# Reelle Folge/Limes superior/Limes inferior/Definition/Begriff/Inhalt

Es sei $H$ die Menge der Häufungspunkte der Folge $x_{n}$. Dann setzt man
    $\operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left({\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)}=\inf \,{\left(H\right)}\,$
und nennt diese Zahl den Limes inferior der Folge.
# Ordnung/Echte Ordnung/Eigenschaften/Aufgabe

Es sei $(M,\preccurlyeq )$ eine nichtleere geordnete Menge. Wir betrachten die Relation $\prec$ auf $M$, die durch $x\prec y$, falls $x\preccurlyeq y$ und $x\neq y$ gilt, definiert ist.
* Ist $\prec$ transitiv?
* Ist $\prec$ reflexiv?
* Charakterisiere, wann $\prec$ symmetrisch ist.
* Ist $\prec$ antisymmetrisch?
# Kommutativer noetherscher Ring/Hauptidealsatz/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer noetherscher Ring und $f\in R$.
Dann besitzt jedes Primideal ${\mathfrak {p}}$, das oberhalb von $(f)$ liegt und minimal mit dieser Eigenschaft ist, eine Höhe $\leq 1$.
# Divisible Gruppe/Grundlegende Eigenschaften/Fakt/Beweis

Sei $n\in \mathbb {N} _{+}$. Für jedes $d\in D$ gibt es $e\in D$ mit $d=ne$. Dann gilt auch $[d]=n[e]$ in $D/H$.
# Der projektive Raum/Als Geradenmenge/Homogene Koordinaten/Ohne Topologie/Definition

Es sei $K$ ein Körper. Der projektive $n$-dimensionale Raum ${\mathbb {P} }_{K}^{n}$ besteht aus allen Geraden des ${{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}$ durch den Nullpunkt, wobei diese Geraden als Punkte aufgefasst werden. Ein solcher Punkt wird repräsentiert durch homogene Koordinaten $(a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n})$, wobei nicht alle $a_{i}=0$ sein dürfen, und wobei zwei solche Koordinatentupel genau dann den gleichen Punkt repräsentieren, wenn sie durch Multiplikation mit einem Skalar $\lambda \in K^{\times }$ ineinander übergehen.
# Reelle Funktion/Epigraph/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt die Menge $E(f)={\left\{(x,y)\in T\times \mathbb {R} \mid y\geq f(x)\right\}}$ den Epigraphen der Funktion.
# Polynomring/1/Nenneraufnahme an X/Cech-Kohomologie/Aufgabe

Es sei $A=R[X]$ über einem kommutativen Ring $R$. Bestimme den Čech-Komplex zur Strukturgarbe und zur einelementigen Überdeckung bestehend aus $D(X)$ der punktierten Geraden. Welche Homologie ergibt sich dabei?
# Kommutativer noetherscher Ring/Lokal/Parameterrealisierung/Fakt

Es sei $(R,{\mathfrak {m}})$ ein noetherscher lokaler Ring der Dimension $d$.
Dann gibt es Elemente $f_{1},\ldots ,f_{d}\in {\mathfrak {m}}$ mit
# Division mit Rest/N/Induktion/Fakt/Beweis

Zur Existenz. Dies wird durch Induktion über $n$ bewiesen. Es sei $d>0$ fixiert. Der Induktionsanfang für $n=0$ ergibt sich direkt mit $q=0$ und $r=0$. Für den Induktionsschluss sei die Aussage für $n$ bewiesen, d.h. wir haben eine Darstellung $n=dq+r$ mit $r<d$ und müssen eine ebensolche Darstellung für $n+1$ finden. Wenn $r<d-1$ ist, so ist
    $n+1=dq+r+1\,$
und wegen $r+1<d$ ist dies eine gesuchte Darstellung. Ist hingegen $r=d-1$, so ist
    $n+1=dq+r+1=dq+d=d(q+1)+0\,,$
und dies ist eine gesuchte Darstellung. Zur Eindeutigkeit. Sei $qd+r=n={\tilde {q}}d+{\tilde {r}}$, wobei die Bedingungen jeweils erfüllt seien. Es sei ohne Einschränkung ${\tilde {r}}\geq r$. Dann gilt $(q-{\tilde {q}})d={\tilde {r}}-r$. Diese Differenz ist nichtnegativ und kleiner als $d$, links steht aber ein Vielfaches von $d$, sodass die Differenz $0$ sein muss und die beiden Darstellungen übereinstimmen.
# Der projektive Raum/Mit Zariski-Topologie/Definition

Der projektive Raum ${\mathbb {P} }_{K}^{n}$ wird mit der Zariski-Topologie versehen, bei der die Mengen $V_{+}({\mathfrak {a}})\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ zu einem homogenen Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ als abgeschlossen erklärt werden.
# Reelle Funktion/Isoliertes lokales Maximum/Definition/Begriff/Inhalt

Man sagt, dass $f$ in einem Punkt $x\in \mathbb {R}$ ein isoliertes lokales Maximum besitzt, wenn es ein $\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle $x'\in \mathbb {R}$ mit $\vert {x-x'}\vert \leq \epsilon$ und $x'\neq x$ die Abschätzung
    $f(x)>f(x')\,$
gilt.
# Schach/Turm/Bipartit/Aufgabe

Wir betrachten den Spielzuggraphen zum Turm beim Schach auf einen $n\times n$-Brett.
* Zeige, dass dies bei $n\leq 2$ bipartit ist.
* Zeige, dass dies bei $n\geq 3$ nicht bipartit ist.
# Kommutativer noetherscher Ring/Primideal/Höhe/Parameterrealisierung/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer noetherscher Ring und ${\mathfrak {p}}\subseteq R$ ein Primideal der Höhe $d$.
Dann gibt es Elemente
derart, dass ${\mathfrak {p}}$ ein minimales Primideal über ${\left(f_{1},\ldots ,f_{d}\right)}$ ist.
# Division mit Rest/Z/Fakt/Beweis

Zur Existenz. Bei $n=0$ ist $q=r=0$ eine Lösung. Es sei $n$ positiv. Da $d$ positiv ist, gibt es ein Vielfaches $ad\geq n$. Daher gibt es auch eine Zahl $q$ mit $qd\leq n$ und $(q+1)d>n$. Es sei $r:=n-qd$. Dann ist
    $qd\leq qd+r<qd+d\,$
und daher ist $0\leq r<d$ wie gewünscht. Bei $n$ negativ kann man schreiben $-n={\tilde {q}}d+{\tilde {r}}$ nach dem Resultat für positive Zahlen. Daraus ergibt sich
    $n=(-{\tilde {q}})d-{\tilde {r}}={\begin{cases}(-{\tilde {q}})d+0{\text{ bei }}{\tilde {r}}=0\\(-{\tilde {q}}-1)d+d-{\tilde {r}}{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}$
Im zweiten Fall erfüllen $q=-{\tilde {q}}-1$ und $r=d-{\tilde {r}}$ die Bedingungen. Zur Eindeutigkeit. Es sei $qd+r=n={\tilde {q}}d+{\tilde {r}}$, wobei die Bedingungen jeweils erfüllt seien. Es sei ohne Einschränkung ${\tilde {r}}\geq r$. Dann gilt $(q-{\tilde {q}})d={\tilde {r}}-r$. Diese Differenz ist nichtnegativ und kleiner als $d$, links steht aber ein Vielfaches von $d$, sodass die Differenz $0$ sein muss und die beiden Darstellungen überein stimmen.
# Der projektive Raum/Nullstellengebilde zu einem homogenen Ideal/Definition

Zu einem homogenen Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq K[X_{0},\ldots ,X_{n}]$ nennt man
    $V_{+}({\mathfrak {a}})={\left\{P=(x_{0},\ldots ,x_{n})\in {\mathbb {P} }_{K}^{n}\mid F(P)=0{\text{ für }}{\text{alle homogenen }}F\in {\mathfrak {a}}\right\}}\,$
das projektive Nullstellengebilde oder die projektive Varietät zu ${\mathfrak {a}}$.
# Reelle Funktion/Isoliertes lokales Minimum/Definition/Begriff/Inhalt

Man sagt, dass $f$ in einem Punkt $x\in \mathbb {R}$ ein isoliertes lokales Minimum besitzt, wenn es ein $\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle $x'\in \mathbb {R}$ mit $\vert {x-x'}\vert \leq \epsilon$ und $x'\neq x$ die Abschätzung
    $f(x)<f(x')\,$
gilt.
# Polynomring/2/Cech-Komplex/Monom/Aufgabe

Es sei $A=R[X,Y]$ über einem kommutativen Ring $R$. Bestimme den Čech-Komplex zur Strukturgarbe und zur Standardüberdeckung der punktierten Ebene zu den Monomen
* $X^{2}Y^{3}$,
* $X^{5}Y^{-4}$.
* $X^{-3}Y^{-6}$.
Welche Homologien ergeben sich jeweils dabei?
# Kommutativer Ring/Direkter Summand/Differentialoperatoren/Fakt

Es sei $R\subseteq S=R\oplus U$ ein direkter Summand von $K$-Algebren.
Dann definiert jeder Differentialoperator $E\colon S\rightarrow S$ der Ordnung $\leq n$ über
einen Differentialoperator der Ordnung $\leq n$ auf $R$, wobei $\rho$ die Projektion längs $U$ bezeichnet.
# Dolbeault/C/Differenzierbare Funktion/Kompakter Träger/Fakt/Beweis

Die Funktion $f$ wird explizit konstruiert über ein Integral.
    $f(w)={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int \int _{{\mathbb {C} }\setminus \{w\}}{\frac {g(z)}{z-w}}dz\wedge d\,{\overline {z}}\,.$
Wegen
    $dz\wedge d\,{\overline {z}}=d(x+{\mathrm {i} }y)\wedge d(x-{\mathrm {i} }y)=-2{\mathrm {i} }dx\wedge dy\,$
liegt das Integral zum $-2{\mathrm {i} }$-fachen des Lebesgue-Maßes vor (man kann $f$ auch direkt so ansetzen). Mit in $w$ zentrierten Polarkoordinaten ist das Integral (vergleiche Fakt) gleich
    $f(w)=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }{\frac {g{\left(w+re^{{\mathrm {i} }\theta }\right)}}{re^{{\mathrm {i} }\theta }}}\cdot r\,dr\,dt=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }{\frac {g{\left(w+re^{{\mathrm {i} }\theta }\right)}}{e^{{\mathrm {i} }\theta }}}\,dr\,dt\,,$
wobei die untere Integrationsgrenze für $r$ nicht dazugehört.
# Der projektive Raum/Nullstellengebilde zu einem homogenen Polynom/Definition

Es sei $K$ ein Körper. Zu einem homogenen Polynom $F\in K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ bezeichnet man die Menge
    $V_{+}(F)={\left\{P=(x_{0},\ldots ,x_{n})\in {\mathbb {P} }_{K}^{n}\mid F(x_{0},\ldots ,x_{n})=0\right\}}\,$
als die projektive Nullstellenmenge zu $F$.
# Reelle Funktion/Lokales Maximum/Definition/Begriff/Inhalt

Man sagt, dass $f$ in einem Punkt $x\in D$ ein lokales Maximum besitzt, wenn es ein $\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle $x'\in D$ mit $\vert {x-x'}\vert \leq \epsilon$ die Abschätzung
    $f(x)\geq f(x')\,$
gilt.
# Polynomring/3/Cech-Komplex/Monom/1/Aufgabe

Es sei $A=R[X,Y,Z]$ über einem kommutativen Ring $R$. Bestimme den Čech-Komplex zur Strukturgarbe und zur Standardüberdeckung des punktierten Raumes zum Monom $X^{3}Y^{-2}Z^{7}$. Welche Homologien ergeben sich dabei?
# Kommutativer Ring/Graduiert/Z/Graduierter Modul/Homogene Surjektion/Fakt

Es sei $R=\bigoplus _{d\in \mathbb {Z} }R_{d}$ ein kommutativer $\mathbb {Z}$-graduierter Ring und $M=\bigoplus _{d\in \mathbb {Z} }M_{d}$ ein $\mathbb {Z}$-graduierter Modul über $R$.
Wenn $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul ist, so wird er auch von endlich vielen homogenen Elementen erzeugt und es gibt einen surjektiven homogenen Modulhomomorphismus der Form
# Determinante/Rekursiv/Definition

Es sei $K$ ein Körper und sei $M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$ eine $n\times n$-Matrix über $K$. Zu $i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ sei $M_{i}$ diejenige $(n-1)\times (n-1)$-Matrix, die entsteht, wenn man in $M$ die erste Spalte und die $i$-te Zeile weglässt. Dann definiert man rekursiv die Determinante von $M$ durch
    $\det M={\begin{cases}a_{11}\,,&{\text{falls }}n=1\,,\\\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det M_{i}&{\text{ für }}n\geq 2\,.\end{cases}}\,$
# Reelle Funktion/Lokales Minimum/Definition/Begriff/Inhalt

Man sagt, dass $f$ in $x\in D$ ein lokales Minimum besitzt, wenn es ein $\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle $x'\in D$ mit $\vert {x-x'}\vert \leq \epsilon$ die Abschätzung
    $f(x)\leq f(x')\,$
gilt.
# Polynomring/3/Cech-Komplex/Monom/2/Aufgabe

Es sei $A=R[X,Y,Z]$ über einem kommutativen Ring $R$. Bestimme den Čech-Komplex zur Strukturgarbe und zur Standardüberdeckung des punktierten Raumes zum Monom $X^{-5}YZ^{-4}$. Welche Homologien ergeben sich dabei?
# Kommutativer Ring/Gruppenoperation/Differentialoperatoren/Fakt

Es sei $S$ eine kommutative $K$-Algebra und $G$ eine Gruppe, die auf $S$ als Gruppe von $K$-Algebrahomomorphismen operiere.
Ein $G$-invarianter Differentialoperator $E\colon S\rightarrow S$ induziert durch einschränken einen Differentialoperator auf dem Invariantenring $R=S^{G}$.
# Determinante/Ring/Rekursiv/Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $M=(a_{ij})_{ij}$ eine $m\times n$-Matrix über $R$. Zu $i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ sei $M_{i}$ diejenige $(n-1)\times (n-1)$-Matrix, die entsteht, wenn man in $M$ die erste Spalte und die $i$-te Zeile weglässt. Dann definiert man rekursiv die Determinante von $M$ durch
    $\det M={\begin{cases}a_{11}\,,&{\text{falls }}n=1\,,\\\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det M_{i}&{\text{ für }}n\geq 2\,.\end{cases}}\,$
# Reelle Funktion/Stetigkeit in einem Punkt/Allgemein/Definition/Begriff/Inhalt

Man sagt, dass $f$ stetig im Punkt $x$ ist,wenn es zu jedem $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ derart gibt, dass für alle $x'$ mit $\vert {x-x'}\vert \leq \delta$ die Abschätzung $\vert {f(x)-f(x')}\vert \leq \epsilon$ gilt.
# Polynomring/4/Cech-Komplex/Monom/Aufgabe

Es sei $A=R[X,Y,Z,W]$ über einem kommutativen Ring $R$. Bestimme den Čech-Komplex zur Strukturgarbe und zur Standardüberdeckung des punktierten Raumes zum Monom $X^{-3}YZ^{3}W^{-2}$. Welche Homologien ergeben sich dabei?
# Kommutativer Ring/Ideal/Komplettierung/Restklassenring/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und seien ${\mathfrak {b}}\subseteq {\mathfrak {a}}$ Ideale in $R$ mit dem Ideal
    ${\mathfrak {a}}'={\mathfrak {a}}R/{\mathfrak {b}}\,$
im Restklassenring $R/{\mathfrak {b}}$.
Dann ist die Komplettierung
isomorph zum Restklassenring ${\widehat {R,{\mathfrak {a}}}}/{\mathfrak {b}}{\widehat {R,{\mathfrak {a}}}}$.
# Determinante/Summe über Permutationen/Definition

Zu einer $n\times n$-Matrix
    $M={\begin{pmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}\,$
heißt
    $\det M=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\sigma )a_{1\sigma (1)}\cdots a_{n\sigma (n)}\,$
die Determinante von $M$.
# Reelle Funktion/Subgraph/Definition/Begriff/Inhalt

Man nennt die Menge $S(f)={\left\{(x,y)\in T\times \mathbb {R} \mid y\leq f(x)\right\}}$ den Subgraphen der Funktion.
# Polynomring/Körper/Monomiales Ideal/Monom/Zugehörigkeit/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und
    $I=(X^{\nu _{j}},j\in J)\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,$
ein monomiales Ideal. Zeige, dass ein Monom $X^{\mu }$ genau dann zu $I$ gehört, wenn es ein $\nu _{j}$ mit $\mu \geq \nu _{j}$ gibt.
# Kommutativer Ring/Ideal/Komplettierung/Ring/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal.
Dann ist die Komplettierung ${\hat {R}}$ ein kommutativer Ring und die natürliche Abbildung
ist ein Ringhomomorphismus.