# David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie/Kapitel 7.30

Nachdem wir in § 128 die Primideale des Kummerschen Körpers sämtlich aufgestellt haben, sind wir imstande, diejenigen Untersuchungen für den Kummerschen Körper durchzuführen, welche den in § 79 und in § 80 für den quadratischen Körper behandelten Fragen entsprechen. Wir leiten vor allem die folgende wichtige Tatsache ab:
Hilfssatz 27. Bedeutet $l$ eine ungerade rationale Primzahl und $\alpha$ in dem durch $\zeta =\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{l}}$ bestimmten Kreiskörper $k(\zeta )$ eine beliebige ganze Zahl, nur nicht die $l$-te Potenz einer in $k(\zeta )$ liegenden Zahl, so ist der Grenzwert
* ${\underset {s=1}{L}}\prod _{({\mathfrak {p}})}\prod _{(m)}{\frac {1}{1-\left\{{\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right\}^{m}n({\mathfrak {p}})^{-s}}}$
stets eine endliche und von $0$ verschiedene Größe; dabei soll das Produkt $\textstyle \prod _{({\mathfrak {p}})}$ über alle Primideale ${\mathfrak {p}}$ des Körpers $k(\zeta )$ und das Produkt $\textstyle \prod _{(m)}$ über alle Exponenten $m$ aus der Reihe $1,\ 2,\ \ldots ,\ l-1$ erstreckt werden [Kummer (20)].
Beweis. Fassen wir den durch ${\sqrt[{l}]{\alpha }}$ und $\zeta$ bestimmten Kummerschen Körper $K=k({\sqrt[{l}]{\alpha }},\ \zeta )$ ins Auge und bezeichnen wir die dem Satze 56 gemäß gebildete Funktion $\zeta (s)$ für denselben mit $\zeta _{K}(s)$, so ist nach § 27
* $\zeta _{K}(s)=\prod _{({\mathfrak {P}})}{\frac {1}{1-N({\mathfrak {P}})^{-s}}}$,
wo das Produkt über alle Primideale ${\mathfrak {P}}$ in $K$ zu erstrecken ist und $N({\mathfrak {P}})$ die in $K$ genommene Norm von ${\mathfrak {P}}$ bedeutet. Ordnen wir dieses Produkt nach den Primidealen ${\mathfrak {p}}$ des Körpers $k(\zeta )$‚ aus welchen die Primideale ${\mathfrak {P}}$ herstammen, so gehört, wie man aus Satz 149 schließt, zu einem beliebigen Primideal ${\mathfrak {p}}$ in dem Produkte das Glied
* ${\frac {1}{(1-n({\mathfrak {p}})^{-s})^{l}}}$ oder ${\frac {1}{1-n({\mathfrak {p}})^{-s}}}$ oder ${\frac {1}{1-n({\mathfrak {p}})^{-ls}}}$,
je nachdem $\left\{{\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right\}=1$ oder $=0$ oder $\neq 1$ und $\neq 0$ ausfällt. Wir schreiben diese drei Ausdrücke in der ihnen gemeinschaftlichen Form
* ${\frac {1}{1-n({\mathfrak {p}})^{-s}}}\prod _{(m)}{\frac {1}{1-\left\{{\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right\}^{m}n({\mathfrak {p}})^{-s}}}$, $(m=1,2,\ldots ,l-1)$
und erhalten so
| $\zeta _{K}(s)=\prod _{({\mathfrak {p}})}{\frac {1}{1-n({\mathfrak {p}})^{-s}}}\prod _{({\mathfrak {p}})}\prod _{(m)}{\frac {1}{1-\left\{{\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right\}^{m}n({\mathfrak {p}})^{-s}}}$; | (99) |
darin zeigt das Produkt $\textstyle \prod _{(m)}$ an, daß der Exponent $m$ jeden der Werte $1$, $2$, …, $l-1$ durchlaufen soll, und es sind die beiden Produkte $\textstyle \prod _{({\mathfrak {p}})}$ über alle Primideale ${\mathfrak {p}}$ in $k(\zeta )$ zu erstrecken. Nun stellt jeder der beiden Ausdrücke
* ${\underset {s=1}{L}}(s-1)\prod _{({\mathfrak {p}})}{\frac {1}{1-n({\mathfrak {p}})^{-s}}}$, ${\underset {s=1}{L}}(s-1)\zeta _{K}(s)$
eine endliche und von $0$ verschiedene Größe dar, wie wir erkennen, wenn wir den Satz 56 einmal auf den Kreiskörper $k(\zeta )$ und dann auf den Kummerschen Körper $K=k({\sqrt[{l}]{\alpha }},\zeta )$ anwenden. Durch Multiplikation der Gleichung (99) mit $s-1$ und Übergang zur Grenze für $s=1$ ergibt sich dann, daß auch der im Hilfssatz 27 angegebene Ausdruck eine endliche und von $0$ verschiedene Größe besitzt.
$k(\zeta )$
Satz 152. Es seien $\alpha _{1}$, …, $\alpha _{t}$ irgend $t$ ganze Zahlen des Kreiskörpers $k(\zeta )$, welche die Bedingung erfüllen, daß das Produkt
* $\alpha _{1}^{m_{1}}\alpha _{2}^{m_{2}}\ldots \alpha _{t}^{m_{t}}$,
wenn man jeden der Exponenten $m_{1}$, $m_{2}$, …, $m_{t}$ die Werte $0$, $1$, $2$, …, $l-1$ durchlaufen läßt, jedoch das eine Wertsystem $m_{1}=0$, $m_{2}=0$, …, $m_{t}=0$ ausschließt, dabei niemals die $l$-te Potenz einer Zahl in $k(\zeta )$ wird; es seien ferner $\gamma _{1}$, $\gamma _{2}$, …, $\gamma _{t}$ nach Belieben vorgeschriebene $l$-te Einheitswurzeln: dann gibt es im Kreiskörper $k(\zeta )$ stets unendlich viele Primideale ${\mathfrak {p}}$, für die jedesmal bei einem gewissen zu $l$ primen Exponenten $m$
* $\left\{{\frac {\alpha _{1}}{\mathfrak {p}}}\right\}^{m}=\gamma _{1}$, $\left\{{\frac {\alpha _{2}}{\mathfrak {p}}}\right\}^{m}=\gamma _{2}$, …, $\left\{{\frac {\alpha _{t}}{\mathfrak {p}}}\right\}^{m}=\gamma _{t}$
wird [Kummer (20)].
Beweis. Wir haben, so lange $s>1$ ist,
| $\left.{\begin{aligned}\log \sum _{({\mathfrak {j}})}{\frac {1}{n({\mathfrak {j}})^{s}}}&=\sum _{({\mathfrak {p}})}\log {\frac {1}{1-n({\mathfrak {p}})^{-s}}}=\sum _{({\mathfrak {p}})}{\frac {1}{n({\mathfrak {p}})^{s}}}+S,\\S&={\frac {1}{2}}\sum _{({\mathfrak {p}})}{\frac {1}{n({\mathfrak {p}})^{2s}}}+{\frac {1}{3}}\sum _{({\mathfrak {p}})}{\frac {1}{n({\mathfrak {p}})^{3s}}}+\cdots ,\end{aligned}}\right\$ | (100) |
wo $\textstyle \sum _{({\mathfrak {j}})}$ über alle Ideale ${\mathfrak {j}}$ und $\textstyle \sum _{({\mathfrak {p}})}$ jedesmal über alle Primideale ${\mathfrak {p}}$ des Körpers $k(\zeta )$ zu erstrecken ist. Da der Ausdruck $S$, wie in § 50 gezeigt worden ist, für $s=1$ endlich bleibt, so folgt aus (100), indem die linke Seite für $s=1$ unendlich wird, daß die über alle Primideale ${\mathfrak {p}}$ des Körpers $k(\zeta )$ erstreckte Summe
* $\sum _{({\mathfrak {p}})}{\frac {1}{n({\mathfrak {p}})^{s}}}$
bei Annäherung von $s$ an $1$ über alle Grenzen wächst. Ist ferner $\alpha$ eine beliebige ganze Zahl in $k(\zeta )$, so gilt ähnlich für $s>1$ stets
| $\left.{\begin{aligned}&\log \prod _{({\mathfrak {p}})}{\frac {1}{1-\left\{{\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right\}n({\mathfrak {p}})^{-s}}}=\sum _{({\mathfrak {p}})}\left\{{\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right\}{\frac {1}{n({\mathfrak {p}})^{s}}}+S(\alpha ),\\&S(\alpha )={\frac {1}{2}}\sum _{({\mathfrak {p}})}\left\{{\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right\}^{2}{\frac {1}{n({\mathfrak {p}})^{2s}}}+{\frac {1}{3}}\sum _{({\mathfrak {p}})}\left\{{\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right\}^{3}{\frac {1}{n({\mathfrak {p}})^{3s}}}+\cdots ,\end{aligned}}\right\$ | (101) |
und hier bleibt wiederum $S(\alpha )$ für $s=1$ endlich. Es sei jetzt $m$ eine der Zahlen $1$, $2$, …, $l-1$. Wir setzen in (101)
* $\alpha =\alpha _{*}^{m}=\alpha _{1}^{mu_{1}}\alpha _{2}^{mu_{2}}\cdots \alpha _{t}^{mu_{t}}$
und multiplizieren die entstehende Gleichung noch mit dem Faktor $\gamma _{1}^{-u_{1}}\gamma _{2}^{-u_{2}}\cdots \gamma _{t}^{-u_{t}}$ wir erteilen dann jedem der $t$ Exponenten $u_{1}$, $u_{2}$, …, $u_{t}$ nacheinander alle die $l$ Werte $0$, $1$, …, $l-1$, jedoch so, daß das eine Wertsystem $u_{1}=0$, $u_{2}=0$, …, $u_{t}=0$ ausgeschlossen bleibt. Werden die auf diese Weise hervorgehenden $l^{t}-1$ Gleichungen sämtlich zu (100) addiert, so entsteht die Beziehung
| $\left.{\begin{aligned}&\sum _{({\mathfrak {p}})}{\frac {1}{n({\mathfrak {p}})^{s}}}+S+\sum _{(u_{1},\ldots ,u_{t})}\gamma _{1}^{-u_{1}}\cdots \gamma _{t}^{-u_{t}}\log \prod _{({\mathfrak {p}})}{\frac {1}{1-\left\{{\frac {\alpha _{1}^{u_{1}}\cdots \alpha _{t}^{u_{t}}}{\mathfrak {p}}}\right\}^{m}n({\mathfrak {p}})^{-s}}}\\=&\sum _{({\mathfrak {p}})}[1][2]\ldots [t]{\frac {1}{n({\mathfrak {p}})^{s}}}+S+\sum _{(u_{1},\ldots ,u_{t})}\gamma _{1}^{u_{1}}\gamma _{2}^{-u_{2}}\cdots \gamma _{t}^{-u_{t}}S(\alpha _{*}^{m}),\end{aligned}}\right\$ | (102) |
wo für den Augenblick
* ${\begin{aligned}\left[1\right]&=1+\left(\gamma _{1}^{-1}\left\{{\frac {\alpha _{1}}{\mathfrak {p}}}\right\}^{m}\right)+\left(\gamma _{1}^{-1}\left\{{\frac {\alpha _{1}}{\mathfrak {p}}}\right\}^{m}\right)^{2}+\cdots +\left(\gamma _{1}^{-1}\left\{{\frac {\alpha _{1}}{\mathfrak {p}}}\right\}^{m}\right)^{l-1},\\\left[2\right]&=1+\left(\gamma _{2}^{-1}\left\{{\frac {\alpha _{2}}{\mathfrak {p}}}\right\}^{m}\right)+\left(\gamma _{2}^{-1}\left\{{\frac {\alpha _{2}}{\mathfrak {p}}}\right\}^{m}\right)^{2}+\cdots +\left(\gamma _{2}^{-1}\left\{{\frac {\alpha _{2}}{\mathfrak {p}}}\right\}^{m}\right)^{l-1},\\&\;\vdots \\\left[t\right]&=1+\left(\gamma _{t}^{-1}\left\{{\frac {\alpha _{t}}{\mathfrak {p}}}\right\}^{m}\right)+\left(\gamma _{t}^{-1}\left\{{\frac {\alpha _{t}}{\mathfrak {p}}}\right\}^{m}\right)^{2}+\cdots +\left(\gamma _{t}^{-1}\left\{{\frac {\alpha _{t}}{\mathfrak {p}}}\right\}^{m}\right)^{l-1}\end{aligned}}$
$S(\alpha _{\ast }^{m})$
$\alpha _{\ast }^{m}$
$G_{m}$
$\alpha _{1},\ \ldots ,\ \alpha _{t},\ \lambda$
${\mathfrak {p}}$
$\textstyle l^{t}\sum \limits _{({\mathfrak {q}})}{\frac {1}{n({\mathfrak {q}})^{s}}}$
${\mathfrak {q}}$
${\mathfrak {p}}$
$k(\zeta )$
$t$
| $\left\{{\frac {\alpha _{1}}{\mathfrak {p}}}\right\}^{m}=\gamma _{1},\ \ldots ,\ \left\{{\frac {\alpha _{t}}{\mathfrak {p}}}\right\}^{m}=\gamma _{t}$ | (103) |
sämtlich erfüllt sind. Bilden wir nun die Gleichungen (102) nacheinander für $m=1,\ 2,\ \ldots ,\ l-1$ und summieren die entstehenden Formeln, so erhalten wir
| $\left.{\begin{aligned}(l-&1)\sum \limits _{({\mathfrak {p}})}{\frac {1}{n({\mathfrak {p}})^{s}}}+(l-1)S\\&+\sum \limits _{(u_{1},\ldots ,u_{t})}\gamma _{1}^{-u_{1}}\cdots \gamma _{t}^{-u_{t}}\log \prod _{({\mathfrak {p}})}\prod _{(m)}{\frac {1}{1-\left\{{\frac {\alpha _{1}^{u_{1}}\cdots \alpha _{t}^{u_{t}}}{\mathfrak {p}}}\right\}^{m}n({\mathfrak {p}})^{-s}}}\\=&l^{t}\sum \limits _{({\mathfrak {r}})}{\frac {1}{n({\mathfrak {r}})^{s}}}+\sum \limits _{(m)}G_{m}+(l-1)S+\sum \limits _{(u_{1},\ldots ,u_{t})}\gamma _{1}^{-u_{1}}\cdots \gamma _{t}^{-u_{t}}\sum \limits _{(m)}S(\alpha _{\ast }^{m});\end{aligned}}\right\$ | (104) |
hierbei hat in dem ersten Summenausdruck rechter Hand ${\mathfrak {r}}$ alle Primideale ${\mathfrak {p}}$ in $k(\zeta )$ zu durchlaufen, welche irgendeinem von den $l-1$ Bedingungssystemen genügen, die aus (103) entstehen, wenn man darin $m=1,\ 2,\ \ldots ,\ l-1$ einführt; für $\gamma _{l}=1$‚ …‚ $\gamma _{t}=1$ sind diese Bedingungssysteme identisch und die betreffenden Primideale $l-1$ mal zu nehmen. Gehen wir nun zur Grenze für $s=1$ über, so wird die erste Summe $\textstyle \sum$ linker Hand in (104) nach den Ausführungen zu Beginn des Beweises über alle Grenzen wachsen, und die zweite Summe $\textstyle \sum$ linker Hand bleibt auf Grund von Hilfssatz 27 für $s=1$ endlich. Da. auch die Summen $S$ und $S(\alpha _{\ast }^{m})$ sämtlich endlich bleiben, so folgt dann, daß der Ausdruck $\textstyle \sum {\frac {1}{n({\mathfrak {r}})^{s}}}$ für $s=1$ über alle Grenzen wächst, und also sind die betreffenden Primideale ${\mathfrak {r}}$ in unendlicher Anzahl vorhanden; diese Primideale ${\mathfrak {r}}$ erfüllen hinsichtlich ihrer Potenzcharaktere genau die Forderungen des Satzes 152.
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## Anmerkungen (Wikisource)

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