# David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie/Kapitel 7.36

$\alpha ^{l}+\beta ^{l}+\gamma ^{l}=0$
$l$
Fermat hat die Behauptung aufgestellt, daß die Gleichung
* $a^{m}+b^{m}+c^{m}=0$
in ganzen rationalen, von Null verschiedenen Zahlen $a,\ b,\ c$ für keinen ganzzahligen Exponenten $m>2$ lösbar ist. Wenngleich schon aus der Literatur vor Kummer vereinzelte Resultate über diese Gleichung von Fermat bemerkenswert sind [Abel (1), Cauchy (1, 2), Dirichlet (1, 2, 3), Lamé (1, 2, 3), Lebesgue (1, 2, 3)], so ist es doch erst Kummer auf Grund der Theorie der Ideale des regulären Kreiskörpers gelungen, den Beweis der Fermatschen Behauptung für sehr umfangreiche Klassen von Exponenten $m$ vollständig zu führen. Die wichtigste von Kummer bewiesene Tatsache ist die folgende:
Satz 168. Wenn $l$ eine reguläre Primzahl bedeutet und $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$ irgendwelche ganze Zahlen des Kreiskörpers der $l$-ten Einheitswurzeln sind, von denen keine verschwindet, so besteht niemals die Gleichung
| $\alpha ^{l}+\beta ^{l}+\gamma ^{l}=0.$ | (185) |
[Kummer (1, 9, 11)].
Beweis. Es sei $\zeta =\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{l}},\ \lambda =1-\zeta ,\ {\mathfrak {l}}=(\lambda ).$ Wir nehmen im Gegensatz zu der Behauptung an, die Gleichung (185) besäße eine Lösung in ganzen Zahlen $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$ des Körpers $k(\zeta )$, und unterscheiden dann die zwei Fälle, daß keine der drei ganzen Zahlen $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$ durch ${\mathfrak {l}}$ teilbar ist, oder daß mindestens eine unter ihnen durch ${\mathfrak {l}}$ teilbar ist.
Im ersten Falle sind jedenfalls für den Exponenten $l$ die Werte $3$ und $5$ ausgeschlossen. In der Tat, für $l=3$ wäre jede der drei Zahlen $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma \equiv \pm 1$ nach ${\mathfrak {l}}$ und folglich jede der drei Potenzen $\alpha ^{3},\ \beta ^{3},\ \gamma ^{3}\equiv \pm 1$ nach ${\mathfrak {l}}^{3};$ hieraus würde folgen, daß die Summe dieser drei Potenzen $\equiv \pm 1$ oder $\equiv \pm 3$ nach ${\mathfrak {l}}^{3}$ ausfiele, was mit dem Bestehen der Gleichung (185) nicht verträglich ist. Auf einen ähnlichen Widerspruch gelangen wir für $l=5,$ wenn wir berücksichtigen, daß in diesem Falle jede der drei Zahlen $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma \equiv \pm 1,\ \pm 2$ nach ${\mathfrak {l}}$ und folglich jede der drei Potenzen $\alpha ^{5},\ \beta ^{5},\ \gamma ^{5}\equiv \pm 1,\ \pm 32$ nach ${\mathfrak {l}}^{5}$ sein müßte.
Es sei also $l\geqq 7.$ Gilt die Gleichung (185) für die drei Zahlen $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma ,$ so ist offenbar auch $\alpha ^{\ast l}+\beta ^{\ast l}+\gamma ^{\ast l}=0,$ wenn $\alpha ^{\ast },\ \beta ^{\ast },\ \gamma ^{\ast }$ bezüglich die Produkte von $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$ mit irgendwelchen $l$-ten Einheitswurzeln bedeuten. Wegen dieses Umstandes dürfen wir von vornherein annehmen, daß die drei der Gleichung (185) genügenden Zahlen $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$ semiprimär sind. Wir bringen nun die Gleichung (185) in die Gestalt
| $(\alpha +\beta )(\alpha +\zeta \beta )(\alpha +\zeta ^{2}\beta )\cdots (\alpha +\zeta ^{l-1}\beta )=-\gamma ^{l}.$ | (186) |
Würden hier zwei der $l$ Faktoren linker Hand, z. B. $\alpha +\zeta ^{u}\beta$ und $\alpha +\zeta ^{u+g}\beta$‚ einen Faktor gemein haben, so müßte dieser auch in $(\zeta ^{g}-1)\alpha$ und in $(1-\zeta ^{g})\beta$ aufgehen, und da ${\tfrac {1-\zeta ^{g}}{1-\zeta }}$ eine Einheit ist und ${\mathfrak {l}}$ nicht in $\gamma$ aufgeht, so müßte dieser gemeinsame Faktor notwendig ein gemeinsamer Faktor der Zahlen $\alpha$ und $\beta$ sein. Da jeder Primfaktor, der nur in einem der $l$ Faktoren linker Hand von (186) aufgeht, wegen eben dieser Gleichung offenbar zu einem durch $l$ teilbaren Exponenten darin vorkommen muß, so folgt, daß die $l$ Faktoren der linken Seite von (186) die folgende Zerlegung gestatten:
* ${\begin{array}{ll}\alpha +\beta &={\mathfrak {j}}^{l}{\mathfrak {a}},\\\alpha +\zeta \beta &={\mathfrak {j}}_{1}^{l}{\mathfrak {a}},\\\alpha +\zeta ^{2}\beta &={\mathfrak {j}}_{2}^{l}{\mathfrak {a}},\\&\vdots \\\alpha +\zeta ^{l-1}\beta &={\mathfrak {j}}_{l-1}^{l}{\mathfrak {a}};\end{array}}$
darin bedeutet ${\mathfrak {a}}$ den größten gemeinsamen Idealteiler der Zahlen $\alpha ,\ \beta ,$ und ${\mathfrak {j}},\ {\mathfrak {j}}_{1},\ {\mathfrak {j}}_{2},\ \ldots ,\ {\mathfrak {j}}_{l-1}$ sind gewisse Ideale in $k(\zeta )$. Da insbesondere $\alpha +\zeta ^{l-1}\beta$ zu ${\mathfrak {l}}$ prim ist, so können wir eine $l$-te Einheitswurzel $\zeta ^{*}$ bestimmen derart, daß $\zeta ^{*}(\alpha +\zeta ^{l-1}\beta )$ semiprimär wird; wir setzen
* $\mu ={\frac {\alpha }{\zeta ^{*}(\alpha +\zeta ^{j-1}\beta )}},\qquad \varrho ={\frac {\beta }{\zeta ^{*}(\alpha +\zeta ^{j-1}\beta )}}.$
Es ergibt sich dann
| $\left.{\begin{array}{ll}\mu +\varrho &=\left({\frac {\mathfrak {j}}{{\mathfrak {j}}_{l-1}}}\right)^{l},\\\mu +\zeta \varrho &=\left({\frac {{\mathfrak {j}}_{1}}{{\mathfrak {j}}_{l-1}}}\right)^{l},\\&\vdots \\\mu +\zeta ^{l-2}\varrho &=\left({\frac {{\mathfrak {j}}_{l-2}}{{\mathfrak {j}}_{l-1}}}\right)^{l},\\\end{array}}\right\$ | (187) |
d. h. es ist
* $\left({\frac {\mathfrak {j}}{{\mathfrak {j}}_{l-1}}}\right)^{l}\sim 1,\ \ \left({\frac {{\mathfrak {j}}_{1}}{{\mathfrak {j}}_{l-1}}}\right)^{l}\sim 1,\ \ldots ,\ \left({\frac {{\mathfrak {j}}_{l-2}}{{\mathfrak {j}}_{l-1}}}\right)^{l}\sim 1,$
und ferner wird
| $\mu +\zeta ^{l-1}\varrho =\zeta ^{*-1}.$ | (188) |
Bedeutet $h$ die Anzahl der Idealklassen in $k(\zeta )$, so ist andererseits
* $\left({\frac {\mathfrak {j}}{{\mathfrak {j}}_{l-1}}}\right)^{h}\sim 1,\ \ \left({\frac {{\mathfrak {j}}_{1}}{{\mathfrak {j}}_{l-1}}}\right)^{h}\sim 1,\ \ldots ,\left({\frac {{\mathfrak {j}}_{l-2}}{{\mathfrak {j}}_{l-1}}}\right)^{h}\sim 1,$
und da $h$ zu $l$ prim ist, so folgt hieraus weiter
* ${\frac {\mathfrak {j}}{{\mathfrak {j}}_{l-1}}}\sim 1,\ \ {\frac {{\mathfrak {j}}_{1}}{{\mathfrak {j}}_{l-1}}}\sim 1,\ \ldots ,\ {\frac {{\mathfrak {j}}_{l-2}}{{\mathfrak {j}}_{l-1}}}\sim 1.$
| $\mu +\zeta ^{u}\varrho =\zeta ^{e_{u}}\varepsilon _{u}\alpha _{u}^{l},\qquad (u=0,\ 1,\ 2,\ \ldots ,\ l-2)$ | (189) |
geschrieben werden, wo die $e_{u}$ gewisse ganzzahlige Exponenten, die $\varepsilon _{u}$ geeignete reelle Einheiten des Kreiskörpers $k(\zeta )$ und die $\alpha _{u}$ gewisse ganze oder gebrochene Zahlen mit zu ${\mathfrak {l}}$ primen Zählern und Nennern in $k(\zeta )$ bedeuten. Da die $l$-te Potenz der Zahl $\alpha _{u}$ jedesmal kongruent einer gewissen ganzen rationalen Zahl $a_{u}$ nach ${\mathfrak {l}}^{l}$ ist, so erhalten wir aus den Gleichungen (189) die Kongruenzen
| $\mu +\zeta ^{u}\varrho \equiv \zeta ^{e_{u}}\varepsilon _{u}a_{u},\qquad \left({\mathfrak {l}}^{l}\right),\quad (u=0,\ 1,\ 2,\ \ldots ,\ l-2).$ | (190) |
Auf diese Kongruenzen wenden wir die Substitution $\left(\zeta :\zeta ^{-1}\right)$ an und bezeichnen die bei dieser Substitution aus $\mu$ und $\varrho$ hervorgehenden Zahlen mit $\mu '$ und $\varrho '$; dann entsteht
| $\mu '+\zeta ^{-u}\varrho '\equiv \zeta ^{-e_{u}}\varepsilon _{u}a_{u},\qquad \left({\mathfrak {l}}^{l}\right),\quad (u=0,\ 1,\ 2,\ \ldots ,\ l-2).$ | (191) |
Aus (190) und (191) folgt
| $\mu +\zeta ^{u}\varrho \equiv \zeta ^{2e_{u}}\mu '+\zeta ^{2e_{u}-u}\varrho ',\qquad \left({\mathfrak {l}}^{l}\right),\quad (u=0,\ 1,\ 2,\ \ldots ,\ l-2).$ | (192) |
Setzen wir $\mu \equiv m$, $\varrho \equiv r$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$, wo $m$ und $r$ ganze rationale Zahlen bedeuten sollen, so folgt aus (192)
| $m+\zeta ^{u}r\equiv \zeta ^{2e_{u}}m+\zeta ^{2e_{u}-u}r,\qquad \left({\mathfrak {l}}^{2}\right),$ | (193) |
und wegen der allgemeinen Beziehung $\zeta ^{g}\equiv 1-g\lambda$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$ liefert (193) die Kongruenz:
* $2e_{u}(m+r)\equiv 2ru,\qquad (l).$
Andererseits folgt aus der Gleichung (188) $m+r\equiv 1$ nach $l$, und daher haben wir
* $e_{u}\equiv ru,\qquad (l),\quad (u=0,\ 1,\ 2,\ \ldots ,\ l-2).$
Nehmen wir nun unter Berücksichtigung dieser Beziehung speziell die Kongruenzen (192) für $u=0,\ 1,\ 2,\ 3$, so folgt aus diesen durch Elimination der Zahlen $\mu ,\ \varrho ,\ \mu ',\ \varrho '$ notwendig
* ${\begin{vmatrix}1,&1,&1,&1\\1,&\zeta ,&\zeta ^{2r},&\zeta ^{2r-1}\\1,&\left(\zeta \right)^{2},&\left(\zeta ^{2r}\right)^{2},&\left(\zeta ^{2r-1}\right)^{2}\\1,&\left(\zeta \right)^{3},&\left(\zeta ^{2r}\right)^{3},&\left(\zeta ^{2r-1}\right)^{3}\end{vmatrix}}\equiv 0,\qquad \left({\mathfrak {l}}^{l}\right),$
d. i.
| $\left(1-\zeta \right)\left(1-\zeta ^{2r}\right)\left(1-\zeta ^{2r-1}\right)\left(\zeta -\zeta ^{2r}\right)\left(\zeta -\zeta ^{2r-1}\right)\left(\zeta ^{2r}-\zeta ^{2r-1}\right)\equiv 0,\qquad ({\mathfrak {l}}^{l}).$ | (194) |
Hier ist auf der linken Seite keiner der Faktoren gleich $0$, denn sonst müßte entweder $r\equiv 0$ oder $r\equiv 1$ oder $r\equiv {\tfrac {1}{2}}$ nach $l$ sein. Wäre $r\equiv 0$ nach $l$, so würde $\beta \equiv 0$ nach ${\mathfrak {l}}$ folgen; wäre $r\equiv 1$ nach $l$, so würde $\varrho \equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}$, d. h. $\beta \equiv \alpha +\beta$ oder $\alpha \equiv 0$ nach ${\mathfrak {l}}$ folgen; beides läuft unserer Annahme über die Zahlen $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ zuwider. Wäre $r\equiv {\tfrac {1}{2}}$ nach $l$, so würde $\varrho \equiv {\tfrac {1}{2}}$ nach ${\mathfrak {l}}$, d. h. $2\beta \equiv \alpha +\beta$ oder $\alpha \equiv \beta$ nach ${\mathfrak {l}}$ folgen. Da aber $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ in der Gleichung (185) symmetrisch auftreten, so würde die gleiche Schlußweise auch zu der Kongruenz $\alpha \equiv \gamma$ nach ${\mathfrak {l}}$ führen, und dann wäre $\alpha ^{l}+\beta ^{l}+\gamma ^{l}\equiv 3\alpha \equiv 0$, d. h. $\alpha \equiv 0$ nach ${\mathfrak {l}}$, was wiederum unserer Annahme über $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ widerspricht. Jeder Faktor auf der linken Seite der Kongruenz (194) ist demnach durch ${\mathfrak {l}}$, aber nicht durch ${\mathfrak {l}}^{2}$ teilbar, daher ist mit Rücksicht auf die Annahme $l\geqq 7$ diese Kongruenz (194) unmöglich.
Wir nehmen nunmehr zweitens an, es sei in der Gleichung (185) eine der drei Zahlen $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, etwa $\gamma$, durch ${\mathfrak {l}}$ teilbar, und zwar gehe in $\gamma$ genau die $m$-te Potenz von ${\mathfrak {l}}$ auf. Wird dann $\gamma$ durch $\lambda ^{m}\delta$ ersetzt, so daß $\delta$ eine zu ${\mathfrak {l}}$ prime ganze Zahl in $k(\zeta )$ bedeutet, so ist die aus (185) entstehende Gleichung von der Gestalt
| $\alpha ^{l}+\beta ^{l}=\varepsilon \lambda ^{lm}\delta ^{l}$; | (195) |
hierin ist $\varepsilon =-1$. Es soll jetzt gezeigt werden, daß überhaupt eine Gleichung von dieser Gestalt (195) nicht möglich ist, wenn in derselben $\alpha$, $\beta$, $\delta$ zu ${\mathfrak {l}}$ prime ganze Zahlen und $\varepsilon$ irgendeine Einheit des Kreiskörpers $k(\zeta )$ sein sollen. Zu dem Zwecke nehmen wir wiederum die Zahlen $\alpha$, $\beta$ semiprimär an und bedenken dann zunächst, daß $\alpha ^{l}$, $\beta ^{l}$ ganzen rationalen Zahlen nach ${\mathfrak {l}}^{l+1}$ kongruent werden und daher wegen (195) auch $\varepsilon \lambda ^{ml}\delta ^{l}$ einer ganzen rationalen Zahl nach ${\mathfrak {l}}^{l+1}$ kongruent sein muß; infolgedessen ist notwendig $m>1$. Ferner erkennen wir durch eine ähnliche Überlegung wie in dem vorher behandelten Falle und in Berücksichtigung des Umstandes, daß $\alpha +\beta$ semiprimär ist, die Gültigkeit der folgenden Gleichungen:
| $\left.{\begin{aligned}\alpha +\beta &=\lambda ^{l(m-1)+1}{\mathfrak {j}}^{l}{\mathfrak {a}},\\\alpha +\zeta \beta &=\lambda {\mathfrak {j}}_{1}^{l}{\mathfrak {a}},\\&\,\vdots \\\alpha +\zeta ^{l-1}\beta &=\lambda {\mathfrak {j}}_{l-1}^{l}{\mathfrak {a}},\end{aligned}}\right\$. | (196) |
wo ${\mathfrak {j}}$, ${\mathfrak {j}}_{1}$, …, ${\mathfrak {j}}_{l-1}$, ${\mathfrak {a}}$ zu ${\mathfrak {l}}$ prime Ideale in $k(\zeta )$ sind. Ist insbesondere $l=3$, so fällt die Klassenanzahl $h$ des Körpers $k(\zeta )$ gleich $1$ aus, und es ist daher jedes Ideal in $k(\zeta )$ ein Hauptideal. Setzen wir in diesem Falle ${\mathfrak {a}}=(\varkappa )$, wo $\varkappa$ eine ganze Zahl in $k(\zeta )$ bedeute, und dann
* $\mu ={\frac {\alpha }{\varkappa }}$, $\varrho ={\frac {\beta }{\varkappa }}$,
so gehen die Gleichungen (196) über in
| $\left.{\begin{aligned}\mu +\varrho &=\lambda ^{3(m-1)+1}{\mathfrak {j}}^{l},\\\mu +\zeta \varrho &=\lambda {\mathfrak {j}}_{1}^{l},\\\mu +\zeta ^{2}\varrho &=\lambda {\mathfrak {j}}_{2}^{l}.\end{aligned}}\right\$ | (197) |
$l>3$
* $\mu ={\frac {\alpha \lambda }{\alpha +\zeta ^{l-1}\beta }}$, $\varrho ={\frac {\beta \lambda }{\alpha +\zeta ^{l-1}\beta }}$;
dieselben lassen sich auch in der Gestalt von Brüchen schreiben, deren Zähler und Nenner zu ${\mathfrak {l}}$ prim sind. Aus den drei ersten und der letzten der Gleichungen (196) entnehmen wir die Gleichungen
| $\left.{\begin{alignedat}{2}\mu &+\varrho &=&\lambda ^{l(m-1)+1}\left({\frac {\mathfrak {j}}{{\mathfrak {j}}_{l-1}}}\right)^{l},\\\mu &+\zeta \varrho &=&\lambda \left({\frac {{\mathfrak {j}}_{1}}{{\mathfrak {j}}_{l-1}}}\right)^{l},\\\mu &+\zeta ^{2}\varrho &=&\lambda \left({\frac {{\mathfrak {j}}_{2}}{{\mathfrak {j}}_{l-1}}}\right)^{l}.\end{alignedat}}\right\$ | (198) |
Wie in dem zuerst behandelten Falle schließen wir hieraus wiederum
* ${\frac {\mathfrak {j}}{{\mathfrak {j}}_{l-1}}}\sim 1$, ${\frac {{\mathfrak {j}}_{1}}{{\mathfrak {j}}_{l-1}}}\sim 1$, ${\frac {{\mathfrak {j}}_{2}}{{\mathfrak {j}}_{l-1}}}\sim 1$,
und infolgedessen können wir die Gleichungen (198) in der Gestalt
| $\left.{\begin{aligned}\mu &+\varrho &=&{\frac {\varepsilon ^{*}\lambda ^{l(m-1)+1}\gamma ^{*l}}{\nu }},\\\mu &+\zeta \varrho &=&{\frac {\lambda \alpha ^{*l}}{\nu }},\\\mu &+\zeta ^{2}\varrho &=&{\frac {\varepsilon \lambda \beta ^{*l}}{\nu }}\end{aligned}}\right\$ | (199) |
schreiben, so daß $\nu$, $\alpha ^{*}$, $\beta ^{*}$, $\gamma ^{*}$ ganze, zu ${\mathfrak {l}}$ prime Zahlen und $\varepsilon$ und $\varepsilon ^{*}$ Einheiten in $k(\zeta )$ bedeuten. Wegen (197) besteht ein Gleichungssystem wie (199) auch für $l=3$. Durch Elimination von $\mu$, $\varrho$ folgt daher für $l=3$ sowie für $l>3$ eine Gleichung von der Gestalt:
| $\alpha ^{*l}+\eta \beta ^{*l}=\eta ^{*}\lambda ^{l(m-1)}\gamma ^{*l}$, | (200) |
$\eta$
$\eta ^{*}\left(=-{\frac {(1-\zeta )}{(1-\zeta ^{2})}}\varepsilon {\text{ und }}={\frac {\zeta (1-\zeta )}{(1-\zeta ^{2})}}\varepsilon ^{*}\right)$
$k(\zeta )$
$\alpha ^{*l}$
$\beta ^{*l}$
${\mathfrak {l}}^{l}$
$m>1$
$\eta$
${\mathfrak {l}}^{l}$
$\eta$
$l$
$k(\zeta )$
$\beta ^{*}\eta ^{-{\frac {1}{l}}}$
$\beta ^{*}$
$m$
$1$
$m=1$
$\alpha ^{m}+\beta ^{m}+\gamma ^{m}=0$
Der Beweis der Unlösbarkeit der Gleichung $\alpha ^{l}+\beta ^{l}+\gamma ^{l}=0$ in ganzen Zahlen $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ des Kreiskörpers der $l$-ten Einheitswurzeln ist von Kummer noch in dem Falle erbracht worden, daß $l$ eine Primzahl ist, die in der Klassenanzahl $h$ des Kreiskörpers $k\left(\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{l}}\right)$ zur ersten, aber nicht zu einer höheren Potenz aufgeht, wenn außerdem die Einheiten noch gewisse Bedingungen erfüllen [Kummer (16)]. Unter Berücksichtigung der Bemerkung auf S. 285 läßt sich insbesondere zeigen, daß die Fermatsche Behauptung für jeden Exponenten $m\leqq 100$ richtig ist. Die Aufgabe, die Fermatsche Behauptung allgemein als richtig zu erweisen, harrt jedoch noch ihrer Lösung.
Es bleibt noch übrig, die Gleichung $\alpha ^{m}+\beta ^{m}+\gamma ^{m}=0$ für den Fall zu behandeln, daß der Exponent $m$ eine Potenz von $2$ ist. Die Gleichung $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ besitzt bekanntlich unendlich viele Lösungen in ganzen rationalen Zahlen $a$, $b$, $c$. Weiter gilt jedoch der Satz:
Satz 169. Wenn $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ ganze Zahlen des durch $i={\sqrt {-1}}$ bestimmten quadratischen Körpers sind, von denen keine verschwindet, so gilt niemals die Gleichung
| $\alpha ^{4}+\beta ^{4}=\gamma ^{2}$. | (201) |
Beweis. Wir nehmen im Gegenteil an, daß es drei solche ganze Zahlen $a$, $\beta$, $\gamma$ gebe, welche diese Gleichung erfüllen. Es werde $\lambda =1+i$ und ${\mathfrak {l}}=(\lambda )$ gesetzt. Zunächst sehen wir dann leicht ein, daß notwendig eine der beiden Zahlen $\alpha$, $\beta$ durch $\lambda$ teilbar sein muß. In der Tat, nehmen wir an, daß $\alpha$ und $\beta$ prim zu $\lambda$ wären, und berücksichtigen wir, daß eine zu $\lambda$ prime ganze Zahl in $k(i)$ stets $\equiv 1$ oder $i$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$, ihre zweite Potenz dann $\equiv \pm 1$ nach ${\mathfrak {l}}^{4}$ und ihre vierte notwendig $\equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}^{6}$ sein muß, so folgt $\alpha ^{4}+\beta ^{4}\equiv 2$ nach ${\mathfrak {l}}^{6}$. Hiernach müßte $\gamma$ notwendig durch ${\mathfrak {l}}$ und durch keine höhere Potenz von ${\mathfrak {l}}$ teilbar sein. Setzen wir aber dementsprechend $\gamma =\lambda +\lambda ^{2}\gamma '$, wo $\gamma '$ wiederum eine ganze Zahl in $k(i)$ bedeute, so finden wir $\gamma ^{2}\equiv 2i$ nach ${\mathfrak {l}}^{4}$ und daher stets $\gamma ^{2}\not \equiv \alpha ^{4}+\beta ^{4}$ nach ${\mathfrak {l}}^{4}$, womit unsere Annahme widerlegt ist. Der Fall, daß beide Zahlen $\alpha$ und $\beta$ durch ${\mathfrak {l}}$ teilbar sind, kann offenbar sofort ausgeschlossen werden, da dann $\gamma$ durch ${\mathfrak {l}}^{2}$ teilbar und somit das Fortheben der Potenz $\lambda ^{4}$ auf beiden Seiten der Gleichung (201) möglich wäre.
Es bleibt also nur die Annahme übrig, daß die eine der Zahlen $\alpha$, $\beta$, etwa die Zahl $\alpha$, durch ${\mathfrak {l}}$ teilbar, die Zahlen $\beta$ und $\gamma$ dann aber zu ${\mathfrak {l}}$ prim sind. Wir setzen demgemäß $\alpha =\lambda ^{m}\alpha ^{*}$, wo $\alpha ^{*}$ eine zu $\lambda$ prime Zahl bedeute, und legen dann unserer Betrachtung sogleich die allgemeinere Gleichung
| $\beta ^{4}-\gamma ^{2}=\varepsilon \lambda ^{4m}\alpha ^{*4}$ | (202) |
zugrunde, wo $\varepsilon$ eine beliebige Einheit in $k(i)$ bedeute. Wir entnehmen aus dieser Gleichung (202), indem wir nötigenfalls $\gamma$ mit $-\gamma$ vertauschen, zwei Gleichungen von der Gestalt:
| $\left.{\begin{aligned}\beta ^{2}+\gamma &=\eta \lambda ^{4m-2}\alpha '^{4},\\\beta ^{2}-\gamma &=\vartheta \lambda ^{2}\beta '^{4},\end{aligned}}\right\$ | (203) |
wobei $\eta$, $\vartheta$ Einheiten und $\alpha '$, $\beta '$ ganze, zu ${\mathfrak {l}}$ prime Zahlen in $k(i)$ bedeuten. Wenn man die beiden Gleichungen (203) addiert und das Resultat durch $\vartheta \lambda ^{2}$ dividiert, so entsteht eine Gleichung
| $\beta '^{4}-\vartheta '\beta ^{2}=\eta '\lambda ^{4m-4}\alpha '^{4}$, | (204) |
wo $\vartheta '$, $\eta '$ Einheiten in $k(i)$ sind. Im Falle $m=1$ wäre diese Gleichung sicher unmöglich, weil die Zahlen $\beta '$, $\vartheta '$, $\beta$, $\eta '$, $\alpha '$ sämtlich $\equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}$ ausfallen. Es ist daher notwendig $m>1$. Dann aber folgt aus dieser Gleichung (204), wenn sie als Kongruenz nach ${\mathfrak {l}}^{2}$ aufgefaßt wird, zunächst $\vartheta '\equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$; es ist daher $\vartheta '=\pm 1$. Setzen wir, je nachdem hier das positive oder das ne-negative Vorzeichen gilt, $\beta =\gamma '$ bez. $\beta =i\gamma '$, so nimmt die Gleichung (204) die Gestalt der Gleichung (202) an, nur daß jetzt $m$ einen um $1$ kleineren Wert hat. Die gehörige Wiederholung des angegebenen Verfahrens führt auf einen Widerspruch.
Aus der Fermatschen Behauptung für den Fall $l=3$ läßt sich sofort die Tatsache ableiten, daß es keine andere kubische Gleichung mit rationalen Koeffizienten gibt, deren Diskriminante gleich $1$ ist, außer den zwei folgenden:
* $x^{3}-x\pm {\tfrac {1}{3}}=0$
und denjenigen, die durch die Transformation $x=x'+a$, wo $a$ eine rationale Zahl ist, aus jenen Gleichungen hervorgehen [Kronecker (8)].
Die allgemeine Fermatsche Behauptung läßt sich nach Hurwitz in der Fassung aussprechen, daß der Ausdruck ${\sqrt[{m}]{1-x^{m}}}$ für eine positive, echt gebrochene rationale Zahl $x$ und einen ganzen rationalen Exponenten $m>2$ stets eine irrationale Zahl darstellt.
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* ↑ [356] Extraits de quelques lettres à Holmboe. Werke 2, 254.
* ↑ [356] Mémoire sur la théorie des nombres. Comptes Rendus 1840
* ↑ [356] Mémoire sur diverses propositions relatives à la théorie des nombres. (Drei Noten.) Comptes Rendus 1847.
* ↑ [356] Mémoire sur l’impossibilité de quelques équations indéterminées du cinquième degré. Werke 1, 1 (1825). [349]
* ↑ [356] Mémoire sur l’impossibilité de quelques équations indéterminées du cinquième degré. Werke 1, 21 (1825), (1828). [349]
* ↑ [356] Démonstration du théorème de Fermat pour le cas des 14ièmes puissances. Werke 1, 189 (1832). [349];
* ↑ [360] Mémoire d’analyse indéterminée démontrant que l’équation $x^{7}+y^{7}=z^{7}$ est impossible en nombres entiers. J. de Math. 1840.
* ↑ [360] Mémoire sur la résolution, en nombres complexes, de l’équation $A^{5}+B^{5}+C^{5}=0$. J. de Math. 1847.
* ↑ [360] Mémoire sur la résolution, en nombres complexes, de l’équation $A^{n}+B^{n}+C^{n}=0$. J. de Math. 1847.
* ↑ [360] Démonstration de l’impossibilité de résoudre l’équation $x^{7}+y^{7}+z^{7}=0$ en nombres entiers. J. de Math. 1840.
* ↑ [360] Addition à la note sur l’équation $x^{7}+y^{7}+z^{7}=0$. J. de Math. 1840.
* ↑ [360] Théorèmes nouveaux sur l’équation indéterminée $x^{5}+y^{5}=az^{5}$. J. de Math. 1843.
* ↑ [359] De aequatione $x^{2\lambda }+y^{2\lambda }=z^{2\lambda }$ per numeros integros resolvenda. J. Math. 17 (1837).
* ↑ [359] Allgemeiner Beweis des Fermatschen Satzes, daß die Gleichung $x^{\lambda }+y^{\lambda }=z^{\lambda }$ durch ganze Zahlen unlösbar ist, für alle diejenigen Potenz-Exponenten $\lambda$, welche ungerade Primzahlen sind und in den Zählern der ersten ${\frac {1}{2}}(\lambda -3)$ Bernoullischen Zahlen als Faktoren nicht vorkommen. J. Math. 40 (1850).
* ↑ [359] Mémoire sur la théorie des nombres complexes composés de racines de l’unité et des nombres entiers. J. de Math. 16 (1851).
* ↑ [359] Einige Sätze über die aus den Wurzeln der Gleichung $\alpha ^{\lambda }=1$ gebildeten komplexen Zahlen für den Fall, daß die Klassenanzahl durch $\lambda$ teilbar ist, nebst Anwendung derselben auf einen weiteren Beweis des letzten Fermatschen Lehrsatzes. Abh. K. Akad. Wiss. Berlin 1857.
* ↑ [359] Über kubische Gleichungen mit rationalen Koeffizienten. Werke 1, 119 (1859).

## Anmerkungen (Wikisource)

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