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# Schwere, Elektricität und Magnetismus:031

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
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* ${\frac {4}{3}}\pi \rho s^{2}.\,$
Für die Kugelschale liegt der angezogene Punkt im inneren Hohlraume, speciell auf der inneren Begrenzung. Folglich ist die Potentialfunction nach §. 4, Gleichung (10) zu berechnen und $s\,$ an die Stelle von $p\,$ zu schreiben.
Die Potentialfunction der gesammten anziehenden Kugel vom Radius $q\,$ auf einen inneren Punkt $(s<q)\,$ ist also
* $V={\frac {4}{3}}\pi \rho s^{2}+2\pi \rho (q^{2}-s^{2})\,$
oder kürzer
| (1) | $V=2\pi \rho q^{2}-{\frac {2}{3}}\pi \rho s^{2}.\,$ |
Dagegen ist die Potentialfunction derselben kugelförmigen Masse auf einen äusseren Punkt $(s>q)\,$
| (2) | $V={\frac {4\pi \;\rho \;q^{3}}{3s}},\,$ |
wie sich unmittelbar aus §. 4, Gleichung (11) ergibt. Der Ausdruck für $V\,$ ist also durchaus verschieden, je nachdem der angezogene Punkt innerhalb oder ausserhalb der anziehenden Kugel liegt. Ebenso weichen auch die Ausdrücke für die ersten Derivirten ab. Denn es ist für $s<q\,$:
| (3) | ${\frac {\partial \;V}{\partial x}}=-{\frac {4}{3}}\pi \;\rho \;s{\frac {\partial s}{\partial x}}=-{\frac {4}{3}}\pi \;\rho \;x,$ ${\frac {\partial \;V}{\partial y}}=-{\frac {4}{3}}\pi \;\rho \;s{\frac {\partial s}{\partial y}}=-{\frac {4}{3}}\pi \;\rho \;y,$ ${\frac {\partial \;V}{\partial z}}=-{\frac {4}{3}}\pi \;\rho \;s{\frac {\partial s}{\partial z}}=-{\frac {4}{3}}\pi \;\rho \;z.$ |
Dagegen hat man für $s<q\,$:
| (4) | ${\frac {\partial \;V}{\partial x}}=-{\frac {4}{3}}\pi \;\rho \;\;q^{3}{\frac {x}{s^{3}}},$ ${\frac {\partial \;V}{\partial y}}=-{\frac {4}{3}}\pi \;\rho \;\;q^{3}{\frac {y}{s^{3}}},$ ${\frac {\partial \;V}{\partial z}}=-{\frac {4}{3}}\pi \;\rho \;\;q^{3}{\frac {z}{s^{3}}}.$ |
Es ist nicht überflüssig zu bemerken, dass für $s=q\,$ die beiden Ausdrücke für $V\,$ in (1) und (2) denselben Werth geben,
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:032

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und ebenso die Ausdrücke für die gleichnamigen Derivirten in (3) und in (4). Obgleich also die Function $V\,$ durch zwei ganz verschiedene analytische Ausdrücke dargestellt wird, je nachdem der Punkt $(x,\,y,\,z)$ innerhalb oder ausserhalb der anziehenden Masse liegt, so hat sie doch überall einen endlichen Werth, der sich stetig ändert, wenn der Punkt $(x,\,y,\,z)$ sich stetig bewegt, auch dann noch, wenn er durch die Oberfläche der anziehenden Masse hindurchgeht. Dasselbe gilt von den ersten Derivirten ${\frac {\partial \;V}{\partial x}},{\frac {\partial \;V}{\partial y}},{\frac {\partial \;V}{\partial z}}$. Es gilt aber nicht von den zweiten Derivirten. Man erhält nemlich für $s<q\,$.
| (5) | ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}=-{\frac {4}{3}}\pi \rho ,{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y\;\partial z}}=0,$ ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}=-{\frac {4}{3}}\pi \rho ,{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z\;\partial x}}=0,$ ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=-{\frac {4}{3}}\pi \rho ,{\frac {\partial ^{2}V}{\partial x\;\partial y}}=0.$ |
Dagegen ergibt sich für $s>q\,$:
| (6) | ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}=-{\frac {4}{3}}\pi \rho q^{3}\left({\frac {1}{s^{3}}}-{\frac {3x^{2}}{s^{5}}}\right),{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y\;\partial z}}=4\pi \rho q^{3}{\frac {yz}{s^{5}}},$ ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}=-{\frac {4}{3}}\pi \rho q^{3}\left({\frac {1}{s^{3}}}-{\frac {3y^{2}}{s^{5}}}\right),{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z\;\partial x}}=4\pi \rho q^{3}{\frac {zx}{s^{5}}},$ ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=-{\frac {4}{3}}\pi \rho q^{3}\left({\frac {1}{s^{3}}}-{\frac {3z^{2}}{s^{5}}}\right),{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y\;\partial z}}=4\pi \rho q^{3}{\frac {xy}{s^{5}}},$ |
Hier geben auch für $s=q\,$ die Ausdrücke der gleichnamigen Derivirten in (5) und in (6) nicht dieselben Werthe. Die zweiten Derivirten von $V\,$ ändern sich also sprungweise, wenn der Punkt $(x,\,y,\,z)$ durch die Oberfläche der anziehenden Masse hindurchgeht.
Zu bemerken ist noch, dass für $s>q\,$ sich ergibt
| (7) | ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=0.\,$ |
Dies ist die Gleichung von Laplace, die wir für einen Punkt ausserhalb der anziehenden Masse bereits allgemein bewiesen haben.
Für $s<q\,$, d. h. wenn der angezogene Punkt innerhalb der anziehenden Kugel liegt, erhalten wir
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:034

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parallelen Radius liegt. Die vom Punkte $(x,\;y,\;z)\,$ nach dem Punkte $(a,\;b,\;c)\,$ gezogene gerade Linie $r\,$ schneidet die Kugel in einem Punkte, welcher durch seine Poldistanz $\theta \,$ und seine geographische Länge $\varphi \,$ eindeutig festgelegt wird. Die Poldistanz des Punktes ist sein sphärischer Abstand vom Pol. Seine geographische Länge ist der sphärische Winkel, welchen sein Meridian mit dem Anfangsmeridian einschliesst. Irgend ein Punkt im Innern der anziehenden Masse wird dann einerseits durch seine rechtwinkligen Coordinaten $a,\;b,\;c$, andererseits durch seine Kugel-Coordinaten $r,\;\varphi ,\;\theta$ festgelegt. Zur Transformation der Coordinaten dienen die Gleichungen
| (2) | $a=x+r\sin \theta \cos \varphi ,\,$ $b=y+r\sin \theta \sin \varphi ,\,$ $c=z+r\cos \theta .\,$ |
Auf der Kugel vom Radius 1 wählen wir vier Punkte mit den sphärischen Coordinaten
* $(\theta ,\varphi ),\;(\theta +d\theta ,\varphi ),\;(\theta +d\theta ,\varphi +d\varphi ),\;(\theta ,\varphi +d\varphi )$
und ziehen durch sie vom Punkte $(x,\;y,\;z)$ aus vier Strahlen, welche die Kanten einer vierseitigen Ecke bilden. Aus dieser Ecke schneiden die um $(x,\;y,\;z)$ als Mittelpunkt mit den Radien $r\,$ und $r+dr\,$ gelegten Kugelflächen ein unendlich kleines Raumelement aus, dessen einer Eckpunkt im Punkte $(a,\;b,\;c)$ liegt. Die Masse dieses Raumelementes ist
* $\rho \cdot dr\cdot r\;d\theta \cdot \sin \theta \;d\varphi .$
Man kann sich dieselbe im Punkte $(a,\;b,\;c)$ concentrirt denken. Sie liefert zu der Potentialfunction den Beitrag
| (3) | ${\frac {\rho \;r^{2}\;\sin \theta \;dr\ d\theta \;d\varphi }{r}}.$ |
Die Potentialfunction selbst wird hiernach
| (4) | $V=\int \limits _{0}^{2\pi }d\varphi \int \limits _{0}^{\pi }\sin \theta \;d\theta \int \limits _{0}^{R}\rho \;r\;dr.$ |
Darin ist mit $R\,$ der Werth bezeichnet, welchen $r\,$ annimmt, wenn der Punkt $(a,\;b,\;c)\,$ in der Oberfläche der anziehenden Masse liegt. $R\,$ ist eine Function von $\theta \,$ und $\varphi \,$. Man erhält den Zusammenhang zwischen $R,\;\theta ,\;\varphi$, indem man in die Gleichung der
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:029

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ziehenden Masse in unendlicher Entfernung liegt, so ergibt sich unmittelbar aus der Definition [§. 2, Gleichung (5)], dass $V=0\,$ ist für $s=\infty$. Folglich ist jetzt $\beta =0\,$. Um $\alpha \,$ zu bestimmen, stellen wir folgende Betrachtung an.
Der angezogene Punkt, welcher vom Anfangspunkte der Coordinaten um die Strecke $s\,$ entfernt ist, hat von den einzelnen Punkten der Kugelschale verschiedene Abstände. Der grösste Abstand ist $s+q\,$, der kleinste $s-q\,$. Man hat also die doppelte Ungleichung
* ${\frac {1}{s-q}}>{\frac {1}{r}}>{\frac {1}{s+q}}.\,$
Wir multipliciren an allen drei Stellen mit $\rho \;da\;db\;dc$ und integriren über die gesammte anziehende Masse. An der mittleren Stelle ist das Resultat $=V\,$. An den beiden äusseren Stellen kann man die Nenner $s-q\,$ und $s+q\,$, die bei der Integration constant bleiben, vor das Integralzeichen nehmen. Beachtet man also, dass
* $\iiint \rho \;da\;db\;dc=M,$
d. h. gleich der gesammten anziehenden Masse ist, so ergibt sich
* ${\frac {M}{s-q}}>V>{\frac {M}{s+q}}.\,$
Nun ist aber $V={\frac {\alpha }{s}}$, folglich
* ${\frac {M}{1-{\frac {q}{s}}}}>{\frac {\alpha }{M}}>{\frac {M}{1+{\frac {q}{s}}}}.$
Diese Ungleichung gilt für jedes $s\,$, das grösser als $q\,$ ist, also auch für $s=\infty$. Sie geht aber für $s=\infty$ über in die Gleichung
* ${\frac {\alpha }{M}}=1.\,$
Folglich ist die Potentialfunction der Kugelschale von der Masse $M\,$ in Beziehung auf einen Punkt im äusseren Raume
| (11) | $V={\frac {M}{s}}.$ |
In der Richtung des Radius vector wirkt die Kraft
* $-{\frac {M}{s^{2}}},$
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:033

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$V\,$
| (8) | ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=-4\pi \rho .\,$ |
Diese Gleichung ist hier vorläufig nur für einen Specialfall bewiesen. Der allgemeine Fall soll ausführlich behandelt werden.
Wir kehren zu der allgemeinen Untersuchung der Potentialfunction zurück. Der angezogene Punkt soll im Innern der anziehenden Masse liegen, die über einen körperlichen Raum stetig vertheilt ist. Das Integral
| (1) | $V=\iiint {\frac {\rho \;da\;db\;dc}{r}},$ |
${\frac {1}{r}}\,$
$(x,\,y,\,z)$
$z\,$
$x\,$
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:037

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$V\,$
Raumes ganz beliebig gewählt werden kann, oder - was dasselbe sagt - in der Gleichung dieser Oberfläche
* $\varepsilon =f(\theta ,\varphi )\,$
die Function $f\,$ völlig willkürlich ist. Bezeichnet man mit $\rho _{1}\,$ den grössten, mit $\rho _{2}\,$ den kleinsten Werth, welchen die Dichtigkeit $\rho \,$ überhaupt annimmt, so findet sich
* $\rho _{1}(\lg R-\lg \varepsilon )>\int \limits _{\varepsilon }^{R}\rho {\frac {dr}{r}}>\rho _{2}(\lg R-\lg \varepsilon ).$
Der zu grosse und der zu kleine Werth sind unbestimmt, so lange $\varepsilon \,$ endlich bleibt. Fragt man aber nach dem Grenzwerthe für ein unendlich abnehmendes $\varepsilon \,$, so kann von einem solchen nicht die Rede sein, weil $\lim \lg \varepsilon =-\infty$ ist für $\lim \varepsilon =0.\,$
Die Integrale in (6) haben also gar keine Bedeutung, wenn der Punkt $(x,\,y,\,z)$ im Innern der anziehenden Masse liegt.
Wollte man in (4) und (5) bei der Integration nach $r\,$ zunächst $\varepsilon \,$ als untere Grenze nehmen, so fände sich
* ${\frac {1}{2}}\rho _{1}(R^{2}-\varepsilon ^{2})>\int \limits _{\varepsilon }^{R}\rho \,r\,dr>{\frac {1}{2}}\rho _{2}(R^{2}-\varepsilon ^{2})$
und ferner
* $\rho _{1}(R-\varepsilon )>\int \limits _{\varepsilon }^{R}\rho \,dr>\rho _{2}(R-\varepsilon ).$
Auch hier sind die zu grossen und die zu kleinen Werthe unbestimmt, so lange $\varepsilon \,$ endlich bleibt. Diese Unbestimmtheit fällt aber bei unendlich abnehmendem $\varepsilon \,$ weg, weil das von $\varepsilon \,$ Abhängige den Grenzwerth Null hat.
Um die zweiten Derivirten von $V\,$ auch für den Fall zu ermitteln, dass der angezogene Punkt $(x,\,y,\,z)$ im Innern der anziehenden Masse liegt, wollen wir zunächst die Ausdrücke für ${\frac {\partial V}{\partial x}},{\frac {\partial V}{\partial y}},{\frac {\partial V}{\partial z}}$ transformiren und erst nachher die neue Differentiation vornehmen.
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:313

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nur im Innern des zweiten Leiters von Null verschieden [§. 66, (2), §. 77, (1), (2), (3)]. Bezeichnen wir also mit $dS'\,$ ein Raumelement des zweiten Leiters, so erhalten wir jetzt
| (2) | $P={\frac {1}{4\pi }}\int dS'{\begin{Bmatrix}u_{1}\left({\frac {\partial Y'}{\partial z}}-{\frac {\partial Z'}{\partial y}}\right)\\+u_{2}\left({\frac {\partial Z'}{\partial x}}-{\frac {\partial X'}{\partial z}}\right)\\+u_{3}\left({\frac {\partial X'}{\partial y}}-{\frac {\partial Y'}{\partial x}}\right)\end{Bmatrix}},$ |
und die Integration erstreckt sich nur über den Raum des zweiten Leiters.
Die Functionen $u_{1},\,u_{2},\,u_{3}\,$ sind durch die Gleichungen (5) des §. 78 ausgedrückt. Es ist nemlich
| (3) | $u1=-\int {\frac {i_{1}\,dS}{r}},$ $u2=-\int {\frac {i_{2}\,dS}{r}},$ $u3=-\int {\frac {i_{3}\,dS}{r}}.$ |
Hier beziehen sich $u_{1},\,u_{2},\,u_{3}$ nur auf die magnetischen Kräfte, die von dem ersten Strome ausgeübt werden. Folglich hat man in den Gleichungen (3) unter $dS\,$ ein Raumelement im Innern des ersten Leiters zu verstehen. Es sind $i_{1},\,i_{2},\,i_{3}\,$ die Componenten der specifischen Stromintensität in einem Punkte dieses Raumelementes, und $r\,$ ist der Abstand desselben Punktes von dem Punkte $(x,\,y,\,z)$. Die Integrationen in (3) erstrecken sich nur über den Raum des ersten Leiters.
Bezeichnen wir ferner mit $i_{1}',\,i_{2}',\,i_{3}'\,$ die Componenten der specifischen Stromintensität in einem Punkte des zweiten Leiters, so haben wir nach den Gleichungen (1), (2), (3) des §. 77
| (4) | $4\,\pi \,i_{1}'={\frac {\partial Z'}{\partial y}}-{\frac {\partial Y'}{\partial z}},$ $4\,\pi \,i_{2}'={\frac {\partial X'}{\partial z}}-{\frac {\partial Z'}{\partial x}},$ $4\,\pi \,i_{3}'={\frac {\partial Y'}{\partial x}}-{\frac {\partial X'}{\partial y}}.$ |
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:309

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Bei einer unendlich kleinen Verschiebung des Magnets ändert sich der Werth von $P\,$. Die Aenderung gibt die Arbeit an, welche die von dem Strome ausgeübten magnetischen Kräfte zu leisten haben, um jene Verschiebung zu Stande zu bringen. Nach dem Satze von der Gleichheit der Wirkung und Gegenwirkung findet sich umgekehrt die Wirkung des Magnets auf den Strom.
Wir haben im §. 86 die Wechselwirkung zwischen zwei Magneten betrachtet. In §. 87 ist für den ersten Magnet ein constanter galvanischer Strom an die Stelle gesetzt. Man kann aber auch noch statt des andern Magnets einen constanten Strom nehmen. Dann handelt es sich um die Wechselwirkung zwischen zwei constanten Strömen. Insofern die dabei geleistete Arbeit zur Bewegung der Ströme mit den Stromleitern verbraucht wird, nennen wir die Wechselwirkung die elektrodynamische.
Es soll jetzt die Funktion $P\,$ hergestellt werden, deren unendlich kleine Aenderung die elektrodynamische Elementar-Arbeit angibt, welche bei einer unendlich kleinen Verschiebung der beiden Ströme geleistet wird.
Wir können dabei von der Gleichung (2) des vorigen Paragraphen ausgehen, haben aber jetzt $V'\,$ als die Potentialfunction der magnetischen Kraft anzusehen, welche von einem lineären galvanischen Strome ausgeübt wird. Im Punkte $(x,\,y,\,z)$ sind die Componenten dieser Kraft
| (1) | ${\frac {\partial V'}{\partial x}}=X',\quad {\frac {\partial V'}{\partial y}}=Y',\quad {\frac {\partial V'}{\partial z}}=Z',\,$ |
und es ist zu beachten, dass $X',\ Y',\ Z'\,$ überall ausserhalb des lineären Stromes, von dem sie herrühren, endlich und stetig variabel sind. Nun findet sich
* ${\frac {\partial V'}{\partial p}}=X'{\frac {\partial x}{\partial p}}+Y'{\frac {\partial y}{\partial p}}+Z'{\frac {\partial z}{\partial p}},\,$
und folglich kann man die Gleichung (2) des vorigen Paragraphen jetzt so schreiben:
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:311

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* ${\frac {\partial (VX')}{\partial x}}+{\frac {\partial (VY')}{\partial x}}+{\frac {\partial (VZ')}{\partial z}}$
* $=X'{\frac {\partial V}{\partial x}}+Y'{\frac {\partial V}{\partial y}}+Z'{\frac {\partial V}{\partial z}}\,$
* $+V\left({\frac {\partial X'}{\partial x}}+{\frac {\partial Y'}{\partial x}}+{\frac {\partial Z'}{\partial z}}\right).\,$
Da aber $X',\ Y',\ Z'\,$ von einem lineären galvanischen Strome herrühren, so ist in dem ganzen unendlichen Raume ausserhalb des Stromleiters
* ${\frac {\partial X'}{\partial x}}+{\frac {\partial Y'}{\partial y}}+{\frac {\partial Z'}{\partial z}}=0.$
Es ist ferner $V\,$ die Potentialfunction der magnetischen Kraft, welche der erste lineäre galvanische Strom ausübt, folglich
* ${\frac {\partial V}{\partial x}}=X,\ {\frac {\partial V}{\partial x}}=Y,\ {\frac {\partial V}{\partial z}}=Z.\,$
Danach kann man statt der Gleichung (4) auch
| (5) | $P={\frac {1}{4\pi }}\int dT(XX'+YY'+ZZ')$ |
setzen, und das Integral erstreckt sich über den ganzen unendlichen Raum.
Die Gleichung (5) des vorigen Paragraphen bleibt auch dann gültig, wenn der erste Leiter nicht lineär ist. Denn wir können jeden geschlossenen nichtlineären Strom als ein System von lineären Strömen auffassen. Dabei würde resp. $\sum X,\ \sum Y,\ \sum Z\,$ an die Stelle treten für $X,\ Y,\ Z,\,$ und $\sum P\,$ an die Stelle für $P\,$. Nachher kann man dann wieder die Summen mit einfachen Buchstaben bezeichnen, so dass die Formel (5) wieder zu Stande kömmt.
Ebenso kann man auch den zweiten Strom nichtlineär nehmen. Die Gleichung (5) des vorigen Paragraphen bleibt dabei in unveränderter Form gültig. Nur hat man jetzt unter $X,\ Y,\ Z\,$ die Componenten der gesammten magnetischen Kraft zu verstehen, welche der nichtlineäre erste Strom ausübt, und unter $X',\ Y',\ Z'\,$ die Componenten der gesammten magnetischen Kraft, die der nichtlineäre zweite Strom ausübt.
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:312

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Wir können nun auf die Gleichungen (1) des §. 78 zurückgehen. Durch sie lässt sich der Ausdruck (5) des vorigen Paragraphen so transformiren:
| (1) | $P={\frac {1}{4\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }dxdydz{\begin{Bmatrix}\quad {\frac {\partial u_{2}}{\partial z}}X'-{\frac {\partial u_{3}}{\partial y}}X'\\+{\frac {\partial u_{3}}{\partial x}}Y'-{\frac {\partial u_{1}}{\partial z}}Y'\\+{\frac {\partial u_{1}}{\partial y}}Z'-{\frac {\partial u_{2}}{\partial x}}Z'\end{Bmatrix}}.$ |
Hier erscheint es zweckmässig, die Integration nach Theilen anzuwenden. Wir erhalten
* $\int {\frac {\partial u_{2}}{\partial z}}X'dz=u_{2}X'-\int u_{2}{\frac {\partial X'}{\partial z}}\,dz$
Um das bestimmte Integral zu ermitteln, hat man auf beiden Seiten die Grenzen einzusetzen. Dabei verschwindet rechts der vom Integralzeichen freie Bestandtheil. Denn es ist für $z=\pm \infty \,$ sowohl $u_{2}\,$ als $X'\,$ gleich Null. Man erhält also
* $\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial u_{2}}{\partial z}}X'dxdydz=-\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }u_{2}{\frac {\partial X'}{\partial z}}\,dxdydz.$
In derselben Weise lassen sich die übrigen Bestandtheile auf der rechten Seite von (1) umformen. Es ergibt sich danach
* $P={\frac {1}{4\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }dxdydz{\begin{Bmatrix}\quad u_{1}\left({\frac {\partial Y'}{\partial z}}-{\frac {\partial Z'}{\partial y}}\right)\\+u_{2}\left({\frac {\partial Z'}{\partial x}}-{\frac {\partial X'}{\partial z}}\right)\\+u_{3}\left({\frac {\partial X'}{\partial y}}-{\frac {\partial Y'}{\partial x}}\right)\end{Bmatrix}}.$
Die Integration ist noch zu vereinfachen. Es sind nemlich die Differenzen
* ${\frac {\partial Y'}{\partial z}}-{\frac {\partial Z'}{\partial y}},\,$
* ${\frac {\partial Z'}{\partial x}}-{\frac {\partial X'}{\partial z}},\,$
* ${\frac {\partial X'}{\partial y}}-{\frac {\partial Y'}{\partial x}}\,$
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:314

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Wir führen dies zunächst in Gleichung (2) ein und erhalten
| (5) | $P=-\int dS'(u_{1}i_{1}'+u_{2}i_{2}'+u_{3}i_{3}').$ |
Die Integration ist über den Raum des ganzen zweiten Leiters auszudehnen.
In derselben Weise hätte man auch zu dem Ausdrucke gelangen können:
| (6) | $P=-\int dS(u_{1}'i_{1}+u_{2}'i_{2}+u_{3}'i_{3}).$ |
Hier hängen $u_{1}',\ u_{2}',\ u_{3}'\,$ mit den magnetischen Kräften zusammen, die der zweite Strom ausübt, und es sind $i_{1},\ i_{2},\ i_{3}\,$ die Componenten der specifischen Stromintensität in einem Punkte im Innern des ersten Leiters. Die Integration in (6) hat man über den Raum des ersten Leiters auszudehnen.
Setzt man in (5) für $u_{1},\ u_{2},\ u_{3}\,$ ihre Ausdrücke ein aus (3), so ergibt sich
* $P=\int dS\left\lbrace i_{1}'\int {\frac {i_{1}dS}{r}}+i_{2}'\int {\frac {i_{2}dS}{r}}+i_{3}'\int {\frac {i_{3}dS}{r}}\right\rbrace .$
Dafür lässt sich kürzer schreiben:
| (7) | $P=\iint {\frac {dS\cdot dS'}{r}}\lbrace i_{1}\cdot i_{1}'+i_{2}\cdot i_{2}'+i_{3}\cdot i_{3}'\rbrace .$ |
Die Bedeutung des Ausdruckes
* $i_{1}\cdot i_{1}'+i_{2}\cdot i_{2}'+i_{3}\cdot i_{3}'\,$
ist leicht zu erkennen. Es ist nemlich, wenn i die gesammte specifische Stromintensität in einem Punkte von $dS\,$ bezeichnet, nach §. 54, (9):
* $i_{1}=i\cos a,\,$
* $i_{2}=i\cos b,\,$
* $i_{3}=i\cos c.\,$
Dem entsprechend erhalten wir
* $i_{1}'=i'\cos a',\,$
* $i_{2}'=i'\cos b',\,$
* $i_{3}'=i'\cos c',\,$
wenn $i'\,$ die gesammte specifische Stromintensität in einem Punkte von $dS'\,$ bezeichnet. Demnach ist
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:305

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$Q\,$
$S\,$
$Q\,$
$S\,$
$Q\,$
$S\,$
$S\,$
$Q\,$
Wir nehmen zwei Punkte, die einander unendlich nahe auf entgegengesetzten Seiten des Querschnittes $S\,$ liegen und verbinden sie durch eine Linie, die ganz innerhalb des einfach zusammenhangenden äusseren Raumes verläuft. Diese Linie kann man zur Begrenzung einer Fläche machen, welche die Oberfläche des Ringes in irgend einer Linie des zweiten Systems durchschneidet. Wir stellen uns auf derjenigen Seite der Fläche auf, auf welcher ein positiver Umlauf durch die Begrenzung von der negativen auf die positive Seite von $S\,$ führt. Um die Elektricitätsmenge $J'\,$ zu finden, welche in der Zeiteinheit von unten nach oben durch