# Fundamentalsatz der Algebra/Einführung/Textabschnitt
## Satz

Es sei $z\in {\mathbb {C} }$ eine komplexe Zahl und $n\in \mathbb {N} _{+}$.
Dann gibt es eine komplexe Zahl $w$ mit

### Beweis

Bei $z=0$ ist $w=0$ eine Lösung, sei also $z\neq 0$. Nach Fakt gibt es eine Darstellung
    $z=re^{{\mathrm {i} }\varphi }\,$
mit $r\in \mathbb {R} _{+}$. Es sei $s=r^{1/n}$ die reelle $n$-te Wurzel von $r$, die nach Fakt existiert. Wir setzen $w=se^{\frac {{\mathrm {i} }\varphi }{n}}$. Dann ist nach Fakt
    $w^{n}={\left(se^{\frac {{\mathrm {i} }\varphi }{n}}\right)}^{n}=s^{n}{\left(e^{\frac {{\mathrm {i} }\varphi }{n}}\right)}^{n}=re^{n{\frac {{\mathrm {i} }\varphi }{n}}}=re^{{\mathrm {i} }\varphi }=z\,.$
$\Box$

## Satz

Es sei $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine nichtleere kompakte Teilmenge und sei
    $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Funktion.
Dann gibt es ein $x\in T$ mit
D.h., dass die Funktion ihr Maximum (und ihr Minimum) annimmt.

### Beweis

Aufgrund von Fakt ist $f(T)$ kompakt, also abgeschlossen und beschränkt. Insbesondere ist $f(T)\leq M$ für eine reelle Zahl $M$. Wegen $T\neq \emptyset$ besitzt $f(T)$ wegen Fakt ein Supremum $s$ in $\mathbb {R}$, das wegen der Abgeschlossenheit nach Fakt zu $f(T)$ gehört, also das Maximum von $f(T)$ ist. Daher gibt es auch ein $x\in T$ mit $f(x)=s$.
$\Box$

## Satz

Es sei $P\in {\mathbb {K} }[X]$ ein Polynom.
Dann gibt es ein $w\in {\mathbb {K} }$ mit
für alle $z\in {\mathbb {K} }$.
D.h. das Minimum des Betrags eines Polynoms wird angenommen.

### Beweis

Es sei
    $P(z)=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0}\,$
(mit $a_{n}\neq 0$). Wir setzen $a:={\max {\left(\vert {a_{i}}\vert ,i=0,\ldots ,n-1\right)}}$ und $r:={\max {\left({\frac {na+\vert {a_{0}}\vert +1}{\vert {a_{n}}\vert }},1\right)}}$. Bei $n=0$ ist die Aussage klar, sei also $n\geq 1$. Für $z$ mit $\vert {z}\vert \geq r$ gelten die Abschätzungen
    ${\begin{aligned}\vert {P(z)}\vert &\geq \vert {a_{n}z^{n}}\vert -\vert {\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}z^{i}}\vert \\&\geq \vert {a_{n}}\vert \vert {z}\vert ^{n}-\sum _{i=0}^{n-1}\vert {a_{i}}\vert \vert {z}\vert ^{i}\\&\geq \vert {a_{n}}\vert \vert {z}\vert ^{n}-\sum _{i=0}^{n-1}a\vert {z}\vert ^{n-1}\\&\geq \vert {z}\vert ^{n-1}(\vert {a_{n}}\vert \vert {z}\vert -na)\\&\geq \vert {a_{0}}\vert +1\\&>\vert {a_{0}}\vert .\end{aligned}}$
Auf der kompakten Menge $B(0,r)$ nimmt die stetige Funktion $z\mapsto \vert {P(z)}\vert$ nach Fakt ihr Minimum an, d.h. es gibt ein $w\in B(0,r)$ mit $\vert {P(z)}\vert \geq \vert {P(w)}\vert$ für alle $z\in B(0,r)$. Wegen $\vert {a_{0}}\vert =\vert {P(0)}\vert \geq \vert {P(w)}\vert$ und der Überlegung für $z$ mit $\vert {z}\vert \geq r$ ergibt sich, dass im Punkt $w$ überhaupt das Minimum der Funktion angenommen wird.
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## Satz

Jedes nichtkonstante Polynom $P\in {\mathbb {C} }[X]$ über den komplexen Zahlen
besitzt eine Nullstelle.

### Beweis

Es sei $P\in {\mathbb {C} }[X]$ ein nichtkonstantes Polynom. Aufgrund von Fakt gibt es ein $z_{0}\in {\mathbb {C} }$ mit $\vert {P(z)}\vert \geq \vert {P(z_{0})}\vert$ für alle $z\in {\mathbb {C} }$. Wir müssen zeigen, dass dieses Betragsminimum $0$ ist. Wir nehmen also an, dass $\vert {P(z_{0})}\vert >0$ ist, und müssen dann ein $z_{1}$ finden, an dem der Betrag des Polynoms kleiner wird. Durch Verschieben (d.h. indem wir die Situation in der neuen Variablen $z-z_{0}$ betrachten) können wir annehmen, dass das Minimum an der Stelle $0$ angenommen wird, und durch Division durch $P(z_{0})$ können wir annehmen, dass das Polynom im Nullpunkt den Wert $1$ besitzt. D.h. wir können annehmen, dass ein Polynom
    $P=1+c_{k}z^{k}+c_{k+1}z^{k+1}+\cdots +c_{d}z^{d}\,$
mit $k\geq 1$ und $c_{k}\neq 0$ vorliegt, das im Nullpunkt das Betragsminimum annimmt. Wegen Fakt gibt es ein $\gamma \in {\mathbb {C} }$ mit $\gamma ^{k}=-c_{k}^{-1}$. Wir setzen $z=\gamma w$ (das ist eine Variablenstreckung). In der neuen Variablen $w$ erhalten wir ein Polynom der Form
    $1-w^{k}+w^{k+1}Q(w),$
das nach wie vor im Nullpunkt das Betragsminimum annimmt (hierbei ist $Q(w)\in {\mathbb {C} }[w]$ ein Polynom). Aufgrund von Fakt gibt es ein $b\in \mathbb {R} _{+}$ mit $\vert {Q(w)}\vert \leq b$ für alle $w\in B\left(0,1\right)$. Für reelles $w$ mit $0<w<{\min {\left(1,b^{-1}\right)}}$ gilt
    ${\begin{aligned}\vert {1-w^{k}+w^{k+1}Q(w)}\vert &\leq \vert {1-w^{k}}\vert +\vert {w^{k+1}Q(w)}\vert \\&=1-w^{k}+w^{k+1}\vert {Q(w)}\vert \\&=1-w^{k}(1-w\vert {Q(w)}\vert )\\&<1.\end{aligned}}$
Wir haben also Stellen gefunden, wo der Betrag des Polynoms einen kleineren Wert annimmt, ein Widerspruch.
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