# Die elektrischen Kräfte/Zusammenstellung:§45

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${\frac {\partial }{\partial x}}=-{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}$
| (15.) | $\mathrm {A} =\Sigma _{1}\left({\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial z_{1}}}{\mathsf {D}}y_{1}-{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial y_{1}}}{\mathsf {D}}z_{1}\right).$ |
Bei der weiteren Behandlung dieser Formel wollen wir uns nun auf den Fall beschränken, dass alle Puncte des Stromes $\left(J_{1},s_{1}\right)$ in derselben Ebene liegen. Die von dem Strome begrenzte ebene Stromfläche $\Lambda _{1}$ mag zerlegt sein in lauter unendlich kleine Elemente $\lambda _{1}$. Alsdann kann jenes $\mathrm {A}$ (15.) dadurch erhalten werden, dass man das Integral der Reihe nach berechnet für die Peripherie eines jeden Elementes $\lambda _{1}$, und sodann all’ diese Elementar-Integrale zusammenaddirt; solches mag angedeutet sein durch die Formeln:
| (16.) | $\mathrm {A} ={\mathfrak {S}}\left(\Sigma _{\lambda _{1}}\right),$ |
| (17.) | $\Sigma _{\lambda _{1}}=\Sigma _{\lambda _{1}}\left({\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial z_{1}}}{\mathsf {D}}y_{1}-{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial y_{1}}}{\mathsf {D}}z_{1}\right).$ |
Das Elementar-Integral $\Sigma _{\lambda _{1}}$ kann nun sofort berechnet werden mit Hülfe eines früher (pag. 88, 89) aufgestellten Satzes; man findet:
| (18.) | $\Sigma _{\lambda _{1}}=\lambda _{1}\left[-\alpha _{1}\left({\frac {\partial ^{2}{\frac {1}{r}}}{\partial {y_{1}}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}{\frac {1}{r}}}{\partial {z_{1}}^{2}}}\right)+\beta _{1}{\frac {\partial ^{2}{\frac {1}{r}}}{\partial x_{1}\partial y_{1}}}+\gamma _{1}{\frac {\partial ^{2}{\frac {1}{r}}}{\partial x_{1}\partial z_{1}}}\right].$ |
Diese Formel, in welcher $\alpha _{1},\beta _{1},\gamma _{1}$ die Richtungscosinus der auf $\lambda _{1}$ oder (was dasselbe ist) auf $\Lambda _{1}$ errichteten positiven Normale $n_{1}$ vorstellen, kann mit Rücksicht auf die bekannte Relation
${\frac {\partial ^{2}{\frac {1}{r}}}{\partial {x_{1}}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}{\frac {1}{r}}}{\partial {y_{1}}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}{\frac {1}{r}}}{\partial {z_{1}}^{2}}}=0$
auch so dargestellt werden:
| (19.) | $\Sigma _{\lambda _{1}}=+{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left(\lambda _{1}\alpha _{1}{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial x_{1}}}+\lambda _{1}\beta _{1}{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial y_{1}}}+\lambda _{1}\gamma _{1}{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial z_{1}}}\right),$ |
oder, mit Rücksicht auf die bekannten Relationen $\alpha _{1}={\frac {\partial x_{1}}{\partial n_{1}}},\ \beta _{1}={\frac {\partial y_{1}}{\partial n_{1}}},\ \gamma _{1}={\frac {\partial z_{1}}{\partial n_{1}}}$, auch so:
| (20.) | $\Sigma _{\lambda _{1}}=+{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left(\lambda _{1}{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial n_{1}}}\right),$ |
| (21.) | $\Sigma _{\lambda _{1}}=-{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left(\lambda _{1}{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial n_{1}}}\right).$ |
Hiefür aber kann mit Rückblick auf einen kürzlich gefundenen Satz (pag. 242) geschrieben werden:
| (22.) | $\Sigma _{\lambda _{1}}=-{\frac {\partial (\epsilon \varkappa )}{\partial x}},$ |
wo alsdann $\epsilon \varkappa$ die reducirte Oeffnung des vom Puncte $x,y,z$ nach der Peripherie von $\lambda _{1}$ gelegten Kegels vorstellt.
Durch Substitution von (22.) in (16.) folgt:
| (23.) | $\mathrm {A} =-{\mathfrak {S}}{\frac {\partial (\epsilon \varkappa )}{\partial x}}=-{\frac {\partial {\mathfrak {S}}(\epsilon \varkappa )}{\partial x}}.$ |
Sämmtliche Elemente $\lambda _{1}$ haben aber ein und denselben Situationsfactor $\epsilon$ in Bezug auf den gegebenen Punct $x,y,z$. Somit ist
${\mathfrak {S}}(\epsilon \varkappa )=\epsilon {\mathfrak {S}}(\varkappa )=\epsilon {\mathsf {K}},$
wo ${\mathsf {K}}$ die Oeffnung des von $x,y,z$ nach der Peripherie von $\Lambda _{1}$ gelegten Kegels vorstellt. Aus (23.) folgt demnach:
| (24.) | ${\begin{array}{l}\mathrm {A} =-{\frac {\partial (\epsilon {\mathsf {K}})}{\partial x}};\ \mathrm {und\ ebenso\ wird} :\\\\\mathrm {B} =-{\frac {\partial (\epsilon {\mathsf {K}})}{\partial y}},\\\\\Gamma =-{\frac {\partial (\epsilon {\mathsf {K}})}{\partial z}}.\end{array}}$ |
Denkt man sich also von irgend einem Punct $x,y,z$ aus einen Kegelmantel gelegt nach einem geschlossenen ebenen Strom, und bezeichnet man die reducirte Oeffnung dieses Kegelmantels mit $\epsilon {\mathsf {K}}$, so werden die negativen partiellen Ableitungen von $\epsilon {\mathsf {K}}$ nach $x,y,z$ die Componenten $\mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\Gamma$ derjenigen Determinante $\Delta$ darstellen, welche der Strom in Bezug auf jenen Punct besitzt.
Die Determinante $\Delta$ steht, wie aus (24.) folgt, senkrecht gegen die durch den Punct $x,y,z$ gehende Fläche
$\epsilon {\mathsf {K}}$
$x,y,z$
$\Delta$
$\epsilon {\mathsf {K}}$