# Lineare Algebra/K/Homomorphismenraum/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$. Dann nennt man
    $\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}={\left\{f:V\rightarrow W\mid f{\text{ lineare Abbildung}}\right\}}\,$
den Homomorphismenraum. Er wird versehen mit der Addition, die durch
    $(f+g)(v):=f(v)+g(v)\,$
definiert wird, und der Skalarmultiplikation, die durch
    $(\lambda f)(v):=\lambda \cdot f(v)\,$
definiert wird.
Nach Aufgabe handelt es sich in der Tat um einen $K$-Vektorraum.

## Beispiel

Es sei $W$ ein $K$-Vektorraum über dem Körper $K$. Dann ist die Abbildung
    $\operatorname {Hom} _{K}{\left(K,W\right)}\longrightarrow W,\,\varphi \longmapsto \varphi (1),$
ein Isomorphismus von Vektorräumen, siehe Aufgabe.

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

$\Box$

## Lemma

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum mit einer direkten Summenzerlegung
    $V=U_{1}\oplus U_{2}\,.$
Es sei $W$ ein weiterer $K$-Vektorraum und es seien
    $\varphi _{1}\colon U_{1}\longrightarrow W$
und
    $\varphi _{2}\colon U_{2}\longrightarrow W$
lineare Abbildungen.
Dann ist durch
gegeben.

### Beweis

Die Abbildung ist wohldefiniert, da die Darstellung $v=v_{1}+v_{2}$ mit $v_{1}\in U_{1}$ und $v_{2}\in U_{2}$ eindeutig ist. Die Linearität ergibt sich aus
    ${\begin{aligned}\varphi (av+bv')&=\varphi _{1}((av+bv')_{1})+\varphi _{2}((av+bv')_{2})\\&=\varphi _{1}(av_{1}+bv'_{1})+\varphi _{2}(av_{2}+bv'_{2})\\&=a\varphi _{1}(v_{1})+b\varphi _{1}(v'_{1})+a\varphi _{2}(v_{2})+b\varphi _{2}(v'_{2})\\&=a\varphi _{1}(v_{1})+a\varphi _{2}(v_{2})+b\varphi _{1}(v'_{1})+b\varphi _{2}(v'_{2})\\&=a\varphi (v)+b\varphi (v').\end{aligned}}$
$\Box$

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$. Es seien
    $V=V_{1}\oplus \cdots \oplus V_{n}\,$
und
    $W=W_{1}\oplus \cdots \oplus W_{m}\,$
direkte Summenzerlegungen und es seien
    $p_{j}\colon W\longrightarrow W_{j}$
die kanonischen Projektionen.
Dann ist die Abbildung
ein Isomorphismus.
Wenn man die $\operatorname {Hom} _{K}{\left(V_{i},W_{j}\right)}$ als Untervektorräume von $\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$ auffasst, so liegt eine direkte Summenzerlegung
    $\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\cong \bigoplus _{1\leq i\leq n,\,1\leq j\leq m}\operatorname {Hom} _{K}{\left(V_{i},W_{j}\right)}\,.$
vor.

### Beweis

Dass die angegebene Abbildung linear ist, folgt direkt aus Fakt. Zum Nachweis der Injektivität sei $f\in \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$ mit $f\neq 0$ gegeben. Dann gibt es ein $v\in V$ mit
    $f(v)\neq 0\,.$
Sei $v=v_{1}+\cdots +v_{n}$ mit $v_{i}\in V_{i}$. Dann ist auch $f(v_{i})\neq 0$ für ein $i$. Dann ist auch $(f(v_{i}))_{j}\neq 0$ für ein $j$ und damit ist
    $f_{ij}=p_{j}\circ {\left(f{|}_{V_{i}}\right)}\neq 0\,.$
Zum Nachweis der Surjektivität sei eine Familie von Homomorphismen $f_{ij}\in \operatorname {Hom} _{K}{\left(V_{i},W_{j}\right)},\,1\leq i\leq n,\,1\leq j\leq m$, gegeben, die wir als Abbildungen nach $W$ auffassen. Dann sind die
    $f_{i}=\sum _{j=1}^{m}f_{ij}\,$
lineare Abbildungen von $V_{i}$ nach $W$. Dies ergibt nach Fakt eine lineare Abbildung $\sum _{i=1}^{n}f_{i}$ von $V$ nach $W$, die auf die vorgegebenen Abbildungen einschränkt.
$\Box$

## Satz

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale $K$-Vektorräume. Es sei ${\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von $V$ und ${\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$ eine Basis von $W$.
Dann ist die Zuordnung
ein Isomorphismus von $K$-Vektorräumen.

### Beweis

Die Bijektivität wurde in Fakt gezeigt. Die Additivität folgt beispielsweise aus
    ${\left(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(f+g)\right)}_{ij}=((f+g)(v_{j}))_{i}=(f(v_{j})+g(v_{j}))_{i}=f(v_{j})_{i}+g(v_{j})_{i}={\left(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(f)\right)}_{ij}+{\left(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(g)\right)}_{ij}\,,$
wobei der Index $i$ die $i$-te Komponente bezüglich der Basis ${\mathfrak {w}}$ bezeichnet.
$\Box$
Man kann auch die zu den Basen gehörende direkte Summenzerlegung in die eindimensionalen Untervektorräume $Kv_{i}$ bzw. $Kw_{j}$ betrachten und Fakt anwenden.

## Korollar

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale $K$-Vektorräume mit den Dimensionen $n$ bzw. $m$.
Dann ist

### Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.
$\Box$