# David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie/Kapitel 7.13

Satz 85. Wird aus den beiden Körpern $k_{1}$ und $k_{2}$ ein Körper $K$ zusammengesetzt, so enthält die Diskriminante des zusammengesetzten Körpers $K$ alle und nur diejenigen rationalen Primzahlen als Faktoren, welche in der Diskriminante von $k_{1}$ oder in derjenigen von $k_{2}$ oder in beiden aufgehen.
Der erste Teil dieses Satzes folgt unmittelbar aus Satz 39; der zweite Teil ergibt sich mit Hilfe von Satz 41 wie folgt:
Seien $\Omega _{1}$, …, $\Omega _{M}$ bez. $\omega _{1}$, …, $\omega _{m}$ eine Basis von $K$ bez. $k_{1}$, dann läßt sich $\omega _{i}$ in der Form
| $\omega _{i}=a_{i1}\Omega _{1}+\cdots +a_{iM}\Omega _{M}$ | $(i=1,\ \ldots ,\ m)$ |
mit ganzen rationalen $a_{i1}$, …, $a_{iM}$, darstellen. Sind ferner $\Omega _{1}^{(l)}$, …, $\Omega _{M}^{(l)}$ die bezüglich $k_{2}$ relativkonjugierten Zahlen zu $\Omega _{1},\,\dots ,\,\Omega _{M},$ so sind die Zahlen
* $\omega _{i}^{(l)}=a_{i1}\Omega _{1}^{(l)}+\cdots +a_{iM}\Omega _{M}^{(l)}$
gewisse konjugierte zu $\omega _{i}$, und hieraus folgt, daß die Elemente
* $\left(\Omega _{1}-\Omega _{1}^{(l)},\,\dots ,\,\Omega _{M}-\Omega _{M}^{(l)}\right)$
von $K$ in gewissen Elementen von $k_{1}$ aufgehen. Nach der Definition der Relativdifferente und Satz 38 folgt hieraus die Behauptung.
Eine unmittelbare Folge des Satzes 85 ist die weitere Tatsache:
Satz 86. Wenn man aus dem Körper $k$ vom $m$-ten Grade und den sämtlichen zu ihm konjugierten Körpern $k',\,\dots ,\,k^{(m-1)}$ einen Galoisschen Körper $K$ zusammensetzt, so enthält die Diskriminante dieses Körpers $K$ alle und nur diejenigen rationalen Primzahlen, welche in der Diskriminante des Körpers $k$ aufgehen.
Ein besonderes Interesse beansprucht der Fall, daß die Diskriminanten der zusammensetzenden Körper zueinander prim sind. Der wichtigste und fruchtbarste Satz über diesen Fall ist der folgende:
Satz 87. Zwei Körper $k_{1}$ und $k_{2}$ bezüglich von den Graden $m_{1}$ und $m_{2}$, deren Diskriminanten zueinander prim sind, ergeben durch Zusammensetzung stets einen Körper vom Grade $m_{1}m_{2}$.
Beweis. Der aus $k_{1}$ und den sämtlichen zu $k_{1}$ konjugierten Körpern zusammengesetzte Galoissche Körper werde mit $K_{1}$ bezeichnet; die Diskriminante von $K_{1}$ ist nach Satz 86 prim zu der Diskriminante von $k_{2}$. Es sei $\theta$ eine den Körper $k_{1}$ bestimmende Zahl; dieselbe genügt einer irreduziblen Gleichung $m_{1}$-ten Grades mit ganzen rationalen Koeffizienten.
Wäre nun der aus $k_{1}$ und $k_{2}$ zusammengesetzte Körper von niederem als dem $\left(m_{1}m_{2}\right)$-ten Grade, so müßte diese Gleichung im Rationalitätsbereich $k_{2}$ reduzibel werden, d. h. die Zahl $\theta$ würde dann einer Gleichung von der Gestalt
* $\theta ^{r}+\alpha _{1}\theta ^{r-1}+\cdots +\alpha _{r}=0$
genügen, deren Grad $r<m_{1}$ ist und deren Koeffizienten $\alpha _{1},\,\dots ,\,\alpha _{r}$ Zahlen in $k_{2}$ sind. Der aus diesen Koeffizienten $\alpha _{1},\,\dots ,\,\alpha _{r}$ zusammengesetzte Zahlkörper werde $k$ genannt. Da $\alpha _{1},\,\dots ,\,\alpha _{r}$ sich durch die $r$ Wurzeln der obigen Gleichung rational ausdrücken lassen, so ist $k$ ein Unterkörper von $K_{1}$, und da $k$ auch zugleich ein Unterkörper von $k_{2}$ ist, so müßte die Diskriminante von $k$ nach Satz 39 sowohl in der Diskriminante von $k_{1}$ als auch in derjenigen von $k_{2}$ als Faktor enthalten sein; hieraus würde für die Diskriminante dieses Körpers $k$ der Wert 1 folgen, und dieser Umstand widerspricht dem Satze 44.
Wir heben noch folgende Tatsachen hervor, deren Richtigkeit nunmehr leicht erkannt wird:
Satz 88. Wenn $k_{1}$, $k_{2}$, zwei Körper bezüglich von den Graden $m_{1}$, $m_{2}$ und mit den zueinander primen Diskriminanten $d_{1}$‚ $d_{2}$ sind, so ist die Diskriminante des zusammengesetzten Körpers $K$ gleich $d_{1}^{m_{2}}d_{2}^{m_{1}}$. Die $m_{1}m_{2}$ Zahlen einer Basis des Körpers $K$ erhält man, wenn man jede der $m_{1}$ Basiszahlen des Körpers $k_{1}$ mit jeder der $m_{2}$ Basiszahlen des Körpers $k_{2}$ multipliziert. Ist $p$ eine rationale Primzahl, welche in $k_{1}$ die Zerlegung $p={\mathfrak {p}}_{1}^{e_{1}}\ldots {\mathfrak {p}}_{r}^{e_{r}}$ und in $k_{2}$ die Zerlegung $p={\mathfrak {q}}_{1}\ldots {\mathfrak {q}}_{s}$ erfährt, wo ${\mathfrak {p}}_{1}$, …, ${\mathfrak {p}}_{r}$ und ${\mathfrak {q}}_{1}$, …‚ ${\mathfrak {q}}_{s}$ voneinander verschiedene Primideale bez. in den Körpern $k_{1}$ und $k_{2}$ bedeuten, so gilt in $K$ die Zerlegung $p=\prod \limits _{i,l}{\mathfrak {I}}_{il}^{e_{i}}$, wo das Produkt über $i=1$, …,$r$ und $l=1$, …, $s$ zu erstrecken ist und ${\mathfrak {I}}_{il}$ dasjenige Ideal in $K$ bedeutet, welches als der größte gemeinsame Teiler der beiden Ideale ${\mathfrak {p}}_{i}$ und ${\mathfrak {q}}_{l}$ definiert ist. Die Ideale ${\mathfrak {I}}_{il}$ sind nicht notwendig Primideale in $K$.
Werden zwei Körper $k_{1}$, $k_{2}$ mit beliebigen Diskriminanten zugrunde gelegt, so ist die Beantwortung der entsprechenden Fragen nur unter beschränkenden Annahmen über die Natur der zu zerlegenden Primzahlen einfach [Hensel (3)].
Die bisher in Kapitel 10—13 dargelegten Resultate scheinen mir die wichtigsten Grundzüge einer Theorie der Ideale und Diskriminanten des Galoisschen Körpers zu enthalten. Die befolgten Methoden gestatten noch nach mannigfachen Richtungen eine allgemeinere Ausführung; insbesondere gilt eine Reihe der in §§ 39—44 bewiesenen Sätze ohne wesentliche Änderung für relativ Galoissche Körper [Dedekind (8)].
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* ↑ [358] Über Gattungen, welche durch Komposition aus zwei anderen Gattungen entstehen. J. Math. 105 (1889).
* ↑ [356] Zur Theorie der Ideale. Nachr. K. Ges. Wiss. Göttingen 1894.

## Anmerkungen (Wikisource)

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