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# Schwere, Elektricität und Magnetismus:124

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
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Folglich erhalten wir
| (21) | ${\frac {\partial Y}{\partial z}}-{\frac {\partial Z}{\partial y}}={\frac {\partial \Phi }{\partial z}}-{\frac {\partial \Psi }{\partial y}}.$ |
Nun ist für einen Punkt im Innern des unendlich langen Cylinders $\sigma '=0\,$, also
* $\Phi (y,\,z)=2\,\varepsilon \,\pi \,\rho {\frac {\gamma ^{2}\,y}{\beta ^{2}-\gamma ^{2}}},$
* $\Psi (y,\,z)=2\,\varepsilon \,\pi \,\rho {\frac {\beta ^{2}\,z}{\gamma ^{2}-\beta ^{2}}}.$
In diesem Falle haben wir
* ${\frac {\partial \Phi }{\partial z}}=0,\quad {\frac {\partial \Psi }{\partial y}}=0.$
Für einen Punkt im äusseren Raume ist dagegen $\sigma '\,$ die posisitive Wurzel der Gleichung
| (22) | $1-{\frac {y^{2}}{\sigma '+\beta ^{2}}}-{\frac {z^{2}}{\sigma '+\gamma ^{2}}}=0.$ |
Daraus berechnet sich
| (23) | ${\frac {\partial \sigma '}{\partial y}}={\frac {2\,y:(\sigma '+\beta ^{2})}{\left({\frac {y}{\sigma '+\beta ^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {z}{\sigma '+\gamma ^{2}}}\right)^{2}}},$ |
* ${\frac {\partial \sigma '}{\partial z}}={\frac {2\,z:(\sigma '+\gamma ^{2})}{\left({\frac {y}{\sigma '+\beta ^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {z}{\sigma '+\gamma ^{2}}}\right)^{2}}}.$
Aus (17) und (20) geht dann durch Differentiation hervor
* ${\frac {\partial \Phi }{\partial z}}={\frac {\partial \Psi }{\partial y}}={\frac {2\,\varepsilon \,\pi \,\rho \,y\,z:\left\lbrace \left({\frac {y}{\sigma '+\beta ^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {z}{\sigma '+\gamma ^{2}}}\right)^{2}\right\rbrace }{\beta ^{2}\,\gamma ^{2}{\sqrt {\left(1+{\frac {\sigma '}{\beta ^{2}}}\right)^{3}\left(1+{\frac {\sigma '}{\gamma ^{2}}}\right)^{3}}}}}.$
Es ist demnach sowohl für einen inneren, wie für einen äusseren Punkt die zweite der Gleichungen (8) erfüllt.
Wir gehen dazu über nachzuweisen , dass unsere Ausdrücke für $X,\,Y,\,Z$ auch den Gleichungen (9) und (10) Genüge leisten.
Aus der Gleichung (5) berechnen wir zunächst
| (24) | ${\frac {\partial X}{\partial x}}=-2\,\rho \,x\int \limits _{\sigma }^{\infty }{\frac {ds}{\sqrt {t-x^{2}}}}\cdot {\frac {1}{s{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)}}}}.$ |
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:119

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
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| (7) | ${\begin{aligned}Z=&-{\frac {2\rho xz}{\gamma ^{2}-\beta ^{2}}}\int \limits _{\sigma }^{\infty }{\frac {(s+\beta ^{2})}{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)}}}\cdot {\frac {{\frac {\partial t}{\partial s}}ds}{t{\sqrt {t-x^{2}}}}}\\&+2\varepsilon \pi \rho {\frac {z}{\gamma ^{2}-\beta ^{2}}}\cdot {\frac {\sigma '+\beta ^{2}}{\sqrt {\left(1+{\frac {\sigma '}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {\sigma '}{\gamma ^{2}}}\right)}}}.\\\end{aligned}}$ |
In (6) und (7) ist $\varepsilon =+1\,$ für $x>0\;$ und $\varepsilon =-1\,$ für $x<0.\,$.
Um die Ausdrücke (5), (6), (7) zu verificiren, ist es nothwendig, zunächst zu beweisen, dass sie den partiellen Differentialgleichungen genügen:
| (8) | ${\frac {\partial X}{\partial y}}={\frac {\partial Y}{\partial x}},$ ${\frac {\partial Y}{\partial z}}={\frac {\partial Z}{\partial y}},$ ${\frac {\partial Z}{\partial x}}={\frac {\partial X}{\partial z}}.$ |
Es muss ferner bewiesen werden, dass ausserhalb des mit Masse erfüllten Cylinders, also für ${\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\gamma ^{2}}}>1,$ die Gleichung erfüllt ist:
| (9) | ${\frac {\partial X}{\partial x}}+{\frac {\partial Y}{\partial y}}+{\frac {\partial Z}{\partial z}}=0;$ |
dagegen im Innern jenes Cylinders, d. h. für ${\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\gamma ^{2}}}<1,$ die andere Gleichung:
| (10) | ${\frac {\partial X}{\partial x}}+{\frac {\partial Y}{\partial y}}+{\frac {\partial Z}{\partial z}}=-2\varepsilon \pi \rho ,$ |
wenn $\varepsilon =+1\,$ für $x>0\,$ und $\varepsilon =-1\,$ für $x<0.\,$
Es muss endlich gezeigt werden, dass in unendlicher Entfernung von dem mit Masse erfüllten Cylinder, d. h. für $\lim \left(y^{2}+z^{2}\right)=\infty :\,$
| (11) | $X=0,\quad Y=0,\quad Z=0.\,$ |
Wir wollen noch bemerken, dass nach der Natur der Aufgabe
| (12) | $\left.{\begin{matrix}{Y=0}\\{Z=0}\end{matrix}}\right\$ für $x=0.\,$ |
Denn zu irgend einem Massenelemente auf der Seite der positiven $x\,$ lässt sich ein zugehöriges Massenelement auf der Seite der
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:179

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dadurch eingeführt wird, lässt sich durch die Gleichung aussprechen:
| (2) | $U=r-{\text{const.}}=0,\!$ |
wenn
* $r={\sqrt {(x_{k}-x_{i})^{2}+(y_{k}-y_{i})^{2}+(z_{k}-z_{i})^{2}}}$
gesetzt wird. Durch diese Verbindung können nur solche Kräfte aufgehoben werden, welche die Entfernung der beiden Punkte zu vermehren oder zu vermindern streben, d. h. zwei gleich grosse Kräfte, deren Richtungen einander entgegengesetzt in die Verbindungslinie der beiden Punkte fallen, und von denen die eine auf den Punkt $m_{i}\!$, die andere auf den Punkt $m_{k}\!$ wirkt. Folglich sind auch $X_{i}^{'},\,Y_{i}^{'},\,Z_{i}^{'}$ die Componenten einer Kraft $\lambda \!$, welche in der Richtung $m_{i}\,m_{k}$ oder in der Richtung $m_{k}\,m_{i}$ auf den Punkt $m_{i}\!$ wirkt. Und es sind $X_{k}^{'},\,Y_{k}^{'},\,Z_{k}^{'}$ die Componenten einer ebenso grossen Kraft $\lambda \!$, die der vorigen entgegengesetzt auf den Punkt $m_{k}\!$ wirkt. Es ist also
| (3) | $X_{i}^{'}=\lambda \cdot {\frac {x_{i}-x_{k}}{r}}=\lambda {\frac {\partial r}{\partial x_{i}}},$ $Y_{i}^{'}=\lambda \cdot {\frac {y_{i}-y_{k}}{r}}=\lambda {\frac {\partial r}{\partial y_{i}}},$ $Z_{i}^{'}=\lambda \cdot {\frac {z_{i}-z_{k}}{r}}=\lambda {\frac {\partial r}{\partial z_{i}}},$ $X_{i}^{'}=\lambda \cdot {\frac {x_{k}-x_{i}}{r}}=\lambda {\frac {\partial r}{\partial x_{k}}},$ $Y_{i}^{'}=\lambda \cdot {\frac {y_{k}-y_{i}}{r}}=\lambda {\frac {\partial r}{\partial y_{k}}},$ $Z_{i}^{'}=\lambda \cdot {\frac {z_{k}-z_{i}}{r}}=\lambda {\frac {\partial r}{\partial z_{k}}}.$ |
Das virtuelle Moment der Zusatzkräfte ist demnach
| (4) | ${\begin{aligned}&\lambda \left({\frac {\partial r}{\partial x_{i}}}\delta x_{i}+{\frac {\partial r}{\partial y_{i}}}\delta y_{i}+{\frac {\partial r}{\partial z_{i}}}\delta z_{i}\right)\\+&\lambda \left({\frac {\partial r}{\partial x_{k}}}\delta x_{k}+{\frac {\partial r}{\partial y_{k}}}\delta y_{k}+{\frac {\partial r}{\partial z_{k}}}\delta z_{k}\right),\\\end{aligned}}$ |
d. h.
* $\lambda \,\delta r$ oder auch $\lambda \,\delta u.$
Die Grösse der Kraft $\lambda \!$ bleibt vorläufig unbestimmt. Ihr Vorzeichen kann sowohl positiv als auch negativ sein. Es ist positiv für
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:185

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so handelt es sich nur noch um die Integration von $\ 3\ n$ simultanen Differentialgleichungen, in welchen die Coefficienten sämmtlich bekannt sind.
Um die Werthe der von Null verschiedenen Grössen $\ \lambda$ zu ermitteln , hat man in den Gleichungen von der Form $\ u=0$ zweimal hinter einander nach $\ t$ zu differentiiren. Aus den so gewonnenen neuen Gleichungen, deren Zahl wieder gleich der Zahl der unbekannten $\ \lambda$ ist, werden mit Hülfe der Gleichungen (1) die nach $\ t$ genommenen zweiten Differentialquotienten der Coordinaten eliminirt. Dadurch hat man die Gleichungen erlangt, aus welchen die Grössen $\ \lambda$ sich berechnen lassen.  Diese Methode rührt von Lagrange her.
Die Berücksichtigung der Bedingungen des Systems lässt sich auch noch in anderer Weise bewerkstelligen. Es seien diese Bedingungen in $\ 3n-k$ Gleichungen ausgesprochen:
| (1) | $u_{1}=0,\quad u_{2}=0\quad \ldots \quad u_{3n-k}=0$ |
Die Grössen $\ u_{1},u_{2},\ldots u_{3n-k}$ sind gegebene Functionen der $\ 3n$ Coordinaten. Mit Hülfe der Gleichungen (1) kann man $\ 3n-k$ von den Coordinaten als Functionen der übrigen ausdrücken, und es werden dann, wenn man diese Abhängigkeit beachtet, die Gleichungen (1) identisch erfüllt. Man kann aber auch, — und das ist noch allgemeiner — $\ k$ neue Variable $\ q_{1},q_{2},\ldots q_{k}$ einführen und jede der $\ 3n$ Coordinaten $\ x_{1},y_{1},z_{1}\ldots x_{n},y_{n},z_{n}$ als Function dieser neuen Variabeln so ausdrücken, dass die Gleichungen (1) identisch erfüllt sind. Geht man dann darauf aus, die Grössen $\ q_{1},q_{2},\ldots q_{k}$ nach dem Princip des Lagrange als Functionen von $\ t$ zu bestimmen, so ist dieses Problem von Nebenbedingungen frei.
Um den eben ausgesprochenen Grundgedanken zu verwirklichen, hat man zunächst in die Functionen $T\!$ und $P\!$ die neuen Variabeln $\ q_{1},q_{2},\ldots q_{k}$ einzuführen. Es ist
| (2) | $T={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left\lbrace \left({\frac {dx_{i}}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dx_{i}}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dx_{i}}{dt}}\right)^{2}\right\rbrace .$ |
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:182

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| (10) | $u=0,\,$ |
wenn $u=F(x_{i},\,y_{i},\,z_{i})$ gesetzt wird. Das Hindernis, welches dadurch der freien Bewegung des Punktes entgegengesetzt wird, kann nur eine Kraft aufheben, deren Richtung stets in die negative oder in die positive Normale der Fläche fällt. Also wird auch die Zusatzkraft $\mu \!$ welche im Punkte $(x_{i},\,y_{i},\,z_{i})$ anzubringen ist, die Richtung der positiven oder der negativen Normale haben. Setzen wir zur Abkürzung
| (11) | $\mu :{\sqrt {\left({\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u}{\partial y_{i}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u}{\partial z_{i}}}\right)^{2}}}=\lambda ,$ |
so hat jene Zusatzkraft die Componenten
* $\lambda \,{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}},\quad \lambda \,{\frac {\partial u}{\partial y_{i}}},\quad \lambda \,{\frac {\partial u}{\partial z_{i}}},$
und ihr virtuelles Moment ist
| (12) | $\lambda \,{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}\,\delta x_{i}+\lambda \,{\frac {\partial u}{\partial y_{i}}}\,\delta y_{i}+\lambda \,{\frac {\partial u}{\partial z_{i}}}\,\delta z_{i}=\lambda \,\delta u.$ |
Das Vorzeichen von $\lambda \!$ ist positiv oder negativ, je nachdem die Zusatzkraft in die positive oder in die negative Normale fällt. Der Werth von $\lambda \!$ bleibt vorläufig unbestimmt. Aber das virtuelle Moment $\lambda \,\delta u\!$ ist gleich Null, weil $\delta u=0\!$ vermöge der Gleichung (10).
Fünftens. Der Punkt $(x_{i},\,y_{i},\,z_{i})$ soll sich frei bewegen können in dem Raume, für welchen $F(x,\,y,\,z)>0$ ist, und auf der Fläche (9). Er werde aber verhindert, durch diese Fläche hindurch in den Raum überzutreten, für welchen $F(x,\,y,\,z)<0\,.$ Diese Bedingung lässt sich so aussprechen:
| (13) | $u\geq 0,$ |
wenn $u=F(x_{i},\,y_{i},\,z_{i})$ gesetzt wird. Hier ist die Zusatzkraft $\mu \!$, welche dieselbe Wirkung ausübt wie das Hindernis, gleich Null, so lange $u>0.\,$ Sie ist positiv, wenn $u=0\,.$ Ihr virtuelles Moment ist
| (14) | $\lambda \,\delta u,$ |
wobei $\lambda \!$ wieder durch die Gleichung (11) definirt wird. Dieses Moment ist $=0\,,$ so lange $u>0\,,$ weil dann $\lambda =0\!$ ist. Es ist Null oder positiv für $u=0\,.$ Denn dann ist $\lambda \!$ positiv und $\delta u\geq 0\!$ vermöge der Bedingung (13).
Fassen wir die gewonnenen Resultate zusammen. Die Bedingungen, welche den Punkten des unfreien Systems durch die
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:187

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* $\int \limits _{0}^{t}{\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}}\delta q_{i}^{\prime }\,dt=\int \limits _{0}^{t}{\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}}{\frac {d\,\delta q_{i}}{dt}}\,dt$
* $=\left\lbrack {\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}}\delta q_{i}\right\rbrack _{t}-\left\lbrack {\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}}\delta q_{i}\right\rbrack _{t=0}$
* $-\int \limits _{0}^{t}\delta q_{i}{\frac {d({\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}})}{dt}}dt.$
Der vom Integralzeichen freie Theil auf der rechten Seite dieser Gleichung fällt weg, weil für die Anfangs- und die Endlage des Systems $\delta q_{i}=0\!$ ist. Also erhalten wir
| (4) | $\delta \int \limits _{0}^{t}(T+P)\,dt$ |
* $=\int \limits _{0}^{t}\left\lbrace \sum _{i=1}^{k}\delta q_{i}\left(-{\frac {d({\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}})}{dt}}+{\frac {\partial T}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial P}{\partial q_{i}}}\right)\right\rbrace dt.$
Nach dem Princip des Lagrange ist nun
* $\delta \int \limits _{0}^{t}(T+P)\,dt=0,$
und zur Erfüllung dieser Gleichung ist nothwendig und hinreichend, dass während der Dauer der Bewegung zu jeder Zeit
| (5) | $\sum _{i=1}^{k}\delta q_{i}\left(-{\frac {d({\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}})}{dt}}+{\frac {\partial T}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial P}{\partial q_{i}}}\right)=0$ |
sei. Diese Gleichung zerfällt in $\ k$ einzelne Gleichungen. Da nemlich die Variationen von $\ q_{1},q_{2},\ldots q_{k}$ völlig willkürlich und von einander unabhängig sind, so muss in (5) für sich gleich Null gesetzt werden, was mit jeder einzelnen Variation multiplicirt ist. Dadurch ergibt sich
| (6) | $-{\frac {d({\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}})}{dt}}+{\frac {\partial T}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial P}{\partial q_{i}}}=0,$ |
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:188

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und hierin ist $\ i$ der Reihe nach $=1,2,\ldots k\,$ zu setzen. Dann hat man in (6) ein System von $\ k$ simultanen Differentialgleichungen, durch deren Integration die Grössen $\ q_{1},q_{2},\ldots q_{k}\,$ als Functionen von $\ t$ gefunden werden.
Aus dem Princip des Lagrange lässt sich die Gültigkeit des Satzes von der Erhaltung der lebendigen Kraft herleiten, unter der Voraussetzung, dass das Potential $P\!$ die Variable $t\!$ nicht explicite enthält. Da der Satz von der Erhaltung der lebendigen Kraft in der Gleichung sich ausspricht:
* $\ T-P={\text{const.}},$
so kommt es nur darauf an, zu beweisen, dass
* ${\frac {d(T-P)}{dt}}=0$
ist. Nun berechnet sich aber
| (1) | ${\frac {d(T-P)}{dt}}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial T}{\partial q_{i}}}q_{i}^{\prime }+\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}}q_{i}^{\prime \prime }-\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial P}{\partial q_{i}}}q_{i}^{\prime },$ |
wenn $\ P$, wie vorausgesetzt wird, die Variable $\ t$ nicht explicite enthält. Wir haben im vorigen Paragraphen gesehen, dass $\ T$ eine homogene Function zweiten Grades von den Grössen $q_{1}^{\prime },q_{2}^{\prime },\ldots q_{k}^{\prime }\,$ ist, also:
| (2) | $T=\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{k}a_{ij}\cdot q_{i}^{\prime }\cdot q_{j}^{\prime }.$ |
Hier sollen $\ i$ und $\ j$ irgend welche ganzen Zahlen aus der Reihe $\ 1,2,3,\ldots k\,$ sein. Jeder Werth, den $\ i$ annehmen kann, soll mit jedem Werthe von $\ j$ einmal zusammengestellt, und die entstehenden einzelnen Ausdrücke sollen addirt werden. Danach ist $\ T$ eine Summe von $\ k^{2}$ Gliedern, von denen jedes seinen eigenen Coefficienten $\ a_{ij}$ hat. Diese Coefficienten, für welche wir allgemein die Relation $\ a_{ij}=a_{ji}$ feststellen, sind Functionen der Grössen $\ q_{1},q_{2},\ldots q_{k}\,$.
Aus der Gleichung (2) ergibt sich durch Differentiation
* ${\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}}=2\sum _{j=1}^{k}a_{ij}\cdot q_{i}^{\prime }$
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:180

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Fig. 29, negativ für Fig. 30. Man hat aber zu bemerken, dass $\lambda \,\delta u=0$ ist in Folge der Bedingungsgleichung (2).
Zweitens. Die beiden Punkte $(x_{i},\,y_{i},\,z_{i})$ und $(x_{k},\,y_{k},\,z_{k})$ seien durch einen biegsamen, aber unausdehnsamen Faden verbunden. Sie werden dadurch an eine Bedingung geknüpft, deren analytischer Ausdruck ist
| (5) | $u\geq 0,\!$ |
wenn $u={\text{const.}}-r\!$ gesetzt wird. In diesem Falle bildet die Verbindung gar kein Hindernis, so lange $u>0\!$ ist, und es ist ebenso lange die Zusatzkraft $\lambda =0\!$. Wenn aber $u=0\!$ ist, so hebt die Verbindung zwei gleich grosse Abstossungskräfte auf, deren Richtungen einander entgegengesetzt in die Verbindungslinie der beiden Punkte fallen, und von denen die eine auf den Punkt $m_{i}\!$, die andere auf den Punkt $m_{k}\!$ wirkt. Bezeichnet man also mit $\lambda \!$ die absolute Grösse der beiden Zusatzkräfte, welche im Punkte $m_{i}\!$ und im Punkte $m_{k}\!$ anzubringen sind, so hat man (Fig. 30) für die Componenten die Gleichungen
| (6) | $X_{i}^{'}=\lambda \cdot {\frac {x_{k}-x_{i}}{r}}=-\lambda {\frac {\partial r}{\partial x_{i}}},$ $Y_{i}^{'}=\lambda \cdot {\frac {y_{k}-y_{i}}{r}}=-\lambda {\frac {\partial r}{\partial y_{i}}},$ $Z_{i}^{'}=\lambda \cdot {\frac {z_{k}-z_{i}}{r}}=-\lambda {\frac {\partial r}{\partial z_{i}}},$ $X_{k}^{'}=\lambda \cdot {\frac {x_{i}-x_{k}}{r}}=-\lambda {\frac {\partial r}{\partial x_{k}}},$ $Y_{k}^{'}=\lambda \cdot {\frac {y_{i}-y_{k}}{r}}=-\lambda {\frac {\partial r}{\partial y_{k}}},$ $Z_{k}^{'}=\lambda \cdot {\frac {z_{i}-z_{k}}{r}}=-\lambda {\frac {\partial r}{\partial z_{k}}}.$ |
Das virtuelle Moment dieser Zusatzkräfte ist
| (7) | $-\lambda \,\delta r=\lambda \,\delta u.$ |
Dieses Moment ist gleich Null für $u>0\!$, weil dann $\lambda =0\!$ ist. Es ist gleich Null oder positiv, wenn $u=0\!$ ist. Denn dann ist $\delta u\geq 0\!$ vermöge der Bedingung (5). Der Werth der absoluten Grösse $\lambda \!$ bleibt für $u=0\!$ vorläufig unbestimmt.
Drittens. Die beiden Punkte $(x_{i},\,y_{i},\,z_{i})$ und $(x_{k},\,y_{k},\,z_{k})$ seien so mit einander verbunden, dass ihr Abstand von einer gegebenen
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:181

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Grösse an beliebig vermehrt, aber unter diese Grösse herab nicht vermindert werden kann. Diese Bedingung lässt sich durch (5) ausdrücken, wenn
* $u=r-{\text{const.}}\!$
gesetzt wird. Die Verbindung bildet kein Hindernis, so lange $u>0\!$, und ebenso lange ist demnach die Zusatzkraft $\lambda =0\!$. Wenn aber $k=0\!$ ist, so hebt die Verbindung zwei gleich grosse Anziehungskräfte auf, deren Richtungen einander entgegengesetzt in die Verbindungslinie der beiden Punkte fallen, und von denen die eine auf den Punkt $m_{i}\!$ die andere auf den Punkt $m_{k}\!$ wirkt. Bezeichnet man wieder mit $\lambda \!$ die absolute Grösse der beiden Zusatzkräfte, welche im Punkte $m_{i}\!$ und im Punkte $m_{k}\!$ anzubringen sind, so gelten (Fig. 29) für die Componenten die Gleichungen (3). Das virtuelle Moment dieser Zusatzkräfte ist demnach
| (8) | $\lambda \;\delta r=\lambda \;\delta u.$ |
Es ist gleich Null für $u>0,\!$ weil dann $\lambda =0.\!$ Es ist gleich Null oder positiv, wenn $u=0,\!$ ist. Denn dann ist $\delta u\geq 0,\!$ vermöge der Bedingung (5). Der Werth der absoluten Grösse $\lambda \!$ bleibt für $u=0\!$ wieder vorläufig unbestimmt.
Viertens. Der Punkt $(x_{i},\;y_{i},\;z_{i})$ sei gezwungen, in einer Fläche zu bleiben, welche durch die Gleichung
| (9) | $F(x,\;y,\;z)=0$ |
charakterisirt wird. Die Fläche scheidet zwei Räume von einander. Für jeden Punkt $(x,\;y,\;z)$ in dem einen Raume $F(x,\;y,\;z)>0,$ für jeden Punkt in dem anderen Raume ist $F(x,\;y,\;z)<0.$ Für irgend einen Punkt $(x,\;y,\;z)$ in der Fläche selbst unterscheiden wir die positive und die negative Normale. Die positive Normale geht von dem Punkte aus in den Raum, für welchen $F(x,\;y,\;z)$ positiv ist. Sie schliesst mit den positiven Richtungen der Coordinatenaxen Winkel ein, deren Cosinus die Werthe haben
* ${\frac {\partial F}{\partial x}}:{\sqrt {\left({\frac {\partial F}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial F}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial F}{\partial z}}\right)^{2}}},$
* ${\frac {\partial F}{\partial y}}:{\sqrt {\left({\frac {\partial F}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial F}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial F}{\partial z}}\right)^{2}}},$
* ${\frac {\partial F}{\partial z}}:{\sqrt {\left({\frac {\partial F}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial F}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial F}{\partial z}}\right)^{2}}}.$
Die Bedingung, an welche die Bewegung des Punktes $(x_{i},\;y_{i},\;z_{i})$ geknüpft ist, lässt sich durch die Gleichung ausdrücken:
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:183

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vorhandenen Verbindungen auferlegt werden, lassen sich analytisch ausdrücken durch Gleichungen oder Ungleichungen von der Form
* $u_{1}\geq 0,\quad u_{2}\geq 0,\ldots$
Die Functionen $u_{1},\,u_{2},\ldots$ sind abhängig von den Coordinaten der Punkte des Systems oder von einigen derselben. Das Princip des Lagrange ist jetzt in der Gleichung enthalten
| (15) | $\int \limits _{0}^{t}dt\lbrace \delta (T+P)+\sum \lambda \,\delta u\rbrace =0.\,$ |
Dafür kann man auch schreiben
| (16) | $\delta \int \limits _{0}^{t}(T+P)dt=-\sum \int \limits _{0}^{t}\lambda \,\delta u\,dt.\,$ |
Die durch das Zeichen $\Sigma \!$ vorgeschriebene Summirung bezieht sich auf sämmtliche Functionen $u_{1},\,u_{2},\ldots$, die in den Bedingungen des Systems vorkommen. Die Variationen $\delta u_{1},\,\delta u_{2},\ldots$ sind der Reihe nach mit den vorläufig noch unbestimmten Grössen $\lambda _{1},\,\lambda _{2},\ldots$ zu multipliciren. Die rechte Seite der Gleichung (16) ist entweder Null oder negativ, weil jedes einzelne $\lambda \,\delta u$ gleich Null oder positiv ist.
Es handelt sich nun noch darum, die Grössen $\lambda _{1},\,\lambda _{2},\ldots$ zu bestimmen. Ihrer Bedeutung nach sind diese Grössen entweder gleich oder proportional den Zusatzkräften, welche man einzuführen hat, damit das System als völlig frei betrachtet werden könne. Nach Einführung der Grössen $\lambda \!$ sind demnach die Variationen der 3 $\,n$ Coordinaten $x_{1},\,y_{1},\,z_{1},\ldots x_{n},\,y_{n},\,z_{n}$ wieder von einander unabhängig. Man hat also in Gleichung (15) des vorigen Paragraphen für jedes $\delta u\!$ zu schreiben
* ${\begin{aligned}\delta u&=\,{\frac {\partial u}{\partial x_{1}}}\,\delta x_{1}+\,{\frac {\partial u}{\partial y_{1}}}\,\delta y_{1}+\,{\frac {\partial u}{\partial z_{1}}}\,\delta z_{1}\\&+\,{\frac {\partial u}{\partial x_{2}}}\,\delta x_{2}+\,{\frac {\partial u}{\partial y_{2}}}\,\delta y_{2}+\,{\frac {\partial u}{\partial z_{1}}}\,\delta z_{2}\\&+\dotsb \dotsb \dotsb \dotsb \dotsb \dotsb \dotsb \dotsb \dotsb \\&+\,{\frac {\partial u}{\partial x_{n}}}\,\delta x_{n}+\,{\frac {\partial u}{\partial y_{n}}}\,\delta y_{n}+\,{\frac {\partial u}{\partial z_{n}}}\,\delta z_{n}.\\\end{aligned}}$