# David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie/Kapitel 7.18

Es bleibt noch übrig, den anderen Teil des Fundamentalsatzes 100 als richtig zu erkennen, d. h. den Nachweis zu führen, daß die eben gefundene Bedingung, welche ein System von $r$ Einheiten $\pm 1$ notwendig erfüllen muß, damit dasselbe als das Charakterensystem eines Geschlechtes in $k\left({\sqrt {m}}\right)$ vorkommen kann, auch für diesen Umstand hinreichend ist. Dieser Nachweis kann auf zwei völlig verschiedenen Wegen erbracht werden; der erste Weg ist rein arithmetischer Natur, der zweite benutzt wesentlich transzendente Hilfsmittel. Der erste Beweis geschieht durch folgende Überlegungen:
Satz 102. Wenn $n$‚ $m$ zwei ganze rationale Zahlen bedeuten, von denen $m$ keine Quadratzahl ist, und die für jede beliebige Primzahl $w$ die Bedingung
* $\left({\frac {n,m}{w}}\right)=+1$
erfüllen, so ist die Zahl $n$ stets gleich der Norm einer ganzen oder gebrochenen Zahl $\alpha$ des Körpers $k\left({\sqrt {m}}\right)$.
Beweis. Wegen $\prod \limits _{(w)}\left({\frac {n,m}{w}}\right)=+1$ ist gemäß der Bemerkung auf S. 172 oben wenigstens eine der beiden Zahlen $n$, $m$ positiv. Wir dürfen voraussetzen, daß $n$ und $m$ keine rationalen quadratischen Faktoren enthalten. Bedeutet dann $p$ eine in $n$ als Faktor enthaltene Primzahl, welche zugleich in der Diskriminante $d$ des Körpers $k\left({\sqrt {m}}\right)$ aufgeht, so ist $p$ gleich der Norm eines Ideals in $k\left({\sqrt {m}}\right)$. Bedeutet ferner $p$ eine ungerade, in $n$, aber nicht in $m$ aufgehende Primzahl, so ist, wegen
* $\left({\frac {n,m}{p}}\right)=\left({\frac {m}{p}}\right)=+1$,
diese Primzahl $p$ ebenfalls gleich der Norm eines Ideals in $k\left({\sqrt {m}}\right)$. Ist endlich die Primzahl 2 in $n$, aber nicht in der Diskriminante des Körpers $k\left({\sqrt {m}}\right)$ enthalten, so ist wegen $\left({\frac {n,m}{2}}\right)=\left({\frac {2,m}{2}}\right)=(-1)^{\frac {m^{2}-1}{8}}=+1$ wiederum die Primzahl 2 gleich der Norm eines Ideals in $k\left({\sqrt {m}}\right)$, und mithin gibt es in $k\left({\sqrt {m}}\right)$ gewiß stets ein Ideal ${\mathfrak {j}}$ derart, daß $|n|=n({\mathfrak {j}})$ wird. Wir wählen nun in der durch ${\mathfrak {j}}$ bestimmten Idealklasse ein solches Ideal ${\mathfrak {j}}'$ aus, dessen Norm $n({\mathfrak {j}}')\leqq \left|{\sqrt {d}}\right|$ ist, wo $d$ die Diskriminante des durch ${\sqrt {m}}$ bestimmten Körpers bedeutet. Dies ist nach Satz 50 stets möglich. Wir setzen dann ${\mathfrak {j}}'=\varkappa {\mathfrak {j}}$ und $n'=n\cdot n(\varkappa )$; dabei bedeutet $\varkappa$ eine ganze oder gebrochene Zahl in $k\left({\sqrt {m}}\right)$, und es wird $n'=\pm n({\mathfrak {j}}')$, wo das positive oder das negative Vorzeichen gilt, je nachdem $n\cdot n(\varkappa )$ positiv oder negativ ausfällt. Die ganze rationale Zahl $n'$ fällt daher insbesondere gewiß positiv aus, falls $m$ negativ ist. Da $d$ den Wert $m$ oder $4m$ hat, so ist gewiß $\left|n'\right|\leqq 2\left|{\sqrt {m}}\right|$, und hieraus folgt $\left|n'\right|<\left|m\right|$, sobald $2\left|{\sqrt {m}}\right|<\left|m\right|$, d. h. $\left|m\right|>4$ ist. Andererseits gilt wegen $n'=n\cdot n(\varkappa )$ die Gleichung $\textstyle \left({\frac {n,\,m}{w}}\right)=\left({\frac {n',\,m}{w}}\right)=+1$ und dann nach Formel $\left(c''\right)$ in Satz 98 auch $\textstyle \left({\frac {m,\,n'}{w}}\right)=+1$ für jede beliebige Primzahl $w$.
Wir machen nun die Annahme, daß der zu beweisende Satz 102 bereits für jeden Körper $k\left({\sqrt {m'}}\right)$ feststehe, bei welchem die bestimmende Zahl $m'$, mag sie positiv oder negativ sein, der Ungleichung $\left|m'\right|<\left|m\right|$ genügt. Sowie die vorhin gefundene Zahl $n'$ die Bedingung $\left|n'\right|<\left|m\right|$ erfüllt und keine Quadratzahl ist, muß dann, da. auch die Bedingung $\textstyle \left({\frac {m,\,n'}{w}}\right)=+1$ für jede beliebige Primzahl $w$ gilt, infolge der angenommenen Gültigkeit unseres Satzes 102, die Zahl $m$ die Norm einer Zahl $\alpha '$ im Körper $k\left({\sqrt {n'}}\right)$ sein, d. h. es gibt zwei ganze oder gebrochene rationale Zahlen $a$ und $b$ derart, daß $m=a^{2}-n'b^{2}$ wird; wenn aber $n'$ eine Quadratzahl ist, so versteht sich die Möglichkeit dieser Gleichung ohne weiteres. Da $b\neq 0$ sein muß, so folgt hieraus $\textstyle n'=\left({\frac {a}{b}}\right)^{2}-m\left({\frac {1}{b}}\right)^{2}=n(\lambda )$, d. h. es ist $n'$ die Norm einer Zahl $\lambda$ im Körper $k\left({\sqrt {m}}\right)$. Die Verbindung dieser Tatsache mit der Gleichung $n'=n\cdot n(\varkappa )$ ergibt $n=n(\alpha )$‚ wo $\textstyle \alpha ={\frac {\lambda }{\varkappa }}$ wieder eine Zahl in $k\left({\sqrt {m}}\right)$ bedeutet.
Der vollständige Beweis unseres Satzes 102 wird hiernach offenbar geführt sein, sobald wir seine Richtigkeit für alle die Fälle erkannt haben, in denen $|m|\leqq 4$ und zugleich $|n|\leqq \left|{\sqrt {d}}\right|$ statthat. Bei dieser Einschränkung der Zahlen $n$, $m$ treffen die Bedingungen des Satzes 102 nur in 8 Fällen zu. Die Gleichungen
${\begin{alignedat}{2}1&=n\left({\sqrt {-1}}\right),&-2&=n\left({\sqrt {2}}\right),\\2&=n\left(1+{\sqrt {-1}}\right),\qquad &2&=n\left({\sqrt {-2}}\right),\\2&=n\left(2+{\sqrt {2}}\right),&-2&=n\left(1+{\sqrt {3}}\right),\\-1&=n\left(1+{\sqrt {2}}\right),&-3&=n\left({\sqrt {3}}\right),\end{alignedat}}$
zeigen, daß in diesen 8 Fällen unser Satz 102 gültig ist.
Man erkennt leicht, daß der Satz 102 auch in der Abänderung zutrifft, daß die Erfüllung der Bedingung ${\frac {n,\,m}{w}}=+1$ nur für alle ungeraden Primzahlen $w$ verlangt, dann aber die Bedingung hinzugefügt wird, daß wenigstens eine der beiden Zahlen $n$, $m$ positiv ist [Lagrange (1), Legendre (1), Gauss (1)]; in der Tat ist nach Hilfssatz 14 die Gleichung $\textstyle \left({\frac {n,\,m}{2}}\right)=+1$ dann von selbst miterfüllt.
Am Schlusse des § 66 haben wir gezeigt, daß das Quadrat einer Idealklasse stets dem Hauptgeschlechte angehört. Durch den Satz 102 des § 71 haben wir ein Mittel, die umgekehrte Tatsache einzusehen.
Satz 103. In einem quadratischen Körper ist jede Klasse des Hauptgeschlechtes stets gleich dem Quadrat einer Klasse [Gauss (1)].
Beweis. Es sei $H$ im Körper $\textstyle k\left({\sqrt {m}}\right)$ eine Klasse des Hauptgeschlechts, ${\mathfrak {h}}$ ein solches Ideal aus der Klasse $H$, welches zur Diskriminante $d$ des Körpers $\textstyle k\left({\sqrt {m}}\right)$ prim ausfällt, und ${\overline {n}}$ sei die mit dem bezüglichen Vorzeichen gemäß § 65 versehene Norm des Ideals ${\mathfrak {h}}$. Diese Zahl ${\overline {n}}$ erfüllt dann für jede beliebige Primzahl $w$ die Bedingung $\textstyle \left({\frac {{\overline {n}},\,m}{w}}\right)=+1$, und es ist mithin dem Satze 102 zufolge ${\overline {n}}=n(\alpha )$, wo $\alpha$ eine ganze oder gebrochene Zahl des Körpers $\textstyle k\left({\sqrt {m}}\right)$ bedeutet. Setzen wir$\textstyle {\frac {\mathfrak {h}}{\alpha }}={\frac {\mathfrak {k}}{{\mathfrak {k}}'}}$‚ wo ${\mathfrak {k}}$ und ${\mathfrak {k}}'$ zueinander prime Ideale seien, so folgt $\textstyle {\frac {{\mathfrak {k}}\cdot s{\mathfrak {k}}}{{\mathfrak {k}}'\cdot s{\mathfrak {k}}'}}=1$, und mithin ist notwendigerweise ${\mathfrak {k}}'=s{\mathfrak {k}}$. Da ${\mathfrak {k}}\cdot s{\mathfrak {k}}\sim 1$ ist, so folgt ${\mathfrak {h}}\sim {\mathfrak {k}}^{2}$.
Die eben bewiesene charakteristische Eigenschaft der Ideale des Hauptgeschlechts steht in engem Zusammenhange mit einer anderen gleichfalls charakteristischen Eigenschaft dieser Ideale, welche in folgendem Satze ihren Ausdruck findet:
Satz 104. Sind $\omega _{1}$, $\omega _{2}$ Basiszahlen des quadratischen Körpers $k$ und $\eta _{1}$, $\eta _{2}$ Basiszahlen eines zum Hauptgeschlecht von $k$ gehörigen Ideals ${\mathfrak {h}}$, und ist endlich $N$ eine beliebig gegebene ganze rationale Zahl, so lassen sich stets vier rationale Zahlen $r_{11}$, $r_{12}$, $r_{21}$, $r_{22}$ finden, deren Nenner zu $N$ prim sind, für welche die Determinante $r_{11}r_{22}-r_{12}r_{21}$ den Wert $\pm 1$ hat, und vermittelst derer
* ${\frac {\eta _{1}}{\eta _{2}}}={\frac {r_{11}\omega _{1}+r_{12}\omega _{2}}{r_{21}\omega _{1}+r_{22}\omega _{2}}}$
wird.
Beweis. Man bestimme ein zu ${\mathfrak {h}}$ äquivalentes Ideal ${\mathfrak {h}}'=\beta {\mathfrak {h}}$‚ welches zu $Nd$ prim ist. Wie in dem Beweise zum Satz 103 bereits benutzt wurde, ist ${\overline {n}}=\pm n({\mathfrak {h}}')$, wenn das Vorzeichen gemäß § 65 gewählt wird, stets gleich der Norm einer ganzen oder gebrochenen Zahl $\alpha$ im Körper $k$. Dabei kann $\alpha$ so gewählt werden, daß es eine zu $Nd$ prime ganze rationale Zahl $r$ gibt, so daß $\alpha r$ ganz wird. Das Ideal $r\alpha {\mathfrak {h}}'=r\alpha \beta {\mathfrak {h}}$ besitzt die Basiszahlen
* ${\begin{aligned}r\alpha \beta \eta _{1}=a_{11}\omega _{1}+a_{12}\omega _{2},\\r\alpha \beta \eta _{2}=a_{21}\omega _{1}+a_{22}\omega _{2},\end{aligned}}$
wo $a_{11}$, $a_{12}$, $a_{21}$, $a_{22}$ ganze rationale Zahlen bedeuten. Wegen $n(\alpha {\mathfrak {h}}')={\overline {n}}^{2}$ ist die Determinante $a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}=\pm r^{2}{\overline {n}}^{2}$ und daher besitzen die vier Zahlen $r_{11}=\textstyle {\frac {a_{11}}{r{\overline {n}}}}$, $r_{12}=\textstyle {\frac {a_{12}}{r{\overline {n}}}}$, $r_{21}=\textstyle {\frac {a_{21}}{r{\overline {n}}}}$, $r_{22}=\textstyle {\frac {a_{22}}{r{\overline {n}}}}$, die im Satze behauptete Eigenschaft.
Im quadratischen Körper $k$ werde ein Ideal ${\mathfrak {a}}$ ein ambiges Ideal genannt, wenn es nach Anwendung der Operation $s=\left({\sqrt {m}}\,:\,-{\sqrt {m}}\right)$ ungeändert bleibt, und wenn es außerdem keine ganze rationale Zahl $\neq \pm 1$ als Faktor enthält. (Vgl. § 57.) Es gilt die Tatsache:
Satz 105. Die $t$ in der Diskriminante $d$ des Körpers $k$ aufgehenden, voneinander verschiedenen Primideale ${\mathfrak {l}}_{1}$, …, ${\mathfrak {l}}_{t}$, und nur diese, sind ambige Primideale in $k$. Die $2^{t}$ Ideale $1$, ${\mathfrak {l}}_{1}$, ${\mathfrak {l}}_{2}$, …, ${\mathfrak {l}}_{1}{\mathfrak {l}}_{2}$, …, ${\mathfrak {l}}_{1}{\mathfrak {l}}_{2}$ … ${\mathfrak {l}}_{t}$ machen die Gesamtheit aller ambigen Ideale des Körpers $k$ aus.
Beweis. Daß die Primideale ${\mathfrak {l}}_{1}$, …, ${\mathfrak {l}}_{t}$, und nur diese, ambig sind, folgt aus Satz 96. Ist nun ${\mathfrak {a}}={\mathfrak {pq\ldots r}}$ ein beliebiges, in Primideale zerlegtes ambiges Ideal, so müssen wegen ${\mathfrak {a}}=s{\mathfrak {a}}$ die zu den Primidealen ${\mathfrak {p}}$, ${\mathfrak {q}}$, …,${\mathfrak {r}}$ konjugierten Primideale $s{\mathfrak {p}}$, $s{\mathfrak {q}}$, …,$s{\mathfrak {r}}$, von der Reihenfolge abgesehen, mit ${\mathfrak {p}}$, ${\mathfrak {q}}$, …,${\mathfrak {r}}$ übereinstimmen. Wenn etwa $s{\mathfrak {p}}={\mathfrak {q}}$ sich herausstellen würde, so besäße ${\mathfrak {a}}$ den Faktor ${\mathfrak {p}}\cdot s{\mathfrak {p}}$, welcher gleich einer ganzen rationalen Zahl ist; da dieser Umstand der Erklärung des ambigen Ideals zuwider wäre, so muß notwendig ${\mathfrak {p}}=s{\mathfrak {p}}$ sein und ebenso ${\mathfrak {q}}=s{\mathfrak {q}}$, …, ${\mathfrak {r}}=s{\mathfrak {r}}$, d. h. die einzelnen Primideale ${\mathfrak {p}}$, ${\mathfrak {q}}$, …,${\mathfrak {r}}$ sind sämtlich ambig. Da die Quadrate der Ideale ${\mathfrak {l}}_{1}$, …, ${\mathfrak {l}}_{t}$ gleich ganzen rationalen Zahlen werden, so schließen wir ebenso, daß die Ideale ${\mathfrak {p}}$, ${\mathfrak {q}}$, …,${\mathfrak {r}}$ notwendig untereinander verschieden sind; damit ist auch der letzte Teil des Satzes 105 bewiesen.
Wenn ${\mathfrak {a}}$ ein Ideal der Klasse $A$ ist, so werde diejenige Idealklasse, der das Ideal $s{\mathfrak {a}}$ angehört, mit $sA$ bezeichnet. Ist insbesondere $A=sA$, so heißt die Idealklasse $A$ eine ambige Idealklasse. Da das Produkt ${\mathfrak {a}}\cdot s{\mathfrak {a}}\sim 1$ ist, so wird $A\cdot sA=1$; und folglich ist das Quadrat einer jeden ambigen Klasse gleich der Hauptklasse 1. Umgekehrt, wenn das Quadrat einer Klasse $A$ gleich $1$ ist, so wird $A=\textstyle {\frac {1}{A}}=sA$, und folglich ist $A$ eine ambige Klasse.
Es entsteht nun die Aufgabe, alle ambigen Klassen in $k$ aufzustellen. Da offenbar ein jedes ambige Ideal ${\mathfrak {a}}$ vermöge seiner Eigenschaft ${\mathfrak {a}}=s{\mathfrak {a}}$ eine ambige Klasse bestimmt, so haben wir vor allem zu untersuchen, wie viele voneinander verschiedene ambige Klassen aus den $2^{t}$ ambigen Idealen entspringen. Wir bezeichnen allgemein irgend welche vorgelegte Idealklassen als voneinander unabhängige Idealklassen, wenn keine darunter die Klasse 1 ist und auch keine gleich einem Produkte von Potenzen der übrigen dieser Klassen gesetzt werden kann. Wir sprechen dann folgende Tatsache aus:
Satz 106. Die $t$ ambigen Primideale bestimmen im Falle eines imaginären Körpers stets $t-1$ voneinander unabhängige ambige Klassen; im Falle eines reellen Körpers bestimmen sie $t-2$ oder $t-1$ voneinander unabhängige ambige Klassen, je nachdem die Norm der Grundeinheit $\varepsilon$ des Körpers $n(\varepsilon )=+1$ oder $=-1$ ist. Die sämtlichen $2^{t}$ ambigen Ideale bestimmen im Falle eines imaginären Körpers $2^{t-1}$ und im Falle eines reellen Körpers, entsprechend der eben gemachten Unterscheidung, $2^{t-2}$ bez. $2^{t-1}$ voneinander verschiedene ambige Klassen.
Beweis. Das Produkt aus sämtlichen in $m$ aufgehenden Primidealen ist gleich ${\sqrt {m}}$ und mithin ein Hauptideal in $k$. Ist zunächst $m$ negativ, jedoch von $-1$ und $-3$ verschieden, und $(\alpha )$ ein ambiges Hauptideal in $k$, so muß $\alpha ^{1-s}$ als Einheit notwendig $=(-1)^{e}$ sein, wo $e$ die Werte $0$ oder $1$ haben kann; hieraus folgt:
* $\left\{\alpha \left({\sqrt {m}}\right)^{e}\right\}^{1-s}=1$ oder $\alpha \left({\sqrt {m}}\right)^{e}=s\left\{\alpha \left({\sqrt {m}}\right)^{e}\right\}$,
d. h. $\alpha \left({\sqrt {m}}\right)^{e}$ ist dann eine ganze rationale Zahl. Damit ist bewiesen, daß in einem imaginären Körper $k\left({\sqrt {m}}\right)$ – von $k\left({\sqrt {-1}}\right)$ und $k\left({\sqrt {-3}}\right)$ abgesehen – gewiß außer $1$ und ${\sqrt {m}}$ kein ambiges Hauptideal vorhanden ist. Die beiden hier zunächst ausgeschlossenen Fälle erledigen sich unmittelbar im Sinne des zu beweisenden Satzes 106.
Bei der Entscheidung der fraglichen Verhältnisse für einen reellen Körper $k$ kommt es darauf an, ob die Norm der Grundeinheit $\varepsilon$ des Körpers gleich $+1$ oder $-1$ ausfällt.
Ist nämlich $n(\varepsilon )=+1$, so kann man nach Satz 90 die Formel $\varepsilon =\alpha ^{1-s}$ durch eine ganze Zahl $\alpha$ in $k$ befriedigen und noch $\alpha$ ohne rationalen Faktor $\neq \pm 1$ voraussetzen. Wegen $\alpha =\varepsilon \cdot s\alpha$ ist dann $(\alpha )$ ein ambiges Hauptideal. Dieses Hauptideal $(\alpha )$ ist von $1$ und von ${\sqrt {m}}$ verschieden; denn wäre $\alpha =\pm \varepsilon ^{f}$ oder $=\pm \varepsilon ^{f}{\sqrt {m}}$, wo der Exponent $f$ eine ganze rationale Zahl bedeutet, so würde
* $\alpha ^{1-s}=(-1)^{e}\varepsilon ^{(1-s)f}=(-1)^{e}\varepsilon ^{2f}$ ($e=0$ bzw. $1$)
folgen; letzterer Ausdruck aber ist stets von $\varepsilon$ verschieden. Ist ferner $\alpha '$ ein beliebiges ambiges Hauptideal des Körpers $k$, so ist notwendigerweise $\alpha ^{\prime 1-s}=(-1)^{e}\varepsilon ^{f}$, wo die Exponenten $e$ und $f$ ganze rationale Zahlen bedeuten. Setzen wir $a''=\textstyle {\frac {\alpha '}{\left({\sqrt {m}}\right)^{e}\alpha ^{f}}}$‚ so folgt $\alpha ^{\prime \prime 1-s}=1$, d. h. $\alpha ''$ ist eine rationale Zahl, und danach gibt es außer $1$, ${\sqrt {m}}$ und $\alpha$ nur noch ein ambiges Hauptideal, das durch Befreiung des Produkts ${\sqrt {m}}\cdot \alpha$ von etwaigen ganzen rationalen Faktoren $\neq \pm 1$ entsteht.
Ist andererseits $n(\varepsilon )=-1$, so gibt es kein von $1$ und ${\sqrt {m}}$ verschiedenes ambiges Hauptideal in $k$; denn ist $(\alpha )$ ein beliebiges ambiges Hauptideal in $k$, so gilt notwendigerweise eine Gleichung $\alpha ^{1-s}=(-1)^{e}\varepsilon ^{f}$ mit ganzen rationalen $e$, $f$; wegen $n(\alpha ^{1-s})=+1$ ergibt sich $(n(\varepsilon ))^{f}=+1$, d. h. $f$ ist eine gerade Zahl. Setzen wir $\alpha '=\textstyle {\frac {\alpha }{\varepsilon ^{\frac {f}{2}}\left({\sqrt {m}}\right)^{e+{\frac {f}{2}}}}}$, so folgt $\alpha ^{\prime 1-s}=+1$, d. h. $\alpha '$ ist eine rationale Zahl.
Wir drücken nun von den $t$ ambigen Primidealen in $k$ ein geeignetes durch ${\sqrt {m}}$ und die $t-1$ übrigen ambigen Primideale und, wenn der Körper $k$ reell und zugleich $n(\varepsilon )=+1$ ausfällt, weiter noch von diesen $t-1$ ambigen Primidealen ein geeignetes durch $\alpha$ und die $t-2$ übrigen dieser Ideale aus. Hierdurch erkennen wir die Richtigkeit des zweiten Teiles des Satzes 106.
Es gilt die folgende Tatsache:
Satz 107. Es gibt im quadratischen Körper $k$ dann und nur dann eine ambige Klasse, welche kein ambiges Ideal enthält, wenn der Körper $k$ reell ist, das Charakterensystem von $-1$ in ihm aus lauter positiven Einheiten besteht und endlich die Norm der Grundeinheit gleich $+1$ ausfällt. Sind diese Bedingungen erfüllt, so entstehen alle überhaupt vorhandenen Klassen von jener Beschaffenheit dadurch, daß man eine beliebige unter ihnen der Reihe nach mit allen aus den ambigen Idealen entspringenden Klassen multipliziert.
Beweis. Wenn der Körper $k$ reell ist und das Charakterensystem von $-1$ in ihm aus lauter positiven Einheiten besteht, so gibt es nach Satz 102 in $k$ stets eine ganze oder gebrochene Zahl $\alpha$, deren Norm $=-1$ wird. Ist ferner die Norm der Grundeinheit $n(\varepsilon )=+1$ , so ist diese Zahl $\alpha$ notwendig eine gebrochene. Setzen wir $\alpha ={\frac {\mathfrak {j}}{{\mathfrak {j}}'}}$, wo ${\mathfrak {j}}$ und ${\mathfrak {j}}'$ zueinander prime Ideale sein sollen, so wird $\textstyle {\frac {{\mathfrak {j}}\cdot s{\mathfrak {j}}}{{\mathfrak {j}}'\cdot s{\mathfrak {j}}'}}=1$, und hieraus folgt ${\mathfrak {j}}'=s{\mathfrak {j}}$, also ${\mathfrak {j}}\sim s{\mathfrak {j}}$, und ${\mathfrak {j}}$ bestimmt folglich eine ambige Klasse. Diese ambige Klasse enthält kein ambiges Ideal. Wäre nämlich ein Ideal ${\mathfrak {a}}={\mathfrak {j}}\beta$, wo $\beta$ eine ganze oder gebrochene Zahl des Körpers $k$ bedeutet, ambig, so würde ${\mathfrak {a}}^{1-s}=\alpha \beta ^{1-s}$ folgen, und mithin wäre $\alpha \beta ^{1-s}$ gleich einer Einheit, etwa $=(-1)^{e}\varepsilon ^{f}$, und folglich $n(\alpha )=+1$, was der Konstruktion der Zahl $\alpha$ zuwiderliefe. Darnit ist bewiesen, daß die durch ${\mathfrak {j}}$ bestimmte ambige Klasse kein ambiges Ideal enthält.
Es sei jetzt $A$ eine beliebig gegebene ambige Klasse und ${\mathfrak {j}}$ ein Ideal derselben, so ist ${\mathfrak {j}}^{1-s}$ gleich einer ganzen oder gebrochenen Zahl $\alpha$ des Körpers $k$, und es wird die Norm $n(\alpha )$ entweder $=+1$ oder $=-1$ sein. Der erstere Fall ist der einzig mögliche, wenn der Körper $k$ imaginär ist, oder wenn der Körper $k$ reell ist und wenigstens einer von den Charakteren $\textstyle \left({\frac {-1,\,m}{w}}\right)$ den Wert $-1$ besitzt. Sowie nun $n(\alpha )=+1$ ist, folgt nach Satz 90, daß $\textstyle {\frac {1}{\alpha }}=\beta ^{1-s}$ wird, wo $\beta$ eine ganze Zahl in $k$ bedeutet; dann ist $({\mathfrak {j}}\beta )^{1-s}=1$, d. h. ${\mathfrak {j}}\beta$ gleich dem Produkt eines ambigen Ideals in eine rationale Zahl, und die Klasse $A$ enthält mithin ein ambiges Ideal. Ist andererseits $n(\alpha )=-1$ und zugleich $n(\varepsilon )=-1$, so wird $n(\varepsilon \alpha )=+1$, und wir beweisen wie vorhin, daß die Klasse $A$ ein ambiges Ideal enthält. Daraus ersehen wir, daß jede ambige Klasse ein ambiges Ideal enthält, falls der Körper $k$ imaginär ist, und desgleichen, falls der Körper $k$ reell ist und für ihn entweder einer der Charaktere von $-1$ den Wert $-1$ besitzt oder $n(\varepsilon )=-1$ ausfällt.
Nehmen wir endlich in dem weiteren Falle, daß keiner dieser Umstände zutrifft, an, es gebe in $k$ mehrere ambige Idealklassen, die kein ambiges Ideal enthalten, und wählen aus zweien darunter je ein Ideal, ${\mathfrak {j}}$ und ${\mathfrak {j}}'$, aus, so zeigt die vorhin dargelegte Entwicklung, daß die Normen der beiden Zahlen $\alpha ={\mathfrak {j}}^{1-s}$ und $\alpha '={\mathfrak {j}}^{\prime 1-s}$ notwendig den Wert $-1$ besitzen, und es wird folglich $n\textstyle \left({\frac {\alpha '}{\alpha }}\right)=+1$. Nach Satz 90 ergibt sich hieraus eine Darstellung $n\textstyle {\frac {\alpha '}{\alpha }}=\beta ^{1-s}$ mit Hilfe einer geeigneten ganzen Zahl $\beta$ in $k$. Setzen wir $\textstyle {\frac {{\mathfrak {j}}'\beta }{\mathfrak {j}}}={\mathfrak {ba}}$‚ wo $b$ eine rationale Zahl und ${\mathfrak {a}}$ ein Ideal ohne ganzen rationalen Faktor $\neq \pm 1$ bedeute, so folgt wegen $\textstyle \left({\frac {{\mathfrak {j}}'\beta }{\mathfrak {j}}}\right)^{1-s}=1$ die Gleichung \mathfrak $a=s{\mathfrak {a}}$‚ d. h. ${\mathfrak {a}}$ ist ein ambiges Ideal; und dabei ist ${\mathfrak {j}}'\sim {\mathfrak {aj}}$. Damit haben wir auch den letzten Teil unseres Satzes 107 bewiesen.
Die Sätze 106 und 107 ermöglichen die Berechnung der Anzahl aller ambigen Klassen.
Satz 108. Es gibt in jedem Falle im Körper $k$ genau $r-1$ voneinander unabhängige ambige Klassen, wo $r$ die Anzahl der Einzelcharaktere bedeutet, die das Geschlecht einer Klasse bestimmen. Die Anzahl der sämtlichen voneinander verschiedenen ambigen Klassen ist daher gleich $2^{r-1}$.
Beweis. Es sei wieder $t$ die Anzahl der verschiedenen in der Diskriminante $d$ des Körpers $k$ aufgehenden rationalen Primzahlen. Betrachten wir zunächst den Fall, daß $k$ ein imaginärer Körper ist, so folgt aus den Sätzen 106 und 107 das Vorhandensein von genau $2^{t-1}$ ambigen Klassen in $k$; diese entspringen sämtlich aus ambigen Idealen. Jetzt sei der Körper $k$ reell; besteht das Charakterensystem der Zahl $-1$ in $k$ aus lauter positiven Einheiten, so folgt desgleichen aus den Sätzen 106 und 107 das Vorhandensein von genau $2^{t-1}$ ambigen Klassen in $k$; von diesen $2^{t-1}$ ambigen Klassen entspringen hier entweder sämtliche oder nur die Hälfte aus ambigen Idealen, je nachdem $n(\varepsilon )=-1$ oder $=+1$ ausfällt. Besitzt jedoch die Zahl $-1$ für $k$ wenigstens einen negativen Charakter, so ist stets $n(\varepsilon )=+1$; nach den Sätzen 106 und 107 gibt es nur $2^{t-2}$ ambige Klassen in $k$, und diese entspringen sämtlich aus ambigen Idealen. Nun ist die Anzahl $r$ der Einzelcharaktere $=t-1$, wenn der Körper $k$ reell ist und überdies die Zahl $-1$ für $k$ wenigstens einen negativen Charakter besitzt; es ist $r=t$ in jedem anderen Falle; damit ist unser Satz 108 bewiesen.
Die gewonnenen Resultate setzen uns in den Stand, auf die Frage nach der Anzahl der Geschlechter die Antwort zu finden, die im Fundamentalsatze 100 ausgesprochen ist; wir können nämlich beweisen, daß diese Anzahl stets gleich $2^{r-1}$ ist, und daß mithin alle diejenigen Charakterensysteme, die der Bedingung des Satzes 100 Genüge leisten, wirklich unter den Geschlechtern vertreten sind. Wir bezeichnen die Anzahl der voneinander verschiedenen existierenden Geschlechter mit $g$ und die Anzahl der Klassen des Hauptgeschlechtes mit $f$. Da nach § 66 alle Geschlechter die gleiche Anzahl von Klassen enthalten, so ist die Anzahl $h$ sämtlicher Klassen des Körpers $h=gf$. Bezeichnen wir ferner die $f$ Klassen des Hauptgeschlechtes mit $H_{1}$, …‚ $H_{f}$ so können wir nach dem Satze 103 $H_{1}=K_{1}^{2}$, …, $H_{f}=K_{f}^{2}$ setzen, wo $K_{1}$, …‚ $K_{f}$ gewisse $f$ Klassen des Körpers bedeuten.
Es sei jetzt $C$ eine beliebige Klasse des Körpers; da $C^{2}$ offenbar zum Hauptgeschlecht gehört, so ist $C^{2}=K_{a}^{2}$, wo $K_{a}$ eine ganz bestimmte der eben eingeführten Klassen $K_{1}$‚ …, $K_{f}$ bedeutet. Es ist dann $\textstyle {\frac {C}{K_{a}}}$, d. h. diejenige wieder ganz bestimmte Klasse $A$, für welche $C=AK_{a}$ wird, eine ambige Klasse, und es stellt also der Ausdruck $AK$, wenn $A$ alle ambigen Klassen und $K$ die Klassen $K_{1}$, …‚ $K_{f}$ durchläuft, eine jede überhaupt vorhandene Idealklasse des Körpers dar, und auch jede nur auf eine Weise. Da nach Satz 108 die Anzahl der ambigen Klassen $2^{r-1}$ beträgt, so ergibt sich $h=2^{r-1}f$, und es führt die Zusammenstellung dieser Gleichung mit der oben gefundenen $h=gf$ zu der Beziehung $g=2^{r-1}$. Damit ist der Fundamentalsatz 100 vollständig bewiesen [Gauss (1)].
Der zweite Beweis für die Existenz der $2^{r-1}$ Geschlechter beruht auf transzendenter Grundlage; wir entwickeln der Reihe nach die folgenden Sätze:
Satz 109. Die Anzahl $h$ der Idealklassen des quadratischen Körpers $k$ mit der Diskriminante $d$ bestimmt sich durch folgende Formel:
* $\varkappa h={\underset {s=1}{L}}\prod \limits _{(p)}{\frac {1}{1-\left({\frac {d}{p}}\right)p^{-s}}}$.
Hierin ist das Produkt rechter Hand über alle rationalen Primzahlen $p$ zu erstrecken, und das Symbol $\textstyle \left({\frac {d}{p}}\right)$ hat die in § 61 festgesetzte Bedeutung. Für den Faktor $\varkappa$ gilt, je nachdem der Körper $k$ imaginär oder reell, also $d$ negativ oder positiv ist:
* $\varkappa ={\frac {2\pi }{w\left|{\sqrt {d}}\right|}}$ bez. $\varkappa ={\frac {2\log \varepsilon }{\left|{\sqrt {d}}\right|}}$.
Dabei bedeutet $w$ für $d=-3$ die Zahl $6$, für $d=-4$ die Zahl $4$, für jedes andere negative $d$ die Zahl $2$; andererseits verstehe man für einen reellen Körper $k$ unter $\varepsilon$ jetzt speziell diejenige seiner vier Grundeinheiten, welche $>1$ ist, und unter log $\varepsilon$ den reellen Wert des Logarithmus dieser Grundeinheit $\varepsilon$ [Dirichlet (8, 9)].
Beweis. Nach § 27 gilt, so lange $s$ reell und $>1$ ist:
* $\zeta (s)=\sum \limits _{({\mathfrak {j}})}{\frac {1}{n({\mathfrak {j}})^{s}}}=\prod \limits _{({\mathfrak {p}})}{\frac {1}{1-n({\mathfrak {p}})^{-s}}}$,
wo das Produkt über alle Primideale ${\mathfrak {p}}$ des Körpers $k$ zu erstrecken ist. Ordnen wir dieses Produkt nach den rationalen Primzahlen $p$, aus welchen die Primideale ${\mathfrak {p}}$ herstammen, so gehört, wie aus Satz 97 folgt, zu einer beliebigen rationalen Primzahl $p$ in dem Produkte das Glied:
* ${\frac {1}{(1-p^{-s})^{2}}}$ oder ${\frac {1}{1-p^{-2s}}}$ oder ${\frac {1}{1-p^{-s}}}$,
je nachdem $\left(\textstyle {\frac {d}{p}}\right)=+1$, $=-1$, $=0$ ist. Wir schreiben diese drei Ausdrücke in der ihnen gemeinschaftlichen Form:
* ${\frac {1}{1-p^{-s}}}{\frac {1}{1-\left({\frac {d}{p}}\right)p^{-s}}}$
und erhalten so:
* $\zeta (s)=\prod \limits _{(p)}{\frac {1}{1-p^{-s}}}\prod \limits _{(p)}{\frac {1}{1-\left({\frac {d}{p}}\right)p^{-s}}}$,
$p$
* ${\underset {s=1}{L}}\left\{(s-1)\prod _{(p)}{\frac {1}{1-p^{-s}}}\right\}={\underset {s=1}{L}}\left\{(s-1)\sum _{(n)}{\frac {1}{n^{s}}}\right\}=1$,
wo $n$ alle positiven ganzen rationalen Zahlen durchläuft, wird dann:
* ${\underset {s=1}{L}}\left\{(s-1)\zeta (s)\right\}={\underset {s=1}{L}}\prod _{(p)}{\frac {1}{1-\left({\frac {d}{p}}\right)p^{-s}}}$.
Die Richtigkeit unseres Satzes 109 folgt nun aus Satz 56, wenn wir den Wert von $\varkappa$ nach § 25 aufstellen. Zur Ermittelung von $w$ ist zu berücksichtigen, daß der Körper $k({\sqrt {-3}})$ die $6$ Einheitswurzeln $\pm 1$, $\pm {\frac {1\pm {\sqrt {-3}}}{2}}$‚ der Körper $k({\sqrt {-1}})$ die 4 Einheitswurzeln $\pm 1$, $\pm i$, dagegen ein jeder andere imaginäre quadratische Körper $k$ nur die beiden Einheitswurzeln $\pm 1$ enthält (vgl. § 62).
Die wichtigste Folgerung der eben bewiesenen Tatsache ist der Satz:
Satz 110. Bedeutet a eine beliebige ganze rationale positive oder negative Zahl, nur nicht eine Quadratzahl, so ist der Grenzwert
* ${\underset {s=1}{L}}\prod _{(p)}{\frac {1}{1-\left({\frac {a}{p}}\right)p^{-s}}}$
stets eine endliche und von $0$ verschiedene Größe [Dirichlet (8, 9)].
Beweis. Es sei $a=b^{2}m$, wo $b_{2}$ die größte in $a$ aufgehende Quadratzahl sein soll; es sei ferner $d$ die Diskriminante des durch ${\sqrt {a}}$ bestimmten quadratischen Körpers. Dann folgt für jede ungerade und nicht in $b$ aufgehende rationale Primzahl $p$ gewiß die Gleichung $\left({\frac {a}{p}}\right)=\left({\frac {d}{p}}\right)$. Die beiden unendlichen Produkte
* $\prod _{(p)}{\frac {1}{1-\left({\frac {d}{p}}\right)p^{-s}}}$ und $\prod _{(p)}{\frac {1}{1-\left({\frac {a}{p}}\right)p^{-s}}}$
können demnach nur in einer endlichen Anzahl von Faktoren voneinander abweichen. Da das erstere Produkt nach Satz 109 in der Grenze für $s=1$ endlich bleibt, so gilt daher dasselbe auch von dem zweiten Produkt.
Mit Hilfe des Satzes 110 beweisen wir der Reihe nach folgende Tatsachen: [Dirichlet (9), Kronecker (10)].
Satz 111. Bedeuten $a_{1}$, $a_{2}$‚ …‚ $a_{t}$ irgend $t$ ganze rationale, positive oder negative Zahlen von der Art, daß keine der $2^{t}-1$ Zahlen $a_{1}$, $a_{2}$, …, $a_{t}$, $a_{1}a_{2}$‚ …, $a_{t-1}a_{t}$, …‚ $a_{1}a_{2}\ldots a_{t}$ eine Quadratzahl wird, und sind $c_{1}$, $c_{2}$, …, $c_{t}$, nach Belieben vorgeschriebene Einheiten $+1$ oder $-1$, so gibt es stets unendlich viele rationale Primzahlen $p$, für die
* $\left({\frac {a_{1}}{p}}\right)=c_{1}$, $\left({\frac {a_{2}}{p}}\right)=c_{2}$, …, $\left({\frac {a_{t}}{p}}\right)=c_{t}$
ist.
Beweis. Wir haben, solange $s>1$ ist:
* ${\begin{aligned}\log \sum \limits _{(n)}{\frac {1}{n^{s}}}&=\sum \limits _{(p)}\log {\frac {1}{1-p^{-s}}}=\sum \limits _{(p)}{\frac {1}{p^{s}}}+S,\\S&={\frac {1}{2}}\sum \limits _{(p)}{\frac {1}{p^{2s}}}+{\frac {1}{3}}\sum \limits _{(p)}{\frac {1}{p^{3s}}}+\cdots .\end{aligned}}$
Da der Ausdruck $S$, wie in § 50 gezeigt worden ist, für $s=1$ endlich bleibt, so folgt, daß die über alle rationalen Primzahlen $p$ erstreckte Summe
| $\sum \limits _{(p)}{\frac {1}{p^{s}}}$ | (26) |
bei Annäherung von $s$ an $1$ über alle Grenzen wächst. Ist ferner $a$ eine beliebige ganze rationale Zahl, so gilt ähnlich für $s>1$ stets:
* ${\begin{aligned}\log \prod \limits _{(p)}{\frac {1}{1-\left({\frac {a}{p}}\right)p^{-s}}}&=\sum \limits _{(p)}\left({\frac {a}{p}}\right){\frac {1}{p^{2}}}+S_{a},\\S_{a}&={\frac {1}{2}}\sum \limits _{(p)}\left({\frac {a}{p}}\right)^{2}{\frac {1}{p^{2s}}}+{\frac {1}{3}}\sum \limits _{(p)}\left({\frac {a}{p}}\right)^{3}{\frac {1}{p^{3s}}}+\cdots ;\end{aligned}}$
ist $a$ nicht eine Quadratzahl, so bleibt nach Satz 110 $\log \prod \limits _{(p)}{\frac {1}{1-\left({\frac {a}{p}}\right)p^{-s}}}$ für $s=1$ endlich, und da das gleiche von dem Ausdruck $S_{a}$ gilt, so folgt, daß dann auch die Summe
| $\sum \limits _{(p)}\left({\frac {a}{p}}\right){\frac {1}{p^{s}}}$ | (27) |
für $s=1$ sich einer endlichen Grenze nähert. Wir setzen nun in (27)
* $a=a_{1}^{u_{1}}a_{2}^{u_{2}}\cdots a_{t}^{u_{t}}$
ein und geben jedem der $t$ Exponenten $u_{1}$‚ $u_{2}$, …, $u_{t}$ den Wert $0$ oder $1$, jedoch so, daß das Wertsystem $u_{1}=0$, $u_{2}=0$, …, $u_{t}=0$ ausgeschlossen bleibt. Wird dann jede so aus (27) herzuleitende Summe noch mit dem entsprechenden Faktor $c_{1}^{u_{1}}c_{2}^{u_{2}}\ldots c_{t}^{u_{t}}$ multipliziert, und werden die hervorgehenden $2^{t}-1$ Ausdrücke sämtlich zu (26) addiert, so entsteht:
| $\sum \limits _{(p)}\left(1+c_{1}\left({\frac {a_{1}}{p}}\right)\right)\left(1+c_{2}\left({\frac {a_{2}}{p}}\right)\right)\cdots \left(1+c_{t}\left({\frac {a_{t}}{p}}\right)\right){\frac {1}{p^{s}}}$. | (28) |
Diese Summe wird, ebenso wie (26), bei Annäherung von $s$ an $1$ über alle Grenzen wachsen. Sehen wir von den Gliedern ab, die den in $a_{1}a_{2}\ldots a_{t}$ aufgehenden Primzahlen $p$ entsprechen und die nur in endlicher Anzahl vorhanden sind, so ist im übrigen die Summe (28) gleich $2^{t}\sum _{(p')}{\frac {1}{p'^{s}}}$, wo $p'$ nur alle diejenigen Primzahlen $p$ durchläuft, für welche die im Satze 111 verlangten Bedingungen sämtlich erfüllt sind. Da mithin auch diese letzte Summe für $s=1$ über alle Grenzen wächst, so folgt, daß jene Primzahlen $p'$ in unendlicher Anzahl vorhanden sein müssen. Damit ist Satz 111 bewiesen.
Satz 112. Sind
* $\chi _{1}({\mathfrak {j}})=\left({\frac {\pm n({\mathfrak {j}}),m}{l_{1}}}\right),\ldots ,\chi _{r}({\mathfrak {j}})=\left({\frac {\pm n({\mathfrak {j}}),m}{l_{r}}}\right)$
die $r$ Einzelcharaktere, welche das Geschlecht eines Ideals ${\mathfrak {j}}$ in $k$ bestimmen, und bedeuten $c_{1}$, …, $c_{r}$ beliebig angenommene, der Bedingung $c_{1}\ldots c_{r}=+1$ genügende $r$ Einheiten $\pm 1$‚ so gibt es stets unendlich viele Primideale ${\mathfrak {p}}$ im Körper $k$, für welche
* $\chi _{1}({\mathfrak {p}})=c_{1},\ldots ,\chi _{r}({\mathfrak {p}})=c_{r}$
ist.
Beweis. In der Diskriminante $d$ des Körpers seien die $t$ rationalen Primzahlen $l_{1}$, …, $l_{t}$, enthalten. Es ist $t=r$ oder $r+1$; in letzterem Falle sei $\left({\frac {-1,m}{l_{t}}}\right)=-1$‚ und die Bedingung $\left({\frac {\pm n({\mathfrak {j}}),m}{l_{t}}}\right)=+1$ diene zur Bestimmung des Vorzeichens in $\pm n({\mathfrak {j}})$. Zugleich schreiben wir in diesem Falle $c_{t}=c_{r+1}=+1$. Wir beweisen nun zunächst, daß es unendlich viele rationale Primzahlen $p$ gibt, für welche
* $\left({\frac {p,m}{l_{1}}}\right)=c_{1},\ldots ,\left({\frac {p,m}{l_{t}}}\right)=c_{t}$
ist, und unterscheiden zu dem Zweck drei Fälle, je nachdem $m\equiv 1$, $\equiv 3$, oder $\equiv 2$ nach $4$ ist.
Im ersten Falle gehen wir von den Forderungen
* $\left({\frac {-1}{p}}\right)=+1,\left({\frac {l_{1}}{p}}\right)=c_{1},\ldots ,\left({\frac {l_{i}}{p}}\right)=c_{t}$
aus. Nach Satz 111 gibt es unendlich viele Primzahlen $p$, welche diesen Gleichungen genügen. Da die erste Gleichung auf $p\equiv 1$ nach $4$ hinauskommt, so wird für diese Primzahlen $p$ dann
* $\left({\frac {p,m}{l_{i}}}\right)=\left({\frac {p}{l_{i}}}\right)=\left({\frac {l_{i}}{p}}\right)=c_{i}$
für $i=1,\ldots ,t$ gelten.
Im zweiten Falle sei unter den Primzahlen $l_{1}$, …, $l_{t}$ etwa $l_{z}$, die Primzahl $2$. Ist dann $c_{z}=+1$, so legen wir die Forderungen
* $\left({\frac {-1}{p}}\right)=+1,\left({\frac {l_{i}}{p}}\right)=c_{i}$ $(i=i_{1},\ldots ,z-1,z+1,\ldots ,t)$
zugrunde, und es folgt nach Satz 111, daß es unendlich viele diesen Gleichungen genügende Primzahlen $p$ gibt. Wegen der ersten Gleichung wird $\left({\frac {p,m}{2}}\right)=+1=c_{z}$ und überdies $\left({\frac {p,m}{l_{i}}}\right)=\left({\frac {p}{l_{i}}}\right)=\left({\frac {l_{i}}{p}}\right)=c_{i}$ für $i=1$, …, $z-1$‚ $z+1$, …‚ $t$. Ist dagegen $c_{z}=-1$‚ so fordern wir:
* $\left({\frac {-1}{p}}\right)=-1,\left({\frac {l_{i}}{p}}\right)=(-1)^{\frac {l_{i}-1}{2}}c_{i},$ $(i=1,\ldots ,z-1,z+1,\ldots ,t)$
und die unendlich vielen, diesen Gleichungen genügenden Primzahlen $p$ erfüllen zugleich die Bedingungen:
* $\left({\frac {p,m}{2}}\right)=-1=c_{z}$  und  $\left({\frac {p,m}{l_{i}}}\right)=\left({\frac {p}{l_{i}}}\right)=(-1)^{\frac {l_{i}-1}{2}}\left({\frac {l_{i}}{p}}\right)=c_{i}$
für $i=1$‚ ...‚ $z-1$, $z+1$, ...‚ $t$.
Im dritten Falle endlich suchen wir wieder $l_{z}=2$ heraus. Wir stellen die Forderungen:
* $\left({\frac {-1}{p}}\right)=+1,\left({\frac {2}{p}}\right)=c_{z},\left({\frac {l_{i}}{p}}\right)=c_{i}$, $(i=1,\ldots ,z-1,z+1,\ldots ,t)$;
es existieren nach Satz 111 unendlich viele Primzahlen $p$, welche ihnen genügen, und für welche dann
* $\left({\frac {p,m}{2}}\right)=(-1)^{{\frac {p^{2}-1}{8}}+{\frac {p-1}{2}}{\frac {{\frac {m}{2}}-1}{2}}}=(-1)^{\frac {p^{2}-1}{8}}=\left({\frac {2}{p}}\right)=c_{z}$
und überdies $\left({\frac {p,m}{l_{i}}}\right)=\left({\frac {p}{l_{i}}}\right)=\left({\frac {l_{i}}{p}}\right)=c_{i}$ für $i=1$, …‚$z-1$‚ $z+1$‚ …‚ $t$ wird.
Es bedeute nun $p$ eine beliebige solche rationale Primzahl, daß
* $\left({\frac {p,m}{l_{1}}}\right)=c_{1},\ldots ,\left({\frac {p,m}{l_{t}}}\right)=c_{t}$
gilt. Nach Hilfssatz 14 ist dann
* $\prod _{(w)}\left({\frac {p,m}{w}}\right)=\left({\frac {p,m}{p}}\right)\left({\frac {p,m}{l_{1}}}\right)\cdots \left({\frac {p,m}{l_{t}}}\right)=+1,$
und folglich
* $\left({\frac {m}{p}}\right)c_{1}\cdots c_{t}=\left({\frac {m}{p}}\right)=+1$;
also findet man $p$ im Körper $k$ in das Produkt zweier Primideale ${\mathfrak {p}}$ und ${\mathfrak {p}}'$ zerlegbar. Jedes dieser Primideale ${\mathfrak {p}}$ und ${\mathfrak {p}}'$ erfüllt die Bedingungen des zu beweisenden Satzes 112.
Der Satz 112 zeigt nicht nur die Existenz der $2^{r-1}$ Geschlechter von neuem, sondern er deckt zugleich eine andere tiefer liegende Tatsache auf:
Satz 113. Unter den Idealen eines beliebigen Geschlechtes im quadratischen Körper gibt es stets unendlich viele Primideale.
Hat man den Satz von der Existenz der $2^{r-1}$ Geschlechter auf dem zweiten transzendenten Wege unabhängig von den Sätzen 102, 103 und 108 festgestellt, so ist es leicht, nachträglich auch diese Sätze zu gewinnen. Man hat nämlich dazu nur noch die Kenntnis der Tatsache nötig, daß die Anzahl $a$ der ambigen Klassen in $k$ jedenfalls $\leqq 2^{r-1}$ ist. Diese Tatsache folgt aus Satz 106 über die Anzahl derjenigen ambigen Klassen, welche aus ambigen Idealen entspringen, in Verbindung mit den Schlüssen im zweiten und dritten Absatz des Beweises zu Satz 107; sie steht bei solcher Ableitung völlig unabhängig von Satz 102 da.
Es bezeichne dann, wie oben, $f$ die Anzahl der Klassen des Hauptgeschlechtes, $g$ die Anzahl der Geschlechter und ferner $f'$ die Anzahl derjenigen unter den $f$ Klassen des Hauptgeschlechtes, welche gleich Quadraten von Klassen sind. Es folgt wie in § 78, daß $gf=af'$ ist, und da nunmehr bereits $g=2^{r-1}$ bewiesen, ferner $a\leqq 2^{r_{1}}$ sicher ist, und selbstverständlich $f'\leqq f$ besteht, so ergibt sich hieraus $f'=f$ und $a=2^{r-1}$. Die erste Gleichung beweist den Satz 103, die zweite den Satz 108 und sodann den Satz 102 für $n=-1$. Aus Satz 103 und dem letzten Ergebnisse endlich folgt der Satz 102 vollständig. Denn die Zahl $n$ darin ist wegen der für sie gestellten Bedingungen gleich der Norm eines Ideals ${\mathfrak {h}}$ des Hauptgeschlechtes, versehen mit einem Vorzeichen in der in § 65 festgesetzten Weise. Bedeutet dann ${\mathfrak {k}}$ ein solches Ideal, daß ${\mathfrak {h}}\sim {\mathfrak {k}}^{2}$ ist, so muß $\alpha ={\frac {{\mathfrak {h}}\cdot n({\mathfrak {k}})}{{\mathfrak {k}}^{2}}}$ eine ganze oder gebrochene Zahl des Körpers $k$ sein, und zwar ergibt sich $n(\alpha )=\pm n$, woraus der Satz 102 folgt, sobald man berücksichtigt, daß er für $n=-1$ gilt.
So sind durch die zuletzt entwickelte transzendente Methode die Resultate in § 71 bis § 78 gerade in umgekehrter Reihenfolge zum Nachweise gelangt, als sie auf dem zuerst eingeschlagenen rein arithmetischen Wege gefunden wurden.
Wenn wir den in § 24 dargelegten engeren Begriff der Äquivalenz zweier Ideale zugrunde legen, so erfahren die in den Kapiteln 17 und 18 aufgestellten Sätze nur einfache, leicht zu ermittelnde Modifikationen.
Zunächst ist klar, daß der engere Äquivalenzbegriff in einem imaginären Körper $k$ unter allen Umständen und in einem reellen Körper $k$ sicherlich immer dann mit dem ursprünglichen Äquivalenzbegriffe zusammenfällt, wenn für den Körper die Norm der Grundeinheit $n(\varepsilon )=-1$ ist. Wenn aber $k$ reell ist und $n(\varepsilon )=+1$ aufweist, so löst sich eine Idealklasse im Sinne der früheren Einteilung bei der neuen Einteilung regelmäßig in zwei Klassen auf; insbesondere entstehen aus der früheren Klasse der Hauptideale die zwei durch das Hauptideal (1) und durch das Hauptideal $({\sqrt {m}})$ vertretenen Klassen der neuen Einteilung. Bezeichnet $h'$ die Anzahl der Idealklassen bei Benutzung des engeren Äquivalenzbegriffes, so ist daher unter den gegenwärtig angenommenen Umständen $h'=2h$ [Dedekind (1)].
Dem neuen Klassenbegriff entspricht ein neuer Geschlechtsbegriff: das Geschlecht eines Ideals ${\mathfrak {j}}$ im Körper $k({\sqrt {m}})$ soll nämlich nunmehr in allen Fällen gleichmäßig durch die $t$ Einheiten
* $\left({\frac {+n({\mathfrak {j}}),\,m}{l_{1}}}\right)$, …, $\left({\frac {+n({\mathfrak {j}}),\,m}{l_{t}}}\right)$
charakterisiert werden, wo die Norm von ${\mathfrak {j}}$ im Unterschiede von der früheren Festsetzung stets das positive Vorzeichen erhält. Für einen imaginären Körper $k$ stimmt dieser neue Geschlechtsbegriff mit dem alten völlig überein. Das Gleiche gilt für einen reellen Körper $k$, falls das Charakterensystem der Zahl $-1$ in $k$ aus lauter positiven Einheiten besteht. Der letztere Umstand muß offenbar immer eintreten, wenn für $k$ die Norm der Grundeinheit $=-1$ ist. Nun sei $k$ reell und für $k$ die Norm der Grundeinheit $=+1$, so sind zwei Fälle zu unterscheiden, je nachdem das Charakterensystem der Zahl $-1$ in $k$ aus lauter positiven Einheiten besteht oder nicht.
Im ersteren Falle gehören die Ideale ($1$) und ${\mathfrak {a}}=({\sqrt {m}})$ beide zum nämlichen Geschlechte, da sich
* $\left({\frac {n({\mathfrak {a}}),\,m}{l_{i}}}\right)=\left({\frac {+m,\,m}{l_{i}}}\right)=\left({\frac {+m,\,m}{l_{i}}}\right)\left({\frac {-1,\,m}{l_{i}}}\right)=\left({\frac {-m,\,m}{l_{i}}}\right)=+1$
für $i=1$, …, $t$ ergibt. Die neuen Geschlechter umfassen also die nämlichen Ideale wie die alten, und die Zahl der Geschlechter ist wiederum $=2^{t-1}$.
Im zweiten Falle gehören die beiden Idealklassen, welche durch das Ideal ($1$) und durch das Ideal ${\mathfrak {a}}=({\sqrt {m}})$ repräsentiert werden, zu verschiedenen der neuen Geschlechter. Die Anzahl der neuen Geschlechter ist doppelt so groß, als die der alten; nun war für diesen Fall die Anzahl der Einzelcharaktere bei Zugrundelegung des ursprünglichen Geschlechtsbegriffs nur $=t-1$ und die Anzahl der alten Geschlechter daher $=2^{t-2}$; es ergibt sich somit die Anzahl der neuen Geschlechter, ebenso wie im ersten Falle, $=2^{t-1}$. Da ferner in jedem Falle das Produkt
* $\left({\frac {-1,\,m}{l_{1}}}\right)\cdots \left({\frac {-1,\,m}{l_{t}}}\right)=+1$
$t$
$r$
Die übrigen Tatsachen und Beweise der Kapitel 17 und 18 lassen sich ebenfalls ohne Schwierigkeiten umgestalten, und einige derselben erhalten bei Verwendung der neuen Begriffe sogar noch einen einfacheren Ausdruck.
* ↑ [360] Sur la solution des problèmes indéterminés du second degré. Werke 2, 375 (1868).
* ↑ Die Kriterien für die Auﬂösbarkeit der quadratischen ternären diophantischen Gleichungen sind zuerst von Lagrange gefunden worden. [Lagrange (1).]
* ↑ [360] Essai sur la théorie des nombres 1798.
* ↑ [358] Disquisitiones arithmeticae. Werke 1 (1801).
* ↑ [357] Sur l’usage des séries infinies dans la théorie des nombres. Werke 1, 357 (1838).
* ↑ [357] Recherches sur diverses applications de l’analyse infinitésimale à la théorie des nombres. Werke 1, 411 (1839)‚ (1840).
* ↑ [359] Über den Gebrauch der Dirichletschen Methoden in der Theorie der quadratischen Formen. Ber. K. Akad. Wiss. Berlin 1864.
* ↑ [356] Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 2. bis 4. Aufl. Braunschweig 1871–1894.
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## Anmerkungen (Wikisource)

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