# David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie/Kapitel 5

Nachdem durch Gauss die ganzen imaginären Zahlen in die Arithmetik eingeführt waren, untersuchte Dirichlet in einer Reihe von Abhandlungen denjenigen biquadratischen Zahlkörper, welcher die imaginäre Einheit $i$ und mithin alle jene Gaußschen imaginären Zahlen enthält. Dieser biquadratische Körper werde der Dirichletsche Zahlkörper genannt. Dirichlet hat auf denselben seine allgemeine analytische Methode zur Bestimmung der Anzahl der Idealklassen angewandt und insbesondere den Fall in Betracht gezogen, in welchem der biquadratische Zahlkörper außer dem durch $i$ bestimmten quadratischen Körper noch zwei andere quadratische Körper enthält. Es ergibt sich dann das Resultat, daß die Anzahl der Idealklassen dieses speziellen Dirichletschen Zahlkörpers im wesentlichen gleich dem Produkt der Anzahl der Idealklassen in den beiden letzteren quadratischen Körpern ist. Diesen mit analytischen Hilfsmitteln gewonnenen rein arithmetischen Satz bezeichnet Dirichlet als einen der schönsten in der Theorie der imaginären Zahlen, vornehmlich weil durch denselben ein Zusammenhang zwischen den Anzahlen der Idealklassen derjenigen beiden quadratischen Körper aufgedeckt wird, die durch Quadratwurzeln aus entgegengesetzten reellen Zahlen bestimmt sind.
Die vorliegende Abhandlung hat das Ziel, die Theorie des Dirichletschen biquadratischen Körpers auf rein arithmetischem Wege bis zu demjenigen Standpunkt zu fördern, auf welchem sich die Theorie der quadratischen Körper bereits seit Gauss beﬁndet. Es ist hierzu vor allem die Einführung des Geschlechtsbegriffs sowie eine Untersuchung derjenigen Einteilung aller Idealklassen notwendig, welche sich auf den Geschlechtsbegriff gründet. Nachdem in den ersten acht Paragraphen der Arbeit diese Aufgabe für den allgemeinen Dirichletschen Zahlkörper gelöst wird, behandeln die beiden letzten Paragraphen den vorhin charakterisierten speziellen Dirichletschen Zahlkörper. Es zeigt sich bei der Untersuchung, daß in diesem Körper die Idealklassen gewisser leicht zu kennzeichnender Geschlechter aus den Idealklassen der in ihm enthaltenen quadratischen Körper zusammensetzbar sind. Diese auf rein arithmetischem Wege gefundene Tatsache enthält zugleich den vorhin genannten Dirichletschen Satz über die Anzahl der Idealklassen des speziellen Dirichletschen Körpers.
Der durch die imaginäre Einheit $i$ bestimmte quadratische Zahlkörper werde $k$ genannt; die ganzen Zahlen dieses Körpers, d. h. die Zahlen von der Form $a+bi$, wo $a$ und $b$ ganze rationale Zahlen sind, mögen ganze imaginäre Zahlen heißen. Bedeutet $\delta$ eine ganze imaginäre Zahl, welche durch kein Quadrat einer ganzen imaginären Zahl teilbar und von $\pm 1$ verschieden ist, so bildet die Gesamtheit aller durch $i$ und ${\sqrt {\delta }}$ rational ausdrückbaren Zahlen einen Dirichletschen biquadratischen Zahlkörper. Derselbe werde mit $K$ bezeichnet; $K$ ist der allgemeinste biquadratische Körper, welcher die imaginäre Einheit $i$ enthält.
Eine jede Zahl des Körpers $K$ läßt sich in die Gestalt
* ${\mathsf {A}}={\frac {\alpha +\beta {\sqrt {\delta }}}{\gamma }}$
bringen, wo $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ ganze imaginäre Zahlen sind. Die Veränderung von ${\sqrt {\delta }}$ in $-{\sqrt {\delta }}$ werde durch das Operationssymbol $S$ bezeichnet.
Soll nun ${\mathsf {A}}$ eine ganze Zahl in $K$ sein, so sind notwendig die Zahlen
* ${\mathsf {A}}+S{\mathsf {A}}\quad {\frac {2\alpha }{\gamma }}$ und ${\mathsf {A}}\cdot S{\mathsf {A}}={\frac {\alpha ^{2}-\beta ^{2}\delta }{\gamma ^{2}}}$
ganze imaginäre Zahlen. Bezeichnet $\lambda$ eine in $\gamma$ aufgehende von $1+i$ verschiedene Primzahl in $k$, so folgt leicht, daß sowohl $\alpha$ als $\beta$ durch $\lambda$ teilbar sein müssen, und es kann mithin $\lambda$ in Zähler und Nenner von ${\mathsf {A}}$ fortgehoben werden. Wäre ferner $\gamma$ durch $(1+i)^{3}$ teilbar, so folgt in gleicher Weise, daß $\alpha$ und $\beta$ durch $1+i$ teilbar sind, so daß der Faktor $1+i$ in Zähler und Nenner von ${\mathsf {A}}$ hebbar ist. Es bleiben mithin nur die beiden Fälle $\gamma =1+i$ und $\gamma =2$ zu untersuchen übrig. Also folgt, daß in diesen beiden Fällen die Zahl $\alpha ^{2}-\beta ^{2}\delta$ durch $2$ bezüglich durch $4$ teilbar sein muß. Wäre $\beta$ durch $1+i$ teilbar, so würde mithin das gleiche für $\alpha$ folgen und dann wäre wiederum $1+i$ im Zähler und Nenner von ${\mathsf {A}}$ hebbar. Nehmen wir andrerseits $\beta$ nicht teilbar durch $1+i$ an, so folgt, daß $\delta \equiv {\frac {\alpha ^{2}}{\beta ^{2}}}$ nach $2$ bezüglich nach $4$ ist, d. h. $\delta$ muß im Zahlengebiete des Körpers $k$ quadratischer Rest von $2$ bezüglich von $4$ sein. Nun ist $\delta$ quadratischer Rest von $4$, sobald $\delta \equiv \pm 1$ nach $4$ wird, dagegen quadratischer Rest von $2$ und zugleich quadratischer Nichtrest von $4$, falls $\delta \equiv \pm 3+2i$ nach $4$ wird. In allen anderen Fällen, nämlich für $\delta \equiv i$ nach $2$ und $\delta \equiv 0$ nach $1+i$ ist $\delta$ quadratischer Nichtrest von $2$. Berücksichtigen wir, daß der nämliche biquadratische Körper $K$ erhalten wird, wenn wir unter dem Wurzelzeichen statt $\delta$ die Zahl $-\delta$ setzen, da ja diese Änderung einer Multiplikation der Wurzel mit $i$ gleichkommt, so können wir offenbar die Zahl $\delta$ stets so annehmen, daß beidemal das obere Vorzeichen zutrifft, d. h. $\delta \equiv 1$ bezüglich $\equiv 3+2i$ nach $4$ wird. Es ergibt sich dann leicht das folgende Resultat:
Die Basis der ganzen Zahlen des Dirichletschen Körpers $K$ besteht aus den Zahlen $1$, $i$, $\Omega$, $i\Omega$, wo $\Omega$ folgende Bedeutung hat:
* ${\begin{alignedat}{3}{\mbox{für}}\quad &\delta \equiv 1,&(4)\quad &{\mbox{ist:}}\quad &&\Omega ={\frac {1+{\sqrt {\delta }}}{2}},\\_{\prime \prime }\,\quad &\delta \equiv 3+2i,\quad &(4)\quad &\,_{\prime \prime }&&\Omega ={\frac {1+{\sqrt {\delta }}}{1+i}},\\_{\prime \prime }\,\quad &\delta \equiv i,\quad &(2)\quad &\,_{\prime \prime }&&\Omega =1+{\sqrt {\delta }},\\_{\prime \prime }\,\quad &\delta \equiv 0,\quad &(1+i)\quad &\,_{\prime \prime }&&\Omega ={\sqrt {\delta }}.\end{alignedat}}$
Wir berechnen ferner den Ausdruck $d=(\Omega -S\Omega )^{2}$; derselbe werde die Partialdiskriminante des Körpers $K$ genannt:
* ${\begin{alignedat}{3}{\mbox{für}}\quad &\delta \equiv 1,&(4)\quad &{\mbox{ist:}}\quad &&d=\delta ,\\_{\prime \prime }\,\quad &\delta \equiv 3+2i,\quad &(4)\quad &\,_{\prime \prime }&&d=-2i\delta ,\\_{\prime \prime }\,\quad &\delta \equiv i,\quad &(2)\quad &\,_{\prime \prime }&&d=4\delta ,\\_{\prime \prime }\,\quad &\delta \equiv 0,\quad &(1+i)\quad &\,_{\prime \prime }&&d=4\delta .\end{alignedat}}$
Die gewöhnliche Diskriminante $D$ des biquadratischen Körpers $K$ ergibt sich gleich $2^{4}|d|^{2}$, wo $|d|$ den absoluten Betrag der Partialdiskriminante $d$ bedeutet.
Zunächst behandeln wir die von $1+i$ verschiedenen und nicht in $\delta$ aufgehenden Primzahlen des Körpers $k$; es sind unter diesen zwei Arten zu unterscheiden, nämlich erstens die Primzahlen $\pi$, in bezug auf welche $\delta$ im Zahlengebiete des Körpers $k$ quadratischer Rest ist und zweitens diejenigen Primzahlen $\varkappa$, in bezug auf welche $\delta$ quadratischer Nichtrest ist.
Die Primzahlen $\pi$ der ersten Art gestatten eine Zerlegung in zwei voneinander verschiedene Primideale des Körpers $K$. Bedeutet nämlich $\eta$ eine Zahl in $k$, welche der Kongruenz $\delta \equiv \eta ^{2}$ nach dem Modul $\pi$ genügt und wendet man eine früher von mir angegebene Bezeichnungsweise an, der zu Folge (${\mathsf {A}}$, ${\mathsf {B}}$, …) dasjenige Ideal darstellt, welches als der größte gemeinsame Teiler der Zahlen ${\mathsf {A}}$, ${\mathsf {B}}$, … definiert ist, so wird
* ${\begin{aligned}\left(\pi ,\,\eta +{\sqrt {\delta }}\right)\left(\pi ,\,\eta -{\sqrt {\delta }}\right)&=\left(\pi ^{2},\,\pi \left[\eta +{\sqrt {\delta }}\right],\,\pi \left[\eta -{\sqrt {\delta }}\right],\eta ^{2}-\delta \right)\\&=\left(\pi ,\,\eta ^{2}-\delta \right)=\pi .\end{aligned}}$
* $\pi ={\mathfrak {P}}\cdot S{\mathfrak {P}},\qquad {\mathfrak {P}}=(\pi ,\eta +{\sqrt {\delta }}),$
wo ${\mathfrak {P}}$ ein Primideal bedeutet und das konjugierte Primideal $S{\mathfrak {P}}$ wegen $(\pi ,\eta +{\sqrt {\delta }},\eta -{\sqrt {\delta }})=1$ notwendig von ${\mathfrak {P}}$ verschieden ist.
Die Primzahlen $\varkappa$ der zweiten Art sind auch im Körper $K$ Primzahlen. Denn wäre die Zahl $\varkappa$ zerlegbar, so wähle man in $K$ eine ganze Zahl ${\mathsf {A}}=\alpha +\beta {\sqrt {\delta }}$, welche nicht durch $\varkappa$, wohl aber durch ein in $\varkappa$ aufgehendes Primideal teilbar ist. Da dann $\beta$ notwendig prim zu $\varkappa$ sein muß, dagegen ${\mathsf {A}}\cdot S{\mathsf {A}}=\alpha ^{2}-\beta ^{2}\delta$ durch $\varkappa$ teilbar wird, so würde $\textstyle \delta \equiv \left({\frac {\alpha }{\beta }}\right)^{2}$ nach $\varkappa$ folgen, was der Voraussetzung zuwider läuft.
Um ferner die von $1+i$ verschiedenen in $\delta$ aufgehenden Primzahlen des Körpers $k$ in ihre idealen Faktoren zu zerlegen, bezeichnen wir dieselben mit $\lambda _{1}$, …, $\lambda _{r}$ und setzen demgemäß $\delta =\lambda _{1}\ldots \lambda _{r}$ bezüglich $\delta =(1+i)\lambda _{1}\ldots \lambda _{r}$ je nachdem $\delta$ durch $1+i$ nicht teilbar oder teilbar ist. Es folgt leicht, daß
* ${\mathfrak {L}}_{1}=S{\mathfrak {L}}_{1}=\left(\lambda _{1},\,{\sqrt {\delta }}\right)$, …, ${\mathfrak {L}}_{r}=S{\mathfrak {L}}_{r}=\left(\lambda _{r},\,{\sqrt {\delta }}\right)$
Primideale im Körper $K$ sind und daß
* $\lambda _{1}={\mathfrak {L}}_{1}^{2}$, …, $\lambda _{r}={\mathfrak {L}}_{r}^{2}$
wird.
Was endlich die Zerlegung der Zahl $1+i$ betrifft, so untersuchen wir zunächst den Fall $\delta \equiv 1$ nach $4$ und finden, daß $1+i$ unzerlegbar ist, falls $\delta \equiv 1+4i$ nach $(1+i)^{5}$ ausfällt. Ist dagegen $\delta \equiv 1$ nach $(1+i)^{5}$‚ so wird
* $1+i=(1+i,\,\Omega )(1+i,\,S\Omega )$,
wo die beiden Klammern rechter Hand Primideale des Körpers $K$ darstellen, welche wegen $(\Omega ,\,S\Omega )=1$ notwendig voneinander verschieden sind. In allen anderen Fällen ist $\delta$ das Quadrat des Ideals $(1+i,\,\Omega )=(1+i,S\Omega )$, wie eine leichte Rechnung zeigt. Wir erkennen somit, daß $1+i$ dann und nur dann das Quadrat eines Primideals wird, wenn $1+i$ in der Partialdiskriminante $d$ des Körpers $K$ aufgeht. Die Zerlegung der Zahl $1+i$ ist in folgender Tabelle dargestellt:
* ${\begin{alignedat}{3}{\mbox{für}}\quad &\delta \equiv 1,&(1+i)^{5}\quad &{\mbox{ist}}\quad &&1+i={\mathfrak {P}}\cdot S{\mathfrak {P}},\,{\mathfrak {P}}=(1+i,\,\Omega ),\,S{\mathfrak {P}}\neq {\mathfrak {P}},\\_{\prime \prime }\,\quad &\delta \equiv 1+4i,\quad &(1+i)^{5}\quad &\,_{\prime \prime }&&1+i={\mathfrak {P}},\\_{\prime \prime }\,\quad &\delta \equiv 3+2i,\quad &(4)\quad &\,_{\prime \prime }&&1+i={\mathfrak {L}}^{2},\,{\mathfrak {L}}=S{\mathfrak {L}}=(1+i,\,\Omega ),\\_{\prime \prime }\,\quad &\delta \equiv i,\quad &(2)\quad &\,_{\prime \prime }&&1+i={\mathfrak {L}}^{2},\,{\mathfrak {L}}=S{\mathfrak {L}}=(1+i,\,\Omega ),\\_{\prime \prime }\,\quad &\delta \equiv 0,\quad &(1+i)\quad &\,_{\prime \prime }&&1+i={\mathfrak {L}}^{2},\,{\mathfrak {L}}=S{\mathfrak {L}}=(1+i,\,\Omega ).\\\end{alignedat}}$
$k$
$\alpha$
$\tau$
$k$
$\textstyle \left[{\tfrac {\alpha }{\tau }}\right]$
$+1$
$-1$
$0$
$\alpha$
$k$
$\tau$
$\tau$
$\left[{\tfrac {\alpha }{1+i}}\right]$
$+1$
$-1$
$0$
$\alpha$
$(1+i)^{5}$
$1+i$
Die Primzahl $\tau$ des Körpers $k$ ist im Körper $K$ in zwei verschiedene Primideale zerlegbar oder unzerlegbar oder gleich dem Quadrat eines Primideale, je nachdem $\left[{\tfrac {d}{\tau }}\right]=+1$‚ $=-1$ oder $0$ ist.
Wenn ${\mathsf {A}}$ eine beliebige ganze oder gebrochene Zahl des Körpers $K$ ist, so wird $v({\mathsf {A}})={\mathsf {A}}\cdot S{\mathsf {A}}$ die Partialnorm von ${\mathsf {A}}$ genannt. Diese Partialnorm ist offenbar eine Zahl im Körper $k$. Bedeutet nun $\lambda$ eine von $1+i$ verschiedene in $\delta$ aufgehende Primzahl des Körpers $k$ und ist die Partialnorm $v({\mathsf {A}})$ eine durch $\lambda$ nicht teilbare ganze Zahl oder eine gebrochene Zahl, deren Zähler und Nenner durch $\lambda$ nicht teilbar sind, so wird $v({\mathsf {A}})$ im Gebiet der ganzen imaginären Zahlen ein quadratischer Rest in bezug auf $\lambda$.
Um dies zu erkennen, setzen wir ${\mathsf {A}}={\tfrac {\alpha +\beta {\sqrt {\delta }}}{\gamma }}$‚ wo $\alpha$‚ $\beta$‚ $\gamma$ ganze imaginäre Zahlen sind. Dann ist $v({\mathsf {A}})={\tfrac {\alpha ^{2}-\beta ^{2}\delta }{\gamma ^{2}}}$. Enthielte nun $\gamma$ den Primfaktor $\lambda$, so müßte wegen der über $v({\mathsf {A}})$ gemachten Voraussetzung auch $\alpha ^{2}-\beta ^{2}\delta$ durch $\lambda ^{2}$ teilbar sein und folglich enthielten sowohl $\alpha$ wie $\beta$ den Faktor $\lambda$; derselbe ist mithin in Zähler und Nenner des Bruches ${\mathsf {A}}$ hebbar. Hätte andererseits $\alpha$ den Faktor $\lambda$, so müssen wegen der über $v({\mathsf {A}})$ gemachten Voraussetzung notwendig auch $\gamma$ und $\beta$ durch $\lambda$ teilbar sein, und dann ist wiederum der Faktor $\lambda$ in Zähler und Nenner des Bruches ${\mathsf {A}}$ hebbar. Wir können daher annehmen, daß keine der beiden Zahlen $\alpha$ und $\gamma$ den Faktor $\lambda$ enthält. Dann aber folgt $v({\mathsf {A}})\equiv {\tfrac {\alpha ^{2}}{\gamma ^{2}}}$ nach $\lambda$, womit die Behauptung bewiesen worden ist.
Wir führen jetzt das neue Symbol $\left[{\tfrac {\sigma }{\lambda :\delta }}\right]$ ein, wo $\sigma$ eine beliebige Zahl in $k$ und $\lambda$ zunächst eine von $1+i$ verschiedene in $\delta$ aufgehende Primzahl bedeutet. Für den Fall, daß $\sigma =\alpha$ eine durch $\lambda$ nicht teilbare ganze Zahl oder ein Bruch ist, dessen Zähler und Nenner durch $\lambda$ nicht teilbar sind, wird das Symbol durch die Gleichung
* $\left[{\frac {\alpha }{\lambda :\delta }}\right]=\left[{\frac {\alpha }{\lambda }}\right]$
$\sigma =\nu$
$K$
* $\left[{\frac {\nu }{\lambda :\delta }}\right]=+1$
sein. Der zu Anfang dieses Paragraphen bewiesene Satz zeigt, daß diese letztere Festsetzung mit der erst getroffenen Definition vereinbar ist.
Ferner benutzen wir die Tatsache, daß eine jede Zahl $\sigma$ in $k$ gleich dem Produkt zweier Zahlen $\alpha$ und $\nu$ gesetzt werden kann, wo $\alpha$ eine ganze nicht durch $\lambda$ teilbare Zahl in $k$ oder ein Bruch ist, dessen Zähler und Nenner nicht durch $\lambda$ teilbar sind, und wo $\nu$ die Partialnorm einer Zahl in $K$ ist. Um diese Tatsache zu beweisen, ist es offenbar nur nötig, jene Zerlegung für die Primzahl $\lambda$ auszuführen. Zu dem Zweck wählen wir in $K$ eine durch ${\mathfrak {L}}$, aber nicht durch $\lambda ={\mathfrak {L}}^{2}$ teilbare Zahl ${\mathsf {A}}$, setzen $\nu =\nu ({\mathsf {A}})$ und berücksichtigen dann, daß ${\frac {\lambda }{\nu }}=\alpha$ in die Gestalt eines Bruches gebracht werden kann, dessen Zähler gleich $1$ ist und dessen Nenner eine nicht durch $\lambda$ teilbare Zahl ist. Es folgt somit die gewünschte Zerlegung $\lambda =\alpha \nu$.
Ist die beliebige Zahl $\sigma =\alpha \nu$ auf die beschriebene Weise zerlegt, so definieren wir das allgemeine Symbol durch die Gleichung
* $\left[{\frac {\sigma }{\lambda :\delta }}\right]=\left[{\frac {\alpha }{\lambda }}\right]$
und erkennen ohne Schwierigkeit, daß dieses Symbol dadurch eindeutig bestimmt ist und die Eigenschaft
* $\left[{\frac {\sigma \sigma '}{\lambda :\delta }}\right]=\left[{\frac {\sigma }{\lambda :\delta }}\right]\left[{\frac {\sigma '}{\lambda :\delta }}\right]$
besitzt, wo $\sigma$, $\sigma '$ beliebige Zahlen des Körpers $k$ sind.
In den Fällen, in welchen $1+i$ in $d$ aufgeht, bedarf es einer genaueren Untersuchung über das Verhalten der Partialnormen und ihrer Reste nach den Potenzen von $1+i$. Um eine übersichtliche Darstellung der in Betracht kommenden Restsysteme zu erhalten, setzen wir
* $i'=3+2i$, $i''=1+4i$
und zeigen dann durch eine leichte Rechnung, daß, wenn $t$, $t'$, $t''$ die Werte $0$ oder $1$ annehmen, in der Form $\pm i^{t}i'^{t'}$ sämtliche 8 zu $1+i$ primen Reste nach $(1+i)^{4}$ und in der Form $\pm i^{t}i'^{t'}i''^{t''}$ sämtliche 16 zu $1+i$ primen Reste nach $(1+i)^{5}$ enthalten sind. Wir bezeichnen der Kürze halber die beiden genannten Ausdrücke mit ($tt'$) bezüglich ($tt't''$).
Da im Falle $\delta \equiv (00)$ nach $(1+i)^{4}$ die Partialdiskriminante $d$ nicht durch $1+i$ teilbar ist, so untersuchen wir lediglich die 7 Fälle $\delta \equiv (01)$, $(10)$, $(11)$ nach $(1+i)^{4}$ und $\equiv (1+i)(00)$, $(1+i)(01)$, $(1+i)(10)$, $(1+i)(11)$ nach $(1+i)^{5}$. Die Rechnung zeigt, daß nur diejenigen zu $1+i$ primen Reste von $(1+i)^{5}$ unter den Partialnormen der Zahlen des Körpers $K$ vertreten sind, welche in der folgenden Tabelle unter der Rubrik $\alpha$ verzeichnet stehen und deren Exponenten $t$, $t'$, $t''$ den in der letzten Rubrik angegebenen Bedingungen genügen:
| $\delta \equiv$ | $\alpha \equiv$ | |
| $(01)$ | $(000),\,(001),\,(010),\,(011)$ | $t\,{\mbox{gerade}}$ |
| $(10)$ | $(000),\,(001),\,(100),\,(101)$ | $t'\,\color {white}{ge}\color {black}{\prime \prime }\color {white}{de}$ |
| $(11)$ | $(000),\,(001),\,(110),\,(111)$ | $t+t'\,\color {white}{ge}\color {black}{\prime \prime }\color {white}{de}$ |
| $(1+i)(00)$ | $(000),\,(011),\,(100),\,(111)$ | $t'+t''\,\color {white}{ge}\color {black}{\prime \prime }\color {white}{de}$ |
| $(1+i)(01)$ | $(000),\,(011),\,(101),\,(110)$ | $t+t'+t''\,\color {white}{ge}\color {black}{\prime \prime }\color {white}{de}$ |
| $(1+i)(10)$ | $(000),\,(010),\,(100),\,(110)$ | $t''\,\color {white}{ge}\color {black}{\prime \prime }\color {white}{de}$ |
| $(1+i)(11)$ | $(000),\,(010),\,(101),\,(111)$ | $t+t''\,\color {white}{ge}\color {black}{\prime \prime }\color {white}{de}$ |
Um die Angaben dieser Tabelle übersichtlich zusammenzufassen, setzen wir $\delta \equiv (t_{\delta }t_{\delta }^{\prime })$ bezüglich $\equiv (1+i)(t_{\delta }t'_{\delta })$ und $\alpha \equiv (t_{\alpha }t'_{\alpha }t''_{\alpha })$; es bestätigt sich dann leicht, daß die Zahl $\alpha$ dann und nur dann nach $(1+i)^{5}$ einer Partialnorm kongruent ist, sobald die Zahl $t_{\alpha }t'_{\delta }+t'_{\alpha }t_{\delta }$ bezüglich $t_{\alpha }t'_{\delta }+t'_{\alpha }t_{\delta }+t'_{\alpha }+t''_{\alpha }$ gerade ist. Bemerkt sei noch, daß die Zahl $\alpha$, wenn sie dieser Bedingung genügt, zugleich auch nach jeder höheren Potenz von $1+i$ der Partialnorm einer Zahl in $K$ kongruent sein muß.
Wir definieren nun das Symbol $\textstyle \left[{\frac {\sigma }{1+i:\delta }}\right]$ zunächst für den Fall, daß $\sigma =\alpha$ eine durch $1+i$ nicht teilbare Zahl oder ein Bruch ist, dessen Zähler und Nenner durch $1+i$ nicht teilbar sind. In diesem Falle nehmen wir $\alpha \equiv (t_{\alpha }t'_{\alpha }t''_{\alpha })$ an und setzen
* $\left[{\frac {\alpha }{1+i:\delta }}\right]=(-1)^{t_{\alpha }t'_{\delta }+t'_{\alpha }t_{\delta }}$ bezüglich $=(-1)^{t_{\alpha }t'_{\delta }+t'_{\alpha }t_{\delta }+t'_{\alpha }+t''_{\alpha }}$,
je nachdem $\delta \equiv (t_{\delta }t'_{\delta })$ nach $(1+i)^{4}$ oder $\equiv (1+i)(t_{\delta }t'_{\delta })$ nach $(1+i)^{5}$ wird. Ist ferner $\sigma =\nu$ die Partialnorm einer beliebigen Zahl des Körpers $K$, so setzen wir
* $\left[{\frac {\nu }{1+i:\delta }}\right]=+1$.
Um endlich für ein beliebiges $\sigma$ das Symbol zu definieren, benutzen wir die Zerlegung $\sigma =\alpha \nu$, wo $\alpha$ eine nicht durch $1+i$ teilbare Zahl oder ein Bruch ist, dessen Zähler und Nenner durch $1+i$ nicht teilbar sind, und wo $\nu$ eine Partialnorm ist und setzen
* $\left[{\frac {\sigma }{1+i:\delta }}\right]=\left[{\frac {\alpha }{1+i:\delta }}\right]$.
* $\left[{\frac {\sigma \sigma '}{1+i:\delta }}\right]=\left[{\frac {\sigma }{1+i:\delta }}\right]\left[{\frac {\sigma '}{1+i:\delta }}\right]$
zukommt, wo $\sigma$, $\sigma '$ beliebige Zahlen des Körpers $K$ sind.
Im folgenden werden die sämtlichen $s$ in der Partialdiskriminante $d$ aufgehenden Primzahlen mit $\lambda _{1}$, …, $\lambda _{s}$ bezeichnet. Unser Symbol ordnet dann einer jeden beliebigen Zahl $\sigma$ des Körpers $k$ die $s$ Vorzeichen
* $\left[{\frac {\sigma }{\lambda _{1}:\delta }}\right]$, …, $\left[{\frac {\sigma }{\lambda _{s}:\delta }}\right]$
zu, welche das Charakterensystem der Zahl $\sigma$ im Dirichletschen Körper $K$ heißen mögen. Um ferner vermittels unseres Symbols einem jeden Ideal ${\mathfrak {J}}$ in $K$ ein bestimmtes Vorzeichensystem zuzuordnen, bilden wir ${\mathfrak {J}}\cdot S{\mathfrak {J}}$. Dieses Produkt ist gleich einer Zahl $\nu ({\mathfrak {J}})$ in $k$; dieselbe werde die Partialnorm des Ideals ${\mathfrak {J}}$ genannt. Da diese Partialnorm nur bis auf hinzutretende Einheitsfaktoren bestimmt ist, so bedarf es für unseren Zweck der Unterscheidung zweier Fälle, je nachdem das Charakterensystem des Einheitsfaktors $i$
* $\left[{\frac {i}{\lambda _{1}:\delta }}\right]$, …, $\left[{\frac {i}{\lambda _{s}:\delta }}\right]$
aus lauter positiven Vorzeichen besteht oder ein negatives Vorzeichen enthält. Im ersteren Falle sind offenbar die $s$ Vorzeichen
* $\left[{\frac {\nu ({\mathfrak {J}})}{\lambda _{1}:\delta }}\right]$, …, $\left[{\frac {\nu ({\mathfrak {J}})}{\lambda _{s}:\delta }}\right]$
für das Ideal ${\mathfrak {J}}$ sämtlich eindeutig bestimmt. Das System dieser $s$ Vorzeichen werde das Charakterensystem des Ideals ${\mathfrak {J}}$ genannt. Im zweiten Falle nehmen wir an, es sei etwa $\left[{\frac {i}{\lambda _{s}:\delta }}\right]=-1$; wählen wir dann den Wert der Partialnorm $\nu ({\mathfrak {J}})$ derart, daß $\left[{\frac {\nu ({\mathfrak {J}})}{\lambda _{s}:\delta }}\right]=+1$ wird, so sind die $s-1$ Vorzeichen
* $\left[{\frac {\nu ({\mathfrak {J}})}{\lambda _{1}:\delta }}\right]$, …, $\left[{\frac {\nu ({\mathfrak {J}})}{\lambda _{s-1}:\delta }}\right]$
sämtlich durch ${\mathfrak {J}}$ eindeutig bestimmt und heißen das Charakterensystem des Ideals ${\mathfrak {J}}$.
Die Ideale derselben Klasse besitzen notwendig das gleiche Charakterensystem.
Ist nämlich ${\mathfrak {J}}'$ mit ${\mathfrak {J}}$ äquivalent, so gibt es in $K$ eine ganze oder gebrochene Zahl ${\mathsf {A}}$ derart, daß ${\mathfrak {J}}'={\mathsf {A}}{\mathfrak {J}}$ ist. Hieraus folgt $\nu ({\mathfrak {J}}')=\nu ({\mathsf {A}})\nu ({\mathfrak {J}})$ und daher wird $\textstyle \left[{\frac {\nu ({\mathfrak {J}}')}{\lambda :\delta }}\right]=\left[{\frac {\nu ({\mathfrak {J}})}{\lambda :\delta }}\right]$.
Auf die dargelegte Weise ist einer jeden Idealklasse ein bestimmtes Charakterensystem zugeordnet. Wir rechnen nun alle diejenigen Idealklassen, welche das gleiche Charakterensystem besitzen, in ein Geschlecht und definieren insbesondere das Hauptgeschlecht als die Gesamtheit aller derjenigen Klassen, deren Charakterensystem aus lauter positiven Vorzeichen besteht. Da das Charakterensystem der Hauptklasse offenbar von der letzteren Eigenschaft ist, so gehört die Hauptklasse stets zum Hauptgeschlecht.
Aus derjenigen Eigenschaft des Symbols, welche sich durch die Formel
* $\left[{\frac {\sigma \sigma '}{\lambda :\delta }}\right]=\left[{\frac {\sigma }{\lambda :\delta }}\right]\left[{\frac {\sigma '}{\lambda :\delta }}\right]$
ausdrückt, entnehmen wir leicht die Tatsache, daß das Produkt der Idealklassen zweier Geschlechter die Idealklassen eines Geschlechtes liefert, dessen Charakterensystem durch Multiplikation der entsprechenden Charaktere beider Geschlechter erhalten wird. Im besonderen folgt hieraus, daß das Charakterensystem des Quadrats der Idealklasse eines beliebigen Geschlechtes stets aus lauter positiven Einheiten besteht und mithin das Quadrat einer Idealklasse stets dem Hauptgeschlecht angehört. Es ist von Bedeutung, daß die folgende Umkehrung dieses Satzes gilt:
Eine jede Idealklasse des Hauptgeschlechtes ist gleich dem Quadrat einer Idealklasse.
Um die Richtigkeit dieses Satzes zu erkennen, beweisen wir der Reihe nach folgende Sätze.
Satz 1. Wenn $\nu$ in dem durch ${\sqrt {\delta }}$ bestimmten Dirichletschen Körper $K_{\delta }$ die Partialnorm eines Ideals ist und das Charakterensystem von $\nu$ in diesem Körper $K_{\delta }$ aus lauter positiven Einheiten besteht, so ist auch $\delta$ in dem durch ${\sqrt {\nu }}$ bestimmten Dirichletschen Körper $K_{\nu }$ Partialnorm eines Ideals und besitzt in $K_{\nu }$ ein aus lauter positiven Einheiten bestehendes Charakterensystem.
Wir dürfen offenbar annehmen, daß $\nu$ keine quadratischen Faktoren des Körpers $k$ enthält. Da $\nu$ eine Partialnorm sein soll, so muß ein jeder in der Partialdiskriminante $d$ des Körpers $K_{\delta }$ nicht vorkommender Primteiler $\pi$ der Zahl $\nu$ in zwei Primideale des Körpers $K_{\delta }$ zerfallen; es ist somit nach den Entwicklungen von § 2 notwendigerweise $d$ quadratischer Rest von $\pi$, d. h. wenn $\pi$ von $1+i$ verschieden ist:
* $\left[{\frac {\delta }{\pi :\nu }}\right]=+1$.
Wir betrachten ferner die von $1+i$ verschiedenen in $d$ aufgehenden Primteiler $\lambda$ der Zahl $\nu$. Es gilt im Körper $K_{\delta }$ die Zerlegung $\lambda ={\mathfrak {L}}^{2}$ und zugleich ist $\lambda +{\sqrt {\delta }}$ eine durch ${\mathfrak {L}}$, aber nicht durch $\lambda$ teilbare Zahl des Körpers $K_{\delta }$. Daher ist, wenn $\nu =\lambda \nu '$, $\delta =\lambda \delta '$ gesetzt wird:
* $\left[{\frac {\nu }{\lambda :\delta }}\right]=\left[{\frac {\nu \cdot \nu \left({\frac {1}{\lambda +{\sqrt {\delta }}}}\right)}{\lambda :\delta }}\right]=\left[{\frac {\frac {\nu }{\lambda ^{2}-\delta }}{\lambda :\delta }}\right]=\left[{\frac {\frac {\nu '}{\lambda -\delta '}}{\lambda }}\right]=\left[{\frac {\nu '\delta '}{\lambda }}\right]$.
* $\left[{\frac {\delta }{\lambda :\nu }}\right]=\left[{\frac {\nu '\delta '}{\lambda }}\right]$,
und da das Symbol $\textstyle \left[{\frac {\nu }{\lambda :\delta }}\right]$ nach Voraussetzung den Wert $+1$ hat, so ist auch
* $\left[{\frac {\delta }{\lambda :\nu }}\right]=+1$.
Was endlich den Primkaktor $1+i$ betrifft, so unterscheiden wir bei der folgenden Untersuchung zunächst 4 Hauptfälle:
    I. Weder $\nu$ noch $\delta$ sind durch $1+i$ teilbar. II. $\nu$ ist durch $1+i$ teilbar, aber nicht $\delta$. III. $\nu$ ist nicht durch $1+i$ teilbar, wohl aber $\delta$. IV. Sowohl $\nu$ als auch $\delta$ sind durch $1+i$ teilbar.
Im Hauptfalle I setzen wir $\nu \equiv (t_{\nu }t'_{\nu })$ und $\delta \equiv (t_{\delta }t'_{\delta })$ nach $(1+i)^{4}$ und unterscheiden dann 2 Unterfälle:
1. $t_{v}$, $t'_{v}$ sind beide gerade. Unter dieser Bedingung kommt $1+i$ nicht in der Partialdiskriminante $n$ des Dirichletschen Körpers $K_{\nu }$ vor, und es gibt daher im Körper $K_{\nu }$ kein auf den Faktor $1+i$ bezügliches Symbol.
2. $t_{\nu }$, $t'_{\nu }$ sind nicht beide gleichzeitig gerade. Unter dieser Bedingung kommt $1+i$ in $n$ vor und es ist
* $\left[{\frac {\delta }{1+i:\nu }}\right]=(-1)^{t_{\delta }t'_{\nu }+t'_{\delta }t_{\nu }}$.
Sind $t_{\delta }$, $t'_{\delta }$ beide gerade, so wird der Wert der rechten Seite $=+1$. Sind $t_{\delta }$, $t'_{\delta }$ nicht beide zugleich gerade, so gibt es im Körper $K_{\delta }$ ein auf $1+i$ bezügliches Symbol, und zwar ist
* $\left[{\frac {\nu }{1+i:\delta }}\right]=(-1)^{t_{\nu }t'_{\delta }+t'_{\nu }t_{\delta }}.$
Da dieses Symbol wegen der Voraussetzung den Wert $+1$ hat, so ist auch
* $\left[{\frac {\delta }{1+i:\nu }}\right]=+1$.
Im Hauptfalle II setzen wir $\nu \equiv (1+i)(t_{\nu }t'_{\nu })$ und $\delta \equiv (t_{\delta }t'_{\delta }t''_{\delta })$ nach $(1+i)^{5}$ und unterscheiden dann folgende 2 Unterfälle.
1. $t_{\delta }$, $t'_{\delta }$ sind gerade. Unter dieser Bedingung kommt $1+i$ nicht in der Partialdiskriminante $d$ des Körpers $K_{\delta }$ vor. Da nun $\nu$ die Partialnorm eines Ideals in $K_{\delta }$ sein soll, so ist notwendigerweise $1+i$ in 2 Primideale des Körpers $K_{\delta }$ zerlegbar. Die Bedingung hierfür besteht nach § 2 darin, daß $\delta \equiv (000)$ nach $(1+i)^{5}$ ist, und mithin wird
* $\left[{\frac {\delta }{1+i:\nu }}\right]=+1$.
$t_{\delta }$
$t'_{\delta }$
$1+i$
$d$
$\textstyle \omega ={\frac {\Omega \cdot S\Omega }{1+i}}$
* $\left[{\frac {\nu }{1+i:\delta }}\right]=\left[{\frac {\nu \cdot \nu \left({\frac {1}{\Omega }}\right)}{1+i:\delta }}\right]=\left[{\frac {\left(t_{\nu }t'_{\nu }\right)\omega }{1+i:\delta }}\right]=\left[{\frac {\left(t_{\nu }t'_{\nu }\right)}{1+i:\delta }}\right]\left[{\frac {\omega }{1+i:\delta }}\right]$;
nun ist
* $\left[{\frac {\left(t_{\nu }t'_{\nu }\right)}{1+i:\delta }}\right]=(-1)^{t_{\nu }t'_{\delta }+t'_{\nu }t_{\delta }}$,
und eine leichte Rechnung zeigt, daß
* $\left[{\frac {\omega }{1+i:\delta }}\right]=(-1)^{t'_{\delta }+t''_{\delta }}$
wird. Mithin ergibt sich
* $\left[{\frac {\nu }{1+i:\delta }}\right]=(-1)^{t_{\nu }t'_{\delta }+t'_{\nu }t_{\delta }+t'_{\delta }+t''_{\delta }}$.
Andrerseits ist aber
* $\left[{\frac {\delta }{1+i:\nu }}\right]=(-1)^{t_{\delta }t'_{\nu }+t'_{\delta }t_{\nu }+t'_{\delta }+t''_{\delta }}$,
und wenn daher jenes erstere Symbol den Wert $+1$ hat, so ist auch
* $\left[{\frac {\delta }{1+i:\nu }}\right]=+1$.
Im Hauptfall III setzen wir $\nu \equiv \left(t_{\nu }t'_{\nu }t''_{\nu }\right)$ und $\delta \equiv (1+i)\left(t_{\delta }t'_{\delta }\right)$ nach $(1+i)^{5}$ und unterscheiden dann wiederum 2 Unterfälle.
1. $t_{\nu }$, $t'_{\nu }$ sind beide gerade. Unter dieser Bedingung ist $1+i$ in der Partialdiskriminante $n$ des Körpers $K_{\nu }$ nicht enthalten. Wegen der Voraussetzung wird
* $\left[{\frac {\nu }{1+i:\delta }}\right]=(-1)^{t''_{\nu }}=+1$.
Mithin ist $t''_{\nu }$ gerade, d. h. $\nu \equiv (000)$ nach $(1+i)^{5}$; hieraus folgt nach § 2, daß $1+i$ im Körper $K_{\nu }$ in zwei Primideale zerlegbar ist.
2. $t_{\nu }$ ,$t'_{\nu }$ sind nicht beide gleichzeitig gerade. Es ist dann $1+i$ als Faktor in $n$ enthalten, und es wird
* $\left[{\frac {\nu }{1+i:\delta }}\right]=(-1)^{t_{\nu }t'_{\delta }+t'_{\nu }t_{\delta }+t'_{\nu }+t''_{\nu }}$.
Wie vorhin im Unterfalle 2. des Hauptfalles II erhalten wir den nämlichen Wert für das Symbol $\textstyle \left[{\frac {\delta }{1+i:\nu }}\right]$, und da das erstere den Wert $+1$ hat, so ist auch
* $\left[{\frac {\delta }{1+i:\nu }}\right]=+1$.
$\nu \equiv (1+i)\left(t_{\nu }t'_{\nu }t''_{\nu }\right)$
$\delta \equiv (1+i)\left(t_{\delta }t'_{\delta }t''_{\delta }\right)$
$(1+i)^{6}$
* ${\begin{aligned}\left[{\frac {\nu }{1+i:\delta }}\right]&=\left[{\frac {\nu \cdot \nu \left({\frac {1}{\sqrt {\delta }}}\right)}{1+i:\delta }}\right]=\left[{\frac {\left(t_{\nu }t'_{\nu }t''_{\nu }\right)\left(t_{\delta }t'_{\delta }t''_{\delta }\right)}{1+i:\delta }}\right]\\&=(-1)^{\left(t_{\nu }+t_{\delta }\right)t'_{\delta }+\left(t'_{\nu }+t'_{\delta }\right)t_{\delta }+t'_{\nu }+t'_{\delta }+t''_{\nu }+t''_{\delta }}\\&=(-1)^{t_{\nu }t'_{\delta }+t'_{\nu }t_{\delta }+t'_{\nu }+t'_{\delta }+t''_{\nu }+t''_{\delta }}.\end{aligned}}$
Denselben Wert erhalten wir auch für $\textstyle \left[{\frac {\delta }{1+i:\nu }}\right]$, und da das erstere Symbol den Wert $+1$ hat, so ist auch
* $\left[{\frac {\delta }{1+i:\nu }}\right]=+1$.
Die eben vollendete Entwicklung zeigt, daß das Charakterensystem der Zahl $\delta$ in dem Körper $K_{\nu }$ aus lauter positiven Einheiten besteht.
Andrerseits ist $\delta$ in $K_{\nu }$ notwendig die Partialnorm eines Ideals; denn wenn $\lambda$ ein von $1+i$ verschiedener in $n$ nicht auigehender Primfaktor von $\delta$ ist, so ist, da alle Charaktere von $\nu$ in bezug auf den Körper $K_{\delta }$ gleich $+1$ sein sollen, notwendigerweise
* $\left[{\frac {\nu }{\lambda :\delta }}\right]=\left[{\frac {\nu }{\lambda }}\right]=+1$,
und daher zerfällt $\lambda$ nach § 2 in zwei Primideale des Körpers $K_{\nu }$. Ist ferner $1+i$ in $\delta$, aber nicht in der Partialdiskriminante $n$ des Körpers $K_{\nu }$ als Faktor enthalten, so muß $\nu \equiv (00)$ nach $(1+i)^{4}$ sein, und es ist dann im Unterfalle 1 des Hauptfalles III bewiesen worden, daß $1+i$ im Körper $K_{\nu }$ zerlegbar ist. Da mithin sämtliche Primfaktoren von $\delta$ im Körper $K_{\nu }$ zerlegbar sind, so ist $\delta$ die Partialnorm eines Ideals in $K_{\nu }$ und hiermit ist der Satz 1 vollständig bewiesen.
Satz 2. Wenn $\nu$ die Partialnorm einer ganzen oder gebrochenen Zahl in dem durch ${\sqrt {\delta }}$ bestimmten Dirichletschen Zahlkörper $K_{\delta }$ ist, so ist auch $\delta$ die Partialnorm einer ganzen oder gebrochenen Zahl in dem durch ${\sqrt {\nu }}$ bestimmten Dirichletschen Zahlkörper $K_{\nu }$.
Setzen wir nämlich
* $\nu =\nu \left(\alpha +\beta {\sqrt {\delta }}\right)=\alpha ^{2}-\beta ^{2}\delta$,
wo $\alpha$ und $\beta$ Zahlen des Körpers $k$ sind, so wird
* $\delta =\left({\frac {\alpha }{\beta }}\right)^{2}-\left({\frac {1}{\beta }}\right)^{2}\nu$,
d. h. gleich der Partialnorm der in $K_{\nu }$ gelegenen Zahl ${\tfrac {\alpha +{\sqrt {\nu }}}{\beta }}$.
Satz 3. Wenn $\nu$ Partialnorm eines Ideals in $K_{\delta }$ ist, und das Charakterensystem von $\nu$ in $K_{\delta }$ aus lauter positiven Einheiten besteht, so ist $\nu$ zugleich die Partialnorm einer gewissen ganzen oder gebrochenen Zahl des Körpers $K_{\delta }$.
Wenden wir den von H. Minkowski aufgestellten Satz über die Diskriminante allgemeiner Zahlkörper auf den biquadratischen Dirichletschen Körper $K_{\delta }$ an, so erkennen wir, daß es in jeder Idealklasse des Dirichletschen Körpers $K_{\delta }$ ein Ideal ${\mathfrak {J}}$ gibt, dessen Norm $N({\mathfrak {J}})$ absolut genommen kleiner als ${\tfrac {3}{2\pi ^{2}}}\left|{\sqrt {D}}\right|$ ausfällt, wo $D$ die Diskriminante des Körpers $K_{\delta }$ bedeutet. Da aber $D\leqq 2^{8}\left|\delta \right|^{2}$ und ${\tfrac {3\cdot 2^{3}}{\pi ^{2}}}<{\sqrt {6}}$ ist und da ferner die Norm $N({\mathfrak {J}})$ absolut genommen gleich dem Quadrat des absoluten Betrages der Partialnorm $\nu =\nu ({\mathfrak {J}})$ wird, so ergibt sich der Satz, daß in jeder Idealklasse des Körpers $K_{\delta }$ ein Ideal ${\mathfrak {J}}$ gefunden werden kann, für welches $\left|\nu ({\mathfrak {J}})\right|^{2}<{\sqrt {6}}\left|\delta \right|$ ausfällt.
Wir beweisen nun zunächst durch Rechnung, daß der Satz 3 in allen Dirichletschen Körpern $K_{\delta }$ gilt, für welche $|\delta |<{\sqrt {6}}$ ist. Benutzen wir die soeben aus dem Minkowskischen Satz abgeleitete Ungleichung, so wird dieser Nachweis durch folgende Tabelle geführt, in welcher unter der Rubrik $\delta$ die sämtlichen absolut genommen unter ${\sqrt {6}}$ liegenden Werte von $\delta$ und unter der Rubrik $\nu$ die den Bedingungen des Satzes 3 und der Ungleichung $|\nu |^{2}<{\sqrt {6}}|\delta |$ genügenden $\nu$ sich angegeben finden, während daneben in der letzten Rubrik die Zahl des Körpers $K_{\delta }$ hinzugefügt ist, deren Partialnorm gleich $\nu$ wird.
| $\delta$ | $\nu$ | |
| $1\pm 2i$ | $1\mp i$ | ${\frac {1+i{\sqrt {1\pm 2i}}}{1\pm i}}$ |
| $2\pm i$ | $2\mp i$ | $1\mp i+i{\sqrt {2\pm i}}$ |
| | $1\pm i$ | $i+i{\sqrt {2\pm i}}$ |
| $1\pm i$ | $\pm i$ | $i+i{\sqrt {1\pm i}}$ |
| $i$ | $1+i$ | $1+i{\sqrt {i}}$ |
Es sei jetzt $\delta$ eine ganze imaginäre Zahl, deren absoluter Betrag $|\delta |>{\sqrt {6}}$ ausfällt, und wir nehmen an, der Satz 3 sei bereits bewiesen für alle diejenigen Körper $K_{\delta }$, für welche $|\delta '|<|\delta |$ wird. Ist dann $\nu$ die Partialnorm eines Ideals ${\mathfrak {J}}$, deren Charakterensystem in $K_{\delta }$ aus lauter positiven Einheiten besteht, so bestimme man in $K_{\delta }$ ein zu ${\mathfrak {J}}$ äquivalentes Ideal ${\mathfrak {J}}'$, dessen Partialnorm $\nu '$ absolut genommen und ins Quadrat erhoben $<{\sqrt {6}}|\delta |$ ausfällt. Da ${\sqrt {6}}<|\delta |$ ist, so wird $|\nu '|<|\delta |$. Da andrerseits $\nu '$ die Partialnorm eines Ideals in $K_{\delta }$ ist, deren Charakterensystem aus lauter positiven Einbeiten besteht, so ist nach Satz 1 die ganze imaginäre Zahl $\delta$ in dem durch ${\sqrt {\nu '}}$ bestimmten Körper $K_{\nu '}$ die Partialnorm eines Ideals, deren Charakterensystem aus lauter positiven Einheiten besteht. Nun gilt wegen $|\nu '|<|\delta |$ Satz 3 im Körper $K_{\nu '}$, und es ist daher $\delta$ die Partialnorm einer gewissen ganzen oder gebrochenen Zahl des Körpers $K_{\nu '}$, und hieraus ergibt sich nach Satz 2, daß auch $\nu '$ die Partialnorm einer gewissen Zahl in $K_{\delta }$ ist. Da das Ideal ${\mathfrak {J}}$ äquivalent ${\mathfrak {J}}'$ ist, so ist der Quotient beider Ideale eine Zahl des Körpers $K_{\delta }$, mithin ist der Quotient der Zahlen $\nu$ und $\nu '$ und folglich auch $\nu$ selbst gleich der Partialnorm einer gewissen Zahl des Körpers $K_{\delta }$. Der Satz 3 gilt folglich für den Körper $K_{\delta }$, und wir erkennen daraus seine allgemeine Gültigkeit.
Aus Satz 3 folgt endlich in sehr einfacher Weise der zu Anfang dieses Paragraphen ausgesprochene Satz über die Idealklassen des Hauptgeschlechts. Wenn nämlich ${\mathfrak {J}}$ ein Ideal des Hauptgeschlechts ist, so erfüllt seine Partialnorm $\nu ({\mathfrak {J}})$ – bezüglichenfalls, wenn sie nach der auf S. 31 angegebenen Vorschrift mit dem Einheitsfaktor $i$ versehen ist – alle Bedingungen des Satzes 3. Es gibt daher auf Grund desselben im Körper $K_{\delta }$ eine Zahl ${\mathsf {A}}$ derart, daß $\nu ({\mathfrak {J}})=\nu ({\mathsf {A}})$ wird. Setzen wir ${\tfrac {\mathfrak {J}}{\mathsf {A}}}={\tfrac {\mathfrak {H}}{{\mathfrak {H}}'}}$, wo ${\mathfrak {H}}$ und ${\mathfrak {H}}'$ zueinander prime Ideale sind, so ist notwendigerweise ${\tfrac {{\mathfrak {H}}\cdot S{\mathfrak {H}}}{{\mathfrak {H}}'\cdot S{\mathfrak {H}}'}}=1$ und mithin ${\mathfrak {H}}'=S{\mathfrak {H}}$. Da ${\mathfrak {H}}\cdot S{\mathfrak {H}}$ gleich einer Zahl $\alpha$ des Körpers $k$ gesetzt werden kann, so ergibt sich ${\mathfrak {J}}={\tfrac {\mathsf {A}}{\alpha }}{\mathfrak {H}}^{2}$, d. h. ${\mathfrak {J}}$ ist notwendigerweise dem Quadrat des Ideals ${\mathfrak {H}}$ äquivalent.
Ein Ideal ${\mathfrak {J}}$ des Dirichletschen Körpers $K$, welches nach Anwendung der Operation $S$ ungeändert bleibt und keine Zahl des Körpers $k$ als Faktor enthält, werde ein ambiges Ideal genannt. Um alle ambigen Ideale aufzustellen, bezeichnen wir, wie in § 3, die sämtlichen $s$ in der Partialdiskriminante $d$ des Körpers $K$ aufgehenden Primzahlen mit $\lambda _{1}$, …, $\lambda _{s}$ und setzen $\lambda _{1}={\mathfrak {L}}_{1}^{2}$, …, $\lambda _{s}={\mathfrak {L}}_{s}^{2}$; es sind dann wegen ${\mathfrak {L}}=S{\mathfrak {L}}$ die $s$ Ideale ${\mathfrak {L}}_{1}$, …, ${\mathfrak {L}}_{s}$ ambige Ideale und desgleichen sind die sämtlichen $2^{s}$ Produkte $\textstyle {\mathfrak {A}}=\Pi {\mathfrak {L}}$ ambig, welche aus diesen $s$ Idealen ${\mathfrak {L}}_{1}$, …, ${\mathfrak {L}}_{s}$ gebildet werden können. Wir beweisen leicht den Satz, daß es im Körper $K$ keine weiteren ambigen Ideale gibt. Ware nämlich ${\mathfrak {J=PQ\ldots R}}$, wo ${\mathfrak {P}}$, ${\mathfrak {Q}}$, …, ${\mathfrak {R}}$ Primideale sind, ein ambiges Ideal, so müßten wegen ${\mathfrak {J}}=S{\mathfrak {J}}$ die Primideale $S{\mathfrak {P}}$, $S{\mathfrak {Q}}$, …, $S{\mathfrak {R}}$ in einer gewissen Reihenfolge genommen, mit ${\mathfrak {P}}$, ${\mathfrak {Q}}$, …, ${\mathfrak {R}}$ übereinstimmen. Wenn etwa $S{\mathfrak {P}}={\mathfrak {Q}}$ sich ergeben würde, so enthielte ${\mathfrak {J}}$ den Faktor ${\mathfrak {P}}S{\mathfrak {P}}$, welcher gleich einer ganzen imaginären Zahl ist, und da dieser Umstand der Voraussetzung widerspricht, so folgt ${\mathfrak {P}}=S{\mathfrak {P}}$ und ebenso ${\mathfrak {Q}}=S{\mathfrak {Q}}$, …, ${\mathfrak {R}}=S{\mathfrak {R}}$, d. h. die Ideale ${\mathfrak {P}}$, ${\mathfrak {Q}}$, …,${\mathfrak {R}}$ sind sämtlich ambige Primideale, und da das Quadrat eines solchen Ideals einer ganzen imaginären Zahl gleich wird, so schließen wir zugleich, daß die Ideale ${\mathfrak {P}}$, ${\mathfrak {Q}}$, …,${\mathfrak {R}}$ notwendig untereinander verschieden sind. Wir sprechen das gewonnene Resultat in folgendem Satze aus:
Satz 1. Die $s$ in der Partialdiskriminante $d$ aufgehenden Primideale ${\mathfrak {L}}_{1}$, …, ${\mathfrak {L}}_{s}$ und nur diese sind ambige Primideale. Die $2^{s}$ aus diesen zu bildenden Produkte ${\mathfrak {A}}=\Pi {\mathfrak {L}}$ machen die Gesamtheit aller ambigen Ideale des Körpers $K$ aus.
Wenn ${\mathfrak {J}}$ ein Ideal der Klasse $C$ ist, so werde diejenige Idealklasse, welcher das Ideal $S{\mathfrak {J}}$ angehört, mit $SC$ bezeichnet. Ist insbesondere $C=SC$, so heißt die Idealklasse $C$ ambig. Da das Produkt ${\mathfrak {J}}\cdot S{\mathfrak {J}}$ äquivalent $1$ ist, so wird $C\cdot SC=1$ und folglich ist das Quadrat einer jeden ambigen Klasse gleich der Hauptklasse 1. Umgekehrt, wenn das Quadrat einer Klasse $C$ gleich $1$ ist, so wird $\textstyle C={\frac {1}{C}}=SC$ und folglich ist $C$ eine ambige Klasse.
Es entsteht nun die Aufgabe, alle ambigen Klassen aufzustellen. Da offenbar ein jedes ambige Ideal ${\mathfrak {J}}$ vermöge seiner Eigenschaft ${\mathfrak {J}}=S{\mathfrak {J}}$ einer ambigen Klasse angehört, so haben wir vor allem zu untersuchen, wie viele voneinander verschiedene ambige Klassen aus den $2^{s}$ ambigen Idealen entspringen.
Das Produkt aller in $\delta$ aufgehenden Ideale ${\mathfrak {L}}$ ist gleich ${\sqrt {\delta }}$ und mithin ein Hauptideal. Wir bestimmen nun im Körper $K$ eine Grundeinheit ${\mathsf {E}}$, d. h. eine Einheit von der Beschaffenheit, daß jede andere Einheit des Körpers gleich $\varrho {\mathsf {E}}^{m}$ wird, wo $\varrho$ eine Einheitswurzel und $m$ eine positive oder negative ganze Zahl bedeutet. Da die irreduzible Gleichung, welcher $\varrho$ genügt, notwendig vom 2-ten oder 4-ten Grade sein muß, so kann $\varrho$ nur eine 2-te, 3-te, 4-te, 5-te oder 8-te Einheitswurzel oder eine aus diesen zusammengesetzte Einheitswurzel sein. Die 3-te Einheitswurzel kommt im Körper $K$ nur vor, wenn $\delta =3$ ist. Es kann ferner leicht gezeigt werden, daß die 5-te Einheitswurzel im Körper $K$ niemals vorkommt. Die 8-te Einheitswurzel endlich kommt im Körper $K$ vor, falls $\delta =i$ ist. Die beiden Fälle $\delta =3$ und $\delta =i$ werden unten für sich besonders erledigt und bei der nachfolgenden allgemeinen Untersuchung ausgeschlossen, so daß nunmehr $\varrho$ lediglich $=\pm 1$ oder $=\pm i$ sein kann.
Die Grundeinheit ${\mathsf {E}}$ ist bis auf einen Faktor $\varrho$ völlig bestimmt. Die Entscheidung darüber, ob im Körper $K$ außer $1$ und ${\sqrt {\varrho }}$ noch ein anderes ambiges Hauptideal vorhanden ist, hängt lediglich davon ab, ob $\nu ({\mathsf {E}})=\pm 1$ oder $=\pm i$ ausfällt.
Um dies zu erkennen, nehmen wir zunächst $\nu ({\mathsf {E}})=\pm 1$ an. Da es freisteht, $i{\mathsf {E}}$ an Stelle von ${\mathsf {E}}$ als Grundeinheit zu wählen, so können wir annehmen, daß $\nu ({\mathsf {E}})=+1$ wird. Wir setzen $1+{\mathsf {E}}=\alpha {\mathsf {A}}$, wo $\alpha$ eine ganze imaginäre Zahl und ${\mathsf {A}}$ eine ganze Zahl des Körpers $K$ bedeutet, welche durch keine ganze imaginäre Zahl teilbar ist. Aus der Gleichung $\textstyle {\frac {\mathsf {A}}{S{\mathsf {A}}}}={\mathsf {E}}$ ergibt sich, daß ${\mathsf {A}}$ ein ambiges Hauptideal ist. Dieses Hauptideal ${\mathsf {A}}$ ist ferner verschieden von $1$ und von ${\sqrt {\delta }}$. Wäre nämlich ${\mathsf {A}}=\varrho {\mathsf {E}}^{m}$ oder $=\varrho {\mathsf {E}}^{m}{\sqrt {\delta }}$, so wäre
* ${\frac {\mathsf {A}}{S{\mathsf {A}}}}=\pm \left({\frac {\mathsf {E}}{S{\mathsf {E}}}}\right)^{m}=\pm {\mathsf {E}}^{2m}$
und diese Einheit kann nicht gleich ${\mathsf {E}}$ sein, da $m$ eine ganze Zahl bedeutet und ${\mathsf {E}}$ keine Einheitswurzel ist. Ferner ist ersichtlich, daß ein jedes andere ambige Hauptideal des Körpers $K$ aus ${\sqrt {\delta }}$ und ${\mathsf {A}}$ zusammengesetzt werden kann. Ist nämlich ${\mathsf {B}}$ ein beliebiges ambiges Hauptideal, so ist notwendig $\textstyle {\frac {\mathsf {B}}{S{\mathsf {B}}}}=\varrho {\mathsf {E}}^{m}$. Aus der Gleichung $\textstyle \nu \left({\frac {\mathsf {B}}{S{\mathsf {B}}}}\right)=+1$ folgt $\varrho =\pm 1$; wir setzen $\varrho =(-1)^{n}$, wo $n$ den Wert $0$ oder $1$ hat; dann genügt die Zahl $\textstyle {\mathsf {\Gamma }}={\mathsf {B}}\left({\sqrt {\varrho }}\right)^{n}{\mathsf {A}}^{-m}$ der Gleichung $\textstyle {\frac {\mathsf {\Gamma }}{S{\mathsf {\Gamma }}}}=+1$ und ist folglich eine Zahl des Körpers $k$, woraus die Behauptung ersichtlich wird.
Ist andrerseits die Partialnorm $\nu ({\mathsf {E}})=i$, so kann es kein von $1$ und ${\sqrt {\delta }}$ verschiedenes ambiges Hauptideal geben. Denn wäre ${\mathfrak {A}}={\mathsf {A}}$ ein solches, so ist notwendigerweise $\textstyle {\frac {\mathsf {A}}{S{\mathsf {A}}}}=\varrho {\mathsf {E}}^{m}$. Da aber $\textstyle \nu \left({\frac {\mathsf {A}}{S{\mathsf {A}}}}\right)=1$ ist, so folgt notwendigerweise $[\nu ({\mathsf {E}})]^{m}=\pm 1$ und daher muß $m$ eine gerade Zahl sein. Wegen $\textstyle {\mathsf {E}}^{2}={\frac {i{\mathsf {E}}}{S{\mathsf {E}}}}$ würde dann die Zahl $\textstyle {\mathsf {B}}={\mathsf {A}}{\mathsf {E}}^{-{\frac {m}{2}}}$ der Gleichung $\textstyle {\frac {\mathsf {B}}{S{\mathsf {B}}}}=\varrho$ genügen und da $\textstyle \nu \left({\frac {\mathsf {B}}{S{\mathsf {B}}}}\right)=+1$ ist, so folgt $\varrho =\pm 1$. Berücksichtigen wir, daß ${\mathsf {B}}$ durch keine ganze imaginäre Zahl teilbar sein darf, so hat die Annahme $\textstyle {\frac {\mathsf {B}}{S{\mathsf {B}}}}=+1$ notwendig ${\mathsf {B}}=\varrho$ und die Annahme $\textstyle {\frac {\mathsf {B}}{S{\mathsf {B}}}}=-1$ notwendig ${\mathsf {B}}=\varrho {\sqrt {\delta }}$ zur Folge, womit die Behauptung bewiesen ist.
Wir drücken nun eines der $s$ ambigen Primideale durch die $s-1$ übrigen ambigen Primideale und durch ${\sqrt {\delta }}$ und ferner, wenn die Partialnorm der Grundeinheit $=\pm 1$ ausfällt, noch eines dieser $s-1$ ambigen Ideale durch die $s-2$ übrigen und durch ${\mathsf {A}}$ aus. Bezeichnen wir dann allgemein eine Anzahl von Idealklassen als untereinander unabhängig, wenn keine derselben gleich $1$ oder gleich einem Produkt der übrigen ist, so gilt offenbar der Satz:
Satz 2. Die $s$ ambigen Primideale bestimmen $s-2$ oder $s-1$ voneinander unabhängige ambige Klassen, je nachdem die Partialnorm der Grundeinheit $=\pm 1$ oder $=\pm i$ ist. Die sämtlichen $2^{s}$ ambigen Ideale bestimmen im ersteren Falle $2^{s-2}$, im letzteren $2^{s-1}$ voneinander verschiedene ambige Idealklassen.
Was die beiden oben ausgeschlossenen Fälle $\delta =3$ und $\delta =i$ betrifft, so gilt im ersteren Falle ebenfalls der eben ausgesprochene allgemeine Satz, da das einzige ambige Ideal ${\mathfrak {L}}={\sqrt {3}}$ ein Hauptideal ist und die Partialnorm der Grundeinheit gleich $\pm i$ ausfällt. Im zweiten Falle $\delta =i$ dagegen verliert das im Satze angegebene Kriterium seine Anwendbarkeit, da die Partialnorm der Einheitswurzel ${\sqrt {i}}$ gleich $-i$ wird. Man erkennt, daß auch im Falle $\delta =i$ das einzige vorhandene aus der Zerlegung von $1+i$ entspringende ambige Ideal ein Hauptideal ist.
Es werde hier noch der allgemeinere Fall hervorgehoben, in welchem $\delta$ gleich einer Primzahl und überdies $\equiv \pm 1$ nach $(1+i)^{4}$ ist. In diesem Falle wird ebenfalls $s=1$ und die obige Entwicklung zeigt, daß notwendigerweise die Partialnorm der Grundeinheit $=\pm i$ sein muß.
Es bleibt noch übrig, die Frage zu beantworten, ob im Körper $K$ ambige Klassen vorhanden sind, welche kein ambiges Ideal enthalten. Zu dem Zwecke wählen wir in der ambigen Klasse $C$ ein beliebiges Ideal ${\mathfrak {J}}$ aus; es ist dann $\textstyle {\frac {\mathfrak {J}}{S{\mathfrak {J}}}}$ gleich einer Zahl ${\mathsf {A}}$ des Körpers $K$. Da es freisteht $i{\mathsf {A}}$ an Stelle von ${\mathsf {A}}$ zu wählen, so können wir die Annahmen $\nu ({\mathsf {A}})=+1$ oder $=+i$ zugrunde legen.
Im ersteren Falle betrachten wir die Zahl ${\mathsf {B}}=1+S{\mathsf {A}}$. Wegen $\textstyle {\frac {\mathsf {B}}{S{\mathsf {B}}}}={\frac {1}{\mathsf {A}}}$ wird $\textstyle {\frac {{\mathsf {B}}{\mathfrak {J}}}{S({\mathsf {B}}{\mathfrak {J}})}}=1$ d. h. $\textstyle {\mathsf {B}}{\mathfrak {J}}=S({\mathsf {B}}{\mathfrak {J}})$. Setzen wir daher $\textstyle {\mathsf {B}}{\mathfrak {J}}={\tfrac {\alpha }{\beta }}{\mathfrak {A}}$, wo $\alpha$ und $\beta$ ganze imaginäre Zahlen sind und das Ideal ${\mathfrak {A}}$ durch keine ganze imaginäre Zahl teilbar ist, so folgt, daß ${\mathfrak {A}}$ ein ambiges Ideal ist: die Klasse $C$ enthält mithin ein ambiges Ideal.
Ziehen wir zweitens die Annahme $\nu ({\mathsf {A}})=i$ in Betracht, so erkennen wir zunächst, daß in diesem Falle das Charakterensystem von $i$ aus lauter positiven Einheiten bestehen muß. Für die vorliegende Frage kommt es nun darauf an, ob die Partialnorm der Grundeinheit $\nu ({\mathsf {E}})=+1$ oder $=+i$ ausfällt. Ist letzteres der Fall, so setzen wir einfach $\textstyle {\frac {\mathsf {A}}{\mathsf {E}}}$ an Stelle von ${\mathsf {A}}$ und zeigen dann durch die eben angewandte Schlußweise, daß in der Idealklasse $C$ ein ambiges Ideal vorkommt. Ist dagegen $\nu ({\mathsf {E}})=+1$, so enthält die Klasse $C$ kein ambiges Ideal. Wäre nämlich ${\mathfrak {A}}={\mathsf {B}}{\mathfrak {J}}$ ein solches, wo ${\mathsf {B}}$ eine Zahl in $K$ bedeutet, so würde $\textstyle {\frac {\mathfrak {A}}{S{\mathfrak {A}}}}={\frac {\mathsf {B}}{S{\mathsf {B}}}}{\mathsf {A}}$ folgen. Andrerseits müßte aber $\textstyle {\frac {\mathfrak {A}}{S{\mathfrak {A}}}}$ gleich einer Einheit, etwa gleich $\varrho {\mathsf {E}}^{m}$ sein und da $\nu ({\mathsf {E}})=1$ ist, so würde hieraus $\nu ({\mathsf {A}})=\pm 1$ folgen, was der Annahme widerspricht.
Wir treffen nun die Voraussetzung, daß im Körper $K$ das Charakterensystem von $i$ aus lauter positiven Einheiten besteht; nach Satz 3 in § 4 gibt es dann eine Zahl ${\mathsf {A}}$, deren Partialnorm gleich $i$ ist, und wenn wir noch $\nu ({\mathsf {E}})=1$ annehmen, so muß die Zahl ${\mathsf {A}}$ notwendig gebrochen sein. Setzen wir $\textstyle {\mathsf {A}}={\frac {\mathfrak {J}}{{\mathfrak {J}}'}}$, wo ${\mathfrak {J}}$ und ${\mathfrak {J}}'$ zueinander prime Ideale sind, so wird $\textstyle {\frac {{\mathfrak {J}}\cdot S{\mathfrak {J}}}{{\mathfrak {J}}'\cdot S{\mathfrak {J}}'}}=1$ und hieraus folgt ${\mathfrak {J}}'=S{\mathfrak {J}}$ d. h. ${\mathfrak {J}}$ ist äquivalent mit $S{\mathfrak {J}}$ und bestimmt folglich eine ambige Klasse $C$; diese Klasse $C$ enthält nach dem vorhin Bewiesenen kein ambiges Ideal. Wir fassen die gewonnenen Resultate in folgendem Satze zusammen.
Satz 3. Es gibt im Körper $K$ dann und nur dann eine ambige Klasse, welche kein ambiges Ideal enthält, wenn das Charakterensystem von $i$ aus lauter positiven Einheiten besteht und wenn zugleich die Partialnorm der Grundeinheit gleich $\pm 1$ ist.
Die nämlichen Hilfsmittel führen zugleich zur Darstellung sämtlicher ambigen Klassen der genannten Eigenschaft. Nehmen wir nämlich an es gäbe 2 ambige Idealklassen, die kein ambiges Ideal enthalten und wählen aus diesen je ein Ideal ${\mathfrak {J}}$ und ${\mathfrak {J}}'$ aus, so zeigt die obige Entwicklung, daß die Partialnormen der beiden Zahlen $\textstyle {\mathsf {A}}={\frac {\mathfrak {J}}{S{\mathfrak {J}}}}$ und $\textstyle {\mathsf {A}}'={\frac {{\mathfrak {J}}'}{S{\mathfrak {J}}'}}$ gleich $\pm i$ sein müssen und es wird folglich $\textstyle \nu \left({\frac {\mathsf {A}}{{\mathsf {A}}'}}\right)=\pm 1$. Nehmen wir, was frei steht, in dieser Gleichung das obere Vorzeichen an, so folgt, daß $\textstyle {\mathsf {B}}=1+{\frac {S{\mathsf {A}}}{S{\mathsf {A}}'}}$ der Gleichung $\textstyle {\frac {\mathsf {B}}{S{\mathsf {B}}}}={\frac {{\mathsf {A}}'}{\mathsf {A}}}$ genügt. Dieselbe ergibt $\textstyle {\mathsf {B}}{\frac {\mathfrak {J}}{{\mathfrak {J}}'}}=S\left({\mathsf {B}}{\frac {\mathfrak {J}}{{\mathfrak {J}}'}}\right)$; setzen wir daher $\textstyle {\mathsf {B}}{\frac {\mathfrak {J}}{{\mathfrak {J}}'}}={\frac {\alpha }{\beta }}{\mathfrak {A}}$, wo $\alpha$ und $\beta$ ganze imaginäre Zahlen und das Ideal ${\mathfrak {A}}$ durch keine ganze imaginäre Zahl teilbar ist, so erweist sich ${\mathfrak {A}}$ als ein ambiges Ideal und der Quotient der beiden Ideale ${\mathfrak {J}}$ und ${\mathfrak {J}}'$ ist mithin einem ambigen Ideale äquivalent. Wir gewinnen aus diesen Überlegungen den Satz:
Satz 4. Wenn im Körper $K$ eine ambige Idealklasse vorhanden ist, welche kein ambiges Ideal enthält, so entstehen alle übrigen Klassen der nämlichen Beschaffenheit dadurch, daß man jene Klasse der Reihe nach mit allen aus ambigen Idealen entspringenden Klassen multipliziert.
Die bisherigen Resultate ermöglichen die Berechnung der Anzahl aller ambigen Klassen. Betrachten wir zunächst den Fall, daß das Charakterensystem von $i$ aus lauter positiven Einheiten besteht, so erkennen wir aus den soeben bewiesenen Sätzen 2, 3 und 4, daß es in diesem Falle genau $2^{s-1}$ ambige Klassen gibt, wo $s$ die Anzahl der Primteiler der Partialdiskriminante $d$ bedeutet. Von diesen $2^{s-1}$ ambigen Klassen entspringen sämtliche oder nur die Hälfte aus ambigen Idealen, je nachdem die Partialnorm der Grundeinheit gleich $\pm i$ oder gleich $\pm 1$ ausfällt. Kommt jedoch im Charakterensystem von $i$ eine negative Einheit vor, so ist die Norm der Grundeinheit notwendig gleich $\pm 1$; nach den Sätzen 2 und 3 dieses Paragraphen gibt es dann nur $2^{s-2}$ ambige Klassen und diese entspringen sämtlich aus ambigen Idealen. Setzen wir nun $c=s$ oder $=s-1$, je nachdem das Charakterensystem von $i$ aus lauter positiven Einheiten besteht oder nicht, so bedeutet $c$ nach den Darlegungen des § 3 die Anzahl der Einzelcharaktere, welche das Geschlecht einer Idealklasse bestimmen und wir erhalten den Satz:
Satz 5. Es gibt genau $c-1$ voneinander unabhängige ambige Klassen, wo $c$ die Anzahl der Einzelcharaktere bedeutet, welche das Geschlecht einer Klasse bestimmen. Die Anzahl der sämtlichen voneinander verschiedenen ambigen Idealklassen ist demgemäß $=2^{c-1}$.
Dieser allgemeine Satz gilt auch, wie man leicht erkennt, für den besonderen durch ${\sqrt {i}}$ bestimmten Dirichletschen Körper, welcher oben von der Betrachtung ausgeschlossen wurde.
Die in § 4, 5 und 6 gewonnenen Resultate setzen uns in den Stand, die Anzahl der in einem Dirichletschen Zahlkörper $K$ vorhandenen Geschlechter zu berechnen. Da das Charakterensystem einer Idealklasse des Körpers $K$ aus $c$ Einzelcharakteren besteht, deren jeder den Wert $+1$ oder $-1$ annehmen kann, so sind im ganzen $2^{c}$ Charakterensysteme möglich und es entsteht die wichtige Frage, ob für jedes dieser $2^{c}$ möglichen Charakterensysteme ein Geschlecht existiert oder ob nur ein Teil dieser Charakterensysteme unter den Geschlechtern wirklich vertreten ist. Um über diese Frage Auskunft zu erhalten, bezeichnen wir die Anzahl der voneinander verschiedenen existierenden Geschlechter mit $g$ und die Anzahl der Klassen des Hauptgeschlechtes mit $f$. Da offenbar auch jedes andere Geschlecht $f$ Klassen enthalten muß, so ist die Anzahl sämtlicher Klassen des Körpers $=gf$.
Bezeichnen wir nun die Klassen des Hauptgeschlechts mit $H_{1}$, …, $H_{f}$, so können wir nach dem in § 4 bewiesenen Satze $H_{1}=Q_{1}^{2}$, …, $H_{f}=Q_{f}^{2}$ setzen, wo $Q_{1}$, …, $Q_{f}$ gewisse Klassen des Körpers bedeuten. Es sei jetzt $C$ eine beliebige Klasse des Körpers $K$; da dann $C^{2}$ offenbar zum Hauptgeschlecht gehört, so ist $C^{2}=Q_{r}^{2}$, wo $Q_{r}$ eine der eben bestimmten Klassen $Q_{1}$, …, $Q_{f}$ bedeutet. Es ist folglich $\textstyle {\frac {C}{Q_{r}}}$ eine ambige ldealklasse $A$, d. h. es wird $C=AQ_{r}$. Da nach Satz 5 in § 6 die Anzahl der ambigen Klassen $2^{c-1}$ beträgt, so stellt der Ausdruck $AQ$ genau $2^{c-1}f$ ldealklassen dar. Diese sind auch sämtlich voneinander verschieden. Denn wäre $AQ_{r}=A'Q_{r'}$, wo $A'$ eine ambige Klasse und $Q_{r'}$ eine der vorhin bestimmten Klassen $Q_{1}$, …, $Q_{f}$ bedeutet, so würde $Q_{r}^{2}=Q_{r'}^{2}$ d. h. $H_{r}=H_{r'}$ und folglich $r=r'$ sein. Aus $Q_{r}=Q_{r'}$ folgt auch zugleich $A=A'$, womit die Behauptung bewiesen ist.
Die Gleichsetzung der so gefundenen Anzahl $2^{c-1}f$ sämtlicher Klassen mit der vorhin angegebenen Zahl $gf$ ergibt $g=2^{c-1}$. Wir haben somit die am Anfang dieses Paragraphen gestellte Frage beantwortet und es gilt der Satz:
Die Anzahl der existierenden Geschlechter ist gleich der Hälfte der möglichen Charakterensysteme, nämlich $=2^{c-1}$, wo $c$ die Anzahl der das Geschlecht bestimmenden Charaktere bezeichnet.
Nachdem im vorigen Paragraph gezeigt worden ist, daß nur die Hälfte aller möglichen Charakterensysteme wirklich unter den Geschlechtern vertreten ist, entsteht die Frage nach der Bedingung, welche ein Charakterensystem erfüllen muß, damit für dasselbe ein Geschlecht existiert. Diese Frage wird durch das schon von Dirichlet aufgestellte Reziprozitätsgesetz der quadratischen Reste und Nichtreste im Gebiete der ganzen imaginären Zahlen beantwortet.
Um zunächst den quadratischen Restcharakter der Zahl $i$ zu bestimmen, nehmen wir an, es sei $\varkappa$ eine von $1+i$ verschiedene Primzahl im Körper $k$ und überdies $\equiv (00)$ nach $(1+i)^{4}$. Da zufolge der in § 6 gemachten Bemerkung in dem durch ${\sqrt {\varkappa }}$ bestimmten Körper $K_{\varkappa }$ die Partialnorm der Grundeinheit $=\pm i$ ist, so muß nach dem zu Anfang des § 3 bewiesenen Satze $i$ quadratischer Rest von $\varkappa$ sein. Ist $\varkappa$ eine Primzahl und $\equiv (10)$ nach $(1+i)^{4}$, so ist $i\varkappa \equiv (00)$ und folglich wird auch in diesem Falle $\textstyle \left[{\frac {i}{\varkappa }}\right]=+1$.
Wir betrachten ferner den durch ${\sqrt {i}}$ bestimmten Dirichletschen Körper $K_{i}$. In diesem ist offenbar $1+i$ der einzige Primfaktor der Partialdiskriminante. Das Symbol $\textstyle \left[{\frac {i}{1+i:i}}\right]$ wird $=+1$ und es gibt im Körper $K_{i}$ nur den einen Charakter $\textstyle \left[{\frac {\nu }{1+i:i}}\right]$. Die Zahl der möglichen Charakterensysteme in $K_{i}$ ist folglich $=2$ und da nur die Hälfte derselben durch Geschlechter vertreten ist, so gibt es nur ein Geschlecht und es ist folglich stets $\textstyle \left[{\frac {\nu }{1+i:i}}\right]=+1$, wo $\nu$ die Partialnorm eines beliebigen Ideals bedeutet. Es sei nun $\varkappa$ eine Primzahl und zwar $\equiv (t_{\varkappa }t'_{\varkappa })$ nach $(1+i)^{4}$; ist dann $i$ quadratischer Rest von $\varkappa$, so ist $\varkappa$ nach § 2 die Partialnorm eines Primideals und hieraus ergibt sich $\textstyle \left[{\frac {\varkappa }{1+i:i}}\right]=(-1)^{t'_{\varkappa }}=+1$ d. h. $t'_{\varkappa }=0$. Dieses Resultat ist die Umkehrung des vorigen; beide Resultate zusammen ergeben den Satz:
Wenn $\varkappa$ eine Primzahl und $\equiv (t_{\varkappa }t'_{\varkappa })$ nach $(1+i)^{4}$ ist, so bestimmt sich der quadratische Restcharakter der Zahl $i$ in bezug auf $\varkappa$ durch die Formel
* $\left[{\frac {i}{\varkappa }}\right]=(-1)^{t'_{\varkappa }}$.
$1+i$
${\sqrt {\varkappa }}$
$K_{\varkappa }$
$\varkappa$
$\equiv (000)$
$(1+i)^{5}$
$\textstyle \left[{\frac {i}{\varkappa :\varkappa }}\right]=+1$
$+1$
$1+i$
$K_{\varkappa }$
$\textstyle \left[{\frac {1+i}{\varkappa :\varkappa }}\right]=\textstyle \left[{\frac {1+i}{\varkappa }}\right]=+1$
$\varkappa \equiv (100)$
$i\varkappa \equiv (000)$
$(1+i)^{5}$
$\textstyle \left[{\frac {1+i}{\varkappa }}\right]=+1$
Es sei jetzt $\varkappa$ eine Primzahl und $\equiv (t_{\varkappa }0t''_{\varkappa })$ nach $(1+i)^{5}$. Nehmen wir nun $\textstyle \left[{\frac {1+i}{\varkappa }}\right]=+1$ an, so ist $\varkappa$ in dem durch ${\sqrt {1+i}}$ bestimmten Körper zerlegbar und da in diesem Körper nur ein Geschlecht existiert und $i$ den Charakter $+1$ besitzt, so ergibt sich auch $\textstyle \left[{\frac {\varkappa }{1+i:1+i}}\right]=(-1)^{t''_{\varkappa }}=+1$, d. h. $t''_{\varkappa }=0$. Beide Resultate zusammengenommen bestimmen den quadratischen Restcharakter von $1+i$ in bezug auf $\varkappa$ für $t'_{\varkappa }=0$, und zwar gilt unter dieser Voraussetzung die Formel
* $\left[{\frac {1+i}{\varkappa }}\right]=(-1)^{t''_{\varkappa }}$.
Es sei endlich $\varkappa$ eine Primzahl und $\equiv (t_{\varkappa }1t''_{\varkappa })$ nach $(1+i)^{5}$. In dem durch ${\sqrt {(1+i)\varkappa }}$ bestimmten Körper sind, wie man leicht ausrechnet, die Charaktere der Zahl $i$ beide $=-1$ und es existiert folglich nur ein Geschlecht. Wenn daher $\nu$ die Partialnorm eines Ideals ist, so müssen die beiden Charaktere der Zahl $\nu$, nämlich die Symbole $\textstyle \left[{\frac {\nu }{\varkappa :(1+i)\varkappa }}\right]$ und $\textstyle \left[{\frac {\nu }{1+i:(1+i)\varkappa }}\right]$ entweder beide positiv oder beide negativ sein. Hieraus ergibt sich, falls wir $\nu =\varkappa$ nehmen, die Formel:
* $\left[{\frac {1+i}{\varkappa }}\right]=(-1)^{1+t''_{\varkappa }}$.
Die beiden soeben gewonnenen Formeln lassen sich in eine zusammenfassen und wir erhalten somit den Satz:
Wenn $\varkappa$ eine Primzahl und $\equiv (t_{\varkappa }t'_{\varkappa }t''_{\varkappa })$ nach $(1+i)^{5}$ ist, so bestimmt sich der quadratische Restcharakter der Zahl $1+i$ in bezug auf $\varkappa$ durch die Formel:
* $\left[{\frac {1+i}{\varkappa }}\right]=(-1)^{t'_{\varkappa }+t''_{\varkappa }}$.
Um endlich das Reziprozitätsgesetz für 2 beliebige von $1+i$ verschiedene Primzahlen abzuleiten, berücksichtigen wir den Umstand, daß von den beiden ganzen imaginären Zahlen $\alpha$ und $i\alpha$ stets die eine $\equiv (0t_{\alpha })$ nach $(1+i)^{4}$ ist. Wir nehmen bei der nachfolgenden Untersuchung die beiden Primzahlen $\varkappa$ und $\pi$ in dieser Gestalt an, so daß stets $t_{\varkappa }=0$, $t_{\pi }=0$ zu setzen ist.
Es sei zunächst $\varkappa$ eine Primzahl $\equiv (00)$ nach $(1+i)^{4}$. Ist dann $\pi$ eine Primzahl von der Art, daß $\textstyle \left[{\frac {\varkappa }{\pi }}\right]=+1$ wird, so kann $\pi$ in dem durch ${\sqrt {\varkappa }}$ bestimmten Körper $K_{\varkappa }$ zerlegt werden und ist folglich die Partialnorm eines Ideals. Durch die oben angewandte Schlußweise folgt dann, daß $\textstyle \left[{\frac {\pi }{\varkappa }}\right]=+1$ sein muß. Wir haben somit die beiden folgenden Tatsachen erkannt:
| Aus | $\varkappa \equiv (00)$, $\pi \equiv (00)$ | nach | $(1+i)^{4}$ | und | $\textstyle \left[{\frac {\varkappa }{\pi }}\right]=+1$ | folgt | $\textstyle \left[{\frac {\pi }{\varkappa }}\right]=+1$, (1) |
| „ | $\varkappa \equiv (00)$, $\pi \equiv (01)$ | „ | $(1+i)^{4}$ | „ | $\textstyle \left[{\frac {\varkappa }{\pi }}\right]=+1$ | „ | $\textstyle \left[{\frac {\pi }{\varkappa }}\right]=+1$. (2) |
Es sei ferner $\varkappa \equiv (01)$ nach $(1+i)^{4}$, so gibt es in dem durch ${\sqrt {\varkappa }}$ bestimmten Körper $K_{\varkappa }$ zwei Charaktere, aber nur ein Geschlecht, weil das Charakterensystem der Zahl $i$, wie man leicht durch Rechnung findet, aus 2 negativen Einheiten besteht. Ist daher $\pi$ eine Primzahl von der Art, daß $\left[\textstyle {\frac {\varkappa }{\pi }}\right]=+1$ wird, so müssen auch die Charaktere $\textstyle \left[{\frac {\pi }{1+i:\varkappa }}\right]$ und $\textstyle \left[{\frac {\pi }{\varkappa :\varkappa }}\right]$ entweder beide positiv oder beide negativ sein; hieraus folgt $\textstyle \left[{\frac {\pi }{\varkappa }}\right]=+1$ und wir haben somit die beiden folgenden Tatsachen erkannt:
| Aus | $\varkappa \equiv (01)$, $\pi \equiv (00)$ | nach | $(1+i)^{4}$ | und | $\textstyle \left[{\frac {\varkappa }{\pi }}\right]=+1$ | folgt | $\textstyle \left[{\frac {\pi }{\varkappa }}\right]=+1$, (3) |
| „ | $\varkappa \equiv (01)$, $\pi \equiv (01)$ | „ | $(1+i)^{4}$ | „ | $\textstyle \left[{\frac {\varkappa }{\pi }}\right]=+1$ | „ | $\textstyle \left[{\frac {\pi }{\varkappa }}\right]=+1$. (4) |
Diese 4 Sätze zeigen, daß unter der Voraussetzung $t_{\varkappa }=0$, $t_{\pi }=0$ allgemein $\textstyle \left[{\frac {\varkappa }{\pi }}\right]=\left[{\frac {\pi }{\varkappa }}\right]$ ist.
Es sei nämlich zunächst $t'_{\varkappa }=0$, $t'_{\pi }=0$. Nach (1) folgt aus $\textstyle \left[{\frac {\varkappa }{\pi }}\right]=+1$ notwendig $\textstyle \left[{\frac {\pi }{\varkappa }}\right]=+1$. Ist aber $\textstyle \left[{\frac {\varkappa }{\pi }}\right]=-1$, so muß auch $\textstyle \left[{\frac {\pi }{\varkappa }}\right]=-1$ sein, da ja ebenfalls nach (1) bei Vertauschung von $\varkappa$ mit $\pi$ aus $\textstyle \left[{\frac {\pi }{\varkappa }}\right]=+1$ notwendig aus $\textstyle \left[{\frac {\varkappa }{\pi }}\right]=+1$ folgen würde.
Es sei ferner $t'_{\varkappa }=0$, $t'_{\pi }=1$. Nach (2) folgt aus $\textstyle \left[{\frac {\varkappa }{\pi }}\right]=+1$ notwendig $\textstyle \left[{\frac {\pi }{\varkappa }}\right]=+1$. Ist aber $\textstyle \left[{\frac {\varkappa }{\pi }}\right]=-1$, so muß auch $\textstyle \left[{\frac {\pi }{\varkappa }}\right]=-1$ sein, da ja nach (3) aus $\textstyle \left[{\frac {\pi }{\varkappa }}\right]=+1$ auch $\textstyle \left[{\frac {\varkappa }{\pi }}\right]=+1$ folgen würde.
Endlich sei $t'_{\varkappa }=1$, $t'_{\pi }=1$. Nach (4) folgt aus $\textstyle \left[{\frac {\varkappa }{\pi }}\right]=+1$ notwendig $\textstyle \left[{\frac {\pi }{\varkappa }}\right]=+1$. Ist aber $\textstyle \left[{\frac {\varkappa }{\pi }}\right]=-1$, so muß auch $\textstyle \left[{\frac {\pi }{\varkappa }}\right]=-1$ sein, da ja ebenfalls nach (4) aus $\textstyle \left[{\frac {\pi }{\varkappa }}\right]=+1$ notwendig auch $\textstyle \left[{\frac {\varkappa }{\pi }}\right]=+1$ folgen wurde. Um die eben gefundene Formel $\textstyle \left[{\frac {\varkappa }{\pi }}\right]=\left[{\frac {\pi }{\varkappa }}\right]$ für 2 beliebige Primzahlen $\varkappa$, $\pi$ anzuwenden, für welche $t_{\varkappa }$ und $t_{\pi }$ nicht notwendig $=0$ sind, müssen wir in jener Formel an Stelle $\varkappa$, $\pi$ bezüglich $i^{t_{\varkappa }}\varkappa$, $i^{t_{\pi }}\pi$ einsetzen und erhalten dann den folgenden Satz:
Wenn $\varkappa$ und $\pi$ von $1+i$ verschiedene Primzahlen und bezüglich $\equiv (t_{\varkappa }t'_{\varkappa })$ bezüglich $\equiv (t_{\pi }t'_{\pi })$ nach $(l+i)^{4}$ sind, so gilt das Reziprozitätsgesetz
* $\left[{\frac {\varkappa }{\pi }}\right]\left[{\frac {\pi }{\varkappa }}\right]=(-1)^{t_{\varkappa }t'_{\pi }+t'_{\varkappa }t_{\pi }}$.
Wir definieren nun das allgemeine Symbol $\textstyle \left[{\frac {\alpha }{\beta }}\right]$, wo $\textstyle \alpha =\prod \limits ^{\varkappa }\varkappa$ und $\textstyle \beta =\prod \limits ^{\pi }\pi$ zwei beliebige zueinander und zu $1+i$ prime Zahlen sind, durch die Gleichung
* $\left[{\frac {\alpha }{\beta }}\right]=\prod \limits ^{\varkappa ,\,\pi }\left[{\frac {\varkappa }{\pi }}\right]$;
hierin ist das Produkt über alle Primfaktoren $\varkappa$ und $\pi$ der beiden Zahlen $\alpha$ bezüglich $\beta$ zu erstrecken, wie sie in der Produktdarstellung von $\alpha$ bezüglich $\beta$ vorkommen. Es folgt dann unmittelbar der Satz:
Wenn $\alpha$ und $\beta$ beliebige zueinander und zu $1+i$ prime ganze Zahlen sind und $\alpha \equiv (t_{\alpha }t'_{\alpha })$, $\beta \equiv (t_{\beta }t'_{\beta })$ nach $(1+i)^{4}$ gesetzt wird, so ist
* $\left[{\frac {\alpha }{\beta }}\right]\left[{\frac {\beta }{\alpha }}\right]=(-1)^{t_{\alpha }t'_{\beta }+t'_{\alpha }t_{\beta }}$.
Diese Formel setzt uns in den Stand die Bedingung anzugeben, welche in einem beliebigen Dirichletschen Körper zwischen den $c$ Chakakteren bestehen muß, damit dieselben das Charakterensystem eines existierenden Geschlechtes bilden.
Wir nehmen zunächst an, daß $\delta$ nicht durch $1+i$ teilbar sei und setzen dann in obiger Formel $\alpha =\delta$ und $\beta =\nu$, wo $\nu$ eine zu $\delta$ und zu $1+i$ prime Partialnorm eines Ideals im Körper $K_{\delta }$ bedeutet. Da dann nach § 2 die Zahl $\delta$ von allen in $\nu$ zu ungerader Potenz vorkommenden Primzahlen quadratischer Rest sein muß, so ist $\textstyle \left[{\frac {\delta }{\nu }}\right]=+1$ und folglich wird
* $\left[{\frac {\nu }{\delta }}\right]=(-1)^{t_{\delta }t'_{\nu }+t'_{\delta }t_{\nu }}$.
Ist nun $\delta \equiv (00)$ nach $(1+i)^{4}$, so wird die Partialdiskriminante $d=\delta$ und wenn wir daher sämtliche in derselben aufgehenden Primzahlen mit $\lambda _{1}$, …, $\lambda _{s}$ bezeichnen, so wird
* $\left[{\frac {\nu }{\lambda _{1}}}\right]\cdots \left[{\frac {\nu }{\lambda _{s}}}\right]=\left[{\frac {\nu }{\lambda _{1}:\delta }}\right]\cdots \left[{\frac {\nu }{\lambda _{s}:\delta }}\right]=+1$.
Ist dagegen $\delta$ nicht $\equiv (00)$ nach $(1+i)^{4}$, so kommt $1+i$ in der Partialdiskriminante $d$ des Körpers $K_{\delta }$ als Faktor vor. Wir bezeichnen dann die in $\delta$ aufgehenden Primzahlen mit $\lambda _{1}$, …, $\lambda _{s-1}$ und setzen $1+i=\lambda _{s}$. Wegen $\textstyle \left[{\frac {\nu }{1+i:\delta }}\right]=(-1)^{t_{\delta }t'_{\nu }+t'_{\delta }t_{\nu }}$ erhalten wir wiederum:
* $\left[{\frac {\nu }{\lambda _{1}:\delta }}\right]\cdots \left[{\frac {\nu }{\lambda _{s}:\delta }}\right]=+1$.
Endlich sei $\delta$ durch $1+i$ teilbar; wir setzen $\delta =(1+i)\delta '$ und erteilen $\nu$ die obige Bedeutung. Da wiederum $\delta$ von allen in $\nu$ zu ungerader Potenz vorkommenden Primzahlen quadratischer Rest sein muß, so kann bei der Berechnung der Faktoren des Symbols $\textstyle \left[{\frac {\delta '}{\nu }}\right]$ die Zahl $\delta '$ durch $1+i$ ersetzt werden; die oben gefundene Formel für den quadratischen Restcharakter von $1+i$ ergibt dann $\textstyle \left[{\frac {\delta '}{\nu }}\right]=(-1)^{t'_{\nu }+t''_{\nu }}$. Setzen wir ferner in der allgemeinen Reziprozitätsgleichung $\alpha =\delta '$, $\beta =\nu$ und benutzen dann den soeben gefundenen Wert des Symbols $\textstyle \left[{\frac {\delta '}{\nu }}\right]$, so erhalten wir $\textstyle \left[{\frac {\nu }{\delta '}}\right]=(-1)^{t_{\delta '}t'_{\nu }+t'_{\delta '}t_{\nu }+t'_{\nu }+t''_{\nu }}$. Andererseits hat das Symbol $\textstyle \left[{\frac {\nu }{1+i:\delta }}\right]$ den gleichen Wert und hieraus ergibt sich wiederum, wenn wir die sämtlichen in $\delta$ enthaltenen Primzahlen mit $\lambda _{1}$, …, $\lambda _{s}$ bezeichnen, die Gleichung
* $\left[{\frac {\nu }{\lambda _{1}:\delta }}\right]\cdots \left[{\frac {\nu }{\lambda _{s}:\delta }}\right]=+1$.
Es gilt daher in allen Fällen der Satz:
Ein vorgelegtes Charakterensystem ist dann und nur dann durch ein Geschlecht vertreten, wenn das Produkt aller Charaktere desselben $=+1$ ist.
Wenn der durch ${\sqrt {\delta }}$ bestimmte Dirichletsche Körper $K$ außer dem Körper $k$ noch einen anderen quadratischen Körper enthalten soll, so muß, wie man leicht erkennt, $\delta$ gleich einer reellen oder gleich einer rein imaginären Zahl sein. In diesem Falle bezeichnen wir den durch ${\sqrt {\delta }}$ bestimmten Dirichletschen biquadratischen Körper als einen speziellen Dirichletschen Körper und setzen $\partial =\pm \delta$ bezüglich $\partial =\pm 2i\delta$, so daß $\partial$ stets eine reelle positive Zahl bedeutet, welche durch kein Quadrat einer reellen Zahl teilbar ist. Der spezielle Dirichletsche Körper $K$ ist ein Galoisscher Körper. Eine beliebige Zahl desselben kann in die Gestalt:
* ${\mathsf {A}}=a+bi+c{\sqrt {\partial }}+di{\sqrt {\partial }}$
gebracht werden, wo $a$, $b$, $c$, $d$ rationale Zahlen sind und wir erhalten die 3 zu ${\mathsf {A}}$ konjugierten Zahlen durch Anwendung der 3 Substitutionen:
* ${\begin{aligned}S^{\color {white}\prime \prime \color {black}}&=\left({\sqrt {\partial }}:-{\sqrt {\partial }}\right),\\S^{\prime \color {white}\prime \color {black}}&=\left(i:-i\right),\\S^{\prime \prime }&=SS'=\left({\sqrt {\partial }}:-{\sqrt {\partial }},\,i:-i\right).\end{aligned}}$
$K$
$S$
$i$
$k$
$S'$
$S''$
$K$
${\sqrt {\partial }}$
${\sqrt {-\partial }}$
$k'$
$k''$
Wir fügen hier noch eine Entwicklung an, welche im folgenden Paragraph gebraucht werden wird.
Wenn ein Ideal des Körpers $K$ als größter gemeinsamer Teiler von solchen Zahlen dargestellt werden kann, welche lediglich Zahlen der Unterkörper $k'$ bezüglich $k''$ sind, so sagen wir, das Ideal „liege“ im Körper $k'$ bezüglich $k''$. Ist ${\mathfrak {J}}$ irgendein Ideal in $K$, so liegt stets das Produkt ${\mathfrak {J}}\cdot S'{\mathfrak {J}}$ im Körper $k'$. Wählen wir nämlich irgendeine durch ${\mathfrak {J}}$ teilbare Zahl ${\mathsf {A}}$ und bestimmen dann eine ebenfalls durch ${\mathfrak {J}}$ teilbare Zahl ${\mathsf {B}}$ derart, daß $\textstyle {\frac {\mathsf {B}}{\mathfrak {J}}}$ prim zu $\textstyle {\frac {\mathsf {A}}{\mathfrak {J}}}S'\left({\frac {\mathsf {A}}{\mathfrak {J}}}\right)$ ist, so wird notwendig auch $\textstyle S'\left({\frac {\mathsf {B}}{\mathfrak {J}}}\right)$ und daher auch $\textstyle {\frac {\mathsf {B}}{\mathfrak {J}}}S'\left({\frac {\mathsf {B}}{\mathfrak {J}}}\right)$ prim zu $\textstyle {\frac {\mathsf {A}}{\mathfrak {J}}}S'\left({\frac {\mathsf {A}}{\mathfrak {J}}}\right)$ und hieraus folgt ${\mathfrak {J}}\cdot S'{\mathfrak {J}}=({\mathsf {A}}\cdot S'{\mathsf {A}},\,{\mathsf {B}}\cdot S'{\mathsf {B}})$, womit die Behauptung bewiesen ist. Ebenso wird gezeigt, daß ${\mathfrak {J}}\cdot S''{\mathfrak {J}}$ stets in dem Körper $k''$ liegt.
In diesem letzten Paragraph soll kurz der Weg gezeigt werden, welcher zu einem rein arithmetischen Beweise des in der Einleitung erwähnten Dirichletschen Satzes über die Anzahl der ldealklassen in $K$ führt.
Zu dem Zweck stellen wir zunächst folgende Überlegungen an. Sind $c'$, $c''$ irgend zwei Idealklassen der beiden quadratischen Körper $k'$ bezüglich $k''$ und wählt man aus diesen beiden Klassen je ein Ideal ${\mathfrak {j}}'$, ${\mathfrak {j}}''$, so gehört jedes dieser beiden Ideale, als Ideal des biquadratischen Körpers $K$ aufgefaßt, einer Idealklasse in $K$ an; die beiden somit durch $c'$, $c''$ bestimmten Idealklassen des biquadratischen Körpers $K$ mögen mit ${\overline {c'}}$ bezüglich ${\overline {c''}}$ und ihr Produkt mit ${\overline {c'c''}}$ bezeichnet werden. Es gilt dann zunächst der Satz:
Jede Klasse des Hauptgeschlechtes im biquadratischen Körper $K$ ist gleich einem Produkte ${\overline {c'c''}}$, wo $c'$, $c''$ Klassen der quadratischen Körper $k'$ bezüglich $k''$ sind.
Zum Beweise dieses Satzes benutzen wir die Tatsache, daß jedes Ideal ${\mathfrak {H}}$ des Hauptgeschlechtes dem Quadrate eines Ideals ${\mathfrak {J}}$ im biquadratischen Körper äquivalent ist. Es gilt andrerseits die Identität
* ${\mathfrak {J}}^{2}={\frac {({\mathfrak {J}}\cdot S'{\mathfrak {J}})({\mathfrak {J}}\cdot S''{\mathfrak {J}})}{S'{\mathfrak {J}}\cdot S''{\mathfrak {J}}}}$.
$S'{\mathfrak {J}}\cdot S''{\mathfrak {J}}$
$S$
$k$
${\mathfrak {J}}\cdot S'{\mathfrak {J}}$
${\mathfrak {J}}\cdot S''{\mathfrak {J}}$
$k'$
$k''$
${\mathfrak {J}}^{2}$
${\mathfrak {H}}$
$k'$
$k''$
Es seien nun $p_{1}$, …, $p_{\pi }$ die in $\partial$ aufgehenden der Kongruenz $p\equiv 1$ nach $4$ genügenden und $q_{1}$, …, $q_{\varkappa }$ die in $\partial$ aufgehenden der Kongruenz $q\equiv 3$ nach $4$ genügenden Primzahlen. Die ersteren Primzahlen lassen sich als Produkt zweier ganzer imaginärer Zahlen darstellen, und zwar sei $p_{1}=\alpha _{1}\beta _{1}$, …, $p_{\pi }=\alpha _{\pi }\beta _{\pi }$.
Wir bezeichnen jetzt im biquadratischen Körper $K$ diejenigen Geschlechter als die Geschlechter der Hauptart, für welche die Charaktere der Norm $\nu$ den Bedingungen:
* $\left[{\frac {\nu }{\alpha _{1}:\partial }}\right]\left[{\frac {\nu }{\beta _{1}:\partial }}\right]=+1$, …, $\left[{\frac {\nu }{\alpha _{\pi }:\partial }}\right]\left[{\frac {\nu }{\beta _{\pi }:\partial }}\right]=+1$
und
* $\left[{\frac {\nu }{q_{1}:\partial }}\right]=+1$, …, $\left[{\frac {\nu }{q_{\varkappa }:\partial }}\right]=+1$
genügen. Unmittelbar aus dieser Definition folgt die Tatsache, daß genau der $2^{\pi +\varkappa -1}$-te Teil bezüglich der $2^{\pi +\varkappa }$-te Teil sämtlicher Geschlechter des Körpers $K$ von der Hauptart ist, je nachdem $\partial$ ungerade oder gerade ist. Es gilt ferner der Satz:
Jedes Produkt ${\overline {c'c''}}$ gehört im biquadratischen Körper $K$ einem Geschlechte der Hauptart an, und umgekehrt jede Klasse $C$ des biquadratischen Körpers $K$, welche einem Geschlechte der Hauptart angehört, ist gleich einem Produkt ${\overline {c'c''}}$.
Um den ersten Teil dieses Satzes zu beweisen, berücksichtigen wir, daß die Partialnorm eines jeden in $k'$ oder $k''$ liegenden Ideals eine ganze rationale Zahl wird und benutzen dann die beiden folgenden Tatsachen:
l. Ist $p=\alpha \beta$ eine rationale in $k$ zerlegbare Primzahl, so ist jede rationale Zahl im Gebiet der ganzen imaginären Zahlen gleichzeitig quadratischer Rest oder Nichtrest in bezug auf die konjugiert imaginären Faktoren $\alpha$ und $\beta$.
2. Ist $q$ eine rationale in $k$ unzerlegbare Primzahl, so ist jede rationale Zahl im Gebiet der ganzen imaginären Zahlen quadratischer Rest in bezug auf $q$.
Um die Richtigkeit der Umkehrung zu erkennen, bemerken wir, daß jedenfalls entweder die Diskriminante des quadratischen Körpers $k'$ oder die des quadratischen Körpers $k''$ den Faktor $2$ enthalten muß. Aus der bekannten Theorie der quadratischen Körper folgt daher, daß notwendig in einem jener beiden quadratischen Körper ein Geschlecht existieren muß, dessen Charaktere in bezug auf die Primzahlen $p_{1}$, …, $p_{\pi }$ der Reihe nach mit den Werten der Symbole $\textstyle \left[{\frac {\nu }{\alpha _{1}:\partial }}\right]$, …, $\textstyle \left[{\frac {\nu }{\alpha _{\pi }:\partial }}\right]$ übereinstimmen. Ist $a$ eine Klasse dieses Geschlechtes im quadratischen Körper $k'$ oder $k''$, so gehört, wie man leicht erkennt, die Klasse $C{\overline {a}}$ im biquadratischen Körper $K$ dem Hauptgeschlechte an und wird daher nach dem früher bewiesenen Satze gleich ${\overline {c'c''}}$; hieraus folgt $\textstyle C={\frac {\overline {c'c''}}{\overline {a}}}$.
Das nächste Ziel ist die Berechnung der Anzahl derjenigen Paare von Klassen $c'$, $c''$ der quadratischen Körper $k'$ bezüglich $k''$, für welche ${\overline {c'c''}}=1$ wird. Wir bedürfen dazu folgender Begriffe und Sätze aus der Theorie der quadratischen Körper:
Ein Ideal des quadratischen Körpers, welches gleich seinem konjugierten und überdies durch keine ganze rationale Zahl teilbar ist, werde ein ambiges Ideal genannt. Die ambigen Ideale setzen sich aus ambigen Primidealen zusammen und diese bestimmen sich durch die Eigenschaft, daß ihre Quadrate den in der Diskriminante des Körpers enthaltenen rationalen Primzahlen gleich sind.
Eine Klasse des quadratischen Körpers, deren Quadrat die Hauptklasse ist, heißt eine ambige Klasse. Ist der quadratische Körper imaginär, so enthält jede ambige Klasse desselben ein ambiges Ideal und die Anzahl der ambigen Klassen ist $=2^{\sigma -1}$, wo $\sigma$ die Anzahl der in der Diskriminante aufgehenden rationalen Primzahlen ist.
Es seien $c'$, $c''$ zwei Klassen der quadratischen Körper $k'$ bezüglich $k''$ von der Art, daß ${\overline {c'c''}}=1$ wird. Wir wählen dann aus diesen Klassen $c'$ und $c''$ je ein Ideal ${\mathfrak {j}}'$ bezüglich ${\mathfrak {j}}''$ aus und setzen ${\mathfrak {j}}'{\mathfrak {j}}''={\mathsf {A}}$, wo ${\mathsf {A}}$ eine Zahl des biquadratischen Körpers $K$ bedeutet. Durch Anwendung der Substitution $S''$ ergibt sich leicht $({\mathfrak {j}}'\cdot S''{\mathfrak {j}}'){\mathfrak {j}}''^{2}={\mathsf {A}}S''{\mathsf {A}}$ d. h. ${\mathfrak {j}}''^{2}=\alpha ''$, wo $\alpha ''$ eine Zahl im quadratischen Körper $k''$ ist. Es folgt mithin, daß ${\mathfrak {j}}''$ einer ambigen Klasse $a''$ in $k''$ angehört und da $k''$ ein imaginärer quadratischer Körper ist, so ist dem eben angeführten Satze zufolge ${\mathfrak {j}}''$ einem ambigen Ideale ${\mathfrak {a}}''$ in $k''$ äquivalent. Nun liegen, wie man leicht erkennt, sämtliche ambigen Primideale des Körpers $k''$ zugleich auch in dem quadratischen Körper $k'$; ausgenommen ist lediglich der Fall $\partial \equiv 1$ nach $4$, in welchem das durch Zerlegung der Zahl $2$ entstehende ambige Primideal ${\mathfrak {l}}''$ im Körper $k''$, aber nicht im Körper $k'$ liegt. Da ${\mathfrak {l}}''=1+i$ und folglich ein Hauptideal des biquadratischen Körpers $K$ ist, so wird, wenn $l''$ die durch ${\mathfrak {l}}''$ bezeichnete Klasse in $k''$ bezeichnet, offenbar ${\overline {l''}}=1$. Es sei nun ${\mathfrak {a}}''$ nicht durch ${\mathfrak {l}}''$ teilbar und ${\mathfrak {a}}'$ dasjenige ambige Ideal in $k'$, welches, als Ideal in $K$ betrachtet, dem Ideal ${\mathfrak {a}}''$ gleich ist, und $a'$ sei die durch ${\mathfrak {a}}'$ bestimmte ambige Klasse in $k'$: es ist dann offenbar ${\overline {a'a''}}=1$. Somit gilt der Satz:
Zu jeder ambigen Klasse $a''$ in $k''$ und nur zu diesen läßt sich eine Klasse $a'$ in $k'$ finden derart, daß ${\overline {a'a''}}=1$ wird.
Es bleibt jetzt noch übrig, die Frage zu entscheiden, wann zu einer Klasse $a''$ des Körpers $k''$ mehr als eine Klasse $c'$ existiert, für welche ${\overline {c'a''}}=1$ wird. Es ist hierzu offenbar notwendig, daß im Körper $k'$ eine von $1$ verschiedene Klasse $c'$ existiert, für welche ${\overline {c'}}=1$ ist.
Um hierüber zu entscheiden, nehmen wir an, es sei ${\mathfrak {h}}'$ ein Ideal in $k'$, welches im biquadratischen Körper $K$ ein Hauptideal ist. Setzen wir ${\mathfrak {h}}'={\mathsf {A}}$, wo ${\mathsf {A}}$ eine Zahl in $K$ ist, so wird offenbar $\textstyle {\frac {\mathsf {A}}{S'{\mathsf {A}}}}$ eine Einheit des Körpers $K$, deren absoluter Betrag $=1$ und welche daher eine Einheitswurzel $\varrho$ ist. Setzen wir nun ${\mathsf {B}}={\mathsf {A}}$, $=i{\mathsf {A}}$, $\textstyle ={\frac {\mathsf {A}}{1-i}}$, oder $\textstyle ={\frac {\mathsf {A}}{1+i}}$, je nachdem $\varrho$ den Wert $+1$, $-1$, $+i$ oder $-i$ hat, so ergibt sich $\textstyle {\frac {\mathsf {B}}{S'{\mathsf {B}}}}=1$ d. h. ${\mathsf {B}}$ ist eine reelle Zahl. Folglich ist ${\mathfrak {h}}'$ entweder gleich einer reellen Zahl d. h. ein Hauptideal in $k'$ oder ${\mathfrak {h}}'$ wird gleich einer reellen Zahl, multipliziert mit einem Ideal ${\mathfrak {l}}'$, welches als Ideal in $K$ aufgefaßt, gleich $1+i$ ist. Da somit ${\mathfrak {l}}'^{2}=2$ sein muß, so tritt dieser letztere Fall nur unter der Bedingung $\partial \equiv 3$ nach $4$ oder $\partial \equiv 0$ nach $2$ ein. Umgekehrt bestimmt das durch die Gleichung ${\mathfrak {l}}'^{2}=2$ definierte Ideal ${\mathfrak {l}}'$ stets in $k'$ eine Klasse $l'$, für welche ${\overline {l'}}=1$ wird. Der Fall, in welchem $K$ noch andere Einheitswurzeln enthält, ist leicht für sich erledigt. Es folgt aus unseren Entwicklungen das Resultat:
Die Anzahl der Paare von Klassen $c'$, $c''$ in den Körpern $k'$, bezüglich $k''$, für welche ${\overline {c'c''}}=1$ wird, ist im Falle eines ungeraden $\partial$ gleich der Zahl $2^{\pi +\varkappa -1}$ oder $=2^{\pi +\varkappa }$ und im Falle eines geraden $\partial$ gleich der Zahl $2^{\pi +\varkappa }$ oder gleich $2^{\pi +\varkappa +1}$, je nachdem die Zahl $2$, abgesehen von einem Einheitsfaktor, das Quadrat einer Zahl des reellen quadratischen Körpers $k'$ ist oder nicht.
Bezeichnen wir nun die Anzahl der Idealklassen $c'$, $c''$ in den beiden Körpern $k'$, $k''$ bezüglich mit $h'$, $h''$, so erhalten wir $h'h''$ Kombinationen von der Gestalt ${\overline {c'c''}}$ und wenn wir diese Anzahl $h'h''$ durch die soeben gefundene Anzahl der die Bedingung ${\overline {c'c''}}=1$ erfüllenden Klassenpaare dividieren, so ergibt sich die Anzahl der sämtlichen voneinander verschiedenen Klassen ${\overline {c'c''}}$ des biquadratischen Körpers, welche von der Hauptart sind. Da aber, wie oben angegeben worden ist, genau der $2^{\pi +\varkappa -1}$-te Teil bezüglich der $2^{\pi +\varkappa }$-te Teil sämtlicher Geschlechter des Körpers $K$ der Hauptart angehört, je nachdem $\partial$ ungerade oder gerade ist, so gewinnen wir den Satz:
Die Anzahl der Idealklassen des speziellen Dirichletschen Zahlkörpers $K$ ist gleich dem Produkt der Anzahlen der ldealklassen in den beiden quadratischen Körpern $k'$ und $k''$ oder gleich der Hälfte dieses Produktes, je nachdem in dem reellen quadratischen Körper die Zahl $2$, abgesehen von einem Einheitsfaktor, das Quadrat einer Zahl ist oder nicht.
Bezeichnet $\alpha '$ die Zahl in $k'$, deren Quadrat abgesehen von einem Einheitsfaktor, die Zahl $2$ ergibt, so ist $\textstyle {\frac {1+i}{\alpha '}}$ eine Einheit des biquadratischen Körpers $K$, deren Partialnorm $=\pm i$ wird. Es gilt auch umgekehrt der Satz, daß die Zahl $2$, abgesehen von einem Einheitsfaktor, gleich dem Quadrat einer Zahl in $k'$ sein muß, sobald in $K$ eine Einheit existiert, deren Partialnorm $=\pm i$ ist. Benutzen wir diese Tatsachen, so können wir den gefundenen Satz auch in folgender Weise aussprechen:
Die Anzahl der Idealklassen in $K$ ist gleich dem Produkt der Klassenzahlen in $k'$ und $k''$ oder gleich der Hälfte dieses Produktes, je nachdem die Partialnorm der Grundeinheit des Körpers $K$ gleich $\pm i$ oder $=\pm 1$ wird.
Wir erkennen die inhaltliche Übereinstimmung dieses Satzes mit dem von Dirichlet bewiesenen Satze, wenn wir berücksichtigen, daß der von Dirichlet ausgesprochene Satz die Anzahlen von Formenklassen mit gegebener Determinante betrifft, während es sich in unserem Satze um Anzahlen von Idealklassen der Körper handelt.
Königsberg, den 14. April 1894.
* ↑ Untersuchungen über die Theorie der komplexen Zahlen; Recherches sur les formes quadratiques à coefficients et à indéterminées complexes. Werke 1, 505, 511, 533.
* ↑ Math. Ann. 44, 1. (Dieser Band, Abh. 3, S. 6.)
* ↑ Vgl. Comptes rendus 1891. Für obigen Zweck reicht schon die von H. Minkowski, J. Math. 107, 296 (1891), aufgestellte Ungleichung aus.
* ↑ Der eben bewiesene Satz 3 liefert zugleich alle Mittel zur Aufstellung der notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür, das die ternäre diophantische Gleichung $\alpha \xi ^{2}+\beta \eta ^{2}+\gamma \zeta ^{2}=0$ mit beliebigen ganzen imaginären Koeffizienten $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ in ganzen imaginären Zahlen $\xi$, $\eta$, $\zeta$ lösbar ist.
* ↑ Die linke Seite dieses Ansatzes ist ein besonderer Fall des von Kummer im J. Math. 50, 212 (1855) behandelten Ausdruckes.
* ↑ Werke 1, 618.
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## Anmerkungen (Wikisource)

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