OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# MDLUL/Monoidringen

Start=Monoidringen
Siehe=Monoidring MDLUL/Monoidring Ziel=Kommutative_Ringtheorie/Monoidringe/Definition
# MDLUL/Monoids

Start=Monoids
Siehe=Monoid MDLUL/Monoid Ziel=Verknüpfungen/Monoid/Definition
# MDLUL/Monomiale Kurve

Start=Monomiale Kurve
Ziel=Affine Kurven/Monomiale Kurve/Definition
# MDLUL/Monomorphismus (Kategorie)

Start=Monomorphismus (Kategorie)
Ziel=Monomorphismus/Kategorie/Kürzungseigenschaft/Definition
# MDLUL/Monom

Start=Monom
Ziel=Monom/Definition
# MDLUL/Monome

Start=Monome
Siehe=Monom MDLUL/Monom Ziel=Monom/Definition
# Mengentheorie/Gleichmächtigkeit/Definition/Begriff/Inhalt

Die Mengen $L$ und $M$ heißen gleichmächtig, wenn es eine bijektive Abbildung
    $f\colon L\longrightarrow M$
gibt.
# Mengentheorie/Gleichmächtigkeit/Definition

Zwei Mengen $L$ und $M$ heißen gleichmächtig, wenn es eine bijektive Abbildung
    $\varphi \colon L\longrightarrow M$
# MDLUL/stetig differenzierbare Funktion (R)

Start=stetig differenzierbare Funktion (R)
Ziel=Stetig differenzierbar/R/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbare Funktion (R^n)

Start=stetig differenzierbare Funktion (R^n)
Ziel=Richtungsableitung/R/n mal stetig differenzierbar/Jede Reihenfolge/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbare Funktionen

Start=stetig differenzierbare Funktionen
Ziel=Stetig differenzierbar/K/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbare Funktion (n)

Start=stetig differenzierbare Funktion (n)
Ziel=Richtungsableitung/R/n mal stetig differenzierbar/Jede Reihenfolge/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbare Funktionen (1 K)

Start=stetig differenzierbare Funktionen (1 K)
Siehe=stetig differenzierbare Funktion (1 K) MDLUL/stetig differenzierbare Funktion (1 K) Ziel=Stetig differenzierbar/K/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbare Funktionen (K)

Start=stetig differenzierbare Funktionen (K)
Siehe=stetig differenzierbare Funktion (K) MDLUL/stetig differenzierbare Funktion (K) Ziel=Stetig differenzierbar/K/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbare Funktion (R n höher)

Start=stetig differenzierbare Funktion (R n höher)
Ziel=Richtungsableitung/R/n mal stetig differenzierbar/Jede Reihenfolge/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbare Funktion (Rand)

Start=stetig differenzierbare Funktion (Rand)
Ziel=Halbräume/Stetig differenzierbare Abbildung/Über Ausdehnung/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbare Funktion (R n)

Start=stetig differenzierbare Funktion (R n)
Ziel=Richtungsableitung/R/n mal stetig differenzierbar/Jede Reihenfolge/Definition
# MDLUL/stetig differenzierbare Funktion (mehr)

Start=stetig differenzierbare Funktion (mehr)
Ziel=Richtungsableitung/K/n_mal_stetig_differenzierbar/Jede_Reihenfolge/Definition
# MDLUL/offenen (Intervall)

Start=offenen (Intervall)
Siehe=Offenes Intervall MDLUL/Offenes Intervall Ziel=Angeordneter Körper/Offenes Intervall/Definition
# MDLUL/offene Umgebungen

Start=offene Umgebungen
Ziel=Metrischer Raum/Offene Menge/Epsilon/Definition
# MDLUL/offene affine Umgebung

Start=offene affine Umgebung
Siehe=affines Schema MDLUL/affines Schema Ziel=Affines Schema/Spektrum/Strukturgarbe/Definition
# MDLUL/offene Überdeckungen

Start=offene Überdeckungen
Siehe=offene Überdeckung MDLUL/offene Überdeckung Ziel=Topologischer Raum/Offene Überdeckung/Definition
# MDLUL/offene Umgebung (mr)

Start=offene Umgebung (mr)
Ziel=Metrischer Raum/Offene Menge/Epsilon/Definition
# MDLUL/offenen (mr)

Start=offenen (mr)
Siehe=Offen (mr) MDLUL/Offen (mr) Ziel=Metrischer Raum/Offene Menge/Epsilon/Definition
# MDLUL/offenen (Teil)Intervall (ang)

Start=offenen (Teil)Intervall (ang)
Siehe=offenes Intervall MDLUL/offenes Intervall Ziel=Angeordneter Körper/Offenes Intervall/Definition
# MDLUL/offene Umgebung

Start=offene Umgebung
Ziel=Topologie/Offene Umgebung/Definition
# MDLUL/offene Untermannigfaltigkeit

Start=offene Untermannigfaltigkeit
Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Offene Untermannigfaltigkeit/Definition
# MDLUL/offene Überdeckung

Start=offene Überdeckung
Ziel=Topologischer Raum/Offene Überdeckung/Definition
# Permutationsgruppe/Nicht prim/Transitive Untergruppe mit Transposition/Aufgabe

Es sei $n\geq 2$ keine Primzahl. Zeige, dass es eine echte Untergruppe $H\subset S_{n}$ gibt, die transitiv ist und die mindestens eine Transposition enthält.
# Permutationsgruppe/Gruppe umfasst Teilmengenpermutationen/Vereinigung/Fakt/Bei disjunkt/Aufgabe

Zeige, dass in Fakt die Voraussetzung, dass die beiden Teilmengen $T_{1},T_{2}$ nicht disjunkt sind, wesentlich ist.
# Residuum/Sinus/Invers/Aufgabe

Bestimme das Residuum im Nullpunkt von
* $\sin \left({\frac {1}{z}}\right)$,
* ${\frac {1}{\sin z}}$.
# Residuum/Punktierte Kreisscheibe/Einfache Eigenschaften/Fakt/Beweis

Dies ist in allen Fällen aus den Laurent-Reihen der Funktionen ablesbar, (4) ergibt sich aus Fakt.
# Residuum/Punktierte Kreisscheibe/Holomorph/Definition/Begriff

Das Residuum zu einer holomorphen Funktion auf einer punktierten Kreisscheibe.
# Residuum/Punktierte Kreisscheibe/Integralbeschreibung/Fakt/Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.
# Rationale Funktion/K/Stetig/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt und Fakt.
# Rationale Funktion/Laurent-Reihe/Verschiedene Kreisringe/1/Aufgabe

Bestimme die Laurent-Reihen für die maximal möglichen Kreisringe mit Mittelpunkt $0$ für die rationale Funktion ${\frac {1}{1-z}}$.
# Rationale Funktion/Laurent-Reihe/Verschiedene Kreisringe/2/Aufgabe

Bestimme die Laurent-Reihen für die maximal möglichen Kreisringe mit Mittelpunkt $0$ für die rationale Funktion ${\frac {1}{1-z^{2}}}$.
# Rationale Funktion/K/Linearform/Potenz/Differenzierbar/Fakt/Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.
# Rationale Zahl/Charakterisierung mit periodischer Dezimalentwicklung/Fakt/Name

Der Satz über rationale Zahlen und periodische Ziffernentwicklung.
# Rationale Zahl/Gekürzte Darstellung/Definition/Begriff

Die gekürzte Darstellung einer rationalen Zahl.
# Rationale Zahl/Gemischter Bruch/Definition/Begriff

Ein gemischter Bruch.
# Rationale Zahl/Charakterisierung mit periodischer Dezimalentwicklung/Fakt/Name/Inhalt

Eine reelle Zahl ist genau dann eine rationale Zahl, wenn sie eine periodische Ziffernentwicklung (im Dezimalsystem) besitzt.
# Rationale Zahl/Gekürzte Darstellung/Definition

Ein Bruch $a/b$ heißt gekürzt,
wenn $a$ und $b$ teilerfremd sind.
# Rationale Zahl/Gekürzte Darstellung/Definition/Begriff/Inhalt

Ein Bruch $a/b$ heißt gekürzt, wenn $a$ und $b$ teilerfremd sind.
# Reeller endlichdimensionaler Vektorraum/Orientierungsgleiche Basen/Definition/Begriff/Inhalt

Zwei Basen $v_{1},\ldots ,v_{n}$ und $w_{1},\ldots ,w_{n}$ heißen orientierungsgleich, wenn die Determinante ihrer Übergangsmatrix positiv ist.
# Reelles Einheitsintervalle/Unendlich viele irrationale Zahlen/Aufgabe

Zeige, dass das reelle Einheitsintervall $[0,1]$ unendlich viele irrationale Zahlen enthält.
# Reelles Geradenbündel/Trivial/Nullschnitt/Komplement/Nicht zusammenhängend/Aufgabe

Zeige, dass das Komplement des Nullschnittes in einem trivialen Geradenbündel nicht zusammenhängend ist.
# Reelles Geradenbündel/Trivial/Nullstellenfreier Schnitt/Aufgabe

Zeige, dass ein reelles Geradenbündel $L\rightarrow X$ über einem topologischen Raum $X$ genau dann trivial ist, wenn es einen stetigen nullstellenfreien Schnitt besitzt.
# Reelle Exponentialfunktion/Ableitung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise den Satz über die Ableitung der Exponentialfunktion.
# Reelle Exponentialfunktion/Ableitung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Aufgrund von Fakt ist
    ${\begin{aligned}\exp \!'(x)&={\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\right)}'\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\left({\frac {x^{n}}{n!}}\right)}'\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{n!}}x^{n-1}\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n-1)!}}x^{n-1}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\\&=\exp x.\end{aligned}}$
# Reelle Exponentialfunktion/Basis/Ableitung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Nach Definition ist
    $a^{x}=\exp \left(x\,\ln a\right)\,.$
Die Ableitung nach $x$ ist aufgrund von Fakt unter Verwendung der Kettenregel gleich
    ${\left(a^{x}\right)}'={\left(\exp \left(x\,\ln a\right)\right)}'={\left(\ln a\right)}\exp '(x\,\ln a)={\left(\ln a\right)}\exp \left(x\,\ln a\right)={\left(\ln a\right)}a^{x}\,.$
# Reelle Exponentialfunktion/Ableitung/Fakt/Beweis

Aufgrund von Fakt ist
    ${\begin{aligned}\exp \!'(x)&={\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\right)}'\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\left({\frac {x^{n}}{n!}}\right)}'\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{n!}}x^{n-1}\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n-1)!}}x^{n-1}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\\&=\exp x.\end{aligned}}$
# Reelle Exponentialfunktion/Ableitung/Fakt/Name

Die Ableitung der reellen Exponentialfunktion.
# Reelle Reihen/Cauchyprodukt/Definition

Zu zwei Reihen $\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}$ und $\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}$ reeller Zahlen heißt die Reihe
    $\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}{\text{ mit }}c_{k}:=\sum _{i=0}^{k}a_{i}b_{k-i}$
das Cauchy-Produkt der beiden Reihen.
# Reelle Reihen/Cauchyprodukt/Definition/Begriff/Inhalt

Das Cauchy-Produkt der beiden Reihen $\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}$ und $\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}$ ist die Reihe
    $\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}{\text{ mit }}c_{k}:=\sum _{i=0}^{k}a_{i}b_{k-i}.$
# Reelle Reihen/Cauchyprodukt/Absolute Konvergenz/Fakt/Beweis

Wir müssen für die Partialsummen
    $x_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i},\,y_{n}=\sum _{j=0}^{n}b_{j}{\text{ und }}z_{n}=\sum _{k=0}^{n}c_{k}$
zeigen, dass $z_{n}$ gegen den Limes der Folge ${\left(x_{n}y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert. Es ist
    ${\begin{aligned}\vert {z_{n}-x_{n}y_{n}}\vert &=\vert {\sum _{k=0}^{n}c_{k}-{\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}\right)}{\left(\sum _{j=0}^{n}b_{j}\right)}}\vert \\&=\vert {\sum _{0\leq i,j\leq n,\,i+j>n}a_{i}b_{j}}\vert \\&\leq \sum _{0\leq i,j\leq n,\,i+j>n}\vert {a_{i}}\vert \vert {b_{j}}\vert \\&\leq {\left(\sum _{n/2<i\leq n}\vert {a_{i}}\vert \right)}{\left(\sum _{j=0}^{n}\vert {b_{j}}\vert \right)}+{\left(\sum _{n/2<j\leq n}\vert {b_{j}}\vert \right)}{\left(\sum _{i=0}^{n}\vert {a_{i}}\vert \right)}\\&\leq {\left(\sum _{n/2<i\leq n}\vert {a_{i}}\vert \right)}{\left(\sum _{j=0}^{\infty }\vert {b_{j}}\vert \right)}+{\left(\sum _{n/2<j\leq n}\vert {b_{j}}\vert \right)}{\left(\sum _{i=0}^{\infty }\vert {a_{i}}\vert \right)}.\end{aligned}}$
Da die beiden Reihen absolut konvergieren, und $\sum _{n/2<i\leq n}\vert {a_{i}}\vert$ und $\sum _{n/2<j\leq n}\vert {b_{j}}\vert$ nach Aufgabe Nullfolgen sind, ist die rechte Seite insgesamt eine Nullfolge. Daher konvergiert die Folge ${\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ nach Aufgabe gegen das Produkt der Grenzwerte der beiden Reihen. Die absolute Konvergenz folgt aus dem bisher Bewiesenen mit dem Majorantenkriterium aus der Abschätzung $\vert {c_{k}}\vert \leq \sum _{i=0}^{k}\vert {a_{i}}\vert \vert {b_{k-i}}\vert$.
# Reelle Reihen/Cauchyprodukt/Absolute Konvergenz/Fakt/Name

Der Satz über die Konvergenz des Cauchy-Produktes.
# Reelle Reihen/Cauchyprodukt/Definition/Begriff

Das Cauchy-Produkt zu zwei Reihen $\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}$ und $\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}$ reeller Zahlen.
# Rekursives Dreieck/Geometrisches Mittel/256/Aufgabe

Wir betrachten eine Rekursionsvorschrift, die zu einen Zahlendreieck (analog zum Pascalschen Dreieck) führt. In der ersten Zeile steht zentral die $256$, links und rechts davon stehen unendlich viele $1$ (die nicht aufgeführt werden müssen). Die jeweils nächste Zeile entsteht, indem man von zwei benachbarten Zahlen der Vorgängerzeile das geometrische Mittel nimmt und das Ergebnis darunter in der neuen Zeile platziert.
* Bestimme die ersten Zeilen dieses Zahlendreiecks, bis sämtliche Einträge kleiner als $6$ sind.
* Welche Eigenschaft gilt in jeder Zeile? Warum?
# Rekursionsvorschrift/Wörter/Linksseitig doppelt/Aufgabe

Es sei $S=\{A,B,C\}$. Betrachte die rekursiv definierte Teilmenge $T\subseteq S^{*}$, die wie folgt festgelegt wird.
* Jedes Element aus $S$ gehört zu $T$.
* Wenn $X,Y\in T$ sind, so gehört auch $XXY$ zu $T$.
Bestimme, welche der folgenden Wörter zu $T$ gehören.
    $A,\,ABABC,\,AABBB,\,AABAABA,\,AAAA,\,AABABAAB,\,AAAAAABBB.$
Zeige die folgenden Aussagen.
* Jedes Element aus $T$ besitzt eine ungerade Wortlänge.
* Jede ungerade Zahl kommt als Wortlänge eines Elements aus $T$ vor.
* Es gibt Elemente in $T$, die auf mehrfache Weise generiert werden können.
* Jedes Wort $t\in T\setminus S$ beginnt mit zwei gleichen Buchstaben.
# Rekursiver Aufbau/Schachtel/Verschachtelung/Aufgabe

Eine Geschenkfabrik verfügt über leere, offene Schachteln (unterschiedlicher Größe) und über Maschinen, die die beiden folgenden Abläufe durchführen können.
* Eine offene Schachtel schließen.
* Eine geschlossene Schachtel in eine größere offene Schachtel (in der schon andere Schachteln liegen dürfen) hineinlegen.
Ein Produkt der Fabrik ist das Ergebnis aus diesen (beliebig verschachtelten) Abläufen.
* Definiere (induktiv) die Schachtelanzahl eines Produkts der Fabrik.
* Definiere die Verschachtelungstiefe eines Produkts der Fabrik.
* Definiere die Arbeitsschrittanzahl eines Produkts der Fabrik.
* Bestimme die Schachtelanzahl, die Verschachtelungstiefe und die Arbeitsschrittanzahl des gezeigten Produkts (die Schachteln seien geschlossen).
* Zeige, dass jedes Produkt der Fabrik nur maximal eine offene Schachtel enthält.
* Welche Gleichheitsbegriffe sind für die Produkte der Firma sinnvoll? Welche Produkte lassen sich auf unterschiedliche Arten generieren? Sind die unter (1), (2), (3) definierten Begriffe wohldefiniert, also unabhängig vom Generierungsprozess?
# Material

* Biochem. Praktikum f. Fortgeschrittene
* Klonieren für Ungeduldige
* Molarität für Dummies
* Liste aller Wikiversity Kurse
* Liste aller Wikiversity Projekte
* Molekular Biologische Methoden
* Biochemische Methoden
* Methoden Sf9-Zellkultur
* Material
* Suche
* Fachbereiche
* Bibliothek
* Cafeteria
* Kategorien
* Projektinkubator
* Systematik
* Bildrechte
* Namenskonventionen
* Sprachen
* Presse
* Statistik
* Werbung
* Datenschutz
* Lizenzbestimmungen
* Impressum
* Was Wikiversity nicht ist
* Schnelleinstieg
* Beteiligen
* FAQ (Häufige Fragen)
* Fragen
* Bearbeitungshilfe
* Glossar
* Amido-Schwarz
* Ampicillin-Stock
* Chloramphenicol-Stock
* Destainlösung
* DNA-Probenpuffer
* PBS-Puffer
* Peptidfärbelösung
* Ponceau-Rot
* TBE-Puffer
* TE-Puffer
* TNES-Puffer
# Matheaufgaben mit OpenSource
## Einleitung

Diese Seite kann als Wiki2Reveal Folien angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus.

## Zielsetzung

Diese Lernressource in der Wikiversity hat das Ziel, die individuelle Erzeugung von Mathematikaufgaben für Lernende zu behandeln, die die Aufgaben an die Lernvoraussetzungen der Lernenden anpasst.

## Zielgruppe

Die Zielgruppe der Lernressource ist Studierende des Lehramts, die sich mit adaptiven Verfahren für die Individualisierung von Lernumgebungen auseinandersetzen möchten.

## Aufgaben für Studierende

* Betrachten Sie das Konzept der Intelligenten Tutoriellen Systeme (ITS). Betrachten Sie eine konkrete Lerngruppe (kann auch an der Universität) und versuchen Sie die drei Bereiche eines ITS mit Informationen über die Lerngruppe zu füllen.
* Welche Rolle für Sie spielt Maschinelles Lernen, um eine individuelle Anpassung an Lernumgebungen vornehmen zu können?
* Welche Verfahren spielen Clusteranalysen, Entscheidungsbäume oder assoziative Modellbildung von identifizierten Lernschwierigkeiten und Hilfen, die die Lernenden bei der Überwindung von Lernschwierigkeiten unterstützen sollen?
* Welche Rolle spielt eine Zufallsauswahl aus einem Pool von strukturgleichen Aufgaben (z.B. Ableitung von Polynomen 3. Grades, wobei Koeffizient zufällig gewählt wurden) für die Unterstützung von Lernenden?
* Wie können Lernschwierigkeiten durch ein Datenerhebung in einer Lerngruppe erhoben werden und wie können diese Daten für die Anpassung an die Lernvoraussetzung der Lernenden verwendet werden?
* Daten von Schüler:innen sind sehr sensible Daten, die ggf. standardmäßig den Klassenraum, die Schule und die Bildungseinrichtung nicht verlassen sollten? Welche Möglichkeiten bietet OpenSource, Transparenz und Nachvollziehbarkeit für digitale Lernumgebungen herzustellen?
# N/Distributivgesetz/Rechnung/1/Aufgabe

Berechne
    $(2+4+3)\cdot (4+5+1+2)$
mit und ohne Distributivgesetz.
# N/Endliche Teilmenge/Entscheidbar/Aufgabe

Zeige, dass jede endliche Teilmenge $T\subseteq \mathbb {N}$ der natürlichen Zahlen entscheidbar ist.
# N/Entscheidbare Teilmengen/Abzählbar/Aufgabe

Zeige, dass es nur abzählbar viele entscheidbare Teilmengen von $\mathbb {N}$ gibt.
# N/Multiplikation/Äquivalenzrelation/Aufgabe

Beschreibe typische Äquivalenzklassen zur Äquivalenzrelation $\sim$ auf $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$, die durch die Multiplikationsabbildung
    $\cdot \colon \mathbb {N} \times \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,(x,y)\longmapsto x\cdot y,$
im Sinne von Fakt gegeben ist. Wie sieht die Äquivalenzklasse zu $(6,20)$ aus? Markiere in $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$ mit unterschiedlichen Farben unterschiedliche Äquivalenzklassen. Gibt es Äquivalenzklassen, die nur aus einem Element bestehen? Gibt es Äquivalenzklassen, die aus unendlich vielen Elementen bestehen? Welche Äquivalenzklassen bestehen aus zwei Elementen?
# N/Ordnung/Diagnose/Hintergrund/Aufgabe

In die Klasse kommt ein neues Kind. Es stellt sich heraus, dass es auf die Frage, ob $13$ oder ob $17$ größer ist, keine Antwort weiß. Die Lehrkraft möchte genauer wissen, was das Kind über die Ordnung weiß oder nicht weiß, um es besser fördern zu können. Betrachte die folgenden möglichen Nachfragen der Lehrkraft.
* „Weißt du, ob $44$ oder ob $49$ größer ist?“
* „Weißt du, ob $13$ oder ob $14$ größer ist?“
* „Weißt du, ob $3$ oder ob $7$ größer ist?“
* „Weißt du, ob $1$ oder ob $10$ größer ist?“
* (nachdem die Lehrkraft zwei Mengen mit unterschiedlich vielen Plättchen hingelegt hat) „Welche der beiden Mengen ist größer?“
An welchem mathematischen Sachverhalt orientiert sich vermutlich die Lehrkraft bei den einzelnen Nachfragen?
# N/Diskrete Metrik/Abgeschlossen und beschränkt/Nicht kompakt//Aufgabe

Wir betrachten die natürlichen Zahlen $\mathbb {N}$ und versehen sie mit der diskreten Metrik. Zeige, dass $\mathbb {N}$ abgeschlossen und beschränkt, aber nicht überdeckungskompakt ist.
# N/Irreduzibel ist prim/Aufgabe

Zeige, dass für $\mathbb {N}$ die Konzepte Primelement und irreduzibel zusammenfallen.
# N/Rest bei Division durch 7/Gleiche Äquivalenzrelation/Aufgabe

Zeige, dass die folgenden Äquivalenzrelationen auf der Menge der natürlichen Zahlen $\mathbb {N}$ übereinstimmen.
* Die Einerziffer in der Zifferndarstellung zur Basis $7$ von $a$ und $b$ ist gleich.
* Die Differenz $a-b$ ist ein Vielfaches der $7$.
* $a$ und $b$ haben bei der Division durch $7$ den gleichen Rest.
# Nähe/Mathematik/Aufgabe

„Nähe zwischen Zahlen“- Wie kann man das mathematisch präzisieren?
# Einstieg ins Thema/ Hinführung

Hier könnte die HInführung stehen für OE1. Es wären Grundüberlegungen zu nennen, und z.B. ein Passendes Video mit Bernd, oder ein Kachelthema.

# Beispiel

Einführung in die Systemische OE: Hierzu die Slides und ein Vortrag von Bernd Schmid, siehe hier
Und eine Schrift zum Thema: Die Theatermetapher,
Wichitg: Das PDF was hier automatisch gedownloaded wird liegt nicht im Wiki, sondern auf der ISB Seite. Damit bleibt es im gewohnten Kontext. Auch eine Ablage in unserem Dokumentenmanagmentsystem (Alfresco) sollte möglich sein.
Für die Volltextsuche Frieder Ittner
# Nummerierung/Zusammenfügung/1/Aufgabe

Nach dem Mittagessen wollen Frau Maier-Sengupta und Herr Referendar Lutz mit den Kindern $A,B,C,G,H,L,M,R,T$ eine Bootsfahrt machen, wozu jedes Kind eine Nummer zwischen $1$ und $9$ braucht. Frau Maier-Sengupta ist vor dem Mittagessen mit einem Teil der Kinder auf dem Spielplatz und verteilt dabei schon mal die Nummern
Beim Abräumdienst nach dem Mittagessen legt Herr Lutz (ohne Rücksprache) folgende Nummern fest
Lucy (L) wollte zwar sagen, dass sie schon eine Nummer hat, doch das wurde von Gabi (G) verhindert. Am Boot entscheidet dann Frau Maier-Sengupta, dass die Spielplatzkinder ihre Spielplatznummern behalten und dass die übrigen Kinder die hinteren Nummern $7-9$ in der von Herrn Lutz vergebenen Reihenfolge bekommen.
* Erstelle eine Wertetabelle für die Bootsnummerierung.
* Definiere die Bootsnummerierung als Abbildung $\vartheta$ durch eine geeignete Fallunterscheidung.
# Potenzausdruck/Bestandteile/Aufgabe/Lösung

${\left({\frac {3}{2}}\right)}^{\pi }$
${\frac {3}{2}}$
$\pi$
# Potenzausdruck/Bestandteile/Aufgabe

Bestimme den Exponenten, die Potenz und die Basis im Ausdruck
    ${\left({\frac {3}{2}}\right)}^{\pi }.$
# Potenz rational/Basis und Exponent irrational/Wurzel 2/Aufgabe

Zeige mit Hilfe der Potenzgesetze und der irrationalen Zahl ${\sqrt {2}}$, dass es irrationale positive Zahlen $x,y$ gibt mit der Eigenschaft, dass $x^{y}$ rational ist.
# Potenzen, Wurzeln/Goldener Schnitt/Aufgabe

Eine Strecke wird in zwei Teile zerlegt, wobei sich der kleinere Abschnitt zum größerem Abschnitt so verhält wie der größere Abschnitt zur ganzen Strecke. Dieses Teilungsverhältnis nennt man den Goldenen Schnitt. Berechnen sie das Verhältnis.
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/10 mod p/Charakterisiere mod 40/Aufgabe

Bestimme die Menge $M$ der Reste modulo $40$ mit der Eigenschaft, dass für jede ungerade Primzahl $p$ gilt: $10$ ist ein Quadratrest modulo $p$ genau dann, wenn $p\mod 40$ zu $M$ gehört.
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/1117 mod 1861/Aufgabe/Lösung/Einzelgründe

Wir berechnen Schritt für Schritt das Legendre-Symbol.
| = | $\left({\frac {1861}{1117}}\right)$ |
| = | $\left({\frac {744}{1117}}\right)$ |
| = | $\left({\frac {2^{3}}{1117}}\right)$ $\left({\frac {3}{1117}}\right)$ $\left({\frac {31}{1117}}\right)$ |
| = | $(-1)\left({\frac {1117}{3}}\right)\left({\frac {1117}{31}}\right)$ |
| = | $(-1)\left({\frac {1}{3}}\right)\left({\frac {1}{31}}\right)$ |
| = | $-1$ . |
Also ist $1117$ kein Quadratrest modulo $1861$.
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/1003 mod 4459/Aufgabe

Berechne das folgende Jacobi-Symbol mittels des quadratischen Reziprozitätsgesetzes, ohne dabei die Primfaktorzerlegung zu verwenden:
    $\left({\frac {1003}{4459}}\right).$
# Quadratisches Reziprozitätsgesetz/1117 mod 1861/Aufgabe

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol
    $\left({\frac {1117}{1861}}\right)$
und bestimme, ob $1117$ ein Quadratrest modulo $1861$ ist oder nicht ($1861$ ist eine Primzahl).
# Rationale Funktion/R/Stetig/Fakt/Beweis

Dies folgt aus Fakt und Fakt.
# Rationale Funktion/R oder C/Stetig/Fakt

Es seien $P,Q\in {\mathbb {K} }[X]$ zwei Polynome und es sei $U={\left\{x\in {\mathbb {K} }\mid Q(x)\neq 0\right\}}$.
Dann ist die rationale Funktion
stetig.
# Rationale Funktion/R/Bestimme Ableitung/x^2+x-1 durch x^3-x+2/Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion
    $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)={\frac {x^{2}+x-1}{x^{3}-x+2}},$
wobei $D$ die Menge sei, auf der das Nennerpolynom nicht verschwindet.
# Rationale Funktion/R/Limes/Aufgabenform

Bestimme den Grenzwert der rationalen Funktion
    ${\frac {f}{g}}$
im Punkt $a$.
# Rationale Funktion/R/Ableitung/Rational/Aufgabe

Zeige, dass die Ableitung einer rationalen Funktion wieder eine rationale Funktion ist.
# Rationale Funktion/R/Bestimme Ableitung/x^2+1 durch x^3/Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)={\frac {x^{2}+1}{x^{3}}}.$
# Rationale Funktion/R nach R/Nicht abgeschlossen/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine rationale Funktion
    $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,$
die nicht abgeschlossen ist.
# Numerische Halbgruppen/Teilerfremde Erzeuger/Ab n alles/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wegen der Teilerfremdheit gibt es natürlich eine Darstellung
    $m=b_{1}e_{1}+\cdots +b_{n}e_{n}\,$
mit ganzzahligen Koeffizienten $b_{i}$. Wir werden sie schrittweise auf die gewünschte Gestalt bringen. Wir schreiben $b_{1}=c_{1}e_{2}+a_{1}$ mit $0\leq a_{1}<e_{2}$ (Division mit Rest). Dies setzt man in die Gleichung für $m$ ein und schlägt den Term $c_{1}e_{2}e_{1}$ zu $b_{2}e_{2}$ dazu. Ebenso bringt man den (neuen) zweiten Koeffizienten auf die gewünschte Form, in dem man ihn mit dem dritten Erzeuger verarbeitet. So kann man alle ersten $n-1$ Koeffizienten auf die gewünschte Gestalt bringen.
$n-1$
$m$