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# Sponsel Grünes Gewölbe Band 3/Tafel 29

[224] 1. Oben links: Runde glatte Schale in Tassenform aus Chalzedon auf durchbrochenem goldenen, in hellen Farben emaillierten niederen Fuß in Flechtmusterung und mit zwei in Ranken bis zum Rand emporgeführten ebenso emaillierten Henkeln, die oben mit je einer nach innen gerichteten Faunsmaske besetzt sind. (H. 8,3 – V. 114.)
2. Oben Mitte: Zackige Muschel aus Bergkristall geschnitten, getragen von einem Kristalldelphin, der aus dem ovalen, mit von unten eingeschnittenen Meereswellen gebildeten Sockel den Leib und Schwanz emporreckt. Ein goldener emaillierter Reifen verdeckt die Verbindung beider Stücke. Italienisch. Ende 16. Jhdts. (H. 13 – V. 310.)
3. Oben rechts: Tasse aus hellgesprenkelten Lapislazuli mit Kannellierung auf hohem runden silbervergoldeten Fuß, der mit goldenen, weiß und rosa emaillierten Akanthusblättern zwischen grün emaillierten Blättern überdeckt ist. Ein Wulstring darüber ist mit ebensolchen Rosetten bedeckt. Zwei nach innen und außen eingerollte goldene Henkel sind mit hell emaillierten Akanthusranken belegt. Sie verbinden die Fassung des Fußes mit dem Tassenrand. Italienisch. Ende 16. Jhdts. (H. 9, D. 8,5 – V. 60.)
[224] 4. Unten links: Schale aus Elensklaue, auf hohem, silbervergoldeten, mit emaillierten Ranken und Diamanten besetzten Schaft, der reich reliefiert aus schmalem Fuß nach oben sich vierkantig, von einem Zwischenglied unterbrochen, verbreitert. An der Schale, in Relief geschnitten, zwei gelagerte Jäger mit ihrem Hund, der eine als antiker, der andere als zeitgenössischer Jäger gebildet. Die Klaue hat eine untere durchbrochene Zone, in der sich goldene Schlangen winden. Deutsch, wohl Christoph Maucher, geb. 1642 in Schw.-Gmünd, um 1700 in Danzig. (H. 17,5 – VI. 30.)
5. Unten Mitte: Vierfach ausgebauchte Schale mit Deckel und Fuß aus grünem, weiß gesprenkelten orientalischen Jaspis, von zwei umeinander gewundenen Baumstämmen aus Bergkristall getragen, in goldener, mit emaillierten Blattreihen und mit Türkisen besetzter Fassung. Auf dem Deckel in goldener emaillierter Blume eine Kamee aus orientalischem Onyx mit sitzender Frau. Der gewölbte Fuß ist gleichfalls vierfach ausgebaucht, doch ist nur die Schale durch Schienen in Flechtmusterung mit der Fassung des Randes und des Schaftes verbunden. Italienisch. Anfang 17. Jhdts. (H. 17 – V. 36.)
6. Unten rechts: Ovale Schale aus rotem ägyptischen Jaspis auf einem Baumstamm aus Gold mit emailliertem Blattwerk, solches auch über dem gewölbten Jaspissockel, der am Fußrand mit Halbedelsteinen und Korallen in Kastenfassungen besetzt ist. Auf dem Rand über einer Schiene ein goldener emaillierter Pelikan mit Jungen im Nest. Italienisch. Anfang 17. Jhdts. (H. 17,5 – V. 33.)
# Sponsel Grünes Gewölbe Band 3/Tafel 30

[226] Links: Kleine Standuhr auf hohem Fuß, in Form einer Sonnenmonstranz. Fuß, Knauf und Knopf aus schwarzem, orientalischen Achat. Die mattgoldene Einfassung der Zifferblattes, der Rand des Fußes, ebenso auch die Steinteile sind reich mit emaillierten goldenen Ranken, Farbsteinen und Diamanten, sowie mit Kameen besetzt. Größere Smaragde vorn unter und über dem Knauf und unter dem krönenden Achatknopf, der als Spitze einen größeren Rubin hat. Die Rückseite hat graviertes und gepunztes Laub- und Bandornament. In der Uhr die Adresse des Uhrmachers Jehan Drouynot, Poictiers. Die Uhr ist aus einer Taschenuhr in eine Pendeluhr verwandelt. Von Hofjuwelier J. H. Köhler 1725 für 300 Taler geliefert, der auch an anderen Arbeiten öfter Kameen mit Kinderköpfchen und ähnlichen Ranken zur Inkrustation von Steinen verwendet. (H. 23 – VI. 25.) – Der weiße Fleck auf dem Zifferblatt der Abbildung ist im Original nicht vorhanden.
Rechts: Ovale Schale auf hohem Fuß mit flachem Deckel aus teils durchsichtigem sächsischen Amethyst in silbervergoldeter Fassung. Der Deckelrand ist in Reihen mit Amethysten in Kastenfassungen und mit emaillierten Ranken und Blumen besetzt. Ebenso sitzen Amethyste auf der breiteren in Relief emaillierten Blumeneinfassung des Mundrandes. Auf dem Deckel ein geharnischter emaillierter goldener Ritter mit Fahne auf weiß emailliertem Pferd, beide mit Brillanten ausgefaßt und der Schild mit einem Rubin besetzt. Der kugelige silbervergoldete Knauf hat senkrechte gewölbte Rippen und in den Rillen dazwischen reliefierte und emaillierte Ranken, besetzt mit je zwei Amethysten. Die gleiche Form und Ausstattung hat auch der ovale geschweift ansteigende Sockel. Der Ritter ist früher entstanden als die Fassung der Schale, die wohl erst in die Mitte des 17. Jhdts. anzusetzen ist. Deutsch. (H. 20 – VI. 20.)
# Sponsel Grünes Gewölbe Band 3/Tafel 28

[222] 1. Oben links: Kleine ovale Schale aus grünem Jaspis in emaillierter, mit Farbsteinen besetzter Goldfassung, von einem emaillierten Delphin auf rundem emaillierten und mit Steinen besetzten Sockel getragen. Auf dem Rand der Schale ein Neptun aus emailliertem Gold, der den Dreizack nach einem emaillierten Fisch in der Schale stößt. – Unter dem Sockel eingraviert C 5 unter einer Krone. Italienisch. Anfang 17. Jhdts. (H. 14 – VI. 36.)
2. Oben Mitte: Bauchiger Krug aus edlem Serpentin mit silbervergoldetem Deckel und Fuß, auf beiden vier silberne aufgelegte Platten: oben mit ausgestochenen und emaillierten Blumen und Vögeln, unten ebenso mit grotesken Tieren und Ornamenten mit Blumenranken verziert. Der Krug wird von vier an den breiten eingeschweiften Fuß angeschraubten Delphinen gehalten. Der Krug hat eine wagrecht abstehende flache Angriffsplatte und könnte darum älterer Herkunft sein. Unter dem Sockel die Beschaumarke von Augsburg und die Meistermarke R 283 = Philipp Pehner, 1573–1634. (H. 15 – V. 385.)
3. Oben rechts: Runde Schale in Form eines Kugelabschnitts mit bauchigem Schaft und flach gewölbtem Sockel aus Heliotrop in Goldfassung, die am Mundrand mit Rubinen besetzt ist. Italienisch. Ende 16. Jhdts. (H. 12,5 – V. 17.)
[222] 4. Unten links: Schale mit Schaft. Fuß und Deckel aus hellbraun und rötlich marmoriertem Jaspisachat mit goldenen emaillierten Randfassungen. Die muschelartig gerippte eiförmige Schale hat am Wirbel einen in Relief geschnittenen Tierkopf und auf der Mitte des Deckels eine auf die Spitze gestellte Muschel. Die Randfassung des Fußes ist durch Ranken mit einem weiteren Reifen verbunden und hat drei größere darüber hinausragende Ranken als Stützen. Italienisch. Anfang 17. Jhdts. (H. 18,5 – V. 452.)
5. Unten Mitte: Ovale Schale auf Schaft und Fuß von rotem Jaspisachat mit flachem Deckel, die Ränder in emaillierter Goldfassung, über dem vasenförmigen Knauf zwei emaillierte Delphine als Bügel, auf dem Knopf des Deckels eine goldene emaillierte Friedensgöttin. Italienisch. Anfang 17. Jhdts. (H. 23 – V. 6.)
6. Unten rechts: Ovale Schale aus Chalzedon auf goldenem Schaft und Fuß über drei emaillierten drachenköpfigen Bügeln ruhend. Am glatten Vasenkörper des Schaftes aufgesetzte emaillierte Sirenen, auf dem Sockel Farbsteine in Emailranken. Vase und Sockel haben ausgestochene und emaillierte Ranken, groteske Figuren und Vögel. Italienisch. Anfang 17. Jhdts. (H. 13,5 – V. 44.)
# Sponsel Grünes Gewölbe Band 3/Tafel 31

[228] Ovale, achtfach bauchig geschliffene Schale mit hohem vasenförmigem Schaft auf ovalem flachem Sockel aus edlem Serpentin, der stellenweise durchscheinend ist. Die silbervergoldete Fassung folgt den Rippen der Schale und hat oben auf dem Rand einen Aufsatz aus Blättern, von denen das größte an der einen Schmalseite baldachinartig nach innen sich umbiegt, bedeckt von einer Krone, die mit Brillanttafelsteinen besetzt ist. Auf der Haube der Krone ist das Monogramm MS unter einer Krone und die Jahreszahl 1651 in schwarzem Email eingraviert. Das Baldachinblatt ist seitlich mit zwei blau und grün emaillierten Drachen und zwei weißen Schwänen, alle vier Wappentiere sind mit Brillantdicksteinen besetzt. Auf den Blättern des Randes nach innen sitzt in der Mitte ein goldener und blauemaillierter Löwe mit Brillanthalsring und Krone unter einem Bogen von Rubinen. Zu jeder Seite schreiten vier solche blau emaillierte Löwen mit goldener Mähne und als letzter ein goldener, gekrönter Löwe, dieser mit Streitaxt an gekrümmtem Stiel, alle am Körper mit Brillanten besetzt und mit Brillanthalsringen. Ebenso wie der thronende blaue Löwe trägt auch in jeder Reihe der zweite Löwe eine mit Brillanten besetzte Krone. Alle Tiere sind dem dänischen Wappen der Prinzessin entnommen, auf die das Monogramm hinweist: Magdalene Sibylle, Tochter des Kurfürsten Johann Georg I., seit 1647 Witwe des Erbprinzen Christian von Dänemark. Alle elf Löwen gehören zu dem Wappen von Dänemark, Norwegen und Schweden. Die nur in Gold ausgeführten Löwen mit Streitaxt an gekrümmtem Stiel (Olafspeer) gehören zu dem Wappen von Norwegen. In dem dänischen Wappen steht der Schwan für das Land Stormarn, der Drache oder Lindwurm für das Königreich der Wenden. Keines der Wappentiere hat Bezug zu der Herkunft der Prinzessin aus Sachsen. Sie kam aber dann nach Deutschland zurück und hat sich 1652 wieder vermählt mit Herzog Wilhelm II. von Sachsen-Altenburg. Das Stück kam aus dem Nachlaß des Herzogs Johann Adolf von S.-Weißenfels 1746 in das Grüne Gewölbe. (H. 23 – V. 381.)
# Sponsel Grünes Gewölbe Band 3/Tafel 36

[238] Oben: Seepferd mit Einhorn, auf dem Rücken ein Faunsputto, vor dem Kopf ein männlicher Faun. Hals und Brust des Pferdes, sowie die Körper der Faune aus Perlen. Köpfe und Gliedmaßen, sowie bei dem älteren Faun auch der Oberkörper sind fleischfarbig emailliert. Bei dem Seepferd ebenso der Kopf, Schwanz und Beine, sowie die Flossen. Die Gruppe steht auf ovalem Sockel, dessen Oberfläche als bewegte Wellen gebildet und emailliert ist. Die silbervergoldete schräge Wand des Sockels ruht auf vier, mit emaillierten Masken gezierten Voluten. Sie hat einen Behang aus rubinrotem durchsichtigen Email, der mit Rubinen und Diamanten besetzt ist, auf schraffiertem Grund. In der Rechten des Putto ein emailliertes Füllhorn, in der des älteren Fauns war früher eine Angel mit Fisch. Von Ferbecq in Frankfurt a. M. (H. 10 – VI. 117.)
Unten: Die Kundschafter Josua und Kaleb mit der großen kanaanitischen Weintraube aus Smaragd, die Figürchen aus emailliertem Gold auf geschweiftem Sockel. Dieser ist an drei Seiten mit geätztem Laub- und Bandwerk und vorn mit einer emaillierten abhebbaren Platte, darauf in Emailmalerei ein Triumph der Diana, geschmückt und an der Vorderseite oben am Rand der Deckplatte, sowie unten auf der schräg abfallenden Fußplatte mit Smaragden, Rubinen und Diamanten besetzt. Die beiden Kundschafter tragen auf den Schultern gemeinsam eine Stange, daran hängen eine hellere größere und zwei dunklere kleinere, anscheinend in den Naturformen traubenähnlich gewachsene Smaragde, einen noch kleineren solchen Smaragd hat der vordere Mann über die rechte Schulter gehängt. Von Ferbecq in Frankfurt a. M. (H. 13 – VI. 23.)
# Sponsel Grünes Gewölbe Band 3/Tafel 38

[242] 1. Obere Reihe, links: Teile einer ungarischen Gürtelkette aus 21 länglich rechteckigen, silbervergoldeten Gliedern, 20 mit Perlen besetzten Zwischengliedern und einem Schlußglied. Die rechteckigen Glieder bilden die Rahmen von Glasplatten, diese Platten sind ausgefüllt mit Tierfabeln in Landschaften in verschiedenfarbigem, meist durchsichtigen Email auf Goldfolien. Diese Goldfolien bilden ein zusammenhängendes Netz in einem Rahmen und sind mit der Glasplatte durch Schmelzen verbunden. – Ähnliche Ketten nur noch im Victoria and Albert Museum und in der Wallace Collection in London. Vgl. M. Rosenberg in Studien in der Sammlung Figdor, Wien 1911, S. A. S. 30ff. – 17. Jhdt. (VI. 81x.) Zu V. 594e. Gleiche Glieder an dem Spielmarkenkästchen.
2. Obere Reihe rechts: Rechteckiges silbervergoldetes flaches Spielmarkenkästchen mit Inhalt. Auf dem mit Reliefornamenten ziselierten Deckel emaillierte Ranken und Schmetterlinge, Chalzedone in Zargenfassungen und in der Mitte eine edelsteinbesetzte silberne Maske. An den Seitenwänden sind in Zargen mit Tierfabeln ausgestattete längliche Glasplatten aufgesetzt, ganz gleichartig wie sie in den Gliedern der Hüftkette nebenan sitzen. (V. 594e.)
3. Mittlere Reihe, links: Goldene Kapsel in Buchform, in Emailmalerei auf ausgestochenem schraffierten Grund mit Blumen bedeckt. Auf jeder Seite in der Mitte ein ovales Feld mit Vase und Blumenstrauß auf weißem Grund wieder in Emailmalerei. – Die Anordnung und die Technik stimmt völlig überein mit der Ausführung des goldenen Spiegels III. 51, der angeblich von Pierre Chartier von Blois, geb. 1618, herrührt. (10:6 – VI. 810.)
3. Mittlere Reihe, rechts: Ein auf Pergament geschriebener Kalender des Kurfürsten Johann Georg II. in goldenen Buchdeckeln, auf jeder Seite drei mit Brillanttafelsteinen umrahmte und mit Emailmalerei erfüllte Felder, ein größeres mit weißem Emailgrund zwischen zwei schmalen mit schwarzem Grund, darauf vorn im Mittelfeld in Emailmalerei das große kursächsische Wappen und darüber und darunter im schwarzen Emailgrund die goldenen Initialen des Kurfürsten Johann Georg II., sowie die Jahreszahl 1657, auf der Rückseite ein Emblemebild mit Pyramide in Emailmalerei im Mittelfeld und der Name Jehovas und der Wahlspruch des Kurfürsten „Sursum deorsum“ in den Nebenfeldern ebenso in Gold aus schwarzem Grund. Auf dem Rücken zwischen Brillantreihen in Emailmalerei die vier Jahreszeiten. (7,5:5,3:1,5 – VI. 81w.)
5. Untere Reihe, links: Notizbuch mit goldenen Deckeln, darauf in Emailmalerei zwei Szenen aus dem Leben der Diana unter schmalem Rahmen von emaillierten Blumen in Relief. Der Rücken hat ebensolche Reliefblumen auf Goldgrund. Auf einem Blatt von Damenhand des 18. Jhdts.: Si j’étais Roy, je ne voudrais avoir un Grüne Gewölbe, que quand il n’y auroit plus un pauvre dans mon Royaume. (VI. 81g.)
6. Untere Reihe, rechts: Dosendeckel mit Emailmalerei auf weißem Grund mit einer Flußlandschaft und mit den Überseehandel veranschaulichenden Figuren in einem mit Gold aufgemalten Rahmen, der mit Festons, Medaillons und Chinesen umgeben ist. Auf dem Landschaftsbild die Inschrift Herold fecit. (V. 627.)
# Sponsel Grünes Gewölbe Band 3/Tafel 41

[248] Gruppe aus dem Tafelaufsatz auf Tafel 40.
Es ist die Gruppe, die von links herankommt, nach Dinglingers Beschreibung darin der Vornehmste der Fürsten. Er sitzt auf einem Tragsessel, dessen durchsichtig rot emaillierter Überhang als roter Samt mit Goldstickerei erscheint. Das Sesselgestell ist seitlich mit Diamanten ausgefaßt, ebenso die seitlichen Gehänge unter der goldenen Fußplatte des Sessels, in deren Mitte noch ein mit größerem Demant geschmücktes Zierschild. Der Fürst hat langes helles, blau und gelb gemustertes Gewand und goldenen diamantenbesetzten hohen Turban. In der Linken hält er einen roten Fächer. Vier Träger halten an langen goldenen Stangen das Gestell, alle vier aus der gleichen Form gegossen und gleichmäßig emailliert, in hellem gemusterten Turban mit goldener Haube, goldnen Schuhen und gelb emaillierten Strümpfen. Ihre langen Mäntel haben goldne Leibgürtel und Brustsäume, sie sind auf hellem Grund vorwiegend rot und blau gemustert, mit gelben und grünen Zwischenfarben.
Die gleichen auf dem hellen Email bemalten Mäntel haben auch die übrigen Begleiter, doch sind deren Turbane anders gewunden. Deren weiß und goldenes Tuch wird von einem rot und goldnen Band quer zusammengehalten. Zwei von diesen, aus der gleichen Form gegossen, tragen an langen Goldstangen quer über dem Sessel einen durchsichtig rot emaillierten, in zwei Zonen gewölbten ovalen Baldachin, mit im Relief vorstehendem Ornament und oberen Goldrand, während der untere breitere Goldrand noch mit einem Reifen von Diamanten umsäumt ist. Die beiden Stangen werden von silbernen brünierten drachenköpfigen Schlangen auf dem Baldachin im Rachen festgehalten. Der Baldachin ist ringsum am Rand der eingeschweiften äußeren Zone mit silbernen, aus goldnen Blattkelchen steigenden Spitzen garniert, ebenso die Mitte der flachgewölbten inneren Zone. Unter dem Diamantreifen hängt die rot emaillierte Bespannung des Baldachins mit goldnem Saum in Falten herab. Aus derselben Form gegossen wie die Träger dieses Baldachins ist der Führer der Gruppe, der mit beiden Fäusten eine Standarte hält. Diese hat, goldumrahmt und mit Demanten besetzt ein durchsichtig rot emailliertes Feld, darauf in Relief ein goldner Drache, darüber ein weißes Schriftband mit roter Inschrift. Gleichfalls mit roten Schriftzeichen ist die weiß emaillierte Rückseite bedeckt, die den Titel des Fürsten bezeichnen. Diesem Führer folgen zwei Bediente, die über den rechten Schultern an Stangen zwei herzförmige Fächer tragen, vorn von gleicher Ausstattung wie die Standarte, hinten mit rotem Bandwerk auf weißem Emailfeld. Den Beschluß bilden zwei Bediente, die, wieder aus der gleichen Form gegossen, über der rechten Schulter eine rot emaillierte Fahne tragen, die Linke in die Hüfte gestützt. Alle haben die gleiche Barttracht mit beiderseits herabhängenden Schnurrbartenden, der Fürst selbst hat diese bis auf das Gewand herabhängen.
# Sponsel Grünes Gewölbe Band 3/Tafel 37

[240] Links: Der tanzende bucklige Zwerg mit Flasche und Becher. Der Leib die größte verwendete Barockperle, darauf eine Reihe von Diamanten als Knöpfe. Der Kopf und die Gewandteile emailliert. Der glatte Sockel silbervergoldet. Nach dem Vorbild in der Folge der Gobbi von Callot 1616. Meaume 756. Von Ferbecq in Frankfurt a. M. (H. 8,8 – VI. 97.)
Mitte: Der lustige Koch: ein buckliger Zwerg, der mit dem Bratspieß auf dem Bratrost geigt. Der Rumpf und die Haube des Hutes je eine Perle, als Knöpfe dienen Diamanten. Das Gesicht und die blauen und grünen Gewandteile emailliert. Der geschweifte Sockel in Emailmalerei mit weißen Figuren auf mattrotem Grund und mit zwei Reihen von Diamanten geschmückt. Als Vorbild diente eine Figur aus Callots Gobbi. Meaume 756. Von Ferbecq in Frankfurt a. M. (H. 12,4 – VI. 88.)
Rechts: Der auf der Butte sitzende vergnügte Winzer aus mehreren Barockperlen mit verbindenden emaillierten Goldstreifen. Der Kopf emailliert. Die Trauben aus Amethyst und Karneol. In der erhobenen Rechten ein Winzermesser. Die Gewandteile in durchsichtig grünem Email und Gold. Auf dem Rücken eine Butte aus Gold, zu der ein Hund, mit dem Leib aus einer Perle und sonst emailliert, emporspringt. Die Knöpfe aus Diamanten, am Gürtel vorn ein Rubin. Als Sitz dient eine umgestülpte Butte aus Gold. Von Ferbecq in Frankfurt a. M. (H. 9 – VI. 100.)
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:371

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| (8) | $Z=Z_{0}^{*}+Z_{0}+Z_{1}+Z_{2}+\ldots +Z_{n}+\ldots \,$ $Z_{n}={\frac {(2n+1)}{4\pi }}\int _{0}^{2\pi }d\varphi '\int _{0}^{\pi }P_{n}\cdot Z'\sin \theta 'd\theta '.\,$ |
Andererseits ist
* $Z=-\left({\frac {\partial V}{\partial r}}\right)_{r=a+0},\,$
folglich nach §. 107, Gleichung (6)
| (8) | $Z=-Q_{0}-2Q_{1}-3Q_{2}-\ldots -(n+1)Q_{n}-\ldots$ |
Es muss also in der Entwicklung (8) nothwendig
* $Z_{0}=0\,$
sein, weil $Q_{0}=0\,$ ist, und es bestimmen sich die Coefficienten in den übrigen Functionen $Q\,$ durch die für $n=1,2,3,\ldots \,$zu erfüllende Gleichung
| (10) | $Q_{n}={\frac {-1}{n+1}}Z_{n}.$ |
Dadurch ist auch wieder in der Gleichung (6) des §. 107 alles bekannt.
Wir wollen den Punkt $(a,\,\theta ,\,\varphi )\,$ der Erdoberfläche zum Anfangspunkte eines rechtwinkligen Coordinatensystems $(\xi ,\ \eta ,\ \zeta )\,$ machen. Die Axe der positiven $\xi \,$ soll tangential am Meridian nach Norden, die Axe der positiven $\eta \,$ tangential am Parallelkreis nach Westen und die Axe der positiven $\zeta \,$ vertical nach unten gerichtet sein. Bezeichnen wir mit $\Xi ,\ \mathrm {H} ,\ \mathrm {Z} \,$ die Componenten der auf die positive Einheit des Magnetismus im Punkte $(a,\,\theta ,\,\varphi )\,$ einwirkenden erdmagnetischen Kraft, so hat man
| (1) | $\Xi =-\left({\frac {\partial V}{a\partial \theta }}\right)_{r=a}={\frac {\partial Q_{1}}{\partial \theta }}+{\frac {\partial Q_{2}}{\partial \theta }}+\ldots +{\frac {\partial Q_{n}}{\partial \theta }}+\ldots ,\,$ |
| (2) | $\mathrm {H} =-\left({\frac {\partial V}{a\sin \theta \partial \varphi }}\right)_{r=a}={\frac {\partial Q_{1}}{\sin \theta \partial \varphi }}+\ {\frac {\partial Q_{2}}{\sin \theta \partial \varphi }}+\ \ldots +{\frac {\partial Q_{n}}{\sin \theta \partial \varphi }}+\ldots ,\,$ |
| (3) | $\mathrm {Z} =-\left({\frac {\partial V}{\partial r}}\right)_{r=a+0}=-2Q_{1}-3Q_{2}-\ldots -(n+1)Q_{n}-\ldots .\,$ |
Diese Gleichungen können dazu dienen, für jeden Punkt der Erdoberfläche die Componenten der erdmagnetischen Kraft zu
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:366

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| (6) | $\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{\pi }Q_{n}S_{m}\sin \theta d\theta .$ |
Die Function $Q_{n}\,$ genügt der partiellen Differentialgleichung (2) des §. 108. Wenn man also das Integral (6) mit $n(n+1)\,$ multiplicirt, so kann man $n(n+1)Q_{n}\,$ ersetzen durch
* $-{\frac {1}{\sin \theta ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}Q_{n}}{\partial \varphi ^{2}}}-{\frac {\partial \left(\sin \theta {\frac {\partial Q_{n}}{\partial \theta }}\right)}{\sin \theta \,\partial \theta }}.\,$
Dadurch ergibt sich die Gleichung
| (7) | $n(n+1)\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{\pi }Q_{n}S_{m}\sin \theta d\theta$ $=-\int _{0}^{\pi }{\frac {d\theta }{\sin \theta }}\int _{0}^{2\pi }S_{m}{\frac {\partial ^{2}Q_{n}}{\partial \varphi ^{2}}}d\varphi -\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{\pi }S_{m}{\frac {\partial \left(\sin \theta {\frac {\partial Q_{n}}{\partial \theta }}\right)}{\partial \theta }}d\theta .\,$ |
Nun findet man durch Integration nach Theilen
* ${\begin{aligned}-\int _{0}^{2\pi }S_{m}{\frac {\partial ^{2}Q_{n}}{\partial \varphi ^{2}}}d\varphi &=\left(S_{m}{\frac {\partial Q_{n}}{\partial \varphi }}\right)_{\varphi =0}-\left(S_{m}{\frac {\partial Q_{n}}{\partial \varphi }}\right)_{\varphi =2\pi }\\&+\left(Q_{n}{\frac {\partial S_{m}}{\partial \varphi }}\right)_{\varphi =2\pi }-\left(Q_{n}{\frac {\partial S_{m}}{\partial \varphi }}\right)_{\varphi =0}\,\\&-\int _{0}^{2\pi }Q_{n}{\frac {\partial ^{2}S_{m}}{\partial \varphi ^{2}}}d\varphi .\,\\\end{aligned}}$
Der vom Integralzeichen freie Theil der rechten Seite ist Null. Denn wenn man die Gleichung (10) des §. 108 und die entsprechende Entwicklung für $S_{m}\,$ in Betracht zieht, so erkennt man leicht, dass jede Kugelfunction für $\varphi =0\,$ den nemlichen Werth hat wie für $\varphi =2\pi \,$, und dass dasselbe von den nach$\varphi \,$ genommenen Derivirten jeder Kugelfunction gilt. Wir haben also
| (8) | $-\int _{0}^{\pi }{\frac {d\theta }{\sin \theta }}\int _{0}^{2\pi }S_{m}{\frac {\partial ^{2}Q_{n}}{\partial \varphi ^{2}}}d\varphi =-\int _{0}^{\pi }{\frac {d\theta }{\sin \theta }}\int _{0}^{2\pi }Q_{n}{\frac {\partial ^{2}S_{m}}{\partial \varphi ^{2}}}d\varphi .$ |
Ebenso ergibt sich durch Integration nach Theilen