OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Endomorphismen zu Vektorraum/Ring/Aufgabe/Kommentar

Dies ist eine Verallgemeinerung von Aufgabe und geht ähnlich. Der Nachweis, dass etwas ein Ring ist, sieht auf den ersten Blick nach viel Arbeit aus, da ja zielmich viele Eigenschaften zu überprüfen sind. Wenn viel Arbeit ansteht sollte man sich immer fragen, ob sich ein Teil davon direkt erledigen lässt oder ob es jemand anders erledigen kann oder ob sie schon erledigt ist. Danach kann man sich dann auf die verbleibende Arbeit konzentrieren. Mathematisch bedeutet dies: sind Teilaufgaben trivial? Gab es Sätze, aus denen ein Teil oder alles folgt? Wurde eine ähnliche Aufgabe oder die im Prinzip gleiche, aber mit anderen Worten formulierte Aufgabe schon bearbeitet?
Wenn man ferner zeigen soll, dass etwas ein Ring, eine Gruppe etc. ist, so muss man zuerst die gegebene Menge und die Verknüpfungen darauf verstehen, wie diese aufgebaut sind. Verknüpfungen werden häufig unter bezug auf grundlegendere Verknüpfungen definiert. Hier startet man ja mit einem beliebigen Vektorraum $V$, der seinerseits wieder auf einen Körper Bezug nimmt. Darüber weiß man nichts weiteres, außer dass es eben ein Vektorraum ist.
Die Menge, um die es geht, ist jetzt die Menge $\operatorname {End} _\,(V)$ aller linearen Abbildungen von $V$ nach $V$ (die man auch Endomorphismen nennt). Hier kommt die Vorstellung, dass Ringe so etwas wie Zahlbereiche sind, an ihre Grenzen. $\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R}$ sind Ringe, es gibt aber eben auch noch ziemlich anders geartete Ringe, deren Elemente nicht „Zahlen “, sondern lineare Abbildungen sind. Zu den Verknüpfungen: Hier wird kurz von der Addition und der Hintereinanderschaltung gesprochen. Es wird also so getan, also ob es klar ist, was die Addition ist. Was soll $f+g$ sein? Da $f$ und $g$ lineare Abbildungen sind, und $f+g$ auch eine lineare Abbildung sein soll, muss $f+g$ aus jedem Vektor $v\in V$ wieder ein Vektor machen, da fällt einem nur
    $(f+g)(v)=f(v)+g(v)\,$
ein. Dies ist wieder linear, das kann man direkt zeigen und war allgemeiner Gegenstand von Aufgabe. Dann ist auch klar, was die $0$ ist, nämlich die Nullabbildung, die alles auf $0$ schickt, und dass dies mit dieser Addition eine Gruppe bildet. Dies gilt genauso für die Menge aller linearen Abbildungen von $V$ nach $W$, wenn $W$ ein weiterer Vektorraum ist.
Zur Multiplikation: Nach Fakt ist die Hintereinanderschaltung (das ist die Multiplikation) von Abbildungen assoziativ, was auch schon in Beispiel verwendet wurde, und das neutrale Element ist die Identität, und nach Fakt
# Lemma von Dickson/Aufgabe/Kommentar

Zuerst soll man sich klar machen, welche Ordnung auf $\mathbb {N} ^{r}$ berücksichtigt wird. Diese ist keine lexikographische Ordnung, die in Aufgabe betrachtet wurde. Für die lexikographische Ordnung ist die Aussage des Lemmas von Dickson ganz trivial (wieso?) und nicht nützlich. Die Ordnung auf $\mathbb {N} ^{r}$, die wir hier betrachten, ist die Produktordnung (das ist auch die Ordnung in Beispiel, wenn man dort
    $X=\{1,\ldots ,r\}\,$
und $\mathbb {N}$ statt $\mathbb {R}$ nimmt): Für $a=(a_{1},\dots ,a_{r}),b=(b_{1},\dots ,b_{r})\in \mathbb {N} ^{r}$ definiert man $a\leq b$, wenn
    $a_{1}\leq b_{1},a_{2}\leq b_{2},\dots ,a_{r}\leq b_{r}.$
Diese ist klar eine Ordnung auf $\mathbb {N} ^{r}$, jedoch keine totale Ordnung für $r\geq 2$. Eine Motivation für die Produktordnung kommt aus der Teilbarkeitsrelation innerhalb eines Polynomrings: das Mononom $x_{1}^{a_{1}}\cdots x_{r}^{a_{r}}$ teilt das Mononom $x_{1}^{b_{1}}\cdots x_{r}^{b_{r}}$ genau dann, wenn $a\leq b$.
Aus dem Induktionsprinzip folgt, dass die natürlichen Zahlen wohlgeordnet sind, d.h. jede nichtleere Teilmenge $T\subseteq \mathbb {N}$ besitzt ein kleinstes Element (siehe Fakt). Also gilt das Lemma von Dickson für $r=1$. Für $r>1$ ist es eine natürliche Idee, Induktion über $r$ zu verwenden. Der Einfachheit halber betrachten wir nur den Fall $r=2$. Es empfiehlt sich, die Sache geometrisch in der Ebene $\mathbb {N} ^{2}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ vorzustellen. Die minimalen Elemente von $T\subseteq \mathbb {N} ^{2}$ sind dann die Randpunkte mit ganzzahligen Koordinaten, wenn man $T$ reell auffüllt (die konvexe Hülle nimmt). Die Aussage ist dann, dass es nur endlich viele solche Randpunkte gibt.
Wäre das Lemma falsch, würde eine Teilmenge $T\subseteq \mathbb {N} ^{2}$ existieren, die unendlich viele minimale Elemente
    $t_{1}=(a_{1},b_{1}),t_{2}=(a_{2},b_{2}),\dots ,t_{n}=(a_{n},b_{n}),\dots$
besitzt. Die Minimalität der Elemente $t_{i}$ bedeutet, dass man nicht $t_{i}$ und $t_{j}$ für $i\neq j$ vergleichen kann. Also gilt entweder $a_{i}<a_{j}$ und $b_{i}>b_{j}$ oder $a_{i}>a_{j}$ und $b_{i}<b_{j}$. Um die Induktionsvoraussetzung anzuwenden, betrachtet man die Mengen
    $A_{1}=\{a_{1},a_{2},\dots ,a_{n},\dots ,\},\ B_{1}=\{b_{1},b_{2},\dots ,b_{n},\dots ,\}\subseteq \mathbb {N} .$
Da $\mathbb {N}$ wohlgeordnet ist, besitzt $A_{1}$ ein kleinstes Element, das man ohne Einschränkung als $a_{1}$ annehmen kann. Dann ist es klar, dass $b_{1}$ das größte Element von $B_{1}$ ist. Nun betrachtet man die Mengen
    $A_{2}=\{a_{2},a_{3},\dots ,a_{n},\dots ,\},\ B_{2}=\{b_{2},b_{3},\dots ,b_{n},\dots ,\}\subseteq \mathbb {N} .$
Wie oben kann man annehmen, dass $a_{2}$ das kleinste Element von $A_{2}$ ist. Dies folgt, dass $b_{2}$ das größte Element von $B_{2}$ ist. Wenn man diesen Prozess fortsetzt, kann man davon ausgehen, dass
    $a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{n}<\cdots ,\ b_{1}>b_{2}>\cdots >b_{n}>\cdots .$
Die zweite Bedingung impliziert jedoch, dass die Menge $B_{1}=\{b_{1},b_{2},\dots ,b_{n},\dots ,\}$ kein kleinstes Element besitzt, ein Widerspruch.
$k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$
$k$
$k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$
# Äquivalenzrelation/Z mal Z/Sprünge (2,0) und (3,3)/Beispiele/Aufgabe/Kommentar

Dies ist eine zweidimensionale Version von Aufgabe bzw. der Division mit Rest. Es geht um die von den beiden Sprüngen erzeugte Untergruppe der Gruppe $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$. Für diese Untergruppen gibt es keine so einfache Charakterisierung wie Fakt.
Die beiden Teile sind wesentlich verschieden, aber bei beiden Teilen geht es nur um die Differenz der beiden Vektoren, im zweiten Teil also um
    $(4,-3)-(3,7)=(1,-10)\,.$
Bei Teil a) erhält man mit etwas probieren eine Lösung. Bei Teil b) muss man zeigen, dass es definitiv nicht möglich ist, $(1,-10)$ in der Form
    $x(2,0)+y(3,3)$
# Gruppenhomomorphismen/Q nach Z/Bestimme/Aufgabe/Kommentar

Dies ist ein Spezialfall von Aufgabe und geht ähnlich. Man muss zeigen, dass jeder Gruppenhomomorphismus
    $\psi \colon (\mathbb {Q} ,+,0)\longrightarrow (\mathbb {Z} ,+,0)$
die triviale Abbildung ist, d.h. $\psi (a)=0$ für alle $a\in \mathbb {Q}$. Die Grundidee ist einfach. Nehmen wir an, dass
    $\psi (a)\neq 0\,$
ist, wobei $a$ eine rationale Zahl ist. Innerhalb der rationalen Zahlen kann man beliebig dividieren, insbesondere kann man halbieren. Es ist
    $a={\frac {a}{2}}+{\frac {a}{2}}\,$
und somit gilt
    $\psi (a)=\psi {\left({\frac {a}{2}}+{\frac {a}{2}}\right)}=\psi {\left({\frac {a}{2}}\right)}+\psi {\left({\frac {a}{2}}\right)}\,,$
was bedeutet, dass man auch das Bild $\psi (a)$ in $\mathbb {Z}$ halbieren kann. SO kann man weitermachen und erhält, dass man $\psi (a)$ in $\mathbb {Z}$ durch $4$, durch $8$, durch $12$ ... teilen kann, was zu einem Widerspruch führt.
Hier kann man auch eine ähnliche Idee wie in Aufgabe verwenden: jeder solche Gruppenhomomorphismus $\psi$ ist durch $\psi (1)$ eindeutig festgelegt. In der Tat folgt durch Induktion, dass $\psi (na)=n\psi (a)$ für alle positive ganze Zahl $n$ und alle $a\in \mathbb {Q}$. Wegen
    $0=\psi (0)=\psi (na)+\psi (-na),$
erhält man $\psi (-na)=-\psi (na)=-n\psi (a)$. Somit gilt $\psi (na)=n\psi (a)$ für alle $n\in \mathbb {Z}$ und alle $a\in \mathbb {Q}$. Insbesondere gilt für $a=1/n$, dass $\psi (1)=n\psi (1/n)$, also $\psi (1/n)=\psi (1)/n$. Sei nun ein beliebiges $r=m/n\in \mathbb {Q}$ mit $m,n\in \mathbb {Z}$, $n\neq 0$ gegeben. Dann gilt
    $\psi (r)=\psi (m/n)=m\psi (1/n)=(m/n)\psi (1)=r\psi (1).$
Daher kann $\psi$ durch $\psi (1)$ bestimmt werden.
Nun genügt es also zu zeigen, dass $\psi (1)=0$. Dies folgt aus der Tatsache, dass $\psi (1)/n=\psi (1/n)\in \mathbb {Z}$ für alle $n\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}$.
$\mathbb {Q}$
$K$
$\psi$
$\psi (1)$
$\psi (a)/n=\psi (a/n)\in \mathbb {Z}$
$a\in K$
$n\in \mathbb {Z}$
$a/n\in K$
$\psi$
# Gruppenhomomorphismen/Q Einheiten nach Z/Existenz/Aufgabe/Kommentar

Ein Gruppenhomomorphismus
    $\varphi \colon \mathbb {Q} ^{\times }\longrightarrow \mathbb {Z} ,$
ist eine Abbildung mit der Eigenschaft, dass $\varphi (ab)=\varphi (a)+\varphi (b)$ für alle $a,b\in \mathbb {Q} ^{\times }$. Um eine solche Funktion zu konstruieren, sollte man natürlich über die Umkehrung der Potenzfunktionen nachdenken, da die Potenzfunktion $\psi (n)=r^{n}$ die Eigenschaft $\psi (m+n)=\psi (m)\psi (n)$ erfüllt. Diese Funktionen wurden bereits implizit in Aufgabe betrachtet. Die Aufgabe besagt, dass jedes $z\in \mathbb {Q} ^{\times }$ eine eindeutige Darstellung der Form
    $z=\pm \prod _{p}p^{\exp _{p}(z)}\,$
${\exp _{p}(z)}\in \mathbb {Z}$
${\exp _{p}(z)}$
$p$
$\mathbb {Q} ^{\times }$
$\mathbb {Z}$
${\exp _{p}(z)}$
# Bilinearform/Nicht ausgeartet/Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Eine Bilinearform
    $V\times V\longrightarrow K,\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
heißt nicht ausgeartet, wenn für alle $v\in V$, $v\neq 0$, die induzierten Abbildungen
    $V\longrightarrow K,\,w\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
und für alle $w\in V$, $w\neq 0$, die induzierten Abbildungen
    $V\longrightarrow K,\,v\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
nicht die Nullabbildung sind.
# Hyperbelfunktion/Komplex/Sinus hyperbolicus/Definition

Die für $z\in {\mathbb {C} }$ durch
    $\sinh z:={\frac {1}{2}}{\left(e^{z}-e^{-z}\right)}\,$
definierte Funktion heißt Sinus hyperbolicus.
# Hyperbelfunktion/Komplex/Kosinus hyperbolicus/Definition

Die für $z\in {\mathbb {C} }$ durch
    $\cosh z:={\frac {1}{2}}{\left(e^{z}+e^{-z}\right)}\,$
definierte Funktion heißt Kosinus hyperbolicus.
# Hyperbelfunktion/C/Elementare Eigenschaften/Aufgabe

Zeige die folgenden Eigenschaften von Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus (dabei ist $z\in {\mathbb {C} }$).
    $\cosh z+\sinh z=e^{z}\,.$
    $\cosh z-\sinh z=e^{-z}\,.$
    $(\cosh z)^{2}-(\sinh z)^{2}=1\,.$
    $\cosh {\mathrm {i} }z=\cos z\,.$
    $\sinh {\mathrm {i} }z={\mathrm {i} }\cdot \sin z\,.$
# Hyperbelfunktion/Additionstheoreme/Aufgabe

Beweise die Additionstheoreme für die Hyperbelfunktionen, also
    $\sinh(x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y\,.$
    $\cosh(x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y\,.$
# Familie komplexer Zahlen/Summierbar/Teilfamilie/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $a_{i}$, $i\in I$, eine summierbare Familie komplexer Zahlen und $J\subseteq I$ eine Teilmenge. Zeige, dass auch die Teilfamilie $a_{i}$, $i\in J$, summierbar ist.
# Familie komplexer Zahlen/Summierbar/Teilfamilie/Fakt

Es sei $a_{i}$ , $i\in I$, eine summierbare Familie komplexer Zahlen und $J\subseteq I$ eine Teilmenge.
Dann ist auch $a_{i}$ , $i\in J$, summierbar.
# Summierbarkeit/1 durch z^kz^l/Teilsummen/Diagonaleinteilung/Aufgabe

Sei $z\in {\mathbb {C} }$, $\vert {z}\vert <1$. Zu $j\in \mathbb {Z}$ sei
    $I_{j}={\left\{(k,\ell )\in \mathbb {N} ^{2}\mid k-\ell =j\right\}}\,.$
Berechne zu jedem $j\in \mathbb {Z}$ zur summierbaren Familie
    $z^{k}z^{\ell },\,(k,\ell )\in \mathbb {N} ^{2},$
die Teilsummen
    $t_{j}=\sum _{(k,\ell )\in I_{j}}z^{k}z^{\ell }\,$
und berechne $\sum _{j\in \mathbb {Z} }t_{j}$.
# Komplexe Potenzreihen/Summe/Produkt/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es seien $f=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ und $g=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}z^{n}$ Potenzreihen mit positiven Konvergenzradien, deren Minimum $r$ sei. Zeige die folgenden Aussagen.
* Die Potenzreihe $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$ mit $c_{n}=a_{n}+b_{n}$ ist konvergent auf $U{\left(0,r\right)}$ und stellt dort die Summenfunktion $f+g$ dar.
* Die Potenzreihe $\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}z^{n}$ mit $d_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}$ ist konvergent auf $U{\left(0,r\right)}$ und stellt dort die Produktfunktion $fg$ dar.
# Potenzreihe/Koeffizientenquotient/Konvergenzradius/Aufgabe

Es sei $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$ eine Potenzreihe mit $c_{n}\in {\mathbb {C} }\setminus \{0\}$. Wir betrachten die Folge ${\frac {\vert {c_{n+1}}\vert }{\vert {c_{n}}\vert }}$. Zeige die folgenden Aussagen.
a) Wenn ${\frac {\vert {c_{n+1}}\vert }{\vert {c_{n}}\vert }}$ gegen $0$ konvergiert, so hat die Potenzreihe unendlichen Konvergenzradius.
b) Wenn ${\frac {\vert {c_{n+1}}\vert }{\vert {c_{n}}\vert }}$ gegen $a>0$ konvergiert, so hat die Potenzreihe den Konvergenzradius ${\frac {1}{a}}$.
c) Wenn ${\frac {\vert {c_{n+1}}\vert }{\vert {c_{n}}\vert }}$ bestimmt gegen $+\infty$ divergiert, so hat die Potenzreihe den Konvergenzradius $0$.
# Limes superior/Stetige Abbildung/Aufgabe

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine beschränkte reelle Folge,
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
eine stetige Abbildung und $y_{n}=f(x_{n})$ die Bildfolge. Es sei $H$ die Menge der Häufungspunkte von ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und $G$ die Menge der Häufungspunkte von ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$.
a) Zeige $f(H)\subseteq G$.
b) Zeige
    $f{\left(\operatorname {lim} \operatorname {sup} \,{\left({\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)}\right)}\leq \operatorname {lim} \operatorname {sup} \,{\left({\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)}\,.$
c) Zeige, dass die Abschätzung aus Teil b) echt sein kann.
# Potenzreihe/Gerade Funktion/Gerade Potenzen/Aufgabe

Es sei $\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}z^{k}$ eine konvergente Potenzreihe, die eine gerade Funktion darstelle. Zeige, dass $c_{k}=0$ für alle ungeraden Indizes ist.
# Polynomring/Körper/1/Linearform/Lokalisierung/Quotientenkörper/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $K[X]$ der Polynomring über $K$ und $K(X)$ der Körper der rationalen Funktionen über $K$. Es sei $a\in K$. Wir setzen
    $R={\left\{f\in K(X)\mid f{\text{ ist im Punkt }}a{\text{ definiert}}\right\}}\,.$
a) Zeige, dass $R$ ein Unterring von $K(X)$ ist.
b) Zeige
    $R=K[X]_{(X-a)}:={\left\{{\frac {P}{Q}}\mid Q{\text{ ist (nach Kürzung) kein Vielfaches von }}X-a\right\}}\,.$
c) Zeige, dass $R$ ein diskreter Bewertungsring ist.
# Komplexe Potenzreihe/t-Norm/Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass die $t$-Norm von komplexen Potenzreihen die folgende Eigenschaften erfüllt. (dabei seien $F,G$ Potenzreihen mit Entwicklungspunkt $0$ und $t\in \mathbb {R} _{+}$).
* Für den Konvergenzradius $R$ von $F$ gilt
    $R=\operatorname {sup} (t,\Vert {F}\Vert _{t}<\infty )\,.$
* Es ist $\Vert {F}\Vert _{t}=0$ genau dann, wenn $F=0$ ist.
* Es ist
    $\Vert {F+G}\Vert _{t}\leq \Vert {F}\Vert _{t}+\Vert {G}\Vert _{t}\,.$
* Für $w\in {\mathbb {C} }$ ist
    $\Vert {wF}\Vert _{t}=\vert {w}\vert \cdot \Vert {F}\Vert _{t}\,.$
* Es ist
    $\Vert {F\cdot G}\Vert _{t}\leq \Vert {F}\Vert _{t}\cdot \Vert {G}\Vert _{t}\,.$
# Funktionenfolge/K/Situation

Es sei $T$ eine Menge und
    $f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} },$
($n\in \mathbb {N}$) eine Folge von Funktionen
# Folge/Limes inferior und superior/sin (n pi durch 4)/Aufgabe

Bestimme die Häufungspunkte der Folge $x_{n}=\sin \left(n{\frac {\pi }{4}}\right)$. Was ist der Limes inferior, was der Limes superior?
# Reelle Folge/Infimumsfolge/Konvergenz/Aufgabe

Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${\overline {\mathbb {R} }}$ und sei
    $y_{n}:=\inf {\left(x_{k},\,k\geq n\right)}\,.$
a) Zeige, dass die Folge ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ wachsend ist.
b) Zeige, dass die Folge ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $\operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left({\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)}$ punktweise konvergiert.
# Komplexe Potenzreihe/t-Norm/Eigenschaften/Fakt

Die $t$-Norm von komplexen Potenzreihen erfüllt folgende Eigenschaften (dabei seien $F,G$ Potenzreihen mit Entwicklungspunkt $0$ und $t\in \mathbb {R} _{+}$).
# Endomorphismus/Diagonalisierbar/Algebraische und geometrische Vielfachheit/Fakt/Beweis

Wenn $\varphi$ diagonalisierbar ist, so kann man sofort annehmen, dass $\varphi$ bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren durch eine Diagonalmatrix beschrieben wird. Die Diagonaleinträge dieser Matrix sind nach Beispiel die Eigenwerte, und diese wiederholen sich gemäß ihrer geometrischen Vielfachheit. Das charakteristische Polynom lässt sich nach Beispiel auch direkt aus dieser Diagonalmatrix ablesen, jeder Diagonaleintrag $\lambda$ trägt als Linearfaktor $X-\lambda$ bei.
Für die Umkehrung seien $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k}$ die verschiedenen Eigenwerte und
    $\mu _{i}:=\mu _{\lambda _{i}}(\varphi )=\dim _{K}{\left(\operatorname {Eig} _{\lambda _{i}}{\left(\varphi \right)}\right)}\,$
seien die (geometrischen und algebraischen) Vielfachheiten. Da nach Voraussetzung das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt, muss die Summe dieser Zahlen gleich $n=\dim _{K}{\left(V\right)}$ sein. Nach Fakt ist die Summe der Eigenräume
    $\operatorname {Eig} _{\lambda _{1}}{\left(\varphi \right)}\oplus \cdots \oplus \operatorname {Eig} _{\lambda _{k}}{\left(\varphi \right)}\subseteq V\,$
direkt. Nach Voraussetzung ist die Dimension links ebenfalls gleich $n$, sodass Gleichheit vorliegt. Nach Fakt ist $\varphi$ diagonalisierbar.
# Bilinearform/Gradient/Textabschnitt
## Lemma

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum, der mit einer Bilinearform $\left\langle -,-\right\rangle$ versehen sei. Dann gelten folgende Aussagen

### Beweis

(1) folgt unmittelbar aus der Bilinearität. (2). Es seien $u_{1},u_{2}\in V$ und $a_{1},a_{2}\in K$. Dann ist für jeden Vektor $v\in V$
    $\left\langle a_{1}u_{1}+a_{2}u_{2},v\right\rangle =a_{1}\left\langle u_{1},v\right\rangle +a_{2}\left\langle u_{2},v\right\rangle \,,$
und dies bedeutet gerade die Linearität der Zuordnung. (3). Da die Zuordnung nach (2) linear ist, müssen wir zeigen, dass der Kern davon trivial ist. Es sei also $u\in V$ so, dass $\left\langle u,-\right\rangle$ die Nullabbildung ist. D.h. $\left\langle u,v\right\rangle =0$ für alle $v\in V$. Dann muss aber nach der Definition von nicht ausgeartet $u=0$ sein. Wenn $V$ endliche Dimension hat, so liegt eine injektive lineare Abbildung zwischen Vektorräumen der gleichen Dimension vor, und eine solche ist nach Fakt bijektiv.
$\Box$
Wenn es also in einem endlichdimensionalen Vektorraum eine fixierte nichtausgeartete Bilinearform gibt, so gibt es zu jeder Linearform einen eindeutig bestimmten Vektor, mit dem diese Linearform beschrieben werden kann. Genauer: es gibt dann einen Vektor $y\in V$ mit
    $L(v)=\left\langle y,v\right\rangle \,$
für alle $v\in V$ und einen Vektor $z\in V$ mit
    $L(v)=\left\langle v,z\right\rangle \,.$
In dieser Situation heißt $y$ der Linksgradient zu $L$ bezüglich der Bilinearform und $z$ der Rechtsgradient. Bei einem Skalarprodukt und generell bei einer nichtausgearteten symmetrischen Bilinearform fallen die beiden Begriffe zusammen, man spricht von dem Gradienten. Für euklidische Vektorräume formulieren wir diese Beziehung noch einmal explizit.

## Korollar

Es sei $(V,\left\langle -,-\right\rangle )$ ein euklidischer Vektorraum und
    $f\colon V\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Linearform.
Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Vektor $w\in V$ mit
Wenn $u_{1},\ldots ,u_{n}$ eine Orthonormalbasis von $V$ und $f(u_{i})=a_{i}$ ist, so ist dieser Vektor gleich $w=\sum _{i=1}^{n}a_{i}u_{i}$.

### Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt (3). Der Zusatz ist klar wegen
    $\left\langle w,u_{i}\right\rangle =\left\langle \sum _{j=1}^{n}a_{j}u_{j},u_{i}\right\rangle =a_{i}=f(u_{i})\,.$
$\Box$
# Bilinearform/Gramsche Matrix/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und $\left\langle -,-\right\rangle$ eine Bilinearform auf $V$. Es sei $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von $V$. Dann heißt die $n\times n$-Matrix
    $\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle _{1\leq i,j\leq n}$
die Gramsche Matrix von $\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basis.
In Beispiel bildet ${\left(a_{ij}\right)}_{ij}$ die Gramsche Matrix bezüglich der Standardbasis des $K^{n}$. Wenn die Gramsche Matrix zu einer Bilinearform $\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich einer Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$ gegeben ist, so kann man daraus $\left\langle v,w\right\rangle$ für beliebige Vektoren berechnen. Man schreibt $v=\sum _{i=1}^{n}b_{i}v_{i}$ und $w=\sum _{i=1}^{n}c_{i}v_{i}$ und erhält mit dem allgemeinen Distributivgesetz
    ${\begin{aligned}\left\langle v,w\right\rangle &=\left\langle \sum _{i=1}^{n}b_{i}v_{i},\sum _{j=1}^{n}c_{j}v_{j}\right\rangle \\&=\sum _{1\leq i,j\leq n}b_{i}c_{j}\left\langle v_{i},w_{j}\right\rangle \\&=\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\left(\sum _{j=1}^{n}c_{j}\left\langle v_{i},w_{j}\right\rangle \right)}\\&=(b_{1},\ldots ,b_{n})G{\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$
Man erhält also den Wert der Bilinearform an zwei Vektoren, indem man die Gramsche Matrix auf das Koordinatentupel des zweiten Vektors anwendet und das Ergebnis (ein Spaltenvektor) mit dem Koordinatentupel des ersten Vektors als Zeilentupel von links multipliziert. Kurz und ungenau ist also
    $\left\langle v,w\right\rangle ={v^{\text{tr}}}Gw\,.$

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und $\left\langle -,-\right\rangle$ eine Bilinearform auf $V$. Es seien ${\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{n}$ zwei Basen von $V$ und es seien $G$ bzw. $H$ die Gramschen Matrizen von $\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basen. Zwischen den Basiselementen gelte die Beziehungen
    $w_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}v_{i}\,,$
die wir durch die Übergangsmatrix $A={\left(a_{ij}\right)}_{i,j}$ ausdrücken.
Dann besteht zwischen den Gramschen Matrizen die Beziehung

### Beweis

Es ist
    ${\begin{aligned}\left\langle w_{r},w_{s}\right\rangle &=\left\langle \sum _{i=1}^{n}a_{ir}v_{i},\sum _{k=1}^{n}a_{ks}v_{k}\right\rangle \\&=\sum _{1\leq i,k\leq n}a_{ir}a_{ks}\left\langle v_{i},v_{k}\right\rangle \\&=\sum _{1\leq i\leq n}a_{ir}{\left(\sum _{1\leq k\leq n}a_{ks}\left\langle v_{i},v_{k}\right\rangle \right)}\\&=\sum _{1\leq i\leq n}a_{ir}{\left(G\circ A\right)}_{is}\\&={\left({A^{\text{tr}}}\circ {\left(G\circ A\right)}\right)}_{rs}.\end{aligned}}$
$\Box$
# Euklidischer Raum/Linearform/Zugehöriger Vektor/Fakt/Beweis2

Dies folgt unmittelbar aus Fakt (3). Der Zusatz ist klar wegen
    $\left\langle w,u_{i}\right\rangle =\left\langle \sum _{j=1}^{n}a_{j}u_{j},u_{i}\right\rangle =a_{i}=f(u_{i})\,.$