OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Definitionsabfrage/8/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine homogene lineare eindimensionale gewöhnliche Differentialgleichung.
* Eine offene Menge in einem metrischen Raum $M$.
* Eine symmetrische Bilinearform auf einem reellen Vektorraum $V$.
* Ein Zentralfeld auf einem reellen endlichdimensionalen Vektorraum $V$.
    $F\colon \mathbb {R} \times V\longrightarrow V$
* Die partielle Differenzierbarkeit einer Funktion $f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ in einem Punkt $P=\left(a_{1},\,\ldots ,\,a_{n}\right)\in \mathbb {R} ^{n}$.
* Das Gradientenfeld zu einer differenzierbaren Funktion auf einem euklidischen Vektorraum $V$.
    $f\colon V\longrightarrow \mathbb {R}$
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Definitionsabfrage/5a/Aufgabe/Lösung

* Ortsunabhängig bedeutet, dass die Funktion $f$ nicht von $y$ abhängt.
* Die Abbildung $f$ heißt stetig in $x$, wenn für jedes $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ derart existiert, dass gilt.
    $f{\left(B\left(x,\delta \right)\right)}\subseteq B\left(f(x),\epsilon \right)\,$
* Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall, $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und eine Funktion. Dann nennt man den Ausdruck eine Differentialgleichung der Ordnung $n$.
    $h\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R}$
    $y^{(n)}=h{\left(t,y,y',y^{\prime \prime },\ldots ,y^{(n-1)}\right)}\,$
* Unter der Richtungsableitung von $f$ in $P$ in Richtung $v$ versteht man den Grenzwert falls dieser existiert.
    $\operatorname {lim} _{s\rightarrow 0,s\neq 0}\,{\frac {f(P+sv)-f(P)}{s}},$
* Die Matrix heißt die Jacobi-Matrix zu $f$ im Punkt $P$.
    $\operatorname {Jak} (f)_{P}:={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(P)&\ldots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(P)\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(P)&\ldots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(P)\end{pmatrix}}\,$
* Man sagt, dass $f$ in $x\in M$ ein lokales Minimum besitzt, wenn es ein $\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle $x'\in M$ mit $d(x,x')\leq \epsilon$ die Abschätzung gilt.
    $f(x)\leq f(x')\,$
# Mathematik für Anwender 2/Gemischte Definitionsabfrage/6/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen.
* Das orthogonale Komplement zu einem Untervektorraum $U\subseteq V$ in einem euklidischen Vektorraum $V$.
* Ein lichtartiger Vektor in einem Minkowski-Raum.
* Eine höhere Richtungsableitung zu einer Abbildung wobei $V,W$ endlichdimensionale reelle Vektorräume sind, bezüglich der Richtungen $v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$.
    $f\colon V\longrightarrow W,$
* Ein isoliertes lokales Maximum einer Funktion auf einem metrischen Raum $M$.
    $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$
* Der Subgraph zu einer Funktion $f\colon M\rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$ auf einer Menge $M$.
# MDLUL/Primärmodul

Start=Primärmodul
Ziel=Modultheorie/Hauptidealbereiche/Primärkomponente/Definition
# MDLUL/Produkt

Start=Produkt
Ziel=Produktmenge/Beliebig/Definition
# MDLUL/Produkt-Präring

Start=Produkt-Präring
Ziel=Produktmenge/Endlich/Produkt-Präring/Definition
# MDLUL/Produkt (Messraum)

Start=Produkt (Messraum)
Ziel=Produktmenge/Endlich/Produkt-Sigmaalgebra/Definition
# MDLUL/Produkt (Menge)

Start=Produkt (Menge)
Ziel=Produktmenge/Zwei Mengen/Definition
# MDLUL/Primärkomponenten (Modul)

Start=Primärkomponenten (Modul)
Siehe=Primärkomponente (Modul) MDLUL/Primärkomponente (Modul) Ziel=Modultheorie/Hauptidealbereiche/Primärkomponente/Definition
# MDLUL/Primärmoduln

Start=Primärmoduln
Siehe=Primärmodul MDLUL/Primärmodul Ziel=Modultheorie/Hauptidealbereiche/Primärkomponente/Definition
# MDLUL/Produkt (Ideal)

Start=Produkt (Ideal)
Siehe=Idealprodukt MDLUL/Idealprodukt Ziel=Idealoperationen/Idealprodukt/Definition
# MDLUL/Produkt (Mannigfaltigkeit)

Start=Produkt (Mannigfaltigkeit)
Ziel=Produkt von differenzierbaren Mannigfaltigkeiten/2/Definition
# MDLUL/Produkt (Matrix)

Start=Produkt (Matrix)
Ziel=Matrizenmultiplikation/Definition
# MDLUL/erzeugte Untergruppe

Start=erzeugte Untergruppe
Ziel=Erzeugte_Untergruppe_zu_Menge/Definition
# MDLUL/erzeugte Unterraum

Start=erzeugte Unterraum
Siehe=Erzeugter Unterraum MDLUL/Erzeugter Unterraum Ziel=Vektorraum/Aufgespannter Unterraum/Definition
# MDLUL/erzeugte Untervektorraum

Start=erzeugte Untervektorraum
Ziel=Vektorraum/Aufgespannter Unterraum/Definition
# MDLUL/erzeugte σ-Algebra

Start=erzeugte σ-Algebra
Ziel=Erzeugte Sigmaalgebra/Definition
# MDLUL/erzeugte Parallelotop

Start=erzeugte Parallelotop
Ziel=Vektoren/Erzeugtes Parallelotop/Definition
# MDLUL/erzeugte Unterkörper

Start=erzeugte Unterkörper
Siehe=erzeugter Unterkörper MDLUL/erzeugter Unterkörper Ziel=Körper-Erzeugendensystem/Definition
# MDLUL/erzeugte Präring

Start=erzeugte Präring
Siehe=erzeugter Präring MDLUL/erzeugter Präring Ziel=Mengenpräring/Definition
# MDLUL/erzeugte Untermodul

Start=erzeugte Untermodul
Siehe=erzeugter Untermodul MDLUL/erzeugter Untermodul Ziel=Kommutative Algebra/Modultheorie/Erzeugendensystem/Definition
# MDLUL/erzeugte „orientierte“ Parallelotop

Start=erzeugte „orientierte“ Parallelotop
Siehe=erzeugtes Parallelotop MDLUL/erzeugtes Parallelotop Ziel=Vektoren/Erzeugtes Parallelotop/Definition
# MDLUL/erzeugte Sigmaalgebra

Start=erzeugte Sigmaalgebra
Ziel=Erzeugte Sigmaalgebra/Definition
# MDLUL/holomorphen Tangentialvektor

Start=holomorphen Tangentialvektor
Siehe=holomorpher Tangentialvektor MDLUL/holomorpher Tangentialvektor Ziel=Komplexe Mannigfaltigkeit/Holomorphe Kurven/Tangentialvektor als Äquivalenzklasse/Definition
# MDLUL/holomorpher Gruppenhomomorphismus

Start=holomorpher Gruppenhomomorphismus
Ziel=Komplexe Lie-Gruppe/Homomorphismus/Definition
# MDLUL/holomorpher Keim

Start=holomorpher Keim
Ziel=Riemannsche Fläche/Garbe/Halm/Textabschnitt
# MDLUL/holomorphen Kurven

Start=holomorphen Kurven
Siehe=holomorphe Kurve MDLUL/holomorphe Kurve Ziel=Kurve/K/Endlichdimensionaler Vektorraum/Differenzierbar/Definition
# MDLUL/holomorpher Tangentialvektor

Start=holomorpher Tangentialvektor
Ziel=Komplexe Mannigfaltigkeit/Holomorphe Kurven/Tangentialvektor als Äquivalenzklasse/Definition
# MDLUL/holomorpher Funktionskeim

Start=holomorpher Funktionskeim
Ziel=Riemannsche Fläche/Garbe/Halm/Textabschnitt
# MDLUL/homogen (Ideal)

Start=homogen (Ideal)
Ziel=Graduierter kommutativer Ring/Homogenes Ideal/Definition
# MDLUL/holomorpher Schnitt (Abbildung)

Start=holomorpher Schnitt (Abbildung)
Ziel=Komplexe Mannigfaltigkeit/Holomorphe Abbildung/Funktionen/Definition
# MDLUL/homogen (Automorphismus)

Start=homogen (Automorphismus)
Ziel=Graduierte kommutative Algebra/Homogener Automorphismus/Definition
# MDLUL/homogen (Graduierung)

Start=homogen (Graduierung)
Ziel=Graduierte Algebra/Ring/Erläuterung/Bemerkung
# Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Linearer Zusammenhang/Global integrabel/Globale Trivialisierung des Zusammenhangs/Aufgabe

Es sei $p\colon E\rightarrow X$ ein Vektorbündel vom Rang $r$ über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $X$, das mit einem linearen global integrablen Zusammenhang versehen sei. Zeige, dass es (auf $X$ definierte) horizontale Schnitte $s_{1},\ldots ,s_{r}$ in $E$ derart gibt, dass unter dem Isomorphismus von Vektorbündeln
    $X\times \mathbb {R} ^{r}\longrightarrow E,\,(P,v_{1},\ldots ,v_{r})\longmapsto \sum _{i=1}^{r}v_{i}s_{i}(P),$
die Christoffelsymbole für den Zusammenhang bezüglich der Basisschnitte $s_{1},\ldots ,s_{r}$ trivial sind.
# Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Linearer Zusammenhang/Horizontale Schnitte/Dimension groß/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für einen linearen Zusammenhang auf einem Vektorbündel $p\colon E\rightarrow X$ über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $X$ derart, dass der Vektorraum $H(\nabla ,X)$ der horizontalen Schnitte eine Vektorraumdimension besitzt, die größer als der Rang von $E$ ist.
# Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Linearer Zusammenhang/Fasertransport ist linear/Lokal integrabel/Fakt/Beweisverweis

Siehe Storch/Wiebe, Band 4, 10.A und 10.B.
# MDLUL/reguläre Funktion (Varietät)

Start=reguläre Funktion (Varietät)
Ziel=Quasiaffine Varietät/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf offener Menge/Punktweise und global/Definition
# MDLUL/regulären (Rang)

Start=regulären (Rang)
Siehe=regulär (Rang) MDLUL/regulär (Rang) Ziel=Differenzierbare Abbildung/R/Regulärer Punkt/Maximaler Rang/Definition
# MDLUL/regulären Punkt

Start=regulären Punkt
Siehe=regulärer Punkt MDLUL/regulärer Punkt Ziel=Differenzierbare_Abbildung/R/Regulärer_Punkt/Maximaler_Rang/Definition
# MDLUL/reguläre Kurve

Start=reguläre Kurve
Siehe=regulär (Kurve) MDLUL/regulär (Kurve) Ziel=Differenzierbare Abbildung/R/Regulärer Punkt/Maximaler Rang/Definition
# MDLUL/regulären Punkt (Kurve)

Start=regulären Punkt (Kurve)
Siehe=regulärer Punkt (Kurve) MDLUL/regulärer Punkt (Kurve) Ziel=Differenzierbare Abbildung/R/Regulärer Punkt/Maximaler Rang/Definition
# MDLUL/reguläre Punkte

Start=reguläre Punkte
Siehe=regulärer Punkt MDLUL/regulärer Punkt Ziel=Differenzierbare_Abbildung/R/Regulärer_Punkt/Maximaler_Rang/Definition
# MDLUL/reguläre Punkte (Rang)

Start=reguläre Punkte (Rang)
Siehe=regulärer Punkt (Rang) MDLUL/regulärer Punkt (Rang) Ziel=Differenzierbare Abbildung/R/Regulärer Punkt/Maximaler Rang/Definition
# MDLUL/regulären Funktionen (Varietät)

Start=regulären Funktionen (Varietät)
Siehe=reguläre Funktion (Varietät) MDLUL/reguläre Funktion (Varietät) Ziel=Quasiaffine Varietät/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf offener Menge/Punktweise und global/Definition
# MDLUL/regulären Punkt (Rang)

Start=regulären Punkt (Rang)
Siehe=regulärer Punkt (Rang) MDLUL/regulärer Punkt (Rang) Ziel=Differenzierbare Abbildung/R/Regulärer Punkt/Maximaler Rang/Definition
# MDLUL/regulären Punkte

Start=regulären Punkte
Siehe=regulärer Punkt MDLUL/regulärer Punkt Ziel=Differenzierbare_Abbildung/R/Regulärer_Punkt/Maximaler_Rang/Definition
# Hilberts Nullstellensatz/Algebraisch abgeschlossen/Keine gemeinsame Nullstelle/Dann Einheitsideal/Aufgabe

Beweise Fakt direkt aus Fakt.
# Hilberts Basissatz/Erweiterung auf Potenzreihenringe/Aufgabe

Es sei $A$ ein noetherscher kommutativer Ring. Man zeige, dass $A[[T_{1},\ldots ,T_{n}]]$ noethersch ist.
# Matrizenraum/Dimension/Aufgabe

Bestimme die Dimension des Raumes aller $m\times n$-Matrizen.
# Matrizenraum/Direkte Summe der Spaltenräume/Aufgabe

Zeige, dass der Raum der $m\times n$-Matrizen über einem Körper $K$ die direkte Summe aus den Spaltenräumen $S_{j}$, $j=1,\ldots ,n$, ist, wobei der $j$-te Spaltenraum aus denjenigen $m\times n$-Matrizen besteht, die in der $j$-ten Spalte beliebige Einträge und sonst überall den Eintrag $0$ besitzen. Man gebe die direkte Summenzerlegung für die $3\times 4$-Matrix
    ${\begin{pmatrix}-3&8&10&-2\\2&6&4&5\\5&3&0&7\end{pmatrix}}$
an.
# Matrizenraum/Vektorraum/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und seien $m,n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass der Matrizenraum $\operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ in natürlicher Weise ein Vektorraum ist.
# Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Kürzungsregel/Fakt/Beweis2

Dies folgt unmittelbar aus Fakt (5) und daraus, dass eine totale Ordnung vorliegt.
# Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Kürzungsregel/Fakt/Name

Die Kürzungsregel für natürliche Zahlen.
# Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Integrität/Über Ordnung/Aufgabe/Lösung

Wenn die beiden Faktoren $a,b$ nicht $0$ sind, so ist
    $a,b\geq 1\,$
nach Fakt (2) und somit ist
    $a\cdot b\geq 1\,$
nach Fakt (4).
# Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Kürzungsregel/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir führen Induktion nach $n$. Bei $n=0$ ist $0\cdot k=0$ nach Fakt (1). Also ist
    $0=m\cdot k\,$
und wegen $k\neq 0$ folgt mit Fakt daraus $m=0=n$. Es sei die Aussage für ein $n$ (und beliebige $k\neq 0$ und $m$) bewiesen. Die Aussage ist für den Nachfolger $n'$ zu zeigen. Die Bedingung
    $n'\cdot k=m\cdot k\,$
kann bei $m=0$ wegen Fakt nicht gelten. Also ist $m$ ein Nachfolger, sagen wir $m=\ell '$. Somit ist
    $n\cdot k+k=n'\cdot k=m\cdot k=\ell '\cdot k=\ell \cdot k+k\,.$
Aus der Abziehregel folgt
    $n\cdot k=\ell \cdot k\,$
und aus der Induktionsvoraussetzung folgt
    $n=\ell \,,$
also
    $n'=\ell '=m\,.$
# Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Kürzungsregel/Über Ordnung/Aufgabe

Beweise Fakt mit Hilfe von Fakt.
# Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Kürzungsregel/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise die Kürzungsregel für natürliche Zahlen.
# Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Kürzungsregel/Fakt/Andere Induktion/Aufgabe

Welches Problem ergibt sich, wenn man Fakt durch Induktion über $k$ beweisen möchte?
# Reelle Zahlen/Folge/Wachsend/Definition/Begriff

Eine wachsende reelle Folge.
# Reelle Zahlen/Folgen/Bestimmte Divergenz/+/Definition/Begriff

Die bestimmte Divergenz einer reellen Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $+\infty$.
# Reelle Zahlen/Folgen/Bestimmte Divergenz/-/Definition/Begriff

Die bestimmte Divergenz einer reellen Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $-\infty$.
# Lineares Gleichungssystem/C/Trigonalgestalt/Aufgabe

Löse über den komplexen Zahlen das lineare Gleichungssystem
    ${\begin{matrix}{\mathrm {i} }x&+y&+(2-{\mathrm {i} })z&=&2\\&7y&+2{\mathrm {i} }z&=&-1+3{\mathrm {i} }\\&&(2-5{\mathrm {i} })z&=&1\,.\end{matrix}}$
# Lineares Gleichungssystem/Cramersche Regel/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Für eine invertierbare Matrix $M$ ergibt sich die Lösung für das lineare Gleichungssystem $Mx=c$, indem man $M^{-1}$ anwendet, d.h. es ist $x=M^{-1}c$. Unter Verwendung von Fakt bedeutet dies $x={\frac {1}{\det M}}(M^{\operatorname {adj} })c$. Für die $j$-te Komponente bedeutet dies
    $x_{j}={\frac {1}{\det M}}{\left(\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+j}(\det M_{kj})\cdot c_{k}\right)}\,.$
$j$
# Lineares Gleichungssystem/Cramersche Regel/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise die Cramersche Regel zur Lösung eines linearen Gleichungssystems.
# Lineares Gleichungssystem/Cramersche Regel/Fakt/Name

Die Cramersche Regel zur Lösung eines linearen Gleichungssystems.
# Natürliche Zahlen/Multiplikation/Zugang über Produktmenge/Aufgabe

Angenommen, wir würden für die Multiplikation die Anzahl der Produktmenge als Ausgangspunkt (also als Definition) nehmen. Wie wären bei dieser Vorgehensweise die Aussagen Fakt, Fakt und Fakt zu beweisen?
# Natürliche Zahlen/Nachfolger/Addition und disjunkte Vereinigung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Addition und endliche Mengen.
# Natürliche Zahlen/Multiplikation mit n/Definition/Begriff

Die Multiplikation mit $n\in \mathbb {N}$ in einem Dedekind-Peano-Modell $\mathbb {N}$.
# MDLUL/lineare Gruppe

Start=lineare Gruppe
Ziel=Lineare Gruppe/Algebraisch abgeschlossen/Zariski-abgeschlossen/Definition
# MDLUL/lineare Isometrie (K)

Start=lineare Isometrie (K)
Ziel=Vektorräume/Skalarprodukt/Lineare Isometrie/Definition
# MDLUL/lineare Isomorphie

Start=lineare Isomorphie
Ziel=Lineare Abbildung/Körper/Isomorphismus/Definition
# MDLUL/lineare Polynome

Start=lineare Polynome
Siehe=lineares Polynom MDLUL/lineares Polynom Ziel=Lineares Polynom/Körper/Definition
# MDLUL/lineare Projektion

Start=lineare Projektion
Ziel=Vektorraum/Untervektorraum/Projektion/Definition
# MDLUL/lineare Isometrie

Start=lineare Isometrie
Ziel=Euklidischer Vektorraum/Isometrie/Definition
# MDLUL/lineare Operation

Start=lineare Operation
Ziel=Gruppe/Lineare Operation/Definition
# MDLUL/lineare Gruppen

Start=lineare Gruppen
Siehe=lineare Gruppe MDLUL/lineare Gruppe Ziel=Lineare Gruppe/Algebraisch abgeschlossen/Zariski-abgeschlossen/Definition
# MDLUL/lineare Projektion (Produkt)

Start=lineare Projektion (Produkt)
Ziel=Produktmenge/Beliebig/Projektion/Definition
# MDLUL/lineare Symmetrie

Start=lineare Symmetrie
Ziel=Symmetrie/Isometrie an einem geometrischen Objekt/Definition
# Polynomring/K/Homogenes Polynom/Hyperfläche/Multiplizität/Fakt/Beweis

Dies folgt aus der expliziten Berechnung in Fakt.
# Polynomring/K/Multiplizität/Fakt/Name

Der Satz über die Multiplizität des Polynomringes über einem Körper.
# Polynomring/K/Homogenes Polynom/Hyperfläche/Multiplizität/Fakt/Name

Der Satz über die Multiplizität eines homogenen Polynoms.
# Möglichkeit überhaupt/Möglichkeitsaxiom/Modell/Aufgabe

Zeige, dass in jedem modallogischen Modell $(M,R,\mu )$ das Schema
    $\Box \alpha \wedge \Diamond \beta \rightarrow \Diamond \alpha$
gilt.
# Mögliche Notwendigkeit/Charakterisierung der Rahmen/Aufgabe

Charakterisiere die modallogischen Rahmen, in denen (bei jeder Wahrheitsbelegung) das Axiomenschema
    $\alpha \rightarrow \Diamond \Box \alpha$
gilt.
# Mörder/Aussagenlogik/Aufgabe

$E$ wurde ermordet. Es gelten folgende Sachverhalte.
* Der Mörder ist $A$ oder $B$ oder $C$ oder $D$.
* Wenn $C$ der Mörder ist, dann ist $D$ nicht der Mörder oder $A$ ist der Mörder.
* $A,B,C,D$ sind alle verschieden.
* Es gibt genau einen Mörder.
* Wenn $A$ nicht der Mörder ist, dann ist $D$ nicht der Mörder.
* $A$ ist genau dann der Mörder, wenn $B$ der Mörder ist.
Wer ist der Mörder?
# Möbiusband/Tensorprodukt/Trivial/Aufgabe

Zeige, dass das Tensorprodukt des Möbiusbandes mit sich selbst ein triviales Geradenbündel ist.
# Mögliche Notwendigkeit/Möglichkeitsaxiom/Aufgabe

In einem $K$-modallogischen System $S$ gelte das Axiomenschema
    $\alpha \rightarrow \Diamond \Box \alpha .$
Zeige, dass man in $S$ das Möglichkeitsaxiom
    $\Box \alpha \rightarrow \Diamond \alpha$
ableiten kann.
# Mögliche Notwendigkeit/Nichtsymmetrische Realisierung/Aufgabe

Zeige, dass aus dem $K$-modallogischen Axiomenschema
    $\alpha \rightarrow \Diamond \Box \alpha$
nicht das Axiomenschema
    $\alpha \rightarrow \Box \Diamond \alpha$
ableitbar ist.
# Möglichkeit überhaupt/Möglichkeitsaxiom/Aufgabe

Zeige, dass in der $K$-Modallogik das Schema
    $\Box \alpha \wedge \Diamond \beta \rightarrow \Diamond \alpha$
ableitbar ist.
# Monoidring/Z^2 ist XY/Unitärer Operator/Aufgabe

Bestimme im Monoidring $K[X,Y,Z]/(Z^{2}-XY)$ die kanonischen unitären Differentialoperatoren (und ihre Ordnung) für die Monome
* $X$,
* $Z$,
* $XY$.
# Monoidring/Z nach Z/Fundamentalgruppe/Aufgabe

Es sei
    $\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z}$
ein Gruppenhomomorphismus und
    $\varphi \colon {\mathbb {C} }^{\times }\cong {\left(\operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[T,T^{-1}]\right)}\right)}_{\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times }\cong {\left(\operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[T,T^{-1}]\right)}\right)}_{\mathbb {C} }$
die zugehörige Spektrumsabbildung zwischen den Spektra der Monoidringe. Wie sieht die zugehörige Abbildung der Fundamentalgruppen aus?
# Monoidring/ZW ist XY/Unitärer Operator/Aufgabe

Bestimme im Monoidring $K[X,Y,Z]/(ZW-XY)$ die kanonischen unitären Differentialoperatoren (und ihre Ordnung) für die Monome
* $X$,
* $XY$,
* $X^{2}$.
# Polynomring/Veronesering/Monoidring/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Dies folgt aus Fakt zur $D:=\mathbb {Z} /(s)$-Graduierung
    $\mathbb {Z} ^{n}\longrightarrow \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(s).$
Der Kern dieser Abbildung geschnitten mit $\mathbb {N} ^{n}$ bildet gerade die angegebene Menge. Der Zusatz folgt aus
# Polynome in je einer Variable/Durchschnitt/Abschätzung/Aufgabe

Es seien $P(X)$ und $Q(Y)$ nichtkonstante Polynome in der einen angegebenen Variablen. Man gebe eine Abschätzung (unter welcher Bedingung?) für die Anzahl der Schnittpunkte der beiden Kurven $V(Y-P(X))$ und $V(X-Q(Y))$.
# Polynome einsetzen/x^2+3x-5 und x^2-4x+7/Ableitung/Aufgabe

Es seien die beiden Polynome
    $P=X^{2}+3X-5\,\,{\text{ und }}\,\,Q=X^{2}-4X+7$
gegeben.
a) Berechne $P(Q)$ (es soll also $Q$ in $P$ eingesetzt werden).
b) Berechne die Ableitung von $P(Q)$ direkt und mit Hilfe der Kettenregel.
# Polynome/n Variablen/Variablen/Algebraisch unabhängig/Aufgabe

Es sei $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring über einem Körper $K$. Zeige, dass die Variablen $X_{1},\ldots ,X_{n}$ algebraisch unabhängig sind.
# Primzahlen/Logarithmen/Linear unabhängig/Aufgabe

Betrachte die reellen Zahlen $\mathbb {R}$ als $\mathbb {Q}$-Vektorraum. Zeige, dass die Menge der reellen Zahlen $\ln p$, wobei $p$ durch die Menge der Primzahlen läuft, linear unabhängig ist.
# Primzahlen/Fermatsche Primzahlen/Definition/Begriff

Eine Fermatsche Primzahl.
# Primzahlen/Logarithmen/Linear unabhängig/Tipp/Aufgabe

Betrachte die reellen Zahlen $\mathbb {R}$ als $\mathbb {Q}$-Vektorraum. Zeige, dass die Menge der reellen Zahlen $\ln p$, wobei $p$ durch die Menge der Primzahlen läuft, linear unabhängig ist. Tipp: Verwende, dass jede positive natürliche Zahl eine eindeutige Darstellung als Produkt von Primzahlen besitzt.
# SCLO/ Vorlage: Internetquelle
## Einbinden der Vorlage

{{:SCLO/ Vorlage: Internetquelle| url= | Seitenname= | Datum= TT.MM.JJJJ}}
# SCLO/ Vorlage: Klappbox

Klappbox für Beispiele oder Erklärungen. Floatet nach rechts.
# SCLO/ Vorlage: Level and Letters
## Einbinden

{{SCLO/ Vorlage: Level and Letters | Level= | Letter= }}
# SCLO/ Vorlage: General Objectives
## Einbinden

Text im grün hinterlegten Kasten per copy paste in den Artikel einfügen, Gelb hinterlegter Text ersetzen.
Hilfe zur Angabe von Quellen sowie zum Ersetzen von Kapitel, Unterkapitel und Unter-Unterkapitel sowie Level und Letters.
{{:SCLO/ Vorlage: Grundgerüst | Kapitel=Kapitel|Unterkapitel=Unterkapitel| Unter-Unterkapitel=Unter-Unterkapitel |Level=Level|Letter=Letter }}
{{:SCLO/ Vorlage: Titel | Inhalt=Lernziel wortwörtlich übernommen aus dem SCLO-Katalog}}
'''Übersetzung:'''....
'''Synonyme:'''....
==Titel1== ....
==Titel2== ....
==Siehe auch==
==Quellen== Verwendete Quellen
==Einzelnachweise==
# SCLO/ Vorlage: Naviblock Inhaltsverzeichnis
## Einbinden

{{:SCLO/ Vorlage: Naviblock Inhaltsverzeichnis}}
# SCLO/ Vorlage: Problems as Starting Points for Training
## Einbinden

Text im grün hinterlegten Kasten per copy paste in den Artikel einfügen, Gelb hinterlegter Text ersetzen.
Hilfe zur Angabe von Quellen sowie zum Ersetzen von Kapitel, Unterkapitel und Unter-Unterkapitel sowie Level und Letters.
Falls einige Titel nich benötigt werden diese nich löschen, sondern mit <!-- am Anfang und --> am Ende der Zeile kaschieren.
{{:SCLO/ Vorlage: Grundgerüst | Kapitel=Kapitel|Unterkapitel=Unterkapitel| Unter-Unterkapitel=Unter-Unterkapitel |Level=Level|Letter=Letter }}
{{:SCLO/ Vorlage: Titel | Inhalt=Lernziel wortwörtlich übernommen aus dem SCLO-Katalog}}
'''Übersetzung:'''....
'''Synonyme:'''....
==Definition(en)== ....
==Anamnese== ....
==Klinik== ....
==Untersuchungen== ....
==symptomatische Therapie== ....
==Ursachen/Differentialdiagnosen== ; kongenital: :.... ; infektiös :.... ; entzündlich :.... ; traumatisch :.... ; toxisch :.... ; metabolisch :.... ; neurologisch :.... ; neoplastisch :.... ; idiopathisch :....
==Siehe auch==
==Quellen== Verwendete Quellen
==Einzelnachweise==
# SCLO/ Vorlage: General Skills
## Einbinden

Text im grün hinterlegten Kasten per copy paste in den Artikel einfügen, Gelb hinterlegter Text ersetzen.
Hilfe zur Angabe von Quellen sowie zum Ersetzen von Kapitel, Unterkapitel und Unter-Unterkapitel sowie Level und Letters.
Falls einige Titel nich benötigt werden diese nich löschen, sondern mit <!-- am Anfang und --> am Ende der Zeile kaschieren.
{{:SCLO/ Vorlage: Grundgerüst | Kapitel=Kapitel|Unterkapitel=Unterkapitel| Unter-Unterkapitel=Unter-Unterkapitel |Level=Level|Letter=Letter }}
{{:SCLO/ Vorlage: Titel | Inhalt=Lernziel wortwörtlich übernommen aus dem SCLO-Katalog}}
'''Übersetzung:'''....
'''Synonyme:'''....
==Prinzip== ....
==Einwilligung des Patienten== ....
==Indikation== ....
==Kontraindikation== ....
==Ablauf== ....
==Interpretation== ....
==Dokumentation== ....
==Komplikationen== ....
==Kosten== ....
==Siehe auch==
==Quellen== Verwendete Quellen
==Einzelnachweise==
# SCLO/ Vorlage: Grundgerüst

Grundgerüst für alle Seiten des Projekts SCLO

## Einbinden der Vorlage

Einfügen von:
{{:SCLO/ Vorlage: Grundgerüst | Kapitel= | Unterkapitel= | Unter-Unterkapitel= | Level= | Letter= }}
zu Beginn des Bearbeitungsfeldes.
Angaben für Kapitel, Unterkapitel,Unter-Unterkapitel, Level und Letter unter Liste der Parameter

## Verwendete Vorlagen

SCLO/ Vorlage: Naviblock Inhaltsverzeichnis SCLO/ Vorlage: Subpage SCLO/ Vorlage: Level and Letters