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# Schwere, Elektricität und Magnetismus:174

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
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$\delta \int \limits _{0}^{t}(T+P)dt=0.$
Das Princip des Lagrange ist für ein freies System in der Gleichung ausgesprochen:
| (1) | $\sum _{i=1}^{n}\left\lbrace \left(X_{i}-m_{i}{\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}\right)\delta x_{i}+\left(Y_{i}-m_{i}{\frac {d^{2}y_{i}}{dt^{2}}}\right)\delta y_{i}+\left(Z_{i}-m_{i}{\frac {d^{2}z_{i}}{dt^{2}}}\right)\delta z_{i}\right\rbrace$ |
* $=0.\!$
Darin sind die 3 $n\!$ Variationen der Coordinaten von einander unabhängig. Man hat also zur Erfüllung der Gleichung (1) für sich gleich Null zu setzen, was mit jeder einzelnen Variation multiplicirt ist. Auf diese Weise erhält man für die $n\!$ Punkte des Systems die 3 $n\!$ Differentialgleichungen der Bewegung.
Wenn die auf die Punkte einwirkenden Kräfte so beschaffen sind, dass ein Potential vorhanden ist, so lässt die Gleichung (1) sich schreiben:
| (2) | $\sum _{i=1}^{n}\left\lbrace \left({\frac {\partial P}{\partial x_{i}}}-m_{i}{\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}\right)\delta x_{i}+\left({\frac {\partial P}{\partial y_{i}}}-m_{i}{\frac {d^{2}y_{i}}{dt^{2}}}\right)\delta y_{i}+\left({\frac {\partial P}{\partial z_{i}}}-m_{i}{\frac {d^{2}z_{i}}{dt^{2}}}\right)\delta z_{i}\right\rbrace$ |
* $=0.\!$
Dafür gibt es aber einen kürzeren Ausdruck, nemlich
| (3) | $\delta \int \limits _{0}^{t}(T+P)dt=0.$ |
Diese Gleichung ist so zu verstehen. Aus einer gegebenen Anfangslage (für $t=0\!$) kann man sich die Punkte des Systems in eine gegebene Endlage (zur Zeit $t\!$) auf unendlich vielen verschiedenen Wegen übergeführt denken. Für jeden Uebergang auf bestimmten Wegen hat das Integral
| (4) | $\int \limits _{0}^{t}(T+P)dt$ |
einen bestimmten Werth, der aber sich ändert, sobald die Wege der einzelnen Punkte des Systems geändert werden. Vergleicht
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:171

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$n\!$
$m_{i}\!$
$m_{k}.\!$
$f_{ik}(r_{ik})\!$
$dt\!$
$m_{i}\!$
$ds_{i}\!$
$m_{k}\!$
$ds_{k}\!$
$m_{i}\!$
* $-f_{ik}(r_{ik})ds_{i}\cos(r_{ik},\;ds_{i}),$
und der Punkt $m_{k}\!$ verrichtet die Arbeit
* $f_{ik}(r_{ik})ds_{k}\cos(r_{ik},\;ds_{k}).$
Es findet sich aber leicht
* ${\begin{aligned}\cos(r_{ik},\;ds_{i})&={\frac {x_{k}-x_{i}}{r}}{\frac {dx_{i}}{ds_{i}}}+{\frac {y_{k}-y_{i}}{r}}{\frac {dy_{i}}{ds_{i}}}+{\frac {z_{k}-z_{i}}{r}}{\frac {dz_{i}}{ds_{i}}}\\&=-{\frac {1}{2r_{ik}}}{\frac {\partial (r_{ik}^{2})}{\partial s_{i}}}=-{\frac {\partial r_{ik}}{\partial s_{i}}},\\\end{aligned}}$
und auf demselben Wege
* $\cos(r_{ik},\;ds_{k})={\frac {\partial r_{ik}}{\partial s_{k}}}.$
Die von beiden Punkten im Zeitelement $dt\!$ verrichtete Arbeit ist demnach
* $=f_{ik}(r_{ik})\left\lbrace {\frac {\partial r_{ik}}{\partial s_{i}}}ds_{i}+{\frac {\partial r_{ik}}{\partial s_{k}}}ds_{k}\right\rbrace$
* $=f_{ik}(r_{ik})dr_{ik}.\!$
Bezeichnen wir nun mit $F_{ik}(r_{ik})\!$ eine Function von $r_{ik}\!$, deren Differentialquotient $f_{ik}(r_{ik})\!$ ist:
* ${\frac {dF_{ik}(r_{ik})}{dr_{ik}}}=f_{ik}(r_{ik}),$
so ist die von $t=0\!$ bis zur abgelaufenen Zeit $t\!$ vermöge der Wechselwirkung zwischen den Massen $m_{i}\!$ und $m_{k}\!$ geleistete Arbeit:
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:173

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welches man dabei erhält, nennt man das Potential des Massensystems auf sich selbst.
Es ist aber auch der Fall zu betrachten, dass jeder Punkt des einen Massensystems in Wechselwirkung steht mit jedem Punkte eines zweiten Systems.
Wir wollen die Massen des einen Systems mit $m_{1},\;m_{2},\ldots m_{n}$, die des anderen Systems mit $M_{1},\;M_{2},\ldots M_{\nu }$ bezeichnen. Wenn die Wechselwirkung in Anziehung oder Abstossung besteht, deren Grösse eine Function der Entfernung ist, so erhalten wir für die geleistete Arbeit wieder den Ausdruck (1). Die Entfernung $r_{ik}\!$ bezieht sich aber jetzt auf einen Punkt $m_{i}\!$ des einen Systems und einen Punkt $M_{k}\!$ des anderen. Es ist also jetzt
* $r_{ik}^{2}=(\xi _{i}-x_{k})^{2}+(\eta _{i}-y_{k})^{2}-(\zeta _{i}-z_{k})^{2}.$
Die Summirung ist so zu verstehen, dass je ein Punkt des ersten Systems $(m_{1},\;m_{2},\ldots m_{n})$ mit je einem Punkte des andern $(M_{1},\;M_{2},\ldots M_{R})$ zusammengestellt, für jede Zusammenstellung die Function $F_{ik}(r_{ik})\!$ gebildet und alle entstehenden Functionen summirt werden. In dem Integral
* $F_{ik}(r_{ik})=\int f_{ik}(r_{ik})dr_{ik}$
ist die Integrationsconstante so zu wählen, dass $F_{ik}(r_{ik})=0\!$ wird für $r_{ik}=\infty$. Dann ist
| (3) | $P=\sum F_{ik}(r_{ik})$ |
das Potential des einen Massensystems auf das andere.
Bei Anziehung im umgekehrten Verhältnis des Quadrates der Entfernung hat man jetzt das Potential
* $P=\sum _{k=1}^{\nu }M_{k}\sum _{i=1}^{n}{\frac {m_{i}}{r_{ik}}}.$
Bei Abstossung nach demselben Gesetze ist in (2) und (4) auf der rechten Seite negatives Vorzeichen zu setzen.
Die Potentialfunction einer anziehenden (oder abstossenden) Masse auf einen Punkt $(x,\,y,\,z)$ ist das Potential dieser Masse auf die in dem Punkte $(x,\,y,\,z)$ concentrirte Masseneinheit.
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:170

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das vollständige Differential der Function $P\!$. Es gibt die Arbeit an, welche das System in dem auf die abgelaufene Zeit $t\!$ folgenden Zeitelement $dt\!$ verrichtet.
Setzen wir noch zur Abkürzung
* $\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{2}}m_{i}\;v_{i}^{2}=T,$
so kann unter der eben gemachten Voraussetzung die Gleichung (1) geschrieben werden
| (2) | $\!T-P={\text{const.}}$ |
Die Differenz der beiden Functionen $T\!$ und $P\!$ nennt man die mechanische Kraft des Systems. Die Function $T\!$ heisst die virtuelle mechanische Kraft, $P\!$ die potentielle mechanische Kraft.
Wir bezeichnen mit $T_{0}\!$ und $P_{0}\!$ die Werthe, welche die Functionen $T\!$ und $P\!$ zur Zeit $t=0\!$ haben. Dann ergibt sich aus (2) unmittelbar
| (3) | $\!T-T_{0}=P-P_{0}.$ |
Wenn also die Bedingung für das Vorhandensein der Function $P\!$ erfüllt ist, so berechnet sich der Zuwachs an lebendiger Kraft (virtueller mechanischer Kraft), welche das freie System von materiellen Punkten bei einer wirklich ausgeführten Bewegung erfährt, als die Differenz der Werthe, welche die Function $P\!$ für die Anfangs- und die Endlage der Punkte des Systems besitzt. Diese Differenz ist aber unabhängig von den Wegen, auf welchen die Punkte aus ihrer Anfangslage in die Endlage übergeführt werden. Dieser Satz, welcher in Gleichung (3), oder auch in Gleichung (2) sich ausspricht, ist für das freie System von bewegten materiellen Punkten das Princip der Erhaltung der lebendigen Kraft.
Wir gehen zu einem besonderen Falle über. Die Kräfte, von welchen die materiellen Punkte des freien Systems in Anspruch genommen werden, sollen gegenseitige Anziehungen oder Abstossungen sein, deren Grösse nur von den Massen der auf einander wirkenden Punkte und von ihrer Entfernung abhängt. Dann gibt es eine Function $P\!$, wie sie im vorigen Paragraphen eingeführt
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:172

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* $\int \limits _{0}^{t}f_{ik}(r_{ik}){\frac {dr_{ik}}{dt}}dt=F_{ik}(r_{ik})-[F_{ik}(r_{ik})]_{t=0}.$
Die Gesammtarbeit aller Massen des ganzen Systems findet sich, indem man in dem letzten Ausdruck für $i\;k\!$ alle Combinationen zweiter Klasse aus den Elementen $1,2,3,\ldots n\!$ setzt und die entstehenden einzelnen Werthe summirt. Die Gesammtarbeit ist also
| (1) | $\sum F_{ik}(r_{ik})-\sum [F_{ik}(r_{ik})]_{t=0}.$ |
Die Summe $\sum F_{ik}(r_{ik})$ ist die potentielle mechanische Kraft $P\!$. Wir nennen sie kürzer das Potential. Die Integrations-Constante soll so gewählt werden, dass $P=0\!$ ist, wenn alle Punkte in unendlicher Entfernung liegen.
Das Potential ist also die Arbeit, welche verrichtet würde bei der Uebertragung der Punkte aus unendlicher Entfernung in ihre wirkliche Lage.
Das Potential ist unabhängig von den Wegen, auf welchen man diese Uebertragung vornehmen will. Ebenso ist aber die Gesammtarbeit (1) des Massensystems, die bei dem Uebergange aus einer Lage im endlichen Gebiete in eine andere solche Lage verrichtet wird, unabhängig von den Wegen, welche die einzelnen Punkte durchlaufen. Sie hängt allein von der Anfangs- und von der Endlage der Punkte des Systems ab. Man kann also, wenn es nur auf die Berechnung der verrichteten mechanischen Arbeit ankommt, alle Punkte aus ihrer Anfangslage in unendliche Entfernung rücken und hierauf in ihre Endlage übergehen lassen. Bei der ersten Bewegung erhält man als Arbeit den negativen Werth des Potentials für die Anfangslage, bei der zweiten das Potential selbst für die Endlage. Dies ist die Bedeutung des Ausdrucks (1).
Bei Anziehung im umgekehrten Verhältnis des Quadrates der Entfernung ist das Potential
| (2) | $P=\sum {\frac {m_{i}\;m_{k}}{r_{ik}}}.$ |
Hier ist wieder für $i\;k$ jede Combination zweiter Klasse aus den Elementen $1,2,3,\ldots n\!$ zu nehmen, und die entstehenden einzelnen Ausdrücke sind zu summiren.
Wir haben bis jetzt vorausgesetzt, dass jeder Punkt des Systems mit allen anderen in Wechselwirkung stehe. Das Potential,
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:175

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man nun zwei Uebergänge mit einander, bei denen die Wege, die jeder einzelne Punkt durchläuft, nur unendlich wenig von einander abweichen, so sind auch die Werthe des Integrals (4) für den einen und für den anderen Uebergang nur unendlich wenig von einander verschieden. Die Aenderung, welche dem Integralwerth für den ersten Uebergang zu ertheilen ist, damit der Integralwerth für den zweiten Uebergang herauskomme, wird die Variation des Integrals (4) genannt.
Die Gleichung (3) sagt aus, dass von allen denkbaren Uebergängen aus der gegebenen Anfangslage in die gegebene Endlage in Wirklichkeit derjenige zu Stande kommt, für welchen die Variation des Integrals (4) gleich Null ist.
Um zu beweisen, dass dieser Satz nichts anderes ist als das Princip des Lagrange, führen wir die Variation wirklich aus.
Es ist zunächst
* $T=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{2}}m_{i}\left\lbrace \left({\frac {dx_{i}}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy_{i}}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz_{i}}{dt}}\right)^{2}\right\rbrace ,$
also findet sich
* $\delta T=\sum m_{i}\left\lbrace {\frac {dx_{i}}{dt}}{\frac {d\;\delta x_{i}}{dt}}+{\frac {dy_{i}}{dt}}{\frac {d\;\delta y_{i}}{dt}}+{\frac {dz_{i}}{dt}}{\frac {d\;\delta z_{i}}{dt}}\right\rbrace$
und in Folge davon
* ${\begin{aligned}\delta \int \limits _{0}^{t}T\;dt&=\int \limits _{0}^{t}\sum m_{i}\left\lbrace {\frac {dx_{i}}{dt}}{\frac {d\;\delta x_{i}}{dt}}+{\frac {dy_{i}}{dt}}{\frac {d\;\delta y_{i}}{dt}}+{\frac {dz_{i}}{dt}}{\frac {d\;\delta z_{i}}{dt}}\right\rbrace dt\\&=\sum m_{i}\int \limits _{0}^{t}\left\lbrace {\frac {dx_{i}}{dt}}{\frac {d\;\delta x_{i}}{dt}}+{\frac {dy_{i}}{dt}}{\frac {d\;\delta y_{i}}{dt}}+{\frac {dz_{i}}{dt}}{\frac {d\;\delta z_{i}}{dt}}\right\rbrace dt.\\\end{aligned}}$
Den Ausdruck
* $\int \limits _{0}^{t}{\frac {dx_{i}}{dt}}{\frac {d\;\delta x_{i}}{dt}}dt$
wollen wir durch Integration nach Theilen umformen. Dadurch ergibt sich
* $\int \limits _{0}^{t}{\frac {dx_{i}}{dt}}{\frac {d\;\delta x_{i}}{dt}}dt=\left({\frac {dx_{i}}{dt}}\delta x_{i}\right)_{t}-\left({\frac {dx_{i}}{dt}}\delta x_{i}\right)_{t=0}-\int \limits _{0}^{t}\delta x_{i}{\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}dt.$
Für die Anfangslage $(t=0)\!$ und für die Endlage (nach Ablauf der Zeit $t\!$) ist aber $\delta x_{i}=0,\!$ also fällt der vom Integralzeichen
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:178

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
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wieder so beschaffen sein, dass ein Potential vorhanden ist. Dann spricht sich das Princip des Lagrange in der Gleichung aus:
| (1) | $\sum _{i=1}^{n}\left\lbrace \left({\frac {\partial P}{\partial x_{i}}}-m_{i}{\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}+X_{i}^{\prime }\right)\right.\delta x_{i}$ |
* ${\begin{aligned}&+\left({\frac {\partial P}{\partial y_{i}}}-m_{i}{\frac {d^{2}y_{i}}{dt^{2}}}+Y_{i}^{\prime }\right)\delta y_{i}\\&\left.+\left({\frac {\partial P}{\partial z_{i}}}-m_{i}{\frac {d^{2}z_{i}}{dt^{2}}}+Z_{i}^{\prime }\right)\delta z_{i}\right\rbrace =0.\\\end{aligned}}$
Es kömmt nun darauf an, für jeden Punkt des Systems die Zusatzkräfte $X_{i}^{\prime },\,Y_{i}^{\prime },\,Z_{i}^{\prime }$ wirklich ausfindig zu machen. Zu dem Ende kann man die Sache auch so auffassen. Es ist erlaubt, für jeden Punkt des unfreien Systems solche Kräfte hinzuzufügen, die sich gegenseitig im Gleichgewicht halten. Für den Punkt $(x_{i},\,y_{i},\,z_{i})$ fügen wir parallel den Coordinatenaxen die Kräfte
* $X_{i}^{\prime },\,Y_{i}^{\prime },\,Z_{i}^{\prime }$
und die Kräfte
* $-X_{i}^{\prime },\,-Y_{i}^{\prime },\,-Z_{i}^{\prime }$
$X_{i}^{\prime },\,Y_{i}^{\prime },\,Z_{i}^{\prime }$
$-X_{i}^{\prime },\,-Y_{i}^{\prime },\,-Z_{i}^{\prime }$
Es ist also vor allem nothwendig, zu untersuchen, wie die Kräfte beschaffen sind, welche durch die Verbindungen aufgehoben werden und ihrerseits die Wirkungen der Verbindungen aufheben. Wir betrachten deshalb die verschiedenen Arten der Verbindungen.
Erstens. Zwei Punkte $(x_{i},\,y_{i},\,z_{i})$ und $(x_{k},\,y_{k},\,z_{k})$ seien durch eine starre Verbindungslinie gezwungen, in constanter Entfernung von einander zu bleiben (Fig. 29 u. 30). Die Bedingung, welche
# Topographia Westphaliae: Halteren

Topographia Germaniae :
| Halteren (heute: Haltern am See) ||
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| aus: Matthäus Merian (Herausgeber und Illustrator) und Martin Zeiller (Textautor): Topographia Westphaliae. Merian, Frankfurt am Main 1647, S. 85. ||
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[85] Halteren / an der Lippe / nahend Dulmen / vnnd Koesfeld / in der Herrschafft Dulman / ein Münsterisch Stättlein.
# Topographia Westphaliae: Harbstett

Topographia Germaniae :
| Harbstett (heute: Harpstedt) ||
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| aus: Matthäus Merian (Herausgeber und Illustrator) und Martin Zeiller (Textautor): Topographia Westphaliae. Merian, Frankfurt am Main 1647, S. 85. ||
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[85] Harbstett / oder Harpstede / an dem Wasser Delmen / nahend Delmenhorst / in der Graffschafft Oldenburg gelegen / ein Schloß / vnd Vogtey / so vom Stifft Münster an Oldenburg / durch Graff Anthonium, der Anno 1573. gestorben / gebracht worden.
# Topographia Westphaliae: Hattingen

Topographia Germaniae :
| Hattingen ||
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| aus: Matthäus Merian (Herausgeber und Illustrator) und Martin Zeiller (Textautor): Topographia Westphaliae. Merian, Frankfurt am Main 1647, S. 85. ||
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[85] Hattingen / in der Graffschafft Marck / an den Bergischen Gräntzen / vnnd an der Roer / oder Ruhr / welche Statt die Keyserischen / Anno 1636. eingenommen haben.
# Topographia Westphaliae: Hamont

Topographia Germaniae :
| Hamont ||
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| aus: Matthäus Merian (Herausgeber und Illustrator) und Martin Zeiller (Textautor): Topographia Westphaliae. Merian, Frankfurt am Main 1647, S. 85. ||
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[85] Hamont / ein Stättlein / im Stifft Lüttich / zu eusserst / an den Brabandischen Gräntzen / gelegen.
# Topographia Westphaliae: Haselunen

Topographia Germaniae :
| Haselunen (heute: Haselünne) ||
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| aus: Matthäus Merian (Herausgeber und Illustrator) und Martin Zeiller (Textautor): Topographia Westphaliae. Merian, Frankfurt am Main 1647, S. 30. ||
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Ein kleines Stättlein in Westphalen / vier Meilen von Kloppenburg / auff Lingen zu / vnd an dem Wasser Hase / gelegen / so mit gedachter Statt Kloppenburg / von der Graffschafft Tecklenburg / an das Stifft Münster kommen ist. Anno 1639. hat der Keyserliche General Feldmarschall Leutenant / Freyherr von Luttersheim / einen Rittmeister mit siebentzig Pferden abgefertiget / der den Schwedisch-Königsmarckischen nachgegangen / welche in hundert Pferd starck / auff dieses Stättlein Haselunen zu gewolt / selbiges rund vmb zuversichern / daß niemands herauß kommen möchte. Da dann die Schwedischen vor dem Stättlein (darinnen nur fünfftzig Soldaten / auß den Besatzungen der nächstgelegenen Orten / Meppen / vnnd Förstenawe / lagen / welche schon im Accord stunden / vnnd sich nicht anderst / dann gefangen zugeben / zu salvieren wusten) von den Keyserischen angegriffen / geschlagen / zertrennet / der Rittmeister / Leutenant / vnnd Fändrich / sampt fünfftzig gefangen bekommen / vnnd hiedurch auch die besagte fünfftzig Soldaten / so im Stättlein gelegen / errettet / die gemelte Gefangene aber / sampt den Pferden / vnd der Beute / in die Statt Vechte eingebracht worden seyn. Siehe Tom. 4. Theatri Europaei p. 109.
Es stehet in einem Bericht / daß Haseln / im Embsland / ein wolgelegene Statt / Anno 1635. von den Keyserischen sey eingenommen worden. Gleiches wird auch in der Franckfurtischen Lateinischen Frülings Relation / de Anno 1636. vermeldet: Daß solche Statt von den Keyserischen den 25. Octobris eingenommen worden / nach deme damals die Schwedischen von deß Obristen Knipphausen Regiment darinn gelegen gewesen. Nun wil sich kein Haseln finden lassen / daher zuvermuhten / weiln Haselunen nahend der Embs gelegen / es werde eben solcher Ort vnter Haseln verstanden werden / so die im Lande / wie mit andern Worten mehr geschicht / also kurtz außsprechen.
# Topographia Westphaliae: Hasselt

Topographia Germaniae :
| Hasselt ||
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| aus: Matthäus Merian (Herausgeber und Illustrator) und Martin Zeiller (Textautor): Topographia Westphaliae. Merian, Frankfurt am Main 1647, S. 30. ||
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| Hasselt (Belgien) in der Wikipedia ||
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An der Demer / im Stifft Lüttich / vier Meilen von Mastricht / vnnd sechs von Lüttich gelegen / ein ziemlich feine / Volckreiche / wolgebawete Statt. Die Landtafel nennet die Gegend herumb / das Land von Loen / andere Comitatum Lossussensem. Zu nächst bey Hasselt / an der gedachten Demer / ligt das schöne Dorff Curingen / allda ein herrlich schöner Pallast ist / in welchem sich die Bischöffe von Lüttich bißweilen zuerlustigen gepflegt haben. Ingleichem ligt nicht weit von hinnen Herquenrode / eine Abtey vnnd Nonnen Kloster / Cistercienser Ordens. Von Hasselt seynd Joannes Leonardus Hasselius, vnnd Fr. Titelmannus, bürtig gewesen / deren Aub. Miraeus in Elogiis Belg. oder Illustrium Belgii Scriptorum Vitis pag. 29. gedencket.
# Topographia Westphaliae: Hallenberg

Topographia Germaniae :
| Hallenberg ||
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| aus: Matthäus Merian (Herausgeber und Illustrator) und Martin Zeiller (Textautor): Topographia Westphaliae. Merian, Frankfurt am Main 1647, S. 85. ||
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[85] Hallenberg / im Hertzogthumb Westphalen / an der Orck / vnd den Waldeckischen Gräntzen / so die Franckenbergische Chronic / am 45. Blat / dem Ertzstifft Cölln / vnd zwar recht / gibet: Vnd am 57. Blat / die Niderlag der Hessen von Franckenberg / von diesem Stättlein / Anno 1465. erlitten / beschreibet. Ligt nicht weit von Sassenberg / Winterberg / vnd Medebach / welche beyde letzte auch Chur Cöllnisch / in dem Hertzogthumb Westphalen gelegen / seyn.