# David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie/Kapitel 7.3

Die in Kapitel 2 entwickelte Theorie der Zerlegung der Ideale eines Körpers gestattet es, die elementaren Sätze der Theorie der rationalen Zahlen auf die Zahlen eines algebraischen Zahlkörpers zu übertragen. Wir stellen folgende allgemeine Begriffe und Sätze voran.
Die Anzahl aller nach einem Ideal ${\mathfrak {a}}$ einander inkongruenten ganzen Zahlen des Körpers heißt die Norm des Ideals ${\mathfrak {a}}$: in Zeichen $n({\mathfrak {a}})$.
Satz 17. Die Norm eines Primideals ${\mathfrak {p}}$ ist eine Potenz der durch ${\mathfrak {p}}$ teilbaren rationalen Primzahl $p$.
Beweis: Es seien die $f$ ganzen Zahlen $\omega _{1}$, …, $\omega _{f}$ einer Basis des Körpers in dem Sinne voneinander unabhängig, daß keine Kongruenz von der Gestalt
* $a_{1}\omega _{1}+\cdots +a_{f}\omega _{f}\equiv 0,\quad ({\mathfrak {p}})$
besteht, wo $a_{1}$, …, $a_{f}$ ganze, nicht sämtlich durch $p$ teilbare Zahlen bedeuten, und es möge überdies jede der anderen $m-f$ Zahlen der Körperbasis einem Ausdruck von der Gestalt $a_{1}\omega _{1}+\cdots +a_{f}\omega _{f}$ nach ${\mathfrak {p}}$ kongruent sein; dann kann dieser Ausdruck jeder Zahl nach ${\mathfrak {p}}$ kongruent werden, und es beträgt die Anzahl der einander inkongruenten Zahlen nach ${\mathfrak {p}}$ offenbar $p^{f}$.
Der Exponent $f$ heißt der Grad des Primideals ${\mathfrak {p}}$.
Satz 18. Die Norm des Produktes zweier Ideale ${\mathfrak {ab}}$ ist gleich dem Produkt ihrer Normen.
Beweis: Es sei $\alpha$ eine nach Satz 12 gewählte durch ${\mathfrak {a}}$ teilbare Zahl von der Art, daß $\textstyle {\frac {\alpha }{\mathfrak {a}}}$ ein zu ${\mathfrak {b}}$ primes Ideal ist. Durchläuft dann $\xi$ ein System von $n({\mathfrak {a}})$ nach ${\mathfrak {a}}$ einander inkongruenten Zahlen und $\eta$ ein System von $n({\mathfrak {b}})$ nach ${\mathfrak {b}}$ zueinander inkongruenten Zahlen, so stellt der Ausdruck $\alpha \eta +\xi$ ein volles System nach ${\mathfrak {ab}}$ einander inkongruenten Zahlen dar; ein solches System umfaßt mithin $n({\mathfrak {a}})n({\mathfrak {b}})$ Zahlen.
Satz 19. Ist
* ${\begin{aligned}\iota _{1}&=a_{11}\omega _{1}+\cdots +a_{1m}\omega _{m},\\&\qquad \qquad \quad \vdots \\\iota _{m}&=a_{m1}\omega _{1}+\cdots +a_{mm}\omega _{m},\end{aligned}}$
eine Basis des Ideals ${\mathfrak {a}}$, so ist seine Norm $n({\mathfrak {a}})$ gleich dem absoluten Betrage der Determinante der Koeffizienten $a$.
Beweis. Legen wir die Basis des Ideals in der ursprünglich beim Beweise des Satzes 6 gefundenen Gestalt zugrunde, wo die Koeffizienten $a_{rs}$ für $s>r$ sämtlich $=0$ und die $a_{rr}>0$ sind, so ist die Determinante jener Koeffizienten $a$ gleich dem Produkt $a_{11}\ldots a_{mm}$. Andererseits stellt der Ausdruck
* $u_{1}\omega _{1}+\cdots +u_{m}\omega _{m}$
für
* $u_{1}=0,\,1,\,\ldots ,\,a_{11}-1,\,\ldots ,\,u_{m}=0,\,1,\,\ldots ,\,a_{mm}-1$
ein vollständiges System nach ${\mathfrak {a}}$ einander inkongruenter Zahlen dar. Damit ist Satz 19 bewiesen. Zugleich leuchtet die Umkehrung dieses Satzes ein.
Der Zusammenhang mit der Kroneckerschen Formentheorie erhellt aus dem Satze:
Satz 20. Ist $F$ eine Form mit dem Inhalte ${\mathfrak {a}}$, so ist die Norm der Form $F$ gleich der Norm des Ideals ${\mathfrak {a}}$, d. h. $n(F)=n({\mathfrak {a}})$. Insbesondere ist die Norm einer ganzen Zahl $\alpha$ dem absoluten Betrage nach stets gleich der Norm des Hauptideals ${\mathfrak {a}}=(\alpha )$.
Beweis: Ist $\iota _{1},\ldots ,\iota _{m}$ eine Basis des Ideals ${\mathfrak {a}}$, so bilde man die Form
* $F=\iota _{1}u_{1}+\cdots +\iota _{m}u_{m};$
dann ist
* ${\begin{aligned}\omega _{1}F&=l_{11}\iota _{1}+\cdots +l_{1m}\iota _{m},\\&\qquad \qquad \quad \vdots \\\omega _{m}F&=l_{m1}\iota _{1}+\cdots +l_{mm}\iota _{m},\end{aligned}}$
$l_{11}$
$l_{mm}$
$u_{1}$
$u_{m}$
$|l_{rs}|$
$l_{11}$, …, $l_{mm}$ eine rationale Einheitsform ist. In der Tat, wären im Gegenteil die Koeffizienten der Determinante $|l_{rs}|$ sämtlich durch eine Primzahl $p$ teilbar, so müßten notwendig $m$ Formen $L_{1}$, …, $L_{m}$ existieren, deren Koeffizienten ganze rationale, nicht sämtlich durch $p$ teilbare Zahlen sind, und welche den Bedingungen
* ${\begin{aligned}L_{1}l_{11}+\cdots +L_{m}l_{m1}&\equiv 0,\qquad (p)\\\vdots \qquad \qquad \\L_{1}l_{1m}+\cdots +L_{m}l_{mm}&\equiv 0,\qquad (p)\end{aligned}}$
genügen. Hieraus würde
* $(L_{1}\omega _{1}+\cdots +L_{m}\omega _{m})F\equiv 0,\qquad (p{\mathfrak {a}})$
folgen, d. h. das Produkt ${\mathfrak {la}}$ ist durch $p{\mathfrak {a}}$ teilbar, wobei ${\mathfrak {l}}$ den Inhalt der Form $L_{1}\omega _{1}+\cdots +L_{m}\omega _{m}$ bezeichnet. Mithin wäre ${\mathfrak {l}}$ durch $p$ teilbar, was nicht der Fall sein kann, da eine Zahl von der Gestalt $a_{1}\omega _{1}+\cdots +a_{m}\omega _{m}$, wo $a_{1}$, …, $a_{m}$ ganze rationale Zahlen bedeuten, nur dann durch $p$ teilbar ist, sobald die Koeffizienten $a_{1}$, …, $a_{m}$ sämtlich durch $p$ teilbar sind.
Nach dem Multiplikationstheorem der Determinanten ist
* $\left|{\begin{matrix}\omega _{1},&F,&\ldots ,&\omega _{m}&F\\\omega '_{1},&F',&\ldots ,&\omega '_{m}&F'\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\\omega _{1}^{(m-1)},&F^{(m-1)},&\ldots ,&\omega _{m}^{(m-1)}&F^{(m-1)}\end{matrix}}\right|=\left|{\begin{matrix}l_{11},&\ldots ,&l_{1m}\\l_{21},&\ldots ,&l_{2m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\l_{m1},&\ldots ,&l_{mm}\end{matrix}}\right|\cdot \left|{\begin{matrix}\iota _{1},&\ldots ,&\iota _{m}\\\iota '_{1},&\ldots ,&\iota '_{m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\iota _{1}^{(m-1)},&\ldots ,&\iota _{m}^{(m-1)}\\\end{matrix}}\right|$
und mithin folgt nach Weghebung des Faktors
* $\left|{\begin{matrix}\omega _{1},&\ldots ,&\omega _{m}\\\omega '_{1},&\ldots ,&\omega '_{m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\omega _{1}^{(m-1)},&\ldots ,&\omega _{m}^{(m-1)}\\\end{matrix}}\right|$
die Beziehung $FF'\,\ldots F^{(m-1)}\simeq n({\mathfrak {a}})$ oder $n(F)=n({\mathfrak {a}})$. Der zweite Teil des Satzes folgt, wenn wir $F=\alpha (u_{1}\omega _{1}+\cdots +u_{m}\omega _{m})$ nehmen.
Wendet man auf die sämtlichen Zahlen $\alpha _{1}$, $\alpha _{2}$, … des Ideals ${\mathfrak {a}}$ die Substitution $t'=(\vartheta :\vartheta ')$ an, so heißt das dann entstehende Ideal ${\mathfrak {a}}'=(t'\alpha _{1},\,t'\alpha _{2},\,\ldots )$ das durch $t'$ aus ${\mathfrak {a}}$ entspringende oder zu ${\mathfrak {a}}$ konjugierte Ideal. Betrachtet man den aus $k$, $k'$, …, $k^{(m-1)}$ zusammengesetzten Körper, so lehren die Sätze 18 und 20, daß das Produkt von ${\mathfrak {a}}$ und allen zu ${\mathfrak {a}}$ konjugierten Idealen eine ganze rationale Zahl, nämlich $n({\mathfrak {a}})$ ist. Aus diesem Umstande entspringt eine neue Definition der Norm des Ideals ${\mathfrak {a}}$, welche der Definition der Norm einer Zahl $\alpha$ genau entspricht und überdies einer wichtigen Verallgemeinerung fähig ist. Vgl. § 14.
Satz 21. In einem jeden Ideal ${\mathfrak {j}}$ lassen sich stets zwei Zahlen finden, deren Normen die Norm des Ideals ${\mathfrak {j}}$ zum größten gemeinsamen Teiler haben.
Beweis. Man setze $a=n({\mathfrak {j}})$ und bestimme nach Satz 12 eine Zahl $\alpha$ in ${\mathfrak {j}}$ derart, daß $\textstyle {\frac {\alpha }{\mathfrak {j}}}$ prim zu $a$ ausfällt. Dann wird, wenn $\alpha '$, …, $\alpha ^{(m-1)}$ die zu $\alpha$ konjugierten Zahlen und ${\mathfrak {j}}'$, …, ${\mathfrak {j}}^{(m-1)}$ die zu ${\mathfrak {j}}$ konjugierten Ideale bedeuten, auch $\textstyle {\frac {\alpha '}{{\mathfrak {j}}'}}$, …, $\textstyle {\frac {\alpha ^{(m-1)}}{{\mathfrak {j}}^{(m-1)}}}$, und folglich $\textstyle {\frac {n(\alpha )}{n({\mathfrak {j}})}}={\frac {n(\alpha )}{a}}$ prim zu $a$, d. h. es ist $n({\mathfrak {j}})=a=\left(a^{m},\,n(\alpha )\right)=\left(n(a),\,n(\alpha )\right)$.
$\varphi ({\mathfrak {a}})$
Auf Grund der nämlichen Schlüsse wie in der Theorie der rationalen Zahlen ergibt sich die folgende, dem Fermatschen Lehrsatz entsprechende Tatsache: [Dedekind (1)].
Satz 22. Ist ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal vom Grade $f$, so genügt jede ganze Zahl $\omega$ des Körpers $k$ der Kongruenz
* $\omega ^{p^{f}}\equiv \omega ,\qquad ({\mathfrak {p}})$.
Auch der verallgemeinerte Fermatsche Lehrsatz ist leicht auf die Körpertheorie übertragbar. Man beweist ferner ohne Mühe die folgenden Sätze: [Dedekind (1)].
Satz 23. Die Anzahl aller derjenigen nach einem Ideale ${\mathfrak {a}}$ einander inkongruenten Zahlen, welche prim zu ${\mathfrak {a}}$ sind, ist
* $\varphi ({\mathfrak {a}})=n({\mathfrak {a}})\left(1-{\frac {1}{n({\mathfrak {p}}_{1})}}\right)\left(1-{\frac {1}{n({\mathfrak {p}}_{2})}}\right)\ldots \left(1-{\frac {1}{n({\mathfrak {p}}_{r})}}\right)$,
wo ${\mathfrak {p}}_{1}$, ${\mathfrak {p}}_{2}$, …, ${\mathfrak {p}}_{r}$ die sämtlichen in ${\mathfrak {a}}$ aufgehenden und voneinander verschiedenen Primideale bedeuten. Für die Zahl $\varphi$ gelten die beiden Formeln
* $\varphi ({\mathfrak {a}})\varphi ({\mathfrak {b}})=\varphi ({\mathfrak {ab}})$   und   $\sum \varphi ({\mathfrak {t}})=n({\mathfrak {a}})$,
wo in der ersteren Formel ${\mathfrak {a}}$ und ${\mathfrak {b}}$ prim zueinander sind und in der letzteren sich die Summation über alle Idealteiler ${\mathfrak {t}}$ des Ideals ${\mathfrak {a}}$ erstreckt.
Satz 24. Jede zu dem Ideal ${\mathfrak {a}}$ prime ganze Zahl $\omega$ genügt der Kongruenz
* $\omega ^{\varphi ({\mathfrak {a}})}\equiv 1,\quad ({\mathfrak {a}})$.
So genügt beispielsweise jede durch ein Primideal ${\mathfrak {p}}$ vom Grade $f$ nicht teilbare ganze Zahl $\omega$ des Körpers $k$ der Kongruenz
* $\omega ^{p^{f}(p^{f}-1)}\equiv 1,\quad ({\mathfrak {p}}^{2})$.
Es gelten ferner die Tatsachen:
Satz 25. Wenn ${\mathfrak {a}}_{1}$, …, ${\mathfrak {a}}_{r}$ Ideale bedeuten, von denen stets je zwei zueinander prim sind, und wenn $\alpha _{1}$, …, $\alpha _{r}$ beliebige ganze Zahlen sind, so gibt es eine ganze Zahl $\omega$, die den Kongruenzen
* $\omega \equiv \alpha _{1}$,   $({\mathfrak {a}}_{1})$, …, $\omega \equiv \alpha _{r}$,   $({\mathfrak {a}}_{r})$
genügt.
Satz 26. Eine Kongruenz $r$-ten Grades nach dem Primideal ${\mathfrak {p}}$ von der Gestalt
* $\alpha x^{r}+\alpha _{1}x^{r-1}+\cdots +\alpha _{r}\equiv 0$,     $({\mathfrak {p}})$
wo $\alpha$, $\alpha _{1}$, …, $\alpha _{r}$ ganze Zahlen in $k$ sind und $\alpha \equiv \!\!\!\!\!|\,\,\,0$ nach ${\mathfrak {p}}$ ist, besitzt höchstens $r$ nach ${\mathfrak {p}}$ einander inkongruente Wurzeln.
Satz 27. Bedeutet ${\mathfrak {p}}$ ein in der rationalen Primzahl $p$ aufgehendes Primideal, und ist $\alpha$ eine Wurzel der Kongruenz
* $ax^{r}+a_{1}x^{r-1}+\cdots +a_{r}\equiv 0$,     $({\mathfrak {p}})$,
wo $a$, $a_{1}$, …, $a_{r}$ ganze rationale Zahlen bedeuten, so ist auch $\alpha ^{p}$ eine Wurzel dieser Kongruenz.
Beweis: Bezeichnen wir die linke Seite der obigen Kongruenz mit $F(x)$, so gilt nach dem Fermatschen Satze identisch in $x$ die Kongruenz $F(x^{p})\equiv (F(x))^{p}$ nach $p$, und diese Tatsache bedingt die Richtigkeit der Behauptung.
Eine ganze Zahl $\varrho$ des Körpers $k$ heißt eine Primitivzahl nach dem Primideal ${\mathfrak {p}}$, wenn die $p^{f}-1$ ersten Potenzen derselben sämtliche $p^{f}-1$ einander inkongruenten, zu ${\mathfrak {p}}$ primen Zahlen nach ${\mathfrak {p}}$ darstellen. Es wird wiederum durch die entsprechenden Schlüsse wie in der Theorie der rationalen Zahlen leicht der Nachweis für folgende Tatsache geführt:
Satz 28. Es gibt $\Phi (p^{f}-1)$ Primitivzahlen für das Primideal ${\mathfrak {p}}$, wo $\Phi (p^{f}-1)$ die Anzahl der einander inkongruenten, zu $p^{f}-1$ primen rationalen Reste nach $p^{f}-1$ bezeichnet.
Eine Theorie der Primitivzahlen für die Potenzen eines Primideals ${\mathfrak {p}}$ ist bisher noch nicht entwickelt worden; dagegen erkennt man ohne Mühe die folgenden Tatsachen: [Dedekind (6)].
Satz 29. Ist ${\mathfrak {p}}$ ein beliebig vorgelegtes Primideal des Körpers $k$, so kann man stets in $k$ eine Zahl $\varrho$ finden von der Art, daß jede andere ganze Zahl des Körpers einer gewissen ganzen Funktion von $\varrho$ mit ganzen rationalen Koeffizienten kongruent ist nach einer beliebig hohen Potenz ${\mathfrak {p}}^{l}$ des Primideals ${\mathfrak {p}}$.
Beweis. Ist $\varrho ^{*}$ eine beliebige Primitivzahl für ${\mathfrak {p}}$, so sind offenbar alle ganzen Zahlen in $k$ kongruent gewissen ganzzahligen Funktionen von $\varrho ^{*}$ nach ${\mathfrak {p}}$. Es sei
* $P(\varrho ^{*})\equiv 0$,     $({\mathfrak {p}})$
die Kongruenz niedrigsten Grades nach ${\mathfrak {p}}$ mit ganzen rationalen Koeffizienten, welcher $\varrho ^{*}$ genügt. Ist der Grad der Funktion $P$ gleich $f'$, so kann kein Ausdruck von der Gestalt $a_{1}+a_{2}\varrho ^{*}+\cdots +a_{f'}\varrho ^{*f'-1}$ mit ganzzahligen Koeffizienten $a_{1}$, $a_{2}$, …, $a_{f'}$ nach ${\mathfrak {p}}$ kongruent $0$ sein; es sei denn, daß sämtliche Koeffizienten $a_{1}$, $a_{2}$, …, $a_{f'}$ kongruent $0$ nach $p$ sind. Da andererseits jede ganze Zahl des Körpers einem Ausdruck von der obigen Gestalt kongruent sein muß, so folgt $f'=f$.
In dem Fall, daß $P(\varrho ^{\ast })\equiv 0$ nach ${\mathfrak {p}}^{2}$ ist, setze man $\varrho =\varrho ^{\ast }+\pi$, wo $\pi$ eine durch ${\mathfrak {p}}$, aber nicht durch ${\mathfrak {p}}^{2}$ teilbare Zahl ist. Es ist dann, da nach Satz 27 ${\frac {dP\left(\varrho ^{\ast }\right)}{d\varrho ^{\ast }}}\equiv \left(\varrho ^{\ast }-\varrho ^{\ast p}\right)\cdots \left(\varrho ^{\ast }-\varrho ^{\ast p^{f-1}}\right)\not \equiv 0$ nach ${\mathfrak {p}}$ ist, notwendig
* $P(\varrho )=P\left(\varrho ^{\ast }+\pi \right)\equiv P\left(\varrho ^{\ast }\right)+\pi {\frac {dP\left(\varrho ^{\ast }\right)}{d\varrho ^{\ast }}}\not \equiv 0,\quad \left({\mathfrak {p}}^{2}\right)$.
Die Zahl $\varrho$ ist eine Zahl von der verlangten Beschaffenheit. Durchlaufen nämlich $\alpha _{1}$, $\alpha _{2}$, …‚ $\alpha _{l}$ alle Ausdrücke von der Gestalt $a_{1}+a_{2}\varrho +\cdots +a_{f}\varrho ^{f-1}$‚ wo $a_{1}$, $a_{2}$, …, $a_{f}$ Zahlen aus der Reihe $0$, $1$, …, $p-1$ bedeuten, so stellt, wie leicht ersichtlich, die Summe
* $\alpha _{1}+\alpha _{2}P(\varrho )+\cdots +\alpha _{l}\left\lbrace P(\varrho )\right\rbrace ^{l-1}$
lauter nach ${\mathfrak {p}}^{l}$ einander inkongruente ganze Zahlen dar, und da hier $p^{fl}$ Zahlen vorliegen, so sind damit sämtliche nach ${\mathfrak {p}}^{l}$ inkongruenten Reste erschöpft. Offenbar kommt die gleiche Eigenschaft auch jeder Zahl zu, welche der Zahl $\varrho$ nach ${\mathfrak {p}}^{2}$ kongruent ist.
Den letzteren Umstand benutzen wir zu der folgenden Darstellung des Ideals ${\mathfrak {p}}$:
Satz 30. Wenn ein Primideal ${\mathfrak {p}}$ vom $f$-ten Grade vorgelegt ist, so gibt es im Körper $k$ stets eine ganze Zahl $\varrho$ von der im Satze 29 verlangten Eigenschaft und überdies von der Art, daß man
* ${\mathfrak {p}}=\left(p,P(\varrho )\right)$
hat, wo $P(\varrho )$ eine ganze Funktion $f$-ten Grades von $\varrho$ mit ganzen rationalen Koeffizienten ist.
Beweis: Es sei $p={\mathfrak {p}}^{e}{\mathfrak {a}}$, wo das Ideal ${\mathfrak {a}}$ nicht durch ${\mathfrak {p}}$ teilbar ist. Ferner sei $\alpha$ eine nicht durch ${\mathfrak {p}}$, wohl aber durch ${\mathfrak {a}}$ teilbare ganze Zahl. Nach Satz 24 ist $\alpha ^{p^{f}\left(p^{f}-1\right)}\equiv 1$ nach ${\mathfrak {p}}^{2}$. Ersetzen wir nun die im vorigen Beweise gefundene Zahl $\varrho$ durch $\varrho \alpha ^{p^{f}\left(p^{f}-1\right)}$‚ so behält diese neue Zahl $\varrho$ die frühere Eigenschaft; da ferner der letzte Koeffizient der Funktion $P(\varrho )$ nicht durch $p$ teilbar sein kann, so ist für die neue Zahl $\varrho$ notwendig $P(\varrho )$ prim zu ${\mathfrak {a}}$, d. h. ${\mathfrak {p}}=(p,P(\varrho ))$.
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* ↑ Siehe Seite 93 Zeile 3 von unten ff.
* ↑ [356] Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 2. bis 4. Aufl. Braunschweig 1871–1894.
* ↑ [356] Über die Diskriminanten endlicher Körper. Abh. K. Ges. Wiss. Göttingen 1882.

## Anmerkungen (Wikisource)

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