# Mathematische Principien der Naturlehre/Buch1-VII

§. 72. Aufgabe. Vorausgesetzt dass die Centripetalkraft dem Quadrate der Entfernung des Körpers vom Centrum umgekehrt proportional sei; soll man die Wege bestimmen, welche ein Körper beim geradlinigen Falle in gegebenen Zeiten beschreibt.
Erster Fall. Fällt der Körper nicht perpendikulär, so beschreibt er irgend einen Kegelschnitt, dessen unterer Brennpunkt mit dem Mittelpunkte der Kräfte zusammenfällt. Dies erhellt aus §§. 29., 30., 33. und ihren Zusätzen. Es sei ARPB dieser Kegelschnitt, S sein unterer Brennpunkt. Ist zuerst die Figur eine Ellipse, so beschreibe man über ihrer grossen Axe AB den Halbkreis ADB, und ziehe durch den herabfallenden Körper P die Linie DFG perpendikulär auf die Axe. Zieht man dann DS und PS, so ist die Fläche ASD der Fläche ASP und so auch der Zeit proportional. Bei unveränderter Axe AB vermindere man beständig die Breite der Ellipse, alsdann wird immer die Fläche ASD der Zeit proportional bleiben. Verkleinert man jene Breite ins Unendliche, so fällt die Bahn APB mit der Axe AB, und der Brennpunkt S mit dem Endpunkte B der letztem zusammen. Der Körper wird nun in der geraden Linie AC herabfallen und die Fläche ABD der Zeit proportional sein. Es wird daher der Weg AC, welchen der Körper bei seinem geradlinigen Falle von A in der gegebenen Zeit beschreibt, bekannt, wenn man nur die Fläche ABD der Zeit proportional annimmt und vom Punkte D aus auf AB das Perpendikel DC fällt.
Zweiter Fall. Ist die vorhergehende Figur RPB eine Hyperbel, so beschreibe man zu derselben Hauptaxe AB eine rechtwinklige Hyperbel BED. Da man nun die gleichen Verhältnisse hat
| CSP : CSD | = CBfP : CBED = SPfB : SDEB = CP : CD |
und die Fläche SPfB der Zeit proportional ist, in welcher der Körper P sich durch den Bogen PfB bewegt; so wird auch die Fläche SDEB derselben Zeit proportional sein. Vermindert man nun den Parameter der Hyperbel RPB bis ins Unendliche, während ihre Hauptaxe unverändert bleibt; so fällt der Bogen PB mit der geraden Linie CB, der Brennpunkt S mit dem Scheitelpunkte B und die gerade Linie SD mit BD zusammen. Es ist ferner die Fläche BDEB der Zeit proportional, in welcher der Körper beim geradlinigen Falle die Linie CB beschreibt.
Dritter Fall. Nach derselben Weise beschreibe man, wenn RPB eine Parabel ist, zu demselben Hauptscheitelpunkte eine andere Parabel BED, welche immer unverändert bleibt, während die erstere, auf deren Umfang der Körper P sich bewegt, durch Verminderung ihres Parameters ins Unendliche, mit der Linie CB zusammenfällt. Das parabolische Segment BDEB wird alsdann der Zeit proportional, in welcher der Körper P vom Punkte C bis zum Centrum B fällt.
§. 73. Lehrsatz. Nachdem dies gefunden worden ist, behaupte ich, dass die Geschwindigkeit des fallenden Körpers in einem beliebigen Punkte C sich verhalte zur Geschwindigkeit eines andern Körpers, welcher einen Kreis zum Mittelpunkt B und Radius BC beschreibt, wie
$\scriptstyle {\sqrt {CA}}:{\sqrt {{\frac {1}{2}}AB}}$
Da CD und CP einander proportional sind, ist AB ein beiden Figuren RPB und DEB gemeinschaftlicher Durchmesser. Man halbire denselben in und ziehe die Linie PT, welche die Curve RPB in P berührt und die Richtung des Durchmessers in T durchschneidet. Ferner ziehe man SY perpendikulär auf PT, BQ perpendikulär auf AB und setze den Parameter der Curve RPB = L.
Aus §. 36., Zusatz 9. geht hervor, dass die Geschwindigkeit des Körpers, welcher sich auf der Curve RPB um das Centrum S bewegt, sich zu der Geschwindigkeit eines andern Körpers, der einen Kreis vom Radius SP um S beschreibt, wie
$\scriptstyle {\sqrt {{\frac {1}{2}}L\cdot SP}}:SY$
verhält. Nach der Lehre von den Kegelschnitten ist ferner
oder
$\scriptstyle L={\frac {2CP^{2}\cdot AO}{AC\cdot CB}}$
Nach 1. und 2. verhalten sich daher jene Geschwindigkeiten wie
$\scriptstyle {\sqrt {\frac {2CP^{2}\cdot AO\cdot SP}{AC\cdot CB}}}:SY$
woraus
oder
und
hervorgeht. Aus 6. schliessen wir auf
oder
mithin
$\scriptstyle CP={\frac {AC\cdot BQ}{AO}}$
und
$\scriptstyle {\sqrt {\frac {CP^{2}\cdot AO\cdot SP}{AC\cdot CB}}}={\sqrt {\frac {AC^{2}\cdot BQ^{2}}{AO^{2}}}}\cdot {\frac {AO\cdot SP}{AC\cdot CB}}={\sqrt {\frac {BQ^{2}\cdot AC\cdot SP}{AO\cdot BC}}}$
Das Verhältniss 3. wird daher jetzt
$\scriptstyle {\sqrt {\frac {BQ^{2}\cdot AC\cdot SP}{AO\cdot BC}}}:SY$
Vermindert man jetzt die Breite CP der Figur RPB bis ins Unendliche, so dass endlich der Punkt P mit C zusammenfällt, so wird gleichzeitig
zusammenfallen, und in diesem Falle, wo der Körper auf der Linie CB herabsteigt, wird obiges Verhältniss 8., indem man
und
$\scriptstyle {\sqrt {BQ^{2}}}$
aufhebt, übergehen in
$\scriptstyle {\sqrt {AC}}:{\sqrt {AO}}={\sqrt {AC}}$
$\scriptstyle {\sqrt {{\frac {1}{2}}AB}}$
Zusatz 1. Fallen die Punkte B und S zusammen, so hat man
Zusatz 2. Ein Körper, welcher sich in irgend einer Entfernung vom Centrum im Kreise herumbewegt, steigt bei seiner aufwärts gerichteten Bewegung zum doppelten Abstande vom Mittelpunkte auf.
§. 74. Lehrsatz. Ist BfP eine Parabel, so behaupte ich, dass die Geschwindigkeit eines fallenden Körpers in irgend einem Punkte C gleich ist derjenigen Geschwindigkeit, mit welcher der Körper einen Kreis zum Mittelpunkt B und Halbmesser ½BC gleichförmig beschreiben kann.
Die Geschwindigkeit eines Körpers, welcher die Parabel RPB um den Brennpunkt S als Centrum beschreibt, ist in einem beliebigen Punkte P, nach §. 36., Zusatz 7. gleich der Geschwindigkeit eines Körpers, welcher um S einen Kreis vom Durchmesser SP gleichförmig beschreibt. Vermindert man nun die Breite CP der Parabel bis ins Unendliche, so dass der parabolische Bogen PfB mit der geraden Linie CB, das Centrum S mit dem Scheitel B und SP mit BP zusammenfällt; so ergiebt sich die Wahrheit des Satzes. W. z. b. w.
§. 75. Lehrsatz. Unter denselben Voraussetzungen behaupte ich, dass der Flächeninhalt der Figur DES, welche mit einem unbestimmten Radius SD beschrieben worden ist, gleich ist der Fläche, welche ein Körper beschreibt, der sich in einem Kreise zum Mittelpunkt S und Halbmesser, gleich dem halben Parameter jener Curve, gleichförmig bewegt.
Man denke sich dass der Körper C fallend in einem sehr kleinen Zeittheilchen die kleine Linie Cc beschreibe, und unterdessen ein anderer Körper K, bei gleichförmiger Bewegung in dem um S als Mittelpunkt gezogenen Kreise OKk, durch den Bogen Kk fortgehe. Man errichte die Perpendikel CD und cd, welche die Figur DES in D und d schneiden, ziehe SD, Sd, SK, Sk und Dd, welche letztere die Linie AS in T schneidet und fälle SY auf DT perpendikulär.
Erster Fall. Ist DES ein Kreis oder eine rechtwinklige Hyperbel, so wird ihre grosse Axe AS in O halbirt, und es ist SO die Hälfte des Parameters. Da nun
und
so wird
Nach §. 78., Zusatz 1. ist aber
wenn nämlich beim Zusammenfallen der Punkte D und d die letzten Verhältnisse der Linien genommen werden;
also
und weil
Ferner verhält sich die Geschwindigkeit des fallenden Körpers in C zu der Geschwindigkeit eines Körpers, der um S einen Kreis vom Radius SC beschreibt, nach §. 73. wie
$\scriptstyle {\sqrt {AC}}:{\sqrt {AO}}={\sqrt {AC}}:{\sqrt {SK}}$
Die letztere Geschwindigkeit verhält sich zu der eines Körpers, welcher den Kreis OKk beschreibt, nach § 18., Zusatz 6., wie
$\scriptstyle {\sqrt {SK}}:{\sqrt {SC}}$
und so die erste Geschwindigkeit zur letztern, d. h.
| Linie Cc : Bogen Kk | = $\scriptstyle Kk={\sqrt {SK}}:{\sqrt {SC}}$ = AC : CD |
und nach 4.
Es ist daher
oder
d. h.
Es werden daher in den einzelnen Zeittheilchen Stücke KSk und SDd beider Figuren beschrieben, welche, wenn man ihre Grösse bis ins Unendliche vermindert und ihre Anzahl eben so vermehrt, einander gleich werden; nach §. 4. Zusatz werden mithin die ganzen gleichzeitig erzeugten Flächen einander gleich. W. z. b. w.
Zweiter Fall. Ist die Figur DES eine Parabel, so findet man wie oben Gl. 3.
mithin
Nach §.74. ist aber die Geschwindigkeit eines fallenden Körpers in C gleich derjenigen Geschwindigkeit, mit welcher ein Kreis vom Halbmesser ½SC gleichförmig beschrieben werden könnte. Diese Geschwindigkeit verhält sich aber zu derjenigen, mit welcher der Kreis zum Halbmesser SK beschrieben wird, oder (nach §. 18., Zusatz 6.) wie
$\scriptstyle {\sqrt {SK}}:{\sqrt {{\frac {1}{2}}SC}}$
daher ist
d. h.
§. 76. Aufgabe. Ein Körper fällt aus einem gegebenen Orte A herab; man soll die Zeit seines Herabfallens bestimmen.
Ueber dem Durchmesser (dem anfänglichen Abstande des Körpers vom Mittelpunkte der Kräfte) beschreibe man den Halbkreis ADS und um S als Mittelpunkt den jenem gleichen Halbkreis OKH. In dem beliebigen Orte C des Körpers errichte man die Ordinate CD, ziehe DS und mache
Aus §. 75. erhellt, dass ein Körper bei seinem Falle in derselben Zeit den Weg AC zurücklegt, in welcher ein anderer Körper bei gleichförmiger Bewegung um das Centrum S den Bogen OK durchlaufen würde.
§. 77. Aufgabe. Ein Körper wird von einem gegebenen Orte auf- oder abwärts geworfen; man soll die Zeit seines Auf- oder Absteigens bestimmen.
Der Körper gehe von dem Orte G längs der Linie GSA mit irgend einer Geschwindigkeit aus. Im doppelten Verhältniss dieser Geschwindigkeit zu derjenigen, mit welcher der Körper im Kreise zum Centrum S und Radius SG sich bewegen könnte, nehme man
Ist dieses Verhältniss
so fällt der Punkt A in unendliche Entfernung, und man hat in diesem Falle eine Parabel zum Scheitel S, der Axe AS und irgend einem Parameter zu beschreiben. Dies erhellt aus §. 74.
Ist jenes Verhältniss
$\scriptstyle \lessgtr$
muss im ersten Falle ein Kreis, im zweiten eine rechtwinklige Hyperbel über dem Durchmesser AS beschrieben werden. Dies erhellt aus §. 73.
Hierauf beschreibe man aus dem Mittelpunkt S, mit einem dem halben Parameter gleichen Radius, den Kreis HkK und errichte an den beliebigen Orten G und C des auf- und absteigenden Körpers die Perpendikel GJ und CD, welche den Kegelschnitt oder Kreis in J und D schneiden. Nachdem man nun SJ und SD gezogen hat, mache man
alsdann beschreibt nach §. 75. der Körper G in derselben Zeit den Weg GC, in welcher der Körper K den Bogen Kk durchlaufen kann.
§.78. Lehrsatz. Vorausgesetzt, dass die Centripetalkraft proportional sei der Höhe, oder dem Abstande des Ortes vom Centrum der Kräfte; so behaupte ich, dass die Zeit, Geschwindigkeit und der beschriebene Weg respective proportional sei dem Bogen, Sinus des Bogens und dem Sinus versus des letztern.
Es falle ein Körper von dem beliebigen Orte A aus längs der geraden Linie AS, und man beschreibe aus dem Mittelpunkte S den Kreisquadranten AE. Ist CD der Sinus des beliebigen Bogens AD, so beschreibt der Körper, in der Zeit AD herabfallend, den Weg AC und wird im Punkt C die Geschwindigkeit CD erlangt haben. Dies wird eben so nach §. 27. erwiesen, wie wir §. 72. nach §. 29. erwiesen haben.
Zusatz 1. Hiernach sind die Zeiten gleich, in denen Ein Körper, von A herabfallend, nach dem Mittelpunkte S gelangt, und ein anderer den Bogen ADE des Quadranten beschreibt.
Zusatz 2. Ferner sind alle Zeiten einander gleich, in denen Körper von irgend einem Orte bis zum Mittelpunkte fallen. Denn nach S. 18., Zusatz 3, sind alle periodischen Zeiten sich drehender Körper einander gleich.
§. 79. Aufgabe. Es ist eine Centripetalkraft beliebiger Art gegeben, und es wird die Quadratur krummliniger Figuren vorausgesetzt. Man sucht für einen geradlinig auf- oder absteigenden Körper sowohl die Geschwindigkeiten an den einzelnen Orten, als auch die Zeit, in welcher der Körper zu einem beliebigen Orte gelangt.
Von einem beliebigen Orte A fällt ein Körper längs der geraden Linie ADEC herab, und man errichte in jedem Orte E ein Perpendikel EG, welches der nach dem Mittelpunkte C gerichteten Centripetalkraft proportional ist. BFG sei die Curve, auf welcher der Punkt G beständig liegt. Im Anfange der Bewegung falle EG mit dem Perpendikel AB zusammen, alsdann ist die Geschwindigkeit des Körpers in jedem Punkte E der Seite des Quadrats, dessen Flächeninhalt = ABGE, proportional. Auf EG nehme man EM dieser Quadratseite umgekehrt proportional an und es sei VLM die Curve, auf welcher der Punkt M beständig liegt und deren Asymptote die verlängerte AB ist. Alsdann verhält sich die Zeit, in welcher der Körper herabfallend die Linie AE beschreibt, wie der Flächeninhalt der krummlinigen Figur
Man nehme auf der Linie AE das sehr kleine Stück DE von gegebener Länge an, und es sei DLF der Ort der Linie EMG, wenn der Körper sich in D befindet. Ist nun die Centripetalkraft so beschaffen, dass die Seite des der Fläche ABGE gleichen Quadrats sich verhält, wie die Geschwindigkeit des herabfallenden Körpers ; so wird die Fläche selbst dem Quadrat der Geschwindigkeit proportional. Setzt man daher die Geschwindigkeit
so hat man
Bildet man die Unterschiede des ersten und zweiten, so wie des dritten und vierten Gliedes, so erhält man
$\scriptstyle {\frac {ABFD}{V^{2}}}$
$\scriptstyle {\frac {DFGE}{DE}}$
$\scriptstyle {\frac {2J\left(V+{\frac {1}{2}}J\right)}{DE}}$
Nimmt man nun die ersten Verhältnisse der entstehenden Grössen in 2. an, so ist die Linie
$\scriptstyle {\frac {2J\cdot V}{DE}}$
$\scriptstyle {\frac {J\cdot V}{DE}}$
Die Zeit t, in welcher der herabfallende Körper die kleine Linie DE beschreibt ist aber
| direct der Linie DE, indirect der Geschwindigkeit V | proportional, |
$\scriptstyle {\frac {DE}{V}}$
Ferner ist die Kraft
mithin die Kraft 5. f proportional $\scriptstyle {\frac {J}{t}}$, und mithin für die ersten Verhältnisse:
6. die Kraft proportional der Grösse $\scriptstyle {\frac {V\cdot J}{DE}}$ (4. und 5.), d. h. (nach 3.) der Linie DF.
Die der Linie DF oder EG proportionale Kraft bewirkt daher, dass der Körper mit einer Geschwindigkeit herabfällt, welche der Seite des der Fläche ABGE gleichen, Quadrats, proportional ist. W. z. b. w.
Da ferner die Zeit, in welcher die beliebige kleine Linie DE beschrieben wird, indirect der Geschwindigkeit, also indirect $\scriptstyle {\sqrt {ABFD}}$ proportional ist (4.); da ferner DL, und so auch die entstehende Fläche DLME, derselben $\scriptstyle {\sqrt {ABFD}}$ indirect proportional ist: so ist die Zeit der Fläche DLME, und die Summe dieser Zeiten der Summe aller dieser Flächen proportional. Nach §. 4., Zusatz ist daher die ganze Zeit, in welcher die Linie AE beschrieben wird, der ganzen Fläche ATVME proportional. W. z. b. w.
Zusatz 1. Ist P der Ort, von welchem ein Körper herabfallen muss, damit er unter der Einwirkung irgend einer bekannten gleichförmigen Centripetalkraft (wie etwa der Schwere) im Punkte D eine Geschwindigkeit erlange, welche derjenigen gleich ist, die ein anderer, vermöge irgend einer Kraft herabfallender, Körper in D erlangt hat, und nimmt man auf dem Perpendikel DF die Länge DR an, welche sich zu DF verhält, wie jene gleichförmige Kraft zu der andern im Punkte D; so vollende man das Rechteck PDRQ und mache die Fläche ABFD demselben gleich. Alsdann ist A der Ort, von welchem der zweite Körper herabgefallen ist.
Nach Ergänzung des Rechtecks EDRS verhält sich nämlich nach Pr. 1.
d. h. wie die Hälfte der ganzen Geschwindigkeit zum Incremente der Geschwindigkeit des durch ungleichförmige Kraft herabfallenden Körpers.
Eben so verhält sich
wie die Hälfte der ganzen Geschwindigkeit des gleichförmig herabfallenden Körpers zu ihrem Incremente. Die Incremente verhalten sich aber (wegen der Gleichheit der entstehenden Zeitmomente) wie die erzeugenden Kräfte, d. h. wie die Ordinaten
folglich wie die entstehenden Flächen
Die ganzen Flächen ABFD und PQRD verhalten sich daher zu einander, wie die Hälften der ganzen Geschwindigkeiten und (weil diese letztern einander gleich sind) ist also
Zusatz 2. Wird ein beliebiger Körper vom beliebigen Punkte D aus auf- oder abwärts mit gegebener Geschwindigkeit geworfen, und ist das Gesetz der Centripetalkraft bekannt; so findet man seine Geschwindigkeit in irgend einem andern Orte e, indem man die Ordinate eg errichtet und dann setzt:
12. Geschwindigkeit in e : Geschwindigkeit in D = $\scriptstyle {\sqrt {PQRD\pm DFge}}:{\sqrt {PQRD}}\pm$ je nachdem e unter oder über D liegt.
Zusatz 3. Auch die Zeit wird bekannt, indem man die Ordinate em der Grösse
$\scriptstyle {\sqrt {PQRD\pm DFge}}$
umgekehrt proportional errichtet, und alsdann
| 13. | Zeit, in welcher der Körper die Linie De beschreibt | : | Zeit, welcher der andere Körper, vermöge der gleichförmigen Kraft von P bis D gelangt | = DLme : 2PD · DL |
$\scriptstyle {\sqrt {PD}}:{\sqrt {PE}}={\sqrt {PD}}:{\sqrt {PD+DE}}={\sqrt {PD}}:{\sqrt {PD}}+{\frac {1}{2}}{\frac {DE}{\sqrt {PD}}}$
d. h. (indem die Linie DE als eben entstehend gedacht wird) wie
Mithin verhält sich die zur Beschreibung von PD erforderliche Zeit zu der für DE erforderlichen Zeit, wie
Bezeichnen wir ferner die zur Beschreibung einer solchen Linie erforderliche Zeit durch
so können wir statt 16. die Proportion setzen
und wenn wir eben so durch De$^{(t)}$ die Zeit bezeichnen, in welcher der zweite Körper mit ungleichförmiger Bewegung die Linie De beschreibt
also durch Zusammensetzung von 17. und 18.
* ↑ [585] No. 38. S. 129. Fig. 77. TC als Subtangente ist $\scriptstyle ={\frac {y}{\left({\frac {dy}{dx}}\right)}}=-{\frac {a^{2}y^{2}}{b^{2}x}}$, wobei BO = AO = a, b die halbe kleine Axe, CP = y, OC = x und die Gleichung der Ellipse $\scriptstyle y^{2}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}\left(a^{2}-x^{2}\right)$ ist. Demnach wird TO = TC + CO = $\scriptstyle -{\frac {a^{2}y^{2}}{b^{2}x}}$ — x = $\scriptstyle -{\frac {a^{2}}{x}}={\frac {BO^{2}}{CO}}$ und CO : BO = BO : TO wie Gl. 4 im Texte.
* ↑ [585] No. 39. S. 131. Fig. 80. Es ist Cd = y, Sc = x, SK = p, y² = 2px also $\scriptstyle {\sqrt {SK}}:{\sqrt {{\frac {1}{2}}Sc}}=SK:{\sqrt {{\frac {1}{2}}Sc\cdot SK}}=SK:{\sqrt {{\frac {1}{2}}px}}=SK:{\frac {1}{2}}y=SK:{\frac {1}{2}}Cd$.

## Bemerkungen und Erläuterungen [des Übersetzers]

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