# Algebraische Derivationen und Differentiale/1/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $A$ eine kommutative $R$-Algebra und $M$ ein $A$-Modul. Dann heißt eine $R$-lineare Abbildung
    $\delta \colon A\longrightarrow M$
mit
    $\delta (ab)=a\delta (b)+b\delta (a)\,$
für alle $a,b\in A$ eine $R$-Derivation (mit Werten in $M$).
Die dabei verwendete Regel nennt man Leibniz-Regel. Oft ist $M=A$. Für den Polynomring $A=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ sind beispielsweise die $i$-ten (formalen) partiellen Ableitungen
    ${\frac {\partial }{\partial X_{i}}}$
$R$-Derivationen von $A$ nach $A$. Die Menge der Derivationen von $A$ nach $M$ ist in natürlicher Weise ein $A$-Modul. Er wird mit $\operatorname {Der} _{R}{\left(A,M\right)}$ bezeichnet.

## Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $A$ eine kommutative $R$-Algebra. Der von allen Symbolen $d(a)$, $a\in A$, erzeugte $A$-Modul, modulo den Identifizierungen
    $d(ab)=ad(b)+bd(a){\text{ für alle }}a,b\in A$
und
    $d(ra+sb)=rd(a)+sd(b){\text{ für alle }}r,s\in R{\text{ und }}a,b\in A,$
heißt Modul der Kähler-Differentiale von $A$ über $R$. Er wird mit
    $\Omega _{A{|}R}$
bezeichnet.
Bei dieser Konstruktion startet man also mit dem freien $A$-Modul $F$ mit $da$, $a\in A$ als Basis und bildet den $A$-Restklassenmodul zu demjenigen Untermodul, der von den Elementen
    $d(ab)-ad(b)-bd(a)\,(a,b\in A)$
und
    $d(ra+sb)-rd(a)-sd(b)\,(r,s\in R{\text{ und }}a,b\in A)$
erzeugt wird. Die Abbildung
    $d\colon A\longrightarrow \Omega _{A{|}R},\,a\longmapsto d(a)=da,$
heißt die universelle Derivation. Man prüft sofort nach, dass es sich um eine $R$-Derivation handelt.

## Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $A$ eine kommutative $R$-Algebra. Dann besitzt der $A$-Modul $\Omega _{A{|}R}$ der Kähler-Differentiale die folgende universelle Eigenschaft.
Zu jedem $A$-Modul $M$ und jeder $R$-Derivation
mit $\epsilon \circ d=\delta$.

### Beweis

Für jedes $da$, $a\in A$, muss $\epsilon (da)=\delta (a)$ sein. Da die $da$ ein $A$-Modul-Erzeugendensystem von $\Omega _{A{|}R}$ bilden, kann es maximal nur einen solchen Homomorphismus geben. Es sei $F$ der freie Modul zur Basis $da$, $a\in A$. Die Zuordnung ${\tilde {\epsilon }}(da)=\delta (a)$ legt nach dem Festlegungssatz einen $A$-Modulhomomorphismus
    ${\tilde {\epsilon }}\colon F\longrightarrow M$
fest. Es ist $\Omega _{A{|}R}=F/U$, wobei $U$ der von den Elementen erzeugte Untermodul ist, die die Leibnizregel und die Linearität ausdrücken. Da $\delta$ eine Derivation ist, wird $U$ unter ${\tilde {\epsilon }}$ auf $0$ abgebildet. Daher gibt es nach dem Homomorphiesatz eine eindeutige $A$-lineare Abbildung
    $\epsilon \colon \Omega _{A{|}R}\cong F/U\longrightarrow M$
mit
    $\epsilon (da)={\tilde {\epsilon }}(da)=\delta (a)\,.$
$\Box$
Diese Aussage kann man auch so ausdrücken, dass eine natürliche $A$-Modulisomorphie
    $\operatorname {Der} _{R}{\left(A,M\right)}\cong \operatorname {Hom} _{A}{\left(\Omega _{A{|}R},M\right)}\,$
vorliegt. Insbesondere ist
    $\operatorname {Der} _{R}{\left(A,A\right)}\cong \operatorname {Hom} _{A}{\left(\Omega _{A{|}R},A\right)}={\Omega _{A{|}R}}^{*}\,,$
wobei rechts der Dualmodul genommen wird.

## Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $A$ eine kommutative $R$-Algebra und $\Omega _{A{|}R}$ der Modul der Kähler-Differentiale. Dann gelten folgende Eigenschaften.

### Beweis

* Es sei $r\in R$. Wegen der $R$-Linearität ist $d(r1)=rd(1)$. Wegen der Produktregel ist sodass durch Subtraktion $d(1)=0$ folgt.
    $d(1)=d(1\cdot 1)=1d(1)+1d(1)\,,$
* Wir zeigen, dass der in Frage stehende Untermodul $V$ mit dem Untermodul $U$ übereinstimmt, der von allen Leibnizrelationen und von den Linearitätsrelationen erzeugt wird. Nach Teil (1) ist die Inklusion $V\subseteq U$ klar. Für $a,b\in A$ und $r,s\in R$ gilt modulo $V$ die Gleichheit sodass also auch die Linearitätsrelationen zu $V$ gehören.
    $d(ra+sb)=d(ra)+d(sb)=rda+adr+sdb+bds=rda+sdb\,,$
* Dies folgt aus der Linearität und der Leibnizregel.
* Beide Seiten sind $R$-linear, sodass es genügt, die Aussage für Monome zu zeigen. Für Monome beweist man die Aussage durch Induktion über den Gesamtgrad des Monoms.
* Da $B$ über $\varphi \colon A\rightarrow B$ eine $A$-Algebra ist, ist auch $\Omega _{B{|}S}$ ein $A$-Modul. Die Verknüpfung ist eine $R$-Derivation, wie man unmittelbar nachrechnet. Aufgrund der universellen Eigenschaft von $\Omega _{A{|}R}$ gibt es eine eindeutig bestimmte $A$-lineare Abbildung mit $d\varphi (a)={\tilde {\varphi }}(da)$.
    $A{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}B{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\Omega _{B{|}S}$
    ${\tilde {\varphi }}\colon \Omega _{A{|}R}\longrightarrow \Omega _{B{|}S}$
$\Box$

## Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $A=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring in $n$ Variablen über $R$.
Dann ist der Modul der Kähler-Differentiale der freie $A$-Modul zur Basis
Die universelle Derivation ist bezüglich dieser Basis durch
    $A\longrightarrow AdX_{1}\oplus \cdots \oplus AdX_{n},\,F\longmapsto dF={\frac {\partial F}{\partial X_{1}}}dX_{1}+\cdots +{\frac {\partial F}{\partial X_{n}}}dX_{n},$
gegeben.

### Beweis

Es sei $G$ der von den Symbolen $dX_{i}$ erzeugte freie $A$-Modul. Die Abbildung
    $\varphi \colon G\longrightarrow \Omega _{A{|}R},$
die das Basiselement $dX_{i}$ auf das Differential $dX_{i}$ schickt, ist nach Fakt (3) surjektiv. Die $i$-te partielle Ableitung
    ${\frac {\partial }{\partial X_{i}}}\colon A\longrightarrow A,\,F\longmapsto {\frac {\partial F}{\partial X_{i}}},$
ist eine $R$-Derivation, sodass es aufgrund der universellen Eigenschaft des Moduls der Differentialformen eine $A$-lineare Abbildung
    $p_{i}\colon \Omega _{A{|}R}\longrightarrow A$
mit $p_{i}\circ d={\frac {\partial }{\partial X_{i}}}$ gibt. Dabei ist $p_{i}(dX_{i})=1$ und $p_{i}(dX_{j})=0$ für $j\neq i$. Diese Abbildungen ergeben zusammen eine $A$-lineare Abbildung
    $p=p_{1}\times \cdots \times p_{n}\colon \Omega _{A{|}R}\longrightarrow A^{n}\cong G,$
für die $p\circ \varphi =\operatorname {Id} _{G}$ gilt. Daher ist $\varphi$ auch injektiv.
$\Box$
Im Allgemeinen ist der Modul der Kähler-Differentiale nicht frei. Wenn $R$ ein Körper und $A$ der lokale Ring zu einem Punkt auf einer Varietät ist, so charakterisiert die Freiheit des Moduls sogar, dass der Punkt glatt ist, siehe Fakt und Fakt.

## Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $A$ eine kommutative $R$-Algebra und $S\subseteq A$ ein multiplikatives System.
Dann ist

### Beweis

$\Box$

## Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und es seien $A$ und $B$ kommutative $R$-Algebren und
    $\varphi \colon A\longrightarrow B$
ein $R$-Algebrahomomorphismus.
Dann ist die Sequenz
von $B$-Moduln exakt.
Dabei geht $da\otimes b$ auf $bd\varphi (a)$ und $db$ (in $\Omega _{B{|}R}$) auf $db$ (in $\Omega _{B{|}A}$).

### Beweis

Die Surjektivität rechts ist klar. Zur Exaktheit an der zweiten Stelle verwenden wir die Beschreibung aus Fakt (2). Die beiden Moduln $\Omega _{B{|}A}$ und $\Omega _{B{|}R}$ besitzen das gleiche Erzeugendensystem und auch die Leibnizrelationen sind für beide gleich. Der Modul $\Omega _{B{|}A}$ ergibt sich aus $\Omega _{B{|}R}$ gerade dadurch, dass man den von den $da$, $a\in A$, erzeugten $B$-Untermodul zu $0$ macht. Dieser Untermodul ist genau das Bild der Abbildung links.
$\Box$