# Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 64.

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Die elektromotorischen Kräfte bringen ausser dem galvanischen Strom noch eine andere Wirkuug hervor, nämlich eine Erwärmung |[243]des Leiters. Die mechanische Wärmetheorie stellt den Satz auf, dass die mechanische Kraft eines Systems das Maass der darin enthaltenen Wärmemenge ist. Wir bezeichnon mit $P\!$ das Potential aller zwischen den Bestandtheilen des Systems auftretenden Anziehungs- und Abstossungskräfte. Dann ist (§. 37)
* $\sum \,{\frac {1}{2}}\,m\,v^{2}-P$
der Ausdruck für die mechanische Kraft. Sind ausser jenen Anziehungs- und Abstossungskräften keine anderen Kräfte wirksam, so hat man nach §. 37, Gleichung (2)
| (1) | $\sum \,{\frac {1}{2}}\,m\,v^{2}-P={\text{Const.}}$ |
In diesem Falle ist also die mechanische Kraft des Systems unveränderlich und folglich auch die in dem System vorhandene Wärmemenge constant. Treten aber ausser jenen inneren Anziehungs- und Abstossungskräften noch andere, äussere Kräfte auf, deren Componenten im Punkte $(x,\,y,\,z)$ mit $X,\,Y,\,Z$ bezeichnet werden mögen, so lautet der Satz von der Erhaltung der lebendigen Kraft jetzt so:
| (2) | $\sum \,{\frac {1}{2}}\,m\,v^{2}-P-\sum \int \limits _{0}^{t}\left(X\,{\frac {\partial x}{\partial t}}+Y\,{\frac {\partial y}{\partial t}}+Z\,{\frac {\partial z}{\partial t}}\right)dt={\text{Const.}}$ |
Folglich ist in diesem Falle die mechanische Kraft des Systems
| (3) | $\sum \,{\frac {1}{2}}\,m\,v^{2}-P$ $={\text{Const.}}+\sum \int \limits _{0}^{t}\left(X\,{\frac {\partial x}{\partial t}}+Y\,{\frac {\partial y}{\partial t}}+Z\,{\frac {\partial z}{\partial t}}\right)dt,$ |
und sie hat in der Zeit von $t=0\!$ bis $t\!$ zugenommen um die von den äusseren Kräften während derselben Zeit geleistete Arbeit. Die in dem System vorhandene Wärmemenge hat also nach dem eben citirten Satze der mechanischen Wärmetheorie sich vermehrt um ein Quantum, welches jener Arbeit der äusseren Kräfte proportional ist.
Soll dies auf den vorliegenden Fall angewandt werden, so haben wir |[244]
* $X=\varepsilon \left(\Xi +{\frac {\partial V}{\partial x}}\right),$
* $Y=\varepsilon \left(\mathrm {H} +{\frac {\partial V}{\partial y}}\right),$
* $X=\varepsilon \left(\mathrm {Z} +{\frac {\partial V}{\partial z}}\right)$
zu setzen. Von diesen Kräften wird nach §. 59 in dem Zeitelement $dt\!$ die Arbeit geleistet
| (4) | $dA=dt\cdot \int dS\cdot w\,i^{2},$ |
und folglich ist der in demselben Zeitelement $dt\!$ zu Stande gekommene Wärmezuwachs dieser Grösse proportional.
In dem besonderen Falle, dass die äusseren elektromotorischen Kräfte $\varepsilon \,\Xi ,\,\varepsilon \,\mathrm {H} ,\,\varepsilon \,\mathrm {Z}$ nur an den Berührungsstellen von je zwei heterogenen Leiterbestandtheilen auftreten, und dass ihre Resultirende für alle Punkte derselben Unstetigkeitsfläche constant und normal zu ihr gerichtet ist, gelten für $dA\!$ die Umformungen des vorigen Paragraphen. In dem Zeitelement $dt\!$ kommt dann also in dem ganzen Leiter ein Wärmezuwachs zu Stande, welcher der Arbeit
| (5) | $-dt\sum J(V_{+0}-V_{-0})$ |
proportional ist. Soll nur ein Theil des Leiters in Betracht gezogen werden, so ergibt sich für ihn in der Zeit $dt\!$ ein Wärmezuwachs, proportional der Arbeit
| (6) | $dt\lbrace J_{1}(V_{2}-V_{1})-\sum J(V_{+0}-V_{-0})\rbrace .$ |
Für einen drahtförmigen Theil des Leiters lässt sich nach §. 61 die in dem Zeitelement $dt\!$ geleistete Arbeit durch
* $J^{2}\,W\,dt$
ausdrücken. Nehmen wir $J\!$ von $t\!$ unabhängig, so erhält demnach in der Zeiteinheit der Leiter einen Wärmezuwachs, welcher der Arbeit
| (7) | $J^{2}\,W$ |
proportional ist. Dieses von Joule*) aufgestellte Gesetz ist vielfach experimentell bewiesen worden.