# Die elektrischen Kräfte/Zusammenstellung:§5

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Es handelt sich hier um eine weitere Untersuchung des im vorhergehenden Paragraphen näher bezeichneten Systemes. Der dort genannte Term (20.a):
| $(23.)\,$ | $(dT)_{\text{ord.Us}}\$ |
repräsentirt dasjenige Quantum lebendiger Kraft, welches während der Zeit $dt\,$ im gegebenen Systeme hervorgebracht wird speciell durch die darin vorhandenen Kräfte ordinären Ursprungs. Dass dieser Term ein vollständiges Differential ist, kann mit Hülfe sehr bekannter Betrachtungen, welche hier in Kürze recapitulirt werden sollen, leicht nachgewiesen werden.
Das gegebene System von Körpern mag in lauter unendlich kleine Elemente eingetheilt gedacht werden; und es seien $M_{0}\,$ und $M_{1}\,$ irgend zwei solche Elemente, einerlei, ob sie demselben, oder verschiedenen Körpern angehören. Die ponderomotorische Wirkung, welche $M_{0}\,$ und $M_{1}\,$ auf einander ausüben, wird, mit Rücksicht auf die im System stattfindenden elektrischen Vorgänge, zusammengesetzt sein aus drei Kräften, von denen die eine ordinären, die zweite elektrostatischen, die dritte elektrodynamischen Ursprungs ist. Es handelt sich im gegenwärtigen Paragraphen indessen nur um die Kräfte ordinären Ursprungs; und in Betreff dieser ist von uns die übliche Voraussetzung gemacht worden, dass sie nur Functionen der Entfernungen sind (pag. 10). Folglich sind die Componenten der von $M_{1}\,$ auf $M_{0}\,$ ausgeübten Kraft ordinären Ursprungs von der Form:
| $(24.)\,$ | ${\begin{aligned}{X_{0}}^{1}&=-M_{0}M_{1}{\frac {\partial f(r)}{\partial x_{0}}},\\{Y_{0}}^{1}&=-M_{0}M_{1}{\frac {\partial f(r)}{\partial y_{0}}},\\{Z_{0}}^{1}&=-M_{0}M_{1}{\frac {\partial f(r)}{\partial z_{0}}},\end{aligned}}$ |
wo $x_{0},y_{0},z_{0}\,$ und $x_{1},y_{1},z_{1}\,$ die Coordinaten von $M_{0}\,$ und $M_{1}\,$ bezeichnen, und $f(r)\,$ eine Function der zwischen $M_{0}\,$ und $M_{1}\,$ vorhandenen Entfernung $r\,$ vorstellt.
$f(r)=-{\tfrac {K}{r}}$
$K\,$
$f(r)\,$
$r\,$
$-{\tfrac {K}{r}},$
$r\,$
Den Componenten (24.) entsprechend, ist der Ausdruck
* $M_{0}M_{1}f(r)\$
das ordinäre Potential der beiden Elemente $\textstyle M_{0},M_{1}$ auf einander; folglich der Ausdruck
| $(25.)\,$ | $O={\tfrac {1}{2}}{\mathit {\Sigma \Sigma }}\ M_{0}M_{1}\ f(r)\$ |
zu bezeichnen als das ordinäre Potential des ganzen Systemes auf sich selber.
Bezeichnet nun
* $d{T_{0}}^{1}\$
dasjenige Quantum lebendiger Kraft, welches während der Zeit $dt\,$ von $M_{1}\,$ in $M_{0}\,$ hervorgebracht wird, und bezeichnet insbesondere
* $(d{T_{0}}^{1})_{\text{ord.Us}}\$
denjenigen Theil dieses Quantums, welcher seine Entstehung verdankt den von $M_{1}\,$ auf $M_{0}\,$ ausgeübten Kräften ordinären Ursprungs ${X_{0}}^{1},{Y_{0}}^{1},{Z_{0}}^{1}$ (24.), so ergiebt sich sofort (vgl. pag. 12, 13):
| $(26.)\,$ | $(dT_{0}^{1})_{\text{ord.Us}}={X_{0}}^{1}dx_{0}+{Y_{0}}^{1}dy_{0}+{Z_{0}}^{1}dz_{0},\,$ |
$dx_{0},dy_{0},dz_{0}\$
$M_{0}\,$
$dt\,$
| $(27.)\,$ | ${\begin{aligned}(dT_{0}^{1})_{\text{ord.Us}}&=-M_{0}M_{1}\left({\frac {\partial f(r)}{\partial x_{0}}}dx_{0}+{\frac {\partial f(r)}{\partial y_{0}}}dy_{0}+{\frac {\partial f(r)}{\partial z_{0}}}dz_{0}\right),\\&=-M_{0}M_{1}\cdot d_{0}f(r),\end{aligned}}$ |
wo $d_{0}f(r)\$ den partiellen Zuwachs von $f(r)\,$ vorstellt, genommen nach der Verrückung von $M_{0},\,$ d. h. denjenigen Zuwachs, welchen $f(r)\,$ während der Zeit $dt\,$ erleiden würde, falls man, ohne die Bewegung von $M_{0}\,$ irgendwie zu alteriren, die Bewegung von $M_{1}\,$ während dieser Zeit sistiren wollte.
Eine mit (27.) analoge Formel ergiebt sich offenbar, wenn man umgekehrt die Wirkung von $M_{0}\,$ auf $M_{1}\ ,$ in Betracht zieht. Sie lautet:
| $(28.)\,$ | $(d{T_{1}}^{0})_{\text{ord.Us}}=-M_{0}M_{1}\cdot d_{1}f(r),$ |
wo $d_{1}f(r)\,$ den partiellen Zuwachs von $f(r)\,$ bezeichnet, genommen nach der Verrückung von $M_{1}.\,$
Aus (27.) und (28.) folgt durch Addition:
| $(29.)\,$ | $(d{T_{0}}^{1}+d{T_{1}}^{0})_{\text{ord.Us}}=-M_{0}M_{1}\cdot df(r),$ |
wo $df(r)=d_{0}f(r)+d_{1}f(r)\,$ den totalen d. i. während der Zeit $dt\,$ wirklich erfolgenden Zuwachs von $f(r)\,$ vorstellt.
Denkt man sich nun die Gleichung (29.) der Reihe nach aufgestellt für jedwedes Elementenpaar $M_{0},M_{1}\,$ des gegebenen Systems, so gelangt man durch Addition all’ dieser Gleichungen zu folgender Formel:
| $(30.)\,$ | ${\begin{aligned}(dT)_{\text{ord.Us}}&=-{\tfrac {1}{2}}\ {\mathit {\Sigma \Sigma }}\ M_{0}M_{1}\ df(r),\\&=-d{\bigl \lbrack }{\tfrac {1}{2}}\ {\mathit {\Sigma \Sigma }}\ M_{0}M_{1}\ f(r){\bigr \rbrack },\end{aligned}}$ |
wo die linke Seite den zu berechnenden Term (23.) repräsentirt. Aus (30.) und (25.) folgt nun aber sofort:
| $(31.)\,$ | $(dT)_{\text{ord.Us}}=-dO.$ |
Somit ist der verlangte Nachweis geführt, nämlich dargethan, dass jener Term (23.) ein vollständiges Differential ist.
Beiläufig folgt aus (31.), dass die früher (pag. 21) mit ${\mathfrak {F}}_{a}\$ bezeichnete Function identisch ist mit $O,\,$ dass also das ordinäre Postulat identisch ist mit dem ordinären Potential.
* ↑ Die Hauptabsicht bei dieser Reproduction besteht darin, einigermassen einzuleiten in den Gebrauch der im Vorhergehenden eingeführten neuen Bezeichnungsweisen, deren Zweckmässigkeit sich wohl bald in deutlicher Weise herausstellen dürfte.
* ↑ Es soll nämlich in der Formel (25.) zunächst die eine Summation ${\mathit {\Sigma }}\,$ bei festgehaltenem $M_{0}\,$ ausgedehnt sein über sämmtliche im ganzen System vorhandenen Elemente $M_{1};\,$ sodann aber zweitens die andere Summation ${\mathit {\Sigma }}\,$ ausgedehnt sein über alle $M_{0}.\,$ Jedes Elementpaar wird also doppelt vorkommen im Ausdruck ${\mathit {\Sigma \Sigma }},\,$ hingengen nur einmal im Ausdruck ${\tfrac {1}{2}}{\mathit {\Sigma \Sigma }}.\,$ In solchem Sinne soll das Zeichen ${\mathit {\Sigma \Sigma }},$ in Zukunft stets verstanden werden, sobald es sich um Elemente handelt, von denen jedes jede beliebige Lage im gegebenen Systeme annehmen kann.