OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Flug/Tokio/Frankfurt/Zeitzonen/Aufgabe

Professor Knopfloch fliegt von Tokio nach Frankfurt. Die Zeitdifferenz zwischen Frankfurt und Tokio beträgt 9 Stunden (wenn es in Frankfurt 12:00 ist, so ist es in Tokio bereits 21:00 am gleichen Tag). Das Flugzeug startet am Samstag um 11:30 Ortszeit in Tokio und landet am Samstag um 16:30 Ortszeit in Frankfurt und folgt dabei der eingezeichneten blauen Kurve. Die Erde ist in 24 Zeitzonen eingeteilt; in der Karte sind das (sehr schematisch) die Flächen, die durch die vom Nordpol ausgehenden Strahlen begrenzt werden. Wenn einer der Strahlen von West nach Ost (in der Karte bedeutet dies gegen den Uhrzeigersinn) überflogen wird, so springt die Ortszeit um eine Stunde vor. Wenn die Datumsgrenze (die rote Linie) von West nach Ost überflogen wird, so springt das Datum um einen Tag zurück (aber auch um eine Stunde vor, da die Datumsgrenze auch eine Zeitzonengrenze ist). Wir gehen davon aus, dass das Flugzeug für jede Überfliegung einer Zeitzone gleich lang braucht (das ist ziemlich unrealistisch) und dass Tokio und Frankfurt in der Mitte ihrer Zeitzonen liegen.
a) Wie lange ist das Flugzeug unterwegs?
b) Wie viele Minuten braucht das Flugzeug, um eine Zeitzone zu überfliegen?
c) Welche Ortszeit gilt unmittelbar nachdem das Flugzeug die Datumsgrenze durchflogen hat?
d) Wie viele Minuten war das Flugzeug gemäß Ortszeit am Freitag unterwegs?
# Bijektiver Gruppenhomomorphismus/Umkehrabbildung ist homomorph/Fakt

Es seien $G$ und $H$ Gruppen und sei
    $\varphi \colon G\longrightarrow H$
ein Gruppenisomorphismus.
Dann ist auch die Umkehrabbildung
ein Gruppenisomorphismus.
# MDLUL/Normalteilers

Start=Normalteilers
Siehe=Normalteiler MDLUL/Normalteiler Ziel=Untergruppe/Normalteiler/Definition
# MDLUL/isomorph (Gruppe)

Start=isomorph (Gruppe)
Ziel=Gruppen/Isomorph/Definition
# Gruppenisomorphismus/Definition

Es seien $G$ und $H$ Gruppen. Einen bijektiven Gruppenhomomorphismus
    $\varphi \colon G\longrightarrow H$
nennt man einen Isomorphismus
(oder eine Isomorphie ).
# Gruppe/Isomorphismus/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es seien $G$ und $H$ Gruppen. Einen bijektiven Gruppenhomomorphismus
    $\varphi \colon G\longrightarrow H$
nennt man einen Isomorphismus (oder eine Isomorphie).

## Definition

Die Gruppen $H$ und $G$ heißen isomorph, wenn es einen Gruppenisomorphismus $\varphi \colon G\rightarrow H$ gibt.

## Beispiel

Betrachte die additive Gruppe der reellen Zahlen, also $(\mathbb {R} ,0,+)$, und die multiplikative Gruppe der positiven reellen Zahlen, also $(\mathbb {R} _{+},1,\cdot )$. Dann ist die Exponentialabbildung
    $\exp \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto \exp(x),$
ein Gruppenisomorphismus. Dies beruht auf grundlegenden analytischen Eigenschaften der Exponentialfunktion. Die Homomorphieeigenschaft ist lediglich eine Umformulierung des Exponentialgesetzes
    $\exp(x+y)=e^{x+y}=e^{x}e^{y}=\exp(x)\exp(y)\,.$
Die Injektivität der Abbildung folgt aus der strengen Monotonie, die Surjektivität folgt aus dem Zwischenwertsatz. Die Umkehrabbildung ist der natürliche Logarithmus, der somit ebenfalls ein Gruppenisomorphismus ist.

## Lemma

Es seien $G$ und $H$ Gruppen und sei
    $\varphi \colon G\longrightarrow H$
ein Gruppenisomorphismus.
Dann ist auch die Umkehrabbildung
ein Gruppenisomorphismus.

### Beweis

Dies folgt aus
    ${\begin{aligned}\varphi ^{-1}(h_{1}h_{2})&=\varphi ^{-1}{\left(\varphi (\varphi ^{-1}(h_{1}))\varphi (\varphi ^{-1}(h_{2}))\right)}\\&=\varphi ^{-1}{\left(\varphi {\left(\varphi ^{-1}(h_{1})\varphi ^{-1}(h_{2})\right)}\right)}\\&=\varphi ^{-1}(h_{1})\varphi ^{-1}(h_{2}).\end{aligned}}$
$\Box$
Isomorphe Gruppen sind bezüglich ihrer gruppentheoretischen Eigenschaften als gleich anzusehen. Isomorphismen einer Gruppe auf sich selbst nennt man auch Automorphismen.
# Maximumsnorm/Norm/Aufgabe

Zeige, dass die Maximumsnorm auf dem ${\mathbb {K} }^{n}$ eine Norm ist.
# Summennorm/Norm/Aufgabe

Zeige, dass die Summennorm auf dem ${\mathbb {K} }^{n}$ eine Norm ist.
# Gruppentheorie/Definiere Produktgruppe/Abbildungen dorthin/Aufgabe

Es seien $G_{1},\ldots ,G_{n}$ Gruppen.
a) Definiere eine Gruppenstruktur auf dem Produkt
    $G_{1}\times \cdots \times G_{n}.$
b) Es sei $H$ eine weitere Gruppe. Zeige, dass eine Abbildung
    $\varphi \colon H\longrightarrow G_{1}\times \cdots \times G_{n},\,x\longmapsto \varphi (x)=(\varphi _{1}(x),\ldots ,\varphi _{n}(x)),$
genau dann ein Gruppenhomomorphismus ist, wenn alle Komponenten $\varphi _{i}$ Gruppenhomomorphismen sind.
# Gruppenhomomorphismus/Bild ist Untergruppe/Fakt

Es seien $G$ und $H$ Gruppen und sei
    $\varphi \colon G\longrightarrow H$
ein Gruppenhomomorphismus.
Dann ist das Bild von $\varphi$ eine Untergruppe von $H$.
# Gruppenhomomorphismus/Injektivität und Kern/Fakt

Es seien $G$ und $H$ Gruppen.
Ein Gruppenhomomorphismus $\varphi \colon G\rightarrow H$ ist genau dann injektiv, wenn der Kern von $\varphi$ trivial ist.
# Gruppe/Normalteiler/Restklassengruppe/Fakt

Es sei $G$ eine Gruppe und $H\subseteq G$ ein Normalteiler. Es sei $G/H$ die Menge der Nebenklassen (die Quotientenmenge) und
    $q\colon G\longrightarrow G/H,\,g\longmapsto [g],$
die kanonische Projektion.
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Gruppenstruktur auf $G/H$ derart, dass $q$ ein Gruppenhomomorphismus ist.
# Gruppen/Isomorph/Definition

Die Gruppen $H$ und $G$ heißen isomorph,
wenn es einen Gruppenisomorphismus $\varphi \colon G\rightarrow H$ gibt.
# Innerer Automorphismus/Ist Automorphismus/Fakt

Ein innerer Automorphismus ist in der Tat
ein Automorphismus.
Die Zuordnung
    $G\longrightarrow \operatorname {Aut} \,G,\,g\longmapsto \kappa _{g},$
ist ein Gruppenhomomorphismus.
# MDLUL/Exponentialabbildung (R)

Start=Exponentialabbildung (R)
Ziel=Reelle Exponentialfunktion/Potenzreihe/Definition
# Normalteiler/Restklassengruppe/Einführung/Textabschnitt
## Satz

Es sei $G$ eine Gruppe und $H\subseteq G$ ein Normalteiler. Es sei $G/H$ die Menge der Nebenklassen (die Quotientenmenge) und
    $q\colon G\longrightarrow G/H,\,g\longmapsto [g],$
die kanonische Projektion.
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Gruppenstruktur auf $G/H$ derart, dass $q$ ein Gruppenhomomorphismus ist.

### Beweis

Da die kanonische Projektion zu einem Gruppenhomomorphismus werden soll, muss die Verknüpfung durch
    $[x][y]=[xy]\,$
gegeben sein. Wir müssen also zeigen, dass durch diese Vorschrift eine wohldefinierte Verknüpfung auf $G/H$ definiert ist, die unabhängig von der Wahl der Repräsentanten ist. D.h. wir haben für $[x]=[x']$ und $[y]=[y']$ zu zeigen, dass $[xy]=[x'y']$ ist. Nach Voraussetzung können wir $x'=xh$ und $hy'={\tilde {h}}y=yh'$ mit $h,{\tilde {h}},h'\in H$ schreiben. Damit ist
    $x'y'=(xh)y'=x(hy')=x(yh')=xyh'\,.$
Somit ist $[xy]=[x'y']$. Aus der Wohldefiniertheit der Verknüpfung auf $G/H$ folgen die Gruppeneigenschaften, die Homomorphieeigenschaft der Projektion und die Eindeutigkeit.
$\Box$

## Definition

Es sei $G$ eine Gruppe und $H\subseteq G$ ein Normalteiler. Die Quotientenmenge
    $G/H$
mit der aufgrund von Fakt eindeutig bestimmten Gruppenstruktur heißt Restklassengruppe von $G$ modulo $H$. Die Elemente $[g]\in G/H$ heißen Restklassen. Für eine Restklasse $[g]$ heißt jedes Element $g'\in G$ mit $[g']=[g]$ ein Repräsentant von $[g]$.
# Minkowski-Raum/Beobachtervektoren/Fakt/Beweisverweis

Siehe Aufgabe, Aufgabe und Aufgabe.
# Bilinearform/Addition/Skalarmultiplikation/Aufgabe

a) Zeige, dass die Summe von Bilinearformen $\Psi _{1}$ und $\Psi _{2}$ auf einem $K$-Vektorraum $V$ wieder eine Bilinearform ist.
b) Zeige ebenso, dass das skalare Vielfache einer Bilinearform wieder eine Bilinearform ist.
# Natürliche Zahlen/3456/Aufgabe

Bestimme unter den vierstelligen natürlichen Zahlen, die man mit den Ziffern $3,4,5,6$ bilden kann, diejenige, die am nächsten an $5000$ ist.
# Natürliche Zahlen/3456/Aufgabe/Lösung

$5000$
$5346$
$5000$
$4653$
$5000$
$347$
$5346$
$5000$
# Gruppenhomomorphismus/Kern/Untergruppe/Fakt

Es seien $G$ und $H$ Gruppen und sei
    $\varphi \colon G\longrightarrow H$
ein Gruppenhomomorphismus.
Dann ist der Kern von $\varphi$ eine Untergruppe von $G$.
# Gruppenhomomorphismus/Kern/Injektivitätskriterium/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es seien $G$ und $H$ Gruppen und sei
    $\varphi \colon G\longrightarrow H$
ein Gruppenhomomorphismus. Dann nennt man das Urbild des neutralen Elementes den Kern von $\varphi$, geschrieben
    $\operatorname {kern} \varphi =\varphi ^{-1}(e_{H})={\left\{g\in G\mid \varphi (g)=e_{H}\right\}}\,.$

## Lemma

Es seien $G$ und $H$ Gruppen und sei
    $\varphi \colon G\longrightarrow H$
ein Gruppenhomomorphismus.
Dann ist der Kern von $\varphi$ eine Untergruppe von $G$.

### Beweis

Wegen $\varphi (e_{G})=e_{H}$ ist $e_{G}\in \operatorname {kern} \varphi$. Seien $g,g'\in \operatorname {kern} \varphi$. Dann ist
    $\varphi (gg')=\varphi (g)\varphi (g')=e_{H}e_{H}=e_{H}\,$
und daher ist auch $gg'\in \operatorname {kern} \varphi$. Der Kern ist also ein Untermonoid. Es sei nun $g\in \operatorname {kern} \varphi$ und betrachte das inverse Element $g^{-1}$. Nach Fakt ist
    $\varphi {\left(g^{-1}\right)}=(\varphi (g))^{-1}=e_{H}^{-1}=e_{H}\,,$
also auch $g^{-1}\in \operatorname {kern} \varphi$.
$\Box$

## Lemma

Es seien $G$ und $H$ Gruppen.
Ein Gruppenhomomorphismus $\varphi \colon G\rightarrow H$ ist genau dann injektiv, wenn der Kern von $\varphi$ trivial ist.

### Beweis

Wenn $\varphi$ injektiv ist, so darf auf jedes Element $h\in H$ höchstens ein Element aus $G$ gehen. Da $e_{G}$ auf $e_{H}$ geschickt wird, darf kein weiteres Element auf $e_{H}$ gehen, d.h. $\ker \varphi =\{e_{G}\}$. Es sei umgekehrt dies der Fall und sei angenommen, dass $g,{\tilde {g}}\in G$ beide auf $h\in H$ geschickt werden. Dann ist
    $\varphi {\left(g{\tilde {g}}^{-1}\right)}=\varphi (g)\varphi ({\tilde {g}})^{-1}=hh^{-1}=e_{H}\,$
und damit ist $g{\tilde {g}}^{-1}\in \operatorname {kern} \varphi$, also $g{\tilde {g}}^{-1}=e_{G}$ nach Voraussetzung und damit $g={\tilde {g}}$.
$\Box$
# Gruppenhomomorphismus/Kern/Normalteiler/Fakt

Es seien $G$ und $H$ Gruppen und sei
    $\varphi \colon G\longrightarrow H$
ein Gruppenhomomorphismus.
Dann ist der Kern $\operatorname {kern} \varphi$ ein Normalteiler in $G$.
# Gruppenhomomorphismus/Kern/Normalteiler/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz, dass der Kern eines Gruppenhomomorphismus ein Normalteiler ist.
# Gruppenhomomorphismus/Kern/Normalteiler/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Eine Untergruppe liegt aufgrund von Fakt vor. Wir verwenden Fakt. Es sei also $x\in G$ beliebig und $h\in \operatorname {kern} \varphi$. Dann ist
    $\varphi {\left(xhx^{-1}\right)}=\varphi (x)\varphi (h)\varphi {\left(x^{-1}\right)}=\varphi (x)e_{H}\varphi {\left(x^{-1}\right)}=\varphi (x)\varphi (x)^{-1}=e_{H}\,,$
$xhx^{-1}$
# MDLUL/gemischten Brüchen

Start=gemischten Brüchen
Siehe=gemischter Bruch MDLUL/gemischter Bruch Ziel=Rationale Zahl/Gemischter Bruch/Definition
# Vektorraum/K/Endlichdimensional/Adjungierter Endomorphismus/Normal/Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler ${\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt $\left\langle -,-\right\rangle$ und sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
ein Endomorphismus. Zeige, dass $\varphi$ genau dann normal ist, wenn der adjungierte Endomorphismus ${\hat {\varphi }}$ normal ist.
# Würfeldrehungen/Drehung um Raumdiagonale und Seitenmittelpunktsachse/Induzierte Permutation/Aufgabe

Betrachte den Würfel
Es sei $\alpha$ diejenige Drehung am Würfel um die Achse durch die Eckpunkte $A$ und $G$, die den Eckpunkt $B$ auf $D$ schickt, und es sei $\beta$ die Halbdrehung um die vertikale Achse (also die Gerade, die durch den Mittelpunkt der Seitenfläche $A,B,C,D$ und den Mittelpunkt der Seitenfläche $E,F,G,H$ läuft).
a) Man gebe eine Wertetabelle für die Permutationen auf der Eckpunktmenge $\{A,B,C,D,E,F,G,H\}$, die durch $\alpha ,\beta ,\alpha \beta$ und $\beta \alpha$ bewirkt werden.
b) Bestimme die Drehachse von $\alpha \beta$ und von $\beta \alpha$ sowie die Ordnung dieser Drehungen.
c) Man gebe die Zykeldarstellung der von $\alpha ^{2}$ bewirkten Permutation auf der Eckpunktmenge an. Was ist $\alpha ^{1001}$?
d) Man betrachte die Permutation $\sigma$, die auf der Eckpunktmenge durch die Wertetabelle
gegeben ist. Gibt es eine Drehung des Würfels, die diese Permutation bewirkt? Berechne das Signum von $\sigma$.
# Hom/Als Tensorprodukt/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$. Es sei ${V}^{*}$ der Dualraum zu $V$. Zeige die folgenden Aussagen.
a) Es gibt eine multilineare Abbildung
    ${V}^{*}\times W\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)},\,(f,w)\longmapsto {\left(v\mapsto f(v)w\right)}.$
b) Es gibt eine lineare Abbildung
    $\psi \colon {V}^{*}\otimes W\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)},$
die $f\otimes w$ auf die lineare Abbildung $v\mapsto f(v)w$ abbildet.
c) Wenn $V$ und $W$ endlichdimensional sind, so ist $\psi$ aus Teil (b) ein Isomorphismus.
# Lineare Abbildungen/Dachprodukt/Diagonalisierbar/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $V$ ein $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine diagonalisierbare $K$-lineare Abbildung. Zeige, dass auch das Dachprodukt
    $\bigwedge ^{n}\varphi \colon \bigwedge ^{n}V\longrightarrow \bigwedge ^{n}V$
diagonalisierbar ist.
# Lineare Abbildungen/Dachprodukt/Trigonalisierbar/Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
eine trigonalisierbare $K$-lineare Abbildung. Zeige, dass auch das Dachprodukt
    $\bigwedge ^{n}\varphi \colon \bigwedge ^{n}V\longrightarrow \bigwedge ^{n}V$
trigonalisierbar ist.
# Kommutative Ringtheorie/Maximales Ideal/Primideal/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass ein maximales Ideal ${\mathfrak {m}}$ in einem kommutativen Ring $R$ ein Primideal ist.
# MDLUL/Rechtsnebenklasse

Start=Rechtsnebenklasse
Ziel=Gruppentheorie/Rechtsnebenklasse/Definition
# MDLUL/Linksnebenklasse

Start=Linksnebenklasse
Ziel=Gruppentheorie/Linksnebenklasse/Definition
# Invertierbare Matrix/Körper/Ähnlichkeit/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $n\times n$-Matrix über $K$. Dann heißt $M$ invertierbar, wenn es eine weitere Matrix $A\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ mit
    $A\circ M=E_{n}=M\circ A\,$
gibt.

## Definition

Es sei $K$ ein Körper. Zu einer invertierbaren Matrix $M\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ heißt die Matrix $A\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ mit
    $A\circ M=E_{n}=M\circ A\,$
die inverse Matrix von $M$. Man schreibt dafür
    $M^{-1}.$
Das Produkt von invertierbaren Matrizen ist wieder invertierbar. Gemäß Fakt ist die Matrix zu einem Basiswechsel invertierbar, und die Matrix zum umgekehrten Basiswechsel ist die inverse Matrix.

## Definition

Zu einem Körper $K$ und $n\in \mathbb {N} _{+}$ nennt man die Menge aller invertierbaren $n\times n$-Matrizen mit Einträgen in $K$ die allgemeine lineare Gruppe über $K$. Sie wird mit $\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ bezeichnet.

## Definition

Zwei quadratische Matrizen $M,N\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ heißen ähnlich, wenn es eine invertierbare Matrix $B$ mit $M=BNB^{-1}$ gibt.
Nach Fakt sind zu einer linearen Abbildung $\varphi \colon V\rightarrow V$ die beschreibenden Matrizen bezüglich zweier Basen ähnlich zueinander.
# Obere Dreiecksmatrix/Invertierbar/Inverse Matrix/Aufgabe

Es sei $M$ eine invertierbare obere Dreiecksmatrix. Zeige, dass die inverse Matrix $M^{-1}$ ebenfalls eine obere Dreiecksmatrix ist.
# Obere Dreiecksmatrix/Invertierbar/Diagonalelemente/Aufgabe

Es sei $M$ eine invertierbare obere Dreiecksmatrix. Zeige, dass die Diagonalelemente von $M$ von $0$ verschieden sind.
# Invertierbare Matrix/Treppengestalt/Einheitsmatrix/Fakt/Beweis

Dies beruht auf den Manipulationen des Eliminationsverfahrens und darauf, dass elementare Zeilenumformungen nach Fakt durch Multiplikationen mit Elementarmatrizen von links ausgedrückt werden können. Dabei können in einer Spalte bzw. in einer Zeile nicht nur Nullen entstehen, da die Elementarmatrizen invertierbar sind und so in jedem Schritt die Invertierbarkeit erhalten bleibt. Eine Matrix mit einer Nullspalte oder einer Nullzeile ist aber nicht invertierbar. Wenn eine invertierbare obere Dreiecksmatrix vorliegt, so sind nach Aufgabe die Diagonaleinträge nicht $0$ und man kann mit skalarer Multiplikation die Diagonaleinträge zu $1$ machen und damit die in jeder Spalte darüberliegenden Einträge zu $0$.
# Matrix/Spaltenrang/Zeilenrang/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $m\times n$-Matrix über $K$. Dann nennt man die Dimension des von den Spalten erzeugten Untervektorraums von $K^{m}$ den (Spalten-)Rang der Matrix, geschrieben
    $\operatorname {rang} \,M.$

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$ der Dimension $n$ bzw. $m$. Es sei
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix $M\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ beschrieben werde.
Dann gilt

### Beweis

$\Box$
Zur Formulierung der nächsten Aussage führen wir den Zeilenrang einer $m\times n$-Matrix als die Dimension des von den Zeilen erzeugten Untervektorraumes von $K^{n}$ ein.

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $m\times n$-Matrix über $K$.
Dann stimmt der Spaltenrang mit dem Zeilenrang überein.
Der Rang ist gleich der in Fakt verwendeten Zahl $r$.

### Beweis

Bei elementaren Zeilenumformungen ändert sich der von den Zeilen erzeugte Raum nicht, und damit ändert sich auch nicht der Zeilenrang. Der Zeilenrang stimmt also mit dem Zeilenrang der in Fakt angegebenen Matrix in Stufenform überein. Diese hat den Zeilenrang $r$, da die ersten $r$ Zeilen linear unabhängig sind und ansonsten nur Nullzeilen auftauchen. Sie hat aber auch den Spaltenrang $r$, da wiederum die ersten $r$ Spalten (wenn man auch noch die Spalten vertauscht hat) linear unabhängig sind und die weiteren Spalten Linearkombinationen dieser $r$ Spalten sind. Die Aufgabe zeigt, dass sich bei elementaren Zeilenumformungen auch der Spaltenrang nicht ändert.
$\Box$
Beide Ränge stimmen also überein, sodass wir im Folgenden nur noch vom Rang einer Matrix sprechen werden.

## Korollar

Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $n\times n$-Matrix über $K$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

### Beweis

$\Box$
# Partialbruchzerlegung/Zmod3/X^4 durch (X^3+X^2+2)^2/Aufgabe

a) Zeige, dass $X^{3}+X^{2}+2$ irreduzibel in $\mathbb {Z} /(3)[X]$ ist.
b) Bestimme die Partialbruchzerlegung von
    ${\frac {X^{4}}{{\left(X^{3}+X^{2}+2\right)}^{2}}}$
in $\mathbb {Z} /(3)(X)$.
# Institut Bodenkunde

15. Mai 2008
Die Profildiskussion soll eine Exkursion sein, bei der jeder zur Ansprache des aktuellen Bodenprofiles beitragen kann. Jeder ist eingeladen, Photos von Bodenprofilen hier hoch zu laden und zur Diskussion zu stellen.
* O/C-Böden
* Terrestrische Rohböden
* Ah/C-Böden
* Schwarzerden
* Pelosole
* Braunerden
* Lessivés
* Podsole
* Terrae calcis
* Fersiallitische und ferrallitische Paläoböden
* Stauwasserböden
* Reduktosole
* Terrestrische anthropogene Böden
* Auenböden
* Gleye
* Marschen
* Strandböden
* Semisubhydrische Böden
* Subhydrische Böden
* Natürliche Moore
* Erd- und Mulmmoore
Dieses Institut ist noch im Aufbau. Hilf mit, drücke "Bearbeiten" und füge etwas hinzu!
Das Institut für Bodenkunde dient dem Erwerb und der Verbreitung von Wissen über das Thema Boden. Die Böden sind unsere Lebensgrundlage und damit eines unserer wichtigsten Güter. Böden sind Lebensraum, Filter, Puffer, Speicher und Transformatoren, sie sind Standort für Land- und Forstwirtschaft, Wohnraum, Industrie und Infrastruktur und nicht zuletzt Rohstofflagerstätten und Archive der Natur- und Kulturgeschichte. Zum Schutz des Gutes Boden mit all seinen Funktionen ist ein Verständnis der natürlichen und anthropogenen Bodenprozesse unentbehrlich. Da sich der Boden im Gegensatz zu Luft oder Wasser unserer direkten Wahrnehmung entzieht, ist das betreffende Wissen von sehr geringer Verbreitung. Dieses Institut wurde in der Hoffnung gegründet, einen kleinen Beitrag zur Bekämpfung dieser Defizite zu leisten.
Für fachliche Diskussionen steht der Seminarraum zur Verfügung. Diskussionen zum Institut und dessen Aufbau bitte hier. Außerdem solltest du in der Profildiskussion vorbeischauen.

## Kurse

Mögliche zukünftige Kurse könnten folgende Namen tragen:
Einführung in die Bodenkunde
Bodenphysik
Bodenchemie
Bodenbiologie
Bodengenese
Bodenansprache
Bodenschutz
Modelle für Prozesse im Boden|Modelle für Prozesse im Boden
Tonmineralogie

## Abgeschlossene Arbeiten, Referate und Präsentationen

Hier können Interessierten Lesern Forschungsarbeiten, Ausarb eitungen und Präsentationen ohne Kurscharakter zugänglich gemacht werden.

## Exkursionen

* Profildiskussion

## Projektvorschläge

Konzeption und Umsetzung eines numerischen Bodenwassermodells
# Zweidimensionales Gitter/(0,2) und (3,1)/Ordnungen/Aufgabe

Bestimme für jedes Element der Restklassengruppe $\mathbb {Z} ^{2}/U$ aus Aufgabe die Ordnung.
# VBIB/vBIB24/Alles klar

https://www.vbib.net/vbib24-programm/2024-12-05/

## Abstract

Dieser Slot möchte sensibilisieren für das Thema "Leichte Sprache". Oft gehen wir davon aus, dass die Informationen, welche wir weiter geben, gut verständlich sind. Doch ist das tatsächlich so? Welche Kriterien muss ein Text erfüllen, damit er gut zu verstehen ist? Bibliotheken haben eine Schlüsselfunktion im Hinblick auf Chancengleichheit in der Bildung, da sie Zugang zu Wissen für alle ermöglichen. Hierzu gehört auch, den Zugang zu Informationen über die Bibliotheksnutzung für alle zu gewährleisten. Es lohnt sich daher, die eigenen Angebote einmal genauer zu betrachten.

## Logo zur Kennzeichnung von Texten in Leichter Sprache

* Bildnachweis und Nutzungsbedingungen: https://easy-to-read.eu/european-logo/
* Link zur Ressource

## Links

* Lesbarkeitsindex: https://www.psychometrica.de/lix.html
* Wörterbuch “Leichte Sprache”: erklärt Begriffe in leichter Sprache: https://www.inclusion-europe.eu/de/woerterbuch/
* Wörterbuch auf Wikibasis: https://hurraki.de/wiki/Hauptseite
* Regelwerk für leichte Sprache von Inclusion Europe: https://www.inclusion-europe.eu/wp-content/uploads/2017/06/DE_Information_for_all.pdf