# Die elektrischen Kräfte/Zusammenstellung:§12

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Punct der einen habe die Coordinaten $x_{0},y_{0},z_{0}\,$ und die Bogenlänge $s_{0};\,$ ebenso irgend ein Punct der andern die Coordinaten $x_{1},y_{1},z_{1}\,$ und die Bogenlänge $s_{1};\,$ endlich sei
| $(1.)\,$ | $R=r^{2}=(x_{0}-x_{1})^{2}+(y_{0}-y_{1})^{2}+(z_{0}-z_{1})^{2}.\,$ |
Alsdann folgt durch Differentiation nach $s_{0}\,$ und $s_{1}:\,$
| $(2.)\,$ | ${\begin{aligned}{\frac {\partial R}{\partial s_{0}}}=2\left[(x_{0}-x_{1}){\frac {\partial x_{0}}{\partial s_{0}}}+\cdots \right]&=2{\sqrt {R}}\cdot \cos \vartheta _{0}=2{\sqrt {R}}\cdot \Theta _{0},\\{\frac {\partial R}{\partial s_{1}}}=-2\left[(x_{0}-x_{1}){\frac {\partial x_{1}}{\partial s_{1}}}+\cdots \right]&=-2{\sqrt {R}}\cdot \cos \vartheta _{1}=-2{\sqrt {R}}\cdot \Theta _{1},\\{\frac {\partial ^{2}R}{\partial s_{0}\ \partial s_{1}}}=-2\left[{\frac {\partial x_{0}}{\partial s_{0}}}{\frac {\partial x_{1}}{\partial s_{1}}}+\cdots \right]&=-2\cos \varepsilon =-2\mathrm {E} ,\end{aligned}}\,$ |
wo $\Theta _{0}=\cos \vartheta _{0},\Theta _{1}=\cos \vartheta _{1},\mathrm {E} =\cos \varepsilon \,$ die bekannten Bedeutungen (pag. 44) besitzen.
Bezeichnet nun $U=U(R)\,$ eine willkührlich gegebene, lediglich von $R\,$ abhängende Function, so wird:
| $(3.)\,$ | ${\frac {\partial U}{\partial s_{0}}}={\frac {dU}{dR}}{\frac {\partial R}{\partial s_{0}}},\,$ |
| $(4.)\,$ | ${\frac {\partial ^{2}U}{\partial s_{0}\ \partial s_{1}}}={\frac {dU}{dR}}{\frac {\partial ^{2}R}{\partial s_{0}\ \partial s_{1}}}+{\frac {d^{2}U}{dR^{2}}}{\frac {\partial R}{\partial s_{0}}}{\frac {\partial R}{\partial s_{1}}},\,$ |
also mit Rücksicht auf (2.)
| $(5.)\,$ | ${\frac {\partial ^{2}U}{\partial s_{0}\ \partial s_{1}}}=-2\left[{\frac {dU}{dR}}\cdot \mathrm {E} +{\frac {d^{2}U}{dR^{2}}}\cdot 2R\ \Theta _{0}\Theta _{1}\right],\,$ |
oder, wenn man ${\frac {dU}{dR}}=V\,$ setzt:
| $(6.)\,$ | ${\frac {\partial ^{2}U}{\partial s_{0}\ \partial s_{1}}}=-2\left[V\cdot \mathrm {E} +{\frac {dV}{dR}}\cdot 2R\ \Theta _{0}\Theta _{1}\right].\,$ |
Zufolge (1.) ist aber $R{\frac {dV}{dR}}=r^{2}{\frac {dV}{2rdr}}={\frac {r}{2}}{\frac {dV}{dr}}.\,$ Somit ergiebt sich:
| $(7.)\,$ | ${\frac {\partial ^{2}U}{\partial s_{0}\ \partial s_{1}}}=-2\left[V\mathrm {E} +{\frac {dV}{dr}}\ r\ \Theta _{0}\Theta _{1}\right].\,$ |
Multiplicirt man diese Gleichung mit den Bogenelementen $\mathrm {D} s_{0},\mathrm {D} s_{1},\,$ und integrirt sodann über sämmtliche Elemente beider Curven, so entsteht die Formel:
| $(8.)\,$ | $0={\mathit {\Sigma \Sigma }}\ \mathrm {D} s_{0}\mathrm {D} s_{1}\left[V\mathrm {E} +{\frac {dV}{dr}}\ r\ \Theta _{0}\Theta _{1}\right],\,$ |
in welcher offenbar $V,\,$ ebenso wie $U,\,$ eine willkührliche Function von $R\,$ oder (was dasselbe) von $r\,$ ist. Diese Formel (8.) führt sofort zu folgendem Satz:
Sind $E(r)\,$ und $F(r)\,$ beliebige Functionen von $r,\,$ jedoch mit einander verbunden durch die Relation:
| $(9.)\,$ | $r{\frac {dE(r)}{dr}}+F(r)=0,\,$ |
so wird jederzeit die Gleichung stattfinden:
| $(10.)\,$ | ${\mathit {\Sigma \Sigma }}\ \mathrm {D} s_{0}\mathrm {D} s_{1}[E(r)\cdot \mathrm {E} -F(r)\cdot \Theta _{0}\Theta _{1}]=0\,$ |
die Integration ausgedehnt über zwei geschlossene Curven von beliebiger Gestalt und Lage.
Beiläufig sei bemerkt, dass (zufolge dieses Satzes) z. B. die Glei­chung stattfindet:
| $(11.)\,$ | ${\mathit {\Sigma \Sigma }}\ {\frac {\mathrm {D} s_{0}\mathrm {D} s_{1}\mathrm {E} }{r}}-{\mathit {\Sigma \Sigma }}\ {\frac {\mathrm {D} s_{0}\mathrm {D} s_{1}\Theta _{0}\Theta _{1}}{r}}=0;\,$ |
denn für $E(r)={\frac {1}{r}},\,$ wird [zufolge (9.)]: $F(r)\,$ ebenfalls $={\frac {1}{r}}.\,$
Solches vorausgeschickt, gehen wir über zum eigentlichen Gegen­stande. Die eben betrachteten Curven mögen zwei gleichförmige Stromringe ohne Gleitstellen repräsentiren, $A\,$ und $B.\,$ Es seien:
    $J_{0}\mathrm {D} s_{0}\,$ und $J_{1}\mathrm {D} s_{1}\,$ zwei Elemente der Ringe $A\,$ und $B;\,$
    $x_{0},y_{0},z_{0}\,$ und $x_{1},y_{1},z_{1}\,$ die Coordinaten derselben;
    $r={\sqrt {(x_{0}-x_{1})^{2}+(y_{0}-y_{1})^{2}+(z_{0}-z_{1})^{2}}};\,$
    $\mathrm {A} _{0},\mathrm {B} _{0},\Gamma _{0}\,$ und $\mathrm {A} _{1},\mathrm {B} _{1},\Gamma _{1}\,$ die Richtungscosinus von $\mathrm {D} s_{0}\,$ und $\mathrm {D} s_{1};\,$
    $\mathrm {E} =\mathrm {A} _{0}\mathrm {A} _{1}+\mathrm {B} _{0}\mathrm {B} _{1}+\Gamma _{0}\Gamma _{1};\,$
    $\Theta _{0}=\mathrm {A} \mathrm {A} _{0}+\mathrm {B} \mathrm {B} _{0}+\Gamma \Gamma _{0},\,$
    $\Theta _{1}=\mathrm {A} \mathrm {A} _{1}+\mathrm {B} \mathrm {B} _{1}+\Gamma \Gamma _{1},\,$ wo $\mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\Gamma \,$ die Richtungscosinus der Linie $r\,$ vorstellen sollen, gerechnet von $\mathrm {D} s_{1}\,$ nach $\mathrm {D} s_{0};\,$
    $R\,$ die ponderomotorische Kraft eldy. Us, mit welcher $J_{1}\mathrm {D} s_{1}\,$ einwirkt auf $J_{0}\mathrm {D} s_{0};\,$
    ${X_{0}}^{A},{Y_{0}}^{A},{Z_{0}}^{A}\,$ die Componenten dieser Kraft $R;\,$
    ${X_{0}}^{B},{Y_{0}}^{B},{Z_{0}}^{B}\,$ die Componenten derjenigen ponderomotorischen. Kraft eldy. Us, welche auf das einzelne Element $J_{0}\mathrm {D} s_{0}\,$ aus­geübt wird vom ganzen Ringe $B;\,$
    $P\,$ das elektrodynamische Potential der beiden Ringe $A\,$ und $B\,$ auf einander.
Es sei sogleich bemerkt, dass dieses Potential $P\,$ (vergl. pag. 56) den Werth hat:
| $(12.a)\,$ | $P=-A^{2}\ J_{0}J_{1}\cdot {\mathit {\Sigma \Sigma }}\ \mathrm {D} s_{0}\mathrm {D} s_{1}\left[4\left({\frac {d\psi }{dr}}\right)^{2}\cdot \Theta _{0}\Theta _{1}\right],\,$ |
und daher, zufolge des Satzes (9.), (10.), auch ausgedrückt werden kann durch
| $(12.b)\,$ | $P=-A^{2}J_{0}J_{1}\cdot {\mathit {\Sigma \Sigma }}\ \mathrm {D} s_{0}\mathrm {D} s_{1}\ [\varphi \cdot \mathrm {E} ],\,$ |
vorausgesetzt, dass man unter $\varphi \,$ eine Function von $r\,$ versteht, welche mit $\psi \,$ verbunden ist durch die Relation:
| $(13.)\,$ | $r{\frac {d\varphi }{dr}}+4\left({\frac {d\psi }{dr}}\right)^{2}=0.\,$ |
Dieser Relation entsprechend, und in Uebereinstimmung mit einer früheren Festsetztung (pag. 46), sollen im Folgenden
* $\psi =\psi (r)\quad {\text{und}}\quad \varphi =\varphi (r)\,$
als Functionen aufgefasst werden, welche für beträchtliche $r\,$ iden­tisch respective mit ${\sqrt {r}}\,$ und ${\tfrac {1}{r}},\,$ für sehr kleine $r\,$ hingegen von noch unbekannter Beschaffenheit sind.
Die Kraft $R\,$ hat nach dem Ampère’schen Gesetz (pag. 44) den Werth:
| $(14.)\,$ | $R=A^{2}J_{0}J_{1}\ \mathrm {D} s_{0}\mathrm {D} s_{1}\cdot 8{\frac {d\psi }{dr}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial s_{0}\ \partial s_{1}}};\,$ |
ihre $x-\,$Componente wird daher:
| $(15.)\,$ | ${X_{0}}^{A}=A^{2}J_{0}J_{1}\ \mathrm {D} s_{0}\mathrm {D} s_{1}\ \cdot 8{\frac {d\psi }{dr}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial s_{0}\ \partial s_{1}}}{\frac {x_{0}-x_{1}}{r}}.\,$ |
Hieraus ergiebt sich durch Summation über sämmtliche Elemente $\mathrm {D} s_{1}\,$ sofort:
| $(16.)\,$ | ${X_{0}}^{B}=A^{2}J_{0}J_{1}\ \mathrm {D} s_{0}\cdot {\mathit {\Sigma }}\ \mathrm {D} s_{1}\left\lbrace 8\left({\frac {d\psi }{dr}}{\frac {x_{0}-x_{1}}{r}}\right){\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial s_{0}\ \partial s_{1}}}\right\rbrace ,\,$ |
d.i.
| $(17.)\,$ | ${X_{0}}^{B}=A^{2}J_{0}J_{1}\ \mathrm {D} s_{0}\cdot {\mathit {\Sigma }}\ \mathrm {D} s_{1}\left\lbrace 8u{\frac {\partial v}{\partial s_{1}}}\right\rbrace ,\,$ |
wo für den Augenblick ${\frac {d\psi }{dr}}{\frac {x_{0}-x_{1}}{r}}=u,\,$ und ${\frac {\partial \psi }{\partial s_{0}}}={\frac {d\psi }{dr}}{\frac {\partial r}{\partial s_{0}}}=v\,$ gesetzt worden ist.
Nun gilt allgemein für beliebige Functionen $u,v\,$ die Gleichung:
* $8u{\frac {\partial v}{\partial s_{1}}}=4{\frac {\partial (uv)}{\partial s_{1}}}+4u^{2}{\frac {\partial }{\partial s_{1}}}\left({\frac {v}{u}}\right).\,$
Hieraus folgt, wenn für $u,v\,$ die genannten Bedeutungen substituirt werden:
* $8u{\frac {\partial v}{\partial s_{1}}}=4{\frac {\partial (uv)}{\partial s_{1}}}+4\left({\frac {d\psi }{dr}}{\frac {x_{0}-x_{1}}{r}}\right)^{2}{\frac {\partial }{\partial s_{1}}}\left({\frac {r}{x_{0}-x_{1}}}{\frac {\partial r}{\partial s_{0}}}\right).\,$
Somit ergiebt sich aus (17.)
| $(18.)\,$ | ${X_{0}}^{B}=A^{2}J_{0}J_{1}\ \mathrm {D} s_{0}\cdot {\mathit {\Sigma }}\ \mathrm {D} s_{1}\left\lbrace 4\left({\frac {d\psi }{dr}}{\frac {x_{0}-x_{1}}{r}}\right)^{2}{\frac {\partial }{\partial s_{1}}}\left({\frac {r}{x_{0}-x_{1}}}{\frac {\partial r}{\partial s_{0}}}\right)\right\rbrace ,\,$ |
oder wenn man an Stelle der Function $\psi \,$ die mit dieser durch die Relation (13.) verbundene Function $\varphi \,$ einführt:
| $(19.)\,$ | ${X_{0}}^{B}=A^{2}J_{0}J_{1}\ \mathrm {D} s_{0}\cdot {\mathit {\Sigma }}\ \mathrm {D} s_{1}\left\lbrace -{\frac {d\varphi }{dr}}{\frac {(x_{0}-x_{1})^{2}}{r}}{\frac {\partial }{\partial s_{1}}}\left({\frac {r}{x_{0}-x_{1}}}{\frac {\partial r}{\partial s_{0}}}\right)\right\rbrace .\,$ |
Beachtet man nun, dass die Richtungscosinus von $\mathrm {D} s_{0}\,$ und $\mathrm {D} s_{1}\,$ mit $\mathrm {A} _{0},\mathrm {B} _{0},\Gamma _{0}\,$ und $\mathrm {A} _{1},\mathrm {B} _{1},\Gamma _{1}\,$ bezeichnet worden sind; so erhält man successive:
* ${\begin{aligned}r{\frac {\partial r}{\partial s_{0}}}&=[(x_{0}-x_{1})\mathrm {A} _{0}+(y_{0}-y_{1})\mathrm {B} _{0}+(z_{0}-z_{1})\Gamma _{0}],\\{\frac {r}{x_{0}-x_{1}}}{\frac {\partial r}{\partial s_{0}}}&={\frac {[(x_{0}-x_{1})\mathrm {A} _{0}+\cdots ]}{x_{0}-x_{1}}},\\{\frac {\partial }{\partial s_{1}}}\left({\frac {r}{x_{0}-x_{1}}}{\frac {\partial r}{\partial s_{0}}}\right)&=-{\frac {[\mathrm {A} _{0}\mathrm {A} _{1}+\cdots ]}{x_{0}-x_{1}}}+{\frac {[(x_{0}-x_{1})\mathrm {A} _{0}+\cdots ]\mathrm {A} _{1}}{(x_{0}-x_{1})^{2}}},\\{\frac {(x_{0}-x_{1})^{2}}{r}}{\frac {\partial }{\partial s_{1}}}\left({\frac {r}{x_{0}-x_{1}}}{\frac {\partial r}{\partial s_{0}}}\right)&=-{\frac {(x_{0}-x_{1})[\mathrm {A} _{0}\mathrm {A} _{1}+\cdots ]}{r}}+{\frac {[(x_{0}-x_{1})\mathrm {A} _{0}+\cdots ]\mathrm {A} _{1}}{r}},\\&=-{\frac {\partial r}{\partial x_{0}}}[\mathrm {A} _{0}\mathrm {A} _{1}+\cdot \cdot ]+\left[{\frac {\partial r}{\partial x_{0}}}\mathrm {A} _{0}+\cdots \right]\mathrm {A} _{1},\\&=-{\frac {\partial r}{\partial x_{0}}}\mathrm {E} +{\frac {\partial r}{\partial s_{0}}}\mathrm {A} _{1}.\end{aligned}}$
Somit folgt aus (19.):
| $(20.)\,$ | ${X_{0}}^{B}=A^{2}J_{0}J_{1}\ \mathrm {D} s_{0}\cdot {\mathit {\Sigma }}\ \mathrm {D} s_{1}\left\lbrace {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{0}}}\mathrm {E} -{\frac {\partial \varphi }{\partial s_{0}}}\mathrm {A} _{1}\right\rbrace .\,$ |
Analoge Formeln werden offenbar auch für ${Y_{0}}^{B}\,$ und ${Z_{0}}^{B}\,$ gelten, so dass man also schreiben kann:
| $(21.)\,$ | ${X_{0}}^{B}=A^{2}J_{0}J_{1}\ \mathrm {D} s_{0}\cdot {\mathit {\Sigma }}\ \mathrm {D} s_{1}\left\lbrace {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{0}}}\mathrm {E} -{\frac {\partial \varphi }{\partial s_{0}}}\mathrm {A} _{1}\right\rbrace ,\,$ |
| $(22.)\,$ | ${Y_{0}}^{B}=A^{2}J_{0}J_{1}\ \mathrm {D} s_{0}\cdot {\mathit {\Sigma }}\ \mathrm {D} s_{1}\left\lbrace {\frac {\partial \varphi }{\partial y_{0}}}\mathrm {E} -{\frac {\partial \varphi }{\partial s_{0}}}\mathrm {B} _{1}\right\rbrace ,\,$ |
| $(23.)\,$ | ${Z_{0}}^{B}=A^{2}J_{0}J_{1}\ \mathrm {D} s_{0}\cdot {\mathit {\Sigma }}\ \mathrm {D} s_{1}\left\lbrace {\frac {\partial \varphi }{\partial z_{0}}}\mathrm {E} -{\frac {\partial \varphi }{\partial s_{0}}}\Gamma _{1}\right\rbrace .\,$ |
Aus den beiden letzten Formeln folgt sofort:
| $(24.)\,$ | $y_{0}{Z_{0}}^{B}-z_{0}{Y_{0}}^{B}=A^{2}J_{0}J_{1}\ \mathrm {D} s_{0}\cdot {\mathit {\Sigma }}\ \mathrm {D} s_{1}\left\lbrace \left(y_{0}{\frac {\partial \varphi }{\partial z_{0}}}-z_{0}{\frac {\partial \varphi }{\partial y_{0}}}\right)\mathrm {E} -\xi {\frac {\partial \varphi }{\partial s_{0}}}\right\rbrace ,\,$ |
wo zur Abkürzung $y_{0}\Gamma _{1}-z_{0}\mathrm {B} _{1}=\xi \,$ gesetzt ist. Nun wird offenbar:
* $\xi {\frac {\partial \varphi }{\partial s_{0}}}={\frac {\partial (\varphi \xi )}{\partial s_{0}}}-\varphi {\frac {\partial \xi }{\partial s_{0}}},\,$
also mit Rücksicht auf die Bedeutung von $\xi :\,$
* $\xi {\frac {\partial \varphi }{\partial s_{0}}}={\frac {\partial (\varphi \xi )}{\partial s_{0}}}-\varphi \ (\mathrm {B} _{0}\Gamma _{1}-\mathrm {B} _{1}\Gamma _{0}).\,$
Folglich kann die Formel (24.) auch so geschrieben werden:
| $(25.)\,$ | $y_{0}{Z_{0}}^{B}-z_{0}{Y_{0}}^{B}=A^{2}J_{0}J_{1}\ \mathrm {D} s_{0}\ \cdot {\mathit {\Sigma }}\ \mathrm {D} s_{1}\left\lbrace \left(y_{0}{\frac {\partial \varphi }{\partial z_{0}}}-z_{0}{\frac {\partial \varphi }{\partial y_{0}}}\right)\mathrm {E} -{\frac {\partial (\varphi \xi )}{\partial s_{0}}}+\varphi (\mathrm {B} _{0}\Gamma _{1}-\mathrm {B} _{1}\Gamma _{0})\right\rbrace \,$ |
Summirt man nun die Formel (21.) über sämmtliche Elemente $\mathrm {D} s_{0}\,$ des Ringes $A,\,$ so erhält man:
| $(26.)\,$ | ${\mathit {\Sigma }}{X_{0}}^{B}=A^{2}J_{0}J_{1}\cdot {\mathit {\Sigma \Sigma }}\ \mathrm {D} s_{0}\mathrm {D} s_{1}\left\lbrace {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{0}}}\mathrm {E} \right\rbrace ;\,$ |
und in analoger Weise erhält man aus (25.):
| $(27.)\,$ | ${\mathit {\Sigma }}(y_{0}{Z_{0}}^{B}-z_{0}{Y_{0}}^{B})=A^{2}J_{0}J_{1}\cdot {\mathit {\Sigma \Sigma }}\ \mathrm {D} s_{0}\mathrm {D} s_{1}\left\lbrace \left(y_{0}{\frac {\partial \varphi }{\partial z_{0}}}-z_{0}{\frac {\partial \varphi }{\partial y_{0}}}\right)\mathrm {E} +\varphi (\mathrm {B} _{0}\Gamma _{1}-\mathrm {B} _{1}\Gamma _{0})\right\rbrace \,$ |
Die Formeln (26.) und (27.) repräsentiren offenbar diejenige trans­latorische Wirkung und dasjenige Drehungsmoment, welche $B\,$ auf $A\,$ ausübt respective in der Richtung der $x\,$Achse und in Bezug auf diese Achse.
Beiläufig bemerkt geht aus diesen Formeln (26.), (27.) deutlich hervor, dass die Ausdrücke
| $(28.)\,$ | ${\begin{aligned}A^{2}J_{0}J_{1}\ \mathrm {D} s_{0}\mathrm {D} s_{1}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{0}}}\mathrm {E} ,\\A^{2}J_{0}J_{1}\ \mathrm {D} s_{0}\mathrm {D} s_{1}{\frac {\partial \varphi }{\partial y_{0}}}\mathrm {E} ,\\A^{2}J_{0}J_{1}\ \mathrm {D} s_{0}\mathrm {D} s_{1}{\frac {\partial \varphi }{\partial z_{0}}}\mathrm {E} ,\end{aligned}}\,$ |
als die scheinbaren Kräfte zwischen den Elementen ge­schlossener Ströme bezeichnet werden können mit Bezug auf fortschreitende, nicht aber mit Bezug auf drehende Be­wegungen.
Das elektrodynamische Potential $P\,$ der beiden Ringe $A\,$ und $B\,$ aufeinander hat nach (12.b) den Werth:
| $(29.)\,$ | $P=-A^{2}J_{0}J_{1}\cdot {\mathit {\Sigma \Sigma }}\ \mathrm {D} s_{0}\mathrm {D} s_{1}\ [\varphi \cdot \mathrm {E} ].\,$ |
Denken wir uns den Ring $A\,$ sich selber parallel in der Richtung der $x\,$Achse unendlich wenig verschoben, so resultirt für das Potential $P\,$ ein Zuwachs
| $(30.)\,$ | $\delta P=-A^{2}J_{0}J_{1}\cdot {\mathit {\Sigma \Sigma }}\ \mathrm {D} s_{0}\mathrm {D} s_{1}\left\lbrace {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{0}}}\delta x_{0}\cdot \mathrm {E} \right\rbrace ,\,$ |
wo $\delta x_{0}\,$ die Verschiebung des Punktes $x_{0},y_{0},z_{0}\,$ vorstellt. Bezeichnet man den gemeinschaftlichen Werth, welchen die Verschiebung $\delta x_{0}\,$ für sämmtliche Puncte des Ringes $A\,$ besitzt, mit $\delta \varrho \,$ so folgt:
| $(31.)\,$ | ${\frac {\delta P}{\delta \varrho }}=-A^{2}J_{0}J_{1}\cdot {\mathit {\Sigma \Sigma }}\ \mathrm {D} s_{0}\mathrm {D} s_{1}\left\lbrace {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{0}}}\cdot \mathrm {E} \right\rbrace ,\,$ |
also mit Rücksicht auf (26.):
| $(32.)\,$ | ${\mathit {\Sigma }}{X_{0}}^{B}=-{\frac {\delta P}{\delta \varrho }}.\,$ |
D.h. die von $B\,$ auf $A\,$ in der Richtung der $x\,$Achse aus­geübte translatorische Wirkung ist, abgesehen vom Vor­zeichen, gleich dem Differentialquotienten des Potentiales $P\,$ nach einer Verschiebung von $A\,$ in jener Richtung. Das ist derselbe Satz, der schon früher (pag. 55) auf anderem Wege ge­funden war.
Denken wir uns andererseits dem Ringe $A\,$ eine unendlich kleine Drehung um die $x\,$Axe zuertheilt, so wird das Potential $P\,$ (29.) einen Zuwachs erhalten:
| $(33.)\,$ | $\delta P=-A^{2}J_{0}J_{1}\cdot {\mathit {\Sigma \Sigma }}\ \mathrm {D} s_{0}\mathrm {D} s_{1}[\mathrm {E} \delta \varphi +\varphi \delta \mathrm {E} ].\,$ |
wo $\delta \varrho ,\delta \mathrm {E} \,$ die Bedeutungen haben:
* ${\begin{aligned}\delta \varphi &={\frac {\partial \varphi }{\partial x_{0}}}\delta x_{0}+{\frac {\partial \varphi }{\partial y_{0}}}\delta y_{0}+{\frac {\partial \varphi }{\partial z_{0}}}\delta z_{0},\\\delta \mathrm {E} &=\mathrm {A} _{1}\delta \mathrm {A} _{0}+\mathrm {B} _{1}\delta \mathrm {B} _{0}+\Gamma _{1}\delta \Gamma _{0}.\end{aligned}}\,$
Für die Veränderungen $\delta x_{0},\delta y_{0},\delta z_{0}\,$ und $\delta \mathrm {A} _{0},\delta \mathrm {B} _{0},\delta \Gamma _{0}\,$ ergeben sich aber aus unsern allgemeinen Formeln [(40. d, g) auf pag. 47, 48] die Werthe:
* ${\begin{aligned}\delta x_{0}&=0,&\quad \quad \delta \mathrm {A} _{0}&=0,\\\delta y_{0}&=-z_{0}\delta \omega ,&\quad \quad \delta \mathrm {B} _{0}&=-\Gamma _{0}\delta \omega ,\\\delta z_{0}&=+y_{0}\delta \omega ,&\quad \quad \delta \Gamma _{0}&=+\mathrm {B} _{0}\delta \omega ,\end{aligned}}\,$
falls man nämlich unter $\delta \omega \,$ den unendlich kleinen Winkel versteht, um welchen der Ring $A\,$ um die $x\,$Axe gedreht worden ist. Somit folgt:
* ${\begin{aligned}\delta \varphi &=\left(y_{0}{\frac {\partial \varphi }{\partial z_{0}}}-z_{0}{\frac {\partial \varphi }{\partial y_{0}}}\right)\delta \omega ,\\\delta \mathrm {E} &=(\mathrm {B} _{0}\Gamma _{1}-\mathrm {B} _{1}\Gamma _{0})\delta \omega .\end{aligned}}\,$
Substituirt man aber diese Werthe in (33.), so ergiebt sich
| $(34.)\,$ | ${\frac {\delta P}{\delta \omega }}=-A^{2}J_{0}J_{1}\cdot {\mathit {\Sigma \Sigma }}\ \mathrm {D} s_{0}\mathrm {D} s_{1}\left\lbrace \left(y_{0}{\frac {\partial \varphi }{\partial z_{0}}}-z_{0}{\frac {\partial \varphi }{\partial y_{0}}}\right)\mathrm {E} +\varphi (\mathrm {B} _{0}\Gamma _{1}-\mathrm {B} _{1}\Gamma _{0})\right\rbrace \,$ |
und hieraus folgt mit Rücksicht auf (27.) sofort:
| $(35.)\,$ | ${\mathit {\Sigma }}(y_{0}{Z_{0}}^{B}-z_{0}{Y_{0}}^{B})=-{\frac {\delta P}{\delta \omega }}.\,$ |
D.h. das von $B\,$ auf $A\,$ in Bezug auf die $x\,$ Achse ausgeübte Drehungsmoment ist, abgesehen vom Vorzeichen, gleich dem Differentialquotienten des Potentiales $P\,$ nach einer Drehung von $A\,$ um jene Achse; — ein Satz, welcher überein­stimmt mit dem schon früher (pag. 56) erhaltenen Resultat.
* ↑ Die Formeln (21.), (22.), (23.) sind, ziemlich in derselben Gestalt, bereits von Ampère gegeben in seiner Théorie des phénomènes élektrodynamiques (da­selbst pag. 136). Ueberhaupt ist der im gegenwärtigen §. eingeschlagene Weg bis zu dieser Stelle ziemlich in Uebereinstimmung mit den in jener Theorie ge­gebenen Deductionen. Von hier ab folgen nun aber diejenigen Entwicklungen, welche sich vorfinden in der am Schluss des vorhergehenden §. (Note, pag.67) genannten Abhandlung.
* ↑ Selbstverständlich ist hier immer nur von den Kräften eldy. Us die Rede. Genauer ausgedrückt müsste man also sagen: die translatorische Wirkung eldy. Us, ebenso das Drehungsmoment eldy. Us. Doch mag der Zusatz eldy. Us, der Bequemlichkeit willen, hier und im Folgenden zuweilen unterdrückt werden.
* ↑ Die Ausdrücke (28.) würden nämlich als die scheinbaren Elementarkräfte mit Bezug auf drehende Bewegungen nur dann angesehen werden können, wenn das in der Formel (27.) enthaltene Glied ${\mathit {\Sigma \Sigma }}\ \mathrm {D} s_{0}\mathrm {D} s_{1}\ \varphi (\mathrm {B} _{0}\Gamma _{1}-\mathrm {B} _{1}\Gamma _{0})\,$ jederzeit Null wäre. Dass solches aber nicht der Fall ist, ergiebt sich leicht, z. B. durch Betrachtung unendlich kleiner Ströme WS: Die auf der Folgeseite fortgesetzte Fußnote wurde hier fortgeführt