# Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zu trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen

* ↳ Projekt „Mathe für Nicht-Freaks“
* ↳ Analysis 1 Inhalte „Analysis 1“ Was ist Analysis?  Was sind reelle Zahlen?  Körperaxiome  Anordnungsaxiome  Vollständigkeit reeller Zahlen  Die komplexen Zahlen  Supremum und Infimum  Wurzel reeller Zahlen  Folgen  Konvergenz und Divergenz  Teilfolgen, Häufungspunkte und Cauchy-Folgen  Reihen  Konvergenzkriterien für Reihen  Potenzreihen  Exponential- und Logarithmusfunktion  Trigonometrische und Hyperbolische Funktionen  Sinus und Kosinus  Eigenschaften des Sinus und Kosinus  Arkussinus und Arkuskosinus  Tangens und Kotangens  Arkustangens und Arkuskotangens  Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus  Aufgaben  Stetigkeit  Ableitung  Integrale
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## Nützliche Identitäten von Sinus und Kosinus

Aufgabe (Produkt von Sinus- und Kosinusfunktion)
Zeige, dass für $x\in \mathbb {R}$,
$\sin(x)\cos(x)={\frac {1}{2}}\left(\sin(2x)\right)$
gilt.
Beweis (Produkt von Sinus- und Kosinusfunktion)
Wir beginnen mit der rechten Seite:
${\begin{aligned}&\sin(2x)\\[0.3em]=\ &\sin(x+x)\\[0.3em]&{\color {Green}\left\downarrow \ {\text{Additionstheorem des Sinus}}\right.}\\[0.3em]=\ &\sin(x)\cos(x)+\cos(x)\sin(x)\\[0.3em]=\ &2\sin(x)\cos(x)\end{aligned}}$
Diese Identität kann beim Lösen von Integralen hilfreich sein.
Aufgabe (Produkt von Sinusfunktionen)
Seien $x$ und $y\in \mathbb {R}$. Zeige
$\sin(x)\sin(y)={\frac {1}{2}}\left(\cos(x-y)-\cos(x+y)\right)$
Beweis (Produkt von Sinusfunktionen)
Wir fangen wieder auf der rechten Seite an und nutzen die Additionstheoreme.
${\begin{aligned}&\cos(x-y)-\cos(x+y)\\[0.3em]&{\color {Green}\left\downarrow \ {\text{Additionstheorem des Kosinus}}\right.}\\[0.3em]=\ &\cos(x)\cos(-y)-\sin(x)\sin(-y)-\left(\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)\right)\\[0.3em]&{\color {Green}\left\downarrow \ \sin(-y)=-\sin(y){\text{ und }}\cos(-y)=\cos(y)\right.}\\[0.3em]=\ &\cos(x)\cos(y)+\sin(x)\sin(y)-\cos(x)\cos(y)+\sin(x)\sin(y)\\[0.3em]=\ &2\sin(x)\sin(y)\end{aligned}}$
Aufgabe (Quadrat des Sinus)
Sei $x\in \mathbb {R}$. Zeige, dass
$\sin ^{2}(x)={\frac {1}{2}}\left(1-\cos(2x)\right)$
gilt.
Beweis (Quadrat des Sinus)
Diese Aussage ist ein Spezialfall der vorherigen Aufgabe. Wir setzen dafür $y=x$:
${\begin{aligned}&\sin ^{2}(x)=\sin(x)\sin(x)\\[0.3em]&{\color {Green}\left\downarrow \ \sin(x)\sin(y)={\frac {1}{2}}\left(\cos(x-y)-\cos(x+y)\right)\right.}\\[0.3em]=\ &{\frac {1}{2}}\left(\cos(x-x)-\cos(x+x)\right)\\[0.3em]&{\color {Green}\left\downarrow \ \cos(0)=1\right.}\\[0.3em]=\ &{\frac {1}{2}}\left(1-\cos(2x)\right)\end{aligned}}$
Alternativer Beweis (Quadrat des Sinus)
Wir können die Aufgabe aber auch anders lösen:
${\begin{aligned}&1-\cos(2x)\\[0.3em]=\ &1-\cos(x+x)\\[0.3em]&{\color {Green}\left\downarrow \ {\text{Additionstheorem des Kosinus}}\right.}\\[0.3em]=\ &1-\left(\cos(x)\cos(x)-\sin(x)\sin(x)\right)\\[0.3em]&{\color {Green}\left\downarrow \ 1=\sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)\right.}\\[0.3em]=\ &\sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)-\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)\\[0.3em]=\ &2\sin ^{2}(x)\end{aligned}}$

## Nullstellen von Sinus und Kosinus

Aufgabe (Nullstellen der komplexwertigen Sinusfunktion)
Zeige, dass $\sin ^{-1}\{0\}=\{k\cdot \pi |k\in \mathbb {Z} \}$.
Man soll zeigen, dass für alle $z\in \mathbb {C}$ mit $z\notin \{k\cdot \pi |k\in \mathbb {Z} \}$ gilt $\sin(z)\neq 0$ und dass für alle $w\in \{k\cdot \pi |k\in \mathbb {Z} \}$ gilt $\sin(w)=0$.
Wie kommt man auf den Beweis? (Nullstellen der komplexwertigen Sinusfunktion)
Wir haben bereits gezeigt, dass $\sin(w)=0$ für alle $w\in \{k\cdot \pi |k\in \mathbb {Z} \}$ und dass dies die einzigen reellen Nullstellen der Sinusfunktion sind. Es bleibt also noch zu zeigen, dass für alle $z\in \mathbb {C} \setminus \{k\cdot \pi |k\in \mathbb {Z} \}$ gilt $\sin(z)\neq 0$.
Das zeigen wir durch Kontraposition. Wir betrachten ein $z\in \mathbb {C}$ mit $\sin(z)=0$ und zeigen $z\in \{k\cdot \pi |k\in \mathbb {Z} \}$.
Sei $z\in \mathbb {C}$ mit $z=a+ib$ für $a,b\in \mathbb {R}$ und es gelte $\sin(z)=0$.
Frage: Wie kann man $\sin(z)$ durch die Exponentialfunkton und mit $a$ und $b$ darstellen?
${\begin{aligned}&\sin(z)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Formel der Sinusfunktion mit der Exponentialfunktion}}\right.}\\[0.3em]=\ &{\frac {1}{2i}}(\exp(iz)-\exp(-iz))={\frac {1}{2i}}(\exp(i(a+ib)-\exp(-i(a+ib))\\[0.3em]=\ &{\frac {1}{2i}}(\exp(-b+ia)-\exp(b-ia))\\[0.3em]\end{aligned}}$
Wegen $\sin(z)=0$ folgt $\exp(-b+ia)-\exp(b-ia)=0$.
Frage: Wie kann man $\exp(-b+ia)-\exp(b-ia)=0$ weiter umformen? Bringe alle Terme mit $a$ auf eine Seite und alle Terme mit $b$ auf die andere Seite!
Es gilt also $\exp(-b+ia)=\exp(b-ia)$. Nun multiplizieren wir beide Seiten mit $\exp(b+ia)$ (wir haben bei den Aufgaben zur Exponentialfunktion gezeigt, dass das eine Zahl ungleich $0$ ist) und erhalten
$\exp(2b)=\exp(2ia)$
Frage: Was kann man daraus über $b$ herleiten? Betrachte den Betrag der Zahlen!
Es gilt $|\exp(2ia)|=1$, da $a$ reell ist und somit $2ia$ komplett imaginär ist. Wegen $b\in \mathbb {R}$ ist $\exp(2b)\in \mathbb {R}$ und aufgrund der Positivität der Exponentialfunktion für reelle Argumente muss $\exp(2b)=1$ gelten. Daraus folgt wiederum $b=0$.
Die Zahl $z$ ist also reell. Die Menge aller reellen Nullstellen der Sinusfunktion ist $\{k\cdot \pi |k\in \mathbb {Z} \}$. Daher ist $z\in \{k\cdot \pi |k\in \mathbb {Z} \}$ und die Aussage ist bewiesen.
Beweis (Nullstellen der komplexwertigen Sinusfunktion)
Wir haben bereits gezeigt, dass $\sin(w)=0$ für alle $w\in \{k\cdot \pi |k\in \mathbb {Z} \}$ und dass dies die einzigen reellen Nullstellen der Sinusfunktion sind. Es bleibt also noch zu zeigen, dass für alle $z\in \mathbb {C} \setminus \{k\cdot \pi |k\in \mathbb {Z} \}$ gilt $\sin(z)\neq 0$.
Sei also $z=a+ib\in \mathbb {C}$ mit $a,b\in \mathbb {R}$, so dass $\sin(z)=0$. Dann gilt
$0=\sin(a+ib)={\frac {1}{2i}}\left(\exp(i(a+ib))-\exp(-i(a+ib))\right)={\frac {1}{2i}}\left(\exp(-b+ia)-\exp(b-ia)\right)$
Folglich ist
${\frac {\exp(ia)}{\exp(b)}}=\exp(-b+ia)=\exp(b-ia)={\frac {\exp(b)}{\exp(ia)}}$
Damit folgt $\exp(2b)=\exp(2ia)$. Wegen $|\exp(2ia)|=1$ und $b\in \mathbb {R}$ ist $\exp(2b)=1$. Also ist $b=0$.
Daraus folgt, dass $z$ eine reelle Zahl ist. Die Menge der reellen Nullstellen der Sinusfunktion ist aber genau $\{k\cdot \pi |k\in \mathbb {Z} \}$. Also ist dies auch die Menge der komplexen Nullstellen der Sinusfunktion.
* $\sin ^{-1}\{0\}\cap \mathbb {R} =\{k\cdot \pi |k\in \mathbb {Z} \}$ zeigen
Aufgabe
Zeige, dass $\cos ^{-1}\{0\}=\{k\cdot \pi +{\frac {\pi }{2}}\}$ ist.
Man soll zeigen, dass für alle $z\in \mathbb {C}$ mit $z\notin \{k\cdot \pi +{\frac {\pi }{2}}|k\in \mathbb {Z} \}$ gilt $\cos(z)\neq 0$ und dass für alle $w\in \{k\cdot \pi +{\frac {\pi }{2}}|k\in \mathbb {Z} \}$ gilt $\cos(w)=0$.
Man soll die Aufgabe zu den Nullstellen der Sinusfunktion nutzen.
Beweis
Es gilt für alle $z\in \mathbb {C}$, dass $\cos(z)=\sin(z+{\frac {\pi }{2}})$. Somit ist
$\cos ^{-1}\{0\}=\{x+{\frac {\pi }{2}}{\Big |}x\in \{k\cdot \pi |k\in \mathbb {Z} \}\}=\{k\cdot \pi +{\frac {\pi }{2}}\}$
Stetigkeit →
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