OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# SCLO: Grippeotitis

Ergänzt SCLO-Lernziel P 68 ear ache und P 69 discharge from ear

## Definition

Durch Viren verursachte, hämorrhagische Entzündung des Mittelohres.

## Anamnese/Klinik

* äusserst schmerzhaft
* Blasen auf dem Trommelfell und an der Gehörgangswand, teils eingeblutet
* Blutung aus dem Ohr

## Untersuchungen

Ohrstatus, insbesondere Hörtest bei Vd. auf Labyrinthitis

## Therapie

* Wie Otitis media acuta, Antibiotika aber nur bei bakterieller Superinfektion.
* Aufstechen der Blasen
    -!Cave! Verletzung des Trommelfells
Heilt ansonsten von alleine aus

## Komplikationen

* Labyrinthitis

## Quellen

* Friedrich Hergen: Vorlesung Ohrenweh, Otorrhoe, an der Universität Bern vom 02.03.2015
# SCLO: P 1

Übersetzung: Blutverlust
Synonyme:....

## Ursachen/Differentialdiagnosen

* Blutung in Körperhöhlen - Extremitäten: 1-3 l - Thorax: 2-4l - Becken: bis 5l - Abdomen bis 5l

## Komplikationen

* Hämorrhagischer Schock

## Epidemiologie

Blutungen sind die Todesursache Nummer 1 bei Traumas.
# SCLO: HNO-Anamnese

Red flags
* Perzeptions-Hörminderung
* Schwindel / Nystagmus
* Tinnitus
* abstehendes Ohr
* Torticollis
* Fazialisparese
* Kopfschmerz
* Nackensteife
* Nausea / Erbrechen
* neurologische Defizite
* Kopfschmerzen
* Fieber >38.3°C
* Schmerz VAS 8-10
Bei der HNO-Untersuchung ist wichtig, dass jeweils auch die nicht betroffenen Gebiete angeschaut werden. Also zum Beispiel bei Ohrenschmerzen auch die Nase und der Hals kurz untersuchen, da Schmerzen in diesem Bereich in die Ohren ausstrahlen können (Reflexotalgie).

## Ohr
### Die 5 S

* Schmerzen (Qualität, Dynamik, Intensität)
* Sekretion (Art des Sekrets, erstmalig?)
** eitrig
** blutig
** serös
** fötide
* Schwerhörigkeit (vorbestehend, Lärmexposition)
* Sausen (Tinnitus)
** hochtönig/tieftönig
** pulsatil / nonpulsatil
* Schwindel (Vertigo)
** Drehschwindel
** Schwankschwindel

### Sozialanamnese

* Berufsanamnese
    - Holzstäube (→ Nasopharynxkarzinom)
# SCLO: Laborwerte
## Entzündungsparameter

Lc früher erhöht als CRP
# SCLO: NRS

Ergänzt SCLO-Lernziel P 5 Malnutrition
Nutritional Risk Screening 2002 (NRS) ist eine Screeningtool für die Mangelernährung von Spitalpatienten. Alle Patienten sollten bei Spitaleintritt dieses Screening durchlaufen.

## Vorscreening

Wird eine der folgenden Fragen mit Ja beantwortet wird ein vollständiges Screening durchgeführt.
* Ist der BMI <20.5kg/m$^2$?
* Gewichtsverlust in den letzten 3 Monaten?
* Während der letzten Wochen weniger gegessen?
* Schwere Erkrankung?

## vollständiges Screening

Der aus Teil 1 und 2 erhaltene Score wird addiert und falls der Patient über 70 Jahre alt ist ein weiterer Punkt dazugezählt. Ist das Resultat ≥ 3 profitiert der Patient von einer Ernährungstherapie

### Teil 1 Verschlechterung des Ernährungszustandens

| | Ernährungszustand | Score |
| | Ernährungszustand normal | 0 |
| Grad 1 | Gewichsverlust >5% in 3 Monaten oder in der letzten Woche 25%-50% weniger gegessen | 1 |
| Grad 2 | Gewichsverlust >5% in 2 Monaten oder BMI 18.5 bis 20.5 bei reduziertem AZ oder in der letzten Woche 50%-75% weniger gegessen | 2 |
| Grad 3 | Gewichsverlust >5% in 1 Monaten oder BMI <18.5 bei reduziertem AZ oder in der letzten Woche 75%-100% weniger gegessen | 3 |

### Teil 2 Schwere der Erkrankung

| | Schwere der Erkrankung | Score |
| | Keine Erkrankung | 0 |
| Grad 1 | Leichte Erkrankung, ambulante oder mobile Patienten | 1 |
| Grad 2 | Mittelschwere Erkrankung, bettlägrige Patienten | 2 |
| Grad 3 | schwere Erkrankung, Intensivpflegepatienten | 3 |
# SCLO: Frakturklassifikation
## Geschlossene und offene Frakturen
### Geschlossene Fraktur

Definition: Die Fraktur ist noch von einem mehr oder weniger stark geschädigten Weichteilmantel umgeben.
Einteilung:
* nach Tscherne und Oestern (Einteilung der offenen Frakturen nah Tscherne unsd Oester s.unten)
| Grad | Weichteilschaden | Bruchform |
| G0 | gering | einfach |
| G1 | oberflächliche Schürfungen | einfach bis mittelschwer |
| G2 | tiefe kontaminierte Schürfung lokalisiert Haut- oder Muskelkontusion | alle |
| G3 | ausgedehnter Weichteilschaden Deglovement Kompartmentsyndrom | alle |

### Offene Fraktur

Definition: Der Weichteilmantel über der Fraktur ist eröffnet, dh. es besteht eine Verbindung zwischen Frakturspalt und Umwelt. !Cave! Kontaminationsgefahr
Einteilung:
* nach Tscherne und Oester (Einteilung der gschl. Frakturen nach Tscherne un Oester s.oben)

## Frakturklassifikation nach AO

Die AO-Klassifikation wurde durch die Arbeitsgemeinschaft für Osteosynthese (AO) erstellt. Dabei handelt es sich um eine einheitliche, die Fraktur beschreibende Klassifikation welche auf fast das gesamte Skelett angewendet wird. Aktuell (25.04.2015) besteht noch keine Einteilung für Klavikula-Skapula- und Beckenringfrakturen. Verwendet wird sie insbesondere für die langen Röhrenknochen.
Die Frakturen werden mit einem 5-stelligen, alphanumerischen Code beschreiben. Dabei wird die Lokalisarion der Fraktur durch die Ziffern an erster und zwiter Stelle des Codes angegeben. Sie wird durch einen Bindestrich von der Morphologie (Buchstaben-Zahlenkombination an vierter und fünfter Stelle des Codes) getrennt.
* Die Ziffer an der ersten Stelle gibt an welcher Knochen \ welche Körperregion betroffen ist. - 1 = Oberarm - 2 = Unterarm - 3 = Oberschenkel inklusive Patella - 4 = Unterschenkel - 5 = Wirbelsäule - 6 = Becken - 7 = Hand - 8 = Fuss - 9 = Kopf
* Die Ziffer an zweiter Stelle bezeichnet welche Region des Knochens betroffen ist.
** Für Röhrenknochen gilt folgende Einteilung: - 1 = proximal - 2 = diaphysär - 3 = distal
* Die Einteilung der Morphologie hängt von der Lokalisation ab. Das PDF für ein Faltblatt kann auf der

## Quellen

* Rüdiger Siewert, Robert B. Brauer: Basiswissen Chirurgie , 2. Auflage , Springer Medizin Verlag , Heidelberg , 2010 , ISBN 978-3-642-12379-5 , S. 357-361.
* AO Surgery Reference, abgerufen am 25.04.2015
# SCLO: Nasopharynxkarzinom

Ergänzt SCLO-Lernziel P 68 ear ache

## Ätiologie und Pathogenese

Ausgelöst durch Holzstäube

## Anamnese
### Sozialanamnese

* Berufsanamnese
    -Holzstäube

## Klinik

- Ohrenschmerzen (Tumor im Epipharynx auf einer Seite → Kompression der Tuba Eustachii → Mittelohrerguss → Mittelohrentzündung)
# SCLO: P 129

Übersetzung: Passagestörung des Ösophagus, inklusive Dysphagie
Synonyme:....

## Definition(en)

* Aphagie Alarmsymptom
: Unfähigkeit zu schlucken.
* Dysphagie Alarmsymptom
: subjektive Schluckbeschwerden
** oropharyngeale D.: zu Beginn des Schluckens; mit Verschlucken, nasaler Regurgitation und/oder Aspiration
** ösophageale D.: Passagebehinderung; häufig mit Würgereiz und Vomitus
** paradoxe D.: Dysphagie für Flüssigkeiten stärker ausgeprägt als für feste Nahrungsmittel.
* Globusgefühl: chronisches Kloss-, Druck- oder Trockenheitsgefühl, oft psychogen.
* Odynophagie: Schmerzen beim Schlucken.

## Anamnese

* oropharyngeal vs. ösophageal
* Nahrungsmittelkonsistenzt? - fest → primär mechanische Stenosen, eosinophile Ösophagitis - flüssig → Motilitätsstörungen
* Regurgitationen?
* Verlauf (Dauer, Wiederholungsmuster)
* Odynophagie? → Entzündungen, Verätzung - Neoplasien können sehr lange schmerzlos bleiben.
* Bolusimpaktation
* Alter - hoch → Vd. auf Neoplasie
* Gewichtsverlust? - schnell → Vd. auf Neoplasie
* weitere B-Symptome?

## Untersuchungen

Je nach Verdachtsdiagnose:
* Gastroskopie insbesondere die Endoskopie des Ösophagus inklusive Biopsie
* Barium-Ösophagogramm (KM-Passage Ösophagus)
* Ösphagusmanometrie wenn die beiden vorherigen Abklärungen normal sind.
* CT-Thorax/Abdomen
* 24-h pH Metrie
* Endosonographie des Ösophagus
Bei Bolusimpaktionen wird die weitere Diagnostik aufgrund der Empfindlichkeit des Ösophagus in der Regel erst einige Wochen später durchgeführt.

## symptomatische Therapie

* PPI bei Reflux
* weiche und flüssige Nahrungsmittel bei Dysphagie auf feste Nahrung
* Evtl. motilitätsfördernde Medikamente wie Domperidon (v.a. bei sekundären Passagestörungen)

### Bolusimpaktation

Primär Mobilisation nach distal. Falls dies nicht möglich ist Entfernung mit Netzen oder Utensilien zur Fremdkörperentfernung.
PPI's hochdosiert (40mg 2xtäglich für 3-4 Wochen) zur Entzündugshemmung, semisolide Kost oder sehr gut gekaute Nahrung.
Weitere Abklärungen nach einigen Wochen. Gegebenenfalls Dillatation des Ösophagus.

## Ursachen

Mechanisch
* Neoplasien -Barrett Ösophagus -Adenokarzinom des Ösophagus -Plattenepithelkarzinom des Ösophagus -Einengung durch externe Tumore
* traumatisch -Boerhaave-Syndrom
* Gastro-ösophageale Refluxkrankheit mit peptischer (refluxbedingter) Stenose
* toxisch (Säuren, Basen, Medikamente)
* Veränderungen der Schleimhaut -Schatzki-Ringe -Ösophagusdivertikel
Neuromuskulär
* Achalasie
* Ösophagusspasmen
i.R. generalisierter Erkrankungen
* Kollagenosen - progressive systemische Sklerodermie - Sharp-Syndrom - CREST-Syndrom - Lupus erythematodes
* Amyloidose
* Polyneuropathie
* Primäre Muskelerkrankungen wie Muskeldystrophien
* Erkrankungen des ZNS

## Quellen

* Prof. Dr. Radu Tutuian: Vorlesung Dysphagie, Aufstossen, verschluckter Fremdkörper, an der Universität Bern vom 16.03.2015
* Pschyrembel - Klinisches Wörterbuch , 259. Auflage , Walter de Gruyter , Berlin , 2002 , ISBN 3-11-016522-8 .
* Herbert Renz-Polster, Steffen Krautzig: Basislehrbuch Innere Medizin , 4. Auflage , Urban & Fischer , München , 2008 , ISBN 978-3-437-41053-6 .
# Prozent/Rechnung/Aufgabe

* Wie viel Prozent sind $1000$?
* Wie viel sind $1000\%$?
* Berechne
    ${\frac {7\%}{4\,^{0\!}\!/\!_{00}}}-{\frac {5\,^{0\!}\!/\!_{00}}{11\%}}.$
# Prozentrechnung/Party/Sympathieanteil/Aufgabe

Auf einer Party sind $80\%$ der anwesenden Frauen sympathisch und $70\%$ der anwesenden Männer sympathisch. Was kann man über den Prozentsatz der sympathischen Menschen auf der Party sagen?
# Prozentrechnung/Dreisatz/1/Aufgabe

Eine Sendung erzielt mit durchschnittlich $2200000$ Zuschauern einen Marktanteil von $18\%$. Welchen Marktanteil erzielt eine gleichzeitig laufende Sendung mit $1500000$ Zuschauern?
# Zirkel und Lineal/Konstruierbare Zahl/Ist algebraisch/Fakt

Eine mit Zirkel und Lineal konstruierbare Zahl
ist algebraisch.
# Zirkel und Lineal/Konstruierbare Zahl/Ist algebraisch/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt, aus Fakt und aus Fakt.
# Zirkel und Lineal/Konstruierbarer Einheitskreis/Dicht/Aufgabe

Zeige auf möglichst viele verschiedene Arten, dass die Menge der konstruierbaren Zahlen auf dem komplexen Einheitskreis dicht liegen.
# Quadratische Erweiterungen von Q/Negatives D/Bestimme Einheiten/Aufgabe

Bestimme für die quadratischen Zahlbereiche $A_{D}$ mit negativem $D$ sämtliche Einheiten.
# Sinus/R/Periodizitätseigenschaften/Fakt/Name

Die Periodizitätseigenschaften für die Sinusfunktion.
# Sinus/R/Periodizitätseigenschaften/Fakt/Name/Inhalt

* Es ist $\sin \left(x+2\pi \right)=\sin x$ für alle $x\in \mathbb {R}$.
* Es ist $\sin \left(x+\pi \right)=-\sin x$ für alle $x\in \mathbb {R}$.
* Es ist $\sin 0=0$, $\sin \pi /2=1$, $\sin \pi =0$, $\sin 3\pi /2=-1$ und $\sin 2\pi =0$.
# Sinus/X^2/Gleichmäßig stetig/Aufgabe

Bestimme, ob die Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin \left(x^{2}\right),$
gleichmäßig stetig ist oder nicht.
# Sinus/R/Additionstheorem/Aufgabe

Beweise das Additionstheorem für den Sinus, also die Gleichheit
    $\sin(x+y)=\sin x\,\cos y+\cos x\,\sin y$
für $x,y\in \mathbb {R}$.
# Sinus^3-1 durch 4 Sinus/-90 Grad bis 90 Grad/Kurvendiskussion/Aufgabe

Diskutiere den Funktionsverlauf der Funktion
    $f\colon [-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=\sin ^{3}x-{\frac {1}{4}}\sin x,$
hinsichtlich Nullstellen, Wachstumsverhalten, (lokale) Extrema. Skizziere den Funktionsgraphen.
# Reelle Funktion/Stetigkeit/Addition, Multiplikation, Invertierung von Funktionen/Fakt/Beweis

Dies ergibt sich aus der Folgencharakterisierung der Stetigkeit und Fakt.
# Reelle Funktion/Stetigkeit/Addition, Multiplikation, Invertierung von Funktionen/Fakt/Name

Die Rechenregeln für stetige Funktionen
    $f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} .$
# Reelle Funktion/Stetigkeit in einem Punkt/Allgemein/Definition/Begriff

Die Stetigkeit einer Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
in einem Punkt $x\in \mathbb {R}$.
# Reelle Funktion/Stetig/Rechenregeln/Textabschnitt
## Lemma

Es seien $D\subseteq \mathbb {R}$ und $E\subseteq \mathbb {R}$ Teilmengen und
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
und
    $g\colon E\longrightarrow \mathbb {R}$
Funktionen mit $f(D)\subseteq E$. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

Die Aussage (1) ergibt sich direkt aus der Folgencharakterisierung der Stetigkeit. Daraus folgt auch (2).
$\Box$

## Lemma

Es sei $D\subseteq \mathbb {R}$ und seien
    $f,g\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
stetige Funktionen.
Dann sind auch die Funktionen
stetig.

### Beweis

Dies ergibt sich aus der Folgencharakterisierung der Stetigkeit und Fakt.
$\Box$

## Korollar

Polynomfunktionen
    $P\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto P(x),$
sind stetig.

### Beweis

Aufgrund von Beispiel und Fakt sind für jedes $n\in \mathbb {N}$ die Potenzen
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{n},$
stetig. Daher sind auch für jedes $a\in \mathbb {R}$ die Funktionen
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto ax^{n},$
stetig und wiederum aufgrund von Fakt sind auch alle Funktionen
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0},$
stetig.
$\Box$

## Korollar

Es seien $P,Q\in \mathbb {R} [X]$ Polynome und es sei $U:={\left\{x\in \mathbb {R} \mid Q(x)\neq 0\right\}}$.
Dann ist die rationale Funktion
stetig.

### Beweis

Dies folgt aus Fakt und Fakt.
$\Box$
# Tiefe/Lokale Kohomologie/Zusammenhang/Textabschnitt

(SGA 2, Ex 3.4)

## Satz

Es sei $(R,{\mathfrak {m}},K)$ ein lokaler noetherscher Ring, $M$ ein endlicher erzeugter $R$-Modul und $U=D({\mathfrak {m}})\subseteq \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$. Dann sind für eine natürliche Zahl $n$ die folgenden Aussagen äquivalent.

### Beweis

$\Box$
# Tiere/Gliedmaßenanzahl/Äquivalenzrelation/Aufgabe

Wir betrachten auf der Menge der Tiere die Äquivalenzrelation, bei der zwei Tiere als äquivalent angesehen werden, wenn sie die gleiche Anzahl an Gliedmaßen besitzen. Welche der folgenden Tiere sind zueinander in diesem Sinne äquivalent?
Ein Elefant, eine Schlange, eine Forelle, ein Delphin, eine Blindschleiche, ein Schimpanse, ein Tausendfüßer, ein Wenigfüßer, ein Eichhörnchen, ein Erdferkel, eine Ameise, ein Raptor, ein Tetrapode, ein Mensch, ein Pinguin.
# Tiere/Taxa/Verfeinerung/Aufgabe

Wir betrachten auf der Menge aller höheren Säugetiere die Äquivalenzrelationen, die durch „gehören zur gleichen Gattung“, „gehören zur gleichen Familie“, „gehören zur gleichen Art“, „gehören zur gleichen Klasse“, „gehören zur gleichen Ordnung“ gegeben sind. Welche Äquivalenzrelation ist eine Verfeinerung von welcher Äquivalenzrelation? Man gebe für je zwei dieser Äquivalenzrelationen Tiere an, die bezüglich der einen Relation äquivalent sind, aber nicht bezüglich der anderen. Wie viele Äquivalenzklassen besitzt die Äquivalenzrelation zur Ordnung?
# Tight closure/2 dim, standard-graded/interpretation with syzygzy bundles and extensions/Affineness characterization/description

We can also give a geometric interpretation of what it means for $f$ to belong to the tight closure of the ideal in terms of the torsor defined by $f$:
    $f\in I^{*}$ if and only if $T={\mathbb {P} }({{\mathcal {S}}'}^{*})-{\mathbb {P} }({\mathcal {S}}^{*})$ is not an affine variety.
Moreover, $f\in I^{+}$ if and only if the torsor $T={\mathbb {P} }({{\mathcal {S}}'}^{*})-{\mathbb {P} }({\mathcal {S}}^{*})$ contains projective curves (geometric and cohomological properties).
# Teilmenge/R^n/Gradientenfeld/Charakterisierung mit Wegintegralen/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Die Implikation $(1)\Rightarrow (2)$ folgt aus Fakt. Es sei umgekehrt die Eigenschaft $(2)$ erfüllt. Wir geben eine auf $U$ definierte Funktion $h$ an, die differenzierbar ist und deren Gradientenfeld gleich dem vorgegebenen Vektorfeld ist. Dazu sei ein Punkt $P\in U$ fixiert. Für jeden Punkt $Q\in U$ gibt es einen stetig differenzierbaren Weg
    $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow U$
mit $\gamma (a)=P$ und $\gamma (b)=Q$. Wir setzen
    $h(Q):=\int _{\gamma }G\,.$
Aufgrund der vorausgesetzten Wegunabhängigkeit des Integrals ist $h(Q)$ wohldefiniert. Wir müssen zeigen, dass diese so definierte Funktion in jedem Punkt $Q\in U$ und in jede Richtung $v=(v_{1},\ldots ,v_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ differenzierbar ist und die Richtungsableitung mit $\left\langle G(Q),v\right\rangle$ übereinstimmt. Dazu betrachten wir
    $h(Q+tv)-h(Q)=\int _{\delta }G=\int _{0}^{t}\left\langle G(Q+sv),v\right\rangle ds=\int _{0}^{t}\sum _{i=1}^{n}G_{i}(Q+sv)\cdot v_{i}ds\,,$
wobei $\delta$ der verbindende lineare Weg von $Q$ nach $Q+tv$ auf $[0,t]$ sei (und $t$ hinreichend klein sei, damit $Q+tv\in U$ ist). Für den Differentialquotienten ist
    ${\begin{aligned}\operatorname {lim} _{t\rightarrow 0}\,{\frac {h(Q+tv)-h(Q)}{t}}&=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {lim} _{t\rightarrow 0}\,{\frac {1}{t}}\int _{0}^{t}G_{i}(Q+sv)\cdot v_{i}ds\\&=\sum _{i=1}^{n}G_{i}(Q)\cdot v_{i}\\&=\left\langle G(Q),v\right\rangle .\end{aligned}}$
Somit existiert die Richtungsableitung von $h$ in Richtung $v$ und hängt stetig von $Q$ ab. Diese Gleichung zeigt ferner
    ${\left(Dh\right)}_{Q}{\left(v\right)}={\left(D_{v}h\right)}{\left(Q\right)}=\left\langle G(Q),v\right\rangle \,,$
$G$
$h$
# Teilerfremde Zahlen/Viele Eimer/1/Aufgabe

Es seien $a$ und $b$ teilerfremde natürliche Zahlen. Es stehen beliebig viele Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, deren Fassungsvermögen $a$ bzw. $b$ ist. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.
# Teilmenge/R^n/Gradientenfeld/Charakterisierung mit Wegintegralen/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Charakterisierung von Gradientenfeldern mit Wegintegralen.
# Meromorphe Funktion/Polstellenordnung/Interpretation nach P^1/Aufgabe

Es sei $X$ eine zusammenhängende riemannsche Fläche und $f$ eine nichtkonstante meromorphe Funktion auf $X$ mit der zugehörigen holomorphen Abbildung $\varphi \colon X\rightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ im Sinne von Fakt. Zeige, dass die über die Laurent-Entwicklungen definierte Gesamtpolstellenordnung von $f$ mit der Gesamtnullstellenordnung von $f^{-1}$ und mit der über das Verzweigungsverhalten definierten Gesamtordnung $\sum _{x\in \varphi ^{-1}(\infty )}\operatorname {Verz} {\left(x{|}\infty \right)}$ übereinstimmt.
# Totales Differential/R/Kettenregel/(u^2v^2,u+ sin v,v^3) und (x^2y-z^2,xy^2 +yz exp x)/Aufgabe

Bestätige die Kettenregel anhand der beiden Abbildungen
    $\varphi \colon {\mathbb {R} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {R} }^{3},\,(u,v)\longmapsto (u^{2}v^{2},u+\sin v,v^{3}),$
und
    $\psi \colon {\mathbb {R} }^{3}\longrightarrow {\mathbb {R} }^{2},\,(x,y,z)\longmapsto (x^{2}y-z^{2},xy^{2}+yz\exp x),$
und ihrer Komposition $\psi \circ \varphi$ in folgenden Schritten.
* Berechne für einen beliebigen Punkt $P\in {\mathbb {R} }^{2}$ das totale Differential $\left(D\varphi \right)_{P}$ mit Hilfe von partiellen Ableitungen.
* Berechne für einen beliebigen Punkt $Q\in {\mathbb {R} }^{3}$ das totale Differential $\left(D\psi \right)_{Q}$ mit Hilfe von partiellen Ableitungen.
* Berechne explizit die Komposition $\psi \circ \varphi \colon {\mathbb {R} }^{2}\rightarrow {\mathbb {R} }^{2}$.
* Berechne direkt mit partiellen Ableitungen in einem Punkt $P\in {\mathbb {R} }^{2}$ das totale Differential von $\psi \circ \varphi \colon {\mathbb {R} }^{2}\rightarrow {\mathbb {R} }^{2}$.
* Berechne das totale Differential von $\psi \circ \varphi \colon {\mathbb {R} }^{2}\rightarrow {\mathbb {R} }^{2}$ in einem Punkt $P\in {\mathbb {R} }^{2}$ mit Hilfe der Kettenregel und den Teilen (1) und (2).
# Totales Differential/R/Kettenregel/(uv,u-v,v^2) und (xyz^2, y exp(xz))/Aufgabe

Wir wollen die Kettenregel anhand der beiden Abbildungen
    $\varphi \colon {\mathbb {R} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {R} }^{3},\,(u,v)\longmapsto (uv,u-v,v^{2}),$
und
    $\psi \colon {\mathbb {R} }^{3}\longrightarrow {\mathbb {R} }^{2},\,(x,y,z)\longmapsto (xyz^{2},y\exp(xz)),$
und ihrer Komposition $\psi \circ \varphi$ veranschaulichen.
* Berechne für einen beliebigen Punkt $P\in {\mathbb {R} }^{2}$ das totale Differential $\left(D\varphi \right)_{P}$ mit Hilfe von partiellen Ableitungen.
* Berechne für einen beliebigen Punkt $Q\in {\mathbb {R} }^{3}$ das totale Differential $\left(D\psi \right)_{Q}$ mit Hilfe von partiellen Ableitungen.
* Berechne explizit die Komposition $\psi \circ \varphi \colon {\mathbb {R} }^{2}\rightarrow {\mathbb {R} }^{2}$.
* Berechne direkt mit partiellen Ableitungen in einem Punkt $P\in {\mathbb {R} }^{2}$ das totale Differential von $\psi \circ \varphi \colon {\mathbb {R} }^{2}\rightarrow {\mathbb {R} }^{2}$.
* Berechne das totale Differential von $\psi \circ \varphi \colon {\mathbb {R} }^{2}\rightarrow {\mathbb {R} }^{2}$ in einem Punkt $P\in {\mathbb {R} }^{2}$ mit Hilfe der Kettenregel und den Teilen (1) und (2).
# Totales Differential/R/Kettenregel/Eindimensional/Aufgabe

Leite aus der allgemeinen Kettenregel die Kettenregel für Funktionen in einer Variablen ab.
# Totales Differential/R/Kettenregel/Eindimensional/Aufgabe/Kommentar

Tatsächlich ist es sehr hilfreich, sich einmal genau klar zu machen, in welchem Sinne die allgemeine Kettenregel die Kettenregel für univariate Funktionen verallgemeinert. Dazu nehmen wir offene Teilmengen $G,D\subseteq \mathbb {R}$ und Abbildungen $\varphi \colon G\to \mathbb {R}$, $\psi \colon D\to \mathbb {R}$. Außerdem müssen wir voraussetzen, dass $\varphi (G)\subseteq D$ gilt, damit wir sinnvoll von der Verknüpfung $\psi \circ \varphi$ sprechen können. Des Weiteren fixieren wir einen Punkt $P\in G$, sodass $\varphi$ im Punkt $P$ und $\psi$ im Punkt $\varphi (P)$ total differenzierbar sind.
Nun sind alle Voraussetzungen für die allgemeine Kettenregel erfüllt, sodass also
    $(D(\psi \circ \varphi ))_{P}=(D\psi )_{\varphi (P)}\circ (D\varphi )_{P}$
für das totale Differential von $\psi \circ \varphi$ gilt. Das totale Differential ist eine lineare Abbildung – hier werden also zwei lineare Abbildungen miteinander verknüpft.
Gleichzeitig sind $\varphi ,\psi$ Funktionen in einer Variablen, sodass im Punkt $P$ für die Ableitung
    $(\psi \circ \varphi )'(P)=\psi '(\varphi (P))\cdot \varphi '(P)$
gilt. Dieser Ausdruck sieht schon sehr ähnlich aus wie die allgemeine Kettenregel, ist aber strukturell anders. Hier steht nicht die Verknüpfung von linearen Abbildungen, sondern ein Produkt von zwei reellen Zahlen.
Wir erinnern uns an Fakt zurück. Danach können wir die Ableitung $\varphi '(P)$ in einem Punkt $P$ in Beziehung setzen mit einer linearen Abbildung – der linearen Approximation von $\varphi$ in $P$. Diese lineare Abbildung ist gegeben durch die Zuordnung $x\mapsto \varphi '(P)\cdot x$. Es ist also die lineare Funktion, deren Steigung $\varphi '(P)$ ist. Dies ist nicht die Tangente von $\varphi$ in $P$, aber ist zur Tangente parallel. Das totale Differential stimmt per Definition mit dieser linearen Abbildung überein, sodass also $(D\varphi )_{P}(x)=\varphi '(P)x$ gilt.
Für das totale Differential der Verknüpfung gilt nun
    $(D(\psi \circ \varphi ))_{P}(x)=(\psi \circ \varphi )'(P)\cdot x$
sowie
    $((D\psi )_{\varphi (P)}\circ (D\varphi )_{P})(x)=(D\psi )_{\varphi (P)}((D\varphi )_{P}(x))=(D\psi )_{\varphi (P)}(\varphi '(P)x)=\psi '(\varphi (P))\cdot \varphi '(P)\cdot x.$
# Totales Differential/R/Kettenregel/Kurve/Umparametrisierung/Aufgabe

Leite aus der allgemeinen Kettenregel die Kettenregel für differenzierbare Kurven (für eine differenzierbare Kurve $f\colon J\rightarrow V$ und eine differenzierbare Umparametrisierung $h\colon I\rightarrow J$) ab.
# Totales Differential/R/Komponentenweise differenzierbare Funktionen/Aufgabe

Es seien $f_{1},\ldots ,f_{n}$ differenzierbare Funktionen in einer Variablen. Bestimme das totale Differential der Abbildung
    ${\mathbb {R} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {R} }^{n},\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto (f_{1}(x_{1}),\ldots ,f_{n}(x_{n})).$