OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Wurzelfunktion/Polynomiale Interpolation/Schnittpunkte/Aufgabe/Lösung

* $x$ $0$ $1$ $4$ $9$ ${\sqrt {x}}$ $0$ $1$ $2$ $3$
* Wie wenden Fakt an. Für das gesuchte Polynom $p$ soll $p(0)=0$, $p(1)=1$ und $p(4)=2$ gelten. Da drei Interpolationspunkte vorgegeben sind, gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom vom Grad $\leq 2$, das durch diese drei Punkte verläuft. Wir machen den Ansatz wobei wegen der ersten Bedingung sofort $c=0$ folgt. Die beiden anderen Bedingungen führen auf und Daraus ergibt sich und somit und Das gesuchte Polynom ist also
    $p(x)=ax^{2}+bx+c\,,$
    $a+b=1\,$
    $16a+4b=2\,.$
    $12a=-2\,$
    $a=-{\frac {1}{6}}\,$
    $b={\frac {7}{6}}\,.$
    $p(x)=-{\frac {1}{6}}x^{2}+{\frac {7}{6}}x=-{\frac {1}{6}}x(x-7)\,.$
* Wir vergleichen nun ${\sqrt {x}}$ und $p(x)$. Für $x\geq 7$ ist wir vergleichen daher nur noch die Werte auf $[0,7]$, wo beide Funktionen nichtnegativ sind. In diesem Bereich können wir die Quadrate der beiden Funktionen vergleichen, also $x$ und Es geht also darum, wo die Differenzfunktion auf $[0,7]$ Nullstellen besitzt und wo sie positiv oder negativ ist. Bei $x=0$ liegt eine Nullstelle vor, wir klammern daher $x$ aus, was das Vorzeichenverhalten nicht ändert, und erhalten als anderen Faktor bzw. Nach Konstruktion von $p$ wissen wir, dass bei $x=1$ und bei $x=4$ weitere Nullstellen vorliegen, dies führt zur Faktorisierung Somit stimmen ${\sqrt {x}}$ und $p(x)$ genau an den Stellen $x=0,1,4$ überein und auf $[0,1]$ gilt auf $[1,4]$ gilt und auf $[4,+\infty ]$ gilt
    $p(x)\leq 0\leq {\sqrt {x}}\,,$
    ${\left(-{\frac {1}{6}}x^{2}+{\frac {7}{6}}x\right)}^{2}={\frac {1}{36}}x^{4}-{\frac {7}{18}}x^{3}+{\frac {49}{36}}x^{2}\,.$
    ${\frac {1}{36}}x^{4}-{\frac {7}{18}}x^{3}+{\frac {49}{36}}x^{2}-x$
    ${\frac {1}{36}}x^{3}-{\frac {7}{18}}x^{2}+{\frac {49}{36}}x-1$
    $x^{3}-14x^{2}+49x-36.$
    $x^{3}-14x^{2}+49x-36=(x-1)(x-4)(x-9)\,.$
    ${\sqrt {x}}\geq p(x)\,,$
    ${\sqrt {x}}\leq p(x)\,$
    ${\sqrt {x}}\geq p(x)\,.$
# Q mod Z/Direkt/Verknüpfung/Aufgabe

Wir betrachten die Menge
    $M={\left\{q\in \mathbb {Q} \mid 0\leq q<1\right\}}\,$
Zeige, dass auf $M$ durch
    $a\oplus b:={\begin{cases}a+b,{\text{ falls }}a+b<1\,,\\a+b-1{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,$
eine wohldefinierte Verknüpfung gegeben ist.
# Wurzeln/Linearkombination/Rechnung/2/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\begin{aligned}{\left({\frac {2}{5}}-{\frac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{2}}+{\frac {1}{5}}{\left({\sqrt[{3}]{2}}\right)}^{2}\right)}\cdot {\left(-{\frac {2}{5}}+7{\sqrt[{3}]{2}}+{\frac {1}{4}}{\left({\sqrt[{3}]{2}}\right)}^{2}\right)}&={\left({\frac {2}{5}}-{\frac {1}{6}}\cdot 2^{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}\cdot 2^{\frac {2}{3}}\right)}\cdot {\left(-{\frac {2}{5}}+7\cdot 2^{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\cdot 2^{\frac {2}{3}}\right)}\\&=-{\frac {4}{25}}+{\left({\frac {14}{5}}+{\frac {1}{15}}\right)}\cdot 2^{\frac {1}{3}}+{\left({\frac {1}{10}}-{\frac {7}{6}}-{\frac {2}{25}}\right)}\cdot 2^{\frac {2}{3}}+{\left(-{\frac {1}{24}}+{\frac {7}{5}}\right)}\cdot 2+{\frac {1}{20}}\cdot 2^{\frac {4}{3}}\\&=-{\frac {4}{25}}-{\frac {1}{12}}+{\frac {14}{5}}+{\left({\frac {14}{5}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{10}}\right)}\cdot 2^{\frac {1}{3}}+{\left({\frac {1}{10}}-{\frac {7}{6}}-{\frac {2}{25}}\right)}\cdot 2^{\frac {2}{3}}\\&={\frac {-48-25+840}{300}}+{\frac {84+2+3}{30}}\cdot 2^{\frac {1}{3}}+{\frac {15-175-12}{150}}\cdot 2^{\frac {2}{3}}\\&={\frac {767}{300}}+{\frac {89}{30}}\cdot 2^{\frac {1}{3}}-{\frac {86}{75}}\cdot 2^{\frac {2}{3}}.\,\end{aligned}}$
# Q mod Z/Direkt/Verknüpfung/Gruppe/Aufgabe

Zeige, dass die Menge
    $M={\left\{q\in \mathbb {Q} \mid 0\leq q<1\right\}}\,$
mit der in Aufgabe definierten Verknüpfung eine kommutative Gruppe ist.
# Wärmeleitungsgleichung/Standardlösung mit Sinus/Aufgabe/Lösung

Es ist
    ${\frac {\partial }{\partial t}}{\left(\sin \left(\lambda x\right)e^{-\lambda ^{2}t}\right)}=-\lambda ^{2}\sin \left(\lambda x\right)e^{-\lambda ^{2}t}\,$
und
    ${\frac {\partial }{\partial x}}{\left({\frac {\partial }{\partial x}}{\left(\sin \left(\lambda x\right)e^{-\lambda ^{2}t}\right)}\right)}={\frac {\partial }{\partial x}}{\left(\lambda \cos \left(\lambda x\right)e^{-\lambda ^{2}t}\right)}=-\lambda ^{2}\sin \left(\lambda x\right)e^{-\lambda ^{2}t}\,,$
# Q mod Z/Direkt/Verknüpfung/Rechenbeispiel/Aufgabe

Wir betrachten die Menge
    $M={\left\{q\in \mathbb {Q} \mid 0\leq q<1\right\}}\,$
mit der in Aufgabe definierten Verknüpfung.
a) Berechne
    ${\left({\left({\left({\left({\frac {4}{5}}\oplus {\frac {3}{4}}\right)}\oplus {\frac {2}{3}}\right)}\oplus {\frac {5}{7}}\right)}\oplus {\frac {1}{3}}\right)}.$
b) Finde eine Lösung für die Gleichung
    ${\frac {3}{5}}\oplus x={\frac {1}{2}}\,.$
# Wörter/Einsetzung/Anzahl/1/Aufgabe/Lösung

* Es ist
    $P(axxax)=axaxxaxaxax\,.$
* Es sei insbesondere ist $w_{0}=x$. Wir behaupten, dass in $w_{n}$ die Anzahl der $x$ gleich $2^{n}$ und die Anzahl der $a$ gleich $2^{n}-1$ und somit die Anzahl der Buchstaben gleich $2^{n+1}-1$ ist. Diese Aussagen beweisen wir durch Induktion über $n$. Für $n=0$ sind sie richtig. Es seien sie nun für $n$ bewiesen, wir wissen also, dass es in $w_{n}$ genau $2^{n}$ viele $x$ und $2^{n}-1$ viele $a$ gibt. Beim Ersetzungsprozess bleiben die $a$ stehen, und die $x$ werden durch $xax$ ersetzt. Daher ist die Anzahl der $x$ in $w_{n+1}$ gleich und die Anzahl der $a$ in $w_{n+1}$ gleich
    $w_{n}=P^{n}(x)\,,$
    $2^{n}\cdot 2=2^{n+1}\,$
    $2^{n}-1+2^{n}=2^{n+1}-1\,.$
# Q mod Z/Keine repräsentierende Untergruppe/Aufgabe

Zeige, dass es keine Untergruppe $F\subseteq (\mathbb {Q} ,0,+)$ derart gibt, dass
    $F\longrightarrow \mathbb {Q} /\mathbb {Z}$
ein Isomorphismus ist.
# Würfel/Benachbarte Eckpunkte/Stochastische Matrix/Aufgabe/Lösung

Wir verwenden die Bezeichnung der Würfelecken wie skizziert.
* An jedem Eckpunkt liegen $3$ Kanten und somit $3$ benachbarte Punkte an. Die Wahrscheinlichkeit, am Eckpunkt zu verweilen, ist demnach Die stochastische Matrix ist
    $1-3\cdot {\frac {1}{5}}={\frac {2}{5}}\,.$
    ${\begin{pmatrix}{\frac {2}{5}}&{\frac {1}{5}}&0&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{5}}&0&0&0\\{\frac {1}{5}}&{\frac {2}{5}}&{\frac {1}{5}}&0&0&{\frac {1}{5}}&0&0\\0&{\frac {1}{5}}&{\frac {2}{5}}&{\frac {1}{5}}&0&0&{\frac {1}{5}}&0\\{\frac {1}{5}}&0&{\frac {1}{5}}&{\frac {2}{5}}&0&0&0&{\frac {1}{5}}\\{\frac {1}{5}}&0&0&0&{\frac {2}{5}}&{\frac {1}{5}}&0&{\frac {1}{5}}\\0&{\frac {1}{5}}&0&0&{\frac {1}{5}}&{\frac {2}{5}}&{\frac {1}{5}}&0\\0&0&{\frac {1}{5}}&0&0&{\frac {1}{5}}&{\frac {2}{5}}&{\frac {1}{5}}\\0&0&0&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{5}}&0&{\frac {1}{5}}&{\frac {2}{5}}\end{pmatrix}}$
* DIe Matrix ist zugleich zeilenstochastisch, deshalb ist die stationäre Verteilung gleich
    ${\begin{pmatrix}{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{8}}\end{pmatrix}}.$
* Nach drei Zeiteinheiten kann ein Floh nur dann in die gegenüberliegende Ecke wechseln, wenn er dreimal Sprünge in die richtige Richtung macht. Für den ersten Sprung gibt es $3$ Möglichkeiten, und wenn diese fixiert ist gibt es jeweils $2$ Möglichkeiten und im dritten Schritt nur noch eine Möglichkeit. Deshalb gibt es sechs Pfade, um zum gegenüberliegenden Eck zu gelangen. Jeder Pfad hat die Wahrscheinlichkeit also ist die Gesamtwahrscheinlichkeit gleich
    ${\left({\frac {1}{5}}\right)}^{3}={\frac {1}{125}}\,,$
    $6{\frac {1}{125}}={\frac {6}{125}}\,.$
# Q mod Z/Restklassengruppe/Jede Ordnung/Aufgabe

Zeige, dass es in der Restklassengruppe $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ zu jedem $n\in \mathbb {N} _{+}$ Elemente gibt, deren Ordnung gleich $n$ ist.
# Würfel/Drehungen/Matrixbeschreibung/1/Aufgabe/Lösung

* Die Standardvektoren $e_{1},e_{2},e_{3}$ liegen auf den an $(1,1,1)$ anliegenden Seiten, und die Drehung gibt vor, wie diese ineinander überführt werden. Also ist die Matrix gleich $M={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}}$.
* Der Standardvektor $e_{3}$ wird auf sein Negatives abgebildet und $e_{1}$ und $e_{2}$ werden vertauscht. Die Matrix ist also gleich $N={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}$.
* Es ist Es wird also $e_{1}$ in sich überführt und daher ist die $x$-Achse die Drehachse.
    ${\begin{aligned}M\circ N&={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$
* Es ist Es wird also $e_{2}$ in sich überführt und daher ist die $y$-Achse die Drehachse.
    ${\begin{aligned}N\circ M&={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\-1&0&0\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$
* Da alles eigentliche Isometrien sind, ist ihre Determinante stets gleich $1$.
# Q nach R/Kleiner sqrt(2)/Keine stetige Fortsetzung/Aufgabe

Zeige, dass durch
    $f(x)={\begin{cases}0\,,{\text{ falls }}x<{\sqrt {2}}\,,\\1\,,{\text{ falls }}x\geq {\sqrt {2}}\,,\end{cases}}\,$
eine stetige Funktion
    $\mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x),$
definiert wird.
# Würfeldrehungen/Drehung um Raumdiagonale und Seitenmittelpunktsachse/Induzierte Permutation/Aufgabe/Lösung

a) Die Wertetabellen für die angegebenen Permutationen sind
b) Die Drehachse von $\alpha \beta$ ist die Gerade durch die beiden Eckpunkte $D$ und $F$ und die Drehachse von $\beta \alpha$ ist die Gerade durch die beiden Eckpunkte $B$ und $H$. Beides sind Dritteldrehungen, ihre Ordnung ist 3.
c) Aus der Wertetabelle für $\alpha$ kann man leicht diejenige für $\alpha ^{2}$ errechnen, und damit auch die Zykledarstellung. Diese ist
    $\langle B,E,D\rangle \langle C,F,H\rangle .$
$\alpha$
$\alpha ^{1001}=\alpha ^{2}$
d) $\sigma$ stimmt auf den unteren Eckpunkten $E,F,G,H$ mit der durch $\beta$ definierten Permutation überein. Würde $\sigma$ von einer Würfelbewegung $\gamma$ herrühren, so wäre $\beta \gamma ^{-1}$ die Identität auf der unteren Ebenen und müßte dann überhaupt die Identität sein. Dann wäre $\beta =\gamma$, was aber wegen
    $\beta (A)=C\neq B=\gamma (A)\,$
$\sigma$ hat die Zykeldarstelung
    $\sigma =\langle A,B,C,D\rangle \langle E,G\rangle \langle H,F\rangle ,$
    $\langle A,B,C,D\rangle =\langle B,C\rangle \langle C,D\rangle \langle D,A\rangle .$
$\sigma$
$5$
$-1$
# Q+xN +/Konstruktion aller Wurzeln/Äquivalenzrelation/Aufgabe

Wir betrachten auf $\mathbb {Q} _{+}\times \mathbb {N} _{+}$ die Relation $(p,m)\sim (q,n)$, falls $p^{n}=q^{m}$ gilt.
* Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.
* Es sei die zugehörige Quotientenmenge. Zeige, dass auf $Q$ durch eine wohldefinierte Verknüpfung gegeben ist.
    $Q=(\mathbb {Q} _{+}\times \mathbb {N} )/\sim \,$
    $[(p,m)]\cdot [(q,n)]:=[(p^{n}q^{m},nm)]\,$
* Zeige, dass $Q$ eine kommutative Gruppe ist.
* Es sei $K$ ein angeordneter Körper, in dem es zu jedem $p\in \mathbb {Q} _{+}$ und jedes $m\in \mathbb {N} _{+}$ die Wurzel ${\sqrt[{m}]{p}}$ gibt. Zeige, dass die Zuordnung ein wohldefinierter Gruppenhomomorphismus ist.
    $Q\longrightarrow K_{+},\,[(p,m)]\longmapsto {\sqrt[{m}]{p}},$
# XY^3+YZ^3+ZX^3/Glatt/C/Aufgabe/Lösung

Da die Situation symmetrisch in den Variablen ist, genügt es, die Situation auf $D_{+}(Z)$ zu betrachten. Die inhomogene Gleichung der Kurve lautet dort
    $XY^{3}+Y+X^{3}=0\,.$
Die partiellen Ableitungen sind
    ${\frac {\partial {\left(XY^{3}+Y+X^{3}\right)}}{\partial X}}=Y^{3}+3X^{2}\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {\partial {\left(XY^{3}+Y+X^{3}\right)}}{\partial Y}}=1+3XY^{2}.$
Wir ziehen das $X$-fache der ersten Ableitung von der Kurvengleichung ab und erhalten die Bedingung
    $Y=2X^{3}\,.$
Dies setzen wir in die Kurvengleichung und in die zweite Ableitung ein und erhalten
    ${\begin{aligned}0&=XY^{3}+Y+X^{3}\\&=8X^{10}+2X^{3}+X^{3}\\&=X^{3}{\left(8X^{7}+3\right)}\end{aligned}}$
und
    $1+3XY^{2}=1+12X^{7}\,.$
Wegen letzterer Gleichung ist $X=0$ ausgeschlossen. Also müsste für einen singulären Punkt
    $-{\frac {3}{8}}=X^{7}=-{\frac {1}{12}}\,$
# Q,+ nach R +/Gruppenhomomorphismus/Aufgabe

Es sei
    $f\colon (\mathbb {Q} ,+,0)\longrightarrow (\mathbb {R} _{+},\cdot ,1)$
ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass $f$ eine Exponentialfunktion ist, d.h. dass es ein reelles $b>0$ mit $f(x)=b^{x}$ für alle $x\in \mathbb {Q}$ gibt.
# X^2 und Wurzel aus x/Eingeschlossene Fläche/Aufgabe/Lösung

Für $x$ zwischen $0$ und $1$ ist $0\leq x^{2}\leq x\leq {\sqrt {x}}\leq 1$ und für $x\geq 1$ ist $x^{2}\geq {\sqrt {x}}$. Die eingeschlossene Fläche liegt also innerhalb des Einheitsquadrates. Daher ist der Flächeninhalt gleich dem bestimmten Integral der Wurzelfunktion von $0$ bis $1$ minus dem bestimmten Integral (in den gleichen Grenzen) zur Parabel. Daher ist der Flächeninhalt gleich
    ${\begin{aligned}A&=\int _{0}^{1}{\sqrt {x}}dx-\int _{0}^{1}x^{2}dx\\&={\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}|_{0}^{1}-{\frac {1}{3}}x^{3}|_{0}^{1}\\&={\frac {2}{3}}-{\frac {1}{3}}\\&={\frac {1}{3}}.\end{aligned}}$
# Q/Archimedes-Prinzip/Multiplikativ/Berechnung/2/Aufgabe

Finde eine natürliche Zahl $n$ derart, dass
    ${\left({\frac {10001}{10000}}\right)}^{n}\geq 1000000\,$
ist.
# X^2+y^4/Volumen zu Grundquadrat/Extremum/Aufgabe/Lösung

a) Das Volumen ist
    ${\begin{aligned}\int _{r}^{r+1}\int _{s}^{s+1}x^{2}+y^{4}\,dy\,dx&=\int _{r}^{r+1}{\left(x^{2}y+{\frac {1}{5}}y^{5}\right)}|_{s}^{s+1}\,dx\\&=\int _{r}^{r+1}{\left(x^{2}(s+1-s)+{\frac {1}{5}}{\left((s+1)^{5}-s^{5}\right)}\right)}\,dx\\&=\int _{r}^{r+1}{\left(x^{2}+{\frac {1}{5}}{\left(5s^{4}+10s^{3}+10s^{2}+5s+1\right)}\right)}\,dx\\&={\left({\frac {1}{3}}x^{3}+{\left(s^{4}+2s^{3}+2s^{2}+s+{\frac {1}{5}}\right)}x\right)}|_{r}^{r+1}\\&={\frac {1}{3}}{\left((r+1)^{3}-r^{3}\right)}+{\left(s^{4}+2s^{3}+2s^{2}+s+{\frac {1}{5}}\right)}{\left(r+1-r\right)}\\&={\frac {1}{3}}(3r^{2}+3r+1)+s^{4}+2s^{3}+2s^{2}+s+{\frac {1}{5}}\\&=r^{2}+r+s^{4}+2s^{3}+2s^{2}+s+{\frac {8}{15}}.\end{aligned}}$
b) Die Ableitung der Volumenfunktion
    $V(r,s)=r^{2}+r+s^{4}+2s^{3}+2s^{2}+s+{\frac {8}{15}}\,$
ist
    $(2r+1,4s^{3}+6s^{2}+4s+1).$
Ein Minimum kann nur vorliegen, wenn die Ableitung $0$ ist. Wir zeigen, dass dies nur für ein $(r,s)$ der Fall sein kann. Wegen der ersten Komponente muss $r=-{\frac {1}{2}}$ sein. Wir zeigen, dass die zweite Komponente
    $h(s)=4s^{3}+6s^{2}+4s+1\,$
ebenfalls nur eine Nullstelle besitzt, indem wir zeigen, dass $h$ streng wachsend ist. Die Ableitung von $h$ ist
    $h'(s)=12s^{2}+12s+4=12s(s+1)+4\,.$
Diese Funktion ist für $s\to \infty$ und $s\to -\infty$ offenbar positiv, sie besitzt also genau ein Minimum, und zwar wegen
    $h^{\prime \prime }(s)=24s+12\,$
bei
    $s=-{\frac {1}{2}}\,.$
Der Wert des Minimums von $h'$ ist
    $h'{\left(-{\frac {1}{2}}\right)}=12{\left(-{\frac {1}{2}}\right)}{\left(-{\frac {1}{2}}+1\right)}+4=-12\cdot {\frac {1}{4}}+4=-3+4=1>0\,.$
Dies bedeutet, dass $h'$ stets positiv ist und somit ist $h$ streng wachsend. Da ferner $h$ ein Polynom vom Grad $3$ ist, also $h(s)\to \infty$ für $s\to \infty$ und $h(s)\to -\infty$ für $s\to -\infty$ gilt, besitzt $h$ genau eine Nullstelle. Insgesamt besitzt also $V(r,s)$ genau einen kritischen Punkt.
Wir müssen noch zeigen, dass in dem einzigen kritischen Punkt ein Minimum von $V(r,s)$ vorliegt. Die Hesse-Matrix zu $V$ ist
    ${\begin{pmatrix}2&0\\0&12s^{2}+12s+4\end{pmatrix}}.$
$s$
# X^3+xy^4+cy^6/C/Faktorzerlegung/Aufgabe/Lösung

Wir machen den Ansatz
    $X^{3}+XY^{4}+cY^{6}={\left(X-\alpha Y^{2}\right)}{\left(X-\beta Y^{2}\right)}{\left(X-\gamma Y^{2}\right)}\,.$
Ausmultiplizieren ergibt
    ${\left(X-\alpha Y^{2}\right)}{\left(X-\beta Y^{2}\right)}{\left(X-\gamma Y^{2}\right)}=X^{3}-(\alpha +\beta +\gamma )X^{2}Y^{2}+(\alpha \beta +\alpha \gamma +\beta \gamma )XY^{4}-\alpha \beta \gamma Y^{6}\,,$
was auf die Bedingungen
    $\alpha +\beta +\gamma =0\,,$
    $\alpha \beta +\alpha \gamma +\beta \gamma =1\,$
und
    $\alpha \beta \gamma =-c\,$
führt. Dies bedeutet wiederum (setze $Y=1$), dass
    $(X-\alpha )(X-\beta )(X-\gamma )=X^{3}+X+c\,$
$\alpha ,\beta ,\gamma$
$X^{3}+X+c$
# Q/Archimedes-Prinzip/Multiplikativ/Berechnung/3/Aufgabe

Finde eine natürliche Zahl $n$ derart, dass
    ${\left({\frac {8}{7}}\right)}^{n}\geq 1000\,$
ist.
# Q/b^q/Wohldefiniertheit/Aufgabe

Es sei $b$ eine positive reelle Zahl und $q=n/m\in \mathbb {Q}$. Zeige, dass die durch
    $b^{q}:={\left(b^{n}\right)}^{1/m}\,$
definierte Zahl unabhängig von der Bruchdarstellung für $q$ ist.
# X^3-3X+1/Irreduzibel über Q/Aufgabe/Lösung

Nach Fakt genügt es zu zeigen, dass $X^{3}-3X+1$ keine rationale Nullstelle besitzt. Nehmen wir an, dass
    $q={\frac {a}{b}}\,$
eine Nullstelle ist mit $a,b\in \mathbb {Z}$ in gekürzter Darstellung. Es gilt dann
    ${\left({\frac {a}{b}}\right)}^{3}-3{\frac {a}{b}}+1=0\,$
bzw.
    $a^{3}-3ab^{2}+b^{3}=0\,.$
Wenn eine Primzahl $p$ die Zahl $a$ teilt, folgt daraus, dass auch $b$ von $p$ geteilt wird, was der Gekürztheit widerspricht. Wegen $b\neq 0$ ist auch $a\neq 0$. Also muss $a$ eine Einheit sein. Wenn $b$ von einer Primzahl $p$ geteilt wird, so wäre auch $a$ ein Vielfaches von $p$. Also ist auch $b$ eine Einheit. Die verbleibenden Möglichkeiten $a,b=\pm 1$, also $q=\pm 1$,
# Q/Dritte Wurzel aus 7/Dritte Einheitswurzel/Komplexe Konjugation/Aufgabe

Es sei $\epsilon ={\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}$ die dritte komplexe Einheitswurzel. Wir betrachten die Körpererweiterung
    $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [\epsilon {\sqrt[{3}]{7}}]=L\subseteq {\mathbb {C} }\,.$
a) Bestimme das Minimalpolynom von $\epsilon {\sqrt[{3}]{7}}$.
b) Zeige, dass der Grad der Körpererweiterung $\mathbb {Q} \subseteq L$ gleich $3$ ist.
c) Zeige, dass die komplexe Konjugation nicht $L$ in $L$ überführt.
# X^3-3X-1/Irreduzibel über Q/Aufgabe/Lösung

Nach Fakt genügt es zu zeigen, dass $X^{3}-3X-1$ keine rationale Nullstelle besitzt. Nehmen wir an, dass
    $q={\frac {a}{b}}\,$
eine Nullstelle ist mit $a,b\in \mathbb {Z}$ in gekürzter Darstellung. Es gilt dann
    ${\left({\frac {a}{b}}\right)}^{3}-3{\frac {a}{b}}-1=0\,$
bzw.
    $a^{3}-3ab^{2}-b^{3}=0\,.$
Wenn eine Primzahl $p$ die Zahl $a$ teilt, folgt daraus, dass auch $b$ von $p$ geteilt wird, was der Gekürztheit widerspricht. Wegen $b\neq 0$ ist auch $a\neq 0$. Also muss $a$ eine Einheit sein. Wenn $b$ von einer Primzahl $p$ geteilt wird, so wäre auch $a$ ein Vielfaches von $p$. Also ist auch $b$ eine Einheit. Die verbleibenden Möglichkeiten $a,b=\pm 1$, also $q=\pm 1$,
# Q/Intervallüberpflasterungen/R/Aufgabe

Zu jeder rationalen Zahl $q\in \mathbb {Q}$ sei ein Intervall $[a_{q},b_{q}]$ derart gegeben, dass $q$ in dessen Innern liegt, also $q\ina_{q},b_{q}$. Ist
    $\bigcup _{q\in \mathbb {Q} }[a_{q},b_{q}]=\mathbb {R} \,?$
# X^4+Z^3Y+Z^4/Monomial/Aufgabe/Lösung

Wir schreiben
    $X^{4}+Z^{3}Y+Z^{4}=X^{4}+Z^{3}(Y+Z)=X^{4}-Z^{3}W\,,$
$W=-Y-Z$
$X,Z,W$
$X^{4}-Z^{3}$
# Q/q auf b^q/Elementare Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $b$ eine positive reelle Zahl. Zeige, dass die Funktion
    $f\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,q\longmapsto b^{q},$
folgende Eigenschaften besitzt.
* Es ist $b^{q+q'}=b^{q}\cdot b^{q'}$ für alle $q,q'\in \mathbb {Q}$.
* Es ist $b^{-q}={\frac {1}{b^{q}}}$.
* Für $b>1$ und $q>0$ ist $b^{q}>1$.
* Für $b<1$ und $q>0$ ist $b^{q}<1$.
* Für $b>1$ ist $f$ streng wachsend.
* Für $b<1$ ist $f$ streng fallend.
* Es ist $(b^{q})^{q'}=b^{q\cdot q'}$ für alle $q,q'\in \mathbb {Q}$.
* Für $a\in \mathbb {R} _{+}$ ist $(ab)^{q}=a^{q}\cdot b^{q}$.
# X^n-1/Division durch X-1/Eigenschaft einer Einheitswurzel neq 1/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es ist
    $X^{n}-1=(X-1){\left(1+X+X^{2}+\cdots +X^{n-1}\right)}\,,$
wie sich durch Ausmultiplizieren der rechten Seite ergibt. Die $n$-te Einheitswurzel $\zeta \neq 1$ ist eine Nullstelle der linken Seite. Da wir in einem Körper sind, muss der rechte Faktor bei Einsetzen von $\zeta$ den Wert $0$ ergeben. Also ist
    $\zeta ^{n-1}+\zeta ^{n-2}+\cdots +\zeta +1=0\,.$
# Q/Ungleichungen/Eine Variable/1/Aufgabe

Bestimme die Lösungsmenge des Ungleichungssystems
    $2x\geq 7\,$
und
    $5x\leq 12\,$
über $\mathbb {Q}$.
# X^y/Definitionsbereich/Differenzierbar/Ableitung/Aufgabe/Lösung

* Es ist daher ist der Definitionsbereich $\mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R}$.
    $x^{y}=e^{y\ln x}\,,$
* Die partiellen Ableitungen sind Die Jacobi-Matrix ist also
    ${\frac {\partial \varphi }{\partial x}}={\frac {y}{x}}\cdot e^{(\ln x)\cdot y}={\frac {y}{x}}\cdot x^{y}\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}=(\ln x)\cdot e^{(\ln x)\cdot y}=(\ln x)\cdot x^{y}.$
    $\left({\frac {y}{x}}\cdot x^{y},\,(\ln x)\cdot x^{y}\right).$
* Da die partiellen Ableitungen überall existieren und stetig sind, ist die Funktion nach Fakt total differenzierbar.
# Q/Ungleichungen/Eine Variable/2/Aufgabe

Bestimme die Lösungsmenge des Ungleichungssystems
    $4x\geq 3\,$
und
    $6x\leq 11\,$
über $\mathbb {Q}$.
# Y^2-X^4/Monoidring/Aufgabe/Lösung

* Es ist damit ist die Kurve nicht irreduzibel.
    $Y^{2}-X^{4}=(Y-X^{2})(Y+X^{2})\,,$
* Wir betrachten das durch zwei Erzeuger $e,f$ mit der einzigen Relation gegebene Monoid $M$, damit ist
    $2f=4e\,$
    ${\mathbb {C} }[M]={\mathbb {C} }[X,Y]/(Y^{2}-X^{4})\,.$
* Wir betrachten und Dann gilt $2f=4e$, alle weiteren Relationen sind aber Vielfache davon, da bei einer Gleichung mit $a,b\in \mathbb {N}$ wegen der ersten Koordinate sein muss und wegen der zweiten Koordinate auch $a$ gerade sein muss.
    $e=(1,1)\in \mathbb {N} \times \mathbb {Z} /(2)\,$
    $f=(2,1)\in \mathbb {N} \times \mathbb {Z} /(2)\,.$
    $af=be\,$
    $b=2a\,$
# Q/Ungleichungen/Eine Variable/3/Aufgabe

Bestimme die Lösungsmenge des Ungleichungssystems
    $3x\geq -8\,$
und
    $7x\leq 10\,$
über $\mathbb {Q}$.
# Z mod 10/Potenzierung/Identität/Aufgabe/Lösung

* Wir gehen die Exponenten durch und schauen, ob die Abbildung die Identität ist oder nicht. Alle Rechnungen werden in $\mathbb {Z} /(10)$ durchgeführt. Wegen ist dies nicht die Identität. Wegen ist dies nicht die Identität. Wegen ist dies nicht die Identität. Es ist Für $x$ zwischen $6$ und $9$ gehört $-x$ zum bereits untersuchten Bereich und es ist Daher ist die fünfte Potenzierung die Identität. Der minimale Exponent ist somit $5$.
    $n=2,3,4,...\,$
    $\mathbb {Z} /(10)\longrightarrow \mathbb {Z} /(10),\,x\longmapsto x^{n},$
    $n=2\,.$
    $2^{2}=4\neq 2\,$
    $n=3\,.$
    $2^{3}=8\neq 2\,$
    $n=4\,.$
    $2^{4}=16=6\neq 2\,$
    $n=5\,.$
    $2^{5}=32=2\,,$
    $3^{5}=243=3\,,$
    $4^{5}={\left(2^{5}\right)}^{2}=2^{2}=4\,,$
    $5^{5}=5\,.$
    $(-x)^{5}=(-1)^{5}x^{5}=-x\,.$
* Die Endziffer im Zehnersystem ist einfach der Rest modulo $10$. Daher bedeutet das Ergebnis, dass die Endziffer der fünften Potenz einer natürlichen Zahl stets mit deren Endziffer übereinstimmt, und dass dies nicht für die zweite, dritte oder vierte Potenz gilt.
# Q/Z Untergruppe, kein Ideal/Aufgabe

Zeige, dass $\mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q}$ eine Untergruppe, aber kein Ideal ist.
# Z mod 2 hoch 3/Endliche eigentliche Symmetriegruppe/Aufgabe/Lösung

* Die endlichen Gruppen, die als eigentliche Bewegungsgruppe eines geometrisches Objektes $T\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ auftreten, sind in Fakt klassifiziert. Die Gruppe $G=\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$ hat acht Elemente, deshalb scheiden die Tetraedergruppe, die Würfelgruppe und die Ikosaedergruppe aus. Aufgrund der Anzahl könnte $G$ höchstens die zyklische Gruppe der Ordnung $8$, also $\mathbb {Z} /(8)$ sein, oder die Diedergruppe $D_{4}$. Diese enthält aber die zyklische Gruppe der Ordnung vier. In $G$ haben aber alle Elemente außer dem neutralen Element die Ordnung $2$, sodass auch diese beiden Gruppen ausgeschlossen sind.
* Die acht Matrizen sind allesamt Isometrien, und da es sich um Diagonalmatrizen handelt, bilden sie eine Gruppe, die isomorph zu ist.
    ${\begin{pmatrix}\pm 1&0&0\\0&\pm 1&0\\0&0&\pm 1\end{pmatrix}}$
    $\{\pm 1\}\times \{\pm 1\}\times \{\pm 1\}\cong \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)\,$
* Die Hintereinanderschaltung von zwei Halbdrehungen um verschiedene Quaderachsen ergibt die Halbdrehung um die dritte Achse, deshalb ist die Symmetriegruppe nicht $\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$, sondern $\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$.