# Mathematische Principien der Naturlehre/Buch2-II

§. 7. Lehrsatz. Ein Körper erleidet einen Widerstand, welcher dem Quadrate der Geschwindigkeit proportional ist, und bewegt sich allein vermöge eines, durch eine Kraft ihm beigebrachten Anstosses in einem gleichartigen Mittel; die Zeiten werden dabei in einer ansteigenden geometrischen Progression angenommen. Es stehen alsdann die Geschwindigkeiten beim Anfange der einzelnen Zeittheile in derselben umgekehrt genommenen geometrischen Progression, und die Wege, welche in den einzelnen Zeittheilchen beschrieben werden, sind einander gleich.
Der Widerstand des Mittels ist nämlich dem Quadrate der Geschwindigkeit proportional, und es verhält sich das Decrement der Geschwindigkeit wie der Widerstand. Theilt man daher die Zeit in unzählige gleiche Stücke, so verhalten sich die Quadrate der Geschwindigkeiten im Anfange der einzelnen Zeittheile, wie die Unterschiede der einzelnen Geschwindigkeiten.
Es seien die auf der Linie CD angenommenen Stücke
jene Zeittheilchen, und man errichte die Perpendikel
welche die, zum Mittelpunkte C und den rechtwinkligen Asymptoten CD und CH beschriebene Hyperbel BklmG in den Punkten
schneiden. Alsdann haben wir
oder
und
Da nun sowohl AK, als auch AB · CA constant und gegeben sind, so wird AB — Kk proportional AB · Kk
und zuletzt, wenn AB und Kk zusammenfallen,
Auf dieselbe Weise schliessen wir, dass
respective proportional
sind. Die Quadrate der Linien
verhalten sich demnach wie ihre Unterschiede, und da die Quadrate der Geschwindigkeiten sich ebenfalls wie die Unterschiede der letzteren verhielten; so wird die Progression beider einander ähnlich sein. Ist dies erwiesen, so folgt auch, dass die durch diese Linien beschriebenen Räume in einer ähnlichen Progression mit den, durch die Geschwindigkeiten beschriebenen Wegen stehen.
Wird demnach die Geschwindigkeit im Anfange des ersten Zeittheilchens AK durch die Linie AB, die im Anfange des zweiten Zeittheilchen KL durch Kk, und der im ersten Zeittheilchen beschriebene Weg durch die Fläche AKkB ausgedrückt, so werden alle folgenden Geschwindigkeiten durch die Linien
und die beschriebenen Wege durch die Flächen
ausgedrückt werden. Setzt man dies zusammen und drückt die ganze Zeit durch die Summe AM ihrer Theile aus, so wird der ganze Weg durch die Summe AMmB seiner Theile bezeichnet werden.
Denkt man sich nun die Zeit AM so in die Theile
zerlegt, dass
in geometrischer Progression stehen, so bilden jene dieselbe Progression; ferner bilden die Geschwindigkeiten
dieselbe Reihe aber umgekehrt, endlich werden die Räume
einander gleich. W. z. b. w.
Zusatz 1. Wird also die Zeit durch einen beliebigen Theil AD der Asymptote, und die Geschwindigkeit im Anfange dieser Zeit durch die Ordinate AB ausgedrückt; so wird die Geschwindigkeit am Ende dieser Zeit durch die Ordinate GD und der ganze beschriebene Weg durch den anliegenden hyperbolischen Flächenraum ABGD dargestellt. Ferner stellt das Rechteck
den Weg dar, welchen ein Körper in derselben Zeit AD, mit der Anfangsgeschwindigkeit AB im nicht widerstehenden Mittel beschreiben könnte.
Zusatz 2. Man erhält also den im widerstehenden Mittel beschriebenen Weg, indem man ihn zu dem, mit gleichförmiger Geschwindigkeit AB und im nicht widerstehenden Mittel beschriebenen Wege in dem Verhältnisse
setzt.
Zusatz 3. Man erhält auch den Widerstand des Mittels, indem man annimmt, derselbe sei im Anfange der Bewegung einer gleichförmigen Centripetalkraft gleich, welche beim Falle des Körpers im nicht widerstehenden Mittel, in der Zeit AC die Geschwindigkeit AB erzeugen könnte. Zieht man nämlich die Linie BT, welche die Hyperbel in B berührt und die Asymptote in T schneidet, so wird
und die erstere Linie drückt die Zeit aus, in welcher der erste, gleichförmig fortgesetzte Widerstand die ganze Geschwindigkeit AB aufheben könnte.
Zusatz 4. Hieraus ergiebt sich auch das Verhältniss dieses Widerstandes zur Kraft der Schwere, oder jeder anderen gegebenen Centripetalkraft.
Zusatz 5. Ist umgekehrt das Verhältniss des Widerstandes zu irgend einer gegebenen Centripetalkraft bekannt, so kennt man auch die Zeit AC, in welcher die dem Widerstande gleiche Centripetalkraft eine beliebige Geschwindigkeit AB würde erzeugen können, und daraus erhält man den Punkt B, durch welchen die Hyperbel zu den Asymptoten CH und CD beschrieben werden muss. Ferner erhält man den Weg ABGD, welchen der Körper, indem er seine Bewegung mit jener Geschwindigkeit AB beginnt, in einer beliebigen Zeit AD und im gleichartigen widerstehenden Mittel beschreiben kann.
§. 8. Lehrsatz. Vorausgesetzt wird, dass homogene und gleiche sphärische Körper einen Widerstand erleiden, welcher im doppelten Verhältniss der Geschwindigkeit steht, und dass dieselben sich allein vermöge eines, durch eine Kraft ihnen beigebrachten, Impulses bewegen. Alsdann beschreiben sie in Zeiten, welche den Anfangsgeschwindigkeiten umgekehrt proportional sind, gleiche Wege, und verlieren von ihren Geschwindigkeiten Theile, welche den ganzen proportional sind.
Die, zu den rechtwinkligen Asymptoten CD und CH beschriebene, beliebige Hyperbel BbEe schneide die Perpendikel AB, ab, DE und de in den Punkten B, b, E und e, und es werden die Anfangsgeschwindigkeiten durch die Perpendikel AB und DE, die Zeiten durch die Linien Aa und Dd ausgedrückt. Es ist daher
also auch
und nach 1. und 3.
Es sind also die Flächen ABba und DEed, d. h. die beschriebenen Wege einander gleich, und es verhalten sich die Anfangsgeschwindigkeiten AD und DE, wie die Endgeschwindigkeiten ab und de. Da ferner auch
so sind auch die Anfangsgeschwindigkeiten ihren verlorenen Theilen proportional. W. z. b. w.
§. 9. Lehrsatz. Sphärische Körper, welche einen Widerstand erleiden, der im doppelten Verhältniss der Geschwindigkeit steht, verlieren in Zeiten, die sich direct wie die Anfangsbewegung und indirect wie der anfängliche Widerstand verhalten, von ihren Bewegungen Theile, die den ganzen proportional sind und beschreiben Wege, welche sich zusammengesetzt wie jene Zeiten und die Anfangsgeschwindigkeit verhalten.
Die verlorenen Theile der Bewegung verhalten sich nämlich, wie die Widerstände und die Zeiten zusammengesetzt. Damit nun die ersteren der ganzen Bewegung proportional seien, muss Widerstand und Zeit vereint der Bewegung proportional sein, es verhält sich also die Zeit direct wie die Bewegung und indirect wie der Widerstand. Nimmt man daher die einzelnen Zeittheilchen in eben diesem Verhältniss an, so verlieren die Körper von ihrer Bewegung Theilchen, die der ganzen proportional sind und behalten die Geschwindigkeit im ersten Verhältniss bei. Wegen des gegebenen constanten Verhältnisses der Geschwindigkeiten beschreiben sie daher stets Wege, welche sich wie die Anfangsgeschwindigkeit und die Zeiten zusammengesetzt verhalten. W. z. b. w.
Zusatz 1. Erleiden daher gleichgeschwinde Körper einen Widerstand, welcher im doppelten Verhältniss ihrer Durchmesser steht, so werden homogene Kugeln, welche sich mit beliebigen Geschwindigkeiten bewegen, Wege beschreiben, die ihren Durchmessern proportional sind, und Theile der Bewegung verlieren, welche sich wie die letztere verhalten.
Die Bewegung einer jeden Kugel verhält sich nämlich wie ihre Geschwindigkeit und ihre Masse zusammengenommen, d. h. wie ihre Geschwindigkeit und der Cubus des Durchmessers. Der Widerstand verhält sich (nach der Voraussetzung) wie das Quadrat des Durchmessers und das Quadrat der Geschwindigkeit zusammengesetzt; endlich die Zeit (nach diesem Lehrsatz) direct wie die Bewegung und indirect wie der Widerstand, d. h. direct wie der Durchmesser und indirect wie die Geschwindigkeit. Mithin verhält sich der Weg, welcher der Zeit und Geschwindigkeit zusammengesetzt proportional ist, wie der Durchmesser.
Zusatz 2. Erleiden gleichgeschwinde Körper einen Widerstand, der im 3/2ten Verhältniss der Durchmesser steht, so beschreiben homogene Kugeln, welche sich mit beliebigen Geschwindigkeiten bewegen, Wege, die im 3/2ten Verhältniss der Durchmesser stehen, und verlieren von ihrer Bewegung Theile, welche der ganzen Bewegung proportional sind.
Die Zeit wächst nämlich in demselben Verhältniss, in welchem der Widerstand abnimmt und der Weg ist der Zeit proportional.
Zusatz 3. Erleiden allgemein gleichschnelle Körper einen Widerstand, der irgend einer Potenz der Durchmesser proportional ist; so verhalten sich die Wege, auf denen homogene mit beliebigen Geschwindigkeiten sich bewegende Kugeln von ihrer Bewegung Theile verlieren, welche der ganzen proportional sind, wie der Quotient aus dem Cubus des Durchmessers durch jene Potenz desselben.
Sind D und E die Durchmesser, die Widerstände also proportional D$^n$ und E$^n$, so verhalten sich die Wege, auf denen die verlorenen Theile der Bewegung der letztem proportional sind, wie D$^{3-n}$ und E$^{3-n}$. Sind daher die Wege proportional D$^{3-n}$ und E$^{3-n}$, so behalten die Geschwindigkeiten zu einander dasselbe Verhältniss, wie im Anfange der Bewegung.
Zusatz 4. Sind die Kugeln nicht homogen, so muss der von der dichtem beschriebene Weg, im Verhältniss der Dichtigkeit, grösser sein. Die Bewegung ist nämlich bei gleicher Geschwindigkeit grösser im Verhältniss der Dichtigkeit, und die Zeit nimmt (nach dem Lehrsatz) direct wie die Bewegung, der Weg endlich direct wie die Zeit zu.
Zusatz 5. Bewegen sich die Kugeln in verschiedenen Mitteln, so ist der Weg in dem Mittel, welches unter übrigens gleichen Umständen stärker widersteht, im Verhältniss des grössern Widerstandes kleiner. Die Zeit nimmt nämlich ab (nach dem Lehrsatz) umgekehrt wie der Widerstand und der Weg ist der Zeit proportional.
§. 10. Lehnsatz. Das Moment einer Genita erhält man, indem man das Moment jeder einzelnen erzeugenden Grösse in ihren Exponenten und Coefficienten multiplicirt und die entstandenen Produkte addirt.
Function (Genita) nenne ich jede Grösse, welche aus gewissen Gliedern, in der Arithmetik durch Multplication, Division und Wurzelausziehung, in der Geometrie durch Aufsuchung des Inhalts und der Seiten, oder der äussern und mittlern Proportionalen, ohne Addition und Subtraction erzeugt wird. Grössen dieser Art sind : Produkte, Quotienten, Wurzeln, Rechtecke, Quadrate, Cuben, Quadratseiten, Würfelseiten und ähnliche. Diese Grössen betrachte ich hier als unbestimmt und veränderlich, und gleichsam durch eine beständige Bewegung oder Fluss fortwährend wachsend oder abnehmend. Ihr augenblickliches Increment oder Decrement begreife ich unter der Benennung Moment, so dass die Incremente als additive oder positive, die Decremente als substractive oder negative Momente angesehen werden. Die Momente hören auf, Momente zu sein, sobald sie eine endliche Grösse erhalten. Man hat unter ihnen die eben entstehenden Anfänge endlicher Grössen zu verstehen, und betrachtet in diesem Lehnsatze nicht die Grösse der Momente, sondern ihr Verhältnisse wenn sie eben entstehen. Es kommt auf dasselbe hinaus, ob man statt der Momente entweder die Geschwindigkeiten der Zu- und Abnahme (welche man auch Bewegungen, Veränderungen und Fluxionen der Grössen nennen kann), oder beliebige endliche Grössen versteht, welche jenen Geschwindigkeiten proportional sind.
Der Coëfficient eines jeden erzeugenden Gliedes ist der Quotient, welchen man erhält, wenn man die Function durch dieses Glied dividirt.
Der Sinn dieses Lehnsatzes ist daher folgender: Werden die Momente oder Geschwindigkeiten der Veränderung der, durch beständige Bewegung zu- oder abnehmenden, Grössen
bezeichnet durch
| so ist das Moment (Differential) des | Rechtecks AB = Ab + aB |
| „ „ „ „ | Productes ABC = ABc + AbC + aBC |
Die Momente der Potenzen
$\scriptstyle {\frac {1}{A}}$
$\scriptstyle {\frac {1}{A^{2}}}$
$\scriptstyle {\frac {1}{A^{\frac {1}{2}}}}$
sind respective
Allgemein ist das Moment (Differential) der beliebigen Potenz
$\scriptstyle {\frac {n}{m}}$
Ferner das Moment der Function A²B
| Das Moment der Function | A³·B$^4$C² | ist | = 3aA²B$^4$C² + 4A³bB³C² + 2A³B$^4$cC |
| „ „ „ „ | $\scriptstyle {\frac {A^{3}}{B^{2}}}$ | | = 3aA²B$^{-2}$ — 2A³bB$^{-3}$ u. s. w. f |
Der Beweis des Lehnsatzes wird folgendermassen geführt
Erster Fall. Ein durch beständige Bewegung wachsendes Rechteck
war, als an den Seiten A und B die Hälften der Momente ½a und ½b fehlten
und wird, wenn A und B um dieselben halben Momente zugenommen haben,
Subtrahirt man vom letztem Rechteck das erstere, so ergiebt sich der Rest
Die ganzen Incremente a und b bringen daher im Rechteck AB das Increment
Zweiter Fall. Man setze AB = G, alsdann wird das Moment des Productes ABC oder GC = gC + Gc nach dem ersten Fall); allein
mithin das Moment von ABC
Eben so verhält es sich mit einem Produkt beliebig vieler Factoren. W. z. b. w.
Dritter Fall. Setzt man B = C = A, so wird
| das Moment von | AB, | d. h. das Moment von | A² = aA + Aa = 2aA |
| „ „ „ | ABC, | „ „ „ „ | A³ = aA² + aA² + aA² = 3aA² |
| und auf dieselbe Weise das Moment von | und auf dieselbe Weise das Moment von | und auf dieselbe Weise das Moment von | A$^n$ = naA$^{n-1}$. W. z. b. w. |
Vierter Fall. Da $\scriptstyle {\frac {1}{A}}$ · A = 1, so wird
$\scriptstyle {\frac {1}{A}}$
$\scriptstyle {\frac {1}{A}}$
mithin
$\scriptstyle {\frac {1}{A}}$
$\scriptstyle -{\frac {a\cdot {\frac {1}{A}}}{A}}={\frac {-a}{A^{2}}}$
Allgemein, da
$\scriptstyle {\frac {1}{A^{n}}}$
$\scriptstyle {\frac {1}{A^{n}}}+{\frac {1}{A^{n}}}$
$\scriptstyle {\frac {1}{A^{n}}}$
$\scriptstyle -{\frac {na}{A^{n}+1}}$
Fünfter Fall. Da ferner
so wird nach dem dritten Fall
also
$\scriptstyle {\frac {a}{2A^{\frac {1}{2}}}}$
Setzt man allgemein
so wird
also
und durch Division
$\scriptstyle {\frac {nb}{A^{\frac {m}{n}}}}$
endlich
$\scriptstyle A^{\frac {m}{n}}={\frac {m}{n}}aA^{\frac {m-n}{n}}$
Sechster Fall. Das Moment einer beliebigen Function
ist daher
und zwar ist es gleichgültig, ob die Exponenten m und n ganze oder gebrochene, positive oder negative Zahlen sind. Dasselbe Verhältniss findet statt, wenn das Produkt aus mehrern Potenzen steht. W. z. b. w.
Zusatz 1. Ist unter mehreren stetig proportionalen Grössen Eine constant, so verhalten sich die Momente der übrigen Glieder wie diese selbst, respective multiplicirt durch die Anzahl der Intervalle zwischen ihnen und dem constanten Gliede. Sind z. B.
stetig proportional und ist C constant, so verhalten sich die Momente der übrigen Glieder zu einander, wie
Zusatz 2. Sind bei vier proportionalen Grössen die beiden mittleren constant, so verhalten sich die Momente der beiden äussern Glieder wie diese selbst. Dasselbe gilt von den Seiten jedes constanten Rechtecks.
Zusatz 3. Ist die Summe oder Differenz zweier Quadrate constant, so verhalten sich die Momente der Seiten indirect wie diese selbst.
§. 11. Anmerkung. In einem an unsern Landsmann Collinius gerichteten Briefe vom 10. Dec. 1672 beschrieb ich eine Methode der Tangenten, welche meiner Vermuthung nach mit der, damals noch nicht veröffentlichten, Methode von Slusius identisch sei. Ich fügte folgende Bemerkung hinzu : „Dies ist ein besonderer Fall oder vielmehr ein Zusatz zur allgemeinen Methode, welche sich auf jeden mühevollen Calcul erstreckt, nicht nur auf die Construction von Tangenten an allen geometrischen oder mechanischen Curven, oder die auf andere Curven sich beziehenden geraden Linien, sondern auch auf die Lösung anderer schwieriger Arten von Aufgaben über die Krümmung, Quadratur, Rectification, die Schwerpunkte der Curven etc., und sie beschränkt sich nicht (wie die Methode von Huddenius über Maxima und Minima) blos auf diejenigen Gleichungen, welche frei von unbekannten Grössen sind. Diese Methode habe ich jener andern eingefügt, nach welcher ich die Gleichungen behandele, indem ich sie auf unendliche Reihen reducire.“ So weit jener Brief. Diese letzten Worte beziehen sich auf eine Abhandlung, welche ich im Jahre 1671 über diesen Gegenstand geschrieben habe. Die Grundlage dieser allgemeinen Methode ist im vorhergehenden Lehrsatze enthalten.
§. 12. Lehrsatz. Bewegt sich ein Körper in einem homogenen Mittel, unter gleichförmiger Wirkung der Schwere, geradlinig auf oder ab, und theilt man den ganzen beschriebenen Weg in gleiche Theile; werden ferner beim Anfang der einzelnen Theile (indem man beim Aufsteigen den Widerstand des Mittels zur Schwere addirt, beim Absteigen jenen von dieser subtrahirt) die absoluten Kräfte mit einander verbunden: so stehen diese in geometrischer Progression.
Man drücke die Kraft der Schwere durch die constante Linie AC, den Widerstand durch die unbestimmte Linie AK und die absolute Kraft beim Absteigen durch KC, den Unterschied beider, aus. Ferner werde die Geschwindigkeit des Körpers durch die Linie AP (welche die mittlere Proportionale zwischen AK und AC ist und daher im halben Verhältniss des Widerstandes steht) bezeichnet. Das Increment des
Widerstandes, welches in einem gegebenen Zeittheilchen entsteht, werde durch die kleine Linie KL und das gleichzeitige Increment der Geschwindigkeit durch die kleine Linie PQ aasgedrückt.
Zum Mittelpunkt C, und den rechtwinkligen Asymptoten CA und CH beschreibe man die beliebige Hyperbel SRNB, welche die errichteten Perpendikel AB, KN, LO, PR und QS in
schneidet. Da AK proportional AP² ist, so wird das Moment (Differential) von AK, nämlich KL proportional
Nach Gesetz 2. der Bewegung ist nämlich das Increment PQ der Geschwindigkeit der erzeugenden Kraft KC proportional.
Verbindet man das Verhältniss von KL mit dem von KN, so wird das Rechteck
proportional
d. h. weil das Rechteck KC · KN constant ist,
Nun steht die hyperbolische Fläche KNOL zu dem Rechteck KL · KN, wenn die Punkte K und L eben zusammenfallen wollen, im Verhältniss der Gleichheit; also ist die verschwindende hyperbolische Fläche KNOL proportional AP. Die ganze hyperbolische Fläche ABOL wird demnach aus Theilchen KNOL zusammengesetzt, welche der Geschwindigkeit AP stets proportional sind; sie verhält sich daher wie der mit dieser Geschwindigkeit beschriebene Weg. Theilt man nun jene Fläche in die gleichen Stücke
so stehen die absoluten Kräfte
in geometrischer Progression. W. z. b. w.
Auf gleiche Weise ergiebt sich beim Aufsteigen der Körper, indem man auf der entgegengesetzten Seite von A die gleichen Flächen
stetig proportional sind.
Nimmt man demnach alle Wege beim Auf- und Absteigen einander gleich an, so werden auch alle absoluten Kräfte
stetig proportional. W. z. b. w.
Zusatz 1. Wird daher der beschriebene Weg durch die hyperbolische Fläche ABNK bezeichnet, so können die Kraft der Schwere, die Geschwindigkeit des Körpers und der Widerstand des Mittels respective durch die Linien
ausgedrückt werden und umgekehrt.
Zusatz 2. Die grösste Geschwindigkeit, welche der Körper jemals erlangen kann, indem er in’s Unendliche fort absteigt, wird durch die Linie AC ausgedrückt.
Zusatz 3. Kennt man bei irgend einer gegebenen Geschwindigkeit den Widerstand des Mittels, so findet man die grösste Geschwindigkeit, indem man sie zu jener gegebenen in demjenigen halben Verhältniss annimmt, welches die Kraft der Schwere zum bekannten Widerstände des Mittels hat.
§. 13. Lehrsatz. Nimmt man unter der Voraussetzung des eben Bewiesenen an, dass die Tangenten der Winkel des Kreissectors und des hyperbolischen Sectors den Geschwindigkeiten proportional gesetzt werden, wobei der Radius die richtige Grösse hat; so wird die ganze Zeit des zukünftigen Aufsteigens zum höchsten Orte dem Kreissector, die Zeit des verflossenen Absteigens vom höchsten Orte dem hyperbolischen Sector proportional.
Auf die gerade Linie AC, welche die Kraft der Schwere ausdrückt, errichte man das Perpendikel AD und mache
Aus D als Mittelpunkt schlage man mit dem Halbmesser AD den Kreisquadranten AtE und die rechtwinklige Hyperbel AVZ, deren Axe AX, Hauptscheitelpunkt A und Asymptote CD sei. Man ziehe Dp und DP, und es verhält sich alsdann der Kreissector AtD wie die Zeit des ganzen zukünftigen Aufsteigens zum höchsten Orte, der hyperbolische Sector ATD hingegen wie die Zeit des ganzen verflossenen Absteigens vom höchsten Orte; wenn nur die Tangenten Ap und AP der Sectoren den Geschwindigkeiten proportional sind.
1. Fall. Man ziehe nämlich die Linie Dvq, welche vom Sector ADt und Dreieck ADp Momente oder sehr kleine, zugleich beschriebene Theilchen tDv und pDq abschneidet. Da jene Theilchen, wegen des gemeinschaftlichen Winkels D, im doppelten Verhältniss der Seiten stehen, so ist das Theilchen tDv proportional
$\scriptstyle {\frac {qDp}{pD^{2}}}$
d. h. weil tD constant ist,
$\scriptstyle {\frac {qDp}{pD^{2}}}$
mithin das Theilchen vDt des Sectors proportional
$\scriptstyle {\frac {pq}{Ck}}$
d. h. direct dem sehr kleinen Decrement pq der Geschwindigkeit und indirect der Kraft Ck, welche die Geschwindigkeit verändert, also dem Zeittheilchen, welches dem Decrement der Geschwindigkeit entspricht.
Durch Zusammensetzung wird die Summe aller Theilchen tDv des Sectors ADt proportional der Summe der Zeittheilchen, welche den einzelnen verlorenen Theilchen pq der abnehmenden Geschwindigkeit Ap entsprechen, und zwar so weit, bis diese Geschwindigkeit in Nichts vermindert ist und verschwindet. Der ganze Sector ADt verhält sich daher wie die Zeit des ganzen zukünftigen Ansteigens zum höchsten Punkte. W. z. b. w.
2. Fall. Man ziehe die Linie DQV, welche sowohl vom Sector DAV, als auch vom Dreieck DAQ die sehr kleinen Stücke TDV und PDQ abschneidet. Alsdann ist
$\scriptstyle \parallel$
d. h.
Nach den Gesetzen der Hyperbel ist
und nach der Voraussetzung
mithin
und
Hiernach wird TDV = $\scriptstyle {\frac {PDQ\cdot AC}{CK}}$,
d. h. weil PDQ = ½PQ · AD und AC = AD constant ist,
$\scriptstyle {\frac {PQ}{CK}}$
TDV ist daher proportional direct dem Increment der Geschwindigkeit und indirect der, dieses Increment erzeugenden, Kraft, also dem Zeittheilchen, welches dem Increment PQ der Geschwindigkeit entspricht.
Durch Zusammensetzung ergiebt sich, dass die Summe aller Zeittheilchen, in denen sämmtliche Theile PQ der Geschwindigkeit AP erzeugt werden, sich wie die Summe aller Theile des Sectors ADT verhalt; demnach ist die ganze Zeit dem ganzen Sector proportional. W. z. b. w.
Zusatz 1. Macht man
so verhält sich der Baum, welchen der Körper in einer beliebigen Zeit fallend beschreibt, zu demjenigen Räume, welchen er mit der grössten Geschwindigkeit AC in derselben Zeit gleichförmig zurücklegen kann, wie die Fläche ABNK, wodurch der beim Falle beschriebene Weg ausgedrückt wird, zur Fläche ADT, welche die Zeit bezeichnet.
Da nämlich
so wird (nach §. 10, Zusatz 1.)
oder
ferner
also weil
Es war in 3.
also
Es verhält sich hiernach LKNO zu DTV, wie die Geschwindigkeit des fallenden Körpers zur grössten Geschwindigkeit, welche derselbe beim Falle erlangen kann. Da nun die Momente LKNO und DTV sich wie die Geschwindigkeiten verhalten, so verhalten sich auch alle zugleich erzeugten Theile jener Flächen wie die zugleich beschriebenen Wege und endlich die ganzen, von Anfang an erzeugten Flächen ABKN und ATD wie die ganzen, von Anfang des Absteigens an beschriebenen Wege.
Zusatz 2. Dasselbe ergiebt sich auch in Bezug auf den Weg, welcher beim Aufsteigen beschrieben wird. Es verhält sich nämlich jener ganze beschriebene Weg zu demjenigen, welcher mit gleichförmiger Geschwindigkeit AC in derselben Zeit zurückgelegt wird, wie die Fläche ABuk zum Sector ADt.
Zusatz 3. Die Geschwindigkeit des während der Zeit ADT fallenden Körpers Verhält sich zu derjenigen Geschwindigkeit, welche er in derselben Zeit im nicht widerstehenden Mittel erlangen würde, wie das Dreieck APD zum hyperbolischen Sector ATD. Die Geschwindigkeit im nicht widerstehenden Mittel würde der Zeit ATD, im widerstehenden hingegen der Linie AP oder dem Dreieck APD proportional sein. Im Anfange des Herabsteigens sind aber jene Geschwindigkeiten ebenso einander gleich, wie dies mit den Flächen ATD und APD der Fall ist
Zusatz 4. Auf dieselbe Weise folgt auch, dass die Geschwindigkeit beim Aufsteigen sich zu derjenigen Geschwindigkeit, vermöge welcher der Körper in derselben Zeit im widerstehenden Mittel alle seine Bewegung verlieren würde, erhält wie
$\scriptstyle \frown$
Zusatz 5. Es verhält sich daher die Zeit, in welcher der Körper bei seinem Falle im widerstehenden Mittel die Geschwindigkeit AP erlangt, zu der Zeit, in welcher er beim Falle im nicht widerstehenden Mittel die grösste Geschwindigkeit AC erlangen könnte, wie
Ferner verhält sich die Zeit, in welcher er beim Aufsteigen im widerstehenden Mittel die Geschwindigkeit Ap verlieren würde, zu der Zeit, in welcher er dieselbe Geschwindigkeit beim Aufsteigen im nicht widerstehenden Mittel verlieren würde, wie
$\scriptstyle \frown$
Zusatz 6. Hiernach ergiebt sich aus der gegebenen Zeit der beim Auf- oder Absteigen beschriebene Weg. Die grösste Geschwindigkeit eines in’s Unendliche absteigenden Körpers ergiebt sich nämlich aus S. 12., Zusatz 2. und 3., und daraus der Weg, welchen er mit jener Geschwindigkeit in der gegebenen Zeit beschreiben kann, wie auch die Zeit, in welcher er jene Geschwindigkeit bei seinem Falle im nicht widerstehenden Mittel erlangen könnte. Nimmt man nun den Sector ADT oder ADt zum Dreieck ADC im Verhältniss der gegebenen zur eben gefundenen Zeit; so erhält man sowohl die Geschwindigkeit AP oder Ap, als auch die Fläche ABKN oder ABkn, welche sich zum Sector ADT oder ADt verhält, wie der gesuchte Weg zu demjenigen Wege, der in der gegebenen Zeit mit der schon vorher gefundenen grössten Geschwindigkeit gleichförmig beschrieben werden kann.
Zusatz 7. Auf umgekehrte Weise erhält man aus dem gegebenen Wege ABnk oder ABNK des Auf- oder Absteigens die Zeit ADt oder ADT.
§. 14. Aufgabe. Die gleichförmige Kraft der Schwere ist geradlinig gegen die Ebene des Horizontes gerichtet, und der Widerstand steht im zusammengesetzten Verhältniss der Dichtigkeit des Mittels und des Quadrats der Geschwindigkeit. Man sucht die Dichtigkeit des Mittels an den einzelnen Orten, welche bewirkt, dass ein Körper sich auf einer beliebigen gegebenen Curve bewege und ferner die Geschwindigkeit des Körpers und den Widerstand des Mittels an denselben Orten.
Es stellte PQ jene Ebene vor, welche auf der Ebene des Papiers perpendikulär steht, PFHQ sei die Curve, welche diese Ebene in P und Q schneidet, G, H, J und K seien vier Orte des Körpers, welcher sich auf dieser Curve von F gegen Q hin bewegt Ferner seien GB, HC, JD und KE vier parallele von jenen Punkten auf die Horizontale PQ gefällte Ordinaten. Es seien die Abstände BC, CD, DE der Ordinaten von einander gleich. Aus den Punkten G und H ziehe man die Linien GL und HN, welche die Curve G und H berühren und die nach oben verlängerten Ordinaten CH und DJ in L und N schneiden und ergänze das Parallelogramm HCDM. Die Zeiten, in denen der Körper die Bogen GH und HJ beschreibt, stehen im halben Verhältniss der Höhen LH und NJ, welche der Körper in denselben Zeiten beim Falle von den Tangenten beschreiben könnte. Ferner verhalten sich die Geschwindigkeiten direct wie die beschriebenen Wege GH und HJ, und indirect wie die Zeiten. Man drücke die Zeiten durch T und t, und die Geschwindigkeiten durch $\scriptstyle {\frac {GH}{T}}$ und $\scriptstyle {\frac {HJ}{t}}$ aus, alsdann wird das Decrement der Geschwindigkeit, welches während der Zeit t entsteht, durch
$\scriptstyle {\frac {GH}{T}}-{\frac {HJ}{t}}$
bezeichnet werden. Dieses Decrement entspringt aus dem verzögernden Widerstände und der beschleunigenden Schwere. Die letztere erzeugt in dem fallenden Körper, welcher den Weg NJ zurücklegt, eine Geschwindigkeit, mit welcher er in derselben Zeit das Doppelte jenes Weges zurücklegen könnte, wie Galilei gezeigt hat, also
$\scriptstyle {\frac {2NJ}{t}}$
$\scriptstyle {\frac {MJ\cdot NJ}{HJ}}$
und sie erzeugt daher nur die Geschwindigkeit
$\scriptstyle {\frac {2MJ\cdot NJ}{t\cdot HJ}}$
Addirt man diese zum oben in 1. aufgeführten Decrement, so erhält man das, aus dem Widerstande allein entspringende, Decrement der Geschwindigkeit gleich
$\scriptstyle {\frac {GH}{T}}-{\frac {HJ}{t}}+{\frac {2\cdot MJ\cdot NJ}{t\cdot HJ}}$
Da ferner die Schwere während derselben Zeit im fallenden Körper die Geschwindigkeit $\scriptstyle {\frac {2NJ}{t}}$ erzeugt, so verhält sich der Widerstand zur Schwere wie
$\scriptstyle {\frac {GH}{T}}-{\frac {HJ}{t}}+{\frac {2\cdot MJ\cdot NJ}{t\cdot HJ}}:{\frac {2\cdot NJ}{t}}={\frac {t\cdot GH}{T}}-HJ+{\frac {2MJ\cdot NJ}{HJ}}:2\cdot NJ$
Setzt man nun die Abscissen
| 7. die Ordinate | ${\begin{cases}\scriptstyle CB=-\xi ,\ CD=\xi ,\ CE=2\xi \\\scriptstyle CH=P\end{cases}}$ |
und beliebig
so wird
${\begin{cases}\scriptstyle NJ=R\xi ^{2}+S\xi ^{2}+etc.\\\scriptstyle DJ=P-Q\xi -R\xi ^{2}+S\xi ^{3}\ etc.\\\scriptstyle EK=P-2Q\xi -4R\xi ^{2}-8S\xi ^{3}\ etc.\\\scriptstyle BG=P+Q\xi -R\xi ^{2}+S\xi ^{3}\ etc.\end{cases}}$
Quadrirt man die Unterschiede der Ordinaten
und addirt zu den entstehenden Quadraten respective die Quadrate von BC und CD, so erhält man die Quadrate der Bogen GH und HJ. Es wird hiernach
und nun
${\begin{cases}\scriptstyle GH=\xi {\sqrt {1+Q^{2}}}-{\frac {QR\xi ^{2}}{\sqrt {1+Q^{2}}}}\\\scriptstyle HJ=\xi {\sqrt {1+Q^{2}}}+{\frac {QR\xi ^{2}}{\sqrt {1+Q^{2}}}}\end{cases}}$
Subtrahirt man ferner von der Ordinate CH die halbe Summe der Ordinaten BG und DJ, und von DJ die halbe Summe ½(CH + EK); so bleiben die Pfeile der Bogen GJ und HK übrig, und zwar wird
${\begin{cases}\scriptstyle ersterer=R\xi ^{2}\\\scriptstyle letzterer=R\xi ^{2}+3S\xi ^{3}\end{cases}}$
Diese sind den kleinen Linien LH und NJ proportional, und stehen daher im doppelten Verhältnisse der unendlich kleinen Zeiten T und t. Hiernach ist also
$\scriptstyle {\sqrt {R+3S\xi }}:{\sqrt {R}}$
Substituirt man nun die gefundenen Werthe von
$\scriptstyle {\frac {t}{T}}$
aus 12., 10., 8. und 9. im Gl. 6.; so verhält sich der Widerstand zur Schwere, wie
$\scriptstyle {\frac {3S\xi ^{2}}{2R}}{\sqrt {1+Q^{2}}}:2R\xi ^{2}=3S{\sqrt {1+Q^{2}}}+4R^{2}$
Die Geschwindigkeit ist ferner diejenige, mit welcher der von H längs der Tangente HN ausgehende Körper sich im leeren Räume in einer Parabel bewegen könnte, deren
$\scriptstyle {\frac {HN^{2}}{NJ}}={\frac {1+Q^{2}}{R}}$
Der Widerstand verhält sich wie die Dichtigkeit des Mittels und das Quadrat der Geschwindigkeit zusammengesetzt. Mithin die Dichtigkeit direct wie der Widerstand, und indirect wie das Quadrat der Geschwindigkeit, d. h.
$\scriptstyle {\frac {3S{\sqrt {1+Q^{2}}}}{3R^{2}}}$
$\scriptstyle {\frac {1+Q^{2}}{R}}$
also wie
$\scriptstyle {\frac {S}{R{\sqrt {1+Q^{2}}}}}$
Zusatz 1. Verlängert man die Tangente HN beiderseits, bis sie die beliebige Ordinate AF in T schneidet, so wird
$\scriptstyle {\frac {HT}{AC}}={\sqrt {1+Q^{2}}}$
und es kann daher dieser Quotient statt $\scriptstyle {\sqrt {1+Q^{2}}}$ in den obigen Werthen gesetzt werden. Nach Gl. 13. verhält sich also der Widerstand zur Schwere, wie
Die Geschwindigkeit wird proportional $\scriptstyle {\frac {HT}{AC\cdot {\sqrt {R}}}}$,
$\scriptstyle {\frac {S\cdot AC}{R\cdot HT}}$
Zusatz 2. Bestimmt man die Curve PFHQ (wie es gebräuchlich ist) durch eine Relation zwischen der Basis oder Abscisse AC und der Ordinate HC, und löst man den Werth der letzteren in eine convergirende Reihe auf; so dienen die ersten Glieder der letzteren kurz zur Auflösung der Aufgabe. Wir werden dies an den folgenden Beispielen sehen.
Beispiel 1. Es sei PFHQ ein Halbkreis, der über dem Durchmesser PQ beschrieben ist; man sucht die Dichtigkeit des Mittels, welche bewirkt, dass das Projectil sich auf dieser Curve bewege. Man halbire den Durchmesser PQ in A, und setze
alsdann wird
Zieht man die Wurzel nach unserer Methode aus, so ergiebt sich
$\scriptstyle DJ=y-{\frac {x\xi }{y}}-{\frac {\xi ^{2}}{2y}}-{\frac {x^{2}\xi ^{2}}{2y^{3}}}-{\frac {x\xi ^{3}}{2y^{3}}}-{\frac {y^{3}\xi ^{3}}{2y^{5}}}-$
oder, indem man
$\scriptstyle DJ=y-{\frac {x\xi }{y}}-{\frac {r^{2}\xi ^{2}}{2y^{3}}}-{\frac {xr^{2}\xi ^{3}}{2y^{5}}}-$
In derartigen Reihen unterscheide ich die verschiedenen Glieder folgendermaassen von einander. Das erste Glied nenne ich dasjenige, in welchem die unendlich kleine Grösse ξ gar nicht vorkommt; das zweite dasjenige, in welchem diese Grösse sich in der ersten Potenz befindet; auf dieselbe Weise wird das dritte Glied die zweite, das vierte die dritte Potenz enthalten u. s. w. f. in’s Unendliche. Ferner bezeichnet das erste Glied, welches hier = y ist, stets die Ordinate CH, die im Anfangspunkte C der unbestimmten Grösse ξ errichtet ist. Das zweite Glied, hier = $\scriptstyle {\frac {x\xi }{y}}$, bezeichnet den Unterschied zwischen CH und DN, d. h. die kleine Linie MN, welche durch Vollendung des Parallelogrammes HCDM abgeschnitten wird. Dieses Glied bestimmt also immer die Lage der Tangente HN, wie in diesem Falle, indem man setzt
$\scriptstyle {\frac {x\xi }{y}}$
Das dritte Glied, welches hier = $\scriptstyle {\frac {r^{2}\xi ^{2}}{2y^{3}}}$ ist, bezeichnet die kleine Linie JN, die zwischen der Tangente und der Curve liegt und so den Berührungswinkel JHN oder die Krümmung bestimmt, welche die Curve in H hat. Ist die kleine Linie JN von endlicher Grösse, so wird sie durch das dritte und alle in’s Unendliche folgenden Glieder bestimmt; wird aber diese Linie in’s Unendliche vermindert, so werden die folgenden Glieder unendlich kleiner als das dritte und können daher vernachlässigt werden. Das vierte Glied, hier = $\scriptstyle {\frac {xr^{2}\xi ^{3}}{2y^{5}}}$ stellt die Aenderung der Krümmung, das fünfte die Aenderung der Aenderung dar u. s. w. f. Hieraus geht beiläufig der nicht zu verachtende Gebrauch hervor, den man von diesen Reihen bei der Auflösung von Aufgaben machen kann, welche von den Tangenten und der Krümmung der Curve abhängen.
Vergleicht man nun die vorliegende Reihe
$\scriptstyle y-{\frac {x\xi }{y}}-{\frac {r^{2}\xi ^{2}}{2y^{3}}}-{\frac {xr^{2}\xi ^{3}}{2y^{5}}}\dots$
mit der im §. 14. unter 9. aufgeführten
so hat man
$\scriptstyle {\frac {x}{y}}$
$\scriptstyle {\frac {r^{2}}{2y^{3}}}$
$\scriptstyle {\frac {xr^{2}}{2y^{5}}}$
also
$\scriptstyle {\sqrt {1+Q^{2}}}={\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{y^{2}}}}}={\frac {r}{y}}$
und nach 14. die Dichtigkeit des Mittels proportional
$\scriptstyle {\frac {x}{ry}}$
oder (weil r constant ist) proportional
$\scriptstyle {\frac {x}{y}}={\frac {AC}{CH}}={\frac {HT}{AH}}$
d. h. der Länge der Tangente HT, welche durch den auf PQ perpendikulären Halbmesser AF begrenzt wird.
Nach §. 14., 12. verhält sich der Widerstand des Mittels zur Schwere, wie
die Geschwindigkeit endlich wird proportional
$\scriptstyle {\sqrt {HC}}$
Geht daher der Körper mit der richtigen Geschwindigkeit vom Punkt F, und längs einer PQ parallelen Linie aus, ist die Dichtigkeit des Mittels in den einzelnen Punkten H der Länge der Tangente HT proportional, verhält sich endlich der Widerstand in H zur Kraft der Schwere, wie
so beschreibt der Körper den Quadranten FHQ des Kreises.
Ginge aber der Körper vom Punkt P, längs einer auf PQ perpendikulären Linie aus, und finge er an, sich im Halbkreise PFQ zu bewegen; so müsste man AC oder r nach der entgegengesetzten Seite vom Mittelpunkte A annehmen, also das Zeichen von x ändern. Hiernach würde die Dichtigkeit des Mittels proportional
$\scriptstyle -{\frac {x}{y}}$
eine negative Dichtigkeit (d. h. eine solche, welche die Bewegung der Körper beschleunigt) lässt aber die Natur nicht zu, und desshalb kann der Körper naturgemass, indem er von P aufsteigt, keinen Kreisquadranten PF beschreiben. Um dies zu erreichen, müsste der Körper durch ein antreibendes Mittel beschleunigt, nicht durch das widerstehende verhindert werden.
Beispiel 2. Es sei PFQ eine Parabel, deren Axe die auf den Horizont PQ senkrechte Linie AF ist; man sacht die Dichtigkeit des Mittels, welche bewirkt, dass das Projectil sich auf jener bewege.
Nach der Natur der Parabel ist das Rechteck
gleich dem Rechteck aus der Ordinate DJ und einer constanten Linie, d. h. wenn man die letztere Linie = b, PC = a, PQ = c, CH = e, CD = ξ setzt,
oder
$\scriptstyle DJ={\frac {ac-a^{2}}{b}}+{\frac {c-2a}{b}}\xi -{\frac {1}{b}}\xi ^{2}$
In Bezug auf die in §. 14. unter 9. aufgeführte Reihe ist hier
* $\scriptstyle Q={\frac {c-2a}{b}}$
* $\scriptstyle R={\frac {1}{b}}$
* S und die Coefficienten der folgenden Glieder = 0.
Nach 14. wird daher die Dichtigkeit des Mittels = 0. Es existirt demnach keine Dichtigkeit des Mittels, bei welcher das Projectil sich auf einer Parabel bewegen wird, wie einst Galilei bewiesen hat.
Beispiel 3. Es sei AGK eine Hyperbel, deren Asymptote NX auf der Horizontalebene AK perpendikulär steht; man sucht die Dichtigkeit des Mittels, welche bewirkt, dass das Projectil sich auf dieser Curve bewege.
Es sei MX die andere Asymptote, welche die verlängerte Ordinate DG in V schneidet; alsdann ist nach der Natur der Hyperbel
Es ist aber auch
mithin
Man vollende das Parallelogramm DNXZ, und setze
und das constantes Verhältniss
$\scriptstyle {\frac {VZ}{ZX}}={\frac {VZ}{DN}}={\frac {m}{n}}$
Es wird alsdann
$\scriptstyle {\frac {b^{2}}{a-\xi }}$
$\scriptstyle {\frac {m}{n}}$
$\scriptstyle {\frac {m}{n}}$
$\scriptstyle {\frac {m}{n}}$
$\scriptstyle {\frac {b^{2}}{a-\xi }}$
$\scriptstyle {\frac {m}{n}}$
$\scriptstyle {\frac {b^{2}}{a}}$
$\scriptstyle {\frac {m}{n}}$
$\scriptstyle {\frac {b^{2}}{a^{2}}}$
$\scriptstyle {\frac {b^{2}}{a^{3}}}$
$\scriptstyle {\frac {b^{2}}{a^{4}}}$
Nach der eingeführten Bezeichnung in 9. ist in diesem Falle (GD statt DJ)
$\scriptstyle Q={\frac {b^{2}}{a^{2}}}-{\frac {m}{n}}$
$\scriptstyle R={\frac {b^{2}}{a^{3}}}$
$\scriptstyle S={\frac {b^{2}}{a^{4}}}$
and es wird nach 14. die Dichtigkeit des Mittels proportional
$\scriptstyle {\frac {S}{R{\sqrt {1+Q^{2}}}}}={\frac {\frac {b^{2}}{a^{4}}}{{\frac {b^{2}}{a^{3}}}{\sqrt {1+{\frac {m^{2}}{n^{2}}}-{\frac {2mb^{2}}{na^{2}}}+{\frac {b^{4}}{a^{4}}}}}}}$
$\scriptstyle ={\frac {1}{\sqrt {a^{2}+{\frac {m^{2}}{n^{2}}}a^{2}-{\frac {2mb^{2}}{n}}+{\frac {b^{4}}{a^{2}}}}}}$
d. h. wenn VY = VQ genommen wird, proportional
$\scriptstyle {\frac {1}{XY}}$
indem für ξ = 0,
$\scriptstyle \left({\frac {b^{2}}{a}}-{\frac {m}{n}}a\right)^{2}$
$\scriptstyle ={\frac {b^{4}}{a^{2}}}-{\frac {2mb^{2}}{n}}+{\frac {m^{2}}{n^{2}}}$
Das Verhältniss des Widerstandes zur Schwere findet man
die Geschwindigkeit endlich ist dieselbe, mit welcher der Körper auf einer Parabel zum Scheitel G, Durchmesser DG und Parameter = $\scriptstyle {\frac {XY^{2}}{VG}}$ fortgehen würde.
Setzt man also voraus, dass die Dichtigkeit des Mittels in den einzelnen Punkten G sich umgekehrt wie der Abstand XY, und der Widerstand in G sich zur Schwere, wie 3 XY : 2 YG verhalte; so wird der vom Orte A mit der richtigen Geschwindigkeit ausgehende Körper jene Hyperbel AGK beschreiben.
Beispiel 4. Man setze unbestimmt voraus, dass die Linie AGK eine Hyperbel sei, welche zum Mittelpunkte X und den Asymptoten MX und NX, und zwar so construirt ist, dass nach der Construction des Rechtecks XZDN, dessen Seite ZD die Hyperbel in G und die Asymptote in V schneidet, VG proportional werde
$\scriptstyle {\frac {1}{XZ^{n}}}={\frac {1}{DN^{n}}}$
Man sucht die Dichtigkeit des Mittels, vermöge dessen das Projectil auf dieser Curve fortschreite. Man setze
es sei ferner
$\scriptstyle {\frac {b^{2}}{DN^{n}}}$
alsdann wird
$\scriptstyle {\frac {b^{2}}{(A-\xi )^{n}}}$
$\scriptstyle {\frac {d}{e}}$
endlich
$\scriptstyle {\frac {d}{e}}$
$\scriptstyle {\frac {b^{2}}{(A-\xi )^{n}}}$
$\scriptstyle GD=C-{\frac {d}{e}}A-{\frac {b^{2}}{A^{n}}}+{\frac {d}{e}}\xi -{\frac {nb^{2}}{A^{n+1}}}\xi -{\frac {n^{2}+n}{2A^{n+2}}}b^{2}\xi ^{2}-{\frac {n^{3}+3n^{2}+2n}{bA^{n+3}}}b^{2}\xi ^{3}\dots$
In Bezug auf diese Reihe ist (nach 9., GD statt DJ)
$\scriptstyle Q={\frac {d}{e}}-{\frac {nb^{2}}{A^{n+1}}}$
$\scriptstyle R={\frac {n^{2}+n}{2A^{n+2}}}b^{2}$
$\scriptstyle S={\frac {n^{3}+3n^{2}+2n}{6A^{n+3}}}b^{2}$
und so (nach 14.) die Dichtigkeit am Orte G proportional
$\scriptstyle {\frac {S}{R{\sqrt {1+Q^{2}}}}}={\frac {n\ \left(^{n+1}\right)\left(^{n+2}\right)b^{2}}{6A^{n+3}{\frac {n\left(^{n+1}\right)}{2A\left(^{n+2}\right)}}b^{2}{\sqrt {1+{\frac {d^{2}}{e^{2}}}-{\frac {2dnb^{2}}{eA^{n+1}}}+{\frac {n^{2}b^{4}}{A^{2n+2}}}}}}}$
$\scriptstyle ={\frac {\left(^{n+2}\right)}{3{\sqrt {A^{2}+{\frac {d^{2}}{e^{2}}}A^{2}-{\frac {2dnb^{2}}{eA^{n}}}A+{\frac {n^{2}b^{4}}{A^{2n}}}}}}}$
an, so wird die Dichtigkeit proportional $\scriptstyle {\frac {1}{XY}}$.
Es ist nämlich für ξ unendlich klein oder = Null
$\scriptstyle \left(n{\frac {b^{2}}{A^{n}}}-{\frac {d}{e}}A\right)^{2}$
$\scriptstyle ={\frac {d^{2}}{e^{2}}}A^{2}-{\frac {2dnb^{2}}{eA^{n}}}A+{\frac {n^{2}b^{4}}{A^{2n}}}$
mithin
$\scriptstyle {\sqrt {A^{2}+{\frac {d^{2}}{e^{2}}}A^{2}-{\frac {2dnb^{2}}{eA^{n}}}A+{\frac {n^{2}b^{4}}{A^{2n}}}}}={\sqrt {YZ^{2}+XZ^{2}}}=XY$
Der Widerstand des Mittels im Punkt G verhält sich zur Schwere, wie
$\scriptstyle 3S\cdot {\frac {XY}{A}}:4R^{2}=XY:{\frac {2n^{2}+2n}{n+2}}VG$
Endlich ist die Geschwindigkeit des Körpers in diesem Punkte dieselbe, mit welcher er in einer Parabel fortgehen würde, deren Scheitel G, deren Durchmesser GD und deren
$\scriptstyle ={\frac {1+Q^{2}}{R}}={\frac {{\frac {1}{A^{2}}}XY^{2}}{{\frac {n^{2}+n}{2A^{n+2}}}b^{2}}}={\frac {2\cdot XY^{2}}{\left(n^{2}+n\right)VG}}$
§. 15. Anmerkung. Nach derselben Weise, wie im Zusatz 1., die Dichtigkeit des Mittels proportional wird
$\scriptstyle {\frac {S\cdot AC}{R\cdot HT}}$
wenn man den Widerstand proportional V² annimmt, wo V die Geschwindigkeit bezeichnet; wird die Dichtigkeit des Mittels proportional
$\scriptstyle {\frac {S}{R^{\frac {4-n}{2}}}}\cdot \left({\frac {AC}{HT}}\right)^{n-1}$
wenn der Widerstand proportional
angenommen wird. Kann man daher eine Curve finden, die so gestaltet ist, dass das Verhältniss
$\scriptstyle {\frac {S}{R^{\frac {4-n}{2}}}}\cdot \left({\frac {HT}{AC}}\right)^{n-1}$
$\scriptstyle {\frac {S^{2}}{R^{4-n}}}:\left(1+Q^{2}\right)^{n-1}$
constant werde; so wird sich der Körper auf derselben im gleichförmigen Mittel bei einem Widerstande bewegen, welcher
proportional ist.
Wir kehren nun zu einfacheren Curven zurück. Da die Bewegung nur dann in einer Parabel erfolgt, wenn das Mittel gar keinen Widerstand ausübt, in den eben beschriebenen Hyperbeln aber, wenn fortwährend ein Widerstand stattfindet; so wird offenbar die Curve, welche das Projectil in einem gleichförmig widerstehenden Mittel beschreibt, sich mehr diesen Hyperbeln, als einer Parabel nähern. Jene Curve ist demnach hyperbolischer Natur, jedoch in der Nähe des Scheitels Ton den Asymptoten weiter entfernt, in den vom Scheitel entlegenen Punkten ihnen näher, als es bei den eben beschriebenen Hyperbeln der Fall ist. Der Unterschied zwischen diesen und jener ist jedoch nicht so gross, dass man in der Praxis nicht die hier beschriebenen Hyperbeln an die Stelle jener Curve setzen konnte. Vielleicht sind dieselben auch vortheilhafter, als eine genauere und zusammengesetztere Hyperbel, und für die Anwendung richtet man sie folgendermaassen ein.
Vollendet man das Parallelogramm XYGT, so schliesst man leicht aus der Natur der Hyperbeln, dass GT die Hyperbel in G berühre. Die Dichtigkeit des Mittels in G ist daher proportional
$\scriptstyle {\frac {1}{GT}}$
die Geschwindigkeit daselbst proportional
$\scriptstyle {\sqrt {\frac {GJ^{2}}{GV}}}$
endlich verhält sich der Widerstand des Mittels in G zur Schwere, wie
$\scriptstyle GT:{\frac {2n^{2}+2n}{n+2}}VG$
Beschreibt ferner ein von A aus längs der geraden Linie AH geworfener Körper die Hyperbel AGK, und schneidet die verlängerte Linie AH die Asymptote NX in H, dagegen die perpendikulär gezogene Linie AJ die andere Asymptote MX in J; so ist die Dichtigkeit des Mittels in A proportional
$\scriptstyle {\frac {1}{AH}}$
die Geschwindigkeit des Körpers
$\scriptstyle {\sqrt {\frac {AH^{2}}{AJ}}}$
und es verhalt sich der daselbst stattfindende Widerstand zur Schwere, wie
$\scriptstyle AH:{\frac {2n^{2}+2n}{n+2}}\cdot AJ$
Hieraus ergeben sich folgende Regeln.
Regel 1. Wird die Dichtigkeit des Mittels in A und die Geschwindigkeit des Körpers beibehalten, der Winkel NAH aber geändert; so bleiben die Linien AH, AJ und HX unverändert. Sind dieselben daher in irgend einem Falle gefunden, so kann man für jeden gegebenen Winkel NAH leicht die Hyperbel construiren.
Regel 2. Wird so wohl der Winkel NAH, als auch die Dichtigkeit des Mittels in A beibehalten, die Geschwindigkeit aber, mit welcher der Körper geworfen wird, geändert; so bleibt die Linie AH unverändert, die Linie AJ ändert sich aber im umgekehrten doppelten Verhältniss, in welchem die Geschwindigkeit sich verändert.
Regel 3. Bleibt der Winkel NAH, die Geschwindigkeit des Körpers in A und die beschleunigende Kraft der Schwere unverändert; wird aber das Verhältniss des Widerstandes in A zur Schwere in irgend einem Grade vergrössert; so wächst in demselben Grade das Verhältniss
wobei der Parameter oder die ihm proportionale Linie
$\scriptstyle {\frac {AH^{2}}{AJ}}$
unverändert bleibt. Daher nimmt AH in demselben, AJ in dem doppelten Verhältniss ab. Das Verhältniss des Widerstandes zum Gewicht nimmt aber zu, wenn entweder das specifische Gewicht bei gleichem Volumen kleiner, oder die Dichtigkeit des Mittels grösser, oder der Widerstand bei vermindertem Volumen in einem kleineren Verhältniss abnimmt, als das Gewicht
Regel 4. Da die Dichtigkeit des Mittels in der Nähe des Scheitels grösser ist, als in A, so muss man, um eine mittlere Dichtigkeit zu erhalten, das Verhältniss der kleinsten Tangente GT zur Tangente AH bestimmen und die Dichtigkeit in A nach Regel 3. vermehren in einem Verhältniss, welches um ein wenig grösser ist, als das der halben Summe der Tangenten zur kleinsten Tangente GT.
Regel 5. Sind die Linien AH und AJ gegeben und soll man die Figur AGK beschreiben, so verlängere man HN bis X, dergestalt, dass
werde. Hierauf beschreibe man zum Mittelpunkte X und den Asymptoten MX und NX eine Hyperbel, welche durch den Punkt A geht, und zwar mit dem Gesetze, dass
sei.
Regel 6. Je grösser die Zahl n ist, desto genauer sind diese Hyperbeln beim Aufsteigen des Körpers von A, und desto ungenauer bei seinem Absteigen bis K, und umgekehrt. Die conische Hyperbel hält die Mitte, und ist einfacher als die übrigen. Ist daher die Curve von dieser Art, und sucht man den Punkt K, in welchem das Projectil die beliebige gerade, durch den Punkt A gehende Linie AB trifft; so mache man, wenn AB die Asymptoten MX und NX in M und N schneidet,
Man errichte alsdann das Perpendikel AJ von beliebiger Länge, nehme die Länge AH oder Ah beliebig an und leite daraus nach Regel 6. die Linien AK und Ak her. Zeigt sich nun, dass
ist, so hat man die Linie AH von der richtigen Länge angenommen. Ist dies nicht der Fall, so nehme man auf der unbestimmten geraden Linie SM,
an, errichte darauf das Perpendikel MN und mache dieses gleich
$\scriptstyle {\frac {AK}{Ak}}-{\frac {d}{e}}$
multiplicirt in irgend eine constante Linie. Auf dieselbe Weise suche man aus mehreren angenommenen Längen AH eben so viel Punkte N, ziehe hierauf durch die letztern die reguläre Curve NNXN; alsdann wird durch diese
abgeschnitten. Hieraus findet man aufs neue die Länge AK und die Längen, welche sich zur angenommenen Länge AJ und der letzten Länge AH verhalten, wie die durch Versuche gefundene Länge von AK zu der zuletzt gefundenen Länge dieser Linie, werden die wahren Werthe von AJ und AH sein, welche zu finden waren. Sind diese bekannt, so kennt man auch den Widerstand des Mittels in A, welcher sich nämlich zur Kraft der Schwere verhält, wie
Die Dichtigkeit des Mittels ist ferner nach Regel 4. zu vermehren, und der eben gefundene Widerstand wird genauer, wenn man ihn in demselben Verhältniss vergrössert.
Regel 8. Sind die Längen AH und HX gefunden, und verlangt man nun die Lage der geraden Linie AH zu wissen, längs welcher der mit gegebener Geschwindigkeit geworfene Körper fortgehen muss, um den Punkt K zu treffen; so errichte man in A und K auf den Horizont die Perpendikel AC und KF, ziehe AC abwärts und mache
Zu den Asymptoten AK und KF construire man eine Hyperbel, deren conjugirter Zweig durch den Punkt C geht, und schlage aus A als Mittelpunkt, mit dem Radius AH, einen Kreis, welcher jene Hyperbel in H schneidet; alsdann wird das längs AH geworfene Projectil in den Punkt K fallen.
Der Punkt H wird sich nämlich, wegen der für AH gegebenen Länge, irgendwo auf dem beschriebenen Kreise befinden. Man ziehe CH, welche AK in E und KF in F schneidet, alsdann wird, weil
$\scriptstyle \parallel$
und
Da aber ferner
so wird auch
und es fällt daher der Punkt H auf die Hyperbel, welche zu den Asymptoten AK und KF beschrieben ist und deren conjugirter Zweig durch den Punkt C geht. H befindet sich demnach in dem Durchschnittspunkte der Hyperbel und des beschriebenen Kreises W. z. b. w.
Es ist noch zu bemerken, dass diese Operation auf die dargestellte Weise stattfindet, mag die gerade Linie AKN dem Horizonte parallel, oder unter einem beliebigen Winkel gegen ihn geneigt sein, und dass aus den beiden Durchschnittspunkten H und H' zwei Winkel NAH und NAH' hervorgehen, von denen man den kleinem zu wählen hat. Bei der mechanischen Ausführung ist es hinreichend, den Kreis einmal zu beschreiben, und hierauf die zwischenliegende Linie CH so am Punkt C anzulegen, dass ihr Theil FH, welcher zwischen dem Kreise und der geraden Linie FH sich befindet, gleich werde dem Theile CE, welcher zwischen dem Punkte C und der Linie AK liegt.
Was von den Hyperbeln gesagt worden ist, lässt sich leicht auf Parabeln anwenden. Es bezeichne nämlich XAGK eine Parabel, welche XV im Scheitel X berührt und es sei
Man ziehe
$\scriptstyle \parallel$
und in G und A die Tangenten GT und AH. Der von einem Orte A längs AH mit der richtigen Geschwindigkeit geworfene Körper wird nun diese Parabel beschreiben wenn nur in den einzelnen Punkten G die Dichtigkeit des Mittels der Tangente GT umgekehrt proportional ist. Die Geschwindigkeit in G ist aber diejenige, mit welcher das Projectil im nicht widerstehenden Mittel, auf einer conischen Parabel fortgehen würde, deren Scheitel in G, deren Durchmesser die abwärts verlängerte VG und deren Parameter
$\scriptstyle {\sqrt {\frac {2TG^{2}}{\left(n^{2}-n\right)VG}}}$
wäre. Der Widerstand im Punkt G verhält sich ferner zur Kraft der Schwere, wie
$\scriptstyle GT:{\frac {2n^{2}-2n}{n-2}}VG$
Bezeichnet daher NAK eine Horizontallinie, und wird, indem die Dichtigkeit des Mittels in A und die Geschwindigkeit, womit man den Körper wirft, dieselben bleiben, der Winkel NAH irgendwie verändert; so bleiben die Linien AH, AJ und HX unverändert und es wird der Scheitel X der Parabel und die Lage von XJ gegeben. Setzt man hierauf
so erhält man alle Punkte G der Parabel, durch welche das Projectil gehen wird.
* ↑ [596] No. 94. S. 210. Aus der Gleichung der Hyperbel yx = c folgt, wenn die auf einander folgenden Werthe von x x, ax, a²x, a³x etc. sind, dass die entsprechenden Werthe von y werden: $\scriptstyle {\frac {c}{x}},\ {\frac {c}{ax}},\ {\frac {c}{a{^{2}}x}},\ {\frac {c}{a{^{3}}x}}$, etc. Die erstern Werthe stehen daher in dem fortlaufenden Verhältniss 1 : a : a² : a³ : etc., die letzteren in dem umgekehrten: 1 : $\scriptstyle {\frac {1}{a}}:{\frac {1}{a^{2}}}:{\frac {1}{a^{3}}}$ : etc. Ferner hat man (Fig. 139.) AKkB = $\scriptstyle \int \limits _{x}^{ax}$ ydx = c[log ax— log x] = c log a KLtk = $\scriptstyle \int \limits _{ax}^{a^{2}x}$ ydx = c[log a²x — log ax] = c log a etc. also AKkB = KLtk = etc.
* ↑ [597] No. 95. S. 240. Aus y = $\scriptstyle {\frac {c}{x}}$ folgt $\scriptstyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {c}{x^{2}}}$ und daher AT = Subtg. = y : $\scriptstyle {\frac {dy}{dx}}$ = — x = CA.
* ↑ [597] No. 96. S. 241. Dies folgt aus §. 7.
* ↑ [597] No. 97. S. 242. Bezeichnet man die anfängliche Bewegung durch M, die Zeit durch T, den während der letzteren verlorenen Theil der Bewegung durch μ, die Zeittheilchen durch τ', τ", τ'" etc., die ihnen entsprechenden Verluste der Bewegung durch μ', μ", μ"' etc., den Widerstand durch R, und sind a, b, c, d, f etc. constante Grössen, so hat man μ = aRT, und damit μ = bM sei, muss RT = cM sein, mithin T = c · $\scriptstyle {\frac {M}{R}}$. Demnach wenn τ' = c · $\scriptstyle {\frac {M}{R}}$; μ' = aRτ' = f · M und auch M — μ = (1 — b) M = f · M, proportional M. Sind ferner V und v die Geschwindigkeiten beider Körper, T und t ihre Zeiten, S und s ihre Wege, M und m ihre Bewegungen; so hat man S : s = V · T : vt und da V : v = M : m auch S : s = MT : mt.
* ↑ [597] No. 98. S. 242. Zur vorhergehenden Bezeichnung komme C als Masse und D als Durchmesser, alsdann ist M = a · VC = bVD³, R = cD² · V², T = d · $\scriptstyle {\frac {M}{R}}$ = f · $\scriptstyle {\frac {D}{V}}$, S = gV · T = hD.
* ↑ [597] No. 99. S. 242. Bei der vorhergehenden Bezeichnung ist hier R = aD$^{3/2}$ ·V², T = b · $\scriptstyle {\frac {M}{R}}$, S = cVT = cV · b . $\scriptstyle {\frac {M}{R}}$ = dV · $\scriptstyle {\frac {gD^{3}V}{aD^{\frac {3}{2}}V^{2}}}$ = h · D$^{3/2}$.
* ↑ [597] No. 100. S. 243. Das im Original gebrauchte Wort Genita glaube ich am passendsten durch das Wort Function ausdrücken zu können. Das Wort Momentum habe ich zunächst in deutscher Form beibehalten, da aber aus dem Lehnsatz hervorgeht, dass momentum genitae, oder nach meiner Ausdrucksweise, das Moment einer Function mit dem Differential der letzteren identisch ist; da ich mich ferner in meinen bisherigen Bemerkungen der allgemein gebräuchlichen Bezeichnung des Differentials bereits öfters bedien habe; so werde ich mir später auch in der Regel erlauben, im Texte statt der gegenwärtig weniger gebräuchlichen, oder auch wohl in einer anderen Bedeutung verstandenen Benennung Moment die gebräuchliche Differential zu setzen.
* ↑ [597] No. 101. S. 244. Der Coefficient von A ist hier $\scriptstyle {\frac {AB}{A}}$, das Moment = a, der Cofficient von B ist hier $\scriptstyle {\frac {AB}{B}}$ = A, das Moment = b.
* ↑ [597] No. 102. S. 246. Es sei also A : B = B : C = C : D = D : E = E : F, und C constant, wie auch $\scriptstyle {\frac {D}{C}}$ = M und D = CM, alsdann haben wir [598] A = $\scriptstyle {\frac {C}{M^{2}}}$, B = $\scriptstyle {\frac {C}{M}}$, E= CM², F= CM³. Wir erhalten hieraus, wenn m das Moment (Differential) von M, a, b, d, e, f die Momente A, B, D, E, F bezeichnen, nach §. 10. Lehrsatz: ${\begin{array}{cccc}\scriptstyle a=&-{\frac {2Cm}{M^{3}}}&=&-{\frac {2m}{M}}A,\\\scriptstyle b=&-{\frac {Cm}{M^{2}}}&=&-{\frac {m}{M}}B,\\\scriptstyle d=&Cm&=&{\frac {m}{M}}D,\\\scriptstyle e=&2CmM&=&2{\frac {m}{M}}E,\\\scriptstyle f=&2CmM^{2}&=&3{\frac {m}{M}}F\end{array}}$; also a : b : d : e : f = — 2A : — B : D : 2E : 3F.
* ↑ [598] No. 103. S. 246. Aus A : B = C : D folgt, wenn B und C constant sind AD = BC = Constans, mithin Ad + aD = 0 und a : d = — A : D.
* ↑ [598] No. 104. S. 246. Aus A² ± B² = Constans folgt: 2aA ± 2bB = 0 und a : b = ± B : A.
* ↑ [598] No. 105. S. 246. In den beiden ersten Ausgaben dieses Werkes befand sich statt der Anmerkung, §. 11. die folgende: In Briefen, welche ich vor etwa 10 Jahren mit dem sehr gelehrten Mathematiker G. G. Leibnitz wechselte, zeigte ich demselben an, dass ich mich im Besitz einer Methode befände, nach welcher man Maxima und Minima bestimmen, Tangenten ziehen und ähnliche Aufgaben lösen könne, und zwar lasse sich dieselbe eben so gut auf irrationale, als auf rationale Grössen anwenden. Indem ich die Worte versetzte, welche meine Meinung (wenn eine Gleichung mit beliebig vielen veränderlichen Grössen gegeben ist, die Fluxionen zu finden, und umgekehrt) aussprachen, verbarg ich dieselbe. Der berühmte Mann antwortete mir darauf, er sei auf eine Methode derselben Art verfallen und theilte mir die seinige mit, welche von meiner kaum weiter abwich, als in der Form der Worte und Zeichen, den Formeln und der Idee der Erzeugung der Grössen. Die Grundlage beider Methoden ist im vorhergehenden Lehnsatze enthalten.
* ↑ [598] No. 106. S. 248. Aus AC : AP = $\scriptstyle {\sqrt {AC}}:{\sqrt {AK}}$ (Fig. 142.) folgt nämlich, wie im §. 12., Lehrsatz AP = $\scriptstyle {\sqrt {AC\cdot AK}}$.
* ↑ [598] No. 107 S. 248. Eigentlich haben wir (Fig. 143.) ADv : pDq = Dt Dv : Dp Dq — Dt²: Dp · Dq. Da aber Dp und Dq nur wenig von einander verschieden sind, kann man ADv = $\scriptstyle {\frac {pDq}{Dp^{2}}}$ · Dt² setzen.
* ↑ [598] No. 108. S. 260. In Bezug auf die Hyperbel ATZ ist AD = a, die halbe Axe = der sogenannten halben Zwergaxe AC, AX = x, TX = y, und es geht die allgemeine Gleichung der Hyperbel y² = $\scriptstyle {\frac {b^{2}}{a^{2}}}$ (x² — a²) in diesem Falle über in y² = x² — a² oder x² — y² = a².
* ↑ [599] No. 109. S. 250. Aus AP² = AC · AK, folgt, weil AC constant ist, 2AP · d · AP = AC · d · AK d. h. 2AP · PQ = AC · KL oder KL : PQ = 2AP : AC.
* ↑ [599] No. 110. S. 253. (Fig. 144.) Da HJ² = HM² + MJ² und HN² = HM² + (MJ — JN)² so wird $\scriptstyle \left({\frac {HN}{HJ}}\right)^{2}={\frac {HM^{2}+MJ^{2}-2MJ\cdot JN+JN^{2}}{HM^{2}+MJ^{2}}}=1-{\frac {JN\ (2MJ-JM)}{HJ^{2}}}$; $\scriptstyle \left({\frac {HN}{HJ}}\right)=1-{\frac {MJ\cdot JN}{HJ^{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {JN^{2}}{HJ^{2}}}$, und weil JN sehr klein ist $\scriptstyle 1-{\frac {HN}{HJ}}={\frac {MJ\cdot JN}{HJ^{2}}}$ oder HJ — HN = $\scriptstyle {\frac {MJ\cdot JN}{HJ}}$.
* ↑ [599] No. 111. S. 253. Es ist beliebig MJ = Qξ + Rξ² + Sξ³ .... angenommen worden, hieraus folgt unmittelbar, weil NJ = MJ — MN und MN = Qξ ist, NJ = Rξ² + Sξ³ + etc. Der Werth von MJ gilt allgemein für jeden Werth von ξ, mithin wird der entsprechende Werth in E für ξ = 2ξ 2Qξ + 4Rξ² + 8Sξ³ etc. in B für E = — ξ, — Qξ + Rξ² — Sξ³ und so DJ = CH — MJ = P — Qξ — Rξ² — Sξ³; EK = CH — 2Qξ — 4Rξ² — 8Sξ³ — etc. = P — 2Qξ — 4Rξ² — 8Sξ³ — etc. BG = P + Qξ — Rξ² + Sξ³ — etc.
* ↑ [599] No. 112. S. 254. Nach Gl. 12. und 10. ist (Fig. 144.) $\scriptstyle {\frac {t}{T}}$ · GH = $\scriptstyle \left(1+{\frac {3S\xi }{2R}}\right)\left(\xi {\sqrt {1+Q^{2}}}-{\frac {QR\xi ^{2}}{\sqrt {1+Q^{2}}}}\right)$ $\scriptstyle =\xi {\sqrt {1+Q^{2}}}+{\frac {3S\xi ^{2}{\sqrt {1+Q^{2}}}}{2R}}-{\frac {QR\xi ^{2}}{\sqrt {1+Q^{2}}}}-{\frac {3QS\xi ^{3}}{2{\sqrt {1+Q^{2}}}}}$ nach Gl. 10. $\scriptstyle -HJ=-\xi {\sqrt {1+Q^{2}}}-{\frac {QR\xi ^{2}}{\sqrt {1+Q^{2}}}}$ nach Gl. 8. 9. und 10. $\scriptstyle +{\frac {2\cdot MJ\cdot NJ}{HJ}}={\frac {2\left[Q\xi +R\xi ^{2}+S\xi ^{3}\dots \right]\cdot \left[R\xi ^{2}+S\xi ^{2}\dots \right]}{\xi {\sqrt {1+Q^{2}}}+{\frac {QR\xi ^{2}}{\sqrt {1+Q^{2}}}}}}$ $\scriptstyle ={\frac {2QR\xi ^{3}+2QS\xi ^{4}+\dots }{\xi {\sqrt {1+Q^{2}}}+{\frac {QR\xi ^{2}}{\sqrt {1+Q^{2}}}}}}=+{\frac {QR\xi ^{2}}{\sqrt {1+Q^{2}}}}+\dots$ mithin $\scriptstyle {\frac {t}{T}}GH-HJ+{\frac {2\cdot MJ\cdot NJ}{HJ}}={\frac {3S\xi ^{2}}{2R}}{\sqrt {1+Q^{2}}}\dots$ und nach 6. der Widerstand : Schwere $\scriptstyle {\frac {3S\xi ^{2}}{2R}}{\sqrt {1+Q^{2}}}:2R\xi ^{2}=3S{\sqrt {1+Q^{2}}}:4R^{2}$.
* ↑ [599] No. 113. S. 254. Für CH als Durchmesser ist nämlich NJ = x die Abscisse, HN = y die Ordinate, und da allgemein die Gleichung der Parabel y² = px ist, $\scriptstyle p={\frac {y^{2}}{x}}={\frac {HN^{2}}{NJ}}={\frac {\xi ^{2}\left(1+Q^{2}\right)}{R\cdot \xi ^{2}}}={\frac {1+Q^{2}}{R}}$.
* ↑ [599] No. 114 S. 254. Im Anfang dieses Paragraphen haben wir gesehen, dass die Zeit, in welcher der Körper den Bogen $\scriptstyle \xi {\sqrt {1+Q^{2}}}$ beschreibt, im halben Verhältniss der Höhe NJ steht, welche der Körper [600] beim Falle von der Tangente HN in derselben Zeit beschreiben könnte. Nennt man jene kleine Zeit τ so ist $\scriptstyle \tau =\alpha {\sqrt {NJ}}$, wo α constant. Die Geschwindigkeit, womit HJ beschrieben wird, ist daher $\scriptstyle {\frac {HJ}{\tau }}={\frac {\xi {\sqrt {1+Q^{2}}}}{\alpha {\sqrt {NJ}}}}={\frac {\xi {\sqrt {1+Q^{2}}}}{\alpha \xi {\sqrt {R}}}}$, d. h. proportional $\scriptstyle {\frac {\sqrt {1+Q^{2}}}{\sqrt {R}}}$ und ihr Quadrat proportional $\scriptstyle {\frac {1+Q^{2}}{R}}$. Bezeichnet man ξ durch Δx, so wird nach dem Taylor’schen Satze die obige Reihe allgemein: $\scriptstyle y+{\frac {dx}{dx}}\Delta x+{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\Delta x^{2}+{\frac {1}{2\cdot 3}}{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}\Delta x^{3}+$ etc. also $\scriptstyle Q={\frac {dy}{dx}}$, $\scriptstyle R={\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}y}{d^{2}x}}$, $\scriptstyle S={\frac {1}{2\cdot 3}}{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}$ die Dichtigkeit des Mittels proportional $\scriptstyle {\frac {\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}{{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}{\sqrt {1+{\frac {dy^{2}}{dx^{2}}}}}}}={\frac {d^{3}y}{d^{2}y{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}}}$.
* ↑ [600] No. 115. S. 255. Die hier im Text erwähnte Methode besteht offenbar in der Anwendung des binomischen Lehrsatzes. Es wird also $\scriptstyle {\sqrt {y^{2}-2x\xi -\xi ^{2}}}=\left(y^{2}-2x\xi -\xi ^{2}\right)^{\frac {1}{2}}$ $\scriptstyle =y-{\frac {1}{2}}{\frac {2x\xi }{y}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\xi ^{2}}{y}}+{\frac {{\frac {1}{2}}\cdot \left(-{\frac {1}{2}}\right)}{1\cdot 2}}{\frac {1}{y^{3}}}\left(2x\xi +\xi ^{2}\right)^{2}-{\frac {1}{16}}\cdot {\frac {1}{y^{5}}}\left(2x\xi +\xi ^{2}\right)^{3}\dots$ $\scriptstyle =y-{\frac {x\xi }{y}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\xi ^{2}}{y}}-{\frac {x^{2}\xi ^{2}}{2y^{3}}}-{\frac {x\xi ^{3}}{2y^{3}}}-{\frac {\xi ^{4}}{8y^{3}}}-{\frac {x^{3}\xi ^{3}}{2y^{5}}}\dots$
* ↑ [600] Fig. 247. No. 116. S. 257. Setzt man FA = X, AQ = Y, FG = x, GJ = y, wo JG $\scriptstyle \parallel$ AQ; so hat man Y² = bX, y² = bx mithin Y² - y² = (Y + y) (Y - y) = b(X — x) oder PD · QD = b · JD. Hierbei ist der Parameter b constant.
* ↑ [600] No. 117. S. 258. Dieses Verhältniss ist nach der obigen Regel 13 §. 14. für den Punkt g, wo ξ = 0, 3S · $\scriptstyle {\sqrt {1+Q^{2}}}:4R^{2}=$ $\scriptstyle 3{\frac {b^{2}}{a^{4}}}{\sqrt {1+\left({\frac {b^{2}}{a^{2}}}-{\frac {m}{n}}\right)^{2}}}:4{\frac {b^{4}}{a^{6}}}$ $\scriptstyle 3{\sqrt {a^{2}+{\frac {m^{2}}{n^{2}}}a^{2}-{\frac {2mb^{2}}{n}}+{\frac {b^{4}}{a^{2}}}}}:4{\frac {b^{2}}{a}}$ = 3XY : 4VG = 3XY : 2YG.
* ↑ [600] No. 118. S. 258. Dieser Parameter ist nämlich nach §. 14. $\scriptstyle {\frac {1+Q^{2}}{R}}={\frac {{\frac {1}{a^{2}}}\cdot XY^{2}}{\frac {b^{2}}{a^{3}}}}={\frac {XY^{2}}{VG}}$
* ↑ [601] No. 119. S. 260. Bei diesen letzten Formeln muss man sich aus §. 14. Aufgabe und Zusatz 1. erinnern, dass die Geschwindigkeit V proportional $\scriptstyle {\frac {\sqrt {1+Q^{2}}}{\sqrt {R}}}={\frac {HT}{AC}}$ ist.
* ↑ [601] Fig. 248. No. 120. S. 261. Denkt man sich nämlich, in Bezug auf die Asymptoten XV und XT als coordinirte Axen, XP = x, PG = y als Coordinaten des Punktes G und die Tangente GT gezogen; so ist die Subtangente PT = x = PX. Demnach wird, wenn man VG $\scriptstyle \parallel$ XT zieht, erstere verlängert, bis VY = VG wird und hierauf XY zieht, im Viereck XYGT YG = XT und YG $\scriptstyle \parallel$ XT, also auch XY $\scriptstyle \parallel$ GT und XY = GT.
* ↑ [601] No. 121. S. 262. Bezeichnet man die Geschwindigkeit durch V, so ist V proportional $\scriptstyle {\sqrt {\frac {AH^{2}}{AJ}}}$; also weil AH constant ist, AJ proportional $\scriptstyle {\frac {1}{V^{2}}}$
* ↑ [601] No. 122. S. 262. Die Dichtigkeit in A ist proportional $\scriptstyle {\frac {1}{AH}}$, die in G proportional $\scriptstyle {\frac {1}{GT}}$, die mittlere Dichtigkeit also proportional $\scriptstyle {\frac {1}{2}}\left[{\frac {1}{AH}}+{\frac {1}{GT}}\right]={\frac {{\frac {1}{2}}[AH+GT]}{AH\cdot GT}}$; und so die Dichtigkeit in A zur mittleren wie $\scriptstyle {\frac {1}{AH}}:{\frac {{\frac {1}{2}}(AH+GT)}{AH\cdot GT}}$ = GT : ½(AH + GT).
* ↑ [601] No. 123. S. 262. Setzt man XY = y, AJ = x, so hat man die Gleichung der Hyperbel xy$^n$ = Constans; mithin wird $\scriptstyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {y}{nx}}$, die Subtangente = + nx und HX = x + Subtangente = (n + 1) x = (n + 1) AJ.
* ↑ [601] No. 124. S. 264. (Fig. 151.) Wird AK = AE + EK = EK + KN + EN = e, AG = y, NK = AE = X, HN = Y gesetzt, so hat man AC : AE = NH : EN d. h. y : X = Y : x und xy = XY = Constans. Es liegt demnach H auf dem conjugirten Zweige derjenigen Hyperbel, auf welcher C sich befindet.
* ↑ [601] No. 125. S. 265. Setzt man JX = y und AJ = x, so ist die Gleichung der vorliegenden Parabel $\scriptstyle {\frac {x}{y^{n}}}$ = Constans, während die Gleichung der vorhin erwähnten Hyperbel x · y$^n$ = Constans war. Offenbar hat man in der letzten Gleichung — n statt + n zu setzen, damit dieselbe in die vorhergehende Gleichung der Parabel übergehe. Durch eben diese Vertauschung erhält man den für den Parameter angegebenen Werth aus dem im Anfange dieses §. für die Hyperbel aufgestellten Werthe.
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## Anmerkungen (Wikisource)

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