# Mathematische Principien der Naturlehre/Buch2-IV

§. 20. Lehnsatz. Es sei PQRr eine Spirallinie, welche alle Radien SP, SQ, SR, etc. unter gleichen Winkeln schneidet. Man ziehe die gerade Linie PT, welche die Curve in einem beliebigen Punkte P berührt und den verlängerten Radius SQ in T schneidet, errichte auf der Spirallinie die Perpendikel PO und QO, welche einander in O schneiden und ziehe SO. Alsdann behaupte ich, dass, wenn die Punkte P und Q sich einander nähern und zusammenfallen, der Winkel PSO ein Rechter und zuletzt
werde.
Da der Winkel
und
so ergiebt sich
$\scriptstyle \angle$
Der durch die Punkte O, S und P gehende Kreis trifft daher auch den Punkt Q. Fallen nun die Punkte P und Q zusammen, so wird dieser Kreis im Punkte des Zusammentreffens die Spirallinie berühren und die Linie OP perpendikulär schneiden. OP wird demnach Durchmesser dieses Kreises und der Winkel im Halbkreise
ferner ist
also durch Zusammensetzung
oder
§. 21. Lehrsatz. Verhält sich die Dichtigkeit des Mittels in den einzelnen Orten umgekehrt, wie der Abstand der letztem von einem unbeweglichen Centrum, und steht die Centripetalkraft im doppelten Verhältniss der Dichtigkeit; so kann der Körper sich in einer Spirale bewegen, welche alle von jenem Centrum aus gezogenen Radien unter einem constanten Winkel schneidet.
Man setze alles voraus, was im vorhergehenden Lehrsatze ausgesprochen worden ist und verlängere SQ bis V, so dass
wird. In gleichen Zeiten beschreibe der Körper die sehr kleinen Bogen PQ und QR. Die Decremente dieser Bogen, welche aus dem Widerstände des Mittels entspringen, oder diese Unterschiede zwischen diesen Bogen und denjenigen, welche in denselben Zeiten im nicht widerstehenden Mittel beschrieben werden würden, verhalten sich zu einander, wie die Quadrate der Zeiten, in denen sie erzeugt werden. Es ist daher das Decrement des Bogens PQ gleich ¼ Decrement des Bogens PR. Nimmt man die Fläche
so wird das Decrement des Bogens PQ
und es verhält sich daher die Kraft des Widerstandes zur Centripetalkraft, wie
welche Linien beide Kräfte respective gleichzeitig erzeugen. Da die Centripetalkraft, welche in P auf den Körper wirkt, sich umgekehrt wie SP² verhält (nach erstem Buche, §. 10.) die kleine Linie TQ, welche durch jene Kraft erzeugt wird, in einem Verhältniss steht, das aus dieser Kraft und dem Quadrat der Zeit, worin der Bogen PQ beschrieben wird, zusammengesetzt ist (denn den Widerstand vernachlässige ich in diesem Falle, da er unendlich kleiner als die Centripetalkraft ist); TQ · SP² oder (nach §. 20.) ½PS² · SP dem Quadrate jener Zeit proportional. Die Zeit verhält sich daher wie
$\scriptstyle {\sqrt {SP}}$
und die Geschwindigkeit, womit der Körper den Bogen PQ in jener Zeit beschreibt, wie
$\scriptstyle {\frac {PQ}{PQ\ {\sqrt {SP}}}}={\frac {1}{\sqrt {SP}}}$
d. h. umgekehrt wie die Quadratwurzel aus dem Abstande SP. Auf dieselbe Weise findet man die Geschwindigkeit, womit der Bogen QR beschrieben wird, im halben umgekehrten Verhältniss von SQ. Die Bogen PQ und QB verhalten sich aber zu einander, wie die Geschwindigkeiten, mit denen sie beschrieben werden; also ist
$\scriptstyle {\frac {1}{\sqrt {SP}}}:{\frac {1}{\sqrt {SQ}}}=QS:{\sqrt {SP\cdot SQ}}$
Da
$\scriptstyle \angle$
ist aber auch
Durch Verbindung der beiden Proportionen 4. und 5. erhalten wir ferner
$\scriptstyle {\sqrt {PS\cdot QS}}$
oder
denn wenn die Punkte P und Q zusammenfallen, ist das letzte Verhältniss von
$\scriptstyle {\sqrt {SP\cdot SQ}}$
das der Gleichheit. Da das aus dem Widerstände des Mittels entspringende Decrement des Bogens PQ, d. h. ½Rr sich verhält, wie der Widerstand und das Quadrat der Zeit zusammengenommen; so ist der Widerstand (nach 2.) proportional
$\scriptstyle {\frac {Rr}{PQ^{2}\cdot SP}}$
Mittelst der Proportion 6. wird aber
$\scriptstyle {\frac {Rr}{PQ^{2}\cdot SP}}$
$\scriptstyle {\frac {{\frac {1}{2}}VQ}{SQ\cdot PQ\cdot SP}}={\frac {{\frac {1}{2}}OS}{OP\cdot SP^{2}}}$
Fallen nämlich P und Q zusammen, so geschieht dasselbe mit SP und SQ und es wird
$\scriptstyle \angle$
und da ferner
so wird
Es ist demnach $\scriptstyle {\frac {OS}{OP\cdot PS^{2}}}$ dem Widerstände proportional, welcher letztere sich auch verhält, wie die Dichtigkeit des Mittels in P und das Quadrat der Geschwindigkeit zusammengesetzt. Nimmt man daher das letztere Verhältniss, oder (nach 3.) $\scriptstyle {\frac {1}{SP}}$ vom obigen Ausdruck 7. fort, so ergiebt sich die Dichtigkeit des Mittels in P proportional
$\scriptstyle {\frac {OS}{OP\cdot SP}}$
Ist die Spirallinie gegeben, so kennt man auch das Verhältniss
und es verhält sich die Dichtigkeit des Mittels in P wie
$\scriptstyle {\frac {1}{SP}}$
In einem Mittel, dessen Dichtigkeit dem Abstände SP vom Centrum umgekehrt proportional ist, kann sich daher der Körper längs dieser Spirallinie bewegen. W. z. b. w.
Zusatz 1. Die Geschwindigkeit in jedem Orte P ist stets diejenige, mit welcher der Körper im nicht widerstehenden Mittel auf einem Kreise zum Radius SP bei derselben Centripetalkraft sich bewegen kann.
Zusatz 2. Die Dichtigkeit des Mittels ist, wenn der Abstand SP gegeben ist, proportional
$\scriptstyle {\frac {OS}{OP}}$
Ist der Abstand nicht gegeben, so wird sie proportional
$\scriptstyle {\frac {OS}{OP\cdot PS}}$
Hiernach kann also die Spirallinie jeder Dichtigkeit des Mittels angepasst werden.
Zusatz 3. Die Kraft des Widerstandes an jedem Orte P verhält sich zur Centripetalkraft in demselben, wie
Jene Kräfte sind nämlich respective proportional den Linien
$\scriptstyle {\frac {{\frac {1}{4}}VQ\cdot PQ}{QS}}$
$\scriptstyle TQ={\frac {{\frac {1}{2}}PQ^{2}}{PS}}$
welche sie in derselben Zeit erzeugen. Sie verhalten sich daher auch zu einander, indem man QS = PS setzt, wie
Ist daher die Spirallinie gegeben, so kennt man auch das Verhältniss des Widerstandes zur Centripetalkraft, und umgekehrt ergiebt sich aus diesem Verhältniss die Spirallinie.
Zusatz 4. Der Körper kann sich daher nur dann auf dieser Spirallinie bewegen, wenn die Kraft des Widerstandes kleiner ist, als die Hälfte der Centripetalkraft. Wird der Widerstand gleich der halben Centripetalkraft, so fällt die Spirale mit der geraden Linie PS zusammen, und es bewegt sich der Körper auf der derselben nach dem Centrum hin mit derjenigen Geschwindigkeit, welche sich zu der Geschwindigkeit im nicht widerstehenden Mittel für den Fall einer Parabel wie
$\scriptstyle {\sqrt {2}}$
verhält. (Erstes Buch, §. 24.) Die Zeiten des Herabsteigens verhalten sich daher umgekehrt wie die Geschwindigkeiten und sind demnach constant.
Zusatz 5. Da in gleicher Entfernung vom Centrum die Geschwindigkeit auf der Spirale PQR und der geraden Linie SP dieselbe ist und da die Länge der Spirale zu der der geraden Linie in dem constanten Verhältniss
steht; so wird die Zeit des Herabsteigens auf jener zur Zeit des Herabsteigens auf dieser in demselben constanten Verhältniss stehen. Erstere ist daher constant.
Zusatz 6. Werden aus dem Mittelpunkte S mit zwei gegebenen Radien Kreise beschrieben, und ändert sich bei denselben beliebig der Winkel, welchen die Spirale mit dem Radius PS bildet; so verhält sich die Zahl der Umläufe, welche der Körper zwischen den Peripherien beider Kreise vollenden kann, wie
d. h. wie die Secante jenes Winkels, oder umgekehrt wie die Dichtigkeit des Mittels.
Zusatz 7. Ein Körper bewegt sich in einem Mittel, dessen Dichtigkeit sich umgekehrt wie der Abstand vom Centrum verhält, auf einer beliebigen Curve AEB am jenes Centrum herum und schneidet den ersten Radius AS in B unter demselben Winkel, wie früher in A. Die Geschwindigkeit in B verhält sich zur ersten in A umgekehrt wie die Quadratwurzeln aus den Abständen vom Centrum, d. h. wie
$\scriptstyle {\sqrt {AS}}:{\sqrt {BS}}$
Alsdann wird der Körper fortfahren, unzählige ähnliche Umläufe BFC, CGD etc, auszuführen und in den Durchschnittspunkten den Radius AS in stetig proportionale Stücke
theilen. Die Umlaufszeiten werden sich verhalten direct wie die Umfänge der Bahnen
und indirect wie die Geschwindigkeiten in den Anfangspunkten
d. h. wie
Ferner verhält sich die ganze Zeit, innerhalb welcher der Körper zum Centrum gelangt, zur Zeit des ersten Umlaufes, wie
d. h. wie
oder sehr nahe wie
Hieraus findet man leicht jene ganze Zeit.
Zusatz 8. Hiernach kann man auch beiläufig die Bewegung der Körper in solchen Mitteln, deren Dichtigkeit entweder gleichförmig ist, oder irgend ein anderes gegebenes Gesetz beobachtet, erschliessen.
Man beschreibe nämlich aus dem Mittelpunkte S, mit den stetig proportionalen Radien AS, BS, CS etc. beliebig viel Kreise und setze voraus, dass die Zeit der Umläufe zwischen den Peripherieen zweier beliebiger von diesen Kreisen, in dem oben behandelten Mittel, sich sehr nahe verhalte zur Zeit der Umläufe zwischen denselben Peripherieen in dem hier aufgestellten Mittel, wie die mittlere Dichtigkeit des neuen Mittels zwischen diesen Kreisen zur mittleren Dichtigkeit des obigen Mittels zwischen denselben Kreisen. In demselben Verhältniss stehe dann ferner die Secante des Winkels, unter welchem die oben behandelte Spirallinie im dortigen Mittel den Radius AS schneidet, zur Secante desselben Winkels im neuen Mittel. Endlich setze man auch noch voraus, dass die Anzahl aller Umläufe zwischen denselben zwei Kreisen sich sehr nahe verhalten, wie die Tangenten derselben Winkel. Findet dies zwischen je zwei Kreisen statt, so wird auf diese Weise auch die Bewegung zwischen allen Kreisen fortgesetzt werden.
Wir könnten uns eben so leicht vorstellen, wie und in welchen Zeiten die Körper sich in jedem regulären Mittel werden bewegen müssen.
Zusatz 9. Wenn auch die excentrischen Bewegungen auf Spirallinien erfolgen, welche sich der ovalen Form nähern, so kann man doch annehmen, dass die einzelnen Umläufe solcher Spiralen gegenseitig um dieselben Intervalle von einander abstehen und sich in demselben Grade dem Centrum nähern, wie in der oben beschriebenen Spirallinie. Auf diese Weise sehen wir daher ein, wie die Bewegung der Körper in derartigen Spirallinien erfolgt.
§. 22. Lehrsatz. Verhält sich die Dichtigkeit in den einzelnen Orten umgekehrt wie der Abstand derselben vom Centrum, und die Centripetalkraft umgekehrt wie irgend eine Potenz desselben Abstandes; so kann der Körper sich in einer Spirallinie bewegen, welche alle vom Centrum aus gezogenen Radien unter gegebenem Winkel schneidet.
Der Beweis wird eben so, wie im vorhergehenden Satze geführt. Verhält sich nämlich die Centripetalkraft in P umgekehrt wie
so schliesst man wie oben, dass die Zeit, in welcher der Körper den beliebigen Bogen PQ beschreibt, sich verhalte wie
Der Widerstand in P ist proportional
$\scriptstyle {\frac {Rr}{PQ^{2}\cdot SP^{n}}}={\frac {\left(1-{\frac {1}{2}}n\right)VQ}{PQ\cdot SP^{n}\cdot QS}}={\frac {\left(1-{\frac {1}{2}}n\right)\cdot OS}{OP\cdot SP^{n+1}}}$
d. h. umgekehrt SP$^{n+1}$.
Da nun die Geschwindigkeit sich umgekehrt wie SP$^{½n}$ verhält, so wird die Dichtigkeit in P sich umgekehrt wie SP verhalten.
Zusatz 1. Der Widerstand verhält sich zur Centripetalkraft, wie
Zusatz 2. Wenn die Centripetalkraft umgekehrt SP³ proportional ist, so wird 1 — ½n = 0, also der Widerstand und die Dichtigkeit beide = 0, wie im ersten Buche, §. 25.
Zusatz 3. Wenn die Centripetalkraft umgekehrt SP$^n$ proportional ist, wo n > 3, so geht der positive Widerstand in einen negativen über.
§. 23. Anmerkung. Uebrigens sind diese und die vorhergehenden Sätze, welche von ungleich dichten Mitteln handelten, nur in Bezug auf so kleine Körper zu verstehen, dass die Verschiedenheit der Dichtigkeit an beiden Seiten des Körpers nicht in Betracht kommen kann. Ferner setze ich den Widerstand, unter übrigens gleichen Umständen der Dichtigkeit proportional. Daher muss in solchen Mitteln, wo die Kraft des Widerstandes sich nicht wie die Dichtigkeit verhält, die letztere so weit vermehrt oder vermindert werden, dass entweder das Uebermaass des Widerstandes aufgehoben oder der Mangel ersetzt wird.
§. 24. Aufgabe. Man soll die Centripetalkraft und den Widerstand des Mittels bestimmen, bei denen ein Körper sich in einer gegebenen Spirallinie und nach einem gegebenen Gesetze der Geschwindigkeit bewegen kann.
Es sei (Figur 161.) PQR jene Spirale. Aus der Geschwindigkeit, mit welcher der Körper den sehr kleinen Bogen PQ durchläuft, erhält man die Zeit, und aus der Höhe TQ, welche sich wie die Centripetalkraft und das Quadrat der Zeit verhält, diese Kraft. Hierauf ergiebt sich aus dem Unterschiede RSr der, in gleichen Zeittheilchen beschriebenen, Flächen PSQ und QSR die Verzögerung des Körpers, endlich aus der Verzögerung der Geschwindigkeit die Dichtigkeit des Mittels, wie im vorhergehenden Paragraphen.
§. 25. Aufgabe. Die Centripetalkraft ist gegeben; man soll die Dichtigkeit des Mittels in den einzelnen Orten bestimmen, bei welcher der Körper eine gegebene Spirallinie beschreiben wird.
Aus der Centripetalkraft sucht man die Geschwindigkeit an den einzelnen Orten, und hierauf aus der Verzögerung der Geschwindigkeit die Dichtigkeit des Mittels, wie im vorhergehenden Paragraphen.
Eine Methode zur Behandlung dieser Aufgaben habe ich in den §§. 14. und 10. dieses Buches dargelegt, und will daher den Leser nicht länger mit verwickelten Untersuchungen dieser Art aufhalten. Hinzuzufügen ist noch einiges über die Kräfte zur Beschleunigung der Körper, und über die Dichtigkeit und den Widerstand des Mittels, in welchem die bisher auseinandergesetzten und die ihnen verwandten Bewegungen erfolgen.
* ↑ [602] Fig. 249. No. 131. S. 276. Es ist unmittelbar TQ : PD = TS : PE. Fällt nun Q mit P zusammen, so geht gleichzeitig T in P über und man kann PS statt TS setzen; es entsteht daher TQ : PD = PS : PE.
* ↑ [602] No. 132. S. 276. (Fig. 161.) OP und OQ stehen nach der Voraussetzung auf der Spirallinie perpendikulär, und wenn die Punkte P und Q einander unendlich nahe liegen, werden beide sich auf dem Kreise befinden, welcher aus O mit OP = OQ als Radius geschlagen ist. Indem man in diesem Falle den unendlich kleinen Bogen PQ statt seiner Sehne setzt, ergibt sich nach bekannter Weise PD : PQ = PQ : 2PO.
* ↑ [602] No. 133. S. 277. Bezeichnet man die gleichen Winkel durch α, so wird, in so fern man die kleinen Bogen PQ und Qr als gerade Linien behandeln darf, PSQ = ½PS · PQ sin α, QSr = ½QS · Qr sin α und daher, weil PSQ = QSr, PQ : Qr = QS : PS.
* ↑ [602] No. 134. S. 277. (Fig. 161.) Es ist SV — SQ = VQ, also SP = SQ + VQ, wo VQ desto klein er wird, je näher P und Q einander kommen. Demnach wird SP — $\scriptstyle {\sqrt {SP\cdot SQ}}$ = SQ + VQ — $\scriptstyle {\sqrt {SQ^{2}+SQ\cdot VQ}}$ = $\scriptstyle SQ+VQ-\left[SQ+{\frac {1}{2}}{\frac {SQ\cdot VQ}{SQ}}-{\frac {1}{8}}{\frac {SQ^{2}\cdot VQ^{2}}{SQ^{3}}}\right]$ = ½ VQ + 1/8$\scriptstyle {\frac {VQ^{2}}{SQ}}$ Je kleiner nun VQ wird, desto mehr wird man die folgenden, höhere Potenzen von VQ enthaltenden, Glieder gegen das erste vernachlässigen können, und wir erhalten daher den Grenzwerth von SP — $\scriptstyle {\sqrt {SP\cdot SQ}}$ = ½VQ.
* ↑ [602] No. 135. S. 277. Diese Aehnlichkeit dürfte folgendermaassen zu erläutern sein. Da SV = SP, so ist $\scriptstyle \angle$ SVP = SPV. [603] Je näher nun Q an P rückt, desto kleiner wird der Winkel PSQ, und im Fall dieser verschwindend klein geworden ist, wird $\scriptstyle \angle$ SVP = SPV = 90°, also 1. $\scriptstyle \angle$ PVQ = PSO. Ferner ist im letztern Falle $\scriptstyle \angle$ SPV = QPO = 90°, und zieht man hiervon ab $\scriptstyle \angle$ SPQ = SPQ, so bleibt 2. $\scriptstyle \angle$ QPV = OPS. Es sind daher in den Dreiecken VPQ und OPS zwei Winkel einander gleich, mithin auch $\scriptstyle \angle$ POS = PQV = SVQ.
* ↑ [603] No. 136. S. 277. Siehe erstes Buch, § 18, Zusatz 1.
* ↑ [603] No. 137. S. 278. Es wird alsdann ½VQ = ½PQ oder VQ = PQ. Der Körper nähert sich daher dem Centrum um eben so viel, als er sich fortbewegt. Die Bewegung erfolgt demnach längs PS.
* ↑ [603] No. 138. S. 278. Dies Verhältniss ist mit dem PQ : VQ identisch. (Gl. 8.)
* ↑ [603] No. 139. S. 279. Das Verhältniss PS : OS ist nach dem Lehrsatz = PV : VQ. In so fern nun $\scriptstyle \angle$ PSV sehr klein ist, wird PV gleich dem aus S mit SP geschlagenen Bogen, und daher jenem Winkel proportional, während VQ die entsprechende Annäherung des Körpers zum Centrum S bezeichnet. Hieraus ergiebt sich, wenn der Winkel, welchen der Körper beschreiben muss, um von der einen Peripherie zur andern zu gelangen, durch α und der Abstand beider Peripherien durch a bezeichnet wird, α : PSV =a : VQ oder α = a ·$\scriptstyle {\frac {PSV}{VQ}}$ = a$\scriptstyle {\frac {VP}{VQ}}$ = a$\scriptstyle {\frac {PS}{OS}}$. Das Verhältniss OP : OS ergiebt sich als der Zeit proportional unmittelbar aus Zusatz 5.
* ↑ [603] No. 140. S. 279. (Fig. 162.) Da nämlich AS : BS = BS : CS = CS : DS = etc. so wird auch AS$^{3/2}$ : BS$^{3/2}$ = BS$^{3/2}$ : CS$^{3/2}$ = CS$^{3/2}$ : DS$^{3/2}$ = etc. Setzt man nun etwa $\scriptstyle {\frac {AS^{\frac {3}{2}}}{BS^{\frac {3}{2}}}}$ = q, so wird AS$^{3/2}$ + BS$^{3/2}$ + CS$^{3/2}$ + DS$^{3/2}$ + .... in inf. = $\scriptstyle AS^{\frac {3}{2}}\left[1+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{q^{2}}}+{\frac {1}{q^{3}}}+\dots \ in\ inf.\right]$ und so AS$^{3/2}$ + BS$^{3/2}$ + CS$^{3/2}$ ... in inf. : AS$^{3/2}$ = q : q — 1 = AS$^{3/2}$ : AS$^{3/2}$ — BS$^{3/2}$ = AS$^{3/2}$ : AS$^{3/2}$ — (AS — AB)$^{3/2}$ = AS$^{3/2}$ : AS$^{3/2}$ — AS$^{3/2}$ + 3/2$\scriptstyle {\sqrt {AS}}$ · AB ... = AS : 3/2>AB = ⅔AS : AB um so näher, je kleiner AB ist, indem alsdann die höhern Potenzen von AB vernachlässigt werden können.
* ↑ [603] No. 141. S. 280. Die Centripetalkraft ist proportional $\scriptstyle {\frac {1}{SP^{n+1}}}$, ferner das Stück TQ proportional $\scriptstyle {\frac {1}{SP^{n+1}}}$ · t² (wie in §. 22., wo t die Zeit bezeichnet), also t umgekehrt proportional $\scriptstyle {\sqrt {TQ\cdot SP^{n+1}}}={\sqrt {PQ^{2}SP^{n}}}$ (§. 20.) = PQ · SP$^{½n}$. Ferner der Widerstand in P proportional $\scriptstyle {\frac {Rr}{PQ^{2}\cdot SP^{n}}}$. Da nun PQ : QR = $\scriptstyle {\frac {1}{SP^{{\frac {1}{2}}n}}}:{\frac {1}{SP^{{\frac {1}{2}}n}}}=QS:{\sqrt {SP^{n}\cdot QS^{2-n}}}$ und PQ : Qr = QS : SP, so wird PQ : Rr = QS : $\scriptstyle {\sqrt {SP^{n}\cdot QS^{2-n}}}$ [604] Es ist aber PS = QS + VQ und $\scriptstyle {\sqrt {PS^{n}\cdot QS^{2-n}}}={\sqrt {(QS+VQ)^{n}\cdot QS^{2-n}}}$ = [QS$^{½n}$ + ½nQS$^{½n-1}$ VQ + ....] QS$^{1-½n}$ = QS + ½nVQ + etc. Je kleiner nun VQ wird, desto eher wird man die folgenden höheren Potenzen gegen die erste vernachlässigen können. Es ergiebt sich also zuletzt PS — $\scriptstyle {\sqrt {PS^{n}\cdot QS^{2-n}}}$ = QS + VQ — QS — ½nVQ = (1 — ½n)VQ. Der Widerstand wird hiernach proportional $\scriptstyle {\frac {\left(1-{\frac {1}{2}}n\right)VQ}{PQ\cdot SP^{n}\cdot QS}}={\frac {\left(1-{\frac {1}{2}}n\right)OS}{OP\cdot PS^{n}\cdot QS}}={\frac {\left(1-{\frac {1}{2}}n\right)OS}{PO\cdot PS^{n+1}}}$, indem man QS = PS setzt. Da nun auch der Widerstand proportional $\scriptstyle {\frac {1}{SP^{n}}}\times$ Dichtigkeit, so wird die Dichtigkeit proportional SP$^n$ $\scriptstyle \times$ Widerstand, also $\scriptstyle {\frac {1}{SP}}$.

## Bemerkungen und Erläuterungen [des Übersetzers]

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