OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Topologischer Raum/Halbmetrik/Definition

Es sei $M$ eine Menge. Eine Abbildung $d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R}$ heißt Halbmetrik, wenn für alle $x,y,z\in M$ die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
* Für $x=y$ ist $d{\left(x,y\right)}=0$.
* $d{\left(x,y\right)}=d{\left(y,x\right)}$ (Symmetrie), und
* $d{\left(x,y\right)}\leq d{\left(x,z\right)}+d{\left(z,y\right)}$ (Dreiecksungleichung).
# Topologischer Raum/Kompakt/C/Stone-Weierstrass/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $X$ ein kompakter topologischer Raum und $T\subseteq C(X,{\mathbb {C} })$ eine ${\mathbb {C} }$-Unteralgebra, die die Punkte aus $X$ trennt und die mit jeder Funktion auf ihre komplex-konjugierte Funktion enthält. Zeige
    ${\overline {T}}=C(X,{\mathbb {C} })\,.$
# Topologischer Raum/Kompakte Ausschöpfung/K-wertige Funktionen/Kompakte Konvergenz/Topologie/Definition

{{ Mathematischer Text/Definition |Text= Es sei $X$ ein topologischer Raum mit einer kompakten Ausschöpfung $A_{n}\subseteq X$. Dann versteht man unter der Topologie der kompakten Konvergenz
auf $C(X,{\mathbb {K} })$ die induzierte Topologie unter der natürlichen Abbildung {{ Abbildung/display |name= | C(X,{\mathbb K}) |\prod_{n \in \N} C(A_n, {\mathbb K} ) |f| {{makl| f {{|}}_{A_n} |}}_{n \in \N}
|SZ=, }} wobei die $C(A_{n},{\mathbb {K} })$ mit der Maximumsnorm versehen sind und der Produktraum mit der Produkttopologie versehen ist. |Textart=Definition |Kategorie=Topologie der kompakten Konvergenz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=
|Definitionswort=Topologie der kompakten Konvergenz |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }}
# Topologischer Raum/Produktraum/Definition

Es sei $X_{i}$, $i\in I$, eine Familie von topologischen Räumen. Unter dem Produktraum
versteht man die Produktmenge $\prod _{i\in I}X_{i}$, versehen mit der Produkttopologie,
bei der beliebige Vereinigungen von Mengen der Form $\prod _{i\in I}U_{i}$ mit $U_{i}\subseteq X_{i}$ offen für alle $i\in I$ und $U_{i}=X_{i}$ bis auf endlich viele Ausnahmen als offen erklärt werden.
# Topologischer Raum/Reelle Vektorbündel/Kurze exakte Sequenz/Definition

Es sei $X$ ein topologischer Raum, seien
    $U,V,W\longrightarrow X$
Vektorbündel über $X$ und seien $\varphi \colon U\rightarrow V$ und $\psi \colon V\rightarrow W$ Homomorphismen. Man sagt, dass eine kurze exakte Sequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,U\,{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}\,V\,{\stackrel {\psi }{\longrightarrow }}\,W\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
vorliegt, wenn für jeden Punkt $P\in X$ für die Fasern eine kurze exakte Sequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,U_{P}\,{\stackrel {\varphi _{P}}{\longrightarrow }}\,V_{P}\,{\stackrel {\psi _{P}}{\longrightarrow }}\,W_{P}\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
vorliegt.
# Topologischer Raum/Reelle Vektorbündel/Kurze exakte Sequenz/Zu Untervektorbündel/Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum und sei $U\subseteq V$ ein Untervektorbündel des reellen Vektorbündels $V\rightarrow X$. Zeige, dass eine kurze exakte Sequenz
    $0\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,U\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,V\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,U/V\,{\stackrel{\longrightarrow }}\,0$
vorliegt.
# Topologischer Raum/Reelles Vektorbündel/Untervektorbündel/Quotientenbündel/Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum und sei $U\subseteq V$ ein Untervektorbündel des reellen Vektorbündels $V\rightarrow X$. Zeige, dass die (Familie der) Restklassenräume $V_{P}/U_{P}$ ein Vektorbündel auf $X$ bilden und dass ein surjektiver Bündelhomomorphismus $V\rightarrow V/U$ vorliegt.
# Topologischer Raum/Reihe/K/Normal konvergent/Definition

{{ Mathematischer Text/Definition |Text= Eine Folge von Funktionen
    $g_{k}\colon X\longrightarrow {\mathbb {C} }$
auf einem topologischen Raum $X$ heißt normal konvergent,
wenn es für jeden Punkt $P\in X$ eine offene Umgebung $P\in U\subseteq X$ derart gibt, dass {{ Relationskette/display | \sum_{k \in \N} {{op:Norm|g_k {{|}} _U|}}_{ \text{sup} } |<| \infty || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der komplexwertigen Funktionenfolgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=
|Definitionswort=Normal konvergent |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }}
# Topologischer Raum/Reihe/K/Normal konvergent/Lokal gleichmäßig konvergent/Aufgabe

Es sei $g_{k}\colon X\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine normal konvergente Reihe von Funktionen auf einem topologischen Raum $X$. Zeige, dass die Folge
    $f_{n}=\sum _{k=0}^{n}g_{k}\,$
lokal gleichmäßig konvergiert.
# Topologischer Raum/Stetige Funktionen/Unteralgebra/Abschluss/Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum und
    $A\subseteq C^{b}(X,{\mathbb {K} })\,$
eine Unteralgebra der Algebra der beschränkten und stetigen Funktionen auf $X$. Zeige, dass der Abschluss ${\overline {A}}$ ebenfalls eine Unteralgebra von $C^{b}(X,{\mathbb {K} })$ ist.
# Topologischer Raum/Triviale Vektorbündel/Homomorphismus/Kernbündel/Bemerkung

Es sei $X$ ein topologischer Raum und seien $f_{1},\ldots ,f_{n}\in C^{0}(X,\mathbb {R} )$ reellwertige stetige Funktionen auf $X$. Diese definieren eine Abbildung
    $X\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow X\times \mathbb {R} ,\,(P,t_{1},\ldots ,t_{n})\longmapsto (P,\sum _{i=1}^{n}f_{i}(P)t_{i}),$
zwischen dem trivialen Vektorbündel vom Rang $n$ über $X$ und dem trivialen Vektorbündel vom Rang $1$ über $X$. Diese Abbildung ist stetig und über jedem Punkt $P\in X$ liegt die Linearform $\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ zur Zeilenmatrix $\left(f_{1}(P),\,\ldots ,\,f_{n}(P)\right)$ vor, daher handelt es sich um einen Homomorphismus von Vektorbündeln. Über den Kern ergibt sich in jeder Faser $\mathbb {R} ^{n}$ ein Untervektorraum, der die Dimension $n-1$ besitzt, es sei denn, alle Funktionen $f_{i}$ verschwinden simultan im Punkt $P$. Es sei $D(f_{i})={\left\{P\in X\mid f_{i}(P)\neq 0\right\}}$, dann ist $U=\bigcup _{i=1}^{n}D(f_{i})\subseteq X$ die offene Teilmenge, auf der zumindest ein $f_{i}$ nicht verschwindet und wo somit die Kerne stets die Dimension $n-1$ besitzen. Das Kernbündel $E$ zu den $f_{i}$ ist nun das Vektorbündel auf $U$, das faserweise durch die Kerne bestimmt ist, also
    $E={\left\{(P;t_{1},\ldots ,t_{n})\mid P\in U,\,\sum _{i=1}^{n}f_{i}(P)t_{i}=0\right\}}\subseteq U\times \mathbb {R} ^{n}\,.$
Gemäß Aufgabe gibt es Trivialisierungen über $D(f_{i})$ und es handelt sich in der Tat um ein Vektorbündel.
# Topologischer Raum/Triviale Vektorbündel/Homomorphismus/Kernbündel/Trivialisierungen/Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum und seien $f_{1},\ldots ,f_{n}\in C^{0}(X,\mathbb {R} )$ reellwertige stetige Funktionen auf $X$. Es sei $U=\bigcup _{i\in I}D(f_{i})\subseteq X$ und
    $S={\left\{(P;t_{1},\ldots ,f_{n})\mid P\in U,\,\sum _{i=1}^{n}f_{i}(P)t_{i}=0\right\}}\subseteq U\times \mathbb {R} ^{n}\,,$
vergleiche Bemerkung. Man gebe explizit Trivialisierungen für $S$ über $D(f_{i})$ an und zeige, dass $S$ ein Vektorbündel über $U$ vom Rang $n-1$ ist.
# Topologischer Raum/Umgebungsäquivalent/Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum. Wir nennen Punkte $x,y\in X$ umgebungsäquivalent, wenn für jede offene Menge $U\subseteq X$ die Zugehörigkeit $x\in U$ genau dann gilt, wenn $y\in U$ gilt. Zeige, dass es sich dabei um eine Äquivalenzrelation handelt.
# Topologischer Raum/Vektorbündel/Definition mit Übergangsabbildungen/Bemerkung

Ein reelles Vektorbündel $p\colon V\rightarrow X$ über einem topologischen Raum $X$ kann man auch nur unter Bezug auf eine offene Überdeckung
    $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,$
und Trivialisierungen
    $\varphi _{i}\colon p^{-1}{\left(U_{i}\right)}\longrightarrow U_{i}\times \mathbb {R} ^{r}$
definieren, wenn man fordert, dass die Übergangsabbildungen (die sich über $p^{-1}(U_{i}\cap U_{j})$ ergeben)
    $\varphi _{j}\circ \varphi _{i}^{-1}\colon U_{i}\cap U_{j}\times \mathbb {R} ^{r}\longrightarrow U_{i}\cap U_{j}\times \mathbb {R} ^{r}$
linear in der Vektorraumkomponente ist. Dies ergibt eine Vektorraumstruktur in jeder Faser, wofür man eine beliebige Trivialisierung heranzieht.
# Torus/Riemannsche Struktur/Eingebettete Realisierung/Krümmung/Aufgabe

Wir betrachten den Torus $S^{1}\times S^{1}$ einerseits mit der durch die Produktstruktur (und der Einbettung $S^{1}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$, siehe Aufgabe und Aufgabe) gegebenen riemannschen Struktur und andererseits mit der eingebetteten Realisierung
    $T={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid {\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-R\right)}^{2}+z^{2}=r^{2}\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{3}\,$
mit der induzierten riemannschen Struktur. Vergleiche die Krümmungsoperatoren für diese beiden Strukturen.
# Trigonalisierbar/Direkte Summe/Direkt/Fakt/Beweis

Es seien zunächst die Komponentenabbildungen $\varphi _{i}$ trigonalisierbar. Es sei
    $d_{i}=\dim _{K}{\left(V_{i}\right)}\,$
und seien
    $v_{i1},\ldots ,v_{id_{i}},\,i=1,\ldots ,n,$
Basen von $V_{i}$, bezüglich denen die beschreibenden Matrizen $M_{i}$ zu $\varphi _{i}$ obere Dreiecksgestalt haben. In der beschreibenden Matrix zur Produktabbildung bezüglich der durch alle Vektoren $v_{ij}$ gebildeten Gesamtbasis des Produktraumes stehen die $M_{i}$ als Blöcke in der Diagonalen, alle anderen Einträge sind $0$. Daher ist die Gesamtabbildung auch trigonalisierbar.
Es sei nun die Gesamtabbildung trigonalisierbar. Durch eine einfache Induktion können wir annehmen, dass $n=2$ ist, sei also zur Notationsvereinfachung $\varphi \colon V\rightarrow V$ und $\psi \colon W\rightarrow W$ gegeben und sei
    $\varphi \times \psi \colon V\times W\longrightarrow V\times W$
trigonalisierbar. Wir müssen zeigen, dass auch $\varphi$ trigonalisierbar ist. Nach Voraussetzung gibt es eine Basis $(v_{k},w_{k})$, $k=1,\ldots ,m$, bezüglich der die Matrix zur Gesamtabbildung obere Dreiecksgestalt besitzt. Es seien
    $k_{1}<k_{2}<\ldots <k_{d}\,$
so gewählt (mit $d=\dim _{K}{\left(V\right)}$), dass
    $v_{k_{1}},\ldots ,v_{k_{d}}$
eine Basis von $V$ bilden und dass $v_{i}\in \langle v_{1},\ldots ,v_{i-1}\rangle$ genau für
    $i\neq k_{j}\,$
gilt. Die $k_{j}$ sind also diejenigen Stellen, wo in der Kette der Vektorräume
    $V_{i}=\langle v_{1},\ldots ,v_{i}\rangle \,$
die Räume größer werden. Eine solche Basis muss es geben, da die $v_{k}$, $k=1,\ldots ,m$ ganz $V$ erzeugen. Dabei gilt aufgrund der oberen Dreiecksgestalt der Produktabbildung bezüglich der gegebenen Basis
    $(\varphi \times \psi )(v_{k_{j}},w_{k_{j}})=(\varphi (v_{k_{j}}),\psi (w_{k_{j}}))=\sum _{k=1}^{k_{j}}c_{k}(v_{k},w_{k})\,$
und damit insbesondere
    $\varphi (v_{k_{j}})=\sum _{k=1}^{k_{j}}c_{k}v_{k}\,.$
Da die dabei auftretenden $v_{k}$ Linearkombinationen der $v_{k_{1}},\ldots ,v_{k_{j}}$ sind, gilt
    $\varphi (v_{k_{j}})=\sum _{i=1}^{j}b_{i}v_{k_{i}}\,,$
was die Trigonalisierbarkeit von $\varphi$ bedeutet.
[[Kategorie:Trigonalisierbar/Direkte Summe/Direkt/Fakt/Beweise]]
[[Kategorie:Trigonalisierbar/Direkte Summe/Direkt/Fakt/Beweise]] [[Kategorie:Trigonalisierbar/Direkte Summe/Direkt/Fakt/Beweise]]
# Trigonometrische Polynome/Multiplikation/1/Aufgabe

Multipliziere die beiden trigonometrischen Polynome
    $f=4e^{-2{\mathrm {i} }t}+5e^{-{\mathrm {i} }t}+7+3e^{{\mathrm {i} }t}+6e^{2{\mathrm {i} }t}\,$
und
    $g=-2e^{-2{\mathrm {i} }t}+3e^{-{\mathrm {i} }t}-3+6e^{{\mathrm {i} }t}-e^{2{\mathrm {i} }t}\,.$
# Tschebyschow-Polynom/Darstellung mit Wurzel aus x^2-1/Aufgabe

Zeige, dass das $n$-te Tschebyschow-Polynom auf $[-1,1]$ die Identität
    $T_{n}(x)={\frac {{\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}^{n}+{\left(x-{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}^{n}}{2}}\,$
erfüllt.
# Tschebyschow-Polynom/Darstellung mit z+z invertiert/Aufgabe

Zeige, dass das $n$-te Tschebyschow-Polynom auf ${\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ die Identität
    $T_{n}{\left({\frac {z+z^{-1}}{2}}\right)}={\frac {z^{n}+z^{-n}}{2}}\,$
erfüllt.
# Tschebyschow-Polynome/Differentialgleichung/Aufgabe

Zeige, dass das $n$-te Tschebyschow-Polynom $T_{n}$ die Tschebyschowsche Differentialgleichung
    $(1-t^{2})y^{\prime \prime }-ty'+n^{2}y=0\,$
löst.
# Uneigentliches Integral/Approximation durch stückweise Oberintegrale/Aufgabe

Es sei $f\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$ eine stetige Funktion derart, dass das uneigentliche Integral $\int _{0}^{\infty }f(t)dt$ existiert.
* Zeige, dass es zu jedem $\epsilon >0$ obere Treppenfunktionen $T_{n}$ zu $f$ auf $[n-1,n]$ derart gibt, dass die Gesamtdifferenz erfüllt.
    $\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}\int _{n-1}^{n}T_{n}(t)dt-\int _{0}^{\infty }f(t)dt\leq \epsilon \,$
* Man gebe ein Beispiel einer solchen Funktion $f$ derart, dass es keine solche Approximation mit oberen Treppenfunktionen gibt, wenn man zusätzlich fordert, dass sie zu der äquidistanten Unterteilung der Intervalle $[n-1,n]$ zu einem festen Stammbruch ${\frac {1}{k}}$ (unabhängig von $n$) gehören.
# Ungerade Kehrwerte/Alternierend/Limes/Aufgabe

Zeige
    $\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {1}{2k+1}}={\frac {\pi }{4}}\,$
mit Fakt.
# Untergruppe Z^2/Periodisch/Meromorphe Funktion/Konstant/Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine Untergruppe $\Delta \subseteq {\mathbb {C} }$, die zu $\mathbb {Z} ^{2}$ isomorph ist, und für die es neben den konstanten Funktionen keine meromorphe Funktion gibt, die bezüglich $\Delta$ periodisch ist.
# Untergruppe/Erzeugte Untergruppe/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $(G,e,\circ )$ eine Gruppe. Eine Teilmenge $H\subseteq G$ heißt Untergruppe von $G$ wenn folgendes gilt.
* $e\in H$.
* Mit $g,h\in H$ ist auch $g\circ h\in H$.
* Mit $g\in H$ ist auch $g^{-1}\in H$.
Man hat beispielsweise die beiden Ketten von sukzessiven additiven Untergruppen,
    $\mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq {\mathbb {C} }\,$
und multiplikativen Gruppen
    $\{1,-1\}\subseteq \mathbb {Q} ^{\times }\subseteq \mathbb {R} ^{\times }\subseteq {\mathbb {C} }^{\times }\,.$
Die triviale Gruppe $\{e\}$ ist Untergruppe von jeder Gruppe. Untervektorräume eines Vektorraums sind ebenfalls Untergruppen.

## Lemma

Es sei $G$ eine Gruppe und $H_{i}\subseteq G$, $i\in I$, eine Familie von Untergruppen. Dann ist auch der Durchschnitt
    $\bigcap _{i\in I}H_{i}$
eine Untergruppe von $G$.

### Beweis

$\Box$

## Definition

Es sei $G$ eine Gruppe und $M\subseteq G$ eine Teilmenge. Dann nennt man
    $(M)=\bigcap _{M\subseteq H,\,H\,{\text{Untergruppe}}}H\,$
die von $M$ erzeugte Untergruppe.
Insbesondere spricht man zu einer endlichen Menge $g_{1},\ldots ,g_{n}\in G$ von der davon erzeugten Untergruppe
    $(g_{1},\ldots ,g_{n}).$
Sie besteht aus allen „Wörtern“ oder „Termen“ (Buchstabenkombinationen) in den $g_{i}$ und $g_{i}^{-1}$. Zu einem einzigen Element $g$ hat die davon erzeugte Gruppe eine besonders einfache Gestalt, sie besteht nämlich aus allen Potenzen
    $g^{k},\,k\in \mathbb {Z} ,$
wobei diese Potenzen untereinander nicht verschieden sein müssen.
# Unterring/Einführung/Textabschnitt

Wir haben die Kette von Unterringen
    $\mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq {\mathbb {C} }\,$
im Sinne der folgenden Definition.

## Definition

Eine Teilmenge $S\subseteq R$ eines Ringes nennt man einen Unterring, wenn sowohl $(S,+,0)$ eine Untergruppe von $(R,+,0)$ als auch $(S,\cdot ,1)$ ein Untermonoid von $(R,\cdot ,1)$ ist.
Diese Bedingung besagt insbesondere, dass sich die Addition und die Multiplikation von $R$ auf $S$ einschränken lässt. Ein Unterring ist selbst ein Ring. Zum Nachweis, dass eine gegebene Teilmenge $S\subseteq R$ ein Unterring ist, hat man Folgendes zu zeigen.
* $0,1\in S$.
* $S$ ist abgeschlossen unter der Addition und der Multiplikation.
* Mit $f\in S$ ist auch $-f\in S$.
Die natürlichen Zahlen $\mathbb {N}$ erfüllen in $\mathbb {Z}$ die ersten beiden Bedingungen, aber nicht die dritte. Die Menge aller geraden Zahlen erfüllen alle Bedingungen außer der, dass die $1$ dazugehört. Ebenso ist $\{0\}$ kein Unterring, da darin die $1$ fehlt (obwohl im Nullring für sich betrachtet $0=1$ ist, das ist aber nicht die $1$ von $\mathbb {Z}$). Die Menge $\{-1,0,1\}$ erfüllt die erste und die dritte Bedingung und ist abgeschlossen unter der Multiplikation, aber nicht unter der Addition. Die ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$ haben überhaupt nur sich selbst als Unterring.
Zu einer Teilmenge $M\subseteq R$ eines Ringes definiert man den durch $M$ erzeugten Unterring als den kleinsten Unterring von $R$, der $M$ umfasst. Wir bezeichnen ihn mit $\mathbb {Z} [M]$, da ja jeder Unterring automatisch alle Vielfachen der $1$ enthalten muss. Dieser kleinste Unterring ist der Durchschnitt über alle Unterringe, die $M$ umfassen. Er besteht aus allen Termen, die man mit den Elementen aus $M$ und ihren Negativen mit Addition und Multiplikation erhalten kann.
# Vektorbündel/Offene Menge/Basisschnitte/Definition

{{ Mathematischer Text/Definition |Text= Es sei $p\colon V\rightarrow X$ ein reelles Vektorbündel vom Rang $r$ über einem topologischen Raum $X$ und sei $U\subseteq X$ eine offene Teilmenge. Eine Familie von stetigen Schnitten {{ Abbildung/display |name=s_1 , \ldots , s_n | U|V {{|}}_U || |SZ= }} heißt eine Familie von Basisschnitten,
wenn für jeden Punkt $P\in U$ die Vektoren $s_{1}(P),\ldots ,s_{n}(P)\in V_{P}$ eine Basis von $V_{P}$ bilden. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der reellen Vektorbündel auf topologischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=
|Definitionswort=Basisschnitte |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }}
# Vektorfeld/Offene Teilmenge/Rekonstruktion der Koeffizentenfunktionen/Aufgabe

Es sei $D=\sum _{j=1}^{n}g_{j}\partial _{j}$ ein Differentialoperator auf einer offenen Menge $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$. Die Auswertung von $D$ an welchen differenzierbaren Funktionen gibt die Koeffizientenfunktionen $g_{j}$ aus?
# Vektorfelder/Lie-Klammer/Berechnung/1/Aufgabe

Wir betrachten auf dem $\mathbb {R} ^{3}$ die Vektorfelder
    $D=-y\partial _{x}+z\partial _{y}-x\partial _{z}\,,$
    $E=5\partial _{x}-3\partial _{y}+\cos \left(xy\right)\partial _{z}\,,$
und
    $F=4e^{xyz}\partial _{y}-z^{3}\partial _{z}\,.$
* Berechne $[D,E]$.
* Berechne $[D,F]$.
* Berechne $[E,F]$.
* Berechne $[[D,E],F]$.
# Vektorfelder/Lie-Klammer/D und D/Aufgabe

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und $D$ ein differenzierbares Vektorfeld auf $M$. Zeige $[D,D]=0$.
# Vektorfelder/Lie-Klammer/Jacobi-Identität/Fakt

Es sei $M$ eine $C^{3}$-differenzierbare Mannigfaltigkeit.
Dann gilt für $C^{2}$-Vektorfelder $D,E,F$ auf $M$ die sogenannte Jacobi-Identität
# Vektorfelder/Lie-Klammer/Jacobi-Identität/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $M$ eine $C^{3}$-differenzierbare Mannigfaltigkeit. Zeige, dass für $C^{2}$-Vektorfelder $D,E,F$ auf $M$ die sogenannte Jacobi-Identität
    $[[D,E],F]+[[E,F],D]+[[F,D],E]=0\,$
gilt.
# Vektorraum/Endlichdimensional/Unterraum/Direktes Komplement/Fakt/Beweis/Aufgabe

Beweise des Satz über die Existenz eines direkten Komplementes zu einem Untervektorraum $U\subseteq V$ in einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$.
# Vektorraum/Endomorphismen/Lie-Algebra/Aufgabe

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum über einem Körper $K$ und sei
    $L=\operatorname {End} _\,(V)\,$
die Menge aller linearen $K$-Endomorphismen von $V$ nach $V$. Zeige, dass $L$, versehen mit
    $[f,g]:=f\circ g-g\circ f\,,$
eine Lie-Algebra ist.
# Vektorraum/Erzeugendensystem/Einführung/Textabschnitt
## Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Es sei $v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Familie von Vektoren in $V$. Dann heißt der Vektor
    $s_{1}v_{1}+s_{2}v_{2}+\cdots +s_{n}v_{n}{\text{ mit }}s_{i}\in K$
eine Linearkombination dieser Vektoren (zum Koeffiziententupel $(s_{1},\ldots ,s_{n})$).
Zwei unterschiedliche Koeffiziententupel können denselben Vektor definieren.

## Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Dann heißt eine Familie $v_{i}\in V$, $i\in I$, ein Erzeugendensystem von $V$, wenn man jeden Vektor $v\in V$ als
    $v=\sum _{j\in J}s_{j}v_{j}\,$
mit einer endlichen Teilfamilie $J\subseteq I$ und mit $s_{j}\in K$ darstellen kann.
Im $K^{n}$ bilden die Standardvektoren $e_{i}$, $1\leq i\leq n$, ein Erzeugendensystem. Im Polynomring $K[X]$ bilden die Potenzen $X^{n}$, $n\in \mathbb {N}$, ein (unendliches) Erzeugendensystem.

## Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Zu einer Familie $v_{i}$, $i\in I$, setzt man
    $\langle v_{i},\,i\in I\rangle ={\left\{\sum _{i\in J}s_{i}v_{i}\mid s_{i}\in K,\,J\subseteq I{\text{ endliche Teilmenge}}\right\}}\,$
und nennt dies den von der Familie erzeugten oder aufgespannten Untervektorraum.
Der von der leeren Menge erzeugte Unterraum ist der Nullraum. Dieser wird ebenso von der $0$ erzeugt. Zu einem einzigen Vektor $v$ besteht der aufgespannte Raum aus $Kv={\left\{sv\mid s\in K\right\}}$. Bei $v\neq 0$ ist dies eine Gerade, was wir im Rahmen der Dimensionstheorie noch präzisieren werden. Bei zwei Vektoren $v$ und $w$ hängt die „Gestalt“ des aufgespannten Raumes davon ab, wie die beiden Vektoren sich zueinander verhalten. Wenn sie beide auf einer Geraden liegen, d.h. wenn $w=sv$ gilt, so ist $w$ überflüssig und der von den beiden Vektoren erzeugte Unterraum stimmt mit dem von $v$ erzeugten Unterraum überein. Wenn dies nicht der Fall ist (und $v$ und $w$ nicht $0$ sind), so erzeugen die beiden Vektoren eine „Ebene“.
Wir fassen einige einfache Eigenschaften für Erzeugendensysteme und Unterräume zusammen.

## Lemma

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Dann gelten folgende Aussagen.

### Beweis

$\Box$
* ↑ Dies kann man als Definition nehmen oder aber aus der Definition ableiten, wenn man die Konvention berücksichtigt, dass die leere Summe gleich $0$ ist.
* ↑ Der Durchschnitt $\bigcap _{j\in J}T_{j}$ zu einer beliebigen Indexmenge $J$ und einer durch $J$ indizierten Familie $T_{j}$, $j\in J$, von Teilmengen einer festen Obermenge $M$ besteht aus allen Elementen aus $M$, die in allen Mengen $T_{j}$ enthalten sind.
* ↑ In der Bezeichnung „erzeugter Untervektorraum“ wurde diese Eigenschaft schon vorweg genommen.
# Vektorraum/K/Halbnorm/Halbmetrik/Definition

Auf einem ${\mathbb {K} }$-Vektorraum $V$ mit einer Halbnorm $\Vert {-}\Vert$ definiert man die zugehörige Halbmetrik
durch
    $d(v,w):=\Vert {v-w}\Vert \,.$
# Vektorraum/K/Halbnorm/Raum mit Halbmetrik/Fakt/Beweis

* Es ist $d{\left(u,v\right)}=\Vert {u-v}\Vert \geq 0$.
* Es ist
    ${\begin{aligned}d{\left(u,v\right)}&=\Vert {u-v}\Vert \\&=\Vert {-1(v-u)}\Vert \\&=\vert {-1}\vert \cdot \Vert {v-u}\Vert \\&=d{\left(v,u\right)}.\end{aligned}}$
* Für beliebiges $w\in V$ ist nach der Definition einer Halbnorm
    ${\begin{aligned}d{\left(u,v\right)}&=\Vert {u-v}\Vert \\&\leq \Vert {u-w}\Vert +\Vert {w-v}\Vert \\&=d{\left(u,w\right)}+d{\left(w,v\right)}.\end{aligned}}$
Zum Nachweis der Stetigkeit der Addition sei $(u,v)\in V\times V$ fixiert und $\epsilon >0$ vorgegeben. Es sei
    $(u',v')\in U{\left(u,{\frac {\epsilon }{2}}\right)}\times U{\left(v,{\frac {\epsilon }{2}}\right)}\,,$
hierbei ist die Produktmenge links eine offene Umgebung von $(u,v)$. Hier gilt
    ${\begin{aligned}\Vert {u'+v'-(u+v)}\Vert &\leq \Vert {u'-u}\Vert +\Vert {v'-v}\Vert \\&<{\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}\\&=\epsilon .\end{aligned}}$
Zum Nachweis der Stetigkeit der Skalarmultiplikation sei $(s,v)\in {\mathbb {K} }\times V$ fixiert und $\epsilon >0$ vorgegeben, das wir als $\leq 1$ annehmen. Es sei $D=\Vert {v}\Vert$ und
    $C=\operatorname {max} \left(D,\,\vert {s}\vert \,,1\right)\,.$
Es sei $(t,u)\in U{\left(s,{\frac {\epsilon }{4C}}\right)}\times U{\left(v,{\frac {\epsilon }{4C}}\right)}$. Dann ist
    ${\begin{aligned}\Vert {tu-sv}\Vert &\leq \Vert {tu-su}\Vert +\Vert {su-sv}\Vert \\&=\vert {t-s}\vert \Vert {u}\Vert +\vert {s}\vert \Vert {u-v}\Vert \\&\leq {\frac {\epsilon }{4C}}{\left(C+{\frac {\epsilon }{4C}}\right)}+C{\frac {\epsilon }{4C}}\\&\leq {\frac {\epsilon }{4}}+{\frac {\epsilon }{4}}+{\frac {\epsilon }{4}}\\&<\epsilon .\end{aligned}}$