OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Ordnungsrelation/Einführung/Textabschnitt

Eine reflexive, transitive und antisymmetrische Relation nennt man eine Ordnung, wofür man häufig ein Symbol wie $\geq ,\leq ,\preccurlyeq ,\subseteq$ verwendet.

## Definition

Eine Relation $\preccurlyeq$ auf einer Menge $I$ heißt Ordnungsrelation oder Ordnung, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.
* Es ist $i\preccurlyeq i$ für alle $i\in I$.
* Aus $i\preccurlyeq j$ und $j\preccurlyeq k$ folgt stets $i\preccurlyeq k$.
* Aus $i\preccurlyeq j$ und $j\preccurlyeq i$ folgt $i=j$.
Eine Menge mit einer fixierten Ordnung darauf heißt geordnete Menge. Wenn zusätzlich gilt, dass für je zwei Elemente $x\preccurlyeq y$ oder $y\preccurlyeq x$ gilt, so spricht man von einer total geordneten Menge.

## Beispiel

Die reellen Zahlen $\mathbb {R}$ (ebenso die rationalen Zahlen und die ganzen Zahlen) sind total geordnet durch die Größergleichrelation $\geq$. Dies gehört zum Begriff des angeordneten Körpers, der nicht nur verlangt, dass eine totale Ordnung erklärt ist, sondern auch, dass diese mit den algebraischen Operationen verträglich ist. Die strikte Größerrelation $>$ ist keine Ordnungsrelation, da sie nicht reflexiv ist. Der Körper der komplexen Zahlen ${\mathbb {C} }$ ist nicht angeordnet (und lässt sich auch nicht anordnen).

## Beispiel

Wir betrachten die positiven ganzen Zahlen $\mathbb {N} _{+}$ zusammen mit der Teilbarkeitsbeziehung. Man sagt, dass eine Zahl $k$ die Zahl $n$ teilt, geschrieben
    $k{|}n,$
$m$
$n=km$ gibt. Die Bezeichnung ist nicht sonderlich glücklich gewählt, da ein symmetrisches Symbol für eine nichtsymmetrische Relation verwendet wird. Die Teilbarkeitsrelation ist in der Tat reflexiv, da stets $n{|}n$ ist, wie $m=1$ zeigt. Die Transitivität sieht man so: sei $k{|}n$ und $n{|}m$ mit $n=ak$ und $m=bn$. Dann ist $m=bn=bak$ und daher $k{|}m$. Die Antisymmetrie folgt so: Aus $n=ak$ und $k=bn$ folgt $n=(ab)n$. Da wir uns auf positive natürliche Zahlen beschränken, folgt $ab=1$ und daraus $a=b=1$. Also ist $k=n$ Einfache Beispiele wie $2$ und $3$ zeigen, dass hier keine totale Ordnung vorliegt, da weder $2$ von $3$ noch umgekehrt geteilt wird.

## Beispiel

Es sei $M$ eine beliebige Menge und $R={\mathfrak {P}}\,(M)$ die Potenzmenge davon. Dann sind die Elemente aus $R={\mathfrak {P}}\,(M)$ - also die Teilmengen von $M$ - durch die Inklusionsbeziehung $\subseteq$ geordnet. Die Reflexivität bedeutet einfach, dass eine jede Menge in sich selbst enthalten ist und die Transitivität bedeutet, dass aus $T_{1}\subseteq T_{2}$ und $T_{2}\subseteq T_{3}$ die Inklusion $T_{1}\subseteq T_{3}$ folgt. Die Antisymmetrie ist dabei ein wichtiges Beweisprinzip für die Gleichheit von Mengen: Zwei Mengen $T_{1},T_{2}$ sind genau dann gleich, wenn $T_{1}\subseteq T_{2}$ und umgekehrt $T_{2}\subseteq T_{1}$ gilt.
# Reellwertige Funktion/Lokale Extrema/Notwendiges Kriterium/Einführung/Textabschnitt

Wir wollen mit den Mitteln der Differentialrechnung Kriterien erarbeiten, in welchen Punkten eine Funktion
    $f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$
ein lokales Minimum oder ein lokales Maximum annimmt. Wenn man sich den Graphen einer solchen Funktion als ein Gebirge über der Grundmenge $G$ vorstellt, so geht es also um die Gipfel und die Senken des Gebirges. Der folgende Satz liefert ein notwendiges Kriterium für die Existenz eines lokalen Extremums, das das entsprechende Kriterium (Fakt) in einer Variablen verallgemeinert.

## Satz

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und $G\subseteq V$ eine offene Teilmenge. Es sei
    $f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$
eine Funktion, die im Punkt $P\in G$ ein lokales Extremum besitzt. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

(1) Zu $v\in V$ betrachten wir die Funktion
    $h\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto h(t)=f(P+tv),$
wobei $I$ ein geeignetes reelles Intervall ist. Da die Funktion $f$ in $P$ ein lokales Extremum besitzt, besitzt die Funktion $h$ in $t=0$ ebenfalls ein lokales Extremum. Nach Voraussetzung ist $h$ differenzierbar und nach Fakt ist $h'(0)=0$. Diese Ableitung stimmt aber mit der Richtungsableitung überein, also ist
    ${\left(D_{v}f\right)}{\left(P\right)}=h'(0)=0\,.$
(2) folgt aus (1) aufgrund von Fakt.
$\Box$
Ein lokales Extremum kann also nur in einem sogenannten kritischen Punkt einer Funktion auftreten.

## Definition

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, $G\subseteq V$ offen und
    $f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$
eine differenzierbare Funktion. Dann heißt $P\in G$ ein kritischer Punkt von $f$ (oder ein stationärer Punkt), wenn
    $\left(Df\right)_{P}=0\,$
ist. Andernfalls spricht man von einem regulären Punkt.
Bei einer differenzierbaren Funktion $f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ ist $P$ genau dann ein kritischer Punkt, wenn sämtliche partiellen Ableitungen von $f$ in $P$ gleich $0$ sind.
# Reine kubische reelle Gleichung/Nicht Normalitätseigenschaft/Aufgabe

Es sei $q\in \mathbb {Q}$ eine rationale Zahl, die in $\mathbb {Q}$ keine dritte Wurzel besitzt, sodass $\mathbb {Q} \subseteq L=\mathbb {Q} [X]/(X^{3}-q)$ eine Körpererweiterung vom Grad $3$ ist. Zeige anhand der verschiedenen äquivalenten Formulierungen von Fakt, dass diese Körpererweiterung nicht normal ist. Man gebe die verschiedenen Einbettungen von $L$ in ${\mathbb {C} }$ an.
# Reine kubische Gleichung/Z/Norm/Spur/Charakteristisches Polynom/Aufgabe/Lösung

Es sei $R=\mathbb {Z} [X]/(X^{3}-q)$ mit $q\in \mathbb {Z}$. Zu einem Element $a+bx+cx^{2}\in R$ (oder in $\mathbb {Q} [X]/(X^{3}-q)$) ist die Multiplikationsmatrix gleich
    ${\begin{pmatrix}a&cq&bq\\b&a&cq\\c&b&a\end{pmatrix}}.$
Das charakteristische Polynom ist
    ${\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,\det {\begin{pmatrix}T-a&-cq&-bq\\-b&T-a&-cq\\-c&-b&T-a\end{pmatrix}}\\&=(T-a)^{3}-(T-a)bcq+b(-cq(T-a)-b^{2}q)-c(c^{2}q^{2}+bq(T-a))\\&=(T-a)^{3}-(T-a)bcq-bcq(T-a)-b^{3}q-c^{3}q^{2}-bcq(T-a)\\&=T^{3}-3aT^{2}+(3a^{2}-3bcq)T-a^{3}+3abcq-b^{3}q-c^{3}q^{2}\,\end{aligned}}$
Insbesondere ist die Spur gleich $3a$ und die Norm
$a^{3}-3abcq+b^{3}q+c^{3}q^{2}$
# Optimale Passung/Kreis Quadrat Dreieck/Aufgabe

* Was ist die maximale Seitenlänge eines Quadrats, das in einen Kreis mit Radius $1$ reinpasst?
* Was ist die maximale Seitenlänge eines gleichseitigen Dreieckes, das in einen Kreis mit Radius $1$ reinpasst?
* Was ist die maximale Seitenlänge eines gleichseitigen Dreieckes, das in ein Quadrat mit Seitenlänge $1$ reinpasst?
# Optimale Flächenapproximation durch Treppenfunktionen/Parabel/2 Zwischenschritte/Aufgabe

Wir betrachten die Funktion
    $f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto t^{2}.$
Für welche $x,y\in0,1$, $x<y$, besitzt die zugehörige dreistufige (maximale) untere Treppenfunktion zu $f$ den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er?
# Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Verträglichkeit/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise für die Größergleichrelation auf den natürlichen Zahlen
* die Verträglichkeit mit der Addition,
* die Verträglichkeit mit der Multiplikation.
# Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Total/Fakt/Name

Der Satz über die Größergleichrelation auf den natürlichen Zahlen.
# Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Total/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass die Ordnungsrelation auf den natürlichen Zahlen eine totale Ordnung ist.
# Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Total/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir verwenden die Charakterisierung mit der Addition. Wegen $n=n+0$ ist $n\geq n$. Wenn $k\geq \ell$ und $\ell \geq m$ ist, so bedeutet dies, dass es natürliche Zahlen $a,b$ mit $k=\ell +a$ und $\ell =m+b$ gibt. Dann gilt insgesamt
    $k=\ell +a=(m+b)+a=m+(b+a)\,$
und somit ist auch $k\geq m$. Aus $k\geq \ell$ und $\ell \geq k$ ergibt sich $k=\ell +a$ und $\ell =k+b$ und somit $k=k+(a+b)$. Dies ist nach der Abziehregel nur bei $a+b=0$ möglich, und dies ist wiederum, da $0$ kein Nachfolger ist, nur bei $a=b=0$ möglich. Die Aussage $a\geq b$ oder $b\geq a$ beweisen wir durch Induktion über $a$ (für jedes feste $b$), wobei der Induktionsanfang wegen $b\geq 0$ klar ist. Die Aussage gelte also für ein bestimmtes $a$. Wenn die erste Möglichkeit gilt, also $a\geq b$, so gilt wegen
    $a+1>a\geq b\,$
erst recht $a+1\geq b$. Wenn die zweite Möglichkeit gilt, also $a\leq b$, so gibt es zwei Möglichkeiten. Bei $a=b$ ist $a+1\geq b$ und die Gesamtaussage gilt für $a+1$. Andernfalls ist $a<b$ und somit ist nach Fakt (3) $a+1\leq b$
# Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Total/Fakt/Name/Inhalt

Auf den natürlichen Zahlen ist durch die Größergleich-Relation $\geq$ eine totale Ordnung definiert.
# Prägarbe/Vergarbung/Universelle Eigenschaft/Aufgabe

Es sei ${\mathcal {F}}$ eine Prägarbe auf einem topologischen Raum $X$ und ${\widetilde {\mathcal {F}}}$ die Vergarbung zu ${\mathcal {F}}$. Zeige, dass es zu jedem Prägarben-Morphismus
    $\psi \colon {\mathcal {F}}\longrightarrow {\mathcal {G}}$
in eine Garbe ${\mathcal {G}}$ eine eindeutige Faktorisierung
    ${\tilde {\psi }}\colon {\widetilde {\mathcal {F}}}\longrightarrow {\mathcal {G}}$
gibt.
# Prägarben/Gruppen/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Eine Prägarbe ${\mathcal {F}}$ auf einem topologischen Raum $X$ heißt Prägarbe von Gruppen, wenn zu jeder offenen Menge $U\subseteq X$ die Menge ${\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ eine Gruppe und zu jeder Inklusion $U\subseteq V$ die Restriktionsabbildung
    $\rho _{V,U}\colon {\mathcal {F}}{\left(V\right)}\longrightarrow {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$
ein Gruppenhomomorphismus ist.

## Definition

Eine Prägarbe ${\mathcal {F}}$ auf einem topologischen Raum $X$ heißt Prägarbe von kommutativen Ringen, wenn zu jeder offenen Menge $U\subseteq X$ die Menge ${\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ ein kommutativer Ring und zu jeder Inklusion $U\subseteq V$ die Restriktionsabbildung
    $\rho _{V,U}\colon {\mathcal {F}}{\left(V\right)}\longrightarrow {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$
ein Ringhomomorphismus ist.

## Bemerkung

Eine Prägarbe ${\mathcal {F}}$ auf einem topologischen Raum $(X,{\mathcal {T}})$ kann man als einen kontravarianten Funktor
    ${\mathcal {F}}\colon {\mathcal {T}}\longrightarrow \operatorname {MEN}$
auffassen, wobei ${\mathcal {T}}$ im Sinne von Beispiel als Kategorie aufgefasst wird. Eine Prägarbe von kommutativen Gruppen ist entsprechend ein kontravarianter Funktor in die Kategorie der kommutativen Gruppen, eine Prägarbe von kommutativen Ringen ist ein kontravarianter Funktor in die Kategorie der kommutativen Ringe, u.s.w.
# Prägarben/Homomorphismen/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es seien ${\mathcal {F}}$ und ${\mathcal {G}}$ Prägarben auf einem topologischen Raum $X$. Ein Morphismus von Prägarben
    $\varphi \colon {\mathcal {F}}\longrightarrow {\mathcal {G}}$
ist eine Familie von Abbildungen
    $\varphi _{U}\colon {\mathcal {F}}(U)\longrightarrow {\mathcal {G}}(U)$
für jede offene Menge $U\subseteq X$ derart, dass zu jeder offenen Inklusion $U\subseteq V$ das Diagramm
    ${\begin{matrix}{\mathcal {F}}(U)&{\stackrel {\varphi _{U}}{\longrightarrow }}&{\mathcal {G}}(U)&\\\!\!\!\!\!\rho _{U,V}\downarrow &&\downarrow \rho _{U,V}\!\!\!\!\!&\\{\mathcal {F}}(V)&{\stackrel {\varphi _{V}}{\longrightarrow }}&{\mathcal {G}}(V)&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
kommutiert.

## Definition

Ein Morphismus von Prägarben $\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ auf $X$ heißt Isomorphismus, wenn für jede offene Teilmenge $U\subseteq X$ eine Bijektion ${\mathcal {F}}{\left(U\right)}\rightarrow {\mathcal {G}}{\left(U\right)}$ vorliegt.

## Lemma

Es sei $X$ ein topologischer Raum und seien ${\mathcal {F}},{\mathcal {G}},{\mathcal {H}}$ Prägarben auf $X$.
Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

$\Box$

## Lemma

Ein Morphismus von Prägarben
    $\varphi \colon {\mathcal {F}}\longrightarrow {\mathcal {G}}$
auf einem topologischen Raum $X$
definiert für jeden Punkt $P\in X$ eine Abbildung
zwischen den Halmen, die mit den Restriktionsabbildungen verträglich sind.
Das heißt, dass zu $P\in U$ die Diagramme
    ${\begin{matrix}{\mathcal {F}}(U)&{\stackrel {\varphi _{U}}{\longrightarrow }}&{\mathcal {G}}(U)&\\\!\!\!\!\!\rho _{U,P}\downarrow &&\downarrow \rho _{U,P}\!\!\!\!\!&\\{\mathcal {F}}_{P}&{\stackrel {\varphi _{P}}{\longrightarrow }}&{\mathcal {G}}_{P}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
kommutativ sind.

### Beweis

Es sei $s\in {\mathcal {F}}_{P}$. Das bedeutet, dass es eine offene Umgebung $U$, $P\in U\subseteq X$, und ein $s\in {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ mit $\rho _{U,P}(s)=s_{P}$ gibt. Wir setzen
    $\varphi _{P}(s):=\rho _{U,P}(\varphi _{U}(s))\,$
an und müssen zeigen, dass dies wohldefiniert, also unabhängig vom gewählten Repräsentanten $s$ (und $U$) ist. Sei $t\in {\mathcal {F}}{\left(V\right)}$ ein weiterer Repräsentant. Wegen $s_{P}=t_{P}$ gibt es eine offene Umgebung
    $P\in W\subseteq U\cap V\,$
mit $s{|}_{W}=t{|}_{W}$. Somit ist
    $\varphi _{U}(s){|}_{W}=\varphi _{W}{\left(s{|}_{W}\right)}=\varphi _{W}{\left(t{|}_{W}\right)}=\varphi _{V}(t){|}_{W}\,$
und somit ist erst recht
    $\rho _{U,P}(\varphi _{U}(s))=\rho _{V,P}(\varphi _{V}(t))\,.$
$\Box$
# Polynom/Q/Grad 3/Auflösbarkeit über Galoistheorie/Aufgabe

Es sei $P\in \mathbb {Q} [X]$ ein Polynom vom Grad $3$. Zeige mit Mitteln der Galoistheorie, dass $P$ auflösbar ist.
# Polynom/Q/Ganzwertig/Multiplizität/Fakt/Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.
# Polynom/Quadrat/1/Aufgabe

Berechne das Quadrat des Polynoms
    $1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}.$
# Polynom/Q/Grad 3/Cardano/Auflösbarkeit/Bezug/Aufgabe

Es sei $P\in \mathbb {Q} [X]$ ein Polynom vom Grad $3$. Setze die Körpererweiterungen von $\mathbb {Q}$, die sich aus der Cardanoschen Formel ergeben, mit den Körpererweiterungen in Beziehung, die sich aus der Galoistheorie über Fakt ergeben.
# Polynom/R/Bijektiv/Umkehrfunktion/Aufgabe

* Bestimme diejenigen reellen Polynomfunktionen, die bijektiv sind und für die die Umkehrfunktion ebenfalls polynomial ist.
* Man gebe ein Beispiel für eine bijektive reelle Polynomfunktion, für die die Umkehrfunktion kein Polynom ist.
* Zeige, dass durch das Polynom $X^{5}$ eine bijektive Abbildung gegeben ist. Ist die Umkehrabbildung polynomial?
    $\mathbb {Z} /(7)\longrightarrow \mathbb {Z} /(7),\,x\longmapsto x^{5},$
# Reelle Zahlen/Teilmenge/Funktion/Grenzwert/Rechenregeln/Fakt/Beweis

Dies ergibt sich direkt aus Fakt.
# Simplizialer Komplex/Facette/Definition

Eine Seite eines simplizialen Komplexes heißt Facette,
wenn sie maximal (bezüglicher der Inklusion) unter den Seiten von $\Delta$ ist.
# Reelle Zahlen/Transzendent/Überabzählbar/Aufgabe

Zeige, dass die Menge der reellen transzendenten Zahlen überabzählbar ist.
# Reelle Zahlen/Vervollständigung von Q/Addition und Multiplikation/Wohldefiniert/Aufgabe

Zeige, dass die in Beispiel definierte Addition und Multiplikation wohldefiniert sind.
# Reelle Zahlen/Vervollständigung von Q/Archimedisch angeordneter Körper/Aufgabe

Zeige, dass die in Beispiel konstruierte Menge $\mathbb {R}$ ein archimedisch angeordneter Körper ist.
# Reelle Zahlen/Topologie/Mit metrischer Topologie irreduzibel/Aufgabe

Betrachte die Menge der reellen Zahlen $\mathbb {R}$ mit der metrischen Topologie. Ist $\mathbb {R}$ irreduzibel?
# Schachfiguren/Planarer Graph/Aufgabe

Für welche der Schachfiguren Turm, Läufer, Dame, König ist der Spielzuggraph zu einem $8\times 8$-Feld planar?
# Schaubild/Netzwerk/Verbindungen/Aufgabe

Es soll ein Schaubild über ein Netzwerk angefertigt werden. In dem Netzwerk ist jeder Punkt (jede Person, jeder Gesichtspunkt) mit jedem anderen direkt verbunden (beispielsweise durch einen Pfeil mit zwei Spitzen). Wie viele Pfeile sind in Abhängigkeit von der Anzahl der Punkte zu zeichnen?
# Schachfiguren/Taille/Aufgabe

Bestimme die Taille der Erreichbarkeitsgraphen zu den Schachfiguren König, Dame, Läufer, Turm, Springer.
# Topologie/Grundbegriffe/Quotiententopologie/Fakt

Es sei $(X,\tau )$ ein topologischer Raum und $R\subseteq X\times X$ eine Äquivalenzrelation. Es sei weiter $(Z,\theta )$ ein topologischer Raum und $f\colon X/R\to Z$ eine Abbildung.
Die Abbildung $f\colon (X/R,\tau _{R})\to (Z,\theta )$ ist stetig bezüglich der Quotiententopologie genau dann, wenn die Komposition $f\circ q_{R}\colon (X,\tau )\to (Z,\theta )$ stetig ist.
# Topologie/Grundbegriffe/Stetigkeit für Abbildungen metrischer Räume/Fakt/Beweis

Es sei zunächst $f$ stetig und $U\subseteq Y$ offen in $(Y,e)$. Es ist zu zeigen, dass $f^{-1}(U)$ offen ist in $(X,d)$. Ist $f^{-1}(U)$ die leere Menge, die ja immer offen ist, ist nichts zu zeigen. Es sei also $f^{-1}(U)\neq \emptyset$ und $x\in f^{-1}(U)$, also $f(x)\in U$. Da $U$ offen ist, gibt es eine Umgebung $W\subseteq U$ von $f(x)$. Weil $f$ stetig ist in $x$, existiert eine Umgebung $V$ von $x$ mit
    $f(V)\subseteq W\,.$
Insbesondere ist $V\subseteq f^{-1}(W)\subseteq f^{-1}(U)$ eine Umgebung von $x$ in $f^{-1}(U)$. Somit ist $f^{-1}(U)$ offen in $(X,d)$.
Es sei nun das Urbild unter $f$ einer jeden offenen Menge wieder offen. Um die Stetigkeit von $f$ nachzuweisen, sei $x\in X,\,\epsilon >0$ und $U(f(x),\epsilon )\subseteq Y$ eine offene Kugel um $f(x)$. Dies ist eine in $(Y,e)$ offene Menge. Das Urbild $f^{-1}{\biglU(f(x),\epsilon ){\bigr )}$ ist also offen in $(X,d)$. Da ja $x\in f^{-1}{\biglU(f(x),\epsilon ){\bigr )}$, gibt es ein $\delta >0$ mit $U(x,\delta )\subseteq f^{-1}{\biglU(f(x),\epsilon ){\bigr )}$. Anders ausgedrückt: Es gilt
    $f{\biglU(x,\delta ){\bigr )}\subseteq U(f(x),\epsilon )\,$
was die Stetigkeit von $f$ in $x\in X$ liefert.
# Topologie/Grundbegriffe/Stetigkeit für Abbildungen topologischer Räume/Fakt

Es seien $f\colon (X,\tau )\to (Y,\omega )$ und $g\colon (Y,\omega )\to (Z,\theta )$ stetige Abbildungen topologischer Räume.
Dann ist die Komposition $g\circ f$ stetig.
Des weiteren ist die Identitätsabbildung $\mathrm {id} \colon (X,\tau )\to (X,\tau )$ stetig.
# Topologie/Grundbegriffe/Quotiententopologie/Definition

Es sei $(X,\tau )$ ein topologischer Raum und $R\subseteq X\times X$ eine Äquivalenzrelation auf $X$. Es sei weiter $q_{R}\colon X\to X/R$ die kanonische Projektion auf die Quotientenmenge. Folgende Vorschrift definiert eine Topologie $\tau _{R}$ auf $X/R$: Für eine Teilmenge $U\subseteq Y$ gilt $U\in \tau _{R}$ genau dann, wenn $q_{R}^{-1}(U)\in \tau$ gilt. Es läßt sich leicht nachweisen, dass $\tau _{R}$ eine Topologie ist. Sie heißt Quotiententopologie, und der topologische Raum $(X/R,\tau _{R})$ ist ein Quotientenraum von $(X,\tau )$.
# Topologie/Grundbegriffe/Stetigkeit für Abbildungen topologischer Räume/Fakt/Beweis

Es sei $U\in \theta$. Es ist zu zeigen, dass $(g\circ f)^{-1}(U)\in \tau$. Nun ist aber
    $(g\circ f)^{-1}(U)=f^{-1}{\biglg^{-1}(U){\bigr )}\,$
und $g^{-1}(U)\in \omega$, weil $g$ stetig ist. Also ist $f^{-1}{\biglg^{-1}(U){\bigr )}\in \tau$, weil $f$ stetig ist.
Da $\mathrm {id} ^{-1}(U)=U\,\forall \,U\subseteq X$ folgt die Aussage über die Identität.
# Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Beispiel

* Es sei $(X,d)$ ein metrischer Raum. Es sei die Familie der offenen Teilmengen. Dann ist $\tau _{d}$ eine Topologie auf $X$. Denn die leere Menge ist offen, und ebenso $X$. Der Schnitt von zwei offenen Mengen ist offen, denn das Minimum zweier positiver reeller Zahlen ist wieder eine. Die Vereinigung von beliebig vielen offenen Mengen ist auch wieder offen. Die Dreiecksungleichung geht hier nicht ein!
    $\tau _{d}={\bigl \lbrace }U\subseteq X\colon U{\text{ ist offen in }}(X,d){\bigr \rbrace }\,$
* Insbesondere ist der euklidische Raum $\mathbb {R} ^{n}$ ein topologischer Raum, wenn man die von der euklidischen Metrik induzierte Topologie nimmt.
* Es sei $X$ eine Menge, dann ist die Potenzmenge ${\mathcal {P}}(X)$ aller Teilmengen von $X$ eine Topologie auf $X$. Die Axiome sind offensichtlich erfüllt. Dies ist die diskrete Topologie auf $X$.
* Es sei $X$ eine Menge, dann ist die Familie $\{\emptyset ,X\}$ eine Topologie auf $X$. Die Axiome sind offensichtlich erfüllt. Dies ist die indiskrete Topologie auf $X$.
* Es sei $X=\{a,b\}$, dann ist die Familie ${\bigl \lbrace }\emptyset ,\{a\},\{a,b\}{\bigr \rbrace }$ eine Topologie auf $X$. Die Axiome sind wieder offensichtlich erfüllt. Dieser topologische Raum heißt Sierpinski-Raum.
* Es sei $X=\mathbb {R}$ und $\sigma$ die Familie der beschränkten Teilmengen von $\mathbb {R}$. Dann ist $\sigma$ keine Topologie, denn eine beliebige Vereinigung beschränkter Teilmengen ist nicht unbedingt beschränkt. Auch $X\notin \sigma$.
# Topologie/Grundbegriffe/Quotiententopologie/Fakt/Beweis

Eine Implikation folgt sofort, da die Komposition stetiger Abbildungen wieder stetig ist nach Fakt. Es sei also $f\circ q_{R}$ stetig. Es ist zu zeigen, dass $f$ stetig ist. Es sei also $U\in \theta$. Nach Definition der Quotiententopologie ist $f^{-1}(U)\in \tau _{R}$ genau dann, wenn $q_{R}^{-1}{\biglf^{-1}(U){\bigr )}\in \tau$. Letzteres gilt nach Voraussetzung.
# Topologie/Grundbegriffe/Stetigkeit für Abbildungen metrischer Räume/Fakt

Es seien $(X,d),(Y,e)$ metrische Räume und $f\colon X\to Y$ eine Abbildung.
Die Abbildung $f$ ist stetig genau dann, wenn für jede in $(Y,e)$ offene Menge $U$ das Urbild $f^{-1}(U)$ eine in $(X,d)$ offene Menge ist.
# Topologie/Grundbegriffe/Stetigkeit für Abbildungen topologischer Räume/Definition

Es seien $(X,\tau ),(Y,\omega )$ topologische Räume und $f\colon X\to Y$ eine Abbildung der unterliegenden Mengen. Die Abbildung $f$ ist stetig, wenn $f^{-1}(U)\in \tau$ für jedes $U\in \omega$ gilt.
# Topologie/Überlagerungen/Universelle Überlagerung/Fakt

Jeder zusammenhängende und semilokal einfach-zusammenhängende topologische Raum besitzt eine universelle Überlagerung.
# Topologie/Überlagerungen/Wege-Liftung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Zu jedem Punkt $x\in \gamma (I)$ gibt es eine offene Umgebung $x\in U_{x}$ derart, dass $p$ oberhalb von $U_{x}$ trivialisiert, d.h. $p^{-1}(U_{x})$ ist die disjunkte Vereinigung von zu $U_{x}$ über $p$ homöomorphen offenen Teilmengen von $E$. Aufgrund der Kompaktheit von $\gamma (I)$ gibt es somit endlich viele offene Mengen $U_{1},\ldots ,U_{n}$ mit dieser Eigenschaft und mit $\gamma (0)\in U_{1}$, mit $U_{i}\cap U_{i+1}\cap \gamma (I)\neq \emptyset$ für alle $i$ (da $\gamma (I)$ zusammenhängend ist) und mit $\gamma (1)\in U_{n}$. Es sei $x_{i}=\gamma (t_{i})\in U_{i}\cap U_{i+1}$ mit aufsteigenden Zeitpunkten $t_{i}$. Es sei $V_{1}$ diejenige zu $U_{1}$ homöomorphe Teilmenge von $E$, die $z$ enthält. Dann gibt es für den auf $[0,t_{1}]$ eingeschränkten Weg nur die Liftung $p{|}_{V_{i}}^{-1}\circ \gamma {|}_{[0,t_{1}]}$. Dieser Weg hat für $t_{1}$ einen eindeutigen Endpunkt in $E$, sagen wir
    $z_{1}={\tilde {\gamma }}(t_{1})\,.$
Dazu gehört wiederum eine eindeutige offene Menge $V_{2}\subseteq E$
$U_{2}$
${\tilde {\gamma }}$
$[t_{1},t_{2}]$
# Topologie/Überlagerungen/Wege-Liftung/Fakt/Name

Der Wegeliftungssatz.
# Topologie/Überlagerungen/Überlagerung/Beispiel

Nun folgt eine Liste von Überlagerungen.
* Die Exponentialabbildung $\exp \colon \mathbb {R} \to S^{1},\,x\mapsto e^{2\pi ix}$ ist eine Überlagerung. Als Elementar-Überdeckung funktioniert ${\bigl \lbrace }S^{1}\smallsetminus \{1\},S^{1}\smallsetminus \{-1\}{\bigr \rbrace }$. Es sei $F_{1}=\mathbb {Z} =F_{-1}$ (versehen mit der diskreten Topologie) und definiere Dann ist $\phi _{1}$ eine topologische Äquivalenz. Die Abbildung $\phi _{-1}\colon \exp ^{-1}(S^{1}\smallsetminus \{-1\})\to (S^{1}\smallsetminus \{-1\})\times \mathbb {Z}$ sieht so ähnlich aus.
    $\phi _{1}\colon \exp ^{-1}(S^{1}\smallsetminus \{1\})=\mathbb {R} \smallsetminus \mathbb {Z} \to (S^{1}\smallsetminus \{1\})\times \mathbb {Z} \ \ x\mapsto {\bigl\exp(x),\max\{a\in \mathbb {Z} \colon a<x\})\,.$
* Die kanonische Abbildung $p\colon S^{n}\to \mathbb {RP} ^{n}$ ist eine Überlagerung. Als Elementar-Überdeckung kann man die Standard-Überdeckung verwenden.
* Die Abbildung $z\mapsto z^{n}$ ist eine Überlagerung $S^{1}\to S^{1}$.
* Jede topologische Äquivalenz ist eine Überlagerung.
* Die Abbildung des leeren topologischen Raumes in irgendeinen topologischen Raum ist eine Überlagerung.
* Die Einschränkung der Exponentialabbildung auf $(-1,1)$ ist keine Überlagerung von $S^{1}$.
* Die Hopf-Abbildung $\eta \colon S^{3}\to \mathbb {CP} ^{1}$ ist keine Überlagerung.
# Topologie/Überlagerungen/Wege-Liftung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Wegeliftungssatz.