# Elementare und algebraische Zahlentheorie/8/Klausur mit Lösungen/latex

%Daten zur Institution
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%Klausurdaten
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\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
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\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{K}
\inputaufgabepunkteloesung {3} {
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Der \stichwort {Exponent} zu einer endlichen Gruppe $G$.
}{Eine \stichwort {Fermatsche Primzahl} {.}
}{Eine \stichwortpraemath {R} {Algebra} $A$, wobei $R$ einen \definitionsverweis {kommutativen Ring} bezeichnet.
}{Die \stichwort {Diskriminante} zu Elementen \mathl{b_1 , \ldots , b_n \in L} bei einer \definitionsverweis {endlichen Körpererweiterung} \mathl{K \subseteq L} vom Grad $n$.
}{Ein \stichwort {Dedekindbereich} {.}
}{Ein \stichwort {effektiver Divisor} in einem Zahlbereich $R$. }
\aufzaehlungsechs{Der Exponent \mathl{\operatorname{exp}(G)} von $G$ ist die kleinste positive Zahl $n$ mit der Eigenschaft, dass \mathl{x^n=1} für alle \mathl{x \in G} ist. }{Eine \definitionsverweis {Primzahl} der Form \mathl{2^{s}+1}{,} wobei $s$ eine positive \definitionsverweis {natürliche Zahl} ist, heißt Fermatsche Primzahl. }{Eine $R$-Algebra $A$ ist ein Ring mit einem fixierten Ringhomomorphismus \maabb {R} {A } {.} }{Die Diskriminante von \mathl{b_1 , \ldots , b_n} wird durch \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { \triangle (b_1, \ldots ,b_n) } { =} { \det( S(b_ib_j)_{i,j} ) } { } { } { } { } { } { } } definiert. }{Einen \definitionsverweis {Integritätsbereich} $R$ nennt man einen \stichwort {Dedekindbereich} {,} wenn er \definitionsverweis {noethersch} und \definitionsverweis {normal} ist und wenn jedes von $0$ verschiedene \definitionsverweis {Primideal} darin \definitionsverweis {maximal} ist. }{Ein effektiver Divisor ist eine formale Summe \mathdisp {\sum_{\mathfrak p} n_{\mathfrak p} \cdot {\mathfrak p}} { , } die sich über alle \definitionsverweis {Primideale} \mathl{{\mathfrak p} \neq 0} aus $R$ erstreckt und wobei $n_{\mathfrak p}$ natürliche Zahlen sind mit \mathl{n_{\mathfrak p} = 0} für fast alle ${\mathfrak p}$. }
\inputaufgabepunkteloesung {3} {
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die Quadratcharakterisierung von $-1$ für Restklassenkörper von $\Z$.}{Der \stichwort {Satz von Dirichlet} über die Verteilung von Primzahlen.}{Der Satz über die Irrationalität von Wurzeln aus natürlichen Zahlen.}
\aufzaehlungdrei{Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{.} Dann gelten folgende Aussagen.
Für \mathl{p =2} ist \mathl{-1=1} ein Quadrat in \mathl{\Z/(2)}{.}
Für \mathl{p =1 \! \! \! \! \mod 4} ist $-1$ ein Quadrat in \mathl{\Z/(p)}{.}
Für \mathl{p = 3 \! \! \! \! \mod 4} ist $-1$ kein Quadrat in \mathl{\Z/(p)}{.}}{Es sei $n$ eine natürliche Zahl und $a$ eine zu $n$ teilerfremde Zahl. Dann gibt es unendlich viele Primzahlen, die modulo $n$ den Rest $a$ haben.}{Es sei \mavergleichskette {\vergleichskette {n } { = }{ p_1^{\alpha_1} \cdots p_r^{\alpha_r} } { }{ } { }{ } { }{ } } die kanonische Primfaktorzerlegung der natürlichen Zahl $n$. Es sei $k$ eine positive natürliche Zahl und sei vorausgesetzt, dass nicht alle Exponenten $\alpha_i$ ein Vielfaches von $k$ sind. Dann ist die reelle Zahl \mathdisp {n^{\frac{1}{k} }} { } irrational.}
\inputaufgabepunkteloesung {2} {
Bestimme die \definitionsverweis {Primfaktorzerlegung} von $831600$.
Es ist \mavergleichskettealign {\vergleichskettealign { 831600 } { =} { 2^2 \cdot 5^2 \cdot 8316 } { =} { 2^3 \cdot 5^2 \cdot 4158 } { =} { 2^4 \cdot 5^2 \cdot 2079 } { =} { 2^4 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 693 } } { \vergleichskettefortsetzungalign { =} {2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 231 } { =} {2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^2 \cdot 77 } { =} {2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 11 } { } }{.}
\inputaufgabepunkteloesung {3} {
Man bestimme den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler} von \mathkor {3146} {und} {1515} und man gebe eine Darstellung des $\operatorname{ggT}$ von \mathkor {3146} {und} {1515} mittels dieser Zahlen an.
Der euklidische Algorithmus liefert:
\mathdisp {3146 = 2 \cdot 1515 + 116} { } \mathdisp {1515 = 13 \cdot 116 + 7} { } \mathdisp {116 = 16 \cdot 7 + 4} { } \mathdisp {7 = 1 \cdot 4 + 3} { } \mathdisp {4 = 1 \cdot 3 + 1} { . } Die Zahlen \mathkor {3146} {und} {1515} sind also teilerfremd und $1$ ist ihr größter gemeinsamer Teiler. Eine Darstellung der $1$ erhält man, indem man diese Division mit Rest rückwärts liest, also \mavergleichskettealign {\vergleichskettealign {1 } { =} {4 -1 \cdot 3 } { =} {4-(7- 1 \cdot 4) } { =} {2 \cdot 4-7 } { =} {2(116-16 \cdot 7) -7 } } { \vergleichskettefortsetzungalign { =} {2 \cdot 116 - 33 \cdot 7 } { =} {2 \cdot 116 - 33 (1515- 13 \cdot 116) } { =} {-33 \cdot 1515 +(2 + 13 \cdot 33) \cdot 116 } { =} {-33 \cdot 1515 +431 \cdot 116 } } { \vergleichskettefortsetzungalign { =} {-33 \cdot 1515 +431 (3146-2\cdot 1515) } { =} {-895 \cdot 1515 +431 \cdot 3146 } { } { } }{.}
\inputaufgabepunkteloesung {4} {
Es sei \mathl{n \geq 2}{.} Woran erkennt man am Kleinen Einmaleins im $n$-System \zusatzklammer {ohne die Nuller- und die Zehnerreihe} {,} ob $n$ eine \definitionsverweis {Primzahl} ist.
Die Zahl $n$ ist genau dann eine Primzahl, wenn im Kleinen Einmaleins zur Basis $n$ keine $0$ als Endziffer der Tabelleneinträge auftaucht. Wenn nämlich $n$ keine Primzahl ist, so gibt es eine Zerlegung \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {n } { =} {a \cdot b } { } { } { } { } { } { } } mit \mavergleichskette {\vergleichskette {a,b } { < }{n } { }{ } { }{ } { }{ } }{.} Die Ziffern $a,b$ kommen also im kleinen Einmaleins vor. Das zugehörige Produkt $ab$ hat in dem System die Ziffernentwicklung $10$ und somit taucht als Endziffer die $0$ auf.
Wenn umgekehrt die $0$ im kleinen Einmaleins als Endziffer auftaucht, so bedeutet dies, dass es Ziffern \mavergleichskette {\vergleichskette {1 } { \leq }{i,j } { < }{n } { }{ } { }{ } } derart gibt, dass \mathl{ij} ein Vielfaches von $n$ ist. Es ist also \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {ij } { =} {cn } { } { } { } { } { } { } }{.} Wenn $n$ prim wäre, so müsste nach dem Lemma von Euklid $n$ einen der Faktoren teilen, doch das geht nicht, da diese beiden kleiner als $n$ sind.
\inputaufgabepunkteloesung {6} {
Beweise das Lemma von Bezout für teilerfremde natürliche Zahlen \mathkor {a} {und} {b} durch Induktion über das Maximum von \mathkor {a} {und} {b} {.}
Wir beweisen die Aussage durch Induktion über das Maximum von \mathkor {a} {und} {b} {,} wobei wir ohne Einschränkung \mavergleichskette {\vergleichskette {a } { \leq }{b } { }{ } { }{ } { }{ } } wählen können. Wenn das Maximum $0$ ist, so sind beide Zahlen $0$ und somit nicht teilerfremd. Wenn das Maximum $1$ ist, so ist \mavergleichskette {\vergleichskette {b } { = }{1 } { }{ } { }{ } { }{ } } und somit ergeben \mavergleichskette {\vergleichskette {r } { = }{ 0 } { }{ } { }{ } { }{ } } und \mavergleichskette {\vergleichskette {s } { = }{1 } { }{ } { }{ } { }{ } } eine Darstellung der $1$. Es seien nun \mavergleichskette {\vergleichskette {a } { \leq }{b } { }{ } { }{ } { }{ } } teilerfremd, \mavergleichskette {\vergleichskette {b } { \geq }{2 } { }{ } { }{ } { }{ } } und die Aussage sei für alle Zahlenpaare, deren Maxima kleiner als $b$ sind, schon bewiesen. Dann ist \mavergleichskette {\vergleichskette {a } { < }{b } { }{ } { }{ } { }{ } }{,} da bei \mavergleichskette {\vergleichskette {a } { = }{b } { }{ } { }{ } { }{ } } die beiden Zahlen nicht teilerfremd sind. Ebenso können wir \mavergleichskette {\vergleichskette {a } { = }{ 0 } { }{ } { }{ } { }{ } } ausschließen. Wir betrachten das Zahlenpaar \mathl{(a,b-a)} und wollen darauf die Induktionsvoraussetzung anwenden. Das Maximum dieses neuen Paares ist jedenfalls kleiner als $b$. Allerdings müssen wir, damit die Induktionsvoraussetzung wirklich angewendet werden kann, wissen, dass auch \mathkor {a} {und} {b-a} teilerfemd sind. Dazu führen wir einen Widerspruchsbeweis. Nehmen wir also an, dass \mathkor {a} {und} {b-a} nicht teilerfremd sind. Dann gibt es eine natürliche Zahl \mavergleichskette {\vergleichskette {t } { \geq }{2 } { }{ } { }{ } { }{ } }{,} die sowohl \mathkor {a} {als auch} {b-a} teilt. Dies bedeutet wiederum, dass es natürliche Zahlen \mathl{m,n} mit \mathkor {a=mt} {und} {b-a =nt} gibt. Doch dann ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {b } { =} {(b-a)+a } { =} { nt +mt } { =} { (n+m)t } { } { } } ebenfalls ein Vielfaches von $t$, im Widerspruch zur Teilerfremdheit von \mathkor {a} {und} {b} {.}  Die Induktionsvoraussetzung ist also auf \mathkor {a} {und} {b-a} anwendbar und somit gibt es ganze Zahlen \mathl{r,s} mit \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {ra+s(b-a) } { =} {1 } { } { } { } { } { } { } }{.} Dann ist aber auch \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { (r-s)a +sb } { =} { ra +s(b-a) } { =} {1 } { } { } { } { } } und wir haben eine Darstellung der $1$ mit \mathkor {a} {und} {b} gefunden.
\inputaufgabepunkteloesung {4} {
Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol
\mathdisp {\left(\frac{2333}{3673}\right)} { . }
} {Wir berechnen Schritt für Schritt das Legendre-Symbol.
| = | $\left({\frac {3673}{2333}}\right)$$2333$ hat modulo $4$ den Rest $1$, deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $1$. |
| = | $\left({\frac {1340}{2333}}\right)$Reduktion des Zählers. |
| = | $\left({\frac {2}{2333}}\right)$ $\left({\frac {2}{2333}}\right)$ $\left({\frac {335}{2333}}\right)$Multiplikativität des Legendre-Symbols im Zähler gemäß diesem Satz. |
| = | $\left({\frac {2333}{335}}\right)$Vorne steht ein Quadrat. $2333$ hat modulo $4$ den Rest $1$, deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $1$. |
| = | $\left({\frac {323}{335}}\right)$Reduktion des Zählers. |
| = | $-\left({\frac {335}{323}}\right)$$323$ und $335$ haben beide modulo $4$ den Rest $3$, deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $-1$. |
| = | $-\left({\frac {12}{323}}\right)$Reduktion des Zählers. |
| = | $-\left({\frac {2}{323}}\right)$ $\left({\frac {2}{323}}\right)$ $\left({\frac {3}{323}}\right)$Multiplikativität des Legendre-Symbols im Zähler gemäß diesem Satz. |
| = | $\left({\frac {323}{3}}\right)$Vorne steht ein Quadrat. $323$ und $3$ haben beide modulo $4$ den Rest $3$, deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $-1$. |
| = | $\left({\frac {2}{3}}\right)$Reduktion des Zählers. |
| = | $-1$$3=3\mod 8$, deshalb ist nach dem 2. Ergänzungsgesetz $2$ kein Quadratrest modulo $3$. |
Also ist $2333$ kein Quadratrest modulo $3673$. }
\inputaufgabepunkteloesung {6} {
Es seien \mathkor {I} {und} {J} \definitionsverweis {Ideale} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring} $R$ und sei \mathl{n \in \N}{.} Zeige die Gleichheit \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {(I+J)^n } { =} { I^n + I^{n-1}J+ I^{n-2}J^2 + \cdots + I^2J^{n-2} + IJ^{n-1} +J^n } { } { } { } { } { } { } }{.}
Zum Beweis der Inklusion $\subseteq$ sei \mathl{f \in (I+J)^n}{.} Da das Produkt von Idealen aus allen Summen von Produkten besteht, bedeutet dies, dass \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {f } { =} { f_1 + f_2 + \cdots + f_k } { } { } { } { } { } { } }{,} wobei \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {f_\ell } { =} { c_{\ell 1} \cdot c_{\ell 2} \cdots c_{\ell n} } { } { } { } { } { } { } } mit \mathl{c_{\ell r} \in I+J} ist. Dies bedeutet wiederum, dass \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { c_{\ell r} } { =} { a_{\ell r} + b_{\ell r} } { } { } { } { } { } { } } mit \mathkor {a_{\ell r} \in I} {und} {b_{\ell r} \in J} ist. Somit ist \mavergleichskettedisp {\vergleichskette {f_\ell } { =} { { \left( a_{\ell 1} + b_{\ell 1} \right) } { \left( a_{\ell 2} + b_{\ell 2} \right) } \cdots { \left( a_{\ell n} + b_{\ell n} \right) } } { } { } { } { } { } { } }{.} Wenn man ein solches Produkt distributiv ausrechnet, so erhält man eine Summe von Produkten mit $n$ Faktoren, wobei $s$ Faktoren zu $I$ und \mathl{n-s} Faktoren zu $J$ gehören. Damit gehören diese Summanden zur rechten Seite und somit auch die $f_\ell$ und auch $f$.
Zum Beweis der Inklusion $\supseteq$ genügt es, die Inklusion $I^s J^{n-s} \subseteq (I+J)^n$ für jedes $s$ zu zeigen. Wegen \mathl{I,J \subseteq I+J} ist aber sofort \mavergleichskettedisp {\vergleichskette { I^s J^{n-s} } { \subseteq} { (I+J)^s \cdot (I+J)^{n-s} } { =} { (I+J)^n } { } { } { } { } }{.}
\inputaufgabepunkteloesung {0} {
} {/Aufgabe/Lösung }
\inputaufgabepunkteloesung {4 (2+1+1)} {
a) Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms \mathl{F=X^3+X+2} in \mathl{\Z/(5) [X]}{.}
b) Zeige, dass durch \mathdisp {K = \Z/(5)[T]/(T^2-2)} { } ein Körper mit $25$ Elementen gegeben ist.
c) Bestimmen die Primfaktorzerlegung von \mathl{F=X^3+X+2} über \mathl{K= \Z/(5) [T]/(T^2-2)}{.}
} {Polynomring/Eine Variable/Z mod 5 und mod 25/Primfaktorzerlegung von X^3+X+2/Aufgabe/Lösung }
\inputaufgabepunkteloesung {2} {
Bestimme einen Erzeuger für das gebrochene Ideal ${\mathfrak f} \subseteq \Q$, das durch die rationalen Zahlen \mathdisp {\frac{3}{7}, \, \frac{5}{6}, \, \frac{3}{10}\,} { } erzeugt wird.
Wir bringen die drei Brüche auf einen Hauptnenner, was \mathdisp {\frac{90}{210},\, \frac{175}{210} , \, \frac{63}{210}} { }
ergibt. Der größte gemeinsame Teiler der beiden ersten Zähler ist $5$. Da dies teilerfremd zu $63$ ist, sind die drei Zähler insgesamt teilerfremd. Daher wird das gebrochene Ideal durch \mathl{\frac{1}{210}} erzeugt.
\inputaufgabepunkteloesung {0} {
} {/Aufgabe/Lösung }
\inputaufgabepunkteloesung {0} {
} {/Aufgabe/Lösung }
\inputaufgabepunkteloesung {0} {
} {/Aufgabe/Lösung }
\inputaufgabepunkteloesung {4} {
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {faktorieller} \definitionsverweis {Zahlbereich}{.} Zeige, dass dann $R$ ein \definitionsverweis {Hauptidealbereich} ist. Dabei dürfen grundlegende Sätze über Zahlbereiche verwendet werden.
Siehe die entsprechende Argumentation im Beweis zu Fakt.
\inputaufgabepunkteloesung {7} {
Es sei \mathl{A_{-10} = \Z[\sqrt{-10}] \cong \Z[X]/(X^2+10)} der \definitionsverweis {quadratische Zahlbereich} zu \mathl{D=-10}{.} Berechne den \definitionsverweis {Hauptdivisor} zu \mathdisp {q= \frac{2}{3} - \frac{1}{5} \sqrt{-10}} { . }
} {Sei $R=A_{-10}=\mathbb {Z} [X]/(X^{2}+10)$. Wir bringen $q={\frac {2}{3}}-{\frac {1}{5}}{\sqrt {-10}}$ auf einen Hauptnenner, also
    $q={\frac {10-3{\sqrt {-10}}}{15}}$ .
Der Nenner ist $15=3\cdot 5$. Die Zerlegung für diese Primzahlen ist:
Modulo $3$.
    $R/(3)=\mathbb {Z} /(3)[X]/(X^{2}+1)$.
Das Polynom $X^{2}+1$ hat keine Nullstelle über $\mathbb {Z} /(3)$, also ist es irreduzibel und es liegt ein Körper vor. Daher ist $(3)$ ein Primideal in $R$.
Modulo $5$.
    $R/(5)=\mathbb {Z} /(5)[X]/(X^{2})$.
Das Polynom $X^{2}$ ist nicht irreduzibel, es liegt ein nicht reduzierter Ring mit einzigem Primideal $(X)$ vor. Diesem Primideal entspricht in $R$ das Primideal ${\mathfrak {p}}=(5,{\sqrt {-10}})$. Es gilt die Idealzerlegung $(5)={\mathfrak {p}}^{2}$ in $R$.
Für den Zähler betrachten wir die Norm, also
    $(10-3{\sqrt {-10}})(10+3{\sqrt {-10}})=100-9(-10)=190=2\cdot 5\cdot 19$ .
Wir berechnen wieder die Idealzerlegung der beteiligten Primfaktoren.
Modulo $2$.
    $R/(2)=\mathbb {Z} /(2)[X]/(X^{2})$.
Das Polynom $X^{2}$ ist nicht irreduzibel, es liegt ein nicht reduzierter Ring mit einzigem Primideal $(X)$ vor. Diesem Primideal entspricht in $R$ das Primideal ${\mathfrak {q}}=(2,{\sqrt {-10}})$. Es gilt die Idealzerlegung $(2)={\mathfrak {q}}^{2}$ in $R$.
Modulo $19$.
    $R/(19)=\mathbb {Z} /(19)[X]/(X^{2}+10)$.
Das Polynom $X^{2}+10$ ist nicht irreduzibel, es hat die beiden Nullstellen $3$ und $-3$, und die Zerlegung $X^{2}+10=(X+3)(X-3)$. Damit gibt es die beiden Primideale $(X-3)$ und $(X+3)$, die den beiden konjugierten Primidealen ${\mathfrak {m}}=(19,-3+{\sqrt {-10}})$ und ${\overline {\mathfrak {m}}}=(19,3+{\sqrt {-10}})$ entsprechen.
Damit ist
    $(190)={\mathfrak {q}}^{2}{\mathfrak {p}}^{2}{\mathfrak {m}}{\overline {\mathfrak {m}}}$ .
Die doppelt auftretenden Primideale verteilen sich (aus Symmetriegründen) auf die beiden Faktoren. In ${\mathfrak {m}}$ kann man $19+3(-3+{\sqrt {-10}})=10+3{\sqrt {-10}}$ schreiben, sodass $10-3{\sqrt {-10}}$ zu ${\overline {\mathfrak {m}}}$ gehört, und man erhält
    $(10-3{\sqrt {-10}})={\mathfrak {q}}{\mathfrak {p}}{\overline {\mathfrak {m}}}$.
Damit ist der Hauptdivisor gleich
    $\operatorname {div} (q)={\mathfrak {q}}+{\mathfrak {p}}+{\overline {\mathfrak {m}}}-(3)-2{\mathfrak {p}}={\mathfrak {q}}+{\overline {\mathfrak {m}}}-(3)-{\mathfrak {p}}$ .