# Berechnung einer akustischen Transmissionline

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## Einführung

Transmissionline ("Übertragungsleitung") nennt man in der Lautsprecherakustik einen in der Regel mehrfach gefalteten Kanal, durch den der von einem Lautsprecher nach hinten abgegebene Schall hindurchtritt. Am Ende dieses Kanals befindet sich eine Öffnung, durch die der Schall heraustreten kann. Dieser Schall kann unter geeigneten Voraussetzungen dazu verwendet werden, den Amplituden-Frequenzgang einer elektrodynamischen Lautsprecherbox am tieffrequenten Ende zu erweitern und zu verbessern.
Ausgehend von idealisierten theoretischen Ansätzen zum Abstrahlverhalten von Lautsprechern und mit der Theorie der quasihomogenen Absorber wird in diesem Buch darauf eingegangen, wie der Tieftonbereich einer Transmissionline-Lautsprecherbox dimensioniert und akustisch gedämpft werden kann. Dazu werden wegen des einfachen mathematischen Formalismus Funktionen komplexer Zahlen ( Eulersche Formel) herangezogen.
Dieses Wikibook basiert auf der privaten Vorveröffentlichung Anleitung zur akustischen Berechnung einer elektrodynamischen "transmission line"-Lautsprecherbox aus dem Jahr 2000. Das hier vorgestellte Berechnungsverfahren wurde vom Autor im Jahr 1986 entwickelt und für den Bau von Transmissionline-Lautsprecherboxen angewandt.

## Abstrahlverhalten von Lautsprechern

Der Amplitudenfrequenzgang $A_{0}$ eines elektrodynamischen Lautsprechers mit der Gesamtgüte $Q$ und der Eigenfrequenz $f_{0}$ berechnet sich über der Schallfrequenz $f$ theoretisch zu
    $A_{0}(f)={\frac {\frac {f}{f_{0}}}{\sqrt {{\frac {1}{Q^{2}}}+\left({\frac {f}{f_{0}}}-{\frac {f_{0}}{f}}\right)^{2}}}}$
Im Resonanzfall $f=f_{0}$ vereinfacht sich diese Gleichung zu
    $A_{0}(f_{0})=Q$
Mit zunehmender Frequenz fällt der Frequenzgang jedoch entgegen der Aussage obiger Gleichung wieder ab, da die Lautsprechermembran wegen ihrer mechanischen Trägheit nicht mehr mitschwingen kann. Weitere Abweichungen ergeben sich in der Praxis, weil auch andere Eigenfrequenzen als $f_{0}$ noch kleine Beiträge zum Frequenzgang leisten. Diese Eigenfrequenzen werden im Allgemeinen durch ungewollte Schwingungsmoden der Lautsprechermembran verursacht.

### Freier Lautsprecher

Wird ein Lautsprecher bei der Frequenz $f$ ohne Schallwand oder Gehäuse betrieben, so interferieren an der Stelle $x=0$ (also an der Lautsprecheroberfläche) über der Zeit $t$ die nach vorne abgegebene Schallwelle
    $A_{v}=A(f,t)=A_{0}(f)\cdot e^{-i\omega t}$
und die nach hinten abgestrahlte Schallwelle
    $A_{h}=-A(f,t)=-A_{0}(f)\cdot e^{-i\omega t}$
mit der Eulerschen Zahl $e$, der imaginären Einheit $i={\sqrt {-1}}$ und der Kreisfrequenz $\omega =2\pi f$ zu allen Zeitpunkten destruktiv:
    $A_{ges}=A_{v}+A_{h}=0$
Dies bedeutet, dass die gesamte Amplitudenfrequenzgang $A_{ges}$ null wird, da sich die beiden Schallwellen gegenseitig auslöschen. Dies wird auch als akustischer Kurzschluss bezeichnet.

### Lautsprecher mit Schallwand

Die Probleme beim freien Lautsprecher können umgangen werden, wenn der Lautsprecher in eine im Verhältnis zur größten abzustrahlenden Schallwellenlänge möglichst weit ausgedehnte Schallwand eingebaut wird. Allerdings muss eine solche Schallwand meist sehr große Abmessungen haben. Bei einer minimalen Frequenz von beispielsweise 30 Hertz müsste die Schallwand seitlich mehrere Meter Ausdehnung haben.
    $A_{ges}=A_{v}=A(f,t)=A_{0}(f)\cdot e^{-i\omega t}$
wobei $A_{v}$ die nach vorne abgestrahlte Schallwelle repräsentiert, die in diesem Fall mit der gesamten abgestrahlten $A_{ges}$ identisch ist.

### Schallabyrinth

Eine Alternative wäre der Einbau des Lautsprechers in ein sogenanntes Schallabyrinth. Die Schallenergie der nach hinten abgegebenen Schallwelle wird hier durch Mehrfachreflexion und Mehrfachstreuung in Verbindung mit Absorption vernichtet. Auch ein solches Schallabyrinth muss jedoch sehr groß dimensioniert werden, damit der Schall weitgehend absorbiert werden kann. Wie auch bei der Schallwand besteht der Nachteil, dass die vom Lautsprecher nach hinten abgestrahlte Schallenergie nicht genutzt wird.

## Geschlossene Lautsprecherbox

Das ideale Verhalten eines Schalllabyrinths wird bei Lautsprecherboxen in geschlossener Bauweise nicht erreicht. Neben der nach vorne abgestrahlten Schallwelle $A_{v}$ können auch die nach hinten abgestrahlten Schallwellen $A_{h}$, die an den Gehäuseinnenwänden reflektiert werden, durch die Lautsprecheröffnung hinaustreten. Als Folge der Reflexionen treten ferner stehende Wellen auf, die sich negativ auf den Amplituden- und Phasenfrequenzgang der Lautsprecherbox auswirken. Dies kann zwar eingeschränkt werden, indem das Innere der Lautsprecherbox mit einem schallschluckenden Medium gefüllt wird und die Gehäusewände nicht parallel ausgerichtet sind, jedoch lässt sich dieser Effekt nie vollständig vermeiden. Ferner kann besonders bei niedrigen Frequenzen ein so hoher Schalldruck auftreten, dass eine Rückkopplung auf die Lautsprechermembran stattfindet, die sich ebenso wie die reflektierten Schallwellen als nichtlinearer Effekt negativ bemerkbar macht.
Die gesamte abgestrahlte Schallwelle $A_{ges}$ ergibt sich aus der Überlagerung aller Schallwellen:
    $A_{ges}=A_{v}+B(A_{h})+C(A_{h})$,
wobei die Funktion $B(A_{h})$ die im Lautsprechergehäuse gedämpften und reflektieren Schallwellen repräsentiert und $C(A_{h})$ die nichtlinearen Anteile durch Rückkopplung des Schalls.

### Teilventilierte Lautsprecherbox

Der hohe Schalldruck wird bei den sogenannten teilventilierten Lautsprecherboxen durch eine kleine Öffnung vermieden, die zum Druckausgleich dient. Wenn solche Lautsprecherboxen gut bedämpft sind und keine parallelen Gehäusewände haben, damit sich keine stehenden Wellen aufbauen können, stellen sie einen recht guten Kompromiss dar, die nach hinten abgestrahlte Schallenergie findet aber auch hier keine Verwendung bei der Klangwiedergabe.

### Bass-Reflex-Lautsprecherbox

Bei Bass-Reflex-Lautsprecherboxen wird die Eigenfrequenz des Lautsprechergehäuses bewusst eingesetzt, um die Schallabstrahlung der Lautsprecherbox meist im Tieftonbereich zu verstärken. Die Lautsprecherbox hat eine zusätzliche, meist nach vorn gerichtete Rohröffnung und wirkt somit als Helmholtz-Resonator mit der Amplitudenfunktion $B_{v}(f,t)$. Es ist auf diese Weise jedoch problematisch, einen gleichmäßigen Frequenzgang zu erreichen, da in der Regel eine zu starke Verstärkung in einem zu schmalen Frequenzband besteht und dadurch die beiden nach vorne abgestrahlten Schallwellen vom Lautsprecher $A_{v}$ und von der zusätzlichen Öffnung $B_{v}$ sehr schlecht aufeinander abgestimmt werden können. Auch bei Bass-Reflex-Lautsprecherboxen kann es wie bei geschlossenen Lautsprecherboxen natürlich zusätzlich noch zu stehenden Wellen kommen.
Die gesamte abgestrahlte Schallwelle $A_{ges}$ ergibt sich also im Wesentlichen aus der Überlagerung zweier Schallwellen:
    $A_{ges}=A_{v}+B_{v}$,
wobei die Funktion $A_{v}$ die nach vorne abgestrahlte Schallwelle und $B_{v}$ die aus der Bass-Reflex-Öffnung abgestrahlten Schallwellen repräsentiert.

## Transmissionline-Lautsprecherbox
### Transmissionline ohne Dämpfung

Die vom Lautsprecher nach hinten abgegebene Schallwelle $A_{h}$ kann durch einen Schallkanal mit der Länge $X_{0}$ geleitet werden, an dessen Ende sich eine Öffnung befindet. Dieser idealerweise resonanzfreie Schallkanal wurde von dem an der Universität von Bradford lehrenden Briten Arthur R. Bailey Transmissionline genannt. Die aus dieser Öffnung heraustretende Schallwelle $A_{h,TL}$ kann mit der vom Lautsprecher nach vorn abgestrahlten Schallwelle $A_{v}$ interferieren. Die Amplitude der interferierten Schallwelle ergibt sich im Falle des ungedämpften Schallkanals aus der Summe der beiden Anteile:
    $A_{v}=A_{0}(f)$ wie beim freien Lautsprecher
und
    $A_{h,TL}=-A_{0}(f)\cdot e^{-i\omega \cdot {X_{0} \over c_{0}}}$
Hierbei ist $c_{0}$ die Schallgeschwindigkeit im gasförmigen Schallmedium (in Luft bei 20° C und 60% relativer Luftfeuchtigkeit ist $c_{0}=344{\frac {m}{s}}$).
An der Lautsprecherfront ergibt sich für $A_{ges,TL}$ ohne Dämpfung also:
    $A_{ges,TL}=A_{v}+A_{h,TL}=A_{0}(f)\cdot \left(1-e^{-i\omega \cdot {\frac {X_{0}}{c_{0}}}}\right)$

### Transmissionline mit Dämpfung
#### Qualitative Beschreibung

In den 1960er Jahren kam Bailey auf die Idee, die von einem Tieftöner nach hinten abgestrahlte Schallenergie in einem hinreichend langen, bedämpften und am Ende offenen Schallkanal quasi "totlaufen" zu lassen, was er in zwei Artikeln im Fachmagazin Wireless World beschrieben hat. Die Dämpfung ist dabei ein integraler Bestandteil der Konstruktion von Bailey.
Die Dämpfung, die Schallgeschwindigkeit und somit auch die Wellenlänge der Schallwellen sind bei einem solchen Tiefpass frequenzabhängig (Dispersion). Die Schallwellen werden umso weniger stark gedämpft, je geringer die Frequenz beziehungsweise je größer die Wellenlänge der Schallwellen ist. Die höherfrequenten Anteile werden durch die akustische Dämpfung in Wärmeenergie umgewandelt, und die sehr tieffrequenten am Ende aus der Transmissionline noch austretenden Schallwellen können bei geeigneter Interferenz mit den direkten, nach vorne abgegebenen Schallwellen des eingesetzten Tieftöners den Amplitudenfrequenzgang bei tiefen Frequenzen verbessern.
Die ersten nach diesem Prinzip gebauten kommerziellen Lautsprecherboxen wurden zunächst von der in Cambridgeshire ansässigen und mit Bailey kooperierenden Firma Radford und später unter anderem von IMF Electronics und in Deutschland von Lautsprecher Teufel auf den Markt gebracht.
Die vom Lautsprecher nach hinten abgegebene Schallwelle wird in dem zum Beispiel mit langfaseriger Schafwolle gedämmten Schallkanal zunehmend abgeschwächt, sehr tiefe Frequenzen können den Schallkanal jedoch nur schwach gedämpft verlassen und zur Schallwiedergabe verwendet werden. Die Länge des Kanals sollte nach Bailey mindestens etwa ein Viertel der Wellenlänge der unteren Grenzfrequenz betragen, kann aber auch länger sein. Er kann in verschiedener Weise geknickt oder gefaltet werden, um in einem konventionellen Gehäuse Platz zu finden, jedoch sollten Reflexionen (zum Beispiel mit gekrümmten oder abgeschrägten Flächen) vermieden werden.
Da bei diesem "nicht-resonanten Lautsprechergehäuse" (Bailey) ein großer Teil der nach hinten abgestrahlte Schallenergie vernichtet wird, ist der Wirkungsgrad von Transmissionline-Lautsprechern relativ schlecht, was jedoch dank leistungsfähiger (Transistor-)Verstärker normalerweise keine Rolle spielt. Bei korrekter Konstruktion zeichnen sich Transmissionline-Lautsprecher durch sehr gute, klangneutrale (Tief-)Basswiedergabe und sehr gutes Impulsverhalten aus. Wegen Größe, Gewicht und der relativ hohen Fertigungskosten konnten sie sich jedoch auf lange Sicht nicht auf dem Markt durchsetzen.
* Tieffrequente Sinustöne mit 30 Sekunden Dauer
* 10 Hertz
* 20 Hertz
* 30 Hertz
* 40 Hertz
* 50 Hertz

#### Quantitative Berechnung

Im folgenden werden die von Bailey im Wesentlichen nur qualitativ beschriebenen Sachverhalte anhand entsprechender akustischer Formeln quantitativ beschrieben.
Wird die Transmissionline mit einem porösen, faserigen Absorber bedämpft, so kann die aus der Transmissionline austretende Schallwellenamplitude $A_{h,TL,D}$ nach Fridolin Peter Mechel mit der Theorie der quasihomogenen Absorber näherungsweise angegeben werden:
    $A_{h,TL,D}=-A_{0}(f)\cdot e^{-i\omega \cdot {X_{0} \over c_{0}}\cdot {\sqrt {1-i\cdot {r \over {\rho _{0}\cdot \omega }}}}}$
Dabei ist $\rho _{0}$ die Dichte des gasförmigen Schallmediums (bei trockener Luft bei 20° C ist $\rho _{0}=1.2{{\text{kg}} \over {\text{m}}^{3}}$) und $r$ der spezifische Strömungswiderstand des porösen Absorbermaterials in Newtonsekunden pro Biquadratmeter. Je größer der spezifische Strömungswiderstand, desto stärker ist die Schalldämpfung. Er hängt im Wesentlichen vom Material, von der Faserfeinheit und von der Raumdichte $\rho$, also von der Packungsdichte, des Absorbers und vom Füllgrad in der Transmissionline ab. Weiterhin hängt er von der gleichmäßigen Verteilung des Absorbers aber auch von Faserrichtung und der Schallfrequenz ab, so dass in der folgenden Tabelle nur ungefähre Richtwerte für einige poröse, faserige Absorber angeben sind:
| Material | Raumdichte | Spezifischer Strömungswiderstand | Gewichtseffizienz |
| | $\rho$ in ${\frac {\text{kg}}{{\text{m}}^{3}}}$ | $r$ in ${\frac {\text{Ns}}{{\text{m}}^{4}}}$ | ${\frac {r}{\rho }}$ in ${\frac {\text{Ns}}{\text{kg m}}}(={\text{Hz}})$ |
| Schafwolle | 5 | 4000 | 800 |
| Schafwolle | 10 | 8000 | 800 |
| Baumwolle | 5 | 1000 | 200 |
| Baumwolle | 10 | 4000 | 400 |
| Glaswolle | 50 | 200 | 4 |
| Glasfaserplatten | 20 | 1000 | 50 |
| Mineralwolle | 10 | 600 | 60 |
| Mineralwolle | 50 | 10000 | 200 |
| Aluminiumwolle | 35 | 500 | 14,3 |
| Aluminiumwolle | 70 | 4000 | 57,1 |
Für die gesamte Transmissionline-Lautsprecherbox ergibt sich an der Front der Lautsprecherbox mit Dämpfung die folgende frequenzabhängige Amplitude:
    $A_{ges,TL,D}=A_{v}+A_{h,TL,D}=A_{0}(f)\cdot \left(1-e^{-i\omega \cdot {X_{0} \over c_{0}}\cdot {\sqrt {1-i\cdot {r \over {\rho _{0}\cdot \omega }}}}}\right)$
Der Amplitudenverlauf ergibt sich aus dem Betrag der komplexen Funktion $A_{ges,TL,D}$. Dieser muss entsprechend den Parametern Gesamtgüte des Tieftöners $Q$, Länge der Transmissionline $X_{0}$ und spezifischer Strömungswiderstand $r$ so angepasst werden, dass bei den tiefen Frequenzen ein möglichst gleichmäßiger Amplitudenverlauf entsteht. Die beiden nebenstehenden Abbildungen sollen den Einfluss der beiden Parameter $X_{0}$ und $r$ bei vorgegebenem $Q$ verdeutlichen.
Die als geeignet bestimmten Parameter können beim Bau einer Transmissionline-Lautsprecherbox umgesetzt werden. Insbesondere die richtige Bedämpfung muss hierbei jedoch experimentell überprüft und gegebenenfalls korrigiert werden. Ferner muss bei der Ansteuerung von Tief- und Mitteltöner die aus obiger Gleichung resultierende Amplitude
    $|A_{ges,TL,D}|$
und Phasendifferenz
    $arg(A_{ges,TL,D})$
bei der Übergangsfrequenz zwischen dem System aus Transmissionline und Tieftöner auf der einen Seite und Mitteltöner auf der anderen Seite mittels der Frequenzweiche ausgeglichen werden.

### Erfahrungswerte für den Entwurf einer Transmissionline-Lautsprecherbox

Der Querschnitt der Transmissionline direkt hinter dem Lautsprecher sollte mindestens so groß sein wie die Lautsprechermembranfläche oder sogar etwas darüber liegen. Entlang der Transmissionline kann sich deren Querschnitt um maximal 25 Prozent verringern.
Der Tieftöner sollte eine relativ hohe Gesamtgüte $\left(Q\approx 1\right)$ haben.
Der optimale Wert des spezifischen Strömungswiderstands $r$ muss bei der fertiggestellten Lautsprecherbox experimentell überprüft und angepasst werden (zum Beispiel mit Frequenzgenerator oder mit Rauschgenerator und Frequenzanalysator), da er nur schwierig für einen in die Transmissionline eingebauten Absorber abgeschätzt werden kann.
Mit der Frequenzweiche wird das elektrische Signal auf die Tief- und Mittel- sowie gegebenenfalls auch die Hochtöner verteilt. Um unerwünschte akustische Effekte zu vermeiden, sollten die seitlichen Abstände zwischen Mittel- und Tieftöner sowie zwischen Hoch- und Mitteltöner so gering wie möglich gehalten werden. Außerdem sollten alle Lautsprecher bündig mit dem Gehäuse abschließen und in einer Ebene liegen.
Die Austrittsöffnung einer Transmissionline kann konstruktiv wie ein Subtieftöner betrachtet werden.

## Widmung

Diese Zusammenstellung ist meinem Studienfreund Dr. Lutz König gewidmet. Der Hauptautor dankt ihm für seine freundschaftlichen, umfangreichen und stets förderlichen Beiträge zur Realisierung unserer 1986 in Eigenentwicklung hergestellten vier Lautsprecherboxen.

## Literatur

* Arthur R. Bailey: A Non-resonant Loudspeaker Enclosure Design - Using acoustic transmission line with low-pass filter characteristics, Wireless World, October 1965, p. 483-486
* Arthur R. Bailey: The Transmission-line Loudspeaker Enclosure - A re-examination of the general principle and a suggested new method of construction, Wireless World, May 1972, p. 215-217
* Ludwig Bergmann, Clemens Schäfer: Lehrbuch der Experimentalphysik, Band 1: Mechanik, Akustik, Wärme, 9. Auflage, de Gruyter, 1974, ISBN 978-3-1100-4861-2
* Fridolin P. Mechel: Schallabsorption, Kapitel 18, in: Manfred Heckl, Helmut A. Müller: Taschenbuch der technischen Akustik, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1975, ISBN 3-6429-7357-4
* Hans Herbert Klinger: Lautsprecher und Lautsprechergehäuse für HiFi, Franzis-Verlag GmbH, München, 1981, ISBN 3-7723-1051-6
* Heinz Sahm: HiFi-Lautsprecher, Grundlagen der elektrodynamischen Lautsprecher in unendlicher Schallwand und im Gehäuse, Franzis-Verlag GmbH, München, 1982, ISBN 3-7723-6522-1
* Berndt Stark: Lautsprecher-Handbuch - Theorie und Praxis des Boxenbauens, Richard Pflaum Verlag, München, 1985, ISBN 3-7905-0433-5

## Siehe auch

* Grundlegendes zur Akustik

## Zusammenfassung des Projekts

„Berechnung einer akustischen Transmissionline“ ist nach Einschätzung seiner Autoren zu 100 % fertig
* Zielgruppe und Lernziele: Dieses Buch richtet sich an akustisch interessierte Leser mit mathematischer Ausbildung. Es beschreibt einen vollständigen Weg zur Berechnung einer bedämpften akustischen Transmissionline mit komplexwertigen Funktionen. Aufbauend auf grundlegenden Betrachtungen zur Schallerzeugung und -abstrahlung von Lautsprechern wird durch schrittweise Erweiterungen und Ergänzungen die Funktionsweise einer solchen Transmissionline erarbeitet.
* Ansprechperson: Ansprechpartner ist Benutzer:Bautsch