# David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie/Kapitel 7.7

Jede ganze Zahl des Zahlkörpers $k$ bestimmt ein Hauptideal; jede gebrochene, d. h. nicht ganze Zahl $\varkappa$ in $k$ ist der Quotient zweier ganzen Zahlen $\alpha$ und $\beta$ und somit als Quotient zweier Ideale ${\mathfrak {a}}$ und ${\mathfrak {b}}$ darstellbar: $\varkappa ={\frac {\alpha }{\beta }}={\frac {\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}}$. Denken wir die Ideale ${\mathfrak {a}}$ und ${\mathfrak {b}}$ von allen gemeinsamen Idealfaktoren befreit, so ist diese Darstellung der gebrochenen Zahl $\varkappa$ als Idealquotient eine eindeutig bestimmte. Ist umgekehrt der Quotient ${\frac {\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}}$ zweier Ideale ${\mathfrak {a}}$ und ${\mathfrak {b}}$ – mögen dieselben einen gemeinsamen Teiler haben oder nicht – gleich einer ganzen oder gebrochenen Zahl $\varkappa ={\frac {\alpha }{\beta }}$ des Körpers, so werden die beiden Ideale ${\mathfrak {a}}$ und ${\mathfrak {b}}$ einander äquivalent genannt, d. i. in Zeichen ${\mathfrak {a}}\sim {\mathfrak {b}}$. Aus ${\frac {\alpha }{\beta }}={\frac {\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}}$ folgt $(\beta ){\mathfrak {a}}=(\alpha ){\mathfrak {b}}$, und somit erkennen wir, daß zwei Ideale ${\mathfrak {a}}$ und ${\mathfrak {b}}$ dann und nur dann einander äquivalent sind, wenn sie durch Multiplikation mit gewissen Hauptidealen in ein und das nämliche Ideal übergehen. Die Gesamtheit aller Ideale, welche einem gegebenen Ideal äquivalent sind, heißt eine Idealklasse. Alle Hauptideale sind dem Ideal (1) äquivalent. Die durch sie gebildete Klasse heißt die Hauptklasse und wird mit $1$ bezeichnet. Wenn ${\mathfrak {a}}\sim {\mathfrak {a}}'$ und ${\mathfrak {b}}\sim {\mathfrak {b}}'$ ist, so ist ${\mathfrak {aa'}}\sim {\mathfrak {bb'}}$. Ist $A$ eine das Ideal ${\mathfrak {a}}$ enthaltende Idealklasse und $B$ eine das Ideal ${\mathfrak {b}}$ enthaltende Klasse, so wird die Idealklasse, welche das Ideal ${\mathfrak {ab}}$ enthält, das Produkt der Idealklassen $A$ und $B$ genannt und mit $AB$ bezeichnet. Es ist offenbar $1B=B$, und umgekehrt folgt aus $AB=B$ notwendig $A=1$.
Es ist bisweilen vorteilhaft, auch Idealquotienten in die Rechnung einzuführen: eine Gleichung von der Gestalt $\textstyle {\frac {\mathfrak {a}}{{\mathfrak {a}}'}}={\frac {\mathfrak {b}}{{\mathfrak {b}}'}}$ oder eine Äquivalenz von der Gestalt $\textstyle {\frac {\mathfrak {a}}{{\mathfrak {a}}'}}\sim {\frac {\mathfrak {b}}{{\mathfrak {b}}'}}$ soll gleichbedeutend sein mit derjenigen Gleichung oder Äquivalenz zwischen Idealen, welche daraus durch Multiplikation mit den in den Nennern stehenden Idealen hervorgeht, d. h. mit der Gleichung ${\mathfrak {ab'}}={\mathfrak {a'b}}$ bez. mit der Äquivalenz ${\mathfrak {ab'}}\sim {\mathfrak {a'b}}$.
Es gilt der Satz:
Satz 49. Es gibt stets eine und nur eine Idealklasse $B$, die, mit einer gegebenen Idealklasse $A$ multipliziert, die Hauptklasse ergibt.
Beweis. Ist ${\mathfrak {a}}$ ein Ideal der Klasse $A$ und $\alpha$ eine durch ${\mathfrak {a}}$ teilbare ganze Zahl, so daß $\alpha ={\mathfrak {ab}}$ gesetzt werden kann, so ist, wenn $B$ die Klasse des Ideals ${\mathfrak {b}}$ bezeichnet, $AB=1$. Gäbe es nun noch eine andere Klasse $B'$ so, daß $AB'=1$ ist, so folgt durch Multiplikation mit $B$ die Gleichung $ABB'=B'=B$.
Die Klasse $B$ heißt die zu $A$ reziproke Klasse und wird mit $A^{-1}$ bezeichnet.
Es gilt ferner die folgende fundamentale Tatsache:
Satz 50. In jeder Idealklasse gibt es ein Ideal, dessen Norm die absolut genommene Quadratwurzel aus der Körperdiskriminante nicht übersteigt [Minkowski (1, 3)]. Die Anzahl der Idealklassen eines Zahlkörpers ist endlich [Dedekind (1), Kronecker (16)].
Beweis. Ist $A$ eine beliebige Idealklasse und ${\mathfrak {j}}$ ein Ideal der reziproken Klasse $A^{-1}$, so gibt es nach Satz 46 eine ganze, durch ${\mathfrak {j}}$ teilbare Zahl $\iota$, deren Norm der Bedingung $|n(\iota )|\leqq n({\mathfrak {j}})|{\sqrt {d}}|$ genügt. Setzen wir $\iota ={\mathfrak {ja}}$, so gehört ${\mathfrak {a}}$ der Idealklasse $A$ an, und wegen $|n(\iota )|=n({\mathfrak {j}})n({\mathfrak {a}})$ ist $n({\mathfrak {a}})\leqq |{\sqrt {d}}|$. Es gibt also in der Klasse $A$ ein der letzteren Bedingung genügendes Ideal $a$; da aber in den ganzen rationalen Zahlen, welche $\leqq |{\sqrt {d}}|$ sind, nur eine endliche Anzahl unter einander verschiedener Ideale als Faktoren enthalten ist, so folgt auch die Richtigkeit des zweiten Teiles des Satzes 50.
Der eben bewiesene Satz 50 gestattet mannigfache Folgerungen und Anwendungen, von denen die nachstehenden hervorzuheben sind:
Satz 51. Ist $h$ die Anzahl der Idealklassen, so liefert die $h$-te Potenz einer jeden Klasse stets die Hauptklasse.
Beweis. In der Reihe $A$, $A^{2}$, …, $A^{h+1}$ stimmen notwendig zwei Klassen, etwa $A^{r}$ und $A^{r+e}$, miteinander überein. Aus $A^{r}A^{e}=A^{r}$ folgt $A^{e}=1$. Ist $e$ zugleich der kleinste Exponent ($>0$) von der Beschaffenheit, daß $A^{e}=1$ wird, so folgt, daß die $e$ Klassen $A^{0}=1$, $A$, …, $A^{e-1}$ sämtlich untereinander verschieden sind. Ist $B$ eine von diesen $e$ Klassen verschiedene Klasse, so sind die $e$ Klassen $B$, $AB$, …, $A^{e-1}B$ wiederum sämtlich untereinander und von den $e$ vorigen Klassen verschieden; die Fortsetzung dieses Verfahrens zeigt, daß $h$ ein Vielfaches von $e$ sein muß, und hieraus folgt der zu beweisende Satz 51.
Die $h$-te Potenz eines jeden beliebigen Ideals ${\mathfrak {a}}$ ist nach diesem Satz stets ein Hauptideal.
Satz 52. Wenn $\alpha$ und $\beta$ beliebige ganze Zahlen sind, so gibt es stets eine sowohl in $\alpha$ wie in $\beta$ aufgehende ganze von $0$ verschiedene Zahl $\gamma$, welche eine Darstellung $\gamma =\xi \alpha +\eta \beta$ gestattet, wo $\xi$, $\eta$ geeignet gewählte ganze Zahlen sind. Die Zahlen $\gamma$, $\xi$, $\eta$ gehören im allgemeinen nicht dem durch $\alpha$ und $\beta$ bestimmten Zahlkörper an [Dedekind (1)].
Satz 53. Es seien $\varkappa$, $\varrho$ und $\varkappa ^{*}$, $\varrho ^{*}$ zwei Zahlenpaare des Körpers $k$; damit ${\mathfrak {j}}=(\varkappa ,\,\varrho )=(\varkappa ^{*},\,\varrho ^{*})$ werde, ist es notwendig und hinreichend, daß man im Körper $k$ vier ganze Zahlen $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ finden kann, deren Determinante $\alpha \delta -\beta \gamma =1$ ist, und durch welche die Gleichungen
* ${\begin{aligned}\varkappa ^{*}&=\alpha \varkappa +\beta \varrho ,\\\varrho ^{*}&=\gamma \varkappa +\delta \varrho \end{aligned}}$
erfüllt sind [Hurwitz (4)].
Beweis. Daß die genannte Bedingung hinreichend ist, folgt aus dem Umstande, daß diese beiden Gleichungen eine Umkehrung von der Gestalt
* ${\begin{aligned}\varkappa ^{*}&=\alpha \varkappa +\beta \varrho ,\\\varrho ^{*}&=\gamma \varkappa +\delta \varrho \end{aligned}}$
gestatten, wo $\alpha ^{*}$, $\beta ^{*}$, $\gamma ^{*}$, $\delta ^{*}$ ganze Zahlen sind. Die Bedingung ist ferner auch notwendig. Bezeichnet nämlich $h$ die Anzahl der Idealklassen, so wird ${\mathfrak {j}}^{h}=(\varkappa ^{h},\,\varrho ^{h})=(\varkappa ^{*h},\,\varrho ^{*h})=(\tau )$, wo $\tau$ eine ganze Zahl des Körpers $k$ ist. Es sei
* $\tau =\mu \varkappa ^{h}+\nu \varrho ^{h}=\mu ^{*}\varkappa ^{*h}+\nu ^{*}\varrho ^{*h},$
wo $\mu$, $\nu$, $\mu ^{*}$, $\nu ^{*}$ ganze Zahlen in $k$ sind; dann erfüllen offenbar die vier ganzen Zahlen
* $\alpha ={\frac {\mu \varkappa ^{*}\varkappa ^{h-1}+\nu ^{*}\varrho \varrho ^{*h-1}}{\tau }}$, $\beta ={\frac {\nu \varkappa ^{*}\varrho ^{h-1}-\nu ^{*}\varkappa \varrho ^{*h-1}}{\tau }}$, $\gamma ={\frac {\mu \varrho ^{*}\varkappa ^{h-1}-\mu ^{*}\varrho \varkappa ^{*h-1}}{\tau }}$, $\delta ={\frac {\nu \varrho ^{*}\varrho ^{h-1}+\mu ^{*}\varkappa \varkappa ^{*h-1}}{\tau }}$
die Bedingung des Satzes 53. Daß $\alpha \delta -\beta \gamma =1$ ist, ergibt sich, wenn man die beiden Determinanten
* $-\tau ={\begin{vmatrix}\mu \varkappa ^{h-1},&\varrho \\\nu \varrho ^{h-1},&-\varkappa \end{vmatrix}}$ und $-\tau ={\begin{vmatrix}\varkappa ^{*},&\nu ^{*}\varrho ^{*h-1}\\\varrho ^{*},&-\mu ^{*}\varkappa ^{*h-1}\end{vmatrix}}$
nach dem Multiplikationssatze miteinander zusammensetzt.
Nach Satz 12 kann ein jedes Ideal in der Gestalt ${\mathfrak {j}}=(\varkappa ,\,\varrho )$ dargestellt werden. Setzen wir $\vartheta ={\frac {\varkappa }{\varrho }}$, so bestimmt die ganze oder gebrochene Zahl $\vartheta$ vollständig die Idealklasse, zu welcher ${\mathfrak {j}}$ gehört. Wir nennen $\vartheta$ einen dieser Idealklasse zugeordneten Zahlbruch. Der Satz 53 zeigt, daß, wenn $\vartheta ^{*}={\frac {\varkappa ^{*}}{\varrho ^{*}}}$ ein anderer der Idealklasse zugeordneter Zahlbruch ist, notwendig vier ganze Zahlen $\alpha$‚ $\beta$, $\gamma$, $\delta$ mit der Determinante $1$ im Körper $k$ existieren müssen derart, daß $\vartheta ^{*}={\frac {\alpha \vartheta +\beta }{\gamma \vartheta +\delta }}$ wird.
Der Beweis des Satzes 50 gibt uns zugleich ein einfaches Mittel an die Hand, durch eine endliche Anzahl rationaler Prozesse ein volles System von nicht äquivalenten Idealen für jeden gegebenen Körper wirklich aufzustellen. Man braucht nur alle diejenigen Ideale in Betracht zu ziehen, deren Normen $\leqq \left|{\sqrt {d}}\right|$ sind. Um die zwischen diesen Idealen irgend vorhandenen Äquivalenzen sämtlich zu ermitteln, haben wir nur nötig, jedes von ihnen mit jedem zu multiplizieren und dann, wenn ${\mathfrak {j}}$ ein solches Produkt bedeutet, jedesmal in ${\mathfrak {j}}$ eine Zahl $\iota \neq 0$ mit absolut kleinster Norm aufzusuchen, um zu sehen, ob ${\mathfrak {j}}=(\iota )$ ist und somit die Faktoren reziproken Klassen angehören. Daß dies ebenfalls nur eine endliche Anzahl von Operationen erfordert, erkennen wir aus dem Satze 46. Ist nämlich $\iota _{1}$, …, $\iota _{m}$ die Basis des Ideals ${\mathfrak {j}}$, so haben wir nur nötig, $u_{1}$, …, $u_{m}$ als ganze rationale, nicht sämtlich verschwindende Zahlen so zu bestimmen, daß die absoluten Werte der reellen und imaginären Teile von $u_{1}\iota _{1}^{(s)}+\cdots +u_{m}\iota _{m}^{(s)}$ für $s=1$, …, $m$ sämtlich unter gewissen gegebenen Grenzen bleiben. Hierzu bedarf es nur einer endlichen Anzahl von Versuchen. Auf gleiche Weise sehen wir auch ein, daß für jedes vorgelegte Ideal die Klasse, der dasselbe angehört, stets durch eine endliche Anzahl von rationalen Operationen bestimmt werden kann.
Es werde bemerkt, daß unter Umständen auch eine engere Fassung des Äquivalenz- und Klassenbegriffes von Nutzen ist, indem zwei Ideale nur dann äquivalent heißen, wenn ihr Quotient eine ganze oder gebrochene Zahl mit positiver Norm ist [Dedekind (1)].
Nach dem Vorbilde von Dirichlet, welcher die Anzahl der Klassen von binären quadratischen Formen mit gegebener Determinante auf transzendentem Wege ausgedrückt hat [Dirichlet (7, 8)], und auf Grund der in Kapitel 6 erhaltenen Resultate über die Einheiten eines Zahlkörpers gelang es Dedekind, eine fundamentale Formel abzuleiten, vermöge welcher sich die Anzahl $h$ der Idealklassen eines beliebigen Zahlkörpers als Grenzwert einer gewissen unendlichen Reihe darstellt [Dedekind (1)]. Um zu dieser Formel zu gelangen, beweisen wir zunächst folgenden Hilfssatz:
Hilfssatz 10. Ist $t$ eine reelle positive Veränderliche und $T$ die Anzahl aller derjenigen durch das gegebene Ideal ${\mathfrak {a}}$ teilbaren Hauptideale, deren Normen $\leqq t$ sind, so ist
* ${\underset {t=\infty }{L}}{\frac {T}{t}}={\frac {2^{r_{1}+r_{2}}\pi ^{r_{2}}}{w}}\cdot {\frac {1}{n({\mathfrak {a}})}}{\frac {R}{|{\sqrt {d}}|}},$
wo $w$ die Anzahl der in $k$ vorkommenden Einheitswurzeln und $R$ den Regulator des Körpers $k$ bezeichnet. Die Bedeutung von $r_{1}$, $r_{2}$ ist in Satz 47 erklärt. $L$ dient zur Abkürzung für Limes.
Beweis. Es sei $\alpha _{1}$, …, $\alpha _{m}$ um eine Basis des Ideals ${\mathfrak {a}}$; jede durch ${\mathfrak {a}}$ teilbare ganze Zahl besitzt dann die Gestalt:
* $\eta =\eta (v)=v_{1}\alpha _{1}+\cdots +v_{m}\alpha _{m}=f_{1}(v)\omega _{1}+\cdots +f_{m}(v)\omega _{m}$,
wo $v_{1}$, …, $v_{m}$ ganze rationale Werte annehmen und $f_{1}(v)$, …, $f_{m}(v)$ lineare ganzzahlige Funktionen der $v_{1}$, …, $v_{m}$ sind. Wenn wir $v_{1}$, …, $v_{m}$ als reelle Veränderliche ansehen und
* $u_{1}={\frac {f_{1}(v)}{\left|{\sqrt[{m}]{n(\eta )}}\right|}}$, …, $u_{m}={\frac {f_{m}(v)}{\left|{\sqrt[{m}]{n(\eta )}}\right|}}$,
* $\xi =\xi (v)=u_{1}\omega _{1}+\cdots +u_{m}\omega _{m}={\frac {\eta (v)}{\left|{\sqrt[{m}]{n(\eta )}}\right|}}$
setzen, so sind $u_{1}$, …, $u_{m}$ eindeutige Funktionen von $v_{1}$, …, $v_{m},$ und $\xi$ ist eine Form, für welche $n(\xi )=\pm 1$ wird. Wir berechnen nun die $r$ ersten Logarithmen zur Form $\xi$ und hieraus $r$ reelle Größen $e_{1}(\xi )$, …, $e_{r}(\xi )$ derart, daß, wenn $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{r}$ ein System von Grundeinheiten bezeichnen,
* ${\begin{aligned}l_{1}(\xi )&=e_{1}(\xi )l_{1}(\varepsilon _{1})+\cdots +e_{r}(\xi )l_{1}(\varepsilon _{r}),\\&\;\vdots \\l_{r}(\xi )&=e_{1}(\xi )l_{r}(\varepsilon _{1})+\cdots +e_{r}(\xi )l_{r}(\varepsilon _{r})\end{aligned}}$
ist; diese $r$ Größen $e_{1}$, …, $e_{r}$ werden in diesem § 25 kurz die $r$ Exponenten von $\eta$ genannt.
Nimmt man für $v_{1}$, …, $v_{m}$ ganze rationale, nicht sämtlich verschwindende Zahlen, so ist klar, daß die so entstehende ganze Zahl $\eta$ stets durch Multiplikation mit ganzen Potenzen der Einheiten $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{r}$, in eine solche Zahl verwandelt werden kann, deren Exponenten $e_{1}$, …, $e_{r}$ den Bedingungen
| $0\leqq e_{1}<1$, …, $0\leqq e_{r}<1$ | (13) |
genügen. Umgekehrt sehen wir, daß zwei ganze Zahlen $\eta$, $\eta ^{\ast }$, deren Normen und Exponenten gleich sind, sich nur um einen Faktor unterscheiden können, welcher eine Einheitswurzel ist. Wenn daher $w$ die Anzahl der in $k$ liegenden Einheitswurzeln bezeichnet, so ist das $w$-fache der Anzahl $T$ aller durch ${\mathfrak {a}}$ teilbaren Hauptideale mit einer Norm $\leqq t$ notwendig gleich der Anzahl der verschiedenen Systeme von ganzzahligen Wertsystemen $v_{1}$, …, $v_{m}$, für welche $|n(\eta )|\leqq t$ ausfällt, und für welche überdies die Exponenten $e_{1}$, …, $e_{r}$ den Bedingungen (13) genügen.
Nunmehr setzen wir
* $\tau =t^{-{\frac {1}{m}}}$, $v_{1}={\frac {\varphi _{1}}{\tau }}$, …, $v_{m}={\frac {\varphi _{m}}{\tau }}$;
dabei bleiben die Form $\xi$ und folglich auch die Größen $l_{1}(\xi )$, …, $l_{r}(\xi ),$ $e_{1}$, …, $e_{r}$ von $\tau$ unabhängig und enthalten lediglich die $m$ neuen Veränderlichen $\varphi _{1}$, …, $\varphi _{m}$. Die Ungleichung $|n(\eta )|\leqq t$ geht in $\left|n\left(\eta (\varphi )\right)\right|\leqq 1$ über; da ferner in Folge der Bedingungen (13) die $r$ Logarithmen $l_{1}(\xi )$, …, $l_{r}(\xi )$ und folglich wegen $l_{1}(\xi )+\cdots +l_{r+1}(\xi )=\ln(\xi )=0$ auch der Logarithmus $l_{r+1}(\xi )$ absolut unter einer endlichen, durch $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{r}$ bestimmten Grenze liegen, so folgt das Gleiche für die sämtlichen Größen $\left|\xi ^{(1)}(\varphi )\right|$, …, $\left|\xi ^{(m)}(\varphi )\right|,$ und damit liegen wegen $\left|n\left(\eta (\varphi )\right)\right|\leqq 1$ auch die $m$ Größen $\left|\eta ^{(1)}(\varphi )\right|$, …, $\left|\eta ^{(m)}(\varphi )\right|$ sämtlich unterhalb einer endlichen Grenze. Hieraus folgt, daß die Ungleichungen (13) unter Zuhilfenahme der Ungleichung $\left|n\left(\eta (\varphi )\right)\right|\leqq 1$ in dem durch die $m$ Koordinaten $\varphi _{1}$, …, $\varphi _{m}$ bestimmten $m$-dimensionalen Raume ein endliches Raumgebiet abgrenzen.
Bedenken wir nun, daß nach den Ausführungen in § 19 S. 103 die Funktionswerte $l_{1}(\eta )$, …, $l_{m}(\eta )$ die Werte der Variabeln $\varphi _{1}$, …, $\varphi _{m}$ $2^{r_{1}}$-deutig bestimmen, so ist nach der Definition des Begriffs eines vielfachen Integrals
* ${\underset {\tau =0}{L}}\left\{wT\tau ^{m}\right\}=2^{r_{1}}\iint \ldots \int d\varphi _{1}\;d\varphi _{2}\ldots d\varphi _{m}$,
wo das Integral rechter Hand über das durch die Ungleichungen
* $0\leqq e_{1}\leqq 1$, …, $0\leq e_{r}\leqq 1$, $\left|n\left(\eta (\varphi )\right)\right|\leqq 1$
bestimmte $m$-dimensionale Raumgebiet zu erstrecken ist und daher einen endlichen bestimmten Wert besitzt.
Um diesen Wert zu ermitteln, führen wir statt der Integrationsverändenlichen $\varphi _{1}$, …, $\varphi _{m}$ die neuen Veränderlichen $\psi _{1}=e_{1}(\xi )$, …, $\psi _{r}=e_{r}(\xi )$, $\psi _{r+1}=|n(\eta )|$, $\psi _{r+2}=l_{r+2}(\xi )$, …, $\psi _{m}=l_{m}(\xi )$ ein, wo $\xi$ und $\eta$ von $\varphi _{1}$, …, $\varphi _{m}$ abhängig zu nehmen sind. Da diese $m$ Größen sämtlich analytische und in dem Integrationsgebiet
* $0\leqq \psi _{1}\leqq 1$, …, $0\leqq \psi _{r}\leqq 1$, $0\leqq \psi _{r+1}\leqq 1$, $0\leqq \psi _{r+2}\leqq 2\pi$, …, $0\leqq \psi _{m}\leqq 2\pi$
sich regulär verhaltende, eindeutige Funktionen von $\varphi _{1}$, …, $\varphi _{m}$ sind, so ist
* $\int \ldots \int d\varphi _{1}\ldots d\varphi _{m}=\int \ldots \int \left|{\frac {\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{m}}{\psi _{1},\ldots ,\psi _{m}}}\right|d\psi _{1}\ldots d\psi _{m}$.
* $\left|{\frac {f_{1},\ldots ,f_{m}}{l_{1}(\eta ),\ldots ,l_{m}(\eta )}}\right|=\left|{\frac {n(\eta )}{\sqrt {d}}}\right|$.
Ferner bestehen wegen
* $ln(\eta )=l_{1}(\eta )+\cdots +l_{r+1}(\eta ),\qquad l_{s}(\xi )=l_{s}(\xi )=l_{s}(\eta )-{\frac {1}{m}}ln(\eta )$
* $(s=1,\,2,\,\ldots ,\,r)$
offenbar die Beziehungen:
* $\left|{\frac {l_{1}(\eta ),\,\ldots ,\,l_{r}(\eta ),\,l_{r+1}(\eta )}{l_{1}(\eta ),\,\ldots ,\,l_{r}(\eta ),\,ln(\eta )}}\right|=1,\qquad \left|{\frac {l_{1}(\eta ),\,\ldots ,\,l_{r}(\eta ),\,ln(\eta )}{l_{1}(\xi ),\,\ldots ,\,l_{r}(\xi ),\,ln(\eta )}}\right|=1;$
und da endlich
* $l_{r+2}(\eta )=l_{r+2}(\xi ),\,\ldots ,\,l_{m}(\eta )=l_{m}(\xi )$,
* $\left|{\frac {ln(\eta )}{n(\eta )}}\right|={\frac {1}{n(\eta )}}$,
* $\left|{\frac {\varphi _{1},\,\ldots ,\,\varphi _{m}}{f_{1}(\varphi ),\,\ldots ,\,f_{m}(\varphi )}}\right|={\frac {1}{n({\mathfrak {a}})}}$,
* $\left|{\frac {l_{1}(\xi ),\,\ldots ,\,l_{r}(\xi )}{\psi _{1},\,\ldots ,\,\psi _{r}}}\right|=R$
ist, so ergibt sich durch Multiplikation sämtlicher Gleichungen
* $\left|{\frac {\varphi _{1},\,\ldots ,\,\varphi _{m}}{\psi _{1},\,\ldots ,\,\psi _{m}}}\right|={\frac {R}{n({\mathfrak {a}})\left|{\sqrt {d}}\right|}}$.
Das obige Integral besitzt daher den Wert ${\frac {(2\pi )^{r_{2}}R}{n({\mathfrak {a}})|{\sqrt {d}}|}}$; hiermit ist der Beweis für den Hilfssatz 10 erbracht.
Wir setzen im folgenden zur Abkürzung
* $\varkappa ={\frac {2^{r_{1}+r_{2}}\pi ^{r_{2}}}{w}}\cdot {\frac {R}{\left|{\sqrt {d}}\right|}}$,
so daß $\varkappa$ eine durch den Körper allein bestimmte und für diesen charakteristische Größe bedeutet.
$\zeta (s)$
$s=1$
Satz 54. Wenn $T$ die Anzahl aller Ideale einer Klasse $A$ bedeutet, deren Normen $\leqq t$ ausfallen, so ist
* ${\underset {t=\infty }{L}}{\frac {T}{t}}=\varkappa$.
Beweis. Ist ${\mathfrak {a}}$ ein Ideal der zu $A$ reziproken Klasse $A^{-1}$, und durchläuft ${\mathfrak {x}}$ alle Ideale der Klasse $A$, so stellt das Produkt ${\mathfrak {ra}}$ alle durch ${\mathfrak {a}}$ teilbaren Hauptideale und jedes nur einmal dar. Setzen wir daher in der Formel des Hilfssatzes 10 $t=n({\mathfrak {a}})t'$‚ so bedeutet $T$ zugleich die Anzahl der Ideale ${\mathfrak {x}}$ in $A$‚ für welche $n({\mathfrak {x}})\leqq t'$ ist. Nach Fortheben des Faktors $n({\mathfrak {a}})$ folgt die zu beweisende Formel für $t=t'$.
Da die Zahl $\varkappa$ von der Wahl der Klasse $A$ unabhängig ist, so ergibt sich unmittelbar aus Satz 54 die folgende Tatsache: Satz 55. Ist $T$ die Anzahl aller Ideale des Körpers $k$, deren Normen $\leqq t$ ausfallen, und bedeutet $h$ die Anzahl der Idealklassen, so ist
* ${\underset {t=\infty }{\mathit {L}}}{\frac {T}{t}}=h\varkappa$.
Aus dieser Formel kann mit Hilfe analytischer Methoden ein fundamentaler Ausdruck für die Klassenenzahl $h$ abgeleitet werden. Es ergibt sich nämlich folgende Tatsache:
Satz 56. Die unendliche Reihe
* $\zeta (s)=\sum \limits _{({\mathfrak {j}})}{\frac {1}{n({\mathfrak {j}})^{s}}}$,
in welcher ${\mathfrak {j}}$ alle Ideale des Körpers durchläuft, konvergiert für reelle Werte von $s>1$, und es ist
* ${\underset {s=1}{\mathit {L}}}\{(s-1)\zeta (s)\}=h\varkappa$.
[Dedekind (1)].
Beweis. Bezeichnen wir mit $F(n)$ die Anzahl der verschiedenen Ideale mit der Norm $n$, so ist offenbar, wenn $T$ die in Satz 55 angegebene Bedeutung hat,
* ${\underset {t=\infty }{\mathit {L}}}{\frac {T}{t}}={\underset {n=\infty }{\mathit {L}}}{\frac {F(1)+F(2)+\cdots +F(n)}{n}}$.
Der Limes rechter Hand kann nun, wie folgt, als Grenzwert einer unendlichen Reihe dargestellt werden [Dirichlet (15)]. Wir ordnen die sämtlichen Ideale ${\mathfrak {j}}$ des Körpers nach der Größe ihrer Normen, schreiben die entstehende Reihe ${\mathfrak {j}}_{1}$‚ ${\mathfrak {j}}_{2}$, …, ${\mathfrak {j}}_{t}$, … und bezeichnen allgemein die Norm von ${\mathfrak {j}}_{t}$ mit $n_{t}$, dann ist
* $F(1)+\cdots +F(n_{t}-1)<t\leqq F(1)+\cdots +F(n_{t})$
oder
* ${\frac {F(1)+\cdots +F(n_{t}-1)}{n_{t}-1}}\left(1-{\frac {1}{n_{t}}}\right)<{\frac {t}{n_{t}}}\leqq {\frac {F(1)+\cdots +F(n_{t})}{n_{t}}}$,
und hieraus folgt nach Satz 55: ${\underset {t=\infty }{\mathit {L}}}{\frac {t}{n_{t}}}=h\varkappa$, d. h.: wie klein auch die positive Größe $\delta$ gegeben sein mag, es ist stets möglich, die ganze Zahl $t$ so groß zu wählen, daß die Ungleichungen
| ${\frac {h\varkappa -\delta }{t'}}<{\frac {1}{n_{t'}}}<{\frac {h\varkappa +\delta }{t'}}$ | (14) |
für alle ganzen Zahlen $t'\geqq t$ gültig sind.
Andererseits ist bekannt, daß, wenn $s$ eine reelle Zahl $>1$ bedeutet, die Reihe $\sum \limits _{(t)}{\frac {1}{t^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots$ konvergiert, und daß ${\underset {s=1}{\mathit {L}}}\left\{(s-1)\sum \limits _{(t)}{\frac {1}{t^{s}}}\right\}=1$ ist. Die letztere Gleichung zeigt, daß auch ${\underset {s=1}{\mathit {L}}}\left\{(s-1)\sum \limits _{(t')}{\frac {1}{t'^{s}}}\right\}=1$ ist, wo $t'$ nur alle diejenigen ganzen Zahlen durchlaufen soll, welche oberhalb einer beliebig hohen Grenze $t$ gelegen sind. Zunächst folgt aus der Konvergenz der Reihe $\sum {\frac {1}{t^{s}}}$ mit Hilfe der Ungleichung $\textstyle {\frac {1}{n_{t'}}}<{\frac {h\varkappa +\delta }{t'}}$ die Konvergenz der Reihe
* $\sum _{(t)}{\frac {1}{n_{t}^{s}}}=\sum _{({\mathfrak {j}})}{\frac {1}{n({\mathfrak {j}})^{s}}}$
für $s>1$, wo $t$ alle ganzen positiven Zahlen und ${\mathfrak {j}}$ alle Ideale des Körpers $k$ durchläuft. Ferner ergibt sich aus den Ungleichungen (14) die Formel:
* $(h\varkappa -\delta )^{s}(s-1)\sum _{(t')}{\frac {1}{t'^{s}}}<(s-1)\sum _{(t')}{\frac {1}{n_{t'}^{s}}}<(h\varkappa +\delta )^{s}(s-1)\sum _{(t')}{\frac {1}{t'^{s}}}$,
wo die Summen sich über alle ganzzahligen Werte von $t'$ zu erstrecken haben, welche $\geqq t$ sind. Man kann zur Grenze $s=1$ übergehen und findet:
* $h\varkappa -\delta \leqq {\underset {s=1}{L}}\left\{(s-1)\sum _{(t')}{\frac {1}{n_{t'}^{s}}}\right\}\leqq h\varkappa +\delta$.
Nun ist
* ${\underset {s=1}{L}}\left\{(s-1)\sum _{({\mathfrak {j}})}{\frac {1}{n({\mathfrak {j}})^{s}}}\right\}={\underset {s=1}{L}}\left\{(s-1)\sum _{(t)}{\frac {1}{n_{t}^{s}}}\right\}={\underset {s=1}{L}}\left\{(s-1)\sum _{(t')}{\frac {1}{n_{t'}^{s}}}\right\}$
ebenfalls $\geqq h\varkappa -\delta$ und $\leqq h\varkappa +\delta$ und also, da hierin $\delta$ eine beliebig kleine Größe bedeutet, $=h\varkappa$, womit der gewünschte Nachweis des Satzes 56 erbracht ist.
$\zeta (s)$
Die Funktion $\zeta (s)$ kann noch auf drei andere Arten durch unendliche Entwicklungen dargestellt werden [Dededkind (1)]. Es ist, wie leicht ersichtlich:
* ${\begin{aligned}\zeta (s)&=\sum _{(n)}{\frac {F(n)}{n^{s}}},\\&=\prod _{({\mathfrak {p}})}{\frac {1}{1-n({\mathfrak {p}})^{-s}}},\\&=\prod _{(p)}\left({\frac {1}{1-p^{-f_{1}s}}}{\frac {1}{1-p^{-f_{2}s}}}\cdots {\frac {1}{1-p^{-f_{e}s}}}\right);\end{aligned}}$
hier ist im ersten Ausdruck die Summe über alle ganzen rationalen positiven Werte von $n$, im zweiten Ausdruck ist das Produkt über alle Primideale ${\mathfrak {p}}$ des Körpers $k$, und im dritten Ausdruck ist das Produkt über alle rationalen Primzahlen zu erstrecken, wobei $f_{1}$, $f_{2}$, …, $f_{e}$ die Gerade der $e$ in $p$ aufgehenden Primideale bedeuten. Alle diese unendlichen Summen und Produkte für $\zeta (s)$ konvergieren für $s>1$, da die Glieder sämtlich positiv sind, in einer von der Reihenfolge der Summanden oder Faktoren unabhängigen Weise.
Betreffs der multiplikativen Darstellung der Idealklassen gilt der folgende wichtige Satz (Schering (1), Kronecker (11)]:
Satz 57. Es gibt stets $q$ Klassen $A_{1}$, …, $A_{q}$, so daß jede andere Klasse $A$ auf eine und nur auf eine Weise in der Gestalt $A=A_{1}^{x_{1}}\ldots A_{q}^{x_{q}}$ darstellbar ist; dabei durchlaufen $x_{1}$, …, $x_{q}$, die ganzen Zahlen $0$, $1$, $2$, … bez. bis $h_{1}-1$, …, $h_{q}-1$, und es ist $A_{1}^{h_{1}}=1$, …, $A_{q}^{h_{q}}=1$ und $h=h_{1}\ldots h_{q}$.
Beweis. Man bilde für jede Klasse $A$ den niedrigsten Exponenten $e_{1}>0$ derart, daß $A^{e_{1}}=1$ wird. Der größte aller dieser Exponenten $e_{1}$ werde mit $h_{1}$ bezeichnet, und es sei $H_{1}$ eine hierbei auf $h_{1}$ führende Klasse. Nun bestimme man für jede Klasse $A$ den niedrigsten Exponenten $e_{2}>0$ derart, daß $A^{e_{2}}$ gleich einer Potenz von $H_{1}$ wird. Der höchste dieser Exponenten $e_{2}$, werde mit $h_{2}$ bezeichnet, und $H_{2}$ sei eine auf $h_{2}$ führende Klasse. Ferner bestimme man für jede Klasse $A$ den niedrigsten Exponenten $e_{3}>0$ derart, daß $A^{e_{3}}$ gleich einem Produkt von Potenzen der Klassen $H_{1}$, $H_{2}$ wird; es sei $h_{3}$ der höchste dieser Exponenten $e_{3}$ und $H_{3}$ eine auf $h_{3}$ führende Klasse. Fährt man so fort, so entsteht eine Reihe von Klassen $H_{1}$, $H_{2}$, …, $H_{q}$, denen, wie man unmittelbar sieht, die Eigenschaft zukommt, daß eine jede Klasse $A$ auf eine und nur auf eine Weise in der Gestalt $A=H_{1}^{x_{1}}\cdots H_{q}^{x_{q}}$ dargestellt werden kann, wo $x_{1}$, …, $x_{q}$, die im Satze 57 angegebenen Werte annehmen.
Es sei nun
| $H_{s}^{h_{s}}=H_{t}^{a_{t}}H_{t-1}^{a_{t-1}}\cdots H_{1}^{a_{1}},\qquad (a_{t}\neq 0)$ | (15) |
wo $t<s$ ist und $a_{t}$, $a_{t-1}$‚ …‚ $a_{1}$ gewisse ganzzahlige Exponenten bedeuten. Aus den gemachten Festsetzungen folgt $H_{s}^{h_{t}}=H_{t-1}^{b_{t-1}}\ldots H_{1}^{b_{1}}$, wo $b_{t-1}$, …, $b_{1}$ gewisse ganze Zahlen sind; es muß $h_{t}$ durch $h_{s}$ teilbar sein, da im anderen Falle bereits eine niedere als die $h_{s}$-te Potenz von $H_{s}$ als Produkt der Klassen $H_{t}$, $H_{t-1}$, …, $H_{1}$ darstellbar sein würde. Wird $h_{t}=h_{s}l_{t}$ gesetzt, so folgt, daß $H_{t}^{a_{t}l_{t}}$ durch ein Produkt der Klassen $H_{t-1}$, …, $H_{1}$ darstellbar ist; es ist daher notwendig $a_{t}l_{t}$ durch $h_{t}$, d. h. $a_{t}$, durch $h_{s}$ teilbar. Setzen wir $a_{t}=h_{s}c_{s}$ und wählen an Stelle der Klasse $H_{s}$, die Klasse $H_{s}'=H_{s}H_{t}^{-c_{s}}$, so geht die Gleichung (15) über in die einfachere Gleichung ${H'_{s}}^{h_{s}}=H_{t-1}^{a_{t-1}}\ldots H_{1}^{a_{1}}$. Die Fortsetzung dieses Verfahrens führt schließlich zu einer Klasse $A_{s}$, an Stelle von $H_{s}$, für welche die gewünschte Relation $A_{s}^{h_{s}}=1$ stattfindet.
Die obige Darstellung der Klassen kann überdies so eingerichtet werden, daß die Zahlen $h_{1}$, …, $h_{q}$, Primzahlen oder Primzahlpotenzen sind. Wäre nämlich $g$ eine der Zahlen $h_{1}$, …, $h_{q}$, welche noch nicht Primzahl oder Primzahlpotenz ist, und wäre etwa $g=p'p''$ …, wo $p'$, $p''$, … Potenzen verschiedener Primzahlen sind, so setze man, wenn $B$ die zu $g$ gehörige Klasse bezeichnet, $B'=B^{\frac {g}{p'}}$, $B''=B^{\frac {g}{p''}}$, …. Wir haben dann $B'^{p'}=1$, $B''^{p''}=1$, …, und wenn
* ${\frac {1}{g}}={\frac {a'}{p'}}+{\frac {a''}{p''}}+\cdots$
$B=B'^{\ a'}B''^{\ a''}\ldots$
$B',B'',\ldots$
$B$
$A_{1},\ldots ,A_{q}$
$\zeta (s)$
Nachdem ein bestimmtes System von Grundklassen ausgewählt worden ist, ist eine jede vorhandene Klasse $A$ durch die Exponenten $x_{1},\ldots ,x_{q}$ und mithin auch durch die $q$ Einheitswurzeln
* $\chi _{1}(A)=\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi x_{1}}{h_{1}}},\ldots ,\chi _{q}(A)=\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi x_{q}}{h_{q}}}$
eindeutig bestimmt. Diese $q$ Einheitswurzeln $\chi (A)$ heißen die Charaktere der Klasse $A$. Sind $\chi (A)$, $\chi (B)$ Charaktere der beiden Klassen $A$, bez. $B$, so ist offenbar $\chi (AB)=\chi (A)\chi (B)$. Der Charakter $\chi (A)$ einer Klasse wird zugleich auch als der Charakter $\chi ({\mathfrak {a}})$ eines jeden in $A$ enthaltenen Ideals ${\mathfrak {a}}$ bezeichnet.
Mit Hilfe eines Charakters $\chi$ läßt sich dann eine Funktion bilden, welche eine Verallgemeinerung der oben betrachteten Funktion $\zeta (s)$ ist, und welche eine ähnliche Produktentwicklung gestattet [Dedekind (1)]. Diese Funktion ist
* $\sum \limits _{({\mathfrak {j}})}{\frac {\chi ({\mathfrak {j}})}{n({\mathfrak {j}})^{s}}}=\prod \limits _{({\mathfrak {p}})}{\frac {1}{1-\chi ({\mathfrak {p}})n({\mathfrak {p}})^{-s}}}$,
wo die Summe über alle Ideale ${\mathfrak {j}}$ und das Produkt über alle Primideale ${\mathfrak {p}}$ des Körpers $k$ zu erstrecken ist.
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* ↑ [360] Über die positiven quadratischen Formen und über kettenbruchähnliche Algorithmen. J. Math. 107 (1891).
* ↑ [360] Geometrie der Zahlen. Leipzig 1896.
* ↑ [356] Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 2. bis 4. Aufl. Braunschweig 1871–1894.
* ↑ [359] Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Größen. J. Math. 92 (1882).
* ↑ [358] Die unimodularen Substitutionen in einem algebraischen Zahlkörper. Nachr. K. Ges. Wiss. Göttingen 1895.
* ↑ [357] Sur la manière de résoudre l’équation $t^{2}-pu^{2}=1$ au moyen des fonctions circulaires. Werke 1, 343.
* ↑ [357] Sur l’usage des séries infinies dans la théorie des nombres. Werke 1, 357 (1838).
* ↑ [357] Sur un théorème relatif aux séries. J. Math. 53 (1857).
* ↑ [360] Zahlentheoretische Bemerkung. Auszug aus einem Brief an Herrn Kronecker. J. Math. 100 (1887).
* ↑ [359] Auseinandersetzung einiger Eigenschaften der Klassenanzahl idealer komplexer Zahlen. Werke 1, 271 (1870).

## Anmerkungen (Wikisource)

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