# Die elektrischen Kräfte/Zusammenstellung:§50

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Das gegebene Solenoid sei, ebenso wie vorhin (pg. 253), angedeutet durch
$\alpha \dots \beta ({\mathsf {D}}\nu )\dots \gamma ,$
und durch ${\mathsf {I}},\lambda ,\delta$. — Der Einfachheit willen mag angenommen werden, dass alle Puncte des gegebenen geschlossenen Stromes in einer Ebene liegen; seine Stärke sei ${\mathsf {I}}_{1}$, und seine ebene Stromfläche $\Lambda _{1}$.
Das Potential zwischen einem einzelnen bei $\beta$ gelegenen Solenoid-Ringe $\lambda$ und zwischen jenem Strom $\Lambda _{1}$ hat nach (30.) den Werth:
| (40.) | $P\left(\lambda ,\Lambda _{1}\right)=A^{2}{\mathsf {I}}{\mathsf {I}}_{1}\cdot \lambda {\frac {\partial (\epsilon {\mathsf {K}})}{\partial \nu }},$ |
wo $\nu$ die positive Normale von $\lambda$, also die Richtung von ${\mathsf {D}}\nu$ bezeichnet, während $\epsilon {\mathsf {K}}$ die reducirte Kegelöffnung von $\lambda$ nach $\Lambda _{1}$ vorstellt.
Um das Potential $P\left({\mathsf {D}}\nu ,\Lambda _{1}\right)$ des Solenoidelementes ${\mathsf {D}}\nu$ auf $\Lambda _{1}$ zu erhalten, ist der Ausdruck (40.) noch zu multipliciren mit der Anzahl $\delta {\mathsf {D}}\nu$ aller auf ${\mathsf {D}}\nu$ befindlichen Ringe. Somit wird:
| (41.) | $P\left({\mathsf {D}}\nu ,\Lambda _{1}\right)=A\left(A{\mathsf {I}}\gamma \delta \right){\mathsf {I}}_{1}\cdot {\frac {\partial (\epsilon {\mathsf {K}})}{\partial \nu }}{\mathsf {D}}\nu .$ |
Hieraus ergiebt sich durch Integration für das Potential $P\left(\alpha \gamma ,\Lambda _{1}\right)$ des ganzen Solenoides auf $\Lambda _{1}$der Werth:
| (42.) | $P\left(\alpha \gamma ,\Lambda _{1}\right)=A\left(A{\mathsf {I}}\gamma \delta \right){\mathsf {I}}_{1}\cdot \sum \limits _{\alpha }^{\gamma }\left({\frac {\partial (\epsilon {\mathsf {K}})}{\partial \nu }}{\mathsf {D}}\nu \right),$ |
oder (was dasselbe ist):
| (43.) | $P\left(\alpha \gamma ,\Lambda _{1}\right)=A\left(A{\mathsf {I}}\gamma \delta \right){\mathsf {I}}_{1}\left[(\epsilon {\mathsf {K}})_{\gamma }-(\epsilon {\mathsf {K}})_{\alpha }\right],$ |
eine Formel, welche bei Einführung der beiden Pol-Intensitäten:
| (44.) | ${\mathsf {A}}=-A{\mathsf {I}}\lambda \delta ,\quad \Gamma =+A{\mathsf {I}}\lambda \delta$ |
auch so geschrieben werden kann:
| (45.) | $P\left(\alpha \gamma ,\Lambda _{1}\right)=A{\mathsf {I}}_{1}\left[\Gamma (\epsilon {\mathsf {K}})_{\gamma }-{\mathsf {A}}(\epsilon {\mathsf {K}})_{\alpha }\right],$ |
oder kürzer auch so:
| (46.) | $P\left(\alpha \gamma ,\Lambda _{1}\right)=A{\mathsf {I}}_{1}\cdot {\mathfrak {S}}({\mathsf {M}}\cdot \epsilon {\mathsf {K}}),$ |
wo alsdann ${\mathsf {M}}$ und $\epsilon {\mathsf {K}}$ als Collectivbezeichnungen anzusehen sind für ${\mathsf {A}},\Gamma$, und $(\epsilon {\mathsf {K}})_{\alpha },(\epsilon {\mathsf {K}})_{\gamma }$.
${\mathsf {I}}_{1}$
| (47.) | $A{\mathsf {I}}_{1}{\mathsf {M}}\cdot \epsilon {\mathsf {K}}.$ |
wo ${\mathsf {M}}$ die Intensität des Poles, und $\epsilon {\mathsf {K}}$ die reducirte Oeffnung des von ihm nach dem Strome gelegten Kegelmantels bezeichnet.
Uebrigens sind die Formeln (43.) bis (47.) nur dann richtig, wenn das Solenoid vollständig ausserhalb der Stromfläche $\Lambda _{1}$ liegt. Geht nämlich das Solenoid an irgend einer Stelle durch die Fläche $\Lambda _{1}$ hindurch, so erleidet die reducirte Kegelöffnung $\epsilon {\mathsf {K}}$, falls man die Spitze des Kegels längs des Solenoids fortschreiten lässt, an jener Stelle eine sprungweise Veränderung von $-2\pi$ auf $+2\pi$, oder umgekehrt (vergl. pg. 241); so dass in diesem Fall der Uebergang von Formel (42.) zu (43.) fehlerhaft sein würde.
Geht, um den allgemeinsten Fall ins Auge zu fassen, das gegebene Solenoid $\alpha \gamma$ im Ganzen $(p+p')$ Male durch die Fläche $\Lambda _{1}$ hindurch, und zwar $p$ Male in der Richtung der positiven Normale von $\Lambda _{1},p'$ Male in der entgegengesetzten Richtung, so gelangt man durch Berechnung des in (42.) vorhandenen Integrals zu folgender Formel:
| (48.) | $P\left(\alpha \gamma ,\Lambda _{1}\right)=A\left(A{\mathsf {I}}\gamma \delta \right){\mathsf {I}}_{1}\left[(\epsilon {\mathsf {K}})_{\gamma }-(\epsilon {\mathsf {K}})_{\alpha }-(p-p')4\pi \right];$ |
eine Formel, welche für $p=p'=0$ in die frühere (43.) zurückfällt.