# Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 49.

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Wir wollen zunächst den Punkt $(x,\,y,\,z)$ auf der Centrallinie zwischen beiden Kugeln nehmen. Es ist also $c-b\geq x\geq a\!$, $y=z=0\!$, und wir haben
| (1) | $V'_{1}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {-m'_{k}}{x-x'_{k}}},\qquad V'_{2}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {-m''_{k}}{x''_{k}-x}},$ $V'_{3}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {-m'''_{k}}{x'''_{k}-x}},\qquad V'_{4}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {-m''''_{k}}{x-x''''_{k}}}.$ |
Hier hat man besonders die Nenner zu beachten. Sie sind dadurch entstanden, dass man in den Gleichungen (7) des vorigen Paragraphen $y=z=0\!$ setzt und die Quadratwurzeln auszieht. Aber es sind, dem Wesen der Potentialfunction entsprechend, immer die positiven Wurzeln zu nehmen. Will man also für eine der in (1) ausgedrückten Functionen die Variable $x\!$ über das vorgeschriebene Gebiet hinausgehen lassen, so hat man die Vorsicht zu beobachten, dass jedesmal nach Ueberschreitung eines Unstetigkeitspunktes derjenige Nenner, welcher in diesem Punkte Null wird, wieder positiv gemacht, d. h. mit -1 multiplicirt werden muss. Lässt man dagegen die Variable $x\!$ nur auf solche Gebiete übergehen, die keinen Unstetigkeitspunkt der betreffenden Function enthalten, so bleibt der in (1) gegebene Ausdruck ohne weiteres gültig. Es darf also die Variable $x\!$ in $V'_{1}\!$ und in $V'_{4}\!$ auch grösser als $c-b\!$, in $V'_{2}\!$ und in $V'_{3}\!$ auch kleiner als $a\!$ gemacht werden, ohne dass die Ausdrücke (1) ihre Gültigkeit verlieren.
Wir schreiben zur Abkürzung:
| (2) | ${\frac {r}{a}}=\eta ,\,$ |
| (3) | ${\frac {s}{b}}=\zeta .\,$ |
Für einen Punkt auf der Centrallinie zwischen den beiden Kugeln gilt die Gleichung
| (4) | $a\,\eta +b\,\zeta =c,\,$ |
in welcher $\eta \!$ und $\zeta \!$ beide positiv und nicht kleiner als 1 sind. |[195]Die Function $V'\!$ kann in doppelter Weise aufgefasst werden, je nachdem man $\eta \!$ oder $\zeta \!$ als unabhängige Variable ansieht. Wir setzen also
| (5) | $V'=\varphi (\eta )=\chi (\zeta ).\!$ |
Die Gleichungen (4) und (5) des vorigen Paragraphen lauten jetzt:
| (6) | $\varphi \,\left({\frac {1}{\eta }}\right)\,-g=-\eta \,\lbrace \varphi (\eta )-g\rbrace ,$ |
| (7) | $\chi \,\left({\frac {1}{\zeta }}\right)\,-h=-\zeta \,\lbrace \chi (\zeta )-h\rbrace .$ |
Aus (5), (6) und (7) folgt
| (8) | ${\frac {1}{\eta }}\,\varphi \,\left({\frac {1}{\eta }}\right)-{\frac {1}{\zeta }}\,\chi \,\left({\frac {1}{\zeta }}\right)={\frac {g}{\eta }}+g-{\frac {h}{\zeta }}-h.$ |
Um dieser Functionalgleichung in bequemer Weise genügen zu können, zerlegen wir jede der beiden Functionen $\varphi \!$ und $\chi \!$ in zwei Bestandtheile
| (9) | $\varphi (\eta )=\varphi _{1}(\eta )+\varphi _{2}(\eta ),\!$ |
| (10) | $\chi (\zeta )=\chi _{1}(\zeta )+\chi _{2}(\zeta ),\!$ |
und setzen fest, dass
* $\varphi _{1}(\eta )=\chi _{1}(\zeta ),\!$
* $\varphi _{2}(\eta )=\chi _{2}(\zeta ),\!$
sein soll. Der Gleichung (8) ist Genüge geleistet, wenn
| (11) | ${\frac {1}{\eta }}\,\varphi _{1}\left({\frac {1}{\eta }}\right)-\,{\frac {g}{\eta }}\,-g={\frac {1}{\zeta }}\,\chi _{1}\,\left({\frac {1}{\zeta }}\right)$ |
| (12) | ${\frac {1}{\eta }}\,\varphi _{2}\left({\frac {1}{\eta }}\right)={\frac {1}{\zeta }}\,\chi _{2}\left({\frac {1}{\zeta }}\right)-\,{\frac {h}{\zeta }}-h$ |
gesetzt wird. Da $\varphi \!$ eine Potentialfunction ist, so findet man leicht die Form der Entwicklung im allgemeinen, nemlich
| (13) | $\varphi _{1}(\eta )=\sum _{k=0}^{\infty }\,{\frac {1}{p_{k}\eta +q_{k}}},\,$ |
und es kommt nur noch darauf an, die Coefficienten $p\!$ und $q\!$ zu bestimmen. Nach der über $\chi _{1}\!$ getroffenen Bestimmung ist
| (14) | $\chi _{1}(\zeta )=\sum _{0}^{\infty }\,{\frac {1}{p_{k}\left({\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}\,\zeta \right)+q_{k}}}.\,$ |
|[196]  Aus den Gleichungen (13) und (14) leiten wir ab:
* ${\begin{aligned}{\frac {1}{\eta }}\,\varphi _{1}\left({\frac {1}{\eta }}\right)&=\sum _{0}^{\infty }\,{\frac {1}{p_{k}+q_{k}\,\eta }},\\\,\\{\frac {1}{\zeta }}\,\chi _{1}\left({\frac {1}{\zeta }}\right)&=\sum _{0}^{\infty }\,{\frac {1}{\left(p_{k}{\frac {c}{a}}+q_{k}\right)\zeta -\,{\frac {b}{a}}\,p_{k}}}\\&=\sum _{0}^{\infty }\,{\frac {1}{\left(p_{k}{\frac {c}{a}}+q_{k}\right)\left({\frac {c}{b}}-{\frac {a}{b}}\,\eta \right)-\,{\frac {b}{a}}\,p_{k}}}.\\\end{aligned}}$
Wir disponiren nun über die Coefficienten so, dass das $k\!$te Glied in der Entwicklung von ${\frac {1}{\zeta }}\,\chi _{1}\left({\frac {1}{\zeta }}\right)$ gleich dem $(k+1)\!$ten Gliede in der Entwicklung von ${\frac {1}{\eta }}\,\varphi _{1}\left({\frac {1}{\eta }}\right)$ ist. Dann erhält man
| (15) | ${\frac {1}{\eta }}\,\varphi _{1}\left({\frac {1}{\eta }}\right)-\,{\frac {1}{\zeta }}\,\chi _{1}\left({\frac {1}{\zeta }}\right)=\,{\frac {1}{p_{0}+q_{0}\,\eta }}.\,$ |
Damit dies zu Stande komme, hat man
| (16) | ${\begin{aligned}&p_{k+1}=p_{k}\,{\frac {c^{2}-b^{2}}{ab}}+q_{k}\,{\frac {c}{b}}\\\,\\&q_{k+1}=-\,{\frac {1}{b}}\,(p_{k}c+q_{k}a)\\\end{aligned}}$ |
zu setzen. In den Bedingungsgleichungen (16) kommt $k\!$ nicht explicite vor. Wir schreiben deshalb
* ${\begin{aligned}&p_{k}={\mathfrak {P}}\alpha ^{k},\\\,\\&q_{k}={\mathfrak {Q}}\alpha ^{k}.\\\end{aligned}}$
Dadurch gehen die Gleichungen (16) über in
| (17) | ${\begin{aligned}&{\mathfrak {P}}\left(\alpha -\,{\frac {c^{2}-b^{2}}{ab}}\right)={\mathfrak {Q}}\,{\frac {c}{b}},\,\\\,\\&{\mathfrak {Q}}\left(\alpha +\,{\frac {a}{b}}\right)=-{\mathfrak {P}}\,{\frac {c}{b}},\\\end{aligned}}$ |
und wenn man ${\mathfrak {P}}\!$ und ${\mathfrak {Q}}\!$ eliminirt, so ergibt sich zur Bestimmung von $\alpha \!$ die quadratische Gleichung
| (18) | $\alpha ^{2}+\alpha \,{\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{ab}}+1=0.\,$ |
Wir bezeichnen die Wurzeln mit $\alpha _{1}\!$ und $\alpha _{2}\!$, und bemerken, dass |[197]
* ${\begin{aligned}\alpha _{1}+\alpha _{2}&={\frac {c^{2}-(a^{2}+b^{2})}{ab}},\,\\\,\\\alpha _{1}\,\alpha _{2}&=1\\\end{aligned}}$
ist. Da nun $c>a+b\!$ vorausgesetzt ist, so zeigt sich, dass $\alpha _{1}+\alpha _{2}\!$ positiv ist, und da beide Wurzeln einerlei Vorzeichen haben (ihr Product ist $=1\!$), so muss $\alpha _{1}>0\!$ und $\alpha _{2}>0\!$ sein.
Aus der zweiten der Gleichungen (17) findet sich
* ${\mathfrak {P}}=-{\frac {ab+a}{c}}\,{\mathfrak {Q}}.\,$
Je nachdem wir die Wurzel $\alpha _{1}\!$ oder $\alpha _{2}\!$ nehmen, erhalten wir particuläre Lösungen für $p_{k}\!$ und $q_{k}\!$. Daraus setzt sich die allgemeine Lösung zusammen, nemlich
| (19) | ${\begin{aligned}&q_{k}={\mathfrak {Q}}_{1}\,\alpha _{1}^{k}+{\mathfrak {Q}}_{2}\,\alpha _{2}^{k}\\\,\\&p_{k}=-{\frac {a}{c}}\,({\mathfrak {Q}}_{1}\,\alpha _{1}^{k}+{\mathfrak {Q}}_{2}\,\alpha _{2}^{k})-{\frac {b}{c}}\,({\mathfrak {Q}}_{1}\,\alpha _{1}^{k+1}+{\mathfrak {Q}}_{2}\,\alpha _{2}^{k+1}).\\\end{aligned}}$ |
Es bleiben jetzt nur noch die beiden Constanten ${\mathfrak {Q}}_{1}\!$ und ${\mathfrak {Q}}_{2}\!$ zu bestimmen. Zu dem Ende bemerken wir, dass aus (15) und (11) hervorgehen würde
* ${\frac {1}{p_{0}+q_{0}\,\eta }}=g+{\frac {g}{\eta }}.\,$
Dieser Gleichung lässt sich nicht ohne weiteres genügen. Wir können aber die Function $\varphi _{1}(\eta )\!$ wieder zerlegen:
| (20) | $\varphi _{1}(\eta )=\varphi _{11}(\eta )+\varphi _{12}(\eta ),\,$ |
und setzen dann, sofern $\zeta \!$ als unabhängige Variable eingeführt wird,
* $\varphi _{11}(\eta )=\chi _{11}(\zeta ),\quad \varphi _{12}(\eta )=\chi _{12}(\zeta ).\,$
Die Gleichung (11) kann in der Weise befriedigt werden, dass wir setzen
| (21) | ${\frac {1}{\eta }}\,\varphi _{11}\left({\frac {1}{\eta }}\right)-\,{\frac {1}{\zeta }}\,\chi _{11}\left({\frac {1}{\zeta }}\right)=g,$ |
| (22) | ${\frac {1}{\eta }}\,\varphi _{12}\left({\frac {1}{\eta }}\right)-\,{\frac {1}{\zeta }}\,\chi _{12}\left({\frac {1}{\zeta }}\right)={\frac {g}{\eta }}.\,$ |
Nimmt man nun zunächst für $\varphi _{11}(\eta )\!$ die Entwicklung (13) vor, so ergibt sich aus den Gleichungen (15) und (21): |[198]
* ${\frac {1}{p_{0}+q_{0}\,\eta }}=g,$
* d.h. $p_{0}={\frac {1}{g}},\,\,q_{0}=0.$
Aus (19) haben wir aber
* ${\begin{aligned}&q_{0}={\mathfrak {Q}}_{1}+{\mathfrak {Q}}_{2},\\\,\\&p_{0}=-{\frac {a}{c}}\,({\mathfrak {Q}}_{1}+{\mathfrak {Q}}_{2})-{\frac {b}{c}}\,({\mathfrak {Q}}_{1}\,\alpha _{1}+{\mathfrak {Q}}_{2}\,\alpha _{2}).\\\end{aligned}}$
Folglich müssen wir hier setzen:
* ${\mathfrak {Q}}_{2}=-{\mathfrak {Q}}_{1},\quad {\mathfrak {Q}}_{1}=-{\frac {c}{-b\,g(\alpha _{1}-\alpha _{2})}}.$
Wird dies in die Gleichungen (19) und von da in (13) eingeführt, so erhält man speciell für $\varphi _{11}(\eta )\!$ die Entwicklung
| (23) | $\varphi _{11}(\eta )=g\,{\frac {b}{c}}\,(\alpha _{2}-\alpha _{1})\sum _{0}^{\infty }\,{\frac {1}{(\alpha _{1}^{k}-\alpha _{2}^{k})\left(1-{\frac {a}{c}}\,\eta \right)-(\alpha _{1}^{k+1}+\,\alpha _{2}^{k+1})\,{\frac {b}{c}}\eta }}.$ |
In entsprechender Weise findet man aus (15) und (22) die Bedingung
* ${\frac {1}{p_{0}+q_{0}\,\eta }}={\frac {g}{\eta }},\,$
also muss jetzt für die Entwicklung von $\varphi _{12}(\eta )\!$ gesetzt werden
* ${\begin{aligned}&p_{0}=0=-{\frac {a}{c}}\,({\mathfrak {Q}}_{1}+{\mathfrak {Q}}_{2})-{\frac {b}{c}}\,({\mathfrak {Q}}_{1}\,\alpha _{1}+{\mathfrak {Q}}_{2}\,\alpha _{2}),\\\,\\&q_{0}={\frac {1}{g}}={\mathfrak {Q}}_{1}+{\mathfrak {Q}}_{2}.\\\end{aligned}}$
Daraus lassen sich ${\mathfrak {Q}}_{1}\!$ und ${\mathfrak {Q}}_{2}\!$ bestimmen, und wenn man ihre Werthe in (19) und von da in (13) einführt, so hat man speciell die Entwicklung von $\varphi _{12}(\eta )\!$.
Man gelangt dazu einfacher auf dem folgenden Wege. Wir setzen
| (24) | $\chi _{12}(\zeta )=-{\frac {1}{\zeta }}\,\chi _{11}\left({\frac {1}{\zeta }}\right),$ |
folglich nach Gleichung (21)
| (25) | $\varphi _{12}(\eta )=-{\frac {1}{\eta }}\,\varphi _{11}\left({\frac {1}{\eta }}\right)+g,$ |
und wollen beweisen, dass hierdurch die Gleichung (22) befriedigt wird. Es ist nemlich |[199]
* ${\begin{aligned}&{\frac {1}{\eta }}\,\varphi _{12}\left({\frac {1}{\eta }}\right)=-\varphi _{11}(\eta )+{\frac {g}{\eta }},\\\,\\&{\frac {1}{\zeta }}\,\chi _{12}\left({\frac {1}{\zeta }}\right)=-\chi _{11}(\eta ),\\\end{aligned}}$
und hieraus ergibt sich durch Subtraction
* ${\frac {1}{\eta }}\,\varphi _{12}\left({\frac {1}{\eta }}\right)-{\frac {1}{\zeta }}\,\chi _{12}\left({\frac {1}{\zeta }}\right)={\frac {g}{\eta }},\,$
d. h. die Bedingungsgleichung (22). Vermöge der Gleichungen (23) und (25) erhält man
* $\varphi _{12}(\eta )=g-g\,{\frac {b}{c}}\,(\alpha _{2}-\alpha _{1})\sum _{0}^{\infty }\,{\frac {1}{(\alpha _{1}^{k}-\alpha _{2}^{k})\left(\eta -\,{\frac {a}{c}}\,\right)-{\frac {b}{c}}\,(\alpha _{1}^{k+1}+\alpha _{2}^{k+1})}},\,$
oder kürzer:
| (26) | $\varphi _{12}(\eta )=g\,{\frac {b}{c}}\,(\alpha _{1}-\alpha _{2})\sum _{1}^{\infty }\,{\frac {1}{(\alpha _{1}^{k}-\alpha _{2}^{k})\left(\eta -{\frac {a}{c}}\,\right)-{\frac {b}{c}}\,(\alpha _{1}^{k+1}+\alpha _{2}^{k+1})}}.\,$ |
Setzt man die Entwicklungen (23) und (26) in die Gleichung (20) ein, so ist nun die Function $\varphi _{1}(\eta )\!$ vollständig bestimmt.
Die Function $\varphi _{2}(\eta )=\chi _{2}(\zeta )\!$, welche an die Gleichung (12) gebunden ist, zerlegen wir in zwei Bestandtheile
| (27) | $\varphi _{2}(\eta )=\varphi _{21}(\eta )+\varphi _{22}(\eta )$ |
und setzen, sofern $\zeta \!$ als unabhängige Variable eingeführt wird:
* $\varphi _{21}(\eta )=\chi _{21}(\zeta ),\quad \varphi _{22}(\eta )=\chi _{22}(\zeta ).$
Dann lässt sich die Gleichung (12) in die beiden einfacheren zerlegen :
| (28) | ${\frac {1}{\zeta }}\,\chi _{21}\left({\frac {1}{\zeta }}\right)-{\frac {1}{\eta }}\,\varphi _{21}\left({\frac {1}{\eta }}\right)=h,$ |
| (29) | ${\frac {1}{\zeta }}\,\chi _{22}\left({\frac {1}{\zeta }}\right)-{\frac {1}{\eta }}\,\varphi _{22}\left({\frac {1}{\eta }}\right)=\,{\frac {h}{\zeta }}.\,$ |
Vergleicht man nun (28) mit (21) und (29) mit (22), so erkennt man, dass $\chi _{21}(\zeta )\!$ aus $\varphi _{11}(\eta )\!$ und $\chi _{22}(\zeta )\!$ aus $\varphi _{12}(\eta )\!$ hervorgeht, indem man die erste Kugel mit der zweiten vertauscht, also $g\!$ mit $h\!$, $a\!$ mit $b\!$, $\eta \!$ mit $\zeta \!$. Sobald die Ausdrücke für $\chi _{21}(\zeta )\!$ und für $\chi _{22}(\zeta )\!$ gefunden sind, ist nur für $\zeta \!$ an die Stelle zu setzen $\,{\frac {c}{b}}\,-\,{\frac {a}{b}}\,\eta .$ |[200]Dann hat man die Functionen $\varphi _{21}(\eta )\!$ und $\varphi _{22}(\eta )\!$. Die durchgeführte Rechnung gibt nach leichter Reduction:
| (30) | $\varphi _{21}(\eta )=h\,{\frac {b}{c}}\,(\alpha _{2}-\alpha _{1})\sum _{0}^{\infty }\,{\frac {1}{(\alpha _{1}^{k}-\alpha _{2}^{k})\,{\frac {b}{c}}\,\eta -(\alpha _{1}^{k+1}-\alpha _{2}^{k+1})\left(1-{\frac {a}{c}}\,\eta \right)}},\,$ |
| (31) | $\varphi _{22}(\eta )=h\,{\frac {b}{c}}\,(\alpha _{1}-\alpha _{2})\sum _{1}^{\infty }\,{\frac {1}{(\alpha _{1}^{k}-\alpha _{2}^{k})\,\left({\frac {c^{2}-b^{2}}{ac}}-\eta \right)-{\frac {b}{c}}\,(\alpha _{1}^{k+1}-\alpha _{2}^{k+1})}}.\,$ |
Für einen Punkt auf der Centrallinie zwischen beiden Kugeln ist hiernach die Potentialfunction
| (32) | $\varphi (\eta )=\varphi _{11}(\eta )+\varphi _{12}(\eta )+\varphi _{21}(\eta )+\varphi _{22}(\eta ).\,$ |
Es handelt sich noch darum, die Convergenz der Reihen (23), (26), (30), (31) zu untersuchen. In jeder dieser Reihen ist das allgemeine Glied von der Form
* ${\frac {1}{K_{1}\alpha _{1}^{k}+K_{2}\alpha _{2}^{k}}},\,$
und es bedeutet in einer und derselben Entwicklung $K_{1}\!$ in allen Gliedern dasselbe, ebenso $K_{2}\!$. Dividirt man nun ein Glied durch das vorhergehende, so lautet der Quotient:
* ${\frac {K_{1}\alpha _{1}^{k}+K_{2}\alpha _{2}^{k}}{K_{1}\alpha _{1}^{k+1}+K_{2}\alpha _{2}^{k+1}}}.\,$
Bei Gleichung (18) ist aber bemerkt worden, dass $\alpha _{1}\alpha _{2}=1\!$ ist und dass beide Wurzeln positiv sind. Wir nehmen $\alpha _{1}<1\!$, folglich $\alpha _{2}>1\!$, und können den eben gewonnenen Quotienten so schreiben
* ${\frac {\alpha _{2}^{k}(K_{1}\alpha _{1}^{2k}+K_{2})}{\alpha _{2}^{k+1}(K_{1}\alpha _{1}^{2k+2}+K_{2})}}=\alpha _{1}\cdot {\frac {K_{1}\alpha _{1}^{2k}+K_{2}}{K_{1}\alpha _{1}^{2k+2}+K_{2}}}.\,$
Der Grenzwerth für $k=\infty \!$ ist $\alpha _{1}\!$. Folglich convergiren die Reihen unter allen Umständen.