OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Erfahrungen mit einer Projektseite für den Workshop

Erfahrungen mit der Projektseite Schulprojekt:Viktoriaschule Darmstadt Projektwoche Wikipedia zur Vorbereitung und zur Durchführung eines Workshops an der Viktoriaschule Darmstadt am 26. Juni 2012. – Zugleich Impuls, gehalten beim ReferentenCamp6 des Fachbereichs Bildung und Wissen von Wikimedia Deutschland am 22. September 2012.

## Idee

* Ausgangspunkt: Sich auf die Teilnehmer einstellen.
* Technik: Themenspeicher.
* Problem: Viele Teilnehmer; wenig Zeit.
* Lösung: Die Projektseite für den Workshop.
* Vorbild: Christian Spannagels Einsatz von Wikiversity.

## Vorbereitungen

* Seite im BNR auf Wikiversity erstellen.
* Die Seite bekanntmachen und um Input bitten.
* Abwarten und Tee trinken …

## Erfahrungen

* Schulprojekt:Viktoriaschule Darmstadt Projektwoche Wikipedia
* 16 Fragen wurden eingestellt.
* Antworten konnten vorbereitet werden.
* Raum für eine Rückmeldung an eine Schülerin für den nächsten Tag.
* Weitere Nutzung durch den Lehrer am darauffolgenden Tag.
* Seite verbleibt in Wikiversity und dokumentiert das Projekt dauerhaft (Verschiebung in den ANR).

## Fazit

* Positiv:
** Themensammlung wird vorgezogen.
** Zeitersparnis in der Veranstaltung.
** Gleichzeitig eine erste Schreibübung im Wiki für die Teilnehmer.
* Nachteilig:
** Man ist gegenüber den Teilnehmern voreingenommen.
** Weniger Spontaneität während der Veranstaltung.
** Starke Erwartungshaltung der Teilnehmer in Bezug auf die Beantwortung ihrer Fragen/weniger offen für Neues.
* Offene Fragen:
** Sollte man an dieser Stelle bereits Themen/ein Programm zur Auswahl stellen?
** Kann/sollte man hier vorab/danach mit den Teilnehmern in einen Dialog treten?
# Erreichbarkeit zwischen Städten/Aufgabe

Die Städte $S_{1},\ldots ,S_{n}$ seien untereinander durch Straßen verbunden und zwischen zwei Städten gibt es immer genau eine Straße. Wegen Bauarbeiten sind zur Zeit alle Straßen nur in eine Richtung befahrbar. Zeige, dass es trotzdem mindestens eine Stadt gibt, von der aus alle anderen Städte erreichbar sind.
# Erdkugel/Eingeschriebener Würfel/Osnabrück und in südlicher Richtung/Koordinaten/Aufgabe

In die Erdkugel soll ein Würfel eingeschrieben werden derart, dass Osnabrück ein Eckpunkt ist und sich ein weiterer benachbarter Eckpunkt in südlicher Richtung von Osnabrück befindet. Bestimme die Koordinaten der Eckpunkte dieses Würfels. Wie viele Eckpunkte befinden sich im Meer?
# Erfüllbarkeit/Beliebig groß/Unendlich/Aufgabe

Es sei $\Gamma \subseteq L^{S}$ eine Ausdrucksmenge, die über beliebig großen endlichen Grundmengen erfüllbar ist. Zeige, dass $\Gamma$ auch über einer unendlichen Menge erfüllbar ist.
# Banachraum/Definition/Begriff/Inhalt

Ein normierter ${\mathbb {K} }$-Vektorraum, der mit der zugehörigen Metrik ein vollständiger metrischer Raum ist, heißt Banachraum.
# Banachraum/Kompakter Operator/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Eine Teilmenge $T\subseteq X$ eines topologischen Raumes $X$ heißt relativ kompakt, wenn der Abschluss ${\overline {T}}$ kompakt ist.

## Definition

Eine stetige Abbildung $\varphi \colon M\rightarrow N$ zwischen metrischen Räumen $M$ und $N$ heißt kompakt, wenn für jede beschränkte Teilmenge $T\subseteq M$ das Bild $\varphi (T)$ relativ kompakt in $N$ ist.

## Lemma

Es seien $V,W$ normierte ${\mathbb {K} }$-Vektorräume und sei $\varphi \colon V\rightarrow W$ eine lineare Abbildung. Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.

### Beweis

Von (1) nach (2) ist eine Einschränkung. Es sei (2) erfüllt. Dann ist die Eigenschaft überhaupt für jede offene oder abgeschlossene Kugel erfüllt. Eine beliebige beschränkte Teilmenge $T$ ist in einer Kugel enthalten und damit ist der Abschluss ihres Bildes nach Fakt ebenfalls kompakt, es gilt also (1).
Es sei (1) erfüllt und eine beschränkte Folge in $V$ gegeben. Dann liegt die Bildfolge in einer kompakten Teilmenge von $W$ und besitzt nach Fakt (für diese Richtung braucht man keine abzählbare Basis der Topologie) eine konvergente Teilfolge. Also gilt (3).
Es sei nun (3) erfüllt und $T\subseteq V$ beschränkt. Es ist die Kompaktheit von $\varphi (T)$ zu zeigen. Es sei $w_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, eine Folge in $\varphi (T)$. Es gibt dann eine Folge $v_{n}\in T$ mit
    $d{\left(\varphi (v_{n}),w_{n}\right)}\leq {\frac {1}{n}}\,.$
Aufgrund der Eigenschaft (3) gibt es eine Teilfolge $v_{n_{k}}$ derart, dass $\varphi (v_{n_{k}})$ gegen ein Element $w\in {\overline {\varphi (T)}}$ konvergiert. Doch dann konvergiert auch die Teilfolge $w_{n_{k}}$ gegen $w$.
$\Box$
# Banachraum/Vektorenfamilie/Summierbar/Cauchy-Kriterium/Fakt

Es sei $V$ ein ${\mathbb {K} }$-Banachraum, $I$ eine Indexmenge und $v_{i}$, $i\in I$, eine Familie von Vektoren aus $V$.
Dann ist die Familie genau dann summierbar, wenn sie eine Cauchy-Familie ist.
# Banachraum/Definition

Ein normierter ${\mathbb {K} }$-Vektorraum, der mit der zugehörigen Metrik ein vollständiger metrischer Raum ist, heißt Banachraum.
# Banachraum/Definition/Begriff

Ein Banachraum.
# Algebraische Zahlentheorie/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über komplexe Einbettungen für eine endliche Körpererweiterung $\mathbb {Q} \subseteq K$.
* Der Satz über die Divisorenklassengruppe und die Faktorialität von Dedekindbereichen.
* Der Satz über die Diskriminante eines Zahlbereiches und die Grundmasche des Gitters.
# Algebraische Zahlentheorie/Zahlen und Funktionen/Aufgabe

Beschreibe Parallelen zwischen Zahlen und Funktionen, wie sie in der algebraischen Zahlentheorie entwickelt werden.
# Algebraische Zahlentheorie/Lieblingsbeispiel/Aufgabe

Erläutern Sie anhand Ihres Lieblingsbeispiels wesentliche Konzepte der algebraischen Zahlentheorie.
# Algebraische Zahlentheorie/Gemischte Satzabfrage/2/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über das Transformationsverhalten der Diskriminante zu einer Basis in einer endlichen Körpererweiterung $K\subseteq L$.
* Der Satz über Ideale und Divisoren in einem Dedekindbereich.
* Der Minkowskische Gitterpunktsatz.
# Diffeomorphismus/Halbraum auf Halbraum/Induziert Diffeomorphismus/Aufgabe

Es seien $V_{1},V_{2}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offene Teilmengen und es sei
    $\varphi \colon V_{1}\longrightarrow V_{2}$
ein Diffeomorphismus, der eine Homöomorphie zwischen $V_{1}\cap H$ und $V_{2}\cap H$ induziert und damit auch zwischen $V_{1}\cap \partial H$ und $V_{2}\cap \partial H$ ($H$ bezeichnet den Halbraum und $\partial H$ seinen Rand). Zeige, dass die Einschränkung auf den Rand ebenfalls ein Diffeomorphismus ist.
# Diedersingularität/BD1/Zu Z mod 4/Aufgabe

Zeige explizit, dass der Ring ${\mathbb {C} }[X,Y,Z]/{\left(X^{2}+YZ^{2}+Y^{2}\right)}$ (also die Diedersingularität zu $m=1$) isomorph zu ${\mathbb {C} }[S,T,U]/{\left(ST-U^{4}\right)}$ ist.
# Diffeomorphismus/Auf Subgraph/Transformationsformel/Aufgabe

Es seien $G$ und $H$ offene Mengen im $\mathbb {R} ^{n}$ und es sei
    $\varphi \colon G\longrightarrow H$
ein $C^{1}$-Diffeomorphismus. Es sei
    $f\colon H\longrightarrow \mathbb {R} _{+}$
eine stetige Funktion.
a) Definiere einen Diffeomorphismus zwischen den offenen Subgraphen zu $f$ bzw. zu $f\circ \varphi$.
b) Beweise die Transformationsformel für Integrale in diesem Fall direkt aus Fakt, angewendet auf den Subgraphen, mit Hilfe von Aufgabe.
# Diffeomorphismus/Euklidische Produktmengen/Eingeschränkter Diffeomorphismus/Aufgabe

Es seien $U_{1},U_{2}\subseteq \mathbb {R} ^{k}$ und $V_{1},V_{2}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offene Teilmengen mit $0\in V_{1},V_{2}$ und es sei
    $\varphi \colon U_{1}\times V_{1}\longrightarrow U_{2}\times V_{2}$
ein Diffeomorphismus, der eine Bijektion zwischen $U_{1}\times \{0\}$ und $U_{2}\times \{0\}$ induziert. Zeige, dass dann auch die Einschränkung von $\varphi$ auf $U_{1}\cong U_{1}\times \{0\}$ nach $U_{2}\cong U_{2}\times \{0\}$ ein Diffeomorphismus ist.
# Diedersingularität/Invarianten explizit/Gleichung/Aufgabe

Zeige direkt, dass die Polynome
    $U^{2m}+V^{2m},\,U^{2}V^{2}{\text{ und }}UV(U^{2m}-V^{2m})$
invariant zur Operation der binären Diedergruppe $BD_{m}$ auf ${\mathbb {C} }[U,V]$ sind, und bestimme eine Relation zwischen diesen Polynomen.
# Diffeomorphismen/R^n/Kategorielle Eigenschaften/Aufgabe

Zeige die folgenden Aussagen.
* Die Identität ist ein Diffeomorphismus.
* Eine lineare bijektive Abbildung ist ein Diffeomorphismus.
* Die Umkehrabbildung eines Diffeomorphismus ist wieder ein Diffeomorphismus.
* Die Hintereinanderschaltung von Diffeomorphismen ist ein Diffeomorphismus.
# Diffeomorphismus/Maßtreu/Determinante 1/Aufgabe

Es sei
    $\varphi \colon G\longrightarrow H$
ein $C^{1}$-Diffeomorphismus mit offenen zusammenhängenden Mengen $G$ und $H$ im $\mathbb {R} ^{n}$. Zeige, dass $\varphi$ genau dann maßtreu ist, wenn die Jacobi-Determinante überall den Wert $1$ oder überall den Wert $-1$ hat.
# Differentialgeometrie/Gemischte Satzabfrage/5/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Krümmung auf einen implizit gegebenen ebenen Kurve $Y\subseteq \mathbb {R} ^{2}$.
* Die Transformationsformel für positive Volumenformen auf Mannigfaltigkeiten.
* Der Satz über die Gaußkrümmung und die Schnittkrümmung auf einer differenzierbaren Fläche $Y\subseteq \mathbb {R} ^{3}$
# Differentialgeometrie/Gemischte Satzabfrage/6/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Orientierungen auf einer differenzierbaren Hyperfläche $Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
* Die Formel für die Lie-Klammer von Vektorfeldern auf einer offenen Menge $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
* Der Satz über Retraktionen zum Rand auf Mannigfaltigkeiten.
# Differentialgeometrie/Gemischte Satzabfrage/6/Aufgabe/Lösung

* Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Es sei $Y$ zusammenhängend. Dann gibt es genau zwei Orientierungen auf $Y$.
* Es sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und seien $f_{1},\ldots ,f_{n},g_{1},\ldots ,g_{n}$ zweifach stetig differenzierbare Funktionen auf $U$ mit den zugehörigen Differentialoperatoren $D=\sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}$ und $E=\sum _{j=1}^{n}g_{j}\partial _{j}$ Dann gilt $D\circ E-E\circ D=\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{n}{\left(f_{i}\partial _{i}g_{j}-g_{i}\partial _{i}f_{j}\right)}\right)}\partial _{j}\,.$ Insbesondere entspricht dieser Ausdruck selbst einem Differentialoperator der Ordnung $1$ und somit einem Vektorfeld.
* Es sei $M$ eine kompakte orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand $\partial M$ und mit abzählbarer Basis der Topologie. Dann gibt es keine stetig differenzierbare Abbildung deren Einschränkung auf $\partial M$ die Identität ist.
    $\varphi \colon M\longrightarrow \partial M,$
# Differentialgeometrie/Gemischte Satzabfrage/4/Aufgabe/Lösung

* Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Es sei $P\in Y$. Es sei $E\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine Normalebene durch $P$ an $Y$. Dann ist die Normalkrümmung von $Y$ in $P$ gleich der Krümmung der ebenen Kurve $Y\cap (P+E)\subseteq P+E\cong \mathbb {R} ^{2}$ im Punkt $P$.
* Es sei $M$ eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit und $\omega$ die kanonische Volumenform. Es sei eine orientierte Karte mit offen mit Koordinaten $x_{1},\ldots ,x_{n}$ mit der metrischen Fundamentalmatrix $G=(g_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$ und $g=\det G$. Dann ist Für eine messbare Teilmenge $T\subseteq U$ ist
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
    $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}\,$
    $\alpha _{*}\omega ={\sqrt {g}}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\,.$
    $\int _{T}\omega =\int _{\alpha (T)}{\sqrt {g}}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}=\int _{\alpha (T)}{\sqrt {g}}\,d\lambda ^{n}\,.$
* Es sei $M$ eine $n$-dimensionale orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand $\partial M$ und mit abzählbarer Basis der Topologie, und es sei $\omega$ eine stetig differenzierbare $(n-1)$-Differentialform mit kompaktem Träger auf $M$. Dann ist
    $\int _{M}d\omega =\int _{\partial M}\omega \,.$
# Differentialgeometrie/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen auf einer differenzierbaren Hyperfläche $Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
* Die Formel für die Berechnung des kanonischen Volumens auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit in einer Karte.
* Der Satz über die Partition der Eins.
# Differentialgeometrie/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe/Lösung

* Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Es sei $Y\subseteq U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei $F$ ein differenzierbares Vektorfeld auf $U$ mit der Eigenschaft, dass für jeden Punkt $P\in Y$ der Vektor $F(P)$ zum Tangentialraum an die Faser in $P$ an $Y$ gehört. Dann verläuft die Lösung $v(t)$ zum Anfangswertproblem zu $F$ mit der Anfangsbedingung $v(t_{0})\in Y$ ganz in $Y$.
* Es sei $M$ eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit und $\omega$ die kanonische Volumenform. Es sei eine orientierte Karte mit offen mit Koordinaten $x_{1},\ldots ,x_{n}$ mit der metrischen Fundamentalmatrix $G=(g_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$ und $g=\det G$. Dann ist Für eine messbare Teilmenge $T\subseteq U$ ist
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
    $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}\,$
    $\alpha _{*}\omega ={\sqrt {g}}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\,.$
    $\int _{T}\omega =\int _{\alpha (T)}{\sqrt {g}}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}=\int _{\alpha (T)}{\sqrt {g}}\,d\lambda ^{n}\,.$
* Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie. Dann gibt es zu jeder offenen Überdeckung eine der Überdeckung untergeordnete stetig differenzierbare Partition der Eins.
# Differentialgeometrie/Gemischte Satzabfrage/2/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Beziehung zwischen Krümmung und Einheitsnormalenvektor einer bogenparametrisierten ebenen Kurve.
* Das Theorema egregium.
* Der Satz von Green für den Flächeninhalt.
# Differentialgeometrie/Gemischte Satzabfrage/5/Aufgabe/Lösung

* Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ offen, $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Es sei ein auf einer offenen Umgebung $Y\subseteq U$ definiertes Einheitsnormalenfeld zu $Y$ und sei $P\in Y$. Dann ist für jeden tangentialen Vektor $v\in T_{P}Y$ ${\left(DN\right)}_{P}{\left(v\right)}=-\kappa (P)v\,,$ wobei $\kappa (P)$ die Krümmung einer Bogenparametrisierung von $Y$ ist, die mit der durch $v,N(P)$ gegebenen Orientierung übereinstimmt.
    $N\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$
* Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit abzählbarer Basis der Topologie und sei $\omega$ eine positive Volumenform auf $M$. Es sei ein Diffeomorphismus mit der Mannigfaltigkeit $L$ und $S\subseteq L$ eine messbare Teilmenge. Dann ist $\int _{S}\varphi ^{*}\omega =\int _{\varphi (S)}\omega \,.$
    $\varphi \colon L\longrightarrow M$
* Es sei $W\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ offen und sei $h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und $Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu $c\in \mathbb {R}$, wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär sei. Dann ist die Gaußkrümmung von $Y$ gleich der Schnittkrümmung von $Y$.
# Differentialgeometrie/Gemischte Satzabfrage/2/Aufgabe/Lösung

* Es sei $\gamma \colon I\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ eine zweifach stetig differenzierbare bogenparametrisierte Kurve. Dann ist die Krümmung von $\gamma$ in $t$ gleich $\kappa (t)=\left\langle \gamma ^{\prime \prime }(t),N(t)\right\rangle =\pm \Vert {\gamma ^{\prime \prime }(t)}\Vert \,,$ wobei $N(t)={\begin{pmatrix}-\gamma _{2}'(t)\\\gamma _{1}'(t)\end{pmatrix}}\,$ ein Einheitsnormalenvektor in $\gamma (t)$ ist.
* Es sei $Y\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ eine orientierte Fläche und sei $V\subseteq \mathbb {R} ^{2}$, eine zweifach differenzierbare lokale Parametrisierung von $Y$ mit den Parametern $u,v$. Es sei ${\left(g_{ij}\right)}$ die erste Fundamentalmatrix auf $V$. Dann gilt für die Gaußsche Krümmung unter Verwendung der Christoffelsymbole die Beziehung $K={\frac {1}{g_{11}}}{\left(\partial _{2}\Gamma _{11}^{2}-\partial _{1}\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{11}^{1}\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{22}^{2}-\Gamma _{12}^{1}\Gamma _{11}^{2}-{\left(\Gamma _{12}^{2}\right)}^{2}\right)}\,.$
    $\varphi \colon V\longrightarrow Y,$
* Es sei $M\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ eine kompakte Mannigfaltigkeit mit Rand $\delta M$. Dann ist der Flächeninhalt von $M$ gleich
    $\lambda ^{2}(M)=\int _{\partial M}xdy=-\int _{\partial M}ydx\,.$
# Differentialgeometrie/Gemischte Satzabfrage/4/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Normalkrümmung.
* Die Formel für die Berechnung des kanonischen Volumens auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit in einer Karte.
* Der Satz von Stokes für Mannigfaltigkeiten mit Rand.
# Dedekindbereich/Elemente/Zerlegung in Primideale/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.
# Einfach zusammenhängend/Überlagerung/Trivial/Aufgabe

Es sei $X$ ein einfach zusammenhängender topologischer Raum und $p\colon Y\rightarrow X$ eine Überlagerung. Zeige, dass $p$ trivial ist.
# Einfache Gruppe/Nicht kommutativ/Untergruppe, kein Normalteiler/Aufgabe

Es sei $G$ eine einfache, nicht kommutative Gruppe. Zeige, dass $G$ eine Untergruppe besitzt, die kein Normalteiler ist.
# Einfache Gruppe/Nicht kommutativ/Nicht auflösbar/Aufgabe

Es sei $G$ eine einfache, nicht kommutative Gruppe. Zeige, dass $G$ nicht auflösbar ist.
# Einfache Funktion/Darstellung mit Indikatorfunktionen/Aufgabe

Beschreibe eine beliebige einfache Funktion mit Hilfe von Indikatorfunktionen.
# Einfache Funktion/Summe und Produkt ist einfach/Aufgabe

Zeige, dass die Summe und das Produkt von zwei einfachen Funktionen auf einem Messraum wieder einfach ist.
# Einfache Gruppe/Nicht kommutativ/Perfekt/Aufgabe

Es sei $G$ eine einfache, nicht kommutative Gruppe. Zeige, dass $G$ perfekt ist.
# Elementare Algebra/Gemischte Satzabfrage/7/Aufgabe/Lösung

* Ein kommutativer Ring ist genau dann ein Körper, wenn er genau zwei Ideale besitzt.
* Es sei $R$ ein Hauptidealbereich und $a,b,c\in R$. Es seien $a$ und $b$ teilerfremd und $a$ teile das Produkt $bc$. Dann teilt $a$ den Faktor $c$.
* Sei eine endliche Körpererweiterung der reellen Zahlen. Dann ist $K$ isomorph zu $\mathbb {R}$ oder zu ${\mathbb {C} }$.
    $\mathbb {R} \subseteq K\,$
# Elementare Algebra/Gemischte Satzabfrage/T1/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die allgemeine binomische Formel für $(a+b)^{n}$ für Elemente $a,b\in R$ in einem kommutativen Ring $R$.
* Der Fundamentalsatz der Algebra.
* Das Lemma von Euklid für einen Hauptidealbereich.
* Der Homomorphiesatz für Ringhomomorphismen.
# Elementare Algebra/Gemischte Satzabfrage/6/Aufgabe/Lösung

* Für einen Nichtnullteiler $f\in R$ folgt aus einer Gleichung dass $x=y$ sein muss.
    $fx=fy\,,$
* Es sei $n$ eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung $n=p_{1}^{r_{1}}\cdot p_{2}^{r_{2}}{\cdots }p_{k}^{r_{k}}$. Dann induzieren die kanonischen Ringhomomorphismen $\mathbb {Z} /(n)\rightarrow \mathbb {Z} /(p_{i}^{r_{i}})$ einen Ringisomorphismus
    $\mathbb {Z} /(n)\cong \mathbb {Z} /(p_{1}^{r_{1}})\times \mathbb {Z} /(p_{2}^{r_{2}})\times \cdots \times \mathbb {Z} /(p_{k}^{r_{k}})\,.$
* Es sei $P$ das Minimalpolynom von $f$. Dann gibt es eine kanonische $K$-Algebraisomorphie
    $K[X]/(P)\longrightarrow K[f],\,X\longmapsto f.$
# Elementare Algebra/Gemischte Satzabfrage/T1/Aufgabe/Lösung

* Es ist
    $(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}.$
* Jedes nichtkonstante Polynom $P\in {\mathbb {C} }[X]$ über den komplexen Zahlen besitzt eine Nullstelle.
* Es sei $R$ ein Hauptidealbereich und $a,b,c\in R$. Es seien $a$ und $b$ teilerfremd und $a$ teile das Produkt $bc$. Dann teilt $a$ den Faktor $c$.
* Seien $R,S$ und $T$ kommutative Ringe, es sei $\varphi \colon R\rightarrow S$ ein Ringhomomorphismus und $\psi \colon R\rightarrow T$ ein surjektiver Ringhomomorphismus. Es sei vorausgesetzt, dass ist. Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus derart, dass $\varphi ={\tilde {\varphi }}\circ \psi$ ist.
    $\operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi \,$
    ${\tilde {\varphi }}\colon T\longrightarrow S$
# Elementare Algebra/Gemischte Satzabfrage/8/Aufgabe/Lösung

* Die Binomialkoeffizienten erfüllen die rekursive Beziehung
    ${\binom {n+1}{k}}={\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}\,.$
* Es sei $R$ ein Hauptidealbereich und $a,b,c\in R$. Es seien $a$ und $b$ teilerfremd und $a$ teile das Produkt $bc$. Dann teilt $a$ den Faktor $c$.
* /Fakt/Name/Inhalt
# Elementare Algebra/Gemischte Satzabfrage/9/Aufgabe/Lösung

* /Fakt/Name/Inhalt
* Der Kern zu einem Ringhomomorphismus ist ein Ideal.
* Es sei $p\in R,\,p\neq 0$. Dann sind folgende Bedingungen äquivalent.
** $p$ ist ein Primelement.
** $R/(p)$ ist ein Integritätsbereich.
** $R/(p)$ ist ein Körper.
# Graduierte Algebren/D/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K$ ein Körper und $D$ eine kommutative Gruppe. Eine $K$-Algebra $A$ heißt $D$-graduiert, wenn es eine direkte Summenzerlegung
    $A=\bigoplus _{d\in D}A_{d}\,$
mit $K$-Untervektorräumen $A_{d}$ derart gibt, dass $K\subseteq A_{0}$ ist und für die Multiplikation auf $A$ die Beziehung
    $A_{d}\cdot A_{e}\subseteq A_{d+e}\,$
gilt.

## Bemerkung

In einer $D$-graduierten $K$-Algebra besitzt jedes Element $a\in A$ eine eindeutige Darstellung
    $a=\sum _{d\in D}a_{d}{\text{ mit }}a_{d}\in A_{d},$
wobei nur endlich viele der $a_{d}$ ungleich $0$ sein können. Die $a_{d}$ heißen dabei die homogenen Komponenten von $a$, die $A_{d}$ heißen ebenfalls die homogenen Komponenten von $A$ (oder $d$-te Stufe) und Elemente $a\in A_{d}$ heißen homogen vom Grad $d$. Die Gruppe $D$ heißt die graduierende Gruppe. Der Fall $A_{d}=0$ ist erlaubt.
Durch eine Graduierung wird die Multiplikation auf einer Algebra $A$ übersichtlicher strukturiert. Man muss lediglich für homogene Elemente $a\in A_{d}$ und $b\in A_{e}$ die Produkte $ab\in A_{d+e}$ kennen, dadurch ist schon die gesamte Multiplikation distributiv festgelegt.

## Beispiel

Es sei $K$ ein Körper und $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring in $n$ Variablen über $K$. Dieser ist in naheliegender Weise $\mathbb {Z}$-graduiert. Man definiert für ein Monom $X_{1}^{k_{1}}X_{2}^{k_{2}}\cdots X_{n}^{k_{n}}$ den Grad durch $k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{n}$ und setzt $A_{d}$ als den Vektorraum aller Polynome an, die Linearkombinationen von Monomen vom Grad $d$ sind. Bei der Multiplikation von zwei Monomen verhält sich der Grad offensichtlich additiv, sodass dadurch eine graduierte $K$-Algebra entsteht. Es ist $A_{0}=K$ und $A_{n}=0$ für negativen Grad $n$. Diese Graduierung heißt auch die Standardgraduierung auf dem Polynomring.
# Gradient/xyz-z^2 durch ln xy+z^2/Aufgabe

Berechne den Gradienten der Funktion
    $f\colon G\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto {\frac {xyz-z^{2}}{\ln(xy)+z^{2}}},$
in jedem Punkt $P\in G$ mit $G=\mathbb {R} _{>1}\times \mathbb {R} _{>1}\times \mathbb {R}$
# Gradientenfeld/Geschlossenes Wegintegral/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.
# Gradientenfeld/Integrabilitätsbedingung/Fakt

Das Gradientenfeld einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion
erfüllt die Integrabilitätsbedingung.
# Gradientenfeld/Integrabilitätsbedingung/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.
# Beringter Raum/Invertierbare Garben/Tensorierung/Aufgabe

Es sei ${\mathcal {L}}$ und ${\mathcal {M}}$ invertierbare Garben auf einem beringten Raum $(X,{\mathcal {O}}_{X})$. Zeige, dass die Tensorierung ${\mathcal {L}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {M}}$ ebenfalls invertierbar ist.
# Beringter Raum/Invertierbare Garben/Surjektion/Aufgabe

Es seien ${\mathcal {L}}$ und ${\mathcal {M}}$ invertierbare Garben auf einem beringten Raum $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ und sei $\varphi \colon {\mathcal {L}}\rightarrow {\mathcal {M}}$ ein surjektiver Modulhomomorphismus. Zeige, dass $\varphi$ ein Isomorphismus ist.