# David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie/Kapitel 7.31

Es bedeute $l$ eine ungerade Primzahl und $k(\zeta )$ den durch $\zeta =\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{l}}$ bestimmten Kreiskörper: dieser Kreiskörper $k(\zeta )$ heiße ein regulärer Kreiskörper und die Primzahl $l$ eine reguläre Primzahl, wenn die Anzahl $h$ der Idealklassen des Körpers $k(\zeta )$ nicht durch $l$ teilbar ist. Die weiteren Kapitel werden lediglich von regulären Kreiskörpern und von solchen Kummerschen Körpern handeln, welche aus regulären Kreiskörpem entspringen, und die ich daher reguläre Kummersche Körper nennen will; für dieselben können wir sofort folgende einfache Tatsache beweisen:
Satz 153. Es sei $k(\zeta )$ ein regulärer Kreiskörper und $K$ ein aus $k(\zeta )$ entspringender Kummerscher Körper: wenn dann ein Ideal ${\mathfrak {j}}$ des Körpers $k(\zeta )$ in dem Körper $K$ Hauptideal ist, so ist das Ideal ${\mathfrak {j}}$ auch in dem Kreiskörper $k(\zeta )$ selbst ein Hauptideal.
Beweis. Setzen wir ${\mathfrak {j}}=({\mathsf {A}})$, wo ${\mathsf {A}}$ eine ganze Zahl in $K$ bedeutet, so folgt, indem wir die Relativnorm bilden ${\mathfrak {j}}^{l}=(N_{k}({\mathsf {A}}))$, d. h. es gilt in $k(\zeta )$ die Äquivalenz ${\mathfrak {j}}^{l}\sim 1$. Andererseits ist auch ${\mathfrak {j}}^{h}\sim 1$, wobei $h$ die Klassenanzahl von $k(\zeta )$ bedeutet. Bestimmen wir nun zwei ganze rationale positive Zahlen $a$ und $b$, so daß $al-bh=1$ wird, so folgt ${\mathfrak {j}}^{al-bh}\sim 1$, d. h. es ist ${\mathfrak {j}}$ in $k(\zeta )$ ein Hauptideal.
Es entsteht weiter die Aufgabe, ein Kriterium zu finden, durch welches sich auf leichte Weise ermitteln läßt, ob eine Primzahl $l$ regulär ist. Es sollen zunächst zwei Hilfssätze entwickelt werden, die zu einem solchen Kriterium führen.
$k\left(\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{l}}\right)$
$l$
Hilfssatz 28. Ist $l$ eine ungerade Primzahl und $k(\zeta )$ der Kreiskörper der $l$-ten Einheitswurzeln, so ist der erste Faktor der Klassenanzahl von $k(\zeta )$ dann und nur dann durch $l$ teilbar, wenn $l$ im Zähler einer der ersten $l^{*}={\frac {l-3}{2}}$ Bernoullischen Zahlen aufgeht [Kummer (8), Kronecker (5)].
Beweis. In Satz 142 ist die Klassenanzahl $h$ des Körpers $k(\zeta )$ als Produkt von zwei Faktoren dargestellt; wir betrachten den dort angegebenen Ausdruck für den ersten Faktor dieser Klassenanzahl. Zur Abkürzung werde ${\mathsf {Z}}=\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{l-1}}$ gesetzt; ferner denken wir uns die zugrunde gelegte Primitivzahl $r$ nach $l$ speziell derart angenommen, daß $r^{\frac {l-1}{2}}+1$ nur durch die erste Potenz von $l$ teilbar ist. Es sei endlich, wie in § 108 und § 109, allgemein $r_{i}$ der kleinste positive Rest von $r^{i}$ nach $l$ und $q_{i}={\frac {rr_{i}-r_{i+1}}{l}}$.
Der erste Faktor der Klassenanzahl $h$ stellt sich in Satz 142 als ein Bruch dar, dessen Nenner den Wert $(2l)^{l*}$ hat, und dessen Zähler von der Gestalt
| $f({\mathsf {Z}})f({\mathsf {Z}}^{3})f({\mathsf {Z}}^{5})\cdots f({\mathsf {Z}}^{l-2})$ | (105) |
ist, wo zur Abkürzung $f(x)$ die ganzzahlige Funktion
* $f(x)=r_{0}+r_{1}x+r_{2}x^{2}+\cdots +r_{l-2}x^{l-2}$
* $g(x)=q_{0}+q_{1}x+q_{2}x^{2}+\cdots +q_{l-2}x^{l-2}$
gesetzt, so ergibt sich leicht
* $(r{\mathsf {Z}}-1)f({\mathsf {Z}})=l{\mathsf {Z}}\cdot g({\mathsf {Z}})$,
und da infolge der Wahl von $r$ das Produkt
* $(r{\mathsf {Z}}-1)(r{\mathsf {Z}}^{3}-1)\cdots (r{\mathsf {Z}}^{l-2}-1)=(-1)^{\frac {l-1}{2}}\left(r^{\frac {l-1}{2}}+1\right)$
genau durch die erste Potenz von $l$ teilbar ist, so folgt, daß der Zähler (105) des ersten Faktors von $h$ nur dann durch $l^{\frac {l-1}{2}}=l^{l^{*}+1}$ teilbar ist, wenn die Zahl
* $g({\mathsf {Z}})g({\mathsf {Z}}^{3})g({\mathsf {Z}}^{5})\cdots g({\mathsf {Z}}^{l-2})$
durch $l$ teilbar ist. Nun ist ${\mathfrak {L}}=(l,{\mathsf {Z}}-r)$ ein in $l$ aufgehendes Primideal des Körpers $k({\mathsf {Z}})$, und da offenbar ${\mathsf {Z}}\equiv r$ nach ${\mathfrak {L}}$ ausfällt, so ist
* $g({\mathsf {Z}})g({\mathsf {Z}}^{3})\cdots g({\mathsf {Z}}^{l-2})\equiv g(r)g(r^{3})\cdots g(r^{l-2})$, $({\mathfrak {L}})$;
folglich ist der erste Faktor der Klassenanzahl $h$ nur dann durch $l$ teilbar, wenn mindestens eine der ${\frac {l-1}{2}}$ Kongruenzen
* $g(r^{2t-1})=q_{0}+q_{1}r^{2t-1}+q_{2}r^{2(2t-1)}+\cdots +q_{l-2}r^{(l-2)(2t-1)}\equiv 0,$ $(l)$
* $\left(t=1,2,3,\ldots ,{\frac {l-1}{2}}\right)$
erfüllt ist.
Es bedeute nun $t$ eine der Zahlen $1$, $2$, $3$, …, ${\frac {l-1}{2}}$. Erheben wir dann die Identität
* $rr_{i}=r_{i+1}+(rr_{i}-r_{i+1})$
in die $(2t)$-te Potenz und bedenken, daß $rr_{i}-r_{i+1}$ durch $l$ teilbar ist, so ergibt sich die Kongruenz
* $r^{2t}r_{i}^{2t}\equiv r_{i+1}^{2t}+2t(rr_{i}-r_{i+1})r_{i+1}^{2t-1}$, $(l^{2})$
oder
* $2t(rr_{i}-r_{i+1})r_{i+1}^{2t-1}\equiv r^{2t}r_{i}^{2t}-r_{i+1}^{2t}$, $(l^{2})$
und da offenbar
* $(rr_{i}-r_{i+1})r_{i+1}^{2t-1}\equiv (rr_{i}-r_{i+1})r^{(i+1)(2t-1)}$, $(l^{2})$
ist, so folgt
* $2t(rr_{i}-r_{i+1})r^{(i+1)(2t-1)}\equiv r^{2t}r_{i}^{2t}-r_{i+1}^{2t}$, $(l^{2})$.
Diese allgemeine Kongruenz ergibt bei Summation über die Werte $i=0,1,2,\ldots ,l-2$
* $2tlr^{2t-1}\sum _{(i)}q_{i}r^{i(2t-1)}\equiv r^{2t}\sum _{(i)}r_{i}^{2t}-\sum _{(i)}r_{i+1}^{2t}$, $(l^{2})$.
Da nun
* $\sum _{(i)}r_{i}^{2t}=\sum _{(i)}r_{i+1}^{2t}=1^{2t}+2^{2t}+3^{2t}+\cdots +(l-1)^{2t}$
$g(r^{2t-1})$
$l$
| $(r^{2t}-1)(1^{2t}+2^{2t}+3^{2t}+\cdots +(l-1)^{2t})$ | (106) |
durch $l^{2}$ teilbar ist. Wegen der über die Primitivzahl $r$ gemachten Annahme ist nun der Ausdruck (106) für $t={\frac {l-1}{2}}$ sicher nicht durch $l^{2}$ teilbar. Für $t=1,2,\ldots ,{\frac {l-3}{2}}$ gilt auf Grund der Bernoullischen Summenformel jedesmal die Kongruenz
* $1^{2t}+2^{2t}+3^{2t}+\cdots +(l-1)^{2t}\equiv (-1)^{t+1}B_{t}l$, $(l^{2})$,
wo $B_{t}$ die $t$-te Bernoullische Zahl bedeutet, und somit erkennen wir, daß die Teilbarkeit wenigstens einer der Zahlen (106) für
* $t=1,2,\ldots ,{\frac {l-3}{2}}$
durch $l^{2}$ mit der Teilbarkeit wenigstens eines der Zähler der ${\frac {l-3}{2}}$ ersten Bernoullischen Zahlen durch $l$ gleichbedeutend ist. Der Beweis des Hilfssatzes 28 ist dadurch erbracht.
$k\left(\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{l}}\right)$
$l$
${\frac {l-3}{2}}$
Hilfssatz 29. Wenn $l$ eine ungerade Primzahl bedeutet, welche in den Zählern der ersten $l^{*}={\frac {l-3}{2}}$ Bernoullischen Zahlen nicht aufgeht, so läßt sich aus den Kreiseinheiten des Körpers $k(\zeta )$ der $l$-ten Einheitswurzeln stets durch Bildung geeigneter Produkte und Quotienten ein System von solchen $l^{*}$ Einheiten $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{l^{*}}$ ableiten, für welche $l^{*}$ Kongruenzen von der Gestalt
| $\left.{\begin{aligned}\varepsilon _{1}&\equiv 1+a_{1}\lambda ^{2},&({\mathfrak {l}}^{3}),\\\varepsilon _{2}&\equiv 1+a_{2}\lambda ^{4},&({\mathfrak {l}}^{5}),\\\varepsilon _{3}&\equiv 1+a_{3}\lambda ^{6},&({\mathfrak {l}}^{7}),\\&\;\vdots \\\varepsilon _{l^{*}}&\equiv 1+a_{l^{*}}\lambda ^{l-3},&({\mathfrak {l}}^{l-2})\end{aligned}}\right\$ | (107) |
gelten, wo $a_{1}$, $a_{2}$, …, $a_{l^{*}}$, ganze rationale, durch $l$ nicht teilbare Zahlen bedeuten; dabei ist $\lambda =1-\zeta ,{\mathfrak {l}}=(\lambda )$ gesetzt [Kummer (12)].
Beweis. Wir gehen aus von der Kreiseinheit (vgl. § 98)
| $\varepsilon ={\sqrt {\frac {(1-\zeta ^{r})(1-\zeta ^{-r})}{(1-\zeta )(1-\zeta ^{-1})}}}$, | (108) |
wo $r$ eine Primitivzahl nach $l$ bezeichnet. Wir setzen dann $\eta =\varepsilon ^{l-1}$ und
| $\varepsilon _{t}=\eta ^{(r^{2}-s)(r^{4}-s)(r^{6}-s)\cdots (r^{2t-2}-s)(r^{2t+2}-s)(r^{2t+4}-s)\cdots (r^{l-s}-s)}$ | (109) |
$t=1,2,3,\ldots ,l^{*}$
$s=(\zeta :\zeta ^{r})$
Die Einheit $\mu$ ist als $(l-1)$-te Potenz einer ganzen Zahl in $k(\zeta )$ notwendig $\equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}$, und das gleiche gilt dann auch von jeder der Einheiten $\varepsilon _{t}$. Wir denken uns nun allgemein bei jedem Werte $t$ die zur Einheit $\varepsilon _{t}$ gehörende Funktion $\varepsilon _{t}(x)$ gemäß § 131 gebildet; dann gelten für die rationalen Zahlen
* $1^{(1)}(\varepsilon _{t})$, $1^{(2)}(\varepsilon _{t}),\ldots ,1^{(l-2)}(\varepsilon _{t})$,
d. h. für die Werte der ersten $l-2$ Differentialquotienten des Logarithmus von $\varepsilon _{t}(\mathrm {e} ^{v})$ an der Stelle $v=0$, die Kongruenzen:
| $\left.{\begin{aligned}&1^{(u)}(\varepsilon _{t})\equiv 0,&(l)\\&(u=1,2,3,\ldots ,2t-1,2t+1,\ldots ,l-3,l-2),&\\&1^{(2t)}(\varepsilon _{t})\equiv (-1)^{t+1^{*}}{\frac {B_{t}}{4tr^{2t}}},&(l)\\&(t=1,2,\ldots ,l^{*}).\end{aligned}}\right\$ | (110) |
Um dies zu beweisen, bedenken wir, daß nach den Formeln S. 266 oben bei der Berechnung der ersten $l-2$ Differentialquotienten
* $1^{(1)}(\eta )$, $1^{(2)}(\eta ),\ldots ,1^{(l-2)}(\eta )$
in bezug auf die Zahl $\eta$ an Stelle der zu $\eta$ gehörenden Funktion direkt die folgende ganze Funktion
* ${\bar {\eta }}(x)=\left({\frac {(1-x^{r})(1-x^{-r})}{(1-x)(1-x^{-1})}}\right)^{\frac {l-1}{2}}$
genommen werden darf. Nun gilt bekanntlich die Entwicklung
* $\log {\frac {\mathrm {e} ^{v}-1}{v}}=+{\frac {1}{2}}v+{\frac {B_{1}}{2\cdot 2!}}v^{2}-{\frac {B_{2}}{4\cdot 4!}}v^{4}+{\frac {B_{3}}{6\cdot 6!}}v^{6}-\cdots$,
wo $B_{1}$, $B_{2}$, $B_{3}$, … die Bernoullischen Zahlen bedeuten. Mit Benutzung dieser unendlichen Reihe folgt
| $\left.{\begin{aligned}\log {\tilde {\eta }}(\mathrm {e} ^{v})=(l-1)&\left\{\log r+(r^{2}-1){\frac {B_{1}}{2\cdot 2!}}v^{2}\right.\\&\quad \left.-(r^{4}-1){\frac {B_{2}}{4\cdot 4!}}v^{4}+(r^{6}-1){\frac {B_{3}}{6\cdot 6!}}v^{6}-\cdots \right\}.\end{aligned}}\right\$ | (111) |
Von derselben Verwendbarkeit wie ${\tilde {\eta }}(\mathrm {e} ^{v})$ in bezug auf die Zahl $\eta$ ist die Funktion ${\tilde {\eta }}(\mathrm {e} ^{rv})$ in bezug auf die Zahl $s\eta$, ${\tilde {\eta }}(\mathrm {e} ^{r^{2}v})$ in bezug auf $s^{2}\eta$ usf. Ersetzen wir dann nach Entwicklung des Ausdrucks (109) von $\varepsilon _{t}$ darin $\eta$, $s\eta$, $s^{2}\eta$, … durch ${\tilde {\eta }}(\mathrm {e} ^{v})$, ${\tilde {\eta }}(\mathrm {e} ^{rv})$, ${\tilde {\eta }}(\mathrm {e} ^{r^{2}v})$, … so entsteht eine Funktion ${\tilde {\varepsilon }}_{t}(\mathrm {e} ^{v})$, welche nach den Ausführungen auf S. 266 bei Bildung von $1^{(1)}(\varepsilon _{t})$, $1^{(2)}(\varepsilon _{t})$, …, $1^{(l-2)}(\varepsilon _{t})$ die Stelle der Funktion $\varepsilon _{t}(\mathrm {e} ^{v})$ vertreten kann. Aus (111) ergibt sich
* ${\begin{aligned}\log {\tilde {\varepsilon }}_{t}(\mathrm {e} ^{v})=(l-1)&\left\{C+(-1)^{t}(r^{2}-r^{2t})(r^{4}-r^{2t})\cdots \right.\\&\quad \cdots (r^{2t-2}-r^{2t})(r^{2t+2}-r^{2t})(r^{2t+4}-r^{2t})\cdots \\&\quad \left.(r^{l-3}-r^{2t})(1-r^{2t}){\frac {B_{t}}{2t(2t)!}}v^{2t}\right\}\\&+C_{l-1}v^{l-1}+C_{l+1}v^{l+1}+\cdots ,\end{aligned}}$
$C$
$C_{l-1}$
$C_{l+1}$
$v^{2t}$
* $(-1)^{l^{*}}\left[{\frac {\mathop {\mathrm {d} } (x-1)(x-r^{2})\cdots (x-r^{l-3})}{\mathop {\mathrm {d} } x}}\right]_{x=r^{2t}}$,
und die hier zu differentiierende Funktion ist $\equiv x^{\frac {l-1}{2}}-1$ nach $l$. Aus dieser Entwicklung folgt nun unmittelbar die Richtigkeit der Kongruenzen (110).
Da nach Voraussetzung die Zähler der ersten $l^{*}$ Bernoullischen Zahlen $B_{1}$, …, $B_{l^{*}}$ nicht durch $l$ teilbar sein sollen, so sind nach (110) die $l^{*}$ Differentialquotienten $1^{(2t)}(\varepsilon _{t})$ für $t=1,2,\ldots ,l^{*}$ sämtlich der Null inkongruent nach $l$. Aus dem letzteren Umstande schließen wir zunächst, daß keine der Einheiten $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{l^{*}}$ nach $l$ der Zahl $1$ kongruent ausfällt. Setzen wir daher
| $\left.{\begin{aligned}\varepsilon _{1}&\equiv 1+a_{1}\lambda ^{e_{1}},&({\mathfrak {l}}^{e_{1}+1}),\\&\;\vdots \\\varepsilon _{l^{*}}&\equiv 1+a_{l^{*}}\lambda ^{e_{l^{*}}},&\quad ({\mathfrak {l}}^{e_{l^{*}}+1}),\end{aligned}}\right\$ | (112) |
mit solchen Exponenten $e_{1}$, …, $e_{l^{*}}$, daß dabei $a_{1}$, …, $a_{l^{*}}$ ganze rationale, nicht durch $l$ teilbare Zahlen bedeuten, so sind diese Exponenten $e_{1}$, …, $e_{l^{*}}$, sämtlich $<l-1$. Nun erhält man aus den Kongruenzen (112), da die Entwicklung eines Ausdruckes $(1-\mathrm {e} ^{v})^{g}$ nach Potenzen von $v$ mit dem Gliede $(-1^{g})v^{g}$ beginnt, für die Einheit $\varepsilon _{t}$ die Kongruenzen
* ${\begin{aligned}1^{(1)}(\varepsilon _{t})&\equiv 0,\qquad 1^{(2)}(\varepsilon _{t})\equiv 0,\ldots ,1^{(e_{t}-1)}(\varepsilon _{t})\equiv 0,&(l),\\1^{(e_{t})}(\varepsilon _{t})&\equiv (-1)^{e_{t}}a_{t}\cdot e_{t}!,&(l),\end{aligned}}$
und da $a_{t}$ nicht durch $l$ teilbar sein soll, so ergibt sich mit Rücksicht auf die vorhin bemerkte Folgerung aus den Kongruenzen (110) $e_{t}=2t$, womit der Hilfssatz 29 bewiesen ist.
Der folgende Satz liefert ein einfaches Kriterium für die regulären Primzahlen $l$:
Satz 154. Eine ungerade Primzahl $l$ ist dann und nur dann regulär, wenn sie in den Zählern der ersten $l^{*}={\frac {l-3}{2}}$ Bernoullischen Zahlen nicht aufgeht [Kummer (8)].
Beweis. Der Hilfssatz 28 zeigt, daß, wenn $l$ im Zähler wenigstens einer der ersten $l^{*}$ Bernoullischen Zahlen aufgeht, die Klassenanzahl $h$ des Körpers $k(\zeta )$ jedenfalls durch $l$ teilbar ist. Sind hingegen die Zähler der ersten $l^{*}$ Bernoullischen Zahlen sämtlich zu $l$ prim, so zeigt der nämliche Hilfssatz 28, daß der erste Faktor der Klassenanzahl zu $l$ prim ist. Es bedarf also nur noch des Nachweises, daß auch der zweite Faktor der Klassenanzahl $h$ nicht durch $l$ teilbar ist, wenn die Zähler der ersten $l^{*}$ Bernoullischen Zahlen sämtlich zu $l$ prim sind. Diesen Nachweis führen wir in folgender Weise:
Es sei $\gamma _{1}$, …, $\gamma _{l^{*}}$ ein System von reellen $l^{*}$ Grundeinheiten des Körpers $k(\zeta )$, wie ein solches nach Satz 127 stets existiert; dann können wir setzen:
| $s^{t}\varepsilon =\gamma _{1}^{m_{1}t}\gamma _{2}^{m_{2}t}\cdots \gamma _{l^{*}}^{m_{l^{*}}t}$ | (113) |
für $t=0,1,2,\ldots ,l^{*}-1$, wo die Exponenten $m_{1t}$, $m_{2t}$,…, $m_{l^{*}t}$ ganze rationale Zahlen sind und $\varepsilon$ die in Formel (108) definierte Kreiseinheit bedeutet. Aus (113) erhalten wir:
| $\log |s^{t}\varepsilon |=m_{1t}\log |\gamma _{1}|+m_{2t}\log |\gamma _{2}|+\cdots +m_{l^{*}t}\log |\gamma _{l*}|$ | (114) |
für $t=0,1,2,\ldots ,l^{*}-1$, wo unter den Logarithmen deren reelle Werte verstanden werden sollen. Andererseits bringen die Definitionsgleichungen (109) der Einheiten $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{l^{*}}$ ein Gleichungssystem von der Gestalt
| $\varepsilon _{t}=\varepsilon ^{n_{1t}}(s\varepsilon )^{n_{2t}}\cdots (s^{l^{*}-1}\varepsilon )^{n_{l^{*}}t}$,$(t=1,2,\ldots ,l^{*})$ | (115) |
mit sich. Von demselben gehen wir zu den Gleichungen
| $\log \varepsilon _{t}=n_{1t}\log |\varepsilon |+n_{2t}\log |s\varepsilon |+\cdots +n_{l^{*}t}\log |s^{l^{*}-1}\varepsilon |$ | (116) |
* $(t=1,2,\ldots ,l^{*})$
über, wo für die Logarithmen wieder die reellen Werte eintreten sollen, und vermöge (114) wird hieraus
| $\log \varepsilon _{t}=M_{1t}\log |\gamma _{1}|+M_{2t}\log |\gamma _{2}|+\cdots +M_{l^{*}t}\log |\gamma _{l^{*}}|$, | (117) |
* $(t=1,2,\ldots ,l^{*})$
wo $M_{1t}$, $M_{2t}$, …, $M_{l^{*}t}$ die bekannten bilinearen Verbindungen der $2l^{*2}$ ganzen rationalen Zahlen $n_{11}$, $n_{21}$, …, $n_{l^{*}l^{*}}$; $m_{10}$, $m_{20}$, …, $m_{l^{*}l^{*}-1}$ bedeuten. Aus den Gleichungssystemen (113) und (115) entspringen jedesmal $l^{*}-1$ weitere Gleichungssysteme, wenn wir auf die darin vorkommenden Einheiten die Substitutionen $s$, $s^{2}$, …, $s^{l^{*}-1}$ anwenden. Indem wir dann wieder die betreffenden Logarithmen nehmen, erhalten wir diejenigen Gleichungssysteme, die aus den Gleichungssystemen (114), (116) und (117) hervorgehen, wenn man auf die darin vorkommenden Einheiten der Reihe nach durchgehends die Substitution $s$, bez. $s^{2}$, …, bez. $s^{l^{*}-1}$ anwendet.
Setzen wir nun
* $\mathbf {R} ={\begin{vmatrix}\log |\gamma _{1}|,&\ldots ,&\log |\gamma _{l^{*}}|\\\log |s\gamma _{1}|,&\ldots ,&\log |s\gamma _{l^{*}}|\\\quad \vdots &\ddots &\quad \vdots \\\log |s^{l^{*}-1}\gamma _{1}|,&\ldots ,&\log |s^{l^{*}-1}\gamma _{l^{*}}|\end{vmatrix}}$,
* $\Delta ={\begin{vmatrix}\log |\varepsilon |,&\log |s\varepsilon |,&\ldots ,&\log |s^{l^{*}-1}\varepsilon |\\\log |s\varepsilon |,&\log |s^{2}\varepsilon |,&\ldots ,&\log |s^{l^{*}}\varepsilon |\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\log |s^{l^{*}-1}\varepsilon |,&\log |s^{l^{*}}\varepsilon |,&\ldots ,&\log |s^{2l^{*}-2}\varepsilon |\end{vmatrix}}$,
* ${\bar {\Delta }}={\begin{vmatrix}\log \varepsilon _{1},&\log \varepsilon _{2},&\ldots ,&\log \varepsilon _{l^{*}}\\\log s\varepsilon _{1},&\log s\varepsilon _{2},&\ldots ,&\log s\varepsilon _{l^{*}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\log s^{l^{*}-1}\varepsilon _{1},&\log s^{l^{*}-1}\varepsilon _{2},&\ldots ,&\log s^{l^{*}-1}\varepsilon _{l^{*}}\end{vmatrix}}$,
| ${\frac {\bar {\Delta }}{R}}={\frac {\bar {\Delta }}{\Delta }}\cdot {\frac {\Delta }{R}}=\left.{\begin{vmatrix}M_{11},&M_{21},&\cdots ,&M_{l^{*}1}\\M_{12},&M_{22},&\cdots ,&M_{l^{*}2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\M_{1l^{*}},&M_{2l^{*}},&\cdots ,&M_{l^{*}l^{*}}\end{vmatrix}}\right\$. | (118) |
Die rechts stehende Determinante ist eine ganze rationale und überdies eine zu $l$ prime Zahl. Wäre nämlich diese Determinante durch $l$ teilbar, so würde man imstande sein, $l^{*}$ ganze rationale Zahlen $N_{1}$, …, $N_{l^{*}}$ zu finden, die nicht sämtlich durch $l$ teilbar sind, während die aus ihnen gebildeten Ausdrücke
* $\sum _{(t)}N_{t}M_{1t}$, $\sum _{(t)}N_{t}M_{2t},\ldots ,\sum _{(t)}N_{t}M_{l^{*}t}$ $(t=1,2,\ldots ,l^{*})$
sämtlich durch $l$ teilbar ausfallen. Durch Berücksichtigung dieses zweiten Umstandes ergibt sich aus (117) eine Gleichung von der Gestalt
* $N_{1}\log \varepsilon _{1}+N_{2}\log \varepsilon _{2}+\cdots +N_{l^{*}}\log \varepsilon _{l^{*}}=l\log {\mathsf {E}}$,
in welcher ${\mathsf {E}}$ eine gewisse positive Einheit des Körpers $k(\zeta )$ bezeichnet. Setzen wir beide Seiten in den Exponenten von $\mathrm {e}$, so haben wir
| $\varepsilon _{1}^{N_{1}}\varepsilon _{2}^{N_{2}}\cdots \varepsilon _{l^{*}}^{N_{l^{*}}}={\mathsf {E}}^{l}$. | (119) |
Es ist nun das Bestehen einer solchen Gleichung (119) unmöglich. Denn es würde zunächst ${\mathsf {E}}\equiv {\mathsf {E}}^{l}\equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}$ folgen; denken wir uns die zu ${\mathsf {E}}$ gehörende Funktion ${\mathsf {E}}(x)$ eingeführt und betrachten wir die Werte der ersten $l-2$ Differentialquotienten von $\log {\mathsf {E}}(\mathrm {e} ^{v})$ an der Stelle $v=0$, so würden aus (119) unter Verwendung von (110) die Kongruenzen
* $(-1)^{t+l^{*}}{\frac {B_{t}}{4tr^{2t}}}N_{t}\equiv 0$, $(l)$, $(t=1,2,\ldots ,l^{*})$
folgen. Es sollen aber die Bernoullischen Zahlen $B_{1}$, $B_{2}$, …, $B_{l^{*}}$ sämtlich zu $l$ prim und andererseits die Zahlen $N_{1}$ …, $N_{l^{*}}$ nicht sämtlich kongruent $0$ nach $l$ sein; wir erhalten damit einen Widerspruch.
Hiernach ist die Determinante rechts in (118) nicht durch $l$ teilbar. Da andererseits ihre Faktoren ${\frac {\bar {\Delta }}{\Delta }}$ und ${\frac {\Delta }{R}}$ beide ebenfalls als ganze Zahlen erscheinen und ${\frac {\Delta }{R}}$ den zweiten Faktor der Klassenanzahl $h$ darstellt, so ist auch der zweite Faktor der Klassenanzahl nicht durch $l$ teilbar. Damit ist der Beweis des Satzes 154 vollständig erbracht.
Auf Grund des Satzes 154 findet sich aus den Werten der ersten 47 Bernoullischen Zahlen, daß außer den drei Primzahlen 37, 59, 67 die unterhalb 100 liegenden Primzahlen sämtlich regulär sind. Wie sich ferner durch Rechnung findet, sind die Klassenanzahlen $h$ der Kreiskörper $k\left(\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{l}}\right)$ für $l=37,59,67$ nur durch die erste und nicht durch eine höhere Potenz von $l$ teilbar [Kummer (11, 26)].
Wir haben in § 139 die Mittel zur Aufstellung eines Systems von Einheiten des regulären Kreiskörpers gewonnen, welches für die weiteren Entwicklungen von Nutzen sein wird.
Satz 155. Ist $l$ eine reguläre Primzahl, so gibt es im Kreiskörper der $l$-ten Einheitswurzeln stets ein System von $l^{*}={\frac {l-3}{2}}$ unabhängigen Einheiten ${\bar {\varepsilon }}_{1}$, …, ${\bar {\varepsilon }}_{l^{*}}$ von der Art, daß für dieselben die Kongruenzen
* ${\begin{aligned}{\bar {\varepsilon }}_{1}&\equiv 1+\lambda ^{2},&({\mathfrak {l}}^{3}),\\{\bar {\varepsilon }}_{2}&\equiv 1+\lambda ^{4},&({\mathfrak {l}}^{5}),\\&\,\vdots \\{\bar {\varepsilon }}_{l^{*}}&\equiv 1+\lambda ^{l-3},&({\mathfrak {l}}^{l-2})\end{aligned}}$
erfüllt sind; dabei ist $\lambda =1-\zeta$, ${\mathfrak {l}}=(\lambda )$ gesetzt.
Beweis. Da der Kreiskörper $k(\zeta )$ regulär sein soll, so sind in Anbetracht von Satz 154 die Zähler der ersten $l^{*}$ Bernoullischen Zahlen sämtlich zu $l$ prim, und folglich gibt es nach Hilfssatz 29 $l^{*}$ Einheiten $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{l^{*}}$, welche die in (107) ausgedrückten Kongruenzeigenschaften besitzen. Da dort die Koeffizienten $a_{1}$, …, $a_{l^{*}}$ sämtlich zu $l$ prim sind, so können wir $l^{*}$ ganze rationale Zahlen $b_{1}$, …, $b_{l^{*}}$, bestimmen derart, daß
* $a_{1}b_{1}\equiv 1,\ldots ,a_{l^{*}}b_{l^{*}}\equiv 1$, $(l)$
wird. Setzen wir dann
* ${\bar {\varepsilon }}_{1}=\varepsilon _{1}^{b_{1}},\ldots ,{\bar {\varepsilon }}_{l^{*}}=\varepsilon _{l^{*}}^{b_{l^{*}}}$,
so erfüllen diese Einheiten ${\bar {\varepsilon }}_{1}$, …, ${\bar {\varepsilon }}_{l^{*}}$ jedenfalls die in Satz 155 geforderten Kongruenzbedingungen.
Ferner bilden ${\bar {\varepsilon }}_{1}$, …, ${\bar {\varepsilon }}_{l^{*}}$ ein System voneinander unabhängiger Einheiten, weil die in § 138 bestimmten Einheiten $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{l^{*}}$ ein solches waren. Um letzteres einzusehen, nehmen wir im Gegenteil an, daß eine Gleichung von der Gestalt
| $\varepsilon _{1}^{e_{1}}\cdots \varepsilon _{l^{*}}^{e_{l^{*}}}=1$ | (120) |
bestehe, wo die Exponenten $e_{1}$, …, $e_{l^{*}}$ ganze rationale, nicht sämtlich verschwindende Zahlen sind; dann können wir weiter die Annahme machen, daß diese Exponenten $e_{1}$, …, $e_{l^{*}}$, nicht sämtlich durch $l$ teilbar seien, da im entgegengesetzten Falle offenbar sofort
* $\varepsilon _{1}^{\frac {e_{1}}{l}}\cdots \varepsilon _{l^{*}}^{\frac {e_{l^{*}}}{l}}=1$
$e_{1}$
$e_{l^{*}}$
$l$
Satz 156. Wenn $l$ eine reguläre Primzahl bedeutet und im Körper $k(\zeta )$ der $l$-ten Einheitswurzeln eine solche Einheit ${\mathsf {E}}$ vorliegt, welche einer ganzen rationalen Zahl nach $l$ kongruent ist, so ist sie notwendig die $l$-te Potenz einer Einheit dieses Kreiskörpers [Kummer (8)].
Beweis. Wir denken uns ein System von Einheiten ${\bar {\varepsilon }}_{1}$, …, ${\bar {\varepsilon }}_{l^{*}}$ gemäß Satz 155 bestimmt; da dieselben ein System unabhängiger Einheiten bilden, so gibt es ganze rationale, nicht sämtlich verschwindende Exponenten $e$, $e_{1}$, …, $e_{l^{*}}$, so daß
| ${\mathsf {E}}^{e}={\bar {\varepsilon }}_{1}^{e_{1}}\cdots {\bar {\varepsilon }}_{l^{*}}^{e_{l^{*}}}$ | (121) |
wird, und wir können, wie sich sofort zeigt, noch annehmen, daß $e$, $e_{1}$, …, $e_{l^{*}}$ nicht sämtlich durch $l$ teilbar sind. Wäre dann $e$ durch $l$ teilbar, so hätte die Gleichung (121) die Gestalt (119), und daß eine Gleichung von dieser Gestalt nicht statthaben kann, haben wir bereits erkannt. Wäre andererseits $e$ nicht durch $l$ teilbar, so würde jedenfalls ${\mathsf {E}}^{e}\equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}$ und also $\equiv 1$ nach $l$ sein; wir bilden dann für beide Seiten der Gleichung (121) die logarithmischen Differentialquotienten der zu ihnen gehörenden Funktionen. Da wegen ${\mathsf {E}}^{e}\equiv 1$ nach $l$ die Zahlen $1^{(g)}({\mathsf {E}}^{e})$ für $g<l-1$ sämtlich kongruent $0$ nach $l$ sind, so folgt, wenn wir dies insbesondere für $g=2,4,\ldots ,2l^{*}$ in Anwendung bringen und die Werte der Zahlen $1^{(g)}({\bar {\varepsilon }}_{1})$, …, $1^{(g)}({\bar {\varepsilon }}_{l^{*}})$ in Rücksicht auf (110) einsetzen, der Reihe nach $e_{1}\equiv 0$, …, $e_{l^{*}}\equiv 0$ nach $l$; es wird dann also ${\mathsf {E}}^{e}={\mathsf {H}}^{l}$, wo ${\mathsf {H}}$ eine gewisse Einheit des Kreiskörpers bedeutet, während $e$ nach Voraussetzung eine nicht durch $l$ teilbare ganze rationale Zahl ist. Bestimmen wir nun zwei ganze rationale Zahlen $a$ und $b$, so daß $ae+bl=1$ wird, so folgt
* ${\mathsf {E}}=({\mathsf {H}}^{a}{\mathsf {E}}^{b})^{l}$,
und hiermit ist der Beweis des Satzes 156 vollständig erbracht.
Ein wesentlich hiervon verschiedener Beweis des Satzes 156 beruht auf folgender Überlegung. Wäre ${\mathsf {E}}$ nicht die $l$-te Potenz einer Einheit in $k(\zeta )$, so könnte auch die Einheit ${\mathsf {H}}={\mathsf {E}}^{1-s}$ nicht die $l$-te Potenz einer Einheit sein, wie leicht aus dem Umstande ersichtlich ist, daß $1-s$ und $1+s+\cdots +s^{l-2}$ zwei ganzzahlige Funktionen von $s$ sind, die im Sinne der Kongruenz nach $l$ keinen gemeinsamen Faktor haben. Nun wird aber, wenn wir ${\mathsf {E}}$ kongruent einer ganzen rationalen Zahl nach $l$ annehmen, ${\mathsf {H}}\equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}^{l}$, und hieraus würde nach dem zweiten Teile von Satz 148 folgen, daß der Kummersche Körper $k({\sqrt[{l}]{\mathsf {H}}},\zeta )$ die Relativdiskriminante $1$ in bezug auf $k(\zeta )$ besitzt. Da ferner dieser Kummersche Körper relativ-Abelsch vom Relativgrade $l$ in bezug auf $k(\zeta )$ ist, so würde endlich aus Satz 94 folgen, daß die Anzahl der Idealklassen des Kreiskörpers $k(\zeta )$ durch $l$ teilbar sein müßte, was der Annahme, daß $k(\zeta )$ ein regulärer Kreiskörper ist, widerspräche.
Eine ganze Zahl $\alpha$ des regulären Kreiskörpers $k(\zeta )$ heißt primär, wenn sie erstens semiprimär ist (s. S. 230), und wenn sie zweitens die Eigenschaft besitzt, daß ihr Produkt mit der konjugiert imaginären Zahl, also mit $s^{\frac {l-1}{2}}\alpha$, einer ganzen rationalen Zahl nach $l={\mathfrak {l}}^{l-1}$ kongruent wird. Eine primäre Zahl ist also stets zu ${\mathfrak {l}}$ prim und hat die Kongruenzen
* $\alpha \equiv a$, $({\mathfrak {l}}^{2})$,
* $\alpha \cdot s^{\frac {l-1}{2}}\alpha \equiv b$, $({\mathfrak {l}}^{l-1})$
so zu erfüllen, daß $a$ und $b$ ganze rationale Zahlen sind [Kummer (12)]. Es gilt die Tatsache:
Satz 157. In einem regulären Kreiskörper $k(\zeta )$ kann eine beliebige zu ${\mathfrak {l}}$ prime ganze Zahl $\alpha$ stets durch Multiplikation mit einer Einheit in eine primäre Zahl verwandelt werden [Kummer (12)].
Beweis. Bilden wir aus $\alpha$ die Zahl $\beta =\alpha \cdot s^{\frac {l-1}{2}}\alpha$, so ist dieselbe offenbar eine Zahl in dem Unterkörper vom Grade ${\frac {l-1}{2}}$ des Körpers $k(\zeta )$ und genügt daher einer Kongruenz $\beta \equiv a$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$, wo $a$ eine ganze rationale, nicht durch $l$ teilbare Zahl bedeutet. Es seien ${\bar {\varepsilon }}_{1}$, ${\bar {\varepsilon }}_{2}$, …, ${\bar {\varepsilon }}_{l^{*}}$ die $l^{*}$ in § 140 bestimmten Einheiten. Ist nun etwa $\beta \equiv a+a_{1}\lambda ^{2}$ nach ${\mathfrak {l}}^{4}$, wo $a_{1}$ eine ganze rationale Zahl bedeute, so bestimme man eine ganze rationale Zahl $u_{1}$ so, daß $2au_{1}+a_{1}\equiv 0$ nach $l$ wird; dann ist notwendig
* $\beta {\bar {\varepsilon }}_{1}^{2u_{1}}\equiv a$, $({\mathfrak {l}}^{4})$.
Ist ferner etwa $\beta {\bar {\varepsilon }}_{1}^{2u_{1}}\equiv a+a_{2}\lambda ^{4}$ nach ${\mathfrak {l}}^{6}$, wo $a_{2}$ wieder eine ganze rationale Zahl bedeute, so bestimme man eine ganze rationale Zahl $u_{2}$ derart, daß $2au_{2}+a_{2}\equiv 0$ nach $l$ wird; dann ist
* $\beta {\bar {\varepsilon }}_{1}^{2u_{1}}{\bar {\varepsilon }}_{2}^{2u_{2}}\equiv a$, $({\mathfrak {l}}^{6})$
Fahren wir in der begonnenen Weise fort und setzen am Ende
* ${\bar {\varepsilon }}={\bar {\varepsilon }}_{1}^{u_{1}}{\bar {\varepsilon }}_{2}^{u_{2}}\cdots {\bar {\varepsilon }}_{l^{*}}^{u_{l^{*}}}$,
so wird $\beta {\bar {\varepsilon }}^{2}\equiv a$ nach ${\mathfrak {l}}^{l-1}$. Ist andererseits $\zeta ^{*}$ eine solche Potenz von $\zeta$, daß $\zeta ^{*}\alpha$ semiprimär wird, so ist offenbar $\zeta ^{*}{\bar {\varepsilon }}\alpha$ eine primäre Zahl.
Eine reelle primäre Zahl ist stets einer ganzen rationalen Zahl nach $l={\mathfrak {l}}^{l-1}$ kongruent. Aus Satz 156 folgt leicht, daß eine primäre Einheit in $k(\zeta )$ stets die $l$-te Potenz einer Einheit in $k(\zeta )$ ist.
Wir erörtern noch kurz einen Hilfssatz über primäre Zahlen, welcher uns später von Nutzen sein wird.
Hilfssatz 30. Wenn $\nu ,\ \mu$ zwei primäre Zahlen des regulären Kreiskörpers $k(\zeta )$ sind, so ist stets
* $\left\{{\frac {\nu ,\ \mu }{\mathfrak {l}}}\right\}=1.$
Beweis. Wir dürfen annehmen, daß die Zahlen $\nu ,\ \mu$ beide $\equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}$ ausfallen, da sonst ihre $(l-1)$-ten Potenzen sicher dieser Bedingung genügen und wir mit Rücksicht auf $\left\{{\frac {\nu ,\ \mu }{\mathfrak {l}}}\right\}=\left\{{\frac {\nu ^{l-1},\ \mu ^{l-1}}{\mathfrak {l}}}\right\}$ (vgl. S. 266) diese an Stelle der Zahlen $\nu ,\ \mu$ selbst betrachten können. Nach (83) ist
* $\left\{{\frac {\nu ,\ \mu }{\mathfrak {l}}}\right\}\left\{{\frac {\nu ,\ s^{\frac {l-1}{2}}\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}=\left\{{\frac {\nu ,\ \mu \cdot s^{\frac {l-1}{2}}\mu }{\mathfrak {l}}}\right\},$
und da bei unserer Annahme $\mu \cdot s^{\frac {l-1}{2}}\mu \equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}^{l-1}$ und $\nu \equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$ ausfällt, so folgt aus der allgemeinen Definition (82) des Symbols $\left\{{\frac {\nu ,\ \mu }{\mathfrak {l}}}\right\}$ in § 131 unmittelbar $\left\{{\frac {\nu ,\ \mu \cdot s^{\frac {l-1}{2}}\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}=1,$ und daher wird
* $\left\{{\frac {\nu ,\ \mu }{\mathfrak {l}}}\right\}\left\{{\frac {\nu ,\ s^{\frac {l-1}{2}}\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}=1.$
Entsprechend beweisen wir, daß
* $\left\{{\frac {\nu ,\ s^{\frac {l-1}{2}}\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}\left\{{\frac {s^{\frac {l-1}{2}}\nu ,\ s^{\frac {l-1}{2}}\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}=1$
ist. Aus Formel (84) ergibt sich ferner:
* $\left\{{\frac {\nu ,\ \mu }{\mathfrak {l}}}\right\}\left\{{\frac {s^{\frac {l-1}{2}}\nu ,\ s^{\frac {l-1}{2}}\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}=1.$
Die drei letzten Gleichungen zusammengenommen liefern:
* $\left\{{\frac {\nu ,\ \mu }{\mathfrak {l}}}\right\}^{2}=1,\quad {\text{d. h.}}\quad \left\{{\frac {\nu ,\ \mu }{\mathfrak {l}}}\right\}=1,$
und damit ist der Hilfssatz 30 bewiesen.
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* ↑ [359] Über die Ergänzungssätze zu den allgemeinen Reziprozitätsgesetzen. J. Math. 44 (1851).
* ↑ [359] Zwei besondere Untersuchungen über die Klassenanzahl und über die Einheiten der aus $\lambda$-ten Wurzeln der Einheit gebildeten komplexen Zahlen. J. Math. 40 (1850).

## Anmerkungen (Wikisource)

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