# Die elektrischen Kräfte/Zusammenstellung:§40

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Fig. 11
Der Strom $J_{1}$ einer bei $\alpha$ aufgestellten Galvanischen Batterie geht (wie die beigefügten Pfeile andeuten) von $\alpha$ über $\beta$ und $\gamma$ nach $\epsilon$, und von $\epsilon$ durch einen in der Figur nicht gezeichneten Draht zur Batterie $\alpha$ zurück. Mit Ausnahme des Bahnstückes $\epsilon \gamma$ sind alle Theile der eben genannten Drahtleitung unbeweglich aufgestellt. Das Bahnstück $\epsilon \gamma$ hingegen befindet sich (etwa getrieben durch irgend ein Uhrwerk) in gleichförmiger Rotation um den Punct $\epsilon$, und zwar der Art, dass sein Ende $\gamma$ auf dem kreisförmigen Drahte $\beta \gamma \delta$ dahinschleift.
Bei jenem kreisförmigen Draht $\beta \gamma \delta$ reicht das Ende $\delta$ sehr nahe an seinen Anfang $\beta$, ohne mit ihm in leitender Verbindung zu stehen. Der Mittelpunct dieser zwischen $\delta$ und $\beta$ vorhandenen Lücke ist mit $\mu$ bezeichnet.
$J_{1}$
$\gamma$
$\beta$
$\delta$
$\gamma$
$\delta$
$J_{1}$
$\gamma$
$\beta$
$J_{1}$
Wir stellen uns die Aufgabe, die Summe ${\mathfrak {S}}$ derjenigen elektromotorischen Kräfte zu berechnen, welche der eben beschriebene Inducent $\alpha \beta \gamma \epsilon \alpha$ während einer einmaligen Umlaufsbewegung des Bahnstückes $\epsilon \gamma$ hervorbringt in einem gegebenen unbeweglich aufgestelltem Drahtringe $A$.
Die genannte Summe ${\mathfrak {S}}$ kann zerlegt werden in drei Theile:
| (40.) | ${\mathfrak {S}}={\mathfrak {S}}^{\beta }+{\mathfrak {S}}^{\beta \gamma \delta }+{\mathfrak {S}}^{\delta }.$ |
Denken wir uns nämlich jene Umlaufsbewegung vom Puncte $\mu$ ausgehend und über $\beta \gamma \delta$ nach $\mu$ zurückkehrend; so wird zunächst in dem Augenblick, wo das Bahnstück nach $\beta$ kommt, eine gewisse Summe ${\mathfrak {S}}^{\beta }$ von elektromotorischen Kräften hervorgebracht durch das plötzliche Anschwellen des inducirenden Stromes vom Werthe 0 zum Werthe $J_{1}$; sodann wird, während das Bahnstück von $\beta$ über $\gamma$ nach $\delta$ fortgleitet, eine gewisse Summe ${\mathfrak {S}}^{\beta \gamma \delta }$ elektromotorischer Kräfte hervorgebracht in Folge der Gestaltsveränderung, welche der Inducent bei dieser Bewegung erleidet; endlich wird in dem Augenblick, wo das Bahnstück den Punct $\delta$ überschreitet und nach $\mu$ zurückkehrt, von Neuem eine gewisse Summe ${\mathfrak {S}}^{\delta }$ elektromotorischer Kräfte hervorgebracht in Folge des plötzlichen Herabsinkens des inducirenden Stroms vom Werthe $J_{1}$ auf den Werth 0.
Das elektrodynamische Potential des gegebenen Inducenten $\alpha \beta \gamma \epsilon \alpha$ auf den Ring $A$ mag für den Fall, dass beide Ringe von einem Strom von der Stärke Eins durchflossen gedacht werden, mit $Q$ bezeichnet sein. Dieses $Q$ ändert offenbar während der Drehung des Bahnstückes $\epsilon \gamma$ von Augenblick zu Augenblick seinen Werth. Die speciellen Werthe, welche $Q$ annimmt für diejenigen beiden Augenblicke, wo das Ende jenes Bahnstückes in $\beta$ und in $\delta$ sich befindet, mögen bezeichnet sein mit $Q^{\beta }$ und $Q^{\delta }$.
| $(\alpha .)$ | ${\begin{array}{ll}{\mathfrak {S}}^{\beta \gamma \delta }&=J_{1}\left(Q^{\delta }-Q^{\beta }\right)+J_{1}\cdot \int \limits _{\beta }^{\delta }\left(\Sigma \Sigma \ \left[{\mathsf {D}}s_{0}\Delta s_{1}\Phi \right]\right),\\\\{\mathfrak {S}}^{\beta }&=\left(J_{1}-0\right)Q^{\beta },\\\\{\mathfrak {S}}^{\delta }&=\left(0-J_{1}\right)Q^{\delta },\end{array}}$ |
und hieraus durch Addition:
| $(\beta .)$ | ${\mathfrak {S}}=J_{1}{\mathsf {K}},$ |
wo ${\mathsf {K}}$ das Integral vorstellt:
${\mathsf {K}}=\int \limits _{\beta }^{\delta }\left(\Sigma \Sigma \ \left[{\mathsf {D}}s_{0}\Delta s_{1}\Phi \right]\right)$
Die Summe $\Sigma \Sigma \ \left[{\mathsf {D}}s_{0}\Delta s_{1}\Phi \right]$ bezieht sich auf ein einzelnes Zeitelement $dt$, und kann daher, weil im vorliegenden Fall in jedem Zeitelement $dt$ immer nur ein $\Delta s_{1}$ in den Inducenten eintritt, einfacher dargestellt werden durch
$\Delta s_{1}\cdot \Sigma \ \left[{\mathsf {D}}s_{0}\Phi \right].$
Demgemäss kann das Integral ${\mathsf {K}}$ so geschrieben werden:
${\mathsf {K}}=\int \limits _{\beta }^{\delta }\left(\Delta s_{1}\cdot \Sigma \ \left[{\mathsf {D}}s_{0}\Phi \right]\right),$
oder einfacher so:
${\mathsf {K}}=\Sigma \Sigma \ \left[{\mathsf {D}}s_{0}\Delta s_{1}\Phi \right],$
wo alsdann die eine Summation auszudehnen ist über alle Elemente ${\mathsf {D}}s_{0}$ des Ringes $A$, die andere über alle Elemente $\Delta s_{1}$ des kreisförmigen Stückes $\beta \gamma \delta$ (Fig. 11). Zufolge (29.I) repräsentirt daher ${\mathsf {K}}$ dasjenige elektrodynamische Potential, welches zwischen dem Ringe $A$ und dem kreisförmigen Ringe $\beta \gamma \delta$ stattfinden würde, falls jeder derselben durchflossen wäre von einem Strom von der Starke Eins. Dieses Potential hat aber, zufolge der schon eingeführten Bezeichnungen, den Werth $Q^{\delta }-Q^{\beta }$. Somit folgt:
${\mathsf {K}}=Q^{\delta }-Q^{\beta };$
so dass also die für ${\mathfrak {S}}$ erhaltene Formel $(\beta .)$ schliesslich folgende Gestalt gewinnt:
| (41.I) | ${\mathfrak {S}}=J_{1}\left(Q^{\delta }-Q^{\beta }\right).$ |
__________
ganz andere Formeln erhalten:
| $(\alpha .)$ | ${\begin{array}{rl}{\mathfrak {S}}^{\beta \gamma \delta }&=J_{1}\left(Q^{\delta }-Q^{\beta }\right),\\\\{\mathfrak {S}}^{\beta }&=\left(J_{1}-0\right)Q^{\beta },\\\\{\mathfrak {S}}^{\delta }&=\left(0-J_{1}\right)Q^{\delta },\end{array}}$ |
und ferner:
| (41.I) | ${\mathfrak {S}}=0.$ |
${\begin{array}{rl}{\mathfrak {S}}^{\beta \gamma \delta }&=J_{1}\left(Q^{\delta }-Q^{\beta }\right),\\\\{\mathfrak {S}}^{\beta }&=\left(J_{1}-0\right)Q^{\beta },\\\\{\mathfrak {S}}^{\delta }&=\left(0-J_{1}\right)Q^{\delta },\end{array}}$
und hieraus durch Addition:
| (41.II) | ${\mathfrak {S}}=0.$ |
Dieses in (41.I,II) berechnete ${\mathfrak {S}}$ repräsentirt diejenige Summe elektromotorischer Kräfte, welche der ganze Inducent $\alpha \beta \gamma \epsilon \alpha$, während der in Rede stehenden einmaligen Umdrehungsbewegung, im Ringe $A$ hervorruft.
Der inducirte Ring $A$ bestehe aus einer in der Nähe des Inducenten aufgestellten Drahtwindung $W$, deren Enden durch irgend welche Zwischendrähte $d$, $d'$ in Verbindung sind mit den beiden Enden eines in grosser Entfernung aufgestellten Multiplicators $M$; so dass $WdMd'W$ zusammengenommen denjenigen geschlossenen Umgang bilden, welchen wir kurzweg als den Ring $A$ bezeichnen. In Folge der grossen Entfernung, welche der Multiplicator $M$ vom Inducenten haben soll, wird der im Inducenten vorhandene Strom $J_{1}$ ohne Einfluss auf die Multiplicatornadel sein; so dass dieselbe lediglich afficirt werden kann von dem im Ringe $A$ oder $WdMd'W$ inducirten Strome.
Die Ablenkung, welche die Multiplicatornadel aus dem Meridian erleidet, wird also lediglich eine Folge des in $A$ inducirten Stromes, oder (was dasselbe ist) lediglich eine Folge der in $A$ inducirten elektromotorischen Kräfte sein. Denkt man sich nun die Umdrehungsgeschwindigkeit des Bahnstückes $\epsilon \gamma$ (Fig. 11) als eine constante und ungemein rapide, so wird die Summe ${\mathfrak {S}}$ der eben genannten elektromotorischen Kräfte für jede Umdrehung dieselbe, und folglich die Ablenkung der Nadel eine nahezu constante sein. Auch bemerkt man, dass diese constante Ablenkung Null oder von Null verschieden sein muss, jenachdem jene Summe ${\mathfrak {S}}$ Null oder von Null verschieden ist.
Das betreffende Experiment ist von meinem Vater angestellt worden. Die Beobachtung zeigte, dass die Ablenkung der Multiplicatornadel Null war. Somit spricht jenes Experiment für die Formel (41.II), und gegen die Formel (41.I); folglich auch für das Elementargesetz (24.II), und gegen das Elementargesetz (24.I).
* ↑ Es geht aus dieser Auseinandersetzung deutlich hervor, dass ${\mathfrak {S}}$ diejenige Summe elektromotorischer Kräfte repräsentiren soll, welche der ganze Inducent $\alpha \beta \gamma \epsilon \alpha$ (nicht etwa blos der Theil $\beta \gamma \epsilon$) während der in Rede stehenden einmaligen Umdrehung im Hinge $A$ hervorbringt. Dabei ist die schon erwähnte Voraussetzung zu beachten, dass der Ring $A$ und, abgesehen vom Stücke $\epsilon \gamma$, auch alle Theile des Inducenten unbeweglich aufgestellt sind.
* ↑ Wollte man die in den Noten pag. 225 und 227 erwähnte Vernachlässigung eintreten lassen, so würde man an Stelle der Formeln $(\alpha .)$ und(41.I) folgende [231] ganz andere Formeln erhalten: $(\alpha .)$ ${\begin{array}{rl}{\mathfrak {S}}^{\beta \gamma \delta }&=J_{1}\left(Q^{\delta }-Q^{\beta }\right),\\\\{\mathfrak {S}}^{\beta }&=\left(J_{1}-0\right)Q^{\beta },\\\\{\mathfrak {S}}^{\delta }&=\left(0-J_{1}\right)Q^{\delta },\end{array}}$ und ferner: (41.I) ${\mathfrak {S}}=0.$
* ↑ Vergl. die Note pag. 230.
* ↑ F. Neumann: Ueber ein allgemeines Princip etc. (9. August, 1817). In [233] dieser Abhandlung findet sich jenes Experiment besprochen. Es heisst daselbst auf der 14ten Seite des §. 5.: „Zum Multiplicator gelangen bei fortgesetzter rascher Drehung drei Ströme innerhalb sehr kurzer Zeit, nämlich der durch die Bewegung des Bahnstückes $\epsilon \gamma$ inducirte, dann der durch das Verschwinden des inducirenden Stromes inducirte in dem Moment, wo das bewegliche Bahnstück den Ring $\beta \gamma \delta$ bei $\delta$ verlässt, und endlich der durch sein Wiederauftreten inducirte, sobald jenes Bahnstück den Ring in $\beta$ wieder erreicht. Die Kraft, welche von diesen drei Strömen während der kurzen Dauer eines Umlaufs des Bahnstückes $\epsilon \gamma$ auf die Magnetnadel des Multiplicators ausgeübt wird, ist mit der Summe ihrer elektromotorischen Kräfte proportional. Jenachdem das Vorzeichen dieser Summe positiv oder negativ ist, wird die Nadel auf der einen oder andern Seite des Meridians ihre beinahe feste Aufstellung nehmen, oder sie wird, wenn jene Summe = 0 ist, in ihrer Stellung im Meridian verharren." Sodann heisst es weiter auf der nächstfolgenden Seite: „Die Beobachtung zeigt, dass, wenn die Drehung rasch geschieht, die Nadel im Meridian bleibt.“