# Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 111.

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Wir wollen den Punkt $(a,\,\theta ,\,\varphi )\,$ der Erdoberfläche zum Anfangspunkte eines rechtwinkligen Coordinatensystems $(\xi ,\ \eta ,\ \zeta )\,$ machen. Die Axe der positiven $\xi \,$ soll tangential am Meridian nach Norden, die Axe der positiven $\eta \,$ tangential am Parallelkreis nach Westen und die Axe der positiven $\zeta \,$ vertical nach unten gerichtet sein. Bezeichnen wir mit $\Xi ,\ \mathrm {H} ,\ \mathrm {Z} \,$ die Componenten der auf die positive Einheit des Magnetismus im Punkte $(a,\,\theta ,\,\varphi )\,$ einwirkenden erdmagnetischen Kraft, so hat man
| (1) | $\Xi =-\left({\frac {\partial V}{a\partial \theta }}\right)_{r=a}={\frac {\partial Q_{1}}{\partial \theta }}+{\frac {\partial Q_{2}}{\partial \theta }}+\ldots +{\frac {\partial Q_{n}}{\partial \theta }}+\ldots ,\,$ |
| (2) | $\mathrm {H} =-\left({\frac {\partial V}{a\sin \theta \partial \varphi }}\right)_{r=a}={\frac {\partial Q_{1}}{\sin \theta \partial \varphi }}+\ {\frac {\partial Q_{2}}{\sin \theta \partial \varphi }}+\ \ldots +{\frac {\partial Q_{n}}{\sin \theta \partial \varphi }}+\ldots ,\,$ |
| (3) | $\mathrm {Z} =-\left({\frac {\partial V}{\partial r}}\right)_{r=a+0}=-2Q_{1}-3Q_{2}-\ldots -(n+1)Q_{n}-\ldots .\,$ |
Diese Gleichungen können dazu dienen, für jeden Punkt der Erdoberfläche die Componenten der erdmagnetischen Kraft zu |[358]berechnen, wenn die Potentialfunction bekannt ist. Hat man dagegen umgekehrt an einer gewissen Anzahl von Orten der Erdoberfläche die drei Componenten der erdmagnetischen Kraft durch Beobachtung gefunden, und will man sich dazu entschliessen, die Entwicklungen (6), (7), (8) des §. 107 mit dem $Q_{n}\,$ enthaltenden Gliede abzubrechen, so können die Gleichungen (1), (2), (3) direct dazu dienen, die unbekannten Coefficienten, die in den Functionen $Q\,$ auftreten, zu berechnen. Beachtet man, dass $Q_{0}=0\,$ ist, so sind für $Q_{1},\,Q_{2},\,Q_{3},\ldots Q_{n}\,$zusammen $n^{2}+2n\,$ Coefficienten zu bestimmen. Die Anzahl der Gleichungen (1), (2), (3) ist dreimal so gross wie die Anzahl der Beobachtungsorte. In diesen Gleichungen sind die linken Seiten bekannt und es treten rechts jene $n^{2}+2n\,$ Coefficienten als Unbekannte auf. Zu ihrer Bestimmung sind also die vollständigen Beobachtungen an ${\frac {n^{2}+2n}{3}}\,$ Orten nothwendig und hinreichend, und man hat$n\,$ so zu wählen, dass entweder $n\,$ oder $n+2\,$ durch 3 theilbar ist. Gauss hat $n=4\,$ genommen. Dann handelt es sich um $3+5+7+9=24\,$ unbekannte Coefficienten, zu deren Bestimmung also (rein theoretisch genommen) die vollständigen Beobachtungen an 8 verschiedenen Orten der Erdoberfläche nothwendig und hinreichend sind. Es wird dabei vorausgesetzt, dass diese Beobachtungen frei von Beobachtungsfehlern sind, und dass keine zufälligen Störungen Einfluss geübt haben. Da diese Voraussetzung in Wirklichkeit nicht erfüllt ist, so hat man vollständige Beobachtungen an einer erheblich grösseren Anzahl von Orten nöthig. Ein zweckmässiges Verfahren zur Verwerthung dieser Beobachtungen hat Gauss im 23. Artikel seiner allgemeinen Theorie des Erdmagnetismus angegeben.
Ausser der eben genannten Abhandlung von Gauss ist noch zu citiren der übrige Inhalt der „Resultate aus den Beobachtungen des magnetischen Vereins", sowie die „Intensitas vis magneticae terrestris ad mensuram absolutam revocata, auctore Carolo Friderico Gauss." (Commentationes societatis regiae Gotting. recentiores. Vol. VIII. Gottingae 1841. — Gauss’ Werke Bd. 5. Göttingen 1867.)