# Die elektrischen Kräfte/Zusammenstellung:§46

| « Zusammenstellung:§45 | Carl Gottfried Neumann Die elektrischen Kräfte | Zusammenstellung:§47 » |
| fertigFertig! Dieser Text wurde zweimal anhand der Quelle Korrektur gelesen. Die Schreibweise folgt dem Originaltext. |||
| Für eine seitenweise Ansicht und den Vergleich mit den zugrundegelegten Scans, klicke bitte auf die entsprechende Seitenzahl (in eckigen Klammern). |||
Es sei $\lambda _{1}$ die Fläche des unendlich kleinen Stromes, $n_{1}$ die positive Normale derselben; ferner seien $\alpha _{1},\beta _{1},\gamma _{1}$ die Richtungscosinus dieser Normale; ferner mögen die relativen Coordinaten des betrachteten Punctes $(x,y,z)$ in Bezug auf den Strom $\lambda _{1}\left(x_{1},y_{1},z_{1}\right)$ bezeichnet sein mit $\xi ,\eta ,\zeta ;$ so dass also
| (25.) | $\xi =x-x_{1},\ \eta =y-y_{1},\ \zeta =z-z_{1};$ |
endlich sei $\Delta (\mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\Gamma )$ die Determinante von $\lambda _{1}$ in Bezug auf jenen Punct.
In diesem Fall reducirt sich die Formel (16.) auf:
| (26.) | ${\mathsf {A}}=\Sigma _{\lambda _{1}},$ |
wo $\Sigma _{\lambda _{1}}$, nach (19.), den Werth hat:
$\Sigma _{\lambda _{1}}=\lambda _{1}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left(\alpha _{1}{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial x_{1}}}+\beta _{1}{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial y_{1}}}+\gamma _{1}{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial z_{1}}}\right),$
also mit Rücksicht auf (25.) auch so dargestellt werden kann:
${\begin{array}{ll}\Sigma _{\lambda _{1}}&=\lambda _{1}{\frac {\partial }{\partial \xi }}\left(\alpha _{1}{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial \xi }}+\beta _{1}{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial \eta }}+\gamma _{1}{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial \zeta }}\right),\\\\&=-\lambda _{1}{\frac {\partial }{\partial \xi }}\left({\frac {\alpha _{1}\xi +\beta _{1}\eta +\gamma _{1}\zeta }{r^{3}}}\right),\\\\&=-\lambda _{1}\left({\frac {\alpha _{1}}{r^{3}}}-{\frac {3\left(\alpha _{1}\xi +\beta _{1}\eta +\gamma _{1}\zeta \right)}{r^{4}}}{\frac {\xi }{r}}\right).\end{array}}$
Somit folgt aus (26.) sofort:
| (27.) | ${\begin{array}{l}\mathrm {A} =-\lambda _{1}{\frac {\alpha _{1}r^{2}-3\xi \left(\alpha _{1}\xi +\beta _{1}\eta +\gamma _{1}\zeta \right)}{r^{5}}};\ \mathrm {und\ ebenso\ wird} :\\\\\mathrm {B} =-\lambda _{1}{\frac {\beta _{1}r^{2}-3\eta \left(\alpha _{1}\xi +\beta _{1}\eta +\gamma _{1}\zeta \right)}{r^{5}}},\\\\\Gamma =-\lambda _{1}{\frac {\gamma _{1}r^{2}-3\zeta \left(\alpha _{1}\xi +\beta _{1}\eta +\gamma _{1}\zeta \right)}{r^{5}}}.\end{array}}$ |
Diese Formeln führen in Betreff der Determinante $\Delta$ oder $\mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\Gamma$ zu folgender Construction:
$\lambda _{1}$
$P$
$r$
$\lambda _{1}$
$Q$
$r$
$R$
$n_{1}$
$\Delta$
$PR$
$RP$
Fig. 14.
Beweis.— Die Coordinaten des gegebenen Punctes $P$ sind [vergl. (25.)]:
$\xi ,\eta ,\zeta ,\,$
folglich die Coordinaten des genannten Theilpunctes $Q$:
${\frac {1}{3}}\xi ,\ {\frac {1}{3}}\eta ,\ {\frac {1}{3}}\zeta .$
Zur Bestimmung der Coordinaten $\xi ',\eta ',\zeta '$ des Punctes $R$ ergeben sich daher die Gleichungen:
| (a.) | $\left(\xi '-{\frac {1}{3}}\xi \right)\xi +\left(\eta '-{\frac {1}{3}}\eta \right)\eta +\left(\zeta '-{\frac {1}{3}}\zeta \right)\zeta =0,$ |
| (b.) | $\xi '=\vartheta \alpha _{1},\ \eta '=\vartheta \beta _{1},\ \zeta '=\vartheta \gamma _{1},$ |
wo $\vartheta$ einen unbekannten Factor vorstellt.
Die Gleichung (a.) kann auch so geschrieben werden:
| (c.) | $\xi '\xi +\eta '\eta +\zeta '\zeta ={\frac {1}{3}}r^{2},$ |
| (d.) | $\vartheta \left(\alpha _{1}\xi +\beta _{1}\eta +\gamma _{1}\zeta \right)={\frac {1}{3}}r^{2}.$ |
Substituirt man den hieraus für $\vartheta$ sich ergebenden Werth in die erste der Formeln (b.), so folgt:
| (e.) | $\xi '={\frac {\alpha _{1}r^{2}}{3\left(\alpha _{1}\xi +\beta _{1}\eta +\gamma _{1}\zeta \right)}},$ |
oder falls man $\xi$ auf beiden Seiten subtrahirt:
| (f.) | $\xi '-\xi ={\frac {\alpha _{1}r^{2}-3\xi \left(\alpha _{1}\xi +\beta _{1}\eta +\gamma _{1}\zeta \right)}{3\left(\alpha _{1}\xi +\beta _{1}\eta +\gamma _{1}\zeta \right)}}.$ |
Hieraus aber folgt mit Rückblick auf (27.) sofort:
| (g.) | $\mathrm {A} :\mathrm {B} :\Gamma =\xi '-\xi :\eta '-\eta :\zeta '-\zeta ;\,$ |
w. z. z. w.