# Mathe für Nicht-Freaks: Abstellraum/ Fortgeschrittene Substitutionen
## Fortgeschrittene Substitutionen
### Weierstraß-Substitution

Fortgeschrittene Substitutionen in eigenes Kapitel
Mit Hilfe der Substitutionsregel können darüber hinaus auch trigonometrische Funktionen aus dem Integranden „wegsubstituiert“ werden. Hierzu betrachten wir die Arkustangens-Substitution.
Beispiel (Weierstraß-Substitution)
Sei folgendes Problem gegeben: Die Funktion $f:]0;\pi [\to \mathbb {R}$ mit $f(x)={\frac {1}{\sin(x)}}$ für alle Mathe$x\in ]0;\pi [$ und das unbestimmte Integral $\int {\frac {1}{\sin(x)}}\,\mathrm {d} x$.
Wir substituieren $x=2\arctan(t)$. Daraus ergibt sich $\mathrm {d} x={\frac {2}{1+t^{2}}}\,\mathrm {d} t$ und $t=\tan \left({\frac {x}{2}}\right)$. Mit Hilfe des Zusammenhangs $\sin(2\arctan(t))={\frac {2t}{1+t^{2}}}$ können wir schreiben:
$\int {\frac {1}{\sin(x)}}\,\mathrm {d} x$ = $\int {\frac {1}{\frac {2t}{1+t^{2}}}}\,\cdot {\frac {2}{1+t^{2}}}\mathrm {d} t$. Kürzen liefert das sympathische unbestimmte Integral $\int {\frac {1}{t}}\,\mathrm {d} t$, dessen Menge aller Stammfunktionen wir mit $F(t)=\log(t)+C$ angeben können. Mit $t=\tan \left({\frac {x}{2}}\right)$ können wir also schreiben:
$\int {\frac {1}{\sin(x)}}\,\mathrm {d} x=\log \left(\tan \left({\frac {x}{2}}\right)\right)+C$.
Mittels eines trigonometrischen Zusammenhangs für $\tan \left({\frac {x}{2}}\right)$ und mit Hilfe der Rechenregeln für den Logarithmus lässt sich das Ergebnis theoretisch noch weiter umformen.
Hinweis
Anzumerken ist, dass die gleiche Arkustangens-Substitution ein $\cos(x)$ im Integranden ebenfalls völlig analog problemlos eliminiert.
Da wir im Beispiel den Zusammenhang $\sin(2\arctan(t))={\frac {2t}{1+t^{2}}}$ verwendet haben, beweisen wir diesen nachträglich kurz:
Beweis
Es sei $x\in \mathbb {R}$.
So gilt $x=\tan(\arctan(x))={\frac {\sin(\arctan(x))}{\cos(\arctan(x))}}$. Umstellen liefert: $x\cdot \cos(\arctan(x))=\sin(\arctan(x))$. Mit Hilfe des Satz von Pythagoras folgt $x\cdot {\sqrt {1-\sin ^{2}(\arctan(x))}}=\sin(\arctan(x))$. Quadrieren, Ausmultiplizieren, Umstellen nach $\sin ^{2}(\arctan(x))$ und Radizieren liefert schließlich den Zusammenhang $\sin(\arctan(x))={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$ für alle $x\in \mathbb {R}$. Analoges Vorgehen liefert den Zusammenhang $\cos(\arctan(x))={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$.
Da $\sin(2{\tilde {x}})=2\sin({\tilde {x}})\cos({\tilde {x}})$ mit ${\tilde {x}}=\arctan(x)$ gilt, folgt durch Einsetzen $\sin(2\arctan(x))={\frac {2x}{1+x^{2}}}$ unserere Behauptung.
Der Zusammenhang $\cos(2\arctan(x))={\frac {1-x^{2}}{1+x^{2}}}$, der für die Elimination von Kosinusausdrücken im Integranden benötigt wird, folgt unmittelbar aus $\cos(2{\tilde {x}})=\cos ^{2}({\tilde {x}})-\sin ^{2}({\tilde {x}})$.

### Euler-Substitution

Bei der Euler-Substitution handelt es sich um eine Substitution für Integrale folgender Form:
$\int {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}\;\mathrm {d} x$
$\int {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}$
Die Substitution ist ziemlich ungewöhnlich und variiert je nach Wahl der Parameter $a,b$ und $c$. Daher müssen mehrere Fälle unterschieden werden.

#### 1. Euler-Substitution

Die erste Euler-Substitution kann verwendet werden, wenn $a>0$. Dann substituieren wir
$t(x)={\sqrt {ax^{2}+bx+c}}+x{\sqrt {a}}$
$t(x)={\sqrt {ax^{2}+bx+c}}-x{\sqrt {a}}$
Beispiel (Erste Euler-Substitution)
Sei folgendes Problem gegeben: $\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {x^{2}+1}}}\,\mathrm {d} x$.
Wir verwenden nun die Substitution $t(x)={\sqrt {x^{2}+1}}+x$. Für die Ableitung folgt ${\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} x}}={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}+1$ und umgestellt: ${\mathrm {d} x}={\frac {1}{{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}+1}}\mathrm {d} t$. Die Umkehrfunktion lautet $x(t)={\frac {t}{2}}-{\frac {1}{2t}}$.
Insgesamt ergibt sich:
${\begin{aligned}&\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {x^{2}+1}}}\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Substitution }}t={\sqrt {x^{2}+1}}+x\right.}\\&=\int _{t(0)}^{t(1)}{\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}{\frac {1}{{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}+1}}\,\mathrm {d} t\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Integranden vereinfachen}}\right.}\\&=\int _{t(0)}^{t(1)}{\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1}}}}\,\mathrm {d} t\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Umkehrfunktion einsetzen}}\right.}\\&=\int _{t(0)}^{t(1)}{\frac {1}{{\frac {t}{2}}-{\frac {1}{2t}}+{\sqrt {({\frac {t}{2}}-{\frac {1}{2t}})^{2}+1}}}}\,\mathrm {d} t\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Zusammenfassen}}\right.}\\&=\int _{t(0)}^{t(1)}{\frac {1}{{\frac {t}{2}}-{\frac {1}{2t}}+{\frac {t}{2}}+{\frac {1}{2t}}}}\,\mathrm {d} t=\int _{t(0)}^{t(1)}{\frac {1}{t}}\,\mathrm {d} t\end{aligned}}$

#### 2. Euler-Substitution

Die zweite Euler-Substitution kann verwendet werden, wenn $c>0$. Dann substituieren wir
$t(x)={\frac {{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}+{\sqrt {c}}}{x}}$
$t(x)={\frac {{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}-{\sqrt {c}}}{x}}$

#### 3. Euler-Substitution

Die dritte Euler-Substitution kann verwendet werden, wenn $ax^{2}+bx+c$ die reellen Nullstellen $x_{1}$ und $x_{2}$ hat.