# David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie/Kapitel 7.5

Die Begriffe Norm, Differente und Diskriminante sind einer wichtigen Verallgemeinerung fähig.
Ist $K$ ein Körper vom Grade $M$, welcher sämtliche Zahlen des Körpers $k$ vom $m$-ten Grade enthält, so heißt $k$ ein Unterkörper von $K$. Der Körper $K$ wird der Oberkörper von $k$ oder der Relativkörper in bezug auf $k$ genannt. Es sei $\Theta$ eine den Körper $K$ bestimmende Zahl. Unter den unendlich vielen Gleichungen mit algebraischen, in $k$ liegenden Koeffizienten, denen die Zahl $\Theta$ genügt, habe die folgende Gleichung vom Grade $r$
| $\Theta ^{r}+\alpha _{1}\Theta ^{r-1}+\cdots +\alpha _{r}=0$ | (3) |
den niedrigsten Grad; $\alpha _{1}$, …, $\alpha _{r}$ sind dann bestimmte Zahlen in $k$. Der Grad $r$ heißt der Relativgrad des Körpers $K$ in bezug auf $k$; es ist $M=rm$. Die Gleichung (3) vom $r$-ten Grade ist im Rationalitätsbereich $k$ irreduzibel. Sind $\Theta '$, …, $\Theta ^{(r-1)}$ die $r-1$ anderen Wurzeln der Gleichung (3), so heißen diese $r-1$ algebraischen Zahlen die zu $\Theta$ relativ konjugierten Zahlen, und die bez. durch $\Theta '$, …, $\Theta ^{(r-1)}$ bestimmten Körper $K'$, …, $K^{(r-1)}$ heißen die zu $K$ relativ konjugierten Körper. Ist $A$ eine beliebige Zahl des Körpers $K$, und ist
* $A=\gamma _{1}+\gamma _{2}\Theta +\cdots +\gamma _{r}\Theta ^{r-1}$,
wo $\gamma _{1}$, $\gamma _{2}$, …, $\gamma _{r}$ Zahlen in $k$ sind, so heißen die Zahlen
* ${\begin{alignedat}{2}A'&=\gamma _{1}+\gamma _{2}\Theta '&+\cdots +&\gamma _{r}\Theta ^{\prime r-1},\\&\qquad \qquad \qquad \vdots &&\\A^{(r-1)}&=\gamma _{1}+\gamma _{2}\Theta ^{(r-1)}&+\cdots +&\gamma _{r}(\Theta ^{(r-1)})^{r-1}\end{alignedat}}$
die bez. durch die Substitutionen $T'=(\Theta :\Theta ')$, …, $T^{(r-1)}=(\Theta :\Theta ^{(r-1)})$ aus $A$ entspringenden oder zu $A$ relativ konjugierten Zahlen. Wendet man auf die sämtlichen Zahlen eines Ideals ${\mathfrak {J}}$ die Substitution $T'$ an, so heißt das dann entstehende Ideal ${\mathfrak {J}}'$ das durch $T'$ aus ${\mathfrak {J}}$ entspringende oder zu ${\mathfrak {J}}$ relativ konjugierte Ideal.
Das Produkt einer Zahl $A$ mit den relativ konjugierten Zahlen
* $N_{k}(A)=AA'\ldots A^{(r-1)}$
heißt die Relativnorm der Zahl $A$ bezüglich des Körpers oder Rationalitätsbereiches $k$. Die Relativnorm $N_{k}$ ist eine Zahl in $k$. Ist ${\mathfrak {J}}=(A_{1},\,\ldots ,\,A_{S})$ ein beliebiges Ideal in $K$, so heißt das Produkt von ${\mathfrak {J}}$ mit den sämtlichen relativ konjugierten Idealen von ${\mathfrak {J}}$
* $N_{k}({\mathfrak {J}})={\mathfrak {J}}{\mathfrak {J}}'\ldots {\mathfrak {J}}^{(r-1)}$
die Relativnorm des Ideals ${\mathfrak {J}}$. Die Relativnorm $N_{k}({\mathfrak {J}})$ ist ein Ideal des Körpers $k$. Bedeuten nämlich $U_{1}$, …, $U_{S}$ Unbestimmte, so sind die Koeffizienten des Ausdruckes
* $(A_{1}U_{1}+\cdots +A_{S}U_{S})(A'_{1}U_{1}+\cdots +A'_{S}U_{S})\cdots (A_{1}^{(r-1)}U_{1}+\cdots +A_{S}^{(r-1)}U_{S})$
ganze Zahlen in $k$, deren größter gemeinsamer Teile nach Satz 13 mit jenem Idealprodukte übereinstimmen muß.
Wenn $\alpha _{1}$, …, $\alpha _{s}$ beliebige Zahlen in $k$ sind und $j=(\alpha _{1},\,\ldots ,\ldots \alpha _{s})$ das durch sie bestimmte Ideal in $k$ bezeichnet, so wird durch die nämlichen Zahlen auch zugleich ein Ideal ${\mathfrak {J}}=(\alpha _{1},\,\ldots ,\,\alpha _{s})$ im Körper $K$ bestimmt. Dieses Ideal ${\mathfrak {J}}$ ist als nicht verschieden von $j$ anzusehen. Ein Ideal ${\mathfrak {J}}=(A_{1},\,\ldots ,\,A_{S})$ des Körpers $K$ wird umgekehrt dann und nur dann auch als ein Ideal ${\mathfrak {j}}$ des Körpers $k$ bezeichnet, wenn ${\mathfrak {J}}$ sich zugleich als größter gemeinsamer Teiler von gewissen ganzen Zahlen $\alpha _{1}$, …, $\alpha _{s}$ des Körpers $k$ darstellen läßt. Daß wir berechtigt sind, unter den angegebenen Umständen ($\alpha _{1}$, …, $\alpha _{s}$) zugleich als ein Ideal in $k$ und in $K$ anzusehen, lehrt der folgende Satz: Wenn $\alpha _{1}$, …, $\alpha _{s}$ und $\alpha _{1}^{*}$, …, $\alpha _{s^{*}}^{*}$ ganze Zahlen in $k$ sind, so daß in $K$ die beiden Ideale ${\mathfrak {J}}=(\alpha _{1},\,\ldots ,\,\alpha _{s})$ und ${\mathfrak {J}}^{*}=(\alpha _{1}^{*},\,\ldots ,\,\alpha _{s^{*}}^{*})$ miteinander übereinstimmen, so stimmen auch in $k$ die beiden Ideale ${\mathfrak {j}}=(\alpha _{1},\,\ldots ,\,\alpha _{s})$ und ${\mathfrak {j}}^{*}=(\alpha _{1}^{*},\,\ldots ,\,\alpha _{s^{*}}^{*})$ miteinander überein. In der Tat, wegen der Voraussetzung gilt, wenn $\alpha ^{*}$ eine der Zahlen $\alpha _{1}^{*}$, …, $\alpha _{s^{*}}^{*}$ bedeutet, eine Gleichung von der Gestalt $\alpha ^{*}=A_{1}\alpha _{1}+\cdots +A_{s}\alpha _{s}$, wo $A_{1}$, …, $A_{s}$ gewisse ganze Zahlen in $K$ sind. Wenn wir nun von beiden Seiten dieser Gleichung die Relativnorm bilden, so erkennen wir, daß im Körper $k$ die Zahl $\alpha ^{*r}$ durch ${\mathfrak {j}}^{r}$ teilbar sein muß; infolgedessen ist in $k$ auch $\alpha ^{*}$ durch ${\mathfrak {j}}$ und daher auch ${\mathfrak {j}}^{*}$ durch ${\mathfrak {j}}$ teilbar. Da in gleicher Weise das Umgekehrte gezeigt werden kann, so haben wir notwendig in $k$ die Gleichung ${\mathfrak {j}}={\mathfrak {j}}^{*}$.
Der Ausdruck
* $\Delta _{k}(A)=(A-A')(A-A'')\cdots (A-A^{(r-1)})$
stellt eine Zahl des Körpers $K$ dar und heißt die Relativdifferente der Zahl $A$ in bezug auf den Körper $k$. Der Ausdruck
* $D_{k}(A)=(A-A')^{2}(A-A'')^{2}\cdots (A^{(r-2)}-A^{(r-1)})^{2}$
heißt die Relativdiskriminante der Zahl $A$. Dieselbe ist bis auf das Vorzeichen gleich der Relativnorm der Relativdifferente von $A$; es ist nämlich $\textstyle D_{k}(A)=(-1)^{\frac {r(r-1)}{2}}N_{k}(\Delta _{k}(A))$.
Sind $\Omega _{1}$, …, $\Omega _{M}$ die $M$ Basiszahlen des Körpers $K$, so heißt das durch Multiplikation der $r-1$ Elemente
* ${\begin{aligned}{\mathfrak {E}}'\quad \ &=\left(\left(\Omega _{1}-\Omega '_{1}\right),\quad \ \ldots ,\,\left(\Omega _{M}-\Omega '_{M}\right)\right),\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \vdots \\{\mathfrak {E}}^{(r-1)}&=\left(\left(\Omega _{1}-\Omega _{1}^{(r-1)}\right),\,\ldots ,\,\left(\Omega _{M}-\Omega _{M}^{(r-1)}\right)\right)\end{aligned}}$
entstehende Ideal
* ${\mathfrak {D}}_{k}={\mathfrak {E'E''\cdots E}}^{(r-1)}$
die Relativdifferente des Körpers $K$ in bezug auf $k$. Bezeichnet
* $\Xi =\Omega _{1}U_{1}+\cdots +\Omega _{M}U_{M}$
die Fundamentalform von $K$, so ist die Relativdifferente von $\Xi$
* $\Delta _{k}(\Xi )=(\Xi -\Xi ')\cdots (\Xi -\Xi ^{(r-1)})$.
Die Koeffizienten dieser Form sind Zahlen des Körpers $K$, und da nach dem Satze 13 der größte gemeinsame Teiler derselben die Relativdifferente ${\mathfrak {D}}_{k}$ ergeben muß, so ist ${\mathfrak {D}}_{k}$ ein Ideal des Körpers $K$.
Das Quadrat des größten gemeinsamen Teilers aller $r$-reihigen Determinanten der Matrix
| $\left|{\begin{array}{llll}\Omega _{1},&\Omega _{2},&\ldots ,&\Omega _{M}\\\Omega '_{1},&\Omega '_{2},&\ldots ,&\Omega '_{M}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\Omega _{1}^{(r-1)},&\Omega _{2}^{(r-1)},&\ldots ,&\Omega _{M}^{(r-1)}\end{array}}\right|$ | (4) |
$k$
leicht ersichtlich, ein Ideal des Körpers $k$.
Hinsichtlich der soeben definierten Begriffe gelten folgende Sätze [Hilbert (4)]:
Satz 38. Die Relativdiskriminante des Körpers $K$ in bezug auf den Unterkörper $k$ ist gleich der Relativnorm der Relativdifferente von $K$, d. h.
* $D_{k}=N_{k}({\mathfrak {D}}_{k})$.
Beweis: Die Relativnorm von der Relativdifferente der Fundamentalform $\Xi$ ist
* ${\begin{aligned}N_{k}\left(\Delta _{k}(\Xi )\right)&=\pm \left(\Xi -\Xi '\right)^{2}\left(\Xi -\Xi ''\right)^{2}\cdots \left(\Xi ^{(r-2)}-\Xi ^{(r-1)}\right)^{2}\\&=\pm \left|{\begin{array}{llll}1,&\Xi ,&\ldots ,&\Xi ^{r-1}\\1,&\Xi ',&\ldots ,&(\Xi ')^{r-1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1,&\Xi ^{(r-1)},&\ldots ,&\left(\Xi ^{(r-1)}\right)^{r-1}\end{array}}\right|^{2}.\end{aligned}}$
Andererseits ist das rechtsstehende Determinantenquadrat eine Form des Körpers $K$, deren Inhalt gleich der Relativdiskriminante $D_{k}$ ist. Drücken wir nämlich die Terme der obigen Determinante linear durch $\Omega _{1}$, …, $\Omega _{M}$ bezüglich durch die konjugierten Basiszahlen des Körpers $K$ aus, wobei die Koeffizienten in diesen Ausdrücken ganzzahlige Funktionen von $U_{1}$, …, $U_{M}$ sind, so erkennen wir, daß jenes Determinantenquadrat lauter durch $D_{k}$ teilbare Koeffizienten besitzt. Umgekehrt zeigt eine Übertragung des Satzes 36, daß eine jede $r$-reihige Determinante der Matrix (4) nach Multiplikation mit der $r$-ten Potenz einer gewissen in den Parametern $U_{1}$, …‚ $U_{M}$ geschriebenen rationalen Einheitsform durch das Differenzenprodukt
* $\left(\Xi -\Xi '\right)\left(\Xi -\Xi ''\right)\cdots \left(\Xi ^{(r-2)}-\Xi ^{(r-1)}\right)$
teilbar wird. Daraus folgt $N_{k}(\Delta _{k}(\Xi ))\simeq D_{k}$.
Satz 39. Bedeuten $D$ und $d$ die Diskriminanten des Oberkörpers $K$ und des Unterkörpers $k$ und bezeichnet $n\left(D_{k}\right)$ die Norm der Relativdiskriminante $D_{k}$, genommen im Körper $k$, so ist
* $D=\pm d^{r}n\left(D_{k}\right)$.
Beweis: Ist $\xi =\omega _{1}u_{1}+\cdots +\omega _{m}u_{m}$ die Fundamentalform des Körpers $k$, so genügt $\Xi$, für ${\mathsf {X}}$ gesetzt, einer Gleichung $r$-ten Grades in ${\mathsf {X}}$ von der Gestalt
* $\Phi ({\mathsf {X}},\,\xi )=\Phi _{0}{\mathsf {X}}^{r}+\Phi _{1}{\mathsf {X}}^{r-1}+\cdots +\Phi _{r}=0$,
$\Phi _{1}$
$\Phi _{r}$
$\xi$
$u_{1}$, …, $u_{m}$‚ $U_{1}$, …, $U_{M}$ sind, und wo $\Phi _{0}$ eine rationale Einheitsform der Unbestimmten $u_{1}$ , …, $u_{m}$ ist, Die übrigen Wurzeln der obigen Gleichung $r$-ten Grades sind ${\mathsf {X}}=\Xi '$, …‚ $\Xi ^{(r-1)}$. Sodann sei $\xi ^{(h)}$ eine der $m-1$ zu $\xi$ konjugierten Fundamentalformen; die Wurzeln der Gleichung $r$-ten Grades $\Phi ({\mathsf {X}},\,\xi ^{(h)})=0$ mögen mit $\Xi _{(h)}$, $\Xi '_{(h)}$, …, $\Xi _{(h)}^{(r-1)}$ bezeichnet werden. Da nun $\xi$ einer Gleichung $m$-ten Grades genügt, so ist offenbar jede Potenz von $\Xi$ nach Multiplikation mit einer Potenz von $\Phi _{0}$ gleich einer ganzen Funktion von $\xi$ und $\Xi$, welche in $\xi$ höchstens bis zum Grade $m-1$ und in $\Xi$ höchstens bis zum Grade $r-1$ ansteigt, und deren Koeffizienten ganzzahlige Funktionen der Parameter $u_{1}$, …‚ $u_{m}$, $U_{1}$, …, $U_{M}$ sind. Infolgedessen ist notwendigerweise die Diskriminante der Fundamentalform $\Xi$ nach Multiplikation mit einer Potenz von $\Phi _{0}$ durch das Quadrat der $M=rm$-reihigen Determinante
* $\Delta =\left|{\begin{array}{lllllllllllll}1,&\Xi ,&\ldots ,&\Xi ^{r-1},&\xi ,&\xi \Xi ,&\ldots ,&\xi \Xi ^{r-1},&\ldots ,&\xi ^{m-1},&\xi ^{m-1}\Xi ,&\ldots ,&\xi ^{m-1}\Xi ^{r-1}\\1,&\Xi ',&\ldots ,&\Xi ^{\prime r-1},&\xi ,&\xi \Xi ',&\ldots ,&\xi \Xi ^{\prime r-1},&\ldots ,&\xi ^{m-1},&\xi ^{m-1}\Xi ',&\ldots ,&\xi ^{m-1}\Xi ^{\prime r-1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1,&\Xi ^{(r-1)},&\ldots ,&\left(\Xi ^{(r-1)}\right)^{r-1},&\xi ,&\xi \Xi ^{(r-1)},&\ldots ,&\xi \left(\Xi ^{(r-1)}\right)^{r-1},&\ldots ,&\xi ^{m-1},&\xi ^{m-1}\Xi ^{(r-1)},&\ldots ,&\xi ^{m-1}\left(\Xi ^{(r-1)}\right)^{r-1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \end{array}}\right|$
teilbar; hierbei sind in dem Schema nur die ersten $r$ Horizontalreihen hingeschrieben; die übrigen $r(m-1)$ Horizontalreihen entstehen, wenn man der Reihe nach allen Buchstaben $\xi$ die Zeichen $(h)=(1)$, …‚ $(m-1)$ als obere Indizes und zugleich allen Buchstaben $\Xi$ die nämlichen Zeichen als untere Indizes anfügt.
Drückt man nun die Elemente der Determinante $\Delta$ linear durch die Basiszahlen $\Omega _{1}$, …, $\Omega _{M}$ und deren Konjugierte aus, so erkennen wir die Richtigkeit der Formel
* $\Delta =\left|{\begin{array}{lll}\Omega _{1},&\cdots ,&\Omega _{M}\\\Omega '_{1},&\cdots ,&\Omega '_{M}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\Omega _{1}^{(M-1)},&\cdots ,&\Omega _{M}^{(M-1)}\\\end{array}}\right|F,$
wo $F$ eine ganzzahlige Funktion der Parameter $u_{1}$, …, $u_{m}$, $U_{1}$, …, $U_{m}$ bedeutet. Hieraus folgt, daß der Zahlenfaktor des Quadrates von $\Delta$ durch $D$ teilbar ist. Da aber der Zahlenfaktor der Diskriminante von $\Xi$ nach Satz 35 $=D$ wird, so folgt aus obiger Entwicklung, daß auch umgekehrt $D$ durch den Zahlenfaktor des Quadrates von $\Delta$ teilbar ist; d. h. der Zahlenfaktor von $\Delta ^{2}$ ist gleich $D$.
Aus elementaren Sätzen der Determinantentheorie ergibt sich nun die Identität
* $\Delta =\left|{\begin{array}{llll}1,&\xi ,&\cdots ,&\xi ^{m-1}\\1,&\xi ',&\cdots ,&\xi ^{\prime m-1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1,&\xi ^{(m-1)},&\cdots ,&\left(\xi ^{(m-1)}\right)^{m-1}\\\end{array}}\right|^{r}\Pi ,$
wo
* $\Pi =\left|{\begin{array}{llll}1,&\Xi ,&\cdots ,&\Xi ^{r-1}\\1,&\Xi ',&\cdots ,&\Xi ^{\prime r-1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1,&\Xi ^{(r-1)},&\cdots ,&\left(\Xi ^{(r-1)}\right)^{r-1}\\\end{array}}\right|\ \left|{\begin{array}{llll}1,&\Xi _{(1)},&\cdots ,&\Xi _{(1)}^{r-1}\\1,&\Xi '_{(1)},&\cdots ,&\Xi _{(1)}^{\prime r-1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1,&\Xi _{(1)}^{(r-1)},&\cdots ,&\left(\Xi _{(1)}^{(r-1)}\right)^{r-1}\\\end{array}}\right|\cdots \left|{\begin{array}{llll}1,&\Xi _{(m-1)},&\cdots ,&\Xi _{(m-1)}^{r-1}\\1,&\Xi '_{(m-1)},&\cdots ,&\Xi _{(m-1)}^{\prime r-1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1,&\Xi _{(m-1)}^{(r-1)},&\cdots ,&\left(\Xi _{(m-1)}^{(r-1)}\right)^{r-1}\\\end{array}}\right|$
gesetzt ist, und hieraus folgt unmittelbar der Satz 39.
Der eben bewiesene Satz 39 zeigt nicht nur, daß die Diskriminante eines Körpers durch die Diskriminante eines jeden Unterkörpers teilbar ist, sondern gibt eine gewisse Potenz der letzteren an, welche in der Diskriminante des Oberkörpers aufgeht, und deckt auch zugleich die einfache Bedeutung des übrig bleibenden Faktors der Diskriminante des Oberkörpers auf.
$k$
$K$
$K$
Satz 40. Jedes Element des Unterkörpers $k$ ist dem Produkt von gewissen $r$ Elementen des Oberkörpers $K$ gleich, und zwar gelten die Formeln:
* ${\begin{aligned}\xi -\xi ^{(h)}&\simeq \left(\Xi -\Xi _{(h)}\right)\left(\Xi -\Xi '_{(h)}\right)\cdots \left(\Xi -\Xi _{(h)}^{(r-1)}\right)\\&\simeq \left(\Xi -\Xi _{(h)}\right)\left(\Xi '-\Xi _{(h)}\right)\cdots \left(\Xi ^{(r-1)}-\Xi _{(h)}\right).\end{aligned}}$
Beweis: Ist
* $F({\mathsf {X}})={\mathsf {X}}^{M}+F_{1}{\mathsf {X}}^{M-1}+\cdots +F_{M}=0$
die Fundamentalgleichung $M$-ten Grades des Körpers $K$, wobei $F_{1}$, …‚ $F_{M}$ ganzzahlige Funktionen von $U_{1}$, …‚ $U_{M}$ bedeuten, so gilt identisch in ${\mathsf {X}}$ die Gleichung
* $\Phi _{0}^{m}F({\mathsf {X}})=\Phi ({\mathsf {X}},\,\xi )\Phi ({\mathsf {X}},\,\xi ')\cdots \Phi \left({\mathsf {X}},\,\xi ^{(m-1)}\right)$.
Die Differente der Fundamentalform $\Xi$ ist mithin wegen $\Phi (\Xi ,\,\xi )=0$ durch die Formel
* $\Delta (\Xi )={\frac {\partial F(\Xi )}{\partial \Xi }}={\frac {1}{\Phi _{0}^{m}}}{\frac {\partial \Phi (\Xi ,\,\xi )}{\partial \Xi }}\Phi \left(\Xi ,\,\xi '\right)\cdots \Phi \left(\Xi ,\,\xi ^{(m-1)}\right)$
| ${\underset {(h=1,\ 2,\ \dots ,\ m-1)}{\Phi \left(\Xi ,\ \xi ^{(h)}\right)=\Phi _{0}\left(\Xi -\Xi _{(h)}\right)\left(\Xi -\Xi '_{(h)}\right)\cdots \left(\Xi -\Xi _{(h)}^{(r-1)}\right)}}$, | (5) |
und andererseits ist
| $\Phi \left(\Xi ,\ \xi ^{(h)}\right)=\Phi \left(\Xi ,\ \xi ^{(h)}\right)-\Phi \left(\Xi ,\ \xi \right)=\left(\xi -\xi ^{(h)}\right)G^{(h)}$, | (6) |
wo $G^{(h)}$ eine ganze algebraische Form bedeutet; aus diesen Formeln folgt:
* $\Phi _{0}^{m}{\frac {\partial F(\Xi )}{\partial \Xi }}={\frac {\partial \Phi (\Xi ,\ \xi )}{\partial \Xi }}\left(\xi -\xi '\right)\cdots \left(\xi -\xi ^{(m-1)}\right)G'\cdots G^{(m-1)}$.
Da ${\frac {1}{\Phi _{0}}}{\frac {\partial \Phi (\Xi ,\ \xi )}{\partial \Xi }}$ die Relativdifferente von $\Xi$ darstellt, so folgt nach Satz 13 aus der letzten Formel
| ${\mathfrak {D}}={\mathfrak {D}}_{k}{\mathfrak {d}}{\mathfrak {J}}$, | (7) |
wo ${\mathfrak {D}}$ die Differente von $K$, ${\mathfrak {D}}_{k}$ die Relativdifferente von $K$ in bezug auf $k$, ${\mathfrak {d}}$ die Differente von $k$ und wo ${\mathfrak {J}}$ dasjenige Ideal bedeutet, welches den Inhalt der Form $G'\ \dots G^{(m-1)}$ ausmacht. Durch Normbildung ergibt sich $D=n(D_{k})d^{r}N({\mathfrak {J}})$‚ und folglich ist nach Satz 39 $N({\mathfrak {J}})=1$, d. h. ${\mathfrak {J}}=1$. Die Formen $G'$, …, $G^{(m-1)}$ sind daher sämtlich Einheitsformen, und die Formeln (5) und (6) beweisen unseren Satz 40.
Der Satz 40 liefert die Zerlegung der Elemente des Körpers $k$ im Oberkörper $K$; er ist das Fundament der Theorie der Diskriminanten. Die Formel (7) liefert überdies die wichtige Tatsache:
Satz 41. Die Differente ${\mathfrak {D}}$ des Körpers $K$ ist gleich dem Produkt der Relativdifferente ${\mathfrak {D}}_{k}$ von $K$ in bezug auf den Unterkörper $k$ und der Differente ${\mathfrak {d}}$ des Körpers $k$, d. h. es ist
* ${\mathfrak {D}}={\mathfrak {D}}_{k}{\mathfrak {d}}$.
Nach diesem Satze ist das Verhalten der Differenten beim Übergange von dem Unterkörper in den Oberkörper von merkwürdiger Einfachheit: man bekommt die Differente des höheren Körpers, indem man die Differente des niederen Körpers mit der betreffenden Relativdifferente multipliziert.
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## Anmerkungen (Wikisource)

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