# Modallogik/Modalisierte Aussagen/Beispiele/Einführung/Textabschnitt

Die Modallogik beschäftigt sich mit der Logik der Notwendigkeit und Möglichkeit und allgemeiner mit Modalitäten von Aussagen. Sie baut auf der Aussagenlogik auf. Während diese die logische Abhängigkeit von mittels aussagenlogischer Junktoren definierten Ausdrücken in den Aussagenvariablen studiert, und für eine Aussagenvariable nur die beiden Wahrheitswerte wahr oder falsch kennt, erlaubt die Modallogik, auch modalisierte Aussagenvariablen zu untersuchen. Modalisierte Aussagen kommen häufig vor, typische Beispiele sind:
* $p$ gilt notwendigerweise.
* Es ist moralisch geboten, dass $p$ gilt.
* Ich möchte, dass $p$ gilt.
* Ich weiß, dass $p$ gilt.
* $p$ ist beweisbar.
* $p$ gilt überall (in allen Fällen, in allen Welten).
Die Negationen dieser Aussagen sind (es ist nicht der Fall, dass ...)
* $p$ gilt nicht notwendigerweise.
* Es ist moralisch nicht geboten, dass $p$ gilt.
* Ich möchte nicht, dass $p$ gilt (im Sinne von, es ist mir egal).
* Ich weiß nicht, ob $p$ gilt.
* $p$ ist nicht beweisbar.
* $p$ gilt nicht überall (nicht in allen Fällen, nicht in allen Welten).
Man kann aber auch die gleiche Modalität auf die Negation zu $p$ anwenden, das ergibt.
* $\neg p$ gilt notwendigerweise.
* Es ist moralisch geboten, dass $\neg p$ gilt (also $p$ ist moralisch verwerflich/verboten).
* Ich möchte, dass $\neg p$ gilt.
* Ich weiß, dass $\neg p$ gilt.
* $\neg p$ ist beweisbar.
* $\neg p$ gilt überall (in allen Fällen, in allen Welten), also $p$ gilt nirgendwo.
Diesen Aussagen können wiederum als Ganzes negiert werden.
* Es ist nicht der Fall, dass $\neg p$ notwendigerweise gilt.
* Es ist nicht moralisch geboten, dass $\neg p$ gilt.
* Ich möchte nicht, dass $\neg p$ gilt.
* Ich weiß nicht, dass $\neg p$ gilt.
* $\neg p$ ist nicht beweisbar.
* $\neg p$ gilt nicht überall (nicht in allen Fällen).
Davon sind die folgenden Aussagen Paraphrasierungen.
* $p$ gilt möglicherweise.
* $p$ ist (moralisch) erlaubt.
* Ich kann $p$ akzeptieren.
* Ich kann von meinem Wissen her nicht ausschließen, dass $p$ gilt ($p$ ist denkbar).
* $p$ ist nicht ausschließbar.
* Es gibt Fälle bzw. Welten, wo $p$ gilt.
Wenn man die zu Beginn genannten Modalitäten mit $\Box p$ (Notwendigkeit) bezeichnet, so haben wir nach $\Box p$ die Varianten $\neg \Box p$, $\Box \neg p$, $\neg \Box \neg p$ aufgelistet, und die letzte Variante konnten wir durch eine neue Modalität (Möglichkeit) ausdrücken, nämlich
    $\Diamond p\Leftrightarrow \neg \Box \neg p.$
Möglich bedeutet also, dass das Gegenteil nicht notwendig ist, erlaubt bedeutet, dass das Gegenteil nicht verpflichtend ist, u.s.w. Diese Äquivalenz wird etwas weniger verschachtelt, wenn man sie als
    $\neg \Diamond p\Leftrightarrow \Box \neg p$
schreibt. Dass etwas nicht erlaubt ist bedeutet, dass das Gegenteil davon verpflichtend ist. In der formalen Modallogik untersucht man strukturelle Gesetzmäßigkeiten von Aussagen, die durch einen Operator $\Box$ modalisiert werden können. Philosophisch relevante Interpretationen sind die Notwendigkeitslogik, die Deontik (Moral, Recht), epistemische Logik (Wissen), Beweisbarkeitslogik. In der letzten Vorlesung haben wir in Bemerkung für das einstellige Ableitungsprädikat einige strukturelle Eigenschaft formuliert. Wenn man dabei $\alpha (GN(s))$ als „$s$ ist beweisbar“ liest und als $\Box s$ schreibt, wobei $s$ nicht weiter hinterfragt wird und als Aussagenvariable aufgefasst wird, so kann man diese Eigenschaften modallogisch untersuchen.