OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Projektive ebene Kurve/Getwistete Strukturgarbe/Totale Schnittmultiplizität/Aufgabe

Es sei
    $C=V_{+}(F)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}\,$
eine ebene projektive Kurve vom Grad $d$ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ und sei
    $G\in \Gamma {\left({\mathbb {P} }_{K}^{2},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{2}}(e)\right)}\,$
ein Schnitt, dessen Einschränkung auf keiner Komponente von $C$ gleich $0$ ist. Zeige
    $\sum _{P\in V_{+}(F)\cap V_{+}(G)}\operatorname {mult} _{P}(V_{+}(F),V_{+}(G))=de\,.$
# Kommutativer Ring/Modul/Ideal/Filtration/Assoziierter graduierter Modul/Modul/Stabil/Fakt

Es sei ${\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal in einem kommutativen Ring $R$ und $M$ ein $R$-Modul. Es sei $F$ eine durch die $R$-Untermoduln $M_{n}\subseteq M$ gegebene ${\mathfrak {a}}$-Filtration von $M$.
Dann ist der assoziierte graduierte Modul $\operatorname {Gr} _{F}M$ in natürlicher Weise ein graduierter Modul über dem assoziierten graduierten Ring $\operatorname {Gr} _{\mathfrak {a}}R$. Wenn der Modul $M$ endlich erzeugt und die Filtration stabil ist, so ist $\operatorname {Gr} _{F}M$ ein endlich erzeugter $\operatorname {Gr} _{\mathfrak {a}}R$-Modul.
# Ebene algebraische Kurven/Schnittmultiplizität/Charakterisierung Transversaler Schnitt/Fakt/Beweis

Es sei $R=K[X,Y]_{\mathfrak {m}}$ der lokale Ring zum (Null-)Punkt $P$ in der Ebene. Es sei zunächst der Schnitt als transversal vorausgesetzt. Dann sind insbesondere beide Kurven in $P$ glatt, und $B=R(F)$ ist nach Fakt ein diskreter Bewertungsring. Da die Tangenten verschieden sind, können wir annehmen, dass die Tangente an $V(F)$ durch $V(Y)$ und die Tangente an $V(G)$ durch $V(X)$ gegeben ist. Nach dem Beweis zu Fakt ist dann $X$ eine Ortsuniformisierende von $B$. Da $G$ die Form $G=X+H$ mit $H\in {\mathfrak {m}}^{2}$ hat, ist $G$ ebenfalls eine Ortsuniformisierende in $B$ und daher ist $B/(G)=K$. Daher ist die Schnittmultiplizität eins.
Für die Rückrichtung folgt aus Fakt, dass die Multiplizität der beiden Kurven in $P$ eins sein muss und daher beide Kurven in $P$ glatt sind. Nehmen wir an, dass die Tangenten übereinstimmen. Dann können wir annehmen, dass sowohl $F$ als auch $G$ die Form $Y+$ Terme von größerem Grad besitzen. Man kann die Idealerzeuger $(F,G)$ durch $(F,F-G)$ ersetzen, und dabei ist $F-G\in {\mathfrak {m}}^{2}$. Dann erzeugt aber $F-G$ in $B=R/(F)$ nicht das maximale Ideal, und die Schnittmultiplizität kann nicht eins sein.
# Differenzierbar/R/n-mal/Taylor-Polynom vom Grad n/Definition

Es sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall,
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine $n$-mal differenzierbare Funktion und $a\in I$. Dann heißt
    $T_{a,n}(f)(x):=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}\,$
das Taylor-Polynom vom Grad $n$ zu $f$ im Entwicklungspunkt $a$.
# Reelle Zahlen/Intervallschachtelung/Definition/Begriff/Inhalt

Eine Folge von abgeschlossenen Intervallen
    $I_{n}=[a_{n},b_{n}],\,n\in \mathbb {N} ,$
in $\mathbb {R}$ heißt eine Intervallschachtelung, wenn $I_{n+1}\subseteq I_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also
    ${\left(b_{n}-a_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },$
gegen $0$ konvergiert.
# Projektive Ebene/Geraden/Punkt/Gleicher Durchschnitt/Aufgabe

Es seien $H=V_{+}(X)$ und $D=V_{+}(Y)$ Geraden in der projektiven Ebene ${\mathbb {P} }_{K}^{2}$ mit dem einzigen Schnittpunkt $H\cap D=\{(0,0,1)\}$. Es seien $P,P'\notin D$ verschiedene Punkte. Finde ein homogenes Polynom $F\in K[X,Y,Z]$ mit $V_{+}(F)\cap D=H\cap D$, $P\in V_{+}(F)$ und $P'\notin V_{+}(F)$.
# Kommutativer Ring/Modul/Injektiver Modul/Fakt

Zu einem $R$-Modul $M$ über einem kommutativen Ring $R$
gibt es einen injektiven Modul $I$ mit $M\subseteq I$.
# Ebene algebraische Kurven/Schnittmultiplizität/Restdimension ist endlich/Fakt/Beweis

Es sei ${\mathfrak {m}}$ das maximale Ideal in $R$. Da $F$ und $G$ keinen gemeinsamen Teiler haben, gibt es in $R$ zwischen $(F,G)$ und ${\mathfrak {m}}$ kein weiteres Primideal. Daher ist in $R/(F,G)$ jede Nichteinheit nilpotent. Daher gilt in $R$ die Beziehung ${\mathfrak {m}}^{s}\subseteq (F,G)\subseteq {\mathfrak {m}}$ für ein $s$. Es liegt daher eine Surjektion
    $R/{\mathfrak {m}}^{s}\longrightarrow R/(F,G)$
vor. Nach Fakt besitzt der Restklassenring links eine endliche $K$-Dimension, sodass dies auch für den Restklassenring rechts gilt.
# Differenzierbare Abbildung/K/Regulärer Punkt/Maximaler Rang/Definition

Seien $V$ und $W$ endlichdimensionale ${\mathbb {K} }$-Vektorräume, sei $G\subseteq V$ offen, sei $P\in G$ und sei
    $\varphi \colon G\longrightarrow W$
eine in $P$ differenzierbare Abbildung. Dann heißt $P$ ein regulärer Punkt von $\varphi$, wenn
    $\operatorname {rang} \,\left(D\varphi \right)_{P}={\min {\left(\dim _{\left(V\right)},\dim _{\left(W\right)}\right)}}\,$
gilt. Andernfalls heißt $P$ ein kritischer Punkt oder ein singulärer Punkt.
# Reelle Zahlen/Reihe/Definition/Begriff/Inhalt

Unter der Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ versteht man die Folge ${\left(s_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ der Partialsummen
    $s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\,.$
# Kommutativer Ring/Modul/Länge/Kurze exakte Sequenz/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und es sei
    $0\longrightarrow L\longrightarrow M\longrightarrow N\longrightarrow 0$
eine kurze exakte Sequenz von $R$-Moduln.
Dann besitzt $M$ genau dann endliche Länge, wenn dies für $L$ und $N$ gilt. In diesem Fall gilt die Additionsformel
# Ebene algebraische Kurven/Schnittmultiplizität/Schnitt mit Gerade/Abschätzung zur Multiplizität/Fakt/Beweis

Wir setzen $R=K[X,Y]_{(X,Y)}$ und $H=aX+bY$, und wir nehmen $b\neq 0$ an, sodass wir $Y=cX$ schreiben können. Es sei zunächst die Gerade $L$ keine Tangente von $V(F)$ in $P$, also keine Komponente von $V(F_{m})$. Es ist dann
    $R/(F,H)\cong K[X]_{(X)}/(F_{m}(X,cX)+\cdots +F_{d}(X,cX))\,.$
Hierbei ist $F_{m}(X,cX)\neq 0$ und es wird $X^{m}u$ mit einer Einheit $u$ rausdividiert, sodass der Restklassenring die $K$-Dimension $m$ besitzt. Im allgemeinen Fall gibt es ein minimales $i$, $m\leq i\leq d$, mit $F_{i}(X,cX)\neq 0$ (sonst wäre $L$ eine Komponente von $V(F)$). Dann ist mit dem gleichen Argument die Dimension des Restklassenringes gleich $i\geq m$.
# Differenzierbare Abbildung/R/Regulärer Punkt/Maximaler Rang/Definition

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale reelle Vektorräume, sei $G\subseteq V$ offen, sei $P\in G$ und sei
    $\varphi \colon G\longrightarrow W$
eine in $P$ differenzierbare Abbildung. Dann heißt $P$ ein regulärer Punkt von $\varphi$, wenn
    $\operatorname {rang} \,\left(D\varphi \right)_{P}={\min {\left(\dim _{\left(V\right)},\dim _{\left(W\right)}\right)}}\,$
ist. Andernfalls heißt $P$ ein kritischer Punkt oder ein singulärer Punkt.
# Reeller Vektorraum/Skalarprodukt/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Skalarprodukt auf $V$ ist eine Abbildung
    $V\times V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$
mit folgenden Eigenschaften:
* Es ist für alle $\lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {R}$, $x_{1},x_{2},y\in V$ und ebenso in der zweiten Komponente.
    $\left\langle \lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2},y\right\rangle =\lambda _{1}\left\langle x_{1},y\right\rangle +\lambda _{2}\left\langle x_{2},y\right\rangle \,$
* Es ist für alle $v,w\in V$.
    $\left\langle v,w\right\rangle =\left\langle w,v\right\rangle \,$
* Es ist $\left\langle v,v\right\rangle \geq 0$ für alle $v\in V$ und $\left\langle v,v\right\rangle =0$ genau dann, wenn $v=0$ ist.
# Kommutativer Ring/Modul/Rang 1/Freie Ergänzung/Frei/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$-Modul vom Rang $1$. Es gebe einen freien Modul $G\cong R^{n}$ derart, dass $M\oplus G$ frei ist.
Dann ist $M$ selbst frei.
# Ebene algebraische Kurven/Schnittmultiplizität/Summenformel für Schnittmultiplizität/Fakt/Beweis

Diese Aussage folgt durch Induktion aus dem Spezialfall $F=F_{1}F_{2}$ (und $G=G$). Sei $R=K[X,Y]_{{\mathfrak {m}}_{P}}$. Wegen $(F_{1}F_{2},G)\subseteq (F_{2},G)$ hat man eine surjektive Abbildung $R/(F_{1}F_{2},G)\rightarrow R/(F_{2},G)$. Andererseits induziert die Multiplikation mit $F_{2}$ einen $R$-Modulhomomorphismus $R/(F_{1},G)\rightarrow R/(F_{1}F_{2},G)$. Wir behaupten, dass eine kurze exakte Sequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,R/(F_{1},G)\,{\stackrel {\cdot F_{2}}{\longrightarrow }}\,R/(F_{1}F_{2},G)\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,R/(F_{2},G)\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
vorliegt. Dabei ist die Surjektivität klar und ebenso, dass die hintereinander geschalteten Abbildungen die Nullabbildung sind. Es sei $z\in R/(F_{1}F_{2},G)$ ein Element, das rechts auf $0$ abgebildet wird. Dann kann man in $R$ schreiben: $z=AF_{2}+BG$. Dann repräsentiert $AF_{2}$ ebenfalls diese Klasse in $R/(F_{1}F_{2},G)$, und dieses kommt von links. Es sei nun $w\in R/(F_{1},G)$ ein Element, das durch Multiplikation mit $F_{2}$ auf $0$ abgebildet wird, also $wF_{2}=CF_{1}F_{2}+DG$. Wir schreiben dies als
    $(w-CF_{1})F_{2}=DG\,.$
Da $F$ und $G$ keinen gemeinsamen Primteiler besitzen, gilt dies erst recht für $F_{2}$ und $G$. Also muss $F_{2}$ ein Teiler von $D$ sein und es ergibt sich eine Beziehung $(w-CF_{1})={\tilde {D}}G$, woraus folgt, dass bereits $w=0$ ist.
Aus der Additivitätseigenschaft von kurzen exakten Sequenzen folgt die gewünschte Identität
    ${\begin{aligned}\operatorname {mult} _{P}(F_{1}F_{2},G)&=\dim _{K}{\left(R/(F_{1}F_{2},G)\right)}\\&=\dim _{K}{\left(R/(F_{1},G)\right)}+\dim _{K}{\left(R/(F_{2},G)\right)}\\&=\operatorname {mult} _{P}(F_{1},G)+\operatorname {mult} _{P}(F_{2},G).\end{aligned}}$
# Differenzierbare Abbildung/R/Regulärer Punkt/Tangentialraum/An Faser/Definition

Es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale reelle Vektorräume, es sei $G\subseteq V$ offen und sei
    $\varphi \colon G\longrightarrow W$
eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei $P\in G$ ein Punkt, in dem das totale Differential $\left(D\varphi \right)_{P}$ surjektiv sei, und sei $Y$ die Faser von $\varphi$ durch $P$. Dann nennt man
    $T_{P}Y:=\operatorname {kern} \left(D\varphi \right)_{P}={\left\{v\in V\mid {\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}=0\right\}}\,$
den Tangentialraum an die Faser $Y$ in $P$.
# Reellwertige Funktion/Auf Menge/Minimum/Definition/Begriff/Inhalt

Man sagt, dass $f$ in einem Punkt $x\in M$ das Minimum annimmt, wenn
    $f(x)\leq f(x'){\text{ für alle }}x'\in M{\text{ gilt}}.$
# Projektive Ebene/Qi/Reduktion nach Z mod 3 i/Aufgabe

Bestimme für die folgenden Punkte $P\in {\mathbb {P} }_{\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]}^{2}$ die Reduktionen modulo dem maximalen Ideal $(3)$ (mit dem Restekörper $\mathbb {Z} /(3)[{\mathrm {i} }]$)
* $\left(3-{\mathrm {i} },\,2+5{\mathrm {i} },\,1+3{\mathrm {i} }\right)$,
* $\left({\frac {2+8{\mathrm {i} }}{5}},\,{\frac {4-7{\mathrm {i} }}{15}},\,{\frac {12+5{\mathrm {i} }}{9}}\right)$,
* $\left({\frac {9{\mathrm {i} }}{5}},\,{\frac {3}{5}},\,{\frac {7-11{\mathrm {i} }}{3}}\right)$.
# Kommutativer Ring/Restklassenring/Differentialoperatoren/Fakt

Es sei $P$ eine kommutative $K$-Algebra und ${\mathfrak {a}}\subseteq P$ ein Ideal mit Restklassenring $R=P/{\mathfrak {a}}$
Dann induziert ein Differentialoperator $D\colon P\rightarrow P$ der Ordnung $\leq n$ einen Differentialoperator auf $R$ der Ordnung $\leq n$, wenn
ist.
# Ebene algebraische Kurven/Tangenten mit Kontaktordnung eins/Formal-analytische Realisierung als Graph/Fakt/Beweis

Durch eine lineare Variablentransformation können wir annehmen, dass $uX+vY=Y$ ist. Wir zeigen, dass es dann eine Potenzreihenlösung mit $G=T$ und mit (zu konstruierendem) $H=b_{2}T^{2}+b_{3}T^{3}+\ldots$ gibt. Wegen $a_{1}=1$ und $b_{1}=0$ erfüllt das die angegebene lineare (Tangenten-)Bedingung.
Es sei $F=\sum _{i,j}c_{ij}X^{i}Y^{j}$. Es ist $c_{m,0}=0$, da andernfalls $Y$ kein Linearfaktor von $F_{m}$ sein könnte, und es ist $c_{m-1,1}\neq 0$, da sonst $Y$ ein Linearfaktor mit einer Multiplizität $\geq 2$ wäre.
Wir zeigen, dass es bei diesen Anfangsdaten eine eindeutig bestimmte Potenzreihe $H=b_{2}T^{2}+b_{3}T^{3}+\ldots$ gibt. Einsetzen von $G$ und $H$ in $F$ ergibt für jedes $k$ eine Bedingung, da der resultierende Koeffizient zu $T^{k}$ gleich $0$ sein muss. Der $k$-te Koeffizient ist eine Summe von Ausdrücken der Form
    $c_{ij}b_{\ell _{1}}\cdots b_{\ell _{j}}{\text{ mit }}i+\sum _{\rho =1}^{j}\ell _{\rho }=k$
(diese Ausdrücke kommen mehrfach mit einem gewissen Multinomialkoeffizienten vor). Da $\ell _{\rho }\geq 2$ ist, kommt für $k<m+\ell -1$ der Term $b_{\ell }$ nicht vor. Der Term $b_{\ell }$ kommt erstmals im $k=(m+\ell -1)$-ten Koeffizienten vor, und zwar in der einzigen Weise
    $c_{m-1,1}b_{\ell }.$
Ansonsten kommen in diesem Koeffizienten nur die $c_{ij}$ und $b_{r}$ mit $r<\ell$ vor. Da nach Voraussetzung $c_{m-1,1}\neq 0$ ist, ist dadurch der Wert von $b_{\ell }$ eindeutig festgelegt. Die Koeffizienten $b_{\ell }$ werden also induktiv konstruiert, wobei die Werte jeweils eindeutig durch die Bedingung an die Koeffizienten festgelegt sind.
# Differenzierbare Funktion/Euklidisch/Gradientenfeld/Definition

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum, $U\subseteq V$ offen und
    $h\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$
eine differenzierbare Funktion. Dann nennt man die Abbildung
    $U\longrightarrow V,\,P\longmapsto \operatorname {Grad} \,h(P),$
das zugehörige Gradientenfeld.
# Relation/Linksvollständig/Definition/Begriff/Inhalt

Die Relation $R\subseteq M\times N$ heißt linksvollständig, wenn es zu jedem $x\in M$ ein $y\in N$ mit $(x,y)\in R$ gibt.
# Projektive Ebene/Qi/Reduktion nach Z mod 5 i ist 3/Aufgabe

Bestimme für die folgenden Punkte $P\in {\mathbb {P} }_{\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]}^{2}$ die Reduktionen modulo dem maximalen Ideal $(5,{\mathrm {i} }-3)$ (mit dem Restekörper $\mathbb {Z} /(5)$)
* $\left(3-{\mathrm {i} },\,2+5{\mathrm {i} },\,1+3{\mathrm {i} }\right)$,
* $\left({\frac {2+8{\mathrm {i} }}{5}},\,{\frac {4-7{\mathrm {i} }}{15}},\,{\frac {12+5{\mathrm {i} }}{9}}\right)$,
* $\left({\frac {9{\mathrm {i} }}{5}},\,{\frac {3}{5}},\,{\frac {7-11{\mathrm {i} }}{3}}\right)$.
# Kommutativer Ring/Spektrum/Abschluss/Fakt

Für das Spektrum $X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ eines kommutativen Ringes $R$ gelten folgende Eigenschaften.
# Ebene kubische Kurven/Projektiv/Glatt/Wendepunkt/Hesse-Matrix/Fakt/Beweis

Durch eine lineare Transformation können wir erreichen, dass $P=(0,0,1)$ ist und dass die Tangente der Kurve durch diesen Punkt durch $Y=0$ gegeben ist. Da die Tangente durch die Gleichung
    ${\frac {\partial F}{\partial X}}(P)\cdot X+{\frac {\partial F}{\partial Y}}(P)\cdot Y+{\frac {\partial F}{\partial Z}}(P)\cdot Z=0\,$
beschrieben wird, folgt
    ${\frac {\partial F}{\partial X}}(P)={\frac {\partial F}{\partial Z}}(P)=0\,.$
Dies bedeutet wiederum, dass die Monome $XZ^{2}$ und $Z^{3}$ nicht in $F$ vorkommen. Die Hesse-Matrix hat somit im gegebenen Punkt die Form
    ${\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial X}}{\frac {\partial F}{\partial X}}(P)&{\frac {\partial }{\partial X}}{\frac {\partial F}{\partial Y}}(P)&0\\{\frac {\partial }{\partial X}}{\frac {\partial F}{\partial Y}}(P)&{\frac {\partial }{\partial Y}}{\frac {\partial F}{\partial Y}}(P)&{\frac {\partial }{\partial Y}}{\frac {\partial F}{\partial Z}}(P)\\0&{\frac {\partial }{\partial Y}}{\frac {\partial F}{\partial Z}}(P)&0\end{pmatrix}}.$
Diese Hesse-Matrix ist nach Voraussetzung nicht invertierbar, es sei $v\neq 0$ ein Element des Kernes. Wir betrachten zuerst den Fall, wo $v\notin \langle e_{1},e_{3}\rangle$ ist. Aus der dritten Zeile folgt
    ${\frac {\partial }{\partial Y}}{\frac {\partial F}{\partial Z}}(P)=0\,.$
Daher kommt $YZ^{2}$ in $F$ nicht vor. Dies bedeutet, dass in $F$ die Variable $Z$ höchstens in der ersten Potenz vorkommt. Doch in diesem Fall ist die Kurve nach Aufgabe nicht glatt.
Wir betrachten nun den Fall, wo $v\in \langle e_{1},e_{3}\rangle$ ist, sagen wir $v={\begin{pmatrix}\alpha \\0\\\gamma \end{pmatrix}}$. Bei $\alpha =0$ erhält man mit der zweiten Zeile wie soeben eine nichtglatte Kurve. Es sei also $\alpha \neq 0$. Da $v$ und $e_{1}$ zusammen mit $e_{3}$ die gleiche projektive Gerade definieren, können wir nach einer weiteren linearen Transformation, die die Koordinaten des Punktes und die Tangentengleichung nicht ändert, $v=e_{1}$ annehmen. Daraus ergibt sich
    ${\frac {\partial }{\partial X}}{\frac {\partial F}{\partial X}}(P)={\frac {\partial }{\partial X}}{\frac {\partial F}{\partial Y}}(P)=0\,,$
was wiederum bedeutet, dass die Monome $X^{2}Z$ und $XYZ$ in $F$ nicht vorkommen. Somit besitzt $F$ die Form
    $aYZ^{2}+bY^{2}Z+G(X,Y)$
mit einem homogenen Polynom $G$ vom Grad $3$ in $X$ und $Y$. Da die Kurve irreduzibel ist, muss $X^{3}$ in $G$ vorkommen. Wenn man die so gegebene Kurve mit der Tangente, also mit der Bedingung $Y=0$ schneidet, so muss $X^{3}=0$ und also $X=0$ sein, es gibt also genau einen Schnittpunkt mit der Tangente.
# Differenzierbare Funktion/Koordinaten/Kritischer Punkt/Nichtausgeartet/Definition

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über ${\mathbb {K} }$, $G\subseteq V$ eine offene Menge und
    $f\colon G\longrightarrow {\mathbb {K} }$
eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Es sei eine Basis $v_{i}$, $i=1,\ldots ,n$, von $V$ gegeben mit den zugehörigen Richtungsableitungen $D_{i}:=D_{v_{i}}$, $i=1,\ldots ,n$. Ein kritischer Punkt $P\in G$ heißt nichtausgeartet,
wenn die Determinante der Hesse-Matrix
    ${\begin{pmatrix}D_{1}D_{1}f(P)&\cdots &D_{1}D_{n}f(P)\\\vdots &\ddots &\vdots \\D_{n}D_{1}f(P)&\cdots &D_{n}D_{n}f(P)\end{pmatrix}}$
nicht $0$ ist.
# Relation/Rechtsvollständig/Definition/Begriff/Inhalt

Die Relation $R\subseteq M\times N$ heißt rechtsvollständig, wenn es zu jedem $y\in N$ ein $x\in M$ mit $(x,y)\in R$ gibt.
# Projektive Gerade/Affine Ebene/Keine Reduktion/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $R=K[X,Y]$ mit dem Quotientenkörper $Q=Q(R)=K(X,Y)$. Es sei ${\mathfrak {m}}=(X,Y)$ mit dem Restekörper $K$. Zeige, dass es keine Reduktion
    ${\mathbb {P} }_{Q}^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$
(ähnlich wie in Fakt) geben kann.
# Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Abgeschlossene und offene Teilmengen/Fakt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Dann gelten folgende Aussagen.
# Ebene Kurven/Algebraisch abgeschlossener Körper/hat unendlich viele Elemente/Fakt/Beweis

Aufgrund von Fakt können wir annehmen, dass $F$ die Gestalt hat
    $F=X^{d}+P_{d-1}(Y)X^{d-1}+\cdots +P_{1}(Y)X+P_{0}(Y)\,$
mit Polynomen $P_{i}(Y)\in K[Y]$. Zu jedem beliebig vorgegebenen Wert $a\in K$ für $Y$ ergibt sich also ein normiertes Polynom in $X$ vom Grad $d$. Da der Körper algebraisch abgeschlossen ist, gibt es jeweils (mindestens) eine Nullstelle in $X$. D.h. zu jedem $a\in K$ gibt es ein $b\in K$ derart, dass $(a,b)$ eine Nullstelle von $F$ ist, also zur Kurve gehört. Da $K$ unendlich ist, gibt es also unendlich viele Punkte auf der Kurve.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Abgeschlossene Untermannigfaltigkeit/Definition

Es sei $N$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension $n$ und $M\subseteq N$ eine abgeschlossene Teilmenge. Dann heißt $M$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit der Dimension $m$ von $N$, wenn es zu jedem Punkt $P\in M$ eine Karte
    $\theta \colon W\longrightarrow W'$
gibt mit $P\in W\subseteq N$ offen, $W'\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und mit
    $M\cap W=\theta ^{-1}((\mathbb {R} ^{m}\times \{0\})\cap W')\,.$
# Restklassenringe (Z)/Legendre Symbol/Definition/Begriff/Inhalt

Für eine ungerade Primzahl $p$ und eine zu $p$ teilerfremde Zahl $k\in \mathbb {Z}$ definiert man das Legendre-Symbol durch
    $\left({\frac {k}{p}}\right):={\begin{cases}1,{\text{ falls }}k{\text{ quadratischer Rest modulo }}p{\text{ ist}},\\-1,{\text{ falls }}k{\text{ kein quadratischer Rest modulo }}p{\text{ ist}}.\end{cases}}\,$
# Projektive Gerade/Qi/Punkt/Höhe/1/Aufgabe

Bestimme die Höhe für den Punkt $({\frac {2+3{\mathrm {i} }}{1-5{\mathrm {i} }}},1)\in {\mathbb {P} }_{\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]}^{1}$ über dem Körper $\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$.
# Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Erste Eigenschaften/Fakt

Für das Spektrum $X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ eines kommutativen Ringes $R$ gelten folgende Eigenschaften.
# Ebene Kurven/Algebraisch abgeschlossener Körper/Noethersche Normalisierung/Fakt/Beweis

Wir schreiben $F$ in homogener Zerlegung als
    $F=F_{d}+F_{d-1}+\cdots +F_{1}+F_{0}\,$
mit den homogenen Komponenten
    $F_{i}=\sum _{a+b=i}c_{a,b}X^{a}Y^{b}\,.$
Ein homogenes Polynom in zwei Variablen hat die gleichen Faktorisierungseigenschaften wie ein Polynom in einer Variablen. Da wir uns über einem algebraisch abgeschlossenen Körper befinden, gibt es eine Faktorisierung
    $F_{d}=c(Y-e_{1}X)\cdots (Y-e_{k}X)X^{d-k}\,.$
Da $c$ eine $d$-te Wurzel besitzt können wir durch Streckung der Variablen erreichen, dass $c=1$ ist. Da $K$ insbesondere unendlich ist, finden wir ein $e$, das von allen $e_{j}$ verschieden ist. Wir schreiben die Gleichung in den neuen Variablen
    ${\tilde {Y}}=Y-eX\,\,{\text{ und }}\,\,{\tilde {X}}=X$
und erhalten eine Gleichung ${\tilde {F}}$, wo die Linearfaktoren von ${\tilde {F}}_{d}$ die Gestalt
    ${\begin{aligned}Y-e_{j}X&=Y-eX+eX-e_{j}X\\&={\tilde {Y}}-(e_{j}-e)X\\&={\tilde {Y}}-(e_{j}-e){\tilde {X}}\end{aligned}}$
(mit $e_{j}-e\neq 0$) bzw. ${\tilde {X}}=X$ haben. Multipliziert man dies aus so sieht man, dass ${\tilde {X}}^{d}$ mit einem bestimmten Vorfaktor aus $K$ vorkommt, den wir wieder durch Streckung als $1$ annehmen können. Dann hat ${\tilde {F}}_{d}$ die Gestalt ${\tilde {X}}^{d}+$ Terme, in denen maximal ${\tilde {X}}^{d-1}$ vorkommt. Die homogenen Komponenten von kleinerem Grad behalten auch ihren Grad, sodass in ${\tilde {F}}$ nur noch weitere Monome vom ${\tilde {X}}$-Grad $\leq d-1$ gibt.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/de Rham-Kohomologie/Algebra/Definition

Es sei $M$ eine $n$-dimensionale $C^{\infty }$-reelle Mannigfaltigkeit. Man definiert die de-Rham-Kohomologie
von $M$ durch $H_{dR}^{*}(M):=\bigoplus _{i=0}^{n}H_{dR}^{i}(M)$ zusammen mit der durch das Dachprodukt gegebenen Verknüpfung.
# Restklassenringe (Z)/Quadratische Reste/Definition/Begriff/Inhalt

Eine ganze Zahl $k$ heißt quadratischer Rest modulo $n$, wenn es eine Zahl $x$ mit
    $x^{2}=k\mod n\,$
gibt.
# Projektive Gerade/Zahlkörper/Absolute Höhe/Eigenschaften/Multiplikativität/Echt/Aufgabe

Zeige, dass in Fakt die Abschätzung $H(xy)\leq H(x)H(y)$ für die absolute Höhe im Allgemeinen echt ist.
# Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Funktorialität/Fakt

Es sei $\varphi \colon R\rightarrow S$ ein Ringhomomorphismus zwischen kommutativen Ringen.
Dann gelten folgende Aussagen.
# Ebene Kurven/Schnitt ohne Komponenten/Endlich viele Punkte/Fakt/Beweis

Wir betrachten $F,G\in K[X,Y]$ als Elemente in $K(X)[Y]$, wobei $K(X)$ den Körper der rationalen Funktionen in $X$ bezeichne. Es haben dann nach Aufgabe auch $F$ und $G$ keinen gemeinsamen Teiler in $K(X)[Y]$. Da dieser Ring ein Hauptidealbereich ist, erzeugen sie zusammen das Einheitsideal, d.h. es gibt Polynome $A,B\in K(X)[Y]$ mit $AF+BG=1$. Multiplikation mit dem Hauptnenner von $A$ und $B$ ergibt in $K[X,Y]$ die Gleichung ${\tilde {A}}F+{\tilde {B}}G=H$ mit $H\in K[X]$. Eine gemeinsame Nullstelle in ${\mathbb {A} }_{K}^{2}$ von $F$ und von $G$ muss also eine Nullstelle von $H$ sein. Es gibt also nur endlich viele Werte für $X$, für die eine gemeinsame Nullstelle vorliegt. Wenn man die Rollen von $X$ und von $Y$ vertauscht, so sieht man, dass es auch nur endlich viele Werte für $Y$ gibt, an denen eine gemeinsame Nullstelle vorliegen kann. Damit kann es überhaupt nur endlich viele gemeinsame Nullstellen geben.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/de Rham-Kohomologie/Stufe/Definition

Es sei $M$ eine $n$-dimensionale $C^{\infty }$-reelle Mannigfaltigkeit. Man definiert über den de-Rham-Komplex die $i$-te de-Rham-Kohomologie
von $M$ durch
    $H_{dR}^{i}(M):=\operatorname {kern} \left({{\mathcal {E}}^{(i)}}{\left(M\right)}{\stackrel {d}{\longrightarrow }}{{\mathcal {E}}^{(i+1)}}{\left(M\right)}\right)/\operatorname {bild} {\left({{\mathcal {E}}^{(i-1)}}{\left(M\right)}{\stackrel {d}{\longrightarrow }}{{\mathcal {E}}^{(i)}}{\left(M\right)}\right)}\,.$