OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Van dem Ossen un Perd

Textdaten :
| Autor: | Ernst Moritz Arndt |
| Illustrator: | {{{ILLUSTRATOR}}} |
| Titel: | Van dem Ossen un Perd |
| Untertitel: | |
| aus: | Mährchen und Jugenderinnerungen. Zweiter Theil. S. 3–4 |
| Herausgeber: | |
| Auflage: | 1. Auflage |
| Entstehungsdatum: | |
| Erscheinungsdatum: | 1843 |
| Verlag: | G. Reimer |
| Drucker: | {{{DRUCKER}}} |
| Erscheinungsort: | Berlin |
| Übersetzer: | |
| Originaltitel: | |
| Originalsubtitel: | |
| Originalherkunft: | |
| Quelle: | Scans auf Commons |
| Kurzbeschreibung: | |
| Artikel in der Wikipedia ||
| Eintrag in der GND: {{{GND}}} ||
| Bild ||
| [[Bild:|250px]] | |
| Bearbeitungsstand ||
| fertig ||
| Fertig! Dieser Text wurde zweimal anhand der Quelle Korrektur gelesen. Die Schreibweise folgt dem Originaltext. ||
| Um eine Seite zu bearbeiten, brauchst du nur auf die entsprechende [Seitenzahl] zu klicken. Weitere Informationen findest du hier: Hilfe ||
| [[index:|Indexseite]] | |
[3]
Unse Herr Christus kam eenmal an een Water un fund eenen Ossen un een Peerd, de an sinem Över im Grase gingen. Ehre Harten pröwend sprack he to dem Perde: kumm und dreg mi henäwer. Äwerst dat Perd was een rechte Köning Pharao, verstockte sin Hart un brenschte un steilde sick, un wull den Herrn nich up den Rüggen nehmen. De Oss äwerst was vernünftig un erkennde sinen Herrn un Gott, so god as de Off van Bethlehem, wovan dat Wihnachtsleed singt: he kam un bögde sine Knee sanftmödig un demödig, un sach den Herrn Christus går leewlich un fründlich an. Då sede de Herr to em: Di schall jümmer eene Stund up gode Weid satt maken, äwerst dat [4] Ross schall nu un ewig der Spise begehren. Dat sede he äwerst antodüden, worüm de Oss to Tiden würklich satt warden kann, dat Perd dågegen alleen dörch Mödigkeit siner Beenen, de et bi’m Freten bögen mütt, towilen van dem Gräsen nalett, äwerst all sin Dag nich uprichtig satt is. Un so verhölt et sich bett disse Stunde un is nich anners, un Gott hett den beden Deerden tom Lohn un tor Strafe bestimmt, datt de Oss woll old und stif warden kann, äwerst mit siner Tung jümmer licht tor Erd kamen kann, dat Perd äwerst, wenn ’t old un stif ward, oft den Nacken går nich mehr tom Gräsen bücken kann un sine vörstumpten Vörföt går jämmerlich bögen un hen un her knickbenen mütt. Dat kümmt van de Hoffårt, de blind was, un datt et nich to rechter Tid sinen Rüggen kleen maken wull.
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:101

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
| Seite 87 |||
| << Zurück | Vorwärts >> |
| fertig |||
| Fertig! Dieser Text wurde zweimal anhand der Quelle Korrektur gelesen. Die Schreibweise folgt dem Originaltext. |||
$U\,$
oder, wenn man jetzt $(-1)^{h+1}(k-h-1)=\lambda \,$ setzt:
| (7) | $\lbrace \lambda \,a+(-1)^{\lambda }x'-\xi \rbrace ^{2}.\,$ |
Auch hier hat man bei der Summirung die Grösse $\lambda \,$ allen ganzen Zahlen von $-\infty$ bis $+\infty$ der Reihe nach gleichzusetzen. Folglich ergibt sich für den zweiten Punkt
| (8) | $U_{2}=\sum _{-\infty }^{\infty }\sum _{-\infty }^{\infty }\sum _{-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{h+1}(-1)^{\lambda +m+n}}{\sqrt {N_{1}}}},\,$ |
und es hat hier $N_{1}\,$ dieselbe Bedeutung wie vorher in der Gleichung (6). Aus (6) und (8) erkennt man ohne weiteres, dass
| (9) | $U_{2}=-U_{1}\,$ |
ist. Nimmt man nun speciell $\xi =(-1)^{h}{\frac {a}{2}}$, so fallen beide Punkte zusammen in einen und denselben Punkt der Ebene (2). Da die Function $U\,$ einwerthig ist, so muss in diesem Falle
* $U_{2}=U_{1}\,$
sein, und dies gibt mit Rücksicht auf (9):
| (10) | $U_{1}=U_{2}=0.\,$ |
Auf demselben Wege ist der Beweis zu führen, wenn die beiden Punkte symmetrisch liegen zu einer Ebene der zweiten oder der dritten Schaar. Demnach erfüllt der Ausdruck (1) auch die erste der aufgestellten Bedingungen.
Dies kann man auch aus der mechanischen Bedeutung der durch (1) ausgedrückten Function $U\,$ erkennen. Danach ist nemlich $U\,$ die Potentialfunction für den Fall, dass in jedem Unstetigkeitspunkte eine Masseneinheit concentrirt ist, und zwar die positive oder die negative, je nachdem $k+m+n\,$ gerade oder ungerade ist. Da eine positive Masse den Punkt $(x,\,y,\,z)$ anzieht, so ist die Bedeutung der negativen Masse leicht zu erkennen. Sie stösst den Punkt ab. Nehmen wir nun irgend eine Ebene aus den drei Schaaren, so findet sich zu jedem anziehenden Massenpunkte ein abstossender, so dass beide in Beziehung auf die Ebene symmetrisch liegen. Von einem Punkte $(x,\,y,\,z)$ in dieser Ebene haben demnach beide Massenpunkte gleiche Entfernung. Ihre Massen sind entgegengesetzt gleich. Sie liefern also zu der Potentialfunction den Beitrag Null. Dies gilt aber von allen mit Masse erfüllten Punkten, und daher ist der Werth der Potentialfunction für jeden Punkt $(x,\,y,\,z)$ in der Ebene überhaupt gleich Null.
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:106

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
| Seite 92 |||
| << Zurück | Vorwärts >> |
| fertig |||
| Fertig! Dieser Text wurde zweimal anhand der Quelle Korrektur gelesen. Die Schreibweise folgt dem Originaltext. |||
endliche Entfernung rückt. Denn wenn irgend eine der Coordinaten $(x,\,y,\,z)$ unendlich gross wird, so wird die grösste Wurzel $\sigma \,$ der Gleichung $F(s)=0\,$ ebenfalls unendlich gross. Dann hat in (3) die letzte Klammer unter dem Integral den Werth Null. Der Factor ${\frac {1}{D}}\,$ ist auch gleich Null, und die Grenzen der Integration fallen zusammen. Folglich wird $V=0\,$, wenn der angezogene Punkt in unendlicher Entfernung liegt.
Für einen Punkt $(x,\,y,\,z)$ in der Oberfläche des Ellipsoids ist $\sigma =0\,$. Die Integrale (2) und (3) sind dann also einander gleich. Folglich erleidet $V\,$ auch dann eine stetige Aenderung, wenn der angezogene Punkt durch die Oberfläche des Ellipsoids hindurchgeht.
Danach ist bewiesen, dass die Function $V\,$ im ganzen unendlichen Raume endlich und stetig variabel ist, und dass sie den Werth Null hat in unendlicher Entfernung.
Wir untersuchen die ersten Derivirten. Aus (2) findet sich
| (4) | ${\frac {\partial V}{\partial x}}=-2\pi \rho x\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {ds}{D(a^{2}+s)}}.$ |
Dies gilt für einen Punkt $(x,\,y,\,z)$ im Innern des Ellipsoids. Aus (3) ergibt sich dagegen
* ${\begin{aligned}{\frac {\partial V}{\partial x}}=&-2\pi \rho x\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {ds}{D(a^{2}+s)}}\\&-\pi \rho \cdot {\frac {1}{\Delta }}\cdot {\frac {2x}{(a^{2}+\sigma )l}}\left(1-{\frac {x^{2}}{a^{2}+\sigma }}-{\frac {y^{2}}{b^{2}+\sigma }}-{\frac {z^{2}}{c^{2}+\sigma }}\right).\\\end{aligned}}$
Da nun ${\frac {1}{\Delta }}$ und ${\frac {2x}{(a^{2}+\sigma )l}}$ nicht unendlich werden können und die letzte Klammer gleich Null ist, so erhält man
| (5) | ${\frac {\partial V}{\partial x}}=-2\pi \rho x\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {ds}{D(a^{2}+s)}}.$ |
Dies gilt für einen Punkt $(x,\,y,\,z)$ ausserhalb des Ellipsoids. Liegt der Punkt in der Oberfläche, so ist in (5) die Grösse $\sigma =0\,$ zu setzen, und die Integrale (4) und (5) sind einander gleich. Folglich ist ${\frac {\partial V}{\partial x}}$ überall endlich und stetig variabel. Dies gilt auch in unendlicher Entfernung. Denn es ist für einen unendlich ent-
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:102

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
| Seite 88 |||
| << Zurück | Vorwärts >> |
| fertig |||
| Fertig! Dieser Text wurde zweimal anhand der Quelle Korrektur gelesen. Die Schreibweise folgt dem Originaltext. |||
Wir können die Function $U\,$ auch in Form eines bestimmten Integrals ausdrücken. Es ist nemlich
* $\int \limits _{0}^{\infty }e^{-s}\,{\frac {ds}{\sqrt {s}}}={\sqrt {\pi }}.$
Setzt man $s=Nt\,$, so ergibt sich
* ${\frac {1}{\sqrt {t}}}\int \limits _{0}^{\infty }e^{-Nt}\,{\frac {dt}{\sqrt {t}}}={\frac {1}{\sqrt {N}}}.$
Wir erhalten danach für $U\,$ den neuen Ausdruck:
| (11) | $U=\sum _{-\infty }^{\infty }\sum _{-\infty }^{\infty }\sum _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{0}^{\infty }(-1)^{k+m+n}\,e^{-Nt}\,{\frac {dt}{\sqrt {t}}}.$ |
Hier ist nun freilich zuerst die Integration und nachher sind die drei Summirungen auszuführen. Man darf aber auch zuerst die drei Summirungen vornehmen und dann integriren, also:
| (12) | $U={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{0}^{\infty }\,{\frac {dt}{\sqrt {t}}}\left(\sum _{-\infty }^{\infty }\sum _{-\infty }^{\infty }\sum _{-\infty }^{\infty }(-1)^{k+m+n}\,e^{-Nt}\right).$ |
Die dreifach unendliche Reihe in (12) zerfällt ohne weiteres in das Product der drei einfachen Reihen:
* $\sum _{-\infty }^{\infty }(-1)^{k}\,e^{-t[ka+(-1)^{k}x'-x]^{2}},$
* $\sum _{-\infty }^{\infty }(-1)^{m}\,e^{-t[mb+(-1)^{m}y'-y]^{2}},$
* $\sum _{-\infty }^{\infty }(-1)^{n}\,e^{-t[nc+(-1)^{n}z'-z]^{2}}.$
Jede dieser Reihen lässt sich leicht durch die Functionen $\vartheta$ ausdrücken, welche Jacobi in die Theorie der elliptischen Functionen eingeführt hat.
Ehe wir in der allgemeinen Untersuchung der Function $U\,$ weiter gehen, soll die Potentialfunction in einigen besonderen Fällen betrachtet werden.
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:099

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
| Seite 85 |||
| << Zurück | Vorwärts >> |
| fertig |||
| Fertig! Dieser Text wurde zweimal anhand der Quelle Korrektur gelesen. Die Schreibweise folgt dem Originaltext. |||
$U\,$
Wir legen drei Schaaren von Ebenen, rechtwinklig resp. gegen die Axen der $x\!$, der $y\!$, der $z\!$. Je zwei benachbarte Ebenen derselben Schaar sollen in constantem Abstande von einander sein und zwar in dem Abstande $a\!$ für die erste, $b\!$ für die zweite, $c\!$ für die dritte Schaar. Die beiden Ebenen jeder Schaar, welche dem Anfangspunkte der Coordinaten zunächst liegen, sollen je eine Begrenzungsfläche des gegebenen Parallelepipedon in sich enthalten. Auf diese Weise wird der unendliche Raum in lauter congruente Parallelepipeda zerlegt. Eins von ihnen ist das gegebene Parallelepipedon selbst.
Wir gehen nun darauf aus, die Function $U\!$ für jeden Punkt des unendlichen Raumes herzustellen, so dass sie der dritten Bedingung überall genügt, und dass sie entgegengesetzte Werthe besitzt in je zwei Punkten, die zu irgend einer der gelegten Ebenen symmetrisch liegen. Durch diese Bestimmung wird erreicht, dass die erste Bedingung erfüllt wird. Soll dann auch noch der zweiten Genüge geschehen, so muss die Function unendlich werden in allen Punkten, deren Coordinaten von der Form sind
* $ka+(-1)^{k}x',\quad mb+(-1)^{m}y',\quad nc+(-1)^{n}z',$
und zwar positiv oder negativ unendlich, je nachdem $k+m+n\!$ eine gerade oder eine ungerade Zahl ist. Für $k\!$ sind alle ganzen Zahlen von $-\infty$ bis $+\infty$ zu setzen, ebenso für $m\!$ und für $n\!$. Man erhält alle Unstetigkeitspunkte der Function $U\!$, wenn man jeden Werth von $k\!$ der Reihe nach mit allen Werthen von $m\!$ zusammenstellt und zu jeder solchen Zusammenstellung der Reihe nach alle Werthe von $n\!$ hinzusetzt. Hiernach erhält man als Ausdruck für $U\!$ eine dreifach unendliche Reihe, nemlich
| (1) | $U=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\,\sum _{m=-\infty }^{\infty }\,\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{k+m+n}}{\sqrt {N}}},\,$ |
wobei zur Abkürzung $N\!$ geschrieben ist für die Summe der drei Quadrate
* $\lbrace ka+(-1)^{k}x'-x\rbrace ^{2}+\lbrace mb+(-1)^{m}y'-y\rbrace ^{2}+\lbrace nc+(-1)^{n}z'-z\rbrace ^{2}.\,$
Von diesem Ausdrucke für $U\!$ ist leicht nachzuweisen, dass er den aufgestellten Bedingungen Genüge leistet. Er befriedigt die Gleichung von Laplace, weil jeder Summand es thut. Die Nenner der einzelnen Summanden drücken den Abstand des Punktes $(x,\,y,\,z)$ von je einem der Unstetigkeitspunkte aus. Es wird also jedesmal
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:103

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
| Seite 89 |||
| << Zurück | Vorwärts >> |
| fertig |||
| Fertig! Dieser Text wurde zweimal anhand der Quelle Korrektur gelesen. Die Schreibweise folgt dem Originaltext. |||
Der anziehende Körper sei ein Ellipsoid mit den Halbaxen $a,\,b,\,c$. Die Dichtigkeit $\rho \,$ soll constant sein. Der Punkt $(x,\,y,\,z)$ liegt in der Oberfläche des Ellipsoids, wenn
* ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}-1=0$
ist. Er liegt ausserhalb oder innerhalb des Ellipsoids, je nachdem
* ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}-1$
positiv oder negativ. Um die Unterscheidung dieser drei Fälle möglichst zu vereinfachen, betrachten wir die Function
| (1) | $F(s)={\frac {x^{2}}{s+a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{s+b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{s+c^{2}}}-1.$ |
Dieselbe wird unendlich für drei Werthe von $s\,$, nemlich für $s=-a^{2}\,$, für $s=-b^{2}\,$, und für $s=-c^{2}\,$. Bezeichnen wir mit $\varepsilon \,$ eine unendlich kleine positive Grösse, so zeigt sich
* $F(-a^{2}-\varepsilon )=-\infty ,\;F(-b^{2}-\varepsilon )=-\infty ,\;F(-c^{2}-\varepsilon )=-\infty ,$
* $F(-a^{2}+\varepsilon )=+\infty ,\;F(-b^{2}+\varepsilon )=+\infty ,\;F(-c^{2}+\varepsilon )=+\infty .$
Ferner ist
* $F(-\infty )=-1,\quad F(+\infty )=-1.$
Nimmt man also $a^{2}>b^{2}>c^{2}\,$ und betrachtet $s\,$ als Abscisse, $F(s)\,$ als Ordinate einer ebenen Curve (Fig. 14), so ist der Verlauf derselben leicht zu überblicken. Wenn die Abscisse stetig wachsend durch eine der drei Unstetigkeitsstellen hindurchgeht, so springt die Ordinate von $-\infty \,$ auf $+\infty \,$. Abgesehen von den
Unstetigkeitsstellen, nimmt mit wachsendem $s\,$ die Ordinate fortwährend ab, weil
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:108

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
| Seite 94 |||
| << Zurück | Vorwärts >> |
| fertig |||
| Fertig! Dieser Text wurde zweimal anhand der Quelle Korrektur gelesen. Die Schreibweise folgt dem Originaltext. |||
* ${\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}&=-4\pi \rho \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {d\,\lg \,D}{ds}}{\frac {ds}{D}}\\&=-4\pi \rho \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {d\left(-{\frac {1}{D}}\right)}{ds}}ds.\\\end{aligned}}$
Für $s=\infty \,$ ist $D=\infty \,$, für $s=0\,$ dagegen $D=1\,$. Also ergibt sich
| (8) | ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=-4\pi \rho ,$ |
wenn der Punkt $(x,\,y,\,z)$ im Innern des Ellipsoids liegt.
Dagegen haben wir für einen äusseren Punkt
* ${\begin{aligned}\quad &{\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}\\=&-4\pi \rho \int \limits _{\sigma }^{\infty }{\frac {d\left(-{\frac {1}{D}}\right)}{ds}}ds\\&+{\frac {2\pi \rho }{\Delta }}\left({\frac {x}{a^{2}+\sigma }}{\frac {\partial \sigma }{\partial x}}+{\frac {y}{b^{2}+\sigma }}{\frac {\partial \sigma }{\partial y}}+{\frac {z}{c^{2}+\sigma }}{\frac {\partial \sigma }{\partial z}}\right).\\\end{aligned}}$
Der Werth des Integrals ist ${\frac {1}{\Delta }}$. Ferner haben wir
* ${\begin{aligned}&{\frac {x}{a^{2}+\sigma }}{\frac {\partial \sigma }{\partial x}}+{\frac {y}{b^{2}+\sigma }}{\frac {\partial \sigma }{\partial y}}+{\frac {z}{c^{2}+\sigma }}{\frac {\partial \sigma }{\partial z}}\\=&{\frac {2x^{2}}{(a^{2}+\sigma )^{2}\,l}}+{\frac {2y^{2}}{(b^{2}+\sigma )^{2}\,l}}+{\frac {2z^{2}}{(c^{2}+\sigma )^{2}\,l}}\\=&{\frac {2}{l}}\left\lbrace \left({\frac {x}{a^{2}+\sigma }}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b^{2}+\sigma }}\right)^{2}+\left({\frac {z}{c^{2}+\sigma }}\right)^{2}\right\rbrace \\\end{aligned}}$
* $=2.\,$
Folglich erhalten wir
| (9) | ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=0,$ |
wenn der Punkt $(x,\,y,\,z)$ ausserhalb des Ellipsoids liegt.
Damit ist bewiesen, dass die Integrale (2) und (3) in der That die Potentialfunction des Ellipsoids von der constanten Dichtigkeit $\rho \,$ ausdrücken.
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:100

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
| Seite 86 |||
| << Zurück | Vorwärts >> |
| fertig |||
| Fertig! Dieser Text wurde zweimal anhand der Quelle Korrektur gelesen. Die Schreibweise folgt dem Originaltext. |||
ein Nenner in vorgeschriebener Weise zu Null, wenn der Punkt $(x,\,y,\,z)$ in einen Unstetigkeitspunkt hineinrückt. Endlich nimmt die Function entgegengesetzte Werthe an für irgend welche zwei Punkte, die symmetrisch liegen zu irgend einer Ebene aus den drei Schaaren. Betrachten wir z. B. zwei Punkte $(x_{1},\,y_{1},\,z_{1})$ und $(x_{2},\,y_{2},\,z_{2})$, die zu einer Ebene der ersten Schaar symmetrisch liegen. Dies ist der Fall, wenn die Coordinaten den Gleichungen genügen
* $x_{1}=h\,a+(-1)^{h}\xi ,\quad y_{1}=y,\quad z_{1}=z,\,$
* $x_{2}=(h+1)a+(-1)^{h+1}\xi ,\quad y_{2}=y,\quad z_{2}=z,\,$
worin $h\,$ irgend eine ganze Zahl ist. Die Punkte liegen symmetrisch zu der Ebene.
| (2) | $x=\left(h+{\frac {1}{2}}\right)a.\,$ |
Der Ausdruck unter dem dreifachen Summenzeichen unterscheidet sich für die beiden Punkte nur in dem ersten Quadrat unter dem Wurzelzeichen des Nenners. Dasselbe lautet für den ersten Punkt
| (3) | $\lbrace (k-h)a+(-1)^{k}\,x'-(-1)^{h}\xi \rbrace ^{2}\,$ |
und für den zweiten Punkt
| (4) | $\lbrace (k-h-1)a+(-1)^{k}\,x'-(-1)^{h+1}\xi \rbrace ^{2}.\,$ |
Statt des Ausdruckes (3) kann man auch schreiben
* $\lbrace (-1)^{h}(k-h)a+(-1)^{k-h}x'-\xi \rbrace ^{2}\,$
oder, wenn man $(-1)^{h}(k-h)=\lambda \,$ setzt:
| (5) | $\lbrace \lambda a+(-1)^{\lambda }x'-\xi \rbrace ^{2}.\,$ |
Da $k\,$ allen ganzen Zahlen von $-\infty$ bis $+\infty$ der Reihe nach gleichgesetzt werden soll, so gilt dasselbe von $\lambda \,$. Für den ersten Punkt erhalten wir also
| (6) | $U_{1}=\sum _{-\infty }^{\infty }\sum _{-\infty }^{\infty }\sum _{-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{h}(-1)^{\lambda +m+n}}{\sqrt {N_{1}}}},\,$ |
wobei zur Abkürzung $N_{1}\,$ geschrieben ist für die Summe der drei Quadrate
* $\lbrace \lambda a+(-1)^{\lambda }x'-\xi \rbrace ^{2}+\lbrace mb+(-1)^{m}y'-y\rbrace ^{2}+\lbrace nc+(-1)^{n}z'-z\rbrace ^{2}.\,$
Statt des Ausdruckes (4) kann man schreiben
* $\lbrace (-1)^{h+1}(k-h-1)a+(-1)^{k-h-1}x'-\xi \rbrace ^{2}\,$
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:104

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
| Seite 90 |||
| << Zurück | Vorwärts >> |
| fertig |||
| Fertig! Dieser Text wurde zweimal anhand der Quelle Korrektur gelesen. Die Schreibweise folgt dem Originaltext. |||
* $F'(s)=-{\frac {x^{2}}{(s+a^{2})^{2}}}-{\frac {y^{2}}{(s+b^{2})^{2}}}-{\frac {z^{2}}{(s+c^{2})^{2}}}$
durchaus negativ ist. Die Curve schneidet demnach die Abscissenaxe je einmal zwischen $-a^{2}\,$ und $-b^{2}\,$, zwischen $-b^{2}\,$ und $-c^{2}\,$ und zwischen $-c^{2}\,$ und $+\infty \,$. Die Werthe von $s\,$ an diesen drei Schnittstellen sind die Wurzeln der Gleichung $F(s)=0\,$. Nun ist aber, wie schon hervorgehoben, $F(0)\,$ positiv oder Null oder negativ, je nachdem der Punkt $(x,\,y,\,z)$ ausserhalb des Ellipsoids liegt, oder in seiner Oberfläche, oder innerhalb. Daraus ergibt sich leicht für die Gleichung $F(s)=0\,$, dass ihre grösste Wurzel positiv ist im ersten, Null im zweiten, negativ im dritten Falle. Die beiden anderen Wurzeln sind immer negativ. Wir wollen mit $\sigma \,$ nur die grösste Wurzel der Gleichung $F(s)=0\,$ bezeichnen.
Zur Abkürzung werde
* $\left({\frac {x}{\sigma +a^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{\sigma +b^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {z}{\sigma +c^{2}}}\right)^{2}=l$
gesetzt. Betrachtet man in der Gleichung $F(\sigma )=0\,$ die vier Grössen $x,\,y,\,z,\,\sigma$ als variabel und $\sigma \,$ als Function von $x,\,y,\,z$ so ergibt sich durch Differentiation
* ${\frac {\partial \sigma }{\partial x}}={\frac {2x}{(a^{2}+\sigma )l}},\quad {\frac {\partial \sigma }{\partial y}}={\frac {2y}{(b^{2}+\sigma )l}},\quad {\frac {\partial \sigma }{\partial z}}={\frac {2z}{(c^{2}+\sigma )l}}.$
So lange der Punkt $(x,\,y,\,z)$ ausserhalb oder in der Oberfläche des Ellipsoids liegt, sind die Grössen $a^{2}+\sigma ,\;b^{2}+\sigma ,\;c^{2}+\sigma \,$ positiv und verschieden von Null. Die Grösse $l\,$ ist positiv und wird nur dann zu Null, wenn entweder $x=y=z=0\,$ oder wenn eine dieser Coordinaten unendlich gross ist. Wir wollen die Function $\sigma \,$ nur für solche Punkte $(x,\,y,\,z)$ betrachten, die ausserhalb oder in der Oberfläche liegen. Unter dieser einschränkenden Voraussetzung sind ${\frac {\partial \sigma }{\partial x}},{\frac {\partial \sigma }{\partial y}},{\frac {\partial \sigma }{\partial z}}$ endlich und stetig variabel, so lange $x,\,y,\,z$ endlich sind. Die Function $\sigma \,$ ist deshalb ebenfalls stetig variabel. Sie ist unter der eben gemachten Voraussetzung positiv und bleibt endlich, so lange keine von den Coordinaten $x,\,y,\,z$ unendlich gross genommen wird. Für einen unendlich entfernten Punkt $(x,\,y,\,z)$ ist $\sigma =+\infty \,$.
Der Ausdruck für die Potentialfunction soll hier nicht abgeleitet werden. Wir wollen ihn als gegeben ansehen und den Beweis führen, dass er allen Bedingungen genügt, durch welche die
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:105

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
| Seite 91 |||
| << Zurück | Vorwärts >> |
| fertig |||
| Fertig! Dieser Text wurde zweimal anhand der Quelle Korrektur gelesen. Die Schreibweise folgt dem Originaltext. |||
Potentialfunction vollständig und eindeutig charakterisirt wird (§§. 18. 22).
Wir setzen zur Abkürzung
* ${\sqrt {\left(1+{\frac {s}{a^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{b^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{b^{2}}}\right)}}=D$
und bezeichnen mit $\Delta \,$ den Werth, welchen $D\,$ annimmt für $s=\sigma \,$.
Es soll nun bewiesen werden, dass
| (2) | $V=\pi \rho \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {ds}{D}}\left(1-{\frac {x^{2}}{a^{2}+s}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}+s}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}+s}}\right),$ |
wenn der Punkt $(x,\,y,\,z)$ im Innern des Ellipsoids liegt; und
| (3) | $V=\pi \rho \int \limits _{\sigma }^{\infty }{\frac {ds}{D}}\left(1-{\frac {x^{2}}{a^{2}+s}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}+s}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}+s}}\right),$ |
wenn er ausserhalb liegt. Man kann die Ausdrücke (2) und (3) auch in die Form bringen
* $V=\pi \rho \left\lbrace \int \limits ^{\infty }{\frac {ds}{D}}-x^{2}\int \limits ^{\infty }{\frac {ds}{D(a^{2}+s)}}-y^{2}\int \limits ^{\infty }{\frac {ds}{D(b^{2}+s)}}-z^{2}\int \limits ^{\infty }{\frac {ds}{D(c^{2}+s)}}\right\rbrace .$
Die untere Grenze der Integration ist $0\,$ oder $\sigma \,$, je nachdem die Gleichung (2) oder (3) zu Stande kommen soll.
Liegt der angezogene Punkt im Innern des Ellipsoids, so ist $V\,$ eine rationale ganze Function zweiten Grades von $x,\,y,\,z$, und da diese Variabeln durchaus endliche Werthe behalten, so ist die Function $V\,$ für jeden Punkt im Innern des Ellipsoids endlich und stetig variabel.
Liegt der angezogene Punkt ausserhalb des Ellipsoids, so hängt die Function $V\,$ von $x,\,y,\,z$ direct ab, insofern die Factoren $x^{2},\,y^{2},\,z^{2}$ auftreten, und indirect, insofern die untere Integrationsgrenze $\sigma \,$ eine Function von $x,\,y,\,z$ ist. Die Aenderung, welche $V\,$ bei einer unendlich kleinen Verschiebung des angezogenen Punktes erleidet, setzt sich also aus zweien zusammen, nemlich aus der unendlich kleinen Aenderung, die von den Factoren $x^{2},\,y^{2},\,z^{2}$ herrührt, und aus der Aenderung, die sich ergibt, wenn man nur $\sigma \,$ variabel nimmt. Nun sind aber die Integrale stetige Functionen von $\sigma \,$, und $\sigma \,$ selbst ist eine stetige Function von $x,\,y,\,z$. Daher ist $V\,$ endlich und stetig variabel, wenn der Punkt $(x,\,y,\,z)$ ausserhalb des Ellipsoids liegt. Dies gilt auch noch, wenn er in un-