# Die elektrischen Kräfte/Zusammenstellung:§28

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Das Elementargesetz der elektromotorischen Kräfte, dessen Entwickelung im vierten Abschnitt von Stufe zu Stufe vorgeschritten war, wird endlich durch die Betrachtungen des gegenwärtigen Abschnittes seine definitive Gestaltung (und zugleich einen bemerkenswerthen Grad von Einfachheit) erlangen.
Wir sind gezwungen in diesem Fall zu den schön früher eingeführten Hypothesen (pag. 112) eine weitere Hypothese hinzutreten zu lassen, welche jenen allerdings in hohem Grade ähnlich ist, dennoch aber, falls man strenge verfahren will, einer besondern Nennung bedarf. Denken wir uns irgend zwei Körper $A$ und $B$ gegeben, von beliebiger Gestalt und Grösse, die in irgend welchen Bewegungen begriffen sind, während gleichzeitig im Innern eines jeden irgend welche elektrische Vorgänge stattfinden und betrachten wir $A$ als den inducirten, $B$ als den inducirenden Körper, so lautet jene Hypothese folgendermassen:
(1.).... Fünfte Hypothese. Ist ${\mathsf {Dv}}_{1}$ irgend ein Volumelement des Körpers $B$, und wird die in ${\mathsf {Dv}}_{1}$ vorhandene elektrische Strömung in Componenten zerlegt gedacht nach drei aufeinander senkrechten, mit der ponderablen Masse von $B$ starr verbundenen Axen, so soll angenommen werden, dass die elektromotorische Wirkung jener in ${\mathsf {Dv}}_{1}$ vorhandenen Strömung immer identisch ist mit der elektro-motorischen Gesammtwirkung der genannten drei Componenten.
$A$
    ${\mathsf {D}}s_{0}$ irgend ein Element des Drahtes $A$;
    $\xi ,\eta ,\zeta$ drei mit der ponderablen Masse des Körpers $B$ starr verbundene, auf einander senkrechte Axen;
    $i_{1}$ die in dem Volumelement ${\mathsf {Dv}}_{1}$ des Körpers $B$ vorhandene elektrische Strömung;
    ${\mathfrak {u}}_{1},{\mathfrak {v}}_{1},{\mathfrak {w}}_{1}$ die rechtwinkligen Componenten von $i_{1}$ nach jenen Axen $\xi ,\eta ,\zeta$.
Das Volumelement ${\mathsf {Dv}}_{1}$, bald von der wirklich vorhandenen Strömung $i_{1}$, bald von ${\mathfrak {u}}_{1}$, bald von ${\mathfrak {v}}_{1}$, bald von ${\mathfrak {w}}_{1}$ durchflossen gedacht, mag, diesen verschiedenen Vorstellungen entsprechend, bezeichnet sein respective mit
| (2.) | $i_{1}{\mathsf {Dv}}_{1},\ {\mathfrak {u}}_{1}{\mathsf {Dv}}_{1},\ {\mathfrak {v}}_{1}{\mathsf {Dv}}_{1},\ {\mathfrak {w}}_{1}{\mathsf {Dv}}_{1}.$ |
Ferner seien:
| (3.) | ${\mathfrak {E}}_{0}^{1}dt,\ {\mathfrak {A}}_{0}^{1}dt,\ {\mathfrak {B}}_{0}^{1}dt,\ {\mathfrak {C}}_{0}^{1}dt$ |
diejenigen elektromotorischen Kräfte eldy. Us, welche von diesen vier Stromelementen (jedes für sich allein genommen) während der Zeit $dt$ im Elemente ${\mathsf {D}}s_{0}$, und zwar in der Richtung von ${\mathsf {D}}s_{0}$, hervorgebracht werden würden. Zufolge der so eben hingestellten Hypothese wird alsdann die Relation stattfinden:
| (4.) | ${\mathfrak {E}}_{0}^{1}dt={\mathfrak {A}}_{0}^{1}dt+{\mathfrak {B}}_{0}^{1}dt+{\mathfrak {C}}_{0}^{1}dt.$ |
${\mathfrak {A}}_{0}^{1}dt$
${\mathsf {Dv}}_{1}$
$q_{1}{\mathsf {D}}\xi _{1}$
$\xi$
$q_{1}$
${\mathsf {D}}\xi _{1}$
${\mathfrak {u}}_{1}{\mathsf {Dv}}_{1}$
${\mathfrak {u}}_{1}q_{1}{\mathsf {D}}\xi _{1}$
${\mathfrak {u}}_{1}$
$J_{1}{\mathsf {D}}s_{1}$
${\mathfrak {u}}_{1}q_{1}$
$J_{1}$
${\mathsf {D}}\xi _{1}$
${\mathsf {D}}s_{1}$
Die von dem prismatischen Stromelement ${\mathfrak {u}}_{1}q_{1}{\mathsf {D}}\xi _{1}$ während der Zeit $dt$ in dem gegebenen Drahtelemente ${\mathsf {D}}s_{0}$, und zwar in der Richtung dieses Elementes, hervorgebrachte elektromotorische Kraft eldy. Us kann daher augenblicklich angegeben werden mit Hülfe des früher (pag. 133) von uns entwickelten Gesetzes, und wird also folgenden Werth haben:
| (5.) | ${\mathfrak {u}}_{1}q_{1}{\mathsf {D}}\xi _{1}{\frac {\left(d\Omega ^{\xi }-{\mathsf {P}}^{\xi }dr\right)+\sigma \left(\Theta _{0}d\Theta ^{\xi }-\Theta ^{\xi }d\Theta _{0}\right)}{2}}+\left(d{\mathfrak {u}}_{1}\right)q_{1}{\mathsf {D}}\xi _{1}\Omega ^{\xi },$ |
wo die Charakteristik $d$ die der Zeit $dt$ entsprechenden Veränderungen andeutet, und $\Theta _{0},\Theta ^{\xi },\Omega ^{\xi },{\mathsf {P}}^{\xi }$ zur Abkürzung stehen für die Ausdrücke:
| (6.) | ${\begin{array}{l}\Theta _{0}=\cos \left(r,{\mathsf {D}}s_{0}\right),\\\Theta ^{\xi }=\cos(r,\xi ),\\\Omega ^{\xi }=\omega \cos \left(r,{\mathsf {D}}s_{0}\right)\cos(r,\xi )+{\overset {II}{\omega }}\cos \left({\mathsf {D}}s_{0},\xi \right),\\{\mathsf {P}}^{\xi }=\varrho \cos \left(r,{\mathsf {D}}s_{0}\right)\cos(r,\xi )+{\overset {II}{\varrho }}\cos \left({\mathsf {D}}s_{0},\xi \right).\end{array}}$ |
Dabei ist unter $r$ die Entfernung zu verstehen, und die Richtung $r$ fortlaufend zu denken von $q_{1}{\mathsf {D}}\xi _{1}$ nach ${\mathsf {D}}s_{0}$, d. i. von ${\mathsf {Dv}}_{1}$ nach ${\mathsf {D}}s_{0}$.
Summirt man die Kraft (5.) über all’ jene das Volumen ${\mathsf {Dv}}_{1}$ erfüllenden Prismata $q_{1}{\mathsf {D}}\xi _{1}$, so erhält man die zu berechnende Kraft ${\mathfrak {A}}_{0}^{1}dt$. Das Volumen ${\mathsf {Dv}}_{1}$ ist aber unendlich klein; und es haben daher ${\mathfrak {u}}_{1},r,\Theta _{0},\Theta ^{\xi },\Omega ^{\xi },{\mathsf {P}}^{\xi }$, ebenso ${\mathfrak {u}}_{1}+d{\mathfrak {u}}_{1},\ r+dr,\dots$ für all’ jene Prismata einerlei Werthe. Somit erhält man:
| (7.) | ${\mathfrak {A}}_{0}^{1}dt={\mathfrak {u}}_{1}\left(\Sigma \ q_{1}{\mathsf {D}}\xi _{1}\right){\frac {\left(d\Omega ^{\xi }-{\mathsf {P}}^{\xi }dr\right)+\cdots }{2}}+\left(d{\mathfrak {u}}_{1}\right)\left(\Sigma \ q_{1}{\mathsf {D}}\xi _{1}\right)\Omega ^{\xi },$ |
oder weil $\Sigma \ q_{1}{\mathsf {D}}\xi _{1}={\mathsf {Dv}}_{1}$ ist:
| (8.) | ${\mathfrak {A}}_{0}^{1}dt={\mathfrak {u}}_{1}{\mathsf {Dv}}_{1}{\frac {\left(d\Omega ^{\xi }-{\mathsf {P}}^{\xi }dr\right)+\sigma \left(\Theta _{0}d\Theta ^{\xi }-\Theta ^{\xi }d\Theta _{0}\right)}{2}}+\left(d{\mathfrak {u}}_{1}\right){\mathsf {Dv}}_{1}\Omega ^{\xi }.$ |
Analoge Werthe ergeben sich offenbar für ${\mathfrak {B}}_{0}^{1}dt$ und ${\mathfrak {E}}_{0}^{1}dt$; und durch Substitution dieser Werthe in (4.) folgt:
| (9.) | ${\mathfrak {E}}_{0}^{1}dt={\mathsf {Dv}}_{1}\left\{{\begin{array}{rll}&{\mathfrak {u}}_{1}{\frac {\left(d\Omega ^{\xi }-{\mathsf {P}}^{\xi }dr\right)+\sigma \left(\Theta _{0}d\Theta ^{\xi }-\Theta ^{\xi }d\Theta _{0}\right)}{2}}&+\left(d{\mathfrak {u}}_{1}\right)\Omega ^{\xi }\\\\+&{\mathfrak {v}}_{1}{\frac {\left(d\Omega ^{\eta }-{\mathsf {P}}^{\eta }dr\right)+\sigma \left(\Theta _{0}d\Theta ^{\eta }-\Theta ^{\eta }d\Theta _{0}\right)}{2}}&+\left(d{\mathfrak {v}}_{1}\right)\Omega ^{\eta }\\\\+&{\mathfrak {w}}_{1}{\frac {\left(d\Omega ^{\zeta }-{\mathsf {P}}^{\zeta }dr\right)+\sigma \left(\Theta _{0}d\Theta ^{\zeta }-\Theta ^{\zeta }d\Theta _{0}\right)}{2}}&+\left(d{\mathfrak {w}}_{1}\right)\Omega ^{\zeta }\end{array}}\right\},$ |
$\Theta ^{\xi },\Omega ^{\xi },{\mathsf {P}}^{\xi }$
$\Theta ^{\eta },\Omega ^{\eta },{\mathsf {P}}^{\eta }$
$\Theta ^{\zeta },\Omega ^{\zeta },{\mathsf {P}}^{\zeta }$
Um den Ausdruck (9.) einfacher zu gestalten, greifen wir zurück zu unsern gewöhnlichen Bezeichnungen:
| (10.) | ${\begin{array}{ll}{\mathsf {E}}&=\cos \left({\mathsf {D}}s_{0},i_{1}\right),\\\Theta _{0}&=\cos \left(r,{\mathsf {D}}s_{0}\right),\\\Theta _{1}&=\cos \left(r,i_{1}\right),\\\Omega &=\omega \Theta _{0}\Theta _{1}+{\overset {II}{\omega }}{\mathsf {E}},\\{\mathsf {P}}&=\varrho \Theta _{0}\Theta _{1}+{\overset {II}{\varrho }}{\mathsf {E}},\end{array}}$ |
wo also unter ${\mathsf {E}},\Theta _{0},\Theta _{1}$ dieselben Cosinus zu verstehen sind, wie im Ampère’schen Gesetz (pag. 44). Diese Ausdrücke (10.) stehen in einfacher Beziehung zu denen in (6.). Denn es folgt z. B. aus (10.):
$\Theta _{1}=\cos(r,\xi )\cos(i_{1},\xi )+\cos(r,\eta )\cos(i_{1},\eta )+\cos(r,\zeta )\cos(i_{1},\zeta ),$
und hieraus durch Multiplication mit $i_{1}$:
$i_{1}\Theta _{1}={\mathfrak {u}}_{1}\cos(r,\xi )+{\mathfrak {v}}_{1}\cos(r,\eta )+{\mathfrak {w}}_{1}\cos(r,\zeta ),$
also mit Rücksicht auf (6.):
| (11.) | ${\begin{array}{ll}i_{1}\Theta _{1}&={\mathfrak {u}}_{1}\Theta ^{\xi }+{\mathfrak {v}}_{1}\Theta ^{\eta }+{\mathfrak {w}}_{1}\Theta ^{\zeta };\ \mathrm {ebenso\ wird} :\\i_{1}\Omega &={\mathfrak {u}}_{1}\Omega ^{\xi }+{\mathfrak {v}}_{1}\Omega ^{\eta }+{\mathfrak {w}}_{1}\Omega ^{\zeta },\\i_{1}{\mathsf {P}}&={\mathfrak {u}}_{1}{\mathsf {P}}^{\xi }+{\mathfrak {v}}_{1}{\mathsf {P}}^{\eta }+{\mathfrak {w}}_{1}{\mathsf {P}}^{\zeta }.\end{array}}$ |
Bedienen wir uns nun der schon früher [(3.a,b,c,d) auf pag. 158, 159] eingeführten Charakteristiken:
| (12.) | ${\begin{array}{lllll}\delta _{0}={\frac {\partial }{\partial \tau _{0}}}dt,&&\delta _{1}={\frac {\partial }{\partial \tau _{1}}}dt,&&\delta =\delta _{0}+\delta _{1}={\frac {\partial }{\partial \tau }}dt,\\\\\Delta _{0}={\frac {\partial }{\partial {\mathsf {T}}_{0}}}dt,&&\Delta _{1}={\frac {\partial }{\partial {\mathsf {T}}_{1}}}dt,&&\Delta =\Delta _{0}+\Delta _{1}={\frac {\partial }{\partial {\mathsf {T}}}}dt,\end{array}}$ |
so werden die Grössen
$\Theta ^{\xi },\Theta ^{\eta },{\mathsf {\Theta }}^{\zeta },\quad \Omega ^{\xi },\Omega ^{\eta },{\mathsf {\Omega }}^{\zeta },\quad {\mathsf {P}}^{\xi },{\mathsf {P}}^{\eta },{\mathsf {\mathsf {P}}}^{\zeta }$
deren Werthe (6.) lediglich bedingt sind durch Lage und Bewegung der ponderablen Massen, nur von $\tau$ abhängen; während andererseits die Grössen
${\mathfrak {u}}_{1},{\mathfrak {v}}_{1},{\mathfrak {w}}_{1}$
nur von ${\mathsf {T}}$ abhängig sind. Somit folgt aus (11.):
| (13.) | ${\begin{array}{llll}\delta \left(i_{1}\Theta _{1}\right)&={\mathfrak {u}}_{1}d\Theta ^{\xi }&+{\mathfrak {v}}_{1}d\Theta ^{\eta }&+{\mathfrak {w}}_{1}d\Theta ^{\zeta },\\\delta \left(i_{1}\Omega \right)&={\mathfrak {u}}_{1}d\Omega ^{\xi }&+{\mathfrak {v}}_{1}d\Omega ^{\eta }&+{\mathfrak {w}}_{1}d\Omega ^{\zeta },\\\Delta \left(i_{1}\Omega \right)&=\left(d{\mathfrak {u}}_{1}\right)\Omega ^{\xi }&+\left(d{\mathfrak {v}}_{1}\right)\Omega ^{\eta }&+\left(d{\mathfrak {w}}_{1}\right)\Omega ^{\zeta },\end{array}}$ |
und ferner:
| (14.) | $\delta r=dr,\quad \delta \Theta _{0}=d\Theta _{0}.$ |
| (15.) | ${\mathfrak {E}}_{0}^{1}dt={\mathsf {Dv}}_{1}\left({\frac {\left[\delta \left(i_{1}\Omega \right)-\left(i_{1}{\mathsf {P}}\right)\delta r\right]+\sigma \left[\Theta _{0}\delta \left(i_{1}\Theta _{1}\right)-\left(i_{1}\Theta _{1}\right)\delta \Theta _{0}\right]}{2}}+\Delta \left(i_{1}\Omega \right)\right).$ |
Die vom Stromelemente $i_{1}{\mathsf {Dv}}_{1}$ während der Zeit $dt$ im Drahtelement ${\mathsf {D}}s_{0}$, und zwar in der Richtung von ${\mathsf {D}}s_{0}$ hervorgebrachte elektromotorische Kraft eldy. Us ${\mathfrak {E}}_{0}^{1}dt$ besitzt also den hier, in (15.), angegebenen Werth, wo $\Theta _{0},\Theta _{1}$, und $\Omega ,{\mathsf {P}}$ die in (10.) genannten Bedeutungen haben.