OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Algebraische ebene Kurven/Beispiele/1/Skizziere/Aufgabe

Skizziere im $\mathbb {R} ^{2}$ die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen.
* $x^{2}-y^{2}-1=0$,
* $x^{2}+xy+y^{2}=0$,
* $x^{2}+y^{2}+1=0$,
* $x^{2}+y^{2}=0$,
* $x^{2}+y^{3}=0$,
* $x^{3}-y^{5}=0$,
* $x^{2}-x^{3}=0$,
* $x^{3}+y^{3}=1$,
* $x^{4}+y^{4}=1$,
* $-5+3x+4x^{2}+x^{3}-y^{2}=1$.
# Algebren von endlichem Typ/Q ist nicht über Z/Aufgabe

Zeige, dass $\mathbb {Q}$ keine Algebra von endlichem Typ über $\mathbb {Z}$ ist.
# Algebren von endlichem Typ über Körper/Algebraisch abgeschlossen/Maximale Ideale sind Punktideal/Fakt/Name

Der Satz über maximale Ideale in einer Algebra über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$.
# Algebren von endlichem Typ über Körper/Algebraisch abgeschlossen/Maximale Ideale sind Punktideal/Fakt/Name/Inhalt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei $A$ eine endlich erzeugte $K$-Algebra. Dann ist jeder Restklassenkörper von $A$ isomorph zu $K$.
# Anfangsmenge/6/Zählbeispiele/Aufgabe

Bestimme die Anzahl der Menge $\{1,\ldots ,6\}$ in den in der Vorlesung gegebenen Zählsystemen.
# Differenzierbare Kurve/Euklidisch/Mittelwertsatz/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise die Mittelwertabschätzung für differenzierbare Kurven.
# Differenzierbare Kurve/Bild ist Achsenkreuz/Aufgabe

Man gebe eine differenzierbare Kurve
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$
an, deren Bild genau das Achsenkreuz ist.
# Differenzierbare Kurve/Bogenparametrisiert/Zweite Ableitung/Senkrecht/Aufgabe

Es sei $\gamma \colon I\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ eine zweimal stetig differenzierbare bogenparametrisierte Kurve. Zeige, dass $\gamma '(t)$ und $\gamma ^{\prime \prime }(t)$ aufeinander senkrecht stehen.
# Differenzierbare Kurve/Ellipse/(2 sin t , 3 cos t)/Maximaler Abstand zum Nullpunkt/Aufgabe

Für welche Punkte $t\in \mathbb {R}$ ist der Abstand der Bildpunkte der Kurve
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (2\sin t,3\cos t),$
$(0,0)$
# Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/8/Aufgabe/Lösung

* Es seien $L$ und $M$ endliche Mengen mit $\ell$ bzw. $m$ Elementen. Dann gibt es $m^{\ell }$ Abbildungen von $L$ nach $M$.
* Aus $a\cdot b=0$ mit $a,b\in K$ folgt $a=0$ oder $b=0$.
* Für einen zusammenhängenden Graphen $G=(V,E)$ sind folgende Aussagen äquivalent.
** $G$ ist eulersch.
** Jeder Knotenpunkt von $G$ hat einen geraden Grad.
** $G$ ist die Vereinigung von kantendisjunkten Kreisen (wobei ein einzelner Punkt hier als Kreis gelte).
# Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/9/Aufgabe/Lösung

* Es seien $M$ und $N$ endliche Mengen, die beide $n$ Elemente besitzen. Dann gibt es $n!$ bijektive Abbildungen von $M$ nach $N$.
* Es sei $p$ eine Primzahl und $p$ teile ein Produkt $ab$ von natürlichen Zahlen $a,b\in \mathbb {N}$. Dann teilt $p$ einen der Faktoren.
* Es sei $M$ eine Menge, es sei $I$ eine endliche Indexmenge und zu jedem $i\in I$ sei eine Teilmenge $M_{i}\subseteq M$ gegeben. Zu einer Teilmenge $J\subseteq I$ setzen wir Für jede Teilmenge $J\subseteq I$ gelte Dann gibt es eine injektive Abbildung mit $f(i)\in M_{i}$.
    $M_{J}=\bigcup _{j\in J}M_{j}\,.$
    ${\#\left(M_{J}\right)}\geq {\#\left(J\right)}\,.$
    $f\colon I\longrightarrow M$
# Diskrete Mathematik/Spielgruppen (Fußball)/4/Isomorphie/Invarianten/Klassifiziere/Aufgabe

Eine (Fußball-)Spielgruppe bei einer Europa- oder Weltmeisterschaft besteht aus vier Mannschaften, und jede spielt gegen jede. Ein Spiel kann unentschieden oder mit einem Sieg für eine der beiden Mannschaften enden. Wir interessieren uns für die diskrete Struktur einer Spielgruppe, die man durch einen gerichteten Graphen beschreiben kann, wobei man einen Sieg von $A$ über $B$ durch einen Pfeil von $A$ nach $B$ (und ein Unentschieden durch keine Verbindung) ausdrücken kann.
Definiere einen Isomorphiebegriff für Spielgruppen und klassifiziere die Spielgruppen entlang geeigneter numerischer Invarianten. Wie viele Spielgruppen gibt es? Aus welchen Isomorphietypen lässt sich die Tabellenordnung ableiten, aus welchen nicht?
# Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/7/Aufgabe/Lösung

* Die Anzahl der $k$-elementigen Teilmengen in einer $n$-elementigen Menge ist der Binomialkoeffizient
    ${\binom {n}{k}}.$
* Durch die Festlegung wenn wird eine Äquivalenzrelation auf $M$ definiert.
    $x\sim y\,,$
    $f(x)=f(y)\,,$
* Es sei $G=(V,E)$ ein Graph mit mindestens drei Elementen, der die Bedingung für je zwei nicht adjazente Knoten $u,v$ erfüllt. Dann ist $G$ hamiltonsch.
    $d(u)+d(v)\geq {\#\left(V\right)}\,$
# Diskrete Mathematik (Bochum 2004)/Klausur2

Dauer: Vier volle Stunden. Zum Bestehen braucht man die Hälfte der Punktzahl. Erlaubt sind alle schriftlichen Hilfsmittel, aber keine elektronischen Hilfsmittel.

## Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von $12733$ und $3983$. Man gebe eine Darstellung des $\operatorname {ggT}$ von $12733$ und $3983$ an.

## Aufgabe (4 Punkte)

Führe in $\mathbb {Z} /(7)[X]$ folgende Polynomdivision aus.
    $X^{4}+5X^{2}+3\,{\text{ durch }}\,2X^{2}+X+6.$

## Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Anzahl der primitiven Elemente in folgenden Körpern:
a) $\mathbb {Z} /(73)$,
b) ${\mathbb {F} }_{125}$,
c) ${\mathbb {F} }_{64}$,
d) $\mathbb {Z} /(113)$.

## Aufgabe (4 Punkte)

Berechnen Sie das folgende Jacobi-Symbol mittels des Quadratischen Reziprozitätsgesetzes, ohne dabei die Primfaktorzerlegung zu verwenden:
    $\left({\frac {1613}{2517}}\right).$

## Aufgabe * (4 Punkte)

a) Zeige, dass durch
    $K=\mathbb {Z} /(7)[T]/(T^{3}-2)\,$
ein Körper mit $343$ Elementen gegeben ist.
b) Berechne in $K$ das Produkt $(T^{2}+2T+4)(2T^{2}+5)$.
c) Berechne das (multiplikativ) Inverse zu $T+1$.

## Aufgabe (4 Punkte)

Suchen Sie für die folgenden zusammengesetzten Zahlen $n$ eine zu $n$ teilerfremde Zahl $a$ derart, dass $a^{\frac {n-1}{2}}\neq \left({\frac {a}{n}}\right)$ in $\mathbb {Z} /(n)$ gilt.
a) $n=125$.
b) $n=63$.

## Aufgabe (4 Punkte)

a) Bestimme die primitiven Elemente von $\mathbb {Z} /(11)$.
b) Man gebe einen Gruppenisomorphismus der additiven Gruppe $(\mathbb {Z} /(10),+)$ in die Einheitengruppe ${\left(\mathbb {Z} /(11)\right)}^{\times }$ an.
c) Bestimme für jede Einheit aus $\mathbb {Z} /(11)$ die Ordnung.

## Aufgabe * (4 Punkte)

a) Man gebe explizit eine natürliche Zahl $n\geq 100000$ an, die keinen Primteiler $\leq 20$ besitzt.
b) Es sei $K=\mathbb {Z} /(3)$. Man gebe explizit ein normiertes Polynom $F\in K[X]$ vom Grad $\geq 9$ an, das keinen Primteiler vom Grad $\leq 2$ besitzt.

## Aufgabe (4 Punkte)

Betrachten Sie die elliptische Kurve, die durch die affine Gleichung
    $Y^{2}=X^{3}-X=X(X+1)(X-1)$
gegeben ist, über dem Körper $K=\mathbb {Z} /(7)$.
a) Wie viele Punkte über $K$ besitzt die elliptische Kurve?
b) Zeigen Sie: $P=(1,0)$ und $Q=(5,6)$ sind Punkte der Kurve.
c) Berechnen Sie $P+Q$.

## Aufgabe (4 Punkte)

Betrachten Sie die algebraische Kurve über $K=\mathbb {Z} /(5)$, die durch die Gleichung
    $Y^{2}=X^{3}+2X+2$
in affiner Standard-Darstellung gegeben ist.
a) Bestimmen Sie, ob die Kurve eine elliptische Kurve ist oder nicht. Bestimmen Sie gegebenenfalls alle singulären Punkte dieser affinen Kurve.
b) Homogenisieren Sie die Gleichung und betrachten Sie auch unendlich ferne Punkte. Wie viele gibt es davon, und wie lauten die homogenen Koordinaten davon? Sind diese glatt oder singulär?
# Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/8/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Anzahl von Abbildungen zwischen endlichen Mengen.
* Der Satz über die Nichtnullteilereigenschaft in einem Körper $K$.
* Der Charakterisierungssatz für eulersche Graphen.
# Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/9/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Anzahl von bijektiven Abbildungen.
* Das Lemma von Euklid.
* Der Paarungssatz (Heiratssatz)
# Charakteristisches Polynom/Berechne/253 742 375/Aufgabe

Berechne das charakteristische Polynom zur Matrix
    ${\begin{pmatrix}2&5&3\\7&4&2\\3&7&5\end{pmatrix}}.$
# Charakteristisches Polynom/Berechne/-385 471 2-45/Aufgabe

Berechne das charakteristische Polynom zur Matrix
    ${\begin{pmatrix}-3&8&5\\4&7&1\\2&-4&5\end{pmatrix}}.$
# Einheitsintervall/Bijektiv/Nicht rektifizierbar/Beispiel/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer bijektiven Abbildung
    $\varphi \colon [0,1]\longrightarrow [0,1]\subseteq \mathbb {R} ,$
die nicht rektifizierbar ist.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Tangentialbündel/Mit Topologie/Definition/Begriff

Das Tangentialbündel einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Tangentialraum über Wege/Ohne Beweise/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $P\in M$ ein Punkt. Es seien
    $\gamma _{1}\colon I_{1}\longrightarrow M$
und
    $\gamma _{2}\colon I_{2}\longrightarrow M$
zwei auf offenen Intervallen $0\in I_{1},I_{2}\subseteq \mathbb {R}$ definierte differenzierbare Kurven mit $\gamma _{1}(0)=P=\gamma _{2}(0)$. Dann heißen $\gamma _{1}$ und $\gamma _{2}$ tangential äquivalent in $P$, wenn es eine offene Umgebung $P\in U$ und eine Karte
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
mit $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ derart gibt, dass
    ${\left(\alpha \circ {\left(\gamma _{1}{|}_{\gamma _{1}^{-1}(U)}\right)}\right)}'(0)={\left(\alpha \circ {\left(\gamma _{2}{|}_{\gamma _{2}^{-1}(U)}\right)}\right)}'(0)\,$
gilt.
Wir brauchen einige einfache Lemmata, um nachzuweisen, dass es sich hierbei um einen sinnvollen Begriff handelt.

## Lemma

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $P\in M$ ein Punkt. Es seien
    $\gamma _{1}\colon I_{1}\longrightarrow M$
und
    $\gamma _{2}\colon I_{2}\longrightarrow M$
zwei auf offenen Intervallen $0\in I_{1},I_{2}\subseteq \mathbb {R}$ definierte differenzierbare Kurven mit $\gamma _{1}(0)=P=\gamma _{2}(0)$.
Dann sind $\gamma _{1}$ und $\gamma _{2}$ genau dann tangential äquivalent in $P$, wenn für jede Karte
gilt.

## Lemma

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $P\in M$ ein Punkt.
Dann ist die tangentiale Äquivalenz von differenzierbaren Kurven durch $P$ eine Äquivalenzrelation.
Aufgrund dieses Lemmas ist die folgende Definition sinnvoll.

## Definition

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $P\in M$ ein Punkt. Unter einem Tangentialvektor an $P$ versteht man eine Äquivalenzklasse von tangential äquivalenten differenzierbaren Kurven durch $P$. Die Menge dieser Tangentialvektoren wird mit
    $T_{P}M$
bezeichnet.

## Lemma

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, $P\in M$ ein Punkt, $P\in U=M$ offen und
    $\alpha \colon U\longrightarrow V$
eine Karte. Dann gelten folgende Aussagen.

## Definition

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $P\in M$ ein Punkt. Unter dem Tangentialraum an $P$, geschrieben $T_{P}M$, versteht man die Menge der Tangentialvektoren an $P$ versehen mit der durch eine beliebige Karte gegebenen reellen Vektorraumstruktur.
Die Dimension des Tangentialraumes stimmt mit der Dimension der Mannigfaltigkeit überein. Jede Karte induziert einen Isomorphismus zwischen $T_{p}M$ und dem $\mathbb {R} ^{n}$, aber diese Isomorphismen hängen von der gewählten Karte ab. Insbesondere gibt es auf dem Tangentialraum keine Standardbasis.
# Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Tangentialbündel/Tangentialabbildung/Definition/Begriff

Die Tangentialabbildung
    $T(\varphi )\colon TM\longrightarrow TN$
zu einer differenzierbaren Abbildung
    $\varphi \colon M\longrightarrow N$
zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten $M$ und $N$.
# Abbildung/Fortsetzung/Mathematik und Logik/Aufgabe

Man gebe signifikante Beispiele zum Stichwort „Fortsetzung einer Abbildung“ aus der Mathematik und aus der mathematischen Logik.
# Endliche Körper/Endliche Erweiterung von Fp/Galois und Frobenius/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Galoisgruppe zu endlichen Körpern.
# Endliche Körper/Endliche Erweiterung von Fp/Galois und Frobenius/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei
    $\Phi \colon {\mathbb {F} }_{q}\longrightarrow {\mathbb {F} }_{q}$
der Frobeniushomomorphismus, der nach Fakt ein ${\mathbb {F} }_{p}$-Automorphismus ist. Daher sind auch die Iterationen $\Phi ^{k}$ Automorphismen, und zwar gilt
    $\Phi ^{k}(x)=x^{p^{k}}\,.$
Bei $k=m$ ist nach Fakt $x^{p^{m}}=x$ für alle $x\in {\mathbb {F} }_{q}$, also ist $\Phi ^{m}=\operatorname {Id}$. Für $k<m$ kann $\Phi ^{k}$ nicht die Identität sein, da dies sofort Fakt widersprechen würde. Also gibt es $m$ verschiedene Potenzen des Frobeniusautomorphismus. Nach Fakt
# Endliche Körper/Anzahl primitiver Elemente/73/125/64/113/Aufgabe

Bestimme die Anzahl der primitiven Elemente in folgenden Körpern:
a) $\mathbb {Z} /(73)$,
b) ${\mathbb {F} }_{125}$,
c) ${\mathbb {F} }_{64}$,
d) $\mathbb {Z} /(113)$.
# Elliptische Kurve/Bilder/Einführung/Textabschnitt

Dies ist eine Ellipse und auch eine Kurve. Es ist aber keine elliptische Kurve.
Dagegen zeigen die folgenden Bilder (reelle affine Ausschnitte) elliptische Kurven.
Ebenso zeigt das folgende Bild eine elliptsche Kurve. Gemeint ist die Oberfläche des Torus (Reifens), die ja dem Anschein nach eher eine Fläche und weniger eine Kurve ist.
Auch einzelne Punkte können eine geeignete Visualisierung einer elliptischen Kurve sein.
# Abgeschlossenes Intervall/Stetiges Bild nicht/Aufgabe

Zeige, dass das Bild eines abgeschlossenen Intervalls unter einer stetigen Funktion nicht abgeschlossen sein muss.
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/27/Aufgabe/Lösung

* Ein von $0$ verschiedenes Polynom $P\in K[X]$ vom Grad $d$ besitzt maximal $d$ Nullstellen.
* Es sei $T$ eine Menge und sei eine Funktionenfolge mit Dann konvergiert die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }g_{k}$ gleichmäßig und punktweise absolut gegen eine Funktion
    $g_{k}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
    $\sum _{k=0}^{\infty }\Vert {g_{k}}\Vert <\infty \,.$
    $f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }.$
* Es sei $D\subseteq \mathbb {R}$ offen und sei eine Funktion, die in $a\in D$ ein lokales Extremum besitze und dort differenzierbar sei. Dann ist
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
    $f'(a)=0\,.$
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/30/Aufgabe/Lösung

* Zu je zwei Elementen $x<y$ aus $K$ gibt es eine rationale Zahl $n/k$ mit
    $x<{\frac {n}{k}}<y\,.$
* Die Stetigkeit von $f$ im Punkt $a$ ist äquivalent dazu, dass für jede Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$, die gegen $a$ konvergiert, die Bildfolge ${\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $f(a)$ konvergiert.
* Es sei $D\subseteq \mathbb {R}$ offen und sei eine Funktion, die in $a\in D$ ein lokales Extremum besitze und dort differenzierbar sei. Dann ist
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$
    $f'(a)=0\,.$
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/29/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Leibnizkriterium für alternierende Reihen.
* Der Satz über die stetige Fortsetzbarkeit einer Funktion wobei $T\subseteq {\mathbb {K} }$ eine Teilmenge ist.
    $T\longrightarrow {\mathbb {K} },$
* Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz von Bolzano-Weierstraß.
* Der Zwischenwertsatz.
* Die Quotientenregel für differenzierbare Abbildungen (für einen Punkt).
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/27/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper $K$.
* Das Weierstraß-Kriterium für Funktionenfolgen.
* Der Satz über die Ableitung in einem lokalen Extremum.
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/28/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Quotientenkriterium für eine komplexe Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$.
* Der Satz über das angenommene Maximum einer Funktion (welche Voraussetzungen muss die Funktion $f$ und das Intervall $I$ erfüllen)?
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
* Der Satz über partielle Integration.
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/28/Aufgabe/Lösung

* Es gebe eine reelle Zahl $q$ mit $0\leq q<1$ und ein $k_{0}$ mit für alle $k\geq k_{0}$. Dann konvergiert die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ absolut.
    $\vert {\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}\vert \leq q\,$
* Es sei $I=[a,b]\subseteq \mathbb {R}$ ein abgeschlossenes beschränktes Intervall und sei eine stetige Funktion. Dann gibt es ein $x\in [a,b]$ mit
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
    $f(x)\geq f(x'){\text{ für alle }}x'\in [a,b].$
* Es seien stetig differenzierbare Funktionen. Dann gilt
    $f,g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
    $\int _{a}^{b}f(t)g'(t)\,dt=fg|_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(t)g(t)\,dt.$
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe/Lösung

* Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine beschränkte Folge von reellen Zahlen. Dann besitzt die Folge eine konvergente Teilfolge.
* Es seien $a\leq b$ reelle Zahlen und sei $f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion. Es sei $y\in \mathbb {R}$ eine reelle Zahl zwischen $f(a)$ und $f(b)$. Dann gibt es ein $x\in [a,b]$ mit $f(x)=y$.
* Es sei $D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen, $a\in D$ ein Punkt und zwei Funktionen, die in $a$ differenzierbar seien. Wenn $g$ keine Nullstelle in $D$ besitzt, so ist $f/g$ differenzierbar in $a$ mit
    $f,g\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$
    $(f/g)'(a)={\frac {f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{(g(a))^{2}}}.$
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/29/Aufgabe/Lösung

* Es sei ${\left(x_{k}\right)}_{k\in \mathbb {N} }$ eine fallende Nullfolge von nichtnegativen reellen Zahlen. Dann konvergiert die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}x_{k}$.
* Es sei ${\overline {T}}$ die Menge aller Berührpunkte von $T$ und sei gleichmäßig stetig. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte stetige Fortsetzung
    $f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$
    ${\tilde {f}}\colon {\overline {T}}\longrightarrow {\mathbb {K} }.$
* Es sei $a<b$ und sei eine stetige, auf $]a,b[$ differenzierbare Funktion. Dann gibt es ein $c\ina,b$ mit
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
    $f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\,.$
# Analysis 1/Gemischte Satzabfrage/30/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über rationale Zahlen in einem archimedisch angeordneten Körper $K$.
* Das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt $a\in {\mathbb {K} }$.
    $f\colon {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} }$
* Der Satz über die Ableitung in einem lokalen Extremum.
# Euklidischer Vektorraum/Isometrie/Orthogonal/Fakt/Name

Der Satz über die Charakterisierung von reellen Isometrien mit Matrizen.
# Gaußklammer/Minus innen und außen/Skizze/Aufgabe

Skizziere die Funktion
    $\mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Q} ,\,x\longmapsto -\left\lfloor -x\right\rfloor .$
# COVID-19/Risikominderungsstrategien
## Kleine Gemeinden

Am stärksten gefährdet sind Mitglieder von Gemeinden
* die alt sind und/oder
* bereits an einer Atemwegserkrankung (wie Asthma) leiden
* bei denen eine Immunsuppression durchgeführt wurde, z.B. durch eine Transplantation von Herz oder Niere
* eine Krankheit haben, die sich auf die Aktivierung des Immunsystems und die immunologische Reaktion auswirkt (wie HIV T-Helferzellen).
Wenn Sie Mitglieder in Ihrem Haushalt haben (z.B. Familie, Mitglieder des Zusammenlebens in einer Wohnung), dann müssen diese risikoexponierten Mitglieder Ihres Haushaltes epidemiologisch vom Rest der Gemeinde getrennt werden. Risikominimierungsstrategien könnten Folgendes umfassen:
* Unterstützung bei der Beschaffung von Lebensmitteln, benötigten Gütern und Medikamenten, damit sie sich während des epidemiologischen Ausbruchs der Krankheit nicht mit sozialen Kontakten exponieren.
* Menschen, die zusammen in einem Haushalt leben, sollten nach Möglichkeit Abstand halten und hohe Hygienestandards einhalten. Darüber hinaus sollten sie die hohen Standards zur Risikominderung auf die Mitglieder der Gemeinde anwenden, insbesondere wenn sie Symptome von COVID-19 (Quarantäne) aufweisen. Verhalten Sie sich, als wären Sie COVID-19-positiv, es sei denn, Sie werden negativ getestet, um zu verhindern, dass die risikoexponierten Mitglieder Ihrer Gemeinde infiziert werden.

## Lernaufgaben

* Führen Sie eine Risikoanalyse für Ihre Gemeinde durch! Wer ist das Mitglied, das am meisten geschützt werden muss?
* Welche sozialen Kontakte lassen sich mit geringem Aufwand vermeiden? Welche sozialen Interaktionen sind derzeit erforderlich (z.B. medizinische oder persönliche Unterstützung der Großeltern) und können diese Unterstützungen mit bestmöglichen Sicherheitsstandards durchgeführt werden?
* Gibt es in Ihrer Nachbarschaft Menschen, die allein leben und Ihre Hilfe benötigen? Tauschen Sie Telefonnummern aus, um Unterstützung für Ihre Nachbarschaft zu schaffen und zu organisieren!
* Analysieren Sie die Empfehlungen der Gesundheitsbehörden und der WHO und versuchen Sie, sie an die Anforderungen und Zwänge Ihrer Gemeinde anzupassen! Rechnen Sie mit dynamischen Veränderungen in der epidemiologischen Risikobewertung, halten Sie sich auf dem Laufenden und geraten Sie nicht in Panik! Ein übertriebenes Verhalten der Bevölkerung könnte sich negativ auf die Versorgungskette, sogar auf die Verfügbarkeit von Gesundheitsdiensten und die Sicherheit der erforderlichen Gesundheitsdienste zur Bekämpfung der COVID-19-Krankheit auswirken. Dies ist ein wichtiger Bestandteil der Risikokompetenz. .
# COVID-19/Mathematische Modellierung/Logistisches Wachstum
## Vergleich Exponentielles Wachstum - logistisches Wachstum

In der Schule haben Sie vielleicht Kontakt zu exponentielles Wachstum. Epidemiologisch gesehen geht das Modell des exponentiellen Wachstums davon aus, dass es keine Grenzen des Wachstums gibt. Tatsächlich ist für die Epidemiologie das Maximum der infizierten Personen durch die Gesamtbevölkerung gegeben. Betrachten wir die anderen biologischen Wachstumsprozesse (z.B. Zellteilung), so haben wir auch Grenzen des Wachstums (z.B. Grenzen der Ressourcen, Grenzen des Raumes, ...). Das logistisches Wachstum bezieht eine Kapazität in die Modellierung mit ein. Eine logistische Funktion oder logistische Kurve ist eine übliche "S"-Form (sigmoide S-förmige Kurve), mit der Gleichung:
    $f(x)={\frac {M}{1+e^{-k(x-x_{0})}}}$
wo
* $e$ = die Basis der Exponentialfunktion, die auch als Eulersche Zahl bekannt ist,
* $x_{0}$ = der $x$-Wert des Sigmoid-Mittelpunkts, der in der Epidemiologie der Zeitpunkt mit der maximalen Wachstumsrate ist (Maximalwert der Ableitung).
* $M$ = der Maximalwert der Kurve (die Kapazität des Wachstums), und
* $k$ = die logistische Wachstumsrate oder Steilheit der Kurve.

## Stammfunktion

Die Stammfunktion und Ableitungen ist wie folgt:
    $F:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \ x\mapsto F(x)=M\cdot \left({\frac {\log \left(1+e^{-k\,(x-x_{0}x)}\right)}{k}}+(x-x_{0})\right)$

### Berechnung mit Maxima

Die logistische Funktion wird wie folgt in Maxima definiert.
    f(x):= M/(1+exp(-k*(x-x0)));
Nun können wir die Ableitungen und die Stammfunktion in Maxima berechnen. Dabei wird $f$ nach $x$ abgeleitet mit
    integrate(f(x),x)
Wenn die Ableitung die zweite Ausgabe %o2 ist, dann kann man den LaTeX-Code für die Ableitung in Wikiversity wie folgt erzeugen tex( %o2 ); Dann steht der kopierbare LaTeX-Code der Formel zwischen den Dollarzeichen.

## Ableitung

Die Stammfunktion und Ableitungen ist wie folgt:
    $f':\mathbb {R} \to \mathbb {R} \ x\mapsto f'(x)={\frac {M\cdot k\cdot e^{-k(x-x_{0})}}{\left(1+e^{-k\cdot (x-x_{0})}\right)^{2}}}$

### Berechnung mit Maxima

Die logistische Funktion wird wie folgt in Maxima definiert.
    f(x):= M/(1+exp(-k*(x-x0)));
Nun können wir die Ableitungen und die Stammfunktion in Maxima berechnen. Dabei wird $f$ nach $x$ abgeleitet mit
    diff(f(x),x)
Wenn die Ableitung die zweite Ausgabe %o2 ist, dann kann man den LaTeX-Code für die Ableitung in Wikiversity wie folgt erzeugen tex( %o2 ); Dann steht der kopierbare LaTeX-Code der Formel zwischen den Dollarzeichen.

### LaTeX-Ausgabe von Termen in Maxima

Den LaTeX-Code für Terme in Wikiversity kann man sich mit tex in Maxima ausgeben lassen, damit man die Formel nicht explizit
    tex( M/(1+exp(-k*(x-x0))) );
Dann steht der kopierbare LaTeX-Code der Formel zwischen den Dollarzeichen.
    $$ \frac{M}{1+e^{- k\cdot (x-x_0)}} $$
Die erzeugte Formel hat folgende Darstellung:
    ${\frac {M}{1+e^{-k\cdot (x-x_{0})}}}$