# Mathe für Nicht-Freaks: Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus

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einleitungstext

## Definition von Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus

Definition (Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus)
Wir definieren die Funktionen $\sinh$ (Sinus Hyperbolicus) und $\cosh$ (Kosinus Hyperbolicus) durch
${\begin{aligned}&\sinh :\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto {\frac {1}{2}}(e^{x}-e^{-x})\\[0.3em]&\cosh :\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto {\frac {1}{2}}(e^{x}+e^{-x})\end{aligned}}$
Hinweis
Als Merkhilfe für das Vorzeichen: Sinus und Minus reimt sich.

## Definition von Tangens Hyperbolicus

Definition (Tangens Hyperbolicus)
Über die Funktionen $\sinh$ und $\cosh$ definieren wir die Funktion $\tanh$ (Tangens Hyperbolicus) durch
${\begin{aligned}&\tanh :\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto {\frac {\sinh(x)}{\cosh(x)}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}\end{aligned}}$

## Eigenschaften der Hyperbolischen Funktionen
### Symmetrie

Der Kosinus Hyperbolicus ist symmetrisch zur y-Achse, während Sinus und Tangens Hyperbolicus punktsymmetrisch zum Ursprung sind. Es gilt also:
${\begin{aligned}\cosh(x)&=\cosh(-x)\\\sinh(x)&=-\sinh(-x)\\\tanh(x)&=-\tanh(-x)\\\end{aligned}}$
Man sagt auch $\cosh$ ist eine gerade Funktion, die anderen beiden sind ungerade.
Wir wollen die eben genannten Eigenschaften beweisen:
Beweis
${\begin{aligned}\cosh(-x)&={\frac {1}{2}}\cdot (e^{-x}+e^{-(-x)})={\frac {1}{2}}\cdot (e^{-x}+e^{x})=\cosh(x)\\\sinh(-x)&={\frac {1}{2}}\cdot (e^{-x}-e^{-(-x)})={\frac {1}{2}}\cdot (e^{-x}-e^{x})=-\sinh(x)\\\tanh(-x)&={\frac {\sinh(-x)}{\cosh(-x)}}={\frac {-\sinh(x)}{\cosh(x)}}=-\tanh(x)\end{aligned}}$

### Ableitungen

Mit der Definition über die Exponentialfunktion können wir die Ableitungen der Hyperbolischen Funktionen bestimmen.
${\begin{aligned}\cosh(x)^{\prime }&=\sinh(x)\\\sinh(x)^{\prime }&=\cosh(x)\\\tanh(x)^{\prime }&={\frac {1}{\cosh(x)^{2}}}=1-\tanh(x)^{2}\end{aligned}}$
Der Beweis für diese Gleichungen ist im Kapitel Beispiele für Ableitungen zu finden.

### Beziehung zwischen den Hyperbolischen Funktionen

Analog zu den Trigonometrischen Funktionen, haben wir eine Beziehung zwischen den Quadraten von $\sinh$ und $\cosh$. Der Unterschied liegt im Vorzeichen.
${\begin{aligned}\cos(x)^{2}&{\color {red}+}\sin(x)^{2}&=1\\\cosh(x)^{2}&{\color {red}-}\sinh(x)^{2}&=1\end{aligned}}$
Beweis
${\begin{aligned}\cosh(x)^{2}-\sinh(x)^{2}&=\left({\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}\right)^{2}\\&={\frac {1}{4}}\left[\left(e^{2x}+e^{-2x}+2e^{x}e^{-x}\right)-\left(e^{2x}+e^{-2x}-2e^{x}e^{-x}\right)\right]\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ e^{x}e^{-x}=1\right.}\\&={\frac {1}{4}}\cdot 4=1\end{aligned}}$

### Asymptotik

Im Grenzwert $x\to \pm \infty$ divergieren $\cosh$ und $\sinh$. Um zu bestimmen ob der Grenzwert $\infty$ oder $-\infty$ ist, setzen wir die Definition durch die Exponentialfunktion.
${\begin{aligned}\lim _{x\to \infty }\cosh(x)&=\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{2}}\underbrace {e^{x}} _{\to \infty }+{\frac {1}{2}}\underbrace {e^{-x}} _{\to 0}=\infty \\\lim _{x\to -\infty }\cosh(x)&=\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{2}}\underbrace {e^{x}} _{\to 0}+{\frac {1}{2}}\underbrace {e^{-x}} _{\to \infty }=\infty \\\lim _{x\to \infty }\sinh(x)&=\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{2}}\underbrace {e^{x}} _{\to \infty }-{\frac {1}{2}}\underbrace {e^{-x}} _{\to 0}=\infty \\\lim _{x\to -\infty }\sinh(x)&=\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{2}}\underbrace {e^{x}} _{\to 0}-{\frac {1}{2}}\underbrace {e^{-x}} _{\to \infty }=-\infty \end{aligned}}$
Da $\sinh(ix)=\sin(x)$ und $\cosh(ix)=\cos(x)$ bedeutet das, dass Sinus und Kosinus als Funktionen komplexer Argumente nicht beschränkt sind.

### Additionstheoreme

${\begin{aligned}\sinh(x\pm y)&=\sinh x\cosh y\pm \cosh x\sinh y\\\cosh(x\pm y)&=\cosh x\cosh y\pm \sinh x\sinh y\end{aligned}}$
Der Beweis funktioniert völlig analog zu den Trigonometrischen Additionstheoremen.
Aufgaben →
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