# Aussagenvariablen/Gleichung mit Variablen/Einbettung/Aufgabe/Lösung

* Wir definieren die Abbildung $\Psi$ rekursiv über den Aufbau von $L$. Für eine Aussagenvariable $p_{i}$ setzen wir Für setzen wir und für setzen wir und entsprechend für $\rightarrow$.
    $\Psi (p_{i}):=\beta _{i}\,.$
    $\alpha =\neg \beta \,$
    $\Psi (\alpha )=\neg \Psi (\beta )\,$
    $\alpha =\alpha _{1}\wedge \alpha _{2}\,$
    $\Psi (\alpha )=\Psi (\alpha _{1})\wedge \Psi (\alpha _{1})\,$
* Wir beweisen die Injektivität in der Form, dass sich aus die Verschiedenheit ergibt, und zwar durch Induktion über den Aufbau von $\alpha$ (simultan für alle $\alpha '$). Für ist $\alpha '$ entweder eine andere Aussagenvariable, sagen wir $p_{j}$ mit $i\neq j$ oder ein Ausdruck, der zumindest einen aussagenlogischen Junktor enthält. Im ersten Fall ist und im zweiten Fall enthält $\Psi (\alpha ')$ mindestens einen Junktor und ist deshalb von $\Psi (p_{i})$ verschieden. Es sei nun und dies sei von $\alpha '$ verschieden. Wenn $\alpha '$ keine Negation ist, so ist auch $\Psi (\alpha ')$ keine Negation und damit von $\Psi (\alpha )=\neg \Psi (\beta )$ verschieden. Wenn hingegen $\alpha '$ eine Negation ist, so ist $\alpha '=\neg \beta '$ und wegen der Verschiedenheit ist $\beta \neq \beta '$. Nach Induktionsvoraussetzung ist und dies überträgt sich auf die negierten Ausdrücke. Es sei nun und dies sei von $\alpha '$ verschieden. Wenn $\alpha '$ kein konjugierter Ausdruck ist, so ist auch $\Psi (\alpha ')$ kein konjugierter Ausdruck und damit ist $\Psi (\alpha )\neq \Psi (\alpha ')$. Wenn hingegen $\alpha '$ ebenfalls ein konjugierter Ausdruck ist, so ist $\alpha '=\alpha _{1}'\wedge \alpha _{2}'$ und wegen der Verschiedenheit ist $\alpha _{1}\neq \alpha _{1}'$ oder $\alpha _{2}\neq \alpha _{2}'$. Sagen wir der erste Fall liegt vor. Nach Induktionsvoraussetzung ist dann und dies überträgt sich auf die konjugierten Ausdrücke.
    $\alpha \neq \alpha '\,$
    $\Psi (\alpha )\neq \Psi (\alpha ')\,$
    $\alpha =p_{i}\,$
    $\Psi (p_{j})=(x_{j}=c)\neq (x_{i}=c)=\Psi (p_{i})\,$
    $\alpha =\neg \beta \,$
    $\Psi (\beta )\neq \Psi (\beta ')\,$
    $\alpha =\alpha _{1}\wedge \alpha _{2}\,$
    $\Psi (\alpha _{1})\neq \Psi (\alpha _{1}')\,$
* Die Abbildung ist nicht surjektiv, da der Ausdruck $c=c$ nicht zum Bild gehört, da jedes $\alpha$ mindestens eine Aussagenvariable $p_{i}$ und somit $\Psi (p_{i})$ mindestens eine Variable $x_{i}$ enthält.
* Es gelte zunächst Dann gibt es eine Ableitung im Aussagenkalkül für diesen Ausdruck. Diese Ableitung beruht allein auf aussagenlogischen Grundtautologien und dem Modus ponens. Wenn man in dieser Ableitung überall die Aussagenvariablen $p_{i}$ durch $\beta _{i}$ ersetzt, so werden aus den aussagenlogischen Grundtautologien prädikatenlogische Grundtautologien und der Modus ponens bleibt erhalten. Man erhält also durch diese Ersetzung eine prädikatenlogische Ableitung für $\Psi (\alpha )$ und somit ist $\vdash \Psi (\alpha )$. Wenn hingegen gilt, so ist $\alpha$ nach dem Vollständigkeitssatz der Aussagenlogik nicht allgemeingültig. Es gibt also eine Wahrheitsbelegung $\lambda$ für die Aussagenvariablen derart, dass $\alpha$ unter der zugehörigen (aussagenlogischen) Interpretation $I^{\lambda }$ den Wahrheitswert $0$ bekommt. Es sei nun $M=\{a,b\}$ eine zweielementige Menge. Wir definieren eine $S$-Interpretation $J$ auf $M$ durch und Mit dieser Festlegung ist $I^{\lambda }\vDash p_{i}$ genau dann, wenn $J\vDash \beta _{i}$ ist. Da die aussagenlogischen Junktoren unter $I^{\lambda }$ und $J$ gleichermaßen interpretiert werden, ist wegen $I^{\lambda }\not \vDash \alpha$ auch $J\not \vDash \Psi (\alpha )$. Daher ist $\Psi (\alpha )$ nicht allgemeingültig und kann wegen der Korrektheit des Ableitungkalküls für die Prädikatenlogik auch nicht ableitbar sein. Also $\not \vdash \Psi (\alpha )$.
    $\vdash \alpha .$
    $\not \vdash \alpha$
    $c^{M}=a\,$
    $x_{i}^{M}:={\begin{cases}a,{\text{ falls }}\lambda (p_{i})=1\,,\\b,{\text{ falls }}\lambda (x_{i})=0\,.\end{cases}}\,$