# Die elektrischen Kräfte/Zusammenstellung:§44

| « Zusammenstellung:§43 | Carl Gottfried Neumann Die elektrischen Kräfte | Zusammenstellung:§45 » |
| fertigFertig! Dieser Text wurde zweimal anhand der Quelle Korrektur gelesen. Die Schreibweise folgt dem Originaltext. |||
| Für eine seitenweise Ansicht und den Vergleich mit den zugrundegelegten Scans, klicke bitte auf die entsprechende Seitenzahl (in eckigen Klammern). |||
Beschränken wir uns (wie solches im gegenwärtigen Abschnitt durchweg geschehen soll) auf den Fall beträchtlicher Entfernungen, so ist $\psi ={\sqrt {r}}$, das Ampère’sche Gesetz also dargestellt durch die Formel:
| (6.) | $R=A^{2}JJ_{1}{\mathsf {D}}s{\mathsf {D}}s_{1}{\frac {3\Theta \Theta _{1}-2{\mathsf {E}}}{r^{2}}},$ |
(vergl. pag. 45, 46). Sind mithin $X,Y,Z$ die Componenten derjenigen Kraft, welche ein gleichförmiger geschlossener elektrischer Strom $\left(J_{1},s_{1}\right)$ ausübt auf ein einzelnes Stromelement $J{\mathsf {D}}s$, so wird die erste dieser Componenten den Werth haben:
| (7.) | $X=A^{2}JJ_{1}\cdot \Sigma _{1}\left[{\mathsf {D}}s{\mathsf {D}}s_{1}{\frac {3\Theta \Theta _{1}-2{\mathsf {E}}}{r^{2}}}{\frac {x-x_{1}}{r}}\right],$ |
die Summation $\Sigma _{1}$ ausgedehnt über sämmtliche Elemente ${\mathsf {D}}s_{1}$ des geschlossenen Stromes; dabei bezeichnen $x,y,z$ und $x_{1},y_{1},z_{1}$ die Coordinaten von ${\mathsf {D}}s$ und ${\mathsf {D}}s_{1}$.
Um der Formel (7.) eine bequemere Gestalt zu geben, mag zunächst erinnert sein an die bekannten Relationen (pag. 39):
| (8.) | ${\begin{array}{c}{\frac {\partial r}{\partial s}}=\Theta ,\quad {\frac {\partial r}{\partial s_{1}}}=-\Theta _{1},\\\\{\frac {\partial ^{2}r}{\partial s\ \partial s_{1}}}={\frac {\Theta \Theta _{1}-{\mathsf {E}}}{r}};\end{array}}$ |
sodann mag der Quotient ${\frac {x-x_{1}}{r}}$ successive nach $s$ und $s_{1}$ differenzirt werden:
* ${\begin{array}{rl}{\frac {\partial }{\partial s}}\left({\frac {x-x_{1}}{r}}\right)=&{\frac {1}{r}}{\frac {\partial x}{\partial s}}-{\frac {x-x_{1}}{r^{2}}}{\frac {\partial r}{\partial s}},\\\\{\frac {\partial ^{2}}{\partial s\ \partial s_{1}}}\left({\frac {x-x_{1}}{r}}\right)=&-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial r}{\partial s_{1}}}{\frac {\partial x}{\partial s}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial r}{\partial s}}{\frac {\partial x_{1}}{\partial s_{1}}},\\\\&\qquad +2{\frac {x-x_{1}}{r^{3}}}{\frac {\partial r}{\partial s}}{\frac {\partial r}{\partial s_{1}}}-{\frac {x-x_{1}}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}r}{\partial s\ \partial s_{1}}};\end{array}}$
die letzte dieser Formeln kann mit Rücksicht auf die Relationen (8.) auch so geschrieben werden:
${\frac {\partial ^{2}}{\partial s\ \partial s_{1}}}\left({\frac {x-x_{1}}{r}}\right)={\frac {\partial x}{\partial s}}{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial s_{1}}}-{\frac {\partial x_{1}}{\partial s_{1}}}{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial s}}-{\frac {3\Theta \Theta _{1}\left(x-x_{1}\right)}{r^{3}}}+{\frac {{\mathsf {E}}\left(x-x_{1}\right)}{r^{3}}}.$
${\frac {\partial }{\partial s_{1}}}\left({\frac {\partial x}{\partial s}}{\frac {1}{r}}\right)$
${\mathsf {D}}s\ {\mathsf {D}}s_{1}$
${\mathsf {D}}s_{1}$
$0=\Sigma _{1}\left[{\mathsf {D}}s\ {\mathsf {D}}s_{1}\left(-{\frac {\partial x_{1}}{\partial s_{1}}}{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial s}}-{\frac {3\Theta \Theta _{1}\left(x-x_{1}\right)}{r^{3}}}+{\frac {{\mathsf {E}}\left(x-x_{1}\right)}{r^{3}}}\right)\right].$
Addirt man aber diese Formel, nachdem sie zuvor mit $A^{2}JJ_{1}$ multiplicirt worden ist, zur Formel (7.), so folgt:
| (8.) | $X=A^{2}JJ_{1}\cdot \Sigma _{1}\left[{\mathsf {D}}s\ {\mathsf {D}}s_{1}\left(-{\frac {\partial x_{1}}{\partial s_{1}}}{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial s}}-{\frac {{\mathsf {E}}\left(x-x_{1}\right)}{r^{3}}}\right)\right].$ |
Nun ist offenbar:
${\frac {\partial x_{1}}{\partial s_{1}}}{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial s}}=\left({\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial s}}+{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial s}}+{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial z}}{\frac {\partial z}{\partial s}}\right){\frac {\partial x_{1}}{\partial s_{1}}},$
und folglich:
${\mathsf {D}}s\ {\mathsf {D}}s_{1}{\frac {\partial x_{1}}{\partial s_{1}}}{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial s}}=\left({\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial x}}{\mathsf {D}}x+{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial y}}{\mathsf {D}}y+{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial z}}{\mathsf {D}}z\right){\mathsf {D}}x_{1},$
wo ${\mathsf {D}}x,\ {\mathsf {D}}y,\ {\mathsf {D}}z$ und ${\mathsf {D}}x_{1},\ {\mathsf {D}}y_{1},\ {\mathsf {D}}z_{1}$ die rechtwinkligen Projectionen von ${\mathsf {D}}s$ und ${\mathsf {D}}s_{1}$ vorstellen. — Andererseits ist:
${\mathsf {D}}s\ {\mathsf {D}}s_{1}{\frac {{\mathsf {E}}\left(x-x_{1}\right)}{r^{3}}}=-{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial x}}\left({\mathsf {D}}x\ {\mathsf {D}}x_{1}+{\mathsf {D}}y\ {\mathsf {D}}y_{1}+{\mathsf {D}}z\ {\mathsf {D}}z_{1}\right).$
Durch Addition der beiden letzten Formeln folgt sofort:
| (9.) | ${\mathsf {D}}s\ {\mathsf {D}}s_{1}\left({\frac {\partial x_{1}}{\partial s_{1}}}{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial s}}+{\frac {{\mathsf {E}}\left(x-x_{1}\right)}{r^{3}}}\right)=-\gamma {\mathsf {D}}y+\beta {\mathsf {D}}z,$ |
wo $\alpha ,\beta ,\gamma$ die Bedeutungen haben:
| (10.) | ${\begin{array}{l}\alpha ={\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial y}}{\mathsf {D}}z_{1}-{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial z}}{\mathsf {D}}y_{1},\\\\\beta ={\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial z}}{\mathsf {D}}x_{1}-{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial x}}{\mathsf {D}}z_{1},\\\\\gamma ={\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial x}}{\mathsf {D}}y_{1}-{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial y}}{\mathsf {D}}x_{1}.\end{array}}$ |
$X$
| (11.) | $X=A^{2}JJ_{1}\left[\left(\Sigma _{1}\gamma \right){\mathsf {D}}y-\left(\Sigma _{1}\beta \right){\mathsf {D}}z\right],$ |
oder falls man die Integrale $\Sigma _{1}\alpha ,\ \Sigma _{1}\beta ,\ \Sigma _{1}\gamma$ kurzweg mit ${\mathsf {A,B}},\Gamma$ bezeichnet, folgendes:
| (12.) | ${\begin{array}{l}X=A^{2}JJ_{1}(\Gamma {\mathsf {D}}y-\mathrm {B} {\mathsf {D}}z);\ \mathrm {ebenso\ wird} :\\Y=A^{2}JJ_{1}(\mathrm {A} {\mathsf {D}}z-\Gamma {\mathsf {D}}x),\\Z=A^{2}JJ_{1}(\mathrm {B} {\mathsf {D}}x-\mathrm {A} {\mathsf {D}}y).\end{array}}$ |
Diese $X,Y,Z$, in denen die Coefficienten $\mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\Gamma$ definirt sind durch die Formeln:
| (13.) | ${\begin{array}{l}\mathrm {A} =\Sigma _{1}\left({\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial y}}{\mathsf {D}}z_{1}-{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial z}}{\mathsf {D}}y_{1}\right),\\\\\mathrm {B} =\Sigma _{1}\left({\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial z}}{\mathsf {D}}x_{1}-{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial x}}{\mathsf {D}}z_{1}\right),\\\\\Gamma =\Sigma _{1}\left({\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial x}}{\mathsf {D}}y_{1}-{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial y}}{\mathsf {D}}x_{1}\right),\end{array}}$ |
repräsentiren also die Componenten derjenigen ponderomotorischen Kraft, welche ein gleichförmiger geschlossener Strom $\left(J_{1},s_{1}\right)$ ausübt auf ein einzelnes Stromelement $J{\mathsf {D}}s$.
Aus (12.) folgt augenblicklich:
| (14.) | ${\begin{array}{c}X{\mathsf {D}}x+X{\mathsf {D}}y+Z{\mathsf {D}}z=0,\\X\mathrm {A} +Y\mathrm {B} +Z\Gamma =0.\end{array}}$ |
Denkt man sich also eine von $J{\mathsf {D}}s$ ausgehende Linie $\Delta$ construirt, deren senkrechte Projectionen gleich $\mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\Gamma$ sind, so wird mit Bezug auf diese Linie, die sogenannte Determinante, der Satz gelten:
Die von einem gleichförmigen geschlossenen Strom auf ein einzelnes Stromelement ausgeübte Kraft steht senkrecht gegen das Element selber, und andererseits auch senkrecht gegen diejenige Determinante $\Delta$, welche jener Strom besitzt in Bezug auf den Ort des Elementes.