OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Definitionsabfrage/8/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit $m$ Gleichungen in $n$ Variablen über einem Körper $K$.
* Eine invertierbare $n\times n$-Matrix $M$ über einem Körper $K$.
* Die Symmetrie einer Relation $R$ auf einer Menge $M$.
* Eine $k$-te Wurzel zu $r\in R$ in einem kommutativen Halbring $R$.
* Die Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt $x\in \mathbb {R}$.
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
* Die vollständige Unabhängigkeit von Ereignissen in einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum $(M,\mu )$.
    $E_{1},\ldots ,E_{k}\subseteq M\,$
# Elementare Mathematik 2/Gemischte Definitionsabfrage/T2/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein Repräsentantensystem zu einer Äquivalenzrelation $\sim$ auf einer Menge $M$.
* Die Quotientenmenge zu einer Äquivalenzrelation $\sim$ auf einer Menge $M$.
* Ein Ringhomomorphismus zwischen Ringen $R$ und $S$.
    $\varphi \colon R\longrightarrow S$
* Die Konvergenz einer Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper $K$ gegen $x\in K$.
* Eine Cauchy-Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper $K$.
* Die Eulersche Zahl.
# C^n/Lineare Abbildung/Matrix/Adjungierte Abbildung/1/Aufgabe

Die lineare Abbildung $\varphi \colon {\mathbb {C} }^{3}\rightarrow {\mathbb {C} }^{3}$ werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix
    ${\begin{pmatrix}5-2{\mathrm {i} }&3-7{\mathrm {i} }&4-7{\mathrm {i} }\\1-8{\mathrm {i} }&9-2{\mathrm {i} }&17{\mathrm {i} }\\6&8-9{\mathrm {i} }&2-2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}$
beschrieben. Bestimme die Matrix des adjungierten Endomorphismus.
# C^n/Skalarprodukt/Unitäre Gruppe/Definition

Der ${\mathbb {C} }^{n}$ sei mit dem komplexen Standardskalarprodukt versehen. Die Menge aller unitären linearen Abbildungen $f\colon {\mathbb {C} }^{n}\rightarrow {\mathbb {C} }^{n}$ bilden eine Gruppe, die die unitäre Gruppe
heißt. Sie wird mit $\operatorname {U} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ bezeichnet.
# C^n/Standardskalarprodukt/Definition/Begriff

Das Standardskalarprodukt auf dem ${\mathbb {C} }^{n}$.
# Affiner Raum/Schnittverhalten/Dimension/Fakt/Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.
# Eurozahlen/Zählen und addieren/Aufgabe

* Mit den Eurozahlen kann man zählen, indem man für jede natürliche Zahl die minimale Darstellung angibt, also: Ein Einer, ein Zweier, ein Einer und ein Zweier, zwei Zweier, ein Fünfer, ein Einer und ein Fünfer, ein Zweier und ein Fünfer, ein Einer und ein Zweier und ein Fünfer, etc. Zähle in dieser Weise bis $50$, ohne auf die übliche Zählweise im Dezimalsystem Bezug zu nehmen.
* Die Koeffizienten in der minimalen Darstellung einer Zahl mit den Eurozahlen schreiben wir als Tupel, also in der Form wobei sich die $a_{i}$ auf die $i$-te Münze (bzw. Geldschein) in aufsteigender Reihenfolge bezieht. Das Tupel bedeutet also $1\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot 5+2\cdot 20+1\cdot 100=148$. Berechne (das Ergebnis soll wieder in minimaler Darstellung sein).
    $(a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{9}),$
    $(1,1,1,0,2,0,1,0,0)$
    $(1,0,1,1,1,0,0,2,0)+(1,1,0,1,1,0,1,0,0)$
# Ewiges Leben im Universum

Wenn wir immer weiter das Gute anstreben, so stellt sich die Frage, ob dieses Ergebnis auch bleibt. Bei einem Weltuntergang wäre das nicht der Fall. Für ein sinnvolles Weltverständnis und überhaupt, um die Vernunft zu rechtfertigen, sollte die Welt in Ewigkeit bestehen können, sodass die Mühen nicht zwecklos sind, damit alles seinen Sinn hat. Unabhängig davon kann man physikalisch überlegen, wie diese Welt gestaltet ist und ob sie dies auch wie wir uns wünschen ermöglicht.
So könnte ein Wärmetod des Universums befürchtet werden. Nach den Gesetzen der Thermodynamik nimmt die Entropie in einem geschlossenen System immer weiter zu. Sollte die Welt also diesen Gesetzen gehorchen und auch noch ein geschlossenes System sein, würde das Ende der Welt durch eine stetige Umwandlung von Energie in Wärmeenergie unausweichlich sein.
Dagegen spricht, dass in kosmischen Gaswolken wegen der Selbstgravitation kein molekulares Chaos mehr vorliegt. Damit können die Gesetze der Thermodynamik, die dieses voraussetzen, dort nicht mehr angewendet werden. Außerdem sind für diese Fragestellung Eigenschaften des expandierenden Kosmos und von schwarzen Löchern zu prüfen.

## Käme der katholische Gott überhaupt ins Hilbert Hotel?

Eine interessante Frage könnte sein: käme der katholische Gott (zum Beispiel) überhaupt ins Hilbert Hotel? In Konsequenz wären auch Katholiken, "die den als Repräsentant wählen" dann schon mal vorbelastet.
Nun kann man nicht als Alternative einfach irgendwelche Persönlichkeiten wählen, die kennen einen ja gar nicht, werden da also nichts versprechen wollen. Die Antwort darauf ist, schon wieder, ein Mentorenprogramm. Und ein Mentorenprogramm wählt man sinnvollerweise nach den (ethischen) Standards aus, also wäre da wieder der Bezug zur Ethik. (Gott als nicht vorhandener Mentor, der leider in Ethik durchgefallen ist. Im Hilbert Hotel gilt dann noch der Grundsatz: "Der Gott bist doch du.", weil im Hilbert Hotel wäre ja quasi kaum eine Möglichkeit einem anderen Wesen den Status "Gott" zu unterstellen.)
# Existenz einer positiven Reihe/Kleine Summe/Aufgabe

Zeige, dass es für jedes $\epsilon >0$ eine Familie $\epsilon _{n}$, $n\in \mathbb {N}$, von positiven reellen Zahlen mit $\sum _{n=0}^{\infty }\epsilon _{n}\leq \epsilon$ gibt.
# Differenzierbare Abbildung/Überall bijektives Differential/Bild offen/Aufgabe

Es seien $V_{1}$ und $V_{2}$ endlichdimensionale reelle Vektorräume, $G\subseteq V_{1}$ offen und sei
    $\varphi \colon G\longrightarrow V_{2}$
eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei $U\subseteq G$ eine offene Teilmenge derart, dass für jeden Punkt $P\in U$ das totale Differential $\left(D\varphi \right)_{P}$ bijektiv ist. Zeige, dass dann das Bild $\varphi (U)$ offen in $V_{2}$ ist.
# A-Singularität/Punktiert/Teiler/Fundamentalgruppe/Abbildung/Aufgabe

Es sei $k$ ein Teiler von $\ell$. Definiere eine Abbildung
    $\varphi \colon V{\left(XY-Z^{k}\right)}\longrightarrow V{\left(XY-Z^{\ell }\right)}$
die mit den Quotientenabbildungen des ${\mathbb {C} }^{2}$ verträglich ist. Beschreibe die Abbildung der lokalen Fundamentalgruppen unter dieser Abbildung.
# Dedekindbereich/Endliche Erweiterung/Verzweigungsordnung/Idealzerlegung/Diskreter Bewertungsring/Fakt/Beweis

Dies beruht darauf, dass ${\mathfrak {p}}$ in $S_{{\mathfrak {q}}_{j}}$ die Ordnung $r_{j}$ besitzt, was auf Fakt (1) beruht.
# Boolescher Verband/Endlich/Eindeutige Darstellung mit Atomen/Fakt/Name

Der Satz über die atomare Darstellung in einem booleschen Verband.
# Boolescher Verband/Endlich/Eindeutige Darstellung mit Atomen/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Jedes Element $x\in B$ ist nur größergleich endlich vielen Atomen, wir führen zum Nachweis der Existenz Induktion über diese Anzahl. Bei $x=0$ nimmt man die leere Vereinigung. Ein Atom wird durch sich selbst dargestellt. Es sei $x\neq 0$ ein beliebiges Element. Nach Fakt (3) gibt es ein Atom $a\preccurlyeq x$. Wir betrachten
    $x'=x\sqcap \neg a\,.$
Wegen
    $x'\sqcap a=(x\sqcap \neg a)\sqcap a=x\sqcap (\neg a\sqcap a)=x\sqcap 0=0\,$
liegt $a$ nicht unterhalb von $x'$. Somit liegen unterhalb von $x'$ weniger Atome als unterhalb von $x$ und nach Induktionsvoraussetzung gibt es eine Darstellung
    $x'=a_{1}\sqcup \ldots \sqcup a_{n}\,$
und damit
    ${\begin{aligned}x&=x\sqcap 1\\&=x\sqcap (\neg a\sqcup a)\\&=(x\sqcap \neg a)\sqcup (x\sqcap a)\\&=(x\sqcap \neg a)\sqcup a\\&=x'\sqcup a\\&=a_{1}\sqcup \ldots \sqcup a_{n}\sqcup a.\end{aligned}}$
Zur Eindeutigkeit. Sei
    $a_{1}\sqcup \ldots \sqcup a_{n}=b_{1}\sqcup \ldots \sqcup b_{m}\,.$
Nehmen wir an, dass $b_{1}$ nicht in der ersten Darstellung vorkommt. Dann ist
    ${\left(a_{1}\sqcup \ldots \sqcup a_{n}\right)}\sqcap b_{1}=(a_{1}\sqcap b_{1})\sqcup \ldots \sqcup (a_{n}\sqcap b_{1})=0\,$
nach Fakt (2).
$\sqcap b_{1}$
$b_{1}$
# Differenzierbarkeit/R/Differenzierbar impliziert stetig/Fakt

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale ${\mathbb {R} }$-Vektorräume und $G\subseteq V$ eine offene Teilmenge. Es sei $\varphi \colon G\rightarrow W$ eine in $P\in G$ differenzierbare Abbildung.
Dann ist $\varphi$ auch stetig im Punkt $P$.
# Differenzierbarkeit/Polynomfunktionen, holomorphe Funktionen, trigometrische Funktionen/Bemerkung

Fakt lässt sich sofort auf Polynomfunktionen in beliebig vielen Variablen anwenden, aber auch auf holomorphe Funktionen wie etwa die Exponentialfunktion oder trigonometrische Funktionen. Wie Fakt zeigt, muss man allerdings vorsichtig sein, wenn man eine solche Funktion invertiert.
# Differenzierbarkeit/K/Zusammenhang zwischen partieller Ableitung und Richtungsableitung/Fakt/Name

Der Satz über den Zusammenhang zwischen partieller Ableitung und Richtungsableitung.
# Differenzierbarkeit/R/Differenzierbar impliziert stetig/Fakt/Beweis

Nach Definition gilt $\varphi (P+v)=\varphi (P)+L(v)+\Vert {v}\Vert \cdot r(v)$ Die rechte Seite ist stetig (nach Definition und Fakt) in $v=0$. Damit ist $\varphi$ stetig in $P$.
# Differenzierbarkeit/R/Eindeutige Approximation/Fakt

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale ${\mathbb {R} }$-Vektorräume und sei die Abbildung $\varphi \colon G\rightarrow W$ auf einer offenen Teilmenge $G\subseteq V$ definiert. Sei $P\in G$ ein Punkt.
Dann existiert höchstens eine lineare Abbildung mit den Eigenschaften aus Definition.
Ist $\varphi$ im Punkt $P$ differenzierbar, so ist das totale Differential $\left(D\varphi \right)_{P}$ eindeutig bestimmt.
# Elementare Algebra/Gemischte Satzabfrage/4/Aufgabe/Lösung

* Jedes nichtkonstante Polynom $P\in {\mathbb {C} }[X]$ über den komplexen Zahlen besitzt eine Nullstelle.
* Jedes Element $f\in K$, $f\neq 0$, besitzt eine im Wesentlichen eindeutige Produktzerlegung mit einer Einheit $u\in R$ und ganzzahligen Exponenten $r_{i}$.
    $f=up_{1}^{r_{1}}{\cdots }p_{n}^{r_{n}}\,$
* Es ist nicht möglich, einen beliebig vorgegebenen Winkel mittels Zirkel und Lineal in drei gleich große Teile zu unterteilen.
# Elementare Algebra/Gemischte Satzabfrage/10/Aufgabe/Lösung

* Es sei $R$ ein Hauptidealbereich und seien $a,b\in R$ zwei teilerfremde Elemente. Dann kann man die $1$ als Linearkombination von $a$ und $b$ darstellen, d.h. es gibt Elemente $r,s\in R$ mit $ra+sb=1$.
* Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe und es sei ein Ringhomomorphismus. Dann gibt es eine kanonische Faktorisierung wobei $q$ die kanonische Projektion, $\theta$ ein Ringisomorphismus und $\iota$ die kanonische Inklusion des Bildes ist.
    $\varphi \colon R\longrightarrow S$
    $R{\stackrel {q}{\longrightarrow }}R/\operatorname {kern} \varphi {\stackrel {\theta }{\longrightarrow }}\operatorname {bild} \varphi {\stackrel {\iota }{\hookrightarrow }}S,$
* /Fakt/Name/Inhalt
# Elementare Algebra/Gemischte Satzabfrage/2/Aufgabe/Lösung

* Seien $R,S$ und $T$ kommutative Ringe, es sei $\varphi \colon R\rightarrow S$ ein Ringhomomorphismus und $\psi \colon R\rightarrow T$ ein surjektiver Ringhomomorphismus. Es sei vorausgesetzt, dass ist. Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus derart, dass $\varphi ={\tilde {\varphi }}\circ \psi$ ist.
    $\operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi \,$
    ${\tilde {\varphi }}\colon T\longrightarrow S$
* Für eine Primzahl $p$ und eine beliebige ganze Zahl $a$ gilt
    $a^{p}\equiv a\mod p.$
* Die Würfelverdopplung mit Zirkel und Lineal ist nicht möglich.
# Elementare Algebra/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe/Lösung

* Zu je zwei Gruppenelementen $a,b\in G$ besitzen die beiden Gleichungen eindeutige Lösungen $x,y\in G$.
    $a\circ x=b{\text{ und }}y\circ a=b$
* Es sei $R$ ein Hauptidealbereich und $a,b,c\in R$. Es seien $a$ und $b$ teilerfremd und $a$ teile das Produkt $bc$. Dann teilt $a$ den Faktor $c$.
* Sei eine endliche Körpererweiterung der reellen Zahlen. Dann ist $K$ isomorph zu $\mathbb {R}$ oder zu ${\mathbb {C} }$.
    $\mathbb {R} \subseteq K\,$
# Elementare Algebra/Gemischte Satzabfrage/5/Aufgabe/Lösung

* Es ist
    $(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}.$
* Elemente $a_{1},\ldots ,a_{n}\in R$ besitzen stets einen größten gemeinsamen Teiler $d$, und dieser lässt sich als Linearkombination der $a_{1},\ldots ,a_{n}$ darstellen, d.h. es gibt Elemente $r_{1},\ldots ,r_{n}\in R$ mit $r_{1}a_{1}+r_{2}a_{2}+\cdots +r_{n}a_{n}=d$.
* Es sei $K$ ein Körper mit einer Charakteristik $\neq 2$ und es sei $K\subset L$ eine quadratische Körpererweiterung. Dann gibt es ein $x\in L$ , $x\notin K$ und $x^{2}\in K$.
# Chemie/Allgemeine Chemie

* Wikiversity: Allgemeine Chemie
Kurse, um sich einen kleinen Überblick zu verschaffen
* Kurs:Einführung in die Chemie
* Kurs:Periodensystem und Atome
* Kurs:Stöchiometrie und chemisches Rechnen
# Chemie/Anorganische Chemie

* Wikiversity: Anorganische Chemie
# Chemie/Analytische Chemie

* Wikiversity: Analytische Chemie
   * Kursskizze:Methoden für die qualitative Analyse (anorganischer Trennungsgang)
# Checkliste

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Checkliste
* Überlegt euch einen Aufbau für eure Stunde
* Welche methodischen Mittel wollt ihr verwenden? (Siehe Infoblatt Methodenpool)
* Überlegt euch Übungsaufgaben für eure Mitschüler
* Besprecht eure Aufgaben und geht auf Probleme ein
# Chemie

* Kurse & Projekte – Übersicht zu Materialien im Bereich Chemie
* Linksammlung – Nützliche Internetseiten außerhalb der Wikiversity
* Mitglieder – Die Mitarbeiter des Fachbereichs
Fachrichtungen
Allgemeine Chemie
Analytische Chemie
Biochemie (Institut)
Organische Chemie :
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# Charakteristisches Polynom/Transponierte Matrix/Aufgabe

Zeige, dass eine quadratische Matrix und ihre transponierte Matrix das gleiche charakteristische Polynom besitzen.
# Charcot, Jean-Martin et Paul Richer (1887)

Charcot, Jean-Martin et Paul Richer: Les demoniaques dans l’art. Avec 67 figures intergalées dans le texte. Paris: A. Delahaye et E. Lescrosnier 1887. Quart-Format.
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    Übersicht
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# Elliptische Kurve/Geschlecht 1/Definition/Begriff

Eine elliptische Kurve.
# Eigentliche Ikosaedergruppe/Definition

Die eigentliche Ikosaedergruppe ist die Gruppe der eigentlichen Symmetrien (Bewegungen) an einem Ikosaeder.
# Gleichungssystem/Inhomogen/6/Aufgabe

Löse das inhomogene Gleichungssystem
    ${\begin{matrix}3x&\,\,\,\,\,\,\,\,&+z&+4w&=&-2\\2x&+2y&\,\,\,\,\,\,\,\,&+w&=&7\\4x&+6y&\,\,\,\,\,\,\,\,&+w&=&3\\x&+3y&+5z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&-1\,.\end{matrix}}$
# Gleichungssystem/Inhomogen/2/Aufgabe

Löse das inhomogene Gleichungssystem
    ${\begin{matrix}x&+y&+z&\,\,\,\,-w&=&3\\-2x&+5y&-3z&+w&=&0\\x&\,\,\,\,-y&+2z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&2\\5x&+2y&\,\,\,\,-z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&-1\,.\end{matrix}}$
# Gleichungssystem/Inhomogen/3014/2201/4601/1350/Ist 4023/Aufgabe

Löse das inhomogene Gleichungssystem
    ${\begin{matrix}3x&\,\,\,\,\,\,\,\,&+z&+4w&=&4\\2x&+2y&\,\,\,\,\,\,\,\,&+w&=&0\\4x&+6y&\,\,\,\,\,\,\,\,&+w&=&2\\x&+3y&+5z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&3\,.\end{matrix}}$
# Gleichungssystem/Inhomogen/4/Aufgabe

Löse das inhomogene Gleichungssystem
    ${\begin{matrix}4x&+2y&\,\,\,\,-z&+2w&=&3\\x&+y&+2z&\,\,\,\,-w&=&1\\-x&\,\,\,\,\,\,\,\,&\,\,\,\,-z&+3w&=&2\\3x&\,\,\,\,\,\,\,\,&+3z&-2w&=&0\,.\end{matrix}}$
# Gleichungssystem/Inhomogen/3/Aufgabe

Löse das inhomogene Gleichungssystem
    ${\begin{matrix}x&+2y&\,\,\,\,\,\,\,\,&+w&=&1\\-2x&-3y&\,\,\,\,-z&\,\,\,\,-w&=&-5\\3x&+y&\,\,\,\,\,\,\,\,&+2w&=&3\\-x&\,\,\,\,-y&+z&-3w&=&-2\,.\end{matrix}}$
# Gitter/Komplexe Zahlen/Streckungsäquivalent/Vertretung in oberer Halbebene/Fakt/Name

Der Satz über den Repräsentant eines Gitters.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Streckungsäquivalent/Vertretung in oberer Halbebene/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über den Repräsentanten für ein Gitter unter Streckungsäquivalenz.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Streckungsäquivalent/Vertretung in oberer Halbebene/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Sei $\Gamma =\mathbb {Z} u_{1}+\mathbb {Z} u_{2}$. Da $u_{1},u_{2}$ eine reelle Basis bilden, ist insbesondere $u_{1}\neq 0$. Mit $s:=u_{1}^{-1}$ erhält man das streckungsäquivalente Gitter
    $s\Gamma =\langle su_{1},su_{2}\rangle =\langle u_{1}^{-1}u_{1},u_{1}^{-1}u_{2}\rangle =\langle 1,u_{1}^{-1}u_{2}\rangle \,.$
Sei $v=u_{1}^{-1}u_{2}$. Diese Zahl ist nicht reell, da andernfalls eine reelle lineare Abhängigkeit zwischen $u_{1}$ und $u_{2}$
$v$
$v$
$-v$
# Graph/Laplace-Matrix/Spannbaum/1/Aufgabe

Bestimme die Anzahl der Spannbäume des abgebildeten Graphen mit Hilfe von Fakt.
# Graph/Laplace-Matrix/Spannbaum/1/Aufgabe/Kommentar

Die Laplace-Matrix des Graphen ist
    $L={\begin{pmatrix}2&0&0&0&0&0\\0&2&0&0&0&0\\0&0&4&0&0&0\\0&0&0&2&0&0\\0&0&0&0&2&0\\0&0&0&0&0&2\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}0&1&1&0&0&0\\1&0&1&0&0&0\\1&1&0&1&0&1\\0&0&1&0&1&0\\0&0&0&1&0&1\\0&0&1&0&1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&-1&1&0&0&0\\-1&2&-1&0&0&0\\-1&-1&4&-1&0&-1\\0&0&-1&2&-1&0\\0&0&0&-1&2&-1\\0&0&-1&0&-1&2\end{pmatrix}}.$
Sei $L'$ die Streichungsmatrix von $L$ bezüglich eines Knotenpunktes. Natürlich sollte man hier die dritte Zeile und dritte Spalte streichen. Nach Fakt ist $\det L'=12$ die Anzahl der Spannbäume des Graphen.
$3\cdot 4=12$
# Graph/Knotenüberdeckungszahl/Ist 1/Aufgabe

Charakterisiere diejenigen Graphen, deren Knotenüberdeckungszahl gleich $1$ ist.
# Graph/Laplace-Matrix/Spannbaum/2/Aufgabe

Bestimme die Anzahl der Spannbäume des abgebildeten Graphen mit Hilfe von Fakt.
# Graph/Laplace-Matrix/Spannbaum/3/Aufgabe

Bestimme die Anzahl der Spannbäume des abgebildeten Graphen mit Hilfe von Fakt.
# Graph/Laplace-Matrix/Spannbaum/4/Aufgabe

Bestimme die Anzahl der Spannbäume des vollständigen Graphen zu $4$ Punkten mit Hilfe des Satzes von Kirchhoff.
# Einblicke in eine Sammlung. Übersicht.

    Vorwort
Sammelgebiete
    Naturwissenschaften
    Medizin
    Neurologie (in Vorbereitung)
    Psychiatrie
    Deutsche Literatur bis 1900
    Klassizismus
    Philosophie
    Deutsche Literatur nach 1900 (in Vorbereitung)
    Thomas Mann
    Historische Ansichten von Leipzig (in Arbeit)
    Historische Ansichten von Mitteldeutschland (in Arbeit)
    _____________________________________________
    weiter
# Hopf-Algebra/Kooperation/Invariantenring/Aufgabe

Es sei $K$ ein kommutativer Ring und $H$ eine kommutative $K$-Hopf-Algebra zusammen mit einer Kooperation auf der kommutativen $K$-Algebra $R$. Wir betrachten die beiden $K$-Algebrahomomorphismen
    $N\colon R\longrightarrow H\otimes _{K}R$
(die Kooperation) und
    $\iota _{2}\colon R\longrightarrow H\otimes _{K}R,\,r\longmapsto 1\otimes r.$
Zeige, dass die Menge
    ${\left\{r\in R\mid N(r)=\iota _{2}(r)\right\}}$
ein Unterring von $R$ ist.
# Hopf-Algebra/Kooperation/Assoziativität/Diagramm

    ${\begin{matrix}R&{\stackrel {N}{\longrightarrow }}&H\otimes _{K}R&\\\!\!\!\!\!\!\!N\downarrow &&\downarrow \Delta \otimes \operatorname {Id} _{R}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&\\H\otimes _{K}R&{\stackrel {\operatorname {Id} _{H}\otimes N}{\longrightarrow }}&H\otimes _{K}H\otimes _{K}R&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
# Hopf-Algebra/Neutrales Element/Diagramm

    ${\begin{matrix}H&{\stackrel {\Delta }{\longrightarrow }}&H\otimes _{K}H&\\&\!\!\!\!\!\cong \searrow &\downarrow \epsilon \otimes \operatorname {Id} _{H}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&\\&&K\otimes _{K}H&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
# Hopf-Algebra/Inverses Element/Diagramm

    ${\begin{matrix}H&{\stackrel {\Delta }{\longrightarrow }}&H\otimes _{K}H&\\\!\!\!\!\!\epsilon \downarrow &&\downarrow \operatorname {Id} _{H}\cdot S\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&\\K&{\stackrel{\longrightarrow }}&H&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
# Hopf-Algebra/Operation des Gruppenschemas/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K$ ein kommutativer Ring, $H$ eine kommutative $K$-Hopf-Algebra und $R$ eine kommutative $K$-Algebra. Unter einer Kooperation von $H$ auf $R$ versteht man einen $K$-Algebrahomomorphismus
    $N\colon R\longrightarrow H\otimes _{K}R$
    ${\begin{matrix}R&{\stackrel {N}{\longrightarrow }}&H\otimes _{K}R&\\\!\!\!\!\!\!\!N\downarrow &&\downarrow \Delta \otimes \operatorname {Id} _{R}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&\\H\otimes _{K}R&{\stackrel {\operatorname {Id} _{H}\otimes N}{\longrightarrow }}&H\otimes _{K}H\otimes _{K}R&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
und
    ${\begin{matrix}R&{\stackrel {N}{\longrightarrow }}&H\otimes _{K}R&\\&\!\!\!\!\!\cong \searrow &\downarrow \epsilon \otimes \operatorname {Id} _{R}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&\\&&K\otimes _{K}R&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
kommutieren.

## Definition

Es sei $K$ ein kommutativer Ring, $H$ eine kommutative $K$-Hopf-Algebra und $G=\operatorname {Spek} {\left(H\right)}$ das zugehörige affine Gruppenschema. Es sei
    $N\colon R\longrightarrow H\otimes _{K}R$
eine Kooperation von $H$ auf einem kommutativen Ring $R$ mit dem Spektrum $X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$. Dann nennt man den zu $N$ gehörenden $K$-Morphismus
    $N^{*}\colon G\times _{K}X=\operatorname {Spek} {\left(H\otimes _{K}R\right)}\longrightarrow X$
eine ($K$-algebraische) Operation des affinen Gruppenschemas $G$ auf $X$.

## Lemma

Es sei $K$ ein kommutativer Ring, $H$ eine kommutative Hopf-Algebra und $G=\operatorname {Spek} {\left(H\right)}$ das zugehörige affine Gruppenschema. Es sei $R$ eine weitere kommutative $K$-Algebra, auf der eine Kooperation von $H$ und damit eine Operation von $G$ auf $X=\operatorname {Spec} {\left(R\right)}$ vorliege. Dann gelten folgende Aussagen (dabei ist $\mu =\triangle ^{*}$, $\nu =N^{*}$ und $j^{*}$ bezeichnet den Strukturmorphismus $X\rightarrow \operatorname {Spek} {\left(K\right)}$).

### Beweis

Dies wird ähnlich wie Fakt bewiesen.
$\Box$
# Hopf-Algebra/Kooperation/Neutrales Element/Diagramm

    ${\begin{matrix}R&{\stackrel {N}{\longrightarrow }}&H\otimes _{K}R&\\&\!\!\!\!\!\cong \searrow &\downarrow \epsilon \otimes \operatorname {Id} _{R}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&\\&&K\otimes _{K}R&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
# Entscheidungsverfahren/Additive Arithmetik/Aufgabe

Kann es ein Entscheidungsverfahren für die Symbolalphabete $\{0,1,+\}$ bzw. $\{0,1,\cdot \}$ (jeweils mit Variablen) geben? Wo geht bei der Arithmetisierung der Registerprogramme die Addition und wo die Multiplikation ein?
# Entscheidungsverfahren/Unterklasse/Aufgabe

Kann es ein Entscheidungsverfahren für mathematisch relevante Untertheorien $T\subseteq L_{0}^{\rm {Ar}}$ geben?
# Entwicklung/Abstraktion/Aufgabe

Welche Entwicklungen im Leben eines menschlichen Individuums kann man als einen Zuwachs an Abstraktionsfähigkeit beschreiben?
# Entscheidungsfindung
## Einleitung

Diese Seite zum Thema Entscheidungsfindung kann als Wiki2Reveal Folien angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt:
* (1)
* (2)
* (3)

## Zielsetzung

Diese Lernressource zu Entscheidungsfindung in der Wikiversity hat das Ziel, ...

## Zielgruppe

Die Zielgruppe der Lernressource zum Thema Entscheidungsfindung ist
Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema Entscheidungsfindung sind
* Studierende im Fach
* Schüler:innen im Fach

## Aufgaben für Lernende / Studierende

Mit den folgenden Aufgaben zum Thema Entscheidungsfindung werden