OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Komplexe Zahlen/Offene Menge/Hauptteilverteilung/Mittag-Leffler/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Die Trägermenge der Hauptverteilung ist diskret und daher auch abzählbar, es seien $P_{n}\in U$, $n\in \mathbb {N} _{+}$, die Punkte, auf denen die Hauptverteilung nicht trivial ist, und sei der Hauptteil in $P_{n}$ gleich
    $h_{n}(z)=\sum _{k=1}^{d_{n}}{\frac {a_{kn}}{{\left(z-P_{n}\right)}^{k}}}\,.$
Jeder Hauptteil ist außerhalb des Punktes eine holomorphe Funktion. Es sei $A_{\ell }$ eine kompakte Ausschöpfung von $U$, die es nach Fakt gibt. Zu jedem $n\in \mathbb {N} _{+}$ wählen wir ein Polynom $g_{n}$ mit der Eigenschaft, dass
    $f_{n}:=h_{n}(z)-g_{n}(z)\leq 2^{-n}\,$
auf dem maximalen $A_{\ell (n)}$ mit $P_{n}\notin A_{\ell (n)}$. Da $h_{n}$ auf einer offenen Umgebung von $A_{\ell (n)}$ holomorph ist und $A_{\ell (n)}$ kompakt, gibt es ein solches Polynom nach Fakt. Wir betrachten die Reihe
    $\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(z).$
Auf jedem $A_{\ell }$ gibt es nur endlich viele Punkte $P_{n}$, die zu $A_{\ell }$ gehören, für $P_{n}$ außerhalb (sagen wir ab $n_{0}$) gilt die obige Abschätzung. Daher konvergiert $\sum _{n=n_{0}}^{\infty }f_{n}(z)$ gleichmäßig auf $A_{\ell }$. Insbesondere definiert die Summe auf $U\setminus \{P_{n},n\in \mathbb {N} _{+}\}$ eine Grenzfunktion $f$, die nach Fakt
$P_{n}$
$h_{n}-f_{n}$
$h_{n}$
# Komplexe Zahlen/Neilsche Parabel/Nullstellengebilde/Riemannsche Fläche/Fortsetzung/Aufgabe

Bestimme in Beispiel die Fortsetzung des unverzweigten Nullstellengebildes ${\tilde {V}}\rightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ nach ${\mathbb {C} }$ und nach ${\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ im Sinne von Fakt.
# Komplexe Zahlen/Obere Halbebene/Definition/Begriff

Die obere Halbebene in ${\mathbb {C} }$.
# Würfelwurf/2/Produkt/Aufgabe

Ein Würfel werde zweimal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass das Produkt der Augenzahlen gleich $1,2,3,\ldots ,36$ ist.
# XY/Bestimmtheit/Aufgabe

Zeige, dass die Funktion $XY$ $2$-bestimmt ist.
# Würfelwurf/2/Summe/Aufgabe

Ein Würfel werde zweimal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass die Augensumme gleich $2,3,\ldots ,12$ ist.
# Würfelwurf/2/Summe und Produkt/Aufgabe

Ein Würfel werde zweimal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass die Augensumme mindestens so groß wie das Produkt der Augenzahlen ist.
# Würfelwurf/6/Keine Wiederholung/Aufgabe

Ein fairer Würfel werde sechsmal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich dabei keine Augenzahl wiederholt?
# Körper/Grundkörper/Transzendenzbasis/Endlich/Anzahl wohldefiniert/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $m$ die minimale Zahl derart, dass es eine Transzendenzbasis mit $m$ Elementen gibt. Es sei $f_{1},\ldots ,f_{m}$ eine Transzendenzbasis und $g_{1},\ldots ,g_{n}$ eine weitere Transzendenzbasis mit
    $n\geq m\,$
Elementen. Wir wenden Fakt sukzessive an und erhalten Transzendenzbasen
    $g_{j_{1}},f_{2},\ldots ,f_{m},$
    $g_{j_{1}},g_{j_{2}},f_{3},\ldots ,f_{m},$
    $\ldots$
    $g_{j_{1}},g_{j_{2}},g_{j_{3}},\ldots ,g_{j_{m-1}},f_{m},$
    $g_{j_{1}},g_{j_{2}},g_{j_{3}},\ldots ,g_{j_{m-1}},g_{j_{m}},$
wobei die $g_{j_{i}}$ Elemente der zweiten Familie sind. Die letzte Familie ist eine Transzendenzbasis mit $m$ Elementen (es kann keine Elementwiederholungen geben wegen der vorausgesetzen Minimalität von $m$). Bei $n>m$ würde sich ein Widerspruch ergeben, da eine echte Teilfamilie einer Transzendenzbasis keine Transzendenzbasis sein kann, also ist
$n=m$
# Körper/Grundkörper/Transzendenzbasis/Endlich/Anzahl wohldefiniert/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Wohldefiniertheit des Transzendenzgrades.
# Körper/Genau zwei Ideale/Fakt/Name

Die Charakterisierung von einem Körper mit Idealen.
# Körper/Genau zwei Ideale/Fakt/Name/Inhalt

Ein kommutativer Ring ist genau dann ein Körper, wenn er genau zwei Ideale besitzt.
# Körper/Grundkörper/Transzendenzbasis/Endlich/Anzahl wohldefiniert/Fakt/Name

Der Satz über die Wohldefiniertheit des Transzendenzgrades.
# Körper/Genau zwei Ideale/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wenn $R$ ein Körper ist, so gibt es das Nullideal und das Einheitsideal, die voneinander verschieden sind. Es sei $I$ ein von $0$ verschiedenes Ideal in $R$. Dann enthält $I$ ein Element $x\neq 0$, das eine Einheit ist. Damit ist $1=xx^{-1}\in I$ und damit $I=R$.
Es sei umgekehrt $R$ ein kommutativer Ring mit genau zwei Idealen. Dann kann $R$ nicht der Nullring sein. Es sei nun $x$ ein von $0$ verschiedenes Element in $R$. Das von $x$ erzeugte Hauptideal $Rx$ ist $\neq 0$ und muss daher mit dem anderen Ideal, also mit dem Einheitsideal übereinstimmen. Das heißt insbesondere, dass $1\in Rx$ ist. Das bedeutet also $1=xr$ für ein $r\in R$,
$x$
# Kommutative Monoidtheorie/Normalisierung/Monoid und Monoidring/Fakt/Name

Der Satz über die Normalisierung von Monoidringen.
# Kommutative Ring/Ringhomomorphismen/Kategorie/Beispiel

Die Klasse der kommutativen Ringe ist mit den Ringhomomorphismen als Morphismen eine Kategorie, die Kategorie der kommutativen Ringe. Die kategoriellen Verknüpfungseigenschaften beruhen auf Fakt.
# Laurent-Reihen/Linearität/Fakt/Beweis

Dies folgt wegen Fakt aus Fakt (1).
# MDLUL/dichte (R)

Start=dichte (R)
Siehe=dicht (R) MDLUL/dicht (R) Ziel=Reelle Zahlen/Metrik/Dicht/Definition
# MDLUL/dicht

Start=dicht
Ziel=Topologie/Grundbegriffe/Dichtheit/Definition
# MDLUL/dicht (R)

Start=dicht (R)
Ziel=Reelle Zahlen/Metrik/Dicht/Definition
# MDLUL/dichte Teilmenge

Start=dichte Teilmenge
Ziel=Topologie/Grundbegriffe/Dichtheit/Definition
# MDLUL/dichten (Topologie)

Start=dichten (Topologie)
Siehe=dicht (Topologie) MDLUL/dicht (Topologie) Ziel=Topologie/Grundbegriffe/Dichtheit/Definition
# MDLUL/diagonalisieren (lineare Abbildung)

Start=diagonalisieren (lineare Abbildung)
Ziel=Lineare Abbildung/Diagonalisierbar/Mit Eigenvektoren/Definition
# MDLUL/dichte (mr)

Start=dichte (mr)
Siehe=dicht (mr) MDLUL/dicht (mr) Ziel=Metrischer Raum/Teilmenge/Dicht/Definition
# MDLUL/dichte (Topologie)

Start=dichte (Topologie)
Siehe=dicht (Topologie) MDLUL/dicht (Topologie) Ziel=Topologie/Grundbegriffe/Dichtheit/Definition
# MDLUL/dicht (Topologie)

Start=dicht (Topologie)
Ziel=Topologie/Grundbegriffe/Dichtheit/Definition
# MDLUL/dicht (mr)

Start=dicht (mr)
Ziel=Metrischer Raum/Teilmenge/Dicht/Definition
# Komplexe Zahlen/Folge/Definition

Eine komplexe Folge ist eine Abbildung
    $\mathbb {N} \longrightarrow {\mathbb {C} },\,n\longmapsto x_{n}.$
# MDLUL/kanonische Maß

Start=kanonische Maß
Ziel=Riemannsche Mannigfaltigkeit/C^1/Orientiert/Kanonische Volumenform/Textabschnitt
# MDLUL/kanonische Primfaktorzerlegung

Start=kanonische Primfaktorzerlegung
Ziel=Faktorieller_Bereich/Kanonische_Primfaktorzerlegung/Definition
# MDLUL/kanonische Primfaktorzerlegung (Polynom)

Start=kanonische Primfaktorzerlegung (Polynom)
Ziel=Faktorieller_Bereich/Kanonische_Primfaktorzerlegung/Definition
# MDLUL/kanonische Dezimalbruchentwicklung

Start=kanonische Dezimalbruchentwicklung
Ziel=Kurs:Vorkurs_Mathematik_(Osnabrück_2014)/Vorlesung_5
# MDLUL/kanonische Garbe

Start=kanonische Garbe
Ziel=Schema/Glatt/Kanonische Garbe/Definition
# MDLUL/kanonische Form

Start=kanonische Form
Ziel=Riemannsche Mannigfaltigkeit/Orientiert/Kanonische Volumenform/Definition
# MDLUL/kanonische Homomorphismus (Z)

Start=kanonische Homomorphismus (Z)
Siehe=kanonischer Homomorphismus (Z) MDLUL/kanonischer Homomorphismus (Z) Ziel=Kommutative Ringtheorie/Ringhomomorphismen/Kanonischer Homomorphismus von Z/Definition
# MDLUL/kanonische Projektion

Start=kanonische Projektion
Ziel=Äquivalenzrelation/Kanonische Projektion/Definition
# MDLUL/kanonische Abbildung (Äquivalenzrelation)

Start=kanonische Abbildung (Äquivalenzrelation)
Ziel=Äquivalenzrelation/Kanonische Projektion/Definition
# MDLUL/kanonische Flächenform

Start=kanonische Flächenform
Siehe=kanonische Volumenform MDLUL/kanonische Volumenform Ziel=Riemannsche Mannigfaltigkeit/Orientiert/Kanonische Volumenform/Definition
# Lineare inhomogene Differentialgleichung/y' ist y + e^(2t)-4e^(-3t)+1/Aufgabe

Finde die Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung
    $y'=y+e^{2t}-4e^{-3t}+1.$
# Lineare inhomogene Differentialgleichung/y' ist y +sinh durch cosh^2/Aufgabe

Finde die Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung
    $y'=y+{\frac {\sinh t}{\cosh ^{2}t}}.$
# Lineare inhomogene Differentialgleichung/y' ist y durch t + t^3-2t+5 durch t^2-3/Aufgabe

Finde die Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung
    $y'={\frac {y}{t}}+{\frac {t^{3}-2t+5}{t^{2}-3}}.$
# Lineare und affine Räume/Vergleich/Aufgabe

Vergleiche verschiedene Konzepte für Vektorräume und affine Räume einschließlich ihrer Abbildungen.
# MDLUL/noetherschen (Topologie)

Start=noetherschen (Topologie)
Siehe=noethersch (Topologie) MDLUL/noethersch (Topologie) Ziel=Topologischer Raum/Noethersch/Offene Mengen/Definition
# MDLUL/noetherschen Ring

Start=noetherschen Ring
Siehe=noetherscher Ring MDLUL/noetherscher Ring Ziel=Kommutative Ringtheorie/Noetherscher Ring/Ideal/Definition
# MDLUL/noethersch (Ring)

Start=noethersch (Ring)
Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Noetherscher_Ring/Ideal/Definition
# MDLUL/noetherschen (Ring)

Start=noetherschen (Ring)
Siehe=noethersch (Ring) MDLUL/noethersch (Ring) Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Noetherscher_Ring/Ideal/Definition
# MDLUL/noethersch (Topologie)

Start=noethersch (Topologie)
Ziel=Topologischer Raum/Noethersch/Offene Mengen/Definition
# MDLUL/noetherschen Ringen

Start=noetherschen Ringen
Siehe=noetherscher Ring MDLUL/noetherscher Ring Ziel=Kommutative Ringtheorie/Noetherscher Ring/Ideal/Definition
# MDLUL/noetherschen Schema

Start=noetherschen Schema
Siehe=noethersches Schema MDLUL/noethersches Schema Ziel=Schema/Noethersch/Definition
# MDLUL/noethersch (Raum)

Start=noethersch (Raum)
Ziel=Topologischer Raum/Noethersch/Offene Mengen/Definition
# MDLUL/noethersch (Schema)

Start=noethersch (Schema)
Ziel=Schema/Noethersch/Definition
# MDLUL/noetherschen Ringes

Start=noetherschen Ringes
Siehe=noetherscher Ring MDLUL/noetherscher Ring Ziel=Kommutative Ringtheorie/Noetherscher Ring/Ideal/Definition
# MDLUL/komplementär (Verband)

Start=komplementär (Verband)
Ziel=Verband/Komplementär/Definition
# MDLUL/komplementärer Verband

Start=komplementärer Verband
Ziel=Verband/Komplementär/Definition
# MDLUL/komplex-analytische Funktion (1)

Start=komplex-analytische Funktion (1)
Ziel=Analytische Funktion/Eine Variable/Komplex/Definition
# MDLUL/kompatibles Element (Ring)

Start=kompatibles Element (Ring)
Ziel=Kommutativer Ring/Ideal/Potenzfamilie/Kompatibel/Definition
# MDLUL/komplex-analytische Funktion

Start=komplex-analytische Funktion
Ziel=Analytische Funktion/Eine Variable/Komplex/Definition
# MDLUL/komplex-analytisch (1)

Start=komplex-analytisch (1)
Ziel=Analytische Funktion/Eine Variable/Komplex/Definition
# MDLUL/kompatiblen Elementen (Ring)

Start=kompatiblen Elementen (Ring)
Siehe=kompatibles Element (Ring) MDLUL/kompatibles Element (Ring) Ziel=Kommutativer Ring/Ideal/Potenzfamilie/Kompatibel/Definition
# MDLUL/komplementärer Graph

Start=komplementärer Graph
Ziel=Ungerichteter Graph/Komplementärer Graph/Definition
# MDLUL/komplex-analytisch

Start=komplex-analytisch
Ziel=Komplexe Funktion/n/Analytisch/Potenzreihe/Definition
# MDLUL/komplex-analytische Funktionen (1)

Start=komplex-analytische Funktionen (1)
Siehe=komplex-analytische Funktion (1) MDLUL/komplex-analytische Funktion (1) Ziel=Analytische Funktion/Eine Variable/Komplex/Definition
# MDLUL/Maximales Element

Start=Maximales Element
Ziel=Ordnungstheorie/Geordnete Menge/Maximales Element/Definition
# MDLUL/Maximales Ideal

Start=Maximales Ideal
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Maximales Ideal/Definition
# MDLUL/Maximum

Start=Maximum
Ziel=Ordnungstheorie/Geordnete Menge/Maximales Element/Definition
# MDLUL/Maximum (R)

Start=Maximum (R)
Ziel=Reellwertige Funktion/Auf Menge/Maximum/Definition
# MDLUL/Maximalgrad

Start=Maximalgrad
Ziel=Ungerichteter Graph/Maximalgrad/Definition
# MDLUL/Maximalgrad (Graph)

Start=Maximalgrad (Graph)
Ziel=Ungerichteter Graph/Maximalgrad/Definition
# MDLUL/Matroid

Start=Matroid
Ziel=Matroid/Definition
# MDLUL/Maximum (Funktion)

Start=Maximum (Funktion)
Ziel=Reellwertige Funktion/Auf Menge/Maximum/Definition
# MDLUL/Maximum (fkt)

Start=Maximum (fkt)
Ziel=Reellwertige Funktion/Auf Menge/Maximum/Definition
# MDLUL/Maximum (ang)

Start=Maximum (ang)
Ziel=Angeordneter Körper/Teilmenge/Maximum/Definition
# Gleichschenkliges Dreieck/30 Grad/Flächeninhalt/Aufgabe

Wir betrachten ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Schenkel die Länge $1$ haben und dessen Winkel am Schenkelschnittpunkt $30$ Grad beträgt.
* Berechne die Grundseite des Dreiecks.
* Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks.
# Gleichschenkliges Dreieck/Nicht gleichseitig/Eulersche Gerade/Aufgabe

Beschreibe die eulersche Gerade in einem gleichschenkligen, nicht gleichseitigen Dreieck.
# Gleichmäßig stetig/K/Stetige Fortsetzung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Aufgrund von Fakt genügt es zu zeigen, dass der Grenzwert $\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)$ für jedes $a\in {\overline {T}}\setminus T$ existiert. Es sei ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $T$, die gegen $a$ konvergiert. Wir zeigen, dass dann auch die Bildfolge ${\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert. Da diese Bildfolge in ${\mathbb {K} }$ ist, und ${\mathbb {K} }$ vollständig ist, genügt es zu zeigen, dass eine Cauchy-Folge vorliegt. Sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von $f$ gibt es ein $\delta >0$ derart, dass $d{\left(f(x),f(x')\right)}\leq \epsilon$ für alle $x,x'\in T$ mit $d{\left(x,x'\right)}\leq \delta$ ist. Wegen der Konvergenz der Folge ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ handelt es sich nach Fakt um eine Cauchy-Folge und daher gibt es ein $n_{0}$ mit $d{\left(x_{n},x_{m}\right)}\leq \delta$ für alle $n,m\geq n_{0}$. Somit gilt
    $d{\left(f(x_{n}),f(x_{m})\right)}\leq \epsilon \,$
für alle $n,m\geq n_{0}$. Wir müssen nun noch zeigen, dass für jede gegen $a$ konvergente Folge der Grenzwert der Bildfolge gleich ist. Dies ergibt sich aber sofort, wenn man für zwei Folgen ${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$
$x_{0},y_{0},x_{1},y_{1},\ldots$
$a$
# Gleichschenkliges Dreieck/Seitenhalbierende u.s.w./Aufgabe

Es sei $D$ ein gleichschenkliges Dreieck mit den Schenkeln im Punkt $A$ und der gegenüberliegenden Seite $a$. Zeige, dass die Seitenhalbierende durch $A$, die Winkelhalbierende durch $A$, die Höhe durch $A$ und die Mittelsenkrechte zu $a$ übereinstimmen.
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine endliche Körpererweiterung $K\subseteq L$.
* Eine $n$-te Einheitswurzel $z$ in einem Körper $K$ ($n\in \mathbb {N} _{+}$).
* Das von einer Familie von Elementen $a_{j}\in R$, $j\in J$, in einem kommutativen Ring $R$ erzeugte Ideal.
* Die Galoisgruppe einer Körpererweiterung $K\subseteq L$.
* Eine (endliche) Galoiserweiterung $K\subseteq L$.
* Der $n$-te Kreisteilungskörper (über $\mathbb {Q}$).
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Definitionsabfrage/11/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Äquivalenzrelation zu einer Untergruppe $H\subseteq G$.
* Ein endlicher Körper.
* Ein Algebrahomomorphismus $\varphi \colon R\rightarrow S$ zwischen $K$-Algebren $R$ und $S$.
* Die Charaktergruppe zu einer kommutativen Gruppe $D$ mit Werten in einem Körper $K$.
* Eine Fermat-Zahl.
* Algebraisch unabhängige Elemente $f_{1},\ldots ,f_{n}\in A$ in einer $R$-Algebra $A$.
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe/Lösung

* Eine Körpererweiterung $K\subseteq L$ heißt endlich, wenn $L$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über $K$ ist.
* Ein Element $z\in K$ heißt $n$-te Einheitswurzel, wenn $z^{n}=1$ ist.
* Das von den $a_{j}$ erzeugte Ideal besteht aus allen (endlichen) Linearkombinationen wobei $J_{0}\subseteq J$ eine endliche Teilmenge und $r_{j}\in R$ ist.
    $\sum _{j\in J_{0}}r_{j}a_{j},$
* Unter der Galoisgruppe versteht man die Gruppe aller $K$-Algebra-Automorphismen von $L$, also
    $\operatorname {Aut} _{K}\,(L).$
* Eine endliche Körpererweiterung $K\subseteq L$ heißt eine Galoiserweiterung, wenn gilt.
    ${\#\left(\operatorname {Gal} \,(L{|}K)\right)}=\operatorname {grad} _{K}L\,$
* Der $n$-te Kreisteilungskörper ist der Zerfällungskörper des Polynoms über $\mathbb {Q}$.
    $X^{n}-1$
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Definitionsabfrage/10/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Ein algebraisch abgeschlossener Körper.
* Eine einfache Radikalerweiterung (von Körpern).
* Ein Hauptidealbereich.
* Ein über einem Körper $K$ algebraisches Element $f\in A$ einer $K$-Algebra $A$.
* Eine normale Körpererweiterung $K\subseteq L$.
* Ein aus einer Teilmenge $M\subseteq E$ einer Ebene $E$ in einem Schritt konstruierbarer Punkt $P\in E$.
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Definitionsabfrage/12/Aufgabe/Lösung

* Die Ordnung der Gruppe ist die Anzahl der Elemente von $G$.
* Die Quotientenmenge mit der eindeutig bestimmten Gruppenstruktur heißt Restklassengruppe von $G$ modulo $H$.
    $G/H$
* Eine Einheit $u\in {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ heißt primitiv, wenn sie die Einheitengruppe erzeugt.
* Es sei $K\subseteq L$ eine Körpererweiterung, über der $F$ in Linearfaktoren zerfällt. Es seien $a_{1},\ldots ,a_{n}\in L$ die Nullstellen von $F$. Dann nennt man einen Zerfällungskörper von $F$.
    $K[a_{1},\ldots ,a_{n}]\subseteq L\,$
* Eine Galoiserweiterung $K\subseteq L$ heißt eine Kummererweiterung zum Exponenten $m$, wenn ihre Galoisgruppe abelsch und ihr Exponent ein Teiler von $m$ ist.
* Das Polynom wobei $z_{1},\ldots ,z_{\varphi (n)}$ die primitiven komplexen Einheitswurzeln sind, heißt das $n$-te Kreisteilungspolynom.
    $\Phi _{n}=\prod _{i=1}^{\varphi (n)}(X-z_{i})\in {\mathbb {C} }[X]\,,$
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Definitionsabfrage/13/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Eine Einheit $u$ in einem kommutativen Ring $R$.
* Ein innerer Automorphismus einer Gruppe $G$.
* Eine algebraische Zahl $z\in {\mathbb {C} }$.
* Die Galoisgruppe einer Körpererweiterung $K\subseteq L$.
* Ein vollkommener Körper.
* Eine auflösbare Gruppe $G$.
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Definitionsabfrage/13/Aufgabe/Lösung

* Ein Element $u$ heißt Einheit, wenn es ein Element $v\in R$ mit $uv=1$ gibt.
* Ein Automorphismus der Form $x\mapsto gxg^{-1}$ zu einem festen Element $g\in G$ heißt innerer Automorphismus.
    $G\longrightarrow G$
* Eine Zahl $z\in {\mathbb {C} }$ heißt algebraisch, wenn es ein von $0$ verschiedenes Polynom $P\in \mathbb {Q} [X]$ gibt mit $P(z)=0$.
* Unter der Galoisgruppe versteht man die Gruppe aller $K$-Algebra-Automorphismen von $L$, also
    $\operatorname {Aut} _{K}\,(L).$
* Ein Körper $K$ heißt vollkommen, wenn jedes irreduzible Polynom $P\in K[X]$ separabel ist.
* Eine Gruppe $G$ heißt auflösbar, wenn es eine Filtrierung gibt derart, dass $G_{i}$ ein Normalteiler in $G_{i+1}$ ist und die Restklassengruppe $G_{i+1}/G_{i}$ abelsch ist (für jedes $i=0,\ldots ,k-1$).
    $\{e\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq G_{2}\subseteq \ldots \subseteq G_{k-1}\subseteq G_{k}=G$
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Definitionsabfrage/12/Aufgabe

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
* Die Ordnung einer endlichen Gruppe $G$.
* Die Restklassengruppe zu einem Normalteiler $H\subseteq G$ in einer Gruppe $G$.
* Eine primitive Einheit in ${\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$.
* Der Zerfällungskörper zu einem Polynom $F\in K[X]$ über einem Körper $K$.
* Eine Kummererweiterung zum Exponenten $m$ eines Körpers $K$, der eine primitive $m$-te Einheitswurzel enthält.
* Das Kreisteilungspolynom $\Phi _{n}$.
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Definitionsabfrage/10/Aufgabe/Lösung

* Ein Körper $K$ heißt algebraisch abgeschlossen, wenn jedes nichtkonstante Polynom $F\in K[X]$ eine Nullstelle in $K$ besitzt.
* Eine Körpererweiterung $K\subseteq L$ heißt eine einfache Radikalerweiterung, wenn es ein $b\in L$ gibt mit $L=K(b)$ und ein $n\in \mathbb {N}$ mit $b^{n}\in K$.
* Ein Integritätsbereich, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, heißt Hauptidealbereich.
* Das Element $f$ heißt algebraisch über $K$, wenn es ein von $0$ verschiedenes Polynom $P\in K[X]$ mit $P(f)=0$ gibt.
* Eine Körpererweiterung $K\subseteq L$ heißt normal, wenn es zu jedem $x\in L$ ein Polynom $F\in K[X]$, $F\neq 0$, mit $F(x)=0$ gibt, das über $L$ zerfällt.
* Ein Punkt $P\in E$ heißt aus $M$ in einem Schritt konstruierbar, wenn eine der folgenden Möglichkeiten zutrifft.
** Es gibt zwei aus $M$ elementar konstruierbare Geraden $G_{1}$ und $G_{2}$ mit $G_{1}\cap G_{2}=\{P\}$.
** Es gibt eine aus $M$ elementar konstruierbare Gerade $G$ und einen aus $M$ elementar konstruierbaren Kreis $C$ derart, dass $P$ ein Schnittpunkt von $G$ und $C$ ist.
** Es gibt zwei aus $M$ elementar konstruierbare Kreise $C_{1}$ und $C_{2}$ derart, dass $P$ ein Schnittpunkt der beiden Kreise ist.
# Körper- und Galoistheorie/Gemischte Definitionsabfrage/11/Aufgabe/Lösung

* Für Elemente $x,y\in G$ setzt man $x\sim _{H}y$, wenn $x^{-1}y\in H$ gilt.
* Ein Körper heißt endlich, wenn er endlich viele Elemente besitzt.
* Man nennt einen Ringhomomorphismus einen $K$-Algebrahomomorphismus, wenn er zusätzlich mit den beiden fixierten Ringhomomorphismen $K\rightarrow R$ und $K\rightarrow S$ verträglich ist.
    $\varphi \colon R\longrightarrow S$
* Man nennt die Menge der Charaktere die Charaktergruppe von $G$ (in $K$).
    $D^{\vee }:=\operatorname {Char} \,(D,K)={\left\{\chi :D\rightarrow K^{\times }\mid \chi {\text{ Charakter}}\right\}}\,$
* Eine Zahl der Form $2^{2^{r}}+1$, wobei $r$ eine natürliche Zahl ist, heißt Fermat-Zahl.
* Die Elemente $f_{1},\ldots ,f_{n}\in A$ heißen algebraisch unabhängig (über $R$), wenn für jedes vom Nullpolynom verschiedene Polynom $P\in R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ bei der Einsetzung gilt.
    $P(f_{1},\ldots ,f_{n})\neq 0\,$
# MDLUL/Aufgespannter Untervektorraum

Start=Aufgespannter Untervektorraum
Ziel=Vektorraum/Aufgespannter Unterraum/Definition
# MDLUL/Ausartungsraum

Start=Ausartungsraum
Ziel=Symmetrische Bilinearform/Ausartungsraum/Definition
# MDLUL/Atom (Ordnung)

Start=Atom (Ordnung)
Ziel=Geordnete Menge/Kleinstes Element/Atom/Definition
# MDLUL/Aufgespannter Unterraum

Start=Aufgespannter Unterraum
Ziel=Vektorraum/Aufgespannter Unterraum/Definition
# MDLUL/Atome (Ordnung)

Start=Atome (Ordnung)
Siehe=Atom (Ordnung) MDLUL/Atom (Ordnung) Ziel=Geordnete Menge/Kleinstes Element/Atom/Definition
# MDLUL/Aufpunktes

Start=Aufpunktes
Siehe=Aufpunkt MDLUL/Aufpunkt Ziel=Affiner Raum/Unterraum/Definition
# MDLUL/Atomen (Ordnung)

Start=Atomen (Ordnung)
Siehe=Atom (Ordnung) MDLUL/Atom (Ordnung) Ziel=Geordnete Menge/Kleinstes Element/Atom/Definition
# MDLUL/Aufpunkt

Start=Aufpunkt
Ziel=Affiner Raum/Unterraum/Definition
# MDLUL/Auflösbarkeit (Körpererweiterung)

Start=Auflösbarkeit (Körpererweiterung)
Siehe=auflösbar (Körpererweiterung) MDLUL/auflösbar (Körpererweiterung) Ziel=Körpererweiterung/Auflösbar/Definition
# MDLUL/Ausartungsraum (bilinear)

Start=Ausartungsraum (bilinear)
Ziel=Symmetrische Bilinearform/Ausartungsraum/Definition
# MDLUL/maximalen Ideale

Start=maximalen Ideale
Siehe=Maximales Ideal MDLUL/Maximales Ideal Ziel=Kommutative Ringtheorie/Maximales Ideal/Definition
# MDLUL/maximales Ideal

Start=maximales Ideal
Siehe=Maximales Ideal MDLUL/Maximales Ideal Ziel=Kommutative Ringtheorie/Maximales Ideal/Definition
# MDLUL/maßtreu

Start=maßtreu
Ziel=Maßräume/Messbare Abbildung/Maßtreu/Definition
# MDLUL/maximalen Ideales

Start=maximalen Ideales
Siehe=Maximales Ideal MDLUL/Maximales Ideal Ziel=Kommutative Ringtheorie/Maximales Ideal/Definition
# MDLUL/maximalen Idealen

Start=maximalen Idealen
Siehe=Maximales Ideal MDLUL/Maximales Ideal Ziel=Kommutative Ringtheorie/Maximales Ideal/Definition
# MDLUL/maximalen Paarung

Start=maximalen Paarung
Siehe=maximale Paarung MDLUL/maximale Paarung Ziel=Ungerichter Graph/Maximale Paarung/Definition
# MDLUL/maßtreue Abbildung

Start=maßtreue Abbildung
Ziel=Maßräume/Messbare Abbildung/Maßtreu/Definition
# MDLUL/maximalen Ideals

Start=maximalen Ideals
Siehe=Maximales Ideal MDLUL/Maximales Ideal Ziel=Kommutative Ringtheorie/Maximales Ideal/Definition