# David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie/Kapitel 7.21

$l$
$l$
Es bedeute $l$ eine ungerade rationale Primzahl, und es sei $\zeta =\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{l}}$. Die Gleichung $l$-ten Grades
* $x^{l}-1=0$
besitzt die $l$ Wurzeln
* $\zeta ,\zeta ^{2},\dots ,\zeta ^{l-1},\zeta ^{l}=1.$
Diese Zahlen heißen die $l$-ten Einheitswurzeln. Der durch sie bestimmte Körper werde mit $k(\zeta )$ bezeichnet und der Kreiskörper der $l$-ten Einheitswurzeln genannt. Es gilt für ihn zunächst die folgende Tatsache:
Satz 117. Bedeutet $l$ eine ungerade Primzahl, so besitzt der durch $\zeta =\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{l}}$ bestimmte Kreiskörper $k(\zeta )$ der $l$-ten Einheitswurzeln den Grad $l-1$. Die Primzahl $l$ gestattet in $k(\zeta )$ die Zerlegung $l={\mathfrak {l}}^{l-1}$, wo ${\mathfrak {l}}=(1-\zeta )$ ein Primideal ersten Grades in $k(\zeta )$ ist.
Beweis. Die Zahl $\zeta$ genügt der Gleichung $l-1$-ten Grades
* $F(x)={\frac {x^{l}-1}{x-1}}=x^{l-1}+x^{l-2}+\cdots +1=0;$
also ist der Körper $k(\zeta )$ höchstens vom Grade $l-1$. Da $\zeta$, $\zeta ^{2}$, …, $\zeta ^{l-1}$ die $l-1$ Wurzeln dieser Gleichung $F(x)=0$ sind, so gilt identisch in $x$ die Gleichung:
* $x^{l-1}+x^{l-2}+\cdots +1=(x-\zeta )\left(x-\zeta ^{2}\right)\dots \left(x-\zeta ^{l-1}\right);$
für $x=1$ folgt hieraus:
| $l=(1-\zeta )\left(1-\zeta ^{2}\right)\dots \left(1-\zeta ^{l-1}\right).$ | (31) |
Es bedeute nun $g$ eine beliebige durch $l$ nicht teilbare ganze rationale Zahl $>1$ ‚ und es sei dann $g'$ eine positive ganze rationale Zahl von der Art, daß $gg'\equiv 1$ nach $l$ ausfällt. Dann sind die Quotienten
* ${\frac {1-\zeta ^{g}}{1-\zeta }}=1+\zeta +\zeta ^{2}+\cdots +\zeta ^{g-1}$
und
* ${\frac {1-\zeta }{1-\zeta ^{g}}}={\frac {1-\zeta ^{gg'}}{1-\zeta ^{g}}}={\frac {1-\left(\zeta ^{g}\right)^{g'}}{1-\zeta ^{g}}}=1+\zeta ^{g}+\zeta ^{2g}+\dots +\zeta ^{(g'-1)g}$
* $\varepsilon _{g}={\frac {1-\zeta ^{g}}{1-\zeta }}$
als eine Einheit des Körpers $k(\zeta )$. Setzen wir noch $\lambda =1-\zeta$ und ${\mathfrak {l}}=(\lambda )$, so erhält die Formel (31) die Gestalt
| $l=\lambda ^{l-1}\varepsilon _{2}\varepsilon _{3}\dots \varepsilon _{l-1}={\mathfrak {l}}^{l-1}$ | (32) |
Aus Satz 33 schließt man unmittelbar, daß eine rationale Primzahl in einem gegebenen Zahlkörper höchstens das Produkt so vieler Primideale sein kann, als der Grad des Körpers beträgt. In Anbetracht der Formel (32) muß mithin der Grad des Körpers $k(\zeta )$ mindestens $=l-1$ sein, also ist nach dem bereits oben Gefundenen dieser Grad genau $=l-1$. Andererseits kann aus dem nämlichen Grunde das Ideal ${\mathfrak {l}}$ im Körper $k(\zeta )$ nicht noch weiter in Faktoren zerfallen und es ist somit ${\mathfrak {l}}$ ein Primideal in $k(\zeta )$ [Dedekind (1)].
Das gewonnene Resultat besagt zugleich, daß die Funktion $F(x)$ im Bereich der rationalen Zahlen irreduzibel ist.
$l$
Satz 118. In dem durch $\zeta =\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{l}}$ bestimmten Kreiskörper $k(\zeta )$ der $l$-ten Einheitswurzeln bilden die Zahlen
* $1,\zeta ,\zeta ^{2},\dots ,\zeta ^{l-2}$
eine Basis. Die Diskriminante des Kreiskörpers $k(\zeta )$ ist
* $d=(-1)^{\frac {l-1}{2}}l^{l-2}.$
Beweis. Die Differente der Zahl $\zeta$ im Körper $k(\zeta )$ ist
* $\delta =\left(\zeta -\zeta ^{2}\right)\left(\zeta -\zeta ^{3}\right)\dots \left(\zeta -\zeta ^{l-1}\right)=\left[{\frac {dF(x)}{dx}}\right]_{x=\zeta }.$
Aus
* $(x-1)F(x)=x^{l}-1$
folgt:
$(x-1){\frac {dF(x)}{dx}}+F(x)=lx^{l-1}$
$\delta =-{\frac {l\zeta ^{l-1}}{1-\zeta }};$
nach der in § 3 (S. 71) gemachten Bemerkung ist dann die Diskriminante der Zahl $\zeta$
* $d(\zeta )=(-1)^{\frac {(l-1)(l-2)}{2}}n(\delta )=(-1)^{\frac {l-1}{2}}l^{l-2}.$
Da die Diskriminante $d(\lambda )$ der Zahl $\lambda$ offenbar den nämlichen Wert $d(\zeta )$ hat, so lehrt die im Beweise zu Satz 5 bei Formel (1) S. 72 gemachte Bemerkung, daß eine jede ganze Zahl $\alpha$ des Körpers $k(\zeta )$ in der Gestalt
| $\alpha ={\frac {a_{0}+a_{1}\lambda +\cdots +a_{l-2}\lambda ^{l-2}}{l^{l-2}}}$ | (33) |
mit ganzen rationalen Koeffizienten $a_{0}$, $a_{1}$, …, $a_{l-2}$ dargestellt werden kann.
Dabei müssen dann die Zahlen $a_{0}$, $a_{1}$, …, $a_{l-2}$ notwendig sämtlich durch den Nenner $l^{l-2}$ teilbar sein. Um zunächst zu zeigen, daß sie ein erstes Mal durch $l$ teilbar sind, nehmen wir an, es fände sich unter ihnen etwa $a_{g}$ als erster nicht durch $l$ teilbarer Koeffizient; aus $l^{l-2}\alpha \equiv 0$ nach $l$ würde dann in Anbetracht von $l={\mathfrak {l}}^{l-1}$ notwendig $a_{g}\lambda ^{g}\equiv 0$ nach ${\mathfrak {l}}^{g+1}$, d. h. $a_{g}\equiv 0$ nach ${\mathfrak {l}}$ und also auch nach l folgen, was der Annahme widerspricht. Man kann mithin einen Faktor $l$ in Zähler und Nenner des Ausdruckes (33) fortheben. Durch die geeignete Weiterführung des eben angewandten Verfahrens folgt schließlich, daß jede ganze Zahl $\alpha$ des Körpers $k(\zeta )$ bei ihren Darstellungen
* $\alpha =a_{0}+a_{1}\lambda +\cdots +a_{l-2}\lambda ^{l-2}=b_{0}+b_{1}\zeta +\cdots +b_{l-2}\zeta ^{l-2}$
mit rationalen Koeffizienten $a_{0}$, $a_{1}$, …, $a_{l-2}$‚ bzw. $b_{0}$, $b_{1}$, …, $b_{l-2}$ für diese lauter ganze rationale Zahlen bekommt.
Da somit die Potenzen $1$, $\zeta$, …, $\zeta ^{l-2}$ der Zahl $\zeta$ eine Basis des Körpers $k(\zeta )$ bilden, so folgt, daß die Diskriminante $d(\zeta )$ der Zahl $\zeta$ zugleich auch die Diskriminante des Körpers $k(\zeta )$ vorstellt.
$l$
$l$
Die Zerlegung der Primzahl $l$ im Körper $k(\zeta )$ ist in Satz 117 ausgeführt. Für die Zerlegungen der übrigen rationalen Primzahlen im Körper $k(\zeta )$ gilt die folgende Regel:
Satz 119. Ist $p$ eine von $l$ verschiedene rationale Primzahl und $f$ der kleinste positive Exponent, für welchen $p^{f}\equiv 1$ nach $l$ ausfällt, und wird dann $l-1=ef$ gesetzt, so findet im Kreiskörper $k(\zeta )$ die Zerlegung
* $p={\mathfrak {p}}_{1}\dots {\mathfrak {p}}_{e}$
statt, wo ${\mathfrak {p}}_{1}$, …, ${\mathfrak {p}}_{e}$ voneinander verschiedene Primideale $f$-ten Grades in $k(\zeta )$ sind [Kummer (5, 6)].
Beweis. Es sei $\alpha =a+a_{1}\zeta +\cdots +a_{l-2}\zeta ^{l-2}$ eine beliebige ganze Zahl des Kreiskörpers $k(\zeta )$; dann folgen die Kongruenzen
* ${\begin{aligned}\alpha ^{p}&\equiv \left(a+a_{1}\zeta \right.\left.+\cdots +a_{l-2}\zeta ^{l-2}\right)^{p}&&\equiv a+a_{1}\zeta ^{p}+\cdots +a_{l-2}\zeta ^{p(l-2)},&(p)\\\alpha ^{p^{2}}&\equiv \left(a+\alpha _{1}\zeta ^{p}\right.\left.+\cdots +a_{l-2}\zeta ^{p(l-2)}\right)^{p}&&\equiv a+\alpha _{1}\zeta ^{p^{2}}+\cdots +a_{l-2}\zeta ^{p^{2}(l-2)},&(p)\\\\&&&\vdots \\\alpha ^{p^{f}}&\equiv \left(a+a_{1}\zeta ^{p^{f-1}}\right.\left.+\cdots +a_{l-2}\zeta ^{p^{f-1}(l-2)}\right)^{p}&&\equiv a+a_{1}\zeta ^{p^{f}}+\cdots +a_{l-2}\zeta ^{p^{f}(l-2)}\equiv \alpha ,&(p).\end{aligned}}$
Ist nun ${\mathfrak {p}}$ ein in $p$ aufgehendes Primideal, so folgt aus der eben erhaltenen Kongruenz $\alpha ^{p^{f}}\equiv \alpha$ nach $p$ um so mehr $\alpha ^{p^{f}}\equiv \alpha$ nach ${\mathfrak {p}}$, d. h. die Kongruenz
| $\xi ^{p^{f}}-\xi \equiv 0,\qquad ({\mathfrak {p}})$ | (34) |
$k(\zeta )$
${\mathfrak {p}}$
${\mathfrak {p}}$
$=n({\mathfrak {p}})=p^{f'}$
$f'$
${\mathfrak {p}}$
$p^{f}$
$p^{f'}\leqq p^{f}$
$f'\leqq f$
Andererseits ist nach Satz 24, dem verallgemeinerten Fermatschen Satze, gewiß
| $\zeta ^{p^{f'-1}}\equiv 1,\qquad ({\mathfrak {p}}).$ | (35) |
Da nach Formel (31) für einen nicht durch $l$ teilbaren Exponenten $g$ die Zahl $1-\zeta ^{g}$ stets zu ${\mathfrak {p}}$ prim ist, so folgt aus der Kongruenz (35): $p^{f'}-1\equiv 0$ nach $l$, und damit $f'\geqq f$. Wir schließen nunmehr $f'=f$, d. h. jedes in $p$ aufgehende Primideal hat den Grad $f$.
Da $p$ nicht in der Diskriminante des Körpers $k(\zeta )$ aufgeht, so folgt nach Satz 31, daß $p$ in lauter voneinander verschiedene Primideale zerfällt. Setzen wir etwa $p={\mathfrak {p}}_{1}\dots {\mathfrak {p}}_{e'}$, so wird $n(p)=p^{l-1}=p^{e'f}$, d. h. $l-1=e'f$, $e'=e$. Damit ist der Beweis des Satzes 119 vollständig erbracht.
Zur wirklichen Aufstellung der Primideale ${\mathfrak {p}}_{1}$, …‚ ${\mathfrak {p}}_{e}$ wenden wir den Satz 33 an und berücksichtigen die im Anschluß daran auf S. 91 gemachte Bemerkung. Danach gilt identisch in $x$ nach $p$ eine Zerlegung
* $F(x)\equiv F_{1}(x)\dots F_{e}(x),\qquad (p),$
wo $F_{1}(x)$, …,$F_{e}(x)$ ganze nach $p$ irreduzible und einander inkongruente Funktionen vom $f$-ten Grade in $x$ mit ganzen rationalen Koeffizienten bedeuten. Nach Bestimmung dieser Funktionen erhalten wir die gewünschte Darstellung in den folgenden Formeln
* ${\mathfrak {p}}_{1}=\left(p,F_{1}(\zeta )\right),\ \ldots ,\ {\mathfrak {p}}_{e}=\left(p,F_{e}(\zeta )\right).$
* {{{ANMERKUNG}}}