# Hopf-Algebra/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K$ ein kommutativer Ring. Eine kommutative $K$-Algebra $H$ heißt Hopf-Algebra, wenn es fixierte $K$-Algebrahomomorphismen (genannt Komultiplikation, Koeinheit und Koinverses)
    $\Delta \colon H\longrightarrow H\otimes _{K}H,$
    $\epsilon \colon H\longrightarrow K$
und
    $S\colon H\longrightarrow H$
gibt, derart, dass die Diagramme
    ${\begin{matrix}H&{\stackrel {\Delta }{\longrightarrow }}&H\otimes _{K}H&\\\!\!\!\!\!\!\!\Delta \downarrow &&\downarrow \operatorname {Id} _{H}\otimes \Delta \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&\\H\otimes _{K}H&{\stackrel {\Delta \otimes \operatorname {Id} _{H}}{\longrightarrow }}&H\otimes _{K}H\otimes _{K}H&\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$
    ${\begin{matrix}H&{\stackrel {\Delta }{\longrightarrow }}&H\otimes _{K}H&\\&\!\!\!\!\!\cong \searrow &\downarrow \epsilon \otimes \operatorname {Id} _{H}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&\\&&K\otimes _{K}H&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
und
    ${\begin{matrix}H&{\stackrel {\Delta }{\longrightarrow }}&H\otimes _{K}H&\\\!\!\!\!\!\epsilon \downarrow &&\downarrow \operatorname {Id} _{H}\cdot S\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&\\K&{\stackrel{\longrightarrow }}&H&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
kommutieren.

## Beispiel

Es sei $(G,1,\cdot )$ eine endliche Gruppe und $K$ ein kommutativer Ring. Wir setzen
    $H:=\operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}\,$
mit der Addition und Multiplikation von Abbildungen, die unabhängig von $G$ sind. Wir definieren auf $H$ eine Hopf-Algebrastruktur unter Verwendung der Gruppenstruktur. Die Gruppenmultiplikation
    $\mu \colon G\times G\longrightarrow G$
führt zur Abbildung
    $\operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}\otimes \operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}\cong \operatorname {Abb} \,{\left(G\times G,K\right)},\,f\longmapsto f\circ \mu ,$
wodurch wir die Komultiplikation
    $\Delta \colon H\longrightarrow H\otimes _{K}H$
festlegen. Das Basiselement $e_{\sigma }$ zu $\sigma \in G$ wird dabei auf
    $\sum _{\tau \cdot \rho =\sigma }e_{\tau }\otimes e_{\rho }=\sum _{\tau }e_{\tau }\otimes e_{\tau ^{-1}\cdot \sigma }\,$
abgebildet. Das neutrale Element $1\in G$ induziert die Auswertungsabbildung
    $\epsilon \colon H=\operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}\longrightarrow K,\,f\longmapsto f(1),$
und die Inversenbildung
    $\operatorname {inv} \colon G\longrightarrow G,\,\sigma \longmapsto \sigma ^{-1},$
führt zu
    $S\colon \operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)},\,f\longmapsto f\circ \operatorname {inv} ,$
wobei das Basiselement $e_{\sigma }$ auf $e_{\sigma ^{-1}}$ abgebildet wird. Die Abbildungen $\Delta ,\epsilon ,S$ sind offenbar $K$-Algebrahomomorphismen. Die Gruppenaxiome kann man durch die Kommutativität geeigneter Diagramme ausdrücken. Wendet man auf diese den Funktor $\operatorname {Abb} \,{\left(-,K\right)}$ in Zusammenhang mit geeigneten Identifizierungen an, so erhält man die Kommutativität der Diagramme in der Definition einer Hopf-Algebra.

## Beispiel

Es sei $K$ ein kommutativer Ring. Auf dem Polynomring $K[X]$ kann man folgendermaßen eine Hopf-Struktur erklären. Die Komultiplikation wird durch
    $\Delta \colon K[X]\longrightarrow K[X]\otimes _{K}K[X]\cong K[X,Y],\,X\longmapsto X\otimes 1+1\otimes X=X+Y,$
erklärt. Die Koeinheit wird durch
    $K[X]\longrightarrow K,\,X\longmapsto 0,$
festgelegt und das Koinverse ist durch
    $K[X]\longrightarrow K[X],\,X\longmapsto -X,$
definiert. Nach Aufgabe ist dies in der Tat eine Hopf-Algebra, die man die Hopf-Algebra der additiven Gruppe nennt.

## Beispiel

Es sei $K$ ein kommutativer Ring. Auf $K[X,X^{-1}]\cong K[X]_{X}$ kann man folgendermaßen eine Hopf-Struktur erklären. Die Komultiplikation wird durch
    $\Delta \colon K[X,X^{-1}]\longrightarrow K[X,X^{-1}]\otimes _{K}K[X,X^{-1}]\cong K[X,X^{-1},Y,Y^{-1}],\,X\longmapsto X\otimes 1\cdot 1\otimes X=X\cdot Y,$
erklärt. Die Koeinheit wird durch
    $K[X]\longrightarrow K,\,X\longmapsto 1,$
festgelegt und das Koinverse ist durch
    $K[X,X^{-1}]\longrightarrow K[X,X^{-1}],\,X\longmapsto X^{-1},$
definiert. Nach Aufgabe ist dies in der Tat eine Hopf-Algebra, die man die Hopf-Algebra der multiplikativen Gruppe nennt.

## Beispiel

Es sei $(D,0,+)$ eine kommutative Gruppe, $K$ ein kommutativer Ring und $K[D]$ der zugehörige Gruppenring, also
    $K[D]=\bigoplus _{d\in D}KX^{d}\,.$
Darauf lässt sich die Struktur einer Hopf-Algebra erklären, indem man die Komultiplikation als
    $\Delta \colon K[D]\longrightarrow K[D]\otimes _{K}K[D],\,X^{d}\longmapsto X^{d}\otimes X^{d},$
die Koeinheit als
    $\epsilon \colon K[D]\longrightarrow K,\,X^{d}\longmapsto X^{0}=1,$
und das Koinverse als
    $S\colon K[D]\longrightarrow K[D],\,X^{d}\longmapsto X^{-d},$
ansetzt. Diese $K$-Algebrahomomorphismen gehören zu den Gruppenhomomorphismen $D\longrightarrow D\times D$, $d\longmapsto (d,d)$, $D\rightarrow 0$ und $D\longrightarrow D$, $d\longmapsto -d$, im Sinne von Fakt.
Die Konstruktion in Beispiel ist ein Spezialfall der Hopf-Algebrastruktur auf einem Gruppenring, nämlich für $D=\mathbb {Z}$.