# Riemannsche Fläche/Invertierbare Garbe/Serre-Dualität/Fakt/Beweis

Es sei ${\mathcal {L}}={\mathcal {O}}_{X}(D)$ mit einem Divisor $D$. Es sei $g$ das Geschlecht von $X$ und es sei $K$ ein kanonischer Divisor. Wegen Fakt genügt es zu zeigen, dass
    $\operatorname {Hom} {\left({\mathcal {O}}_{X}(D),\Omega _{X}\right)}\cong H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D))\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D)),{\mathbb {C} }\right)}\cong {\left(H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D))\right)}^{*},\,\theta \longmapsto \operatorname {Res} _\left(H^{1}(\theta )\right),$
auch surjektiv ist. Es sei dazu
    $\lambda \colon H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D))\longrightarrow {\mathbb {C} }$
eine Linearform $\neq 0$. Es sei $P\in X$ ein Punkt, wir betrachten die Divisoren $D_{n}=D-nP$. Es sei zunächst $n$ fixiert. Ein globaler Schnitt $s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(nP)\right)}$ definiert durch Tensorierung (siehe Fakt) mit ${\mathcal {O}}_{X}(D_{n})$ einen Homomorphismus
    ${\mathcal {O}}_{X}(D_{n})\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X}(D_{n})\otimes {\mathcal {O}}_{X}(nP)\cong {\mathcal {O}}_{X}(D)$
und damit via
    $H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D_{n})){\stackrel {H^{1}(s)}{\longrightarrow }}H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D)){\stackrel {\lambda }{\longrightarrow }}{\mathbb {C} }$
eine Linearform auf $H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D_{n}))$, die wir mit $s\lambda$ bezeichnen. Es sei
    $\Lambda _{n}={\left\{s\lambda \mid s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(nP)\right)}\right\}}\subseteq {\left(H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D_{n}))\right)}^{*}\,.$
Für $s\neq 0$ ist nach Fakt auch $s\lambda \neq 0$ und daher ist die Gesamtzuordnung
    $\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(nP)\right)}\longrightarrow {\left(H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D_{n}))\right)}^{*}$
injektiv. Insbesondere haben $\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(nP)\right)}$ und $\Lambda _{n}$ die gleiche Dimension. Daher haben wir nach Fakt die Dimensionsabschätzung
    $\dim _{\mathbb {C} }{\left(\Lambda _{n}\right)}\geq n+1-g\,.$
Neben $\Lambda _{n}$ betrachten wir einen weiteren Untervektorraum von ${\left(H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D_{n}))\right)}^{*}$, nämlich das natürliche Bild
    $B_{n}=\operatorname {bild} {\left(H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D_{n}))\longrightarrow {\left(H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D_{n}))\right)}^{*}\right)}\,.$
Dessen Dimension stimmt nach Fakt mit der Dimension von $H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D_{n}))$ überein und kann nach Fakt (mit ${\mathcal {M}}={\mathcal {O}}_{X}(K-D)$ und ${\mathcal {L}}={\mathcal {O}}_{X}(nP)$) durch
    $\dim _{K}{\left(H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D_{n}))\right)}\geq n+c\,$
für ein von $D$ und $K$ abhängiges $c$ abgeschätzt werden. Ferner ist für
    $n>\operatorname {Grad} \,(D)\,$
der Grad von $D_{n}$ negativ und somit besitzt für diese $D_{n}$ keine globalen Schnitte nach Fakt. Nach Fakt ist daher
    $h^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D_{n}))=g-1-\operatorname {Grad} \,(D_{n})=n+g-1-\operatorname {Grad} \,(D)\,.$
Die Zahl $n$ geht also in alle drei relevanten Dimensionen einfach linear ein. Für $n$ hinreichend groß übertrifft also die Summe der Dimensionen von $\Lambda _{n}$ und von $B_{n}$ die Dimension des umgebenden Raumes. Es sei nun ein solches $n$ gewählt. Nach Fakt ist dann
    $\Lambda _{n}\cap B_{n}\neq \emptyset \,.$
Ein nichttriviales Element darin hat einerseits eine Darstellung als $s\lambda$ mit $s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(nP)\right)}$ und andererseits als Bild von einem Element $\omega$ aus $H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D_{n}))$. Es gilt also
    $s\lambda =\omega \,.$
Wegen $s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(nP)\right)}$ ist $\operatorname {div} {\left(s\right)}\geq -nP$. Somit ist $-nP-\operatorname {div} {\left(s\right)}\leq 0$ und daher ist
    $D':=D_{n}-\operatorname {div} {\left(s\right)}=D-nP-\operatorname {div} {\left(s\right)}\leq D\,.$
Wir betrachten das kommutative Diagramm
    ${\begin{matrix}H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D))&{\stackrel{\longrightarrow }}&{H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D))}^{*}&\\\downarrow &&\downarrow &\\H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D'))&{\stackrel{\longrightarrow }}&{H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D'))}^{*}&\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$
$\lambda$
$\omega \in H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D_{n}))$ ist ${\frac {\omega }{s}}\in H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D_{n}+\operatorname {div} {\left(s\right)}))=H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D'))$. Dabei gilt rechts unten die Gleichheit ${\frac {\omega }{s}}=\lambda$. Nach Fakt rührt damit $\lambda$ von oben links her.