# Till Eulenspiegels lustige Serie

Dieses Buch wurde durch die Aufnahme des Übertitels ★★★ Quadriviale Kuriositäten als exzellentes Buch ebenfalls als exzellent befunden, da es eine fantastische Wiki-Kooperation zeigt (vgl. Diskussionsseite).
Hauptteil | Exkurs „Stimmung“ | Exkurs „Schwingende Objekte“ | Exkurs „Schwingende Platten“ | Skript „Schwingende Platten“
Dieses Wikibook beschäftigt sich mit der verblüffenden Ähnlichkeit bei den Verhältnissen der Schwingungsfrequenzen der Balmer-Serie mit den Verhältnissen der Schallfrequenzen des einleitenden Motivs der Sinfonischen Dichtung Till Eulenspiegels lustige Streiche von Richard Strauss (* 1864; † 1949).
Es steht außer Zweifel, dass für solche kompositorischen Transferleistungen nicht nur eine überragende Musikalität eine Voraussetzung ist, sondern dass Richard Strauss auch über die erforderliche Genialität und den Einfallsreichtum verfügte, um aus dem physikalischen Basismaterial derart hochrangige Werke zu erschaffen.

## Einleitung

Till Eulenspiegel soll im 14. Jahrhundert ein umherstreifender gerissener Schalk gewesen sein, der sich dumm stellte und seinen Mitmenschen viele Streiche spielte.
Die nach dem Schweizer Mathematiker und Physiker Johann Jakob Balmer (* 1825; † 1898) benannte Balmer-Serie beschreibt eine Folge von Spektrallinien im Spektrum von Wasserstoffatomen, die durch spezifische Frequenzen oder Wellenlängen elektromagnetischer Strahlung beschrieben werden können und von denen fünf Linien im Bereich des sichtbaren Lichts liegen. Diese sind zunächst im Sonnenlicht nachgewiesen worden, da das chemische Element Wasserstoff Hauptbestandteil von Sternen ist und das Sonnenlicht wegen seiner großen Helligkeit sehr gut untersucht werden kann. Später wurden die Wasserstofflinien auch im Licht heller Sterne nachgewiesen, wie zum Beispiel beim hellsten Stern des Nachthimmels, nämlich Sirius (α Canis Majoris) im Sternbild Großer Hund.
Kurz bevor die Komposition entstand, hatten der Komponist Richard Strauss und der Mathematiker und Komponist Hans Sommer (* 1837; † 1922, eigentlich Hans Zincken genannt Sommer), der in der Optik sehr bewandert war, in Weimar Freundschaft geschlossen. Es könnte daher gut sein, dass Richard Strauss damals über seinen väterlichen Freund Hans Sommer von aktuellen physikalischen Entdeckungen und somit auch von der optischen Balmer-Serie erfahren hat. Mit dessen Hilfe könnte er die auf Schallfrequenzen übertragenen Frequenzen der fünf sichtbaren Spektrallinien - quasi schalkhaft - für die fünf Töne c - f - g - gis - a des Eingangsmotivs seiner Sinfonischen Dichtung Till Eulenspiegels lustige Streiche verwendet haben.

## Die Balmer-Serie

Die Atome oder Moleküle eines Gases können durch Energiezufuhr angeregt werden. Hierbei werden die Elektronen in der Atomhülle auf höhere diskrete Energieniveaus gebracht. Durch spontane Emission fallen die Elektronen irgendwann zufällig in ein niedrigeres Energieniveau zurück, wobei die dabei frei werdende Energie als elektromagnetische Strahlung in Form eines Photons abgestrahlt wird, dessen Schwingungsfrequenz $\nu$ über die Lichtgeschwindigkeit $c$ ausgedrückt werden kann, die eine festgelegte Größe hat:
    $c=299792458\,{\frac {\text{Meter}}{\text{Sekunde}}}$
    $\nu ={\frac {c}{\lambda }}$
Hierbei ist $\lambda$ die Wellenlänge des vom Atom emittierten Lichtteilchens, und jede Wellenlänge entspricht einer bestimmten gesättigten Farbe. Weißes Licht hat ein kontinuierliches Spektrum mit praktisch allen sichtbaren Wellenlängen:
Werden Atome durch Licht angeregt, werden die Photonen mit den zu den Energieniveaus passenden Wellenlängen dabei vernichtet (absorbiert), und im entsprechenden Absorptionsspektrum ist bei der dazugehörigen Wellenlänge eine dunkle Linie zu sehen. Wird ein Gas zu einem Plasmaleuchten angeregt, werden nur bei den zu den Energieniveaus passenden Wellenlängen Photonen erzeugt (emittiert), die im Emissionsspektrum dann als helle Linien zu sehen sind.
Die Lage dieser Linien auf dem Bildschirm eines optischen Spektrometers hängt von den von der Wellenlänge des untersuchten Lichtes abhängigen Brechungswinkeln des verwendeten Glasprismas beziehungsweise von den Eigenschaften des verwendeten Beugungsgitters ab. Die erzielten Brechungswinkel werden also durch die geometrische Anordnung in den eingesetzten optischen Geräten bestimmt.
Diese Wellenlängen sind auch vom Absorptionsspektrum des Lichtes der Sterne bekannt, allen voran unserer Sonne, da diese zu einem sehr großen Teil aus Wasserstoff bestehen und einen hohen Energieumsatz haben. Der englische Arzt, Physiker und Chemiker William Hyde Wollaston (* 1766; † 1828) hat 1802 als erster solche dunklen Linien im Sonnenspektrum beschrieben, er hat sie allerdings für Trennlinien zwischen den natürlichen Farben gehalten. Sie wurden unabhängig von ihm 1814 auch vom deutschen Optiker und Physiker Joseph von Fraunhofer (* 1787; † 1826) entdeckt und systematisch untersucht. Ihm zu Ehren werden sie Fraunhofer-Linien genannt. Zur Unterscheidung wurden die zahlreichen Absorptionslinien mit Buchstaben gekennzeichnet – starke Linien mit Großbuchstaben und schwächere Linien mit Kleinbuchstaben. Zu noch genaueren Differenzierungen werden zusätzliche Ziffern verwendet:
Wenn das angeregte Elektron sich in einem Wasserstoffatom befindet und von einem höheren Energieniveau $E_{m}$ zum zweittiefsten Energieniveau $E_{2}$ übergeht, ergeben sich die Wellenlängen $\lambda _{m,2}$ der Balmer-Serie. Die Spektrallinien dieser Serie sind nach dem Schweizer Mathematiker und Physiker Johann Jakob Balmer (* 1825; † 1898) benannt, der die mathematische Gesetzmäßigkeit 1885 anhand seiner empirisch gefundenen, verallgemeinerten Balmer-Formel für die Wellenlängen $\lambda _{m,n}$ in den Verhandlungen der Naturforschenden Gesellschaft in Basel darstellen konnte:
    $\lambda _{m,n}=A\left({\frac {m^{2}}{m^{2}-n^{2}}}\right)$ mit $m>n$ und $n\geq 1$
Hierbei ist
    $A=\lim _{m\to \infty }\lambda _{m,n}=\lambda _{\infty ,n}\approx 364,506820{\text{ Nanometer}}$
eine konstante Wellenlänge im Ultravioletten. Balmer nannte sie die Grundzahl des Wasserstoffs und gab ihren Wert mit 3645,6 Angström beziehungsweise 364,56 Nanometer bedingt durch die damaligen Messgenauigkeiten geringfügig höher an.
Die Existenz von Energieniveaus war zu dieser Zeit allerdings noch gar nicht bekannt, und die zeitgenössischen Forscher waren wegen der fehlenden Erklärung wie elektrisiert. Johann Jakob Balmer schrieb hierzu in seiner Veröffentlichung:
   Es sind besonders die numerischen Verhältnisse der Wellenlängen der ersten vier Wasserstofflinien, welche die Aufmerksamkeit reizen und fesseln. Die Verhältnisse dieser Wellenlängen lassen sich nämlich überraschend genau durch kleine Zahlen ausdrücken.
   Der Unterschied zwischen den berechneten und beobachteten Wellenlängen ist so klein, dass die Übereinstimmung im höchsten Grade überraschen muss.
   Aus diesen Vergleichungen ergibt sich [...], dass die Formel auch für die fünfte [...] Wasserstofflinie zutrifft.
Die Koeffizienten $k_{m,2}$ der Balmer-Serie, die sich für $n=2$ aus dem Klammerausdruck ergeben, hat Johann Jakob Balmer ebenfalls angegeben:
    $k_{m,2}={\frac {m^{2}}{m^{2}-4}}$
Diese Koeffizienten $k_{m,2}$ und die dazugehörigen Wellenlängen $\lambda _{m,2}$ lauten mit der zusätzlichen Definition $r_{3}:=1$ für die ersten fünf Spektrallinien der Balmer-Serie mit $3\leq m\leq 7$:
| m | Rationaler Wert von $k_{m,2}$ | Dezimalwert von $k_{m,2}$ | Verhältnis $r_{m}=r_{(m-1)}\cdot {\frac {k_{(m-1),2}}{k_{m,2}}}$ | Dezimalwert des Kehrwerts ${\frac {1}{r_{m}}}$ | Wellenlänge $\lambda _{m,2}=A\cdot k_{m,2}=A{\frac {k_{3,2}}{r_{m}}}$ in Nanometer |
| 3 | ${\frac {9}{5}}$ | $1,8$ | $1$ | $1$ | 656,112 |
| 4 | ${\frac {16}{12}}={\frac {4}{3}}$ | $1,{\overline {3}}$ | ${\frac {27}{20}}$ | $0,{\overline {740}}$ | 486,009 |
| 5 | ${\frac {25}{21}}$ | $1,{\overline {190476}}$ | ${\frac {189}{125}}$ | $0,{\overline {661375}}$ | 433,937 |
| 6 | ${\frac {36}{32}}={\frac {9}{8}}$ | $1,125$ | ${\frac {8}{5}}$ | $0,625$ | 410,070 |
| 7 | ${\frac {49}{45}}$ | $1,0{\overline {8}}$ | ${\frac {81}{49}}$ | $0,{\overline {604938271}}$ | 396,907 |
Balmer gab in seiner Veröffentlichung unter anderem die von Anders Jonas Ångström (* 1814; † 1874) in dessen französischsprachigem Werk über das Sonnenspektrum von 1866 experimentell bestimmten und 1868 veröffentlichten Wellenlängen für die sichtbaren Wasserstofflinien an:
| m | Wellenlänge $\lambda _{m,2}$ in Nanometer | Bezeichnung | Bezeichnung nach Fraunhofer | Farbbezeichnung | Frequenz der Wasserstofflinie $\nu _{m,2}$ in Hertz |
| 3 | 656,2 | $H_{\alpha }$ | C-Linie | Rot | $4,569\cdot 10^{14}$ |
| 4 | 486,1 | $H_{\beta }$ | F-Linie | Blaugrün | $6,168\cdot 10^{14}$ |
| 5 | 434,0 | $H_{\gamma }$ | f-Linie vor G | Blau | $6,909\cdot 10^{14}$ |
| 6 | 410,1 | $H_{\delta }$ | h-Linie | Violett | $7,311\cdot 10^{14}$ |
| 7 | 396,8 | $H_{\epsilon }$ | nahe vor $H_{I}$ | Violett | $7,553\cdot 10^{14}$ |
Alternativ können diese Serien auch mit der Rydberg-Konstante
    $R_{\infty }={\frac {4}{A}}\approx 1,0973731568160\cdot 10^{7}\,\mathrm {m^{-1}}$
für die Frequenzen $\nu _{m,n}$ beschrieben werden:
    $\nu _{m,n}=c\cdot R_{\infty }\left({\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {1}{m^{2}}}\right)$ mit $m>n$ und $n\geq 1$
Die Frequenz $\nu _{A,2}$, die sich mit der Grundzahl des Wasserstoffs für $m\rightarrow \infty$ bei der Balmer-Serie mit $n=2$ ergibt, kann also folgendermaßen berechnet werden:
    $\nu _{m,n}={\frac {c}{\lambda _{m,n}}}={\frac {c}{A\left({\frac {m^{2}}{m^{2}-n^{2}}}\right)}}$
    $\lim _{m\to \infty }\nu _{m,n}=\nu _{\infty ,2}=\nu _{A,2}={\frac {c}{A}}=c\cdot R_{\infty }{\frac {1}{4}}\approx 8,224605\cdot 10^{14}\,{\text{Hertz}}$
Der Bezeichnung durch Balmer für die Wellenlänge $A$ als Grundzahl des Wasserstoffs folgend, könnte diese Frequenz Grundschwingungszahl des Wasserstoffs genannt werden.

## Die Komposition
### Till Eulenspiegels lustige Streiche

Till Eulenspiegels lustige Streiche sind neun Jahre nach der Entdeckung der Balmer-Serie vom deutschen Komponisten Richard Strauss (* 1864; † 1949) komponiert worden. Es handelt sich um eine Tondichtung für großes Orchester mit einer Aufführungsdauer von fünfzehn Minuten, die zwischen 1893 und 1894 entstanden ist, nachdem Richard Strauss mehrere Monate in Griechenland und Ägypten verbracht hatte, um sich von den Spätfolgen einer Lungenentzündung zu erholen, und nachdem seine Oper Guntram fertig geworden worden war.
Ursprünglich hatte Richard Strauss offenbar geplant, das Werk unmittelbar mit dem bekannten und markanten sechstaktigen Till-Eulenspiegel-Motiv beginnen zu lassen. Der fünftaktige Prolog wurde von Richard Strauss erst im Laufe der Überarbeitung als Beginn der Komposition hinzugefügt. Im Verlauf der Komposition taucht das Till-Eulenspiegel-Motiv dann erst am Ende erneut auf.
Der Prolog wurde vom Komponisten schließlich mit den Worten "Es war einmal ein Schalknarr..." und "gemächlich" betitelt, das unmittelbar darauffolgende Till-Eulenspiegel-Motiv mit den Worten "...Namens „Till Eulenspiegel“" und "allmählich" lebhafter".
Der Beginn der Komposition ist in F-Dur notiert, und die fünf Töne des Till-Eulenspiegel-Motivs sind c - f - g - gis - a. Sie werden zwei Mal wiederholt:
Die Sinfonische Dichtung Till Eulenspiegels lustige Streiche trägt die Opus-Zahl 28, und sie wurde unter der Leitung des deutschen Komponisten Franz Wüllner (* 1832; † 1902) am 5. November 1895 in Köln uraufgeführt.

### Also sprach Zarathustra

Diese Sinfonische Tondichtung von Richard Strauss mit der Opus-Zahl 30, Also sprach Zarathustra wurde Ende November 1896 durch unter Leitung von Richard Strauss in Frankfurt am Main uraufgeführt.

#### Naturtonreihe

Bemerkenswert ist in diesem Zusammenhang, dass die kurz nach der Sinfonischen Dichtung Till Eulenspiegels lustige Streiche entstandene Komposition, ebenfalls sehr deutliche Bezüge physikalischen Zahlenverhältnissen hat und ein Eingangsmotiv mit fünf Tönen verwendet.
Das in der Einleitung Sonnenaufgang verwendete Eingangsmotiv ist auch aus einer physikalischen Zahlenreihe, nämlich der Naturtonreihe abgeleitet, wobei deren erster, zweiter, dritter, vierter und fünfter Ton mit den Frequenzverhältnissen 1:1, 2:1, 3:2, 4:3 und 5:4 in Bezug auf den Grundton eine zentrale Rolle spielen.
Strauss verwendet erneut das C als Basiston, der als Oktave auf Groß-C und Klein-c zunächst vier Takte lang in den Kontrabässen, im Orgelpedal und im Kontrafagott ausgehalten wird, bevor die vier C-Trompeten mit ihrem markanten aufsteigenden Motiv dazukommen. Für sein Trompetenmotiv verwendet Richard Strauss die nächsten vier Töne der Naturtonreihe c', g', c" und e", so dass schließlich ein fast vom gesamten Orchester gespielter, strahlender C-Dur-Akkord erklingt, der durch die Alteration des Terztons sogleich nach c-Moll verändert wird. Nach einem kurzen triolischen Zwischenspiel der Pauken mit den beiden Quarttönen G und c erklingt das Trompetenmotiv erneut mit umgekehrter Akkordfolge c-Moll und C-Dur. Wie auch in der Sinfonischen Dichtung Till Eulenspielgels lustige Streiche wird das Motiv ein drittes Mal gespielt und dann weiterentwickelt, wobei der aufgebaute C-Dur-Akkord bei diesem Mal als Dominante zu dem danach folgenden F-Dur gedeutet werden kann. Nach vier Takten schließt die Einleitung mit einem erneuten und lang ausgehaltenen C-Dur im Fortissimo, welches von allen Instrumenten gespielt wird.

#### Zwölftonreihe

Im weiteren Verlauf des Orchesterstückes spielt Richard Strauss in den Abschnitten Von der Wissenschaft und Der Genesende auch noch mit der in der Astronomie bedeutenden Zahl Zwölf, indem er Zwölftonreihen verwendet.
Die äußerst kunstvoll gestaltete Fuge zu Beginn des Abschnitts "Von der Wissenschaft" mit der Anweisung sehr langsam beginnt mit einem viertaktigen Thema im Viervierteltakt, dessen drei erste Töne C - G - c den drei Naturtönen des Trompetenmotivs aus der Einleitung der Komposition entsprechen, bei denen es erst eine Quinte und dann eine weitere Quarte nach oben geht. Ausgehend vom Spitzenton c ergibt sich im Folgenden eine Zwölftonreihe, die nach einem zunächst sehr simplen Rhythmus eine schnelle Triole auf Vierteln und eine weitere langsame Triole auf Halben verwendet. Der Dux wird in den vierten Celli unisono mit den vierten Kontrabässen auf C - G - c vorgetragen. Danach setzen die dritten Celli und Kontrabässe mit dem Comes eine Quinte höher auf G - d - g ein. Der zweite Comes beginnt dann wiederum eine Quinte höher auf d - a - d' und wird von den zweiten Celli und Kontrabässen übernommen. Der dritte Comes auf a - e' - a' erklingt schließlich in den ersten Celli und Kontrabässen.
Zu Beginn des sich anschließenden Abschnitts "Der Genesende" mit der Anweisung marcato wird das zwölftönige Thema zunächst in den Celli, Kontrabässen und den Posaunen, dann in den Hörnern und den Bratschen und danach in den Oboen und den zweiten Geigen noch einmal rhythmisch geringfügig verändert aufgegriffen:
Es gibt nur wenige weitere physikalische Zahlenreihen, die für die Tonhöhen von musikalischen Motiven geeignet wären. Ferner ist festzuhalten, dass Richard Strauss kein Pionier und auch kein Anhänger der Zwölftonmusik war, so dass die Tatsache, dass er dennoch damit arbeitet, als symbolisch und durchaus auch als ein wenig schalkhaft angesehen werden kann.
Siehe hierzu auch → Wikibook Zahlen / Zur Zwölf.

#### Zwölf Glockenschläge

Beim letzten Abschnitt der Komposition mit der Bezeichnung Nachtwandlerlied verwendet er zwölf mitternächtliche Glockenschläge. Die Zwölf hat nicht nur enge astronomische Bezüge zur Aufteilung der Nacht in die zwölf Nachtstunden, sondern auch zu den zwölf nachts sichtbaren Lebewesenkreiszeichen der Ekliptik, die von den sieben Wandelgestirnen durchlaufen werden und in denen sich der Planet Jupiter von der Erde aus gesehen jeweils ein Jahr lang aufhält.
Siehe hierzu auch → Wikibook Konjunktionen.

### Drei Lieder nach Gedichten von Otto Julius Bierbaum

Übrigens beschäftigen sich auch die drei Gedichte Traum durch die Dämmerung, Schlagende Herzen und Nachtgang der zwischen den beiden Sinfonischen Dichtungen geschaffenen Komposition Drei Lieder nach Gedichten von Otto Julius Bierbaum von 1895 mit der Opus-Zahl 29 mit den astronomischen Objekten Sonne, Mond und Sterne und deren Betrachtung und Wirkung in der Natur ("Licht", "Dämmerung", "Nacht", "Frühling").
* Nummer 1: Traum durch die Dämmerung (Fis-Dur / B-Dur / Fis-Dur, sehr ruhig, 2/4-Takt)
** ... im Dämmergrau, die Sonne verglomm, die Sterne ziehn,
** ... in ein blaues, mildes Licht.
** ... in ein mildes, blaues Licht.
* Nummer 2: Schlagende Herzen (G-Dur, lebhaft und heiter, Allegro giocoso, 2/4-Takt)
** ... du gold'ne Sonne in Himmelshöhn! (in strahlendem C-Dur)
* Nummer 3: Nachtgesang (c-Moll, mäßig langsam, 3/4-Takt)
** Der Mond goss silbernes Licht ...
** ... rein wie die liebe Sonne.

## Bezüge
### Intervalle

Die mit dem menschlichen Auge sichtbaren Lichtfrequenzen der ersten fünf Wasserstofflinien ($3\leq m\leq 7$) der Balmer-Serie ($n=2$) entsprechen recht genau den Verhältnissen der Tonfrequenzen der unmittelbar danach zwei Mal wiederholten fünf Töne des ersten Motivs der Sinfonischen Dichtung Till Eulenspiegels lustige Streiche:
| Tonbezeichnung | Tonfrequenz $f_{m}$ in Hertz | Frequenzverhältnis zum nächsten Ton | m | Frequenz der Wasserstofflinie $\nu _{m,2}$ in Hertz | Frequenzverhältnis zur nächsten Linie | Wellenlänge $\lambda _{m,2}$ in Nanometer |
| c | 261,6 | 1,335 | 3 | $4,569\cdot 10^{14}$ | 1,350 | 656,1 |
| f | 349,2 | 1,122 | 4 | $6,168\cdot 10^{14}$ | 1,120 | 486,0 |
| g | 392,0 | 1,059 | 5 | $6,909\cdot 10^{14}$ | 1,058 | 433,9 |
| gis | 415,3 | 1,059 | 6 | $7,311\cdot 10^{14}$ | 1,033 | 410,1 |
| a | 440,0 | | 7 | $7,553\cdot 10^{14}$ | | 396,9 |
Die in der zweiten Spalte angegebenen Tonfrequenzen beziehen sich also auf den Kammerton A mit 440 Hertz. Die in der letzten Spalte angegebenen Wellenlängen entsprechen fast exakt den fünf in der Veröffentlichung von Balmer 1884 für die Wasserstofflinien im sichtbaren Bereich angegebenen Wellenlängen (siehe oben).
Werden die Lichtfrequenzen $\nu _{m,2}$ mit dem mittleren Umrechnungsfaktor $u_{440}=5,713\cdot 10^{-13}$ multipliziert, ergeben sich die entsprechenden Tonfrequenzen $f_{m}=u_{440}\cdot \nu _{m,2}$ und die musikalischen Intervalle des aufsteigenden Motivs von Richard Strauss.

### Stimmton

An dieser Stelle muss noch festgehalten werden, dass dieser Umrechnungsfaktor willkürlich gewählt werden kann, aber irgendwie festgelegt werden muss. Die Stimmung der Musikinstrumente bei Ensemblemusik muss seit jeher durchgeführt werden, damit alle Instrumente harmonische Zusammenklänge erzeugen können. Hierzu wurden auch Stimmtöne oder ein Kammerton verwendet, deren Tonhöhe festgelegt war. Der französische Gelehrte Joseph Sauveur (* 1653; † 1716) und später auch der deutsche Physiker und Astronom Ernst Chladni (* 1756; † 1827) schlugen vor, als grundlegendes Zeitmaß einer physikalischen Stimmung die Einheit einer Sekunde für die Festlegung des Grundtons C zu verwenden. Dies bedeutet, dass der Grundton C0 exakt die Frequenz 1 Hertz hat und alle Oktaven dieses Grundtons nach oben immer exakt die doppelte Frequenz haben. Dies führt zu der folgenden Reihe:
| Tonbezeichnung | Faktor | Tonfrequenz $f$ in Hertz | Tiefster Ton der... |
| C0 | $2^{0}$ | 1 | |
| C1 | $2^{1}$ | 2 | |
| C2 | $2^{2}$ | 4 | |
| C3 | $2^{3}$ | 8 | |
| C4 | $2^{4}$ | 16 | Subkontra-Oktave |
| C5 | $2^{5}$ | 32 | Kontra-Oktave |
| C6 | $2^{6}$ | 64 | großen Oktave |
| C7 | $2^{7}$ | 128 | kleinen Oktave |
| C8 | $2^{8}$ | 256 | eingestrichenen Oktave |
| C9 | $2^{9}$ | 512 | zweigestrichenen Oktave |
| C10 | $2^{10}$ | 1024 | dreigestrichenen Oktave |
| C11 | $2^{11}$ | 2048 | viergestrichenen Oktave |
Wenn eine Referenztonhöhe für die Übertragung von Frequenzen elektromagnetischer Wellen zu Schallwellen gesucht wird, ist es für Physiker naheliegend, sich an dem Grundton C dieser physikalischen Stimmung zu orientieren.
Die ersten fünf Töne dieser Reihe haben aus musikalischer Sicht nur eine theoretische Bedeutung und sind für Menschen praktisch nicht mit einer Tonhöhe wahrnehmbar. Der Ton A ist eine große Sexte (respektive neun Halbtöne) höher als das direkt darunterliegende C beziehungsweise eine kleine Terz (respektive drei Halbtöne) tiefer als das direkt darüberliegende C. Wenn das A in der letzten Oktave zwischen C8 und C9 in dieser Reihe als Kammerton festgelegt wird, hat er bei gleichschwebender Stimmung (alle zwölf aufeinanderfolgenden Halbtonintervalle haben dasselbe Frequenzverhältnis ${2}^{\frac {1}{12}}\approx 1,059463$) die folgende Frequenz:
    $f_{A}=f_{C8}\cdot {2}^{\frac {9}{12}}=f_{C9}\cdot {2}^{-{\frac {3}{12}}}\approx 430,539{\text{ Hertz}}\approx 431{\text{ Hertz}}$
Mit einer Frequenz von 256 Hertz für den Grundton c ergeben sich die folgenden Tonhöhen für die fünf Töne des Till-Eulenspiegel-Motivs beziehungsweise die ersten fünf Linien der Balmer-Serie (3 ≤ m ≤ 7):
| Tonbezeichnung | Tonfrequenz reine Stimmung in Hertz | Tonfrequenz gleichschwebende Stimmung in Hertz | Tonfrequenz Balmer-Serie $f_{m}$ in Hertz | m | Intervall zum Grundton c |
| c | 256,000 | 256,000 | 256,000 | 3 | Prime |
| f | 341,333 | 341,719 | 345,600 | 4 | Quarte |
| g | 384,000 | 383,567 | 387,072 | 5 | Quinte |
| gis | 409,600 | 406,375 | 409,600 | 6 | Kleine Sexte |
| a | 426,667 | 430,539 | 423,184 | 7 | Große Sexte |
Hieraus resultiert ein etwas kleinerer mittlerer Faktor $u_{431}=5,591\cdot 10^{-13}$ als Proportionalitätskonstante zwischen den Licht- und den Schallfrequenzen $f_{m}=u_{431}\cdot \nu _{m,2}$ des aufsteigenden Motivs von Richard Strauss.
Diese Tonhöhen wurden beispielsweise bei der frühen Pariser Stimmung von 1829 im 19. Jahrhundert verwendet. Im Laufe der Zeit wurde die Referenztonhöhe allerdings aus praktischen Erwägungen immer höher - Saiteninstrumente klingen voller und lauter, wenn die Saiten etwas stärker gespannt werden, wobei sie allerdings eine höhere Eigenfrequenz bekommen. Richard Strauss war sich der damit verbundenen Problematik bewusst und kommentierte die gestiegene Höhe des Kammertons einige Jahre vor seinem Tod folgendermaßen:
   Die hohe Stimmung unserer Orchester wird immer unerträglicher. Es ist doch unmöglich, dass eine arme Sängerin A-Dur-Koloraturen, die ich Esel schon an der äußersten Höhengrenze geschrieben habe, in H-Dur herausquetschen soll.
   Rückkehr zum Pariser A, bevor sich unsere armen Sänger die Paar letzten noch vorhanden Stimmen verschrien haben!

### Zufall oder Koinzidenz

Es ergibt sich die Frage, ob es diese physikalischen und musikalischen Sachverhalte koinzident sind, oder ob sich um einen Zufall handeln kann. Da es offenbar keine belastbaren Belege für eine Koinzidenz gibt, ist die Frage nicht zu beantworten.
Zumindest muss festgehalten werden, dass es sich um einen äußerst bemerkenswerten Zufall handeln würde. Es gibt allein schon ${12}^{4}=20736$ Möglichkeiten, genau vier Töne aus einem Vorrat von zwölf Tönen auf einen beliebigen Anfangston folgen zu lassen. Die Wahrscheinlichkeit, dass genau die fünf Töne des Till-Eulenspiegel-Motivs aus diesem Tonvorrat zufällig ausgewählt werden, beträgt demnach knapp 0,00005. Andere Motive haben weniger oder mehr als fünf Töne, haben einen größeren Tonumfang oder haben einen anderen Anfangston, was die Anzahl der Möglichkeiten noch zusätzlich und deutlich erhöht und die Wahrscheinlichkeit eines Zufalls entsprechend verringert.
Die Wahrscheinlichkeit, dass das Motiv mit den fünf Tönen c' - f' - g' - gis' - a', das im Gegensatz zu den vielen anderen tatsächlich komponierten Motiven noch nicht einmal diatonisch ist, sondern chromatische Bestandteile hat, ausgerechnet und zufällig nur wenige Jahre nach der Entdeckung der Balmer-Serie und deren Diskussion in Fachkreisen komponiert wird, ist noch geringer.
Schließlich ist zu berücksichtigen, dass das in der Tonart F-Dur notierte Motiv mit dem Ton C beginnt, dessen Tonhöhe im 18. und 19. Jahrhundert häufig mithilfe der Definition der Zeiteinheit der Sekunde rein physikalisch festgelegt war.
Im sehr umfangreichen Répertoire International des Sources Musicales (RISM) findet sich in über einer Million Notendokumente kein anderes Beispiel, das mit einem Motiv nur aus exakt diesen fünf Tönen beginnt. Nur zwei weitere, in der Tonart C-Dur stehende Beispiele mit einer Entstehungszeit vor 1893 lassen sich finden. Die beiden Folgen mit den fünf Tönen verwenden fast die gleichen Tonlängen wie das Till-Eulenspiegel-Motiv (drei Achtelnoten, eine Viertelnote und eine Achtelnote), und das Motiv wird in beiden Beispielen einmal unmittelbar wiederholt:
* Carl Czerny (* 1791; † 1857): Klavierübung in C-Dur (6/8-Takt), opus 599, Nummer 38: Tonfolge: g", c"', d"', dis"', e"'
* Anonymus: Ländler in C-Dur (3/4-Takt), Tonfolge: g', c", d", dis", e"
Die Wahrscheinlichkeit, dass das Till-Eulenspiegel-Motiv von Richard Strauss 1893 rein zufällig entsprechend der Frequenzverhältnisse der Balmer-Serie gewählt wurde, ist nach diesen Überlegungen gewiss nicht null, sie ist aber äußerst gering.

### Weitere Beispiele
#### Wasserstoffserien

Es möge bedacht werden, dass eine rationale Folge mit fünf aufeinanderfolgenden Zahlen wie bei der Balmer-Serie keineswegs ästhetisch empfundene Tonhöhenverhältnisse ergeben muss. Bei den höheren Ordnungen in der Balmer-Serie sowie beispielsweise bei der 1906 von dem US-amerikanischen Physiker Theodore Lyman (* 1874; † 1954) gefundenen Lyman-Serie im Ultravioletten oder der 1908 von dem deutschen Physiker Friedrich Paschen (* 1865; † 1947) gefundenen Paschen-Serie im Infraroten ist das zum Beispiel nicht der Fall. Es ist bemerkenswert, dass von diesen spektralen Serien nur die Balmer-Serie im für Menschen sichtbaren Wellenlängenbereich des Lichtes liegt und gleichzeitig nur die Balmer-Serie linear in eine von Menschen harmonisch wahrnehmbare Tonfolge transformiert werden kann.

#### Obertonreihe

Es sind daher nur sehr wenige Fälle bekannt, bei denen sich physikalische Zahlenfolgen, insbesondere wenn diese auch noch mit den menschlichen Sinnen unmittelbar wahrgenommen werden können, in musikalischen Tonfolgen widerspiegeln. Ein bedeutendes Beispiel ist die natürliche Obertonreihe, die sich aus ganzzahligen Verhältnissen bei schwingenden Saiten oder in Luftsäulen ergibt und von Richard Strauss in der Sinfonischen Dichtung Also sprach Zarathustra verarbeitet wurde (siehe oben).

#### Pythagoreische Töne

Ein weiteres Beispiel mit den vier pythagoreischen Tönen c' - f' - g' - c" ist in der Legende von Pythagoras in der Schmiede überliefert.
→ Siehe auch Wikibook Pythagoras in der Schmiede.
Die ersten drei dieser Töne entsprechen den ersten drei Tönen des Till-Eulenspiegel-Motivs. Das dort unter anderem eine Rolle spielende Verhältnis zwischen den ganzen Zahlen Vier und Drei beschreibt das musikalische Intervall der reinen Quarte, die sowohl beim ersten Intervall des Till-Eulenspiegel-Motivs als auch beim zweiten Intervall des Zarathustra-Motivs auftaucht.
Die pythagoreischen Töne, die laut einiger Überlieferungen angeblich die Klänge von Hammerschlägen gewesen seien, wurden 1690 vom französisch-deutschen Organisten und Komponisten Georg Muffat (* 1653; † 1704) in seiner Orgelkomposition Nova Cyclopeias Harmonica verwendet. Diese Komposition ist von einer Aria eingerahmt, sie umfasst acht Variationen zum Thema Ad Malleorum Ictus Allusio (Zur Anspielung auf die Schläge der Hämmer) und endet mit dem Spruch Summo Deo Gloria.
Zwei Jahre darauf veröffentlichte der deutsche Geiger, Komponist und Hofkapellmeister Rupert Ignaz Mayr (* 1646; † 1712), der wie Georg Muffat Schüler des italienischen Komponisten Jean-Baptiste Lully (* 1632; † 1687) war, die sieben dem Kurfürsten von Bayern Maximilian II. Emanuel gewidmeten Orchestersuiten:
    Pythagorische Schmids=Fuencklein
    Bestehend in unterschiedlichen Arien / Sonatinen / Ouverturen / Allemanden / Couranten / Gavotten / Sarabanden / Giquen / Menueten / &c.
    Mit 4.Instrumenten und beygefügten General-Baß, Bey Tafel=Musicken / Comœdien / Serenaden / und zu anderen fröhlichen Zusammenkunfften zu gebrauchen.
Schon die Pythagoreer waren der Auffassung, dass sich in der Astronomie dieselben zahlenmäßigen Gesetzmäßigkeiten zeigen wie in der Musik. Es gab auch später immer wieder Versuche, die Umlaufbahnen der Planeten mit harmonischen Klängen in Verbindung zu bringen, wie zum Beispiel durch Johannes Kepler (* 1571; † 1630) in seinem Werk Harmonices mundi libri V (fünf Bücher über die Harmonien der Welt) von 1619, in dem er astronomische Zahlenverhältnisse auf musikalische Intervalle übertrug. Der deutsche Komponist Paul Hindemith (* 1895; † 1963) griff dieses Thema auf und schuf 1951 die Symphonie Die Harmonie der Welt mit den drei Sätzen Musica instrumentalis (wörtlich: "werkzeugliche Musik"), Musica humana (wörtlich: "menschliche oder gebildete Musik") und Musica mundana (wörtlich: "Weltmusik") sowie 1957 das Libretto und die Musik zur gleichnamigen Oper in fünf Akten. In der Einleitung zu seinem musiktheoretischen Werk Unterweisung im Tonsatz schreibt er:
   Ich weiß mich mit dieser Einstellung zum Handwerklichen des Tonsatzes einig mit den Anschauungen, die gültig waren lange vor der Zeit der großen klassischen Meister. Wir finden ihre Vertreter im frühen Altertum; weitblickende Künstler des Mittelalters und der Neuzeit bewahren die Lehre und geben sie weiter. Was war ihnen das Tonmaterial? Die Intervalle waren Zeugnisse aus den Urtagen der Weltschöpfung; geheimnisvoll wie die Zahl, gleichen Wesens mit den Grundbegriffen der Fläche und des Raumes, Richtmaß gleicherweise für die hörbare wie die sichtbare Welt; Teile des Universums, das in gleichen Verhältnissen sich ausbreitet wie die Abstände der Obertonreihe, so daß Maß, Musik und Weltall in eins verschmolzen.

#### Fibonacci-Folge

Auch mit mathematisch definierten Zahlenfolgen, wie zum Beispiel der Fibonacci-Folge, können Melodien geschaffen werden. Die Fibonacci-Folge geht auf den mittelalterlichen Mathematiker Leonardo Fibonacci aus Pisa (* um 1170; † nach 1240) zurück, und ergibt mit den beiden Startwerten Null und Eins immer wieder neue nachfolgende ganze Zahlen, indem die letzten beiden Zahlen der Folge jeweils addiert werden:
    $f_{0}=0$
    $f_{1}=1$
    $f_{i+2}=f_{i+1}+f_{i}\,\forall \,i\in \mathbb {N} _{0}$
Daraus ergibt sich die folgende unendliche Zahlenreihe:
    $f_{2}=1$
    $f_{3}=2$
    $f_{4}=3$
    $f_{5}=5$
    $f_{6}=8$
    $f_{7}=13$
    $f_{8}=21$
    $f_{9}=34$
    $f_{10}=55$
    $f_{11}=89$
    $f_{12}=144$
    $\dots$
Mit zunehmender Länge der Folge nähert sich das Verhältnis der beiden letzten Zahlen immer mehr dem Goldenen Schnitt:
    $\lim _{i\to \infty }{\frac {f_{i}}{f_{i-1}}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1,6180339887498948482$
Auch in der Physik hat diese Zahlenfolge eine Bedeutung. Bei einer optischen Doppelschicht, die an den beiden Außenflächen und zwischen den beiden optischen Schichten halbverspiegelt ist, wird jeweils die Hälfte des auftreffenden Lichtes reflektiert und die andere Hälfte transmittiert. Zählt man, wie viele Kombinationen $k$ von unterschiedlichen Strahlengängen es für eine gegebene Anzahl $n$ von aufeinanderfolgenden Reflexionen innerhalb der Doppelschicht gibt, ergibt sich mit der folgenden Bedingung eine Fibonacci-Folge:
    $k=f_{n+2}$
Diese Erkenntnis geht auf den in Wien geborenen kanadischen Mathematiker Leo Moser (* 1921; † 1970) zurück.
Das Notenbeispiel rechts zeigt ein Fibonacci-Jingle mit den ersten sieben Fibonacci-Zahlen von Null bis Acht als Melodie mit den Tonstufen in der Tonart C-Dur in physikalischer Stimmung (c = 2$^8$ Hertz = 256 Hertz) mit reinen Intervallen mit ganzzahligen Schwingungszahlen pro Sekunde. Die Stimmtonhöhe für den Ton a' liegt hierbei wie bei der Pariser Stimmung bei rund 430,5 Hertz. Die Zahl Null wird in der Melodie durch eine Pause repräsentiert, und die folgenden sechs Zahlen entsprechen den Tonstufen c', c', d', e', g', c":
| Tonbezeichnung | Tonfrequenz $f$ in Hertz | Intervall | Verhältnis zum Grundton |
| C8 | 256 | Grundton | 1 |
| C8 | 256 | Prime | 1:1 |
| D8 | 288 | Sekunde | 9:8 |
| E8 | 320 | Große Terz | 5:4 |
| G8 | 384 | Quinte | 3:2 |
| C9 | 512 | Oktave | 2:1 |

## Quantenphysikalischer Hintergrund

Als die Spektrallinien entdeckt worden waren und selbst 1884 als Johann Jakob Balmer die mathematischen Gesetzmäßigkeiten empirisch gefunden und mit der Balmer-Formel beschrieben hatte, waren die physikalischen und theoretischen Ursachen für die Entstehung solcher diskreten Spektrallinien noch völlig unbekannt. Erst in der ersten Hälfte des zwanzigsten Jahrhunderts gelang es mit Hilfe der Quantenmechanik, den Bau der Atome und die Wechselwirkung zwischen geladenen Materieteilchen (beispielsweise Elektronen) und den Lichtteilchen (Photonen) sehr genau zu beschreiben.
Das elektromagnetische Lichtfeld reagiert mit anderen Teilchen so, dass ein Quantum mit der Energie
    $E=h\cdot \nu$
entweder aufgefangen oder abgegeben wird. Die Konstante
    $h=6,62607015\cdot 10^{-34}{\text{ Joulesekunden}}$
ist das Plancksche Wirkungsquantum (in Joulesekunden) und $\nu$ ist die Frequenz einer elektromagnetischen Welle.
Die Teilchennatur des Lichts folgerten in den Jahren von 1899 bis 1905 der deutsche Forscher Max Planck (* 1858; † 1947) aus den Gesetzmäßigkeiten der Wärmestrahlung und in verschärfter Form sein jüngerer Kollege Albert Einstein (* 1879; † 1955) in der Veröffentlichung Ueber einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt aus dem lichtelektrischen Effekt (oder Photoeffekt). 1918 wurde Max Planck für die Entdeckung der Energiequanten und 1921 Albert Einstein für die Entdeckung des Gesetzes des photoelektrischen Effekts der Nobelpreis für Physik verliehen. Das Schlagwort vom Dualismus Welle-Korpuskel durchzieht seither die schwierigen Diskussionen darüber, wie die Physik der mikroskopisch kleinen Dinge zu verstehen ist. Ja, selbst die Schallwellen der Musik haben klitzekleine Körner: die Phononen mit einer Energie proportional zur Frequenz nach der Planck-Einstein-Formel.
Auch ein Teilchen mit einer Ruhemasse, wie zum Beispiel ein Elektron, kann als eine Materiewelle aufgefasst werden. Die nach dem französischen Physiker Louis-Victor de Broglie (* 1892; † 1987) benannten De-Broglie-Gleichungen von 1924 stellen die Bezüge zwischen Wellenlänge $\lambda$ und Frequenz $\nu$ für Materiewellen her, die für Teilchen mit der Energie $E$ beziehungsweise mit dem Impuls $p$ gelten:
    $\lambda ={\frac {h}{p}}$
    $\nu ={\frac {E}{h}}$
Für die Entdeckung der Wellennatur der Elektronen wurde ihm 1929 der Nobelpreis für Physik verliehen
Als Max Planck das Wirkungsquantum einführte, ahnte er noch nicht, welche universelle Tragweite die Konstante hat. Sie verkettet die Werteskala von Raum und Zeit eindeutig und fundamental mit der von Masse, Energie und Impuls. Im modernen Internationalen Einheitensystem kennt die Mechanik nur noch eine willkürliche Größe, die Sekunde. Meter und Kilogramm werden über die endgültig festgeschriebenen Werte der universellen Lichtgeschwindigkeit $c$ (seit 1983) und der Planck-Konstanten $h$ (seit 2019) von der Sekunde abgeleitet. Die Dauer einer Sekunde wurde 1967 auf 9 192 631 770 Perioden eines Quantenübergangs von Caesium-Atomen festgelegt.

### Wasserstoffatom

Die angegebenen Formeln betreffen die Materiewellen von freifliegenden Teilchen. Wenig später baute ein brillanter Theoretiker die allgemeineren Wellengleichungen mit Kräften, die Teilchen anziehen oder abstoßen. Platz frei für das Paradebeispiel dieser neuen Wellenmechanik!
Die Bindung zwischen dem negativ geladenen Elektron und dem positiv geladenen Proton des Wasserstoffatoms (genauer: des leichtesten Wasserstoff-Isotops Protium) nimmt genau dann eine relativ zeitstabile, also stationäre, Form an, wenn es eine räumlich konzentrierte stehende Welle gibt, die die berühmte Schrödinger-Gleichung erfüllt, die 1926 vom österreichischen Physiker Erwin Schrödinger (* 1887; † 1961) aufgestellt wurde. Wie bei großen mechanischen Objekten auch, etwa Saiten und Orgelpfeifen, sind die möglichen Frequenzen ihrer verschiedenen Schwingungsformen oder stehenden Wellen sehr gut mit kleinen ganzen Zahlen verbunden. Seit Pythagoras wissen wir, dass die harmonischen Intervalle von Tönen nichts anderes sind als solche Frequenzen, deren Verhältnisse zwei ganze Zahlen sind. Sie treten gern in Erscheinung als die Eigenfrequenzen von schwingenden Objekten.
Die Eigenfrequenzen des Wasserstoffatoms folgen mit $n=1,2,3,...$ der Formel
    $\nu _{n}={\frac {\nu _{1}}{n^{2}}}$,
wo $\nu _{1}$ die höchste vorkommende Frequenz ist. Die Bindungsenergien des Atoms werden negativ gemessen in Bezug auf ein ungebundenes Paar aus Elektron und Proton. Die Folge lautet:
    $E_{n}=-h\cdot \nu _{n}$
Wieder zieht die Plancksche Konstante $h$ ein. Die tiefste Energie für die Hauptquantenzahl 1 ergibt sich zu:
    $E_{1}=-h\cdot \nu _{1}\approx -13,6{\text{ eV}}$
Diese Energie gehört zur kugelförmigen stehenden Welle, in der keine Knoten vorkommen.
Also folgt:
    $E_{n}=-{\frac {h\cdot \nu _{1}}{n^{2}}}={\frac {E_{1}}{n^{2}}}$
Die Abkürzung eV steht für die Energieeinheit ' Elektronenvolt, die in der Atomphysik häufig verwendet wird'. Die Umrechnung einer Energie zwischen der Maßeinheit Joule und der Maßeinheit Elektronenvolt ist mit der Ladung eines Elektrons
    $e=1,602176634\cdot 10^{-19}{\text{ Coulomb}}$
definiert:
    $E{\text{ (in Joule)}}=e\cdot E_{eV}{\text{ (in Elektronenvolt)}}$
    $E_{eV}{\text{ (in Elektronenvolt)}}={\frac {E{\text{ (in Joule)}}}{e}}$
Bei der Energiedifferenz von einem Elektronenvolt handelt sich also um die Energie, die ein Elektron gewinnt oder verliert, wenn es in einem elektrischen Feld eine Potentialdifferenz von einem Volt durchlaufen hat.
Somit liegt die höchste Eigenfrequenz $\nu _{1}$ beziehungsweise die kleinste Wellenlänge $\lambda _{1}$ des Wasserstoffatoms im Ultravioletten:
    $\nu _{1}\approx 3,2899\cdot 10^{15}{\text{ Hertz}}=3,2899{\text{ Petahertz}}$
    $\lambda _{1}\approx 91,125{\text{ Nanometer}}$
Wird diese der höchsten Eigenfrequenz $\nu _{1}$ entsprechende Wellenlänge $\lambda _{1}$ auf einen vollständigen Kreis gelegt, ergibt sich aus dessen Umfang ein Radius von rund 14,5 Nanometern. Dieser Radius ist nicht identisch mit dem Radius des Wasserstoffatoms im niedrigsten Energiezustand, dem so genannten Bohrschen Radius, da hierfür zusätzlich zur kinetischen Energie auch die potentielle Energie im elektrischen Feld zwischen positiv geladenem Atomkern und negativ geladenem Elektron berücksichtigt werden muss, die eine Anziehungskraft bewirkt. Der Bohrsche Radius beträgt deswegen nur ungefähr 53 Pikometer, also weniger als ein Tausendstel von $\lambda _{1}$.
Die angeregten Energien $E_{n}$ haben eine symmetrische räumliche Struktur mit Knotenflächen, welche die Wellenform in eine Anzahl von 'Keulen' oder 'Bäuchen' aufteilen. Beispiele rechts im Bild zu den Hauptquantenzahlen n von 1 bis 4. Zu sehen sind Flächen konstanter Amplitude und Farben konstanter Phase.
Die Quantenmechanik erklärt, wie das Wasserstoffatom leuchtet. Es geht vom Zustand $E_{m}$ in den tieferen Zustand $E_{n}$ mit $m>n$ über. Die Energie $\Delta E=E_{m}-E_{n}$ wird dabei an ein Photon übergeben, dessen Frequenz in der Spektralserie liegt und die mit der folgenden vom schwedischen Physiker Johannes Robert Rydberg Rydberg-Formel mit der Rydberg-Konstanten $R_{\infty }={\frac {4}{A}}$ (siehe oben) berechnet werden kann:
    $\Delta E=h\cdot \nu _{m,n}=h\cdot \nu _{m,n}\cdot \lambda _{m,n}\cdot R_{\infty }\left({\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {1}{m^{2}}}\right)=h\cdot c\cdot R_{\infty }\left({\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {1}{m^{2}}}\right)=h\cdot \nu _{1}\left({\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {1}{m^{2}}}\right)$
Beziehungsweise sowie über die Beziehung $|E_{1}|={\frac {h\cdot c}{e}}\cdot R_{\infty }$ in der Maßeinheit Elektronenvolt:
    $\Delta E_{eV}={\frac {h\cdot \nu _{m,n}}{e}}=|E_{1}|\left({\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {1}{m^{2}}}\right)={\frac {h\cdot c}{e}}\cdot R_{\infty }\left({\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {1}{m^{2}}}\right){\text{ (in Elektronenvolt)}}$
Die höchste Eigenfrequenz $\nu _{1}$ kann demzufolge auch mit der Rydberg-Konstante ausgedrückt werden:
    $\nu _{1}=c\cdot R_{\infty }={\frac {4\cdot c}{A}}$
Zu den Methoden der Physik gehört eine Störungsrechnung, wonach bereits eine klassisch gedachte elektrische Schwingung die stimulierten Quantenübergänge des Wasserstoffs hervorruft, und zwar genau mit dem experimentell bestätigten Spektrum von Frequenzen. Aber um die spontane Emission von Lichtquanten zu erklären, musste eine gründliche teilchenartige Behandlung des Lichtfeldes her: die Quantenfeldtheorie. Mit deren Rechenmethoden kommt dann korrekt heraus, dass die angeregten Zustände des Atoms nicht ganz stabil sind. Aus dem Vakuum können die Photonen auftauchen, die an die passenden Zustände von Elektronen ankoppeln.
Eine tiefschürfende Deutung des Wasserstoff-Spektrums verdanken wir dem österreichischen Physiker Wolfgang Pauli (* 1900; † 1958), der mit den Physikern Niels Bohr (* 1885; † 1962) aus Dänemark, Werner Heisenberg (* 1901; † 1976) aus Deutschland, dem oben bereits erwähnten Erwin Schrödinger und anderen maßgeblich zur wissenschaftlichen Revolution der Quantenmechanik beitrug. Niels Bohr wurde 1922 für seine Verdienste um die Erforschung der Struktur der Atome und der von ihnen ausgehenden Strahlung der Nobelpreis für Physik verliehen. Werner Heisenberg wurde 1932 für die Begründung der Quantenmechanik, deren Anwendung unter anderem zur Entdeckung der allotropen Formen des Wasserstoffs geführt hat, damit geehrt.
Wolfgang Pauli gelang 1926 eine algebraische Formulierung des Wasserstoff-Modells dank einer in sich geschlossenen Gruppe von Symmetrie-Operatoren. Er konnte das Spektrum ganz ohne die lästigen Schrödingerschen Differenzialgleichungen herleiten. Die spezielle Form der Coulomb-Anziehung zwischen Elektron und Proton erlaubt einen hohen Grad von Symmetrie.
Seither spielten die Symmetriegruppen eine steigende Rolle in der Physik. Häufig werden solche Gruppen in der Natur dargestellt in Verbindung mit Serien von ganzen Quantenzahlen. Symmetrie und Harmonie sind offenbar eng miteinander verbunden. Der deutsche theoretische Physiker Arnold Sommerfeld (* 1868; † 1951) schrieb im September 1919 in München im Vorwort seines Buches Atombau und Spektrallinien:
   Seit der Entdeckung der Spektralanalyse konnte kein Kundiger zweifeln, daß das Problem des Atoms gelöst sein würde, wenn man gelernt hätte, die Sprache der Spektren zu verstehen. Das ungeheure Material, welches 60 Jahre spektroskopischer Praxis aufgehäuft haben, schien allerdings in seiner Mannigfaltigkeit zunächst unentwirrbar. Fast mehr haben die sieben Jahre Röntgenspektroskopie zur Klärung beigetragen, indem hier das Problem des Atoms an seiner Wurzel erfaßt und das Innere des Atoms beleuchtet wird. Was wir heutzutage aus der Sprache der Spektren heraus hören, ist eine wirkliche Sphärenmusik des Atoms, ein Zusammenklingen ganzzahliger Verhältnisse, eine bei aller Mannigfaltigkeit zunehmende Ordnung und Harmonie. Für alle Zeiten wird die Theorie der Spektrallinien den Namen Bohrs tragen. Aber noch ein anderer Name wird dauernd mit ihr verknüpft sein, der Name Plancks. Alle ganzzahligen Gesetze der Spektrallinien und der Atomistik fließen letzten Endes aus der Quantentheorie. Sie ist das geheimnisvolle Organon, auf dem die Natur die Spektralmusik spielt und nach dessen Rhythmus sie den Bau der Atome und Kerne regelt.
Siehe auch:
* → Wikibook Quantenmechanik
* → Wikibook Unsere Quantenwelt

## Musiktheoretischer Hintergrund
### Auditive Wahrnehmung

Das menschliche Ohr ist ein bemerkenswertes Messinstrument, das sowohl für die Amplituden wie für die Frequenzen von Schallwellen eine logarithmische Empfindlichkeit aufweist. Das bedeutet, dass für uns die Lautstärke um den gleichen Schritt zunimmt, wenn die Amplitude mit demselben Faktor multipliziert wird - nicht etwa wenn derselbe Betrag addiert wird. Genauso steigt die Tonhöhe für uns um den gleichen Schritt, wenn die Frequenz um einen Faktor erhöht wird. Der Faktor zwei wird besonders deutlich wahrgenommen, nämlich als eine Oktave. Im Abstand von Oktaven klingen die Melodien so ähnlich, dass man den Tönen den gleichen Namen gibt, versehen mit Strichlein oder Ziffern, wenn man die Oktavenlage angeben will.
Vielen ist das logarithmische Maß geläufig, mit dem wir die Verhältnisse von Amplituden beschreiben. Ein Faktor zehn wurde als 20 Dezibel definiert. Ein Amplitudenfaktor $q$ kann mit dem dekadischen Logarithmus $\operatorname {lg}$ beziehungsweise $\log _{10}$ oder mit einem Logarithmus zu einer beliebigen Basis $\log$ in einen Pegel $Q$ in der Maßeinheit Dezibel (dB) umgerechnet werden:
    $Q{\text{ (in Dezibel)}}=20{\text{ dB}}\cdot \log _{10}q=20{\text{ dB}}\cdot {\frac {\log q}{\log 10}}$
Das gleiche Prinzip funktioniert bei den Frequenzen respektive den wahrgenommenen Tonhöhen. Ein Faktor zwei wurde als 1200 Cent definiert. Alle zwölf Halbtöne - beziehungsweise alle kleine Sekunden - haben in der Musiktheorie bei der gleichstufigen Stimmung definitionsgemäß eine Größe von 100 Cent. Zwölf gleichgroße Halbtöne direkt übereinander ergeben eine Oktave, die demzufolge eine Größe von 1200 Cent hat. Der Tonhöhenunterschied $c$ in der Maßeinheit Cent (C) bei einem vorgegebenen Frequenzverhältnis $q$ kann mit der folgenden Formel ebenfalls mit einem Logarithmus zu einer beliebigen Basis $\log$ oder mit dem Logarithmus dualis $\operatorname {ld}$ beziehungsweise $\log _{2}$ berechnet werden:
    $c{\text{ (in Cent)}}=1200{\text{ C}}\cdot \log _{2}{q}=1200{\text{ C}}\cdot {\frac {\log {q}}{\log {2}}}$
Die Bezeichnung Cent für die Maßeinheit wurde 1875 von Alexander John Ellis (* 1814; † 1890) im Anhang zu seiner Übersetzung von Hermann von Helmholtz’ Buch Die Lehre von den Tonempfindungen als physiologische Grundlage für die Theorie der Musik zum Größenvergleich von Intervallen vorgeschlagen.

### Intervalle

Zwei Töne, die als ein musikalisches Intervall im ganzzahligen Schwingungsverhältnis zueinanderstehen, werden als konsonant klingend empfunden. Dies ist besonders deutlich bei der Prime und bei der Oktave, bei denen das Frequenzverhältnis 1:1 beziehungsweise 1:2 ist. Je größer die beiden ganzen Zahlen werden, desto geringer wird der Effekt wahrgenommenen Konsonanz und somit einer harmonischen Wahrnehmung. Dieser Effekt ist für geübte Ohren auch bei der reinen Quinte (Frequenzverhältnis 2:3) und bei der reinen Quarte (Frequenzverhältnis 3:4) noch gut zu hören. Instrumente ohne fest vorgegebene Tonhöhen wie Streicher oder Posaunen sowie Gesangsensembles können auch große und kleine Terzen (Frequenzverhältnis 4:5 und 5:6) beziehungsweise kleine und große Sexten (Frequenzverhältnis 5:8 und 3:5) rein intonieren. Insbesondere bei Dur- und Moll-Dreiklängen, die aus drei Tönen im Abstand einer großen und einer kleinen Terz beziehungsweise einer Quinte zusammengesetzt sind, entsteht durch die Verwendung reiner Intervalle ein besonders harmonisch empfundener Klang.
Die folgende Tabelle gibt die Frequenzverhältnisse bei den musikalischen Intervallen von der Prime bis zur Oktave in der reinen Stimmung und in Bezug auf die Quarte, Quinte und Oktave in pythagoreischer Stimmung wieder:
| Intervall | Frequenzverhältnis in reiner Stimmung | Frequenzverhältnis in reiner Stimmung als Dezimalwert | Frequenzverhältnis in gleichstufiger Stimmung als Dezimalwert | Abweichung zwischen reiner Stimmung und gleichstufiger Stimmung in Cent |
| Prime | 1:1 | 1,0000 | 1,0000 | 0 |
| Kleine Sekunde | 15:16 | 0,9375 | 0,9439 | 12 |
| Große Sekunde | 8:9 | 0,8889 | 0,8909 | 4 |
| Kleine Terz | 5:6 | 0,8333 | 0,8409 | 16 |
| Große Terz | 4:5 | 0,8000 | 0,7937 | -14 |
| Quarte | 3:4 | 0,7500 | 0,7492 | -2 |
| Tritonus | 25:36 | 0,6944 | 0,7071 | 31 |
| Quinte | 2:3 | 0,6667 | 0,6674 | 2 |
| Kleine Sexte | 5:8 | 0,6250 | 0,6300 | 14 |
| Große Sexte | 3:5 | 0,6000 | 0,5946 | -16 |
| Kleine Septime | 9:16 | 0,5625 | 0,5612 | -4 |
| Große Septime | 8:15 | 0,5333 | 0,5297 | -12 |
| Oktave | 1:2 | 0,5000 | 0,5000 | 0 |
Der Tritonus ist also das Intervall zwischen der Quarte und der Quinte. Am großen Zahlenverhältnis 25:36 liest man ab, ohne den Zweiklang gehört zu haben: da kommt eine Dissonanz heraus. In gleichstufiger Stimmung haben die beiden Töne das folgende irrationale Frequenzverhältnis (auch kein sanfter Klang):
    $2^{-{\frac {6}{12}}}=2^{-{\frac {1}{2}}}={\sqrt {\frac {1}{2}}}$
Positive Abweichungen in der letzten Spalte mit der Maßeinheit Cent bedeuten, dass der Ton der reinen Stimmung höher ist als der Ton der gleichstufigen Stimmung, und negative Abweichungen bedeuten, dass der Ton der reinen Stimmung tiefer ist als der Ton der gleichstufigen Stimmung.
Bemerkenswert ist, dass bei den oben in der Tabelle angegebenen ganzzahligen Verhältnissen unter den Zahlen mit nur einer Ziffer allein die Sieben nicht auftaucht, was unterstreicht, dass sie aus Sicht einiger mittelalterlicher Autoren eine besondere Zahl ist.
Mehr zu den Stimmungen und mancherlei pingelige Berechnungen gibt es hier zu lesen:
* Till Eulenspiegels lustige Serie/ Stimmung
→ Siehe hierzu auch:
* Wikibook / Zahlen / Zur Sieben
* Wikibook / Zahlen / Tonsysteme
Die nächste Tabelle stellt die entsprechenden musikalischen reinen Intervalle den Frequenzverhältnissen bei der Balmer-Serie gegenüber:
| Intervall | Frequenzverhältnis in reiner Stimmung | Frequenzverhältnis in der Balmer-Serie | Verhältnis der Frequenzverhältnisse bei der Balmer-Serie und bei reiner Stimmung | Abweichung zwischen Balmer-Serie und gleichstufiger Stimmung in Prozent | Abweichung zwischen Balmer-Serie und gleichstufiger Stimmung in Cent |
| Prime | 1:1 | 1:1 | 1:1 | 0 | 0 |
| Quarte | 3:4 | 20:27 | 80:81 | -1,6 | -20 |
| Quinte | 2:3 | 125:189 | 375:378 | -1,3 | -16 |
| Kleine Sexte | 5:8 | 5:8 | 1:1 | 0 | 0 |
| Große Sexte | 3:5 | 49:81 | 245:243 | 0,8 | 14 |
Schließlich noch eine Tabelle, die die entsprechenden musikalischen Intervalle aus der Balmer-Serie mit den Frequenzverhältnissen bei gleichstufiger Stimmung vergleicht:
| Intervall | Frequenzverhältnis in der Balmer-Serie | Frequenzverhältnis in gleichstufiger Stimmung | Abweichung zwischen Balmer-Serie und gleichstufiger Stimmung in Prozent | Abweichung zwischen Balmer-Serie und gleichstufiger Stimmung in Cent |
| Prime | 1:1 | 1,0000 | 0 | 0 |
| Quarte | 20:27 | 0,7492 | -1,1 | 20 |
| Quinte | 125:189 | 0,6674 | 0,9 | 16 |
| Kleine Sexte | 5:8 | 0,6300 | 0,8 | 14 |
| Große Sexte | 49:81 | 0,5946 | -1,7 | -30 |
Von Schwingungen, Wellen und Obertönen handelt das technische Kapitel, das etwa 30 Papierseiten entspricht:
→ Till Eulenspiegels lustige Serie/ Schwingende Objekte.
Es schürft in den physikalischen Grundlagen für Schwingungen und Wellen in Stoffen und bemüht reichlich Formeln und Algorithmen dazu.

## Hans Sommer

Der Komponist und Naturwissenschaftler Hans Sommer könnte Richard Strauss den Sachverhalt über die akustisch-musikalisch Variante der optisch-physikalischen Balmer-Serie vermittelt haben. Es ist leicht nachvollziehbar, dass er über Entdeckungen in der Optik und der Physik bestens unterrichtet war.
Hans Sommer hieß als Sohn von Otto Gustav Zincken (* 1809; † 1940) eigentlich Hans Friedrich August Zincken genannt Sommer. Der Vater von Otto Gustav Zincken war der promovierte Herzoglich Braunschweigischer Hofmedicus Julius Leopold Theodor Friedrich Zincken (* 1770; † 1856), der wiederum der Sohn des Justizbeamten Carl Friedrich Wilhelm Zincken (* 1729; † 1806) und seiner Frau Sophie Schläger war. Diese Ehe wurde geschieden und beide Ehepartner heirateten erneut. Sophie Schläger heiratete 1782 Johann Christoph Sommer (* 1741; † 1802), der als Hofrat und Professor für Anatomie am Anatomisch-Chirurgischen Institut in Braunschweig tätig war und dessen Nachname fortan bei ihren Nachfahren der Familie Zincken geführt wurde.
Hans Sommers Vater starb als er zweieinhalb Jahre alt war. Seine verwitwete Mutter, Nanny Langenheim (* 1813; † 1902), heiratete 1845 den Unternehmer, Optiker und Pionier der Photographie Peter Wilhelm Friedrich von Voigtländer (* 1812; † 1878). Dessen Vater war der Optiker Johann Friedrich Voigtländer (* 1779; † 1859), der seit 1808 die Firma J. F. Voigtländer, Werkstätte für optische und feinmechanische Instrumente führte und der Nachfahre des Optikers und Erfinders Johann Christoph Voigtländer war (* 1732; † 1797).
Hans und Antonie Sommer hatten die beiden Söhne Otto und Richard.
Hans Sommer war ausgebildeter Mathematiker, und er war in Göttingen auch von dem Physiker Wilhelm Eduard Weber (* 1804; † 1891) unterrichtet worden. Bereits 1866 wurde er in Braunschweig am Polytechnikum Collegium Carolinum Professor für Mathematik. Zwölf Jahre später wurde er zum Rektor ernannt, und er war bei der Überführung des Collegiums in die Herzogliche Technische Hochschule Carolo-Wilhelmina beteiligt, die heute die Technische Universität Braunschweig ist. Er forschte in Braunschweig bis 1884 insbesondere auf dem Gebiet der angewandten Optik.
Er half als einer der Pioniere in der angewandten Optik auch seinem Stiefvater Peter Wilhelm Friedrich Ritter von Voigtländer, der zusammen mit seinem Vater Johann Friedrich Voigtländer ab 1849 als Unternehmer die optischen Werke Voigtländer & Sohn in Braunschweig führte.
Im Jahr 1858 veröffentlichte Hans Sommer in Göttingen seine Inaugural-Dissertation zur Erlangung der philosophischen Doktorwürde mit dem Titel Zur Bestimmung der Brechungsverhältnisse. Hierin widmet er sich auch und ausführlich der Brechung am Prisma, mit dessen Hilfe weißes Licht spektral aufgespalten werden kann, um zum Beispiel Spektrallinien erkennen und vermessen zu können.
Im Jahr 1870 veröffentlichte Hans Sommer in Braunschweig ein Buch mit dem Titel Über die Dioptik der Linsen-Systeme, in dem er ebenfalls auf den Brechungseffekt eingeht.
→ Siehe hierzu auch Wikibook Digitale bildgebende Verfahren / Ablenkung von Lichtstrahlen
Hans Sommer und Richard Strauss gründeten 1903 gemeinsam die Anstalt für musikalische Aufführungsrechte (AFMA), die als erste Vorgängerorganisation der späteren Gesellschaft für musikalische Aufführungs- und mechanische Vervielfältigungsrechte (GEMA) gilt.
2019 wurde der Briefwechsel zwischen Richard Strauss und Hans Sommer in Buchform herausgegeben.

## Nachwort

Ohne die vielfältigen Forschungsergebnisse und bemerkenswerten Entdeckungen aus dem 19. Jahrhundert wäre es sehr schwierig gewesen, die Quantentheorie zu entwickeln. Und ohne das tiefere Verständnis der Quantenmechanik gäbe es vermutlich keine Halbleiter, die heute fast in jedem Haushalt vorhanden sind. Mit explizitem Bezug auf die Lichtemission möge zur Kenntnis genommen werden, dass durch die Erforschung der vielen verschiedenen diskreten Energieniveaus von Gasen, Kristallen und Halbleitern, heute Leuchtstofflampen, Laser und Leuchtdioden hergestellt werden können, die praktisch bei jeder beliebigen Wellenlänge in einem weiten Spektralbereich vom Infraroten bis zum Ultravioletten monochromatisches Licht emittieren. Leuchtdioden werden heute als energieeffiziente Leuchtmittel in der Beleuchtungstechnik und bei fast allen Bildschirmen eingesetzt.
→ Siehe auch Wikibook Digitale bildgebende Verfahren / Beleuchtung / Lichtquellen
Bislang sind für die hier aufgestellte interdisziplinäre Hypothese, dass die Entdeckung der ganzzahligen Verhältnisse bei der optisch-physikalischen Balmer-Serie die Umsetzung in ein akustisch-musikalisches Motiv angeregt haben könnte, keine schriftlichen Quellen bekannt geworden. Diese Geschichte wurde allerdings über Generationen von Physikern mündlich tradiert. Der Hauptautor hatte sie Mitte der 1980er Jahre in einer Lehrveranstaltung der Technischen Universität Berlin von Professor Gerd Koppelmann (* 5. September 1929; † 21. September 1992) erfahren. Der Hauptautor dankt seinem Doktorvater Professor Heinz Niedrig für den Nachruf auf dessen Kollegen Gerd Koppelmann.

## Literatur

* Markus Bautsch: Die von Johann Jakob Balmer gefundenen Zahlenverhältnisse bei den Spektrallinien des Wasserstoffs, in: Gudrun Wolfschmidt (Herausgeberin): Astrophysik seit 1900 – Jubiläum von Karl Schwarzschild (1873–1916) und Ejnar Hertzsprung (1873–1967), Proceedings der Tagung des Arbeitskreises Astronomiegeschichte in der Astronomischen Gesellschaft in Berlin im September 2023, tredition (Nuncius Hamburgensis – Beiträge zur Geschichte der Naturwissenschaften, Band 59), Hamburg, 2024, Seiten 14–33.

## Siehe auch

* Quadriviale Kuriositäten

## Einzelnachweise

* ↑ Siehe auch: Briefwechsel Hans Sommer an Richard Strauss, Weimar, 14. April 1893, in Christian Cöster (Herausgeber): Briefwechsel mit Hans Sommer, Hermann Bahr und Willy Levin, Schott Music, 2020, ISBN 9783795718060
* ↑ William Hyde Wollaston: ‘‘On the Dispersion of Light“, ‘‘Philosophical Transactions of the Royal Society of London’’, Teil II, Kapitel XII, Seiten 365 bis 380, 1802
* ↑ Joseph Fraunhofer: ‘‘Bestimmung des Brechungs- und Farbzerstreuungs-Vermögens verschiedener Glasarten, in bezug auf die Vervollkommnung achromatischer Fernröhre’‘, Denkschriften der Königlichen Akademie der Wissenschaften zu München für die Jahre 1814 und 1815, Band V, Seiten 193 bis 226, München, 1815
* ↑ Johann Jakob Balmer: Notiz über die Spektrallinien des Wasserstoffes, in: Verhandlungen der Naturforschenden Gesellschaft in Basel, Band 7, Seiten 548 bis 560, H. Georg's Verlag, 1885
* ↑ Anders Jonas Ångström: Spectre normal du Soleil – Atlas de six planches, in: Recherches sur le Spectre Solaire, Verlag W. Schultz, Uppsala (1868)
* ↑ Till Eulenspiegels lustige Streiche opus 28, Abenteuer Klassik
* ↑ Aus: Brief von Richard Strauss vom 7. Oktober 1942 aus den Hotels Verenahof - Ochsen, Baden bei Zürich, Schweiz
* ↑ Czerny, Carl <1791-1857>, Exercises in C-Dur, Répertoire International des Sources Musicales (RISM)
* ↑ Anonymus, Ländler in C-Dur, Répertoire International des Sources Musicales (RISM)
* ↑ Theodore Lyman: The Spectrum of Hydrogen in the Region of Extremely Short Wave-Lengths, Astrophysical Journal, Band 23, Seiten 181 bis 210, 1906
* ↑ Friedrich Paschen: ‘‘Zur Kenntnis ultraroter Linienspektra’‘, Annalen der Physik, Band 27, 332, Ausgabe 13, Leipzig, Seiten 537 bis 570, 1908
* ↑ Stanley L. Basin (* 1936; † 2016): The Fibonacci Sequence as it Appears in Nature, San Jose State College, Kalifornien, Vereinigte Staaten von Amerika, in: The Fibonacci Quaterly, Volume 1, Number 1, 1963, Seiten 53 bis 56
* ↑ Behind the MINT #04: … weil wir mehr als Technik können. Podcast – Höre Zukunft!, Berliner Hochschule für Technik, abgerufen am 22. November 2024.
* ↑ Max Planck: ‘‘Zur Theorie des Gesetzes der Energieverteilung im Normalspectrum’‘, Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft, Nummer 17, Seite 237 bis 254, Berlin, 1900
* ↑ Albert Einstein: ‘‘Ueber einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt’‘, Annalen der Physik, Band 322, Nummer 6, Seiten 132 bis 148, 1905
* ↑ Erwin Schrödinger: ‘‘Quantisierung als Eigenwertproblem’‘, Teil I bis IV, Annalen der Physik, Band 79 bis 81, 1926
* ↑ Niels Bohr: ‘‘On the Constitution of Atoms and Molecules’‘, Teil I bis III, Philosophical Magazine, 26. Jahrgang, 1913
* ↑ Johannes Robert Rydberg: ‘‘Recherches sur la constitution des spectres d'émission des éléments chimiques’‘, Kongliga Svenska Vetenskaps-Akademiens Handlingar, Band 23, Nummer 11, Seiten 1 bis 177, 1889
* ↑ Wolfgang Pauli: Über das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik, Zeitschrift für Physik, Band 36, 5. Heft, 27. März 1926, Seite 336 bis 665, Julius Springer, Berlin
* ↑ Hermann von Helmholtz: Die Lehre von den Tonempfindungen als physiologische Grundlage für die Theorie der Musik., Vieweg, Braunschweig, 1863.
* ↑ Alexander John Ellis: On the Sensations of Tone as a Physiological Basis for the Theory of Music, London, Longmans, Green & Company, 1875
* ↑ Bernhard Braunecker und Reinmar Wagner: Hans Zincke-Sommer (1837–1922) / Physiker und Komponist, Zeitschrift Musik & Theater, September 2012, Schweizerische Physikalische Gesellschaft
* ↑ Hans Sommer: Zur Bestimmung der Brechungsverhältnisse, Google Books
* ↑ Hans Sommer: Über die Dioptik der Linsen-Systeme, Google Books
* ↑ Christian Cöster: Richard Strauss im Briefwechsel mit Hans Sommer, Hermann Bahr und Willy Levin, Seiten 23 bis 178, Schott, Mainz, 2019
* ↑ Heinz Niedrig: Gerd Koppelmann zum Gedenken, Physikalische Blätter, Jahrgang 48, 1992, Nummer 12

## Zusammenfassung des Projekts

„Till Eulenspiegels lustige Serie“ ist nach Einschätzung seiner Autoren zu 100 % fertig
* Zielgruppe: Musiker, Naturwissenschaftler
* Lernziele: Zahlenverhältnisse bei Licht- und Schallfrequenzen
* Buchpatenschaft/Ansprechperson: Benutzer:Bautsch
* Sind Co-Autoren gegenwärtig erwünscht? Ja, sehr gerne. Korrekturen von offensichtlichen Fehlern direkt im Text; Inhaltliches bitte per Diskussion.
* Richtlinien für Co-Autoren: Wikimedia-like.
Hauptteil | Exkurs „Stimmung“ | Exkurs „Schwingende Objekte“ | Exkurs „Schwingende Platten“ | Skript „Schwingende Platten“