# Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 33.

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Wir gehen zu der Betrachtung der allgemeinen Eigenschaften der Function $\!U$ über. Sie ist im §. 21 durch drei charakteristische Merkmale definirt:
Erstens: Sie genügt im Innern des Raumes $\!S$ der partiellen Differentialgleichung
| (1) | ${\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}=0.$ |
Zweitens: Sie hat in der Oberfläche des Raumes $\!S$ überall den Werth Null.
Drittens: Sie ist im Innern des Raumes $\!S$ überall endlich und stetig variabel, ausser im Punkte $(x',\,y',\,z')$, wo sie unendlich wird wie ${\frac {1}{t}}$, wenn
* $t={\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}}}.$
$U\!$
$x',\,y',\,z'$
$x,\,y,\,z$
$S\!$
$U_{\varepsilon }\!$
$U\!$
$\varepsilon \!$
$U_{\varepsilon }(\varepsilon ')$
$\varepsilon '$
$U_{\varepsilon }'$
$U\!$
$\varepsilon '\!$
$U_{\varepsilon }'(\varepsilon )$
$\varepsilon \!$
$\varepsilon \!$
$\varepsilon '\!$
$t\!$
$t'\!$
von dem Raume $S\!$ aus und bezeichnen mit $S_{1}\!$ den Raum, der übrig bleibt. Dann sind $U_{\varepsilon }$ und $U_{\varepsilon '}$, sowie ihre ersten Derivirten im Innern von $S_{1}\!$ überall endlich und stetig variabel. Ausserdem |[143]genügen im Innern von $S_{1}\!$ beide Functionen der partiellen Differentialgleichung (1). Folglich ist nach dem Satze von Green (§. 20)
| (2) | $\int \left(U_{\varepsilon }{\frac {\partial U_{\varepsilon '}}{\partial n}}-U_{\varepsilon '}{\frac {\partial U_{\varepsilon }}{\partial n}}\right)d\sigma =0,$ |
wenn das Integral über die Begrenzung von $S_{1}\!$ erstreckt wird und $n\!$ die in der Begrenzung nach dem Innern von $S_{1}\!$ gezogene Normale bezeichnet. Die Begrenzung von $S_{1}\!$ besteht aus der Oberfläche des Raumes $S\!$ und aus den beiden Kugelflächen um $\varepsilon \!$ und $\varepsilon '.\!$ In der Oberfläche von $S\!$ sind $U_{\varepsilon }\!$ und $U_{\varepsilon '}\!$ beide gleich Null, folglich liefert diese Oberfläche zu dem Integral (2) ebenfalls den Beitrag Null. Für die Kugelfläche um $\varepsilon \!$ (Fig. 26) fällt die Richtung von $n\!$ mit der Richtung der wachsenden $t\!$ zusammen. Das Oberflächen-Element $d\sigma \!$ ist $t^{2}d\omega \!$, wenn mit $d\omega \!$ das Element auf einer Kugel vom Radius 1 bezeichnet wird. Die um $\varepsilon \!$ gelegte Kugelfläche liefert also zu dem Integral (2) den Beitrag
* $\int \left(U_{\varepsilon }{\frac {\partial U_{\varepsilon '}}{\partial t}}-U_{\varepsilon '}{\frac {\partial U_{\varepsilon }}{\partial t}}\right)t^{2}d\omega .$
Nun sind $U_{\varepsilon '},\!$ und ${\frac {\partial U_{\varepsilon '}}{\partial t}}\!$ in der Kugelfläche endlich. Ferner ist in ihr
* $U_{\varepsilon }={\frac {1}{t}}+f.\;c.$
* ${\frac {\partial U_{\varepsilon }}{\partial t}}=-{\frac {1}{t^{2}}}+f'.\;c.$
Folglich haben wir für ein unendlich abnehmendes $t\!$
* $\lim t^{2}U_{\varepsilon }{\frac {\partial U_{\varepsilon '}}{\partial t}}=0,$
* $\lim t^{2}U_{\varepsilon '}{\frac {\partial U_{\varepsilon }}{\partial t}}=-U_{\varepsilon '}(\varepsilon ),$
und der Beitrag, welchen die Kugelfläche um $\varepsilon \!$ zu dem Integral (2) liefert, hat für $\lim t=0\!$ den Grenzwerth
* $4\,\pi \,U_{\varepsilon '}(\varepsilon ).$
Ebenso findet sich der Beitrag, welchen die um $\varepsilon \!$ gelegte Kugelfläche zu dem Integral (2) liefert. Sein Grenzwerth für $\lim t=0\!$ ist
* $-4\,\pi \,U_{\varepsilon '}(\varepsilon ).$
Der in Gleichung (2) ausgesprochene Satz lautet jetzt also |[144]
* $4\;\pi \lbrace U_{\varepsilon '}(\varepsilon )-U_{\varepsilon }(\varepsilon ')\rbrace =0$
oder kürzer
| (3) | $U_{\varepsilon '}(\varepsilon )=U_{\varepsilon }(\varepsilon ').$ |
D. h. die Function $U\!$ ist eine symmetrische Function von $(x,\,y,\,z)$ und von $(x',\,y',\,z')$.