# Dedekindbereich/Ganzer Abschluss/Zerlegung/Galoisfall/Einführung/Textabschnitt

Es sei $R$ eine Dedekindbereich mit Quotientenkörper $K=Q(R)$ und sei $K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung vom Grad $n$. Die Galoisgruppe, d.h. die Gruppe der $K$-Algebraautomorphismen von $L$, besteht also aus $n$ Automorphismen. Die Untergruppen der Galoisgruppe entsprechen nach dem Satz über die Galoiskorrespondenz den Zwischenkörpern der Erweiterung. Die Galoisgruppe operiert nach Fakt auch auf dem ganzen Abschluss $S$ von $R$ in $L$. Hier besprechen wir Untergruppen, ihre zugehörigen Zwischenkörper und Zwischenringe, die mit dem Zerlegungsverhalten von Primidealen unter der Erweiterung $R\subseteq S$ zusammenhängen. Zuerst formulieren wir, wie sich die fundamentale Gleichung aus Fakt im Galoisfall vereinfacht.

## Lemma

Es sei $R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper $K$, $K\subseteq L$ eine Galoiserweiterung vom Grad $n$ und sei $S$ der ganze Abschluss von $R$ in $L$. Es sei ${\mathfrak {p}}$ ein von $0$ verschiedenes Primideal von $R$.
Dann stimmen in der Primidealzerlegung

### Beweis

Es seien ${\mathfrak {q}}$ und ${\mathfrak {q}}'$ Primideale oberhalb von ${\mathfrak {p}}$. Nach Fakt gibt es einen Automorphismus $\sigma \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ mit $\sigma ({\mathfrak {q}})={\mathfrak {q}}'$. Daher gibt es einen $R_{\mathfrak {p}}$-Algebraisomorphismus $\sigma \colon S_{\mathfrak {q}}\rightarrow S_{{\mathfrak {q}}'}$, weshalb die Verzweigungsordnungen gleich sind, und einen $\kappa ({\mathfrak {p}})$-Isomorphismus der Restekörper
    $\kappa ({\mathfrak {q}})\longrightarrow \kappa ({\mathfrak {q}}'),$
weshalb die Trägheitsgrade gleich sind. Die Formel aus Fakt nimmt daher die angegebene Gestalt an.
$\Box$
Es sei ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal aus $R$ und seien ${\mathfrak {q}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {q}}_{k}$ die Primideale von $S$ oberhalb von ${\mathfrak {p}}$. Gemäß Fakt und wie eben verwendet lassen sich diese Primideale ineinander mit isomorphen Restekörpern überführen. Dies bedeutet natürlich nicht, dass der Gruppenhomomorphismus
    $G\longrightarrow \operatorname {Perm} \,({\mathfrak {q}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {q}}_{k})$
bijektiv ist, wobei rechts die Permutationsgruppe zur Faser über ${\mathfrak {p}}$ steht. Dabei ist die Bijektivität oft schon wegen der Anzahl ausgeschlossen. Wenn der Grad $n$ ist, und wenn, im total zerlegten Fall, die Faser aus $n$ Primidealen besteht, so steht links (im Galoisfall) eine Gruppe mit $n$ Elementen und rechts eine Gruppe mit $n!$ Elementen, was nur bei $n\leq 2$ übereinstimmt. Wenn hingegen, im unzerlegten Fall, die Faser aus nur einem Primideal besteht, so steht rechts die triviale Gruppe. Ein Automorphismus $\sigma \in G$ gehört genau dann zum Kern, wenn jedes Primideal der Faser unter $\sigma$ auf sich selbst abgebildet wird. Diese Bedingung führt, auf ein einzelnes Primideal angewendet, zum Begriff der Zerlegungsgruppe.

## Definition

Es sei $R$ eine Dedekindbereich mit Quotientenkörper $K=Q(R)$ und sei $K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $G$. Es sei $S$ der ganze Abschluss von $R$ in $L$ und sei ${\mathfrak {q}}$ ein Primideal von $S$. Dann nennt man
    $G_{\mathfrak {q}}={\left\{\sigma \in G\mid \sigma ({\mathfrak {q}})={\mathfrak {q}}\right\}}\,$
die Zerlegungsgruppe zu ${\mathfrak {q}}$.
Man spricht auch von der Isotropiegruppe oder dem Stabilisator zu ${\mathfrak {q}}$. Man beachte, dass die Bedingung besagt, dass ${\mathfrak {q}}$ auf sich selbst abgebildet wird, nicht, dass die Einschränkung auf ${\mathfrak {q}}$ die Identität ist.

## Lemma

Es sei $R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper $K=Q(R)$ und sei $K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $G$. Es sei $S$ der ganze Abschluss von $R$ in $L$ und sei ${\mathfrak {q}}$ ein Primideal von $S$ über ${\mathfrak {p}}$. Dann gelten folgende Eigenschaften.

### Beweis

(1) und (2) sind klar und folgen auch aus (4).
(3). Nach Fakt gibt es ein $\tau \in G$ mit $\tau ({\mathfrak {q}})={\mathfrak {q}}'$. Mittels $\tau$ kann man direkt den Isomorphismus
    $G_{\mathfrak {q}}\longrightarrow G_{{\mathfrak {q}}'},\,\sigma \longmapsto \tau \circ \sigma \circ \tau ^{-1},$
angeben. Es ist ja
    ${\left(\tau \circ \sigma \circ \tau ^{-1}\right)}({\mathfrak {q}}')=\tau (\sigma (\tau ^{-1}({\mathfrak {q}}')))=\tau (\sigma ({\mathfrak {q}}))=\tau ({\mathfrak {q}})={\mathfrak {q}}'\,.$
(4). Wir zerlegen $G$ abhängig davon, auf welches Primideal ${\mathfrak {q}}$ abgebildet wird, also
    $G=\biguplus _{{\mathfrak {q}}'}{\left\{\rho \in G\mid \rho ({\mathfrak {q}})={\mathfrak {q}}'\right\}}\,.$
Dabei ist die Untergruppe $G_{\mathfrak {q}}$ ein Teil davon und die anderen Teile sind die Nebenklassen zu dieser Untergruppe, da ja
    ${\left\{\rho \in G\mid \rho ({\mathfrak {q}})={\mathfrak {q}}'\right\}}=\tau G_{\mathfrak {q}}\,,$
wenn $\tau$ ein fixierter Automorphismus ist, der ${\mathfrak {q}}$ in ${\mathfrak {q}}'$ überführt. Insbesondere sind diese Nebenklassen alle gleich groß. Wenn es $k$ Primideale in der Faser gibt, und die Körpererweiterung den Grad $n$ hat und die Galoisgruppe somit $n$ Elemente besitzt, so enthält die Zerlegungsgruppe ${\frac {n}{k}}$ Elemente, was nach Fakt mit $ef$ übereinstimmt.
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## Definition

Es sei $R$ eine Dedekindbereich mit Quotientenkörper $K=Q(R)$ und sei $K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $G$. Es sei $S$ der ganze Abschluss von $R$ in $L$ und sei ${\mathfrak {q}}$ ein Primideal von $S$. Dann nennt man den Fixkörper zur Zerlegungsgruppe $G_{\mathfrak {q}}$ den Zerlegungskörper zu ${\mathfrak {q}}$. Er wird mit $Z_{\mathfrak {q}}$ bezeichnet.
Den Ganzheitsring zum Zerlegungskörper nennt man Zerlegungsring.

## Lemma

Es sei $R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper $K=Q(R)$ und sei $K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $G$. Es sei $S$ der ganze Abschluss von $R$ in $L$ und sei ${\mathfrak {q}}$ ein Primideal von $S$ über ${\mathfrak {p}}$. Dann gelten folgende Eigenschaften.

### Beweis

* Sei $\sigma \in G_{\mathfrak {q}}$, also $\sigma ^{-1}({\mathfrak {q}})={\mathfrak {q}}$. Dies induziert einen Ringautomorphismus (der $R$ fest lässt) und einen Körperautomorphismus der $\kappa ({\mathfrak {p}})$ fest lässt, also ein Element der Galoisgruppe zur Körpererweiterung $\kappa ({\mathfrak {p}})\subseteq \kappa ({\mathfrak {q}})$. Diese Zuordnung ist insgesamt ein Gruppenhomomorphismus aufgrund der Kommutativität des Diagramms
    $\sigma \colon S_{\mathfrak {q}}\longrightarrow S_{\mathfrak {q}}$
    $\sigma \colon \kappa ({\mathfrak {q}})\longrightarrow \kappa ({\mathfrak {q}}),$
    ${\begin{matrix}S_{\mathfrak {q}}&{\stackrel {\sigma }{\longrightarrow }}&S_{\mathfrak {q}}&{\stackrel {\tau }{\longrightarrow }}&S_{\mathfrak {q}}&\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\\kappa ({\mathfrak {q}})&{\stackrel {\sigma }{\longrightarrow }}&\kappa ({\mathfrak {q}})&{\stackrel {\tau }{\longrightarrow }}&\kappa ({\mathfrak {q}})&\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}$
* Nach Aufgabe können wir davon ausgehen, indem wir $K$ durch den Zerlegungskörper und ${\mathfrak {p}}$ durch den Schnitt von ${\mathfrak {q}}$ mit dem Zerlegungsring ersetzen, dass die Zerlegungsgruppe die volle Galoisgruppe ist, dass also ${\mathfrak {q}}$ das einzige Primideal oberhalb von ${\mathfrak {p}}$ ist. Aufgrund der Voraussetzung über die Separabilität können wir nach dem Satz vom primitiven Element ansetzen, wobei wir unmittelbar $z\in S$ annehmen können. Es sei $P\in R[X]$ das Minimalpolynom von $z$ über $R$. Es ist also $P(z)=0$ in $S$ und damit insbesondere $P(z)=0$ in $\kappa ({\mathfrak {q}})$. Da $K\subseteq L$ eine Galoiserweiterung ist, zerfällt wegen Fakt $P$ in $L[X]$ und damit wegen Fakt auch in $S[X]$ in Linearfaktoren. Dies gilt dann auch in $\kappa ({\mathfrak {q}})[X]$ und überträgt sich auf das Minimalpolynom von $z$ über $\kappa ({\mathfrak {p}})$, was wiederum nach Fakt bedeutet, dass die Restekörpererweiterung galoissch ist. Es sei nun ein $\kappa ({\mathfrak {p}})$-Körperautomorphismus, der den Erzeuger $z$ auf ein Element $w\in \kappa ({\mathfrak {q}})$ schickt, das wir wiederum als repräsentiert durch eine Nullstelle $w$ von $P$ annehmen dürfen. Nach Fakt gehört dazu ein $K$-Automorphismus von $L$, der $z$ in $w$ überführt, und dessen Einschränkung stimmt mit $\tau$ überein, da er auf einem Erzeuger damit übereinstimmt.
    $\kappa ({\mathfrak {p}})\subseteq \kappa ({\mathfrak {q}})=\kappa ({\mathfrak {p}})[z]\,$
    $\tau \colon \kappa ({\mathfrak {q}})=\kappa ({\mathfrak {p}})[z]\longrightarrow \kappa ({\mathfrak {q}})=\kappa ({\mathfrak {p}})[z]$
* Nach Fakt (4) ist im unverzweigten Fall ${\#\left(G_{\mathfrak {q}}\right)}=f$ und dies ist nach Definition der Grad der Körpererweiterung Da nach (2) die Restekörpererweiterung galoissch ist, besitzt deren Galoisgruppe ebenfalls $f$ Elemente und deshalb folgt aus der Surjektivität bereits die Bijektivität.
    $\kappa ({\mathfrak {p}})\subseteq \kappa ({\mathfrak {q}})\,.$
$\Box$

## Definition

Es sei $R$ eine Dedekindbereich mit Quotientenkörper $K=Q(R)$ und sei $K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $G$. Es sei $S$ der ganze Abschluss von $R$ in $L$ und sei ${\mathfrak {q}}$ ein Primideal von $S$. Dann nennt man
    $I_{\mathfrak {q}}={\left\{\sigma \in G_{\mathfrak {q}}\mid \sigma {|}_{\kappa ({\mathfrak {q}})}=\operatorname {Id} \right\}}\,$
die Trägheitsgruppe zu ${\mathfrak {q}}$.
Es liegt also eine Kette von Untergruppen
    $I_{\mathfrak {q}}\subseteq G_{\mathfrak {q}}\subseteq G\,$
vor.

## Definition

Es sei $R$ eine Dedekindbereich mit Quotientenkörper $K=Q(R)$ und sei $K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $G$. Es sei $S$ der ganze Abschluss von $R$ in $L$ und sei ${\mathfrak {q}}$ ein Primideal von $S$. Dann nennt man den Fixkörper zur Trägheitsgruppe $I_{\mathfrak {q}}$ den Trägheitskörper zu ${\mathfrak {q}}$. Er wird mit $T_{\mathfrak {q}}$ bezeichnet.

## Lemma

Es sei $R$ eine Dedekindbereich mit Quotientenkörper $K=Q(R)$ und sei $K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $G$. Es sei $S$ der ganze Abschluss von $R$ in $L$ und sei ${\mathfrak {q}}$ ein Primideal von $S$. Die Erweiterung der Restekörper sei separabel.
Dann ist die Ordnung der Trägheitsgruppe $I_{\mathfrak {q}}$ gleich dem Verzweigungsindex von ${\mathfrak {q}}$.
Insbesondere ist die Trägheitsgruppe genau dann trivial, wenn in ${\mathfrak {q}}$ keine Verzweigung vorliegt.

### Beweis

Nach Fakt (2) liegt eine kurze exakte Sequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,I_{\mathfrak {q}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,G_{\mathfrak {q}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,\operatorname {Gal} \,(\kappa ({\mathfrak {q}}){|}\kappa ({\mathfrak {p}}))\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
vor. Die Ordnung der Galoisgruppe rechts ist der Trägheitsgrad $f$ und die Ordnung der Zerlegungsgruppe $G_{\mathfrak {q}}$ ist nach Fakt gleich $ef$, wobei $e$ den Verzweigungsindex bezeichnet. Deshalb ist die Ordnung der Trägheitsgruppe gleich $e$.
$\Box$