# Riemannsche Fläche/Kompakt/Topologisches Geschlecht/Triangulierung/Übersicht/Textabschnitt

Die komplex-projektive Gerade ist als reelle Manniglfaltigkeit eine $2$-Sphäre und damit homömorph zu einer Pyramide (einem Tetrahedron). Sie setzt sich zusammen aus $4$ Dreiecken, es gibt $6$ Kanten und $4$ Eckpunkte. Die Wechselsumme dieser Zahlen ist $4-6+4=2$. Die Dreieckstruktur kann man auf die Kugeloberfläche oder jede dazu homöomorphe Fläche übertragen. Man spricht von einer Triangulierung der Fläche. Es gibt natürlich eine Vielzahl von solchen Triangulierungen der Sphäre. Wenn man sie als Würfeloberfläche auffasst und jede Fläche in zwei Dreieckshälften unterteilt, so erhält man $12$ Dreiecksflächen, $18$ Kanten und $8$ Eckpunkte. Für die Wechselsumme gilt wieder $12-18+8=2$.
Eine Triangulierung einer Fläche (im Sinne einer reellen zusammenhängenden zweidimensionalen Mannigfaltikeit) ist eine Überdeckung der Fläche mit zu Dreiecken homoömorphen Flächenstücken, wobei je zwei Dreiecke disjunkt sind, oder eine Kante oder einen Eckpunkt gemeinsam haben. Die Existenz einer Triangulierung ist nicht trivial.

## Definition

Es sei $X$ eine kompakte Fläche zusammen mit einer Triangulierung von $X$ mit $e$ Eckpunkten, $k$ Kanten und $f$ Dreiecken. Dann nennt man $e-k+f$ die Euler-Poincaré-Charakteristik der Triangulierung.

## Beispiel

Wir realisieren einen Torus durch $8$ gleiche Würfel, die wir ringförmig um einen nichtvorhandenen neunten Würfel legen. Dieses geometrische Objekt hat eine Überdeckung mit Quadratflächen, die wir in Dreiecke halbieren können, um eine Triangulierung zu erhalten. Da sich aber bei einer solchen einzelnen Halbierung die Flächenanzahl um $1$ erhöht, eine Kante hinzukommt und die Anzahl der Eckpunkte unverändert bleibt, können wir die Euler-Poincaré-Charakteristik auch direkt mit der gegebenen Zerlegung in Quadrate berechnen. Es gibt $32$ Ecken, $64$ Kanten (oben hat man $12$ am äußeren Rand, $4$ innen und $8$ dazwischen, an den Seiten außen hat man $12$ und innen $4$) und $32$ Quadrate ($8$ oben und $8$ unten, $12$ außen und $4$ innen). Also ist
    $\chi (X)=32-64+32=0\,.$

## Beispiel

Es sei $X$ eine kompakte Fläche zusammen mit einer endlichen Triangulierung und der Euler-Poincaré-Charakteristik $\chi (X)$. Wir möchten einen Henkel an die Fläche ankleben. Es seien $D_{1}$ und $D_{2}$ disjunkte Dreiecke der Triangulierung (durch eine Verfeinerung der Triangulierung kann man davon ausgehen, dass es solche disjunkten Dreiecke gibt). Wir ändern $X$ zu einer neuen Fläche $X'$ ab, indem wir uns außerhalb der Fläche ein Dreieck $T$ dazudenken (man kann sich vorstellen, dass sich alles oberhalb einer Kreisscheibe abspielt, in der es die beiden Dreiecke gibt. Das dritte Dreieck wird oberhalb der „Mitte“ der beiden Dreiecke senkrecht platziert) und dieses mit den beiden Dreiecken verbindet. Es entsteht also zweimal ein Zylindermantel zu einer dreieckigen Grundfläche (ohne irgendeine Bedingung an Parallelität oder Rechtwinkligkeit oder dergleichen). Jede Mantelfläche (die konvexe Vierecke sind) zerlegen wir in zwei Dreiecke. Dadurch entsteht ein neuer topologischer Raum mit einer Triangulierung, wobei wir den Raum auch glatt realisieren können. Bei diesem Prozess gehen $2$ Dreiecke der Triangulation verloren und es kommen $12$ neue dazu. Es kommen $12$ Kanten auf den Zylindern und $3$ Kanten auf $T$ hinzu und es kommen $3$ Eckpunkte hinzu. Die Differenz der Euler-Poincaré-Charakteristik von $X'$ zu $X$ ist also
    $\chi (X')-\chi (X)=-2+12-15+3=-2\,.$
Bei der Hinzunahme eines Henkels reduziert sich also die Euler-Poincaré-Charakteristik um $2$.

## Satz

Es sei $X$ eine kompakte Fläche.
Dann ist die über eine Triangulierung definierte Euler-Poincaré-Charakteristik eine topologische Invariante, d.h. sie hängt nicht von der gewählten Triangulierung ab. Sie ist
wobei $b_{i}(X)$ die $i$-te Betti-Zahl bezeichnet, also den Rang der $i$-ten singulären Homologie von $X$.
Wir definieren das topologische Geschlecht über die Euler-Poincaré-Charakteristik.

## Definition

Es sei $X$ eine kompakte orientierte Fläche. Dann definiert man das Geschlecht von $X$ als
    $g(X)={\frac {1}{2}}{\left(1-\chi (X)\right)}\,,$
wobei $\chi (X)$ die Euler-Poincaré-Charakteristik von $X$ bezeichnet.
Für die $2$-Sphäre ist das so definierte Geschlecht gleich $0$. Mit
Beispiel ergibt sich, dass sich das Geschlecht bei der Anheftung eines Henkels um $1$ erhöht. Das Geschlecht ist also die Anzahl der Henkel. Für eine orientierte zusammenhängende kompakte Fläche ist $b_{0}=b_{2}=1$. Dabei ergibt sich das erste direkt aus der Zusammenhangseigenschaft, das zweite folgt daraus mit Hilfe der Poincaré-Dualität. Daher ist mit Fakt
    $2(1-g)=\chi (X)=b_{0}-b_{1}+b_{2}=2-b_{1}\,,$
also $b_{1}=2g$, der Rang der ersten singulären Homologie ist also das Doppelte des Geschlechtes.
Wir zeigen nun die Beziehung zwischen dem über die holomorphe Struktur definierten Geschlecht und dem topologischen Geschlecht.

## Satz

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche.
Dann besteht zwischen dem Grad eines kanonischen Divisors $K_{X}$ von $X$ und der Euler-Poincaré-Charakteristik $\chi (X)$ von $X$ die Beziehung

### Beweis

Nach Fakt gibt es eine endliche surjektive
holomorphe Abbildung
    $\varphi \colon X\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}.$
Dabei gilt nach Fakt in Verbindung mit Fakt die Beziehung
    ${\begin{aligned}\operatorname {Grad} \,(K_{X})&=2g(X)-2\\&=\operatorname {Grad} \,(\varphi )(-2)+\operatorname {Grad} \,(R)\\&=\operatorname {Grad} \,(\varphi )(\operatorname {Grad} \,(K_{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}))+\operatorname {Grad} \,(R).\end{aligned}}$
Es genügt also zu zeigen, dass für die Euler-Poincaré-Charakteristik eine entsprechende Formel gilt. Es sei $S\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ die Menge der Verzweigungsbildpunkte von $\varphi$. Wir wählen eine Triangulierung von ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$, in der diese Punkte als Eckpunkte auftreten. Ferner können wir durch eine Verfeinerung erreichen. dass in jedem Dreieck höchstens ein Eckpunkt ein Verzweigungsbildpunkt ist. Es sei
    $b=\operatorname {Grad} \,(\varphi )\,$
die Blätterzahl von $\varphi$. Zu jedem Dreieck $D\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ der Triangulierung gibt es $b$ eindeutige (und zueinander disjunkte) Liftungen des Dreieckes ohne die Eckpunkte. Aufgrund der Eigentlichkeit der Abbildung besitzen auch die Eckpunkte bei einer gegebenen Liftung des Dreieckes eine zugehörige Liftung, wobei allerdings unterschiedliche geliftete Dreiecke einen gleichen Eckpunkt haben können. Diese geliftete Triangulierung ist eine Triangulierung von $X$: Wenn nämlich zwei Dreiecke zwei gemeinsame Eckpunkte haben, so gehört schon die zugehörige Kante zu beiden Dreiecken. Die beiden Eckpunkte bilden auf verschiedene Punkte ab, einer der beiden Punkte ist dann nach Konstruktion der Triangulierung auf der projektiven Geraden kein Verzweigungspunkt. Die beiden relevanten Kanten müssen auf die gleiche Kante unten abbilden. Wegen der eindeutigen Liftung im unverzweigten Punkt folgt, dass die Kanten oben auch übereinstimmen.
Es sei $e$ die Anzahl der Ecken, $k$ die Anzahl der Kanten und $f$ die Anzahl der Dreiecke unten. Dabei gilt $e-k+f=2$ aufgrund der tetrahedrischen Triangulierung der Sphäre. In der gelifteten Triangulierung ist die Anzahl der Kanten gleich $bk$ und die Anzahl der gelifteten Dreiecke gleich $bf$. Für jeden Punkt $Q\in {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ ist
    $\sum _{P\in \varphi ^{-1}(Q)}\operatorname {Verz} {\left(P{|}Q\right)}=b\,.$
D.h. die Anzahl der Urbildpunkte zu $Q$ ist $b-\sum _{P\in \varphi ^{-1}(Q)}R_{P}$ mit $R_{P}=\operatorname {Verz} {\left(P{|}Q\right)}-1$. Damit ist die Anzahl der Eckpunkte der gelifteten Triangulierung gleich
    $\sum _{Q{\text{ Eckpunkt unten}}}{\left(b-\sum _{P\in \varphi ^{-1}(Q)}R_{P}\right)}=eb-\sum _{P\in X}R_{P}=eb-\operatorname {Grad} \,(R)\,.$
Somit ist
    ${\begin{aligned}\chi (X)&=e'-k'+f'\\&=eb-\operatorname {Grad} \,(R)-kb+fb\\&=b(e-k+f)-\operatorname {Grad} \,(R)\\&=2b-\operatorname {Grad} \,(R).\end{aligned}}$
$\Box$

## Korollar

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche.
Dann stimmt das Geschlecht von $X$ mit dem topologischen Geschlecht von $X$ überein.

### Beweis

Dies folgt wegen Fakt aus Fakt und der Definition des topologischen Geschlechtes mit Hilfe der Euler-Poincaré-Charakteristik.
$\Box$