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# Schwere, Elektricität und Magnetismus:080

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
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Oder die Masse ist stetig vertheilt über einen Raum, resp. über eine Fläche, resp. über eine Linie. In diesen drei Fällen ist
* $V=\int {\frac {dm}{r}},$
und man hat die Integration üiber das ganze mit Masse erfüllte geometrische Gebilde auszudehnen. Unter allen Umständen genügt die Potentialfunction in einem Punkte $(x,\,y,\,z)\,$, wo keine Masse vorhanden ist, der Gleichung von Laplace:
| (1) | ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=0.$ |
Wir wollen voraussetzen, dass kein Theil der anziehenden Masse in unendlicher Entfernung liege.
Ist die Masse über einen Raum stetig vertheilt, so genügt die Potentialfunction ausserhalb dieses Raumes der partiellen Differentialgleichung (1), innerhalb desselben aber [§. 13 (4)] der partiellen Differentialgleichung
| (2) | ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=-4\pi \rho ,$ |
und es bedeutet $\rho \,$ die Dichtigkeit in dem inneren Punkte $(x,\,y,\,z)$. Die Function $V\,$ und ihre ersten Derivirten sind im ganzen unendlichen Raume endlich und stetig variabel.
Bei stetiger Vertheilung der Masse auf einer Fläche genügt die Potentialfunction $V\,$ im ganzen unendlichen Raume der partiellen Differentialgleichung (1). Die Function $V\,$ selbst ist überall endlich und stetig variabel. Die ersten Derivirten ${\frac {\partial V}{\partial x}}$, ${\frac {\partial V}{\partial y}}$, ${\frac {\partial V}{\partial z}}$ sind endlich und stetig variabel, so lange der Punkt $(x,\,y,\,z)$ in endlicher, wenn auch noch so kleiner Entfernung von der Fläche sich befindet. Für einen Punkt in der Fläche oder unendlich nahe an derselben hat man eine Verschiebung $ds\,$ in der Fläche von einer Verschiebung $dp\,$ auf der Normale zu unterscheiden. Die Derivirte ${\frac {\partial V}{\partial s}}$ ist in der Fläche endlich und stetig variabel. Sie weicht nur unendlich wenig ab von den Werthen der gleichnamigen Derivirten in einem ausserhalb der Fläche unendlich nahe gelegenen Punkte auf der einen wie auf der anderen Seite. Die
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:083

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Wir schalten einen Hülfssatz ein, der häufig in Anwendung kommt.
Es sei $T\,$ ein vollständig begrenzter Raum und $F\,$ eine Function von $x,\,y,\,z$, die im Innern des Raumes $T\,$ an jeder Stelle einen endlichen, bestimmten Werth hat und bei einer stetigen Verschiebung des Punktes $(x,\,y,\,x)$ sich stetig ändert. Wir wollen das Integral
| (1) | $J=\iiint {\frac {\partial F}{\partial x}}\,dx\,dy\,dz$ |
über den ganzen Raum $T\,$ erstrecken. Die Coordinaten-Ebenen mögen so gelegt sein, dass jedem Punkte im Innern und in der Oberfläche von $T\,$ positive Coordinaten $x,\,y,\,z\,$ angehören, In der $yz\,$Ebene zeichnen wir ein Rechteck, dessen einer Eckpunkt, dem Anfangspunkte zunächst gelegen, die Coordinaten $0,\,y,\,z$ hat, und dessen Seiten von der Länge $dy,\,dz$ parallel den Axen liegen. (Fig. 11.) Ueber diesem Rechteck als Grundfläche errichten wir ein Prisma, dessen Kanten zu der Axe der $x\,$ parallel laufen. Der Punkt $(0,\,y,\,z)$ sei so gewählt, dass das Prisma den Raum $T\,$ durchschneide. Es sind dann ebenso viele Austritts- wie Eintrittsstellen vorhanden, und zwar findet abwechselnd Ein- und Austritt statt. Wir bezeichen mit $x_{1},x_{3},...\,x_{2m-1}$ Werthe von $x\,$ an den Stellen, wo die im Punkte $(0,\,y,\,z)$ errichtete Kante des Prisma in den Raum $T\,$ eintritt, und mit $x_{2},x_{4},...\,x_{2m}$die Werthe von $x\,$ an den Stellen, wo sie austritt. Diese Abscissen sind nach ihrer Grösse geordnet:
* $x_{1}<x_{2}<x_{3}<\ldots x_{2m-1}<x_{2m}.$
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:086

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Differentiationen nach $y\,$ und nach $z\,$ vornimmt. Folglich kann man schreiben:
* ${\begin{aligned}J=&-\iiint U\left({\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}\right)dx\,dy\,dz\\&+\iiint {\frac {\partial \left(U{\frac {\partial V}{\partial x}}\right)}{\partial x}}dx\,dy\,dz\\&+\iiint {\frac {\partial \left(U{\frac {\partial V}{\partial y}}\right)}{\partial y}}dx\,dy\,dz\\&+\iiint {\frac {\partial \left(U{\frac {\partial V}{\partial z}}\right)}{\partial z}}dx\,dy\,dz.\\\end{aligned}}$
Auf die drei letzten Integrale lässt sich die Transformation des vorigen Paragraphen anwenden, wenn vorausgesetzt wird, dass $U{\frac {\partial V}{\partial x}},\,U{\frac {\partial V}{\partial y}},\,U{\frac {\partial V}{\partial z}}$ im Innern des Raumes $T\,$ endliche und stetige Functionen sind. Man erhält danach
* ${\begin{aligned}J=&-\iiint U\left({\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}\right)dx\,dy\,dz\\&-\int U\left({\frac {\partial V}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial n}}+{\frac {\partial V}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial n}}+{\frac {\partial V}{\partial z}}{\frac {\partial z}{\partial n}}\right)d\sigma \\\end{aligned}}$
oder kürzer
| (2) | ${\begin{aligned}J=&-\iiint U\left({\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}\right)dx\,dy\,dz\\&-\int U{\frac {\partial V}{\partial n}}d\sigma .\\\end{aligned}}$ |
Das erste Integral auf der rechten Seite dieser Gleichung ist über den Raum $T\,$, das zweite über seine Oberfläche zu erstrecken.
Die Voraussetzung, unter welcher das Integral (1) in die Form (2) gebracht werden kann, ist erfüllt, wenn $U\,$ und $V\,$ und die ersten Derivirten von $V\,$ im Innern des Raumes $T\,$ endlich und stetig variabel sind. Setzt man dasselbe auch noch von den ersten Derivirten der Function $U\,$ voraus, so gilt auch die Transformation:
* ${\begin{aligned}J=&-\iiint V\left({\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}\right)dx\,dy\,dz\\&-\int V{\frac {\partial U}{\partial n}}d\sigma .\\\end{aligned}}$
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:087

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Aus (2) und (3) geht dann ohne weiteres der Satz hervor:
| (4) | $\iiint \left\lbrack V\left({\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}\right)-U\left({\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}\right)\right\rbrack dx\,dy\,dz$ |
* $+\int \left(V{\frac {\partial U}{\partial n}}-U{\frac {\partial V}{\partial n}}\right)d\sigma$
* $=0.\,$
Dieser Satz ist gültig, wenn im Innern des Raumes $T\,$ die Functionen $U\,$ und $V\,$, sowie die ersten Derivirten von $U\,$ und von $V\,$ endlich und stetig variabel sind.
Treten im Innern von $T\,$ in einzelnen Flächen oder Linien oder Punkten Unstetigkeiten von $U\,$ oder von $V\,$ oder von den ersten Derivirten dieser Functionen auf, so hat man den Raum $T\,$ in zwei Bestandtheile $T_{1}\,$ und $T_{2}\,$ zu zerlegen, so dass alle Unstetigkeiten der Functionen in $T_{2}\,$ liegen. Auf den Raum $T_{1}\,$ darf man dann den Satz (4) anwenden, und es ist die Frage aufzuwerfen, welchen Grenzwerthen sich die Integrale annähern, wenn man den Raum $T_{2}\,$ unendlich abnehmen lässt. Sind solche bestimmte, endliche Grenzwerthe vorhanden, so gilt der Satz (4) auch für den Raum $T\,$. Das dreifache Integral ist über den ganzen Raum $T\,$ zu erstrecken, das Oberflächen-Integral über seine Oberfläche und über die Umhüllungen der Unstetigkeitsstellen.
Dieser Satz ist von Green aufgestellt im 3. Artikel einer Abhandlung, die zuerst in Nottingham 1828 erschienen und später in Crelle's Journal, Bd. 39, 44, 47, wieder abgedruckt ist.*)
Der Satz von Green dient zu der Lösung der Aufgabe: die Potentialfunction $V'\,$ für jeden Punkt $(x',\,y',\,z')$ im Innern eines vollständig begrenzten Raumes $T\,$ zu bestimmen, wenn ihr Werth in jedem Punkte der Oberfläche gegeben und ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}$ im Innern von $T\,$ bekannt ist.
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:081

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Derivirte ${\frac {\partial V}{\partial p}}$ändert sich sprungweise beim Durchgang durch die Fläche, und zwar so, dass
| (3) | $\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{+\varepsilon }-\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{-\varepsilon }=-4\pi \rho .$ |
Mit $\rho \,$ ist die Dichtigkeit in dem Punkte der Fläche bezeichnet, auf dessen Normale die unendlich kleinen Abstände $+\varepsilon$ und $-\varepsilon$ gezählt werden.
Bei stetiger Vertheilung der Masse in einer Linie (§. 16) genügt die Potentialfunction $V\,$ im ganzen unendlichen Raume der Differentialgleichung (1). Sie ist endlich und stetig variabel, so lange der Punkt $(x,\,y,\,z)$ in endlicher Entfernung von der anziehenden Linie bleibt. Nimmt man seinen Abstand $t\,$ von der Linie unendlich klein, so wird die Function $V\,$ unendlich wie $2\rho \lg {\frac {1}{t}}$, und es gilt demnach die Gleichung:
| (4) | $\lim \left(t{\frac {\partial V}{\partial t}}\right)=-2\rho$ für $t=0.\,$ |
Hier bedeutet $\rho \,$ die Dichtigkeit an der Stelle der anziehenden Linie, in welche der Punkt $(x,\,y,\,z)$ für $t=0\,$ hineinrückt.
Ist endlich die Masse $m\,$ in einem Punkte concentrirt, so gilt für den ganzen unendlichen Raum die partielle Differentialgleichung (1). Die Function $V\,$ ist endlich und stetig variabel, so lange der Punkt $(x,\,y,\,z)$ in endlicher Entfernung von dem anziehenden Punkte liegt. Bezeichnet $r\,$ diese Entfernung, so findet sich leicht
| (5) | $rV=-r^{2}{\frac {\partial V}{\partial r}}=m,$ |
und diese Gleichung gilt noch fur $r=0\,$.
Je nach der Art der Massenvertheilung gilt also neben der partiellen Differentialgleichung (1) noch eine von den Gleichungen (2), (3), (4), (5). Zur vollständigen Bestimmung der Function $V\,$ sind nun noch Gleichungen hinzuzufügen, in denen sich ausspricht, was aus der Function und ihren ersten Derivirten wird, wenn der Punkt $(x,\,y,\,z)$ in unendliche Entfernung rückt.
Wir setzen
* $x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}\,$
und bemerken, dass
* $\lim {\frac {R}{r}}=\lim {\sqrt {\frac {x^{2}+y^{2}+z^{2}}{\left(a-x\right)^{2}+\left(b-y\right)^{2}+\left(c-z\right)^{2}}}}=1$
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:082

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ist, wenn keine der Coordinaten $a,\,b,\,c$ unendlich und $\lim R=\infty$ genommen wird. Liegt also die anziehende Masse ganz im endlichen Gebiete, so hat man bei stetiger Vertheilung:
* $\lim \int {\frac {R}{r}}dm=\int dm=M;\,$
dagegen bei einer Vertheilung in discreten Punkten:
* $\lim \sum m{\frac {R}{r}}=\sum m=M,$
d. h. es ist in allen Fällen
| (6) | $\lim RV=M\,$ für $\lim R=\infty .\,$ |
Ferner sieht man leicht, dass
* $\lim {\frac {a-x}{r}}=\lim {\frac {R}{r}}\left({\frac {a}{R}}-{\frac {x}{R}}\right)=-\cos \left(Rx\right)$
ist für $\lim R=\infty \,$. Dabei ist die Linie $R\,$ in der Richtung von dem Anfangspunkte der Coordinaten nach dem unendlich fernen Punkte $(x,\,y,\,z)$ genommen. Die letzte Gleichung lässt sich auch so schreiben:
* $\lim \,\cos \left(rx\right)=-\cos \left(Rx\right)$ für $\lim R=\infty .$
Also hat man bei stetiger Massenvertheilung
* $\lim R^{2}\int {\frac {a-x}{r^{3}}}dm=-\cos \left(Rx\right)\int dm;\,$
dagegen bei einer Vertheilung in discreten Punkten
* $\lim R^{2}\sum {\frac {a-x}{r^{3}}}m=-\cos \left(Rx\right)\sum m.$
Entsprechende Gleichungen finden sich, wenn $y\,$ und resp. $z\,$ statt $x\,$ genommen wird. Dadurch erlangt man die Resultate:
| (7) | $\lim \left(R^{2}{\frac {\partial V}{\partial x}}\right)=-M\cos \left(Rx\right),$ |
| (8) | $\lim \left(R^{2}{\frac {\partial V}{\partial y}}\right)=-M\cos \left(Ry\right),$ |
| (9) | $\lim \left(R^{2}{\frac {\partial V}{\partial x}}\right)=-M\cos \left(Rx\right).$ |
Durch die partielle Differentialgleichung (1), die Gleichungen (6) bis (9) und eine der Gleichungen (2) bis (5) ist die Potentialfunction für jeden Punkt $(x,\,y,\,z)$ vollständig und eindeutig bestimmt. Dieser wichtige Satz soll im §. 22 bewiesen werden.
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:089

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$V\,$
* $-\iiint U\left({\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}\right)dx\,dy\,dz.$
Da der Raum $T\,$ völlig begrenzt ist, also seine Begrenzung ganz im endlichen Gebiete liegt, so hat dieses Integral, über den Raum $T_{1}\,$, erstreckt, einen bestimmten, endlichen Werth. Dies gilt noch selbst für $\lim c=0\,$. Denn innerhalb der Kugel vom Radius $c\,$ kann man als Raumelement einführen
* $r^{2}\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\varphi ,$
und da $U\,$ nur die erste Potenz von $r\,$ im Nenner hat, so verschwinden die Beiträge, welche für $\lim c=0\,$ zu dem Raum-Integral hinzukommen. Man hat dasselbe also für diesen Grenzfall über den ganzen Raum $T\,$ zu erstrecken, und es behält einen bestimmten, endlichen Werth.
Das Oberflächen-Integral in der Gleichung (4) des vorigen Paragraphen ist aus zwei Bestandtheilen zusammengesetzt. Der erste rührt von der Oberfläche des Raumes $T\,$ her und reducirt sich auf
* $\int V{\frac {\partial U}{\partial n}}d\sigma .$
Der andere ist das über die Umhüllung des Punktes $(x',\,y',\,z')$ ausgedehnte Integral. Hier fällt die nach dem Innern von $T_{1}\,$ gezogene Normale mit der Richtung der wachsenden $r\,$ zusammen. Der zweite Bestandtheil des Oberflächen-Integrals lautet also
* $\int \left(V{\frac {\partial U}{\partial r}}-U{\frac {\partial V}{\partial r}}\right)_{r=c}c^{2}\,d\omega ,$
wenn mit $d\omega \,$ das Oberflächen-Element einer Kugel vom Radius 1 bezeichnet wird. Dieses letzte Integral lässt sich nun auch so schreiben
* $c^{2}\int \left(V{\frac {\partial U_{1}}{\partial r}}-U_{1}{\frac {\partial V}{\partial r}}\right)_{r=c}d\omega$
* $+c^{2}\int \left\lbrack V{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial r}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial V}{\partial r}}\right\rbrack _{r=c}d\omega$
* $=c^{2}\int \left(V{\frac {\partial U_{1}}{\partial r}}-U_{1}{\frac {\partial V}{\partial r}}\right)_{r=c}d\omega$
* $-\int V\,d\omega -c\int \left({\frac {\partial V}{\partial r}}\right)_{r=c}d\omega .$
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:091

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$V\!$
$+p\!$
$-p\!$
* ${\frac {\partial V}{\partial n}}=\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{+0},\quad {\frac {\partial U}{\partial n}}=\left({\frac {\partial U}{\partial p}}\right)ad{+0}$
und auf der Seite der negativen Normale
* ${\frac {\partial V}{\partial n}}=-\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{-0},\quad {\frac {\partial U}{\partial n}}=-\left({\frac {\partial U}{\partial p}}\right)_{-0}.\,$
Der angehängte Index $\pm 0$ drückt aus, dass die Derivirte an der Stelle $p\pm \varepsilon$ genommen und $\varepsilon$ der Null unendlich angenähert werden soll. Erstreckt man nun das Oberflächen-Integral über die beiden Hüllen der Unstetigkeitsfläche, so erhält man auf der Seite der positiven Normale
* $\int \left\lbrace V_{+0}\left({\frac {\partial U}{\partial p}}\right)_{+0}-U_{+0}\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{+0}\right\rbrace d\sigma$
und auf der Seite der negativen Normale
* $-\int \left\lbrace V_{-0}\left({\frac {\partial U}{\partial p}}\right)_{-0}-U_{-0}\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{-0}\right\rbrace d\sigma .\,$
Es ist aber $U_{+0}=U_{-0}\!$ und $\left({\frac {\partial U}{\partial p}}\right)_{+0}=\left({\frac {\partial U}{\partial p}}\right)_{-0}\,$. Zu dem Oberflächen-Integral auf der rechten Seite der Gleichung (3) kommt also in diesem Falle der Beitrag hinzu:
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:097

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$V\,$
endlicher Nähe der anziehenden Fläche $V_{+0}=V_{-0}\!$. Danach wird aus der Gleichung (2), wenn man den Beitrag (4) des vorigen Paragraphen in Betracht zieht:
* $4\pi \,V'=-\int {\frac {1}{r}}\left\{\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{+0}-\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{-0}\right\}d\sigma .$
Hier hat $p\!$ dieselbe Bedeutung wie in der Gleichung (3) des §. 18. Vermöge dieser Gleichung erhalten wir also
| (4) | $V'=\int \rho \,{\frac {d\sigma }{r}}.$ |
Die Integration ist über die anziehende Fläche auszudehnen.
Es sei drittens die anziehende Masse nur über eine Linie ausgebreitet und keine endliche Masse in einzelnen Punkten concentrirt. Dann ist in dem ganzen unendlichen Raume
* ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=0.\,$
In unendlicher Nähe der anziehenden Linie gilt die Gleichung (4) des §. 18. Folglich erhalten wir zu dem Oberflächen-Integral der Gleichung (2) den Beitrag [§. 21, (5)]:
* $4\pi \int \rho \,{\frac {ds}{r}},\,$
und die Gleichung (2) gibt jetzt
| (5) | $V'=\int \rho \,{\frac {ds}{r}}.\,$ |
Das Integral ist über die anziehende Linie zu erstrecken.
Wenn endlich viertens die anziehende Masse $m\!$ in einem einzigen Punkte $(x,\,y,\,z)$ concentrirt ist, so gilt wieder für den unendlichen Raum die partielle Differentialgleichung
* ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=0.\,$
Ausserdem haben wir die Gleichung (5) des §. 18. In Folge davon ergibt sich zu dem Oberflächen-Integral der Gleichung (2) der Beitrag [§. 21, (6)]
* ${\frac {4\,\pi \,m}{r}},\,$
und wir erhalten aus Gleichung (2):
| (6) | $V'={\frac {m}{r}}.\,$ |
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:098

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Aus den Gleichungen (3), (4), (5), (6) ersieht man, dass für jeden der zu betrachtenden Fälle die Differentialgleichungen des §. 18 und die dort aufgestellten Unstetigkeits- und Nebenbedingungen je eine einzige, völlig bestimmte Function liefern, und zwar stimmt der Ausdruck dieser Function, wie er aus den Vorschriften des §. 18 hervorgeht, überein mit dem Ausdrucke, welcher als Definition der Potentialfunction aufgestellt ist. Man erkennt dies unmittelbar durch Vergleichung der Ausdrücke (3), (4), (5), (6) mit resp. §. 2, (5), §. 14, (1), §. 17, (2), §. 2, (2). Damit ist die Behauptung des §. 18 bewiesen.
In §. 21 ist allgemein gezeigt worden, wie man mit Hülfe des Satzes von Green die Potentialfunction $V'\!$ für jeden Punkt $(x',\,y',\,z')$ im Innern eines Raumes $T\!$ bestimmt, wenn ihr Werth überall in der Oberfläche gegeben und die Summe ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}$ im Innern bekannt ist.
Die Green’sche Hülfsfunction $U\!$ soll hier für einen besonderen Fall hergestellt werden. Der Raum $T\!$ sei ein rechtwinkliges Parallelepipedon. Wir legen die Coordinaten so, dass der Anfangspunkt in den Mittelpunkt des Parallelepipedon fällt, dass die Begrenzungs-Ebenen zu zweien je einer Coordinaten-Ebene parallel laufen und dass sie auf den Axen resp. die Strecken $\pm \,{\frac {a}{2}},\,\pm \,{\frac {b}{2}},\,\pm \,{\frac {c}{2}}$ abschneiden.
Nach der Methode von Green' ist es erforderlich, eine Function $U\!$ herzustellen, welche
1) in der Oberfläche überall den Werth Null hat;
2) im Punkte $(x',\,y',\,z')$ unendlich wird wie der reciproke Werth der Entfernung von diesem Punkte, übrigens aber im Innern des Parallelepipedon endlich und stetig variabel ist;
3) im Innern des Parallelepipedon der partiellen Differentialgleichung Genüge leistet:
* ${\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}=0.$
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:090

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Für $\lim c=0\!$ bleibt nur das Integral $-\int \;Vd\omega ,\!$ und wenn man den Werth von $V\,$ im Punkte $(x^{'},y^{'},z^{'})\!$ mit $V\,$ bezeichnet, so ergibt sich
* $\lim \int \left(V\,{\frac {\partial U}{\partial r}}-U\,{\frac {\partial V}{\partial r}}\right)_{r=c}\,c^{2}d\omega =-4\pi V'.$
Aus der Gleichung (4) des vorigen Paragraphen erhalten wir also
| (3) | ${\begin{aligned}4\pi V^{'}=&-\iiint U\left({\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}\right)\;dx\;dy\;dz\\&+\int V{\frac {\partial U}{dn}}d\sigma ,\\\end{aligned}}$ |
und hier ist das dreifache Integral über den Raum $T,\!$ das Oberfächen-Integral über seine Begrenzung zu erstrecken.
Dabei ist vorausgesetzt, dass die Function $V$ und ihre ersten Derivirten innerhalb des Raumes $T\!$ überall endlich und stetig bleiben.
Es fragt sich noch, welche Modificationen eintreten, wenn der Raum $T\!$ sich ins Unendliche erstreckt. In diesem Falle hat man zu der schon vorhandenen Begrenzung noch eine solche hinzuzufügen, welche alle aus dem endlichen Gebiete austretenden Bestandtheile von $T\!$ ausschliesst. Es fragt sich dann, was aus den Integralen auf der rechten Seite der Gleichung (3) wird, wenn man die neu hinzugefügten Begrenzungstheile so ins Unendliche rücken lässt, dass der gegebene Raum $T\!$ wieder zu Stande kommt. Behalten die Integrale in diesem Falle bestimmte, endliche Werthe, so bleibt die Gleichung (3) in Gültigkeit.
Sind Unstetigkeitsstellen der Function $V\!$ oder der ersten Derivirten vorhanden, so kommen zu dem Oberflächen-Integral noch Beiträge hinzu. Wir unterscheiden die drei Falle, dass die Unstetigkeit in einer Fläche, oder in einer Linie oder in einem Punkte stattfindet.
Erstens. Wenn die Unstetigkeit in einer Fläche auftritt, so legen wir ihr unendlich nahe zwei Flächen, welche auf der positiven und auf der negativen Normale der Unstetigkeitsfläche überall die constante Strecke $+\varepsilon \!$ und resp. $-\varepsilon \!$ abschneiden. Wir wollen dann $z\!$ unendlich klein werden lassen. Diese beiden Flächen und ein Cylinder von der unendlich kleinen Höhe $2\varepsilon \!$ welcher dem Rande der Unstetigkeitsfläche unendlich nahe liegt,