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# Schwere, Elektricität und Magnetismus:286

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
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* ${\begin{aligned}&{\frac {\partial }{\partial y}}\,\left\{{\frac {\partial (U_{1}-u_{1})}{\partial y}}-{\frac {\partial (U_{2}-u_{2})}{\partial x}}\,\right\}\\=&{\frac {\partial }{\partial z}}\,\left\{{\frac {\partial (U_{3}-u_{3})}{\partial x}}-{\frac {\partial (U_{1}-u_{1})}{\partial z}}\,\right\},\\\,\\&{\frac {\partial }{\partial z}}\,\left\{{\frac {\partial (U_{2}-u_{2})}{\partial z}}-{\frac {\partial (U_{3}-u_{3})}{\partial y}}\,\right\}\\=&{\frac {\partial }{\partial x}}\,\left\{{\frac {\partial (U_{1}-u_{1})}{\partial y}}-{\frac {\partial (U_{2}-u_{2})}{\partial x}}\,\right\},\\\,\\&{\frac {\partial }{\partial x}}\,\left\{{\frac {\partial (U_{3}-u_{3})}{\partial x}}-{\frac {\partial (U_{1}-u_{1})}{\partial z}}\,\right\}\\=&{\frac {\partial }{\partial y}}\,\left\{{\frac {\partial (U_{2}-u_{2})}{\partial z}}-{\frac {\partial (U_{3}-u_{3})}{\partial y}}\,\right\}.\\\end{aligned}}$
Diese partiellen Differentialgleichungen sind erfüllt, wenn man setzt:
* ${\frac {\partial (U_{1}-u_{1})}{\partial y}}={\frac {\partial (U_{2}-u_{2})}{\partial x}},\,$
* ${\frac {\partial (U_{2}-u_{2})}{\partial z}}={\frac {\partial (U_{3}-u_{3})}{\partial y}},\,$
* ${\frac {\partial (U_{3}-u_{3})}{\partial x}}={\frac {\partial (U_{1}-u_{1})}{\partial z}}.\,$
Darin spricht sich aber aus, dass die Differenzen $U_{1}-u_{1},\,U_{2}-u_{2},\,U_{3}-u_{3}$ die resp. nach $x,\,y,\,z$ genommenen Derivirten einer und derselben Function $F(x,\,y,\,z)$ sind.
Um nun die Functionen $u_{1},\,u_{2},\,u_{3}$ völlig zu bestimmen, darf man noch eine Gleichung hinzufügen. Wir wählen die Gleichung:
| (3) | ${\frac {\partial u_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial z}}=0.\,$ |
Durch sie gehen die Gleichungen (2) in folgende über:
| (4) | ${\frac {\partial ^{2}u_{1}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{1}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{1}}{\partial z^{2}}}=4\pi i_{1},$ ${\frac {\partial ^{2}u_{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{2}}{\partial z^{2}}}=4\pi i_{2},$ ${\frac {\partial ^{2}u_{3}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{3}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{3}}{\partial z^{2}}}=4\pi i_{3}.$ |
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:285

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Die Aufgabe des vorigen Paragraphen lässt sich auch noch auf einem anderen Wege lösen. Wir setzen
| (1) | $X={\frac {\partial u_{2}}{\partial z}}-{\frac {\partial u_{3}}{\partial y}},\,$ $Y={\frac {\partial u_{3}}{\partial x}}-{\frac {\partial u_{1}}{\partial z}},\,$ $Z={\frac {\partial u_{1}}{\partial y}}-{\frac {\partial u_{2}}{\partial x}}.\,$ |
Diese Ausdrücke sind so beschaffen, dass sie die Gleichung (4) des vorigen Paragraphen von selbst erfüllen. Die Gleichungen (1), (2), (3) des vorigen Paragraphen geben jetzt:
| (2) | ${\frac {\partial ^{2}u_{1}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{1}}{\partial z^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}u_{2}}{\partial y\partial x}}-{\frac {\partial ^{2}u_{1}}{\partial z\partial x}}=4\pi i_{1},$ ${\frac {\partial ^{2}u_{2}}{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}u_{3}}{\partial z\partial y}}-{\frac {\partial ^{2}u_{1}}{\partial x\partial y}}=4\pi i_{2},$ ${\frac {\partial ^{2}u_{3}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{3}}{\partial y^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}u_{1}}{\partial x\partial z}}-{\frac {\partial ^{2}u_{2}}{\partial y\partial z}}=4\pi i_{3}.$ |
Durch diese partiellen Differentialgleichungen sind die Functionen $u_{1},\,u_{2},\,u_{3}$ noch nicht völlig bestimmt. Denn angenommen, man habe eine Lösung $u_{1},\,u_{2},\,u_{3}$ gefunden, so bezeichne man mit $F(x,\,y,\,z)$ irgend eine Function von $x,\,y,\,z$, die mit ihren Derivirten endlich und stetig variabel ist. Dann genügen auch die Functionen
* $u_{1}+{\frac {\partial F}{\partial x}},\quad u_{2}+{\frac {\partial F}{\partial y}},\quad u_{3}+{\frac {\partial F}{\partial z}}$
den partiellen Differentialgleichungen (2) und geben vermöge der Gleichungen (1) für $X,\,Y,\,Z$ dasselbe wie die Lösung $u_{1},\,u_{2},\,u_{3}$. Und umgekehrt, wenn man ausser der Lösung $u_{1},\,u_{2},\,u_{3}$ noch eine andere Lösung $U_{1},\,U_{2},\,U_{3}$ gefunden hat, so sind die Differenzen
* $U_{1}-u_{1}\,$
* $U_{2}-u_{2}\,$
* $U_{3}-u_{3}\,$
die partiellen Derivirten einer und derselben Function $F(x,\,y,\,z)$, resp. nach $x\!$, nach $y\!$, nach $z\!$ genommen. Denn aus den Gleichungen (2) ergibt sich für diese Differenzen:
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:288

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solche Fortsetzung liefert dann für einen inneren Punkt im allgemeinen einen anderen Werth der Summe
| (1) | ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}.\,$ |
Diese Summe, durch $4\pi \,$ dividirt, gibt aber die magnetische Dichtigkeit in dem betreffenden Punkte an. Es gibt also, wie man sieht, unendlich viele Vertheilungen magnetischer Massen im Innern des Körpers, so beschaffen, dass sie die im ganzen äusseren Räume vorgeschriebenen magnetischen Wirkungen zu Stande bringen.
Nun kann man aber den Fall besonders ins Auge fassen, dass im ganzen inneren, wie im äusseren Räume keine magnetischen Massen und keine galvanischen Ströme vorhanden sind. Es entstehen dabei zwei Fragen, nemlich:
1) Können die im äusseren Räume vorgeschriebenen magnetischen Wirkungen dadurchhervorgebrachtwerden, dassin der Oberflächedes Körpers keinegalvanischen Ströme, sondern nur magnetische Massen vertheilt sind?
2) Können jene Wirkungen dadurch zu Stande kommen, dass in der Oberfläche des Körpers keine magnetischen Massen, sondern nur galvanische Ströme auftreten?
Jede dieser beiden Fragen ist besonders zu behandeln. Es wird sich finden, dass in dem einen wie in dem anderen Falle eine einzige bestimmte Vertheilung des Magnetismus, resp. der Ströme das Verlangte leistet.
Zunächst sind die Bedingungsgleichungen aufzustellen, in denen sich ausspricht, dass im Innern des Körpers keine magnetischen Massen und keine galvanischen Ströme vorhanden sind. Dazu wird erfordert, dass im Innern des Körpers an jeder Stelle
| (2) | ${\frac {\partial X}{\partial x}}+{\frac {\partial Y}{\partial y}}+{\frac {\partial Z}{\partial z}}=0$ |
sei, und dass ebenfalls im Innern an jeder Stelle die drei Gleichungen erfüllt seien:
| (3) | ${\frac {\partial Y}{\partial z}}-{\frac {\partial Z}{\partial y}}=0,$ ${\frac {\partial Z}{\partial x}}-{\frac {\partial X}{\partial z}}=0,$ ${\frac {\partial X}{\partial y}}-{\frac {\partial Y}{\partial x}}=0.$ |
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:290

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| (2) | $V_{-0}=V_{+0}\,$ |
sei.
Die Gleichung (1) sagt aus, dass im Innern keine magnetischen Massen und keine Ströme, die Gleichung (2), dass in der Oberfläche keine Ströme vorhanden sind.
Diese Aufgabe ist im §. 21 gelöst, und im §. 34 ist bewiesen, dass es immer eine und nur eine Auflösung gibt. Hat man dieselbe gefunden, so ergibt sich die Dichtigkeit der magnetischen Massen in einem Punkte $(x,y,z)\,$ der Oberfläche nach §. 65 (9) aus der Gleichung:
| (3) | $\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{+0}-\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{-0}=4\;\pi \;\rho .$ |
Wir gehen zu der zweiten Aufgabe über. Die im äusseren Raume gegebenen magnetischen Wirkungen sollen dadurch zu Stande kommen, dass galvanische Ströme nur in der Oberfläche des Körpers auftreten und nirgends magnetische Massen vorhanden sind.
Diese Aufgabe formulirt sich wie folgt:
Die Function $V\,$ ist für jeden Punkt im äusseren Räume in derselben Weise gegeben, wie bei der vorigen Aufgabe. Ihre Fortsetzung soll für das Innere des Körpers so bestimmt werden, dass sie darin der partiellen Differentialgleichung
| (1) | ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=0\;$ |
Genüge leistet, dass sie nebst ihren Derivirten im Innern endlich und stetig variabel sei, und dass an jeder Stelle der Oberfläche
| (2) | $\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{-0}=\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{+0}=N\,$ |
sei.
Die Gleichung (1) sagt aus, dass im Innern keine magnetischen Massen und keine Ströme, die Gleichung (2), dass in der Oberfläche keine magnetischen Massen vorhanden sind.
Aus der Gleichung (1) folgt noch
| (3) | $\int N\;d\;\sigma =0,\,$ |
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:291

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wenn das Integral über die Oberfläche des Körpers erstreckt wird. Um dies zu beweisen, errichten wir im Punkte $(x,\,y,\,z)$ der Oberfläche nach innen zu die Normale und bezeichnen eine von jenem Punkte aus darauf abgetragene Strecke mit $n\,$, so dass $n=-p\,$ ist für negative Werthe von $p\,$. Durch Anwendung des in §. 19 (4) entwickelten Hülfsatzes erhält man
* ${\begin{aligned}&\iiint \left({\frac {\partial X}{\partial x}}+{\frac {\partial Y}{\partial y}}+{\frac {\partial Z}{\partial z}}\right)\,dx\,dy\,dz\\&=-\int \left(X{\frac {\partial x}{\partial n}}+Y{\frac {\partial y}{\partial n}}+Z{\frac {\partial z}{\partial n}}\right)\,d\sigma .\\\end{aligned}}$
Dabei ist das Integral links über den ganzen Körper, das Integral rechts über seine Oberfläche auszudehnen. Beachtet man aber die Gleichungen (4) des §. 79, so lässt sich die letzte Gleichung so schreiben:
* $\iiint \left({\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}\right)\,dx\,dy\,dz\ =-\int {\frac {\partial V}{\partial n}}\,d\sigma .$
Nun ist aber vermöge der Gleichung (l) die linke Seite gleich Null. Es ist ferner
| (4) | $-{\frac {\partial V}{\partial n}}=\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{-0}=N.$ |
Setzt man dieses ein, so erlangt man die zu beweisende Gleichung (3).
Es kommt nun darauf an, zu beweisen, dass es immer eine, und nur eine Function $V\,$ gibt, die den aufgestellten Bedingungen Genüge leistet. Zu dem Ende bezeichnen wir mit $u\,$ eine einwerthige Function von $x,\,y,\,z$ über die nichts weiter festgesetzt wird, als dass sie selbst und ihre ersten Derivirten im Innern des Körpers überall endlich und stetig variabel sein sollen. Solcher Functionen gibt es unendlich viele. Folglich kann auch das über den Körper ausgedehnte Integral
| (5) | $\,\Omega (u)=\iiint {\Big \lbrace }\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u}{\partial z}}\right)^{2}{\Big \rbrace }\,dx\,dy\,dz$ |
unendlich viele verschiedene Werthe annehmen. Welche Function $u\,$ man aber auch nehmen möge, immer wird der Werth von $\Omega (u)\,$ positiv und endlich ausfallen. Das Erste ergibt sich aus der Form des Integrals, das Andere folgt unmittelbar aus der Voraussetzung. Wir wollen nur solche Functionen $u\,$ in Betracht ziehen, von denen
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:292

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
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keine zwei in constantem Verhältniss zu einander stehen. Diese Beschränkung wird eingeführt durch die Nebenbedingung, dass das Oberflächen-Integral
| (6) | $\int uNd\sigma =A\,$ |
sein soll. Unter $A\,$ verstehen wir eine von Null verschiedene Constante, deren Grösse vorläufig unbestimmt bleiben möge.
Bezeichnen wir eine von den unendlich vielen Functionen u \, mit v \,, so lässt jede andere sich in die Form bringen
* $u=v+hs,\,$
wenn $h\,$ eine passend zu wählende Constante bedeutet und $s\,$ eine Function, die im Innern des Körpers an dieselbe Bedingung geknüpft ist wie die Functionen $u\,$, mit der aus (6) hervorgehenden Nebenbedingung, dass das Oberflächen-Integral
| (7) | $\int sNd\sigma =0.\,$ |
Da die Werthe von $\Omega (u)\,$ endlich und positiv sind, so gibt es unter den Integralen (5), bei denen die Nebenbedingung (6) erfüllt ist, mindestens ein Minimum. Wir bezeichnen mit $v\,$ die Function, welche dieses Minimum zu Stande bringt. Dann lässt sich jede andere Function $u\,$ in die Form bringen
* $u=v+hs,\,$
und wenn man nun $h\,$ unendlich klein annimmt, so lautet die Bedingung des Minimum
| (8) | $\Omega (v)\leqq \Omega (v+hs).$ |
Das Integral $\Omega (v+hs)\,$ lässt sich in derselben Weise entwickeln wie in §. 34. Wir erhalten
| (9) | $Q(v+hs)\,$ $=\Omega (v)+2h\iiint \left({\frac {\partial v}{\partial x}}{\frac {\partial s}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}{\frac {\partial s}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial z}}{\frac {\partial s}{\partial z}}\right)dx\,dy\,dz$ $+h^{2}\Omega (s).\,$ |
Auf der rechten Seite dieser Gleichung wollen wir den zweiten Bestandteil nach §. 20 transformiren. Es findet sich
| (10) | $\iiint \left({\frac {\partial v}{\partial x}}{\frac {\partial s}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}{\frac {\partial s}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial z}}{\frac {\partial s}{\partial z}}\right)dx\,dy\,dz$ $=-\int s\,{\frac {\partial v}{\partial n}}\,d\sigma -\iiint s\left({\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial z^{2}}}\right)dx\,dy\,dz.$ |
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:293

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Nun kommen aber nur solche Functionen $s\,$ in Betracht, welche die Nebenbedingung (7) erfüllen. Um diese mit zu berücksichtigen, multipliciren wir ihre beiden Seiten mit einer vorläufig noch unbestimmten constanten Grösse $k\,$, ferner mit $2h\,$ und verbinden das Resultat mit (10) durch Addition. Dadurch findet sich, dass bei Gültigkeit der Gleichung (7) die Gleichung (9) in folgende übergeht:
| (11) | $\Omega (v+hs)\,$ |
* $=\Omega (v)-2h\int s\left({\frac {\partial v}{\partial n}}-kN\right)d\sigma \,$
* $-2h\iiint s\left({\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial z^{2}}}\right)dx\,dy\,dz\,$
* $+h^{2}\Omega (s).\,$
Dies gilt für jeden Werth der Constanten $h\,$. Soll für ein unendlich kleines $h\,$ die Bedingung (8) erfüllt sein, so muss der Inbegriff dessen, was auf der rechten Seite von (11) mit $2h\,$ multiplicirt ist, gleich Null gesetzt werden. Dazu ist nöthig und hinreichend, dass
| (12) | ${\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial z^{2}}}=0$ |
sei an jeder Stelle im Innern des Körpers und
| (13) | ${\frac {\partial v}{\partial n}}=kN$ |
in jedem Punkte seiner Oberfläche.
Setzen wir dann
| (14) | $V=-{\frac {1}{k}}v,\,$ |
so genügt die Function $V\,$ allen aufgestellten Bedingungen.
Die Constante $k\,$ ist von dem Werthe der Grösse $A\,$ abhängig, jedenfalls aber von Null verschieden. Denn angenommen, es wäre $k=0,\,$ so müsste vermöge der Gleichung (13) in jedem Punkte der Oberfläche ${\frac {\partial v}{\partial n}}=0\,$ sein. Man hätte also, wenn man dies und die Gleichung (12) beachtet:
* $-\int v{\frac {\partial v}{\partial n}}d\sigma -\iiint v{\Big \lbrace }{\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial z^{2}}}{\Big \rbrace }dx\,dy\,dz=0.$
Die linke Seite dieser Gleichung geht aber durch die Transformation des §. 20 hervor aus dem Integral
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:294

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* $\iiint {\Big \lbrace }\left({\frac {\partial v}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial v}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial v}{\partial z}}\right)^{2}{\Big \rbrace }dx\,dy\,dz\,$
Dieses Integral müsste also den Werth Null haben, was nicht anders möglich ist, als wenn man $v={\text{const.}}\,$ setzt. Hieraus würde aber ohne weiteres folgen:
* $\int vNd\sigma =c\int Nd\sigma =0$
nach Gleichung (3), und das steht mit der Nebenbedingung (6) im Widerspruch. Demnach muss $k\,$ von Null verschieden sein.
Es bleibt noch zu beweisen, dass es ausser $v\,$ keine andere Function gibt, welche unter der Bedingung (6) das Integral (5) zu einem Minimum macht. Angenommen, es wäre $u=v+s\,$ eine Function, die dies leistete, so würde sie die Bedingung erfüllen;
| (15) | $\Omega (v+s)\leqq \Omega (v+hs),$ |
wenn hier die Constante $h\,$ unendlich nahe an 1 genommen wird. Nun ist aber nach den Gleichungen (11), (12) und (13):
* $\Omega (v+hs)=\Omega (v)+h^{2}\Omega (s),\,$
* $\Omega (v+s)=\Omega (v)+\Omega (s).\,$
Folglich lautet die Bedingung (15) jetzt:
| (16) | $\Omega (s)\leqq h^{2}\Omega (s),$ |
Man darf aber die Constante $h^{2},\,$ welche hier unendlich nahe an 1 liegen soll, nicht bloss grösser, sondern auch kleiner als 1 nehmen, und deshalb kann die Bedingung (16) nur dadurch erfüllt werden, dass man setzt:
* $\Omega (s)=0,\,$ d. h. $s={\text{const.}}\,$
Sieht man von einer willkürlichen additiven Constanten ab, so ist demnach $v\,$ die einzige Function, welche unter Innehaltung der Nebenbedingung (6) das Integral (5) zu einem Minimum macht.
Endlich kann man noch den Zusammenhang zwischen $k\,$ und $A\,$ aufsuchen. Es ist schon bewiesen, dass
* ${\begin{aligned}&\iiint {\Big \lbrace }\left({\frac {\partial v}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial v}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial v}{\partial z}}\right)^{2}{\Big \rbrace }dx\,dy\,dz\,\\=-&\iiint v\left({\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}\right)dx\,dy\,dz\,\\-&\int v{\frac {\partial v}{\partial n}}d\sigma \,\\\end{aligned}}$
Das dreifache Integral links ist das Minimum $\,\Omega (v)$. Auf der
# RE:Παραχύται

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| ⟨ Parachoregema | Parada 1 ⟩ |
| Band XVIII,3 (1949) S. 1131 ||
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Παραχύται s. Bd. II S. 2745.
# RE:Παρείας

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| ⟨ Pareia | Παρεκκύκλημα ⟩ |
| Band XVIII,4 (1949) S. 1455 ||
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Παρείας s. Bd. II A S. 548.
# RE:Παρσικὰ ὄρη

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| ⟨ Parsietai | Parsioi 1 ⟩ |
| Gebirge an der Grenze Gedrosiens gegen Karmanien, der Dschebel Baris? ||
| Band XVIII,4 (1949) S. 1880 ||
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Παρσικὰ ὄρη, var. Περσικὰ ὄρη, Ptolem. VI 8, 1, Gebirge an der Grenze Gedrosiens gegen Karmanien bis zum Πάραγον κόλπος des Indischen Ozeans; wahrscheinlich der Dschebel Baris.
# RE:Παραδηνή

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| ⟨ Paradeisos 3 | Paradoxa ⟩ |
| Landschaft im äußersten Norden von Gedrosien, heute Bampūr ||
| Band XVIII,3 (1949) S. 1134 ||
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Παραδηνή, Ptolem. VI 21, 4 (var. Παρδηνή), Landschaft im äußersten Norden von Gedrosien mit dem Ort Κοῦνι; wohl die heutige Landschaft Bampūr am gleichnamigen Fluß.
# RE:Παραιπαφῖτις

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| ⟨ Paraibios | Paraisos ⟩ |
| Landschaft im Innern Karmaniens ||
| Band XVIII,3 (1949) S. 1182 ||
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Παραιπαφῖτις, Ptolem. VI 8, 12, Landschaft im Innern Karmaniens.
# RE:Παρεκκύκλημα

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| ⟨ Παρείας | Parembolai 1 ⟩ |
| Parekkyklema ||
| Band XVIII,4 (1949) S. 1455 ||
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Παρεκκύκλημα, unberechtigte Änderung der Schreibweise des einwandfrei überlieferten παρεγκύκλημα, s. d.
# RE:Παραγώγιον

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| ⟨ Paragenitae | Paragraphe ⟩ |
| Steuer für Durchfahrt, erhoben von Schiffen, bezeugt für Byzanz ||
| Band XVIII,3 (1949) S. 1169 ||
| Bildergalerie im Original ||
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| Linkvorlage für WP  * {{RE|XVIII,3|1169||Παραγώγιον|[[REAutor]]|RE:Παραγώγιον}} | |
Παραγώγιον, Steuer für Durchfahrt, erhoben von Schiffen, bezeugt für Byzanz und Milet. Belege bei Welles Royal corresp. in the hell. period. 1934, 351.
# RE:Παράθεσις

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| ⟨ Parastates | Paratianis ⟩ |
| Vorrat, auch Lieferung, Speicher ||
| Band XVIII,4 (1949) S. 1407 ||
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Παράθεσις, der Vorrat, auch Lieferung, z. B. σίτου Polyb. III 69, 2. Diatagma von Chalkis Έλλην. VI 179, 4, auch der Speicher. Belege auch aus Pap. s. Welles Royal corresp. in the hell. period. 352.

## Anmerkungen (Wikisource)

* ↑ transkribiert: Parathesis.