# David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie/Kapitel 7.16

Es bedeute $m$ eine ganze rationale, positive oder negative Zahl, die durch keine Quadratzahl außer $1$ teilbar und auch von $+1$ verschieden ist; die quadratische Gleichung
* $x^{2}-m=0$
ist dann im Bereich der rationalen Zahlen irreduzibel. Wir verstehen im folgenden unter ${\sqrt {m}}$ stets im Falle $m>0$ die positive Wurzel jener quadratischen Gleichung und im Falle $m<0$ diejenige ihrer Wurzeln, welche positiv imaginär ist. Die so festgelegte algebraische Zahl ${\sqrt {m}}$ bestimmt einen quadratischen reellen, bezüglich imaginären Zahlkörper, der $k\left({\sqrt {m}}\right)$ oder auch schlechthin $k$ heiße; dieser Körper ist stets ein Galoisscher Körper. Durch die Operation der Vertauschung von ${\sqrt {m}}$ mit $-{\sqrt {m}}$ in einer Zahl oder einem Ideal des Körpers $k$ geht man zu der konjugierten Zahl bez. dem konjugierten Ideal über. Dieser Übergang werde durch Vorsetzung des Substitutionszeichens $s$ angedeutet.
Unsere erste Aufgabe ist die Aufstellung einer Basis des quadratischen Körpers und die Ermittlung seiner Diskriminante [Dedekind (1)].
Satz 95. Eine Basis des quadratischen Körpers $k$ bilden die Zahlen $1$, $\omega$, wenn
* $\omega ={\frac {1+{\sqrt {m}}}{2}},\ {\text{bez.}}\ \omega ={\sqrt {m}}$
genommen wird, je nachdem die Zahl $m\equiv 1$ nach $4$ ist oder nicht. Die Diskriminante von $k$ ist, entsprechend diesen zwei Fällen,
* $d=m,\ {\text{bez.}}\,d=4m.$
Beweis. Die Zahl $\omega$ ist stets ganz, da sie der Gleichung
| $x^{2}-x-{\frac {m-1}{4}}=0,\ {\text{bez.}}\,x^{2}-m=0$ | (21) |
genügt. Bezeichnet $\omega '=s\omega$ die zu $\omega$ konjugierte Zahl, so ist $d=(\omega -\omega ')^{2}$ die Diskriminante der Zahl $\omega$. Nach § 3 S. 72 ist daher jede ganze Zahl des Körpers $k$ in der Gestalt
* $\alpha ={\frac {u+v\omega }{d}}$
darstellbar, wo $u$, $v$ ganze rationale Zahlen sind.
Im Falle, daß $m\equiv 1$ nach $4$ ist, schließen wir aus der Kongruenz $2\alpha m=2u+v+v{\sqrt {m}}\equiv 0$ nach $m$, daß $2u+v$ durch ${\sqrt {m}}$ teilbar sein muß. Die letztere Kongruenz in Verbindung mit der ersteren hat wiederum $v{\sqrt {m}}\equiv 0$ nach $m$ zur Folge, d. h. $v$ muß durch ${\sqrt {m}}$ und daher notwendig auch durch $m$ teilbar sein. Da mithin die ganzen rationalen Zahlen $u$, $v$ beide durch $m=d$ teilbar sind, so ist die im Nenner des obigen Ausdrucks für $\alpha$ stehende Zahl $d$ hebbar.
Ist andererseits $m\equiv \!\!\!\!\!|\,\,1$ nach $4$, so schließen wir aus der Kongruenz $4\alpha m=u+v{\sqrt {m}}\equiv 0$ nach $m$, wie vorhin, daß sowohl $u$ wie $v$ durch $m$ teilbar sein muß und mithin jedenfalls $m$ in Zähler und Nenner des Ausdrucks für $\alpha$ hebbar ist. Wir erhalten dadurch $\textstyle \alpha ={\frac {u'+v'{\sqrt {m}}}{4}}$, wo $u'$, $v'$ ganze rationale Zahlen bedeuten. Man erkennt aber leicht durch Bildung der Norm $\alpha \cdot s\alpha$, sowohl für $m\equiv 2$ als auch für $m\equiv 3$ nach $4$, daß ein Ausdruck $u'+v'{\sqrt {m}}$ mit ganzen rationalen Zahlen $u'$, $v'$ nur dann durch $2$ teilbar sein kann, wenn $u'$, $v'$ beide gerade sind. Wendet man dieses auf $4\alpha$ und sodann wieder auf $2\alpha$ an, so zeigt sich, daß auch im Falle $m\equiv \!\!\!\!\!|\,\,1$ nach $4$ eine jede ganze Zahl des Körpers $k$ in der Gestalt $u+v\omega$ mit ganzen rationalen Zahlen $u$, $v$ darstellbar ist.
Der zweite Teil des Satzes ergibt sich aus der Formel:
* $d=\left|{\begin{array}{cc}1,&\omega \\1,&\omega '\end{array}}\right|^{2}=(\omega -\omega ')^{2}$,
durch welche nach § 3 die Diskriminante des Körpers definiert wird.
Das Problem der Zerlegung der rationalen Primzahlen in Primideale des Körpers $k$ wird durch folgenden Satz zur vollständigen Erledigung gebracht:
Satz 96. Jede in $d$ aufgehende rationale Primzahl $l$ ist gleich dem Quadrat eines Primideals in $k$. Jede ungerade, in $d$ nicht aufgehende rationale Primzahl $p$ zerfällt in $k$ entweder in das Produkt zweier verschiedener, zueinander konjugierter Primideale ersten Grades ${\mathfrak {p}}$ und ${\mathfrak {p}}'$ oder stellt selbst ein Primideal zweiten Grades vor, je nachdem $d$ quadratischer Rest oder Nichtrest für $p$ ist. Die Primzahl $2$ ist im Falle $m\equiv 1$ nach $4$ in $k$ in ein Produkt zweier voneinander verschiedener konjugierter Primideale zerlegbar oder selber Primideal, je nachdem $m\equiv 1$ oder $\equiv 5$ nach $8$ ausfällt.
Beweis. Der erste Teil dieser Behauptung, welcher sich auf die in $d$ aufgehenden Primzahlen $l$ bezieht, ist eine Folge des allgemeinen Satzes 31. Ist $l$ eine in $d$ aufgehende ungerade Primzahl, so finden wir
* $l={\mathfrak {l}}^{2}$,
wo ${\mathfrak {l}}=(l,\,{\sqrt {m}})$ ein Primideal ersten Grades ist, welches seinem konjugierten gleich wird. Geht die Primzahl $2$ in $d$ auf, so wird
* $2=\left(2,\,{\sqrt {m}}\right)^{2}$, bzw. $2=\left(2,\,1+{\sqrt {m}}\right)^{2}$,
je nachdem $m\equiv 2$ oder $\equiv 3$ nach $4$ ist.
Die Zerlegung der in $d$ nicht aufgehenden Primzahlen geschieht auf Grund des Satzes 33 unter Berücksichtigung der zu demselben in § 13 S. 91 gemachten Bemerkung. Danach ist eine jede zu $d$ prime rationale Primzahl $p$ im Körper $k$ entweder in zwei voneinander verschiedene Primideale zerlegbar oder selbst ein Primideal, je nachdem die linke Seite der in Betracht kommenden Gleichung (21) im Sinne der Kongruenz nach $p$ reduzibel oder irreduzibel ist. Ist die betreffende Primzahl $p$ ungerade, so finden wir die Kongruenz
* $(2x-1)^{2}-m\equiv 0$, bez. $x^{2}-m\equiv 0$, ($p$)
offenbar dann reduzibel, wenn $m$ quadratischer Rest nach $p$ ist, und dann irreduzibel, wenn $m$ quadratischer Nichtrest nach $p$ ist. Setzen wir im ersteren Falle $m\equiv a^{2}$ nach $p$, so ergibt sich:
* $p=(p,a+{\sqrt {m}})(p,a-{\sqrt {m}})={\mathfrak {pp}}'.$
Die beiden Primideale ${\mathfrak {p}}$ und ${\mathfrak {p}}'$ rechter Hand sind wegen
* $(p,a+{\sqrt {m}},a-{\sqrt {m}})=1$
in der Tat voneinander verschieden. Im Falle $m\equiv 1$ nach $4$ ist die Kongruenz $x^{2}-x-{\frac {m-1}{4}}\equiv 0$ nach $2$ offenbar reduzibel oder irreduzibel‚ je nachdem ${\frac {m-1}{4}}\equiv 0$ oder $\equiv 1$ nach $2$ ist, d. h. je nachdem $m\equiv 1$ oder $\equiv 5$ nach $8$ ausfällt. Im ersteren Falle findet man:
* $2=\left(2,{\frac {1+{\sqrt {m}}}{2}}\right)\left(2,{\frac {1-{\sqrt {m}}}{2}}\right).$
Die beiden Primideale rechter Hand sind wegen
* $\left(2,{\frac {1+{\sqrt {m}}}{2}},{\frac {1-{\sqrt {m}}}{2}}\right)=1$
in der Tat voneinander verschieden.
Als Basiszahlen der eben aufgestellten Primideale können dienen:
* ${\begin{array}{rcl}l,{\frac {l+{\sqrt {m}}}{2}},&{\text{bez.}}&l,{\sqrt {m}},\\p,{\frac {a\pm {\sqrt {m}}}{2}},&,,&p,a\pm {\sqrt {m}},\\2,{\frac {1\pm {\sqrt {m}}}{2}},&,,&2,{\sqrt {m}};2,1+{\sqrt {m}},\end{array}}$
$m\equiv 1$
$\equiv 2,3$
$4$
$a$
$a^{2}\equiv m$
$p$
$m\equiv 1$
$4$
$\left({\frac {a}{w}}\right)$
Um die gewonnenen Resultate über die Zerlegung der rationalen Primzahlen in übersichtlicherer Weise aussprechen zu können, führen wir folgendes Symbol ein. Ist $a$ eine beliebige ganze rationale Zahl und $w$ eine ungerade rationale Primzahl, so bedeute das Symbol $\left({\frac {a}{w}}\right)$ den Wert $+1$, $-1$ oder $0$, je nachdem die Zahl $a\not \equiv 0$ und quadratischer Rest oder quadratischer Nichtrest nach $w$ oder durch $w$ teilbar ist; ferner bedeute $\left({\frac {a}{2}}\right)$ den Wert $+1$, $-1$, oder $0$, je nachdem $a$ ungerade und quadratischer Rest oder quadratischer Nichtrest nach $2^{3}=8$ oder durch $2$ teilbar ist. Mit Benutzung dieses Symbols erhält der obige Satz 96 folgende Fassung:
Satz 97. Eine beliebige rationale Primzahl $p$ ($=2$ oder $\neq 2$) ist im Körper $k$ in zwei voneinander verschiedene Primideale zerlegbar oder selbst Primideal oder gleich dem Quadrat eines Primideals, je nachdem $\left({\frac {d}{p}}\right)=+1$, $-1$ oder $0$ ist [Dedekind (1)].
Wir unterscheiden, den bisherigen Entwicklungen entsprechend, drei Arten von Primidealen, nämlich:
1. die Primideale ersten Grades ${\mathfrak {p}}$, welche von ihren Konjugierten ${\mathfrak {p}}'$ verschieden sind;
2. die Primideale zweiten Grades $(p)$, die durch die in $k$ unzerlegbaren rationalen Primzahlen $p$ dargestellt werden;
3. die Primideale ersten Grades ${\mathfrak {l}}$, deren Quadrate den in $d$ aufgehenden rationalen Primzahlen gleich sind.
Nach den in § 39 und § 41 aufgestellten Definitionen bildet der Körper $k$ für die Primideale ${\mathfrak {p}}$ der ersten Art den Zerlegungskörper, für die Primideale $p$ der zweiten Art den Trägheitskörper und für die Primideale ${\mathfrak {l}}$ der dritten Art den Verzweigungskörper.
Was die Frage nach den Einheiten des Körpers $k$ betrifft, so sind nach Satz 47 die zwei Fälle zu unterscheiden, ob $k$ ein imaginärer oder ein reeller Körper ist.
Im ersteren Falle enthält $k$ nur solche Einheiten, welche zugleich Einheitswurzeln sind; und da in einem quadratischen Körper außer $\pm 1$ nur die primitiven 3-ten, 4-ten, 6-ten Wurzeln der Einheit vorkommen können, so sind die einzigen imaginären quadratischen Körper, welche noch andere Einheiten als $\pm 1$ enthalten, die zwei Körper $k\left({\sqrt {-1}}\right)$ und $k\left({\sqrt {-3}}\right)$. Der erstere Körper enthält die beiden Einheiten $\pm i$, der letztere die 4 Einheiten $\pm {\frac {1\pm {\sqrt {-3}}}{2}}$. Die Diskriminanten dieser zwei Körper sind $-4$ bez. $-3$; nach Satz 50 muß daher in jeder Idealklasse dieser Körper ein Ideal vorkommen, dessen Norm $\leqq 2$ bezüglich $\leqq \left|{\sqrt {3}}\right|$ ist. Da ferner im Körper $k\left({\sqrt {-1}}\right)$ die Zahl $2$ gleich der Norm des Hauptideals $(1+i)$ wird, so folgt, daß jeder dieser beiden quadratischen Körper nur eine Idealklasse besitzt. Mithin gibt es in diesen Körpern nur Hauptideale, und es ist also jede positive ganze rationale Zahl, welche zur Norm eines Ideals in $k\left({\sqrt {-1}}\right)$ bez. $k\left({\sqrt {-3}}\right)$ geeignet ist, stets Norm einer ganzen algebraischen Zahl in dem betreffenden Körper; hieraus folgen die bekannten Sätze über die Darstellung ganzer rationaler positiver Zahlen in den Gestalten $x^{2}+y^{2}$, bezüglich $x^{2}+xy+y^{2}$, wo $x$ und $y$ ganze rationale Zahlen sein sollen.
Ist dagegen $k$ ein reeller Körper, so gibt es nach Satz 47 stets eine Grundeinheit $\varepsilon$, welche verschieden von $\pm 1$ ist, und durch welche sich jede vorhandene Einheit des Körpers auf eine Weise in der Gestalt $\pm \varepsilon ^{a}$ darstellen läßt, wo $a$ eine ganze rationale Zahl bedeutet.
Die Umstände, unter denen die Norm dieser Grundeinheit $\varepsilon$ gleich $+1$ oder gleich $-1$ ausfällt, sind bisher nur in besonderen Fällen aufgedeckt worden [Arndt (1), Dirichlet (4), Legendre (1), Tano (1)]. Vgl. überdies S. 168 den ersten Abschnitt des Beweises zu Hilfssatz 13.
Die Ausführungen in § 24 ermöglichen für jeden besonderen Wert $m$ die Aufstellung aller Idealklassen des quadratischen Körpers $k$ und die Berechnung der Anzahl $h$ dieser Klassen. Hierher gehörige Tabellen sind auf dem Grunde der Theorie der reduzierten quadratischen Formen angefertigt worden [Gauss(1), Cayley (1)].
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## Anmerkungen (Wikisource)

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