# Kommutativer Ring/Assoziierter graduierter Ring/Modul/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Zu einem Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring $R$ nennt man die direkte Summe von $R/{\mathfrak {a}}$-Moduln
    $\operatorname {Gr} _{\mathfrak {a}}R=R/{\mathfrak {a}}\oplus {\mathfrak {a}}/{\mathfrak {a}}^{2}\oplus {\mathfrak {a}}^{2}/{\mathfrak {a}}^{3}\oplus \ldots \,$
mit der durch $[f]\cdot [g]:=[fg]$ gegebenen Multiplikation den assoziierten graduierten Ring zu ${\mathfrak {a}}$.
Diese Verknüpfung ist wohldefiniert. Der assoziierte graduierte Ring ist $\mathbb {N}$-graduiert und von der ersten Stufe erzeugt. Diese Konstruktion erlaubt es häufig, Fragen für einen beliebigen kommutativen Ring auf eine graduierte Situation zurückzuführen. Wenn ${\mathfrak {a}}$ ein endlich erzeugtes Ideal ist, so ist der graduierte Ring als Algebra endlich erzeugt, und zwar liefert ein Modulerzeugendensystem von ${\mathfrak {a}}/{\mathfrak {a}}^{2}$ ein Algebraerzeugendensystem, siehe Aufgabe. Wenn $R$ ein noetherscher lokaler Ring ist und man das maximale Ideale ${\mathfrak {m}}$ nimmt, so erhält man eine standard-graduierte Algebra mit dem Restekörper $R/{\mathfrak {m}}$ als nullte Stufe.

## Beispiel

Zum Ring der Neilschen Parabel, also zu $R=K[X,Y]/{\left(X^{2}-Y^{3}\right)}$ mit dem maximalen Ideal ${\mathfrak {m}}={\left(X,Y\right)}$, kann man den assoziierten graduierten Ring wie folgt berechnen. Es gibt eine surjektive Abbildung
    $\varphi \colon K[S,T]\longrightarrow \operatorname {Gr} _{\mathfrak {m}}R,$
die $S$ auf die Restklasse von $X$ und $T$ auf die Restklasse von $Y$ in ${\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$ abbildet. Dabei ist
    $\varphi {\left(S^{2}\right)}=[X]^{2}=[X^{2}]=[Y^{3}]=0\,,$
da ja die dritte Potenz von $Y$ zu ${\mathfrak {m}}^{3}$ gehört. Da die Monome $X^{i}Y^{j}$ mit $i=0,1$ nicht in einer höheren Potenz liegen, hat man die Isomorphie
    $K[S,T]/{\left(S^{2}\right)}\cong \operatorname {Gr} _{\mathfrak {m}}R\,.$
Insbesondere ist der assoziierte graduierte Ring nicht reduziert, obwohl $R$ ein Integritätsbereich ist.
Zu einem $R$-Modul $M$ und einem Ideal ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ besitzt die Folge der $R$-Untermoduln
    $M_{n}={\mathfrak {a}}^{n}M\subseteq M\,$
die Eigenschaften
* $M_{n+1}\subseteq M_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$.
* Es ist ${\mathfrak {a}}M_{n}=M_{n+1}$ für alle $n\in \mathbb {N}$.

## Definition

Es sei ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal in einem kommutativen Ring $R$ und $M$ ein $R$-Modul. Dann nennt man die direkte Summe
    $\operatorname {Gr} _{\mathfrak {a}}M=M/{\mathfrak {a}}M\oplus {\mathfrak {a}}M/{\mathfrak {a}}^{2}M\oplus {\mathfrak {a}}^{2}M/{\mathfrak {a}}^{3}M\oplus \ldots \,$
den assoziierten graduierten Modul zu ${\mathfrak {a}}$.

## Lemma

Es sei ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal in einem kommutativen Ring $R$ und $M$ ein $R$-Modul.
Dann ist der assoziierte graduierte Modul $\operatorname {Gr} _{\mathfrak {a}}M$ in natürlicher Weise ein graduierter Modul über dem assoziierten graduierten Ring $\operatorname {Gr} _{\mathfrak {a}}R$. Wenn der Modul $M$ endlich erzeugt ist, so ist $\operatorname {Gr} _{\mathfrak {a}}M$ ein endlich erzeugter $\operatorname {Gr} _{\mathfrak {a}}R$-Modul.

### Beweis

Wir gehen aus von der Multiplikation
    ${\mathfrak {a}}^{d}\times {\mathfrak {a}}^{n}M\longrightarrow {\mathfrak {a}}^{d+n}M,\,(f,v)\longmapsto fv,$
die wegen ${\mathfrak {a}}^{d}{\mathfrak {a}}^{n}M={\mathfrak {a}}^{d+n}M$ wohldefiniert ist. Wegen ${\mathfrak {a}}^{d+1}{\mathfrak {a}}^{n}M={\mathfrak {a}}^{d}{\mathfrak {a}}^{n+1}M={\mathfrak {a}}^{d+n+1}M$ induziert dies eine Abbildung
    ${\mathfrak {a}}^{d}/{\mathfrak {a}}^{d+1}\times {\mathfrak {a}}^{n}M/{\mathfrak {a}}^{n+1}M\longrightarrow {\mathfrak {a}}^{d+n}M/{\mathfrak {a}}^{d+n+1}M,\,([f],[v])\longmapsto [fv].$
Die Gesamtheit dieser Abbildung ergibt eine Abbildung
    $\operatorname {Gr} _{\mathfrak {a}}R\times \operatorname {Gr} _{\mathfrak {a}}M\longrightarrow \operatorname {Gr} _{\mathfrak {a}}M,$
die $\operatorname {Gr} _{\mathfrak {a}}M$ zu einem graduierten $\operatorname {Gr} _{\mathfrak {a}}R$-Modul macht.
Ein Erzeugendensystem von $M/{\mathfrak {a}}M$ ergibt direkt ein Erzeugendensystem für den graduierten Modul.
$\Box$