# David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie/Kapitel 9.I

Definition 1. Es sei ${\mathfrak {p}}$ ein in der Zahl $2$ nicht aufgehendes Primideal des Körpers $k$ und $\alpha$ eine beliebige zu ${\mathfrak {p}}$ prime ganze Zahl in $k$: dann heiße $\alpha$ in $k$ quadratischer Rest nach ${\mathfrak {p}}$, wenn $\alpha$ kongruent dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach ${\mathfrak {p}}$ wird, d. h. wenn die Kongruenz
* $\xi ^{2}\equiv \alpha ,\qquad ({\mathfrak {p}})$
durch eine ganze Zahl $\xi$ des Körpers $k$ befriedigt werden kann; im anderen Falle heiße $\alpha$ quadratischer Nichtrest nach ${\mathfrak {p}}$. Wir definieren jetzt das Symbol $\scriptstyle \left({\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right)$‚ indem wir, wenn $\alpha$ in $k$ quadratischer Rest nach ${\mathfrak {p}}$ ist,
* $\scriptstyle \left({\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right)=+1$
und im anderen Fall
* $\scriptstyle \left({\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right)=-1$
setzen. Satz 1 Wenn ${\mathfrak {p}}$ ein beliebiges nicht in $2$ aufgehendes Primideal des Körpers $k$ und $\alpha$ eine zu ${\mathfrak {p}}$ prime ganze Zahl in $k$ ist, so gilt nach dem Modul ${\mathfrak {p}}$ die Kongruenz
* $\alpha ^{\frac {n({\mathfrak {p}}-1)}{2}}\equiv \left({\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right),\qquad \left({\mathfrak {p}}\right)$,
worin $n\left({\mathfrak {p}}\right)$ die Norm des Primideals ${\mathfrak {p}}$ im Körper $k$ bedeutet.
Beweis. Ist $\alpha =\beta ^{2}$ nach ${\mathfrak {p}}$, wo $\beta$ wieder eine ganze Zahl in $k$ bedeutet, so folgt nach dem Fermatschen Satze sofort
* $\alpha ^{\frac {n({\mathfrak {p}}-1)}{2}}\equiv \beta ^{n\left({\mathfrak {p}}\right)-1}\equiv +1,\qquad \left({\mathfrak {p}}\right)$.
Wir nehmen andererseits an, es sei $\alpha$ quadratischer Nichtrest nach ${\mathfrak {p}}$; bezeichnen wir dann mit $\rho$ eine Primitivzahl nach ${\mathfrak {p}}$ im Körper $k$ und setzen $\alpha \equiv \rho ^{a}$ nach ${\mathfrak {p}}$, so muß hierin offenbar der Exponent $a$ eine ungerade Zahl sein. Nach dem Fermatschen Satze ist aber
* $\rho ^{n\left({\mathfrak {p}}\right)-1}\equiv +1,\qquad \left({\mathfrak {p}}\right)$,
und folglich
| $\rho ^{\frac {n\left({\mathfrak {p}}\right)-1}{2}}\equiv \pm 1,\qquad \left({\mathfrak {p}}\right)$. | (1) |
Da in der Reihe der Potenzen $\rho ,\rho ^{2},\rho ^{3},\dots$ die Potenz $\rho ^{n\left({\mathfrak {p}}\right)-1}$ die erste sein soll, welche $\equiv +1$ nach ${\mathfrak {p}}$ wird, so gilt notwendig auf der rechten Seite der Kongruenz $(1)$ das negative Vorzeichen und demzufolge wird
* $\alpha ^{\frac {n\left({\mathfrak {p}}\right)-1}{2}}\equiv \rho ^{a{\frac {n\left({\mathfrak {p}}\right)-1}{2}}}\equiv -1,\qquad \left({\mathfrak {p}}\right)$.
Aus dem eben bewiesenen Satze 1 folgen leicht die weiteren Tatsachen:
Satz 2 Wenn $\alpha ,\beta$ irgend zwei zu dem Primideal ${\mathfrak {p}}$ prime ganze Zahlen in $k$ sind, so gilt stets die Gleichung
* $\left({\frac {\alpha \beta }{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right)\left({\frac {\beta }{\mathfrak {p}}}\right)$.
Ein vollständiges System von $n\left({\mathfrak {p}}\right)-1$ zu ${\mathfrak {p}}$ primen und einander nach ${\mathfrak {p}}$ inkongruenten Zahlen zerfällt in zwei Teilsysteme, von denen das eine aus den ${\frac {n\left({\mathfrak {p}}\right)-1}{2}}$ quadratischen Resten nach ${\mathfrak {p}}$, das andere aus den ${\frac {n\left({\mathfrak {p}}\right)-1}{2}}$ quadratischen Nichtresten nach ${\mathfrak {p}}$ besteht.
Definition 2. Jede Zahl ${\mathsf {A}}$ des Körpers $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ kann in die Gestalt
* ${\mathsf {A}}=\alpha +\beta {\sqrt {\mu }}$
gebracht werden, wo $\alpha ,\beta$ ganze oder gebrochene Zahlen des Körpers $k$ sind; ist dies geschehen, so heiße die Zahl
* $S{\mathsf {A}}=\alpha -\beta {\sqrt {\mu }}$,
die vermöge der Substitution
* $S=\left({\sqrt {\mu }}:-{\sqrt {\mu }}\right)$
aus ${\mathsf {A}}$ entspringende oder zu ${\mathsf {A}}$ relativkonjugierte Zahl in $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$. Die Zahl
* ${\mathsf {A}}-S{\mathsf {A}}$
heiße die Relativdifferente der Zahl ${\mathsf {A}}$ im Körper $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$. Der größte gemeinsame Teiler der Relativdifferenten aller ganzen Zahlen $\Omega _{1},\Omega _{2},\dots$ des Körpers $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$, d. h. das Ideal
* ${\mathfrak {D}}=\left(\Omega _{1}-S\Omega _{1},\Omega _{2}-S\Omega _{2},\dots \right)$
heiße die Relativdifferente des Körpers $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ in bezug auf den Körper $k$.
Das Produkt einer Zahl ${\mathsf {A}}$ des Körpers $K$ mit der relativkonjugierten Zahl $S{\mathsf {A}}$ heißt die Relativnorm der Zahl ${\mathsf {A}}$ und wird mit $N({\mathsf {A}})$ bezeichnet; es ist also
* $N({\mathsf {A}})={\mathsf {A}}\cdot S{\mathsf {A}}$.
Die Relativnorm $N({\mathsf {A}})$ einer Zahl ${\mathsf {A}}$ in $K$ ist stets eine Zahl in $k$.
Ist ${\mathfrak {J}}=({\mathsf {I}}_{1},{\mathsf {I}}_{2},\dots )$ ein beliebiges Ideal der Körpers $K$ und wendet man auf sämtliche ganze Zahlen ${\mathsf {I}}_{1},{\mathsf {I}}_{2},\dots$ dieses Ideals die Substitution $S$ an, so heißt das so entstehende Ideal das zu ${\mathfrak {J}}$ relativkonjugierte Ideal und wird mit $S{\mathfrak {J}}$ bezeichnet; es ist also
* $S{\mathfrak {J}}=\left(S{\mathsf {I}}_{1},S{\mathsf {I}}_{2},\dots \right)$.
Das Produkt eines Ideals ${\mathfrak {J}}$ des Körpers $K$ mit dem relativkonjugierten Ideal $S{\mathfrak {J}}$ heißt die Relativnorm des Ideals ${\mathfrak {J}}$ und wird mit $N({\mathfrak {J}})$ bezeichnet; es ist also
* $N\left({\mathfrak {J}}\right)={\mathfrak {J}}\cdot S{\mathfrak {J}}$.
Die Relativnorm eines Ideals ${\mathfrak {J}}$ in $K$ ist stets ein Ideal in $k$.
Das Quadrat der Relativdifferente einer Zahl ${\mathsf {A}}$ des Körpers $K$ d. h. die Zahl $\left({\mathsf {A}}-S{\mathsf {A}}\right)^{2}$ heißt die Relativdiskriminante der Zahl ${\mathsf {A}}$. Die Relativdiskriminante einer Zahl ${\mathsf {A}}$ in $K$ ist stets eine Zahl in $k$.
Das Quadrat der Relativdifferente des Körpers $K$
* ${\mathfrak {d}}={\mathfrak {D}}^{2}=\left(\Omega _{1}-S\Omega _{1},\Omega _{2}-S\Omega _{2},\dots \right)^{2}$
heißt die Relativdiskriminante des Körpers $K$. Da die Relativdifferente ${\mathfrak {D}}$ des Körpers $K$ ein solches Ideal des Körpers $K$ ist, das seinem relativ konjugierten Ideale gleich wird, so ist die Relativdiskriminante ${\mathfrak {d}}$ auch gleich der Relativnorm der Relativdifferente ${\mathfrak {D}}$ des Körpers $K$; es ist daher die Relativdiskriminante ${\mathfrak {d}}$ stets ein Ideal in $k$.
Definition 3. Ein Ideal ${\mathfrak {A}}$ des Körpers $K$ heißt ein ambiges Ideal, wenn dasselbe bei der Operation $S$ ungeändert bleibt, d. h. wenn
* $S{\mathfrak {A}}={\mathfrak {A}}$
ist und wenn außerdem ${\mathfrak {A}}$ kein von $1$ verschiedenes Ideal des Körpers $k$ als Faktor enthält. Insbesondere heißt ein Primideal des Körpers $K$ ein ambiges Primideal, wenn dasselbe bei Anwendung der Substitution $S$ ungeändert bleibt und nicht zugleich im Körper $k$ liegt. Jedes ambige Ideal ist ein Produkt von ambigen Primidealen. Das Quadrat eines ambigen Primideals ist gleich der Relativnorm desselben und stellt im Körper $k$ selbst ein Primideal dar.
Satz 3. Die Relativdifferente ${\mathfrak {D}}$ des relativquadratischen Körpers $K$ enthält alle und nur diejenigen Primideale, welche ambig sind.
Unsere nächste Aufgabe ist es, die Primfaktoren der Relativdiskriminante ${\mathfrak {d}}$ des Körpers $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ wirklich zu ermitteln. Diese Aufgabe wird durch den folgenden Satz gelöst:
Satz 4. Es sei ${\mathfrak {p}}$ ein zu $2$ primes Primideal des Körpers $k$; geht dann ${\mathfrak {p}}$ in der Zahl $\mu$ genau zur $a$-ten Potenz auf, so enthält, wenn der Exponent $a$ ungerade ist, die Relativdiskriminante ${\mathfrak {d}}$ des Körpers $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ stets den Faktor ${\mathfrak {p}}$. Ist dagegen der Exponent $a$ gerade, so fällt die Relativdiskriminante ${\mathfrak {d}}$ prim zu ${\mathfrak {p}}$ aus.
Es sei ${\mathfrak {l}}$ ein Primideal des Körpers $k$, welches in $2$ aufgeht, und zwar genau zur $l$-ten Potenz; ferner gehe ${\mathfrak {l}}$ in $\mu$ genau zur $a$-ten Potenz auf: so ist die Relativdiskriminante des Körpers $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ stets dann und nur dann zu ${\mathfrak {l}}$ prim, wenn im Körper $k$ eine ganze Zahl $a$ vorhanden ist, die der Kongruenz
| $\mu \equiv \alpha ^{2},\qquad ({\mathfrak {l}}^{2l+a})$ | (1) |
genügt.
Beweis. Gehen wir zunächst auf den ersten Teil des Satzes 4 ein. Es sei $\pi$ eine durch ${\mathfrak {p}}$, aber nicht durch ${\mathfrak {p}}^{2}$ teilbare ganze Zahl in $k$, und weiter sei $\nu$ eine durch ${\frac {\pi }{\mathfrak {p}}}$ teilbare, aber zu ${\mathfrak {p}}$ prime ganze Zahl in $k$.
Ist der Exponent $a$ ungerade, so stellt $\mu ^{*}={\frac {\mu \cdot \nu ^{a-1}}{\pi ^{a-1}}}$ eine durch ${\mathfrak {p}}$, aber nicht durch ${\mathfrak {p}}^{2}$ teilbare ganze Zahl in $k$ dar von der Art, daß die Zahl ${\sqrt {\mu ^{*}}}$ im Körper $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ liegt und wenn wir den gemeinsamen Idealteiler von ${\mathfrak {p}}$ und ${\sqrt {\mu ^{*}}}$ mit ${\mathfrak {P}}$ bezeichnen, so ist
* ${\mathfrak {P}}=S{\mathfrak {P}},\qquad {\mathfrak {p}}={\mathfrak {P}}^{2}$.
${\mathfrak {P}}$
${\mathfrak {D}}$
$K\left({\sqrt {\mu }}\right)$
${\mathfrak {d}}$
${\mathfrak {p}}$
Ist dagegen der Exponent $a$ gerade, so stellt $\mu ^{*}={\frac {\mu \nu ^{a}}{\pi ^{a}}}$ eine zu ${\mathfrak {p}}$ prime ganze Zahl in $k$ dar, von der Art, daß ${\sqrt {\mu ^{*}}}$ in $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ liegt; da die Relativdiskriminante der Zahl ${\sqrt {\mu ^{*}}}$ den Wert $2^{2}\mu ^{*}$ hat, so ist sie zu ${\mathfrak {p}}$ prim. Das gleiche gilt mithin von der Relativdiskriminante ${\mathfrak {d}}$ des Körpers $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$.
Jetzt betrachten wir die Verhältnisse in betreff des Primfaktors ${\mathfrak {l}}$. Ist die Kongruenz $(1)$ erfüllt, so muß ${\mathfrak {l}}$ in der Zahl $\alpha ^{2}$ genau zur $a$-ten Potenz aufgehen und mithin ist der Exponent $a$ eine gerade Zahl. Es sei nun $\lambda$ eine durch ${\mathfrak {l}}$, aber nicht durch ${\mathfrak {l}}^{2}$ teilbare ganze Zahl in $k$ und weiter sei $\nu$ eine durch ${\frac {\lambda }{\mathfrak {l}}}$ teilbare, aber zu ${\mathfrak {l}}$ prime ganze Zahl in $k$: der Ausdruck
* $\Omega =\left({\frac {\nu }{\lambda }}\right)^{l+{\frac {a}{2}}}\left(\alpha +{\sqrt {\mu }}\right)$
stellt dann eine ganze Zahl in $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ dar, da die beiden Ausdrücke
* $\Omega +S\Omega =\left({\frac {\nu }{\lambda }}\right)^{l+{\frac {a}{2}}}\cdot 2\alpha$,
* $\Omega \cdot S\Omega =\left({\frac {\nu }{\lambda }}\right)^{2l+a}\left(\alpha ^{2}-\mu \right)$,
offenbar ganze Zahlen in $k$ sind. Andererseits hat die Relativdiskriminante der Zahl $\Omega$ den Wert
* $\left(\Omega -S\Omega \right)^{2}=\left({\frac {\nu }{\lambda }}\right)^{2l+a}\cdot 2^{2}\mu$
und ist mithin prim zu ${\mathfrak {l}}$; das gleiche gilt also für die Relativdiskriminante des Körpers $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$.
Setzen wir umgekehrt voraus, die Relativdiskriminante ${\mathfrak {d}}$ des Körpers $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ sei prim zu ${\mathfrak {l}}$, so folgt wegen
* ${\begin{aligned}{\mathfrak {d}}&=(\Omega _{1}-S\Omega _{1},\quad \Omega _{2}-S\Omega _{2},\dots )^{2}\\&=(\left[\Omega _{1}-S\Omega _{1}\right]^{2},\left[\Omega _{2}-S\Omega _{2}\right]^{2},\dots )\end{aligned}}$,
daß dann notwendig im Körper $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ eine ganze Zahl $\Omega$ existieren muß, deren Relativdiskriminante $\left[\Omega -S\Omega \right]^{2}$ zu ${\mathfrak {l}}$ prim ausfällt; wir setzen
* $\Omega ={\frac {\alpha ^{*}+\beta ^{*}{\sqrt {\mu }}}{\gamma ^{*}}}$,
wo $\alpha ^{*},\beta ^{*},\gamma ^{*}$ ganze Zahlen in $k$ bezeichnen, die bez. genau durch die $a^{*}$-te, $b^{*}$-te, $c^{*}$-te Potenz von ${\mathfrak {l}}$ aufgehen mögen. Da nun $\left[\Omega -S\Omega \right]^{2}={\frac {2^{2}\beta ^{*2}\mu }{\gamma ^{*2}}}$ eine zu ${\mathfrak {l}}$ prime ganze Zahl sein soll, so folgt
| $2l+2b^{*}+a=2c^{*}$, | (2) |
$N(\Omega )={\frac {\alpha ^{*2}-\beta ^{*2}\mu }{\gamma ^{*2}}}$
$\alpha ^{*2}$
$\beta ^{*2}\mu$
${\mathfrak {l}}$
${\mathfrak {l}}^{2c^{*}}$
$(2)$
$2b^{*}+a<2c^{*}$
$\beta ^{*2}\mu$
${\mathfrak {l}}^{2c^{*}}$
$2a^{*}=2b^{*}+a$
$(2)$
$2l+2a^{*}=2c^{*}$
$l+a^{*}=c^{*}$
Aus $2a^{*}=2b^{*}+a$ folgt ferner $a^{*}\geqq b^{*}$ und aus $l+a^{*}=c^{*}$ folgt $c^{*}>a^{*}$; mithin ist auch $c^{*}>b^{*}$. Da ${\frac {\alpha ^{*2}-\beta ^{*2}\mu }{\gamma ^{*2}}}$ eine ganze Zahl sein soll, so haben wir die Kongruenz
* $\mu \equiv \left({\frac {\alpha ^{*}}{\beta ^{*}}}\right)^{2},\qquad ({\mathfrak {l}}^{2c^{*}-2b^{*}})$,
Wegen $a^{*}\geqq b^{*}$ läßt sich der Bruch ${\frac {\alpha ^{*}}{\beta ^{*}}}$ in der Gestalt eines Bruches schreiben, dessen Nenner zu ${\mathfrak {l}}$ prim ausfällt, und es ist somit ${\frac {\alpha ^{*}}{\beta ^{*}}}$ notwendig einer gewissen ganzen Zahl $\alpha$ des Körpers $k$ nach ${\mathfrak {l}}^{2c^{*}-2b^{*}}$ kongruent, so daß auch die Kongruenz
* $\mu \equiv \alpha ^{2},\qquad ({\mathfrak {l}}^{2c^{*}-2b^{*}})$
gilt. Hierdurch ist mit Rücksicht auf die aus $(2)$ folgende Gleichung $2c^{*}-2b^{*}=2l+a$ die Richtigkeit des Satzes $4$ vollständig gezeigt.
Aus diesem Satze $4$ entnehmen wir leicht die folgende besondere Tatsache:
Satz 5 Wenn $\mu$ eine beliebige zu $2$ prime ganze Zahl in $k$ bedeutet, die nicht das Quadrat einer Zahl in $k$ wird, so ist die Relativdiskriminante des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ stets dann und nur dann zu $2$ prim, wenn $\mu$ dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach dem Modul $2^{2}$ kongruent wird.
Die Frage, wie die Primideale des relativquadratischen Körpers $K$ durch Zerlegung aus den Primidealen des Körpers $k$ entstehen, erledigt sich in den folgenden Sätzen:
Satz 6 Ein Primideal ${\mathfrak {p}}$ des Körpers $k$ ist stets dann und nur dann im Körper $K$ gleich dem Quadrat eines Primideals ${\mathfrak {P}}$, wenn ${\mathfrak {p}}$ in der Relativdiskriminante des Körpers $K$ aufgeht.
Beweis. Aus ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {P}}^{2}$ folgt ${\mathfrak {p}}=(S{\mathfrak {P}})^{2}$ und mithin ${\mathfrak {P}}=S{\mathfrak {P}}$, d. h. ${\mathfrak {P}}$ ist ein ambiges Primideal des Körpers $K$ und als solches nach Satz $3$ in der Relativdifferente des Körpers $K$ enthalten, d. h. ${\mathfrak {p}}$ geht geht dann in der Relativdiskriminante auf.
Wenn wir umgekehrt annehmen, daß ${\mathfrak {p}}$ in der Relativdiskriminante des Körpers $K$ aufgehe und mit ${\mathfrak {P}}$ einen in ${\mathfrak {p}}$ aufgehenden Primfaktor des Körpers $K$ bezeichnen, so geht offenbar ${\mathfrak {P}}$ in der Relativdifferente des Körpers $K$ auf und ist mithin nach Satz 3 ein ambiges Ideal, d. h. es ist nach Definition 3 ${\mathfrak {P}}=S{\mathfrak {P}}$ und ${\mathfrak {p}}\neq {\mathfrak {P}}$. Wegen dieser Beziehungen ist auch ${\mathfrak {p}}^{2}\neq {\mathfrak {P}}\cdot S{\mathfrak {P}}$, und hieraus folgt ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {P}}\cdot S{\mathfrak {P}}={\mathfrak {P}}^{2}$. Damit ist der Beweis für den Satz 6 erbracht.
Satz 7. Wenn ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal des Körpers $k$ bedeutet, welches weder in $2$ noch in $\mu$ aufgeht, so ist ${\mathfrak {p}}$ im Körper $K({\sqrt {\mu }})$ in zwei voneinander verschiedene Primideale weiter zerlegbar oder unzerlegbar, je nachdem $\mu$ im Körper $k$ quadratischer Rest oder Nichtrest nach ${\mathfrak {p}}$ ist.
Beweis. Es sei $\mu$ in $k$ quadratischer Rest nach ${\mathfrak {p}}$ und demgemäß etwa $\alpha$ eine ganze Zahl in $k$ so, daß die Kongruenz
* $\mu \equiv \alpha ^{2}$, $({\mathfrak {p}})$
gilt; alsdann bilden wir die zu einander relativkonjugierten Ideale des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$
* ${\begin{aligned}{\mathfrak {P}}&=({\mathfrak {p}},\alpha -{\sqrt {\mu }}),\\S{\mathfrak {P}}&=({\mathfrak {p}},\alpha +{\sqrt {\mu }})\end{aligned}}$
und erhalten leicht
* ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {P}}\cdot S{\mathfrak {P}}$.
Wegen
* $({\mathfrak {p}},\alpha -{\sqrt {\mu }},\alpha +{\sqrt {\mu }})=1$
sind ${\mathfrak {P}}$ und $S{\mathfrak {P}}$ von einander verschieden.
Es sei umgekehrt das Primideal ${\mathfrak {p}}$ des Körpers $K$ in zwei Primideale ${\mathfrak {P}}$ und $S{\mathfrak {P}}$ zerlegbar: dann gelten, wenn allgemein $N$ die Norm im Körper $K({\sqrt {\mu }})$ und $n$ die Norm im Körper $k$ bezeichnet, die Gleichungen
* ${\begin{aligned}N({\mathfrak {p}})&=N({\mathfrak {P}})\cdot N(S{\mathfrak {P}})=(N({\mathfrak {P}}))^{2},\\N({\mathfrak {p}})&=(n({\mathfrak {p}}))^{2}\end{aligned}}$
und mithin ist
* $N({\mathfrak {P}})=n({\mathfrak {p}})$.
Die Gleichheit dieser Normen $N({\mathfrak {P}})$ und $n({\mathfrak {p}})$ läßt die Tatsache erkennen, daß eine jede ganze Zahl des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ einer ganzen Zahl des Körpers $k$ nach ${\mathfrak {P}}$ kongruent gesetzt werden kann, da ja irgend $n({\mathfrak {p}})$ nach ${\mathfrak {p}}$ einander inkongruente Zahlen zugleich auch in $K({\sqrt {\mu }})$ nach ${\mathfrak {P}}$ ein volles Restsystem bilden müssen; setzen wir insbesondere ${\sqrt {\mu }}\equiv \alpha$ nach ${\mathfrak {P}}$, wo $\alpha$ in $k$ liegen soll, so folgt $\mu \equiv \alpha ^{2}$ nach ${\mathfrak {P}}$, und da $\mu -\alpha ^{2}$ eine Zahl in $k$ ist, so muß $\mu \equiv \alpha ^{2}$ auch nach ${\mathfrak {p}}$ gelten, d. h. es ist $\mu$ quadratischer Rest nach ${\mathfrak {p}}$. Damit ist der Satz 7 vollständig bewiesen.
Satz 8. Es sei ${\mathfrak {l}}$ ein in $2$ enthaltenes Primideal des Körpers $k$, und zwar gehe ${\mathfrak {l}}$ genau zur $l$-ten Potenz in $2$ auf; ferner sei $\mu$ eine zu ${\mathfrak {l}}$ prime ganze Zahl in $k$, welche dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach ${\mathfrak {l}}^{2l}$ kongruent ausfällt, so daß nach Satz $4$ das Primideal ${\mathfrak {l}}$ nicht in der Relativdiskriminante des Körpers $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ vorkommt: dann ist ${\mathfrak {l}}$ im Körper $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ in zwei voneinander verschiedene Primideale weiter zerlegbar oder unzerlegbar, je nachdem $\mu$ dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach ${\mathfrak {l}}^{2l+1}$ kongruent ausfällt oder nicht.
Beweis. Ist ${\mathfrak {l}}$ in $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ weiter zerlegbar und bedeutet ${\mathfrak {L}}$ einen Primfaktor von ${\mathfrak {l}}$, so schließen wir aus der Gleichheit der Norm $N({\mathfrak {L}})$ in $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ mit der Norm $n({\mathfrak {l}})$ in $k$, wie im Beweise des Satzes 7, daß jede ganze Zahl in $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ einer ganzen Zahl in $k$ nach ${\mathfrak {L}}$ kongruent sein muß. Nach Voraussetzung gibt es eine ganze Zahl $\alpha$ in $k$, so daß $\mu \equiv \alpha ^{2}$ nach ${\mathfrak {l}}^{2l}$ ausfällt; ist dann $\lambda$ irgendeine durch ${\mathfrak {l}}$, aber nicht durch ${\mathfrak {l}}^{2}$ teilbare ganze Zahl $k$ und weiter $\nu$ eine durch $\textstyle {\frac {\lambda }{\mathfrak {l}}}$ teilbare, aber zu ${\mathfrak {l}}$ prime ganze Zahl in $k$, so stellt, wie wir dem Beweise des Satzes 4 entnehmen, der Ausdruck $\textstyle {\frac {\nu ^{l}\left(\alpha +{\sqrt {\mu }}\right)}{\lambda ^{l}}}$ eine ganze Zahl in $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ dar. Es gibt also nach dem vorhin Bewiesenen eine ganze Zahl $\beta$ in $k$, für welche
* $\textstyle {\frac {\nu ^{l}\left(\alpha +{\sqrt {\mu }}\right)}{\lambda ^{l}}}\equiv \beta ,\qquad ({\mathfrak {L}})$
wird. Aus dieser Kongruenz schließen wir
* ${\sqrt {\mu }}\equiv -\alpha +{\frac {\beta \lambda ^{l}}{\nu ^{l}}},\qquad ({\mathfrak {l}}^{l}{\mathfrak {L}})$.
Mit Rücksicht auf den Umstand, daß $\nu$ zu ${\mathfrak {l}}$ prim ist, können wir in dieser Kongruenz den rechts stehenden Ausdruck durch eine ganze Zahl $\gamma$ des Körpers $k$ ersetzen und erhalten dann
| ${\sqrt {\mu }}\equiv \gamma$ oder ${\sqrt {\mu }}-\gamma \equiv 0,\qquad ({\mathfrak {l}}^{l}{\mathfrak {L}})$. | (1) |
Da ferner $-\gamma \equiv +\gamma$ nach dem Modul 2 und folglich auch nach ${\mathfrak {l}}^{l}$ ausfällt, so gilt auch die Kongruenz
| ${\sqrt {\mu }}+\gamma \equiv 0,\qquad ({\mathfrak {l}}^{l})$ | (2) |
und durch Multiplikation erhalten wir schließlich aus den beiden Kongruenzen (1) und (2):
* $\mu -\gamma ^{2}\equiv 0,\qquad ({\mathfrak {l}}^{2l}{\mathfrak {L}})$.
Da die linke Seite dieser Kongruenz eine ganze Zahl in $k$ ist, so folgt auch
* $\mu -\gamma ^{2}\equiv 0$ oder $\mu \equiv \gamma ^{2},\qquad \left({\mathfrak {l}}^{2l+1}\right)$.
womit eine Aussage des Satzes 8 bewiesen ist.
Nehmen wir nun umgekehrt an, es sei $\mu \equiv \alpha ^{2}$ nach ${\mathfrak {l}}^{2l+1}$, wobei $\alpha$ eine ganze Zahl in $k$ ist, so erkennen wir leicht die Richtigkeit der Gleichung
* ${\mathfrak {l}}=\left({\mathfrak {l}},\,{\frac {\nu ^{l}\left[\alpha +{\sqrt {\mu }}\right]}{\lambda ^{l}}}\right)\left({\mathfrak {l}},\,{\frac {\nu ^{l}\left[\alpha -{\sqrt {\mu }}\right]}{\lambda ^{l}}}\right)$
und hier sind die beiden Primideale rechter Hand wegen
* $\left({\mathfrak {l}},\,{\frac {\nu ^{l}\left[\alpha +{\sqrt {\mu }}\right]}{\lambda ^{l}}},\quad {\frac {\nu ^{l}\left[\alpha -{\sqrt {\mu }}\right]}{\lambda ^{l}}}\right)=1$
in der Tat voneinander verschieden; damit ist der Satz 8 vollständig bewiesen.
Definition 4. Wir erweitern nunmehr die Bedeutung des in Definition 1 erklärten Symbols in folgender Weise:
Ist ${\mathfrak {w}}$ irgendein Primideal in $k$, so setzen wir
* $\left({\frac {\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=+1$ oder $=-1$ oder $=0$,
je nachdem ${\mathfrak {w}}$ im Körper $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ in zwei voneinander verschiedene Primideale weiter zerlegbar oder nicht zerlegbar oder gleich dem Quadrat eines Primideals wird. Ist $\mu$ das Quadrat einer Zahl in $k$, so setzen wir stets
* $\left({\frac {\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=+1$.
Es ist nach den Sätzen 6, 7, 8 leicht möglich, in allen Fällen den Wert des Symbols $\textstyle \left({\frac {\mu }{\mathfrak {w}}}\right)$ zu berechnen und wir erkennen aus Satz 7 im Falle, daß ${\mathfrak {w}}$ zu $2$ und $\mu$ prim ausfällt, die volle Übereinstimmung mit der Definition 1. Was insbesondere den Fall anbetrifft, daß ${\mathfrak {w}}$ gleich einem in $2$ aufgehenden Primideal ${\mathfrak {l}}$ des Körpers $k$ ist, so bestimmen wir zunächst die höchste Potenz von ${\mathfrak {l}}$, welche in $\mu$ aufgeht. Ist der Exponent $a$ dieser Potenz ungerade, so haben wir gewiß $\textstyle \left({\frac {\mu }{\mathfrak {l}}}\right)=0$; ist $a$ dagegen gerade, so bestimmen wir, wenn $\lambda$ eine durch ${\mathfrak {l}}$, aber nicht durch ${\mathfrak {l}}^{2}$ teilbare Zahl bedeutet, eine ganze zu ${\mathfrak {l}}$ prime Zahl $\mu ^{*}$ in $k$ der Art, daß
* $\mu \equiv \lambda ^{a}\mu ^{*},\qquad \left({\mathfrak {l}}^{2l+a+1}\right)$.
Ist hier $\mu ^{*}$ nicht dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach ${\mathfrak {l}}^{2l}$ kongruent, so haben wir mit Rücksicht auf die Sätze 4 und 6 ebenfalls $\textstyle \left({\frac {\mu }{\mathfrak {l}}}\right)=0$; im anderen Fall unterscheiden wir, ob $\mu ^{*}$ dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ auch nach ${\mathfrak {l}}^{2l+1}$ kongruent ausfällt oder nicht, und haben wegen Satz 8 dementsprechend $\textstyle \left({\frac {\mu }{\mathfrak {l}}}\right)=+1$ oder $=-1$.
Definition 5. Ist ${\mathfrak {a}}$ ein beliebiges Ideal des Körpers $k$ und hat man ${\mathfrak {a}}={\mathfrak {pq\ldots w}}$, wo ${\mathfrak {p}}$, ${\mathfrak {q}}$, …, ${\mathfrak {w}}$ Primideale in $k$ sind, so möge, wenn $\mu$ eine beliebige ganze Zahl in $k$ ist, das Symbol $\textstyle \left({\frac {\mu }{\mathfrak {a}}}\right)$ durch die folgende Gleichung definiert werden:
* $\left({\frac {\mu }{\mathfrak {a}}}\right)=\left({\frac {\mu }{\mathfrak {p}}}\right)\left({\frac {\mu }{\mathfrak {q}}}\right)\cdots \left({\frac {\mu }{\mathfrak {w}}}\right)$.
Sind ${\mathfrak {a}}$, ${\mathfrak {b}}$ beliebige Ideale in $k$, so gilt dann offenbar die Gleichung
* $\left({\frac {\mu }{\mathfrak {ab}}}\right)=\left({\frac {\mu }{\mathfrak {a}}}\right)\left({\frac {\mu }{\mathfrak {b}}}\right)$.
Das Symbol $\textstyle \left({\frac {\mu }{\mathfrak {a}}}\right)$ ist durch diese Festsetzungen stets definiert, sobald $\mu$ irgendeine ganze Zahl in $k$ und ${\mathfrak {a}}$ irgendein Ideal in $k$ bedeutet. Das Symbol $\textstyle \left({\frac {\mu }{\mathfrak {a}}}\right)$ ist nur der Werte $+1$, $-1$, $0$ fähig.
Definition 6. Es sei ${\mathfrak {w}}$ irgendein Primideal in $k$, und es seien $\nu$, $\mu$ beliebige ganze Zahlen in $k$, nur daß $\mu$ nicht gleich dem Quadrat einer Zahl in $k$ ausfällt: wenn dann $\nu$ nach ${\mathfrak {w}}$ der Relativnorm einer ganzen Zahl des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ kongruent ist und wenn außerdem auch für jede höhere Potenz von ${\mathfrak {w}}$ stets eine solche ganze Zahl ${\mathsf {A}}$ im Körper $K({\sqrt {\mu }})$ gefunden werden kann, daß $\nu \equiv N({\mathsf {A}})$ nach jener Potenz von ${\mathfrak {w}}$ ausfällt, so nenne ich $\nu$ einen Normenrest des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ nach ${\mathfrak {w}}$. In jedem anderen Falle nenne ich $\nu$ einen Normennichtrest des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ nach ${\mathfrak {w}}$.
Ich definiere das Symbol $\left({\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)$, indem ich
* $\left({\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=+1$ oder $=-1$
setze, je nachdem $\nu$ Normenrest oder Normennichtrest nach ${\mathfrak {w}}$ ist. Fällt $\mu$ gleich dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ aus, so werde stets
* $\left({\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=+1$
gesetzt.
Das neue Symbol $\left({\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)$ ist durch diese Festsetzungen in jedem Falle definiert, sobald $\nu$, $\mu$ irgend zwei ganze Zahlen des Körpers $k$ und ${\mathfrak {w}}$ irgendein Primideal des Körpers $k$ bedeuten. Das Symbol $\left({\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)$ ist nur der beiden Werte $+1$ oder $-1$ fähig.
In den folgenden Sätzen entwickeln wir einige Eigenschaften des Symbols $\left({\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {p}}}\right)$ für den Fall, daß ${\mathfrak {p}}$ ein nicht in $2$ aufgehendes Primideal bedeutet.
Satz 9. Wenn $\nu$, $\mu$ irgend beliebige ganze Zahlen in $k$ bedeuten und ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal des Körpers $k$ ist, das zu $2$ und zu $\nu$ prim ausfällt, aber in $\mu$ genau zur ersten Potenz aufgeht, so gilt stets die Gleichung
* $\left({\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\nu }{\mathfrak {p}}}\right)$.
Beweis. Ist $\left({\frac {\nu }{\mathfrak {p}}}\right)=+1$, so gibt es nach Definition 1 eine ganze Zahl $\alpha$ in $k$, für welche $\nu \equiv \alpha ^{2}$ nach ${\mathfrak {p}}$ wird. Um zu zeigen, daß dann die Kongruenz $\nu \equiv \xi ^{2}$ auch nach jeder beliebigen Potenz von ${\mathfrak {p}}$ durch geeignete Wahl von $\xi$ lösbar ist, setzen wir
* ${\frac {\nu }{\alpha ^{2}}}\equiv 1+2\omega$, $({\mathfrak {p}}^{2})$,
$\omega$
${\mathfrak {p}}$
$k$
$\alpha '=\alpha (1+\omega )$
* $\nu \equiv \alpha '^{2}$, $({\mathfrak {p}}^{2})$.
Durch gehörige Fortsetzung dieses Verfahrens erkennen wir, daß für jeden Exponenten $e$ eine ganze Zahl $\alpha ^{(e-1)}$ existiert, so daß
* $\nu \equiv \left(\alpha ^{(e-1)}\right)^{2}$, $({\mathfrak {p}}^{e})$
ausfällt. Setzen wir ${\mathsf {A}}=\alpha ^{(e-1)}$, so folgt
* $\nu \equiv N({\mathsf {A}})$, $({\mathfrak {p}}^{e})$,
d. h. es hat unter der obigen Annahme das Symbol $\left({\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {p}}}\right)$ den Wert $+1$.
Machen wir umgekehrt die Annahme $\left({\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {p}}}\right)=+1$, so gibt es nach Definition 6 eine ganze Zahl ${\mathsf {A}}$ in $K({\sqrt {\mu }})$, für welche $\nu \equiv N({\mathsf {A}})$ nach ${\mathfrak {p}}$ wird. Da nach Satz 4 das Primideal ${\mathfrak {p}}$ in der Relativdiskriminante des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ aufgeht, so ist nach Satz 6 das Primideal ${\mathfrak {p}}$ gleich dem Quadrat eines Primideals ${\mathfrak {P}}$ im Körper $K({\sqrt {\mu }})$. Aus der Gleichung ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {P}}^{2}$ folgt die Gleichheit der Normen $n({\mathfrak {p}})$ in $k$ und $N({\mathfrak {P}})$ in $K({\sqrt {\mu }})$ und wie im Beweise des Satzes 7 schließen wir dann auch hier, daß jede ganze Zahl des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ einer ganzen Zahl des Körpers $k$ nach ${\mathfrak {P}}$ kongruent sein muß. Setzen wir insbesondere ${\mathsf {A}}\equiv \alpha$ nach ${\mathfrak {P}}$, wo $\alpha$ eine ganze Zahl in $k$ ist, so folgt
* $\nu \equiv N({\mathsf {A}})\equiv \alpha ^{2}$, $({\mathfrak {P}})$
und daher ist auch $\nu =\alpha ^{2}$ nach ${\mathfrak {p}}$, d. h. unter der gegenwärtigen Annahme erhalten wir $\left({\frac {\nu }{\mathfrak {p}}}\right)=+1$; hiermit und durch das vorhin Bewiesene wird der Satz 9 vollständig als richtig erkannt.
Satz 10 Wenn $\nu$, $\mu$ zwei beliebige ganze Zahlen in $k$ bedeuten und ${\mathfrak {p}}$ ein weder in $\nu$ noch in $\mu$ noch in $2$ aufgehendes Primideal in $k$ ist, so gilt stets die Gleichung
* $\left({\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {p}}}\right)=+1$.
Beweis. Nach Satz 4 geht ${\mathfrak {p}}$ nicht in der Relativdiskriminante des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ auf; wir haben demgemäß nur zwei Annahmen zu behandeln, je nachdem ${\mathfrak {p}}$ in zwei voneinander verschiedene Primideale des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ zerlegbar ist oder in $K({\sqrt {\mu }})$ unzerlegbar bleibt.
Wir nehmen zunächst ${\mathfrak {p}}$ als zerlegbar an, und zwar sei ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {P}}\cdot S{\mathfrak {P}}$, wo ${\mathfrak {P}}$ ein Primideal des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ bedeutet. Es gibt dann gewiß in $K({\sqrt {\mu }})$ ein System von zwei ganzen Zahlen, ${\mathsf {A}}_{1}$, ${\mathsf {A}}_{2}$, für welche die beiden in ${\mathsf {A}}_{1}$, ${\mathsf {A}}_{2}$ linearen Kongruenzen
| $\left.{\begin{aligned}{\mathsf {A}}_{1}+{\mathsf {A}}_{2}{\sqrt {\mu }}&\equiv \nu \\{\mathsf {A}}_{1}-{\mathsf {A}}_{2}{\sqrt {\mu }}&\equiv 1,\end{aligned}}\right\$ $({\mathfrak {P}})$ | (1) |
$n({\mathfrak {p}})$
$N({\mathfrak {P}})$
$K({\sqrt {\mu }})$
$k$
${\mathfrak {P}}$
| ${\mathsf {A}}_{1}\equiv \alpha _{1}$, ${\mathsf {A}}_{2}\equiv \alpha _{2}$, $({\mathfrak {P}})$, | (2) |
wo $\alpha _{1}$, $\alpha _{2}$ ganze Zahlen in $k$ sind. Wenn wir dann zur Abkürzung
* ${\mathsf {A}}=\alpha _{1}+\alpha _{2}{\sqrt {\mu }}$
setzen, so folgt wegen (2) durch Multiplikation der Kongruenzen (1) die Kongruenz
* $\nu \equiv N({\mathsf {A}})$, $({\mathfrak {P}})$
und da beide Seiten dieser Kongruenz ganze Zahlen in $k$ sind, so gilt sie auch nach dem Modul ${\mathfrak {p}}$. Um zu beweisen, daß die Kongruenz $\nu \equiv N(\Xi )$ durch geeignete Wahl der ganzen Zahl $\Xi$ in $K({\sqrt {\mu }})$ auch nach jeder Potenz ${\mathfrak {p}}^{e}$ des Primideals ${\mathfrak {p}}$ lösbar ist, zeigen wir, wie im Beweise zu Satz 9, die Existenz einer Zahl $\xi$, welche der Kongruenz
* ${\frac {\nu }{N({\mathsf {A}})}}\equiv \xi ^{2}$, $({\mathfrak {p}}^{e})$
genügt; dann ist offenbar $\nu \equiv N(\xi {\mathsf {A}})$ nach ${\mathfrak {p}}^{e}$.
Es sei andererseits ${\mathfrak {p}}$ im Körper $K({\sqrt {\mu }})$ nicht weiter zerlegbar und somit nach Satz 7 die Zahl $\mu$ quadratischer Nichtrest nach ${\mathfrak {p}}$. Nach Satz 2 gibt es in $k$ genau $f={\frac {n({\mathfrak {p}})-1}{2}}$ quadratische Reste nach ${\mathfrak {p}}$; es seien diese durch die Quadratzahlen $\alpha _{1}^{2}$, $\alpha _{2}^{2}$, …, $\alpha _{f}^{2}$ vertreten. Wir unterscheiden nun zwei Fälle, je nachdem die Zahl $-1$ quadratischer Rest oder Nichtrest nach ${\mathfrak {p}}$ ist.
Im ersteren Falle sind wegen unserer Annahme über $\mu$ die $n({\mathfrak {p}})-1$ Zahlen
| $\alpha _{1}^{2},\alpha _{2}^{2},\ldots ,\alpha _{f}^{2}$, $-\alpha _{1}^{2}\mu ,-\alpha _{2}^{2}\mu ,\ldots ,-\alpha _{f}^{2}\ \mu$ | (3) |
sämtlich nach ${\mathfrak {p}}$ untereinander inkongruent. Es ist daher jede zu ${\mathfrak {p}}$ prime ganze Zahl in $k$ einer der Zahlen (3) nach ${\mathfrak {p}}$ kongruent. Die Zahlen (3) sind bez. die Relativnormen der Zahlen
* $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{f}$, $\alpha _{1}{\sqrt {\mu }},\alpha _{2}{\sqrt {\mu }},\ldots ,\alpha _{f}{\sqrt {\mu }}$
und es ist mithin jede zu ${\mathfrak {p}}$ prime Zahl in $k$ der Relativnorm einer geeigneten ganzen Zahl in $K({\sqrt {\mu }})$ nach ${\mathfrak {p}}$ kongruent.
Ist $-1$ quadratischer Nichtrest nach ${\mathfrak {p}}$, so wird $-\mu$ quadratischer Rest nach ${\mathfrak {p}}$; es sei $-\mu \equiv \beta ^{2}$ nach ${\mathfrak {p}}$, wo $\beta$ eine ganze Zahl in $k$ bedeutet. In der Reihe der ganzen rationalen positiven Zahlen
* $1,2,3,\ldots ,n({\mathfrak {p}})-1$
ist die letzte Zahl Nichtrest nach ${\mathfrak {p}}$; es sei $r$ die erste Zahl dieser Reihe, auf welche ein Nichtrest des Primideals ${\mathfrak {p}}$ folgt. Wir setzen $r\equiv \alpha ^{2}$ nach ${\mathfrak {p}}$, wo $\alpha$ eine ganze Zahl in $k$ bedeutet: dann ist die ganze Zahl $\alpha ^{2}\beta ^{2}-\mu$ wegen
* $\alpha ^{2}\beta ^{2}-\mu \equiv r\beta ^{2}+\beta ^{2}\equiv (r+1)\beta ^{2}$, $({\mathfrak {p}})$
${\mathfrak {p}}$
$n({\mathfrak {p}})-1$
| $\alpha _{1}^{2},\alpha _{2}^{2},\ldots ,\alpha _{f}^{2},\quad \alpha _{1}^{2}(\alpha ^{2}\beta ^{2}-\mu ),\alpha _{2}^{2}(\alpha ^{2}\beta ^{2}-\mu ),\ldots ,\alpha _{f}^{2}(\alpha ^{2}\beta ^{2}-\mu )$ | (4) |
sämtlich untereinander inkongruent nach ${\mathfrak {p}}$ aus. In diesem Falle ist also jede zu ${\mathfrak {p}}$ prime Zahl in $k$ einer der Zahlen (4) nach ${\mathfrak {p}}$ kongruent. Die Zahlen (4) sind aber bez. die Relativnormen der Zahlen
* $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{f},\quad \alpha _{1}(\alpha \beta +{\sqrt {\mu }}),\alpha _{2}(\alpha \beta +{\sqrt {\mu }}),\ldots ,\alpha _{f}(\alpha \beta +{\sqrt {\mu }}),$
und es ist mithin jede zu ${\mathfrak {p}}$ prime ganze Zahl in $k$ der Relativnorm einer ganzen Zahl in $K({\sqrt {\mu }})$ kongruent. Hieraus schließt man weiter, wie im ersten Teil dieses Beweises, daß zu jeder nicht durch ${\mathfrak {p}}$ teilbaren Zahl $\nu$ des Körpers $k$ auch für eine beliebig hohe Potenz ${\mathfrak {p}}^{e}$ des Primideals ${\mathfrak {p}}$ stets eine ganze Zahl in $K({\sqrt {\mu }})$ gefunden werden kann, deren Relativnorm der Zahl $\nu$ nach ${\mathfrak {p}}^{e}$ kongruent ist. Damit ist Satz 10 in allen Fällen bewiesen.
Satz 11. Wenn $\nu$, $\mu$ zwei beliebige ganze Zahlen in $k$ bedeuten und ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal des Körpers $k$ ist, das zu $2$ und zu $\mu$ prim ausfällt, aber in $\nu$ genau zur ersten Potenz aufgeht, so gilt stets die Gleichung
* $\left({\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\mu }{\mathfrak {p}}}\right)$.
Beweis. Ist $\left({\frac {\mu }{\mathfrak {p}}}\right)=+1$, so wird nach Satz 7 das Primideal ${\mathfrak {p}}$ des Körpers $k$ in zwei voneinander verschiedene Primideale ${\mathfrak {P}}$ und $S{\mathfrak {P}}$ des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ weiter zerlegbar. Wir bestimmen eine ganze Zahl ${\mathsf {A}}$ in $K({\sqrt {\mu }})$, welche durch ${\mathfrak {P}}$, aber weder durch ${\mathfrak {P}}^{2}$ noch durch $S{\mathfrak {P}}$ teilbar ist; dann geht die Relativnorm $\alpha =N({\mathsf {A}})$ der Zahl ${\mathsf {A}}$ genau durch die erste Potenz von ${\mathfrak {p}}$ auf. Es sei $\varrho$ eine durch ${\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}$ teilbare, aber zu ${\mathfrak {p}}$ prime ganze Zahl in $k$, dann ist ${\frac {\nu \varrho ^{2}}{\alpha }}$ eine ganze zu ${\mathfrak {p}}$ prime Zahl und daher zufolge des Satzes 10 Normenrest des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ nach ${\mathfrak {p}}$. Bedeutet ${\mathfrak {p}}^{e}$ eine beliebige Potenz von ${\mathfrak {p}}$ und setzen wir
* ${\frac {\nu \varrho ^{2}}{\alpha }}\equiv N({\mathsf {P}})$, $({\mathfrak {p}}^{e})$,
wo ${\mathsf {P}}$ eine ganze Zahl in $K({\sqrt {\mu }})$ bedeutet, und bestimmen dann $\varrho ^{*}$ als ganze Zahl in $k$, so daß $\varrho \varrho ^{*}\equiv 1$ nach ${\mathfrak {p}}^{e}$ ausfällt, so wird offenbar
* $\nu \equiv N(\varrho ^{*}{\mathsf {PA}})$, $({\mathfrak {p}}^{e})$
d. h. es ist $\nu$ Normenrest des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ nach ${\mathfrak {p}}$.
Umgekehrt, wenn $\nu$ Normenrest des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ ist und etwa $\nu \equiv N(\Omega )$ nach ${\mathfrak {p}}^{2}$ ausfällt, wo $\Omega$ eine ganze Zahl in $K({\sqrt {\mu }})$ ist, so geht $N(\Omega )$ wegen der über $\nu$ gemachten Annahme nur durch die erste Potenz von ${\mathfrak {p}}$ auf; wir haben daher offenbar
* ${\mathfrak {p}}=({\mathfrak {p}},\Omega )\cdot ({\mathfrak {p}},S\Omega )$,
d. h. ${\mathfrak {p}}$ zerfällt in $K({\sqrt {\mu }})$ in ein Produkt von zwei Idealen und mithin ist nach Satz 7 $\left({\frac {\mu }{\mathfrak {p}}}\right)=+1$. Damit ist der Satz 11 vollständig bewiesen. Satz 12. Es sei ${\mathfrak {p}}$ ein zu $2$ primes Primideal des Körpers $k$, ferner seien $\nu$, $\mu$, $\nu ^{*}$, $\mu ^{*}$ vier ganze Zahlen in $k$ von der Beschaffenheit, daß ${\frac {\mu }{\mu ^{*}}}$ das Quadrat einer ganzen oder gebrochenen Zahl in $k$ und ${\frac {\nu }{\nu ^{*}}}$ die Relativnorm einer ganzen oder gebrochenen Zahl des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ wird: dann gilt stets die Gleichung
* $\left({\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\nu ^{*},\mu ^{*}}{\mathfrak {p}}}\right)$.
Beweis. Zunächst bemerken wir, daß wegen der Definition 6 des Symbols $\left({\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {p}}}\right)$ offenbar stets die Gleichung
| $\left({\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\nu ,\mu ^{*}}{\mathfrak {p}}}\right)$ | (5) |
gilt, da offenbar der durch ${\sqrt {\mu ^{*}}}$ bestimmte relativquadratische Körper mit dem Körper $K({\sqrt {\mu }})$ übereinstimmt.
Ferner wollen wir beweisen, daß, wenn $\gamma$ die Relativnorm $N(\Gamma )$ einer ganzen Zahl $\Gamma$ des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ ist, stets
| $\left({\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\gamma \nu ,\mu }{\mathfrak {p}}}\right)$ | (6) |
ausfällt.
In der Tat, wenn $\nu$ Normenrest des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ nach ${\mathfrak {p}}$ ist, so wird offenbar auch $\gamma \nu$ Normenrest dieses Körpers nach ${\mathfrak {p}}$. Die umgekehrte Annahme, daß $\gamma \nu$ Normenrest des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ nach ${\mathfrak {p}}$ ist, behandeln wir in folgender Weise: Es gehe $\nu$ genau durch die $b$-te Potenz von ${\mathfrak {p}}$ und $\gamma$ genau durch die $c$-te Potenz von ${\mathfrak {p}}$ auf; es sei ferner $\Omega$ eine ganze Zahl in $K({\sqrt {\mu }})$, so daß die Kongruenz
| $\nu \gamma \equiv N(\Omega ),$ $({\mathfrak {p}}^{c+e})$ | (7) |
gilt, wobei $e$ einen beliebigen Exponenten der größer als $b$ ist, bedeutet. Wir unterscheiden nun drei Fälle, je nachdem ${\mathfrak {p}}$ im Körper $K({\sqrt {\mu }})$ Primideal bleibt oder in zwei gleiche oder in zwei voneinander verschiedene Primideale des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ weiter zerlegbar ist.
Im ersten Falle muß wegen $\gamma =N(\Gamma )$ der Exponent $c$ gerade sein und ${\mathfrak {p}}$ in $\Gamma$ genau zur ${\frac {c}{2}}$-ten Potenz aufgehen; ferner erkennen wir aus (7), daß $\Omega$ genau durch die ${\frac {c+b}{2}}$-te Potenz von ${\mathfrak {p}}$ teilbar sein muß. Nun sei $\alpha$ eine durch ${\frac {\gamma }{{\mathfrak {p}}^{e}}}$ teilbare, aber zu ${\mathfrak {p}}$ prime ganze Zahl in $k$. Dann ist ${\mathsf {A}}={\frac {\alpha \Omega }{\Gamma }}$ gewiß eine ganze Zahl in $K({\sqrt {\mu }})$ und wir erhalten $\alpha ^{2}\nu \equiv N({\mathsf {A}})$ nach ${\mathfrak {p}}^{e}$. Bestimmen wir noch eine ganze Zahl $\alpha ^{*}$ in $k$, so daß $\alpha \alpha ^{*}\equiv 1$ nach ${\mathfrak {p}}^{e}$ ausfällt, so folgt $\nu \equiv N(\alpha ^{*}{\mathsf {A}})$ nach ${\mathfrak {p}}^{e}$, d. h. $\nu$ ist Normenrest des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ nach ${\mathfrak {p}}$.
Im zweiten Falle setzen wir ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {P}}^{2}$, so daß ${\mathfrak {P}}$ ein Primideal in $K({\sqrt {\mu }})$ bedeutet. Wegen $\gamma =N(\Gamma )$ geht in $\Gamma$ genau die $c$-te Potenz von ${\mathfrak {P}}$ auf und wegen der Kongruenz (7) geht in $\Omega$ genau die $(c+b)$-te Potenz von ${\mathfrak {P}}$ auf. Wir bestimmen nun eine Zahl $\alpha$ in $k$ wie im ersten Falle, und gelangen dann durch die entsprechenden Schlüsse wiederum zu dem Resultat, daß $\nu$ Normenrest des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ nach ${\mathfrak {p}}$ sein muß.
Im dritten Falle endlich setzen wir ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {P}}\cdot S{\mathfrak {P}}$, wo ${\mathfrak {P}}$ ein Primideal des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ bedeutet, welches von seinem relativkonjugierten Primideale $S{\mathfrak {P}}$ verschieden ausfällt. Nun gehe in $\Gamma$ das Primideal ${\mathfrak {P}}$ genau zur $C$-ten und das Primideal $S{\mathfrak {P}}$ genau zur $C'$-ten Potenz auf; ferner gehe in $\Omega$ das Primideal ${\mathfrak {P}}$ genau zur $U$-ten und $S{\mathfrak {P}}$ genau zur $U'$-ten Potenz auf; es ist dann $c=C+C'$ und $c+b=U+U'$, und folglich
| $U+U'\geqq C+C'$. | (8) |
Wir bilden jetzt in $K({\sqrt {\mu }})$ eine ganze Zahl ${\mathsf {A}}$, die genau durch die $C$-te Potenz von ${\mathfrak {P}}$ und durch die $U$-te Potenz von $S{\mathfrak {P}}$ teilbar ist, und endlich eine ganze Zahl $\alpha$ in $k$, die durch ${\frac {\Gamma \cdot S{\mathsf {A}}}{{\mathfrak {P}}^{U+C}S{\mathfrak {P}}^{C+C'}}}$ teilbar ist, aber zu ${\mathfrak {p}}$ prim ausfällt. Wegen der Ungleichung (8) ist dann ${\mathsf {B}}={\frac {\alpha \Omega {\mathsf {A}}}{\Gamma \cdot S{\mathsf {A}}}}$ gewiß eine ganze Zahl in $K({\sqrt {\mu }})$ und wir erhalten $\alpha ^{2}\nu \equiv N({\mathsf {B}})$ nach ${\mathfrak {p}}^{e}$. Bestimmen wir also noch eine ganze Zahl $\alpha ^{\ast }$ in $k$, so daß $\alpha \alpha ^{\ast }\equiv 1$ nach ${\mathfrak {p}}^{e}$ ausfällt, so folgt $\nu \equiv N(\alpha ^{\ast }{\mathsf {B}})$ nach ${\mathfrak {p}}^{e}$, d. h. $\nu$ ist Normenrest des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ nach ${\mathfrak {p}}$. Damit ist die Richtigkeit der in Formel (6) ausgesprochenen Behauptung in allen Fällen als richtig erkannt.
Wegen der über ${\frac {\nu }{\nu ^{\ast }}}$ gemachten Voraussetzung dürfen wir ${\frac {\nu }{\nu ^{\ast }}}={\frac {\gamma ^{\ast }}{\gamma }}$ oder $\nu \gamma =\nu ^{\ast }\gamma ^{\ast }$ setzen, wobei $\gamma ,\gamma ^{\ast }$ Relativnormen gewisser ganzer Zahlen in $K({\sqrt {\mu ^{\ast }}})$ bedeuten. Mit Hilfe der eben bewiesenen Formel (6) erhalten wir
* $\left({\frac {\nu ,\mu ^{\ast }}{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\gamma \nu ,\mu ^{\ast }}{\mathfrak {p}}}\right)$  und   $\left({\frac {\nu ^{\ast },\mu ^{\ast }}{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\gamma ^{\ast }\nu ^{\ast },\mu ^{\ast }}{\mathfrak {p}}}\right)$;
mithin ist auch
* $\left({\frac {\nu ,\mu ^{\ast }}{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\nu ^{\ast },\mu ^{\ast }}{\mathfrak {p}}}\right)$.
Die letztere Formel und die Formel (5) zusammen zeigen die Richtigkeit des Satzes 12.
Aus den in § 8 entwickelten Eigenschaften des Symbols $\left({\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {p}}}\right)$ können wir ein System von Grundformeln für dieses Symbol herleiten unter der Voraussetzung, daß dabei ${\mathfrak {p}}$ ein in $2$ nicht aufgehendes Primideal bedeutet.
Satz 13. Es sei ${\mathfrak {p}}$ ein zu $2$ primes Primideal des Körpers $k$ und $\nu$, $\mu$ seien zwei beliebige ganze Zahlen in $k$; geht das Primideal ${\mathfrak {p}}$ in diesen Zahlen $\nu$, $\mu$ genau zur $b$-ten, bez. $a$-ten Potenz auf, so bilde man die Zahl ${\frac {\nu ^{a}}{\mu ^{b}}}$ und bringe dieselbe in die Gestalt eines Bruches ${\frac {\varrho }{\sigma }}$, dessen Zähler $\varrho$ und dessen Nenner $\sigma$ nicht durch ${\mathfrak {p}}$ teilbar sind: dann gilt stets die Gleichung
* $\left({\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {(-1)^{ab}\varrho \sigma }{\mathfrak {p}}}\right)$.
Beweis. Die Sätze 9, 10, 11 zeigen unmittelbar, daß der Satz 13 für $a=1$, $b=0$, für $a=0$, $b=0$ und für $a=0$, $b=1$ gilt. Im Falle $a=1$, $b=1$ haben wir ${\frac {\nu }{\mu }}={\frac {\varrho }{\sigma }}$ zu setzen; da nun
* ${\frac {\nu }{-\varrho \sigma }}=-{\frac {\mu }{\sigma ^{2}}}$
die Relativnorm der Zahl ${\frac {\sqrt {\mu }}{\sigma }}$ ist, so ergibt sich nach Satz 12
* $\left({\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {-\varrho \sigma ,\mu }{\mathfrak {p}}}\right)$,
und da andererseits nach Satz 9
* $\left({\frac {-\varrho \sigma ,\mu }{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {-\varrho \sigma }{\mathfrak {p}}}\right)$
ist, so folgt auch für diesen Fall die Richtigkeit des Satzes 13.
Sind nun $a$, $b$ beliebige ganze rationale nicht negative Exponenten, so möge $a^{\ast }$ den Wert $0$ oder $1$ bedeuten, je nachdem $a$ gerade oder ungerade ausfällt, und entsprechend möge $b^{\ast }$ den Wert $0$ oder $1$ bedeuten, je nachdem $b$ gerade oder ungerade ausfällt. Wir bestimmen jetzt im Körper $k$ eine ganze Zahl $\nu ^{\ast }$, in der genau die $b^{\ast }$-te Potenz von ${\mathfrak {p}}$ aufgeht, und eine Zahl $\mu ^{\ast }$, in der genau die $a^{\ast }$-te Potenz von ${\mathfrak {p}}$ aufgeht von der Beschaffenheit, daß ${\frac {\nu }{\nu ^{\ast }}}$ und ${\frac {\mu }{\mu ^{\ast }}}$ Quadrate von Zahlen in $k$ sind; dann setzen wir ${\frac {{\nu ^{\ast }}^{a^{\ast }}}{{\mu ^{\ast }}^{b^{\ast }}}}$ gleich einem Bruche ${\frac {\varrho ^{\ast }}{\sigma ^{\ast }}}$, dessen Zähler $\varrho ^{\ast }$ und dessen Nenner $\sigma ^{\ast }$ ganze zu ${\mathfrak {p}}$ prime Zahlen in $k$ sind, und erkennen leicht, daß in der Zahlenreihe
* $\varrho ^{\ast }\sigma ^{\ast }$,   ${\frac {\varrho ^{\ast }}{\sigma ^{\ast }}}$,   ${\frac {{\nu ^{\ast }}^{a^{\ast }}}{{\mu ^{\ast }}^{b^{\ast }}}}$,   ${\frac {{\nu ^{\ast }}^{a}}{{\mu ^{\ast }}^{b}}}$,   ${\frac {\nu ^{a}}{\mu ^{b}}}$,   ${\frac {\varrho }{\sigma }}$,   $\varrho \sigma$
jede Zahl durch die darauffolgende dividiert, gleich dem Quadrat einer Zahl des Körpers $k$ wird; wir schließen hieraus, daß auch der Quotient der ersten Zahl $\varrho ^{\ast }\sigma ^{\ast }$ und der letzten $\varrho \sigma$ in jener Reihe gleich dem Quadrat einer gewissen Zahl $\varkappa$ des Körpers $k$ sein muß. Da andererseits diese Zahlen beide zu ${\mathfrak {p}}$ prim sind, so läßt sich notwendig auch $\varkappa$ in die Gestalt eines Bruches ${\frac {\psi }{\psi ^{\ast }}}$ setzen, dessen Zähler $\psi$ und dessen Nenner $\psi ^{\ast }$ ganze zu ${\mathfrak {p}}$ prime Zahlen in $k$ sind. Wir erhalten mithin ${\psi ^{\ast }}^{2}\varrho ^{\ast }\sigma ^{\ast }=\psi ^{2}\varrho \sigma$ und folglich ist $\left({\frac {\varrho ^{\ast }\sigma ^{\ast }}{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\varrho \sigma }{\mathfrak {p}}}\right)$; da ferner $(-1)^{ab}=(-1)^{a^{\ast }b^{\ast }}$ ausfällt, so ist auch
| $\left({\frac {(-1)^{a^{\ast }b^{\ast }}\varrho ^{\ast }\sigma ^{\ast }}{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {(-1)^{ab}\varrho \sigma }{\mathfrak {p}}}\right)$. | (1) |
| $\left({\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\nu ^{\ast },\mu ^{\ast }}{\mathfrak {p}}}\right)$, | (2) |
und da nach dem ersten Teil des gegenwärtigen Beweises der Satz 13 auf die Zahlen $\nu ^{\ast }$, $\mu ^{\ast }$ angewandt werden darf, so gilt die Gleichung
| $\left({\frac {\nu ^{\ast },\mu ^{\ast }}{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {(-1)^{a^{\ast }b^{\ast }}\varrho ^{\ast }\sigma ^{\ast }}{\mathfrak {p}}}\right)$, | (3) |
Aus den Formeln (1), (2), (3) folgt die Richtigkeit des Satzes 13 allgemein.
Aus Satz 13 ergeben sich für das Symbol $\left({\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {p}}}\right)$ eine Reihe von wichtigen Formeln, die wir in folgendem Satze zusammenstellen:
Satz 14. Wenn $\nu$, $\nu _{1}$, $\nu _{2}$, $\mu$, $\mu _{1}$, $\mu _{2}$ beliebige ganze Zahlen des Körpers $k$ sind, so gelten in bezug auf irgendein zu $2$ primes Primideal ${\mathfrak {p}}$ des Körpers $k$ stets die Formeln:
* ${\begin{aligned}\left({\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {p}}}\right)&=\left({\frac {\mu ,\nu }{\mathfrak {p}}}\right),\\\left({\frac {\nu _{1}\nu _{2},\mu }{\mathfrak {p}}}\right)&=\left({\frac {\nu _{1},\mu }{\mathfrak {p}}}\right)\left({\frac {\nu _{2},\mu }{\mathfrak {p}}}\right),\\\left({\frac {\nu ,\mu _{1}\mu _{2}}{\mathfrak {p}}}\right)&=\left({\frac {\nu ,\mu _{1}}{\mathfrak {p}}}\right)\left({\frac {\nu ,\mu _{2}}{\mathfrak {p}}}\right).\end{aligned}}$
Beweis. Die erste Formel folgt unmittelbar aus Satz 13.
Um die zweite Formel zu beweisen, nehmen wir an, es gehe das Primideal ${\mathfrak {p}}$ in $\nu _{1}$, $\nu _{2}$, $\mu$ bez. genau zur $b_{1}$-ten, $b_{2}$-ten, $a$-ten Potenz auf, und setzen dann
* ${\frac {\nu _{1}^{a}}{\mu ^{b_{1}}}}={\frac {\varrho _{1}}{\sigma _{1}}}$,   ${\frac {\nu _{2}^{a}}{\mu ^{b_{2}}}}={\frac {\varrho _{2}}{\sigma _{2}}}$,
so daß $\varrho _{1},\sigma _{1},\varrho _{2},\sigma _{2}$ ganze zu ${\mathfrak {p}}$ prime Zahlen in $k$ sind. Nach Satz 13 erhalten wir
* ${\begin{aligned}\left({\frac {\nu _{1},\mu }{\mathfrak {p}}}\right)&=\left({\frac {(-1)^{ab_{1}}\varrho _{1}\sigma _{1}}{\mathfrak {p}}}\right),\\\left({\frac {\nu _{2},\mu }{\mathfrak {p}}}\right)&=\left({\frac {(-1)^{ab_{2}}\varrho _{2}\sigma _{2}}{\mathfrak {p}}}\right),\\\left({\frac {\nu _{1}\nu _{2},\mu }{\mathfrak {p}}}\right)&=\left({\frac {(-1)^{a(b_{1}+b_{2})}\varrho _{1}\varrho _{2}\sigma _{1}\sigma _{2}}{\mathfrak {p}}}\right)\end{aligned}}$
und diese Gleichungen zeigen die Richtigkeit der zweiten Formel.
Die dritte Formel ist eine unmittelbare Folge der ersten und zweiten.
$2$
$k$
Satz 15. Wenn ${\mathfrak {p}}$ ein zu $2$ primes Primideal des Körpers $k$ ist, das nicht in der Relativdiskriminante des relativquadratischen Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ aufgeht, so ist jede zu ${\mathfrak {p}}$ prime Zahl $\nu$ Normenrest des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ nach ${\mathfrak {p}}$.
Wenn dagegen ${\mathfrak {p}}$ ein zu $2$ primes Primideal des Körpers $k$ ist, das in der Relativdiskriminante des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ aufgeht und wenn $e$ ein beliebiger positiver Exponent bedeutet, so sind von allen vorhandenen zu ${\mathfrak {p}}$ primen und nach ${\mathfrak {p}}^{e}$ einander inkongruenten Zahlen in $k$ genau die Hälfte Normenreste des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$.
Beweis. Es gehe ${\mathfrak {p}}$ in $\mu$ genau zur $a$-ten Potenz auf. Soll zunächst ${\mathfrak {p}}$ zur Relativdiskriminante des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ prim ausfallen, so muß nach Satz 4 $a$ eine gerade Zahl sein; da ferner nach Voraussetzung $\nu$ zu ${\mathfrak {p}}$ prim ist, so können wir bei Anwendung des Satzes 13 zur Bestimmung des Symbols $\left({\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {p}}}\right)$ einfach $\varrho =\nu ^{a}$ und $\sigma =1$ setzen und erhalten dann
* $\left({\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\nu ^{a}}{\mathfrak {p}}}\right)=+1$,
womit der erste Teil des Satzes 15 bewiesen ist.
Soll andererseits ${\mathfrak {p}}$ in der Relativdiskriminante des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ aufgehen, so ist nach Satz 4 der Exponent $a$ eine ungerade Zahl; mithin haben wir nach Satz 13
* $\left({\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\nu ^{a}}{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\nu }{\mathfrak {p}}}\right)$,
woraus leicht mit Rücksicht auf Satz 2 der zweite Teil des Satzes 15 zu entnehmen ist.
An späterer Stelle werden wir erkennen, daß dieser Satz 15 ebenso wie Satz 14 auch für jedes in $2$ aufgehende Primideal gilt; doch bietet der Nachweis hierfür erheblich größere Schwierigkeiten. Wir werden dann auf die Bedeutung hinweisen, die diesem Satz 15 und seiner Verallgemeinerung auf beliebige Primideale für unsere Theorie zukommt.
Definition 7. Wenn $\varepsilon$ eine Einheit des Körpers $k$ ist, so heißt das System aller Einheiten von der Form $\epsilon \xi ^{2}$ wo $\xi$ alle Einheiten des Körpers $k$ durchläuft, ein Verband von Einheiten oder ein Einheitenverband des Körpers $k$. Der durch die Einheit $\varepsilon =1$ bestimmte Einheitenverband, d. h. derjenige Verband, welcher die Quadrate aller Einheiten des Körpers enthält, heiße der Hauptverband und werde mit $1$ bezeichnet. Wenn $V$, $V'$ zwei beliebige Verbände von Einheiten in $k$ sind und jede Einheit in $V$ mit jeder Einheit in $V'$ multipliziert wird, so bilden sämtliche solche Produkte wiederum einen Verband von Einheiten in $k$; dieser werde das Produkt der Verbände $V$ und $V'$ genannt und mit $VV'$ bezeichnet. Wenn eine Anzahl von Verbänden in $k$ vorgelegt ist, von denen keiner der Hauptverband ist und keiner durch Multiplikation aus den anderen erhalten werden kann, so heißen dieselben von einander unabhängig.
Es mögen die $r$ Einheiten $\varepsilon _{1}$, ..., $\varepsilon _{r}$ ein volles System von Grundeinheiten des Körpers $k$ bilden. Ferner sei $\zeta$ eine Einheitswurzel, welche in $k$ vorkommt, während ${\sqrt {\zeta }}$ nicht in $k$ liegt; wir setzen $\varepsilon _{r+1}=\zeta$ und erkennen dann leicht, daß $\varepsilon _{1}$, ..., $\varepsilon _{r+1}$ ein System von $r+1$ Einheiten bilden derart, daß überhaupt jede Einheit $\varepsilon$ in $k$ auf eine und nur auf eine Weise sich in der Gestalt
* $\varepsilon =\varepsilon _{1}^{u_{1}}\varepsilon _{2}^{u_{2}}\cdots \varepsilon _{r+1}^{u_{r+1}}\xi ^{2}$
darstellen läßt, wo die Exponenten $u_{1}$, $u_{2}$, ..., $u_{r+1}$ nur die Werte $0$ oder $1$ annehmen und $\xi$ eine geeignete Einheit in $k$ bedeutet. Es bestimmen also offenbar die Einheiten $\varepsilon _{1}$, ..., $\varepsilon _{r+1}$ ein System von $r+1$ unabhängigen Verbänden in $k$, durch deren Multiplikation überhaupt jeder in $k$ vorhandene Verband erhalten werden kann. Der Körper $k$ besitzt, wie wir hieraus schließen, im ganzen genau $2^{r+1}$ verschiedene Einheitenverbände.
Definition 8. Ist ${\mathfrak {C}}$ ein Ideal aus einer Idealklasse $C$ des in bezug auf $k$ relativquadratischen Körpers $K$, so werde die durch das relativkonjugierte Ideal $S{\mathfrak {C}}$ bestimmte Idealklasse mit $SC$ bezeichnet und die zu $C$ relativkonjugierte Klasse genannt. Eine Idealklasse $A$ des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ heiße eine ambige Klasse, wenn sie ihrer relativkonjugierten Klasse $SA$ gleich wird, wenn also
* $A=SA$
ist.
Insbesondere ist offenbar jede Klasse des Körpers $K$ ambig, welche ein ambiges Ideal des Körpers $K$ enthält; doch kann es, wie später gezeigt werden wird, sehr wohl ambige Klassen in $K$ geben, welche kein ambiges Ideal enthalten.
Das Quadrat einer ambigen Klasse $A$ ist stets eine solche Klasse in $K$, welche unter ihren Idealen sicher auch in $k$ liegende Ideale enthält; dies folgt leicht aus der Gleichung $A^{2}=A\cdot SA$.
Definition 9. Ist $C$ eine beliebige Klasse in $K$, so nenne ich das System aller Klassen von der Form $cC$, wo $c$ die Klassen des Körpers $k$ durchläuft, einen Komplex des Körpers $K$. Der Komplex der aus den sämtlichen Klassen $c$ in $k$ besteht, heiße der Hauptkomplex des Körpers $K$ und werde mit $1$ bezeichnet.
Wenn $P$ und $P'$ zwei beliebige Komplexe sind und jede Klasse in $P$ mit jeder Klasse in $P'$ multipliziert wird, so bilden sämtliche solche Produkte wiederum einen Komplex; dieser werde das Produkt der Komplexe $P$ und $P'$ genannt und mit $PP'$ bezeichnet.
Wenn $C$ eine Klasse im Komplexe $P$ ist, so werde derjenige Komplex, zu welchem die relativkonjugierte Klasse $SC$ gehört, der zu $P$ relativkonjugierte Komplex genannt und mit $SP$ bezeichnet.
Jeder Komplex, der mit dem ihm relativkonjugierten Komplexe übereinstimmt, heißt ein ambiger Komplex. Wenn $P$ ein ambiger Komplex ist, so folgt aus $P=SP$ die Gleichung
* $P^{2}=P\cdot SP=1$,
d. h. das Quadrat jedes ambigen Komplexes ist der Hauptkomplex. Umgekehrt, wenn das Quadrat eines Komplexes $P$ den Hauptkomplex $1$ liefert, so ist $P$ ein ambiger Komplex. In der Tat folgt, da $P\cdot SP$ stets gleich $1$ ausfällt, aus $P^{2}=1$ die Gleichung $P=SP$.
Jeder Komplex $P$, der eine ambige Klasse $A$ enthält, ist ein ambiger Komplex; ein solcher Komplex werde ein aus der ambigen Klasse $A$ entspringender Komplex genannt. Enthält insbesondere die ambige Klasse $A$ ein ambiges Ideal ${\mathfrak {A}}$, so heißt $P$ ein aus dem ambigen Ideal ${\mathfrak {A}}$ entspringender Komplex.
Wenn eine Anzahl von Komplexen des Körpers $K$ vorgelegt ist, unter denen keiner der Hauptkomplex $1$ ist und keiner durch Multiplikation aus den übrigen hergeleitet werden kann, so heißen diese Komplexe voneinander unabhängig.
Ein sehr wichtiges Hilfsmittel für die weitere Entwicklung der Theorie der relativquadratischen Körper gewinnen wir durch die Erörterung der Frage, ob es stets im Körper $k$ Primideale gibt, nach denen irgendwelche gegebene Zahlen vorgeschriebene quadratische Charaktere besitzen. Wir führen die Untersuchung dieser Frage in folgender Weise:
Satz 16. (Hilfssatz.) Es bedeute $\alpha$ irgendeine ganze Zahl in $k$, welche nicht das Quadrat einer Zahl in $k$ ist, und man setze
* $f(s)=\sum _{({\mathfrak {p}})}\left({\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right){\frac {1}{n({\mathfrak {p}})^{s}}}$,   $(s>1)$,
wo die Summe rechter Hand über sämtliche Primideale ${\mathfrak {p}}$ des Körpers $k$ zu erstrecken ist: dann nähert sich die Funktion $f(s)$ der reellen Veränderlichen $s$, wenn $s$ nach $1$ abnimmt, einer endlichen Grenze.
Beweis. Wir fassen den Körper $k$ vom Grade $m$ und ferner den durch ${\sqrt {\alpha }}$ bestimmten relativquadratischen Körper $K({\sqrt {\alpha }})$ vom Grade $2\,m$ ins Auge und bilden bez. die Funktionen
* $\zeta _{k}(s)=\prod _{({\mathfrak {p}})}{\frac {1}{1-n({\mathfrak {p}})^{-s}}}$,   $\zeta _{K}(s)=\prod _{({\mathfrak {P}})}{\frac {1}{1-N({\mathfrak {P}})^{-s}}}$,
${\mathfrak {p}}$
$k$
${\mathfrak {P}}$
$K({\sqrt {\alpha }})$
$n({\mathfrak {p}})$
${\mathfrak {p}}$
$k$
$N({\mathfrak {P}})$
${\mathfrak {P}}$
$K({\sqrt {\alpha }})$
$s>1$
* ${\underset {s=1}{L}}\left\{(s-1)\zeta _{k}(s)\right\}$,   ${\underset {s=1}{L}}\left\{(s-1)\zeta _{K}(s)\right\}$
endliche und von $0$ verschiedene Werte darstellen; hieraus folgt, daß auch der Ausdruck
| ${\underset {s=1}{L}}{\frac {\zeta _{K}(s)}{\zeta _{k}(s)}}$ | (1) |
einen endlichen von $0$ verschiedenen Wert besitzt. Ordnen wir nun das Produkt
| $\zeta _{K}(s)=\prod _{({\mathfrak {P}})}{\frac {1}{1-N({\mathfrak {P}})^{-s}}}$ | (2) |
nach den Primidealen ${\mathfrak {p}}$ des Körpers $k$, aus welchen die Primideale ${\mathfrak {P}}$ herstammen, so gehört, wenn wir Definition 4 berücksichtigen, zu einem beliebigen Primideale ${\mathfrak {p}}$ in dem Produkt (2) das Glied
| ${\frac {1}{\left(1-n({\mathfrak {p}})^{-s}\right)^{2}}}$ oder ${\frac {1}{1-n({\mathfrak {p}})^{-s}}}$ oder ${\frac {1}{1-n({\mathfrak {p}})^{-2s}}}$, | (3) |
je nachdem
* $\left({\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right)=+1$   oder   $=0$   oder   $=-1$
ausfällt. Wir können daher die drei Ausdrücke (3) in der gemeinschaftlichen Form
* ${\frac {1}{1-n({\mathfrak {p}})^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-\left({\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right)n({\mathfrak {p}})^{-s}}}$
schreiben und erhalten so
* $\zeta _{K}(s)=\prod _{({\mathfrak {p}})}{\frac {1}{1-n({\mathfrak {p}})^{-s}}}\prod _{({\mathfrak {p}})}{\frac {1}{1-\left({\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right)n({\mathfrak {p}})^{-s}}}=\zeta _{k}(s)\prod _{({\mathfrak {p}})}{\frac {1}{1-\left({\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right)n({\mathfrak {p}})^{-s}}}$
und da der Grenzwert (1) endlich und von $0$ verschieden ausfällt, so folgt das gleiche für den Grenzwert
* ${\underset {s=1}{L}}\prod _{({\mathfrak {p}})}{\frac {1}{1-\left({\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right)n({\mathfrak {p}})^{-s}}}$,
und hieraus schließen wir, indem wir in bekannter Weise zum Logarithmus übergehen, daß der Ausdruck
* ${\underset {s=1}{L}}\sum _{({\mathfrak {p}})}\left({\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right){\frac {1}{n({\mathfrak {p}})^{s}}}$
einen endlichen Wert besitzt, wie es Satz 16 behauptet. Satz 17. (Hilfssatz). Es seien $\alpha _{1}$, ..., $\alpha _{z}$ irgend $z$ ganze Zahlen in $k$, welche die Bedingung erfüllen, daß kein aus denselben zu bildendes Produkt gleich dem Quadrat einer Zahl in $k$ wird; es seien ferner $c_{1}$, ..., $c_{z}$ nach Belieben vorgeschriebene Einheiten $\pm 1$: dann gilt eine Gleichung von der Gestalt
* $\sum _{({\mathfrak {p}})}{\frac {1}{n({\mathfrak {p}})^{s}}}={\frac {1}{2^{z}}}\log {\frac {1}{s-1}}+f(s)$,   $(s>1)$;
hierbei ist die Summe linker Hand über alle diejenigen Primideale ${\mathfrak {p}}$ des Körpers $k$ zu erstrecken, die den Bedingungen
* $\left({\frac {\alpha _{1}}{\mathfrak {p}}}\right)=c_{1},\left({\frac {\alpha _{2}}{\mathfrak {p}}}\right)=c_{2},\dotsc ,\left({\frac {\alpha _{z}}{\mathfrak {p}}}\right)=c_{z}$
genügen und rechter Hand bedeutet $f(s)$ eine Funktion der reellen Veränderlichen $s$, welche sich für $s=1$ einem endlichen Grenzwert nähert.
Beweis. Wir haben
* $\left.{\begin{aligned}\log \zeta _{k}(s)=&\sum _{({\mathfrak {p}})}\log {\frac {1}{1-n({\mathfrak {p}})^{-s}}}\\=&\sum _{({\mathfrak {p}})}{\frac {1}{n({\mathfrak {p}})^{s}}}+\varphi (s),\end{aligned}}\right\$   $(s>1)$,
wobei die Summen über alle Primideale ${\mathfrak {p}}$ in $k$ zu erstrecken sind und $\varphi (s)$ eine für $s=1$ endlich bleibende Funktion der reellen Veränderlichen $s$ bedeutet. Da andererseits der Ausdruck $(s-1)\zeta _{k}(s)$ für $s=1$ endlich und von $0$ verschieden bleibt, so folgt, daß in der Gleichung
| $\sum _{({\mathfrak {p}})}{\frac {1}{n({\mathfrak {p}})^{s}}}=\log {\frac {1}{s-1}}+\psi (s)$, $(s>1)$, | (4) |
$\psi (s)$ wiederum eine für $s=1$ endlich bleibende Funktion von $s$ bedeutet.
Wir setzen nun in der über alle Primideale ${\mathfrak {p}}$ zu erstreckenden Summe
| $\sum _{({\mathfrak {p}})}\left({\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right){\frac {1}{n({\mathfrak {p}})^{s}}}$, $(s>1)$ | (5) |
den Wert $\alpha =\alpha _{1}^{u_{1}}\alpha _{2}^{u_{2}}\cdots \alpha _{z}^{u_{z}}$ ein und multiplizieren die so entstehende Gleichung mit dem Faktor $c_{1}^{u_{1}}c_{2}^{u_{2}}\cdots c_{z}^{u_{z}}$. Wir erteilen dann jedem der $z$ Exponenten $u_{1}$, $u_{2}$, ..., $u_{z}$ nacheinander die Werte $0$, $1$, jedoch so, daß das eine Wertsystem $u_{1}=0,u_{2}=0,\dotsc ,u_{z}=0$ ausgeschlossen wird. Nach Satz 16 bleiben die sämtlichen $2^{z}-1$ aus (5) in dieser Weise entstehenden Ausdrücke für $s=1$ endlich. Werden dieselben zu (4) addiert, so erhalten wir daher eine Gleichung von der Form
* $\sum _{({\mathfrak {p}})}\left\{1+c_{1}\left({\frac {\alpha _{1}}{\mathfrak {p}}}\right)\right\}\left\{1+c_{2}\left({\frac {\alpha _{2}}{\mathfrak {p}}}\right)\right\}\cdots \left\{1+c_{z}\left({\frac {\alpha _{z}}{\mathfrak {p}}}\right)\right\}{\frac {1}{n({\mathfrak {p}})^{s}}}$
| $=\log {\frac {1}{s-1}}+\chi (s)$, | (6) |
wo $\chi (s)$ wiederum eine für $s=1$ endlich bleibende Funktion bedeutet. Die Richtigkeit des Satzes 17 folgt unmittelbar aus dieser Beziehung (6), wenn wir bedenken, daß der Ausdruck
* $\left\{1+c_{1}\left({\frac {\alpha _{1}}{\mathfrak {p}}}\right)\right\}\left\{1+c_{2}\left({\frac {\alpha _{2}}{\mathfrak {p}}}\right)\right\}\cdots \left\{1+c_{z}\left({\frac {\alpha _{z}}{\mathfrak {p}}}\right)\right\}$
für alle diejenigen Primideale ${\mathfrak {p}}$, die den Bedingungen des Satzes 17 genügen, den Wert $2^{z}$ besitzt und daß dieser Ausdruck für alle anderen Primideale ${\mathfrak {p}}$ des Körpers $k$ verschwindet, abgesehen von den endlich vielen Primidealen, die in $\alpha _{1}\ \alpha _{2}\ldots \ \alpha _{z}$ aufgehen.
Aus der soeben bewiesenen Gleichung des Satzes 17 folgt, indem wir bedenken, daß $\log {\frac {1}{s-1}}$ über alle Grenzen wächst, sofort die folgende Tatsache:
Satz 18. Es seien $\alpha _{1},\ \alpha _{2},\ \ldots ,\ \alpha _{z}$ irgend $z$ ganze Zahlen in $k,$ welche die Bedingung erfüllen, daß kein aus denselben zu bildendes Produkt gleich dem Quadrat einer Zahl in $k$ wird: es seien ferner $c_{1},\ c_{2},\ \ldots ,\ c_{z}$ nach Belieben vorgeschriebene Einheiten $\pm 1$: dann gibt es im Körper $k$ stets unendlich viele Primideale ${\mathfrak {p}},$ die den Bedingungen
* $\left({\frac {\alpha _{1}}{\mathfrak {p}}}\right)=c_{1},\ \left({\frac {\alpha _{2}}{\mathfrak {p}}}\right)=c_{2},\ \ldots ,\ \left({\frac {\alpha _{z}}{\mathfrak {p}}}\right)=c_{z}$
genügen.
* ↑ Vgl. meinen der Deutschen Mathematiker-Vereinigung erstatteten Bericht „Die Theorie der algebraischen Zahlkörper“. 1897, Satz 22 (dieser Band S. 82) und Satz 24 (dieser Band S. 82). Ich werde in der vorliegenden Abhandlung diesen Berioht von mir kurz mit „Algebraische Zahlkörper“ zitieren. (Dieser Band Abh. 7, S. 63-363.)
* ↑ Vgl. „Algebraische Zahlkörper“ Satz 93 (dieser Band S. 154), woselbst dieser Satz allgemein für relativzyklische Körper von einem Primzahlgrade aufgestellt und bewiesen worden ist.
* ↑ Vgl. „Algebraische Zahlkörper“, dieser Band S. 102 und S. 108.
* ↑ Vgl. „Algebraische Zahlkörper“ § 26, dieser Band S. 116.
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