OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Stammbruch/1 durch 77/Dezimalentwicklung/Periodenlänge/Aufgabe/Lösung

Nach Fakt müssen wir die multiplikative Ordnung von $10$ in $\mathbb {Z} /(77)$ bestimmen. Wegen
    $77=7\cdot 11\,$
ist
    $\mathbb {Z} /(77)\cong \mathbb {Z} /(7)\times \mathbb {Z} /(11)\,.$
Die Ordnung von $10=3$ in $\mathbb {Z} /(7)$ ist wegen $3^{2}=2\neq 1$ und $3^{3}=2\cdot 3=6\neq 1$ gleich $6$. Die Ordnung von $10$ in $\mathbb {Z} /(11)$ ist wegen $10=-1$
$2$
$10$
$6$
# Kreisteilungsring/n/Primzahl/Verzweigt/Fakt/2/Aufgabe

Wo wird im Beweis zu Fakt verwendet, dass $q\neq 2$ ist. Welche der angeführten Eigenschaften gelten bei $n=q=2$, welche nicht? Wie sieht es bei $q=2$ und $n=4$ aus?
# Homomorphismenräume/Hintereinanderschaltung/Multilinear/Aufgabe/Lösung

Es sei zunächst $\varphi \in \operatorname {Hom} _{K}{\left(U,V\right)}$ fixiert. Für $\psi _{1},\psi _{2}\in \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$ und einen beliebigen Vektor $u\in U$ ist
    ${\begin{aligned}{\left({\left(\psi _{1}+\psi _{2}\right)}\circ \varphi \right)}(u)&={\left(\psi _{1}+\psi _{2}\right)}{\left(\varphi (u)\right)}\\&=\psi _{1}{\left(\varphi (u)\right)}+\psi _{2}{\left(\varphi (u)\right)}\\&={\left(\psi _{1}\circ \varphi \right)}(u)+{\left(\psi _{1}\circ \varphi \right)}(u)\end{aligned}}$
und für $s\in K$ ist
    ${\begin{aligned}{\left({\left(s\psi \right)}\circ \varphi \right)}(u)&={\left(s\psi \right)}{\left(\varphi (u)\right)}\\&=s{\left(\psi {\left(\varphi (u)\right)}\right)}\\&=s{\left(\psi \circ \varphi \right)}(u).\end{aligned}}$
Es sei nun $\psi \in \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$ fixiert und $\varphi _{1},\varphi _{2}\in \operatorname {Hom} _{K}{\left(U,V\right)}$. Es ist
    ${\begin{aligned}{\left(\psi \circ {\left(\varphi _{1}+\varphi _{2}\right)}\right)}(u)&=\psi {\left({\left(\varphi _{1}+\varphi _{2}\right)}(u)\right)}\\&=\psi {\left(\varphi _{1}(u)+\varphi _{2}(u)\right)}\\&=\psi {\left(\varphi _{1}(u)\right)}+\psi {\left(\varphi _{2}(u)\right)}\\&={\left(\psi \circ \varphi _{1}\right)}(u)+{\left(\psi \circ \varphi _{2}\right)}(u)\\&={\left(\psi \circ \varphi _{1}+\psi \circ \varphi _{2}\right)}(u)\end{aligned}}$
und
    ${\begin{aligned}{\left(\psi \circ {\left(s\varphi \right)}\right)}(u)&=\psi {\left({\left(s\varphi \right)}(u)\right)}\\&=\psi {\left(s\varphi (u)\right)}\\&=s\psi {\left(\varphi (u)\right)}\\&=s{\left({\left(\psi \circ \varphi \right)}(u)\right)}\\&={\left(s{\left(\psi \circ \varphi \right)}\right)}(u).\end{aligned}}$
# Maßraum/Lebesgueraum/Funktionenreihe/Normabschätzung/Fast überall konvergent/p-Konvergenz/Fakt/Beweis

Es sei $b=\sum _{n=0}^{\infty }\Vert {g_{n}}\Vert _{p}$. Wir betrachten die Partialsummen
    $h_{m}=\sum _{n=0}^{m}\vert {g_{n}}\vert \,$
und die Grenzfunktion
    $h=\lim _{m\rightarrow \infty }h_{m}=\sum _{n=0}^{\infty }\vert {g_{n}}\vert \,,$
die auch den Wert $\infty$ annehmen kann. Daher ist auch
    $h^{p}=\lim _{m\rightarrow \infty }h_{m}^{p}\,$
und nach dem Satz von der monotonen Konvergenz ist
    $\int _{X}h^{p}d\mu =\lim _{m\rightarrow \infty }\int _{X}h_{m}^{p}d\mu \,.$
Für Potenzieren mit dem Exponenten $1/p$ und erhalten
    $\Vert {h}\Vert _{p}=\lim _{m\rightarrow \infty }\Vert {h_{m}}\Vert _{p}=\lim _{m\rightarrow \infty }\Vert {\sum _{n=0}^{m}\vert {g_{n}}\vert }\Vert _{p}\,.$
Wegen
    $\Vert {\sum _{n=0}^{m}\vert {g_{n}}\vert }\Vert _{p}\leq \sum _{n=0}^{m}\Vert {g_{n}}\Vert _{p}\leq b\,$
für alle $m$ ist dies beschränkt. Es folgt $h\in {\mathcal {L}}^{p}$ und insbesondere ist $h^{p}$ integrierbar. Dies bedeutet, dass $h$ allenfalls auf einer Nullmenge den Wert $\infty$ annimmt. Die Funktionenreihe $\sum _{n=0}^{\infty }\vert {g_{n}}\vert$ ist also außerhalb einer Nullmenge punktweise konvergent und daher ist nach Fakt auch die Funktionenreihe $\sum _{n=0}^{\infty }g_{n}$ außerhalb einer Nullmenge punktweise konvergent gegen eine Funktion $g$. Mit Fakt folgt, dass auch Konvergenz bezüglich der $p$-Norm vorliegt.
# Kreisteilungsring/n/Primzahl/Zerfällt/Fakt/2/Aufgabe

Untersuche Fakt für den Fall $q=2$, insbesondere bei $n=1$ und $n=2$.
# Polynomring/Grad bis 2/Evaluationen/Linearkombination/1/Aufgabe/Lösung

a) Für Polynome $P,Q\in K[X]_{\leq 2}$ und Skalare $r,s\in K$ und $z\in K$ ist
    ${\begin{aligned}\operatorname {Ev} _{z}(rP+sQ)&=(rP+sQ)(z)\\&=rP(z)+sQ(z)\\&=r\operatorname {Ev} _{z}(P)+s\operatorname {Ev} _{z}(Q),\end{aligned}}$
was die Linearität bedeutet.
b) Es sei
    $P=aX^{2}+bX+c\,.$
Es ist
    $\operatorname {Ev} _{1}(P)=a+b+c\,,$
    $\operatorname {Ev} _{0}(P)=c\,$
und
    $\operatorname {Ev} _{-1}(P)=a-b+c\,.$
Die Koeffizienten des Polynoms kann man aus den drei Evaluationen rekonstruieren, es ist
    $a={\frac {1}{2}}\operatorname {Ev} _{1}(P)+{\frac {1}{2}}\operatorname {Ev} _{-1}(P)-\operatorname {Ev} _{0}(P)\,,$
    $b={\frac {1}{2}}\operatorname {Ev} _{1}(P)-{\frac {1}{2}}\operatorname {Ev} _{-1}(P)\,$
und
    $c=\operatorname {Ev} _{0}(P)\,.$
Daher ist
    ${\begin{aligned}\operatorname {Ev} _{5}(P)&=\operatorname {Ev} _{5}(aX^{2}+bX+c)\\&=25a+5b+c\\&=25{\left({\frac {1}{2}}\operatorname {Ev} _{1}(P)+{\frac {1}{2}}\operatorname {Ev} _{-1}(P)-\operatorname {Ev} _{0}(P)\right)}+5{\left({\frac {1}{2}}\operatorname {Ev} _{1}(P)-{\frac {1}{2}}\operatorname {Ev} _{-1}(P)\right)}+\operatorname {Ev} _{0}(P)\\&=15\operatorname {Ev} _{1}(P)+10\operatorname {Ev} _{-1}(P)+24\operatorname {Ev} _{0}(P).\end{aligned}}$
Also ist
    $\operatorname {Ev} _{5}=15\operatorname {Ev} _{1}+10\operatorname {Ev} _{-1}+24\operatorname {Ev} _{0}\,.$
c) Für das Polynom $3X^{2}-4X+7$ ergibt die Auswertung an $5$ direkt
    $3\cdot 5^{2}-4\cdot 5+7=62\,.$
Die Linearkombination der Auswertungen ergibt ebenfalls
    ${\begin{aligned}15\operatorname {Ev} _{1}{\left(3X^{2}-4X+7\right)}+10\operatorname {Ev} _{-1}{\left(3X^{2}-4X+7\right)}+24\operatorname {Ev} _{0}{\left(3X^{2}-4X+7\right)}&=15\cdot {\left(3-4+7\right)}+10{\left(3+4+7\right)}+24\cdot 7\\&=90+140-168\\&=62.\end{aligned}}$
# Maßraum/Funktion/p-integrierbar/Grenze/Aufgabe

Sei $\alpha \in \mathbb {R} _{\geq 1}$. Man gebe ein Beispiel für einen $\sigma$-endlichen Maßraum $M$ und eine messbare Funktion $f\colon M\rightarrow \mathbb {R}$, die $p$-integrierbar ist für jedes $1\leq p<\alpha$ und nicht $p$-integrierbar ist für $p>\alpha$.
# Zahlbereich/X^3-3X+1/Modulo p/p-te Potenz/Möglichkeiten/Aufgabe

Es sei $R=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}$. Bestätige für die Primzahlen
    $p=2,5,7,11,13,17\,,$
dass in $R/(p)=\mathbb {Z} /(p)[X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}$ eine der Beziehung
    $X^{p}={\begin{cases}X\\X^{2}-2\\-X^{2}-X+2\end{cases}}\,$
gilt. Wie sieht es bei $p=3$ aus?
# Polynomring/Grad bis 2/Evaluationen/Linearkombination/2/Aufgabe/Lösung

a) Für Polynome $P,Q\in K[X]_{\leq 2}$ und Skalare $r,s\in K$ und $z\in K$ ist
    ${\begin{aligned}\operatorname {Ev} _{z}(rP+sQ)&=(rP+sQ)(z)\\&=rP(z)+sQ(z)\\&=r\operatorname {Ev} _{z}(P)+s\operatorname {Ev} _{z}(Q),\end{aligned}}$
was die Linearität bedeutet.
b) Es sei
    $P=aX^{2}+bX+c\,.$
Es ist
    $\operatorname {Ev} _{0}(P)=c\,,$
    $\operatorname {Ev} _{1}(P)=a+b+c\,$
und
    $\operatorname {Ev} _{2}(P)=4a+2b+c\,.$
Die Koeffizienten des Polynoms kann man aus den drei Evaluationen rekonstruieren, es ist
    $a={\frac {1}{2}}\operatorname {Ev} _{2}(P)-\operatorname {Ev} _{1}(P)+{\frac {1}{2}}\operatorname {Ev} _{0}(P)\,,$
    $b=-{\frac {1}{2}}\operatorname {Ev} _{2}(P)+2\operatorname {Ev} _{1}(P)-{\frac {3}{2}}\operatorname {Ev} _{0}(P)\,$
und
    $c=\operatorname {Ev} _{0}(P)\,.$
Daher ist
    ${\begin{aligned}\operatorname {Ev} _{-4}(P)&=\operatorname {Ev} _{-4}(aX^{2}+bX+c)\\&=16a-4b+c\\&=16{\left({\frac {1}{2}}\operatorname {Ev} _{2}(P)-\operatorname {Ev} _{1}(P)+{\frac {1}{2}}\operatorname {Ev} _{0}(P)\right)}-4{\left(-{\frac {1}{2}}\operatorname {Ev} _{2}(P)+2\operatorname {Ev} _{1}(P)-{\frac {3}{2}}\operatorname {Ev} _{0}(P)\right)}+\operatorname {Ev} _{0}(P)\\&=10\operatorname {Ev} _{2}(P)-24\operatorname {Ev} _{1}(P)+15\operatorname {Ev} _{0}(P).\end{aligned}}$
Also ist
    $\operatorname {Ev} _{-4}=10\operatorname {Ev} _{2}-24\operatorname {Ev} _{1}+15\operatorname {Ev} _{0}\,.$
c) Für das Polynom $5X^{2}-2X+3$ ergibt die Auswertung an $-4$ direkt
    $5\cdot (-4)^{2}-2\cdot (-4)+3=91\,.$
Die Linearkombination der Auswertungen ergibt ebenfalls
    ${\begin{aligned}10\operatorname {Ev} _{2}{\left(5X^{2}-2X+3\right)}-24\operatorname {Ev} _{1}{\left(5X^{2}-2X+3\right)}+15\operatorname {Ev} _{0}{\left(5X^{2}-2X+3\right)}&=10\cdot {\left(20-4+3\right)}-24\operatorname {Ev} _{1}{\left(5-2+3\right)}+15\operatorname {Ev} _{0}{\left(3\right)}\\&=190-144+45\\&=91.\end{aligned}}$
# Endlicher Maßraum/Inklusion der Lebesgueräume/Aufgabe/Lösung

Es sei $f\in {\mathcal {L}}^{q}(X)$. Wie setzen
    $Z:={\left\{x\in X\mid \vert {f}\vert \leq 1\right\}}\,.$
Dann ist
    $\int _{X}\vert {f}\vert ^{p}d\mu =\int _{Z}\vert {f}\vert ^{p}d\mu +\int _{X\setminus Z}\vert {f}\vert ^{p}d\mu \,.$
Der linke Summand ist höchstens $\mu (Z)$ und insbesondere endlich. Für den rechten Summanden gilt
    $\int _{X\setminus Z}\vert {f}\vert ^{p}d\mu \leq \int _{X\setminus Z}\vert {f}\vert ^{q}d\mu \leq \int _{X}\vert {f}\vert ^{q}d\mu \,,$
# Fünfzehnter reeller Kreisteilungsring/Wurzel aus 5/Aufgabe

Es sei
    $S=\mathbb {Z} [Y]/{\left(Y^{4}-Y^{3}-4Y^{2}+4Y+1\right)}\subseteq R_{15}=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{8}-X^{7}+X^{5}-X^{4}+X^{3}-X+1\right)}\,,$
wobei $Y=X+X^{-1}$ ist.
* Zeige, dass das Element zu $S$ gehört.
    $Z={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\,$
* Schreibe $Z$ als polynomialen Ausdruck in $Y$.
* Beschreibe $S$ als quadratische Erweiterung von $\mathbb {Z} [Z]$.
# Polynomring/Eine Variable/Grad bis d/Evaluation/Linearform/Aufgabe/Lösung

Für Polynome $P,Q\in K[X]_{\leq d}$ und Skalare $r,s\in K$ und $z\in K$ ist
    ${\begin{aligned}\operatorname {Ev} _{z}(rP+sQ)&=(rP+sQ)(z)\\&=rP(z)+sQ(z)\\&=r\operatorname {Ev} _{z}(P)+s\operatorname {Ev} _{z}(Q),\end{aligned}}$
# Quadratwurzelfunktion/Einheitsintervall/Approximation durch Polynome/Aufgabe/Lösung

Wir fixieren $t$ zwischen $0$ und $1$ und setzen
    $t_{n}:=P_{n}(t)\,,$
die Rekursionsvorschrift lautet somit $t_{n+1}=t_{n}+{\frac {1}{2}}{\left(t-t_{n}^{2}\right)}$. Es ist
    ${\begin{aligned}{\sqrt {t}}-t_{n+1}&={\sqrt {t}}-{\left(t_{n}+{\frac {1}{2}}{\left(t-t_{n}^{2}\right)}\right)}\\&={\sqrt {t}}-t_{n}-{\frac {1}{2}}{\left({\sqrt {t}}-t_{n}\right)}{\left({\sqrt {t}}+t_{n}\right)}\\&={\left({\sqrt {t}}-t_{n}\right)}{\left(1-{\frac {1}{2}}{\left({\sqrt {t}}+t_{n}\right)}\right)}.\end{aligned}}$
Daraus folgt durch Induktion
    $0\leq {\sqrt {t}}-t_{n}\leq 1\,$
für alle $n$. Dies ergibt wiederum
    $t_{n+1}-t_{n}={\frac {1}{2}}{\left(t-t_{n}^{2}\right)}\geq 0\,,$
die Folge ist also monoton wachsend und konvergiert wegen ihrer Beschränktheit. Sei $s$ der Limes. Der Limesprozess angewendet auf die Rekursionsgleichung ergibt
    $s=s+{\frac {1}{2}}{\left(t-s^{2}\right)}\,$
und daher
    $s^{2}=t\,.$
# Zahlbereich/Neunter reeller Kreisteilungsring/Nullstellen/Keine dritte Wurzel/Aufgabe

Es sei $R=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}$. Zeige mit Aufgabe, dass die Restklasse $x$ von $X$ in $R$ keine dritte Wurzel besitzt.
# Polynomring/Grad bis d/Evaluationen/Linearkombination/Aufgabe/Lösung

a) Für Polynome $P,Q\in K[X]_{\leq d}$ und Skalare $r,s\in K$ und $z\in K$ ist
    ${\begin{aligned}\operatorname {Ev} _{z}(rP+sQ)&=(rP+sQ)(z)\\&=rP(z)+sQ(z)\\&=r\operatorname {Ev} _{z}(P)+s\operatorname {Ev} _{z}(Q),\end{aligned}}$
was die Linearität bedeutet.
b) Wir betrachten die Familie von Polynomen vom Grad $d$, die durch
    $P_{j}=(X-z_{1})\cdots (X-z_{j-1})(X-z_{j+1})\cdots (X-z_{d+1})\,$
gegeben ist. Die Evaluationen $\operatorname {Ev} _{z_{i}}$ haben an diesen Polynomen den Wert
    $\operatorname {Ev} _{z_{i}}(P_{j})=P_{j}(z_{i})={\begin{cases}0,{\text{ falls }}i\neq j\,,\\\prod _{k\neq i}(z_{i}-z_{k})\neq 0,{\text{ falls }}i=j\,.\end{cases}}\,$
Mit Fakt folgt, dass die gegebenen $d+1$ Auswertungen linear unabhängig sind. Da der Raum $K[X]_{\leq d}$ die Dimension $d+1$ besitzt und der Dualraum nach Fakt ebenfalls diese Dimension hat, bilden die Auswertungen nach Fakt eine Basis des Dualraumes.
c) Wir betrachten die Nullform auf $K[X]_{\leq 1}$. Zu jedem Punkt $w\in K$
$X-w+1$
$w$
$0$
# Lebesgueraum/Punktauswertung/Aufgabe

Es sei $X$ ein Maßraum, $x\in X$ ein fixierter Punkt und $p\geq 1$.
* Zeige, dass die Auswertung im Allgemeinen nicht stetig ist, wenn ${\mathcal {L}}^{p}(X)$ mit der $p$-Halbnorm versehen ist.
    ${\mathcal {L}}^{p}(X)\longrightarrow {\mathbb {K} },\,f\longmapsto f(x),$
* Zeige, dass die Auswertung an $x$ auf $L^{p}(X)$ nicht wohldefiniert ist.
# Quadratischer Zahlbereich/D ist 1 mod 4/Relative Differentialsequenz/Aufgabe

Es sei $D=1\mod 4$ eine quadratfreie Zahl $\neq 1$ und sei
    $S=\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]\subseteq R=\mathbb {Z} [{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}]\,.$
Zeige, dass in $\Omega _{R{|}\mathbb {Z} }$ die Beziehung
    ${\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}d{\sqrt {D}}=d{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}\,$
gilt.
# Polynomring/Grad bis d/Evaluationen/Linearformen/Kein Untervektorraum/Aufgabe/Lösung

a) Für Polynome $P,Q\in K[X]_{\leq d}$ und Skalare $r,s\in K$ und $z\in K$ ist
    ${\begin{aligned}\operatorname {Ev} _{z}(rP+sQ)&=(rP+sQ)(z)\\&=rP(z)+sQ(z)\\&=r\operatorname {Ev} _{z}(P)+s\operatorname {Ev} _{z}(Q),\end{aligned}}$
was die Linearität bedeutet.
b) Die Nullform lässt sich nicht als Auswertung realisieren, da $\operatorname {Ev} _{z}$ am Polynom $X-z+1$ nicht den Wert $0$ besitzt. Daher sind wegen
    $0\cdot \operatorname {Ev} _{z}=0\,$
die Auswertungen auch nicht abgeschlossen unter skalarer Multiplikation. Die Auswertungen sind auch nicht abgeschlossen unter der Addition. Die Auswertung an der $0$ ergibt den konstanten Term des Polynoms, das Doppelte davon also das Doppelte des konstanten Terms. Wenn dies gleich einer Auswertung $\operatorname {Ev} _{w}$ wäre, so müsste
    $\operatorname {Ev} _{w}(X)=w=0\,$
und auch
    $\operatorname {Ev} _{w}(X+1)=w+1=2\,$
# Kompakter Raum/Stetige Funktion/Maximumsnorm/Bemerkung

Es sei $X$ ein kompakter topologischer Raum. Aufgrund von Fakt ist jede stetige Funktion
    $f\colon X\longrightarrow \mathbb {R}$
beschränkt, und damit stimmt der Vektorraum $C(X,\mathbb {R} )$ aller stetigen Funktionen mit dem Vektorraum $C^{b}(X,\mathbb {R} )$ aller stetigen und beschränkten Funktionen überein. Bei $X\neq \emptyset$ gibt es auf $C^{b}(X,\mathbb {R} )$ stets die Supremumsnorm, die im kompakten Fall wieder wegen Fakt zur Maximumsnorm wird, da das Supremum angenommen wird.
# Quadratischer Zahlbereich/-3/Relative Differentialsequenz/Nicht injektiv/Aufgabe

Zeige anhand der Ringerweiterungen $\mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]=S\subseteq \mathbb {Z} [{\frac {1+{\sqrt {-3}}}{2}}]=R$, dass in Fakt die Abbildung
    $\Omega _{S{|}\mathbb {Z} }\otimes _{S}R\longrightarrow \Omega _{R{|}\mathbb {Z} },\,ds\otimes r\longmapsto rds,$
nicht injektiv sein muss.
# Vektorraum/Skalare Multiplikation/Bilinear/Aufgabe/Lösung

Bei fixiertem Skalar $s\in K$ ist die
    $V\longrightarrow V,\,v\longmapsto sv,$
die Streckung mit $s$, die linear ist. Bei fixiertem Vektor $v\in V$ ist die Abbildung
    $K\longrightarrow V,\,s\longmapsto sv,$
wegen der Vektorraumaxiome
    ${\left(s_{1}+s_{2}\right)}v=s_{1}v+s_{2}v\,$
uns
    $s{\left(tv\right)}={\left(st\right)}v\,$
# Intervall/Affin-lineare Funktionen/Gleichgradig stetig/Beispiel

Es sei $[a,b]$ ein reelles Intervall und sei
    $S={\left\{cx+d\mid c,d\in \mathbb {R} \right\}}\,$
die Menge aller affin-linearen Funktionen, aufgefasst als Funktionen auf dem Intervall. Dann ist $S$ nicht gleichgradig stetig, da die Beziehung zwischen einer Zielgenauigkeit $\epsilon >0$ und einer Aufwandsgenauigkeit $\delta >0$ wesentlich von der Steigung $c$ der affin-linearen Funktion abhängt. Wenn man hingegen Schranken $c_{0}<c_{1}$ fixiert und
    $T={\left\{cx+d\mid c,d\in \mathbb {R} ,\,c_{0}\leq c\leq c_{1}\right\}}\subseteq S\,$
betrachtet, so liegt gleichgradige Stetigkeit vor.
# Sprinter/Knopfloch/Aufgabe

Professor Knopfloch würde gerne einen Weltrekord über $100$ Meter aufstellen. Seine Grundbeschleunigung ist $b=2,5$ und es ist $a=-{\frac {1}{3}}$, vergleiche Aufgabe.
* Wie lange bracht Professor Knopfloch für $100$ Meter?
* Mit der herkömmlichen Methode konnte Professor Knopfloch den Weltrekord nicht brechen. Deshalb versuch er es erneut, diesmal im Vakuum, um den Luftwiderstand zu umgehen und seine Kraft vollständig in Beschleunigung umzusetzen. Wie lange braucht Professor Knopfloch jetzt für $100$ Meter? Bricht er den Weltrekord?
# Achteldrehung/Matrix/Potenzen/Gruppe/Aufgabe/Lösung

a) $\,$
b) Es ist
    $M^{2}={\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {2}}{2}}&-{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\{\frac {\sqrt {2}}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {2}}{2}}&-{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\{\frac {\sqrt {2}}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {2}{4}}-{\frac {2}{4}}&-{\frac {2}{4}}-{\frac {2}{4}}\\{\frac {2}{4}}+{\frac {2}{4}}&-{\frac {2}{4}}+{\frac {2}{4}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}\,.$
c) Es ist
    $M^{4}={\left(M^{2}\right)}^{2}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\,$
und
    $M^{8}={\left(M^{4}\right)}^{2}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,.$
d) Es ist
    $M^{1003}=M^{8\cdot 125+3}={\left(M^{8}\right)}^{125}\cdot M^{3}=M\cdot M^{2}={\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {2}}{2}}&-{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\{\frac {\sqrt {2}}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-{\frac {\sqrt {2}}{2}}&-{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\{\frac {\sqrt {2}}{2}}&-{\frac {\sqrt {2}}{2}}\end{pmatrix}}\,.$
e) Die Potenzen $M^{k}$ für $k\leq 8$ stimmen mit einer Potenz $M^{i}$ mit
    $i=0,1,\ldots ,7\,$
überein, deshalb ist die angegebene Menge abgeschlossen unter der Multiplikation. Es sind $M^{1}$ und $M^{7}$, $M^{2}$ und $M^{6}$, $M^{3}$ und $M^{5}$ zueinander und $M^{4}$ zu sich selbst invers. Die Assoziativität ergibt sich aus der Assoziativität der Matrizenmultiplikation. Die acht Potenzen sind untereinander verschieden: Dies ist klar für die explizit berechneten Potenzen
    $M^{0},M^{1},M^{2},M^{3}.$
Für $M^{i}$ mit $4\leq i\leq 7$ ist
    $M^{i}=M^{4}\cdot M^{i-4}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\cdot M^{i-4}=-M^{i-4}\,.$
# Kompakte Teilmenge/R^n/Polynom/Approximation/Fakt

Es sei
$T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine kompakte Teilmenge und sei $f\colon T\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion.
Dann gibt es zu jedem $\epsilon >0$ ein reelles Polynom $p$ in $n$ Variablen mit
für alle $z\in T$.
Die Polynomalgebra $\mathbb {R} [x_{1},\ldots ,x_{n}]$ ist dicht in $C(T,\mathbb {R} )$.
# Hyperbel/1 bis 2/Maximale zweistufige untere Treppenfunktion/Aufgabe

Wir betrachten die Funktion
    $[1,2]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto g(t)={\frac {1}{t}}.$
* Beschreibe den Flächeninhalt zur unteren maximalen Treppenfunktion zu $g$ zur Intervallunterteilung $1\leq x\leq 2$ in Abhängigkeit von $x$.
* Bestimme dasjenige $x$ zwischen $1$ und $2$, für das der Flächeninhalt zur unteren maximalen Treppenfunktion zu $g$ zur Intervallunterteilung $1\leq x\leq 2$ maximal wird. Welchen Wert hat dieser Flächeninhalt?
# Körper/Addition und Differenz/Isomorphismus/Aufgabe/Lösung

a) Es ist
    ${\begin{aligned}\varphi {\left(\left(x_{1},\,y_{1}\right)+\left(x_{2},\,y_{2}\right)\right)}&=\varphi \left(x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2}\right)\\&=\left(x_{1}+x_{2}+y_{1}+y_{2},\,x_{1}+x_{2}-y_{1}-y_{2}\right)\\&=\left(x_{1}+y_{1},\,x_{1}-y_{1}\right)+\left(x_{2}+y_{2},\,x_{2}-y_{2}\right)\\&=\varphi \left(x_{1},\,y_{1}\right)+\varphi \left(x_{2},\,y_{2}\right)\end{aligned}}$
und
    ${\begin{aligned}\varphi s\left(x,\,y\right)&=\varphi {\left(\left(sx,\,sy\right)\right)}\\&=\left(sx+sy,\,sx-sy\right)\\&=s\left(x+y,\,x-y\right)\\&=s\varphi \left(x,\,y\right).\end{aligned}}$
b) Die beschreibende Matrix ist
    ${\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}.$
c) Es ist
    $\det {\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}=-2\,.$
d) Wegen $2\neq 0$ ist die Abbildung nach Fakt bijektiv. Die inverse Matrix ist
    ${\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}.$
# Periodische Funktion/Komplexe Exponentialfunktion/Vollständiges Orthonormalsystem/L^2-Raum/Fakt

Es sei $T>0$ und $\omega ={\frac {2\pi }{T}}$.
Dann bildet die Familie
zu $n\in \mathbb {Z}$ ein vollständiges Orthonormalsystem im Hilbertraum $L^{2}([0,T],{\mathbb {C} })$.
# Hyperbel/1 bis 2/Maximale dreistufige untere Treppenfunktion/Aufgabe

Wir betrachten die Funktion
    $[1,2]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto g(t)={\frac {1}{t}}.$
* Beschreibe den Flächeninhalt zur unteren maximalen Treppenfunktion zu $g$ zur Intervallunterteilung $1\leq x\leq y\leq 2$ in Abhängigkeit von $x$ und $y$.
* Bestimme das Punktepaar $(x,y)$ zwischen $1$ und $2$, für das der Flächeninhalt zur unteren maximalen Treppenfunktion zu $g$ zur Intervallunterteilung $1\leq x\leq y\leq 2$ maximal wird. Welchen Wert hat dieser Flächeninhalt?
# Körper/Multiplikation/Linear/Aufgabe/Lösung

Die Multiplikation ist die Abbildung
    $K\times K\longrightarrow K,\,\left(x,\,y\right)\longmapsto x\cdot y.$
Wenn man eine Komponente fixiert, beispielsweise vorne $a$, so ist die Abbildung
    $K\longrightarrow K,\,y\longmapsto ay,$
aufgrund des Distributivgesetzes und des Assoziatvgesetzes der Multiplikation linear. Damit ist die Gesamtabbildung auch bilinear. Sie ist aber nicht linear, da $\left(1,\,1\right)=\left(1,\,0\right)+\left(0,\,1\right)$
$1$
$0$
# Periodische Funktion/Komplexe Exponentialfunktion/Vollständiges Orthonormalsystem/L^2-Raum/Fakt/Beweis

Die Orthonormalitätsrelationen wurden in Fakt gezeigt. Nach Fakt ist die von den $e^{\omega {\mathrm {i} }nx}$ erzeugte Algebra punktetrennend und stimmt mit dem erzeugten Vektorraum überein. Nach dem komplexen Satz von Stone-Weierstrass gibt es zu jeder stetigen Funktion
    $h\colon [0,T]\longrightarrow {\mathbb {C} }$
und jedem $\epsilon >0$ ein trigonometrisches Polynom $p$ mit
    $\vert {h(x)-p(x)}\vert \leq \epsilon \,$
für alle $x$. Die entsprechende Approximationseigenschaft gilt dann auch in der $L^{2}$-Norm. Die beschriebene Algebra ist also dicht in $C([0,T],{\mathbb {C} })\subseteq L^{2}([0,T],{\mathbb {C} })$. Nach Fakt ist die Algebra dann auch dicht in $L^{2}([0,T],{\mathbb {C} })$.
# Gleichschenkliges Dreieck/Winkel/Flächeninhalt/Extrema/Aufgabe

Wir betrachten gleichschenklige Dreiecke, deren Schenkel die Länge $1$ haben, und die durch den inneren Winkel $\alpha \in ]0,\pi [$ an der Spitze gegeben sind.
* Bestimme den Flächeninhalt eines solchen gleichschenkligen Dreieckes in Abhängigkeit von $\alpha$.
* Für welche Winkel $\alpha$ ist der Flächeninhalt maximal oder minimal?
# Homomorphismenraum/Auswertung/Bilinear/Aufgabe/Lösung

Es sei zunächst $v\in V$ fixiert. Für $\varphi _{1},\varphi _{2}\in \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$ ist
    ${\begin{aligned}{\left(\varphi _{1}+\varphi _{2}\right)}(v)&=\varphi _{1}(v)+\varphi _{2}(v)\\\end{aligned}}$
und für $s\in K$ ist
    ${\begin{aligned}{\left(s\varphi \right)}(v)&=s\varphi (v)\\\end{aligned}}$
aufgrund der Definition der Vektorraumstruktur auf dem Homomorphismenraum. Es sei nun $\varphi \in \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$ fixiert und $v_{1},v_{2}\in V$. Es ist
    ${\begin{aligned}\varphi (v_{1}+v_{2})&=\varphi (v_{1})+\varphi (v_{2})\\\end{aligned}}$
und
    ${\begin{aligned}\varphi (sv)&=s\varphi (v)\\\end{aligned}}$
$\varphi$
# Periodische Funktion/Komplexe Exponentialfunktion/Trennende Algebra/Fakt

Es sei $T>0$ und $\omega ={\frac {2\pi }{T}}$.
Dann besteht die von den
zu $n\in \mathbb {Z}$ erzeugte ${\mathbb {C} }$-Algebra aus allen endlichen Summen $\sum _{n}r_{n}f_{n}$.
Diese Algebra enthält mit jeder Funktion auch ihre komplex-konjugierte Funktion und trennt die Punkte aus $[0,T[$.
# Kompaktes Rechteck/Fubini/Integration von Produktfunktion/Quader/Aufgabe

Verallgemeinere Fakt auf den Fall eines Quaders $Q=[a_{1},b_{1}]\times [a_{2}\times b_{2}]\times \cdots \times [a_{n},b_{n}]$.