# Satz über implizite Abbildungen/R/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $K\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ der Kern des totalen Differentials $\left(D\varphi \right)_{a}$. Aufgrund der vorausgesetzten Surjektivität und der Dimensionsformel ist dies ein $(n-m)$-dimensionaler Untervektorraum von $\mathbb {R} ^{n}$. Durch einen Basiswechsel können wir annehmen, dass $K$ von den ersten $n-m$ Standardvektoren $e_{1},\ldots ,e_{n-m}$ erzeugt ist (Der Unterraum $\langle e_{n-m+1},\ldots ,e_{n}\rangle$ wird dann bijektiv auf $\mathbb {R} ^{m}$ abgebildet). Es sei
    $p\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n-m}=K,\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto (x_{1},\ldots ,x_{n-m})$
die lineare Projektion auf $K$ und es sei
    $p\times \varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{n-m}\times \mathbb {R} ^{m},\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto (x_{1},\ldots ,x_{n-m},\varphi _{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,\varphi _{m}(x_{1},\ldots ,x_{n})),$
die zusammengesetzte Abbildung. Diese ist selbst stetig differenzierbar und das totale Differential davon im Punkt $a=(a_{1},\ldots ,a_{n})$ ist bijektiv, sodass wir darauf den Satz über die Umkehrabbildung anwenden können. Es gibt also offene Umgebungen $a\in U_{1}$, $U_{1}\subseteq G$, und $(p(a),\varphi (a))\in U_{2}$, $U_{2}\subseteq \mathbb {R} ^{n-m}\times \mathbb {R} ^{m}$, derart, dass die eingeschränkte Abbildung
    $(p\times \varphi ){|}_{U_{1}}\colon U_{1}\longrightarrow U_{2}$
bijektiv ist mit stetig differenzierbarer Umkehrabbildung. Für die offene Menge $U_{2}$ gibt es offene Mengen
    $(a_{1},\ldots ,a_{n-m})\in V\subseteq \mathbb {R} ^{n-m}\,\,{\text{ und }}\,\,\varphi (a)=(b_{1},\ldots ,b_{m})\in V'\subseteq \mathbb {R} ^{m}$
mit
    $V\times V'\subseteq U_{2}\,.$
Wir können den Diffeomorphismus $(p\times \varphi ){|}_{U_{1}}$ auf das (offene) Urbild $W$ von $V\times V'$ einschränken. Wir betrachten das kommutative Diagramm
    ${\begin{matrix}G&{\stackrel{\longrightarrow }}&\mathbb {R} ^{n-m}\times \mathbb {R} ^{m}&\\&\searrow &\downarrow &\\&&\mathbb {R} ^{m}&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
bzw. die Einschränkung davon
    ${\begin{matrix}W&{\stackrel{\longrightarrow }}&V\times V'&\\&\searrow &\downarrow &\\&&V'&\!\!\!\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}$
Die Faser über $b=\varphi (a)$ ist $V\times \{(b_{1},\ldots ,b_{m})\}$. Diese Menge steht über die horizontale Abbildung $p\times \varphi$ in Bijektion mit der Faser von $\varphi$ über $b$, also mit $Z\cap W$. Wir betrachten nun die Abbildung
    $\psi \colon V\longrightarrow W,\,(x_{1},\ldots ,x_{n-m})\longmapsto (p\times \varphi )^{-1}(x_{1},\ldots ,x_{n-m},b_{1},\ldots ,b_{m}).$
Es ist
    ${\begin{aligned}\varphi (\psi (x_{1},\ldots ,x_{n-m}))&=\varphi ((p\times \varphi )^{-1}(x_{1},\ldots ,x_{n-m},b_{1},\ldots ,b_{m}))\\&=(b_{1},\ldots ,b_{m}),\end{aligned}}$
sodass das Bild von $\psi$ in der Tat in $Z\cap W$ landet. Die Injektivität von $\psi$ ist klar. Es sei nun $(x_{1},\ldots ,x_{n})\in Z\cap W$. Dann ist
    $\varphi (x_{1},\ldots ,x_{n})=(b_{1},\ldots ,b_{m})\,$
und daher ist
    $(p\times \varphi )(x_{1},\ldots ,x_{n})=(x_{1},\ldots ,x_{n-m},b_{1},\ldots ,b_{m})\,.$
Also ist
    $\psi (x_{1},\ldots ,x_{n-m})=(x_{1},\ldots ,x_{n})\,$
im Bild von $\psi$. Die Abbildung
    $\psi \colon V\longrightarrow W$
ist nach Konstruktion stetig differenzierbar und das totale Differential ist in jedem Punkt $Q\in V$ injektiv, da $\psi$ die Hintereinanderschaltung einer affin-linearen Injektion und eines Diffeomorphismus ist. Da $\psi (V)$ in der Faser von $\varphi$ über $b$ liegt, ist $\varphi \circ \psi =b$ konstant. Nach der Kettenregel ist
    $\left(D\varphi \right)_{\psi (Q)}\circ \left(D\psi \right)_{Q}=0\,.$