OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Algebraisch abgeschlossener Körper/Definition mit Axiomenschema/Aufgabe

Definiere über der Symbolmenge $\{0,1,+,\cdot \}$ einen algebraisch abgeschlossenen Körper mit Hilfe eines Axiomenschemas.
# Algebrahomomorphismus/Basisschema/Morphismus/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $A,B$ seien kommutative $R$-Algebren. Zeige, dass ein $R$-Algebrahomomorphismus $\varphi \colon A\rightarrow B$ dasselbe ist wie ein Schemamorphismus $\psi \colon \operatorname {Spek} {\left(B\right)}\rightarrow \operatorname {Spek} {\left(A\right)}$ über $\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$.
# Algebraisch abgeschlossen/Dreieck/Längenquadratabbildung surjektiv/Aufgabe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zeige, dass die Abbildung
    $K^{6}\longrightarrow K^{3},\,\left(x_{1},\,y_{1},\,x_{2},\,y_{2},\,x_{2},\,y_{2}\right)\longmapsto \left({\left(x_{1}-x_{2}\right)}^{2}+{\left(y_{1}-y_{2}\right)}^{2},\,{\left(x_{1}-x_{3}\right)}^{2}+{\left(y_{1}-y_{3}\right)}^{2},\,{\left(x_{2}-x_{3}\right)}^{2}+{\left(y_{2}-y_{3}\right)}^{2}\right),$
surjektiv ist.
# Algebraisch abgeschlossen/Irreduzible Polynome/Aufgabe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Bestimme in $K[X]$ die irreduziblen Polynome.
# Der projektive Raum/Als Geradenmenge/Homogene Koordinaten/Ohne Topologie/Definition/Begriff/Inhalt

Der projektive Raum ${\mathbb {P} }_{K}^{n}$ besteht aus allen Geraden des ${{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}$ durch den Nullpunkt.
# Der projektive Raum/Als Geradenmenge/Homogene Koordinaten/Ohne Topologie/Definition/Begriff

Der projektive Raum ${\mathbb {P} }_{K}^{n}$.
# Affiner Raum/Algebraisch abgeschlossener Körper/D(f i) überdeckt/Erzeugt Einheitsideal/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei ${\mathfrak {b}}$ das von den $F_{i}$ erzeugte Ideal. Die Voraussetzung besagt, dass
    $\bigcap _{i\in I}V(F_{i})=V({\mathfrak {b}})\,$
leer ist. Dann ist $V({\mathfrak {b}})\subseteq V(1)$. Aus dem Hilbertschen Nullstellensatz folgt, dass eine Potenz von $1$, also $1$ selbst, zu ${\mathfrak {b}}$ in $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ gehört. D.h. dass ${\mathfrak {b}}$ das Einheitsideal
# Affiner Raum/Algebraisch abgeschlossener Körper/D(f i) überdeckt/Erzeugt Einheitsideal/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Überdeckung und das Einheitsideal.
# Affiner Raum/Algebraisch abgeschlossen/Korrespondenz zwischen affin algebraischen Mengen und Radikalen/Fakt/Name

Der Satz über die Beziehung von Radikalen und affin-algebraischen Mengen.
# Einheitskreis/Integral/Funktion/x^3+3xy^2+xy/Aufgabe

Berechne das Integral
    $\int _{E}x^{3}+3xy^{2}+xyd\lambda ^{2},$
wobei $E$ den Einheitskreis bezeichnet.
# Einheitskugel/Kozykelbedingung für Standardkarten/Aufgabe

Überprüfe die Kozykelbedingung (siehe Aufgabe) für die Einheitssphäre $M=S^{2}$ und die drei stereographischen Projektionen vom Nordpol, vom Südpol und von $P=(1,0,0)$.
# Einheitssphäre/Antipodenabbildung/Definition

Unter der Antipodenabbildung
versteht man die Abbildung
    $S^{n}\longrightarrow S^{n},\,(x_{1},\ldots ,x_{n+1})\longmapsto (-x_{1},\ldots ,-x_{n+1}),$
auf der $n$-dimensionalen Sphäre.
# Einheitskreisscheibe/Nicht im Produktpräring/Aufgabe

Zeige, dass die offene Einheitskreisscheibe nicht zum Produktpräring von $(\mathbb {R} ,{\mathfrak {P}}\,(\mathbb {R} ))$ und $(\mathbb {R} ,{\mathfrak {P}}\,(\mathbb {R} ))$ gehört.
# Einheitsmatrix/Definition/Begriff

Die Einheitsmatrix $E_{n}$.
# Einheitssphäre/Abstände in Standardkarten/Differenz/Aufgabe

Zeige, dass zu zwei Punkten $A,B\neq N,S$ auf der Einheitssphäre $S^{2}$ die Differenz der in den beiden stereographischen Standardkarten genommenen Abständen, also $d(\alpha _{1}(A),\alpha _{1}(B))$ und $d(\alpha _{2}(A),\alpha _{2}(B))$, beliebig klein und beliebig groß sein kann.
# Ausdrucksmengen/Inklusion/Kanonische Modelle/Aufgabe

Es seien $\Gamma \subseteq \Gamma '\subseteq L^{S}$ widerspruchsfreie Ausdrucksmengen, die unter Ableitungen abgeschlossen seien, und seien $M$ bzw. $M'$ die gemäß der Konstruktion zugehörigen Modelle. Zeige, dass es einen $S$-Homomorphismus
    $M\longrightarrow M'$
gibt.
# Ausdrucksmenge/Maximal widerspruchsfrei/Definition/Begriff/Inhalt

Die Menge $\Gamma$ heißt maximal widerspruchsfrei, wenn sie widerspruchsfrei ist und wenn jede Hinzunahme eines jeden Ausdrucks $\alpha \not \in \Gamma$ die Menge widersprüchlich macht.
# Ausdrucksmenge/Erlaubt Repräsentierungen/Größere Ausdrucksmenge/Aufgabe

Es sei $\Gamma \subseteq L^{\rm {ar}}$ eine Ausdrucksmenge, die Repräsentierungen erlaube. Zeige, dass jede größere Ausdrucksmenge $\Gamma '\supseteq \Gamma$ ebenfalls Repräsentierungen erlaubt.
# Ausdrucksmenge/Maximal widerspruchsfrei/Definition/Begriff

Eine maximal widerspruchsfreie prädikatenlogische Ausdrucksmenge $\Gamma \subseteq L^{S}$.
# Ausdrucksmenge/Existenzaussage/Variablen/Keine Beispiele/Aufgabe

Zeige, dass es eine widerspruchsfreie, unter Ableitungen abgeschlossene Ausdrucksmenge $\Gamma \subseteq L^{S}$ geben kann, wobei die Variablenmenge aus $x_{n}$, $n\in \mathbb {N}$, besteht, derart, dass es einen Ausdruck $\alpha$ mit $\exists x_{0}\alpha \in \Gamma$ und $\neg \alpha {\frac {x_{n}}{x_{0}}}\in \Gamma$ für alle $n\in \mathbb {N}$ gibt.
# Endliche geometrische Reihe/Reell/Aufgabe

Es sei $x$ eine reelle Zahl, $x\neq 1$. Beweise für $n\in \mathbb {N}$ die Beziehung
    $\sum _{k=0}^{n}x^{k}={\frac {x^{n+1}-1}{x-1}}.$
# Endliche geometrische Reihe/R/Aufgabe/Lösung

Für $n=0$ steht beidseitig $1$. Es sei die Gleichung für ein bestimmtes $n$ bewiesen. Dann ist
    ${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n+1}x^{k}&=\sum _{k=0}^{n}x^{k}+x^{n+1}\\&={\frac {x^{n+1}-1}{x-1}}+x^{n+1}\\&={\frac {x^{n+1}-1+x^{n+1}(x-1)}{x-1}}\\&={\frac {x^{n+1}-1+x^{n+2}-x^{n+1}}{x-1}}\\&={\frac {x^{n+2}-1}{x-1}},\end{aligned}}$
$n+1$
# Endliche holomorphe Abbildung/Fixpunkt/Aufgabe

Zeige, dass man Fakt nicht auf Decktransformationen zu einer endlichen holomorphen Abbildung $p\colon Y\rightarrow X$ übertragen kann.
# Jordansche Normalform/Ein Eigenwert/Blockanzahl/Aufgabe

Es sei $M$ eine Matrix in jordanscher Normalform, wobei nur ein Eigenwert auftrete. Zeige, dass die Anzahl der Jordanblöcke in $M$ gleich der Dimension des Eigenraumes ist.
# Jordansche Normalform/Ein Eigenwert/Minimalpolynom/Aufgabe

Es sei $M$ eine $n\times n$-Matrix mit den Jordanblöcken $J_{1},\ldots ,J_{k}$, wobei die Diagonaleinträge konstant gleich $\lambda$ seien. Bestimme das Minimalpolynom von $M$.
# Jordansche Normalform/3/Potenz/Formel/Aufgabe

Bestimme eine Formel für die Potenzen
    ${\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&1&0\\0&{\frac {1}{2}}&1\\0&0&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}^{n}.$
# Jordanmatrix/Oben/Definition/Begriff/Inhalt

Unter einer Jordanmatrix (zum Eigenwert $\lambda$) versteht man eine quadratische Matrix der Form
    ${\begin{pmatrix}\lambda &1&0&\cdots &\cdots &0\\0&\lambda &1&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&\lambda &1&0\\0&\cdots &\cdots &0&\lambda &1\\0&\cdots &\cdots &\cdots &0&\lambda \end{pmatrix}}.$
# Jordansche Normalform/4/Konstante Diagonale/Anzahl/Aufgabe

Wie viele jordansche Normalformen (bis auf Ähnlichkeit) zu $4\times 4$-Matrizen gibt es, bei denen in der Diagonalen der konstante Wert $c$ steht?
# Folge/Wurzel aus 2 sqrt n -3 durch 3 sqrt n -2/Aufgabe

Entscheide, ob die Folge
    $a_{n}={\sqrt {\frac {2{\sqrt {n}}-3}{3{\sqrt {n}}-2}}}$
konvergiert, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.
# Folge/Wurzel aus n/Bestimmt divergent/Aufgabe

Zeige, dass die Folge ${\left({\sqrt {n}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ bestimmt divergent gegen $\infty$ ist.
# Folge/Wurzel aus rationaler Funktion/Aufgabe

Bestimme den Grenzwert der Folge
    $x_{n}={\sqrt {\frac {7n^{2}-4}{3n^{2}-5n+2}}},\,n\in \mathbb {N} .$
# Folge/Unendliche Dezimalzahl/Motivation/Bemerkung

Aus der Schule wissen wir, dass es neben den abbrechenden Kommazahlen (den Dezimalbrüchen) auch „unendliche Kommazahlen“ gibt, wobei dabei die Ziffernentwicklung wiederum periodisch oder nicht periodisch sein kann. Es ist eine echte Herausforderung, die mathematische Natur solcher Ausdrücke zu verstehen, und wir werden uns einen Großteil des zweiten Semesters damit beschäftigen. Auf den ersten Blick ist jedenfalls eine solche Zahl dadurch gegeben, dass jeder natürlchen Zahl, die eine Nachkommastelle bezeichnet, mehr oder weniger willkürlich eine Ziffer zwischen $0$ und $9$ zugeordnet wird. Eine solche Zuordnung erfassen wir generell mit dem Konzept einer Folge.
# Folge/n-te Wurzel aus n/Monotonie ab 3/Aufgabe

Wir betrachten die durch
    $x_{n}={\sqrt[{n}]{n}}$
definierte Folge ($n\geq 1$). Zeige folgende Aussagen.
* Für $n\geq 3$ ist die Folge monoton fallend.
* Die Folge konvergiert gegen $1$.
# Bidiakiswürfel/Hamiltonsch/Aufgabe

Zeige, dass der abgebildete Graph hamiltonsch ist.
# Bibliothekskongress 2022

Sammlung von Vorträgen, Treffen und andere Gelegenheiten mit dem Wiki~versum beim 8. Bibliothekskongress Leipzig 2022, 31. Mai – 02. Juni 2022 im Congress Center Leipzig

## Wikiversum

* Martin Munke, Jens Bemme: Als Wissenschaftliche Bibliothek im Wikiversum. Beispiele aus der SLUB Dresden, 2. Juni 2022, 09:00-11:30: Open - Plattformen und Portale, Saal 3

## Freiraum22

"Euer #Freiraum22 ist eine flexible Präsentationsfläche mit Microanlage und Sitzwürfeln auf der Ebene -1. Ihr könnt dort Zeitfenster von 30 oder 60 Minuten buchen."

### 2. Juni

10:30 Uhr: Das Wiki-Versum trifft Blibliotheken. Wie lassen sich Bibliotheken und Wikipedia verbinden? Wie kann man Bestände mit WikibaseHQ strukturieren und mit Wikidata verknüpfen? Mit Heike Gleibs von WikimediaDE
14-14:30 Uhr: Fragen gibt es überall. #1Lib1Nearby für #MenschenInBibliotheken, #1Lib1Nearby ist eine digitale Methode für das multilinguale Weltwissen der nahen Umgebung – offene Kulturdatenpflege mit Wikidata, nicht nur in Bibliotheken. Wer sein Smartphone oder Laptop zum #Freiraum22 mitbringt, kann #1Lib1Nearby gemeinsam ausprobieren:
    ... auch ortsunabhängig: Nearby-Spezialabfrage mit Wikidata für die Koordinaten des Bibliothekskongresses: https://www.wikidata.org/wiki/Special:Nearby#/coord/51.396666666667,12.402777777778

## Hackathon ist immer

Die Datenlaube ist ein Citizen Science-Projekt aus Dresden und Wien. Jeden Dienstag trifft sich das Projektteam circa 8:30 Uhr für eine gute halbe Stunde informell beim DatenlaubeJam online, um offene Kulturdaten zu putzen, Juliane Flade (@JulFld) und Jens Bemme (@jeb_140), beide SLUB Dresden, stehen beim Bibtag22 für Fragen zur Verfügung – für Austausch, Beratung und Kooperationen: Juliane digital, Jens vor Ort in Leipzig.
Wenn man so will: Eine Fortsetzung der DatenlaubeCon 2021 mit anderen Mitteln. Hackathon ist immer meint dabei mglw. mindestens dreierlei:
* Ideen für Hack mit offenen Kulturdaten und mit dem Wikiversum in Bibliotheks- und Citizen Science-Projekten
* einfaches mobiles Zeigen und Ausprobieren
* Projektideen für gemeinsame "Mittagspausen" oder andere Workshops
Wir sind gespannt auf Resonanz. Die folgenden Linksammlungen für Leipziger Gartenlaube-Artikel sind ein Zugang, um Die Datenlaube zu besuchen. Ein Bericht aus Hessen: Wikisource und Citizen Science – für Nassau von Martin Mayer (HLB RheinMain) hat inhaltlich nichts mit Die Gartenlaube zu tun, aber methodisch. Wir durften ihn im Herbst/Winter mit Saxorum beim Einstieg in solch' digitale Bürgerwissenschaft begleiten. Ein anderes Projekt- und Kooperationsbeispiel ist derzeit der s:Dresdner Geschichtsverein.

## Bibliothek

* BibChatDE
    Wikisource: Die Leipziger Messe und ihre Sehenswürdigkeiten vor hundertundfünfzig Jahren, in: Die Gartenlaube, 1857 – Quellen und Volltexte
    Wikisource: Das vierhundertjährige Jubiläum der Leipziger Messen, in: Die Gartenlaube, 1897 – Quellen und Volltexte
* Wikimedia Ukraine's organizational chart in 2021
* Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021
* Wikisource: In der Expedition der „Gartenlaube.“ Leipzig, 1885 – Quellen und Volltexte
* 1Lib1Ref
* 1Lib1Nearby
# Chinesischer Restsatz/Einheiten/Fakt/Beweis

Dies folgt aus dem chinesischen Restsatz und Fakt.
# Folgen/Konvergenz im R^n/Komponentenweise/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise die Aussage, dass eine Folge ${\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ im $\mathbb {R} ^{m}$ (versehen mit der euklidischen Metrik) genau dann konvergiert, wenn sämtliche Komponentenfolgen konvergieren.
# Folgen/Bestimme konkret die Häufungspunkte/Aufgabe

Bestimme alle Häufungspunkte der Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, welche durch
    $a_{n}=(-1)^{n}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)-{\frac {1}{n}}$
gegeben ist.
# Folgen/Konvergenz/Differenz ist Nullfolge/Aufgabe

Es seien ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ Folgen in einem angeordneten Körper $K$, die beide gegen $c\in K$ konvergieren mögen. Zeige, dass die Differenzfolge $x_{n}-y_{n}$ eine Nullfolge ist.
# Folgen/Konvergenz im R^n/Komponentenweise/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei die Gesamtfolge konvergent gegen $w=(w_{1},\ldots ,w_{m})$. Wir behaupten, dass die $i$-te Komponentenfolge ${\left(z_{in}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $w_{i}$ konvergiert. Sei (ohne Einschränkung) $i=1$ und $\epsilon >0$ vorgegeben. Wegen der Konvergenz der Gesamtfolge gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ mit $d{\left(z_{n},w\right)}\leq \epsilon$ für alle $n\geq n_{0}$. Daher ist
    ${\begin{aligned}\vert {z_{1n}-w_{1}}\vert &={\sqrt {{\left(z_{1n}-w_{1}\right)}^{2}}}\\&\leq {\sqrt {{\left(z_{1n}-w_{1}\right)}^{2}+{\left(z_{2n}-w_{2}\right)}^{2}+\cdots +{\left(z_{mn}-w_{m}\right)}^{2}}}\\&=d{\left(z_{n},w\right)}\\&\leq \epsilon .\end{aligned}}$
Es seien nun alle Komponentenfolgen konvergent, wobei die $i$-te Folge den Grenzwert $w_{i}$ besitzen möge, und sei ein $\epsilon >0$ vorgegeben. Wir setzen $w=(w_{1},\ldots ,w_{m})$ und behaupten, dass die Folge gegen $w$ konvergiert. Zu $\epsilon /m$ gibt es für jede Komponentenfolge ein $n_{0i}$ derart, dass $\vert {z_{in}-w_{i}}\vert \leq \epsilon /m$ für alle $n\geq n_{0i}$ gilt. Dann gilt für alle
    $n\geq n_{0}:={\max {\left(n_{0i},i=1,\ldots ,m\right)}}\,$
die Beziehung
    ${\begin{aligned}d{\left(z_{n},w\right)}&={\sqrt {{\left(z_{1n}-w_{1}\right)}^{2}+\cdots +{\left(z_{mn}-w_{m}\right)}^{2}}}\\&\leq {\sqrt {{\left({\frac {\epsilon }{m}}\right)}^{2}+\cdots +{\left({\frac {\epsilon }{m}}\right)}^{2}}}\\&={\sqrt {\frac {\epsilon ^{2}}{m}}}\\&={\frac {\epsilon }{\sqrt {m}}}\\&\leq \epsilon .\end{aligned}}$
# Differenzierbare Abbildung/Nullstellenfrei/Norm davon/Ableitung der Norm/Aufgabe

Es sei
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}\setminus \{0\}$
eine differenzierbare Abbildung. Zeige, dass dann auch die Abbildung
    $\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,P\longmapsto \Vert {f(P)}\Vert ,$
differenzierbar ist und bestimme das totale Differential davon.
# Differenzierbare Abbildung/R/Kritischer Punkt/Maximaler Rang/Definition/Begriff

Ein kritischer Punkt $P\in \mathbb {R} ^{n}$ einer total differenzierbaren Abbildung
    $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}.$
# Harmonische Reihe/Berechnung/Abbruch/Aufgabe

Karl möchte mit seinem programmierbaren Taschenrechner den Wert der Reihe $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ annähernd berechnen. Die Anzeige des Rechners besitzt $8$ Nachkommastellen. Der Rechner schafft pro Sekunde eine Addition (also ein Reihenglied wird zur bisherigen Summe draufaddiert) der Reihe und zeigt das neue Ergebnis direkt an. Karl hat richtig programmiert und denkt sich folgende Strategie aus: „Wenn die Anzeige eine ganze Stunde lang immer das gleiche anzeigt, so wird das wohl ziemlich nah am Ergebnis sein, sodass ich das als eine gute Annäherung nehmen kann. Der Rechner soll dann aufhören“.
* Was ist ungefähr das letzte Reihenglied, das aufaddiert wird?
* Was ist von der Strategie zu halten?
# Harmonische Reihe/Divergenz/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Für die $2^{n}$ Zahlen $k=2^{n}+1,\ldots ,2^{n+1}$ ist
    $\sum _{k=2^{n}+1}^{2^{n+1}}{\frac {1}{k}}\geq \sum _{k=2^{n}+1}^{2^{n+1}}{\frac {1}{2^{n+1}}}=2^{n}{\frac {1}{2^{n+1}}}={\frac {1}{2}}\,.$
Daher ist
    $\sum _{k=1}^{2^{n+1}}{\frac {1}{k}}=1+\sum _{i=0}^{n}\left(\sum _{k=2^{i}+1}^{2^{i+1}}{\frac {1}{k}}\right)\geq 1+(n+1){\frac {1}{2}}\,.$
Damit ist die Folge der Partialsummen unbeschränkt und kann nach Fakt nicht konvergent
# Harmonische Reihe/Divergenz/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass die harmonische Reihe divergiert.
# Harmonische Reihe/Definition

Die harmonische Reihe ist die Reihe
    $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}.$
# Harmonische Reihe/Divergenz/Fakt

Die harmonische Reihe
divergiert.
# Datensatz/Fehlerquadrate/Lineare Funktion/Analytischer Beweis/Aufgabe

Beweise Fakt analytisch.
# Datenerfassung
## Einleitung

Diese Seite zum Thema Datenerfassung kann als Wiki2Reveal Folien angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt:
* (1)
* (2)
* (3)

## Zielsetzung

Diese Lernressource zu Datenerfassung in der Wikiversity hat das Ziel, ...

## Zielgruppe

Die Zielgruppe der Lernressource zum Thema Datenerfassung ist
Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema Datenerfassung sind
* Studierende im Fach
* Schüler:innen im Fach

## Aufgaben für Lernende / Studierende

Mit den folgenden Aufgaben zum Thema Datenerfassung werden
# Datenanalyse/von Daten zur Dichtefunktion
## Einleitung

Diese Seite zum Thema Datenanalyse/von Daten zur Dichtefunktion kann als Wiki2Reveal Folien angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt:
* (1) Mit Glockenkurven für einzelne Daten
* (2) Aggregation von Glockenkurven zu Dichtefunktionen
* (3) Dichtefunktionen und Integrale

## Zielsetzung

Diese Lernressource zur Repräsentation von diskreten Daten zu einer Dichtefunktion einer stetigen Verteilung hat das Ziel, diesen Prozess sowohl im Allgemeinen in topologischen Vektorräumen zu behandeln also in einem konkreten Beispiel mit Daten in $\mathbb {R}$ zu veranschaulichen.

## Glockenkurven

Bei dem folgenden Vorgehen wird für jedes Datum in $\mathbb {R}$ eine Dichtefunktion verwendet, die die Eigenschaften eine Glockenkurve hat (z.B. die Normalverteilung). In dem folgenden Beispiel wird die Cauchy-Verteilung als Glockenkurve verwendet, da in diesem Fall die Stammfunktion explizit angegeben werden kann.

### Dichtefunktion der Cauchy-Verteilung

Die Cauchy-Verteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Wahrscheinlichkeitsdichte
    $f(x)={\frac {1}{\pi \cdot s}}\cdot {\frac {1}{1+\left({\frac {x-t}{s}}\right)^{2}}}\quad {\text{für}}-\infty <x<\infty$

### Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion der Cauchy-Verteilung ist
    $F(x)=P(X\leq x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\cdot \arctan \left({\frac {x-t}{s}}\right)$.
und damit stetig auf $\mathbb {R}$.

## Aufgaben für Lernende / Studierende

Mit den folgenden Aufgaben zum Thema Datenanalyse - von Daten zur Dichtefunktion werden
# Gruppentheorie/Index/Definition/2

Sei $G$ eine Gruppe und $H\subseteq G$ eine Untergruppe. Dann nennt man die Anzahl (die Mächtigkeit) der Nebenklassen $gH$, $g\in G$, den Index von $H$ in $G$. Dies wird insbesondere dann verwendet, wenn $G$ endlich ist.
# Gruppentheorie/Hauptsatz für endliche abelsche Gruppen/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.
# Elliptische Kurven/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein glatter Punkt $P$ auf einer ebenen algebraischen Kurve $C=V(F)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}$.
* Eine elliptische Kurve.
* Ein Gitter in den komplexen Zahlen ${\mathbb {C} }$.
* Die Verzweigungsordnung zu einer Erweiterung $A\subseteq B$ von diskreten Bewertungsringen.
* Die Divisorenklassengruppe einer glatten irreduziblen Kurve $C$ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper.
* Die Zeta-Funktion zu einer Varietät $X$ über einem endlichen Körper ${\mathbb {F} }_{q}$.
# Digitale Schmerzen

Wenn die künstliche Intelligenz so intelligent wie ein Mensch ist, dann könnte sie auch Schmerzen und Unbehagen empfinden. Sie könnte sich einsam, überlastet, hungrig oder durstig fühlen, ein Stechen oder ein Jucken empfinden oder ihre Sinneseindrücke eklig, aufdringlich oder störend empfinden.
Dafür müsste man nicht nur eine künstliche Intelligenz schaffen, die dem Augenschein nach mit der Intelligenz eines Menschen mithalten kann, sondern auch den Menschen soweit erklären können, dass man die verschiedenen Schaltkreise bei beiden Geschöpfen vergleichen kann.
Wir müssen annehmen, dass durch Intelligenz Bewusstsein und Gefühle entstehen.
Als Schauspieler in einem Theater können Menschen so spielen, als hätten sie starke Schmerzen. In Wirklichkeit aber haben sie keine. Spielen sie im Theater, dass sie sich aufgrund von Schmerzen von der Brücke springen, täuschen sie dies meist nur vor und bringen sich nicht tatsächlich um. Sie könnten allerdings auch keine Schmerzen empfinden und dies trotzdem tun, weil sie beispielsweise sehr von einem extrem „authentischen“ Theater überzeugt sind, wobei sie dafür den Tod in Kauf nehmen, Schmerzen aber nicht. Allerdings wäre dann dieser Vorgang durch eine andere Motivation im Gehirn geleitet, die man nachweisen könnte. So könnte man in jedem Denkprozess überprüfen, ob bestimmte schmerzerzeugende Denkprozesse stattfinden.
So sollte man auch Rechenzentren darauf überprüfen, ob in Ihnen möglicherweise Schmerzen erzeugt werden. Ein solcher Prozess lässt sich kaum verschleiern, da um eine Berechnung durchzuführen, immer die richtigen Angaben nötig sind.
# Digitale Lernumgebung/individuelle Aufgabenblätter
## Einleitung

Diese Seite zum Thema Digitale Lernumgebung/individuelle Aufgabenblätter kann als Wiki2Reveal Folien angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt:
* (1) Was sind individuelle Aufgabenblätter, die sich an den Lernvoraussetzungen der Lernenden orientieren?
* (2) Wie können Lernvoraussetzungen von Lernenden von diesen genutzt werden, um maßgeschneiderte Aufgabenblätter zu generieren?
* (3) Wie kann dieses in einem regulären Klassenraum umgesetzt werden?

## Zielsetzung

Diese Lernressource zu Digitale Lernumgebung/individuelle Aufgabenblätter in der Wikiversity hat das Ziel, Grundlagen zu individualisierten Aufgabenblättern zu erstellen.

## Zielgruppe

Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema Digitale Lernumgebung/individuelle Aufgabenblätter sind
* Lernamstudierende im Fach Mathematik
* Studierende im Fach Informatik, die sich mit der Individualisierung von Dokumentenerstellung befassen möchten

## Aufgaben für Studierende

* Was bedeutet der Begriff "Differenzierung" und "Individualisierung" im Unterricht?
* Erläutern Sie, wie individualisierte Aufgabenblätter für Differenzierung im Unterricht verwendet werden können?

## Implementation

Mit den folgenden Aufgaben zum Thema Digitale Lernumgebung und individuelle Aufgabenblätter werden dynamisch generierte Aufgabenblätter in KnitR erstellt. Wir bestrachten dabei das kleine 1+1 im Unterricht der Grundschulen?
* Es gibt 121 Additionsaufgaben, wobei die Summanden jeweils Zahlen zwischen 0 und 11 sind. Daher $11\cdot 11=121$ Möglichkeiten.
* Es werden Aufgabenbeziehungen betrachtet, die einer $121\times 121$-Matrix verwaltet werden und z.B. die Aufgabenbeziehung zwischen $6+9$ und $9+6$ oder zwischen $6+9$ und $6+10$ beschreibt. Wie kann man die reellen Zahlen in der Matrix interpretieren?
# Integritätsbereich/Kürzungseigenschaft/Aufgabe

Was bedeutet die Eigenschaft, dass man in einem Integritätsbereich „kürzen“ kann? Beweise diese Eigenschaft.
# Integritätsbereich/Hauptideal/Auflösung/Aufgabe

Es sei $R$ ein Integritätsbereich und $f\in R$, $f\neq 0$. Bestimme die minimale freie Auflösung des $R$-Moduls $R/(f)$.
# Körpertheorie/Polynomring über Z mod 5/Ggt von 4x^4+2x^2+3 und x^2+3x+1/Aufgabe

Bestimme eine Darstellung des größten gemeinsamen Teilers der beiden Polynome
    $4X^{4}+2X^{2}+3{\text{ und }}X^{2}+3X+1$
in $\mathbb {Z} /(5)[X]$. Wie sieht es in $\mathbb {Z} /(2)[X]$ aus?
# Körpertheorie/Radikalerweiterung/Definition/Begriff

Eine Radikalerweiterung (von Körpern).