# Die elektrischen Kräfte/Zusammenstellung:§43

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Bei diesen Expositionen wird durchweg vorausgesetzt werden, dass die Entfernungen beträchtliche sind, so dass also die im Ampère’schen Gesetz (pag. 44) enthaltene Function $\psi$ gleich ${\sqrt {r}}$ gesetzt werden kann.
In einer Ebene ${\mathsf {E}}$ befinde sich ein geschlossener elektrischer Strom $J$. Durch diesen zerfällt ${\mathsf {E}}$ in zwei Theile:
${\mathsf {E}}=\Lambda +\Omega ,$
nämlich in einen innern Theil $\Lambda$, die sogenannte Stromfläche, und in einen unendlich grossen äusseren Theil $\Omega$. — In irgend einem Puncte der Stromfläche $\Lambda$ mag diejenige Normale $n$ errichtet sein, welche positiv ist zur Richtung $J$ (pag. 82); und gleichzeitig mag diejenige Seite der Fläche $\Lambda$, auf weicher $n$ liegt, die positive Seite von $\Lambda$ genannt werden.
Bezeichnet $p$ irgend einen Punct des Raumes, und ${\mathsf {K}}$ die Oeffnung des von $p$ nach $J$ gelegten Kegelmantels (d. i. denjenigen Theil einer mit dem Radius Eins um $p$ beschriebenen Kugelfläche, welcher innerhalb des Kegelmantels liegt), so wird offenbar diese Oeffnung ${\mathsf {K}}$ ihren grössten Werth 2$\pi$ annehmen, wenn $p$ in die Fläche $\Lambda$ fällt, und ihren kleinsten Werth 0, sobald $p$ in die Fläche $\Omega$ zu liegen kommt.
${\mathsf {K}}$
$\epsilon$
$p$
$\Lambda$
$\epsilon$
$\epsilon {\mathsf {K}}$
Lässt man $p$ auf beliebigem Wege fortschreiten, so ändert, sich die reducirte Kegelöffnung $\epsilon {\mathsf {K}}$ im Allgemeinen in stetiger Weise; jedoch tritt eine Unstetigkeit ein (nämlich ein Ueberspringen vom Werthe $-2\pi$ zum Werthe $+2\pi$, oder umgekehrt), sobald $p$ durch die Fläche $\Lambda$ hindurchgeht
Fig. 13.
Um insbesondere den Fall eines unendlich kleinen geschlossenen Stromes näher ins Auge zu fassen, bedienen wir uns folgender Bezeichnungen:
    $\lambda$ die unendlich kleine Stromfläche;
    $\xi ,\eta ,\zeta$ irgend ein Punct innerhalb $\lambda$;
    $\alpha ,\beta ,\gamma$ die Richtungscosinus derjenigen auf $\lambda$ im Puncte $\xi ,\eta ,\zeta$ errichteten Normale $\nu$, welche zur Stromrichtung positiv liegt;
    $x,y,z$ die Coordinaten der Kegelspitze;
    $\varkappa$ die Oeffnung des Kegels;
    $\epsilon \varkappa$ die reducirte Kegelöffhung;
    $r={\sqrt {(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}+(z-\zeta )^{2}}};$
    $\varphi$ der Winkel zwischen der Normale $\nu (\alpha ,\beta ,\gamma )$ und der Richtung $(x-\xi ,\ y-\eta ,\ z-\zeta )$.
Alsdann ergiebt sich sofort:
| (1.) | $\varkappa =(\pm 1){\frac {\lambda \cos \varphi }{r^{2}}}.$ |
Die Grösse $\varkappa$ ist (ebenso wie auch $\lambda$) ihrer Bedeutung nach stets positiv; und der Factor $(\pm 1)$ ist daher so zu wählen, dass die rechte Seite der Formel positiv wird, also der Bedingung zu unterwerfen:
$(\pm 1)\cos \varphi =\mathrm {pos} .$
Mit andern Worten: Jener Factor ist $=+1$ oder $=-1$, jenachdem der Winkel $\varphi$ spitz oder stumpf, d. i. jenachdem die Kegelspitze $x,y,z$ auf der positiven oder negativen Seite von $\lambda$ liegt. Hieraus aber folgt, dass jener Factor identisch ist mit dem vorhin definirten Situationsfactor $\epsilon$. — Somit geht die Formel (1.) über in
| (2.) | $\varkappa =\epsilon {\frac {\lambda \cos \varphi }{r^{2}}};$ |
woraus durch Multiplication mit $\epsilon$ sich ergiebt:
| (3.) | $\epsilon \varkappa ={\frac {\lambda \cos \varphi }{r^{2}}}.$ |
Hiefür kann geschrieben werden:
| (4.) | ${\begin{array}{ll}\epsilon \varkappa &={\frac {\lambda }{r^{2}}}\left({\frac {x-\xi }{r}}\alpha +{\frac {y-\eta }{r}}\beta +{\frac {z-\zeta }{r}}\gamma \right),\\\\&=\left({\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial \xi }}\alpha +{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial \eta }}\beta +{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial \zeta }}\gamma \right).\end{array}}$ |
Beachtet man endlich, dass die Richtung $\alpha ,\beta ,\gamma$ mit $\nu$ benannt worden ist, dass also $\alpha ={\frac {\partial \xi }{\partial \nu }},\ \beta ={\frac {\partial \eta }{\partial \nu }},\ \gamma ={\frac {\partial \zeta }{\partial \nu }},$ so nimmt die Formel folgende Gestalt an:
| (5.) | $\epsilon \varkappa =\lambda {\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial \nu }};$ |
in Worten ausgedrückt: Die reducirte Kegelöffnung ist gleich der Stromfläche, multiplicirt mit der Ableitung von ${\tfrac {1}{r}}$ nach der positiven Normale der Stromfläche.