OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Sta. Cecilia in Trastevere

Textdaten :
| Autor: | Marie Eugenie Delle Grazie |
| Illustrator: | {{{ILLUSTRATOR}}} |
| Titel: | Sta. Cecilia in Trastevere |
| Untertitel: | |
| aus: | Italische Vignetten, S. 42 |
| Herausgeber: | |
| Auflage: | |
| Entstehungsdatum: | |
| Erscheinungsdatum: | 1892 |
| Verlag: | Breitkopf und Härtel |
| Drucker: | {{{DRUCKER}}} |
| Erscheinungsort: | Leipzig |
| Übersetzer: | |
| Originaltitel: | |
| Originalsubtitel: | |
| Originalherkunft: | |
| Quelle: | Scans auf Commons |
| Kurzbeschreibung: | |
| Aus dem Zyklus „Rom“. ||
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[42]
 Sta. Cecilia in Trastevere.
(Von Maderna.)
Vor deinem Bildnis bin ich hingesunken, O Jungfrau, – Überwind’rin – Heldin du! Und hab’ verschmachtend tief in mich getrunken Den Zauber deiner unentweihten Ruh’!
Dich hätt’ der Tod mit seinen plumpen Qualen
Dahingestreckt? Begeist’rung war’s allein: Von Ihrem Blitz seh’ ich dein Antlitz strahlen, In dir verklärt sie noch den todten Stein!
Asbest erhielt sie deine heil’gen Glieder
Wie sie geblüht; der Katakomben Nacht
Gab unberührt und unverwest sie wieder – Zu rein warst du selbst für des Todes Macht!
Denn nur Begierd’ entweiht den Leib zu Zunder Und Fäulnis, drin des Wurmes Brut erwarmt –
Du aber blühtest, ein jungfräulich Wunder,
Noch aus dem Grab, wie dich dein Gott umarmt!
# St. Thomasnacht

Textdaten :
| Autor: | |
| Illustrator: | |
| Titel: | St. Thomasnacht |
| Untertitel: | |
| aus: | Fliegende Blätter, Band 2, Nr. 25, S. 8. |
| Herausgeber: | Kaspar Braun, Friedrich Schneider |
| Auflage: | |
| Entstehungsdatum: | |
| Erscheinungsdatum: | 1846 |
| Verlag: | Braun & Schneider |
| Drucker: | {{{DRUCKER}}} |
| Erscheinungsort: | München |
| Übersetzer: | |
| Originaltitel: | |
| Originalsubtitel: | |
| Originalherkunft: | |
| Quelle: | UB Heidelberg, Commons |
| Kurzbeschreibung: | |
| Artikel in der Wikipedia ||
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| Fliegende Blätter 2.djvu|page=12 | |
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[8]
# Sta bi la mich den wint an weien

Textdaten :
| Autor: | Heinrich I. (Anhalt) |
| Illustrator: | {{{ILLUSTRATOR}}} |
| Titel: | Sta bi la mich den wint an weien |
| Untertitel: | |
| aus: | Codex Manesse 15v |
| Herausgeber: | |
| Auflage: | |
| Entstehungsdatum: | 13. Jahrhundert |
| Erscheinungsdatum: | Vorlage:none |
| Verlag: | Vorlage:none |
| Drucker: | {{{DRUCKER}}} |
| Erscheinungsort: | |
| Übersetzer: | |
| Originaltitel: | |
| Originalsubtitel: | |
| Originalherkunft: | |
| Quelle: | UB Heidelberg |
| Kurzbeschreibung: | |
| Mit aufgelösten Lettern. Vergleiche auch Sta bi la mich dē wint an weiē in originalen Lettern. ||
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[15v]
Sta bi la mich den wint an weien· der kvmmt von mines herzen kúniginne· wie moͤht ein luft so sv̊ze draien· ern wer al vht vnd vht vil gar ein minne· do min herze wart verdriben· dc wart von ir enthalden· doch wūschte ich des got mvͤz ir eren walden· ir mv́ndel dc ist rosen var· sold ich si kússen zeinen male· so mvͤze ich niht alden·
Ich sach die schonsten in den landen· da man aller frowen mv̊z geswigen· ir ǒgen klar ir wîssen handen swa si wonet dar mv̊s ich iemer nigen· mvͤst ich bi der wolgetanen· liebú kint pronieren· vnd ein ganze naht bi ir dormieren· ahý ia wer des alzevil· mich genv̊gte solde ich in ir dienste den minen sang schantieren·
# Sta bi la mich dē wint an weiē

Textdaten :
| Autor: | Heinrich I. (Anhalt) |
| Illustrator: | {{{ILLUSTRATOR}}} |
| Titel: | Sta bi la mich dē wint an weiē |
| Untertitel: | |
| aus: | Codex Manesse 15v |
| Herausgeber: | |
| Auflage: | |
| Entstehungsdatum: | 13. Jahrhundert |
| Erscheinungsdatum: | Vorlage:none |
| Verlag: | Vorlage:none |
| Drucker: | {{{DRUCKER}}} |
| Erscheinungsort: | |
| Übersetzer: | |
| Originaltitel: | |
| Originalsubtitel: | |
| Originalherkunft: | |
| Quelle: | UB Heidelberg |
| Kurzbeschreibung: | |
| In originalen Lettern. Vergleiche auch Sta bi la mich den wint an weien mit aufgelösten Lettern. ||
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[15v]
Sta bi la mich dē wint an weiē· der kvmmt vō mineſ h̾zen kúnigīne· wie moͤht ein luft ſo ſv̊ze dꝛaien· ern wer al vht vn̄ vht vil gar ein mīne· do min h̾ze wart v̾dꝛibē· dc wart vō ir enthaldē· doch wūſchte ich deſ got mvͤz ir erē walden· ir mv́ndel dc iſt roſen var· ſold ich ſi kúſſē zeinē male· ſo mvͤze ich niht alden·
Ich ſach die ſchonſtē in dē landē· da man aller frowē mv̊z geſwigē· ir ǒgē klar ir wîſſen handē ſwa ſi wonet dar mv̊s ich iem̾ nigē· mvͤſt ich bi d̾ wolgetanē· liebú kint ꝓnieren· vn̄ ein ganze naht bi ir doꝛmierē· ahý ia wer des alzevil· mich genv̊gte ſolde ich in ir dienſte dē minen ſang ſchantieren·
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:051

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
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* ${\frac {\partial x}{\partial n}}=\cos(xn),\ {\frac {\partial y}{\partial n}}=\cos(yn),\ {\frac {\partial z}{\partial n}}=\cos(zn).$
Wir denken uns nun die gesammte anziehende Masse, die gleich der Einheit genommen werden möge, in einem Punkte $(a,\,b,\,c)\,$ concentrirt, der entweder innerhalb oder ausserhalb oder in der Oberfläche des Raumes T liegen soil. Der Punkt $(a,\,b,\,c)\,$ übt auf den Punkt $(x,\,y,\,z)\,$ eine Anziehung, deren Componente in der Richtung der wachsenden $n\,$ mit $N\,$ bezeichnet werden möge. Man findet
| (1) | $N={\frac {1}{r^{2}}}cos(rn),\,$ |
wenn $r\,$ den Abstand des Punktes $(x,\,y,\,z)\,$ von dem Punkte $(a,\,b,\,c)\,$ bezeichnet, also
| (2) | $r^{2}=(a-x)^{2}+(b-y)^{2}+(c-z)^{2}.\,$ |
Die Linie $r\,$ ist von dem Punkte $(x,\,y,\,z)\,$ nach dem Punkte $(a,\,b,\,c)\,$ hingezogen, und unter $(rn)\,$ ist der Winkel zu verstehen, welchen diese Richtung mit der Richtung der wachsenden $n\,$ einschliesst. Für den Cosinus dieses Winkels ergibt sich
* $\cos(rn)={\frac {\partial r}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial n}}+{\frac {\partial r}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial n}}+{\frac {\partial r}{\partial z}}{\frac {\partial z}{\partial n}}={\frac {\partial r}{\partial n}}.$
Mit $d\sigma \,$ soll ein Element der Oberflache von $T\,$ bezeichnet werden, und der Punkt $(x,\,y,\,z)\,$ soll in der Begrenzungslinie dieses Elementes liegen, so dass für ihn $n=0\,$ ist. Es handelt sich darum, den Werth des Integrals
| (3) | $\int N\,d\sigma =\int {\frac {1}{r^{2}}}\cos(rn)\,d\sigma$ |
zu ermitteln, wenn die Integration über die ganze Oberfläche von $T\,$ erstreckt wird. Zu dem Ende betrachten wir $d\sigma \,$ als die Basisfläche eines Kegels, dessen Spitze im Punkte $(a,\,b,\,c)\,$ liegt. Die conische Oberfläche wird dadurch erzeugt, dass man einen von $(a,\,b,\,c)\,$ ausgehenden beweglichen Radius vector längs der Begrenzung von $d\sigma \,$ hingleiten lässt. Beschreibt man nun (Fig. 6.) um $(a,\,b,\,c)\,$ als Mittelpunkt mit dem Radius $r\,$ eine Kugelfläche, so schneidet der eben construirte Kegel aus ihr ein Flächenelement heraus, welches als die rechtwinklige Projection von $d\sigma \,$ angesehen werden kann. Denn wegen der unendlich kleinen Dimensionen darf man sowohl $d\sigma \,$, wie das Element der Kugelfläche als ebene
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:055

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
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Wir wollen das Resultat des vorigen Paragraphen verallgemeinern. Vorab werde folgende Bemerkumg gemacht. Wir haben einen beliebig, aber vollständig begrenzten Raum betrachtet und ihn mit $T\,$ bezeichnet. Ein Element dieses Raumes soll nun mit $dT\,$ bezeichnet werden. Der Ausdruck für $dT\,$ ist ein anderer, je nachdem man andere Coordinaten nimmt. So hat man z. B.
* $dT=dx\,dy\,dz\,$
für rechtwinklige Coordinaten, dagegen
* $dT=r^{2}\sin \theta \;dr\;d\theta \;d\varphi$
für Kugel-Coordinaten.
Ein Flächen-Element wollen wir mit $d\sigma \,$ bezeichnen und ein Linien-Element mit $ds\,$. Die Ausdrücke für $d\sigma \,$ und für $ds\,$ sind ebenfalls abhängig von der Wahl der Coordinaten.
Bisher ist fast ausschliesslich der Fall betrachtet, dass die anziehende Masse über einen Raum von drei Dimensionen stetig vertheilt ist, und dass nur in einem Raume von endlicher Grösse sich eine endliche Masse befindet. Der Allgemeinheit wegen sollen aber auch die beiden abstracten Fälle mit berücksichtigt werden, dass die Masse in einer Fläche oder in einer Linie stetig ausgebreitet ist, und dass in einer Fläche von endlicher Grösse oder resp. in einer Linie von endlicher Grösse eine endliche Masse zu finden ist. Bezeichnet man mit $dm\,$ ein Massenelement und mit $\rho \,$ die Dichtigkeit, so hat man
| (1) | $dm=\rho \;dT^{*}$ |
bei räumlicher Vertheilung der Masse; dagegen
| (2) | $dm=\rho \;d\sigma ^{*}$ |
bei der Vertheilung auf einer Fläche; und endlich
| (3) | $dm=\rho \;ds^{*}$ |
bei der Vertheilung auf einer Linie. Dabei ist resp. mit $dT^{*}\,$, $d\sigma ^{*}\,$, $ds^{*}\,$ ein Element des Raumes, oder der Fläche oder der Linie bezeichnet, über welche die Masse vertheilt ist. Jedenfalls ist die Componente der Anziehung, welche auf den Punkt $(x,\,y,\,z)\,$ in der Richtung der wachsenden $n\,$ ausgeübt wird:
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:052

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
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Flächen ansehen. Die Erzeugenden des Kegels sind dann die projicirenden Strahlen. Sie stehen als Radien sämmtlich rechtwinklig
auf der Kugelfläche. Man erhält also das Element der Kugelfläche, indem man $d\sigma \,$ mit dem Cosinus des spitzen Winkels multiplicirt, welchen die im Punkte $(x,\,y,\,z)\,$ errichteten Normalen der Kugel und des Flächenelementes $d\sigma \,$ einschliessen, d. h. mit dem absoluten Werthe von $\cos(rn)\,$. Das Element, welches der Kegel aus der Kugelfläche vom Radius $r\,$ ausschneidet, ist demnach
* $\pm d\sigma \cdot \cos(rn),$
und es gilt das negative oder das positive Zeichen, je nachdem der von $(a,\,b,\,c)\,$ ausgehende Radius vector an der Stelle $(x,\,y,\,z)\,$ in den Raum $T\,$ eintritt oder aus ihm austritt. Die Richtigkeit dieser Vorzeichen-Bestimmung ist leicht einzusehen. Die Richtung der wachsenden $n\,$ schliesst nemlich spitze Winkel ein mit allen geraden Linien, die vom Punkte $(x,\,y,\,z)\,$ aus nach dem Innern des Raumes $T\,$ gezogen werden, und stumpfe Winkel mit allen Linien, die vom Punkte $(x,\,y,\,z)\,$ nach aussen gehen. Der von $(a,\,b,\,c)\,$ nach $(x,\,y,\,z)\,$ gezogene Radius vector ist aber der Richtung von $r\,$ gerade entgegengesetzt.
Legt man nun um den Punkt $(a,\,b,\,c)\,$ als Mittelpunkt eine zweite Kugelgläche mit der Längeneinheit als Radius, so schneidet aus dieser der Kegel ein Element $d\Sigma \,$ heraus, dessen Inhalt sich berechnet
| (4) | $d\Sigma =\pm {\frac {1}{r^{2}}}\cos(rn)d\sigma .\,$ |
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:053

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
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Der eben betrachtete Kegel kann die Oberfläche des Raumes $T\,$ öfter treffen. Dann ist $d\Sigma \,$ die centrale Projection aller ausgeschnittenen Oberflächen-Elemente, und es ist in der Gleichung (4) das negative oder das positive Vorzeichen gültig, je nachdem das Element $d\sigma \,$ an einer Eintritts- oder an einer Austrittsstelle liegt.
Der Punkt $(a,\,b,\,c)\,$ befinde sich zunächst im Innern des Raumes $T\,$. Dann tritt der Kegel einmal öfter aus als ein.
Jede Austritts- und jede Eintrittsstelle liefert einen Beitrag zu dem Integral (3), und zwar sieht man aus Gleichung (4), dass dieser Beitrag gleich $+d\Sigma \,$ ist an allen Austrittsstellen und gleich $-d\Sigma \,$an allen Eintrittsstellen. Der Inbegriff aller Beiträge, welche die durch den Kegel ausgeschnittenen Oberflächen-Elemente liefern, ist demnach
* $=d\Sigma .\,$
Denn der Beitrag jeder Eintrittsstelle hebt den Beitrag der vorhergehenden Austrittsstelle auf und es bleibt nur der Beitrag der letzten Austrittsstelle übrig. Der Werth des Integrals (3) ist also
| (5) | $=\int d\Sigma ,\,$ |
wenn man das letztere über alle die Stellen der Kugel vom Radius 1 erstreckt, welche Projectionen von Oberflächen-Elementen des Raumes $T\,$ sind. Da aber der Punkt im Innern des Raumes $T\,$ liegt, so kann der Elementarkegel durch kein Element der Kugelfläche vom Radius 1 hindurchgehen, ohne irgendwo auch die Oberfläche von $T\,$ zu durchschneiden. D. h. das Integral (5) ist über die ganze Kugelfläche zu erstrecken, und folglich hat man
| (6) | $\int {\frac {1}{r^{2}}}\cos(rn)\,d\sigma =4\pi ,$ |
wenn der Punkt $(a,\,b,\,c)\,$ im Innern des Raumes $T\,$ liegt.
Nimmt man aber zweitens den Punkt $(a,\,b,\,c)\,$ ausserhalb des Raumes $T\,$, so trifft der Elementarkegel die Oberfläche von $T\,$ entweder gar nicht, oder er tritt ebenso oft aus wie ein. Jede Eintrittsstelle liefert zu dem Integral (3) auch hier den Beitrag $-d\Sigma \,$, und jede Austrittsstelle den Beitrag $+d\Sigma \,$. Folglich heben sich die Beiträge auf, welche von jedem einzelnen Elementarkegel herrühren, und man hat
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:054

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
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| (7) | $\int {\frac {1}{r^{2}}}\cos(rn)\,d\sigma =0,$ |
wenn der Punkt $(a,\,b,\,c)\,$ ausserhalb des Raumes $T\,$ liegt.
Wenn drittens der Punkt $(a,\,b,\,c)\,$ in der Oberfläche des Raumes $T\,$ genommen wird, und zwar an einer stetig gekrümmten Stelle, so zerschneidet die Tangentialebene dieses Punktes die Kugelfläche vom Radius 1 in zwei Halbkugeln. Die eine Halbkugel wird von allen den Elementarkegeln getroffen, deren Erzeugende anfänglich innerhalb des Raumes $T\,$ verlaufen. Die andere Halbkugel wird von allen den Elementarkegeln getroffen, deren Erzeugende anfänglich ausserhalb des Raumes $T\,$ liegen. Rücksichtlich der ersteren ist der Punkt $(a,\,b,\,c)\,$ anzusehen als innerhalb des Raumes $T\,$ liegend, rücksichtlich der letzteren als ausserhalb liegend. Folglich erhält man
| (8) | $\int {\frac {1}{r^{2}}}\cos(rn)\,d\sigma =2\pi ,$ |
wenn der Punkt $(a,\,b,\,c)\,$ an einer stetig gekrümmten Stelle der Oberfläche des Raumes $T\,$ sich befindet.
Liegt endlich der Punkt $(a,\,b,\,c)\,$ in einer Kante oder einer Spitze der Oberfläche von $T\,$, so sieht man leicht, dass das Integral (3) gleich demjenigen Theil der Kugelfläche vom Radius 1 ist, für welchen die schneidenden Elementarkegel anfänglich innerhalb des Raumes $T\,$ liegen. Um die Begrenzung dieses Flächentheils zu finden, braucht man nur im Punkte $(a,\,b,\,c)\,$ den Tangentenkegel der Oberfläche von $T\,$ zu construiren. Diese Kegelfläche schneidet die Kugel in der gesuchten Begrenzungslinie.
Der Satz dieses Paragraphen rührt von Gauss her. Soweit er sich in den Gleichungen (6), (7), (8) ausspricht, bildet er das Theorema 4 der Abhandlung: Theoria attractionis corporum sphaeroidicorum ellipticorum homogeneorum methodo nova tractata.*) Den letzten Zusatz hat Gauss später gemacht im 22. Artikel der Abhandlung: Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnisse des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstossungskräfte.**)
* ↑ ) Commentationes Societ. reg. Gotting, recent. Vol. 2. Gottingae 1813. – Carl Friedrich Gauss’ Werke. Bd. 5. Göttingen 1867.
* ↑ ) Resultate aus den Beobachtungen des magnetischen Vereins im Jahre 1839. Herausgegeben von Gauss und Weber. Leipzig 1840. – Gauss’ Werke. Bd. 5. Göttingen 1867.
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:049

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
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$V\,$
Dabei zeigt sich, dass jedes der drei Raumintegrale für beide Lagen des Punktes $(x,\,y,\,z)$ Werthe von unendlich kleiner Differenz besitzt. Die Grenzwerthe der Oberflächen-Integrate haben aber eine endliche Differenz, und zwar sind die Werthe für den inneren Punkt um resp.
* $4\;\pi \;\rho \cos \alpha ^{2},\,4\;\pi \;\rho \cos \beta ^{2},\,4\;\pi \;\rho \cos \gamma ^{2}$
kleiner, als für den äusseren Punkt. Dabei bezeichnen $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ die Winkel, welche die Richtung der nach innen gezogenen Normale mit den positiven Coordinaten-Axen einschliesst, und $\rho \,$ ist die Dichtigkeit in dem unendlich nahe an der Oberfläche gelegenen inneren Punkte. Der Beweis dieser Behauptung stützt sich im wesentlichen auf Entwickelungen, welche im §. 15 für einen anderen Zweck vorgenommen werden.
Die Durchführung des Beweises kann hier unterbleiben, da von hauptsächlichem Interesse die unstetige Aenderung der Summe ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}$ ist, und diese lässt sich mit einfacheren Hülfsmitteln nachweisen (§. 13).
Der anziehende Körper werde durch eine innere Scheidungsfläche in zwei getrennte Räume zerlegt, so dass die Dichtigkeit sich stetig ändert in jedem einzelnen der beiden Räume, aber sprungweise beim Durchgange durch die Scheidungsfläche. Errichtet man dann in irgend einem Punkte dieser Fläche nach beiden Seiten hin die Normale und lässt auf ihr von beiden Seiten her den Punkt $(x,\,y,\,z)$ unendlich nahe an die Scheidungsfläche heranrücken, so wird jede der zweiten Derivirten von $V\,$ sich einem bestimmten endlichen Grenzwerthe unaufhörlich annähern. Aber der Grenzwerth irgend einer von den zweiten Derivirten in unendlich kleinem Abstande von der Scheidungsfläche ist auf der einen Seite verschieden von dem Grenzwerthe auf der anderen Seite. Jede von den zweiten Derivirten ändert sich sprungweise, wenn der Punkt $(x,\,y,\,z)$ beim stetigen Durchlaufen der Normale durch jene Fläche hindurchgeht. In der Scheidungsfläche selbst sind die Ausdrücke für die zweiten Derivirten von $V\,$ ohne alle Bedeutung.
Nach dieser Orientirung über das Verhalten der zweiten Derivirten kommt es darauf an, die Summe
* ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}$
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:058

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
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Für jede Lage des Punktes $(x,\,y,\,z)$, in welcher die Componente der Anziehung $N\,$ einerseits, der Differentialquotient ${\frac {\partial V}{\partial n}}$ andererseits je einen bestimmten Werth haben, ist
| (9) | $N={\frac {\partial V}{\partial n}}.$ |
Trifft dies an jeder Stelle der Oberfläche von $T\,$ ein, so kann man in dem Satze dieses Paragraphen statt $\int N\;d\sigma$ auch schreiben $\int {\frac {\partial V}{\partial n}}d\sigma$. Es trifft ein, wenn kein endlicher Theil der Masse in der Oberfläche von $T\,$ gelegen ist. Wir werden aber im §. 14 sehen, dass es nicht mehr eintrifft, wenn eine endliche Masse in der Oberfläche von $T\,$ vertheilt ist. Es muss aber betont werden, dass der Satz dieses Paragraphen sich auf die Componente der Anziehung bezieht. Der Satz rührt von Gauss her.*)
Die Masse sei in einem Raume von drei Dimensionen stetig vertheilt. Im Innern dieses Raumes betrachten wir ein gerades
$x,\,y,\,z$
$dx,\,dy,\,dz$
$x\,$
$dy\;dz$
$x\!$
$x+dx\!$
$yz\!$
* $N={\frac {\partial \,V}{\partial x}},$
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:050

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
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für einen Punkt $(x,\,y,\,z)$ im Innern des mit Masse erfüllten Körpers zu ermitteln. Wir gelangen dazu mit Hülfe eines von Gauss aufgestellten allgemeinen Satzes, welcher zunächst entwickelt werden soll.
$T\,$
$\;d\sigma \,$
$T\,$
$(x,\,y,\,z)$
$n\,$
$q\,$
$s\,$
$q\,$
$s\,$
$(x,\,y,\,z)$
$q\,$
$s\,$
$n\,$
$x,\,y,\,z$
$q,\,s,\,n$
$q\,$
$s\,$
$dn\,$
$x+dx,\,y+dy,\,z+dz\,$
$dx={\frac {\partial x}{\partial n}}dn,\,dy={\frac {\partial y}{\partial n}}dn,\,dz={\frac {\partial z}{\partial n}}dn$
$dx,\,dy,\,dz$
$dn\,$
$(xn),(yn),(zn)\,$
$x\!$
$y\!$
$z\!$
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:056

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| (4) | $N=\int {\frac {1}{r^{2}}}\cos(rn)\,dm.$ |
Wir wollen nun wieder den Punkt $(x,\,y,\,z)\,$ in die Oberfläche eines beliebig, aber völlig, begrenzten Raumes $T\,$ legen und das Integral
* $\int N\,d\sigma$
über die ganze Oberfläche von $T\,$ erstrecken. Es ist
* $\int N\,d\sigma \,=\int d\sigma \left\lbrace \int {\frac {1}{r^{2}}}\cos(rn)\,dm\right\rbrace$
oder, wenn man in der umgekehrten Reihenfolge integrirt:
* $\int N\,d\sigma \,=\int dm\left\lbrace \int {\frac {1}{r^{2}}}\cos(rn)\,d\sigma \right\rbrace .$
Wir haben aber im vorigen Paragraphen bewiesen, dass das Integral
* $\int {\frac {1}{r^{2}}}\cos(rn)\,d\sigma$
den Werth $0\,$ oder $4\pi \,$ hat, je nachdem der Punkt $(a,\,b,\,c)\,$, in welchem das Massenelement $dm\,$ concentrirt gedacht wird, ausserhalb oder innerhalb des Raumes T liegt. Folglich ist
* $\int N\,d\sigma =\int 4\pi \,dm,$
und man hat die Integration rechts nur über die Massenelemente zu erstrecken, welche innerhalb $T\,$ liegen. Bezeichnet man mit $M\,$ die gesammte Masse, welche innerhalb $T\,$ liegt, so ergibt sich
| (5) | $\int N\,d\sigma =4\pi \,M.$ |
Dies Resultat bezieht sich auf den Fall, dass die anziehende Masse über einen Raum oder über eine Fläche oder über eine Linie vertheilt ist, und dass ein endlicher Theil davon in das Innere des Raumes $T\,$ fällt, in den beiden letzten Fallen aber kein endlicher Theil in die Oberfläche von $T\,$.
Ist die Masse $M\,$ über eine Fläche oder eine Linie ausgebreitet, die nicht im Innern des Raumes $T\,$, sondern in seiner stetig gekrümmten Oberfläche liegt, so erhält man
| (6) | $\int N\,d\sigma =2\pi \,M.$ |