# David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie/Kapitel 7.24

Eine Basis eines Abelschen Körpers $K$ von einem Grade $M$ soll eine Normalbasis heißen, wenn sie aus einer ganzen Zahl ${\mathsf {N}}$ des Körpers $K$ und den zu ${\mathsf {N}}$ konjugierten Zahlen ${\mathsf {N}}',\dots ,{\mathsf {N}}^{(M-1)}$ besteht. Es gilt der folgende Hilfssatz:
Hilfssatz 20. Wenn ein Abelscher Körper $K$ eine Normalbasis besitzt, so besitzt auch jeder Unterkörper $k$ des Körpers $K$ eine Normalbasis.
Beweis. Es sei $M$ der Grad von $K$, und es seien $t_{1}$, …, $t_{M}$ die Substitutionen der Gruppe des Abelschen Körpers $K$; ferner sei ${\mathsf {N}}$ eine solche ganze Zahl in $K$, die mit ihren konjugierten zusammen eine Normalbasis von $K$ liefert. Bilden dann $t_{1}$, …, $t_{r}$ diejenige Untergruppe jener Gruppe von $M$ Substitutionen, zu welcher der Unterkörper $k$ von $K$ gehört, so kann man dazu unter jenen $M$ Substitutionen $t_{1}$, …, $t_{M}$ solche $\textstyle m={\frac {M}{r}}$ Substitutionen $t'_{1}$, …, $t'_{m}$ finden, daß die $M$ Substitutionen $t_{1}$, …, $t_{m}$, abgesehen von ihrer Reihenfolge, durch die Substitutionenprodukte
* $t'_{1}t_{1}$, …, $t'_{1}t_{r}$; $t'_{2}t_{1}$, …, $t'_{2}t_{r}$; …; $t'_{m}t_{1}$, …, $t'_{m}t_{r}$
dargestellt werden. Ist $\alpha$ eine ganze Zahl in $k$, so gilt, da eine solche stets auch eine ganze Zahl in $K$ ist, eine Gleichung
* $\alpha =a_{11}t'_{1}t_{1}{\mathsf {N}}+\cdots +a_{1r}t'_{1}t_{r}{\mathsf {N}}+\cdots +a_{m1}t'_{m}t_{1}{\mathsf {N}}+\cdots +a_{mr}t'_{m}t_{r}{\mathsf {N}}$,
wo $a_{11}$, …, $a_{1r}$, …, $a_{m1}$, . .., $a_{mr}$ ganze rationale Zahlen sind. Berücksichtigen wir, daß $\alpha$ bei Anwendung der einzelnen Substitutionen $t_{1}$, …, $t_{r}$ ungeändert bleibt, und andererseits, daß zwischen den $M=mr$ Zahlen $t'_{1}t_{1}{\mathsf {N}}$, …, $t'_{1}t_{r}{\mathsf {N}}$; …; $t'_{m}t_{1}{\mathsf {N}}$, …, $t'_{m}t_{r}{\mathsf {N}}$ keine lineare Relation mit ganzen rationalen nicht sämtlich verschwindenden Koeffizienten stattfinden kann, so folgt offenbar:
* $a_{11}=a_{12}=\cdots =a_{1r}$, …, $a_{m1}=a_{m2}=\cdots =a_{mr}$,
d. h.: wenn
* $v=t_{1}{\mathsf {N}}+t_{2}{\mathsf {N}}+\cdots +t_{r}{\mathsf {N}}$
gesetzt wird, so bilden die $m$ Zahlen $t'_{1}v$, $t'_{2}v$, …, $t'_{m}v$ eine Normalbasis des Körpers $k$.
Satz 132. Ein jeder Abelsche Körper $K$ vom $M$-ten Grade, dessen Diskriminante $D$ zu $M$ prim ist, besitzt eine Normalbasis.
Beweis. Die verschiedenen rationalen Primzahlen in $D$ seien $p$, $p'$, …. Da keine dieser Primzahlen in $M$ aufgeht, so ist nach dem Beweise des Satzes 131 der Abelsche Körper $K$ in demjenigen Kreiskörper als Unterkörper enthalten, welcher durch die Zahlen $\zeta ={\mathsf {e}}^{\frac {2i\pi }{p}}$, $\zeta '={\mathsf {e}}^{\frac {2i\pi }{p'}}$, …, d. h. welcher durch die Einheitswurzel $Z={\mathsf {e}}^{\frac {2i\pi }{pp'\ldots }}$ bestimmt ist. Für den Körper $k(\zeta )$ bilden nach Satz 118 die Zahlen $1$, $\zeta$, …, $\zeta ^{p-2}$ und folglich auch die Zahlen $\zeta$, $\zeta ^{2}$, …, $\zeta ^{p-1}$ eine Basis; die letztere Basis ist eine Normalbasis. Entsprechendes gilt für $k(\zeta ')$, ….
Man bilde nun das System der $(p-1)(p'-1)\ldots$ Zahlen $\zeta ^{h}\zeta ^{\prime h'}\ldots$, wo die Exponenten $h$; $h'$; … bez. die Zahlen
* $1$, $2$, …, $p-1$; $1$, $2$, …, $p'-1$; …
$\Phi (pp'\ldots )$
$k({\mathsf {Z}})$
$K$
$l$
$p^{l-1}$
Die einfachsten und wichtigsten Abelschen Körper nächst den quadratischen Körpern sind diejenigen, bei welchen der Grad eine ungerade Primzahl $l$ ist und die Diskriminante $d$ nur eine einzige, und zwar von $l$ verschiedene Primzahl $p$ enthält. Es bedeute $k$ einen solchen Körper. Nach Hilfssatz 16 besitzt die Primzahl $p$ notwendig die Kongruenzeigenschaft $p\equiv 1$ nach $l$. Die Primzahl $p$ wird im Körper $k$ die $l$-te Potenz eines Primideales ersten Grades. Nach den Bemerkungen zu Satz 79 und mit Rücksicht darauf, daß $k$ jedenfalls ein reeller Körper, also $d$ positiv ist, ergibt sich $d-p^{l-1}$.
Es seien $1$, $t$, $t^{2}$, …, $t^{l-1}$ die Substitutionen der Gruppe des Körpers $k$, und die Zahlen $v$, $tv$, …, $t^{l-1}v$ mögen eine Normalbasis von $k$ bilden (siehe Satz 132). Die Zahl $v$ ist dann jedenfalls eine den Körper $k$ bestimmende in Zahl. Es werde $\textstyle \zeta =\mathrm {e} ^{\frac {2\pi i}{l}}$ gesetzt; der Ausdruck
* $\Omega =v+\zeta \cdot tv+\zeta ^{2}\cdot t^{2}v+\cdots +\zeta ^{l-1}\cdot t^{l-1}v$
soll eine Wurzelzahl des Körpers $k-k(v)$ heißen.
Jede solche Wurzelzahl $\Omega$ ist offenbar eine ganze Zahl des aus $k(v)$ und $k(\zeta )$ zusammengesetzten Körpers $k(v,\,\zeta )$. Das Studium der vorhandenen Normalbasen und Wurzelzahlen des Abelschen Körpers $k(v)$ gibt uns wichtige Aufschlüsse über die in $p$ aufgehenden Primideale des Körpers $k(\zeta )$. Die Ausführungen dieses Kapitels erfahren nur leichte Abänderungen, wenn statt der ungeraden Primzahl $l$ die Zahl $2$ genommen wird.
Satz 133. Es sei ein Abelscher Körper $k$ vom Grade $l$ und mit der Diskriminante $d=p^{l-1}$ vorgelegt, wo $l$ und $p$ verschiedene ungerade Primzahlen bedeuten; ferner sei $v$, $tv$, …, $t^{l-1}v$ eine Normalbasis dieses Körpers $k$.
Wird dann $\zeta =\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{l}}$, ${\mathfrak {l}}=(1-\zeta )$ und $s=(\zeta :\zeta ^{r})$ gesetzt, wo $r$ eine Primitivzahl nach $l$ bedeute, so besitzt die aus jener Normalbasis entspringende Wurzelzahl $\Omega$ des Körpers $k=k(v)$ die folgenden drei Eigenschaften:
Erstens. Die $l$-te Potenz der Wurzelzahl, $\omega =\Omega ^{l}$, ist eine Zahl des Kreiskörpers $k(\zeta )$, und zudem wird $\omega ^{s-r}$ gleich der $l$-ten Potenz einer Zahl des Körpers $k(\zeta )$. Zweitens. Es gelten die sich gegenseitig bedingenden Kongruenzen
* $\Omega \equiv \pm 1,\qquad ({\mathfrak {l}}),\qquad \omega \equiv \pm 1,\qquad ({\mathfrak {l}}^{l}).$
Drittens. $n(\omega )$, die Norm der Zahl $\omega$ in $k(\zeta )$, ist $=p^{\frac {l(l-1)}{2}}$.
Beweis. Die Zahlen $\Omega ^{l}$ und $\Omega ^{s-r}$ sind solche Zahlen in $k(\zeta ,\,v)$, welche beim Übergang von $v$ in $tv$ ungeändert bleiben. Sie sind deshalb Zahlen in $k(\zeta )$. Hieraus folgt die erste in Satz 133 angegebene Eigenschaft.
Da $v$, $tv$, …, $t^{l-1}v$ Basiszahlen des Körpers $k(v)$ sind, so gilt insbesondere
* $1=a_{0}v+a_{1}tv+\cdots a_{l-1}t^{l-1}v$
für bestimmte ganze rationale Zahlen $a_{0}$, $a_{1}$ …,$a_{l-1}$. Die Anwendung der Substitution $t$ auf diese Formel lehrt, daß $a_{0}=a_{1}=\cdots =a_{l-1}$ ist, und da die Koeffizienten $a_{0}$, $a_{1}$, …, $a_{l-1}$ keinen gemeinsamen Teiler $\neq \pm 1$ haben können, so haben sie sämtlich den gleichen Wert $\pm 1$, d. h. es ist $v+tv+\cdots +t^{l-1}v=\pm 1$. Aus dieser Formel folgt:
* ${\begin{aligned}\Omega &=v+\zeta \cdot tv+\zeta ^{2}\cdot t^{2}v+\cdots +\zeta ^{l-1}\cdot t^{l-1}v\\&\equiv v+tv+\cdots +t^{l-1}v\equiv \pm 1,\qquad ({\mathfrak {l}}).\end{aligned}}$
Mit Hilfe von $\omega \mp 1=(\Omega \mp 1)(\zeta \Omega \mp 1)\ldots (\zeta ^{l-1}\Omega \mp 1)$ erkennen wir die zweite Eigenschaft der Zahl $\omega$.
Endlich folgt durch eine geeignete Anwendung des Multiplikationssatzes der Determinanten
* ${\begin{vmatrix}v,&tv,&\ldots ,&t^{l-1}v\\t^{l-1}v,&v,&\ldots ,&t^{l-2}v\\\vdots &&\ddots ,&\vdots \\tv&t^{2}v,&\ldots ,&v\end{vmatrix}}=(v+tv+\cdots +t^{l-1}v)n(\Omega )=\pm n(\Omega ),$
wo
* $n(\Omega )=(v+\zeta tv+\cdots +\zeta ^{l-1}t^{l-1}v)\ldots (v+\zeta ^{l-1}tv+\cdots +\zeta ^{(l-1)^{2}}t^{l-1}v)$
die Relativnorm von $\Omega$ in bezug auf den Körper $k(v)$ ist. Das Quadrat der Determinante linker Hand ist gleich der Diskriminante des Körpers $k(v)$, d. h. $=p^{l-1}$, und folglich ergibt sich
* $n(\omega )=(n(\Omega ))^{l}=p^{l\left({\frac {l-1}{2}}\right)}.$
Damit ist der Satz 133 vollständig bewiesen.
Die drei in Satz 133 bewiesenen Eigenschaften einer Wurzelzahl $\Omega$ des Körpers $k(v)$ reichen umgekehrt völlig zur Charakterisierung einer solchen Zahl hin. Es gilt nämlich folgende Tatsache:
Satz 134. Es sei $l$ eine ungerade Primzahl und $\zeta =\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{l}}$, ferner $p$ eine Primzahl $\equiv 1$ nach $l$; wenn dann $\omega$ eine solche Zahl des Kreiskörpers $k(\zeta )$ bedeutet, die nicht gleich der $l$-ten Potenz einer Zahl in $k(\zeta )$ wird, und welche die drei in Satz 133 angegebenen Eigenschaften besitzt, so ist $\Omega ={\sqrt[{l}]{\omega }}$ eine Wurzelzahl des Abelschen Körpers $l$-ten Grades von der Diskriminante $p^{l-1}$.
Beweis. Die Zahl $\Omega ={\sqrt[{l}]{\omega }}$ bestimmt einen relativ Galoisschen Körper vom Relativgrade $l$ in bezug auf den Körper $k(\zeta )$. Es sei $t$ diejenige Substitution der Relativgruppe, für welche $t\Omega =\zeta ^{-1}\Omega$ wird. Mit Rücksicht auf die erste Eigenschaft der Zahl $\omega$, die sich in der Formel $s\omega =\omega ^{r}\alpha ^{l}$ ausdrückt, wo $\alpha$ eine Zahl in $k(\zeta )$ bedeutet, ist der durch $\zeta$ und $\Omega$ bestimmte Körper vom $l(l-1)$-ten Grade ein Galoisscher Körper. Die Zahl $\alpha$ erfüllt die Bedingung
* $\omega ^{1-r^{l-1}}=\alpha ^{l{\frac {s^{l-1}-r^{l-1}}{s-r}}}$;
wir legen sie eindeutig fest durch die weitere Forderung
* $\omega ^{\frac {1-r^{l-1}}{l}}=\alpha ^{\frac {s^{l-1}-r^{l-1}}{s-r}}$.
Wir wollen nun unter $t$ und $s$ zugleich diejenigen bestimmten Substitutionen der Gruppe dieses Galoisschen Körpers $k(\zeta ,\,\Omega )$ verstehen, welche neben den für $t$ und $s$ schon festgesetzten Beziehungen noch $t\zeta =\zeta$ und $s\Omega =\Omega ^{r}\alpha$ ergeben. Diese beiden Substitutionen $s$ und $t$ sind miteinander vertauschbar, da
* $st\Omega =\zeta ^{-r}\Omega ^{r}\alpha =ts\Omega$
wird, d. h. der Körper $k(\zeta ,\,\Omega )$ ist ein Abelscher Körper. Ferner wird die Untergruppe der Gruppe von $k(\zeta ,\,\Omega )$, welche aus den Potenzen der Substitution $s$ besteht, genau vom Grade $l-1$. Der zu dieser Untergruppe gehörige Unterkörper von $k(\zeta ,\,\Omega )$ ist daher vom $l$-ten Grade; er ist wiederum ein Abelscher Körper; dieser Körper werde mit $k$ bezeichnet.
Wir beweisen zunächst, daß die Diskriminante dieses Körpers $k$ zu $l$ prim ist. Da $\Omega \equiv \pm 1$ nach ${\mathfrak {l}}=(1-\zeta )$ ist, so stellt der Quotient ${\frac {\Omega \mp 1}{1-\zeta }}$ eine ganze Zahl dar. Wegen $t\Omega =\zeta ^{-1}\Omega$ hat die Relativdifferente dieser ganzen Zahl in bezug auf den Körper $k(\zeta )$ den Wert $\varepsilon \Omega ^{l-1}$, wo $\varepsilon$ eine Einheit bedeutet, und daher ist die Relativdifferente des Körpers $k(\zeta ,\,\Omega )$ in bezug auf den Körper $k(\zeta )$ prim zu $l$. Bedeutet ${\mathfrak {L}}$ ein in ${\mathfrak {l}}$ aufgehendes Primideal des Körpers $k(\zeta ,\,\Omega )$, so kommt dieses nach Satz 93 in ${\mathfrak {l}}$ zu keiner höheren als der ersten Potenz vor, d. h. es ist $l={\mathfrak {L}}^{l-1}{\mathfrak {M}}$, wo ${\mathfrak {M}}$ sich nicht mehr durch ${\mathfrak {L}}$ teilen läßt. Hieraus folgt nach § 39 und § 40, daß der Trägheitskörper des Primideals ${\mathfrak {L}}$ vom Grade $l$ sein muß, und daher ist $k$ selbst dieser Trägheitskörper. Nach Satz 76 ist die Differente des Körpers $k$ nicht durch ${\mathfrak {L}}$ und folglich auf Grund des Satzes 68 auch die Diskriminante des Körpers $k$ nicht durch $l$ teilbar.
Wir setzen
| $v={\frac {\pm 1+\Omega +s\Omega +s^{2}\Omega +\cdots +s^{l-2}\Omega }{l}},$ | (41) |
$\Omega \equiv \pm 1$
$s\Omega \equiv \pm 1$
${\mathfrak {l}}$
$0$
${\mathfrak {l}}$
$k$
$l$
$k$
$l$
$v$
$k$
$k$
$l$
$l={\mathfrak {l}}_{1}\ldots {\mathfrak {l}}_{l}$
${\mathfrak {l}}_{1}$
${\mathfrak {l}}_{l}$
$k(\zeta ,\,\Omega )$
* ${\mathfrak {l}}=(1-\zeta )=({\mathfrak {l}},{\mathfrak {l}}_{1})({\mathfrak {l}},{\mathfrak {l}}_{2})\ldots ({\mathfrak {l}},{\mathfrak {l}}_{l})$.
Da der Zähler des Ausdrucks rechter Hand in (41) durch das Ideal $({\mathfrak {l}},\,{\mathfrak {l}}_{1})$ teilbar ist, so ist derselbe als eine ganze Zahl in $k$ auch durch ${\mathfrak {l}}_{1}$ teilbar. Entsprechend folgt die Teilbarkeit jenes Zählers durch ${\mathfrak {l}}_{2}$, …, ${\mathfrak {l}}_{l}$, und es ist derselbe also schließlich auch durch $l$ teilbar, d. h. die durch (41) definierte Zahl $v$ ist auch jetzt eine ganze Zahl.
Durch Benutzung der Gleichung $t\Omega =\zeta ^{-1}\Omega$ ergeben sich aus (41) die beiden Formeln:
| ${\begin{alignedat}{6}v+&&&tv+&t^{2}v+&\cdots +&t^{l-1}v&=\pm 1,\\v+&\zeta \cdot &&tv+&\zeta ^{2}\cdot t^{2}v+&\cdots +&\zeta ^{l-1}\cdot t^{l-1}v&=\Omega .\end{alignedat}}$ | (42) |
Eine Anwendung des Multiplikationssatzes der Determinanten, wie sie schon beim Beweise des Satzes 133 vorkam, ergibt dann
* ${\mathsf {N}}={\begin{vmatrix}v,&tv,&\ldots &t^{l-1}v\\t^{l-1}v,&v,&\ldots &t^{l-2}v\\\vdots &&\ddots &\vdots \\tv,&t^{2}v,&\ldots &v\end{vmatrix}}=\pm \Omega \cdot s\Omega \ldots s^{l-2}\Omega$,
und hieraus folgt vermittelst der dritten in Satz 133 ausgesprochenen Eigenschaft der Zahl $\omega$ die Gleichung
* ${\mathsf {N}}^{l}=\pm p^{\frac {l(l-1)}{2}}$
und somit
* ${\begin{vmatrix}v,&tv,&\ldots &t^{l-1}v\\t^{l-1}v,&v,&\ldots &t^{l-2}v\\\vdots &&\ddots &\vdots \\tv,&t^{2}v,&\ldots &v\end{vmatrix}}^{2}=p^{l-1}$.
Wir beweisen nun, daß die Diskriminante des Körpers $k$ notwendig $=p^{l-1}$ sein muß. In der Tat ist dieselbe wegen der letzten Gleichung ein positiver Teiler der Zahl $p^{l-1}$. Da sie nach Satz 44 oder nach Satz 94 nicht gleich $1$ sein kann, so enthält sie die Primzahl $p$, und zwar nach den Bemerkungen zum Satze 79 notwendig in der $(l-1)$-ten Potenz. Aus der soeben bewiesenen Tatsache folgt, daß $v$, $tv$, …, $t^{l-1}v$ eine Basis des Körpers $k$ bilden; diese Basis ist offenbar eine Normalbasis. Die Zahl $\Omega$ ist wegen (42) die aus dieser Normalbasis entspringende Wurzelzahl des Körpers $k$.
$l$
$l$
Satz 135. Haben $l$, $p$, $\zeta$, $r$, $s$ die bisherige Bedeutung, und ist $k(v)$ ein Abelscher Körper $l$-ten Grades mit der Diskriminante $d=p^{l-1}$ und $\Omega$ eine Wurzelzahl des Körpers $k(v)$, so gestattet die Zahl $\omega =\Omega ^{l}$ im Körper $k(\zeta )$ die Zerlegung
* $\omega ={\mathfrak {p}}^{r_{0}+r_{-1}s+r_{-2}s^{2}+\cdots +r_{-l+2}s^{l-2}}$,
wo ${\mathfrak {p}}$ ein bestimmtes in $p$ aufgehendes Primideal des Körpers $k(\zeta )$ bedeutet, und wo allgemein $r_{-i}$ die kleinste positive ganze rationale Zahl bedeutet, welche der $-i$-ten Potenz $r^{-i}$ der Primitivzahl $r$ nach $l$ kongruent ist [Kummer (6,11)].
Beweis. Die Primzahl $p$ zerfällt im Körper $k(\zeta )$ in $l-1$ voneinander verschiedene ideale Primfaktoren ${\mathfrak {p}}$, $s{\mathfrak {p}}$, …, $s^{l-2}{\mathfrak {p}}$; die Zahl $\omega$ muß durch jedes dieser Primideale teilbar sein. Denn nach dem Beweise zu Satz 134 ist die Relativdifferente des Körpers $k(\zeta ,\Omega )$ in bezug auf den Körper $k(\zeta )$ ein Teiler von $\Omega ^{l}=\omega$; wäre nun $\omega$ etwa zu ${\mathfrak {p}}$ prim, so wäre also diese Relativdifferente und wegen Satz 41 auch die Differente und endlich wegen Satz 68 auch die Diskriminante von $k(\zeta ,\Omega )$ prim zu ${\mathfrak {p}}$, was nicht sein kann, da sie die Diskriminante von $k(v)$ als Faktor enthält. Wegen $n(\omega )=p^{\frac {l(l-1)}{2}}$ sind ${\mathfrak {p}}$, $s{\mathfrak {p}}$, …, $s^{l-2}{\mathfrak {p}}$ zugleich die einzigen in $\omega$ aufgehenden Primideale. Es sei ${\mathfrak {p}}$ ein solcher unter diesen Primfaktoren, welcher in der Zahl $\omega$ zu einer möglichst niedrigen Potenz vorkommt; dann haben wir
* $\omega ={\mathfrak {p}}^{a_{0}+a_{1}s+\cdots +a_{l-2}s^{l-2}}$,
wo $a_{0}$, $a_{1}$, …, $a_{l-2}$ positive ganze rationale Zahlen bedeuten, unter welchen keine kleiner als $a_{0}$ ist. Die Bildung von $n(\omega )$ ergibt
* $a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{l-2}={\frac {l(l-1)}{2}}$.
Da $a_{0}$, $a_{1}$, …, $a_{l-2}$ sämtlich $>0$ sind, können hiernach diese Zahlen nicht sämtlich durch $l$ teilbar sein. Zufolge der ersten im Satze 133 bewiesenen Eigenschaft wird
* $\omega ^{s-r}={\mathfrak {p}}^{(s-r)(a_{0}+a_{1}s+\cdots +a_{l-2}s^{l-2})}=\alpha ^{l}$,
wo $\alpha$ eine Zahl in $k(\zeta )$ ist. Da die zu ${\mathfrak {p}}$ konjugierten Primideale sämtlich von ${\mathfrak {p}}$ und untereinander verschieden sind, so folgt hieraus, daß die ganzzahlige Funktion
* $(s-r)(a_{0}+a_{1}s+\cdots +a_{l-2}s^{l-2})$
$s$
$s^{l-1}$
$1$
$l$
$\equiv a_{l-2}(s^{l-1}-1)$
$l$
$a_{l-2}\not \equiv 0$
$l$
$a_{l-2}\equiv r^{m-l+2}$
$l$
$m$
$0$
$1$
$l-2$
$i=0,1,\ldots ,l-2$
* $a_{i}\equiv r^{m-i}$, $(l)$.
Wir setzen allgemein $a_{i}=r_{m-i}+lb_{i}$ so, daß $0<r_{m-i}<l$ und $b_{i}$ eine ganze rationale Zahl ist; dabei wird stets $b_{i}\geqq 0$. Da
* $r_{m}+r_{m-1}+\cdots r_{m-l+2}=1+2+\cdots +(l-1)={\frac {l(l-1)}{2}}$
ist, so folgt $b_{0}+b_{1}+\cdots +b_{l-2}=0$, und daraus geht notwendig
* $b_{0}=0$, $b_{1}=0$, …, $b_{l-2}=0$
hervor, d. h.
* $a_{i}=r_{m-i}$ für $i=0,1,\ldots ,l-2.$
Unter den Zahlen $r_{0}$, $r_{1}$, …, $r_{l-2}$ ist offenbar $r_{0}=1$ die kleinste, und da $a_{0}$ unter den Koeffizienten $a_{0}$, $a_{1}$, …, $a_{l-2}$ möglichst klein sein sollte, so folgt $a_{0}=r_{0}=1$, d. h. $m=0$, und nunmehr allgemein $a_{i}=r_{-i}$, womit der Satz 135 bewiesen ist.
$l$
Aus den bisherigen Entwicklungen entnehmen wir eine wichtige Eigenschaft der in einer Primzahl $p\equiv 1$ nach $l$ aufgehenden Primideale des Körpers der $l$-ten Einheitswurzeln. Es gilt nämlich die Tatsache:
Satz 136. Es sei $l$ eine ungerade Primzahl und $\zeta =\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{l}}$, ferner $r$ eine positive Primitivzahl nach $l$ und $s=(\zeta :\zeta ^{r})$; wenn dann ${\mathfrak {p}}$ ein beliebiges Primideal ersten Grades in dem Kreiskörper $k(\zeta )$ bedeutet, so besteht die Äquivalenz
* ${\mathfrak {p}}^{q_{0}+q_{-1}s+q_{-2}s^{2}+\cdots +q_{-l+2}s^{l-2}}\sim 1,$
wo die Größen $q_{-i}$ ganze rationale, durch das Gleichungssystem
| $q_{-i}={\frac {rr_{i}-r_{-i+1}}{l}}$ | $(i=0,1,\ldots ,l-2)$ |
bestimmte, nicht negative Zahlen sind. Dabei haben $r_{0}$, $r_{-1}$, …, $r_{-l+2}$ dieselbe Bedeutung wie in Satz 135, und es ist außerdem $r_{1}=r_{-l+2}$. [Kummer (6, 11)].
Beweis. Es mögen $p$ und $\omega$ dieselbe Bedeutung wie in Satz 133 haben. Nach Satz 133 ist $\omega ^{s-r}$ die $l$-te Potenz einer Zahl $\alpha$ in $k(\zeta )$. Wenn wir für $\omega$ die in Satz 135 gegebene Darstellung durch ${\mathfrak {p}}$ einführen, so folgt
* ${\mathfrak {p}}^{(s-r)(r_{0}+r_{-1}s+\cdots +r_{-l+2}s^{l-2})}=\alpha ^{l}$,
und diese Gleichung zeigt, wenn wir daraus die Zerlegung von $\alpha$ selbst ermitteln, die Richtigkeit des Satzes 136.
Ist $C$ eine beliebige Idealklasse des Kreiskörpers $k(\zeta )$ und ${\mathfrak {j}}$ ein Ideal in $C$, und bezeichnen wir mit $sC$, $s^{2}C$, …, $s^{l-2}C$ bez. die durch $s{\mathfrak {j}}$, $s^{2}{\mathfrak {j}}$, …, $s^{l-2}{\mathfrak {j}}$ bestimmten Idealklassen, so folgt mit Hilfe des Satzes 89 aus Satz 136 unmittelbar die Tatsache:
* $C^{q_{0}}(sC)^{q_{-1}}(s^{2}C)^{q_{-2}\ldots (s^{l-2}C)^{q_{-l+2}}}=1$.
Die Sätze 133, 134 und 135 ermöglichen zunächst die Konstruktion sämtlicher Wurzelzahlen des Abelschen Körpers $k(v)$. Es gilt nämlich die Tatsache:
Satz Satz 137. Bezeichnen $\Omega$ und $\Omega ^{*}$ für den Abelschen Körper $k$ vom ungeraden Primzahlgrade $l$ mit der Diskriminante $p^{l-1}$ zwei verschiedene, aber zu derselben erzeugenden Substitution $t$ der Gruppe dieses Körpers gehörende Wurzelzahlen, so ist stets $\Omega ^{*}=\varepsilon \Omega$, wo $\epsilon$ eine Einheit des Körpers $k(\zeta )$ bedeutet, welche die Kongruenzeigenschaft $\varepsilon \equiv \pm 1$ nach ${\mathfrak {l}}=(1-\zeta )$ besitzt. Umgekehrt, wenn $\varepsilon$ eine Einheit dieser Art in $k(\zeta )$ und $\Omega$ für $k$ irgendeine Wurzelzahl bezeichnet, so ist $\Omega ^{*}=\varepsilon \Omega$ stets wiederum eine Wurzelzahl jenes Abelschen Körpers $k$.
Beweis. Unter den Voraussetzungen in der ersten Aussage ist der Quotient $\epsilon ={\frac {\Omega ^{*}}{\Omega }}$ eine Zahl des aus $k$ und $k(\zeta )$ zusammengesetzten Körpers, welche beim Übergang von $\zeta$, $v$ zu $\zeta$, $tv$ ungeändert bleibt und daher im Körper $k(\zeta )$ liegt. Für $\omega =\Omega ^{l}$ werde der im Satze 135 enthaltene Ausdruck angenommen. Ist dann etwa $s^{-a}{\mathfrak {p}}$, wo $a$ eine der Zahlen $0$, $1$, $2$, … $l-2$ bedeute, dasjenige unter den $l-1$ konjugierten, in $p$ aufgehenden Primidealen des Körpers $k(\zeta )$, welches in $\omega ^{*}=\Omega ^{*l}$ nur zur ersten Potenz vorkommt, so hat man nach Satz 135 offenbar
* $\omega ^{*}={\mathfrak {p}}^{s^{-a}(r_{0}+r_{-1}s+\cdots +r_{-l+2}s^{l-2})}$,
und hieraus folgt, daß das Primideal ${\mathfrak {p}}$ in $\omega ^{*}$ genau zur $r_{-a}$-ten Potenz vorkommt. Der Quotient ${\frac {\omega ^{*}}{\omega }}$ kann daher in die Gestalt eines Bruches gebracht werden, dessen Zähler das Primideal ${\mathfrak {p}}$ in der $(r_{-a}-r_{0})$-ten Potenz enthält, während der Nenner zu ${\mathfrak {p}}$ prim ist. Da wegen ${\frac {\omega ^{*}}{\omega }}=\varepsilon ^{l}$ der Exponent $r_{-a}-r_{0}$ durch $l$ teilbar sein muß, so folgt $r_{-a}=r_{0}$, d. h. $a=0$. Wegen dieses Umstandes enthaltend $\omega$ und $\omega ^{*}$ die nämlichen Potenzen von Primidealen, und $\varepsilon$ ist somit eine Einheit.
Die übrigen Behauptungen des Satzes 137 gehen unmittelbar aus den Sätzen 133 und 134 hervor.
Aus den zu $t$ gehörenden Wurzelzahlen gewinnt man leicht nach Formel (41) die sämtlichen Normalbasen $v$, $tv$, …, $t^{l-1}v$ des Abelschen Körpers $k$.
Es sei wieder $l$ eine ungerade Primzahl, $\zeta =\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{l}}$, ferner $p$ eine rationale Primzahl von der Form $lm+1$, es werde ${\mathsf {Z}}=\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{p}}$ gesetzt, und es bezeichne $R$ eine Primitivzahl nach $p$. Endlich bedeute $k$ den Abelschen Körper $l$-ten Grades mit der Diskriminante $p^{l-1}$.
Die $p-1$ Zahlen ${\mathsf {Z}}$, ${\mathsf {Z}}^{2}$, …, ${\mathsf {Z}}^{p-1}$ bilden eine Normalbasis des Körpers $k({\mathsf {Z}})$; aus dem Beweise des Hilfssatzes 20 geht dann hervor, daß die $l$ Zahlen
* ${\begin{alignedat}{5}\lambda _{0}&={\mathsf {Z}}&&+{\mathsf {Z}}^{R^{l}}&&+{\mathsf {Z}}^{R^{2l}}&&+\ldots &&+{\mathsf {Z}}^{R^{(m-1)^{l}}}\\\lambda _{1}&={\mathsf {Z}}^{R}&&+{\mathsf {Z}}^{R^{1+l}}&&+{\mathsf {Z}}^{R^{1+2l}}&&+\ldots &&+{\mathsf {Z}}^{R^{1+(m-1)^{l}}},\\&\,\,\,\vdots &&&&&&&&\\\lambda _{l-1}&={\mathsf {Z}}^{R^{l-1}}&&+{\mathsf {Z}}^{R^{2l-1}}&&+{\mathsf {Z}}^{R^{3l-1}}&&+\ldots &&+{\mathsf {Z}}^{R^{ml-1}}\end{alignedat}}$
eine Normalbasis des Körpers $k$ bilden. Aus dieser Normalbasis entspringt die folgende Wurzelzahl dieses Körpers:
* ${\begin{aligned}\Lambda &=\lambda _{0}+\zeta \lambda _{1}+\zeta ^{2}\lambda _{2}+\cdots +\zeta ^{l-1}\lambda _{l-1},\\&={\mathsf {Z}}+\zeta {\mathsf {Z}}^{R}+\zeta ^{2}{\mathsf {Z}}^{R^{2}}+\cdots +\zeta ^{p-2}{\mathsf {Z}}^{R^{p-2}}.\end{aligned}}$
Diese besondere Normalbasis $\lambda _{0}$, $\lambda _{1}$, …, $\lambda _{l-1}$ soll die Lagrangesche Normalbasis und die besondere Wurzelzahl $\Lambda$ die Lagrangesche Wurzelzahl heißen.
Die Lagrangesche Wurzelzahl $\Lambda$ des Körpers $k$ zeichnet sich vor den übrigen Wurzelzahlen von $k$ durch folgende Eigenschaften aus:
Satz 138. Wenn die $l$-te Potenz $\Lambda ^{l}$ der Lagrangeschen Wurzelzahl $\Lambda$ gemäß Satz 135 durch die Formel
* $\Lambda ^{l}={\mathfrak {p}}^{r_{0}+r_{-1}s+r_{-2}s^{2}+\cdots +r_{-l+2}s^{l-2}}$
dargestellt wird, so ist ${\mathfrak {p}}$ das durch die Formel
* ${\mathfrak {p}}=(p,\zeta -R^{-m})$, $\left(m={\frac {p-1}{l}}\right)$
$\Lambda$
$\equiv -1$
${\mathfrak {l}}$
$=|{\sqrt {p}}|$
Umgekehrt, wenn einer Wurzelzahl $\Omega$ die letzteren Eigenschaften zukommen und außerdem $\Omega ^{l}$ gerade das soeben definierte Primideal ${\mathfrak {p}}$ zur ersten Potenz enthält, so ist $\Omega =\zeta ^{*}\Lambda$, wo $\zeta ^{*}$ eine $l$-te Einheitswurzel bedeutet.
Beweis. Wird ${\mathfrak {P}}=(1-{\mathsf {Z}},{\mathfrak {p}})$ gesetzt, so erkennen wir mit Hilfe der Beziehungen $(1-{\mathsf {Z}})^{p-1}=(p)$ und $(p,{\mathfrak {p}}^{p-1})={\mathfrak {p}}$, daß
* ${\mathfrak {P}}^{p-1}=(p,(1-{\mathsf {Z}})^{p-2}{\mathfrak {p}},\ldots ,{\mathfrak {p}}^{p-1})={\mathfrak {p}}$
wird; hieraus ist ersichtlich, daß ${\mathfrak {P}}$ in dem durch $\zeta$ und ${\mathsf {Z}}$ bestimmten Körper ein Primideal ist, und daß die Zahl $1-{\mathsf {Z}}$ dieses Primideal ${\mathfrak {P}}$ nur zur ersten Potenz enthält. Setzen wir ${\mathsf {Z}}=1-\Pi$ und berücksichtigen die Kongruenz $\zeta \equiv R^{-m}$ nach ${\mathfrak {p}}$ und die Gleichung $(1-\Pi )^{p}=1$, so wird:
* ${\begin{aligned}\Lambda &\equiv \sum _{(x)}R^{-mx}(1+\Pi )^{R^{x}},\qquad ({\mathfrak {p}})\\&\equiv \sum _{(X)}\left\{X^{-m}\sum _{(Y)}{\binom {X}{Y}}\Pi ^{Y}\right\},\qquad ({\mathfrak {p}}),\end{aligned}}$
wo die bezüglichen Summen über $x=0,1,2,\ldots ,p-2$; $X=1,2,\ldots ,p-1$, $Y=0,1,2,\ldots ,X$ zu erstrecken sind. Aus der letzteren Formel gewinnen wir, wenn wir die Reihenfolge der Summationen umkehren, die Kongruenz:
| $\Lambda \equiv -{\frac {\Pi ^{m}}{m!}},\qquad ({\mathfrak {P}}^{m+1})$. | (43) |
Die Lagrangesche Wurzelzahl $\Lambda$ enthält also genau die $m$-te Potenz von ${\mathfrak {P}}$ als Faktor, und folglich ist $\Lambda ^{l}$ nur durch die erste Potenz von ${\mathfrak {p}}$ teilbar.
Bezeichnen wir die zu $\Lambda$ konjugiert imaginäre Zahl mit ${\overline {\Lambda }}$, so ist
* ${\overline {\Lambda }}={\mathsf {Z}}^{-1}+\zeta ^{-1}{\mathsf {Z}}^{-R}+\zeta ^{-2}{\mathsf {Z}}^{-R^{2}}+\cdots +\zeta ^{-p+2}{\mathsf {Z}}^{-R^{p-2}}$;
dann wird, wenn wir im Produkt $\Lambda {\overline {\Lambda }}$ immer die je $p-1$ mit gleicher Potenz von $\zeta$ multiplizierten Glieder zusammennehmen,
* ${\begin{aligned}&{\begin{alignedat}{4}\Lambda {\overline {\Lambda }}=&&&(1&&+1&&+\cdots +1)\\&+\zeta &&({\mathsf {Z}}^{R-1}&&+{\mathsf {Z}}^{R^{2}-R}&&+\cdots +{\mathsf {Z}}^{R^{p-1}-R^{p-2}})\\&+\zeta ^{2}&&({\mathsf {Z}}^{R^{2}-1}&&+{\mathsf {Z}}^{R^{2}-R}&&+\cdots +{\mathsf {Z}}^{R^{p}-R^{p-2}})\\&\;\,\vdots &&&&\;\,\vdots &&\;\,\vdots \qquad \vdots \\&+\zeta ^{p-2}&&({\mathsf {Z}}^{R^{p-2}-1}&&+{\mathsf {Z}}^{R^{p-1}-R}&&+\cdots +{\mathsf {Z}}^{R^{2p-4}-R^{p-2}})\end{alignedat}}\\&\quad \,\,\,=p-1-(\zeta +\zeta ^{2}+\cdots +\zeta ^{p-2})=p.\end{aligned}}$
Damit ist der erste Teil des Satzes 138 vollständig bewiesen.
Der zweite Teil ist wesentlich die Umkehrung des ersten; die Richtigkeit des zweiten Teiles folgt ohne Mühe aus den Sätzen 135 und 137, wenn man überdies den Satz 48 heranzieht; man hat dabei zu beachten, daß, wenn eine Zahl eines Abelschen Zahlkörpers den absoluten Betrag $1$ hat, diese Eigenschaft stets auch den zu ihr konjugierten Zahlen zukommt.
In entsprechender Weise wie die Kongruenz (43) können wir die sämtlichen folgenden Kongruenzen ableiten [Jacobi (3)]:
| $s^{-i}\Lambda \equiv -{\frac {\Pi ^{r_{-i}m}}{(r_{-i}m)!}},\qquad {\mathfrak {P}}_{-i}^{r}m+1$ | (44) |
für $i=0,1,2,\ldots ,l-2$. Berücksichtigen wir die Tatsache, daß $\Lambda \equiv -1$ nach ${\mathfrak {l}}$ und $|\Lambda |=|{\sqrt {p}}|$ ist, so entspringt aus diesen Kongruenzen (44) ein anderer Beweis der Sätze 135 und 136 [Kummer (6, 11)].
Die sämtlichen Sätze und Beweise in diesem Kapitel 24 gelten entsprechend auch für $l=2$, nur daß dann die Diskriminante des Abelschen Körpers $k$ den Wert $d=(-1)^{\frac {p-1}{2}}p$ bekommt.
Die Lagrangesche Wurzelzahl $\Lambda$ des Körpers $k$ ist eine ganze Zahl des aus $k(\zeta )$ und $k$ zusammengesetzten Körpers, welche durch die in den Sätzen 133 und 138 aufgezählten Eigenschaften bis auf den Faktor $\zeta ^{*}$ völlig bestimmt ist. Um endlich auch diesen Faktor $\zeta ^{*}$ festzulegen, müßte man $\Lambda =|{\sqrt {p}}|\mathrm {e} ^{2i\pi \varphi }$ setzen derart, daß $0\leqq \varphi <1$ sei, und dann entscheiden, in welchem der $l$ Intervalle
* $0\leqq \varphi <{\frac {1}{l}},\qquad {\frac {1}{l}}\leqq \varphi <{\frac {2}{l}},\,\ldots ,\qquad {\frac {l-1}{l}}\leqq \varphi <1$
die betreffende Zahl $\varphi$ gelegen ist. Aus dieser Frage entsteht in dem besonderen Falle, daß statt $l$ die Primzahl $2$ gewählt wird, das berühmte Problem der Bestimmung des Vorzeichens der Gaußschen Summen. Vgl. § 124. Für den Fall $l=3$ werden wir auf eine von Kummer in Angriff genommene Aufgabe geführt [Kummer (2, 4)].
Die Zahlen der Lagrangeschen Normalbasis werden gewöhnlich „Perioden“ genannt. Die Literatur weist eine Reihe von Abhandlungen auf, welche sich mit diesen Perioden, sowie mit verwandten ganzen Zahlen von Kreiskörpern beschäftigen [Kummer (3, 17), Fuchs (1, 2), Schwering (1, 3, 4), Kronecker (17), Smith (1)]. In der Literatur finden sich noch Untersuchungen über besondere Kreiskörper [Berkenbusch (1), Eisenstein (10), Schwering (2), Weber (1, 2, 4), Woleskehl (1)]. Auch sei hier erwähnt, daß, wenn die Primzahl $l<100$ und nicht $29$ oder $41$ ist, der Kreiskörper $k(\zeta )$ stets eine solche Idealklasse enthält, deren Potenzen alle Klassen des Körpers liefern [Kummer (11, 13)].
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* ↑ [359] Über die Zerlegung der aus Wurzeln der Einheit gebildeten komplexen Zahlen in ihre Primfaktoren. J. Math. 35 (1847).
* ↑ [359] Mémoire sur la théorie des nombres complexes composés de racines de l’unité et des nombres entiers. J. de Math. 16 (1851).
* ↑ [358] Über die Kreisteilung und ihre Anwendung auf die Zahlentheorie. Werke 6, 254 (1837)
* ↑ [359] Eine Aufgabe, betreffend die Theorie der kubischen Reste. J. Math. 23 (1842).
* ↑ [359] De residuis cubicis disquisitiones nonnullae analyticae. J. Math. 32 (1846).
* ↑ [359] Über die Divisoren gewisser Formen der Zahlen, welche aus der Theorie der Kreisteilung entstehen. J. Math. 30 (1846).
* ↑ [359] Über die den Gaußschen Perioden der Kreisteilung entsprechenden Kongruenzwurzeln. J. Math. 58 (1856).
* ↑ [357] Über die Perioden, welche aus den Wurzeln der Gleichung $\omega ^{n}=1$ gebildet sind, wenn $n$ eine zusammengesetzte Zahl ist. J. Math. 61 (1862).
* ↑ [357] Über die aus Einheitswurzeln gebildeten komplexen Zahlen von periodischem Verhalten, insbesondere die Bestimmung der Klassenanzahl derselben. J. Math. 65 (1864).
* ↑ [360] Zur Theorie der arithmetischen Funktionen, welche von Jacobi $\psi (\alpha )$ genannt werden. J. Math. 93 (1882).
* ↑ [360] Über gewisse trinomische komplexe Zahlen. Acta Math. 10 (1887).
* ↑ [360] Eine Eigenschaft der Primzahl 107. Acta Math. 11 (1887).
* ↑ [359] Zur Theorie der Abelschen Gleichungen. Bemerkungen zum vorangehenden Aufsatz des Herrn Schwering. J. Math. 93 (1882).
* ↑ [361] Report, on the theory of numbers. Werke.
* ↑ [356] Über die aus den 8-ten Wurzeln der Einheit entspringenden Zahlen. Inauguraldissertation. Marburg 1891.
* ↑ [357] Allgemeine Untersuchungen über die Formen dritten Grades mit drei Variabeln, welche der Kreisteilung ihre Entstehung verdanken. J. Math. 28 u. 29 (1844), (1845).
* ↑ [360] Untersuchung über die fünften Potenzreste und die aus fünften Einheitswurzeln gebildeten ganzen Zahlen. Z. Math. Phys. 27 (1882).
* ↑ [361] Theorie der Abelschen Zahlkörper. Acta Math. 8 u. 9 (1886), (1887).
* ↑ [361] Über Abelsche Zahlkörper dritten und vierten Grades. Sitzungsber. Ges. Naturwiss. Marburg 1892.
* ↑ [361] Lehrbuch der Algebra. 2. Braunschweig 1896.
* ↑ [361] Beweis, daß der zweite Faktor der Klassenanzahl für die aus den elften und dreizehnten Einheitswurzeln gebildeten Zahlen gleich eins ist. J. Math. 99 (1885).
* ↑ [359] Über die Irregularität der Determinanten. Ber. K. Akad. Wiss. Berlin 1853.

## Anmerkungen (Wikisource)

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