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# Schutz von Viehställen gegen Fliegen

Textdaten :
| Autor: | A. Gpr. |
| Illustrator: | {{{ILLUSTRATOR}}} |
| Titel: | Schutz von Viehställen gegen Fliegen |
| Untertitel: | |
| aus: | Die Gartenlaube, Heft 19, S. 328 |
| Herausgeber: | Ernst Ziel |
| Auflage: | |
| Entstehungsdatum: | |
| Erscheinungsdatum: | 1879 |
| Verlag: | Verlag von Ernst Keil |
| Drucker: | {{{DRUCKER}}} |
| Erscheinungsort: | Leipzig |
| Übersetzer: | |
| Originaltitel: | |
| Originalsubtitel: | |
| Originalherkunft: | |
| Quelle: | Scans bei Commons |
| Kurzbeschreibung: | |
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# Schwere, Elektricität und Magnetismus:221

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
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§. 50 nehmen die Form ${\frac {0}{0}}$ an. Ihre Werthe sind aber leicht zu ermitteln. Man erhält
| (2) | ${\begin{alignedat}{2}&x'_{k}={\frac {k\,a\,c}{k\,c+b}},\qquad &&m'_{k}={\frac {-a\,b\,g}{k\,c+b}};\\\,\\&x''_{k}={\frac {a(k\,c+b)}{k\,c}},\qquad &&m''_{k}={\frac {a\,b\,g}{k\,c}};\\\,\\&x'''_{k}={\frac {(k+1)a\,c}{k\,c+a}},\qquad &&m'''_{k}={\frac {-a\,b\,g}{k\,c+a}};\\\,\\&x''''_{k}={\frac {a(k\,c-b)}{k\,c}},\qquad &&m''''_{k}={\frac {a\,b\,g}{k\,c}}.\\\end{alignedat}}$ |
Hier entsteht nun die Schwierigkeit, dass die Reihen (7) des §. 48, sowie die Reihen (12) des §. 50, einzeln genommen, nicht mehr convergiren. Das Problem ist aber bei den in (2) ausgesprochenen Daten ein durchaus bestimmtes, man wird also auch eine einzige bestimmte Lösung zu verlangen haben. Diese Lösung ist vollständig hergestellt, wenn man für jeden Punkt des äusseren Raumes die Functionen $V_{1}+V_{4}\!$ und $V_{2}+V_{3}\!$ kennt, von denen die erste herrührt von der Elektricität auf der ersten, die andere von der Elektricität auf der zweiten Kugel. Aus diesen Functionen lässt sich dann nach § 45 (8) die Dichtigkeit der Elektricität in jedem Punkte der beiden Kugeloberflächen finden, und es lässt sich die gesammte Ladung $M_{1}+M_{4}\!$ für die erste Kugel und $M_{2}+M_{3}\!$ für die zweite Kugel berechnen.
Wir fangen mit dieser letzten Aufgabe an. Es ist, wie im vorigen Paragraphen nachgewiesen worden:
| (3) | $M_{1}+M_{4}={\frac {1}{4\,\pi }}\int \left({\frac {\partial (V'_{1}+V'_{4})}{\partial p}}\right)_{+0}d\sigma _{1},$ |
| (4) | $M_{2}+M_{3}={\frac {1}{4\,\pi }}\int \left({\frac {\partial (V'_{2}+V'_{3})}{\partial p}}\right)_{+0}d\sigma _{2},$ |
wenn man in (3) über die erste, in (4) über die zweite Kugeloberfläche integrirt. Die Integrale auf der rechten Seite geben aber, wie ebenfalls im vorigen Paragraphen auseinandergesetzt ist, die Summe der fingirten Ladungen in den Unstetigkeitspunkten im Innern der einen und der andern Kugel an. Also erhält man
| (5) | $M_{1}+M_{4}=\sum _{0}^{\infty }m'_{k}+\sum _{1}^{\infty }m''''_{k},$ |
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:223

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
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Verschiebung werden aber die Ladungen der vierten Gruppe von dem Punkte $(x,\,0,\,0)$ zu weit entfernt, im zweiten Falle werden sie ihm zu sehr genähert. Gibt man dabei Acht auf die Form der Potentialfunction und auf die Vorzeichen der Ladungen, so ergibt sich bei der abgeänderten Vertheilung im ersten Falle ein zu grosser Werth, im zweiten Falle ein zu kleiner Werth der Potentialfunction, verglichen mit dem wahren Werthe, der bei richtiger Vertheilung zu Stande kommen muss. Wir haben danach
| (9) | $\sum _{0}^{\infty }{\frac {-m'_{k}-m''''_{k+1}}{x-x'_{k}}}>V'_{1}+V'_{4}>-{\frac {m_{0}}{x}}+\sum _{1}^{\infty }{\frac {-m'_{k}-m''''_{k}}{x-x'_{k}}}.$ |
Die beiden unendlichen Reihen, welche in (9) vorkommen, sind (für $x>a\!$ und um so mehr für $x>c+b\!$) unter allen Umständen convergent, auch wenn man für die Constanten die Werthe aus den Gleichungen (2) einsetzt. Multiplicirt man nun mit $x\!$ und geht zu den Grenzwerthen über für $\lim x=\infty \!$, so ergibt sich
* $\sum _{0}^{\infty }(-m'_{k}-m''''_{k+1})>\lim \lbrace x(V'_{1}+V'_{4})\rbrace >-m_{0}+\sum _{1}^{\infty }(-m'_{k}-m''''_{k}).$
Hier kommen links und rechts in den Reihen dieselben Glieder in derselben Reihenfolge vor. Die doppelte Ungleichung geht also in eine Gleichung über, nemlich:
* ${\begin{aligned}\lim \lbrace x(V'_{1}+V'_{4})\rbrace &=\sum _{0}^{\infty }(-m'_{k}-m''''_{k+1})\\&=\sum _{0}^{\infty }\left({\frac {a\,b\,g}{k\,c+b}}-{\frac {a\,b\,g}{(k+1)c}}\right).\\\end{aligned}}$
Danach erhalten wir aus Gleichung (7):
| (10) | $M_{1}+M_{4}=-{\frac {a\,b\,g}{c}}\sum _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{k+{\frac {b}{c}}}}-{\frac {1}{k+1}}\right).$ |
In der Reihe auf der rechten Seite ist die Folge der Glieder keine willkürliche mehr, sondern genau vorgeschrieben. Die Reihe ist convergent. Man kann auch je zwei zusammengehörige Glieder vereinigen und erhält:
| (11) | $M_{1}+M_{4}={\frac {a^{2}\,b\,g}{c^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{\left(k+{\frac {b}{c}}\right)(k+1)}}.$ |
Die unendliche Reihe lässt sich in ein bestimmtes Integral verwandeln. Es ist nemlich für ein positives $k\!$:
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:226

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
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Sind die Brüche ${\frac {a}{c}}$ und ${\frac {b}{c}}$ irrational, so kann man auf die Gleichungen (10) und (13) zurückgehen und zur Werthermittelung der unendlichen Reihen die Tafel zu Hülfe nehmen, welche Gauss der Abhandlung: Disquisitiones circa seriem infinitam*) beigegeben hat. Gauss schreibt:
| (17) | $\Psi (z)=\lim \left\lbrace \lg m-\sum _{k=0}^{m-1}{\frac {1}{z+k+1}}\right\rbrace$ |
für $\lim m=\infty \!$. Folglich ist
| (10*) | $M_{1}+M_{4}=\,{\frac {abg}{c}}\left\lbrace \Psi \left(-{\frac {a}{c}}\right)-\Psi (0)\right\rbrace$ |
und
| (13*) | $M_{2}+M_{3}={\frac {abg}{c}}\lim \left\lbrace \Psi \left(-{\frac {b}{c}}\right)-\Psi (0)\right\rbrace .$ |
Das Resultat der theoretischen Entwicklung stimmt überein mit dem Ergebnis der experimentellen Untersuchung.
Wir kehren zurück zu der Voraussetzung, dass die Entfernung der Kugelmittelpunkte grösser ist als die Summe der Radien:
* $c>a+b.\,$
Wir setzen zur Abkürzung:
| (1) | $-ab\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\alpha _{2}-\alpha _{1}}{a(\alpha _{2}^{k}-\alpha _{1}^{k})+b(\alpha _{2}^{k+1}-\alpha _{1}^{k+1})}}=E_{1},$ |
| (2) | $ab\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\alpha _{2}-\alpha _{1}}{c(\alpha _{2}^{k}-\alpha _{1}^{k})}}=E_{2},$ |
| (3) | $-ab\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\alpha _{2}-\alpha _{1}}{a(\alpha _{2}^{k+1}-\alpha _{1}^{k+1})+b(\alpha _{2}^{k}-\alpha _{1}^{k})}}=E_{3},$ |
| (4) | $M_{1}+M_{4}={\mathfrak {M}}_{1},\,$ |
| (5) | $M_{2}+M_{3}={\mathfrak {M}}_{2}\,$ |
und machen die Bemerkung, dass ${\mathfrak {M}}_{1}\,$ die gesammte Ladung der
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:228

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
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Aendert sich der Abstand der Kugelmittelpunkte um $dc\!$, so wird die dabei geleistete Arbeit ausgedrückt durch
* ${\frac {dP}{dc}}\,dc.$
Die Kugeln wirken also auf einander ebenso, als ob ihre Mittelpunkte sich mit der Kraft
* ${\frac {dP}{dc}}$
abstiessen.*)
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:224

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* $\int \limits _{0}^{1}t^{k-1}dt={\frac {1}{k}}.$
Folglich können wir schreiben
* $\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{k+{\frac {b}{c}}}}-{\frac {1}{k+1}}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }\int \limits _{0}^{1}\left(t^{k+{\frac {b}{c}}-1}-t^{k}\right)dt$
* $=\int \limits _{0}^{1}\left(t^{{\frac {b}{c}}-1}-1\right)dt\sum _{0}^{\infty }t^{k}=\int \limits _{0}^{1}{\frac {t^{-{\frac {a}{c}}}-1}{1-t}}dt.$
Benutzt man dies für Gleichung (10), so erhält man schliesslich:
| (12) | $M_{1}+M_{4}=-{\frac {a\,b\,g}{c}}\int \limits _{0}^{1}{\frac {t^{-{\frac {a}{c}}}-1}{1-t}}dt.$ |
In entsprechender Weise verfahren wir zur Berechnung von $M_{2}+M_{3}\!$. Das Resultat lautet:
| (13) | ${\begin{aligned}M_{2}+M_{3}&=-{\frac {a\,b\,g}{c}}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{k+{\frac {a}{c}}}}-{\frac {1}{k+1}}\right)\\&=-{\frac {a\,b^{2}\,g}{c^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{\left(k+{\frac {a}{c}}\right)(k+1)}}\right).\\\end{aligned}}$ |
Auch hier kann man die unendliche Reihe durch ein bestimmtes Integral summiren, nemlich:
| (14) | $M_{2}+M_{3}=-{\frac {a\,b\,g}{c}}\int \limits _{0}^{1}{\frac {t^{-{\frac {b}{c}}}-1}{1-t}}dt.$ |
Nun lassen sich auch die richtigen Ausdrücke für die Potentialfunctionen $V'_{1}+V'_{4}\!$ und $V'_{2}+V'_{3}\!$ leicht herstellen. Zunächst hat man:
* ${\begin{aligned}V'_{1}+V'_{4}&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {-m'_{k}}{\sqrt {(x-x'_{k})^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\\&+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {-m''''_{k}}{\sqrt {(x-x''''_{k})^{2}+y^{2}+z^{2}}}}.\\\end{aligned}}$
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:219

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Die Vertheilung von Elektricitätsmengen über die Unstetigkeitspunkte innerhalb der beiden Kugeln ist nur eine Fiction, mit der wir nichts anderes bezweckt haben, als die Function $V'\!$ herzustellen, die im Raume ausserhalb der Kugeln mit der gesuchten Function $V\!$ übereinstimmt. Diese Function $V\!$ rührt her von der beim Gleichgewicht wirklich eingetretenen Elektricitätsvertheilung auf den beiden Kugeloberflächen. Wie nun $V'\!$ in vier Bestandtheile zerlegt ist, so kann man auch
| (1) | $V=V_{1}+V_{2}+V_{3}+V_{4}\,$ |
setzen und die Bestimmung treffen, dass im Raume ausserhalb der Kugeln und auf ihren Oberflächen
| (2) | $V_{1}=V_{1}',\quad V_{2}=V_{2}',\quad V_{3}=V_{3}',\quad V_{4}=V_{4}'\,$ |
sein soll. In das Innere der Kugeln haben wir jede der Functionen $V_{1},\,V_{2},\,V_{3},\,V_{4}\,$ von der Oberfläche aus stetig so fortzusetzen, dass überall die partielle Differentialgleichung von Laplace erfüllt ist. Man kann noch bemerken, dass $V_{1}+V_{2}=g\!$ ist im Innern der ersten Kugel, und $=0\!$ im Innern der zweiten Kugel, und ferner, dass $V_{3}+V_{4}=h\!$ ist im Innern der zweiten und $=0\!$ im Innern der ersten Kugel.
Wir wollen die Aufgabe so zerlegen, dass zuerst $g\!$ verschieden von Null und $h=0\!$ genommen wird, und nachher umgekehrt $g=0\!$ und $h\!$ verschieden von Null. Zuerst also $h=0\!$. Dann ist $V_{3}=V_{4}=0\!$. Es fragt sich, wie gross in einem Punkte der ersten oder der zweiten Kugeloberfläche die Dichtigkeit der Elektricität ist, von welcher die Potentialfunction $V=V_{1}+V_{2}\!$ herrührt. Auf diese Frage gibt die Gleichung (8) des §. 45 Antwort. Bezeichnen wir mit $M_{1}\!$ und $M_{2}\!$ die gesammte Elektricitätsmenge auf der ersten und resp. zweiten Kugeloberfläche, so findet sich
| (3) | $M_{1}=\,{\frac {1}{4\pi }}\int \left\{\left({\frac {\partial V_{1}}{\partial p}}\right)_{+0}+\left({\frac {\partial V_{2}}{\partial p}}\right)_{+0}\right\}d\sigma _{1},\,$ |
| (4) | $M_{2}=\,{\frac {1}{4\pi }}\int \left\{\left({\frac {\partial V_{1}}{\partial p}}\right)_{+0}+\left({\frac {\partial V_{2}}{\partial p}}\right)_{+0}\right\}d\sigma _{2}.\,$ |
Hier kommen die Derivirten in unendlich kleiner Entfernung von der Oberfläche, aber ausserhalb, in Betracht. Für sie ist
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:220

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
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* $\left({\frac {\partial V_{1}}{\partial p}}\right)_{+0}=\left({\frac {\partial V'_{1}}{\partial p}}\right)_{+0}$ und $\left({\frac {\partial V_{2}}{\partial p}}\right)_{+0}=\left({\frac {\partial V'_{2}}{\partial p}}\right)_{+0}.$
Die Functionen $V'_{1}\!$ und $V'_{2}\!$ haben die Eigenschaft, dass sie selbst und ihre Derivirten beim Durchgang durch die Oberfläche der Kugeln sich stetig ändern. D. h. es ist
* $\left({\frac {\partial V'_{1}}{\partial p}}\right)_{-0}=\left({\frac {\partial V'_{1}}{\partial p}}\right)_{+0}$ und $\left({\frac {\partial V'_{2}}{\partial p}}\right)_{-0}=\left({\frac {\partial V'_{2}}{\partial p}}\right)_{+0}.$
Gibt man nun noch Acht auf die Gleichungen (13) und (14) des vorigen Paragraphen, so erhält man (weil $n=-p\!$ für $p<0\!$):
| (5) | $M_{1}=\sum _{0}^{\infty }m'_{k},$ |
| (6) | $M_{2}=\sum _{1}^{\infty }m''_{k}.$ |
Es sei ferner $g=0\!$, $h\!$ verschieden von Null, also $V_{1}=V_{2}=0\!$. Wir bezeichnen jetzt mit $M_{3}\!$ und $M_{4}\!$ die Elektricitätsmenge auf der zweiten und resp. der ersten Kugeloberfläche, von welcher die Potentialfunction $V=V_{3}+V_{4}\!$ herrührt. Zu ihrer Berechnung ist derselbe Weg einzuschlagen, wie vorher zur Berechnung von $M_{1}\!$ und $M_{2}\!$. Es findet sich
| (7) | $M_{3}=\sum _{0}^{\infty }m'''_{k},$ |
| (8) | $M_{4}=\sum _{1}^{\infty }m''''_{k}.$ |
Dieselben Elektricitätsmengen, welche vorher bei der fingirten Vertheilung in den Unstetigkeitspunkten irgend einer Gruppe concentrirt waren, sind also jetzt in Wirklichkeit stetig über die Oberfläche der zugehörigen Kugel ausgebreitet.
Sollen die beiden Kugeln sich berühren, so ist $g=h,c=a+b\!$ und die Gleichung (18) des §. 49 lautet jetzt
| (1) | $\alpha ^{2}-2\,\alpha +1=0.$ |
Folglich ist $\alpha _{1}=\alpha _{2}=1\!$. Die Ausdrücke (8), (9), (10), (11) des
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:227

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
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ersten, ${\mathfrak {M}}_{2}$ die gesammte Ladung der zweiten Kugel ist. Mit Rücksicht auf die Gleichungen (8), (9), (10), (11) des §.50 und (5), (6), (7), (8) des §. 51 haben wir dann
| (6) | ${\mathfrak {M}}_{1}=g\,E_{1}+h\,E_{2},$ |
| (7) | ${\mathfrak {M}}_{2}=g\,E_{2}+h\,E_{3}.$ |
Hieraus berechnet sich
| (8) | $g={\frac {{\mathfrak {M}}_{1}E_{3}-{\mathfrak {M}}_{2}E_{2}}{E_{1}E_{3}-E_{2}^{2}}},\,$ |
| (9) | $h={\frac {{\mathfrak {M}}_{2}E_{1}-{\mathfrak {M}}_{1}E_{2}}{E_{1}E_{3}-E_{2}^{2}}}.\,$ |
Dabei ist zu beachten, dass ${\mathfrak {M}}_{1}$ und ${\mathfrak {M}}_{2}$ gegebene constante Grössen sind. $E_{1},E_{2}\!$ und $E_{3}\!$ hängen ab von $a,\,b,\,c$ und den Wurzeln $\alpha _{1}\!$ und $\alpha _{2}\!$ der Gleichung (18) des §. 49. Diese Wurzeln sind aber selbst abhängig von $a,\,b,\,c$. Da nun $a\!$ und $b\!$ constant sind und nur der Abstand $c\!$ der Kugelmittelpunkte sich ändern kann, so sieht man, dass $E_{1},\,E_{2},\,E_{3}$ und folglich auch $g\!$ und $h\!$ Functionen von $c\!$ sind.
Um die Bewegung der Kugeln zu untersuchen, hat man das Potential der gesammten Elektricitätsmenge auf sich selbst auszudrücken. Man erhält nach §.47, (4):
| (10) | $P={\frac {1}{2}}\int Vd\varepsilon ,$ |
wenn das Integral über die Oberfläche beider Kugeln erstreckt wird. Es ist aber $V=g\!$ auf der ersten, $V=h\!$ auf der zweiten Kugel. Ferner ergibt sich durch Integration über die erste Kugel:
* $\int d\varepsilon ={\mathfrak {M}}_{1};$
und durch Integration über die zweite Kugel:
* $\int d\varepsilon ={\mathfrak {M}}_{2}.$
Folglich ist
* $P={\frac {1}{2}}\,g\,{\mathfrak {M}}_{1}+{\frac {1}{2}}\,h\,{\mathfrak {M}}_{2},$
und wenn man aus (8) und (9) die Werthe von $g\!$ und $h\!$ einführt:
| (11) | $P={\frac {{\mathfrak {M}}_{1}^{2}\,E_{3}-2{\mathfrak {M}}_{1}\,{\mathfrak {M}}_{2}\,E_{2}+{\mathfrak {M}}_{2}^{2}\,E_{1}}{2(E_{1}\,E_{3}-E_{2}^{2})}}.\,$ |
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:222

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
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| (6) | $M_{2}+M_{3}=\sum _{1}^{\infty }m''_{k}+\sum _{0}^{\infty }m'''_{k}.$ |
Diese beiden letzten Gleichungen sind nun insofern noch unbestimmt, als jede der vier Reihen, einzeln genommen, divergirt. In Gleichung (5) besteht die erste Reihe aus lauter negativen, die zweite aus lauter positiven Gliedern, und umgekehrt ist es in Gleichung (6). Vereinigt man die Glieder auf der rechten Seite zu einer einzigen Reihe, so lässt sich je nach dem Gesetze, nach welchem positive und negative Glieder auf einander folgen, jede beliebige Zahl als Summe herstellen.*) Nach der Natur des Problems muss aber in jeder der beiden Gleichungen eine einzige bestimmte Zahl als die richtige Summe zu Stande kommen, und es fragt sich also, welche Anordnung der Glieder die allein richtige ist.
Um darüber ins Klare zu kommen, gehen wir auf den Satz (6) des §. 18 zurück, wonach
| (7) | $M_{1}+M_{4}=\lim \lbrace -R(V'_{1}+V'_{4})\rbrace ,$ |
| (8) | $M_{2}+M_{3}=\lim \lbrace -R(V'_{2}+V'_{3})\rbrace$ |
* für $\lim R=\infty .$
Es genügt, die Potentialfunctionen in (7) für solche Punkte der positiven Abscissenaxe herzustellen, deren Abscisse $x>c+b\!$ ist, und dann $\lim x=\infty \!$ zu nehmen.
Statt aber die wahren Werthe der Potentialfunctionen in Rechnung zu bringen, wollen wir je einen zu grossen und einen zu kleinen nehmen. Wir gelangen dazu durch die Bemerkung, dass $x'_{k+1}>x''''_{k+1}>x'_{k}\!$. Durchläuft man also die Centrallinie im Innern der ersten Kugel im Sinne der wachsenden $x\!$, so gelangt man abwechselnd zu elektrischen Ladungen der ersten und der vierten Gruppe. Nun kann man sich jede Ladung der vierten Gruppe verschoben denken, das eine Mal in den nächstvorhergehenden, das andere Mal in den nächstfolgenden Unstetigkeitspunkt der ersten Gruppe. Dadurch, erhält man im ersten Falle im Punkte $x'_{k}\!$ die Ladung $m'_{k}+m''''_{k+1}\!$, und dies gilt von $k=0\!$ an. Im andern Falle hat man im Punkte $x'_{0}\!$ die Ladung $m'_{0}\!$, und im Punkte $x'_{k}\!$ (mit $k=1\!$ anfangend), die Ladung $m'_{k}+m''''_{k}\!$. Durch die erste
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:225

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Die beiden Reihen, einzeln genommen, sind divergent. Die erste hat lauter positive, die zweite lauter negative Glieder. Vereinigt man die Glieder zu den Bestandteilen einer einzigen Reihe, so kann man je nach der Anordnung jede beliebige Summe zu Stande bringen. Nach der Natur der Aufgabe hat man aber für irgend einen gegebenen Punkt $(x,\,y,\,z)$ nur einen bestimmten Werth zu erwarten. Folglich kann auch nur eine einzige Anordnung der Glieder die richtige sein, und man sieht leicht, dass es diejenige ist, für welche die Gleichung (7) den richtigen Werth von $M_{1}'+M_{4}'\!$ liefert. Da dieser nun schon bekannt ist, so hat es keine Schwierigkeit, jene allein richtige Anordnung ausfindig zu machen. Man erhält:
| (15) | $V'_{1}+V'_{4}\,$ |
* $=\sum _{k=0}^{\infty }\left\lbrace {\frac {-m_{k}'}{\sqrt {(x-x'_{k})^{2}+y^{2}+z^{2}}}}-{\frac {m_{k+1}''''}{\sqrt {(x-x''''_{k+1})^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\right\rbrace$
und in entsprechender Weise:
| (16) | $V'_{2}+V'_{3}\,$ |
* $=\sum _{k=0}^{\infty }\left\lbrace {\frac {-m_{k}'''}{\sqrt {(x-x'''_{k})^{2}+y^{2}+z^{2}}}}-{\frac {m_{k+1}''}{\sqrt {(x-x''_{k+1})^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\right\rbrace .$
Die Reihen in (15) und (16) sind convergent, wenn der Punkt $(x,\,y,\,z)$ nicht in einen Unstetigkeitspunkt der ersten, resp. der zweiten Kugel fällt.
Ueber die Integrale (12) und (14) ist noch eine Bemerkung zu machen. Die Integration lässt sich nemlich in geschlossener Form ausführen, wenn ${\frac {a}{c}}$ (und folglich auch ${\frac {b}{c}}$) ein rationaler Bruch ist. Es sei ${\frac {a}{c}}\,=\,{\frac {p}{q}}$, so dass $p\!$ und $q\!$ ganze Zahlen, und zwar relative Primzahlen sind. Dann setze man in $t=s^{q}\!$. Dadurch erhält man
| (12*) | $M_{1}+M_{4}=-q\,{\frac {a\,b\,g}{c}}\int \limits _{0}^{1}{\frac {s^{q-p-1}-s^{q-1}}{1-s^{q}}}\,ds.$ |
Ebenso ergibt sich aus (14)
| (14*) | $M_{2}+M_{3}=-q\,{\frac {a\,b\,g}{c}}\int \limits _{0}^{1}{\frac {s^{p-1}-s^{q-1}}{1-s^{q}}}\,ds.$ |
Die Integration geschieht dann nach bekannten Methoden durch Zerlegung in Partialbrüche.
# Traum und Wahrheit (Fliegende Blätter Nr. 3)

Textdaten :
| Autor: | |
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| Titel: | Traum und Wahrheit (Fliegende Blätter Nr. 3) |
| Untertitel: | Der Lotteriespieler; Der deutsche Auswanderer |
| aus: | Fliegende Blätter, Band 1, Nr. 3, S. 24 |
| Herausgeber: | Kaspar Braun, Friedrich Schneider |
| Auflage: | |
| Entstehungsdatum: | |
| Erscheinungsdatum: | 1845 |
| Verlag: | Braun & Schneider |
| Drucker: | {{{DRUCKER}}} |
| Erscheinungsort: | München |
| Übersetzer: | |
| Originaltitel: | |
| Originalsubtitel: | |
| Originalherkunft: | |
| Quelle: | MDZ München, Commons |
| Kurzbeschreibung: | |
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| Fliegende Blätter 1.djvu|page=28 | |
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[24]
| Traum | und | Wahrheit. |
Der Lotteriespieler. :
| Schuldner: Hier ist Ihr Geld, nun fort zur Thür hinaus, Und wagen nimmer Sie zu kommen mir in’s Haus. Gläubiger: Bin Excellenz Ihr unterthänigster Knecht; Der reiche Mann hat grob zu sein das Recht. | Schuldner: Sie sehen, Fortuna hat mich nicht erhört. Die Nummern kamen, aber all’ verkehrt. Gläubiger: Was kümmern mich Ihre hoffnungslose Qualen. Ich frage nur, wann Sie mich denn bezahlen. Schuldner: Wie? Sie fragen, wie’s mit der Zahlung steht? Das weiß ich nicht, ich bin ja kein Prophet. |
| Der deutsche Auswanderer. |||
| Ja, ja, so ist’s, es kann nicht anders sein, So stell’ ich mir das Leben drüben vor; Auf schnell! Schifft nach Amerika mich ein; In Deutschland bleibt wohl künftig nur ein Thor. | O weh! O weh! Welch gräßlicher Betrug! O Vaterland! Wie sehn’ ich mich nach dir! Ich sterbe hier elendiglich am Pflug – Und Frau und Kind holt Löw’ und Geier mir. |