# David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie/Kapitel 7.28

Es bezeichne $l$ eine ungerade rationale Primzahl und $k(\zeta )$ den durch $\zeta =\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{l}}$ bestimmten Kreiskörper. Ist dann $\mu$ eine solche ganze Zahl in $k(\zeta )$, welche nicht zugleich die $l$-te Potenz einer Zahl in $k(\zeta )$ wird, so erweist sich die Gleichung $l$-ten Grades
* $x^{l}-\mu =0$
als irreduzibel im Rationalitätsbereich $k(\zeta )$. Bedeutet ${\mathsf {M}}={\sqrt[{l}]{\mu }}$ eine irgendwie in bestimmter Weise ausgewählte Wurzel dieser Gleichung, so sind
* $\zeta {\mathsf {M}},\ \zeta ^{2}{\mathsf {M}},\ \ldots ,\ \zeta ^{l-1}{\mathsf {M}}$
deren $l-1$ übrige Wurzeln. Den durch ${\mathsf {M}}$ und $\zeta$ bestimmten Körper $k({\mathsf {M}},\ \zeta )$ nenne ich einen Kummerschen Körper. Ein solcher Kummerscher Körper $k({\mathsf {M}},\ \zeta )$ ist vom Grade $l(l-1)$; er enthält den Kreiskörper $k(\zeta )$ als Unterkörper und ist in bezug auf $k(\zeta )$ ein relativ Abelscher Körper vom Relativgrade $l$. Durch die Operation der Vertauschung von ${\mathsf {M}}$ mit $\zeta {\mathsf {M}}$ in einer Zahl oder in einem Ideal dieses Kummerschen Körpers geht man zu der relativ konjugierten Zahl bezüglich dem relativ konjugierten Ideal über. Dieser Übergang werde durch Vorsetzen des Substitutionszeichens $S$ angedeutet.
Man beweist leicht die Tatsachen:
Satz 147. Der durch $M={\sqrt[{l}]{\mu }}$ und $\zeta$ bestimmte Kummersche Körper ist im Bereiche der rationalen Zahlen dann und nur dann ein Galoisscher Körper, wenn unter den symbolischen Potenzen $\mu ^{s-1},\ \mu ^{s-2},\ \ldots ,\ \mu ^{s-l+1}$ eine die $l$-te Potenz einer Zahl in $k(\zeta )$ wird. Dabei ist $s=\left(\zeta :\zeta ^{r}\right)$, worin $r$ eine Primitivzahl nach $l$ bedeutet.
Der Kummersche Körper $k({\mathsf {M}},\ \zeta )$ ist insbesondere dann und nur dann ein Abelscher Körper, wenn $\mu ^{s-r}$ die $l$-te Potenz einer Zahl in $k(\zeta )$ wird.
Wenn der Kummersche Körper $k({\mathsf {M}},\ \zeta )$ ein Galoisscher oder insbesondere ein Abelscher Körper ist, so entsteht dieser Körper, wie man auf Grund der in § 38 entwickelten Begriffe ersieht, durch Zusammensetzung aus dem Kreiskörper $k(\zeta )$ und einem gewissen Körper $l$-ten Grades.
Unsere erste Aufgabe ist die Ermittlung der Relativdiskriminante von $k({\mathsf {M}},\,\zeta )$ in bezug auf $k(\zeta )$. Wir beweisen zunächst die folgende Tatsache:
Hilfssatz 23. Wenn ein Primideal ${\mathfrak {p}}$ des Kreiskörpers $k(\zeta )$ gleich der $l$-ten Potenz eines Primideals ${\mathfrak {P}}$ des Kummerschen Körpers $k({\mathsf {M}},\,\zeta )$ wird und ${\mathsf {A}}$ eine ganze durch ${\mathfrak {P}}$, aber nicht durch ${\mathfrak {P}}^{2}$ teilbare Zahl in $k({\mathsf {M}},\,\zeta )$ ist, so enthalten die Relativdiskriminante der Zahl ${\mathsf {A}}$ und die Relativdiskriminante des Kummerschen Körpers $k({\mathsf {M}},\,\zeta )$ in bezug auf $k(\zeta )$ genau die gleiche Potenz von ${\mathfrak {p}}$ als Faktor.
Beweis. Jede ganze Zahl des Kummerschen Körpers $k({\mathsf {M}},\,\zeta )$ ist offenbar in der Gestalt
| $\Omega {\frac {\alpha +\alpha _{1}{\mathsf {A}}+\alpha _{2}{\mathsf {A}}^{2}+\cdots +\alpha _{l-1}{\mathsf {A}}^{l-1}}{\beta }}$ | (68) |
darstellbar, so daß $\alpha$, $\alpha _{1}$, $\alpha _{2}$, …, $\alpha _{l-1}$, $\beta$ ganze Zahlen in $k(\zeta )$ sind. Ist dabei $\beta$ durch ${\mathfrak {p}}$ teilbar, so folgt, daß auch der Zähler des rechter Hand stehenden Bruches kongruent $0$ nach ${\mathfrak {p}}$ sein muß. Wegen ${\mathsf {A}}\equiv 0$ nach ${\mathfrak {P}}$ geht hieraus $\alpha \equiv 0$ nach ${\mathfrak {P}}$ und, da $\alpha$ in $k(\zeta )$ liegt, auch $\alpha \equiv 0$ nach ${\mathfrak {p}}$ hervor. Aus der letzten Kongruenz ergibt sich
* $\alpha _{1}{\mathsf {A}}+\alpha _{2}{\mathsf {A}}^{2}+\cdots +\alpha _{l-1}{\mathsf {A}}^{l-1}\equiv 0$, $({\mathfrak {p}})$,
und da ${\mathsf {A}}\not \equiv 0$, ${\mathsf {A}}^{2}\equiv 0$, ${\mathsf {A}}^{3}\equiv 0$, …, ${\mathsf {A}}^{l-1}\equiv 0$ nach ${\mathfrak {P}}^{2}$ ist, so folgt $\alpha _{1}\equiv 0$ nach und ${\mathfrak {P}}$ daher auch nach ${\mathfrak {p}}$, also ist auch
* $\alpha _{2}{\mathsf {A}}^{2}+\cdots +\alpha _{l-1}{\mathsf {A}}^{l-1}\equiv 0$, (${\mathfrak {p}}$).
Wegen ${\mathsf {A}}^{2}\not \equiv 0$, ${\mathsf {A}}^{3}\equiv 0$, …, ${\mathsf {A}}^{l-1}\equiv 0$ nach ${\mathfrak {P}}^{3}$ folgt $\alpha _{2}\equiv 0$ nach ${\mathfrak {P}}$ und daher auch nach ${\mathfrak {p}}$. Fahren wir so fort, so erkennen wir, daß notwendig alle Koeffizienten $\alpha$, $\alpha _{1}$, $\alpha _{2}$, …, $\alpha _{l-1}$ durch ${\mathfrak {p}}$ teilbar sein müssen. Ist jetzt $\beta '$ eine ganze Zahl in $k(\zeta )$, welche durch $\textstyle {\frac {\beta }{\mathfrak {p}}}$ teilbar, aber nicht durch $\beta$ teilbar ist, so werden die Zahlen $\alpha \beta '$, $\alpha _{1}\beta '$, …, $\alpha _{l-1}\beta '$ sämtlich durch $\beta$ teilbar. Wir setzen
* $\alpha '={\frac {\alpha \beta '}{\beta }}$, $\alpha _{1}'={\frac {\alpha _{1}\beta '}{\beta }}$, …, $\alpha _{l-1}'={\frac {\alpha _{l-1}\beta '}{\beta }}$
und erhalten dann
| $\Omega ={\frac {\alpha '+\alpha _{1}'{\mathsf {A}}+\alpha _{2}'{\mathsf {A}}^{2}+\cdots +\alpha _{l-1}'{\mathsf {A}}^{l-1}}{\beta '}}$, | (69) |
wo die im Nenner stehende Zahl $\beta '$ jetzt einen Idealfaktor ${\mathfrak {p}}$ weniger enthält als $\beta$. Wenden wir die eben auf (68) angewandte Schlußweise nunmehr wiederum auf (69) an usf., so gelangen wir schließlich zu dem Resultat, daß jede ganze Zahl $\Omega$ des Körpers $k({\mathsf {M}},\,\zeta )$ in der Gestalt
| $\Omega ={\frac {\alpha +{\overline {\alpha }}_{1}{\mathsf {A}}+{\overline {\alpha }}_{2}{\mathsf {A}}^{2}+\cdots +{\overline {\alpha }}_{l-1}{\mathsf {A}}^{l-1}}{\overline {\beta }}}$ | (70) |
darstellbar ist derart, daß ${\overline {\alpha }}$, ${\overline {\alpha }}_{1}$, …, ${\overline {\alpha }}_{l-1}$, ${\overline {\beta }}$ sämtlich ganze Zahlen in $k(\zeta )$ sind, und daß außerdem ${\overline {\beta }}$ zu ${\mathfrak {p}}$ prim ausfällt. Wir denken uns nun die $l(l-1)$ Zahlen einer Basis des Kummerschen Körpers $k({\mathsf {M}},\,\zeta )$ gemäß (70) ausgedrückt und bilden aus diesen Zahlen und den zu ihnen relativ konjugierten Zahlen die $l$-reihige Matrix; es wird dann ersichtlich, daß die Relativdiskriminante des Kummerschen Körpers $k({\mathsf {M}},\,\zeta )$ nach Multiplikation mit gewissen zu ${\mathfrak {p}}$ primen ganzen Zahlen ${\overline {\beta }}$ des Körpers $k(\zeta )$ durch die Relativdiskriminante der Zahl ${\mathsf {A}}$ teilbar werden muß, und hiermit ist der Hilfssatz 23 bewiesen.
Satz 148. Es werde $\lambda =1-\zeta$ und ${\mathfrak {l}}=(\lambda )$ gesetzt. Geht ein von ${\mathfrak {l}}$ verschiedenes Primideal ${\mathfrak {p}}$ des Kreiskörpers $k(\zeta )$ in der Zahl $\mu$ genau zur $e$-ten Potenz auf, so enthält, wenn der Exponent $e$ zu $l$ prim ist, die Relativdiskriminante des durch ${\mathsf {M}}={\sqrt[{l}]{\mu }}$ und $\zeta$ bestimmten Kummerschen Körpers in bezug auf $k(\zeta )$ genau die Potenz ${\mathfrak {p}}^{l-1}$ von ${\mathfrak {p}}$ als Faktor. Ist dagegen der Exponent $e$ ein Vielfaches von $l$, so fällt diese Relativdiskriminante prim zu ${\mathfrak {p}}$ aus.
Was das Primideal ${\mathfrak {l}}$ betrifft, so können wir zunächst den Umstand ausschließen, daß die Zahl $\mu$ durch ${\mathfrak {l}}$ teilbar ist und dabei ${\mathfrak {l}}$ genau in einer solchen Potenz enthält, deren Exponent ein Vielfaches von $l$ ist; denn alsdann könnte die Zahl $\mu$ sofort durch eine zu ${\mathfrak {l}}$ prime Zahl $\mu ^{*}$ ersetzt werden, so daß $k\left({\sqrt[{l}]{\mu ^{*}}},\,\zeta \right)$ derselbe Körper wie $k\left({\sqrt[{l}]{\mu }},\,\zeta \right)$ ist. Unter Ausschluß des genannten Umstandes haben wir die zwei möglichen Fälle, daß $\mu$ genau eine Potenz von ${\mathfrak {l}}$ enthält, deren Exponent zu $l$ prim ist, oder daß $\mu$ nicht durch ${\mathfrak {l}}$ teilbar ist. Im ersteren Falle ist die Relativdiskriminante von $k\left({\sqrt[{l}]{\mu }},\,\zeta \right)$ in bezug auf $k(\zeta )$ genau durch die Potenz ${\mathfrak {l}}^{l^{2}-1}$ von ${\mathfrak {l}}$ teilbar. Im zweiten Falle sei $m$ der höchste Exponent $\leqq l$, für den es eine Zahl $\alpha$ in $k(\zeta )$ gibt, so daß $\mu =\alpha ^{l}$ nach ${\mathfrak {l}}^{m}$ ausfällt. Jene Relativdiskriminante ist dann im Falle $m=l$ zu ${\mathfrak {l}}$ prim; sie ist dagegen im Falle $m<l$ genau durch die Potenz ${\mathfrak {l}}^{(l-1)(l-m+1)}$ von ${\mathfrak {l}}$ teilbar.
Beweis. Gehen wir zunächst auf den ersten Teil des Satzes 148 ein. Es sei $\pi$ eine durch ${\mathfrak {p}}$, aber nicht durch ${\mathfrak {p}}^{2}$ teilbare ganze Zahl in $k(\zeta )$, und weiter sei $v$ eine durch $\textstyle {\frac {\pi }{\mathfrak {p}}}$ teilbare, aber zu ${\mathfrak {p}}$ prime ganze Zahl in $k(\zeta )$.
Ist der Exponent $e$ der in $\mu$ enthaltenen Potenz von ${\mathfrak {p}}$ kein Vielfaches von $l$, so können wir zwei ganze rationale positive Zahlen $a$ und $b$ bestimmen, so daß $1=ae-bl$ ist. Dann ist $\textstyle \mu ^{*}={\frac {\mu ^{a}v^{bl}}{\pi ^{bl}}}$ durch ${\mathfrak {p}}$, aber nicht durch ${\mathfrak {p}}^{2}$ teilbare ganze Zahl in $k(\zeta )$, und es erweist sich, wenn ${\mathsf {M}}^{*}={\sqrt[{l}]{\mu ^{*}}}$ gesetzt wird, $k({\mathsf {M}}^{*},\,\zeta )=k({\mathsf {M}},\,\zeta )$, und wenn wir den gemeinsamen Idealteiler von ${\mathfrak {p}}$ und ${\mathsf {M}}^{*}$ im Körper $k({\mathsf {M}},\,\zeta )$ mit ${\mathfrak {P}}$ bezeichnen,
* ${\mathfrak {P}}=S{\mathfrak {P}}$, ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {P}}^{l}$.
Das Ideal ${\mathfrak {P}}$ ist also ein ambiges Primideal des Kummerschen Körpers $k({\mathsf {M}},\,\zeta )$ in bezug auf den Unterkörper $k(\zeta )$; nach Satz 93 tritt dasselbe daher in der Relativdiskriminante von $k({\mathsf {M}},\,\zeta )$ in bezug auf $k(\zeta )$ als Faktor auf. Da ferner die Zahl ${\mathsf {M}}^{*}$ durch ${\mathfrak {P}}$, aber nicht durch ${\mathfrak {P}}^{2}$ teilbar ist, und da die Relativdiskriminante der Zahl ${\mathsf {M}}^{*}$ in bezug auf $k(\zeta )$ den Wert $(-1)^{\frac {l-1}{2}}l^{l}\mu ^{*l-1}$ hat, so ist nach Hilfssatz 23 das Ideal ${\mathfrak {p}}$ auch in der Relativdiskriminante des Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ genau zur $(l-1)$-ten Potenz enthalten.
Ist dagegen der Exponent $e$ der in $\mu$ enthaltenen Potenz von ${\mathfrak {p}}$ ein Vielfaches von $l$, so ist $\mu ^{*}={\frac {\mu v^{e}}{\pi ^{e}}}$ eine nicht durch ${\mathfrak {p}}$ teilbare ganze Zahl in $k(\zeta )$; da die Relativdiskriminante der Zahl ${\mathsf {M}}^{*}={\sqrt[{l}]{\mu ^{*}}}$ in bezug auf $k(\zeta )$ den Wert $(-1)^{\frac {l-1}{2}}l^{l}\mu ^{*l-1}$ hat, so ist sie zu ${\mathfrak {p}}$ prim. Das gleiche gilt mithin von der Relativdiskriminante des Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ in bezug auf $k(\zeta )$.
Jetzt betrachten wir die Verhältnisse in betreff des Primfaktors ${\mathfrak {l}}$. Im Falle, daß derselbe in $\mu$ zu einem solchen Exponenten $e$ erhoben aufgeht, der kein Vielfaches von $l$ ist, verfahren wir in entsprechender Weise, wie im ersten Teil dieses Beweises bei Behandlung des Primideales ${\mathfrak {p}}$ verfahren wurde, indem wir an die Stelle von $\mu$ eine Zahl $\mu ^{*}$ bringen, die durch ${\mathfrak {l}}$, aber nicht durch ${\mathfrak {l}}^{2}$ teilbar ist. Da die Relativdiskriminante der Zahl ${\mathsf {M}}^{*}={\sqrt[{l}]{\mu ^{*}}}$ den Wert $(-1)^{\frac {l-1}{2}}l^{l}\mu ^{*l-1}$ hat, so ist, nach der Beschaffenheit von $\mu ^{*}$, dem Hilfssatze 23 zufolge die Relativdiskriminante des Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ in bezug auf $k(\zeta )$ genau durch ${\mathfrak {l}}^{l^{2}-1}$ teilbar.
An zweiter Stelle haben wir den Fall zu untersuchen, daß $\mu$ nicht durch ${\mathfrak {l}}$ teilbar ist. Der für diesen Fall in Satz 148 bezeichnete Exponent $m(\leqq l)$ sei zunächst $=l$; es gebe also eine ganze Zahl $\alpha$ in $k(\zeta )$ derart, daß $\mu \equiv \alpha ^{l}$ nach ${\mathfrak {l}}^{l}$ ist; dabei wird dann ${\frac {\mu -\alpha ^{l}}{\lambda ^{l}}}$ eine ganze Zahl in $k(\zeta )$, und folglich besitzt die Gleichung $l$-ten Grades in $x$
* ${\frac {(\lambda x-\alpha )^{l}+\mu }{\lambda ^{l}}}=0$.
lauter ganze Koeffizienten. Da $x={\frac {\alpha -{\mathsf {M}}}{\lambda }}$, wo ${\mathsf {M}}={\sqrt[{l}]{\mu }}$ gesetzt ist, eine Wurzel dieser Gleichung ist, so erweist sich die Zahl $\Omega ={\frac {\alpha -{\mathsf {M}}}{\lambda }}$ des Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ als ganze Zahl. Die Relativdiskriminante dieser Zahl $\Omega$ ist gleich $\varepsilon \mu ^{l-1}$, wo $\varepsilon$ eine Einheit bedeutet, und folglich ist auch die Relativdiskriminante des Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ in bezug auf $k(\zeta )$ zu ${\mathfrak {l}}$ prim.
Zweitens sei $m<l$, so daß also $\mu$ nicht einer $l$-ten Potenz nach ${\mathfrak {l}}^{l}$ kongruent gesetzt werden kann; wir setzen $\mu \equiv \alpha ^{l}+a\lambda ^{m}$ nach ${\mathfrak {l}}^{m+1}$, wo $\alpha$ eine ganze Zahl in $k(\zeta )$, ferner $m$ der im Satze erklärte Exponent ist und $a$ eine ganze rationale, nicht durch $l$ teilbare Zahl bedeutet. Wir betrachten nun das Ideal
* ${\mathfrak {A}}=(\lambda ,a-{\mathsf {M}})$.
${\frac {\alpha -{\mathsf {M}}}{\lambda }}$
$k(\zeta )$
${\frac {\alpha ^{l}-\mu }{\lambda ^{l}}}$
$m<l$
$\alpha -{\mathsf {M}}$
${\mathfrak {l}}$
${\mathfrak {A}}$
${\mathfrak {l}}$
${\mathfrak {A}}$
$=1$
$\alpha -{\mathsf {M}}$
| $N_{k}(\alpha -{\mathsf {M}})=\alpha ^{l}-\mu \equiv -a\lambda ^{m}$, $({\mathfrak {l}}^{m+1})$ | (71) |
durch ${\mathfrak {l}}^{m}$ teilbar ist. Da sich $S{\mathfrak {A}}={\mathfrak {A}}$ erweist, so ist ${\mathfrak {A}}$ ein ambiges Ideal, und da dasselbe ein Faktor von ${\mathfrak {l}}$ sein muß, so gehört unter den gegenwärtigen Umständen ${\mathfrak {l}}$ zur ersten von den drei in § 57 beim Beweise des Satzes 93 unterschiedenen Arten von Primidealen des Unterkörpers, d. h. wir haben ${\mathfrak {l}}={\mathfrak {L}}^{l}$, wo ${\mathfrak {L}}$ ein Primideal und offenbar ersten Grades im Körper $k({\mathsf {M}},\zeta )$ bedeutet. Aus der Kongruenz (71) ergibt sich dann ${\mathfrak {A}}={\mathfrak {L}}^{m}$.
Nunmehr bestimmen wir zwei ganze rationale positive Zahlen $a$ und $b$, so daß $1=am-bl$ wird, und setzen
* $\Omega ={\frac {(\alpha -{\mathsf {M}})^{a}}{\lambda ^{b}}}$.
Wegen $S{\mathsf {M}}=\zeta {\mathsf {M}}$ folgt
* $S\Omega ={\frac {(\alpha -{\mathsf {M}}+\lambda {\mathsf {M}})^{a}}{\lambda ^{b}}}$,
und wir schließen aus diesem Ausdrucke, daß $\Omega -S\Omega$ genau durch die $(l-m+1)$-te Potenz von ${\mathfrak {L}}$ teilbar ist. Da von jeder Differenz aus irgend zwei zu $\Omega$ relativ konjugierten Zahlen das gleiche gilt, so enthält die Relativdiskriminante der Zahl $\Omega$ in bezug auf $k(\zeta )$ genau die $(l-1)(l-m+1)$-te Potenz des Ideals ${\mathfrak {l}}$. Hieraus folgt, da $\Omega$ nur durch die erste Potenz von ${\mathfrak {L}}$ teilbar ist, nach Hilfssatz 23, daß auch die Relativdiskriminante des Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ in bezug auf $k(\zeta )$ genau durch die angegebene Potenz von ${\mathfrak {l}}$ teilbar sein muß.
Durch den eben bewiesenen Satz 148 ist die Relativdiskriminante des Kummerschen Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ in bezug auf den Körper $k(\zeta )$ völlig bestimmt, und nach Satz 39 kann man aus dieser Relativdiskriminante sogleich auch die Diskriminante des Kummerschen Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ finden.
$\left\{{\frac {\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}$
Für die weiteren Entwicklungen ist es nötig, das in § 113 eingeführte Symbol $\left\{{\frac {\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}$ in folgender Weise zu verallgemeinern, so daß es auch in den Fällen eine Bedeutung hat, wo ${\mathfrak {w}}$ in $\mu$ aufgeht, und wo ${\mathfrak {w}}={\mathfrak {l}}$ ist.
Es sei ${\mathfrak {w}}$ ein beliebiges Primideal in $k(\zeta )$ und $\mu$ eine beliebige ganze Zahl in $k(\zeta )$, welche nicht $l$-te Potenz einer ganzen Zahl in $k(\zeta )$ ist. Wenn dann die Relativdiskriminante des durch ${\mathsf {M}}={\sqrt[{l}]{\mu }}$ und $\zeta$ bestimmten Kummerschen Körpers durch ${\mathfrak {w}}$ teilbar ist, so habe das Symbol $\left\{{\frac {\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}$ den Wert $0$.
Ist dagegen die Relativdiskriminante dieses Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ nicht durch ${\mathfrak {w}}$ teilbar, so kann man nach Satz 148 stets eine Zahl $\alpha$ in $k(\zeta )$ finden derart, daß $\mu ^{*}=\alpha ^{l}\mu$ eine ganze, nicht mehr durch ${\mathfrak {w}}$ teilbare Zahl in $k(\zeta )$ wird. Ist $\mu$ selbst zu ${\mathfrak {w}}$ prim, so erfüllt bereits $\alpha =1$ diese Bedingung. Wir definieren dann, wenn ${\mathfrak {w}}\neq {\mathfrak {l}}$ ist, das fragliche Symbol durch die Formel
* $\left\{{\frac {\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}=\left\{{\frac {\mu ^{*}}{\mathfrak {w}}}\right\}$.
Wenn aber ${\mathfrak {w}}={\mathfrak {l}}$ ist, so kann, da die Relativdiskriminante von $k({\mathsf {M}},\zeta )$ prim zu ${\mathfrak {l}}$ sein soll, nach dem Satze 148 die Zahl $\alpha$ überdies so gewählt werden, daß $\mu ^{*}\equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}^{l}$ ausfällt. Ist dies geschehen, so gilt eine Kongruenz von der Gestalt
* $\mu ^{*}\equiv 1+a\lambda ^{l}$, $({\mathfrak {l}}^{l+1})$,
wo $a$ eine bestimmte Zahl aus der Reihe $0$, $1$, $2$, …, $l-1$ bedeutet. Ich definiere dann das Symbol $\left\{{\frac {\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}$ durch die Gleichung
* $\left\{{\frac {\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}=\zeta ^{a}$.
Ist $\mu$ die $l$-te Potenz einer ganzen Zahl in $k(\zeta )$ und ${\mathfrak {w}}$ ein beliebiges Primideal in $k(\zeta )$, so werde stets $\left\{{\frac {\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}=1$ genommen.
Auf diese Weise ist der Wert des Symbols $\left\{{\frac {\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}$ für jede ganze Zahl $\mu$ und für jedes Primideal ${\mathfrak {w}}$ in $k(\zeta )$ eindeutig festgelegt, und zwar wird dieser Wert entweder gleich $0$ oder gleich einer bestimmten $l$-ten Einheitswurzel.
Ist endlich ${\mathfrak {a}}$ ein beliebiges Ideal des Körpers $k(\zeta )$ und hat man ${\mathfrak {a}}={\mathfrak {pq}}\ldots {\mathfrak {w}}$, wo ${\mathfrak {p}}$, ${\mathfrak {q}}$, …, ${\mathfrak {w}}$ Primideale in $k(\zeta )$ sind, so möge, wenn $\mu$ eine beliebige ganze Zahl in $k(\zeta )$ ist, das Symbol $\left\{{\frac {\mu }{\mathfrak {a}}}\right\}$ durch die folgende Gleichung definiert werden:
* $\left\{{\frac {\mu }{\mathfrak {a}}}\right\}=\left\{{\frac {\mu }{\mathfrak {p}}}\right\}\left\{{\frac {\mu }{\mathfrak {q}}}\right\}\cdots \left\{{\frac {\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}$.
Sind ${\mathfrak {a}}$, ${\mathfrak {b}}$ beliebige Ideale in $k(\zeta )$, so gilt dann offenbar die Gleichung:
* $\left\{{\frac {\mu }{\mathfrak {ab}}}\right\}=\left\{{\frac {\mu }{\mathfrak {a}}}\right\}\left\{{\frac {\mu }{\mathfrak {b}}}\right\}$.
Es sei $\mu$ eine ganze Zahl in $k(\zeta )$, aber ${\mathsf {M}}={\sqrt[{l}]{\mu }}$ keine Zahl dieses Körpers. Die Aufgabe, die Primideale des Kreiskörpers $k(\zeta )$ in Primideale des Kummerschen Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ zu zerlegen, wird durch folgenden Satz gelöst:
Satz 149. Ein beliebiges Primideal ${\mathfrak {p}}$ in $k(\zeta )$ ist in dem durch ${\mathsf {M}}={\sqrt[{l}]{\mu }}$ und $\zeta$ bestimmten Kummerschen Körper $k({\mathsf {M}},\zeta )$ entweder gleich der $l$-ten Potenz eines Primideals oder zerlegbar in $l$ voneinander verschiedene Primideale oder selbst Primideal, je nachdem $\left\{{\frac {\mu }{\mathfrak {p}}}\right\}=0$ oder $=1$ oder gleich einer von $1$ verschiedenen $l$-ten Einheitswurzel ausfällt.
Beweis. Der erste Teil dieses Satzes bezieht sich auf die in der Relativdiskriminante des Kummerschen Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ aufgehenden Primideale; dieselben sind nach Satz 93 ambig. Hieraus oder aus dem Beweise des Satzes 148 ergibt sich für diese Primideale die Richtigkeit der Behauptung.
Wenn ${\mathfrak {p}}$ ein nicht in der Relativdiskriminante des Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ aufgehendes Primideal ist, so möge $\mu ^{*}$ eine durch ${\mathfrak {p}}$ nicht teilbare ganze Zahl von der Art sein, daß der Quotient ${\frac {\mu ^{*}}{\mu }}$ gleich der $l$-ten Potenz einer Zahl in $k(\zeta )$ ist. Der Körper $k({\mathsf {M}},\zeta )$ wird dann auch durch ${\mathsf {M}}^{*}={\sqrt[{l}]{\mu ^{*}}}$ und $\zeta$ festgelegt.
Wir untersuchen zunächst den Fall, daß ${\mathfrak {p}}\neq {\mathfrak {l}}$ ist. Wenn dann $\left\{{\frac {\mu ^{*}}{\mathfrak {p}}}\right\}=1$ ausfällt, so ist nach Satz 139 die Zahl $\mu ^{*}$ ein $l$-ter Potenzrest nach ${\mathfrak {p}}$. Wir bestimmen, was offenbar möglich ist, eine ganze Zahl $\alpha$ in $k(\zeta )$ derart, daß
* $\mu ^{*}\equiv \alpha ^{l}$, $({\mathfrak {p}})$ und $\mu ^{*}\not \equiv \alpha ^{l}$, $({\mathfrak {p}}^{2})$
wird; alsdann bilden wir die relativ konjugierte Ideale
* ${\begin{aligned}{\mathfrak {P}}&=({\mathfrak {p}},{\mathsf {M}}^{*}-\alpha ),\\S{\mathfrak {P}}&=({\mathfrak {p}},\zeta {\mathsf {M}}^{*}-\alpha ),\\&\,\vdots \\S^{l-1}{\mathfrak {P}}&=({\mathfrak {p}},\zeta ^{l-1}{\mathsf {M}}^{*}-\alpha )\end{aligned}}$
und erhalten leicht
* ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {P}}\cdot S{\mathfrak {P}}\cdots S^{l-1}{\mathfrak {P}}$.
Wegen
* $({\mathfrak {P}},S{\mathfrak {P}})=({\mathfrak {p}},{\mathsf {M}}^{*}-\alpha ,\zeta {\mathsf {M}}^{*}-\alpha )=1$
ist $S{\mathfrak {P}}$ von ${\mathfrak {P}}$, und folglich sind alle $l$ Primfaktoren ${\mathfrak {P}}$, $S{\mathfrak {P}}$, ..., $S^{l-1}{\mathfrak {P}}$ des Ideals ${\mathfrak {p}}$ untereinander verschieden. Das Primideal $p$ in $k(\zeta )$ gehört also zu der zweiten der drei im Beweise zu Satz 93 aufgezählten Arten von Primidealen des Unterkörpers: es zerfällt in $k({\mathsf {M}},\zeta )$ in $l$ voneinander verschiedene Primideale. Umgekehrt, wenn ein Primideal ${\mathfrak {p}}$ des Körpers $k(\zeta )$, wo jetzt ${\mathfrak {p}}$ auch $={\mathfrak {l}}$ sein kann, in $l$ voneinander verschiedene Primideale ${\mathfrak {P}}$, $S{\mathfrak {P}}$, ..., $S^{l-1}{\mathfrak {P}}$ des Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ zerfällt, so wird, wenn $p$ die durch ${\mathfrak {p}}$ teilbare rationale Primzahl und $N({\mathfrak {P}})=p^{f}$ die Norm von ${\mathfrak {P}}$ ist,
* $N({\mathfrak {p}})=N({\mathfrak {P}})N(S{\mathfrak {P}})\cdots N(S^{l-1}{\mathfrak {P}})=p^{lf}$,
und mithin ist die Norm von ${\mathfrak {p}}$, im Körper $k(\zeta )$ genommen, $n({\mathfrak {p}})$, ebenfalls gleich $p^{f}$. Die Gleichheit der Normen $N({\mathfrak {P}})$ und $n({\mathfrak {p}})$ läßt, wie in § 57, die Tatsache erkennen, daß eine jede ganze Zahl des Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ einer ganzen Zahl des Körpers $k(\zeta )$ nach ${\mathfrak {P}}$ kongruent gesetzt werden kann; setzen wir insbesondere ${\mathsf {M}}^{*}\equiv \alpha$ nach ${\mathfrak {P}}$, wo $\alpha$ in $k(\zeta )$ liegen soll, so folgt ${\mathsf {M}}^{*l}=\mu ^{*}\equiv \alpha ^{l}$ nach ${\mathfrak {P}}$, und da $\mu ^{*}-\alpha ^{l}$ eine Zahl in $k(\zeta )$ ist, so muß $\mu ^{*}\equiv \alpha ^{l}$ auch nach ${\mathfrak {p}}$ sein, d. h. es gilt $\left\{{\frac {\mu ^{*}}{\mathfrak {p}}}\right\}=\left\{{\frac {\mu }{\mathfrak {p}}}\right\}=1$. Damit ist zugleich für ein von ${\mathfrak {l}}$ verschiedenes Primideal ${\mathfrak {p}}$ der letzte Teil des Satzes 149 vollständig bewiesen.
Was endlich das Primideal ${\mathfrak {l}}$ anbetrifft, so gilt, falls die Relativdiskriminante des Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ in bezug auf $k(\zeta )$ durch ${\mathfrak {l}}$ nicht teilbar ist, für die Zahl $\mu ^{*}$ dem Satze 148 gemäß eine Kongruenz von der Gestalt
* $\mu ^{*}\equiv \alpha ^{l}+a\lambda ^{l}$, $({\mathfrak {l}}^{l+1})$,
wo $a$ eine ganze rationale Zahl bedeutet. Soll nun $\left\{{\frac {\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}=1$, d. h. $a$ durch $l$ teilbar sein, so folgt daraus eine Kongruenz von der Gestalt
* $\mu ^{*}\equiv \alpha ^{l}+a^{*}\lambda ^{l+1}$, $({\mathfrak {l}}^{l+2})$,
wo $a^{*}$ wiederum eine ganze rationale Zahl bedeutet. Ist hierin $a^{*}$ nicht durch $l$ teilbar, so setzen wir $\mu ^{**}=\mu ^{*}$; ist dagegen $a^{*}$ durch $l$ teilbar, so setzen wir $\mu ^{**}=(1+\lambda )^{l}\mu ^{*}=(1-\lambda ^{2})^{l}\mu ^{*}$, dann folgt
* $\mu ^{**}\equiv \alpha ^{l}+\lambda ^{l+1}\alpha ^{l}$, $({\mathfrak {l}}^{l+2})$.
Demnach genügt die Zahl $\mu ^{**}$ stets einer Kongruenz
* $\mu ^{**}\equiv \alpha ^{l}+a^{**}\lambda ^{l+1}$, $({\mathfrak {l}}^{l+2})$,
wo nun $a^{**}$ eine ganze rationale, nicht durch $l$ teilbare Zahl bedeutet, und hieraus folgt, wenn ${\mathsf {M}}^{**}={\sqrt[{l}]{\mu ^{**}}}$ und
* ${\mathfrak {L}}=\left(\lambda ,{\frac {\alpha -{\mathsf {M}}^{**}}{\lambda }}\right)$
gesetzt wird, für ${\mathfrak {l}}$ die Zerlegung
* ${\mathfrak {l}}={\mathfrak {L}}\cdot S{\mathfrak {L}}\cdots S^{l-1}{\mathfrak {L}}$.
Wegen
* $\left(\lambda ,{\frac {\alpha -{\mathsf {M}}^{**}}{\lambda }},{\frac {\alpha -\zeta {\mathsf {M}}^{**}}{\lambda }}\right)=1$
ist $S{\mathfrak {L}}$ von ${\mathfrak {L}}$ verschieden, und daher sind auch alle $l$ Primideale ${\mathfrak {L}}$, $S{\mathfrak {L}}$, …, $S^{l-1}{\mathfrak {L}}$ untereinander verschieden.
Umgekehrt, wenn ${\mathfrak {l}}$ eine Zerlegung dieser Art im Kummerschen Körper $k({\mathsf {M}},\zeta )$ gestattet, so stimmen nach einer oben gemachten und, wie dort erwähnt, auch für ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {l}}$ zutreffenden Bemerkung die Normen von ${\mathfrak {L}}$ in $k({\mathsf {M}},\zeta )$ und von ${\mathfrak {l}}$ in $k(\zeta )$ überein, und es muß daher jede ganze Zahl des Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ einer ganzen Zahl des Körpers $k(\zeta )$ nach ${\mathfrak {L}}$ kongruent sein. Da ${\mathfrak {l}}$ alsdann nach Satz 93 gewiß nicht in der Relativdiskriminante des Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ in bezug auf $k(\zeta )$ enthalten ist, so können wir nach Satz 148 $\mu ^{*}\equiv \alpha ^{l}$ nach ${\mathfrak {l}}^{l}$ setzen, und demgemäß ist ${\frac {\alpha -{\mathsf {M}}^{*}}{\lambda }}$ eine ganze Zahl. Da ${\mathfrak {L}}$ ein Primideal ersten Grades in $k({\mathsf {M}},\ \zeta )$ wird, so können wir diese ganze Zahl kongruent $a$ nach ${\mathfrak {L}}$ setzen, so daß $a$ eine ganze rationale Zahl bedeutet; dann folgt, wenn $N_{k}$ als Bezeichnung der Relativnorm in bezug auf $k(\zeta )$ dient, die Kongruenz
* $N_{k}\left({\frac {\alpha -{\mathsf {M}}^{\ast }}{\lambda }}-a\right)\equiv 0,\qquad ({\mathfrak {l}}),$
d. h.
* $(\alpha -a\lambda )^{l}-\mu ^{\ast }\equiv 0,\qquad \left({\mathfrak {l}}^{l+1}\right);$
es ist mithin $\left\lbrace {\frac {\mu ^{\ast }}{\mathfrak {l}}}\right\rbrace =\left\lbrace {\frac {\mu }{\mathfrak {l}}}\right\rbrace =1$. Diese Tatsachen beweisen auch für das Primideal ${\mathfrak {l}}$ den letzten Teil des Satzes 149.
Durch den Satz 149 haben wir ein einfaches Mittel erlangt, um die im Beweise des Satzes 93 aufgezählten drei Arten von Primidealen eines Körpers in Hinsicht auf einen relativ-zyklischen Oberkörper von einem Primzahlrelativgrade für den vorliegenden Fall der Körper $k({\mathsf {M}},\ \zeta )$ und $k(\zeta )$ zu unterscheiden.
* {{{ANMERKUNG}}}