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# Schwere, Elektricität und Magnetismus:107

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
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fernten Punkt $(x,\,y,\,z)$ der Quotient ${\frac {x}{a^{2}+s}}$ innerhalb der Integrationsgrenzen nicht unendlich gross. Der Factor ${\frac {1}{D}}$ ist Null und die Integrationsgrenzen fallen zusammen. Folglich ist ${\frac {\partial V}{\partial x}}=0$ in unendlicher Entfernung.
Die Ausdrücke ${\frac {\partial V}{\partial y}}$ und ${\frac {\partial V}{\partial z}}$ finden sich, wenn man in (4) und in (5) $y\,$ und $b\,$, resp. $z\,$ und $c\,$ vertauscht mit $x\,$ und $a\,$. Daher sind auch ${\frac {\partial V}{\partial y}}$ und ${\frac {\partial V}{\partial z}}$ überall endlich und stetig variabel und in unendlicher Entfernung gleich Null.
Aus (4) ergibt sich durch nochmalige Differentiation
| (6) | ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}=-2\pi \rho \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {ds}{D\left(a^{2}+s\right)}}.$ |
Dies gilt für einen Punkt $(x,\,y,\,z)$ im Innern des Ellipsoids. Aus (5) erhält man dagegen
| (7) | ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}=-2\pi \rho \int \limits _{\sigma }^{\infty }{\frac {ds}{D\left(a^{2}+s\right)}}+{\frac {2\pi \rho x}{\Delta \left(a^{2}+\sigma \right)}}{\frac {\partial \sigma }{\partial x}}.$ |
Dies gilt für einen Punkt $(x,\,y,\,z)$ ausserhalb des Ellipsoids. Beide Ausdrücke sind endlich und ändern sich stetig, wenn nur der Punkt $(x,\,y,\,z)$ im einen Falle innerhalb, im andern Falle ausserhalb des Ellipsoids bleibt. Lässt man ihn von der einen und von anderen Seite in die Oberfläche hineinrücken, so geben die Ausdrücke (6) und (7) verschiedene Werthe. Nur für $x=0\,$ sind sie einander gleich.
Die Ausdrücke ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}$ und ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}$ ergeben sich aus (6) und (7) durch Buchstaben-Vertauschung. Wir bilden die Summe der zweiten Derivirten und erhalten fur einen inneren Punkt $(x,\,y,\,z)$
* ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=-2\pi \rho \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {ds}{D}}\left({\frac {1}{a^{2}+s}}+{\frac {1}{b^{2}+s}}+{\frac {1}{c^{2}+s}}\right).$
Es findet sich aber
* ${\frac {d\lg \left(D^{2}\right)}{ds}}={\frac {1}{a^{2}+s}}+{\frac {1}{b^{2}+s}}+{\frac {1}{c^{2}+s}},$
folglich ist
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:123

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| (18) | $Z=-{\frac {2\,\rho \,x\,z}{\gamma ^{1}-\beta ^{2}}}\int \limits _{\sigma }^{\infty }{\frac {s+\beta ^{2}}{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)}}}\cdot {\frac {{\frac {\partial t}{\partial s}}ds}{t{\sqrt {t-x^{2}}}}}+\Psi (y,\,z).$ |
Durch Integration nach Theilen erhalten wir dafür
| (19) | ${\begin{aligned}Z=&-{\frac {2\,\varepsilon \,\beta \,\gamma \,\pi \,\rho \,z}{\gamma ^{1}-\beta ^{2}}}+\Psi (y,\,z)\\&-{\frac {4\,\varepsilon \,\rho \,z}{1-{\frac {\gamma ^{2}}{\beta ^{2}}}}}\int \limits _{\sigma }^{\infty }\arcsin {\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{t}}}}\cdot d{\sqrt {\frac {1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}}{1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}}}},\\\end{aligned}}$ |
und es ist auch hier wieder $\varepsilon =+1\,$ für $x>0\,$ und $\varepsilon =-1\,$ für $x<0\,$. Indem wir jetzt in (5) partiell nach $z\,$, in (19) partiell nach $x\,$ differenziren und die Resultate vergleichen, finden wir, dass auch die letzte der Gleichungen (8) erfüllt ist.
Die Function $\Psi (y,\,z)\,$ wird auf demselben Wege bestimmt wie vorher die Function $\Phi (y,\,z)\,$. Man gelangt zu dem Resultate, dass
| (20) | $\Psi (y,\,z)=2\,\varepsilon \,\pi \,\rho {\frac {z}{\gamma ^{2}-\beta ^{2}}}\cdot {\frac {\sigma '+\beta ^{2}}{\sqrt {\left(1+{\frac {\sigma '}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {\sigma '}{\gamma ^{2}}}\right)}}}$ |
genommen werden muss, damit die zweite der Gleichungen (12) erfüllt werde.
Nun bleibt von den Gleichungen (8) noch die zweite zu beweisen.
Aus der Gleichung (15) leiten wir her
* ${\frac {\partial Y}{\partial z}}={\frac {\partial \Phi }{\partial z}}-{\frac {2\,\rho \,x\,y\,z}{\beta ^{2}\,\gamma ^{2}}}\int \limits _{\sigma }^{\infty }{\frac {s\,ds}{t{\sqrt {t-x^{2}}}}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)^{3}\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)^{3}}}},$
und aus der Gleichung (19) geht hervor
* ${\frac {\partial Z}{\partial y}}={\frac {\partial \Psi }{\partial y}}-{\frac {2\,\rho \,x\,y\,z}{\beta ^{2}\,\gamma ^{2}}}\int \limits _{\sigma }^{\infty }{\frac {s\,ds}{t{\sqrt {t-x^{2}}}}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)^{3}\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)^{3}}}}.$
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:127

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* ${\begin{aligned}{\frac {\partial \Phi }{\partial y}}=&{\frac {2\,\varepsilon \,\pi \,\rho }{\beta ^{2}-\gamma ^{2}}}\cdot {\frac {\sigma '+\gamma ^{2}}{\sqrt {\left(1+{\frac {\sigma '}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {\sigma '}{\gamma ^{2}}}\right)}}}\\&+{\frac {\varepsilon \,\pi \,\rho }{\sqrt {\left(1+{\frac {\sigma '}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {\sigma '}{\gamma ^{2}}}\right)}}}\cdot {\frac {y}{\sigma '+\beta ^{2}}}\cdot {\frac {\partial \sigma '}{\partial y}}\\\end{aligned}}$
und ferner
* ${\begin{aligned}{\frac {\partial \Psi }{\partial z}}=&{\frac {2\,\varepsilon \,\pi \,\rho }{\gamma ^{2}-\beta ^{2}}}\cdot {\frac {\sigma '+\beta ^{2}}{\sqrt {\left(1+{\frac {\sigma '}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {\sigma '}{\gamma ^{2}}}\right)}}}\\&+{\frac {\varepsilon \,\pi \,\rho }{\sqrt {\left(1+{\frac {\sigma '}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {\sigma '}{\gamma ^{2}}}\right)}}}\cdot {\frac {z}{\sigma '+\gamma ^{2}}}\cdot {\frac {\partial \sigma '}{\partial z}}.\\\end{aligned}}$
Beachtet man nun, dass nach den Gleichungen (23)
* ${\frac {y}{\sigma '+\beta ^{2}}}{\frac {\partial \sigma '}{\partial y}}+{\frac {z}{\sigma '+\gamma ^{2}}}{\frac {\partial \sigma '}{\partial z}}=2$
ist, so erhält man für einen äusseren Punkt:
* ${\frac {\partial \Phi }{\partial y}}+{\frac {\partial \Psi }{\partial z}}={\frac {-2\,\varepsilon \,\pi \,\rho +2\,\varepsilon \,\pi \,\rho }{\sqrt {\left(1+{\frac {\sigma '}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {\sigma '}{\gamma ^{2}}}\right)}}}=0.$
Die Gleichung (27) geht also für einen äusseren Punkt in folgende über:
* ${\frac {\partial X}{\partial x}}+{\frac {\partial Y}{\partial y}}+{\frac {\partial Z}{\partial z}}=0.$
Dies ist die partielle DifFerentialgleichung (9).
Endlich fragt sich noch, welche Werthe $X,\,Y,\,Z$ annehmen, wenn $y\,$ oder $z\,$ oder beide unendlich gross werden.
Dass $X=0\,$ wird, wenn man irgend eine der drei Coordinaten $x,\,y,\,z$ unendlich gross nimmt, ist leicht zu erkennen. Denn es wird dann $\sigma =\infty \,$. Die Grenzen des Integrals in (5) fallen also zusammen, und ausserdem wird die Function unter dem Integralzeichen zu Null für $s=\infty \,$.
Für $Y\,$ nehmen wir den Ausdruck (15) und führen unter dem Integralzeichen die vorgeschriebene Differentiation aus. Wird dann noch $\Phi (y,\,z)$ aus (17) genommen, so lässt sich schreiben:
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:128

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* ${\begin{aligned}Y=&{\frac {2\,\varepsilon \,\beta \,\gamma \,\pi \,\rho }{\beta ^{2}-\gamma ^{2}}}y\left\lbrace {\sqrt {\frac {\sigma '+\gamma ^{2}}{\sigma '+\beta ^{2}}}}-1\right\rbrace \\&+2\,\varepsilon \,\rho \int \limits _{\sigma }^{\infty }\arcsin {\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{t}}}}\cdot {\frac {y}{s+\beta ^{2}}}\cdot {\frac {ds}{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)}}}.\\\end{aligned}}$
Das Integral wird zu Null, wenn wir irgend eine der Coordinaten $x,\,y,\,z$ unendlich gross nehmen. Denn es wird dann $\sigma =\infty \,$, die Grenzen der Integration fallen also zusammen. Die Function unter dem Integralzeichen wird $=0\,$ für $s=\infty \,$, selbst dann noch, wenn $y=\infty \,$ sein sollte. Denn vermöge der Gleichung ${\frac {t-x^{2}}{s}}=0$ kann ${\frac {y^{2}}{s+\beta ^{2}}}$ nicht unendlich gross werden, wenn $s=\sigma \,$ gesetzt wird und $\sigma =\infty$ ist. Der Werth dieses Bruches ist endlich oder unendlich klein, je nachdem $y\,$ unendlich gross oder endlich ist, und folglich ist ${\frac {y}{s+\beta ^{2}}}$ jedenfalls unendlich klein für $s=\sigma =\infty \,$.
Wenn also eine der Coordinaten $x,\,y,\,z$ unendlich gross wird, so hat man
* $Y={\frac {2\,\varepsilon \,\beta \,\gamma \,\pi \,\rho }{\beta ^{2}-\gamma ^{2}}}y\left\lbrace {\sqrt {\frac {\sigma '+\gamma ^{2}}{\sigma '+\beta ^{2}}}}-1\right\rbrace .$
Ist nun $y\,$ endlich, $z=\infty \,$, so wird $\sigma '=\infty \,$ und in Folge dessen $Y=0\,$. Ist $y=\infty \,$, so nimmt der letzte Ausdruck für $Y\,$ die Form $\infty .0\,$ an. Wir schreiben ihn deshalb so:
* $Y={\frac {2\,\varepsilon \,\beta \,\gamma \,\pi \,\rho }{\beta ^{2}-\gamma ^{2}}}\cdot {\frac {{\sqrt {\frac {\sigma '+\gamma ^{2}}{\sigma '+\beta ^{2}}}}-1}{1:y}}$
und ermitteln den wahren Werth nach den Regeln der Differentialrechnung. Derselbe findet sich
* ${\begin{aligned}&=\varepsilon \,\beta \,\gamma \,\pi \,\rho {\sqrt {\frac {\sigma '+\beta ^{2}}{\sigma '+\gamma ^{2}}}}\cdot {\frac {-y^{2}}{(\sigma '+\beta ^{2})^{2}}}\cdot {\frac {\partial \sigma '}{\partial y}}\\&=-2\,\varepsilon \,\beta \,\gamma \,\pi \,\rho {\sqrt {\frac {\sigma '+\beta ^{2}}{\sigma '+\gamma ^{2}}}}\cdot {\frac {-y}{\sigma '+\beta ^{2}}}\cdot {\frac {\left({\frac {y}{\sigma '+\beta ^{2}}}\right)^{2}}{\left({\frac {y}{\sigma '+\beta ^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {z}{\sigma '+\gamma ^{2}}}\right)^{2}}},\\\end{aligned}}$
wenn man $\sigma '\,$ und $y\,$ unendlich gross nimmt. Von den drei variabeln Factoren ist der letzte ein positiver echter Bruch, dessen
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:126

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Aus den Gleichungen (24), (25), (26) ergibt sich unmittelbar durch Addition
* ${\frac {\partial X}{\partial x}}+{\frac {\partial Y}{\partial y}}+{\frac {\partial Z}{\partial z}}$
* ${\begin{aligned}={\frac {\partial \Phi }{\partial y}}&+{\frac {\partial \Psi }{\partial z}}\\&+2\,\rho \,x\int \limits _{\sigma }^{\infty }{\frac {{\frac {\partial t}{\partial s}}ds}{t{\sqrt {t-x^{2}}}}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)}}}\\&-2\rho \,x\int \limits _{\sigma }^{\infty }{\frac {ds}{t{\sqrt {t-x^{2}}}}}\cdot {\frac {\left({\frac {t}{s}}+{\frac {s\,y^{2}}{(s+\beta ^{2})^{2}}}+{\frac {s\,z^{2}}{s+\gamma ^{2})^{2}}}\right)}{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)}}}.\\\end{aligned}}$
Diese Gleichung reducirt sich noch, wenn man berücksichtigt, dass
* ${\frac {t}{s}}+{\frac {s\,y^{2}}{(s+\beta ^{2})^{2}}}+{\frac {s\,z^{2}}{s+\gamma ^{2})^{2}}}={\frac {\partial t}{\partial s}}$
ist. Man erhält
| (27) | ${\frac {\partial X}{\partial x}}+{\frac {\partial Y}{\partial y}}+{\frac {\partial Z}{\partial z}}={\frac {\partial \Phi }{\partial y}}+{\frac {\partial \Psi }{\partial z}}.$ |
Nun ist zu unterscheiden, ob der Punkt $(x,\,y,\,z)$ im Innern des unendlich langen Cylinders liegt oder ausserhalb.
Für einen Punkt im Innern ist $\sigma '=0\,$ und in Folge davon
* ${\frac {\partial \Phi }{\partial y}}=2\,\varepsilon \,\pi \,\rho {\frac {\gamma ^{2}}{\beta ^{2}-\gamma ^{2}}},$
* ${\frac {\partial \Psi }{\partial z}}=2\,\varepsilon \,\pi \,\rho {\frac {\beta ^{2}}{\gamma ^{2}-\beta ^{2}}}.$
Für einen inneren Punkt geht also die Gleichung (27) über in folgende:
* ${\frac {\partial X}{\partial x}}+{\frac {\partial Y}{\partial y}}+{\frac {\partial Z}{\partial z}}=-2\,\varepsilon \,\pi \,\rho .$
Dies ist die partielle Differentialgleichung (10).
Liegt der Punkt $(x,\,y,\,z)$ im äusseren Raume, so ist $\sigma '\,$ die eine positive Wurzel der Gleichung (22), also eine Function von $y\,$ und $z\,$. Deshalb erhalten wir
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:122

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Der Beitrag ${\frac {\partial Y}{\partial \sigma }}{\frac {\partial \sigma }{\partial x}}$, der auf der rechten Seite noch hinzugefügt werden müsste, fällt weg, weil ${\frac {\partial Y}{\partial \sigma }}=0$ ist.
Aus (13) und (16) erkennt man auf den ersten Blick, dass die erste der Gleichungen (8) in der That erfüllt ist.
Es kommt nun darauf an, die Function $\Phi (y,\,z)$ richtig zu bestimmen, so dass für $x=0\,$ auch $Y=0\,$ wird. Dabei ist zu beachten, dass für $x=0\,$ die untere Grenze $\sigma \,$ des Integrals in (15) übergeht in $\sigma '\,$. Nun ist aber für $s=\sigma '\,$ die Function $t=0\,$, und folglich wird dann der Werth von
* $\arcsin {\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{t}}}}$
völlig unbestimmt. Wir nehmen deshalb in dem zu ermittelnden Integral zunächst $\sigma '+\kappa \delta \,$ als untere Grenze und verstehen unter $\kappa \,$ eine unbestimmte positive Constante und unter $\delta \,$ eine positive Grösse, die nachher der Null unaufhörlich angenähert werden soll. Unter dieser Verabredung bleibt zwischen den Integrationsgrenzen $(s=\sigma '+\kappa \delta \,$ und $s=\infty )\,$ die Function $t\,$ positiv. Folglich ist jetzt der Arcussinus $={\frac {\pi }{2}}\,$, und das Integral in (15) hat für $x=0\,$ einen angebbaren, endlichen Werth, wenn als untere Grenze $\sigma '+\kappa \delta \,$ genommen wird. Dieser Werth geht für $\lim \delta =0\,$ über in
* ${\frac {\pi }{2}}\left\lbrace {\frac {\beta }{\gamma }}-{\frac {1}{\gamma ^{2}}}{\frac {\sigma '+\gamma ^{2}}{\sqrt {\left(1+{\frac {\sigma '}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {\sigma '}{\gamma ^{2}}}\right)}}}\right\rbrace ,$
also in einen Grenzwerth, der von der unbestimmten Grösse $\kappa \,$ unabhängig ist. Dieser Grenzwerth ist der Werth des Integrals in (15), wenn $\sigma '\,$ als untere Grenze genommen und $x=0\,$ gesetzt wird. Daraus ergibt sich nun leicht, dass
| (17) | $\Phi (y,\,z)=2\,\varepsilon \,\pi \,\rho {\frac {y}{\beta ^{2}-\gamma ^{2}}}\cdot {\frac {\sigma '+\gamma ^{2}}{\sqrt {\left(1+{\frac {\sigma '}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {\sigma '}{\gamma ^{2}}}\right)}}}$ |
sein muss, damit die erste der Gleichungen (12) erfüllt werde.
Die Function $Z\,$ aus Gleichung (7) nehmen wir zunächst in der Form
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:125

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Der Beitrag ${\frac {\partial X}{\partial \sigma }}{\frac {\partial \sigma }{\partial x}}$, welcher auf der rechten Seite noch hinzugefügt werden müsste, ist gleich Null, weil ${\frac {\partial X}{\partial \sigma }}=0$ ist.
Die Function $Y\,$ nehmen wir in der Form (15). Danach berechnet sich
* ${\begin{aligned}{\frac {\partial Y}{\partial y}}=&-{\frac {2\,\varepsilon \,\pi \,\rho \,\beta \,\gamma }{\beta ^{2}-\gamma ^{2}}}+{\frac {\partial \Phi }{\partial y}}\\&-{\frac {4\,\varepsilon \,\rho }{1-{\frac {\beta ^{2}}{\gamma ^{2}}}}}\int \limits _{s=\sigma }^{\infty }\arcsin {\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{t}}}}\cdot d{\sqrt {\frac {1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}}{1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}}}}\\&-2\,\rho \,x\int \limits _{\sigma }^{\infty }{\frac {s}{t{\sqrt {t-x^{2}}}}}\left({\frac {y}{s+\beta ^{2}}}\right)^{2}{\frac {ds}{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)}}}.\\\end{aligned}}$
Das erste Integral rechts lässt sich transformiren durch Integration nach Theilen. Wir erhalten
| (25) | ${\frac {\partial Y}{\partial y}}$ |
* ${\begin{aligned}={\frac {\partial \Phi }{\partial y}}&-{\frac {2\,\rho \,x}{\beta ^{2}-\gamma ^{2}}}\int \limits _{\sigma }^{\infty }{\frac {{\frac {\partial t}{\partial s}}ds}{t{\sqrt {t-x^{2}}}}}\cdot {\frac {s+\gamma ^{2}}{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)}}}\\&-2\,\rho \,x\int \limits _{\sigma }^{\infty }{\frac {s}{t{\sqrt {t-x^{2}}}}}\left({\frac {y}{s+\beta ^{2}}}\right)^{2}{\frac {ds}{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)}}}.\\\end{aligned}}$
Auf demselben Wege berechnen wir
| (26) | ${\frac {\partial Z}{\partial z}}$ |
* ${\begin{aligned}={\frac {\partial \Psi }{\partial z}}&+{\frac {2\,\rho \,x}{\beta ^{2}-\gamma ^{2}}}\int \limits _{\sigma }^{\infty }{\frac {{\frac {\partial t}{\partial s}}ds}{t{\sqrt {t-x^{2}}}}}\cdot {\frac {s+\beta ^{2}}{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)}}}\\&-2\,\rho \,x\int \limits _{\sigma }^{\infty }{\frac {s}{t{\sqrt {t-x^{2}}}}}\left({\frac {z}{s+\gamma ^{2}}}\right)^{2}{\frac {ds}{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)}}}.\\\end{aligned}}$
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:121

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Nun ist aber durch Differentiation leicht zu beweisen, dass
* ${\frac {1}{t{\sqrt {t-x^{2}}}}}\cdot {\frac {\partial t}{\partial s}}={\frac {2}{\sqrt {x^{2}}}}\cdot {\frac {\partial }{\partial s}}\left(\arcsin {\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{t}}}}\right),$
wenn die Quadratwurzeln auf beiden Seiten positiv genommen werden. Folglich kann man auf das Integral in (14) die Integration nach Theilen anwenden. Man hat zunächst für das unbestimmte Integral die Gleichung
* $\int {\frac {s+\gamma ^{2}}{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)}}}\cdot {\frac {\frac {\partial t}{\partial s}}{t{\sqrt {t-x^{2}}}}}ds$
* $={\frac {2\gamma ^{2}}{\sqrt {x^{2}}}}{\sqrt {\frac {1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}}{1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}}}}\cdot \arcsin {\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{t}}}}$
* $-{\frac {2\gamma ^{2}}{\sqrt {x^{2}}}}\int \arcsin {\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{t}}}}\cdot d{\sqrt {\frac {1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}}{1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}}}}.$
Der freie Theil ist Null für $s=\sigma \,$, dagegen gleich ${\frac {\beta \,\gamma \,\pi }{\sqrt {x^{2}}}}$ für $s=\infty \,$. Folglich lautet das Resultat der Transformation:
| (15) | ${\begin{aligned}Y=&-{\frac {2\,\varepsilon \,\beta \,\gamma \,\pi \,\rho \,y}{\beta ^{2}-\gamma ^{2}}}+\Phi (y,\,z)\\&-{\frac {4\,\varepsilon \,\rho \,y}{1-{\frac {\beta ^{2}}{\gamma ^{2}}}}}\int \limits _{s=\sigma }^{\infty }\arcsin {\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{t}}}}\cdot d{\sqrt {\frac {1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}}{1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}}}},\\\end{aligned}}$ |
und hier ist $\varepsilon =+1\,$ für $x>0,\,$ dagegen $\varepsilon =-1\,$ für $x<0\,$.
Wenn wir in (15) partiell nach $x\,$ differenziren, so ergibt sich
| (16) | ${\frac {\partial Y}{\partial x}}={\frac {4\,\rho \,y}{1-{\frac {\beta ^{2}}{\gamma ^{2}}}}}\int \limits _{s=\sigma }^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {t-x^{2}}}}\cdot d{\sqrt {\frac {1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}}{1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}}}}.$ |
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:120

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negativen $x\,$ finden, so dass sie zur $yz\,$Ebene symmetrisch liegen. Die beiden Massenelemente sind einander entgegengesetzt gleich. Sie haben von einem beliebigen Punkte $(0,\,y,\,z)$ der $yz\,$Ebene gleichen Abstand. Folglich ist der Beitrag, den sie zu dem Werthe der Potentialfunction im Punkte $(0,\,y,\,z)$ liefern, gleich Null. In dieser Weise lassen sich aber alle Massenelemente paarweise zusammenordnen, und es hat deshalb die Potentialfunction $V\,$ an jeder Stelle der $yz\,$Ebene den constanten Werth Null. Daraus ergibt sich, dass auch die Derivirten ${\frac {\partial V}{\partial y}},{\frac {\partial V}{\partial z}}$ in der $yz\,$Ebene überall gleich Null sein müssen. Dies liefert die Gleichungen (12).
Wir betrachten zuerst den Ausdruck für $X\,$, also die Gleichung (5). Differenziren wir partiell nach $y\,$, so ergibt sich
* ${\frac {\partial X}{\partial y}}={\frac {\partial X}{\partial t}}{\frac {\partial t}{\partial y}}+{\frac {\partial X}{\partial \sigma }}{\frac {\partial \sigma }{\partial y}}.$
Es ist aber $-{\frac {\partial X}{\partial \sigma }}$ nichts anderes als $2\rho \,$ multiplicirt mit der Function unter dem Integralzeichen, wenn man darin überall $s=\sigma \,$ setzt. Dadurch wird $t-x^{2}=0\,$, folglich auch ${\frac {\partial X}{\partial \sigma }}=0$. Wir erhalten also einfach
* ${\frac {\partial X}{\partial y}}=-2\,\rho \,y\int \limits _{\sigma }^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {t-x^{2}}}}\cdot {\frac {ds}{(s+\beta ^{2}){\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)}}}},$
wofür man auch schreiben kann:
| (13) | ${\frac {\partial X}{\partial y}}={\frac {4\,\rho \,y}{1-{\frac {\beta ^{2}}{\gamma ^{2}}}}}\int \limits _{s=\sigma }^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {t-x^{2}}}}\cdot d{\sqrt {\frac {1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}}{1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}}}}.$ |
Die Function $Y\,$ aus Gleichung (6) nehmen wir zunächst in der Form
| (14) | $Y=-{\frac {2\,\rho \,x\,y}{\beta ^{2}-\gamma ^{2}}}\int \limits _{\sigma }^{\infty }{\frac {s+\gamma ^{2}}{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)}}}\cdot {\frac {{\frac {\partial t}{\partial s}}ds}{t{\sqrt {t-x^{2}}}}}+\Phi (y,\,z),$ |
indem wir uns vorbehalten, die Function $\Phi (y,\,z)$ so zu bestimmen, dass für $x=0\,$ die erste der Gleichungen (12) erfüllt werde.