# Mannigfaltigkeit/Differentialform/Integration längs Abbildung/Einführung/Textabschnitt

{{ Mathematischer Textabschnitt |Inhalt= Auf einer $n$-dimensionalen Mannigfaltigkeit $M$ sind nur $n$-Formen über $M$ sinnvoll integrierbar. Man möchte aber auch $k$-Formen ($1\leq k\leq n$) über gewisse $k$-dimensionale Unterobjekte integrieren können. Das passende Konzept ist dabei die Integration längs einer differenzierbaren Abbildung
    $\varphi \colon L\longrightarrow M$
einer $k$-dimensionalen Mannigfaltigkeit $L$. Dabei integriert man über $L$ einfach die mit $\varphi$ zurückgezogene Differentialform $\varphi ^{*}\omega$ zu einer Form $\omega \in {\mathcal {E}}^{k}(M)$. Auf $L$ passen dabei die Dimension und der Grad der Form zusammen. Ein wichtiger Spezialfall ist dabei der von $1$-Formen und differenzierbaren Kurven
    $\gamma \colon I\longrightarrow M,$
die dabei entstehenden Integrale nennt man Wegintegrale.

## Definition

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $\omega \in {\mathcal {E}}^{1}(M)$ eine $1$-Differentialform. Es sei
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow M$
eine stetig differenzierbare Kurve. Dann heißt
    $\int _{\gamma }\omega :=\int _{[a,b]}\gamma ^{*}\omega =\int _{a}^{b}\omega (\gamma (t);\gamma '(t))\,dt\,$
das Wegintegral von $\omega$ längs $\gamma$.
Dabei ist $\gamma '(t)=(T_{t}\gamma )(1)\in T_{\gamma (t)}M$.

## Bemerkung

Im physikalischen Kontext beschreibt eine reellwertige $1$-Differentialform (bzw. ihre duale Version, ein Vektorfeld) eine Kraft; das Wegintegral ist dann der Arbeitsaufwand oder die Energie, die gebraucht oder freigesetzt wird, wenn sich ein Teilchen auf dem Weg bewegt.
Häufig werden wir Differentialformen auf einer abgeschlossenen Untermannigfaltigkeit $M\subseteq G$, $G$ offen in $\mathbb {R} ^{n}$, betrachten, die sogar auf $G$ definiert sind und daher die Gestalt $\omega =\sum _{i=1}^{n}g_{i}dx_{i}$ besitzen, wobei die $x_{i}$ die Koordinaten des $\mathbb {R} ^{n}$ und die $g_{i}$ auf $G$ definierte Funktionen sind. Für einen Weg in $M$ ist es nach Aufgabe gleichgültig, ob man das Wegintegral mit Bezug auf $G$ und $\omega$ oder mit Bezug auf {{ mathkor|term1= M |und die eingeschränkte Differentialform|term2= \omega {{|}}_M |SZ= }} betrachtet.

## Bemerkung

Ein Wegintegral wird folgendermaßen berechnet. Es sei $\omega$ eine $1$-Form auf $G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, die durch
    $\omega =g_{1}dx_{1}+\cdots +g_{n}dx_{n}\,$
beschrieben werde, wobei die $g_{j}\colon G\rightarrow \mathbb {R}$ messbare Funktionen sind. Es sei eine stetig differenzierbare Kurve $\gamma \colon [a,b]\rightarrow G$ gegeben mit den (stetig differenzierbaren) Komponentenfunktionen $\gamma _{j}$. Die Ableitung in einem Punkt $t\in [a,b]$ wird dann nach Fakt durch den Vektor $\left(\gamma _{1}'(t),\,\ldots ,\,\gamma _{n}'(t)\right)$ beschrieben. Die zurückgezogene Differentialform $\gamma ^{*}\omega$ hat dann im Punkt $t$ in Richtung $1$ den Wert
    ${\begin{aligned}\omega (\gamma (t);\gamma '(t))&={\left(g_{1}(\gamma (t))dx_{1}+\cdots +g_{n}(\gamma (t))dx_{n}\right)}{\begin{pmatrix}\gamma _{1}'(t)\\\vdots \\\gamma _{n}'(t)\end{pmatrix}}\\&=g_{1}(\gamma (t))\gamma _{1}'(t)+\cdots +g_{n}(\gamma (t))\gamma _{n}'(t).\end{aligned}}$
Im mittleren Ausdruck wird eine Linearform auf einen Vektor angewendet. In $g_{j}(x_{1},\ldots ,x_{n})$ wird also $x_{i}$ durch $\gamma _{i}(t)$ und $dx_{i}$ durch $\gamma _{i}'(t)dt$ ersetzt. Das Gesamtergebnis ist eine messbare $1$-Form auf $[a,b]$ bzw. eine messbare Funktion von $[a,b]$ nach $\mathbb {R}$, die man integrieren kann.

## Beispiel

Wir betrachten die Differentialform
    $\omega ={\left(xy+z^{2}\right)}dx+zdy+x^{3}dz\,$
auf dem $\mathbb {R} ^{3}$ und den affin-linearen Weg
    $\gamma \colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto (1,2,0)+t(3,0,2)=(1+3t,2,2t).$
Die unter $\gamma$ zurückgenommene Differentialform $\gamma ^{*}\omega$ ist
    ${\begin{aligned}{\left({\left((1+3t)2+(2t)^{2}\right)}dx+2tdy+(1+3t)^{3}dz\right)}{\begin{pmatrix}3\\0\\2\end{pmatrix}}&={\left(3((1+3t)2+(2t)^{2})+2(1+3t)^{3}\right)}dt\\&={\left(12t^{2}+18t+6+54t^{3}+54t^{2}+18t+2\right)}dt\\&={\left(54t^{3}+66t^{2}+36t+8\right)}dt.\end{aligned}}$
Für das Integral über dem Einheitsintervall ergibt sich
    $\int _{0}^{1}54t^{3}+66t^{2}+36t+8\,dt={\left({\frac {27}{2}}t^{4}+22t^{3}+18t^{2}+8t\right)}|_{0}^{1}={\frac {123}{2}}\,.$
|Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Wegintegrale zu einer Differentialform auf einer Mannigfaltigkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }}