# Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 101.

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Wir wollen für die Wirkung der sämmtlichen Theilchen $\varepsilon '\,$ auf das eine Theilchen $\varepsilon \,$ das Potential auch nach Weber’s Theorie herstellen.
Zunächst ist wieder
| (1) | $S=\varepsilon V.$ |
Diese Function genügt der Gleichung von Laplace. Zur Abkürzung möge für irgend eine Function $F\,$ die Summe der drei Derivirten
* ${\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial z^{2}}}=\Delta _{2}F$
gesetzt werden. Bei dieser Bezeichnung haben wir also
| (2) | $\Delta _{2}S=0.\,$ |
Die Function $D\,$ ist jetzt aus Gleichung (2$^a$) des vorigen Paragraphen zu nehmen. Es ist nun aber
* $r^{2}=(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}+(z-z_{1})^{2},\,$
folglich
* ${\frac {dr}{dt}}={\frac {(x-x_{1})}{r}}\left({\frac {dx}{dt}}-{\frac {dx_{1}}{dt}}\right)+{\frac {(y-y_{1})}{r}}\left({\frac {dy}{dt}}-{\frac {dy_{1}}{dt}}\right)+{\frac {(z-z_{1})}{r}}\left({\frac {dz}{dt}}-{\frac {dz_{1}}{dt}}\right).\,$
Setzen wir dies in den Ausdruck für $D\,$ ein, so ergibt sich
| (3) | $D={\frac {\varepsilon }{c^{2}}}\sum {\frac {\varepsilon '}{r^{3}}}{\Bigg \lbrace }(x-x_{1})\left({\frac {dx}{dt}}-{\frac {dx_{1}}{dt}}\right)+(y-y_{1})\left({\frac {dy}{dt}}-{\frac {dy_{1}}{dt}}\right)+(z-z_{1})\left({\frac {dz}{dt}}-{\frac {dz_{1}}{dt}}\right){\Bigg \rbrace }^{2}.\,$ |
Diese Function genügt, insofern sie von $x,\,y,\,z$ abhängig ist, nicht der Gleichung von Laplace, sondern der complicirteren Differentialgleichung
| (4) | $\Delta _{2}\Delta _{2}D=0.\,$ |
|[331]Um das zu beweisen, setzen wir
* ${\frac {1}{r^{3}}}\left\lbrace (x-x_{1})\left({\frac {dx}{dt}}-{\frac {dx_{1}}{dt}}\right)+(y-y_{1})\left({\frac {dy}{dt}}-{\frac {dy_{1}}{dt}}\right)+(z-z_{1})\left({\frac {dz}{dt}}-{\frac {dz_{1}}{dt}}\right)\right\rbrace =G,$
* $(x-x_{1})\left({\frac {dx}{dt}}-{\frac {dx_{1}}{dt}}\right)+(y-y_{2})\left({\frac {dy}{dt}}-{\frac {dy_{1}}{dt}}\right)+(z-z_{1})\left({\frac {dz}{dt}}-{\frac {dz_{1}}{dt}}\right)=H.$
Die einzelnen Summanden in $D\!$ sind dann, abgesehen von constanten Factoren, von der Form
* $G\cdot H.\!$
Es ist aber
* ${\begin{aligned}\Delta _{2}(GH)&=G\Delta _{2}H+H\Delta _{2}G\!\\&+2\left({\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial H}{\partial x}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial H}{\partial y}}+{\frac {\partial G}{\partial z}}{\frac {\partial H}{\partial z}}\right),\\\end{aligned}}$
und es lässt sich durch Differentiation leicht beweisen, dass
* $\Delta _{2}\,G=0,$
* $\Delta _{2}\,H=0.$
Folglich erhalten wir einfacher
* $\Delta _{2}(GH)=2\left({\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial H}{\partial x}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial H}{\partial y}}+{\frac {\partial G}{\partial z}}{\frac {\partial H}{\partial z}}\right).$
Die Factoren ${\frac {\partial H}{\partial x}},{\frac {\partial H}{\partial y}},{\frac {\partial H}{\partial z}}$ sind von $x,\,y,\,z$ unabhängig. Es wird also
* $\Delta _{2}\,\Delta _{2}(GH)=2\left({\frac {\partial H}{\partial x}}{\frac {\partial \Delta _{2}\,G}{\partial x}}+{\frac {\partial H}{\partial y}}{\frac {\partial \Delta _{2}\,G}{\partial y}}+{\frac {\partial H}{\partial z}}{\frac {\partial \Delta _{2}\,G}{\partial z}}\right)$
und dies ist gleich Null, da $\Delta _{2}G=0\!$ ist. Damit ist auch die Gleichung (4) bewiesen.
Weber’s Hypothese führt also bei dem vorliegenden Problem auf eine complicirtere Differentialgleichung.