# Riemannsche Flächen/Garben/Exaktheit/Textabschnitt

Es seien $F,G,H$ kommutative Gruppen und seien
    $F{\stackrel {\alpha }{\longrightarrow }}G{\stackrel {\beta }{\longrightarrow }}H$
Gruppenhomomorphismen. Man sagt, dass ein Komplex vorliegt, wenn
    $\operatorname {bild} \alpha \subseteq \operatorname {kern} \beta \,$
gilt, was zu $\beta \circ \alpha =0$ äquivalent ist. Man sagt, dass der Komplex exakt ist, wenn
    $\operatorname {bild} \alpha =\operatorname {kern} \beta \,$
gilt. Dieses Konzept überträgt man auf Garben von kommutativen Gruppen auf einem topologischen Raum $X$, indem man die Bedingungen halmweise interpretiert (siehe Fakt). Man sagt also, dass die Garbenhomomorphismen
    ${\mathcal {F}}{\stackrel {\alpha }{\longrightarrow }}{\mathcal {G}}{\stackrel {\beta }{\longrightarrow }}{\mathcal {H}}$
einen Komplex bilden, wenn für jeden Punkt $P\in X$ die Halmabbildungen
    ${\mathcal {F}}_{P}{\stackrel {\alpha }{\longrightarrow }}{\mathcal {G}}_{P}{\stackrel {\beta }{\longrightarrow }}{\mathcal {H}}_{P}$
einen Komplex von Gruppen bilden, und man nennt den Garbenkomplex exakt, wenn der Halmkomplex für jeden Punkt exakt ist.

## Definition

Ein exakter Komplex
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {F}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {G}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {H}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
von Garben von kommutativen Gruppen auf einem topologischen Raum $X$ heißt kurze exakte Sequenz.
Hierbei ist insbesondere die vordere Abbildung injektiv und die hintere Abbildung (Garben)-surjektiv. Es ist ${\mathcal {F}}$ der Kern des Garbenhomomorphismus ${\mathcal {G}}\rightarrow {\mathcal {H}}$ und ${\mathcal {H}}$ ist die Quotientengarbe zur Untergarbe ${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {G}}$.

## Lemma

Es sei
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,F\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,G\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,H\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
eine kurze exakte Sequenz von kommutativen topologischen Gruppen (mit stetigen Gruppenhomomorphismen). Es trage $F$ die induzierte Topologie von $G$ und die Surjektion $p\colon G\rightarrow H$ habe die Eigenschaft, dass es zu jedem Element $h\in H$ eine offene Umgebung $h\in W\subseteq H$ und einen stetigen Schnitt zu $p$ gibt.
Dann ist für jeden topologischen Raum $X$ die zugehörige Sequenz der Garben der stetigen Abbildungen in diese Gruppen, also
ebenfalls exakt.

### Beweis

$\Box$

## Beispiel

Wir betrachten die kurze exakte Exponentialsequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,2\pi {\mathrm {i} }\mathbb {Z} \,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathbb {C} }\,{\stackrel {\operatorname {exp} }{\longrightarrow }}\,{\mathbb {C} }^{\times }\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
von topologischen Gruppen. Die Exaktheit in der Mitte beruht auf Fakt (2), die Homomorphieeigenschaft beruht auf der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion und die komplexe Exponentialfunktion bildet nach Fakt surjektiv auf ${\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ ab (sie ist eine Überlagerung, siehe Beispiel). Da es lokal einen Logarithmus gibt, sind die Voraussetzungen von Fakt erfüllt. Somit gibt es zu jedem topologischen Raum $X$ eine kurze exakte Garbensequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,\mathbb {Z} )\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,{\mathbb {C} })\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,{\mathbb {C} }^{\times })\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0,$
die die (stetige komplexe) Exponentialsequenz heißt. Links steht die lokal konstante Garbe mit Werten in $\mathbb {Z}$, in der Mitte die Garbe der komplexwertigen stetigen Funktionen und rechts die Garbe der nullstellenfreien komplexwertigen stetigen Funktionen. Wenn man
$X={\mathbb {C} }^{\times }$ setzt, so ist die globale Auswertung der hinteren Abbildung nicht surjektiv, da die Identität nicht im Bild liegt.
Für die holomorphe Version der vorstehenden Aussage siehe Beispiel.

## Beispiel

Es sei $n\in \mathbb {N} _{+}$ fixiert, wir betrachten die kurze exakte Sequenz
    $1\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,E_{n}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathbb {C} }^{\times }\,{\stackrel {z^{n}}{\longrightarrow }}\,{\mathbb {C} }^{\times }\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,1,$
wobei rechts die $n$-te komplexe Potenzierung steht und $E_{n}$ die Gruppe der $n$-ten Einheitswurzeln bezeichnet, die zur zyklischen Gruppe $\mathbb {Z} /(n)$ isomorph ist. Es liegt die Situation aus Fakt vor, d.h. auf jedem topologischen Raum $X$ erhält man eine kurze exakte Garbensequenz
    $1\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,E_{n})\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,{\mathbb {C} }^{\times })\,{\stackrel {z^{n}}{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,{\mathbb {C} }^{\times })\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,1.$
Da ferner das Potenzieren holomorph ist, erhält man auf einer riemannschen Fläche eine kurze exakte Garbensequenz
    $1\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,E_{n})\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\,{\stackrel {z^{n}}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,1,$
wobei vorne die lokal konstanten stetigen oder holomorphen Funktionen mit Werten in $E_{n}\cong \mathbb {Z} /(n)$ steht.

## Lemma

Es sei $X$ ein topologischer Raum und sei
    ${\mathcal {F}}{\stackrel {d}{\longrightarrow }}{\mathcal {G}}{\stackrel {d'}{\longrightarrow }}{\mathcal {H}}$
ein Komplex von Garbenhomomorphismen von Garben von kommutativen Gruppen auf $X$.
Dann ist auch
ein Komplex.

### Beweis

Die Voraussetzung bedeutet einfach, dass $d'\circ d$ die Nullabbildung ist. Dann ist insbesondere die globale Auswertung die Nullabbildung.
$\Box$

## Lemma

Es sei $X$ ein topologischer Raum. Es sei
    $0\longrightarrow {\mathcal {F}}{\stackrel {d}{\longrightarrow }}{\mathcal {G}}{\stackrel {d'}{\longrightarrow }}{\mathcal {H}}$
ein exakter Komplex von Garbenhomomorphismen von Garben von kommutativen Gruppen auf $X$.
Dann ist auch der Komplex
exakt.

### Beweis

Dass ein Komplex vorliegt ist klar nach Fakt. Die Exaktheit bedeutet, dass für jeden Punkt $P\in X$ der Komplex
    $0\longrightarrow {\mathcal {F}}_{P}\longrightarrow {\mathcal {G}}_{P}\longrightarrow {\mathcal {H}}_{P}$
der Halme exakt ist. Sei $s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {F}}\right)}$ und $d(s)=0$ in $\Gamma {\left(X,{\mathcal {G}}\right)}$. Dann ist $d(s)_{P}=0$ in jedem Punkt und somit ist $s_{P}=0$ für jeden Punkt. Also ist $s=0$ nach Fakt und die linke Abbildung ist injektiv. Es sei nun $t\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {G}}\right)}$ mit $d'(t)=0$ in $\Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}$. Die Exaktheit in den Halmen bedeutet, dass für jeden Punkt $P$ der Keim $t_{P}$ zu ${\mathcal {F}}_{P}$ gehört. Daraus folgt mit Aufgabe, dass $t$ selbst zu ${\mathcal {F}}$ gehört.
$\Box$
Auch bei einer kurzen exakten Garbensequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {F}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {G}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {H}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0,$
ist im zugehörigen globalen Komplex
    $0\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {F}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}$
die hintere Abbildung im Allgemeinen nicht surjektiv. Dieses Phänomen wird im Rahmen der Kohomologie verstanden und produktiv verwertet.