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# RE:Turpilius 4

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| ⟨ Turpilius 3 | Turpilius 5 ⟩ |
| L. Mitbesitzer eines Sklaven, der zu den Magister der Compitaliasten gehörte ||
| Band VII A,2 (1943–1948) S. 1428 ||
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4) L. Turpilius, einer von drei Römern, deren gemeinsamer Sklave Aristodemos 660 = 94 auf Delos zu den Magistri der Compitaliasten gehörte (Weihung an die Göttin Roma: Ἀριστόδημος Λευκίου Τορπιλίο[υ] καὶ Γαίου Οὐηουηίου καὶ Ποπλίου Κισπίου Bull. hell. XXIII 67f. XXXVI 16 = Inscr. de Delos 1763).
# RE:Turpilius 6

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| ⟨ Turpilius 5 | Turpilius 7 ⟩ |
| M. Quaestor von Tibur ||
| Band VII A,2 (1943–1948) S. 1428 ||
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6) M. Turpilius, Sohn eines L, Quaestor von Tibur (Bauinschrift CIL I² 1498 = XIV 3686 50 = Dess. 5577).
# RE:Turpio 1

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| ⟨ Turpilius 13 | Turpio 2 ⟩ |
| Band VII A,2 (1943–1948) S. 1431 ||
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Turpio. 1) s. Ambivius Nr. 4.
# RE:Turpilius 3

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| ⟨ Turpilius 2 | Turpilius 4 ⟩ |
| L. Quaestor von Firmum Picenum ||
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3) L. Turpilius, Sohn eines C., einer der fünf Quaestoren von Firmum Picenum auf einer alten Bronzeplatte (CIL I² 383 = Dess. 6132; o. Bd. V A S. 596, 56, wo ,vier Amtsgenossen‘ statt ,drei‘ zu lesen ist).
# RE:Turpilius 5

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| ⟨ Turpilius 4 | Turpilius 6 ⟩ |
| L. Duumvir von Cora ||
| Band VII A,2 (1943–1948) S. 1428 ||
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5) L. Turpilius, Sohn eines L., zusammen mit M. Metilius Duumvir von Cora im Volskergebirge in Sullanischer Zeit (Bauinschrift des dorischen Tempels CIL I² 1511 = X 6517; s. Delbrück Hellenist. Bauten in Latium II 23-36; o. Bd. XV S. 1397, 13ff.).
# RE:Turpleius

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| ⟨ Turpitudo | Turranius 1 ⟩ |
| römischer Gentilname auf einer alten Aschenurne ||
| Band VII A,2 (1943–1948) S. 1439 ||
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Turpleius, römischer Gentilname, zweimal auf einer sehr alten Aschenurne aus den Furiergräbern in Tusculum (CIL I2 58).

## Anmerkungen (Wikisource)

* ↑ Corpus Inscriptionum Latinarum I, 58.
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:273

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
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$V\,$
Der Ausdruck für $V'\!$ hat also die Form der Potentialfunction einer idealen magnetischen Massenvertheilung. Denken wir uns, man könnte die magnetischen Fluida stetig über eine Fläche ausbreiten, und es wäre $\!d\mu$ die in dem Flächenelement $\!d\sigma$ enthaltene magnetische Masse, so würde
* $V=-\int \,{\frac {d\mu }{r}}\,$
die Potentialfunction dieser magnetischen Masse sein, wenn man die Integration über die ganze Fläche ausdehnt.
Belegen wir also die Fläche $S\!$ (für $\!p=0$) in jedem Flächenelemente mit der magnetischen Masse
* $d\mu ={\frac {J}{\delta }}\,d\sigma$
und eine zu $S\!$ parallele Fläche (für $\!p=\delta$) in jedem Flächenelemente mit der magnetischen Masse
* $d\mu =-{\frac {J}{\delta }}\,d\sigma ,\,$
so ist die Wirkung der über beide Flächen ausgebreiteten magnetischen Massen dieselbe wie die Wirkung des durch die Begrenzung von $S\!$ hindurchgehenden galvanischen Stromes.
Die magnetischen Massen der beiden Belegungen sind von entgegengesetztem Zeichen, von gleicher und constanter Dichtigkeit, und diese Dichtigkeit ist der Scheidungsweite umgekehrt proportional.
Die Wirkung auf einen Punkt im inneren Raume zwischen den beiden unendlich nahe an einander liegenden Flächen ist hier nicht mit einbegriffen.
Das Integral in der Gleichung (3) des §.71 hat auch eine geometrische Bedeutung. Wir ziehen vom Punkte $(x',\,y',\,z')$ einen Strahl, welcher die Strombahn $s\!$ durchschneidet, und setzen ihn so in Bewegung, dass der Schnittpunkt die Curve $s\!$ von Anfang bis zu Ende durchläuft. Dadurch wird eine Kegelfiäche erzeugt, welche den Punkt $(x'\,y'\,z')$ zum Scheitel hat. Um denselben Punkt als Mittelpunkt legen wir eine Kugelfläche vom Radius 1. Diese wird von der Kegelfläche in einer geschlossenen Linie $s_{1}\!$ durchschnitten. Wir wollen zunächst der Einfachheit wegen vor-
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:276

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ist also positiv oder negativ, je nachdem vom Punkte $(x',\,y',\,z')$ gesehen — der positive oder der negative Strom in der Drehungsrichtung des Uhrzeigers fliesst.
Für ein im Punkte $(x',\,y',\,z')$ angebrachtes Auge verstehen wir unter der Himmelskugel die um diesen Punkt als Mittelpunkt construirte Kugel vom Radius 1.
Hiernach erhält man für die Herstellung der Potentialfunction im Punkte $(x',\,y',\,z')$ die folgende Regel:
Man multiplicire den absoluten Werth der Stromintensität mit dem Theile der Himmelskugel, welcher für ein im Punkte $(x',\,y',\,z')$ befindliches Auge von der Strombahn umschlossen erscheint, und gebe dem Producte positives oder negatives Vorzeichen, je nachdem für dasselbe Auge die Richtung des positiven Stromes mit der Drehungsrichtung des Uhrzeigers übereinstimmt oder ihr entgegengesetzt ist.
$S\!$
$(x',\,y',\,z')$
$\Sigma \!$
$S\!$
$(x',\,y',\,z')$
$\Sigma \!$
$J\!$
$\Sigma \!$
$J\!$
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:270

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Der Satz von Green (§. 20) lässt sich hier folgendermaassen verwerthen.
Wir setzen
* ${\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}}}=r$
und
| (1) | $U={\frac {1}{r}}.\,$ |
Der Raum $T\,$, welcher für uns in Betracht kommt, wird begrenzt von den beiden Seiten der Fläche $S\,$ und von zwei Kugelflächen, von denen die eine mit dem Radius $\,r=R$, die andere mit dem Radius $\,r=c$ um den Punkt $(x',\,y',\,z')$ als Mittelpunkt construirt ist, und zwar für $\,\lim R=\infty$ und $\,\lim c=0$.
Hier treffen alle Voraussetzungen des §. 21 zu mit der einen Modification, dass $U\,$ in der Oberfläche des Raumes $T\,$ nicht überall Null ist. Durch Wiederholung des dort angewandten Verfahrens gelangt man demnach zu der Gleichung
| (2) | ${\begin{aligned}4\pi V'=&-\iiint U\left({\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}\,+\,{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}\,+\,{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}\right)dx\,dy\,dz\\&+\int d\sigma \left(V\,{\frac {\partial U}{\partial n}}\,-U\,{\frac {\partial V}{\partial n}}\right),\\\end{aligned}}$ |
und es bezeichnet $V'\,$ den Werth von $V\,$ im Punkte $(x',\,y',\,z')$. Das Raumintegral ist Null vermöge der Gleichung (4) des vorigen Paragraphen. Das Oberflächen-Integral ist auszudehnen über die Kugel vom Radius $R\,$ und über die beiden Seiten der Fläche $S\,$.
Für die Kugelfläche fällt die nach dem Innern des Raumes $T\,$ gezogene Normale in die Richtung der abnehmenden $r\,$. Folglich kann das über diese Kugelfläche erstreckte Integral geschrieben werden:
* $-R^{2}\int d\omega \left(V\,{\frac {\partial U}{\partial r}}\,-U\,{\frac {\partial V}{\partial r}}\right)_{r=R}$
wobei $d\omega \,$ das Element einer Kugelfläche vom Radius 1 bezeichnet. Nun steht für $\,\lim R=\infty$ sowohl $\,U$ als $\,V$ in endlichem Verhältnis zu ${\frac {1}{R}}$. Folglich wird
* $\lim \left(V\,{\frac {\partial U}{\partial r}}\,-U\,{\frac {\partial V}{\partial r}}\right)_{r=\infty }=\,{\frac {const.}{R^{3}}},\,$
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:272

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Da wir die Stromintensität immer in der Richtung nehmen, in welcher die Bogenlänge $s\,$ des Stromleiters zunimmt (§. 61), so ist zunächst festzustellen, wie diese Richtung und die Richtung der auf der Fläche $S\,$ errichteten positiven Normale zu einander liegen sollen. Wir treffen die Bestimmung, dass, von einem Punkte der auf $S\,$ errichteten positiven Normale aus gesehen, die Richtung des wachsenden Bogens $s\,$ dieselbe sein soll, wie die Richtung, in welcher für einen auf das Zifferblatt sehenden Beobachter die Spitze des Uhrzeigers weiterrückt. Oder mit andern Worten: wenn jemand auf der positiven Seite der Fläche $S\,$ sich aufrecht hinstellt und dann die Begrenzung in der Richtung des wachsenden Bogens $s\,$ durchläuft, so hat er die Fläche $S\,$ zur rechten Hand.
Die Erfahrung lehrt nun, dass bei dieser gegenseitigen Lage der positiven Normale und des wachsenden Bogens die Differenz $V_{+0}-V_{-0}\,$ positiv ausfällt, wenn $J\,$ positiv ist. Folglich ist die Constante $k\,$ positiv. Der Einfachheit wegen wollen wir die Einheit der Stromintensität so wählen, dass $k=4\pi \,$ ist. Dann geht die Gleichung (2) des §. 69 über in:
| (2) | $V_{+0}-V_{-0}=4\pi J,\,$ |
und statt der Gleichung (3) des vorigen Paragraphen erhalten wir:
| (3) | $V'=J\int d\sigma \,{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial p}}.\,$ |
Das hier eingeführte Maass der Stromintensität wird das magnetische genannt.
Wir suchen die mechanische Bedeutung des für $V'\,$ gefundenen Ausdruckes. Es ist
* ${\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial p}}=\lim {\frac {\left({\frac {1}{r}}\right)_{p=\delta }-\left({\frac {1}{r}}\right)_{p=0}}{\delta }}$
für $\lim \,\delta =0\,$. Folglich kann man $\,V$ so schreiben:
| (1) | $V'=\lim \int d\sigma \left\lbrace {\frac {J}{\delta }}\left({\frac {1}{r}}\right)_{p=\delta }-{\frac {J}{\delta }}\left({\frac {1}{r}}\right)_{p=0}\right\rbrace .\,$ |
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:271

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$V\,$
und man sieht, dass das Integral den Grenzwerth Null hat für $\,\lim R=\infty$.
Hiernach bleibt auf der rechten Seite der Gleichung (2) nichts weiter übrig als das Oberflächen-Integral, ausgedehnt über beide Seiten der Fläche $\!S$.
Wir errichten im Punkte $\!(x,y,z)$ der Fläche $\!S$ die Normale nach beiden Seiten und zählen auf ihr von dem Fusspunkte aus den Abstand $\!p$ positiv nach der einen, negativ nach der andern Seite. Dann ist auf der positiven Seite $\!n=p$, auf der negativen $n=-p\,$. Die Gleichung (2) geht dadurch in folgende über:
* ${\begin{aligned}4\pi V'&=\int d\sigma \left\lbrace V\,{\frac {\partial U}{\partial p}}-U\,{\frac {\partial V}{\partial p}}\right\rbrace _{p=+0}\\&-\int d\sigma \left\lbrace V\,{\frac {\partial U}{\partial p}}-U\,{\frac {\partial V}{\partial p}}\right\rbrace _{p=-0}.\\\end{aligned}}$
Dafür kann man auch schreiben:
* ${\begin{aligned}4\pi V'&=\int d\sigma \,{\frac {\partial U}{\partial p}}(V_{+0}-V_{-0})\\&-\int d\sigma \cdot U\left\lbrace \left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{+0}-\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{-0}\right\rbrace .\\\end{aligned}}$
Hier ist das zweite Integral gleich Null in Folge der Gleichung (3) des vorigen Paragraphen. In dem ersten Integrale hat man für $\!V$ die Gleichung (2) des vorigen und für $\!U$ die Gleichung (1) dieses Paragraphen zu beachten. Dadurch ergibt sich schliesslich:
| (3) | $4\pi V'=A\int d\sigma \cdot {\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial p}}.\,$ |
Wir stellen noch die Hypothese auf, dass die magnetischen Kräfte, welche von mehreren galvanischen Strömen auf die im Punkte $\!(x,y,z)$ concentrirt gedachte positive magnetische Masseneinheit ausgeübt werden, sich nach dem Satze vom Parallelogramm der Kräfte zusammensetzen. Für einen einzigen Strom folgt daraus unmittelbar, dass eine $\!n$fache Stromintensität auch $\!n$fache Kräfte ausübt. Die Componenten $\!X,\,Y\,Z$ sind also der Stromintensität $J\!$ proportional, und deshalb auch
| (1) | $A=k\,J.$ |
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:275

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$V\,$
Die Projection von $d\sigma \!$ auf einer um $(x',\,y',\,z')$ beschriebenen Kugel vom Radius $r\!$ berechnet sich
* $=\pm \,d\sigma \,{\frac {\partial r}{\partial p}},\,$
und es gilt das obere oder das untere Vorzeichen, je nachdem ${\frac {\partial r}{\partial p}}$ positiv oder negativ ist. Soll die Projection $d\Sigma \!$ auf der Kugel vom Radius 1 ausgedrückt werden, so hat man noch durch $r^{2}\!$ zu dividiren, also
| (1) | $d\Sigma =\pm \,{\frac {1}{r^{2}}}\,{\frac {\partial r}{\partial p}}\,d\sigma =\mp \,d\sigma \,{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial p}}.\,$ |
Wir bezeichnen mit $\Sigma \!$ den Flächeninhalt der auf der Kugel vom Radius 1 liegenden Projection von $S\!$, und zwar in dem Sinne, dass $\Sigma \!$ eine absolute Zahl ist. Alsdann ergibt sich aus (1) durch Integration
| (2) | $\int d\sigma \,{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial p}}=\mp \,\Sigma ,\,$ |
und es gilt das positive oder das negative Vorzeichen, je nachdem die Fläche $S\!$ dem Punkte $(x',\,y',\,z')$ ihre positive oder ihre negative Seite zukehrt.
Nun ist noch auf das Vorzeichen von $J\!$ Acht zu geben. Wenn die Fläche $S\!$ dem Punkte $(x',\,y',\,z')$ ihre positive Seite zukehrt, so ist $J\!$ positiv oder negativ, je nachdem — von dem Punkte aus gesehen — der positive Strom in derselben Richtung fliesst, in welcher der Uhrzeiger weiterrückt, oder in der entgegengesetzten Richtung. Kehrt die Fläche $S\!$ dem Punkte $(x',\,y',\,z')$ ihre negative Seite zu, so gilt für $J\!$ die umgekehrte Vorzeichenregel. Dies lässt sich auch noch anders ausdrücken, nemlich: Das Vorzeichen von $J\!$ ist dasselbe wie auf der rechten Seite der Gleichung (2), wenn — vom Punkte $(x',\,y',\,z')$ aus gesehen — die Richtung des positiven Stromes mit der Drehungsrichtung des Uhrzeigers übereinstimmt. Und das Vorzeichen von $J\!$ ist das entgegengesetzte von dem auf der rechten Seite der Gleichung (2), wenn — vom Punkte $(x',\,y',\,z')$ aus gesehen — die Richtung des positiven Stromes der Drehungsrichtung des Uhrzeigers entgegengesetzt ist. Das Product
* $J\int {\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial p}}\,d\sigma$
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:269

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$V\,$
Das Integral (1) ist also eine Function $V\,$ von $x,\,y,\,z$, die überall ausserhalb der Fläche $S\,$ sich stetig ändert.
Wir errichten in irgend einem Punkte der Fläche $S\,$ nach beiden Seiten hin die Normale und zählen darauf den Abstand $p\,$ von ihrem Fusspunkte aus positiv nach der einen, negativ nach der anderen Seite. Auf der positiven und auf der negativen Normale nehmen wir je einen Punkt unendlich nahe an der Fläche $S\,$, und bezeichnen die Werthe, welche die Function $V\,$ in ihnen annimmt, mit $\!V_{+0}$ und resp. $\!V_{-0}$. Die Differenz
* $V_{+0}-V_{-0}\,$
ergibt sich, wenn man das Integral (1) von dem Punkte auf der negativen Normale nach dem unendlich nahe gelegenen Punkte auf der positiven Normale durch eine Curve erstreckt, welche die Fläche $S\,$ nicht schneidet.
Nun sind aber $X,\,Y,\,Z$ im ganzen unendlichen Raume ausserhalb der Strombahn einwerthig, endlich und stetig variabel. Daraus folgt, dass in unendlicher Nähe der Fläche $S\,$ die Derivirte von $V\,$, sowohl parallel als auch normal zur Fläche genommen, auf der positiven Seite denselben Werth hat, wie auf der negativen Seite. Es ist also für jede beliebige Stelle der Fläche
| (2) | $\!V_{+0}-V_{-0}=A,$ |
wobei $A\,$ eine constante Grösse bezeichnet, und es ist ferner
| (3) | $\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{+0}=\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{-0}.$ |
Vermöge der Gleichung (1) des §. 66 genügt die Function $V\,$ im ganzen unendlichen Raume ausserhalb der Strombahn der partiellen Differentialgleichung
| (4) | ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}\,+\,{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}\,+\,{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=0,$ |
und sie hat den Werth Null in unendlicher Entfernung:
| (5) | $V=0\,$ für $x^{2}+y^{2}+z^{2}=\infty .\,$ |
Diesen Bedingungen (2), (3), (4), (5) entsprechend, lässt sich die Function $V\,$ immer und nur in einer Weise herstellen, wie man mit Hülfe des Dirichlet'schen Princips leicht beweisen kann.
Wir wollen statt dessen nach Green's Methode den Ausdruck für die Function $V\,$ direct bilden.
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:277

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Nachdem wir zu einer geometrischen Interpretation der Formel (3) §.71 gelangt sind, welche die Potentialfunction der von dem galvanischen Strome ausgeübten magnetischen Kraft ausdrückt, können wir davon eine Anwendung auf die Kraftcomponenten selbst machen. Um die Componente $X\,$ parallel der Axe der positiven $x\!$ zu finden, haben wir den Punkt $(x',y',z')\,$ in dieser Richtung um die Strecke $\delta x\,$ zu verschieben und die davon herrührende Aenderung der Function $V'\,$ durch die Grösse der Verschiebung zu dividiren. Nun ist die Function $V\,$ ein Product von zwei Factoren, von denen der erste — die Stromintensität $J\,$ — bei der vorgenommenen Verschiebung keine Aenderung erleidet. Der zweite Factor ist der Theil der Himmelskugel, den das Auge das eine mal vom Punkte $(x',y',z')\,$, das andere mal vom Punkte $(x'+\delta x,y',z')\,$ aus durch die Strombahn umschlossen sieht. Statt aber die Strombahn im Raume fest beizubehalten und das Auge aus dem Punkte $(x',y',z')\,$ in den Punkt $(x'+\delta x,y',z')\,$ zu verschieben, kann man auch das Auge in dem ersten Punkte lassen und dagegen die Strombahn so verschieben, dass jeder ihrer Punkte in der Richtung der abnehmenden $x\,$ den Weg $\delta x\,$ durchläuft. Es fragt sich, welche Theile der Himmelskugel dabei aus der Umschliessung austreten und welche in sie neu eintreten (Fig. 39 und 40). Jedes Element $ds\!$ der Strombahn erzeugt bei der Verschiebung ein unendlich kleines Parallelogramm, dessen Projection auf der Himmelskugel zu suchen ist. Wir lassen die Richtung des wachsenden Bogens mit der Richtung des positiven Stromes zusammenfallen. Sie möge in Fig. 39 mit der Drehungsrichtung des Uhrzeigers übereinstimmen, in Fig. 40 aber die entgegengesetzte sein. Hat man zur Berechnung von $V'\,$ die absoluten Werthe der Projection auf der Himmelskugel und der Stromintensität mit einander multiplicirt, so ist das Product für Fig. 39 mit positivem, für Fig. 40 mit negativem Vorzeichen zu versehen. Danach erhält man die Aenderung von $V'\,$ mit dem richtigen Vorzeichen, wenn man bei Fig. 39 die aus der Umschliessung austretenden Theile der Himmelskugel mit negativem Zeichen, die eintretenden mit positivem Zeichen in Rechnung bringt und mit dem absoluten
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:274

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aussetzen, dass die Linie $s_{1}\!$ (die Projection von $s\!$ auf der Kugel) ebenso einfach in sich zurückläuft wie die Linie $s\!$ selbst, dass also, wenn man sie von Anfang bis zu Ende durchläuft, keiner ihrer Punkte mehr als einmal getroffen wird. Ueber die Gestalt der Fläche $S\!$, welche von der Strombahn $s\!$ begrenzt wird, haben wir keinerlei besondere Voraussetzung gemacht. Wenn nun, wie eben verabredet worden, die Projection $s_{1}\!$ auf der Kugel vom Radius 1 eine einfach in sich zurücklaufende Linie ist, so können wir der Fläche $S\!$ eine solche Gestalt geben, dass ihre Projection ein von $s_{1}\!$ umschlossenes Stück der Kugeloberfläche einfach bedeckt. Zieht man dann vom Punkte $(x',\,y',\,z')$ aus durch irgend einen Punkt dieses umschlossenen Stückes der Kugeloberfläche einen Strahl, so wird dieser, gehörig verlängert, die Fläche $S\!$ in einem Punkte, aber auch nur in einem Punkte durchschneiden. Der wachsende Strahl tritt an dieser Stelle von der dem Punkte $(x',\,y',\,z')$ zugekehrten Seite der Fläche $S\!$ auf die abgekehrte Seite über. Der Theil der Kugeloberfläche, welcher von der Projection der Fläche $S\!$ nicht bedeckt wird, darf als das durch $s_{1}\!$ ausgeschlossene Gebiet bezeichnet werden. Zieht man von $(x',\,y',\,z')$ aus durch irgend einen Punkt des ausgeschlossenen Gebietes einen Strahl, so trifft dieser, wie weit man ihn auch verlängern möge, die Fläche $S\!$ gar nicht.
Wir wählen auf der Fläche $S\!$ irgend einen Punkt $(x,\,y,\,z)$ und bezeichnen mit $r\!$ die Länge des Strahles, welcher vom Punkte $(x',\,y',\,z')$ nach $(x,\,y,\,z)$ hingezogen ist. Mit $d\sigma \,$ werde ein auf der Fläche $S\,$ genommenes Flächenelement bezeichnet, auf dessen Begrenzung der Punkt $(x,\,y,\,z)$ liegt. Lassen wir nun einen von $(x',\,y',\,z')$ ausgehenden beweglichen Strahl an der ganzen Begrenzung von $d\sigma \!$ hingleiten, so beschreibt er eine Kegelfläche. Diese schneidet die Kugeloberfläche vom Radius 1 in einer einfach in sich zurücklaufenden Linie, der Begrenzung eines auf der Kugel liegenden Flächenelementes $d\Sigma \!$, welches die Projection von $d\sigma \!$ ist.
Die gegen die Fläche $S\!$ im Punkte $(x,\,y,\,z)$ errichtete positive Normale $p\!$ schliesst mit der Richtung des wachsenden $r\,$ einen Winkel ein, dessen Cosinus
* $\cos(rp)={\frac {\partial r}{\partial p}}$
ist, und dieser Cosinus ist positiv oder negativ, je nachdem die dem Punkte $(x',\,y',\,z')$ abgekehrte Seite der Fläche $S\!$ die positive oder die negative ist.