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# RE:Δασκυλῖτις λίμνη

Paulys Realencyclopädie der classischen Altertumswissenschaft :
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| ⟨ Daskyleion 5 | Daskylos 1 ⟩ |
| Daskylitis limne ||
| Band IV,2 (1901) S. 2220–2221 ||
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Δασκυλῖτις λίμνη, See in Bithynien, Strab. XII 550. 575ff.; ein Versehen Strabons liegt vor XII 587. Plut. Lucull. 9. Texier Asie Mineure II 163ff. nimmt an, dass er entweder mit dem Manias-gjöl oder mit dem Abulliond-gjöl identisch ist; Marquardt dagegen betont mit Recht, dass nach Strabon drei Seen in der Gegend angesetzt werden müssen (Cyzicus u. s. Gebiet 7ff.), ebenso Perrot Galatie et Bithynie I 95. Der See muss im Gebiet des Ülfertschai (Odryses) gesucht werden, dem Fluss von Brussa. Jetzt ist er verschwunden, Regel Journal f. Volksaufklärung, Mai 1887, 1–8 (russisch). Ruge Petermanns [2221] Mitt. 1892, 226. Kiepert Text zu den Form. orb. ant. Bl. IX S. 2 Anm. 16.
# RE:Δαῦκος

Paulys Realencyclopädie der classischen Altertumswissenschaft :
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| ⟨ David | Daulieus ⟩ |
| Band IV,2 (1901) S. 2233 ||
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Δαῦκος s. Pastinaca.
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:360

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
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Handelt es sich dagegen um einen Punkt im Innern der Erde, so berechnen wir nach Gleichung (7) des vorigen Paragraphen
* ${\frac {\partial V}{\partial r}}=-\sum _{n=0}^{\infty }nQ_{n}\left({\frac {r}{a}}\right)^{n-1},\,$
* $r^{2}{\frac {\partial V}{\partial r}}=-a^{2}\sum _{n=0}^{\infty }nQ_{n}\left({\frac {r}{a}}\right)^{n+1},\,$
* ${\frac {\partial \left(r^{2}{\frac {\partial V}{\partial r}}\right)}{\partial r}}=-a\sum _{n=0}^{\infty }(n+1)nQ_{n}\left({\frac {r}{a}}\right)^{n}.\,$
Im einen wie im anderen Falle ist dies in die partielle Differentialgleichung (1) einzuführen. Die Differentiationen nach $\theta \,$ und $\varphi \,$ treffen nur die Functionen $Q_{n}\,$. Nachdem auch diese Differentiationen vorschriftsmässig bewirkt und die Resultate der Rechnung in (1) eingesetzt sind, hat man für sich gleich Null zu setzen, was mit jeder einzelnen Potenz von $r\,$ multiplicirt ist. Dadurch erhält man für einen äusseren wie für einen inneren Punkt in gleicher Weise die partielle Differentialgleichung
| (2) | $n(n+1)Q_{n}+{\frac {1}{\sin \theta ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}Q_{n}}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial \left(\sin \theta {\frac {\partial Q_{n}}{\partial \theta }}\right)}{\sin \theta \partial \theta }}\ =\ 0.$ |
Eine Function $Q_{n}\,$, welche dieser partiellen Differentialgleichung Genüge leistet, wird eine Kugelfunction $n\,$ten Ranges genannt.
Um zu einer Entwicklung dieser Function zu gelungen, erinnern wir uns daran, dass $Q_{n}\,$ eine ganze Function $n\,$ten Grades von $\cos \theta ,\ \sin \theta \cos \varphi ,\ \sin \theta \sin \varphi \,$ ist, dass also in dem zu bildenden Ausdrucke nur Potenzen mit ganzen, positiven Exponenten auftreten können und überhaupt kein Exponent grösser als $n\,$. Nun lassen sich aber die Potenzen von $\cos \varphi \,$ und von $\sin \varphi \,$ durch die Cosinus und Sinus der Vielfachen von $\varphi \,$ ausdrücken, und da keine höhere Potenz als die $n\,$te vorhanden ist, so wird auch höchstens das $n\,$fache von $\varphi \,$ auftreten.
Wir setzen deshalb
| (3) | ${\begin{aligned}Q_{n}=G_{n0}&+G_{n1}\cos \varphi +G_{n2}\cos 2\varphi +\ldots +G_{nn}\cos n\varphi \,\\&+H_{n1}\sin \varphi +H_{n2}\sin 2\varphi +\ldots +G_{nn}\sin n\varphi \,\\\end{aligned}}$ |
und führen diesen Ausdruck in die partielle Differentialgleichung (2) ein. Dadurch ergibt sich eine Reihe, geordnet nach Cosinus und Sinus der Vielfachen von $\varphi \,$, bis zum $n\,$fachen, und der Werth
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:357

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
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$V\,$
Auf diese Weise gelangt man zu einem völlig bestimmten Ausdrucke für die Function $V\,$, und wenn dieser hergestellt ist, so ergibt sich die Dichtigkeit der fingirten magnetischen Belegung der Erdoberfläche mit Hülfe der Gleichung (3) des §. 80.
Nach diesem Ueberblick über den einzuschlagenden Weg gehen wir zu der Durchführung der Rechnung selbst über.
Das Element $d\sigma '\,$ der Kugeloberfläche vom Radius $a\,$ lässt sich ausdrücken
* $d\sigma '=a^{2}\sin {\theta }d\theta 'd\varphi '.\,$
Führt man dies in die Gleichung (3) des vorigen Paragraphen ein und benutzt die Gleichungen (4) und (6) desselben Paragraphen, so erhält man
| (1) | $V\,=\,-\int _{0}^{2\pi }d\varphi '\,\int _{0}^{\pi }{\frac {a^{2}f(\theta ',\varphi ')\sin {\theta '}d\theta '}{\sqrt {(a^{2}+r^{2}-2ar\cos {\gamma }}}}$ |
Nun können wir für $r>a\,$ entwickeln:
| (2) | $(a^{2}+r^{2}-2ar\cos {\gamma })^{-{\frac {1}{2}}}$ $={\frac {1}{r}}\left\lbrace P_{0}+P_{1}({\frac {a}{r}})+P_{2}({\frac {a}{r}})^{2}+\ldots +P_{n}({\frac {a}{r}})^{n}+\ldots \right\rbrace .$ |
Dagegen hat man für $r<a\,$:
| (3) | $(a^{2}+r^{2}-2ar\cos {\gamma })^{-{\frac {1}{2}}}$ $={\frac {1}{a}}{\bigg \lbrace }P_{0}+P_{1}({\frac {r}{a}})+P_{2}({\frac {r}{a}})^{2}+\ldots +P_{n}({\frac {r}{a}})^{n}+\ldots {\bigg \rbrace }.$ |
Die auftretenden Coefficienten $P_{0},\ P_{l},\ P_{2},\ldots P_{n}\ldots ,$ sind in beiden Entwicklungen dieselben. Es sind algebraische, rationale, ganze Functionen von $\cos {\gamma }\,$, und zwar jede von dem Grade, den ihr Index angibt. Es ist nicht schwer, einen Ausdruck für $P_{n}\,$ zu finden. Man hat nur zu beachten, dass die Gleichungen (2) und (3) auf der einen Entwicklung beruhen
| (3) | $(1+\alpha ^{2}-2\alpha \cos {\gamma })^{-{\frac {1}{2}}}$ $=P_{0}+P_{1}\alpha +P_{2}\alpha ^{2}+\ldots +P_{n}\alpha ^{n}+\ldots ,\,$ |
wenn $\alpha \,$ positiv und kleiner als $1\,$ genommen wird. Man kann aber schreiben
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:359

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
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$n\,$
ferner für einen Punkt im Innern der Erde $(r<a)\,$
| (7) | $V=-a\sum _{n=0}^{\infty }Q_{n}\left({\frac {r}{a}}\right)^{n};$ |
endlich für einen Punkt der Erdoberfläche $(r=a)\,$
| (8) | $V=-a\sum _{n=0}^{\infty }Q_{n}.$ |
In den drei letzten Gleichungen hat $Q_{n}\,$ überall dieselbe Bedeutung, nemlich
| (9) | $Q_{n}=\int _{0}^{2\pi }d\varphi '\int _{0}^{\pi }P_{n}\cdot f(\theta ',\varphi ')\sin \theta 'd\theta '.\,$ |
Nun ist aber $P_{n}\,$ eine ganze Function $n\,$ten Grades von $\cos \gamma \,$ d. h. nach Gleichung (5) des vorigen Paragraphen eine ganze Function $n\,$ten Grades von den drei Grossen $\cos \theta ,\ \sin \theta \cos \varphi ,\ \sin \theta \sin \varphi \,$. Folglich gilt dasselbe in Betreff der Function $Q_{n}\,$. Um einen Ausdruck für $Q_{n}\,$ zu erhalten, haben wir zu beachten, dass die Function $V\,$ im äusseren Raume sowohl wie im Innern der Erde der Gleichung von Laplace Genüge leisten muss. Es lässt sich dabei nach (9) und (4) vorab bemerken, dass $Q_{0}={\text{const.}}\,$ ist.
Die Gleichung von Laplace lautet für Kugelcoordinaten [§. 29, (4)]
| (1) | ${\frac {\partial \left(r^{2}{\frac {\partial V}{\partial r}}\right)}{\partial r}}+{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial \left(\sin \theta {\frac {\partial V}{\partial \theta }}\right)}{\partial \theta }}+{\frac {1}{\sin \theta ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \varphi ^{2}}}=0.\,$ |
Nehmen wir zunächst einen Punkt im äusseren Raume, so ergibt sich aus Gleichung (6) des vorigen Paragraphen:
* ${\frac {\partial V}{\partial r}}=\sum _{n=0}^{\infty }(n+1)Q_{n}\left({\frac {a}{r}}\right)^{n+2},\,$
* $r^{2}{\frac {\partial V}{\partial r}}=a^{2}\sum _{n=0}^{\infty }(n+1)Q_{n}\left({\frac {a}{r}}\right)^{n},\,$
* ${\frac {\partial \left(r^{2}{\frac {\partial V}{\partial r}}\right)}{\partial r}}=-a\sum _{n=0}^{\infty }(n+1)nQ_{n}\left({\frac {a}{r}}\right)^{n+1}.\,$
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:364

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
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Es kommt nun vor allen Dingen darauf an, zu beweisen, dass eine Function von $\theta \,$ und $\varphi \,$, die für alle Werthe dieser Variabeln von $\theta =0\,$ bis $\theta =\pi \,$ und von $\varphi =0\,$ bis $\varphi =2\pi \,$ einwerthig und endlich, übrigens aber ganz willkürlich gegeben ist, sich immer nach Kugelfunctionen entwickeln lässt, und dass für jede willkürlich gegebene Function nur eine solche Entwicklung möglich ist.
Zu dem Ende gehen wir auf die Gleichung (3) des §. 80 zurück, die hier so zu schreiben ist
| (1) | $\left({\frac {\partial V}{\partial r}}\right)_{r=a+0}-\left({\frac {\partial V}{\partial r}}\right)_{r=a-0}=4\pi \rho .\,$ |
Für $r>a\,$ erhalten wir nach (1) und (2) des §. 107
* $V=-a\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {a}{r}}\right)^{n+1}\cdot {\biggl \\int _{0}^{2\pi }d\varphi '\int _{0}^{\pi }P_{n}\cdot f(\theta ',\varphi ')\sin \theta 'd\theta '{\biggl \}}.\,$
Daraus berechnet sich für $r>a\,$
| (2) | ${\frac {\partial V}{\partial r}}=\sum _{n=0}^{\infty }(n+1)\left({\frac {a}{r}}\right)^{n+2}\cdot {\biggl \\int _{0}^{2\pi }d\varphi '\int _{0}^{\pi }P_{n}\cdot f(\theta ',\varphi ')\sin \theta 'd\theta '{\biggl \}}.\,$ |
Dagegen haben wir für $r<a\,$ nach (1) und (3) des §. 107
* $V=-a\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {r}{a}}\right)^{n}\cdot {\biggl \\int _{0}^{2\pi }d\varphi '\int _{0}^{\pi }P_{n}\cdot f(\theta ',\varphi ')\sin \theta 'd\theta '{\biggl \}}.\,$
Folglich ergibt sich für $r<a\,$
| (3) | ${\frac {\partial V}{\partial r}}=-\sum _{n=0}^{\infty }n\left({\frac {r}{a}}\right)^{n-1}\cdot {\biggl \\int _{0}^{2\pi }d\varphi '\int _{0}^{\pi }P_{n}\cdot f(\theta ',\varphi ')\sin \theta 'd\theta '{\biggl \}}.\,$ |
Die Gleichung (2) ist noch gültig für $r=a+0\,$, die Gleichung (3) für $r=a-0\,$. Setzen wir also in beiden Gleichungen $r=a\,$ und führen die in (1) vorgeschriebene Subtraction aus, so ergibt sich mit Rücksicht auf §. 106 (6) der merkwürdige Satz:
| (4) | $f(\theta ,\varphi )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n+1)}{4\pi }}\int _{0}^{2\pi }d\varphi '\int _{0}^{\pi }P_{n}\cdot f(\theta ',\varphi ')\sin \theta 'd\theta '.$ |
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:355

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
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Im §. 80 haben wir den wichtigen Satz entwickelt, dass man die unbestimmte räumliche Vertheilung der magnetischen Massen im Innern ersetzen kann durch eine einzige, ganz bestimmte Vertheilung über die Oberfläche. Die Potentialfunction, welche von dieser fingirten Belegung der Oberfläche herrührt, soll zur Unterscheidung mit $V\,$ bezeichnet werden. In einem Punkte der Erdoberfläche oder des äusseren Raumes ist dann
| (2) | $V=V^{*}.\,$ |
Im Innern der Erde ist $V\,$ eine einwerthige, endliche und stetige Function des Ortes, dagegen $V^{*}\,$ völlig unbestimmt.
$V\,$
$d\sigma '\,$
$a\,$
$z\,$
$x\,$
$d\sigma '\,$
$\theta '\,$
$\varphi '\,$
$a,\theta ',\varphi '\,$
$\rho '\,$
$\rho 'd\sigma '\,$
$r,\theta ,\varphi \,$
$(a,\theta ',\varphi ')\,$
$t\,$
den Winkel $\gamma \,$ einschliessen. Dann wird die von der fingirten magnetischen Belegung der Erdoberfläche herrührende Potentialfunction im Punkte $(r,\theta ,\varphi )\,$ definirt durch die Gleichung:
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:358

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
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* $(1+\alpha ^{2}-2\alpha \cos \gamma )^{-{\frac {1}{2}}}=\left(1-{\frac {2\alpha cos\gamma }{1+\alpha ^{2}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}\cdot (1+\alpha ^{2})^{-{\frac {1}{2}}};$
und da drr absolute Zahlwerth von $2\alpha cos\gamma \,$ kleiner als $1+\alpha ^{2}\,$ ist, so darf man auf der rechten Seite der letzten Gleichung den ersten Factor nach dem binomischen Lehrsatze entwickeln und jedes Glied der Reihe mit dem zweiten Factor ausmultipliciren. Dadurch ergibt sich
* $(1+\alpha ^{2}-2\alpha \cos \gamma )^{^{-}{\frac {1}{2}}}$
* ${\frac {1}{(1+\alpha ^{2})^{\frac {1}{2}}}}+{\frac {\alpha \cos \gamma }{(1+\alpha ^{2})^{\frac {3}{2}}}}+{\frac {1\cdot 3}{1\cdot 2}}{\frac {\alpha ^{2}\cos \gamma ^{2}}{(1+\alpha ^{2})^{\frac {5}{2}}}}+\ldots \,$
* $+{\frac {1\cdot 3\cdot 5\ldots (2n-1)}{1\cdot 2\cdot 3\ldots n}}{\frac {\alpha ^{n}\cos \gamma ^{n}}{(1+\alpha ^{2})^{\frac {2n+1}{2}}}}+\ldots \,$
Hier hat man die Potenzen von $(1+\alpha ^{2})\,$ mit negativen, gebrochenen Exponenten wieder nach dem binomischen Lehrsatze zu entwickeln und schliesslich nach ganzen Potenzen von $\alpha \,$ zu ordnen. Auf diesem Wege findet sich
| (4) | $P_{0}=1\,$ |
und für jedes ganze $n\,$, das grösser als $0\,$ ist:
| (5) | ${\frac {1\cdot 2\cdot 3\ldots n}{1\cdot 3\cdot 5\ldots (2n-1)}}P_{n}\,$ $=\cos \gamma ^{n}-{\frac {n(n-1)}{2(2n-1)}}\cos \gamma ^{n-2}+{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{2\cdot 4(2n-1)(2n-3)}}\cos \gamma ^{n-4}$ $-+\ldots \,$ |
Hiernach dürfen wir die Coefficienten $P_{0},\ P_{1},\ P_{2},\ \dotsb \ P_{n},\ \dotsb \,$ in (2) und (3) als bekannte Functionen von $\cos \gamma \,$ ansehen. Für $r=a\,$ stimmen beide Entwicklungen überein. Werden die in (2) und (3) gewonnenen Reihen in die Gleichung (1) eingeführt, so ergibt sich
für einen Punkt im äusseren Raume $(r>a)\,$:
| (6) | $V=-a\sum _{n=0}^{\infty }Q_{n}\left({\frac {a}{r}}\right)^{n+1}\,;$ |
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:361

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
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$n\,$
dieser Reihe soll Null sein. Dazu ist nöthig und hinreichend, dass man für sich gleich Null setze, was mit $\cos m\varphi \,$ und was mit $\sin m\varphi \,$ multiplicirt ist, und zwar für jedes ganze $m\,$ von $0\,$ bis $n\,$.
Durch Ausführung der Rechnung ergeben sich zur Bestimmung von $G_{nm}\,$ und von $H_{nm}\,$ die gewöhnlichen Differentialgleichungen
* $\lbrace n(n+1)\sin \theta ^{2}-m^{2}\rbrace G_{nm}+\sin \theta \cdot {\frac {d\left(\sin \theta {\frac {dG_{nm}}{d\theta }}\right)}{d\theta }}=0,$
* $\lbrace n(n+1)\sin \theta ^{2}-m^{2}\rbrace H_{nm}+\sin \theta \cdot {\frac {d\left(\sin \theta {\frac {dH_{nm}}{d\theta }}\right)}{d\theta }}=0.$
Beide Gleichungen sind in derselben Form enthalten, nemlich in der Form
| (4) | $\lbrace n(n+1)\sin \theta ^{2}-m^{2}\rbrace Q_{nm}+\sin \theta \cdot {\frac {d\left(\sin \theta {\frac {dQ_{nm}}{d\theta }}\right)}{d\theta }}=0.\,$ |
Nun bemerken wir, dass $G_{nm}\,$ und $H_{nm}\,$ in der Gleichung (3) mit $\cos m\varphi \,$ und resp. $\sin m\varphi \,$ multiplicirt auftreten. Dem Cosinus und dem Sinus von $m\varphi \,$ entspricht aber als höchste Potenz von $\cos \varphi \,$ und resp. $\sin \varphi \,$ die $m\,$te Potenz. Da nun in dem Ausdrucke für $Q_{n}\,$ die letztgenannten beiden Functionen nur in der Verbindung
* $\sin \theta \cos \varphi \,\,$ und $\,\,\sin \theta \sin \varphi \,$
auftreten, so hat man sich darauf gefasst zu machen, dass in $Q_{nm}\,$ der gemeinschaftliche Factor $\sin \theta ^{m}\,$auftreten werde.
Wir setzen also
| (5) | $Q_{nm}=\sin \theta ^{m}F(\cos \theta )\,$ |
und erhalten zur Bestimmung der Function $F(\cos \theta )\,$ aus (4) die Differentialgleichung
| (6) | $F''(u)=\lbrace n(n+1)-m(m+1)\rbrace F(u)\,$ $-2(m+1)uF'(u)-u^{2}F''(u)=0,\,$ |
wenn zur Abkürzung $\cos \theta =u\,$ gesetzt wird. Die Form dieser Gleichung weist uns darauf hin, eine Entwicklung nach absteigenden Potenzen von $u\,$ mit der Exponentundifferenz $2\,$ vorzunehmen:
| (7) | $F(u)=u^{p}+A_{2}u^{p-2}\ +\ A_{4}u^{p-4}+\ldots \,$ |
Führt man dies in (6) ein, so ist $u^{p}\,$ die höchste dort auftretende Potenz von $u\,$. Dieselbe ist multiplicirt mit
* $n(n+1)\ -\ m(m+1)\ +\ 2(m+1)p\ -\ p(p-1).\,$
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:363

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$n\,$
drucke (10) noch die $(2n+1)\,$ unbestimmten constanten Coefficienten auf
* ${\begin{aligned}g_{n0},\ &g_{n1},\ g_{n2},\ \dotsb \ g_{nm};\,\\&h_{n1},\ h_{n2},\ \dotsb \ h_{nm}.\,\\\end{aligned}}$
Eine wichtige Bemerkung ist noch über die constante Grösse $Q_{0}\,$ zu machen. Im äusseren Raume stimmt nemlich die von dem wirklich vorhandenen Erdmagnet herrührende Potentialfunction $V^{*}\,$ überein mit der Function $V\,$, die von der fingirten Belegung der Oberfläche herrührt und in der Gleichung (6) des vorigen Paragraphen entwickelt ist. Es gilt also für jeden Punkt $(x,\,y,\,z)$ im äusseren Raume die Gleichung
| (11) | $V^{*}=-a\sum _{n=0}^{\infty }Q_{n}\left({\frac {a}{r}}\right)^{n+1}.\,$ |
Nun können wir aber (wenn die bekannte Vorzeichen-Aenderung vorgenommen wird) den Satz in Anwendung bringen, der in der Gleichung (6) des §. 18 ausgesprochen ist. Hier bedeutet $r\,$ dasselbe, was dort mit $R\,$ bezeichnet ist. Wir erhalten danach
| (12) | $\lim rV^{*}=-\int d\mu \,$ für $\lim r=\infty .\,$ |
Aus (11) berechnet sich
| (13) | $\lim rV^{*}=-a^{2}Q_{0}$ für $\lim r=\infty .\,$ |
Zieht man die Gleichung (2) des §. 105 in Betracht, so ergibt sich aus (12) und (13), dass
| (14) | $Q_{0}=0\,$ |
sein muss. Wir dürfen also in den Gleichungen (6), (7), (8) des vorigen Paragraphen die Summirung mit $n=1\,$ anfangen.
Uebrigens sieht man, dass auch für die fingirte Belegung der Oberfläche
| (15) | $\int \rho d\sigma =0$ |
ist. Denn wir haben nach dem eben citirten Satze [§. 18, (6)]
* $\lim rV=-\int \rho d\sigma$ für $\lim r=\infty ,\,$
und da für jeden Punkt im äusseren Raume $V=V^{*}\,$ ist, so ergibt sich
* $\int \rho d\sigma =\int d\mu =0,\,$
und damit ist die Gleichung (15) bewiesen.
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:356

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
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| (3) | $V=\int {\frac {\rho 'd\sigma '}{t}},\,$ |
und es ist
| (4) | $t^{2}=a^{2}+r^{2}-2ar\cos {\gamma }.\,$ |
$\gamma \,$
$\theta \,$
$\theta '\,$
$\varphi -\varphi '\,$
$\cos {\gamma }\,$
| (5) | $\cos {\gamma }=\cos {\theta }\cos {\theta '}+\sin {\theta }\sin {\theta '}\cos {(\varphi -\varphi ')}.\,$ |
Die Dichtigkeit $\rho '\,$ ist eine Function von $\theta '\,$ und $\varphi '\,$. Wir haben $\theta '\,$ variabel von $0\,$ bis $\pi \,$ und $\varphi '\,$ variabel von $0\,$ bis $2\pi \,$ zu nehmen. Die Function
| (6) | $\rho '=f(\theta ',\varphi ')\,$ |
ist nun freilich a priori nicht bekannt. Folglich geben uns die Gleichungen (3) und (4) auch nicht ohne weiteres die Werthe von $V\,$ im ganzen unendlichen Raume. Sie machen uns aber darauf aufmerksam, dass $V\,$ sich nach ganzen Potenzen von $r\,$ entwickeln lässt. Die Coefficienten der Entwicklung sind Functionen von $\theta \,$ und $\varphi \,$, deren Form wir aus den Bedingungen zu bestimmen haben, dass $V\,$ im äusseren Raume sowohl wie im Innern der Erdkugel der Gleichung von Laplace Genüge leisten muss und beim Durchgange durch die Erdoberfläche nicht unstetig werden darf [§. 79 (1), §. 80 (1) und (2)]. Ist hiernach die Entwicklung von $V\,$ vollständig durchgeführt, so treten darin unendlich viele constante Coefficienten auf, die vorläufig unbestimmt sind. Sie erhalten dadurch bestimmte Werthe, dass die so entwickelte Function $V\,$ an jeder Stelle der Erdoberfläche mit der dort gegebenen Potentialfunction $V^{*}\,$ übereinstimmen soll.
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:362

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
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Ferner ist dann $u^{p-2k}\,$ multiplicirt mit
* $A_{2k}\lbrace n(n+1)-m(m+1)-2(m+1)(p-2k)-(p-2k)(p-2k-1)\rbrace \,$
* $+A_{2k-2}(p-2k+2)(p-2k+1).\,$
Soll aber die Gleichung (6) erfüllt sein, so ist für sich gleich Null zu setzen, was mit jeder einzelnen Potenz von $u\,$multiplicirt ist. Es ist also zunächst
* $n(n+1)-m(m+1)-2(m+1)p-p(p-1)=0.\,$
Dies liefert zwei Werthe von $p\,$, nemlich
* $p_{1}=n-m\,$ und $p_{2}=-n-m-1,\,$
und dem entsprechend erhalten wir zwei von einander unabhängige particuläre Integrale. Das zweite ist für unsern Zweck nicht brauchbar, da. die Exponenten von $u\,$ negativ sind und deshalb das Integral unendlich wird für $\theta ={\frac {1}{2}}\pi \,$.
Es ist ferner
* $A_{2k}\lbrace n(n+1)-m(m+1)-2(m+1)(p-2k)-(p-2k)(p-2k-1)\rbrace \,$
* $=-A_{2k-2}(p-2k+2)(p-2k+1)\,$
zu setzen, oder, wenn man die Bedingung für $p\,$ berücksichtigt:
* $A_{2k}\cdot 2k(2m+2p-2k+1)=-A_{2k-2}(p-2k+2)(p-2k+1).\,$
Danach haben wir für das erste particuläre Integral die Coefficenten-Bestimmung
| (8) | $A_{2k}=(-1)^{k}{\frac {(n-m)(n-m-1)(n-m-2)\ldots (n-m-2k+1)}{2\cdot 4\cdot 6\dotsb 2k(2n-1)(2n-3)\ldots (2n-2k+1)}},\,$ |
und dieses erste particuläre Integral selbst liefert die für unsern Zweck allein brauchbare Function
| (9) | $Q_{nm}=\sin \theta ^{m}\lbrace \cos \theta ^{n-m}+A_{2}\cos \theta ^{n-m-2}+A_{4}\cos \theta ^{n-m-4}\,$ $+\ldots +A_{2k}\cos \theta ^{n-m-2k}+\ldots \rbrace .\,$ |
Hiernach ergibt sich für $Q_{n}\,$ die Entwicklung
| (10) | ${\begin{aligned}Q_{n}\ =\ g_{n0}Q_{n0}&+Q_{n1}(g_{n1}\cos \varphi +h_{n1}\sin \varphi )\,\\&+\ Q_{n2}(g_{n2}\cos 2\varphi +h_{n2}\sin 2\varphi )\,\\&+\ldots \,\\&+\ Q_{nn}(g_{nn}\cos n\varphi +h_{nn}\sin n\varphi ).\,\\\end{aligned}}$ |
Die Functionen $Q_{n0},\ Q_{n1},\ Q_{n2},\ldots Q_{nn}\,$ sind durch die Gleichungen (9) und (8) vollständig gegeben, und es treten in dem Aus-