# Zur Thermodynamik bewegter Systeme (Fortsetzung)

Textdaten :
| Autor: | Friedrich Hasenöhrl |
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| Titel: | Zur Thermodynamik bewegter Systeme (Fortsetzung) |
| Untertitel: | |
| aus: | Sitzungsberichte der mathematisch-naturwissenschaftlichen Klasse der kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Wien. Bd. 117, Abt. IIa, Heft 2, S. 207-215 |
| Herausgeber: | |
| Auflage: | |
| Entstehungsdatum: | |
| Erscheinungsdatum: | 1908 |
| Verlag: | Kaiserlich-königliche Hof- und Staatsdruckerei |
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| Erscheinungsort: | Wien |
| Übersetzer: | |
| Originaltitel: | |
| Originalsubtitel: | |
| Originalherkunft: | |
| Quelle: | Internet Archive, Commons |
| Kurzbeschreibung: | |
| Fortsetzung von Zur Thermodynamik bewegter Systeme Themenseite: Relativitätstheorie ||
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### 7. Berechnung der Größe H.

Um die Funktion H durch die Variabeln $U_{0},v,\beta$ auszudrücken, setzen wir in (13) für p seinen Wert aus (6) ein und erhalten
| $(1-\beta ^{2}){\frac {\partial H}{\partial \beta }}+\beta H+\beta v\left(p_{0}{\frac {\partial H}{\partial U_{0}}}-{\frac {\partial H}{\partial v}}\right)=0$. | (15) |
Diese partielle Differentialgleichung nimmt eine einfachere Gestalt an, wenn wir an Stelle von $\beta ,v,U_{0}$ die Größen $\beta ,v,S_{0}$ als independente Variable wählen. Und zwar soll $S_{0}$ wieder der Wert der Entropie sein, wenn das System adiabatisch zur Ruhe gebracht wird; es ist natürlich $S=S_{0}$. Wir denken uns also $U_{0}$ durch Entropie und Volumen ausgedrückt; sei etwa
$U_{0}=F(S_{0},v)\,$
Dann ist:
${\frac {\partial }{\partial v}}-p_{0}{\frac {\partial }{\partial U_{0}}}=\left({\frac {\partial }{\partial v}}\right)_{S_{0}}$
da sich nach (7) $U_{0}$ bei einer adiabatischen Volumsänderung um $-p_{0}dv$ ändert. Führen wir ferner statt $\beta$ die Variable:
$\varkappa ={\sqrt {1-\beta ^{2}}}$
$-\beta \varkappa {\frac {\partial H}{\partial \varkappa }}+\beta H-\beta v\left({\frac {\partial H}{\partial v}}\right)_{S_{0}}=0$
oder, wenn $\beta$ von Null verschieden ist:
$\varkappa {\frac {\partial }{\partial \varkappa }}\left({\frac {H}{\varkappa }}\right)+v\left({\frac {\partial }{\partial v}}\right)_{S_{0}}\left({\frac {H}{\varkappa }}\right)=0$
Aus dieser Gleichung folgt, daß $H/\varkappa$ eine Funktion von $v/\varkappa$ sein muß, welche natürlich außerdem von $S_{0}$ abhängen wird. Ferner muß H für $\beta =0,\ \varkappa =1$ mit $U_{0}$ identisch sein. Diesen Forderungen genügen wir, wenn wir
${\frac {H}{\varkappa }}=F\left(S_{0},{\frac {v}{\varkappa }}\right)$
setzen. $F\left(S_{0},{\frac {v}{\varkappa }}\right)$ ist offenbar der Betrag der Energie des ruhenden Systems, wenn dasselbe adiabatisch von v auf $v/\varkappa$ expandiert wird; bezeichnen wir diesen Wert der Energie mit $U'_{0}$, so wird:
$H={\sqrt {1-\beta ^{2}}}\cdot U'_{0}$
Nehmen wir nun der Lorentz’schen Hypothese entsprechend an, daß mit der Änderung der Geschwindigkeit eine Änderung des Volumens proportional ${\sqrt {1-\beta ^{2}}}$ Hand in Hand geht, so ist $U'_{0}$ die Energie des ruhenden Körpers; wir lassen dann den Akzent weg und setzen also:
| $H={\sqrt {1-\beta ^{2}}}\cdot U_{0}$. | (16) |

### 8. Zusammenfassung der Resultate.

Mit Hilfe der Gleichungen (2) und (10) lassen sich jetzt Bewegungsgröße und Gesamtenergie (U) durch die Zustandsvariabeln des ruhenden Systems ausdrücken. (Wir haben hier zu beachten, daß die Gleichungen (1), (3), (4) und (5) jetzt nicht angewendet werden dürfen; dieselben gelten nur für Geschwindigkeitsänderungen bei konstantem Volumen.) Wir erhalten:
$U=H+\beta \phi ={\sqrt {1-\beta ^{2}}}\,U_{0}+\beta ^{2}(U+pv)$
woraus sich unter Berücksichtigung der ersten Gleichung (14) ergibt:
| $U={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}(U_{0}+\beta ^{2}p_{0}v_{0})$. | (17) |
Endlich ist die Bewegungsgröße nach (10):
| ${\mathfrak {G}}={\frac {\beta }{c}}(pv+U)={\frac {\beta }{c{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}}(U_{0}+p_{0}v_{0})$. | (18) |
Fassen wir alles zusammen, so gelangen wir zu dem Resultat:
Wird ein Körper, dessen Zustand in der Ruhe durch die Variabeln $v_{0},U_{0},p_{0},T_{0},S_{0}$ gegeben ist, adiabatisch auf die Geschwindigkeit $\beta c$ gebracht, so nehmen die Zustandsvariabeln die Werte:
| $v=v_{0}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}$ | (14) |
$p=p_{0}\,$
| $T=T_{0}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}$ | (14) |
| $U={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}(U_{0}+\beta ^{2}p_{0}v_{0})$ | (17) |
| $H={\sqrt {1-\beta ^{2}}}\cdot U_{0}$ | (16) |
$S=S_{0}\,$
| ${\mathfrak {G}}={\frac {\beta }{c}}{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}(U_{0}+p_{0}v_{0})$. | (18) |

### 9. Anwendung auf die Hohlraumstrahlung.

Wir legen unseren Berechnungen den relativen Strahlengang zu Grunde. Betrachten wir die Strahlung, deren (relative) Richtung mit der Bewegungsrichtung Winkel zwischen $\phi \,$ und $\phi +d\phi \,$ einschließt; dieselbe trägt in der Zeiteinheit durch die Flächeneinheit einer zur Bewegungsrichtung senkrechten (mitbewegten) Ebene die Energiemenge:
$2\pi J\ \sin \phi \ \cos \phi \ d\phi$
Wir nennen J die Intensität der totalen (relativen) Strahlung. Fällt diese Strahlung auf eine absorbierende Fläche, so leistet sie die Druckarbeit:
$q\cdot {\frac {2\pi J\sin \phi \cos \phi \ d\phi }{c}}\cdot \cos \varphi =2\pi J\sin \phi \cos \phi \ d\phi \ \beta \cos \varphi$
wo $\varphi$ der Winkel zwischen der absoluten Strahlungsrichtung und der Bewegungsrichtung ist. Die Differenz:
$2\pi J\ \sin \phi \ \cos \phi \ d\phi (1-\beta \ \cos \varphi )=2\pi i\ \sin \phi \ \cos \phi \ d\phi$
nennen wir die wahre (relative) Strahlung. Die wahre Strahlungsintensität
| $i=J(1-\beta \cos \varphi )$ | (19) |
ist für den Wärmetransport zwischen Körpern gleicher Geschwindigkeit maßgebend.
Wir stellen uns auf den Standpunkt der Lorentz’schen Kontraktionshypothese und führen den Winkel $\phi '$ durch die Gleichung
| ${\begin{array}{rl}\operatorname {tg} \ \phi '=&\varkappa \ \operatorname {tg} \ \phi \\\varkappa^{2}=&1-\beta ^{2}\end{array}}$ | (20) |
$\phi '\,$
$1:\varkappa$
$\phi \,$
$i\ \sin \phi \ \cos \phi \ d\phi =i'\ \sin \phi '\ \cos \phi '\ d\phi '$
so ist i’ die wahre Strahlungsintensität, die der mitbewegte Beobachter wahrnimmt, dessen Maßstäbe die erwähnte Verkürzung erfahren haben.
Die Größe i’ muß konstant, d. h. vom Winkel $\phi '\,$ unabhängig sein, d. h. die wahre Strahlung ist im verkürzten System nach allen Richtungen gleichmäßig verteilt; sie befolgt das Lambert’sche cos-Gesetz. Dann strahlen sich zwei beliebig orientierte, gleichbewegte Flächenelemente gleich viel Wärme zu. Ein in den Hohlraum gebrachter Spiegel ändert die Verteilung der Strahlung nicht, da für den relativen Strahlengang im verkürzten System die gewöhnlichen Reflexionsgesetze gelten. (Es wurde dies in allgemeinsterweise von H. A. Lorentz gezeigt und läßt sich auch in diesem Falle direkt beweisen.)
Aus (20) folgt leicht:
$\sin \phi '\cos \phi '\ d\phi '=\sin \phi \cos \phi \ d\phi {\frac {\varkappa ^{2}}{(1-\beta ^{2}\sin ^{2}\phi )^{2}}}$
also ist:
| $i=i'{\frac {\varkappa ^{2}}{(1-\beta ^{2}\sin ^{2}\phi )^{2}}}=i'{\frac {(1-\beta ^{2}\cos ^{2}\phi ')^{2}}{\varkappa ^{2}}}$. | (21) |
$U=2\pi v\int _{0}^{\pi }{\frac {J\sin \phi \ d\phi }{c'}}$
wo c’ die Relativgeschwindigkeit bedeutet:
$c'=c\left(-\beta \cos \phi +{\sqrt {1-\beta ^{2}\sin ^{2}\phi }}\right)$
Setzen wir in obigem Integral entsprechend (19):
$J=i+J\beta \ \cos \varphi$
so wird:
$U=2\pi v\int _{0}^{\pi }{\frac {i\ \sin \phi \ d\phi }{c'}}+2\pi v\beta \int _{0}^{\pi }{\frac {J\cos \phi \ \sin \phi \ d\phi }{c'}}$
Der zweite Summand ist gleich:
$q\cdot {\frac {2\pi v}{c^{2}}}\int _{0}^{\pi }{\frac {J}{c'}}\cdot c\ \cos \varphi \cdot \sin \phi \ d\phi =q{\mathfrak {G}}$
wie man am leichtesten durch Vergleich mit der vorletzten Gleichung p. 11 meiner ersten Mitteilung erkennt. Entsprechend (2) ist daher:
$H=2\pi v\int _{0}^{\pi }{\frac {i\ \sin \phi \ d\phi }{c'}}$
Die Größe H ist also mit der Energie der wahren Strahlung identisch, was ja zu erwarten war. Führen wir mittels (20) und (21) i’ und $\phi '\,$ ein, so wird
* ${\begin{array}{rl}H&={\frac {2\pi vi'}{c\varkappa ^{2}}}\int _{0}^{\pi }\sin \phi 'd\phi '(1+\beta \ \cos \ \phi ')\\\\&={\frac {4\pi v}{\varkappa ^{2}}}\cdot {\frac {i'}{c}}.\end{array}}$
Nun ist aber nach (16):
$H={\sqrt {1-\beta ^{2}}}\cdot U_{0}=\varkappa \cdot {\frac {4\pi v_{0}}{c}}i_{0}$
wo $i_{0}$ die Strahlungsintensität im ruhenden Hohlraume bedeutet. Es muß also
$\varkappa v_{0}i_{0}={\frac {1}{\varkappa ^{2}}}vi'$
sein; oder, da $v=\varkappa v_{0}$:
$i'=\varkappa ^{2}i_{0}$
Es stimmt dies mit den allgemein gültigen Sätzen der Theorie von H. A. Lorentz überein.
Setzen wir nach dem Stefan-Boltzmann’schen Gesetze
$i_{0}=\sigma T_{0}^{4}$
so wird (vergl. (14)):
$i'=\varkappa ^{2}\sigma T_{0}^{4}={\frac {\sigma }{\varkappa ^{2}}}T^{4}$
Die Konstante des Stefan-Boltzmann’schen Gesetzes ist also durch $\varkappa ^{2}$ zu dividieren.
Die Energiedichte der wahren Strahlung ist:
${\frac {H}{v}}={\frac {4\pi }{c}}\cdot {\frac {i'}{\varkappa ^{2}}}={\frac {4\pi }{c}}i_{0}$
sie hat also denselben Wert wie im ruhenden Hohlraume.
Die gesamte Energie ergibt sich aus (17); sie hat den Wert:
$U={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\left(1+{\frac {1}{3}}\beta ^{2}\right)U_{0}={\frac {4\pi v_{0}i_{0}}{c}}\cdot {\frac {1+{\frac {1}{3}}\beta ^{2}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$
Jedenfalls ist auch in meinen früheren Arbeiten zuerst der Begriff einer von der inneren Strahlung und damit von der Temperatur abhängigen Masse aufgestellt und das von der Geschwindigkeit unabhängige Glied derselben für den Hohlraum berechnet worden. Es ist mir demnach unverständlich, warum Herr Planck, der diese Dinge in der Einleitung zu seiner letzten Publikation über diesen Gegenstand ausführlich erörtert, dabei meine Arbeiten mit keinem Worte erwähnt.
* ↑ Vergl. diese Sitzungsberichte, CXVI, p. 1391 (1907).
* ↑ Berliner Berichte, 1907, p. 542.
* ↑ M. Abraham, Boltzmann-Festschrift, p. 90, 1904. Vergl. etwa F. Hasenöhrl, Jahrb. d. Radioaktivität, 2, p. 281 (1905).
* ↑ Diese Terminologie deckt sich mit der in einer früheren Arbeit (Ann. d. Phys., 15 [1904]) verwendeten. Dort steht an Stelle von J und i, i und $i_{0}$. Vergl. auch Jahrb. d. Radioaktivität und Elektronik, 2, p. 283 (1905).
* ↑ H. A. Lorentz, Versl. kon. Akad. v. Wetensch. Amsterdam, 7, p. 507 (1899) und 12, p. 886 (1904). – Vergl. auch M. Abraham, Theorie der Elektrizität, II, p. 282 (1905).
* ↑ Aus dieser Gleichung läßt sich leicht die absolute Strahlungsintensität berechnen. Dieselbe ist gleich $J_{abs}=i\left({\frac {c}{c'}}\right)^{4}$ (vergl. F. Hasenöhrl, Ann. d. Phys., 16, p. 589 [1905]), wo ${\frac {c'}{c}}={\sqrt {1+\beta ^{2}-2\beta \cos \varphi }}$ ist und $\varphi$ wieder die Richtung der absoluten Strahlen angibt. Es ist also [212] $J_{abs}=i'{\frac {\varkappa ^{2}}{(1-\beta ^{2}\sin ^{2}\phi )^{2}\left({\frac {c}{c'}}\right)^{4}}}=i'{\frac {\varkappa ^{2}}{(1-\beta \cos \varphi )^{4}}}$, da $c'{\sqrt {1-\beta ^{2}\sin ^{2}\phi }}=c(1-\beta \cos \varphi )$ ist (vergl. F. Hasenöhrl, Ann. d. Phys., 15, p. 347, Gl. 7 [1904]). Daß die absolute Strahlungsintensität sich mit der Richtung proportional $(1-\beta \cos \varphi )^{4}$ ändert, hat bereits Herr v. Mosengeil auf anderem Wege bewiesen (Ann. d. Phys., 22, p. 875, Gl. 11 [1907]).
* ↑ Vergl. etwa M. Abraham, Theorie der Elektrizität, II, p. 282 (1905).
* ↑ Wenn also Herr v. Mosengeil am Schlusse seiner Arbeit sagt, ich hätte die Dimensionsänderung für nötig gehalten, so beruht dies auf einem Mißverständnis.
* ↑ Ann. d. Phys. (4), 15, p. 350 (1904).
* ↑ Ann. d. Phys., 22, p. 791 (1907).
* ↑ Berl. Ber., 1907, p. 542.