# David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie/Kapitel 7.34

$\left\{{\frac {\nu ,\ \mu }{\mathfrak {w}}}\right\}.$
Die wichtigste Aufgabe in der Theorie der Geschlechter eines Kummerschen Körpers betrifft die Ermittlung der Anzahl der wirklich vorhandenen Geschlechter. Wir beweisen hier zunächst einen Satz, welcher dem Hilfssatz 14 (S. 171) aus der Theorie des quadratischen Körpers entspricht.
Satz 163. Wenn $\nu$ und $\mu$ zwei beliebige ganze Zahlen $(\neq 0)$ eines regulären Kreiskörpers $k(\zeta )$ bedeuten, so ist stets
* $\prod _{({\mathfrak {w}})}\left\{{\frac {\nu ,\ \mu }{\mathfrak {w}}}\right\}=1,$
wenn das Produkt linker Hand über sämtliche Primideale ${\mathfrak {w}}$ in $k(\zeta )$ erstreckt wird.
Beweis. Es sei $h$ die Anzahl der Idealklassen in $k(\zeta )$ und $h^{\ast }$ eine ganze rationale positive Zahl mit der Kongruenzeigenschaft $hh^{\ast }\equiv 1$ nach $l.$ Wir setzen $\nu ={\mathfrak {l}}^{a}{\mathfrak {p}}_{1}{\mathfrak {p}}_{2}\cdots$ und $\mu ={\mathfrak {l}}^{b}{\mathfrak {q}}_{1}{\mathfrak {q}}_{2}\cdots ,$ so daß $a$ und $b$ ganze rationale Exponenten und ${\mathfrak {p}}_{1},\ {\mathfrak {p}}_{2},\ \ldots ,\ {\mathfrak {q}}_{1},\ {\mathfrak {q}}_{2},\ \ldots$ gewisse von ${\mathfrak {l}}$ verschiedene Primideale in $k(\zeta )$ sind. Bedeuten ferner $\pi _{1},\ \pi _{2},\ \ldots ,\ \varkappa _{1},\ \varkappa _{2},\ \ldots$ Primärzahlen der Prim-Ideale bez. ${\mathfrak {p}}_{1},\ {\mathfrak {p}}_{2},\ \ldots ,\ {\mathfrak {q}}_{1},\ {\mathfrak {q}}_{2},\ \ldots ,$ und zwar derart, daß
* $\pi _{1}={\mathfrak {p}}_{1}^{hh^{\ast }},\quad \pi _{2}={\mathfrak {p}}_{2}^{hh^{\ast }},\ \ldots ,\ \varkappa _{1}={\mathfrak {q}}_{1}^{hh^{\ast }},\quad \varkappa _{2}={\mathfrak {q}}_{2}^{hh^{\ast }},\ \ldots$
gilt, und wird noch $\lambda =1-\zeta$ gesetzt, so bestehen zwei Gleichungen von der Gestalt:
| $\nu ^{hh^{\ast }}=\varepsilon \lambda ^{ahh^{\ast }}\pi _{1}\pi _{2}\ldots ,\qquad \mu ^{hh^{\ast }}=\eta \lambda ^{bhh^{\ast }}\varkappa _{1}\varkappa _{2}\ldots ,$ | (150) |
worin $\varepsilon$ und $\eta$ Einheiten in $k(\zeta )$ sind. Wenn ${\mathfrak {w}}$ ein beliebiges Primideal bedeutet, so ist allgemein
| $\left\{{\frac {\nu ,\ \mu }{\mathfrak {w}}}\right\}=\left\{{\frac {\nu ^{hh^{\ast }},\ \mu ^{hh^{\ast }}}{\mathfrak {w}}}\right\}.$ | (151) |
Es seien nun ${\mathfrak {p}},\ {\mathfrak {q}}$ zwei voneinander und von ${\mathfrak {l}}$ verschiedene Primideale in $k(\zeta )$ und $\pi ,\ \varkappa$ bez. Primärzahlen von ${\mathfrak {p}},\ {\mathfrak {q}};$ ferner seien $\varepsilon ,\ \eta$ beliebige Einheiten in $k(\zeta ).$ Aus Hilfssatz 36 (S. 313) und aus Satz 161 (S. 312) folgen dann leicht die Formeln
| $\left.{\begin{alignedat}{3}\left\{{\frac {\varepsilon ,\ \eta }{\mathfrak {l}}}\right\}&=1,&&\left\{{\frac {\varepsilon ,\ \lambda }{\mathfrak {l}}}\right\}&=1,\\\left\{{\frac {\varepsilon ,\ \pi }{\mathfrak {l}}}\right\}\left\{{\frac {\varepsilon ,\ \pi }{\mathfrak {p}}}\right\}&=1,&\qquad \left\{{\frac {\pi ,\ \varkappa }{\mathfrak {p}}}\right\}&\left\{{\frac {\pi ,\ \varkappa }{\mathfrak {q}}}\right\}&=1.\end{alignedat}}\right\$ | (152) |
Ist ${\mathfrak {w}}$ ein von ${\mathfrak {l}}$ verschiedenes Primideal, welches nicht in $\mu$ aufgeht, so ist nach Satz 148 (S. 251) die Relativdiskriminante des Kummerschen Körpers $k\left({\sqrt[{l}]{\mu }},\ \zeta \right)$ zu ${\mathfrak {w}}$ prim; fällt dann ${\mathfrak {w}}$ auch zu $\nu$ prim aus, so ist nach Satz 150 (S. 257) die Zahl $\nu$ Normenrest des Kummerschen Körpers $k\left({\sqrt[{l}]{\mu }},\ \zeta \right),$ und daher gilt nach Satz 151 (S. 272) die Gleichung $\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}=1$. Mit Rücksicht hierauf gilt wegen (152) der Satz für den Fall, daß eine jede der Zahlen $\nu$, $\mu$ sei es eine Einheit, sei es eine beliebige Potenz von $\lambda$, sei es eine Primärzahl eines von ${\mathfrak {l}}$ verschiedenen Primideals vorstellt; wegen (150) und (151) und auf Grund der Regeln (80) (S. 265) und (83) (S. 266) gilt sodann der Satz 163 allgemein.
Wir sind jetzt imstande, für den regulären Kummerschen Körper denjenigen Satz aufzustellen und zu beweisen, welcher dem fundamentalen Satz 100 (S. 168) in der Theorie des quadratischen Körpers entspricht. Dieser Satz lautet:
Satz 164. Es sei $r$ die Anzahl der Charaktere, welche ein Geschlecht im regulären Kummerschen Körper $K=k({\sqrt[{l}]{\mu }},\zeta )$ bestimmen; ist dann ein System von $r$ beliebigen $l$-ten Einheitswurzeln vorgelegt, so ist dieses System dann und nur dann das Charakterensystem eines Geschlechtes in $K$, wenn das Produkt der sämtlichen $r$ Einheitswurzeln gleich $1$ ist. Die Anzahl der in $K$ vorhandenen Geschlechter ist daher gleich $l^{r-1}$.
Beweis. Es sei $h$ die Klassenanzahl des regulären Kreiskörpers $k(\zeta )$ und $h^{*}$ eine ganze rationale positive Zahl mit der Kongruenzeigenschaft $hh^{*}\equiv 1$ nach $l$; ferner seien ${\mathfrak {l}}_{1}$, …, ${\mathfrak {l}}_{r}$ die $r$ gemäß § 149 ausgewählten Primfaktoren der Relativdiskriminante von $K$. Es bedeute nun $A$ irgendeine Idealklasse in $K$, ${\mathfrak {J}}$ ein zu ${\mathfrak {l}}=(1-\zeta )$ und zur Relativdiskriminante von $K$ primes Ideal der Klasse $A$ und ${\bar {\nu }}=(N_{k}({\mathfrak {J}}))^{hh^{*}}$ die nach der Vorschrift in § 149 (S. 306) aus ${\mathfrak {J}}$ gebildete und mit einem gewissen Einheitsfaktor versehene ganze Zahl in $k(\zeta )$, so daß
* $\chi _{1}({\mathfrak {J}})=\left\{{\frac {{\bar {\nu }},\mu }{{\mathfrak {l}}_{1}}}\right\},\ldots ,\chi _{r}({\mathfrak {J}})=\left\{{\frac {{\bar {\nu }},\mu }{{\mathfrak {l}}_{r}}}\right\}$
die $r$ Einzelcharaktere sind, welche das Geschlecht von ${\mathfrak {J}}$ bestimmen. Es sei ${\mathfrak {p}}$ ein Ideal des Kreiskörpers $k(\zeta )$, wofern es ein solches gibt, welches in ${\bar {\nu }}$ zu einem nicht durch $l$ teilbaren Exponenten vorkommt; dabei ist ${\mathfrak {p}}$ sicher von ${\mathfrak {l}}$ verschieden und prim zur Relativdiskriminante von $K$. Da $N_{k}({\mathfrak {J}})$ die Relativnorm eines Ideals ist, so muß ${\mathfrak {p}}$ im Körper $K$ zerlegbar sein. Es gilt mithin nach Satz 149 (S. 254) für jedes solche Primideal ${\mathfrak {p}}$ die Gleichung $\left\{{\frac {\mu }{\mathfrak {p}}}\right\}=1$, und daher ist auch stets $\left\{{\frac {{\bar {\nu }},\mu }{\mathfrak {p}}}\right\}=1$. Mit Rücksicht auf Satz 163 (S. 328) folgt daher
| $\prod _{({\mathfrak {w}})}\left\{{\frac {{\bar {\nu }},\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}=1$, | (153) |
wenn ${\mathfrak {w}}$ alle in der Relativdiskriminante von $K$ enthaltenen, von ${\mathfrak {l}}$ verschiedenen Primideale und außerdem das Primideal ${\mathfrak {l}}$ durchläuft. Ferner ist, wenn ${\mathfrak {l}}_{r+1}$, ${\mathfrak {l}}_{r+2}$, …, ${\mathfrak {l}}_{t}$ die außer ${\mathfrak {l}}_{1}$, ${\mathfrak {l}}_{2}$, …, ${\mathfrak {l}}_{r}$ in der Relativdiskriminante aufgehenden Primideale bedeuten, nach § 149
| $\left\{{\frac {{\bar {\nu }},\mu }{{\mathfrak {l}}_{r+1}}}\right\}=1$, $\left\{{\frac {{\bar {\nu }},\mu }{{\mathfrak {l}}_{r+2}}}\right\}=1,\ldots ,\left\{{\frac {{\bar {\nu }},\mu }{{\mathfrak {l}}_{t}}}\right\}=1$. | (154) |
Kommt nun in der Relativdiskriminante des Körpers $K$ das Primideal ${\mathfrak {l}}$ vor, so ist wegen (153) schon hiermit bewiesen, daß das Produkt sämtlicher $r$ Charaktere gleich $1$ ist. Kommt andererseits das Primideal ${\mathfrak {l}}$ in jener Relativdiskriminante nicht vor, so ist nach Satz 150 (S. 257) die Zahl ${\bar {\nu }}$ Normenrest des Körpers $K$ nach ${\mathfrak {l}}$, und folglich ist nach Satz 151 (S. 272) $\left\{{\frac {{\bar {\nu }},\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}=1$; damit erkennen wir aus (153) und (154) auch in diesem Falle den einen Teil der Aussage des Satzes 164 als richtig.
Den Beweis für den anderen Teil der Aussage des Satzes 164 führen wir der Kürze wegen nur in dem Fall, daß die Relativdiskriminante des Körpers $K$ den Primfaktor ${\mathfrak {l}}$ nicht enthält. Es seien dann wiederum ${\mathfrak {l}}_{1}$, …, ${\mathfrak {l}}_{t}$ die $t$ in der Relativdiskriminante von $K$ aufgehenden Primideale des Körpers $k(\zeta )$, und $\lambda _{1}$, …, $\lambda _{t}$ seien bezüglich Primärzahlen von ${\mathfrak {l}}_{1}$, …, ${\mathfrak {l}}_{t}$; ferner gehe allgemein ${\mathfrak {l}}_{i}$ in $\mu$ genau $e_{i}$ mal auf, und es sei $e_{i}*$ dann eine ganze rationale Zahl mit der Kongruenzeigenschaft $e_{i}e_{i}^{*}\equiv 1$ nach $l$. Endlich mögen $\gamma _{1}$, …, $\gamma _{r}$ beliebig gewählte $r$ der Bedingung $\gamma _{1}\cdots \gamma _{r}=1$ genügende $l$-te Einheitswurzeln sein; nach Satz 152 (S. 276) gibt es dann stets in $k(\zeta )$ ein Primideal ${\mathfrak {p}}$, das in $\mu$ nicht aufgeht und überdies die Forderungen
| $\left\{{\frac {\lambda _{1}}{\mathfrak {p}}}\right\}^{m}=\gamma _{1}^{e_{1}^{*}}$, $\left\{{\frac {\lambda _{2}}{\mathfrak {p}}}\right\}^{m}=\gamma _{2}^{e_{2}^{*}},\ldots ,\left\{{\frac {\lambda _{r}}{\mathfrak {p}}}\right\}^{m}=\gamma _{r}^{e_{r}^{*}}$, | (155) |
| $\left\{{\frac {\lambda _{r+1}}{\mathfrak {p}}}\right\}^{m}=1$, $\left\{{\frac {\lambda _{r+2}}{\mathfrak {p}}}\right\}^{m}=1,\ldots ,\left\{{\frac {\lambda _{t}}{\mathfrak {p}}}\right\}^{m}=1$ | (156) |
für irgendeinen Exponenten $m$ aus der Reihe $1$, $2$, …, $l-1$ erfüllt. Ist $\pi$ eine Primärzahl von ${\mathfrak {p}}$, so folgt wegen (155) mit Benutzung von Satz 161 (S. 312)
| $\left\{{\frac {\pi ^{m},\mu }{{\mathfrak {l}}_{i}}}\right\}=\left\{{\frac {\pi ,\mu }{{\mathfrak {l}}_{i}}}\right\}^{m}=\left\{{\frac {\pi }{{\mathfrak {l}}_{i}}}\right\}^{me_{i}}=\left\{{\frac {\lambda _{i}}{\mathfrak {p}}}\right\}^{me_{i}}=\gamma _{i}$, $(i=1,2,\ldots ,r)$. | (157) |
Ferner ergibt sich wegen (156) in ähnlicher Weise
| $\left\{{\frac {\pi ,\mu }{{\mathfrak {l}}_{i}}}\right\}=\left\{{\frac {\pi }{{\mathfrak {l}}_{i}}}\right\}^{e_{i}}=\left\{{\frac {\lambda _{i}}{\mathfrak {p}}}\right\}^{e_{i}}=1$, $(i=r+1,r+2,\ldots ,t)$. | (158) |
Da $\gamma _{1}\cdots \gamma _{r}=1$ ist, so ist wegen (157) und (158)
| $\prod _{({\mathfrak {w}})}\left\{{\frac {\pi ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}=1$, | (159) |
wenn hierin ${\mathfrak {w}}$ alle Primideale ${\mathfrak {l}}_{1}$, …, ${\mathfrak {l}}_{t}$ durchläuft. Bedeutet nun ${\mathfrak {m}}$ ein von ${\mathfrak {p}}$, ${\mathfrak {l}}_{1}$, …, ${\mathfrak {l}}_{t}$ verschiedenes Primideal in $k(\zeta )$, so ist gemäß Satz 150 (S. 257) die Zahl $\pi$ Normenrest des Kummerschen Körpers $K$ nach ${\mathfrak {m}}$ und folglich nach Satz 151 (S. 272) stets $\left\{{\frac {\pi ,\mu }{\mathfrak {m}}}\right\}=1$. Mit Rücksicht auf diesen Umstand und wegen (159) lehrt der Satz 163 (S. 328), daß auch $\left\{{\frac {\pi ,\mu }{\mathfrak {p}}}\right\}=1$, d. h. $\left\{{\frac {\mu }{\mathfrak {p}}}\right\}=1$ sein muß. Infolge der letzteren Gleichung zerfällt das Primideal ${\mathfrak {p}}$ nach Satz 149 (S. 254) im Körper $K$ in $l$ Primideale. Ist ${\mathfrak {P}}$ eines derselben, so hat, wenn wir (157) und (158) berücksichtigen, das Ideal ${\mathfrak {P}}^{m}$ offenbar die vorgeschriebenen Einheitswurzeln $\gamma _{1}$, …, $\gamma _{r}$ als Charaktere, und damit ist der Satz 164 für den hier betrachteten Fall vollständig bewiesen.
Geht ${\mathfrak {l}}$ in der Relativdiskriminante von $K$ auf, so hat man, um den Satz 164 zu beweisen, an den vorstehenden Ausführungen eine geeignete Abänderung anzubringen, die man leicht aus der Analogie mit den entsprechenden Betrachtungen für den quadratischen Körper (vgl. S. 184 bis 185) ersieht. Kummer hat seinen Untersuchungen einen gewissen Zahlring im Körper $K=k({\sqrt[{l}]{\mu }},\zeta )$, nicht die Gesamtheit der ganzen Zahlen dieses Körpers zugrunde gelegt. Der Begriff des Geschlechtes bedarf dann einer gewissen veränderten Fassung. Es ist Kummers großes Verdienst, für den von ihm ausgewählten Zahlring diejenige Tatsache aufgestellt und bewiesen zu haben, die für den Körper $K$ selbst sich in dem Satze 164 ausdrückt [Kummer (20)]. Außer dem von Kummer behandelten Ringe sind noch unendlich viele andere Ringe in $K$ vorhanden, deren Theorie mit entsprechendem Erfolge zu entwickeln sein würde.
Wir heben in diesem und dem nächsten Paragraphen einige wichtige Folgerungen hervor, die aus dem Fundamentalsatz 164 für den Kummerschen Körper $K=k({\sqrt[{l}]{\mu }},\zeta )$ sich ergeben, und die den in § 71 und § 72 oder in § 82 für den quadratischen Körper entwickelten Sätzen entsprechen.
Satz 165. Die Anzahl $g$ der Geschlechter in einem regulären Kummerschen Körper ist gleich der Anzahl seiner ambigen Komplexe.
Beweis. Wenn $t$ und $n$ die Bedeutung wie in Satz 159 (S. 302) haben, und wenn wir berücksichtigen, daß nach Satz 164 (S. 329) $g=l^{r-1}$ ist, so folgt aus Hilfssatz 34 (S. 310) $r-1\leqq t+n-{\frac {l+1}{2}}$, und da nach Hilfssatz 33 (S. 308) andererseits $t+n-{\frac {l+1}{2}}\leqq r-1$ sein muß, so folgt
* $r-1=t+n-{\frac {l+1}{2}}$.
Die im Beweise (S. 311) zu Hilfssatz 34 bestimmte Anzahl $a$ der ambigen Komplexe ist mithin $=l^{r-1}$; wir haben daher $a-g$.
Satz 166. Jeder Komplex des Hauptgeschlechtes in einem regulären Kummerschen Körper $K$ ist die $(1-S)$-te symbolische Potenz eines Komplexes in $K$, d. h. jede Klasse des Hauptgeschlechtes in einem regulären Kummerschen Körper $K$ ist gleich dem Produkt aus der $(1-S)$-ten symbolischen Potenz einer Klasse und aus einer solchen Klasse, welche Ideale des Kreiskörpers $k(\zeta )$ enthält.
Beweis. In dem Beweise (S. 312) zu Hilfssatz 34 ist die Gleichung $af'=gf$ abgeleitet; hierbei bedeutet $a$ die Anzahl der ambigen Komplexe, $f'$ die Anzahl derjenigen Komplexe, welche gleich $(1-S)$-ten symbolischen Potenzen vpn Komplexen sind, ferner bedeutet $g$ die Anzahl der Geschlechter und $f$ die Anzahl der Komplexe des Hauptgeschlechtes. Da nach Satz 165 $a=g$ ist, so folgt $f'=f$, und damit ist bewiesen, daß jeder Komplex des Hauptgeschlechtes die $(1-S)$-te symbolische Potenz eines Komplexes ist.
Satz 167. Wenn $\nu$, $\mu$, zwei ganze Zahlen des regulären Kreiskörpers $k(\zeta )$ bedeuten, von denen $\mu$ nicht die $l$-te Potenz einer ganzen Zahl in $k(\zeta )$ ist, und welche für jedes Primideal ${\mathfrak {w}}$ in $k(\zeta )$ die Bedingung
* $\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}=1$,
erfüllen, so ist die Zahl $\nu$ stets gleich der Relativnorm einer ganzen oder gebrochenen Zahl ${\mathsf {A}}$ des Kummerschen Körpers $K=k({\sqrt[{l}]{\mu }},\zeta )$.
Beweis. Wir beweisen diesen Satz zunächst für den Fall, daß $\nu$ eine Einheit in $k(\zeta )$ ist. Es mögen wiederum $t$ und $n$ für den Kummerschen Körper $K=k({\sqrt[{l}]{\mu }},\zeta )$ die Bedeutung wie in Satz 159 (S. 302) haben; im Beweise zu Satz 165 ist gezeigt worden, daß $r-1=t+n-{\frac {l+1}{2}}$ sein muß, d. h. es ist $n={\frac {l-1}{2}}-t+r$. Andererseits betrachten wir die $r^{*}=t-r$ Einheiten $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{r^{*}}$, die in § 149 (S. 307) bestimmt worden sind. Wegen der Gleichungen (140) (S. 307) kann ein Produkt aus Potenzen dieser $r^{*}$ Einheiten nur dann die $l$-te Potenz einer Einheit in $k(\zeta )$ sein, wenn die Potenzexponenten sämtlich durch $l$ teilbar sind. Es müssen sich daher, da die Gesamtheit aller Einheiten in $k(\zeta )$ eine Schar vom Grade ${\frac {l-1}{2}}$ bildet, weiter ${\frac {l-1}{2}}-r^{*}$ Einheiten $\varepsilon _{r^{*}+1}$, $\varepsilon _{r^{*}+2}$, …, $\varepsilon _{\frac {l-1}{2}}$ bestimmen lassen, so daß überhaupt jede Einheit $\xi$ in $k(\zeta )$ sich in der Gestalt
* $\xi =\varepsilon _{1}^{x_{1}}\varepsilon _{2}^{x_{2}}\cdots \varepsilon _{\frac {l-1}{2}}^{x_{\frac {l-1}{2}}}\varepsilon ^{l}$
$x_{1}$
$x_{2}$
$x_{\frac {l-1}{2}}$
$\varepsilon$
$k(\zeta )$
* $\left\{{\frac {\varepsilon _{u},\mu }{{\mathfrak {l}}_{t-v+1}}}\right\}=\zeta ^{e_{uv}}$, $\left(u=1,2,\ldots ,{\frac {l-1}{2}};v=1,2,\ldots ,r^{*}\right)$,
so liefern die $r^{*}$ Gleichungen
| $\left\{{\frac {\xi ,\mu }{{\mathfrak {l}}_{t}}}\right\}=1$, $\left\{{\frac {\xi ,\mu }{{\mathfrak {l}}_{t-1}}}\right\}=1$, …, $\left\{{\frac {\xi ,\mu }{{\mathfrak {l}}_{t-r^{*}+1}}}\right\}=1$ | (160) |
für die Exponenten $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{\frac {l-1}{2}}$ die $r^{*}$ linearen Kongruenzen
| $\left.{\begin{matrix}e_{11}x_{1}&+&e_{21}x_{2}&+&\cdots &+&e_{{\frac {l-1}{2}},1}x_{\frac {l-1}{2}}&\equiv &0,\\\vdots &&\vdots &&\ddots &&\vdots &\vdots \\e_{1r^{*}}x_{1}&+&e_{2r^{*}}x_{2}&+&\cdots &+&e_{{\frac {l-1}{2}},r^{*}}x_{\frac {l-1}{2}}&\equiv &0,\end{matrix}}\right\$ | (161) |
Wegen (140) (S. 307) haben wir
| $\left.{\begin{matrix}e_{11}\equiv 1,&e_{21}\equiv 0,&e_{31}\equiv 0,&\ldots ,&e_{r^{*}1}\equiv 0,\\&e_{22}\equiv 1,&e_{32}\equiv 0,&\ldots ,&e_{r^{*}2}\equiv 0,\\&&e_{33}\equiv 1,&\ldots ,&e_{r^{*}3}\equiv 0,\\&&&&\;\vdots \\&&&&e_{r^{*}r^{*}}\equiv 1,\end{matrix}}\right\$ | $(l)$; |
und daher sind die $r^{*}$ linearen Kongruenzen (161) voneinander unabhängig; es folgt somit, daß alle diejenigen Einheiten $\xi$, welche den Bedingungen (160) genügen, eine Einheitenschar vom Grade
* ${\frac {l-1}{2}}-r^{*}={\frac {l-1}{2}}-t+r$
bilden.
Wir haben nun zu Beginn dieses Beweises festgestellt, daß der Grad $n$ der Schar aller derjenigen Einheiten in $k(\zeta )$, welche Relativnormen von Einheiten oder gebrochenen Zahlen in $K$ sind, den gleichen Wert besitzt. Da ferner jede Einheit in $k(\zeta )$, welche die Relativnorm einer Einheit oder einer gebrochenen Zahl im Kummerschen Körper $K$ ist, offenbar Normenrest von $K$ nach ${\mathfrak {l}}$ sein und daher nach Satz 151 (S. 272) notwendig auch den Gleichungen (160) genügen muß, so gehört jede Einheit der zu Anfang behandelten Schar auch der zweiten Einheitenschar an; weil beide Einheitenscharen gleiche Grade haben, sind sie miteinander identisch. Die vorgelegte Einheit $\nu$ genügt nun nach Voraussetzung den Bedingungen (160) und gehört also der zweiten Einheitenschar an; nach dem eben Bewiesenen ist mithin $\nu$ auch in der zuerst behandelten Einheitenschar enthalten, d. h. es ist $\nu$ gleich der Relativnorm einer Einheit oder einer gebrochenen Zahl in $K$.
Es sei jetzt $\nu$ eine beliebige ganze Zahl in $K$, welche die Voraussetzung des Satzes 167 erfüllt; wir fassen die in $\nu$ aufgehenden Primideale des Körpers $k(\zeta )$ ins Auge. Wir setzen $\lambda =1-\zeta$ und ${\mathfrak {l}}=(\lambda )$. Kommt das Primideal ${\mathfrak {l}}$ des Körpers $k(\zeta )$ in $\nu$ zu einer Potenz erhoben vor, deren Exponent $b$ nicht durch $l$ teilbar ist, und geht außerdem ${\mathfrak {l}}$ in der Relativdiskriminante des Körpers $K$ nicht auf, so haben wir auf Grund der Angaben am Schlusse von § 133 auf S. 274
* $\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}=\left\{{\frac {\lambda ^{b},\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}=\left\{{\frac {\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}^{-b}$,
und mit Rücksicht auf die hieraus zu entnehmende Gleichung
* $\left\{{\frac {\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}=1$
ist ${\mathfrak {l}}$ nach Satz 149 (S. 254) in $K$ als Produkt von $l$ Primfaktoren darstellbar. Bedeutet ${\mathfrak {L}}$ einen derselben, so haben wir ${\mathfrak {l}}=N_{k}({\mathfrak {L}})$.
Es sei ferner ${\mathfrak {p}}$ ein von ${\mathfrak {l}}$ verschiedenes Primideal des Kreiskörpers $k(\zeta )$, und es komme ${\mathfrak {p}}$ in $\nu$ zu einer Potenz erhoben vor, deren Exponent $b$ nicht durch $l$ teilbar ist; dagegen sei der Exponent $a$, zu dem ${\mathfrak {p}}$ in $\mu$ aufgeht, durch $l$ teilbar: dann ist nach der Definition des Symbols
* $\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {p}}}\right\}=\left\{{\frac {\mu ^{b}}{\mathfrak {p}}}\right\}^{-1}$,
und hieraus folgt wegen der Voraussetzung des Satzes 167 $\left\{{\frac {\mu }{\mathfrak {p}}}\right\}=1$; nach Satz 149 (S. 254) ist also ${\mathfrak {p}}$ in $K$ als Produkt von $l$ Primidealen darstellbar. Ist ${\mathfrak {P}}$ eines dieser $l$ Primideale, so wird ${\mathfrak {p}}=N_{k}({\mathfrak {P}})$.
Endlich sind die in der Relativdiskriminante von $K$ aufgehenden Primideale des Körpers $k(\zeta )$ stets $l$-te Potenzen von Primidealen in $K$ und daher ebenfalls Relativnormen von Idealen in $K$. Aus allen diesen Umständen zusammengenommen folgt, daß $\nu$ die Relativnorm eines Ideals ${\mathfrak {H}}$ in $K$ sein muß, d. h. es ist $\nu =N_{k}({\mathfrak {H}})$.
Wegen der Voraussetzung des Satzes 167 gehört ferner ${\mathfrak {H}}$ dem Hauptgeschlecht in $K$ an, und wir können daher nach Satz 166 (S. 332)
* ${\mathfrak {H}}\sim {\mathfrak {jJ}}^{1-S}$
setzen, in solcher Weise, daß ${\mathfrak {j}}$ ein Ideal in $k(\zeta )$ und ${\mathfrak {J}}$ ein Ideal in $K$ bedeutet. Ist $h$ die Anzahl der Idealklassen in $k(\zeta )$, so haben wir ${\mathfrak {j}}^{h}\sim 1$, und folglich muß ${\mathsf {A}}=\left({\frac {\mathfrak {H}}{{\mathfrak {J}}^{1-S}}}\right)^{h}$ eine ganze oder gebrochene Zahl des Körpers $K$ sein; die Relativnorm dieser Zahl $N_{k}({\mathsf {A}})$ ist offenbar $=\varepsilon \nu ^{h}$, wo $\varepsilon$ eine Einheit in $k(\zeta )$ bedeutet. Aus der letzten Gleichung folgt nach Satz 151 (S. 272), daß für jedes beliebige Primideal ${\mathfrak {w}}$ in $k(\zeta )$ notwendig $\left\{{\frac {\varepsilon \nu ^{h},\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}=1$ und daher auch $\left\{{\frac {\varepsilon ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}=1$ sein muß. Es ist nun im ersten Teile des gegenwärtigen Beweises gezeigt worden, daß unter diesen Umständen $\varepsilon$ stets gleich der Relativnorm einer Zahl in $K$ sein muß, wir setzen $\varepsilon =N_{k}({\mathsf {H}})$, wo ${\mathsf {H}}$ eine Zahl in $K$ ist. Bedeuten dann $b$ und $e$ zwei ganze rationale Zahlen von der Art, daß $bh+el=1$ ist, so folgt
* $\nu =N_{k}({\mathsf {A}}^{b}{\mathsf {H}}^{-b}\nu ^{e}),$
und hiermit ist der Beweis für den Satz 167 vollständig erbracht.
In diesem Beweise können wir die Anwendung des Satzes 151 beidemal auf den Fall ${\mathfrak {w}}\neq {\mathfrak {l}}$ beschränken, da dann nach Satz 163 (S. 328) die behaupteten Tatsachen auch für ${\mathfrak {w}}={\mathfrak {l}}$ folgen.
Damit ist es dann gelungen, alle diejenigen Eigenschaften auf den regulären Kummerschen Körper zu übertragen, welche für den quadratischen Körper bereits von Gauss aufgestellt und bewiesen worden sind.
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## Anmerkungen (Wikisource)

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