OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# MDLUL/nichtausgearteten (Hesse)

Start=nichtausgearteten (Hesse)
Siehe=nichtausgeartet (Hesse) MDLUL/nichtausgeartet (Hesse) Ziel=Differenzierbare Funktion/Koordinaten/Kritischer Punkt/Nichtausgeartet/Definition
# MDLUL/nichtausgearteter (Hesse)

Start=nichtausgearteter (Hesse)
Siehe=nichtausgeartet (Hesse) MDLUL/nichtausgeartet (Hesse) Ziel=Differenzierbare Funktion/Koordinaten/Kritischer Punkt/Nichtausgeartet/Definition
# MDLUL/nichtausgearteter (Hesse algebraisch)

Start=nichtausgearteter (Hesse algebraisch)
Siehe=nichtausgeartet (Hesse algebraisch) MDLUL/nichtausgeartet (Hesse algebraisch) Ziel=Polynom/K/Kritischer Punkt/Nichtausgeartet/Definition
# MDLUL/nichtausgeartetes (Dreieck)

Start=nichtausgeartetes (Dreieck)
Siehe=nichtausgeartet (Dreieck) MDLUL/nichtausgeartet (Dreieck) Ziel=Dreieck/Nichtausgeartet/Definition
# MDLUL/trigonometrischen Punkt

Start=trigonometrischen Punkt
Siehe=trigonometrischer Punkt MDLUL/trigonometrischer Punkt Ziel=Winkel/Trigonometrischer Punkt/Definition
# MDLUL/trigonometrischen Punktes

Start=trigonometrischen Punktes
Siehe=trigonometrischer Punkt MDLUL/trigonometrischer Punkt Ziel=Winkel/Trigonometrischer Punkt/Definition
# MDLUL/trivial (Vektorbündel)

Start=trivial (Vektorbündel)
Ziel=Kurs:Bündel,_Garben_und_Kohomologie_(Osnabrück_2019-2020)/Vorlesung_1
# MDLUL/trigonometrischer Punkt

Start=trigonometrischer Punkt
Ziel=Winkel/Trigonometrischer Punkt/Definition
# MDLUL/trivial (Operation)

Start=trivial (Operation)
Ziel=Gruppenoperation/Trivial/Beispiel
# MDLUL/trivial (Zusammenhang)

Start=trivial (Zusammenhang)
Siehe=trivialer Zusammenhang MDLUL/trivialer Zusammenhang Ziel=Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Trivialer Zusammmenhang/Beispiel
# MDLUL/trigonometrisches Polynom

Start=trigonometrisches Polynom
Ziel=Fourierreihen/Maßraum/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/trivial (Knoten)

Start=trivial (Knoten)
Ziel=Knoten/R^3/Trivial/Definition
# MDLUL/trivial (invertierbare Garbe)

Start=trivial (invertierbare Garbe)
Ziel=Beringter Raum/Invertierbare Garbe/Trivial/Definition
# MDLUL/trivial (Gruppe)

Start=trivial (Gruppe)
Ziel=Gruppentheorie/Triviale_Gruppe/Definition
# MDLUL/invertierbaren Matrizen

Start=invertierbaren Matrizen
Siehe=Invertierbare Matrix MDLUL/Invertierbare Matrix Ziel=Invertierbare Matrix/Körper/Definition
# MDLUL/irrationale Zahl

Start=irrationale Zahl
Siehe=Irrationale Zahl MDLUL/Irrationale Zahl Ziel=Reelle_Zahlen/Irrationale_Zahlen/Irrationale_Zahl/Definition
# MDLUL/irrationalen Zahl

Start=irrationalen Zahl
Siehe=Irrationale Zahl MDLUL/Irrationale Zahl Ziel=Reelle_Zahlen/Irrationale_Zahlen/Irrationale_Zahl/Definition
# MDLUL/invertierbarer (beringter Raum)

Start=invertierbarer (beringter Raum)
Siehe=invertierbar (beringter Raum) MDLUL/invertierbar (beringter Raum) Ziel=Beringter Raum/Invertierbare Garbe/Definition
# MDLUL/invertierbarer (Matrix)

Start=invertierbarer (Matrix)
Siehe=Invertierbar (Matrix) MDLUL/Invertierbar (Matrix) Ziel=Invertierbare Matrix/Körper/Definition
# MDLUL/invertierbares Element (Monoid)

Start=invertierbares Element (Monoid)
Ziel=Monoid/Invertierbar/Definition
# MDLUL/inzident (Graph)

Start=inzident (Graph)
Ziel=Ungerichtete Graphen/Einführung/Textabschnitt
# MDLUL/irrationale Zahlen

Start=irrationale Zahlen
Siehe=Irrationale Zahl MDLUL/Irrationale Zahl Ziel=Reelle_Zahlen/Irrationale_Zahlen/Irrationale_Zahl/Definition
# MDLUL/irrational

Start=irrational
Ziel=Reelle_Zahlen/Irrationale_Zahlen/Irrationale_Zahl/Definition
# MDLUL/irrational (Zahl)

Start=irrational (Zahl)
Siehe=Irrationale Zahl MDLUL/Irrationale Zahl Ziel=Reelle_Zahlen/Irrationale_Zahlen/Irrationale_Zahl/Definition
# MDLUL/Kosinus hyperbolicus

Start=Kosinus hyperbolicus
Ziel=Hyperbelfunktion/Komplex/Kosinus hyperbolicus/Definition
# MDLUL/Kosinusfunktion

Start=Kosinusfunktion
Siehe=Kosinus MDLUL/Kosinus Ziel=Kosinusreihe/R/Definition
# MDLUL/Kosinusfunktion (R)

Start=Kosinusfunktion (R)
Ziel=Reelle Kosinusfunktion/Potenzreihe/Definition
# MDLUL/Kotangens (C)

Start=Kotangens (C)
Ziel=Kotangens/Komplex/Definition
# MDLUL/Kosinusreihe (R)

Start=Kosinusreihe (R)
Ziel=Kosinusreihe/R/Definition
# MDLUL/Kosinus (R)

Start=Kosinus (R)
Ziel=Kosinusreihe/R/Definition
# MDLUL/Kosinus hyperbolicus (R)

Start=Kosinus hyperbolicus (R)
Ziel=Hyperbelfunktion/R/Kosinus hyperbolicus/Definition
# MDLUL/Kosinusfunktion (C)

Start=Kosinusfunktion (C)
Ziel=Kosinusreihe/C/Definition
# MDLUL/Kosinus (Kreis)

Start=Kosinus (Kreis)
Ziel=Winkel/Trigonometrischer Punkt/Kosinus/Definition
# MDLUL/Kosinusreihe (C)

Start=Kosinusreihe (C)
Ziel=Kosinusreihe/C/Definition
# MDLUL/reelle Einbettungen (Zahlkörper)

Start=reelle Einbettungen (Zahlkörper)
Siehe=reelle Einbettung (Zahlkörper) MDLUL/reelle Einbettung (Zahlkörper) Ziel=Zahlbereich/Einbettungen/Gitterstruktur/Textabschnitt
# MDLUL/reelle Folge

Start=reelle Folge
Ziel=Reelle Zahlen/Folge/Definition
# MDLUL/reelle Einbettung (Zahlkörper)

Start=reelle Einbettung (Zahlkörper)
Ziel=Zahlbereich/Einbettungen/Gitterstruktur/Textabschnitt
# MDLUL/reelle Ganzheitsmatrix

Start=reelle Ganzheitsmatrix
Ziel=Zahlbereich/Ganzheitsbasis/Reelle Einbettungen/Reelle Ganzheitsmatrix/Definition
# MDLUL/reelle Exponentialfunktion (Basis)

Start=reelle Exponentialfunktion (Basis)
Ziel=Exponentialfunktion/Basis b/x auf b^x/Definition
# MDLUL/reelle Folgen

Start=reelle Folgen
Siehe=reelle Folge MDLUL/reelle Folge Ziel=Reelle Zahlen/Folge/Definition
# MDLUL/reelle Gesamteinbettung (Zahlkörper)

Start=reelle Gesamteinbettung (Zahlkörper)
Ziel=Zahlbereich/Einbettungen/Gitterstruktur/Textabschnitt
# MDLUL/reelle Exponentialfunktion

Start=reelle Exponentialfunktion
Ziel=Reelle Exponentialfunktion/Potenzreihe/Definition
# MDLUL/reelle Gesamteinbettung (Zahlbereich)

Start=reelle Gesamteinbettung (Zahlbereich)
Ziel=Zahlbereich/Einbettungen/Gitterstruktur/Textabschnitt
# MDLUL/reelle Einheitsintervall

Start=reelle Einheitsintervall
Siehe=reelles Einheitsintervall MDLUL/reelles Einheitsintervall Ziel=Reelle Zahlen/Verschiedene Intervalle/Definition
# MDLUL/noetherscher (Topologie)

Start=noetherscher (Topologie)
Siehe=noethersch (Topologie) MDLUL/noethersch (Topologie) Ziel=Topologischer Raum/Noethersch/Offene Mengen/Definition
# MDLUL/noetherscher Ring

Start=noetherscher Ring
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Noetherscher Ring/Ideal/Definition
# MDLUL/noetherscher

Start=noetherscher
Siehe=noethersch MDLUL/noethersch Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Noetherscher_Ring/Ideal/Definition
# MDLUL/noetherscher Modul

Start=noetherscher Modul
Ziel=Modultheorie_(kommutative_Algebra)/Noetherscher_Modul/Definition
# MDLUL/noetherscher topologischer Raum

Start=noetherscher topologischer Raum
Ziel=Topologischer Raum/Noethersch/Offene Mengen/Definition
# MDLUL/noethersches Schema

Start=noethersches Schema
Ziel=Schema/Noethersch/Definition
# MDLUL/normal (Bereich)

Start=normal (Bereich)
Ziel=Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Normal (ganz-abgeschlossen)/Definition
# MDLUL/noetherscher (Ring)

Start=noetherscher (Ring)
Siehe=noethersch (Ring) MDLUL/noethersch (Ring) Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Noetherscher_Ring/Ideal/Definition
# MDLUL/noethersches (Schema)

Start=noethersches (Schema)
Siehe=noethersch (Schema) MDLUL/noethersch (Schema) Ziel=Schema/Noethersch/Definition
# MDLUL/normal (Endomorphismus)

Start=normal (Endomorphismus)
Ziel=Vektorraum/K/Endlichdimensional/Normaler Endomorphismus/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbares

Start=stetig differenzierbares
Siehe=stetig differenzierbar MDLUL/stetig differenzierbar Ziel=Richtungsableitung/K/n mal stetig differenzierbar/Jede Reihenfolge/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbares (R^n)

Start=stetig differenzierbares (R^n)
Siehe=stetig differenzierbar (R^n) MDLUL/stetig differenzierbar (R^n) Ziel=Richtungsableitung/R/n_mal_stetig_differenzierbar/Jede_Reihenfolge/Definition
# MDLUL/stetig in (mr)

Start=stetig in (mr)
Siehe=stetig (mr) MDLUL/stetig (mr) Ziel=Metrische Räume/Abbildung/Stetigkeit in einem Punkt/Definition
# MDLUL/stetig partiell differenzierbar (R)

Start=stetig partiell differenzierbar (R)
Ziel=Differenzierbarkeit/R/Partiell_differenzierbare_Abbildung/Definition
# MDLUL/stetig fortsetzen

Start=stetig fortsetzen
Ziel=Metrische Räume/Stetige Abbildung/Stetige Fortsetzung/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbares Vektorfeld

Start=stetig differenzierbares Vektorfeld
Ziel=Richtungsableitung/R/n_mal_stetig_differenzierbar/Jede_Reihenfolge/Definition
# MDLUL/stetige

Start=stetige
Ziel=Topologie/Stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen/Definition
# MDLUL/stetige (K)

Start=stetige (K)
Siehe=stetig (K) MDLUL/stetig (K) Ziel=Stetigkeit in einem Punkt/K/Allgemein/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbares (Mgfk)

Start=stetig differenzierbares (Mgfk)
Siehe=stetig differenzierbar (Mgfk) MDLUL/stetig differenzierbar (Mgfk) Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbares (n)

Start=stetig differenzierbares (n)
Siehe=stetig differenzierbar (n) MDLUL/stetig differenzierbar (n) Ziel=Richtungsableitung/K/n_mal_stetig_differenzierbar/Jede_Reihenfolge/Definition
# MDLUL/Levi-Civita-Zusammenhangs

Start=Levi-Civita-Zusammenhangs
Siehe=Levi-Civita-Zusammenhang MDLUL/Levi-Civita-Zusammenhang Ziel=Riemannsche Mannigfaltigkeit/Levi-Civita-Zusammenhang/Über Christoffelsymbole/Definition
# MDLUL/Lie-Algebra

Start=Lie-Algebra
Ziel=Vektorraum/Lie-Algebra/Definition
# MDLUL/Lie-Klammer (Vektorfelder)

Start=Lie-Klammer (Vektorfelder)
Ziel=Mannigfaltigkeit/Vektorfelder/Lie-Klammer/Definition
# MDLUL/Liftung

Start=Liftung
Ziel=Stetige Abbildung/Liftung eines Weges/Definition
# MDLUL/Liftung (Weg)

Start=Liftung (Weg)
Ziel=Stetige Abbildung/Liftung eines Weges/Definition
# MDLUL/Lie-Gruppe (R)

Start=Lie-Gruppe (R)
Ziel=Lie-Gruppe/Reell/Definition
# MDLUL/Lie-Gruppen (R)

Start=Lie-Gruppen (R)
Siehe=Lie-Gruppe (R) MDLUL/Lie-Gruppe (R) Ziel=Lie-Gruppe/Reell/Definition
# MDLUL/Lie-Klammer

Start=Lie-Klammer
Ziel=Mannigfaltigkeit/Vektorfelder/Lie-Klammer/Definition
# MDLUL/Lie-Klammer (Vektorfeld)

Start=Lie-Klammer (Vektorfeld)
Ziel=Mannigfaltigkeit/Vektorfelder/Lie-Klammer/Definition
# MDLUL/Liftung des Weges

Start=Liftung des Weges
Ziel=Stetige Abbildung/Liftung eines Weges/Definition
# MDLUL/transponiert (Matrix)

Start=transponiert (Matrix)
Ziel=Matrix/K/Transponierte/Definition
# MDLUL/transponierten Matrix

Start=transponierten Matrix
Siehe=transponierte Matrix MDLUL/transponierte Matrix Ziel=Matrix/K/Transponierte/Definition
# MDLUL/transversal

Start=transversal
Ziel=Ebene_algebraische_Kurven/Schnittmultiplizität/Transversaler_Schnitt/Definition
# MDLUL/translationsinvariant (R^n)

Start=translationsinvariant (R^n)
Ziel=R^n/Translationsinvariantes Maß/Definition
# MDLUL/translationsinvariantes Maß (R^n)

Start=translationsinvariantes Maß (R^n)
Ziel=R^n/Translationsinvariantes Maß/Definition
# MDLUL/transponierte (Matrix)

Start=transponierte (Matrix)
Siehe=transponiert (Matrix) MDLUL/transponiert (Matrix) Ziel=Matrix/K/Transponierte/Definition
# MDLUL/translationsinvariante (R^n)

Start=translationsinvariante (R^n)
Siehe=translationsinvariant (R^n) MDLUL/translationsinvariant (R^n) Ziel=R^n/Translationsinvariantes Maß/Definition
# MDLUL/translationsinvariantes Maß

Start=translationsinvariantes Maß
Ziel=Reeller endlichdimensionaler Vektorraum/Translationsinvariantes Maß/Definition
# MDLUL/translationsinvariante

Start=translationsinvariante
Ziel=R^n/Translationsinvariantes Maß/Definition
# MDLUL/transponierte Matrix

Start=transponierte Matrix
Ziel=Matrix/K/Transponierte/Definition
# MDLUL/Spielzuggraph

Start=Spielzuggraph
Ziel=Punkte/Sprung/Direkte Erreichbarkeit/Graph/Beispiel
# MDLUL/Spielzuggraphen

Start=Spielzuggraphen
Siehe=Spielzuggraph MDLUL/Spielzuggraph Ziel=Punkte/Sprung/Direkte Erreichbarkeit/Graph/Beispiel
# MDLUL/Sphären

Start=Sphären
Siehe=Sphäre MDLUL/Sphäre Ziel=Topologie/Topologische Räume/Sphäre/Definition
# MDLUL/Spur (Algebra)

Start=Spur (Algebra)
Ziel=Endliche freie Algebra/Element/Spur/Definition
# MDLUL/Sphäre (1)

Start=Sphäre (1)
Ziel=Topologie/Topologische Räume/Sphäre/Definition
# MDLUL/Sprache erster Stufe

Start=Sprache erster Stufe
Ziel=Alphabet_erster_Stufe/Symbole_für_Relationen_und_Funktionen/Grunddaten/Definition
# MDLUL/Spur

Start=Spur
Ziel=Quadratische_Matrix/Spur/Definition
# MDLUL/Sphäre

Start=Sphäre
Ziel=Topologie/Topologische Räume/Sphäre/Definition
# MDLUL/Sphäre (2)

Start=Sphäre (2)
Ziel=Topologie/Topologische Räume/Sphäre/Definition
# MDLUL/Sprache der Aussagenlogik

Start=Sprache der Aussagenlogik
Ziel=Aussagenlogik/Variablenmenge/Junktoren/Definition
# Mustafa Müller/8/Geburtstagsfeier/Aufgabe

Mustafa Müller wird $8$ Jahre alt und darf deshalb zu seiner Geburtstagsfeier aus seiner Klasse, in der es insgesamt $25$ Schüler und Schülerinnen gibt, $8$ Leute einladen. Wie viele Möglichkeiten gibt es?
# Muttermilch/Gewichtszunahme/Aufgabe

Frau Maier-Sengupta ist für ein halbes Jahr in Elternzeit. Ihr Sohn Siddhartha kam mit einem Gewicht von drei Kilogramm auf die Welt und wurde in den sechs Monaten ausschließlich von Muttermilch ernährt. Nach den sechs Monaten wiegt er zehn Kilogramm. Jeden Tag hat das Kind $150$ Milliliter Milch getrunken. Wie viel Milch hat Siddhartha in den sechs Monaten getrunken und wie viel Prozent davon ging in die Gewichtszunahme? (Rechne mit Monat = $30$ Tage und setze das Milchgewicht gleich dem Gewicht von Wasser an).
# Munros Versionen

Viele ihrer Erzählungen hat Alice Munro in mehr als einer Fassung veröffentlicht. Auch in den Erzählungen selbst kommt Variantenbildung vor und Munro verwendet verschiedene Möglichkeiten der Darstellung oder der Andeutung einer Alternative. Ob Fassung oder Variante, in beiden Fällen wird eine andere als die bisher bekannte Version gebildet, indem eine Abwandlung dessen, was schon vorkam, erneut Thema wird – oder Munro ein Werk in einer anderen Fassung veröffentlicht. Ich arbeite mit Version als dem übergeordneten Begriff, auch, um darin Aspekte aus dem Programmieren mitklingen zu lassen.
Bei Variantenbildung spielen chronologische Aspekte eine Rolle. Ein Effekt wie das Innehalten beim Lesen mit "kam das nicht schon mal vor?" zeigt eventuell an, dass die betreffende Textstelle eine Variante von etwas ist, was im Leseprozess schon einmal Aufmerksamkeit erlangt hatte. Die Chronologie des Lesens kann dabei unkonventionell selbstgewählt sein, sie sind für das Erkennen einer möglichen Variante aber auch dann relevant, wenn eine Erzählung konventionell von vorn nach hinten gelesen wird.

## Jakarta (1998)

Von Jakarta wurde bislang nur eine Version veröffentlicht, und zwar in Munros Band The Love of a Good Woman (1998), mit einem Umfang von 38 Seiten.

## Cortes Island (1998)

Von Cortes Island wurde bislang nur eine Version veröffentlicht, und zwar in Munros Band The Love of a Good Woman (1998), mit einem Umfang von 30 Seiten.

## Post and Beam (2000/2001)

Von Post and Beam erschien eine Version in der Ausgabe vom 11. Dezember 2000 der Zeitschrift The New Yorker und eine weitere in Munros Band Hateship, Friendship, Courtship, Loveship, Marriage (2001). Während der Umfang der Seitenzahl nach etwa derselbe ist (ca. 31 Seiten), besteht die Zeitschriftenversion aus 15 Abschnitten, die Buchversion hingegen aus 18 Abschnitten.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/40/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Cauchykriterium für Reihen.
* Der Satz von Rolle.
* Der Satz über Basiswechsel bei einem Endomorphismus.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/40/Aufgabe/Lösung

* Es sei eine Reihe von reellen Zahlen. Dann ist die Reihe genau dann konvergent, wenn das folgende Cauchy-Kriterium erfüllt ist: Zu jedem $\epsilon >0$ gibt es ein $n_{0}$ derart, dass für alle die Abschätzung gilt.
    $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$
    $n\geq m\geq n_{0}\,$
    $\vert {\sum _{k=m}^{n}a_{k}}\vert \leq \epsilon \,$
* Sei $a<b$ und sei eine stetige, auf $]a,b[$ differenzierbare Funktion mit $f(a)=f(b)$. Dann gibt es ein $c\ina,b$ mit
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
    $f'(c)=0\,.$
* Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei eine lineare Abbildung. Es seien ${\mathfrak {u}}$ und ${\mathfrak {v}}$ Basen von $V$. Dann besteht zwischen den Matrizen, die die lineare Abbildung bezüglich ${\mathfrak {u}}$ bzw. ${\mathfrak {v}}$ (beidseitig) beschreiben, die Beziehung
    $\varphi \colon V\longrightarrow V$
    $M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {u}}(\varphi )=M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}\circ M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )\circ (M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}})^{-1}.$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/43/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über wachsende, nach oben beschränkte Folgen in $\mathbb {R}$.
* Die Rechenregeln für stetige Funktionen
    $f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} .$
* Der Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/44/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Das Leibnizkriterium für alternierende Reihen.
* Die Kreisgleichung für die trigonometrischen Funktionen.
* Der Charakterisierungssatz für eine Basis $v_{1},\ldots ,v_{n}$ in einem $K$-Vektorraum $V$.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/4/Aufgabe/Lösung

* Es sei $I=[a,b]\subseteq \mathbb {R}$ ein abgeschlossenes beschränktes Intervall und sei eine stetige Funktion. Dann gibt es ein $x\in [a,b]$ mit
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
    $f(x)\geq f(x'){\text{ für alle }}x'\in [a,b].$
* Die trigonometrischen Funktionen und erfüllen für $x\in \mathbb {R}$ die Kreisgleichung
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \cos x,$
    $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin x,$
    $(\cos x)^{2}+(\sin x)^{2}=1\,.$
* Es sei $K$ ein Körper und sei $M=(a_{ij})_{ij}$ eine $n\times n$-Matrix über $K$. Zu $i,j\in {\{1,\ldots ,n\}}$ sei $M_{ij}$ diejenige Matrix, die entsteht, wenn man in $M$ die $i$-te Zeile und die $j$-te Spalte weglässt. Dann ist (bei $n\geq 2$ für jedes feste $i$ bzw. $j$)
    $\det M=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det M_{ij}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det M_{ij}\,.$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/41/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über beschränkte Teilmengen von $\mathbb {R}$.
* Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
* Der Satz über den Zusammenhang zwischen der Verknüpfung linearer Abbildungen und der Matrizenmultiplikation (genaue Formulierung mit Basen).
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/41/Aufgabe/Lösung

* Jede nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge der reellen Zahlen besitzt ein Supremum in $\mathbb {R}$.
* Es sei $a<b$ und sei eine stetige, auf $]a,b[$ differenzierbare Funktion. Dann gibt es ein $c\ina,b$ mit
    $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$
    $f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\,.$
* Bei der Korrespondenz zwischen linearen Abbildungen und Matrizen entsprechen sich die Hintereinanderschaltung von linearen Abbildungen und die Matrizenmultiplikation. Damit ist folgendes gemeint: es seien $U,V,W$ Vektorräume über einem Körper $K$ mit Basen Es seien lineare Abbildungen. Dann gilt für die beschreibenden Matrizen von $\psi ,\,\varphi$ und der Hintereinanderschaltung $\varphi \circ \psi$ die Beziehung
    ${\mathfrak {u}}=u_{1},\ldots ,u_{p},\,{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}{\text{ und }}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}.$
    $\psi :U\longrightarrow V{\text{ und }}\varphi :V\longrightarrow W$
    $M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {u}}(\varphi \circ \psi )=(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi ))\circ (M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}(\psi )).$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/42/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze.
* Der Satz über Nullstellen und lineare Faktoren eines Polynoms $F\in K[X]$.
* Der Satz über die Ableitung in einem Extremum.
* Der Satz über den Rang von einer Matrix und einer linearen Abbildung.
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/42/Aufgabe/Lösung

* Ein Element $a\in K$ ist genau dann eine Nullstelle von $F$, wenn $F$ ein Vielfaches des linearen Polynoms $X-a$ ist.
* Es sei eine Funktion, die in $c\ina,b$ ein lokales Extremum besitze und dort differenzierbar sei. Dann ist $f'(c)=0$.
    $f\colona,b\longrightarrow \mathbb {R}$
* Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$ der Dimension $n$ bzw. $m$. Es sei eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix $M\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ beschrieben werde. Dann gilt
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
    $\operatorname {rang} \,\varphi =\operatorname {rang} \,M\,.$
# Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/43/Aufgabe/Lösung

* Eine nach oben beschränkte, wachsende Folge in $\mathbb {R}$ konvergiert.
* Unter der vorausgesetzten Stetigkeit sind auch die Funktionen stetig. Für eine Teilmenge $U\subseteq \mathbb {R}$, auf der $g$ keine Nullstelle besitzt, ist auch die Funktion stetig.
    $f+g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)+g(x),$
    $f-g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)-g(x),$
    $f\cdot g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)\cdot g(x),$
    $f/g\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)/g(x),$
* Es seien $D,E\subseteq \mathbb {R}$ Intervalle und sei eine bijektive stetige Funktion mit der Umkehrfunktion. Es sei $f$ in $a\in D$ differenzierbar mit $f'(a)\neq 0$. Dann ist auch die Umkehrfunktion $f^{-1}$ in $b:=f(a)$ differenzierbar mit
    $f\colon D\longrightarrow E\subseteq \mathbb {R}$
    $f^{-1}\colon E\longrightarrow D.$
    $(f^{-1})'(b)={\frac {1}{f'(f^{-1}(b))}}={\frac {1}{f'(a)}}\,.$
# MDLUL/Stetigkeit (mr)

Start=Stetigkeit (mr)
Ziel=Metrische Räume/Abbildung/Stetigkeit in einem Punkt/Definition
# MDLUL/Stirlingsche Zahl zweiter Art

Start=Stirlingsche Zahl zweiter Art
Ziel=Stirling-Zahl/2. Art/Partition/Definition
# MDLUL/Stetigkeit (R)

Start=Stetigkeit (R)
Ziel=Reelle Funktion/Stetigkeit in einem Punkt/Allgemein/Definition
# MDLUL/Stirlingzahl zweiter Art

Start=Stirlingzahl zweiter Art
Ziel=Stirling-Zahl/2. Art/Partition/Definition
# MDLUL/Stirling-Zahlen zweiter Art

Start=Stirling-Zahlen zweiter Art
Siehe=Stirling-Zahl zweiter Art MDLUL/Stirling-Zahl zweiter Art Ziel=Stirling-Zahl/2. Art/Partition/Definition
# MDLUL/Stirlingzahlen zweiter Art

Start=Stirlingzahlen zweiter Art
Siehe=Stirlingzahl zweiter Art MDLUL/Stirlingzahl zweiter Art Ziel=Stirling-Zahl/2. Art/Partition/Definition
# MDLUL/Stirling-Zahl zweiter Art

Start=Stirling-Zahl zweiter Art
Ziel=Stirling-Zahl/2. Art/Partition/Definition
# MDLUL/Stetigkeit (tr)

Start=Stetigkeit (tr)
Ziel=Topologie/Stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen/Definition
# MDLUL/Streckung

Start=Streckung
Ziel=Endomorphismus/Streckung/Definition
# MDLUL/Stetigkeit (K)

Start=Stetigkeit (K)
Siehe=stetig (K) MDLUL/stetig (K) Ziel=Stetigkeit in einem Punkt/K/Allgemein/Definition
# Quadratische Gleichung/R/Lösungsformel/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Die Lösung in (2) ist ein Spezialfall von (3), in dem die beiden Lösungen zusammenfallen. Wir zeigen explizit, dass in der Tat Lösungen vorliegen. Es ist
    ${\begin{aligned}a{\left({\frac {\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}-b}{2a}}\right)}^{2}+b{\left({\frac {\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}-b}{2a}}\right)}+c&=a{\frac {b^{2}-4ac+\mp 2b{\sqrt {b^{2}-4ac}}+b^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {\pm b{\sqrt {b^{2}-4ac}}-b^{2}}{2a}}+c\\&={\frac {b^{2}-4ac+\mp 2b{\sqrt {b^{2}-4ac}}+b^{2}\pm 2b{\sqrt {b^{2}-4ac}}-2b^{2}+4ac}{4a}}\\&=0.\,\end{aligned}}$
Da eine quadratische Gleichung nur maximal zwei Lösungen besitzt, sind wir im dritten Fall fertig.
Im Allgemeinen schreiben wir
    ${\begin{aligned}aX^{2}+bX+c&=a{\left(X^{2}+{\frac {b}{a}}X+{\frac {c}{a}}\right)}\\&=a{\left({\left(X+{\frac {b}{2a}}\right)}^{2}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {c}{a}}\right)}\\&=a{\left({\left(X+{\frac {b}{2a}}\right)}^{2}-{\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\right)}.\end{aligned}}$
Der rechte Term ist bei
    $b^{2}-4ac<0\,$
stets positiv und so hat das Polynom in diesem Fall keine Nullstelle, bei
    $b^{2}-4ac=0\,$
# Quadratische Gleichung/R/Lösungsformel/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise die Lösungsformel für quadratische Gleichungen.
# Quadratische Gleichung/R/Lösungsformel/Fakt/Name

Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen (Mitternachtsformel).