# Mathematische Principien der Naturlehre/Buch2-III

§. 16. Lehrsatz. Erleidet ein Körper einen Widerstand, welcher zum Theil der Geschwindigkeit selbst, zum Theil ihrem Quadrat proportional ist, und bewegt er sich lediglich vermöge eines, durch eine Kraft ihm beigebrachten Anstosses, im gleichförmigen Mittel; werden endlich die Zeiten in arithmetischer Progression angenommen; so stehen die den Geschwindigkeiten umgekehrt proportionalen Grössen, wenn sie um irgend eine Grösse zunehmen, in geometrischer Progression.
Man beschreibt zum Mittelpunkt C und den rechtwinkligen Asymptoten CADd und CH eine Hyperbel BEeS, und es seien AB, DE und de der Asymptote CH parallel. Auf der Asymptote CD seien die Punkte A und G gegeben. Wird alsdann die Zeit durch die gleichförmig wachsende hyperbolische Fläche ABED ausgedrückt, so kann die Geschwindigkeit durch die Länge DF ausgedrückt werden, deren reciproke Länge GD, in Verbindung mit der Constanten CG, die Linie CD darstellt, welche in geometrischer Progression zunimmt.
Es sei nämlich DEed ein gegebenes möglichst kleines Increment der Zeit, alsdann verhält sich
Das Increment von $\scriptstyle {\frac {1}{GD}}$ ist (nach zweitem Buch, §. 10.) = $\scriptstyle {\frac {Dd}{GD^{2}}}$ und verhält sich daher wie
$\scriptstyle {\frac {CD}{GD^{2}}}={\frac {CG+GD}{GD^{2}}}={\frac {1}{GD}}+{\frac {CG}{GD^{2}}}$
Nimmt also die Zeit ABED, durch Addition constanter Theilchen EDde gleichförmig zu, so nimmt $\scriptstyle {\frac {1}{GD}}$ in demselben Verhältniss wie die Geschwindigkeit ab. Das Decrement der Geschwindigkeit verhält sich nämlich wie der Widerstand, d. h. (nach der Voraussetzung) wie die Summe zweier Grössen, deren eine der Geschwindigkeit selbst, deren andere ihrem Quadrat proportional ist, und das Decrement von $\scriptstyle {\frac {1}{GD}}$ verhält sich wie die Summe
$\scriptstyle {\frac {1}{GD}}+{\frac {CG}{GD^{2}}}$
deren erster Summand $\scriptstyle {\frac {1}{GD}}$ selbst, deren zweiter $\scriptstyle {\frac {1}{GD}}$ proportional ist. Wegen des analogen Decrementes verhält sich $\scriptstyle {\frac {1}{GD}}$ demnach wie die Geschwindigkeit. Wird nun die Grösse GD, welche $\scriptstyle {\frac {1}{GD}}$ umgekehrt proportional ist, um die constante Grösse CG vergrössert, so nimmt ihre Summe CD, während die Zeit ABED gleichförmig wächst, in geometrischer Progression zu. W. z. b. w.
Zusatz 1. Sind die Punkte A und G gegeben, und wird die Zeit durch die hyperbolische Fläche ABED bezeichnet; so kann die Geschwindigkeit durch $\scriptstyle {\frac {1}{GD}}$ welches GD umgekehrt proportional ist, ausgedrückt werden.
Zusatz 2. Nimmt man an, dass GA sich zu GD umgekehrt wie die Anfangsgeschwindigkeit zur Geschwindigkeit am Ende der beliebigen Zeit ABED verhalte; so erhält man den Punkt G. Ist dieser gefunden, so kann man aus jeder andern gegebenen Zeit die Geschwindigkeit herleiten.
§. 17. Lehrsatz. Unter denselben Voraussetzungen behaupte ich, dass, wenn die beschriebenen Wege in arithmetischer Progression angenommen werden, die um irgend eine Grösse zunehmenden Geschwindigkeiten in geometrischer Progression stehen.
Auf der Asymptote CD sei der Punkt R gegeben, und es stelle, indem man das, die Hyperbel in S schneidende, Perpendikel RS errichtet, die hyperbolische Fläche RSED den beschriebenen Weg dar. Alsdann wird sich die Geschwindigkeit wie die Linie GD verhalten, welche, zur constanten CG addirt, die Linie CD ergiebt, die in geometrischer Progression abnimmt, während der Weg RSED in arithmetischer Progression zunimmt.
Wegen des constanten Increments EDde des Weges wird die kleine Linie Dd, welche das Decrement der Linie GD ist, sich indirect wie ED, also direct wie CD = CG + GD verhalten. Allein das Decrement der Geschwindigkeit, welches in einer ihr proportionalen Zeit stattfindet, während welcher Zeit das Theilchen EDde des Weges beschrieben wird, verhält sich wie der Widerstand und die Zeit zusammengesetzt, d. h. direct wie die Summe zweier Grössen, deren eine der Geschwindigkeit selbst, deren andere dem Quadrat der letztern proportional ist und indirect wie die Geschwindigkeit. Es verhält sich demnach direct wie die Summe zweier Grossen, deren eine constant, deren andere der Geschwindigkeit proportional ist. Daher verhält sich sowohl das Decrement der Geschwindigkeit, als auch das der Linie GD, wie die Summe einer constanten und einer abnehmenden Grösse. Wegen der analogen Decremente sind die abnehmenden Grössen selbst, d. h. die Geschwindigkeit und die Linie GD analog. W. z. b. w,
Zusatz 1. Wird daher die Geschwindigkeit durch die Linie GD bezeichnet, so ist der beschriebene Weg der hyperbolischen Fläche DERS proportional.
Zusatz 2. Nimmt man den Punkt R beliebig an, so findet man den Punkt G, indem man voraussetzt, dass GR sich zu GD verhalte, wie die Aufgangsgeschwindigkeit zu der, nach Beendigung des Weges RSED stattfindenden Geschwindigkeit. Ist der Punkt G gefunden, so erhält man den Weg aus der gegebenen Geschwindigkeit und umgekehrt.
Zusatz 8. Da nach §. 16. aus der gegebenen Zeit die Geschwindigkeit, und nach diesem §. aus der gegebenen Geschwindigkeit der Weg sich ergiebt; so erhält man den Weg aus der gegebenen Zeit, und umgekehrt.
§. 18. Lehrsatz. Ein Körper, welcher durch die gleichförmige Kraft der Schwere abwärts gezogen wird, steigt geradlinig auf oder ab, und erleidet einen Widerstand, welcher zum Theil der Geschwindigkeit selbst, zum Theil ihrem Quadrat proportional ist. Zieht man nun durch die Endpunkte der conjugirten Durchmesser eines Kreises oder einer Hyperbel Linien, welche den Durchmessern parallel sind, und verhalten sich die Geschwindigkeiten wie bestimmte Stücke dieser Parallelen, von einem gegebenen Punkte an gerechnet; so verhalten sich die Zeiten wie die Sectoren der Flächen, welche man erhält, indem man den Mittelpunkt mit den Endpunkten jener Stücke durch gerade Linien verbindet, und umgekehrt.
1. Fall. Gesetzt, der Körper steige aufwärts, es werde zum Mittelpunkt D und mit irgend einem Halbmesser DB der Kreisquadrant BETF beschrieben. Durch den Endpunkt B des Halbmessers DB ziehe man die unbegrenzte Gerade
$\scriptstyle \parallel$
Auf ersterer sei der Punkt A gegeben, und man nehme das Stück AP der Geschwindigkeit proportional an. Da der eine Theil des Widerstandes der Geschwindigkeit selbst der andere Theil ihrem Quadrat proportional ist, so verhält sich der ganze Widerstand in P wie
Zieht man nun DA und DP, welche den Kreis in E und T schneiden, und drückt man die Schwere durch DA² aus, so dass dieselbe sich zum Widerstände in P verhalte wie
so wird die Zeit des ganzen zukünftigen Aufsteigens dem Sector EDTE proportional sein.
Man ziehe DVQ, welche von der Geschwindigkeit AP das Moment PQ, und vom Sector DET das Moment DVT, beide den Moment der Zeit entsprechend, abschneidet. Jenes Decrement PQ der Geschwindigkeit verhält sich wie die Summe der Schwere und des Widerstandes, d. h. wie
Ferner ist die Fläche DPQ der Linie PQ, also DP² proportional, und endlich verhält sich die Fläche DTV (indem DTV : DPQ — DT² : DP²) wie die Constante DT². Demnach nimmt die Fläche EDT nach der Weise der zukünftigen Zeit, durch Subtraction der constanten Theilchen DTV gleichförmig ab, und ist daher der Zeit des zukünftigen Aufsteigens proportional. W. z. b.w.
proportional angenommen. Ist nun die Kraft der Schwere zu klein, um durch
ausgedrückt zu werden; so nehme man BD so gross an, dass diese Kraft sich wie
verhalte. Es sei DF perpendikulär auf DB und gleich DB, und man beschreibe durch F als Scheitel die Hyperbel FTVE, deren conjugirte Halbmesser DB und DF sind und welche DA in E, DP in F und DQ in V schneidet; alsdann wird die Zeit des ganzen zukünftigen Aufsteigens dem hyperbolischen Sector DTE proportional. Das Decrement PQ der Geschwindigkeit, welches in einem gegebenen Zeittheilchen hervorgebracht wird, verhält sich nämlich wie die Summe
d. h. wie
Es verhält sich aber ferner die Fläche DTV zu der DPQ, wie
d. h. wenn man auf DF das Perpendikel TG fällt,
| DTV : DPQ | = GT² : BD² = GD² — DF² : BD² = GD² : BP² = DF² : PB² — BD². |
Da nun DPQ sich verhält wie PQ, d. h, wie BP² — BD², so wird DTV proportional DF².
Die Fläche EDT nimmt daher in den einzelnen gleichen Zeittheilchen, durch Subtraction eben so vieler constanter Theilchen DTV, gleichförmig ab und ist somit der Zeit proportional. W, z. b. w.
3. Fall. Es sei AP die Geschwindigkeit beim Herabsteigen des Körpers, ferner der Widerstand = AP² + 2 · AP · AB, die Kraft der Schwere = DB² — AB², wobei DBA ein rechter Winkel ist. Beschreibt man zum Mittelpunkt D und Hauptscheitelpunkt B die rechtwinklige Hyperbel BETV, welche die verlängerten Linien DA, DP und DQ in E, T und V schneidet; so wird der Sector DET dieser Hyperbel der Zeit des Herabsteigens proportional.
Das Increment PQ der Geschwindigkeit und die ihm proportionale Fläche DPQ verhält sich nämlich wie der Ueberschuss der Schwere über den Widerstand, d. h. wie
Ferner ist
| DTV : DPQ | = DT² : DP² = GT² : BP² = DG² — DB² : BP² = DG² : DB² = DB² : DB² — BP². |
Da nun die Fläche DPQ sich wie PQ oder wie DB² — BP² verhält, so ist die Fläche DTV der Constanten DB² proportional. Die Fläche EDT wächst also gleichförmig in den einzelnen gleichen Zeittheilchen, durch Addition eben so vieler constanter Theilchen DTV, und daher ist sie der Zeit des Herabsteigens proportional. W. z. b. w.
Zusatz. Construirt man zum Mittelpunkt D, Halbmesser A und Scheitel A den Bogen
so dass der erstere auf ähnliche Weise den Winkel ADT unterspannt, so verhält sich die Geschwindigkeit AP zu derjenigen, welche der Körper in der Zeit EDT, im nicht widerstehenden Mittel aufsteigend verlieren oder absteigend gewinnen könnte, wie das Dreieck DAP zum Sector DAt. Man erhält sie daher aus der gegebenen Zeit. Im nicht widerstehenden Mittel ist nämlich die Geschwindigkeit der Zeit, also diesem Sector proportional, im widerstehenden Mittel dem Dreieck DAP. In beiden Mitteln nähert sie sich, wenn sie sehr klein ist, dem Verhältniss der Gleichheit, wie dies beim Sector und Dreieck der Fall ist.
Anmerkung. Dasselbe könnte auch beim Aufsteigen des Körpers bewiesen werden, wenn die Kraft der Schwere zu klein ist, um durch
und zu gross, um durch
ausgedrückt zu werden, und daher durch AB² ausgedrückt werden muss. Ich gehe aber zu andern Untersuchungen über.
§. 19. Lehrsatz. Unter denselben Voraussetzungen verhält sich der beim Auf- oder Absteigen beschriebene Weg, wie die Summe oder Differenz derjenigen Fläche, durch welche die Zeit ausgedrückt wird und einer andern Fläche, welche in arithmetischer Progression zu- oder abnimmt; wenn die aus dem Widerstande und der Schwere zusammengesetzten Kräfte in geometrischer Progression angenommen werden.
Man nehme AC der Schwere und AK dem Widerstande proportional an, und zwar beide nach derselben Seite von A, wenn der Körper absteigt, nach entgegengesetzten Seiten, wenn er aufsteigt.
Man errichte das Perpendikel Ab, und mache dasselbe so gross, dass
werde, construire zu den rechtwinkligen Asymptoten CH und CK die Hyperbel bN, und errichte das Perpendikel KN auf CK. Alsdann wird die Fläche AbNK in arithmetischer Progression zu- oder abnehmen, während die Kräfte CK in geometrischer angenommen werden. Ich behaupte aber, dass der Abstand des Körpers von seiner grössten Höhe sich verhalte wie
Da nämlich AK dem Widerstande, d. h.
proportional ist, so nehme man irgend eine constante Grösse Z an und setze
$\scriptstyle {\frac {AP^{2}+2\cdot AB\cdot AP}{Z}}$
Nach §. 10. des zweiten Buches ist alsdann das Differential von AK, d. h.
$\scriptstyle {\frac {2AP\cdot PQ+2AB\cdot PQ}{Z}}={\frac {2BP\cdot PQ}{Z}}$
Ferner wird das Differential der Fläche
$\scriptstyle {\frac {2BP\cdot PQ\cdot OL}{Z}}$
oder, weil nach der Proportion 1.
$\scriptstyle {\frac {DB^{3}}{4AB\cdot LC}}={\frac {DB^{3}}{4\cdot AB\cdot KC}}$
$\scriptstyle {\frac {BP\cdot PQ\cdot DB^{3}}{2Z\cdot CK\cdot AB}}$
1. Fall. Steigt nun der Körper aufwärts, so sei BET (Fig. 157.) ein Kreis und die Schwere proportional
Alsdann ist die Linie AC, welche sich wie die Schwere verhält,
$\scriptstyle {\frac {AB^{2}+BD^{2}}{Z}}$
und
so wie
2. Fall. Steigt der Körper auf, und verhält sich die Schwere wie
so wird
$\scriptstyle {\frac {AB^{2}-BD^{2}}{Z}}$
Ferner ist
| DT² : DP² | = DF² : BP² — BD² = DB² : BP² — BD² = DB² : AP² + 2AP . AB + AB² — BD² = DB² : AK . Z + AC . Z = DB² : CK . Z, |
endlich
3. Fall. Auf dieselbe Weise erhält man, wenn der Körper herabsteigt, und die Schwere sich daher wie
$\scriptstyle {\frac {BD^{2}-AB^{2}}{Z}}$
Da mithin jene Flächen stets in diesem Verhältniss stehen, so setze man statt der Fläche DTCV, wodurch das sich selbst immer gleiche Moment der Zeit bezeichnet wird, irgend ein bestimmtes Rechteck, wie
alsdann wird, weil
also
Für die Fläche AbNK wird nun das oben (in 7.) gefundene zugehörige Moment (Differential)
$\scriptstyle {\frac {BP}{AB}}\cdot {\frac {PQ\cdot BD^{3}}{2CK\cdot Z}}={\frac {BP\cdot BD\cdot m}{BA}}$
und da ferner
$\scriptstyle {\frac {AP\cdot BD\cdot m}{AB}}$
Der Unterschied der Momente, d. h. das Moment des Unterschiedes beider Flächen ist daher
$\scriptstyle {\frac {AP\cdot BD\cdot m}{AB}}$
und (weil $\scriptstyle {\frac {AP\cdot m}{AB}}$ constant ist) der Geschwindigkeit AP, d. h. dem Momente desjenigen Weges proportional, welchen der Körper auf- oder absteigend beschreibt. Demnach nimmt einerseits der Unterschied jener Flächen, andererseits der Weg mit einander proportionalen Momenten zu und ab, sie beginnen und verschwinden zugleich und sind daher selbst einander proportional. W. z. b. w.
Zusatz. Setzt man eine Linie M = $\scriptstyle {\frac {DET}{BD}}$, und nimmt man irgend eine Linie V so an, dass
wird; so verhält sich der ganze Weg, welchen der Körper auf- oder absteigend im widerstehenden Mittel beschreibt, zu dem in derselben Zeit im nicht widerstehenden Mittel beschriebenen Wege, wie der Unterschied jener Flächen, d. h. wie
$\scriptstyle {\frac {BD\cdot V^{2}}{AB}}$
$\scriptstyle {\frac {BD\cdot V^{2}}{AB}}={\frac {DA^{2}\cdot BD\cdot M^{2}}{DE^{2}\cdot AB}}$
proportional. Setzt man nun das Moment von M = m, so wird das Moment der Fläche $\scriptstyle {\frac {DA^{2}\cdot BD\cdot M^{2}}{DE^{2}\cdot AB}}$
$\scriptstyle ={\frac {2DA^{2}\cdot BD\cdot M\cdot m}{DE^{2}\cdot AB}}$
Dieses Moment verhält sich zu demjenigen von AbNK — DET, welches
$\scriptstyle ={\frac {AP\cdot BD\cdot m}{BA}}$
wie
$\scriptstyle {\frac {DA^{2}\cdot BD\cdot M}{DE^{2}}}$
$\scriptstyle {\frac {DA^{2}}{DE^{2}}}$
wenn nämlich DET und DAP möglichst klein werden.
Die Fläche $\scriptstyle {\frac {BD\cdot V^{2}}{AB}}$ und der Unterschied der Flächen AbNK — DET haben, wenn alle diese Flächen seht klein sind, gleiche Momente und sind daher selbst einander gleich. Da nun die Geschwindigkeiten und daher auch die Wege, welche in beiden Mitteln beim Anfange des Fallens oder Ende des Steigens zugleich beschrieben sind, sich der Gleichheit nähern und sich daher wie
$\scriptstyle {\frac {BD\cdot V^{2}}{AB}}$
verhalten; da ferner der Weg im nicht widerstehenden Mittel stets
$\scriptstyle {\frac {BD\cdot V^{2}}{AB}}$
der im widerstehenden Mittel aber
proportional ist: so müssen nothwendig die in beiden Mitteln während beliebiger gleicher Zeiten beschriebenen Wege sich verhalten wie
$\scriptstyle {\frac {BD\cdot V^{2}}{AB}}$
§. 19. a. Anmerkung. Der Widerstand sphärischer Körper in Flüssigkeiten entspringt theils aus der Zähigkeit, theils aus der Reibung und theils aus der Dichtigkeit des Mittels. Jener Theil desselben, welcher aus der Dichtigkeit des Mittels entspringt, steht, wie wir ausgesprochen haben, im doppelten Verhältniss der Geschwindigkeit, der andere aus der Zähigkeit entspringende Theil ist gleichförmig, oder dem Moment der Zeit proportional. Wir könnten daher nun zur Bewegung von Körpern übergehen, welche einen Widerstand erleiden, der zum Theil durch eine gleichförmige Kraft hervorgebracht wird, oder dem Moment der Zeit proportional ist, zum Theil im doppelten Verhältniss der Geschwindigkeit steht. Es ist aber hinreichend, den Zugang zu dieser Betrachtung in den §§. 12. und 13. nebst ihren Zusätzen eröffnet zu haben. In denselben kann man statt des gleichförmigen Widerstandes, welcher beim Aufsteigen aus der Schwere des Körpers entspringt, den gleichförmigen Widerstand substituiren, welchen die Zähigkeit des Mittels erzeugt, wenn der Körper sich allein vermöge des Anstosses einer ihm innewohnenden Kraft bewegt. Beim geradlinigen Aufsteigen des Körpers kann man diesen Widerstand zur Kraft der Schwere addiren, beim Absteigen ihn von derselben subtrahiren.
Wir könnten auch zur Bewegung von Körpern übergehen, welche einen Widerstand erleiden, der theils gleichförmig, theils der Geschwindigkeit, theils dem Quadrat der letztern proportional ist. Den Weg hierzu habe ich in den §§. 18. und 19. eröffnet, in denen ebenfalls der gleichförmige, aus der Zähigkeit des Mittels entspringende, Widerstand statt der Schwerkraft substituirt, oder wie vorhin mit ihr zusammengesetzt werden kann. Ich eile aber zu andern Untersuchungen.
* ↑ [602] No. 126. S. 268. (Fig. 154.) Man kann hier 2 AB · AP statt AP setzen, weil 2AB constant ist.
* ↑ [602] No. 127. S. 268. Es ist nämlich DPQ = $\scriptstyle {\frac {PQ\cdot DB}{2}}$, also proportional PQ, weil ½DB constant ist.
* ↑ [602] No. 128. S. 269. Die Gleichung der Hyperbel in Bezug auf ihren Mittelpunkt ist nämlich allgemein y² = $\scriptstyle {\frac {b^{2}}{a^{2}}}$ (x² — a²). Im vorliegenden Falle ist aber y = TG, x = DG, b = BD = DF = a, GT² = DG² — DF².
* ↑ [602] No. 129. S. 273. (Fig. 160.) Offenbar ist V der mit dem Radius DA, aus D als Mittelpunkt beschriebene Bogen AG.
* ↑ [602] No. 130. S. 273. Eigentlich DET². Es ist aber DET = ½ET · DE = ½ $\scriptstyle {\frac {DE^{2}}{DA}}$ V, also, insofern DE = DB und auch DA constant sind, DET² proportional V².

## Bemerkungen und Erläuterungen [des Übersetzers]

* {{{ANMERKUNG}}}