# Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 47.

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Sind die Leiter beweglich, so ändern sie in Folge der elektrischen Anziehung und Abstossung ihre Lage. Für jede neue Lage der Leiter ist aber auch die Gleichgewichtslage der elektri- |[187]schen Theilchen eine andere. Mit der Bewegung der Leiter ist also eine fortwährende Aenderung in der Vertheilung der Elektricität auf den Leiter-Oberflächen verbunden. Diese geht aber so rasch vor sich, dass man in jedem einzelnen Augenblicke der Bewegung der ponderabeln Leiter das Gleichgewicht der Elektricität als hergestellt ansehen kann.
Die elektrischen Theilchen $\varepsilon _{\mu }\!$ und $\varepsilon _{\nu }\!$, die wir in zwei um die Strecke $r\!$ von einander entfernten Punkten concentrirt denken, üben auf einander eine abstossende Kraft
* ${\frac {\varepsilon _{\mu }\,\varepsilon _{\nu }}{r^{2}}}.\,$
Das Potential dieser beiden Theilchen ist also
* $F(r)=\int {\frac {\varepsilon _{\mu }\,\varepsilon _{\nu }}{r^{2}}}\,dr=-{\frac {\varepsilon _{\mu }\,\varepsilon _{\nu }}{r}},\,$
und das Gesammtpotential der elektrischen Massen ist
| (1) | $P=-\sum \,{\frac {\varepsilon _{\mu }\,\varepsilon _{\nu }}{r}},\,$ |
wobei die Summirung sich auf alle Combinationen von je zwei elektrischen Theilchen bezieht. Die Formel (1) setzt voraus, dass die Elektricitäten in einzelnen discreten Punkten concentrirt sind. Bei einer stetigen Vertheilung über die Oberflächen der Leiter und über den Raum der Nichtleiter tritt eine Integration an die Stelle der Summirung. Wir bezeichnen mit $d\varepsilon \!$ die Elektricitätsmenge, welche in einem Raum-, resp. in einem Flächen-Elemente sich befindet. Dann ist
| (2) | $P=-\int \,{\frac {d\varepsilon \cdot d\varepsilon '}{r}},\,$ |
und die Integration ist nun auszudehnen über alle Combinationen von je zwei elektrischen Theilchen $d\varepsilon \!$ und $d\varepsilon '\!$. Dafür lässt sich auch schreiben
| (3) | $P=-{\frac {1}{2}}\,\int \,d\varepsilon \,\,\int \,{\frac {d\varepsilon '}{r}},\,$ |
wobei jede der beiden Integrationen über alle elektrischen Theilchen zu erstrecken ist. Bei dieser Art, die Integration auszuführen, kommt jede Combination von zwei Theilchen doppelt vor. Da sie aber nur einmal genommen werden soll, so ist der Factor |[188]${\frac {1}{2}}$ vorangesetzt. Dies ist das Potential der gesammten Elektricität auf sich selbst.
Nun haben wir aber
* $V=-\int \,{\frac {d\varepsilon '}{r}}\,$
als Ausdruck für die Potentialfunction im Punkte $(x,\,y,\,z)$ gefunden, d. h. für das Potential aller elektrischen Massen auf die in diesem Punkte concentrirt gedachte positive elektrische Einheit. Wir können also auch schreiben
| (4) | $P={\frac {1}{2}}\,\int Vd\varepsilon .\,$ |
In dem Falle, dass die Isolatoren keine elektrische Ladung enthalten, ist die Integration nur über die Oberflächen der Leiter zu erstrecken. In jeder Leiter-Oberfläche ist aber $V\!$ constant, und zwar der Reihe nach gleich $a_{1},\,a_{2},\ldots a_{k}$. Also wird jetzt
* $P={\frac {1}{2}}\,a_{1}\int \rho \,d\sigma _{1}+\,{\frac {1}{2}}\,a_{2}\int \rho \,d\sigma _{2}+\dotsb +{\frac {1}{2}}\,a_{k}\int \rho \,d\sigma _{k}$
oder, mit Rücksicht auf die Gleichungen (8) und (9) des §. 45:
| (5) | $P={\frac {1}{2}}\,\sum _{i=1}^{k}\,\alpha _{i}m_{i}.\,$ |
Um die Bewegung der Leiter zu bestimmen, hat man $P\!$ als Function von den Ortscoordinaten der Leiter auszudrücken. Die Grössen $m_{1},\,m_{2},\ldots m_{k}$ sind dabei constant, es sind die den Leitern ursprünglich mitgetheilten Elektricitätsmengen. Die Grössen $a_{1},\,a_{2},\ldots \,a_{k}$ sind in den Gleichungen (7) des vorigen Paragraphen ausgedrückt, wenn man darin für den hier vorliegenden Fall die Grössen $\beta _{1},\,\beta _{2},\ldots \beta _{k}$ gleich Null setzt. Danach sind die Grössen $a_{1},\,a_{2},\ldots a_{k}$ homogene lineare Functionen von $m_{1},\,m_{2},\ldots m_{k}$ und nur die auftretenden Coefficienten $\alpha \!$ sind von den Ortscoordinaten der Leiter abhängig. Wir erhalten
| (6) | $P={\frac {1}{2}}\,\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{k}\,\alpha _{ij}m_{i}m_{j}.\,$ |
Wir bezeichnen wieder mit $T\!$ die lebendige Kraft des Leitersystems. Die Bewegung der Leiter geht dann so vor sich, dass |[189]
| (7) | $\delta \int \limits _{0}^{t}(T+P)\,dt=0.$ |
Wie aus dieser Bedingung die Differentialgleichungen der Bewegung abzuleiten, ist in den §§. 36 bis 42 auseinandergesetzt.