OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Polynomring (Körper)/Nullstellen/Anzahl/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über $d$. Für $d=0,1$ ist die Aussage offensichtlich richtig. Es sei also $d\geq 2$ und die Aussage sei für kleinere Grade bereits bewiesen. Es sei $a$ eine Nullstelle von $P$ (falls $P$ keine Nullstelle besitzt, sind wir direkt fertig). Dann ist $P=Q(X-a)$ nach Fakt und $Q$ hat den Grad $d-1$, sodass wir auf $Q$ die Induktionsvoraussetzung anwenden können. Das Polynom $Q$ hat also maximal $d-1$ Nullstellen. Für $b\in K$ gilt $P(b)=Q(b)(b-a)$. Dies kann nach Fakt (5)
$0$
$0$
$P$
$a$
$Q$
$d$
$P$
# Polynomring (Körper)/Nullstellen/Anzahl/Fakt/Name

Der Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper $K$.
# Polynomring (Körper)/Nullstellen/Anzahl/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper $K$.
# Polynomfunktion/R oder C/Stetig/Fakt/Beweis

Aufgrund von Fakt sind für jedes $n\in \mathbb {N}$ die Potenzen
    ${\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto x^{n},$
$a\in {\mathbb {K} }$
    ${\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto ax^{n},$
Fakt sind dann auch alle Funktionen
    ${\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0},$
# Polynomfunktionen/K/Total differenzierbar/Fakt

Polynomfunktionen
sind total differenzierbar.
# Polynomfunktionen/R/Total differenzierbar/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt und daraus, dass die partiellen Ableitungen von Polynomfunktionen wieder Polynomfunktionen sind, die nach Fakt stetig sind.
# Polynomfunktion/R oder C/Stetig/Fakt

Polynomfunktionen
sind stetig.
# Polynomfunktionen/K/Sind stetig/Aufgabe

Zeige, dass eine polynomiale Funktion
    $f\colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto f(x_{1},\ldots ,x_{n}),$
stetig ist.
# Polynomfunktionen/K/Total differenzierbar/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt und daraus, dass die partiellen Ableitungen von Polynomfunktionen wieder Polynomfunktionen und daher nach Fakt stetig sind.
# Polynomfunktionen/K/Verknüpfung wieder Polynom/Aufgabe

Es sei
    $f\colon {\mathbb {K} }^{m}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{n}$
eine Abbildung, die in jeder Komponente polynomial sei und sei
    $g\colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} }$
eine polynomiale Funktion. Zeige, dass dann auch die Hintereinanderschaltung $g\circ f$ eine polynomiale Funktion ist.
# Polynomfunktionen/R/Sind stetig/Aufgabe

Zeige, dass eine polynomiale Funktion
    $f\colon {\mathbb {R} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {R} },\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto f(x_{1},\ldots ,x_{n}),$
stetig ist.
# Polynomfunktionen/R/Total differenzierbar/Fakt

Polynomfunktionen
sind total differenzierbar.
# Polynomiale Abbildung/A^2 nach A^1/Eine Faser reduzibel, sonst irreduzibel/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine polynomiale Abbildung
    ${\mathbb {A} }_{K}^{2}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1}$
derart, dass das Urbild von einem Punkt reduzibel ist, das Urbild von allen anderen Punkten aber irreduzibel.
# Mengentheorie/Aristotelische Schlüsse/Aufgabe

Beweise die mengentheoretischen Fassungen einiger aristotelischer Syllogismen. Dabei bezeichnen $A,B,C$ Mengen. Man formuliere auch die einzelnen Mengenbeziehungen mittels Quantoren.
* Modus Barbara: Aus $B\subseteq A$ und $C\subseteq B$ folgt $C\subseteq A$.
* Modus Celarent: Aus $B\cap A=\emptyset$ und $C\subseteq B$ folgt $C\cap A=\emptyset$.
* Modus Darii: Aus $B\subseteq A$ und $C\cap B\neq \emptyset$ folgt $C\cap A\neq \emptyset$.
* Modus Ferio: Aus $B\cap A=\emptyset$ und $C\cap B\neq \emptyset$ folgt $C\not \subseteq A$.
* Modus Baroco: Aus $B\subseteq A$ und $B\not \subseteq C$ folgt $A\not \subseteq C$.
Welche dieser Aussagen kann man durch Betrachten von Komplementen auf andere zurückführen?
# Mengentheorie/Disjunkt/Definition/Begriff

Die Disjunktheit von Mengen $L$ und $M$.
# Mengentheorie/Disjunkt/Definition/Begriff/Inhalt

Die Mengen $L$ und $M$ heißen disjunkt, wenn ihr Durchschnitt $L\cap M=\emptyset$ ist.
# Modallogik/K/Phantasiearmutsaxiom und K-Umkehrung/Fakt

Für eine $K$-Modallogik $\Gamma$ sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.
# Modallogik/K/S4 nicht S5/Modell/Aufgabe

Zeige durch Angabe eines modallogischen Modelles, dass das System S4 nicht äquivalent zum System S5 ist.
# Modallogik/K/Nicht paradox/Ableitung/Aufgabe

Es sei $\Gamma$ eine Menge von modallogischen Ausdrücken, die allesamt nicht paradox seien und es sei
    $\Gamma \vdash \alpha$
eine Ableitung. Zeige, dass $\alpha$ ebenfalls nicht paradox ist.
# Modallogik/K/Symmetrisch und euklidisch/Transitiv/Fakt

In einem modallogischen $K$-System, in dem das Symmetrieaxiom und das euklidische Axiom gelten,
gilt auch das Transitivitätsaxiom.
# Modallogik/K/Möglichkeitsdistribution/Aufgabe

Zeige, dass in einer $K$-Modallogik das Axiomenschema
    $\Diamond (\alpha \rightarrow \beta )\rightarrow (\Diamond \alpha \rightarrow \Diamond \beta )$
nicht gelten muss.
# Q nach R/Monoton wachsend/Linksseitiger Limes/Keine Fortsetzung/Aufgabe

Es sei
    $f\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {R}$
eine monotone Funktion und es sei
    $g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
die dazu in Fakt definierte Funktion. Zeige, dass $g$ auf $\mathbb {Q}$ nicht unbedingt mit $f$ übereinstimmen muss.
# Q nach R/Monoton wachsend/Linksseitiger Limes/Stetig/Forsetzung/Aufgabe

Es sei
    $f\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige monotone Funktion und es sei
    $g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
die dazu in Fakt definierte Funktion. Zeige, dass $g$ auf $\mathbb {Q}$ mit $f$ übereinstimmt.
# Q nach R/Wurzel 2/Stetig nicht gleichmäßig stetig/Aufgabe

Zeige, dass die Funktion
    $f\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {R}$
mit
    $f(x)={\begin{cases}0\,,{\text{ falls }}x<{\sqrt {2}}\,,\\1\,,{\text{ falls }}x>{\sqrt {2}}\,,\end{cases}}$
stetig, aber nicht gleichmäßig stetig ist.
# Quader (allgemein)/Produktmenge/Definition

Es seien $M_{1},\ldots ,M_{n}$ Mengen und $S_{i}\subseteq M_{i}$ Teilmengen. Dann nennt man die Produktmenge
    $S_{1}\times \cdots \times S_{n}$
$M_{1}\times \cdots \times M_{n}$
# Q nach R/Monoton wachsend/Linksseitiger Limes/Monoton/Aufgabe

Es sei
    $f\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {R}$
eine monotone Funktion und es sei
    $g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
die dazu in Fakt definierte Funktion. Zeige, dass $g$ ebenfalls monoton ist.
# Polynomring/Einsetzung/R nach Mat3R/-x^3+6x^2-6x+27/532/541/730/Aufgabe

Berechne das Ergebnis, wenn man im Polynom
    $-X^{3}+6X^{2}-6X+27$
die Variable $X$ durch die $3\times 3$-Matrix
    ${\begin{pmatrix}5&3&2\\5&4&1\\7&3&0\end{pmatrix}}$
ersetzt.
# Polynomring/Endomorphismus/Einsetzung/Ringhomomorphismus (ohne Begriff)/Fakt/Beweis

(1) und (4) stecken in der Definition des Einsetzungshomomorphismus drin. Daraus ergeben sich auch (2) und (3).
# Polynomring/Einsetzung/R nach C/2x^3-5x^2-4x+7/2-5i/Aufgabe

Berechne das Ergebnis, wenn man im Polynom
    $2X^{3}-5X^{2}-4X+7$
die Variable $X$ durch die komplexe Zahl $2-5{\mathrm {i} }$ ersetzt.
# Polynomring/Einsetzung/R nach Mat2R/2x^3-5x^2+7x-4/41/53/Aufgabe

Berechne das Ergebnis, wenn man im Polynom
    $2X^{3}-5X^{2}+7X-4$
die Variable $X$ durch die $2\times 2$-Matrix
    ${\begin{pmatrix}4&1\\5&3\end{pmatrix}}$
ersetzt.
# Polynomring/Einsetzung/R nach Mat2R/x^2-5x+3/67/-45/Aufgabe

Berechne das Ergebnis, wenn man im Polynom
    $X^{2}-5X+3$
die Variable $X$ durch die $2\times 2$-Matrix
    ${\begin{pmatrix}6&7\\-4&5\end{pmatrix}}$
ersetzt.
# Monoid/N^2 modulo 2e ist 4f/Untermonoidrealisierung/Aufgabe

Finde eine Realisierung des Monoids $\mathbb {N} ^{2}/2e\sim 4f$ als Untermonoid von $\mathbb {N} \times \mathbb {Z} /(2)$.
# Monoid/Potenzgesetze/Fakt/Name

Die Potenzgesetze für ein Monoid.
# Potenzreihe/x^n durch n^2/Konvergenzradius und Randverhalten/Aufgabe

Betrachte die Potenzreihe
    $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n^{2}}}.$
Zeige, dass diese Potenzreihe den Konvergenzradius $1$ besitzt, und dass die Reihe noch für alle $x\in {\mathbb {C} }$, $\vert {x}\vert =1$, konvergiert.
# Potenzreihe/R/n-te Ableitung in a/Direkt/Aufgabe

Es sei $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(x-a)^{n}$ eine konvergente Potenzreihe. Bestimme die Ableitungen $f^{(k)}(a)$.
# Satz über implizite Abbildungen/R/Fakt/Name

Der Satz über implizite Abbildungen.
# Satz über implizite Abbildungen/R/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über implizite Abbildungen.
# Pythagoreisches Tripel/Definition/Begriff

Ein pythagoreisches Tripel.
# Q/Abzählbar/Fakt

$\mathbb {Q}$
Die Menge der rationalen Zahlen
ist abzählbar.
# Q/Addition/Lineare Abbildung/Matrix/Aufgabe

Zeige, dass die Addition
    $+\colon \mathbb {Q} ^{2}=\mathbb {Q} \times \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Q}$
eine lineare Abbildung ist. Wie sieht die Matrix dieser Abbildung bezüglich der Standardbasis aus?
# Q/Abschluss ist R/Aufgabe

Bestimme den Abschluss von $\mathbb {Q}$ in $\mathbb {R}$
# Q/Abzählbar/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass die Menge der rationalen Zahlen abzählbar ist.
# Rees-Algebra/Artin-Rees/Textabschnitt

Die folgende Aussage heißt Lemma von Artin-Rees.

## Lemma

Es sei $R$ ein noetherscher Ring, ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal und $N\subseteq M$ ein Untermodul in einem endlich erzeugten $R$-Modul $M$.
Dann gibt es eine natürliche Zahl $m$ mit
für $n\geq m$.

### Beweis

Wir betrachten im Rees-Modul zu ${\mathfrak {a}}$ und $M$, also in
    $\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {a}}^{n}M,$
den graduierten $\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {a}}^{n}$-Untermodul
    $\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }{\left({\mathfrak {a}}^{n}M\cap N\right)}\subseteq \bigoplus _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {a}}^{n}M\,.$
Da der Rees-Modul zu einem endlich erzeugten Modul endlich erzeugt über der Rees-Algebra ist, gibt es homogene Elemente, die diesen Untermodul erzeugen, sagen wir
    $v_{1},\ldots ,v_{s}$
mit $v_{j}\in {\mathfrak {a}}^{m_{j}}M\cap N$. Wir setzen
    $m:={\max {\left(m_{j},j=1,\ldots ,s\right)}}\,$
und behaupten, dass die Aussage des Satzes mit diesem $m$ gilt. Es ist also für
    $n\geq m\,$
die Gleichheit
    ${\mathfrak {a}}^{n}M\cap N={\mathfrak {a}}^{n-m}({\mathfrak {a}}^{m}M\cap N)\,$
zu zeigen, wobei die Inklusion $\supseteq$ trivial. Es sei also $v\in {\mathfrak {a}}^{n}M\cap N$. Dann ist
    $v=\sum _{j=1}^{s}a_{j}v_{j}\,$
mit $a_{j}\in {\mathfrak {a}}^{n-m_{j}}$. Für die Summanden gilt dabei
    $a_{j}v_{j}\in {\mathfrak {a}}^{n-m_{j}}\cdot {\left({\mathfrak {a}}^{m_{j}}M\cap N\right)}={\mathfrak {a}}^{n-m}\cdot {\mathfrak {a}}^{m-m_{j}}{\left({\mathfrak {a}}^{m_{j}}M\cap N\right)}\subseteq {\mathfrak {a}}^{n-m}{\left({\mathfrak {a}}^{m}M\cap N\right)}\,$
und daher gilt diese Zugehörigkeit auch für die Summe.
$\Box$
# Stammfunktion/ln (x) durch x/Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion
    ${\frac {\ln x}{x}}.$
# Stammfunktion/sqrt(3x^2+4x-2)/Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion
    ${\sqrt {3x^{2}+4x-2}}.$
# Stammfunktion/sin(sin(cos))cos(cos)sin/Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion von
    $\sin \left(\sin \left(\cos x\right)\right)\cdot \cos \left(\cos x\right)\cdot \sin x.$
# Stammfunktion/sin^2 durch cos^2/Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion
    ${\frac {\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}.$
# Stammfunktion/sin (ln)/Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion
    $\sin(\ln x).$
# Stammfunktion/ln (2x) durch x ln(4x)/Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion
    ${\frac {\ln 2x}{x\ln 4x}}.$
# Stammfunktion/sin^3 x/Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion von $\sin ^{3}x$.
# Restklassenringe/Z/Mod 2 und mod 5/Surjektiv/Aufgabe

Es sei $p\colon \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /(2)$ und $q\colon \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /(5)$ die kanonischen Abbildungen in die Restklassenringe $\mathbb {Z} /(2)$ bzw. $\mathbb {Z} /(5)$. Wir betrachten die Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(5),\,x\longmapsto (p(x),q(x)).$
* Berechne $\varphi (113)$.
* Finde ein Urbild von $({\overline {1}},{\overline {0}})$ und eines von $({\overline {0}},{\overline {1}})$.
* Zeige, dass $\varphi$ surjektiv ist.
# Restklassenring Z mod n/Einheitengruppe/Ordnung/Aufgabenform

Bestimme die multiplikative Ordnung aller Einheiten im Restklassenkörper $\mathbb {Z} /(n)$.
# Restklassenringe (Z)/13/Operationstafeln/Aufgabe

Erstelle Operationstafeln für die Addition und die Multiplikation für den Restklassenring $\mathbb {Z} /(13)$.
# Restklassenring von Z/Einheitengruppe nicht zyklisch/Finde/Aufgabe

Finde einen Restklassenring $\mathbb {Z} /(n)$ derart, dass die Einheitengruppe davon nicht zyklisch ist.
# Vollständiger Graph/4 Knoten/Überschneidungsfrei/Aufgabe

Bei einem vollständigen ungerichteten Graphen mit $4$ Ecken ist jede Ecke mit jeder (anderen) Ecke verbunden. Zeichne einen solchen Graphen in der Ebene ohne Überschneidungen.
# Vollständiger Graph/Adjazenzmatrix/l-te Potenz/Aufgabe

Bestimme die $\ell$-te Potenz zur Adjazenzmatrix eines vollständigen Graphen mit $n$ Knotenpunkten.
# Vollständiger Graph/Adjazenzmatrix/l-te Potenz/Aufgabe/Kommentar

Zu bestimmen ist die Matrixpotenz $A^{\ell }$, wobei
    $A={\begin{pmatrix}0&1&\ldots &1&1\\1&0&1&\ldots &1\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\1&\ldots &1&0&1\\1&1&\ldots &1&0\end{pmatrix}}$
die Adjazenzmatrix des vollständigen Graphen $K_{n}$ ist. Um eine (große) Potenz einer Matrix zu berechnen, besteht die erste Idee darin, die Matrix in eine Diagonalmatrix umzuwandeln. In Beispiel wurden die Eigenwerte und Eigenvektoren von $A$ schon berechnet. Aus der linearen Algebra weiß man, dass $A$ diagonalisierbar ist und es gilt
    $B^{-1}AB={\begin{pmatrix}-1&0&\ldots &0&0\\0&-1&0&\ldots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\ldots &0&-1&0\\0&0&\ldots &0&n-1\end{pmatrix}},$
wobei
    $B={\begin{pmatrix}1&0&\ldots &0&1\\-1&1&0&\ldots &1\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\ldots &-1&1&1\\0&0&\ldots &-1&1\end{pmatrix}}$
die Matrix ist, deren Spalten aus Eigenvektoren von $A$ bestehen. Es ist
    $B^{-1}A^{\ell }B=(B^{-1}AB)^{\ell }={\begin{pmatrix}(-1)^{\ell }&0&\ldots &0&0\\0&(-1)^{\ell }&0&\ldots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\ldots &0&(-1)^{\ell }&0\\0&0&\ldots &0&(n-1)^{\ell }\end{pmatrix}}.$
Somit gilt
    $A^{\ell }=B{\begin{pmatrix}(-1)^{\ell }&0&\ldots &0&0\\0&(-1)^{\ell }&0&\ldots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\ldots &0&(-1)^{\ell }&0\\0&0&\ldots &0&(n-1)^{\ell }\end{pmatrix}}B^{-1}.$
Es bleibt also, die inverse Matrix $B^{-1}$ zu bestimmen. Dies kann man beispielsweise mit Fakt
# Vollständiger Graph/4/Kantengraph/Skizze/Aufgabe

Skizziere den Kantengraphen zum vollständigen Graphen $K_{4}$
# Vollständiger Graph/5/Spannbäume/Aufgabe

Bestimme rekursiv die Anzahl der aufspannenden Bäume des vollständigen Graphen mit $5$ Knotenpunkten.
# Vollständiger Graph/Adjazenzmatrix/Beispiel

Zum vollständigen Graphen $K_{n}$ ist die Adjazenzmatrix gleich
    ${\begin{pmatrix}0&1&\ldots &1&1\\1&0&1&\ldots &1\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\1&\ldots &1&0&1\\1&1&\ldots &1&0\end{pmatrix}}.$
# Riemannsche Fläche/Ausbreitungsraum/Hausdorff/Fakt

Der Ausbreitungsraum zur Garbe der holomorphen Funktionen auf einer riemannschen Fläche
ist ein Hausdorffraum.
# Riemannsche Fläche/Ausbreitungsraum/Textabschnitt
## Lemma

Der Ausbreitungsraum zur Garbe der holomorphen Funktionen auf einer riemannschen Fläche
ist ein Hausdorffraum.

### Beweis

Es sei $X$ die riemannsche Fläche und $p\colon E\rightarrow X$ der Ausbreitungsraum zur Strukturgarbe. Seien $(x,f),(y,g)\in E$ verschiedene Punkte. Bei $x\neq y$ kann man direkt die Urbilder von trennenden offenen Mengen von $X$ nehmen. Es sei also $x=y$ und seien also $f,g\in {\mathcal {O}}_{X,x}$ verschiedene Keime. Diese seien repräsentiert durch verschiedene holomorphe Funktionen
    $f,g\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$
auf einer offenen zusammenhängenden Umgebung von $x$. Dann sind nach dem Identitätssatz in der Form Fakt (3) auch die Keime von $f$ und $g$ in jedem Punkt $y\in U$ verschieden. Daher sind $(U,f)$ und $(U,g)$ trennende offene Umgebungen.
$\Box$
Auf dem Ausbreitungsraum $E$ zu einer riemannschen Fläche $X$ gibt es eine natürliche global definierte Funktion
    $E\longrightarrow {\mathbb {C} },$
die einem holomorphen Funktionskeim $(x,f)$ den wohldefinierten Wert $f(x)$ zuordnet.

## Satz

Der Ausbreitungsraum zur Garbe der holomorphen Funktionen auf einer riemannschen Fläche
ist in eindeutiger Weise eine riemannsche Fläche derart, dass $p\colon E\rightarrow X$ eine holomorphe Abbildung und ein lokaler Homöomorphismus ist. Die Auswertungsabbildung
ist eine holomorphe Funktion auf $E$.

### Beweis

Ein lokaler Homöomorphismus liegt nach Fakt vor, deshalb gibt es eine eindeutige komplexe Struktur auf $E$ derart, dass $p$ holomorph wird. Die Hausdorffeigenschaft ist wegen Fakt erfüllt. Die Auswertung entspricht auf der zu $U$ homöomorphen offenen Menge $(U,f)$ der holomorphen Funktion $f$ und ist damit selbst holomorph.
$\Box$
# Riemannsche Fläche/Ausbreitungsraum/Riemannsche Fläche/Fakt

Der Ausbreitungsraum zur Garbe der holomorphen Funktionen auf einer riemannschen Fläche
ist in eindeutiger Weise eine riemannsche Fläche derart, dass $p\colon E\rightarrow X$ eine holomorphe Abbildung und ein lokaler Homöomorphismus ist. Die Auswertungsabbildung
ist eine holomorphe Funktion auf $E$.
# Riemannsche Fläche/Ausbreitungsraum/Riemannsche Fläche/Fakt/Beweis

Ein lokaler Homöomorphismus liegt nach Fakt vor, deshalb gibt es eine eindeutige komplexe Struktur auf $E$ derart, dass $p$ holomorph wird. Die Hausdorffeigenschaft ist wegen Fakt erfüllt. Die Auswertung entspricht auf der zu $U$ homöomorphen offenen Menge $(U,f)$ der holomorphen Funktion $f$ und ist damit selbst holomorph.
# Teilbarkeitstheorie (N)/Gemeinsames Vielfaches/Definition/Begriff

Ein gemeinsames Vielfaches zu natürlichen Zahlen $a_{1},\ldots ,a_{k}$.
# Teilbarkeitstheorie (N)/Gemeinsamer Teiler/Ggt/Größerbeziehung/Definition/Begriff

Ein größter gemeinsamer Teiler der natürlichen Zahlen $a_{1},\ldots ,a_{k}$.
# Schulprojekt:Hallo Rohstoff!/Tiger
## Tiger

Der Tiger ist die einzige Raubkatze, die schwimmen kann.

## Nahrung

Tiger fressen Antilopen, Hirsche, Schafe Ziegen und Wildschweine. Sie fressen auch kleine Säugetiere zum Beispiel Hasen und Kaninchen. Reptilien fressen sie auch, zum Beispiel Krokodile. Tiger fressen junge Elefanten und junge Nashörner, aber nur, wenn sie von der Mutter entfernt sind. Wenn sie ein Tier töten wollen, dann beißen sie meistens ins Genick oder in die Kehle. Ein Tiger verfolgt einen Sikahirsch.

## Merkmale

Tiger haben verschiedene Farben: Rot, Orange oder Goldgelb. Die Unterseite ist weiß. Die schwarzen Querstreifen ziehen sich vom Kopf über den ganzen Körper bis zur der Schwanzspitze. Die Südlichen Tiger haben breitere Streifen. Die Sibirischen Tiger sind blasser und haben dünnere Streifen. Die Sibirischen Tiger haben kurzhaariges Fell wegen des Klimas.Die einzelnen Krallen können 10cm lang werden.

## Die Kleinen Tiger

Die kleinsten Tiger leben in Indonesien.

## Lebensweise

Tiger sind Einzelgänger. Tiger sind große Tiere. Tiger sind Waldtiere. Tiger brauchen ein dickes Fell, um im Winter zu überleben.
# Schulprojekt:Hallo Rohstoff!/Tony Hawk

Tony Hawk (Spitzname Birdman) ist am 12 Mai 1968in San Diego, Kalifornien geboren, er ist ein US-amerikanischer Skatboardfahrer,
der als erstes eine zweieinhalbe Drehung schaffte.

## Tony Hawk in kürze

Als kleiner Junge war Tony Hawk unterforderdt und hatte ein grosses Aggressionspotenzial.
Aus diesem Grund schenkte ihm sein grosser Bruder ein Skateboard.
Schon mit 14 startet er als Pro im Powell&Peralta-Team, der Bones Brigade.
Mit 16 war er der weltbeste Skater. Mit 17 kaufte er sich sein erstes Haus, mit 19 ein anwesen in Fallbrook.
Mitte der 1980er begann eine unvorstellbare Siegesserie: Er wurde 12 mal hinter einander Weltmeister.
Er gewann 73 von 103 Wettbewerben (19 mal wurde er Zweiter). In dieser Zeit erfand er 85 neue Skateboardtricks.
Tony Hawk war einer der ersten Skateboarder nach dem ein Schuhmodel benannt ist.( Hersteller war Airwalk)
Anfang der 1990er gründete er, fast pleite, eine eigene Firma Namens Birdhouse
für den Vertreib von Skateboard Sachen. Als er 1995, bei den X-Games,
wieder auf sich aufmerksam machen konnte verschaffte dieser neue Ruhm auch seinen Unternehmern einen so kräftigen Schub, dass
sie 1998 zu einer der erfolgreichsten Skatefirmen der Welt wurde.

## Indy 900

1999 ist unter den Skatern als das Jahr des 900er bekannt, zugleich ist es das letzte Jahr an dem Tony aktiv an Wettbewerben
mitmacht.Er schaffte in diesem Jahr den Indy 900, eine Drehung um 900 Grad in einer Halfpipe.Da dies nicht auf einem offiziellen Wettbewerb stattfand, wurde die Leistung allerdings zunächst nicht offiziell anerkannt. 2003 holte Tony dies bei den X-Games nach.

## In Rente

Seitdem er sich aus Wettbewerbsgeschäft zurückgezogen hat, skatet Tony nur noch
zum Vergnügen bei Shows oder moderiert Skateevents wie die X-Games.
Hin und wieder ist er als Gast bei
Viva la Bam und Bam s Unholy Tony Hawk ist verheiratet und Vater von drei Söhnen Riley, Spancer und Keegan.

## Links

* Tony in Action(Film)
* Skater(Film)
* Viva la Bam(Film)
# Schulprojekt:Hallo Rohstoff!/Tsunami
## Tsunami

Der Tsunami ist eine riesen grosse Welle, welche durch Erdbeben, Vulkanausbrüche oder Meteoriteneinschläge unter dem Meer verursacht werden kann.

## Was bedeutet Tsunami

Das Wort Tsunami kommt vom japanischen und bedeutet so viel wie: “ Grosse Welle im Hafen!“
Quelle: Google: www.esys.org

## Wie entsteht ein Tsunami

Die Riesenwelle entsteht durch Erschütterungen der Erdkruste, also durch Erdbeben, grosse Erdrutsche, Vulkanausbrüche aber auch durch Einschläge ausreichend grosser Meteoriten. Riesige Wassermassen werden dabei verdrängt.
1.) Erst wenn das Erdbeben min. 7.0 auf der Richterskala anzeigt, reicht die freigesetzte Energie aus, um das Wasser hochzuheben.
2.) Der Boden des Meeres muss sich heben oder senken, ansonsten kann kein Tsunami entstehen.
Hat dieses Erdbeben eine Stärke von mindestens 7.0 auf der Richterskala, beginnt das Riesenspektakel (Tsunami). Auf dem offenen Meer bemerkt man rein gar nichts von der ca. 3m hohen “Riesen Welle“, weicht das Meer weit von der Küste zurück, mehr als eine Ebbe, so kann man davon ausgehen, dass in der nächsten Zeit ein Tsunami bevor steht. Auf hoher See kann diese gigantische Welle, eine Geschwindigkeit eines Düsenfliegers der 800km/h zurücklegt, erreichen. Doch sobald die Welle Richtung Küste zu rollt, wird sie immer grösser und grösser, bis sie ca. eine Höhe von 40m erreicht hat.

## Der Letzte grosse Tsunami

Am frühen Morgen des 26. Dezembers 2004 richteten Flutwellen in zehn asiatischen Ländern Tragödien von unvorstellbaren Ausmassen an.
Mit den Folgen sind Millionen von Menschen betroffen, vor allem Indien, SriLanka, Sumatra uvm. Sie konnten nur das nackte Leben retten und standen vor dem Nichts. Es gab ca. 150'000 Opfer.

## Warnsysteme

* Mit Sensoren welche nach einem ausgeklügelten Koordinatensystem im Meeresboden verankert werden
* Durch Radio und Fernseher.
* Durch Sirenen oder Lautsprechern an den Häusern.
* Das Frühwarnsystem zeigt vorzeitig wenn Gefahren aufkommen.
Warnsystem
Quelle: Google: www.wellermanns.de

## Fluchtmöglichkeiten

* Der Kürzeste und sicherste Weg ist, ein paar 100 Meter raus aus dem Meer, notfalls auf einer Luftmatratze.
* So schnell als möglich ins Hinterland auf einen Hügel flüchten.
Quelle: Google: www.wellermanns.de

## Links

Auf diesen Seiten kannst du noch mehr über Tsunamis erfahren:
Tsunami
RiesenWelle
Film
Tsunami
Zum Glück passieren solche schlimmen Naturkatastrophen nicht so häufig, denn die Schäden sind enorm, die Aufräumarbeiten dauern Jahre und es kostet tausenden von Menschen das Leben.
# Zwei Zahlen/1 bis 10/Produkt/Primzahl/Aufgabe

Es werden unabhängig voneinander zwei Zahlen $x,y$ aus $\{1,2,\ldots ,10\}$ gezogen (mit Zurücklegen). Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass $xy$ eine Primzahl ist.
# Zwei ebene monomiale Kurven/Schnittmultiplizität/Aufgabe

Es seien zwei verschiedene monomiale ebene Kurven $C=V(X^{d}-Y^{e})$ und $D=V(X^{r}-Y^{s})$ gegeben (mit $d,e$ und $r,s$ teilerfremd). Berechne die Schnittmultiplizität der beiden Kurven im Nullpunkt.