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# Schwere, Elektricität und Magnetismus:282

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
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Wir wollen den Satz des vorigen Paragraphen auf unendlich kleine Flächenelemente anwenden. Wir betrachten zunächst ein ebenes Rechteck, dessen Seiten $dx\,$ und $dy\,$ resp. zu den Axen der $x\,$ und der $y\,$ parallel laufen. Der dem Anfangspunkte zunächst gelegene Eckpunkt soll die Coordinaten $x,\,y,\,z$ haben. Die Ebene des Rechtecks liegt normal gegen die z-Axe. Die specifische Stromintensität in der Richtung dieser Axe ist $i_{3}\,$. Folglich geht die Gleichung (1) des vorigen Paragraphen hier in folgende über
* $4\pi \,i_{3}\,dxdy=\int (Xdx+Ydy+Zdz).$
$1,\,2,\,3,\,4$
$(x,\,y,\,z)$
$(x+dx,\,y,\,z)$
$X,\,Y,\,Z$
$1,\,2,\,3,\,4$
* $X_{1}\;dx\,+\,Y_{2}\;dy\,-X_{3}\;dx\,-\,Y_{4}\;dy.\,$
Nun ist aber
* $X_{1}=X,\quad X_{3}=X+\,{\frac {\partial X}{\partial y}},\,dy$
* $Y_{4}=Y,\quad Y_{2}=Y+\,{\frac {\partial Y}{\partial x}}.\,dx$
Folglich geht das Integral über in
* $\left({\frac {\partial Y}{\partial x}}-{\frac {\partial X}{\partial y}}\right)dx\,dy$
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:283

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und die Gleichung (1) des vorigen Paragraphen lautet jetzt
* $4\pi \,i_{3}\,dxdy=\left({\frac {\partial Y}{\partial x}}\,-\,{\frac {\partial X}{\partial y}}\right)dx\,dy.$
Zwei entsprechende Gleichungen erhält man, wenn durch den Punkt $(x,\,y,\,z)$ noch zwei ebene Flächenelemente normal gegen die Axen der $x\,$ und der $y\,$ gelegt werden. Die Resultate lauten:
| (1) | $4\pi i_{1}={\frac {\partial Z}{\partial y}}-{\frac {\partial Y}{\partial z}},\,$ |
| (2) | $4\pi i_{2}={\frac {\partial X}{\partial z}}-{\frac {\partial Z}{\partial x}},\,$ |
| (3) | $4\pi i_{3}={\frac {\partial Y}{\partial x}}-{\frac {\partial X}{\partial y}}.\,$ |
Diese Gleichungen können dazu dienen, für die Stelle $(x,\,y,\,z)$ die spezifischen Stromintensitäten zu berechnen, wenn die Componenten der von den galvanischen Strömen ausgeübten magnetischen Kraft gegeben sind.
Es werde umgekehrt die Aufgabe gestellt, die Componenten der von den galvanischen Strömen ausgeübten magnetischen Kraft zu bestimmen, wenn für jede Stelle des Raumes die spezifischen Stromintensitäten gegeben sind. Es handelt sich also darum, die Functionen $X,\ Y,\ Z\,$ so zu bestimmen, dass sie den partiellen Differentialgleichungen genügen:
| (1) | ${\frac {\partial Z}{\partial y}}-{\frac {\partial Y}{\partial z}}=4\pi i_{1},$ |
| (2) | ${\frac {\partial X}{\partial z}}-{\frac {\partial Z}{\partial x}}=4\pi i_{2},$ |
| (3) | ${\frac {\partial Y}{\partial x}}-{\frac {\partial X}{\partial y}}=4\pi i_{3}.$ |
Die spezifischen Stromintensitäten $i_{1},\ i_{2},\ i_{3}\,$ sind nur innerhalb der von Strömen durchflossenen Leiter von Null verschieden und im ganzen übrigen Raume gleich Null. Da wir voraussetzen, dass die magnetischen Kräfte nur von den galvanischen Strömen herrühren sollen, nicht aber von magnetischen Massen, so ist im ganzen un-
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:284

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endlichen Raume die partielle Differentialgleichung (6) des §. 65 erfüllt, nemlich:
| (4) | ${\frac {\partial X}{\partial x}}+{\frac {\partial Y}{\partial y}}+{\frac {\partial Z}{\partial z}}=0.$ |
Noch ist anzumerken, dass in unendlicher Entfernung die magnetischen Kräfte gleich Null sind:
| (5) | $X_{\infty }=Y_{\infty }=Z_{\infty }=0.\,$ |
Die Gleichungen (1), (2), (3) sind nicht völlig unabhängig von einander. Sie erfüllen die Bedingungsgleichung
* ${\frac {\partial i_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial i_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial i_{3}}{\partial z}}=0.$
Um nun unsere Aufgabe zu lösen, eliminiren wir zunächst $Y\,$ und $Z\,$. Dies geschieht dadurch, dass wir in Gleichung (4) nach $x\,$, in (3) nach $-y\,$, in (2) nach $z\,$ differenziren und die Resultate links und rechts addiren. Auf diese Weise ergibt sich:
* ${\frac {\partial ^{2}X}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}X}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}X}{\partial z^{2}}}=4\pi \left({\frac {\partial i_{2}}{\partial z}}-{\frac {\partial i_{3}}{\partial y}}\right).$
Durch Vergleichung mit §. 13, (4) gelangt man zu einer mechanischen Interpretation des gewonnenen Resultates. Danach darf man $X\,$ wie die von einer anziehenden schweren Masse herrührende Potentialfunction ansehen, wenn im Punkte $(x,\ y,\ z)$ die Dichtigkeit der Masse
* $=-\left({\frac {\partial i_{2}}{\partial z}}-{\frac {\partial i_{3}}{\partial y}}\right)$
ist. Es ergibt sich also ohne weiteres:
| (6) | $X'=-\int \left({\frac {\partial i_{2}}{\partial z}}-{\frac {\partial i_{3}}{\partial y}}\right){\frac {dT}{r}}$ |
und in entsprechender Weise:
| (7) | $Y'=-\int \left({\frac {\partial i_{3}}{\partial x}}-{\frac {\partial i_{1}}{\partial z}}\right){\frac {dT}{r}},$ |
| (8) | $Z'=-\int \left({\frac {\partial i_{1}}{\partial y}}-{\frac {\partial i_{2}}{\partial x}}\right){\frac {dT}{r}}.$ |
In diesen Gleichungen bedeutet $dT\,$ das an den Punkt $(x,\ y,\ z)$ anstossende Raumelement, $r\,$ ist die Entfernung des Punktes $(x'\ y'\ z')$ vom Punkte $(x,\ y,\ z)$ und $X',\ Y',\ Z'$ sind die Compononten der magnetischen Kraft, welche auf die im Punkte $(x',\ y',\ z')$ concentrirte positive Einheit der magnetischen Masse ausgeübt wird. Die Integrationen in (6), (7), (8) sind über die sämmtlichen von galvanischen Strömen durchflossenen Leiter auszudehnen.
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:279

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* $={\frac {ds}{r}}\,{\frac {\delta x}{r}}\,\sin(r,\,ds)\,\cos(x,\,p)$
ist. Dieses Product hat nun aber dasselbe Vorzeichen wie $\cos(x,\,p)$. Folglich ist für Fig. 39 das Product positiv oder negativ, je nachdem das dadurch ausgedrückte Flächenelement in die Umschliessung eintritt oder aus ihr heraustritt. Und die entgegengesetzten Zeichen ergeben sich bei Fig. 40. Man bringt also in jedem Falle das betreffende Element richtig in Rechnung, wenn man das Product selbst nimmt mit dem ihm eigenen Vorzeichen. Folglich ergibt sich
| (1) | $\delta V'=\delta x\cdot J\int \,{\frac {ds}{r^{2}}}\,\sin(r,\,ds)\,\cos(x,\,p)$ |
und
| (2) | $X=J\int \,{\frac {ds}{r^{2}}}\,\sin(r,\,ds)\,\cos(x,\,p).$ |
Hier sind $\delta x\!$ und $J\!$ absolut zu nehmen. Aus der Gleichung (2) können wir auf die Kraftcomponente schliessen, mit welcher ein einzelnes Stromelement $ds\!$ die im Punkte $(x',\,y',\,z')$ concentrirte positive Einheit der magnetischen Masse in der Richtung der wachsenden $x\!$ in Angriff nimmt. Diese Kraftcomponente in der Richtung der wachsenden $x\!$ ist nemlich
* $J\,{\frac {ds}{r^{2}}}\,\sin(r,\,ds)\,\cos(x,\,p).$
In derselben Weise finden sich die Kraftcomponenten in der Richtung der wachsenden $y\!$ und resp. der wachsenden $z\!$:
* $J\,{\frac {ds}{r^{2}}}\,\sin(r,\,ds)\,\cos(y,\,p),$
* $J\,{\frac {ds}{r^{2}}}\,\sin(r,\,ds)\,\cos(z,\,p).$
Daraus geht hervor, dass die Gesammtkraft, welche das Stromelement $ds\!$ auf den Punkt $(x',\,y',\,z')$ ausübt, in die Richtung von $p\!$ fällt, d. h. in die positive Normale der Ebene, welche durch das Stromelement $ds\!$ und den Punkt $(x',\,y',\,z')$ festgelegt wird. Die Grösse dieser Kraft ist
| (3) | $J\,{\frac {ds}{r^{2}}}\,\sin(r,\,ds).$ |
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:281

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Integral in (1) einzuschlagenden Integrationsweg durchläuft, so hat man die Fläche $\sigma \,$ zur linken Hand. Oder mit anderen Worten: vor einem Beobachter, der auf der positiven Seite der Fläche $\sigma \,$ aufrecht steht, führt der Integrationsweg von rechts nach links vorbei.
Ist $J\,$ von der Zeit unabhängig, so gibt es die algebraische Summe der Elektricitätsmengen an, welche in der Zeiteinheit von der negativen auf die positive Seite von $\sigma \,$ übergehen, vermindert um die algebraische Summe derjenigen Mengen, welche in derselben Zeit von der positiven zur negativen Seite übergehen. Diesen Ueberschuss berechnet man also nach der Gleichung (1), indem man das Integral
| (2) | ${\frac {1}{4\pi }}\int (Xdx+Ydy+Zdz)$ |
in der vorgeschriebenen Richtung durch die Begrenzung von $\sigma \,$ erstreckt. Dies gilt auch dann, wenn die Fläche $\sigma \,$ von der Strombahn nicht durchschnitten wird. Denn in solchem Falle ist sowohl die durch $\sigma \,$ hindurchgehende Elektricitätsmenge als auch das Integral (2) gleich Null.
Sind mehrere galvanische Ströme vorhanden, welche als Componenten der magnetischen Kräfte liefern
* $X_{1},\,Y_{1},\,Z_{1},$
* $X_{2},\,Y_{2},\,Z_{2},$
* $\dotsb \dotsb \dotsb$
so ist nach dem Gesetz vom Parallelogramm zu schreiben:
| (3) | $X=X_{1}+X_{2}+\dotsb \,$ $Y=Y_{1}+Y_{2}+\dotsb \,$ $Z=Z_{1}+Z_{2}+\dotsb \,$ |
und es gilt dann allgemein der Satz:
Das Integral
* ${\frac {1}{4\pi }}\int (Xdx+Ydy+Zdz),$
von rechts nach links durch die Begrenzung von $\sigma \,$ erstreckt, gibt an, wie viel grösser die Elektricitätsmenge ist, welche in der Zeiteinheit von der negativen Seite auf die positive Seite von $\sigma \,$ übertritt, als diejenige, welche während derselben Zeit in der entgegengesetzten Richtung durch die Fläche $\sigma \,$ hindurchgeht.
# Topographia Westphaliae: Fosse (Anhang)

Topographia Germaniae :
| Fosse (heute: Fosses-la-Ville) ||
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| aus: Matthäus Merian (Herausgeber und Illustrator) und Martin Zeiller (Textautor): Topographia Westphaliae. Merian, Frankfurt am Main 1647, S. 84. ||
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| Fosses-la-Ville in der Wikipedia ||
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[84] Fosse / setzet Ludov. Guicciardinus, in Beschreibung Niderlands / auch vnter die Lüttichische Stätt. Es findet sich aber solches Fosse / vom Bertio, Fessa genannt / nicht im Lüttichischen / sondern in der Graffschafft Namur; so gleichwol nach Lüttich gehörig seyn mag.
# Topographia Westphaliae: Gelekirchen

Topographia Germaniae :
| Gelekirchen (heute: Geilenkirchen) ||
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| aus: Matthäus Merian (Herausgeber und Illustrator) und Martin Zeiller (Textautor): Topographia Westphaliae. Merian, Frankfurt am Main 1647, S. 84. ||
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[84] Gelekirchen / an dem Fluß Worm / in dem Hertzogthumb Gülich / auff Mastricht zu / gelegen / welches Stättlein / Anno 1603. Printz Moritz von Oranien / eingenommen / vnd Anno 1638. die Frantzosen von Mastricht außgeplündert haben; wie in einer Relation; in einer anderen aber gestanden / daß solches Stättlein / in jetzt gedachtem Jahr / von den Staadischen auffgeben worden seye. Anno 1642. hat der Weymarische General Major Rosa / dieses Stättlein eingenommen / vnd besetzt.
# Topographia Westphaliae: Frisoit

Topographia Germaniae :
| Frisoit (heute: Friesoythe) ||
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| aus: Matthäus Merian (Herausgeber und Illustrator) und Martin Zeiller (Textautor): Topographia Westphaliae. Merian, Frankfurt am Main 1647, S. 27. ||
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Friessoyt / oder Oitha Frisica, vnd von Theils Frießheid genannt / ligt im Stifft Münster / zwischen Stichusen / so noch Ost-Frießländisch / vnd Kloppenburg / so auch Münsterisch / an einem Wasser / das in den Landtafeln Soste / genant wird. Ist ein alte / aber geringe Statt / wie Emmius lib. 34. Rer. Frisicarum fol. 531. schreibet.
# Topographia Westphaliae: Fürstenberg

Topographia Germaniae :
| Fürstenberg ||
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| aus: Matthäus Merian (Herausgeber und Illustrator) und Martin Zeiller (Textautor): Topographia Westphaliae. Merian, Frankfurt am Main 1647, S. 84. ||
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[84] Fürstenberg. In der Franckfurtischen Herst-Relation deß 1637. Jahrs stehet: Daß der vberauß grosse Fleck Fürstenberg / in dem Stifft Paderborn / selbigen Jahrs / vom Wetter eingeäschert worden seye. Vom Nicolao Janssonio Fischern / in nova totius Westphaliae descriptione; wird ein Forstenberg / in der Gegend / der Statt Wevelsporg / in gedachtem Stifft / bey Corvei / aber vber der Weser / vnnd ausser deß gemelten Stiffts / für etwas sonderbares / gezeichnet / allda Anno 1640. Theils deß Hertzogen Augusti von Lünenburg newgeworbenes Volck / von den Keyserischen auffgeschlagen worden. D. Joan. Gigas, in Beschreibung deß Stiffts Paderborn zeichnet erstgedachtes Forstenberg / nahend der Statt / vnd freyen Herrschafft Buren / in besagtem Stifft gelegen / für einen fürnehmen Marcktflecken.
# Topographia Westphaliae: Fosse

Topographia Germaniae :
| Fosse (heute: Fosses-la-Ville) ||
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| aus: Matthäus Merian (Herausgeber und Illustrator) und Martin Zeiller (Textautor): Topographia Westphaliae. Merian, Frankfurt am Main 1647, S. 27. ||
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| Fosses-la-Ville in der Wikipedia ||
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Ein Stättlein / im Stifft Lüttich / zehen Meilen von der Statt Lüttich gelegen. Allda ein Stifft / oder Collegium Canonicorum, so vorhin ein Schotten-Kloster gewesen / in welchem ein Theil von deß heiligen Ultani, gewesenen Abts zu Peron, vnd Fosse, auffgehalten wird. So ruhet auch daselbst S. Foillanus, der Bischoff / vnd Märtyrer. d. Miraeus p. 223. et 639.
# Topographia Westphaliae: Friburg

Topographia Germaniae :
| Friburg (heute: Friedeburg) ||
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| aus: Matthäus Merian (Herausgeber und Illustrator) und Martin Zeiller (Textautor): Topographia Westphaliae. Merian, Frankfurt am Main 1647, S. 84. ||
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[84] Friburg / ein fürnehmes Schloß / in der Graffschafft Embden / oder Ost-Frießland / vnnd an den Oldenburgischen Gräntzen / so ein anders / als Friburg in Transiadanis, gegen Bremen / so Theils mit einander in ihren Historiis vermengen.
# Topographia Westphaliae: Franchimont

Topographia Germaniae :
| Franchimont ||
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| aus: Matthäus Merian (Herausgeber und Illustrator) und Martin Zeiller (Textautor): Topographia Westphaliae. Merian, Frankfurt am Main 1647, S. 27. ||
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| Franchimont in der Wikipedia ||
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Oder Franckenberg / vnd in Lüttichischer Spraach Francieimont, ligt zwischen Spay, vnnd Frupont; an einem vnbenamsten Wasser / so in die Wesa kompt. Gehöret zum Bischthumb Lüttich / vnnd also in den Westphälischen Craiß; vnnd ist das Haupt der Marggraffschafft dieses Namens / vnd vor Zeiten eine fürnehme Statt gewesen / aber folgends ihrer Mauren beraubt worden / daß sie / wie ein grosses Dorff / zu achten. Hat aber gleichwol ein gute wehrhaffte Vestung / sampt Land / vnd Leuten. Ligt vier Meilen von Lüttich / vnd wegen der Berg / vnd Wälde / an einem rauchen Ort. Als Hertzog Carl von Burgund die Statt Lüttich zerstöret / so ist er hernach auch vor diese damals noch gewesene Statt gezogen / vnnd hat in dieser Gegend gar vbel / vnnd Tyrannisch gehauset; wie Cominaeus lib. 2. cap. 14. hievon / vnnd der vngewöhnlichen grossen Kälte / so damals gewesen / vnd in welcher einem von Adel ein Fuß / vnd einem Edelknaben zween Finger / abgefroren; auch eine Kindbetterin / mit ihrem newgebornen Kindlein / von der Kälte ertödtet; der Wein in den Tonnen / oder Gefässen / also gefroren / daß man ihn drey Tag lang mit Beyheln in Stücke zerschlagen / vnnd hawen müssen / zulesen ist. Es gibt in der Nachbarschafft bey dem Dorff Thou, nämlich / ein gutes Bleybergwerck / vnd in den nächsten Bergen / einen Vberfluß von schwartzem Marmolstein.
# Topographia Westphaliae: Frondenberg

Topographia Germaniae :
| Frondenberg (heute: Fröndenberg/Ruhr) ||
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| aus: Matthäus Merian (Herausgeber und Illustrator) und Martin Zeiller (Textautor): Topographia Westphaliae. Merian, Frankfurt am Main 1647, S. 84. ||
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| Fröndenberg/Ruhr in der Wikipedia ||
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[84] Frondenberg / eine Statt in der Graffschafft Marck / bey der Ruhr / zwischen den Stätten Vnna / vnnd Hullinckoven / nahend Menden / gelegen.
# Topographia Westphaliae: Eußkirchen

Topographia Germaniae :
| Eußkirchen (heute: Euskirchen) ||
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| aus: Matthäus Merian (Herausgeber und Illustrator) und Martin Zeiller (Textautor): Topographia Westphaliae. Merian, Frankfurt am Main 1647, S. 26. ||
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| Euskirchen in der Wikipedia ||
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Ist ein Stättlein / im Hertzogthumb Gülich / zwischen Zulpich / vnd Cochenheim / ein wenig auff der Seiten / auff Münster-Eyfel / vnnd dem Land Eyfel zu / gelegen; so sich Anno 1642. den Weymarischen ergeben. Es haben zwar zu Eingang deß Mertzens / die Keyserischen einen Anschlag auff diesen Ort gemacht / aber der gienge vergebens ab / vnnd verluhren sie noch darzu darüber bey fünfftzig Mann. Siehe Theatri Europaei vierdten Theil p. 847. seq. Als sie hernach im Mayen von dannen abgezogen / haben sie die Statt-Pforten verbrandt.
# Topographia Westphaliae: Florines

Topographia Germaniae :
| Florines (heute: Florennes) ||
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| aus: Matthäus Merian (Herausgeber und Illustrator) und Martin Zeiller (Textautor): Topographia Westphaliae. Merian, Frankfurt am Main 1647, S. 27. ||
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| Florennes in der Wikipedia ||
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Ein Stättlein im Stifft Lüttich / allda deß heiligen Märtyrers Gengulphi, Gangulphi, oder Gingulfi Stifftskirchen zusehen ist; die auch für eine Pfarrkirchen gebrauchet wird; in welcher S. Maurus, Martyr Remensis, ruhet. Es ist auch allhie ein Kloster zu S. Johann dem Täuffer. Miraeus p. 245. et 487.
# Topographia Palatinatus Rheni: Weibstadt

Topographia Germaniae :
| Weibstadt (heute: Waibstadt) ||
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| aus: Matthäus Merian (Herausgeber und Illustrator) und Martin Zeiller (Textautor): Topographia Palatinatus Rheni. Merian, Frankfurt am Main 1645, S. 93. ||
| Waibstadt in Wikisource ||
| Waibstadt in der Wikipedia ||
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Ein Bischoffliches Speyerisches Städtlein / bey Wimpfen / in dem Craichgöw / und eine Stund von Sintzheim gelegen. Wie solches an dieses Stifft gelangt seye / davon ist in der Topographia Alsatiae, und daselst in Beschreibung der Stadt Landau / Bericht geschehen.