# Ueber die Induction in rotirenden Kugeln/§6

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Ich mache jetzt die Annahme, dass die Masse der Kugel fähig sei, magnetische Polarität anzunehmen. Von dem Vorhandensein einer Coercitivkraft sehe ich ab.
Zunächst sind die für diesen Fall geltenden Formen der elektromotorischen Kräfte zu bilden. Nach Anleitung des § 1,6 haben wir, um die Wirkung der Magnetismen zu erhalten, in den allgemeinen Formeln für die elektromotorischen Kräfte zu ersetzen:
* ${\begin{aligned}&U\ &{\text{durch }}\ &{\frac {\partial M}{\partial z}}-{\frac {\partial N}{\partial y}}\\&V&&{\frac {\partial N}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial z}}\\&W&&{\frac {\partial L}{\partial y}}-{\frac {\partial M}{\partial x}}.\end{aligned}}\,$
Danach ist weiter zu ersetzen:
| $1)\,$ | ${\begin{aligned}&{\frac {\partial V}{\partial x}}-{\frac {\partial U}{\partial y}}\ &{\text{durch }}\ &{\mathit {\Delta }}N+{\frac {\partial \chi }{\partial z}}\\&{\frac {\partial U}{\partial z}}-{\frac {\partial W}{\partial x}}&&{\mathit {\Delta }}M+{\frac {\partial \chi }{\partial y}}\\&{\frac {\partial W}{\partial y}}-{\frac {\partial V}{\partial z}}&&{\mathit {\Delta }}L+{\frac {\partial \chi }{\partial x}},\end{aligned}}\,$ |
da
| $2)\,$ | ${\frac {\partial L}{\partial x}}+{\frac {\partial M}{\partial y}}+{\frac {\partial N}{\partial z}}=-\chi \,$ ist. |
Nun ist aber
| $3)\,$ | ${\begin{aligned}&{\mathit {\Delta }}L&=-4\pi \lambda \\&{\mathit {\Delta }}M&=-4\pi \mu \\&{\mathit {\Delta }}N&=-4\pi \nu \end{aligned}}\,$ |
| $4)\,$ | ${\begin{aligned}{\frac {\lambda }{\theta }}&={\frac {\partial V}{\partial z}}-{\frac {\partial W}{\partial y}}-{\frac {\partial \chi }{\partial x}}\\{\frac {\mu }{\theta }}&={\frac {\partial W}{\partial x}}-{\frac {\partial U}{\partial z}}-{\frac {\partial \chi }{\partial y}}\\{\frac {\nu }{\theta }}&={\frac {\partial U}{\partial y}}-{\frac {\partial V}{\partial x}}-{\frac {\partial \chi }{\partial z}}.\end{aligned}}\,$ |
$L,\ M,\ N\,$
${\frac {\partial V}{\partial x}}-{\frac {\partial U}{\partial y}}\,$
${\frac {\partial V}{\partial x}}-{\frac {\partial U}{\partial y}}\,$
| $5)\,$ | ${\begin{aligned}&(1+4\pi \theta )\left({\frac {\partial V}{\partial x}}-{\frac {\partial U}{\partial y}}-{\frac {\partial \chi }{\partial z}}\right)\\&(1+4\pi \theta )\left({\frac {\partial U}{\partial z}}-{\frac {\partial W}{\partial x}}-{\frac {\partial \chi }{\partial y}}\right)\\&(1+4\pi \theta )\left({\frac {\partial W}{\partial y}}-{\frac {\partial V}{\partial z}}-{\frac {\partial \chi }{\partial x}}\right).\end{aligned}}\,$ |
In denselben bedeutet $\chi \,$ das Gesammtpotential. Dasselbe besteht aber:
1. aus dem gegebenen äusseren Potential der inducirenden Magnete,
2. aus dem Eigenpotential $\chi _{0}\,$ der magnetisirten Kugel. Für das letztere gelten die Bedingungen:
Im Innern
| $6)\,$ | ${\mathit {\Delta }}\chi _{0}=0,\,$ |
wie aus Gleichung 2) und 4) folgt; an der Grenze:
| $7)\,$ | $4\pi \theta N_{\varrho }=(1+4\pi \theta ){\frac {\partial \chi _{oi}}{\partial \varrho }}-{\frac {\partial \chi _{oa}}{\partial \varrho }},\,$ |
wenn $N_{\varrho }\,$ die von den äussern Magnetismen und den inducirten Strömungen in Richtung des Radius ausgeübte Kraft ist.
In Worten kann man die Wirkung der Polarisirbarkeit des Mediums so aussprechen:
Die Polarisirbarkeit verändert einmal die magnetisirenden Kräfte im Innern in der Weise, wie dies die allgemeine Theorie des Magnetismus angiebt, sie vergrössert zweitens die von den magnetisirenden Kräften verursachten Wirkungen im Verhältniss $1+4\pi \theta .\,$ Beide Theile der Wirkung haben entgegengesetzte Tendenz; der Erfolg ist, dass die Wirkung auch für sehr grosse $\theta \,$ nur in endlichem Verhältniss vergrössert erscheint.
Es werde wieder zunächst von der Selbstinduction abgesehen. Es muss aber bemerkt werden, dass dies nur dann erlaubt ist, wenn
* $R{\sqrt {\frac {4\pi \omega (1+4\pi \theta )}{\varkappa }}}\,$
$\theta \,$
$R\,$
$\omega \,$
* $\chi _{n}=A\varrho ^{n}Y_{n},\,$
so kann das Eigenpotential der Hohlkugel in der Form dargestellt werden
* $\chi _{0}=\left(C+{\frac {Br^{2n+1}}{\varrho ^{2n+1}}}\right)\chi _{n}\,$
und also das Gesammtpotential in der Form
* $\chi =\left(A+B\left({\frac {r}{\varrho }}\right)^{2n+1}\right)\chi _{n}.\,$
Nach dem Vorigen verhält sich nun die magnetische Hohlkugel genau so, wie eine nicht polarisirbare von gleichem Widerstand, welche unter dem Einfluss des Potentials
* $(1+4\pi \theta )\left(A+B\left({\frac {r}{\varrho }}\right)^{2n+1}\right)\chi _{n}\,$
steht.
Da dies Potential aus zwei Kugelfunktionen besteht, so lassen sich die Strömungen nach dem vorigen als bekannt ansehen.
Für die Strömungsfunktion erhalten wir:
* $\psi =-{\frac {\omega }{\varkappa }}(1+4\pi \theta )\left({\frac {A}{n+1}}-{\frac {B}{n}}\left({\frac {r}{\varrho }}\right)^{2n+1}\right)\varrho {\frac {\partial \chi _{n}}{\partial \omega }}.\,$
Wären alle Umstände dieselben, nur $\theta =0,\,$ so würden wir für die Strömungsfunktion $\psi _{0}\,$ erhalten haben
* $\psi _{0}=-{\frac {\omega }{\varkappa }}{\frac {\varrho }{n+1}}{\frac {\partial \chi _{n}}{\partial \omega }}.\,$
Durch Division folgt:
* $\psi =(1+4\pi \theta )\left(A-{\frac {n+1}{n}}B\left({\frac {r}{\varrho }}\right)^{2n+1}\right)\psi _{0}.\,$
$\psi \,$
$\psi _{0}\,$
$A\,$
$B\,$
${\frac {r}{R}}=\varepsilon ,\,$
* ${\begin{aligned}A&={\frac {(2n+1)\lbrace (2n+1)(1+4\pi \theta )-4\pi \theta n\rbrace }{n(n+1)\ 16\pi ^{2}\theta ^{2}(1-\varepsilon ^{2n+1})+(2n+1)^{2}(1+4\pi \theta )}}\\B&={\frac {4\pi \theta n(2n+1)}{n(n+1)\ 16\pi ^{2}\theta ^{2}(1-\varepsilon ^{2n+1})+(2n+1)^{2}(1+4\pi \theta )}}.\end{aligned}}\,$
Da diese Ausdrücke eine leichte Uebersicht nicht gestatten, so sollen dieselben auf vereinfachte Fälle angewandt werden.
1. Es sei $\theta \,$ sehr klein. Dann wird durch Entwickelung:
* ${\begin{aligned}A&=1-&{\frac {n}{2n+1}}4\pi \theta \\B&=&{\frac {n}{2n+1}}4\pi \theta \end{aligned}}\,$
also
* $\psi =\psi _{0}+{\frac {n+1}{2n+1}}\ 4\pi \theta \left(1-\left({\frac {r}{\varrho }}\right)^{2n+1}\right)\psi _{0}.\,$
Die Intensität der Strömung erscheint also an der Innenfläche der Hohlkugel gar nicht verändert, in den übrigen Theilen der Kugel erscheint sie überall verstärkt, wenn $\theta \,$ positiv ist. Die Verstärkung ist mit $\theta \,$ proportional. In diamagnetischen Kugeln ist die Intensität überall schwächer als in unmagnetischen. Die Drehung magnetischer Kugeln erfordert mehr, die diamagnetischer weniger Arbeit, als die unmagnetischer.
2. Es sei $\theta \,$ sehr gross, und nicht gleichzeitig $\varepsilon \,$ sehr nahe an $1.\,$ Dann wird
* ${\begin{aligned}A&={\frac {2n+1}{4\pi \theta n(1-e^{2n+1})}}\\B&={\frac {2n+1}{4\pi \theta (n+1)(1-e^{2n+1})}}\end{aligned}}\,$
und also:
* $\psi ={\frac {2n+1}{n}}\ {\cfrac {1-\left({\cfrac {r}{\varrho }}\right)^{2n+1}}{1-\left({\cfrac {r}{R}}\right)^{2n+1}}}\ \psi _{0}.\,$
${\frac {2n+1}{n}}\,$
$\theta \,$
3. Es sei $\varepsilon \,$ unendlich nahe gleich 1.
Dann wird
* ${\begin{aligned}A&={\frac {(2n+1)(1+4\pi \theta )-4\pi \theta n}{(2n+1)(1+4\pi \theta )}}\\B&={\frac {4\pi \theta n}{(2n+1)(1+4\pi \theta )}}.\end{aligned}}\,$
Also wird
* $\psi ={\frac {2n+1}{2n+1}}\ \psi _{0}=\psi _{0}.\,$
In unendlich dünnen Hohlkugeln ist die Magnetisirbarkeit ohne Einfluss auf die inducirten Strömungen, (obgleich die Polarisationen nicht verschwinden, und die magnetisirenden Kräfte in der Schaale Aenderungen erleiden). Ich bemerke gleich, dass dies Resultat Gültigkeit behalten wird, auch dann, wenn auf die Selbstinduction Rücksicht genommen wird.
4. Es sei $\varepsilon =0,\,$ das ist der Fall in der Vollkugel.
Das Glied mit negativem Exponenten von $\varrho \,$ fällt fort; es wird erhalten
* ${\begin{aligned}A&={\cfrac {1}{1+{\cfrac {4\pi \theta n}{2n+1}}}}\\\psi &={\cfrac {1+4\pi \theta }{1+{\cfrac {n}{2n+1}}\ 4\pi \theta }}\ \psi _{0}.\end{aligned}}\,$
Für grosse $\theta \,$ folgt daraus
* $\psi ={\frac {2n+1}{n}}\ \psi _{0}.\,$
${\frac {2n+1}{n}}\,$
5. Ebene Platten.
Eine sehr dünne ebene Platte kann als Theil einer sehr dünnen Hohlkugel angesehen werden, für eine solche ist daher
* $\psi =\psi _{0}.\,$
Eine sehr dicke Platte kann als Theil einer unendlichen Vollkugel angesehen werden, für eine solche ist, da $n\,$ sehr gross zu setzen ist:
* $\psi ={\frac {1+4\pi \theta }{1+2\pi \theta }}\psi _{0}.\,$
In beiden Grenzfällen bleibt auch die gesammte Strömungsform ungeändert; in dem zuletzt genannten ist bei grossen $\theta \,$ die Intensität durch die Magnetisirbarkeit verdoppelt.
Bei mittleren Dicken der Platten gelten mittlere Werthe, die Rechnungen lassen sich leicht durchführen, geben aber keine sehr einfachen Resultate, weshalb sie hier wegbleiben mögen.
Es werde jetzt die Selbstinduction in Betracht gezogen, jedoch sollen die Rechnungen nur für Vollkugeln durchgeführt werden. Analytische Schwierigkeiten besonderer Natur bieten auch Hohlkugeln nicht, die Rechnungen werden aber äusserst complicirt.
Wir finden die Strömung durch folgende Ueberlegungen:
Sei das inducirende Potential
* $\chi _{ni}=A\left({\frac {\varrho }{R}}\right)^{n}\cos i\omega \ P_{ni}.\,$
Sei $\psi _{0}\,$ die von $\chi _{ni}\,$ direct inducirte Strömungsfunktion, dann ist:
* $\psi _{0}=-{\cfrac {1+4\pi \theta }{1+{\cfrac {n}{2n+1}}\ 4\pi \theta }}\cdot {\frac {\omega }{\varkappa }}A\varrho \left({\frac {\varrho }{R}}\right)^{n}{\frac {i}{n+1}}\sin i\omega \ P_{ni}.\,$
* $\psi =-{\frac {\omega }{\varkappa }}\ A\varrho \left({\frac {\varrho }{R}}\right)^{n}{\frac {i}{n+1}}(f_{1}\sin i\omega +f_{2}\cos i\omega )\ P_{ni}\,$
die thatsächlich stattfindende Strömungsfunktion. Es handelt sich darum, die von dieser inducirte Strömung zu finden. Hierzu ist zunächst die Kenntniss des von $\psi \,$ in der magnetischen Masse inducirten Potentiales $\chi _{\theta }\,$ erforderlich.
Die von der Strömungsfunktion
* $\psi =\varrho \left({\frac {\varrho }{R}}\right)^{n}f(\varrho )Y_{n}\,$
in Richtung des Radius ausgeübte magnetische Kraft ist
* ${\begin{aligned}N_{\varrho }&={\frac {x}{\varrho }}\left({\frac {\partial W}{\partial y}}-{\frac {\partial V}{\partial z}}\right)+{\frac {y}{\varrho }}\left({\frac {\partial U}{\partial z}}-{\frac {\partial W}{\partial x}}\right)+{\frac {z}{\varrho }}\left({\frac {\partial V}{\partial x}}-{\frac {\partial U}{\partial y}}\right)\\&={\frac {O}{\varrho }}\quad {\text{(Seite 32)}}\\&=-{\frac {n(n+1)}{\varrho }}F\left({\frac {\varrho }{R}}\right)^{n}Y_{n},\quad {\text{(Seite 34)}}\end{aligned}}\,$
wenn $F\,$ und $f\,$ den auf Seite 38 angegebenen Zusammenhang haben.
Hieraus und aus den Bedingungsgleichungen für $\chi _{\theta }\,$ (Gleichung 6) 7) Seite 65) ergiebt sich $\chi _{\theta }\,$ im allgemeinen und in unserm speciellen Falle, und wir erhalten für letzteren:
* $\chi _{\theta }={\frac {4\pi \theta n(n+1)}{2n+1+4\pi \theta n}}\,$
* $\cdot {\frac {\omega }{\varkappa }}\ A{\frac {i}{n+1}}\left({\frac {\varrho }{R}}\right)^{n}\lbrace F_{1}(R)\sin i\omega +F_{2}(R)\cos i\omega \rbrace \ P_{ni}.\,$
Verstehen wir nun unter $\psi '\,$ diejenige Strömungsfunktion welche $\psi \,$ und $\chi _{\theta }\,$ zusammen in der unmagnetischen Kugel erzeugen würden, so veranlassen sie in der magnetischen Masse die Funktion
* $\psi '_{\theta }=(1+4\pi \theta )\psi ',\,$
und die Bedingung des stationären Zustandes wird werden:
* $\psi =\psi _{o}+\psi '_{\theta }\,$
$\psi '\,$
$\psi '_{\theta }\,$
$\psi ,\ \psi _{0},\ \psi '_{\theta }\,$
$\cos i\omega \,$
$\sin i\omega \,$
$f_{1},\ f_{2},\ F_{1}\,$
$F_{2}\,$
* ${\begin{aligned}f_{1}\varrho &={\frac {(2n+1)(1+4\pi \theta )}{2n+1+4\pi \theta n}}-&{\frac {\omega i}{\varkappa }}&{\frac {4\pi \theta n(1+4\pi \theta )}{2n+1+4\pi \theta n}}\ F_{2}(R)\\&&&+{\frac {\omega i}{\varkappa }}(1+4\pi \theta )F_{2}(\varrho )\\f_{2}(\varrho )&=&{\frac {\omega i}{\varkappa }}&{\frac {4\pi \theta n(1+4\pi \theta )}{2n+1+4\pi \theta n}}\ F_{1}(R)\\&&&-{\frac {\omega i}{\varkappa }}(1+4\pi \theta )F_{1}(\varrho ).\end{aligned}}\,$
Setzt man hier
* ${\frac {4\pi i\omega (1+4\pi \theta )}{\varkappa }}=\mu ^{2}\,$
* ${\begin{aligned}f_{1}(\varrho )&=\varphi _{1}(\mu \varrho )&=\varphi _{1}\sigma \\f_{2}(\varrho )&=\varphi _{2}(\mu \varrho )&=\varphi _{2}\sigma \end{aligned}}\,$
so werden für die $\varphi _{1}\,$ und $\varphi _{2}\,$ hier genau dieselben Differentialgleichungen erhalten, wie früher (Seite 41). Da wir eine Vollkugel behandeln, brauchen wir nur diejenigen Lösungen beizubehalten, welche im Mittelpunkte endlich sind, wir können also setzen:
* ${\begin{aligned}\varphi _{1}&=Ap_{n}(\lambda _{1}\sigma )+Bp_{n}(\lambda _{2}\sigma )\\\varphi _{2}&=-\lambda _{1}^{2}Ap_{n}(\lambda _{1}\sigma )-B\lambda _{2}^{2}p_{n}(\lambda _{2}\sigma )\end{aligned}}\,$
* ${\begin{aligned}\lambda =\lambda _{1}&={\sqrt {\frac {1}{2}}}(1+{\sqrt {-1}})\\\lambda _{2}&={\sqrt {\frac {1}{2}}}(1-{\sqrt {-1}}).\end{aligned}}\,$
* $f_{1}\varrho +f_{2}\varrho {\sqrt {-1}}={\frac {(2n+1)(1+4\pi \theta )p_{n}(\lambda \mu \varrho )}{2np_{n-1}(\lambda \mu R)+4\pi \theta np_{n}(\lambda \mu R)}}.\,$
Wir verificiren zunächst dies Resultat. Für verschwindende $\theta \,$ giebt es
* $f_{1}+f_{2}{\sqrt {-1}}={\frac {2n+1}{2n}}{\frac {p_{n}(\lambda \mu \varrho )}{p_{n-1}(\lambda \mu R)}},\,$
was mit dem für unmagnetische Vollkugel erhaltenen (Seite 45) übereinstimmt.
Für verschwindende $\omega \,$ ergiebt es ferner, da
* $p_{n}(0)={\frac {2^{n+1}n!}{1\cdot 3\cdots 2n+1}}\,$
* $f_{1}+f_{2}{\sqrt {-1}}={\frac {(2n+1)(1+4\pi \theta )}{2n+1+4\pi \theta n}},\,$
was wir gleichfalls gefunden haben. (Seite 68).
Im Allgemeinen ist ersichtlich, dass die Form der Strömung in der magnetischen Kugel dieselbe ist, wie diejenige, welche in einer unmagnetischen Kugel von gleichem Widerstand entsteht, wenn letztere $(1+4\pi \theta )\,$ mal schneller rotirt als die magnetische Kugel. Beide Strömungen unterscheiden sich dann aber noch dadurch von einander, dass sie, als Ganzes gedacht, um einen gewissen Winkel gegen einander gedreht sind, sowie durch ihre verschiedene Intensität.
Ich wende die Formel auf zwei specielle Fälle an.
1. Es sei $4\pi \theta \,$ sehr gross, $\omega \,$ aber hinreichend klein, dass $\mu ^{2}R^{2}\,$ gegen die Einheit verschwindet. Es soll die Formel entwickelt werden und nur die erste Potenz dieser Grösse beibebehalten werden. Man hat:
* $f_{1}+f_{2}{\sqrt {-1}}={\frac {2n+1}{n}}{\frac {p_{n}(\mu \varrho \lambda )}{p_{n}(\mu R\lambda )}}\,$
* $={\frac {2n+1}{n}}\cdot {\frac {2(2n+3)+\mu ^{2}\varrho ^{2}{\sqrt {-1}}}{2(2n+3)+\mu ^{2}R^{2}{\sqrt {-1}}}}\quad {\text{(Seite 47)}}\,$
Für den Drehungswinkel erhalten wir unter Vernachlässigung von Gliedern höherer Ordnung:|[73]
* $\delta ={\text{arctg}}\left({\frac {f_{2}}{f_{1}}}\right)=-{\frac {\mu ^{2}}{2(2n+3)}}(R^{2}-\varrho ^{2})\,$
* ${\frac {\delta }{i}}=-{\frac {16\pi ^{2}\omega \theta }{2(2n+3)\varkappa }}(R^{2}-\varrho ^{2}).\,$
Die Drehung ist also Null in der äussersten Schicht, im Allgemeinen ist sie bedeutend vergrössert gegen die unmagnetische Kugel, nahezu im Verhältniss $4\pi \theta .\,$
In Figur $d,\,$ Tafel 1 sind für eine Eisenkugel die Curven dargestellt, welche den auf Seite 50 für eine Kupferkugel gegebenen entsprechen. Dabei ist der Widerstand des Eisens gleich dem $6\,$ fachen des Kupfers angenommenen, und $4\pi \theta =200\,$ gesetzt. Die dargestellten Geschwindigkeiten sind äusserst geringe, nämlich eine Umdrehung in $10\,$ Sekunden und eine Umdrehung in $5\,$ Sekunden; schon hier macht sich also die Selbstinduction recht bemerklich. Vgl. Taf. 7 b.
2. Wird $\omega \,$ sehr gross, während $\theta \,$ einen endlichen, übrigens beliebigen Werth behält, so wird, wie man leicht aus den Formeln ableitet, die Erscheinung derjenigen in unmagnetischen Kugeln durchaus ähnlich werden. Auch hier ist schliesslich der Drehungswinkel in der äussersten Schicht ${\frac {\pi }{4i}}.\,$ Die Erscheinung ist identisch mit derjenigen, welche in der unmagnetischen Kugel bei einer $(1+4\pi \theta )\,$ fachen Geschwindigkeit besteht. Die erzeugte Wärme ist dann ${\sqrt {1+4\pi \theta }}\,$ mal grösser als in der mit gleicher Geschwindigkeit bewegten unmagnetischen Kugel.
* ↑ Die Differentialgleichungen. WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.
* ↑ Vernachlässigung der Selbstinduction. WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.
* ↑ Besondere Fälle: WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.
* ↑ $\theta \,$ sehr klein. WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.
* ↑ $\theta \,$ sehr gross. WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.
* ↑ Dünne Hohlkugel. WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.
* ↑ Vollkugel. WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.
* ↑ Ebene Platten. WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.
* ↑ Berücksichtigung der Selbstinduction. WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.
* ↑ Beschränkung auf Vollkugeln. WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.
* ↑ Die Lösung. WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.
* ↑ Vergleich mit früheren Resultaten. WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.
* ↑ Kleine Rotationsgeschwindigkeiten. WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.
* ↑ Eine Folge davon, dass in dieser Schicht, für grosse $\theta ,\,$ nach den Gleichungen für $\chi _{\theta }\,$ $N_{r}-{\frac {\partial \chi ^{\theta }}{\partial r}}=0\,$ ist.
* ↑ Grosse Geschwindigkeiten. WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.