# Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 18.

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Wir recapituliren noch einmal die gewonnenen Resultate.
Die anziehende Masse kann in einzelnen getrennt liegenden Punkten concentrirt sein. Dann ist
* $V=\sum {\frac {m}{r}},$
und die Summirung bezieht sich auf sämmtliche Massenpunkte. |[66]Oder die Masse ist stetig vertheilt über einen Raum, resp. über eine Fläche, resp. über eine Linie. In diesen drei Fällen ist
* $V=\int {\frac {dm}{r}},$
und man hat die Integration üiber das ganze mit Masse erfüllte geometrische Gebilde auszudehnen. Unter allen Umständen genügt die Potentialfunction in einem Punkte $(x,\,y,\,z)\,$, wo keine Masse vorhanden ist, der Gleichung von Laplace:
| (1) | ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=0.$ |
Wir wollen voraussetzen, dass kein Theil der anziehenden Masse in unendlicher Entfernung liege.
Ist die Masse über einen Raum stetig vertheilt, so genügt die Potentialfunction ausserhalb dieses Raumes der partiellen Differentialgleichung (1), innerhalb desselben aber [§. 13 (4)] der partiellen Differentialgleichung
| (2) | ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=-4\pi \rho ,$ |
und es bedeutet $\rho \,$ die Dichtigkeit in dem inneren Punkte $(x,\,y,\,z)$. Die Function $V\,$ und ihre ersten Derivirten sind im ganzen unendlichen Raume endlich und stetig variabel.
Bei stetiger Vertheilung der Masse auf einer Fläche genügt die Potentialfunction $V\,$ im ganzen unendlichen Raume der partiellen Differentialgleichung (1). Die Function $V\,$ selbst ist überall endlich und stetig variabel. Die ersten Derivirten ${\frac {\partial V}{\partial x}}$, ${\frac {\partial V}{\partial y}}$, ${\frac {\partial V}{\partial z}}$ sind endlich und stetig variabel, so lange der Punkt $(x,\,y,\,z)$ in endlicher, wenn auch noch so kleiner Entfernung von der Fläche sich befindet. Für einen Punkt in der Fläche oder unendlich nahe an derselben hat man eine Verschiebung $ds\,$ in der Fläche von einer Verschiebung $dp\,$ auf der Normale zu unterscheiden. Die Derivirte ${\frac {\partial V}{\partial s}}$ ist in der Fläche endlich und stetig variabel. Sie weicht nur unendlich wenig ab von den Werthen der gleichnamigen Derivirten in einem ausserhalb der Fläche unendlich nahe gelegenen Punkte auf der einen wie auf der anderen Seite. Die |[67]Derivirte ${\frac {\partial V}{\partial p}}$ändert sich sprungweise beim Durchgang durch die Fläche, und zwar so, dass
| (3) | $\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{+\varepsilon }-\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{-\varepsilon }=-4\pi \rho .$ |
Mit $\rho \,$ ist die Dichtigkeit in dem Punkte der Fläche bezeichnet, auf dessen Normale die unendlich kleinen Abstände $+\varepsilon$ und $-\varepsilon$ gezählt werden.
Bei stetiger Vertheilung der Masse in einer Linie (§. 16) genügt die Potentialfunction $V\,$ im ganzen unendlichen Raume der Differentialgleichung (1). Sie ist endlich und stetig variabel, so lange der Punkt $(x,\,y,\,z)$ in endlicher Entfernung von der anziehenden Linie bleibt. Nimmt man seinen Abstand $t\,$ von der Linie unendlich klein, so wird die Function $V\,$ unendlich wie $2\rho \lg {\frac {1}{t}}$, und es gilt demnach die Gleichung:
| (4) | $\lim \left(t{\frac {\partial V}{\partial t}}\right)=-2\rho$ für $t=0.\,$ |
Hier bedeutet $\rho \,$ die Dichtigkeit an der Stelle der anziehenden Linie, in welche der Punkt $(x,\,y,\,z)$ für $t=0\,$ hineinrückt.
Ist endlich die Masse $m\,$ in einem Punkte concentrirt, so gilt für den ganzen unendlichen Raum die partielle Differentialgleichung (1). Die Function $V\,$ ist endlich und stetig variabel, so lange der Punkt $(x,\,y,\,z)$ in endlicher Entfernung von dem anziehenden Punkte liegt. Bezeichnet $r\,$ diese Entfernung, so findet sich leicht
| (5) | $rV=-r^{2}{\frac {\partial V}{\partial r}}=m,$ |
und diese Gleichung gilt noch fur $r=0\,$.
Je nach der Art der Massenvertheilung gilt also neben der partiellen Differentialgleichung (1) noch eine von den Gleichungen (2), (3), (4), (5). Zur vollständigen Bestimmung der Function $V\,$ sind nun noch Gleichungen hinzuzufügen, in denen sich ausspricht, was aus der Function und ihren ersten Derivirten wird, wenn der Punkt $(x,\,y,\,z)$ in unendliche Entfernung rückt.
Wir setzen
* $x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}\,$
und bemerken, dass
* $\lim {\frac {R}{r}}=\lim {\sqrt {\frac {x^{2}+y^{2}+z^{2}}{\left(a-x\right)^{2}+\left(b-y\right)^{2}+\left(c-z\right)^{2}}}}=1$
|[68]ist, wenn keine der Coordinaten $a,\,b,\,c$ unendlich und $\lim R=\infty$ genommen wird. Liegt also die anziehende Masse ganz im endlichen Gebiete, so hat man bei stetiger Vertheilung:
* $\lim \int {\frac {R}{r}}dm=\int dm=M;\,$
dagegen bei einer Vertheilung in discreten Punkten:
* $\lim \sum m{\frac {R}{r}}=\sum m=M,$
d. h. es ist in allen Fällen
| (6) | $\lim RV=M\,$ für $\lim R=\infty .\,$ |
Ferner sieht man leicht, dass
* $\lim {\frac {a-x}{r}}=\lim {\frac {R}{r}}\left({\frac {a}{R}}-{\frac {x}{R}}\right)=-\cos \left(Rx\right)$
ist für $\lim R=\infty \,$. Dabei ist die Linie $R\,$ in der Richtung von dem Anfangspunkte der Coordinaten nach dem unendlich fernen Punkte $(x,\,y,\,z)$ genommen. Die letzte Gleichung lässt sich auch so schreiben:
* $\lim \,\cos \left(rx\right)=-\cos \left(Rx\right)$ für $\lim R=\infty .$
Also hat man bei stetiger Massenvertheilung
* $\lim R^{2}\int {\frac {a-x}{r^{3}}}dm=-\cos \left(Rx\right)\int dm;\,$
dagegen bei einer Vertheilung in discreten Punkten
* $\lim R^{2}\sum {\frac {a-x}{r^{3}}}m=-\cos \left(Rx\right)\sum m.$
Entsprechende Gleichungen finden sich, wenn $y\,$ und resp. $z\,$ statt $x\,$ genommen wird. Dadurch erlangt man die Resultate:
| (7) | $\lim \left(R^{2}{\frac {\partial V}{\partial x}}\right)=-M\cos \left(Rx\right),$ |
| (8) | $\lim \left(R^{2}{\frac {\partial V}{\partial y}}\right)=-M\cos \left(Ry\right),$ |
| (9) | $\lim \left(R^{2}{\frac {\partial V}{\partial x}}\right)=-M\cos \left(Rx\right).$ |
Durch die partielle Differentialgleichung (1), die Gleichungen (6) bis (9) und eine der Gleichungen (2) bis (5) ist die Potentialfunction für jeden Punkt $(x,\,y,\,z)$ vollständig und eindeutig bestimmt. Dieser wichtige Satz soll im §. 22 bewiesen werden.