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# Topographia Sueviae: Steinbach 2

Topographia Germaniae :
| Steinbach ||
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| aus: Matthäus Merian (Herausgeber und Illustrator) und Martin Zeiller (Textautor): Topographia Sueviae. Merian, Frankfurt am Main 1643, S. 175. ||
| Stadtteil von Baden-Baden Siehe auch den gleichnamigen Eintrag Steinbach (1) ||
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Ein kleines Marggräffisch-Badisch Stättlein / ein halbe Meil von seiner HauptStatt Baden / vnd in der Mordnaw / oder Mortenaugia gelegen / welches Schwäbische Ländlein in seiner Länge / zwischen Breißgöw / vnd der Marggraffschafft Baden / von den Flüssen Pleicha, vnd Osa, an: in der Breyte aber / von dem Rhein / biß an den Schwartzwald / sich erstrecket: Vnd den Nahmen von den Mördern hat / welche die Knecht Gottes daselbst pflegten vmbzubringen; wie dann noch dieser Ort / wegen seiner Gelegenheit / zwischen dem Rhein / vnnd den Bergen / der Rauberey halber / beschryen ist. Crusius in Annal. Suev. Heutigs Tags heist man es die Ortenaw / vnd beschreibts also / daß es ein flach Land / zwischen dem Rhein / vnnd Schwartzwald / von Bühel / biß nach Offenburg / gelegen sey. Es ist auch ein Steinbach in dem Würtenberger Land / Langen-Steinbach zugenandt.
# Topographia Sueviae: Stotzingen

Topographia Germaniae :
| Stotzingen (heute: Niederstotzingen) ||
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| aus: Matthäus Merian (Herausgeber und Illustrator) und Martin Zeiller (Textautor): Topographia Sueviae. Merian, Frankfurt am Main 1643, S. 176. ||
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Stättlein / vnnd Schloß / zwischen Gundelfingen vnnd Langenaw / von jedem Orth ein Meil / vnnd drey Meil vnterhalb Vlm / ein kleinen Weg ob der Brentz / gelegen / den Freyherren / vom Stein gehörig. Anno 1329. kauffte Bertholdus Tertius, Probst zu Heerbertingen an der Brentz / das Jus Patronatus allhie. Anno ein tausendt dreyhundert acht vnnd siebentzig / haben die Stätt / als Augspurg / Vlm / vnnd andere / diß Stättlein eyngenommen. Crusius in Annalibus Suevicis, parte secunda, folio 393. Caesar in der Augspurgischen Chronick / part. 2. fol 126.
# Topographia Sueviae: Steinheim

Topographia Germaniae :
| Steinheim (heute: Steinheim an der Murr) ||
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| aus: Matthäus Merian (Herausgeber und Illustrator) und Martin Zeiller (Textautor): Topographia Sueviae. Merian, Frankfurt am Main 1643, S. 174. ||
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| Steinheim an der Murr in der Wikipedia ||
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Ein Closter in der Gegendt der Statt Vaihingen / vnnd ein Stundt-Wegs von Marpach gelegen / welches Frawen-Closter / so sonsten auch Marienthal / oder Monasterium Mariae vallis genandt wirdt / Anno ein tausend zweyhundert fünff vnnd fünfftzig durch Herren Berchtolden von Blanckenstein gestifftet worden; aber der Zeit FürstlichWürttembergisch ist.
# Topographia Sueviae: Stetten

Topographia Germaniae :
| Stetten ||
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| aus: Matthäus Merian (Herausgeber und Illustrator) und Martin Zeiller (Textautor): Topographia Sueviae. Merian, Frankfurt am Main 1643, S. 175. ||
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Ein Frawen Closter vnder dem Berg / vnd Schloß HohenZollern / nahend der Statt Hechingen / so von Friderico von Zollern gestifftet / vnd gebawet worden / vnd darinn die von Zollern jhre Begräbnuß / biß auffs Jahr 1488. gehabt haben: Wie Crusius berichtet.
Es ligt auch ein Stetten im Würtenberger Land / bey Vlbach / zwischen Canstatt / vnd Beutelspach. Item eines / zwischen Rosenfeld / vnd Balingen / daselbst. Item ein Stetten bey Delmesingen / am Wasser Rott / oberhalb Vlm: Item / ein anders nahendt Mindelheim.
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:069

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
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* $\int \limits _{0}^{\nu }{\frac {a-x}{r}}{\frac {\partial k}{\partial s}}ds$
jedenfalls kleiner als der absolute Werth von
* $\int \limits _{0}^{\nu }{\frac {\partial k}{\partial s}}ds,$
d. h. kleiner als der absolute Werth der Differenz $k_{\nu }-k_{0}\,$. Nun ist aber $k\,$ stetig variabel, folglich kann diese Differenz durch unendliches Abnehmen von $\nu \,$ kleiner gemacht werden als irgend eine angebbare Zahl. Um so mehr wird
| (5) | $\int \limits _{0}^{\nu }{\frac {a-x}{r}}{\frac {\partial k}{\partial s}}ds$ |
beim unendlichen Abnehmen von $\nu \,$ unter jeden angebbaren Werth herabsinken.
Das Integral
| (6) | $\int \limits _{\nu }^{S}{\frac {a-x}{r}}{\frac {\partial k}{\partial s}}ds$ |
hat einen endlichen Werth, der mit $x\,$ sich stetig ändert, auch für $x=0\,$ und für unendlich kleine positive oder negative $x\,$. Denn eine Aenderung von $x\,$ bewirkt unter dem Integralzeichen nur eine Aenderung des Factors ${\frac {a-x}{r}}$. So lange $s\,$ einen endlichen Werth hat, nimmt dieser Factor Werthe an, die sich nur unendlich wenig unterscheiden, man möge $x=0\,$ oder unendlich klein $=\pm \varepsilon \,$ nehmen. Bei unendlich abnehmendem $s\,$ hat man aber
* $\lim {\frac {a-x}{r}}=\lim {\frac {{\frac {a}{s}}-{\frac {x}{s}}}{\sqrt {1+\left({\frac {a-x}{s}}\right)^{2}}}},$
d. h. da $\lim {\frac {a}{s}}=0$ ist:
* $\lim {\frac {a-x}{r}}=\lim {\frac {-{\frac {x}{s}}}{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{s^{2}}}}}}.$
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:070

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
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Man kann aber bei eimem gegebenen unendlich kleinen $\varepsilon \,$ das unendlich kleine $\nu \,$ so wählen, dass $\lim {\frac {\varepsilon }{\nu }}=0$ ist. Innerhalb der Integrationsgrenzen $\nu \,$ und $S\,$ ist demnach für ein unendlich kleines $s\,$
* $\lim {\frac {a-x}{r}}=0,$
gleichgültig, ob $x=0\,$ oder $=\pm \varepsilon \,$ ist. Damit ist die eben behauptete Eigenschaft des Integrals (6) bewiesen auch für ein unendlich abnehmendes $\nu \,$. Wir gehen über zu dem Integral
| (7) | $\int \limits _{0}^{\nu }k{\frac {s^{2}}{r^{3}}}{\frac {\partial a}{\partial s}}ds.$ |
Da ${\frac {\partial a}{\partial s}}=0$ ist für $s=0\,$, so kann man im allgemeinen setzen
* ${\frac {\partial a}{\partial s}}=\mu s^{\lambda },$
wobei $\lambda \,$ eine positive Constante und $\mu \,$ eine Function von $s\,$ und $\varphi \,$ bedeutet, die innerhalb der Integrationsgrenzen überall von Null verschieden, endlich und stetig variabel ist. Daher findet sich
* $\int \limits _{0}^{\nu }k{\frac {s^{2}}{r^{3}}}{\frac {\partial a}{\partial s}}\,ds=\int \limits _{0}^{\nu }\mu k{\frac {s^{3}}{r^{3}}}s^{\lambda -1}ds.$
${\frac {s}{r}}$ ist ein echter Bruch, der sich für $x=0\,$ und $\lim s=0\,$ dem Grenzwerthe $+1\,$ annähert. Also ist $\mu k{\frac {s^{3}}{r^{3}}}$ innerhalb der Integrationsgrenzen endlich. Der grösste Werth dieser Function sei $M\,$.
Dann haben wir
* $M{\frac {\nu ^{\lambda }}{\lambda }}>\int \limits _{0}^{\nu }k{\frac {s^{2}}{r^{3}}}{\frac {\partial a}{\partial s}}ds,$
und man sieht, dass durch unaufhörliches Abnehmen von $\nu \,$ der Werth des Integrals (7) unter jede angebbare Zahl herabsinkt. Der Werth dieses Integrals ist demnach für ein unendlich kleines $\nu \,$ davon unabhängig, ob $x=0\,$ oder gleich $=\pm \varepsilon$ genommen wird.
Das Integral
| (8) | $\int \limits _{\nu }^{S}k{\frac {s^{2}}{r^{3}}}{\frac {\partial a}{\partial s}}\,ds$ |
hat für ein endliches $\nu \,$ einen bestimmten, endlichen Werth, der
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:072

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
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Wir gehen zu dem abstracten Falle über, dass die Masse in einer Linie vertheilt ist. Unter der Dichtigkeit $\rho \,$ im Punkte $(a,\,b,\,c)$ dieser Linie verstehen wir den Quotienten, den man erhält, wenn die Masse des an den Punkt anstossenden Linienelementes $ds\,$ durch die Länge dieses Elementes dividirt wird. Die Dichtigkeit soll in jedem Punkte der Linie endlich sein und, wenn nichts anderes ausdrücklich gesagt ist, an keiner Stelle sich sprungweise ändern.
Zunächst nehmen wir den einfachsten Fall, dass die Masse mit constanter Dichtigkeit in einer unbegrenzten geraden Linie vertheilt ist. Wir legen in sie die Axe der $x\,$. Das an den Punkt $(a,\,0,\,0)$ anstossende Massenelement ist $\rho \,da$. Die Entfernung von dem angezogenen Punkte $(x,\,y,\,z)$ist $r={\sqrt {(a-x)^{2}+y^{2}+z^{2}}}$. Statt mit ${\frac {1}{r}}$ darf man auch mit ${\frac {1}{r}}+\varphi (a)$ multipliciren und hat demnach
| (1) | $V=\rho \int \limits _{-\infty }^{+\infty }da\left({\frac {1}{r}}+\varphi (a)\right).$ |
Denn die Derivirten dieser Function nach $x\,$ oder nach $y\,$ oder nach $z\,$ sind dieselben, als wenn unter dem Integral einfach ${\frac {da}{r}}$ stände. Die Function $\varphi (a)\,$ wird eingeführt, weil das Integral
* $\int {\frac {da}{r}}$
keine Bedeutung mehr hat, wenn die Grenzen $-\infty \,$ und $+\infty \,$ genommen werden. Man hat deshalb $\varphi (a)\,$ so einzurichten, dass das Integral (1) einen bestimmten, angebbaren Werth erhalte. Wir setzen
* $\varphi (a)=-{\frac {1}{a}}\,$ für $a\geq k\,$
* $\varphi (a)=0\,$ für $k>a>-k\,$
* $\varphi (a)=+{\frac {1}{a}}\,$ für $a\leq -k\,$
und verstehen unter $k\,$ eine beliebige endliche, positive Grösse. Die unbestimmte Integration
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:076

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$\left(t{\frac {\partial V}{\partial t}}\right)_{t=0}=-2\,\rho .$
Die anziehende Masse sei über eine krumme Linie vertheilt. Wir bezeichnen mit $s\,$s die Länge des Bogens von dem Anfangspunkte der Curve bis zum Punkte $(a,\,b,\,c)$. Im Endpunkte sei $s=s_{1}\,$. Die Dichtigkeit $\rho \,$ wird als eine stetige Function von $s\,$ vorausgesetzt. Wir legen den Anfangspunkt der Coordinaten in einen Punkt der Curve, in welchem die Krümmungsradien nicht unendlich klein sind. Die Tangente der Curve in diesem Punkte wählen wir zur Axe der $x\,$. Der angezogene Punkt soll in der $yz\,$Ebene liegen. Es handelt sich hauptsächlich um die Frage, was aus der Potentialfunction wird, wenn der angezogene Punkt unendlich nahe an den Anfangspunkt der Coordinaten heranrückt. Wir haben
| (1) | $r^{2}=a^{2}+(b-y)^{2}+(c-z)^{2},\,$ |
| (2) | $V=\int \limits _{0}^{s_{1}}{\frac {\rho \,ds}{r}}.$ |
Zur Abkürzung werde $y^{2}+z^{2}=t^{2}\,$ gesetzt. Bezeichnen wir mit $\rho _{0}\,$ die Dichtigkeit im Anfangspunkte der Coordinaten, so lässt sich leicht beweisen, dass für $t=0\,$ die Function $V\,$ unendlich wird wie $2\,\rho _{0}\,\lg {\frac {1}{t}}\,$. Um den Beweis zu führen , bringen wir $V\,$ zunächst in die Form
| (3) | $V=\int \limits _{k}^{k_{1}}{\frac {\rho \,da}{r{\frac {da}{ds}}}}=\int \limits _{k}^{k1}{\frac {\rho \,da}{r\cos \lambda }}.$ |
Hier sind $k\,$ und $k_{1}\,$ die Werthe von $a\,$ für $s=0\,$ und resp. $s=s_{1}\,$, und $\lambda \,$ ist der Winkel, welchen die Tangente der Curve mit der Axe der positiven $x\,$ einschliesst. Denken wir uns nun die Axe der $x\,$ von der Stelle $a=k\,$ bis zu der Stelle $a=k_{1}\,$ mit anziehender Masse von der constanten Dichtigkeit $\rho _{0}\,$ belegt und bezeichnen die davon herrührende Potentialfunction mit $V'\,$, so findet sich
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:077

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* $V'=\rho _{0}\int \limits _{k}^{k_{1}}{\frac {da}{\sqrt {a^{2}+t^{2}}}}=\rho _{0}\int \limits _{k}^{k_{1}}{\frac {da}{R}}.$
Aus (3) und (4) erhält man
| (5) | $V-V'=\int \limits _{k}^{k_{1}}da\left\lbrace {\frac {\rho }{r\,\cos \lambda }}-{\frac {\rho _{0}}{R}}\right\rbrace .$ |
Das Integral auf der rechten Seite dieser Gleichung hat einen bestimmten, endlichen Werth, so lange $t\,$ von Null verschieden. Für $t=0\,$ nimmt der Factor von $da\,$ an einer Stelle zwischen den Integrationsgrenzen die Form $\infty -\infty \,$ an, nemlich an der Stelle $a=0\,$. Um den wahren Werth zu ermitteln, bringen wir die Function in die Form
* ${\frac {{\frac {a}{r}}{\frac {\rho }{\cos \lambda }}-{\frac {a\,\rho _{0}}{R}}}{a}}.$
Nun kann man leicht zeigen, dass für $t=0\,$ die Brüche ${\frac {a}{r}}$ und ${\frac {a}{R}}$ sich derselben endlichen Grenze annähern, wenn man $a\,$ in $0\,$ übergehen lässt. Denn es ist
* ${\frac {a}{R}}={\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {t^{2}}{a^{2}}}}}},$
* ${\frac {a}{r}}={\frac {1}{\sqrt {1+\left({\frac {b}{a}}-{\frac {y}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{a}}-{\frac {z}{a}}\right)^{2}}}}.$
Lässt man $a\,$ in Null übergehen, so werden gleichzeitig auch $b\,$ und $c\,$ zu Null. Man erhält $\lim {\frac {b}{a}}={\frac {db}{da}},\lim {\frac {c}{a}}={\frac {dc}{da}}$. Beide Differentialquotienten sind aber gleich Null für $a=0\,$, weil die Axe der $x\,$ im Anfangspunkte die Curve berührt. Für $a=0\,$ hat man also
* $\lim {\frac {a}{R}}=\lim {\frac {a}{r}}=\lim {\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {t^{2}}{a^{2}}}}}}.$
Dieser gemeinschaftliche Grenzwerth ist aber jedenfalls verschieden von ${\frac {1}{0}}$, d. h. er ist endlich, selbst wenn man $t=0\,$ nehmen will.
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:078

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Man kann also schreiben
* $\lim \left\lbrace {\frac {{\frac {a}{r}}{\frac {\rho }{\cos \lambda }}-{\frac {a\rho _{0}}{R}}}{a}}\right\rbrace =\lim {\frac {a}{R}}\cdot \lim \left\lbrace {\frac {{\frac {\rho }{\cos \lambda }}-\rho _{0}}{a}}\right\rbrace$
und es handelt sich jetzt nur noch um den Grenzwerth von
* ${\frac {{\frac {\rho }{\cos \lambda }}-\rho _{0}}{a}}.$
Dieser findet sich nach den Regeln der Differentialrechnung
* $={\frac {{\frac {1}{\cos \lambda }}{\frac {d\rho }{ds}}-{\frac {\rho }{\cos \lambda ^{2}}}{\frac {d\,\cos \lambda }{ds}}}{\frac {da}{ds}}}$
* $={\frac {1}{\cos \lambda ^{2}}}{\frac {d\rho }{ds}}-{\frac {\rho }{\cos \lambda ^{3}}}{\frac {d\,\cos \lambda }{ds}}.$
Nun ist aber $\cos \lambda =1\,$ für $a=0\,$. Die Differentialquotienten ${\frac {d\,\cos \lambda }{ds}}$ und ${\frac {d\rho }{ds}}$ sind endlich. Ist also $t=0\,$, so erhält man selbst an der Stelle $a=0\,$ zu dem Integral (5) nur einen unendlich kleinen Beitrag. Alle übrigen Elemente des Integrals sind ebenfalls unendlich klein. Folglich hat das Integral einen bestimmten, endlichen Werth auch für $t=0\,$, und die Differenz $V-V'\,$ ist eine endliche und stetige Function von $t\,$. Die Function $V'\,$ ist aber in Gleichung (12) des vorigen Paragraphen ausgedrückt. Wir haben demnach
| (6) | $V=2\rho _{0}\lg {\frac {1}{t}}+f.\,c.,$ |
wenn mit $f.\,c.$ eine endliche und stetige Function bezeichnet wird. Das eben gewonnene Resultat lässt sich auch aus dem Satze von Gauss (§. 12) herleiten. Wir machen auf der Curve ein Element $ds\,$, das als geradlinig angesehen werden darf, zur Axe eines geraden Kreiscylinders mit dem Radius $t\,$ (Fig. 10). Da $t\,$ in Null übergehen soll, so kann man es so klein wählen, dass das Verhältnis $t\,:\,ds$ gleich Null wird. Die Endflächen des Cylinders sind dann verschwindend klein im Vergleich zu der Mantelfläche,
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:071

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sich nur unendlich wenig ändert, wenn $x\,$ von unendlich kleinen negativen Werthen durch Null zu unendlich kleinen positiven Werthen übergeht. Lässt man aber die untere Grenze $\nu \,$ unendlich klein werden, so kommen zu dem Integral nur solche Beiträge hinzu, deren Inbegriff selbst unendlich klein ist, und die deshalb auch bei einer Aenderung von $x\,$ einen wesentlichen Einfluss nicht ausüben.
Nach diesen Erörterungen kann man nun in Gleichung (4) auf beiden Seiten mit $d\psi \,$ multipliciren und hierauf in Beziehung auf $\psi \,$ von $0\,$ bis $2\pi \,$ integriren. Die rechte Seite gibt dann den Werth von $X\,$. Auf diese Weise bestätigt sich der Satz des vorigen Paragraphen über die sprungweise eintretende Aenderung der zur Fläche normalen Componente der Anziehung.
Es muss noch erwähnt werden, dass in einem Ausnahmefalle das Integral
* $\int \limits _{0}^{S}k{\frac {s^{2}}{r^{3}}}{\frac {\partial a}{\partial s}}ds\,$
keinen endlichen Werth behält, nemlich wenn für $s=0\,$ der Differentialquotient ${\frac {\partial a}{\partial s}}=0$ wird wie ${\frac {1}{\lg \left({\frac {1}{s}}\right)}}$. Setzt man
* ${\frac {\partial a}{\partial s}}={\frac {\mu }{\lg \left({\frac {1}{s}}\right)}},$
so ist
* $\int \limits _{0}^{S}k{\frac {s^{2}}{r^{3}}}{\frac {\partial a}{\partial s}}\,ds=-\int \limits _{0}^{S}\mu k{\frac {s^{3}}{r^{3}}}\cdot {\frac {d\,\lg \left({\frac {1}{s}}\right)}{\lg \left({\frac {1}{s}}\right)}}.$
Daraus folgt, dass das unbestimmte Integral eine Function von $s\,$ ist, die für $s=0\,$ unendlich gross wird wie $\lg \lg \left({\frac {1}{s}}\right)$. Das bestimmte Integral hat also keinen angebbaren Werth. Dieser Ausnahmefall darf aber ohne Nachtheil von der Untersuchung ganz ausgeschlossen werden.*)
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:073

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* $\int {\frac {da}{\sqrt {(a-x)^{2}+y^{2}+z^{2})}}}$
lässt sich ausführen. Man erhält
* $\lg \lbrace a-x+{\sqrt {(a-x)^{2}+y^{2}+z^{2})}}\rbrace +C,$
und daher ergibt sich
| (2) | $\int \limits _{-k}^{k}{\frac {da}{\sqrt {(a-x)^{2}+y^{2}+z^{2})}}}=\lg {\frac {(k-x)+{\sqrt {(k-x)^{2}+y^{2}+z^{2})}}}{-(k+x)+{\sqrt {(k+x)^{2}+y^{2}+z^{2})}}}}.$ |
Auf demselben Wege berechnet man
* $\int \left({\frac {1}{\sqrt {(a-x)^{2}+y^{2}+z^{2})}}}-{\frac {1}{a}}\right)\,da$
* $=\lg \left\lbrace 1-{\frac {x}{a}}+{\sqrt {\left(1-{\frac {x}{a}}\right)^{2}+{\frac {y^{2}+z^{2}}{a^{2}}}}}\right\rbrace +C,$
folglich
| (3) | $\int \limits _{k}^{\infty }\left({\frac {1}{\sqrt {(a-x)^{2}+y^{2}+z^{2})}}}-{\frac {1}{a}}\right)\,da$ |
* $=\lg 2-\lg \left\lbrace 1-{\frac {x}{k}}+{\sqrt {\left(1-{\frac {x}{k}}\right)^{2}+{\frac {y^{2}+z^{2}}{k^{2}}}}}\right\rbrace$
* $=\lg 2\,k-\lg \lbrace (k-x)+{\sqrt {(k-x)^{2}+y^{2}+z^{2}}}\rbrace .$
Endlich gelangt man durch einfache Umformungen zu der Gleichung
| (4) | $\int \limits _{-\infty }^{-k}\left({\frac {1}{\sqrt {(a-x)^{2}+y^{2}+z^{2})}}}+{\frac {1}{a}}\right)\,da$ |
* ${\begin{aligned}&=\int \limits _{k}^{\infty }\left({\frac {1}{\sqrt {(a+x)^{2}+y^{2}+z^{2})}}}-{\frac {1}{a}}\right)da\\&=\lg 2-\lg \left\lbrace 1+{\frac {x}{k}}+{\sqrt {\left(1+{\frac {x}{k}}\right)^{2}+{\frac {y^{2}+z^{2}}{k^{2}}}}}\right\rbrace \\&=\lg 2\,k-\lg \lbrace (k+x)+{\sqrt {(k+x)^{2}+y^{2}+z^{2}}}\rbrace .\\\end{aligned}}$
Aus (2), (3), (4) setzt sich das Integral auf der rechten Seite von (1) durch Addition zusammen. Das Resultat lautet:
* $\int \limits _{-\infty }^{+\infty }da\left({\frac {1}{r}}+\varphi (a)\right)=2\,\lg \,2\,k-\lg(y^{2}+z^{2}).$
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:074

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
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Die willkürliche Zahl $k\,$ darf man nun $={\frac {1}{2}}$ setzen. Dann wird
| (5) | $V=-\rho \lg(y^{2}+z^{2})\,$ |
oder, wenn man den Abstand des Punktes $(x,\,y,\,z)$ von der anziehenden Linie mit $t\,$ bezeichnet:
| (6) | $V=2\,\rho \lg {\frac {1}{t}}.$ |
Die Potentialfunction ist hier also von $x\,$ unabhängig und daher die Componente der Anziehung in der Richtung parallel zur anziehenden Linie gleich Null. Dies war bei dem unbegrenzten Verlauf der Linie und der constanten Dichtigkeit ihrer Masse vorauszusehen. Man hätte auch den Anfangspunkt der Coordinaten auf der Axe der $x\,$ so verschieben können, dass der angezogene Punkt in die neue $yz\,$Ebene fällt. Dadurch wird $x=0\,$ und $r\,$ geht über in ${\sqrt {a^{2}+t^{2}}}$. Die Integration in (1) bleibt aber von $-\infty$ bis $+\infty$ zu erstrecken.
Von der Richtigkeit der Gleichung (6) kann man sich auch auf folgendem Wege überzeugen. Man nehme ausser dem Punkte $(0,\,y,\,z)$ noch einen Punkt $(0,\,y_{1},\,z_{1})$ und bezeichne die Potentialfunction der anziehenden Linie auf den ersten Punkt mit $V\,$, auf den anderen mit $V_{1}\,$. Setzt man $y^{2}+z^{2}=t^{2}\,$ und $y_{1}^{2}+z_{1}^{2}=t_{1}^{2}\,$, so hat man
| (7) | $V-V_{1}=\rho \int \limits _{-\infty }^{+\infty }\left({\frac {1}{\sqrt {a^{2}+t^{2}}}}-{\frac {1}{\sqrt {a^{2}+t_{1}^{2}}}}\right)da.$ |
Die Integration erstrecken wir zunächst von $-k\,$ bis $+k\,$ und suchen den Grenzwerth für $\lim k=\infty \,$. Nun ist aber
* $\int \limits _{-k}^{k}{\frac {da}{\sqrt {a^{2}+t^{2}}}}=\lg {\frac {k+{\sqrt {k^{2}+t^{2}}}}{-k+{\sqrt {k^{2}+t^{2}}}}}=2\,\lg {\frac {k+{\sqrt {k^{2}+t^{2}}}}{t}},$
folglich
* $V-V_{1}=2\,\rho \,\lim \lg \left\lbrace {\frac {1+{\sqrt {1+{\frac {t^{2}}{k^{2}}}}}}{1+{\sqrt {1+{\frac {t_{1}^{2}}{k^{2}}}}}}}\cdot {\frac {t_{1}}{t}}\right\rbrace$
für $\lim k=\infty \,$, d. h.
| (8) | $V-V_{1}=2\,\rho \left(\lg {\frac {1}{t}}-\lg {\frac {1}{t_{1}}}\right).$ |