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# Schwere, Elektricität und Magnetismus:209

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Die Function $V'\!$ kann in doppelter Weise aufgefasst werden, je nachdem man $\eta \!$ oder $\zeta \!$ als unabhängige Variable ansieht. Wir setzen also
| (5) | $V'=\varphi (\eta )=\chi (\zeta ).\!$ |
Die Gleichungen (4) und (5) des vorigen Paragraphen lauten jetzt:
| (6) | $\varphi \,\left({\frac {1}{\eta }}\right)\,-g=-\eta \,\lbrace \varphi (\eta )-g\rbrace ,$ |
| (7) | $\chi \,\left({\frac {1}{\zeta }}\right)\,-h=-\zeta \,\lbrace \chi (\zeta )-h\rbrace .$ |
Aus (5), (6) und (7) folgt
| (8) | ${\frac {1}{\eta }}\,\varphi \,\left({\frac {1}{\eta }}\right)-{\frac {1}{\zeta }}\,\chi \,\left({\frac {1}{\zeta }}\right)={\frac {g}{\eta }}+g-{\frac {h}{\zeta }}-h.$ |
Um dieser Functionalgleichung in bequemer Weise genügen zu können, zerlegen wir jede der beiden Functionen $\varphi \!$ und $\chi \!$ in zwei Bestandtheile
| (9) | $\varphi (\eta )=\varphi _{1}(\eta )+\varphi _{2}(\eta ),\!$ |
| (10) | $\chi (\zeta )=\chi _{1}(\zeta )+\chi _{2}(\zeta ),\!$ |
und setzen fest, dass
* $\varphi _{1}(\eta )=\chi _{1}(\zeta ),\!$
* $\varphi _{2}(\eta )=\chi _{2}(\zeta ),\!$
sein soll. Der Gleichung (8) ist Genüge geleistet, wenn
| (11) | ${\frac {1}{\eta }}\,\varphi _{1}\left({\frac {1}{\eta }}\right)-\,{\frac {g}{\eta }}\,-g={\frac {1}{\zeta }}\,\chi _{1}\,\left({\frac {1}{\zeta }}\right)$ |
| (12) | ${\frac {1}{\eta }}\,\varphi _{2}\left({\frac {1}{\eta }}\right)={\frac {1}{\zeta }}\,\chi _{2}\left({\frac {1}{\zeta }}\right)-\,{\frac {h}{\zeta }}-h$ |
gesetzt wird. Da $\varphi \!$ eine Potentialfunction ist, so findet man leicht die Form der Entwicklung im allgemeinen, nemlich
| (13) | $\varphi _{1}(\eta )=\sum _{k=0}^{\infty }\,{\frac {1}{p_{k}\eta +q_{k}}},\,$ |
und es kommt nur noch darauf an, die Coefficienten $p\!$ und $q\!$ zu bestimmen. Nach der über $\chi _{1}\!$ getroffenen Bestimmung ist
| (14) | $\chi _{1}(\zeta )=\sum _{0}^{\infty }\,{\frac {1}{p_{k}\left({\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}\,\zeta \right)+q_{k}}}.\,$ |
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:213

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* ${\begin{aligned}&{\frac {1}{\eta }}\,\varphi _{12}\left({\frac {1}{\eta }}\right)=-\varphi _{11}(\eta )+{\frac {g}{\eta }},\\\,\\&{\frac {1}{\zeta }}\,\chi _{12}\left({\frac {1}{\zeta }}\right)=-\chi _{11}(\eta ),\\\end{aligned}}$
und hieraus ergibt sich durch Subtraction
* ${\frac {1}{\eta }}\,\varphi _{12}\left({\frac {1}{\eta }}\right)-{\frac {1}{\zeta }}\,\chi _{12}\left({\frac {1}{\zeta }}\right)={\frac {g}{\eta }},\,$
d. h. die Bedingungsgleichung (22). Vermöge der Gleichungen (23) und (25) erhält man
* $\varphi _{12}(\eta )=g-g\,{\frac {b}{c}}\,(\alpha _{2}-\alpha _{1})\sum _{0}^{\infty }\,{\frac {1}{(\alpha _{1}^{k}-\alpha _{2}^{k})\left(\eta -\,{\frac {a}{c}}\,\right)-{\frac {b}{c}}\,(\alpha _{1}^{k+1}+\alpha _{2}^{k+1})}},\,$
oder kürzer:
| (26) | $\varphi _{12}(\eta )=g\,{\frac {b}{c}}\,(\alpha _{1}-\alpha _{2})\sum _{1}^{\infty }\,{\frac {1}{(\alpha _{1}^{k}-\alpha _{2}^{k})\left(\eta -{\frac {a}{c}}\,\right)-{\frac {b}{c}}\,(\alpha _{1}^{k+1}+\alpha _{2}^{k+1})}}.\,$ |
Setzt man die Entwicklungen (23) und (26) in die Gleichung (20) ein, so ist nun die Function $\varphi _{1}(\eta )\!$ vollständig bestimmt.
Die Function $\varphi _{2}(\eta )=\chi _{2}(\zeta )\!$, welche an die Gleichung (12) gebunden ist, zerlegen wir in zwei Bestandtheile
| (27) | $\varphi _{2}(\eta )=\varphi _{21}(\eta )+\varphi _{22}(\eta )$ |
und setzen, sofern $\zeta \!$ als unabhängige Variable eingeführt wird:
* $\varphi _{21}(\eta )=\chi _{21}(\zeta ),\quad \varphi _{22}(\eta )=\chi _{22}(\zeta ).$
Dann lässt sich die Gleichung (12) in die beiden einfacheren zerlegen :
| (28) | ${\frac {1}{\zeta }}\,\chi _{21}\left({\frac {1}{\zeta }}\right)-{\frac {1}{\eta }}\,\varphi _{21}\left({\frac {1}{\eta }}\right)=h,$ |
| (29) | ${\frac {1}{\zeta }}\,\chi _{22}\left({\frac {1}{\zeta }}\right)-{\frac {1}{\eta }}\,\varphi _{22}\left({\frac {1}{\eta }}\right)=\,{\frac {h}{\zeta }}.\,$ |
Vergleicht man nun (28) mit (21) und (29) mit (22), so erkennt man, dass $\chi _{21}(\zeta )\!$ aus $\varphi _{11}(\eta )\!$ und $\chi _{22}(\zeta )\!$ aus $\varphi _{12}(\eta )\!$ hervorgeht, indem man die erste Kugel mit der zweiten vertauscht, also $g\!$ mit $h\!$, $a\!$ mit $b\!$, $\eta \!$ mit $\zeta \!$. Sobald die Ausdrücke für $\chi _{21}(\zeta )\!$ und für $\chi _{22}(\zeta )\!$ gefunden sind, ist nur für $\zeta \!$ an die Stelle zu setzen $\,{\frac {c}{b}}\,-\,{\frac {a}{b}}\,\eta .$
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:216

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findet man, dass $\chi _{12}(\zeta )\!$ und $\chi _{21}(\zeta )\!$ nicht unendlich werden können für $\zeta \geq 1\!$. Für $\eta \geq 1\!$ hat man aber $\infty >x\geq a\!$ und für $\zeta \geq 1\!$ ist $c-b\geq x>-\infty \!$. Man darf also das Gültigkeitsgebiet der Ausdrücke für $\varphi _{11}(\eta )\!$ und $\varphi _{22}(\eta )\!$ einerseits und für $\varphi _{12}(\eta )\!$ und $\varphi _{21}(\eta )\!$ andererseits erweitern. Für jene darf der Punkt $(x,\,0,\,0)$, der anfänglich zwischen beiden Kugeln lag, durch die zweite Kugel hindurch beliebig weit auf der Axe der positiven $x\!$ fortrücken, ohne dass die Ausdrücke (23) und (31) des vorigen Paragraphen irgendwo unendlich werden. Für diese darf der Punkt $(x,\,0,\,0)$ aus seinem anfänglichen Gebiete durch die erste Kugel hindurch in der Richtung der negativen $x\!$ beliebig weit verschoben werden, ohne dass die Ausdrücke (26) und (30) des vorigen Paragraphen irgendwo unendlich grosse Werthe geben. Da nun aber die vier Functionen nur innerhalb der einen oder der anderen Kugel unendlich werden können, so liegen die Unstetigkeitspunkte von $\varphi _{11}(\eta )\!$ und von $\varphi _{22}(\eta )\!$ innerhalb der ersten Kugel und die Unstetigkeitspunkte von $\varphi _{12}(\eta )\!$ und von $\varphi _{21}(\eta )\!$ innerhalb der zweiten Kugel. Beachtet man noch, dass die Ausdrücke für $\varphi _{11}(\eta )\!$ und $\varphi _{12}(\eta )\!$ mit dem Factor $g\!$, die Ausdrücke für $\varphi _{21}(\eta )\!$ und $\varphi _{22}(\eta )\!$ mit dem Factor $h\!$ behaftet sind, und erinnert sich der Bemerkung am Schlusse des §. 48, so findet sich, dass für einen Punkt auf der Centrallinie zwischen beiden Kugeln
| (4) | $V_{1}'=\varphi _{11}(\eta ),\,$ |
| (5) | $V_{2}'=\varphi _{12}(\eta ),\,$ |
| (6) | $V_{3}'=\varphi _{21}(\eta ),\,$ |
| (7) | $V_{4}'=\varphi _{22}(\eta ).\,$ |
Die Gleichungen (4) und (7) gelten auch noch für $x>c-b\!$, und die Gleichungen (5) und (6) für $x<a\!$. Danach hat man ein Mittel, die Constanten zu bestimmen, welche die Lage und die elektrische Ladung jedes Unstetigkeitspunktes angeben. Man hat nur in den Gleichungen (23), (26), (30), (31) des vorigen Paragraphen die Grösse $\eta \!$ zu ersetzen durch ${\frac {x}{a}}\!$ und hierauf die Nenner mit denen der entsprechenden Ausdrücke in den Gleichungen (1) des vorigen Paragraphen in Uebereinstimmung zu bringen. Dann lassen die Werthe von $x_{k}\!$ und $m_{k}\!$ sich ohne weiteres ablesen. Man erhält
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:210

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Aus den Gleichungen (13) und (14) leiten wir ab:
* ${\begin{aligned}{\frac {1}{\eta }}\,\varphi _{1}\left({\frac {1}{\eta }}\right)&=\sum _{0}^{\infty }\,{\frac {1}{p_{k}+q_{k}\,\eta }},\\\,\\{\frac {1}{\zeta }}\,\chi _{1}\left({\frac {1}{\zeta }}\right)&=\sum _{0}^{\infty }\,{\frac {1}{\left(p_{k}{\frac {c}{a}}+q_{k}\right)\zeta -\,{\frac {b}{a}}\,p_{k}}}\\&=\sum _{0}^{\infty }\,{\frac {1}{\left(p_{k}{\frac {c}{a}}+q_{k}\right)\left({\frac {c}{b}}-{\frac {a}{b}}\,\eta \right)-\,{\frac {b}{a}}\,p_{k}}}.\\\end{aligned}}$
Wir disponiren nun über die Coefficienten so, dass das $k\!$te Glied in der Entwicklung von ${\frac {1}{\zeta }}\,\chi _{1}\left({\frac {1}{\zeta }}\right)$ gleich dem $(k+1)\!$ten Gliede in der Entwicklung von ${\frac {1}{\eta }}\,\varphi _{1}\left({\frac {1}{\eta }}\right)$ ist. Dann erhält man
| (15) | ${\frac {1}{\eta }}\,\varphi _{1}\left({\frac {1}{\eta }}\right)-\,{\frac {1}{\zeta }}\,\chi _{1}\left({\frac {1}{\zeta }}\right)=\,{\frac {1}{p_{0}+q_{0}\,\eta }}.\,$ |
Damit dies zu Stande komme, hat man
| (16) | ${\begin{aligned}&p_{k+1}=p_{k}\,{\frac {c^{2}-b^{2}}{ab}}+q_{k}\,{\frac {c}{b}}\\\,\\&q_{k+1}=-\,{\frac {1}{b}}\,(p_{k}c+q_{k}a)\\\end{aligned}}$ |
zu setzen. In den Bedingungsgleichungen (16) kommt $k\!$ nicht explicite vor. Wir schreiben deshalb
* ${\begin{aligned}&p_{k}={\mathfrak {P}}\alpha ^{k},\\\,\\&q_{k}={\mathfrak {Q}}\alpha ^{k}.\\\end{aligned}}$
Dadurch gehen die Gleichungen (16) über in
| (17) | ${\begin{aligned}&{\mathfrak {P}}\left(\alpha -\,{\frac {c^{2}-b^{2}}{ab}}\right)={\mathfrak {Q}}\,{\frac {c}{b}},\,\\\,\\&{\mathfrak {Q}}\left(\alpha +\,{\frac {a}{b}}\right)=-{\mathfrak {P}}\,{\frac {c}{b}},\\\end{aligned}}$ |
und wenn man ${\mathfrak {P}}\!$ und ${\mathfrak {Q}}\!$ eliminirt, so ergibt sich zur Bestimmung von $\alpha \!$ die quadratische Gleichung
| (18) | $\alpha ^{2}+\alpha \,{\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{ab}}+1=0.\,$ |
Wir bezeichnen die Wurzeln mit $\alpha _{1}\!$ und $\alpha _{2}\!$, und bemerken, dass
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:211

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* ${\begin{aligned}\alpha _{1}+\alpha _{2}&={\frac {c^{2}-(a^{2}+b^{2})}{ab}},\,\\\,\\\alpha _{1}\,\alpha _{2}&=1\\\end{aligned}}$
ist. Da nun $c>a+b\!$ vorausgesetzt ist, so zeigt sich, dass $\alpha _{1}+\alpha _{2}\!$ positiv ist, und da beide Wurzeln einerlei Vorzeichen haben (ihr Product ist $=1\!$), so muss $\alpha _{1}>0\!$ und $\alpha _{2}>0\!$ sein.
Aus der zweiten der Gleichungen (17) findet sich
* ${\mathfrak {P}}=-{\frac {ab+a}{c}}\,{\mathfrak {Q}}.\,$
Je nachdem wir die Wurzel $\alpha _{1}\!$ oder $\alpha _{2}\!$ nehmen, erhalten wir particuläre Lösungen für $p_{k}\!$ und $q_{k}\!$. Daraus setzt sich die allgemeine Lösung zusammen, nemlich
| (19) | ${\begin{aligned}&q_{k}={\mathfrak {Q}}_{1}\,\alpha _{1}^{k}+{\mathfrak {Q}}_{2}\,\alpha _{2}^{k}\\\,\\&p_{k}=-{\frac {a}{c}}\,({\mathfrak {Q}}_{1}\,\alpha _{1}^{k}+{\mathfrak {Q}}_{2}\,\alpha _{2}^{k})-{\frac {b}{c}}\,({\mathfrak {Q}}_{1}\,\alpha _{1}^{k+1}+{\mathfrak {Q}}_{2}\,\alpha _{2}^{k+1}).\\\end{aligned}}$ |
Es bleiben jetzt nur noch die beiden Constanten ${\mathfrak {Q}}_{1}\!$ und ${\mathfrak {Q}}_{2}\!$ zu bestimmen. Zu dem Ende bemerken wir, dass aus (15) und (11) hervorgehen würde
* ${\frac {1}{p_{0}+q_{0}\,\eta }}=g+{\frac {g}{\eta }}.\,$
Dieser Gleichung lässt sich nicht ohne weiteres genügen. Wir können aber die Function $\varphi _{1}(\eta )\!$ wieder zerlegen:
| (20) | $\varphi _{1}(\eta )=\varphi _{11}(\eta )+\varphi _{12}(\eta ),\,$ |
und setzen dann, sofern $\zeta \!$ als unabhängige Variable eingeführt wird,
* $\varphi _{11}(\eta )=\chi _{11}(\zeta ),\quad \varphi _{12}(\eta )=\chi _{12}(\zeta ).\,$
Die Gleichung (11) kann in der Weise befriedigt werden, dass wir setzen
| (21) | ${\frac {1}{\eta }}\,\varphi _{11}\left({\frac {1}{\eta }}\right)-\,{\frac {1}{\zeta }}\,\chi _{11}\left({\frac {1}{\zeta }}\right)=g,$ |
| (22) | ${\frac {1}{\eta }}\,\varphi _{12}\left({\frac {1}{\eta }}\right)-\,{\frac {1}{\zeta }}\,\chi _{12}\left({\frac {1}{\zeta }}\right)={\frac {g}{\eta }}.\,$ |
Nimmt man nun zunächst für $\varphi _{11}(\eta )\!$ die Entwicklung (13) vor, so ergibt sich aus den Gleichungen (15) und (21):
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:214

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Dann hat man die Functionen $\varphi _{21}(\eta )\!$ und $\varphi _{22}(\eta )\!$. Die durchgeführte Rechnung gibt nach leichter Reduction:
| (30) | $\varphi _{21}(\eta )=h\,{\frac {b}{c}}\,(\alpha _{2}-\alpha _{1})\sum _{0}^{\infty }\,{\frac {1}{(\alpha _{1}^{k}-\alpha _{2}^{k})\,{\frac {b}{c}}\,\eta -(\alpha _{1}^{k+1}-\alpha _{2}^{k+1})\left(1-{\frac {a}{c}}\,\eta \right)}},\,$ |
| (31) | $\varphi _{22}(\eta )=h\,{\frac {b}{c}}\,(\alpha _{1}-\alpha _{2})\sum _{1}^{\infty }\,{\frac {1}{(\alpha _{1}^{k}-\alpha _{2}^{k})\,\left({\frac {c^{2}-b^{2}}{ac}}-\eta \right)-{\frac {b}{c}}\,(\alpha _{1}^{k+1}-\alpha _{2}^{k+1})}}.\,$ |
Für einen Punkt auf der Centrallinie zwischen beiden Kugeln ist hiernach die Potentialfunction
| (32) | $\varphi (\eta )=\varphi _{11}(\eta )+\varphi _{12}(\eta )+\varphi _{21}(\eta )+\varphi _{22}(\eta ).\,$ |
Es handelt sich noch darum, die Convergenz der Reihen (23), (26), (30), (31) zu untersuchen. In jeder dieser Reihen ist das allgemeine Glied von der Form
* ${\frac {1}{K_{1}\alpha _{1}^{k}+K_{2}\alpha _{2}^{k}}},\,$
und es bedeutet in einer und derselben Entwicklung $K_{1}\!$ in allen Gliedern dasselbe, ebenso $K_{2}\!$. Dividirt man nun ein Glied durch das vorhergehende, so lautet der Quotient:
* ${\frac {K_{1}\alpha _{1}^{k}+K_{2}\alpha _{2}^{k}}{K_{1}\alpha _{1}^{k+1}+K_{2}\alpha _{2}^{k+1}}}.\,$
Bei Gleichung (18) ist aber bemerkt worden, dass $\alpha _{1}\alpha _{2}=1\!$ ist und dass beide Wurzeln positiv sind. Wir nehmen $\alpha _{1}<1\!$, folglich $\alpha _{2}>1\!$, und können den eben gewonnenen Quotienten so schreiben
* ${\frac {\alpha _{2}^{k}(K_{1}\alpha _{1}^{2k}+K_{2})}{\alpha _{2}^{k+1}(K_{1}\alpha _{1}^{2k+2}+K_{2})}}=\alpha _{1}\cdot {\frac {K_{1}\alpha _{1}^{2k}+K_{2}}{K_{1}\alpha _{1}^{2k+2}+K_{2}}}.\,$
Der Grenzwerth für $k=\infty \!$ ist $\alpha _{1}\!$. Folglich convergiren die Reihen unter allen Umständen.
Wir betrachten zunächst die Function $\varphi _{11}(\eta )\!$, welche durch die Reihe (23) des vorigen Paragraphen ausgedrückt ist. Der
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:217

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| (8) | ${\begin{aligned}&x_{k}'={\frac {ac\,(\alpha _{2}^{k}-\alpha _{1}^{k})}{a\,(\alpha _{2}^{k}-\alpha _{1}^{k})+b\,(\alpha _{2}^{k+1}-\alpha _{1}^{k+1})}},\\\,\\&m_{k}'={\frac {-abg\,(\alpha _{2}-\alpha _{1})}{a\,(\alpha _{2}^{k}-\alpha _{1}^{k})+b\,(\alpha _{2}^{k+1}-\alpha _{1}^{k+1})}};\\\end{aligned}}$ |
| (9) | ${\begin{aligned}&x_{k}''={\frac {a^{2}\,(\alpha _{2}^{k}-\alpha _{1}^{k})+ab\,(\alpha _{2}^{k+1}-\alpha _{1}^{k+1})}{c\,(\alpha _{2}^{k}-\alpha _{1}^{k})}},\\\,\\&m_{k}''={\frac {abg\,(\alpha _{2}-\alpha _{1})}{c\,(\alpha _{2}^{k}-\alpha _{1}^{k})}};\\\end{aligned}}$ |
| (10) | ${\begin{aligned}&x_{k}'''=\,{\frac {ac\,(\alpha _{2}^{k+1}-\alpha _{1}^{k+1})}{a\,(\alpha _{2}^{k+1}-\alpha _{1}^{k+1})+b\,(\alpha _{2}^{k}-\alpha _{1}^{k})}},\\\,\\&m_{k}'''=\,{\frac {-abh\,(\alpha _{2}-\alpha _{1})}{a\,(\alpha _{2}^{k+1}-\alpha _{1}^{k+1})+b\,(\alpha _{2}^{k}-\alpha _{1}^{k})}};\\\end{aligned}}$ |
| (11) | ${\begin{aligned}&x_{k}''''={\frac {(\alpha _{2}^{k}-\alpha _{1}^{k})(c^{2}-b^{2})-ab\,(\alpha _{2}^{k+1}-\alpha _{1}^{k+1})}{c\,(\alpha _{2}^{k}-\alpha _{1}^{k})}},\\\,\\&m_{k}''''={\frac {abh\,(\alpha _{2}-\alpha _{1})}{c\,(\alpha _{2}^{k}-\alpha _{1}^{k})}}.\\\end{aligned}}$ |
Diese Werthe der Constanten hat man in die Ausdrücke (7) des §. 48 einzusetzen. Dann sind die Functionen $V_{1}',\,V_{2}',\,V_{3}',\,V_{4}'\,$ für jede beliebige Lage des Punktes $(x,\,y,\,z)$ völlig bestimmt.
Uebrigens ist zu bemerken, dass die Lösung der Aufgabe sich durch Superposition aus vier speciellen Lösungen zusammensetzt. Es sind nemlich $V_{1}'\!$ und $V_{2}'\!$ die Potentialfunctionen, welche herrühren von den elektrischen Ladungen der Unstetigkeitspunkte resp. der ersten und zweiten Gruppe unter der Voraussetzung, dass $g\!$ von Null verschieden, und $h=0\!$. Und es sind $V_{3}'\!$ und $V_{4}'\!$ die Potentialfunctionen, welche herrühren von den elektrischen Ladungen der Unstetigkeitspunkte resp. der dritten und vierten Gruppe, wenn $g=0\!$ und $h\!$ von Null verschieden.
Wir wollen noch den Satz zur Anwendung bringen, welcher in der Gleichung (6) des §. 18 ausgesprochen ist. Dabei ist nur zu beachten, dass hier $-V\!$ dieselbe Rolle spielt wie dort $V\!$. Wir setzen
* ${\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}=R$
und finden nach dem eben citirten Satze:
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:218

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| (12) | $\lim(-RV_{1}')=\sum _{0}^{\infty }\,m_{k}',\,$ $\lim(-RV_{2}')=\sum _{1}^{\infty }\,m_{k}'',\,$ $\lim(-RV_{3}')=\sum _{0}^{\infty }\,m_{k}''',\,$ $\lim(-RV_{4}')=\sum _{1}^{\infty }\,m_{k}''''.\,$ für $\lim R=\infty .\,$ |
Man kann die Elektricitätsmengen auch auf einem anderen Wege berechnen, indem man den Satz (5) des §. 12 anwendet und die Bemerkung macht, dass die Gleichung (9) desselben Paragraphen hier zutrifft, dass aber hier $-\,{\frac {\partial V}{\partial n}}\!$ statt $N\!$ gesetzt werden muss. Bezeichnet man also mit $d\sigma _{1}\!$ und $d\sigma _{2}\!$ ein Oberflächenelement der ersten und resp. der zweiten Kugel und mit $n\!$ die nach innen gezogene Normale, so findet sich
| (13) | $-\,{\frac {1}{4\pi }}\int \left({\frac {\partial V_{1}'}{\partial n}}\right)_{0}d\sigma _{1}=\sum _{0}^{\infty }\,m_{k}',\,$ $-\,{\frac {1}{4\pi }}\int \left({\frac {\partial V_{2}'}{\partial n}}\right)_{0}d\sigma _{2}=\sum _{1}^{\infty }\,m_{k}'',\,$ $-\,{\frac {1}{4\pi }}\int \left({\frac {\partial V_{3}'}{\partial n}}\right)_{0}d\sigma _{2}=\sum _{0}^{\infty }\,m_{k}''',\,$ $-\,{\frac {1}{4\pi }}\int \left({\frac {\partial V_{4}'}{\partial n}}\right)_{0}d\sigma _{1}=\sum _{1}^{\infty }\,m_{k}''''.\,$ |
Dagegen ist
| (14) | $\int \left({\frac {\partial V_{1}'}{\partial n}}\right)_{0}d\sigma _{2}=\int \left({\frac {\partial V_{2}'}{\partial n}}\right)_{0}d\sigma _{1}=\int \left({\frac {\partial V_{3}'}{\partial n}}\right)_{0}d\sigma _{1}\,$ |
* $=\int \left({\frac {\partial V_{4}'}{\partial n}}\right)_{0}d\sigma _{2}=0,\,$
wie ebenfalls aus dem Satze (5) des §. 12 hervorgeht.
Es ist leicht zu beweisen, dass die Reihen auf der rechten Seite der Gleichungen (12) convergent sind.
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* ${\frac {1}{p_{0}+q_{0}\,\eta }}=g,$
* d.h. $p_{0}={\frac {1}{g}},\,\,q_{0}=0.$
Aus (19) haben wir aber
* ${\begin{aligned}&q_{0}={\mathfrak {Q}}_{1}+{\mathfrak {Q}}_{2},\\\,\\&p_{0}=-{\frac {a}{c}}\,({\mathfrak {Q}}_{1}+{\mathfrak {Q}}_{2})-{\frac {b}{c}}\,({\mathfrak {Q}}_{1}\,\alpha _{1}+{\mathfrak {Q}}_{2}\,\alpha _{2}).\\\end{aligned}}$
Folglich müssen wir hier setzen:
* ${\mathfrak {Q}}_{2}=-{\mathfrak {Q}}_{1},\quad {\mathfrak {Q}}_{1}=-{\frac {c}{-b\,g(\alpha _{1}-\alpha _{2})}}.$
Wird dies in die Gleichungen (19) und von da in (13) eingeführt, so erhält man speciell für $\varphi _{11}(\eta )\!$ die Entwicklung
| (23) | $\varphi _{11}(\eta )=g\,{\frac {b}{c}}\,(\alpha _{2}-\alpha _{1})\sum _{0}^{\infty }\,{\frac {1}{(\alpha _{1}^{k}-\alpha _{2}^{k})\left(1-{\frac {a}{c}}\,\eta \right)-(\alpha _{1}^{k+1}+\,\alpha _{2}^{k+1})\,{\frac {b}{c}}\eta }}.$ |
In entsprechender Weise findet man aus (15) und (22) die Bedingung
* ${\frac {1}{p_{0}+q_{0}\,\eta }}={\frac {g}{\eta }},\,$
also muss jetzt für die Entwicklung von $\varphi _{12}(\eta )\!$ gesetzt werden
* ${\begin{aligned}&p_{0}=0=-{\frac {a}{c}}\,({\mathfrak {Q}}_{1}+{\mathfrak {Q}}_{2})-{\frac {b}{c}}\,({\mathfrak {Q}}_{1}\,\alpha _{1}+{\mathfrak {Q}}_{2}\,\alpha _{2}),\\\,\\&q_{0}={\frac {1}{g}}={\mathfrak {Q}}_{1}+{\mathfrak {Q}}_{2}.\\\end{aligned}}$
Daraus lassen sich ${\mathfrak {Q}}_{1}\!$ und ${\mathfrak {Q}}_{2}\!$ bestimmen, und wenn man ihre Werthe in (19) und von da in (13) einführt, so hat man speciell die Entwicklung von $\varphi _{12}(\eta )\!$.
Man gelangt dazu einfacher auf dem folgenden Wege. Wir setzen
| (24) | $\chi _{12}(\zeta )=-{\frac {1}{\zeta }}\,\chi _{11}\left({\frac {1}{\zeta }}\right),$ |
folglich nach Gleichung (21)
| (25) | $\varphi _{12}(\eta )=-{\frac {1}{\eta }}\,\varphi _{11}\left({\frac {1}{\eta }}\right)+g,$ |
und wollen beweisen, dass hierdurch die Gleichung (22) befriedigt wird. Es ist nemlich
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:215

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Nenner des allgemeinen Gliedes lässt sich leicht in die Form bringen
* $\alpha _{1}^{k}\left(1-{\frac {a+b\,\alpha _{1}}{c}}\,\eta \right)-\alpha _{2}^{k}\left(1-{\frac {a+b\,\alpha _{2}}{c}}\,\eta \right)$
oder kürzer
| (1) | $\alpha _{1}^{k}(1-\lambda _{1}\,\eta )-\alpha _{2}^{k}(1-\lambda _{2}\,\eta ).\,$ |
Hier sieht man ohne weiteres, dass $\lambda _{2}>\lambda _{1}\!$ ist, denn wir haben $\alpha _{2}>\alpha _{1}\!$ genommen. Bilden wir nun das Product $\lambda _{1}\lambda _{2}\!$, so findet sich:
* $\lambda _{1}\lambda _{2}={\frac {(a+b\,\alpha _{1})(a+b\,\alpha _{2})}{c^{2}}}={\frac {a^{2}+a\,b(\alpha _{1}+\alpha _{2})+b^{2}\alpha _{1}\alpha _{2}}{c^{2}}}.\,$
Nach der Gleichung (18) des vorigen Paragraphen ist aber $a\,b(\alpha _{1}+\alpha _{2})=c^{2}-(a^{2}+b^{2})\!$ und $\alpha _{1}\alpha _{2}=1\!$. Setzt man dies in die letzte Gleichung ein, so zeigt sich:
| (2) | $\lambda _{1}\lambda _{2}=1.\,$ |
Beide Grössen $\lambda _{1}\!$ und $\lambda _{2}\!$ sind positiv und $\lambda _{2}>\lambda _{1}\!$, folglich muss $\lambda _{2}>1\!$ und $\lambda _{1}<1\!$ sein. Der Ausdruck (1) kann nun so geschrieben werden
| (3) | $\alpha _{1}^{k}(1-\lambda _{1}\,\eta )-\alpha _{2}^{k}\left(1-{\frac {1}{\lambda _{1}}}\,\eta \right).\,$ |
Nehmen wir $\eta \geq 1\!$, so ist
* $\alpha _{2}^{k}\left({\frac {1}{\lambda _{1}}}\,\eta -1\right)\,$
jedenfalls positiv und unter keinen Umständen Null. Ferner ist
* ${\frac {1}{\lambda _{1}}}\,\eta -1>\lambda _{1}\,\eta -1\,$
und
* $\alpha _{2}^{k}>\alpha _{1}^{k},\,$
folglich
* $\alpha _{2}^{k}\left({\frac {1}{\lambda _{1}}}\,\eta -1\right)>\alpha _{1}^{k}(\lambda _{1}\,\eta -1)\,$
oder, was dasselbe ist:
* $\alpha _{1}^{k}(1-\lambda _{1}\,\eta )-\alpha _{2}^{k}\left(1-{\frac {1}{\lambda _{1}}}\,\eta \right)>0.\,$
Es kann also für $\eta \geq 1\!$ der Nenner des allgemeinen Gliedes in $\varphi _{11}(\eta )\!$ nicht Null und deshalb $\varphi _{11}(\eta )\!$ nicht unendlich werden. Dasselbe lässt sich von $\varphi _{22}(\eta )\!$ beweisen. In entsprechender Weise