# Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 17.

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$\left(t{\frac {\partial V}{\partial t}}\right)_{t=0}=-2\,\rho .$
Die anziehende Masse sei über eine krumme Linie vertheilt. Wir bezeichnen mit $s\,$s die Länge des Bogens von dem Anfangspunkte der Curve bis zum Punkte $(a,\,b,\,c)$. Im Endpunkte sei $s=s_{1}\,$. Die Dichtigkeit $\rho \,$ wird als eine stetige Function von $s\,$ vorausgesetzt. Wir legen den Anfangspunkt der Coordinaten in einen Punkt der Curve, in welchem die Krümmungsradien nicht unendlich klein sind. Die Tangente der Curve in diesem Punkte wählen wir zur Axe der $x\,$. Der angezogene Punkt soll in der $yz\,$Ebene liegen. Es handelt sich hauptsächlich um die Frage, was aus der Potentialfunction wird, wenn der angezogene Punkt unendlich nahe an den Anfangspunkt der Coordinaten heranrückt. Wir haben
| (1) | $r^{2}=a^{2}+(b-y)^{2}+(c-z)^{2},\,$ |
| (2) | $V=\int \limits _{0}^{s_{1}}{\frac {\rho \,ds}{r}}.$ |
Zur Abkürzung werde $y^{2}+z^{2}=t^{2}\,$ gesetzt. Bezeichnen wir mit $\rho _{0}\,$ die Dichtigkeit im Anfangspunkte der Coordinaten, so lässt sich leicht beweisen, dass für $t=0\,$ die Function $V\,$ unendlich wird wie $2\,\rho _{0}\,\lg {\frac {1}{t}}\,$. Um den Beweis zu führen , bringen wir $V\,$ zunächst in die Form
| (3) | $V=\int \limits _{k}^{k_{1}}{\frac {\rho \,da}{r{\frac {da}{ds}}}}=\int \limits _{k}^{k1}{\frac {\rho \,da}{r\cos \lambda }}.$ |
Hier sind $k\,$ und $k_{1}\,$ die Werthe von $a\,$ für $s=0\,$ und resp. $s=s_{1}\,$, und $\lambda \,$ ist der Winkel, welchen die Tangente der Curve mit der Axe der positiven $x\,$ einschliesst. Denken wir uns nun die Axe der $x\,$ von der Stelle $a=k\,$ bis zu der Stelle $a=k_{1}\,$ mit anziehender Masse von der constanten Dichtigkeit $\rho _{0}\,$ belegt und bezeichnen die davon herrührende Potentialfunction mit $V'\,$, so findet sich |[63]
* $V'=\rho _{0}\int \limits _{k}^{k_{1}}{\frac {da}{\sqrt {a^{2}+t^{2}}}}=\rho _{0}\int \limits _{k}^{k_{1}}{\frac {da}{R}}.$
Aus (3) und (4) erhält man
| (5) | $V-V'=\int \limits _{k}^{k_{1}}da\left\lbrace {\frac {\rho }{r\,\cos \lambda }}-{\frac {\rho _{0}}{R}}\right\rbrace .$ |
Das Integral auf der rechten Seite dieser Gleichung hat einen bestimmten, endlichen Werth, so lange $t\,$ von Null verschieden. Für $t=0\,$ nimmt der Factor von $da\,$ an einer Stelle zwischen den Integrationsgrenzen die Form $\infty -\infty \,$ an, nemlich an der Stelle $a=0\,$. Um den wahren Werth zu ermitteln, bringen wir die Function in die Form
* ${\frac {{\frac {a}{r}}{\frac {\rho }{\cos \lambda }}-{\frac {a\,\rho _{0}}{R}}}{a}}.$
Nun kann man leicht zeigen, dass für $t=0\,$ die Brüche ${\frac {a}{r}}$ und ${\frac {a}{R}}$ sich derselben endlichen Grenze annähern, wenn man $a\,$ in $0\,$ übergehen lässt. Denn es ist
* ${\frac {a}{R}}={\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {t^{2}}{a^{2}}}}}},$
* ${\frac {a}{r}}={\frac {1}{\sqrt {1+\left({\frac {b}{a}}-{\frac {y}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{a}}-{\frac {z}{a}}\right)^{2}}}}.$
Lässt man $a\,$ in Null übergehen, so werden gleichzeitig auch $b\,$ und $c\,$ zu Null. Man erhält $\lim {\frac {b}{a}}={\frac {db}{da}},\lim {\frac {c}{a}}={\frac {dc}{da}}$. Beide Differentialquotienten sind aber gleich Null für $a=0\,$, weil die Axe der $x\,$ im Anfangspunkte die Curve berührt. Für $a=0\,$ hat man also
* $\lim {\frac {a}{R}}=\lim {\frac {a}{r}}=\lim {\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {t^{2}}{a^{2}}}}}}.$
Dieser gemeinschaftliche Grenzwerth ist aber jedenfalls verschieden von ${\frac {1}{0}}$, d. h. er ist endlich, selbst wenn man $t=0\,$ nehmen will. |[64]
Man kann also schreiben
* $\lim \left\lbrace {\frac {{\frac {a}{r}}{\frac {\rho }{\cos \lambda }}-{\frac {a\rho _{0}}{R}}}{a}}\right\rbrace =\lim {\frac {a}{R}}\cdot \lim \left\lbrace {\frac {{\frac {\rho }{\cos \lambda }}-\rho _{0}}{a}}\right\rbrace$
und es handelt sich jetzt nur noch um den Grenzwerth von
* ${\frac {{\frac {\rho }{\cos \lambda }}-\rho _{0}}{a}}.$
Dieser findet sich nach den Regeln der Differentialrechnung
* $={\frac {{\frac {1}{\cos \lambda }}{\frac {d\rho }{ds}}-{\frac {\rho }{\cos \lambda ^{2}}}{\frac {d\,\cos \lambda }{ds}}}{\frac {da}{ds}}}$
* $={\frac {1}{\cos \lambda ^{2}}}{\frac {d\rho }{ds}}-{\frac {\rho }{\cos \lambda ^{3}}}{\frac {d\,\cos \lambda }{ds}}.$
Nun ist aber $\cos \lambda =1\,$ für $a=0\,$. Die Differentialquotienten ${\frac {d\,\cos \lambda }{ds}}$ und ${\frac {d\rho }{ds}}$ sind endlich. Ist also $t=0\,$, so erhält man selbst an der Stelle $a=0\,$ zu dem Integral (5) nur einen unendlich kleinen Beitrag. Alle übrigen Elemente des Integrals sind ebenfalls unendlich klein. Folglich hat das Integral einen bestimmten, endlichen Werth auch für $t=0\,$, und die Differenz $V-V'\,$ ist eine endliche und stetige Function von $t\,$. Die Function $V'\,$ ist aber in Gleichung (12) des vorigen Paragraphen ausgedrückt. Wir haben demnach
| (6) | $V=2\rho _{0}\lg {\frac {1}{t}}+f.\,c.,$ |
wenn mit $f.\,c.$ eine endliche und stetige Function bezeichnet wird. Das eben gewonnene Resultat lässt sich auch aus dem Satze von Gauss (§. 12) herleiten. Wir machen auf der Curve ein Element $ds\,$, das als geradlinig angesehen werden darf, zur Axe eines geraden Kreiscylinders mit dem Radius $t\,$ (Fig. 10). Da $t\,$ in Null übergehen soll, so kann man es so klein wählen, dass das Verhältnis $t\,:\,ds$ gleich Null wird. Die Endflächen des Cylinders sind dann verschwindend klein im Vergleich zu der Mantelfläche,
$\int N\,d\sigma$
$t\,$
* $N=-{\frac {\partial V}{\partial t}},$
und diese Componente der Anziehung hat wegen der unendlich kleinen Dimensionen des Cylinders denselben Werth in allen Punkten seiner Mantelfläche. Danach findet sich das Integral $\int N\,d\sigma$ hier
* $=-{\frac {\partial V}{\partial t}}\cdot 2\pi \,t\,ds.$
Die anziehende Masse liegt im Innern des Cylinders, in seiner Axe. Bezeichnen wir die Dichtigkeit in einem Punkte von $ds\,$ mit $\rho _{0}\,$, so lautet der Satz von Gauss:
* $-{\frac {\partial V}{\partial t}}\cdot 2\pi \,t\,ds=4\pi \,\rho _{0}\,ds,$
d. h. nach gehöriger Reduction
| (7) | $\lim \left(t{\frac {\partial V}{\partial t}}\right)_{t=0}=-2\rho _{0}.$ |
Daraus geht ohne weiteres hervor, dass für ein unendlich ahnehmendes $t\,$ die Function $V\,$ unendlich wird wie $2\rho _{0}\lg {\frac {1}{t}}$.