# Körper/Einheiten/Untergruppe/Z/Restklasseneinheiten/Textabschnitt

In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit der Einheitengruppe der Restklassenringe $\mathbb {Z} /(n)$, also mit ${\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$. Ihre Anzahl wird durch die Eulersche Funktion $\varphi (n)$ ausgedrückt. Wir erinnern kurz an eine wichtige Tatsache für die Anzahl der Nullstellen eines Polynoms über einem Körper.

## Satz

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Es sei $P\in K[X]$ ein Polynom ($\neq 0$) vom Grad $d$.
Dann besitzt $P$ maximal $d$ Nullstellen.

## Satz

Es sei $U\subseteq K^{\times }$ eine endliche Untergruppe der multiplikativen Gruppe eines Körpers $K$.
Dann ist $U$ zyklisch.

### Beweis

Es sei $n=\operatorname {ord} {\left(U\right)}$ und $e=\exp {\left(U\right)}$ der Exponent dieser Gruppe. Dies bedeutet, dass alle Elemente $x\in U$ eine Nullstelle des Polynoms $X^{e}-1$ sind. Nach Fakt ist die Anzahl der Nullstellen aber maximal gleich dem Grad, sodass $n=e$ folgt. Nach Fakt ist dann $U$ zyklisch.
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Die reellen Zahlen besitzen überhaupt nur die beiden endlichen multiplikativen Untergruppen $\{1\}$ und $\{1,-1\}$. Im komplexen Fall liegen die endlichen multiplikativen Untergruppen auf dem Einheitskreis, es handelt sich um die Gruppen $\mu _{k}$ der $k$-ten Einheitswurzeln, also um
    $\{e^{2\pi i{\frac {j}{k}}},\,j=0,1,\ldots ,k-1\}.$
Wir können im Fall einer Primzahl die Struktur der Einheitengruppe des Restklassenringes verstehen.

## Satz

Es sei $p$ eine Primzahl.
Dann ist die Einheitengruppe ${\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$ zyklisch mit der Ordnung $p-1$.
Es gibt also Elemente $g$ mit der Eigenschaft, dass die Potenzen $g^{i}$, $i=0,1,\ldots ,p-2$, alle Einheiten durchlaufen.

### Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt, da $\mathbb {Z} /(p)$ ein endlicher Körper ist.
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## Definition

Eine Einheit $g\in {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ heißt primitiv (oder eine primitive Einheit), wenn sie die Einheitengruppe erzeugt.

## Bemerkung

Der Fakt sagt insbesondere, dass es für eine Primzahl $p$ primitive Elemente im Restklassenkörper $\mathbb {Z} /(p)$ gibt. Er ist lediglich ein Existenzsatz und gibt keinen Hinweis, wie primitive Elemente zu konstruieren oder zu finden sind. Für eine Primzahl $p$ und eine Einheit $g\in {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$ bedeutet die Eigenschaft, primitiv zu sein, dass ein Gruppenisomorphismus
    $(\mathbb {Z} /(p-1),+,0)\longrightarrow ({\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times },\cdot ,1),\,i\longmapsto g^{i},$
vorliegt. Für eine beliebige natürliche Zahl $n$ ist die Einheitengruppe der Restklassenringe $\mathbb {Z} /(n)$ im Allgemeinen nicht zyklisch. Wir werden später diejenigen Zahlen charakterisieren, die diese Eigenschaft besitzen.

## Korollar

Es sei $p$ eine Primzahl. Dann gibt es in ${\mathbb {Z} }/(p)$ genau $\varphi (p-1)$ primitive Elemente.

### Beweis

Aufgrund der Existenz von primitiven Elementen gibt es eine Isomorphie
    $\mathbb {Z} /(p-1)={\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }\,.$
Daher geht es um die Anzahl der Erzeuger der additiven Gruppe $\mathbb {Z} /(p-1)$. Ein Element aus $\mathbb {Z} /(p-1)$ ist ein Gruppenerzeuger genau dann, wenn es in $\mathbb {Z} /(p-1)$ (als Ring betrachtet) eine Einheit ist. Deshalb ist die Anzahl gerade $\varphi (p-1)$.
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