# RE:Ῥαβδᾶς

Paulys Realencyclopädie der classischen Altertumswissenschaft :
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| ⟨ Rabbanai | Ῥάβδιον ⟩ |
| Nikolaos Artabasdos ho Rh., byzantin. Mathematiker ||
| Band I A,1 (1914) S. 11–13 ||
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Ῥαβδᾶς, genauer Νικόλαος Ἀρτάβασδος ὁ Ῥαβδᾶς, byzantinischer Mathematiker.
I. Seine Schriften sind:
1. Zwei arithmetische Briefe, die Paul Tannery nach Pariser Hss. herausgegeben hat, Notice sur les deux lettres arithmétiques de Nicolas Rhabdas (Notices et extraits des manuscrits de la bibliothèque nationale XXXII [1886] 121–252).
a) Παράδοσις σύντομος καὶ σαφεστάτη τῆς ψηφοφορικῆς ἐπιστήμης, σχεδιασθεῖσα ἐν Βυζαντίδι τῇ Κωνσταντίνου, παρὰ Νικολάου Ἀρταβάσδου Σμυρναίου ἀριθμητικοῦ καὶ γεωμέτρου τοῦ Ῥαβδᾶ, αἰτἠσει τοῦ πανσεβάστου ἐπὶ τῶν δεήσεων κυροῦ Γεωργίου τοῦ Χατζὐκη, ῥᾴστη τοῖς ἐθέλουσι ταύτην μετελθεῖν, ἥτις καὶ ἔχει οὕτως. Ein Kapitel, keineswegs der Hauptteil, dieses Briefes, mit dem Titel Ἔκφρασις τοῦ δακτυλικοῦ μέτρου war schon früher wiederholt gedruckt worden, zuerst von Morel (Paris 1614) nach einem cod. Vaticanus. Es besteht in einer Anweisung, alle ganzen Zahlen von 1 bis 9999 mit den Fingern beider Hände darzustellen. Außerdem enthält der Brief Regeln über die vier Spezies (wozu ausführliche Tafeln älteren Ursprungs mitgeteilt werden) und über die approximative Berechnung irrationaler Quadratwurzeln.
b) Τῷ ὑπερλίαν ἐκθύμως φιλουμένῳ τῷ Κλαζομενεῖ Τυαβούχη Θεοδώρῳ, ὁ Νικόλαος Ἀρτάβασδος Σμύρνοθεν ἐκ Βυζαντίδος ὁ Ῥαβδᾶς γράφει τόδε. Dieser Brief ist weniger elementar als der erste und setzt die Anfangsgründe des Rechnens beim Leser als bekannt voraus. Zuerst gibt R. Beispiele zu den vier Spezies in Brüchen, dann eine Approximation der Quadratwurzel, die schärfer ist als die im ersten Brief; darauf folgt eine Methode, den Tag des christlichen Osterfestes ohne den Umweg über das jüdische Passah zu berechnen. Das zweite Drittel dieses Briefes heißt Μέθοδος πολιτικῶν λογαριασμῶν; darin behandelt R., was wir jetzt Regel-de-tri-Aufgaben nennen. Im letzten Drittel rechnet er dann ausführlich 18 Aufgaben vor, die nach unserer Terminologie eingekleidete Gleichungen ersten Grades mit einer, teilweise mit zwei Unbekannten sind. Den Schluß bilden zwei Aufgaben anderer Art, die Hoche im Anhang seiner Ausgabe des Nikomachos (Leipzig 1866) 152, 4–154, 10 aus dem codex Cizensis abgedruckt hat; sie stammen vielleicht nicht von R.
2. Eine kleine Grammatik für seinen Sohn Paul, die im cod. Paris. Gr. 2650, fol. 147–150 erhalten ist. (In Krumbachers Geschichte der byzantinischen Literatur² 1897, 624f. bei R. nicht erwähnt).
[12] 3. Eine neue Auflage der Ψηφοφορία κατ’ Ἰνδούς des Planudes (teilweise erhalten in cod. Paris. Gr. 2428, fol. 186–193 und suppl. Gr. 652, fol. 149–154) mit zahlreichen Zusätzen und Änderungen von R. (Planudes’ Rechenbuch ist, ohne diese Zusätze, von Gerhardt herausgegeben worden, Halle 1865.)
4. Im cod. Laur. 59, 35 fol. 204–204$^v$ steht ein Brief eines R. an den Philosophen Andreas Zarides; ob das der Mathematiker R. ist, muß dahingestellt bleiben.
II. Von seinem Leben wissen wir kaum mehr, als die oben abgedruckten Überschriften seiner Briefe bieten. Danach stammte er aus Smyrna und lebte in Byzanz als ‚Arithmetiker und Geometer‘. Er hatte einen Sohn namens Paul. Wann er lebte, wissen wir ziemlich genau. Die Osterrechnung im zweiten Brief führt er nämlich für das ‚laufende J. 6849‘ der byzantinischen Ära durch; das fällt in die J. 1341/42 n. Chr. Um diese Zeit also schrieb er den zweiten Brief. Daß sein Name in der Überschrift des Traktates über die magischen Quadrate von Moschopulos (zuerst herausg. von Günther Vermischte Untersuchungen zur Geschichte der mathematischen Wissenschaften, Leipzig 1876, 195–203. 267f.) vorkommt, ist kein Zuwachs unseres Wissens von R. Denn Moschopulos gilt jetzt für älter als R.; und, besonders nach dem besseren Text von Tannery (Le traité de Manuel Moschopoulos sur les carrés magiques, Annuaire de l’association pour l’encouragement des études grecques XX [1886] 88–118) muß man die Überschrift für unecht halten. Vgl. die überhaupt für R. wichtigste Abhandlung: Tannery Manuel Moschopoulos et Nicolas Rhabdas (Bulletin des sciences mathématiques (2) VIII 1 [1884] 263–277).
III. R. war kein bedeutender Mathematiker; seine (übrigens in leicht lesbarem Griechisch geschriebenen) Schriften sind als Lehrschriften anzusehen (er läßt an einer Stelle des zweiten Briefes, p. 202 bei Tannery, durchblicken, daß er auch an andere Leser als den Adressaten denkt), nicht als Mitteilungen eigener Forschungen. Zwar bezeichnet er manches als seine Erfindung; aber seine Priorität ist in keinem Falle sicher, und bei dem wichtigsten, dem Näherungswert
${\frac {1}{2}}\lbrack a+{\frac {r}{2a}}+{\frac {a^{2}+r}{a+{\frac {r}{2a}}}}\rbrack$ für ${\sqrt {a^{2}+r}}$
hat Tannery (Un fragment des métriques de Héron, Ztschr. für Mathematik und Physik XXXIX [1894], hist.-lit. Abt. 13–15) das Vorkommen im Altertum in einem Heronfragment entdeckt. Ja die Darstellung von R. ist schlechter als die antike, indem sie nicht zeigt, daß und wie das Verfahren (dessen Näherungswerte mit solchen unserer Kettenbruchentwicklung von ${\sqrt {a^{2}+r}}$ zusammenhängen) fortsetzbar ist; bei Heron wird das ganz deutlich. Unselbständig sind auch die einleitenden Sätze beider Briefe, die er aus Diophants Arithmetik (vol. I p. 2 ed. Tannery) abgeschrieben hat. R.s Briefe haben vielmehr als Hilfsmittel, nicht als Objekt der Geschichtsforschung für uns Bedeutung. Von der griechischen Logistik (d. i. numerisches Rechnen, im Gegensatz zu Arithmetik oder [13] Zahlentheorie) wissen wir aus dem Altertum fast nichts. Bei R. sehen wir, wie man mit den alphabetischen Zahlen und den schwerfällig als Summen von Stammbrüchen (und $\scriptstyle {\frac {2}{3}}$) geschriebenen Brüchen rechnete; ähnlich wird man es auch im Altertum gemacht haben, ähnliche Sammlungen von Aufgaben wird man gehabt haben. Wie man mit den Fingern wirklich rechnete, erfahren wir allerdings nicht, und für Multiplikation und Division gibt R. nur einfache Beispiele und verweist (in dem allerdings nicht ganz sicher von R. herrührenden Schlußabsatz des ersten Briefes) den Leser auf die Ἰνδικὴ ψηφοφορία, die bekanntlich auf der Schreibung der Zahlen mit Positionswert und Null beruht. Wir sehen, daß das alte Ziffernsystem in der Praxis des täglichen Lebens nur ganz allmählich von dem neuen verdrängt werden konnte. – Bemerkenswert ist ferner das erste Vorkommen (soweit wir wissen) von πολιτικός in ähnlicher Bedeutung wie in unserer Bezeichnung ‚politische Arithmetik‘. Schließlich können die Beispiele und Aufgaben im zweiten Brief vielleicht für die Metrologie jener Zeit nützlich sein.