# Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 104.

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Der Ausdruck (12) des §. 96 ist von uns so interpretirt worden, dass der von den Geschwindigkeiten abhängige Theil des Gesammtpotentials zwei geschlossener Ströme auf einander sich durch Summirung aus lauter Einzelpotentialen zusammensetzt. Das Einzel- |[334]potential bezieht sich überhaupt auf zwei elektrische Theilchen $\varepsilon \,$ und $\varepsilon '\,$. Handelt es sich um das Potential $D_{1}\,$ zweier Ströme auf einander, so hat man jedes Theilchen $\varepsilon \,$ des einen Stromes mit jedem Theilchen $\varepsilon '\,$ des anderen Stromes zusammenzufassen, für jede solche Zusammenstellung das Einzelpotential zu bilden und alle Einzelpotentiale zu summiren. So kömmt aus §. 96 (13) der Ausdruck für $D_{1}\,$ in Gleichung (12) desselben Paragraphen richtig zu Stande, und ehenso aus (II) der Ausdruck für $D_{1}\,$ in Gleichung (5) des §. 98.
Soll nun aus dem Fundamentalgesetze Weber’s
| (1) | $S+D=-{\frac {\varepsilon \varepsilon '}{r}}{\bigg \lbrace }1-{\frac {1}{c^{2}}}\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}{\bigg \rbrace }$ |
oder aus dem Fundamentalgesetze Riemann’s
| (2) | $S+D=-{\frac {\varepsilon \varepsilon '}{r}}+{\frac {\varepsilon \varepsilon '}{c^{2}r}}{\bigg \lbrace }\left({\frac {dx}{dt}}-{\frac {dx_{1}}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}-{\frac {dy_{1}}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}-{\frac {dz_{1}}{dt}}\right)^{2}{\bigg \rbrace }$ |
die gesammte Wechselwirkung aller elektrischen Theilchen berechnet werden, welche überhaupt in zwei geschlossenen Leitern in Ruhe und in Strömung begriffen sind, so hat man für jede Combination von zwei verschiedenen Theilchen $\varepsilon \,$ und $\varepsilon '\,$ den Ausdruck (1) resp. (2) herzustellen und zu summiren.
Hier sind dreierlei Combinationen zu unterscheiden, nemlich zwei ruhende Theilchen, ein ruhendes und ein bewegtes Theilchen und endlich zwei bewegte Theilchen.
Wir wollen den besonderen Fall von zwei geschlossenen constanten Strömen betrachten, um zu untersuchen, ob Weber’s Grundgesetz, resp. Riemann’s Grundgesetz mit Ampère’s Gesetze im Einklang stehen oder nicht. Bei Ampère handelt es sich um die elektrodynamische Wechselwirkung zwischen zwei Stromelementen, von denen das eine dem ersten, das andere dem zweiten Strome angehört. Es kommen also hier nur die Wechselwirkungen zwischen den bewegten elektrischen Theilchen der beiden constanten Ströme in Betracht.
Nun lässt sich zunächst beweisen, dass der von $S\,$ herrührende Beitrag zu dem Gesammtpotential der bewegten elektrischen Theilchen gleich Null ist. Denn wir können mit einem einzelnen Theilchen $\varepsilon \,$ zunächst alle anderen Theilchen $\varepsilon '\,$ in Combiimtion bringen. Dann tritt $\varepsilon \,$ aus dem Summenzeichen heraus, und es ist die |[335]Summirung $\sum {\frac {\varepsilon '}{r}}\,$ über alle von $\varepsilon \,$ verschiedenen Theilchen $\varepsilon '\,$ auszudehnen. Nehmen wir zunächst die Summirung über ein Stromelement vor, so kann auch ${\frac {1}{r}}\,$ vor das Summenzeichen gebracht werden. Für beharrliche (hier: constante) Ströme ist aber $\sum \varepsilon '=0\,$ in jedem Stromelemente. Alle Beiträge zu der zu bildenden Summe sind also Null. Dies gilt für die Zusammenstellung jedes einzelnen Theilchens $\varepsilon \,$ mit den davon verschiedenen Theilchen $\varepsilon '\,$. Folglich ist hier
| (3) | $-\sum {\frac {\varepsilon \varepsilon '}{r}}=0.$ |
Es bleibt nur noch die Summe aller Werthe von $D\,$ übrig für die Combinationen von je zwei bewegten Theilchen. Diese Combinationen zerfallen in drei Gruppen, nemlich:
erstens: je ein Theilchen des ersten Stromes mit je einem Theilchen des zweiten Stromes;
zweitens: je zwei Theilchen des ersten Stromes;
drittens: je zwei Theilchen des zweiten Stromes.
Diese Gruppen liefern der Reihe nach die Potentiale, welche in §. 96 mit $D_{1}\,,D_{2}\,,D_{3}$ bezeichnet sind.
Für constante Ströme sind $D_{2}\,$ und $D_{3}\,$ constant. Gehen wir von (1) aus, so ist
| (4) | $D_{2}={\frac {1}{c^{2}}}\sum {\frac {\varepsilon \varepsilon '}{r}}\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2},$ |
wenn die Summirung über alle Combinationen von Theilchen des ersten Stromes ausgedehnt wird.
Da der Leiter von unveränderlicher Gestalt vorausgesetzt wird, so dürfen wir ein mit demselben fest verbundenes Coordinatensystem $x,\,y,\,z$ zu Grunde legen. Dann ist bei einem constanten Strome die Function
* ${\frac {\varepsilon \varepsilon '}{r}}\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}$
nur abhängig von $x,\,y,\,z$ einerseits und $x_{1},\,y_{1},\,z_{1}$ andererseits. Nimmt man zunächst ein einzelnes $\varepsilon \,$ und summirt über alle $\varepsilon '\,$, so ist die Summe eine Function einzig und allein von $x,\,y,\,z$ d. h. von den Coordinaten jenes Theilchens $\varepsilon \,$. Bildet man aber diese Summe für jede Werthen-Combination $x,\,y,\,z$ die überhaupt zu |[336]Punkten im Innern des Leiters gehört und fasst alle diese Summen durch Addition zusammen, so ist das Resultat constant.
Dasselbe gilt von der Summe
| (5) | $D_{2}={\frac {1}{c^{2}}}\sum {\frac {\varepsilon \,\varepsilon '}{r}}\!\left\lbrace \!\!\left({\frac {dx}{dt}}-{\frac {dx_{1}}{dt}}\right)^{2}\!\!\!+\!\!\left({\frac {dy}{dt}}-{\frac {dy_{1}}{dt}}\right)^{2}\!\!\!+\!\!\left({\frac {dz}{dt}}-{\frac {dz_{1}}{dt}}\right)^{2}\right\rbrace ,\,$ |
wenn sie über alle Combinationen von Theilchen des ersten Stromes erstreckt wird.
Ebenso beweisen wir, dass bei constanten Strömen $D_{3}\,$ constant ist.
Bei constanten Strömen ist also die von den bewegten elektrischen Theilchen geleistete Gesammtarbeit gleich der Aenderung von $D_{1}\,$ allein. Danach zeigt sich, dass Weber’s und Riemann’s Grundgesetze mit Ampère’s Gesetze im Einklang stehen. Denn Ampère’s Gesetz bezieht sich auf constante Ströme. Ampère hat bei seinen Beobachtungen die Gleichgewichtslage beweglicher Stromleiter abgewartet, die von constanten Strömen durchflossen waren. Aus diesen Beobachtungen hat er sein Gesetz abstrahirt. Da wir nun Ampère’s Gesetz aus $D_{1}\,$ abgeleitet haben, und der Ausdruck für $D_{1}\,$ aus Weber’s und auch aus Riemann’s Grundgesetze sich herstellen lässt, so ist jener Einklang in der That nachgewiesen. |[337]
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