# Gruppentheorie/Homomorphiesatz/Beispiele/Textabschnitt
## Satz

Es seien $G,Q$ und $H$ Gruppen, es sei $\varphi \colon G\rightarrow H$ ein Gruppenhomomorphismus und $\psi \colon G\rightarrow Q$ ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Es sei vorausgesetzt, dass
    $\operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi \,$
ist.
Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus
derart, dass $\varphi ={\tilde {\varphi }}\circ \psi$ ist.
Mit anderen Worten: das Diagramm
    ${\begin{matrix}G&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&H&\\\!\!\!\!\!\psi \downarrow &\nearrow {\tilde {\varphi }}\!\!\!\!\!&\\Q&&&&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
ist kommutativ.

### Beweis

Wir zeigen zuerst die Eindeutigkeit. Für jedes Element $u\in Q$ gibt es mindestens ein $g\in G$ mit $\psi (g)=u$. Wegen der Kommutativität des Diagramms muss
    ${\tilde {\varphi }}(u)=\varphi (g)\,$
gelten. Das bedeutet, dass es maximal ein ${\tilde {\varphi }}$ geben kann. Wir haben zu zeigen, dass durch diese Bedingung eine wohldefinierte Abbildung gegeben ist. Es seien also $g,g'\in G$ zwei Urbilder von $u$. Dann ist
    $\psi {\left(g'g^{-1}\right)}=uu^{-1}=e_{Q}\,$
und somit ist $g'g^{-1}\in \operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi$. Daher ist $\varphi (g)=\varphi (g')$. Die Abbildung ist also wohldefiniert. Seien $u,v\in Q$ und seien $g,h\in G$ Urbilder davon. Dann ist $gh$ ein Urbild von $uv$ und daher ist
    ${\tilde {\varphi }}(uv)=\varphi (gh)=\varphi (g)\varphi (h)={\tilde {\varphi }}(u){\tilde {\varphi }}(v)\,.$
D.h. ${\tilde {\varphi }}$ ist ein Gruppenhomomorphismus.
$\Box$

## Beispiel

Wir betrachten die beiden surjektiven Gruppenhomomorphismen
    $\varphi \colon \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(4)$
und
    $\psi \colon \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(12).$
Es ist
    $\operatorname {kern} \psi =\mathbb {Z} \cdot 12\subseteq \mathbb {Z} \cdot 4=\operatorname {kern} \varphi \,.$
Daher gibt es nach dem Homomorphiesatz einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus
    ${\tilde {\varphi }}\colon \mathbb {Z} /(12)\longrightarrow \mathbb {Z} /(4),$
der mit den Restabbildungen verträglich ist. Dieser bildet den Rest der Zahl bei Division durch $12$ auf den Rest bei Division durch $4$ ab. Der Satz beinhaltet insbesondere die Aussage, dass dieser letztere Rest allein vom ersten Rest abhängt, nicht von der Zahl selbst.
Wenn man hingegen
    $\varphi \colon \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(5)$
und
    $\psi \colon \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(12)$
betrachtet, so ist
    $\operatorname {kern} \psi =\mathbb {Z} \cdot 12\not \subseteq \mathbb {Z} \cdot 5=\operatorname {kern} \varphi \,$
und es gibt keine natürliche Abbildung
    $\mathbb {Z} /(12)\longrightarrow \mathbb {Z} /(5).$
Beispielsweise haben $1,13,25,37,49$, die alle modulo $12$ den Rest $1$ haben, modulo $5$ die Reste $1,3,0,2,4$.
Die im vorstehenden Satz konstruierte Abbildung heißt induzierte Abbildung oder induzierter Homomorphismus und entsprechend heißt der Satz auch Satz vom induzierten Homomorphismus.

## Korollar

Es seien $G$ und $H$ Gruppen und sei
    $\varphi \colon G\longrightarrow H$
ein surjektiver Gruppenhomomorphismus.
Dann gibt es eine kanonische Isomorphie

### Beweis

Wir wenden Fakt auf $Q=G/\operatorname {kern} \varphi$ und die kanonische Projektion $q\colon G\rightarrow G/\operatorname {kern} \varphi$ an. Dies induziert einen Gruppenhomomorphismus
    ${\tilde {\varphi }}\colon G/\operatorname {kern} \varphi \longrightarrow H$
mit $\varphi ={\tilde {\varphi }}\circ q$, der surjektiv ist. Sei $[x]\in G/\operatorname {kern} \varphi$ und $[x]\in \operatorname {kern} {\tilde {\varphi }}$. Dann ist
    ${\tilde {\varphi }}([x])=\varphi (x)=e_{H}\,,$
also $x\in \operatorname {kern} \varphi$. Damit ist $[x]=e_{Q}$, d.h. der Kern von ${\tilde {\varphi }}$ ist trivial und nach Fakt ist ${\tilde {\varphi }}$ auch injektiv.
$\Box$

## Beispiel

Es sei $G$ eine zyklische Gruppe mit einem Erzeuger $g$. Wir betrachten den im Sinne von Fakt zugehörigen Gruppenhomomorphismus
    $\varphi \colon \mathbb {Z} \longrightarrow G,\,n\longmapsto g^{n}.$
Da ein Erzeuger vorliegt, ist diese Abbildung surjektiv. Der Kern dieser Abbildung ist durch die Ordnung von $g$ gegeben, die wir $k$ nennen (oder $0$, wenn die Ordnung $\infty$ ist). Aufgrund von Fakt gibt es eine kanonische Isomorphie
    ${\tilde {\varphi }}\colon \mathbb {Z} /(k)\longrightarrow G.$
Insbesondere gibt es bis auf Isomorphie für jedes $k$ genau eine zyklische Gruppe, nämlich $\mathbb {Z} /(k)$.

## Beispiel

Der Gruppenhomomorphismus
    $\mathbb {R} \longrightarrow S^{1},\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\end{pmatrix}},$
ist surjektiv und aufgrund der Periodizität der trigonometrischen Funktionen ist der Kern gleich $\mathbb {Z} 2\pi$. Nach dem Isomorphiesatz gibt es eine kanonische Isomorphie
    $\mathbb {R} /\mathbb {Z} 2\pi \cong S^{1}\,.$

## Beispiel

Die komplexe Exponentialfunktion
    $({\mathbb {C} },0,+)\longrightarrow ({\mathbb {C} }^{\times },1,\cdot ),\,z\longmapsto \exp z,$
ist ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Der Kern ist $\mathbb {Z} 2\pi {\mathrm {i} }$. Nach dem Isomorphiesatz gibt es eine kanonische Isomorphie
    ${\mathbb {C} }/\mathbb {Z} 2\pi {\mathrm {i} }\cong {\mathbb {C} }^{\times }\,.$

## Beispiel

Die Determinante
    $\det \colon \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}\longrightarrow K^{\times },\,M\longmapsto \det M,$
ist ein surjektiver Gruppenhomomorphismus, der Kern ist nach Definition die spezielle lineare Gruppe $\operatorname {SL} _{n}\!{\left(K\right)}$. Nach dem Isomorphiesatz gibt es eine kanonische Isomorphie
    $\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}/\operatorname {SL} _{n}\!{\left(K\right)}\cong K^{\times }\,.$

## Satz

Es seien $G$ und $H$ Gruppen und sei
    $\varphi \colon G\longrightarrow H$
ein Gruppenhomomorphismus.
Dann gibt es eine kanonische Faktorisierung
wobei $q$ die kanonische Projektion, $\theta$ ein Gruppenisomorphismus und $\iota$ die kanonische Inklusion der Bildgruppe ist.

### Beweis

Dies folgt aus Fakt, angewandt auf die Bildgruppe $U=\operatorname {bild} \varphi \subseteq H$.
$\Box$
Diese Aussage wird häufig kurz und prägnant so formuliert:
    Bild $=$ Urbild modulo Kern.