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# Schwere, Elektricität und Magnetismus:045

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
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$V\,$
stelle der Dichtigkeit, und dass der Punkt $(x,\,y,\,z)$ nicht in die Begrenzung dieses Bestandtheils fällt. Was nach Ausschluss des ersten Bestandtheils an Masse noch übrig ist, bildet den zweiten Bestandtheil. Er enthält alle Stellen, an denen die Dichtigkeit sich sprungweise ändert. Dem entsprechend zerfällt auch die Potentialfunction $V\,$ in zwei Bestandtheile
* $V=V_{1}+V_{2},\,$
so dass $V_{1}\,$ nur von dem ersten, $V_{2}\,$ nur von dem zweiten Bestandtheile der anziehenden Masse herrührt. Für den ersten Bestandtheil der Masse ist die Zulässigkeits-Bedingung der Transformation erfüllt. Die Function $V_{1}\,$, ihre ersten und ihre zweiten Derivirten können also durch die Gleichung (4) des §. 6, die Gleichungen (2) des §. 8 und resp. die Gleichungen (1) des §. 9 ausgedrückt werden. Für den zweiten Bestandtheil der anziehenden Masse ist der Punkt $(x,\,y,\,z)$ ein äusserer Punkt. Die Function $V_{2}\,$ und ihre Derivirten der ersten und der zweiten Ordnung werden demnach durch die Gleichungen (5) und (4) des §. 2 und resp. die Gleichungen (1) des §. 3 unzweideutig ausgedrückt. Folglich haben auch die Function $V\,$ und ihre partiellen Derivirten der ersten und der zweiten Ordnung bestimmte, angebbare, endliche Werthe fur jede Lage des inneren Punktes $(x,\,y,\,z)$, in welcher er in endlicher, wenn auch noch so kleiner, Entfernung von den Unstetigkeitsstellen der Dichtigkeit bleibt.
Fällt aber der Punkt $(x,\,y,\,z)$ in eine Unstetigkeitsstelle der Dichtigkeit, so behalten zwar die Function $V\,$ und ihre ersten Derivirten bestimmte, endliche Werthe. Aber die Ausdrücke für die zweiten Derivirten sind unbestimmt. Denn es ist in diesem Falle nicht möglich, um den Punkt herum einen Raum abzugrenzen, für welchen die Transformation des §. 8 zulässig wäre. Die Integrale auf der rechten Seite der Gleichungen (1) des §. 3 oder der Gleichungen (1) des §. 9 sind dann ohne alle Bedeutung.
Handelt es sich also um die Werthe der zweiten Derivirten ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}},{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}},{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}$ für den Fall, dass der angezogene Punkt in eine Unstetigkeitsstelle der Dichtigkeit hineinfällt, so ist jedenfalls noch eine besondere Untersuchung anzustellen.
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:048

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Der Beweis ist noch anwendbar auf die zweiten partiellen Derivirten, aber nur für solche Lagen des Punktes $(x,\,y,\,z)$, für welche die Gleichungen (1) des vorigen Paragraphen gelten. D. h. die zweiten partiellen Derivirten ändern sich stetig bei allen Verschiebungen des Punktes $(x,\,y,\,z)$ ausserhalb oder innerhalb des anziehenden Körpers, die in endlicher, wenn auch noch so kleiner Entfernung sowohl von der Oberfläche, als auch von den Unstetigkeitsstellen der Dichtigkeit vorgenommen werden.
Errichtet man nun gegen die Oberfläche des anziehenden Körpers in irgend einem Punkte derselben die Normale nach innen und nach aussen, so darf man auf der inneren wie auf der äusseren Normale den Punkt $(x,\,y,\,z)$ unendlich nahe an die Oberfläche heranrücken lassen, ohne dass die Functionen $V,\;{\frac {\partial V}{\partial x}},\,{\frac {\partial V}{\partial y}},\,{\frac {\partial V}{\partial z}}$ aufhören, endliche und stetig variable Werthe anzunehmen. Für zwei Lagen des Punktes $(x,\,y,\,z)$ auf der inneren und auf der äusseren Normale in unendlich kleinem Abstande von der Oberfläche hat jede der vier Functionen zwei Werthe, die nur unendlich wenig abweichen von dem Werthe, welchen sie in dem Fusspunkte der Normale auf der Oberfläche selbst besitzt. Aus diesem Verhalten der Functionen ${\frac {\partial V}{\partial x}},\,{\frac {\partial V}{\partial y}},\,{\frac {\partial V}{\partial z}}$ folgt, dass die zweiten Derivirten von $V\,$ nicht unendlich gross werden können, wenn der Punkt $(x,\,y,\,z)$ auf der inneren oder auf der äusseren Normale unendlich nahe an die Oberfläche heranrückt oder in den Fusspunkt der Normale auf der Oberfläche selbst übergeht. In diesem letztgenannten Punkte verlieren die Ausdrücke, welche wir für die zweiten Derivirten gefunden haben, alle Bedeutung. Das weist darauf hin, dass jede der zweiten Derivirten sich sprungweise ändert, wenn der Punkt$(x,\,y,\,z)$ beim stetigen Durchlaufen der Normale durch die Oberfläche des anziehenden Körpers von innen nach aussen oder von aussen nach innen hindurchgeht. In dem Beispiele des §. 5 ist diese Eigenschaft der zweiten Derivirten von $V\,$ direct nachgewiesen. Sie lässt sich aber für eine beliebig gestaltete Oberfläche des anziehenden Körpers beweisen. Man hat zu dem Ende, was ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}},\,{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}},\,{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}$ anlangt, die Integrale auf der rechten Seite der Gleichungen (1) des §. 9 für den Fall zu untersuchen, dass der Punkt $(x,\,y,\,z)$ auf der äusseren oder auf der inneren Normale unendlich nahe an die Oberfläche heranrückt.
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:042

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Integration aus. Dadurch wird die Transformation des vorigen Paragraphen zulässig und man erhält
| (1) | $\iiint \rho {\frac {\partial \left(-{\frac {1}{r}}\right)}{\partial a}}da\;db\;dc=\int {\frac {\rho }{r}}\cos \alpha \,d\sigma +\iiint {\frac {1}{r}}{\frac {\partial \rho }{\partial a}}da\;db\;dc.$ |
Die dreifachen Integrationen erstrecken sich auf den anziehenden Körper mit Ausnahme der den Punkt $(x,\,y,\,z)\,$ enthaltenden Kugel. Das Integral $\int {\frac {\rho }{r}}\cos \alpha \;d\sigma$ ist auszudehnen über die Oberfläche der anziehenden Masse und über die Oberfläche des ausgeschlossenen kugelförmigen Gebietes. Bezeichnen wir mit $\rho _{1}\,$ den grössten Werth von $\rho \,$ auf dieser Kugelfläche und beachten, dass $\cos \alpha \!$ in den äussersten Fällen $=\pm 1$ sein kann, so findet sich, dass der von der Kugel herrührende Beitrag zu dem Oberflächen-Integral einen Werth hat, der absolut genommen kleiner ist als
* $\rho _{1}\int {\frac {d\sigma }{r}},$
d. h. kleiner als
* ${\frac {\rho _{1}}{\varepsilon }}\int d\sigma ,$
oder, was dasselbe sagt, kleiner als
* $4\pi \,\rho _{1}\varepsilon .\,$
Folglich wird dieser Beitrag zu Null für $\varepsilon =0$. Nun behalten aber die dreifachen Integrale in (1) bestimmte, endliche Werthe, wenn man den Radius $\varepsilon$ der ausgeschlossenen Kugel zu Null macht. Von dem Integrale links ist dies in §. 6 bewiesen. Für das Integral rechts ergibt sich der Beweis auf demselben Wege, wenn man beachtet, dass ${\frac {\partial \rho }{\partial a}}$ im Innern des Integrationsgebietes überall endlich ist. Folglich gilt die Gleichung (1) auch dann noch, wenn man die dreifachen Integrale über den ganzen anziehenden Körper erstreckt und das Integral $\int {\frac {\rho }{r}}\cos \alpha \,d\sigma$ über seine Oberfläche. D. h. die Gleichung (3) des vorigen Paragraphen bleibt gültig, wenn der angezogene Punkt $(x,\,y,\,z)$ im Innern der anziehenden Masse liegt. Auf entsprechende Weise kann man auch die Ausdrücke für ${\frac {\partial V}{\partial y}}$ und ${\frac {\partial V}{\partial z}}$ transformiren. Bezeichnen $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma \,$ die drei Winkel,
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:043

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welche die auf dem Oberflächen-Element $d\sigma \,$ des anziehenden Körpers nach seinem Innern zu errichtete Normale mit den positiven Coordinatenaxen einschliesst, so lauten die Resultate der Transformation:
| (2) | ${\frac {\partial V}{\partial x}}=\int {\frac {\rho }{r}}\cos \alpha \;d\sigma +\iiint {\frac {1}{r}}{\frac {\partial \rho }{\partial a}}da\;db\;dc,$ ${\frac {\partial V}{\partial y}}=\int {\frac {\rho }{r}}\cos \beta \;d\sigma +\iiint {\frac {1}{r}}{\frac {\partial \rho }{\partial b}}da\;db\;dc,$ ${\frac {\partial V}{\partial z}}=\int {\frac {\rho }{r}}\cos \gamma \;d\sigma +\iiint {\frac {1}{r}}{\frac {\partial \rho }{\partial c}}da\;db\;dc.$ |
Diese Gleichungen sind gültig, der angezogene Punkt mag ausserhalb oder innerhalb der anziehenden Masse liegen. Denn für beide Fälle ist die Zulässigkeit der Transformation nachgewiesen. Die einzige Bedingung, die erfüllt sein muss, besteht darin, dass die Dichtigkeit der anziehenden Masse im Innern des von ihr erfüllten Raumes eine stetige Function des Ortes sei.
Nun ist es leicht, die zweiten partiellen Derivirten ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}},{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}},{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}$ in einer Form herzustellen, die bestimmte endliche Werthe liefert, der angezogene Punkt mag ausserhalb oder innerhalb der anziehenden Masse liegen. Man erhält
| (1) | ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}=\int {\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial x}}\rho \;\cos \alpha \;d\sigma +\iiint {\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial x}}{\frac {\partial \rho }{\partial a}}da\;db\;dc,$ ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}=\int {\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial y}}\rho \;\cos \beta \;d\sigma +\iiint {\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial y}}{\frac {\partial \rho }{\partial b}}da\;db\;dc,$ ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=\int {\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial z}}\rho \;\cos \gamma \;d\sigma +\iiint {\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial z}}{\frac {\partial \rho }{\partial c}}da\;db\;dc.$ |
Diese Ausdrücke gehen durch Differentiation aus den Gleichungen (2) des vorigen Paragraphen hervor. Auf der rechten Seite ist die Differentiation unter dem Integralzeichen vorgenommen. Das darf geschehen, weil die Integrale, die daraus hervorgehen, durchaus
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:044

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bestimmte, endliche Werthe besitzen. Bei den über die Oberfläche ausgedehnten Integralen auf der rechten Seite der Gleichungen (1) sind nemlich sämmtliche Elemente unendlich klein wie $d\sigma \,$, weil wir den angezogenen Punkt ausserhalb oder innerhalb der anziehenden Masse in endlicher, wenn auch noch so kleiner, Entfernung von der Oberfläche voraussetzen. Dass die sämmtlichen Elemente der dreifachen Integrale unendlich klein von dritter Ordnung sind, erkennt man ohne weiteres, wenn der Punkt $(x,\,y,\,z)$ ausserhalb der anziehenden Masse liegt. Für einen inneren Punkt beweist man es auf dem in §. 6 vorgezeichneten Wege.
Legt man den Punkt $(x,\,y,\,z)$ in die Oberfläche des anziehenden Körpers, so behalten die Integrale, durch welche die Function $V\,$ und ihre ersten Derivirten ausgedrückt sind, bestimmte, endliche Werthe. Anders ist es aber mit den Integralen auf der rechten Seite der eben hergestellten Gleichungen (1). Die dreifachen Integrale haben zwar auch jetzt noch bestimmte, endliche Werthe. Aber die über die Oberfläche ausgedehnnten Integrale verlieren alle Bedeutung. Soll also von den Derivirten ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}},{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}},{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}$ die Rede sein für einen Punkt $(x,\,y,\,z)$ in der Oberfläche des anziehenden Körpers, so ist darüber noch eine besondere Untersuchung anzustellen.
Die Transformation, welche zu den Gleichungen (2) des vorigen Paragraphen geführt hat und also auch für die Gleichungen (1) dieses Paragraphen die Grundlage bildet, ist nur dann zulässig, wenn die Dichtigkeit $\rho \,$ der anziehenden Masse eine durchweg stetige Function des Ortes ist. Es kann aber auch der Fall eintreten, dass der anziehende Körper aus einzelnen Bestandtheilen zusammengesetzt ist, so dass in jedem von ihnen die Dichtigkeit endlich und stetig variabel ist, aber beim Uebergange aus einem Bestandtheile in den andern sich sprungweise ändert. Die Trennungsflächen der einzelnen Bestandtheile sind dann Unstetigkeitsstellen der Dichtigkeit. Wir betrachten nun einen Punkt im Innern des anziehenden Körpers. Es ist zu unterscheiden, ob er in endlicher, wenn auch noch so kleiner, Entfernung von den Unstetigkeitsstellen sich befindet oder ob er in eine solche Stelle hineinfällt. Im ersten Falle kann man die anziehende Masse in zwei Bestandtheile zerlegen. Der erste Bestandtheil wird so gewählt, dass er den angezogenen Punkt $(x,\,y,\,z)$ in sich enthält, aber keine Unstetigkeits-
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:047

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$V\,$
ersten Derivirten ${\frac {\partial V_{2}}{\partial x}},\,{\frac {\partial V_{2}}{\partial y}},\,{\frac {\partial V_{2}}{\partial z}}$ stetige Functionen von $(x,\,y,\,z)$. Es ist also jedenfalls
| (2) | $\lim d\left({\frac {\partial V_{2}}{\partial x}}\right)=0.$ |
Die Derivirte ${\frac {\partial V_{1}}{\partial x}}$ wird ausgedrückt durch das Integral
* $\iiint {\frac {a-x}{r^{3}}}\rho \;da\;db\;dc,$
wenn man die Integration über den Raum $T_{1}\,$ ausdehnt. Dieses Integral kann - wie bewiesen - nicht unendlich gross werden, wohin man auch den Punkt $(x,\,y,\,z)$ im Innern der Kugel vom Radius $\varepsilon \,$ verlegen möge. Es hat vielmehr einen endlichen Werth, der um so kleiner ist, je kleiner $\varepsilon \,$ genommen wird. Man kann demnach $\varepsilon \,$ so klein wählen, dass für jede Lage des angezogenen Punktes im Innern jener Kugel der Werth von ${\frac {\partial V_{1}}{\partial x}}$ kleiner bleibt als eine beliebig kleine Grösse $\delta \,$. Verschiebt man also den Punkt $(x,\,y,\,z)$ beliebig im Innern der Kugel vom Radius $\varepsilon \,$, so wird die Aenderung, welche ${\frac {\partial V_{1}}{\partial x}}$ dadurch erfährt, ebenfalls kleiner sein als $\delta \!$. Man kann aber $\delta \,$ kleiner werden lassen als irgend eine angebbare Zahl. Es ist damit nur eine unendliche Abnahme des Radius $\varepsilon \,$ verbunden.
Folglich ist
| (3) | $\lim d\left({\frac {\partial V_{1}}{\partial x}}\right)=0.$ |
Aus (3) und (2) ergibt sich ohne weiteres
| (4) | $\lim d\left({\frac {\partial V}{\partial x}}\right)=\lim d\left({\frac {\partial V_{1}}{\partial x}}\right)+\lim d\left({\frac {\partial V_{2}}{\partial x}}\right)=0,$ |
d. h. ${\frac {\partial V}{\partial x}}$ ist eine überall stetig variable Function.
Auf demselben Wege wird der Beweis für ${\frac {\partial V}{\partial y}}$ und ${\frac {\partial V}{\partial z\,}}$ geführt. Die Function $V\,$ und ihre ersten Derivirten sind also überall endliche und stetige Functionen. Sie erleiden unendlich kleine Aenderungen bei einer unendlich kleinen Verschiebung des Punktes $(x,\,y,\,z)$, mag diese Verschiebung innerhalb oder ausserhalb oder in der Oberfläche der anziehenden Masse vorgenommen werden oder durch die Oberfläche hindurchführen.
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:039

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Parallelepipeda, jedes vom Inhalte $da\,db\,dc\,$. Der Inhalt eines solchen Parallelepipedon werde multiplicirt mit dem Werthe, welchen die Function $\rho {\frac {\partial \left(-{\frac {1}{r}}\right)}{\partial a}}$ in seinem einen Eckpunkte $(a,b,c)\,$ hat.
Das Product
* $\rho {\frac {\partial \left(-{\frac {1}{r}}\right)}{\partial a}}da\,db\,dc$
ist das Element des Integrals. Die Integration nach $a\,$ wird ausgeführt, indem man dieses Product fur alle parallelepipedischen Bestandtheile des Elementarprisma bildet, welche innerhalb der anziehenden Masse liegen, und sämmtliche Producte addirt. Die Integration nach $b\,$ und nach $c\,$ besteht darin, dass man die eben besprochene Summe von Producten für alle Elementarprismen herstellt, welche die anziehende Masse überhaupt treffen, und alle diese Summen wiederum durch Addition verbindet.
Wir wollen zunächst die Integration nach $a\,$ ausführen. Das unbestimmte Integral
* $\int \rho {\frac {\partial \left(-{\frac {1}{r}}\right)}{\partial a}}da.$
lässt sich umformen durch Integration nach Theilen, nemlich
| (2) | $\int \rho {\frac {\partial \left(-{\frac {1}{r}}\right)}{\partial a}}da\ =-{\frac {\rho }{r}}+\int {\frac {1}{r}}{\frac {\partial \rho }{\partial a}}da$ |
Diese Formel ist zur Umgestaltung des bestimmten Integrals leicht zu benutzen, wenn die Function ${\frac {\rho }{r}}$ innerhalb der Integrationsgrenzen überall endlich und stetig ist. Die Integrale auf der linken und auf der rechten Seite der Gleichung (2) sind dann zwischen denselben Grenzen zu nehmen und von dem freien Gliede $-{\frac {\rho }{r}}$ hat man die Summe aller Werthe an den oberen Grenzen der Integration zu vermindern um die Summe aller Werthe an den unteren Grenzen. Wir bezeichnen die Werthe von $\rho \,$ und $r\,$ an den Grenzen der Reihe nach durch Anhängung der betreffenden Indices. Für die Integration nach $b\,$ und nach $c\,$ erhält man demnach das Element
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:041

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denen das Elementarprisma in den anziehenden Körper ein- und aus ihm austritt. Führt man nun die Integration nach $b\,$ und nach $c\,$ aus, so ergibt sich
| (3) | ${\frac {\partial V}{\partial x}}=\int {\frac {\rho }{r}}\cos \alpha \;d\sigma +\iiint {\frac {1}{r}}{\frac {\partial \rho }{\partial a}}da\;db\;dc.$ |
Das dreifache Integral auf der rechten Seite ist über den ganzen mit Masse erfüllten Raum, das Integral $\int {\frac {\rho }{r}}\cos \alpha \;d\sigma$ über seine gesammte Oberfläche zu erstrecken.
Die vorgenommene Transformation ist nur dann zulässig, wenn die Function ${\frac {\rho }{r}}$ innerhalb des mit anziehender Masse erfüllten Raumes an keiner Stelle unstetig wird. Findet an einzelnen Stellen eine Aenderung sprungweise statt, so hat man von dem Integrationsgebiete zunächst solche Raumtheile auszuschliessen, welche die Unstetigkeitsstellen völlig in sich enthalten. Dann wird man das Integral (1) auf die ausgeschlossenen Raumtheile nicht mit erstrecken und darf deshalb die Transformation vornehmen. Nachher ist die Frage zu beantworten, welchem Grenzwerthe das Resultat der Transformation sich annähert, wenn man die Oberflächen der ausgeschlossenen Gebiete den Unstetigkeitsstellen unendlich nahe rückt.
Wir haben bis jetzt vorausgesetzt, dass die Dichtigkeit $\rho \,$ des anziehenden Körpers eine endliche und stetige Function des Ortes sei. Diese Voraussetzung soll jetzt noch beibehalten werden. Liegt der angezogene Punkt ausserhalb der anziehenden Masse, so ist ${\frac {\rho }{r}}$ für jeden Punkt $(a,\,b,\,c)$ in ihrem Innern endlich und stetig, und daher kann man die Transformation des vorigen Paragraphen ohne weiteres vornehmen.
Wenn aber der angezogene Punkt $(x,\,y,\,z)$ im Innern der anziehenden Masse liegt, so wird die Function ${\frac {\rho }{r}}$ für ein Element der Integration unendlich gross. Deshalb machen wir den Punkt $(x,\,y,\,z)$ zum Mittelpunkte einer Kugelfläche vom Radius $\varepsilon \,$ und schliessen den von ihr begrenzten inneren Raum zunächst von der
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:046

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Die Function $V\,$ und ihre ersten Derivirten ${\frac {\partial V}{\partial x}},\,{\frac {\partial V}{\partial y}},\,{\frac {\partial V}{\partial z}}$ werden durch Integrale ausgedrückt, die - wie bewiesen - je einen bestimmten endlichen Werth haben, wo auch der angezogene Punkt $(x,\,y,\,z)$ liegen möge. Dagegen ist von den Integralen, welche die zweiten Derivirten ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}},\,{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}},\,{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}$ ausdrücken, dieselbe Eigenschaft bis jetzt nur bewiesen, wenn der angezogene Punkt in endlicher, wenn auch noch so kleiner, Entfernung von der Oberfläche des anziehenden Körpers und von den Unstetigkeitsstellen der Dichtigkeit sich befindet. Daraus folgt, dass $V\,$ im ganzen unendlichen Raume eine stetig veränderliche Function von $x,\,y,\,z$ ist, und dass ${\frac {\partial V}{\partial x}},\,{\frac {\partial V}{\partial y}},\,{\frac {\partial V}{\partial z}}$ sich stetig ändern, so lange der Punkt $(x,\,y,\,z)$ in endlicher, wenn auch noch so kleiner Entfernung von der Oberfläche des anziehenden Körpers und von den Unstetigkeitsstellen der Dichtigkeit bleibt. Wir wollen nun beweisen, dass die ersten Derivirten ${\frac {\partial V}{\partial x}},\,{\frac {\partial V}{\partial y}},\,{\frac {\partial V}{\partial z}}$ auch dann noch eine stetige Aenderung erleiden, wenn der Punkt $(x,\,y,\,z)$ durch die Oberfläche des anziehenden Körpers oder durch eine Unstetigkeitsstelle der Dichtigkeit hindurchgeht oder in ihnen verschoben wird. Der Beweis soll zunächst für ${\frac {\partial V}{\partial x}}$ geführt werden.
Der Punkt $(x,\,y,\,z)$ liege in einer Fläche, in welcher die Dichtigkeit sich sprungweise ändert, oder in der Oberfläche des anziehenden Körpers. Wir umschliessen ihn mit einer Kugelfläche vom Radius $\varepsilon \,$ und bezeichnen mit $T_{1}\,$ den Raum, welchen diese aus dem anziehenden Körper ausschneidet. Der übrige Theil des anziehenden Körpers sei $T_{2}\,$. Dem entsprechend zerlegen wir auch die Potentialfunction in zwei Bestandtheile
| (1) | $V=V_{1}+V_{2},\,$ |
so dass $V_{1}\,$ nur von der Masse in dem Raume $T_{1}\,$ und $V_{2}\,$ nur von der Masse in dem Raume $T_{2}\,$ herrührt. Für den Raum $T_{2}\,$ ist der Punkt $(x,\,y,\,z)$ ein äusserer Punkt, und daher sind die
# RE:Χοίριναι

Paulys Realencyclopädie der classischen Altertumswissenschaft :
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| ⟨ Choirilos 5 | Choirion ⟩ |
| Choirinai ||
| Band III,2 (1899) S. 2363 ||
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Χοίριναι, eine Muschelart, deren man sich in älterer Zeit in den Gerichten Athens zur Abstimmung bediente. Ar. Equ. 1332; Vesp. 332. 349. Poll. VIII 16.