OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Zug/Schiffe/Begegnungen/Aufgabe/Lösung

Wir denken uns die Rheinstrecke skaliert von $0$ bis $120$, der Startort ist beim Nullpunkt $0$ und der Zielpunkt des Zuges ist bei $100$. Aufgrund der Anfangsbedingung befinden sich zum Startzeitpunkt Schiffe in beide Richtungen in den Positionen
    $0,2,4,\ldots ,98,100,102,\ldots ,118,120.$
* Die entgegenkommenden Schiffe sind die in Gegenrichtung fahrenden Schiffe, die sich zum Startzeitpunkt an den Positionen $0$ bis $120$ befinden (das Schiff in der Position $120$ ist nach einer Stunde an der Position $100$ und begegnet zum Endzeitpunkt dem Zug). Dies sind insgesamt $61$ Schiffe.
* Die eingeholten Schiffe sind die in gleicher Richtung fahrenden Schiffe, die sich zum Startzeitpunkt an den Positionen $0$ bis $80$ befinden (das Schiff in der Position $80$ ist nach einer Stunde an der Position $100$ und wird zum Endzeitpunkt vom Zug eingeholt). Dies sind insgesamt $41$ Schiffe.
# Zugabteil/Relationen/Elementare Äquivalenz/Aufgabe/Lösung

* Für $A,B,D,E$ sind die Äquivalenzklassen einelementig, die Teilmenge $\{C,F\}$ bilden eine Äquivalenzklasse.
* Die Automorphismengruppe ist eine zyklische Gruppe der Ordnung $2$, da man $C$ und $F$ miteinander vertauschen kann und die anderen Personen nicht.
* $A$ ist diejenige Person, die am Fenster sitzt und eine Fahrkarte klaut.
* $\neg Px\wedge \exists ySyx$.
* $\neg \exists ySxy\wedge \neg \exists ySyx$.
# Zwischenwertsatz/Falsche Widerlegung/Aufgabe/Lösung

$0$
# Z^2/5 Punkte/Zwischenpunkt geradzahlig/Aufgabe/Lösung

* Der Mittelpunkt von $(a_{1},a_{2})$ und $(b_{1},b_{2})$ besitzt die Koordinaten $\left({\frac {a_{1}+b_{1}}{2}},\,{\frac {a_{2}+b_{2}}{2}}\right)$.
* Wir betrachten für jeden Punkt, ob die Koordinaten gerade oder ungerade sind. Dafür gibt es vier Möglichkeiten ($(g,g),\,(g,u),\,(u,g)\,(u,u)$). Da es $5$ Punkte gibt, kommt eine dieser Möglichkeiten zumindest zweimal vor. Seien $P$ und $Q$ zwei Punkte, die hinsichtlich dieser Eigenschaft übereinstimmen. Da das arithmetische Mittel von zwei geraden Zahlen und von zwei ungeraden Zahlen ganzzahlig ist, besitzt der Mittelpunkt von $P$ und $Q$ ganzzahlige Koordinaten.
* Die vier Punkte zeigen, dass dies nicht gelten muss.
    $(0,0),\,(0,1),\,(1,0)\,,(1,1)$
# Z^2/Bewegungsvorgang/Lucy/2/Aufgabe/Lösung

$(-1,-3)$
$y$
# Ring/Modul/Gruppenoperation/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, auf dem eine Gruppe $G$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Es sei $V$ ein $R$-Modul, auf dem $G$ als Gruppe von $R^{G}$-Modulautomorphismen operiere, wobei die beiden Operationen verträglich seien. Zeige, dass der Fixmodul $V^{G}$ ein $R^{G}$-Modul ist.
# Polynomring/Eine Variable/Körper/Einsetzungshomomorphismus/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es seien $P=\sum _{i}a_{i}X^{i}$ und $Q=\sum _{j}b_{j}X^{j}$.
* Es ist und somit ist unter Verwendung des Distributivgesetzes für $K$
    $P+Q=\sum _{i}{\left(a_{i}+b_{i}\right)}X^{i}\,$
    ${\begin{aligned}(P+Q)(z)&={\left(\sum _{i}{\left(a_{i}+b_{i}\right)}X^{i}\right)}(z)\\&=\sum _{i}{\left(a_{i}+b_{i}\right)}z^{i}\\&=\sum _{i}a_{i}z^{i}+\sum _{i}b_{i}z^{i}\\&={\left(\sum _{i}a_{i}X^{i}\right)}(z)+{\left(\sum _{i}b_{i}X^{i}\right)}(z)\\&=P(z)+Q(z).\end{aligned}}$
* Es ist und somit ist unter Verwendung des Distributivgesetzes und der Potenzgesetze für $K$
    $P\cdot Q=\sum _{k}{\left(\sum _{i+j=k}a_{i}\cdot b_{j}\right)}X^{k}\,$
    ${\begin{aligned}(P\cdot Q)(z)&={\left(\sum _{k}{\left(\sum _{i+j=k}a_{i}\cdot b_{j}\right)}X^{k}\right)}(z)\\&=\sum _{k}{\left(\sum _{i+j=k}a_{i}\cdot b_{j}\right)}z^{k}\\&=\sum _{i,j}a_{i}\cdot b_{j}z^{i+j}\\&={\left(\sum _{i}a_{i}z^{i}\right)}\cdot {\left(\sum _{j}b_{j}z^{j}\right)}\\&={\left(\sum _{i}a_{i}X^{i}\right)}(z)\cdot {\left(\sum _{j}b_{j}X^{j}\right)}(z)\\&=P(z)\cdot Q(z).\end{aligned}}$
* Für jedes konstante Polynom $a_{0}$ gilt $a_{0}(z)=a_{0}$, da nicht eingesetzt werden kann.
# Reelle Reihe/Quotientenkriterium/Fakt/Name/Inhalt

Es gebe eine reelle Zahl $q$ mit $0\leq q<1$ und ein $k_{0}$ mit
    $\vert {\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}\vert \leq q$
für alle $k\geq k_{0}$. Dann konvergiert die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ absolut.
# Diffeomorphismus/Transformationsformel für Integrale/Fakt/Name

Die Transformationsformel für Integrale zu einem $C^{1}$-Diffeomorphismus
    $\varphi \colon G\longrightarrow H,$
wobei $G$ und $H$ offene Teilmengen des $\mathbb {R} ^{n}$ sind.
# Affin-algebraische Mengen/Affiner Raum/Unendlicher Körper/Koordinatenring ist Polynomring/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein unendlicher Körper. Dann ist das Verschwindungsideal des affinen Raumes ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ das Nullideal und der zugehörige Koordinatenring ist der Polynomring $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$.
# Differenzierbar/D offen K/Linear Approximierbar/Fakt/Name

Der Satz über die lineare Approximierbarkeit einer Funktion
    $f\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} }$
in einem Punkt $a\in {\mathbb {K} }$.
# Endlich erzeugte K-Algebren/K-Spektrum/Isomorph zu Einbettung/Fakt/Name

Der Satz über die Beziehung des $K$-Spektrums von einem Restklassenring $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ zum Nullstellengebilde $V({\mathfrak {a}})$.
# Affine Varietät/Projektiver Abschluss/Beschreibung mit Homogenisierung/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei $V=V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\cong D_{+}(X_{0})$ eine affine Varietät. Dann wird der projektive Abschluss durch $V_{+}({\mathfrak {b}})$ beschrieben,
# Endliche Galoiserweiterung/Korrespondenz von Körpern und Gruppen/Fakt/Name

Der Satz über die Galoiskorrespondenz bei einer endlichen Galoiserweiterung $K\subseteq L$.
# Affine Varietäten/Irreduzible Teilmengen/Primideale/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine affin-algebraische Menge mit Verschwindungsideal $\operatorname {Id} \,(V)$. Dann ist $V$ genau dann irreduzibel, wenn $\operatorname {Id} \,(V)$ ein Primideal ist.
# Euklidischer Vektorraum/R^3/Eigentliche Isometrie/Darstellung/Fakt/Name

Der Satz über die Beschreibung von eigentlichen Isometrien im $\mathbb {R} ^{3}$.
# Affiner Raum/Algebraisch abgeschlossen/Korrespondenz zwischen affin algebraischen Mengen und Radikalen/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper mit dem Polynomring $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ und dem affinen Raum ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$. Dann gibt es eine natürliche Korrespondenz zwischen affin-algebraischen Mengen in ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ und Radikalidealen in $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$.
# Faktorieller Bereich/Quotientenkörper/Primfaktorzerlegung/Fakt/Name

Der Satz über die Faktorzerlegung im Quotientenkörper $K=Q(R)$ zu einem faktoriellen Bereich $R$.
# Affiner Raum/Punktmenge/Erzeugter affiner Unterraum/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $E$ ein affiner Raum über dem $K$-Vektorraum $V$ und $T\subseteq E$ eine Teilmenge. Dann besteht der kleinste affine Unterraum $F\subseteq E$ von $E$, der $T$ umfasst, aus allen baryzentrischen Kombinationen
    $\sum _{i=1}^{n}a_{i}P_{i}{\text{ mit }}P_{i}\in T{\text{ und }}\sum _{i=1}^{n}a_{i}=1.$
# Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Konstante nicht null, dann Einheit/Fakt/Name

Der Satz über Einheiten im Potenzreihenring $K[\![T]\!]$.
# Angeordneter Körper/Archimedisch/Stammbrucheigenschaft/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein archimedisch angeordneter Körper und es sei $x>0$. Dann gibt es eine natürliche Zahl $n\in \mathbb {N}$ mit ${\frac {1}{n}}\leq x$.
# Funktionenfolge/K/Gleichmäßig konvergent/Stetig/Fakt/Name

Der Satz über die Grenzfunktion einer gleichmäßig konvergenten Funktionenfolge
    $f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
auf einer Teilmenge $T\subseteq {\mathbb {K} }$.
# Angeordneter Körper/Folgen/Quetschkriterium/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein angeordneter Körper, und es seien ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },\,{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ drei Folgen in $K$. Es gelte
    $x_{n}\leq y_{n}\leq z_{n}{\text{ für alle }}n\in \mathbb {N}$
und ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert $a$. Dann konvergiert auch ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen diesen Grenzwert $a$.
# Geometrische Reihe/Komplex/Konvergenzbeschreibung/Fakt/Name

Die Konvergenzaussage für die geometrische Reihe in ${\mathbb {C} }$.
# Gleichmäßig stetig/K/Stetige Fortsetzung/Fakt/Name

Der Satz über die stetige Fortsetzbarkeit einer Funktion
    $T\longrightarrow {\mathbb {K} },$
wobei $T\subseteq {\mathbb {K} }$ eine Teilmenge ist.
# Archimedisch angeordneter Körper/Dezimalbruchfolge/Konvergenzformulierung/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $x\in K$ ein Element in einem archimedisch angeordneten Körper $K$. Dann konvergiert die zugehörige Dezimalbruchfolge $(x_{n})$, $n\in \mathbb {N}$, gegen $x$.
# Graduierte Algebra/Körper/Charakter definiert Automorphismus/Fakt/Name

Der Satz über den Zusammenhang zwischen Charakteren von $D$ und Automorphismen von $D$-graduierten Körpererweiterungen $K\subseteq L$.
# Gruppe/Eindeutige Existenz des Inversen/Fakt/Name

Der Satz über das inverse Element in einer Gruppe $(G,\circ ,e)$.
# Bilinearform/Symmetrisch/Eigenwertkriterium/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum und sei $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von $V$. Es sei $G$ die Gramsche Matrix zu $\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basis. Dann besitzt der Typ $(p,q)$ der Form folgende Interpretation: $p$ ist die Summe der Dimensionen der Eigenräume zu $G$ zu positiven Eigenwerten und $q$ ist die Summe der Dimensionen der Eigenräume zu $G$ zu negativen Eigenwerten.
# Bilinearform/Symmetrisch/Minorenkriterium für Typ/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum $V$ und sei $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von $V$. Es sei $G$ die Gramsche Matrix zu $\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basis. Die Determinanten $D_{k}$ der quadratischen Untermatrizen
    $M_{k}=(\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle )_{1\leq i,j\leq k}$
seien alle von $0$ verschieden für $k=1,\ldots ,n$. Es sei $q$ die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge
    $D_{0}=1,\,D_{1}=\det M_{1},\,D_{2}=\det M_{2},\ldots ,D_{n}=\det M_{n}=\det G.$
Dann ist $\left\langle -,-\right\rangle$ vom Typ $(n-q,q)$.
# Arithmetische Satzmenge/Repräsentierungen/Fixpunktsatz/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $\Gamma \subseteq L^{\rm {Ar}}$ eine Menge von arithmetischen Ausdrücken, die Repräsentierungen erlaube. Dann gibt es zu jedem $\alpha \in L_{1}^{\rm {Ar}}$ einen Satz $q\in L_{0}^{\rm {Ar}}$ mit
    $\Gamma \vdash q\longleftrightarrow \alpha (GN(q)).$
# Gruppentheorie (Algebra)/Satz von Lagrange/Fakt/Name

Der Satz von Lagrange über die Ordnung eines Gruppenelementes $g\in G$ in einer endlichen Gruppe $G$.
# Bilinearform/Symmetrisch/Typ/Trägheitssatz/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform $\left\langle -,-\right\rangle$ vom Typ $(p,q)$. Dann ist die Gramsche Matrix von $\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich einer jeden Orthogonalbasis eine Diagonalmatrix mit $p$ positiven und $q$ negativen Einträgen.
# Charaktere auf Monoid/Lemma von Dedekind/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $G$ ein Monoid, $K$ ein Körper und $\chi _{1},\ldots ,\chi _{n}\in \operatorname {Char} \,(G,K)$ seien $n$ Charaktere. Dann sind diese Charaktere linear unabhängig (als Elemente in $\operatorname {Hom} _{K}{\left(G,K\right)}$).
# K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf D(f)/Ist R f/Fakt/Name

Der Satz über den globalen Schnittring zu $D(f)$.
# Kommutative Ringtheorie/Binomi/Fakt/Name

Die allgemeine binomische Formel für $(a+b)^{n}$ für Elemente $a,b\in R$ in einem kommutativen Ring $R$.
# Dedekindbereich/Lokalisierung an maximalem Ideal/Diskreter Bewertungsring/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $R$ ein Dedekindbereich und sei ${\mathfrak {m}}$ ein maximales Ideal in $R$. Dann ist die Lokalisierung
    $R_{\mathfrak {m}}$
ein diskreter Bewertungsring.
# Messbare Funktion/Tschebyschow-Abschätzung/Fakt/Name

Die Tschebyschow-Abschätzung (Tschebyschow-Ungleichung) für eine messbare nichtnegative Funktion
    $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$
auf einem $\sigma$-endlichen Maßraum $(M,{\mathcal {A}},\mu )$.
# Metrische Räume/Stetige Abbildung/Charakterisierung in einem Punkt/Fakt/Name

Das Folgenkriterium für die Stetigkeit in einem Punkt $x\in L$ zu einer Abbildung
    $\varphi \colon L\longrightarrow M$
zwischen metrischen Räumen $L$ und $M$.
# Natürliche Zahlen/Induktionsprinzip zur Definition von Abbildungen/Fakt/Name

Der Satz über die induktive Definition einer Abbildung auf einem Peano-Dedekind-Modell $(N,0,\prime )$.
# Polynomring (Körper)/Nullstellen/Linearer Faktor/Fakt/Name

Der Satz über Nullstellen und lineare Faktoren eines Polynoms $F\in K[X]$.
# Polynomring über Körper/Eine Variable/Division mit Rest/Fakt/Name

Die Division mit Rest im Polynomring $K[X]$ über einem Körper $K$.
# Polynomring über Körper/Eine Variable/Faktoriell/Fakt/Name

Der Zerlegungssatz für Polynome $F\in K[X]$ über einem Körper $K$.
# Differentialgleichung/Stetig/Integralgleichung/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, $I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, $U\subseteq V$ eine offene Menge und
    $f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$
ein stetiges Vektorfeld auf $U$. Es sei $(t_{0},w)\in I\times U$ vorgegeben. Dann ist eine stetige Abbildung
    $v\colon J\longrightarrow V,\,t\longmapsto v(t),$
auf einem Intervall $J\subseteq I$ mit $t_{0}\in J$ genau dann eine Lösung des Anfangswertproblems (insbesondere muss $v$ differenzierbar sein)
    $v'=f(t,v){\text{ und }}v(t_{0})=w,$
wenn $v$ die Integralgleichung
    $v(t)=w+\int _{t_{0}}^{t}f(s,v(s))\,ds$
erfüllt.
# Polynomring über Körper/Eine Variable/Ist Hauptidealbereich/2/Fakt/Name

Der Satz über Ideale in einem Polynomring $K[X]$ in einer Variablen über einem Körper $K$.
# Polynomring über Körper/Eine Variable/Ist Hauptidealbereich/Fakt/Name

Der Satz über die algebraische Struktur von $K[X]$ über einem Körper $K$.
# Polynomring/Eine Variable/Einsetzungshomomorphismus/Fakt/Name

Der Satz über den Einsetzungshomomorphismus zu einer $R$-Algebra $A$ und einem Element $f\in A$.
# Differenzierbar/D offen K/Kettenregel/Fakt/Name/Inhalt

Seien $D$ und $E$ offene Mengen in ${\mathbb {K} }$ und seien
    $f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$
und
    $g\colon E\longrightarrow {\mathbb {K} }$
Funktionen mit $f(D)\subseteq E$. Es sei $f$ in $a$ differenzierbar und $g$ sei in $b=f(a)$ differenzierbar. Dann ist auch die Hintereinanderschaltung
    $g\circ f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$
in $a$ differenzierbar mit der Ableitung
    $(g\circ f)'(a)=g'(f(a))\cdot f'(a).$
# Produkt von sigmaendlichen Maßräumen/Integration über Querschnittsmaß/Cavalieri/Fakt/Name

Das Cavalieri-Prinzip für eine messbare Teilmenge $T\subseteq M\times N$ zu $\sigma$-endlichen Maßräumen $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und $(N,{\mathcal {B}},\nu )$.
# Differenzierbar/D offen K/Linear Approximierbar/Fakt/Name/Inhalt

Die Funktion $f$ ist in $a$ genau dann differenzierbar, wenn es ein $s\in {\mathbb {K} }$ und eine Funktion
    $r\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} }$
gibt mit $r$ stetig in $a$ und $r(a)=0$ und mit
    $f(x)=f(a)+s(x-a)+r(x)(x-a).$
# Quadratische Körpererweiterung/Charakteristik nicht zwei/Reine Gestalt/Fakt/Name

Die Struktur von quadratischen Körpererweiterungen in Charakteristik $\neq 2$.
# Reelle Funktion/Taylor-Formel/(n+1)-mal stetig differenzierbar/Lagrange/Fakt/Name

Die Taylor-Formel für eine $(n+1)$-mal differenzierbare Funktion
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
auf einem reellen Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$ für einen inneren Punkt $a\in I$.
# Differenzierbare Abbildung/K/Quotientenregel/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen, $a\in D$ ein Punkt und
    $f,g\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$
zwei Funktionen, die in $a$ differenzierbar seien. Wenn $g$ keine Nullstelle in $D$ besitzt, so ist $f/g$ differenzierbar in $a$ mit
    $(f/g)'(a)={\frac {f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{(g(a))^{2}}}.$
# Restklassenringe (Z)/Quadratreste/-1/Fakt/Name

Der Satz über die Quadratcharakterisierung von $-1$ für Restklassenkörper von $\mathbb {Z}$.
# Diskrete Bewertungsringe/Charakterisierung/1/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $R$ ein noetherscher lokaler Integritätsbereich mit der Eigenschaft, dass es genau zwei Primideale $0\subset {\mathfrak {m}}$ gibt. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
* $R$ ist ein diskreter Bewertungsring.
* $R$ ist ein Hauptidealbereich.
* $R$ ist faktoriell.
* $R$ ist normal.
* ${\mathfrak {m}}$ ist ein Hauptideal.
# Ebene Kurven/Schnitt ohne Komponenten/Endlich viele Punkte/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und seien $F,G\in K[X,Y]$ zwei Polynome ohne gemeinsamen nichtkonstanten Faktor. Dann gibt es nur endlich viele Punkte $P_{1},\ldots ,P_{n}$ mit $P_{i}\in V(F,G)$.
# Ebene polynomiale Parametrisierungen/Kurvengleichung/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und seien $P,Q\in K[T]$ zwei Polynome. Dann gibt es ein Polynom $F\in K[X,Y]$, $F\neq 0$, mit $F(Q,P)=0$. D.h. das Bild einer polynomial parametrisierten Kurve liegt in einer ebenen algebraischen Kurve $C=V(F)$.
# Ebene projektive Kurve/Abbildung nach P^1 über Projektion von einem Punkt/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei $C\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ eine ebene projektive Kurve vom Grad $d$. Dann gibt es einen surjektiven Morphismus
    $C\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$
derart, dass alle Fasern aus maximal $d$ Punkten bestehen.
# Eisenstein Irreduzibilitätskriterium/Z und Q/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $F=\sum _{i=0}^{n}c_{i}X^{i}\in \mathbb {Z} [X]$ ein Polynom. Es sei $p\in \mathbb {Z}$ eine Primzahl mit der Eigenschaft, dass $p$ den Leitkoeffizienten $c_{n}$ nicht teilt, aber alle anderen Koeffizienten teilt, aber dass $p^{2}$ nicht den konstanten Koeffizienten $c_{0}$ teilt. Dann ist $F$ irreduzibel in $\mathbb {Q} [X]$.
# Endliche Körper/Existenz und Eindeutigkeit/Fakt/Name/Inhalt

Zu jeder echten Primzahlpotenz $p^{e}$ gibt es bis auf Isomorphie genau einen endlichen Körper mit $p^{e}$ Elementen.
# Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Siebformel/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $A$ eine $n$-elementige Menge und $B$ eine $k$-elementige Menge. Dann ist die Anzahl der surjektiven Abbildungen von $A$ nach $B$ gleich
    $\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{\binom {k}{j}}j^{n}.$
# Endomorphismus/Eigenvektoren/Linear unabhängig/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Es seien $v_{1},\ldots ,v_{n}$ Eigenvektoren zu (paarweise) verschiedenen Eigenwerten $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\in K$. Dann sind $v_{1},\ldots ,v_{n}$ linear unabhängig.
# Endomorphismus/Eigenwert und charakteristisches Polynom/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein $n$-dimensionaler Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Dann ist $\lambda \in K$ genau dann ein Eigenwert von $\varphi$, wenn $\lambda$ eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms $\chi _{\varphi }$ ist.
# Endomorphismus/Endlichdimensional/Basiswechsel/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Es seien ${\mathfrak {u}}$ und ${\mathfrak {v}}$ Basen von $V$. Dann besteht zwischen den Matrizen, die die lineare Abbildung bezüglich ${\mathfrak {u}}$ bzw. ${\mathfrak {v}}$ (beidseitig) beschreiben, die Beziehung
    $M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {u}}(\varphi )=M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}\circ M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )\circ (M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}})^{-1}.$
# Endomorphismus/Hauptraum/Algebraische Vielfachheit/Fakt/Name/Inhalt

Sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
ein Endomorphismus auf dem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$ und sei $\lambda \in K$. Dann ist die Dimension des Hauptraumes $\operatorname {Haupt} _{\lambda }(\varphi )$ gleich der algebraischen Vielfachheit von $\lambda$.
# Endomorphismus/K/Potenz/Beschränktheit/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum und
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
ein Endomorphismus. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.
* $\varphi$ ist stabil.
* Zu jedem $v\in V$ ist die Folge $\varphi ^{n}(v)$, $n\in \mathbb {N}$, beschränkt.
* Es gibt ein Erzeugendensystem $v_{1},\ldots ,v_{m}\in V$ derart, dass $\varphi ^{n}(v_{j})$, $j=1,\ldots ,m$, beschränkt ist.
* Der Betrag eines jeden komplexen Eigenwerts von $\varphi$ ist kleiner oder gleich $1$ und die Eigenwerte mit Betrag $1$ sind diagonalisierbar, d.h. ihre algebraische Vielfachheit ist gleich ihrer geometrischen Vielfachheit.
* Für eine beschreibende Matrix $M$ von $\varphi$, aufgefasst über ${\mathbb {C} }$, sind die Jordan-Blöcke der jordanschen Normalform gleich mit $\vert {\lambda }\vert <1$ oder gleich $(\lambda )$ mit $\vert {\lambda }\vert =1$.
    ${\begin{pmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\cdots &0&\lambda &1\\0&\cdots &\cdots &0&\lambda \end{pmatrix}}$
# Endomorphismus/K/Potenz/Nullkonvergenz/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum und
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
ein Endomorphismus. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.
* $\varphi$ ist asymptotisch stabil.
* Zu jedem $v\in V$ konvergiert die Folge $\varphi ^{n}(v)$, $n\in \mathbb {N}$, gegen $0\in V$.
* Es gibt ein Erzeugendensystem $v_{1},\ldots ,v_{m}\in V$ derart, dass $\varphi ^{n}(v_{j})$, $j=1,\ldots ,m$, gegen $0$ konvergiert.
* Der Betrag eines jeden komplexen Eigenwerts von $\varphi$ ist kleiner als $1$.
# Erster Gödelscher Unvollständigkeitssatz/Aufzählbar und Repräsentierungen/Unvollständig/Arithmetisch/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $\Gamma \subseteq L^{\rm {Ar}}$ eine arithmetische Ausdrucksmenge, die widerspruchsfrei und aufzählbar sei und Repräsentierungen erlaube. Dann ist $\Gamma ^{\vdash }$ unvollständig.
# Euklidischer Raum/Abstand zu Unterraum/Orthogonale Projektion/Fakt/Name/Inhalt

Die orthogonale Projektion $p_{U}(v)$ ist derjenige Punkt auf $U$, der unter allen Punkten auf $U$ zu $v$ den minimalen Abstand besitzt.
# Experiment/Hintereinanderausführung/Binomialverteilung/Fakt/Name/Inhalt

Es sei ein Experiment gegeben, das nur die Werte $0$ und $1$ annehmen kann und bei dem der Wert $1$ die Wahrscheinlichkeit $p$ besitzt. Dann ist die Verteilung auf ${\{1,\ldots ,n\}}$, die die Wahrscheinlichkeit beschreibt, dass bei der $n$-fachen (unabhängigen) Hintereinaderausführung des Experimentes $k$-fach das Ereignis $1$ eintritt, durch die Binomialverteilung zur Stichprobenlänge $n$ und zur Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ gegeben.
# Fallende Funktion/Uneigentliches Integral und Reihe/Vergleichskriterium/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $I=[1,\infty ]$ ein rechtsseitig unbeschränktes Intervall und sei
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige fallende Funktion mit $f(x)\geq 0$ für alle $x\in I$. Dann existiert das uneigentliche Integral
    $\int _{1}^{\infty }f(t)\,dt$
genau dann, wenn die Reihe
    $\sum _{n=1}^{\infty }f(n)$
konvergiert.
# Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/T+../Transformierbar auf T/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein Körper, $K[\![T]\!]$ der Potenzreihenring über $K$ und $G={\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}$ mit $b_{0}=0$ und $b_{1}\neq 0$. Dann definiert der durch $T\mapsto G$ definierte Einsetzungshomomorpismus einen $K$-Algebraautomorphismus auf $K[\![T]\!]$.
# Fundamentalsatz der Algebra/Nichtkonstantes Polynom/Nullstelle/Fakt/Name/Inhalt

Jedes nichtkonstante Polynom $P\in {\mathbb {C} }[X]$ über den komplexen Zahlen besitzt eine Nullstelle.
# Ganze Zahlen/Kommutativer Ring/2/Fakt/Name/Inhalt

Die ganzen Zahlen $(\mathbb {Z} ,0,1,+,\cdot )$ bilden einen kommutativen Ring.