OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Elliptische Kurve/Höhenfunktion/Einführung/Textabschnitt

Es sei
    $E=V_{+}(F)={\mathbb {P} }_{K}^{2}\,$
eine über einem Zahlkörper $K$ definierte elliptische Kurve, gegeben durch eine kurze Weierstraßgleichung $y^{2}=x^{3}+ax+b$. Wir wollen auf den Punkten von $E$ eine Höhenfunktion definieren, die im Beweis des Satzes von Mordell-Weil helfen soll. Dazu muss sie gewisse Eigenschaften bezüglich der Addition erfüllen. Wir arbeiten (statt mit der durch die Einbettung gegebene Höhe) mit der Abbildung
    $E\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1},\,(x,y,z)\longmapsto (x,z).$
Affin wird also ein Punkt $(x,y)$ einfach auf $x$ projiziert.

## Lemma

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über einem Zahlkörper $K$ und sei $P=(x,y,1)\in E$ ein fixierter Punkt aus $E(K)$.
Dann gibt es eine Konstante $C$ derart, dass für jeden Punkt $Q\in E(K)$ die absolute Höhe die Abschätzung
erfüllt.

### Beweis

Wir können annehmen, dass die $x$-Koordinate von $P$ gleich $0$ ist, die Gleichung habe die Form
    $y^{2}=x^{3}+rx^{2}+sx+t\,$
(durch die Verschiebung können wir nicht davon ausgehend, dass $r=0$ ist), es ist also $P(0,y_{1},1)=$. Es sei $Q=(x_{2},y_{2},1)\in E(K)$, dessen Höhe ist also nach Definition die absolute Höhe von $(x_{2},1)$. Es geht darum, eine Höhenabschätzung für $x_{3}$ zu zeigen, wobei
    $P+Q=(x_{3},y_{3},1)\,$
ist. Die expliziten Formel für die Koordinaten der Summe liefern
    ${\begin{aligned}x_{3}&=\alpha ^{2}-r-x_{2}\\&=\left({\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}}}\right)^{2}-r-x_{2}\\&={\frac {x_{2}^{3}+rx_{2}^{2}+sx_{2}+t-2y_{1}y_{2}+y_{1}^{2}}{x_{2}^{2}}}-r-x_{2},\end{aligned}}$
siehe Aufgabe. Die Summanden im Bruch haben die Form $x_{2},r,sx_{2}^{-1},cx_{2}^{-2}$ und $dy_{2}x_{2}^{-2}$, es ist ja $y_{1}$ fixiert. Die Höhe dieser ersten Terme kann man wegen Fakt jeweils durch eine Konstante mal $H(x_{2})^{2}$ nach oben abschätzen. Vom zuletzt genannten Term betrachten wir das Quadrat, also
    ${\frac {y_{2}^{2}}{x_{2}^{4}}}={\frac {x_{2}^{3}+rx_{2}^{2}+sx_{2}+t}{x_{2}^{4}}}\,,$
und es geht wieder darum, die Höhe dieser Summanden nach oben abzuschätzen. Da die Summanden bis auf Konstanten die Form $x_{2}^{i}$ mit $i=-1,-2,-3,-4$ besitzen, haben wir insgesamt eine Abschätzung nach oben der Form $\leq C\cdot H(x_{2})^{4}$. Durch Ziehen der Quadratwurzel erhalten wir wieder eine Abschätzung der gewünschten Form.
$\Box$
De folgende Satz besagt, dass bei einer elliptischen Kurve über einem Zahlkörper die über die $x$-Projektion auf die projektive Gerade definierte logarithmische Höhe eine schwache Höhenfunktion ist.

## Satz

Es sei $E$ eine elliptische Kurve über einem Zahlkörper $K$ mit einer Weierstraßgleichung
    $y^{2}=x^{3}+ax+b\,$
und zugehöriger Projektion $E\longrightarrow {\mathbb {P} }_^{1}$, $(x,y,z)\longmapsto (x,z)$. Dann erfüllt die zugehörige logarithmische Höhe die folgenden Eigenschaften.

### Beweis

* Das ist die logarithmische Version von Fakt.
* Dies folgt über den Logarithmus aus Fakt und der expliziten Formel für die $x$-Koordinate bei der Verdoppelung, siehe Fakt.
* Dies folgt aus Fakt, da die Abbildung $E\rightarrow {\mathbb {P} }_^{1}$ den Grad $2$ besitzt.
$\Box$
# Lineares Gleichungssystem/Simultan/Bemerkung

Gelegentlich möchte man ein simultanes lineares Gleichungssystem der Form
    ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&c_{1}&(=&d_{1},&=&e_{1},\ldots )\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&c_{2}&(=&d_{2},&=&e_{2},\ldots )\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&c_{m}&(=&d_{m},&=&e_{m},\ldots )\end{matrix}}$
lösen. Es sollen also für verschiedene Störvektoren Lösungen des zugehörigen inhomogenen Gleichungssystems berechnet werden. Grundsätzlich könnte man dies als voneinander unabhängige Gleichungssysteme betrachten, es ist aber geschickter, die Umwandlungen, die man auf der linken Seite macht, um Dreiecksgestalt zu erreichen, simultan auf der rechten Seiten mit allen Störvektoren durchzuführen. Ein wichtiger Spezialfall bei $n=m$ liegt vor, wenn die Störvektoren die Standardvektoren durchlaufen, siehe Fakt.
# Goldbach/Binär/Problem

Gibt es für jede gerade natürliche Zahl $n\geq 4$ Primzahlen $p$ und $q$ mit
    $n=p+q\,?$
# Endlicher Ringhomomorphismus/Injektiv/Nilpotente Erweiterung/Idealschnitt/Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Zeige, dass $R\subseteq R[X]/{\left(X^{2}\right)}=:S$ eine endliche Ringerweiterung ist und dass die Restklasse $[X]\in S$ nicht $0$ ist, dass aber $R\cap ([X])$ das Nullideal ist.
# Linearform/Vektor/Gesamtabbildung/Bemerkung

Es sei $K$ ein Körper und seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$. Zu einer Linearform
    $f\colon V\longrightarrow K$
und einem Vektor $w\in W$ ist die Abbildung
    $fw\colon V\longrightarrow W,\,v\longmapsto f(v)w,$
linear. Es handelt sich einfach um die Hintereinanderschaltung
    $V{\stackrel {f}{\longrightarrow }}K{\stackrel {\iota _{w}}{\longrightarrow }}W,$
wobei $\iota _{w}$ die Abbildung $s\rightarrow sw$ bezeichnet.
# Einheit/Z mod 5 und Z mod 12/Beispiel

Wir betrachten den Ring $\mathbb {Z} /(5)$. Die Elemente $1$ und $4=-1$ sind wie in jedem Ring Einheiten. Wegen
    $2\cdot 3=6=1\,$
sind $2$ und $3$ invers zueinander und insbesondere Einheiten. Die Einheitengruppe ist also $\{1,2,3,4\}=\mathbb {Z} /(5)\setminus \{0\}$.
Bei $\mathbb {Z} /(12)$ sind wieder $1$ und $11=-1$ Einheiten. Ferner sind wegen
    $5\cdot 5=25=1\,$
und
    $7\cdot 7=49=1\,$
auch $5$ und $7$ Einheiten. Die anderen acht Zahlen sind keine Einheiten.
# Topologischer Raum/Quasikompakt/Irreduzibler topologischer Filter/Fakt/Beweis

Es sei $X$ quasikompakt und $F$ ein irreduzibler Filter, von dem wir annehmen, dass er nicht konvergiert. Dann ist für alle Umgebungsfilter
    $U(x)\not \subseteq F\,.$
D.h., dass es zu jedem Punkt $x\in X$ eine offene Umgebung $x\in U_{x}$ mit $U_{x}\notin F$ gibt. Es ist dann
    $X=\bigcup _{x\in X}U_{x}\,$
eine offene Überdeckung. Wegen der Quasikompaktheit gibt es eine endliche Teilfamilie $U_{i}:=U_{x_{i}}$, $i\in I$, die ebenfalls $X$ überdeckt. Also ist
    $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}\in F\,.$
Also ist $U_{i}\in F$ für ein $i$ wegen der Irreduzibilität. Das ist ein Widerspruch.
Es sei umgekehrt $X$ nicht quasikompakt. Der Filter aus Beispiel ist konsistent und liegt nach Fakt in einem Ultrafilter $F$. Angenommen, es gelte
    $U(x)\subseteq F\,$
für einen Punkt $x\in X$. Wir behaupten, dass dann $X$ doch quasikompakt wäre, im Widerspruch zur Voraussetzung. Wenn nämlich $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung ist, so ist $x\in U_{i}$ für ein $i$. Wegen $U_{i}\in F$ ist dann
# Bilinearform/Basis/Dualbasis/Gramsche Matrix/Aufgabe/Lösung

Es sei
    $M=(c_{ij})_{ij}\,$
die beschreibende Matrix von $\Psi$ bezüglich der gegebenen Basen. In der $j$-ten Spalte stehen die Koordinaten von $\Psi (v_{j})$ bezüglich der Basis $v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}$, also ist
    $\Psi (v_{j})=\sum _{k=1}^{n}c_{kj}v_{k}^{*}\,.$
Wenn wir diese Gleichung auf $c_{i}$ anwenden, erhalten wir
    $\left\langle v_{j},v_{i}\right\rangle =(\Psi (v_{j}))(v_{i})={\left(\sum _{k=1}^{n}c_{kj}v_{k}^{*}\right)}(v_{i})=c_{ij}\,.$
$c_{ij}$
$G_{ji}$
# Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Ereigniswerte/Dichte/1/Aufgabe

Es sei $\{a,b,c,d\}$ ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum mit dem Wahrscheinlichkeitsmaß $\mu$. Die folgenden Werte seien bekannt: $\mu (\{a,b\})={\frac {7}{12}}$, $\mu (\{a,c\})={\frac {8}{15}}$, $\mu (\{b,c\})={\frac {9}{20}}$. Bestimme $\mu (\{x\})$ für jedes Elementarereignis.
# Körpererweiterung/Algebraisches Element/Erzeugt Körper/Fakt/Beweis2

Nach Fakt liegt eine $K$-Algebraisomorphie $K[X]/(P)\cong K[f]$ vor, wobei $P$ das Minimalpolynom zu $f$ ist. Nach Fakt (2) ist $P$ irreduzibel, sodass wegen Fakt der Restklassenring $K[f]$ ein Körper ist.
# Logarithmus/Rechenschieber/Bemerkung

Das Prinzip des Rechenschiebers beruht auf den Logarithmen. Man möchte die reellen Zahlen $x$ und $y$ miteinander multiplizieren. Man berechnet zu einer fixierten Basis $b$ die zugehörigen Logarithmen, also $r=\log _{b}x$ und $s=\log _{b}y$. Dann addiert man $r+s$ und berechnet davon den Wert der Exponentialfunktion zur Basis $b$. Dies ist nach Fakt (1) gleich
    $b^{r+s}=b^{\log _{b}x+\log _{b}y}=b^{\log _{b}xy}=xy\,,$
also das gesuchte Produkt. Die Berechnungen des Logarithmus und der Exponentialfunktion können dabei durch hinreichend genaue Wertetabellen oder eben durch eine logarithmische Skala auf dem Rechenschieber ersetzt werden. Die Addition der Logarithmen wird dabei mechanisch durch das Verschieben der beweglichen Skala bewerkstelligt. Auf einer logarithmischen Skala werden die Zahlen zwischen $1$ und $10$ auf einer Strecke so angeordnet, dass die (auf der üblichen Skala) Stelle $\log _{10}y$ mit $y$ bezeichnet wird. Die Skala ergibt sich auch, wenn man auf dem Graphen des Logarithmus die Werte an den Stellen zwischen $1$ und $10$ markiert und diese Punkte auf die $y$-Achse projiziert.
# Einheitskreis/Als Graph/Bogenlänge/Beispiel

Wir betrachten die Funktion
    $f\colon [-1,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)={\sqrt {1-x^{2}}},$
die die obere Kreislinie des Einheitskreises beschreibt. Wir wollen die Länge dieses Graphen bestimmen. Es ist
    $f'(x)={\frac {1}{2}}{\frac {-2x}{\sqrt {1-x^{2}}}}=-{\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,,$
wobei diese Gleichheit nur im Innern $]{-1},1[$ Sinn ergibt, in den Randpunkten ist die Funktion nicht differenzierbar. Dennoch kann man hier Fakt zunächst im Innern anwenden und anschließend einen Grenzübergang durchführen. Es geht somit um das Integral von
    ${\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{1-x^{2}}}}}={\sqrt {\frac {1-x^{2}+x^{2}}{1-x^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,.$
Die Stammfunktion davon ist $\arcsin x$ gemäß Fakt. Daher ist
    $L=\int _{-1}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx=\arcsin x|_{-1}^{1}={\frac {\pi }{2}}-{\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)}=\pi \,.$
# Topologischer Raum/Ultrafilter/Irreduzibel/Fakt/Beweis

Die leere Menge gehört nach Definition nicht zu einem Ultrafilter. Es seien $V,W$ offene Mengen mit $V\cup W\in F$, aber $V,W\notin F$. Würde es sowohl für $V$ als auch für $W$ offene Mengen $U_{1},U_{2}\in F$ mit $U_{1}\cap V=\emptyset$ und $U_{2}\cap W=\emptyset$ geben, so wäre auch
    $(U_{1}\cap U_{2})\cap (V\cup W)=\emptyset \,$
im Widerspruch zur Voraussetzung. Also können wir ohne Einschränkung annehmen, dass
    $U\cap V\neq \emptyset \,$
ist für alle $U\in F$. Dann ist der durch all diese $U\cap V$ erzeugte Filter konsistent und muss mit $F$ übereinstimmen. Also ist $V\in F$.
# Bilinearform/Direkte Summe/Gramsche Matrix/Typ/Aufgabe/Lösung

* Wegen ist die Abbildung symmetrisch. Daher genügt es, die Linearität in der ersten Komponente zu zeigen. Diese ergibt sich aus Die Orthogonalität ergibt sich aus
    ${\begin{aligned}\Theta ((u_{1},v_{1}),(u_{2},v_{2}))&=\Psi _{U}(u_{1},u_{2})+\Phi _{V}(v_{1},v_{2})\\&=\Psi _{U}(u_{2},u_{1})+\Phi _{V}(v_{2},v_{1})\\&=\Theta ((u_{2},v_{2}),(u_{1},v_{1}))\end{aligned}}$
    ${\begin{aligned}\Theta (a(u_{1},v_{1})+b(u_{2},v_{2}),(u_{3},v_{3}))&=\Theta ((au_{1}+bu_{2},au_{2}+bv_{2}),(u_{3},v_{3}))\\&=\Psi _{U}(au_{1}+bu_{2},u_{3})+\Phi _{V}(au_{2}+bv_{2},v_{3})\\&=a\Psi _{U}(u_{1},u_{3})+b\Psi _{U}(u_{2},u_{3})+a\Psi _{V}(v_{1},v_{3})+b\Psi _{V}(v_{2},v_{3})\\&=a(\Psi _{U}(u_{1},u_{3})+\Psi _{V}(v_{1},v_{3}))+b(\Psi _{U}(u_{2},u_{3})+\Psi _{V}(v_{2},v_{3}))\\&=a\Theta ((u_{1},v_{1}),(u_{3},v_{3}))+b\Theta ((u_{2},v_{2}),(u_{3},v_{3})).\end{aligned}}$
    $\Theta ((u,0),(0,v))=\Psi _{U}(u,0)+\Psi _{V}(0,v)=0+0=0\,.$
* Es seien $u_{1},\ldots ,u_{m}$ und $v_{1},\ldots ,v_{m}$ die Basen und entsprechend $(u_{i},0),(0,v_{k})$ die zusammengesetzte Basis von $U\oplus V$. Die Einträge der Gramschen Matrix von $\Theta$ sind sodass die Blockgestalt aus den einzelnen Gramschen Matrizen vorliegt.
    $\Theta ((u_{i},0),(u_{j},0))=\Psi _{U}(u_{i},u_{j})+\Psi _{V}(0,0)=\Psi _{U}(u_{i},u_{j})\,,$
    $\Theta ((0,v_{k}),(0,v_{\ell }))=\Psi _{U}(0,0)+\Psi _{V}(v_{k},v_{\ell })=\Psi _{V}(v_{k},v_{\ell })\,,$
    $\Theta ((u_{i},0),(0,v_{k}))=\Psi _{U}(u_{i},0)+\Psi _{V}(0,v_{k})=0\,,$
* Wir ziehen den Sylvesterschen Trägheitssatz heran. Es seien beide Basen Orthogonalbasen, die zusammengesetzte Basis ist dann ebenfalls eine Orthogonalbasis. Im ersten Block stehen dann in der Diagonale $p$ Einsen, $q$ Minuseinsen und $m-p-q$ Nullen und im zweiten Block stehen in der Diagonale $p'$ Einsen, $q'$ Minuseinsen und $n-p'-q'$ Nullen. Insgesamt stehen dort also $p+p'$ Einsen und $q+q'$ Minuseinsen.
# Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum/Ereigniswerte/Dichte/2/Aufgabe

Es sei $\{a,b,c\}$ ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum mit dem Wahrscheinlichkeitsmaß $\mu$. Die folgenden Beziehungen seien bekannt: $\mu (\{a\})=\mu (\{b,c\}$, $\mu (\{a,c\})={\frac {4}{5}}$. Bestimme $\mu (\{x\})$ für jedes Elementarereignis.
# Lokaler Ring/Regulär/Lokalisierung/Bemerkung

Die Lokalisierung an einem Primideal kann regulär sein, ohne dass der Ausgangsring regulär ist. In der Tat ist das ein sehr häufiges und typisches Verhalten. Wenn beispielsweise $R$ ein Integritätsbereich ist, so ist die Lokalisierung am Primideal
    ${\mathfrak {p}}=(0)\,$
der Quotientenkörper von $R$, und als Körper stets regulär. In einer Primidealkette
    $(0)\subset {\mathfrak {p}}_{1}\subset {\mathfrak {p}}_{2}\subset \ldots \subset {\mathfrak {p}}_{n}={\mathfrak {m}}\,$
gibt es somit ein größtes Primideal, das regulär ist (dieses kann gleich ${\mathfrak {m}}$ sein). Wenn nämlich $R_{{\mathfrak {p}}_{i}}$ regulär ist, so ist $R_{{\mathfrak {p}}_{j}}$ für $j\leq i$ eine Lokalisierung von $R_{{\mathfrak {p}}_{i}}$ und somit nach Fakt selbst regulär.
# Einheitskreis/Integral von Wurzel 1-x^2/Beispiel

Die obere Kreislinie des Einheitskreises ist die Punktmenge
    ${\left\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}=1,\,-1\leq x\leq 1,\,y\geq 0\right\}}.$
Zu gegebenem $x$, $-1\leq x\leq 1$, gibt es genau ein $y$, das diese Bedingung erfüllt, nämlich $y={\sqrt {1-x^{2}}}$. Daher ist der Flächeninhalt der oberen Einheitskreishälfte gleich der Fläche unter dem Graphen der Funktion $x\mapsto {\sqrt {1-x^{2}}}$ über dem Intervall $[-1,1]$, also gleich
    $\int _{-1}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx.$
Mit der Substitution
    $x=\cos t{\text{ bzw. }}t=\arccos x$
(wobei $\cos :[0,\pi ]\rightarrow [-1,1]$ nach Fakt bijektiv ist), erhält man unter Verwendung von Beispiel
    ${\begin{aligned}\int _{a}^{b}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx&=\int _{\arccos a}^{\arccos b}{\sqrt {1-\cos ^{2}t}}(-\sin t)\,dt\\&=-\int _{\arccos a}^{\arccos b}\sin ^{2}t\,dt\\&={\frac {1}{2}}(\sin t\cos t-t)|_{\arccos a}^{\arccos b}.\end{aligned}}$
Insbesondere ist
    ${\frac {1}{2}}{\left(x\cdot \sin \left(\arccos x\right)-\arccos x\right)}={\frac {1}{2}}{\left(x\cdot {\sqrt {1-x^{2}}}-\arccos x\right)}\,$
eine Stammfunktion zu ${\sqrt {1-x^{2}}}$. Daher ist
    ${\begin{aligned}\int _{-1}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx&={\frac {1}{2}}{\left(x\cdot {\sqrt {1-x^{2}}}-\arccos x\right)}|_{-1}^{1}\\&={\frac {1}{2}}(-\arccos 1+\arccos(-1))\\&=\pi /2.\end{aligned}}$
# Topologischer Raum/Verklebungsdatum/Existenz/Fakt/Beweis

Es sei $Y$ die disjunkte Vereinigung der $U_{i}$. Wir definieren auf $Y$ eine Äquivalenzrelation $\sim$, wobei wir Punkte $x_{i}\in U_{i}$ und $x_{j}\in U_{j}$ als äquivalent ansehen, wenn $x_{i}\in U_{ij}$, $x_{j}\in U_{ji}$ und $\varphi _{ji}(x_{i})=x_{j}$ ist. Die Eigenschaften einer Äquivalenzrelation sind dabei durch die Kozykelbedingung gesichert, siehe Aufgabe. Wir setzen
    $X:=Y/\sim \,$
und versehen $X$ mit der Quotiententopologie. Die Verknüpfungen
    $U_{i}\longrightarrow Y\longrightarrow X$
sind die $\psi _{i}$, und $V_{i}$ sind die Bilder dieser Abbildungen. Daher liegen Homöomorphismen $\psi _{i}\colon U_{i}\rightarrow V_{i}$ vor. Dabei ist zu $x\in U_{i}$
    $\psi _{i}(x)\in V_{j}\,$
genau dann, wenn $x\in U_{ij}$ ist, da genau in diesem Fall $x$ mit $\varphi _{ij}(x)$ identifiziert wird. Daher ist $\psi _{i}(U_{ij})=V_{i}\cap V_{j}$. Die Kommutativität des Diagramms
    ${\begin{matrix}U_{ij}&{\stackrel {\varphi _{ji}}{\longrightarrow }}&U_{ji}&\\&\!\!\!\!\!\psi _{i}\searrow &\downarrow \psi _{j}\!\!\!\!\!&\\&&V_{i}\cap V_{j}&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
folgt ebenso.
# Bilinearform/Quadratische Form 0/Nicht 0/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten auf $V=K^{2}$ die Abbildung
    $\left\langle {\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{pmatrix}}\right\rangle :=\det {\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}\\y_{1}&y_{2}\end{pmatrix}}=x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}\,.$
$0$
# Endliches Modell/Elementar äquivalent und isomorph/Z mod 12/Automorphismen/Aufgabe

Es sei $M=\mathbb {Z} /(12)$, aufgefasst als Gruppe. Definiere entlang von Fakt einen Isomorphismus
    $\varphi \colon \mathbb {Z} /(12)\longrightarrow \mathbb {Z} /(12),$
startend mit $S_{1}=\{0\}$ und weiter mit $S_{2}$, wobei $S_{2}$ die funktionale Hülle von $0$ und $m_{2}=3$ sei, und $n_{2}$ als $9$ gewählt wird, etc. Welche Wahlmöglichkeiten hat man für $\varphi _{3}(m_{3})$ mit $m_{3}=1$?
# Elliptische Kurve/Q/Modularitätssatz/Satz von Wiles/Textabschnitt

Die Vermutung von Taniyama-Shimura, die selbst von ca. 1955 stammt, erfuhr um 1986 ein vertieftes Interesse, als sich eine Beziehung zur Vermutung von Fermat ergab. Diese besagt, dass es zu einem Exponenten $n\geq 3$ keine nichttriviale ganzzahlige Lösung $(a,b,c)$ der Gleichung
    $a^{n}+b^{n}=c^{n}\,$
gibt. Für eine Vielzahl von Exponenten war dies zuvor mit unterschiedlichen Methoden, hauptsächlich aus der algebraischen Zahlentheorie, bewiesen worden, aber eben nicht für alle. Diese Vermutung wurde häufig als das bekannteste offene mathematische Problem genannt. Für $n=3$ geht es um die Frage, ob die elliptische Kurve $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ ganzzahlige Lösungen besitzt. Es wurde schon von Euler gezeigt, dass es solche Punkte nicht gibt. Die neue Entwicklung war nun, dass das Problem von Fermat für jeden Exponenten $n$ etwas mit einer elliptischen Kurve zu tun hat. Dazu geht man von einer potentiellen nichttrivialen ganzzahligen Lösung (deren Existenz man letztlich widerlegen möchte)
    $a^{n}+b^{n}=c^{n}\,$
aus und betrachtet dazu die Weierstraß-Gleichung
    $y^{2}=x(x-a^{n})(x-b^{n})\,.$
Wegen der Nichttrivialität der Lösung liegt eine über $\mathbb {Q}$ definierte elliptische Kurve vor, die sogenannte Frey-Kurve (oder Frey-Hellegouarch-Kurve). Das $c$ kommt nicht explizit in der Gleichung vor, ist aber natürlich durch $a$ und $b$ jederzeit präsent. Frey äußerte die Vermutung, dass eine solche Kurve ein Gegenbeispiel zur Vermutung von Taniyama-Shimura sein könnte, bzw., dass wenn die Vermutung von Taniyama-Shimura stimmt, dass es dann eine solche Kurve nicht geben kann und dass damit der große Fermat gelten müsse. Diese Beziehung zwischen Taniyama-Shimura und großem Fermat wurde dann von Serre und Ribet bewiesen. Ab 1990 war also klar: Wenn man zeigen kann, dass jede elliptische Kurve über $\mathbb {Q}$ modular ist, dann folgt der Große Fermat. Mitte der Neunziger gelang es nun Wiles, zwar nicht die volle Vermutung von Taniyama-Shimura zu beweisen, aber immerhin für eine große Klasse von elliptischen Kurven, die die Frey-Kurven miteinschließen, nämlich für die sogenannten semistabilen elliptischen Kurven. Das sind diejenigen elliptischen Kurven, bei denen für keine Primzahl additive Reduktion auftritt. Auf diesem Weg ergibt sich.

## Satz

Die diophantische Gleichung
    $a^{n}+b^{n}=c^{n}\,$
besitzt für kein $n\geq 3$ eine ganzzahlige nichttriviale Lösung.
Die volle Vermutung von Taniyama-Shimura wurde gegen 2000 aufbauend auf Wiles Arbeiten von Breuil, Conrad, Diamond, Taylor bewiesen.
# Löb-Axiom/Modell/Schleifenfrei/Unendliche Ketten/Bemerkung

Ein Modell des Löb-Axioms ist insbesondere frei von Schleifen, d.h. es ist reflexivitätsfrei, es gilt also nie $wRw$. Eine solche Schleife würde ja direkt eine unendliche Kette produzieren. Der gerichtete Graph
    $w_{n},n\in \mathbb {N} ,$
mit der durch $w_{n}Rw_{m}$, falls $n<m$ gegebenen Relation und der Belegung $w_{n}\vDash p$ für alle $n\in \mathbb {N}$ zeigt, dass das Löb-Axiom (in der Form $\Diamond p\rightarrow \Diamond (p\wedge \neg \Diamond p$) bei einer unendlichen transitiven Kette ohne Schleifen nicht gelten muss.
# Einheitskreis/Längenform/Rückzug/Beispiel

Wir betrachten auf dem Einheitskreis
    $S^{1}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}\,$
die Differentialform
    $\omega =-ydx+xdy\,.$
Unter der Parametrisierung des oberen Kreisbogens durch
    $\gamma (x)=(x,{\sqrt {1-x^{2}}})\,$
ist die zurückgezogene Differentialform gleich
    ${\begin{aligned}\gamma ^{*}\omega &=-{\sqrt {1-x^{2}}}dx+xd{\sqrt {1-x^{2}}}\\&=-{\sqrt {1-x^{2}}}dx-x{\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}dx\\&=-{\frac {1-x^{2}+x^{2}}{\sqrt {1-x^{2}}}}dx\\&=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}dx.\end{aligned}}$
Dies ist bis auf das Vorzeichen der Integrand zur Berechnung der Kurvenlänge des Graphen der Funktion ${\sqrt {1-x^{2}}}$, und dieser Integrand besitzt Arkussinus als Stammfunktion.
Zum Kreis gehört seine universelle Überlagerung
    $p\colon \mathbb {R} \longrightarrow S^{1},\,t\longmapsto \left(\cos t,\,\sin t\right).$
Auch bezüglich dieser Parametrisierung kann man die Differentialform $\omega$ zurückziehen und erhält
    ${\begin{aligned}p^{*}\omega &=-\sin td\cos t+\cos td\sin t\\&={\left(\sin ^{2}t+\cos ^{2}t\right)}dt\\&=dt,\end{aligned}}$
also die konstante Differentialform auf $\mathbb {R}$. Dies ist nicht überraschend, da ja die trigonometrische Parametrisierung den Einheitskreis mit konstanter Geschwindigkeit durchläuft und somit der zurückgelegte Weg proportional zur verstrichenen Zeit ist.
# Topologischer Raum/Welke Garbe/Azyklisch/Fakt/Beweis

Nach Fakt gibt es eine Einbettung von ${\mathcal {G}}$ in eine injektive Garbe ${\mathcal {I}}$, wir betrachten die zugehörige kurze exakte Garbensequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {G}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {I}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,{\mathcal {I}}/{\mathcal {G}}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0.$
Nach Fakt ist ${\mathcal {I}}$ eine welke Garbe. Dann ist nach Fakt (2) auch die Quotientengarbe ${\mathcal {I}}/{\mathcal {G}}$ welk. Die lange exakte Kohomologiesequenz ergibt unter Verwendung von Fakt einerseits
    $0\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}/{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {G}})\longrightarrow 0$
und andererseits
    $0\longrightarrow H^{n}(X,{\mathcal {I}}/{\mathcal {G}}){\stackrel {\delta ^{n}}{\longrightarrow }}H^{n+1}(X,{\mathcal {G}})\longrightarrow 0$
für $n\geq 1$. Aus dem ersten Ausschnitt folgt wegen der Surjektivität (siehe Fakt (1)) von
    $\Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}/{\mathcal {G}}\right)},$
dass $H^{1}(X,{\mathcal {G}})=0$ ist. Dies gilt für alle welke Garben. Daher gilt aufgrund des zweiten Ausschnittes, angewendet für $n=2$, auch $H^{2}(X,{\mathcal {G}})=0$, u.s.w.
# Bilinearform/Symmetrisch/2/Erster Minor 0/Aufgabe/Lösung

Wir verwenden das Eigenwertkriterium. Das charakteristische Polynom der Matrix ist
    $X(X-c)-b^{2}=X^{2}-cX-b^{2}\,.$
Bei $b\neq 0$ ist der Wert des charakteristischen Polynoms an der Stelle $0$ negativ. Somit gibt es eine negative und eine positive Nullstelle und daher ist der Typ gleich $(1,1)$. Es sei also $b=0$. Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind dann $0$ und $c$. Bei $c=0$
$(0,0)$
$c$
$(0,1)$
$c$
$(1,0)$
# Endliches Monoid/Kürzungsregel/Gruppe/Aufgabe

Es sei $M$ ein endliches Monoid. Es gelte die folgende „Kürzungsregel“: Aus $ax=ay$ für ein $a\in \mathbb {N} _{+}$ folgt $x=y$. Zeige, dass $M$ eine Gruppe ist.