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# RE:Zonas

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| ⟨ Zonaras, Ioannes | Zone ⟩ |
| Band X A (1972) S. 763 ||
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Zonas s. o. Bd. V S. 660 Diodoros nr. 35.
# RE:Zoparistos

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| ⟨ Zonus | Zopyra ⟩ |
| Stadt in der Landschaft Melitene in Kleinarmenien bzw. Kappadokien ||
| Band X A (1972) S. 763 ||
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Zoparistos (Ζωπάριστος), Stadt in der Landschaft Melitene in Kleinarmenien bzw. Kappadokien, Ptolem. V 7, 6; vgl. o. Bd. XV S. 548.
# RE:Zopyros 19a

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| ⟨ Zone 2 | Weltbild ⟩ |
| Z. aus Tarent, Ingenieur, Erfinder von Geschützen = Philosoph Nr. 13 ||
| Band S XV (1978) S. 1556 ||
| Zopyros von Tarent in Wikidata ||
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    S. 1773 zum Art. Zopyros:
Z. aus Tarent, Ingenieur. [...]

## Nachträge und Berichtigungen

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| ⟨ Zone 2 | Zorambos ⟩ |
| Band R (1980) S. 234 ||
| Zopyros von Tarent in Wikidata ||
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Zopyros
19a) Z. von Tarentum, Ingenieur (in der 1. H. des 4. Jh. v. Chr.?). S XV. = Z. Nr. 13 (X A 771) (?).

## Anmerkungen (Wikisource)

Im Artikel identifiziert mit dem Philosophen Zopyros 13.
# RE:Zoilos 2

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| ⟨ Zoilos 1 | Zoilos 3 ⟩ |
| Makedone, Vater des Mylleas ||
| Band X A (1972) S. 711 ||
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2) Makedone, Vater des Mylleas, s. o. Bd. XVI S. 1073.
# RE:Zone

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| ⟨ Zonas | Zonus ⟩ |
| Band X A (1972) S. 763 ||
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Zone (geograph. Begriff) s. Suppl.-Bd. XIII.
# RE:Zopyros 13

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| ⟨ Zopyros 12 | Zopyros 14 ⟩ |
| Philosoph aus Tarent, Pythagoreer ||
| Band X A (1972) S. 771 ||
| Zopyros von Tarent in Wikidata ||
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13) Pythagoreer aus Tarent, Iambl. v. Pyth. 267.

## Anmerkungen (Wikisource)

Vermutlich identisch mit dem Ingenieur Zopyros 19a.
# RE:Zone 2

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| ⟨ Zone 1 | Zopyros 19a ⟩ |
| Ort der samothrakischen Peraia an der thrakischen Südküste ||
| Band R (1980) S. 234 ||
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2) Ort der samothrak. Peraia an der thrak. S-Küste. S XV.
# RE:Zoilos 14

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| ⟨ Zoilos 13 | Zoilos 15 ⟩ |
| von Amphipolis, Sophist und Homerkritiker ||
| Band X A (1972) S. 715 ||
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14) der Ὁμηρομάστιξ, s. Suppl.-Bd. XIII.

## Nachträge und Berichtigungen

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| ⟨ Ziegelstempel von Rom und Umgebung | Zone 1 ⟩ |
| Band R (1980) S. 234 ||
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Zoilos
14) Z. von Amphipolis, Sophist und Homerkritiker. S XV.
# RE:Zoilos 4

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| ⟨ Zoilos 3 | Zoilos 5 ⟩ |
| von Perge, Gewährsmann für eine obszöne Diogenes-Anekdote ||
| Band X A (1972) S. 711 ||
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4) Z. von Perge wird von Diog. Laert. VI 39 als Gewährsmann für eine obszöne Diogenes-Anekdote angeführt. Sonst unbekannt.
# RE:Zone 1

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| ⟨ Zoilos 14 | Zone 2 ⟩ |
| der astronomisch-geographische Begriff ||
| Band R (1980) S. 234 ||
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Zone
1) Der astronom.-geograph. Begriff. S XIV.
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:020

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
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des Parallelepipedon $da\,db\,dc\,$ multipliciren muss, um seine Masse $dm\,$ zu erhalten, wird die Dichtigkeit genannt, und zwar die Dichtigkeit im Punkte $(a,\,b,\,c)$. Im allgemeinen ändert sich die Dichtigkeit, wenn der Punkt $(a,\,b,\,c)$ an eine andere Stelle rückt. Es ist also $\rho \,$ eine Function des Ortes
| (8) | $\rho =f(a,\,b,\,c).$ |
Wenn nichts anderes ausdrücklich festgesetzt wird, soll diese Function im Innern des anziehenden Körpers überall endlich und stetig variabel sein. Ausserhalb des anziehenden Körpers ist sie Null. Die Masse des betrachteten Parallelepipedon ist
* $dm=\rho \;da\;db\;dc.$
Sie übt auf die im Punkte $(x,\,y,\,z)$ befindliche Masse $\mu \,$ eine Anziehung aus
* $=k\mu \,{\frac {\rho \;da\;db\;dc}{r^{2}}},\,$
deren Componenten parallel den Coordinatenaxen die Werthe haben
* $k\mu \,{\frac {(a-x)\;\rho \;da\;db\;dc}{r^{3}}},\,$
* $k\mu \,{\frac {(b-y)\;\rho \;da\;db\;dc}{r^{3}}},\,$
* $k\mu \,{\frac {(c-z)\;\rho \;da\;db\;dc}{r^{3}}}.\,$
Die Oberfläche des anziehenden Körpers werde ausgedrückt durch die Gleichung
| (9) | $W=0,\,$ |
wobei $W\,$ eine Function von $a,\,b,\,c$ bezeichnet. Diese Function habe negative oder positive Werthe, je nachdem der Punkt $(a,\,b,\,c)$ im Innern oder ausserhalb des anziehenden Körpers liegt. Die Componenten der Gesammtanziehung, welche auf die Masse $\mu \,$ ausgeübt wird, sind
| (10) | ${\begin{aligned}X&=k\mu \iiint {\frac {(a-x)\;\rho \;da\;db\;dc}{r^{3}}},\\Y&=k\mu \iiint {\frac {(b-y)\;\rho \;da\;db\;dc}{r^{3}}},\\Z&=k\mu \iiint {\frac {(c-z)\;\rho \;da\;db\;dc}{r^{3}}}.\end{aligned}}$ |
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:022

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
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Wenn also die anziehenden Massen in einzelnen getrennt liegenden Punkten concentrirt sind, so hat man
* $X=\sum m\,{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial x}},\,$
* $Y=\sum m\,{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial y}},\,$
* $Z=\sum m\,{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial z}}.\,$
Wir bezeichnen mit $V\,$ die Function
| (2) | $V=\sum {\frac {m}{r}}.\,$ |
Dann zeigt sich, dass $X,\,Y,\,Z$ die partiellen Derivirten von $V\,$ sind:
| (3) | $X=\,{\frac {\partial V}{\partial x}},\,$ $Y=\,{\frac {\partial V}{\partial y}},\,$ $Z=\,{\frac {\partial V}{\partial z}}.\,$ |
Die Function $V\,$ und ihre ersten Derivirten sind endlich und stetig variabel, so lange der angezogene Punkt $(x,\,y,\,z)$ in endlicher, wenn auch noch so kleiner, Entfernung von jedem der anziehenden Massenpunkte sich befindet. Fällt er in einen dieser Punkte hinein, so wird in (1) und in (2) einer der Summanden unendlich gross. Die Function $V\,$ wird dann also unendlich wie ${\frac {1}{r}}$, und ihre ersten Derivirten werden unendlich wie ${\frac {1}{r^{3}}}$.
Wenn die anziehende Masse einen körperlichen Raum stetig ausfüllt, so lauten die Ausdrücke für die Componenten der Anziehung:
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:025

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
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rivirten. Ebenso sind die Functionen $V,\,X,\,Y,\,Z\,$ des vorigen Paragraphen [Gleichungen (4) und (5)] endliche und stetig veränderliche Functionen von $(x,\,y,\,z)\,$. Sollen von der Function $V\,$ die ersten Derivirten nach $x\,$, nach $y\,$, nach $z\,$ gebildet werden, so darf man die Differentiation unter dem Integralzeichen vornehmen, weil ihr Resultat einen durchaus bestimmten endlichen Werth hat. Darauf beruht die Gültigkeit der Gleichungen (3) des vorigen Paragraphen. Auch die Herstellung der zweiten Derivirten und aller Derivirten höherer Ordnung kann durch Differentiation unter dem Integralzeichen ausgeführt werden, weil die Resultate dieser Differentiation bestimmte endliche Werthe haben, die bei einer stetigen Verschiebung des Punktes $(x,\,y,\,z)\,$ sich ebenfalls stetig ändern.
Wenn aber der Punkt $(x,\,y,\,z)\!$ im Innern der anziehenden Masse liegt, so behalten zwar, wie später (§§. 6. 10.) gezeigt werden soll, die durch die Gleichungen (4) und (5) des §. 2 definirten Functionen $V,\,X,\,Y,\,Z\,$ bestimmte endliche Werthe, und es gelten deshalb auch noch die Gleichungen (3) desselben Paragraphen. Aber die Integrale auf der rechten Seite der Gleichungen (1) des gegenwärtigen Paragraphen haben dann gar keine Bedeutung, weil in einem Element der Integration ein unendlich grosser Factor auftritt. Liegt also der angezogene Punkt $(x,\,y,\,z)\,$ im Innern der anziehenden Masse, so sind die Gleichungen (1) nicht gültig und ebenso wenig die Gleichung (2). Für diesen Fall ist vielmehr eine besondere Untersuchung anzustellen.
Wir wollen zunächst die Gleichung von Laplace benutzen, um in einem speciellen Falle die Potentialfunction zu berechnen.
Die anziehende Masse sei stetig vertheilt im Innern einer Kugelschale, d. h. des Raumes zwischen zwei concentrischen Kugelflächen. Den Anfangspunkt der Coordinaten legen wir in den Mittelpunkt der Kugeln. Die Dichtigkeit der anziehenden Masse sei dieselbe in allen Punkten einer zu der Begrenzung concentrischen Kugelfläche. Sie ändere sich nur mit dem Abstande vom Mittelpunkte. Dann ist auch die gesuchte Potentialfunction $V\,$ nur abhängig von dem Radius vector $s\,$, und die partielle Diffe-
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:028

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
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förmigen Basis $4s^{2}\pi \,$ und der Höhe $ds\,$ angesehen werden. Ihre Masse ist also
* $4\rho \pi s^{2}ds.\,$
Dividirt man durch $s\,$, so ergibt sich die Potentialfunction der Elementarschale auf den Anfangspunkt der Coordinaten. Um die Potentialfunction der gesammten anziehenden Masse zu erhalten, hat man in Beziehung auf $s\,$ zwischen den Grenzen $p\,$ und $q\,$ zu integriren. Diese ist demnach
| (7) | $V_{0}=4\pi \int \limits _{p}^{q}\rho sds.\,$ |
Das Integral hat einen endlichen Werth, wenn die Dichtigkeit, wie wir voraussetzen, an keiner Stelle unendlich gross ist.
Soll auf der anderen Seite $V_{0}\,$ aus dem vollständigen Integral (6) berechnet werden, so hat man dort $s=0\,$ zu setzen. Dadurch würde aber $V_{0}\,$ unendlich gross werden, wenn nicht in (6) die Constante $\alpha =0\,$ gesetzt wird. Und da, wie bewiesen, $V_{0}\,$ nicht unendlich gross ist, so muss $\alpha =0\,$ sein. Hierdurch geht die Gleichung (6) über in
| (8) | $V=\beta .\,$ |
Die Potentialfunction auf einen Punkt im inneren Hohlraume ist also constant, und da ihr Werth für den Anfangspunkt bereits berechnet ist, so hat man überhaupt für jeden Punkt $(x,\,y,\,z)\,$ im inneren Hohlraume
| (9) | $V=4\pi \int \limits _{p}^{q}\rho sds.$ |
Ist die Dichtigkeit $\rho \,$ constant, so ergibt sich speciell
| (10) | $V=2\pi \rho (q^{2}-p^{2}).\,$ |
Die Derivirten von $V\,$ sind gleich Null. Die Kugelschale übt also auf einen Punkt im inneren Hohlraume gar keine Anziehung aus.
Zweitens. Die angezogene Masseneinheit befinde sich in einem Punkte des äusseren Raumes, d. h. in einem Punkte, für welchen $s>q\,$ ist.
In diesem Falle ist der Werth leicht zu bestimmen, den $V\,$ annimmt für $s=\infty$. Wenn nemlich wie hier kein Theil der an-
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:023

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
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| (4) | $X=\iiint {\frac {a-x}{r^{3}}}\rho \;da\;db\;dc,\,$ $Y=\iiint {\frac {b-y}{r^{3}}}\rho \;da\;db\;dc,\,$ $Z=\iiint {\frac {c-z}{r^{3}}}\rho \;da\;db\;dc.\,$ |
Auch hier sind $\,X,\,Y,\,Z$ die partiellen Derivirten einer Function $V\,$, und es gelten die Gleichungen (3). Die Function $V\,$ ist aber in diesem Falle
| (5) | $V=\iiint {\frac {\rho \;da\;db\;dc}{r}}.\,$ |
Die Grenzen der Integration in (4) und (5) sind dieselben wie in den Ausdrücken (10) des vorigen Paragraphen.
Die Function $V\,$, welche durch die Gleichung (2), resp. durch die Gleichung (5) definirt wird, nennt man die Potentialfunction des anziehenden Massensystems auf den angezogenen Punkt.
Es ist nun leicht, den Satz in Worte zu fassen, der sich in den Gleichungen (3) ausspricht. Er lautet:
Soll die Componente der Anziehung in der Richtung einer der Coordinatenaxen berechnet werden, so hat man den angezogenen Punkt in dieser Richtung um eine unendlich kleine Strecke zu verschieben und die daraus hervorgehende Aenderung der Potentialfunction durch die Grösse der Verschiebung zu dividiren. Der Quotient ist die gesuchte Componente.
Bisher ist über die Lage des Coordinatensystems keine besondere Voraussetzung gemacht. Man kann die Axen legen, wie man will. Handelt es sich also um die Componente der Anziehung in irgend einer Richtung, so braucht man nur ein Coordinatensystem zu Hülfe zu nehmen, von welchem eine Axe dieser Richtung parallel gelegt ist. Auf diese Weise gelangt man zu dem erweiterten Satze:
Soll die Componente der Anziehung in irgend einer Richtung berechnet werden, so hat man den angezogenen Punkt in dieser Richtung um eine unendlich kleine Strecke zu verschieben und die daraus hervor-
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:024

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
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gehende Aenderung der Potentialfunction durch die Grösse der Verschiebung zu dividiren. Der Quotient ist die gesuchte Componente.
Der Fall, dass die anziehende Masse in einzelnen getrennt liegenden Punkten concentrirt ist, wird in der Folge nur ausnahmsweise vorkommen. Bis auf weiteres halten wir die Voraussetzung fest, dass sie einen körperlichen Raum stetig ausfüllt.
Wir bilden die zweiten partiellen Derivirten der Function $V\,$:
| (1) | ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}=\iiint {\rho }\ da\ db\ dc\ \left(-{\frac {1}{r^{3}}}+3\,{\frac {(a-x)^{2}}{r^{5}}}\right),$ ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}=\iiint {\rho }\ da\ db\ dc\ \left(-{\frac {1}{r^{3}}}+3\,{\frac {(b-y)^{2}}{r^{5}}}\right),$ ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=\iiint {\rho }\ da\ db\ dc\ \left(-{\frac {1}{r^{3}}}+3\,{\frac {(c-z)^{2}}{r^{5}}}\right)$. |
Daraus findet sich unmittelbar durch Addition
| (2) | ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=0.\,$ |
Diese Gleichung, welche zuerst Laplace*) gefunden hat, wird nach ihm die Gleichung von Laplace genannt.
Sie gilt jedoch nur, wenn der angezogene Punkt ausserhalb der anziehenden Masse liegt. Laplace hielt sie für allgemein gültig. Diesen Irrthum hat Poisson später berichtigt.**)
Liegt nemlich der angezogene Punkt ausserhalb der anziehenden Massen, so ist für jeden Punkt $(a,\,b,\,c)$ des mit Masse erfüllten Raumes die Function ${\frac {1}{r}}$ eine endliche und stetig veränderliche Function von $(x,\,y,\,z)$. Dasselbe gilt von allen ihren De-
* ↑ ) Théorie des attractions des Sphéroïdes et de la figure des Planètes. Par M. de la Place. (Histoire de l’Académie des Sciences 1782.)
* ↑ ) Bulletin de la société philomatique. Tome 3, Page 368. - Ferner: Poisson. Mémoire sur la théorie du magnétisme en mouvement. (Mémoires de l’Académie royale des Sciences de l’Institut de France. Tome 6, Page 463.) - Mémoire sur l’attraction des sphéroïdes. (Connaissance des temps. 1829. Page 360.)
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:026

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rentialgleichung (2) des vorigen Paragraphen vereinfacht sich zu einer gewöhnlichen Differentialgleichung.
Es ist
| (1) | $s^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}\$ |
und
| (2) | $V=F(s).\,$ |
Daraus findet man durch Differentiation
* ${\frac {\partial V}{\partial x}}={\frac {dV}{ds}}\cdot {\frac {\partial s}{\partial x}}$
und
* ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}={\frac {d^{2}V}{ds^{2}}}\left({\frac {\partial s}{\partial x}}\right)^{2}+{\frac {dV}{ds}}{\frac {\partial ^{2}s}{\partial x^{2}}}.\,$
Berechnet man in derselben Weise ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}$ und ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}$, so ergibt sich durch Addition
| (3) | ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}$ $={\frac {d^{2}V}{ds^{2}}}\left\lbrace \left({\frac {\partial s}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial s}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial s}{\partial z}}\right)^{2}\right\rbrace$ $+{\frac {dV}{ds}}\left\lbrace {\frac {\partial ^{2}s}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}s}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}s}{\partial z^{2}}}\right\rbrace .$ |
Die partiellen Derivirten von $s\,$ sind aus der Gleichung (1) herzuleiten. Man erhält
* $s{\frac {\partial s}{\partial x}}=x,\quad \left({\frac {\partial s}{\partial x}}\right)^{2}+s{\frac {\partial ^{2}s}{\partial x^{2}}}=1,$
* $s{\frac {\partial s}{\partial y}}=y,\quad \left({\frac {\partial s}{\partial y}}\right)^{2}+s{\frac {\partial ^{2}s}{\partial y^{2}}}=1,$
* $s{\frac {\partial s}{\partial z}}=z,\quad \left({\frac {\partial s}{\partial z}}\right)^{2}+s{\frac {\partial ^{2}s}{\partial z^{2}}}=1.$
Hiernach ergibt sich ohne weiteres
* $\left({\frac {\partial s}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial s}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial s}{\partial z}}\right)^{2}=1,$
* ${\frac {\partial ^{2}s}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}s}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}s}{\partial z^{2}}}={\frac {2}{s}}.\,$
Setzt man diese Werthe in die Gleichung (3) ein, so geht sie über in folgende
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:021

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
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Die dreifache Integration erstreckt sich auf alle Werthen-Combinationen $a,\,b,\,c$, für welche
* $W\leq 0\,$
ist.
Wir wollen der Einfachheit wegen $\mu =1\,$ und $k=1\,$ setzen. In dem angezogenen Punkte $(x,\,y,\,z)$ soll also die Masseneinheit sich befinden, und das Maass der Kraft ist so gewählt, dass zwei Masseneinheiten in der Einheit der Entfernung sich mit der Einheit der Kraft anziehen.
Sind die anziehenden Massen in einzelnen getrennt liegenden Punkten concentrirt, so hat man für die Componenten der auf den Punkt $(x,\,y,\,z)$ ausgeübten Kraft die Ausdrücke:
| (1) | $X=\sum {\frac {m(a-x)}{r^{3}}},\,$ $Y=\sum {\frac {m(b-y)}{r^{3}}},\,$ $Z=\sum {\frac {m(c-z)}{r^{3}}}.\,$ |
Das Zeichen $\sum \,$ ist so zu verstehen, dass der dahinter stehende Ausdruck der Reihe nach für jeden einzelnen anziehenden Massenpunkt gebildet und dann die Summirung der sämmtlichen entstehenden Werthe vorgenommen werden soll. Die Gleichungen (1) zeigen, dass $X,\,Y,\,Z$ Functionen von den Coordinaten $x,\,y,\,z$ des Punktes sind, in welchem die angezogene Masse sich befindet. Lagrange hat bemerkt, dass diese Functionen $X,\,Y,\,Z$ sich ausdrücken lassen als die partiellen Derivirten einer einzigen Function von $x,\,y,\,z$. Es ist nemlich
* ${\frac {\partial r}{\partial x}}=-{\frac {a-x}{r}},\qquad {\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial x}}={\frac {a-x}{r^{3}}},\,$
* ${\frac {\partial r}{\partial y}}=-{\frac {b-y}{r}},\qquad {\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial y}}={\frac {b-y}{r^{3}}},\,$
* ${\frac {\partial r}{\partial z}}=-{\frac {c-z}{r}},\qquad {\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial z}}={\frac {c-z}{r^{3}}}.\,$
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:019

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
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| (5) | $X=k\mu \sum _{i=1}^{n}{\frac {m_{i}(a_{i}-x)}{r_{i}^{3}}},$ $Y=k\mu \sum _{i=1}^{n}{\frac {m_{i}(b_{i}-y)}{r_{i}^{3}}},$ $Z=k\mu \sum _{i=1}^{n}{\frac {m_{i}(c_{i}-z)}{r_{i}^{3}}}.$ |
Die Gesammtkraft $P\,$ selbst ist
| (6) | $P={\sqrt {X^{2}+Y^{2}+Z^{2}}}.$ |
Sie greift im Punkte $(x,\,y,\,z)$ an, und ihre Richtung schliesst mit den positiven Coordinatenaxen Winkel ein, deren Cosinus die Werthe haben
| (7) | ${\frac {X}{P}},\ {\frac {Y}{P}},\ {\frac {Z}{P}}.$ |
$a,\,b,\,c$
$da,\,db,\,dc$
$dm\,$
$(a,\,b,\,c)$
$\rho \,$