OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Aufgabenblatt zu Peano-Axiomen 1

In den folgenden Aufgaben geht es darum, die grundlegenden Eigenschaften der natürlichen Zahlen aus den Peano-Axiomen abzuleiten. Dies ist im Allgemeinen mühsam und sollte nur exemplarisch durchgeführt werden, um sich ein Bild von einem formalen Aufbau der Zahlen machen zu können.
Wir erinnern an die Peano-Axiome:
Eine Menge $N$ mit einem ausgezeichneten Element $0\in N$ (die Null) und einer (Nachfolger)-Abbildung
    $'\colon N\longrightarrow N,\,n\longmapsto n',$
heißt natürliche Zahlen (oder Dedekind-Peano-Modell für die natürlichen Zahlen), wenn die folgenden Dedekind-Peano-Axiome erfüllt sind.
* Das Element $0$ ist kein Nachfolger (die Null liegt also nicht im Bild der Nachfolgerabbildung).
* Jedes $n\in N$ ist Nachfolger höchstens eines Elementes (d.h. die Nachfolgerabbildung ist injektiv).
* Für jede Teilmenge $T\subseteq N$ gilt: Wenn die beiden Eigenschaften $n\in T$ ist auch $n'\in T$,
** $0\in T$,
** mit jedem Element
gelten, so ist $T=N$.

## Aufgabe *

Zeige, das zwei Mengen $\mathbb {N} _{1}$ und $\mathbb {N} _{2}$, die beide die Dedekind-Peano-Axiome erfüllen, zueinander isomorph sind. Man gebe also eine bijektive Abbildung $\mathbb {N} _{1}\rightarrow \mathbb {N} _{2}$ an, die $0_{1}$ in $0_{2}$ überführt und die die Nachfolgeabbildungen respektiert.

## Aufgabe *

Zeige ausgehend von den Dedekind-Peano-Axiomen, dass jedes Element $n\in {\mathbb {N} }$, $n\neq 0$, einen Vorgänger besitzt.

## Aufgabe

Es sei ${\mathbb {N} }$ eine Menge, die die Dedekind-Peano-Axiome erfüllt. Definiere eine „natürliche“ Addition auf ${\mathbb {N} }$ und zeige, dass diese Addition kommutativ und assoziativ ist und $0$ als neutrales Element besitzt.

## Aufgabe

Es sei $\mathbb {N}$ eine Menge, die die Dedekind-Peano-Axiome erfüllt. Definiere eine „natürliche“ Multiplikation auf $\mathbb {N}$. Zeige, dass diese Multiplikation kommutativ und assoziativ ist, und dass sie $1:=0'$ als neutrales Element besitzt.
Zeige ferner, dass für diese Multiplikation und für die in Aufgabe 3 definierte Addition das Distributivgesetz gilt.

## Aufgabe

Leite das Induktionsprinzip für Aussagen (das Beweisverfahren) aus den Dedekind-Peano-Axiomen ab.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/20/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Beziehung zwischen der Multiplikation und endlichen Mengen.
* Die Division mit Rest für natürliche Zahlen.
* Die Bernoulli-Ungleichung für einen angeordneten Körper $K$.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/17/Aufgabe/Lösung

* Es seien $a_{1},\ldots ,a_{k}$ ganze Zahlen. Dann ist wobei $u$ das kleinste gemeinsame Vielfache der $a_{1},\ldots ,a_{k}$ ist.
    $\mathbb {Z} a_{1}\cap \mathbb {Z} a_{2}\cap \ldots \cap \mathbb {Z} a_{k}=\mathbb {Z} u\,,$
* Zu jedem $x\in G$ ist das Element $y\in G$ mit eindeutig bestimmt.
    $x\circ y=e\,$
* Es sei $K$ ein angeordneter Körper, $c\in K$ und die zugehörige lineare Funktion. Dann gelten folgende Aussagen.
    $f\colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto cx,$
** Bei $c>0$ ist $f$ streng wachsend.
** Bei $c=0$ ist $f$ konstant und damit (nicht streng) wachsend und fallend
** Bei $c<0$ ist $f$ streng fallend.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/19/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die Kürzungsregel für natürliche Zahlen.
* Der Satz über die Division mit Rest für die ganzen Zahlen.
* Der Satz über die Konvergenz einer Dezimalbruchfolge.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/2/Aufgabe/Lösung

* Es seien $M$ und $N$ endliche Mengen mit $m$ bzw. $n$ Elementen. Dann besitzt die Produktmenge $M\times N$ genau $m\cdot n$ Elemente.
* Auf einer endlichen Menge $M$ mit $n$ Elementen gibt es $n!$ bijektive Abbildungen von $M$ nach $M$.
* Zu jeder rationalen Zahl $q$ und jedem $k\in \mathbb {N} _{+}$ gibt es ein $a\in \mathbb {Z}$ derart, dass gilt.
    ${\frac {a}{10^{k}}}\leq q<{\frac {a+1}{10^{k}}}\,$
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/20/Aufgabe/Lösung

* Es seien $M$ und $N$ endliche Mengen mit $m$ bzw. $n$ Elementen. Dann besitzt die Produktmenge $M\times N$ genau $m\cdot n$ Elemente.
* Es sei $d$ eine fixierte positive natürliche Zahl. Dann gibt es zu jeder natürlichen Zahl $n$ eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl $q$ und eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl $r$, $0\leq r\leq d-1$, mit
    $n=qd+r\,.$
* Für $x\geq -1$ und $n\in \mathbb {N}$ ist
    $(1+x)^{n}\geq 1+nx\,.$
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/21/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Die Division mit Rest für natürliche Zahlen.
* Das allgemeine Distributivgesetz für einen kommutativen Halbring.
* Der Satz über das Wachstumsverhalten der (ganzzahligen) Exponentialfunktionen.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/18/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Beziehung zwischen der Addition und endlichen Mengen.
* Die Division mit Rest für natürliche Zahlen.
* Der Satz über das Monotonieverhalten von Potenzfunktionen in einem angeordneten Körper $K$.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/18/Aufgabe/Lösung

* Es seien $M$ und $N$ disjunkte endliche Mengen mit $m$ bzw. $n$ Elementen. Dann besitzt ihre Vereinigung $M\cup N$ gerade $m+n$ Elemente.
* Es sei $d$ eine fixierte positive natürliche Zahl. Dann gibt es zu jeder natürlichen Zahl $n$ eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl $q$ und eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl $r$, $0\leq r\leq d-1$, mit
    $n=qd+r\,.$
* Es sei $K$ ein angeordneter Körper und $n\in \mathbb {N} _{+}$. Dann gelten folgende Aussagen.
** Die Abbildung ist streng wachsend.
    $K_{\geq 0}\longrightarrow K,\,x\longmapsto x^{n},$
** Die Abbildung ist bei $n$ ungerade streng wachsend.
    $K_{\leq 0}\longrightarrow K,\,x\longmapsto x^{n},$
** Die Abbildung ist bei $n$ gerade streng fallend.
    $K_{\leq 0}\longrightarrow K,\,x\longmapsto x^{n},$
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/19/Aufgabe/Lösung

* Aus einer Gleichung $n\cdot k=m\cdot k$ mit $k,m,n\in \mathbb {N}$ und mit $k\neq 0$ folgt $n=m$.
* Es sei $d$ eine fixierte positive natürliche Zahl. Dann gibt es zu jeder ganzen Zahl $n$ eine eindeutig bestimmte ganze Zahl $q$ und eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl $r$, $0\leq r\leq d-1$, mit
    $n=qd+r\,.$
* Es sei $x\in K$ ein Element in einem archimedisch angeordneten Körper $K$. Dann konvergiert die zugehörige Dezimalbruchfolge $(x_{n})$, $n\in \mathbb {N}$, gegen $x$.
# Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/2/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Beziehung zwischen der Multiplikation und endlichen Mengen.
* Der Satz über die Anzahl der Permutationen.
* Der Satz über die Approximation von rationalen Zahlen durch Dezimalbrüche.
# Dezimalsystem/Nullen/Zehnerpotenz/Aufgabe

Zeige, dass eine positive natürliche Zahl genau dann von $10^{k}$ geteilt wird, wenn sie in der Dezimaldarstellung mit mindestens $k$ Nullen endet.
# Dezimalsystem/Unendlich viele Ziffern/Richtung/Aufgabe

Wir betrachten das Dezimalsystem, das (beispielsweise in der Schule) schrittweise aufgebaut wird. Zuerst sind endliche Ziffernfolgen der Form
    $6108$
erlaubt, die eine natürliche Zahl repräsentieren. Dann erweitert man zu Ziffernfolgen der Form
    $6108,3956$
(die gewisse rationale Zahlen repräsentieren). Warum sind im weiteren Aufbau des Dezimalsystems Ziffernfolgen der Bauart
    $6108,3956236582952309045...$
mit „unendlich vielen“ Ziffern hinter dem Komma erlaubt, aber keine Ziffernfolgen der Bauart
    $...23775800449523096108,3956$
mit „unendlich vielen“ Ziffern vor dem Komma? Kann man die zuletzt genannten Ziffernfolgen sinnvoll interpretieren? Kann man sie sinnvoll als „Zahlen“ interpretieren?
# Holomorphe Funktion/Hauptsätze/Reell nicht/Aufgabe

Zeige, dass die Hauptsätze der Funktionentheorie wie Fakt, Fakt, Fakt, Fakt, Fakt, Fakt, Fakt und Fakt nicht im Reellen gelten.
# Holomorphe Funktion/Hauptsätze/Zusammenhängend als Voraussetzung/Aufgabe

Zeige, dass die Hauptsätze der Funktionentheorie wie Fakt, Fakt, Fakt, Fakt, Fakt, Fakt und Fakt nicht ohne die Voraussetzung, dass der Definitionsbereich zusammenhängend ist, gelten.
# Endliche zyklische Gruppe/Darstellung/Algebraisch abgeschlossener Körper/Charakteristik 0/Fakt/Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.
# Endliche zyklische Gruppe/Charaktergruppe nach K^x/1 oder -1/Aufgabe

Es sei $D$ eine endliche zyklische Gruppe der Ordnung $n$ mit der zugehörigen Charaktergruppe $D^{\vee }$ mit Werten in einem Körper $K$.
a) Zeige, dass der Gruppenhomomorphismus
    $\psi \colon D^{\vee }\longrightarrow K^{\times },\,\chi \longmapsto \prod _{d\in D}\chi (d),$
nur die Werte $1$ und $-1$ annehmen kann.
b) Es sei vorausgesetzt, dass $K$ eine $n$-te primitive Einheitswurzel enthält. Zeige, dass $\psi$ genau dann den Wert $-1$ annimmt, wenn $n$ gerade ist.
# Endliche und unendliche Mengen/Reflexion/Aufgabe

Diskutiere endliche und unendliche Mengen.
# Diagonalmatrix/Inverse Matrix/3/Aufgabe

Bestimme die inverse Matrix von
    ${\begin{pmatrix}3{\frac {1}{4}}&0&0&0\\0&{\frac {1}{5}}&0&0\\0&0&2{\frac {2}{7}}&0\\0&0&0&{\frac {3}{11}}\end{pmatrix}},$
die Angaben sind dabei als gemischte Brüche zu verstehen und das Ergebnis soll ebenso angegeben werden.
# Diagonalmatrix/Inverse Matrix/1/Aufgabe

Bestimme die inverse Matrix von
    ${\begin{pmatrix}{\frac {7}{2}}&0&\cdots &\cdots &0\\0&-1&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &-{\frac {5}{3}}&\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&17&0\\0&\cdots &\cdots &0&10^{-4}\end{pmatrix}}.$
# Diagonalmatrix/Inverse Matrix/2/Aufgabe/Lösung

Die inverse Matrix ist
    ${\begin{pmatrix}-{\frac {4}{9}}&0&\cdots &\cdots &0\\0&{\frac {3}{50}}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &-{\frac {3}{5}}&\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&10^{-7}&0\\0&\cdots &\cdots &0&{\frac {11}{2}}\end{pmatrix}}.$
# Diagonalmatrix/Eigenräume/Geometrische Vielfachheit/Aufgabe

Bestimme die Eigenwerte, die Eigenräume und die geometrischen Vielfachheiten zur Matrix
    ${\begin{pmatrix}2&0&\cdots &\cdots &\cdots &0\\0&1&\ddots &\ddots &\vdots &\vdots \\\vdots &\ddots &3&\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &1&\ddots &\vdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &3&0\\0&\cdots &\cdots &\cdots &0&1\end{pmatrix}}.$
# Diagonalmatrix/Inverse Matrix/2/Aufgabe

Bestimme die inverse Matrix von
    ${\begin{pmatrix}-{\frac {9}{4}}&0&\cdots &\cdots &0\\0&{\frac {50}{3}}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &-{\frac {5}{3}}&\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&10^{7}&0\\0&\cdots &\cdots &0&{\frac {2}{11}}\end{pmatrix}}.$
# Diagonalmatrix/Inverse Matrix/3/Aufgabe/Lösung

Die inverse Matrix ist
    ${\begin{pmatrix}{\frac {4}{13}}&0&0&0\\0&5&0&0\\0&0&{\frac {7}{16}}&0\\0&0&0&3{\frac {2}{3}}\end{pmatrix}}.$
# Folge/Nicht konvergent/Konvergente Teilfolge/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine Folge, die nicht konvergiert, aber eine konvergente Teilfolge enthält.
# Folge/Konvergent/Teilfolge/Aufgabe

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine gegen $x$ konvergente Folge in einem angeordneten Körper. Zeige, dass jede Teilfolge ebenfalls gegen $x$ konvergiert.
# Fachbereich Orthodoxe Theologie

Hier entsteht im Rahmen des Wikiversity-Fachbereichs Religionswissenschaften und Theologie der Fachbereich Orthodoxe Theologie. Teilnehmer/innen, die beim Aufbau dieses Fachbereichs helfen wollen, sind herzlich willkommen und werden gebeten, sich hier mit einer kurzen persönlichen Vorstellung anzumelden.

## Studium
### Grundstudium

Einführung Ein erster Einstieg kann durch grundlegende Literatur erfolgen. Nützliche Titel findet man hier.
* Einführung in das Studium der orthodoxen Theologie
* Sprachkurse
** Graecum
** Hebraicum
** Kirchenslawisch
* Bibelkunde
* Philosophisches Proseminar

### Hauptstudium:

Biblische Wissenschaften
* Einleitung in das Alte Testament
* Einleitung in das Neue Testament
* Theologie des Alten Testaments
* Theologie des Neuen Testaments
* Umwelt des Alten Testaments
* Umwelt des Neuen Testaments
* Exegese
** Einführung in die biblische Exegese
** Exegetisches Proseminar AT
** Exegetisches Proseminar NT
Kirchengeschichte
* Einführung in die Kirchengeschichte
* Kirchengeschichte im Überblick
** Ökumenische Kirchengeschichte
* Konfessionskunde
Systematik
* Einführung in die Systematische Theologie
* Ethik
* Fundamentaltheologie
* Hermeneutik
* Philosophisches Hauptseminar
Praktische Theologie
* Einführung in die Praktische Theologie
* Seelsorge
* Oikodomik
* Homiletik
* Katechese
* Diakonik
* Missiologie und Evangelistik
Religionspädagogik
* Einführung in die Religionspädagogik
* Einführung in die Unterrichtsbeobachtung
* Unterrichtsplanung
* Theorien religiöser Entwicklung

## Einrichtungen innerhalb des Fachbereichs Orthodoxe Theologie

* Studienberatung
* Bibliothek
* Fakultätskirche
* Pinwand
# Fachbereich Philosophie/Banner

Herzlich willkommen im
„Sapere aude! Habe Mut, dich deines eigenen Verstandes zu bedienen!“ - Immanuel Kant
Die Philosophen von links nach rechts sind:
* w:John Locke
* w:Immanuel Kant
* w:Ludwig Wittgenstein
* w:Rene Descartes
* w:Aristoteles
Dieser Vorlage kann mit dem ersten Parameter ein anderes Bild übergeben werden.
# Fachbereich Philosophie/Linksammlung

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## Lexika

* "Stanford Encyclopedia of Philosophy"
* "The Internet Encyclopedia of Philosophy"
* "Philosophenlexikon"
* "Lexikon der Philosophie
* Philosophie Lexikon der Argumente

## Textsammlungen

* "Elektronisch archivierte Texte"
* "Philosophische Audiothek"

## Linklisten

* "Links zur interkulturellen Philosophie"
* "Links zur Philosophie"
* "Webring Philosophie"

## Philosophische Vereinigungen

* "Deutschsprachiges Kommunitarier Netzwerk e. V."
* "Gesellschaft für kritische Philosophie Nürnberg"
* "Gesellschaft für interkulturelle Philosophie e. V."
* "Gesellschaft für Philosophie und Wissenschaft e. V."

## Artikel in der Wikipedia

* Zugriff über das Portal:Philsosphie
* Zugriff über die Systematik (Kategorie:Philosophie)
* "Kommunitarismus"
* "Kommunismus"
* "Interkulturelle Kommunikation"
* "G.F.W. Hegel
# Homomorphismenraum/Funktorielle Eigenschaften/Fakt/Name

Der Satz über funktorielle Eigenschaften von Homomorphismenräumen.
# Homomorphismenraum/Funktorielle Eigenschaften/Matrizen/Aufgabe

Formuliere Fakt mit Matrizen bezüglich gegebener Basen.
# Gleichungssystem/Inhomogen/1/Aufgabe

Löse das inhomogene Gleichungssystem
    ${\begin{matrix}2x&+3y&\,\,\,\,-z&+w&=&2\\2x&\,\,\,\,-y&-2z&+w&=&0\\-x&+y&+z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&-2\\x&+2y&+5z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&3\,.\end{matrix}}$
# Gleichung/Umformungsregeln/Aufgabe

Welche Umformungsregeln für Gleichungen kennen Sie? Handelt es sich um Äquivalenzumformungen?
# Gleichungen/Arten/Aufgabe

Welche Arten von Gleichungen kennen Sie? Geben Sie typische Beispiele.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Streckungsäquivalent/Isomorpher Quotient/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Die Hinrichtung wurde in Fakt gezeigt. Die Rückrichtung folgt aus Fakt.
# Gitter/Komplexe Zahlen/Streckungsäquivalent/Isomorpher Quotient/Charakterisierung/Fakt/Name

Der Satz über streckungsäquivalente Gitter und komplexe Tori.
# MDLUL/Lösungen der Differentialgleichung

Start=Lösungen der Differentialgleichung
Ziel=Gewöhnliche Differentialgleichung/1/Lösung/Definition
# MDLUL/Mannigfaltigkeit (differenzierbar)

Start=Mannigfaltigkeit (differenzierbar)
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Reell/C^k/Ergänzungsstrukturen/Definition
# MDLUL/Lösungen des Anfangswertproblems

Start=Lösungen des Anfangswertproblems
Ziel=Gewöhnliche Differentialgleichung/1/Lösung des Anfangswertproblems/Definition
# MDLUL/Lösungskurve (1)

Start=Lösungskurve (1)
Ziel=Gewöhnliche Differentialgleichung/1/Lösung/Definition
# MDLUL/Lösungskurven

Start=Lösungskurven
Ziel=Gewöhnliche Differentialgleichung/1/Lösung/Definition
# MDLUL/Lösungsmenge (lineares Gleichungssystem)

Start=Lösungsmenge (lineares Gleichungssystem)
Ziel=Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Auch inhomogen/Definition
# MDLUL/Mannigfaltigkeit

Start=Mannigfaltigkeit
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Reell/C^k/Ergänzungsstrukturen/Definition
# MDLUL/Lösungen des Differentialgleichungssystems

Start=Lösungen des Differentialgleichungssystems
Siehe=Lösung des Differentialgleichungssystems MDLUL/Lösung des Differentialgleichungssystems Ziel=Vektorfeld/Gewöhnliche_Differentialgleichung/Lösung/Definition
# MDLUL/Lösungsraum

Start=Lösungsraum
Ziel=Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Lösungsraum ist Vektorraum/Fakt
# MDLUL/Lösungsraumes

Start=Lösungsraumes
Siehe=Lösungsraum MDLUL/Lösungsraum Ziel=Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Lösungsraum ist Vektorraum/Fakt
# MDLUL/beschränkt (Funktionenmenge)

Start=beschränkt (Funktionenmenge)
Ziel=Funktionenfamilie/Beschränkt/Definition
# MDLUL/beschränkt (C)

Start=beschränkt (C)
Ziel=Metrischer Raum/Teilmenge/Beschränkt/Definition
# MDLUL/beschränkt (Folge R)

Start=beschränkt (Folge R)
Ziel=Reelle_Zahlen/Nach_oben_beschränkt/Supremum/Maximum/Definition
# MDLUL/beschränkt (Funktion)

Start=beschränkt (Funktion)
Ziel=Reelle Funktion/Beschränkt/Definition
# MDLUL/beschränkt (Folge ang)

Start=beschränkt (Folge ang)
Siehe=Beschränkt (Folge ang) MDLUL/Beschränkt (Folge ang) Ziel=Angeordneter Körper/Beschränkte Folge/Definition
# MDLUL/beschränkt (K)

Start=beschränkt (K)
Ziel=Metrischer Raum/Teilmenge/Beschränkt/Definition
# MDLUL/beschränkt (R)

Start=beschränkt (R)
Ziel=Reelle_Zahlen/Beschränkt/Definition
# MDLUL/beschränkt (Folge)

Start=beschränkt (Folge)
Ziel=Angeordneter Körper/Beschränkte Folge/Definition
# MDLUL/beschränkt (Intervall R)

Start=beschränkt (Intervall R)
Ziel=Angeordneter_Körper/Verschiedene_Intervalle/Definition
# MDLUL/beschränkt (Metrik)

Start=beschränkt (Metrik)
Ziel=Metrischer Raum/Teilmenge/Beschränkt/Definition
# Komplexe Ebene/Punkt/Stetig differenzierbarer Weg/Windungszahl/Integral/Definition/Begriff

Die Windungszahl um $a$ zu einem stetigen, stückweise stetig differenzierbaren Weg
    $\gamma \colon I\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{a\}.$
# Komplexe Ebene/Standardweg/Windungszahl/Innen konstant/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $\gamma$ eine Standardumrundung von $Q$ innerhalb von $U{\left(P,1\right)}$. Nach Fakt, angewendet auf ${\frac {1}{z-Q}}$, ist
    $\int _{\gamma }{\frac {1}{z-Q}}dz=\int _{\delta }{\frac {1}{z-Q}}dz\,.$
Somit ist
    $\operatorname {ind} _{\delta }(Q)={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\delta }{\frac {dz}{z-Q}}={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {dz}{z-Q}}=1\,.$
# Glatte Kurve/Idealgarbe/Invertierbar/Fakt/Beweis

Da man die Invertierbarkeit lokal in den Halmen ${\mathcal {O}}_{C,x}$ testen kann, folgt die Aussage daraus, dass die lokalen Ringe diskrete Bewertungsringe und diese Hauptidealbereiche sind.
# Glatte Kurve/Hauptdivisor/Gruppenhomomorphismus/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $C$ eine irreduzible glatte Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ mit Funktionenkörper $Q(C)$. Zeige, dass die Zuordnung
    $Q(C)^{\times }\longrightarrow \operatorname {Div} \,(C),\,f\longmapsto \operatorname {div} {\left(f\right)},$
ein Gruppenhomomorphismus ist.
# Kontrahierbarer Raum/Punkt als Deformationsretrakt/Aufgabe

Zeige, dass ein topologischer Raum $X$ genau dann kontrahierbar ist, wenn er einen Punkt enthält, der ein Deformationsretrakt von $X$ ist.
# Kontrahierbarer Raum/Fundamentalgruppe/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass die Fundamentalgruppe eines kontrahierbaren Raumes trivial ist.
# Kontrahierbarer Raum/Fundamentalgruppe/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei
    $H\colon X\times [0,1]\longrightarrow X$
die Kontraktion des topologischen Raumes $X$ auf den Punkt $P\in X$ und es sei
    $\gamma \colon [0,1]\longrightarrow X$
ein stetiger geschlossener Weg in $X$ mit Aufpunkt $P$. Wir betrachten die zusammengesetzte Abbildung $\Psi$
    $[0,1]\times [0,1]{\stackrel {\gamma \times \operatorname {Id} _{[0,1]}}{\longrightarrow }}X\times [0,1]{\stackrel {H}{\longrightarrow }}X$
und behaupten, dass dies eine Homotopie zwischen $\gamma$ und dem konstanten Weg $P$ ergibt. Dies folgt aus
    $\Psi (s,0)=H(\gamma (s),0)=\gamma (s)\,$
für alle $s$,
    $\Psi (s,1)=H(\gamma (s),1)=P\,$
für alle $s$,
    $\Psi (0,t)=H(\gamma (0),t)=H(P,t)=P\,$
für alle $t$ und
    $\Psi (1,t)=H(\gamma (1),t)=H(P,t)=P\,$
für alle $t$. Dies bedeutet, dass $\gamma$ nullhomotop
# Kontrahierbarer Raum/Wegzusammenhängend/Aufgabe

Zeige, dass ein kontrahierbarer Raum wegzusammenhängend ist.
# Kontrahierbarer Raum/Fundamentalgruppe/Fakt

Die Fundamentalgruppe eines kontrahierbaren Raumes
ist trivial.
# Inaktiver Kurs:Astronomie für Anfänger

Dieses Projekt gehört zum Fachbereich Astronomie.

## Einleitung, Zielgruppe und Lernziele

Guten Tag an alle Astronomiebegeisterten. Du bist hier richtig, wenn eine der folgenden Aussagen zu dir passt:
* Ich bin hier, weil ich einen Einblick in die Astronomie bekommen will.
* Ich bin Hobbyastronom und möchte mein Wissen auffrischen und erweitern.
* Ich bin Schüler und möchte mir Anregungen für den Unterricht holen.
* Ich bin Lehrer und suche Unterrichtsmaterialien.
Sie konnten sich einordnen? - Gut. Im Kurs Astronomie für Anfänger lernst du:
* alles über unser Sonnensystem, dabei betrachten wir alle Planeten und Monde, Kleinkörper und Bewegungen.
* wie man eine Sternkarte zeichnet und wichtige Sternbilder erkennt.
* wie man Sterne charaktarisiert.
* den Aufbau und die Entstehung unserer Sonne.
* einige Astronomische Berechnungen astronomischer Koordinaten in zwei verschiedenen Koordinatensystemen.

## Organisation
### Teilnehmer

* Chefrezepte
* Chesspower
* 88.68.85.155
* LisaMarie
* Stranegelove
* bitte eintragen

## Lektionen

Lektion 1 – Vorstellungen über das Sonnensystem
Lektion 2 – Gravitation
Lektion 3 – Die Erde
Lektion 4 – Der Erdmond Lektion 5 – Die inneren Planeten und der Mars Lektion 6 – Die äußeren Planeten Lektion 7 – Die Sonne Lektion 8 – Sterne und ihre Eigenschaften Lektion 9 – Das Hertzsprung-Russel-Diagramm Lektion 10 – Astronomische Koordinaten Praktikum Abschlusstest