OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Totales Differential/Studium eines Beispiels/Aufgabe

Studiere Beispiel.
# Totales Differential/R/Skalarmultiplikation/Aufgabe

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale ${\mathbb {R} }$-Vektorräume und $G\subseteq V$ eine offene Teilmenge. Es sei $\varphi \colon G\rightarrow W$ im Punkt $P\in G$ differenzierbar mit dem Differential $\left(D\varphi \right)_{P}$. Zeige, dass für alle $a\in {\mathbb {R} }$ die Beziehung
    $\left(D(a\varphi )\right)_{P}=a\left(D\varphi \right)_{P}\,$
gilt.
# Totales Differential/R/xy-zy+2z^2,sin(x^2yz)/Aufgabe

a) Berechne das totale Differential der Abbildung
    $\varphi \colon {\mathbb {R} }^{3}\longrightarrow {\mathbb {R} }^{2},\,(x,y,z)\longmapsto (xy-zy+2z^{2},\sin(x^{2}yz)),$
in jedem Punkt.
b) Was ist das totale Differential im Punkt $(1,-1,\pi )$?
c) Berechne die Richtungsableitung in diesem Punkt in Richtung $(2,0,5)$.
d) Berechne den Wert von $\varphi$ in diesem Punkt.
# Totales Differential/R/xy-2y^3+5,x^3-xy^2+y/Aufgabe

a) Berechne das totale Differential der Abbildung
    $\varphi \colon {\mathbb {R} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {R} }^{2},\,(x,y)\longmapsto \left(xy-2y^{3}+5,\,x^{3}-xy^{2}+y\right),$
in jedem Punkt.
b) Was ist das totale Differential im Punkt $(1,2)$?
c) Berechne die Richtungsableitung in diesem Punkt in Richtung $(4,-3)$.
d) Berechne den Wert von $\varphi$ in diesem Punkt.
# Totales Differential/Studiere Beweis/Aufgabe

Studiere den Beweis von Fakt.
# Totales Differential/Umkehrabbildung/(sin xy, yz cos x^2,e^(xyz))/(1,pi,1)/Aufgabe

Betrachte die Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y,z)\longmapsto (\sin xy,yz\cos \left(x^{2}\right),e^{xyz}).$
Zeige, dass $\varphi$ im Punkt $P=(1,\pi ,1)$ lokal umkehrbar ist, und bestimme das totale Differential der Umkehrabbildung im Punkt $Q=\varphi (P)$.
# Totales Differential/R/Produktabbildungen/Aufgabe

Es seien $V$, $W_{1}$ und $W_{2}$ endlichdimensionale ${\mathbb {R} }$-Vektorräume.
* Es seien $L_{1}\colon V\rightarrow W_{1}$ und $L_{2}\colon V\rightarrow W_{2}$ ${\mathbb {R} }$-lineare Abbildungen. Zeige, dass die Abbildung ${\mathbb {R} }$-linear ist.
    $L_{1}\times L_{2}\colon V\longrightarrow W_{1}\times W_{2},\,v\longmapsto (L_{1}(v),L_{2}(v)),$
* Es seien $f_{1}\colon V\rightarrow W_{1}$ und $f_{2}\colon V\rightarrow W_{2}$ im Punkt $P\in V$ differenzierbare Abbildungen. Zeige, dass die Abbildung im Punkt P differenzierbar ist mit dem totalen Differential
    $f=(f_{1}\times f_{2})\colon V\longrightarrow W_{1}\times W_{2},\,Q\longmapsto (f_{1}(Q),f_{2}(Q)),$
    $\left(Df\right)_{P}=\left(Df_{1}\right)_{P}\times \left(Df_{2}\right)_{P}\,.$
# Totales Differential/R/x+y^2,xy,exp(x)/Aufgabe

a) Berechne das totale Differential der Abbildung
    $\varphi \colon {\mathbb {R} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {R} }^{3},\,(x,y)\longmapsto (x+y^{2},xy,\exp x),$
in jedem Punkt.
b) Was ist das totale Differential im Punkt $(3,2)$?
c) Berechne die Richtungsableitung in diesem Punkt in Richtung $(-1,-7)$.
d) Berechne den Wert von $\varphi$ in diesem Punkt.
# Totales Differential/Reelle Koordinaten/2z^3-z^2+3z+2-i/Aufgabe

Drücke die Abbildung
    ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto 2z^{3}-z^{2}+3z+2-{\mathrm {i} },$
in reellen Koordinaten aus. Berechne das reelle totale Differential dieser Abbildung.
# Vollkommener Körper/Über separabel/Definition/Begriff

Ein vollkommener Körper.
# 2x2-Matrix/Zeile/Ergänze/1/Aufgabe

Ergänze die Matrix
    ${\begin{pmatrix}7&11\\&\end{pmatrix}}$
zu einer ganzzahligen Matrix mit Determinante $1$.
# Binäre Diedergruppe/1/Zyklisch/Aufgabe

Zeige, dass die binäre Diedergruppe $BD_{1}$ eine zyklische Gruppe der Ordnung $4$ ist.
# Binswanger, Otto (1904)

Binswanger, O.: Die Hysterie. 43 Abbildungen und 2 Tafeln. Wien: A. Hölder 1904, 954 Seiten.
Otto Binswanger (1852 – 1929) war Ordinarius für Neurologie und Psychiatrie von 1886 bis 1929 in Jena. Nach ihm benannt ist die Binswangersche Enzephalopathie (subkortikale arteriosklerotische Enzephalopathie). Neben diesen neurologischen Leistungen hat sich Otto Binswanger auch als Hysterieforscher verdient gemacht. Sein Nachfolger wurde Hans Berger, der Erfinder des EEGs.
Binswangers prominentester Patient war Friedrich Nietzsche.
    weiter
    Übersicht
    zurück
# Binäre Gruppen/Urbild der reellen Gruppen/Aufgabe

Zeige, dass die in Beispiel, Beispiel, Beispiel und Beispiel beschriebenen Gruppen unter dem surjektiven Gruppenhomomorphismus
    $\operatorname {SU} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}\longrightarrow \operatorname {SO} _{3}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$
die Urbildgruppen der entsprechenden reellen Gruppen sind.
# Binäre Ikosaedergruppe/120 Elemente/Darstellung/Aufgabe

Zeige, dass die binäre Ikosaedergruppe $120$ Elemente besitzt.
# Aussagenlogik/Syntaktische Tautologien/Implikation/Durch Negation und Konjunktion/Aufgabe

Es seien $\alpha$ und $\beta$ Aussagen.
* Zeige
    $\vdash {\left(\alpha \rightarrow \beta \right)}\rightarrow \neg {\left(\alpha \wedge \neg \beta \right)}.$
* Zeige
    $\vdash \neg {\left(\alpha \wedge \neg \beta \right)}\rightarrow {\left(\alpha \rightarrow \beta \right)}.$
# Aussagenlogik/Syntaktische Tautologien/Implikation/Durch Negation und Konjunktion/Aufgabe/Lösung

* Mit (einer Variante von) Fakt ist Mit Kontraposition des Nachsatzes ergibt sich daraus Mit Axiom (4) folgt und mit Kontraposition
    $\vdash \alpha \rightarrow {\left({\left(\alpha \rightarrow \beta \right)}\rightarrow \beta \right)}.$
    $\vdash \alpha \rightarrow {\left(\neg \beta \rightarrow \neg {\left(\alpha \rightarrow \beta \right)}\right)}.$
    $\vdash \alpha \wedge \neg \beta \rightarrow \neg {\left(\alpha \rightarrow \beta \right)}$
    $\vdash {\left(\alpha \rightarrow \beta \right)}\rightarrow \neg {\left(\alpha \wedge \ \neg \beta \right)}.$
* Es ist und nach Axiom (1). Mit Fakt (6) (Kontraposition) ergibt sich und daraus und der zweiten Zeile mit der Kettenschlussregel Mit Kontraposition (als Regel) ergibt sich aus der ersten und der letzten Zeile unter Verwendung von Fakt wiederum und Daraus ergibt sich wegen Axiom (3) und somit
    $\vdash \beta \rightarrow {\left(\alpha \rightarrow \beta \right)}$
    $\vdash \neg \alpha \rightarrow {\left(\neg \beta \rightarrow \neg \alpha \right)}$
    $\vdash {\left(\neg \beta \rightarrow \neg \alpha \right)}\rightarrow {\left(\alpha \rightarrow \beta \right)}$
    $\vdash \neg \alpha \rightarrow {\left(\alpha \rightarrow \beta \right)}.$
    $\vdash \neg {\left(\alpha \rightarrow \beta \right)}\rightarrow \neg \beta$
    $\vdash \neg {\left(\alpha \rightarrow \beta \right)}\rightarrow \alpha .$
    $\vdash \neg {\left(\alpha \rightarrow \beta \right)}\rightarrow \alpha \wedge \neg \beta$
    $\vdash \neg {\left(\alpha \wedge \neg \beta \right)}\rightarrow {\left(\alpha \rightarrow \beta \right)}.$
# Aussagenlogik/Tautologie/Entscheidungsverfahren/Aufgabe

Entwickle ein Entscheidungsverfahren für aussagenlogische Tautologien.
# Aussagenlogik/Syntaktische Tautologien/Implikation, Negation, Konjunktion/Axiomatik/Weitere Tautologien/Mit Negation/Fakt/Beweis

* Die Fallunterscheidungstautologie liefert Aus (Fakt) ergibt sich daraus die Behauptung.
    $\vdash (\alpha \rightarrow \alpha )\wedge (\neg \alpha \rightarrow \alpha )\rightarrow \alpha .$
    $\vdash \alpha \rightarrow \alpha$
* Nach Axiom (3) gilt und nach Axiom (5) gilt Nach Fakt (1) folgt woraus nach Teil (1) die Behauptung mit der Kettenschlussregel folgt.
    $\vdash (\neg \beta \rightarrow \neg \alpha )\wedge (\neg \beta \rightarrow \alpha )\rightarrow (\neg \beta \rightarrow \neg \alpha \wedge \alpha )$
    $\vdash \neg \alpha \wedge \alpha \rightarrow \beta .$
    $\vdash (\neg \beta \rightarrow \neg \alpha )\wedge (\neg \beta \rightarrow \alpha )\rightarrow (\neg \beta \rightarrow \beta ),$
* Nach Axiom (1) ist Nach Axiom (5) ist was wir mit Axiom (4) zu umformulieren können. Daraus ergibt sich mit der Fallunterscheidungsregel.
    $\vdash \neg \neg \alpha \rightarrow (\alpha \rightarrow \neg \neg \alpha ).$
    $\vdash \neg \alpha \wedge \alpha \rightarrow \neg \neg \alpha ,$
    $\vdash \neg \alpha \rightarrow (\alpha \rightarrow \neg \neg \alpha ),$
    $\vdash \alpha \rightarrow \neg \neg \alpha$
* Nach Axiom (1) ist Nach Axiom (5) ist was wir zu umformulieren können. Daraus ergibt sich mit der Fallunterscheidungsregel.
    $\vdash \alpha \rightarrow (\neg \neg \alpha \rightarrow \alpha ).$
    $\vdash \neg \alpha \wedge \neg \neg \alpha \rightarrow \alpha ,$
    $\vdash \neg \alpha \rightarrow (\neg \neg \alpha \rightarrow \alpha ),$
    $\vdash \neg \neg \alpha \rightarrow \alpha$
* Es ist nach Axiom (1) und damit auch Ferner ist nach einer Variante von Axiom (5) Nach Fakt ist woraus sich ergibt. Mit der Fallunterscheidungsregel folgt die Behauptung.
    $\vdash \neg \alpha \rightarrow (\neg \beta \rightarrow \neg \alpha )$
    $\vdash \neg \alpha \rightarrow ((\alpha \rightarrow \beta )\rightarrow (\neg \beta \rightarrow \neg \alpha )).$
    $\vdash \beta \rightarrow (\neg \beta \rightarrow \neg \alpha ).$
    $\vdash \alpha \rightarrow ((\alpha \rightarrow \beta )\rightarrow \beta ),$
    $\vdash \alpha \rightarrow ((\alpha \rightarrow \beta )\rightarrow (\neg \beta \rightarrow \neg \alpha ))$
* Dies folgt aus (3), (4) und (5).
# Aussagenlogik/Syntaktische Tautologien/Implikation, Negation, Konjunktion/Axiomatik/Weitere Schlussregeln/Fakt/Beweis

* Sei und Nach Bemerkung gilt auch und daraus ergibt sich mit Axiom (3), der Konjunktionsregel und dem Modus ponens Mittels des Kettenschlusses ergibt sich daraus und aus Axiom (2) die Behauptung.
    $\vdash \alpha \rightarrow (\beta \rightarrow \gamma )$
    $\vdash \gamma \rightarrow \delta .$
    $\vdash \alpha \rightarrow (\gamma \rightarrow \delta )$
    $\vdash \alpha \rightarrow (\beta \rightarrow \gamma )\wedge (\gamma \rightarrow \delta ).$
* Siehe Aufgabe.
# Aussagenlogik/Syntaktische Tautologien/Implikation, Negation, Konjunktion/Axiomatik/Weitere Schlussregeln/Modus ponens Variante/Aufgabe

Begründe die folgende Ableitungsregel: Aus $\vdash \alpha$ und $\vdash \alpha \wedge \beta \rightarrow \gamma$ folgt $\vdash \beta \rightarrow \gamma$.
# Beringter Raum/Morphismus/Moduln/Vorschub und Rückzug/Adjunktion/Fakt/Beweis

Dies folgt im Wesentlichen aus Aufgabe.
# Beringter Raum/Morphismus/Modul/Rückzug/Definition

Zu einem Morphismus beringter Räume $\varphi \colon (X,{\mathcal {O}}_{X})\rightarrow (Y,{\mathcal {O}}_{Y})$ und einem ${\mathcal {O}}_{Y}$-Modul ${\mathcal {G}}$ ist die zurückgezogene Modulgarbe
$\varphi ^{*}{\mathcal {G}}$ als Vergarbung der Prägarbe
    $U\longmapsto \Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{X}\right)}\otimes _{\Gamma {\left(U,\varphi ^{-1}{\mathcal {O}}_{Y}\right)}}\Gamma {\left(U,\varphi ^{-1}{\mathcal {G}}\right)}$
definiert.
# Beringter Raum/Morphismus/Hintereinanderschaltung/Aufgabe

Zeige, dass die Hintereinanderschaltung von Morphismen beringter Räume wieder ein Morphismus beringter Räume ist.
# Dreieck/Höhenfußpunkt/Einer innerhalb/Aufgabe

Zeige, dass in einem nichtausgearteten Dreieck mindestens ein Höhenfußpunkt zwischen den Eckpunkten liegt.
# Dreieck/Höhenfußpunkt/Zwei außerhalb/Skizze/Aufgabe

Skizziere ein Dreieck, bei dem zwei Höhenfußpunkte außerhalb der Dreiecksseiten liegen.
# Dreieck/Inkreismittelpunkt/Ähnlichkeit/Aufgabe

Zeige, dass der Inkreismittelpunkt eines nichtausgearteten Dreiecks $(A,B,C)$ in einer euklidischen Ebene unter einer Verschiebung und unter einer winkeltreuen Abbildung auf den Inkreismittelpunkt des Bilddreiecks abgebildet wird.
# Dreieck/Höhenschnittpunkt/Affine Abbildung/Aufgabe

Zeige, dass der Höhenschnittpunkt eines nichtausgearteten Dreiecks $(A,B,C)$ in einer euklidischen Ebene unter einer bijektiven affin-linearen Abbildung nicht unbedingt auf den Höhenschnittpunkt des Bilddreiecks abgebildet wird.
# Dreieck/Inkreismittelpunkt/Affine Abbildung/Aufgabe

Zeige, dass der Inkreismittelpunkt eines nichtausgearteten Dreiecks $(A,B,C)$ in einer euklidischen Ebene unter einer bijektiven affin-linearen Abbildung nicht unbedingt auf den Inkreismittelpunkt des Bilddreiecks abgebildet wird.
# Dreieck/Höhenschnittpunkt/Außerhalb/Skizze/Aufgabe

Skizziere ein Dreieck, bei dem der Höhenschnittpunkt außerhalb des Dreiecks liegt.
# Dreieck/Höhenschnittpunkt/Definition

Zu einem nichtausgearteten Dreieck $A,B,C$ in einer euklidischen Ebene heißt der Schnittpunkt der drei Höhen der Höhenschnittpunkt.
# Dreieck/Höhenschnittpunkt/Ähnlichkeit/Aufgabe

Zeige, dass der Höhenschnittpunkt eines nichtausgearteten Dreiecks $(A,B,C)$ in einer euklidischen Ebene unter einer Verschiebung und unter einer winkeltreuen Abbildung auf den Höhenschnittpunkt des Bilddreiecks abgebildet wird.
# Endomorphismus/R^2/Eigenwerte/Skizziere/Aufgabe

Man lege eine Serie von Skizzen (hochladbare Computergraphik) an, die die typische Wirkungsweise (beispielsweise auf gewissen Figuren) von linearen Abbildungen der reellen Ebene $\mathbb {R} ^{2}$ in sich veranschaulicht. Insbesondere sollen auch Eigenräume illustriert werden.
# Aussagenlogik/Sprache/Klammernanzahl links und rechts/Aufgabe

Beweise durch Induktion über den rekursiven Aufbau der Sprache $L^{V}$, dass in jeder Aussage $\alpha \in L^{V}$ und für jedes Symbol $s$ in $\alpha$, das keine Klammer ist, folgendes zutrifft: Links von $s$ ist die Anzahl der linken Klammern mindestens so groß wie die Anzahl der rechten Klammern.
# Aussagenlogik/Sprache/Gesamtklammernanzahl/Aufgabe

Beweise durch Induktion über den rekursiven Aufbau der Sprache $L^{V}$, dass in jeder Aussage $\alpha \in L^{V}$ die Anzahl der linken Klammern mit der Anzahl der rechten Klammern übereinstimmt.
# Aussagenlogik/Sprache/Leeres Wort/Aufgabe

Gehört das leere Wort $\emptyset$ zur Sprache der Aussagenlogik $L^{V}$ zu einer Aussagenvariablenmenge $V$?
# Aussagenlogik/Sprache/Startzeichen/Aufgabe

Zeige, dass das erste Symbol in jeder Aussage aus $L^{V}$ entweder eine Aussagenvariable $p\in V$ oder das Negationszeichen $\neg$ oder eine linksseitige Klammer $($ ist.
# Aussagenlogik/Sprache informell/Äquivalenz als Äquivalenzrelation/Aufgabe

Es sei $V$ eine Menge von Aussagenvariablen und $S=L^{V}$ die damit definierte formale Sprache, also die Menge aller formalen Ausdrücke, die man von $V$ ausgehend mittels der Junktoren $\neg ,\wedge ,\vee ,\rightarrow ,\leftrightarrow$ und mit Klammern „sinnvoll“ basteln kann. Zeige, dass die Beziehung
    $s\sim t,{\text{ falls }}s\leftrightarrow t{\text{ eine Tautologie ist}},$
eine Äquivalenzrelation auf $S$ definiert. Zeige, dass sowohl alle Tautologien als auch alle Kontradiktionen eine Äquivalenzklasse bilden. Wie viele Äquivalenzklassen besitzt diese Äquivalenzrelation, falls $V$ $n$ Elemente besitzt?
# Aussagenlogik/Syntaktische Tautologien/Axiomatik/Einführung/Textabschnitt
## Axiom

Für eine Aussagenvariablenmenge $V$ und beliebige Ausdrücke $\alpha ,\beta ,\gamma$ legt man folgende (syntaktische) Tautologien axiomatisch fest.
    $\vdash \alpha \rightarrow (\beta \rightarrow \alpha ).$
    $\vdash (\alpha \rightarrow \beta )\wedge (\beta \rightarrow \gamma )\rightarrow (\alpha \rightarrow \gamma ).$
    $\vdash (\alpha \rightarrow \beta )\wedge (\alpha \rightarrow \gamma )\rightarrow (\alpha \rightarrow \beta \wedge \gamma ).$
* und
    $\vdash (\alpha \wedge \beta \rightarrow \gamma )\rightarrow (\alpha \rightarrow (\beta \rightarrow \gamma ))$
    $\vdash (\alpha \rightarrow (\beta \rightarrow \gamma ))\rightarrow (\alpha \wedge \beta \rightarrow \gamma ).$
    $\vdash \neg \alpha \wedge \alpha \rightarrow \beta .$
    $\vdash (\alpha \rightarrow \beta )\wedge (\neg \alpha \rightarrow \beta )\rightarrow \beta .$
Man spricht häufig auch genauer von Axiomenschemata, da jedes Axiom bei unterschiedlichen Einsetzungen eine Vielzahl von Axiomen representiert. Das Kettenschlussaxiom (2) besagt die Transitivität der Implikation, Axiom (5) heißt Widerspruchsaxiom und Axiom (6) heißt Fallunterscheidungsaxiom. Diese Tautologien sind die axiomatisch fixierten Grundtautologien und fungieren als die Startglieder im rekursiven Aufbau der syntaktischen Tautologien. Um überhaupt aus diesen Axiomen weitere Tautologien generieren zu können, braucht man Ableitungsregeln. Davon gibt es lediglich eine.
Modus ponens
Aus $\vdash \alpha$ und $\vdash (\alpha )\rightarrow (\beta )$ folgt $\vdash \beta$.

## Definition

Unter einer syntaktischen Tautologie versteht man einen Ausdruck $\alpha \in L^{V}$ (zu einer Aussagenvariablenmenge $V$), den man aus den {{ Axiomlink Grundtautologien|Axiomseitenname= Aussagenlogik/Syntaktische Tautologien/Implikation, Negation, Konjunktion/Axiom |Nr= |SZ= }} rekursiv mittels Modus ponens erhalten kann.
Die Menge aller syntaktischen Tautologien bilden also eine rekursiv definierte Teilmenge von $L^{V}$.

## Bemerkung

Eine Durchsicht der Grundtautologien zeigt, dass es sich jeweils auch um semantische Tautologien handelt, siehe Aufgabe. Wenn ferner $\alpha$ und $(\alpha )\rightarrow (\beta )$ semantische Tautologien sind, so ist auch $\beta$ eine semantische Tautologie. D.h. die semantischen Tautologien sind unter Modus ponens abgeschlossen. Dies bedeutet insgesamt, dass syntaktische Tautologien stets semantische Tautologien sind. Diese Eigenschaft nennt man auch die Korrektheit des syntaktischen Kalküls, er leitet ausschließlich semantische Tautologien, also wahre Aussagen ab. Die umgekehrte Aussage, dass sich jede semantische Tautologie auch syntaktisch in dem angegebenen Kalkül ableiten lässt, nennt man die Vollständigkeit des Kalküls.
# Differenzierbare Funktionen und Linearität/Aufgabe

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und $C^{2}(I,\mathbb {R} )$ der $\mathbb {R}$-Vektorraum der zweimal stetig differenzierbaren Funktionen auf $I$. Betrachte die Abbildung
    $d\colon C^{2}(I,\mathbb {R} )\longrightarrow C^{1}(I,\mathbb {R} ),\,f\longmapsto f'.$
* Zeige, dass $d$ eine $\mathbb {R}$-lineare Abbildung ist.
* Bestimme eine Basis von $\operatorname {Kern} (d)\,$.
# Differenzierbare Funktionen/R/Produktregel/Funktionslimes/Aufgabe/Lösung

Es seien $f,g\colon D\rightarrow \mathbb {R}$ Funktionen, die beide in $a\in D$ differenzierbar seien. Der Differenzenquotient der Produktfunktion $f(x)g(x)$ ist ${\frac {f(x)g(x)-f(a)g(a)}{x-a}}$ und es ist zu zeigen, dass davon der Limes für $x$ gegen $a$ existiert und gleich $f'(a)g(a)+f(a)g'(a)$ ist. Es ist
    ${\begin{aligned}{\frac {f(x)g(x)-f(a)g(a)}{x-a}}&={\frac {f(x)g(x)-f(x)g(a)+f(x)g(a)-f(a)g(a)}{x-a}}\\&={\frac {f(x)(g(x)-g(a))+g(a)(f(x)-f(a))}{x-a}}\\&=f(x){\frac {g(x)-g(a)}{x-a}}+g(a){\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}.\end{aligned}}$
Der Limes der Brüche existiert nach Voraussetzung und ist gleich $g'(a)$ bzw. $f'(a)$.
$f$
$a$
$f(x)$
$x$
$a$
$f(a)$
# Funktionenkörper/2 Variablen/Rechnung/Aufgabe

Berechne in $\mathbb {Q} (X,Y)$
    ${\frac {7X^{2}-XY^{3}+Y^{4}}{5X-{\frac {1}{3}}Y^{4}}}\cdot {\frac {1}{X^{2}Y^{3}}}+{\frac {3X^{3}+X^{2}Y^{2}-XY^{2}}{2+4X^{3}-X^{257}}}\cdot {\frac {1}{X^{2}Y^{3}}}-{\frac {1}{7}}X^{3}+XY+Y^{6}+9$
# Funktionenkörper/F p/Nicht vollkommen/Aufgabe

Zeige, dass der Körper ${\mathbb {F} }_{p}(X)$ der rationalen Funktionen nicht vollkommen ist.
# Dritte Binomische Formel/Z nach Q/Aufgabe

Führe die dritte binomische Formel für rationale Zahlen auf die dritte binomische Formel für ganze Zahlen zurück.
# Dritte Binomische Formel/R/Distributivgesetz/Aufgabe

Formuliere die dritte binomische Formel für zwei reelle Zahlen und beweise die Formel mit Hilfe des Distributivgesetzes.
# Dritte Einheitswurzel/Einheitskreis/Rationale Approximation/Fehler/1/Aufgabe

Approximiere die (obere) primitive dritte Einheitswurzel auf dem rationalen Einheitskreis mit einem Fehler von maximal $1/1000000$.
# Exponentialreihe/Komplex/Absolute Konvergenz/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Konvergenz der Exponentialreihe.
# Exponentialfunktionen/Frequenzen/01/Orthonormalsystem/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}\left\langle f_{m},f_{n}\right\rangle &=\int _{0}^{1}f_{m}{\overline {f_{n}}}dx\\&=\int _{0}^{1}e^{2\pi {\mathrm {i} }mx}{\overline {e^{2\pi {\mathrm {i} }nx}}}dx\\&=\int _{0}^{1}e^{2\pi {\mathrm {i} }mx}e^{-2\pi {\mathrm {i} }nx}dx\\&=\int _{0}^{1}e^{2\pi {\mathrm {i} }(m-n)x}dx.\end{aligned}}$
Bei $m=n$ ist dies
    $\int _{0}^{1}e^{0}dx=\int _{0}^{1}1dx=1\,.$
Bei $m\neq n$ ist dies
    ${\begin{aligned}\int _{0}^{1}e^{2\pi {\mathrm {i} }(m-n)x}dx&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }(m-n)}}{\left(e^{2\pi {\mathrm {i} }(m-n)y}\right)}_{0}^{1}\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }(m-n)}}{\left(e^{2\pi {\mathrm {i} }(m-n)}-e^{0}\right)}\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }(m-n)}}{\left(1-1\right)}\\&=0.\end{aligned}}$
# Exponentialreihe/C/Abschätzung für Restglied/Aufgabe

Für $N\in \mathbb {N}$ und $z\in {\mathbb {C} }$ sei
    $R_{N+1}(z)=\exp z-\sum _{n=0}^{N}{\frac {z^{n}}{n!}}=\sum _{n=N+1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}$
das Restglied der Exponentialreihe. Zeige, dass für $\vert {z}\vert \leq 1+{\frac {1}{2}}N$ die Restgliedabschätzung
    $\vert {R_{N+1}(z)}\vert \leq {\frac {2}{(N+1)!}}\vert {z}\vert ^{N+1}$
gilt.
# Exponentialreihe/Entwicklung um 1/6 Glieder/Aufgabe

Bestimme die Koeffizienten $d_{0},\ldots ,d_{6}$ der Exponentialreihe im Entwicklungspunkt $1$.
# Vertreter

* Roland Robertson
* Ulf Hannerz

# Material

* Basistexte
* Vorlesungsfolien
* Präsentation
* Tutoriumsmaterial
zurück zu Fach- und Theoriegeschichte.
# Gläser/Umfüllung/Aufgabe

Es stehen zwei Gläser auf einem Tisch, wobei das eine mit Rotwein und das andere mit Weißwein gefüllt ist, und zwar gleichermaßen. Nun wird ein kleineres leeres Glas (ein Fingerhut oder ein Schnapsglas) in das Rotweinglas voll eingetaucht und der Inhalt in das Weißweinglas überführt und dort gleichmäßig vermischt (insbesondere gibt es Platz für diese Hinzugabe). Danach wird das kleinere Glas in das Weißweinglas voll eingetaucht und der Inhalt in das Rotweinglas überführt. Befindet sich zum Schluss im Rotweinglas mehr Rotwein als im Weißweinglas Weißwein?
# Gerichtete Graphen/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Ein gerichteter Graph ist eine Menge $M$ versehen mit einer fixierten Relation $R\subseteq M\times M$.
# Gerichtete Menge/Nachfolgermenge/Definition/Begriff

Die Nachfolgermenge in einem gerichteten Graphen.
# Geradenkonfiguration/5 Geraden/7 Schnittpunkte/Graph/Aufgabe

Skizziere für die abgebildete Geradenkonfiguration den zugehörigen Graphen.
# Geradzahlige Menge/Geradzahlige Teilmengen/Dynkinsystem/Aufgabe

Es sei $M$ eine endliche Menge mit einer geraden Anzahl. Es sei ${\mathcal {G}}$ das Mengensystem, das aus allen Teilmengen von $M$ besteht, die eine gerade Anzahl besitzen. Zeige, dass ${\mathcal {G}}$ ein Dynkin-System ist und dass ${\mathcal {G}}$ im Allgemeinen nicht durchschnittsstabil ist.
# Geradenkonfiguration/5 Geraden/4 Schnittpunkte/Graph/Aufgabe

Skizziere für die abgebildete Geradenkonfiguration den zugehörigen Graphen.
# Gerichtete Menge/Vorgängermenge/Definition/Begriff

Die Vorgängermenge in einem gerichteten Graphen.
# Gramsche Matrix/3x3/Eigenwertkriterium/Typ/Aufgabe

Bestimme mit dem Eigenwertkriterium den Typ der durch die Matrix
    ${\begin{pmatrix}7&0&0\\0&5&-4\\0&-4&2\end{pmatrix}}$
gegebenen symmetrischen Bilinearform.
# Hauptidealbereich/Teilbarkeit/Lemma von Euklid/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise das Lemma von Euklid für einen Hauptidealbereich.
# Hauptidealbereich/Teilbarkeit/Lemma von Euklid/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Da $a$ und $b$ teilerfremd sind, gibt es nach dem Lemma von Bezout Elemente $r,s\in R$ mit $ra+sb=1$. Die Voraussetzung, dass $a$ das Produkt $bc$ teilt, schreiben wir als $bc=da$. Damit gilt
    $c=c1=c(ra+sb)=cra+csb=acr+ads=a(cr+ds)\,,$
$c$
$a$
# Hauptidealbereich/Teilbarkeit/Lemma von Euklid/Fakt/Name

Das Lemma von Euklid für einen Hauptidealbereich.
# Hauptidealbereich/Z/Partialbruchzerlegung/Fakt/Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.
# Kompakte riemannsche Fläche/Projektive Gerade/Holomorphe Abbildung/Grad/Fakt/Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.
# Kompakte riemannsche Fläche/Meromorphe Funktion/Nullstellen und Pole/Fakt/Beweis

Dies folgt unter Verwendung von Fakt und Aufgabe aus Fakt.
# Kompakte riemannsche Fläche/Meromorphe Funktion/Nullstellen und Pole/Fakt/Beweis mit Residuensatz/Aufgabe

Beweise Fakt mit dem Residuensatz.