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# Schwere, Elektricität und Magnetismus:141

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
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| (12) | $\left({\frac {\partial X}{\partial x}}\right)_{+0}-\left({\frac {\partial X}{\partial x}}\right)_{-0}=-4\,\pi \,\rho ,$ |
unter der Voraussetzung, dass $\sigma '=0\,$, d. h. dass ${\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\gamma ^{2}}}<1$ ist.
Damit ist bewiesen, dass $X\,$ auch der Bedingung (2) Genüge leistet.
Endlich muss $X=0\,$ sein, wenn der Punkt $(x,\,y,\,z)$ in unendliche Entfernung rückt. Dass dies wirklich eintrifft, ist schon in §. 26 bewiesen.
Die Function $X\,$ genügt also in der That den Bedingungen (1), (2), (3).
Wir wollen die Potentialfunction $V\,$ einer kugelförmigen Masse bestimmen, wenn die Dichtigkeit $\rho \,$ nicht constant ist und der Werth von $V\,$ in der Oberfläche als gegeben vorausgesetzt wird. Der Radius der anziehenden Kugel sei $=a\,$. In ihren Mittelpunkt legen wir den Anfangspunkt des rechtwinkligen Coordinatensystems.
Zunächst kömmt es darauf an, von den rechtwinkligen Coordinaten $x,\,y,\,z$ zu Kugel-Coordinaten $r,\,\theta ,\,\varphi$ als unabhängigen Variabeln überzugehen.
Wir legen den Mittelpunkt der Kugel-Coordinaten in den Anfangspunkt des rechtwinkligen Systems. Auf der Kugel vom Radius $1\,$, welche diesen Punkt zum Centrum hat, wählen wir den Pol an der Stelle, welche von der Axe der positiven $z\,$ getroffen wird. Als Anfangsmeridian soll der vom Pol zum Gegenpol verlaufende grösste Halbkreis genommen werden, den die Axe der positiven $x\,$ durchschneidet. Der Punkt, dessen rechtwinklige Coordinaten $x,\,y,\,z$ sind, hat den Radiusvector $r\,$. Dieser schneidet die Kugel vom Radius $1\,$ in einem Punkte, dessen Poldistanz mit $\theta \,$ und dessen geographische Länge mit $\varphi \,$ bezeichnet werden möge. Der Zusammenhang von $r,\,\theta ,\,\varphi$ mit $x,\,y,\,z$ wird durch die Gleichungen ausgesprochen:
| (1) | $x=r\sin \theta \cos \varphi ,\,$ $y=r\sin \theta \sin \varphi ,\,$ $z=r\cos \theta .\,$ |
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:142

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Auf Grund dieser Gleichungen könnte man den Ausdruck
* ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}$
$r\,$
$r+dr\,$
$z\,$
$\theta \,$
$\theta +d\theta \,$
$\varphi \,$
$\varphi +d\varphi \,$
Der Satz von Gauss lautet:
| (2) | $\int N\,d\sigma =4\,\pi \,M,$ |
wenn die Integration über die Oberfläche des Raumelementes erstreckt wird. $N\,$ ist die Componente der Anziehung in der Oberfläche, genommen in der Richtung der nach innen gezogenen Normale, und $M\,$ die Masse im Innern des Raumelementes.
Das Integral zerlegt sich in sechs Bestandteile, deren jeder von einer Seitenfläche herrührt. Wir haben zunächst zwei Seitenflächen, rechtwinklig gegen den Radius vector $r\,$. Der Flächeninhalt derselben ist $r^{2}\,\sin \theta \,d\theta \,d\varphi \,$ und resp. $(r+dr)^{2}\,\sin \theta \,d\theta \,d\varphi$. Für die erste ist $N={\frac {\partial V}{\partial r}}\,$, für die andere $N=-\left({\frac {\partial V}{\partial r}}\right)_{r+dr}$. Folglich liefern diese beiden Seitenflächen zu dem Integral den Beitrag
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:144

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Dies ist die partielle Differentialgleichung, welche für Kugel-Coordinaten an die Stelle der Gleichung (4) des §. 13 tritt.
Die Gleichung von Laplace lautet demnach für dieses Coordinatensystem:
| (4) | ${\frac {\partial \left(r^{2}\,{\frac {\partial V}{\partial r}}\right)}{\partial r}}+{\frac {1}{\sin \theta }}\,{\frac {\partial \left(\sin \theta \,{\frac {\partial V}{\partial \theta }}\right)}{\partial \theta }}+{\frac {1}{\sin \theta ^{2}}}\,{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \varphi ^{2}}}=0.$ |
Soll zunächst die Function $V\,$ für irgend einen Punkt $(r',\,\theta ',\,\varphi ')$ im Innern der Kugel vom Radius $a\,$ hergestellt werden $(r'<a)\,$, so handelt es sich nach Green's Methode darum, eine Function $U\,$ ausfindig zu machen, die den folgenden Bedingungen Genüge leistet:
| (1) | ${\frac {\partial \left(r^{2}\,{\frac {\partial U}{\partial r}}\right)}{\partial r}}+{\frac {1}{\sin \theta }}\,{\frac {\partial \left(\sin \theta \,{\frac {\partial U}{\partial \theta }}\right)}{\partial \theta }}+{\frac {1}{\sin \theta ^{2}}}\,{\frac {\partial ^{2}U}{\partial \varphi ^{2}}}=0$ |
im Innern der Kugel vom Radius $a\,(r<a);$
| (2) | $U=0\,$ in der Oberfläche $a\,(r=a);$ |
| (3) | $U=\infty$ im Punkte $(r',\,\theta ',\,\varphi '),$ |
wie der reciproke Werth der Entfernung von diesem Punkte.
Die partielle Differentialgleichung (1) lässt sich durch eine andere ersetzen, wenn man eine Function $u\,$ einführt durch die Gleichung:
| (4) | $U=r^{-{\frac {1}{2}}}u$ |
und $\lg r\,$ als Variable nimmt statt $r\,$. Es ist nemlich
* $r^{2}\,{\frac {\partial U}{\partial r}}=r\,{\frac {\partial U}{\partial \lg r}},$
folglich
* ${\frac {\partial \left(r^{2}\,{\frac {\partial U}{\partial r}}\right)}{\partial r}}=\,{\frac {\partial ^{2}U}{\partial \lg r^{2}}}+{\frac {\partial U}{\partial \lg r}}.$
Aus der Gleichung (4) findet sich durch Differentiation
* ${\frac {\partial U}{\partial \lg r}}=r^{-{\frac {1}{2}}}\,{\frac {\partial u}{\partial \lg r}}-{\frac {1}{2}}\,r^{-{\frac {1}{2}}}u,$
* ${\frac {\partial ^{2}U}{\partial \lg r^{2}}}=r^{-{\frac {1}{2}}}\,{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \lg r^{2}}}-r^{-{\frac {1}{2}}}\,{\frac {\partial u}{\partial \lg r}}+{\frac {1}{4}}\,r^{-{\frac {1}{2}}}\,u.$
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:143

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* $\left\lbrace r^{2}{\frac {\partial V}{\partial r}}-\left(r^{2}{\frac {\partial V}{\partial r}}\right)_{r+dr}\right\rbrace \sin \theta \,d\theta \,d\varphi$
* $=-{\frac {\partial \left(r^{2}{\frac {\partial V}{\partial r}}\right)}{\partial r}}\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\varphi .$
Es kommen ferner in Betracht zwei Seitenflächen, rechtwinklig gegen den Meridian. Ihr Flächeninhalt ist $r\,\sin \theta \,dr\,d\varphi$ und resp. $r\,\sin(\theta +d\theta )\,dr\,d\varphi$. Für die eine ist $N={\frac {\partial V}{r\,\partial \theta }}$, für die andere $N=-\left({\frac {\partial V}{r\,\partial \theta }}\right)_{\theta +d\theta }$. Folglich lautet der Beitrag zu dem Integral
* $\left\lbrace {\frac {\partial V}{r\,\partial \theta }}\sin \theta -\left({\frac {\partial V}{r\,\partial \theta }}\sin \theta \right)_{\theta +d\theta }\right\rbrace r\,dr\,d\varphi$
* $=-{\frac {\partial \left({\frac {\partial V}{\partial \theta }}\sin \theta \right)}{\partial \theta }}dr\,d\theta \,d\varphi .$
Endlich handelt es sich noch um zwei Seitenflächen, rechtwinklig gegen den Parallelkreis. Jede von ihnen hat den Flächeninhalt $r\,dr\,d\theta$. Für die eine ist $N={\frac {\partial V}{r\,\sin \theta \,d\varphi }}$, für die andere $N=\left({\frac {\partial V}{r\,\sin \theta \,d\varphi }}\right)_{\varphi +d\varphi }$. Wir erhalten also zu dem Integral den Beitrag
* $\left\lbrace {\frac {\partial V}{r\,\sin \theta \,\partial \varphi }}-\left({\frac {\partial V}{r\,\sin \theta \,\partial \varphi }}\right)_{\varphi +d\varphi }\right\rbrace r\,dr\,d\theta$
* $=-{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \varphi ^{2}}}dr\,d\theta \,d\varphi .$
Fassen wir diese Beiträge zusammen, so wird aus der linken Seite der Gleichung (2):
* $-dr\,d\theta \,d\varphi \left\lbrace {\frac {\partial \left(r^{2}{\frac {\partial V}{\partial r}}\right)}{\partial r}}\sin \theta +{\frac {\partial \left(\sin \theta \,{\frac {\partial V}{\partial \theta }}\right)}{\partial \theta }}+{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \varphi ^{2}}}\right\rbrace .$
Auf der rechten Seite ist
* $M=\rho \,r^{2}\,\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\varphi .$
Stellt man hiernach die Gleichung (2) auf und dividirt auf beiden Seiten durch $-r^{2}\,\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\varphi$, so ergibt sich:
| (3) | ${\frac {1}{r^{2}}}\left\lbrace {\frac {\partial \left(r^{2}{\frac {\partial V}{\partial r}}\right)}{\partial r}}+{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial \left(\sin \theta \,{\frac {\partial V}{\partial \theta }}\right)}{\partial \theta }}+{\frac {1}{\sin \theta ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \varphi ^{2}}}\right\rbrace =-4\,\pi \,\rho .$ |
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:148

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gezählt werden, schliessen den sphärischen Winkel $\varphi -\varphi '\!$ ein. Folglich haben wir
| (17) | $\cos \gamma =\cos \theta \cos \theta '+\sin \theta \sin \theta '\cos(\varphi -\varphi ').$ |
Wenn die Wahl des Coordinatensystems freisteht, so dient es zur Vereinfachung, die $z\!$Axe des rechtwinkligen Systems (und folglich auch die Polaraxe des Kugelcoordinaten-Systems) durch den Unstetigkeitspunkt zu legen. Dann ist $x'=0,\,y'=0,\,z'=r',\!$ ferner $\theta '=0,\,\varphi '\!$ beliebig und folglich $\gamma =\theta \!$. Die Gleichung (15) geht dadurch über in
| (18) | ${\begin{aligned}U=&{\frac {1}{\sqrt {r^{2}+r'^{2}-2\;r\;r'\cos \theta }}}\\&-{\frac {a}{r'}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {r^{2}+\left({\frac {a^{2}}{r'}}\right)^{2}-2\;r\left({\frac {a^{2}}{r'}}\right)\cos \theta }}}.\\\end{aligned}}$ |
Aus der Gleichung (15) kann man noch die mechanische Bedeutung der Function $U\!$ herauslesen. Es ist $U\!$ die Potentialfunction für den Fall, dass im Punkte $(r',\,\theta ',\,\varphi ')$ die Masse $1\!$, in seinem Bildpunkte $({\frac {a^{2}}{r'}},\,\theta ',\,\varphi ')$ die Masse $-{\frac {a}{r'}}$ concentrirt ist.
Uebrigens kann auch der Punkt $(r',\,\theta ',\,\varphi ')$ ausserhalb der Kugel liegen. Dann ist sein Bildpunkt $({\frac {a^{2}}{r'}},\,\theta ',\,\varphi ')$ ein innerer Punkt. Der Ausdruck für $U\!$ wird derselbe wie in Gleichung (15).
Versteht man unter $(r',\,\theta ',\,\varphi ')$ einen Punkt ausserhalb der Kugel, so ist $U\!$ die Hülfsfunction, welche dazu dient, die Function $V\!$ für den äusseren Raum herzustellen. Denn in der That genügt diese Function $U\!$ im ganzen äusseren Raume der partiellen Differentialgleichung (1). Sie hat den Werth Null in der Begrenzung des äusseren Raumes, d. h. in der Oberfläche der Kugel vom Radius $a\!$ und in einer Kugelfläche von unendlich grossem Radius. Sie ist im ganzen äusseren Räume endlich und stetig variabel, ausser im Punkte $(r',\,\theta ',\,\varphi ')$, wo sie in vorgeschriebener Weise unendlich wird.
Wir wollen speciell voraussetzen, dass im Innern der Kugel und in dem ganzen äusseren Räume keine anziehende Masse vor-
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:139

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$X\,$
um $\sigma \,$ herum bis $\infty \,$. Das unbestimmte Integral lässt sich ausrechnen, nemlich
* $-\int (m\,D)^{-{\frac {3}{2}}}d(m\,D)={\frac {2}{\sqrt {m\,D}}}.$
Diese Function ist auf dem ganzen Integrationswege einwerthig, endlich und stetig variabel. Man findet also das bestimmte Integral gleich der Differenz der Werthe des unbestimmten Integrals an den Grenzen. Diese Werthe sind aber an den Grenzen $(s=\infty )\,$ beide gleich Null. Folglich
| (8) | ${\frac {\partial ^{2}X}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}X}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}X}{\partial z^{2}}}=0.$ |
Dies ist die zu beweisende Gleichung (1).
Um die zweite Eigenschaft der Function $X\,$ nachzuweisen, stellen wir ${\frac {\partial X}{\partial x}}$ her nemlich
| (9) | ${\frac {\partial X}{\partial x}}=-x\,\rho \int {\frac {ds}{s{\sqrt {t-x^{2}}}{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)}}}}$ |
Soll hier $x=0\,$ genommen werden, so muss der Integrationsweg von $\infty \,$ nach $\infty \,$ durch eine geschlossene Linie $L\,$ führen, welche den Punkt $\sigma '\,$ mit umschliesst. Dabei ist zu unterscheiden, ob $\sigma '>0\,$ oder $\sigma '=0\,$ ist.
Es sei erstens $\sigma '>0\,$. Dann können und dürfen wir die Linie $L\,$ so legen, dass der Punkt $s=0\,$ ausserhalb des umschlossenen Flächenstücks liegt. Das Integral auf der rechten Seite von (9) kann ersetzt werden durch den doppelten Werth des Integrals zwischen den reellen Grenzen $\sigma '\,$ und $\infty \,$. Nun wird zwar für $s=\sigma '\,$ die Function unter dem Integralzeichen unendlich wie $(t-x^{2})^{-{\frac {1}{2}}}\,$, aber das unbestimmte Integral wird an dieser Stelle Null wie $(t-x^{2})^{\frac {1}{2}}\,$, und daher hat das bestimmte Integral einen angebbaren endlichen Werth. Folglich ist für $x=0\,$ auch ${\frac {\partial X}{\partial x}}=0$, gleichgültig, ob $x\,$ von der positiven oder von der negativen Seite in Null übergeht. Wir haben also (für $x=0\,$)
| (10) | $\left({\frac {\partial X}{\partial x}}\right)_{+0}-\left({\frac {\partial X}{\partial x}}\right)_{-0}=0,$ |
wenn $\sigma '>0\,$, d. h. wenn ${\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\gamma ^{2}}}>1$. In diesem Falle liegt der
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:140

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Punkt $(x,\,y,\,z)$ zwar in der $yz\,$Ebene, aber nicht an einer mit Masse erfüllten Stelle.
Es sei zweitens $\sigma '=0\,$. Dann umschliesst die Linie $L\,$ den Punkt $s=0\,$. In ihm wird die Function unter dem Integralzeichen unendlich. Wir zerlegen jetzt das Integral (9) in zwei Bestandtheile. Für den ersten Bestandtheil ist der Integrationsweg zusammengesetzt aus der Linie $L_{1}\,$ (Fig. 21) von $\infty \,$ bis $b\,$, der Linie $L_{4}\,$ von $b\,$ bis $c\,$ und der Linie $L_{3}\,$ von $c\,$ bis $\infty \,$. Für den zweiten Bestandtheil wird die Integration erstreckt von $b\,$ bis $c\,$ längs der Linie $L_{2}\,$ und von $c\,$ bis $b\,$ längs der Linie $L_{4}\,$. Der erste Bestandtheil hat einen endlichen Werth. Multiplicirt man diesen mit $x\,$, so wird für $x=0\,$ das Product zu Null, gleichgültig, ob $x\,$ von der negativen oder von der positiven Seite in Null übergeführt ist. Es bleibt also nur der zweite Bestandtheil des Integrals (9) zu berücksichtigen. Für diesen kann der Integrationsweg ersetzt werden durch einen Kreis, der den Punkt $s=\sigma '=0\,$ zum Mittelpunkt hat. Setzen wir dann zur Abkürzung
* ${\frac {1}{\sqrt {(t-x^{2})\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)}}}=f(s),$
so ist das Integral, um das es sich handelt,
* $=i\int \limits _{0}^{2\pi }f(s)\,d\varphi .$
Der Radius des Kreises darf unendlich klein genommen werden. Das Integral bat also den Werth
* $2\,\pi \,i\,f(0),$
d. h. mit Rücksicht auf den Werth von $f(0)\,$:
* ${\frac {2\,\pi }{\sqrt {x^{2}}}}.$
Folglich erhält man aus der Gleichung (9)
| (11) | $\left({\frac {\partial X}{\partial x}}\right)_{x=0}=-{\frac {2\,\pi \,\rho \,x}{\sqrt {x^{2}}}}=-2\,\pi \,\rho \,\varepsilon ,$ |
wobei $\varepsilon =+1\,$ oder $-1\,$, je nachdem $x\,$ von der positiven oder von der negativen Seite in Null übergeht. Demnach findet sich (für $x=0\,$):
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:146

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Für $r=a\,$ zeigt sich, dass die Derivirte in der Oberfläche denselben Werth annimmt, der Punkt mag von aussen oder von innen in die Oberfläche hineinrücken.
Durch die Bestimmung, die wir über die Fortsetzung der Function $u\,$ getroffen haben, wird auch $U\,$ über die Kugeloberfläche vom Radius $a\,$ nach aussen fortgesetzt. Und zwar genügt bei dieser Art der Fortsetzung die Function $U\,$ im ganzen unendlichen Raume der partiellen Differentialgleichung (1). Sie hat in der Oberfläche $(r=a)\,$ an jeder Stelle den Werth Null. Es ist also nur noch darauf Acht zu geben, dass $U\,$ überall endlich und stetig variabel sein soll, ausser in dem Punkte $(r',\,\theta ',\,\varphi ')$ und in seinem Bildpunkte $({\frac {a^{2}}{r'}},\,\theta ',\,\varphi ')$.
Bezeichnen wir mit $U\,$ und $U_{1}\,$ die Werthe der Function $U\,$ für zwei gegenseitige Bildpunkte, so findet sich aus (9) und (4):
* $r_{1}^{\frac {1}{2}}\,U_{1}=-r^{\frac {1}{2}}\,U=-a\,r_{1}^{-{\frac {1}{2}}}\,U,$
also
| (12) | $U_{1}=-{\frac {a}{r_{1}}}U.$ |
Diese Relation lässt sich zur Herstellung des Ausdruckes für die Function $U\,$ verwerthen, wenn man noch ihr Verhalten in der Nähe des Unstetigkeitspunktes im Innern und seines äusseren Bildpunktes beachtet. Es seien $r',\,\theta ',\,\varphi '$ die Coordinaten des inneren Unstetigkeitspunktes und $r_{1}',\,\theta ',\,\varphi '$ die Coordinaten seines äusseren Bildpunktes, so dass $r'\,r_{1}'=a^{2}$. Ferner seien $r'+\varepsilon ,\,\theta ',\,\varphi '$ und resp. $r_{1}'-\varepsilon _{1},\,\theta ',\,\varphi '$ die Coordinaten von zwei gegenseitigen Bildpunkten, welche mit den Unstetigkeitspunkten auf demselben Radius vector liegen. Nehmen wir $\varepsilon \,$ unendlich klein, so hat die Function im Punkte $(r'+\varepsilon ,\,\theta ',\,\varphi )$ den Werth
| (13) | $U={\frac {1}{\varepsilon }}+f.\,c.,$ |
wenn mit $f.\,c.$ eine Function bezeichnet wird, welche für $\varepsilon =0$ endlich und stetig bleibt. In dem äusseren Bildpunkte $(r_{1}'+\varepsilon _{1},\,\theta ',\,\varphi ')$ erhält man nach Gleichung (12)
* $U_{1}=-{\frac {a}{r_{1}'-\varepsilon _{1}}}\cdot {\frac {1}{\varepsilon }}+\varphi .\,c.,$
wenn $\varphi .\,c.$ eine Function bezeichnet, welche für $\varepsilon =0\,$ endlich und stetig bleibt. Nun ist aber
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:147

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* $(r'_{1}-\varepsilon _{1})(r'+\varepsilon )=a^{2},$
folglich
* $(r'_{1}-\varepsilon _{1})\varepsilon =a^{2}-r'(r_{1}'-\varepsilon _{1})=r'\varepsilon _{1}.$
Demnach kann der Ausdruck für $U_{1}\!$ auch so geschrieben werden
| (14) | $U_{1}=-{\frac {a}{r'}}\cdot {\frac {1}{\varepsilon _{1}}}+\varphi .\;c.$ |
Jetzt ist es leicht, für eine beliebige Lage des Punktes $(r,\,\theta ,\,\varphi )$ einen Ausdruck aufzustellen, der in (13) oder (14) übergeht, je nachdem der Punkt $(r,\,\theta ,\,\varphi )$ unendlich nahe an den inneren Unstetigkeitspunkt oder an dessen äusseren Bildpunkt heranrückt. Wir bezeichnen mit $t\!$ und $t_{1}\!$ die Abstände des Punktes $(r,\,\theta ,\,\varphi )$ von dem inneren Unstetigkeitspunkte $(r',\,\theta ',\,\varphi ')$ und resp. von dessen äusserem Bildpunkte $({\frac {a^{2}}{r'}},\,\theta ',\,\varphi ')$. Dann ist
| (15) | $U={\frac {1}{t}}-{\frac {a}{r'}}{\frac {1}{t_{1}}}$ |
Es bleibt noch übrig, die Abstände $t\!$ und $t_{1}\!$ durch die Coordinaten $r,\,\theta ,\,\varphi$ und die Coordinaten des Unstetigkeitspunktes und seines Bildpunktes auszudrücken. Bezeichnen wir mit $\gamma \!$ den Winkel, welchen die Radien $r\!$ und $r'\!$ mit einander einschliessen, so findet man (Fig. 23):
| (16) | $t^{2}=r^{2}+r'^{2}-2\;r\;r'\cos \gamma ,$ $t_{1}^{2}=r^{2}+\left({\frac {a^{2}}{r'}}\right)^{2}-2\;r\left({\frac {a^{2}}{r'}}\right)\cos \gamma .$ |
Um $\cos \gamma \!$ auszudrücken, legen wir um den Mittelpunkt des Kugelcoordinaten-Systems die Kugel vom Radius $1\!$. Auf ihr merken wir ausser dem Pol und dem Anfangsmeridian die Punkte an, welche von den Radien $r\!$ und $r'\!$ getroffen werden (Fig. 24). Die Poldistanzen dieser beiden Punkte sind $\theta \!$ und $\theta '\!$, und ihre sphärische Entfernung ist $\gamma \!$. Die Meridiane, auf welchen $\theta \!$ und $\theta '\!$
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:145

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Führt man dies in die partielle Differentialgleichung (1) ein, so erhält man, nach Wegwerfung des Factors $r^{-{\frac {1}{2}}}$:
| (5) | ${\frac {\partial ^{2}u}{\partial \lg r^{2}}}-{\frac {1}{4}}u+{\frac {1}{\sin \theta }}\,{\frac {\partial \left(\sin \theta {\frac {\partial u}{\partial \theta }}\right)}{\partial \theta }}+{\frac {1}{\sin \theta ^{2}}}\,{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \varphi ^{2}}}=0.$ |
Ist
| (6) | $u=F(\lg r,\,\theta ,\,\varphi )$ |
eine Lösung dieser partiellen Differentialgleichung, so kann man darin $\lg r\,$ ersetzen durch $const.-\lg r\,$ und erhält dadurch eine neue Lösung. Man überzeugt sich davon leicht, wenn man bemerkt, dass in (5) nur $(d\,\lg r)^{2}$ vorkommt. Es ist also auch
| (7) | $u_{1}=c\cdot F(\lg r_{1},\,\theta ,\,\varphi )$ |
eine Lösung, wenn $\lg r+\lg r_{1}=const.\,$ genommen wird.
Gehört nun $r\,$ zu einem Punkte innerhalb der Kugel, so lässt es sich leicht einrichten, dass $r_{1}\,$ einem äusseren Punkte angehört. Man hat nur
| (8) | $\lg r+\lg r_{1}=2\,\lg a,$ d. h. $r\,r_{1}=a^{2}$ |
zu setzen. Zwei solche Punkte, welche auf demselben Radius vector liegen, und deren Abstände vom Mittelpunkte $r\,$ und $r_{1}\,$ der Gleichung (8) Genüge leisten, sollen der eine der Bildpunkt des anderen genannt werden.
Vermöge der Gleichungen (6), (7) und (8) ist es nun leicht, die Function $u\,$ über die Oberfläche der Kugel hinaus so in den äusseren Raum fortzusetzen, dass sie überall der partiellen Differentialgleichung (5) genügt, und dass sie in der Oberfläche der Kugel $(r=a)\,$ an jeder Stelle den Werth Null annimmt.
Man braucht nur die Bestimmung zu treffen, dass die Functionswerthe $u\,$ und $u_{1}\,$ einander entgegengesetzt gleich sein sollen für zwei Punkte $(r,\,\theta ,\,\varphi )$ und $(r_{1},\,\theta ,\,\varphi )$, von denen der eine des anderen Bildpunkt ist. Also
| (9) | $F(\lg r,\,\theta ,\,\varphi )=-F(2\,\lg a-\lg r,\,\theta ,\,\varphi ).$ |
Daraus geht zunächst hervor
| (10) | $F(\lg a,\,\theta ,\,\varphi )=0.$ |
Ferner, wenn man mit $F'\,$ die Derivirte nach $\lg r\,$ bezeichnet:
| (11) | $F'(\lg r,\,\theta ,\,\varphi )=F(\lg {\frac {a^{2}}{r}},\,\theta ,\,\varphi ).$ |