# David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie/Kapitel 7.1

Eine Zahl $\alpha$ heißt eine algebraische Zahl, wenn sie einer Gleichung $m$-ten Grades von der Gestalt
* $\alpha ^{m}+a_{1}\alpha ^{m-1}+a_{2}\alpha ^{m-2}+\cdots +a_{m}=0$
genügt, wo $a_{1}$, $a_{2}$, …‚ $a_{m}$ rationale Zahlen sind.
Sind $\alpha$, $\beta$, …‚ $\varkappa$ eine endliche Anzahl beliebiger algebraischer Zahlen, so bilden alle rationalen Funktionen von $\alpha$, $\beta$, …‚ $\varkappa$ mit ganzzahligen Koeffizienten ein in sich abgeschlossenes System von algebraischen Zahlen, welches Zahlkörper, Körper oder Rationalitätsbereich genannt wird [Dedekind (1, 2), Kronecker (16]. Da insbesondere die Summe, die Differenz, das Produkt und der Quotient zweier Zahlen eines Rationalitätsbereiches oder Körpers wieder eine Zahl des Körpers ist, so verhält sich der Begriff des Rationalitätsbereichs oder Körpers gegenüber den vier Rechnungsoperationen der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division invariant.
Satz 1. In jedem Körper $k$ gibt es eine Zahl $\vartheta$ derart, daß alle anderen Zahlen des Körpers ganze rationale Funktionen von $\vartheta$ mit rationalen Koeffizienten sind.
Der Grad $m$ der Gleichung niedrigsten Grades mit rationalen Koeffizienten, der eine solche Zahl $\vartheta$ genügt, heißt der Grad des Körpers k. Die Zahl $\vartheta$ wird eine den Körper bestimmende Zahl genannt. Die Gleichung $m$-ten Grades für $\vartheta$ ist in dem durch die rationalen Zahlen bestimmten Rationalitätsbereiche irreduzibel. Umgekehrt bestimmt jede Wurzel einer solchen irreduzibeln Gleichung einen Zahlkörper $m$-ten Grades. Sind $\vartheta '$, $\vartheta ''$, …, $\vartheta ^{(m-1)}$ die $m-1$ anderen Wurzeln der Gleichung, so heißen die bezüglich durch $\vartheta '$, $\vartheta ''$, …, $\vartheta ^{(m-1)}$ bestimmten Körper $k'$, $k''$, …, $k^{(m-1)}$ die zu $k$ konjugierten Körper. Ist $\alpha$ eine beliebige Zahl des Körpers $k$, und ist
* $\alpha =c_{1}+c_{2}\vartheta +\cdots +c_{m}\vartheta ^{m-1}$,
$c_{1}$
$c_{2}$
$c_{m}$
* ${\begin{alignedat}{2}\alpha '&=c_{1}+c_{2}\vartheta '&+\cdots +&c_{m}\vartheta ^{\prime m-1},\\&\qquad \qquad \qquad \vdots &&\\\alpha ^{(m-1)}&=c_{1}+c_{2}\vartheta ^{(m-1)}&+\cdots +&c_{m}(\vartheta ^{m-1})^{m-1}\end{alignedat}}$
die bez. durch die Substitutionen $t'=(\vartheta :\vartheta ')$, …, $t^{(m-1)}=(\vartheta :\vartheta ^{(m-1)})$ aus $\alpha$ entspringenden oder zu $\alpha$ konjugierten Zahlen.
Eine algebraische Zahl $\alpha$ heißt eine ganze algebraische Zahl oder kurz eine ganze Zahl, wenn sie einer Gleichung von der Gestalt
* $\alpha ^{m}+a_{1}\alpha ^{m-1}+a_{2}\alpha ^{m-2}+\cdots +a_{m}=0$
genügt, deren Koeffizienten $a_{1}$, $a_{2}$, …, $a_{m}$ sämtlich ganze rationale Zahlen sind.
Satz 2. Jede ganze ganzzahlige Funktion $F$, d. h. jede ganze rationale Funktion mit ganzzahligen Koeffizienten von beliebig vielen ganzen Zahlen $\alpha$, $\beta$, …, $\varkappa$ ist wiederum eine ganze Zahl.
Beweis: Bezeichnen wir mit $\alpha '$, $\alpha ''$, …, $\beta '$, $\beta ''$, …, …, $\varkappa '$, $\varkappa ''$, … bezüglich die zu $\alpha$, $\beta$, …, $\varkappa$ konjugierten Zahlen, und bilden wir dann sämtliche Ausdrücke von der Gestalt
* ${\begin{aligned}F(\alpha ,\,\beta ,\,\ldots ,\,\varkappa ),\quad F(\alpha ',\,\beta ,\,\ldots ,\,\varkappa ),\quad F(\alpha ,\,\beta ',\,\ldots ,\,\varkappa ),\,\ldots ,\\\ldots ,\,F(\alpha ,\,\beta ,\,\ldots ,\,\varkappa '),\,\ldots ,\,F(\alpha ',\,\beta ',\,\ldots ,\,\varkappa ),\,\ldots ,\end{aligned}}$
so lehrt der bekannte Satz von den symmetrischen Funktionen, daß die Gleichung, welcher diese sämtlichen Ausdrücke genügen, lauter ganzzahlige Koeffizienten hat, während der Koeffizient der höchsten Potenz der Unbekannten $=1$ ausfällt.
Insbesondere ist die Summe, die Differenz und das Produkt zweier ganzen Zahlen wiederum eine ganze Zahl. Der Begriff „ganz“ verhält sich mithin gegenüber den drei Rechnungsoperationen der Addition, Subtraktion und Multiplikation invariant. Eine ganze Zahl $\gamma$ heißt durch die ganze Zahl $\alpha$ teilbar, wenn eine ganze Zahl $\beta$ existiert, so daß $\gamma =\alpha \beta$ ist.
Satz 3. Die Wurzeln einer Gleichung beliebigen Grades $r$ von der Gestalt
* $\alpha ^{r}+a_{1}\alpha ^{r-1}+a_{2}\alpha ^{r-2}+\cdots +a_{r}=0$
sind stets ganze algebraische Zahlen, sobald die Koeffizienten $a_{1}$, $a_{2}$, …, $a_{r}$ ganze algebraische Zahlen sind.
Satz 4. Wenn eine ganze algebraische Zahl $\alpha$ zugleich rational ist, so ist sie eine ganze rationale Zahl.
Beweis: Wäre nämlich $\textstyle \alpha ={\frac {a}{b}}$, wo $a$ und $b$ ganze rationale, zueinander prime Zahlen bedeuten und dabei $b>1$, und genügt $\alpha$ einer Gleichung, deren Koeffizienten $a_{1}$, …, $a_{m}$ ganze rationale Zahlen sind, so würde durch Multiplikation dieser Gleichung mit $b^{m-1}$
* ${\frac {a^{m}}{b}}=-a_{1}a^{m-1}-a_{2}ba^{m-2}-\cdots -a_{m}b^{m-1}=A$
folgen, wo $A$ eine ganze rationale Zahl wäre, und dies ist nicht möglich [Dedekind (1), Kronecker (16)].
Ist $\alpha$ eine beliebige Zahl des Körpers $k$, und bedeuten $\alpha '$, …, $\alpha ^{(m-1)}$ die zu $\alpha$ konjugierten Zahlen, so heißt das Produkt
* $n(\alpha )=\alpha \alpha '\ldots \alpha ^{(m-1)}$
die Norm der Zahl $\alpha$. Die Norm einer Zahl $\alpha$ ist stets eine rationale Zahl. Ferner nenne ich das Produkt
* $\delta (\alpha )=(\alpha -\alpha ')(\alpha -\alpha '')\ldots (\alpha -\alpha ^{(m-1)})$
die Differente der Zahl $\alpha$. Die Differente einer Zahl ist wiederum eine Zahl des Körpers $k$. Es ist nämlich, wenn zur Abkürzung
* $f(x)=(x-\alpha )(x-\alpha ')\ldots (x-\alpha ^{(m-1)})$
gesetzt wird, $\textstyle \delta (\alpha )=\left[{\frac {df(x)}{dx}}\right]_{x=\alpha }$. Endlich heißt das Produkt
* ${\begin{aligned}d(\alpha )&=(\alpha -\alpha ')^{2}(\alpha -\alpha '')^{2}(\alpha '-\alpha '')^{2}\ldots (\alpha ^{(m-2)}-\alpha ^{(m-1)})^{2}\\&=\left|{\begin{matrix}1,&\alpha ,&\alpha ^{2},&\ldots ,&\alpha ^{m-1}\\1,&\alpha ',&\alpha ^{\prime 2},&\ldots ,&\alpha ^{\prime m-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1,&\alpha ^{(m-1)},&\left(\alpha ^{(m-1)}\right)^{2},&\ldots ,&\left(\alpha ^{(m-1)}\right)^{m-1}\\\end{matrix}}\right|^{2}\end{aligned}}$
die Diskriminante der Zahl $\alpha$. Die Diskriminante einer Zahl ist eine rationale Zahl, und zwar bis auf das Vorzeichen gleich der Norm der Differente; es ist nämlich $d(\alpha )=(-1)^{\frac {m(m-1)}{2}}n(\delta )$.
Ist $\alpha$ eine den Körper bestimmende Zahl, so sind ihre Differente und Diskriminante verschieden von $0$. Umgekehrt, wenn Differente oder Diskriminante einer Zahl von $0$ verschieden sind, so bestimmt diese den Körper. Ist $\alpha$ eine ganze Zahl, so sind ihre Norm, ihre Differente, ihre Diskriminante ebenfalls ganz.
Satz 5. In einem Zahlkörper $m$-ten Grades gibt es stets $m$ ganze Zahlen $\omega _{1}$, $\omega _{2}$, …, $\omega _{m}$ von der Beschaffenheit, daß jede andere ganze Zahl $\omega$ des Körpers sich in der Gestalt
* $\omega =a_{1}\omega _{1}+a_{2}\omega _{2}+\cdots +a_{m}\omega _{m}$
darstellen läßt, wo $a_{1}$, …, $a_{m}$ ganze rationale Zahlen sind.
Beweis: Ist $\alpha$ eine den Körper bestimmende ganze Zahl, so ist jede Zahl $\omega$ in der Gestalt
* $\omega =r_{1}+r_{2}\alpha +\cdots +r_{m}\alpha ^{m-1}$
darstellbar, wo $r_{1}$, $r_{2}$, …, $r_{m}$ rationale Zahlen sind. Durch Übergang zu den konjugierten Zahlen erhält man
* ${\begin{alignedat}{2}\omega '&=r_{1}+r_{2}\alpha '&+\cdots &+r_{m}\alpha ^{\prime m-1},\\&\qquad \qquad \qquad \vdots &&\\\omega ^{(m-1)}&=r_{1}+r_{2}\alpha ^{(m-1)}&+\cdots &+r_{m}(\alpha ^{(m-1)})^{m-1};\end{alignedat}}$
und hieraus folgt allgemein für $s=1$, $2$, …, $m$ in leicht verständlicher Abkürzung:
* ${\begin{aligned}r_{s}&={\frac {\left|1,\,\alpha ,\,\ldots ,\,\omega ,\quad \,\,\ldots ,\,\alpha ^{m-1}\right|}{\left|1,\,\alpha ,\,\ldots ,\,\alpha ^{s-1},\,\ldots ,\,\alpha ^{m-1}\right|}}\\&={\frac {\left|1,\,\alpha ,\,\ldots ,\,\omega ,\,\ldots ,\,\alpha ^{m-1}\right|\left|1,\,\alpha ,\,\ldots ,\,\alpha ^{s-1},\,\ldots ,\,\alpha ^{m-1}\right|}{\left|1,\,\alpha ,\,\ldots ,\,\alpha ^{s-1},\,\ldots ,\,\alpha ^{m-1}\right|^{2}}}={\frac {A_{s}}{d(\alpha )}},\end{aligned}}$
wo $A_{s}$ als ganze ganzzahlige Funktion von $\alpha$, $\alpha '$, …, $\alpha ^{(m-1)}$, $\omega$, $\omega '$, …, $\omega ^{(m-1)}$ eine ganze Zahl ist. Da andererseits $A_{s}$ gleich der rationalen Zahl $r_{s}d(\alpha )$ ist, so ist $A_{s}$ nach Satz 4 eine ganze rationale Zahl. Jede ganze Zahl $\omega$ gestattet daher die Darstellung
| $\omega ={\frac {A_{1}+A_{2}\alpha +\cdots +A_{m}\alpha ^{m-1}}{d(\alpha )}}$, | (1) |
wo $A_{1}$, $A_{2}$, …, $A_{m}$ ganze rationale Zahlen sind und $d(\alpha )$ die Diskriminante von $\alpha$ bedeutet.
Nun sei wiederum $s$ eine bestimmte von den Zahlen $1$, $2$, …, $m$; wir denken uns alle ganzen Zahlen des Körpers von der Gestalt
* ${\begin{aligned}\omega _{s}&={\frac {O_{1}+O_{2}\alpha +\cdots +O_{s}\alpha ^{s-1}}{d(\alpha )}},\\\omega _{s}^{(1)}&={\frac {O_{1}^{(1)}+O_{2}^{(1)}\alpha +\cdots +O_{s}^{(1)}\alpha ^{s-1}}{d(\alpha )}},\\\omega _{s}^{(2)}&={\frac {O_{1}^{(2)}+O_{2}^{(2)}\alpha +\cdots +O_{s}^{(2)}\alpha ^{s-1}}{d(\alpha )}},\\&\qquad \qquad \qquad \quad \vdots \end{aligned}}$
berechnet, wo die Koeffizienten $O$, $O^{(1)}$, $O^{(2)}$, … sämtlich ganze rationale Zahlen sind; wir können annehmen, daß etwa $O_{s}\neq 0$ und der größte gemeinsame Teiler der sämtlichen Zahlen $O_{s}$, $O_{s}^{(1)}$, $O_{s}^{(2)}$, … ist. Dann bilden die betreffenden $m$ ersten Zahlen $\omega _{1}$, …, $\omega _{m}$ ein System von der verlangten Beschaffenheit. Ist nämlich eine beliebige ganze Zahl $\omega$ in der Gestalt (1) vorgelegt, so muß nach der eben gemachten Festsetzung $A_{m}=a_{m}O_{m}$ sein, wo $a_{m}$ eine gewisse ganze rationale Zahl ist; dann aber ist die Differenz $\omega ^{*}=\omega -a_{m}\omega _{m}$ von der Gestalt
* $\omega ^{*}={\frac {A_{1}^{*}+A_{2}^{*}\alpha +\cdots +A_{m-1}^{*}\alpha ^{m-2}}{d(\alpha )}}$.
$A_{m-1}^{\ast }=a_{m-1}O_{m-1}$
$\omega ^{\ast \ast }=\omega ^{\ast }-a_{m-1}\omega _{m-1}$
Die Zahlen $\omega _{1}$, …‚ $\omega _{m}$ heißen eine Basis des Systems aller ganzen Zahlen des Körpers $k$, oder kurz eine Basis des Körpers $k$. Jede andere Basis $\omega _{1}^{\ast }$, …‚ $\omega _{m}^{\ast }$ des Körpers ist durch Formeln von der Gestalt
* ${\begin{alignedat}{3}\omega _{1}^{\ast }&=a_{11}&&\omega _{1}+\cdots +a_{1m}&&\omega _{m},\\&&&\qquad \vdots \\\omega _{m}^{\ast }&=a_{m1}&&\omega _{1}+\cdots +a_{mm}&&\omega _{m}\\\end{alignedat}}$
gegeben, wo die Determinante der ganzzahligen Koeffizienten $a$ gleich $\pm 1$ ist [Dedekind (1), Kronecker (16)].
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* ↑ [356] Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 2. bis 4. Aufl. Braunschweig 1871–1894.
* ↑ [356] Sur la théorie des nombres entiers algébriques. Paris 1877. Abdruck aus Bull. des sciences math. et astron. s. 1 t. XI und s. 2 t. I.
* ↑ [359] Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Größen. J. Math. 92 (1882).

## Anmerkungen (Wikisource)

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