OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Trigonalisierbar/Direkte Summe/Direkt/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es seien $V_{1},\ldots ,V_{n}$ endlichdimensionale Vektorräume über dem Körper $K$ und
    $\varphi _{i}\colon V_{i}\longrightarrow V_{i}$
lineare Abbildungen und es sei
    $\varphi =\varphi _{1}\times \cdots \times \varphi _{n}\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow V_{1}\times \cdots \times V_{n}$
die Produktabbildung. Zeige direkt (ohne charakteristisches Polynom), dass $\varphi$ genau dann trigonalisierbar ist, wenn dies für alle $\varphi _{i}$ gilt.
# Trigonalisierbar/Direkte Summe/Direkt/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es seien zunächst die Komponentenabbildungen $\varphi _{i}$ trigonalisierbar. Es sei
    $d_{i}=\dim _{K}{\left(V_{i}\right)}\,$
und seien
    $v_{i1},\ldots ,v_{id_{i}},\,i=1,\ldots ,n,$
Basen von $V_{i}$, bezüglich denen die beschreibenden Matrizen $M_{i}$ zu $\varphi _{i}$ obere Dreiecksgestalt haben. In der beschreibenden Matrix zur Produktabbildung bezüglich der durch alle Vektoren $v_{ij}$ gebildeten Gesamtbasis des Produktraumes stehen die $M_{i}$ als Blöcke in der Diagonalen, alle anderen Einträge sind $0$. Daher ist die Gesamtabbildung auch trigonalisierbar.
Es sei nun die Gesamtabbildung trigonalisierbar. Durch eine einfache Induktion können wir annehmen, dass $n=2$ ist, sei also zur Notationsvereinfachung $\varphi \colon V\rightarrow V$ und $\psi \colon W\rightarrow W$ gegeben und sei
    $\varphi \times \psi \colon V\times W\longrightarrow V\times W$
trigonalisierbar. Wir müssen zeigen, dass auch $\varphi$ trigonalisierbar ist. Nach Voraussetzung gibt es eine Basis $(v_{k},w_{k})$, $k=1,\ldots ,m$, bezüglich der die Matrix zur Gesamtabbildung obere Dreiecksgestalt besitzt. Es seien
    $k_{1}<k_{2}<\ldots <k_{d}\,$
so gewählt (mit $d=\dim _{K}{\left(V\right)}$), dass
    $v_{k_{1}},\ldots ,v_{k_{d}}$
eine Basis von $V$ bilden und dass $v_{i}\in \langle v_{1},\ldots ,v_{i-1}\rangle$ genau für
    $i\neq k_{j}\,$
gilt. Die $k_{j}$ sind also diejenigen Stellen, wo in der Kette der Vektorräume
    $V_{i}=\langle v_{1},\ldots ,v_{i}\rangle \,$
die Räume größer werden. Eine solche Basis muss es geben, da die $v_{k}$, $k=1,\ldots ,m$ ganz $V$ erzeugen. Dabei gilt aufgrund der oberen Dreiecksgestalt der Produktabbildung bezüglich der gegebenen Basis
    $(\varphi \times \psi )(v_{k_{j}},w_{k_{j}})=(\varphi (v_{k_{j}}),\psi (w_{k_{j}}))=\sum _{k=1}^{k_{j}}c_{k}(v_{k},w_{k})\,$
und damit insbesondere
    $\varphi (v_{k_{j}})=\sum _{k=1}^{k_{j}}c_{k}v_{k}\,.$
Da die dabei auftretenden $v_{k}$ Linearkombinationen der $v_{k_{1}},\ldots ,v_{k_{j}}$ sind, gilt
    $\varphi (v_{k_{j}})=\sum _{i=1}^{j}b_{i}v_{k_{i}}\,,$
$\varphi$
# Trigonalisierbare Abbildung/Eigentheorie/Ohne Beweis/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Eine lineare Abbildung $\varphi \colon V\rightarrow V$
heißt trigonalisierbar, wenn sie bezüglich einer geeigneten Basis durch eine obere Dreiecksmatrix beschrieben wird.
Diagonalisierbare lineare Abbildungen sind insbesondere trigonalisierbar. Die Umkehrung gilt nicht, wie Beispiel zeigt.

## Satz

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
Wenn $\varphi$ trigonalisierbar ist und bezüglich einer Basis durch die Matrix $M$ beschrieben wird, so gibt es eine invertierbare Matrix $B\in \operatorname {Mat} _{n\times n}(K)$ derart, dass $BMB^{-1}$ eine obere Dreiecksmatrix ist.

### Beweis

Von (1) nach (2). Das charakteristische Polynom von $\varphi$ ist gleich dem charakteristischen Polynom $\chi _{M}$, wobei $M$ eine beschreibende Matrix bezüglich einer beliebigen Basis ist. Wir können also annehmen, dass $M$ eine obere Dreiecksmatrix ist. Dann ist nach Fakt das charakteristische Polynom das Produkt der Linearfaktoren zu den Diagonaleinträgen.
Von (2) nach (1). Wir beweisen die Aussage durch Induktion nach $n$, wobei die Fälle
    $n=0,1\,$
klar sind. Nach Voraussetzung und nach Fakt besitzt $\varphi$ einen Eigenwert, sagen wir $\lambda$. Nach Fakt gibt es einen $(n-1)$-dimensionalen Untervektorraum
    $V_{n-1}\subset V\,,$
der $\varphi$-invariant. Es sei $v_{1},\ldots ,v_{n-1}$ eine Basis von $V_{n-1}$, die wir durch $v_{n}\in V\setminus V_{n-1}$ zu einer Basis von $V$ ergänzen. Bezüglich dieser Basis wird $\varphi$ durch eine Matrix der Gestalt
    ${\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1,n-1}&a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\a_{n-1,1}&\cdots &a_{n-1,n-1}&a_{n-1,n}\\0&\ldots &0&a_{nn}\end{pmatrix}}$
beschrieben. Die $(n-1)\times (n-1)$-Untermatrix beschreibt dabei die Einschränkung $\varphi {|}_{V_{n-1}}$ von $\varphi$ auf $V_{n-1}$ bezüglich der gegebenen Basis. Da man das charakteristische Polynom mit jeder beschreibenden Matrix ausrechnen kann, ist (Entwicklung nach der letzten Zeile)
    $\chi _{\varphi }=\chi _{\varphi {|}_{V_{n-1}}}\cdot (X-a_{nn})\,.$
Daher muss auch das charakteristische Polynom $\chi _{\varphi {|}_{V_{n-1}}}$ in Linearfaktoren zerfallen. Wir können also auf
    $\varphi {|}_{V_{n-1}}\colon V_{n-1}\longrightarrow V_{n-1}$
die Induktionsvoraussetzung anwenden und erhalten das Resultat.
$\Box$

## Satz

Es sei $M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {C} })$ eine quadratische Matrix mit komplexen Einträgen.
Dann ist $M$ trigonalisierbar.

### Beweis

Dies folgt aus Fakt und dem Fundamentalsatz der Algebra.
$\Box$
# Vektorraum/Tensorprodukt/Rechengesetze/Fakt/Beweis

(1) ergibt sich unmittelbar aus der Konstruktion. (2) folgt aus (1). (3) folgt aus dem Distributivgesetz für multilineare Abbildungen.
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/54/Aufgabe/Lösung

* Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge in einem angeordneten Körper mit dem Grenzwert $\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\neq 0$ und mit $x_{n}\neq 0$ für alle $n\in \mathbb {N}$, Dann ist ${\left({\frac {1}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit
    $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{x_{n}}}={\frac {1}{x}}\,.$
* Es sei $T\subseteq {\mathbb {K} }$ eine Teilmenge und es sei eine Folge von stetigen Funktionen, die gleichmäßig gegen die Funktion $f$ konvergiert. Dann ist $f$ stetig.
    $f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
* Es sei $I$ ein beschränktes abgeschlossenes Intervall, eine $(n+1)$-mal stetig differenzierbare Funktion, $a\in I$ ein innerer Punkt und $B:=\operatorname {max} \left(\vert {f^{(n+1)}(c)}\vert ,\,c\in I\right)$. Dann gilt zwischen $f(x)$ und dem $n$-ten Taylor-Polynom die Fehlerabschätzung
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
    $\vert {f(x)-\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}}\vert \leq {\frac {B}{(n+1)!}}\vert {x-a}\vert ^{n+1}\,.$
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/55/Aufgabe/Lösung

* Es sei $I_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, eine Intervallschachtelung in $\mathbb {R}$. Dann besteht der Durchschnitt aus genau einem Punkt $x\in \mathbb {R}$.
    $\bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}$
* Die Funktionen $f,g$ seien in $a$ differenzierbar mit $g(a)\neq 0$. Dann ist $f/g$ differenzierbar in $a$ mit
    $\left({\frac {f}{g}}\right)'(a)={\frac {f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{(g(a))^{2}}}\,.$
* Es sei $f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ eine konvexe Funktion, seien $x_{1},\ldots ,x_{n}\in I$ und $t_{1},\ldots ,t_{n}\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ mit $\sum _{i=1}^{n}t_{i}=1$. Dann ist
    $f{\left(\sum _{i=1}^{n}t_{i}x_{i}\right)}\leq \sum _{i=1}^{n}t_{i}f(x_{i})\,.$
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/57/Aufgabe/Lösung

* Eine stetige Funktion auf einem abgeschlossenen beschränkten Intervall ist gleichmäßig stetig.
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
* Es seien zwei absolut konvergente Reihen komplexer Zahlen. Dann ist auch das Cauchy-Produkt $\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}$ absolut konvergent und für die Summe gilt
    $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}{\text{ und }}\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$
    $\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}={\left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\right)}\cdot {\left(\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}\right)}\,.$
* Es sei $D\subseteq \mathbb {R}$ offen und sei eine Funktion, die in $a\in D$ ein lokales Extremum besitze und dort differenzierbar sei. Dann ist
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
    $f'(a)=0\,.$
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/53/Aufgabe/Lösung

* Es gebe eine reelle Zahl $q$ mit $0\leq q<1$ und ein $k_{0}$ mit für alle $k\geq k_{0}$. Dann konvergiert die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ absolut.
    $\vert {\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}\vert \leq q\,$
* Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und eine stetige,streng wachsende Funktion. Dann ist das Bild $J:=f(I)$ ebenfalls ein Intervall, und die Umkehrabbildung ist ebenfalls stetig.
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
    $f^{-1}\colon J\longrightarrow I$
* Es sei eine homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit einer stetigen Funktion die auf einem Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$ definiert sei. Es sei $G$ eine Stammfunktion zu $g$ auf $I$. Dann sind die Lösungen der Differentialgleichung gleich
    $y'=g(t)y\,$
    $g\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto g(t),$
    $y(t)=c\cdot \exp(G(t)){\text{ mit }}c\in \mathbb {R} .$
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/54/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die Quotientenregel für konvergente Folgen.
* Der Satz über die Grenzfunktion einer gleichmäßig konvergenten Funktionenfolge auf einer Teilmenge $T\subseteq {\mathbb {K} }$.
    $f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
* Die Taylor-Abschätzung.
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/56/Aufgabe/Lösung

* Seien $D$ und $E$ offene Mengen in ${\mathbb {K} }$ und seien und Funktionen mit $f(D)\subseteq E$. Es sei $f$ in $a$ differenzierbar und $g$ sei in $b=f(a)$ differenzierbar. Dann ist auch die Hintereinanderschaltung in $a$ differenzierbar mit der Ableitung
    $f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$
    $g\colon E\longrightarrow {\mathbb {K} }$
    $g\circ f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$
    $(g\circ f)'(a)=g'(f(a))\cdot f'(a).$
* Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall und $a\in I$ ein Punkt. Es seien stetige Funktionen, die auf $I\setminus \{a\}$ differenzierbar seien mit $f(a)=g(a)=0$ und mit $g'(x)\neq 0$ für $x\neq a$. Es sei vorausgesetzt, dass der Grenzwert existiert. Dann existiert auch der Grenzwert und sein Wert ist ebenfalls $w$.
    $f,g\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
    $w:=\operatorname {lim} _{x\in I\setminus \{a\},\,x\rightarrow a}\,{\frac {f'(x)}{g'(x)}}\,$
    $\operatorname {lim} _{x\in I\setminus \{a\},\,x\rightarrow a}\,{\frac {f(x)}{g(x)}},$
* Es sei $f\colon [a,b]\rightarrow [c,d]$ eine bijektive differenzierbare Funktion und es sei $F$ eine Stammfunktion von $f$. Dann ist eine Stammfunktion der Umkehrfunktion $f^{-1}$.
    $G(y):=yf^{-1}(y)-F(f^{-1}(y))\,$
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/55/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Intervallschachtelung.
* Die Quotientenregel für differenzierbare Funktionen in einem Punkt $a\in {\mathbb {K} }$.
    $f,g\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} }$
* Die Jensensche Ungleichung.
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/56/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die Kettenregel für differenzierbare Abbildungen.
* Die Regel von l'Hospital.
* Die Formel für die Stammfunktion der Umkehrfunktion.
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/57/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die gleichmäßige Stetigkeit auf einem Intervall.
* Der Satz über die Konvergenz des Cauchy-Produkts von Reihen.
* Der Satz über die Ableitung in einem lokalen Extremum.
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/58/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt $a\in {\mathbb {K} }$.
    $f\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} }$
* Der Satz über die eulersche Zahl und die Exponentialreihe.
* Der Mittelwertsatz der Integralrechnung.
# Aufgabenblatt zu Peano-Axiomen 1/latex

In den folgenden Aufgaben geht es darum, die grundlegenden Eigenschaften der natürlichen Zahlen aus den \stichwort {Peano-Axiomen} abzuleiten. Dies ist im Allgemeinen mühsam und sollte nur exemplarisch durchgeführt werden, um sich ein Bild von einem formalen Aufbau der Zahlen machen zu können.
Wir erinnern an die Peano-Axiome:
Eine Menge $N$ mit einem ausgezeichneten Element \mavergleichskette {\vergleichskette {0 } { \in }{N } { }{ } { }{ } { }{ } } \zusatzklammer {die \stichwort {Null}} und einer \zusatzklammer {Nachfolger} {-}Abbildung \maabbeledisp {'} { N} {N } {n} {n' } {,} heißt \definitionswort {natürliche Zahlen} \zusatzklammer {oder \stichwort {Dedekind-Peano-Modell} für die natürlichen Zahlen} {,} wenn die folgenden \definitionswortenp{Dedekind-Peano-Axiome} erfüllt sind. \aufzaehlungdrei{Das Element $0$ ist kein Nachfolger \zusatzklammer {die Null liegt also nicht im Bild der Nachfolgerabbildung} {.} }{Jedes \mavergleichskette {\vergleichskette {n } { \in }{N } { }{ } { }{ } { }{ } } ist Nachfolger höchstens eines Elementes \zusatzklammer {d.h. die Nachfolgerabbildung ist injektiv} {.} }{Für jede Teilmenge \mavergleichskette {\vergleichskette {T } { \subseteq }{N } { }{ } { }{ } { }{ } } gilt: Wenn die beiden Eigenschaften \auflistungzwei{ \mavergleichskette {\vergleichskette {0 } { \in }{T } { }{ } { }{ } { }{ } }{,} }{mit jedem Element \mavergleichskette {\vergleichskette {n } { \in }{T } { }{ } { }{ } { }{ } } ist auch \mavergleichskette {\vergleichskette {n' } { \in }{T } { }{ } { }{ } { }{ } }{,} } gelten, so ist \mavergleichskette {\vergleichskette {T } { = }{N } { }{ } { }{ } { }{ } }{.} }
\inputaufgabegibtloesung {
Zeige, das zwei Mengen $\N_1$ und $\N_2$, die beide die \definitionsverweis {Dedekind-Peano-Axiome} erfüllen, zueinander isomorph sind. Man gebe also eine bijektive Abbildung \mathl{\N_1 \rightarrow \N_2} an, die $0_1$ in $0_2$ überführt und die die Nachfolgeabbildungen respektiert.
\inputaufgabegibtloesung {
Zeige ausgehend von den \definitionsverweis {Dedekind-Peano-Axiomen}{,} dass jedes Element \mathl{n \in {\mathbb N}}{,} $n \neq 0$, einen Vorgänger besitzt.
\inputaufgabe {
Es sei ${\mathbb N}$ eine Menge, die die \definitionsverweis {Dedekind-Peano-Axiome} erfüllt. Definiere eine \anfuehrung{natürliche} Addition auf ${\mathbb N}$ und zeige, dass diese Addition kommutativ und assoziativ ist und $0$ als neutrales Element besitzt.
\inputaufgabe {
Es sei $\N$ eine Menge, die die \definitionsverweis {Dedekind-Peano-Axiome} erfüllt. Definiere eine \anfuehrung{natürliche} Multiplikation auf $\N$. Zeige, dass diese Multiplikation kommutativ und assoziativ ist, und dass sie $1:= 0'$ als neutrales Element besitzt.
Zeige ferner, dass für diese Multiplikation und für die in Aufgabe 3 definierte Addition das Distributivgesetz gilt.
\inputaufgabe {
Leite das Induktionsprinzip für Aussagen (das Beweisverfahren) aus den \definitionsverweis {Dedekind-Peano-Axiomen} ab.
# Auflösbare Gruppe/Restklassengruppe/Aufgabe

Es sei $G$ eine auflösbare Gruppe und
    $q\colon G\longrightarrow H$
ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass auch $H$ auflösbar ist.
# Aussage/Abstammungsbaum/1/Aufgabe

Zeichne einen Abstammungsbaum für die Aussage
    $((p)\wedge (\neg (q)))\wedge (\neg (r)).$
# Aussage/Abstammungsbaum/3/Aufgabe

Zeichne einen Abstammungsbaum für die Aussage
    $(((\neg (\neg (p)))\rightarrow (\neg (q)))\vee (\neg (r)))\leftrightarrow ((\neg (r))\wedge (q)).$
# Aussage/Aussagenvariablenmenge/Aufgabe

Definiere zu jeder Aussage $\alpha \in L^{V}$ die Menge $\operatorname {Var} _^{\left(\alpha \right)}$ der in $\alpha$ vorkommenden Aussagenvariablen.
# Aussage/Interpretation/Abhängigkeit/Aufgabe

Zeige, dass die Interpretation einer Aussage $\alpha \in L^{V}$ nur von der Wahrheitsbelegung der in $\alpha$ vorkommenden Aussagenvariablen abhängt.
# Ausdrücke erster Stufe/Über Alphabet/Rekursiv/Definition/Begriff

Die rekursive Definition für die Ausdrücke in einer Sprache erster Stufe.
# Aussage/Abstammungsbaum/2/Aufgabe

Zeichne einen Abstammungsbaum für die Aussage
    $((\neg (\neg (p)))\leftrightarrow (\neg (q)))\vee ((p)\rightarrow ((\neg (r))\wedge (\neg (q)))).$
# Aussage/Wahrheitsbelegung/2/Aufgabe

Bestimme den Wahrheitswert der Aussage
    $((\neg (\neg (p)))\leftrightarrow (\neg (q)))\vee ((p)\rightarrow ((\neg (r))\wedge (\neg (q))))$
bei der Belegung $\lambda (p)=0$ und $\lambda (q)=\lambda (r)=1$.
# Aussagenlogik/Vollständigkeitssatz/Allgemeiner Fall mit Zorn/Textabschnitt
## Lemma

Es sei $V$ eine Menge an Aussagenvariablen und $\Gamma \subseteq L^{V}$ eine widerspruchsfreie Teilmenge der zugehörigen Sprache der Aussagenlogik.
Dann gibt es eine maximal widerspruchsfreie Teilmenge $\Gamma '\subseteq L^{V}$, die $\Gamma$ enthält.

### Beweis

Wir betrachten die Menge
    $M:={\left\{\Delta \subseteq L^{V}\mid \Delta \supseteq \Gamma ,\,\Delta {\text{ widerspruchsfrei }}\right\}}\,$
mit der durch Inklusion gegebenen Ordnung. Wegen $\Gamma \in M$ ist diese Menge nicht leer. Es sei $N\subseteq M$ eine nichtleere total geordnete Teilmenge. Die Vereinigung
    $\Theta =\bigcup _{\Delta \in N}\Delta \,$
ist ebenfalls widerspruchsfrei, da ein Widerspruch schon aus einer endlichen Teilmenge ableitbar wäre, die ganz in einem der $\Delta$ enthalten wäre. Also besitzt die Kette in $M$ eine obere Schranke. Nach dem Lemma von Zorn gibt es also in $M$ maximale Elemente. Ein solches ist maximal widerspruchsfrei.
$\Box$

## Satz

Es sei $V$ eine Menge an Aussagenvariablen und $\Gamma \subseteq L^{V}$ eine widerspruchsfreie Teilmenge der zugehörigen Sprache der Aussagenlogik.
Dann ist $\Gamma$ erfüllbar.

### Beweis

Nach
Fakt (bzw. Fakt im abzählbaren Fall) kann man $\Gamma$ zu einer maximal widerspruchsfreien Ausdrucksmenge $\Gamma '$ auffüllen. Nach Fakt ist $\Gamma '$ erfüllbar, d.h., es gibt eine Wahrheitsbelegung $\lambda$ derart, dass unter der zugehörigen Interpretation alle Ausdrücke aus $\Gamma '$ gültig sind. Dann sind unter dieser Belegung insbesondere die Ausdrücke aus $\Gamma$ gültig.
$\Box$
Die folgende Aussage ist der Vollständigkeitssatz für die Aussagenlogik.

## Satz

Es sei $V$ eine Menge an Aussagenvariablen und $\Gamma \subseteq L^{V}$ eine Teilmenge der zugehörigen Sprache der Aussagenlogik. Es sei $\alpha \in L^{V}$.
Dann ist

### Beweis

Dass die Ableitungsbeziehung die Folgerungsbeziehung impliziert, wurde bereits im Rahmen der Korrektheitsüberlegungen zu den Ableitungsregeln gezeigt. Für die Umkehrung nehmen wir $\Gamma \not \vdash \alpha$ an. Dies bedeutet nach Aufgabe, dass $\Gamma \cup \{\neg \alpha \}$ widerspruchsfrei ist. Nach Fakt ist dann auch $\Gamma \cup \{\neg \alpha \}$ erfüllbar. Es gibt also eine Wahrheitsbelegung mit $I\vDash \Gamma$ und $I\vDash \neg \alpha$. Also ist $\Gamma \not \vDash \alpha$.
$\Box$
# Aussagenlogik/Vollständigkeitssatz/Abzählbar/Auffüllungsstrategie/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $p_{n}$, $n\in \mathbb {N} _{+}$, eine (surjektive, aber nicht notwendigerweise injektive) Aufzählung der Aussagenvariablen. Die Voraussetzung bedeutet, dass $\Gamma _{0}:=\Gamma ^{\vdash }$ keinen Widerspruch enthält. Wir konstruieren eine (endliche oder abzählbar unendliche) Folge von aufsteigenden widerspruchsfreien Teilmengen $\Gamma _{n}\subseteq \Gamma _{n+1}$, wobei in $\Gamma _{n}$ für jede Variable $p_{i}$, $1\leq i\leq n$,
die Alternative entweder $p_{i}\in \Gamma _{n}$ oder$\neg p_{i}\in \Gamma _{n}$ gilt. Das Konstruktionsverfahren definieren und diese Aussage beweisen wir durch Induktion über $n\in \mathbb {N}$. Für $\Gamma _{0}$ ist dies richtig. Es sei $\Gamma _{n}$ schon konstruiert. Bei $p_{n+1}\in \Gamma _{n}$ oder $\neg p_{n+1}\in \Gamma _{n}$ setzen wir
    $\Gamma _{n+1}:=\Gamma _{n}\,.$
Wegen der Widerspruchsfreiheit von $\Gamma _{n}$ können nicht sowohl $p_{n+1}$ als auch $\neg p_{n+1}$ zu $\Gamma _{n}$ gehören. Wenn weder $p_{n+1}$ noch $\neg p_{n+1}$ zu $\Gamma _{n}$ gehören, so setzen wir
    $\Gamma _{n+1}:={\left(\Gamma _{n}\cup {p_{n+1}}\right)}^{\vdash }\,$
(man könnte genauso gut $\neg p_{n+1}$ hinzunehmen). Nach Konstruktion ist $\Gamma _{n+1}$ abgeschlossen unter der Ableitungsbeziehung und erfüllt die (Oder)-Alternative für alle Variablen $p_{i}$, $i\leq n+1$. Wenn $\Gamma _{n+1}$ widersprüchlich wäre, so gelte insbesondere $\Gamma _{n}\cup \{p_{n+1}\}\vdash \neg p_{n+1}$. Dann würde aber auch $\Gamma _{n}\vdash p_{n+1}\rightarrow \neg p_{n+1}$ gelten und somit nach der Fallunterscheidungsregel auch $\Gamma _{n}\vdash \neg p_{n+1}$, also $\neg p_{n+1}\in \Gamma _{n}$ im Widerspruch zu dem Fall, in dem wir uns befinden. Daher liegt für die Aussagenvariablen auch die Entweder-Oder-Alternative vor.
Mit dieser induktiven Definition setzen wir
    $\Gamma ':=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\Gamma _{n}\,.$
Diese Menge $\Gamma '$ ist widerspruchsfrei, da andernfalls schon eines der $\Gamma _{n}$ einen Widerspruch enthalten würde, und auch abgeschlossen unter Ableitungen, da dies für die einzelnen $\Gamma _{n}$ gilt und eine Ableitung nur endlich viele Voraussetzungen besitzt. Ferner gilt für jedes $n\in \mathbb {N}$ die Alternative $p_{n}\in \Gamma '$ oder $\neg p_{n}\in \Gamma '$. Damit sind die Voraussetzungen von Fakt
$\Gamma '$
# Aussagenlogik/Viele Variablen/Aufgabe

Es seien $p,q,r,s,t,u$ Aussagenvariablen. Zeige, dass die Aussage
    $p\vee {\left(p\rightarrow {\left(r\wedge \neg s\wedge {\left({\left(u\rightarrow p\right)}\vee {\left(q\rightarrow \neg s\right)}\right)}\right)}\right)}$
eine Tautologie ist. Ist eine Wahrheitstabelle hier sinnvoll?
# Aussagenlogik/Vollständigkeitssatz/Abzählbar/Auffüllungsstrategie/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Auffüllung widerspruchsfreier aussagenlogischer Mengen im abzählbaren Fall.
# Aussagenlogik/Vollständigkeitssatz/Abzählbar/Auffüllungsstrategie/Fakt/Name

Der Satz über die Auffüllung widerspruchsfreier aussagenlogischer Mengen (abzählbarer Fall).
# Aussagenlogik/Vollständigkeitssatz/Abzählbar/Auffüllungsstrategie/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $V$ eine abzählbare Menge an Aussagenvariablen und $\Gamma \subseteq L^{V}$ eine widerspruchsfreie Teilmenge der zugehörigen Sprache der Aussagenlogik. Dann kann man $\Gamma$ durch sukzessive Hinzunahme von entweder $p_{n}$ oder $\neg p_{n}$ und durch Abschluss unter der Ableitungsbeziehung zu einer maximal widerspruchsfreien Teilmenge $\Gamma '\supseteq \Gamma$ ergänzen.
# Aussagenlogik/Wahrheitsbelegung/Definition/Begriff/Inhalt

Unter einer Wahrheitsbelegung versteht man eine Abbildung
    $\lambda \colon V\longrightarrow \{0,1\}.$
# Aussagenlogik/Wahrheitsbelegung als Abbildung/Aufgabe

Es sei $M$ eine Menge von Aussagenvariablen und $S$ die damit definierte formale Sprache, also die Menge aller formalen Ausdrücke, die man von $M$ ausgehend mittels der Junktoren $\neg ,\wedge ,\vee ,\rightarrow ,\leftrightarrow$ und mit Klammern sinnvoll basteln kann. Zeige, dass es zu einer gegebenen Belegungsfunktion
    $\beta \colon M\longrightarrow \{w,f\},\,p\longmapsto \beta (p),$
eine eindeutig bestimmte Fortsetzung
    ${\tilde {\beta }}\colon S\longrightarrow \{w,f\}$
gibt, die die Bedeutung (die Wahrheitsfunktion) der Junktoren respektiert.
# Aussagenlogik/Wahrheitsbelegung/Definition/Begriff

Eine Wahrheitsbelegung für eine Menge an Aussagenvariablen.
# Aussagenlogik/Wahrheitstabellen als Funktionen/Aufgabe

Interpretiere die Wahrheitstabellen zu den Junktoren $\neg ,\wedge ,\vee ,\rightarrow ,\leftrightarrow$ als Wertetabellen von Funktionen. Was sind die Definitions-, die Werte- und die Bildmengen dieser Funktionen?
# Aussagenlogik/Vollständigkeitssatz/Widerspruchsfrei/Erfüllbar/Beliebiger Fall/Fakt/Beweis

Nach
Fakt (bzw. Fakt im abzählbaren Fall) kann man $\Gamma$ zu einer maximal widerspruchsfreien Ausdrucksmenge $\Gamma '$ auffüllen. Nach Fakt ist $\Gamma '$ erfüllbar, d.h., es gibt eine Wahrheitsbelegung $\lambda$ derart, dass unter der zugehörigen Interpretation alle Ausdrücke aus $\Gamma '$ gültig sind. Dann sind unter dieser Belegung insbesondere die Ausdrücke aus $\Gamma$ gültig.
# Abbildungen/N nach N/Kontinuum/Aufgabe

Zeige, dass die Menge der Abbildungen von $\mathbb {N}$ nach $\mathbb {N}$ die Mächtigkeit des Kontinuums besitzt.