# Riemannsche Fläche/Holomorphe Differentialform/Rückzug/Textabschnitt
## Lemma

Es sei $p\colon X\rightarrow Y$ eine holomorphe Abbildung zwischen riemannschen Flächen $X$ und $Y$ und sei $\omega$ eine holomorphe Differentialform auf $Y$.
Dann ist der Rückzug $p^{*}\omega$ eine holomorphe Differentialform auf $X$

### Beweis

Die Aussage ist lokal, wir können also davon ausgehen, dass $p$ eine holomorphe Funktion zwischen offenen Kreisscheiben
$X$ und $Y$ ist und dass
    $\omega =fdz\,$
mit einem lokalen Parameter $z$ auf $Y$ und einer holomorphen Funktion $f$ auf $Y$ ist. In dieser Situation ist
    $p^{*}\omega =p^{*}{\left(fdz\right)}=(f\circ p)d(z\circ p)\,.$
$\Box$

## Lemma

Es sei $p\colon X\rightarrow Y$ eine normale Überlagerung zwischen den riemannschen Flächen $X$ und $Y$.
Dann entsprechen die holomorphen Differentialformen den holomorphen Differentialformen auf $X$, die unter den Decktransformationen invariant sind.

### Beweis

Dass der Rückzug $p^{*}\omega$ einer holomorphen Differentialform $\omega$ auf $Y$ invariant ist, folgt mit Fakt unmittelbar aus
    $\varphi ^{*}{\left(p^{*}\omega \right)}={\left(p\circ \varphi \right)}^{*}\omega =p^{*}\omega \,$
für alle Decktransformationen $\varphi \in G$. Wenn umgekehrt eine $G$-invariante holomorphe Differentialform $\alpha$ auf $X$ vorliegt, so gelangt man in folgender Weise zu einer holomorphen Differentialform auf $Y$: Man wählt zu jedem Punkt $Q\in Y$ eine offene Umgebung $Q\in V\subseteq Y$ mit einer disjunkten Zerlegung
    $p^{-1}(V)=\biguplus _{i\in I}U_{i}\,$
und induzierten biholomorphen Abbildungen $p_{i}\colon U_{i}\rightarrow V$. Man definiert $\omega$ auf $V$ durch ${\left(p_{i}\right)}_{*}\alpha$ zu einem beliebigen $i\in I$. Da es wegen der Normalität der Überlagerung stets eine eindeutige Decktransformation
    $\varphi \colon U_{i}\longrightarrow U_{j}$
gibt, ist es egal, welches $i$ man wählt. Daraus folgt auch die Unabhängigkeit von der Wahl von $V$ und ebenso die Verträglichkeit bei Überschneidungen.
$\Box$
Die vorstehende Aussage gilt allgemeiner auch für endliche holomorphe Abbildungen, die normal sind, siehe Fakt. Den wichtigen Fall einer Potenzabbildung kann man direkt erledigen.

## Beispiel

Wir betrachten die komplexe Potenzierung $U\longrightarrow V$, $w\longmapsto w^{n}=z$ zwischen Kreisscheiben (oder auf ganz ${\mathbb {C} }$). Die holomorphe Differentialform $dz$ wird auf
$dw^{n}=nw^{n-1}dw$ abgebildet, die invariant unter den Multiplikationen $w\mapsto \zeta w$ zu einer $n$-ten Einheitswurzel ist. Generell entsprechen die holomorphen Differentialformen $g(z)dz$ auf $V$ den Differentialformen $\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}w^{kn-1}dw$ auf $U$, und das sind genau die Differentialformen, die invariant unter den Multiplikationen mit $n$-ten Einheitswurzeln sind.

## Korollar

Auf einem komplexen Torus $X={\mathbb {C} }/\Gamma$ zu einem Gitter $\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$
sind die holomorphen Differentialformen gleich $sdz$ mit $s\in {\mathbb {C} }$, wobei $dz$ die durch die $\Gamma$-invariante Differentialform $dz$ auf ${\mathbb {C} }$ induzierte Form auf $X$ bezeichnet.
Insbesondere ist der Raum der holomorphen Differentialformen auf $X$ eindimensional.

### Beweis

Wir verwenden Fakt. Die holomorphen Differentialformen auf ${\mathbb {C} }$ haben die Form $fdz$ mit einer holomorphen Funktion $f$ auf ${\mathbb {C} }$. Da $dz$ invariant unter der Operation von $\Gamma$ ist, bedeutet die Invarianz der Differentialform, dass $f$ invariant unter $\Gamma$ ist. D.h. $f$ ist eine $\Gamma$-doppeltperiodische Funktion. Nach Fakt sind diese konstant.
$\Box$
Die Schreibweise $dz$ für die holomorphe Differentialform auf einem Torus ist insofern problematisch, dass sie dahingehend missverstanden werden kann, dass es sich um das Differential zu einer Funktion auf dem Torus handeln könnte, was nicht der Fall ist.