# Relativistische Mechanik

Dieses Buch steht im Regal Physik.

## Einleitung

Die wichtigste experimentelle Grundlage der Speziellen Relativitätstheorie (EINSTEIN, 1905) ist der Versuch von MICHELSON und MORLEY (1887), womit der Einfluss der Erdbewegung auf die Geschwindigkeit des Lichtes relativ zu einem irdischen Beobachter nachgewiesen werden sollte. Dem Versuch lag die damals herrschende Vorstellung zugrunde, dass der Träger der Lichtwellen ein Medium wäre, das den Weltraum erfüllte und relativ zu diesem »absoluten Raum« ruhte. Dieses hypothetische Medium wurde »Lichtäther« genannt. Die Bewegung der Erde um die Sonne mit einer Geschwindigkeit von etwa 30 km/s relativ zum Lichtäther müsste sich dann darin äußern, dass die Geschwindigkeit eines Lichtstrahls relativ zu einem Beobachter auf der Erde in Bewegungsrichtung der Erde eine andere sein müsste als in der entgegengesetzten Richtung. Der Unterschied müsste 60 km/s betragen, was mit dem von MICHELSON entwickelten Interferometer sicher nachzuweisen gewesen wäre. Der negative Ausgang des Versuchs stürzte die Physik in ein schweres Dilemma, das EINSTEIN erst 18 Jahre später und um den Preis eines radikalen Umsturzes der Grundlagen der Physik löste. Die Lösung bestand in den von ihm formulierten Prinzipien der Konstanz der (Vakuum-)Lichtgeschwindigkeit und der Gleichberechtigung (oder Gleichwertigkeit) aller Inertialsysteme, womit unbeschleunigte Bezugssystem gemeint sind. (Konstanz der Lichtgeschwindigkeit bedeutet, dass die Lichtgeschwindigkeit – erstens – in jeder Richtung eines Bezugssystems und – zweitens – auch in relativ zueinander bewegten Bezugssystemen den gleichen Wert hat.) Die erste Konsequenz dieser Prinzipien war, dass die Hoffnung aufgegeben werden musste, mit Hilfe optischer Versuche die Geschwindigkeit eines Bezugssystems relativ zum Lichtäther und zum absoluten Raum bestimmen zu können. Dies wiederum bedeutete, dass der Lichtäther und der absolute Raum zu physikalisch leeren Begriffen wurden, und dass es sinnlos ist, von einem ruhenden und einem bewegten Bezugssystem zu sprechen. (Es gibt nur noch relativ zueinander ruhende bzw. bewegte Bezugssysteme.) Ferner lässt sich bereits an dieser Stelle durch einen einfachen Gedankenversuch und ohne jede Rechnung zeigen, dass der Begriff der Gleichzeitigkeit zweier Ereignisse, die an verschiedenen Orten stattfinden, sowie die Merkmale »Vorher« und »Nachher« keine über das jeweilige Bezugssysteme hinausgehende Bedeutung haben. Daraus folgt wiederum, dass die klassische Vorstellung einer »absoluten Zeit« (NEWTON) aufgegeben werden muss: In zueinander bewegten Bezugssystemen läuft die Zeit unterschiedlich ab. Dies wird sich als die fundamentale Erkenntnis der Speziellen Relativitätstheorie erweisen.

## Die Transformationsgleichungen
### Die GALILEI-Transformationen

Das erste Opfer des Prinzips der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit wurden die GALILEI-Transformationen der klassischen Mechanik, die dort für den Übergang zwischen zwei relativ zueinander bewegten Bezugssystemen galten. Wir betrachten zwei mit der Bahngeschwindigkeit v relativ zueinander bewegte Bezugssysteme S und S’ in der üblichen Anordnung. Sie bestehen aus je einem kartesischen Koordinatensystem und einer Anzahl gleicher und synchronisierter Uhren.
Zur Zeit t = t’ = 0 sollen die beiden Ursprünge zusammenfallen. Die Abbildung zeigt die beiden Bezugssysteme zu einer beliebigen Zeit t. Ein Punkt P habe in S die Koordinaten x, y, z, in S’ die Koordinaten x’, y’, z’ . Dann gilt für die Umrechnung (Transformation) der Koordinaten und der Zeit von einem Bezugssystem ins andere:
${\begin{matrix}x'=x-vt,\quad \quad &x=x'+vt,\\y'=y,&y=y',\\z'=z,&z=z',\\t'=t,&t=t'.\\\end{matrix}}$
Diese Gleichungen heißen GALILEI-Transformationen. Sie sind – wie leicht zu erkennen ist – mit dem Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit nicht vereinbar.

### Die LORENTZ-Transformationen

Aus dem Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit folgen die so genannten LORENTZ-Transformationen:
${\begin{matrix}x'={\frac {x-vt}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}},\quad \quad &&x={\frac {x'+vt'}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}},\quad \quad \\y'=y,&&y=y',\\z'=z,&&z=z',\\t'={\frac {t-{\frac {vx}{c^{2}}}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}},&&t={\frac {t'+{\frac {vx'}{c^{2}}}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}.\\\end{matrix}}$
$\beta ^{2}:={\frac {v^{2}}{c^{2}}},\quad \quad c:{\text{Vakuumlichtgeschwindigkeit}}$
(Für eine Herleitung der LORENTZ-Transformationen siehe z. B. )
Bei der Herstellung der beiden relativ zueinander bewegten Bezugssysteme ist nun zu beachten, dass nicht – wie EINSTEIN es in seiner grundlegenden Arbeit zur Speziellen Relativitätstheorie tat – einfach eines der beiden Systeme auf die Geschwindigkeit v beschleunigt werden darf, weil dadurch die Gleichwertigkeit der beiden Systeme zerstört wird, indem der Gang der Uhren im beschleunigten System verändert wird. Vielmehr müssen die beiden Systeme in entgegengesetzten Richtungen, aber sonst in völlig gleicher Weise beschleunigt werden. (Siehe dazu: )
Aus den LORENTZ-Transformationen ergeben sich reelle Koordinaten nur für ß < 1 oder v < c. Daraus folgt, dass die Relativgeschwindigkeit von Bezugssystemen immer kleiner als die Lichtgeschwindigkeit sein muss.
Für nicht zu große Geschwindigkeiten ergeben sich aus den LORENTZ-Transformationen als Näherung die GALILEI-Transformationen.
Zunächst soll verifiziert werden, dass die LORENTZ-Transformationen dem Prinzip der Gleichheit der Lichtgeschwindigkeit in allen Richtungen und in allen Inertialsystemen genügen. Wir nehmen dazu an, dass sich in S eine kugelförmige Lichtwelle mit der Geschwindigkeit c ausbreite, die zur Zeit t = 0 in O gestartet ist. Die Gleichung ihrer Wellenfront lautet dann
$\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=c^{2}t^{2}.$
Wie breitet sich diese Welle für einen Beobachter in S’ aus? Zur Beantwortung ersetzen wir mit Hilfe der rechts stehenden Gleichungen der LORENTZ-Transformationen die ungestrichenen Koordinaten durch die gestrichenen und erhalten:
${\frac {\left({x'+vt'}\right)}{1-\beta ^{2}}}^{2}+y'^{2}+z'^{2}=c^{2}{\frac {\left({t'+{\frac {vx'}{c^{2}}}}\right)^{2}}{1-\beta ^{2}}},$
woraus sich schließlich ergibt
$\ x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}=c^{2}t'^{2}.$
Das bedeutet: Auch im System S’ breitet sich das Licht als Kugelwelle mit der Geschwindigkeit c aus.

## Die relativistischen Effekte
### Die Relativität der Länge eines Körpers (Längenkontraktion)

Auf der X’ -Achse des Systems S’ liege ein Körper, im einfachsten Fall ein Stab, der für einen Beobachter in S’ die Länge l’ hat. Wie kann ein Beobachter in S die Länge dieses Stabes messen, der sich mit der Geschwindigkeit v an ihm vorbeibewegt? Eine plausible, von EINSTEIN vorgeschlagene Methode ist, dass der Beobachter auf irgendeine Weise ’’zur gleichen Zeit’’ die Position des Anfangs- und die des Endpunktes des Stabes auf seiner X-Achse markiert. Im System S’ sollen die beiden Punkte die Koordinaten x’ $_1$ und x’ $_2$ haben. Ihre im System S zur gleichen Zeit t markierten Positionen seien x$_1$ und x$_2$.
Dann ist
$l=x_{1}-x_{2}\quad {\text{und}}\quad l'=x'_{1}-x'_{2},$
wobei
$x'_{1}={\frac {x_{1}-vt}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\quad {\text{und}}\quad x'_{2}={\frac {x_{2}-vt}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}},$
woraus folgt
$x'_{1}-x'_{2}={\frac {x_{1}-x_{2}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\quad {\text{und}}\quad x_{1}-x_{2}=\left({x'_{1}-x'_{2}}\right){\sqrt {1-\beta ^{2}}}$
oder
$l=l'{\sqrt {1-\beta ^{2}}}.$
Für den Beobachter in S ist der Stab also kürzer als für den Beobachter in S’ . Die Ursache der relativistischen Verkürzung ist die unterschiedliche Beurteilung der Gleichzeitigkeit bzw. Ungleichzeitigkeit in beiden Systemen. Das heißt: Wenn der Beobachter in S die Position des Anfangs- und die des Endpunktes des Stabes gleichzeitig markiert, so geschieht das für einen Beobachter in S’ nicht gleichzeitig. (Siehe dazu das nächste Kapitel.)
Ruht der Stab dagegen im System S, dann ist seine Länge für einen Beobachter in S’
$l'=l{\sqrt {1-\beta ^{2}}}.$
In diesen Ergebnissen zeigt sich wieder die Gleichberechtigung und die Gleichwertigkeit der beiden Bezugssysteme. Dieser Effekt wird auch Längenkontraktion oder LORENTZ-Kontraktion genannt, was missverständlich ist, da der Körper nicht wirklich kontrahiert.

### Die Relativität der Gleichzeitigkeit zweier Ereignisse

Wir betrachten zwei Ereignisse, die im System S in den Punkten P$_1$ (x$_1$, y$_1$, z$_1$) und P$_2$ (x$_2$, y$_2$, z$_2$) zur selben Zeit t stattfinden. Dann sind die entsprechenden Zeiten im System S’ :
$t'_{1}={\frac {t-{\frac {vx_{1}}{c^{2}}}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}},\quad t'_{2}={\frac {t-{\frac {vx_{2}}{c^{2}}}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}},\quad {\text{und}}\quad t'_{2}-t'_{1}={\frac {v}{c^{2}}}{\frac {x_{1}-x_{2}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}.$
Im System S’ haben die beiden Ereignisse einen von null verschiedenen zeitlichen Abstand. Finden dagegen die Ereignisse im System S’ gleichzeitig statt, dann haben sie im System S den zeitlichen Abstand
$t_{2}-t_{1}={\frac {v}{c^{2}}}{\frac {x'_{2}-x'_{1}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}.$

### Die Relativität der Dauer eines Vorgangs (Zeitdilatation)

In einem Punkt des Systems S’ spiele sich vom Zeitpunkt t’$_1$ bis zum Zeitpunkt t’ $_2$ irgendein Vorgang ab. Die Dauer dieses Vorgangs ist demnach t’ $_2$ – t' $_1$. Wie lang dauert dieser Vorgang für einen Beobachter in S? Aus der Gleichung
$t={\frac {t'+{\frac {vx'}{c^{2}}}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$
folgt:
$t_{2}-t_{1}={\frac {t'_{2}-t'_{1}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\quad {\text{oder}}\quad \Delta t={\frac {\Delta t'}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}.$
Umgekehrt gilt für die Dauer eines Vorgangs, der in einem Punkt des Systems S stattfindet:
$\Delta t'={\frac {\Delta t}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}.$
Die Dauer jedes Vorgangs ist für einen relativ dazu bewegten Beobachter länger als für einen relativ dazu ruhenden Beobachter. Dieser Effekt wird als Zeitdilatation bezeichnet.

### Die Additionstheoreme der Geschwindigkeit

Als Folge der Zeitdilatation und der Relativität der Länge erscheinen in einem relativ bewegten Bezugssystem auch die Geschwindigkeiten verändert. Es sei
u’ die Geschwindigkeit eines Körpers im System S’ mit den Komponenten u’$_x$, u’$_y$, u’$_z$,
u die Geschwindigkeit dieses Körpers im System S mit den Komponenten u$_x$, u$_y$, u$_z$,
v die Relativgeschwindigkeit des Systems S’ gegenüber dem System S in Richtung der X-Achsen.
Dann ist
$u_{x}={\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}={\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}{\frac {x'+vt'}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {{\frac {\operatorname {d} x'}{\operatorname {d} t'}}{\frac {\operatorname {d} t'}{\operatorname {d} t}}+v{\frac {\operatorname {d} t'}{\operatorname {d} t}}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {\left({{\frac {\operatorname {d} x'}{\operatorname {d} t'}}+v}\right){\frac {\operatorname {d} t'}{\operatorname {d} t}}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {\left({u'+v}\right){\frac {\operatorname {d} t'}{\operatorname {d} t}}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$
und mit
${\frac {\operatorname {d} t}{\operatorname {d} t'}}={\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t'}}{\frac {t'+{\frac {v\,x'}{c^{2}}}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {{\frac {\operatorname {d} t'}{\operatorname {d} t'}}+{\frac {v}{c^{2}}}{\frac {\operatorname {d} x'}{\operatorname {d} t'}}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {1+{\frac {v\,u'_{x}}{c^{2}}}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\quad {\text{und}}\quad {\frac {\operatorname {d} t'}{\operatorname {d} t}}={\frac {1}{\frac {\operatorname {d} t}{\operatorname {d} t'}}}$
$u_{x}={\frac {u'_{x}+v}{1+{\frac {v\,u'_{x}}{c^{2}}}}}.$
Hieraus folgt, dass selbst für u’$_x$ = v = c auch u$_x$ lediglich gleich c wäre. Ebenso findet man
$u_{y}={\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t}}={\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t'}}{\frac {\operatorname {d} t'}{\operatorname {d} t}}={\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} t'}}{\frac {\operatorname {d} t'}{\operatorname {d} t}}=u'_{y}{\frac {\operatorname {d} t'}{\operatorname {d} t}}={\frac {u'_{y}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}{1+{\frac {v\,u'_{x}}{c^{2}}}}}$
und
$u_{z}={\frac {u'_{z}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}{1+{\frac {v\,u'_{x}}{c^{2}}}}}.$
Wegen der Gleichberechtigung der beiden Systeme findet man durch Analogieschlüsse
$u'_{x}={\frac {u_{x}-v}{1-{\frac {v\,u_{x}}{c^{2}}}}},\quad u'_{y}={\frac {u_{y}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}{1-{\frac {v\,u_{x}}{c^{2}}}}},\quad u'_{z}={\frac {u_{z}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}{1-{\frac {v\,u_{x}}{c^{2}}}}}.$

### Die Relativität der Beschleunigung

Hier unterscheiden wir zwischen einer Beschleunigung in Bewegungsrichtung (longitudinal) und senkrecht dazu (transversal). Der betrachtete Körper bewege sich parallel zur X-Achse des Systems S. Die Geschwindigkeit v des Systems S’ werde so gewählt, dass der Körper zunächst in S’ ruht. (Bei einer transversalen Beschleunigung ändert sich die Bewegungsrichtung des Körpers. In diesem Fall soll sich auch die Richtung der beiden X-Achsen dementsprechend ändern.)

#### Longitudinale Beschleunigung

Aus dem Additionstheorem
$u_{x}={\frac {u'_{x}+v}{1+{\frac {v\,u'_{x}}{c^{2}}}}}$
erhält man durch Differenzieren mit der Abkürzung N für den Nenner des Bruches
$a_{l}={\frac {\operatorname {d} u_{x}}{\operatorname {d} t}}={\frac {\left({{\frac {\operatorname {d} v}{\operatorname {d} t}}+{\frac {\operatorname {d} u'_{x}}{\operatorname {d} t}}}\right)N-{\frac {\left({v+u'_{x}}\right)\left({u'_{x}{\frac {\operatorname {d} v}{\operatorname {d} t}}+v{\frac {\operatorname {d} u'_{x}}{\operatorname {d} t}}}\right)}{c^{2}}}}{N^{2}}}.$
Wegen v = konst. ist dv/dt = 0. Da der betrachtete Körper zunächst in S’ ruht, ist u’ = 0 und damit N = 1. So ergibt sich
$a_{l}={\frac {\operatorname {d} u_{x}}{\operatorname {d} t}}={\frac {\operatorname {d} u'_{x}}{\operatorname {d} t}}\left({1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}\right)={\frac {\operatorname {d} u'_{x}}{\operatorname {d} t}}\left({1-\beta ^{2}}\right)={\frac {\operatorname {d} u'_{x}}{\operatorname {d} t'}}{\frac {\operatorname {d} t'}{\operatorname {d} t}}\left({1-\beta ^{2}}\right)=a'_{l}{\frac {\operatorname {d} t'}{\operatorname {d} t}}\left({1-\beta ^{2}}\right).$
Aus
$t={\frac {t'+{\frac {v\,x'}{c^{2}}}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$
folgt mit dx’ /dt’ = 0
${\frac {\operatorname {d} t'}{\operatorname {d} t}}={\sqrt {1-\beta ^{2}}}$
und somit
$a_{l}=a'_{l}\left({1-\beta ^{2}}\right)^{3/2}.$

#### Transversale Beschleunigung

Wegen u’ $_x$ = 0 ist
$u_{y}=u'_{y}{\sqrt {1-\beta ^{2}}},$
woraus folgt
$a_{t}={\frac {\operatorname {d} u_{y}}{\operatorname {d} t}}={\frac {\operatorname {d} u'_{y}}{\operatorname {d} t'}}{\frac {\operatorname {d} t'}{\operatorname {d} t}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}={\frac {\operatorname {d} u'_{y}}{\operatorname {d} t'}}\left({1-\beta ^{2}}\right)$
und somit
$a_{t}=a'_{t}\left({1-\beta ^{2}}\right).$

### Die kinetische Energie eines bewegten Körpers

Durch einen Gedankenversuch (Beschleunigung eines elektrisch geladenen Körpers in einem elektrischen Feld) fand EINSTEIN (1905, 1) für die kinetische Energie eines Körpers der Masse m bei der Geschwindigkeit v
$E_{kin}=m\,c^{2}\left({{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}-1}\right).$
Durch Reihenentwicklung des Bruchs ergibt sich daraus
$E_{kin}=m\left({{\frac {v^{2}}{2}}+{\frac {3}{8}}{\frac {v^{4}}{c^{2}}}+\cdots }\right),$
woraus sich für nicht zu große Geschwindigkeiten als Näherung der klassische Ausdruck für die kinetische Energie ergibt.

### Die Trägheit der Energie

In seiner zweiten Arbeit zur Speziellen Relativitätstheorie konnte EINSTEIN (1905, 2) zeigen, dass die Trägheit eines Körpers kleiner wird, wenn er durch elektromagnetische Strahlung Energie abgibt. Er hat dieses Ergebnis sofort verallgemeinert und gefolgert, dass jede Änderung der Energie (kinetische Energie, potentielle Energie, Wärmeenergie, ...) eines Körpers mit einer Änderung seiner Trägheit verbunden ist, dass Energie also Masse besitzt:
$m_{E}={\frac {E}{c^{2}}}.$
Zusammen mit der Gleichung aus Kap. 3.6 folgt daraus, dass die Summe aus der Masse m eines Körpers und der Masse m$_E$ seiner kinetischen Energie bei der Geschwindigkeit v
$m+m_{E}={\frac {m}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$
beträgt.

### Relativistischer Impuls, relativistische Bewegungsgleichungen

Dementsprechend beträgt der Impuls p eines Körpers der Masse m bei der Geschwindigkeit v
${\boldsymbol {p}}=(m+m_{E}){\boldsymbol {v}}={\frac {m\,{\boldsymbol {v}}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}},$
und die Bewegungsgleichung F = m a der klassischen Mechanik wird – da F und a nicht immer dieselbe Richtung haben (siehe unten) – ersetzt durch
${\boldsymbol {F}}=m{\frac {\operatorname {d} {\boldsymbol {p}}}{\operatorname {d} t}}=m{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}{\frac {\boldsymbol {v}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}.$
Die Komponentengleichungen der Kraft lauten dann
$F_{x}=m{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}{\frac {v_{x}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}=m{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}{\frac {v_{x}}{\sqrt {1-{\frac {v_{x}^{2}}{c^{2}}}}}}=m{\frac {1}{\left({1-{\frac {v_{x}^{2}}{c^{2}}}}\right)^{3/2}}}{\frac {\operatorname {d} v_{x}}{\operatorname {d} t}}={\frac {m\,a_{x}}{\left({1-\beta ^{2}}\right)^{3/2}}},$
$F_{y}=m{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}{\frac {v_{y}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {m\,a_{y}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}},$
$F_{z}=m{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}{\frac {v_{z}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {m\,a_{z}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$
Die Beschleunigung ist folglich
${\boldsymbol {a}}=a_{x}{\boldsymbol {e}}_{1}+a_{y}{\boldsymbol {e}}_{2}+a_{z}{\boldsymbol {e}}_{3}={\frac {1}{m}}\left[{F_{x}\left({1-\beta ^{2}}\right)^{3/2}{\boldsymbol {e}}_{1}+F_{y}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}{\boldsymbol {e}}_{2}+F_{z}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}{\boldsymbol {e}}_{3}}\right],$
oder
${\boldsymbol {a}}={\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}}}{m}}\left[{F_{x}\left({1-\beta ^{2}}\right){\boldsymbol {e}}_{1}+F_{y}{\boldsymbol {e}}_{2}+F_{z}{\boldsymbol {e}}_{3}}\right].$
Die Beschleunigung hat also nicht immer dieselbe Richtung wie die Kraft.

## Der MINKOWSKI-Raum

Das Weltmodell der klassischen Physik ist ein dreidimensionaler euklidischer Raum, in dem eine »absolute Zeit« abläuft, die keinen äußeren Einflüssen unterworfen ist. Dieses Weltmodell ist mit den Ergebnissen der Speziellen Relativitätstheorie nicht vereinbar. Die naheliegende Frage, was denn nun an seine Stelle zu treten hätte, schien Einstein nicht sonderlich zu interessieren, wohl aber beschäftigte sie jahrelang den deutschen Mathematiker Hermann MINKOWSKI, der die Ergebnisse seiner Arbeit 1908 veröffentlichte. Sie werden im Folgenden dargestellt. Multipliziert man die Gleichungen
$t'={\frac {t-{\frac {vx}{c^{2}}}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\quad {\text{und}}\quad t={\frac {t'+{\frac {vx'}{c^{2}}}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$
der LORENTZ-Transformationen mit c und setzt dann überall c t = w und c t’ = w’ , so erhält man die Gleichungen
(A)
${\begin{matrix}&x'={\frac {x-{\frac {v}{c}}\,w}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}},\quad \quad &x={\frac {x'+{\frac {v}{c}}\,w'}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}},\\&w'={\frac {w-{\frac {v}{c}}x}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}},&w={\frac {w'+{\frac {v}{c}}x'}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}.\\\end{matrix}}$
Als erstes fällt die Ähnlichkeit der unteren Gleichungen mit den jeweils darüber stehenden auf: Die unteren Gleichungen gehen durch Vertauschung der Koordinaten aus den oberen hervor und umgekehrt. Das besagt, dass bei Übergang zu einem in X-Richtung bewegten Bezugssystem die w-Koordinaten ganz analog transformiert werden wie die x-Koordinaten, während die beiden anderen Koordinaten unverändert bleiben.
Ferner haben wir statt der drei räumlichen Koordinaten (Längenkoordinaten) und einer Zeitkoordinate jetzt vier räumliche Koordinaten, denn die w-Koordinate ist ebenfalls eine Länge, nämlich die Strecke, welche das Licht in der Zeit t zurücklegt. Die vier Koordinatenachsen für x, y, z und w spannen also einen vierdimensionalen Raum auf, der für uns zwar denkbar und mathematisch zu durchdringen, aber nicht anschaulich vorstellbar ist. Dieser Raum heißt MINKOWSKI-Raum und gilt als das der Speziellen Relativitätstheorie angemessene Weltmodell.
Um uns mit diesem Raum vertraut zu machen, betrachten wir als erstes eine kugelförmige Lichtwelle, die zur Zeit t = 0 in O startet. Für die Koordinaten ihrer Wellenfront gilt
$x^{2}+y^{2}+z^{2}=c^{2}t^{2}\quad {\text{und}}\quad w=c\,t\quad \Rightarrow \quad x^{2}+y^{2}+z^{2}=w^{2}.$
In der XY-Ebene breitet sie sich als Kreiswelle aus, für deren Frontwelle gilt
$\ x^{2}+y^{2}=c^{2}t^{2}.$
In dem auf drei Dimensionen reduzierten XYW-Minkowski-Raum lautet die Gleichung der Wellenfront
$\left\{{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}=c^{2}t^{2}\\w=c\,t\\\end{matrix}}\right.$
Während sich der Radius des Kreises mit Lichtgeschwindigkeit vergrößert, bewegt er sich im Minkowski-Raum mit Lichtgeschwindigkeit nach oben und beschreibt dabei einen Kreiskegel. (Die Y-Achse stehe auf der Zeichenebene senkrecht.)
Da der gezeichnete Kreis in der XY-Ebene liegt, muss sich auch diese im Minkowski-Raum mit Lichtgeschwindigkeit nach oben bewegen. Das gleiche gilt für den dreidimensionalen XYZ-Raum. Im vierdimensionalen Minkowski-Raum bewegt sich also unser dreidimensionaler Raum mit Lichtgeschwindigkeit längs der W-Achse nach oben. Wie ist nun das System S’ im Minkowski-Raum darzustellen? Die Gleichungen (A) können interpretiert werden als Gleichungen für die Koordinatentransformation von einem rechtwinkligen auf ein schiefwinkliges Koordinatensystem und umgekehrt.
Aus der Analytischen Geometrie entnehmen wir dafür folgende Gleichungen:
${\begin{matrix}&x=\xi \cos \alpha +\eta \sin \alpha ,\quad \quad \xi ={\frac {x\cos \alpha -y\sin \alpha }{\cos 2\alpha }},\\&y=\xi \sin \alpha +\eta \cos \alpha ,&\eta ={\frac {-x\sin \alpha +y\cos \alpha }{\cos 2\alpha }}.\\\end{matrix}}$
Als nächstes drücken wir alle vorkommenden Winkelfunktionen durch tan α aus:
$\sin \alpha ={\frac {\tan \alpha }{\sqrt {1+\tan ^{2}\alpha }}},\quad \cos \alpha ={\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\alpha }}},\quad \cos 2\alpha ={\frac {1-\tan ^{2}\alpha }{1+\tan ^{2}\alpha }}.$
Damit erhalten wir
$x=\xi {\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\alpha }}}+\eta {\frac {\tan \alpha }{\sqrt {1+\tan ^{2}\alpha }}},\quad y=\xi {\frac {\tan \alpha }{\sqrt {1+\tan ^{2}\alpha }}}+\eta {\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\alpha }}}.$
Da tan α alle reellen Zahlenwerte annehmen kann, ist es stets möglich, den Winkel α so zu wählen, dass tan α = β = v/c wird. Dann ist
(B)
$x=\xi {\frac {1}{\sqrt {1+\beta ^{2}}}}+\eta {\frac {\beta }{\sqrt {1+\beta ^{2}}}},\quad y=\xi {\frac {\beta }{\sqrt {1+\beta ^{2}}}}+\eta {\frac {1}{\sqrt {1+\beta ^{2}}}}.$
Nun sollen die Einheitsstrecken e und e’ auf den Achsen des schiefwinkligen Koordinatensystems im Verhältnis
${\frac {e'}{e}}={\frac {1}{\sqrt {\cos 2\alpha }}}$
gestreckt werden. Dabei ist e’ die neue Einheitsstrecke und e die alte Einheitsstrecke (gleichzeitig die Einheitsstrecke auf den rechtwinkligen Achsen). Das hat zur Folge, dass die Koordinaten eines jeden Punktes im schiefwinkligen System entsprechend – und das heißt: im reziproken Verhältnis – kleiner werden. Bezeichnen wir die neuen Koordinaten mit x’ und w’ und ersetzen gleichzeitig y durch w, dann gilt
${\begin{matrix}&{\frac {x'}{\xi }}={\sqrt {\cos 2\alpha }}\quad \Rightarrow \quad \xi ={\frac {x'}{\sqrt {\cos 2\alpha }}}=x'{\frac {\sqrt {1+\beta ^{2}}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}},\\&{\frac {w'}{\eta }}={\sqrt {\cos 2\alpha }}\quad \Rightarrow \quad \eta ={\frac {w'}{\sqrt {\cos 2\alpha }}}=w'{\frac {\sqrt {1+\beta ^{2}}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}.\\\end{matrix}}$
Setzt man dies in die Gleichungen (B) ein, ergibt sich nach einfachen Umformungen
$x={\frac {x'+\beta w'}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}},\quad w={\frac {w'+\beta x'}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}.$
Diese Gleichungen sind identisch mit den entsprechenden Gleichungen von (A). Analog findet man die beiden anderen Gleichungen
$x'={\frac {x-\beta w}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}},\quad w'={\frac {w-\beta x}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}.$
Wegen der Gleichberechtigung der beiden Bezugssysteme ist es auch möglich, das Systems S’
im Minkowski-Raum rechtwinklig und das Systems S schiefwinklig (mit entgegengesetztem Drehwinkel) darzustellen.
Der Anspruch, der Minkowski-Raum wäre das der Speziellen Relativitätstheorie angemessene Weltmodell, gründet sich darauf, dass sich die relativistischen Effekte als logische Konsequenz seiner Struktur ergeben. Die enge, unlösbare Verknüpfung der Zeitkoordinaten mit den Ortskoordinaten, wie sie sich in den LORENTZ-Transformationen ausdrückt, äußert sich zunächst darin, dass die vierte Dimension das Produkt aus der Lichtgeschwindigkeit und der Zeit ist. Der unaufhaltsame, naturgesetzliche Ablauf der Zeit zeigt sich darin, dass der dreidimensionale Raum, in dem wir leben, sich mit Lichtgeschwindigkeit längs der W-Achse bewegt. Dazu kommt, dass dem relativ zu S bewegten Bezugssystem S' eine eigene W'-Achse zugeordnet wird. Die Drehung der beiden Achsen (in entgegengesetztem Sinn) schließlich führt, wie noch gezeigt wird, zwangsläufig zu den oben beschriebenen relativistischen Effekten, für die es in der klassischen Physik keine Erklärung gibt. So eng aber auch die Verknüpfung von Raum und Zeit im Minkowski-Raum ist, so ist es doch absurd, diesen als vierdimensionale »Raum-Zeit« zu betrachten, wie das weithin üblich ist. Dieser auf Minkowski selbst zurückzuführende Irrtum stammt aus einer Zeit, als die Physiker selbst es mit den physikalischen Dimensionen nicht sehr genau nahmen, ist aber schon seit geraumer Zeit nicht mehr zu tolerieren. Die Verknüpfung von Raum und Zeit in einem Koordinatensystem ist lediglich in einer graphischen Darstellung erlaubt, nicht aber in einem Weltmodell oder Weltbild, das Anspruch erhebt, grundlegende physikalische Vorgänge zu beschreiben und zu erklären.
Ein Lichtimpuls, der zur Zeit t = t' = 0 von O und O' ausgeht und sich längs der positiven X/X' -Achse mit der Geschwindigkeit c ausbreitet, bewegt sich im Minkowski-Raum auf der Winkelhalbierenden der Achsen des Systems S. Da diese gleichzeitig die Winkelhalbierende der Achsen des Systems S' ist, breitet sich der Lichtimpuls auch im System S' mit der Geschwindigkeit c aus. Wie zu erwarten war, gilt also im Minkowski-Raum das Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit.
Hat der Lichtimpuls den Punkt P erreicht, befinden die X/X' -Achsen in den gezeichneten Positionen. Die Koordinaten des Punktes P sind dann
$x_{1}=c\,t_{1},\quad w_{1}=c\,t_{1},\quad x'_{1}=c\,t'_{1},\quad w'_{1}=c\,t'_{1}.$
Bezeichnen wir das Eintreffen des Lichtimpulses in P als »Ereignis E«, dann ist P der Ort des Ereignisses E und x$_1$, w$_1$ sind seine Koordinaten im Minkowski-Raum für das Bezugssystem S, dagegen sind x' $_1$, w' $_1$ seine Koordinaten im Minkowski-Raum für das Bezugssystem S' . Die Punkte des Minkowski-Raumes repräsentieren also jeweils den Ort und (indirekt) die Zeit eines Ereignisses in der Welt. Ein Ereignis tritt im Systems S genau dann ein, wenn die X-Achse (allgemeiner: die XY-Ebene, und ganz genau: der XYZ-.Raum) durch den Punkt geht, der das Ereignis repräsentiert. Ereignisse, deren Punkte oberhalb der X-Achse (der XY-Ebene ...) liegen, sind zukünftig, Ereignisse, deren Punkte darunter liegen, sind vergangen.

### Die Relativität der Länge

Betrachten wir einen auf der X' -.Achse liegenden Stab, der von den Punkten P$_1$ und P $_2$ begrenzt wird, welche in S' die (festen) Koordinaten
x' $_1$ und x' $_2$ haben. Die Länge l' des Stabes für einen Beobachter in S' ist dann
$\ l'=x'_{2}-x'_{1}.$
Im Laufe der Zeit durchläuft der auf der X' -Achse liegende Stab den hellblau gezeichneten Streifen. Seine Ränder schneiden die X-Achse in den Punkten mit den Koordinaten x$_1$ und x$_2$, und dies geschieht im System S gleichzeitig zur Zeit t = 0. Daher stellt die Strecke x$_2$ – x$_1$ die Länge l des Stabes im System S dar. Die Berechnung der Koordinaten liefert dann für l den Wert
$l=l'{\sqrt {1-\beta ^{2}}}.$
Soweit die übliche Erklärung der so genannten Längenkontraktion. Sie hat nur einen Haken, der regelmäßig übersehen wird: Die X' -Achse kann nicht gleichzeitig an zwei verschiedenen Stellen sein – es sei denn, sie wäre gleichzeitig überall. – Wir kommen später darauf zurück.

### Die Relativität der Gleichzeitigkeit zweier Ereignisse

Dieser relativistische Effekt erklärt sich durch die Drehung der X' -Achse. Wie man der obigen Abbildung entnehmen kann, sind zwei Ereignisse, die in S gleichzeitig sind (hier die mit den Koordinaten x$_1$ und x$_2$), in S' nicht gleichzeitig. Andererseits sind die durch P$_1$ und P$_2$ charakterisierten Ereignisse in S' gleichzeitig, nicht aber in S.

### Die Relativität der Dauer eines Vorgangs

Beginn und Ende eines Vorgangs, der an einem bestimmten Ort des Systems S' stattfindet, können als zwei Ereignisse E$_1$ und E$_2$ aufgefasst werden.
In der Abbildung erscheint $\Delta w<\Delta w',$ dies liegt jedoch an den vergrößerten Einheitsstrecken in S' . Tatsächlich ist $\Delta w>\Delta w',$ und damit $\Delta t=t_{2}-t_{1}>t'_{2}-t'_{1}=\Delta t'.$

### Ein grundsätzliches Problem des Minkowski-Raumes

Wir können uns dem Problem von drei verschiedenen Seiten aus nähern:
1. Im Kapitel 4.2 begegnete uns die Schwierigkeit, dass für einen Beobachter im System S die X' -Achse gleichzeitig an zwei verschiedenen Stellen gegenwärtig sein musste.
2. Durch die Drehung der X' -Achse hat sie immer nur einen Punkt mit der X-Achse gemeinsam, nämlich ihren Ursprung O' , der sich auf der X-Achse bewegt. Alle anderen Punkte sind aus der X-Achse herausgedreht und befinden sich für einen Beobachter in S entweder in seiner Vergangenheit oder in seiner Zukunft, sind also für ihn nicht gegenwärtig und daher unsichtbar.
3. Den LORENTZ-Transformationen können wir dagegen entnehmen, dass es jeder Punkt der X-Achse mit genau einem (wechselndem) Punkt der X' -Achse zusammenfällt, in welchem allerdings eine andere Zeit gilt. Betrachten wir einige Punkte der X-Achse zur Zeit t = 0 und berechnen wir die dazugehörigen Orts- und Zeitkoordinaten im System S' für β = 0,6.
Im Minkowski-Raum dargestellt:
Wieder erkennt man, dass durch jeden Punkt der X-Achse genau eine X' -Achse geht, und dass jeder dieser Achsen einen anderen w' -Wert hat und damit eine andere Zeit. Alle diese Achsen sind jedoch für einen Beobachter in S gleichzeitig gegenwärtig. Daraus muss man folgern, dass auch im Minkowski-Raum alle diese Achsen gleichzeitig existieren. Was sich tatsächlich bewegt, ist nur der vom Beobachter als gegenwärtig wahrgenommene dreidimensionale Ausschnitt daraus.
Literatur:
Einstein$^1$, Zur Elektrodynamik bewegter Körper, Annalen der Physik und Chemie, Jg. 17.
Einstein$^2$, Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig? A.d.Ph.u.Ch. Jg. 18