OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Polynom/Einsetzen/iX-3+2i in X^3-2iX^2+4X-1/Aufgabe/Lösung

    ${\begin{aligned}P(Q)&=Q^{3}-2{\mathrm {i} }Q^{2}+4Q-1\\&={\left({\mathrm {i} }X-3+2{\mathrm {i} }\right)}^{3}-2{\mathrm {i} }{\left({\mathrm {i} }X-3+2{\mathrm {i} }\right)}^{2}+4{\left({\mathrm {i} }X-3+2{\mathrm {i} }\right)}-1\\&=-{\mathrm {i} }X^{3}+3{\mathrm {i} }^{2}(-3+2{\mathrm {i} })X^{2}+3{\mathrm {i} }{\left(-3+2{\mathrm {i} }\right)}^{2}X+{\left(-3+2{\mathrm {i} }\right)}^{3}\\&\,\,\,\,\,\,\,-2{\mathrm {i} }{\left({\mathrm {i} }^{2}X^{2}+2{\left(-3+2{\mathrm {i} }\right)}{\mathrm {i} }X+{\left(-3+2{\mathrm {i} }\right)}^{2}\right)}+4{\mathrm {i} }X-12+8{\mathrm {i} }-1\\&=-{\mathrm {i} }X^{3}+9X^{2}-6{\mathrm {i} }X^{2}+3{\mathrm {i} }{\left(9-4-12{\mathrm {i} }\right)}X-27+54{\mathrm {i} }+36-8{\mathrm {i} }\\&\,\,\,\,\,\,\,+2{\mathrm {i} }X^{2}-12X+8{\mathrm {i} }X-18{\mathrm {i} }-24+8{\mathrm {i} }+4{\mathrm {i} }X-13+8{\mathrm {i} }\\&=-{\mathrm {i} }X^{3}+{\left(9-4{\mathrm {i} }\right)}X^{2}+{\left(24+27{\mathrm {i} }\right)}X-28+44{\mathrm {i} }.\end{aligned}}$
# Polynom/Einsetzung/3/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}{\left(-5X^{3}-X^{2}+{\sqrt {2}}X+{\sqrt {5}}\right)}{\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)}&=-5{\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)}^{3}-{\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)}^{2}+{\sqrt {2}}{\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)}+{\sqrt {5}}\\&=-5{\left({\sqrt {2}}^{3}+3{\sqrt {2}}^{2}{\sqrt {3}}+3{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}^{2}+{\sqrt {3}}^{3}\right)}-{\left({\sqrt {2}}^{2}+2{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}+{\sqrt {3}}^{2}\right)}+{\sqrt {2}}{\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)}+{\sqrt {5}}\\&=-5{\left(2{\sqrt {2}}+6{\sqrt {3}}+9{\sqrt {2}}+3{\sqrt {3}}\right)}-{\left(2+2{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}+3\right)}+2+{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}\\&=-5{\left(11{\sqrt {2}}+9{\sqrt {3}}\right)}-3-2{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}\\&=-55{\sqrt {2}}-45{\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}{\sqrt {3}}-3+{\sqrt {5}}.\,\end{aligned}}$
# Messraum/Messbare Funktionenfolge/a ist Häufungspunkt/Messbar/Aufgabe

Es sei $X$ ein Messraum und es sei
    $f_{n}\colon X\longrightarrow \mathbb {R}$
($n\in \mathbb {N}$) eine Folge von messbaren Funktionen, wobei $\mathbb {R}$ die $\sigma$-Algebra der Borelmengen trägt. Es sei $a\in \mathbb {R}$. Zeige, dass die Menge
    $M={\left\{x\in X\mid a{\text{ ist ein H}}{\ddot {\rm {a}}}{\text{ufungspunkt der Folge }}{\left(f_{n}(x)\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right\}}\,$
eine messbare Teilmenge von $X$ ist.
# Polynom/Einsetzung/Beispiel/1/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}\varphi {\left(u^{2}-2v\right)}&=3{\left(u^{2}-2v\right)}^{2}-7{\left(u^{2}-2v\right)}+5\\&=3{\left(u^{4}-4u^{2}v+4v^{2}\right)}-7{\left(u^{2}-2v\right)}+5\\&=3u^{4}-12u^{2}v+12v^{2}-7u^{2}+14v+5.\end{aligned}}$
# Messräume/Messbare Abbildungen/Einfache Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass messbare Abbildungen zwischen Messräumen die folgenden Eigenschaften erfüllen.
* Die Hintereinanderschaltung von messbaren Abbildungen ist messbar.
* Jede konstante Abbildung ist messbar.
* Die Identität ist messbar.
* Es seien ${\mathcal {A}}$ und ${\mathcal {B}}$ zwei $\sigma$-Algebren auf einer Menge $M$. Dann ist die Identität auf $M$ genau dann ${\mathcal {A}}-{\mathcal {B}}$-messbar, wenn ${\mathcal {A}}\supseteq {\mathcal {B}}$ gilt.
# Polynom/f(-1)ist2,f(1)ist0,f(3)ist5/Gleichungssystem/Aufgabe/Lösung

Die Bedingungen führen auf das lineare Gleichungssystem
    $a-b+c=2\,,$
    $a+b+c=0\,,$
    $a+3b+9c=5\,.$
$I-II$ führt auf
    $b=-1\,$
und $I-III$ führt auf
    $-4b-8c=-3\,,$
also
    $c={\frac {3}{8}}-{\frac {1}{2}}b={\frac {3}{8}}+{\frac {1}{2}}={\frac {7}{8}}\,$
und somit
    $a={\frac {1}{8}}\,.$
Das gesuchte Polynom ist also
    ${\frac {1}{8}}-X+{\frac {7}{8}}X^{2}.$
# Metrik auf Raum der stetigen Funktionen/Aufgabe

Wir arbeiten auf dem $\mathbb {R}$-Vektorraum $V=C(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ der stetigen Funktionen $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$. Für $i\in \mathbb {N}$ und $f\in V$ sei $\Vert {f}\Vert _{i}\,:=\operatorname {max} {\left\{\vert {f(x)}\vert \mid x\in [-i,i]\right\}}$. Zeige, dass
    $d(f,g):=\sum _{i=0}^{\infty }2^{-i}{\frac {\Vert {f-g}\Vert _{i}}{1+\Vert {f-g}\Vert _{i}}}\,$
eine Metrik auf dem Raum $V$ definiert. Zeige weiter, dass keine Norm $\Vert {-}\Vert :V\rightarrow \mathbb {R} _{+}$ existiert mit $\Vert {f-g}\Vert =d(f,g)$.
# Polynom/f(-1)ist4,f(1)ist0,f(2)ist-7/Gleichungssystem/Aufgabe/Lösung

Die Bedingungen führen auf das lineare Gleichungssystem
    $a-b+c=4\,,$
    $a+b+c=0\,,$
    $a+2b+4c=-7\,.$
$I-II$ führt auf
    $b=-2\,$
und $I-III$ führt auf
    $-3b-3c=11\,,$
also
    $c=-{\frac {11}{3}}-b=-{\frac {11}{3}}+2=-{\frac {5}{3}}\,$
und somit
    $a=-b-c=2+{\frac {5}{3}}={\frac {11}{3}}\,.$
Das gesuchte Polynom ist also
    ${\frac {11}{3}}-2X-{\frac {5}{3}}X^{2}.$
# Polynom/f(-2)ist3,f(0)ist2,f(1)ist4/Gleichungssystem/Aufgabe/Lösung

Die Bedingungen führen auf das lineare Gleichungssystem
    $a-2b+4c=3\,,$
    $a=2\,,$
    $a+b+c=4\,.$
$2III+I$ führt auf
    $3a+6c=11\,,$
also
    $c={\frac {5}{6}}\,.$
In $III$ eingesetzt ergibt sich
    $b=4-2-{\frac {5}{6}}={\frac {7}{6}}\,.$
Das gesuchte Polynom ist also
    $2+{\frac {7}{6}}X+{\frac {5}{6}}X^{2}.$
# Metrische Räume/Stetige Abbildungen/Beschränkte Supremumsmetrik/Aufgabe

Es seien $L$ und $M$ metrische Räume. Zeige, dass die Menge $C$ der stetigen Abbildungen von $L$ nach $M$ durch
    $d(f,g):={\min {\left({\operatorname {sup} \,(d(f(x),g(x)),x\in L)},1\right)}}\,$
zu einem metrischen Raum wird.
# Metrische Räume/Stetige Abbildungen/Beschränkte Supremumsmetrik/Vollständig/Aufgabe

Es seien $L$ und $M$ metrische Räume, wobei $M$ vollständig sei. Zeige, dass die Menge $C$ der stetigen Abbildungen von $L$ nach $M$ durch
    $d(f,g):={\min {\left({\operatorname {sup} \,(d(f(x),g(x)),x\in L)},1\right)}}\,$
zu einem vollständigen metrischen Raum wird.
# Polynom/f(1) ist 10,f(-2) ist 1, f(3) ist 16/Aufgabe/Lösung

Mit dem Ansatz
    $f=aX^{2}+bX+c\,$
gelangen wir zum linearen Gleichungssystem
    $a+b+c=10\,,$
    $4a-2b+c=1\,,$
    $9a+3b+c=16\,.$
Die Gleichungen $II-I$ und $III-I$ sind
    $3a-3b=-9\,$
und
    $8a+2b=6\,.$
Daraus ergibt sich ($2II'+3III'$)
    $30a=0\,,$
also
    $a=0\,.$
Daraus ergibt sich
    $b=3\,$
und
    $c=7\,.$
Es ist also
    $f=3X+7\,.$
# Metrischer Raum/Abgeschlossene Teilmenge/Nullfaser/Aufgabe

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und $T\subseteq M$ eine Teilmenge. Zeige, dass $T$ genau dann abgeschlossen ist, wenn es eine stetige Funktion $f\colon M\rightarrow \mathbb {R}$ mit
    $f^{-1}(0)=T\,$
gibt.
# Polynom/Grad 3/Umkehrfunktion/Potenzreihenansatz/Aufgabe/Lösung

Mit
    $y=f(x)=-3x+x^{3}\,.$
und
    $g(y)=\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}y^{k}\,$
wird die Bedingung
    $g(f(x))=x\,$
ausgeschrieben zu
    ${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}(-3x+x^{3})^{k}&=b_{0}+b_{1}(-3x+x^{3})+b_{2}(-3x+x^{3})^{2}+b_{3}(-3x+x^{3})^{3}+b_{4}(-3x+x^{3})^{4}+\ldots \\&=x.\end{aligned}}$
Daraus können die $b_{k}$ sukzessive durch Koeffizientenvergleich bestimmt werden, da in der unendlichen Summe nur endlich viele Terme die Koeffizienten bestimmen. Zunächst ergibt sich
    $b_{0}=0\,.$
Aus (Koeffizient vor $x$)
    $-3b_{1}=1\,$
ergibt sich
    $b_{1}=-{\frac {1}{3}}\,.$
Aus (Koeffizient vor $x^{2}$)
    $9b_{2}=0\,$
ergibt sich
    $b_{2}=0\,.$
Aus (Koeffizient vor $x^{3}$)
    $b_{1}-27b_{3}=0\,$
ergibt sich
    $b_{3}={\frac {1}{81}}\,.$
Aus (Koeffizient vor $x^{4}$)
    $-6b_{2}+81b_{4}=0\,$
ergibt sich
    $b_{4}=0\,.$
# Metrischer Raum/Abschluss/Berührungspunkte/Durchschnitt/Aufgabe

Es sei $T\subseteq M$ eine Teilmenge in einem metrischen Raum $M$. Zeige für den Abschluss von $T$ die Gleichheit
    ${\overline {T}}=\bigcap _{T\subseteq A\subseteq M,\,A{\text{ abgeschlossen}}}A\,.$
# Polynom/Grad 4/Doppelte Tangente/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}(x-a)^{2}(x-b)^{2}&={\left(x^{2}-2ax+a^{2}\right)}{\left(x^{2}-2bx+b^{2}\right)}\\&=x^{4}-2(a+b)x^{3}+{\left(a^{2}+b^{2}+4ab\right)}x^{2}+{\left(-2a^{2}b-2ab^{2}\right)}x+a^{2}b^{2}.\end{aligned}}$
Der Vergleich mit $x^{4}+rx^{3}+sx^{2}$ führt auf das Gleichungssystem
    $-2(a+b)=r\,$
und
    $a^{2}+b^{2}+4ab=s\,.$
Wir lösen die erste Gleichung nach $a$ auf und erhalten
    $a=-b-{\frac {r}{2}}\,.$
Dies eingesetzt in die zweite Gleichung ergibt
    ${\begin{aligned}{\left(-b-{\frac {r}{2}}\right)}^{2}+b^{2}+4{\left(-b-{\frac {r}{2}}\right)}b&=b^{2}+br+{\frac {r^{2}}{4}}+b^{2}-4b^{2}-2rb\\&=-2b^{2}-rb+{\frac {r^{2}}{4}}\\&=0.\end{aligned}}$
Somit muss die quadratische Gleichung
    $b^{2}+{\frac {r}{2}}b-{\frac {r^{2}}{8}}=0\,$
gelöst werden. Dies führt auf
    ${\left(b+{\frac {r}{4}}\right)}^{2}={\frac {r^{2}}{8}}+{\frac {r^{2}}{16}}={\frac {3r^{2}}{16}}\,,$
was stets eine Lösung besitzt. Die Lösungen sind
    $b={\frac {\pm {\sqrt {3}}r}{4}}-{\frac {r}{4}}\,,$
wobei $a$ dann die andere Lösung ist ($a$ und $b$ sind in der Fragestellung und in dem Gleichungssystem gleichberechtigt). Mit diesen $a$ und $b$
$cx+d$
# Metrischer Raum/Abstand zu Teilmenge/Stetig/Aufgabe

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und $T\subseteq M$ eine nichtleere Teilmenge. Zeige, dass durch
    $d_{T}(x):=\inf {\left(d(x,y),\,y\in T\right)}\,$
eine wohldefinierte, stetige Funktion $M\rightarrow \mathbb {R}$ gegeben ist.
# Polynom/Interpolation/Normierte Version/Aufgabe/Lösung

Nach dem Interpolationssatz für Polynome gibt es ein Polynom $P$ vom Grad $\leq n-1$ mit $P(a_{i})=b_{i}$ für alle $i$. Wir betrachten das Polynom
    $R=(X-a_{1})(X-a_{2})\cdots (X-a_{n})\,.$
Dieses ist ein normiertes Polynom vom Grad $n$, das an den Stellen $a_{i}$ den Wert $0$ annimmt. Deshalb ist
    $Q:=P+R\,$
ein normiertes Polynom vom Grad $n$ mit
    $Q(a_{i})=P(a_{i})+R(a_{i})=b_{i}\,,$
womit die Existenz gezeigt ist. Zum Nachweis der Eindeutigkeit seien $Q$ und $Q'$ normierte Polynome vom Grad $n$ mit $Q(a_{i})=b_{i}=Q'(a_{i})$. Dann besitzt $Q-Q'$ einen Grad $\leq n-1$, das an den $n$ Stellen den Wert $0$ besitzt. Deshalb ist es nach Fakt das Nullpolynom und somit ist
$Q=Q'$
# Metrischer Raum/Ein Punkt/Abgeschlossen/Aufgabe

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und sei $P\in M$ ein Punkt. Zeige, dass $\{P\}$ abgeschlossen ist.
# Metrischer Raum/Endliche Punktmengen sind abgeschlossen/Aufgabe

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum. Zeige, dass jede endliche Teilmenge $T\subseteq M$ abgeschlossen ist.
# Polynom/Kosinus/Grad 4/Nullstelle/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $f(1)=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{24}}>0\,$
und
    $f(2)=1-2+{\frac {16}{24}}=-1+{\frac {2}{3}}<0\,,$
deshalb gibt es nach dem Zwischenwertsatz eine Nullstelle zwischen $1$ und $2$. Es ist
    ${\begin{aligned}f\left({\frac {3}{2}}\right)&=1-{\frac {\left({\frac {3}{2}}\right)^{2}}{2}}+{\frac {\left({\frac {3}{2}}\right)^{4}}{24}}\\&=1-{\frac {9}{8}}+{\frac {27}{128}}\\&={\frac {11}{128}}\\&>0.\end{aligned}}$
Deshalb gibt es eine Nullstelle in $[{\frac {3}{2}},2]$. Es ist
    ${\begin{aligned}f\left({\frac {7}{4}}\right)&=1-{\frac {\left({\frac {7}{4}}\right)^{2}}{2}}+{\frac {\left({\frac {7}{4}}\right)^{4}}{24}}\\&=1-{\frac {49}{32}}+{\frac {2401}{6144}}\\&={\frac {6144-9408+2401}{1536}}\\&<0.\end{aligned}}$
$[{\frac {3}{2}},{\frac {7}{4}}]$
# Metrischer Raum/Folge und Häufungspunkte/Abgeschlossen/Aufgabe

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in einem metrischen Raum $(M,d)$. Es sei $H$ die Menge aller Häufungspunkte der Folge und
    $A=\{x_{n}:\,n\in \mathbb {N} \}\cup H\,.$
Zeige, dass $A$ eine abgeschlossene Teilmenge von $M$ ist.
# Polynom/Minimalpolynom für unendlich viele Matrizen/Aufgabe/Lösung

Es sei $P=X^{2}$. Wir behaupten, dass dies für sämtliche Matrizen der Form
    ${\begin{pmatrix}0&r\\0&0\end{pmatrix}}{\text{ mit }}r\in \mathbb {R} {\text{ und }}r\neq 0$
das Minimalpolynom ist. Eine direkte Rechnung zeigt
    ${\begin{pmatrix}0&r\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&r\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}\,,$
sodass $X^{2}$ diese Matrizen annulliert. Das Minimalpolynom muss also ein Teiler von $X^{2}$, und die normierten Teiler sind $1,X,X^{2}$. Wegen $r\neq 0$
$X$
$X^{2}$
# Metrischer Raum/Konstante Abbildung/Stetig/Aufgabe

Es seien $L$ und $M$ metrische Räume und $m\in M$. Zeige, dass die konstante Abbildung
    $f\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto m,$
stetig ist.
# Polynom/Modulo p/Irreduzible Liftung über Z/Aufgabe/Lösung

* Nehmen wir an, dass $F\in \mathbb {Z} [X]$ nicht irreduzibel ist. Es gibt dann eine Zerlegung in $\mathbb {Z} [X]$, wobei $G,H$ ebenfalls normierte Polynome sind, die einen kleineren Grad als $F$ besitzen. Da die Reduktion modulo $q$ ein Ringhomomorphismus ist, der für normierte Polynome den Grad unverändert lässt, folgt sofort eine Faktorzerlegung die der Irreduzibilität von ${\overline {F}}$ in $\mathbb {Z} /(q)[X]$ widerspricht.
    $F=GH\,$
    $\mathbb {Z} [X]\longrightarrow \mathbb {Z} /(q)[X],\,F\longmapsto {\overline {F}},$
    ${\overline {F}}={\overline {G}}\cdot {\overline {H}}\,,$
* Es sei $F=2X$, wobei diese Darstellung unmittelbar zeigt, dass $F$ nicht irreduzibel in $\mathbb {Z} [X]$ ist. Für $q=3$ ist die Reduktion modulo $3$ gleich $2X$, doch dies ist, da $2$ eine Einheit in $\mathbb {Z} /(3)$ ist, assoziiert zum irreduziblen Polynom $X$.
* Es sei nun $G\in \mathbb {Z} /(p)[X]$ ein normiertes Polynom vom Grad $n$. Es sei $q\neq p$ eine weitere Primzahl. Da es einen Körper $K$ mit $q^{n}$ Elementen gibt, und da die Einheitengruppe eines endlichen Körpers nach Fakt von einem Element erzeugt wird, ist $K$ eine einfache endliche Körpererweiterung von $\mathbb {Z} /(q)$. Also ist mit einem normierten irreduziblen Polynom $H\in \mathbb {Z} /(q)[X]$. Es sei ein normiertes ganzzahliges Polynom, das modulo $p$ mit $G$ übereinstimmt. Diese Eigenschaft ändert sich nicht, wenn wir Vielfache von $pX^{i}$ mit $i$ zwischen $0$ und $n-1$ dazuaddieren. Wir behaupten, dass wir durch solche Additionen erreichen können, dass die Reduktion modulo $q$ zum irreduzibeln Polynom $H$ wird. Aus Teil (1) folgt dann, dass dieses neue $G'$ irreduzibel ist. Die Abänderung können wir komponentenweise durchführen. Es sei mit $b_{i}\in \mathbb {Z} /(q)$. Da ${\overline {p}}$ in $\mathbb {Z} /(q)$ eine Einheit ist, erzeugt es als Gruppe $\mathbb {Z} /(q)$, d.h. $0,{\overline {p}},2{\overline {p}},\ldots$ durchläuft alle Elemente von $\mathbb {Z} /(q)$. Somit kann man durch Addition eines Vielfachen von $p$ erreichen, dass $a_{i}+kp$ modulo $q$ mit $b_{i}$ übereinstimmt.
    $K\cong \mathbb {Z} /(q)[X]/(H)\,$
    ${\tilde {G}}=X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}\in \mathbb {Z} [X]\,$
    $H=X^{n}+b_{n-1}X^{n-1}+\cdots +b_{1}X+b_{0}\in \mathbb {Z} [X]\,$
# Metrischer Raum/Konvergente Folge/Vollständig/Aufgabe

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge in einem metrischen Raum $M$ mit dem Grenzwert $x$. Zeige, dass die Teilmenge
    $T={\left\{x_{n}\mid n\in \mathbb {N} \right\}}\cup \{x\}\,$
(mit der induzierten Metrik) vollständig ist.
# Polynom/Q X modulo X^4-1/Produkt von Körpern/Restklasse von X^3+X/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $X^{4}-1=(X^{2}-1)(X^{2}+1)=(X+1)(X-1)(X^{2}+1)\,$
$X^{2}+1\in \mathbb {Q} [X]$
    $\mathbb {Q} [X]/(X^{4}-1)\cong \mathbb {Q} [X]/(X+1)\times \mathbb {Q} [X]/(X-1)\times \mathbb {Q} [X]/(X^{2}+1)\cong \mathbb {Q} \times \mathbb {Q} \times \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]\,,$
$X\mapsto -1$
$X\mapsto 1$
$\mathbb {Q} [X]/(X^{2}+1)\cong \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$
$X^{3}+X=X(X^{2}+1)$
$-2,2$
$0$
    $(-2,2,0).$
# Metrischer Raum/Stetig konkav/Ummetrisierung/Aufgabe

Es sei
    $f\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$
eine stetige konkave Funktion mit $f(0)=0$ und $f(t)>0$ für $t>0$ und sei
    $d\colon M\times M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$
eine Metrik. Zeige, dass dann auch $f\circ d$ eine Metrik ist.
# Polynom/Quadrat/1/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}{\left(1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}\right)}^{2}&={\left(1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}\right)}\cdot {\left(1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}\right)}\\&=1+{\frac {1}{4}}x^{2}+{\frac {1}{64}}x^{4}+x-{\frac {1}{4}}x^{2}-{\frac {1}{8}}x^{3}\\&=1+x-{\frac {1}{8}}x^{3}+{\frac {1}{64}}x^{4}.\end{aligned}}$
# Metrischer Raum/Stetig/Bild von Häufungspunkt/Aufgabe

    $f\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto f(x),$
metrischen Räumen $L$ und $M$. Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $L$ mit einem Häufungspunkt $x\in L$. Zeige, dass $f(x)$ ein Häufungspunkt der Bildfolge ${\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ist.
# Polynom/R nach R/Lipschitz stetig/Grad/Aufgabe/Lösung

Von (1) nach (2). Wir schreiben
    $P=ax+b\,$
und behaupten, dass man $L:=\vert {a}\vert$ als Lipschitz-Konstante nehmen kann. In der Tat ist
    $\vert {p(x)-p(x')}\vert =\vert {ax-b-ax'+b}\vert =\vert {a(x-x')}\vert =\vert {a}\vert \cdot \vert {x-x'}\vert \,.$
Von (2) nach (3) gilt immer, zu gegebenem $\epsilon >0$ nimmt man $\delta =\epsilon /L$. Von (3) nach (1). Wir zeigen, dass ein Polynom vom Grad $\neq 2$ nicht auf ganz $\mathbb {R}$ gleichmäßig stetig ist. Ohne Einschränkung sei der Leitkoeffizient positiv. Wir betrachten den Differenzenquotienten
    ${\frac {P(x+h)-P(x)}{x+h-x}}={\frac {P(x+h)-P(x)}{h}}\,.$
Da $P'(x)$ zumindest den Grad $1$ besitzt, geht die Ableitung für $x\rightarrow +\infty$ gegen unendlich. Mit dem Mittelwertsatz wird dann auch zu jedem festen $h$ der Differenzenquotient ${\frac {P(x+h)-P(x)}{h}}$ für $x$ gegen unendlich beliebig groß. Bei gegebenem $\epsilon >0$ gibt es daher zu jedem positiven $\delta =h$ ein $x$ mit
    ${\frac {\vert {P(x+h)-P(x)}\vert }{h}}>{\frac {\epsilon }{h}}\,$
also ist
    $\vert {P(x+h)-P(x)}\vert >\epsilon \,.$
# Metrischer Raum/Teilmenge mit induzierter Metrik/Stetige Inklusion/Aufgabe

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und $T\subseteq M$ eine Teilmenge mit der induzierten Metrik. Zeige, dass die Inklusion $T\subseteq M$ stetig ist.
# Polynom/R/Bijektiv/Umkehrfunktion/Aufgabe/Lösung

* Die einzigen reellen Polynome mit polynomialer Umkehrfunktion sind die Polynome der Form $aX+b$ mit Für diese ist ${\frac {1}{a}}X-{\frac {b}{a}}$ die Umkehrfunktion, da ja wegen und diese Funktionen invers zueinander sind. Wir zeigen, dass es darüberhinaus keine weiteren Polynome mit polynomialer Umkehrfunktion gibt. Ein konstantes Polynom ist nicht bijektiv. Es sei also $P$ ein Polynom, das zumindest einen Grad $\geq 2$ besitzt. Wenn man darin ein weiteres nichtkonstantes Polynom einsetzt, ergibt sich aber ebenfalls ein Polynom vom Grad $\geq 2$ und nicht $X$. D.h., dass $P$ keine polynomiale Umkehrfunktion besitzen kann.
    $a\neq 0\,.$
    ${\frac {1}{a}}{\left(aX+b\right)}-{\frac {b}{a}}=X+{\frac {b}{a}}-{\frac {b}{a}}=X\,$
    $a{\left({\frac {1}{a}}X-{\frac {b}{a}}\right)}+b=X-b+b=X\,$
* Die Funktion ist bijektiv nach Fakt, nach Teil (1) kann aber die Umkehrfunktion nicht polynomial sein.
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{3},$
* Die vollständige Wertetabelle zu dieser Funktion ist $x$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $x^{5}$ $0$ $1$ $4$ $5$ $2$ $3$ $6$ also ist die Funktion bijektiv. Diese Funktion ist offenbar zu sich selbst invers, also ist die Umkehrfunktion polynomial.
# Metrischer Raum/Teilmenge/Abgeschlossen gdw enthält Rand/Aufgabe

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und $T\subseteq M$ eine Teilmenge. Zeige, dass $T$ genau dann abgeschlossen ist, wenn die Inklusion $\operatorname {Rand} \,(T)\subseteq T$ gilt.
# Polynom/Stetigkeit/Überprüfe delta/1/Aufgabe/Lösung

Unter der Bedingung
    $\vert {x-3}\vert \leq {\frac {1}{800}}\,$
ist
    ${\begin{aligned}\vert {f(x)-f(3)}\vert &=\vert {2x^{3}-4x+5-2\cdot 3^{3}+4\cdot 3-5}\vert \\&=\vert {2(x^{3}-3^{3})-4(x-3)}\vert \\&\leq 2\vert {x^{3}-3^{3}}\vert +4\vert {x-3}\vert \\&\leq 2\vert {x-3}\vert \cdot \vert {x^{2}+3x+3^{2}}\vert +{\frac {4}{800}}\\&\leq 2\cdot {\frac {1}{800}}\cdot \vert {16+12+9}\vert +{\frac {4}{800}}\\&={\frac {78}{800}}\\&\leq {\frac {1}{10}}.\end{aligned}}$
# Metrischer Raum/Teilmenge/Abschluss ist Durchschnitt aller abgeschlossener Mengen/Aufgabe

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und $T\subseteq M$ eine Teilmenge. Zeige, dass
    ${\overline {T}}=\bigcap _{T\subseteq A,\,A{\text{ abgeschlossen}}}A\,$
ist.
# Polynom/Stetigkeit/Überprüfe delta/2/Aufgabe/Lösung

Unter der Bedingung
    $\vert {x+2}\vert \leq {\frac {1}{1000}}\,$
ist
    ${\begin{aligned}\vert {f(x)-f(-2)}\vert &=\vert {x^{3}-5x^{2}-x+2-{\left((-2)^{3}-5\cdot (-2)^{2}-(-2)+2\right)}}\vert \\&=\vert {x^{3}-5x^{2}-x+2-(-2)^{3}+5\cdot (-2)^{2}-2-2}\vert \\&=\vert {x^{3}-(-2)^{3}-5{\left(x^{2}-(-2)^{2}\right)}-x-2}\vert \\&\leq \vert {x^{3}-(-2)^{3}}\vert +5\vert {x^{2}-(-2)^{2}}\vert +\vert {x+2}\vert \\&=\vert {x+2}\vert \cdot \vert {x^{2}-2x+(-2)^{2}}\vert +5\vert {x+2}\vert \cdot \vert {x-2}\vert +\vert {x+2}\vert \\&\leq {\frac {1}{1000}}\cdot \vert {x^{2}-2x+(-2)^{2}}\vert +{\frac {5}{1000}}\cdot \vert {x-2}\vert +{\frac {1}{1000}}\\&\leq {\frac {1}{1000}}\cdot \vert {9+6+4}\vert +{\frac {5}{1000}}\cdot 5+{\frac {1}{1000}}\\&={\frac {45}{1000}}\\&\leq {\frac {1}{20}}.\end{aligned}}$
# Metrischer Raum/Teilmenge/Abschluss ist Menge und Rand/Aufgabe

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und $T\subseteq M$ eine Teilmenge. Zeige, dass
    ${\overline {T}}=T\cup \operatorname {Rand} \,(T)\,$
ist.
# Polynom/Summenfunktion/4 Werte/Aufgabe/Lösung

Es muss ein interpolierendes Polynom vom Grad $\leq 3$ geben, wir können also den Ansatz
    $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\,$
machen, wobei wegen der ersten Bedingung direkt $d=0$ gilt. Die übrigen Interpolationspunkte liefern das lineare Gleichungssystem
    $a+b+c=1\,,$
    $8a+4b+2c=3\,,$
    $27a+9b+3c=6\,.$
$II-2I$ ergibt
    $6a+2b=1\,$
und $III-3I$ ergibt
    $24a+6b=3\,$
bzw.
    $8a+2b=1\,.$
Daraus folgt $a=0$ und $b={\frac {1}{2}}$ und damit auch $c={\frac {1}{2}}$. Das interpolierende Polynom minimalen Grades ist also
    ${\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x.$
# Metrischer Raum/Teilmenge/Induzierte Metrik/Induzierte Topologie/Aufgabe

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum und $T\subseteq M$ eine Teilmenge mit der induzierten Metrik. Zeige, dass eine Teilmenge $Z\subseteq T$ genau dann offen in $T$ ist, wenn es eine in $M$ offene Menge $U$ mit $Z=T\cap U$ gibt.
# Polynom/X^2-1/Minimalpolynom für unendlich viele Matrizen/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten Matrizen vom Typ
    ${\begin{pmatrix}0&-{\frac {1}{r}}\\r&0\end{pmatrix}}$
für $r\neq 0$. Das charakteristische Polynom davon ist
    $X^{2}+r{\frac {1}{r}}=X^{2}+1\,.$
$X^{2}+1$
$X^{2}+1$
# Metrischer Raum/Zwei stetige Abbildungen/Gleichheitsort/Abgeschlossen/Aufgabe

Es seien $L$ und $M$ metrische Räume und es seien
    $f,g\colon L\longrightarrow M$
zwei stetige Abbildungen. Zeige, dass die Menge
    $N={\left\{x\in L\mid f(x)=g(x)\right\}}\,$
abgeschlossen in $L$ ist.