# Ueber die Erzeugung von Tönen durch getrennte Eindrücke, mit Beziehung auf die Definition des Tones

Um die im vorhergehenden Aufsatze behandelte Grundfrage der Akustik noch vollständiger zu beleuchten, werde ich die Theorie der Tonerzeugung durch getrennte Eindrücke an dem Beispiele der Sirene ganz allgemein ausführen. Ich schlage dabei denselben Weg ein, wie Ohm (diese Ann. Bd. LIX S. 513), indem ich jedoch die Beschaffenheit der einzelnen Eindrücke ganz unbestimmt lasse. Ungeachtet dieser Unbestimmtheit ist es möglich zu einigen Resultaten zu gelangen, welche mir für jene Frage ziemlich entscheidend zu seyn scheinen.
Die Sirene sey einfach, d. h. sie enthalte eine Anzahl gleich abstehender Löcher, welche mit einer Röhre angeblasen werden. Es ist hinreichend diesen Fall zu betrachten, da die Wirkung ungleich abstehender Eindrücke sehr leicht auf die in diesen Annalen, Bd. LX S. 461, von mir angegebene Art daraus hergeleitet werden kann.
Bei der einfachen Sirene wird der Luft eine periodische Bewegung mitgetheilt. Es sey $v$ die dadurch erzeugte [369] Geschwindigkeit der Luft an irgend einer Stelle. Bezeichnet man mit $2l$ die Dauer jener Periode, so kann gesetzt werden:
| $\left.{\begin{aligned}v={\tfrac {1}{2}}C_{0}&+C_{1}\cos \pi {\frac {t}{l}}+C_{2}\cos \pi {\frac {2t}{l}}\\&+C_{3}\cos \pi {\frac {3t}{l}}+\ldots C_{\mathrm {i} }\cos \pi {\frac {it}{l}}\\&+D_{1}\sin \pi {\frac {t}{l}}+D_{2}\sin \pi {\frac {2t}{l}}+\ldots \\&+D_{3}\sin \pi {\frac {3t}{l}}+\ldots D_{\mathrm {i} }\sin \pi {\frac {it}{l}}+\ldots \end{aligned}}\right\rbrace$ | (1) |
wo:
* ${\begin{aligned}C_{\mathrm {i} }&={\frac {1}{l}}\int _{-1}^{+1}v\cos \pi {\frac {it}{l}}{.}dt\\D_{\mathrm {i} }&={\frac {1}{l}}\int _{-1}^{+1}v\sin \pi {\frac {it}{l}}{.}dt\end{aligned}}$
Die Gleichung (1) kann auch geschrieben werden:
| $\left.{\begin{aligned}v={\tfrac {1}{2}}C_{0}+E_{1}\cos \pi {\frac {t-\theta _{1}}{l}}+E_{2}\cos \pi {\frac {2t-\theta _{2}}{l}}+\ldots \\E_{\mathrm {i} }\cos \pi {\frac {it-\theta _{\mathrm {i} }}{l}}+\ldots \end{aligned}}\right\rbrace$ | (2) |
wo:
* $\operatorname {tang} \pi {\frac {\theta _{\mathrm {i} }}{l}}={\frac {C_{\mathrm {i} }}{D_{\mathrm {i} }}}$
und:
* $E_{\mathrm {i} }^{2}=C_{\mathrm {i} }^{2}+D_{\mathrm {i} }^{2}$.
Dieser letzte Werth würde nach Ohm’s Ansicht die Stärke des Tones vorstellen, dessen Schwingungsmenge ${\frac {i}{2l}}$ ist.
Wenn die Eindrücke getrennt sind, wie dieß bei [370] hinreichenden Zwischenräumen der Löcher der Fall ist, so findet wirkliche Bewegung nicht während der ganzen Periode $2l$ statt, sondern nur während eines Theiles derselben, welcher $2\lambda$ heiße. Die während dieser letzteren Zeit stattfindende Geschwindigkeit heiße $\varphi (t)$. Wie nun auch diese sich wiederholenden Eindrücke beschaffen seyn mögen, so kann, wenn man die Zeit von der Mitte des Eindrucks rechnet,
| $\left.{\begin{aligned}\varphi (t)=c_{0}+c_{1}\cos \pi {\frac {t}{\lambda }}+c_{2}\cos \pi {\frac {2t}{\lambda }}+c_{3}\cos \pi {\frac {3t}{\lambda }}+\ldots \\+d_{1}\sin \pi {\frac {t}{\lambda }}+d_{2}\sin \pi {\frac {2t}{\lambda }}+d_{3}\sin \pi {\frac {3t}{\lambda }}+\ldots \end{aligned}}\right\rbrace$ | (3) |
gesetzt werden, wo die Constanten $c_{0}$, $c_{1}$, $c_{2}$ … $d_{1}$, $d_{2}$ … von der Beschaffenheit jener Eindrücke abhängen.
Indem $v$ von $-l$ bis $-\lambda$ und wieder von $+\lambda$ bis $+l=0$ ist, gehen die obigen Werthe von $C_{\mathrm {i} }$ und $D_{\mathrm {i} }$ in folgende über:
* ${\begin{aligned}C_{\mathrm {i} }&={\frac {1}{l}}\int _{-\lambda }^{+\lambda }\varphi (t){.}\cos \pi {\frac {it}{l}}{.}dt\\D_{\mathrm {i} }&={\frac {1}{l}}\int _{-\lambda }^{+\lambda }\varphi (t){.}\sin \pi {\frac {it}{l}}{.}dt.\end{aligned}}$
Setzt man für $\varphi (t)$ seinen Werth aus (3) ein, so erhält man:
| $C_{\mathrm {i} }={\frac {2\lambda ^{2}i}{\pi }}{.}\sin \pi {.}{\frac {\lambda i}{l}}\left\{{\frac {c_{0}}{\lambda ^{2}i^{2}}}+{\frac {c_{1}}{l^{2}-\lambda ^{2}i^{2}}}-{\frac {c_{2}}{4l^{2}-\lambda ^{2}i^{2}}}+{\frac {c_{3}}{9l^{2}-\lambda ^{2}i^{2}}}-\ldots \right\}$ | (4) |
| $D_{\mathrm {i} }={\frac {2\lambda l}{\pi }}{.}\sin \pi {\frac {\lambda i}{l}}{.}\left\{{\frac {d_{1}}{l^{2}-\lambda ^{2}i^{2}}}-{\frac {2d_{2}}{4l^{2}-\lambda ^{2}i^{2}}}+{\frac {3d_{3}}{9l^{2}-\lambda ^{2}i^{2}}}-\ldots \right\}$ | (5) |
Hierdurch würden nun die sämmtlichen Glieder der Gleichung (1) oder (2) bekannt seyn, wenn man die Werthe der $c$ und $d$ hätte. Obgleich diese Werthe bei der Sirene offenbar durch die Art des Anblasens bestimmt [371] sind, so würde es doch bei unserer mangelhaften Kenntniß der pneumatischen Gesetze nicht möglich seyn, sie auf dem Wege der Theorie zu berechnen, und da es auch schwierig oder unmöglich seyn würde, sie auf dem Wege des Versuchs mit einiger Zuverlässigkeit zu ermitteln, so muß man versuchen ohne diese Bestimmung aus den für $C_{\mathrm {i} }$ und $D_{\mathrm {i} }$ gefundenen Ausdrücken einen Schluß zu ziehen.
Es kann $\lambda$ nur $=$ oder $<l$ seyn. Im ersteren Falle, wo die Eindrücke nicht getrennt sind, wird $C_{\mathrm {i} }=c_{\mathrm {i} }$ und $D_{\mathrm {i} }=d_{\mathrm {i} }$. Mehr läßt sich von dem Falle sagen, wo die Eindrücke getrennt sind, d. h. $\lambda <l$, und, wie wir annehmen wollen, beträchtlich kleiner als $l$.
Nehmen wir zuerst den Werth $C_{\mathrm {i} }$ und lassen $i$ von 1 an wachsen, indem wir für $i$ seine Werthe 1, 2, 3 … einsetzen. $C_{\mathrm {i} }$ besteht aus drei von $i$ abhängigen Factoren. Der erste ${\tfrac {2\lambda ^{2}i}{\pi }}$ wächst beständig mit $i$. Der zweite $\sin \pi {\tfrac {\lambda i}{l}}$ wächst anfangs mit $i$, so lange, bis $\lambda i=$ oder $>{\tfrac {1}{2}}l$; er wird also für das zweite, dritte, vielleicht vierte, fünfte … Glied noch mit $i$ wachsen, wenn $\lambda$ einigemal größer ist, als $\lambda$. Der dritte Factor, welcher durch die in der Klammer enthaltene Reihe der Gleichung (4) vorgestellt wird, besteht aus lauter Gliedern, welche, mit Ausnahme des ersten, bei wachsendem $i$ anfänglich ebenfalls wachsen; daraus folgt nun freilich nicht, daß auch die algebraische Summe dieser Glieder mit $i$ wachsen müsse; allein es wird doch, ganz allgemein zu sprechen, wenn für $\lambda$, so wie für die $c$ und $d$ bestimmte Werthe eingesetzt werden, mindestens eben so leicht treffen können, [372] daß diese Summe bei wachsendem $i$ wachse, als daß sie abnehme. Kann aber das angenommen werden, dann hat man, wegen der beiden andern Factoren, eher Grund zu erwarten, daß $A_{\mathrm {i} }$ bei wachsendem $i$ zunehme, als daß es abnehme, so lange wenigstens, als $i$ nicht über ein gewisses Maaß ${\Big{\tfrac {l}{2\lambda }}$ oder etwas weiter${\Big )}$ wächst. Fast dasselbe gilt auch von $B_{\mathrm {i} }$, nach Gleichung (5), indem der Factor $\sin \pi {\tfrac {\lambda i}{l}}$ mit $i$ anfänglich wächst, und die Reihe in der Klammer je nach Umständen entweder wachsen oder auch abnehmen kann. Bildet man daher ${C_{\mathrm {i} }}^{2}+{D_{\mathrm {i} }}^{2}$, was nach Ohm’s Ansicht das Maaß für die Stärke des Tones ${\tfrac {i}{2l}}$ seyn würde, so ist, wenn ${\tfrac {\lambda }{l}}$ ziemlich klein ist, eher zu vermuthen, daß dieser Werth für den zweiten Ton größer als für den ersten, für den dritten größer als für den zweiten, vielleicht auch für den vierten, fünften … Ton noch größer ausfallen würde. Allerdings könnte durch besondere Umstände auch das Gegentheil herbeigeführt werden, und ich läugne nicht die Möglichkeit, daß bei einem Sirenenversuche zufällig diese Umstände getroffen seyn könnten. Höchst unwahrscheinlich aber ist es, daß man bei allen Abänderungen des Versuchs immer diesen Fall in gleichem Maaße treffen sollte. Ich habe die Versuche vielfältig abgeändert, weil es mir schien, daß dadurch die Unsicherheit, mit welcher, wie ich nicht verkenne, die so eben gezogenen Folgerungen noch behaftet sind, auf ein sehr viel geringeres Maaß zurückgeführt werde.
Ich habe nämlich erstens die Löcherabstände in allen Abstufungen vom 1- und 1½fachen bis zum mehr als 60fachen des Löcherdurchmessers variirt. Dadurch ändern sich, wenn die Abstände noch klein sind, so daß keine Perioden der Ruhe eintreten, die Werthe der $c$ und $d$, oder, wenn jene größer werden, das Verhältniß von [373] $\lambda$ zu $l$. Es hält nicht schwer $\lambda$ sehr viel kleiner als $l$ zu machen, so daß die einzelnen Eindrücke durch verhältnißmäßig lange Ruhe getrennt sind. Führt man nämlich die enge Röhre, durch welche der Wind kommt, möglichst nahe an die Scheibe heran, so geht durch das Loch der Scheibe nicht merklich Wind, außer wenn dasselbe sehr in die Nähe der Röhre kommt; dieß ist noch mehr der Fall, wenn man den Löchern einen etwas erhöhten Rand giebt, oder in dieselben ganz kurze Röhrenstückchen einsetzt, welche der Windröhre zugekehrt sind, weil dann der Luftstrom, wenn er sich an dem nicht durchbrochenen Theile der Scheibe ausbreitet, nicht in die Oeffnung treten kann. Setzt man dann nur wenige Löcher (etwa sechs) auf eine Scheibe von 9 bis 12 Zoll Durchmesser, so kann man die Periode der Ruhe beträchtlich länger machen, als die der Bewegung. Ich hatte den Sireneton noch recht deutlich, da erstere mehr als 20 Mal länger war, als letztere, so daß $\lambda$ weniger als ${\tfrac {1}{20}}l$ betrug. Ich habe mich davon durch das von Ohm angewendete Verfahren mit der Lichtflamme überzeugt, indem ich ein Loch der Sirene, vor welches die Flamme gehalten wurde, langsam vor dem Windrohr vorüberführte; befand sich das Loch vor dem Rohre, so war der Wind so stark, daß er das Licht ausblies; wurde das Loch etwas weiter geführt, so verschwand sehr bald jede Spur von Bewegung an der Flamme; der Abstand, wo dieß Verschwinden eintrat, wurde zu beiden Seiten gemessen und mit dem Löcherabstande verglichen; der letztere Abstand ist $l$, der erstere $\lambda$, sofern wenigstens angenommen werden darf, daß auch bei schneller Drehung der jedesmalige Luftstoß nur so lange dauert, als Wind durch die Oeffnung selbst strömen kann.
Ich habe ferner die Werthe der $c$ und $d$ dadurch abgeändert, daß ich den Löchern verschiedene Gestalt gab, länglich statt der runden, die ich gewöhnlich angewendet habe; oder nach einer Seite spitz zulaufend, [374] um die beiden Hälften des Eindrucks unsymmetrisch zu machen. Eben so habe ich auch, um dieß noch zu steigern, die Oeffnung des Windrohrs abgeändert und ebenfalls nach der einen Seite spitz zulaufend gemacht, und habe hierauf die Scheibe so gedreht, daß zuerst die spitzen und zuletzt die breiten Seiten der beiderlei Oeffnungen einander gegenüber kamen, oder umgekehrt. Die einzelnen Schläge bei langsamer Drehung klingen in diesem Falle ganz anders, als bei den runden Oeffnungen. Auch bei diesen abgeänderten Löchern habe ich die Abstände kleiner und größer genommen.
Ich habe ferner eine Kartenblattspitze in die Löcher schlagen lassen, deren Schläge also die Stelle der Luftstöße vertreten. In diesem Falle sind offenbar nicht nur wiederum die $c$ und $d$ ganz anders bestimmt, sondern auch wohl ${\tfrac {\lambda }{l}}$ noch viel kleiner, wie ich besonders daraus schließe, daß der Klang beim Blasen dem beim Anschlagen um so ähnlicher wird, je mehr in jenem Falle die Luftstöße getrennt sind.
Nun kann man nach den obigen Bemerkungen nicht umhin, anzunehmen, daß unter diesen vielfachen Abänderungen des Versuchs es sich sehr häufig getroffen haben müsse, daß ${C_{\mathrm {i} }}^{2}+{D_{\mathrm {i} }}^{2}$ für einen oder den andern Werth von $i$, vielleicht für viele Werthe zugleich, größer war, als für $i=1$, so daß, wenn jene Quadratsumme das Maaß für die Stärke des Tones ${\tfrac {i}{2l}}$ wäre, man den Grundton mit einer sehr auffallenden Beimischung von harmonischen Obertönen hätte hören müssen. Allein dieß war nie der Fall, und ich konnte bei allen diesen Versuchen, welche ich theils früher, theils jetzt hundertfältig angestellt habe, nie mehr als ein äußerst schwaches Mitklingen eines oder des andern Beitones erkennen, und dieß nur bei sehr geschärfter Aufmerksamkeit. Ich wiederhole hierbei, daß wenn ein solcher [375] Beiton gehört wird, er zu verschwinden pflegt, wenn man die Stellung des Ohrs verändert. Der einzige Unterschied, der bei allen jenen Abänderungen bemerkt werden kann, bezieht sich auf den Klang, welcher bei getrennten Eindrücken mehr schnarrend, und bei solchen, welche ineinanderfließen, mehr pfeifenartig ist.
In diesem Verhalten, daß nämlich an der Sirene die Beitöne, welche, der engeren Definition zufolge, in der Regel vorhanden seyn, und oft sehr stark zu erwarten seyn würden, der Erfahrung zufolge jederzeit entweder fehlen oder nur ganz schwach vernommen werden können, scheint mir ein sehr starker Grund gegen die Annahme jener engeren Form zu liegen.
Ich werde jetzt die Theorie dieser Klasse von Tonerzeugungen für einen besonderen Fall, nämlich für sehr getrennte Eindrücke, noch einen Schritt weiter führen.
Man kann die Gleichungen (4) und (5) folgendermaßen schreiben:
* ${\begin{aligned}C_{\mathrm {i} }&={\frac {2\lambda ^{2}i}{\pi l^{2}}}{.}\sin \pi {\frac {\lambda i}{l}}{.}\left\lbrace {\frac {c_{0}l^{2}}{\lambda ^{2}i^{2}}}+{\mathit {\Sigma }}_{\mathrm {i} }\right\rbrace \\D_{\mathrm {i} }&={\frac {2\lambda }{\pi l}}{.}\sin \pi {\frac {\lambda i}{l}}{.}S_{\mathrm {i} }\end{aligned}}$
wo:
* ${\begin{aligned}{\mathit {\Sigma }}_{\mathrm {i} }&={\frac {c_{1}}{1-{\frac {\lambda ^{2}i^{2}}{l^{2}}}}}-{\frac {c_{2}}{4-{\frac {\lambda ^{2}i^{2}}{l^{2}}}}}+{\frac {c_{3}}{9-{\frac {\lambda ^{2}i^{2}}{l^{2}}}}}-\ldots \\S_{\mathrm {i} }&={\frac {d_{1}}{1-{\frac {\lambda ^{2}i^{2}}{l^{2}}}}}-{\frac {2d_{2}}{4-{\frac {\lambda ^{2}i^{2}}{l^{2}}}}}+{\frac {3d_{3}}{9-{\frac {\lambda ^{2}i^{2}}{l^{2}}}}}-\ldots \end{aligned}}$
Jetzt nehme man an, daß die Eindrücke sehr getrennt sind, so daß nicht nur ${\tfrac {\lambda }{l}}$ sehr klein ist, sondern auch [376] ${\tfrac {\lambda i}{l}}$ für die niedrigeren Werthe von $i$ ziemlich klein ist. Alsdann kann bis zu dieser Gränze angenähert ${\tfrac {\pi \lambda i}{l}}$ anstatt $\sin \pi {\tfrac {\lambda i}{l}}$ gesetzt werden, und es wird:
| $C_{\mathrm {i} }={\frac {2\lambda }{l}}\left\lbrace c_{0}+{\frac {\lambda ^{2}i^{2}}{l^{2}}}{\mathit {\Sigma }}_{\mathrm {i} }\right\rbrace$ | (6) |
| $D_{\mathrm {i} }={\frac {2\lambda }{l}}{.}{\frac {\lambda i}{l}}S_{\mathrm {i} }$ | (7) |
Es können aber die vorigen Gleichungen für ${\mathit {\Sigma }}_{\mathrm {i} }$ und $S_{\mathrm {i} }$ auch so geschrieben werden:
| $\left.{\begin{aligned}{\mathit {\Sigma }}_{\mathrm {i} }&=c_{1}-{\frac {1}{4}}c_{2}+{\frac {1}{9}}-c_{3}\ldots \\&+{\left({\frac {i\lambda }{l}}\right)}^{2}\left(c_{1}-{\frac {1}{16}}c_{2}+{\frac {1}{81}}c_{3}-\ldots \right)\\&+{\left({\frac {i\lambda }{l}}\right)}^{4}\left(c_{1}-{\frac {1}{64}}c_{2}+{\frac {1}{729}}c_{3}-\ldots \right)\\&+{\left({\frac {i\lambda }{l}}\right)}^{6}\left(c_{1}-{\frac {1}{256}}c_{2}+{\frac {1}{6561}}c_{3}-\ldots \right)\\&+{\text{etc. etc.}}\end{aligned}}\right\rbrace$ | (8) |
und:
| $\left.{\begin{aligned}S_{\mathrm {i} }&=d_{1}-{\frac {1}{2}}d_{2}+{\frac {1}{3}}d_{3}-\ldots \\&+{\left({\frac {\lambda i}{l}}\right)}^{2}\left(d_{1}-{\frac {1}{8}}d_{2}+{\frac {1}{27}}d_{3}-\ldots \right)\\&+{\left({\frac {\lambda i}{l}}\right)}^{4}\left(d_{1}-{\frac {1}{32}}d_{2}+{\frac {1}{243}}d_{3}-\ldots \right)\\&+{\left({\frac {\lambda i}{l}}\right)}^{6}\left(d_{1}-{\frac {1}{128}}d_{2}+{\frac {1}{2187}}d_{3}-\ldots \right)\\&+{\text{etc. etc.}}\end{aligned}}\right\rbrace$ | (9) |
[377] Aus der Gleichung (8) sieht man immer unter der Annahme, daß ${\tfrac {\lambda i}{l}}$ klein sey, daß ${\mathit {\Sigma }}_{\mathrm {i} }$ nicht sehr groß werden kann in Vergleich zu den Werthen der $c$, weil die Factoren der ersten Reihe dieser Gleichung sehr convergent sind, und die übrigen Glieder wegen der Factoren ${\left({\tfrac {\lambda i}{l}}\right)}^{2}$, ${\left({\tfrac {\lambda i}{l}}\right)}^{4}$ … sehr klein seyn müssen. Indem also ${\mathit {\Sigma }}_{\mathrm {i} }$ nicht sehr groß werden kann, muß ${\tfrac {\lambda ^{2}i^{2}}{l^{2}}}{\mathit {\Sigma }}_{\mathrm {i} }$ sehr klein seyn. Es ist daher, wie man aus der Gleichung (6) sieht, entweder $C_{\mathrm {i} }$ nahe gleich für verschiedene Werthe von $i$ (bis zu der genannten Gränze), oder es ist $C_{\mathrm {i} }$ und selbst $C_{\mathrm {i} }{\tfrac {l}{2\lambda }}$ nur sehr klein; das Letztere nämlich, wenn $c_{0}$ sehr klein ist, das Erstere, wenn dieß nicht der Fall ist. – Was ferner $S_{\mathrm {i} }$ betrifft, so kann diese Größe unter geeigneten Umständen einen ziemlich beträchtlichen Werth annehmen; allein man sieht aus (9), daß, so lange ${\tfrac {\lambda i}{l}}$ klein ist, $S_{\mathrm {i} }$ entweder nahe gleich ist für verschiedene $i$, oder sehr klein, das Letztere nämlich, wenn $d_{1}-{\tfrac {1}{2}}d_{2}+{\tfrac {1}{3}}d_{3}-\ldots$ sehr klein ist, das Erstere, wenn dieß nicht der Fall ist. Daraus aber folgt in Verbindung mit (7), daß entweder $D_{\mathrm {i} }$ und selbst $D_{\mathrm {i} }{\tfrac {l}{2\lambda }}$ äußerst klein ist, oder daß $D_{\mathrm {i} }$ mit wachsendem $i$ wächst.
Faßt man jetzt zusammen, was über $C_{\mathrm {i} }$ und $D_{\mathrm {i} }$ gefunden worden ist, und bildet man ${C_{\mathrm {i} }}^{2}+{D_{\mathrm {i} }}^{2}$, so erhält man folgenden Satz:
    Bei hinreichend getrennten Eindrücken ist für die niedrigeren Werthe von $i$ die Größe ${C_{\mathrm {i} }}^{2}+{D_{\mathrm {i} }}^{2}$ entweder 1) nahe gleich, oder 2) sie wächst mit $i$, oder 3) sie erlangt nur einen höchst geringen Werth.
Nur im letzten dieser drei Fälle würde ${C_{\mathrm {i} }}^{2}+{D_{\mathrm {i} }}^{2}$ bei [378] wachsendem $i$ wohl abnehmen können, wozu aber, wie man sich auf eine ähnliche Weise leicht überzeugt, das Zusammentreffen folgender Umstände erforderlich seyn würde: $c_{0}$ müßte zwar sehr klein, aber doch nicht zu klein seyn, $c_{1}-{\tfrac {1}{4}}c_{2}+{\tfrac {1}{9}}c_{3}-\ldots$ müßte entgegengesetztes Zeichen als $c_{0}$ haben, und beträchtlich größer als $d1-{\tfrac {1}{2}}d_{2}+{\tfrac {1}{3}}d_{3}-\ldots$ seyn, wodurch sich ${C_{\mathrm {i} }}^{2}+{D_{\mathrm {i} }}^{2}$ auf einen höchst geringen Werth reduciren würde. Dagegen bleibt für die höheren Werthe von $i$ immer die Möglichkeit, und selbst die Wahrscheinlichkeit, daß jene Quadratsumme eine beträchtliche Größe erlangt.
Wäre nun die von Ohm vertheidigte engere Definition richtig, also ${C_{\mathrm {i} }}^{2}+{D_{\mathrm {i} }}^{2}$ das Maaß der Stärke des Tones ${\tfrac {i}{2l}}$, so würde der vorher erlangte Satz so lauten:
Bei hinreichend getrennten Eindrücken muß entweder 1) der erste, zweite, dritte … Ton von nahe gleicher Stärke seyn, oder 2) der erste schwächer seyn als der zweite, dieser schwächer als der dritte, oder 3) wenn keiner der beiden vorhergehenden Fälle stattfindet, können diese ersten Töne überhaupt nur äußerst schwach seyn. In den beiden ersten Fällen würde man den Hauptton auffallend von seinen Beitönen begleitet hören, im letzten aber würde er fast gar nicht zu hören seyn, und nur die sehr viel höheren Beitöne würden erkennbar bleiben.
[379] Ganz das Gegentheil hievon beweist die Erfahrung, denn nicht nur ist an der Sirene, in Fällen, wo die vorhergehende Rechnung auf den zweiten, und selbst auf den dritten Ton mit hinreichender Annäherung anwendbar zu seyn scheint, das Verhalten ganz eben so wie bei wenig oder gar nicht getrennten Eindrücken, sondern es gilt dasselbe auch bei den Savart’schen Zahnrädern, bei den Klirrtönen, beim Trevelyan-Instrument u. dergl., wo höchst wahrscheinlich die Eindrücke noch getrennter sind. In allen diesen Fällen ist von allen Beobachtern nur der eine Ton gehört worden, welcher der Anzahl der Schläge entspricht, und von den Beitönen, welche nach der engeren Definition hier stets in beträchtlicher Stärke hätten vorhanden seyn müssen, kann nur zuweilen eine Spur bemerkt werden. Auf diese Weise steht der engeren Definition des Tones eine große Anzahl von Erfahrungen entgegen.
Ich kann nicht umhin, hier noch einmal auf Ohm’s Vermuthung zurückzukommen, daß das Ohr die Beitöne nur überhöre und zum Grundtone ziehe. Diese Annahme würde jetzt so auszudrücken seyn: Töne, wenn auch in beträchtlicher Stärke vorhanden, werden stets als solche ganz oder fast ganz unhörbar, sobald ein Ton ihrer harmonischen Unterreihe hinzutritt, sie tragen aber zur Verstärkung dieses Untertones bei. Mir scheint dieser Satz einerseits mit der Erfahrung in Widerspruch zu seyn, andererseits aber würde zwischen dieser Erklärung und meiner Behauptung, daß die höheren Glieder der Reihe (1) oder (2) einen Antheil an der Erzeugung des Tones ${\tfrac {1}{2l}}$ haben können, nur der Unterschied bestehen, daß dieser Antheil und das Verschwinden der höheren Töne, nach meiner Ansicht, an gewisse (wenn auch unvollständig gekannte) Bedingungen geknüpft ist, nach Ohm’s Hypothese aber unbedingt stattfinden würde. Dieß würde darauf hinauskommen, daß die von mir aufgestellte Definition [380] jener Beschränkung, welche ich von Anfang an vorbehalten habe, nicht unterliege. So würde man also durch jene Hypothese, mit der Absicht die Definition des Tones zu beschränken, vielmehr zu einer noch größeren – und gewiß zu großen – Erweiterung derselben gelangt seyn.
* ↑ Man beachte, daß die Gleichungen (1) und (2) nicht wie die ähnlichen, dies. Ann. Bd. LIX S. 519 oder Bd. LX S. 462, die Ablenkung im Gehör, sondern die Geschwindigkeit der Luft bezeichnen, ich habe die letztere genommen, weil sie dem Versuche zugänglicher ist.
* ↑ Es läßt sich nur sagen, daß $\varphi (0)$ einen gewissen beträchtlichen Werth hat, welcher $V$ heiße, und daß, wenn $\lambda <l$ ist, $\varphi (\pm \lambda )=0$ ist. Daraus folgt: $c_{0}+c_{2}+c_{4}+\ldots =c_{1}+c_{3}+c_{5}+\ldots ={\frac {V}{2}}$.
* ↑ Cagniard-Latour fand den Ton der Sirene mehr dem der Trompete, Oboe, Fagott, menschlichen Stimme ähnlich, je nachdem die Entfernung und der Durchmesser der Löcher in verschiedenem Verhältniß stehen. (Ann. de chim. et phys. T. LVI.)
* ↑ Man kann auch, wenn man genauer rechnen will, den Sinus durch eine Reihe nach Potenzen des Bogens ausdrücken, doch ist dieß nicht nöthig, da die Verwechslung des Sinus mit dem Bogen im ganzen ersten Drittel des Quadranten eine Differenz von nicht mehr als ein Paar Procent beträgt.
* ↑ Denkt man sich z. B. die einzelnen Eindrücke aus symmetrischen Hälften bestehend, so werden alle $d=0$; nimmt man zugleich an, daß $c_{0}=0$ sey, so bleibt $\textstyle {{C_{\mathrm {i} }}^{2}+{D_{\mathrm {i} }}^{2}={\left({\frac {2\lambda ^{2}i}{\pi l^{2}}}\sin \pi {\frac {\lambda i}{l}}{.}{\mathit {\Sigma }}_{\mathrm {i} }\right)}^{2}}$, welcher Werth äußerst klein ist, so lange ${\tfrac {\lambda i}{l}}$ klein ist; er wird z. B. ${\tfrac {1}{18\,000\,000}}(c_{1}-{\tfrac {1}{4}}c_{2}+{\tfrac {1}{9}}c_{3}-\ldots )$, wenn ${\tfrac {\lambda }{l}}={\tfrac {1}{20}}$ und $i=1$ ist. Für größere Werthe von $i$ kann hingegen dieser Ausdruck beträchtlich werden. Dieß ist fast genau der Fall, von welchem ich in §. 26 meiner früheren Abhandlung (Bd. LX S. 473) gesprochen habe. Uebrigens würde gerade in diesem Falle jener Werth gleich anfangs mit $i$ sehr schnell wachsen.

## Anmerkungen (Wikisource)

* ↑ G. S. Ohm: Ueber die Definition des Tones, nebst daran geknüpfter Theorie der Sirene und ähnlicher tonbildender Vorrichtungen. In: Annalen der Physik und Chemie. Band 135, Joh. Ambr. Barth, Leipzig 1843, S. 513 Quellen
* ↑ Ueber die Sirene. In: Annalen der Physik und Chemie. Band 136, Joh. Ambr. Barth, Leipzig 1843, S. 449
* ↑ Vorlage: ${A_{\mathrm {i} }}^{2}+{B_{\mathrm {i} }}^{2}$ (korrigiert laut Berichtigungen)
* ↑ Vorlage: Stand (korrigiert laut Berichtigungen)
* ↑ Vorlage: ${A_{\mathrm {i} }}^{2}+{B_{\mathrm {i} }}^{2}$ (korrigiert laut Berichtigungen)
* ↑ Extrait d’un Mémoire de M. Cagniard-Latour sur la Résonnance des liquides, et une Nouvelle espèce de Vibration qu’il a nommée Vibration globulaire. In: Annales de chimie et de physique. Bd. 56 (1834), S. 252–280 Gallica
* ↑ Vorlage: beträchliche