OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Wendepunkt/Konvexitätsverhalten/Definition

Es sei
    $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$
eine auf einem Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$ definierte Funktion und $c\in I$ ein innerer Punkt von $I$. Man sagt, dass in $c$ ein Wendepunkt
von $f$ vorliegt, wenn es ein $\epsilon >0$ derart gibt, dass $f$ auf $[c-\epsilon ,c]$ konvex (konkav) und auf $[c,c+\epsilon ]$ konkav (konvex) ist.
# Differentialformen/Zurückziehen auf M in R^n/f und df/Aufgabe

Es sei $i:M\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit. Zeige, dass für eine differenzierbare Funktion
    $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$
die Beziehung
    $i^{*}(df)=d(f\circ i)\,$
gilt.
# 3x3Matrix/235/Jordan/Beispiel

Wir wollen Fakt auf
    $M={\begin{pmatrix}0&2&3\\0&0&5\\0&0&0\end{pmatrix}}\,$
anwenden. Es ist
    $M^{2}={\begin{pmatrix}0&2&3\\0&0&5\\0&0&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0&2&3\\0&0&5\\0&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&10\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\,$
und
    $M^{3}=0\,.$
Somit ist
    $V_{1}=\operatorname {kern} M=\langle e_{1}\rangle ,\,V_{2}=\operatorname {kern} M^{2}=\langle e_{1},e_{2}\rangle {\text{ und }}V_{3}=K^{3}.$
Es ist
    $V_{3}=V_{2}\oplus \langle e_{3}\rangle \,,$
sodass wir
    $U_{3}=\langle e_{3}\rangle \,$
wählen können. Es ist
    $Me_{3}={\begin{pmatrix}3\\5\\0\end{pmatrix}}\in V_{2}\,.$
Somit ist
    $V_{2}=V_{1}\oplus U_{2}\,$
mit
    $U_{2}=\langle {\begin{pmatrix}3\\5\\0\end{pmatrix}}\rangle \,.$
Schließlich ist
    $M^{2}e_{3}=M{\begin{pmatrix}3\\5\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&2&3\\0&0&5\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3\\5\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}10\\0\\0\end{pmatrix}}\,.$
Daher ist
    ${\begin{pmatrix}10\\0\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}3\\5\\0\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$
eine Basis wie gewünscht.
Die inverse Matrix zu
    $B={\begin{pmatrix}10&3&0\\0&5&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\,$
ist
    ${\begin{pmatrix}{\frac {1}{10}}&-{\frac {3}{50}}&0\\0&{\frac {1}{5}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$
und es ist
    ${\begin{aligned}B^{-1}MB&={\begin{pmatrix}{\frac {1}{10}}&-{\frac {3}{50}}&0\\0&{\frac {1}{5}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&2&3\\0&0&5\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10&3&0\\0&5&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\frac {1}{10}}&-{\frac {3}{50}}&0\\0&{\frac {1}{5}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&10&3\\0&0&5\\0&0&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$
# Affine Varietäten/K-Spektrum/D(f) als K-Spek von R f/Bemerkung

Fakt besagt insbesondere, dass eine offene Menge $D(f)\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ selbst das $K$-Spektrum einer endlich erzeugten $K$-Algebra ist (nämlich von $R_{f}$, das über $R$ von $1/f$ erzeugt wird), und sich daher auch als Zariski-abgeschlossene Menge eines affinen Raumes realisieren lassen muss. Aus
    $R_{f}\cong R[T]/(Tf-1)\,$
(siehe Aufgabe) erhält man eine solche Realisierung. Es sei $R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$. Dann liefert der surjektive Ringhomomorphismus
    $K[X_{1},\ldots ,X_{n},T]\longrightarrow (K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}})[T]\longrightarrow ((K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}})[T])/(Tf-1)\cong R_{f}$
eine (nach Fakt (3)) abgeschlossene Einbettung von $D(f)$ in ${{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}$. Ist $\psi$ die Gesamtinklusion
    $D(f)\subseteq K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\,,$
so kann man die abgeschlossene Einbettung auch als
    $\psi \times {\frac {1}{f}}\colon D(f)\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\times {\mathbb {A} }_{K}^{1}$
auffassen, wobei hier wieder das Produkt von Varietäten auftritt.
# 1- cos x/Komplexe Exponentialfunktion/Abschätzung/Aufgabe/Lösung

* Die Abschätzung ist für $x=0$ wegen $\cos x=1$ richtig. Die Funktion $f(x)={\frac {x^{2}}{2}}-1+\cos x$ besitzt die Ableitungen und Diese ist somit stets $\geq 0$, daher ist auch $f'$ stets $\geq 0$ und somit ist $f$ wachsend und also $f(x)\geq 0$ für $x\in \mathbb {R} _{\geq 0}$, was die Behauptung ist.
    $f'(x)=x-\sin x\,$
    $f^{\prime \prime }(x)=1-\cos x\,.$
* Es ist Dies ist $\leq \vert {x}\vert ^{2}$ nach Teil (1). Wurzelziehen ergibt die Behauptung.
    ${\begin{aligned}\vert {1-e^{{\mathrm {i} }x}}\vert ^{2}&={\left(1-e^{{\mathrm {i} }x}\right)}{\overline {1-e^{{\mathrm {i} }x}}}\\&={\left(1-e^{{\mathrm {i} }x}\right)}{\left(1-e^{-{\mathrm {i} }x}\right)}\\&=2-{\left(e^{{\mathrm {i} }x}+e^{-{\mathrm {i} }x}\right)}\\&=2-2\cos x\\&=2(1-\cos x).\end{aligned}}$
# Z-graduierter Ring/Veronese-Unterring/Definition

Es sei $A$ eine $\mathbb {Z}$-graduierte $R$-Algebra und $s\in \mathbb {N} _{+}$. Dann nennt man
    $A^{(s)}:=\oplus _{n\in \mathbb {Z} }A_{sn}\subseteq A\,$
den $s$-ten Veronese-Ring von $A$.
# Differentialgleichung dritter Ordnung/y^(3) ist 9y-3ty^p+y^pp/Polynomialer Ansatz/Aufgabe

Finde alle polynomialen Lösungen der Differentialgleichung dritter Ordnung
    $y^{\prime \prime \prime }=9y-3ty'+y^{\prime \prime }\,.$
# Riemannsche Flächen/Basisfläche/Unverzweigte Überlagerung/Meromorphe Funktion/Algebraische Gleichung/Fakt/Beweis

Wir betrachten die meromorphen Funktionen $f_{i}$ im Sinne von Fakt und das Polynom
    $\prod _{i=1}^{n}(T-f_{i})=T^{n}-E_{1}(f)T^{n-1}\pm \ldots \pm E_{n-1}(f_{1},\ldots ,f_{n})T\pm E_{n}(f)\,,$
wobei die $E_{j}(f)$ die elementar-symmetrischen Polynome in den $f_{i}$ sind, die auf ganz $X$ definiert sind. Diese sind meromorphe Funktionen auf $X$, das Polynom gehört zum Polynomring über dem Körper der meromorphen Funktionen zu $X$ und die Faktorzerlegung existiert über dem Körper der meromorphen Funktionen zu $U$ bzw. zu $\pi ^{-1}(U)$. Wenn man in dieses Polynom $f$ einsetzt, so erhält man die Nullfunktion, da man dies auf den offenen Mengen $V_{i}$ lokal überprüfen kann. D.h. $f$ erfüllt eine algebraische Gleichung vom Grad $n$ über dem Körper der meromorphen Funktionen von $X$.
# 3x3Matrix/370/Jordan/Beispiel

Wir wollen Fakt auf
    $M={\begin{pmatrix}0&3&7\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\,$
anwenden. Es ist
    $M^{2}=0\,.$
Somit ist
    $V_{1}=\operatorname {kern} M=\langle e_{1},7e_{2}-3e_{3}\rangle {\text{ und }}V_{2}=K^{3}.$
Es ist
    $V_{2}=V_{1}\oplus \langle e_{3}\rangle \,,$
sodass wir
    $U_{2}=\langle e_{3}\rangle \,$
wählen können. Es ist
    $Me_{3}={\begin{pmatrix}7\\0\\0\end{pmatrix}}\in V_{1}\,.$
Somit ist
    $V_{1}=\langle {\begin{pmatrix}7\\0\\0\end{pmatrix}},7e_{2}-3e_{3}\rangle =U_{1}\,.$
Daher ist
    ${\begin{pmatrix}0\\7\\-3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}7\\0\\0\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$
eine Basis wie gewünscht. In dieser Basis wird die lineare Abbildung durch die Matrix
    ${\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}$
beschrieben.
# 1- Wurzel aus 1+x^2/Erste und zweite Ableitung/Aufgabe/Lösung

* Die erste Ableitung ist
    $f'(x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,.$
* Die zweite Ableitung ist nach der Quotientenregel gleich
    ${\begin{aligned}{\left({\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)}'&={\frac {{\sqrt {1-x^{2}}}-x{\frac {-x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}{1-x^{2}}}\\&={\frac {1-x^{2}+x^{2}}{{\sqrt {1-x^{2}}}^{3}}}\\&={\frac {1}{{\sqrt {1-x^{2}}}^{3}}}.\end{aligned}}$
# Affiner Raum/Affin-lineare Abbildung/Bemerkung

Eine Abbildung
    $\psi \colon E\longrightarrow F$
ist genau dann affin-linear mit linearem Anteil $\varphi$, wenn das Diagramm
    ${\begin{matrix}V\times E&{\stackrel {+}{\longrightarrow }}&E&\\\!\!\!\!\!\varphi \times \psi \downarrow &&\downarrow \psi \!\!\!\!\!&\\W\times F&{\stackrel {+}{\longrightarrow }}&F&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$
kommutiert. Zu einer affin-linearen Abbildung
    $\psi \colon E\longrightarrow F$
ist der lineare Anteil (bei $E\neq \emptyset$)
    $\varphi \colon V\longrightarrow W$
eindeutig bestimmt. Es ist nämlich notwendigerweise
    $\varphi (v)={\overrightarrow {\psi (P)\psi (P+v)}}\,$
für einen beliebigen Punkt $P\in E$. Daher bezeichnen wir den linearen Anteil mit $\psi _{0}$. Für zwei Punkte $P,Q\in E$ gilt insbesondere
    $\psi _{0}({\overrightarrow {PQ}})={\overrightarrow {\psi (P)\psi (Q)}}\,.$
# Z/Binäre quadratische Form/Darstellbar/Definition

Man sagt, dass eine ganze Zahl $n$ durch eine binäre quadratische Form
    $aX^{2}+bXY+cY^{2}$
darstellbar
ist, wenn es ganze Zahlen $(x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}$ mit
    $n=ax^{2}+bxy+cy^{2}\,$
gibt.
# Differentialgleichung/Archimedische Spiralen als Lösungen/Ohne Phase/Spezielles Anfangswertproblem/Aufgabe

a) Zeige, dass die archimedischen Spiralen
    $\mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(at\cos t,\,at\sin t\right),$
(zu $a>0$) Lösungskurven für die Differentialgleichung (bei $t>0$)
    ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}-y+{\frac {x}{t}}\\x+{\frac {y}{t}}\end{pmatrix}}\,$
sind.
b) Man gebe eine Lösung für das Anfangswertproblem
    $v{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}={\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}}\,$
zu dieser Differentialgleichung an.
# Riemannsche Flächen/Basisfläche/Unverzweigte Überlagerung/Meromorphe Funktion/Elementarsymmetrische Funktionen/Fakt/Beweis

Auf einer offenen Menge $U\subseteq X$ mit der formulierten Eigenschaft kann man $f_{i}$ über $f_{i}\circ \pi$ auch als Funktionen auf $\pi ^{-1}(U)$ auffassen, die invariant unter der Vertauschung der Kopien oberhalb von $U$ sind. Die Funktionen $E_{j}(f_{1},\ldots ,f_{n})$ sind aufgefasst auf $\pi ^{-1}(U)$ ebenfalls invariant unter einer Vertauschung der Indizes $i$ und man kann sie daher unmittelbar als meromorphe Funktionen auf $U$ auffassen. Zu einer anderen offenen Menge mit der formulierten Eigenschaft erhält man jeweils die gleiche Funktion, da die Nummerierung der Urbilder keine Rolle spielt.
# Dezimalbruch/Fünftelung/Algorithmus/Verfahren

Es sei
    $z=\sum _{i=k}^{\ell }a_{i}10^{i}\,$
ein Dezimalbruch, für den der fünfte Anteil (also die Division durch $5$) berechnet werden soll. Dazu führt man für jede Ziffer $a_{i}$ für
    $i\geq k-1\,$
die Division mit Rest durch $5$ durch, d.h. man berechnet
    $a_{i}=5b_{i}+r_{i}\,.$
Aus diesen Zahlen berechnet man
    $c_{i}=b_{i}+2r_{i+1}\,.$
Dies sind die Ziffern der Fünftelung von $z$, also
    ${\frac {z}{5}}=\sum _{i=k-1}^{\ell }c_{i}10^{i}\,.$
# A-Singularität/XY-Z^n/Singulärer Ort/Beispiel

Die binomiale Gleichung $XY=Z^{n}$ definiert eine algebraische Fläche
    $V(XY-Z^{n})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}\,$
über jedem Körper $K$. Die Jacobi-Matrix ist
    $\left(Y,\,X,\,nZ^{n-1}\right).$
Bei $n=1$ ist dies überall glatt, bei $n\geq 2$ liegt im Nullpunkt eine isolierte Singularität vor. Man spricht von den $A_{n-1}$-Singularitäten (die Indizierung ist so gewählt, dass $A_{1}$ schon eine Singularität ist). Das Polynom $Z^{n}-XY\in K[X,Y,Z]$ ist irreduzibel, für $n$ prim ergibt sich dies aus Aufgabe. Der Quotientenkörper von $K[X,Y,Z]/{\left(XY-Z^{n}\right)}$ ist der rationale Funktionenkörper $K(X,Z)$, da man
    $Y=Z^{n}/X\,$
ausdrücken kann.
# Affiner Raum/Norm und Metrik/Bemerkung

Ein affiner Raum über einem normierten Vektorraum $V$ wird zu einem metrischen Raum, indem man
    $d(P,Q)=\Vert {\overrightarrow {PQ}}\Vert \,$
setzt. Diese Metrik ist invariant unter Translationen.
# 10 und 100/Letzte Ziffern/Wiederholung/Aufgabe/Lösung

a) Hier kann man direkt ausrechnen, dass $z=0,1,5,6$ die Lösungen sind.
b) Es geht um die Frage, für welche $z\in \mathbb {Z} /(100)$ die Gleichheit
    $z=z^{2}\,$
(in $\mathbb {Z} /(100)$) gilt. Es geht also darum, die idempotenten Elemente von $\mathbb {Z} /(100)$ zu finden. Wegen
    $\mathbb {Z} /(100)=\mathbb {Z} /(4)\times \mathbb {Z} /(25)\,$
$(0,0),(1,1),(1,0),(0,1)$
$0,1,25,76$
# Z/Binäre quadratische Form/Definition

Unter einer binären quadratischen Form
versteht man einen Ausdruck der Gestalt
    $aX^{2}+bXY+cY^{2}$
mit $a,b,c\in \mathbb {Z}$.
# Differentialgleichung/Archimedische Spiralen als Lösungen/Spezielles Anfangswertproblem/Aufgabe

a) Zeige, dass die archimedischen Spiralen
    $\mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(at\cos \left(t+t_{0}\right),\,at\sin \left(t+t_{0}\right)\right),$
(zu fixierten $a,t_{0}\in \mathbb {R}$) Lösungskurven für die Differentialgleichung (bei $t>0$)
    ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}-y+{\frac {x}{t}}\\x+{\frac {y}{t}}\end{pmatrix}}\,$
sind.
b) Man gebe eine Lösung für das Anfangswertproblem
    $v{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}={\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}\,$
zu dieser Differentialgleichung an.
# Dezimalbruch/Halbierung/Algorithmus/Verfahren

Es sei
    $z=\sum _{i=k}^{\ell }a_{i}10^{i}\,$
ein Dezimalbruch, für den die Halbierung (also die Division durch $2$) durchgeführt werden soll. Dazu führt man für jede Ziffer $a_{i}$ für
    $i\geq k-1\,$
die Division mit Rest durch $2$ durch, d.h. man berechnet
    $a_{i}=2b_{i}+r_{i}\,.$
Aus diesen Zahlen berechnet man
    $c_{i}=b_{i}+5r_{i+1}\,.$
Dies sind die Ziffern der Halbierung von $z$, also
    ${\frac {z}{2}}=\sum _{i=k-1}^{\ell }c_{i}10^{i}\,.$
# A1-Singularität/Gleichung und Quotient/Beispiel

Die durch $Z^{2}-XY$ gegebene Nullstellenmenge hat im Nullpunkt eine Singularität. Wir betrachten auf dem $\mathbb {R} ^{2}$ den Automorphismus (die Punktspiegelung) $u\mapsto -u,v\mapsto -v$. Jeder Punkt wird also auf den gegenüberliegenden Punkt abgebildet, nur der Nullpunkt wird auf sich selbst abgebildet. Welches geometrische Objekt entsteht, wenn man jeden Punkt mit seinem Gegenüber identifiziert? Ein sinnvoller Ansatz ist hier, nach Funkionen auf dem $K^{2}$ zu suchen, die für je zwei gegenüberliegende Punkte den gleichen Wert haben. Beispiele für solche Funktionen sind $u^{2},v^{2},uv$. Alle Polynome in $u,v$ mit dieser Invarianzeigenschaft lassen sich als Polynom in diesen drei Monomen schreiben. Diese drei Monome stehen untereinander in einer Beziehung, es gilt
    $(uv)^{2}=u^{2}v^{2}\,.$
Wenn man $z=uv$, $x=u^{2}$ und $y=v^{2}$ setzt, so ist dies die Gleichung vom Anfang. Wir haben also ein Beispiel einer Singularität, die sich als Nullstellenmenge eines Polynom und als Quotientenmenge unter einer natürlichen Identifizierung erhalten lässt.
# 10-Cent/Darstellung mit Münzen/Anzahl/Aufgabe/Lösung

Wir zählen zunächst die Möglichkeiten, mit den $5$- und $10$-Centmünzen die folgenden Beträge darzustellen:
    $0{\text{ Cent}}:1{\text{ Möglichkeit}},$
    $5{\text{ Cent}}:1{\text{ Möglichkeit}},$
    $10{\text{ Cent}}:2{\text{ Möglichkeiten}}.$
Dann betrachten wir in jedem Fall, mit wie vielen $2$-Centmünzen man jeweils noch unterhalb von $10$ Cent bleibt, der verbleibende Rest wird mit $1$-Centmünzen aufgefüllt. Hierfür gibt es der Reihe nach
    $6,3,1{\text{ Möglichkeiten}}.$
Diese Möglichkeiten für die Zweier muss man mit den obigen Möglichkeiten multiplizieren, das ergibt insgesamt
    $1\cdot 6+1\cdot 3+2\cdot 1=11\,$
# Z/Binäre quadratische Form/Strikte Äquivalenz/Definition

Zwei binäre quadratische Formen
    $F=aX^{2}+bXY+cY^{2}\,\,{\text{ und }}\,\,F'=a'X^{2}+b'XY+c'Y^{2}$
heißen strikt äquivalent,
wenn es eine ganzzahlige $2\times 2$-Matrix $M$ mit Determinante $1$ und mit
    $F'=FM\,$
gibt.
# Differentialgleichung/C/Höhere Ordnung/y(n) ist y/Aufgabe

Zeige, dass es zu jedem $n\in \mathbb {N} _{+}$ unendlich oft differenzierbare Funktionen
    $f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto f(z),$
derart gibt, dass die $n$-te Ableitung $f^{(n)}$ mit $f$ übereinstimmt, die Ableitungen $f^{(i)}$, $i<n$, aber nicht.
# Riemannsche Flächen/Holomorphe Abbildung/Holomorphe Differentialform/Rückzug/Fakt/Beweis

Die Aussage ist lokal, wir können also davon ausgehen, dass $p$ eine holomorphe Funktion zwischen offenen Kreisscheiben
$X$ und $Y$ ist und dass
    $\omega =fdz\,$
mit einem lokalen Parameter $z$ auf $Y$ und einer holomorphen Funktion $f$ auf $Y$ ist. In dieser Situation ist
    $p^{*}\omega =p^{*}{\left(fdz\right)}=(f\circ p)d(z\circ p)\,.$
# Algebraische Differentialoperatoren/Rational/Aufblasung/Bemerkung

Wir betrachten den affinen Raum ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ und die Aufblasung ${\tilde {X}}$ davon im Nullpunkt. Ein affiner Ausschnitt davon ist
    $\operatorname {Spec} {\left(K[x_{1},{\frac {x_{2}}{x_{1}}},\ldots ,{\frac {x_{n}}{x_{1}}}]\right)}.$
Die partiellen Ableitungen $\partial _{i}$ sind nicht fortsetzbar auf die Aufblasung, die $x_{i}\partial _{i}$ sind fortsetzbar und sind Derivationen vom Grad $0$. Wenn man von
    ${\widetilde {{\mathbb {A} }_{K}^{2}}}=\operatorname {Proj} K[X,Y,Z,W]/(XY-ZW)\,$
mit $X,Z$ vom Grad $0$ und $Y,W$ vom Grad $1$ ausgeht und den unitären Operator aus Beispiel, also
    $\partial _{X}+X\partial _{X}^{2}+Z\partial _{X}\partial _{Z}+Y\partial _{Z}\partial _{W}+W\partial _{X}\partial _{W},$
betrachtet, so besitzt dieser in der gegebenen Graduierung den Grad $0$. Auf $K[X,{\frac {Z}{X}}]$ bildet dies $X$ auf $1$ und ${\frac {Z}{X}}$ auf $-{\frac {Z}{X^{2}}}+2{\frac {Z}{X^{2}}}-{\frac {Z}{X^{2}}}=0$ ab. Auf $K[Z,{\frac {X}{Z}}]$ bildet dies $Z$ auf $0$ und ${\frac {X}{Z}}$ auf ${\frac {1}{Z}}-{\frac {1}{Z}}=0$ ab. Es gibt also auf nichtaffinen, semiaffinen (eigentlich über einem affinen Schema) (globale nichtkonstante) unitäre Differentialoperatoren. Die birationale Beschreibung dieses Operators ist einfach
    $\partial _{X}+X\partial _{X}^{2}+Z\partial _{X}\partial _{Z}={\left(1+X\partial _{X}+Z\partial _{Z}\right)}\partial _{X}\,.$
Es ist ja nur die Wirkungsweise des Operators auf den Monomen $X^{i}Z^{j}$ relevant, und diese werden durch die beiden hinteren Summanden des Operators annulliert.
Wenn man zusätzlich an einem weiteren Punkt $(a,b)$ aufbläst, so ist dieser Operator auf der Gesamtaufblasung nicht global definiert. Es ist ja
    $F{\left({\frac {X-a}{Z-b}}\right)}={\left(1+X\partial _{X}+Z\partial _{Z}\right)}{\frac {1}{Z-b}}={\frac {1}{Z-b}}-Z{\frac {1}{(Z-b)^{2}}}={\frac {Z-b-Z}{(Z-b)^{2}}}={\frac {-b}{(Z-b)^{2}}}\,,$
was bei $b\neq 0$ nicht zum Bewertungsring des exzeptionellen Divisors gehört, obwohl ${\frac {X-a}{Z-b}}$ dazugehört.
# 10/Teilerfremd/Endziffer/Aufgabe/Lösung

Wegen
    $10^{k}=2^{k}\cdot 5^{k}\,$
bedeuten (1), (2) und (3) jeweils, dass in der Primfaktorzerlegung von $z$ weder $2$ noch $5$ vorkommt. Wegen
    $z=10v+r\,$
mit der Endziffer $r$ zwischen $0$ und $9$ ist $z$ ein Vielfaches von $2$ (bzw. von $5$)
$r$
$5$
$z$
$2$
$5$
$1,3,7$
$9$
# Z/Binäre quadratische Form/Äquivalenz/Definition

Zwei binäre quadratische Formen
    $F=aX^{2}+bXY+cY^{2}\,\,{\text{ und }}\,\,F'=a'X^{2}+b'XY+c'Y^{2}$
heißen äquivalent,
wenn es eine ganzzahlige invertierbare $2\times 2$-Matrix $M$ mit
    $F'=FM\,$
gibt.
# Differentialgleichung/Getrennte Variablen/y' ist ty/Aufgabe

Löse die Differentialgleichung
    $y'=ty\,$
mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen.
# Riemannsche Flächen/Holomorphe endliche Abbildung/Decktransformationen und Galoisgruppe/Fakt/Beweis

Für eine Decktransformation
    $\varphi \colon Y\longrightarrow Y$
und eine meromorphe Funktion $f\in {\mathcal {M}}{\left(Y\right)}$ ist auch $f\circ \varphi$ wieder meromorph, wobei meromorphe Funktionen auf $X$ in sich selbst überführt werden. Daher erhält man eine natürliche Abbildung
    $\operatorname {Deck} {\left(Y{|}X\right)}\longrightarrow \operatorname {Gal} \,({\mathcal {M}}{\left(Y\right)}{|}{\mathcal {M}}{\left(X\right)}),$
die offenbar ein Gruppenhomomorphismus ist. Es werde ${\mathcal {M}}{\left(Y\right)}$ über ${\mathcal {M}}{\left(Y\right)}$ von der meromorphen Funktion $g$ erzeugt und es sei
    $H(T)=T^{n}+a_{n-1}T^{n-1}+\cdots +a_{1}T+a_{0}\,$
das Minimalpolynom mit $a_{j}\in {\mathcal {M}}{\left(X\right)}$. Es sei $Q\in X$ ein Punkt, der nicht im Verzweigungsbild liegt und wo die Koeffizientenfunktionen $a_{j}$ holomorph seien, mit den Urbildpunkten $P_{1},\ldots ,P_{n}$. Dann besitzt $g$ an diesen Punkten unterschiedliche Werte. Aus $g\circ \varphi =g$ im Körper ${\mathcal {M}}{\left(Y\right)}$ für alle Decktransformationen $\varphi$ folgt, dass diese Punkte in sich selbst überführt werden und daraus ergibt sich überhaupt mit Fakt, dass $\varphi$ die Identität ist. Der Gruppenhomomorphismus ist also injektiv.
Es sei nun $\psi$ ein Automorphismus des Körpers. Dieser ist durch das Bild ${\tilde {g}}$ des Erzeugers $g$ festgelegt, und ${\tilde {g}}$ erfüllt ebenfalls das Minimalpolynom. Wir betrachten
    $V={\left\{(x,t)\in X'\times {\mathbb {C} }\mid H(x,t)=0\right\}}\subseteq X'\times {\mathbb {C} }\,,$
wobei $X'$ die Teilmenge von $X$ bezeichne, auf der eine Überlagerung $Y'\rightarrow X'$ vorliegt und so, dass die $a_{j}$ auf $X'$ und $g$ auf $Y'$ holomorph ist. Wegen Fakt ist $Y'$ biholomorph zum Nullstellengebilde zu $H$ über $X'$. Die Abbildung
    $\varphi (x,t)=(x,{\tilde {g}}(x,t))\,$
ist eine Decktransformation oberhalb von $X'$, die auf $\psi$ abbildet. Nach Fakt lässt sich die Decktransformation auf ganz $Y$ ausdehnen.
# A1-Singularität/Primideal/Symbolische Potenz/Beispiel

Wir betrachten im Ring $R=K[X,Y,Z]/{\left(XY-Z^{2}\right)}$ das Primideal ${\mathfrak {p}}=(X,Z)$. Es ist
    ${\mathfrak {p}}^{2}={\left(X^{2},XZ,Z^{2}\right)}={\left(X^{2},XZ,XY\right)}=(X){\left(X,Z,Y\right)}\,.$
Dagegen gilt wegen
    $X={\frac {1}{Y}}\cdot Z^{2}\,$
in $R_{\mathfrak {p}}$ die Zugehörigkeit $X\in {\mathfrak {p}}^{(2)}$ und somit
    ${\mathfrak {p}}^{2}=(X){\left(X,Y,Z\right)}\subset (X)={\mathfrak {p}}^{(2)}\,.$
# Algebraische Differentialoperatoren/Rational/Projektiver Raum/Bemerkung

Wir betrachten den affinen Raum ${{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ und den projektiven Raum ${\mathbb {P} }_{K}^{n}$. Die projektiven Koordinaten seien $y_{0},y_{1},\ldots ,y_{n}$, ein affiner Ausschnitt davon ist
    $D_{+}(y_{0})=\operatorname {Spec} {\left(K[{\frac {y_{1}}{y_{0}}},\ldots ,{\frac {y_{n}}{y_{0}}}]\right)}\,.$
Wir setzen
    $u_{i}={\frac {y_{i}}{y_{0}}}\,.$
Dann sind die partiellen Ableitungen $\partial _{u_{i}}$ auf die anderen affinen Stücke ausdehnbar. Mit
    $D_{+}(y_{n})=\operatorname {Spec} {\left(K[{\frac {y_{0}}{y_{n}}},\ldots ,{\frac {y_{n-1}}{y_{n}}}]\right)}=\operatorname {Spec} {\left(K[{\frac {u_{j}}{u_{n}}},j\neq 0,n,\,{\frac {1}{u_{n}}}]\right)}\,.$
Dabei ist
    $\partial _{u_{j}}{\left({\frac {u_{r}}{u_{s}}}\right)}={\begin{cases}0\,,{\text{ bei }}r,s\neq j\,,\\{\frac {1}{u_{s}}}\,,{\text{ bei }}r=j\,,\\-{\frac {u_{r}}{u_{s}^{2}}}\,,{\text{ bei }}s=j\,.\end{cases}}\,$
Somit handelt es sich um eine Derivation auf dem projektiven Raum.
    $y_{i}\partial _{y_{j}}{\left({\frac {y_{r}}{y_{s}}}\right)}={\begin{cases}0\,,{\text{ bei }}r,s\neq j\,,\\{\frac {y_{i}}{y_{s}}}\,,{\text{ bei }}r=j\,,\\-{\frac {y_{i}y_{r}}{y_{s}^{2}}}\,,{\text{ bei }}s=j\,.\end{cases}}\,$
Speziell ist für $y_{0}\partial _{y_{j}}$
    $y_{0}\partial _{y_{j}}{\left({\frac {y_{r}}{y_{s}}}\right)}={\begin{cases}0\,,{\text{ bei }}r,s\neq j\,,\\{\frac {y_{0}}{y_{s}}}={\frac {1}{u_{s}}}\,,{\text{ bei }}r=j\,,\\-{\frac {y_{0}y_{r}}{y_{s}^{2}}}=-{\frac {1}{u_{s}}}\cdot {\frac {u_{r}}{u_{s}}}\,,{\text{ bei }}s=j\,,\end{cases}}\,$
das stimmt also mit $\partial _{u_{j}}$ überein.
# 2-Sphäre/Tangentialvektor/Norm 1/Großkreis/Aufgabe/Lösung

Es sei $P={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$ und $v={\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}$. Beide Vektoren sind normiert und stehen senkrecht aufeinander, da die Tangentialebene an die Sphäre senkrecht auf dem Ortsvektor steht. Wir betrachten den Weg
    $\gamma \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$
mit
    $\gamma (t)={\left(\cos t\right)}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}+{\left(\sin t\right)}{\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}\,.$
Es ist
    $\Vert {\gamma (t)}\Vert =\cos ^{2}t+\sin ^{2}t=1\,,$
der Weg verläuft also ganz auf der Sphäre. Ferner ist
    $\gamma (0)={\left(\cos 0\right)}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}+{\left(\sin 0\right)}{\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\,$
und
    $\gamma '(0)=-{\left(\sin 0\right)}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}+{\left(\cos 0\right)}{\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}\,.$
# Zahlbereich/Dedekindsche Zetafunktion/Definition

Es sei $R$ ein Zahlbereich. Man nennt
    $\zeta _{R}(s)=\sum _{{\mathfrak {a}}\neq 0}{\frac {1}{N({\mathfrak {a}})^{s}}}\,$
die Dedekindsche Zetafunktion
zu $R$.
# Differentialgleichung/Getrennte Variablen/y' ist y/Aufgabe

Bestimme alle Lösungen der Differentialgleichung
    $y'=y\,$
mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen. Erhält man dabei alle Lösungen?