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# Topographia Franconiae: Reichelschwang

Topographia Germaniae :
| Reichelschwang (heute: Reichenschwand) ||
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| aus: Matthäus Merian (Herausgeber und Illustrator) und Martin Zeiller (Textautor): Topographia Franconiae. Merian, Frankfurt am Main 1648, S. 81. ||
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Ein gewestes schönes Schloß / so ein Nürnbergisch Kind / Namens Rosenberger / der da commendirt gehabt / An. 1633. wegen seines gefangenen Weibs / auffgeben / und bey den Bayrischen geblieben / die solches / sampt dem Dorff / hernach in die Aschen gelegt haben: wie Kemnitzius berichtet. Es muß aber solches Schloß wieder zugerichtet worden seyn. Dann also schreibet Er Kemnitz anderswo: Isolan lag mit seinen Crabaten hinter Furt / und that der Stadt Nürnberg (im Septembri Anno 34.) nicht geringen Schaden. Unter seinem favor hat der Commendant auffm Rotenberge sich deß Schlosses Reichelschwang / daran der Stadt / wegen deß Passes / und der Zufuhr / auß ihren Aemptern / ein merckliches gelegen / bemächtiget. Als Isolan auffgebrochen / machte sich Oberster Haßvert auß Nürnberg wieder darvor / eroberte es auch den 12. Sept. auff Gnad / und Ungnad / und ward mit Nürenbergischem Volck wieder besetzt: Er aber empfieng gleich anfangs einen gefährlichen Schuß: davon Er zu Lauffen gestorben. Ist daher das / so in unserm Text fol. 27. einkommen / auß diesem Bericht zu corrigiren.
# Topographia Franconiae: Retleß

Topographia Germaniae :
| Retleß ||
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| aus: Matthäus Merian (Herausgeber und Illustrator) und Martin Zeiller (Textautor): Topographia Franconiae. Merian, Frankfurt am Main 1648, S. 83. ||
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Ein Würtzburgisches Städtlein / und Ampt.
# Topographia Franconiae: Reüssenberg

Topographia Germaniae :
| Reüssenberg (heute: Reußenburg) ||
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Ein Würtzburgischer Marckt.
# Topographia Franconiae: Reiffenberg

Topographia Germaniae :
| Reiffenberg (heute: Reifenberg) ||
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Schloß / und Ampt / Bambergisch.
# Topographia Franconiae: Rheau

Topographia Germaniae :
| Rheau (heute: Rehau) ||
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Ein herrlich groß Marggräffisch Culmbachisch Dorff / dessen Bruschius gedenckt / und daß es 2. Meylen vom Fichtelberg lige / sagen thut: So vielleicht anderer Rhebau seyn wird.
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:159

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
| Seite 145 |||
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$U\!$
Gauss seiner Function $U\!$ zuschreibt. Man darf also den Satz von Gauss speciell so aussprechen: Auf der Oberfläche eines gegebenen Raumes $S\!$ lassen sich immer in einer und nur in einer Weise entweder positive, oder theils positive, theils negative Massen so ausbreiten, dass die Function $V+{\frac {1}{r}}$ für jeden Punkt der Oberfläche den Werth Null hat. Diese Function befriedigt alle Bedingungen, welche Green für seine Function $U\!$ aufstellt.
Dieser Beweis ist, wie man sieht, nicht rein analytisch. Seine Einkleidung ist der Theorie der Potentialfunction selbst entnommen. Einen rein analytischen Beweis hat später Dirichlet gegeben.*)
Der Satz von Dirichlet lautet:
Ist die Function $v\!$ einwerthig, endlich und stetig variabel für jeden Punkt in der Oberfläche eines begrenzten Raumes $S\!$ gegeben, so lässt sie sich immer und nur auf eine Weise für das Innere so bestimmen, dass sie auch da einwerthig, endlich und stetig variabel ist und der partiellen Differentialgleichung
| (1) | ${\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial z^{2}}}=0$ |
Genüge leistet.
Um diesen Satz zu beweisen, bilden wir das über den Raum $S\!$ auszudehnende Integral
| (2) | $\Omega (u)=\iiint \left\lbrack \left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u}{\partial z}}\right)^{2}\right\rbrack dx\;dy\;dz.$ |
Darin soll mit $u\!$ eine Function bezeichnet werden, die in der Oberfläche des Raumes $S\!$ überall mit der gegebenen Function $v\!$ übereinstimmt, die aber im Innern des Raumes nur an die Bedingung geknüpft ist, dass sie selbst und ihre ersten Derivirten überall einwerthig, endlich und stetig variabel seien. Solcher Functionen $u\!$ gibt es unendlich viele. Bezeichnet man eine von ihnen mit $u_{1},\!$ so lässt jede andere sich in die Form bringen
* $u=u_{1}+h\;s,$
wenn $h\!$ eine passend zu wählende Constante bedeutet und $s\!$ eine
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:164

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
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Mit Hülfe dieses Satzes ist nun leicht zu beweisen, dass für jede Gestalt des Raumes $S\!$ eine und nur eine Function $U\!$ existirt, welche die von Green aufgestellten charakteristischen Eigenschaften besitzt. Wir setzen
| (15) | $U=U_{1}+{\frac {1}{r}},$ |
wobei $r\!$ den Abstand des Punktes $(x,\,y,\,z)$ von dem inneren Unstetigkeitspunkte $(x',\,y',\,z')$ der Function $U\!$ bezeichnet. Dann hat man $U_{1}\!$ in der Oberfläche gleich $-{\frac {1}{r}}$ zu nehmen und diese Function ins Innere des Raumes $S\!$ endlich und stetig variabel so fortzusetzen, dass
* ${\frac {\partial ^{2}U_{1}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U_{1}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U_{1}}{\partial z^{2}}}=0.$
Das kann nach dem Satze von Dirichlet immer in einer und nur in einer Weise geschehen. Da nun ${\frac {1}{r}}$ der Gleichung von Laplace ebenfalls genügt, so ist die in (15) ausgedrückte Function $U\!$ in der That die von Green verlangte. Sie ist Null in der Oberfläche von $S\!$, sie ist im Innern überall endlich und stetig variabel ausser im Punkte $(x',\,y',\,z'),$ wo sie unendlich wird wie der reciproke Werth des Abstandes, und genügt im Innern von $S\!$ der Gleichung von Laplace.*)
Wir wollen noch zeigen, dass eine endliche und stetige Function $V\!$ in keinem Theile des Raumes, wo sie die Gleichung von Laplace erfüllt, ein Maximum oder ein Minimum haben kann.
Die Function $V\!$ und die Function $\left({\frac {1}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)$ genügen beide der Gleichung von Laplace. Nach dem Satze von Green ist also
| (1) | $\int \left\lbrace \left({\frac {1}{r}}-{\frac {1}{a}}\right){\frac {\partial V}{\partial n}}-V{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial n}}\right\rbrace d\sigma =0,$ |
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:160

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
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Function von $x,\,y,\,z$ ist, die in der Oberfläche des Raumes $S\!$ den Werth Null hat, im Innern aber an dieselbe Bedingung geknüpft ist wie die Functionen $u\!$.
Das Integral (2) hat unter dieser Voraussetzung einen endlichen, positiven Werth, der im allgemeinen ein anderer sein wird, wenn man von einer Function $u\!$ zu einer andern übergeht. Nun gibt es zwar unendlich viele Functionen $u\!$, die den aufgestellten Bedingungen genügen, und folglich wird man ihnen entsprechend auch unendlich viele Integralwerthe erhalten. Die letzteren sind aber sämmtlich positiv und endlich. Demnach ist unter ihnen jedenfalls einer vorhanden, der kleiner als alle übrigen ist. Dieser kleinste Werth des Integrals $\Omega (u)\!$ kann nur in einem Falle gleich Null sein, nemlich wenn im Innern des Raumes $S\!$ die ersten Derivirten der zugehörigen Function $u\!$ überall gleich Null sind. Es müsste also diejenige Function $u\!$, welche das Minimum zu Stande bringt, im Innern von $S\!$ constant sein, und da sie eine stetige Fortsetzung der in der Oberfläche gegebenen Function $v\!$ ist, so müsste auch diese an jeder Stelle der Oberfläche denselben constanten Werth haben. Schliessen wir diesen Specialfall durch die Voraussetzung aus, dass $v\!$ in der Oberfläche stetig variabel sein soll, so ist der Minimalwerth des Integrals um eine positive endliche Grösse von Null verschieden.
Diejenige Function $u\!$, für welche das Integral (2) seinen kleinsten Werth annimmt, soll für das Innere des Raumes $S\!$ mit $v\!$ bezeichnet werden. Dann lässt sich jede andere Function $u\!$ in die Form bringen
* $u=v+h\;s.$
Wir wollen nun die Constante $h\!$ unendlich klein nehmen. Dann lautet die Bedingung des Minimum
| (3) | $\Omega (v)\leq \Omega (v+h\;s).$ |
Nun hat man aber
* ${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial x}}+h\,{\frac {\partial s}{\partial x}},\,$
* ${\frac {\partial u}{\partial y}}={\frac {\partial v}{\partial y}}+h\,{\frac {\partial s}{\partial y}},\,$
* ${\frac {\partial u}{\partial z}}={\frac {\partial v}{\partial z}}+h\,{\frac {\partial s}{\partial z}}.\,$
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:166

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
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Um nicht allein die Kräfte, sondern auch die durch sie hervorgebrachten Bewegungen untersuchen zu können, ist es nöthig, an einige Sätze der Dynamik zu erinnern.
Wir betrachten einen materiellen Punkt von der Masse $m\!$. Seine Coordinaten $x,\,y,\,z$ sind Functionen der Zeit $t\!$, und die Aufgabe der Dynamik besteht darin, diese Functionen ausfindig zu machen, wenn zu jeder Zeit die bewegende Kraft $K\!$ gegeben ist. Zur Lösung dieser Aufgabe sind Integrationen auszuführen. Den dabei auftretenden Integrations-Constanten hat man dann Specialwerthe beizulegen, so dass gewisse Nebenbedingungen des Problems erfüllt werden. Als solche Nebenbedingungen können z. B. gegeben sein die Anfangslage und die Anfangsgeschwindigkeit des bewegten materiellen Punktes, oder auch seine Anfangs- und seine Endlage.
Die bewegende Kraft, welche auf den materiellen Punkt wirkt, sei $K\!$. Ihre Componenten in den Richtungen der positiven Coordinatenaxen bezeichnen wir resp. mit $X,\,Y,\,Z$. Dann haben wir die Differentialgleichungen
| (1) | $m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=X,$ $m{\frac {dy}{dt^{2}}}=Y,$ $m{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=Z.$ |
In diesen Gleichungen multipliciren wir auf beiden Seiten der Reihe nach mit ${\frac {dx}{dt}}dt,\,{\frac {dy}{dt}}dt,\,{\frac {dz}{dt}}dt$, verbinden die Resultate
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:167

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
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links und rechts durch Addition und integriren nach $t\!$. Dadurch ergibt sich
| (2) | ${\frac {1}{2}}\,m\left\{\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{2}\right\}$ |
* $={\text{const.}}+\int \left(X\,{\frac {dx}{dt}}+Y\,{\frac {dy}{dt}}+Z\,{\frac {dz}{dt}}\right)dt.$
Wir bezeichnen mit $s\!$ die Länge der Bahn, welche der materielle Punkt bis zum Ablauf der Zeit $t\!$ durchlaufen hat, so dass $s=0\!$ ist für $t=0\!$. Dann haben wir $\!ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$, und die Gleichung (2) geht über in
| (3) | ${\frac {1}{2}}\,m\left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}={\text{const.}}+\int \left(X\,{\frac {dx}{dt}}+Y\,{\frac {dy}{dt}}+Z\,{\frac {dz}{dt}}\right)dt.$ |
Auf der rechten Seite dieser Gleichung können wir auch $s\!$ als Integrations-Variable einführen und unter dem Integralzeichen schreiben
* $\left(X\,{\frac {dx}{ds}}+Y\,{\frac {dy}{ds}}+Z\,{\frac {dz}{ds}}\right)ds.$
Hier sind ${\frac {dx}{ds}},\,{\frac {dy}{ds}},\,{\frac {dz}{ds}}$ die Cosinus der Winkel, welche das Bahnelement $ds\!$ mit den positiven Coordinatenaxen einschliesst. Bezeichnet man nun ferner mit $\alpha \!$, $\beta \!$, $\gamma \!$ die Winkel, welche die Richtung von $K\!$ mit den Richtungen der Componenten bildet, so findet sich
* $X\,{\frac {dx}{ds}}+Y\,{\frac {dy}{ds}}+Z\,{\frac {dz}{ds}}$
* ${\begin{aligned}&=K\,\left({\frac {dx}{ds}}\,\cos \alpha +{\frac {dy}{ds}}\,\cos \beta +{\frac {dz}{ds}}\,\cos \gamma \right)\\&=K\,\cos(K\,s).\\\end{aligned}}$
Dabei ist unter $(K\,s)\!$ der Winkel zu verstehen, welchen die im Punkte $(x,\,y,\,z)$ angelegte Tangente der Bahn mit der Richtung der bewegenden Kraft einschliesst.
Die Gleichung (3) lautet hiernach in anderer Form
| (4) | ${\frac {1}{2}}\,m\,\left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}={\text{const.}}+\int K\,\cos(K\,s)\,ds.$ |
Wir bezeichnen die Geschwindigkeit ${\frac {ds}{dt}}$ mit $v\!$ und den Werth, den sie zur Zeit $t=0\!$ hat, mit $v_{0}\!$. Nehmen wir die bestimmte Integration vor und setzen für die Zeit die Grenzen $0\!$ und $t\!$, also für den Weg die Grenzen $0\!$ und $s\!$ fest, so ergibt sich
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:168

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| (5) | ${\frac {1}{2}}m\;v^{2}-{\frac {1}{2}}m\;v_{0}^{2}=\int \limits _{0}^{s}K\cos(K\;s)ds.$ |
In dieser Gleichung spricht sich der Satz aus, dass die in dem Zeitintervall von $t=0\!$ bis $t\!$ gewonnene lebendige Kraft gleich ist der während derselben Zeit verrichteten mechanischen Arbeit. Im allgemeinen ist die Arbeit nicht allein von der Anfangs- und Endlage des bewegten Punktes abhängig, sondern auch von der Bahn, die er durchläuft. Sie setzt sich ja aus allen den Producten zusammen, die man erhält, wenn jedes Bahnelement mit der in seine Richtung fallenden Componente der bewegenden Kraft multiplicirt wird. Von besonderer Wichtigkeit ist der Fall, dass die Arbeit für alle Bahnen, die aus einer gegebenen Anfangslage in eine gegebene Endlage überführen, dieselbe ist, dass sie nur von der Anfangs- und Endlage des bewegten Punktes abhängig ist. Dieser Fall tritt ein, wenn die Componenten $X,\,Y,\,Z$ die resp. nach $x,\,y,\,z$ genommenen partiellen Derivirten einer und derselben Function $m\;V\!$sind, welche direct nur von $x,\,y,\,z$ abhängt, deren Ausdruck also die Zeit $t\!$ nicht explicite enthält. In diesem Falle geht die Gleichung (3) über in
| (6) | ${\frac {1}{2}}m\;v^{2}={\text{const.}}+m\;V,$ |
und die Gleichung (5) geht über in
| (7) | ${\frac {1}{2}}m\;v^{2}-{\frac {1}{2}}m\;v_{0}^{2}=m(V-V_{0}).$ |
Dabei ist $V_{0}\!$ der Werth, welchen die Function $V\!$ annimmt, wenn man den Coordinaten $x,\,y,\,z$ des bewegten Punktes ihre Anfangswerthe beilegt.
In den Gleichungen (6) und (7) spricht sich der Satz aus:
Wenn die Componenten $X,\,Y,\,Z$ die resp. nach $x,\,y,\,z$ genommenen Derivirten derselben Function $m\;V$ sind, welche direct nur von $x,\,y,\,z$ abhängt, so ist die während einer Bewegung gewonnene lebendige Kraft gleich der Differenz der Werthe, welche die Function $m\;V$ in der Anfangs- und in der Endlage des bewegten Punktes annimmt.
Dieser Satz ist das Princip der Erhaltung der lebendigen Kraft.
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:162

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
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| (7) | $\iiint s\left({\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial z^{2}}}\right)dx\;dy\;dz=0.$ |
Da aber im Innern des Raumes $S\!$ die Function $s\!$ gänzlich unbestimmt ist, so kann diese Gleichung nur dadurch erfüllt werden, dass im Innern überall
| (8) | ${\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial z^{2}}}=0.$ |
Nun existirt immer ein Minimum des Integrals $\Omega (u)\!$. Folglich muss es unter den unendlich vielen Functionen $u,\!$ welche in der Oberfläche von $S\!$ mit der dort gegebenen Function $v\!$ zusammenfallen, eine geben, welche jenes Minimum zu Stande bringt, und das kann nicht anders geschehen als durch Befriedigung der Gleichung (8). Diese Function ist die für das Innere von $S\!$ verlangte stetige Fortsetzung der in der Oberfläche gegebenen Function $v.\!$
Die Transformation (6), durch welche die Bedingung (5) in (8) übergeht, ist nach §. 20 nur dann zulässig, wenn die Functionen $s\!$ und $v\!$ und die ersten Derivirten von $v\!$ im Innern des Raumes $S\!$ überall endlich und stetig variabel sind. Diese Bedingung ist für $s\!$ und $v\!$ erfüllt. Denn wir haben von allen Functionen $u\!$ und $s\!$ vorausgesetzt, dass jede von ihnen mit ihren ersten Derivirten einwerthig, endlich und stetig variabel sei. Denken wir uns aber den Fall, dass die ersten Derivirten von $v\!$ im Innern des Raumes $S\!$ sich sprungweise änderten, wenn der Punkt $(x,\;y,\;z)\!$ von der negativen auf die positive Seite einer gewissen Fläche übertritt, so würde zu dem Oberflächen-Integral auf der rechten Seite von (6) noch der Beitrag hinzutreten
| (9) | $-\int s\left\lbrace \left({\frac {\partial v}{\partial p}}\right)_{+0}-\left({\frac {\partial v}{\partial p}}\right)_{-0}\right\rbrace d\sigma .$ |
In diesem Beitrage ist $d\sigma \!$ ein Element der Unstetigkeitsfläche, $p\!$ die Normale. Die Integration ist über die ganze Unstetigkeitsfläche zu erstrecken. Zur Erfüllung der Bedingung (5) würde dann die Gleichung (8) nicht genügen. Es müsste ausserdem das Integral (9) den Werth Null haben, und das ist bei der Unbestimmtheit von $s\!$ nicht anders möglich, als wenn an jeder Stelle der angenommenen Unstetigkeitsfläche
| (10) | $\left({\frac {\partial v}{\partial p}}\right)_{+0}=\left({\frac {\partial v}{\partial p}}\right)_{-0}.$ |
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:163

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
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$U\!$
Diese Gleichung sagt aber aus, dass, wenn $\Omega (v)\!$ ein Minimum ist, die ersten Derivirten von $v\!$ im Innern des Raumes $S\!$ nicht unstetig sind.
Es fragt sich noch, ob ausser der einen Function $u=v\!$, welche das Integral $\Omega (u)\!$ zu einem Minimum macht, noch eine andere $u=v+s\!$ dieselbe Eigenschaft besitzt. Unter $s\!$ soll hier wieder eine Function verstanden werden, welche in der Oberfläche von $S\!$ den Werth Null hat und im Innern derselben Bedingung genügt wie die Functionen $u\!$. Nun ist $\Omega (v+s)\!$ ein Minimum, wenn für eine Constante $h\!$, die unendlich nahe an 1 heranrückt, die Bedingung erfüllt ist:
| (11) | $\Omega (v+s)\leq \Omega (v+hs).$ |
Wir haben nach den Gleichungen (4) und (5)
* $\Omega (v+hs)=\Omega (v)+h^{2}\Omega (s),\!$
und wenn man hierin $h=1\!$ setzt:
* $\Omega (v+s)=\Omega (v)+\Omega (s).\!$
Dadurch geht die Bedingung (11) in folgende über
| (12) | $\Omega (s)\leq h^{2}\Omega (s)$ |
Da man aber die Constante $h^{2}\!$, die unendlich nahe an 1 liegen soll, nicht bloss grösser, sondern auch kleiner als 1 nehmen darf, so kann der Bedingung (12) nur dadurch genügt werden, dass man setzt:
| (13) | $\Omega (s)=0.\!$ |
Bei der eigenthümlichen Form des Integrals $\Omega (s)\!$ kann diese Gleichung nur dann zu Stande kommen, wenn im Innern des Raumes $S\!$ überall
| (14) | ${\frac {\partial s}{\partial x}}=0,\quad {\frac {\partial s}{\partial y}}=0,\quad {\frac {\partial s}{\partial z}}=0,$ |
d. h. $s={\text{const.}}\!$ ist. Der constante Werth von $s\!$ muss aber Null sein, weil in der Oberfläche $s=0\!$ ist.
Von allen den Functionen $u\!$, welche die in der Oberfläche des Raumes $S\!$ gegebene Function $v\!$ ins Innere stetig fortsetzen, gibt es also eine und nur eine, die das Integral (2) zu einem Minimum macht. Diese Function und ihre ersten Derivirten sind im Innern von $S\!$ überall endlich und stetig variabel, und sie selbst erfüllt die partielle Differentialgleichung (8).
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:165

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
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$V\!$
$V\!$
$\left({\frac {1}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)$
$a\!$
$a'\!$
$r\!$
$a'<a\!$
$\lim a'=0\!$
* $\int \left\lbrace -\left({\frac {1}{r}}-{\frac {1}{a}}\right){\frac {\partial V}{\partial r}}-V{\frac {1}{r^{2}}}\right\rbrace r^{2}\;d\omega$
für $r=a\!$, d. h.
* $-\int V_{a}d\omega .$
Die innere Oberfläche liefert dagegen den Beitrag
* $\int \left\lbrace \left({\frac {1}{r}}-{\frac {1}{a}}\right){\frac {\partial V}{\partial r}}+V{\frac {1}{r^{2}}}\right\rbrace r^{2}\;d\omega$
für $r=a'\!$, d. h.
* $\int \left\lbrace \left(a'-{\frac {a'^{2}}{a}}\right)\left({\frac {\partial V}{\partial r}}\right)_{a'}+V_{a'}\right\rbrace d\omega .$
Lässt man $a'\!$ in Null übergehen, so nimmt dieser Beitrag den Grenzwerth an
* $\int V_{0}\;d\omega .$
Folglich erhalten wir aus Gleichung (1)
* $\int (V_{0}-V_{a})d\omega =0,$
d. h. es kann $V_{0}-V_{a}\!$ nicht in allen Punkten der Kugeloberfläche vom Radius $a\!$ dasselbe Vorzeichen haben, und deshalb ist $V_{0}\!$ weder ein Maximum noch ein Minimum.