# Die elektrischen Kräfte/Zusammenstellung:§6

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$dt\,$
| $(32.)\,$ | $(dT+dQ)_{\text{elst.Us}}.\$ |
Es soll nun hier gezeigt werden, dass diese Quantität (32.) ein vollständiges Differential ist.
Die repulsive Kraft, welche zwei elektrische Massen $\mu _{0}\,$ und $\mu _{1}\,$ in der Entfernung $r\,$ auf einander ausüben, hat, nach dem von Coulomb gegebenen elektrostatischen Grundgesetz, den Werth:
| $(33.)\,$ | $-\mu _{0}\mu _{1}{\frac {d\varphi (r)}{dr}}\ ;$ |
und es wird daher der Ausdruck
| $(34.)\,$ | $\mu _{0}\mu _{1}\varphi (r)\,$ |
zu bezeichnen sein als das elektrostatische Potential der beiden Massen $\mu _{0}\,$ und $\mu _{1}.\,$
Gewöhnlich pflegt man aber $\varphi (r)\,$ schlechtweg $={\tfrac {1}{r}}\,$ zu setzen. Ebenso aber, wie das Newton’sche Gesetz für sehr kleine Entfernungen einer gewissen Modification bedarf, ebenso erscheint es sehr möglich, dass einer analogen Modification vielleicht auch das Coulomb’sche Gesetz bedürftig ist. Der grösseren Allgemeinheit willen mag daher im Folgenden unter $\varphi (r)\,$ eine Function verstanden sein, welche nur für beträchtliche Entfernungen identisch mit ${\tfrac {1}{r}},\,$ für sehr kleine Entfernungen hingegen von noch unbekannter Beschaffenheit ist.
Das Coulomb’sche Gesetz giebt an und für sich noch durchaus keinen Aufschluss über die eigentliche Wirkung der in Rede stehenden Kräfte; und es bedarf daher, um das Gesetz überhaupt brauchbar zu machen, irgend welcher accessorischer Annahmen. Die Hypothesen, deren man in dieser Beziehung sich zu bedienen pflegt, sind folgende:
Erste Hypothese. Die ponderomotorische Kraft elektrostatischen Ursprungs $R,\,$ mit welcher zwei ponderable Massenelemente $M_{0}\,$ und $M_{1}\,$ auf einander einwirken, ist jederzeit identisch mit derjenigen Kraft, welche, nach dem Coulomb’schen Gesetz, stattfindet zwischen ihren augenblicklichen elektrischen Ladungen.
Nach (33.) wird also jene Kraft $R\,$ den Werth haben:
| $(35.)\,$ | $R=-\mu _{0}\mu _{1}{\frac {d\varphi (r)}{dr}}\,,$ |
$M_{0}\,$
$M_{1}\,$
$r,\,$
$\mu _{0}\,$
$\mu _{1}\,$
Zweite Hypothese. Die elektromotorische Kraft elektrostatischen Ursprungs ${\mathfrak {R}},\$ welche $M_{1}\,$ hervorruft in irgend einem Punkte $m_{0}\,$ des Elementes $M_{0},\,$ ist jederzeit identisch mit derjenigen Kraft, welche, nach dem Coulomb’schen Gesetz, stattfindet zwischen der augenblicklichen elektrischen Ladung von $M_{1}\,$ und einer in jenem Puncte $m_{0}\,$ concentrirt gedachten Elektricitätsmenge Eins.
Nach (33.) hat also die in Rede stehende Kraft ${\mathfrak {R}}\$ den Werth:
| $(36.)\,$ | ${\mathfrak {R}}=-\mu _{1}{\frac {d\varphi (r)}{dr}},$ |
wo $r\,$ und $\mu _{1}\,$ dieselben Bedeutungen haben wie in (35.). Denn da $m_{0}\,$ ein Punct des Elementes $M_{0},\,$ die Elemente $M_{0}\,$ und $M_{1}\,$ aber unendlich klein sind, so wird die Entfernung zwischen $m_{0}\,$ und $M_{1}\,$ dieselbe sein, wie zwischen $M_{0}\,$ und $M_{1}.\,$
Die zweite dieser Hypothesen dürfte Kirchhoff zuzuschreiben sein, andererseits dürfte die erste, wenn auch vielleicht niemald mit Bestimmtheit ausgesprochen, doch wohl als eine allgemein übliche zu bezeichnen sein.
Es seien $A\,$ und $B\,$ irgend zwei Körper des gegebenen Systems, und es mögen die einzelnen ponderablen Massenelemente von $A\,$ mit $M_{0},\,$ diejenigen von $B\,$ mit $M_{1}\,$ benannt sein. Sind $\mu _{0}\,$ und $\mu _{1}\,$ die augenblicklichen elektrischen Ladungen von $M_{0}\,$ und $M_{1},\,$ so wird das elektrostatische Potential dieser Elemente auf einander durch den Ausdruck (34.), folglich das elektrostatische Potential der beiden Körper $A\,$ und $B\,$ einander durch
| $(37.)\,$ | $U_{AB}={\mathit {\Sigma \Sigma }}\ \mu _{0}\mu _{1}\ \varphi (r)\,$ |
dargestellt sein, die Summation ausgedehnt über alle Elemente von $A,\,$ und über alle Elemente von $B.\,$ Um in diesem Ausdruck (37.) an Stelle der elektrischen Massen $\mu _{0},\ \mu _{1}\,$ die elektrischen Dichtigkeiten einzuführen, schicken wir folgende Betrachtungen voran.
$M^{(i)}\$
$M^{(h)}\,$
$M^{(i)}\,$
$M^{(h)}\,$
$\mathrm {D} h\,$
$M^{(h)}\,$
$\mathrm {D} h\,$
$\mathrm {D} o\,$
$\mu ^{(i)}\,$
$\mu ^{(h)}\,$
$M^{(i)}\,$
$M^{(h)}\,$
* $\mu ^{(i)}=\varepsilon \mathrm {Dv} ,\,$
hingegen
* $\mu ^{(h)}=\varepsilon \mathrm {Dv} +{\bar {\varepsilon }}\mathrm {D} o\,$
sein. Hier bezeichnet $\mathrm {Dv} \,$ das Volumen von $M^{(i)}\,,$ respective von $M^{(h)},\,$ und $\varepsilon \,$ die räumliche Dichtigkeit der in $M^{(i)}\,$, respective $M^{(h)}\,$ enthaltenen elektrischen Materie; ausserdem bezeichnet $\mathrm {D} o\,$ die Basis des (cylindrischen) Elementes $M^{(h)}\,$ und ${\bar {\varepsilon }}\$ die Flächen-Dichtigkeit der auf ${\textrm {D}}o\,$ vorhandenen elektrischen Materie. – Der Werth von $\mu ^{(h)}\,$ kann übrigens, weil daselbst $\mathrm {Dv} =\mathrm {D} o\cdot \mathrm {D} h\$ ist, auch so geschrieben werden:
* $\mu ^{(h)}=(\varepsilon \mathrm {D} h+{\bar {\varepsilon }})\mathrm {D} o,\,$
oder weil $\varepsilon \mathrm {D} h\$ gegen ${\bar {\varepsilon }}\,$ verschwindend klein ist, auch so:
* $\mu ^{(h)}={\bar {\varepsilon }}\mathrm {D} o.\,$
Wir haben also schliesslich die Formeln:
* $\left\lbrace {\begin{aligned}\mu ^{(i)}&=\varepsilon \mathrm {Dv} ,\\\mu ^{(h)}&={\bar {\varepsilon }}\mathrm {D} o.\end{aligned}}\right.$
Diese beiden Formeln aber können zusammengefasst werden zu der einen Formel:
* $\mu =\mathrm {OH} ,\,$
falls man nämlich unter $\mathrm {O} \,$ die Collectivbezeichnung für $\mathrm {Dv} ,\mathrm {D} o,\,$ andererseits unter $\mathrm {H} \,$ die Collectivbezeichnung für $\varepsilon ,{\bar {\varepsilon }}$ versteht.
Denkt man sich das hier beschriebene Verfahren in Anwendung gebracht auf die gegebenen Körper $A\,$ und $B,\,$ so ergeben sich für die in irgend zwei Elementen $M_{0}\,$ und $M_{1}\,$ dieser Körper augenblicklich enthaltenen Elektricitätsmengen $\mu _{0}\,$ und $\mu _{1}\,$ die Darstellungen:
| $(38.)\,$ | ${\begin{aligned}\mu _{0}&=\mathrm {O} _{0}\mathrm {H} _{0},\\\mu _{1}&=\mathrm {O} _{1}\mathrm {H} _{1}.\end{aligned}}$ |
Hierdurch geht die Formel (37.) über in:
| $(39.)\,$ | $U_{AB}={\mathit {\Sigma \Sigma }}\ \mathrm {O_{0}O_{1}\ H_{0}H_{1}} \ \varphi (r).\,$ |
Nach diesen Vorbereitungen mag nun endlich näher eingegangen werden auf die eigentliche Aufgabe. Es seien
| $(40.)\,$ | $(d{T_{0}}^{1})_{\text{elst.Us}}\ {\text{und}}\ (d{Q_{0}}^{1})_{\text{elst.Us}}$ |
$M_{1}\,$
$dt\,$
$M_{0}.\,$
| $(41.)\,$ | $(d{T_{0}}^{1})_{\text{elst.Us}}={X_{0}}^{1}dx_{0}+{Y_{0}}^{1}dy_{0}+{Z_{0}}^{1}dz_{0},\,$ |
wo $dx_{0},dy_{0},dz_{0}$ die Verrückung des Elementes $M_{0}\,$ während der Zeit $dt\,$ vorstellen, und wo ${X_{0}}^{1},{Y_{0}}^{1},{Z_{0}}^{1}\,$ die Componenten der in (35.) genannten ponderomotorischen Kraft $R\,$ vorstellen. Es ist also
| $(42.)\,$ | ${\begin{aligned}{X_{0}}^{1}&=-\mu _{0}\mu _{1}\ {\frac {d\varphi (r)}{dr}}\ {\frac {x_{0}-x_{1}}{r}}=-\mu _{0}\mu _{1}\ {\frac {\partial \varphi (r)}{\partial x_{0}}},\\{Y_{0}}^{1}&=-\mu _{0}\mu _{1}\ {\frac {d\varphi (r)}{dr}}\ {\frac {y_{0}-y_{1}}{r}}=-\mu _{0}\mu _{1}\ {\frac {\partial \varphi (r)}{\partial y_{0}}},\\{Z_{0}}^{1}&=-\mu _{0}\mu _{1}\ {\frac {d\varphi (r)}{dr}}\ {\frac {z_{0}-z_{1}}{r}}=-\mu _{0}\mu _{1}\ {\frac {\partial \varphi (r)}{\partial z_{0}}},\end{aligned}}$ |
wo $x_{0},\ y_{0},\ z_{0}\,$ und $x_{1},\ y_{1},\ z_{1}\,$ die Coordinaten von $M_{0}\,$ und $M_{1}\,$ bezeichnen, $r\,$ ihre gegenseitige Entfernung, endlich $\mu _{0}\,$ und $\mu _{1}\,$ ihre augenblicklichen elektrischen Ladungen. Aus (41.) und (42.) folgt:
| $(43.)\,$ | $(d{T_{0}}^{1})_{\text{elst.Us}}=-\mu _{0}\mu _{1}\ \left({\frac {\partial \varphi }{\partial x_{0}}}dx_{0}\ +\ {\frac {\partial \varphi }{\partial y_{0}}}dy_{0}\ +{\frac {\partial \varphi }{\partial z_{0}}}dz_{0}\right),\,$ |
wo $\varphi \,$ zur Abkürzung steht für $\varphi (r).\,$ Hieraus endlich folgt durch Substitution der Werthe (38.)
| $(44.)\,$ | $(d{T_{0}}^{1})_{\text{elst.Us}}=-{\textrm {O}}_{0}{\textrm {O}}_{1}\ {\textrm {H}}_{0}{\textrm {H}}_{1}\ \left({\frac {\partial \varphi }{\partial x_{0}}}dx_{0}\ +\ {\frac {\partial \varphi }{\partial y_{0}}}dy_{0}\ +\ {\frac {\partial \varphi }{\partial z_{0}}}dz_{0}\right).\,$ |
Denkt man sich nun diese auf zwei Elemente $M_{0},\ M_{1}\,$ bezügliche Formel der Reihe nach hingestellt für jedwedes Elementenpaar $M_{0},\ M_{1}\,$ der beiden Körber $A,\ B,\,$ jedoch immer der Art, das $M_{0}\,$ zu $A,\ M_{1}\,$ zu $B\,$ gehört, so gelangt man durch Addition all’ dieser Formeln zu folgendem Ergebnisse:
| $(45.)\,$ | $(d{T_{A}}^{B})_{\text{elst.Us}}=-{\mathit {\Sigma \Sigma }}\ \mathrm {O} _{0}\mathrm {O} _{1}\ \mathrm {H} _{0}\mathrm {H} _{1}\ \left({\frac {\partial \varphi }{\partial x_{0}}}dx_{0}\ +\ {\frac {\partial \varphi }{\partial y_{0}}}dy_{0}\ +\ {\frac {\partial \varphi }{\partial z_{0}}}dz_{0}\right),$ |
wo die linke Seite dasjenige Quantum lebendiger Kraft vorstellt, welches der Körper $B\,$ während der Zeit $dt\,$ vermöge seiner Kräfte elektrostatischen Ursprungs hervorruft im Körper $A.\,$
Was ferner die in (40.) genannte Wärmequantität betrifft, so ergiebt sich sofort (vergl. pag. 14):
| $(46.)\,$ | $(d{Q_{0}}^{1})_{\text{elst.Us}}=-{\textrm {Dv}}_{0}\ ({\mathfrak {X_{0}^{1}u_{0}\ +\ Y_{0}^{1}v_{0}\ +\ Z_{0}^{1}w_{0}}})dt.\,$ |
${\textrm {Dv}}_{0}\,$
$M_{0},\,$
${\mathfrak {u_{0},v_{0},w_{0}}}\$
$M_{0}\,$
${\mathfrak {{X_{0}}^{1}\ ,\ {Y_{0}}^{1}\ ,\ {Z_{0}}^{1}}}\,$
${\mathfrak {R}}\,$
${\mathfrak {u_{0},v_{0},w_{0}}}\,$
${\mathfrak {{X_{0}}^{1}\ ,\ {Y_{0}}^{1}\ ,\ {Z_{0}}^{1}}}\,$
$A\,$
Nach (36.) ist ${\mathfrak {R}}=-\mu _{1}{\frac {d\varphi (r)}{dr}}.\,$ Die Componenten ${\mathfrak {{X_{0}}^{1}\ ,\ {Y_{0}}^{1}\ ,\ {Z_{0}}^{1}}}\,$ dieser Kraft haben daher die Werthe:
| $(47.)\,$ | ${\begin{aligned}{{\mathfrak {X}}_{0}}^{1}&=-\mu _{1}{\frac {d\varphi (r)}{dr}}{\frac {{\mathfrak {x}}_{0}-{\mathfrak {x}}_{1}}{r}}&=-\mu _{1}{\frac {\partial \varphi (r)}{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}},\\{{\mathfrak {Y}}_{0}}^{1}&=-\mu _{1}{\frac {d\varphi (r)}{dr}}{\frac {{\mathfrak {y}}_{0}-{\mathfrak {y}}_{1}}{r}}&=-\mu _{1}{\frac {\partial \varphi (r)}{\partial {\mathfrak {y}}_{0}}},\\{{\mathfrak {Z}}_{0}}^{1}&=-\mu _{1}{\frac {d\varphi (r)}{dr}}{\frac {{\mathfrak {z}}_{0}-{\mathfrak {z}}_{1}}{r}}&=-\mu _{1}{\frac {\partial \varphi (r)}{\partial {\mathfrak {z}}_{0}}},\end{aligned}}$ |
wo ${\mathfrak {x_{0}\ ,\ y_{0}\ ,\ z_{0}}}\,$ und ${\mathfrak {x_{1}\ ,\ y_{1}\ ,\ z_{1}}}\,$ die Coordinaten von $M_{0}\,$ und $M_{1}\,$ bezeichnen mit Bezug auf das eben genannte Axensystem. Aus (46.) und (47.) folgt:
| $(48.)\,$ | $(d{Q_{0}}^{1})_{\text{elst.Us}}=-{\textrm {Dv}}_{0}\cdot \mu _{1}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}{\mathfrak {u}}_{0}+{\frac {\partial \varphi }{\partial {\mathfrak {y}}_{0}}}{\mathfrak {v}}_{0}+{\frac {\partial \varphi }{\partial {\mathfrak {z}}_{0}}}{\mathfrak {w}}_{0}\right)dt,$ |
oder durch Substitution des Werthes (38.):
| $(49.)\,$ | $(d{Q_{0}}^{1})_{\text{elst.Us}}=-{\textrm {Dv}}_{0}\cdot {\textrm {O}}_{1}{\textrm {H}}_{1}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}{\mathfrak {u}}_{0}+{\frac {\partial \varphi }{\partial {\mathfrak {y}}_{0}}}{\mathfrak {v}}_{0}+{\frac {\partial \varphi }{\partial {\mathfrak {z}}_{0}}}{\mathfrak {w}}_{0}\right)dt,$ |
wo $\varphi \,$ zur Abkürzung gesetzt ist für $\varphi (r).\,$
Denkt man sich nun diese auf irgend zwei Elemente $M_{0},M_{1}\,$ der Körper $A,B\,$ bezügliche Formel (49.) der Reihe nach aufgestellt für jedwedes Elementenpaar der beiden Körper, so gelangt man durch Addition all’ dieser Formeln zu folgendem Resultat:
| $(50.)\,$ | $(d{Q_{A}}^{B})_{\text{elst.Us}}=-dt\cdot {\mathit {\Sigma \Sigma }}\ \mathrm {Dv} _{0}\ \mathrm {O} _{1}\mathrm {H} _{1}\ \left({\frac {\partial \varphi }{\partial {\mathfrak {x}}_{0}}}{\mathfrak {u}}_{0}+{\frac {\partial \varphi }{\partial {\mathfrak {y}}_{0}}}{\mathfrak {v}}_{0}+{\frac {\partial \varphi }{\partial {\mathfrak {z}}_{0}}}{\mathfrak {w}}_{0}\right),$ |
wo die linke Seite dasjenige Quantum Wärme repräsentirt, welches der Körper $B\,$ während der Zeit $dt\,$ vermöge seiner Kräfte elektrostatischen Ursprungs hervorruft im Körper $A.\,$
Die Formel (50.) kann, wenn man zur augenblicklichen Abkürzung den (dem Körper $A\,$ zugehörigen) Index $0\,$ überall fortlässt, auch so geschrieben werden:
| $(51.)\,$ | $(d{Q_{A}}^{B})_{\text{elst.Us}}=-dt\cdot {\mathit {\Sigma }}\ {\textrm {O}}_{1}\mathrm {H} _{1}\left[{\mathit {\Sigma }}\mathrm {Dv} \left({\frac {\partial \varphi }{\partial {\mathfrak {x}}}}{\mathfrak {u}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial {\mathfrak {y}}}}{\mathfrak {v}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial {\mathfrak {z}}}}{\mathfrak {w}}\right)\right].$ |
${\textrm {O}}_{1}\,$
${\textrm {Dv}},\,$
$\mathrm {Dv} =\mathrm {D} {\mathfrak {x}}\mathrm {D} {\mathfrak {y}}\mathrm {D} {\mathfrak {z}};\,$
* ${\begin{aligned}{\mathit {\Sigma }}\mathrm {Dv} \left({\frac {\partial \varphi }{\partial {\mathfrak {x}}}}{\mathfrak {u}}+\cdot \cdot \right)&=\iiint \mathrm {D} {\mathfrak {x}}\mathrm {D} {\mathfrak {y}}\mathrm {D} {\mathfrak {z}}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial {\mathfrak {x}}}}{\mathfrak {u}}+\cdot \cdot \right),\\&=\iiint \mathrm {D} {\mathfrak {x}}\mathrm {D} {\mathfrak {y}}\mathrm {D} {\mathfrak {z}}\left({\frac {\partial (\varphi {\mathfrak {u}})}{\partial {\mathfrak {x}}}}+\cdot \cdot \right)\\&\quad \quad \quad -\iiint \mathrm {D} {\mathfrak {x}}\mathrm {D} {\mathfrak {y}}\mathrm {D} {\mathfrak {z}}\ \varphi \ \left({\frac {\partial {\mathfrak {u}}}{\partial {\mathfrak {x}}}}+\cdot \cdot \right),\\&=-\iint \mathrm {D} o\ \varphi \ [{\mathfrak {u}}\cos(N,{\mathfrak {x}})+\cdot \cdot ]\\&\quad \quad \quad -\iiint \mathrm {D} {\mathfrak {x}}\mathrm {D} {\mathfrak {y}}\mathrm {D} {\mathfrak {z}}\ \varphi \left({\frac {\partial {\mathfrak {u}}}{\partial {\mathfrak {x}}}}+\cdot \cdot \right),\end{aligned}}$
wo $\mathrm {D} o\,$ das Oberflächenelement von $A,\,$ und $N\,$ die innere Normale von $\mathrm {D} o\,$ bezeichnet. Hieraus folgt mit Rücksicht auf die früher entwickelten Relationen [(9.a, b) und (14.a, b), pag 4, 5) sofort:
* ${\mathit {\Sigma }}\ \mathrm {Dv} \left({\frac {\partial \varphi }{\partial {\mathfrak {x}}}}{\mathfrak {u}}+\cdot \cdot \right)=+\iint \mathrm {D} o\ \varphi \ {\frac {d{\bar {\varepsilon }}}{dt}}+\iiint \mathrm {D} {\mathfrak {x}}\mathrm {D} {\mathfrak {y}}\mathrm {D} {\mathfrak {z}}\ \varphi \ {\frac {d\varepsilon }{dt}},$
oder was dasselbe ist:
* ${\mathit {\Sigma }}\ \mathrm {Dv} \left({\frac {\partial \varphi }{\partial {\mathfrak {x}}}}{\mathfrak {u}}+\cdot \cdot \right)={\mathit {\Sigma }}\ \mathrm {D} o\ \varphi \ {\frac {d{\bar {\varepsilon }}}{dt}}+{\mathit {\Sigma }}\ \mathrm {Dv} \ \varphi \ {\frac {d\varepsilon }{dt}},$
oder wenn man für $\mathrm {Dv} ,\mathrm {D} o\,$ die vorhin eingeführte Collectivbezeichnung $\mathrm {O} ,\,$ ebenso wie für $\varepsilon ,{\bar {\varepsilon }}\,$ die Collectivbezeichnung $\mathrm {H} \,$ in Anwendung bringt:
* ${\mathit {\Sigma }}\ \mathrm {Dv} \ \left({\frac {\partial \varphi }{\partial {\mathfrak {x}}}}{\mathfrak {u}}+\cdots \right)={\mathit {\Sigma }}\ \mathrm {O} \ \varphi \ {\frac {d\mathrm {H} }{dt}}.$
Somit folgt aus (51.)
| $(52.)\,$ | ${\begin{aligned}(d{Q_{A}}^{B})_{\text{elst.Us}}&=-dt\cdot {\mathit {\Sigma }}\ \mathrm {O} _{1}\mathrm {H} _{1}\left\lbrack {\mathit {\Sigma }}\ \mathrm {O} {\frac {d\mathrm {H} }{dt}}\ \varphi \right\rbrack ,\\&=-{\mathit {\Sigma \Sigma }}\ \mathrm {OO} _{1}\ (d\mathrm {H} )\mathrm {H} _{1}\ \varphi ,\end{aligned}}$ |
oder wenn man den unterdrückten Index $0\,$ restituirt:
| $(53.)\,$ | $(d{Q_{A}}^{B})_{\text{elst.Us}}=-{\mathit {\Sigma \Sigma }}\ \mathrm {O_{0}O_{1}} \ (d\mathrm {H_{0}} )\mathrm {H_{1}} \ \varphi .$ |
Durch Addition der Formeln (45.) und (53.) folgt:
| $(54.)\,$ | ${\begin{aligned}(d{T_{A}}^{B}+d{Q_{A}}^{B})_{\text{elst.Us}}&=-{\mathit {\Sigma \Sigma }}\ \mathrm {O_{0}O_{1}\ H_{0}H_{1}} \ \left({\frac {\partial \varphi }{\partial x_{0}}}dx_{0}+{\frac {\partial \varphi }{\partial y_{0}}}dy_{0}+{\frac {\partial \varphi }{\partial z_{0}}}dz_{0}\right)\\&=-{\mathit {\Sigma \Sigma }}\ \mathrm {O_{0}O_{1}} \ (d\mathrm {H_{0})H_{1}} \ \varphi ;\end{aligned}}$ |
Diese Formel aber erlangt, mit Rücksicht auf den für das Potential $U_{AB}\,$ gefundenen Wert (39.):
* $U_{AB}={\mathit {\Sigma \Sigma }}\ \mathrm {O_{0}O_{1}\ H_{0}H_{1}} \ \varphi ,$
| $(55.)\,$ | $(d{T_{A}}^{B}+d{Q_{A}}^{B})_{\text{elst.Us}}=-d_{A}U_{AB}.$ |
Man erkennt nämlich leicht, dass die rechte Seite jener Formel (54.), abgesehen vom Vorzeichen, denjenigen partiellen Zuwachs $d_{A}U_{AB}\,$ darstellt, welchen das Potential $U_{AB}\,$ während der Zeit $dt\,$ annehmen würde, falls man die Aenderungen, welche der Körper $B\,$ hinsichtlich seiner räumlichen Lage und seines inneren Zustandes während der Zeit $dt\,$ erleidet, zu Null machen, den Körper $A\,$ hingegen in beiderlei Beziehung denjenigen Aenderungen überlassen wollte, welche er während der Zeit $dt\,$ in Wirklichkeit erleidet. Es erscheint angemessen, diesen Zuwachs $d_{A}U_{AB}\,$ zu bezeichnen als den partiellen Zuwachs, genommen nach dem Körper $A.\,$ Die Formel (55.) enthält alsdann folgenden Satz.
Die vom Körper $B\,$ während der Zeit $dt\,$ vermöge seiner Kräfte elektrostatischen Ursprungs im Körper $A\,$ hervorgerufene Quantität von lebendiger Kraft und Wärme ist abgesehen vom Vorzeichen immer gleich gross mit dem der Zeit $dt\,$ entsprechenden partiellen Zuwachs des elektrostatischen Potentiales der beiden Körper auf einander, genommen nach $A.\,$
Analog mit (55.) wird sich offenbar ergeben:
| $(56.)\,$ | $(d{T_{B}}^{A}+d{Q_{B}}^{A})_{\text{elst.Us}}=-d_{B}U_{AB}.$ |
Durch Addition von (55.) und (56.) folgt sodann;
| $(57.)\,$ | $(d{T_{A}}^{B}+d{T_{B}}^{A}+d{Q_{A}}^{B}+d{Q_{B}}^{A})_{\text{elst.Us}}=-dU_{AB},$ |
wo $dU_{AB}\,$ das vollständige Differential von $U_{AB},\,$ d. i. denjenigen Zuwachs vorstellt, welchen $U_{AB}\,$ während der Zeit $dt\,$ in Wirklichkeit erfährt. — Sind nun $A,B,C,\ldots \,$ die einzelnen Körper des gegebenen Systems, so werden sich mit (42.) analoge Formeln ergeben für $A,C,\,$ für $B,C,\,$ u. s. w., überhaupt für jedes Körperpaar. Diese Formel (57.) kann in Worten so ausgedrückt werden:
Die Quantität von lebendiger Kraft und Wärme, welche die beiden Körper $A\,$ und $B\,$ während der Zeit $dt,\,$ vermöge ihrer Kräfte elektrostatischen Ursprungs, wechselseitig in einander (der erste im zweiten und der zweite im ersten) hervorrufen, ist abgesehen vom Vorzeichen immer gleich gross mit demjenigen Zuwachs, welchen das elektrostatische Potential der beiden Körper auf einander während der Zeit $dt\,$ in Wirklichkeit erfährt.
$A\,$
$B.\,$
Es bleibt noch übrig, diejenige Quantität von lebendiger Kraft und Wärme zu ermitteln, welche irgend ein Körper des Systems, und zwar vermöge der in ihm vorhandenen elektrostatischen Kräfte, in sich selber erzeugt. Zu diesem Zwecke denken wir uns mit dem Körper $A\,$ in Superposition einen zweiten Körper $\alpha ,\,$ welcher seiner Form und seinem inneren Zustande nach mit $A\,$ völlig identisch ist; dann ergiebt sich aus (57.):
| $(58.)\,$ | $(d{T_{A}}^{\alpha }+d{T_{\alpha }}^{A}+d{Q_{A}}^{\alpha }+d{Q_{\alpha }}^{A})_{\text{elst.Us}}=-dU_{A\alpha }\,,$ |
oder (was offenbar dasselbe ist):
| $(59.)\,$ | $(2\,d{T_{A}}^{A}+2\,d{Q_{A}}^{A})_{\text{elst.Us}}=-dU_{A\alpha }.\,$ |
In Folge der Identität zwischen $A\,$ und $\alpha \,$ kann statt $U_{A\alpha }\,$ auch geschrieben werden $U_{AA};\,$ jedoch repräsentirt alsdann dieses $U_{AA},\,$ wie man leicht übersieht, nicht das elektrostatische Potential des Körpers $A\,$ auf sich selber, sondern den doppelten Werth desselben. Bezeichnet man also das elektrostatische Potential des Körpers $A\,$ auf sich selber mit $U_{A},\,$ so wird jenes $U_{AA}=2U_{A}\,$ sein. Somit folgt aus (59.):
| $(60.)\,$ | $(d{T_{A}}^{A}+d{Q_{A}}^{A})_{\text{elst.Us}}=-{\tfrac {1}{2}}\,dU_{AA}=-dU_{A}\,.$ |
Diese Formel (60.) führt zu folgendem Satz:
Die Quantität von lebendiger Kraft und Wärme, welche der Körper $A\,$ während der Zeit $dt\,$ vermöge seiner Kräfte elektrostatischen Ursprungs in sich selber hervorruft, ist abgesehen vom Vorzeichen gleich gross mit demjenigen Zuwachs, welchen das elektrostatische Potential des Körpers auf sich selber während der Zeit $dt\,$ in Wirklichkeit erfährt.
Denkt man sich die Formel (57.) der Reihe nach aufgestellt für jedwedes Körperpaar des gegebenen Systemes, und andererseits die Formel (60.) der Reihe nach gebildet für jedweden einzelnen Körper des Systemes, so gelangt man durch Addition all’ dieser Formeln zu folgendem Resultat:
| $(61.)\,$ | $(dT+dQ)_{\text{elst.Us}}=-dU\,,$ |
$dt,\,$
$U\,$
Hiermit ist der verlangte Nachweis geführt, nämlich dargethan, dass die in (32.) genannte Quantität ein vollständiges Differential ist.
Beiläufig folgt übrigens aus (61.), dass die von uns früher (pag. 21) mit ${\mathfrak {F}}_{b}\,$ bezeichnete Function identisch ist mit $U,\,$ dass also das elektrostatische Postulat des gegebenen Systemes identisch ist mit seinem elektrostatischen Potential.

## Anmerkungen (Wikisource)

* ↑ WS: Rechtschreibfehler im Original: Geletz → Gesetz korrigiert.
* ↑ WS: Satzfehler im Original: ${\frac {d\varphi }{d{\mathfrak {x}}}}{\mathfrak {u}}$ → ${\frac {\partial \varphi }{\partial {\mathfrak {x}}}}{\mathfrak {u}}$ korrigiert.