# Die räumliche und zeitliche Ausbreitung der Gravitation

Textdaten :
| Autor: | Paul Gerber |
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| Titel: | Die räumliche und zeitliche Ausbreitung der Gravitation |
| Untertitel: | |
| aus: | Zeitschrift für Mathematik und Physik. 43, 1898, S. 93–104 |
| Herausgeber: | Dr. R. Mehmke und Dr. M. Cantor |
| Auflage: | |
| Entstehungsdatum: | |
| Erscheinungsdatum: | 1898 |
| Verlag: | B. G. Teubner |
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| Erscheinungsort: | Leipzig |
| Übersetzer: | |
| Originaltitel: | |
| Originalsubtitel: | |
| Originalherkunft: | |
| Quelle: | Internet Archive, Commons |
| Kurzbeschreibung: | |
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## 1. Das Grundgesetz.1. Das Grundgesetz.

Die Gravitationserscheinungen zeigen die einzigen an getrennten Körpern bestehenden Wirkungen, für die man noch keinen Anteil des zwischenliegenden Raumes, d. h. kein Vorhandensein sich von Ort zu Ort mitteilender Veränderungen in ihm nachweisen kann. Um so begreiflicher ist die Hoffnung, dass es schliesslich einmal gelingen werde, den fehlenden Nachweis zu führen. Nur darf man die Sache nicht so betrachten, wie wenn an der Scheinbarkeit jener Ausnahme nicht zu zweifeln sei. Alle bekannten und verstandenen Beobachtungen drängen vielmehr zum Gegenteil. Es muss daher, falls dies dennoch bloss auf mangelnder Erfahrung oder unvollständiger Analyse beruht, erst dargethan werden, dass es Thatsachen giebt, die unsere bisherige Auffassung nach entgegengesetzter Seite berichtigen und ergänzen. Dazu ist es vor allem nötig, jede Hypothese fern zu halten, die mehr annimmt, als dass in dem Räume zwischen zwei gravitierenden Massen etwas geschehe, das teil an der Gravitation hat. Wegen früherer ähnlicher, doch unzureichender Behandlungen der hier erörterten Frage sei auf das der 69. Naturforscherversammlung erstattete Referat über Fernwirkungen von Drude verwiesen.
Zwei gravitierende Massen geben sich als solche durch den Widerstand zu erkennen, den sie einer Vergrösserung ihres Abstandes entgegensetzen. Damit müssen also, während sie selbst in Ruhe oder in Bewegung sein können, die etwa vorhandenen Vorgänge in dem Räume zwischen ihnen zusammenhängen. Offenbar ist mit der Lage oder mit ihr und dem momentanen Bewegungszustande der Massen, soweit äussere Einflüsse ausgeschlossen sind, nicht nur der eine, örtliche Widerstand, sondern auch die Reihe aller bis ins Unendliche folgenden Widerstände bestimmt. Die zu ihrer Überwindung notwendige Arbeit ist also ebenso wie der einzelne Widerstand selbst eine die Gravitation charakterisierende Grösse. Bloss sie kann hier, wo es darauf ankommt, ob mit der Gravitation sich im Räume unter Zeitverlust ausbreitende Veränderungen verbunden sind, als Grundgrösse angesehen werden. Denn es hat dem Begriffe nach keinen Sinn, von der räumlichen Fortpflanzung des Widerstandes oder der Anziehung zu reden, da Widerstand und Anziehung als solche nur an den Orten vorhanden sind, wo sich die Massen befinden. Aber wenn von einem Vorgange ausgesagt wird, er brauche Zeit, um von einem nach einem anderen Ort zu gelangen, so heisst dies, er hört an dem ersten Orte zu existieren auf, ohne in demselben Augenblick sogleich an dem zweiten Orte zu sein; daher würde die in dem Vorgange enthaltene Energie zeitweise verschwinden, wenn sie nicht durch die zwischen den beiden Orten gelegenen Punkte hindurchginge. Sie ist gleich der genannten Arbeit, sobald der Vorgang zur Gravitation zweier in den Orten befindlichen Massen gehört, da er dann ebenfalls von deren Lage und momentanem Bewegungszustande abhängt und diese nicht zwei verschiedene Energiegrössen bedingen können.
Nun werde, indem zur Unterscheidung die eine Masse die anziehende, die andere die angezogene heisse, unter dem Potential V der anziehenden Masse auf die angezogene m der auf die Einheit der zweiten Masse entfallende Teil der Arbeit verstanden, die zu leisten ist, damit sich die Massen bis ins Unendliche von einander entfernen, die mithin insgesamt Vm betrage. Für den Punkt, in dem sich die festgehalten gedachte Masse m befindet, und dessen Koordinaten, bezogen auf die ebenfalls festgehaltene anziehende Masse, x, y, z seien, kann man nach der in Machs Prinzipien der Wärmelehre beschriebenen Methode V berechnen, indem man es gleich dem Mittelwert aller in nächster Umgebung des Punktes herrschenden Potentiale setzt. V ist ja keine gerichtete Grösse und für eine gegebene Lage unveränderlich in der Zeit. Es sei in m gleich f(x, y, z) und für einen Nachbarpunkt gleich
$f(x+h,\ y+k,\ z+l)$
Ferner bedeute
$\varphi \left({\sqrt {h^{2}+k^{2}+l^{2}}}\right)$
das Gewicht des Nachbarpunktes im Mittelwert, das bei Nahwirkungen mit wachsender Entfernung schnell abnimmt. Dann findet man
$V={\frac {{\overset {+\infty }{\underset {-\infty }{\int \int \int }}}f(x+h,\ y+k,\ z+l)\varphi \left({\sqrt {h^{2}+k^{2}+l^{2}}}\right)dh\ dk\ dl}{{\overset {+\infty }{\underset {-\infty }{\int \int \int }}}\varphi \left({\sqrt {h^{2}+k^{2}+l^{2}}}\right)dh\ dk\ dl}}$
Entwickelt man f nach der Taylorschen Reihe bis zur zweiten Potenz, und integriert man um den Punkt x, y, z herum, so wird
* ${\overset {+\infty }{\underset {-\infty }{\int \int \int }}}\left({\frac {df}{dx}}h+{\frac {df}{dy}}k+{\frac {df}{dz}}l\right)\varphi \left({\sqrt {h^{2}+k^{2}+l^{2}}}\right)dh\ dk\ dl=0$,
* ${\overset {+\infty }{\underset {-\infty }{\int \int \int }}}\left({\frac {df}{dx}}{\frac {df}{dy}}hk+{\frac {df}{dx}}{\frac {df}{dz}}hl+{\frac {df}{dy}}{\frac {df}{dz}}kl\right)\varphi \left({\sqrt {h^{2}+k^{2}+l^{2}}}\right)dh\ dk\ dl=0$,
* ${\overset {+\infty }{\underset {-\infty }{\int \int \int }}}\varphi \left({\sqrt {h^{2}+k^{2}+l^{2}}}\right)h^{2}dh\ dk\ dl={\overset {+\infty }{\underset {-\infty }{\int \int \int }}}\varphi \left({\sqrt {h^{2}+k^{2}+l^{2}}}\right)k^{2}dh\ dk\ dl$
* $={\overset {+\infty }{\underset {-\infty }{\int \int \int }}}\varphi \left({\sqrt {h^{2}+k^{2}+l^{2}}}\right)l^{2}dh\ dk\ dl$.
Es bleibt, wenn man
${\frac {{\overset {+\infty }{\underset {-\infty }{\int \int \int }}}\varphi \left({\sqrt {h^{2}+k^{2}+l^{2}}}\right)h^{2}dh\ dk\ dl}{{\overset {+\infty }{\underset {-\infty }{\int \int \int }}}\varphi \left({\sqrt {h^{2}+k^{2}+l^{2}}}\right)dh\ dk\ dl}}=n$
setzt,
$V=V+{\frac {n}{2}}\left({\frac {d^{2}V}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}V}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}V}{dz^{2}}}\right)$
also
${\frac {d^{2}V}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}V}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}V}{dz^{2}}}=0$
Aus dieser Gleichung folgt auf bekannte Weise, wenn μ eine Konstante bezeichnet und r der Abstand der Massen ist,
$V={\frac {\mu }{r}}$
Hieraus ergiebt sich das Newtonsche Gravitationsgesetz. Denn $V={\frac {\mu }{r}}$ gilt auch noch in dem Augenblick, da man die Massen loslässt. Die Zunahme von Vm stimmt mit der erscheinenden lebendigen Kraft dT überein, und darum enthält T in jenem Augenblick ebenso wenig wie V die Änderung von r in der Zeit. Folglich hat man nach den allgemeinen Lagrangeschen Bewegungsgleichungen, indem man an Stelle der äusseren auf die Masse m wirkenden Kraft den negativen Wert der von ihr ausgeübten Kraft setzt, für die Beschleunigung von m
${\frac {1}{m}}{\frac {dT}{dr}}={\frac {dV}{dr}}=-{\frac {\mu }{r^{2}}}$
Das Newtonsche Gesetz schreibt die Potentiale vor, die die Massen in jeder Lage erreichen, wenn ihnen die zu deren Zustandekommen erforderliche Zeit zur Verfügung steht. Diese Bedingung ist immer erfüllt, sobald die Massen in ihrer gegenseitigen Entfernung festgehalten werden. Sie hört auf bei eingetretener freier, einander entgegen gerichteter Bewegung, falls jene Zeit eine endlich bemessene Grösse hat. Zwei Umstände sind dabei von Einfluss. Erstens muss zwar im Abstände r − Δr der Massen, wo Δr bei wachsendem r positiv, bei abnehmendem r negativ ist, das Potential sich in der im umgekehrten Verhältnis zu r − Δr stehenden Grösse zu bilden anfangen, weil sonst nicht einzusehen wäre, wie sich dieses Verhältnis bei der Ruhe der Massen zu erfüllen vermöchte. Aber es gelangt nicht sogleich zur Wirkung an m, da der es bedingende Vorgang von der anziehenden Masse ausgeht und Zeit braucht, um bis zur angezogenen Masse fortzuschreiten. Selbstverständlich findet ein Fortschreiten der gedachten Art auch von der angezogenen zur anziehenden Masse statt, ähnlich wie zu jeder Wärmeausstrahlung zwischen zwei Körpern eine Gegenstrahlung gehört. Das bei dem Abstände r − Δr von der anziehenden Masse ausgehende Potential bethätigt sich also in m erst zu einer um Δt späteren Zeit, nachdem der Abstand gleich r geworden ist. Zweitens würde das Potential wohl bei Fernwirkung unmittelbar in seinem vollen Betrage erscheinen; sind jedoch Raum und Zeit in der vorausgesetzten Art mit im Spiel, so hat es auch eine gewisse Dauer nötig, damit es, bei m angelangt, dieser Masse sich mitteile, d. h. den ihm entsprechenden Bewegungszustand von m hervorrufe. Denn nur die Annahme von Fernwirkungen lässt Unstetigkeit in den Erscheinungen zu; ihre Ersetzung durch die Annahme von Nahwirkungen hat vor allem den Zweck, die sich an den übrigen physikalischen und chemischen Veränderungen bewährende Stetigkeit auch in die Auffassung der Gravitation einzuführen. Wie sich daher beim Stosse die Stosskraft aus succ. Elementarstössen zusammensetzt, so geschieht die Übertragung des als Potential anlangenden Vorganges auf m durch schnell aufeinander folgende Differentialpotentiale. Wenn die Massen ruhen, geht die Bewegung des Potentials mit ihrer eigenen Geschwindigkeit an m vorüber; dann bemisst sich sein auf m übertragener Wert nach dem umgekehrten Verhältnis zum Abstände. Wenn die Massen aufeinander zueilen, verringert sich die Zeit der Übertragung, mithin der übertragene Potentialwert im Verhältnis der eigenen Geschwindigkeit des Potentials zu der aus ihr und der Geschwindigkeit der Massen bestehenden Summe, da das Potential in Bezug auf m diese Gesamtgeschwindigkeit hat.
Das Potential bewegt sich ausser mit seiner Geschwindigkeit c noch mit der Geschwindigkeit der anziehenden Masse, von der es ausgeht. Der Weg r − Δr, den die beiden sich entgegenkommenden Bewegungen, die des Potentials und die der angezogenen Masse, in der Zeit Δt zurücklegen, beträgt daher
$\Delta t\left(c-{\frac {\Delta r}{\Delta t}}\right)$
während r = cΔt ist. Also erhält man für den Abstand, bei dem sich das Potential zu bilden anfängt, und dem es umgekehrt proportional ist,
$r-\Delta r=r\left(1-{\frac {1}{c}}{\frac {\Delta r}{\Delta t}}\right)$
$c-{\frac {\Delta r}{\Delta t}}$
hat, fällt das Potential wegen des Zeitverbrauches zu seiner Mitteilung an m auch proportional
${\frac {c}{c-{\frac {\Delta r}{\Delta t}}}}$
aus. Man findet so
$V={\frac {\mu }{r\left(1-{\frac {1}{c}}{\frac {\Delta r}{\Delta t}}\right)^{2}}}$
Solange der Weg Δr kurz und deshalb ${\frac {\Delta r}{\Delta t}}$ gegen c klein ist, darf man dafür ${\frac {dr}{dt}}$ setzen. Dadurch wird
$V={\frac {\mu }{r\left(1-{\frac {1}{c}}{\frac {dr}{dt}}\right)^{2}}}$
woraus mit Hülfe des binomschen Satzes bis zur zweiten Potenz folgt
$V={\frac {\mu }{r}}\left[1+{\frac {2}{c}}{\frac {dr}{dt}}+{\frac {3}{c^{2}}}\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}\right]$
Hier ist in dem Ausdruck für V nicht bloss r, sondern auch die Ableitung von r nach der Zeit enthalten. Darum ergiebt sich vermöge der allgemeinen Lagrangeschen Bewegungsgleichungen für die Beschleunigung von m, wenn ${\frac {dr}{dt}}$ mit r' bezeichnet wird,
${\frac {1}{m}}{\frac {dT}{dr}}-{\frac {1}{m}}{\frac {d}{dt}}{\frac {dT}{dr'}}={\frac {dV}{dr}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {dV}{dr'}}=-{\frac {\mu }{r^{2}}}\left[1-{\frac {3}{c^{2}}}\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+{\frac {6r}{c^{2}}}{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}\right]$
Die Annahme, dass ${\frac {dr}{dt}}$ im Vergleich mit c klein ist, trifft im Gebiet der gewöhnlichen Gravitationserscheinungen zu; sonst könnte das Newtonsche Gesetz sich nicht an bewegten Massen in dem Maße bewahrheiten, wie es dies thut. Aber unter besonderen Bedingungen, z. B. durch eine den Massen von aussen erteilte Anfangsgeschwindigkeit, kann ${\frac {dr}{dt}}$ so gross werden, dass weder ${\frac {\Delta r}{\Delta t}}$ ihm gleich gesetzt werden darf, noch die Entwickelung der binomischen Reihe bis zur zweiten Potenz genügt. Die abgeleitete Formel hat daher nur Gültigkeit, wenn die gravitierenden Massen ein freies, nach aussen hin unabhängiges System bilden. In diesem, übrigens vor der Hand wichtigsten Falle bestimmt sie die Veränderung, die das Newtonsche Gesetz dadurch erleidet, dass sich die Potentiale zwischen den Massen nicht momentan, sondern mit Zeitverlust ausbreiten.

## 2. Die Fortpflanzungsgeschwindigkeit.2. Die Fortpflanzungsgeschwindigkeit.

Je nachdem die Beobachtungen für die in die vorige Rechnung eingeführte Grösse c einen endlichen oder einen unendlich grossen Wert liefern, findet man mehr oder weniger sicher, dass die Potentiale gravitierender Massen Zeit brauchen, um die zwischen diesen liegenden Abstände zu durchschreiten, oder dass eine solche zeitliche Ausbreitung nicht existiert, mithin die Gravitation auf wahrer Fernwirkung beruht. Besonders bedarf es der Erfüllung zweier Forderungen. Erstens sind wegen des Übergewichtes von c über ${\frac {dr}{dt}}$ die c enthaltenden Glieder des Ausdruckes für die Beschleunigung der Masse m von dem ganzen Ausdrucke abzusondern und mit den Thatsachen vergleichbar zu machen; zweitens ist die Grössenart zu ermitteln, durch die das Vorhandensein eines endlichen Wertes von c zu erkennen sein muss, und daraufhin dann die Erfahrung zu prüfen. Da der Schauplatz der Thatsachen nur das Planetensystem sein kann, stelle man sich als die anziehende Masse die Sonne, als die angezogene einen Planeten vor. Zur Vereinfachung werde dessen Bewegung auf die Sonne als Anfangspunkt der Koordinaten bezogen, sodass die Konstante μ im Verhältnis der Summe der Massen zur anziehenden Masse vergrössert gedacht werden muss.
Man setze
${\frac {3}{c^{2}}}\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}-{\frac {6r}{c^{2}}}{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}=F$
Also ist
* ${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-{\frac {\mu x}{r^{3}}}(1-F)$,
* ${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=-{\frac {\mu y}{r^{3}}}(1-F)$,
woraus durch Multiplikation der einen Gleichung mit y und der anderen mit x und durch Subtraktion folgt
$x{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}-y{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=0$
Dies ist die auch bei der Ableitung der Eigenschaften und der Bahn der Planetenbewegung aus dem Newtonschen Gesetze entstehende Gleichung, die durch Integration und Einführung von Polarkoordinaten, wenn ${\vartheta }$ der Winkel zwischen dem Radiusvektor und der positiven Abscissenaxe ist und L eine Konstante bedeutet, ergiebt
$r^{2}{\frac {d\vartheta }{dt}}=L$
Setzt man den hierin enthaltenen Wert
$dt={\frac {r^{2}d\vartheta }{L}}$
${\frac {x}{r}}=\cos \vartheta$
${\frac {y}{r}}=\sin \vartheta$
in die Gleichungen für
${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}$
${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}$
ein, so lauten diese
* $d{\frac {dx}{dt}}=-{\frac {\mu }{L}}(1-F)\cos \vartheta \ d\vartheta$,
* $d{\frac {dy}{dt}}=-{\frac {\mu }{L}}(1-F)\sin \vartheta \ d\vartheta$,
Mit den Konstanten M und N wird durch Integration
* ${\frac {dx}{dt}}=-{\frac {\mu }{L}}\sin \vartheta +\left(M+\int {\frac {\mu }{L}}F\cos \vartheta \ d\vartheta \right)$,
* ${\frac {dy}{dt}}={\frac {\mu }{L}}\cos \vartheta +\left(N+\int {\frac {\mu }{L}}F\sin \vartheta \ d\vartheta \right)$.
Da $x{\frac {dy}{dt}}-y{\frac {dx}{dt}}=L$ ist, findet man aus den beiden letzten Gleichungen
$r={\frac {L}{{\frac {\mu }{L}}-\left(M+\int {\frac {\mu }{L}}F\cos \vartheta \ d\vartheta \right)\sin \vartheta +\left(N+\int {\frac {\mu }{L}}F\sin \vartheta \ d\vartheta \right)\cos \vartheta }}$
Die Integrale im Nenner nehmen nach und nach andere und andere Werte an, falls F nicht verschwindet. Setzt man voraus, man wisse ihren Wert zu einer bestimmten Zeit, so kann man sagen, dass der Planet sich zu dieser Zeit auf einer durch jene Gleichung beschriebenen Ellipse befinde. Ist deren halbe grosse Axe a, ihre halbe kleine Axe b, die numerische Exzentricität ε und der Winkel von a mit der positiven Abscissenaxe ω, und löst man die Gleichungen für
$r=a(1-\epsilon ),\ r=a(1+\epsilon )$
und $r={\frac {b^{2}}{a}}$ nach
$L,\ M+\int {\frac {\mu }{L}}F\cos \vartheta \ d\vartheta$
$N+\int {\frac {\mu }{L}}F\sin \vartheta \ d\vartheta$
auf, so erhält man
* $L=b{\sqrt {\frac {\mu }{a}}}$,
* $M+\int {\frac {\mu }{L}}F\cos \vartheta \ d\vartheta =-{\frac {\epsilon }{b}}{\sqrt {a\mu }}\sin \omega$,
* $N+\int {\frac {\mu }{L}}F\sin \vartheta \ d\vartheta ={\frac {\epsilon }{b}}{\sqrt {a\mu }}\cos \omega$.
Man sieht, indem man die Unveränderlichkeit von ${\frac {b}{\sqrt {a}}}$ beachtet, dass sich die Bewegung des Planeten so deuten lässt, wie wenn er auf einer Ellipse einhergehe, deren ε und ω sich stetig verändern. Nur für den Fall, dass F=0 ist, hört diese Veränderung auf. Sie ist es also, wodurch das Vorhandensein eines endlichen Wertes von c in Wirkung kommt. Man erhält für F, sobald man die beiden letzten Gleichungen nach ${\vartheta }$ differenziert, den Wert von L einsetzt und die eine durch
$\cos \vartheta \cdot {\frac {\sqrt {a\mu }}{b}}$
die andere durch
$\sin \vartheta \cdot {\frac {\sqrt {a\mu }}{b}}$
dividiert,
* $F=-{\frac {\sin \omega }{\cos \vartheta }}{\frac {d\epsilon }{dt}}{\frac {dt}{d\vartheta }}-{\frac {\epsilon \cos \omega }{\cos \vartheta }}{\frac {d\omega }{dt}}{\frac {dt}{d\vartheta }}$,
* $F={\frac {\cos \omega }{\sin \vartheta }}{\frac {d\epsilon }{dt}}{\frac {dt}{d\vartheta }}-{\frac {\epsilon \sin \omega }{\sin \vartheta }}{\frac {d\omega }{dt}}{\frac {dt}{d\vartheta }}$.
Durch Gleichsetzung beider Ausdrücke ergiebt sich mit $\alpha =\vartheta -\omega$
${\frac {d\epsilon }{dt}}=-\epsilon \ \operatorname {tang} \ \alpha {\frac {d\omega }{dt}}$
woraus rückwärts folgt
$F=-{\frac {\epsilon }{\cos \alpha }}{\frac {dt}{d\vartheta }}{\frac {d\omega }{dt}}$
Um mittelst dieses Wertes eine nur Beobachtungsgrössen enthaltende Gleichung für ${\frac {d\omega }{dt}}$ zu gewinnen, stelle man F durch die Ableitungen von r nach t dar. Man hat, wieder mit Berücksichtigung der Unveränderlichkeit von ${\frac {b}{\sqrt {a}}}$, ausserdem mit Benutzung der Formeln
* ${\frac {d\epsilon }{dt}}=-\epsilon \ tang\ \alpha {\frac {d\omega }{dt}}$,
* $r^{2}{\frac {d\vartheta }{dt}}=L$ und $L=b{\frac {\sqrt {\mu }}{\sqrt {a}}}$:
* $r={\frac {\frac {b^{2}}{a}}{1+\epsilon \cos \alpha }}$,
* ${\begin{array}{ll}{\frac {dr}{dt}}&=-{\frac {ar^{2}}{b^{2}}}\left(\cos \alpha {\frac {d\epsilon }{dt}}-\epsilon \sin \alpha {\frac {d\vartheta }{dt}}+\epsilon \sin \alpha {\frac {d\omega }{dt}}\right)\\\\&=-{\frac {ar^{2}}{b^{2}}}\left(-\epsilon \cos \alpha \ \operatorname {tang} \ \alpha {\frac {d\omega }{dt}}-\epsilon \sin \alpha {\frac {d\vartheta }{dt}}+\epsilon \sin \alpha {\frac {d\omega }{dt}}\right)\\\\&={\frac {a\epsilon r^{2}}{b^{2}}}\sin \alpha {\frac {d\theta }{dt}}\\\\&={\frac {\epsilon {\sqrt {a\mu }}}{b}}\sin \alpha ,\end{array}}$
* ${\begin{array}{ll}{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}&={\frac {\sqrt {a\mu }}{b}}\sin \alpha {\frac {d\epsilon }{dt}}+{\frac {\epsilon {\sqrt {a\mu }}}{b}}\cos \alpha {\frac {d\vartheta }{dt}}-{\frac {\epsilon {\sqrt {a\mu }}}{b}}\cos \alpha {\frac {d\omega }{dt}}\\\\&=-{\frac {\epsilon {\sqrt {a\mu }}}{b}}\sin \alpha \ \operatorname {tang} \ \alpha {\frac {d\omega }{dt}}+{\frac {\epsilon {\sqrt {a\mu }}}{b}}\cos \alpha \ {\frac {d\vartheta }{dt}}-{\frac {\epsilon {\sqrt {a\mu }}}{b}}\cos \alpha \ {\frac {d\omega }{dt}}\\\\&=-{\frac {\epsilon {\sqrt {a\mu }}}{b}}\sin \alpha \ \operatorname {tang} \ \alpha {\frac {d\omega }{dt}}+{\frac {\epsilon \mu }{r^{2}}}\cos \alpha -{\frac {\epsilon {\sqrt {a\mu }}}{b}}\cos \alpha \ {\frac {d\omega }{dt}}\\\\&=-{\frac {\epsilon {\sqrt {a\mu }}}{b\cos \alpha }}{\frac {d\omega }{dt}}+{\frac {\epsilon \mu }{r^{2}}}\cos \alpha .\end{array}}$.
Also ist
$F={\frac {3\epsilon ^{2}a\mu }{b^{2}c^{2}}}\sin ^{2}\alpha +{\frac {6\epsilon r{\sqrt {a\mu }}}{bc^{2}\cos \alpha }}{\frac {d\omega }{dt}}-{\frac {6\epsilon \mu }{r}}\cos \alpha$
Daher lautet die gesuchte Gleichung für ${\frac {d\omega }{dt}}$
${\frac {\epsilon r^{2}{\sqrt {a}}}{b{\sqrt {\mu }}\cos \alpha }}{\frac {d\omega }{dt}}=-{\frac {3\epsilon ^{2}a\mu }{b^{2}c^{2}}}\sin ^{2}\alpha -{\frac {6\epsilon r{\sqrt {a\mu }}}{bc^{2}\cos \alpha }}{\frac {d\omega }{dt}}+{\frac {6\epsilon \mu }{r}}\cos \alpha$
oder nach Einsetzung von $r={\frac {b^{2}}{a(1+\epsilon \cos \alpha )}}$ und $b=a{\sqrt {1-\epsilon ^{2}}}$ und nach Division durch ${\frac {\epsilon r^{2}{\sqrt {a}}}{b{\sqrt {\mu }}\cos \alpha }}$
* ${\frac {d\omega }{dt}}=-{\frac {6\mu }{a(1-\epsilon ^{2})c^{2}}}(1+\epsilon \cos \alpha ){\frac {d\omega }{dt}}-{\frac {3\epsilon \mu ^{\frac {3}{2}}}{a^{\frac {5}{2}}(1-\epsilon ^{2})^{\frac {5}{2}}c^{2}}}(1+\epsilon \cos \alpha )^{2}\sin ^{2}\alpha \cos \alpha$
* $+{\frac {6\mu ^{\frac {3}{2}}}{a^{\frac {5}{2}}(1-\epsilon ^{2})^{\frac {5}{2}}c^{2}}}(1+\epsilon \cos \alpha )^{3}\cos ^{2}\alpha$
Wenn man den so berechneten Wert der Geschwindigkeit ${\frac {d\omega }{dt}}$ mit den Beobachtungen vergleichen will, hat man zu berücksichtigen, dass die Rechnung nur einen einzigen Planeten voraussetzt. Daher können allein Perihelbewegungen in Betracht kommen, die nicht aus Störungen entstehen. Solche sind bloss beim Merkur bekannt, in einem Betrage von etwa 41″ in einem Jahrhundert. Diese Kleinheit schliesst von vornherein jede erfahrungsmässige Feststellung der stetigen Veränderlichkeit von ${\frac {d\omega }{dt}}$ aus. Also ist über eine längere Zeit hin zu integrieren. In der letzten Gleichung kommt nur ε, nicht auch ${\frac {d\epsilon }{dt}}$ vor; und sofern die Änderungen von ε gegen ε selbst verschwinden, kann man dieses als konstant ansehen. Es genügt danach als Grenzen der Integration α=0 und α=2π zu wählen, da ${\frac {d\omega }{dt}}$ bei jedem folgenden Umlauf die Werte des vorigen Umlaufes sehr annäherungsweise wiederholt. Man multipliziere die Gleichung für ${\frac {d\omega }{dt}}$ mit dt und setze im zweiten und im dritten Gliede der rechten Seite
$dt={\frac {r^{2}}{L}}d\vartheta ={\frac {a^{\frac {3}{2}}(1-\epsilon ^{2})^{\frac {3}{2}}}{\mu ^{\frac {1}{2}}(1+\epsilon \cos \alpha )^{2}}}(d\alpha +d\omega )$
Durch passende Ordnung und Division ergiebt sich
$d\omega ={\frac {{\frac {6\mu }{a(1-\epsilon ^{2})c^{2}}}(1+\epsilon \cos \alpha )\cos ^{2}\alpha -{\frac {3\epsilon \mu }{a(1-\epsilon ^{2})c^{2}}}\sin ^{2}\alpha \cos \alpha }{1+{\frac {6\mu }{a(1-\epsilon ^{2})c^{2}}}(1+\epsilon \cos \alpha )-{\frac {6\mu }{a(1-\epsilon ^{2})c^{2}}}(1+\epsilon \cos \alpha )\cos ^{2}\alpha +{\frac {3\epsilon \mu }{a(1-\epsilon ^{2})c^{2}}}\sin ^{2}\alpha \cos \alpha }}d\alpha$
Dividiert man Zähler und Nenner durch
${\frac {3\mu }{a(1-\epsilon ^{2})c^{2}}}={\frac {\gamma }{c^{2}}}$
ordnet man nach steigenden Potenzen von cos α, und setzt man zur Abkürzung
* $-\epsilon \ \cos \alpha +2\ \cos ^{2}\alpha +3\epsilon \ \cos ^{3}\alpha =v$,
* $3\epsilon \ \cos \alpha -2\ \cos ^{2}\alpha -3\epsilon \ \cos ^{3}\alpha =w$,
so wird
$d\omega ={\frac {v}{{\frac {c^{2}}{\gamma }}+2+w}}d\alpha$
Angenähert erhält man
$d\omega =\left[{\frac {v}{{\frac {c^{2}}{\gamma }}+2}}-{\frac {vw}{\left({\frac {c^{2}}{\gamma }}+2\right)^{2}}}\right]d\alpha$
Für die Perihelbewegung ψ während eines Umlaufes ergiebt sich daher
$\psi ={\overset {2\pi }{\underset {0}{\int }}}\left[{\frac {v}{{\frac {c^{2}}{\gamma }}+2}}-{\frac {vw}{\left({\frac {c^{2}}{\gamma }}+2\right)^{2}}}\right]d\alpha$
oder, weil
* $vw=-3\epsilon ^{2}\ \cos ^{2}\alpha +8\epsilon \ \cos ^{3}\alpha +4(3\epsilon ^{2}-1)\ \cos ^{4}\alpha -12\epsilon \ \cos ^{5}\alpha$
* $-9\epsilon ^{2}\ \cos ^{6}\alpha$,
$\psi ={\frac {2\pi }{{\frac {c^{2}}{\gamma }}+2}}+{\frac {3\pi (8-\epsilon ^{2})}{8\left({\frac {c^{2}}{\gamma }}+2\right)^{2}}}$
Daraus folgt
${\frac {c^{2}}{\gamma }}+2={\frac {\pi }{\psi }}+{\sqrt {{\frac {\pi ^{2}}{\psi ^{2}}}+{\frac {3\pi (8-\epsilon ^{2})}{8\psi }}}}$
Beachtet man, dass ψ sehr klein ist, so sieht man, dass das zweite Glied unter der Wurzel gegen das erste verschwindet. Der für dω gewählte Näherungsausdruck ist danach noch zu genau, d. h. w hätte von vornherein vernachlässigt werden dürfen. Mithin wird
* ${\frac {c^{2}}{\gamma }}+2={\frac {2\pi }{\psi }}$,
* $c^{2}={\frac {2\pi \gamma }{\psi }}-2\gamma$,
wo aus demselben Grunde 2γ gegen ${\frac {2\pi \gamma }{\psi }}$ unberücksichtigt bleiben kann. Man erhält daher schliesslich
$c^{2}={\frac {6\pi \mu }{a(1-\epsilon ^{2})\psi }}$
Hierin ist
$\mu ={\frac {4\pi ^{2}a^{3}}{\tau ^{2}}}$
wenn τ die Umlaufszeit des Planeten bedeutet. Speziell für Merkur gelten folgende Werte:
* a = 0,3871 · 149 · 10$^6$ km, ε = 0,2056, τ = 88 Tage, ψ = 4,789 · 10$^{−7}$.
Man findet damit
Die kleinste bisher gefundene Geschwindigkeit des Lichtes hat Foucault erhalten, gleich 298000 km/sec; die grösste ergiebt sich nach der Methode von Römer aus den neuesten Beobachtungen zu 308000 km/sec; die Geschwindigkeit der elektrischen Wellen fand Hertz in seinen Versuchen 320000 km/sec. Also stimmt die Geschwindigkeit, mit der sich das Gravitationspotential ausbreitet, mit der Geschwindigkeit des Lichtes und der elektrischen Wellen überein. Darin liegt zugleich die Bürgschaft, dass diese Geschwindigkeit existiert.
Freilich wird niemand in Abrede stellen, dass die Perihelbewegung des Merkur von 41″ in einem Jahrhundert auch durch andere, noch unbekannte Umstände bedingt sein könnte, so dass es eine endliche Geschwindigkeit des Gravitationspotentials nicht zu geben brauchte. Man hat aber zu bedenken, dass die hier hauptsächlich entscheidende, übrigens auch die Abweichung von allen früheren Ergebnissen ähnlicher Untersuchungen bedingende Formel für die Abhängigkeit des Potentials von einer solchen Geschwindigkeit auf völlig naturmässigem, nicht erst durch schwierige Hypothesen führendem Wege gewonnen ist. Es wäre daher ein sonderbarer Zufall, wenn die 41 Sekunden des Merkur gerade die Licht- und Elektrizitätsgeschwindigkeit lieferten, ohne mit einer räumlich-zeitlichen Ausbreitung der Gravitation etwas zu thun zu haben, da doch das Medium, worin diese Ausbreitung und die Bewegung des Lichtes und der elektrischen Wellen erfolgen, derselbe zwischen den Weltkörpern sich erstreckende Raum ist. Nicht einmal die verhältnismässig grosse Perihelbewegung, die man mit dem gefundenen Werte von c für die Venus erhält, nämlich 8″ in einem Jahrhundert, kann als stichhaltiger Einwand gelten; oder eine Revision der Störungen dieses Planeten müsste die Möglichkeit jener Zahl endgültig ausschliessen. Es sei daran erinnert, dass die Berechnungen der säkulären Beschleunigung des Mondes zwischen 6″ und 12″ zu schwanken vermochten. Im übrigen ergeben sich lauter unmerklich kleine Perihelbewegungen. Sie betragen nach den aus den gebräuchlichen Tabellen leicht zu entnehmenden Beobachtungswerten bei der Erde in einem Jahrhundert 3″,6, beim Monde 0″,06, beim Mars 1″,3, beim Jupiter 0″,06, beim Saturn 0″,01, beim Uranus 0″,002 und beim Neptun 0″,0007.