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# Sagen von Elsterberg

Textdaten :
| Autor: | Johann Georg Theodor Grässe |
| Illustrator: | {{{ILLUSTRATOR}}} |
| Titel: | Sagen von Elsterberg |
| Untertitel: | |
| aus: | Der Sagenschatz des Königreichs Sachsen, Band 2. S. 63–64 |
| Herausgeber: | |
| Auflage: | Zweite verbesserte und vermehrte Auflage |
| Entstehungsdatum: | |
| Erscheinungsdatum: | 1874 |
| Verlag: | Schönfeld |
| Drucker: | {{{DRUCKER}}} |
| Erscheinungsort: | Dresden |
| Übersetzer: | |
| Originaltitel: | |
| Originalsubtitel: | |
| Originalherkunft: | |
| Quelle: | Google-USA* und Commons |
| Kurzbeschreibung: | |
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Im Brunnen des Schlosses Elsterberg wohnt ein grüner Nix, der die Kinder hineinzieht. Er ist sehr tief und steht mit der Elster in Verbindung. Als die Herren von Lobdaburg es bewohnten, warf einmal ein Diener eine Ente, der er ein rothes Bändchen um den Hals gebunden hatte, hinein und siehe! er sah sie tief unten im Grunde auf der Elster schwimmen. Dort ist auch eine goldgefüllte Braupfanne, welche eine weiße Jungfrau mit einem großen Schwerte bewacht. Man sagt auch, daß die mittlere Glocke daselbst aus Silber bestehe, angeblich hat sie im 30jährigen Kriege ein General Namens Bose aus Großglogau entführt und [64] hierher gebracht. Ein anderes Glöckchen auf der Stadtkirche zu St. Lorenz war von Silber und läutete den Ablaß ein, der sich soweit erstreckte, als man ihren Schall hörte und weil man dies in Bünau noch konnte, mußten die Bauern von da ein Fuder Getreide an die Elsterberger Geistlichkeit jährlich zinsen, ja viele Nürnberger ließen sich auf dem dasigen Kirchhofe begraben, um jenes Ablasses theilhaftig zu werden. Im Schlosse wohnten einst Raubritter und diese hatten dasselbe mit einer andern Feste, die am Fuße der Weßnitz auf einem steilen Hügel errichtet war, durch unterirdische Gänge und eine lederne Brücke in Verbindung gesetzt. Allein 1384 wurden diese Burgen erstürmt und ihre Besitzer hingerichtet.
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:131

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus :
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Schnitt auf der linken (oberen) Seite liegt. Wir lassen dann die Variable $s\,$ von dem Rande des Schnittes aus im Innern des begrenzten Flächenstückes eine Linie stetig durchlaufen, die im Innern oder auf der Begrenzung $L\,$ endigt. Dabei soll, wie wir ferner festsetzen, von den beiden Werthen der Function $f(s)\,$ nur die stetige Fortsetzung des Anfangswerthes in Betracht kommen. Dadurch wird erreicht, dass auf der Linie $L\,$ und im Innern des von ihr begrenzten und von $\sigma \,$ bis $\infty \,$ zerschnittenen Flächenstückes die Function $f(s)\,$ überall einwerthig, endlich und stetig variabel ist. Nur wenn $\sigma =0\,$ ist, wird die Function an einer Stelle des Flächenstückes unendlich, nemlich an der Stelles $s=0\,$. In diesem besonderen Falle legen wir um den Unstetigkeitspunkt einen Kreis von beliebig kleinem Radius $\delta \,$, schliessen das Innere desselben von dem betrachteten Flächenstück aus und lassen schliesslich $\lim \delta =0\,$ werden.
Wir setzen nun einen Fundamentalsatz aus der Theorie der Functionen einer complexen Variablen als bekannt voraus. Derselbe lautet:
Wenn für alle Werthe von $s\,$ innerhalb eines vollständig begrenzten Gebietes der Zahlenebene und auf der Begrenzung die Function $f(s)\,$ überall einwerthig, endlich und stetig variabel ist, so hat das Integral
* $\int f(s)\,ds,$
ausgedehnt durch die ganze Begrenzung, den Werth Null.
$\sigma >\sigma ',\,$
$x\,$
$\infty \,$
$\sigma \,$
$\sigma \,$
$\infty \,$
$\infty \,$
$L\,$
$\sigma \,$
$\infty \,$
Das Integral auf dem reellen Wege von $\infty \,$ bis $\sigma \,$ und von $\sigma \,$ bis $\infty \,$ hat den Werth
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:134

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Das Integral $J_{2}-J_{4}\,$ kann durch irgend ein anderes ersetzt werden, dessen geschlossener Integrationsweg um $\sigma '\,$ herumführt. Wir machen $\sigma '\,$ zum Mittelpunkt eines Kreises vom Radius $r\,$, der so gewählt ist, dass die Peripherie ganz in das von $L_{2}\,$ und $L_{4}\,$ begrenzte Flächenstück hineinfällt. Wenn man dann das Integral (5) in der Richtung des Pfeiles (Fig. 21) durch die Kreisperipherie erstreckt, so ist sein Werth $=J_{2}-J_{4}\,$. Dieses Integral bedarf noch der Untersuchung. Es ist
* $t=s-{\frac {s\,y^{2}}{s+\beta ^{2}}}-{\frac {s\,z^{2}}{s+\gamma ^{2}}},$
* $0=\sigma '-{\frac {\sigma '\,y^{2}}{\sigma '+\beta ^{2}}}-{\frac {\sigma '\,z^{2}}{\sigma '+\gamma ^{2}}};$
daraus ergibt sich durch Subtraction
* $t=(s-\sigma ')\left\lbrace 1-{\frac {\beta ^{2}\,y^{2}}{(s+\beta ^{2})(\sigma '+\beta ^{2})}}-{\frac {\gamma ^{2}\,z^{2}}{(s+\gamma ^{2})(\sigma '+\gamma ^{2})}}\right\rbrace .$
Wir nehmen auf beiden Seiten Logarithmen und erhalten durch Differentiation
* ${\frac {1}{t}}{\frac {\partial t}{\partial s}}ds=d\lg(s-\sigma ')+\varphi (s)\,ds,$
wenn mit $\varphi (s)\,$ eine Function bezeichnet wird, die auf der Peripherie und im Innern des Kreises endlich und stetig variabel ist, auch für $s=\sigma '\,$. Dann ist zunächst das Integral
* $\int {\frac {(s+\gamma ^{2})\,\varphi (s)\,ds}{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)(t-x^{2})}}},$
durch die Kreisperipherie erstreckt, unter keinen Umständen unendlich gross. Denn setzt man $x=0\,$, so erhält man unter dem Integralzeichen ein Product, dessen einer Factor ${\frac {ds}{\sqrt {s-\sigma '}}}$ ist, und dessen anderer Factor auf der Kreisperipherie und im Innern des Kreises überall endlich ist. Da nun das unbestimmte Integral
* $\int {\frac {ds}{\sqrt {s-\sigma '}}}=2{\sqrt {s-\sigma '}}$
auf dem ganzen Integrationswege endlich bleibt, so ist auch, durch die Kreisperipherie erstreckt,
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:138

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Ferner hat man
* ${\frac {\partial m}{\partial x}}=-2{\frac {x}{s}},\quad {\frac {\partial ^{2}m}{\partial x^{2}}}=-{\frac {2}{s}},$
* ${\frac {\partial m}{\partial y}}=-2{\frac {y}{s+\beta ^{2}}},\quad {\frac {\partial ^{2}m}{\partial y^{2}}}=-{\frac {2}{s+\beta ^{2}}},$
* ${\frac {\partial m}{\partial z}}=-2{\frac {z}{s+\gamma ^{2}}},\quad {\frac {\partial ^{2}m}{\partial ^{2}z}}=-{\frac {2}{s+\gamma ^{2}}}.$
Daraus berechnet sich
| (5) | ${\frac {\partial ^{2}\left(m^{\frac {1}{2}}\right)}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\left(m^{\frac {1}{2}}\right)}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\left(m^{\frac {1}{2}}\right)}{\partial z^{2}}}$ |
* ${\begin{aligned}=&-m^{-{\frac {3}{2}}}\left\lbrace \left({\frac {x}{s}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{s+\beta ^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {z}{s+\gamma ^{2}}}\right)^{2}\right\rbrace \\&-m^{-{\frac {1}{2}}}\left\lbrace {\frac {1}{s}}+{\frac {1}{s+\beta ^{2}}}+{\frac {1}{s+\gamma ^{2}}}\right\rbrace .\\\end{aligned}}$
Man findet aber leicht
* ${\frac {\partial m}{\partial s}}=\left({\frac {x}{s}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{s+\beta ^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {z}{s+\gamma ^{2}}}\right)^{2},$
* ${\frac {d\,\lg D}{ds}}={\frac {1}{s}}+{\frac {1}{s+\beta ^{2}}}+{\frac {1}{s+\gamma ^{2}}}.$
Folglich vereinfacht sich die Gleichung (5). Man erhält nemlich
| (6) | ${\frac {\partial ^{2}\left(m^{\frac {1}{2}}\right)}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\left(m^{\frac {1}{2}}\right)}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\left(m^{\frac {1}{2}}\right)}{\partial z^{2}}}$ |
* ${\begin{aligned}&=-m^{-{\frac {1}{2}}}\left({\frac {1}{m}}{\frac {\partial m}{\partial s}}+{\frac {d\,\lg D}{ds}}\right)\\&=-m^{-{\frac {1}{2}}}{\frac {d\,\lg(m\,D)}{ds}}.\\\end{aligned}}$
Mit Hülfe dieser Gleichung ergibt sich
| (7) | ${\frac {\partial ^{2}X}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}X}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}X}{\partial z^{2}}}$ |
* ${\begin{aligned}&=-\rho \int {\frac {1}{\sqrt {m\,D}}}{\frac {d\lg(m\,D)}{ds}}ds\\&=-\rho \int (m\,D)^{-{\frac {3}{2}}}d(m\,D).\\\end{aligned}}$
Das Integral ist zu erstrecken durch die Linie $L\,$ (Fig. 18) von $\infty$
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:137

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$X\,$
Cylinders ausgebreitet wäre. Folglich ist $X\,$ die Potentialfunction der Ellipsenfläche
* $x=0,\quad {\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\gamma ^{2}}}-1=0,$
über welche die Masse mit der constanten Dichtigkeit $\rho \,$ ausgebreitet ist.
Wir wollen nun direct beweisen, dass der Ausdruck (5) des §. 26 allen den Bedingungen Genüge leistet, durch welche die Potentialfunction der eben genannten Ellipsenfläche eindeutig bestimmt ist. Es ist dies eine zweite Art, den Ausdruck für $X\,$ zu verificiren.
Es kömmt darauf an zu beweisen, dass
| (1) | ${\frac {\partial ^{2}X}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}X}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}X}{\partial z^{2}}}=0$ |
im ganzen unendlichen Räume, dass
| (2) | $\left({\frac {\partial X}{\partial x}}\right)_{+0}-\left({\frac {\partial X}{\partial x}}\right)_{-0}=-4\pi \rho$ |
für jeden Punkt der anziehenden Fläche, und dass
| (3) | $X=0\,$ |
ist, wenn eine der drei Coordinaten $x,y,z\,$ unendlich gross genommen wird.
Wir gehen aus von der Gleichung (3) des vorigen Paragraphen, nemlich
| (4) | $X=\rho \int {\frac {\sqrt {(t-x^{2}):s}}{\sqrt {s\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)}}}ds.$ |
Die Integration ist durch die Linie $L\,$ (Fig. 18) zu erstrecken. Zur Abkürzung schreiben wir
* ${\frac {t-x^{2}}{s}}=m,$
* $s\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)=D.$
Durch Differentiation findet sich
* ${\frac {\partial (m^{\frac {1}{2}})}{\partial x}}={\frac {1}{2}}m^{-{\frac {1}{2}}}{\frac {\partial m}{\partial x}}$
* ${\frac {\partial ^{2}(m^{\frac {1}{2}})}{\partial x^{2}}}=-{\frac {1}{4}}m^{-{\frac {3}{2}}}\left({\frac {\partial m}{\partial x}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}m^{-{\frac {1}{2}}}{\frac {\partial ^{2}m}{\partial x^{2}}}.$
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:129

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Werth höchstens gleich $1\,$ ist. Der erste hat den Grenzwerth $1\,$, und der zweite den Grenzwerth Null. Denn vermöge der Gleichung (22) muss $y^{2}:(\sigma '+\beta ^{2})\,$ endlich sein, selbst wenn $y\,$ und $\sigma '\,$ unendlich gross genommen werden. Folglich ist
* $\lim {\frac {y}{\sigma '+\beta ^{2}}}=0$
für $y=\infty \,$.
Damit ist bewiesen, dass $Y=0\,$ für $\lim(y^{2}+z^{2})=\infty \,$.
Auf demselben Wege wird der Beweis geführt, dass $Z=0\,$ für $\lim(y^{2}+z^{2})=\infty \,$.
Die Richtigkeit der Ausdrücke für $X,\,Y,\,Z$ ist zwar im vorigen Paragraphen vollständig bewiesen. Doch erscheint es nicht unzweckmässig, einen Theil der Untersuchung noch auf einem anderen Wege vorzunehmen. Es ist dies namentlich die Bestimmung der Functionen $\Phi (y,\,z)$ und $\Psi (y,\,z)$, wenn man dabei von den Gleichungen (14) und (18) des vorigen Paragraphen ausgehen will.
Es handelt sich darum, den Werth von $Y\,$ aus der Gleichung (14) des vorigen Paragraphen zu ermitteln für $x=0\,$. Man hat dabei zu beachten, dass für $x=0\,$ die Grösse $\sigma \,$ übergeht in $\sigma '\,$. Dadurch wird aber der Werth des Integrals in (14) unendlich gross, und der erste Bestandtheil von $Y\,$ nimmt in Gleichung (14) die unbestimmte Form $0.\infty \,$ an.
Um den wahren Werth zu ermitteln, kann man statt des reellen Integrationsweges einen anderen einschlagen, welcher durch complexe Werthe der Variablen führt.
Wir denken uns nach dem Vorgange von Gauss eine complexe Zahl $s=\xi +\eta {\sqrt {-1}}\,$ repräsentirt durch den Punkt einer Ebene, dessen rechtwinklige Coordinaten $\xi ,\,\eta \,$ sind. Die Zahl $s\,$ nimmt dann alle möglichen complexen Werthe an, wenn der Punkt $(\xi ,\,\eta )\,$ in der unbegrenzten Ebene in alle möglichen Lagen gebracht wird. Die Werthe von $s\,$ ändern sich stetig, wenn der Punkt $(\xi ,\,\eta )\,$ eine ununterbrochene Linie stetig durchläuft. Wir sagen dafür der Kürze wegen: die complexe Variable $s\,$ durchläuft die Linie.
Die Ebene, in welcher der Punkt $(\xi ,\,\eta )\,$ beweglich ist, heisst die Zahlenebene. Es ist vortheilhaft, sie im Unendlichen als geschlossen anzusehen, d. h. sie als eine Kugel von unendlich grossem
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:130

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Radius aufzufassen. Dem Werthe $s=\infty \,$ entspricht dann nur ein einziger Punkt, welcher auf der unendlich grossen Kugel dem Nullpunkte diametral gegenüberliegt.
$L\,$
$\xi \,$
$s=\sigma \,$
$s=\infty \,$
$(s=-\beta ^{2})\,$
$(s=-\gamma ^{2})\,$
$s=0\,$
$\sigma =\sigma '\,$
$\sigma '=0\,$
$x=0\,$
${\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\gamma ^{2}}}<1$
Wir wollen nun zunächst in dem Ausdrucke für $X\,$ den reellen Integrationsweg durch einen complexen ersetzen.
Für jeden Werth, den die Variable $s\,$ annimmt, hat die Function
* $f(s)={\frac {1}{s}}{\sqrt {\frac {t-x^{2}}{\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)}}}$
zwei Werthe, weil die Quadratwurzel zweideutig ist. Diese beiden Werthe sind innerhalb des abgegrenzten Flachenstückes an zwei Stellen einander gleich, und zwar $=0\,$, wenn nemlich $s=\sigma \,$ und wenn $s=\infty \,$. Für alle übrigen Werthe von $s\,$ innerhalb und auf der Begrenzung des Flächenstückes soll nur ein Werth von $f(s)\,$ in Betracht gezogen werden, und zwar nach folgender Vorschrift. Wir zerschneiden die Zahlenebene längs der reellen Zahlenaxe von $s=\sigma \,$ bis $s=+\infty \,$ und setzen fest, dass die Variable $s\,$ bei ihrer Bewegung in der Ebene diesen Schnitt nicht überschreiten, wohl aber umgehen darf. Soll sie also die reelle Zahlenaxe von $\sigma \,$ bis $\infty \,$ durchlaufen, so ist zu unterscheiden, ob dies unendlich nahe an dem Schnitt auf der rechten oder auf der linken Seite geschieht. Für solche Werthe von $s\,$ ist $f(s)\,$ reell. Wir setzen fest, dass der positive Werth von $f(s)\,$ genommen werden soll, wenn $s\,$ unendlich nahe an dem Schnitt auf der rechten (unteren) Seite liegt, und der negative Werth von $f(s)\,$, wenn $s\,$ unendlich nahe an dem
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:133

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| (4) | $Y=-{\frac {\rho \,x\,y}{\beta ^{2}-\gamma ^{2}}}\int {\frac {s+\gamma ^{2}}{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)}}}\cdot {\frac {{\frac {\partial t}{\partial s}}ds}{t{\sqrt {t-x^{2}}}}}+\Phi \left(y,z\right),$ |
und es ist die Integration durch die Linie $L\,$ (Fig. 18) zu erstrecken von $\infty \,$ bis $\infty \,$ in der Richtung der vorgeschriebenen Pfeile.
$x=0\,$
$\sigma =\sigma '.\,$
$L\,$
$\sigma '\,$
$t=0\,$
$s=\sigma '\,$
$t=0\,$
$L\,$
$b\,$
$c\,$
$L_{1},L_{2},L_{3}\,$
$L_{1}\,$
$\infty \,$
$b,L_{2}\,$
$b\,$
$c,L_{3}\,$
$c\,$
$\infty \,$
$b\,$
$c\,$
$L\,$
$L_{4}\,$
$L_{4}\,$
$L_{2}\,$
$\sigma '\,$
| (5) | $\int {\frac {(s+\gamma ^{2})}{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)}}}\cdot {\frac {{\frac {\partial t}{\partial s}}ds}{t{\sqrt {t-x^{2}}}}},$ |
durch die ganze Linie $L\,$ erstreckt, soll mit $J\,$ bezeichnet werden, mit $J_{1},J_{2},J_{3}\,$ dagegen die drei Bestandtheile, die sich ergeben bei der Integration von $\infty \,$ bis $b\,$ längs der Linie $L_{1},\,$ von $b\,$ bis $c\,$ längs $L_{2},\,$ von $c\,$ bis $\infty \,$ längs $L_{3}\,$. Endlich soll $J_{4}\,$ der Werth des Integrals von $b\,$ bis $c,\,$ durch $L_{4}\,$ genommen, sein. Dann hat man
* $J=\left(J_{1}+J_{4}+J_{3}\right)+\left(J_{2}-J_{4}\right).\,$
Hierin ist $J_{1}+J_{4}+J_{3}\,$ ein Integral von endlichem Werthe. Also hat man
* $\lim \lbrace x\left(J_{1}+J_{4}+J_{3}\right)\rbrace =0$ für $x=0.\,$
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:132

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| (2) | $-2\int \limits _{\sigma }^{\infty }{\frac {{\sqrt {t-x^{2}}}ds}{s{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)}}}},$ |
wenn die Quadratwurzeln positiv genommen werden. Mit Hülfe des eben citirten Satzes findet sich also
| (3) | $X=\rho \int {\frac {{\sqrt {t-x^{2}}}ds}{s{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)}}}},$ |
und es ist das Integral durch complexe Werthe von $s\,$ zu nehmen längs der Linie $L\,$ von $\infty \,$ bis $\infty \,$ in der Richtung der in Fig. 18 angegebenen Pfeile.
$\sigma =\sigma '\,$
$\sigma '=0\,$
$\infty \,$
$\sigma '+\delta \,$
$\sigma '\,$
$\sigma '+\delta \,$
$\infty \,$
$L\,$
$\infty \,$
$\infty \,$
$\lim \delta =0\,$
$x=0\,$
$f(s)\,$
* ${\sqrt {\frac {1-{\frac {y^{2}}{s+\beta ^{2}}}-{\frac {z^{2}}{s+\gamma ^{2}}}}{s\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)}}},$
und diese wird für $s=0\,$ unendlich wie ${\frac {1}{\sqrt {s}}}.$ Folglich wird der Integralwerth an dieser Stelle Null wie ${\sqrt {s}}$. Wir kommen demnach auf die Gleichung (3) zurück. Nur ist jetzt der Integrationsweg $L\,$ so zu legen, dass er die Stelle $s=\sigma '\,$ mit umschliesst.
Soll nun auch in der Gleichung (14) des vorigen Paragraphen ein complexer Integrationsweg eingeschlagen werden, so haben wir
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:135

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* $\int {\frac {(s+\gamma ^{2})\varphi (s)\,ds}{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)(t-x^{2})}}}$
endlich, und der Werth dieses Integrals nähert sich der Grenze Null, wenn man den Radius des kreisförmigen Integrationsweges unendlich klein werden lässt.
Es bleibt also nur noch das Integral
* $\int f(s)\,d\,\lg(s-\sigma ')$
zu ermitteln, worin wir der Kürze wegen
| (6) | ${\frac {s+\gamma ^{2}}{\sqrt {\left(1+{\frac {s}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{\gamma ^{2}}}\right)(t-x^{2})}}}=f(s)$ |
gesetzt haben. Wir führen nun Polar-Coordinaten $r,\,\varphi$ ein, so dass
* $s-\sigma '=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )=re^{\varphi \,i}$
zu setzen ist $(i={\sqrt {-1}})$. Demnach haben wir $\lg(s-\sigma ')=\lg r+\varphi \,i\,$. Für Punkte auf der Kreisperipherie ist $r\,$ constant, folglich
* $d\,\lg(s-\sigma ')=i\,d\varphi .$
Die Richtung des Integrationsweges ist dieselbe wie die Richtung des wachsenden Bogens. Demnach ergibt sich
* $\int f(s)\,d\,\lg(s-\sigma ')=i\int \limits _{0}^{2\pi }f(s)\,d\varphi .$
Nun darf man den Radius $r\,$ beliebig klein wählen. Wir lassen ihn unendlich abnehmen und erhalten
| (7) | ${\begin{aligned}J_{2}-J_{4}&=\lim \int f(s)d\,\lg(s-\sigma ')=2\,\pi \,i\,f(\sigma ')\\&={\frac {2\,\pi (\sigma '+\gamma ^{2})}{\sqrt {x^{2}\left(1+{\frac {\sigma '}{\beta ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {\sigma '}{\gamma ^{2}}}\right)}}}.\\\end{aligned}}$ |
Die gewonnenen Resultate beantworten die Frage, was aus der Gleichung (4) wird für $x=0\,$. Die linke Seite soll nach der Bedingung (12) des vorigen Paragraphen in Null übergehen. Auf der rechten Seite hat man für das Integral einzusetzen $(J_{1}+J_{4}+J_{3})+(J_{2}-J_{4})\,$ und hierauf den Grenzwerth zu ermitteln für $\lim x=0\,$. Es ist aber, wie schon bewiesen:
# Schwere, Elektricität und Magnetismus:136

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* $\lim \left\lbrace x(J_{1}+J_{4}+J_{3})\right\rbrace =0$ für $x=0.\,$
Ferner ist nach Gleichung (7)
* $x(J_{2}-J_{4})={\frac {2\,\varepsilon \,\pi (\sigma '+\gamma ^{2})}{\sqrt {\left(1+{\frac {\sigma '}{\beta ^{2}}}\right)+\left(1+{\frac {\sigma '}{\gamma ^{2}}}\right)}}},$
und es ist $\varepsilon =+1\,$ oder $=-1\,$, je nachdem das reelle $x\,$ positiv oder negativ genommen wird.
Soll nun $Y=0\,$ werden für $x=0\,$, so sieht man, dass in Gleichung (4) zu setzen ist:
| (8) | $\Phi (y,\,z)=2\,\varepsilon \,\pi \,\rho {\frac {y}{\beta ^{2}-\gamma ^{2}}}\cdot {\frac {\sigma '+\gamma ^{2}}{\sqrt {\left(1+{\frac {\sigma '}{\beta ^{2}}}\right)+\left(1+{\frac {\sigma '}{\gamma ^{2}}}\right)}}}.$ |
Dies Resultat stimmt mit der im vorigen Paragraphen gewonnenen Gleichung (17) überein.
In derselben Weise kann man verfahren, um die Function $\Psi (y,\,z)$ zu bestimmen.
Es sollte $F(x,\,y,\,z)$ die Potentialfunction bezeichnen für den Fall, dass der von der Fläche (1) des §. 26 begrenzte cylindrische Raum von $x=-\infty \,$ bis $x=0\,$ mit Masse von der constanten Dichtigkeit $-{\frac {1}{2}}\rho$ und von $x=0\,$ bis $x=\infty \,$ mit Masse von der constanten Dichtigkeit $+{\frac {1}{2}}\rho$ erfüllt ist. Dann ist, wie wir gesehen haben,
* $F(x,\,y,\,z)-F(x-a,\,y,\,z)$
die Potentialfunction des Cylinders von der Dichtigkeit $\rho \,$, der von den Endflächen $x=0\,$ und $x=a\,$ begrenzt wird. Lässt man nun $a\,$ unendlich klein werden, so erhält man
* ${\frac {\partial F}{\partial x}}dx,$ d. h. $X\,dx$
als Potentialfunction des Cylinders, der von den Endflächen $x=0\,$ und $x=dx\,$ begrenzt wird. Ein Element dieses Cylinders enthält die Masse $\rho \,dx\,dy\,dz$. Man kann sich dies auch so vorstellen, als ob die Masse mit der Dichtigkeit $\rho \,dx$ auf der Basisfläche des
# Sponsel Grünes Gewölbe Band 3/Tafel 32

[230] Fast ovale, regelmäßig vom hinteren Wirbel zum vorderen Ausguß gemuschelt geschliffene Schale aus orientalischem, in konzentrischen hellen Wellen gemusterten, braunen Onyx auf Schaft und Fuß aus goldenem Filigran. Der Schaft ist in mehrere Reifen gegliedert mit einem stärkeren fast kugeligen Knauf, die einzelnen Glieder sind durch stärkere kordierte Drähte getrennt. Ähnliche Gliederung hat auch der Knauf. Ebenso ist der Sockel in leicht gewölbter Blattform gebildet und dieses Blatt durch kordierte Drähte als Blattrippen symmetrisch in Felder geteilt. Alle diese Felder sind mit Filigranranken ausgefüllt und dazwischen in opakem Netzemail gebildete Blätter und Blüten meist in hellem und dunklem Blau eingefügt. Daneben sind auch hellblaue und weiße Emailkugeln eingeordnet. Von dem Schaft aus sind zu dem Wirbel der Muschel und zu dem Ausguß Filigranranken emporgeführt und von dem Wirbel aus solche bis über den Schalenrand gelegt, die ganz so wie Schaft und Sockel ausgestattet sind. Ebenso erhebt sich über dem Wirbel der Muschelschale ein gleichartiger Baldachin aus Filigran, darunter die Büste eines Negers mit emailliertem Kopf. Italien. 17. Jhdt. (H. 19 – V. 12.)