# Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 32.

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Für die Dichtigkeit haben wir die Gleichung abgeleitet
| (1) | $-4\;\pi \;\rho =\left({\frac {\partial V'}{\partial r'}}\right)_{a+0}-\left({\frac {\partial V'}{\partial r'}}\right)_{a-0}.$ |
|[139]Für $V'\!$ nehmen wir am besten den Ausdruck (7) des vorigen Paragraphen. Dann findet sich
| (2) | ${\begin{aligned}2{\frac {\partial V'}{\partial r'}}=&\mp {\frac {a}{r'^{2}}}F(\pi )-{\frac {a}{r'^{2}}}F(0)\\&\pm \left(1+{\frac {a^{2}}{r'^{2}}}\right)\int \limits _{0}^{\pi }{\frac {F(\theta )d\theta }{(a^{2}+r'^{2}-2\,a\,r'\cos \theta )^{\frac {1}{2}}}}\\&\pm {\frac {r'^{2}-a^{2}}{r'}}\int \limits _{0}^{\pi }{\frac {(-r'+a\cos \theta )}{a^{2}+r'^{2}-2\,a\,r'\cos \theta )^{\frac {3}{2}}}}F'(\theta )d\theta ,\\\end{aligned}}$ |
und daraus wird für $r'=a\pm 0\!$
| (3) | ${\begin{aligned}2\left({\frac {\partial V'}{\partial r'}}\right)_{a\pm 0}=&\mp {\frac {1}{a}}F(\pi )-{\frac {1}{a}}F(0)\pm 2\int \limits _{0}^{\pi }{\frac {F'(\theta )d\theta }{2a\sin {\frac {1}{2}}\theta }}\\&\pm \lim {\frac {r'^{2}-a^{2}}{r'}}\int \limits _{0}^{\pi }{\frac {(-r'+a\cos \theta )F'(\theta )d\theta }{(a^{2}+r'^{2}-2\,a\,r'\cos \theta )^{\frac {3}{2}}}}.\\\end{aligned}}$ |
Das letzte Integral ist noch zu transformiren. Wir schreiben
* ${\begin{aligned}a\cos \theta -r'&=(a-r')-a(1-\cos \theta )\\&=(a-r')-2\,a\sin {\frac {1}{2}}\theta ^{2}.\\\end{aligned}}$
Demnach ist
* ${\begin{aligned}&\lim {\frac {r'^{2}-a^{2}}{r'}}\int \limits _{0}^{\pi }{\frac {(-r'+a\cos \theta )F'(\theta )d\theta }{a^{2}+r'^{2}-2\,a\,r'\cos \theta )^{\frac {3}{2}}}}\\=&\lim {\frac {(r'+a)}{r'}}\int \limits _{0}^{\pi }{\frac {-(r'-a)^{2}F'(\theta )d\theta }{(a^{2}+r'^{2}-2\,a\,r'\cos \theta )^{\frac {3}{2}}}}\\-&\lim {\frac {(r'^{2}-a^{2})}{r'}}\int \limits _{0}^{\pi }{\frac {2\,a\sin {\frac {1}{2}}\theta ^{2}}{\left(2\,a\sin {\frac {1}{2}}\theta \right)^{3}}}F'(\theta )d\theta .\\\end{aligned}}$
Der letzte Bestandtheil der rechten Seite verschwindet, wenn das Integral einen endlichen Werth hat, d. h. wenn $F'(0)=0\!$ ist. Den ersten Bestandtheil zerlegen wir weiter. Es ist nemlich |[140]
* $-(r'-a)^{2}=-(a^{2}+r'^{2}-2\;a\;r'\cos \theta )+4\;a\;r'\sin \,{\frac {1}{2}}\,\theta ^{2}.$
Folglich
* $\lim {\frac {(r'^{2}-a^{2})}{r'}}\int \limits _{0}^{\pi }{\frac {(-r'+a\cos \theta )\,F'(\theta )\,d\theta }{(a^{2}+r'^{2}-2\;a\;r'\cos \theta )^{\frac {3}{2}}}}$
* $=-2\int \limits _{0}^{\pi }{\frac {F'(\theta )\,d\theta }{2\;a\sin \,{\frac {1}{2}}\,\theta }}\,+2\int \limits _{0}^{\pi }{\frac {4\;a^{2}\sin \,{\frac {1}{2}}\,\theta ^{2}\;F'(\theta )\,d\theta }{8\;a^{3}\sin \,{\frac {1}{2}}\,\theta ^{3}}}=0.$
Danach geht die Gleichung (3) über in
* $2\left({\frac {\partial V'}{\partial r'}}\right)_{a\pm 0}=\mp \,{\frac {1}{a}}\,F(\pi )-\,{\frac {1}{a}}\,F(0)\pm \,{\frac {1}{a}}\int \limits _{0}^{\pi }{\frac {F'(\theta )\,d\theta }{sin\,{\frac {1}{2}}\,\theta }},\,$
und die Gleichung (1) gibt jetzt
| (4) | $\rho =\,{\frac {1}{4\;a\;\pi }}\,\left\lbrace F(\pi )-\int \limits _{0}^{\pi }{\frac {F'(\theta )\,d\theta }{sin\,{\frac {1}{2}}\,\theta }}\right\rbrace .$ |
Man sieht aus dieser Gleichung, wie die Dichtigkeit $\rho \!$ in irgend einem Punkte der Kugeloberfläche abhängig ist von den Werthe, welche die Potentialfunction in allen Punkten dieser Oberfläche besitzt.
Zur Berechnung von $\rho \!$ ist die Formel nicht brauchbar. Vielmehr hat man zu diesem Zweck sie in eine Reihe von Kugelfunctionen zu entwickeln. Die Convergenz der Reihe darf nicht a priori angenommen, sie muss vielmehr bewiesen werden. Das hat Dirichlet*) gethan, indem er die Reihe summirt und allgemein nachweist, dass ihre Summe gleich dem obigen Integral-Ausdruck ist. |[141]
$F'(\theta )=0\!$
$\theta =0\!$
$x\!$
$y\!$
$\xi \!$
$\eta \!$
$\varphi \!$
$\theta \!$
$\theta \!$
* $\xi =\theta \cos \varphi ,\!$
* $\eta =\theta \cos \varphi .\!$
Setzen wir voraus, dass $f(\theta ,\,\varphi )$ in der Nähe des Pols endliche Derivirte hat, so können wir nach Taylor's Satze entwickeln
* $f(\theta ,\,\varphi )=V=V_{0}+\xi \,\left({\frac {\partial V}{\partial \xi }}\right)_{0}+\eta \,\left({\frac {\partial V}{\partial \eta }}\right)_{0}+\dotsb$
Dabei sind die nicht hingeschriebenen Glieder der zweiten und höheren Potenzen von $\theta \!$ proportional. Hieraus erhalten wir
* ${\begin{aligned}F(\theta )=V_{0}&+{\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }\left[\theta \cos \varphi \,\left({\frac {\partial V}{\partial \xi }}\right)_{0}+\theta \sin \varphi \,\left({\frac {\partial V}{\partial \eta }}\right)_{0}\right]d\varphi \\&+\dotsb \\=V_{0}&+{\frac {1}{2\pi }}\theta \,\left({\frac {\partial V}{\partial \xi }}\right)_{0}\int \limits _{0}^{2\pi }\cos \varphi \,d\varphi \,+{\frac {1}{2\pi }}\theta \,\left({\frac {\partial V}{\partial \eta }}\right)_{0}\int \limits _{0}^{2\pi }\sin \varphi \,d\varphi \\&+\dotsb \\=V_{0}&+\theta \cdot 0+\dotsb \\\end{aligned}}$
In der Entwicklung von $F(\theta )\!$ nach Potenzen von $\theta \!$ ist also der Coefficient der ersten Potenz gleich Null, d. h.
* $F'(\theta )=0\!$ für $\!\theta =0,$
was zu beweisen war.
In besonderen Fällen können Ausnahmen eintreten, die dann eine besondere Untersuchung nöthig machen.