# Die elektrischen Kräfte/Zusammenstellung:§47

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Die in Rede stehende gegenseitige Einwirkung ist vollständig charakterisirt durch das Potential der beiden Ströme aufeinander. Bezeichnet man die beiden letztern nach ihren Stromflächen mit $\lambda ,\lambda _{1},$ und ihr Potential mit $P\left(\lambda ,\lambda _{1}\right)$, so kann dieses $P\left(\lambda ,\lambda _{1}\right)$ in mannigfaltiger Weise dargestellt werden. Zunächst ist nach der ursprünglichen Definition (pag. 57):
| (28.A) | ${\begin{array}{ll}P\left(\lambda ,\lambda _{1}\right)&=-A^{2}JJ_{1}\cdot \Sigma \Sigma {\frac {{\mathsf {D}}s\ {\mathsf {D}}s_{1}\Theta \Theta _{1}}{r}},\\\\&=-A^{2}JJ_{1}\cdot \Sigma \Sigma {\frac {{\mathsf {D}}s\ {\mathsf {D}}s_{1}{\mathsf {E}}}{r}},\\\\&=-A^{2}JJ_{1}\cdot \Sigma \Sigma {\frac {{\mathsf {D}}x\ {\mathsf {D}}x_{1}+{\mathsf {D}}y\ {\mathsf {D}}y_{1}+{\mathsf {D}}z\ {\mathsf {D}}z_{1}}{r}},\end{array}}$ |
Die letzte Formel gewinnt, falls man die Integrationen wirklich ausführt, folgende Gestaltung [vergl. (34) pag. 92 und (35.) pag. 93]:
| (28.B) | ${\begin{array}{ll}P\left(\lambda ,\lambda _{1}\right)&=A^{2}JJ_{1}\lambda \lambda _{1}\left({\frac {\left[\alpha \alpha _{1}+\dots \right]}{r^{3}}}-{\frac {3\left[\alpha \left(x-x_{1}\right)+\dots \right]\left[\alpha _{1}\left(x-x_{1}\right)+\dots \right]}{r^{5}}}\right),\\\\&=A^{2}JJ_{1}\lambda \lambda _{1}{\frac {\cos \left(n,n_{1}\right)-3\cos(n,r)\cos \left(n_{1},r\right)}{r^{3}}},\\\\&=A^{2}JJ_{1}\lambda \lambda _{1}{\frac {\partial ^{2}{\frac {1}{r}}}{\partial n\ \partial n_{1}}}.\end{array}}$ |
$\lambda ,\lambda _{1}$
$n,n_{1}$
$x,y,z$
$x_{1},y_{1},z_{1}$
$\lambda$
$\lambda _{1}$
$\alpha ,\beta ,\gamma$
$\alpha _{1},\beta _{1},\gamma _{1}$
$n\,$
$n_{1}\,$
$(n,r)\,$
$(n_{1},r)\,$
$n\,$
$n_{1}\,$
$r\ (\lambda _{1}\rightarrowtail \lambda ).\,$
An diese beiden Darstellungen (28.A) und (28.B) reiht sich schliesslich noch eine dritte Darstellung. Die letzte der Formeln (28.B) kann nämlich so geschrieben werden:
* $P(\lambda ,\lambda _{1})=A^{2}\ JJ_{1}\ \lambda {\frac {\partial }{\partial \ n}}\ \left(\lambda _{1}\ {\frac {\partial \ {\frac {1}{r}}}{\partial \ n_{1}}}\right),\,$
oder mit Rücksicht auf einen kürzlich gefundenen Satz (pag. 242) auch so:
| $(28.C)\,$ | $P(\lambda ,\lambda _{1})=A^{2}\ JJ_{1}\ \lambda {\frac {\partial (\epsilon \varkappa )}{\partial \ n}}.\,$ |
Hier repräsentirt $\epsilon \varkappa \,$ die reducirte Oeffnung desjenigen Kegelmantels, welcher von irgend einem Punct der unendlich kleinen Fläche $\lambda \,$ hinläuft nach der Peripherie von $\lambda _{1}.\,$
Sind an Stelle eines Stromes. $\lambda _{1}\,$ mehrere solche Ströme $\lambda _{1}',\lambda _{1}'',\ldots \,$ gegeben, alle von derselben Stromstärke $J_{1},\,$ so wird nach (28.C) das Potential aller dieser Ströme zusammengenommen in Bezug auf $\lambda \,$ den Werth haben:
| $(29.)\,$ | $P(\lambda ,\lambda _{1}'+\lambda _{1}''+\ldots )=A^{2}\ JJ_{1}\ \lambda {\frac {\partial (\epsilon '\varkappa '+\epsilon ''\varkappa ''+\ldots )}{\partial \ n}},\,$ |
wo $\epsilon '\varkappa ',\epsilon ''\varkappa '',\ldots \,$ die reducirten Oeffnungen derjenigen Kegel vorstellen, welche von einem Punct der Fläche $\lambda \,$ hinlaufen respective nach den Peripherien von $\lambda _{1}',\lambda _{1}'',\ldots \,$ Bilden nun diese Ströme $\lambda _{1}',\lambda _{1}'',\ldots \,$ in ihrer Gesammtheit einen einzigen gesehlossenen ebenen Strom $\Lambda _{1},\,$ so wird $\epsilon '=\epsilon ''=\ldots ,$ mithin
* $\epsilon '\varkappa '+\epsilon ''\varkappa ''+\ldots =\epsilon \mathrm {K} ,\,$
wo $\epsilon \mathrm {K} \,$ die reducirte Oeffnung desjenigen Kegels bezeichnet, welcher hinläuft nach der Peripherie von $\Lambda _{1}.\,$ Somit ergiebt sich:
| $(30.)\,$ | $P(\lambda ,\Lambda _{1})=A^{2}\ JJ_{1}\ \lambda {\frac {\partial (\epsilon \mathrm {K} )}{\partial \ n}};\,$ |
$\lambda _{1}\,$
$\Lambda _{1}\,$