# David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie/Kapitel 7.35

Wir haben gesehen, eine wie wichtige Rolle das besondere Symbol $\textstyle \left\{{\frac {\nu ,\ \mu }{\mathfrak {l}}}\right\}$ in der Theorie des Kummerschen Körpers spielt. Was die Deﬁnition dieses Symbols in § 131 (S. 266) und die Ableitung seiner Eigenschaften in § 131 bis § 133 betrifft, so knüpften wir in der dortigen Darstellung an die von Kummer eingeführten logarithmischen Differentialquotienten der zu einer Zahl $\omega \equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}$ gehörenden Funktion $\omega (x)$ an. Die in § 131 bis § 133 für das Symbol $\textstyle \left\{{\frac {\nu ,\ \mu }{\mathfrak {l}}}\right\}$ im Kummerschen Körper ausgeführten Rechnungen entsprechen übrigens genau denjenigen Betrachtungen, welche in § 64 für das Symbol $\left({\frac {n,\ m}{2}}\right)$ im quadratischen Körper angestellt worden sind. Obwohl es nun bereits gelang, die von Kummer ersonnenen rechnerischen Hilfsmittel auf ein geringes Maß zu bringen, so erscheint es mir doch noch, vor allem auch im Hinblick auf eine künftige Erweiterung der Theorie, notwendig zu untersuchen, ob nicht eine Begründung der Theorie des Kummerschen Körpers ganz ohne jene Rechnungen möglich ist. Ich gebe in diesem Kapitel den Weg hierzu kurz an.
Zunächst können leicht ohne Rechnung und ohne Heranziehung der Bernoullischen Zahlen die späterhin wesentlichen Eigenschaften der Einheiten des regulären Kreiskörpers $k(\zeta )$ abgeleitet werden. Für Satz 156 erinnern wir uns des zweiten auf S. 287 mitgeteilten Beweises.
Wir können dann aus diesem Satz 156 den Satz 155 (S. 286) wie folgt ableiten. Wir wollen unter $\varepsilon _{1},\ \ldots ,\ \varepsilon _{l^{\ast }}$ irgendein System von $l^{\ast }$ reellen Grundeinheiten des Körpers $k(\zeta )$ verstehen; wir bestimmen dann positive Exponenten $e_{1},\ \ldots ,\ e_{l^{\ast }}$ und gewisse ganze rationale, zu $l$ prime Zahlen $a_{1},\ \ldots ,\ a_{l^{\ast }},$ $b_{1}$, …, $b_{l^{*}}$ derart, daß die Kongruenzen
* ${\begin{aligned}\varepsilon _{1}&\equiv a_{1}+b_{1}\lambda ^{e_{1}},&({\mathfrak {l}}^{e_{1}+1}),\\&\;\vdots \\\varepsilon _{l^{*}}&\equiv a_{l^{*}}+b_{l^{*}}\lambda ^{e_{l^{*}}},&({\mathfrak {l}}^{e_{l^{*}}+1})\end{aligned}}$
gültig sind. Wir nehmen an, es habe unter den Exponenten $e_{1}$, …, $e_{l^{*}}$ etwa $e_{1}$ den niedrigsten vorkommenden Wert. Dann können wir, wie leicht ersichtlich ist, die $l^{*}-1$ Einheiten $\varepsilon _{2}$, …, $\varepsilon _{l^{*}}$ derart mit Potenzen von $\varepsilon _{1}$ multiplizieren, daß für die $l^{*}-1$ entstehenden Produkte $\varepsilon '_{2}$, …, $\varepsilon '_{l^{*}}$ die Kongruenzen
* ${\begin{aligned}\varepsilon '_{2}=\varepsilon _{2}\varepsilon _{1}^{f_{2}}\equiv &a'_{2}+b'_{2}\lambda ^{e'_{2}},&({\mathfrak {l}}^{e'_{2}+1}),\\&\;\vdots \\\varepsilon '_{l^{*}}=\varepsilon _{l^{*}}\varepsilon _{1}^{f_{l^{*}}}\equiv &a'_{l^{*}}+b'_{l^{*}}\lambda ^{e'_{l^{*}}},&({\mathfrak {l}}^{e'_{l^{*}}+1})\end{aligned}}$
bestehen, wo $a'_{2}$, …, $a'_{l^{*}}$, $b'_{2}$,…, $b'_{l^{*}}$ ganze rationale, zu $l$ prime Zahlen bedeuten, und wo nun die Exponenten $e'_{2}$, …, $e'_{l^{*}}$ sämtlich größer als $e_{1}$ sind. Die Einheiten $\varepsilon _{1}$, $\varepsilon '_{2}$, $\varepsilon '_{3}$, …, $\varepsilon '_{l^{*}}$ bilden wiederum ein System von Grundeinheiten in $k(\zeta )$. Nun möge unter den Exponenten $e'_{2}$, …, $e'_{l^{*}}$ etwa $e'_{2}$ den niedrigsten vorkommenden Wert haben; dann ist es weiter möglich, die Einheiten $\varepsilon '_{3}$, …, $\varepsilon '_{l^{*}}$ derart mit Potenzen von $\varepsilon '_{2}$ zu multiplizieren, daß für die $l^{*}-2$ entstehenden Produkte $\varepsilon ''_{3}$, …, $\varepsilon ''_{l^{*}}$ die Kongruenzen
* ${\begin{aligned}\varepsilon ''_{3}=\varepsilon '_{3}{\varepsilon '_{2}}^{f'_{3}}\equiv &a''_{3}+b''_{3}\lambda ^{e''_{3}},&({\mathfrak {l}}^{e''_{3}+1}),\\&\;\vdots \\\varepsilon ''_{l^{*}}=\varepsilon '_{l^{*}}{\varepsilon '_{2}}^{f'_{l^{*}}}\equiv &a''_{l^{*}}+b''_{l^{*}}\lambda ^{e''_{l^{*}}},&({\mathfrak {l}}^{e''_{l^{*}}+1})\end{aligned}}$
gelten, wo $a''_{3}$, …, $a''_{l^{*}}$, $b''_{3}$, …, $b'_{l^{*}}$ ganze rationale, zu $l$ prime Zahlen bedeuten und nunmehr die Exponenten $e''_{3}$, …, $e''_{l^{*}}$ sämtlich größer als $e'_{2}$ sind. Die Einheiten $\varepsilon _{1}$, $\varepsilon '_{2}$, $\varepsilon ''_{3}$, $\varepsilon ''_{4}$, …, $\varepsilon ''_{l^{*}}$ bilden offenbar wiederum ein System von Grundeinheiten in $k(\zeta )$. Indem wir in geeigneter Weise fortfahren, gelangen wir zu einem System von Grundeinheiten $\varepsilon _{1}$, $\varepsilon '_{2}$, …, $\varepsilon _{l^{*}}^{(l^{*}-1)}$ in $k(\zeta )$, die den Kongruenzen
* ${\begin{aligned}\varepsilon _{1}&\equiv a_{1}&&+b_{1}\lambda ^{e_{1}},&&({\mathfrak {l}}^{e_{1}+1}),\\\varepsilon '_{2}&\equiv a'_{2}&&+b'_{2}\lambda ^{e'_{2}},&&({\mathfrak {l}}^{e'_{2}+1}),\\\varepsilon ''_{3}&\equiv a''_{3}&&+b''_{3}\lambda ^{e''_{3}},&&({\mathfrak {l}}^{e''_{3}+1}),\\&\;\vdots \\\varepsilon _{l^{*}}^{(l^{*}-1)}&\equiv a_{l^{*}}^{(l^{*}-1)}&&+b_{l^{*}}^{(l^{*}-1)}\lambda ^{e_{l^{*}}^{(l^{*}-1)}},&&({\mathfrak {l}}^{e_{l^{*}}^{(l^{*}-1)}+1})\end{aligned}}$
genügen, wo $a_{1}$, …, $a_{l^{*}}^{(l^{*}-1)}$, $b_{1}$, …, $b_{l^{*}}^{(l^{*}-1)}$ ganze rationale, zu $l$ prime Zahlen sind, während für die Exponenten $e_{1}$, …, $e_{l^{*}}^{(l^{*}-1)}$ die Kette von Ungleichungen
| $e_{1}<e'_{2}<e''_{3}<\cdots <e_{l^{*}}^{(l^{*}-1)}$ | (162) |
gilt. Da die betrachteten Einheiten sämtlich reell sind, so fallen die Exponenten $e_{1}$, $e'_{2}$, $e''_{3}$, …, $e_{l^{*}}^{(l^{*}-1)}$ gerade aus. Wäre nun
* $e_{l^{*}}^{(l^{*}-1)}\geqq l-1$,
so würde nach Satz 156 $\varepsilon _{l^{*}}^{(l^{*}-1)}$ die $l$-te Potenz einer Einheit $\eta$ in $k(\zeta )$ sein. Drücken wir dann $\eta$ durch die Einheiten $\zeta$, $\varepsilon _{1}$, $\varepsilon '_{2}$, …, $\varepsilon _{l^{*}}^{(l^{*}-1)}$ aus in der Gestalt
* $\eta =\zeta ^{u}\varepsilon _{1}^{u_{1}}{\varepsilon '_{2}}^{u_{2}}\cdots \left(\varepsilon _{l^{*}}^{(l^{*}-1)}\right)^{u_{l^{*}}}$,
wo $u$, $u_{1}$, $u_{2}$, …, $u_{l^{*}}$ ganze rationale Exponenten sind, und erheben diese Gleichung in die $l$-te Potenz, so erhalten wir eine Relation zwischen den $l^{*}$ Einheiten $\varepsilon _{1}$, $\varepsilon '_{2}$, …, $\varepsilon _{l^{*}}^{(l^{*}-1)}$ mit Exponenten, die nicht sämtlich Null sind; dies widerspricht der Tatsache, daß $\varepsilon _{1}$, $\varepsilon '_{2}$, …, $\varepsilon _{l^{*}}^{(l^{*}-1)}$ ein System von Grundeinheiten in $k(\zeta )$ bilden. Es ist daher
* $e_{l^{*}}^{(l-1)}<l-1$.
Hieraus folgt mit Rücksicht auf die Ungleichungen (162), daß notwendigerweise
* $e_{1}=2$, $e'_{2}=4$, $e''_{3}=6$, …, $e_{l^{*}}^{(l^{*}-1)}=l-3$
sein muß, und diese Tatsache läßt unmittelbar auf das Vorhandensein von solchen Einheiten ${\bar {\varepsilon }}_{1}$, …, ${\bar {\varepsilon }}_{l^{*}}$ schließen, die von der im Satze 155 (S. 286) verlangten Beschaffenheit sind.
Der Satz 157 (S. 288) folgt wie in § 142 aus Satz 155.
Wir legen die in § 131 (S. 264) gegebene Definition des Symbols $\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}$ für ein Primideal ${\mathfrak {w}}\neq {\mathfrak {l}}$ zugrunde, sehen jedoch vorläufig von einer Definition des Symbols $\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}$ ab; wir benutzen dementsprechend die Sätze 150 (S. 257), 151 (S. 272) ebenfalls nur für ${\mathfrak {w}}\neq {\mathfrak {l}}$. Die Sätze 158 (S. 295), 159 (S. 302) folgen dann unmittelbar in der dort dargelegten Weise für den Kummerschen Körper $k({\sqrt[{l}]{\mu }},\zeta )$, sobald wir die einschränkende Annahme machen, daß die Relativdiskriminante von $k({\sqrt[{l}]{\mu }},\zeta )$ in bezug auf $k(\zeta )$ zu ${\mathfrak {l}}$ prim sei. Unter derselben Einschränkung gelangen wir ohne Gebrauch des Symbols $\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}$ zu dem Begriff des Charakters eines Ideals in $k({\sqrt[{l}]{\mu }},\zeta )$, zu der Einteilung der Idealklassen eines Kummerschen Körpers in Geschlechter, sowie zu der Gültigkeit der Hilfssätze 33 (S. 308), 34 (S. 310), 35 (S. 312) und beweisen dann zunächst folgenden Hilfssatz:
Hilfssatz 43. Eine jede Primärzahl $\varkappa$ eines Primideals ${\mathfrak {q}}$ der zweiten Art ist der $l$-ten Potenz einer ganzen Zahl in $k(\zeta )$ nach ${\mathfrak {l}}^{l}$ kongruent. Beweis. Es seien $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{l^{*}}$ die in § 166 bestimmten und dort mit $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{l^{*}}^{(l^{*}-1)}$ bezeichneten $l^{*}={\frac {l-3}{2}}$ Grundeinheiten des Körpers $k(\zeta )$; es seien ferner ${\mathfrak {p}}$, ${\mathfrak {p}}_{1}$, …, ${\mathfrak {p}}_{l^{*}}$ von ${\mathfrak {l}}$ verschiedene Primideale in $k(\zeta )$ von der Beschaffenheit, daß
| $\left.{\begin{aligned}\left\{{\frac {\zeta }{\mathfrak {p}}}\right\}&=\zeta ^{*},&\left\{{\frac {\varepsilon _{1}}{\mathfrak {p}}}\right\}&=1,&\left\{{\frac {\varepsilon _{2}}{\mathfrak {p}}}\right\}&=1,\ldots ,\left\{{\frac {\varepsilon _{l^{*}}}{\mathfrak {p}}}\right\}&=1,\\\left\{{\frac {\zeta }{\mathfrak {p_{1}}}}\right\}&=1,&\left\{{\frac {\varepsilon _{1}}{\mathfrak {p_{1}}}}\right\}&=\zeta _{1},&\left\{{\frac {\varepsilon _{2}}{\mathfrak {p_{1}}}}\right\}&=1,\ldots ,\left\{{\frac {\varepsilon _{l^{*}}}{\mathfrak {p_{1}}}}\right\}&=1,\\&\;\vdots &\\\left\{{\frac {\zeta }{\mathfrak {p_{l^{*}}}}}\right\}&=1,&\left\{{\frac {\varepsilon _{1}}{\mathfrak {p_{l^{*}}}}}\right\}&=1,&\left\{{\frac {\varepsilon _{2}}{\mathfrak {p_{l^{*}}}}}\right\}&=1,\ldots ,\left\{{\frac {\varepsilon _{l^{*}}}{\mathfrak {p_{l^{*}}}}}\right\}&=\zeta _{l^{*}}\\\end{aligned}}\right\$ | (163) |
ausfällt, wo $\zeta ^{*}$, $\zeta _{1}$, …, $\zeta _{l^{*}}$ irgendwelche von $1$ verschiedene $l$-te Einheitswurzeln bedeuten. Die Existenz solcher Primideale folgt aus Satz 152 (S. 276); wenn wir auf den Beweis dieses Satzes zurückgreifen, sehen wir, daß nicht bloß die Anzahl, sondern die Summe der reziproken Normen aller Primideale ${\mathfrak {r}}$ von der dort angegebenen Beschaffenheit unendlich war, und wegen dieses Umstandes dürfen wir, wie aus den Betrachtungen beim Beweise des Satzes 83 (S. 143) ersichtlich ist, gegenwärtig annehmen, daß die Primideale ${\mathfrak {p}}$, ${\mathfrak {p_{1}}}$, …, ${\mathfrak {p}}_{l^{*}}$ obenein sämtlich vom ersten Grade sind. Ferner können wir voraussetzen, daß die durch ${\mathfrak {p}}$, ${\mathfrak {p_{1}}}$, …, ${\mathfrak {p}}_{l^{*}}$ teilbaren rationalen Primzahlen sämtlich voneinander verschieden ausfallen. Es seien $\pi$, $\pi _{1}$, …, $\pi _{l^{*}}$ Primärzahlen bez. von ${\mathfrak {p}}$, ${\mathfrak {p_{1}}}$, …, ${\mathfrak {p}}_{l^{*}}$.
Wir behandeln nun die Annahme, es gäbe $l^{*}+1$ ganze, nicht sämtlich durch $l$ teilbare Exponenten $u$, $u_{1}$, …, $u_{l^{*}}$, für welche der Ausdruck $\alpha =\pi ^{u}\pi _{1}^{u_{1}}\cdots \pi _{l^{*}}^{u_{l^{*}}}$ der $l$-ten Potenz einer ganzen Zahl in $k(\zeta )$ nach ${\mathfrak {l}}^{l}$ kongruent wird. Nach Satz 148 (S. 251) besitzt dann die Relativdiskriminante des Kummerschen Körpers $k({\sqrt[{l}]{\alpha }},\zeta )$ eine gewisse Anzahl $t$ der Primideale ${\mathfrak {p}}$, ${\mathfrak {p_{1}}}$, …, ${\mathfrak {p}}_{l^{*}}$, aber nicht das Primideal ${\mathfrak {l}}$ als Faktor. Andererseits folgt aus (163) unter Berücksichtigung des Satzes 151 (S. 272), daß der Grad $m$ der Schar derjenigen Einheiten in $k(\zeta )$, welche Relativnormen von Einheiten in $k({\sqrt[{l}]{\alpha }},\zeta )$ sind, höchstens den Wert ${\frac {l-1}{2}}-t$ hat; somit würde für den Kummerschen Körper $k({\sqrt[{l}]{\alpha }},\zeta )$
* $m\leqq {\frac {l-1}{2}}-t$, d. h. $t+m-{\frac {l+1}{2}}<0$
ausfallen, was nach Satz 158 (S. 295) nicht sein kann. Damit ist die oben versuchte Annahme als unmöglich erkannt, d. h. für Exponenten $u$, $u_{1}$, …, $u_{l^{*}}$, die nicht sämtlich durch $l$ teilbar sind, ist der Ausdruck $\pi ^{u}\pi _{1}^{u_{1}}\cdots \pi _{l^{*}}^{u_{l^{*}}}$ niemals der $l$-ten Potenz einer ganzen Zahl in $k(\zeta )$ nach ${\mathfrak {l}}^{l}$ kongruent.
Es sei $\varkappa$ eine Primärzahl des Primideals ${\mathfrak {q}}$. Aus dem Beweise des Satzes 157 (S. 288) entnehmen wir, daß es genau ${\frac {(l-1)\cdots l^{l-3}}{l^{l^{*}}}}$ nach ${\mathfrak {l}}^{l-1}$ und also $(l-1)l^{l^{*}+1}$ nach ${\mathfrak {l}}^{l}$ inkongruente primäre Zahlen in $k(\zeta )$ gibt; andererseits ist die $l$-te Potenz einer zu ${\mathfrak {l}}$ primen Zahl in $k(\zeta )$ stets der $l$-ten Potenz einer der $l-1$ Zahlen $1$, $2$, …, $l-1$ nach ${\mathfrak {l}}^{l}$ kongruent. Aus der vorhin gefundenen Tatsache folgt daher, daß es stets möglich sein muß, die Exponenten $u$, $u_{1}$, …, $u_{l^{*}}$ derart zu bestimmen, daß der Ausdruck $\mu =\pi ^{u}\pi _{1}^{u_{1}}\cdots \pi _{l^{*}}^{u_{l^{*}}}\varkappa$ der $l$-ten Potenz einer ganzen Zahl in $k(\zeta )$ nach ${\mathfrak {l}}^{l}$ kongruent wird; wir setzen, wenn $u$, $u_{1}$, …, $u_{l^{*}}$ solcher Art bestimmt sind, $\alpha =\pi ^{u}\pi _{1}^{u_{1}}\cdots \pi _{l^{*}}^{u_{l^{*}}}$, so daß $\mu =\alpha \varkappa$ wird, und behandeln nun die Annahme, daß eine gewisse positive Anzahl $a$ von diesen Exponenten $u$, $u_{1}$, …, $u_{l^{*}}$ zu $l$ prim, die übrigen ${\frac {l-1}{2}}-a$ aber durch $l$ teilbar seien. Es wäre dann wegen (163) für den Kummerschen Körper $k({\sqrt[{l}]{\mu }},\zeta )$, indem wir für ihn die Bezeichnungen des § 149 benutzen, $t=a+1$, $r^{*}=a$, $r=t-r^{*}=1$, und folglich sind nach Hilfssatz 35 (S. 312) in diesem Körper $k({\sqrt[{l}]{\mu }},\zeta )$ alle Idealklassen vom Hauptgeschlecht. Hieraus ergibt sich unmittelbar folgende Tatsache: wenn ${\mathfrak {r}}$ irgendein Primideal in $k(\zeta )$ mit der Eigenschaft $\left\{{\frac {\mu }{\mathfrak {r}}}\right\}=1$ ist und $\varrho$ eine Primärzahl von ${\mathfrak {r}}$ bedeutet, so muß bei geeigneter Wahl der Einheit $\xi$ das Charakterensystem der Zahl $\xi \varrho$ im Körper $k({\sqrt[{l}]{\mu }},\zeta )$ aus lauter Einheiten $1$ bestehen; es ist also insbesondere
* $\left\{{\frac {\xi \varrho ,\mu }{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {\xi \varrho }{\mathfrak {q}}}\right\}=1$,
und da ${\mathfrak {q}}$ ein Primideal zweiter Art sein soll, so ist auch $\left\{{\frac {\mathfrak {r}}{\mathfrak {q}}}\right\}=1$.
Wir bezeichnen jetzt die zu ${\mathfrak {q}}$ konjugierten und von ${\mathfrak {q}}$ verschiedenen Primideale mit ${\mathfrak {q}}'$, ${\mathfrak {q}}''$, … und diejenigen Substitutionen aus der Gruppe von $k(\zeta )$, welche ${\mathfrak {q}}$ in ${\mathfrak {q}}'$, ${\mathfrak {q}}''$, … überführen, bez. mit $s'$, $s''$, …. Haben dann $h$, $h^{*}$ die Bedeutung wie in § 149, und ist $q$ die durch ${\mathfrak {q}}$ teilbare ganze rationale Primzahl, so ergibt sich (ähnlich wie in § 158) mit Rücksicht auf die Bemerkung hinter dem Satze 157 (S. 288)
* $\varkappa (s'\varkappa )(s''\varkappa )\cdots =\varepsilon ^{l}q^{hh^{*}}$,
wo $\varepsilon$ eine Einheit in $k(\zeta )$ ist. Wegen unserer Annahme über die Exponenten $u$, $u_{1}$, …, $u_{l^{*}}$, und da die Primideale ${\mathfrak {p}}$, ${\mathfrak {p}}_{1}$, …, ${\mathfrak {p}}_{l^{*}}$ vom ersten Grade und ferner die durch sie teilbaren rationalen Primzahlen unter sich verschieden sind, können wir aus dem Satz 152 (S. 276) schließen, daß es in $k(\zeta )$ ein Primideal ${\mathfrak {r}}$ gibt mit den Eigenschaften
| $\left.{\begin{aligned}\left\{{\frac {\alpha }{\mathfrak {r}}}\right\}&=\zeta ^{*-1},&\left\{{\frac {\varkappa }{\mathfrak {r}}}\right\}&=\zeta ^{*},\\\left\{{\frac {s'\alpha }{\mathfrak {r}}}\right\}&=1,&\left\{{\frac {s'\varkappa }{\mathfrak {r}}}\right\}&=1,\\\left\{{\frac {s''\alpha }{\mathfrak {r}}}\right\}&=1,&\left\{{\frac {s''\varkappa }{\mathfrak {r}}}\right\}&=1,\\&\;\vdots &&\;\vdots \end{aligned}}\right\$ | (164) |
$\zeta ^{*}$
$1$
$l$
| $\left\{{\frac {\mu }{\mathfrak {r}}}\right\}=1$, $\left\{{\frac {s'\mu }{\mathfrak {r}}}\right\}=1$, $\left\{{\frac {s''\mu }{\mathfrak {r}}}\right\}=1,\ldots ,$ | (165) |
| $\left\{{\frac {\varkappa \cdot s'\varkappa \cdot s''\varkappa \cdots }{\mathfrak {r}}}\right\}=\left\{{\frac {q}{\mathfrak {r}}}\right\}=\zeta ^{*}$; | (166) |
aus der ersten von den Gleichungen (165) folgt nach dem zuvor Bewiesenen $\left\{{\frac {\mathfrak {r}}{\mathfrak {q}}}\right\}=1$, und in gleicher Weise liefern die weiteren Gleichungen (165) die Beziehungen $\left\{{\frac {\mathfrak {r}}{{\mathfrak {q}}'}}\right\}=1$, $\left\{{\frac {\mathfrak {r}}{{\mathfrak {q}}''}}\right\}=1$, …; durch Multiplikation wird hieraus $\left\{{\frac {\mathfrak {r}}{q}}\right\}=1$, was wegen Satz 140 (S. 231) der Gleichung (166) widerspricht. Unsere augenblicklich behandelte Annahme über die Exponenten $u$, $u_{1}$, …, $u_{l^{*}}$ ist daher unzutreffend, d. h. diese Exponenten, wie sie oben bestimmt wurden, müssen sämtlich durch $l$ teilbar sein, und $\alpha$ ist mithin gleich der $l$-ten Potenz einer ganzen Zahl in $k(\zeta )$; hieraus ergibt sich, daß $\varkappa$ kongruent der $l$-ten Potenz einer ganzen Zahl in $k(\zeta )$ nach ${\mathfrak {l}}^{l}$ ausfällt, womit der Hilfssatz 43 bewiesen ist.
Wir gelangen jetzt schrittweise, wie folgt, zu einzelnen Teilen des Reziprozitätsgesetzes für $l$-te Potenzreste:
Hilfssatz 44. Es sei ${\mathfrak {q}}$ ein Primideal zweiter Art und ${\mathfrak {r}}$ ein Primideal erster oder zweiter Art in $k(\zeta )$: wenn dann $\left\{{\frac {\mathfrak {q}}{\mathfrak {r}}}\right\}=1$ ist, so wird auch $\left\{{\frac {\mathfrak {r}}{\mathfrak {q}}}\right\}=1$.
Beweis. Es seien $\varkappa$, $\varrho$ Primärzahlen der Primideale ${\mathfrak {q}}$ bez. ${\mathfrak {r}}$. Mit Rücksicht auf Hilfssatz 43 (S. 337) besitzt die Relativdiskriminante des Körpers $k({\sqrt[{l}]{\varkappa }},\zeta )$ nach Satz 148 (S. 251) nur den einen Primfaktor ${\mathfrak {q}}$, und daher gehören wegen des Hilfssatzes 35 (S. 312) in diesem Körper alle Ideale dem Hauptgeschlechte an. Wegen $\left\{{\frac {\mathfrak {q}}{\mathfrak {r}}}\right\}=1$ ist ${\mathfrak {r}}$ im Körper $k({\sqrt[{l}]{\varkappa }},\zeta )$ das Produkt von $l$ Primidealen; für den Charakter irgendeines dieser Primideale erhalten wir den Wert
* $\left\{{\frac {\varrho ,\varkappa }{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {\mathfrak {r}}{\mathfrak {q}}}\right\}=1$,
und damit ist der Hilfssatz 44 bewiesen.
Hilfssatz 45. Wenn ${\mathfrak {q}}$, ${\mathfrak {\bar {q}}}$ irgend zwei Primideale zweiter Art in $k(\zeta )$ sind, so ist stets $\left\{{\frac {\mathfrak {q}}{\mathfrak {\bar {q}}}}\right\}=\left\{{\frac {\mathfrak {\bar {q}}}{\mathfrak {q}}}\right\}$.
Beweis. Im Falle $\left\{{\frac {\mathfrak {q}}{\mathfrak {\bar {q}}}}\right\}=1$ folgt die Richtigkeit der Behauptung unmittelbar aus Hilfssatz 44. Wir betrachten nunmehr den Fall $\left\{{\frac {\mathfrak {q}}{\mathfrak {\bar {q}}}}\right\}\neq 1$. Es seien $\varkappa$, ${\bar {\varkappa }}$ Primärzahlen bez. von ${\mathfrak {q}}$, ${\mathfrak {\bar {q}}}$; ferner seien ${\mathfrak {q}}'$, ${\mathfrak {q}}''$, … die von ${\mathfrak {q}}$ verschiedenen, zu ${\mathfrak {q}}$ konjugierten Primideale und $\varkappa '$, $\varkappa ''$, … bez. die betreffenden zu $\varkappa$ konjugierten Primärzahlen von ${\mathfrak {q}}'$, ${\mathfrak {q}}''$, …; andererseits seien ${\mathfrak {{\bar {q}}'}}$, ${\mathfrak {{\bar {q}}''}}$, … die von ${\mathfrak {\bar {q}}}$ verschiedenen, zu ${\mathfrak {\bar {q}}}$ konjugierten Primideale und ${\bar {\varkappa '}}$, ${\bar {\varkappa ''}}$, … bez. die betreffenden zu ${\bar {\varkappa }}$ konjugierten Primärzahlen von ${\mathfrak {{\bar {q}}'}}$, ${\mathfrak {{\bar {q}}''}}$, …. Endlich sei $q$ die durch ${\mathfrak {q}}$ teilbare rationale Primzahl; man hat dann $\varkappa \varkappa '\varkappa ''\cdots =\varepsilon ^{l}q^{hh^{*}}$, wo $\varepsilon$ eine Einheit in $k(\zeta )$ ist. Nach Satz 152 (S. 276) gibt es ein Primideal ${\mathfrak {r}}$, für welches
| $\left\{{\frac {\varkappa }{\mathfrak {r}}}\right\}=\zeta ^{*},$ $\left\{{\frac {\varkappa '}{\mathfrak {r}}}\right\}=1,$ $\left\{{\frac {\varkappa ''}{\mathfrak {r}}}\right\}=1,\ldots ,$ | (167) |
| $\left\{{\frac {\bar {\varkappa }}{\mathfrak {r}}}\right\}=\zeta ^{*},$ $\left\{{\frac {{\bar {\varkappa }}'}{\mathfrak {r}}}\right\}=1,$ $\left\{{\frac {{\bar {\varkappa }}''}{\mathfrak {r}}}\right\}=1,\ldots ,$ | (168) |
| $\left\{{\frac {\zeta }{\mathfrak {r}}}\right\}=1,$ $\left\{{\frac {\varepsilon _{1}}{\mathfrak {r}}}\right\}=1,$ $\left\{{\frac {\varepsilon _{2}}{\mathfrak {r}}}\right\}=1,\ldots ,\left\{{\frac {\varepsilon _{l^{*}}}{\mathfrak {r}}}\right\}=1$ | (169) |
wird, wo $\zeta ^{*}$ irgendeine von $1$ verschiedene Einheitswurzel bedeutet, und wo $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{l^{*}}$ die $l^{*}$ in § 166 bestimmten und dort mit $\varepsilon _{1}$, $\varepsilon '_{2}$, …, $\varepsilon _{l^{*}}^{(l^{*}-1)}$ bezeichneten Einheiten in $k(\zeta )$ sind. Aus (167) folgt
* $\left\{{\frac {\varkappa \varkappa '\varkappa ''\cdots }{\mathfrak {r}}}\right\}=\left\{{\frac {q}{\mathfrak {r}}}\right\}=\zeta ^{*}$,
und daher ist, wenn $\varrho$ eine Primärzahl von ${\mathfrak {r}}$ bedeutet, nach Satz 140 (S. 231) auch
| $\left\{{\frac {\varrho }{q}}\right\}=\left\{{\frac {\varrho }{\mathfrak {q}}}\right\}\left\{{\frac {\varrho }{{\mathfrak {q}}'}}\right\}\left\{{\frac {\varrho }{{\mathfrak {q}}''}}\right\}\cdots =\zeta ^{*}$. | (170) |
Andererseits ist wegen (167) nach Hilfssatz 44
* $\left\{{\frac {\varrho }{{\mathfrak {q}}'}}\right\}=1,$ $\left\{{\frac {\varrho }{{\mathfrak {q}}''}}\right\}=1,\ldots$;
und daher folgt aus (170) $\left\{{\frac {\varrho }{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {\mathfrak {r}}{\mathfrak {q}}}\right\}=\zeta ^{*}$, es ist also
| $\left\{{\frac {\mathfrak {q}}{\mathfrak {r}}}\right\}=\left\{{\frac {\mathfrak {r}}{\mathfrak {q}}}\right\}\neq 1$. | (171) |
In gleicher Weise leiten wir aus (168) die Beziehung her:
| $\left\{{\frac {\bar {\mathfrak {q}}}{\mathfrak {r}}}\right\}=\left\{{\frac {\mathfrak {r}}{\bar {\mathfrak {q}}}}\right\}\neq 1$. | (172) |
Wir bestimmen nun die Potenz $\varrho ^{e}$ von $\varrho$ so, daß $\left\{{\frac {\varkappa \rho ^{e}}{\mathfrak {\bar {q}}}}\right\}=1$ wird, und betrachten dann den Kummerschen Körper $k({\sqrt[{l}]{\varkappa \rho ^{e}}},\zeta )$. Da ${\mathfrak {q}}$ nach Voraussetzung und ${\mathfrak {r}}$ wegen (169) Primideale zweiter Art sind, so folgt vermittelst des Hilfssatzes 43, daß die Relativdiskriminante dieses Körpers nur die beiden Primideale ${\mathfrak {q}}$, ${\mathfrak {r}}$ enthält. Nach Hilfssatz 35 (S. 312) gibt es daher in $k({\sqrt[{l}]{\varkappa \varrho ^{e}}},\zeta )$ höchstens $l$ Geschlechter. Das Primideal ${\mathfrak {r}}$ ist die $l$-te Potenz eines Primideals ${\mathfrak {R}}$ in $k({\sqrt[{l}]{\varkappa \varrho ^{e}}},\zeta )$. Die beiden Charaktere von ${\mathfrak {R}}$ in diesem Körper sind
* $\left\{{\frac {\varrho ,\varkappa \varrho ^{e}}{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {\mathfrak {r}}{\mathfrak {q}}}\right\},$ $\left\{{\frac {\varrho ,\varkappa \varrho ^{e}}{\mathfrak {r}}}\right\}=\left\{{\frac {\varkappa }{\mathfrak {r}}}\right\}^{-1}=\left\{{\frac {\mathfrak {q}}{\mathfrak {r}}}\right\}^{-1},$
und hieraus ergeben sich die Charaktere von ${\mathfrak {R}}^{2}$, ${\mathfrak {R}}^{3}$, …, ${\mathfrak {R}}^{l}$. Wegen (171) bestimmen die $l$ Ideale ${\mathfrak {R}}$, ${\mathfrak {R}}^{2}$,…, ${\mathfrak {R}}^{l}$ $l$ verschiedene Geschlechter, und wegen der nämlichen Formel (171) ist zugleich für dieselben stets das Produkt ihrer beiden Charaktere gleich $1$. Die letztere Tatsache gilt folglich für jedes beliebige Ideal in $k({\sqrt[{l}]{\varkappa \varrho ^{e}}},\zeta )$. Da $\left\{{\frac {\varkappa \varrho ^{e}}{\mathfrak {\bar {q}}}}\right\}=1$ ist, so wird ${\bar {\mathfrak {q}}}$ in $k({\sqrt[{l}]{\varkappa \varrho ^{e}}},\zeta )$ weiter zerlegbar; die Charaktere eines Primfaktors von ${\bar {\mathfrak {q}}}$ sind
* $\left\{{\frac {{\bar {\varkappa }},\varkappa \varrho ^{e}}{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {\bar {\varkappa }}{\mathfrak {q}}}\right\}$, $\left\{{\frac {{\bar {\varkappa }},\varkappa \varrho ^{e}}{\mathfrak {r}}}\right\}=\left\{{\frac {\bar {\varkappa }}{\mathfrak {r}}}\right\}^{e}$,
und es ist daher das Produkt $\left\{{\frac {\bar {\varkappa }}{\mathfrak {q}}}\right\}\left\{{\frac {\bar {\varkappa }}{\mathfrak {r}}}\right\}^{e}=1$. Da andererseits
* $\left\{{\frac {\varkappa \varrho ^{e}}{\bar {\mathfrak {q}}}}\right\}=\left\{{\frac {\mathfrak {q}}{\bar {\mathfrak {q}}}}\right\}\left\{{\frac {\mathfrak {r}}{\bar {\mathfrak {q}}}}\right\}^{e}=1$
sein soll, so folgt unter Heranziehung von (172) $\left\{{\frac {\bar {\mathfrak {q}}}{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {\mathfrak {q}}{\bar {\mathfrak {q}}}}\right\}$.
Hilfssatz 46. Es sei ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal der ersten Art und ${\mathfrak {q}}$ ein Primideal der zweiten Art in $k(\zeta )$; wenn dann $\left\{{\frac {\mathfrak {p}}{\mathfrak {q}}}\right\}=1$ ausfällt, so wird auch $\left\{{\frac {\mathfrak {q}}{\mathfrak {p}}}\right\}=1$.
Beweis. Es seien $\pi$, $\varkappa$ Primärzahlen bez. von ${\mathfrak {p}}$, ${\mathfrak {q}}$. Wir nehmen an, es wäre $\left\{{\frac {\mathfrak {q}}{\mathfrak {p}}}\right\}\neq 1$. Nach Satz 152 (S. 276) gibt es ein von ${\mathfrak {p}}$ und ${\mathfrak {q}}$ verschiedenes Primideal ${\mathfrak {r}}$, für welches
| $\left\{{\frac {\pi }{\mathfrak {r}}}\right\}\neq 1$, $\left\{{\frac {\varkappa }{\mathfrak {r}}}\right\}\neq 1$, | (173) |
| $\left\{{\frac {\zeta }{\mathfrak {r}}}\right\}=1$, $\left\{{\frac {\varepsilon _{1}}{\mathfrak {r}}}\right\}=1$, …, $\left\{{\frac {\varepsilon _{l^{*}}}{\mathfrak {r}}}\right\}=1$ | (174) |
ausfällt, wo $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{l^{*}}$ die in § 166 bestimmten und dort mit $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{l^{*}}^{(l^{*}-1)}$ bezeichneten Einheiten sind. Wegen (174) ist ${\mathfrak {r}}$ ein Primideal zweiter Art. Bedeutet $\varrho$ eine Primärzahl von ${\mathfrak {r}}$, so fällt $\left\{{\frac {\varrho }{\mathfrak {p}}}\right\}\neq 1$ aus; denn aus $\left\{{\frac {\varrho }{\mathfrak {p}}}\right\}=1$ würde nach Hilfssatz 44 (S. 340) $\left\{{\frac {\pi }{\mathfrak {r}}}\right\}=1$ folgen, was der ersten Gleichung in (173) widerspräche. Wir können daher eine Potenz $\varrho ^{e}$ von $\varrho$ bestimmen derart, daß $\left\{{\frac {\varkappa \varrho ^{e}}{\mathfrak {p}}}\right\}=1$ wird.
Da ${\mathfrak {r}}$, ${\mathfrak {q}}$ Primideale zweiter Art sind, so folgt mit Rücksicht auf Hilfssatz 43 (S. 337) nach Satz 148 (S. 251), daß die Relativdiskriminante des Körpers $k({\sqrt[{l}]{\varkappa \varrho ^{e}}},\zeta )$ nur die beiden Primideale ${\mathfrak {q}}$, ${\mathfrak {r}}$ als Faktoren enthält. Nun ist nach (173) $\left\{{\frac {\varkappa }{\mathfrak {r}}}\right\}\neq 1$ und nach Hilfssatz 45 (S. 340)
* $\left\{{\frac {\varkappa }{\mathfrak {r}}}\right\}=\left\{{\frac {\mathfrak {q}}{\mathfrak {r}}}\right\}=\left\{{\frac {\mathfrak {r}}{\mathfrak {q}}}\right\}$,
$k({\sqrt[{l}]{\varkappa \varrho ^{e}}},\zeta )$
$1$
$\left\{{\frac {\varkappa \varrho ^{e}}{\mathfrak {p}}}\right\}=1$
${\mathfrak {p}}$
$k({\sqrt[{l}]{\varkappa \varrho ^{e}}},\zeta )$
${\mathfrak {p}}$
* $\left\{{\frac {\pi ,\varkappa \varrho ^{e}}{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {\mathfrak {p}}{\mathfrak {q}}}\right\}$, $\left\{{\frac {\pi ,\varkappa \varrho ^{e}}{\mathfrak {r}}}\right\}=\left\{{\frac {\pi }{\mathfrak {r}}}\right\}^{e}$.
Da der erste Charakter nach Voraussetzung gleich $1$ ist, so würde nach dem eben Bewiesenen auch $\left\{{\frac {\pi }{\mathfrak {r}}}\right\}=1$ folgen, was nach (173) nicht zutrifft. Dadurch ist unsere Annahme $\left\{{\frac {\mathfrak {q}}{\mathfrak {p}}}\right\}\neq 1$ widerlegt.
Hilfssatz 47. Wenn ${\mathfrak {q}}$ ein Primideal zweiter Art und ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal erster Art ist, so folgt stets $\left\{{\frac {\mathfrak {q}}{\mathfrak {p}}}\right\}=\left\{{\frac {\mathfrak {p}}{\mathfrak {q}}}\right\}$.
Beweis. Wir verfahren genau wie im Beweise des Hilfssatzes 45, indem wir statt des Primideals ${\overline {\mathfrak {q}}}$ nunmehr das Primideal ${\mathfrak {p}}$ einsetzen und demgemäß im Verlauf des Beweises behufs Ableitung der (172) entsprechenden Beziehung statt des Hilfssatzes 44 den Hilfssatz 46 heranziehen.
$\prod '\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}$
${\mathfrak {w}}$
${\mathfrak {l}}$
Wir sind nunmehr imstande, den folgenden Hilfssatz abzuleiten:
Hilfssatz 48. Wenn $\nu$, $\mu$ zu ${\mathfrak {l}}$ prime ganze Zahlen sind und überdies $\mu$ der $l$-ten Potenz einer ganzen Zahl in $k(\zeta )$ nach ${\mathfrak {l}}^{l}$ kongruent wird, so ist stets
* $\prod _{({\mathfrak {w}})}'\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}=1$,
wo das Produkt über alle von ${\mathfrak {l}}$ verschiedenen Primideale ${\mathfrak {w}}$ in $k(\zeta )$ erstreckt werden soll.
Beweis. Unter der über $\mu$ gemachten Voraussetzung können wir offenbar $\mu$ gleich einem Produkt aus lauter Primärzahlen von Primidealen, dividiert durch die $l$-te Potenz einer ganzen Zahl in $k(\zeta )$, setzen. Ist $\nu$ insbesondere gleich einer Primärzahl $\varkappa$ eines Primideals ${\mathfrak {q}}$ zweiter Art, so folgt alsdann die Richtigkeit der Behauptung sofort aus den Hilfssätzen 45 und 47, d. h. es ist unter der über $\mu$ gemachten Voraussetzung stets
| $\prod _{({\mathfrak {w}})}'\left\{{\frac {\varkappa ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}=1.$ | (175) |
Nunmehr betrachten wir den Kummerschen Körper $k({\sqrt[{l}]{\mu }},\zeta )$. Wenn $r$ die Anzahl der Charaktere bezeichnet, die das Geschlecht einer Klasse in diesem Körper bestimmen, so gibt es nach Hilfssatz 35 (S. 312) höchstens $l^{r-1}$ Geschlechter in diesem Körper. Sind nun $\gamma _{1}$, …, $\gamma _{r}$ irgend $r$ solche $l$-te Einheitswurzeln, deren Produkt gleich $1$ ist, so können wir genau wie beim Beweise des Satzes 164 (S. 329) nachweisen, daß es stets Ideale in $k({\sqrt[{l}]{\mu }},\zeta )$ gibt, deren Charaktere mit $\gamma _{1}$, …, $\gamma _{r}$ übereinstimmen. Dabei ist nur zu den Bedingungen (155), (156), denen das dort mit ${\mathfrak {p}}$ bezeichnete Primideal genügen soll, noch das Bedingungssystem
* $\left\{{\frac {\zeta }{\mathfrak {p}}}\right\}=1,$ $\left\{{\frac {\varepsilon _{1}}{\mathfrak {p}}}\right\}=1,\ldots ,\left\{{\frac {\varepsilon _{l^{*}}}{\mathfrak {p}}}\right\}=1$
hinzuzunehmen, wo $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{l^{*}}$ die in §166 bestimmten und dort mit $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{l^{*}}^{(l^{*}-1)}$ bezeichneten Einheiten sind. Auf diese Weise wird nämlich erreicht, daß ${\mathfrak {p}}$ obenein noch ein Primideal zweiter Art wird, und wegen dieses Umstandes dürfen wir mit Rücksicht auf die Hilfssätze 45 und 47 das Reziprozitätsgesetz in der nämlichen Weise anwenden, wie dies beim Beweise des Satzes 164 geschehen ist. Statt des dort benutzten Satzes 163 ziehen wir hier die Formel (175) heran. Zugleich folgt, daß in $k({\sqrt[{l}]{\mu }},\zeta )$ wirklich $l^{r-1}$ Geschlechter vorhanden sind, und damit zugleich, daß für jedes derselben das Produkt der $r$ Charaktere stets gleich $1$ sein muß. Diese Tatsache bringen wir nun zur Anwendung, um den Hilfssatz 48 für den Fall zu beweisen, daß $\nu$ eine Einheit ist, und weiter für den Fall, daß $\nu$ eine Primärzahl eines Primideals erster Art ist.
Es seien wiederum $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{l^{*}}$, die soeben erwähnten $l^{*}$ Einheiten; ferner ${\mathfrak {l}}_{1}$, …, ${\mathfrak {l}}_{t}$, wie in § 149, die $t$ in der Relativdiskriminante von $k({\sqrt[{l}]{\mu }},\zeta )$ aufgehenden verschiedenen Primideale, und es mögen darunter ${\mathfrak {l}}_{t}$, ${\mathfrak {l}}_{t-1}$, …, ${\mathfrak {l}}_{r+1}$ wie in § 149 ausgewählt sein; ferner seien $\lambda _{r+1}$, …, $\lambda _{t}$ Primärzahlen bez. von ${\mathfrak {l}}_{r+1}$, …, ${\mathfrak {l}}_{t}$; endlich sei $\xi$ eine beliebige Einheit in $k(\zeta )$. Nach Satz 152 (S. 276) gibt es ein Primideal ${\mathfrak {q}}$, für welches bei einem gewissen zu $l$ primen Exponenten $m$
| $\left\{{\frac {\zeta }{\mathfrak {q}}}\right\}=1,$ $\left\{{\frac {\varepsilon _{1}}{\mathfrak {q}}}\right\}=1,\ldots ,\left\{{\frac {\varepsilon _{l^{*}}}{\mathfrak {q}}}\right\}=1$, $\left\{{\frac {\mu }{\mathfrak {q}}}\right\}=1,$ | (176) |
| $\left\{{\frac {\lambda _{r+1}}{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {\xi }{{\mathfrak {l}}_{r+1}}}\right\}^{m}$, $\left\{{\frac {\lambda _{r+2}}{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {\xi }{{\mathfrak {l}}_{r+2}}}\right\}^{m},\ldots ,\left\{{\frac {\lambda _{t}}{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {\xi }{{\mathfrak {l}}_{t}}}\right\}^{m}$ | (177) |
wird. Es sei $\varkappa$ eine Primärzahl von ${\mathfrak {q}}$. Wegen der Gleichung $\left\{{\frac {\mu }{\mathfrak {q}}}\right\}=1$ zerfällt ${\mathfrak {q}}$ im Körper $k({\sqrt[{l}]{\mu }},\zeta )$, und wegen der übrigen Gleichungen (176) ist ${\mathfrak {q}}$ ein Primideal zweiter Art. Die $r$ Charaktere eines Primfaktors von ${\mathfrak {q}}$ haben, da, wie man aus (177) und durch die Hilfssätze 45 und 47 erkennt,
| $\left\{{\frac {\xi ^{-m}\varkappa ,\mu }{{\mathfrak {l}}_{r+1}}}\right\}=1,\ldots ,\left\{{\frac {\xi ^{-m}\varkappa ,\mu }{{\mathfrak {l}}_{t}}}\right\}=1$ | (178) |
ist, folgende Werte:
* $\left\{{\frac {\xi ^{-m}\varkappa ,\mu }{{\mathfrak {l}}_{1}}}\right\}$, $\left\{{\frac {\xi ^{-m}\varkappa ,\mu }{{\mathfrak {l}}_{2}}}\right\},\ldots ,\left\{{\frac {\xi ^{-m}\varkappa ,\mu }{{\mathfrak {l}}_{r}}}\right\}$.
$1$
* $\prod _{({\mathfrak {w}})}'\left\{{\frac {\xi ^{-m}\varkappa ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}=1$,
wo das Produkt über alle von ${\mathfrak {l}}$ verschiedenen Primideale ${\mathfrak {w}}$ zu erstrecken ist; daraus folgt dann weiter mit Hilfe von (175)
| $\prod _{({\mathfrak {w}})}'\left\{{\frac {\xi ^{-m},\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}=1$ d. h. $\prod _{({\mathfrak {w}})}'\left\{{\frac {\xi ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}=1$; | (179) |
der Hilfssatz 48 gilt also auch in dem Falle, daß $\nu$ eine beliebige Einheit in $k(\zeta )$ vorstellt.
Nunmehr sei ${\mathfrak {p}}$ irgendein Primideal der ersten Art, welches die Bedingung $\left\{{\frac {\mu }{\mathfrak {p}}}\right\}=1$ erfüllt und folglich in $k({\sqrt[{l}]{\mu }},\zeta )$ zerlegbar ist. Die $r$ Charaktere eines beliebigen Primfaktors von ${\mathfrak {p}}$ sind, wenn $\pi$ eine Primärzahl von ${\mathfrak {p}}$ und $\xi$ eine geeignete Einheit in $k(\zeta )$ bedeutet,
* $\left\{{\frac {\xi \pi ,\mu }{{\mathfrak {l}}_{1}}}\right\}$, $\left\{{\frac {\xi \pi ,\mu }{{\mathfrak {l}}_{2}}}\right\},\ldots ,\left\{{\frac {\xi \pi ,\mu }{{\mathfrak {l}}_{r}}}\right\}$.
Da das Produkt derselben gleich $1$ sein muß, so folgt wie vorhin:
* $\prod _{({\mathfrak {w}})}'\left\{{\frac {\xi \pi ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}=1$
und hieraus wegen (179):
* $\prod _{({\mathfrak {w}})}'\left\{{\frac {\pi ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}=1$.
Ist endlich ${\mathfrak {p}}$ ein solches, zu $\mu$ primes Primideal erster Art, für welches $\left\{{\frac {\mu }{\mathfrak {p}}}\right\}\neq 1$ ist, so bestimme man ein Primideal zweiter Art ${\mathfrak {q}}$ derart, daß $\left\{{\frac {\mathfrak {p}}{\mathfrak {q}}}\right\}\neq 1$ ist; dann ist nach Hilfssatz 44 auch $\left\{{\frac {\mathfrak {q}}{\mathfrak {p}}}\right\}\neq 1$. Bedeutet $\varkappa$ eine Primärzahl von ${\mathfrak {q}}$ und $\varkappa ^{e}$ eine solche Potenz von $\varkappa$, daß $\left\{{\frac {\mu \varkappa ^{e}}{\mathfrak {p}}}\right\}=1$ wird, so ist nach dem soeben Bewiesenen
* $\prod _{({\mathfrak {w}})}'\left\{{\frac {\pi ,\mu \varkappa ^{e}}{\mathfrak {w}}}\right\}=1$,
und da auf Grund des Hilfssatzes 47 auch
* $\prod _{({\mathfrak {w}})}'\left\{{\frac {\pi ,\varkappa }{\mathfrak {w}}}\right\}=\left\{{\frac {\mathfrak {q}}{\mathfrak {p}}}\right\}^{-1}\left\{{\frac {\mathfrak {p}}{\mathfrak {q}}}\right\}=1$
ausfällt, so folgt weiter
| $\prod _{({\mathfrak {w}})}'\left\{{\frac {\pi ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}=1$; | (180) |
$\nu$
$\{\nu ,\mu \}$
Wir gelangen jetzt in überraschend einfacher Weise zu der am Anfang dieses Kapitels in Aussicht gestellten neuen Begründung der Theorie des regulären Kummerschen Körpers. Setzen wir, wenn $\nu$ und $\mu$ ganze Zahlen in $k(\zeta )$ bedeuten,
| $\{\nu ,\mu \}=\left(\prod _{({\mathfrak {w}})}'\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}\right)^{-1}$, | (181) |
wo das Produkt $\prod _{({\mathfrak {w}})}'$ wiederum über alle von ${\mathfrak {l}}$ verschiedenen Primideale ${\mathfrak {w}}$ in $k(\zeta )$ zu erstrecken ist, so stellt das Symbol $\{\nu ,\mu \}$ eine $l$-te Einheitswurzel dar, die durch die Zahlen $\nu ,\mu$ völlig bestimmt ist, und es folgen aus (80) (S. 265) sofort die Formeln
| $\left.{\begin{aligned}\{\nu _{1}\nu _{2},\mu \}=\{\nu _{1},\mu \}\{\nu _{2},\mu \}&,\\\{\nu ,\mu _{1}\mu _{2}\}=\{\nu ,\mu _{1}\}\{\nu ,\mu _{2}\}&,\\\{\nu ,\mu \}\{\mu ,\nu \}=1&,\end{aligned}}\right\$ | (182) |
in denen $\nu$, $\nu _{1}$, $\nu _{2}$, $\mu$, $\mu _{1}$, $\mu _{2}$ beliebige ganze Zahlen in $k(\zeta )$ bedeuten. Bezeichnet ferner $r$ eine Primitivzahl nach $l$ und $s=(\zeta :\zeta ^{r})$ die betreffende Substitution der Gruppe von $k(\zeta )$, so folgt
| $\{s\nu ,s\mu \}=\{\nu ,\mu \}^{r}$. | (183) |
Ferner ergibt sich die Tatsache:
Hilfssatz 49. Wenn $\nu$, $\mu$ zwei primäre Zahlen des Körpers $k(\zeta )$ sind, so hat das Symbol $\{\nu ,\mu \}$ stets den Wert $1$.
Beweis. Zunächst folgt, wenn $a$ irgendeine ganze rationale, zu $l$ und zu $\nu$ prime Zahl ist, mit Rücksicht auf Satz 140 (S. 231) die Gleichung
| $\{\nu ,a\}=\left\{{\frac {\nu }{a}}\right\}^{-1}\left\{{\frac {a}{\nu }}\right\}=1$. | (184) |
Da $\mu$ eine primäre Zahl sein soll, so ist $\mu \cdot s^{\frac {l-1}{2}}\mu$ einer ganzen rationalen Zahl nach ${\mathfrak {l}}^{l-1}$ kongruent. Infolgedessen können wir dann auch nach ${\mathfrak {l}}^{l}$ eine ganze rationale Zahl $a$ bestimmen, derart, daß die Kongruenz
* $a\cdot \mu \cdot s^{\frac {l-1}{2}}\mu \equiv 1$, $({\mathfrak {l}}^{l})$
besteht, und außerdem wieder $a$ prim zu $\nu$ wählen. Nun ergibt sich bei Anwendung des Hilfssatzes 48
* $\{\nu ,a\}\{\nu ,\mu \}\{\nu ,s^{\frac {l-1}{2}}\mu \}=\{\nu ,a\cdot \mu \cdot s^{\frac {l-1}{2}}\mu \}=1$,
und folglich wird wegen (184) auch
* $\{\nu ,\mu \}\{\nu ,s^{\frac {l-1}{2}}\mu \}=1$.
* $\{\nu ,s^{\frac {l-1}{2}}\mu \}\{s^{\frac {l-1}{2}}\nu ,s^{\frac {l-1}{2}}\mu \}=1$.
Aus Formel (183) ergibt sich ferner
* $\{\nu ,\mu \}\{s^{\frac {l-1}{2}}\nu ,s^{\frac {l-1}{2}}\mu \}=1$.
Die drei letzten Gleichungen zusammengenommen liefern
* $\{\nu ,\mu \}^{2}=1$, d. h. $\{\nu ,\mu \}=1$,
und damit ist der Hilfssatz 49 bewiesen.
Wählen wir insbesondere $\nu$, $\mu$ als Primärzahlen von zwei beliebigen Primidealen ${\mathfrak {p}}$, ${\mathfrak {q}}$ in $k(\zeta )$, so ist die Aussage des Hilfssatzes 49 mit dem allgemeinen Reziprozitätsgesetze 161 (S. 312) für diese Primideale ${\mathfrak {p}}$, ${\mathfrak {q}}$ gleichbedeutend.
$\{\nu ,\mu \}$
$\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}$
Wir schließen aus Satz 151 (S. 272), wobei nur der Fall ${\mathfrak {w}}\neq {\mathfrak {l}}$ dieses Satzes zur Anwendung kommt, daß $\{\nu ,\mu \}$ stets den Wert $1$ besitzt, sobald $\nu$ die Relativnorm einer ganzen Zahl des Körpers $k({\sqrt[{l}]{\mu }},\zeta )$ ist; und endlich gelingt jetzt auch der Nachweis dafür, daß $\{\alpha ,\mu \}$ stets den Wert $1$ hat, sobald die ganze Zahl $\alpha$ Normenrest des Körpers $k({\sqrt[{l}]{\mu }},\zeta )$ nach ${\mathfrak {l}}$ ist. In der Tat, nehmen wir der Kürze wegen an, daß beide Zahlen $\alpha$, $\mu$ zu ${\mathfrak {l}}$ prim sind, und setzen wir $\alpha \equiv N_{k}({\mathsf {A}})$ nach ${\mathfrak {l}}^{l}$, wo $N_{k}({\mathsf {A}})$ die Relativnorm einer ganzen Zahl ${\mathsf {A}}$ in $k({\sqrt[{l}]{\mu }},\zeta )$ bedeuten soll, so ist die Zahl $\alpha \cdot {\bigN_{k}({\mathsf {A}}){\big )}^{l-1}$ offenbar der $l$-ten Potenz einer ganzen Zahl nach ${\mathfrak {l}}^{l}$ kongruent; daher wird unter Benutzung der Formeln (182) sowie mit Rücksicht auf die vorausgeschickten Bemerkungen und den Hilfssatz 48:
* $\{\alpha \cdot {\bigN_{k}({\mathsf {A}}){\big )}^{l-1},\mu \}=\{\alpha ,\mu \}\{N_{k}({\mathsf {A}}),\mu \}^{l-1}=\{\alpha ,\mu \}=1$,
wie behauptet wurde. Wenn eine der Zahlen $\alpha$, $\mu$ oder beide durch ${\mathfrak {l}}$ teilbar sind, so gelingt der Nachweis dieser Formel ebenfalls ohne Mühe vermöge der nämlichen Hilfsmittel.
Ist $\mu$ eine ganze, zu ${\mathfrak {l}}$ prime Zahl in $k(\zeta )$, so folgt aus (181) leicht die Gleichung
* $\{\zeta ,\mu \}=\zeta ^{\frac {1-n(\mu )}{l}}$;
demnach erfüllt der Ausdruck $\{\nu ,\mu \}$ sämtliche Forderungen, die für das Symbol $\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}$ am Schluß des § 133 aufgestellt worden sind; es ist somit, wenn wir die dort auf S. 274 unten angegebene Definition des Symbols $\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}$ zugrunde legen,
* $\{\nu ,\mu \}=\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}$;
in dieser Gleichung erkennen wir dann den Satz 163 (S. 328) wieder.
Sind insbesondere die beiden Zahlen $\nu$, $\mu$ zu ${\mathfrak {l}}$ prim und ${\bar {\nu }}$, ${\bar {\mu }}$ ganze Zahlen in $k(\zeta )$, die mit den ersteren durch die Kongruenzen
* $\nu \equiv {\bar {\nu }}$, $\mu \equiv {\bar {\mu }}$, $({\mathfrak {l}}^{l})$
verknüpft sind, so erhalten wir durch Benutzung des Hilfssatzes 48 leicht
* $\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}=\left\{{\frac {{\bar {\nu }},{\bar {\mu }}}{\mathfrak {l}}}\right\}.$
Hieraus und in Ansehung der Formeln (182) entnehmen wir folgende Tatsache: Wenn die beiden Zahlen $\nu$, $\mu$ zu ${\mathfrak {l}}$ prim sind und
* ${\begin{aligned}\nu &\equiv a^{l}(1+\lambda )^{n_{1}}(1+\lambda ^{2})^{n_{2}}\cdots (1+\lambda ^{l-1})^{n_{l-1}},\qquad ({\mathfrak {l}}^{l}),\\\mu &\equiv b^{l}(1+\lambda )^{m_{1}}(1+\lambda ^{2})^{m_{2}}\cdots (1+\lambda ^{l-1})^{m_{l-1}},\qquad ({\mathfrak {l}}^{l})\end{aligned}}$
gesetzt wird, wo $a$, $b$ und die Exponenten
* $n_{1}$, $n_{2}$, …, $n_{l-1}$; $m_{1}$, $m_{2}$, …, $m_{l-1}$
ganze rationale Zahlen sind, so besteht eine Gleichung von der Gestalt
* $\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}=\zeta ^{L(n_{1},\ldots ,n_{l-1};m_{1},\ldots ,m_{l-1})};$
dabei ist $L$ eine homogene bilineare Funktion der beiden Reihen von Veränderlichen $n_{1},\ldots ,n_{l-1};m_{1},\ldots ,m_{l-1}$, und die Koeffizienten von $L$ sind ganze rationale Zahlen, die nur von der Primzahl $l$ abhängen, und die man bei gegebenem Werte der Primzahl $l$ etwa durch besondere Annahmen der Zahlen $\nu$, $\mu$ leicht berechnen kann.
Nachdem nun das Symbol $\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}$ definiert und seine wichtigsten Eigenschaften abgeleitet worden sind, dürfen wir die in diesem Kapitel bisher festgehaltene Einschränkung auf Kummersche Körper mit einer zu ${\mathfrak {l}}$ primen Relativdiskriminante fallen lassen; es gelangen dann, genau wie oben, die Sätze 164 (S. 329), 165 (S. 331), 166 (S. 332) und vor allem der Fundamentalsatz 167 (S. 332) zum Nachweise. Mit Hilfe dieses Satzes 167 und geeigneter Benutzung des Satzes 152 (S. 276) läßt sich dann auch zeigen, daß, wenn $\nu ,\mu$ zwei beliebige ganze Zahlen in $k(\zeta )$ mit der Eigenschaft $\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}=1$ sind und $\mu$ nicht gleich der $l$-ten Potenz einer ganzen Zahl in $k(\zeta )$ ausfällt, die Zahl $\nu$ stets Normenrest des Kummerschen Körpers $k({\sqrt[{l}]{\mu }},\zeta )$ nach ${\mathfrak {l}}$ sein muß. Damit ist dann der Satz 151 (S. 272) für den Fall ${\mathfrak {w}}={\mathfrak {l}}$ nachträglich als richtig erkannt, und es folgt hieraus auch die Gültigkeit des Satzes 150 (S. 257) für ${\mathfrak {w}}={\mathfrak {l}}$. Bei der hier dargelegten Begründungsart der Theorie des Kummerschen Körpers erscheinen also die Sätze 150 und 151 für ${\mathfrak {w}}={\mathfrak {l}}$ im Gegensatz zu dem früheren Aufbau als die Schlußsteine des ganzen Gebäudes.
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