# Monoidring/C/Graduierung/Endlicher Kokern/Fundamentalgruppe/Fakt/Beweis

(1) folgt aus Fakt, da ${\mathbb {C} }^{n}\setminus T$ wegen der Bedingung an die Kodimension einfach zusammenhängend und die Operation darauf nach Voraussetzung fixpunktfrei ist. (2). Die Abbildung $F$ ist wegen der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion ein Gruppenhomomorphismus. Die Abbildung $F(\gamma )$ ist auf der Untergruppe $\Gamma \subseteq \mathbb {Z} ^{n}$ trivial. Für $u\in \Gamma$ ist ja $\gamma (mu)=m\gamma (u)$ und somit ist
    $e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }\gamma (mu)}{m}}=e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }m\gamma (u)}{m}}=e^{2\pi {\mathrm {i} }\gamma (u)}=1\,.$
Daher ist $F(\gamma )$ in natürlicher Weise ein Gruppenhomomorphismus
    $\mathbb {Z} ^{n}/\Gamma \cong D\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times },$
also ein Charakter auf $D$. Zur Bestimmung des Kerns von $F$ sei zunächst $\gamma$ die Einschränkung eines Gruppenhomomorphismus
    ${\tilde {\gamma }}\colon \mathbb {Z} ^{n}\longrightarrow \mathbb {Z}$
auf $\Gamma \subseteq \mathbb {Z} ^{n}$. Doch dann ist natürlich $\gamma (me_{j})=m{\tilde {\gamma }}(e_{j})$ für die Basis $e_{j}$ von $\mathbb {Z} ^{r}$ und somit ist der zugehörige Charakter trivial. Wenn umgekehrt der zugehörige Charakter trivial ist, so muss ${\frac {\gamma (me_{j})}{m}}\in \mathbb {Z}$ für jedes $e_{j}$ gelten. Doch dann ist durch
    ${\tilde {\gamma }}(e_{j}):={\frac {\gamma (me_{j})}{m}}\,$
eine Fortsetzung von $\gamma$ nach $\mathbb {Z} ^{n}$ gegeben. Es liegt also ein injektiver Gruppenhomomorphismus
    $\operatorname {Hom} \left(\Gamma ,\mathbb {Z} \right)/\operatorname {bild} \left(\operatorname {Hom} \left(\mathbb {Z} ^{n},\mathbb {Z} \right)\right)\longrightarrow G$
vor. Die Surjektivität folgt aus Aufgabe. (3). Der Monoidhomomorphismus
    $M\hookrightarrow \Gamma {\stackrel {\gamma }{\longrightarrow }}\mathbb {Z}$
führt zu einem ${\mathbb {C} }$-Algebrahomomorphismus
    ${\mathbb {C} }[M]\longrightarrow {\mathbb {C} }[\mathbb {Z} ]\cong {\mathbb {C} }[W,W^{-1}]$
und damit zu einem Morphismus der zugehörigen Spektren, der ${\mathbb {C} }$-Spektren, und der entsprechenden metrischen Räume, also zu einer (in der natürlichen Topologie) stetigen Abbildung
    $\gamma ^{*}\colon {\mathbb {C} }^{\times }\longrightarrow Y=\operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[M]\right)}_{\mathbb {C} }.$
Da diese Abbildung über $\operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[\Gamma ]\right)}_{\mathbb {C} }\cong {\left({\mathbb {C} }^{\times }\right)}^{n}$ faktorisiert, liegt das Bild dieser Abbildung ganz in $Y\setminus q(T)$. Die Einschränkung auf den Einheitskreis $S^{1}\subseteq {\mathbb {C} }^{\times }$ ist natürlich ebenfalls stetig. (4). Wir haben ein kommutatives Diagramm
    ${\begin{matrix}M&{\stackrel{\longrightarrow }}&\Gamma &{\stackrel {\gamma }{\longrightarrow }}&\mathbb {Z} &\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\\mathbb {N} ^{n}&{\stackrel{\longrightarrow }}&\mathbb {Z} ^{n}&{\stackrel {\tilde {\gamma }}{\longrightarrow }}&\mathbb {Z} &\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$
wobei ${\tilde {\gamma }}$ durch ${\tilde {\gamma }}(e_{j}):=\gamma (me_{j})$ definiert ist. Diesem Diagramm entspricht das Diagramm
    ${\begin{matrix}{\mathbb {C} }^{\times }&{\stackrel {{\tilde {\gamma }}^{*}}{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }^{n}&\\\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{t}^{m}\downarrow &&\downarrow &\\{\mathbb {C} }^{\times }&{\stackrel {\gamma ^{*}}{\longrightarrow }}&Y&\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}$
    $\iota \colon [0,2\pi ]\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times },\,s\longmapsto e^{s{\mathrm {i} }},$
bezüglich der $m$-ten Potenz $t\mapsto t^{m}$ geliftet werden. Dies geschieht aber durch die Zuordnung
    ${\tilde {\iota }}\colon [0,2\pi ]\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times },\,s\longmapsto e^{\frac {s{\mathrm {i} }}{m}}.$
Die $j$-te Komponente des Endpunkts dieser Liftung in ${\mathbb {C} }^{r}$ ist
    ${\tilde {\gamma }}_{j}^{*}{\tilde {\iota }}(2\pi )={\tilde {\gamma }}_{j}^{*}{\left(e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{m}}\right)}={\left(e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{m}}\right)}^{{\tilde {\gamma }}(e_{j})}={\left(e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{m}}\right)}^{\gamma (me_{j})}=e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }\gamma (me_{j})}{m}}\,.$
Durch diese Zahlen ist auch der zu $\gamma$ gehörende Charakter $F(\gamma )$ aus Teil (2) gegeben.