# Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 63.

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Wir kehren zu der Untersuchung der §§. 57, 58, und 59 zurück unter der besonderen Voraussetzung des §. 60, dass nemlich die elektromotorischen Kräfte $\varepsilon \Xi ,\varepsilon \mathrm {H} ,\varepsilon \mathrm {Z} \!$ nur in der unendlich dünnen Grenzschicht an der Berührungsstelle von zwei heterogenen Bestandtheilen des Leiters auftreten. Unter dieser Voraussetzung geht die Gleichung (7) des §. 59 in folgende über:
| (1) | ${\frac {dA}{dt}}=\iiint \left\lbrace i_{1}\,{\frac {\partial V}{\partial x}}+i_{2}\,{\frac {\partial V}{\partial y}}+i_{3}\,{\frac {\partial V}{\partial z}}\right\rbrace dx\,dy\,dz.$ |
Hier ist $dx\,dy\,dz$ ein Raumelement im Innern des Leiters, und die Integration ist über den ganzen von dem Leiter ausgefüllten Raum zu erstrecken. Nun haben wir aber die identischen Gleichungen:
* $i_{1}\,{\frac {\partial V}{\partial x}}={\frac {\partial (i_{1}\,V)}{\partial x}}-V\,{\frac {\partial i_{1}}{\partial x}},$
* $i_{2}\,{\frac {\partial V}{\partial y}}={\frac {\partial (i_{2}\,V)}{\partial y}}-V\,{\frac {\partial i_{2}}{\partial y}},$
* $i_{3}\,{\frac {\partial V}{\partial z}}={\frac {\partial (i_{3}\,V)}{\partial z}}-V\,{\frac {\partial i_{3}}{\partial z}}.$
Danach lässt die Gleichung (1) sich transformiren. Wir erhalten:
| (2) | ${\begin{aligned}{\frac {dA}{dt}}=&-\iiint V\left({\frac {\partial i_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial i_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial i_{3}}{\partial z}}\right)dx\,dy\,dz\\&-\int d\sigma \cdot V\left(i_{1}\,{\frac {\partial x}{\partial n}}+i_{2}\,{\frac {\partial y}{\partial n}}+i_{3}\,{\frac {\partial z}{\partial n}}\right).\\\end{aligned}}$ |
In dieser Gleichung erstreckt sich das erste Integral auf den ganzen von dem Leiter erfüllten Raum, das zweite auf seine gesammte Oberfläche, d. h. auf die isolirte freie Oberfläche und auf die Hüllen der Unstetigkeitsflächen. Diese Unstetigkeitsflächen sind hier die Flächen, in denen je zwei heterogene Leiterbestandtheile an einander stossen. Mit $n\!$ ist die auf dem Flächenelement $d\sigma \!$ nach dem Innern des Leiters gezogene Normale bezeichnet.
Für den Beharrungszustand, den wir voraussetzen, ist im Innern des Leiters an jeder Stelle:
| (3) | ${\frac {\partial i_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial i_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial i_{3}}{\partial z}}=0$ |
|[240]und an jeder Stelle der isolirten freien Oberfläche:
| (4) | $i_{1}\,{\frac {\partial x}{\partial n}}+i_{2}\,{\frac {\partial y}{\partial n}}+i_{3}\,{\frac {\partial z}{\partial n}}=0.$ |
Folglich bleibt auf der rechten Seite der Gleichung (2) nur noch das Oberflächen-Integral, erstreckt über beide Seiten jeder Unstetigkeitsfläche, übrig:
| (5) | ${\frac {dA}{dt}}=\int d\sigma \,V\left(i_{1}\,{\frac {\partial x}{\partial n}}+i_{2}\,{\frac {\partial y}{\partial n}}+i_{3}\,{\frac {\partial z}{\partial n}}\right).$ |
Wir nehmen in irgend einer Unstetigkeitsfläche ein Flächenelement $d\sigma \!$, errichten in einem Punkte desselben die Normale nach beiden Seiten und zählen auf ihr von dem Fusspunkte aus den Abstand $p\!$ positiv nach der einen, negativ nach der anderen Seite. Dann ist auf der Seite der positiven Normale $n=p\!$ und auf der Seite der negativen Normale $n=-p\!$. Folglich lässt sich statt der Gleichung (5) auch schreiben:
| (6) | ${\frac {dA}{dt}}=-\int d\sigma \ \cdot \left\lbrace {\begin{matrix}&\left\lbrack V\left(i_{1}\,{\frac {\partial x}{\partial p}}+i_{2}\,{\frac {\partial y}{\partial p}}+i_{3}\,{\frac {\partial z}{\partial p}}\right)\right\rbrack _{p=+0}\\-&\left\lbrack V\left(i_{1}\,{\frac {\partial x}{\partial p}}+i_{2}\,{\frac {\partial y}{\partial p}}+i_{3}\,{\frac {\partial z}{\partial p}}\right)\right\rbrack _{p=-0}\end{matrix}}\right\rbrace .$ |
Hier ist die Integration über jede Unstetigkeitsfläche nur einmal zu erstrecken. Nehmen wir aber Rücksicht auf die Gleichung (3) des §. 57, so ergibt sich sofort:
* ${\begin{aligned}&\left(i_{1}\,{\frac {\partial x}{\partial p}}+i_{2}\,{\frac {\partial y}{\partial p}}+i_{3}\,{\frac {\partial z}{\partial p}}\right)_{p=-0}\\\,\\=&\left(i_{1}{\frac {\partial x}{\partial p}}+i_{2}{\frac {\partial y}{\partial p}}+i_{3}{\frac {\partial z}{\partial p}}\right)_{p=+0}\\\end{aligned}}$
und danach erhält man statt (6) einfacher:
| (7) | ${\frac {dA}{dt}}=\int d\sigma \ (V_{+0}-V_{-0})\left(i_{1}{\frac {\partial x}{\partial p}}+i_{2}{\frac {\partial y}{\partial p}}+i_{3}{\frac {\partial z}{\partial p}}\right).$ |
Auch hier ist die Integration über jede Unstetigkeitsfläche nur einmal zu erstrecken. Setzen wir nun speciell voraus, dass in allen Punkten einer und derselben Unstetigkeitsfläche die Resultirende der elektromotorischen Kräfte $\varepsilon \,\Xi ,\,\varepsilon \,\mathrm {H} ,\,\varepsilon \,\mathrm {Z}$ constant und normal zur Fläche gerichtet sei, so ist für jede einzelne dieser Flächen die Spannungsdifferenz
* $V_{+0}-V_{-0}={\text{const.}},\,$
|[241]es ist ferner für irgend eine Unstetigkeitsfläche
* $\int d\sigma \left(i_{1}\,{\frac {\partial x}{\partial p}}+i_{2}\,{\frac {\partial y}{\partial p}}+i_{3}\,{\frac {\partial z}{\partial p}}\right)=J,$
wobei $J\!$ die Stromintensität in der Richtung der wachsenden $p\!$ vorstellt, also $J\,dt$ die Elektricitätsmenge ist, welche in dem Zeitelement $dt\!$ durch die Unstetigkeitsfläche in der angegebenen Richtung hindurchgeht. Hiernach vereinfacht sich die Gleichung (7) zu der folgenden:
| (8) | ${\frac {dA}{dt}}=-\sum J(V_{+0}-V_{-0}),$ |
in welcher das Zeichen $\sum$ bedeuten soll, dass das Product $J(V_{+0}-V_{-0})\!$ für jede Unstetigkeitsfläche gebildet, und dass die sämmtlichen Producte summirt werden sollen.
$\sigma _{1}\!$
$\sigma _{2}\!$
$\sigma _{1}\!$
$\sigma _{2}\!$
$\sigma _{1}\!$
$\sigma _{2}\!$
$\sigma _{1}\!$
$V_{1}\!$
$\sigma _{2}\!$
$V_{2}\!$
${\frac {dA}{dt}}$
$\sigma _{1}\!$
$\sigma _{2}\!$
$\sigma _{1}\!$
$\sigma _{2}\!$
$\sigma _{1}\!$
$\sigma _{2}\!$
|[242]Integral. Für die Umhüllungen der Unstetigkeitsflächen gelten die in den Gleichungen (5), (6), (7), (8) enthaltenen Transformationen. Von den Unstetigkeitsflächen rührt also für das zu berechnende Integral (1) ein Beitrag
* $-\sum J(V_{+0}-V_{-0})$
her, in welchem die Summirung sich nur auf die in dem Leiterstück vorhandenen Unstetigkeitsflächen bezieht. Es bleiben noch die über $\sigma _{1}\!$ und $\sigma _{2}\!$ auszudehnenden Oberflächen-Integrale übrig. Diese können, da $V_{1}\!$ und $V_{2}\!$ constant sind, geschrieben werden:
* ${\begin{aligned}&-V_{1}\int \left(i_{1}\,{\frac {\partial x}{\partial p}}+i_{2}\,{\frac {\partial y}{\partial p}}+i_{3}\,{\frac {\partial z}{\partial p}}\right)d\sigma _{1}\\\,\\&+V_{2}\int \left(i_{1}\,{\frac {\partial x}{\partial p}}+i_{2}\,{\frac {\partial y}{\partial p}}+i_{3}\,{\frac {\partial z}{\partial p}}\right)d\sigma _{2}.\\\end{aligned}}$
Dabei ist die Richtung der positiven $p\!$ so gelegt, dass sie von $\sigma _{1}\!$ in das Leiterstück hineinführt, von $\sigma _{2}\!$ dagegen aus demselben heraus. Nun ist
* $dt\int \left(i_{1}\,{\frac {\partial x}{\partial p}}+i_{2}\,{\frac {\partial y}{\partial p}}+i_{3}\,{\frac {\partial z}{\partial p}}\right)d\sigma _{1}=J_{1}\,dt$
die Elektricitätsmenge, welche in dem Zeitelement $dt\!$ durch die Fläche $\sigma _{1}\!$ in das Leitersystem einströmt, dagegen
* $dt\int \left(i_{1}\,{\frac {\partial x}{\partial p}}+i_{2}\,{\frac {\partial y}{\partial p}}+i_{3}\,{\frac {\partial z}{\partial p}}\right)d\sigma _{2}=J_{2}\,dt$
die Elektricitätsmenge, welche in demselben Zeitelement durch $\sigma _{2}\!$ austritt. Beide Mengen sind einander gleich. Wir erhalten also:
| (9) | ${\frac {dA}{dt}}=J_{1}(V_{2}-V_{1})-\sum J(V_{+0}-V_{-0}).$ |
Hier bezieht sich die Summirung auf die Producte $J(V_{+0}-V_{-0})\!$ für alle innerhalb des Leiterstückes befindlichen Unstetigkeitsflächen.*)