# Die orthographische Parallelperspective

Textdaten :
| Autor: | Rudolf Skuherský |
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| Titel: | Die orthographische Parallelperspective |
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| aus: | Sitzungsberichte der kaiserlichen Akademie der Wissenschaften. Mathematisch-naturwissenschaftliche Classe. Band 5, S. 326–343. |
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| Erscheinungsdatum: | 1850 |
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| Erscheinungsort: | Wien |
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[326] Herr Rudolph Skuherský überreichte die nachstehende Abhandlung und theilte deren Inhalt im freien Vortrage mit: „Die orthographische Parallelperspective.“ Taf. VII.
§. 1. Die Lage eines Punctes im Raume ist vollkommen bestimmt, wenn man seine Abstände von drei coordinirten Ebenen kennt.
In den Elementen der analitischen und darstellenden Geometrie wird, wie bekannt, auch gezeigt, dass die Lage der Coordinaten-Ebenen gegen einander willkürlich ist, und dass die Lage eines Punktes im Raume auch noch anders fixirt werden könne; doch sollen in diesen Entwicklungen die Coordinaten-Ebenen [327] stets senkrecht auf einander angenommen werden und nur von rechtwinklichten Coordinaten die Rede sein. In der darstellenden Geometrie handelt es sich auch selten um die absolute Lage der verschiedenen Objecte.
Der Hauptzweck dieser Wissenschaft ist: treue Darstellung der mannigfaltigsten Formen in ihren verschiedenen Combinationen, und daher die genaue Bestimmung der relativen Lage einzelner Puncte unter verschiedenen Umständen ihre Hauptaufgabe.
§. 2. Wenn ein System (Complex) von Puncten gegen 3 coordinirte Ebenen fixirt ist, so wird an dem Zusammenhange der Puncte nichts geändert, ob man die Coordinaten derselben auf ein Coordinaten-System bezieht, das mehr oder weniger vor-, hinter- oder seitwärts anderer fixer Puncte gelegen ist. Ein Object sei nun durch seine orthogonalen Projectionen auf $xy,xz,yz$ bestimmt. Man lasse die horizontale Projections-Ebene $xy$ ungeändert, und verändere die Lage der zwei Vertical-Ebenen $xz$ und $yz$ gegen das Object.
Will man nun diess Object gegen das neue Coordinaten-System feststellen, so hat man zwar dieselben $z$ aber die $x$ und $y$ der verschiedenen Puncte haben sich geändert und sind als die Abstände der einzelnen Puncte von den neuen Vertical-Ebenen $x'z'$ und $y'z'$ annoch zu bestimmen.
Mittelst der neuen Coordinaten ist nun das Object in Bezug auf relative Lage der einzelnen Puncte vollkommen bestimmt, und das weiter zu entwickelnde Verfahren beruht auf dem Principe, durch eine ähnliche Transformation der Coordinaten oder in der Sprache der darstellenden Geometrie, — durch die Veränderung der Lage der Projections-Ebenen oder der Bildfläche gegen das darzustellende Object ein nach Verlangen nettes und correctes Bild desselben, welches zugleich das Abnehmen der Dimensionen gestattet, mit geringer Mühe zu erhalten.
§. 3. Die Operation selbst reducirt sich darauf, die verticale Projection irgend eines Gegenstandes bei einer gegebenen Lage im Raume zu bestimmen.
[328]
§. 4. Das Eigenthümliche dieser Operation zeigt sich in ihrer Anwendung, die vorzugsweise in Folgendem besteht:
* Ein perspectivartiges Bild von irgend einem Gegenstande, dessen orthogonale Projectionen gegeben sind, mit jener Freiheit zu construiren, dass, ebenso wie in der Perspective, der Effect des Bildes von der Stellung des Auges gegen den abzubildenden Gegenstand und die Bildfläche abhängt, — auch hier der Ausdruck des Bildes ganz in der Macht des Constructeurs ist, ohne dass die Construction des Bildes selbst an Einfachheit verlieren sollte. Viele Schwierigkeiten, die der Perspective den Eingang beim Techniker, namentlich in der Construction jener Zeichnungen, nach denen unmittelbar ein Object ausgeführt werden soll, versagten, fallen hier ganz weg, und man kann in so erzeugten Bildern die Abweichung von dem Character eines perspectivischen in vielen Fällen zwischen sehr nahe Gränzen schliessen.
* Wird man im Stande sein, den Riss von einem Gegenstande, dessen Dimensionen bekannt sind, unmittelbar als ein perspectivartiges Bild zu construiren, ohne vorerst die orthogonalen Projectionen des Gegenstandes bestimmen zu müssen. In der Perspective ist diess wohl auch möglich, aber mit welchen Schwierigkeiten hat nicht der geschickte Professionist zu kämpfen, wenn er nach einer perspectivischen Zeichnung selbst den einfachsten Gegenstand ausführen soll. Hier jedoch wird er mit Leichtigkeit jede Dimension bestimmen können.
* Wird es möglich sein, den Körper und Schlagschatten irgend eines Gegenstandes bei einer gegebenen Beleuchtung unmittelbar in der perspectivartigen Zeichnung ganz unabhängig von den orthogonalen Projectionen zu bestimmen.
Die Bestimmung dieses Schattens ist in den meisten Fällen einfacher als die Bestimmung desselben in den orthogonalen Projectionen, und man ist der Mühe, den Schatten aus der orthogonalen Projection in die perspectivartige zu übertragen, ganz enthoben.
Der Sachverständige wird zu beurtheilen wissen, welche Schwierigkeiten man zu überwinden hat, um in der Perspective [329] bei einem nur etwas complicirten Falle den Schatten unabhängig von den orthogonalen Projectionen zu bestimmen.
Für den Techniker muss in allen diesen Puncten die Methode der reinen Perspective gegen diese der Parallel-Perspective zur Seite stehen, dagegen muss die Natürlichkeit und oft auffallende Täuschung durch die sich rein perspectivische Bilder vor jeder andern Darstellungsweise auszeichnen, besonders berücksichtigt werden, und es steht so in der Macht des Constructeurs, je nach dem Zweck der auszuführenden Zeichnung, auf Kosten dieser Vortheile jene zu opfern, diesen oder andern nach Umständen den Vorrang zu geben.
Mit Vortheil kann man diese Methode auf die Bestimmung der Mohs’schen Projection bei der Darstellung der verschiedenen Krystallfiguren anwenden. Eben so soll gezeigt werden, dass sich die verschiedenen Constructions-Arten der tri-, di- und isometrischen Projection, je nachdem man zur Bestimmung derselben ein oder mehrere Maasstäbe gebraucht hat, auf eine einzige reduciren.
Die isometrische Projection hat vor den übrigen Projectionsarten den schätzbaren Vorzug der Einfachheit für sich, doch wieder den unläugbaren Nachtheil, dass so erzeugte Bilden in vielen Fällen ein ungefälliges, grösstentheils unnatürliches Aussehen bekommen, und zwar in dem Grade als die Ausdehnung der horizontalen Flächen des darzustellenden Gegenstandes zunimmt.
Ueber eine gewisse Grenze hinaus ist dieselbe ganz unanwendbar.
Die tri- und dimetrische Projection liefern zwar ein gefälligeres Bild, doch hält ihnen wegen ihrer äusserst mühsamen Construction die isometrische Projection für die Anwendung das Uebergewicht.
Einen ähnlichen Vergleich kann man auch mit der sogenannten Cavalier-Perspective machen. Diese ist bekanntlich nichts Anderes als eine schiefe Projection, und findet weniger Anwendung als die isometrische Projection; bei nicht gehöriger Vorsicht erscheinen einzelne Theile des dargestellten Gegenstandes öfters als Zerrbild, wie diess überhaupt aus dem Wesen einer schiefen Projection klar ist.
[330] Die zu entwickelnde Methode soll Beides vereinen, das Einfache der isometrischen und das Gefällige der tri- und dimetrischen Projection. Nach der gewöhnlichen Methode der isometrischen Projection erhält man das Bild des in orthogonalen Projectionen bestimmten Gegenstandes in einem vergrösserten Maasstabe, und will man das Verhältniss der Dimensions-Aenderung 89:109 berücksichtigen, so ist die Construction eines isometrischen Bildes schon weit mühsamer. Bei der fraglichen Methode fällt dieser Umstand ganz weg, sie kann mit Recht eine Parallel-Perspective genannt werden, denn sie vereint alle möglichen Arten einer perspectivartigen orthographischen Projection in sich; das Constructions-Verfahren für dieselbe bleibt sich stets ein ganz gleiches und ist in jedem Falle noch einfacher als das der isometrischen Projection. Durch die Unmöglichkeit eines Zerrbildes zeichnet sich diese Methode von der reinen Perspective, wie später gezeigt werden soll, noch besonders aus.

#### Entwicklung der Grundsätze.

§. 5. Es seien die Coordinaten dreier Puncte $a,b,c$ gegeben
* $a\,{\begin{cases}x=4\\y=4\\z=3\end{cases}}\qquad b\,{\begin{cases}x=6\\y=5\\z=4\end{cases}}\qquad c\,{\begin{cases}x=5\\y=3\\z=2\end{cases}}$
Man verändere die Lage der verticalen Projections-Ebene und des Kreuzrisses, doch so, dass dieselben stets senkrecht auf der horizontalen Projections-Ebene bleiben.
Die $z$ der Puncte bleiben dieselben, denn die Lage derselben gegen die horizontale Projections-Ebene wurde nicht geändert, also für
* $a\,{\begin{cases}z'=3\end{cases}}\qquad b\,{\begin{cases}z'=4\end{cases}}\qquad c\,{\begin{cases}z'=2\end{cases}}$
Fig.1. Fig.2.Die $y$ der Puncte werden gemessen durch die Abstände ihrer Horizontalprojectionen von der Axe der $x$, folglich in dem neuen Coordinaten-System von der Axe $A'X'$ (Fig. 1, 2), man erhält demnach für
* $a\,{\begin{cases}y'=\alpha \end{cases}}\qquad b\,{\begin{cases}y'=\beta \end{cases}}\qquad c\,{\begin{cases}y'=\gamma \end{cases}}$.
[331] Die $X$ der Puncte werden gemessen durch die Abstände ihrer Horizontal-Projectionen von der Axe der $Y$, also hier ergibt sich in Bezug auf die Axe $Y'$ für
* $a\,{\begin{cases}x'={\mathfrak {a}}\end{cases}}\qquad b\,{\begin{cases}y'={\mathfrak {b}}\end{cases}}\qquad c\,{\begin{cases}y'={\mathfrak {c}}\end{cases}}$.
$\alpha ,\beta ,\gamma$ sollen die Längen der Puncte genannt werden, sie werden auf der Axe der $y$ gemessen und diese soll der Längen-Maasstab heissen.
${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}},{\mathfrak {c}}$ sollen die Breiten der Puncte genannt werden, sie werden auf der Axe der $X$ gemessen und diese soll der Breiten-Maasstab heissen.
Ganz analog soll die Axe der $Z$ der Höhen-Maasstab heissen, denn dieser zeigt die Höhen der verschiedenen Puncte an.
Es ist klar, dass, wenn aus den Coordinaten
* $a\,{\begin{cases}x=4\\y=4\\z=3\end{cases}}\qquad b\,{\begin{cases}x=6\\y=5\\z=4\end{cases}}\qquad c\,{\begin{cases}x=3\\y=3\\z=2\end{cases}}$
oder aus den Coordinaten
* $a\,{\begin{cases}x'={\mathfrak {a}}\\y'=\alpha \\z'=3\end{cases}}\qquad b\,{\begin{cases}x'={\mathfrak {b}}\\y'=\beta \\z'=4\end{cases}}\qquad c\,{\begin{cases}x'={\mathfrak {c}}\\y'=\gamma \\z'=2\end{cases}}\,\!$
die Horizontal- und Vertical-Projection des Dreiecks construirt wird, die relative Lage der Puncte stets dieselbe bleibt.
Dass man dieselbe Vertical-Projection erhält, ist sehr natürlich, denn man darf nur fragen, welche Coordinaten auf dieselbe einen Einfluss haben! Offenbar nur die Höhen und Breiten der Puncte; diese wurden aber nicht geändert, denn die Grösse $m$, um die alle Breiten kleiner wurden, änderte an der Lage der Dreieckspuncte nichts.
Es wurde hier nichts Anderes als eine einfache Transformation der Coordinaten vorgenommen.
Fig.3. Fig.4.§. 6. Nimmt man die Construction aus den zweiten Coordinaten so vor, dass man zuerst eine Gerade $A'X'$ zieht, von irgend einem Puncte $A'$ derselben die Breiten ${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}},{\mathfrak {c}}$, dann auf den betreffenden Senkrechten der $A'X'$ die Längen $\alpha ,\beta ,\gamma$ aufträgt, ferner in einem beliebigen Abstande eine zu $A'X'$ Parallele $AX$ zieht, diese als die Projections-Axe betrachtet und von ihr aus die [332] Höhen der einzelnen Puncte auftragt, so erhält man ganz dieselben Projectionen, wie aus den Coordinaten des ersten Systems.
§. 7. Nun verändere man die Lage der zwei Vertical-Ebenen ausser der Beschränkung, dass sie stets senkrecht auf der horizontalen Projections-Ebene bleiben, ganz beliebig. Zu diesem Behufe ziehe man in der horizontalen Projections-Ebene, die ihre Lage nicht geändert hat, was immer für zwei aufeinander senkrechte Linien $A'X',A'Y'$, betrachte die eine als die Axe der $X$, die andere als die Axe der $Y$. Von den Horizontal-Projectionen der Puncte fälle man Senkrechte auf die neuen Axen und man erhält als neue Coordinaten für
* $a\,{\begin{cases}x''={\mathfrak {a}}'\\y''=\alpha '\\z''=3\end{cases}}\qquad b\,{\begin{cases}x''={\mathfrak {b}}'\\y''=\beta '\\z''=4\end{cases}}\qquad c\,{\begin{cases}x''={\mathfrak {c}}'\\y''=\gamma '\\z''=2\end{cases}}$
Construirt man aus den so erhaltenen Coordinaten die Projectionen des Dreiecks, aber wieder so, dass man zuerst eine Linie $A'X'$ zieht, auf dieser die Breiten ${\mathfrak {a}}',{\mathfrak {b}}',{\mathfrak {c}}'$, der Puncte aufträgt, auf den entsprechenden Senkrechten die Längen $\alpha ',\beta ',\gamma '$, in einer beliebigen Entfernung eine Parallele zieht, diese als die Projections-Axe $AX$ betrachtet und über ihr wieder die Höhen der betreffenden Puncte aufträgt, so erhält man abermals dasselbe Dreieck aber eine andere Projection, folglich auch eine andere Ansicht desselben. Die Höhen der Puncte bleiben dieselben, weil die horizontale Projections-Ebene in ihrer Lage gegen das Dreieck unverändert blieb, nur andere Breiten und Längen ergaben sich, je nach der Verschiebung der beiden Vertical-Ebenen. Dass an der relativen Lage der Dreiecks-Puncte nichts geändert wurde, bedarf nach der zuvor gegebenen Erklärung keines weitern Beweises, denn es ist im Grunde nichts Anderes als eine Transformation der Coordinaten, oder in der Sprache der darstellenden Geometrie - nur eine horizontale Drehung des Dreiecks gegen die Projections-Ebenen vorgenommen worden. Also diess möge man festhalten, dass durch die Aenderung der Breiten und Längen der einzelnen Puncte, je nach der Annahme neuer Coordinaten-Axen, nichts Anderes als eine horizontale Drehung des Ganzen gegen die Projections-Ebene, [333] d. h. eine andere Seiten-Ansicht des Objectes erzielt wird.
§. 8. Wird bei der Drehung irgend eines Gegenstandes die Drehungs-Axe in der horizontalen Projections-Ebene und parallel zur Projections-Axe $AX$ angenommen, so ändert sich die Grösse einer Linie, welche senkrecht ist, auf der verticalen Projections-Ebene in demselben Verhältnisse, wie der Halbmesser zum Sinus des Drehungswinkels. Ist z. B. der Drehungswinkel 30°, so ist wegen Sinus 30° = ½ das Verhältniss des Halbmessers zum Sinus wie 2:1. Eine Linie also, die senkrecht auf der verticalen Projections-Ebene war und vor der Drehung 2 Theile irgend eines Maasses gemessen hat, wird nach der Drehung in ihrer verticalen Projection nur einen Theil messen.
Eine Linie, die parallel ist zur Projections-Axe, wird bei derselben Annahme der Drehungsaxe ganz unabhängig von dem Drehungswinkel stets ihre wahre Grösse als Maass für ihre verticale Projection behalten.
Eine Linie, die senkrecht ist auf der horizontalen Projections-Ebene, bildet sich in der verticalen Projection in ihrer wahren Grösse ab. Wird nun eine den früheren analoge Drehung vorgenommen, so ändert sich wieder die Grösse der verticalen Projection gegen die wahre Grösse der Linie im Verhältniss des Cosinus des Drehungswinkels. Ist z. B. der Drehungswinkel 36° 45′, so ist wegen Cosinus 36° 45′ = 0·8 das Verhältniss des Cosinus zum Halbmesser wie 4:5. Eine Linie also, welche senkrecht auf der horizontalen Projections-Ebene war und vor der Drehung 5 Theile gemessen hat, wird nach der Drehung in ihrer verticalen Projection nur 4 dieser Theile messen.
Linien, die auf der horizontalen oder verticalen Projections-Ebene senkrecht stehen, bewegen sich bei der in Betracht gezogenen Drehung in Ebenen, welche senkrecht auf der Axe sind, folglich sind auch ihre Horizontal- und Vertical-Projectionen stets senkrecht auf der Axe.
Die Projectionen einer zur Axe $AX$ parallelen Geraden bleiben es auch nach dieser Drehung.
§. 9. Man wähle einen Punct $O$ in der horizontalen Projections-Ebene und ziehe durch denselben
* eine Gerade $OB$ parallel zur Axe $AX$
* eine Gerade $OL$, welche senkrecht auf der verticalen,
* eine Gerade $OH$, welche senkrecht auf der horizontalen
Projections-Ebene ist. Ferner trage man auf jede dieser drei Geraden eine gleiche Länge; z. B. auf jede 10 Theile irgend einer Maasseinheit auf und nehme die Drehung dieser 3 Linien, um eine zu $AX$ parallele Drehungsaxe $MN$ vor. Die Richtung der verticalen Projectionen dieser Geraden bleibt dieselbe, die der $OB$ parallel und die der zwei andern senkrecht auf der Axe; die Grösse derselben bleibt nur bei der zu $AX$ Parallelen der ursprünglichen gleich, die Grösse der Vertical-Projection der auf der horizontalen Projections-Ebene senkrechten $OH$ ändert sich nach dem Verhältniss des Cosinus, die der $OL$ nach dem Verhältniss des Sinus des Drehungswinkels, wie es zuvor auseinander gesetzt wurde.
Wählt man den Drehungswinkel gleich 18° 26′, der sich sehr leicht construiren lässt, weil der Cosinus das Dreifache des Sinus ist, so erhält man als
    Verhältniss des Halbmessers zum Sinus 10:3·16
    Verhältniss des Halbmessers zum Cosinus 10:9·48.
Wählt man demnach einen beliebigen Punct als die Vertical-Projection von $O$, zieht durch denselben zwei sich senkrecht schneidende Gerade $OB$ und $OLH$
    mache $OB$ = 10 die in $O$ auf $OB$ senkrechte
       $OL$ = 3·16 und die in $O$ auf $OB$ senkrechte
       $OH$ = 9·48, so erhält man die verticale Projection dieser 3 Geraden sowohl ihrer Grösse als relativen Lage nach vollkommen richtig.
§. 10. Theilt man die $OL$ und die $OH$ jeden in 10 gleiche Fig.5.Theile, zieht durch die Theilungspuncte Parallele zu $OB$, so geben diese die Entfernung an, in welcher die verticalen Projectionen einzelner Puncte bei einer gegebenen Länge und Höhe liegen müssen, ebenso wie die Theile auf $OC$ die Entfernung in Bezug auf die Breite der Puncte oder ihren horizontalen Abstand von $OL$ angeben.
Nun denke man sich einen Punct $a$ im Raume so gelegen, dass er eine Höhe über der horizontalen Projections-Ebene gleich 6, die Entfernung seiner horizontalen Projection von $OL$, [335] d. h. seine Breite sei gleich = 4 und die von $OB$ oder seine Länge sei gleich = 3; man soll die verticale Projection des Punctes nach der Drehung bestimmen, wenn der Drehungswinkel $\gamma =18^{\circ }26^{\prime }$ ist.
Man construire sich zuerst nach der beschriebenen Weise die verticale Projection der 3 Geraden $OB$, $OL$ und $OH$ ihrer Lage, Grösse und Theilung nach für den genannten Drehungswinkel $tang~(\gamma )=\,^{1}\!/_{3}$.
Nun nehme man von $O$ aus auf $OB$, 4 Theile als die Breite des Punctes ab, errichte in diesem Theilpuncte 4 eine Senkrechte auf $OB$ und trage auf dieser die Länge des Punctes = 3 auf, man braucht daher bloss durch den Theilungspunct 3 der $OL$ eine Parallele zu $OB$ zu ziehen, bis sie die aus 4 auf $OB$ gezogene Senkrechte schneidet; hiedurch erhält man den Durchschnittspunct $\alpha '$. In $\alpha '$ hat man eine Parallele zu $OH$ zu ziehen, also bloss die Senkrechte $4\alpha '$ zu verlängern und auf derselben von $\alpha '$ aus die Höhe des Punctes $a=6$, d. h. 6 Theile, abgegriffen auf $OH$, aufzutragen, der so erhaltene Punct $\alpha$ gibt die verlangte Vertical-Projection des Punctes $a$.
Gerade so, wie hier der Product $a$ in seiner verticalen Projection nach der Drehung bestimmt wurde, wäre auch jeder andere Punct mittelst seiner Länge, Breite und Höhe und mit Zuhilfenahme der 3 Maasstäbe
       $OB$ als Breiten-,
       $OL$ „ Längen-,
       $OH$ „ Höhen-Maasstab zu bestimmen.
Die Eintheilung der Maasstäbe und diese Art die verticale Projection eines Punctes mittelst seiner Coordinaten zu bestimmen wäre jedoch ziemlich mühsam. Die in den folgenden Paragraphen angestellten Betrachtungen sollen auf eine Vereinfachung in der Construction führen.
§. 11. Man untersuche nochmals das Grössen-Verhältniss der drei Maasstäbe.
Der Breitenmaasstab behält unabhängig von der Grösse des Drehungswinkels stets sein ursprüngliches Maass.
Fig.6.Für eine Linie nach der gleichen Richtung des Tiefen-Maassstabes haben wir das Gesetz nachgewiesen, dass ihre Vertical-Projection
[336] gleich ist dem Sinus des Drehungswinkels für einen Halbmesser von der Grösse der gedachten Linie selbst. Für eine Linie nach der Richtung des Höhenmaasstabes haben wir gleichfalls nachgewiesen, dass ihre Vertical-Projection wieder gleich ist dem Cosinus des Drehungswinkels für einen Halbmesser von der Grösse der gedachten Linie.
Mit Leichtigkeit wird man bei einem gegebenen Drehungswinkel die Länge der 3 Geraden $OB$, $OL$ und $OH$ graphisch bestimmen können.
Man ziehe zuerst den Breitenmaasstab $OB$ und trage von $O$ aus nach $B$ hin, z. B. 10 Theile auf.
Nun zeichne man an die nach rückwärts verlängerte $OB$ von $O$ aus den Drehungswinkel $\alpha$, z. B. = 18° 26′, trage auf dem neu erhaltenen Schenkel $OL$ dieselben 10 Theile nach $m$ auf, so gibt die auf $OB$ Senkrechte $mn$ oder indem man von $m$ eine Parallele zu $OB$ zieht, das Stück $ol$ als Sinus des Drehungswinkels für die gedachte Linie als Halbmesser, die gesuchte Projection der 10 Theile des Längenmaasstabes. Zeichnet man denselben Winkel $\alpha$ an die in $O$ auf $OB$ errichtete Senkrechte $Oh$, tragt auf den erhaltenen Schenkel $OH$ abermals die 10 Theile von $O$ nach $p$, zieht zu $OB$ die Parallele $ph$, so gibt $Oh$ als Cosinus des Drehungswinkels für die gedachte Linie als Halbmesser ebenfalls die gesuchte verticale Projection der 10 Theile des Höhenmaasstabes an.
Wie leicht einzusehen, wird es ganz gleich sein, ob man jetzt durch $m$ oder $l$, durch $p$ oder $h$ die Parallele zieht, welche durch ihren Abstand von $OB$ eine bestimmte Länge oder Höhe angehen. Trägt man entweder auf $OmL$ eine bestimmte Länge oder auf $OpH$ eine bestimmte Höhe in Einheiten des Grundmaases und zieht durch diese Puncte Parallele zu $OB$, so geben diese Parallelen durch ihren Abstand von $OB$ (den man allenfalls auf der in $O$ auf $OB$ errichteten Senkrechten messen kann), die Länge oder die Höhe für die Bestimmung der verticalen Projection eines Punctes durch die genannten Coordinaten.
Fig.7.§. 12. Die in $O$ auf $OB$ errichtete Senkrechte $OC$ verliert nun ihre ursprüngliche Bedeutung, und man hat nun die $OmL$ als Längen- und die $OpH$ als Höhenmaasstab anzusehen.
Wie man leicht erkennt, wird das Verhältniss der Länge und Breite, d. h. das Verhältniss in den Abständen der verschiedenen [337] zuvor bezeichneten Parallelen durch die Lage der 2 Geraden $OL$ und $OH$ gegen $OB$ bedingt seien; die Lage dieser 2 Maasstäbe gegen der dritten $OB$ ist aber immer gegeben durch den Drehungswinkel, für welchen die Bestimmung der verticalen Projection eines Gegenstandes ausgeführt werden soll.
Der Längenmaasstab $OL$ muss mit $OB$, der Höhenmaasstab $OH$ mit einer auf $OB$ Senkrechten jenen Winkel einschliessen, der gleich ist dem Drehungswinkel; also die Summe der Winkel, den der Längen- und Höhenmaasstab mit dem Breitenmaasstab einschliessen gleich 90 Grad; ist also $\alpha$ der Drehungswinkel, so muss $LOA=\alpha$ und $HOA=90-\alpha$ sein.
Fig.8.§. 13. Ein Beispiel soll das Ganze erläutern:
Fig.9. Es soll die verticale Projection des vierseitigen Prisma 1.5, 2.6, 3.7, 4.8,....bestimmt werden, wenn $O'B',O'L'$ die neuen Coordinatenaxen und der Drehungswinkel $\alpha$ = 30 Grad ist.
Man ziehe eine Linie $AB$ als den Breitenmaasstab in irgend einem Puncte $O$ der $AB$, errichte man eine Senkrechte $OC$, zeichne sowohl an $AB$ als $OC$ von $O$ aus den $\sphericalangle \alpha$, so gibt $OL$ den Längen- und $OH$ den Höhenmaasstab. Ferner ziehe man noch von allen Puncten der Horizontal-Projection des Prisma Senkrechte auf die Coordinatenaxe $O'B'$.
Um nun die verticale Projection des Prisma in der neuen Lage zu erhalten, trage man zuerst auf den Breitenmaasstab $OB$ von einem auf demselben willkürlich angenommenen Puncte $\alpha$ an die Breiten der verschiedenen Puncte als $\alpha \delta$, $\delta \beta$, $\beta \gamma$....auf. In den so erhtaltenen Puncten $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ errichte man Senkrechte, trage auf den Längenmaasstab $OL$ von $O$ aus die Längen der Puncte als $\alpha '1'$, $\alpha '5'$, $\beta '2'$, $\beta '6'$, $\gamma '3'$…nach $O1$, $O2$, $O3$…ziehe durch die erhaltenen Puncte 1, 2, 3, 4....Parallele zu $OB$ und durchschneide die entsprechenden aus $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$....gezogenen Senkrechten.
Dadurch erhält man die Puncte I, II, III, IV..der Basis des Prisma.
Von I, II, III, IV trage man auf denselben Senkrechten noch die Höhen der Puncte 5, 6, 7, 8 oder die Länge der Kanten auf; zu diesem Ende mache man das Stück $m5$ auf dem Höhenmaassstabe gleich $1''5''$, d. i. der Länge einer Prismakante — oder der Höhe des Punctes 5V, ziehe von 5 die Parallele 5V, so gibt [338] I. V. die verticale Projection der Prismakante 1, 5, und diese Länge I. V. ist nun noch von den Puncten II, III, IV auf den entsprechenden Senkrechten aufzutragen.
Gehörig verbunden gibt nun I, II, III, IV die untere und V, VI, VII, VIII die obere Grundfläche des Prisma. Wie es aus dem Vorhergegangenen erhellt, ist sich eine etwaige Drehungsaxe, so wie die neue Projectionsebene stets parallel zur Coordinatenaxe $O'B'$ zu denken.
Bei dieser Constructions-Methode kommen nur zweierlei Hilfslinien vor, zum Breitenmaasstabe paralelle und auf demselben senkrechte Linien; desswegen ist in der obigen und den weiteren Erklärungen, wenn nicht weitere Angaben ausdrücklich eine andere Richtung der Linien bestimmen, der unbestimmte Ausdruck Parallele und Senkrechte auf den Breitenmaasstab zu beziehen.
Fig.10.§. 14. Das Weitere dieser Methode soll der Allgemeinheit unbeschadet sogleich an einem Beispiel gezeigt werden.
Aus der Darstellung des Würfels in Fig. 10 ist in der verticalen Projection nur eine einzige Fläche 3, 4, 7, 8 sichtbar.
Damit noch andere Seitenflächen sichtbar werden, müsste man eine Drehung des Würfels gegen die Projectionsebene vornehmen und die verticale Projection desselben bestimmen. Dass bei all diesen Darstellungen eine Drehungsaxe so wie die neue Projectionsebene, die stets senkrecht auf der horizontalen Projectionsebene bleibt, mit ihrer Projectionsaxe parallel zu der Coordinatenaxe $O'B'$ hinzugedacht werden muss, wurde bereits erwähnt. Jene Seitenflächen, welche senkrecht auf der horizontalen Projections-Ebene und zugleich parallel zur Drehungsaxe sind, werden in der verticalen Projection unabhängig von der Grösse des Drehungswinkels in ihrer wahren Breite erscheinen. Jene Seitenflächen, welche zwar senkrecht auf der horizontalen Projectionsebene, gegen die Drehungsaxe aber geneigt sind, werden in der verticalen Projection in einer Breite erscheinen, die gleich ist dem Cosinus des Neigungswinkels der Ebene gegen die Drehungsaxe für einen Halbmesser gleich der wahren Breite dieser Seitenebene.
Die Breite jener Seitenflächen, welche parallel zur horizontalen Projectionsebene sind, wird gemessen durch den Abstand [339] zweier Linien, die durch die 2 äussersten, d. h. den der neuen verticalen Projectionsebene nächsten und entferntesten Punct parallel zur Projections- oder Drehungsaxe gezogen werden.
Die Breite dieser Seitenflächen in ihrer neuen Projection wird gleich sein dem Sinus des Drehungswinkels für einen Halbmesser gleich der ursprünglichen Breite dieser Seitenfläche.
Dass man in irgend einer Ansicht des Würfels höchstens drei Seitenflächen in einer gewissen Breite sehen wird, ist für sich klar, — die Breiten derselben werden in einem Zusammenhange stehen mit der angenommenen Lage der Drehungs-Axe gegen den Würfel und der Grösse des Drehungswinkels.
§. 15. Der Zusammenhang, der sich hier kund gibt, soll in folgender Aufgabe erhellt werden:
Es soll die Projection des Würfels in einer solchen Lage bestimmt werden, dass die drei Seitenflächen 1.5.4.8, — 4.3.7.8, — 5.6.7.8 sichtbar sind; die erste in der Breite $a$, die zweite in der Breite $b$, die dritte in der Breite $c$, es soll sich verhalten:
* $a\,:\,b\,:\,c=2\,:\,4\,:\,1$
Fig.11.Fig. 11. Die Breite $a$ und $b$ der zwei Seitenflächen 1548, 3.7.4.8 hängt von der Neigung derselben gegen die Drehungs-Axe ab.
Wegen $a\,:\,b=2\,:\,4$ trage man auf der Richtung $a$ einen, auf der Richtung $b$ zwei Theile auf, verbinde die so erhaltenen Puncte $m$ und $n$ und ziehe parallel zu $mn$ in einer beliebigen Entfernung die neue Coordinaten- und zugleich Drehungs-Axe $O'B'$. Nachdem man die Senkrechten auf $O'B'$ gefällt hat, ergibt sich: $pq=a=k~cos.~\alpha$ und $qr=b=k~cos.~\beta$, wenn $k$ die Länge der Würfelkante oder die ursprüngliche Breite $A=B$ der zwei Seitenflächen bedeutet. Nun soll sich noch verhalten $a\,:\,c=2\,:\,1$. Man ziehe durch die zwei äussersten Puncte 6 und 8 jener Seitenfläche, die in der verlangten Breite $c$ gesehen werden soll, Parallele zu $O'B'$, so gibt ihr Abstand $6v$ die ursprüngliche Breite $C$ dieser Seitenfläche. Da nun $c=\,^{1}\!/_{2}\,a$ = dem Sinus für den Halbmesser $6v$ gleich $C$ sein muss, so hat man hier nur die einfache Aufgabe aufzulösen aus Sinus und Halbmesser den Winkel zu finden.
Man ziehe eine Gerade $AB$, errichte auf derselben (Fig. 12) eine Senkrechte, mache diese gleich dem Sinus = $c$, durchschneide [340] aus ihrem Endpuncte 6 mit dem Halbmesser $6v$ die $AB$, so ergibt sich $\gamma$ als Drehungswinkel.
Um die drei Maasstäbe für die Construction des verlangten Bildes zu erhalten, ziehe man $AB$, errichte die Senkrechte $OC$, zeichne sowohl an $AO$ als $CO$ den Winkel $\gamma$, so wird wie bekannt
       $OB$ der Breiten-,
       $OL$ der Längen-,
       $OH$ der Höhen-Maasstab sein.
Fig.12. Fig.13.Man greife auf $O'B'$ (Fig. 12) die Breiten der Puncte ab, trage sie von einem willkürlichen Puncte angefangen auf $OB$, errichte die Senkrechten, trage die verschiedenen Längen auf $OL$, durchschneide aus den so erhaltenen Puncten durch Parallele die entsprechenden Senkrechten, und man erhält I, II, III, IV, als die untere Grundfläche des Würfels.
Ferner bestimme man sich die reducirte Länge der Kante des Würfels und trage sie von den Puncten I, II, III, IV auf denselben Senkrechten auf, um die Puncte V, VI, VII, VIII zu erhalten, oder verfahre ganz direct. Man trage z. B. von dem Durchschnittspunct $m$ auf $OH$ die Höhe des Punctes 5 auf, ziehe die Parallele, so givt V die verlangte verticale Projection von 5.
§. 16. Bei der Mohs’schen Projection ist das Verhältniss $a\,:\,b\,:\,c=2\,:\,6\,:\,1$. Wegen $a\,:\,b=1\,:\,3$ trage man auf die Richtung $a$ einen, auf die Richtung $b$ drei Theile, verbinde $m$ mit Fig.14.$n$ und ziehe zu $mn$ eine Parallele $O'C'$ als neue Coordinaten-Axe.
Ferner bestimme man sich $2v=C$. Wegen $a\,:\,c=2\,:\,1$ ist $c=\,^{1}\!/_{2}\,a=\,^{1}\!/_{2}\,pq$. Durch $c$ als Sinus und $C$ als Halbmesser ist wieder der Drehungswinkel $\gamma$ gegeben, wodurch die Lage der drei Maasstäbe gegen einander vollkommen bestimmt ist. Die weitere Construction ist dieselbe wie im vorigen Paragraph.
Fig.15.§. 17. Um die sogennante dimetrische Projection des Würfels zu erhalten, wo $a=b$ und z. B. $a\,:\,c=3\,:\,1$, ziehe man $O'B'$ parallel zu 1,3.
Durch $c=\,^{1}\!/_{3}\,pq=\,^{1}\!/_{3}\,a$ als Sinus und $C=2{,}4$ als Halbmesser ist wieder der Winkel $\gamma$ bestimmt.
Die weitere Construction ist ganz wieder dieselbe.
§. 18. Um die isometrische Projection des Würfels zu erhalten, muss $a=b$ und die Diagonale des Würfels senkrecht auf der verticalen Projectionsebene stehen.
[341] Wegen $a=b$ muss wieder $O'B'$ parallel sein zu 1,3. Fig.16.Und es ist sehr ersichtlich, dass der Winkel $\gamma$ muss gleichgemacht werden dem Neigungswinkel der Diagonale des Würfels mit der horizontalen Projectionsebene, und dieser ist sehr leicht durch die Seite eines Quadrats als Sinus und durch die Diagonale dieses Quadrats als Cosinus zu bestimmen.
Man ziehe $AB$ und $OC$, setze in $O$ ein und durchschneide $OC$ und $OB$ mit irgend einem Halbmesser, nun nehme man die Diagonale $ab$ als Halbmesser und beschreibe aus 0 den Bogen $cd$; verbindet man $a$ mit $d$ und $b$ mit $c$, zieht durch 0 Parallele zu $ad$ und $bc$, so gibt dann $OL$ den Längen-, die andere Parallele $OH$ den Höhen-Maasstab. Der Beweis ist sehr leicht zu führen.
Um also Bilder in isometrischer Projection zu construiren, hat man den Winkel $\gamma$ durch $tang~\gamma ={\frac {1}{\sqrt {2}}}$ zu bestimmen. Die Lage der Coordinaten-Axe $O'B'$ ist ganz willkürlich und richtet sich nach der Seitenansicht, die man von einem Gegenstande erhalten will.
Von dem hier gegebenen Principe dieser orthographischen Parallelperspective ausgegangen, kann überhaupt der Name tri=di und isometrische Projection nur auf die Darstellung des Würfels bezogen werden, und für eine nach dieser Methode in Uebereinstimmung mit jenen erzeugte Projection irgend eines Gegenstandes verlieren diese Namen ihre ganze Bedeutung. Der Grund ist dieser, weil man wohl diese ganz allgemeine Methode auf die Darstellung des Würfels in tri=di und isometrischer Projection mit Vortheil anwenden kann, dieselbe aber nicht aus den verschiedenartigen Projectionen des Würfels, deren Name durch das Grössenverhältniss der Projectionen der einzelnen Würfelkanten bestimmt wurde, abgeleitet ist.
Was für den Maler die freie Perspective ist, das wird für den Techniker diese im strengsten Sinne des Wortes gennante, allgemeine, orthographische Parallelperspective sein, mit dem Unterschiede, dass sich letztere durch eine besondere Einfachheit und mehrere andere Vortheile dem praktischen Techniker, [342] für den eine Ersparniss an Zeit und Mühe von besonderem Werth ist, vorzugsweise anempfiehlt.
§. 19. Um irgend eine bestimmte Seitenansicht eines Objectes zu erhalten, hat man in der Projective nur die Lage des Auges in horizontaler Richtung gegen dasselbe zu verändern — hier geschieht es dadurch, dass man die Lage einer Coordinaten-Axe gegen das Object verändert.
Je nachdem man dort das Auge tiefer oder höher gegen das Object stellt, erscheinen horizontale Flächen in grösserer oder geringerer Breite; — hier wird dasselbe durch die Veränderung der Grösse des Drehungswinkels ($\gamma$) erzielt.
Die Möglichkeit des Letzteren ist gewiss ein Umstand, der in dem Falle, wo man Gegenstände von bedeutend grösserer oder geringerer Ausdehnung darzustellen hat, von grösster Wichtigkeit ist. Doch die gefährlichste Klippe, an der selbst der geschickteste Constructeur scheitert, wenn er die Theorie der freien Perspective nicht vollkommen inne und sich nicht durch vielfaches Ueben eine gewisse praktische Anschauung erworben hat — wird hier vollends umgangen. Es ist diess jener Punct, in welchem die meisten und selbst die berühmtesten Künstler und Schriftsteller (Thiebaut’s freie Perspective) in ihren Ansichten nicht ganz übereinstimmen, — nämlich die Wahl des Auges nach seiner Entfernung von der Bildfläche und dem darzustellenden Objecte, sowohl besonders als im Zusammenhang. Für jeden einzelnen Fall gibt und kann es auch keine bestimmten Regeln geben, es muss hier mehr die Praxis lehren, die freie und richtige Anschauung die Anordnungen lenken und gleichsam das Gefühl veredeln. Worin liegt die Ursache eines Zerrbildes in der Perspective? Offenbar in der Divergenz des Strahlenkegels und dem schiefen Schnitt desselben mit der Bildfläche, und ist es unter allen Umständen möglich, diesen Uebelstand bei einzelnen Parthien eines Objectes zu vermeiden? Kann aber ein Zerrbild durch einen Strahlen-Cylinder entstehen, der, wie es schon in dem Begriffe einer orthographischen Projection liegt, von der Bildfläche stets senkrecht auf die Erzeugenden geschnitten wird?
Nach dem Zwecke dieser Schrift kann in eine weitere Auseinandersetzung der im §. 4 angedeuteten Anwendungen
[343]
sub B.
    Entwürfe unmittelbar als ein perspectivartiges Bild zu zeichnen, ohne vorerst die orthogonalen Projectionen bestimmen zu müssen,
sub C.
    den Schatten unabhängig von den orthogonalen Projectionen desselben alsogleich in der perspectivartigen Zeichnung zu construiren,
nicht eingegangen werden; dem Sachverständigen wird das Wesen dieser Aufgaben und die Form der hier anzuwendenden Grundsätze schon aus dem gegebenen Principe dieser Methode klar sein. Eine vollständige Ausführung dieser orthographischen Parallelperspective ist bereits begonnen, worin auch diese Puncte ganz abgesondert und ausführlich behandelt werden sollen.
Und hiermit wäre vielleicht ein wesentlich gefühltes Bedürfniss des Technikers in Etwas vermindert: eine Darstellungsweise nämlich zu besitzen, die nicht nur einfach in der Construction ist, sondern auch ein nettes, dem Professionisten leicht verständliches und klares Bild liefert, nach dem unmittelbar, ohne weitere Dimensions-Angaben, ein Object ausgeführt werden kann.
Sollte das Streben des Anfängers Anerkennung finden, so gebührt sie im vollsten Maasse meinem verehrten Lehrer, Herrn Professor Hönig, dem ich für seine vorzügliche Anleitung und sein rastloses Bemühen in der Unterweisung seiner lernbegierigen Hörer meinen wärmsten Dank sage.

## Anmerkungen

* ↑ Die Letztere unter dem Namen Kreuzriss-Ebene bekannt.