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# Schwere, Elektricität und Magnetismus:092

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
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| (4) | $\int d\sigma \left\{{\frac {\partial U}{\partial p}}\,(V_{+0}-V_{-0}-U\left[\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{+0}-\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{-0}\right]\right\}$ |
und dieses Integral ist über die Unstetigkeitsfläche zu erstrecken.
$t\!$
$s\!$
$t,\;\varphi \!$
letzte Querschnitt: $s=0,\;s=s_{1}$) bilden dann die Begrenzung des Raumes $T_{2}\!$, der bei Anwendung des Satzes von Green zunächst aus dem Integrationsgebiete auszuschliessen ist. Wir nehmen das Verhältniss $t:s_{1}\!$ unendlich klein, so dass der Inhalt der Endflächen gegen die cylindrische Mantelfläche vernachlässigt werden kann. Das Oberflächen-Integral ist dann nur über die letztere zu erstrecken. Für sie fällt die nach dem Innern des Raumes $T_{1}\!$ gerichtete Normale mit der Richtung der wachsenden $t\!$ zusammen. Es ist also hier
* ${\frac {\partial V}{\partial n}}={\frac {\partial V}{\partial t}},\quad {\frac {\partial U}{\partial n}}={\frac {\partial U}{\partial t}}.\,$
Auf der rechten Seite der Gleichung (3) ist demnach zu dem Oberflächen-Integral der Beitrag
* $\lim \int \limits _{0}^{s_{1}}ds\int \limits _{0}^{2\pi }t\left(V\,{\frac {\partial U}{\partial t}}-U\,{\frac {\partial V}{\partial t}}\right)\,d\varphi$ für $t=0\!$
hinzuzufügen. Wir haben im §. 17. gesehen, dass die Function $V\!$ in einer Linie unstetig wird, wenn über diese Linie eine endliche Masse vertheilt ist. Es ist dann
* $V=-2\rho \lg t+V_{1},\,$
* ${\frac {\partial V}{\partial t}}=-{\frac {2\rho }{t}}+{\frac {\partial V_{1}}{\partial t}},\,$
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:093

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$V\,$
und es bleiben für $t=0\,$ die Functionen $V_{1}\!$ und $\,{\frac {\partial V_{1}}{\partial t}}\,$ endlich und stetig. Daraus folgt
* $\lim \int \limits _{0}^{2\pi }t\;V_{1}{\frac {\partial U}{\partial t}}d\varphi =0,\,$
* $\lim \int \limits _{0}^{2\pi }t\;U{\frac {\partial V_{1}}{\partial t}}d\varphi =0.\,$
Betrachten wir in einem und demselben Querschnitte zwei einander diametral gegenüberliegende Punkte der cylindrischen Fläche, so zeigt sich, dass in ihnen $\lg \;t$ gleiche Werthe besitzt, dagegen ${\frac {\partial U}{\partial t}}$ entgegengesetzte Werthe, wenn $t\!$ unendlich klein genommen wird. Also heben sich in dem Integral
* $-2\int \limits _{0}^{2\pi }t\;\rho \;\lg \;t{\frac {\partial U}{\partial t}}d\varphi$
je zwei Elemente auf, und man erhält
* $\lim 2\int \limits _{0}^{2\pi }t\;\rho \;\lg \;t{\frac {\partial U}{\partial t}}d\varphi =0$ für $t=0.\,$
Demnach bleibt von dem Oberflächen-Integral nur noch der Bestandtheil
* $\lim \int \limits _{0}^{s_{1}}ds\int \limits _{0}^{2\pi }t\;{\frac {2\rho }{t}}\,U\;d\varphi =2\;\pi \int \limits _{0}^{s_{1}}2\rho \;U\;ds$
übrig. Beachtet man also, dass
* $-2\rho =\lim {\left(t\;{\frac {\partial V}{\partial t}}\right)}_{0}$
ist, so ergibt sich
| (5) | $-2\pi \int \limits _{0}^{s_{1}}U\;ds\cdot \lim \left(t\;{\frac {\partial V}{\partial t}}\right)_{0}$ |
als der Beitrag, welcher auf der rechten Seite der Gleichung (3) zu dem Oberflächen-Integral hinzukommt. Die Integration in (5) ist über die Linie zu erstrecken, in welcher die Function $V\,$ unstetig wird.
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:094

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Es werde endlich drittens die Function $V\!$ in einem Punkte unstetig. Dies tritt ein, wenn in dem fraglichen Punkte eine endliche Masse $m\!$ concentrirt ist. Wir machen ihn zum Mittelpunkte einer Kugelfläche vom Radius ${\mathfrak {r}}$. Mit $d\omega \!$ soll das Flächenelement auf einer Kugel vom Radius 1 bezeichnet werden. Dann lautet der Beitrag, welcher jetzt zu dem Oberflächen-Integral hinzukommt:
* $\lim \int \left(V\,{\frac {\partial U}{\partial {\mathfrak {r}}}}-U\,{\frac {\partial V}{\partial {\mathfrak {r}}}}\right){\mathfrak {r}}^{2}d\omega \ \mathrm {f{\ddot {u}}r} \ {\mathfrak {r}}=0.$
Es ist aber hier
* $V={\frac {m}{\mathfrak {r}}}+V_{1},\,$
* ${\frac {\partial V}{\partial {\mathfrak {r}}}}=-{\frac {m}{{\mathfrak {r}}^{2}}}+{\frac {\partial V_{1}}{\partial {\mathfrak {r}}}},\,$
und es bleiben $V_{1}\!$ und $\;{\frac {\partial V_{1}}{\partial {\mathfrak {r}}}}\;$ endlich und stetig für ${\mathfrak {r}}=0\,$. Folglich erhalten wir
* $\lim \int \left(V\,{\frac {\partial U}{\partial {\mathfrak {r}}}}-U\,{\frac {\partial V}{\partial {\mathfrak {r}}}}\right){\mathfrak {r}}^{2}d\omega =\lim \int U\,m\,d\omega =4\,\pi \,m\,U_{0},\,$
wenn mit $U_{0}\!$ der Werth von $U\!$ in dem Unstetigkeitspunkte der Function $V\!$ bezeichnet wird. In diesem letzten Falle hat man also auf der rechten Seite der Gleichung (3) zu dem Oberflächen-Integral den Beitrag
| (6) | $4\,\pi \,m\,U_{0}\,$ |
hinzuzufügen.
Die im vorigen Paragraphen gewonnenen Resultate bieten zunächst die Mittel dar, die im §. 18 aufgestellte Behauptung zu beweisen, dass durch die partielle Differentialgleichung von Laplace [§.18: (1)], durch eine der Gleichungen [§.18: (2), (3), (4), (5)] und die vier Nebenbedingungen [§. 18: (6), (7), (8), (9)] die Potentialfunction vollständig und eindeutig bestimmt ist.
Um diesen Beweis zu führen, setzen wir fest, dass $T\!$ der ganze unendliche Raum sein soll. Die Hülfsfunction $U\!$ hat in diesem Falle einen sehr einfachen Ausdruck, nemlich
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:095

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$V\,$
| (1) | $U={\frac {1}{r}}={\frac {1}{\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}}}}.\,$ |
Denn diese Function genügt den aufgestellten Bedingungen. Sie ist gleich Null in der Begrenzung des Raumes $T\!$, d. h. in unendlicher Entfernung. Sie ist überall endlich und stetig, ausser im Punkte $(x',\,y',\,z')$, wo sie unendlich wird wie ${\frac {1}{r}}$. Sie erfüllt im ganzen unendlichen Raume die partielle Differentialgleichung
* ${\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}=0.$
Als Begrenzung des Raumes $T\!$ können wir eine Kugelfläche nehmen, deren Mittelpunkt im Punkte $(x',\,y',\,z')$ liegt und deren Radius $R\!$ unendlich gross ist. Der Satz des vorigen Paragraphen lautet dann:
| (2) | ${\begin{aligned}4\pi V'=&-\iiint {\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}\right)dx\;dy\;dz\\&+\int V{\frac {\partial U}{\partial n}}-U{\frac {\partial V}{\partial n}}d\sigma .\\\end{aligned}}$ |
Das dreifache Integral ist über den ganzen unendlichen Raum auszudehnen, das Oberflächen-Integral über die Kugel vom Radius $R\!$ und über die Hüllen der Unstetigkeitsstellen der Function $V\!$ und ihrer ersten Derivirten. Die Beiträge, welche diese Unstetigkeitsstellen liefern, sind für jeden einzelnen Fall in (4), (5), (6) des vorigen Paragraphen ausgedrückt. Es handelt sich also nur noch um die Kugel vom Radius $R\!$. Für sie ist
* ${\frac {\partial V}{\partial n}}=-{\frac {\partial V}{\partial R}},\quad {\frac {\partial U}{\partial n}}=-{\frac {\partial U}{\partial R}}={\frac {1}{R^{2}}},\quad d\sigma =R^{2}d\omega ,\,$
wenn $d\omega \!$ das Oberflächen-Element einer Kugel vom Radius $1$ bezeichnet. Folglich erhalten wir
* $\int \left(V\,{\frac {\partial U}{\partial n}}-U\,{\frac {\partial V}{\partial n}}\right)d\sigma =\int d\omega \left(V+R{\frac {\partial V}{\partial R}}\right).$
Nun geht aber aus der Nebenbedingung des §. 18, (6) ohne weiteres hervor
* $\lim V={\frac {M}{R}}=0$ für $R=\infty .\,$
Multiplicirt man ferner auf beiden Seiten der Gleichungen (7), (8), (9) des §.18 resp. mit $\cos(Rx),\;\cos(Ry),\;\cos(Rz)\!$ und addirt die Resultate, so ergibt sich
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:096

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* $\lim R^{2}\left({\frac {\partial V}{\partial x}}\,\cos(Rx)+{\frac {\partial V}{\partial y}}\,\cos(Ry)+{\frac {\partial V}{\partial z}}\,\cos(Rz)\right)=-M$
oder kürzer
* $\lim \left(R^{2}\,{\frac {\partial V}{\partial R}}\right)=-M,\,$
und daraus sieht man, dass
* $\lim \left(R\,{\frac {\partial V}{\partial R}}\right)=0$ für $R=\infty .\,$
Das Integral, über die Kugelfläche vom Radius $R\!$ erstreckt, ist also Null, und deshalb hat man in (2) das Oberflächen-Integral nur noch über die Hüllen der Unstetigkeitsstellen von $V\!$ und seinen ersten Derivirten auszudehnen.
Es sei nun erstens die anziehende Masse über einen im endlichen Gebiete völlig begrenzten Körper stetig vertheilt und nirgends eine endliche Masse über eine Fläche oder eine Linie ausgebreitet oder in einzelnen Punkten concentrirt. Dann sind die Function $V\!$ und ihre ersten Derivirten überall endlich und stetig. Es fällt also in (2) das Oberflächen-Integral gänzlich weg. Die Summe der zweiten Derivirten ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}$ ist aber Null, wenn der Punkt $(x,\,y,\,z)$ ausserhalb des anziehenden Körpers liegt, und gleich $-4\pi \rho \!$, wenn er innerhalb liegt. Dies ist in den partiellen Differentialgleichungen (1) und (2) des §.18 ausgesprochen. Danach erhält man aus der Gleichung (2) des gegenwärtigen Paragraphen, wenn man noch den Factor $4\pi \!$ auf beiden Seiten weglässt:
| (3) | $V'=\iiint \rho \,{\frac {dx\,dy\,dz}{r}}.$ |
Die dreifache Integration ist über den mit Masse erfüllten Raum auszudehnen.
Wir nehmen zweitens den Fall, dass die anziehende Masse allein ausgebreitet ist über eine im endlichen Gebiete völlig begrenzte Fläche, und dass in einzelnen Linien oder Punkten eine endliche Masse nicht vorhanden ist. Alsdann ist im ganzen unendlichen Raume
* ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=0.$
Ferner ist $V\!$ überall endlich und stetig variabel, folglich in un-
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:189

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und ferner
* ${\frac {d({\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}})}{dt}}=2\sum _{j=1}^{k}{\frac {da_{ij}}{dt}}\cdot q_{j}^{\prime }+2\sum _{j=1}^{k}a_{ij}\cdot q_{j}^{\prime \prime }.\,$
In dieser letzten Gleichung wollen wir auf beiden Seiten mit $q_{i}^{\prime }$ multipliciren, dann für $\ i$ der Reihe nach alle ganzen Zahlen $\ 1,2,...\,k$ einsetzen und die Resultate rechts und links vom Gleichheitszeichen addiren. Dadurch findet sich
| (3) | ${\begin{aligned}\sum _{i=1}^{k}{\frac {d({\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}})}{dt}}\cdot q_{i}^{\prime }&=2\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{k}{\frac {da_{ij}}{dt}}\cdot q_{i}^{\prime }\cdot q_{j}^{\prime }\\&+2\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{k}a_{ij}\cdot q_{i}^{\prime }\cdot q_{j}^{\prime \prime }\\\end{aligned}}$ |
Betrachten wir zunächst den ersten Bestandtheil der rechten Seite. Es ist
* ${\frac {da_{ij}}{dt}}=\sum _{h=1}^{k}{\frac {\partial a_{ij}}{\partial q_{h}}}\cdot q_{h}^{\prime }$
und in Folge davon
| (4) | $\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{k}{\frac {da_{ij}}{dt}}\cdot q_{i}^{\prime }\cdot q_{j}^{\prime }=\sum _{h=1}^{k}q_{h}^{\prime }\cdot \left\lbrace \sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{k}{\frac {\partial a_{ij}}{\partial q_{h}}}q_{i}^{\prime }\cdot q_{j}^{\prime }\right\rbrace$ |
* $=\sum _{h=1}^{k}{\frac {\partial T}{\partial q_{h}}}\cdot q_{h}^{\prime },$
Der zweite Bestandteil auf der rechten Seite der Gleichung (3) lässt sich schreiben
* $\sum _{i=1}^{k}q_{i}^{\prime \prime }\cdot \left\{2\sum _{j=1}^{k}a_{ij}\cdot q_{j}^{\prime }\right\},$
und demnach hat man
| (5) | $2\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{k}a_{ij}\cdot q_{i}^{\prime }\cdot q_{j}^{\prime \prime }=\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}}\cdot q_{i}^{\prime \prime }.$ |
Benutzt man die Gleichungen (4) und (5), so geht die Gleichung (3) in folgende über
| (6) | $\sum _{i=1}^{k}{\frac {d({\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}})}{dt}}\cdot q_{i}^{\prime }=2\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial T}{\partial q_{i}}}\cdot q_{i}^{\prime }+\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}}\cdot q_{i}^{\prime \prime }$ |
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:194

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Umständen auf ein und dasselbe dritte Theilchen nach Grösse und Richtung dieselbe Kraft ausübt.
Nach dieser Definition erkennt man die Möglichkeit, gleiche Quantitäten desselben Fluidums herzustellen und in Folge davon, bei Annahme irgend einer Einheit, verschiedene Quantitäten desselben Fluidums zu messen. Es kömmt noch darauf an, mit demselben Maass auch die Elektricitätsmengen des anderen Fluidums zu messen. Zu dem Ende definiren wir weiter: Zwei elektrische Theilchen haben entgegengesetzt gleiche Elektricitätsmengen, wenn sie unter gleichen Umständen auf ein und dasselbe dritte Theilchen Kräfte ausüben, die an Grösse gleich, in der Richtung einander entgegengesetzt sind. Hiernach üben zwei gleiche Quantitäten des einen und des anderen elektrischen Fluidums, wenn sie in demselben Punkte des Raumes vereinigt sind, gar keine Kraft aus. Dies ist der Grund, weshalb man die beiden Flüssigkeiten als positives und negatives Fluidum unterschieden hat.
Es ist nicht unwichtig, hier eine Bemerkung anzuknüpfen. Denken wir uns einen Körper, der durchaus keine elektrische Wirkung ausübt, so lässt sich sein elektrischer Zustand in doppelter Weise auffassen. Entweder nemlich kann man sagen: an jeder Stelle des Körpers ist die Elektricitätsmenge Null vorhanden. Oder man kann sagen: an jeder Stelle des Körpers ist eine Quantität positiver und eine eben so grosse Quantität negativer Elektricität in neutralem Gemisch vorhanden. Ist der Körper, der in diesem Zustande sich befindet, ein Leiter, so lehrt die Erfahrung, dass bei blosser Annäherung einer positiven oder negativen elektrischen Ladung ein Theil der Leiteroberfläche positive und der übrige Theil negative Elektricität zu erkennen gibt. Diese Thatsache lässt sich nur aus der zweiten Auffassung erklären, nemlich so, dass durch die in der Nähe befindliche elektrische Ladung der positive und der negative Bestandtheil des neutralen Gemisches in jedem inneren Punkte des Leiters nach entgegengesetzten Seiten auseinander getrieben werden. Ist diese Erklärung richtig, so muss nach der Scheidung ebenso viel positive wie negative Elektricität vorhanden sein. Auch dies ist durch das Experiment bestätigt.
Die Erfahrung hat über die elektrostatische Wechselwirkung von zwei elektrischen Theilchen das folgende Gesetz festgestellt:
Zwei elektrische Theilchen, welche in zwei Punkten concentrirt in Ruhe sich befinden, üben auf einander eine
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:190

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
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Das Princip des Lagrange spricht sich aus in der Gleichung (6) des vorigen Paragraphen, in welcher man $i\!$ der Reihe nach $=1,2,\ldots k\,$ setzen darf. Multiplicirt man nun in dieser Gleichung auf beiden Seiten mit $q_{i}^{\prime }$ und summirt über alle Werthe von $i\!$, so ergibt sich
* $-\sum _{i=1}^{k}{\frac {d({\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}})}{dt}}\cdot q_{i}^{\prime }+\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial T}{\partial q_{i}}}\cdot q_{i}^{\prime }+\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial P}{\partial q_{i}}}\cdot q_{i}^{\prime }=0.$
Hier braucht man aber nur die eben abgeleitete Gleichung (6) zu berücksichtigen, um zu finden
| (7) | $\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial T}{\partial q_{i}}}\,q_{i}^{\prime }\,+\,\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}}q_{i}^{\prime \prime }-\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial P}{\partial q_{i}^{\prime }}}\,q_{i}^{\prime }=0,$ |
d. h. mit Rücksicht auf (1):
| (8) | ${\frac {d(T-P)}{dt}}=0,$ |
und das sollte bewiesen werden.
Die Untersuchungen der §§. 40 bis 43 sind in dem besonderen Falle anwendbar, dass die materiellen Punkte des Systems ihre gegenseitige Lage nicht ändern. Sie gelten demnach auch für die Bewegung eines starren Körpers. Die Lage eines solchen starren Körpers ist im Raume völlig bestimmt, wenn man sechs von einander unabhängige Grössen kennt, nemlich die drei Coordinaten eines mit dem Körper fest verbundenen Punktes, z. B. des Schwerpunktes, dann zwei Winkel, welche die Richtung einer geraden Linie festlegen, die durch jenen Punkt geht und mit dem Körper fest verbunden ist, und endlich ein Winkel, welcher die Lage einer Ebene bestimmt, die jene Linie in sich enthält und mit dem Körper ebenfalls fest verbunden ist. Bei der Bewegung eines starren Körpers hat man also diese sechs Grössen als die Variabeln $\ q$ zu nehmen.
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:191

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Kraft aus, deren Richtung in die Verbindungslinie der beiden Punkte fällt. Die Grösse der Kraft ist proportional dem Producte der beiden Elektricitätsmengen und umgekehrt proportional dem Quadrat ihrer Entfernung. Sie ist Abstossung, wenn die beiden elektrischen Theilchen gleichartig, sie ist Anziehung, wenn die Theilchen ungleichartig sind.
Sind also $\varepsilon \,$ und $\varepsilon '\,$ zwei Zahlen, die nach Zahlwerth und Vorzeichen die Elektricitätsmenge des einen und des anderen elektrischen Theilchens angeben, und ist $r\!$ die Entfernung der beiden Theilchen, so ist
| (1) | $K={\frac {\varepsilon \;\varepsilon '}{r^{2}}}$ |
die Kraft, welche sie in der Richtung der Verbindungslinie auf einander ausüben. Diese Kraft ist Abstossung oder Anziehung, je nachdem sie positiv oder negativ ist. Die Einheit der Elektricitätsmenge ist dabei so gewählt, dass $K=1\,$ ist, wenn $\varepsilon =\varepsilon '=1\,$ und $r=1\,$ ist.
Die Aufgabe der Elektrostatik lässt sich so aussprechen:
Es ist eine Anzahl Isolatoren gegeben und in jedem von ihnen die Vertheilung der Elektricität bekannt. Ausserdem hat man $k\,$ Leiter, denen der Reihe nach die Elektricitätsmengen $m_{1},\,m_{2},\ldots m_{k}\,$ mitgetheilt sind. Es fragt sich, wie im Gleichgewichtszustande die Elektricität sich in jedem Leiter und an seiner Oberfläche vertheilt hat.
Wir bezeichnen mit $V\,$ die Potentialfunction der gesammten Elektricität. Der Ausdruck für $V\,$ ist leicht herzustellen. Wir nehmen im Punkte $(x,\,y,\,z)\,$ die positive Einheit der Elektricität an und bezeichnen mit $\varepsilon \,$ die Elektricitätsmenge im Punkte $(a,\,b,\,c)$. Mit $r\,$ werde der Abstand beider Punkte bezeichnet. Dann ist nach der Definition der Potentialfunction
| (1) | $V=-\sum {\frac {\varepsilon }{r}},\,$ |
wenn die Summirung über alle elektrisch geladenen Punkte $(a,\,b,\,c)$
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:196

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
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erstreckt wird. Bei stetiger Vertheilung der Elektricität geht die Summe in ein Integral über und man hat
| (2) | $V=-\int {\frac {d\varepsilon }{r}}.$ |
Im Innern eines Leiters kann die Elektricität sich völlig frei bewegen. Es kann daher in einem Punkte $(x,\,y,\,z)$ im Innern eines Leiters nicht anders Gleichgewicht stattfinden, als wenn die Componenten der bewegenden Kraft in diesem Punkte gleich Null sind. Also haben wir für jeden Punkt im Innern eines Leiters:
| (3) | ${\frac {\partial V}{\partial x}}=0,\quad {\frac {\partial V}{\partial y}}=0,\quad {\frac {\partial V}{\partial z}}=0.\,$ |
Daraus folgt unmittelbar, dass im Innern jedes Leiters
| (4) | $V={\text{const.}}\!$ |
und
| (5) | ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=0$ |
ist. Nun lässt sich aber der Ausdruck (2), den wir hier für $V\!$ gefunden haben, vergleichen mit dem Ausdruck des §. 18, welcher die Potentialfunction einer anziehenden ponderablen Masse gibt. Dort ist $dm\!$ das Element der ponderablen Masse, hier $d\varepsilon \!$ das Element der elektrischen Ladung. Wenn man das eine durch das andere ersetzt, so ist hier $-V\!$ dasselbe wie dort $V\!$. Der Grund ist leicht einzusehen. Dort findet Anziehung statt, wenn $dm\!$ positiv, hier Abstossung, wenn $d\varepsilon \!$ positiv ist. Demnach gilt die Gleichung (2) des §. 18 auch hier, nur muss man, was dort $V\!$ war, ersetzen durch $-V\!$. Also gilt überall da, wo man die Elektricität über einen Raum von drei Dimensionen vertheilt findet, die folgende partielle Differentialgleichung
| (6) | ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=4\pi \rho .$ |
Hier bedeutet $\rho \!$ die elektrische Dichtigkeit im Punkte $(x,\,y,\,z)$, oder mit anderen Worten: es ist in einem Raumelemente $dx\,dy\,dz$, welches an den Punkt $(x,\,y,\,z)$ anstösst, die Elektricitätsmenge $\rho \,dx\,dy\,dz$ enthalten.
Dies gilt auch für den Fall, dass der Punkt $(x,\,y,\,z)$ im Innern eines Leiters liegt.
Aus der Vergleichung von (5) und (6) ergibt sich demnach, dass im Gleichgewichtszustande die Dichtigkeit im Innern
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:192

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