# Mathematische Principien der Naturlehre/Buch1-XI

Bis jetzt habe ich die Bewegung solcher Körper auseinander gesetzt, welche nach einem unbeweglichen Centrum hingezogen werden, ein Fall, der kaum in der Natur existirt. Es pflegen nämlich Anziehungen auf Körper stattzufinden, jedoch sind die Wirkungen der ziehenden und der angezogenen Körper nach dem dritten Gesetze stets wechselseitig und einander gleich, so dass weder der anziehende noch der angezogene Körper ruhen kann, sondern, wenn ihrer zwei sind, beide (nach Gesetze, Zusatz 4.) sich gleichsam durch wechselseitige Anziehung um den gemeinschaftlichen Schwerpunkt drehen. Sind mehr Körper vorhanden (welche entweder durch einen einzigen angezogen werden oder einander wechselseitig anziehen, so müssen diese sich so bewegen, dass ihr gemeinschaftlicher Schwerpunkt entweder ruhet oder sich gleichförmig längs einer geraden Linie beweget. Aus diesem Grunde fahre ich fort, die Bewegung von Körpern zu erklären, welche sich wechselseitig anziehen, indem ich die Centripetalkräfte als Anziehungen betrachte, obgleich sie vielleicht, wenn wir uns der Sprache der Physik bedienen wollen, richtiger Anstösse genannt werden müssten. Wir befinden uns nämlich jetzt auf dem Gebiete der Mathematik und wir bedienen uns deshalb, indem wir physikalische Streitigkeiten fahren lassen, der uns vertrauten Benennung, damit wir von mathematischen Lesern um so leichter verstanden werden.
§. 98. Lehrsatz. Körper, welche sich gegenseitig anziehen, beschreiben sowohl um den gemeinschaftlichen Schwerpunkt, als auch wechselweise um einen von beiden ähnliche Figuren.
Die Entfernungen vom gemeinschaftlichen Schwerpunkt verhalten sich nämlich umgekehrt wie die Körper, mithin stehen sowohl diese Entfernungen zu einander, als auch durch Zusammensetzung zur Entfernung beider Körper von einander im constanten Verhältniss. Diese Entfernungen werden nun um ihren gemeinschaftlichen Endpunkt durch eine gleiche Winkelbewegung geführt, weil die in gerader Entfernung von einander liegenden Körper ihre gegenseitige Neigung nicht ändern. Gerade Linien, welche zu einander im gegebenen Verhältniss stehen und durch gleiche Winkelbewegung um ihre Endpunkte geführt werden, beschreiben um dieselben Punkte (in Ebenen, welche zugleich mit diesen Endpunkten ruhen, oder um eine beliebige aber kleine Winkelbewegung ihre Lage verändern) ganz ähnliche Figuren. Mithin sind die Figuren, welche durch Herumführung dieser Abstände beschrieben werden, ähnlich. W. z. b. w.
§. 99. Lehrsatz. Ziehen sich zwei Körper durch irgend welche Kräfte gegenseitig an, und drehen sie sich inzwischen um den gemeinschaftlichen Schwerpunkt; so kann mit denselben Kräften um den einen
als fest angenommenen Körper eine Figur beschrieben werden, die derjenigen congruent ist, welche jene beiden Körper bei der obigen Bewegung um einander beschreiben.
Es bewegen sich die Körper S und P um den gemeinschaftlichen Schwerpunkt C herum respective in der Richtung von S nach T und von P nach Q. Von dem gegebenen Punkt s ziehe man
$\scriptstyle \parallel$
$\scriptstyle \parallel$
alsdann wird die Curve pqv, welche der Punkt p bei seiner Umdrehung um den festen Punkt s beschreibt, gleich und ähnlich der Curve, welche die Körper S und P wechselseitig um einander beschreiben. Ferner wird sie (nach §. 98.) ähnlich den Curven ST und PQV, welche dieselben Körper um den gemeinschaftlichen Schwerpunkt C beschreiben. Diess ist der Fall, weil die Verhältnisse der Linien SC, CP und SP oder sp zu einander gegeben sind. Der gemeinschaftliche Schwerpunkt C wird (nach Gesetze, Zusatz 4.) entweder ruhen oder gleichförmig längs einer geraden Linie fortschreiten. Setzen wir nun als
1. Fall, dass er ruhe. In s und p mögen die zwei Körper aufgestellt werden, der unbewegliche in s, der bewegliche in p, beide den Körpern S und P gleich und ähnlich. PR und pr mögen die Curven PQ und pq in P und p berühren und man verlängere CQ und sq bis nach R und r. Da nun
so hat man
folglich stehen die beiden vordern im constanten gegebenen Verhältniss. Wenn ferner die Kraft, durch welche der Körper P gegen den Körper S, also auch gegen den dazwischen liegenden Schwerpunkt C gezogen wird, zu der Kraft, durch welche der Körper p gegen das Centrum s gezogen wird, in demselben gegebenen Verhältniss stände; so würden diese Kräfte in gleichen Zeiten die Körper stets von den Tangenten PR und pr gegen die Bogen PQ und pq durch die ihnen proportionalen Zwischenräume RQ und rq hinziehen. Die zweite Kraft würde mithin bewirken, dass der Körper p auf der Curve pqv fortwanderte, welche der Curve PQV; auf der der Körper P vermöge der ersten Kraft sich bewegt, ähnlich ist, auch würden die Umläufe in denselben Zeiten ausgeführt werden. Allein jene Kräfte stehen zu einander nicht in dem Verhältniss
sondern sind (weil S $\scriptstyle \cong$ s, P $\scriptstyle \cong$ p und SP = sp) einander gleich; daher werden die Körper in gleichen Zeiten um gleiche Stücke von den Tangenten abgelenkt.
Da der zweite Körper p durch den grösseren Zwischenraum rq gezogen wird, so ist dazu eine grössere Zeit erforderlich, und zwar im halben Verhältniss der Zwischenräume, weil nach §. 10. die im Anfange beschriebenen Wege sich wie die Quadrate der Zeiten verhalten. Man nehme daher an, dass die Geschwindigkeit des Körpers p zu der des Körpers P sich verhalte, wie
$\scriptstyle {\sqrt {sp}}:{\sqrt {CP}}$
damit in Zeitintervallen, welche in demselben Verhältniss stehen, die Bogen PQ und pq beschrieben werden, die sich verhalten, wie
Alsdann werden die Körper P und p, stets durch gleiche Kräfte angezogen, um die ruhenden Mittelpunkte C und s die ähnlichen Figuren PQV und pqv beschreiben, von denen pqv derjenigen Figur congruent ist, welche der Körper P um den beweglichen Körper S beschreibt. W. z. b. w.
2. Fall. Setzen wir voraus, dass der gemeinschaftliche Schwerpunkt zugleich mit dem Raume, in welchem die Körper sich bewegen, gleichförmig und geradlinig fortschreite; alsdann werden (nach Gesetze, Zusatz 6.) alle Bewegungen in diesem Räume wie früher vollführt; folglich beschreiben die Körper gegenseitig um einander dieselben Figuren wie vorhin, welche daher der Figur pqv congruent sind. W. z. b. w.
Zusatz 1. Hiernach beschreiben zwei Körper, welche sich gegenseitig mit Kräften, die ihrem Abstände von einander proportional sind, anziehen (nach §. 27.) so wohl um den gemeinschaftlichen Schwerpunkt, als auch gegenseitig um einander concentrische Ellipsen. Umgekehrt, werden solche Figuren beschrieben, so sind die Kräfte dem Abstände proportional.
Zusatz 2. Ferner beschreiben zwei Körper in Folge von Kräften, welche dem Quadrat ihres Abstandes umgekehrt proportional sind (nach §§. 29., 30. und 31.) so wohl um den gemeinschaftlichen Schwerpunkt, als auch wechselseitig um einander Kegelschnitte, deren Brennpunkt sich in demjenigen Centrum der Kräfte befindet, um welches die Figuren beschrieben werden. Werden umgekehrt solche Figuren beschrieben, so sind die Centripetalkräfte dem Quadrat der Entfernung umgekehrt proportional.
Zusatz 3. Zwei beliebige Körper, welche sich um ihren gemeinschaftlichen Schwerpunkt bewegen, beschreiben an den Radien vectoren, welche sowohl nach jenem Schwerpunkte, als auch wechselseitig nach den Körpern gesogen werden, der Zeit proportionale Flächenräume.
§. 100. Lehrsatz. Die Umlaufszeit zweier, um den gemeinschaftlichen Schwerpunkt C sich herumbewegender, Körper S und P verhält sich zur Umlaufszeit des einen von beiden etwa P, der sich um den andern ruhenden S bewegt und eine Bahn beschreibt, welche denjenigen Figuren congruent ist, die beide Körper wechselseitig um einander beschreiben, wie
$\scriptstyle {\sqrt {s}}:{\sqrt {S+P}}$
Nach dem oben bewiesenen Satze verhalten sich nämlich die Zeiten, in denen die ähnlichen Bogen PQ und pq beschrieben werden, wie
$\scriptstyle {\sqrt {CP}}:{\sqrt {SP}}$
$\scriptstyle {\sqrt {CP}}:{\sqrt {sp}}$
d. h. wie
$\scriptstyle {\sqrt {S}}:{\sqrt {S+P}}$
Addirt man daher die ersten Verhältnisse, so zeigt sich, dass die Summe der Zeiten, in denen alle ähnliche Bogen PQ und pq, d. h. die Zeiten, in denen die ganzen ähnlichen Figuren beschrieben werden, im letzteren Verhältniss stehen. W. z. b. w.
§. 101. Lehrsatz. Zwei Körper S und P ziehen sich gegenseitig mit Kräften an, welche dem Quadrat ihres Abstandes umgekehrt proportional sind, und bewegen sich um ihren gemeinschaftlichen Schwerpunkt. Es verhält sich alsdann die grosse Axe derjenigen Ellipse, welche der eine Körper P bei dieser Bewegung um den andern S beschreibt, zur grossen Axe der Ellipse, welche jener Körper P um den ruhenden Körper S in derselben Umlaufszeit beschreiben würde, wie
$\scriptstyle {\sqrt[{3}]{S+P}}:{\sqrt[{3}]{S}}$
Wären die beschriebenen Ellipsen einander gleich, so würden nach dem vorhergehenden §. die Umlaufszeiten sich verhalten, wie
$\scriptstyle {\sqrt {S}}:{\sqrt {S+P}}$
Bezeichnet man diese Zeiten durch T und t, die grossen Axen durch A und a, so wäre also für A = a,
$\scriptstyle {\sqrt {S}}:{\sqrt {S+P}}$
Vermindert man die Umlaufszeit in der zweiten Ellipse in dem Verhältniss
$\scriptstyle {\sqrt {S+P}}:{\sqrt {S}}$
so dass also, wenn die so zu suchende Umlaufszeit = t' gesetzt wird
$\scriptstyle {\sqrt {S+P}}:{\sqrt {S}}$
wäre, so wird nach 1. und 2.
Bezeichnet man nun aber die neue Axe durch a', so ist nach §. 35.
d. h. weil a' = A,
$\scriptstyle {\sqrt[{3}]{S+P}}:{\sqrt[{3}]{S}}$
§. 103. Lehrsatz. Zwei Körper ziehen sich gegenseitig mit irgend welchen Kräften an, und bewegen sich auf beliebige Weise, ohne anderweitig weder angetrieben noch gehindert zu werden. Unter diesen Umständen werden ihre Bewegungen sich so verhalten, als wenn sie nicht wechselseitig sich anzögen, sondern beide durch einen dritten, im gemeinschaftlichen Schwerpunkt befindlichen, Körper mit denselben Kräften angezogen würden. Für die anziehenden Kräfte wird ferner dasselbe Gesetz stattfinden, sowohl in Bezug auf den Abstand der Körper vom gemeinschaftlichen Schwerpunkte, als ihren gegenseitigen Abstand von einander.
Jene Kräfte, mit welchen die Körper sich wechselseitig anziehen, sind nach ihnen selbst und daher auch nach dem zwischen ihnen liegenden gemeinschaftlichen Schwerpunkte gerichtet; sie stellen sich daher so dar, als ob sie von einem zwischen liegenden Körper ausgingen.
Ferner ist das Verhältniss des Abstandes eines jeden Körpers von ihrem gemeinschaftlichen Schwerpunkte zu ihrem gegenseitigen Abstände gegeben, man kennt daher auch das Verhältniss einer jeden Potenz des ersteren Abstandes zu derselben Potenz des zweiten, wie auch das Verhältniss einer jeden Grösse, welche aus Einem Abstände und gegebenen Grössen auf beliebige Weise abgeleitet wird, zu einer andern Grösse, welche aus dem andern Abstände und eben so vielen gegebenen Grössen, die dasselbe Verhältniss der Entfernungen wie die erstern haben, auf ähnliche Weise abgeleitet wird.
Wenn daher die Kraft, durch welche der eine Körper vom andern angezogen wird, sich direct oder indirect wie der gegenwärtige Abstand der letztern, oder wie irgend eine Potenz desselben oder endlich wie eine beliebige, aus diesem Abstände und gegebenen Grössen irgend wie abgeleitete, Grösse verhält; so wird die Kraft, durch welche der Körper nach dem gemeinschaftlichen Schwerpunkte hingezogen wird, sich ebenfalls direct oder indirect wie der Abstand des angezogenen Körpers vom gemeinschaftlichen Schwerpunkte, oder wie dieselbe Potenz dieses Abstandes oder endlich wie die, aus diesem Abstände und analogen gegebenen Grössen ähnlich abgeleitete, Grösse verhalten. Mithin findet für die anziehende Kraft dasselbe Gesetz in Bezug auf beide Abstände statt. W. z. b. w.
§. 103. Aufgabe. Zwei Körper ziehen sich gegenseitig mit Kräften an, welche dem Quadrate ihrer Entfernung umgekehrt proportional sind und werden aus gegebenen Orten losgelassen; man soll ihre Bewegungen bestimmen.
Die Körper bewegen sich nach dem letzten §. so, als ob sie durch einen dritten, im gemeinschaftlichen Schwerpunkte befindlichen, Körper angezogen würden. Da nun dieser Schwerpunkt (nach der Voraussetzung) im Anfange der Bewegung ruhet, so wird er (nach Gesetze, Zusatz 4.) stets in Ruhe bleiben. Man hat daher die Bewegung der Körper (nach §. 76.) so zu bestimmen, als ob sie durch Kräfte angetrieben wurden, welche nach jenem Schwerpunkte gerichtet sind und erhält so die Bewegung der sich gegenseitig anziehenden Körper.
§. 104. Aufgabe. Zwei Körper ziehen sich wechselseitig mit Kräften an, welche dem Quadrat ihrer Entfernung umgekehrt proportional sind; sie gehen ferner von gegebenen Orten, nach gegebenen Richtungen und mit gegebenen Geschwindigkeiten aus; man soll ihre Bewegungen bestimmen.
Aus der beim Anfange gegebenen Bewegung der Körper kennt man die gleichförmige Bewegung ihres gemeinschaftlichen Schwerpunktes, wie auch die gleichförmige und geradlinige Bewegung, welche der Raum gleichzeitig mit dem Schwerpunkte annimmt und endlich die anfängliche Bewegung der Körper in Bezug auf diesen Raum. Die folgenden Bewegungen geschehen aber (nach Gesetze, Zusatz 5. und §. 102.) in diesem Raume so, als ob der letztere selbst mit jenem Schwerpunkte ruhete und die Körper nicht gegenseitig sich anzögen, sondern durch einen dritten, im gemeinschaftlichen Schwerpunkt befindlichen Körper angezogen würden. Die Bewegung des einen von diesen beiden Körpern in diesem beweglichen Raume, welcher erstere von einem gegebenen Orte, nach gegebener Richtung und mit gegebener Geschwindigkeit ausgeht, und zugleich durch eine nach dem Schwerpunkte gerichtete Centripetalkraft ergriffen wird, muss nach §§. 37. und 77. bestimmt werden; man erhält dann zugleich die Bewegung des andern Körpers. Mit dieser Bewegung muss man die oben gefundene zusammensetzen, welche gleichförmig für das aus dem Raume und den darin befindlichen Körpern zusammengesetzte System stattfindet, und erhält so die absolute Bewegung der Körper im unbeweglichen Raume.
§. 105. Aufgabe. Die Kräfte mit denen die Körper sich gegenseitig anziehen, wachsen im einfachen Verhältniss ihrer Abstände von den Schwerpunkten; man sucht die Bewegung mehrerer Körper unter sich.
Man nehme zuerst zwei Körper T und L an, deren gemeinschaftlicher Schwerpunkt in D liegt. Dieselben werden nach §. 99., Zusatz 1. Ellipsen beschreiben, deren Mittelpunkte sich in D befinden und deren Grösse aus §. 27. folgt.
Nun ziehe ein dritter Körper S die beiden erstern mit den beschleunigenden Kräften ST und SL an und werde umgekehrt durch sie angezogen. Die Kraft ST wird (nach Gesetze, Zusatz 2.) in die Seitenkräfte SD und DT, ebenso die Kraft SL in SD und DL zerlegt. Die Kräfte DT und DL sind ihrer Summe proportional, also den beschleunigenden Kräften, mit denen die Körper T und L einander anziehen. Addirt man sie zu den Kräften der Körper T und L, die erste zur ersten und die zweite zur zweiten, so erhält man Kräfte, welche den Abständen DT und DL proportional, aber grösser als die frühern sind. Dieselben bewirken daher (nach §. 27., Zusatz 1. und §. 18., Zusatz 1. und 8.), dass jene Körper wie früher Ellipsen beschreiben, aber mit grösserer Geschwindigkeit. Die übrigen beschleunigenden Kräfte SD und SD ziehen mit den, den Körpern proportionalen, bewegenden Kräften
jene Körper gleich und längs der Linien JT und KL an, welche beide Linien parallel SD sind, und sie ändern nichts in ihrer gegenseitigen Lage, sondern bewirken nur, dass beide Körper sich gleichmässig der Linie JK, welche durch die Mitte des Körpers S auf SD perpendikulär gezogen ist, nähern. Man verhindert aber diese Annäherung an die Linie JK dadurch, dass man das System der Körper T und L einerseits und den Körper S andererseits mit angemessenen Geschwindigkeiten um den gemeinschaftlichen Schwerpunkt C wandern lässt. Auf diese Weise beschreibt der Körper S (dadurch, dass er vermöge der Summe der bewegenden Kräfte SD · T und SD · L, welche der Entfernung CS proportional sind, gegen den Schwerpunkt C gezogen wird) eine Ellipse um denselben Punkt C, der Punkt D beschreibt aber, wegen der proportionalen CS und CD, eine ähnliche Ellipse. Die Körper T und L, welche durch die bewegenden Kräfte SD · T und SD · L (der erste durch die erste, der zweite durch die zweite) gleich und längs der parallelen Linien TJ und LK, wie bemerkt, angezogen werden, fahren (nach Gesetze, Zusatz 5. und 6.) fort, um den beweglichen Punkt D ihre Ellipsen wie früher zu beschreiben.
Nun füge man einen vierten Körper V hinzu, alsdann findet man durch eine ähnliche Schlussfolge, dass dieser und der Punkt C um den gemeinschaftlichen Schwerpunkt B aller Körper Ellipsen beschreiben, indem die Bewegungen der früheren Körper T, L und S um die Punkte D und C ebenfalls fortdauern, jedoch mit etwas grösserer Geschwindigkeit. Nach derselben Methode kann man noch mehrere Körper hinzufügen.
Dies verhält sich so, wenn auch die Körper T und L sich gegenseitig mit grösseren oder kleineren Kräften als die übrigen Körper, nach Verhältniss der Abstände, anziehen. Es mögen sich nun die gegenseitigen beschleunigenden Anziehungen aller Körper zu einander verhalten, wie die nach den anziehenden Körpern gezogenen Entfernungen, alsdann leitet man aus dem Vorhergehenden leicht ab, dass alle Körper in gleichen Umlaufszeiten verschiedene Ellipsen um den allen gemeinschaftlichen Schwerpunkt B und in einer festen Ebene beschreiben.
§. 106. Lehrsatz. Mehrere Körper, deren Kräfte wie die Quadrate der Entfernungen von ihren Schwerpunkten abnehmen, können sich sehr nahe in Ellipsen bewegen und mit den nach den Brennpunkten gezogenen Radien vectoren Flächenräume beschreiben, welche den Zeiten sehr nahe proportional sind.
Im vorhergehenden Paragraphen wurde der Fall bewiesen, in welchem mehrere Bewegungen genau in Ellipsen ausgeführt werden. Je mehr das Gesetz der Kräfte von dem dort vorausgesetzten abweicht, desto mehr werden die Körper ihre gegenseitigen Bewegungen stören, und solche Körper, welche nach dem hier vorausgesetzten Gesetze sich gegenseitig anziehen, können sich nur dann genau in Ellipsen bewegen, wenn sie ein bestimmtes Verhältniss in ihren gegenseitigen Entfernungen beibehalten. In den folgenden Fällen wird die Bahn nicht sehr von einer Ellipse abweichen.
Erster Fall. Gesetzt, dass mehrere kleine Körper um irgend einen sehr grossen, in verschiedenen Abständen von demselben sich bewegen und nach den einzelnen Körpern absolute Kräfte gerichtet sind, welche denselben Körpern proportional angenommen werden. Da der gemeinschaftliche Schwerpunkt aller (nach Gesetze, Zusatz 4.) entweder ruhen oder sich gleichförmig längs einer geraden Linie bewegen wird, so wollen wir uns die kleinen Körper so gering vorstellen, dass der grösste Körper niemals merklich von diesem Schwerpunkte abstehen wird. Jener wird alsdann ohne bemerkbaren Fehler entweder ruhen, oder sich gleichförmig längs einer geraden Linie bewegen; die kleineren Körper aber werden sich um den grossen in Ellipsen bewegen und mit den nach demselben gezogenen Radien vectoren Flächenräume beschreiben, welche den Zeiten proportional sind; wofern nämlich nicht durch den Abstand des grössten Körpers vom gemeinschaftlichen Schwerpunkte oder durch die gegenseitigen Wirkungen der kleinen Körper auf einander Störungen hervorgebracht werden. Die kleineren Körper können aber so weit verkleinert werden, bis jener Abstand und die gegenseitigen Wirkungen kleiner werden, als irgend welche gegebene Grössen und bis die Bahnen gleichen Flächeninhalt mit Ellipsen erhalten. Alsdann werden die Flächenräume den Zeiten entsprechen, ohne einen Fehler, der nicht kleiner sei, als jede gegebene Grösse.
Zweiter Fall. Denken wir uns ein System kleiner Körper, welche sich auf die eben beschriebene Weise um einen sehr grossen bewegen, und irgend ein anderes System zweier um einander sich bewegender Körper, welches gleichförmig längs einer geraden Linie fortschreiten und durch die Kraft des andern, bei weitem grössten und in bedeutender Entfernung befindlichen Körpers seitwärts gedrängt werde. Da gleiche beschleunigende Kräfte, durch welche Körper längs paralleler Linien getrieben werden, die gegenseitige Lage der Körper nicht verändern, bewirken, dass das ganze System, mit Beibehaltung der Bewegung seiner Theile unter sich, zugleich fortbewegt wird; so wird offenbar aus den Anziehungen gegen den grössten Körper durchaus keine Aenderung in der Bewegung der angezogenen Körper unter sich entstehen; ausser entweder aus der Ungleichheit der beschleunigenden Anziehungen oder aus der gegenseitigen Neigung der Linien, längs welcher die Anziehungen stattfinden.
Man setze daher voraus, dass alle beschleunigenden Anziehungen gegen den grössten Körper den Quadraten der Entfernung von demselben umgekehrt proportional seien und vergrössere alsdann den Abstand des grössten Körpers so weit, dass die Unterschiede und gegenseitigen Neigungen der nach den übrigen Körpern gezogenen Linien kleiner werden, als irgend eine angebbare Grösse. Alsdann wird die Bewegung der Theile des Systemes unter sich fortdauern, ohne einen Fehler, welcher nicht kleiner wäre, als eine beliebige gegebene Grösse. Da ferner, wegen des geringen Abstandes jener Theile von einander, das ganze System nach der Weise Eines Körpers angezogen wird; so wird dasselbe sich auch vermöge dieser Anziehung wie ein einziger Körper bewegen, d. h. es wird mit seinem Schwerpunkt um den grössten Körper irgend einen Kegelschnitt (eine Hyperbel oder Parabel bei schwächerer, eine Ellipse bei stärkerer Anziehung) beschreiben. Ferner werden die nach dem grössten Körper gezogenen Radien vectoren den Zeiten proportionale Flächenräume beschreiben, ohne andere Fehler als diejenigen, welche die Abstände der Theile (die allerdings sehr klein und nach Belieben zu vermindern sind) zu bewirken vermögen.
Auf ähnliche Weise kann man zu zusammengesetzteren Fällen bis in’s Unendliche fortschreiten.
Zusatz 1. Je mehr im zweiten Falle der grösste Körper dem Systeme von zwei oder mehreren anderen Körpern sich nähert, desto mehr werden die Bewegungen der Theile des Systemes unter sich gestört, weil jetzt die Neigung der von ihnen nach dem grössten Körper gezogenen Linien grösser und letztere ungleicher werden.
Zusatz 3. Am meisten werden sie aber gestört, wenn man voraussetzt, dass die beschleunigenden Anziehungen der Theile des Systems gegen den grössten Körper sich nicht umgekehrt wie die Quadrate der Entfernungen von diesem verhalten; besonders, wenn die Ungleichheit dieser Kräfte grösser ist, als die der Abstände vom grössten Körper. Wenn nämlich die beschleunigende Kraft, indem sie gleich und längs paralleler Linien wirkt, die Bewegung der Körper unter sich stört, so muss nothwendig aus der ungleichen Wirkung eine Störung hervorgehen, welche desto grösser oder kleiner sein wird, je mehr oder weniger jene Wirkung variirt. Der Ueberschnss der grösseren Impulse, welcher auf die einen Körper wirkt, auf die andern aber nicht, muss nothwendig die Lage derselben gegen einander ändern. Fügt man diese Störung zu derjenigen hinzu, welche aus der Neigung und Ungleichheit der Linien hervorgeht, so wird die ganze Störung grösser.
Zusatz 3. Bewegen sich demnach die Theile dieses Systems ohne besondere Störung in Ellipsen oder Kreisen, so können dieselben durch beschleunigende Kräfte, welche nach andern Körpern gerichtet sind, entweder nur sehr leicht, oder sehr nahe gleich und längs paralleler Linien angetrieben werden.
§. 107. Lehrsatz. Drei Körper, deren anziehende Kräfte wie die Quadrate der Entfernung abnehmen, ziehen sich gegenseitig an, und die beschleunigenden Anziehungen zweier von ihnen gegen den dritten verhalten sich zu einander umgekehrt wie die Quadrate der Entfernungen. Ferner bewegen sich die beiden kleineren Körper um den dritten in der gemeinschaftlichen Ebene. Unter diesen Umständen wird der innere Körper am den innersten und grössten mit den nach ihm gelegenen Radien vectoren näher der Zeit proportionale Flächen und eine Figur beschreiben, welche einer Ellipse, deren Brennpunkt im Durchschnitt der Radien liegt, näher kommt, wenn der grösste Körper durch diese Anziehungen angetrieben wird, als wenn derselbe von den kleineren Körpern nicht angezogen würde und ruhete, oder wenn er, entweder weit mehr oder weit weniger angezogen, zugleich weit mehr oder weit weniger angetrieben würde.
Dies ist nahezu aus §. 106., Zusatz 2. klar, durch einen bestimmten und weiter sich erstreckenden Beweis wird die Wahrheit jedoch folgendermaassen dargethan.
Erster Fall. Es drehen sich die kleineren Körper P und Q in derselben Ebene mit den grössten S und zwar beschreibt P die innere Bahn PAB, Q die äussere EQE. Es sei QK die mittlere Entfernung der Körper P und Q, und es werde die beschleunigende Anziehung des Körpers P gegen Q in jener mittleren Entfernung durch dieselbe Linie ausgedrückt. Nimmt man
so wird QL die beschleunigende Anziehung des Körpers P gegen Q in der beliebigen Entfernung QP sein. Man ziehe PS und
$\scriptstyle \parallel$
welche erstere die verlängerte QS in M schneidet, alsdann wird die Anziehung QL (nach Gesetze, Zusatz 2.) in die Anziehungen QM und LM zerlegt.
Demnach wird der Körper P durch eine dreifache beschleunigende Anziehung angetrieben, indem eine nach S gerichtete aus der gegenseitigen Anziehung der Körper S und P hervorgeht. Vermöge der letzten Kraft allein müsste der Körper P um den, entweder unbewegten oder durch diese Anziehung fortgetriebenen, Körper S sowohl der Zeit proportionale Flächenräume, als auch eine Ellipse beschreiben, deren Brennpunkt in S läge. Dies geht aus §. 29. und §. 99., Zusätzen 2. und 3. hervor.
Die zweite anziehende Kraft ist LM. Dieselbe ist von P nach S gerichtet und fällt daher mit der vorigen, indem man sie hinzuaddirt, zusammen. Sie wird daher nach §. 99., Zusatz 3., bewirken, dass auch jetzt die Flächen den Zeiten proportional beschrieben werden. Da sie aber nicht dem Quadrat des Abstandes PS umgekehrt proportional ist, wird sie mit der ersten Kraft eine neue zusammensetzen, welche desto mehr von dieser Proportionalität abweicht, je grösser unter übrigens gleichen Umständen das Verhältniss der Kraft LM zur ersten ist. Da ferner (nach §. 33., Zusatz 1. und §. 99., Zusatz 2.) die Kraft, durch welche eine Ellipse um den Brennpunkt S beschrieben wird, nach diesem gerichtet und dem Quadrat des Abstandes PS umgekehrt proportional sein muss; so wird jene zusammengesetzte Kraft, weil sie dieser Proportion nicht entspricht, bewirken, dass die Bahn PAB von einer Ellipse zum Brennpunkt S abweicht. Diese Abweichung wird desto grösser sein, je mehr jene Kraft von dieser Proportionalität entfernt ist, d. h. je grösser, unter übrigens gleichen Umständen, das Verhältniss der Kraft LM zur ersten ist. Nun aber zieht ferner die dritte Kraft QM den Körper längs einer QS parallelen Linie und aus ihrer Zusammensetzung mit den beiden früheren entspringt eine neue Kraft, welche nicht mehr von P gegen S gerichtet ist, und von dieser Richtung desto mehr abweicht, je grösser unter übrigens gleichen Umständen das Verhältniss der dritten Kraft zu den beiden erstern ist. Sie wird dadurch bewirken, dass der Körper P am Radius vector SP nicht mehr der Zeit proportionale Flächen beschreibt, und dass die Abweichung von dieser Proportionalität desto grösser ausfällt, je grösser das Verhältniss dieser dritten Kraft zu den übrigen ist. Die Abweichung der Bahn PAB von der oben erwähnten Ellipse wird durch diese dritte Kraft aus einer doppelten Ursache vermehrt werden, sowohl weil sie nicht von P nach S gerichtet, als auch weil sie nicht dem Quadrat des Abstandes PS umgekehrt proportional ist. Dennoch werden die Flächenräume am meisten den Zeiten proportional, wenn die dritte Kraft möglichst klein ist, ohne dass die beiden andern sich ändern. Die Bahn PAB wird sich am meisten der erwähnten elliptischen Form nähern, wenn sowohl die zweite, als auch die dritte Kraft, besonders aber die letztere möglichst klein wird, während die erste Kraft unverändert bleibt.
Die beschleunigende Anziehung des Körpers S gegen Q werde durch die Linie QN ausgedrückt. Wären nun die beschleunigenden Anziehungen QM und QN einander gleich, so würden sie, weil sie die Körper S und P gleich und längs paralleler Linien anziehen, nichts in der gegenseitigen Lage derselben ändern. Die Bewegungen jener Körper unter sich würden (nach Gesetze, Zusatz 6.) so sein, als ob diese Anziehungen aufgehoben wären. Wäre die Anziehung QN kleiner als die QM, so würde sie von dieser einen Theil QN aufheben und nur der Theil MN übrig bleiben, durch welchen die Proportionalität der Zeiten und Flächen und die elliptische Form der Bahn gestört werden würde. Wäre endlich die Anziehung QN grösser als QM, so würde ebenfalls nur aus ihrem Unterschiede MN eine Störung der Proportionalität und der Bahn hervorgehen.
Auf diese Weise wird durch die Anziehung QN die obige dritte QM immer auf MN reducirt, während die erste und zweite Anziehung unverändert bleiben, und es werden die Flächen und Zeiten der Proportionalität, die Bahn PAB der oben erwähnten elliptischen Form dann am stärksten sich nähern, wenn die Anziehung MN = 0, oder so klein als möglich ist. Dies ist der Fall, wenn die beschleunigenden Anziehungen der Körper P und S gegen Q der Gleichheit möglichst nahe kommen, d. h. wenn die Anziehung QN nicht = 0, auch nicht kleiner als die kleinste aller Anziehungen QM ist, sondern gewissermaassen zwischen der grössten und kleinsten aller Anziehungen QM in der Mitte liegt, also weder viel grösser noch viel kleiner als QK ist. W. z. b. w.
Zweiter Fall. Es mögen jetzt die kleinem Körper P und Q sich um den grössten S in verschiedenen Ebenen drehen, alsdann wird die Kraft LM, welche längs der in der Ebene der Bahn APB gelegenen Linie PS wirkt, denselben Erfolg wie früher haben und den Körper P nicht aus der Ebene seiner Bahn bringen. Die andere Kraft MN aber, welche längs einer QS parallelen Linie wirkt (folglich, wenn Q ausserhalb der Knotenlinie sich befindet, gegen die Ebene der Bahn APB geneigt ist) wird ausser der bereits auseinandergesetzten Störung in der Länge eine Störung der Bewegung in der Breite herbeiführen, indem sie den Körper P aus der Ebene seiner Bahn zieht. Diese Störung wird, in jeder gegebenen Lage der Körper P und S der erzeugenden Kraft MN proportional sein, mithin am kleinsten werden, wenn dies mit MN der Fall ist, d. h. wenn (wie oben erklärt) die Anziehung QN nicht viel grösser und nicht viel kleiner als QK ist. W. z. b. w.
Zusatz 1. Hieraus schliesst man leicht, dass, im Fall mehrere kleine Körper P, Q, R etc. sich um einen sehr grossen Körper S bewegen, die Bewegung des innersten Körpers P am wenigsten durch die Anziehungen der äussern gestört wird, wenn der grösste Körper S eben so stark durch die übrigen, nach Verhältniss ihrer beschleunigenden Kräfte angezogen und angetrieben wird, als diese gegenseitig durch einander.
Zusatz 2. Verhalten sich in einem Systeme von drei Körpern S, P, Q die beschleunigenden Anziehungen von je zwei derselben gegen den dritten zu einander umgekehrt wie die Quadrate der Entfernungen, so wird der Körper P am Radius vector PS die Flächen schneller in der Nähe der Conjunction A und Opposition B, als in der Nähe der Quadraturen C und D beschreiben. Denn jede Kraft, durch welche P wohl, S aber nicht gedrängt wird und die nicht längs der Linie PS wirkt, beschleunigt oder verzögert die Beschreibung der Fläche, je nachdem sie vor- oder rückwärts auf die Richtung der Bewegung wirkt. Eine solche Kraft ist NM. Dieselbe wirkt beim Uebergange des Körpers P von C nach A im Sinne der Bewegung und beschleunigt die letztere; hierauf wirkt sie von A bis D im entgegengesetzten Sinne und verzögert, beschleunigt hierauf von D bis B und verzögert zuletzt von B bis C die Bewegung.
Zusatz 3. Auf dieselbe Weise wird es klar, dass unter übrigens gleichen Umständen die Bewegung in der Conjunction und Opposition geschwinder ist, als in den Quadraturen.
Zusatz 4. Die Bahn des Körpers P ist, unter übrigens gleichen Umständen, in den Quadraturen stärker gekrümmt, als in der Conjunction und Opposition, weil Körper, welche sich schnell bewegen, weniger von der geradlinigen Richtung abgelenkt werden. Ausserdem ist die Kraft KL oder NM in der Conjunction und Opposition derjenigen entgegengesetzt, mit welcher der Körper S den Körper P anzieht und vermindert daher die letztere. Der Körper P wird aber desto weniger von der geradlinigen Bahn abgelenkt, je schwächer er gegen den Körper S gedrängt wird.
Zusatz 5. Der Körper P wird ferner, unter übrigens gleichen Umständen, sich in den Quadraturen weiter vom Körper S entfernen, als in der Conjunction und Opposition. Dies gilt stets, mit Ausschluss der excentrischen Bewegung. Ist nämlich die Bahn des Körpers P excentrisch, so wird ihre Excentricität (wie im Zusatz 9. gezeigt werden wird) am grössten, im Fall die Apsiden sich in den Syzygien befinden. Daher kann es kommen, dass der Körper P beim Anstoss an die obere Apside in den Syzygien weiter vom Körper S entfernt ist, als in den Quadraturen.
Zusatz 6. Die Centripetalkraft des Centralkörpers S, durch welche der Körper P in seiner Bahn gehalten wird, nimmt in den Quadraturen durch Hinzufügung der Kraft LM zu, und in den Syzygien durch Fortnahme der Kraft KL ab, und wegen der Grösse der Kraft KL nimmt sie mehr ab als an. Jene Centripetalkraft verhält sich ferner (nach §. 18., Zusatz 2.) direct wie der Radius SP und indirect wie das Quadrat der Umlaufszeit. Dieses zusammengesetzte Verhältniss wird daher durch die Wirkung der Kraft KL vermindert und bei unverändertem Radius SP nimmt die Umlaufszeit zu in dem halben Verhältniss der Verminderung, welche jene Centripetalkraft erleidet. Wird dieser Radius vergrössert oder verkleinert, so nimmt die Umlaufszeit (nach §. 18. Zusatz 6.) in einem grösseren Verhältniss als R3/2 zu, oder in einem kleineren Verhältniss als R3/2 ab. Nimmt die Kraft des Centralkörpers etwas ab, so wird der Körper P immer schwächer und schwächer angezogen und sich stets weiter vom Centrum S entfernen. Umgekehrt wird er sich ihm nähern, wenn die Kraft wächst. Wenn also die Wirksamkeit des entfernten Körpers Q, durch welchen jene Kraft vermindert wird, abwechselnd wächst und abnimmt, so wird zugleich der Radius SP abwechselnd grösser und kleiner, und die Umlaufszeit nimmt ebenes zu und ab in dem zusammengesetzten Verhältniss aus der 3/2ten Potenz des Radius und der Quadratwurzel der Zu- und Abnahme, welche der Centralkörper S durch die vermehrte oder verminderte Wirksamkeit des entfernten Körpers Q erleidet.
Zusatz 7. Aus dem Vorhergehenden folgt auch, dass die Apsidenlinie der vom Körper P beschriebenen Ellipse in Bezug auf Winkelbewegung abwechselnd vor- und rückwärts schreitet; stärker schreitet sie jedoch vorwärts, und bewegt sich daher aus diesem Grunde bei den einzelnen Umläufen des Körpers im Sinne der Bewegung des letzteren. Denn die Kralt, durch welche der Körper P in den Quadraturen, nachdem die Kraft NM verschwunden ist, gegen den Körper S getrieben wird, wird aus der Kraft LM und der vom Körper S gegen P wirkenden Centripetalkraft zusammengesetzt. Die erstere LM nimmt, wenn der Abstand PS grösser wird, beinahe in demselben Verhältniss zu, die zweite dagegen in dem doppelten Verhältniss ab; mithin nimmt die Summe beider in einem kleineren Verhältniss als dem doppelten ab, und sie bewirkt daher (nach §. 85., Zusatz 1.), dass die obere Apside rückwärts schreitet. In der Conjunction und Opposition aber ist die Kraft, durch welche P gegen S getrieben wird, dem Unterschiede der von S auf P wirkenden Centripetalkraft und der Kraft KL gleich, und dieser Unterschied nimmt, weil KL sehr nahe in demselben Verhältniss wie PS wächst, in einem grösseren Verhältniss als dem doppelten des Abstandes PS ab, bewirkt also (nach §. 86., Zusatz 1.), dass die obere Apside sich vorwärts bewegt. In den Orten zwischen den Syzygien und den Quadraturen hängt die Bewegung der Apside von beiden Ursachen vereinigt ab, so dass sie, je nachdem die eine oder die andere überwiegend ist, sich selbst vor- oder rückwärts bewegt. Da nun die Kraft KL in den Syzygien etwa doppelt so gross, als die LM in den Quadraturen ist; so wird bei einem ganzen Umlauf KL überwiegend sein und bewirken, dass die obere Apside sich vorwärts bewegt. Die Wahrheit dieses und des vorhergehenden Zusatzes sieht man noch leichter ein, wenn man sich ein System von zwei Körpern S und P denkt, welches durch mehrere auf der Bahn EQE befindliche Körper Q, Q, Q etc. überall eingeschlossen wird. Durch die Wirkung der letzteren wird nämlich die des Körpers S überall vermindert, und dieselbe nimmt in einem grösseren Verhältnisse als dem doppelten des Abstandes ab.
Zusatz 8. Das Vor- und Rückwärtsschreiten der Apsiden hängt aber davon ab, dass die Centripetalkraft beim Uebergange des Körpers von der untern zur obern Apside in einem grösseren oder kleineren Verhältnisse als dem doppelten des Abstandes SP abnimmt, wie auch von einer ähnlichen Zunahme derselben, während der Körper zur untern Apside zurückkehrt. Mithin wird dasselbe am grössten sein, wenn das Verhältniss der Kraft in der obern Apside zu der in der untern Apside so weit als möglich von dem umgekehrten doppelten Verhältniss der Abstände abweicht. Offenbar werden also die Apsiden in den Syzygien vermöge der abziehenden Kraft
schneller vorwärts- und in den Quadraturen, vermöge der anziehenden LM, langsamer rückwärts schreiten. Wegen der Länge der Zeit aber, während welcher das schnelle Vorwärts- und das langsame Rückwärtsschreiten fortgesetzt wird, fällt diese Ungleichheit sehr bedeutend aus.
Zusatz 9. Wenn irgend ein Körper vermöge einer Kraft, welche dem Quadrat der Entfernung desselben vom Centrum umgekehrt proportional ist, sich um das letztere in einer Ellipse bewegt; wenn hierauf bei dem Uebergange von der obern Apside zur untern jene Kraft beständig einen Zuwachs erhält, der in einem grösseren Verhältniss als dem doppelten der verkleinerten Entfernung steht: so wird der Körper offenbar, da er durch den Zuwachs jener neuen Kraft beständig dem Centrum zugetrieben wird, diesem sich mehr nähern, als wenn er nur durch eine Kraft angetrieben würde, welche im doppelten Verhältniss der verkleinerten Entfernung zunimmt. Er wird mithin eine Bahn beschreiben, welche innerhalb der elliptischen liegt, und in der untern Apside dem Centrum näher kommen als vorher. Die Bahn erhält daher durch den Zuwachs der neuen Kraft eine grössere Excentricität. Wenn nun die Kraft, während der Körper von der untern zur obern Apside zurückkehrt, in demselben Grade abnimmt, in welchem sie vorher zugenommen hatte, so kehrt der Körper zu der früheren Entfernung zurück, und im Fall die Kraft in einem grösseren Verhältniss abnähme, würde der Körper, vermöge der geringeren Anziehung, zu einer grössern Entfernung gelangen und so die Ezcentrität der Bahn noch stärker vermehrt werden. Nimmt daher das Verhältniss des Zuwachses der Kraft zur Abnahme derselben bei den einzelnen Umläufen zu, so wächst auch die Excentricität, und umgekehrt wird diese kleiner werden, wenn jenes Verhältniss abnimmt.
Befinden sich nun in dem System der Körper S, P und Q die Apsiden der Bahn PAB in den Quadraturen, so ist jenes Verhältniss des Zuwachses zur Abnahme am kleinsten, und wird umgekehrt am grössten, wenn die Apsiden sich in den Syzygien befinden. Denkt man sich die Apsiden in den Quadraturen, so ist das Verhältniss in der Nähe der Apsiden kleiner und in der Nähe der Syzygien grösser, als das doppelte der Entfernungen, und aus dem grössern Verhältniss geht, wie schon bemerkt, eine directe Bewegung der oberen Apside hervor. Betrachtet man aber das Verhältniss der ganzen Zu- und Abnahme während der Bewegung zwischen den Apsiden, so ist dasselbe kleiner als das doppelte der Entfernungen. Das Verhältniss der Kraft in der untern Apside ist kleiner, als das doppelte Verhältniss des Abstandes der obern Apside vom Brennpunkte der Ellipse zum Abstände der untern Apside von demselben Punkte. Denkt man sich umgekehrt die Apsiden in den Syzygien, so ist das Verhältniss der Kraft in der untern Apside zu der in der obern Apside stattfindenden, grösser als das doppelte der Entfernungen. Denn die Kräfte LM in den Quadraturen, addirt zur Kraft des Körpers S, bilden eine zusammengesetzte Kraft, welche in einem kleinem Verhältniss steht; die Kräfte QL in den Syzygien, subtrahirt von der Kraft des Körpers S, bilden eine Resultante, welche im grössern Verhältniss steht. Es ist daher das Verhältniss der ganzen Ab- und Zunahme, bei der Bewegung zwischen den Apsiden, am kleinsten in den Quadraturen und am grössten in den Syzygien. Es wächst beständig beim Uebergange der Apsiden von den Quadraturen zu den Syzygien und vergrössert die Excentrität der Ellipse; es nimmt hingegen ab beim Uebergange von den Syzygien zu den Quadraturen und verkleinert die Excentricität.
Zusatz 10. Um nun das Verhältniss der Störungen in der Breite zu betrachten, wollen wir uns vorstellen, dass die Ebene der Bahn QES unbeweglich bleibe. Aus der bereits erklärten Ursache der Störungen geht hervor, dass von den Kräften NM und ML, welche jene ganze Ursache ausmachen, die letztere, da sie immer längs der Ebene PAB wirkt, die Bewegung in der Breite niemals stört. Die Kraft NM hingegen wirkt, wenn die Knoten sich in den Syzygien befinden, ebenfalls längs derselben Ebene der Bahn und stört diese Bewegung nicht. Befinden sich die Knoten aber in den Quadraturen, so stört die Kraft NM diese Bewegung am stärksten, und indem sie den Körper P beständig aus der Ebene seiner Bahn zieht, vermindert sie die Neigung der Ebene beim Uebergange des Körpers von den Quadraturen zu den Syzygien; wogegen sie umgekehrt, beim Uebergange von den Syzygien zu den Quadraturen die Neigung vergrössert. Befindet sich demnach der Körper in den Syzygien, so wird die Neigung am allerkleinsten, und kehrt ungefähr zur früheren Grösse zurück, sobald ersterer den nächsten Knoten erreicht. Setzt man die Knoten in die Octanten nach den Quadraturen, d. h. zwischen C und A, D und B, so ersieht man aus der vorhergehenden Auseinandersetzung, dass beim Uebergange des Körpers von einem seiner Knoten bis zu 90° davon, die Neigung immer kleiner wird, dass dieselbe hierauf beim Uebergange durch die nächsten 45° bis zur nächsten Quadratur wächst und hierauf von Neuem, beim Uebergange durch andere 45° bis zum nächsten Knoten kleiner wird. Die Neigung wird daher mehr verkleinert als vergrössert, und ist deshalb im folgenden Knoten immer kleiner, als im vorhergehenden. Auf ähnliche Weise wird die Neigung mehr vergrössert als verkleinert, wenn die Knoten sich in den Octanten vor den Quadraturen, zwischen A und D, B und C befinden. Die Neigung wird daher am allergrössten, wenn die Knoten sich in den Syzygien befinden. Beim Uebergange derselben von den Syzygien zu den Quadraturen wird sie, während der Körper einzeln die Knoten trifft, kleiner und am allerkleinsten, wenn die Knoten in den Quadraturen und der Körper in den Syzygien verweilt. Hierauf wächst die Neigung in demselben Grade, in welchem sie vorher abgenommen hatte und kehrt, wenn die Knoten die nächsten Syzygien treffen, zur frühem Grösse zurück.
Zusatz 11. Befinden sich die Knoten in den Quadraturen, so wird der Körper P immer aus der Ebene seiner Bahn gezogen und zwar nach der Seite von Q hin, während er vom Knoten C durch die Conjunction A nach dem Knoten D sich bewegt; nach der entgegengesetzten Seite aber wird er gezogen, während der Bewegung vom Knoten D durch die Opposition B bis zum Knoten C. Offenbar entfernt sich also der Körper, bei seiner Bewegung vom Knoten C ab, beständig aus der ersten Ebene CD seiner Bahn, bis er zum nächsten Knoten D gelangt, und indem er in diesem am weitesten aus jener ersten Ebene CD entfernt ist, geht er durch die Ebene der Bahn QES, nicht in dem anderen Knoten D jener Ebene, sondern in einem Punkte welcher von ihm nach dem Körper Q hin abweicht und der ferner ein neuer rückwärts liegender Ort des Knotens ist. Auf ähnliche Weise fahren die Knoten fort, bei dem Uebergange des Körpers von dem einen zum anderen, zurückzuweichen. Denkt man sich also die Knoten in den Quadraturen, so gehen sie beständig zurück; in den Syzygien hingegen (wo die Bewegung in Bezug auf die Breite nicht gestört wird) ruhen sie; in den zwischenliegenden Punkten geben sie, als Theilhaber beider Bedingungen, langsamer zurück und werden daher bei den einzelnen Umläufen des Körpers entweder zurückweichend oder stillstehend rückläufig bewegt.
Zusatz 12. Alle in diesen Zusätzen beschriebenen Bewegungen sind etwas grösser in der Conjunction der Körper P und R als in der Opposition, und zwar wegen der grössern erzeugenden Kräfte NM und ML.
Zusatz 13. Da die in diesen Zusätzen erläuterten Umstände nicht von der Grösse des Körpers Q abhängen, so gilt alles Vorhergehende, wenn man die Grösse dieses Körpers so bedeutend annimmt, dass das System der Körper S und P sich um ihn dreht. Aus der Vergrösserung des Körpers Q und seiner Centripetalkraft, durch welche die Störungen des Körpers P entstehen, werden diese alle (bei gleichen Abständen) in diesem Falle grösser als in demjenigen, wo der Körper Q sich um das System der beiden Körper S und P bewegt.
Zusatz 14. Ist der Körper Q sehr entfernt von S, so sind die Kräfte NM und ML sehr nahe der Kraft QK und PS : QS zusammen genommen proportional.
Ist daher der Abstand PS, und auch die absolute Kraft des Körpers Q constant, so sind diese Kräfte umgekehrt proportional
Jene Kräfte NM und ML sind aber die Ursachen aller Störungen und Wirkungen, von denen in den vorhergehenden Zusätzen die Rede war. Offenbar werden also alle jene Wirkungen, wenn das System der Körper S und P bestehen bleibt, und nur der Abstand SQ und die absolute Kraft des Körpers Q sich ändert, sich sehr nahe verhalten:
    direct wie die absolute Kraft des Körpers Q,
    indirect wie der Cubus des Abstandes QS
Bewegt sich das System der Körper S und P um den sehr entfernten Körper Q, so werden jene Kräfte NM und ML und ihre Wirkungen (nach §. 18., Zusatz 2 und 6.) sich umgekehrt wie die Quadrate der Umlaufszeit verhalten. Ist demnach die Grösse des Körpers Q seiner absoluten Kraft proportional, so verhalten sich die Kräfte NM, ML und ihre Wirkungen direct wie der Cubus des scheinbaren Durchmessers des von S aus gesehenen entfernten Körpers Q, und umgekehrt. Dieses Verhältniss ist nämlich mit dem obigen identisch.
Zusatz 15. Man verändere, während Gestalt, Proportion und gegenseitige Neigung der Bahnen EQE und PAB unverändert bleiben, ihre Grösse. Bleiben alsdann die Kräfte der Körper Q und S entweder unverändert, oder werden sie in einem beliebigen gegebenen Verhältniss geändert; so wirken diese Kräfte (d. b. die Kraft des Körpers S, durch welche P gezwungen wird, von der geradlinigen Bahn ab- und in die PAB überzugehen und die Kraft des Körpers Q, durch welche derselbe Körper P aus jener Bahn zu weichen gezwungen wird), immer auf dieselbe Weise und in demselben Verhältniss. Nothwendig müssen daher alle Wirkungen ähnlich und proportional, und die zu denselben erforderlichen Zeiten ebenfalls proportional sein; d. h. alle linearen Störungen verhalten sich wie die Durchmesser der Bahnen, die Winkelstörungen sind mit den früheren identisch, und die Zeiten ähnlicher linearer oder gleicher Winkelstörungen, sind den Umlaufszeiten der ganzen Bahnen proportional.
Zusatz 16. Ist daher die Form und gegenseitige Neigung der Bahnen gegeben, und werden auf irgend eine Weise die Grössen, Kräfte und Abstände der Körper geändert; so kann man aus den gegebenen Störungen und den dazu erforderlichen Zeiten in einem Falle auf die Störungen und Zeiten in jedem andern Falle sehr nahe schliessen. Kürzer geschieht dies nach folgender Methode.
Die Kräfte NM und ML sind, wenn alles Uebrige constant ist, dem Radius SP proportional; die periodischen Wirkungen der erstern verhalten sich (nach §. 10., Zusatz 2.) wie die Kräfte und das Quadrat der Umlaufszeit des Körpers P zusammengesetzt. Dies sind die linearen Störungen des Körpers P, und hierauf verhalten sich die, von S aus gesehenen, Winkelstörungen (d. h. so wohl in der Bewegung des Perihels und der Knoten, als auch alle scheinbaren Störungen in der Länge und Breite) bei jedem Umlauf des Körpers P sehr nahe wie das Quadrat der Umlaufszeit. Verbindet man diese Verhältnisse mit denjenigen von Zusatz 14., so werden bei jedem System der Körper S, P und Q, wo P um den ihm nahe liegenden Körper S und S um den entfernten Körper Q sich dreht, die scheinbaren Winkelstörungen des Körpers P in Bezug auf S als Centrum, sich in den einzelnen Umläufen des Körpers P verhalten:
    direct wie das Quadrat der Umlaufszeit von P und
    indirect wie das Quadrat der Umlaufszeit von S.
Durch Vergrösserung oder Verkleinerung der Excentricität und Neigung der Bahn PAB werden die Bewegungen des Perihels und der Knoten nicht merklich geändert, ausser wenn jene zu gross sind.
Zusatz 17. Da die Linie LM bald grösser bald kleiner, als der Radius PS ist, so bezeichne man den mittlern Werth der Kraft LM durch jenen Radius PS. Alsdann verhält sich dieselbe zur mittlern Kraft QK oder QN (welche man durch QS ausdrücken kann) wie die Linie PS zu QS. Ferner verhält sich die mittlere Kraft QN oder QS, durch welche der Körper S in seiner Bahn um Q erhalten wird, zu der Kraft, welche den Körper P in seiner Bahn um S erhält, wie der Radius QS : PS und wie das Quadrat der Umlaufszeit des Körpers P um S zum Quadrat der Umlaufszeit des Körpers S um Q, zusammengesetzt.
Ebenso steht die mittlere Kraft LM zu derjenigen Kraft, durch welche der Körper P in seiner Bahn um S erhalten wird (und vermöge welcher derselbe Körper P in derselben Umlaufszeit um irgend einen festen Punkt S im Abstände PS sich bewegen könnte) in jenem Verhältniss der Quadrate der Umlaufszeiten. Sind daher die Umlaufszeiten sogleich mit dem Abstande PS gegeben, so kennt man die mittlere Kraft LM, und ist diese bekannt, so wird auch die Kraft MN sehr nahe durch die Proportionalität der Linien PS und MN bekannt
Zusatz 18. Nach denselben Gesetzen, nach denen der Körper P sich um S bewegt, denke man sich mehrere flüssige Körper, welche sich um denselben Körper S und in gleichen Abständen von ihm bewegen. Hierauf mögen sie sich gegenseitig berühren, und so ein flüssiger, runder und um S concentrischer Ring entstehen; alsdann werden die einzelnen Theile desselben, welche alle ihre Bewegung nach dem Gesetze des Körpers P vollführen, dem Körper S näher kommen und in ihrer Conjunction und Opposition mit dem Körper Q sich schneller bewegen, als in den Quadraturen. Die Knoten des Ringes, oder seine Durchschnitte mit der Ebene der Bahn des Körpers Q oder S ruhen in den Syzygien, bewegen sich aber ausserhalb der letztern rückwärts, und zwar am geschwindesten in den Quadraturen, langsamer hingegen in andern Punkten der Bahn. Auch die Neigung des Ringes wird veränderlich sein, und seine Axe bei den einzelnen Umläufen oscilliren, jedoch nach Vollendung eines Umlaufes an die frühere Stelle zurückkehren; ausser in so fern sie durch die Praecession herumgetragen wird.
Zusatz 19. Man stelle sich nun vor, dass der aus einer nicht flüssigen Materie bestehende Körper S vergrössert und bis an diesen Ring ausgedehnt werde. Derselbe enthalte in einem an seinem Umfange ausgehöhlten Graben, Wasser, und drehe sich mit derselben periodischen Bewegung gleichförmig um seine Axe. Die Flüssigkeit wird (wie im vorhergehenden Zusätze) wechselweise beschleunigt und verzögert, und bewegt sich in den Syzygien geschwinder, in den Quadraturen langsamer als die Oberfläche der Kugel; sie wird daher in dem Graben, nach der Weise des Meeres, hin- und herfliessen. Bewegt sich das Wasser um den ruhenden Mittelpunkt der Kugel, so wird es, wenn die anziehende Kraft des Körpers Q aufgehoben ist, keine hin- und hergehende Bewegung annehmen. Dasselbe Verhältniss findet bei einer gleichförmig und geradlinig fortschreitenden und inzwischen sich um ihr Centrum drehenden Kugel statt (nach Gesetze, Zusatz 5.), wie auch bei einer Kugel, welche von ihrer geradlinigen Bewegung gleichförmig abgezogen wird (nach Gesetze, Zusatz 6.).
Nähert sich aber der Körper Q, so wird durch seine ungleiche Anziehung sehr bald das Wasser gestört. Stärker wird nämlich das nähere, schwächer das entferntere angezogen. Die Kraft LM zieht aber das Wasser abwärts in den Quadraturen und lässt es bis zu den Syzygien herabschreiten, wogegen die Kraft KL es in den Syzygien aufwärts zieht, sein Herabsteigen hemmt und es bis zu den Quadraturen ansteigen lässt; so weit nicht die hin- und herfliessende Bewegung durch den Graben und durch die Reibung etwas verzögert wird.
Zusatz 20. Wird nun der Ring fest und die Kugel kleiner, so hört die hin- und herfliessende Bewegung auf, die oscillirende Bewegung der Neigung aber und die Präcession der Knoten währt fort. Die Kugel möge dieselbe Axe wie der Ring haben und ihre Bahn in derselben Zeit zurücklegen; sie möge ferner mit ihrer Oberfläche jenen innerhalb berühren und an ihm haften; durch die Theilnahme an seiner Bewegung wird alsdann das System beider oscilliren und es werden die Knoten zurückschreiten. Die Kugel ist nämlich, wie bald dargethan werden wird, für die Annahme aller Eindrucke indifferent. Der grösste Neigungswinkel des der Kugel beraubten Ringes findet statt, wenn die Knoten in den Syzygien sind; hierauf sucht er, beim Fortgange der Knoten zu den Quadraturen seine Neigung zu vermindern, und theilt durch dieses Bestreben der ganzen Kugel eine Bewegung mit. Diese behält die ihr mitgetheilte Bewegung bei, bis der Ring dieselbe durch ein entgegengesetztes Bestreben aufhebt, und ihr eine neue Bewegung in entgegengesetzter Richtung mittheilt. Auf diese Weise findet das grösste Bestreben zur Verminderung der Neigung statt, wenn die Knoten sich in den Quadraturen befinden und der Neigungswinkel selbst ist am kleinsten in den auf die Quadraturen folgenden Octanten. Hierauf folgt die grösste Bewegung zur Vergrösserung der Neigung in den Syzygien, und der grösste Neigungswinkel selbst findet in den auf dieselben folgenden Octanten statt. Dasselbe Verhältniss findet bei einer Kugel statt, welche keinen Ring hat, jedoch in den Gegenden des Aequators etwas höher als an den Polen ist, oder auch am erstern Orte aus etwas dichterer Materie besteht. Jenes Uebergewicht der Materie in der Nähe des Aequators vertritt nämlich die Stelle des Ringes. Obgleich durch die Vergrösserung der Centripetalkraft dieser Kugel alle ihre Theile, nach Art der schweren Theile der Erde, abwärts zu streben vorausgesetzt werden müssen, so werden doch dadurch die Erscheinungen dieses und des vorhergehenden Zusatzes kaum verändert; in so fern nicht die Orte der grössten und kleinsten Wasserhöhe verschieden sind. Das Wasser wird nämlich in seiner Bahn getragen und verharret in derselben nicht durch seine Centripetalkraft, sondern durch den Graben, in welchem es fliesst. Ausserdem zieht die Kraft LM es abwärts am stärksten in den Quadraturen, die Kraft KL = NM — LM aufwärts am stärksten in den Syzygien. Beide Kräfte vereint hören auf, es abwärts zu ziehen, und fangen an, es aufwärts zu ziehen in den Octanten vor den Syzygien. Umgekehrt hören sie auf, es aufwärts zu ziehen und fangen an, es abwärts zu ziehen, in den Octanten nach den Syzygien. Die grösste Wasserhöhe kann daher ungefähr in den Octanten nach den Syzygien, und die kleinste in den Octanten nach den Quadraturen eintreten; so weit nicht die durch diese Kräfte eingeflösste auf- oder absteigende Bewegung entweder vermöge der dem Wasser innewohnenden Kraft etwas länger anhält, hält, oder durch die Hindernisse des Grabens etwas schneller aufgehoben wird.
Zusatz 21. Auf dieselbe Weise, wie die am Aequator überwiegende Materie bewirkt, dass die Knoten rückwärts schreiten, also durch Vermehrung derselben dieses Rückwärtsschreiten stärker, durch Verminderung schwächer und durch Fortnahme ganz aufgehoben wird; wird ferner, wenn man mehr Materie fortnimmt, als überwiegend ist, d. h. wenn die Kugel am Aequator entweder vertieft oder lockerer als au den Polen gemacht wird, ein Vorwärtsschreiten der Knoten erfolgen.
Zusatz 22. Man kann umgekehrt aus der Bewegung der Knoten die Gestalt der Kugel erkennen. Behält diese nämlich constant dieselben Pole und ist jene Bewegung rückgängig, so befindet sich in der Gegend des Aequators überwiegende Materie; ist die Bewegung rechtläufig, so mangelt es daran. Man denke sich eine gleichförmige und vollkommen abgerundete Kugel, welche zuerst im freien Raume ruhet. Hierauf werde sie durch einen schief gegen ihre Oberfläche gerichteten Stoss fortgetrieben, wodurch eine theils kreisförmige, theils geradlinige Bewegung entsteht. Da diese Kugel sich gegen alle durch ihr Centrum gehenden Axen gleichgültig verhält, und sich gegen keine Axe oder Lage der Axe mehr hinneigt; so wird sie offenbar die Axe und deren Neigung von freien Stücken niemals ändern. Nun werde die Kugel, an derselben Stelle ihrer Oberfläche wie vorhin, durch einen neuen schräg gerichteten Stoss angetrieben. Da ein früherer oder späterer Stoss in der Wirkung nichts verändert, so werden offenbar diese beiden nach einander angebrachten Stösse dieselbe Bewegung hervorbringen, als wenn sie zugleich ausgeübt wären, d. h. als ob die Kugel durch eine einfache, aus beiden (nach Gesetze, Zusatz 2.) zusammengesetzte Kraft angetrieben worden wäre. Sie bringen also eine einfache Bewegung um die der Neigung nach gegebene Axe hervor. Dasselbe Verhältniss findet statt, wenn der zweite Stoss an irgend einem anderen Orte auf dem Aequator der ersten Bewegung ausgeübt würde; ebenso, wenn der erste Stoss an irgend einem Orte desjenigen Aequators ausgeübt würde, dessen Bewegung durch den zweiten Stoss allein hervorgebracht wird. Werden beide Stösse an beliebigen Orten ausgeübt, so erzeugen sie dieselbe kreisförmige Bewegung, als wenn sie zugleich im Durchschnittspunkte der Aequatoren derjenigen Bewegungen angebracht würden, welche jeder für sich erzeugt hätte.
Eine homogene und vollkommene Kugel behält mehrere verschiedene Bewegungen nicht bei, sondern setzt alle ihr beigebrachte zusammen und reducirt sie auf Eine. Sie beschreibt, so weit es an ihr ist, ihre Bahn stets mit einfacher und gleichförmiger Bewegung um eine einzige Axe, deren Neigung unveränderlich und gegeben ist. Die Centripetalkraft kann weder die Neigung der Axe, noch die Rotationsgeschwindigkeit verändern.
Denkt man sich die Kugel durch eine beliebige Ebene, welche durch ihren Mittelpunkt und den Richtungspunkt der Kraft geht, in zwei Halbkugeln getheilt, so wird jene Kraft immer gleich stark auf die beiden letztern wirken und daher die Kugel, was die Rotationsbewegung betrifft, nach keiner Seite hinneigend machen. Man füge aber irgend wo, zwischen Pol und Aequator, neue Materie hinzu, welche in Form eines Berges aufgehäuft ist; alsdann wird diese, durch das beständige Bestreben sich vom Mittelpunkte zu entfernen, die Bewegung der Kugel stören und bewirken, dass die Pole sich auf der Oberfläche bewegen, und wird jeder derselben um sich selbst und den entgegengesetzten Pol Kreise beschreiben. Dieses unregelmässige Herumwandern wird nicht anders aufgehoben werden, als wenn man jenen Berg in einen von beiden Polen versetzt, in welchem Falle (nach Zusatz 21.) die Knoten des Aequators vorwärts schreiten, oder in den Aequator, wodurch (nach Zusatz 20.) die Knoten zum Rückwärtsschreiten gebracht werden. Eine dritte Art der Verbesserung besteht in der Hinzufügung neuer Materie an der entgegengesetzten Seite der Axe, wodurch der Berg in Bezug auf Bewegung aufgehoben wird. In diesem Falle werden die Knoten entweder vor- oder rückwärts schreiten, je nachdem der Berg und diese neue Materie dem Pole oder dem Aequator näher liegen.
§. 108. Lehrsatz. Unter der Voraussetzung derselben Anziehungsgesetze wird der äussere Körper Q an dem gemeinschaftlichen Schwerpunkt O der Körper S und P genauer als um den grössten und mittelsten Körper S allein, der Zeit proportionale Flächen und eine Ellipse zum Brennpunkt O beschreiben.
Die Anziehungen, welche von S und P gegen Q ausgeübt werden, (Figur zu §. 107., Zus. 11.) setzen nämlich eine Anziehung zusammen, welche mehr nach dem gemeinschaftlichen Brennpunkte O der Körper S und P, als nach dem grössten Körper S gerichtet, und welche näher dem Quadrat des Abstandes QO, als dem des Abstandes QS umgekehrt proportional ist. Dies wird Jedem, welcher die Sache erwägt, leicht einleuchten.
§. 109. Lehrsatz. Finden wieder dieselben Anziehungsgesetze statt, so wird der äussere Körper Q um den gemeinschaftlichen Schwerpunkt O der beiden innern, genauer der Zeit proportionale Flächen und eine Ellipse zum Brennpunkt O beschreiben; wenn der innerste und grösste Körper S gleich den übrigen durch diese Anziehungen angetrieben wird, als wenn er, entweder gar nicht angezogen, ruhete, oder viel stärker oder schwächer angezogen, mehr oder weniger angetrieben würde.
Der Beweis wird fast auf dieselbe Weise, wie der zu §. 107. geführt, er ist jedoch weitläufiger, weshalb ich ihn hier übergehe. Es wird genügen, die Sache folgendermaassen abzuschätzen.
Aus dem Beweise des vorhergehenden §. geht hervor, dass das Centrum, nach welchem der Körper Q (Fig. 104.) durch die Verbindung der Kräfte angetrieben wird, dem gemeinschaftlichen Schwerpunkte jener beiden sehr nahe liegt. Fiele dieses Centrum mit dem gemeinschaftlichen Schwerpunkte zusammen und befände sich der gemeinschaftliche Schwerpunkt aller drei Körper in Ruhe: so würde der Körper Q einerseits, und der gemeinschaftliche Schwerpunkt der beiden andern Körper andererseits um den gemeinschaftlichen Schwerpunkt aller drei Körper genaue Ellipsen beschreiben. Dies ergiebt sich aus §. 99., Zusatz 2., in Verbindung mit §§. 105. und 106. Jene elliptische Bewegung wird ein wenig gestört durch den Abstand des Schwerpunktes der zwei Körper von demjenigen Punkte, nach welchem der dritte Körper Q hingezogen wird. Lässt man ausserdem für den gemeinschaftlichen Schwerpunkt aller drei Körper eine Bewegung zu, so wird die Störung grösser. Diese wird aber am kleinsten, im Falle der gemeinschaftliche Schwerpunkt aller drei Körper ruht, d. h. wenn der innerste und grösste Körper S nach demselben Gesetze, wie die übrigen angezogen wird. Grösser wird die Störung immer, wenn jener gemeinschaftliche Schwerpunkt der drei Körper, durch Verminderung der Bewegung des Körpers, anfängt sich zu bewegen und hierauf mehr und mehr angetrieben wird.
Zusatz. Bewegen sich mehrere kleine Körper um einen grössten, so kann man aus dem Obigen schliessen, dass die beschriebenen Bahnen sich Ellipsen mehr nähern und die Beschreibung der Flächen gleichmässiger erfolgt, wenn alle Körper mit beschleunigenden Kräften, welche sich direct wie die absoluten Kräfte und indirect wie die Quadrate der Abstände verhalten, einander wechselweise anziehen und antreiben, und wenn ferner der Brennpunkt jeder Bahn sich im gemeinschaftlichen Schwerpunkte aller innern Bahnen befindet (nämlich der Brennpunkt der ersten und innersten Bahn im Schwerpunkte des grössten und innersten Körpers, der Brennpunkt der zweiten Bahn im gemeinschaftlichen Schwerpunkte der zwei innersten, der der dritten im gemeinschaftlichen Schwerpunkte der drei innersten u. s. w. f.), als wenn der innerste Körper sich in Ruhe befände und als gemeinschaftlicher Brennpunkt aller Bahnen angenommen würde.
§. 110. Lehrsatz. Wenn in einem Systeme von Körpern A, B, C, D etc. einer von ihnen A alle übrigen mit beschleunigenden Kräften anzieht, welche sich umgekehrt wie die Quadrate ihrer Abstände vom anziehenden Körper verhalten; wenn ferner dasselbe bei dem Körper B in Bezug auf die andern A, C, D u. s. w. der Fall ist: so verhalten sich die absoluten Kräfte der Körper A und B zu einander wie die Körper A und B selbst
Die beschleunigenden Anziehungen aller Körper B, C, D etc. gegen A in gleichen Abständen sind nämlich nach der Voraussetzung einander gleich; dasselbe ist der Fall mit den Anziehungen aller Körper gegen B. Es verhält sich aber die absolute anziehende Kraft des Körpers A zur absoluten anziehenden Kraft des Körpers B, wie die beschleunigende Anziehung aller Körper gegen A zur beschleunigenden Anziehung aller Körper gegen B; beides für gleiche Abstände verstanden. Dasselbe Verhältniss findet zwischen der beschleunigenden Anziehung des Körpers B gegen A, und der von A gegen B statt. Es verhält sich aber die beschleunigende Anziehung des Körpers B gegen A zu der von A gegen B, wie die Masse von A zur Masse von B, weil die bewegenden Kräfte, welche (nach Erklärung 2., 7. und 8.) aus den, auf die angezogenen Körper bezogenen, beschleunigenden Kräfte entstehen (nach Gesetz 3.) einander gleich sind. Es verhält sich daher die absolute anziehende Kraft des Körpers A zu der des Körpers B, wie die Masse von A zur Masse von B. W. z. b. w.
Zusatz 1. Wenn daher jeder einzelne der Körper A, B, C, D etc. alle übrigen mit beschleunigenden Kräften, welche sich umgekehrt wie die Quadrate der Abstände vom anziehenden Körper verhalten, anzieht; so verhalten sich die absoluten Kräfte jener Körper wie diese selbst.
Zusatz 1. Zieht jeder einzelne Körper des Systems alle übrigen mit beschleunigenden Kräften an, welche sich indirect oder direct wie irgend eine Potenz der Abstände vom anziehenden Körper verhalten, und welche Kräfte nach irgend einem gemeinsamen Gesetz aus den Abständen von einem der anziehenden Körper bestimmt werden; so verhalten sich die absoluten Kräfte jener Körper, wie die letzteren.
Zusatz 3. Wenn in einem System von Körpern, deren Kräfte im doppelten Verhältniss der Entfernungen abnehmen, die kleineren sich um den grössten in möglichst genauen Ellipsen bewegen, deren gemeinschaftlicher Brennpunkt sich im Mittelpunkte des grössten Körpers befindet; wenn sie ferner mit den, nach jenem grössten Körper gezogenen Radien vectoren Flächen beschreiben, welche den Zeiten sehr nahe proportional sind: so verhalten sich die absoluten Kräfte jener Körper zu einander entweder genau, oder sehr nahe wie die Körper, und umgekehrt. Dies folgt aus §. 109., Zusatz, in Verbindung mit Zusatz 1. dieses §.
§. 111. Anmerkung. Durch diese Sätze werden wir auf die Analogie zwischen den Centripetalkräften und den Centralkörpern, nach denen jene gerichtet zu sein pflegen, geführt. Mit der Vernunft stimmt es überein, dass Kräfte, welche nach Körpern gerichtet sind, von der Natur und Grösse der letztern abhängig sind, wie beim Magnetismus. So oft Fälle dieser Art eintreten, wird man die Anziehungen der Körper abschätzen müssen, indem man ihren einzelnen Theilen eigenthümliche Kräfte beilegt und die Summe der letztern bestimmt. Die Benennung Anziehung nehme ich hier allgemein für jeden Versuch der Körper, sich einander zu nähern, an; mag jener Versuch aus der Wirksamkeit der entweder zu einander hinstrebenden, oder mittelst ausgeschickter Geister sich gegenseitig antreibender Körper entstehen; oder mag er aus der Wirkung eines Aethers, der Luft oder irgend eines Mittels hervorgehen, welches letztere körperlich oder unkörperlich sei, und die in ihm schwimmenden Körper auf irgend eine Weise gegen einander antreibt. In demselben allgemeinen Sinne nehme ich die Benennung Stoss an, indem ich in diesem Werke nicht die physischen Gattungen und Eigenschaften der Kräfte, sondern ihre mathematischen Grössen und Verhältnisse erwäge, wie ich solches in den Erklärungen auseinandergesetzt habe.
In der Mathematik hat man die Grösse der Kräfte und diejenigen Verhältnisse derselben zu erforschen, welche aus gewissen vorausgesetzten Bedingungen hervorgehen. Steigt man hierauf zur Physik herab, so hat man diese Verhältnisse mit den Erscheinungen zu vergleichen, um zu erfahren, welche Bedingungen der Kräfte den einzelnen Arten anziehbarer Kräfte zukommen. Hierauf kann man endlich über die Gattungen der Kräfte, und über ihre physischen Ursachen und Verhältnisse streiten.
Wir wollen daher nun sehen, durch welche Kräfte sphärische Körper, welche aus nach oben beschriebener Weise anziehbaren Theilchen bestehen, wechselseitig auf einander wirken müssen und was für Bewegungen daraus folgen.
* ↑ [586] Fig. 239. No. 48. S. 178. Die in diesem Zusatze ausgesprochenen Behauptungen in Betreff der Beschleunigung und Verzögerung der Bewegung des Körpers P durch die Kraft NM werden durch die nebenstehende Figur erläutert. Die Tangenten deuten die Richtung der Bewegung im Sinne [587] des Pfeils an, die Kraft NM ist aber so in Seitenkräfte zerlegt, dass die eine der Richtung nach mit der Tangente zusammenfällt. Rechts von C und D wirkt NM im entgegengesetzten Sinne, weil hier QP > QS ist.
* ↑ [587] No. 49. S. 179. Ist C die Centripetalkraft, R der Radius, T die Umlaufszeit, a eine Constante, so hat man C = a · $\scriptstyle {\frac {R}{T^{2}}}$, also T = $\scriptstyle {\frac {\sqrt {aR}}{\sqrt {C}}}$. Es nimmt daher T in demselben Verhältniss ab und zu, in welchem $\scriptstyle {\sqrt {C}}$ zu- und abnimmt.
* ↑ [587] No. 50. S. 183. Ist Q sehr entfernt von S, so werden die Linien LM und QM in demselben Verhältniss wachsen, wie PS : QS grösser Fig. 240. wird. In diesem Falle wird die Kraft QN sehr klein, und man kann NM = QM — QN statt QM setzen. Nach der ursprünglichen Voraussetzung sind ferner diese Kräfte proportional $\scriptstyle {\frac {1}{QS^{2}}}$. Wenn daher QK und PS constant sind, wird dieses Verhältniss gleich $\scriptstyle {\frac {1}{QS^{3}}}$.
* ↑ [587] No. 51. S. 183. Ist d der constante wirkliche Durchmesser des Körpers Q, ϱ der von S aus gesehene scheinbare Durchmesser desselben; so hat man ϱ = $\scriptstyle {\frac {d}{QS}}$ und daher ϱ³ proportional $\scriptstyle {\frac {1}{QS^{3}}}$.

## Bemerkungen und Erläuterungen [des Übersetzers]

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