# David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie/Kapitel 7.32

Es sei $l$ eine reguläre ungerade Primzahl, und in dem durch $\zeta =\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{l}}$ bestimmten regulären Kreiskörper $k(\zeta )$ sei ein solches System $E$ von Einheiten vorgelegt, in welchem die $l$-ten Potenzen aller Einheiten des Körpers $k(\zeta )$ enthalten sind, und welchem überdies die Eigenschaft zukommt, daß das Produkt und der Quotient von irgend zwei Einheiten des Systems stets wieder dem Systeme angehört. Ein solches System $E$ nenne ich eine Einheitenschar des Kreiskörpers $k(\zeta )$. Man kann in einer jeden Einheitenschar $E$ stets eine gewisse Anzahl $m$ von Einheiten $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{m}$ bestimmen von der Art, daß man jede Einheit der Einheitenschar und jede nur einmal erhält, wenn man in dem Ausdruck
* $\varepsilon _{1}^{u_{1}}\varepsilon _{2}^{u_{2}}\cdots \varepsilon _{m}^{u_{m}}\xi ^{l}$
einem jeden der Exponenten $u_{1}$, …, $u_{m}$ unabhängig von den übrigen alle Werte $0$, $1$, …, $l-1$ erteilt und für $\xi$ eine jede Einheit in $k(\zeta )$ einsetzt. Ein System von Einheiten $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{m}$ dieser Beschaffenheit nenne ich eine Basis der Einheitenschar $E$. Es ist klar, daß für die Einheiten $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{m}$ einer Basis von $E$ niemals eine Relation von der Gestalt
* $\varepsilon _{1}^{e_{1}}\cdots \varepsilon _{m}^{e_{m}}=\varepsilon ^{l}$
stattfinden kann, wo $e_{1}$, …, $e_{m}$ ganze rationale, nicht sämtlich durch $l$ teilbare Exponenten sind und $\varepsilon$ eine Einheit in $k(\zeta )$ bedeutet. Es läßt sich leicht zeigen, daß für eine jede andere Basis der Einheitenschar $E$ die Anzahl $m$ der Einheiten, aus denen sie besteht, die gleiche sein muß. Diese Zahl $m$ ist daher für die Einheitenschar $E$ eine vollkommen bestimmte; sie heiße der Grad der Einheitenschar.
Enthält insbesondere eine Einheitenschar nur die $l$-ten Potenzen der Einheiten in $k(\zeta )$, so ist sie die möglichst wenig Einheiten umfassende Einheitenschar, und ihr Grad $0$. Ferner bildet die Gesamtheit aller Einheiten des Körpers $k(\zeta )$ eine Einheitenschar; aus dem Umstande, daß nach Satz 127 jede Einheit in $k(\zeta )$ das Produkt einer $l$-ten Einheitswurzel und einer reellen Einheit ist, und aus den Entwicklungen beim Beweise des Satzes 157 entnehmen wir sofort, daß die in § 140 mit ${\bar {\varepsilon }}_{1}$, …, $\varepsilon _{\frac {l-3}{2}}$ bezeichneten Einheiten mit der Einheitswurzel $\zeta$ zusammen eine Basis dieser umfassendsten Einheitenschar sind. Die aus allen Einheiten des Körpers $k(\zeta )$ bestehende Einheitenschar besitzt folglich den Grad $m={\frac {l-1}{2}}$; sie ist offenbar die einzige Einheitenschar vom Grade ${\frac {l-1}{2}}$, und es kann überhaupt keine Einheitenschar von höherem als dem ${\frac {l-1}{2}}$-ten Grade geben.
$k(\zeta )$
$k({\sqrt[{l}]{\mu }},\zeta )$
$k(\zeta )$
$k(\zeta )$
$k({\sqrt[{l}]{\mu }},\zeta )$
Es sei $k(\zeta )$ ein regulärer Kreiskörper, und $\mu$ eine ganze Zahl in $k(\zeta )$, welche nicht gleich der $l$-ten Potenz einer Zahl in $k(\zeta )$ ist; der durch ${\mathsf {M}}={\sqrt[{l}]{\mu }}$ und $\zeta$ bestimmte reguläre Kummersche Körper $k({\mathsf {M}},\zeta )$ werde mit $K$ bezeichnet. Wir suchen nunmehr die Theorie dieses Körpers mittelst der entsprechenden Begriffe und Methoden zu fördern, wie sie in den Kapiteln 17 bis 18 in der Theorie des quadratischen Körpers angewandt worden sind.
Die Relativgruppe von $K$ in bezug auf $k(\zeta )$ wird durch die Potenzen der Substitution $S=({\mathsf {M}}:\zeta {\mathsf {M}})$ gebildet; es werde gemäß § 57 ein Ideal ${\mathfrak {A}}$ des Körpers $K$ ein ambiges Ideal genannt, wenn ${\mathfrak {A}}$ bei Anwendung der Operation $S$ ungeändert bleibt, d. h. $S{\mathfrak {A}}={\mathfrak {A}}$ ist, und wenn außerdem ${\mathfrak {A}}$ kein von $1$ verschiedenes Ideal des Körpers $k(\zeta )$ als Faktor enthält. Nach Satz 93 sind die $t$ in der Relativdiskriminante von $K$ aufgehenden Primideale sämtlich ambig, und es gibt außer diesen auch keine anderen ambigen Primideale. Ist sodann ${\mathfrak {A}}$ ein beliebiges ambiges Ideal in $K$, so schließen wir aus ${\mathfrak {A}}=S{\mathfrak {A}}$ leicht (vgl. § 73), daß auch jedes in ${\mathfrak {A}}$ aufgehende Primideal des Körpers $K$ ambig sein muß, und daraus folgt dann, daß die Anzahl aller vorhandenen ambigen Ideale $l^{t}$ beträgt.
Ist ${\mathfrak {C}}$ ein Ideal aus einer Klasse $C$ des Kummerschen Körpers $K$, so werde die durch das relativ konjugierte Ideal $S{\mathfrak {C}}$ bestimmte Idealklasse mit $SC$ bezeichnet. Die Klassen $SC$, $S^{2}C$, …, $S^{l-1}C$ sollen die zu $C$ relativ conjugierten Klassen heißen. Ist ferner $F(S)$ eine beliebige ganzzahlige Funktion vom $(l-1)$-ten Grade in $S$, nämlich
* $F(S)=a+a_{1}S+a_{2}S^{2}+\cdots +a_{l-1}S^{l-1}$,
wo $a$, $a_{1}$, …, $a_{l-1}$ ganze rationale Zahlen sind, so werde die durch den Ausdruck
* $C^{a}(SC)^{a_{1}}(S^{2}C)^{a_{2}}\cdots (S^{l-1}C)^{a_{l-1}}$
bestimmte Klasse die $F(S)$-te symbolische Potenz der Klasse $C$ genannt und mit
* $C^{a+a_{1}S+a_{2}S^{2}+\cdots +a_{l-1}S^{l-1}}=C^{F(S)}$
bezeichnet. Endlich heiße eine Idealklasse $A$ des Kummerschen Körpers $K$ eine ambige Klasse wenn $A=SA$, d. h., wenn ihre $(1-S)$-te symbolische Potenz $A^{1-S}=1$ wird. Die $l$-te Potenz einer beliebigen ambigen Klasse $A$ ist stets eine solche Klasse, welche unter ihren Idealen in $k(\zeta )$ liegende Ideale enthält. Dies ergibt sich unmittelbar, wenn wir berücksichtigen, daß wir
* $A^{l}=A^{1+S+S^{2}+\cdots +S^{l-1}}$
$A=SA$
$K$
$k(\zeta )$
Es sei in dem regulären Kummerschen Körper $K$ ein solches System von Klassen vorgelegt, daß in der $l$-ten Potenz einer jeden dieser Klassen stets Ideale des Körpers $k(\zeta )$ vorkommen, und überdies sollen insbesondere alle diejenigen Klassen, in welchen Ideale des Körpers $k(\zeta )$ vorkommen, dem Systeme angehören; endlich sollen das Produkt und der Quotient von irgend zwei Klassen des Systems stets wiederum dem Systeme angehören. Ein solches System von Klassen nenne ich eine Klassenschar des Kummerschen Körpers. In einer vorgelegten Klassenschar kann man stets eine gewisse Anzahl $n$ von Klassen $C_{1}$, …, $C_{n}$ bestimmen von der Beschaffenheit, daß man jede Klasse der Klassenschar und jede nur einmal erhält, wenn man in dem Ausdruck
* $C_{1}^{u_{1}}C_{2}^{u_{2}}\ldots C_{n}^{u_{n}}c$
einem jeden der Exponenten $u_{1}$, $u_{2}$, …, $u_{n}$ unabhängig von den anderen alle Werte $0$, $1$, …, $l-1$ erteilt, und für $c$ eine jede solche Klasse setzt, welche unter ihren Idealen in $k(\zeta )$ liegende Ideale enthält. Die Klassen $C_{1}$, $C_{2}$, …, $C_{n}$ mögen dann eine Basis der Klassenschar heißen. Es läßt sich leicht zeigen, daß für eine jede andere Basis der Klassenschar die Anzahl $n$ der Klassen, aus welchen die Schar besteht, die gleiche sein muß. Diese Zahl $n$ heiße der Grad der Klassenschar.
Enthalten insbesondere alle Klassen einer Schar Ideale des Körpers $k(\zeta )$, so ist die Schar vom Grade $0$. Des weiteren ist beispielsweise die Gesamtheit aller derjenigen Klassen in $K$, in welchen, sei es ambige Ideale in $K$, sei es Produkte aus ambigen Idealen in $K$ mit Idealen des Körpers $k(\zeta )$ vorkommen, eine Klassenschar. Ferner bildet die Gesamtheit aller ambigen Klassen des Kummerschen Körpers eine Klassenschar.
Bevor wir die Untersuchungen des vorigen Paragraphen fortsetzen, leiten wir zwei Hilfssätze ab, die sich an den Satz 91 in § 55 anschließen und wie folgt lauten:
Hilfssatz 31. Es sei der Relativgrad $l$ eines relativ zyklischen Körpers $K$ in bezug auf einen Unterkörper $k$ eine ungerade Primzahl, ferner sei $S$ eine von der identischen verschiedene Substitution der Relativgruppe von $K$ in bezug auf $k$ und $H_{1}$, …, $H_{r+1}$ ein System von relativen Grundeinheiten des Körpers $K$ in bezug auf $k$, dann gilt für eine beliebige Einheit ${\mathsf {E}}$ in $K$ jedesmal eine Gleichung von der Gestalt
* ${\mathsf {E}}^{f}={\mathsf {H}}_{1}^{F_{1}(S)}\cdots {\mathsf {H}}_{r+1}^{F_{r+1}(S)}\left[\epsilon \right]$,
$f$
$l$
$F_{1}(S)$
$F_{r+1}(S)$
$(l-2)$
$S$
$[\varepsilon ]$
$l$
$k$
Beweis. Aus dem Beweise des Satzes 91 geht hervor, daß die Einheiten
* ${\mathsf {H}}_{1},\ldots ,{\mathsf {H}}_{r+1},S{\mathsf {H}}_{1},\ldots ,S{\mathsf {H}}_{r+1},\ldots ,S^{l-2}{\mathsf {H}}_{1},\ldots ,S^{l-2}{\mathsf {H}}_{r+1}$
unter Hinzufügung von $r$ Grundeinheiten des Körpers $k$ voneinander unabhängig sind, und da die Anzahl dieser Einheiten insgesamt $l(r+l)-1$ beträgt, so gibt es, wenn ${\mathsf {E}}$ eine beliebig angenommene Einheit in $K$ bedeutet, für ${\mathsf {E}}$ gewiß Relationen von der Gestalt
| ${\mathsf {E}}^{G(S)}={\mathsf {H}}_{1}^{G_{1}(S)}\cdots {\mathsf {H}}_{r+1}^{G_{r+1}(S)}[\varepsilon ]$, | (122) |
wo $G(S)$, $G_{1}(S)$, …, $G_{r+1}(S)$ ganzzahlige Funktionen vom $(l-2)$-ten Grade in $S$ sind, unter denen die erste nicht identisch verschwindet, und wo $[\varepsilon ]$ eine solche Einheit in $K$ bedeutet, daß $[\varepsilon ]^{l}$ in $k$ liegt. Aus den unendlich vielen vorhandenen Relationen dieser Art denken wir uns eine solche ausgewählt, bei welcher die ganze Funktion $G(\zeta )$ durch eine möglichst niedrige Potenz von $1-\zeta$ teilbar ist. Wir nehmen an, es treffe dies eben für die Relation (122) zu; wir setzen zunächst voraus, es sei dabei $G(\zeta )$ noch mindestens einmal durch $1-\zeta$ teilbar. Nach der Definition der Grundeinheiten in § 55 müssen dann
* $G_{1}(\zeta ),\ldots ,G_{r+1}(\zeta )$
sämtlich ebenfalls durch $1-\zeta$ teilbar sein. Erheben wir die Gleichung (122) in die $(1-S^{2})(1-S^{3})\ldots (1-S^{l-1})$-te symbolische Potenz und setzen
* $G(\zeta )=(1-\zeta )G^{*}(\zeta ),$
* $G_{1}(\zeta )=(1-\zeta )G_{1}^{*}(\zeta ),\cdots ,G_{r+1}(\zeta )=(1-\zeta )G_{r+1}^{*}(\zeta ),$
so folgt leicht, indem wir berücksichtigen, daß die $(1+S+S^{2}+\ldots +S^{l-1})$-te symbolische Potenz einer Einheit in K stets eine Einheit in $k$ wird,
| ${\mathsf {E}}^{lG^{*}(S)}={\mathsf {H}}^{lG_{1}^{*}(S)}\cdots {\mathsf {H}}_{r+1}^{lG_{r+1}^{*}(S)}[\varepsilon ]$, | (123) |
wo $[\varepsilon ]$ wieder eine Einheit in $k$ oder die $l$-te Wurzel aus einer Einheit in $k$ bedeutet. Wegen der Gleichung (123) ist eine $l$-te Wurzel aus dieser Zahl $[\varepsilon ]$ sicherlich eine Zahl in $K$, also, wie leicht ersichtlich, ebenfalls eine solche Einheit in $K$, deren $l$-te Potenz in $k$ liegt, und die wiederum mit $[\varepsilon ]$ zu bezeichnen ist; aus (123) schließen wir daher:
* ${\mathsf {E}}^{G^{*}(S)}={\mathsf {H}}_{1}^{G_{1}^{*}(S)}\cdots {\mathsf {H}}_{r+1}^{G_{r+1}(S)}[\varepsilon ]$,
wo wiederum $[\varepsilon ]$ eine Einheit in $K$ bedeutet, deren $l$-te Potenz in $k$ liegt. Diese Gleichung ist von der nämlichen Gestalt wie (122), nur daß hier $G^{*}(\zeta )$ durch eine niedrigere Potenz von $1-\zeta$ teilbar wäre als oben $G(\zeta )$. Dadurch erhalten wir einen Widerspruch mit unserer Annahme, wonach die zugrunde gelegte Relation (122) bereits eine solche war, in der $G(\zeta )$ eine möglichst niedrige Potenz von $1-\zeta$ enthielt; wir sehen also, daß unter dieser Voraussetzung in (122) $G(\zeta )$ nicht durch $1-\zeta$ teilbar sein kann.
Setzen wir
* $f=G(\zeta )G(\zeta ^{2})\cdots G(\zeta ^{l-1})$,
so wird $f$ eine ganze rationale, nicht durch $l$ teilbare Zahl, und es gibt offenbar zwei ganzzahlige Funktionen $H(S)$, $M(S)$, so daß die Gleichung
* $f=H(S)G(S)+M(S)(1+S+S^{2}+\cdots +S^{l-1})$
identisch in $S$ erfüllt ist. Erheben wir (122) in die $H(S)$-te symbolische Potenz, so folgt daraus sofort eine Formel von der im Hilfssatz 31 verlangten Beschaffenheit.
Hilfssatz 32. Es mögen dieselben Bezeichnungen wie in Hilfssatz 31 gelten, und überdies bilden wir die Relativnormen der $r+1$ relativen Grundeinheiten des relativ-zyklischen Körpers $K$, nämlich
* $\eta _{1}=N_{k}({\mathsf {H}}_{1}),\ldots ,\eta _{r+1}=N_{k}({\mathsf {H}}_{r+1}):$
dann läßt sich jede Einheit $\varepsilon$ in $k$, welche die Relativnorm einer Einheit ${\mathsf {E}}$ des Körpers $K$ ist, in der Gestalt
* $\varepsilon =\eta _{1}^{u_{1}}\cdots \eta _{r+1}^{u_{r+1}}[\varepsilon ]^{l}$
darstellen, wo $u_{1}$, …, $u_{r+1}$ ganze rationale Exponenten sind und $[\varepsilon ]$ eine Einheit in $K$ ist.
Beweis. Nach Hilfssatz 31 haben wir für ${\mathsf {E}}$ eine Gleichung
* ${\mathsf {E}}^{f}={\mathsf {H}}_{1}^{F_{1}(S)}\cdots {\mathsf {H}}_{r+1}^{F_{r+1}(S)}[\varepsilon ]$,
wo die Zeichen die dort angegebene Bedeutung besitzen. Indem wir von beiden Seiten dieser Gleichung die Relativnorm in bezug auf $k$ bilden, ergibt sich
| $\varepsilon ^{f}=\eta _{1}^{F_{1}(1)}\cdots \eta _{r+1}^{F_{r+1}(1)}[\varepsilon ]^{l}$. | (124) |
Bestimmen wir nun zwei ganze rationale Zahlen $a$, $b$, so daß
* $1=af+bl$
wird, und erheben dann die Gleichung (124) in die $a$-te Potenz, so entsteht eine Formel von der im Hilfssatz 32 behaupteten Art.
Es sei $K=k({\sqrt[{l}]{\mu }},\zeta )$ ein regulärer Kummerscher Körper; wir nehmen aus seiner Relativgruppe die Substitution $S=\left({\sqrt[{l}]{\mu }}:\zeta {\sqrt[{l}]{\mu }}\right)$. Da ein beliebiges ambiges Ideal ${\mathfrak {A}}$ des Körpers $K$ vermöge seiner Eigenschaft ${\mathfrak {A}}=S{\mathfrak {A}}$ stets eine ambige Klasse bestimmt, so haben wir, um zur Kenntnis der ambigen Klassen zu gelangen, vor allem die aus den ambigen Idealen entspringende Klassenschar zu untersuchen. Wir beweisen die wichtige Tatsache:
Satz 158. Es sei $t$ die Anzahl der verschiedenen Primideale, welche in der Relativdiskriminante des regulären Kummerschen Zahlkörpers $K=k\left({\sqrt[{l}]{\mu }},\zeta \right)$ vom Relativgrade $l$ aufgehen; ferner mögen die Relativnormen aller Einheiten von $K$ für $k(\zeta )$ eine Einheitenschar vom Grade $m$ bilden: betrachten wir dann alle diejenigen Klassen, in welchen sei es ambige Ideale des Körpers $K$, sei es Produkte von ambigen Idealen in $K$ mit Idealen in $k(\zeta )$ vorkommen, so bilden diese eine Klassenschar vom Grade
* $t+m-{\frac {l+1}{2}}$.
Beweis. Wir setzen im folgenden zunächst voraus, daß die Zahl $\mu$ nicht von der Gestalt $\varepsilon \alpha ^{l}$ sei, wo $\varepsilon$ eine Einheit und $\alpha$ eine Zahl in $k(\zeta )$ bedeuten soll. Es ist dann jede Einheit $[\varepsilon ]$ des Körpers $K=k({\sqrt[{l}]{\mu }},\zeta )$, deren $l$-te Potenz in $k(\zeta )$ liegt, notwendig selbst in $k(\zeta )$ gelegen. Nunmehr mögen ${\mathsf {H}}_{1}$, …, $H_{\frac {l-1}{2}}$ ein System von relativen Grundeinheiten des Körpers $K$ in bezug auf $k(\zeta )$ und
* $\eta _{1}=N_{k}({\mathsf {H}}_{1}),\ldots ,\eta _{\frac {l-1}{2}}=N_{k}({\mathsf {H}}_{\frac {l-1}{2}})$
deren Relativnormen bedeuten.
Wir nehmen erstens an, daß der äußerste Fall $m={\frac {l-1}{2}}$ eintritt. Aus Hilfssatz 32 schließen wir dann, daß die Einheiten $\eta _{1}$, …, $\eta _{\frac {l-1}{2}}$ eine Basis derjenigen Einheitenschar bilden, welche aus den Relativnormen aller Einheiten in $K$ besteht. Andererseits fassen wir die $t$ ambigen Primideale ${\mathfrak {L}}_{1}$, …, ${\mathfrak {L}}_{t}$ des Körpers $K$ ins Auge; dieselben bestimmen $t$ ambige Idealklassen, die wir bez. $L_{1}$, …, $L_{t}$ nennen wollen. Um für die aus diesen Klassen entspringende Klassenschar den Grad zu bestimmen, setzen wir
| ${\mathsf {M}}={\sqrt[{l}]{\mu }}={\mathfrak {L}}_{1}^{a_{1}}\cdots {\mathfrak {L}}_{t}^{a_{t}}{\mathfrak {j}}$, | (125) |
wo $a_{1}$, …, $a_{t}$ gewisse ganze rationale Exponenten bedeuten, und wo ${\mathfrak {j}}$ ein Ideal in $k(\zeta )$ ist. Wegen der zu Anfang getroffenen Voraussetzung über $\mu$ ist wenigstens einer der Exponenten $a_{1}$, …, $a_{t}$ nicht durch $l$ teilbar; es sei etwa $a_{t}$ prim zu $l$. Wir entnehmen aus der Gleichung (125), daß
* $c=L_{1}^{a_{1}}\cdots L_{t}^{a_{t}}$
eine solche Klasse ist, die Ideale des Körpers $k(\zeta )$ enthält; da $L_{t}^{l}$ ebenfalls eine Klasse dieser Art ist, so folgt hieraus sofort, daß die Klasse $L_{t}$ sich als Produkt von Potenzen der Klassen $L_{1}$, …, $L_{t-1}$ und einer Klasse darstellen läßt, die Ideale des Körpers $k(\zeta )$ enthält.
Wir beweisen jetzt, daß aus den Idealklassen $L_{1}$, …, $L_{t-1}$ allein keine Klasse von der Gestalt
| $c'=L_{1}^{a'_{1}}\cdots L_{t-1}^{a'_{t-1}}$ | (126) |
hervorgehen kann, welche Ideale des Körpers $k(\zeta )$ enthält, während $a'_{1}$, …, $a'_{t-1}$ ganze rationale, nicht sämtlich durch $l$ teilbare Exponenten sind. In der Tat, auf Grund der Relation (126) würden wir eine Gleichung
| ${\mathsf {M}}'={\mathfrak {L}}_{1}^{a'_{1}}\cdots {\mathfrak {L}}_{t-1}^{a'_{t-1}}{\mathfrak {j}}'$ | (127) |
aufstellen können, so daß ${\mathfrak {j}}'$ ein Ideal des Körpers $k(\zeta )$ und ${\mathsf {M}}'$ eine ganze Zahl des Körpers $K$ ist; hieraus schließen wir dann, daß ${\mathsf {E}}={\mathsf {M}}'^{1-S}$ eine Einheit in $K$ sein müßte. Auf diese Einheit $E$ wenden wir den Hilfssatz 31 an und erhalten so eine Gleichung von der Gestalt
| ${\mathsf {E}}^{f}={\mathsf {H}}_{1}^{F_{1}(S)}\cdots {\mathsf {H}}_{\frac {l-1}{2}}^{F_{\frac {l-1}{2}}(S)}\varepsilon$, | (128) |
wo $f$ eine ganze rationale, nicht durch $l$ teilbare Zahl, $F_{1}(S)$, …, $F_{\frac {l-1}{2}}(S)$ ganzzahlige Funktionen von $S$ und $\varepsilon$ eine Einheit in $k(\zeta )$ bedeuten. Da offenbar $N_{k}({\mathsf {E}})=1$ ist, so ergibt sich durch Bildung der Relativnorm auf beiden Seiten von (128) die Gleichung
* $1=\eta ^{F_{1}(1)}\cdots \eta _{\frac {l-1}{2}}^{F_{\frac {l-1}{2}}(1)}\varepsilon ^{l}$.
Da $\eta _{1}$, …, $\eta _{\frac {l-1}{2}}$ eine Basis einer Einheitenschar bilden sollen, so müssen die ganzen rationalen Zahlen $F_{1}(1)$, …, $F_{\frac {l-1}{2}}(1)$ sämtlich durch $l$ und demnach die ganzen Zahlen $F_{1}(\zeta )$, …, $F_{\frac {l-1}{2}}(\zeta )$ sämtlich durch $1-\zeta$ teilbar sein. Setzen wir
* $F_{1}(\zeta )=(1-\zeta )F_{1}^{*}(\zeta ),\ldots ,F_{\frac {l-1}{2}}(\zeta )=(1-\zeta )F_{\frac {l-1}{2}}^{*}(\zeta )$
und
* ${\mathsf {H}}={\mathsf {H}}_{1}^{F_{1}^{*}(S)}\cdots {\mathsf {H}}_{\frac {l-1}{2}}^{F_{\frac {l-1}{2}}^{*}(S)}$,
so wird
* ${\mathsf {E}}^{f}={\mathsf {H}}^{1-S}\varepsilon ^{*}$,
wo $\varepsilon ^{*}$ wieder eine Einheit in $k(\zeta )$ bedeutet. Durch Bildung der Relativnorm folgt aus letzterer Gleichung $1=\varepsilon ^{*l}$, d. h. $\varepsilon ^{*}$ ist eine $l$-te Einheitswurzel, etwa $=\zeta ^{g}$. Berücksichtigen wir ${\mathsf {M}}^{1-S}=\zeta ^{-1}$, so haben wir
* $\left\{{{\mathsf {M}}'}^{f}{\mathsf {M}}^{g}{\mathsf {H}}^{-1}\right\}^{1-S}=1$,
d. h. der Ausdruck ${\mathsf {M'}}^{f}{\mathsf {M}}^{g}{\mathsf {H}}^{-1}$ stellt eine Zahl in $k(\zeta )$ dar. Da nun $M'$ wegen (127) das Ideal ${\mathfrak {L}}_{t}$ nicht oder zu einem durch $l$ teilbaren Exponenten erhoben enthält, ${\mathsf {M}}$ dagegen das Ideal ${\mathfrak {L}}_{t}$ in einer Potenz enthält, deren Exponent $a_{t}$ nicht durch $l$ teilbar ist, so zeigt die Zerlegung dieser Zahl in Primideale des Körpers $k(\zeta )$ erstens, daß $g$ durch $l$ teilbar sein muß; dann zeigt sie weiter, da $f$ zu $l$ prim ist, daß die Exponenten $a'_{1}$, …, $a'_{t-1}$ sämtlich durch $l$ teilbar sein müßten, was der Voraussetzung widerspricht. Daraus folgt, daß zwischen den Klassen $L_{1}$, …, $L_{t-1}$ eine Relation wie (126) nicht bestehen kann, d. h. die Klassen $L_{1}$, …, $L_{t-1}$ bilden unter der gegenwärtigen Annahme, die wesentlich auf $m={\frac {l-1}{2}}$ hinauskommt, für die aus allen ambigen Idealen entspringende Klassenschar eine Basis; der Grad dieser Klassenschar ist daher gleich $t-1$, wie es unserem Satze 158 für $m={\frac {l-1}{2}}$ entspricht.
Wir nehmen zweitens $m={\frac {l-3}{2}}$ an; dann muß zwischen den Einheiten $\eta _{1}$, …, $\eta _{\frac {l-1}{2}}$ eine Relation von der Gestalt $\eta _{1}^{e_{1}}\cdots \eta _{\frac {l-1}{2}}^{e_{\frac {l-1}{2}}}$ bestehen, wo die Exponenten $e_{1}$, …, $e_{\frac {l-1}{2}}$ ganze rationale, nicht sämtlich durch $l$ teilbare Zahlen sind und $\eta$ eine Einheit in $k(\zeta )$ bedeutet. Ist etwa $e_{\frac {l-1}{2}}$ nicht durch $l$ teilbar, so sind, wie man aus Hilfssatz 32 schließt, notwendig $\eta _{1}$, …, $\eta _{\frac {l-3}{2}}$ eine Basis der aus den Relativnormen aller Einheiten in $K$ gebildeten Einheitenschar. Wir bilden die Einheit
| ${\mathsf {E}}={\mathsf {H}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathsf {H}}_{\frac {l-1}{2}}^{e_{\frac {l-1}{2}}}\eta ^{-1}$. | (129) |
Da diese die Relativnorm $1$ besitzt, so gibt es nach Satz 90 (S. 149) eine ganze Zahl $\Lambda$ in $K$ von der Beschaffenheit, daß ${\mathsf {E}}=\Lambda ^{1-S}$ wird. Wir bestimmen nun, was jedenfalls möglich ist, eine ganze rationale positive Zahl $r$ in der Weise, daß in dem Produkt ${\mathsf {M}}'=\Lambda {\mathsf {M}}^{r}$ das Primideal ${\mathfrak {L}}_{t}$ zu einem durch $l$ teilbaren Exponenten erhoben vorkommt. Es dürfen dann in ${\mathsf {M}}'$ nicht auch die Faktoren ${\mathfrak {L}}_{1}$, …, ${\mathfrak {L}}_{t-1}$ sämtlich in solchen Potenzen, deren Exponenten durch $l$ teilbar sind, vorkommen, da man sonst unter Benutzung von Satz 153 (S. 279) $M'=\Theta \alpha$ hätte in der Art, daß $\Theta$ eine Einheit in $K$ und $\alpha$ eine ganze Zahl in $k(\zeta )$ bedeutet; dann aber würde $\Theta ^{1-S}={\mathsf {E}}\zeta ^{-r}$ folgen, und dies widerspräche mit Rücksicht auf (129), da $e_{\frac {l-1}{2}}$ zu $l$ prim ist, der Definition der relativen Grundeinheiten ${\mathsf {H}}_{1}$, …, ${\mathsf {H}}_{\frac {l-1}{2}}$ nach § 55. Es komme nun in ${\mathsf {M}}'$ etwa das ambige Primideal ${\mathfrak {L}}_{t-1}$ zu einem nicht durch $l$ teilbaren Exponenten erhoben vor. Dann entnehmen wir aus diesem Umstande die Tatsache, daß die Klasse $L_{t-1}$ sich als Produkt von Potenzen der Klassen $L_{1}$, …, $L_{t-2}$ und einer solchen Klasse darstellen läßt, die Ideale des Körpers $k(\zeta )$ enthält.
Wir beweisen jetzt, daß aus den Idealklassen $L_{1}$, …, $L_{t-2}$ keine Klasse
| $c''=L_{1}^{a''_{1}}\cdots L_{t-2}^{a''_{t-2}}$ | (130) |
hervorgehen kann, welche Ideale in $k(\zeta )$ enthält, während die Exponenten $a''_{1}$, …, $a''_{t-2}$ ganze rationale, nicht sämtlich durch $l$ teilbare Zahlen sind. In der Tat, eine Relation (130) hätte eine Gleichung von der Gestalt
| ${\mathsf {M}}''={\mathfrak {L}}_{1}^{a''_{1}}\cdots {\mathfrak {L}}_{t-2}^{a''_{t-2}}{\mathfrak {j}}''$ | (131) |
zur Folge von der Art, daß ${\mathsf {M}}''$ eine ganze Zahl in $K$ und ${\mathfrak {j}}''$ ein Ideal in $k(\zeta )$ ist; hieraus schließen wir dann, daß ${\mathsf {E}}'={\mathsf {M}}''^{1-S}$ eine Einheit in $K$ sein müßte. Wir wenden für diese Einheit ${\mathsf {E}}'$ den Hilfssatz 31 an und erhalten so eine Gleichung
| ${\mathsf {E}}'^{f'}={\mathsf {H}}_{1}^{F'_{1}(S)}\cdots {\mathsf {H}}_{\frac {l-1}{2}}^{F'_{\frac {l-1}{2}}(S)}\varepsilon$, | (132) |
wo $f'$ eine ganze rationale, nicht durch $l$ teilbare Zahl,
* $F'_{1}(S),\ldots ,F'_{\frac {l-1}{2}}(S)$
ganzzahlige Funktionen von $S$ sind und $\varepsilon$ eine Einheit in $k(\zeta )$ ist. Wir bestimmen nun einen ganzen rationalen Exponenten $u$ in der Weise, daß die ganze Zahl $F'_{\frac {l-l}{2}}(1)+ue_{\frac {l-1}{2}}$ durch $l$ teilbar wird; mit Rücksicht auf $N_{k}({\mathsf {E}}')=1$ erhalten wir aus (132) durch Bildung der Relativnorm in bezug auf $k(\zeta )$ die Gleichung:
| $1=\eta _{1}^{F'_{1}(1)+ue_{1}}\cdots \eta _{\frac {l-3}{2}}^{F'_{\frac {l-3}{2}}(1)+ue_{\frac {l-3}{2}}}\varepsilon '^{l}$, | (133) |
wo $\varepsilon '$ wiederum eine Einheit in $k(\zeta )$ ist. Da die Einheiten $\eta _{1}$, …, $\eta _{\frac {l-3}{2}}$ eine Basis einer Einheitenschar sind, so folgt aus (133), daß die Exponenten $F'_{1}(1)+ue_{1}$, …, $F'_{\frac {l-3}{2}}(1)+ue_{\frac {l-3}{2}}$ sämtlich durch $l$, d. h. die Zahlen $F'_{1}(\zeta )+ue_{1}$, …, $F'_{\frac {l-3}{2}}(\zeta )+ue_{\frac {l-3}{2}}$ sämtlich durch $1-\zeta$ teilbar sein müssen. Setzen wir
* $F'_{1}(\zeta )+ue_{1}=(1-\zeta )F_{1}^{'*}(\zeta ),\ldots ,F'_{\frac {l-1}{2}}(\zeta )+ue_{\frac {l-1}{2}}=(1-\zeta ){F_{\frac {l-1}{2}}^{'*}}(\zeta )$
und
* ${\mathsf {H}}'={\mathsf {H}}_{1}^{F_{1}^{'*}}\cdots {\mathsf {H}}_{\frac {l-1}{2}}^{F_{\frac {l-1}{2}}^{'*}}$,
so folgt aus (132)
* ${\mathsf {E}}'^{f'}{\mathsf {E}}^{u}={\mathsf {H}}'^{1-S}\varepsilon '^{*}$,
${\mathsf {E}}$
$K$
$\varepsilon '^{*}$
$k(\zeta )$
$1=\varepsilon '^{*l}$
$\varepsilon '^{*}$
$l$
$\zeta ^{g'}$
* ${\mathsf {M}}^{1-S}=\zeta ^{-1}$, ${\mathsf {M}}'^{1-S}={\mathsf {E}}\zeta ^{-r}$, ${\mathsf {M}}''^{1-S}={\mathsf {E}}'$
berücksichtigen,
* $\{{\mathsf {M}}''^{f'}{\mathsf {M}}'^{u}{\mathsf {M}}^{g'-ur}{\mathsf {H}}'{-1}\}^{1-S}=1$,
d. h. der Ausdruck ${\mathsf {M}}''^{f'}{\mathsf {M}}'^{u}{\mathsf {M}}^{g'-ur}{\mathsf {H}}'^{-1}$ stellt eine Zahl in $k(\zeta )$ dar. Beachten wir, daß ${\mathfrak {L}}_{t}^{l}$, ${\mathfrak {L}}_{t-1}^{l}$, ${\mathfrak {L}}_{t-2}^{l}$, …, ${\mathfrak {L}}_{1}^{l}$ in $k(\zeta )$ Primideale sind, so schließen wir daraus zunächst, daß $g'-ur$ durch $l$ teilbar sein muß; sodann ersehen wir, da ${\mathsf {M}}'$ nach Voraussetzung das Ideal ${\mathfrak {L}}_{t-1}$ zu einer Potenz erhoben enthält, deren Exponent nicht durch $l$ teilbar ist, dagegen in der Zahl ${\mathsf {M}}''$ wegen (131) das Ideal ${\mathfrak {L}}_{t-1}$ sicher zu einem durch $l$ teilbaren Exponenten erhoben vorkommt, daß notwendigerweise auch $u$ durch $l$ teilbar sein muß, und endlich müßten dann, da $f'$ zu $l$ prim ist, die Exponenten $a''_{1}$, …, $a''_{t-2}$ sämtlich durch $l$ teilbar sein, was unserer Voraussetzung über dieselben widerspricht. Damit ist gezeigt, daß zwischen den Klassen $L_{1}$, …, $L_{t-2}$ eine Relation wie (130) nicht bestehen kann, d. h. die Klassen $L_{1}$, …, $L_{t-2}$ bilden unter der gegenwärtigen Annahme $m={\frac {l-3}{2}}$ für die aus allen ambigen Idealen entspringende Klassenschar eine Basis; der Grad dieser Klassenschar ist daher gleich $t-2$, wie es unserem Satz 158 entspricht.
Wenn wir drittens $m={\frac {l-5}{2}}$ annehmen, so besteht zwischen den Einheiten $\eta _{1}$, …, $\eta _{\frac {l-1}{2}}$ nicht nur, wie im vorigen Falle, eine Relation von der Gestalt $\eta _{1}^{e_{1}}\cdots \eta _{\frac {l-1}{2}}^{e_{\frac {l-1}{2}}}=\eta ^{l}$, wo $\eta$ eine Einheit in $k(\zeta )$ und einer der Exponenten $e_{1}$, …, $e_{\frac {l-1}{2}}$, etwa wieder $e_{\frac {l-1}{2}}$, nicht durch $l$ teilbar ist, sondern es besteht alsdann noch eine zweite Relation von der Gestalt $\eta _{1}^{e'_{1}}\cdots \eta _{\frac {l-3}{2}}^{e'_{\frac {l-3}{2}}}=\eta '^{l}$, wo $\eta '$ wieder eine Einheit in $k(\zeta )$ ist, und wo einer der Exponenten $e'_{1}$, …, $e'_{\frac {l-3}{2}}$, etwa $e'_{\frac {l-3}{2}}$, nicht durch $l$ teilbar ist. Wir bilden die Einheiten
| $\left.{\begin{aligned}{\mathsf {E}}&={\mathsf {H}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathsf {H}}_{\frac {l-1}{2}}^{e_{\frac {l-1}{2}}}\eta ^{-1},\\{\mathsf {E}}'&={\mathsf {H}}_{1}^{e'_{1}}\cdots {\mathsf {H}}_{\frac {l-3}{2}}^{e'_{\frac {l-3}{2}}}\eta '^{-1}.\end{aligned}}\right\$ | (134) |
Da die Relativnormen der Einheiten ${\mathsf {E}}$ und ${\mathsf {E}}'$ gleich $1$ sind, so können wir nach Satz 90 (S. 149) ${\mathsf {E}}=\Lambda ^{1-S}$ und ${\mathsf {E}}'=\Lambda '^{1-S}$ setzen, wobei $\Lambda$ und $\Lambda '$ ganze Zahlen in $K$ bedeuten. Bestimmen wir dann zunächst, wie im vorigen Falle, eine ganze rationale positive Zahl $r$ derart, daß ${\mathsf {M}}'=\Lambda {\mathsf {M}}^{r}$ den Faktor ${\mathfrak {L}}_{t}$ zu einem durch $l$ teilbaren Exponenten erhoben enthält, so kommt, wie die dortigen Überlegungen zeigen, in ${\mathsf {M}}'$ mindestens eines der ambigen Primideale ${\mathfrak {L}}_{1}$, …, ${\mathfrak {L}}_{t-1}$ zu einer Potenz erhoben vor, deren Exponent nicht durch $l$ teilbar ist; es treffe dies etwa für ${\mathfrak {L}}_{t-1}$ zu. Wir bestimmen dann zwei ganze rationale positive Zahlen $r'$ und $r''$ so, daß die Zahl ${\mathsf {M}}''=\Lambda '{\mathsf {M}}'{^{r'}}{\mathsf {M}}^{r''}$ die beiden Faktoren ${\mathfrak {L}}_{t}$ und ${\mathfrak {L}}_{t-1}$ zu Exponenten erhoben enthält, die durch $l$ teilbar sind. Alsdann können in dieser Zahl ${\mathsf {M}}''$ die Faktoren ${\mathfrak {L}}_{1}$, …, ${\mathfrak {L}}_{t-2}$ nicht sämtlich zu solchen Potenzen erhoben vorkommen, deren Exponenten durch $l$ teilbar sind. Denn wäre dies der Fall, so könnten wir unter Benutzung von Satz 153 ${\mathsf {M}}''=\Theta '\alpha '$ setzen, so daß $\Theta '$ eine Einheit in $K$ und $\alpha '$ eine ganze Zahl in $k(\zeta )$ ist. Berücksichtigen wir dann die Gleichungen ${\mathsf {M}}^{1-S}=\zeta ^{-1}$, $\Lambda ^{1-S}={\mathsf {E}}$, $\Lambda '^{1-S}={\mathsf {E}}'$, so wäre
* $\Theta '^{1-S}={\mathsf {E}}'{\mathsf {E}}^{r'}\zeta ^{-(rr'+r'')}$;
wegen (134) würde hieraus folgen:
| $\Theta '^{1-S}={\mathsf {H}}_{1}^{e'_{1}+r'e_{1}}\cdots {\mathsf {H}}_{\frac {l-3}{2}}^{e'_{\frac {l-3}{2}}+r'e_{\frac {l-3}{2}}}{\mathsf {H}}_{\frac {l-1}{2}}^{r'e_{\frac {l-1}{2}}}\varepsilon$, | (135) |
wo $\varepsilon$ eine gewisse Einheit in $k(\zeta )$ bedeutet; diese Relation widerspräche aber der Definition der relativen Grundeinheiten nach § 55; denn da jede der beiden Zahlen $e_{\frac {l-1}{2}}$, $e'_{\frac {l-3}{2}}$ zu $l$ prim ist, so sind die Exponenten von ${\mathsf {H}}_{\frac {l-3}{2}}$, ${\mathsf {H}}_{\frac {l-1}{2}}$ in (135) sicher niemals beide zugleich durch $l$ teilbar. Kommt nun in ${\mathsf {M}}''$ etwa ${\mathfrak {L}}_{t-2}$ zu einem nicht durch $l$ teilbaren Exponenten erhoben vor, so entnehmen wir aus diesem Umstande, daß die Klasse $L_{t-2}$ sich als Produkt von Potenzen der Klassen $L_{1}$, …, $L_{t-3}$ und einer solchen Klasse darstellen läßt, die Ideale des Körpers $k(\zeta )$ enthält.
Durch die entsprechenden Überlegungen wie im vorigen Falle $m={\frac {l-3}{2}}$ kann man nun unter der gegenwärtigen Annahme $m={\frac {l-5}{2}}$ beweisen, daß aus den Idealklassen $L_{1}$, …, $L_{t-3}$ keine Klasse
* $c'''=L_{1}^{a'''_{1}}\cdots L_{t-3}^{a'''_{t-3}}$
hervorgehen kann, welche Ideale in $k(\zeta )$ enthält, während die Exponenten $a'''_{1}$, …, $a'''_{t-3}$ ganze rationale, nicht sämtlich durch $l$ teilbare Zahlen sind. Wir ersehen dann, daß bei der gegenwärtigen Annahme $L_{1}$, …, $L_{t-3}$ eine Basis der aus den ambigen Idealen entspringenden Klassenschar bilden; der Grad dieser Klassenschar beträgt folglich $t-3$, wie es dem Satz 158 entspricht.
Durch die geeignete Weiterführung des oben geschilderten Verfahrens gelangen wir zum vollständigen Beweise des Satzes 158.
Wir hatten oben den Fall ausgeschlossen, daß der Kummersche Körper $K$ durch eine Zahl ${\sqrt[{l}]{\varepsilon }}$ bestimmt werden kann, wo $\varepsilon$ eine Einheit in $k(\zeta )$ bedeutet; wir haben daher diesen Fall jetzt noch besonders zu behandeln. Die Relativdiskriminante des Körpers $K=k({\sqrt[{l}]{\varepsilon }},\zeta )$ kann alsdann nach Satz 148 keine anderen Primfaktoren als ${\mathfrak {l}}$ enthalten; nach Satz 94 und Satz 153 muß sie den Faktor ${\mathfrak {l}}$ wirklich enthalten. Wir haben dann in $K$ eine Zerlegung ${\mathfrak {l}}={\mathfrak {L}}^{l}$, und es ist ${\mathfrak {L}}$ das einzige ambige Primideal des Körpers $K$, Es seien wieder $\eta _{1}$, …, $\eta _{\frac {l-1}{2}}$ bez. die Relativnormen der ${\frac {l-1}{2}}$ relativen Grundeinheiten ${\mathsf {H}}_{1}$, …, ${\mathsf {H}}_{\frac {l-1}{2}}$. Da der Grad einer Einheitenschar in $k(\zeta )$ stets $\leqq {\frac {l-1}{2}}$ ist, so besteht sicher eine Relation von der Gestalt:
| $\eta _{1}^{e_{1}}\cdots \eta _{\frac {l-1}{2}}^{e_{\frac {l-1}{2}}}\varepsilon ^{e_{\frac {l+1}{2}}}=\eta ^{l}$, | (136) |
wo $e_{1}$, …, $e_{\frac {l-1}{2}}$, $e_{\frac {l+1}{2}}$ ganze rationale, nicht sämtlich durch $l$ teilbare Exponenten sind, und wo $\eta$ eine Einheit in $k(\zeta )$ bedeutet. Setzen wir
| ${\mathsf {H}}={\mathsf {H}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathsf {H}}_{\frac {l-1}{2}}^{e_{\frac {l-1}{2}}}\left({\sqrt[{l}]{\varepsilon }}\right)^{e_{\frac {l+1}{2}}}\eta ^{-1}$, | (137) |
so ist $N_{k}({\mathsf {H}})=1$ und folglich nach Satz 90 ${\mathsf {H}}=\Lambda ^{1-S}$, wo $\Lambda$ eine geeignete ganze Zahl in $K$ bedeutet; wir können dann $\Lambda ={\mathfrak {L}}^{a}{\mathfrak {j}}$ setzen, wo ${\mathfrak {L}}^{a}$ eine Potenz des ambigen Primideals ${\mathfrak {L}}$ und ${\mathfrak {j}}$ ein Ideal in $k(\zeta )$ bedeutet. Der Exponent $a$ ist dann sicher nicht durch $l$ teilbar; denn sonst wäre wegen ${\mathfrak {L}}^{l}={\mathfrak {l}}=1-\zeta$ und mit Rücksicht auf Satz 153 $\Lambda =\Theta \alpha$ in solcher Weise, daß $\Theta$ eine Einheit in $K$ und $\alpha$ eine Zahl in $k(\zeta )$ bezeichnet; hieraus aber würden wir ${\mathsf {H}}=\Theta ^{1-S}$ entnehmen und dadurch mit Rücksicht auf (137) in einen Widerspruch mit der Definition der relativen Grundeinheiten in § 55 geraten. Aus der Gleichung $\Lambda ={\mathfrak {L}}^{a}{\mathfrak {j}}$ schließen wir ${\mathfrak {j}}^{l}\sim 1$, daraus ${\mathfrak {j}}\sim 1$, ${\mathfrak {L}}^{a}\sim 1$ und, da $a$ zu $l$ prim ist, ${\mathfrak {L}}\sim 1$, d. h. das einzige im gegenwärtigen Fall vorhandene ambige Ideal ${\mathfrak {L}}$ ist ein Hauptideal; der Grad der aus den ambigen Idealen entspringenden Klassenschar ist mithin gleich $0$.
Wir nehmen nun an, von den Exponenten $e_{1}$, …, $e_{\frac {l-1}{2}}$ sei etwa $e_{\frac {l-1}{2}}$ prim zu $l$, und beweisen dann, daß keine Relation
| $\eta _{1}^{e'_{1}}\cdots \eta _{\frac {l-3}{2}}^{e'_{\frac {l-3}{2}}}\varepsilon ^{e'_{\frac {l+1}{2}}}=\eta '^{l}$ | (138) |
$e'_{1}$
$e'_{\frac {l-3}{2}}$
$e'_{\frac {l+1}{2}}$
$l$
$\eta '$
$k(\zeta )$
* ${\mathsf {H}}'={\mathsf {H}}_{1}^{e'_{1}}\cdots {\mathsf {H}}_{\frac {l-3}{2}}^{e'_{\frac {l-3}{2}}}\left({\sqrt[{l}]{\varepsilon }}\right)^{e'_{\frac {l+1}{2}}}\eta '^{-1}$
eine Einheit mit der Relativnorm $1$. Wir setzen unter Benutzung des Satzes 90 ${\mathsf {H}}'=\Lambda '^{1-S}$, wo $\Lambda '$ eine geeignete ganze Zahl in $K$ bedeutet, und bestimmen dann einen solchen ganzen rationalen positiven Exponenten $r$, daß in $\Lambda '\Lambda ^{r}$ das Primideal ${\mathfrak {L}}$ zu einem durch $l$ teilbaren Exponenten vorkommt. Nun mehr können wir mit Rücksicht auf Satz 153 $\Lambda '\Lambda ^{r}=\Theta '\alpha '$ setzen in solcher Weise, daß $\Theta '$ eine Einheit in $K$ und $\alpha '$ eine ganze Zahl in $k(\zeta )$ bedeutet; dann wird $\Theta '^{1-S}={\mathsf {H}}'{\mathsf {H}}^{r}$, d. h. die Einheit
* ${\mathsf {H}}_{1}^{e'_{1}+re_{1}}\cdots {\mathsf {H}}_{\frac {l-3}{2}}^{e'_{\frac {l-3}{2}}+re_{\frac {l-3}{2}}}{\mathsf {H}}_{\frac {l-1}{2}}^{re_{\frac {l-1}{2}}}\left({\sqrt[{l}]{\varepsilon }}\right)^{e'_{\frac {l+1}{2}}+re_{\frac {l+1}{2}}}\eta '^{-1}\eta ^{-r}$
wäre die symbolische $(1-S)$-te Potenz einer Einheit in $K$, und diese Folgerung steht mit der Definition der relativen Grundeinheiten aus dem schon mehrfach erörterten Grunde in Widerspruch. Damit ist gezeigt, daß eine Relation wie (138) nicht statthaben kann; mit Rücksicht auf (136) und auf den Umstand, daß $e_{\frac {l-1}{2}}$ zu $l$ prim ist, bilden nunmehr $\eta _{1}$, …, $\eta _{\frac {l-3}{2}}$, $\varepsilon$ eine Basis der aus den Relativnormen aller Einheiten in $K$ gebildeten Einheitenschar; es folgt also, daß der Grad $m$ dieser Schar gleich ${\frac {l-1}{2}}$ ist und somit jede Einheit in $k(\zeta )$ die Relativnorm einer Einheit in $K$ ist. Es ist demnach
* $t+m-{\frac {l+1}{2}}=0$
und damit der Satz 158 auch in diesem Falle bestätigt.
Der Satz 158 hat eine merkwürdige Beziehung aufgedeckt, die zwischen der aus den ambigen Idealen entspringenden Klassenschar und derjenigen Einheitenschar stattfindet, die aus den Relativnormen sämtlicher Einheiten in $K$ gebildet wird. Eine ebenso wichtige Beziehung herrscht zwischen der aus allen ambigen Klassen gebildeten Klassenschar und einer gewissen Einheitenschar in $k(\zeta )$. Wir sprechen folgenden Satz aus:
Satz 159. Es sei $t$ die Anzahl der Primideale, die in der Relativdiskriminante des regulären Kummerschen Körpers $K$ vom Relativgrade $l$ aufgehen; ferner mögen alle diejenigen Einheiten in $k(\zeta )$, welche gleich Relativnormen sei es von Einheiten, sei es von gebrochenen Zahlen des Körpers $K$ sind, eine Einheitenschar vom Grade $n$ bilden: dann besitzt die aus sämtlichen ambigen Klassen bestehende Klassenschar den Grad $t+n-{\frac {l+1}{2}}$.
Beweis. Es habe $m$ die Bedeutung wie in Satz 158. Fällt erstens $n=m$ aus, so stimmt die jetzt in Frage kommende Einheitenschar mit der in Satz 158 behandelten Einheitenschar überein, d. h. wenn eine Einheit in $k(\zeta )$ gleich der Relativnorm einer gebrochenen Zahl in $K$ ist, so ist sie stets auch gleich der Relativnorm einer Einheit in $K$. Wir beweisen nun, daß in diesem Falle die Klassenschar, die aus den ambigen Idealen entspringt, die Schar sämtlicher ambigen Klassen darstellt. In der Tat, wenn $A$ eine beliebige ambige Klasse in $K$ und ${\mathfrak {A}}$ ein Ideal aus $A$ ist, so können wir ${\mathfrak {A}}^{1-S}={\mathsf {A}}$ setzen in solcher Weise, daß ${\mathsf {A}}$ eine geeignete ganze oder gebrochene Zahl in $K$ bedeutet, und die Relativnorm $N_{k}({\mathsf {A}})$ wird dann offenbar gleich einer Einheit $\vartheta$ des Körpers $k(\zeta )$. Da dann unter der gegenwärtigen Annahme $n=m$ nach dem soeben bemerkten auch eine Einheit ${\mathsf {H}}$ in $K$ gefunden werden kann derart, daß $N_{k}({\mathsf {H}})=\vartheta$ wird, so haben wir $N_{k}({\mathsf {A}}^{-1}{\mathsf {H}})=1$ und folglich nach Satz 90 ${\mathsf {A}}^{-1}{\mathsf {H}}={\mathsf {B}}^{1-S}$ oder ${\mathsf {A}}{\mathsf {B}}^{1-S}={\mathsf {H}}$, wo ${\mathsf {B}}$ eine geeignete ganze Zahl in $K$ ist. Wegen ${\mathsf {A}}={\mathfrak {A}}^{1-S}$ wird $({\mathfrak {A}}{\mathsf {B}})^{1-S}=1$, d. h. es ist ${\mathfrak {A}}{\mathsf {B}}$ gleich dem Produkte aus einem ambigen Ideal und einem Ideal in $k(\zeta )$, und es entsteht also die Klasse $A$ durch Multiplikation einer Klasse, die ein ambiges Ideal enthält, mit einer Klasse, die Ideale in $k(\zeta )$ enthält. Damit ist unsere Behauptung bewiesen und der Grad der aus sämtlichen ambigen Klassen gebildeten Klassenschar ist nunmehr mit Rücksicht auf Satz 158 gleich
* $t+m-{\frac {l+1}{2}}$,
wie es im vorliegenden Falle $n=m$ dem Satz 159 entspricht.
Es sei zweitens $n=m+1$; dann kommt in $k(\zeta )$ eine Einheit $\vartheta$ vor, die zwar nicht die Relativnorm einer Einheit in $K$, aber doch die Relativnorm einer gebrochenen Zahl ${\mathsf {A}}$ in $K$ ist, und es muß sich jede andere Einheit $\vartheta '$ von der nämlichen Natur durch die Einheit $\vartheta$ solcher Gestalt $\vartheta '=\vartheta ^{a}\eta$ ausdrücken lassen, daß $a$ ein ganzer rationaler Exponent und $\eta$ die Relativnorm einer Einheit in $K$ ist. Wir setzen
* ${\mathsf {A}}={\mathfrak {P}}_{1}^{G_{1}(S)}\cdots {\mathfrak {P}}_{r}^{G_{r}(S)}$,
wo ${\mathfrak {P}}_{1},\dotsc ,{\mathfrak {P}}_{r}$ voneinander verschiedene Primideale in $K$ bedeuten sollen, von denen keine zwei zueinander relativ konjugiert sind, und wo $G_{1}(S),\dotsc ,G_{r}(S)$ ganzzahlige Funktionen vom $(l-1)$-ten Grade in $S$ sind. Wegen $N_{k}({\mathsf {A}})=\vartheta$ folgt
* $\left({\mathfrak {P}}_{1}^{G_{1}(S)}\cdots {\mathfrak {P}}_{r}^{G_{r}(S)}\right)^{1+S+\cdots +S^{l-1}}=1$,
und hieraus entnehmen wir leicht, daß die Funktionen $G_{1}(S),\dotsc ,G_{r}(S)$ sämtlich durch $1-S$ teilbar sein müssen. Setzen wir
* $G_{1}(S)=(1-S)G_{1}^{*}(S),\ldots ,G_{r}(S)=(1-S)G_{r}^{*}(S)$
und
* ${\mathfrak {P}}_{1}^{G_{1}^{*}(S)}\cdots {\mathfrak {P}}_{r}^{G_{r}^{*}(S)}={\mathfrak {A}}\alpha$,
wo ${\mathfrak {A}}$ ein Ideal in $K$ und $\alpha$ eine ganze oder gebrochene Zahl in $k(\zeta )$ ist, so wird ${\mathsf {A}}={\mathfrak {A}}^{1-S}$. Hieraus folgt zunächst, daß ${\mathfrak {A}}$ eine ambige Klasse bestimmt. Diese ambige Klasse, sie heiße $A$, enthält kein Ideal, welches das Produkt eines ambigen Ideals mit einem Ideal des Körpers $k(\zeta )$ wäre. In der Tat, wäre dies der Fall, so könnten wir ${\mathfrak {A}}=\Gamma {\mathfrak {Lj}}$ setzen so, daß $\Gamma$ eine ganze oder gebrochene Zahl in $K$, ferner ${\mathfrak {L}}$ ein ambiges Ideal in $K$ und ${\mathfrak {j}}$ ein Ideal in $k(\zeta )$ bedeutet; dann aber wäre ${\mathfrak {A}}^{1-S}=\Gamma ^{1-S}$, d. h. ${\mathsf {A}}={\mathsf {H}}\Gamma ^{1-S}$, wo ${\mathsf {H}}$ eine Einheit in $K$ ist. Hieraus würde $N_{k}({\mathsf {A}})=N_{k}({\mathsf {H}})=\vartheta$ folgen, was der vorausgesetzten Beschaffenheit der Einheit $\vartheta$ widerspricht.
Wir wollen nun für die gegenwärtige Annahme $n=m+1$ den Nachweis führen, daß jede überhaupt vorhandene ambige Klasse $A'$ in der Gestalt $A'=A^{a}Lc$ dargestellt werden kann, wo $A^{a}$ eine Potenz der soeben bestimmten Klasse $A$ bedeutet, wo ferner $L$ eine Klasse mit ambigem Ideal und $c$ eine solche Klasse bedeutet, die unter ihren Idealen Ideale des Körpers $k(\zeta )$ enthält. Zu dem Zwecke nehmen wir aus $A'$ ein beliebiges Ideal ${\mathfrak {A}}'$; dann können wir ${\mathfrak {A}}'^{1-S}={\mathsf {A}}'$ setzen in solcher Weise, daß ${\mathsf {A}}'$ eine geeignete ganze oder gebrochene Zahl in $K$ wird. Es ist sodann $N_{k}({\mathsf {A}}')=\vartheta '$ eine Einheit in $k(\zeta )$; wir setzen unserer Voraussetzung entsprechend $N_{k}({\mathsf {A}}')=\vartheta ^{a}\eta$, wo $\vartheta$, $a$, $\eta$ die oben erklärte Bedeutung haben sollen. Es sei ${\mathsf {A}}$ die oben betrachtete Zahl für welche $\vartheta =N_{k}({\mathsf {A}})$ ist; es sei ferner $\eta =N_{k}({\mathsf {H}})$, wo ${\mathsf {H}}$ eine Einheit in $K$ bedeute. Aus diesen Gleichungen ergibt sich $N_{k}({\mathsf {A}}'^{-1}{\mathsf {A}}^{a}{\mathsf {H}})=1$, und daher wird nach Satz 90 ${\mathsf {A}}'^{-1}{\mathsf {A}}^{a}{\mathsf {H}}=\Gamma ^{1-S}$, wo $\Gamma$ eine geeignete ganze Zahl in $K$ ist; hieraus entnehmen wir $({\mathfrak {A}}'^{-1}{\mathfrak {A}}^{a}\Gamma ^{-1})^{1-S}=1$. Die letztere Gleichung zeigt, daß ${\mathfrak {A}}'^{-1}{\mathfrak {A}}^{a}\Gamma ^{-1}$ nach Multiplikation mit einer geeigneten ganzen Zahl des Körpers $k(\zeta )$ das Produkt eines ambigen Ideals ${\mathfrak {L}}$ in ein Ideal ${\mathfrak {j}}$ des Körpers $k(\zeta )$ wird; wir haben somit ${\mathfrak {A}}'\sim {\mathfrak {A}}^{a}{\mathfrak {Lj}}$. Es geht daraus in dem vorliegenden Falle $n=m+1$ hervor, daß der Grad der aus sämtlichen ambigen Klassen bestehenden Klassenschar $t+m+1-{\frac {l+1}{2}}$ beträgt, und dies ist die Aussage des Satzes 159 für diesen Fall.
Nehmen wir drittens $n=m+2$ an, so existiert in $k(\zeta )$ außer der Einheit $\vartheta$ noch eine Einheit $\vartheta '$, welche die Relativnorm einer gebrochenen Zahl ${\mathsf {A}}'$ in $K$ ist, und für die dennoch keine Darstellung von der Gestalt $\vartheta '=\vartheta ^{a}\eta$ möglich ist, wo $\vartheta ^{a}$ eine Potenz der oben eingeführten Einheit $\vartheta$ und $\eta$ die Relativnorm einer Einheit in $K$ bedeuten soll. Wir setzen
* ${\mathsf {A}}'={\mathfrak {P'}}_{1}^{G'_{1}(S)}\cdots {\mathfrak {P'}}_{r'}^{G'_{r'}(S)}$,
wo ${\mathfrak {P}}'_{1},\dotsc ,{\mathfrak {P}}'_{r'}$ solche Primideale in $K$ bedeuten sollen, von denen keine zwei einander gleich oder relativ konjugiert sind, und wo $G'_{1}(S),\dotsc ,G'_{r'}(S)$ ganzzahlige Funktionen vom $(l-1)$-ten Grade in $S$ sind. Wegen $N_{k}({\mathsf {A}}')=\vartheta '$ folgt
* $\left({\mathfrak {P'_{1}}}^{G'_{1}(S)}\cdots {\mathfrak {P'}}_{r'}^{G'_{r'}(S)}\right)^{1+S+\cdots +S^{l-1}}=1$,
und hieraus entnehmen wir leicht, daß die Funktionen $G'_{1}(S),\dotsc ,G'_{r'}(S)$ sämtlich durch $1-S$ teilbar sein müssen. Setzen wir
* $G'_{1}(S)=(1-S){G'_{1}}^{*}(S),\dotsc ,G'_{r'}(S)=(1-S){G'_{r'}}^{*}(S)$
und
* ${\mathfrak {P'}}_{1}^{{G'_{1}}^{*}(S)}\cdots {\mathfrak {P'}}_{r'}^{{G'_{r'}}^{*}(S)}={\mathfrak {A}}'\alpha '$
so daß ${\mathfrak {A}}'$ ein Ideal in $K$ und $\alpha '$ eine ganze oder gebrochene Zahl in $k(\zeta )$ ist, so wird ${\mathsf {A}}'={\mathfrak {A}}'{1-S}$. Das Ideal ${\mathfrak {A}}'$ bestimmt daher eine ambige Klasse $A'$. Diese Klasse ist nicht in der Gestalt $A'=A^{a}Lc$ darstellbar, wo $A^{a}$ eine Potenz der Klasse $A$, $L$ eine Klasse mit einem ambigen Ideal und $c$ eine Klasse mit Idealen in $k(\zeta )$ bedeutet. In der Tat, eine solche Darstellung der Klasse $A'$ hätte für das Ideal ${\mathfrak {A}}'$ eine Darstellung ${\mathfrak {A}}'=\Gamma {\mathfrak {A}}^{a}{\mathfrak {Lj}}$ zur Folge, wo $\Gamma$ eine Zahl in $K$, ferner ${\mathfrak {L}}$ ein ambiges Ideal und ${\mathfrak {j}}$ ein Ideal in $k(\zeta )$ bedeuten soll; dann aber wäre ${\mathfrak {A}}'^{1-S}=\Gamma ^{1-S}{\mathfrak {A}}^{a(1-S)}=\Gamma ^{1-S}{\mathsf {A}}^{a}$, d. h ${\mathsf {A}}'={\mathsf {H}}\Gamma ^{1-S}{\mathsf {A}}^{a}$, wo ${\mathsf {H}}$ eine Einheit in $K$ ist. Durch Bildung der Relativnorm ergäbe sich nunmehr $N_{k}({\mathsf {A}}')=\vartheta '=\vartheta ^{a}N_{k}({\mathsf {H}})$, und das Vorhandensein einer solchen Relation haben wir oben ausgeschlossen.
Bei der gegenwärtigen Annahme $n=m+2$ muß jede Einheit $\vartheta ''$ in $k(\zeta )$, welche die Relativnorm einer Zahl in $K$ ist, in der Gestalt $\vartheta ''=\vartheta '^{a'}\vartheta ^{a}\eta$ darstellbar sein, so daß $a'$, $a$ ganze rationale Exponenten sind und $\eta$ die Relativnorm einer Einheit in $K$ bedeutet. Indem wir diesen Umstand berücksichtigen, können wir durch ähnliche Überlegungen, wie im vorigen Falle $n=m+1$, zeigen, daß überhaupt jede vorhandene ambige Klasse $A''$ in der Gestalt $A'^{a'}A^{a}Lc$ sich darstellen läßt, wo $A'$, $A$ die eben bestimmten ambigen Klassen sind und $L$ eine Klasse mit ambigem Ideal, $c$ eine Klasse mit Idealen in $k(\zeta )$ ist. Daraus geht dann hervor, daß der Grad der aus allen ambigen Klassen bestehenden Klassenschar genau $t+m+2-{\frac {l+1}{2}}$ beträgt, wie es der Satz 159 für den Fall $n=m+2$ aussagt.
Durch Fortsetzung der eingeleiteten Schlußweise erhalten wir den vollständigen Beweis des Satzes 159.
Es handelt sich nun darum, diejenige Einteilung der Idealklassen eines aus dem regulären Kreiskörper $k(\zeta )$ entspringenden Kummerschen Körpers $K=k({\sqrt[{l}]{\mu }},\zeta )$ zu erörtern, welche der Einteilung der Klassen eines quadratischen Körpers in Geschlechter entspricht. Wir bezeichnen die verschiedenen in der Relativdiskriminante des Körpers $K$ aufgehenden Primideale des Körpers $k(\zeta )$, deren Anzahl $t$ sei, mit ${\mathfrak {l}}_{1},\dotsc ,{\mathfrak {l}}_{t}$. Zu einer beliebigen ganzen Zahl $\nu (\neq 0)$ in $k(\zeta )$ gehören dann bestimmte Werte der $t$ einzelnen Symbole
| $\left\{{\frac {\nu ,\mu }{{\mathfrak {l}}_{1}}}\right\},\ldots ,\left\{{\frac {\nu ,\mu }{{\mathfrak {l}}_{t}}}\right\};$ | (139) |
diese Symbole bedeuten $l$-te Einheitswurzeln gemäß ihrer Definition in § 131. Diese $t$ Einheitswurzeln (139) sollen das Charakterensystem der Zahl $\nu$ im Kummerschen Körper $K$ heißen. Um auch einem jeden Ideal ${\mathfrak {J}}$ des Kummerschen Körpers $K$ in bestimmter Weise ein Charakterensystem zuzuordnen, bilden wir die Relativnorm $N_{k}({\mathfrak {J}})={\mathfrak {j}}$. Ferner bezeichnen wir mit $h$ die Anzahl der Idealklassen in $k(\zeta )$ und bestimmen eine ganze rationale positive Zahl $h^{*}$ derart, daß $hh^{*}\equiv 1$ nach $l$ wird. Dann ist ${\mathfrak {j}}^{hh^{*}}$ sicher ein Hauptideal in $k(\zeta )$; wir setzen ${\mathfrak {j}}^{hh^{*}}=(\nu )$, wo $\nu$ eine ganze Zahl in $k(\zeta )$ sein soll. Nunmehr verstehen wir unter $\xi _{1}$ eine Einheit in $k(\zeta )$. Haben dann für jede beliebige Einheit $\xi _{1}$ alle $t$ Symbole
* $\left\{{\frac {\xi _{1},\mu }{{\mathfrak {l}}_{1}}}\right\},\ldots ,\left\{{\frac {\xi _{1},\mu }{{\mathfrak {l}}_{t}}}\right\}$
durchweg den Wert $1$, so setzen wir $r=t$ und bezeichnen die $r$ Einheitswurzeln
* $\left\{{\frac {\nu ,\mu }{{\mathfrak {l}}_{1}}}\right\},\ldots ,\left\{{\frac {\nu ,\mu }{{\mathfrak {l}}_{r}}}\right\}$
als das Charakterensystem des Ideals ${\mathfrak {J}}$; dasselbe ist dann durch das Ideal ${\mathfrak {J}}$ völlig eindeutig bestimmt.
Es sei andererseits eine spezielle Einheit $\varepsilon _{1}$ in $k(\zeta )$ vorhanden, für welche wenigstens eines der $t$ Symbole
* $\left\{{\frac {\varepsilon _{1},\mu }{{\mathfrak {l}}_{1}}}\right\},\ldots ,\left\{{\frac {\varepsilon _{1},\mu }{{\mathfrak {l}}_{t}}}\right\}$
von $1$ verschieden ausfällt; dann können wir, ohne damit eine Beschränkung einzuführen, annehmen, es sei etwa $\left\{{\frac {\varepsilon _{1},\mu }{{\mathfrak {l}}_{t}}}\right\}=\zeta$. Wir betrachten nun alle diejenigen Einheiten $\xi _{2}$ in $k(\zeta )$, für welche $\left\{{\frac {\xi _{2},\mu }{{\mathfrak {l}}_{t}}}\right\}=1$ wird. Es sei unter diesen weiter eine solche Einheit $\xi _{2}=\varepsilon _{2}$ vorhanden, für welche wenigstens eines der $t-1$ Symbole
* $\left\{{\frac {\varepsilon _{2},\mu }{{\mathfrak {l}}_{1}}}\right\},\ldots ,\left\{{\frac {\varepsilon _{2},\mu }{{\mathfrak {l}}_{t-1}}}\right\}$
von $1$ verschieden ausfällt; dann können wir annehmen, es sei etwa $\left\{{\frac {\varepsilon _{2},\mu }{{\mathfrak {l}}_{t-1}}}\right\}=\zeta$. Wir betrachten nunmehr alle diejenigen Einheiten $\xi _{3}$, für welche sowohl $\left\{{\frac {\xi _{3},\mu }{{\mathfrak {l}}_{t}}}\right\}=1$ als auch $\left\{{\frac {\xi _{3},\mu }{{\mathfrak {l}}_{t-1}}}\right\}=1$ wird, und sehen nach, ob unter diesen eine Einheit $\xi _{3}=\varepsilon _{3}$ vorhanden ist, für welche wenigstens eines der $t-2$ Symbole
* $\left\{{\frac {\varepsilon _{3},\mu }{{\mathfrak {l}}_{1}}}\right\},\ldots ,\left\{{\frac {\varepsilon _{3},\mu }{{\mathfrak {l}}_{t-2}}}\right\}$
von $1$ verschieden ausfällt. Fahren wir in der geeigneten Weise fort, so erhalten wir schließlich eine gewisse Anzahl $r^{*}$ und dazu ein System von $r^{*}$ Einheiten $\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\dotsc ,\varepsilon _{r^{*}}$ des Körpers $k(\zeta )$ von der Art, daß bei geeigneter Anordnung der Primideale ${\mathfrak {l}}_{1},\dotsc ,{\mathfrak {l}}_{t}$ die Gleichungen
| $\left.{\begin{aligned}\left\{{\frac {\varepsilon _{1},\mu }{{\mathfrak {l}}_{t}}}\right\}&=\zeta ,\\\left\{{\frac {\varepsilon _{2},\mu }{{\mathfrak {l}}_{t}}}\right\}&=1,\;\left\{{\frac {\varepsilon _{2},\mu }{{\mathfrak {l}}_{t-1}}}\right\}=\zeta \\\left\{{\frac {\varepsilon _{3},\mu }{{\mathfrak {l}}_{t}}}\right\}&=1,\;\left\{{\frac {\varepsilon _{3},\mu }{{\mathfrak {l}}_{t-1}}}\right\}=1,\;\left\{{\frac {\varepsilon _{3},\mu }{{\mathfrak {l}}_{t-2}}}\right\}=\zeta ,\\&\;\vdots \\\left\{{\frac {\varepsilon _{r^{*}},\mu }{{\mathfrak {l}}_{t}}}\right\}&=1,\;\left\{{\frac {\varepsilon _{r^{*}},\mu }{{\mathfrak {l}}_{t-1}}}\right\}=1,\;\left\{{\frac {\varepsilon _{r^{*}},\mu }{{\mathfrak {l}}_{t-2}}}\right\}=1,\;\ldots ,\left\{{\frac {\varepsilon _{r^{*}},\mu }{{\mathfrak {l}}_{t-r^{*}+1}}}\right\}=\zeta \end{aligned}}\right\$ | (140) |
gelten, und daß außerdem für eine jede solche Einheit $\xi$, die den $r^{*}$ Gleichungen
* $\left\{{\frac {\xi ,\mu }{{\mathfrak {l}}_{t}}}\right\}=1,\quad \left\{{\frac {\xi ,\mu }{{\mathfrak {l}}_{t-1}}}\right\}=1,\ldots ,\left\{{\frac {\xi ,\mu }{{\mathfrak {l}}_{t-r^{*}+1}}}\right\}=1$
genügt, notwendig auch die $r=t-r^{*}$ Symbole
* $\left\{{\frac {\xi ,\mu }{{\mathfrak {l}}_{1}}}\right\},\ldots ,\left\{{\frac {\xi ,\mu }{{\mathfrak {l}}_{r}}}\right\}$
sämtlich den Wert $1$ besitzen.
Wir multiplizieren nunmehr die vorhin aus dem Ideal ${\mathfrak {J}}$ gebildete Zahl $\nu$ des Körpers $k(\zeta )$ derart mit Potenzen der Einheiten $\varepsilon _{1},\dotsc ,\varepsilon _{r^{*}}$, daß das entstehende Produkt ${\bar {\nu }}$ den Gleichungen
* $\left\{{\frac {{\bar {\nu }},\mu }{{\mathfrak {l}}_{t}}}\right\}=1,\;\left\{{\frac {{\bar {\nu }},\mu }{{\mathfrak {l}}_{t-1}}}\right\}=1,\ldots ,\left\{{\frac {{\bar {\nu }},\mu }{{\mathfrak {l}}_{t-r^{*}+1}}}\right\}=1$
genügt; dann bezeichne ich die $r=t-r^{*}$ Einheiten
* $\chi _{1}({\mathfrak {F}})=\left\{{\frac {{\bar {\nu }},\mu }{{\mathfrak {l}}_{t-1}}}\right\},\ldots ,\chi _{r}({\mathfrak {F}})=\left\{{\frac {{\bar {\nu }},\mu }{{\mathfrak {l}}_{r}}}\right\}$
als das Charakterensystem des Ideals ${\mathfrak {J}}$. Dasselbe ist durch das Ideal ${\mathfrak {J}}$ völlig eindeutig bestimmt. In § 151 wird gezeigt werden, daß stets $r*<t$ und mithin $r\geq 1$ wird.
Mit Rücksicht auf den Satz 151 und die dazu auf S. 274 angefügten Bemerkungen erkennen wir sofort die Tatsache:
Satz 160. Die Ideale ein und derselben Klasse eines regulären Kummerschen Körpers besitzen sämtlich dasselbe Charakterensystem. Auf diese Weise ist überhaupt einer jeden Idealklasse ein bestimmtes Charakterensystem zuzuordnen. Wir rechnen, ähnlich wie es in § 66 für den quadratischen Körper geschehen ist, alle diejenigen Idealklassen, welche ein und dasselbe Charakterensystem besitzen, in ein Geschlecht und definieren insbesondere das Hauptgeschlecht als die Gesamtheit aller derjenigen Klassen, deren Charakterensystem aus lauter Einheiten $1$ besteht. Da das Charakterensystem der Hauptklasse offenbar von der letzteren Eigenschaft ist, so gehört insbesondere die Hauptklasse stets zum Hauptgeschlecht. Aus der ersten Formel in (80) und in (83) auf S. 265 und S. 266 entnehmen wir leicht die folgenden Tatsachen: Wenn $G$ und $G'$ zwei beliebige Geschlechter sind und jede Klasse in $G$ mit jeder Klasse in $G'$ multipliziert wird, so bilden sämtliche solche Produkte wiederum ein Geschlecht; dieses werde das Produkt der Geschlechter $G$ und $G'$ genannt. Das Charakterensystem desselben erhalten wir durch Multiplikation der entsprechenden Charaktere der beiden Geschlechter $G$ und $G'$.
Aus der eben aufgestellten Definition der Geschlechter leuchtet ferner ein, daß die zu einer Klasse $C$ relativ konjugierten Klassen $SC,\dotsc ,S^{l-1}C$ zu demselben Geschlechte wie $C$ selbst gehören, und hieraus folgt, daß die $(1-S)$-te symbolische Potenz $C^{1-S}$ einer jeden Klasse $C$ stets zum Hauptgeschlecht gehört. Endlich ist offenbar, daß jedes Geschlecht des Kummerschen Körpers gleichviel Klassen enthält.
Es entsteht, entsprechend wie in der Theorie des quadratischen Körpers, die wichtige Frage, ob ein System von $r$ beliebig vorgelegten $l$-ten Einheitswurzeln stets das Charakterensystem für ein Geschlecht des Kummerschen Körpers sein kann. Diese Frage findet erst in Kapitel 34 ihre vollständige Erledigung. In diesem und in den nächsten Paragraphen werden lediglich einige für das Spätere notwendige Hilfssätze bewiesen.
Hilfssatz 33. Wenn $t$ und $n$ die Bedeutung wie in Satz 159 haben und $r$ die Anzahl der Charaktere ist, welche das Geschlecht einer Klasse des Kummerschen Körpers bestimmen, so ist stets
* $t+n-{\frac {l-1}{2}}\leqq r-1$.
Beweis. Es seien $\varepsilon _{1},\dotsc ,\varepsilon _{r^{*}}$, diejenigen besonderen $r^{*}$ Einheiten des Körpers $k(\zeta )$, welche in § 149 eingeführt worden sind. Es ist dann $r=t-r^{*}$. Ferner mögen $\vartheta _{1},\dotsc ,\vartheta _{n}$ eine Basis für diejenige Einheitenschar in $k(\zeta )$ bilden, welche aus allen Einheiten in $k(\zeta )$ besteht, die Relativnormen von Zahlen in $K$ sind. Wir nehmen nun an, es gäbe zwischen den $r^{*}+n$ Einheiten $\varepsilon _{1},\dotsc ,\varepsilon _{r^{*}},\vartheta _{1},\dotsc ,\vartheta _{n}$ eine Relation von der Gestalt
| $\varepsilon _{1}^{a_{1}}\cdots \varepsilon _{r^{*}}^{a_{r^{*}}}\vartheta _{1}^{b_{1}}\cdots \vartheta _{n}^{b_{n}}=\varepsilon ^{l}$, | (141) |
so daß die Exponenten $a_{1},\dotsc ,a_{r^{*}},b_{1},\dotsc ,b_{n}$ ganze rationale, nicht sämtlich durch $l$ teilbare Zahlen sind und $\varepsilon$ eine geeignete Einheit in $k(\zeta )$ vorstellt; dann müßte für $u=1,2,\dotsc ,t$ stets
* $\left\{{\frac {\varepsilon _{1}^{a_{1}}\cdots \varepsilon _{r^{*}}^{a_{r^{*}}}\vartheta _{1}^{b_{1}}\cdots \vartheta _{n}^{b_{n}},\mu }{{\mathfrak {l}}_{u}}}\right\}=1$
ausfallen, und wenn wir berücksichtigen, daß die Einheiten $\vartheta _{1},\dotsc ,\vartheta _{n}$ sämtlich Relativnormen von Zahlen in $K$ sind und daher stets $\left\{{\frac {\vartheta _{v},\mu }{{\mathfrak {l}}_{u}}}\right\}=1$ für $u=1,2,\dotsc ,t,$ und $v=1,2,\dotsc ,n$ sein muß, so ergibt sich auch
* $\left\{{\frac {\varepsilon _{1}^{a_{1}}\cdots \varepsilon _{r^{*}}^{a_{r^{*}}},\mu }{{\mathfrak {l}}_{u}}}\right\}=1$
für $u=1,2,\dotsc ,t$. Wegen der Formeln (140) für die Einheiten $\varepsilon _{1},\dotsc ,\varepsilon _{r^{*}}$, ist dies nur möglich, wenn die Exponenten $a_{1},\dotsc ,a_{r^{*}}$, sämtlich durch $l$ teilbar sind, und die Relation (141) würde somit die Gestalt
* $\vartheta _{1}^{b_{1}}\cdots \vartheta _{n}^{b_{n}}=\varepsilon ^{*l}$
annehmen, wo $\varepsilon ^{*}$ wiederum eine Einheit in $k(\zeta )$ bedeutet. Das Bestehen einer solchen Relation ist aber, da $\vartheta _{1},\dotsc ,\vartheta _{n}$ die Basis einer Einheitenschar in $k(\zeta )$ bilden, nur möglich, falls die Exponenten $b_{1},\dotsc ,b_{n}$ sämtlich durch $l$ teilbar sind. Daraus folgt, daß eine Relation von der Gestalt (141), wie wir sie annahmen, nicht statthaben kann, d. h. die Einheiten $\varepsilon _{1},\dotsc ,\varepsilon _{r^{*}},\vartheta _{1},\dotsc ,\vartheta _{n}$ bilden eine Basis einer Einheitenschar; es ist der Grad dieser Einheitenschar $r^{*}+n$, und da der Grad einer Einheitenschar höchstens ${\frac {l-1}{2}}$ sein kann, so haben wir $r^{*}+n\leqq {\frac {l-1}{2}}$; hiermit deckt sich die Aussage des Hilfssatzes 33. Da $t+n-{\frac {l+1}{2}}\geqq 0$ ist, so folgt insbesondere, daß stets $r^{*}<t$, also $r\geqq 1$ ausfällt.
Es sei $h$ die Anzahl der Idealklassen des regulären Kreiskörpers $k(\zeta )$: dann gibt es in dem Kummerschen Körper $K=k\left({\sqrt[{l}]{\mu }},\zeta \right)$ genau $h$ voneinander verschiedene Idealklassen, welche unter ihren Idealen Ideale des Kreiskörpers $k(\zeta )$ enthalten. In der Tat, jede Klasse in $k(\zeta )$ liefert offenbar eine Klasse in $K$ von der fraglichen Art; würden nun zwei verschiedene Klassen $c_{1},c_{2}$ in $k(\zeta )$ Ideale enthalten, die in $K$ einander äquivalent sind, so würde ein Ideal ${\mathfrak {j}}$ in $k(\zeta )$ aus der Klasse ${\frac {c_{1}}{c_{2}}}$ stets zu einem Hauptideal im Körper $K$ werden müssen. Nach Satz 153 wäre dann aber ${\mathfrak {j}}$ auch ein Hauptideal in $k(\zeta )$, und dies ist gegen die Annahme $c_{1}\neq c_{2}$.
Ist nun $C$ eine beliebige Klasse in $K$ und sind $c_{1},\dotsc ,c_{h}$ diejenigen $h$ Klassen in $K$, welche Ideale in $k(\zeta )$ enthalten, so nenne ich das System der $h$ Klassen $c_{1}C,\dotsc ,c_{h}C$ einen Komplex. Der Komplex, welcher aus den $h$ Klassen $c_{1},\dotsc ,c_{h}$ besteht, heiße der Hauptkomplex und werde mit $1$ bezeichnet. Die $h$ Klassen eines beliebigen Komplexes $P$ gehören offenbar sämtlich zu dem nämlichen Geschlecht; ich bezeichne dieses Geschlecht als das Geschlecht des Komplexes $P$.
Wenn eine Klasse eines Komplexes $P$ ambig ist, so sind sämtliche Klassen dieses Komplexes ambig; den Komplex $P$ nenne ich dann einen ambigen Komplex.
Wenn $P$ und $P'$ zwei ambige Komplexe sind und jede Klasse in $P$ mit jeder Klasse in $P'$ multipliziert wird, so bilden sämtliche solche Produkte wiederum einen Komplex; dieser werde das Produkt der Komplexe $P,P'$ genannt und mit $PP'$ bezeichnet. Wenn $C$ eine Klasse in $P$ ist, so werde derjenige Komplex, zu welchem die relativ konjugierte Klasse $SC$ gehört, mit $SP$ bezeichnet; ferner nenne ich denjenigen Komplex $Q$, der nach der Multiplikation mit $SP$ den Komplex $P$ ergibt, die symbolische $(1-S)$-te Potenz des Komplexes $P$ und bezeichne ihn mit $Q=P^{1-S}$.
Wenn insbesondere die symbolische $(1-S)$-te Potenz eines Komplexes $P$ den Hauptkomplex $1$ liefert, so ist $P$ ein ambiger Komplex. In der Tat, wenn $C$ eine Klasse in $P$ ist, so folgt aus $P^{1-S}=1$ offenbar $C^{1-S}=c$, wo $c$ eine der $h$ Idealklassen $c_{1},\dotsc ,c_{h}$ ist. Bilden wir auf beiden Seiten der letzten Gleichung die Relativnorm, so erhalten wir $1=c^{l}$, und da andererseits auch $c^{h}=1$ ist, so folgt $c=1$, d. h. $C^{1-S}=1$; mithin ist $C$ eine ambige Klasse und daher $P$ ein ambiger Komplex.
Hilfssatz 34. Wenn $t$ und $n$ die Bedeutung wie in Satz 159 haben und $g$ die Anzahl der Geschlechter des regulären Kummerschen Körpers $K$ bezeichnet, so fällt stets $g\leqq l^{\,t+n-{\frac {l+1}{2}}}$ aus.
Beweis. Wenn $g$ die Anzahl der Geschlechter in dem Kummerschen Körper $K$ ist, so zerfallen, wie man unmittelbar aus der Definition des Geschlechtes eines Komplexes ersieht, auch die Komplexe genau in $g$ Geschlechter. Bezeichnen wir daher mit $f$ die Anzahl der Komplexe vom Hauptgeschlecht, so ist die Anzahl, aller überhaupt vorhandenen Komplexe, welche $M$ heiße, genau $M=fg$.
Wir wollen nun die Anzahl $a$ der ambigen Komplexe ermitteln. Zu dem Zwecke bedenken wir, daß nach Satz 159 der Grad der aus allen ambigen Klassen bestehenden Klassenschar gleich $t+n-{\frac {l+1}{2}}$ ist. Es sei $A_{1},\dotsc ,A_{t+n-{\frac {l+1}{2}}}$ eine Basis dieser Klassenschar, dann stellt der Ausdruck
* $A_{1}^{u_{1}}\cdots A_{t+n-{\frac {l+1}{2}}}^{u_{t+n-{\frac {l+1}{2}}}}$,
wenn die Exponenten $u_{1},\dotsc ,u_{t+n-{\frac {l+1}{2}}}$ unabhängig voneinander die Werte $0,1,\dotsc ,l-1$ durchlaufen, lauter ambige Klassen dar, welche in verschiedenen Komplexen liegen, und es werden somit durch diese Klassen genau $l^{\,t+n-{\frac {l+1}{2}}}$ Komplexe bestimmt. Jede vorhandene ambige Klasse $A$ ist in der Gestalt
* $A=A_{1}^{a_{1}}\cdots A_{t+n-{\frac {l+1}{2}}}^{a_{t+n-{\frac {l+1}{2}}}}c$
darstellbar, wo $a_{1},\dotsc ,a_{t+n-{\frac {l+1}{2}}}$ ganze rationale Exponenten sind und $c$ eine Klasse in $k(\zeta )$ bedeutet. Berücksichtigen wir nun, daß die $l$-ten Potenzen der ambigen Klassen $A_{1},\dotsc ,A_{t+n-{\frac {l+1}{2}}}$ Klassen sind, welche Ideale des Körpers $k(\zeta )$ enthalten, so folgt, daß $A$ notwendig einem der oben bestimmten $l^{\,t+n-{\frac {l+1}{2}}}$ Komplexe angehören muß, und mithin ist die gesuchte Anzahl $a=l^{\,t+n-{\frac {l+1}{2}}}.$
Aus den Definitionen in § 150 und § 152 geht unmittelbar hervor, daß die symbolische $(1-S)$-te Potenz eines beliebigen Komplexes stets ein Komplex des Hauptgeschlechtes ist. Wir fassen nun diejenigen Komplexe des Hauptgeschlechtes ins Auge, welche $(1-S)$-te symbolische Potenzen von Komplexen sind; ihre Anzahl sei $f'$; wir bezeichnen sie mit $P_{1},\dotsc ,P_{f'}$, und wir mögen $P_{1}=G_{1}^{1-S},\dotsc ,P_{f'}=G_{f'}^{1-S}$ haben, wo $G_{1},\dotsc ,G_{f'}$, gewisse Komplexe bedeuten. Ist jetzt $P$ ein beliebiger Komplex, so ist $P^{1-S}$ notwendig ein bestimmter der $f'$ Komplexe $P_{1},\dotsc ,P_{f}$; es sei etwa $P^{1-S}=P_{v}$. Dann folgt $P^{1-S}=G_{v}^{1-S}$, d. h. $(PG_{v}^{-1})^{1-S}=1$, und somit ist $PG_{v}^{-1}$ ein bestimmter ambiger Komplex $A$; es wird $P=AG_{v}$, und folglich stellt der Ausdruck $AG_{v}$ alle Komplexe dar, sobald $A$ alle ambigen Komplexe und $G_{v}$ die $f'$ Komplexe $G_{1},\dotsc ,G_{f'}$, durchläuft. Auch ist klar, daß diese Darstellung für jeden Komplex nur auf eine Weise möglich ist; es ist daher die Anzahl aller überhaupt vorhandenen Komplexe $M=af'$. Die Zusammenstellung dieser Gleichung mit der vorhin gefundenen $M=gf$ liefert $af'=gf,$ und wegen $f'\leqq f$ folgt hieraus $g\leqq a,$ d. h. $g\leqq l^{\,t+n-{\frac {l+1}{2}}},$ und hiermit ist der Hilfssatz 34 bewiesen.
Aus den beiden Hilfssätzen 33 und 34 folgt sofort die weitere Tatsache:
Hilfssatz 35. Wenn in einem regulären Kummerschen Körper $r$ die Anzahl der Charaktere ist, welche das Geschlecht einer Klasse bestimmen, so ist die Anzahl der Geschlechter jenes Körpers $g\leqq l^{r-1}.$
* {{{ANMERKUNG}}}