# Maßraum/L^2-Räume/Identifizierung/Legendre-Polynome/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Unter dem $n$-ten Legendre-Polynom $P_{n}(t)$ versteht man das Polynom
    ${\frac {1}{2^{n}(n!)}}((t^{2}-1)^{n})^{(n)}.$
Aus der Definition ist ablesbar, dass das $n$-te Legendre-Polynom den Grad $n$ besitzt. Die ersten Legendre-Polynome lauten.
    $P_{0}(t)=1\,,$
    $P_{1}(t)=t\,,$
    $P_{2}(t)={\frac {1}{2}}{\left(3t^{2}-1\right)}\,,$
    $P_{3}(t)={\frac {1}{2}}{\left(5t^{3}-3t\right)}\,,$
    $P_{4}(t)={\frac {1}{8}}{\left(35t^{4}-30t^{2}+3\right)}\,,$
    $P_{5}(t)={\frac {1}{8}}{\left(63t^{5}-70t^{3}+15t\right)}\,,$
    $P_{6}(t)={\frac {1}{16}}{\left(231t^{6}-315t^{4}+105t^{2}-5\right)}\,.$

## Satz

Die Legendre-Polynome $P_{n}$, $n\in \mathbb {N}$,
bilden ein Orthogonalsystem in $L^{2}([-1,1])$. Die normierten (im Sinne der $L^{2}$-Norm) Legendre-Polynome ${\frac {\sqrt {2n+1}}{\sqrt {2}}}P_{n}$ entstehen aus den Potenzen $t^{0},t^{1},t^{2}$ mit dem Orthonormalisierungsverfahren und bilden ein vollständiges Orthonormalsystem.

### Beweis

Wir schreiben
    $f_{n}={\left(t^{2}-1\right)}^{n}\,,$
es ist also
    $P_{n}={\frac {f_{n}^{(n)}}{2^{n}(n!)}}\,.$
Für $n\geq m,1$ ergibt sich mit iterierter partieller Integration und da $f_{n}^{(n-k)}$ für $k\geq 1$ den Faktor $t^{2}-1$ enthält
    ${\begin{aligned}2^{n}(n!)\left\langle t^{m},P_{n}\right\rangle &=\left\langle t^{m},f_{n}^{(n)}\right\rangle \\&=\int _{-1}^{1}t^{m}f_{n}^{(n)}(t)dt\\&=\left(t^{m}f_{n}^{(n-1)}(t)\right)|_{-1}^{1}-m\int _{-1}^{1}t^{m-1}f_{n}^{(n-1)}(t)dt\\&=-m\int _{-1}^{1}t^{m-1}f_{n}^{(n-1)}(t)dt\\&=(-1)^{2}m(m-1)\int _{-1}^{1}t^{m-2}f_{n}^{(n-2)}(t)dt\\&=\ldots \\&=(-1)^{m}(m!)\int _{-1}^{1}f_{n}^{(n-m)}(t)dt.\end{aligned}}$
Bei $m<n$ ist dies gleich $0$, da $f_{n}^{(n-m-1)}(t)$ eine Stammfunktion von $f_{n}^{(n-m)}(t)$ ist und den Faktor $(t-1)^{2}$ enthält. Es liegt also ein Orthogonalsystem vor.
Bei $m=n$ ist der Ausdruck nach Aufgabe gleich
    ${\begin{aligned}(-1)^{n}(n!)\int _{-1}^{1}f_{n}(t)dt&=(-1)^{n}(n!)(-1)^{n}\cdot 2\cdot {\frac {2^{n}(n!)}{(2n+1)(2n-1)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}}\\&=2\cdot {\frac {2^{n}(n!)^{2}}{(2n+1)(2n-1)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}}.\end{aligned}}$
Somit ist insbesondere
    $\left\langle t^{n},P_{n}\right\rangle =2\cdot {\frac {n!}{(2n+1)(2n-1)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}}\,$
und daher ist unter Verwendung der bewiesenen Orthogonalitätsrelation und von Aufgabe
    ${\begin{aligned}\left\langle P_{n},P_{n}\right\rangle &=\left\langle {\frac {(2n)\cdots (n+1)}{2^{n}(n!)}}t^{n},P_{n}\right\rangle \\&={\frac {(2n)!}{2^{n}(n!)^{2}}}\left\langle t^{n},P_{n}\right\rangle \\&={\frac {(2n)!}{2^{n}(n!)^{2}}}\cdot 2\cdot {\frac {n!}{(2n+1)(2n-1)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}}\\&={\frac {(2n)!}{2^{n}\cdot (n!)\cdot (2n-1)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}}\cdot {\frac {2}{2n+1}}\\&={\frac {2}{2n+1}}.\end{aligned}}$
Somit bilden die ${\frac {\sqrt {2n+1}}{\sqrt {2}}}P_{n}$ ein Orthonormalsystem. Wegen
    $\langle t^{0},t^{1},\ldots ,t^{n}\rangle =\langle P_{0},P_{1},\ldots ,P_{n}\rangle \,$
und da die Leitkoeffizienten der $P_{n}$ positiv ist, ergeben sich die normierten Legendre-Polynomen auch beim Orthonormalisierungsverfahren. Die Vollständigkeit ergibt sich aus Fakt und aus dem Weierstrassschen Approximationssatz.
$\Box$