# Die elektrischen Kräfte/Zusammenstellung:§11

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des andern Drahtes. Sind z. B. $a,b,c,....\,$ irgend welche auf dem einen Draht eingravirte Marken, und $\alpha ,\beta ,\gamma ,....\,$irgend welche auf dem andern Drahte eingravirte Marken, so wird jener Berührungspunct im ersten Augenblick etwa dargestellt sein können durch die Superposition $(a,\alpha ),\,$ im zweiten durch $(b,\beta ),\,$ im dritten durch $(c,\gamma ),\,$ u. s. w. Ein solcher von Augenblick zu Augen­blick sich verändernder Berührungspunct wird bekanntlich Gleit­punkt oder Gleitstelle genannt. Die gegenseitige Berührung mag unter einem gewissen Druck stattfinden, so dass die beiden Drähte durch die Berührungs- oder Gleitstelle elektrisch leitend mit einander verbunden sind.
Als Bahn eines elektrischen Stromes sei nun gegeben ein Ring $A,\,$ welcher gebildet ist aus beliebig vielen, in beliebigen Bewegungen begriffenen Drahtstücken
| $(57.)\,$ | $A',A'',A''',\ {\text{etc. etc. etc.}};\,$ |
der Art, dass je zwei aufeinander folgende Drahtstücke unter irgend welchem Winkel übereinander liegen, leitend mit einander verbunden durch ihren Berührungs- oder Gleitpunct. Für irgend einen Zeit­augenblick $t\,$ sei dieser Ring $A\,$ angedeutet durch das Schema:
| $(58.)\,$ | $p'{\frac {A'}{\quad \quad \quad \quad }}q',p''{\frac {A''}{\quad \quad \quad \quad }}q'',p'''{\frac {A'''}{\quad \quad \quad \quad }}q''',\ {\text{etc. etc. etc.}}\,$ |
Es sollen nämlich $q'\,$ und $p''\,$ diejenigen Puncte von $A'\,$ und $A''\,$ vor­stellen, welche augenblicklich mit einander in Berührung sind; ana­loge Bedeutung sollen $q''\,$ und $p'''\,$ besitzen für $A''\,$ und $A''';\,$ u. s. w.
Die Coordinaten $x,y,z\,$ irgend eines Punctes $a\,$ des Ringes $A\,$ könnte man versucht sein, ähnlich wie früher (pag. 50), als Functionen der Bogenlänge und Zeit anzudeuten durch die Formeln:
| $(59.)\,$ | ${\begin{aligned}x&=\lambda \ (s,\tau ),\\y&=\mu \ (s,\tau ),\\z&=\nu \ (s,\tau ),\end{aligned}}\,$ |
$t,\,$
$\tau \,$
$A\,$
$A',A'',A''',....\,$
$x,y,z\,$
$a,\,$
$A'\,$
$A''\,$
* ${\begin{aligned}&{\text{im erstern Falle durch:}}\\x&=\lambda '\ (s',\tau '),\\y&=\mu '\ (s',\tau '),\\z&=\nu '\ (s',\tau '),\end{aligned}}\quad \quad {\begin{aligned}&{\text{im letztern Falle durch:}}\\x&=\lambda ''\ (s'',\tau ''),\\y&=\mu ''\ (s'',\tau ''),\\z&=\nu ''\ (s'',\tau ''),\end{aligned}}\,$
Es ist klar, dass die Functionen $\lambda ',\mu ',\nu '\,$ und $\lambda '',\mu '',\nu ''\,$ von einander ver­schieden sind, schon deswegen, weil $A'\,$ und $A''\,$ verschiedene Bewegun­gen besitzen. Auch die Bogenlängen $s'\,$ und $s''\,$ sind von verschiedenem Charakter, insofern als $s'\,$ von einer auf $A',\,$ andererseits $s''\,$ von einer auf $A''\,$ eingravirten Marke aus gerechnet wird. Endlich ist der Sym­metrie willen auch die Zeit $\tau ,\,$ jenachdem sie in den einen oder an­dern Formeln vorkommt, verschieden benannt worden, mit $\tau '\,$ oder $\tau ''.\,$
Die auf $A',A'',A''',\ldots \,$ gemessenen Bogenlängen $s',s'',s''',\ldots \,$ mögen sämmtlich in einerlei Richtung gerechnet sein, und zwar in derjenigen, welche indicirt ist durch die Aufeinanderfolge $A',A'',A''',\ldots .\,$
Solches explicirt, können übrigens die für den Ring $A\,$ aufgestell­ten Formeln (59.A) beibehalten werden; sie werden anzusehen sein als die Collectivdarstellung derjenigen individuellen Formeln, welche den einzelnen Theilen des Rings zugehören.
Ausser dem Ringe $A\,$ sei nun an irgend welcher andern Stelle des Raumes gegeben noch ein zweiter Ring $B,\,$ der ebenfalls in Bewegung begriffen, und ebenfalls mit beliebig vielen Gleitstellen behaftet ist. Die einzelnen Theile von $B\,$ mögen benannt sein mit $B',B'',B''',\ldots ;\,$ überhaupt mögen für denselben ganz analoge Bezeichnungen einge­führt sein, wie für $A.\,$Es seien $x_{1},y_{1},z_{1}\,$ die Coordinaten irgend eines Punctes $b\,$ des Ringes $B;\,$ und die Abhängigkeit dieser Coordinaten von Bogenlänge und Zeit mag in collectiver Darstellung an­gedeutet sein durch die Formeln:
| $(59.B)\,$ | ${\begin{aligned}x_{1}&=\Lambda \ (s_{1},\tau _{1}),\\y_{1}&=\mathrm {M} \ (s_{1},\tau _{1}),\\z_{1}&=\mathrm {N} \ (s_{1},\tau _{1}),\end{aligned}}\,$ |
Diese Collectivdarstellungen (59.A) und (59.B) sind alsdann ent­sprechend unsern früheren Darstellungen (pag. 50); nur ist der da­malige Index $0,\,$ der Bequemlichkeit willen, unterdrückt worden.
Die Entfernung $r\,$ zwischen irgend zwei Puncten $a\,$ und $b\,$ der Ringe $A\,$ und $B\,$ ist, auf Grund der Formeln (59.A, B), eine Function von $s,\tau ,s_{1},\tau _{1}:\,$
| $(60.)\,$ | $r=f(s,\tau ,s_{1},\tau _{1}).\,$ |
Um die partiellen Ableitungen dieser Function nach den beiden ersten Argumenten $s,\tau \,$ zu bilden, mag der Punct $b\,$ festgehalten werden; so dass die Function sich reducirt auf:
| $(61.)\,$ | $r=f(s,\tau )\,$ |
Nimmt man für $a\,$ den augenblicklichen Berührungspunct $(q',p'')\,$ der Theile $A',A''\,$ [vergl. (58.)], so wird der Werth von $r\,$ sich nach Be­lieben darstellen lassen
* ${\text{durch:}}\quad \quad {\text{oder durch:}}\,$
| $(62.)\,$ | $r=f'\ (s',\tau '),\quad \quad r=f''\ (s'',\tau '').\,$ |
Diese Formeln mögen sich beziehen speciell auf den Augenblick $t,\,$ so dass also $\tau '=\tau ''=t\,$ ist, und andererseits unter $q'\,$ und $p''\,$ diejenigen speciellen Puncte von $A'\,$ und $A''\,$ zu verstehen sind, welche in diesem Augenblick $t\,$ mit einander in Berührung sind.
Analoge Formeln ergeben sich offenbar für diejenigen speciellen Punkte $Q'\,$ und $P''\,$ der Theile $A'\,$ und $A'',\,$ welche mit einander in Be­rührung sind im nächstfolgenden Zeitaugenblick $t+dt;\,$ man erhält nämlich für die Entfernung $r+dr,\,$ welche dieser Berührungspunct $(Q',P'')\,$ zur Zeit $t+dt\,$ von jenem festgehaltenen Puncte $b\,$ besitzt, die beiderlei Darstellungen:
| $(63.)\,$ | $r+dr=f'\ (s'+ds',\tau '+dt),\quad r+dr=f''\ (s''+ds'',\tau ''+dt).\,$ |
In diesen Formeln (62.), (63.) sind alsdann unter $s'\,$ und $s'+ds'\,$ die auf $A'\,$ gemessenen Bogenlängen von $q'\,$ und $Q',\,$ andererseits unter $s''\,$ und $s''+ds''\,$ die auf $A''\,$ gemessenen Bogenlängen von $p''\,$ und $P''\,$ zu verstehen. Zur Erläuterung diene die beistehende auf den Augenblick $t\,$ sich beziehende Figur, in welcher die auf $A'\,$ und $A''\,$ angebrachten
Marken, von denen aus die Bogenlängen $s',s'+ds'\,$ und $s'',s''+ds''\,$ gezählt werden, bezeichnet worden sind mit $m'\,$ und $m''.\,$
Aus den Formeln (62.), (63.) folgt sofort:
| $(64.)\,$ | $dr={\frac {\partial r}{\partial s'}}ds'+{\frac {\partial r}{\partial \tau '}}dt,\quad dr={\frac {\partial r}{\partial s''}}ds''+{\frac {\partial r}{\partial \tau ''}}dt;\,$ |
und hieraus folgt weiter:
| $(65.)\,$ | ${\frac {\partial r}{\partial s'}}ds'+{\frac {\partial r}{\partial \tau '}}dt={\frac {\partial r}{\partial s''}}ds''+{\frac {\partial r}{\partial \tau ''}}dt.\,$ |
In gleicher Weise, wie $r\,$ selber, kann offenbar eine beliebig gegebene Function $F=F(r)\,$ behandelt werden; man erhält alsdann die ana­loge Formel:
| $(66.)\,$ | ${\frac {\partial F}{\partial s'}}ds'+{\frac {\partial F}{\partial \tau '}}dt={\frac {\partial F}{\partial s''}}ds''+{\frac {\partial F}{\partial \tau ''}}dt.\,$ |
Hier, ebenso wie in (63.), (64.), (65.), kann (vergl. die Figur) $ds'\,$ dasjenige Element von $A'\,$ genannt werden, welches während der Zeit $dt\,$ in den Ring neu eintritt, andererseits aber $ds''\,$ als dasjenige Ele­ment von $A''\,$ bezeichnet werden, welches während dieser Zeit aus dem Ringe ausscheidet. Doch ist diese Bemerkung eigentlich nur dann richtig, wenn die Grössen $ds'\,$ und $ds''\,$ (wie in der Figur der Fall) positive Werthe haben.
Strenge genommen wird zu sagen sein, dass $ds'\,$ entweder die mit $(+1)\,$ multiplicirte Länge eines eintretenden, oder die $(-1)\,$ multiplicirte Länge eines ausscheidenden Elementes vor­stellt, und umgekehrtes stattfindet bei $ds''.\,$ Solches mag angedeutet sein durch die Formeln:
| $(67.)\,$ | $ds'=\left\lbrace {\begin{aligned}+\varepsilon ',\\-\alpha ',\end{aligned}}\right.\quad {\text{und}}\quad ds''=\left\lbrace {\begin{aligned}+\alpha '',\\-\varepsilon '',\end{aligned}}\right.\,$ |
wo nämlich die Längen (d.i. die absoluten Werthe) der eintretenden und ausscheidenden Elemente bezeichnet gedacht werden sollen respective mit $\varepsilon \,$ und $\alpha .\,$
Es sind nun zunächst gewisse Betrachtungen und Formeln zu entwickeln, welche nicht nur hier, sondern auch späterhin von Nutzen sein werden. Es seien
    $a\,$ und $b\,$ irgend zwei Puncte der Ringe $A\,$ und $B;\,$
    $r\,$ ihre gegenseitige Entfernung;
    $F=F(r)\,$ und $G=G(r)\,$ beliebig gegebene, jedoch stetige Function von $r;\,$
    $x,y,z\,$ und $x_{1},y_{1},z_{1}\,$ die Coordinaten von $a\,$ und $b,\,$ dargestellt gedacht durch die Formeln (59.A) und (59.B);
    $u,v,w\,$ und $u_{1},v_{1},w_{1}\,$ die augenblicklichen Geschwindigkeiten von $a\,$ und $b;\,$
    $\mathrm {D} s\,$ und $\mathrm {D} s_{1}\,$ zwei bei $a\,$ und $b\,$ gelegene Elemente der beiden Ringe;
    $\mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\Gamma \,$ und $\mathrm {A} _{1},\mathrm {B} _{1},\Gamma _{1}\,$ die Richtungscosinus von $\mathrm {D} s\,$ und $\mathrm {D} s_{1};\,$
es sollen untersucht werden die Werthe der beiden Integrale:
| $(68.)\,$ | ${\begin{aligned}K&={\mathit {\Sigma }}\ {\frac {\partial }{\partial s}}\left({\frac {\partial G}{\partial s_{1}}}{\frac {\partial F}{\partial \tau }}\right)\mathrm {D} s,\\L&={\mathit {\Sigma }}\ {\frac {\partial }{\partial s}}\left({\frac {\partial G}{\partial s_{1}}}{\frac {\partial F}{\partial \tau _{1}}}\right)\mathrm {D} s,\end{aligned}}\,$ |
dieselben hinerstreckt gedacht über alle Elemente $\mathrm {D} s\,$ des Ringes $A.\,$
Den eingeführten Bezeichnungen (59.A, B) zufolge, ist
* ${\begin{aligned}&u={\frac {\partial x}{\partial \tau }},&v={\frac {\partial y}{\partial \tau }},&w={\frac {\partial z}{\partial \tau }},\quad \quad &u_{1}={\frac {\partial x_{1}}{\partial \tau _{1}}},&v_{1}={\frac {\partial y_{1}}{\partial \tau _{1}}},&w_{1}={\frac {\partial z_{1}}{\partial \tau _{1}}},\\\\&\mathrm {A} ={\frac {\partial x}{\partial s}},&\mathrm {B} ={\frac {\partial y}{\partial s}},&\Gamma ={\frac {\partial z}{\partial s}},\quad \quad &\mathrm {A} _{1}={\frac {\partial x_{1}}{\partial s_{1}}},&\mathrm {B} _{1}={\frac {\partial y_{1}}{\partial s_{1}}},&\Gamma _{1}={\frac {\partial z_{1}}{\partial s_{1}}}.\end{aligned}}\,$
Somit erhält man :
| $(\alpha .)\,$ | ${\frac {\partial F}{\partial \tau }}={\frac {\partial F}{\partial x}}u+{\frac {\partial F}{\partial y}}v+{\frac {\partial F}{\partial z}}w,\,$ |
| $(\beta .)\,$ | ${\frac {\partial F}{\partial \tau _{1}}}={\frac {\partial F}{\partial x_{1}}}u_{1}+{\frac {\partial F}{\partial y_{1}}}v_{1}+{\frac {\partial F}{\partial z_{1}}}w_{1},\,$ |
| $(\gamma .)\,$ | ${\frac {\partial G}{\partial s_{1}}}={\frac {\partial G}{\partial x_{1}}}\mathrm {A} _{1}+{\frac {\partial G}{\partial y_{1}}}\mathrm {B} _{1}+{\frac {\partial G}{\partial z_{1}}}\Gamma _{1}.\,$ |
Die Geschwindigkeiten $u,v,w\,$ sind im Allgemeinen discontinuirlich in den Gleitstellen von $A,\,$ z. B. verschieden für $q'\,$und $p''.\,$ Demgemäss ist der Ausdruck $(\alpha .)\,$ längs $A\,$ unstetig in jenen Gleitpuncten. Ebenso ist der Ausdruck $(\beta .)\,$ unstetig in den Gleitpuncten von $B,\,$ jedoch stetig längs $A.\,$ Endlich ist der Ausdruck $(\gamma .)\,$ unstetig in den Eckpuncten von $B\,$ (weil in diesen die Werthe der Richtungscosinus $\mathrm {A} _{1},\mathrm {B} _{1},\Gamma _{1}\,$ plötzliche Sprünge darbieten), hingegen stetig längs $A.\,$ — Hieraus folgt, dass von den beiden Producten
| $(\varkappa .)\,$ | ${\frac {\partial G}{\partial s_{1}}}{\frac {\partial F}{\partial \tau }},\,$ |
| $(\lambda .)\,$ | ${\frac {\partial G}{\partial s_{1}}}{\frac {\partial F}{\partial \tau _{1}}}\,$ |
ersteres $(\varkappa .)\,$ längs $A,\,$ mit Ausnahme der Gleitpuncte, stetig, letzteres $(\lambda .)\,$ hingegen längs $A\,$ überall stetig ist. Demgemäss ergiebt sich aus (68.) mit Rücksicht auf (58.):
| $(69.)\,$ | $K=\left[{\frac {\partial G}{\partial s_{1}}}{\frac {\partial F}{\partial \tau }}\right]_{p'}^{q'}+\left[{\frac {\partial G}{\partial s_{1}}}{\frac {\partial F}{\partial \tau }}\right]_{p''}^{q''}+\left[{\frac {\partial G}{\partial s_{1}}}{\frac {\partial F}{\partial \tau }}\right]_{p'''}^{q'''}+\cdots \cdot ,\,$ |
| $(70.)\,$ | $L=0.\,$ |
Der Werth von $K\,$ kann, etwas anders geordnet, auch so geschrieben werden:
* $K=\left[{\frac {\partial G}{\partial s_{1}}}{\frac {\partial F}{\partial \tau }}\right]_{p''}^{q'}+\left[{\frac {\partial G}{\partial s_{1}}}{\frac {\partial F}{\partial \tau }}\right]_{p'''}^{q''}+\cdots \cdot ,\,$
oder, mehr abgekürzt, auch so:
* $K={\mathit {\Sigma }}\ \left[{\frac {\partial G}{\partial s_{1}}}{\frac {\partial F}{\partial \tau }}\right]_{p''}^{q'},\,$
oder auch endlich so :
* $K={\mathit {\Sigma }}\ {\frac {\partial G}{\partial s_{1}}}\ \left[\left({\frac {\partial F}{\partial \tau }}\right)_{q'}-\left({\frac {\partial F}{\partial \tau }}\right)_{p''}\right];\,$
denn es ist zu beachten, dass ${\frac {\partial G}{\partial s_{1}}}\,$ längs $A\,$ überall stetig ist, mithin z. B. in $q',p''\,$ (58.) einerlei Werth hat. Selbstverständlich ist in diesen Formeln die Summation ${\mathit {\Sigma }}\,$ ausgedehnt zu denken über sämmtliche Gleitpuncte des Ringes $A;\,$ sodass sie aus eben so vielen einzelnen Gliedern besteht, als Gleitpuncte in $A\,$ vorhanden sind.
Es sei $t\,$ der betrachtete Zeitaugenblick, und $dt\,$ das nächstfolgende Zeitelement. Durch Multiplication mit $dt\,$ ergiebt sich:
* $Kdt={\mathit {\Sigma }}\ {\frac {\partial G}{\partial s_{1}}}\left[\left({\frac {\partial F}{\partial \tau }}dt\right)_{q'}-\left({\frac {\partial F}{\partial \tau }}dt\right)_{p''}\right];\,$
wofür, mit Benutzung der früher eingeführten specielleren Be­zeichnungen $\tau ',\tau '',\,$ auch geschrieben werden kann:
* $Kdt={\mathit {\Sigma }}\ {\frac {\partial G}{\partial s_{1}}}\left[\left({\frac {\partial F}{\partial \tau '}}dt\right)_{q'}-\left({\frac {\partial F}{\partial \tau ''}}dt\right)_{p''}\right];\,$
oder kürzer:
* $Kdt={\mathit {\Sigma }}\ {\frac {\partial G}{\partial s_{1}}}\left({\frac {\partial F}{\partial \tau _{1}}}dt-{\frac {\partial F}{\partial \tau ''}}dt\right),\,$
falls man nur in Gedanken festhält, dass die Summe lediglich aus Gliedern bestehen soll, welche den einzelnen Gleitpuncten von $A\,$ zugehören.
Nun ist aber nach (66.)
* ${\frac {\partial F}{\partial \tau '}}dt-{\frac {\partial F}{\partial \tau ''}}dt=-\left({\frac {\partial F}{\partial s'}}ds'-{\frac {\partial F}{\partial s''}}ds''\right).\,$
Somit folgt:
* $Kdt=-{\mathit {\Sigma }}\ {\frac {\partial G}{\partial s_{1}}}\left({\frac {\partial F}{\partial s'}}ds'-{\frac {\partial F}{\partial s''}}ds''\right),\,$
oder (was dasselbe):
| $(71.)\,$ | $Kdt=-{\mathit {\Sigma }}\ {\frac {\partial G}{\partial s_{1}}}\left({\frac {\partial F}{\partial s'}}ds'+{\frac {\partial F}{\partial s''}}(-ds'')\right).\,$ |
Nach (67.) ist:
* $ds'={\begin{cases}+\varepsilon ',\\-\alpha ',\end{cases}}\quad \quad {\text{und}}\quad \quad (-ds'')={\begin{cases}+\varepsilon '',\\-\alpha '',\end{cases}}\,$
dabei sind unter den Grössen $+\varepsilon \,$ die wirklichen Längen der eintretenden Elemente, andererseits unter den Grössen $-\alpha \,$ die mit $(-1)\,$ multiplicirten Längen der ausscheidenden Ele­mente zu verstehen. Fasst man nun diese beiderlei Grössen $+\varepsilon \,$ und $-\alpha \,$ zusammen unter der Collectivbezeichnung $\Delta s,\,$ so kann die Formel (71.) einfacher so dargestellt werden:
| $(72.)\,$ | $Kdt=-{\mathit {\Sigma }}\ {\frac {\partial G}{\partial s_{1}}}{\frac {\partial F}{\partial s}}\ \Delta s,\,$ |
die Summation ${\mathit {\Sigma }}\,$ ausgedehnt über sämmtliche $\Delta s\,$ des Ringes $A.\,$
Substituirt man in (72.) und (70.) für $K,L\,$ ihre eigentlichen Bedeutungen (68.), so erhält man:
| $(73.)\,$ | ${\begin{aligned}dt\cdot {\mathit {\Sigma }}\ {\frac {\partial }{\partial s}}\ \left({\frac {\partial G}{\partial s_{1}}}{\frac {\partial F}{\partial \tau }}\right)\ \mathrm {D} s&=-{\mathit {\Sigma }}\ {\frac {\partial G}{\partial s_{1}}}{\frac {\partial F}{\partial s}}\ \Delta s,\\dt\cdot {\mathit {\Sigma }}\ {\frac {\partial }{\partial s}}\ \left({\frac {\partial G}{\partial s_{1}}}{\frac {\partial F}{\partial \tau _{1}}}\right)\ \mathrm {D} s&=0.\end{aligned}}\,$ |
Ersetzen wir nun endlich die den Ringen $A\,$ und $B\,$ entsprechen­den Bezeichnungen:
* $A)\ x,y,z,s,\tau ,\quad \quad B)\ x_{1},y_{1},z_{1},s_{1},\tau _{1}\,$
durch diejenigen, deren wir uns in der Regel bedient haben, nämlich durch die Bezeichnungen:
* $A)\ x_{0},y_{0},z_{0},s_{0},\tau _{0},\quad \quad B)\ x_{1},y_{1},z_{1},s_{1},\tau _{1},\,$
so nehmen die Formeln (73.) folgende Gestalt an:
| $(74.p)\,$ | $dt\cdot {\mathit {\Sigma }}\ {\frac {\partial }{\partial s_{0}}}\ \left({\frac {\partial G}{\partial s_{1}}}{\frac {\partial F}{\partial \tau _{0}}}\right)\ \mathrm {D} s_{0}=-{\mathit {\Sigma }}\ {\frac {\partial G}{\partial s_{1}}}{\frac {\partial F}{\partial s_{0}}}\ \Delta s_{0},\,$ |
| $(74.q)\,$ | $dt\cdot {\mathit {\Sigma }}\ {\frac {\partial }{\partial s_{0}}}\ \left({\frac {\partial G}{\partial s_{1}}}{\frac {\partial F}{\partial \tau _{1}}}\right)\ \mathrm {D} s_{0}=0;\,$ |
und in analoger Weise werden wir offenbar, indem wir den Ringen $A\,$ und $B\,$ die umgekehrten Rollen zuertheilen, auch folgende Formeln erhalten:
| $(75.p)\,$ | $dt\cdot {\mathit {\Sigma }}\ {\frac {\partial }{\partial s_{1}}}\ \left({\frac {\partial G}{\partial s_{0}}}{\frac {\partial F}{\partial \tau _{1}}}\right)\ \mathrm {D} s_{1}=-{\mathit {\Sigma }}\ {\frac {\partial G}{\partial s_{0}}}{\frac {\partial F}{\partial s_{1}}}\ \Delta s_{1},\,$ |
| $(75.q)\,$ | $dt\cdot {\mathit {\Sigma }}\ {\frac {\partial }{\partial s_{1}}}\ \left({\frac {\partial G}{\partial s_{0}}}{\frac {\partial F}{\partial \tau _{0}}}\right)\ \mathrm {D} s_{1}=0.\,$ |
$A,B,\,$
schaffen die Functionen $F=F(r)\,$ und $G=G(r)\,$ auch sein mögen, falls nur dieselben stetig sind. Dabei sind unter den $\Delta s_{0}\,$ all’ diejenigen Elemente zu verstehen, welche während der Zeit $dt\,$ in den Ring $A\,$ eingetreten, oder aus demselben ausgeschieden sind, und zwar die wirklichen Län­gen der erstern, die mit $(-1)\,$ multiplicirten Längen der letztern; andererseits sind die $\Delta s_{1}\,$ von analoger Bedeutung für den Ring $B\,$.
Auch ist es für die Gültigkeit der Formeln einerlei, ob die ein­zelnen Theile der Ringe $A\,$ und $B\,$ von völlig starrer Beschaffenheit, oder im Laufe der Zeit irgend welchen Formveränderungen ausgesetzt sind; wie solches aus der Deduction der Formeln sofort erhellt.
Solches vorausgeschickt, gehen wir über zu unserem eigentlichen Gegenstande.
Sind $A\,$ und $B\,$ zwei in Bewegung begriffene biegsame Ringe, jeder durchflossen von einem gleichförmigen elektri­schen Strome, und ist $P\,$ das elektrodynamische Potential der beiden Ringe aufeinander, so wird die während der Zeit $dt\,$ vom Ringe $B\,$ auf den Ring $A\,$ ausgeübte ponderomotorische Arbeit eldy. Us, abgesehen vom Vorzeichen, immer gleich sein dem partiellen Zuwachs von $P,\,$ genommen nach der räumlichen Lage von $A.\,$
So lautete der in (52.d) gefundene Satz. Auch ging aus der damaligen Deduction deutlich hervor, dass der Satz für ungleich­förmige Ströme nicht mehr gültig ist. Hingegen lässt sich — und dies ist das Ziel der gegenwärtigen Untersuchung — darthun, dass derselbe, den Fall der Gleichförmigkeit vorausgesetzt, gültig bleibt, wenn die Stromringe mit Gleitstellen behaftet sind.
Sind solche Gleitstellen vorhanden, so wird zunächst die vom Ringe $B\,$ auf den Ring $A\,$ während der Zeit $dt\,$ ausgeübte ponderomotorisehe Arbeit eldy. Us, genau ebenso wie früher, in (47.), darstellbar sein durch:
| $(76.)\,$ | $(d{T_{A}}^{B})_{\text{eldy. Us}}=4A^{2}dt\cdot J_{0}J_{1}\ {\mathit {\Sigma \Sigma }}\ \mathrm {D} s_{0}\mathrm {D} s_{1}\cdot 2\ {\frac {\partial \psi }{\partial \tau _{0}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial s_{0}\ \partial s_{1}}},\,$ |
wo in Folge der vorausgesetzten Gleichförmigkeit $J_{0},J_{1}\,$ vor die Summenzeichen gesetzt sind; nun ist identisch:
| $(77.)\,$ | $2\ {\frac {\partial \psi }{\partial \tau _{0}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial s_{0}\ \partial s_{1}}}={\frac {\partial }{\partial s_{0}}}\left({\frac {\partial \psi }{\partial s_{1}}}{\frac {\partial \psi }{\partial \tau _{0}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial s_{1}}}\left({\frac {\partial \psi }{\partial s_{0}}}{\frac {\partial \psi }{\partial \tau _{0}}}\right)-{\frac {\partial }{\partial \tau _{0}}}\left({\frac {\partial \psi }{\partial s_{0}}}{\frac {\partial \psi }{\partial s_{1}}}\right);\,$ |
somit folgt:
| $(78.)\,$ | $(d{T_{A}}^{B})_{\text{eldy. Us}}=4A^{2}dt\cdot J_{0}J_{1}\ {\mathit {\Sigma \Sigma }}\ \mathrm {D} s_{0}\mathrm {D} s_{1}\left\lbrace {\frac {\partial }{\partial s_{0}}}\left({\frac {\partial \psi }{\partial s_{1}}}{\frac {\partial \psi }{\partial \tau _{0}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial s_{1}}}\left({\frac {\partial \psi }{\partial s_{0}}}{\frac {\partial \psi }{\partial \tau _{0}}}\right)-{\frac {\partial }{\partial \tau _{0}}}\left({\frac {\partial \psi }{\partial s_{0}}}{\frac {\partial \psi }{\partial s_{1}}}\right)\right\rbrace \,$ |
Um die Summation rechter Hand weiter behandeln zu können, ist zu bemerken, dass aus (74.p), (75.q) die Formeln sich ergeben:
* ${\begin{aligned}dt\cdot {\mathit {\Sigma }}\ \mathrm {D} s_{0}{\frac {\partial }{\partial s_{0}}}\left({\frac {\partial \psi }{\partial s_{1}}}{\frac {\partial \psi }{\partial \tau _{0}}}\right)&=-{\mathit {\Sigma }}\ {\frac {\partial \psi }{\partial s_{1}}}{\frac {\partial \psi }{\partial s_{0}}}\ \Delta s_{0},\\dt\cdot {\mathit {\Sigma }}\ \mathrm {D} s_{1}{\frac {\partial }{\partial s_{1}}}\left({\frac {\partial \psi }{\partial s_{0}}}{\frac {\partial \psi }{\partial \tau _{0}}}\right)&=0.\end{aligned}}\,$
Somit folgt aus (78.):
| $(79.)\,$ | $(d{T_{A}}^{B})_{\text{eldy. Us}}=4A^{2}J_{0}J_{1}\left[-{\mathit {\Sigma \Sigma }}\ \Delta s_{0}\ \mathrm {D} s_{1}{\frac {\partial \psi }{\partial s_{0}}}{\frac {\partial \psi }{\partial s_{1}}}-dt\cdot {\mathit {\Sigma \Sigma }}\ \mathrm {D} s_{0}\mathrm {D} s_{1}{\frac {\partial }{\partial \tau _{0}}}\left({\frac {\partial \psi }{\partial s_{0}}}{\frac {\partial \psi }{\partial s_{1}}}\right)\right]\,$ |
Von den Summationen ${\mathit {\Sigma \Sigma }}\,$ im ersten Gliede rechter Hand erstreckt sich hier die eine über all’ diejenigen Elemente $\mathrm {D} s_{1},\,$ welche im Zeit­augenblick $t\,$ dem Ringe $B\,$ angehören, die andere hingegen über die­jenigen einzelnen Elemente $\Delta s_{0},\,$ welche während der Zeit $dt\,$ in den Ring $A\,$ eintreten, oder aus demselben ausscheiden; und zwar ist unter $\Delta s_{0}\,$ bei jedem eintretenden Element die wirkliche Länge, bei jedem ausscheidenden hingegen die mit $(-1)\,$ multiplicirte Länge zu verstehen.
Andererseits ist nun derjenige Zuwachs ${\frac {\partial P}{\partial \tau _{0}}}dt\,$ zu untersuchen, welchen das elektrodynamische Potential der beiden Ringe aufeinander (55. a, b, c):
| $(80.)\,$ | $P=4A^{2}\ J_{0}J_{1}\cdot {\mathit {\Sigma \Sigma }}\ \mathrm {D} s_{0}\mathrm {D} s_{1}{\frac {\partial \psi }{\partial s_{0}}}{\frac {\partial \psi }{\partial s_{1}}}\,$ |
während der Zeit $dt\,$ erfahren würde, falls man die Stromstärken $J_{0},J_{1}\,$ und die räumliche Lage von $B\,$ constant erhalten, die räum­liche Lage von $A\,$ hingegen denjenigen Aenderungen überlassen wollte, welche sie während jener Zeit $dt\,$ in Wirklichkeit erleidet. Bezeichnet man die während der Zeit $dt\,$ in den Ring $A\,$ eintretenden und aus demselben ausscheidenden Elemente, ihren wirklichen Längen nach, für den Augenblick respective mit $\Delta ^{\epsilon }s_{0}\,$ und $\Delta ^{\alpha }s_{0},\,$ so findet man für den genannten Zuwachs sofort den Werth:
| $(81.)\,$ | ${\begin{aligned}{\frac {\partial P}{\partial \tau _{0}}}dt&=4A^{2}J_{0}J_{1}\cdot {\mathit {\Sigma \Sigma }}\ \mathrm {D} s_{0}\mathrm {D} s_{1}{\frac {\partial }{\partial \tau _{0}}}\left({\frac {\partial \psi }{\partial s_{0}}}{\frac {\partial \psi }{\partial s_{1}}}\right)\cdot dt\\&+4A^{2}J_{0}J_{1}\left[{\mathit {\Sigma \Sigma }}\ \Delta ^{\epsilon }s_{0}\ \mathrm {D} s_{1}{\frac {\partial \psi }{\partial s_{0}}}{\frac {\partial \psi }{\partial s_{1}}}-{\mathit {\Sigma \Sigma }}\ \Delta ^{\alpha }s_{0}\ \mathrm {D} s_{1}{\frac {\partial \psi }{\partial s_{0}}}{\frac {\partial \psi }{\partial s_{1}}}\right]\end{aligned}}\,$ |
Führt man also für $+\Delta ^{\epsilon }s_{0}\,$ und $-\Delta ^{\alpha }s_{0}\,$ wiederum die Collectivbezeichnung $\Delta s_{0}\,$ ein, so ergiebt sich:
| $(82.)\,$ | ${\frac {\partial P}{\partial \tau _{0}}}dt=4A^{2}\ J_{0}J_{1}\ \left[{\mathit {\Sigma \Sigma }}\ \Delta s_{0}\ \mathrm {D} s_{1}\ {\frac {\partial \psi }{\partial s_{0}}}{\frac {\partial \psi }{\partial s_{1}}}+dt\cdot {\mathit {\Sigma \Sigma }}\ \mathrm {D} s_{0}\ \mathrm {D} s_{1}{\frac {\partial }{\partial \tau _{0}}}\left({\frac {\partial \psi }{\partial s_{0}}}{\frac {\partial \psi }{\partial s_{1}}}\right)\right].\,$ |
Aus (79.) und (82.) folgt nun aber sofort:
| $(83.)\,$ | $(d{T_{A}}^{B})_{\text{eldy. Us}}=-{\frac {\partial P}{\partial \tau _{0}}}dt.\,$ |
Somit ist dargethan, dass der vorhin genannte Satz, und also auch sämmtliche Sätze (52.a, b, c, d, e, f, g), in ihrer Gültigkeit keinerlei Beeinträchtigung erleiden, wenn die Ringe $A\,$ und $B\,$ mit irgend welchen Gleitstellen behaftet sind, immer vorausgesetzt, dass die in den Ringen vor­handenen Ströme als gleichförmig angesehen werden dürfen. Es werden also z. B. die Formeln (52.f, g)
| $(84.)\,$ | $P=J_{0}J_{1}Q,\,$ |
| $(85.)\,$ | $(d{T_{A}}^{B}+d{T_{B}}^{A})_{\text{eldy. Us}}={\mathit {\Sigma \Sigma }}\ Rdr=-J_{0}J_{1}\ dQ\,$ |
gültig sein, einerlei ob die betrachteten Ringe ohne Gleit­stellen, oder mit solchen behaftet sind.
Alle Eigenschaften der Kräfte eldy. Us (mögen sie bekannt oder unbekannt sein) werden sich eintheilen lassen in Elementar- und Integral-Eigenschaften, jenachdem sie Bezug haben auf einzelne Stromelemente, oder auf Complexe solcher Elemente (z. B. auf ge­schlossene Ströme). Demgemäss ist das Ampère’sche Gesetz ein Elementargesetz genannt worden; und derselben Terminologie ent­sprechend, ist andererseits das in (52.a, b) enthaltene Resultat ein In­tegralgesetz zu nennen.
Genauer ausgedrückt wird übrigens jenes durch (52.a, b) ausge­sprochene Integralgesetz zu bezeichnen sein als das F. Neumann’sche Integralgesetz, in etwas erweiterter Gestalt. Denn in der That ist dasselbe nichts Anderes als eine leicht sich ergebende Verallgemeine­rung derjenigen Sätze, welche von meinem Vater aufgestellt worden sind speciell mit Bezug auf fortschreitende oder drehende Be­wegungen. Diese specielleren Satze sind bereits erwähnt, nämlich dargestellt durch, die in (53.) und (54.) angegebenen Formeln. Im folgenden §. soll in Kürze diejenige Methode dargelegt werden, deren mein Vater zur Ableitung dieser specielleren Sätze sich bedient hat.
* ↑ Für das Verständniss dieser Figur (namentlich der beigesetzten Buchstaben) dürfte ein Rückblick zu empfehlen sein auf das Schema (58.), dem entsprechend die Figur entworfen ist.
* ↑ Jedes Glied der Summen oder Integrale $K,L\,$ entspricht einer gewissen Linie $r,\,$ oder (was dasselbe ist) einem gewissen Punctpaar $a,b;\,$ und die Inte­gration wird also der Art auszuführen sein, dass $b\,$ fest liegen bleibt an irgend einer Stelle des Ringes $B,\,$ während $a\,$ längs des Ringes $A\,$ einmal herumläuft.
* ↑ Vergl. die auf pag. 45 citirte Abhandlung: Ueber ein allgemeines Princip der mathematischen Theorie inducirter elektrischer Ströme; daselbst die fünf letzten Seiten.