# Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 107.

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Das Element $d\sigma '\,$ der Kugeloberfläche vom Radius $a\,$ lässt sich ausdrücken
* $d\sigma '=a^{2}\sin {\theta }d\theta 'd\varphi '.\,$
Führt man dies in die Gleichung (3) des vorigen Paragraphen ein und benutzt die Gleichungen (4) und (6) desselben Paragraphen, so erhält man
| (1) | $V\,=\,-\int _{0}^{2\pi }d\varphi '\,\int _{0}^{\pi }{\frac {a^{2}f(\theta ',\varphi ')\sin {\theta '}d\theta '}{\sqrt {(a^{2}+r^{2}-2ar\cos {\gamma }}}}$ |
Nun können wir für $r>a\,$ entwickeln:
| (2) | $(a^{2}+r^{2}-2ar\cos {\gamma })^{-{\frac {1}{2}}}$ $={\frac {1}{r}}\left\lbrace P_{0}+P_{1}({\frac {a}{r}})+P_{2}({\frac {a}{r}})^{2}+\ldots +P_{n}({\frac {a}{r}})^{n}+\ldots \right\rbrace .$ |
Dagegen hat man für $r<a\,$:
| (3) | $(a^{2}+r^{2}-2ar\cos {\gamma })^{-{\frac {1}{2}}}$ $={\frac {1}{a}}{\bigg \lbrace }P_{0}+P_{1}({\frac {r}{a}})+P_{2}({\frac {r}{a}})^{2}+\ldots +P_{n}({\frac {r}{a}})^{n}+\ldots {\bigg \rbrace }.$ |
Die auftretenden Coefficienten $P_{0},\ P_{l},\ P_{2},\ldots P_{n}\ldots ,$ sind in beiden Entwicklungen dieselben. Es sind algebraische, rationale, ganze Functionen von $\cos {\gamma }\,$, und zwar jede von dem Grade, den ihr Index angibt. Es ist nicht schwer, einen Ausdruck für $P_{n}\,$ zu finden. Man hat nur zu beachten, dass die Gleichungen (2) und (3) auf der einen Entwicklung beruhen
| (3) | $(1+\alpha ^{2}-2\alpha \cos {\gamma })^{-{\frac {1}{2}}}$ $=P_{0}+P_{1}\alpha +P_{2}\alpha ^{2}+\ldots +P_{n}\alpha ^{n}+\ldots ,\,$ |
wenn $\alpha \,$ positiv und kleiner als $1\,$ genommen wird. Man kann aber schreiben |[344]
* $(1+\alpha ^{2}-2\alpha \cos \gamma )^{-{\frac {1}{2}}}=\left(1-{\frac {2\alpha cos\gamma }{1+\alpha ^{2}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}\cdot (1+\alpha ^{2})^{-{\frac {1}{2}}};$
und da drr absolute Zahlwerth von $2\alpha cos\gamma \,$ kleiner als $1+\alpha ^{2}\,$ ist, so darf man auf der rechten Seite der letzten Gleichung den ersten Factor nach dem binomischen Lehrsatze entwickeln und jedes Glied der Reihe mit dem zweiten Factor ausmultipliciren. Dadurch ergibt sich
* $(1+\alpha ^{2}-2\alpha \cos \gamma )^{^{-}{\frac {1}{2}}}$
* ${\frac {1}{(1+\alpha ^{2})^{\frac {1}{2}}}}+{\frac {\alpha \cos \gamma }{(1+\alpha ^{2})^{\frac {3}{2}}}}+{\frac {1\cdot 3}{1\cdot 2}}{\frac {\alpha ^{2}\cos \gamma ^{2}}{(1+\alpha ^{2})^{\frac {5}{2}}}}+\ldots \,$
* $+{\frac {1\cdot 3\cdot 5\ldots (2n-1)}{1\cdot 2\cdot 3\ldots n}}{\frac {\alpha ^{n}\cos \gamma ^{n}}{(1+\alpha ^{2})^{\frac {2n+1}{2}}}}+\ldots \,$
Hier hat man die Potenzen von $(1+\alpha ^{2})\,$ mit negativen, gebrochenen Exponenten wieder nach dem binomischen Lehrsatze zu entwickeln und schliesslich nach ganzen Potenzen von $\alpha \,$ zu ordnen. Auf diesem Wege findet sich
| (4) | $P_{0}=1\,$ |
und für jedes ganze $n\,$, das grösser als $0\,$ ist:
| (5) | ${\frac {1\cdot 2\cdot 3\ldots n}{1\cdot 3\cdot 5\ldots (2n-1)}}P_{n}\,$ $=\cos \gamma ^{n}-{\frac {n(n-1)}{2(2n-1)}}\cos \gamma ^{n-2}+{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{2\cdot 4(2n-1)(2n-3)}}\cos \gamma ^{n-4}$ $-+\ldots \,$ |
Hiernach dürfen wir die Coefficienten $P_{0},\ P_{1},\ P_{2},\ \dotsb \ P_{n},\ \dotsb \,$ in (2) und (3) als bekannte Functionen von $\cos \gamma \,$ ansehen. Für $r=a\,$ stimmen beide Entwicklungen überein. Werden die in (2) und (3) gewonnenen Reihen in die Gleichung (1) eingeführt, so ergibt sich
für einen Punkt im äusseren Raume $(r>a)\,$:
| (6) | $V=-a\sum _{n=0}^{\infty }Q_{n}\left({\frac {a}{r}}\right)^{n+1}\,;$ |
|[345]  ferner für einen Punkt im Innern der Erde $(r<a)\,$
| (7) | $V=-a\sum _{n=0}^{\infty }Q_{n}\left({\frac {r}{a}}\right)^{n};$ |
endlich für einen Punkt der Erdoberfläche $(r=a)\,$
| (8) | $V=-a\sum _{n=0}^{\infty }Q_{n}.$ |
In den drei letzten Gleichungen hat $Q_{n}\,$ überall dieselbe Bedeutung, nemlich
| (9) | $Q_{n}=\int _{0}^{2\pi }d\varphi '\int _{0}^{\pi }P_{n}\cdot f(\theta ',\varphi ')\sin \theta 'd\theta '.\,$ |
Nun ist aber $P_{n}\,$ eine ganze Function $n\,$ten Grades von $\cos \gamma \,$ d. h. nach Gleichung (5) des vorigen Paragraphen eine ganze Function $n\,$ten Grades von den drei Grossen $\cos \theta ,\ \sin \theta \cos \varphi ,\ \sin \theta \sin \varphi \,$. Folglich gilt dasselbe in Betreff der Function $Q_{n}\,$. Um einen Ausdruck für $Q_{n}\,$ zu erhalten, haben wir zu beachten, dass die Function $V\,$ im äusseren Raume sowohl wie im Innern der Erde der Gleichung von Laplace Genüge leisten muss. Es lässt sich dabei nach (9) und (4) vorab bemerken, dass $Q_{0}={\text{const.}}\,$ ist.