OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Topographia Bohemiae, Moraviae et Silesiae: Pragatini

Topographia Germaniae :
| Pragatini ||
| <<<Vorheriger Prag | Nächster>>> Pragaticz |
| aus: Matthäus Merian (Herausgeber und Illustrator) und Martin Zeiller (Textautor): Topographia Bohemiae, Moraviae et Silesiae. Merian, Frankfurt am Main 1650, S. 69. ||
| [[| in Wikisource]] | |
| Nach Wikipedia-Artikel suchen ||
| Bearbeitungsstand ||
| fertig ||
| Fertig! Dieser Text wurde zweimal anhand der Quelle Korrektur gelesen. Die Schreibweise folgt dem Originaltext. ||
| Um eine Seite zu bearbeiten, brauchst du nur auf die entsprechende [Seitenzahl] zu klicken. Weitere Informationen findest du unter Hilfe ||
| Link zur Indexseite ||
Nennet Boregk / in seiner Böhmischen Chronik / am 374. Blat / deß Probsts auff dem Wischehrad Städtlein / so vom Zischka geplündert worden; sagt aber nicht / wo es gelegen seye.
# Topographia Bohemiae, Moraviae et Silesiae: Praußnitz

Topographia Germaniae :
| Praußnitz (heute: Prusice) ||
| <<<Vorheriger Polckenhayn | Nächster>>> Prebus |
| aus: Matthäus Merian (Herausgeber und Illustrator) und Martin Zeiller (Textautor): Topographia Bohemiae, Moraviae et Silesiae. Merian, Frankfurt am Main 1650, S. 172. ||
| [[| in Wikisource]] | |
| Prusice in der Wikipedia ||
| Bearbeitungsstand ||
| fertig ||
| Fertig! Dieser Text wurde zweimal anhand der Quelle Korrektur gelesen. Die Schreibweise folgt dem Originaltext. ||
| Um eine Seite zu bearbeiten, brauchst du nur auf die entsprechende [Seitenzahl] zu klicken. Weitere Informationen findest du unter Hilfe ||
| Link zur Indexseite ||
Ein Städtlein fünffthalbe Meilen von Breßlau / zwischen dieser Stadt und Trachenberg / in selbiger freyen Standes Herrschafft Trachenberg / auff Groß-Polen zu / und auff der Strassen von Breßlau nach Dantzig gelegen. Hat vorzeiten zum Groß-Glogauischen Hertzogthum gehört / von welchem dieser Ort. Anno 1329. dem König Johanni in Böheim zu Lehen auffgetragen ward. Ligt 2. Meilen von Trachenberg.
# Topographia Bohemiae, Moraviae et Silesiae: Prostnitz

Topographia Germaniae :
| Prostnitz (heute: Prostějov) ||
| <<<Vorheriger Prerow | Nächster>>> Prostomeritz |
| aus: Matthäus Merian (Herausgeber und Illustrator) und Martin Zeiller (Textautor): Topographia Bohemiae, Moraviae et Silesiae. Merian, Frankfurt am Main 1650, S. 107. ||
| [[| in Wikisource]] | |
| Prostějov in der Wikipedia ||
| Bearbeitungsstand ||
| fertig ||
| Fertig! Dieser Text wurde zweimal anhand der Quelle Korrektur gelesen. Die Schreibweise folgt dem Originaltext. ||
| Um eine Seite zu bearbeiten, brauchst du nur auf die entsprechende [Seitenzahl] zu klicken. Weitere Informationen findest du unter Hilfe ||
| Link zur Indexseite ||
Diese Stadt ligt fast mitten in Mähren / an dem Fluß Rumze / nahend Kostelecz und Blumlau / 2. Meilen von Olmütz / und auch so viel von der Stadt Wiskow / oder Wischa / daherum es etwas bergicht ist. Thomas Jordanus, in Comment. de Aquis medicatis Moraviae, nennts Prostanam, und beschreibet p. 41. seqq. Das Bad am Schloß Slatin / bey 2. Meilen von Prostnitz / in der Herrschafft Blumlau / so seiner Zeit Bernsteinisch gewesen ist / gelegen. Johannes Dubravius, gewester Bischoff zu Olmütz / hat / auff seinen Kosten / allhie erstlich seine Böhmische Histori / so biß auff Käiser Ferdinand den Ersten gehet / drucken lassen. Anno 1642. fiel der Commendant zu Olmütz / Obrist Wancke / dem Käiserlichen Obrist-Leutenant Fernberger allhie in sein Quartir / und plünderte es. Hernach Anno 1643. im Heumonat / führeten die Schwedisch Torstensohnischen erstlich allen Proviant / und andern Vorrath da hinweg; hernach verbranten sie das Schloß / zersprengeten alle drey Thürne mit Pulver / und musten ihnen die Burger 1500. Reichsthaler erlegen / nachdem sie zuvor diesen Ort; Item / Littau und Blumlau / und dann auch Kremstein mit Sturm erobert / und meistens abgebrant hatten.
# Topographia Bohemiae, Moraviae et Silesiae: Przibram

Topographia Germaniae :
| Przibram (heute: Příbram) ||
| <<<Vorheriger Przicze | Nächster>>> Räbitz |
| aus: Matthäus Merian (Herausgeber und Illustrator) und Martin Zeiller (Textautor): Topographia Bohemiae, Moraviae et Silesiae. Merian, Frankfurt am Main 1650, S. 70. ||
| [[| in Wikisource]] | |
| Příbram in der Wikipedia ||
| Bearbeitungsstand ||
| fertig ||
| Fertig! Dieser Text wurde zweimal anhand der Quelle Korrektur gelesen. Die Schreibweise folgt dem Originaltext. ||
| Um eine Seite zu bearbeiten, brauchst du nur auf die entsprechende [Seitenzahl] zu klicken. Weitere Informationen findest du unter Hilfe ||
| Link zur Indexseite ||
Offtgedachter Boregk schreibet am 328. Blat / daß deß Ertzbischoffs zu Prag Städte seyen / Broda / Przibram und Libau / in welchen der Erste Ertz-Bischoff Ernestus Siechhäuser erbauet habe. Er stifftete auch 4. Clöster / und setzte geregelte Chor-Herren hinein / das eine zu Sacka / das andere zu Rockizan / das dritte zu Jaromirs / und das vierte zu Glatz. In dem Prachenser Cräiß ligt Schwibran / allda Bergwerck ist. Ob nun dieses Przibram etwan bedeutes Schwibran seyn solle / oder / wo es eigentlich gelegen / das ist uns unbewust.
# Topographia Bohemiae, Moraviae et Silesiae: Pragaticz

Topographia Germaniae :
| Pragaticz (heute: Prachatice) ||
| <<<Vorheriger Pragatini | Nächster>>> Przelautzi |
| aus: Matthäus Merian (Herausgeber und Illustrator) und Martin Zeiller (Textautor): Topographia Bohemiae, Moraviae et Silesiae. Merian, Frankfurt am Main 1650, S. 69. ||
| [[| in Wikisource]] | |
| Prachatice in der Wikipedia ||
| Bearbeitungsstand ||
| fertig ||
| Fertig! Dieser Text wurde zweimal anhand der Quelle Korrektur gelesen. Die Schreibweise folgt dem Originaltext. ||
| Um eine Seite zu bearbeiten, brauchst du nur auf die entsprechende [Seitenzahl] zu klicken. Weitere Informationen findest du unter Hilfe ||
| Link zur Indexseite ||
Eine Stadt / nahend Hussinetz (deß Johann Hussen Vatterland / in welchem Dorff er sich auch ein Zeitlang / bey seinem Erb-Herrn Nicolao, von und auff Hussinecz / als er von Prag gewichen / auffhielte / viel Bücher da schriebe / und vom Pabst zu dem Richter-Stul Christi appellirte) und Netoticz / nicht fern vom Wasser Blanitz / und dem gülden Steig / der in das Bisthum Passau führet / gelegen. Anno 1420. den 5. Herbstmonats / eroberte der Hussiten General / Johann von Troßnowa / oder Trocznowa / einer vom Adel (so ins gemein / weil er um ein Aug kommen / Zischka genant worden) diese Stadt Prachadicz mit Sturm. Martinus Boregk / so in seiner Böhmischen Chronik / wie auch anderswo erinnert worden / keine richtige Ordnung / den Zeiten nach / hält / schreibet am 424. Blat also: Die Stadt Prachaticze nahm Zischka wieder (müste also das ander mal seyn) mit Gewalt ein / in welcher 135. Einwohner / so den Thaboriten auff der Gassen begegneten / mit eisernen Flegeln von ihnen erschlagen / und zerschmettert wurden. Es waren etliche wehrlose Leut / mit 35. Priestern / in die Sacristey geflohen / dieselbe huben ihre Hände gen Himmel auff / und baten mit kläglicher Stimme / umb Gnade / damit ihnen Frist zu leben / und sich zu bekehren / gegeben würde / und sagten zu / daß sie deß Zischka Lehre wolten annehmen; Er aber sagte / daß nicht die Zeit der Bekehrung / sondern der Raache / vorhanden wäre / und nahm Pechkräntze und Geraspel / machte ein Feuer / und verbrennete sie alle zugleich auff einmal. Und dieses schreibet Boregk. Anno 1620. hat der Käiserliche General / Graf Bucquoy, dieses Pragadicz / oder Prachaticz / mit Gewalt erobert; nachdeme es zuvor der Graf von Mansfeld / und die Böhmen / An. 19. auch mit Sturm wieder eingenommen hatten.
# Topographia Bohemiae, Moraviae et Silesiae: Primmikau

Topographia Germaniae :
| Primmikau (heute: Przemków) ||
| <<<Vorheriger Prebus | Nächster>>> Ratibor |
| aus: Matthäus Merian (Herausgeber und Illustrator) und Martin Zeiller (Textautor): Topographia Bohemiae, Moraviae et Silesiae. Merian, Frankfurt am Main 1650, S. 173. ||
| [[| in Wikisource]] | |
| Przemków in der Wikipedia ||
| Bearbeitungsstand ||
| fertig ||
| Fertig! Dieser Text wurde zweimal anhand der Quelle Korrektur gelesen. Die Schreibweise folgt dem Originaltext. ||
| Um eine Seite zu bearbeiten, brauchst du nur auf die entsprechende [Seitenzahl] zu klicken. Weitere Informationen findest du unter Hilfe ||
| Link zur Indexseite ||
Ein Städtlein im Glogauischen Fürstenthum / nahend dem Wasser Sprotta / und nicht sonders weit von der Stadt Sprottau / so seinen Namen vom Hertzog Primislao zu Sprottau hat / welcher gerühmet wird / daß er grossen Fleiß / sein Ländlein zu bessern / und in Auffnehmen zu bringen / angewendet habe.
# Topographia Circuli Burgundici: Hasselt

Topographia Germaniae :
| Hasselt ||
| <<<Vorheriger Harlingen | Nächster>>> Hindelopen |
| aus: Matthäus Merian (Herausgeber und Illustrator) und Martin Zeiller (Textautor): Topographia Circuli Burgundici. Merian, Frankfurt am Main 1654, S. 104. ||
| [[| in Wikisource]] | |
| nl:Hasselt (Overijssel) in der Wikipedia ||
| Bearbeitungsstand ||
| fertig ||
| Fertig! Dieser Text wurde zweimal anhand der Quelle Korrektur gelesen. Die Schreibweise folgt dem Originaltext. ||
| Um eine Seite zu bearbeiten, brauchst du nur auf die entsprechende [Seitenzahl] zu klicken. Weitere Informationen findest du unter Hilfe ||
| Link zur Indexseite ||
Hasselt
[104] Hasselt / Hasseltum, oder Hasseletum, ein feines / lustiges und vestes Städtlein / an dem Vidro, oder Vecht / in OverIssel / allda es vermöglichte Leut / wegen der bequemen Gelegenheit zur Schiffart / gibt / die sich auch vor Zeiten zum Hanseatischen Bund gehalten haben; wie Werdenhagen part. 4. de reb. Hanseat. c. 17. fol. 93. b. schreibet. Ligt ein starcke Meil von Schwoll / und 2. kleine Meilen von Vollenhofen.
Hasselt
# Topographia Circuli Burgundici: Helmont

Topographia Germaniae :
| Helmont (heute: Helmond) ||
| <<<Vorheriger Hanaut | Nächster>>> Herrntal |
| aus: Matthäus Merian (Herausgeber und Illustrator) und Martin Zeiller (Textautor): Topographia Circuli Burgundici. Merian, Frankfurt am Main 1654, S. 55. ||
| [[| in Wikisource]] | |
| Helmond in der Wikipedia ||
| Bearbeitungsstand ||
| fertig ||
| Fertig! Dieser Text wurde zweimal anhand der Quelle Korrektur gelesen. Die Schreibweise folgt dem Originaltext. ||
| Um eine Seite zu bearbeiten, brauchst du nur auf die entsprechende [Seitenzahl] zu klicken. Weitere Informationen findest du unter Hilfe ||
| Link zur Indexseite ||
[55] Helmont / ligt / sampt Pelland / in Kempen / oder Campania Brabantica, wie Divaeus sagt / drey Meilen von Eindoven / an dem Flüßlein Ade. Hat ein schönes Schloß. Anno 1587. bekamen die Holländer diesen Ort. Anno 1602. den 16. Julii / ist Printz Moritz von Uranien / mit seinem gantzen Kriegsheer / durch dieses Stättlein gezogen.
# Topographia Circuli Burgundici: Helpert

Topographia Germaniae :
| Helpert ||
| <<<Vorheriger Gravemachern | Nächster>>> Hoffalize |
| aus: Matthäus Merian (Herausgeber und Illustrator) und Martin Zeiller (Textautor): Topographia Circuli Burgundici. Merian, Frankfurt am Main 1654, S. 232. ||
| [[| in Wikisource]] | |
| Nach Wikipedia-Artikel suchen ||
| Bearbeitungsstand ||
| fertig ||
| Fertig! Dieser Text wurde zweimal anhand der Quelle Korrektur gelesen. Die Schreibweise folgt dem Originaltext. ||
| Um eine Seite zu bearbeiten, brauchst du nur auf die entsprechende [Seitenzahl] zu klicken. Weitere Informationen findest du unter Hilfe ||
| Link zur Indexseite ||
[232] Helpert / ein Luxemburgisch Dorff / bey einem sehr hohen Berg gelegen / allda jährlich am andern Tag deß H. Creutzes Erfindung / ein stattlicher Jahrmarckt gehalten wird: gleichwie in dem Dorff Einelter auff dem Fest deß H. Creutz Erhöhung auch geschihet: und zu Huderscheidt / so auch ein vornehmes Dorff in diesem Hertzogthumb Luxemburg / den Edelleuten von Esch gehörig / auff S. Petri Kettenfeyer / ein vornehmer Jahrmarckt zusehen ist.
# Topographia Circuli Burgundici: Harlingen

Topographia Germaniae :
| Harlingen ||
| <<<Vorheriger Hardemberg | Nächster>>> Hasselt |
| aus: Matthäus Merian (Herausgeber und Illustrator) und Martin Zeiller (Textautor): Topographia Circuli Burgundici. Merian, Frankfurt am Main 1654, S. 103–104. ||
| [[| in Wikisource]] | |
| Harlingen in der Wikipedia ||
| Bearbeitungsstand ||
| fertig ||
| Fertig! Dieser Text wurde zweimal anhand der Quelle Korrektur gelesen. Die Schreibweise folgt dem Originaltext. ||
| Um eine Seite zu bearbeiten, brauchst du nur auf die entsprechende [Seitenzahl] zu klicken. Weitere Informationen findest du unter Hilfe ||
| Link zur Indexseite ||
Harlingen
[103] Harlingen / Diese in Frießland vier grosse Meilen von Staveren / 1. von Franeker / und 14. von Ambsterdam / an dem Ufer der West-See gelegene Stadt / ist neben dem erdenen Wall / mit acht starcken Bollwercken versehen / und wol dreymahl erweitert worden / daß sie also / nach Leewarden / jetzt die gröste / volckreichste / und reichste Stadt in dem so genanten WestFrießland; so wegen des niedern Bodens / auff welchen / durch Eröffnung der Schleusen man die Wasser lauffen lassen kan / übel zu belägern ist. Hat etliche fliessende Wasser / so die Stadt theilen / auff welchen man auch hin und wieder zu den umbligenden Orten kommen mag. Und ist daher eine grosse Schiffstellung allhie / wiewol die Lastschiff / wann sie nicht zuvor ausgeladen werden / wegen der Seichte auff 5. tausend Schritt von der Stadt ligen bleiben müssen. Man macht allhie viel Tuchs zu den Segeln; Item Papier / und anders; siedet auch da Saltz. Hat vier Thor zu Lande / eins zu Wasser / oder zum Port / nur eine Pfarrkirchen / und zween Prediger; [104] aber viel Widertäuffer. Besihe Ubbonem Emmium lib. 1. rer. Frisicar. histor. fol. 15. et de Republ. Frisiorum inter Flevum, et Lavicam, fol. 53. seqq. Georg Braun im 4. seines Städtbuchs / und Joh. Angel. von Werdenhagen de Rebuspub. Hanseat. part. 4. c. 17. fol. 93.
# Topographia Circuli Burgundici: Hattem

Topographia Germaniae :
| Hattem ||
| <<<Vorheriger Harderwick | Nächster>>> Herenberg |
| aus: Matthäus Merian (Herausgeber und Illustrator) und Martin Zeiller (Textautor): Topographia Circuli Burgundici. Merian, Frankfurt am Main 1654, S. 86. ||
| [[| in Wikisource]] | |
| Hattem in der Wikipedia ||
| Bearbeitungsstand ||
| fertig ||
| Fertig! Dieser Text wurde zweimal anhand der Quelle Korrektur gelesen. Die Schreibweise folgt dem Originaltext. ||
| Um eine Seite zu bearbeiten, brauchst du nur auf die entsprechende [Seitenzahl] zu klicken. Weitere Informationen findest du unter Hilfe ||
| Link zur Indexseite ||
[86] Hattem / Hattemium. Auch ein Hansee-Stadt an dem lincken Ufer der Issel / nicht weit von Elburg / und zwischen Deventer und Campen gelegen / so zwar ein schwaches / kleines / und koitichtes Städtlein ist / aber ein sehr vestes Schloß haben solle.
# Topographia Circuli Burgundici: Hau-sur-heure

Topographia Germaniae :
| Hau-sur-heure (heute: Ham-sur-Heure) ||
| <<<Vorheriger Hall im Hennegöw | Nächster>>> Hesdin |
| aus: Matthäus Merian (Herausgeber und Illustrator) und Martin Zeiller (Textautor): Topographia Circuli Burgundici. Merian, Frankfurt am Main 1654, S. 208. ||
| [[| in Wikisource]] | |
| Ham-sur-Heure-Nalinnes in der Wikipedia ||
| Bearbeitungsstand ||
| fertig ||
| Fertig! Dieser Text wurde zweimal anhand der Quelle Korrektur gelesen. Die Schreibweise folgt dem Originaltext. ||
| Um eine Seite zu bearbeiten, brauchst du nur auf die entsprechende [Seitenzahl] zu klicken. Weitere Informationen findest du unter Hilfe ||
| Link zur Indexseite ||
[208] Hau-sur-heure, ein berühmbtes Dorff im Hennegöw / zwischen der Sambre / und Maas / gelegen / allda ein sehr grosses / und ansehenliches Schloß / so den Herren von Moriaume / wie Guicciardinus schreibet / gehörig ist.
# Topographia Circuli Burgundici: Herenberg

Topographia Germaniae :
| Herenberg (heute: ’s-Heerenberg) ||
| <<<Vorheriger Hattem | Nächster>>> Keppel |
| aus: Matthäus Merian (Herausgeber und Illustrator) und Martin Zeiller (Textautor): Topographia Circuli Burgundici. Merian, Frankfurt am Main 1654, S. 86. ||
| [[| in Wikisource]] | |
| ’s-Heerenberg in der Wikipedia ||
| Bearbeitungsstand ||
| fertig ||
| Fertig! Dieser Text wurde zweimal anhand der Quelle Korrektur gelesen. Die Schreibweise folgt dem Originaltext. ||
| Um eine Seite zu bearbeiten, brauchst du nur auf die entsprechende [Seitenzahl] zu klicken. Weitere Informationen findest du unter Hilfe ||
| Link zur Indexseite ||
[86] Herenberg / oder S’herenberg / ein wohlgebautes Städtlein / und Graffschafft / in dem Geldrischen Quartier / oder Graffschafft Zutphen gelegen / und dem Grafen von Berg zuständig / so in dem Lateinischen Exemplar des Guicciardini Beschreibung / Anno 1613. zu Amsterdam gedruckt / zweymal Thscherembergia genannt wird.
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:169

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
| Seite 155 |||
| << Zurück | Vorwärts >> |
| fertig |||
| Fertig! Dieser Text wurde zweimal anhand der Quelle Korrektur gelesen. Die Schreibweise folgt dem Originaltext. |||
Wir gehen über zu der Betrachtung eines Systems von bewegten materiellen Punkten. Ihre Massen seien $m_{1},\;m_{2},\ldots m_{n}\!$. Die Coordinaten des Punktes von der Masse $m_{i}\!$ bezeichnen wir mit $x_{i},\,y_{i},\,z_{i}$ und die Componenten der auf ihn wirkenden bewegenden Kraft mit $X_{i},\,Y_{i},\,Z_{i}.$ Diese Componenten sollen von der gegenseitigen Lage der Punkte abhängig sein. Deshalb können wir jetzt nicht jeden Punkt einzeln betrachten, wir fassen sie gleichzeitig in ihrer Gesammtheit auf, wir untersuchen die Bewegung des Systems.
Das System soll frei sein, d.h. jeder Punkt soll der auf ihn wirkenden bewegenden Kraft ohne Hindernis Folge leisten. Dann gelten für jeden einzelnen Punkt die Gleichungen (1) des vorigen Paragraphen. Wir können demnach für den Punkt $m_{i}\!$ die Gleichung (3) des vorigen Paragraphen ableiten, welche jetzt lautet:
* ${\frac {1}{2}}m_{i}\left({\frac {ds_{i}}{dt}}\right)^{2}={\text{const.}}+\int \left(X_{i}{\frac {dx_{i}}{dt}}+Y_{i}{\frac {dy_{i}}{dt}}+Z_{i}{\frac {dz_{i}}{dt}}\right)dt,$
oder, wenn man ${\frac {ds_{i}}{dt}}=v_{i}$ setzt:
* ${\frac {1}{2}}m_{i}v_{i}^{2}={\text{const.}}+\int \left(X_{i}{\frac {dx_{i}}{dt}}+Y_{i}{\frac {dy_{i}}{dt}}+Z_{i}{\frac {dz_{i}}{dt}}\right)dt.$
Diese letzte Gleichung stellt $n\!$ einzelne Gleichungen vor, die man erhält, wenn für $i\!$ der Reihe nach die ganzen Zahlen $1,2,3,l\dots n\!$ gesetzt werden. Wir wollen diese $n\!$ Gleichungen durch Addition verbinden. Dadurch ergibt sich
| (1) | $\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{2}}m_{i}v_{i}^{2}={\text{const.}}+\int dt\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}{\frac {dx_{i}}{dt}}+Y_{i}{\frac {dy_{i}}{dt}}+Z_{i}{\frac {dz_{i}}{dt}}\right).$ |
Hier ist wieder der Fall von besonderer Wichtigkeit, dass $X_{i},\,Y_{i},\,Z_{i}.$ die resp. nach $x_{i},\,y_{i},\,z_{i}$ genommenen partiellen Derivirten einer und derselben Function $P\!$ sind, welche direct nur von den Coordinaten der sämmtlichen bewegten Punkte abhängt, deren Ausdruck also die Zeit $t\!$ nicht explicite enthält. Dann ist
* $dt\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}{\frac {dx_{i}}{dt}}+Y_{i}{\frac {dy_{i}}{dt}}+Z_{i}{\frac {dz_{i}}{dt}}\right)={\frac {dP}{dt}}dt$
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:176

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
| Seite 162 |||
| << Zurück | Vorwärts >> |
| fertig |||
| Fertig! Dieser Text wurde zweimal anhand der Quelle Korrektur gelesen. Die Schreibweise folgt dem Originaltext. |||
freie Bestandtheil auf der rechten Seite der letzten Gleichung weg, und wir erhalten
* $\int \limits _{0}^{t}{\frac {dx_{i}}{dt}}{\frac {d\,\delta x_{i}}{dt}}dt=-\int \limits _{0}^{t}\delta x_{i}{\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}dt.$
Auf demselben Wege findet sich
* $\int \limits _{0}^{t}{\frac {dy_{i}}{dt}}{\frac {d\,\delta y_{i}}{dt}}dt=-\int \limits _{0}^{t}\delta y_{i}{\frac {d^{2}y_{i}}{dt^{2}}}dt,$
* $\int \limits _{0}^{t}{\frac {dz_{i}}{dt}}{\frac {d\,\delta z_{i}}{dt}}dt=-\int \limits _{0}^{t}\delta z_{i}{\frac {d^{2}z_{i}}{dt^{2}}}dt.$
Folglich geht jetzt die Gleichung (3) in folgende über:
| (5) | $0=\int \limits _{0}^{t}dt\left\lbrack \sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial P}{\partial x_{i}}}-m_{i}{\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}\right)\delta x_{i}\right.$ |
* ${\begin{aligned}&+\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial P}{\partial y_{i}}}-m_{i}{\frac {d^{2}y_{i}}{dt^{2}}}\right)\delta y_{i}\\&+\sum _{i=1}^{n}\left.\left({\frac {\partial P}{\partial z_{i}}}-m_{i}{\frac {d^{2}z_{i}}{dt^{2}}}\right)\delta z_{i}\right\rbrack .\\\end{aligned}}$
Zu ihrer Erfüllung ist nothwendig und hinreichend, dass für jeden Zeitmoment die Function unter dem Integralzeichen gleich Null sei, also:
| (6) | $\sum _{i=1}^{n}\left\lbrace \left({\frac {\partial P}{\partial x_{i}}}-m_{i}{\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}\right)\delta x_{i}+\left({\frac {\partial P}{\partial y_{i}}}-m_{i}{\frac {d^{2}y_{i}}{dt^{2}}}\right)\delta y_{i}+\left({\frac {\partial P}{\partial z_{i}}}-m_{i}{\frac {d^{2}z_{i}}{dt^{2}}}\right)\delta z_{i}\right\rbrace$ |
* $=0.\!$
Dies ist aber die Gleichung (2). Folglich ist bewiesen, dass das Princip des Lagrange bei dem Vorhandensein eines Potentials durch die Gleichung (3) ausgedrückt wird.
In unserm Falle ist das System frei. Die 3 $n\!$ Variationen der Coordinaten sind also von einander unabhängig. Demnach zerfällt die Gleichung (6) in 3 $n\!$ einzelne Gleichungen, indem — wie schon oben bemerkt — für sich gleich Null zu setzen ist, was mit jeder einzelnen von den 3 $n\!$ Variationen multiplicirt vorkommt. Also findet sich
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:177

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
| Seite 163 |||
| << Zurück | Vorwärts >> |
| fertig |||
| Fertig! Dieser Text wurde zweimal anhand der Quelle Korrektur gelesen. Die Schreibweise folgt dem Originaltext. |||
| (7) | ${\frac {\partial P}{\partial x_{i}}}-m_{i}{\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}=0,$ ${\frac {\partial P}{\partial y_{i}}}-m_{i}{\frac {d^{2}y_{i}}{dt^{2}}}=0,$ ${\frac {\partial P}{\partial z_{i}}}-m_{i}{\frac {d^{2}z_{i}}{dt^{2}}}=0.$ |
Hierin ist $i\!$ der Reihe nach $=1,2,3,\ldots n$ zu setzen. Dann sind die Gleichungen (7) nichts anderes als die Differentialgleichungen der Bewegung, wie sie aus dem Prinzip des Lagrange hervorgehen.
Das System der $n\!$ Punkte ist nicht frei, wenn zwischen den Punkten oder zwischen einigen von ihnen, solche Verbindungen vorhanden sind, vermöge deren die einzelnen Punkte zu anderen Bewegungen gezwungen werden, als sie bloss unter dem Einfluss der auf sie wirkenden Kräfte ausgeführt hätten. Dieser Fall soll jetzt betrachtet werden.
Nehmen wir den Punkt $(x_{i},\,y_{i},\,z_{i})$ von der Masse $m_{i}\,$. In Folge der vorhandenen Verbindungen vollführt er eine andere Bewegung, als wenn er frei und nur dem Antriebe der Kraftcomponenten $X_{i},\,Y_{i},\,Z_{i}$ ausgesetzt wäre. Es fragt sich dann, welche Kräfte $X_{i}^{\prime },\,Y_{i}^{\prime },\,Z_{i}^{\prime }$ man noch hinzufügen müsse, damit sie mit jenen Componenten zusammen den völlig frei gedachten Punkt gerade in die Bewegung versetzen, die wirklich zu Stande kommt. Kennt man diese Zusatzkräfte $X_{i}^{\prime },\,Y_{i}^{\prime },\,Z_{i}^{\prime }$ für jeden Punkt, so kann man die Bewegung des Systems aus einem doppelten Gesichtspunkte betrachten. Einmal kommt sie wirklich zu Stande unter Einwirkung der gegebenen bewegenden Kräfte und der vorhandenen Verbindungen. Das andere mal würde sie in genau derselben Weise zu Stande kommen, wenn die Punkte des völlig frei gemachten Systems von den gegebenen Kräften und von den eben betrachteten Zusatzkräften getrieben würden. Da nun die Wirkung in beiden Fällen dieselbe ist, und nur die Wirkung in Betracht kommt, so hat man das Recht, die eine Ursache durch die andere zu ersetzen. D. h. man darf die Bewegung so auffassen, als ob die Punkte des Systems frei wären und ausser den gegebenen Kräften noch die Zusatzkräfte in Wirksamkeit träten. Die gegebenen Kräfte sollen