# Hauptteil

Dieses Wikibook beschäftigt sich mit der verblüffenden Ähnlichkeit bei den Verhältnissen der Schwingungsfrequenzen der Balmer-Serie mit den Verhältnissen der Schallfrequenzen des einleitenden Motivs der Sinfonischen Dichtung Till Eulenspiegels lustige Streiche von Richard Strauss (* 1864; † 1949).
Es steht außer Zweifel, dass für solche kompositorischen Transferleistungen nicht nur eine überragende Musikalität eine Voraussetzung ist, sondern dass Richard Strauss auch über die erforderliche Genialität und den Einfallsreichtum verfügte, um aus dem physikalischen Basismaterial derart hochrangige Werke zu erschaffen.

## Einleitung

Till Eulenspiegel soll im 14. Jahrhundert ein umherstreifender gerissener Schalk gewesen sein, der sich dumm stellte und seinen Mitmenschen viele Streiche spielte.
Die nach dem Schweizer Mathematiker und Physiker Johann Jakob Balmer (* 1825; † 1898) benannte Balmer-Serie beschreibt eine Folge von Spektrallinien im Spektrum von Wasserstoffatomen, die durch spezifische Frequenzen oder Wellenlängen elektromagnetischer Strahlung beschrieben werden können und von denen fünf Linien im Bereich des sichtbaren Lichts liegen. Diese sind zunächst im Sonnenlicht nachgewiesen worden, da das chemische Element Wasserstoff Hauptbestandteil von Sternen ist und das Sonnenlicht wegen seiner großen Helligkeit sehr gut untersucht werden kann. Später wurden die Wasserstofflinien auch im Licht heller Sterne nachgewiesen, wie zum Beispiel beim hellsten Stern des Nachthimmels, nämlich Sirius (α Canis Majoris) im Sternbild Großer Hund.
Kurz bevor die Komposition entstand, hatten der Komponist Richard Strauss und der Mathematiker und Komponist Hans Sommer (* 1837; † 1922, eigentlich Hans Zincken genannt Sommer), der in der Optik sehr bewandert war, in Weimar Freundschaft geschlossen. Es könnte daher gut sein, dass Richard Strauss damals über seinen väterlichen Freund Hans Sommer von aktuellen physikalischen Entdeckungen und somit auch von der optischen Balmer-Serie erfahren hat. Mit dessen Hilfe könnte er die auf Schallfrequenzen übertragenen Frequenzen der fünf sichtbaren Spektrallinien - quasi schalkhaft - für die fünf Töne c - f - g - gis - a des Eingangsmotivs seiner Sinfonischen Dichtung Till Eulenspiegels lustige Streiche verwendet haben.

## Die Balmer-Serie

Die Atome oder Moleküle eines Gases können durch Energiezufuhr angeregt werden. Hierbei werden die Elektronen in der Atomhülle auf höhere diskrete Energieniveaus gebracht. Durch spontane Emission fallen die Elektronen irgendwann zufällig in ein niedrigeres Energieniveau zurück, wobei die dabei frei werdende Energie als elektromagnetische Strahlung in Form eines Photons abgestrahlt wird, dessen Schwingungsfrequenz $\nu$ über die Lichtgeschwindigkeit $c$ ausgedrückt werden kann, die eine festgelegte Größe hat:
    $c=299792458\,{\frac {\text{Meter}}{\text{Sekunde}}}$
    $\nu ={\frac {c}{\lambda }}$
Hierbei ist $\lambda$ die Wellenlänge des vom Atom emittierten Lichtteilchens, und jede Wellenlänge entspricht einer bestimmten gesättigten Farbe. Weißes Licht hat ein kontinuierliches Spektrum mit praktisch allen sichtbaren Wellenlängen:
Werden Atome durch Licht angeregt, werden die Photonen mit den zu den Energieniveaus passenden Wellenlängen dabei vernichtet (absorbiert), und im entsprechenden Absorptionsspektrum ist bei der dazugehörigen Wellenlänge eine dunkle Linie zu sehen. Wird ein Gas zu einem Plasmaleuchten angeregt, werden nur bei den zu den Energieniveaus passenden Wellenlängen Photonen erzeugt (emittiert), die im Emissionsspektrum dann als helle Linien zu sehen sind.
Die Lage dieser Linien auf dem Bildschirm eines optischen Spektrometers hängt von den von der Wellenlänge des untersuchten Lichtes abhängigen Brechungswinkeln des verwendeten Glasprismas beziehungsweise von den Eigenschaften des verwendeten Beugungsgitters ab. Die erzielten Brechungswinkel werden also durch die geometrische Anordnung in den eingesetzten optischen Geräten bestimmt.
Diese Wellenlängen sind auch vom Absorptionsspektrum des Lichtes der Sterne bekannt, allen voran unserer Sonne, da diese zu einem sehr großen Teil aus Wasserstoff bestehen und einen hohen Energieumsatz haben. Der englische Arzt, Physiker und Chemiker William Hyde Wollaston (* 1766; † 1828) hat 1802 als erster solche dunklen Linien im Sonnenspektrum beschrieben, er hat sie allerdings für Trennlinien zwischen den natürlichen Farben gehalten. Sie wurden unabhängig von ihm 1814 auch vom deutschen Optiker und Physiker Joseph von Fraunhofer (* 1787; † 1826) entdeckt und systematisch untersucht. Ihm zu Ehren werden sie Fraunhofer-Linien genannt. Zur Unterscheidung wurden die zahlreichen Absorptionslinien mit Buchstaben gekennzeichnet – starke Linien mit Großbuchstaben und schwächere Linien mit Kleinbuchstaben. Zu noch genaueren Differenzierungen werden zusätzliche Ziffern verwendet:
Wenn das angeregte Elektron sich in einem Wasserstoffatom befindet und von einem höheren Energieniveau $E_{m}$ zum zweittiefsten Energieniveau $E_{2}$ übergeht, ergeben sich die Wellenlängen $\lambda _{m,2}$ der Balmer-Serie. Die Spektrallinien dieser Serie sind nach dem Schweizer Mathematiker und Physiker Johann Jakob Balmer (* 1825; † 1898) benannt, der die mathematische Gesetzmäßigkeit 1885 anhand seiner empirisch gefundenen, verallgemeinerten Balmer-Formel für die Wellenlängen $\lambda _{m,n}$ in den Verhandlungen der Naturforschenden Gesellschaft in Basel darstellen konnte:
    $\lambda _{m,n}=A\left({\frac {m^{2}}{m^{2}-n^{2}}}\right)$ mit $m>n$ und $n\geq 1$
Hierbei ist
    $A=\lim _{m\to \infty }\lambda _{m,n}=\lambda _{\infty ,n}\approx 364,506820{\text{ Nanometer}}$
eine konstante Wellenlänge im Ultravioletten. Balmer nannte sie die Grundzahl des Wasserstoffs und gab ihren Wert mit 3645,6 Angström beziehungsweise 364,56 Nanometer bedingt durch die damaligen Messgenauigkeiten geringfügig höher an.
Die Existenz von Energieniveaus war zu dieser Zeit allerdings noch gar nicht bekannt, und die zeitgenössischen Forscher waren wegen der fehlenden Erklärung wie elektrisiert. Johann Jakob Balmer schrieb hierzu in seiner Veröffentlichung:
   Es sind besonders die numerischen Verhältnisse der Wellenlängen der ersten vier Wasserstofflinien, welche die Aufmerksamkeit reizen und fesseln. Die Verhältnisse dieser Wellenlängen lassen sich nämlich überraschend genau durch kleine Zahlen ausdrücken.
   Der Unterschied zwischen den berechneten und beobachteten Wellenlängen ist so klein, dass die Übereinstimmung im höchsten Grade überraschen muss.
   Aus diesen Vergleichungen ergibt sich [...], dass die Formel auch für die fünfte [...] Wasserstofflinie zutrifft.
Die Koeffizienten $k_{m,2}$ der Balmer-Serie, die sich für $n=2$ aus dem Klammerausdruck ergeben, hat Johann Jakob Balmer ebenfalls angegeben:
    $k_{m,2}={\frac {m^{2}}{m^{2}-4}}$
Diese Koeffizienten $k_{m,2}$ und die dazugehörigen Wellenlängen $\lambda _{m,2}$ lauten mit der zusätzlichen Definition $r_{3}:=1$ für die ersten fünf Spektrallinien der Balmer-Serie mit $3\leq m\leq 7$:
| m | Rationaler Wert von $k_{m,2}$ | Dezimalwert von $k_{m,2}$ | Verhältnis $r_{m}=r_{(m-1)}\cdot {\frac {k_{(m-1),2}}{k_{m,2}}}$ | Dezimalwert des Kehrwerts ${\frac {1}{r_{m}}}$ | Wellenlänge $\lambda _{m,2}=A\cdot k_{m,2}=A{\frac {k_{3,2}}{r_{m}}}$ in Nanometer |
| 3 | ${\frac {9}{5}}$ | $1,8$ | $1$ | $1$ | 656,112 |
| 4 | ${\frac {16}{12}}={\frac {4}{3}}$ | $1,{\overline {3}}$ | ${\frac {27}{20}}$ | $0,{\overline {740}}$ | 486,009 |
| 5 | ${\frac {25}{21}}$ | $1,{\overline {190476}}$ | ${\frac {189}{125}}$ | $0,{\overline {661375}}$ | 433,937 |
| 6 | ${\frac {36}{32}}={\frac {9}{8}}$ | $1,125$ | ${\frac {8}{5}}$ | $0,625$ | 410,070 |
| 7 | ${\frac {49}{45}}$ | $1,0{\overline {8}}$ | ${\frac {81}{49}}$ | $0,{\overline {604938271}}$ | 396,907 |
Balmer gab in seiner Veröffentlichung unter anderem die von Anders Jonas Ångström (* 1814; † 1874) in dessen französischsprachigem Werk über das Sonnenspektrum von 1866 experimentell bestimmten und 1868 veröffentlichten Wellenlängen für die sichtbaren Wasserstofflinien an:
| m | Wellenlänge $\lambda _{m,2}$ in Nanometer | Bezeichnung | Bezeichnung nach Fraunhofer | Farbbezeichnung | Frequenz der Wasserstofflinie $\nu _{m,2}$ in Hertz |
| 3 | 656,2 | $H_{\alpha }$ | C-Linie | Rot | $4,569\cdot 10^{14}$ |
| 4 | 486,1 | $H_{\beta }$ | F-Linie | Blaugrün | $6,168\cdot 10^{14}$ |
| 5 | 434,0 | $H_{\gamma }$ | f-Linie vor G | Blau | $6,909\cdot 10^{14}$ |
| 6 | 410,1 | $H_{\delta }$ | h-Linie | Violett | $7,311\cdot 10^{14}$ |
| 7 | 396,8 | $H_{\epsilon }$ | nahe vor $H_{I}$ | Violett | $7,553\cdot 10^{14}$ |
Alternativ können diese Serien auch mit der Rydberg-Konstante
    $R_{\infty }={\frac {4}{A}}\approx 1,0973731568160\cdot 10^{7}\,\mathrm {m^{-1}}$
für die Frequenzen $\nu _{m,n}$ beschrieben werden:
    $\nu _{m,n}=c\cdot R_{\infty }\left({\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {1}{m^{2}}}\right)$ mit $m>n$ und $n\geq 1$
Die Frequenz $\nu _{A,2}$, die sich mit der Grundzahl des Wasserstoffs für $m\rightarrow \infty$ bei der Balmer-Serie mit $n=2$ ergibt, kann also folgendermaßen berechnet werden:
    $\nu _{m,n}={\frac {c}{\lambda _{m,n}}}={\frac {c}{A\left({\frac {m^{2}}{m^{2}-n^{2}}}\right)}}$
    $\lim _{m\to \infty }\nu _{m,n}=\nu _{\infty ,2}=\nu _{A,2}={\frac {c}{A}}=c\cdot R_{\infty }{\frac {1}{4}}\approx 8,224605\cdot 10^{14}\,{\text{Hertz}}$
Der Bezeichnung durch Balmer für die Wellenlänge $A$ als Grundzahl des Wasserstoffs folgend, könnte diese Frequenz Grundschwingungszahl des Wasserstoffs genannt werden.

## Die Komposition
### Till Eulenspiegels lustige Streiche

Till Eulenspiegels lustige Streiche sind neun Jahre nach der Entdeckung der Balmer-Serie vom deutschen Komponisten Richard Strauss (* 1864; † 1949) komponiert worden. Es handelt sich um eine Tondichtung für großes Orchester mit einer Aufführungsdauer von fünfzehn Minuten, die zwischen 1893 und 1894 entstanden ist, nachdem Richard Strauss mehrere Monate in Griechenland und Ägypten verbracht hatte, um sich von den Spätfolgen einer Lungenentzündung zu erholen, und nachdem seine Oper Guntram fertig geworden worden war.
Ursprünglich hatte Richard Strauss offenbar geplant, das Werk unmittelbar mit dem bekannten und markanten sechstaktigen Till-Eulenspiegel-Motiv beginnen zu lassen. Der fünftaktige Prolog wurde von Richard Strauss erst im Laufe der Überarbeitung als Beginn der Komposition hinzugefügt. Im Verlauf der Komposition taucht das Till-Eulenspiegel-Motiv dann erst am Ende erneut auf.
Der Prolog wurde vom Komponisten schließlich mit den Worten "Es war einmal ein Schalknarr..." und "gemächlich" betitelt, das unmittelbar darauffolgende Till-Eulenspiegel-Motiv mit den Worten "...Namens „Till Eulenspiegel“" und "allmählich" lebhafter".
Der Beginn der Komposition ist in F-Dur notiert, und die fünf Töne des Till-Eulenspiegel-Motivs sind c - f - g - gis - a. Sie werden zwei Mal wiederholt:
Die Sinfonische Dichtung Till Eulenspiegels lustige Streiche trägt die Opus-Zahl 28, und sie wurde unter der Leitung des deutschen Komponisten Franz Wüllner (* 1832; † 1902) am 5. November 1895 in Köln uraufgeführt.

### Also sprach Zarathustra

Diese Sinfonische Tondichtung von Richard Strauss mit der Opus-Zahl 30, Also sprach Zarathustra wurde Ende November 1896 durch unter Leitung von Richard Strauss in Frankfurt am Main uraufgeführt.

#### Naturtonreihe

Bemerkenswert ist in diesem Zusammenhang, dass die kurz nach der Sinfonischen Dichtung Till Eulenspiegels lustige Streiche entstandene Komposition, ebenfalls sehr deutliche Bezüge physikalischen Zahlenverhältnissen hat und ein Eingangsmotiv mit fünf Tönen verwendet.
Das in der Einleitung Sonnenaufgang verwendete Eingangsmotiv ist auch aus einer physikalischen Zahlenreihe, nämlich der Naturtonreihe abgeleitet, wobei deren erster, zweiter, dritter, vierter und fünfter Ton mit den Frequenzverhältnissen 1:1, 2:1, 3:2, 4:3 und 5:4 in Bezug auf den Grundton eine zentrale Rolle spielen.
Strauss verwendet erneut das C als Basiston, der als Oktave auf Groß-C und Klein-c zunächst vier Takte lang in den Kontrabässen, im Orgelpedal und im Kontrafagott ausgehalten wird, bevor die vier C-Trompeten mit ihrem markanten aufsteigenden Motiv dazukommen. Für sein Trompetenmotiv verwendet Richard Strauss die nächsten vier Töne der Naturtonreihe c', g', c" und e", so dass schließlich ein fast vom gesamten Orchester gespielter, strahlender C-Dur-Akkord erklingt, der durch die Alteration des Terztons sogleich nach c-Moll verändert wird. Nach einem kurzen triolischen Zwischenspiel der Pauken mit den beiden Quarttönen G und c erklingt das Trompetenmotiv erneut mit umgekehrter Akkordfolge c-Moll und C-Dur. Wie auch in der Sinfonischen Dichtung Till Eulenspielgels lustige Streiche wird das Motiv ein drittes Mal gespielt und dann weiterentwickelt, wobei der aufgebaute C-Dur-Akkord bei diesem Mal als Dominante zu dem danach folgenden F-Dur gedeutet werden kann. Nach vier Takten schließt die Einleitung mit einem erneuten und lang ausgehaltenen C-Dur im Fortissimo, welches von allen Instrumenten gespielt wird.

#### Zwölftonreihe

Im weiteren Verlauf des Orchesterstückes spielt Richard Strauss in den Abschnitten Von der Wissenschaft und Der Genesende auch noch mit der in der Astronomie bedeutenden Zahl Zwölf, indem er Zwölftonreihen verwendet.
Die äußerst kunstvoll gestaltete Fuge zu Beginn des Abschnitts "Von der Wissenschaft" mit der Anweisung sehr langsam beginnt mit einem viertaktigen Thema im Viervierteltakt, dessen drei erste Töne C - G - c den drei Naturtönen des Trompetenmotivs aus der Einleitung der Komposition entsprechen, bei denen es erst eine Quinte und dann eine weitere Quarte nach oben geht. Ausgehend vom Spitzenton c ergibt sich im Folgenden eine Zwölftonreihe, die nach einem zunächst sehr simplen Rhythmus eine schnelle Triole auf Vierteln und eine weitere langsame Triole auf Halben verwendet. Der Dux wird in den vierten Celli unisono mit den vierten Kontrabässen auf C - G - c vorgetragen. Danach setzen die dritten Celli und Kontrabässe mit dem Comes eine Quinte höher auf G - d - g ein. Der zweite Comes beginnt dann wiederum eine Quinte höher auf d - a - d' und wird von den zweiten Celli und Kontrabässen übernommen. Der dritte Comes auf a - e' - a' erklingt schließlich in den ersten Celli und Kontrabässen.
Zu Beginn des sich anschließenden Abschnitts "Der Genesende" mit der Anweisung marcato wird das zwölftönige Thema zunächst in den Celli, Kontrabässen und den Posaunen, dann in den Hörnern und den Bratschen und danach in den Oboen und den zweiten Geigen noch einmal rhythmisch geringfügig verändert aufgegriffen:
Es gibt nur wenige weitere physikalische Zahlenreihen, die für die Tonhöhen von musikalischen Motiven geeignet wären. Ferner ist festzuhalten, dass Richard Strauss kein Pionier und auch kein Anhänger der Zwölftonmusik war, so dass die Tatsache, dass er dennoch damit arbeitet, als symbolisch und durchaus auch als ein wenig schalkhaft angesehen werden kann.
Siehe hierzu auch → Wikibook Zahlen / Zur Zwölf.

#### Zwölf Glockenschläge

Beim letzten Abschnitt der Komposition mit der Bezeichnung Nachtwandlerlied verwendet er zwölf mitternächtliche Glockenschläge. Die Zwölf hat nicht nur enge astronomische Bezüge zur Aufteilung der Nacht in die zwölf Nachtstunden, sondern auch zu den zwölf nachts sichtbaren Lebewesenkreiszeichen der Ekliptik, die von den sieben Wandelgestirnen durchlaufen werden und in denen sich der Planet Jupiter von der Erde aus gesehen jeweils ein Jahr lang aufhält.
Siehe hierzu auch → Wikibook Konjunktionen.

### Drei Lieder nach Gedichten von Otto Julius Bierbaum

Übrigens beschäftigen sich auch die drei Gedichte Traum durch die Dämmerung, Schlagende Herzen und Nachtgang der zwischen den beiden Sinfonischen Dichtungen geschaffenen Komposition Drei Lieder nach Gedichten von Otto Julius Bierbaum von 1895 mit der Opus-Zahl 29 mit den astronomischen Objekten Sonne, Mond und Sterne und deren Betrachtung und Wirkung in der Natur ("Licht", "Dämmerung", "Nacht", "Frühling").
* Nummer 1: Traum durch die Dämmerung (Fis-Dur / B-Dur / Fis-Dur, sehr ruhig, 2/4-Takt)
** ... im Dämmergrau, die Sonne verglomm, die Sterne ziehn,
** ... in ein blaues, mildes Licht.
** ... in ein mildes, blaues Licht.
* Nummer 2: Schlagende Herzen (G-Dur, lebhaft und heiter, Allegro giocoso, 2/4-Takt)
** ... du gold'ne Sonne in Himmelshöhn! (in strahlendem C-Dur)
* Nummer 3: Nachtgesang (c-Moll, mäßig langsam, 3/4-Takt)
** Der Mond goss silbernes Licht ...
** ... rein wie die liebe Sonne.

## Bezüge
### Intervalle

Die mit dem menschlichen Auge sichtbaren Lichtfrequenzen der ersten fünf Wasserstofflinien ($3\leq m\leq 7$) der Balmer-Serie ($n=2$) entsprechen recht genau den Verhältnissen der Tonfrequenzen der unmittelbar danach zwei Mal wiederholten fünf Töne des ersten Motivs der Sinfonischen Dichtung Till Eulenspiegels lustige Streiche:
| Tonbezeichnung | Tonfrequenz $f_{m}$ in Hertz | Frequenzverhältnis zum nächsten Ton | m | Frequenz der Wasserstofflinie $\nu _{m,2}$ in Hertz | Frequenzverhältnis zur nächsten Linie | Wellenlänge $\lambda _{m,2}$ in Nanometer |
| c | 261,6 | 1,335 | 3 | $4,569\cdot 10^{14}$ | 1,350 | 656,1 |
| f | 349,2 | 1,122 | 4 | $6,168\cdot 10^{14}$ | 1,120 | 486,0 |
| g | 392,0 | 1,059 | 5 | $6,909\cdot 10^{14}$ | 1,058 | 433,9 |
| gis | 415,3 | 1,059 | 6 | $7,311\cdot 10^{14}$ | 1,033 | 410,1 |
| a | 440,0 | | 7 | $7,553\cdot 10^{14}$ | | 396,9 |
Die in der zweiten Spalte angegebenen Tonfrequenzen beziehen sich also auf den Kammerton A mit 440 Hertz. Die in der letzten Spalte angegebenen Wellenlängen entsprechen fast exakt den fünf in der Veröffentlichung von Balmer 1884 für die Wasserstofflinien im sichtbaren Bereich angegebenen Wellenlängen (siehe oben).
Werden die Lichtfrequenzen $\nu _{m,2}$ mit dem mittleren Umrechnungsfaktor $u_{440}=5,713\cdot 10^{-13}$ multipliziert, ergeben sich die entsprechenden Tonfrequenzen $f_{m}=u_{440}\cdot \nu _{m,2}$ und die musikalischen Intervalle des aufsteigenden Motivs von Richard Strauss.

### Stimmton

An dieser Stelle muss noch festgehalten werden, dass dieser Umrechnungsfaktor willkürlich gewählt werden kann, aber irgendwie festgelegt werden muss. Die Stimmung der Musikinstrumente bei Ensemblemusik muss seit jeher durchgeführt werden, damit alle Instrumente harmonische Zusammenklänge erzeugen können. Hierzu wurden auch Stimmtöne oder ein Kammerton verwendet, deren Tonhöhe festgelegt war. Der französische Gelehrte Joseph Sauveur (* 1653; † 1716) und später auch der deutsche Physiker und Astronom Ernst Chladni (* 1756; † 1827) schlugen vor, als grundlegendes Zeitmaß einer physikalischen Stimmung die Einheit einer Sekunde für die Festlegung des Grundtons C zu verwenden. Dies bedeutet, dass der Grundton C0 exakt die Frequenz 1 Hertz hat und alle Oktaven dieses Grundtons nach oben immer exakt die doppelte Frequenz haben. Dies führt zu der folgenden Reihe:
| Tonbezeichnung | Faktor | Tonfrequenz $f$ in Hertz | Tiefster Ton der... |
| C0 | $2^{0}$ | 1 | |
| C1 | $2^{1}$ | 2 | |
| C2 | $2^{2}$ | 4 | |
| C3 | $2^{3}$ | 8 | |
| C4 | $2^{4}$ | 16 | Subkontra-Oktave |
| C5 | $2^{5}$ | 32 | Kontra-Oktave |
| C6 | $2^{6}$ | 64 | großen Oktave |
| C7 | $2^{7}$ | 128 | kleinen Oktave |
| C8 | $2^{8}$ | 256 | eingestrichenen Oktave |
| C9 | $2^{9}$ | 512 | zweigestrichenen Oktave |
| C10 | $2^{10}$ | 1024 | dreigestrichenen Oktave |
| C11 | $2^{11}$ | 2048 | viergestrichenen Oktave |
Wenn eine Referenztonhöhe für die Übertragung von Frequenzen elektromagnetischer Wellen zu Schallwellen gesucht wird, ist es für Physiker naheliegend, sich an dem Grundton C dieser physikalischen Stimmung zu orientieren.
Die ersten fünf Töne dieser Reihe haben aus musikalischer Sicht nur eine theoretische Bedeutung und sind für Menschen praktisch nicht mit einer Tonhöhe wahrnehmbar. Der Ton A ist eine große Sexte (respektive neun Halbtöne) höher als das direkt darunterliegende C beziehungsweise eine kleine Terz (respektive drei Halbtöne) tiefer als das direkt darüberliegende C. Wenn das A in der letzten Oktave zwischen C8 und C9 in dieser Reihe als Kammerton festgelegt wird, hat er bei gleichschwebender Stimmung (alle zwölf aufeinanderfolgenden Halbtonintervalle haben dasselbe Frequenzverhältnis ${2}^{\frac {1}{12}}\approx 1,059463$) die folgende Frequenz:
    $f_{A}=f_{C8}\cdot {2}^{\frac {9}{12}}=f_{C9}\cdot {2}^{-{\frac {3}{12}}}\approx 430,539{\text{ Hertz}}\approx 431{\text{ Hertz}}$
Mit einer Frequenz von 256 Hertz für den Grundton c ergeben sich die folgenden Tonhöhen für die fünf Töne des Till-Eulenspiegel-Motivs beziehungsweise die ersten fünf Linien der Balmer-Serie (3 ≤ m ≤ 7):
| Tonbezeichnung | Tonfrequenz reine Stimmung in Hertz | Tonfrequenz gleichschwebende Stimmung in Hertz | Tonfrequenz Balmer-Serie $f_{m}$ in Hertz | m | Intervall zum Grundton c |
| c | 256,000 | 256,000 | 256,000 | 3 | Prime |
| f | 341,333 | 341,719 | 345,600 | 4 | Quarte |
| g | 384,000 | 383,567 | 387,072 | 5 | Quinte |
| gis | 409,600 | 406,375 | 409,600 | 6 | Kleine Sexte |
| a | 426,667 | 430,539 | 423,184 | 7 | Große Sexte |
Hieraus resultiert ein etwas kleinerer mittlerer Faktor $u_{431}=5,591\cdot 10^{-13}$ als Proportionalitätskonstante zwischen den Licht- und den Schallfrequenzen $f_{m}=u_{431}\cdot \nu _{m,2}$ des aufsteigenden Motivs von Richard Strauss.
Diese Tonhöhen wurden beispielsweise bei der frühen Pariser Stimmung von 1829 im 19. Jahrhundert verwendet. Im Laufe der Zeit wurde die Referenztonhöhe allerdings aus praktischen Erwägungen immer höher - Saiteninstrumente klingen voller und lauter, wenn die Saiten etwas stärker gespannt werden, wobei sie allerdings eine höhere Eigenfrequenz bekommen. Richard Strauss war sich der damit verbundenen Problematik bewusst und kommentierte die gestiegene Höhe des Kammertons einige Jahre vor seinem Tod folgendermaßen:
   Die hohe Stimmung unserer Orchester wird immer unerträglicher. Es ist doch unmöglich, dass eine arme Sängerin A-Dur-Koloraturen, die ich Esel schon an der äußersten Höhengrenze geschrieben habe, in H-Dur herausquetschen soll.
   Rückkehr zum Pariser A, bevor sich unsere armen Sänger die Paar letzten noch vorhanden Stimmen verschrien haben!

### Zufall oder Koinzidenz

Es ergibt sich die Frage, ob es diese physikalischen und musikalischen Sachverhalte koinzident sind, oder ob sich um einen Zufall handeln kann. Da es offenbar keine belastbaren Belege für eine Koinzidenz gibt, ist die Frage nicht zu beantworten.
Zumindest muss festgehalten werden, dass es sich um einen äußerst bemerkenswerten Zufall handeln würde. Es gibt allein schon ${12}^{4}=20736$ Möglichkeiten, genau vier Töne aus einem Vorrat von zwölf Tönen auf einen beliebigen Anfangston folgen zu lassen. Die Wahrscheinlichkeit, dass genau die fünf Töne des Till-Eulenspiegel-Motivs aus diesem Tonvorrat zufällig ausgewählt werden, beträgt demnach knapp 0,00005. Andere Motive haben weniger oder mehr als fünf Töne, haben einen größeren Tonumfang oder haben einen anderen Anfangston, was die Anzahl der Möglichkeiten noch zusätzlich und deutlich erhöht und die Wahrscheinlichkeit eines Zufalls entsprechend verringert.
Die Wahrscheinlichkeit, dass das Motiv mit den fünf Tönen c' - f' - g' - gis' - a', das im Gegensatz zu den vielen anderen tatsächlich komponierten Motiven noch nicht einmal diatonisch ist, sondern chromatische Bestandteile hat, ausgerechnet und zufällig nur wenige Jahre nach der Entdeckung der Balmer-Serie und deren Diskussion in Fachkreisen komponiert wird, ist noch geringer.
Schließlich ist zu berücksichtigen, dass das in der Tonart F-Dur notierte Motiv mit dem Ton C beginnt, dessen Tonhöhe im 18. und 19. Jahrhundert häufig mithilfe der Definition der Zeiteinheit der Sekunde rein physikalisch festgelegt war.
Im sehr umfangreichen Répertoire International des Sources Musicales (RISM) findet sich in über einer Million Notendokumente kein anderes Beispiel, das mit einem Motiv nur aus exakt diesen fünf Tönen beginnt. Nur zwei weitere, in der Tonart C-Dur stehende Beispiele mit einer Entstehungszeit vor 1893 lassen sich finden. Die beiden Folgen mit den fünf Tönen verwenden fast die gleichen Tonlängen wie das Till-Eulenspiegel-Motiv (drei Achtelnoten, eine Viertelnote und eine Achtelnote), und das Motiv wird in beiden Beispielen einmal unmittelbar wiederholt:
* Carl Czerny (* 1791; † 1857): Klavierübung in C-Dur (6/8-Takt), opus 599, Nummer 38: Tonfolge: g", c"', d"', dis"', e"'
* Anonymus: Ländler in C-Dur (3/4-Takt), Tonfolge: g', c", d", dis", e"
Die Wahrscheinlichkeit, dass das Till-Eulenspiegel-Motiv von Richard Strauss 1893 rein zufällig entsprechend der Frequenzverhältnisse der Balmer-Serie gewählt wurde, ist nach diesen Überlegungen gewiss nicht null, sie ist aber äußerst gering.

### Weitere Beispiele

Es möge bedacht werden, dass eine rationale Folge mit fünf aufeinanderfolgenden Zahlen wie bei der Balmer-Serie keineswegs ästhetisch empfundene Tonhöhenverhältnisse ergeben muss. Bei den höheren Ordnungen in der Balmer-Serie sowie beispielsweise bei der 1906 von dem US-amerikanischen Physiker Theodore Lyman (* 1874; † 1954) gefundenen Lyman-Serie im Ultravioletten oder der 1908 von dem deutschen Physiker Friedrich Paschen (* 1865; † 1947) gefundenen Paschen-Serie im Infraroten ist das zum Beispiel nicht der Fall. Es ist bemerkenswert, dass von diesen spektralen Serien nur die Balmer-Serie im für Menschen sichtbaren Wellenlängenbereich des Lichtes liegt und gleichzeitig nur die Balmer-Serie linear in eine von Menschen harmonisch wahrnehmbare Tonfolge transformiert werden kann.
Es sind daher nur sehr wenige Fälle bekannt, bei denen sich physikalische Zahlenfolgen, insbesondere wenn diese auch noch mit den menschlichen Sinnen unmittelbar wahrgenommen werden können, in musikalischen Tonfolgen widerspiegeln. Ein bedeutendes Beispiel ist die natürliche Obertonreihe, die sich aus ganzzahligen Verhältnissen bei schwingenden Saiten oder in Luftsäulen ergibt und von Richard Strauss in der Sinfonischen Dichtung Also sprach Zarathustra verarbeitet wurde (siehe oben).
Ein weiteres Beispiel mit den vier pythagoreischen Tönen c' - f' - g' - c" ist in der Legende von Pythagoras in der Schmiede überliefert.
→ Siehe auch Wikibook Pythagoras in der Schmiede.
Die ersten drei dieser Töne entsprechen den ersten drei Tönen des Till-Eulenspiegel-Motivs. Das dort unter anderem eine Rolle spielende Verhältnis zwischen den ganzen Zahlen Vier und Drei beschreibt das musikalische Intervall der reinen Quarte, die sowohl beim ersten Intervall des Till-Eulenspiegel-Motivs als auch beim zweiten Intervall des Zarathustra-Motivs auftaucht.
Die pythagoreischen Töne, die laut einiger Überlieferungen angeblich die Klänge von Hammerschlägen gewesen seien, wurden 1690 vom französisch-deutschen Organisten und Komponisten Georg Muffat (* 1653; † 1704) in seiner Orgelkomposition Nova Cyclopeias Harmonica verwendet. Diese Komposition ist von einer Aria eingerahmt, sie umfasst acht Variationen zum Thema Ad Malleorum Ictus Allusio (Zur Anspielung auf die Schläge der Hämmer) und endet mit dem Spruch Summo Deo Gloria.
Zwei Jahre darauf veröffentlichte der deutsche Geiger, Komponist und Hofkapellmeister Rupert Ignaz Mayr (* 1646; † 1712), der wie Georg Muffat Schüler des italienischen Komponisten Jean-Baptiste Lully (* 1632; † 1687) war, die sieben dem Kurfürsten von Bayern Maximilian II. Emanuel gewidmeten Orchestersuiten:
    Pythagorische Schmids=Fuencklein
    Bestehend in unterschiedlichen Arien / Sonatinen / Ouverturen / Allemanden / Couranten / Gavotten / Sarabanden / Giquen / Menueten / &c.
    Mit 4.Instrumenten und beygefügten General-Baß, Bey Tafel=Musicken / Comœdien / Serenaden / und zu anderen fröhlichen Zusammenkunfften zu gebrauchen.
Schon die Pythagoreer waren der Auffassung, dass sich in der Astronomie dieselben zahlenmäßigen Gesetzmäßigkeiten zeigen wie in der Musik. Es gab auch später immer wieder Versuche, die Umlaufbahnen der Planeten mit harmonischen Klängen in Verbindung zu bringen, wie zum Beispiel durch Johannes Kepler (* 1571; † 1630) in seinem Werk Harmonices mundi libri V (fünf Bücher über die Harmonien der Welt) von 1619, in dem er astronomische Zahlenverhältnisse auf musikalische Intervalle übertrug. Der deutsche Komponist Paul Hindemith (* 1895; † 1963) griff dieses Thema auf und schuf 1951 die Symphonie Die Harmonie der Welt mit den drei Sätzen Musica instrumentalis (wörtlich: "werkzeugliche Musik"), Musica humana (wörtlich: "menschliche oder gebildete Musik") und Musica mundana (wörtlich: "Weltmusik") sowie 1957 das Libretto und die Musik zur gleichnamigen Oper in fünf Akten. In der Einleitung zu seinem musiktheoretischen Werk Unterweisung im Tonsatz schreibt er:
   Ich weiß mich mit dieser Einstellung zum Handwerklichen des Tonsatzes einig mit den Anschauungen, die gültig waren lange vor der Zeit der großen klassischen Meister. Wir finden ihre Vertreter im frühen Altertum; weitblickende Künstler des Mittelalters und der Neuzeit bewahren die Lehre und geben sie weiter. Was war ihnen das Tonmaterial? Die Intervalle waren Zeugnisse aus den Urtagen der Weltschöpfung; geheimnisvoll wie die Zahl, gleichen Wesens mit den Grundbegriffen der Fläche und des Raumes, Richtmaß gleicherweise für die hörbare wie die sichtbare Welt; Teile des Universums, das in gleichen Verhältnissen sich ausbreitet wie die Abstände der Obertonreihe, so daß Maß, Musik und Weltall in eins verschmolzen.

## Quantenphysikalischer Hintergrund

Als die Spektrallinien entdeckt worden waren und selbst 1884 als Johann Jakob Balmer die mathematischen Gesetzmäßigkeiten empirisch gefunden und mit der Balmer-Formel beschrieben hatte, waren die physikalischen und theoretischen Ursachen für die Entstehung solcher diskreten Spektrallinien noch völlig unbekannt. Erst in der ersten Hälfte des zwanzigsten Jahrhunderts gelang es mit Hilfe der Quantenmechanik, den Bau der Atome und die Wechselwirkung zwischen geladenen Materieteilchen (beispielsweise Elektronen) und den Lichtteilchen (Photonen) sehr genau zu beschreiben.
Das elektromagnetische Lichtfeld reagiert mit anderen Teilchen so, dass ein Quantum mit der Energie
    $E=h\cdot \nu$
entweder aufgefangen oder abgegeben wird. Die Konstante
    $h=6,62607015\cdot 10^{-34}{\text{ Joulesekunden}}$
ist das Plancksche Wirkungsquantum (in Joulesekunden) und $\nu$ ist die Frequenz einer elektromagnetischen Welle.
Die Teilchennatur des Lichts folgerten in den Jahren von 1899 bis 1905 der deutsche Forscher Max Planck (* 1858; † 1947) aus den Gesetzmäßigkeiten der Wärmestrahlung und in verschärfter Form sein jüngerer Kollege Albert Einstein (* 1879; † 1955) in der Veröffentlichung Ueber einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt aus dem lichtelektrischen Effekt (oder Photoeffekt). 1918 wurde Max Planck für die Entdeckung der Energiequanten und 1921 Albert Einstein für die Entdeckung des Gesetzes des photoelektrischen Effekts der Nobelpreis für Physik verliehen. Das Schlagwort vom Dualismus Welle-Korpuskel durchzieht seither die schwierigen Diskussionen darüber, wie die Physik der mikroskopisch kleinen Dinge zu verstehen ist. Ja, selbst die Schallwellen der Musik haben klitzekleine Körner: die Phononen mit einer Energie proportional zur Frequenz nach der Planck-Einstein-Formel.
Auch ein Teilchen mit einer Ruhemasse, wie zum Beispiel ein Elektron, kann als eine Materiewelle aufgefasst werden. Die nach dem französischen Physiker Louis-Victor de Broglie (* 1892; † 1987) benannten De-Broglie-Gleichungen von 1924 stellen die Bezüge zwischen Wellenlänge $\lambda$ und Frequenz $\nu$ für Materiewellen her, die für Teilchen mit der Energie $E$ beziehungsweise mit dem Impuls $p$ gelten:
    $\lambda ={\frac {h}{p}}$
    $\nu ={\frac {E}{h}}$
Für die Entdeckung der Wellennatur der Elektronen wurde ihm 1929 der Nobelpreis für Physik verliehen
Als Max Planck das Wirkungsquantum einführte, ahnte er noch nicht, welche universelle Tragweite die Konstante hat. Sie verkettet die Werteskala von Raum und Zeit eindeutig und fundamental mit der von Masse, Energie und Impuls. Im modernen Internationalen Einheitensystem kennt die Mechanik nur noch eine willkürliche Größe, die Sekunde. Meter und Kilogramm werden über die endgültig festgeschriebenen Werte der universellen Lichtgeschwindigkeit $c$ (seit 1983) und der Planck-Konstanten $h$ (seit 2019) von der Sekunde abgeleitet. Die Dauer einer Sekunde wurde 1967 auf 9 192 631 770 Perioden eines Quantenübergangs von Caesium-Atomen festgelegt.

### Wasserstoffatom

Die angegebenen Formeln betreffen die Materiewellen von freifliegenden Teilchen. Wenig später baute ein brillanter Theoretiker die allgemeineren Wellengleichungen mit Kräften, die Teilchen anziehen oder abstoßen. Platz frei für das Paradebeispiel dieser neuen Wellenmechanik!
Die Bindung zwischen dem negativ geladenen Elektron und dem positiv geladenen Proton des Wasserstoffatoms (genauer: des leichtesten Wasserstoff-Isotops Protium) nimmt genau dann eine relativ zeitstabile, also stationäre, Form an, wenn es eine räumlich konzentrierte stehende Welle gibt, die die berühmte Schrödinger-Gleichung erfüllt, die 1926 vom österreichischen Physiker Erwin Schrödinger (* 1887; † 1961) aufgestellt wurde. Wie bei großen mechanischen Objekten auch, etwa Saiten und Orgelpfeifen, sind die möglichen Frequenzen ihrer verschiedenen Schwingungsformen oder stehenden Wellen sehr gut mit kleinen ganzen Zahlen verbunden. Seit Pythagoras wissen wir, dass die harmonischen Intervalle von Tönen nichts anderes sind als solche Frequenzen, deren Verhältnisse zwei ganze Zahlen sind. Sie treten gern in Erscheinung als die Eigenfrequenzen von schwingenden Objekten.
Die Eigenfrequenzen des Wasserstoffatoms folgen mit $n=1,2,3,...$ der Formel
    $\nu _{n}={\frac {\nu _{1}}{n^{2}}}$,
wo $\nu _{1}$ die höchste vorkommende Frequenz ist. Die Bindungsenergien des Atoms werden negativ gemessen in Bezug auf ein ungebundenes Paar aus Elektron und Proton. Die Folge lautet:
    $E_{n}=-h\cdot \nu _{n}$
Wieder zieht die Plancksche Konstante $h$ ein. Die tiefste Energie für die Hauptquantenzahl 1 ergibt sich zu:
    $E_{1}=-h\cdot \nu _{1}\approx -13,6{\text{ eV}}$
Diese Energie gehört zur kugelförmigen stehenden Welle, in der keine Knoten vorkommen.
Also folgt:
    $E_{n}=-{\frac {h\cdot \nu _{1}}{n^{2}}}={\frac {E_{1}}{n^{2}}}$
Die Abkürzung eV steht für die Energieeinheit ' Elektronenvolt, die in der Atomphysik häufig verwendet wird'. Die Umrechnung einer Energie zwischen der Maßeinheit Joule und der Maßeinheit Elektronenvolt ist mit der Ladung eines Elektrons
    $e=1,602176634\cdot 10^{-19}{\text{ Coulomb}}$
definiert:
    $E{\text{ (in Joule)}}=e\cdot E_{eV}{\text{ (in Elektronenvolt)}}$
    $E_{eV}{\text{ (in Elektronenvolt)}}={\frac {E{\text{ (in Joule)}}}{e}}$
Bei der Energiedifferenz von einem Elektronenvolt handelt sich also um die Energie, die ein Elektron gewinnt oder verliert, wenn es in einem elektrischen Feld eine Potentialdifferenz von einem Volt durchlaufen hat.
Somit liegt die höchste Eigenfrequenz $\nu _{1}$ beziehungsweise die kleinste Wellenlänge $\lambda _{1}$ des Wasserstoffatoms im Ultravioletten:
    $\nu _{1}\approx 3,2899\cdot 10^{15}{\text{ Hertz}}=3,2899{\text{ Petahertz}}$
    $\lambda _{1}\approx 91,125{\text{ Nanometer}}$
Wird diese der höchsten Eigenfrequenz $\nu _{1}$ entsprechende Wellenlänge $\lambda _{1}$ auf einen vollständigen Kreis gelegt, ergibt sich aus dessen Umfang ein Radius von rund 14,5 Nanometern. Dieser Radius ist nicht identisch mit dem Radius des Wasserstoffatoms im niedrigsten Energiezustand, dem so genannten Bohrschen Radius, da hierfür zusätzlich zur kinetischen Energie auch die potentielle Energie im elektrischen Feld zwischen positiv geladenem Atomkern und negativ geladenem Elektron berücksichtigt werden muss, die eine Anziehungskraft bewirkt. Der Bohrsche Radius beträgt deswegen nur ungefähr 53 Pikometer, also weniger als ein Tausendstel von $\lambda _{1}$.
Die angeregten Energien $E_{n}$ haben eine symmetrische räumliche Struktur mit Knotenflächen, welche die Wellenform in eine Anzahl von 'Keulen' oder 'Bäuchen' aufteilen. Beispiele rechts im Bild zu den Hauptquantenzahlen n von 1 bis 4. Zu sehen sind Flächen konstanter Amplitude und Farben konstanter Phase.
Die Quantenmechanik erklärt, wie das Wasserstoffatom leuchtet. Es geht vom Zustand $E_{m}$ in den tieferen Zustand $E_{n}$ mit $m>n$ über. Die Energie $\Delta E=E_{m}-E_{n}$ wird dabei an ein Photon übergeben, dessen Frequenz in der Spektralserie liegt und die mit der folgenden vom schwedischen Physiker Johannes Robert Rydberg Rydberg-Formel mit der Rydberg-Konstanten $R_{\infty }={\frac {4}{A}}$ (siehe oben) berechnet werden kann:
    $\Delta E=h\cdot \nu _{m,n}=h\cdot \nu _{m,n}\cdot \lambda _{m,n}\cdot R_{\infty }\left({\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {1}{m^{2}}}\right)=h\cdot c\cdot R_{\infty }\left({\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {1}{m^{2}}}\right)=h\cdot \nu _{1}\left({\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {1}{m^{2}}}\right)$
Beziehungsweise sowie über die Beziehung $|E_{1}|={\frac {h\cdot c}{e}}\cdot R_{\infty }$ in der Maßeinheit Elektronenvolt:
    $\Delta E_{eV}={\frac {h\cdot \nu _{m,n}}{e}}=|E_{1}|\left({\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {1}{m^{2}}}\right)={\frac {h\cdot c}{e}}\cdot R_{\infty }\left({\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {1}{m^{2}}}\right){\text{ (in Elektronenvolt)}}$
Die höchste Eigenfrequenz $\nu _{1}$ kann demzufolge auch mit der Rydberg-Konstante ausgedrückt werden:
    $\nu _{1}=c\cdot R_{\infty }={\frac {4\cdot c}{A}}$
Zu den Methoden der Physik gehört eine Störungsrechnung, wonach bereits eine klassisch gedachte elektrische Schwingung die stimulierten Quantenübergänge des Wasserstoffs hervorruft, und zwar genau mit dem experimentell bestätigten Spektrum von Frequenzen. Aber um die spontane Emission von Lichtquanten zu erklären, musste eine gründliche teilchenartige Behandlung des Lichtfeldes her: die Quantenfeldtheorie. Mit deren Rechenmethoden kommt dann korrekt heraus, dass die angeregten Zustände des Atoms nicht ganz stabil sind. Aus dem Vakuum können die Photonen auftauchen, die an die passenden Zustände von Elektronen ankoppeln.
Eine tiefschürfende Deutung des Wasserstoff-Spektrums verdanken wir dem österreichischen Physiker Wolfgang Pauli (* 1900; † 1958), der mit den Physikern Niels Bohr (* 1885; † 1962) aus Dänemark, Werner Heisenberg (* 1901; † 1976) aus Deutschland, dem oben bereits erwähnten Erwin Schrödinger und anderen maßgeblich zur wissenschaftlichen Revolution der Quantenmechanik beitrug. Niels Bohr wurde 1922 für seine Verdienste um die Erforschung der Struktur der Atome und der von ihnen ausgehenden Strahlung der Nobelpreis für Physik verliehen. Werner Heisenberg wurde 1932 für die Begründung der Quantenmechanik, deren Anwendung unter anderem zur Entdeckung der allotropen Formen des Wasserstoffs geführt hat, damit geehrt.
Wolfgang Pauli gelang 1926 eine algebraische Formulierung des Wasserstoff-Modells dank einer in sich geschlossenen Gruppe von Symmetrie-Operatoren. Er konnte das Spektrum ganz ohne die lästigen Schrödingerschen Differenzialgleichungen herleiten. Die spezielle Form der Coulomb-Anziehung zwischen Elektron und Proton erlaubt einen hohen Grad von Symmetrie.
Seither spielten die Symmetriegruppen eine steigende Rolle in der Physik. Häufig werden solche Gruppen in der Natur dargestellt in Verbindung mit Serien von ganzen Quantenzahlen. Symmetrie und Harmonie sind offenbar eng miteinander verbunden. Der deutsche theoretische Physiker Arnold Sommerfeld (* 1868; † 1951) schrieb im September 1919 in München im Vorwort seines Buches Atombau und Spektrallinien:
   Seit der Entdeckung der Spektralanalyse konnte kein Kundiger zweifeln, daß das Problem des Atoms gelöst sein würde, wenn man gelernt hätte, die Sprache der Spektren zu verstehen. Das ungeheure Material, welches 60 Jahre spektroskopischer Praxis aufgehäuft haben, schien allerdings in seiner Mannigfaltigkeit zunächst unentwirrbar. Fast mehr haben die sieben Jahre Röntgenspektroskopie zur Klärung beigetragen, indem hier das Problem des Atoms an seiner Wurzel erfaßt und das Innere des Atoms beleuchtet wird. Was wir heutzutage aus der Sprache der Spektren heraus hören, ist eine wirkliche Sphärenmusik des Atoms, ein Zusammenklingen ganzzahliger Verhältnisse, eine bei aller Mannigfaltigkeit zunehmende Ordnung und Harmonie. Für alle Zeiten wird die Theorie der Spektrallinien den Namen Bohrs tragen. Aber noch ein anderer Name wird dauernd mit ihr verknüpft sein, der Name Plancks. Alle ganzzahligen Gesetze der Spektrallinien und der Atomistik fließen letzten Endes aus der Quantentheorie. Sie ist das geheimnisvolle Organon, auf dem die Natur die Spektralmusik spielt und nach dessen Rhythmus sie den Bau der Atome und Kerne regelt.
Siehe auch:
* → Wikibook Quantenmechanik
* → Wikibook Unsere Quantenwelt

## Musiktheoretischer Hintergrund
### Auditive Wahrnehmung

Das menschliche Ohr ist ein bemerkenswertes Messinstrument, das sowohl für die Amplituden wie für die Frequenzen von Schallwellen eine logarithmische Empfindlichkeit aufweist. Das bedeutet, dass für uns die Lautstärke um den gleichen Schritt zunimmt, wenn die Amplitude mit demselben Faktor multipliziert wird - nicht etwa wenn derselbe Betrag addiert wird. Genauso steigt die Tonhöhe für uns um den gleichen Schritt, wenn die Frequenz um einen Faktor erhöht wird. Der Faktor zwei wird besonders deutlich wahrgenommen, nämlich als eine Oktave. Im Abstand von Oktaven klingen die Melodien so ähnlich, dass man den Tönen den gleichen Namen gibt, versehen mit Strichlein oder Ziffern, wenn man die Oktavenlage angeben will.
Vielen ist das logarithmische Maß geläufig, mit dem wir die Verhältnisse von Amplituden beschreiben. Ein Faktor zehn wurde als 20 Dezibel definiert. Ein Amplitudenfaktor $q$ kann mit dem dekadischen Logarithmus $\operatorname {lg}$ beziehungsweise $\log _{10}$ oder mit einem Logarithmus zu einer beliebigen Basis $\log$ in einen Pegel $Q$ in der Maßeinheit Dezibel (dB) umgerechnet werden:
    $Q{\text{ (in Dezibel)}}=20{\text{ dB}}\cdot \log _{10}q=20{\text{ dB}}\cdot {\frac {\log q}{\log 10}}$
Das gleiche Prinzip funktioniert bei den Frequenzen respektive den wahrgenommenen Tonhöhen. Ein Faktor zwei wurde als 1200 Cent definiert. Alle zwölf Halbtöne - beziehungsweise alle kleine Sekunden - haben in der Musiktheorie bei der gleichstufigen Stimmung definitionsgemäß eine Größe von 100 Cent. Zwölf gleichgroße Halbtöne direkt übereinander ergeben eine Oktave, die demzufolge eine Größe von 1200 Cent hat. Der Tonhöhenunterschied $c$ in der Maßeinheit Cent (C) bei einem vorgegebenen Frequenzverhältnis $q$ kann mit der folgenden Formel ebenfalls mit einem Logarithmus zu einer beliebigen Basis $\log$ oder mit dem Logarithmus dualis $\operatorname {ld}$ beziehungsweise $\log _{2}$ berechnet werden:
    $c{\text{ (in Cent)}}=1200{\text{ C}}\cdot \log _{2}{q}=1200{\text{ C}}\cdot {\frac {\log {q}}{\log {2}}}$
Die Bezeichnung Cent für die Maßeinheit wurde 1875 von Alexander John Ellis (* 1814; † 1890) im Anhang zu seiner Übersetzung von Hermann von Helmholtz’ Buch Die Lehre von den Tonempfindungen als physiologische Grundlage für die Theorie der Musik zum Größenvergleich von Intervallen vorgeschlagen.

### Intervalle

Zwei Töne, die als ein musikalisches Intervall im ganzzahligen Schwingungsverhältnis zueinanderstehen, werden als konsonant klingend empfunden. Dies ist besonders deutlich bei der Prime und bei der Oktave, bei denen das Frequenzverhältnis 1:1 beziehungsweise 1:2 ist. Je größer die beiden ganzen Zahlen werden, desto geringer wird der Effekt wahrgenommenen Konsonanz und somit einer harmonischen Wahrnehmung. Dieser Effekt ist für geübte Ohren auch bei der reinen Quinte (Frequenzverhältnis 2:3) und bei der reinen Quarte (Frequenzverhältnis 3:4) noch gut zu hören. Instrumente ohne fest vorgegebene Tonhöhen wie Streicher oder Posaunen sowie Gesangsensembles können auch große und kleine Terzen (Frequenzverhältnis 4:5 und 5:6) beziehungsweise kleine und große Sexten (Frequenzverhältnis 5:8 und 3:5) rein intonieren. Insbesondere bei Dur- und Moll-Dreiklängen, die aus drei Tönen im Abstand einer großen und einer kleinen Terz beziehungsweise einer Quinte zusammengesetzt sind, entsteht durch die Verwendung reiner Intervalle ein besonders harmonisch empfundener Klang.
Die folgende Tabelle gibt die Frequenzverhältnisse bei den musikalischen Intervallen von der Prime bis zur Oktave in der reinen Stimmung und in Bezug auf die Quarte, Quinte und Oktave in pythagoreischer Stimmung wieder:
| Intervall | Frequenzverhältnis in reiner Stimmung | Frequenzverhältnis in reiner Stimmung als Dezimalwert | Frequenzverhältnis in gleichstufiger Stimmung als Dezimalwert | Abweichung zwischen reiner Stimmung und gleichstufiger Stimmung in Cent |
| Prime | 1:1 | 1,0000 | 1,0000 | 0 |
| Kleine Sekunde | 15:16 | 0,9375 | 0,9439 | 12 |
| Große Sekunde | 8:9 | 0,8889 | 0,8909 | 4 |
| Kleine Terz | 5:6 | 0,8333 | 0,8409 | 16 |
| Große Terz | 4:5 | 0,8000 | 0,7937 | -14 |
| Quarte | 3:4 | 0,7500 | 0,7492 | -2 |
| Tritonus | 25:36 | 0,6944 | 0,7071 | 31 |
| Quinte | 2:3 | 0,6667 | 0,6674 | 2 |
| Kleine Sexte | 5:8 | 0,6250 | 0,6300 | 14 |
| Große Sexte | 3:5 | 0,6000 | 0,5946 | -16 |
| Kleine Septime | 9:16 | 0,5625 | 0,5612 | -4 |
| Große Septime | 8:15 | 0,5333 | 0,5297 | -12 |
| Oktave | 1:2 | 0,5000 | 0,5000 | 0 |
Der Tritonus ist also das Intervall zwischen der Quarte und der Quinte. Am großen Zahlenverhältnis 25:36 liest man ab, ohne den Zweiklang gehört zu haben: da kommt eine Dissonanz heraus. In gleichstufiger Stimmung haben die beiden Töne das folgende irrationale Frequenzverhältnis (auch kein sanfter Klang):
    $2^{-{\frac {6}{12}}}=2^{-{\frac {1}{2}}}={\sqrt {\frac {1}{2}}}$
Positive Abweichungen in der letzten Spalte mit der Maßeinheit Cent bedeuten, dass der Ton der reinen Stimmung höher ist als der Ton der gleichstufigen Stimmung, und negative Abweichungen bedeuten, dass der Ton der reinen Stimmung tiefer ist als der Ton der gleichstufigen Stimmung.
Bemerkenswert ist, dass bei den oben in der Tabelle angegebenen ganzzahligen Verhältnissen unter den Zahlen mit nur einer Ziffer allein die Sieben nicht auftaucht, was unterstreicht, dass sie aus Sicht einiger mittelalterlicher Autoren eine besondere Zahl ist.
Mehr zu den Stimmungen und mancherlei pingelige Berechnungen gibt es hier zu lesen:
* Till Eulenspiegels lustige Serie/ Stimmung
→ Siehe hierzu auch:
* Wikibook / Zahlen / Zur Sieben
* Wikibook / Zahlen / Tonsysteme
Die nächste Tabelle stellt die entsprechenden musikalischen reinen Intervalle den Frequenzverhältnissen bei der Balmer-Serie gegenüber:
| Intervall | Frequenzverhältnis in reiner Stimmung | Frequenzverhältnis in der Balmer-Serie | Verhältnis der Frequenzverhältnisse bei der Balmer-Serie und bei reiner Stimmung | Abweichung zwischen Balmer-Serie und gleichstufiger Stimmung in Prozent | Abweichung zwischen Balmer-Serie und gleichstufiger Stimmung in Cent |
| Prime | 1:1 | 1:1 | 1:1 | 0 | 0 |
| Quarte | 3:4 | 20:27 | 80:81 | -1,6 | -20 |
| Quinte | 2:3 | 125:189 | 375:378 | -1,3 | -16 |
| Kleine Sexte | 5:8 | 5:8 | 1:1 | 0 | 0 |
| Große Sexte | 3:5 | 49:81 | 245:243 | 0,8 | 14 |
Schließlich noch eine Tabelle, die die entsprechenden musikalischen Intervalle aus der Balmer-Serie mit den Frequenzverhältnissen bei gleichstufiger Stimmung vergleicht:
| Intervall | Frequenzverhältnis in der Balmer-Serie | Frequenzverhältnis in gleichstufiger Stimmung | Abweichung zwischen Balmer-Serie und gleichstufiger Stimmung in Prozent | Abweichung zwischen Balmer-Serie und gleichstufiger Stimmung in Cent |
| Prime | 1:1 | 1,0000 | 0 | 0 |
| Quarte | 20:27 | 0,7492 | -1,1 | 20 |
| Quinte | 125:189 | 0,6674 | 0,9 | 16 |
| Kleine Sexte | 5:8 | 0,6300 | 0,8 | 14 |
| Große Sexte | 49:81 | 0,5946 | -1,7 | -30 |
Von Schwingungen, Wellen und Obertönen handelt das technische Kapitel, das etwa 30 Papierseiten entspricht:
→ Till Eulenspiegels lustige Serie/ Schwingende Objekte.
Es schürft in den physikalischen Grundlagen für Schwingungen und Wellen in Stoffen und bemüht reichlich Formeln und Algorithmen dazu.

## Hans Sommer

Der Komponist und Naturwissenschaftler Hans Sommer könnte Richard Strauss den Sachverhalt über die akustisch-musikalisch Variante der optisch-physikalischen Balmer-Serie vermittelt haben. Es ist leicht nachvollziehbar, dass er über Entdeckungen in der Optik und der Physik bestens unterrichtet war.
Hans Sommer hieß als Sohn von Otto Gustav Zincken (* 1809; † 1940) eigentlich Hans Friedrich August Zincken genannt Sommer. Der Vater von Otto Gustav Zincken war der promovierte Herzoglich Braunschweigischer Hofmedicus Julius Leopold Theodor Friedrich Zincken (* 1770; † 1856), der wiederum der Sohn des Justizbeamten Carl Friedrich Wilhelm Zincken (* 1729; † 1806) und seiner Frau Sophie Schläger war. Diese Ehe wurde geschieden und beide Ehepartner heirateten erneut. Sophie Schläger heiratete 1782 Johann Christoph Sommer (* 1741; † 1802), der als Hofrat und Professor für Anatomie am Anatomisch-Chirurgischen Institut in Braunschweig tätig war und dessen Nachname fortan bei ihren Nachfahren der Familie Zincken geführt wurde.
Hans Sommers Vater starb als er zweieinhalb Jahre alt war. Seine verwitwete Mutter, Nanny Langenheim (* 1813; † 1902), heiratete 1845 den Unternehmer, Optiker und Pionier der Photographie Peter Wilhelm Friedrich von Voigtländer (* 1812; † 1878). Dessen Vater war der Optiker Johann Friedrich Voigtländer (* 1779; † 1859), der seit 1808 die Firma J. F. Voigtländer, Werkstätte für optische und feinmechanische Instrumente führte und der Nachfahre des Optikers und Erfinders Johann Christoph Voigtländer war (* 1732; † 1797).
Hans und Antonie Sommer hatten die beiden Söhne Otto und Richard.
Hans Sommer war ausgebildeter Mathematiker, und er war in Göttingen auch von dem Physiker Wilhelm Eduard Weber (* 1804; † 1891) unterrichtet worden. Bereits 1866 wurde er in Braunschweig am Polytechnikum Collegium Carolinum Professor für Mathematik. Zwölf Jahre später wurde er zum Rektor ernannt, und er war bei der Überführung des Collegiums in die Herzogliche Technische Hochschule Carolo-Wilhelmina beteiligt, die heute die Technische Universität Braunschweig ist. Er forschte in Braunschweig bis 1884 insbesondere auf dem Gebiet der angewandten Optik.
Er half als einer der Pioniere in der angewandten Optik auch seinem Stiefvater Peter Wilhelm Friedrich Ritter von Voigtländer, der zusammen mit seinem Vater Johann Friedrich Voigtländer ab 1849 als Unternehmer die optischen Werke Voigtländer & Sohn in Braunschweig führte.
Im Jahr 1858 veröffentlichte Hans Sommer in Göttingen seine Inaugural-Dissertation zur Erlangung der philosophischen Doktorwürde mit dem Titel Zur Bestimmung der Brechungsverhältnisse. Hierin widmet er sich auch und ausführlich der Brechung am Prisma, mit dessen Hilfe weißes Licht spektral aufgespalten werden kann, um zum Beispiel Spektrallinien erkennen und vermessen zu können.
Im Jahr 1870 veröffentlichte Hans Sommer in Braunschweig ein Buch mit dem Titel Über die Dioptik der Linsen-Systeme, in dem er ebenfalls auf den Brechungseffekt eingeht.
→ Siehe hierzu auch Wikibook Digitale bildgebende Verfahren / Ablenkung von Lichtstrahlen
Hans Sommer und Richard Strauss gründeten 1903 gemeinsam die Anstalt für musikalische Aufführungsrechte (AFMA), die als erste Vorgängerorganisation der späteren Gesellschaft für musikalische Aufführungs- und mechanische Vervielfältigungsrechte (GEMA) gilt.
2019 wurde der Briefwechsel zwischen Richard Strauss und Hans Sommer in Buchform herausgegeben.

## Nachwort

Ohne die vielfältigen Forschungsergebnisse und bemerkenswerten Entdeckungen aus dem 19. Jahrhundert wäre es sehr schwierig gewesen, die Quantentheorie zu entwickeln. Und ohne das tiefere Verständnis der Quantenmechanik gäbe es vermutlich keine Halbleiter, die heute fast in jedem Haushalt vorhanden sind. Mit explizitem Bezug auf die Lichtemission möge zur Kenntnis genommen werden, dass durch die Erforschung der vielen verschiedenen diskreten Energieniveaus von Gasen, Kristallen und Halbleitern, heute Leuchtstofflampen, Laser und Leuchtdioden hergestellt werden können, die praktisch bei jeder beliebigen Wellenlänge in einem weiten Spektralbereich vom Infraroten bis zum Ultravioletten monochromatisches Licht emittieren. Leuchtdioden werden heute als energieeffiziente Leuchtmittel in der Beleuchtungstechnik und bei fast allen Bildschirmen eingesetzt.
→ Siehe auch Wikibook Digitale bildgebende Verfahren / Beleuchtung / Lichtquellen
Bislang sind für die hier aufgestellte interdisziplinäre Hypothese, dass die Entdeckung der ganzzahligen Verhältnisse bei der optisch-physikalischen Balmer-Serie die Umsetzung in ein akustisch-musikalisches Motiv angeregt haben könnte, keine schriftlichen Quellen bekannt geworden. Diese Geschichte wurde allerdings über Generationen von Physikern mündlich tradiert. Der Hauptautor hatte sie Mitte der 1980er Jahre in einer Lehrveranstaltung der Technischen Universität Berlin von Professor Gerd Koppelmann (* 5. September 1929; † 21. September 1992) erfahren. Der Hauptautor dankt seinem Doktorvater Professor Heinz Niedrig für den Nachruf auf dessen Kollegen Gerd Koppelmann.

## Literatur

* Markus Bautsch: Die von Johann Jakob Balmer gefundenen Zahlenverhältnisse bei den Spektrallinien des Wasserstoffs, in: Gudrun Wolfschmidt (Herausgeberin): Astrophysik seit 1900 – Jubiläum von Karl Schwarzschild (1873–1916) und Ejnar Hertzsprung (1873–1967), Proceedings der Tagung des Arbeitskreises Astronomiegeschichte in der Astronomischen Gesellschaft in Berlin im September 2023, tredition (Nuncius Hamburgensis – Beiträge zur Geschichte der Naturwissenschaften, Band 59), Hamburg, 2024, Seiten 14–33.

## Siehe auch

* Quadriviale Kuriositäten

## Einzelnachweise

* ↑ Siehe auch: Briefwechsel Hans Sommer an Richard Strauss, Weimar, 14. April 1893, in Christian Cöster (Herausgeber): Briefwechsel mit Hans Sommer, Hermann Bahr und Willy Levin, Schott Music, 2020, ISBN 9783795718060
* ↑ William Hyde Wollaston: ‘‘On the Dispersion of Light“, ‘‘Philosophical Transactions of the Royal Society of London’’, Teil II, Kapitel XII, Seiten 365 bis 380, 1802
* ↑ Joseph Fraunhofer: ‘‘Bestimmung des Brechungs- und Farbzerstreuungs-Vermögens verschiedener Glasarten, in bezug auf die Vervollkommnung achromatischer Fernröhre’‘, Denkschriften der Königlichen Akademie der Wissenschaften zu München für die Jahre 1814 und 1815, Band V, Seiten 193 bis 226, München, 1815
* ↑ Johann Jakob Balmer: Notiz über die Spektrallinien des Wasserstoffes, in: Verhandlungen der Naturforschenden Gesellschaft in Basel, Band 7, Seiten 548 bis 560, H. Georg's Verlag, 1885
* ↑ Anders Jonas Ångström: Spectre normal du Soleil – Atlas de six planches, in: Recherches sur le Spectre Solaire, Verlag W. Schultz, Uppsala (1868)
* ↑ Till Eulenspiegels lustige Streiche opus 28, Abenteuer Klassik
* ↑ Aus: Brief von Richard Strauss vom 7. Oktober 1942 aus den Hotels Verenahof - Ochsen, Baden bei Zürich, Schweiz
* ↑ Czerny, Carl <1791-1857>, Exercises in C-Dur, Répertoire International des Sources Musicales (RISM)
* ↑ Anonymus, Ländler in C-Dur, Répertoire International des Sources Musicales (RISM)
* ↑ Theodore Lyman: The Spectrum of Hydrogen in the Region of Extremely Short Wave-Lengths, Astrophysical Journal, Band 23, Seiten 181 bis 210, 1906
* ↑ Paschen, Friedrich: ‘‘Zur Kenntnis ultraroter Linienspektra’‘, Annalen der Physik, Band 27, 332, Ausgabe 13, Leipzig, Seiten 537 bis 570, 1908
* ↑ Planck, Max: ‘‘Zur Theorie des Gesetzes der Energieverteilung im Normalspectrum’‘, Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft, Nummer 17, Seite 237 bis 254, Berlin, 1900
* ↑ Einstein, Albert: ‘‘Ueber einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt’‘, Annalen der Physik, Band 322, Nummer 6, Seiten 132 bis 148, 1905
* ↑ Schrödinger, Erwin: ‘‘Quantisierung als Eigenwertproblem’‘, Teil I bis IV, Annalen der Physik, Band 79 bis 81, 1926
* ↑ Bohr, Niels: ‘‘On the Constitution of Atoms and Molecules’‘, Teil I bis III, Philosophical Magazine, 26. Jahrgang, 1913
* ↑ Rydberg, Johannes Robert: ‘‘Recherches sur la constitution des spectres d'émission des éléments chimiques’‘, Kongliga Svenska Vetenskaps-Akademiens Handlingar, Band 23, Nummer 11, Seiten 1 bis 177, 1889
* ↑ Wolfgang Pauli: Über das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik, Zeitschrift für Physik, Band 36, 5. Heft, 27. März 1926, Seite 336 bis 665, Julius Springer, Berlin
* ↑ Hermann von Helmholtz: Die Lehre von den Tonempfindungen als physiologische Grundlage für die Theorie der Musik., Vieweg, Braunschweig, 1863.
* ↑ Alexander John Ellis: On the Sensations of Tone as a Physiological Basis for the Theory of Music, London, Longmans, Green & Company, 1875
* ↑ Bernhard Braunecker und Reinmar Wagner: Hans Zincke-Sommer (1837–1922) / Physiker und Komponist, Zeitschrift Musik & Theater, September 2012, Schweizerische Physikalische Gesellschaft
* ↑ Hans Sommer: Zur Bestimmung der Brechungsverhältnisse, Google Books
* ↑ Hans Sommer: Über die Dioptik der Linsen-Systeme, Google Books
* ↑ Christian Cöster: Richard Strauss im Briefwechsel mit Hans Sommer, Hermann Bahr und Willy Levin, Seiten 23 bis 178, Schott, Mainz, 2019
* ↑ Heinz Niedrig: Gerd Koppelmann zum Gedenken, Physikalische Blätter, Jahrgang 48, 1992, Nummer 12

# Stimmung
### Zur Stimmung der Musikinstrumente

In diesem Abschnitt geht es um den physikalischen Hintergrund des konventionellen Tonsystems der europäischen Musik. Zu den künstlerischen Aspekten wird nichts Kluges gesagt und auch wer sich als unmusikalisch ansieht, darf anfangen zu lesen.
Der vorliegende Text verwendet einige Begriffe aus diesem Abschnitt:
    Till Eulenspiegels lustige Serie / Musiktheoretischer Hintergrund

#### Schwebungen

Die Schwebungen sind ein Phänomen bei Schwingungen, das für die Stimmung von Instrumenten eine große Rolle spielt. In diesem Abschnitt gilt der Begriff "Frequenz" als Synonym für "Tonhöhe"; er beschreibt sie physikalisch. Außerdem haben technisch vorbelastete Leute die Angewohnheit, Töne, Klänge und Wellenformen als "Signal" zu bezeichnen.
Das Bild zeigt oben zwei periodische Kurven, cyan und magenta, die eine leicht verschiedene Frequenz haben. Die horizontale Achse ist als die Zeit anzusehen. Am Anfang sind beide Kurven in Phase, beide gleichzeitig am Maximum. Nach etwa 9 Perioden haben sie eine entgegengesetzte Phase, später wieder die gleiche Phase. Die untere Kurve ist die Summe, also die Überlagerung, der zwei Schwingungen. Das Ergebnis ist eine schnelle Schwingung, deren Amplitude langsam zwischen Null und dem Maximalwert pendelt. Diese Wellenform heißt eine Schwebung. Ein anderer technischer Name spricht von einer Amplitudenmodulation. Die Amplitude der Schwingung wird mit einer sinusförmigen Hüllkurve moduliert. Eine künstlerisch angehauchte Bezeichnung sieht in der Kurve ein Tremolo.
Machen wir ein einfaches mathematisches Modell der Schwebungen. Wie sich herausstellt, gibt es sie auch beim Zusammenklang von zwei Tönen, die beinahe harmonisch zueinander sind, wenn also ihre Frequenzen ungefähr in einem einfachen Zahlenverhältnis stehen. Gleichungsallergiker dürfen die Berechnungen überspringen. Wir tun uns einen Block von trigonometrischen Formeln an.
    $\cos(a+b)=\cos a\cdot \cos b-\sin a\cdot \sin b$
    $\cos(a-b)=\cos a\cdot \cos b+\sin a\cdot \sin b$
    $\sin(a+b)=\cos a\cdot \sin b+\sin a\cdot \cos b$
    $\sin(a-b)=-\cos a\cdot \sin b+\sin a\cdot \cos b$
Herleitung:
    $\exp(i(a+b))=\cos(a+b)+i\sin(a+b)=$
    $=\exp(ia)\exp(ib)=(\cos(a)+i\sin(a))(\cos(b)+i\sin(b))$
    $=(\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b))+i(\cos(a)\sin(b)+\sin(a)\cos(b))$
    $\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$
    $\cos x=\cos(-x);\quad \sin x=-\sin(-x)$
    $\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$
    $\sin(a+b)=\cos a\sin b+\sin a\cos b$
    $\sin(a-b)=-\cos a\sin b+\sin a\cos b$
Umkehrungen:
    $2\cos a\cos b=\cos(a+b)+\cos(a-b)$
    $a+b=A;\;a-b=B;\;a=(A+B)/2;\;b=(A-B)/2$
    $\cos(A)+\cos(B)=2\cos((A+B)/2)\cos((A-B)/2)$
    $2\sin a\sin b=\cos(a-b)-\cos(a+b)$
    $\cos(A)-\cos(B)=-2\sin((A+B)/2)\sin((A-B)/2)$
    $\sin a\cos b=(1/2)\cdot (\sin(a+b)+\sin(a-b))$
    $\sin(A)+\sin(B)=2\sin((A+B)/2)\cos((A-B)/2)$
Ergebnis:
    $\cos A+\cos B=2\cdot \cos((A+B)/2)\cdot \cos((A-B)/2)$
    $\cos A-\cos B=-2\cdot \sin((A+B)/2)\cdot \sin((A-B)/2)$
    $\sin A+\sin B=2\cdot \sin((A+B)/2)\cdot \cos((A-B)/2)$
    $\sin A-\sin B=2\cdot \cos((A+B)/2)\cdot \sin((A-B)/2)$
Die letzten vier Gleichungen beschreiben alle möglichen Überlagerungen von zwei Schwingungen der Frequenzen $f$ und $g,$ wenn gesetzt wird:
    $A=2\pi ft;\;B=2\pi gt.\;t$ ist die Zeit.
Eine allgemeine Überlagerung ist eine Linearkombination dieser vier Terme.
Die rechten Seiten sagen dann folgendes aus: so ein Signal ist ein Produkt aus der Schwingung mit dem Mittelwert der Frequenzen, $(f+g)/2$, und der Schwingung mit der halben Differenzfrequenz $(f-g)/2$. Das ergibt genau eine Amplitudenmodulation mit einem langsamen Faktor, wenn $f$ und $g$ zwei eng benachbarte Frequenzen sind.
Der Absolutbetrag der Amplitude hat nun zwei 'Bäuche' pro Periode des langsam modulierenden Faktors. Das Ohr hört das Vibrato also mit der ganzen Frequenzdifferenz $(f-g)$. Wenn die Frequenz dieser Differenz im Hörbereich liegt, wird ein sogenannter Kombinationston wahrgenommen, insbesondere wenn die Amplituden hoch sind und die Perzeption durch Nichtlinearitäten im Innenohr noch deutlicher wird. Solche Töne werden nach dem italienischen Geigenvirtuosen Guiseppe Tartini (* 1692; † 1770) auch Tartini-Töne genannt, da dieser sie bei laut gespielten Doppelgriffen auf seiner Geige wahrgenommen und 1754 beschrieben hatte. Bereits 1745 wurden sie vom deutschen Organisten, Komponisten und Musiktheoretiker Georg Andreas Sorge (* 1703; † 1778) entdeckt.
Summen/Differenzen von Schwingungen wurden hier in Produkte verwandelt. Die resultierende Schwingung mit dem Mittelwert der Frequenz bekommt dabei eine Modulation, also eine einhüllende Sinuskurve. Die Modulation vibriert mit der halben Differenz der Frequenzen und die Hüllkurve pulsiert mit der Differenz.
Vielfach wird in der Technik die andere Richtung der Gleichungen benutzt: man liefert zwei Frequenzen an und erzeugt zuerst ihr Produkt. Das nennt sich eine Mischung, nicht eine Überlagerung. Am Ausgang finden sich die Summe und die Differenz der Frequenzen. Besonders die (niederfrequente) Differenz ist wichtig, wenn die hohen schwierig zu handhaben sind. Man hat dann ein Signal runtergemischt auf eine komfortable "Zwischenfrequenz". Das Ohr hat einen eingebauten Mischer, wie die Tartini-Töne zeigen. Allgemeine Mischprodukte zweier Frequenzen $(n\cdot f_{1}\pm m\cdot f_{2})$ heißen im technischen Jargon Intermodulationen, vielleicht auch Kombinationstöne.
Kuriosität. Es gab früher (gibt?) bei grottenschlechten Lautsprecherboxen einen billigen Trick, um die Illusion von guten Basstönen zu erwecken. Wenn die Box eine tiefe Frequenz F nicht wiedergeben kann, werden einfach die zwei Obertöne 2*F und 3*F durch Klirren, also nichtlineares Scheppern irgendwelcher Bauteile, erzeugt. Das Ohr denkt sich den fehlenden Grundton dazu, also die Differenz dieser zwei Harmonischen. Aus dem gleichen Grund kann man bei kleinen Orgeln etwa im Pedal diskret ein Register in Quintenlage zuschalten, um den satten Bass eine Oktave tiefer anzudeuten, um nicht zu sagen vorzutäuschen. Wer weiß, wieviel Jahrhunderte der Trick schon dauert. Ein akustischer Bass von "32-Fuß" kommt an als Residualton, wenn offene Pfeifen (16 Fuß) kombiniert werden mit gedeckten Pfeifen (10-2/3 Fuß). Der Komponist und Organist Abt Vogler (1749-1814) setzte solche "akustischen" Register ein.
Behauptung 1: Haben zwei Frequenzen $f,g$ ein exaktes Zahlenverhältnis $(f=nF,\;g=mF)$ dann kann es in der Überlagerung keine tieffrequente Schwebung geben.
Denn beispielsweise:
    $\cos((nF)2\pi t)+\cos((mF)2\pi t)=2\cos(((n+m)F/2)2\pi t)\cos(((n-m)F/2)2\pi t).$
Diese Formel enthält nur relativ "hohe" Frequenzen im Produkt. Zum Beispiel $F=100{\text{ Hz }},\;n=2,\;m=3$ macht aus 200 Hz und 300 Hz in den Faktoren die Frequenzen 250 Hz und 50 Hz. Selbes Argument ist anzuwenden für die drei anderen Fälle der Überlagerung.
Behauptung 2: Wenn eine kleine Abweichung $2s$ der Frequenzen vom exakten Verhältnis vorliegt $(f=nF+s,\;g=mF-s),$ dann zerfällt die Überlagerung in Terme vom Typ: Reiner Zweiklang mal Amplitudenmodulation mit der Frequenz $s.$ Eine Schwebung mit der langsamen Frequenz $s$ ist hörbar.
Zum Beweis werde gesetzt:
    $a=(nF+s)(2\pi t);\;b=(mF-s)(2\pi t);\;u=2\pi st;$
    $(a+b)/2=((n+m)F/2)(2\pi t)=A;\;(a-b)/2=((n-m)F/2)(2\pi t)+u=B+u.$
    $\cos a+\cos b=Q(u)=2\cos A\cos(B+u)$
    $\sin a-\sin b=R(u)=2\cos A\sin(B+u)$
Die Ausdrücke $Q(0)$ und $R(0)$ sind schwebungsfreie reine Überlagerungen nach der Behauptung 1.
    $Q(u)=2\cos A[\cos B\cos u-\sin B\sin u]=Q(0)\cos(u)-R(0)\sin(u)$
Das allgemeine $Q(u)$ ist also die Linearkombination aus den reinen Zweiklängen mal je eine langsame Amplitudenmodulation mit der Frequenz $s$. Die Ausrechnung verläuft genauso für jede von vier Summen/Differenzen der Cosinus und Sinus. Also gilt sie für allgemeine Überlagerungen.
Damit ist gezeigt, dass bei den Terzen, Quarten, Quinten das Phänomen der Schwebung vorkommt. Deren Modulationsfrequenz ist gleich der halben Abweichung der Frequenzdifferenz $(f-g)$ vom Sollwert für rein gestimmte Intervalle. Die Frequenz eines Tremolos ist gleich dieser Abweichung.
Einen Haken hat die Sache noch, weil bei so einer Schwebung die Differenz von zwei Produkten, nicht ein Produkt, anfällt. Die zwei Terme fressen sich im Mittel auf, genauer, sie liefern sich ein Tauziehen. Der langsame Faktor sin(u) geht durch Null, wenn der andere, cos(u), betragsmäßig maximal wird. Und umgekehrt. Kombiniert kommt nur eine schwache Amplitudenmodulation (Hüllkurve) heraus. Wenn allerdings die zwei Schwingungen statt der Sinusform eine komplexere periodische Form haben, wie die Schallwellen aus interessanten Instrumenten, dann verstärkt sich der Schwebungseffekt. Dann sind die Obertöne da, die Vielfachen der zwei überlagerten Frequenzen. Bei der Quinte etwa gleichen sich der zweite des einen und der dritte des anderen Tons. Die tragen dann gehörig zum Tremolo-Effekt bei.
Folgerung. Um eine Quinte, Quarte oder Terz rein zu stimmen, wird eine der Saiten oder Pfeifen usw. so manipuliert, dass der Zweiklang ohne Tremolo (Schwebung) stehen bleibt. Um sie um Cent-Beträge enger oder weiter zu stimmen, wird die langsame Frequenz der Schwebung ausgezählt und je nach Frequenz der Töne auf bestimmte Zielwerte eingepegelt.
Überlagern sich zwei Töne mit ungefährem Frequenzverhältnis f:g = n:m, dann können der Oberton mf und der Oberton ng sich periodisch auslöschen, man hört die Schwebungsfrequenz | mf - ng |.
Eine andere, häufig auch in Synthesizern vorkommende Schwingungsform ist die Frequenzmodulation. Dabei hat die schnelle Schwingung eine konstante Amplitude, doch ihre Frequenz ändert sich im langsamen Rhythmus. Musikalisch entspricht das einem Vibrato. Ein ganzer Kamm von Nebenfrequenzen wäre nötig, um die FM aus einer Überlagerung zu erzeugen.

#### Andere Herleitung: Schwebung bei harmonischen Frequenzen

Mit etwas umständlichen Argumenten soll dieser Abschnitt ein Paar von Tönen analysieren. Angenommen wird nur, dass es periodische Signale sind, die Zerlegung in Obertöne wird nicht hinzugezogen. Die intuitiv leicht zu merkende Obertonregel wird doch wieder herauskommen.
Zwei Töne mit Frequenzen f und g sollen nahe daran sein, im harmonischen Verhältnis f:g = n:m zu stehen. Anders gesagt, es gibt einen gemeinsamen Unterton mit der Frequenz u, sowie eine Abweichung s, so dass gilt: f = nu + s/2 und g = mu - s/2.
    Es folgt: | mf - ng | = (m+n) s/2 =: S.
Die Zahlen n,m mit n<m haben keinen gemeinsamen Teiler.
Nun soll herausgefunden werden, warum man eine Schwebung mit der Frequenz S wahrnehmen kann. Dieser Wert S ist größer als der minimale Wert s, der für Sinuswellen im vorigen Abschnitt ausgerechnet wurde. Auch bei den Letzteren kommt die Schwebefrequenz S vor, etwa wenn man aufmerksam den Verlauf der Spitzen der Signalsumme verfolgt.
Wenn die Harmonie perfekt ist, also mf = ng, dann kann der Klang der Summe beider Töne nur davon abhängen, in welcher Phase sie zueinander liegen.
Zum Beispiel mit f:g = 2:3 gibt es in einer Periode T = 1/u des Untertons u zwei Maxima von f und drei Maxima von g.
    Phase Null: Maxima von f bei 0 und T/2, Maxima von g bei 0, T/3, 2T/3.
    Phase verschoben: Maxima von f bei T/4 und 3T/4, Maxima von g unverändert.
In zweiten Fall gibt es keine gemeinsamen Maxima, die Summe klingt anders.
Allgemein mit n<m, f:g = n:m passen ins Intervall T, n bzw. m Perioden:
    f hat seine Maxima bei kT/n + p (k = 0...n-1; p= Phasenverschiebung).
    g hat seine Maxima bei jT/m + q (j = 0...m-1; q= Verschiebung).
Hier sind j,k ganze Zahlen. Welchen Wertebereich kann die Phasenverschiebung haben, so dass der Klang variiert?
Halten wir etwa p=0 fest und verändern wir q im Intervall von 0 bis T/m, das heißt, wir spielen alle Phasen der Frequenz g durch. Das ist aber viel zu viel, denn es passiert folgendes: Bei q=0 haben f und g ihr gemeinsames Maximum zur Zeit 0, aber schon bei q = (T/n - T/m) trifft das nächste Maximum von g auf das nächste von f und die Töne klingen wie bei q=0. Der sinnvolle Phasenspielraum von Frequenz g ist höchstens T/n - T/m = (T/m)(m-n)/n, also ein Bruchteil der vollen Periode von g.
Ist das nicht immer noch zu viel? Gibt es nicht ein Paar von Positionen auf dem Raster T, wofür eine noch kleinere Verschiebung die Signalspitzen deckungsgleich macht? Mit optimaler Wahl von Zahlen j,k soll jT/m + q = kT/n; q = (jn-km)T/(nm) minimal werden, aber nicht Null. n und m sind teilerfremd, m>n. Ist vielleicht jn-km = 1 lösbar mit j>0, k>0? Das wäre der bestmögliche Fall.
Vorbemerkung: jn-km = 0 hat m als kleinste Lösung für j: j=m,k=n. Denn jn = km; n/m = k/j. Es kann also weder k<n noch j<m sein, sonst hätten n,m einen Teiler (zerlege alle n,m,j,k in Primzahlen).
Nun durchlaufe j den interessanten Bereich 1...m-1.
    Behauptung. In dieser Menge gibt es keine zwei gleichen Differenzen
    $j_{1}m-k_{1}n=x_{1};\;j_{2}m-k_{2}n=x_{2};\;j_{2}>j_{1}.$
Wegen n<m könen die k$_1$,k$_2$ so gewählt werden, dass x$_1$,x$_2$ positiv und kleiner als m sind. Warum sind die x-Werte verschieden?
Wäre x$_1$=x$_2$, dann $(j_{2}-j_{1})m-(k_{2}-k_{1})n=0{\text{ und }}(j_{2}-j_{1})<m.$ Im Widerspruch zur Teilerfremdheit. Den Werten $j\in \{1...m-1\}$ werden also verschiedene Werte $x\in \{1...m-1\}$ zugeordnet. Daher kommt irgendwann der Wert x=1 vor.
Folglich ist die minimale Zeitverschiebung:
    U = min(q) = T/(nm).
Nach diesem Betrag wiederholen sich die Klangfarben mit periodischer Verschiebung und sind mit reellen Zahlen 0<p<U zu unterscheiden.
    Bei perfekter Harmonie gilt T = n/f = m/g, also U = 1/(mf) = 1/(ng).
Pro Sekunde ist die Zahl der Perioden U gleich: N(f) = N(g); mf = ng.
Eine Schwebung mit Frequenz S kommt vor, wenn die Periodenzahlen N(f) = mf und N(g) = ng sich um S Zyklen unterscheiden. So viele Perioden der Klangveränderung gibt es dann nämlich. Also gilt wie erwartet: S = | mf - ng |. Ende des Beweises, endlich.
Die Schwebung bei harmonischen Intervallen ist nicht einfach eine Amplitudenmodulation, sondern eine allgemeinere Modulation der Wellenform, der Klangfarbe. Die nichtlineare Komponente des Hörens kann dabei helfen, sie wahrzunehmen.
Beispiel: Geübte Ohren nehmen wahr, dass bei der verstimmten Quinte ~(2/3)·F über der Grundfrequenz F, die Oktave zur Quinte, also das Dreifache der tiefen und das Doppelte der höheren Frequenz, entscheidend zur Schwebung beiträgt.
Zitate aus der Musikalischen Bibliothek von Lorenz Mizler werden mit Mus.Bib. markiert. Die Schwebung erklärt nach Werckmeister, "Kurtzer Unterricht Wie man ein Clavier stimmen und wohl temperiren könne."
   "Da nun eine Consonantia gegen die andere etwa zu hoch oder zu niedrig stehet, so nennet man dasselbe eine Schwebung. Dieser Nahme kommt fürnehmlich von den Orgelmachern her, denn wenn sie zwo Pfeiffen zusammen stimmen, und dieselben bald reine sind, so machen solche Pfeiffen, wenn sie zugleich mit einander angehalten werden, einen Tremorem, oder Zittern, je näher nun die Zusammen-Stimmung ist, je langsamer wird der Tremor, wenn sie aber endlich zusammen gestimmt sind, so lässet sich der Tremor oder daß Beben nicht mehr hören, und klingen solche zwo Pfeiffen ofte, als wenn es eine Pfeiffe wäre. Wenn der oberste Clavis gegen den andern zu hoch ist, so heist man es, in die Höhe schweben, ist er zu niedrig, nennet man dasselbe niedrig schweben." (Mus.Bib. I.2 S.160)

#### Die reine oder natürliche Stimmung

Gut gesungene mehrstimmige a-cappella-Chormusik sollte rein gestimmt erklingen, genauso wie Streicher-Ensembles. Wir reden hier von altmodischer tonaler Musik. Eine Musik, der streckenweise die eine oder andere Tonart anheftet.
In der reinen C-Dur-Tonleiter sind alle Intervalle zum Grundton rational.
| Note | Frequenzverhältnis | Intervall |
| C | 1:1 | Prime |
| D | 9:8 | große Sekunde |
| E | 5:4 | große Terz |
| F | 4:3 | Quarte |
| G | 3:2 | Quinte |
| A | 5:3 | große Sexte |
| H | 15:8 | große Septime |
| C | 2:1 | Oktave |
Zwischen den Nachbarn gibt es große (9/8) oder kleine (10/9) Ganztöne und bei E-F und H-C den diatonischen Halbton (16/15). Die Dreiklänge auf Tonika C, Dominante G und Subdominante F sind rein.
Soll das Prinzip der reinen Akkorde und Intervalle beim Wechsel in eine benachbarte Tonart zu C-Dur beibehalten werden (Modulation), dann passiert mehr als nur eine schwarze Taste einzubauen. Es müssen auch manche Tonhöhen der weißen Tasten angepasst werden!
Indiz dafür: die Quinte D-A ist in Rein-C-Dur verstimmt. D wäre die Molltonart parallel zur Subdominante. Die Modulation in Richtung Subdominante braucht in der Tat zwei Alterationen für ein reines F-Dur. H wird zu B und D wird um ein syntonisches Komma gedrückt.
Eine Modulation nach a-Moll braucht zwar keine "schwarze Taste", aber auch hier muss D etwas sinken, um zur reinen Subdominante von A zu werden.
Eine Modulation von der reinen Tonleiter in C-Dur zur derjenigen in G-Dur braucht auch zwei Änderungen: aus F wird Fis und A wird um ein syntonisches Komma angehoben, von 440 Hz nach 445,5 Hz.
Die Terzen im reinen C-Dur sind rein bis auf D-F. Taucht diese auf, sollte wieder eine Modulation im Spiel sein und der Ton D abgesenkt werden.
Was ist das syntonische Komma? Das Verhältnis von zwei pythagoreischen Ganztönen (9/8) zu einer reinen großen Terz (5/4),
    SK = $\left({\frac {9}{8}}\right)^{2}/\left({\frac {5}{4}}\right)$ = 81/80 = 1,0125 = 21,51 Cent.
Dieses Komma tritt auf, weil die reine Terz aus einem großen und einem kleinen Ganzton besteht: $(5/4)=(9/8)\cdot (10/9).$
Gleichwertig definiert man das syntonische Komma als den Unterschied zwischen vier reinen Quinten und zwei Oktaven plus großer Terz:
    SK = $\left({\frac {3}{2}}\right)^{4}/\left(2\cdot 2\cdot {\frac {5}{4}}\right)=81/80.$
Weiter unten wird eine Methode der Stimmung erwähnt, die Terzen dadurch rein macht, dass Quinten im Vierergespann gleichmäßig gestaucht werden.
Fazit: eine reine Intonation benutzt viel mehr Töne als zwölf. Nicht nur sind beispielsweise As und Gis verschiedene Noten und Frequenzen, sondern diese und auch alle 'weißen Tasten' kommen in Varianten vor, die sich um das syntonische Komma unterscheiden.
    Rechenübung zum Wechsel der Tonart.
Nichts befiehlt einem, dass ein Lied in C-Dur zu sein hat, also auf dem ersten Ton beginnt und endet. Mit der gleichen Folge von ganzen und halben Tönen können Melodien sich um jeden anderen Ton als Ruhepol entwickeln. Das Lied Greensleeves zum Beispiel sitzt auf dem zweiten Ton (hier bezogen auf F-Dur). Solche Melodien sind modal auf dem zweiten, dritten, vierten, fünften ... Ton; auch genannt Dorisch, Phrygisch, Lydisch, Mixolydisch usw. Unzählige traditionelle und volkstümliche Lieder haben modale Tonarten.
Die Vorherrschaft von Dur und Moll brach erst mit der Renaissance allmählich aus. Welche Besonderheit haben die Stufen 1 und 6, also Dur und natürliches Moll? Bei ihnen gibt es die nächstverwandten Töne (Quinte=Dominante und Quarte=Subdominante) und sie haben denselben perfekten Dreiklang wie der Grundton. Vielleicht wurden damit die vielstimmige Polyphonie und die schriftlich fixierte Musik besser machbar. Ging nicht auch im zwanzigsten Jahrhundert die Dur-Moll-Ära zu Ende?
Zum Vergleich der Tonleitern auf dem ersten, vierten und fünften Ton (Tonika, Subdominante, Dominante) rechnen wir die jeweiligen Frequenzen im Verhältnis zum Anfang aus.
| C | D | E | F | G | A | H | C |
| 1:1 | 9:8 | 5:4 | 4:3 | 3:2 | 5:3 | 15:8 | 2:1 |
| F | G | A | H | C | D | E | F |
| 1:1 | 9:8 | 5:4 | 45:32 | 3:2 | 27:32 | 15:8 | 2:1 |
| G | A | H | C | D | E | F | G |
| 1:1 | 10:9 | 5:4 | 4:3 | 3:2 | 5:3 | 16:9 | 2:1 |
Nun werde verlangt, warum auch immer, die Skalen nach Dur zu verbiegen. Die Tonleiter auf F hat zwei Unterschiede zur Dur-Skala, die Töne H und D. Um folgende Intervalle muss abgesenkt werden, um ein F-Dur zu erzwingen:
    $H\to B:\quad$ (45/32) / (4/3) = 135/128
    $D\to ,D:\quad$ (27/32) / (5/3) = 81/80
Die Tonleiter auf G hat die Töne A und F, die von Dur abweichen.
Zwei Anhebungen erzeugen ein G-Dur:
    $,A\to A:\quad$ (9/8) / (10/9) = 81/80
    $F\to Fis:\quad$ (15/8) / (16/9) = 135/128
Das syntonische Komma 81/80=1,0125 taucht jedes Mal auf. Neu ist ein Halbtonschritt, der einen Leitton entweder abschafft oder herstellt. Die halbtönige Alteration ist kleiner, um ein Prozent, also etwa ein Komma, als ein diatonischer Halbton. Denn: (16/15) / (135/128) = 1,011...

#### Die gleichstufige Stimmung

Die Begriffe temperierte, gleichstufige oder gleichschwebende Stimmung bezeichnen die gleiche Technik, die bei Tasteninstrumenten vorherrscht. Man teilt die Oktave streng in zwölf gleiche Intervalle auf. Das bringt eine brutale Vereinfachung, die
* erstens die Unterschiede zwischen As und Gis und Kollegen ausradiert (enharmonische Verwechslung),
* zweitens alle Feinstruktur (Verschiebung ums syntonische Komma) unterdrückt.
Weil zwölf temperierte Halbton-Intervalle I eine Oktave ausmachen, gilt:
    $I^{12}=2\quad \Rightarrow \quad I={\sqrt[{12}]{2}}=e^{\ln(2)/12}=1,059463...=$ 100 Cent.
Das pythagoreische Komma ist der Fehlbetrag, der herauskommt, wenn zwölf Intervallschritte von reinen Quinten verglichen werden mit einem Intervall von sieben Oktaven:
    PK = $\left({\frac {3}{2}}\right)^{12}/2^{7}=3^{12}/2^{19}$ = 1,01364 = 23,46 Cent.
Die Folge reiner Quinten schießt um einen Achtel Ton (Erinnerung, ein Halbton = 100 Cent) über die Oktaven hinaus. Die Kette von 12 Quinten heißt der Quintenzirkel. Zu schön wäre es, wenn er wieder beim Ausgangston ankäme. Töne, die sich um Oktaven (Faktoren zwei) unterscheiden, sind hier äquivalent. In der reinen Stimmung wäre der Quintenzirkel eine Quintenspirale. Der Kreis schließt sich nur wegen leicht unsauberer Quinten.
   "Aus der Erfahrung weiß man, daß, wenn man z.E. alle Quinten etc. rein stimmet, bey der Fortschreitung die Tone zu hoch kommen, und mit andern Tonen eine unleidliche Dissonanz verursachen. Diesem Uebel abzuhelffen, nimmt man einer Consonanz bald etwas ab, oder leget ihr bald etwas zu, und temperiret die Verhältnisse der Tone so gegeneinander, daß sie das Gehöre alle wohl vertragen kan, welches Temperatur heist, und zur Absicht hat, daß man aus allen 24 Tonarten, ohne die Ohren zu beleidigen, spielen kan." (Mus.Bib. I.3 S.237)
Bei der gleichstufigen Stimmung wird jede Quinte nur um knapp 2 Cent eingeengt, so dass die Folge passgenau und gleichmäßig eine Oktave mit zwölf Tönen bevölkert. Der Fehler erklingt als eine dezente Schwebung der Quinten, ein Tremolo, das nicht weiter schockiert. Beim Klavierstimmen stellt man die langsamen Perioden dieser Schwebungen auf Sollwerte ein. Daher auch der Name gleichschwebende Stimmung.
Eine gleichwertige Definition des pythagoreischen Kommas ist das Verhältnis von sechs 'großen' Ganztönen zu einer Oktave,
    PK = $\left({\frac {9}{8}}\right)^{6}/2.$
Diese Zahl wurde zuerst von Euklid erwähnt.
Es kam Kritik auf. Die gleichstufig großen und kleinen Terzen weichen hörbar von den reinen Vertretern der Gattung ab. Um die 15 Cent beträgt der Fehler.
| Intervall | gleichstufig | rein |
| kleine Terz | 300 Cent | 315,5 Cent |
| große Terz | 400 Cent | 386,5 Cent |
Die gleichschwebend gestimmten Terzen klingen also kratzig wegen schneller Schwebungen. Die großen Terzen sind "scharf".
    Rechenbeispiel.
Den Kammerton A = 440 Hertz nennen wir a', er gehört zur Oktave von c' bis h'. Die Töne in der Oktave darunter bezeichnen wir ohne Strich. Die Frequenz vom Ton c' folgt aus der von a', wenn neunmal durchs Halbtonintervall I geteilt wird. Die Frequenz von c ist dann die Hälfte.
Was macht die Schwebung zwischen den temperierten Tönen
    c = 130,812 Hz,
    e = 164,813 Hz ?
Das Intervall c-e ist eine große Terz, das ideale Verhältnis wäre 4:5.
Die Obertöne $5\cdot c$ und $4\cdot e$ liegen also sehr nahe zusammen. Ein Tremolo mit der Differenzfrequenz dieser Obertöne soll wahrnehmbar sein.
    $F=|5\cdot c-4\cdot e|\simeq 5.2$
Diese gleichstufig gestimmte Terz vibriert mit der Frequenz 5 Hertz.
Die Stimmung ist ein Kompromiss, der für Tasteninstrumente erfunden wurde. Gute Streicher und Sänger neigen spontan dazu, mit den reinen Intervallen aufzuwarten.
Früher wurden daher noch andere Kompromisse bevorzugt, in der Richtung: Wir geben die Hälfte der möglichen Tonarten auf. Dafür verschönern wir aber viele der Terzen.
Schon im 16. Jahrhundert und Anfang des 17. Jahrhunderts haben sich viele gebildete Leute mit dem Problemen der ungleichschwebenden Stimmung beschäftigt und verschiedene Vorschläge erarbeitet, wie diese abgemildert werden kann. Zu diese Gelehrten zählen unter anderen Johannes Kepler (* 1571; † 1630), Leonhard Euler (* 1707; † 1783), Wolfgang Caspar Printz (* 1641; † 1717), Andreas Werckmeister (* 1645; † 1706) und Gottfried Silbermann (* 1683; † 1753). In der Mitte des 17. Jahrhunderts machte vor allen anderen Johann Philipp Kirnberger (* 1721; † 1783) von sich reden. Bis zum Ende des 17. Jahrhunderts wurde auf dieser Basis schließlich die gleichschwebende Temperatur entwickelt, wobei sich untern vielen anderen die folgenden Personen bei der Umsetzung und Einführung hervorgetan haben: Johann Georg Neidhardt (* 1680; † 1739), Georg Andreas Sorge (* 1703; † 1778), Johann Heinrich Lambert (* 1728; † 1777), Christoph Gottlieb Schröter (* 1699; † 1782), Barthold Fritze (* 1697; † 1766), Jean-Philippe Rameau (* 1683; † 1764), Jean-Baptiste le Rond d'Alembert (* 1717; † 1783), Friedrich Wilhelm Marpurg (* 1718; † 1795) und Moses Mendelssohn (* 1729; † 1786).

#### Mehr zur natürlichen Stimmung

Die Dur-Tonleiter ist ein Quint-Terz-System. Abgesehen von Transpositionen um Oktaven, erreicht man die Töne mit der kleinstmöglichen Zahl von Sprüngen mit Quinten, Faktor (3/2), und großen Terzen, Faktor (4/5), vom Grundton aus. Eine Quinte nach unten gleicht dabei einer Quarte aufwärts.
Will man die Skala noch einfacher nur mit reinen Quinten nachbilden, bekommt das System die pythagoreische Stimmung und hat unreine Terzen, denn vier Quinten modulo Oktaven übertreiben die Terz um ein syntonisches Komma. Die so gestimmte Terz wäre mit 408 Cent noch schriller als die temperierte.
Dogmatische Theoretiker des Mittelalters hatten tatsächlich die Terz zur Dissonanz erklärt, Pythagoras erlaube sie nicht. Wer dem Ukas folgte, machte sterbenslangweilige mittelalterliche Musik mit nur Quinten als Harmonie.
Symbolisch erzeugen die Algorithmen die Tonleitern, modulo Oktaven:
| Ton | C | D | E | F | G | A | H |
| Quint/Terz-System | 0 | 2Q | T | -Q | Q | -Q+T | Q+T |
| Quinten-System | 0 | 2Q | 4Q | -Q | Q | 3Q | 5Q |
Das Rechnen sei mit Logarithmen definiert. Werte von Oktave, Quinte, großer Terz:
    $O_{k}:=\ln(2);\quad Q:=\ln(3/2);\quad T:=\ln(5/4).$
Alle Töne haben Werte zwischen 0 und $O_{k}.$ Intervalle werden kombiniert durch Addition und Subtraktion modulo Oktave; also Summen/Differenzen um Oktaven verschoben, so dass das Ergebnis im halboffenen Intervall $[0,O_{k})$ liegt. Mathematisch sind die Töne und Intervalle eine kommutative Gruppe und isomorph zum Einheitskreis. Der Ton C sei das Null-Element. Das Inverse einer Quinte ist die Quarte, also die Umkehrung. Terzen sind invers zu Sexten, Sekunden invers zu Septimen. Die Gruppenverknüpfung "+" ist die Addition modulo Oktave, bei Negation "-" erfolgt auch die Oktaven-Verschiebung danach. Die Symbole $Q,T,P,S,I,...$ sind Gruppenelemente, und wie bei jeder abelschen Gruppe ist die Multiplikation derselben mit ganzen Zahlen möglich.
* Das Pythagoreische Komma $P:=12Q=\ln(531441/524288)=$ 23,46 Cent
* Das Syntonische Komma $S:=4Q-T=\ln(81/80)=$ 21,51 Cent
Ein System aus 13 reinen Quinten kann so notiert werden:
    As-Es-B-F-C-G-D-A-E-H-Fis-Cis-Gis
As hat den Wert -4Q und Gis den Wert 7Q.
Ausgehend vom Quintensystem können wir die Terzen bereinigen, indem wir den Überschuss abziehen, den 4 Quinten gegenüber der großen Terz haben, modulo 2 Oktaven. Er beträgt ein syntonisches Komma. Eine Tiefkomma-Notation dokumentiert, wie die Dur-Skala vom pythagoreischen Quintensystem abweicht:
    { C D ,E F G ,A ,H C } = {0, 2Q, 4Q-S, -Q, Q, 3Q-S, 5Q-S, 0}
Auch ein Hochkomma-Präfix wird benutzt, um positive S-Verschiebungen anzuzeigen. Allgemein, wenn Note X den Wert x hat:
    $X\mapsto x\quad \Rightarrow \quad ,X\mapsto (x-S)\qquad 'X\mapsto (x+S).$
Alle Dur-Tonleitern haben das Muster mit Kommata an denselben drei Stellen.
Beispiele:
    Des-Dur: { Des Es ,F Ges As ,B ,C Des}
    As-Dur: { As B ,C Des Es ,F ,G As}
    Cis-Dur: { Cis Dis ,Eis Fis Gis ,Ais ,His Cis}
Weil $Cis\mapsto 6Q,\quad Des\mapsto -6Q,$ ist ihre Differenz ein pythagoreisches Komma. Dagegen ist der Unterschied von ,Cis und Des weniger als 2 Cent.
Mittelalterlich konnte durch 12 wiederholte Quintensprünge die Tonleiter gefüllt werden mit den 'pythagoreischen' Halbtönen. Nachdem endlich rein klingende Terzen eingeführt wurden, brachten geordnete Modulationen zu den Nachbartönen der Quintenreihe immer neue Korrekturen ums syntonische Komma ein.

#### Zulässige Ungenauigkeit der Tonhöhe

Die Differenz zwischen dem Pythagoreischem und Syntonischen Komma (P-S) ist kleiner als 2 Cent. P-S heißt ein Schisma. Genauso klein ist der zwölfte Teil (P/12), um den die reinen Quinten in der temperierten Stimmung reduziert werden.
Die Ungenauigkeit bei der Tonhöhe darf relativ groß sein, wenn ein Ton nur kurze Zeit dauert. Das Produkt aus Frequenzbreite und Dauer ist von der Größenordnung Eins: $(\Delta f)(\Delta t)\simeq 1.$ An der Schwebung ist es zu sehen: Zwei Frequenzen mit Abstand $\Delta f$ machen eine Schwebung mit der Frequenz $s=\Delta f/2.$ Der Ton kommt in Hüllkurven an, die mindestens eine Periode von der Schwebung dauern,
    $\Delta t={\frac {1}{2\pi s}}={\frac {1}{\pi \;\Delta f}}.$
Das Produkt aus Frequenzverbreiterung und Zeitdauer des Tremolos ist in der Gegend von Eins.
Bemerkung: In der Quantenphysik regiert Heisenbergs Unschärfe. Bezogen aufs Produkt aus Energie und Zeit spielt sich da genau das Gleiche ab. Denn die Energie ist das Produkt einer Frequenz mit dem Wirkungsquantum.
Wieviel Zeit dauert es denn nach dieser Unschärferelation, wenn man einen Reinheitsfehler von 2 Cent beim Kammerton A messen will?
    $\Delta f=440Hz\cdot {\big2^{2/1200}-1{\big )}=440(\exp(\ln(2)/600)-1)=0,5\;{\text{ Hz }}\;\Rightarrow \;\Delta t=2s$
So etwa 2 Sekunden, schneller ist der Fehler weder messbar noch wahrnehmbar.
Die lange gängige Theorie (Hermann von Helmholtz) sah im Ohr einen linearen Detektor, der auf Resonatoren beruhe. Sie ergab einen Widerspruch. Auf der einen Seite hat das Gehör eine hohe Auflösung für Frequenzen, etwa 1,5 Hz. Auf der anderen Seite eine hohe Zeitauflösung, genannt Trillerempfindlichkeit, bis zu 18 Amplitudenspitzen pro Sekunde. Also $(\Delta f)\cdot (\Delta t)=1,5\cdot 0,05<0,1,$ erheblich unter der Einheit. Mit einem linearen System ist das nicht gleichzeitig möglich. Es wird verständlicher, wenn ein Detektor abhängig vom Inhalt des "Signals" seine Arbeitsweise in Echtzeit anpassen kann. Schon an den Tartini-Tönen waren nichtlineare Fähigkeiten des Gehörs zu erkennen.

#### Herleitung der Tonleitern

Die drei verwandten Frequenzen f, (3/2)·f und (4/3)·f heißen traditionell Tonika, Dominante und Subdominante. Abgesehen von der Oktave, sind diese Quinte und Quarte die rationalen Töne über der Tonika mit dem kleinsten Nenner. Die große und die kleine Terz setzen die Reihe fort, (5/4)·f und (6/5)·f.
Die reine Dur-Tonleiter ist eindeutig dadurch bestimmt, dass über den drei Stufen Tonika, Dominante und Subdominante jeweils ein reiner Dur-Akkord existiert: Quinte = große + kleine Terz. Die reine Moll-Tonleiter wird genauso eindeutig erzeugt, wenn diese drei Stufen den reinen Moll-Dreiklang tragen: kleine + große Terz. Dur und Moll sind die zwei Grundmengen von Tönen mit der höchstmöglichen Symmetrie. Sie haben je 7 Töne; ein "Ton" wird als gleich angesehen in allen Oktaven.
Aus der Definition folgt mit etwas Rechenfleiß die Frequenztabelle. In beiden diatonischen Leitern kommen drei elementare Intervalle vor, ein Halbton H=(16/15), ein großer Ganzton G=(9/8) und ein kaum davon verschiedener kleiner Ganzton K=(10/9). Die Intervall-Formeln der Leitern sind:
Beide Folgen schließen sich im Kreis und durchlaufen so viele Oktaven wie gewünscht. Die Kreise sind Spiegelbilder, wenn der Anfangspunkt mitten in der Teilfolge GHG sitzt.
Zum Nachrechnen: das Produkt aller Intervalle ergibt 2, die Oktave. Produkte GK = KG sind große Terzen, GH = HG sind kleine Terzen. Die Dur-Frequenzen sind Vielfache eines Bruchteils 1/24, die Moll-Frequenzen brauchen den größeren Teiler 120.
Die Moll-Skala ist fast, aber nicht ganz eine zyklisch verschobene Dur-Tonleiter:
Die Leiter, die zwei Töne tiefer unter dem Dur-Schema anfängt, wird zu reinem Moll, wenn die zwei Intervalle G,K am Anfang des Durs vertauscht werden. Das Mikro-Intervall zwischen G und K beträgt G/K = (9/8)/(10/9) = (81/80), ein Komma. Um diesen Betrag wird die zweite Stufe vom Dur verschoben, damit alle definierenden Dreiklänge der gewünschten Moll-Tonleiter haargenau stimmen.
Wer also von C-Dur nach a-Moll wechselt und theoretische Reinheit anstrebt, muss dabei den Ton D um ein Komma absenken. Geht es weiter in reinstem F-Dur, ist noch H rauszuwerfen und durch B zu ersetzen. In Terzen aufwärts muss die reine Stimmung symmetrisch die Töne manipulieren. Von C-Dur nach e-Moll, indem F zu Fis mutiert. Weiter nach G-Dur bleibt nur noch A um ein Komma zu heben.
In 24 Schritten terzweise hinauf könnte man so alle reinen Tonarten durchlaufen, im Wechsel Dur und Moll, alle zwei Schritte eine Komma-Korrektur. Am Ende kommt ein His-Dur an, wo das His (H#) um ein Komma über dem C liegt. Wegen dieses Fehlbetrags schließt der reine Quintenzirkel sich nicht richtig. Um die Quälerei mit solcher Unstimmigkeit zu umgehen, wurden pragmatisch die unreinen Stimmungen entwickelt. Mehr Freiheit für die Künstler bei etwas schwebenden Harmonien, deren Abweichung vom mathematischen Ideal problemlos überhört wird. Wir tolerieren in großer Mehrheit ja auch technisch schlechte MP3-Quellen und die brutale Kompression von Dynamik.
Selbstverständlich benutzt die praktische Musik außer Dur und Moll alle möglichen anderen, weniger symmetrischen Skalen. Gemische sind beliebt. Moll (melodisch aufsteigend) etwa ist ein leicht alteriertes Dur: nur die erste Terz wird verkleinert. Moll (harmonisch) hebt nur die siebte Stufe des reinen Moll an zu einem Leitton, dem Halbton unter der Tonika. Der interessante Vierklang Gis-H-D-F der verminderten Septime zerlegt dann praktisch die Oktave in vier kleine Terzen; er gehört bei gleichschwebender Stimmung zu vier Tonarten gleichzeitig. In so viele Richtungen hin kann er "aufgelöst" werden.
Noch eine pingelige Haarspalterei. Nach der beschriebenen Reise auf Terzen durch den Quintenzirkel ist der Faktor, um den das 'His' über das 'C' hinaus schießt, nicht genau das erwähnte syntonische Komma (G/K) = 81/80, sondern etwas verschieden. Begründung: Anfangs liegt H unter C mit dem Halbton-Faktor (1/H). An einer Stelle wird Note H um das Komma angehoben, an einer zweiten wird es erhöht zum His mit dem Faktor (G/H), drittens erfährt diesem His irgendwann auch der Komma-Schub. Der Faktor des reinstimmig verschleppten His über C ist daher:
    [His/C] = (1/H)·(G/K)·(G/H)·(G/K).
Ergebnis $3^{12}/2^{19}$. Um diesen Multiplikator, das pythagoreische Komma, ragen 12 reine Quinten über 7 Oktaven hinaus.

#### Die Harmonische Teilung

Eine Art von Gesetz zeigt, wie aus vielen Zweiklängen ein Dreiklang entsteht. Zuerst die Beispiele:
    Die Oktave als Produkt Quinte mal Quarte: (2/1)= (3/2)·(4/3)
    Die große Sexte aus Quarte und großer Terz: (8/5)= (4/3)·(5/4)
    Die Quinte das Produkt großer und kleiner Terz: (3/2)=(5/4)·(6/5)
    Die große Terz aus großem und kleinem Ton: (5/4)= (9/8)·(10/9)
Auf der rechten Seite erscheinen nur Tripel ganzer aufeinanderfolgender Zahlen:
    2:3:4, 3:4:5, 4:5:6, 8:9:10.
Offenbar ist da immer der Mittelwert eingerahmt. Diese Tripel sind nämlich die Frequenz-Verhältnisse:
    2:3:4 Grundton:Quinte:Oktave,
    3:4:5 Grundton:Quarte:Sexte,
    4:5:6 Grundton:Terz:Quinte und
    8:9:10 Grundton:Sekunde:Terz.
Es handelt sich physikalisch um Ausschnitte aus der Reihe der 'Harmonischen', also der Vielfachen oder Obertöne, einer tieferen Grundfrequenz. Tripel, die die Zahl 7 enthalten, mögen wir hier nicht.
Die antike Wissenschaft sortierte die Töne statt nach Frequenzen nach den Längen von (gleich gespannten) Saiten, welche zum Kehrwert der Frequenz proportional sind. Ausgedrückt in solchen Saitenlängen und auf ganze Zahlen skaliert, ergeben sich die vier Tripel:
    12:8:6 Teilung der Oktave
    20:15:12 Teilung der Sexte
    15:12:10 Teilung der Quinte
    45:40:36 Teilung der Terz
Die Längenverhältnisse hier sind Paare von 'ungleichen Rationen', etwa 12:8 und 8:6, in altmodischer Sprache.
Man entdeckte die passende Regel zur "harmonischen" Aufteilung der Intervalle von Tönen mit Hilfe der Saite. Die Regel setzt die arithmetische Mittelung der Frequenzen in die Teilung der Längen um.
Definition:
Die mittlere ganze Zahl b in (a > b > c) heißt das harmonisches Mittel der Eckwerte a,c, wenn gilt:
    (a/c) = (a-b) / (b-c)
In Worten: das Verhältnis der Werte a/c ist gleich dem Verhältnis der Differenzen zwischen a,c und b, also gleich dem Verhältnis der Abstände zum gesuchten Zwischenwert.
Äquivalent ist die Aussage: der Kehrwert von b ist der Mittelwert der Kehrwerte von a und c (Beweis Übung). Notation der harmonischen Teilung: a:b:c.
Gemessen in Saitenlängen am Monochord, gehorchen viele der musikalischen Aufteilungen von Intervallen also exakt der Formel für Harmonische Mittelung, wie die oben angegebenen vier Fälle.
Folgendes Buch war im 18. Jahrhundert das Standardwerk der Kompositionslehre. Keine Geringeren als Haydn, Mozart und Beethoven haben es studiert.
   GRADVS AD PARNASSVM oder
   Anführung zur Regelmäßigen Musikalischen Composition
   Auf eine neue, gewisse, und bishero noch niehmals in so deutlicher Ordnung and das Licht gebrachte Art ausgearbeitet
   von Johann Joseph Fux, Weil. Gr. Kayserl.und Königl.Cathol.Majest.Carls des VI.Ober Capellmeister.
   Aus dem Lateinischen ins Teutsche übersetzt, mit nöthigen und nützlichen Anmerckungen versehen und herausgegeben von Lorenz Mizlern,
   Der freyen Künste Lehrer auf der Academie zu Leipzig. (1742)
Die Intervalle und die harmonische Teilung werden darin behandelt, und zwar weniger trocken als in vorliegendem Text. Guter Stil war, Dialoge von Lehrmeister und Alumnus zu schreiben. Wir lernen folgende Definition samt Algorithmus nach Fux trad. Mizler:
   "Die harmonische Theilung geschiehet durch die mittlere Grösse, oder den Theiler, wodurch die Rationen als ungleich entstehen, und da die grössere Ration in den grössern Zahlen, die kleinere in den kleinern stecket; also, daß die Unterscheide auf gleiche Art ungleich sind. Durch ein Exempel wird die Beschreibung deutlicher werden. Man nehme die schon arithmetisch getheilte Octave, dergestalt: 4:3:2. Man vervielfältige die zwey äussern Grössen durch die Mittlere, 4 durch 3, so kommt 12 heraus; hernach 2 durch eben dieselbe mittlere Zahl 3, so entstehet die andere äussere Grösse der harmonischen Ration 12:6.
   Ferner vervielfältige man die äussere Grössen der arithmetischen Ration untereinander, nemlich 4 durch 2, wodurch 8 heraus kömmt, welches der wahre harmonische Theiler ist, so die doppelte Ration auf diese Art theilet 12:8:6 und zwey ungleiche Rationen hervorbringet."
Mizler trug eine Fußnote bei, damit die Sache noch klarer wird:
   "Die Erklärung der harmonischen Theilung ist also diese:
   Eine harmonische Theilung ist, wenn die gefundenen Grössen eine harmonische Verhältniß unter einander haben, das ist: wenn die Unterscheide der ungleichen Rationen sich so verhalten als die äussern Grössen der gefundenen Rationen."

#### Approximation des reinen Tonsystems

Die Näherungsmethode geht so: Wird eine Oktave in 53 gleiche Stufen eingeteilt, kann man mit solchen Tönen alle reinen Dur- und Moll-Tonleitern hinreichend genau annähern und alle Modulationen streng nach Regel durchführen. Der Fehler zur theoretischen Reinheit bleibt kleiner als 2 Cent.
Gioseffo Zarlino (1517-1590), genannt der Vater der modernen Musiktheorie, hat im 16. Jahrhundert folgende Rechenaufgabe gelöst:
    Finde zwei ganze Zahlen $i,j$ so dass:
* die Oktave in $i$ gleiche Intervalle $O_{k}=i\cdot H$ geteilt ist,
* die reine Quinte möglichst gut in $j$ gleiche Intervalle $Q=j\cdot H$ zerfällt,
* das Intervall $H$ möglichst nahe am syntonischen Komma liegt.
    Die Lösung lautet: $\;i=53,\;j=31,\;H={\sqrt[{53}]{2}}=\exp(\ln(2)/53).$
    Zarlinos Komma $H:\quad$ 22.6415 Cent. Er liegt wunderbar mitten zwischen den folgenden.
    Syntonisches Komma $S:\quad$ 21.5063 Cent
    Pythagoreisches Komma $P:\quad$ 23.46 Cent
Das Intervall bekam im englischen Sprachraum den Namen Holdersches Komma, nach William Holder (1616-1698), der sich offenbar den Vortritt erschlichen hat. Der Fehler zwischen der reinen Quinte und der Approximation mit $j\cdot H$ beträgt $F=Q-31H=0,0682$ Cent. Also bei zwölf Quinten immer noch unter 1 Cent, sehr klein verglichen mit den Kommata. Das Syntonische Komma bekommt mit $H$ einen gut angenäherten Wert, auch mit einem Fehler um 1 Cent.
Mit dem Mikro-Intervall $H$ sind die Dur-Tonleitern im Raster der 53 Töne zuhause. Denn die Töne dieser Skala sind Linearkombinationen aus $Q$ und $H$ mit ganzen Koeffizienten. Die Töne sind durch ganze Zahlen als Vielfache des Intervalls $H$ gegeben.
    Tonleiter n = {nj,(n+2)j,(n+4)j-1, (n-1)j, (n+1)j, (n+3)j-1, (n+5)j-1, nj+i} modulo i; j=31, i=53.
Mit n von -6 bis 6 werden 13 Tonleitern erfasst.
    C-Dur hat zum Beispiel den Code {0,9,17,22,31,39,24,53}.
Der große Ganzton beträgt $9H,$ der kleine Ganzton $8H,$ der diatonische Halbton $5H.$
Wenn n um 12 erhöht wird, kommt der Grundton $(nj\cdot H)$ um ein pythagoreisches Komma höher wieder an. Das wird angenähert durch eine Verschiebung $H$ ausgedrückt, und der Anordnung, dass n modulo 12 zu nehmen ist.
Insgesamt gibt es ein Raster von Tonleitern mit zwei Indizes und den Tönen:
    L(n,k)= {nj+k,(n+2)j+k,(n+4)j+k-1, (n-1)j+k, (n+1)j+k, (n+3)j+k-1, (n+5)j+k-1} modulo i, mit ganzen Zahlen n,k.
Durch genügend viele Modulationen kann man das ganze Netz durchwandern. Der Wertebereich von k braucht nicht sehr groß zu sein, denn wenn n 13 Werte bekommt, ist schon ein Raster von Halbtönen mit Schritten von $5H$ vorhanden. Also wird mit k von 0 bis 5 alles was geht erfasst. Notieren kann man die so fein abgestuften Töne etwa als ",,,,B" mit dem oben erwähnten Komma-Präfix.
Die voll ausgebaute natürliche Stimmung hat angenähert 53 Töne pro Oktave. Die Fehler dieses Systems sind kleiner als 2 Cent und damit unhörbar.
Wandert man in einem Raster von großen Terzen, kommt ein anderer minimaler Fehlbetrag vor, das Kleisma $(6T-5Q)$ modulo Oktave, von etwa 8 Cent. Dies erlaubt die kleismatische Verwechslung von Tönen.
Die Moll-Tonarten werden hier nicht behandelt, sie passen ebenfalls nahtlos in die Skala aus 53 Tönen. Auch die temperierte und andere Stimmungen lassen sich hinreichend gut hineinpressen. Sogar Tonsysteme, die nicht in Europa entstanden, wie die traditionelle türkische Musik, kommen mit der Mikrotonleiter klar.

#### Mitteltönige Stimmungen

Nur ein Beispiel dieser Rezepturen, die besonders auf reine Terzen Wert legen. In der Viertelkomma-mitteltönigen Stimmung werden Quinten um ein Viertel des syntonischen Kommas verengt, damit große Terzen rein herauskommen. Jede schwarze Taste drûckt auf eine erhöhte oder eine erniedrigte Note, nicht beide.
Regel: Es werden schwarze Tasten Cis, Es, Fis, Gis und B so intoniert, dass ihre Abweichung vom Stammton einen kleinen Halbton von K=76,049 Cent ausmacht. Alle anderen Schritte in der Zwölftonreihe sind große Halbtöne, G=117,108 Cent. Wer möchte, kann nachprüfen, $5\cdot K+7\cdot G=1200$. Gestimmt wird mit Hilfe der Schwebungen bei Quinten; nach vier engen Quinten wird die Reinheit einer Terz geprüft.
In leichter Abwandlung wird das Gis geopfert und durch ein As ersetzt. Der Unterschied zwischen Gis und As beträgt der Regel nach (G-K) = 41 Cent, knapp einen Viertelton! Mit As statt Gis gibt es sechs spielbare Dur-Tonarten (und die parallelen Moll-Tonarten):
    C F G B D Es. Für Kirchenmusik reichte das allemal aus.
Mit dem Gis kommt A-Dur herein und ersetzt Es-Dur. Im Endeffekt erhält man eine Menge guter Terzen, 11 verkleinerte aber noch wohlklingende Quinten und einen Problemfall: die zu große Quinte Gis-Es. Diese Wolfsquinte sollte die Organistin tunlichst vermeiden.
Mitteltönig heißt die Stimmtechnik, weil in den großen Terzen nicht mehr verschieden große, sondern zwei gleichartige Ganztöne vorkommen.
    Herleitung der Frequenzen.
Die mitteltönige Stimmung gibt einer diatonischen Leiter nur zwei elementare Intervalle, den Tonschritt T und den Halbton H. Die zwei verschiedenen Ganztöne der reinen Stimmung sollen nivelliert werden. Logarithmisch gilt 5T+2H= ln(2), aus den weißen Tasten abzulesen.
Nun gibt es beim Wechsel der Tonart neue Halbtöne, so dass zum Beispiel das Intervall F-G (T) zu Fis-G (H) wird. Die Alteration von F zu Fis macht dann einen "kleinen" Halbton h aus, etwas weniger als H. Die Ganztöne erfüllen alle T=H+h. Ein Spielraum kommt bei der Frage, auf welcher Seite der kleine Schritt liegt, wenn die schwarzen Tasten gestimmt werden. Es gilt die Gleichung 5H+7h= ln(2) sowie die Forderung, dass alle großen Terzen (2T) sauber sind: 2H+2h = ln(5/4). Aus beiden Gleichungen folgen H und h und damit die ganze Stimmung, nachdem man entscheidet, zum Beispiel Gis gegenüber As zu privilegieren.
    In Cent gemessen: H=117,108, h=76,049.
Das System hat bessere Terzen, aber noch schlechtere Quinten als die gleichschwebende Temperatur. Und Tonfolgen oder Akkorde mit viel "Schwarz" dabei verbieten sich hier. Die schwarzen Tasten sind teils linkslastig, teils rechtslastig und können sich beißen. Findige Tüftler vermehrten deshalb die Tasten, doch die praktischen Musiker zogen nicht mit.
Aufgabe 1.
Der Ton a'=440 Hz soll eine Quinte e" bekommen, die um ein Viertel des syntonischen Kommas verengt ist. Welche Frequenz hat die Schwebung?
    $A=440;\quad E=440\cdot (3/2)/{\sqrt[{4}]{81/80}}=440\cdot {\sqrt[{4}]{5}}=657.9535$
    Frequenz der Schwebung: $\;3\cdot A-2\cdot E\simeq 4,1.$
Das Tremolo muss auf 4,1 Hertz abgeglichen werden.
Aufgabe 2.
Die Werte des großen und des kleinen Halbtons sollen hergeleitet werden. Im Quintenzirkel gehen 5 Schritte von C nach H, 7 Schritte von B nach H. Jede enge Quinte bekommt den Faktor $q={\sqrt[{4}]{5}}$ aus Aufgabe 1. Daher folgt mit der Berichtigung um Oktaven:
    der große Halbton H-C ist $\;q^{-5}$ mal eine Potenz von 2, Ergebnis 1,06998 = 117,11 Cent,
    der kleine Halbton B-H ist $\;q^{7}$ geteilt durch eine Potenz von 2, Ergebnis 1,04491 = 76,05 Cent.
Aufgabe 3.
Wie unrein ist die Wolfsquinte?
Von Es nach Gis braucht man im Zirkel 11 Faktoren der Quinte, also ergibt sich Gis-Es, geteilt durch den Faktor der reinen Quinte,
    $q^{-11}/({\tfrac {3}{2}})\;$ mal eine Potenz von 2, Ergebnis 1.0208 = 35.68 Cent.
Gis-Es ist zu groß um ein doppeltes Komma, etwa ein Drittel vom Halbton.

#### Wohltemperierte Stimmungen

Das Adjektiv "wohltemperiert" wird nicht nur für die gleichstufige Stimmung verwendet, sondern allgemeiner für eine Sammlung von Vorschriften, die gut ausgeglichen sind. So gut, dass das betroffene Tasteninstrument in allen 24 Dur- und Moll-Tonarten gespielt werden kann, ohne dass die ganz sensiblen Hörer weglaufen. Ein Pionier dieser Technik war der Musiker und Theoretiker Andreas Werckmeister (1645-1706). Er erarbeitete vier und mehr von solchen Algorithmen. Im Spezialfall der heute üblichen gleichen Halbtonschritte klingt die Musik in allen Transpositionen gleich. Bei einer der subtileren Stimmungen behalten bestimmte Tonarten aber eine charakteristische Färbung. (Jedoch sinkt man niemals auf das Niveau des Pianos im Wild-West-Saloon.) Je gebräuchlicher eine Tonart ist, um so reiner soll sie klingen.
* Gleichstufige Stimmung: alle 12 Dur-Tonleitern gleichen sich.
* Mitteltönige Stimmung: alle 6 "erlaubten" Dur-Tonleitern gleichen sich.
* Reine Stimmung: Nur eine Tonleiter ist wirklich einwandfrei.
* Wohltemperierte Stimmung: alle Tonleitern sind möglich, doch sie haben verschiedenen Charakter.
Beispiel: In der Werckmeisterschen Stimmung Nummer III werden sieben der zwölf Quinten des Quintenzirkels rein gestimmt und vier Quinten werden um ein Viertel des pythagoreischen Kommas verengt.
* Reine Quinten: A-E E-H Fis-Cis Cis-Gis Gis-Es Es-B B-F F-C
* Enge Quinten: C-G G-D D-A H-Fis
Trotz seiner Erfindungen trat Werckmeister in seiner letzten Veröffentlichung als Befürworter der gleichstufigen Stimmung auf. Es ist leider nicht überliefert, welche Art der Stimmung der geniale Johann Sebastian Bach benutzt hat. Diesbezügliche Vermutungen, Hypothesen, Theorien, Annahmen, Spekulationen, können Bände füllen. Einzelheiten kommen in einem Abschnitt weiter unten.
Folgende Tabelle zeigt, wie die Oktave bei verschiedenen Stimmungen in Cent aufgeteilt wird.
| Temperament/Ton: | C | Cis | D | Es | E | F | Fis | G | Gis | A | B | H | C |
| Mitteltönig | 0 | 75.5 | 193 | 310.5 | 386 | 503.5 | 579 | 696.5 | 772 | 889.5 | 1007 | 1082.5 | 1200 |
| Gleichstufig | 0 | 100 | 200 | 300 | 400 | 500 | 600 | 700 | 800 | 900 | 1000 | 1100 | 1200 |
| Vallotti | 0 | 94 | 196 | 298 | 392 | 502 | 592 | 698 | 796 | 894 | 1000 | 1090 | 1200 |
| Werckmeister-III | 0 | 92 | 193 | 294 | 391.5 | 498 | 590 | 696.5 | 793 | 889.5 | 996 | 1093.5 | 1200 |
| Kirnberger-III | 0 | 90 | 193 | 294 | 386 | 498 | 590 | 696.5 | 792 | 889.5 | 996 | 1088 | 1200 |
Die Tabelle wurde aus alten Informationen bei archive.org gebaut: piano_repair/temperaments
Aufgabe. Ein Skript soll die Werckmeister-Skala ausrechnen.
Zahlen dazu:
    Das pythagoreische Komma: $\;p=3^{12}/2^{19}$
    Seine vierte Wurzel: $\;q=(27/32)\cdot {\sqrt[{4}]{2}}$
    Die reine Quinte: $\;r=3/2$
    Die enge Quinte: $\;k=r/q=(16/9)\cdot 2^{-1/4}$
Das Ergebnis stimmt nur ungefähr mit der Tabelle überein.
Entschieden missbilligte Werckmeister die mitteltönige Stimmung:
   "Die letzte Quinta volte den Hunden und Raben zu Theile werden. Uber dieses dissoniren die Quinten so 1/4 Com. zu klein ist, sonderlich wenn sie allein, ohne Zuthuung der Tertien angeschlagen und ein wenig zu niedrig gestimmet werden, so heßlich, daß man sie kaum vertragen kan, kein gesundes Ohr wird solche lahme und faule Quinten wohl billigen. Eine Tertia, so 2/3 biß 3/4 Com. zu groß ist, klinget dem Gehör angenehmer, als eine solche faule Quinta." (Mus.Bib. I.2 S.169)

#### Dynamische Stimmungen

Mit der Computertechnik gab es neue Perspektiven für Orgeln, Synthesizer, Tasteninstrumente. Eine Software erkennt, welche Tonart gerade gespielt wird und stimmt in Echtzeit die Töne so um, dass optimal reine Akkorde und Melodien zu hören sind. Elektronisch unterstützt sollte ein Instrument, sogar eine aufwändig ausgestattete Pfeifenorgel, so gut intonieren wie ein professionelles Streichorchester.
Kuriosität.
Ein futuristisches Instrument, das Archicembalo wurde im 16. Jahrhundert entworfen. Auf zwei Manualen hatte die Oktave jeweils über 20 Tasten für insgesamt 31 gleichmäßig verteilte Töne. Die Begründung dafür war: so wird die Viertelkomma-mitteltönige Stimmung zu einem Zirkel geschlossen, statt an einer Wolfsquinte anzuecken. Genauer, 31 Mal die verengte Quinte ergibt praktisch ein Vielfaches der Oktave. $({\sqrt[{4}]{5}})^{31}\;/\;2^{18}=0,9965...$
Der größere Tonraum sollte weitreichende Modulationen mit immer sauberen Terzen und Quinten ermöglichen. Denn in jeder Tonart ist symmetrisch dasselbe Umfeld wie in C-Dur vorhanden. In der Praxis waren die Prototypen so gut wie unspielbar und landeten wohlverdient im Museum. Das Gerät war vor fast 500 Jahren eine technische und intellektuelle Meisterleistung. Im Geist der Renaissance lag der Wunsch, damit auch antike Musik wieder zu beleben. Kein Original ist erhalten. Das Foto zeigt ein etwas späteres Exemplar.
Insgesamt wären mindestens drei interessante gleichmäßige Aufteilungen der Oktave auf elektronischen Instrumenten ohne Schwierigkeiten machbar: mit 12, 31 oder 53 Stufen. Das Orthotonophonium (in Anlehnung an die griechischen Wörter ορθός = richtig, τόνος = Ton und φωνή = Klang) von 1914 ist ein Harmonium, das sogar mit 72 Tonstufen pro Oktave ausgestattet ist. Darauf können in allen diatonischen Tonarten reine Intervalle und Akkorde gespielt werden.
Das erweiterte mitteltönige System.
    Berechnung in natürlichen Logarithmen der Archicembalo-Tonskala.
Die Oktave hat 31 gleiche Stufen B, also 31*B = ln(2). Es soll die diatonische Leiter 5 gleiche Ganztöne und 2 gleiche Halbtöne haben, nur Vielfache von B. Mit Ganzton G und Halbton H: 5*G+2*H = 31*B. G muss ungerade sein, G>H und H~G/2.
    Die Lösung lautet: G = 5*B, H = 3*B.
Für Modulationen wird alteriert mit dem kleinen Halbton K = G-H = 2*B. Der Unterschied zwischen Gis und As beträgt D = H-K = B. Die Quinte hat den Wert Q = 3*G+H = 18*B. Die Oktave hat ein Raster von 31 Mikrotönen mit dem Intervall B.
Vergleichen wir die Intervalle in Cent mit der Original-mitteltönigen Stimmung, deren Quinte den Logarithmus Q = ln(5)/4 hat. Unhörbarer Unterschied.
| Stimmung | Gis-As | Kl.Halbton | Gr.Halbton | Ganzton | Quinte |
| Archicembalo | 38.71 | 77.42 | 116.13 | 193.55 | 696.77 |
| Mitteltönig | 41.06 | 76.05 | 117.11 | 193.16 | 696.58 |
    Code-Punkte der Dur-Tonleiter: {C,D,E,F,G,A,H,c} = {0,5,10,13,18,23,28,31}.
Jeder dieser Töne X braucht noch eine erhöhte Variante Xis (+2 Punkte) und eine erniedrigte Xes (-2 Punkte), insgesamt schon 21 Tasten pro Oktave. Wenn besonders energiegeladene Musik stellenweise doppelt erhöht oder erniedrigt, werden auch die restlichen 10 Töne des Rasters angefordert.
    Zum Beispiel {F,Geses,Fis,Ges,Fisis,G} = {13,14,15,16,17,18}.
In der Halbton-Gegend zeigen sich die ersten Verwechslungen, Hisis gleich Deses ungleich C.
Die Vierklänge mit einer natürlichen Septime können auch gut im 31-Ton-System dargestellt werden. Der Akkord "c-e-g-ais" etwa entspricht gut den Harmonischen 4:5:6:7 aus der Obertonreihe des Tons "C," zwei Oktaven tiefer.
Das so erweiterte mitteltönige System setzt also die geschriebenen Noten Eins-zu-Eins um ohne die enharmonischen Verwechslungen. Spielt jemand eine angelernte Komposition mit nur 12 Tasten, wüsste ein Instrument mit Datenspeicher automatisch, was gemeint ist. Nur die Tonhöhe würde geschaltet, ohne sonst den Künstler zu gängeln.

### Die Stimmung in der Vokalmusik

Die Ergebnisse eines klassischen Artikels (1893), kurz zusammengefasst:
* Max Planck: Die natürliche Stimmung in der modernen Vokalmusik
Max Planck (1858-1974), der berühmte Begründer der Quantentheorie, war auch ein ausgezeichneter Musiker mit absolutem Gehör und konnte Töne mit Unterschieden von einem Komma in einer Polyphonie heraushören. Er hatte Zugriff auf ein Harmonium mit 104 Tonhöhen pro Oktave. Das Instrument erlaubte ihm, alle Stimmungen, Intervalle, Akkorde zu testen und seine Wahrnehmung zu schulen.
Planck untersuchte nach Gehör die Praxis des Chorgesangs und fand, dass je nach den Umständen in reiner oder temperierter Stimmung gesungen wird. Mehrere psychoakustische Effekte kommen ins Spiel.
* Akkommodation:
Wenn ein Intervall wenig vom reinen Zahlenverhältnis abweicht, zieht das Ohr die Abweichung ab und täuscht sich die Reinheit vor (etwa wie im Einfangbereich einer PLL-Elektronik, pardon für die technische Analogie). Nur Kritiker und Dirigenten stellen bewusst die Bandbreite der Toleranz ganz klein. Viel Akkommodation leisten zu müssen, ermüdet die Hörer:innen. Was die Oktave angeht, herrscht praktisch Null-Toleranz.
Beiläufig wird erwähnt, dass die Natur-Septime mit Frequenzen im Verhältnis 4:7, die in unseren Tonleitern nie vorkommt (vereinzelt in Orgel-Registern?) einen ganz angenehmen Zusammenklang hat.
* Gedächtnis:
Das Gehör braucht eine gewisse Verzögerung, um sich eine neue Klangfarbe anzueignen. Man empfindet den zuerst gehörten Akkord bei einem Wechsel als angenehmer. Das um so mehr, je weniger ähnlich oder verwandt die zwei Klänge sind.
    Max Planck: „So finde ich bei der Vergleichung des Molldreiklangs in temperirter und in natürlicher Stimmung, daß dieser Dreiklang immer in derjenigen Stimmung besser klingt, in welcher er zuerst angegeben und lange genug ausgehalten wird.“
* Gewöhnung:
Die Macht der Gewohnheit lässt die seit Jahrhunderten vom Klavier vorgegebene temperierte Stimmung den Sängern in Fleisch und Blut übergehen. In A-cappella-Chören wurden laut der Studie die Dur-Dreiklänge überwiegend temperiert gesungen. Tonleitern intonierten die Sänger auch lieber temperiert.
* Entspannung:
Je weniger konsonant die Zusammenklänge sind, umso mehr Konzentration und Anstrengung brauchen die Sänger, um sie zu halten. Bei langen und harmonisch perfekten Akkorden stellt sich von selbst die ermüdungsfreie reine Stimmung ein. Am besten, wenn pianissimo gesungen wird.
An einer Folge von Dur-Akkorden, bei denen jeder mit dem nächsten einen Ton gemeinsam hat, zeigte sich theoretisch und praktisch, dass die Tonhöhe des Chors vom Anfang zum Ende absinkt. Nicht weil der Chor schlecht ist, sondern weil wiederholt bei den eingebauten Modulationen die Töne in reiner Stimmung sich um Komma-Beträge verschieben.
Der technische Trick besteht darin, eine Folge perfekter Dreiklänge zu bauen mit einem Strang von Tönen, der bei jedem Schritt eine Terz nach unten fällt (modulo Oktave). Wie bei der reinen Stimmung erläutert, erzwingt eine solche Terzfolge regelmäßig einen Rutsch gewisser Töne um ein Komma. Daher hält der Chor nicht die Stimmung. Die Einschlaf-Motette von Schütz enthält dem Thema gemäß so eine laufende Bewegung abwärts.
In einem Chorstück von Heinrich Schütz sinkt so bei langsamer Harmonie über die Worte "So schlaf ich ein und ruhe fein" die Tonlage automatisch um ein Komma. Die darauf folgende lebhafte Passage mit dissonanten Klängen gibt dann dem Chor die Gelegenheit, wieder auf das Soll-Niveau zu klettern. Die Komposition setzt bewusst auf die reine Stimmung, die einen stärkeren Kontrast von Konsonanzen zu Dissonanzen bietet als die temperierte.
    Max Planck: „Denn die Kunst findet ihre Begründung in sich selbst, und kein theoretisches System der Musik, wäre es noch so logisch begründet und konsequent durchgeführt, ist im Stande, alle Forderungen der zugleich mit dem menschlichen Geiste ewig wechselnden Kunst ein für alle Mal zu fixiren. In dieser Beziehung hat das natürliche System durchaus keinen Vorzug vor dem temperirten, und es ist daher auch durch Nichts gerechtfertigt, bekannte Kompositionen ohne Weiteres in natürliche Stimmung zu übertragen.“
Fazit. Die Stimmung ist eines der Ausdrucksmittel der Musik und gibt ihr verschiedene Klangfarben. Zur Wahl der Stimmung bestehen keine dogmatischen Heilslehren und die Kunst sollte das letzte Wort haben. Kein Theoretiker soll den Komponisten irgendwas vorschreiben.

### Welche wohltemperierte Stimmung hatte J.S. Bach?

Im achtzehnten Jahrhundert fühlten sich die Musiker wie von Fesseln befreit. Sie konnten unbeschränkt modulieren, ohne wie bei den vorher üblichen mitteltönigen Stimmungen auf allzu falsche Intervalle zu stoßen. Die Zeit der gleichstufigen und der wohltemperierten Tasteninstrumente war angebrochen. Johann Sebastian Bach feierte diesen Fortschritt mit seiner Sammlung von Präludien und Fugen durch alle Tonarten: Das Wohltemperirte Clavier.
Der Komponist hat die Titelseite eigenhändig geschrieben und verziert. Kontroverse Interpretationen umranken die Figur am Kopf als Stimmanleitung. Die Girlande hat zwölf Bögen, die nach oben gerichtet sind. Sie sollen den zwölf Tönen des Quintenzirkels entsprechen. Zwischen den Bögen kommen drei Typen von Schnörkeln vor: mit eins, zwei oder drei Schleifen. Man stelle sich das rechte Ende zum linken hin geschlossen vor, dann enthält der Zirkelschluss auch explizit gezeichnet drei Schleifen zusammen. Sind die Schnörkel die Codes für die Art der Verstimmung der Quinten? Je mehr Schleifen, umso enger sind die Quinten zu nehmen. Bedeuten die Stellen etwas, wo die Buchstaben D und C die Verzierung berühren?
Johann Sebastian Bach gefiel es ja, seinen Mitmenschen Rätsel aufzugeben, die er in den Partituren verpackte. So ist auch nicht unwahrscheinlich, dass er sein Rezept zur Stimmung der Tasteninstrumente graphisch verkleidete.
Andreas Sparschuh war der Erste, der dies 1999 vermutete. Er schrieb den Code etwa so:
    {Start=1}-1-1-1-0-0-0-2-2-2-2-2-{End=2}.
Aber meinen die Variablen konkret Bruchteile vom Komma, oder meinen sie die Periode der Schwebungen (in Sekunden) in einer Bezugs-Oktave um 400 Hertz? Mit welchem Ton fangen wir an? Ist die Reihe von rechts nach links oder von links nach rechts zu lesen? In Quarten oder Quinten fortschreitend?

#### Andere Stimmungen

Bevor wir den Bach-Code versuchsweise und haarklein interpretieren, einiges zu historisch dokumentierten wohltemperierten Stimmungen. Viele Informationen enthält die musikwissenschaftliche Dissertation von Sergio Martínez Ruiz.
Bei der Stimmung kämpfen Quinten und große Terzen gegeneinander, was die Reinheit betrifft. Vier reine Quinten ergeben eine Terz, die um ein syntonisches Komma zu groß ist. Eine reine Terz entsteht aus vier Quinten, die um ein Viertelkomma zu klein sind. Im Quintenzirkel gibt es grob gesehen den nahen Halbkreis F-C-G-D-A-E-H, der die diatonische Leiter von C-Dur enthält, und den entfernten Halbkreis H-Fis-Cis-[Gis=As]-[Dis=Es]-B-F, in dem die anderen der zwölf Töne stecken. Ungleichmäßige, aber wohltemperierte Skalen haben die Tendenz, in Fernbereich reine oder sogar leicht überhöhte Quinten, und damit sehr scharfe Terzen, unterzubringen. Im nahen Sektor aber soll das beste Gleichgewicht zwischen wenig verengten Quinten und nicht zu hoch schwebenden großen Terzen entstehen. Die Randbedingung ist immer, dass die Summe aller Quintenfehler (Erinnerung, es wird mit Logarithmen gerechnet) genau ein Pythagoräisches Komma kompensiert. Die besten großen Terzen sollten die drei im Nahbereich sein, nämlich F-A, C-E, G-H. In Richtung "Fis-Ais" dürfen die Terzen sich gleichmäßig monoton verschlechtern.
Die Methode Kirnberger-II, die man oberflächlich als quick-and-dirty ansehen könnte, verdient besondere Aufmerksamkeit. Kirnberger war ein Schüler Bachs und war viel damit beschäftigt, die Instrumente in seinem Umkreis zu stimmen. So geht das Rezept:
Mache neun von zwölf Quinten alle rein. Abgesehen von D-A und A-E, die je um ein halbes syntonisches Komma S/2 verengt werden. Das geht recht schnell, man braucht nur die umklammernde Terz G-H auf totale Reinheit zu prüfen. Die etwas entfernte Quinte Fis-Cis wird um einen Restbetrag verengt, ein Elftel des syntonischen Kommas S. Denn (12/11)*S ist praktisch gleich P, dem Pythagoräischen Komma.
Übrigens wurde Bach bewundert für die Geschwindigkeit, mit der er selbst sein Clavichord stimmte, eine Viertelstunde. Nahm er Kirnberger-II, und war das eigentlich seine Erfindung? Den Erwartungen zum Trotz – zwei nach Werckmeister ganz faule Quinten – lassen alle Tonarten sich spielen.
Werckmeister-Typ: Hier die Disposition einiger der Stimmungen, die mit Werckmeister-III verwandt sind: Man verengt vier bis sieben Quinten im diatonischen Sektor, alle anderen sind rein. Die Daten sind Bruchteile des Pythagoräischen Kommas P, ihre Summe ergibt P.
| Stimmung | Quintenfolge | Komma-Bruchteile |
| Werckmeister-III | C-G-D-A-E-H-Fis | -{P/4, P/4, P/4, 0, 0, P/4} |
| Tartini-Vallotti | C-G-D-A-E-H-Fis | -{P/6, P/6, P/6, P/6, P/6, P/6} |
| Kellner | C-D-G-A-E-H-Fis | -{P/5, P/5, P/5, P/5, 0, P/5} |
| Billeter | F-C-G-D-A-E-H-Fis | -{P/11, P/12, P/12, P/3, P/3, P/12, P/12} |
| Barnes | F-C-G-D-A-E-H-Fis | -{P/6, P/6, P/6, P/6, P/6, 0, P/6} |
| Kelletat | F-C-G-D-A-E | -{P/12, P/4, P/4, P/4, P/6} |

#### Stimmung nach dem Titelblatt des WTC

Sparschuh (Variante von Zapf) legt links an der Bach-Girlande den ersten Ton C=250 Hertz fest. Ab dort kommen Quintengruppen mit drei verschiedenen Verkleinerungen, die durch Schwebung (statt Komma-Bruchteilen) definiert sind:
    C-G-D-A : drei Quinten, Schwebungsfrequenz 1 Hertz.
    A-E-H-Fis : drei Quinten, keine Schwebung.
    Fis-Cis-Gis-Dis-B-F : fünf Quinten, höhere Schwebungfrequenz 2 Hertz.
    F-C : Zirkel geschlossen, rein oder schwebend bis maximal 1 Hertz.
Alternativ kann das Pythagoräische Komma P durch 14 geteilt werden. Die drei ersten und die letzte Quinte werden um -P/14 verkleinert, die fünf anderen unreinen mit -P/7.
Die Praxis der Schwebung sieht hier zum Beispiel so aus: Es wird in der Oktave C-c von 250 bis 500 Hertz Quintaufwärts eng gestimmt. Wenn zu einem Ton die nächsthöhere Quinte aus der Oktave ausbricht, wird stattdessen die Quarte unter dem Ton vergrößert gestimmt. Aber die anzupeilende Schwebungsfrequenz ist genau dieselbe! Wieso?
Beispiel Quinte von G nach d. Geforderte Schwebungsfrequenz f= 3*f[G] - 2*f[d]. Die gespreizte Quarte D-G darunter schwebt mit (-f') = 4*f[D] - 3*f[G]. Also ist f=f' genau dann, wenn f[d] = 2*f[D] gilt, wie gefordert.
Nach jeder Quinte oder Quarte werden die Oktaven über und unter den neuen Tönen rein gestimmt. Wo das Rezept nach der Schwebefrequenz 2 Hertz verlangt, kann die Stimmung eine Oktave tiefer mit der Frequenz 1 Hertz erfolgen. Insgesamt gilt also ein "gleichschwebender" Algorithmus, der mit immer der gleichen Periode der Schwebung funktioniert. Trotzdem keine gleichstufige Stimmung, aber doch unkomplizierte Vorschriften.
Rechnet man die Zwölfton-Skalen mit einem kleinen Python-Skript nach, sowohl nach dem Rezept Komma-durch-14 als auch der Vorschrift Eine-Sekunde-Schwebung, so kommt praktisch ununterscheidbar dieselbe Stimmung heraus. [Anhang?]

#### Vergleichstest der wohltemperierten Stimmungen

Die Arbeit von Martínez Ruiz analysiert mit Hilfe eines gezielt angefertigten Software-Pakets, welche Klang-Unterschiede auftreten, wenn das Wohltemperierte Klavier in einer großen Menge verschiedener Stimmungen durchgespielt wird.
Der Ansatz dieser Untersuchung ist, einer vorgegebenen Musik ein quantitatives Maß von "Schönheit" oder "Wohlklang" zuzuordnen. Danach wird über eine Sammlung wie die 48 Präludien und Fugen eines Bandes vom "Wohltemperirten Clavier" Statistik getrieben; der Mittelwert und die Streuung (Standardabweichung) des "Wohlklangs" kommen heraus. Die Komposition geht ein zum Beispiel als MIDI-Datei, zerlegt in eine Reihe von Zusammenklängen. Die Elemente der Reihe bekommen alle Gewichtsfaktoren je nach Tonlagen, Längen, Betonung im Takt, Auffälligkeit usw. Die Einzeltöne jedes Akkords haben Modelle von je etwa zehn Amplituden und Oberton-Frequenzen. Alle Paare von vorkommenden Frequenzen werden dann mit einer Dissonanzquote bewertet, die Null ist bei gleichen Frequenzen und typisch bei Differenzfrequenzen von 10 bis 50 Hertz durch ein Maximum geht. Die Form der Dissonanzfunktion soll die subjektive Empfindung simulieren. Die gewichtete Summe all dieser Werte über das ganze Stück beziffert dann den Wohlklang, beziehungsweise den Mangel desselben -- nur eine Sache des Vorzeichens.
Für jede der getesteten historischen und modernen rekonstruierten wohltemperierten Zwölftonskalen rechnet der Computer die ganze Statistik durch. Fallen gewisse Stimmungen auf durch besonders hohen oder besonders breit gestreuten "Wohlklang"?
Ja. Den höchsten mittleren Wohlklang hat Kirnberger-II, hat aber auch die höchste Standardabweichung. Die Musik klingt damit halt kontrastreich. Danach kommt mit gutem Wohlklang zum Beispiel Kelletat, gefolgt von Kellner, Tartini-Vallotti et cetera. Die vermuteten Stimmungen mit der Gruppierung 3-3-5 aus Bachs Girlande haben schlechtere Werte.
Der Autor legt zwar das Ergebnis vor, dass einige Indizien für Kirnberger-II sprechen als die wahrscheinlichste Temperatur im Umfeld von Bach. Aber er hat auch Zweifel, dass die bisherige Definition und Computersimulation des Wohlklangs überhaupt künstlerisch relevant ist und eine Liste der Testsieger ermitteln kann. Wie so viele akademische Arbeiten schließt das Dokument mit einem Ausblick darauf, welche weiteren Forschungen nötig sind.

## Einzelnachweise

* ↑ Carl Gottfried Wilhelm Vollmer (* 1797; † 1864, alias W. F. A. Zimmermann): Der Tartinisch'sche Ton, in: Naturkräfte und Naturgesetze - Populäres Handbuch der Physik zum Selbstunterricht für die Gebildeten jeden Standes, Band 2: Akustik, Kalorik, Optik, Gustav Hempel, 1857
* ↑ Lorenz Christoph Mizler (* 1711, † 1778), Musikalische Bibliothek; Veröffentlicht in 4 Bänden, I - IV von 1736 bis 1754. Seitenangaben für das Digitalisat des Internet Archive.
* ↑ Arrey von Dommer(* 1828; † 1905): Handbuch der Musik-Geschichte von den ersten Anfängen bis zum Tode Beethovens in gemeinfasslicher Darstellung, XVI. Kapitel Theoretiker und Schriftsteller bis um 1800, Friedrich Wilhelm Grunow, Leipzig, 1878
* ↑ Max Planck: Die natürliche Stimmung in der modernen Vokalmusik, Vierteljahrsschrift für Musikwissenschaft, 1893, Seiten 418 bis 440
* ↑ Sergio Martínez Ruiz: Temperament in Bach's Well-Tempered Clavier - A historical survey and a new evaluation according to dissonance theory, Doktorarbeit, Universitat Autònoma de Barcelona, Facultat de Filosofia i Lletres, Departament d’Art i de Musicologia, July 2011

# Schwingende Objekte
### Schwingende Objekte, Saiten, Balken und andere

Dieser Abschnitt handelt von Modellrechnungen, die mechanische Schwingungen und Wellen von drahtförmigen und ähnlich langgezogenen Objekten voraussagen wollen. Speziell sind die Saiten der Musikinstrumente betroffen. Es ist Physikunterricht hier und er stoppt nicht vor der zugehörigen angewandten Mathematik: Differenzial-, Integral-, Variationsrechnung, Wirkungsprinzip, Lagrange-Funktionen. Keine Panik bitte.
Zuerst kommt das einfachste Modell der gespannten Saite, das den Prototyp einer sogenannten Wellengleichung liefert. Wandernde und stehende Wellen und Eigenschwingungen auf einem gespannten Draht werden erklärt. Danach wird berücksichtigt, dass die Saiten wie Stangen und Balken nicht unendlich dünn sind und mit Widerstandskraft gegen das Verbiegen reagieren. Das verfeinerte Modell des Balkens ist schon sehr alt und stammt von Euler und Bernoulli. Es erklärt die inharmonischen Oberschwingungen dicker Saiten, die beim Klavierstimmen für die Spreizung von Oktaven berücksichtigt werden. Auch nichtlineare Effekte können da einziehen und bei großen Amplituden die Tonfrequenz anheben. Schließlich gibt es ein nochmal verfeinertes Modell aus dem zwanzigsten Jahrhundert, die Theorie von Timoshenko und Ehrenfest. Diese räumt ein, dass Elemente elastisch verformter dicker Drähte sich nicht nur senkrecht zur Achse, sondern auch je nach Lage im Querschnitt in Achsrichtung auslenken. Die zusätzlichen Freiheitsgrade rufen dabei eine Materialkonstante namens Schubmodul auf den Plan.

#### Die Hookeschen Gesetze

Es geht hier um elastische feste Körper. Wirkt eine Kraft an irgendeiner Stelle auf solche Körper ein, dann verformen sie sich proportional zur Größe der Kraft. Verschwindet die Kraft, kommt die ursprüngliche Form zurück. Diese Vorstellung funktioniert gut bis zu einem Grenzwert, ab dem sich das Material dauerhaft verformt, anfängt zu fließen und dann zu zerbrechen. Die schwingenden Körper seien immer im Geltungsbereich der Elastizität betrachtet, also bei hinreichend schwacher Belastung.
Unter anderem gibt es vier Parameter, die an einer elastischen Formveränderung von Klötzen von Metall beispielsweise zu messen sind.
* Erster Fall:
Der Klotz vom Volumen V kommt in eine Druckkammer und wird von allen Seiten gleichmäßig dem Druck p (Einheit 1 Pascal = 1 Newton/m$^2$) ausgesetzt. Die Abnahme des Volumens ist proportional zum Volumen selbst und zum angelegten Druck. In Formeln, die dimensionslose Größe $-\Delta V/V$ ist proportional zur Druckänderung:
    $-\Delta V/V=\chi \cdot \Delta p.$
χ ist die Kompressibilität; ihr Kehrwert K= 1/χ heißt der Kompressionsmodul und hat die Dimension Pascal, $(\Delta p=-K\cdot \Delta V/V).$
* Zweiter Fall:
Ein Quader von Länge mal Breite mal Höhe L x B x H wird auf seiner Deckfläche belastet mit einer senkrechten Kraft F, die gleichmäßig auf der Fläche A= L x B verteilt ist. Die Kraft pro Flächeneinheit S = F / A (Einheit Pascal) heißt in diesem Fall eine Spannung, nicht ein Druck. Das deshalb, weil sowohl die Kraft F wie auch die Normale der Bezugsfläche A verschiedene Richtungen haben können. Während ein Druck eine skalare Größe ist, sind zwei Vektoren nötig, um eine Spannung genau zu definieren. Man stelle sich einen Probestempel vor, der mit Sekundenkleber auf einem Stück Oberfläche haftet und dann in alle Richtungen gedrückt oder gezogen werden kann.
Das Hookesche Gesetz sagt aus, dass die Höhe des Quaders abnimmt proportional zur Höhe und zur vertikalen Spannung. Die Parameter Länge und Breite fallen heraus. In Formeln, $S=E\cdot (-\Delta H/H).$ Die Konstante E (Dimension Pascal) ist der Elastizitätsmodul.
Im Arsenal der Physik gibt es also Skalare, Vektoren und Größen, genannt Tensoren, deren Wert von mehreren Vektoren zugleich bestimmt ist. Die allgemeine Spannung ist ein Tensor. Im Inneren eines belasteten komplizierten Objekts, wie dem Kolben eines altmodischen Verbrennungsmotors, herrscht an jeder Stelle eine andere Spannung; es existiert insgesamt ein Tensorfeld.
* Dritter Fall:
Dieser ist nur ein Zusatz zum zweiten Fall. Derselbe Quader mit derselben Art Belastung wird etwas in die Breite gehen, weil nicht einzusehen ist, dass der ganze gerichtete Höhenverlust auch als verlorenes Volumen aufwartet. Länge oder Breite nehmen zu mit der Proportionalität:
    $\Delta B/B=\Delta L/L=-\nu \cdot \Delta H/H.$
Der dimensionslose Parameter ν ist die Poissonzahl. Das Phänomen ist eine Querkontraktion, wenn die Spannung als Zugbelastung einwirkt.
* Vierter Fall:
Derselbe Quader, doch nun wird eine Schubspannung S an der Deckfläche mit einer horizontalen Kraft, etwa in x-Richtung ausgeübt, während die Grundfläche des Quaders festgenagelt bleibt. Der Quader wird schief, denn die Deckfläche wird ein Stück $\Delta x$ abwandern. Wieder ist der Effekt proportional zur Höhe und zur angelegten Spannung.
    $S=G\cdot (\Delta x/H)=G\cdot \tan(\alpha )$
Die Konstante G (Dimension Pascal) ist der Schubmodul und der Effekt kann auch durch den Neigungswinkel α beschrieben werden.
Ein isotroper Festkörper hat in allen Richtungen die gleichen Eigenschaften. Anisotrope Objekte wie etwa faseriges Holz oder Kristalle haben elastische Parameter, die von den Richtungen abhängen. Für ein isotropes homogenes Material hängen die vier Werte $K,E,\nu ,G$ folgendermaßen zusammen:
    $E=2G(1+\nu )=3K(1-2\nu ).$
Nur zwei sind unabhängig. Folglich gilt, wenn K sehr groß ist (inkompressible Materie):
    $\nu \simeq 1/2\quad {\text{und}}\quad E\simeq 3G.$
Im allgemeinen Fall hängt eine innere Spannung an jeder Stelle eines kompliziert belasteten Objekts nichttrivial von einer gedachten Flächennormalen ab, sie ist kein bloßes Skalarprodukt mit einer einfachen Kraftrichtung. Sondern der Spannungsvektor $(S_{1},S_{2},S_{2})({\vec {x}})$ hat allgemeinere lineare Beziehungen zu jedem Normalenvektor $(n_{1},n_{2},n_{2}):\;S_{i}({\vec {x}})=\sum _{k}\sigma _{ik}({\vec {x}})\cdot n_{k}.$ Das Objekt σ ist das Cauchy-Tensorfeld, es hat 9 Komponenten (wegen Symmetrie nur sechs unabhängige) und variiert von Ort zu Ort. Dies ist wohl das historisch älteste und namensgebende Beispiel eines Tensors.

#### Mehr Elastizitäts-Formalismus

Der folgende Stoff wird nur weiter unten zum Timoshenko-Modell gebraucht. Wer das langweilig findet kann beide Abschnitte überspringen.
Cauchy hat die Kräfte auf einen belasteten Körper beliebiger Form als Summe von Oberflächenkräften beschrieben. An jedem infinitesimalen Testquader im Körper ziehen solche Kräfte auf gegenüberliegenden Flächen in Gegenrichtung, daher sollte am Ende nur ein Oberflächenintegral über den ganzen Körper bleiben. Aus der Impulserhaltung wird bewiesen, dass die Kraft auf beliebig orientierter Fläche eine Linearkombination aus Kräften für drei orthogonale Flächen sind. Genauer, die Kraft ist eine lineare Funktion der Flächennormalen und des Flächeninhalts. Aus der Drehimpulserhaltung an allen Testquadern wird bewiesen, dass die Kraft auf der Fläche A die Form hat
    $f_{i}=A\;\sum \nolimits _{j=1}^{3}\sigma _{ji}n_{j};\quad {\vec {f}}=A\;\mathbf {\sigma } \cdot {\vec {n}}$
mit der Flächennormalen ${\vec {n}}$ und dem symmetrischen Cauchy-Spannungstensor $\sigma _{ij}=\sigma _{ji}$. Seine Komponenten haben die Dimension Pa. Seine Symmetrie garantiert, dass er kein Drehmoment hervorruft.
Die unverformten Koordinaten eines Punktes seien ${\vec {x}}=(x,y,z)$. Durch eine elastische Verformung wandert der Punkt an die Position ${\vec {x}}+{\vec {u}}({\vec {x}})$. Die Verformung oder Verzerrung ist die Tabelle der partiellen Ableitungen, genannt die Jacobimatrix, der Abbildung ${\vec {x}}\mapsto {\vec {u}}({\vec {x}}).\;{\vec {u}}({\vec {x}})$ misst, wie weit sich der Punkt ${\vec {x}}$ verschiebt. Ihre Verzerrung dagegen gibt linear angenähert an, wie weit nahe gelegene Punkte sich von einander weg oder aufeinander zu entwickeln.
    $F_{ik}=\partial u_{i}/\partial x_{k};\;u_{i}({\vec {x}}+{\vec {d}})\simeq u_{i}({\vec {x}})+\sum \nolimits _{k=1}^{3}F_{ik}({\vec {x}})\;d_{k}$
Das allgemeine Hookesche Gesetz besagt, dass diese Verformung in einer linearen Beziehung zur Cauchy-Spannung steht. Nun stellt jede Abbildung, deren Jacobimatrix antisymmetrisch ist, eine infinitesimale Drehung der benachbarten Punkte um den Auswertungspunkt dar. Ein symmetrischer Cauchy-Tensor entwickelt keine Drehmomente. Reine Drehungen rufen keine elastischen Kräfte auf den Plan. Daher kann nur der Verzerrungstensor, der symmetrische Anteil der Jacobimatrix, zur Hookeschen Regel beitragen. In Koordinaten:
    $\epsilon _{ik}:=(F_{ik}+F_{ki})/2;\quad \sigma _{ij}=\sum \nolimits _{k,l}C_{ijkl}\;\epsilon _{kl}$
Zum Glück bleiben von den 81 C-Koeffizienten nur zwei übrig in den homogenen und isotropen Medien, die hier auf dem Programm stehen.
Mathematischer Exkurs. Drehungen konvergieren bei kleinen Winkeln zur Identität plus einer schief- oder anti-symmetrischen Matrix, wegen
    ${\begin{pmatrix}\cos w&\sin w\\-\sin w&\cos w\end{pmatrix}}\to {\begin{pmatrix}1&w\\-w&1\end{pmatrix}}.$
In allen höheren Dimensionen erfüllen Drehungen als orthogonale Matrizen R die Bedingung $R^{T}R=I$ (Einheitsmatrix).
Auf einer glatten Matrixfunktion $R(x);\;R(0)=I$ liefert das Differenzieren die Antisymmetrie:
    $0=(d/dx)[R(x)^{T}R(x)]=(R')^{T}R+R^{T}R'=(R')^{T}+(R')\;{\text{ am Ursprung }}\;x=0.$
Das heißt, die lineare Näherung $R(x)=I+xR'(0)$ einer Rotation ist schiefsymmetrisch.
Die Lehre von den kontinuierlichen Transformationen und von ihren sogenannten infinitesimalen Versionen wurde voll ausgebaut zur mathematischen Theorie der Lie-Gruppen und Lie-Algebren.
In folgenden Formeln sind R,T,U orthogonale Matrizen. Jede symmetrische reelle Matrix $S\;(S^{T}=S\;\Leftrightarrow \;S_{ik}=S_{ki}\;\forall i,k)$ kommt mit orthogonalen Ähnlichkeitstransformationen auf Diagonalform, $RSR^{-1}=RSR^{T}=D$, und die Zahlen auf der Diagonalen sind die reellen Eigenwerte. Dieses wichtige Resultat hat Korollare.
Jede quadratische Matrix kann als Produkt einer orthogonalen und einer symmetrischen Matrix geschrieben werden. Zumindest für umkehrbare Matrizen M folgt das daraus, dass M$^T$M symmetrisch und positiv definit ist und daher eine umkehrbare Quadratwurzel hat.
    $M^{T}M=RDR^{-1}=RE^{2}R^{T}=(RER^{T})(RER^{T})=S^{2};\;E={\sqrt {D}};\;S=RER^{-1}=RER^{T}.$
$U:=MS^{-1}$ ist dann orthogonal, denn auch S$^{-1}$ ist symmetrisch:
    $(MS^{-1})^{T}(MS^{-1})=S^{-1}(M^{T}M)S^{-1}=S^{-1}SSS^{-1}=I\;\Rightarrow \;M=US.$
Mit einer Diagonalisierung $S=T^{-1}DT$ kann dann die Matrix M weiter in Produkte von drei Matrizen zerlegt werden, $M=U\;S=(UT^{-1})\;D\;T$, so dass zwischen zwei Drehungen eine Diagonalmatrix D steht. Diese D macht die eigentliche Arbeit der Verformung. Sie verwandelt Kugeln in Ellipsoide, welche orthogonale Hauptachsen in Richtung der Koordinatenachsen haben.
Auf dem komplexen Zahlenkörper sehen die privilegierten Matrizen etwas anders aus. Die Eigenschaften {Symmetrisch, Orthogonal} werden zu {Hermitesch, Unitär}.
* Spezialfall von σ, ε bei Standardparametern E,G,ν.
Ein Testquader sei mit einer Ecke bei (0,0,0) festgenagelt und habe die Dimension $V=(\Delta x\times \Delta y\times \Delta z)$.
Die Scherspannung $\sigma _{yx}$ setzt auf einer xz-Fläche an (Normale in y-Richtung, erster Index) und wirkt in Richtung x-Achse, anderer Index. Punkt (x,y,z) wird verschoben nach ${\vec {u}}({\vec {x}})=(\delta x,0,0)$, so dass
    $G\;\delta x=y\cdot \sigma _{yx}$.
Es gilt $F_{xy}=\delta x/y=\sigma _{yx}/G.$ Laut Postulat soll die Spannung linear mit $\epsilon _{xy}$ zusammenhängen. Weil hier
    $F_{yx}=0,\;\Rightarrow \;\epsilon _{xy}=F_{xy}/2;\;\sigma _{yx}=2G\;\epsilon _{xy}.$
Weil es intuitiv nicht so einleuchtet, noch ein Erklärungsversuch. Die Verformung, die zur Definition des Schubmoduls herhielt, zählt nur halb als eine gegenseitige Bewegung der Materie. Die andere (schiefsymmetrische) Hälfte ist eine kleine Drehung ohne Einfluss auf die Form und wird abgezogen. Daher nun: Schubspannung = 2G mal eigentliche, effektive Verzerrung.
Eine Zugspannung $\sigma _{xx}$ auf einer yz-Fläche verlängert die x-Dimensionen mit dem Elastizitätsmodul (1/E) und verkürzt die Dimensionen y,z um den Faktor (ν/E). Also:
    ${\vec {u}}(x,y,z)=\sigma _{xx}\;(x/E,-\nu \;y/E,-\nu \;z/E)\;\Rightarrow \;(\epsilon _{xx},\epsilon _{yy},\epsilon _{zz})=(1,-\nu ,-\nu )\cdot \sigma _{xx}/E$
Mit Beiträgen aller sigma-Komponenten gilt mit Indizes (xyz)=(123) für die Verzerrung
    $\epsilon _{11}=\sigma _{11}/E-\nu (\sigma _{22}+\sigma _{33})/E$
    $\epsilon _{12}=\sigma _{12}/(2G)$
Symmetrische Formeln betreffen die anderen Indexpaare des ε-Tensors.
Mit der Drehsymmetrie des isotropen Materials sei nun gezeigt, dass die drei Materialkonstanten E,G,ν nicht unabhängig sind. Gespielt wird in der xy-Ebene mit einer symmetrischen spurfreien Cauchy-Spannung. Unter einer Rotation, dargestellt als die 3x3-Matrix R, transformieren sich folgende Objekte alle gleich: Kräfte,Flächennormalen,Ortsvektoren,freie Vektoren
    ${\vec {f}},\;{\vec {n}},\;{\vec {x}},\;{\vec {d}}\;\mapsto R{\vec {f}},\;R{\vec {n}},\;R{\vec {x}},\;R{\vec {d}}.$
Die Matrizen für σ, ε verbinden Vektor-Objekte miteinander, etwa
    ${\vec {f}}=\mathbf {\sigma } \;{\vec {n}}\;{\text{ oder }}\;{\vec {u}}=\mathbf {\epsilon } \;{\vec {d}}.$
Damit solche Beziehungen nach der Rotation zutreffen, müssen die Transformationen gelten
    $\mathbf {\sigma } ,\;\mathbf {\epsilon } \;\mapsto \;R\;\mathbf {\sigma } \;R^{-1},\;R\;\mathbf {\epsilon } \;R^{-1}.$
Denn ${\vec {y}}=M{\vec {x}}\;\Rightarrow \;(R{\vec {y}})=(RMR^{-1})(R{\vec {x}})$. Hier meint $R^{-1}$ die inverse Matrix. Bei Rotationen, dargestellt als orthogonale Matrizen, ist sie netterweise identisch mit der transponierten Matrix $R^{T}$.
Wir drehen um 45 Grad im Uhrzeigersinn in der xy-Ebene und bearbeiten symmetrische 2x2-Matrizen.
    $R={\begin{pmatrix}\cos \phi &\sin \phi \\-\sin \phi &\cos \phi \end{pmatrix}};\;\phi =-\pi /4;\;R={\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}}/{\sqrt {2}};\;R^{-1}={\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}}/{\sqrt {2}}.$
    $M={\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}}\quad \mapsto \;RMR^{-1}={\frac {1}{2}}\cdot {\begin{pmatrix}a+2b+c&-a+c\\-a+c&a-2b+c\end{pmatrix}}$
    ${\begin{array}{lll}{\begin{pmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}a&b\\b&-a\end{pmatrix}}&\mapsto \;{\begin{pmatrix}b&-a\\-a&-b\end{pmatrix}}\\{\begin{pmatrix}\epsilon _{11}&\epsilon _{12}\\\epsilon _{21}&\epsilon _{22}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}a(1+\nu )/E&b/(2G)\\b/(2G)&-a(1+\nu )/E\end{pmatrix}}&\mapsto \;{\begin{pmatrix}b/(2G)&-a(1+\nu )/E\\-a(1+\nu /E&b/(2G)\end{pmatrix}}.\end{array}}$
Die allgemein postulierte Form der Epsilon-Matrix kann also nur dann im gedrehten Koordinatensystem zutreffen, wenn gilt, was der vorige Abschnitt unbewiesen erwähnte: $(1+\nu )/E=1/(2G)$. Das zeigt der Vorher-Nachher-Vergleich der Spannungen und Verzerrungen. Anders gesagt, E=2(1+ν)G.
    Der Parameter ν kann daher mit E,G eliminiert werden: $\nu =E/(2G)-1$.
    $\epsilon _{11}=\sigma _{11}/E+(1/E-1/(2G))\cdot (\sigma _{22}+\sigma _{33})$
    $\epsilon _{ik}=\sigma _{ik}/(2G)\quad (i\neq k)$
    $\epsilon _{ii}=\sigma _{ii}/(2G)+(1/E-1/(2G))\cdot (\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33})$
In der Zeile zuletzt taucht die Spur von σ auf, so heißt die Diagonalsumme.
Noch kurz die Relation für den Kompressionsmodul K geprüft. Ein Druck p entspricht der Cauchy-Spannung $\sigma _{xx}=\sigma _{yy}=\sigma _{zz}=-p$ mit Spur -3p. Die relative Änderung des Volumens ist die Summe der diagonalen $\epsilon _{ii}$,
    also $(\Delta V/V)=3\cdot [(-p)/(2G)+(-3p)(1/E-1/(2G))]=(3/G-9/E)\;p.$
    Vergleich mit der Definition: $p=K\cdot (\Delta V/V):\quad K=EG/(3E-9G).$
    Einsetzen von $G=E/(2+2\nu )\;\Rightarrow \quad K=E/[3(1-2\nu )].$
* Die Energiedichte.
Der Testquader sei wieder $V=(\Delta x\times \Delta y\times \Delta z)$ mit kleinen Dimensionen, so dass lineare Näherungen gut zutreffen. Sein Mittelpunkt wird von ${\vec {x}}\;{\text{ nach }}\;{\vec {x}}+{\vec {u}}({\vec {x}})$ verschoben. Der Inhalt wird linear so verformt, dass seine Punkte in Koordinaten ${\vec {d}}$ relativ zu seinem Zentrum, die lineare Transformation erfahren:
    $d\mapsto Fd;\;{(Fd)}_{i}=\sum \nolimits _{k}(\partial u_{i}/\partial x_{k})\;d_{k};\;F_{ik}=\partial u_{i}/\partial x_{k}.$
Verallgemeinert nach Hooke bewirkt die Spannung $\sigma _{jl}$ auf der Fläche mit Normalenrichtung (l) in Achsrichtung (j) lineare, windschiefe Verformungen des Quaders in allen 3 Koordinaten (i). Jede Koordinate im Quader $d_{i}$ bekommt Schübe proportional zu den Abständen $d_{k}\;{\text{ von }}\;{\vec {d}}$ zum relativen Ursprung,
    $d_{i}\mapsto \sum \nolimits _{k}(S_{ikjl}\sigma _{jl})d_{k}.$
Also pro Spannungselement eine allgemeine lineare Funktion von ${\vec {d}}$. Nach Summierung über alle Paare (j,l) zeigt der Vergleich mit der Formel der Jacobimatrix:
    $F_{ik}=\epsilon _{ik}=\sum \nolimits _{j,l}S_{ikjl}\;\sigma _{jl}.$
Hier wird die Symmetrie von σ vorausgesetzt, also verschwindende Drehmomente, und eine 'drehfreie' Matrix $F_{ik}=F_{ki}=\epsilon _{ik}$. Es gilt eine lineare Umkehrformel:
    $\sigma _{jl}=\sum \nolimits _{i,k}C_{jlik}\;\epsilon _{ik}.$
Was ist die potenzielle elastische Energie, die im Testquader gespeicht wird, wenn bekannte Spannungen $\{\sigma _{jl}\}$ an den Flächen angelegt werden? Die Mittelpunkte der Flächen k liegen bei ${\vec {d}}_{k}=(\pm \Delta x_{k}/2)\cdot {\vec {n}}_{k}$ mit Normalenvektor ${\vec {n}}_{k}$. Sie wandern nach $(F{\vec {d}}_{k})_{i}=(\pm \Delta x_{k}/2)F_{ik}.$
Mit dem Flächeninhalt $A_{k}$ unterliegen die zwei Flächen senkrecht zur Achse (k) dem Kräftepaar $({\vec {f}}_{k})_{i}=\pm A_{k}\sigma _{ik}$. Nach Hooke ist die Matrix σ eine Funktion der Verzerrungsmatrix [F]. Die Verschiebungswege der Flächenzentren, Angriffspunkte von Kraft, sind ebenfalls lineare Funktionen von [F]. Daher wird die eingespeiste Arbeit, Summe von Kraft mal Weg, wie folgt berechnet. In der Zeit t=0 bis t=1 wird die Verzerrung linear hochgefahren gemäß $t\mapsto tF$. Die Arbeit ist das Zeitintegral
    $W=\int _{0}^{1}dt\;{\vec {f}}_{k}(tF)\cdot (d/dt)(tF\;{\vec {d}}_{k})$, Integral von Kraft mal Geschwindigkeit.
Die Abhängigkeit von t ist linear in beiden Faktoren, weshalb das Integral den Faktor $\int _{0}^{1}t\;dt={\frac {1}{2}}$ ergibt. Summiert über alle Flächen und Gegenflächen,
    $W={\frac {1}{2}}\sum \nolimits _{i,k}f_{ik}(F{\vec {d}}_{k})_{i}={\frac {1}{2}}\sum \nolimits _{i,k}(A_{k}\;\Delta x_{k})\sigma _{ik}\cdot (\partial u_{i}/\partial x_{k}).$
Der erste Faktor ist das Volumen des Testquaders. Wegen der Symmetrie von σ können die Ableitungen symmetrisiert werden. Es ergibt sich die Energiedichte pro Volumeneinheit,
    $(W/V)={\frac {1}{2}}\sum \nolimits _{i,k}\sigma _{ik}\cdot \epsilon _{ik}={\frac {1}{2}}\sum \nolimits _{i,k,j,l}\epsilon _{ik}\;C_{ikjl}\;\epsilon _{jl}.$
Die elastische Energiedichte ist eine quadratische Form der Verzerrungsmatrix, deren Elemente später als dynamische Feldvariablen dienen. In einem beliebigen elastischen Körper variieren $\;\mathbf {\epsilon } ({\vec {x}})\;{\text{ und }}\;\mathbf {\sigma } ({\vec {x}})\;$ von Punkt zu Punkt und die gesamte gespeicherte elastische Energie ist das Volumenintegral der lokalen Energiedichte.

#### Die gespannte Saite

Eine Saite ist etwa ein Draht aus Stahl oder ein Faden aus Katzendarm, der an zwei Enden festgehalten wird, die Länge L hat und mit einer kontrollierten Kraft F gespannt wird. Hat sie die Schnittfläche A und die Materialdichte ρ, dann ist $\mu =\rho \cdot A$ die Masse der Saite pro Längeneinheit. Es zeigt sich, dass die Schwingungen und Wellen auf der ausgelenkten Saite nur von F und μ abhängen, aber in erster Ordnung gar nicht vom Elastizitätsmodul. Nur bei dicken Saiten werden wir eine Korrektur berechnen.
Erste Herleitung der Wellengleichung. Es geht um die Mechanik eines elastischen Gegenstands. Jeder Massenpunkt bewegt sich nach Newtons Gesetz: Masse mal Beschleunigung gleich Summe aller einwirkenden Kräfte. Eine Kraft wird in Newton gemessen, was dimensionsgleich zu [kg m / s$^2$] ist wegen der Newton-Gleichung. Die Erdanziehung auf ein Gewicht der Masse 1 kg beträgt 9,81 Newton, denn die Erdbeschleunigung beim freien Fall ist 9,81 m/s$^2$.
Die Saite sei in x-Richtung gespannt. Jeder Massenpunkt im Intervall x=0 bis L darf sich nur in z-Richtung auslenken. Eine momentane vertikale Auslenkung der Saite ist eine Funktion w(x,t) von zwei Variablen, der Position und der Zeit t. Es bestehen die Randbedingungen w(0,t) = w(L,t) = 0. In Ruhestellung w(x,t)=0 ist die Saite mit der horizontalen Kraft F vorgespannt. Der Draht habe die Dichte ρ und den Radius r; also den Querschnitt A= π r$^2$ und die Masse pro Längeneinheit μ = ρ A. Ein kleines Stück Saite von x bis x+ Δx hat die Masse M = μ Δx und die vertikalen Positionen von w(x,t) bis w(x+ Δx,t). Es wird angenommen, dass w als Funktion von x beliebig aber glatt verläuft und dass die Ableitungen nach der Variablen x ebenfalls glatt verlaufen. Der Winkel, mit dem die Saite am Punkt x momentan schief steht zur Horizontalen ist gegeben durch die Ableitung
    $\tan \alpha (x)=w'(x)=\partial w/\partial x.$
Die Saite kann nur deshalb schief verlaufen, weil sie eine elastische Ausdehnung hat und weil eine Kraft ${\tilde {F}}(x)$ genau in der Richtung von w'(x) angreift, die betragsmäßig größer ist als die Horizontalkraft F. Das Massenstück von x bis x+ Δx wird am linken Punkt horizontal von der Kraft -F gezogen und vertikal mit der richtungsmäßig passenden Komponente von ${\tilde {F}}(x),$ nämlich zwangsläufig $-F\tan \alpha =-Fw'(x)$. Am rechten Punkt zieht horizontal die Kraft F nach rechts und es muss vertikal $Fw'(x+\Delta x)$ vorhanden sein. Die horizontalen Kräfte auf dem Drahtstück gleichen sich aus, aber die kleine Differenz der vertikalen Kräfte bewirkt nach Newton eine Beschleunigung, also eine zweite Zeitableitung von w(x,t) am Mittelpunkt:
    $\mu \Delta x{\frac {\partial ^{2}w(x+\Delta x/2,t)}{\partial t^{2}}}=F(-w'(x,t)+w'(x+\Delta x,t))$
Wird nun durch Δx geteilt und dessen Grenzwert gegen Null genommen, kommt auf der rechten Seite die zweite Ableitung nach x heraus:
    $\mu {\frac {\partial ^{2}w(x,t)}{\partial t^{2}}}=\mu {\ddot {w}}=Fw''=F{\frac {\partial ^{2}w(x,t)}{\partial x^{2}}}.$
Diese Differenzialgleichung ist eine Wellengleichung. Die Notation mit den runden $\partial$ ist üblich, wenn eine Funktion von mehreren Variablen abhängt und nur nach einer bestimmten davon abgeleitet wird, während die anderen Argumente festgezurrt bleiben. Es ist eine partielle Ableitung. Wir erlauben uns manchmal, die partiellen Ableitungen nach der Zeit t mit Punkten und die nach der Position x mit Strichen anzudeuten. Hier gleichbedeutend:
    $\{{\dot {w}},w'\}\equiv \{\partial w/\partial t,\partial w/\partial x\}\equiv \{\partial _{0}w,\partial _{1}w\}\equiv \{\partial w/\partial x_{0},\partial w/\partial x_{1}\}.$
Umgeformt gilt einfach: ${\ddot {w}}=(F/\mu )\cdot w''.$ Der Faktor in der Klammer hat die Dimension (Länge durch Zeit) zum Quadrat. Also definiert er eine Geschwindigkeit:
    $c:={\sqrt {(F/\mu )}};\;{\ddot {w}}=c^{2}\;w''.$
Hat nun w(x,t) die spezielle Form w(x,t)=u(x-ct) oder auch w(x,t)=v(x+ct), dann wird die Wellengleichung erfüllt. Denn die zweiten Ableitungen sind nach der Kettenregel auszurechnen und beispielsweise
    ${\ddot {w}}=c^{2}v''.$
Die Funktionen u(x) und v(x) könne beliebige Buckel oder Wellenpakete sein. u(x-ct) beschreibt dann eine wandernde Welle mit Geschwindigkeit c nach rechts, v(x+ct) eine wandernde Welle nach links. Beliebig geformte Wellen können sich in beiden Richtungen auf dem gespannten Draht fortpflanzen. Größere Spannung macht die Wellen schneller, größere Masse der Saite macht sie langsamer.
Nun soll aber der Draht als Saite an beiden Enden festgehalten werden und daher sollen keine Wanderwellen hindurch laufen. Die Lösungen der Gleichung sind dann stehende Wellen, die bei x=0 und x=L die Randbedingungen w(x,t)=0 erfüllen. Dies nennt man eine Randwertaufgabe der Differenzialgleichung. Unsere Gleichung ist linear und homogen; als erste Idee kommt immer ein Separationsansatz auf:
    $w(x,t)=f(x)\cdot g(t).$
    $f\cdot {\ddot {g}}=c^{2}f''\cdot g.\;$
Es ist lösbar wenn
    ${\ddot {g}}/g=c^{2}f''/f=\;$ eine Konstante z, unabhängig von (x,t).
Sei also die Gleichung in einer Variablen
    ${\ddot {g}}(t)=z\cdot g(t).\;$
Einige elementare Funktionen lösen sie:
    $g(t)={\exp(\alpha t),\exp(-\alpha t),\sin(\omega t),\cos(\omega t)}.$
Weil etwas mit Schwingungen auf dem Programm steht, sieht es besser aus mit den trigonometrischen Funktionen und deren Ableitungsregeln:
    $(d/dt)\sin(\omega t)=\omega \cdot \cos(\omega t);\quad (d/dt)\cos(\omega t)=-\omega \cdot \sin(\omega t).$
Damit folgt $z=-\omega ^{2}.\;\omega$ ist die Kreisfrequenz der zeitperiodischen Funktion $g(t),\;f=\omega /(2\pi )$ ist die eigentliche Frequenz und $T=1/f$ ist die Periode der Schwingung.
Bleibt noch der x-Anteil der Saitenbewegung zu diskutieren:
    $c^{2}f''=-\omega ^{2}f$. Die Lösung ist auch eine Sinusfunktion $f(x)=\sin(kx),$
Hier wird f(0)=f(L)=0 verlangt. Das bedeutet, dass kL ein Vielfaches von π sein muss: kL = nπ. Andererseits folgt $-c^{2}k^{2}f=-\omega ^{2}f$,
    also $\omega =ck=nc\pi /L$, oder
    für die Frequenzen $f_{n}=nc/(2L)$ mit n=1,2,3...
Ergebnis: die Saite kann sich mit Eigenschwingungen bewegen, deren Frequenzen ganze Vielfache der Grundfrequenz sind. Die Oberschwingung der Ordnung n hat n Bäuche längs der Seite und (n-1) Knotenpunkte, die sich nicht bewegen. Die Formel der Frequenzen in Parametern $L,\mu ,F$ lautet demnach $f_{n}=n{\sqrt {(F/\mu )}}\;/(2L)$. Die Frequenz steigt, wenn die Saite kürzer gemacht wird, oder die Spannkraft vergrößert, oder die Masse verkleinert. Wenig zählt, aus welchem Stoff die Saite ist. Die Masse wächst nun wie das Quadrat des Durchmessers D der Saite, die Wurzel der Masse also wie D. Daher folgt die Grundschwingung dem gefühlt seit Jahrtausenden bekannten Gesetz
    $f\propto {\sqrt {F}}/(L\cdot D).$
    Siehe dazu Pythagoras in der Schmiede.

#### Andere Herleitung der Saitenschwingung

Es mag erstaunen, dass die Saitenformel gleich ist für Katzendarm, Nylon und Stahl und dass das Hookesche Gesetz mit seiner Materialkonstanten E nicht eingeht. Daher eine Betrachtung dazu, wann und wie E sich wegkürzt. Wird ein Klotz mit Grundfläche A und Höhe h mit Druck oder Zug belastet, hängt die Kraft F(z) mit der Höhenänderung z zusammen: F(z)/A = E (z/h). Die Arbeit, die geleistet wird, wenn die Form von 0 nach z gestreckt/gepresst wird, ist das Integral der Kraft als Funktion des Wegs:
    $W(z)=\int dz'\;F(z')={\frac {EA}{h}}\cdot {\frac {z^{2}}{2}}$.
Dies ist die gespeicherte potenzielle Energie, die wegen der perfekten Elastizität wiederverwertbar sein soll.
Die kinetische Energie einer Saite, die an einem gewissen Zeitpunkt t eine Auslenkung mit der Funktion w(x,t) durchläuft, ist die Summe der Energien (mv$^2$/2) aller "Atome" oder infinitesimalen Teilstücke der Länge Δx, nämlich $(\mu \;\Delta x/2)\cdot (\partial w(x,t)/\partial t)^{2}$. Der Grenzwert einer solchen Summe, wenn die Länge der Stücke gegen Null geht, ist das Integral
    $T(t)=\int _{0}^{L}(\mu /2)\cdot (\partial w(x,t)/\partial t)^{2}\;dx=\int _{0}^{L}{\frac {\mu {\dot {w}}^{2}}{2}}\;dx$.
Auch die potenzielle Energie soll nun aus ihren Elementen aufsummiert werden.
Die Saite ist in Ruhestellung w(x,t)=0 mit der Kraft F vorgespannt. Das heißt, das Längenstück $\Delta x=h+z=:h\cdot (1+\delta )$ besteht aus der kraftfreien Länge h und der Streckung $z=h\cdot \delta$. Das Hookesche Gesetz besagt $F=EA\cdot \delta$ und die gespeicherte Energie in Stück Δx ist, wegen h=Δx/(1+δ),
    $V_{0}\;\Delta x=(EA/h)\cdot (z^{2}/2)={\frac {F}{\delta }}\cdot {\frac {h\delta ^{2}}{2}}={\frac {F\;\Delta x}{\delta (1+\delta )}}\cdot {\frac {\delta ^{2}}{2}}.$
Der Wert von δ hängt nicht vom Intervall Δx ab, sondern er enthält die Kraft und die Eigenschaft des Materials: δ=F/(EA).
Ist nun die Saite beliebig vertikal ausgelenkt mit der Funktion w(x,t), dann steht das Stück über der Horizontalen Δx schräg mit der Steigung $\partial w(x,t)/\partial x$. Die Streckung betrage nun $h\cdot (1+\epsilon )$, wo ε größer ist als δ. Die potenzielle Energie im Segment Δx wird
    $V_{1}(x,t)\;\Delta x={\frac {F\;\Delta x}{\delta (1+\delta )}}{\frac {\epsilon ^{2}}{2}}.$
Mit der Steigung der Funktion w(x,t) und dem Satz von Pythagoras:
    $(1+\epsilon )^{2}=(1+\delta )^{2}(1+w'(x,t)^{2})\;\Rightarrow \;\epsilon =(1+\delta ){\sqrt {1+w'^{2}}}-1$
Mit der Abkürzung $u(x,t):={\sqrt {1+(\partial w(x,t)/\partial x)^{2}}}$ schreibt sich die potenzielle Energie der Saite so, mit abgezogener Nullpunktsenergie:
    $V(x,t)\;\Delta x=(V_{1}(x,t)-V_{0})\;\Delta x={\frac {F\;\Delta x}{2\delta (1+\delta )}}\cdot (\epsilon ^{2}-\delta ^{2}).$
Die letzte Klammer wird:
    $(\epsilon +\delta )(\epsilon -\delta )=[(1+\delta )u+(\delta -1)]\cdot [(1+\delta )u-(1+\delta )]$
Es kann einmal (1+δ) gekürzt werden und man bekommt:
    $V(x,t):={\frac {F}{2\delta }}(u-1)[(u-1)+\delta (u+1)];\quad u={\sqrt {(1+w'^{2})}}$
Nun sei angenommen, dass die Steigung der Saite so klein ist, dass
* erstens gut angenähert: $u-1={\sqrt {(1+w'^{2})}}-1=w'^{2}/2;\quad u+1=2$
* zweitens höhere Potenzen von (u-1) vernachlässigt werden.
Dann kommt als Dichte der potenziellen Energie des Kleinsignals heraus
    $V_{k}(x,t)={\frac {F\;w'(x,t)^{2}}{2}}$
Diese hängt also nicht mehr von materialspezifischer Dehnung δ ab.
Die gesamte potenzielle Energie der Saite ist zur Zeit t das Integral über x
    $V(t)=\int _{0}^{L}{\frac {F}{2\delta }}(u(x,t)-1)[(u(x,t)-1)+\delta (u(x,t)+1)]\;dx$
Die Hilfsfunktion u(x,t) misst die die Länge des Graphs der Funktion w(x,t). Denn $u(x,t)\cdot \Delta x$ ist die Länge eines verformten Saitenstücks über der horizontalen Achse, $L_{w}(t)=\int _{0}^{L}u(x,t)\;dx$ ist die Gesamtlänge der Saite zum Zeitpunkt t.
Bis hierhin wird nach der Analyse der kinetischen und der potenziellen Energie klar, dass die Saite nur bei kleinen Auslenkungen mit quadratischen Formen darin beschrieben wird. Bei großen Amplituden tauchen nichtquadratische Terme auf und der Elastizitätsmodul des Materials spielt auch mit.
Aber wo bleibt die Bewegungsgleichung der Saite, also eine Differenzialgleichung für w(x,t) mit partiellen Ableitungen nach allen Variablen? Sie kommt jetzt, mit Hilfe eines der wichtigsten mathematischen Sätze der ganzen Mechanik.

#### Das Wirkungsprinzip (Variationsprinzip der kleinsten Wirkung)

Die Saite ist ein dynamisches System mit einem Kontinuum von Freiheitsgraden. Ihr Verhalten in Ort und Zeit wird durch eine Funktion w(x,t) beschrieben. Die Funktion w(x,t) der Auslenkung ist der Spezialfall einer Feldfunktion f(x) = f$_i$(x$_k$) eines dynamischen Systems. Die Koordinaten x$_k$ sind oft die Vierervektoren $(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})=(t,{\vec {x}})$, welche die Raumzeitpunkte des Systems beschreiben. Die Zahl der Komponenten von f$_i$ hängt davon ab, ob es Skalare, Vektoren, Tensoren oder andere geometrische Gebilde sind, die an jedem Raumzeitpunkt dynamisch veränderliche Werte annehmen.
Das Wirkungsprinzip der Kontinuumsmechanik behauptet nun folgendes:
* Es gibt ein Wirkungsfunktional auf der Menge der Feldfunktionen f, also eine Abbildung, die jedem f einen reellen Wert W{f} zuordnet.
* Eine Funktion f beschreibt genau dann eine physikalisch mögliche Entwicklung des Systems in Raum und Zeit, wenn W{f} einen Extremwert hat bezüglich aller (genügend kleinen) Variationen von f.
* Das Funktional ist lokal, indem es ein Raumzeit-Integral über eine Dichtefunktion ist: $W\{f\}=\int d^{n}x\;L(x,f(x),\partial _{i}f(x),\partial _{i}\partial _{k}f(x)).$
    Die Dichtefunktion oder Lagrange-Dichte L am Raumzeit-Punkt x hängt ab:
       vom Punkt x und von den Werten f(x)
       und von den ersten, zweiten (und höheren) partiellen Ableitungen von f, ausgewertet am selben Punkt x.
* Die Lagrange-Dichte der Newtonschen Mechanik ist die Differenz L = T - V, Dichte der kinetischen minus Dichte der potenziellen Energie.
Beispiel: Die Lagrange-Dichte unserer Saite am Punkt (x,t) ist aus den oben eingeführten Dichten für T(t) und V(t) aufgebaut:
    $L(w(x,t),w'(x,t),{\dot {w}}(x,t))={\frac {\mu {\dot {w}}^{2}}{2}}-{\frac {F}{2\delta }}(u(x,t)-1)[(u(x,t)-1)+\delta \cdot (u(x,t)+1)];$
    $u(x,t)={\sqrt {1+w'(x,t)^{2}}};\;\delta =F/(EA).$
Die Wirkung ist das Doppelintegral $W\{w\}=\iint dx\;dt\;L(w,w',{\dot {w}})$.
Im Grenzfall kleiner Auslenkungen ist der Integrand L quadratisch:
    $L=(\mu /2)\cdot {\dot {w}}(x,t)^{2}-(F/2)\cdot w'(x,t)^{2}$
Das Integral über die Ortskoordinate ergibt dimensionsmäßig eine Energie. Das Doppelintegral über Ort und Zeit hat die Dimension einer Wirkung, nämlich Energie mal Zeit. Daher kommt der Name Wirkungsprinzip.
Das Potenzial V sieht mit seinem Zusatzterm zum quadratischen schöner so aus:
    $V={\frac {F}{2\delta }}[\delta \cdot (u^{2}-1)+(u-1)^{2}]={\frac {F}{2}}{\Bigw'^{2}+{\frac {(u-1)^{2}}{\delta }}{\Big ]}$
Wann ist der Störterm wirklich vernachlässigbar?
Grob gesagt, wenn w'$^2$ sehr viel kleiner ist als die bereits winzige Dehnung δ! Denn (u-1)$^2$ geht los mit der vierten Potenz von w' .
Zahlenbeispiel.
Kraft F=10 Newton, Querschnitt A=1 mm$^2$, Elastizitätsmodul E=200 GPa, Länge 500 mm, Auslenkung ~ 1 mm. δ = 10/(200e9 x 1e-6) = 5 x 10$^{-5}$.
Sei die maximale Steigung w' ~ (1/200), ihr Quadrat ~ 2,5 x 10$^{-5}$. Sie kommt da schon gefährlich nahe ins nichtlineare Gebiet dieses Modells.
Die Suche nach Extremwerten von Funktionalen ist als Variationsrechnung bekannt und ist eine Verallgemeinerung der Suche nach Maxima und Minima von gewöhnlichen Funktionen. Eine gewöhnliche Funktion y(x) von mehreren Variablen ist extremal am Punkt x, notwendige aber nicht hinreichende Bedingung, wenn alle partiellen Ableitungen an diesem Punkt verschwinden. Ein (glattes) Funktional, das als Integral einer Dichte definiert ist, kandidiert dann als Extremwert für die Funktion f, wenn f eine partielle Differenzialgleichung erfüllt, die aus der Lagrange-Dichte entsteht. Sie heißt die Euler-Lagrange-Gleichung. Die Bewegungsgleichungen der Mechanik sind die Euler-Lagrange-Gleichungen des Wirkungsfunktionals. Genau genommen, es kommen so viele EL-Gleichungen vor wie reelle Komponenten im Wertebereich des Feldes f.
Die relevanten Feldsysteme der Physik, Mechanik, Elektrodynamik, die Dynamik der Gravitationsfelder, also die allgemeine Relativität, sowie das Standardmodell der Elementarteilchen, sie alle haben Euler-Lagrange-Gleichungen.
Nehmen wir einfachheitshalber f(x) einkomponentig an und definieren: Die Variation W'(f,x) des Funktionals $f\mapsto W\{f\}$ existiert, wenn die Werte von W für alle wenig abweichenden Funktionen $(x\mapsto f(x)+\epsilon (x))$ sich linear mit demselben Integralkern W' approximieren lassen:
    $W\{f+\epsilon \}\simeq W\{f\}+\int d^{n}x\;W'(f,x)\cdot \epsilon (x)=:W\{f\}+\int d^{n}x\;{\frac {\delta W}{\delta f(x)}}\cdot \epsilon (x)$
Ist f ist ein Extremwert des Funktionals, dann verschwindet die Variation W'(f,x) an jedem Punkt x des Definitionsbereichs. Denn sonst könnte man mit einer gezielt konzentrierten Beule $(\pm \epsilon (x))$ den Wert des Funktionals in beide Richtungen verändern, Widerspruch. Die Variation ist für Funktionale W das Analoge zu den ersten Ableitungen für Funktionen $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ,$ denn solche erzeugen die linearen Näherungen
    $f(x+\epsilon )=f(\{x_{i}+\epsilon _{i}\})\simeq f(x)+\sum _{k}\partial _{k}f(x)\cdot \epsilon _{k}$
Die explizite Formel der Variation liefert die gesuchte Differenzialgleichung, wenn man sie zu Null macht. Ohne Beweis und mit der Notation $\partial _{i}f(x)=(\partial f/\partial x_{i})$ hier aufgeschrieben, wird der Integrand für Variationen hergeleitet mit partiellen Integrationen und Annahmen über verschwindende Randwerte. Man beachte das Minuszeichen bei ungerader Zahl der Ableitungen:
    $W\{f\}=\int d^{n}x\;L(x,\;f(x),\;\partial _{i}f(x),\;\partial _{i}\partial _{k}f(x),\;...)\quad \Rightarrow$
    ${\frac {\delta W}{\delta f(x)}}={\frac {\partial L}{\partial f(x)}}-\sum _{i}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\Big{\frac {\partial L}{\partial (\partial _{i}f(x))}}{\Big )}+\sum _{i,k}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\partial x_{k}}}{\Big{\frac {\partial L}{\partial (\partial _{i}\partial _{k}f(x))}}{\Big )}\;-...$
Unser Beispiel zum Aufwärmen macht nur Terme vom Typ der Einfachsumme,
    $L=(\mu /2)\cdot {\dot {w}}(x,t)^{2}-(F/2)\cdot w'(x,t)^{2}$
Variationsgleichung für extremale Funktionen w(x,t):
    ${\frac {\partial L}{\partial {\dot {w}}}}=(\mu /2)\cdot (2{\dot {w}});\;{\frac {\partial L}{\partial w'}}=(-F/2)\cdot (2w')$
    $0=-{\frac {\mu }{2}}\cdot {\frac {\partial }{\partial t}}(2{\dot {w}})+{\frac {F}{2}}\cdot {\frac {\partial }{\partial x}}(2w')$
    $0=-\mu {\ddot {w}}(x,t)+Fw''(x,t)\;\Rightarrow \;\mu {\ddot {w}}=Fw''$
Nach all dem Aufwand, die Wellengleichung! Sie ist linear, weil die Lagrange-Dichte nur aus Termen von zweiter Potenz in den Funktionsargumenten besteht, eine quadratische Form also. Die linearen Maxwell-Gleichungen des Elektromagnetismus entstammen genauso einer quadratischen Lagrange-Dichte. Auch die linearen Schrödinger-Gleichungen und Dirac-Gleichungen der Quantenmechanik.
Ein erprobter Vorteil des Lagrange-Formalismus besteht darin, dass man nicht mühsam mit diversen Kräfteparallelogrammen hantieren muss, um an die Bewegungsgleichungen zu kommen. Sondern man kümmert sich nur um die oft einfacher herzuleitenden Energiesummen des Systems. Weiter unten bei den biegesteifen Saiten und Balken zahlt es sich aus.
Rechnen wir aus, was an Stelle des Terms $Fw''(x,t)$ im nichtlinearen Modell als Wellengleichung für große Auslenkungen auftritt. Mit dem definierten
    $u={\sqrt {(1+w'^{2})}},$
    $-{\frac {\partial L}{\partial w'}}={\frac {\partial V}{\partial w'}}={\frac {\partial V}{\partial u}}{\frac {\partial u}{\partial w'}}={\frac {F}{2\delta }}[(u-1)(1+\delta )+(u-1)+\delta (u+1)]{\Big{\frac {w'}{u}}{\Big ]}={\frac {F}{\delta }}[u-1+u\delta ]{\frac {w'}{u}}=$
    $={\frac {F}{\delta }}(1+\delta -(1/u))w'=Fw'+{\frac {F}{\delta }}(1-(1/u))w'.$
Von diesem Ausdruck wird die Ableitung nach x gebraucht. Der erste Term ohne 'delta' macht den bekannten linearen Anteil. Im anderen Term ist ein Faktor (w'/u) abzuleiten:
    $u'={\frac {w'\cdot w''}{u}}\;\Rightarrow \;{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {w'}{u}}={\frac {(w''u-u'w')}{u^{2}}}={\frac {w''}{u}}\cdot (1-(w'/u)^{2})={\frac {w''}{u^{3}}}$
    $(-\partial /\partial x)({\frac {\partial L}{\partial w'}})=Fw''+{\frac {F}{\delta }}w''(1-u^{-3})$
Damit bleibt eine im Argument w nichtlineare Wellengleichung
    $\mu {\ddot {w}}=Fw''{\Big1+{\big1-(1+w'^{2})^{-3/2}{\big ]}/\delta {\Big ]}.$
Sie hat keine einfachen Lösungen vom Typ $w=\sin(\omega t)\cdot g(x)$ mehr.
Mit der Approximation $(1+z)^{-3/2}\simeq (1-3z/2)$ wird die Gleichung zu:
    $\mu {\ddot {w}}=Fw''{\big1+(3w'^{2})/(2\delta ){\big ]}$
Sobald die Steigungen einer weit ausgelenkten Saite dem Dehnungsfaktor δ zu nahekommen, wächst die effektive Kraft. Die Frequenz einer Schwingung wird im nichtlinearen Bereich höher als bei kleinen Amplituden.
    Simulation.
Der nichtlineare Effekt kann numerisch an der vollen Gleichung durchprobiert werden. In etwa 60 Zeilen Python teilt man eine Saite (1 m lang) in 50 Punkte, approximiert die erste und zweite Ortsableitung der Auslenkungen w(x,t) als endliche Differenzen, teilt das Zeitintervall in 1000 Punkte und integriert Schritt für Schritt mit der Runge-Kutta-Formel vierter Ordnung. Die Anfangsbedingung w(x,t=0) ist eine Sinus-Halbwelle mit maximalen Amplituden von 1 mm bis 10 mm. Die Dehnung der ruhend gespannten Saite sei δ=0,001. Die Halbperiode zwischen zwei Nulldurchgängen der Saite wird "gestoppt", mit Parabel-Interpolation um die Minima von Amplitudenquadraten herum. Denn im nichtlinearen Modell behalten die Orte der Saite nicht exakt die gleiche Phase. Bei mehr als 1 mm Auslenkung wächst die Grundfrequenz gewaltig mit der Amplitude, verglichen mit der Frequenz des linearen Modells. Hier als Ergebnis die Faktoren des Frequenzanstiegs, nach wenigen Sekunden Laufzeit auf dem Raspberry Pi. Anhang: Script...
| Amplitude | 1 mm | 2mm | 5 mm | 10mm |
| Faktor | 1,0014 | 1,0055 | 1,0335 | 1,1235 |

#### Die longitudinale Welle im elastischen Stab

Der Stab hat die horizontalen Ortskoordinaten x von 0 bis zur Länge L, die Querschnittsfläche A und eine Materialdichte ρ. Aus der Ruhestellung sei der Querschnitt bei x um den kleinen Betrag w(x) horizontal verschoben. Ein kleines Segment von x bis x+Δx ist also komprimiert oder gestreckt, um dem Wert w(x+Δx)-w(x). Die potenzielle Energie dieser Dimensionsänderung ist $(EA/2)\cdot (w(x+\Delta x)-w(x))^{2}/(\Delta x)$, ganz wie bei der vorgestreckten Saite. Für einen kleinen Abstand ist das einfach $(EA/2)\cdot w'(x)^{2}\;\Delta x$. Die gesamte potenzielle Energie im Stab hat also eine lineare Dichte und beträgt zum Zeitpunkt t:
    $V(t)=\int _{0}^{L}(EA/2)\cdot w'(x,t)^{2}\;dx.$
Soll die Verschiebung mechanisch vibrieren, tut sie es mit der kinetische Energie eines Segments $(\rho A\;\Delta x)\cdot {\dot {w}}(x,t)^{2}/2$. Die Lagrange-Dichte lautet daher:
    $L(w,w',{\dot {w}})=(A/2)\cdot (\rho {\dot {w}}^{2}-Ew'^{2}).$
Die Euler-Lagrange-Gleichung ergibt wie oben eine Wellengleichung, wo hier der Querschnitt A herausfällt:
    ${\ddot {w}}=c^{2}w''\quad$ mit der Wellengeschwindigkeit $c={\sqrt {E/\rho }}.$
Angenommen, eine Art Stahl hat $\rho =8\;g/cm^{3}=8000\;kg/m^{3};\quad E=200\;GPa.$
Es folgt $c={\sqrt {200E9/8E3}}=1000\cdot {\sqrt {100/4}}=5\;km/s$, ein Vielfaches der Schallgeschwindigkeit in der Luft, wo der nur einige hundert Meter pro Sekunde entlang kriecht.
Hat ein frei aufgehängter Stab ein Spektrum von Eigenschwingungen? Die Randbedingungen sind nicht wie bei der Saite w(0,t)=w(L,t)=0. Für die Enden sei aber angenommen, dass die letzte Atomschicht keine zeitabhängige Streckung zum Rest erfährt. Diese Randbedingungen besagen, dass die erste Ortsableitung der Auslenkung verschwindet: w'(0,t)=w'(L,0)=0.
Zur Begründung: Innen im Volumen spürt die Atomlage des Querschnitts bei x eine Kraft, weil von rechts mit F$_R$= EA (w(x+Δx)-w(x))/(Δx) gezogen wird und von links in Gegenrichtung mit F$_L$= EA (w(x)-w(x-Δx))/(Δx). Die Differenz führt auf die zweite Ortsableitung von w in der Bewegungsgleichung. An den Enden gibt es keine Ursache für eine Nettokraft, und die einseitige Nullkraft kann nur bedeuten, die erste Ableitung von w muss dort wegfallen.
Weil die Wellengleichung linear-homogen mit konstanten Koeffizienten ist, erfüllen mit w(x,t) auch w'(x,t) und alle höheren gemischten partiellen Ableitungen dieselbe Gleichung. Denn wie die Analysis lehrt, sind unter milden Bedingungen die partiellen Ableitungen nach verschiedenen Variablen vertauschbar. Also gilt für die Funktion w' des longitudinal schwingenden Stabes das, was für die Funktion w der transversal schwingenden Saite herauskam. Es gibt eine Reihe von harmonischen Frequenzen f$_n$ = n c/(2L). Nur sind die Bäuche der Saiten-Auslenkung die Knoten der Streckung des Stabes und umgekehrt. Bei der Grundschwingung ruht der Stab in der Mitte und die Enden zittern in Gegenphase. Der Stab wird periodisch gestreckt und gepresst.
Mit L=1 m und c=5 km/s ist die Grundfrequenz 2,5 kHz im Bereich der Piccoloflöte.
Kurze Stäbe (L= 10 cm) haben die Resonanz auf Ultraschall-Frequenzen.

#### Gebogene Stäbe und Saiten

Alte Instrumente, Cembalos, Clavichorde, erste Hammerklaviere, hatten dünne Saiten mit mäßigen Zugkräften; sie konnten ganz aus Holz gefertigt werden. Neuere Konzertflügel aber sollten immer lauter werden und ihre Töne länger anhalten. Das ging einher mit dickeren Saiten und höherer Anspannung, entsprechend der Formel für die Schwingungsfrequenz. Im Konzertflügel hält ein solider Metallrahmen die Saitenspannung aus, die insgesamt 20 Tonnen ausmachen kann. Die strenge Physiklehrerin wird uns tadeln, Tonnen bezeichnen eine Masse. Gemeint ist die Zugkraft in Newton, Masse mal Erdbeschleunigung, die ein hängendes Gewicht von 20 Tonnen erzeugt. Bei den Experimenten am historischen Monochord spannen tatsächlich angehängte Gewichte die Saite.
Welches Problem bereitet die Zusatzkraft, die zum Verbiegen in den schwingenden dicken Saiten angreift? Nicht tragisch und leicht zu kompensieren ist, dass der Grundton bei gleicher Zugkraft etwas höher liegt. Jedoch weicht das Spektrum der Obertöne nun etwas ab von den ganzen Vielfachen der Grundfrequenz. Und das prozentual umso mehr, je höher die Ordnungszahl der Harmonischen. Die Pianinos oder aufrechten Klaviere für den Hausgebrauch haben das größere Problem, kürzere und dickere Saiten.
Die nächste Rechenübung besteht darin, dies theoretisch zu begreifen und numerisch auszurechnen.
Die Biegung eines Stabs wird durch einen Krümmungsradius r charakterisiert. Der Stab hat die Querschnittsfläche A und die Länge L. Denkt man sich den elastischen Stab aus parallelen Fasern aufgebaut, dann werden die Fasern auf der Innenseite zusammengedrückt und die auf der Außenseite gedehnt. Mitten durch den Querschnitt geht eine Linie von neutralen Fasern, deren Länge sich nicht ändert. Die gespeicherte potenzielle Energie soll mit Hilfe des Elastizitätsmoduls E als Integral über eine Dichte formuliert werden.
Ein mikroskopisches Stück des Stabes soll die x-Achse zur Tangente haben, und die Koordinaten y,z streichen über den Querschnitt. Mit dem Radius r sei der Stab in der xz-Ebene nach unten gebogen. Die neutralen Fasern in der Mitte machen eine winzige Winkeländerung φ und haben die Bogenlänge Δx=rφ; sie liegen bei (x,y,z)=(0,0,0).
Die Fasern darunter sind gestaucht zu (r+z)φ mit z<0, solche darüber sind gestreckt zu einer Länge (r+z)φ mit positivem z. Die gespeicherte elastische Energie der verformten Faser der Dimension $\Delta x\times \Delta y\times \Delta z$ ist:
    $(E\;\Delta y\;\Delta z)/2\cdot {\big((r+z)\phi -r\phi )/(r\phi ){\big ]}^{2}\cdot \Delta x,$
Hierbei ergibt die eckige Klammer einfach den Faktor (z/r)$^2$.
Die Energie der ganzen Scheibe mit Querschnittsfläche A ist gleich $(EI)/(2r^{2})\cdot \Delta x,$, wo I ein Integral über die Fläche A ist:
    $I:=\iint _{A}z^{2}\;dy\;dz.\quad$ Es ist ein Moment dieser Fläche.
Wenn die neutrale Mittelfaser des Stabs nun längs einer Kurve z=w(x) verläuft, dann gehört zum horizontalen Stück Δx ein Stück Länge $\Delta l={\sqrt {(1+w'(x)^{2})}}\;\Delta x$ und die Energie der elastischen Verbiegung $(EI)/(2r\{w(x)\}^{2})\cdot {\sqrt {(1+w'^{2})}}\;\Delta x$. Dabei bezeichnet r{w} den Krümmungsradius, an den sich die Kurve im Punkt (x,w(x)) anschmiegt.
Zur schludrigen Ausrechnung des Radius nehmen wir an, w(x) sei ein Kreisbogen
    $(w(x)-w_{0})^{2}+(x-x_{0})^{2}=r^{2},\quad$
Und wir nehmen zwei Ableitungen dieser Formel nach x vor:
    $2(w-w_{0})w'+2(x-x_{0})=0;\quad (w-w_{0})w''+w'^{2}+1=0$
Daher:
$\quad (w-w_{0})=-(1+w'^{2})/w'';\quad (x-x_{0})=-w'(w-w_{0})$
Eingesetzt in die erste Gleichung folgt eine Formel für r$^2$:
    $r^{2}=[(+w'^{2})/w'']^{2}+w'^{2}[(1+w'^{2})/w'']^{2}=(1+w'^{2})^{3}/w''^{2}.$
Damit bekommen wir die Energie der Verbiegung längs der Kurve w(x) als Integral
    $V=\int _{0}^{L}(EI/2)\cdot w''(x)^{2}\cdot (1+w'(x)^{2})^{-5/2}\;dx.$
Der inverse Krümmungsradius wird manchmal als die Krümmung der Kurve y=w(x) definiert:
    $\kappa \{w\}(x)=|w''(x)|\cdot (1+w'(x)^{2})^{-3/2}.$
Sei nun der Stab als dicke Saite an beiden Enden festgeklemmt, und zwar nicht nur sei w(x)=w(L)=0, sondern auch die Richtung an beiden Enden sei als horizontal vorgegeben: w'(0)=w'(L)=0. Denn da der Stab sich der Biegung widersetzt, kann er nicht mit einem scharfen Knickwinkel anfangen und enden. Die potenzielle Energie ist die Summe aus der für die Biegungen und für die Streckungen, wenn der Stab mit einer Zugkraft F vorgespannt wird. Mit der schon benutzten Energiedichte der Streckung und dem Dehnungsfaktor δ=F/(EA) ergibt sich:
    $V=\int _{0}^{L}\left[{\frac {EI}{2}}\cdot w''(x)^{2}\cdot (1+w'(x)^{2})^{-5/2}+{\frac {F}{2}}[w'(x)^{2}+(u-1)^{2}/\delta ]\right]\;dx;\quad u:={\sqrt {(1+w'(x)^{2})}}.$
In der linearen Näherung wird $w'^{2}\ll \delta \ll 1$ angenommen und es gilt:
    $V\simeq \int _{0}^{L}\left[(EI/2)\cdot w''(x)^{2}+(F/2)\cdot w'(x)^{2}\right]\;dx.$
Kurz noch das Moment I für einen runden Draht der Schnittfläche A=π(d/2)$^2$ berechnen. Trick: man nutze die Symmetrie aus.
    $I=\iint _{A}z^{2}\;dy\;dz={\frac {1}{2}}\iint _{A}(y^{2}+z^{2})\;dy\;dz={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{d/2}(r\;dr)\;r^{2}={\frac {\pi \cdot (d/2)^{4}}{4}}={\frac {A^{2}}{4\pi }}.$

#### Stehende Wellen auf biegesteifen Saiten

Die Lagrange-Dichte der Saite bei kleiner Auslenkung, mit Krümmungs-Energie:
    $L({\dot {w}},w',w'')=(\mu /2){\dot {w}}^{2}-(F/2)w'^{2}-(EI/2)w''^{2}$
Die Bewegungsgleichung wird streng nach Rezept angefertigt. Die Terme mit der ersten Ableitung enthalten mit ihren Minuszeichen die Faktoren
    $(-\partial /\partial t){\dot {w}}=-{\ddot {w}}\;{\text{ und }}\;(\partial /\partial x)w'=w''$.
Der Term mit der zweiten Ableitung ergibt eine vierte Ableitung ohne Vorzeichenwechsel; der relevante Faktor wird $-(\partial ^{2}/\partial x^{2})w''=-w''''$. Ergebnis:
    $\mu {\ddot {w}}=F\cdot w''-EI\cdot w'''';\;$ Randbedingung w(0)=w(L)=w'(0)=w'(L)=0.
Die Gleichung ist linear für die Funktionen w(x,t). Der Separations-Ansatz $w(x,t)=f(x)\cdot \sin(\omega t)$ macht die Differenzialgleichung:
    $\mu \omega ^{2}\;f+F\;f''-EI\;f''''=0.$
Solange der Faktor (EI) klein ist verglichen mit (F), ist dies als eine Verformung der gewöhnliche Wellengleichung anzusehen. Wir erwarten ein diskretes Spektrum von möglichen Frequenzen {ω$_k$}, die sich womöglich numerisch durch Variation aus den bekannten Werten für die einfache Saitengleichung bestimmen lassen.
Zuerst machen wir die Gleichung dimensionslos mit z:=(x/L); g(z):=f(x). Immer eine gute Idee, bevor irgendwas mit Numerik angegriffen werden soll. Auch legen wir die Saite symmetrisch um den Nullpunkt, so dass die neue Variable z das Intervall [-0,5...0,5] belegt. Mit g'=(dg/dz)=(df/dx)(dx/dz)=Lf' lautet die Gleichung in g:
    $\mu \omega ^{2}\;g+(F/L^{2})\;g''-(EI/L^{4})\;g''''=0.$
Mit zwei dimensionslosen Konstanten $k^{2}:=\mu \omega ^{2}L^{2}/F;\;q:=EI/(L^{2}F):$
    $k^{2}\;g+g''-q\;g''''=0$
Die Mathematik lehrt, dass jede Lösung einer linear-homogenen gewöhnlichen Differenzialgleichung der Ordnung N eine Linearkombination aus N Basis-Lösungen ist. Für die vierte Ordnung hier wäre folgende Basis aus vier Funktionen $\{\sin(az),\cos(az),\exp(bz),\exp(-bz)\}$ zu probieren, da deren zweite Ableitungen einfach konstante Faktoren absondern. Besser noch, die Kandidaten werden wegen der Symmetrie auf gerade und ungerade Funktionen
    $g_{1}(z)=g_{1}(-z)=u\cos(az)+v\cosh(bz)\;\quad g_{2}(z)=-g_{2}(-z)=u\sin(az)+v\sinh(bz)$
beschränkt. Die hyperbolischen Funktionen sind:
    $\sinh(x)=(\exp(x)-\exp(-x))/2;\quad (d/dx)\sinh(x)=\cosh(x)$
    $\cosh(x)=(\exp(x)+\exp(-x))/2;\quad (d/dx)\cosh(x)=\sinh(x)$
Wegen der Linearität kann u=1 gesetzt werden. Es gibt drei freie Variablen (a,b,v) aber vier Gleichungen, nämlich zwei Koeffizienten aus der Differenzialgleichung und zwei Randbedingungen bei z=0,5. (Die bei z=-0,5 sind redundant wegen der Symmetrie.) Die Rechenaufgabe wird deshalb machbar, weil k$^2$ die vierte Unbekannte ist und die gesuchte Eigenfrequenz enthält. Dagegen ist q konstant durch Geometrie und Material der Saite vorgegeben. Daher diese Gleichungen für $(k^{2},a,b,v)$ mit dem Kandidaten g$_1$:
    $0=k^{2}(\cos(az)+v\cosh(bz)+(-a^{2}\cos(az)+vb^{2}\cosh(bz))-q(a^{4}\cos(az)+vb^{4}\cosh(bz))$
    $k^{2}-a^{2}-qa^{4}=0;\quad k^{2}+b^{2}-qb^{4}=0$
    $\cos(a/2)+v\cosh(b/2)=0;\quad -a\sin(a/2)+vb\sinh(b/2)=0.$
Mit dem Kandidaten g$_2$ wechseln nur die Randbedingungen:
    $\sin(a/2)+v\sinh(b/2)=0;\quad a\cos(a/2)+vb\cosh(b/2)=0.$
Numerik: Wird der Wert k erraten, dann folgen a,b aus den quadratischen Gleichungen (für a$^2$,b$^2$) und v ergibt sich aus der dritten Gleichung. Die vierte und letzte sollte dann Null ergeben; sie wird als Fehlergleichung genutzt. Nach dem Einklammern der Nullstelle wird das gesuchte k so lange interpoliert, bis dieser Fehler unter Epsilon fällt.
Die Anfangswerte auf der Suche nach k kommen aus der Randbedingung der einfachen Wellen, kL=k=nπ mit positiven ganzen Zahlen. Ungerade Zahlen starten die Suche nach Funktionen mit {cos,cosh}, die hier auf dem symmetrischen Intervall die geraden Funktionen sind.
Das folgende Skript rechnet ein naives Beispiel durch. Ein Draht mit 1 Millimeter Durchmesser und 1 Meter Länge ist an beiden Enden befestigt und mit 25 Newton gespannt. Elastizitätsmodul 200 GPa. Die Streckgrenze sei über 200 MPa, so dass das Material nicht leidet. Die Eigenfrequenzen N=1 bis 10 werden gezeigt, und zwar geteilt durch N mal die Grundfrequenz von etwa 32 Hz. Die Inharmonizität der biegesteifen Saite spreizt in der Tat die Oktaven. Die Harmonischen N=2, N=4, N=8 sind zu groß um 0,6%, 2,9% und sogar 11,5%. Das Beispiel ist eine Karikatur der Klaviersaite im Bass. Denn in Wahrheit haben solche Saiten dünnere Drahtkerne, umwickelt mit weichen Metall. Daher ist die Spreizung der Oktaven weniger krass, aber auf jeden Fall beim Stimmen zu berücksichtigen.

#### Balkenmodell von Timoshenko

Im Euler-Bernoulli-Modell des gebogenen Drahts oder Stabs gibt es den einen Freiheitsgrad w(x) der vertikalen Auslenkung. Die Querschnittsfläche hat an jeder Stelle eine Normale, die in Richtung w'(x) zeigt. Elastische Energie wird durch Ziehen oder Drücken in Drahtrichtung eingespeist. Dafür ist der Elastizitätsmodul zuständig. Timoshenko lässt die Ausrichtung der gebogenen Flächen von der Drahtrichtung abweichen und der Winkelfehler wird eine zweite dynamische Feldvariable. Die Dehnung oder Stauchung einer Faser im Draht agiert mit dem Parameter E. Aber eine Verschiebung benachbarter Fasern zueinander wird jetzt erlaubt und ein Teil der Energiezufuhr fließt da hinein. Der muss vom Schubmodul G abhängen.
Anschaulich wollen die innen liegenden Fasern beim Biegen nicht gern auf die naive Geometrie verkürzt werden, die außen liegenden nicht voll gestreckt. Die Fasern wollen andererseits nicht beliebig gegeneinander verschoben werden. Wegen des Kompromisses neigen sich die Endflächen eines Bogenstücks nicht um den vollen Winkel der Biegung, sondern weniger.
Die Geometrie des verbogenen Drahts wird mit zwei Funktionen beschrieben:
* w(x), die vertikale Auslenkung des Mittelpunkts und
* φ(x), der Winkel des gezerrten und gedrehten Querschnitts zur vertikalen Achse.
Wäre der Verschiebe-Effekt ausgeschaltet, also der Schubmodul Unendlich, dann gälte: $\tan \phi (x)=w'(x)$.
Die Schritte zum zweidimensionalen Modell:
* Die Kinematik der Verformung im Draht $(u_{x},u_{z})={\text{Funktion}}(t,x,y,z),$
* Die Dichte der potenziellen Energie nach dem allgemeinen Hooke-Schema,
* Die Lagrange-Dichte und die Euler-Lagrange-Gleichungen,
* Dynamische (und statische) Lösungen der Gleichungen.
In der Ruhestellung hat der Draht oder Balken die Koordinaten (x,y,z), wobei y=z=0 die Achse des zentralen Fadens ist. Die z-Achse ist die Vertikale. Die Auslenkung des Punktes (x,y,z) mit den Funktionen w, φ ist
    $(u_{x},u_{y},u_{z})(x,y,z)=(-z\sin \phi (x),\;0,\;w(x)+z\cos \phi (x)-z)$
Nur die lineare Näherung in Variablen w,φ zieht ins Modell ein:
    $(u_{x},u_{z})\simeq (-z\phi (x),w(x))$
Mit vernachlässigter Querkontraktion folgen dann die Epsilon-Sigma-Tensoren und die Energiedichte.
    ${\begin{array}{ll}\epsilon _{xx}=(\partial u_{x}/\partial x)=-z\phi '(x)&\sigma _{xx}=E\epsilon _{xx}\\\epsilon _{xz}=({\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial x}})/2=(-\phi (x)+w'(x))/2&\sigma _{xz}=(2G)\epsilon _{xz}\\\epsilon _{zz}=(\partial u_{z}/\partial z)=0&\sigma _{zz}=0\end{array}}$
    $U({\vec {x}})={\tfrac {1}{2}}\sum \nolimits _{i,k}\epsilon _{ik}({\vec {x}},{\vec {u}})\;\sigma _{ik}({\vec {x}},{\vec {u}})$
    $U(x,y,z)=(\epsilon _{xx}\sigma _{xx}+\epsilon _{zz}\sigma _{zz})/2+\epsilon _{xz}\sigma _{xz}=E(z\phi ')^{2}/2+G(-\phi +w')^{2}/2$
Daraus macht man eine eindimensionale Energiedichte ${\bar {U}}(x)$, indem über y,z, also den Querschnitt des Balkens, integriert wird. Das Quadrat von z im ersten Term bringt das Moment I wie bei Euler-Bernoulli, für den zweiten kommt die Fläche A.
    ${\bar {U}}(x)=[EI(\phi ')^{2}+GA(-\phi +w')^{2}]/2$
Die Dichte der kinetischen Energie, mit der Massendichte ρ,
    $T(x,y,z)=(\rho /2)({\dot {u}}_{x}^{2}+{\dot {u}}_{z}^{2})=(\rho /2)(z{\dot {\phi }})^{2}+{\dot {w}}^{2})$
wird gleichermaßen zu einer Linien-Dichte integriert:
    ${\bar {T}}(x)=(\rho /2)(I{\dot {\phi }}^{2}+A{\dot {w}}^{2})$
Die 1D-Lagrangedichte ${\bar {L}}={\bar {T}}-{\bar {U}}$ wird nun mit den zwei dynamischen Feldern w(t,x), φ(t,x) und den zwei unabhängigen Variablen t,x variiert. Nullsetzen der Variation ergibt zwei Bewegungsgleichungen.
    ${\begin{array}{l}0=(-\partial {\bar {U}}/\partial \phi )+\partial _{x}(\partial {\bar {U}}/\partial \phi ')-\partial _{t}(\partial {\bar {T}}/\partial {\dot {\phi }})\\0=(-\partial {\bar {U}}/\partial w)+\partial _{x}(\partial {\bar {U}}/\partial w')-\partial _{t}(\partial {\bar {T}}/\partial {\dot {w}})\\\rho I\;{\ddot {\phi }}=GA(-\phi +w')+EI\;\phi ''=GA(w'-\phi )+EI\;\phi ''\\\rho A\;{\ddot {w}}=GA\;\partial _{x}(-\phi +w')=GA(w''-\phi ')\end{array}}$
Um manche Approximationen und Nachlässigkeiten zu kompensieren, wurde ein Faktor eingeführt, der den Schubmodul verändert.
    $G\;\to \;\kappa \;G;\quad \kappa =5/6\;$ für rechteckigen Querschnitt.
Bei einem runden Querschnitt zitiert Wikipedia (en:Timoshenko_beam_theory) die folgende Formel. In den Timoshenko-Koeffizienten fließt die Querkontraktion über die Poissonzahl ν ein.
    $\kappa ={\frac {6+6\nu }{7+6\nu }};\quad \nu =\{0.3,0.5\}\to \kappa =\{0.886,0.9\}.$
Für die Praxis fehlen den Gleichungen noch zwei Terme: eine vertikale Belastung, die von der Position x abhängt, und eine horizontale Vorspannung. Die erste interessiert die Architektin, wenn tragende Balken sich durchbiegen, die zweite den Instrumentenbauer bei dicken Saiten. (Als ob Architekten und Klaviermacherinnen den Schrieb bis hierhin lesen würden.)
Sei q(t,x) die vertikale Kraft pro Länge, in Richtung der positiven z-Achse. Sie kann in Ort und Zeit beliebig variieren. Sie addiert zur Linien-Dichte der potenziellen Energie den Term (-w(t,x)q(t,x)). Eine Vorspannung mit der Kraft F addiert in erster Näherung den Term zur eindimensionalen Energiedichte, der schon bei Euler-Bernoulli benutzt wurde,
    ${\bar {U}}\to {\bar {U}}+{\tfrac {1}{2}}F\;{w'(t,x)}^{2}.$
Das führt direkt zu diesen Timoshenko-Gleichungen, gut genug für unsere Zwecke.
    $\rho A\;{\ddot {w}}(t,x)=\kappa GA(w''(t,x)-\phi '(t,x))+q(t,x)+F\;w''(t,x),$
    $\rho I\;{\ddot {\phi }}(t,x)=\kappa GA(w'(t,x)-\phi (t,x))+EI\;\phi ''(t,x).$

#### Eigenschwingungen dicker Saiten, numerisch

Wieder geht es um Eigenfrequenzen des linear-homogenen Systems. Man errät gerade und ungerade Lösungen mit dem x-Ursprung in der Mitte. Ansätze:
    $w(-x)=+w(x):\quad w(t,x)=\sin(\omega t)\;[a\cos(px)+b\cosh(qx)];\quad \phi (t,x)=\sin(\omega t)\;[c\sin(px)+d\sinh(qx)].$
    $w(-x)=-w(x):\quad w(t,x)=\sin(\omega t)\;[a\sin(px)+b\sinh(qx)];\quad \phi (t,x)=\sin(\omega t)\;[c\cos(px)+d\cosh(qx)].$
Wegen des Ausdrucks $(w'-\phi )$ wird das Paar mit entgegengesetzter Parität ('Geradheit') angesetzt. Bei Nulldurchgängen, alle w(t,x)=0 für gewisse t, sollte auch φ verschwinden. Daher dieselbe Phase im Zeitverhalten. Die Randbedingungen sagen, dass w(t,x) und φ(t,x) permanent Null sind an den Enden der Saite.
Bemerkung. Die Mathematik weiß ohne Raterei zu dem Ansatz zu kommen. Es gibt für zwei solcher Gleichungen zweiter Ordnung, ebenso für eine von vierter oder für vier von erster Ordnung, eine Basis mit der x-Abhängigkeit $\exp(k_{i}x)$, wo vier komplexe Eigenwerte k$_i$ auflaufen. Die Symmetrien dieses Beispiels machen daraus eine schönere Basis
    $\{\sin(fx),\cos(fx),\sinh(gx),\cosh(gx)\}.$
Sei L die Länge der Saite und z=x/L die dimensionslose Koordinate. Vor jedem Ausrechnen geht man über zu dimensionslosen Funktionen, v(t,z)=φ(t,x); u(t,z)=w(t,x)/L. Damit wird wie folgt ersetzt, wo die Striche bei u,v die Ableitungen nach z bezeichnen; $z\in [-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}].$
    ${\begin{array}{llll}{\ddot {w}}=-L\omega ^{2}u;&w=Lu;&w'=u';&w''=u''/L,\\{\ddot {\phi }}=-\omega ^{2}v;&\phi =v;&\phi '=v'/L;&\phi ''=v''/L^{2}.\end{array}}$
Das ergibt mit dem dimensionslosen 'Frequenzquadrat' $k^{2}:=\rho A\omega ^{2}L^{2}/F,$
    ${\begin{array}{ll}0=k^{2}u+r(u''-v')+u'';&u(z)=a\cos(fz)+b\cosh(gz);\\0=k^{2}v+sr(w'-v)+sq\;v'';&v(z)=c\sinh(fz)+d\sinh(gz);\\a\cos(f/2)+b\cosh(g/2)=0;&c\sin(f/2)+d\sinh(g/2)=0.\end{array}}$
Hier tauchen drei dimensionslose Parameter q,r,s auf:
    $q=EI/(L^{2}F);\quad r=\kappa GA/F;\quad s=AL^{2}/I.$
Der Ansatz funktioniert und findet die Reihe der Eigenschwingungen. Die numerische Auswertung liefert die n-Tupel {a,b,c,d,f,g,k} und benutzt wie im obigen Skript eine Fehlerfunktion zur Nullstellensuche in Eigenfrequenz-Intervallen. Selbst bei übertrieben verschiebungsfreudigem Material, G= 10 Gigapascal, weicht die Frequenzliste nur in den dritten bis vierten Nachkommastellen von der des vorherigen Beispiels ab. Die Tendenz ist richtig: ein schwächerer inharmonischer Effekt, denn der Draht biegt sich etwas leichter.
Folgende Skript-Fetzen enthalten die Initialisierung und die Fehlerfunktion fürs Timoshenko-Beispiel.

#### Perioden bei verriegelten Phasen

Wenn ein Klangerzeuger eine Reihe von Frequenzen abgibt, die genau ganzzahlige Vielfache einer Grundfrequenz sind, behalten diese Harmonischen alle dieselbe Phasenbeziehung. Alle Überlagerungen sind streng periodisch mit dem Zeitintervall T, gleich der reziproken Frequenz des Grundtons. Die freien Schwingungen einer steifen Saite nach dem Anschlagen oder Zupfen sind jedoch inharmonisch und der Zeitverlauf hat keine Periode. Die Nulldurchgänge der verschiedenen Obertöne laufen voneinander weg. Abgesehen von Saiten gibt es noch andere inharmonische Schwinger, so wie die zylindrischen oder konischen Rohre der Blasinstrumente, die wegen ihrer Querschnitts-Dimension und wegen der Effekte an den Enden keine streng harmonischen Spektren von Eigenfrequenzen aufweisen.
Ein wichtiges nichtlineares Phänomen kann all diesen Resonatoren doch ein streng ganzzahliges Obertonspektrum aufzwingen. Man nennt es die Verriegelung der Phasen. Die Wechselwirkung geschieht an der Kante, wo Flöten oder Orgelpfeifen angeblasen werden, oder an den Plättchen in den Mundstücken von Oboen, Klarinetten und so weiter. Sie bewirkt, dass einmal pro Grundschwingung das Signal sozusagen vereinheitlicht wird und eine wohldefinierte Periode beibehält. Auch die Streichinstrumente verriegeln durch den ständigen Kontakt des Bogens die Phasen der Teilschwingungen einer Saite, selbst wenn diese etwas dicker und daher inharmonisch ist.
Ein ganz langsamer mechanischer Schwinger, an dem der Effekt in Zeitlupe auftritt, ist die Glocke. Sie besteht aus zwei Pendeln, dem Körper mit einer größenbedingten Pendelfrequenz und dem Klöppel, dessen Eigenfrequenz niedriger liegen muss. Nach jedem Ausschlag der Glocke nach links oder rechts trifft sie auf dem Rückweg den nachzüglerischen Klöppel. Diesem wird ein Impuls versetzt, der ihn vorzeitig zur Umkehr zwingt. Beide Teile der Glocke werden dadurch synchronisiert. Ein Mensch oder ein Motor muss im Rhythmus Energie nachliefern.

#### Randbemerkung zur Harmonik der Glocken

Im akustischen Bereich ist die Glocke wegen ihrer recht komplizierten Form ein inharmonischer elastischer Schwinger mit vielen Eigenfrequenzen, die sich als stehende Wellen mit mehr oder weniger Knotenlinien auf der Glockenfläche ausbilden. Erst um 1500 herum war die Glockengießerei gut genug entwickelt. Man konnte die Bronzelegierungen und die Geometrie gezielt gestalten, damit ein gewollter Grundton und ein nicht allzu schräges Spektrum von Nebentönen herauskam. Es entstand die Gotische Moll-Oktavglocke. Später wurden im Barock, zuliebe einer geschwungenen Ästhetik (man ist versucht zu spotten einer Walt-Disney-Formgebung), gewisse Fortschritte zeitweise wieder geopfert.
Rückfall auf ein verwaschenes Spektrum.
Der empfundene Ton der Glocke heißt der Schlagton oder Nennton. Er ist nicht unbedingt dominierend in Spektrum; die nächstliegende Eigenfrequenz kann sogar von ihm abweichen. Er ist aber der Residualton, den sich das Ohr praktisch aus allen harmonisch verwandten Teiltönen zusammenbastelt. Die Moll-Oktavglocke hat dank eines ausgeklügelten Profils, auch Rippe genannt, das Spektrum unter Kontrolle. Es besteht aus einem Unterton (der Unteroktave), der Prime gleich dem Schlagton, der Mollterz, Quinte und Oktave. Als schwächere Obertöne kommen dazu noch Dezime, Undezime, Duodezime, Doppeloktave, Tripeloktave.
Ein bescheidenes Geläut aus drei Glocken stimmt zum Beispiel über dem tiefen Nennton seine anderen Glocken ab auf die kleine Terz und die Quarte, gewählt als Anfangsnoten des liturgischen Gesangs Te Deum laudamus.

### Schallwellen in der Luft
#### Vorbemerkungen zur Wellenphysik in Gasen

Die Luft und die Gase sind auch irgendwie elastisch und transportieren Schwingungsformen praktisch unverfälscht über weite Strecken. Wie kommt das? Dieser Abschnitt versucht Erklärungen auf dem Hintergrund der Dynamik von Fluiden. Feste Gegenstände bestehen im naiven Modell aus Kügelchen, die mit Federn aneinander haften. Damit ist das Hookesche Gesetz plausibel. In Wirklichkeit verlangt die Analyse der chemischen Bindungen zwischen Atomen den ganzen Apparat der Quantenmechanik, um die Elastizität herzuleiten. Und was passiert bei Gasen und Flüssigkeiten? Das naive Modell sieht einen Haufen von ungebundenen Kügelchen, die ungeordnet durcheinander fliegen und immer wieder elastisch zusammenstoßen. Bei jedem Stoß gibt es Energieerhaltung.
Ein Stück Luft verfügt also über eine Zustandsgröße, die innere Energie U, Summe aller kinetischen Energien der Moleküle. Sie ändert sich nicht, solange kein Austausch mit der Umgebung erfolgt; auch die unvermeidliche Abstrahlung und der Einfang von Photonen seien mal kurz weggedacht. Die Statistische Mechanik hat es geschafft, die Energie U und andere Zustandsgrößen wie die Entropie S als Funktionen von wenigen makroskopisch messbaren Parametern des Gases herzuleiten. Wir brauchen etwas von der kinetischen Gastheorie, denn diese liegt dem Phänomen der Schallausbreitung zugrunde.
Die wichtigste Erkenntnis ist der Gleichverteilungssatz, er wird pompös auch das Äquipartitions-Theorem genannt. Im statistisch stationären Zustand (unter Vernachlässigung der Quantenmechanik) haben alle mechanischen Freiheitsgrade der Atome oder Moleküle im Mittel dieselbe kinetische Energie. Ein Gasatom hat drei Freiheitsgrade der Translation, ein Molekül dazu noch zwei bis drei relevante für Rotationen. Die mittlere Energie ist eine Zustandsgröße, die konventionell als die Absolute Temperatur T herhalten muss. Aus historisch-praktischen Gründen wird die Temperatur in Kelvin gemessen und die Energie in Joule. Die Konstante der Umrechnung ist nach Ludwig Boltzmann benannt, $\langle E\rangle ={\tfrac {1}{2}}k_{B}\cdot T$. Die statistische Verteilungsfunktion der Energien ist eine Exponentialfunktion. Die relative Häufigkeit, mit der ein System mit kinetischer Gesamtenergie E angetroffen wird, ist proportional zu $W(E)=e^{-\beta E}=\exp {\big-E/(k_{B}T){\big )}$ (Maxwell-Boltzmann-Verteilung).
Was ist die Dichte der Energien von Teilchenzuständen, über die aufsummiert wird? Die Energie ist eine Zufallsvariable auf dem Phasenraum mit 6N Koordinaten, den Paaren von (Ort,Impuls) aller Teilchen. Das Maß auf diesem Phasenraum ist $\prod (d^{3}q_{i}\;d^{3}p_{i}\;\exp(-\beta p_{i}^{2}/(2m))$, vor Normalisierung. Zum Erwartungswert der vollen kinetischen Energie $\sum \nolimits _{i}({\vec {p}}_{i}^{2}/2m)$ leistet dann jeder der 3N Freiheitsgrade den Beitrag $1/(2\beta )=k_{B}T/2$. Die Ausrechnung ist langweilige Routine und wir hier weggelassen.
In der Quantenmechanik funktionieren praktisch nur die Translations-Freiheitsgrade mit kontinuierlicher Energie von Null aufwärts. Jedoch die Freiheitsgrade von Rotation und Vibration der Moleküle bekommen diskrete Energieniveaus und sind bei niedriger Temperatur eingefroren. Die Äquipartition gilt nicht und deren Verteilung ist nicht mehr exponentiell. Erst wenn die Temperatur die Schwelle des jeweiligen Quantums übersteigt, taut der Freiheitsgrad auf und trägt bei zur Wärmekapazität. Das heißt, zu der Ableitung der mittleren Energie einer Molekül-Sorte als Funktion der Temperatur.

#### Adiabatische Prozesse

Ein ideales Gas sei in einem Würfel mit dem Volumen V eingesperrt, dessen elastischen Wände die aufprallenden Atome ohne Energieverlust abschmettern. Jeder Aufprall bedeutet einen Kraftstoß auf die Wand, nämlich Kraft mal Zeit gleich Änderung des Impulses = 2p, wo p den Impuls des ankommenden Atoms senkrecht zur Wand bezeichnet. Wir wollen den Druck P abschätzen, den das Gas auf die Wand ausübt, also die Kraft pro Flächeneinheit im Zeitmittel. Es ist die Summe aller Impulsüberträge, geteilt durch die Zeit der Messung. Wir haben $p^{2}/(2m)=k_{B}T/2;\;p=mv$. Die Dichte des Gases sei ρ Atome pro Volumeneinheit. Die Hälfte der Atome geht mit Geschwindigkeit v Richtung Wand, so dass eine Fläche A in der Zeit t die Anzahl von Stößen $\rho Avt/2$ mitbekommt. Kraft mal Zeit als Summe der Impulse daher
    - $Ft=(2mv)\rho Avt/2=At\;\rho mv^{2}$.
    - Wegen $(mv^{2}/2)=k_{B}T/2$ folgt $\;P=(F/A)=\rho \cdot k_{B}T$.
    - Mit $\rho =(N/V)$ also $\;PV=N\cdot k_{B}T,$ wo N=Gesamtzahl der Atome.
Dies ist ein Zustandsmodell des idealen Gases. In alten Zeiten wurde noch mit Molen, Loschmidt- und Avogadro-Zahlen und irgendwelchen Gaskonstanten R hantiert, aber das lassen wir hier bleiben.
    Das Modell der inneren Energie mit f=3 bis 6 Freiheitsgraden sei: $U=(f/2)\;N\cdot k_{B}T$.
Etwas allgemeiner wäre ein Energiemodell U=U(T,V), das an den Freiheitsgraden etwas ändert, wenn die Atome/Moleküle nahe zusammenrücken. Seine Wärmekapazität pro Molekül bei festem Volumen ist definiert als $c_{V}=(\partial U/\partial T);\;=(f/2)\;k_{B}$ hier.
Wenn zwei Objekte ungleicher Temperatur in Kontakt kommen, gibt es einen Energiefluss oder Wärmeaustausch, bis die Temperaturen sich ausgleichen. Denn nur solches ist ein stationärer, stabiler Zustand des Gesamtsystems. Spontane lokale Fluktuationen der Temperatur kommen zwar mikroskopisch und eher selten vor, aber makroskopisch nie! Der Zweite Hauptsatz verbietet sowas.
Der Erste Hauptsatz besagt nichts anderes als die Erhaltung der Energie. Wird zum Beispiel ein Gas mit dem Kolben in einer Luftpumpe komprimiert, geht mechanische Arbeit als Integral von Kraft mal Weg (gleich: Druck mal Änderung von Volumen) in das Gas über. Seine innere Energie und daher seine Temperatur steigen. Man lässt ihm keine Zeit, die Temperatur mit der Umgebung auszugleichen. Die Kompression heißt in diesem Fall ein adiabatischer Prozess.
Was kann man ausrechnen an der Luftpumpe?
Das eingebrachte Element Arbeit $\delta A=-P\;dV$ ist eine Differenzialform auf der PV-Ebene. Das 'δ' soll andeuten, dass die Form nicht exakt ist, nicht die totale Ableitung einer Zustandsfunktion. Aber es gibt die totale Ableitung von U. Mit bekannten Zustandsgleichungen U=U(T,V) und T=T(P,V) ist δA gleich der Energieänderung (Erster Hauptsatz):
    $-P\;dV=\delta A=dU=(\partial U/\partial T){\big(\partial T/\partial P)\;dP+(\partial T/\partial V)\;dV{\big ]}+(\partial U/\partial V)\;dV.$
Daraus folgt nun eine Differenzialgleichung vom Typ (dP/dV)=f(P,V), die hoffentlich lösbar wird.
    $T(P,V)=PV/(Nk_{B});\;(\partial U/\partial T)=(f/2)Nk_{B};\;(\partial U/\partial V)=0\;\Rightarrow$
    $-P\;dV=(f/2)V\;dP+(f/2)P\;dV;\quad (f/2)V(dP/dV)=-P(1+(f/2))\;\Rightarrow$
    $(f/2)\;d(\log P)=-(1+(f/2))\;d(\log V)\;\Rightarrow \;(P/P_{0})=(V_{0}/V)^{(2+f)/f}$
Das ist die adiabatische Kurve des Paares (P,V) ausgehend von einem bekannten Startpunkt von Druck und Volumen. Bei f=3 beträgt der Exponent (5/3). Er wird auch der Adiabatenkoeffizient (γ) genannt.
Der Schall entsteht, wenn lokal in der Luft eine schnelle Druckänderung auftritt. Eine schwingende Lautsprechermembran beschleunigt beim Ausfahren die auftreffenden und abprallenden Luftmoleküle in Achsrichtung und verlangsamt solche beim Einfahren. Dadurch gibt es im Wechsel Überdruck und Unterdruck gleich vor der Membran. Die ideale Adiabatenkurve beschreibt adäquat, wie der Druck und die Ausdehnung (das Volumen) einer lokalen Luftmenge sich zusammen ändern. Statt mit dem Volumen wird oft mit der Dichte des Gases argumentiert, invers proportional zum gefüllten Raum. Die Druck-Dichte-Gleichung ist also $(P/P_{0})=(\rho /\rho _{0})^{\gamma }$. DieGröße ρ ist entweder die Massendichte oder die Dichte der Molekülzahl, wenn das Gas nur eine Sorte hat.
Die Kompressibilität K misst, welche Änderung des Volumens beziehungsweise der Dichte (mit dem anderen Vorzeichen) eine kleine Druckänderung bewirkt,
    $\Delta P=-K\cdot (\Delta V)/V=K\cdot (\Delta \rho )/\rho \;\Rightarrow \;K=\rho (\partial P/\partial \rho )=\gamma P\;$.

#### Erhaltene Größen und Kontinuitätsgleichung

Für ein fluides dynamisches Medium (Gas, Flüssigkeit) kann man mehrere Dichten einführen, nämlich zusätzlich zur Massendichte $\rho (t,{\vec {x}})$ noch eine Energiedichte $\epsilon (t,{\vec {x}})$ und eine Impulsdichte ${\vec {\pi }}(t,{\vec {x}})$. Ein System von Kontinuitätsgleichungen sorgt dafür, die physikalischen Erhaltungssätze für diese Observablen zu formulieren. Die Dichten sind in Ort und Zeit variabel. Es gibt ein Drift-Geschwindigkeits-Vektorfeld ${\vec {u}}(t,{\vec {x}})$, das ausdrückt, wie schnell sich die Materie am Ort-Zeit-Punkt $(t,{\vec {x}}))$ momentan bewegt. Natürlich ist dieses die mittlere Geschwindigkeit aller Gasmoleküle in einem kleinen Testvolumen, wesentlich langsamer als die thermische Molekülbewegung. Eine Dichte ist ebenso mesoskopisch definiert: über ein kleines Volumen ein gemittelter Wert, der eine quantitative Eigenschaft jedes Atoms ist. So wie etwa seine Masse, seine kinetische Energie, sein Impuls.
Wie variiert eine Dichte irgendeiner Art $\rho (t,{\vec {x}})$ zeitlich in einem winzigen Testwürfel $V=\Delta x\times \Delta y\times \Delta z$ um den Punkt $(t,{\vec {x}})=(t,x,y,z)$ herum?
Es sei vorausgesetzt, dass die Dichte aus zeitlich erhaltenen Werten aufsummiert ist. Die Massendichte ist von dieser Art, da sich die Massen der Moleküle nicht ändern. Die Dichte der kinetischen Energie und des mittleren Impulses ebenfalls, wenn nach jedem elastischen Stoß von Atompaaren die Summe dieser Daten gleich bleibt. Ein Erhaltungssatz sagt dann folgendes:
Die direkte Zunahme $V\cdot (\partial \rho /\partial t)\Delta t.$ der Größe ρ im gegebenen Würfel kommt nur durch die Migration der Quantität mit Driftgeschwindigkeit ${\vec {u}}=(u_{x},u_{y},u_{z})$ aus der oder in die Nachbarschaft zustande. Die saloppe Herleitung der Entwicklung im Testwürfel geht wie folgt, die strengere würde Integralrechnung und einen Stokesschen Satz bemühen. Von links kommt hereintransportiert, mit dem Flächenfaktor brauchbar kodiert:
    $(V/\Delta x)\cdot u_{x}(x)\;\rho (x)\;\Delta t.$
Von rechts symmetrisch dazu,
    $(V/\Delta x)\cdot (-u_{x}(x+\Delta x))\;\rho (x+\Delta x)\;\Delta t.$
Die Summe beider ist $(V\;\Delta t)$ mal die Ableitung nach $x,\;-(\partial /\partial x)(u_{x}\cdot \rho ).$ Aus den zwei anderen Himmelsrichtungen gibt es gleichartige Beiträge. Die Variation mit der Zeit ist die Summe der hereingedrifteten Mengen und ergibt, geteilt durch $(V\cdot \Delta t),$
    $\partial \rho /\partial t=-\partial _{x}(u_{x}\;\rho )-\partial _{y}(u_{y}\;\rho )-\partial _{z}(u_{z}\;\rho )$
Es folgt die Kontinuitätsgleichung mit dem Nabla-Operator.
    $\partial \rho /\partial t+\partial _{x}(u_{x}\;\rho )+\partial _{y}(u_{y}\;\rho )+\partial _{z}(u_{z}\;\rho )=\partial _{t}\rho +{\vec {\nabla }}\cdot ({\vec {u}}\;\rho )=0$
Erinnerung: Nabla angewandt auf ein Skalarfeld f produziert ein Vektorfeld ${\vec {\nabla }}f$ und heißt der Gradient von f. Nabla angewandt auf ein Vektorfeld ${\vec {u}}$ in der Form $({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {u}})$ produziert ein Skalarfeld und heißt die Divergenz von ${\vec {u}}$.
    ${\vec {\nabla }}f=(\partial _{1}f,\partial _{2}f,\partial _{3}f);\quad ({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {u}})=\partial _{1}u_{1}+\partial _{2}u_{2}+\partial _{3}u_{3}.$
Zu einer Dichte gehört also immer ein Driftstromvektor, $(\rho ,\;{\vec {u}}\rho )$, der angibt, wie schnell die Sache zerfließt, sich räumlich fortbewegt. Die Impulsdichte eines Gases ist natürlich nicht erhalten, wenn eine Schwerkraft von außen angreift. Im kräftefreien Fall aber sei angenommen, dass die gemittelte Impulsdichte einfach als Massendichte mal Driftgeschwindigkeit geschrieben werden kann, ${\vec {\pi }}=\rho \;{\vec {u}}$.
Die Kontinuitätsgleichung der Massenerhaltung für die Massendichte ρ:
    $\partial _{t}\rho +{\vec {\nabla }}\cdot ({\vec {u}}\rho )=\partial _{t}\rho +({\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }})\rho +({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {u}})\rho =0$
Das Etappenziel sind die Euler-Gleichungen für das Bewegungsverhalten des Gases. Das sind Differenzialgleichungen für folgendes System mit fünf variablen Feldern.
    - Das spezifische Volumen $v(t,{\vec {x}}):=1/\rho (t,{\vec {x}});$
    - Der lokale Druck des Gases $p(t,{\vec {x}});$
    - Die lokale Durchschnitts- oder Driftgeschwindigkeit ${\vec {u}}(t,{\vec {x}}).$
Aus der Kontinuität von ρ folgen zunächst zwei ähnliche Gleichungen für Druck und Volumen bei idealen Gasen. Das Gas soll sich adiabatisch verhalten. Der lokale Druck ist dann eine Funktion der lokalen Dichte der Form $p=C\cdot \rho ^{\gamma }$, mit einer Konstanten C. Das spezifische Volumen wird mit C=1, γ=-1 ein Fall derselben Form. Gesucht sind Kontinuitätsgleichungen für p,v.
    $\partial _{t}p+{\vec {\nabla }}({\vec {u}}p)=C\gamma \rho ^{(\gamma -1)}(\partial _{t}\rho +({\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }})\rho )+({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {u}})p=(\gamma p/\rho )(-{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {u}})\rho +({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {u}})p\;\Rightarrow$
    $\partial _{t}p+{\vec {\nabla }}({\vec {u}}p)-({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {u}})p=\partial _{t}p+({\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }})p=-\gamma ({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {u}})p$
Das Paar von Gleichungen für Druck und Volumen ergibt sich daher.
    $\partial _{t}p+({\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }})p=-\gamma ({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {u}})p$
    $\partial _{t}v+({\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }})v=({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {u}})v$
Der Differenzialoperator $D_{t}:=[\partial _{t}+({\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }})]$ auf den linken Seiten wird gern interpretiert als die Zeitableitung mit Drift. Er bewertet die zeitliche Änderung der Felder für einen Beobachter, der mit dem Strom mitschwimmt. Wir nennen ihn die konvektive Zeitableitung.

#### Cauchy-Impulsterm, Euler-Gleichungen

An dieser Stelle zieht Newtons Mechanik in die Dynamik der Fluide ein.
Die Impulsdichte $(\rho {\vec {u}})$ bekommt eine Erhaltungsgleichung, die nicht zu Null aufgeht. Sondern ein Kraftfeld ${\vec {f}}(t,{\vec {x}})=\{f_{i}(t,{\vec {x}}\}$ macht eine Zeitveränderung der Impulse, die keine bloße Bilanz von Migration ist. Das heißt, für jede Kraftkomponente i:
    $f_{i}=\partial _{t}(\rho \;u_{i})+{\vec {\nabla }}\cdot ({\vec {u}}\rho u_{i})=(\partial _{t}\rho )u_{i}+\rho \partial _{t}u_{i}+({\vec {\nabla }}\cdot ({\vec {u}}\rho ))\cdot u_{i}+({\vec {u}}\rho )\cdot ({\vec {\nabla }}u_{i})=$
    $f_{i}=[\partial _{t}\rho +{\vec {\nabla }}\cdot ({\vec {u}}\rho )]\cdot u_{i}+\rho \cdot (\partial _{t}u_{i}+{\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }}u_{i})=\rho \cdot D_{t}u_{i}.$
Benutzt wird die konvektive oder Drift-Zeitableitung der Geschwindigkeit und die Tatsache, dass die eckige Klammer verschwindet. Denn diese Klammer enthält nur die Kontinuitätsgleichung der Dichte.
Die Zeitableitung der Impulse ist die Summe aller Kräfte. Werden Impulse betrachtet für die Teilchen die im Strom mitschwimmen, zieht die konvektive Ableitung des Geschwindigkeitsfeldes ein. Ganz wie Newton lehrte, Masse mal Zeitveränderung der Geschwindigkeit gleich Kraft.
Eine äußere Kraft ist typisch eine Gravitation $(\rho {\vec {g}})$ mit einem Beschleunigungsvektor. Wichtiger sind die inneren Kräfte zwischen benachbarten Volumen des Gases. Cauchy fand eine allgemeine Beschreibung dafür, mit Hilfe seines berühmten und schon erwähnten Tensors $\{\sigma _{ij}\}$.
Das Spannungs-Tensorelement $\sigma _{ij}(t,{\vec {x}})$ wirkt, zieht, drückt, auf einer Flächennormalen i in Richtung der Achse j. Es übt eine Kraft auf ein Testvolumen aus, die über alle Flächen der Hülle des Volumens zu summieren (integrieren) ist, jeweils proportional zu den Flächenstücken. Hier ist $i,j\in \{x,y,z\}\equiv \{1,2,3\}$. Die Kraft ist proportional zur Fläche, also hat der Spannungstensor die Dimension eines Drucks. Welche Kraft wirkt auf unseren bereits benutzten Testwürfel mit seinem Volumen $V=\Delta x\times \Delta y\times \Delta z$, in einer der drei Richtungen j? Von links auf Achse 1 greift in Richtung j die Kraft
    $-(V/\Delta x)\sigma _{1j}(x)$ zu, auf unser Impulselement $(V\rho {\vec {u}}_{j})$.
Von rechts
    $(V/\Delta x)\sigma _{1j}(x+\Delta x).$
Die Summe ergibt eine Ableitung im Grenzfall kleiner Δx, nämlich $(V\;\partial _{1}\sigma _{1j})$. Die anderen zwei Himmelsrichtungen wirken entsprechend mit Feldern $\sigma _{2j},\;\sigma _{3j}$, so dass die Kraft die Form hat:
    $f_{j}=\partial _{1}\sigma _{1j}+\partial _{2}\sigma _{2j}+\partial _{3}\sigma _{3j}=\sum \nolimits _{i}\partial _{i}\sigma _{ij}.\quad \Rightarrow \;$
Impulsgleichung in Kurzform:
    $\rho \;D_{t}{\vec {u}}=(\nabla \cdot \sigma )+\rho {\vec {g}}.$
Das Problem ist nun, an den Spannungstensor heranzukommen. Er enthält allgemein seitlich gerichtete Kräfte, die von der Viskosität des Mediums herrühren. Mit solchen fällt die Navier-Stokes-Gleichung an, die immer noch erfolgreich zur Simulation von Strömungen um Autos und fliegende Vehikel herangezogen wird.
Wir beschränken uns aber auf den Fall, dass {σ} völlig diagonal ist mit gleichen Werten. Der Tensor soll den gewöhnlichen skalaren Druck darstellen.
    $\sigma _{xx}=\sigma _{yy}=\sigma _{zz}=-p(t,{\vec {x}}),$ alle anderen Komponenten =0. Das Vorzeichen kommt daher, dass ein positives $\sigma _{xx}$ auf einer, immer nach außen gerichteten, Flächennormalen einen Zug bedeutet. Der Druck auf die Flächen soll nach innen wirken. Die Interpretation der internen Kraft ist hier, dass ein Druckgradient die Teilchen im Mittel beschleunigt. Denn die elastischen Stöße von einer Seite sind heftiger und/oder zahlreicher als die von der anderen; also gibt es einen Netto-übertrag von Impulsen.
Der Spezialfall eines Druckfeldes $p(t,{\vec {x}})$ führt zu
    $\rho \;D_{t}{\vec {u}}=(-{\vec {\nabla }}p)+\rho {\vec {g}};\quad D_{t}:=\partial _{t}+({\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }})$.
Wenn das spezifische Volumen v=1/ρ eingesetzt wird, ergibt sich der Satz von Gleichungen fürs adiabatische Gas und sein Feldsystem $\{{\vec {u}},p,v\}$:
    ${\begin{array}{ll}D_{t}{\vec {u}}&=-v({\vec {\nabla }}p)+{\vec {g}},\\D_{t}p&=-\gamma ({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {u}})p,\\D_{t}v&=({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {u}})v.\end{array}}$
Leonhard Euler, Spitzenmathematiker und Universalgenie, schrieb die Gleichungen schon um 1755 auf. Nur die Zustandsgleichung mit der Adiabatenkonstante, die p,v verknüpft, wurde von Laplace nachgeliefert.
Das Gleichungssystem ist linear in jeder Zeitableitung der fünf Komponenten und bilinear in allen Paaren, Komponente-A mal Raumableitung-der-Komponente-B. Ein nichtlineares System mit zahlreichen verzwickten Lösungen. Solche liefern brauchbare Modelle für viele Phänomene der Bewegung von Flüssigkeiten und Gasen.
Ein Beispiel ist der Effekt von Bernoulli, ein Zusammenhang zwischen der Strömungsgeschwindigkeit und dem Druck von Gasmassen. Die Gleichung von Bernoulli ist dafür verantwortlich, dass der ganze Flugverkehr überhaupt vom Boden abhebt. Wird eine strömende Luftmasse gezwungen, schneller zu fließen, verliert sie an Druck. Wird sie gebremst, steigt der Druck. Das erste passiert an der Oberseite, das zweite an der Unterseite eines Flügels. Der Druckunterschied bewirkt den Auftrieb.
Eine Variante der Gleichungen mit $({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {u}})=0$ modelliert inkompressible Flüssigkeiten. Dies ist äquivalent zu der Forderung, dass die konvektive Zeitableitung der Dichte verschwindet. Druck und Dichte koppeln nicht mehr über die Adiabatengleichung und die Gleichung der Zeitableitung des Drucks geht so nicht mehr durch.
Die Physik der Fluide steht ausgiebiger hier: Mechanik flüssiger und gasförmiger Körper.

#### Herleitung der Schallgeschwindigkeit

In einer Raumdimension hat das Geschwindigkeitsfeld nur eine Komponente und die Nabla-Operatoren werden einfache x-Ableitungen. Notiert mit Punkt und Strich:
    ${\begin{array}{ll}{\dot {v}}+uv'&=vu'\\{\dot {u}}+uu'&=-vp'+g\\{\dot {p}}+up'&=-\gamma pu'\end{array}}$
Es sind drei Funktionen von zwei Variablen, in Vektor- und Matrix-Schreibweise:
    ${\frac {\partial }{\partial t}}{\begin{pmatrix}v\\u\\p\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}u&-v&0\\0&u&v\\0&\gamma p&u\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}v'\\u'\\p'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\g\\0\end{pmatrix}}$
Nun wird eine brutale Näherung für kleine Signale versucht. Die drei Felder seien kleine Variationen um einen Gleichgewichtspunkt herum. Die quadratische Matrix [A] der Gleichung wird durch diese Mittelwerte approximiert, nur in den Ableitungen leben die Fluktuationen. Das ist dann ein lineares System. Reflexartig heißt es: Diagonalisieren! Das geht über die Nullstellen des Polynoms $\det[\mathbf {A} -\lambda \mathbf {U} ]=0$, was ergibt (Determinantenkunde hier nötig):
    $(u-\lambda )[(u-\lambda )^{2}-\gamma pv]=0$.
    Drei Lösungen: $\lambda =\{u,\;u+u_{1},\;u-u_{1}\}\quad {\text{mit }}u_{1}={\sqrt {(\gamma pv)}}.$
Zu diesen Lambdas gibt es also Moden (Linearkombinationen der Felder) mit der simplen Differenzialgleichung ${\dot {y}}=-\lambda y'$, der Gravitationsterm sei ausgeschaltet. Es sind Wellen vom Typ $y=f(x-\lambda t)$ mit einer beliebigen Signalform f. Ruht die Luft, ist in der Gleichgewichtslage die mittlere Geschwindigkeit Null (u=0) und es ist genau $\lambda =\pm u_{1}=\pm {\sqrt {(\gamma pv)}}$ die Geschwindigkeit der Wellen.
Unser Gasmodell sagt $pV=k_{B}T$, wo V das Volumen pro Molekül ist. Sei die Molekülmasse m. Die Massendichte ist dann ρ=(1/v)= (m/V). Daher $pv=pV/m=k_{B}T/m$. Schnell in die Quadratwurzel eingebaut:
    $u_{1}={\sqrt {(\gamma k_{B}T/m)}}={\sqrt {(\gamma RT/M)}}\quad$ (Schallgeschwindigkeit c)
Zur Probe setzen wir Werte ein für die Luftmoleküle (M ist die Masse für ein Mol):
    { γ=1,4; R=8,3 J/(K mol); T=(273+27=300) K; M= 0,029 kg/mol }.
Als Geschwindigkeit kommt heraus: c = 347 m/s, ganz realistisch für trockene Luft.
Folgerung: die hier ausgebreitete Theorie ist nicht von der Hand zu weisen. Sie sagt die Schallgeschwindigkeit weitgehend richtig voraus, ausgehend von der Masse der Moleküle und den Prinzipien der klassischen Mechanik und Wärmelehre. Mit allen gekoppelten Feldvariablen sollten die Wellen bestehen aus gleichzeitigen Vibrationen der Dichte, des Drucks, der Temperatur, der "mesoskopischen" Geschwindigkeit, der Auslenkung um die Ruhelage. Der Schall wird schneller bei höherer Temperatur und in leichteren Gasen.

#### Dreidimensionale Schallwellen

Zur groben Linearisierung teilt man wieder alle Felder auf in langsam variierende (Großbuchtstaben) Mittelwerte und schnelle kleine Fluktuationen. Beispielsweise:
    $\;p(t,{\vec {x}})\to P(t,{\vec {x}})+p(t,{\vec {x}})$.
Wir zwängen in die Formeln bei Ableitungen nur die Kleinbuchstaben, bei ursprünglichen Feldern die Großbuchstaben. Über gleiche Indizes in demselben Term werde automatisch summiert. Es erfand Einstein diese Konvention, als er sich mit vielen Indizes von Tensoren herumplagte. Damit sehen die Euler-Gleichungen so aus, angenommen ohne äußere Kräfte und in der dritten Spalte bei verschwindendem Driftfeld $\{U_{k}\}$:
    ${\begin{array}{ll}\partial _{t}u_{i}&=-U_{k}\partial _{k}u_{i}-V\partial _{i}p&=-V\partial _{i}p\\\partial _{t}p&=-U_{k}\partial _{k}p-\gamma P\partial _{k}u_{k}&=-\gamma P\partial _{k}u_{k}\\\partial _{t}v&=-U_{k}\partial _{k}v+V\partial _{k}u_{k}&=V\partial _{k}u_{k}\end{array}}$
Die zweite Zeitableitung des Feldes p wird interessant:
    $\partial _{t}^{2}p=-\gamma P\;\partial _{j}(\partial _{t}u_{j})=\gamma PV\;\partial _{j}(\partial _{j}p)=c^{2}\;\partial _{j}\partial _{j}p$
Hier ist c$^2$ das Quadrat der bereits diskutierten Schallgeschwindigkeit. Die zweiten Ortsableitungen sind eine Summe
    $\partial _{j}\partial _{j}p=(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2}+\partial _{z}^{2})p=(\partial _{1}^{2}+\partial _{2}^{2}+\partial _{3}^{2})p=\Delta p$
Dieses Delta ist die Definition des Laplace-Operators und die Gleichung
    $\partial _{t}^{2}p={\ddot {p}}=c^{2}\;\Delta p\quad$ ist die dreidimensionale Wellengleichung.
Die Druckfluktuation, genannt der Schalldruck, kann beispielsweise ebene Wellen schlagen der Form
    $p(t,{\vec {x}})=f(({\vec {n}}\cdot {\vec {x}})-ct)$,
wo die Amplitude f jede beliebige glatte Kurve sein darf. Der Vektor ${\vec {n}}$ ist normiert, $|{\vec {n}}|={\sqrt {({\vec {n}}\cdot {\vec {n}})}}=1$. Also ein Einheitsvektor. Er zeigt in die Richtung der Wellenausbreitung.
Für das Schnelle-Feld ${\vec {u}}=\{u_{i}\}$, wir nennen diese oszillierende Drift so denn sie ist was anderes als die Schallgeschwindigkeit, der ebenen Welle folgt
    ${\dot {u}}_{i}=\partial _{t}u_{i}=-V\;\partial _{i}p=-V\cdot n_{i}\cdot f'({\vec {n}}{\vec {x}}-ct).$
Das heißt, das Beschleunigungs-Vektorfeld zeigt in die Richtung der Wellenbewegung. Das Schnellefeld und das Feld der lokalen Auslenkung folgen aus Zeitintegration der Beschleunigung mit unbekannten ortsabhängigen Konstanten. Da wir annehmen, dass diese Konstanten im langsam variablen Hintergrund $\{U_{k}\}$ stecken, dass der so gut wie Null ist weil kein Wind herrscht, wird gefolgert: Die Vektorfelder der Schnelle und der Auslenkung von Schallwellen sind longitudinal, parallel zur Ausbreitungsrichtung des Schalls. Im Gegensatz zu festen Körpern, in denen sich verschieden schneller transversaler und longitudinaler Schall fortbewegt, gibt es bei Gasen nur longitudinalen Schall. Ein anderer Bereich der Physik, der Elektromagnetismus, macht genau das Gegenteil. Dessen vektoriellen elektrischen und magnetischen Felder erlauben sich ausschließlich transversale Wellen.
Die sinusförmigen ebenen Wellen mit vorgegebener Frequenz f haben die Gleichung $p(t,{\vec {x}})=p_{M}\;\sin(({\vec {k}}\cdot {\vec {x}})-\omega t)$. Darin ist p$_M$ die Spitzenamplitude der Druckvariation, ω=2πf die Kreisfrequenz. Der Wellenvektor ${\vec {k}}$ zeigt in Richtung der Fortbewegung, seine Länge ist die inverse Wellenlänge,
    $|{\vec {k}}|=2\pi /\lambda ;\;c=f\cdot \lambda ;\;\omega =c\cdot |{\vec {k}}|.$
Mit der konstanten Geschwindigkeit c sind Wellenvektor und Frequenz streng proportional und es gibt keine Dispersion. Der Schall aller Frequenzen wandert gleich schnell. Die Wellenformen der komplexen musikalischen Signale bleiben unverändert.
Welche Werte haben bei Alltagslärm denn die Amplituden des Schalldrucks, der Schallschnelle, seiner Auslenkung und auch seiner Temperaturvariation? Die Hörschwelle wird beim effektiven Druck 2x10$^{-5}$ Pascal angesetzt. Effektivwerte sind etwas kleiner als Spitzenamplituden. Der Druck der Atmosphäre liegt bei 10$^5$ Pascal. Ganze 10 Zehnerpotenzen trennen diese Druckwerte. Kein Wunder dass die lineare Näherung der Gleichungen da funktioniert. Die Amplituden werden logarithmisch in Dezibel (dB) verfolgt. Ein Faktor 10 bedeutet einen Zuwachs von 20 dB. Als Nullpunkt (0 dB(A)) der akustischen Dezibel dient die Hörschwelle. Ein Schall von 60 dB(A) = 2x10$^{-2}$ Pa ist laut, noch komfortabel. Einer von 120 dB(A) = 20 Pa ist hart an der Schmerzschwelle und zerstört bei Dauerbelastung das Gehör.
Aufgabe. Ein Piepton von f=1000 Hz mit 40 dB(A) = 2 mPa sei in der Luft. Man berechne die Schnelle, die Auslenkung, die Temperaturschwingung.
Mehr zum Schall gibt es bei Grundlegendes zur Akustik. Der Inhalt ergänzt die (arg theoretischen?) Ausführungen hier.
Kugelwellen. Wie können die Lösungen der Wellengleichung aussehen, wenn ein kleiner Rundum-Strahler wie eine Amsel auf dem Baumwipfel die Quelle von Lauten ist? Versuchen wir Funktionen, die nur vom Radius abhängen.
    ${\bar {p}}(t,{\vec {x}})=p(t,r)=f(r)g(r-ct);\quad {\ddot {p}}=c^{2}fg''\;=?\quad c^{2}\Delta {\bar {p}};\quad r={\sqrt {(x^{2}+y^{2}+z^{2})}}$
Die Funktion g ist eine beliebige Amplitude, die sich radial ohne Verformung ausbreitet und f ist ein Faktor, der die Amplitude abklingen läßt. Mit allen bekannten Produkt- und Kettenregeln rechnen wir den Delta-Operator aus für radiale Funktionen.
    $\partial _{x}{\bar {p}}=p'(r)\;\partial _{x}r=(x/r)p';\quad \partial _{x}^{2}{\bar {p}}=(x/r)^{2}p''+(p'/r)-(x^{2}p'/r^{3})\;\Rightarrow$
    $\Delta {\bar {p}}=p''+(2p'/r)=(fg''+2f'g'+f''g)+2(f'g+fg')/r$
    Faktor von g = Null? $\;0=f''+2f'/r\;\Rightarrow \;f''=-2f'/r\;\Rightarrow \;f'=(a/r^{2})\;\Rightarrow \;f=(-a/r)$ als Kandidat.
    Faktor von g' =Null? $\;0=2f'+2f/r\;\Rightarrow \;f'=-f/r\;\Rightarrow \;f=b/r$
Beides geht also zugleich und f=1/r ist richtig als Amplitudenfaktor, $\;\Delta {\bar {p}}=fg''$.
    Auslaufende Kugelwelle $p(t,r)=g(r-ct)/r;\quad r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$
Die Amplitude fällt ab wie der Kehrwert des Abstands von der Quelle. Das gilt genauso für die Amplitude der Schallschnelle. Das Quadrat dieser Schnelle zählt bei der kinetischen Energiedichte, die der Schall transportiert, wenn beispielsweise g ein kurzer Impuls ist. Die Dichte der Leistung fällt mit dem Quadrat des Abstands. Daher bleibt das Integral der Energiedichte über die Kugelfläche eines jeden Abstands konstant. Die Wellengleichung enthält also die Erhaltung der Energie.
Die Energieerhaltung kommt hier davon, dass die Euler-Gleichungen verlustfrei sind. In diesem vereinfachten Modell gibt es keine Reibung an Grenzflächen, keine Viskosität des Mediums, keine Wärmeleitung zum Temperaturausgleich. Nur reversible Prozesse. All die Komplikationen wurden nachträglich in die aufgebohrte Version eingebaut, nämlich die Gleichungen von Navier und Stokes.

### Anhang. Saite bei nichtlinearer Auslenkung.

Skript zur numerischen Integration der Schwingung.

# Schwingende Platten
### Eigenschwingungen zweidimensionaler Objekte

In diesem Kapitel soll beispielhaft mit der Mechanik elastischer Körper und mit den Methoden von Walter Ritz durchgerechnet werden, welche Schwingungen eine quadratische Platte ausführen kann, wenn sie frei aufgestellt wird. Die Modellvorstellung: die Ränder und Ecken bleiben frei beweglich.

#### Die Klangfiguren von Chladni

Ernst Florens Friedrich Chladni (1756-1827) war zuerst promovierter Jurist und sattelte dann auf die Naturwisssenschaften um, wo er zum Begründer der physikalischen Akustik wurde. Er studierte die Töne, mit denen die Platten aus Glas oder Metall erklingen, wenn sie angeschlagen oder anderweitig angeregt werden. Er versah die Frequenzen mit Noten aus der Zwölftonskala und machte die zugehörigen stehenden Wellen als Figuren der Knotenlinien sichtbar. Dazu streute er feinen Sand auf die Platte und strich sie an ausgewählten Stellen am Rand mit dem Geigenbogen. Der Sand sammelt sich bei den Eigenschwingungen auf bestimmten Knotenlinien, also da, wo die Platte sich nicht bewegt. Die Chladnischen Klangfiguren sind das Ergebnis seiner Experimente. Chladni war es auch, der erkannte, dass die Meteoriten aus dem Weltall stammen, entgegen der Meinung von hochrangigen skeptischen Intellektuellen.
Die Theorie im Anschluss an Chladni, vorangetrieben durch Kirchhoff, Ritz, ... machte die Platten-Schwingungen berechenbar. Für die eckigen (im Gegensatz zu kreisrunden) Platten gab es keine analytische Lösung, aber bahnbrechende Fortschritte in der Numerik.

#### Theorie der elastischen Platte

Um die transversalen Schwingungen von Platten zu berechnen, kann man ausgehen von den Ergebnissen eine Dimension niedriger, also den Schwingungen der Saiten. Es wurde möglich, mathematisch ausformulierte Lösungen des Problems bei rechteckigen Platten zu finden, die an zwei oder vier Kanten fest eingespannt sind. Aber für die frei bewegliche Platte, wie sie Chladnis Versuchen nahekommt, holte man keine analytischen Wellenformen heraus aus den Differenzialgleichungen und den Randbedingungen. Fangen wir an mit dem freischwingenden Stab oder Draht oder Balken, wie auch immer.

#### Biegeschwingung in einer Dimension

Die Wirkung der biegesteifen Saite mit Zugkraft $F$ aus dem vorigen Kapitel hatte diese quadratische Form, als ein Integrand über Ort und Zeit betrachtet:
    $L={\frac {\mu }{2}}{\dot {w}}^{2}-{\frac {F}{2}}(w')^{2}-{\frac {EI}{2}}(w'')^{2}$
Nun soll die Zugkraft wegfallen und der Draht oder Balken soll frei sein, nicht an den Enden eingespannt. Welche transversalen Schwingungen macht er dann?
Mit dem Ansatz $w(x,t)=\cos(\omega t)u(x)$ und der schlampigen Annahme, dass in ganz ferner Zukunft und Vergangenheit die Werte von w vernachlässigt werden, ersetzen wir in der Dichte L den Term ${\dot {w}}^{2}$ mit Hilfe von partieller Integration über die Zeit durch $-w{\ddot {w}}=\omega ^{2}\cdot w^{2}$.
Es bleibt ein Variationsproblem auf der x-Achse, unabhängig von der Zeit:
    $\int {\Big{\frac {\mu \omega ^{2}}{2}}w^{2}-{\frac {EI}{2}}(w'')^{2}{\Big ]}\;dx=$ extremal oder stationär.
Setzen wir $w(x,t){\text{ zu }}u(x)$, und $\lambda ={\frac {\mu \omega ^{2}}{EI}}$, dann wird daraus:
    ${\frac {\delta }{\delta u}}{\Big\int {\Big{\frac {(u'')^{2}}{2}}-\lambda {\frac {u^{2}}{2}}{\Big ]}\;dx{\Big )}=0.$
Aus dieser Form des Problems kann man sowohl eine Differenzialgleichung im Drahtinneren als auch die Randbedingungen an den Drahtenden herleiten. Wenn das analoge Problem eine Dimension höher für die Platte drankommt, wird es Gleichungen fürs Innere, für die Kanten und für die Ecken geben. Daher üben wir die Sache zuerst mit einer Dimension. Der Draht/Balken sei auf dem Intervall [-a,a] angesiedelt.
Die Funktion u(x) wird mit einer glatten Testfunktion ε(x) variiert, typischerweise einer beliebig konzentriert gedachten Warze an irgendeinem Ort. Die Ein-Parameter-Familie $\{u(x)+z\;\epsilon (x)|-1<z<1\}$ ergibt bei z=0 ein Minimum des Wirkungsfunktionals, wenn u eine Lösung des Problems sein soll. Als Funktion von z betrachtet, hat diese Wirkung die erste Ableitung Null bei z=0. Das ist hier die Rechenaufgabe:
    $0={\frac {d}{dz}}|_{z=0}\int L(u+z\epsilon ,(u+z\epsilon )',(u+z\epsilon )'')\;dx$
    $0=\int {\Big{\frac {\partial L}{\partial u(x)}}\epsilon (x)+{\frac {\partial L}{\partial u'(x)}}\epsilon '(x)+{\frac {\partial L}{\partial u''(x)}}\epsilon ''(x){\Big )}\;dx$
Nun werden die Ableitungen von ε(x) aus dem Inneren vertrieben, nämlich mit partieller Integration:
    $\int {\frac {\partial L}{\partial u'(x)}}\epsilon '(x)\;dx={\frac {\partial L}{\partial u'}}\epsilon |_{-a}^{a}-\int {\Big{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial u'}}{\Big )}\epsilon \;dx$
    $\int {\frac {\partial L}{\partial u''(x)}}\epsilon ''(x)\;dx={\frac {\partial L}{\partial u''}}\epsilon '|_{-a}^{a}-\int {\Big{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial u''}}{\Big )}\epsilon '(x)\;dx$
Das letzte Integral wird noch einmal umgeformt:
    $-\int {\Big{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial u''}}{\Big )}\epsilon '(x)\;dx=-{\Big{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial u''}}{\Big )}\epsilon |_{-a}^{a}+\int {\Big{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}{\frac {\partial L}{\partial u''}}{\Big )}\epsilon (x)\;dx$
Jetzt gibt es einen Integranden mit dem Faktor ε(x) und Randterme. Weil die Testfunktionen beliebige Buckel sind, muss ihr Multiplikand identisch Null werden, um die Extremalbedingung zu erfüllen. Einsammeln von dem, was unter dem Integral bleibt, ergibt die Differenzialgleichung für u, nämlich:
    ${\frac {\partial L}{\partial u}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial u'}}+{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}{\frac {\partial L}{\partial u''}}=0$
Die Randterme an der oberen Grenze x=a sind:
    ${\frac {\partial L}{\partial u'}}\epsilon +{\frac {\partial L}{\partial u''}}\epsilon '-{\Big{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial u''}}{\Big )}\epsilon$
Da es sich um einen isolierten Punkt handelt, kann dort das beliebige $\epsilon$; und seine Ableitung unabhängig verformt werden. Es gibt daher zwei Randbedingungen für die Funktion u:
    $0={\frac {\partial L}{\partial u''}}(x=a);\quad 0={\Big{\frac {\partial L}{\partial u'}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial u''}}{\Big )}(x=a)$
Am unteren Grenzpunkt x=-a folgen die gleichen Bedingungen noch einmal.
    Konkretes Beispiel $L=((u'')^{2}/2-\lambda \;u^{2}/2)$
    ${\frac {\partial L}{\partial u}}+{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}{\frac {\partial L}{\partial u''}}=u''''(x)-\lambda \;u(x)=0;$
    ${\frac {\partial L}{\partial u''}}(\pm a)=u''(\pm a)=0;$
    ${\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial u''}}(\pm a)=u'''(\pm a)=0.$
Die Differenzialgleichung im Intervall ist zu lösen mit den Randbedingungen, dass die zweite und dritte Ableitung an den Endpunkten verschwindet.
Im Kapitel zu den Saiten wurde der frei longitudinal schwingende Stab erwähnt und seine Randbedingungen wurden mit etwas wedelnden Händen, den berühmten hand-waving arguments, begründet. Hier zeigt sich, wie man sie rigoros aus dem Wirkungsprinzip hätte ableiten sollen.

#### Die Reihe der Biegeschwingungen des Balkens

Mit den Endpunkten $x=\pm 1$ erwartet man gerade und ungerade Lösungen der Gleichung $u''''=\lambda u$, die aus den trigonometrischen und den hyperbolischen Funktionen linearkombiniert werden. Gleichung und Randbedingungen sagen:
    $u=a\;\cos(kx)+b\;\cosh(kx);\;k^{4}=\lambda ;\;-a\cos(k)+b\cosh(k)=0;\;a\sin(k)+b\sinh(k)=0$
    $u=a\;\sin(kx)+b\;\sinh(kx);\;k^{4}=\lambda ;\;-a\sin(k)+b\sinh(k)=0;\;-a\cos(k)+b\cosh(k)=0$
Elimination von a,b ergibt je eine numerisch zu lösende Gleichung für zwei diskrete Folgen von Lösungen.
    $\tan k_{n}=-\tanh k_{n};\;a_{n}=\cosh k_{n};\;b_{n}=\cos k_{n}\quad$ (n gerade);
    $q_{n}={\sqrt {(a_{n}^{2}+b_{n}^{2})}};\;u_{n}(x)=(a_{n}\cos k_{n}x+b_{n}\cosh k_{n}x)/q_{n};$
    $\tan k_{n}=+\tanh k_{n};\;a_{n}=\sinh k_{n};\;b_{n}=\sin k_{n}\quad$ (n ungerade);
    $q_{n}={\sqrt {(a_{n}^{2}-b_{n}^{2})}};\;u_{n}(x)=(a_{n}\sin k_{n}x+b_{n}\sinh k_{n}x)/q_{n}.$
Die Koeffizienten konnten so justiert werden, dass das Integral über Paare von diesen Eigenschwingungen eine Orthogonalitätsrelation erfüllt:
    $\int _{-1}^{1}u_{n}(x)\;u_{m}(x)\;dx=\delta _{nm}.$
Um ein vollständiges Funktionensystem zu erhalten, werden am Anfang der Reihe zwei triviale Funktionen vorgeschaltet, die nicht schwingen:
    $u_{0}(x)=1/{\sqrt {(2)}};\quad u_{1}(x)={\sqrt {(3/2)}}\;x.$
Danach kommen die Wellenzahlen $k_{n}$ dran in aufsteigender Ordnung.
    $k_{2}$=2,365 ist die erste gerade Lösung, Knoten an den Enden in $u_{2}(x)$.
    $k_{3}$=3,9266 die erste ungerade Lösung mit einem Knoten mehr in der Mitte.
Nach Ritz kann man jede stetige Funktion auf dem Intervall [-1,1] durch eine gleichmäßig konvergente Reihe aus diesem Funktionensatz approximieren mit:
    $f(x)=\sum \nolimits _{n=0}^{\infty }f_{n}\;u_{n}(x);\quad f_{n}=\int _{-1}^{1}u_{n}(x)f(x)\;dx.$
Dabei stört es nicht, dass die Randbedingungen der verschwindenden zweiten und dritten Ableitung gelten.
Das erste beiliegende Skript berechnet die Reihe der Funktionen in Form der Tupel $\{k_{n},a_{n},b_{n},q_{n}\}$ so weit wie nötig, um die Näherungsverfahren damit durchzuführen. In zwei Dimensionen wird eine doppelt indizierte Produktbasis nützlich sein, $\{u_{n}(x)\cdot u_{m}(y)\}$.
Man kann die Orthogonalität ohne Nachrechnen beweisen. Denn $u\mapsto u''''$ ist ein symmetrischer Operator auf dem Teilraum der Funktionen, die den Randbedingungen genügen. Das heißt, mit partieller Integration gilt für Paare:
    $\int _{-1}^{1}u(v)v''''(x)\;dx=\int _{-1}^{1}u''''(x)v(x)\;dx.$
Bei den Randtermen während der Umformung taucht nämlich immer eine zweite oder dritte Ableitung auf, die nach Voraussetzung zu Null wird.
Nun das Argument: Sind u und v zwei Eigenfunktionen zu einem symmetrischen Operator mit verschiedenen Eigenwerten, dann sind sie orthogonal. In der Tat liefert $v''''=\lambda v;\;u''''=\mu u$ beim Einsetzen in die Symmetriegleichung das Skalarprodukt aus, $\langle u|v\rangle =\int u(x)v(x)\;dx$ mit ungleichen Koeffizienten. Es muss daher verschwinden. Die Reihe der $u_{n}$ hat die Reihe von Eigenwerten $\lambda _{n}=k_{n}^{4}$, am Anfang zusätzlich $\lambda _{0}=\lambda _{1}=0$.

#### Vollständige orthonormale Funktionensysteme

Orthogonale Funktionen sind ein wichtiges Hilfsmittel. Beliebige aber brave Funktionen werden als Linearkombinationen von solchen ausgedrückt. Das Integral $\iint _{F}f(x,y)g(x,y)\;dx\;dy$ wird als ein Skalarprodukt bezeichnet und in der Physik gern als $\langle f|g\rangle$ notiert. Es ist symmetrisch, linear in beiden Argumenten und $\langle f|f\rangle$ ist streng positiv außer bei der Nullfunktion (Pedantisch: auf Mengen vom Maß Null darf f machen, was es will). Im Vektorraum der Funktionen gibt es dann die L$_2$-Norm
    $\|f\|=\langle f|f\rangle ^{1/2}$
und den Abstand $\|f-g\|$ zwischen zwei Funktionen. Eine Folge oder Reihe von Funktionen konvergiert gegen eine Grenzfunktion, wenn die Folge der Abstände dazu gegen Null geht. Dies ist eine schwache Art von Konvergenz, manchmal "Grenzwert im Mittel" oder "l.i.m." genannt. Wesentlich strengere Metriken wären die punktweise Konvergenz von Funktionen und die noch stärkere gleichmäßige Konvergenz. In der Praxis hat man mit der L$_2$-Norm das Privileg eines Hilbert-Raums. Es gibt Vollständige Orthonormalsysteme von Funktionen, die eine abzählbare Basis für die Gesamtheit der Funktionen ausmachen. Jedes Hilbert-Raum-Element ist Grenzwert einer Reihe von linearkombinierten Basisfunktionen $f(x,y)=\sum \nolimits _{i=0}^{\infty }f_{i}\;b_{i}(x,y)$. Die Basisfunktionen sind orthonormal, $\langle b_{i}|b_{k}\rangle =\delta _{ik}.$ Die Koeffizienten der Entwicklung sind einfach zu berechnen übers Skalarprodukt: $f_{i}=\langle b_{i}|f\rangle$. Die Fourier-Reihen bilden ein Musterbeispiel der Reihenentwicklung von Funktionen. Aber es gibt jede Menge von anderen Orthonormalsystemen, die spezifisch auf die jeweilige Anwendung gemünzt werden.
Beispiel für orthogonale Polynome.
Die Monome $\{y_{i}(x)=x^{i};\;i=0,1,...\}$ sind eine Basis, in der man gutartige Funktionen auf dem Intervall $x\in [-1,1]$ annähern kann. Die Entwicklung nennt sich die Taylor-Reihe
    $f(x)=\sum \nolimits _{n=0}^{\infty }f_{n}\;x^{n}=\sum \nolimits _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}{\frac {d^{n}f(0)}{dx^{n}}}x^{n}$
Wir wollen aus den Monomen eine andere Basis machen $\{z_{i}\}$, die orthonormal sei bezüglich des Produktes $\langle f|g\rangle =\int _{-1}^{1}f(x)g(x)\;dx$.
Mit $y_{0}=1{\text{ und }}z_{0}=(1/{\sqrt {2}})$ fängt ein Induktionsargument an. Was folgt, ist die gleiche Prozedur auf jedem Vektorraum mit Skalarprodukt. Angenommen, es seien bereits orthonormal
    $\{z_{i}|i=0...n\};\;\langle z_{i}|z_{k}\rangle =\delta _{ik}.$
Dann verbiegen wir $y_{n+1}$ zuerst so, dass wir all seine Projektionen auf die vorhandenen $z_{i}$ abziehen:
    $w:=y_{n+1}-\sum \nolimits _{i=0}^{n}\langle z_{i}|y_{n+1}\rangle z_{i}\;\Rightarrow \;\forall k:\;\langle z_{k}|w\rangle =\langle z_{k}|y_{n+1}\rangle -\sum \nolimits _{i=0}^{n}\langle z_{i}|y_{n+1}\rangle \delta _{ki}=0.$
Bleibt nur noch, dieses neue orthogonale Element zu normieren und zu vereinnahmen mit der Definition:
    $z_{n+1}:=w/({\sqrt {\langle w|w\rangle }})$.
Das Ergebnis ist eine Reihe von orthonormalen Vektoren, hier Polynomen. Das Skalarprodukt hat hier die spezielle Eigenschaft $\langle y_{i}|y_{k}\rangle =0$ falls (i+k) ungerade ist, weil das Integral einer ungeraden Funktion über [-1,1] verschwindet. Rekursiv folgt daraus, dass alle $z_{i}(x)$ gerade oder ungerade Funktionen sind, je nachdem ob ihr Index gerade ist oder nicht.
Ein kleines Skript erzeugt die Polynome bis zur Ordnung 16, in Form ihrer Koeffizientenlisten. Sie werden ein Testsystem für die Ritz-Methode, mit einem weniger guten als dem fast idealen Basissystem von Ritz.
Bemerkung. Wenn eine Normierung nicht gefordert wird, kann die Orthogonalisierung mit folgender Rekursion erfolgen, ohne Wurzelrechnung:
    $z_{n+1}=y_{n+1}-\sum \nolimits _{i=0}^{n}{\frac {\langle z_{i}|y_{n+1}\rangle }{\langle z_{i}|z_{i}\rangle }}\cdot z_{i}$
So sehen die ersten nicht-normierten Polynome mit ganzen Koeffizienten aus, die ein Skript mit Ganzzahl-Arithmetik ermittelte:
    ${\begin{array}{ll}p_{0}&=1\\p_{1}&=x\\p_{2}&=3\;x^{2}-1\\p_{3}&=5\;x^{3}-3\;x\\p_{4}&=35\;x^{4}-30\;x^{2}+3\\p_{5}&=63\;x^{5}-70\;x^{3}+15\;x\\p_{6}&=231\;x^{6}-315\;x^{4}+105\;x^{2}-5\\p_{7}&=429\;x^{7}-693\;x^{5}+315\;x^{3}-35\;x\\p_{8}&=6435\;x^{8}-12012\;x^{6}+6930\;x^{4}-1260\;x^{2}+35\\p_{9}&=12155\;x^{9}-25740\;x^{7}+18018\;x^{5}-4620\;x^{3}+315\;x\\p_{10}&=46189\;x^{10}-109395\;x^{8}+90090\;x^{6}-30030\;x^{4}+3465\;x^{2}-63\\p_{11}&=88179\;x^{11}-230945\;x^{9}+218790\;x^{7}-90090\;x^{5}+15015\;x^{3}-693\;x\\p_{12}&=676039\;x^{12}-1939938\;x^{10}+2078505\;x^{8}-1021020\;x^{6}+225225\;x^{4}-18018\;x^{2}+231\\\end{array}}$
Auf dem quadratischen Gebiet [-1,1]x[-1,1] sind die paarweisen Produkte von orthonormalen Polynomen einer Variablen wieder ein Orthonormalsystem, $w_{ik}(x,y)=z_{i}(x)\cdot z_{k}(y)$. Daraus bildet man Teilbasen fÿr die verschiedenen Symmetriedarstellungen; weiter unten wird das benutzt.
    A,B: $(w_{ik}\pm w_{ki})/{\sqrt {2}}$, i und k ungerade
    C,D: $(w_{ik}\pm w_{ki})/{\sqrt {2}}$, i und k gerade.
    E,F: $w_{ik}$ , i gerade und k ungerade, oder umgekehrt.

#### Modell der elastischen Platte

Das Modell der elastischen Platte für kleine Auslenkungen ist ein Spezialfall der Theorie eines allgemeinen elastischen Objekts P, das als homogen und isototrop angenommen wird. Dessen Auslenkung aus der Ruhelage für jeden seiner Punkte ${\vec {x}}\in P$ wird durch ein Verschiebungsfeld ${\vec {u}}({\vec {x}})$ beschrieben. Die Verschiebungen sind kleine zeitveränderliche Auslenkungen; der Punkt ${\vec {x}}$ wandert nach ${\vec {x}}+{\vec {u}}({\vec {x}})$.
Die elastische Energie, also die im Objekt gespeicherte potenzielle Energie V, ist nach dem allgemeinen Hookeschen Gesetz des vorigen Kapitels die Summe über eine quadratische Funktion des symmetrischen Verzerrungstensors :$\epsilon _{ik}({\vec {x}})=(\partial _{i}u_{k}+\partial _{k}u_{i})/2;\quad V=\int _{P}d^{3}{\vec {x}}\;\sum \nolimits _{ijkl}C_{ijkl}\;\epsilon _{ij}\epsilon _{kl}.$ Die eventuell zeitveränderliche Dichte unter dem Integral werde hier ebenfalls (ewas schludrig, dieser Autor) als $V(t,{\vec {x}})$ bezeichnet.
Zum Glück stecken in den 81 Konstanten C nur zwei unabhängige Werte, etwa der Elastizitätsmodul E und die Poisssonsche Querkontraktions-Zahl $\nu$;. Denn Homogenität und Isotropie sind synonym für vielfache Symmetrie: die Invarianz des Problems unter der Isometrie-Gruppe von Rotationen und Translationen. Daraus folgt mathematisch, wie die Elastizitätskontanten einzudampfen sind.
Wie im Saiten-Kapitel irgendwo ausgeführt wurde, hat mit dem Paar (E,ν) die Dichte der potenziellen Energie die einfachere Form
    $V(t,{\vec {x}})={\frac {1}{2}}\sum \nolimits _{ik}\sigma _{ik}\epsilon _{ik}$
wo der Cauchy-Spannungstensor σ linear aus den Verzerrungen erwächst:
    $\sigma _{ik}=2G\epsilon _{ik}={\frac {E}{\nu +1}}\epsilon _{ik}\quad (i\neq k)$
    $\sigma _{ii}={\frac {E}{\nu +1}}{\Big\epsilon _{ii}+{\frac {\nu (\epsilon _{11}+\epsilon _{22}+\epsilon _{33})}{1-2\nu }}{\Big )}.$
Die Verzerrung ε ist dimensionslos, denn ihre Differenzialquotienten teilen Länge durch Länge. Die Spannung σ hat die Dimension eines Drucks, nämlich Kraft durch Fläche. Unser Integrand V, mal dem Integrationsmaß im Raum, also dem Volumenelement $(dx\;dy\;dz)$, bekommt so die Dimension Kraft mal Länge. Gleich Arbeit, gleich Energie, ganz wie gewünscht. Wird noch dazu in der vierten Dimension, der Zeit, integriert, dann haben wir mit Energie mal Zeit in der Tat eine Wirkung A vor uns. Auf Englisch action.
Azubis der Naturlehre tun gut daran, ab und zu die Dimensionen in den Formeln genau nachzuprüfen. Was viel dabei hilft, Unsinn zu vermeiden.
Ist ein Objekt in Bewegung, etwa weil es vibriert und wofür wir auf ein berechenbares Modell hoffen, dann beschreibt jeder Massenpunkt eine Bahnkurve ${\vec {u}}(t,{\vec {x}})$. Mit der Materialdichte ρ wird die gesamte kinetische Energie zum Zeitpunkt t das Raum-Integral über die kinetische Energiedichte
    $T(t,{\vec {x}})=\rho ({\vec {x}})\;(\partial _{t}{\vec {u}})^{2}/2.$
Nach dem mächtigen Wirkungsprinzip folgen die Bewegungsgleichungen des Objekts aus der Forderung, dass die Wirkung extremal oder zumindest stationär sei. Die Wirkung ist das vierdimensionale Raumzeit-Integral über die Lagrange-Dichte
    $L(t,{\vec {x}})=T(t,{\vec {x}})-V(t,{\vec {x}}),\quad A=\int _{[-\infty ,\infty ]\times P}dt\;d^{3}{\vec {x}}\;L(t,{\vec {x}}).$
Die Dichte L hat die Dimension "Druck", das Funktional A die Dimension "Wirkung". Stationär ist die Wirkung, wenn an jedem Punkt von Raum und Zeit die Euler-Lagrange-Gleichungen für die in L anwesenden Verschiebungsfelder erfüllt werden. In dieser traditionellen Version kommt das Problem auf den Tisch als ein System von partiellen Differenzialgleichungen.
Die Aufgabe besteht nun darin, diese Allgemeinheiten für den Fall der elastischen Platte auszuarbeiten und soweit zu vereinfachen, dass ein brauchbares Rechenmodell zum Vorschein kommt, eines benannt nach Kirchhoff. Besondere Aufmerksamkeit verdienen die Ränder des Objekts P, also verschieden niedrig-dimensionale Mannigfaltigkeiten an seiner Oberfläche. Auf diesen Teilmengen werden die Euler-Gleichungen eingepfercht mit den Randbedingungen des Problems.
Lücke stopfen: Kirchhoffs Plattentheorie herleiten.

#### Energiedichte, Wirkungsprinzip, Differenzialgleichung, Randbedingungen

Das quadratische Potenzial-Funktional V{f}, das die gesuchten Funktionen extremal oder zumindest stationär machen sollen, ist ein Integral über die Fläche F:
    $V\{f\}=\iint _{F}{\Big\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}\right)^{2}+$
    $+2\nu \;\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\right)\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}\right)+2(1-\nu )\;\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}\right)^{2}-\lambda \;f^{2}{\Big ]}\;dx\;dy$
Um Schreibarbeit zu sparen, gibt es in diesem Abschnitt Abkürzungen nach folgendem Muster:
    ${\frac {\partial f}{\partial x}}=\partial _{x}f=f_{x};\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}=\partial _{x}\partial _{y}f=f_{xy}$
Das Energie-Funktional für periodische Lösungen hat die Gestalt
    $V\{w\}=\iint _{F}{\bigw_{xx}^{2}+w_{yy}^{2}+2w_{xy}^{2}+2\nu [w_{xx}w_{yy}-w_{xy}^{2}]-\lambda w^{2}{\big )}\;dx\;dy=\iint _{F}L(w,\partial _{x}w,...)\;dx\;dy$
Allgemein habe das Funktional eine Dichte mit den sechs Argumenten:
    $L(w,w_{x},w_{y},w_{xx},w_{yy},w_{xy})$.
Die Variation (die Ableitung bei Null der Ein-Parameter-Familie) mit einer beliebigen Testfunktion $\epsilon (x,y)$ hat einen Integranden ganz analog zum eindimensionalen Fall,
    ${\frac {\partial L}{\partial w}}\epsilon +{\frac {\partial L}{\partial w_{x}}}\epsilon _{x}+{\frac {\partial L}{\partial w_{y}}}\epsilon _{y}+{\frac {\partial L}{\partial w_{xx}}}\epsilon _{xx}+{\frac {\partial L}{\partial w_{yy}}}\epsilon _{yy}+{\frac {\partial L}{\partial w_{xy}}}\epsilon _{xy}$
Das Gebiet F in der Ebene sei nun das Rechteck $[x_{a},x_{b}]\times [y_{a},y_{b}]$. Die Ableitungen der Testfunktion werden an die Ränder vertrieben, wobei die gemischte Ableitung sogar einen Sonderbeitrag für die Ecken liefern wird.
    $\iint {\frac {\partial L}{\partial w_{x}}}\epsilon _{x}\;dx\;dy=\int {\Big({\frac {\partial L}{\partial w_{x}}}\epsilon ){\Big ]}_{x_{a}}^{x_{b}}\;dy-\iint \partial _{x}{\big{\frac {\partial L}{\partial w_{x}}}{\big )}\epsilon \;dx\;dy$
    $\iint {\frac {\partial L}{\partial w_{y}}}\epsilon _{y}\;dx\;dy=\int {\Big({\frac {\partial L}{\partial w_{y}}}\epsilon ){\Big ]}_{y_{a}}^{y_{b}}\;dx-\iint \partial _{y}{\big{\frac {\partial L}{\partial w_{y}}}{\big )}\epsilon \;dx\;dy$
    $\iint {\frac {\partial L}{\partial w_{xx}}}\epsilon _{xx}\;dx\;dy=\int {\Big({\frac {\partial L}{\partial w_{xx}}}\epsilon _{x}){\Big ]}_{x_{a}}^{x_{b}}\;dy-\iint \partial _{x}{\big{\frac {\partial L}{\partial w_{xx}}}{\big )}\epsilon _{x}\;dx\;dy$
          $-\iint \partial _{x}{\big{\frac {\partial L}{\partial w_{xx}}}{\big )}\epsilon _{x}\;dx\;dy=-\int {\Big\partial _{x}{\big{\frac {\partial L}{\partial w_{xx}}}{\big )}\epsilon {\Big ]}_{x_{a}}^{x_{b}}\;dy+\iint \partial _{x}^{2}{\big{\frac {\partial L}{\partial w_{xx}}}{\big )}\epsilon \;dx\;dy$
    $\iint {\frac {\partial L}{\partial w_{yy}}}\epsilon _{yy}\;dx\;dy=\int {\Big({\frac {\partial L}{\partial w_{yy}}}\epsilon _{y}){\Big ]}_{y_{a}}^{y_{b}}\;dx-\iint \partial _{y}{\big{\frac {\partial L}{\partial w_{yy}}}{\big )}\epsilon _{y}\;dx\;dy$
          $-\iint \partial _{y}{\big{\frac {\partial L}{\partial w_{yy}}}{\big )}\epsilon _{y}\;dx\;dy=-\int {\Big\partial _{y}{\big{\frac {\partial L}{\partial w_{yy}}}{\big )}\epsilon {\Big ]}_{y_{a}}^{y_{b}}\;dx+\iint \partial _{y}^{2}{\big{\frac {\partial L}{\partial w_{yy}}}{\big )}\epsilon \;dx\;dy$
    $\iint {\frac {\partial L}{\partial w_{xy}}}\epsilon _{xy}\;dx\;dy=\int {\Big({\frac {\partial L}{\partial w_{xy}}}\epsilon _{y}){\Big ]}_{x_{a}}^{x_{b}}\;dy-\iint \partial _{x}{\big{\frac {\partial L}{\partial w_{xy}}}{\big )}\epsilon _{y}\;dx\;dy$
          $-\iint \partial _{x}{\big{\frac {\partial L}{\partial w_{xy}}}{\big )}\epsilon _{y}\;dx\;dy=-\int {\Big\partial _{x}{\big{\frac {\partial L}{\partial w_{xy}}}{\big )}\epsilon {\Big ]}_{y_{a}}^{y_{b}}\;dx+\iint \partial _{x}\partial _{y}{\big{\frac {\partial L}{\partial w_{xy}}}{\big )}\epsilon \;dx\;dy$
          $\int {\Big{\big{\frac {\partial L}{\partial w_{xy}}}\epsilon _{y}{\big )}{\Big ]}_{x_{a}}^{x_{b}}\;dy={\Big{\frac {\partial L}{\partial w_{xy}}}\epsilon {\Big ]}_{x_{a},y_{a}}^{x_{b},y_{b}}-\int {\Big\partial _{y}{\big{\frac {\partial L}{\partial w_{xy}}}{\big )}\epsilon {\Big ]}_{x_{a}}^{x_{b}}\;dy$
Argumentiert wird, dass ε(x,y) ganz willkürlich verformt werden kann im Gebietsinneren und an den Seiten und Ecken. Dazu kann noch $\epsilon _{x}$ an den Seiten $x=x_{a},x=x_{b}$ und $\epsilon _{y}$ and den Seiten $y=y_{a},y=y_{b}$ nach Belieben verbogen werden. Wenn das Funktional extremal wird, werden die Faktoren der Testfunktion für all diese Fälle verschwinden. Aufsammeln dieser Faktoren ergibt:
* innen $\;{\frac {\partial L}{\partial w}}-\partial _{x}{\big{\frac {\partial L}{\partial w_{x}}}{\big )}-\partial _{y}{\big{\frac {\partial L}{\partial w_{y}}}{\big )}+\partial _{x}^{2}{\big{\frac {\partial L}{\partial w_{xx}}}{\big )}+\partial _{y}^{2}{\big{\frac {\partial L}{\partial w_{yy}}}{\big )}+\partial _{x}\partial _{y}{\big{\frac {\partial L}{\partial w_{xy}}}{\big )}=0;$
* $\epsilon {\text{ bei }}x=x_{a},x_{b}:\quad {\frac {\partial L}{\partial w_{x}}}-\partial _{x}{\big{\frac {\partial L}{\partial w_{xx}}}{\big )}-\partial _{y}{\big{\frac {\partial L}{\partial w_{xy}}}{\big )}=0;$
* $\epsilon _{x}{\text{ bei }}x=x_{a},x_{b}:\quad {\frac {\partial L}{\partial w_{xx}}}=0;$
* $\epsilon {\text{ bei }}y=y_{a},y_{b}:\quad {\frac {\partial L}{\partial w_{y}}}-\partial _{y}{\big{\frac {\partial L}{\partial w_{yy}}}{\big )}-\partial _{x}{\big{\frac {\partial L}{\partial w_{xy}}}{\big )}=0;$
* $\epsilon _{y}{\text{ bei }}y=y_{a},y_{b}:\quad {\frac {\partial L}{\partial w_{yy}}}=0;$
* vier Ecken: $\quad {\frac {\partial L}{\partial w_{xy}}}=0.$
Mit der Lagrange-Dichte der Transversalschwingungen der Platte ergibt so die Forderung nach verschwindender Variation diese Gleichungen:
* Innen $\quad (\partial _{x}^{4}+\partial _{y}^{4}+2\partial _{x}^{2}\partial _{y}^{2})w=(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2})^{2}\;w=\lambda w;$
* Seiten $x=\pm 1:\quad \partial _{x}(w_{xx}+(2-\nu )w_{yy})=0;\quad w_{xx}+\nu \;w_{yy}=0;$
* Seiten $y=\pm 1:\quad \partial _{y}(w_{yy}+(2-\nu )w_{xx})=0;\quad w_{yy}+\nu \;w_{xx}=0;$
* Ecken: $\quad w_{xy}=0.$
Nicht sehr einladend, wenn jemand nach analytischen Lösungen Ausschau hält.

#### Umgehung von Differenzialgleichungen und Randbedingungen

Ritz setzt auf mathematisch höherem Niveau an als manche seiner Nachfolger. Das Variationsprinzip, welches ein stationäres Energie-Funktional V über eine bilineare Dichtefunktion fordert, hat automatisch alle nötigen Randbedingungen und Differenzialgleichungen für periodische dynamische Lösungen zur Folge:
* Gleichung vierter Ordnung im Inneren des Rechtecks,
* Gleichungen dritter Ordnung auf den Kanten,
* Gleichung zweiter Ordnung in den Ecken.
Es bleibt einem erspart, alle diese Gleichungen zu lösen! Man wählt eine endliche Basis aus einem Orthonormalsystem von Funktionen. Linearkombinationen davon nähern die richtige Lösung gut genug an. Die Variations-Aufgabe wird zu einem Eigenwertproblem der linearen Algebra. Im Gegensatz zu den Methoden, die testen, wie gut die Gleichungen auf Rändern und im Inneren approximiert werden, wird direkt die Ursache von allem, das Funktional, herangezogen.
    Walter Ritz: „Der Umstand, daß das Prinzip der kleinsten Aktion, welches die kürzeste Zusammenfassung der Gesetze der meisten physikalischen Erscheinungen gibt, auch in vielen Fällen den direkten Weg zu deren mathematischen Behandlung und numerischen Berechnung weist, dürfte nicht ohne Bedeutung sein.“

#### Stationäre Wirkung als Eigenwertproblem

Angestrebt wird eine Näherung mit endlich vielen Basis-Funktionen. Die Methode verwandelt das Problem, Funktionen zu finden, die ein Funktional extremal (oder zumindest stationär) machen, in ein Matrixproblem mit endlicher Dimension. Das Funktional $F\{f\}$ soll quadratisch im Argument sein. Also in allen Integranden, Summanden stehen nur Terme zweiter Ordnung, Produkte zweier linearer Operationen auf der Funktion. Die typisch linearen Faktoren sind da partielle Ableitungen jedweder Ordnung. Deswegen wird das Gleichungssystem in die wohlbekannte lineare Algebra münden.
1. Aus dem quadratischen machen wir ein symmetrisches bilineares Funktional $B(f,g)$ mit der Definition $2B(f,g):=F\{f+g\}-F\{f\}-F\{g\}$. Meist kann B sofort ohne diese Ausrechnung hingeschrieben werden.
2. Die Funktion f wird als Linearkombinationen von n Basisfunktionen angenähert, etwa $f(x,y)=\sum \nolimits _{i}a_{i}Z_{i}(x,y)$. Diese Basis definiert die Matrixelemente des Funktionals, $F_{ik}=B(Z_{i},Z_{k})$. Wegen der Bilinearität $F\{f\}=\sum \nolimits _{i,k}a_{i}F_{ik}a_{k}$. Der Koeffizientenvektor $a=\{a_{i}\}$ ist so zu bestimmen, dass das Funktional einen Extremwert annimmt.
3. Extremwerte treten auf, wenn die partiellen Ableitungen nach allen Komponenten von $\{a_{i}\}$ verschwinden. Das ist leicht mit der Produktregel:
    $0={\Big{\frac {\partial }{\partial a_{j}}}{\Big )}{\Big\sum \nolimits _{i,k}a_{i}F_{ik}a_{k}{\Big )}={\Big\sum \nolimits _{k}F_{jk}a_{k}{\Big )}+{\Big\sum \nolimits _{i}a_{i}F_{ij}{\Big )}=2{\Big\sum \nolimits _{k}F_{jk}a_{k}{\Big )}$
wegen der Symmetrie. In Matrix-Vektor-Schreibweise, es ist das Gleichungssystem Fa=0 zu lösen.
4. Die Arbeit besteht darin, ein geeignetes Basis-System zu wählen. Am Besten ist ein vollständiges Orthonormalsystem, wie wir gleich sehen. Damit muss auch möglich sein, die Matrix des Funktionals effizient zu berechnen.
    Anwendung.
Das Funktional V{f} des vorigen Abschnitts wird mit der einschlägigen Notation zur bilinearen symmetrischen Form:
    $B(f,g)=\iint _{F}{\big\partial _{x}^{2}f\;\partial _{x}^{2}g+\partial _{y}^{2}f\;\partial _{y}^{2}g+\nu \;(\partial _{x}^{2}f\;\partial _{y}^{2}g+\partial _{y}^{2}f\;\partial _{x}^{2}g)+2(1-\nu )\;\partial _{x}\partial _{y}f\;\partial _{x}\partial _{y}g-\lambda \;fg)\;dx\;dy$
Der letzte Term entspricht einem Skalarprodukt. Wenn wir das Variationsproblem mit einem Satz von orthonormalen Basisfunktion auf eine Matrixgleichung abbilden, macht der Term eine Einheitsmatrix und führt zur Eigenwertgleichung
    $\sum \nolimits _{k}F_{jk}a_{k}-\lambda \;a_{j}=0$
für einen N-Tupel-Vektor a.
Die Matrix F kommt hier aus dem Operator-Teil der Bilinearform,
    $F_{jk}=\iint _{F}{\big\partial _{x}^{2}Z_{j}\;\partial _{x}^{2}Z_{k}+\partial _{y}^{2}Z_{j}\;\partial _{y}^{2}Zk+\nu \;(\partial _{x}^{2}Z_{j}\;\partial _{y}^{2}Z_{k}+\partial _{y}^{2}Z_{j}\;\partial _{x}^{2}Z_{k})+2(1-\nu )\;\partial _{x}\partial _{y}Z_{j}\;\partial _{y}\partial _{x}Z_{k}{\big )}\;dx\;dy$
Die Rechenarbeit besteht erst einmal darin, die Matrix für das Orthonormalsystem zu finden, das aus Produkten von je zwei Balken-Funktionen besteht.
Gilt f(x,y) = u(x) v(y), kann wie folgt notiert werden:
    ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=u''v;\quad {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=uv'';\quad {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}=u'v'.$
Nun sei eine allgemeine Funktion f(x,y) gut angenähert als eine Summe von Termen aus einem Orthonormalsystem von Funktionen $\{u_{n}(x)v_{m}(y)\}$. Hier sind die u und die v die gleiche Folge von (Balken-)Funktionen einer Variablen, aber wir notieren sie verschieden um bei verkürzter Schreibweise ihr Argument gelegentlich wegzulassen. Also gibt es die Doppelsumme
    $f(x,y)=\sum \nolimits _{n}\sum \nolimits _{m}f_{nm}\;u_{n}(x)v_{m}(y)$
und eine quadratische Form, wie der Integrand von V{f}, wird eine Vierfachsumme mit einer Koeffientenmatrix wie $F_{nm;pq}$.
Die Matrixelemente des Potenzials $V(u_{m}v_{n},u_{p}v_{q})$ sind Integrale über
    $u_{m}''u_{p}''\;v_{n}v_{q}+v_{n}''v_{q}''\;u_{m}u_{p}+\nu \;(u_{m}''u_{p}\;v_{n}v_{q}''+v_{n}''v_{q}\;u_{m}u_{p}'')+2(1-\nu )\;(u_{m}'v_{n}'u_{p}'v_{q}')$
Mit Abkürzungen
    $\int u_{j}'u_{k}'=A_{jk},\;\int u_{j}''u_{k}=B_{jk},\;\int u_{j}''u_{k}''=C_{jk},$
    $F_{mn;pq}=C_{mp}+C_{nq}+\nu \;(B_{mp}B_{qn}+B_{nq}B_{pm})+2(1-\nu )\;A_{mp}A_{nq}.$
Im Anhang A stehen explizite Formeln für die Matrizen A,B,C mit der Reihe der Eigenfunktionen des Balkens. Damit kann ein Rechenskript in Python seine Aufgabe tun.
Bemerkung zur Wahl der Basis:
Für ν=0 ist das Funktional in zwei Dimensionen beinahe die Summe von zwei eindimensionalen Funktionalen, die dem einfachen Balkenmodell entsprechen. Die Funktionen $w(x,y)=u_{1}(x)\cdot u_{2}(y),{\text{ wo }}u_{1},u_{2}$ Eigenschwingungen des Balkens sind, sind ansatzweise schon Lösungen. Daher wird eine Orthonormalbasis aus solchen gut bekannten Lösungen gebaut. Der Parameter ν wird als eine Störung behandelt. Die korrekten Eigenschwingungen sind den ungestörten ganz ähnlich und ergeben sich so, dass zu einer dominanten alten Eigenfunktion kleine Beiträge der anderen Eigenfunktionen beigemischt werden.

#### Graphische Darstellung der Knotenlinien

Es gibt Skripte hier in Python, die die Arbeit von Ritz nachrechnen. Einerseits mit dem System der Balkenfunktionen, andererseits mit einer Basis von orthogonalen Polynomen. Viele .svg-Bilder werden auf die Platte geschrieben, im gerade gewählten Arbeitsverzeichnis.
Till Eulenspiegels lustige Serie/ Schwingende Platten/ Skripte

#### Klassifikation mit der Symmetrie des Quadrats

Wenn das Wirkungsfunktional für Teilmengen von Funktionen invariant unter Transformationen ist, verwandeln diese Lösungen des Extremalproblems in ebensolche Lösungen. Daher kommt der Ansatz, die Lösungsmenge in Teile aufzuspalten, die jeweils unter den Symmetrietransformationen abgeschlossen sind. Mit dem Jargon des letzten Abschnitts, in irreduzible Darstellungen.
Um die Näherungslösungen als Linearkombinationen einer Basis anzusetzen, wird die Symmetrie des Funktionals berücksichtigt. Man betrachtet Teilmengen von Funktionen, die bei Spiegelungen bzw. Drehungen der quadratischen Platte unter sich bleiben, so dass auch die Integration der Potenzialdichte keine Funktion aus der Menge herauswirft. In diesen invarianten Teilräumen kombiniert man die Lösungsanwärter aus einer Basis mit dem jeweiligen Symmetrieverhalten.
Seien also $\{g_{i}\},\;\{u_{i}\}$ Folgen von geraden beziehungsweise ungeraden Funktionen, die idealerweise zusammen ein vollständiges Orthonormalsystem auf [-1,1] bilden.
    ${\begin{array}{l|llll}{\text{Basis A:}}&w_{ij}(x,y)=u_{i}(x)u_{j}(y)+u_{j}(x)u_{i}(y)&w(x,y)=w(y,w)&w(-x,y)=-w(x,y)&w(x,-y)=-w(x,y)\\{\text{Basis B:}}&w_{ij}(x,y)=u_{i}(x)u_{j}(y)-u_{j}(x)u_{i}(y)&w(x,y)=-w(y,x)&w(-x,y)=-w(x,y)&w(x,-y)=-w(x,y)\\{\text{Basis C:}}&w_{ij}(x,y)=g_{i}(x)g_{j}(y)+g_{j}(x)g_{i}(y)&w(x,y)=w(y,x)&w(-x,y)=w(x,y)&w(x,-y)=-w(x,y)\\{\text{Basis D:}}&w_{ij}(x,y)=g_{i}(x)g_{j}(y)-g_{j}(x)g_{i}(y)&w(x,y)=-w(y,x)&w(-x,y)=w(x,y)&w(x,-y)=-w(x,y)\\{\text{Basis E:}}&w_{ij}(x,y)=u_{i}(x)g_{j}(y)&w(-x,-y)=-w(x,y)&w(-x,y)=-w(x,y)&w(x,-y)=w(x,y)\\{\text{Basis F:}}&w_{ij}(x,y)=g_{i}(x)u_{j}(y)&w(-x,-y)=-w(x,y)&w(-x,y)=w(x,y)&w(x,-y)=w(x,y)\end{array}}$
Die von Basen A bis D aufgespannten Teilräume sind invariant unter der Symmetriegruppe des Quadrats. Aber Basis E und F werden durch Spiegelung an der Diagonale vertauscht. Man kann nicht zwei invariante Teilräume daraus linearkombinieren. Aus einer Eigenfunktion, die von E erzeugt wird, macht eine Spiegelung eine linear unabhängige mit derselben Eigenfrequenz aber der Basis F. Es gibt bei dieser Symmetrie zweifach entartete Eigenwerte.

#### Anhang A: Die Elemente A,B,C für die Balkenfunktionen

Im Artikel von Ritz stehen nur die Ergebnisse vieler Integrationen. Wie sehr oft im harten Kern der Wissenschaft, setzt der Autor stillschweigend voraus, dass die geneigeten Leserinnen und Leser sich alle Rechenschritte selbst auf dem Briefumschlag oder Bierdeckel zusammenkritzeln. Solcher Art Gekritzel kommt also hier hinein, der Vollständigkeit halber.
Gegeben: Funktionen u,v auf dem Intervall [-1,1] mit den Eigenschaften:
    $u''''=a\;u;\;u''(1)=u''(-1)=u'''(1)=u'''(-1)=0;$
    $v''''=b\;v;\;v''(1)=v''(-1)=v'''(1)=v'''(-1)=0;\quad a\neq b;$
    $\int _{-1}^{1}u^{2}=\int _{-1}^{1}v^{2}=1;\quad \int _{-1}^{1}uv=0.$
    Gesucht: $A(u,v)=\int _{-1}^{1}u''v;\quad B(u,v)=\int _{-1}^{1}u'v';\quad C(u,v)=\int _{-1}^{1}u''v''.$
Ab jetzt sind die Integralgrenzen impliziert und der senkrechte Strich hinter einem Term bedeutet: Wert bei (x=1) minus Wert bei (x=-1).
    $b\int u''v=\int v''''u''=(v'''u'')|-\int v'''u'''=-v''u'''|+\int v''u''''=a\int v''u;$
    $b\cdot \int u''v=a\cdot \int v''u.$
Andererseits
    $\int u''v=u'v|-\int u'v'=u'v|-uv'|+\int uv''=(u'v-uv')|+\int uv''.$
    $(u'v-uv')|=\int u''v-\int uv''=\left(\int u''v\right)\cdot \left(1-{\frac {b}{a}}\right)={\frac {a-b}{a}}\int u''v$
* $A(u,v)=\int u''v={\frac {a}{a-b}}(u'v-uv')|.$
Wenn u,v die gleiche Parität haben, ist ( u'v-uv' ) ungerade und $(u'v-uv')|=2(u'v-uv')(x=1)$. Bei entgegengesetzter Parität ist der Term gerade und das Integral A(u,v) verschwindet.
    $\int u'v'=(u'v)|-\int u''v=[(a-b)\cdot (u'v)|-a\;(u'v-uv')|]/(a-b)=$*$B(u,v)={\frac {(a\;uv'-b\;u'v)|}{(a-b)}}.$
Auch dieses entweder $=2(a\;uv'-b\;u'v)(x=1)$ oder 0 bei ungleicher Parität.
    $\int u''v''=u'v''|-\int u'v'''=u'v''|-uv'''|+\int uv''''=$*$C(u,v)=b\int uv.$
Mit $u=u_{n}(x),\;v=u_{m}(x)$, Balken-Eigenfunktionen $u_{n}''''=k_{n}^{4}u_{n}$, folgt:
    $A_{nm}={\frac {2k_{n}}{k_{n}-k_{m}}}(u_{n}'u_{m}-u_{n}u_{m}')(x=1)\quad$ (n+m gerade)
    $B_{nm}=2{\frac {k_{n}u_{n}u'_{m}-k_{m}u_{n}'u_{m}}{k_{n}-k_{m}}}(x=1)\quad$ (n+m gerade)
    $C_{nm}=k_{n}^{4}\delta _{nm}$
Die diagonalen Matrixelemente $A_{nn}$ und $B_{nn}$ bleiben noch zu berechnen.
Zu erwähnen sind zuerst die Zahlen am Anfang, an denen die Hilfsfunktionen $u_{0}(x)=1/{\sqrt {2}},\;u_{1}(x)=x{\sqrt {3/2}}$ beteiligt sind.
    $(A_{00},A_{11},B_{00},B_{11})=(0,3,0,0).$
Die anderen Integrale A,B für n=m gehen über Integranden der Art
    $(p\;\cos ^{2}(kx)+q\;\cos(kx)\;\cosh(kx)+r\;\cosh ^{2}(kx))\quad {\text{wo }}\;\tan k=-\tanh k;$
    $(p\;\sin ^{2}(kx)+q\;\sin(kx)\;\sinh(kx)+r\;\sinh ^{2}(kx))\quad {\text{wo }}\;\tan k=+\tanh k.$
Zunächst die Stammfunktionen der Produkte
    $\cos ^{2}(ax),\cosh ^{2}(bx),\cos(ax)\cosh(bx)$
und so weriter als Päckchen von Rechenübungen. Alle sind als ungerade Funktionen ausgelegt.
    ${\begin{array}{l}f(x)=ux+v\sin(ax)\cos(ax);\;f'=u(\sin ^{2}+\cos ^{2})+av(\cos ^{2}-\sin ^{2})\\f'=\sin ^{2}(ax)\;\Rightarrow \;u-av=1;\;u+av=0;\;u=1/2;\;v=1/(2a)\\f'=\cos ^{2}(ax)\;\Rightarrow \;u-av=0;\;u+av=1;\;u=1/2;\;v=-1/(2a)\\\\f=ux+v\sinh(bx)\cosh(bx);\;f'=u(\cosh ^{2}(bx)-\sinh ^{2}(bx))+av(\cosh ^{2}(bx)+\sinh ^{2}(bx))\\f'=\sinh ^{2}(bx)\;\Rightarrow \;u+bv=0;\;-u+bv=1;\;u=-1/2;\;v=1/(2b)\\f'=\cosh ^{2}(bx)\;\Rightarrow \;u+bv=1;\;-u+bv=0;\;u=1/2;\;v=-1/(2b)\\\\c(x)=\cos(ax)\sinh(bx);\;s(x)=\sin(ax)\cosh(bx);\;f(x)=uc(x)+vs(x)\\c'=-a\sin(ax)\sinh(bx)+b\cos(ax)\cosh(bx)\\s'=a\cos(ax)\cosh(bx)+b\sin(ax)\sinh(bx)\\f'=\cos(ax)\cosh(bx)\;\Rightarrow \;u=b/(a^{2}+b^{2});\;v=a/(a^{2}+b^{2})\\f'=\sin(ax)\sinh(bx)\;\Rightarrow \;u=-b/(a^{2}+b^{2});\;v=a/(a^{2}+b^{2})\end{array}}$
Die Stammfunktionen ergeben mit a=b=k und $I(f):=\int _{-1}^{1}f(x)\;dx$ die bestimmten Integrale:
    ${\begin{array}{l}I(\sin ^{2}(kx))=1-{\frac {\sin(k)\cos(k)}{k}}\\I(\cos ^{2}(kx))=1+{\frac {\sin(k)\cos(k)}{k}}\\I(\sinh ^{2}(kx))={\frac {\sinh(k)\cosh(k)}{k}}-1\\I(\cosh ^{2}(kx))={\frac {\sinh(k)\cosh(k)}{k}}+1\\I(\sinh(kx)\sin(kx))={\frac {-\cos(k)\sinh(k)+\sin(k)\cosh(k)}{k}}\\I(\cosh(kx)\cos(kx))={\frac {\cos(k)\sinh(k)+\sin(k)\cosh(k)}{k}}\end{array}}$
Mit den Abkürzungen
    $(C,S,c,s)=(\cosh(k),\sinh(k),\cos(k),\sin(k))$
haben die zwei Arten von Stabschwingungen die nicht-normierten Wellenformen
    ${\begin{array}{l}f(x)=c\cosh(kx)+C\cos(kx);\quad s/c+S/C=0;\;cS+Cs=0;\\f'(x)=k(c\sinh(kx)-C\sin(kx));\\f''(x)=k^{2}(c\cosh(kx)-C\cos(kx));\\g(x)=s\sinh(kx)+S\sin(kx);\quad s/c-S/C=0;\;cS-Cs=0;\\g'(x)=k(s\cosh(kx)+S\cos(kx));\\g''(x)=k^{2}(s\sinh(kx)-S\sin(kx)).\end{array}}$
Mit den Integralen und mit den Nebenbedingungen folgen die Normquadrate
    $I(f^{2})=c^{2}(1+{\frac {SC}{k}})+2cC{\frac {cS+sC}{k}}+C^{2}(1+{\frac {sc}{k}})=c^{2}+C^{2};$
    $I(g^{2})=s^{2}({\frac {SC}{k}}-1)+2sS{\frac {-cS+sC}{k}}+S^{2}(1-{\frac {sc}{k}})=S^{2}-s^{2}.$
Und weiter die Integrale
    ${\begin{array}{l}I(f'^{2})=k^{2}[c^{2}({\frac {SC}{k}}-1)-2cC{\frac {sC-cS}{k}}+C^{2}(1-{\frac {sc}{k}})]\quad {\text{wo }}\;sC=-cS\\\Rightarrow \;I(f'^{2})=k^{2}(C^{2}-c^{2})+6kc^{2}SC\\I(g'^{2})=k^{2}[s^{2}({\frac {SC}{k}}+1)+2sS{\frac {cS+sC}{k}}+S^{2}({\frac {sc}{k}}+1)]\quad {\text{wo }}\;cS=sC\\\Rightarrow \;I(g'^{2})=k^{2}(s^{2}+S^{2})+6ks^{2}SC\\I(ff'')=k^{2}[c^{2}(1+{\frac {SC}{k}})-C^{2}(1+{\frac {sc}{k}})]\\\Rightarrow \;I(ff'')=-k^{2}(C^{2}-c^{2})+2kc^{2}SC\\I(gg'')=k^{2}[s^{2}({\frac {SC}{k}}-1)-S^{2}(1-{\frac {sc}{k}})]\\\Rightarrow \;I(gg'')=-k^{2}(S^{2}-s^{2})+2ks^{2}SC\end{array}}$
Endlich erhalten wir Formeln für die normierten Wellen und ihre Diagonalelemente.
* n gerade, $\tan(k_{n})+\tanh(k_{n})=0:$
    $u_{n}(x)=(a\cos(k_{n}x)+b\cosh(k_{n}x))/q;\;a=\cosh(k_{n});\;b=\cos(k_{n});\;q={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$
    $A_{nn}=[k_{n}^{2}(a^{2}-b^{2})+6k_{n}ab^{2}\sinh(k_{n})]/q^{2}$
    $B_{nn}=[-k_{n}^{2}(a^{2}-b^{2})+2k_{n}ab^{2}\sinh(k_{n})]/q^{2}$
* n ungerade, $\tan(k_{n})-\tanh(k_{n})=0:$
    $u_{n}(x)=(a\sin(k_{n}x)+b\sinh(k_{n}x))/q;\;a=\sinh(k_{n});\;b=\sin(k_{n});\;q={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$
    $A_{nn}=[k_{n}^{2}(a^{2}+b^{2})+6k_{n}ab^{2}\cosh(k_{n})]/q^{2}$
    $B_{nn}=[-k_{n}^{2}(a^{2}+b^{2})+2k_{n}ab^{2}\cosh(k_{n})]/q^{2}$
Alles sehr langweilig, aber die Rechenskripte weiter unten benutzen den Kram.

#### Anhang C: Der Jacobi-Algorithmus

Dieser Algorithmus zur Berechnung der Eigenwerte verlangt kleine aber viele Rechenschritte und ist erst mit Computereinsatz praktikabel geworden. Im vorigen Kapitel wurde erwähnt, dass jede symmetrische Matrix S mit einer (nicht eindeutigen) orthogonalen Matrix R auf Diagonalform geht, $D=RSR^{T}$. Äquivalent dazu ist, dass S ein vollständiges orthonormales System von Eigenvektoren hat und dass R gemacht wird, indem man diese Spalten- oder Zeilenvektoren zusammenklebt. Jacobis Methode baut die Rotationsmatrix iterativ auf, indem sie elementare Drehungen in Indexpaaren so hinbiegt, dass je ein Nichtdiagonal-Element genullt wird. Das Element kann als Nebeneffekt eines späteren Schritts wieder wachsen, aber die Norm von allem Nichtdiagonalen zusammen nimmt streng monoton ab, die Schleife konvergiert.
Gegeben ist eine symmetrische Matrix $A,\;A_{ik}=A_{ki}$. Es soll eine Folge von elementaren Dreh-Matrizen R so konstruiert werden, dass die Transformationen $A'=RAR^{T}$ die Elemente außerhalb der Diagonalen gegen Null streben lassen. Parallel häuft eine Matrix U, die als Einheitsmatrix gestartet wurde, mit $U'=RU$ die Gesamtheit der Rotationen an. Am Ende der Schleifen ist A diagonal und enhält die Eigenwerte, U ist orthogonal und enhält die zugehörigen Eigenvektoren als Spalten (oder Zeilen).
Die elementare Drehung eines Koordinatenpaars (m,n) ist so definiert:
Mit dem Winkel α sei $c=\cos \alpha ,\;s=\sin \alpha$. Die Matrix ist trivial $R,\;R_{ij}=\delta _{ij}$ außer wenn i und j die Indizes des Paars sind:
    ${\begin{pmatrix}R_{mm}&R_{mn}\\R_{nm}&R_{nn}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c&-s\\s&c\end{pmatrix}}.$
Wie wirkt die Matrix R in dem Rezept $A'_{ik}=\sum \nolimits _{j,l}R_{ij}R_{kl}A_{jl}$ ?
* $\forall i,k\notin \{m,n\}\;\Rightarrow \;A'_{ik}=A_{ik}$
* $A'_{mm}=A_{mm}\;c^{2}+A_{mn}(-cs)+A_{nm}(-cs)+A_{nn}\;s^{2}=c^{2}A_{mm}+s^{2}A_{nn}-2csA_{mn}$
* $A'_{mn}=A_{mm}\;cs+A_{mn}\;c^{2}+A_{nm}(-s^{2})+A_{nn}(-cs)=cs(A_{mm}-A_{nn})+(c^{2}-s^{2})A_{mn}$
* $A'_{nm}=A_{mm}\;cs+A_{mn}(-s^{2})+A_{nm}\;c^{2}+A_{nn}(-cs)=cs(A_{mm}-A_{nn})+(c^{2}-s^{2})A_{nm}$
* $A'_{nn}=A_{mm}\;s^{2}+A_{mn}(-cs)+A_{nm}(-cs)+A_{nn}\;c^{2}=c^{2}A_{nn}+s^{2}A_{mm}-2csA_{mn}$
* $\forall i\notin \{m,n\}:\quad A'_{mi}=cA_{mi}-sA_{ni};\quad A'_{ni}=sA_{mi}+cA_{ni}$
* $\forall i\notin \{m,n\}:\quad A'_{im}=cA_{im}-sA_{in};\quad A'_{in}=sA_{im}+cA_{in}$
Die Transformation der Eigenvektormatrix $U'_{ik}=\sum \nolimits _{j}R_{ij}U_{jk}$ sieht so aus:
* $\forall i\notin \{m,n\},\;\forall k:\quad U'_{ik}=U_{ik}$
* $\forall k:\quad U'_{mk}=cU_{mk}-sU_{nk};\quad U'_{nk}=sU_{mk}+cU_{nk}$
Das Ziel sei nun, ein Element A_{mn} mit ausgewähltem Winkel auf Null zu zwingen.
    $0=cs(A_{mm}-A_{nn})+(c^{2}-s^{2})A_{mn}$
    $2B:={\frac {A_{mm}-A_{nn}}{A_{mn}}}={\frac {s^{2}-c^{2}}{cs}}={\frac {t^{2}-1}{t}}{\text{ mit }}t=(s/c)=\tan \alpha$
Man nimmt die betragsmäßig kleinere Lösung der quadratischen Gleichung:
    $t^{2}-2Bt-1=0\;\Rightarrow \;t=B\pm {\sqrt {1+B^{2}}};\;c=1/{\sqrt {1+t^{2}}};\;s=ct.$
Dinge vereinfachen sich dann auf der Diagonalen:
    $A'_{mm}=A_{mm}+s^{2}(A_{nn}-A_{mm})-2csA_{mn}=A_{mm}+t(c^{2}-s^{2})A_{mn}-2csA_{mn}=A_{mm}-tA_{mn}$
    $A'_{nn}=A_{nn}+tA_{mn}$
Die Transformation bewirkt daher, dass $A'_{mn}=0$ wird und dass die anderen betroffenen Nichtdiagonal-Elemente wie $(A_{mi},A_{ni})$ paarweise eine Drehung erfahren; so bleibt die Summe ihrer Quadrate konstant. Die Summe aller Quadrate außerhalb der Diagonalen nimmt also monoton ab. Es gelingt dem Algorithmus, nach vielleicht höchstens ${\mathcal {O}}(N^{3})$ Schritten, die sich jeweils eines der größten Matrixelemente vorknöpfen, nur die Diagonale übrig zu lassen. Für nicht zu große Matrizen ist die Prozedur empfehlenswert.
Das folgende Listing führt die Berechnung aus, manipuliert dabei nur das obere Dreieck der symmetrischen Matrix (Speicher sparen?).

#### Anhang B: Symmetrien der N-Ecke, Darstellungen

Die regelmäßigen Dreiecke, Vierecke alias Quadrate, Fünfecke und so fort in der Ebene haben je eine Menge von Transformationen, die sie deckungsgleich bewegen. Es sind dies Drehungen ums Zentrum mit passenden Winkeln sowie Spiegelungen an passenden Achsen durchs Zentrum der Figur. Die Transformationen kommen als mathematische Gruppen daher: sie kombinieren sich assoziativ, es gibt ein neutrales Element und jedes Element hat eine Umkehrung.
Die Symmetrietransformationen des n-Ecks bilden die Diedergruppe $D_{2n}$ (Aussprache Di-Eder, Sonderfall von Polyeder). Die Gruppe hat insgesamt 2n Elemente und beinhaltet offensichtlich die zyklische Untergruppe $C_{n}$ der Drehungen um die Winkel $(2\pi )\cdot (k/n);\;k=0,1,...,n-1$. Die anderen n Symmetrien sind Spiegelungen an den Achsen, die durch gegenüberliegende Ecken oder Kanten oder, bei ungeraden n, durch je eine Ecke und eine Kante verlaufen. Zur Verwirrung des Publikums notieren manche Bücher und Schriften die Gruppen als $D_{n}$, die hier $D_{2n}$ heißen.
Das "regelmäßige Zweieck", also ein gerader Strich in der Landschaft, hat die kleinste Diedergruppe $D_{4}$, bestehend aus den Drehungen um 0 und 180 Grad und den Spiegelungen an der x-Achse und an der y-Achse. Bezeichnen wir diese Transformationen mit 1,a,b,c und definieren die Produkte wie (ab) als die Verkettung von Transformationen, also (ab)(p)= a(b(p)) für alle Punkte p=(x,y) in der Ebene. Dann hat die Gruppe $D_{4}$ folgende Auswirkungen und Produkte, von den trivialen mit dem neutralen Element 1 abgesehen:
    $a:(x,y)\mapsto (-x,-y);\;b:(x,y)\mapsto (x,-y);\;c:(x,y)\mapsto (-x,y);$
    $aa=bb=cc=1;\;ab=ba=c;\;bc=cb=a;\;ac=ca=b.$
Jedes Element ist sein eigenes Inverses. Die Gruppe ist kommutativ (abelsch). Die Gruppe $D_{4}$ entspricht auch der Symmetrie eines Rechtecks, das kein Quadrat ist. Der Multiplikationstabelle nach ist sie isomorph zur "Kleinschen Vierergruppe".
Die Symmetriegruppe $D_{6}$ des Dreiecks schafft es, alle Permutationen der drei Ecken zu verwirklichen. Man sagt dazu, sie ist isomorph zur Symmetrischen Gruppe $S_{3}$, also der Menge aller Permutationen von drei Symbolen.
Das Quadrat hat die Symmetriegruppe $D_{8}$. Ihre Elemente sind die Vierteldrehung g und ihre Wiederholungen sowie die Reflektion r an einer Achse, kombiniert mit all diesen Drehungen. In Sachen Permutation kann sie nicht alle Mischungen von 4 Ecken machen, sondern $D_{8}$ der Größe 8 ist nur eine bescheidene Untergruppe von $S_{4}$, welche 4!=24 Elemente hat.
    ${\begin{array}{lccccccccr}D_{8}=\{&1,&g,&g^{2},&g^{3},&r,&rg,&rg^{2},&rg^{3}&\}\\(x,y)\mapsto &(x,y)&(-y,x)&(-x,-y)&(y,-x)&(x,-y)&(-y,-x)&(-x,y)&(y,x)&\end{array}}$
Hier spiegelt r an der x-Achse, rg an der Diagonalen x+y=0, rg$^2$ an der y-Achse und rg$^3$ an der Diagonalen x=y. Die Wahl des r ist willkürlich, wir hätten dafür auch die Spiegelung an der x=y-Diagonalen wählen können. Kann man die Symbole einer Gruppe "Eins-zu-Eins" in eine andere umschreiben, so dass die Multiplikationstabelle fehlerfrei mitgeht, sind die Gruppen "isomorph" und für mathematische Studien ein und dasselbe Objekt.
Zu den Rechenregeln auf $D_{2n}$ gehört folgendes, in unserem Fall mit n=4 (wobei g$^0$=1):
    $g^{j}\cdot g^{k}=g^{(j+k)\mod n};\;(rg^{j})^{2}=1;\;rg^{j}=g^{n-j}r.$
Die Gruppe ist nicht abelsch, beim Beispiel des Quadrats: $rg=g^{3}r\neq gr$.
Kommen wir zur Anwendung auf die Schwingungsfiguren des Quadrats. Der Integrand des Wirkungsfunktionals ist invariant unter allen Drehungen und Spiegelungen in der Ebene. Das Wirkungsintegral aber, das über die Form einer Platte geht, ist nur noch unter der endlichen Symmetriegruppe des Quadrats invariant, also $D_{8}$ in diesem Fall. Bei einer allgemeinen Symmetrietransformation a im Ortsraum werden die Auslenkungsfunktionen w(x,y) linear transformiert nach dem Ritus: $w\mapsto Aw;\quad (Aw)(a(x,y))=w(x,y)$.
Zum Produkt zweier Transformationen (ab) im Ortsraum gehört das Produkt (AB) der entsprechenden linearen Abbildungen im Raum der Funktionen. Die Zuordnung $a\mapsto A$ ist ein Gruppen-Homomorphismus, das heißt, sie respektiert die Gruppenmultiplikation und inverse Elemente sowie die Eins werden auf Inverse bzw. Eins abgebildet. Man nennt eine Darstellung einer beliebigen Gruppe einen Homomorphismus der Gruppe in eine Gruppe von linearen Abbildungen. Wenn die Auswirkung der linearen Abbildungen auf einem endlich-dimensionalen Vektorraum der Dimension N zu Hause bleibt, stellen wir solche als NxN-Matrizen dar und erhalten eine Matrixdarstellung der Gruppe.
Die Darstellungen der Symmetrien tauchen immer wieder auf bei der Klassifikation von physikalischen Problemen. Die erste Frage bei a-priori riesig großen Matrixdarstellungen ist: Kann man sie ausreduzieren? Gibt es möglichst kleine, invariante Unterräume, deren Vektoren unter der Menge der linearen Darstellungs-Abbildungen diesen Teilraum nicht verlassen? Anders gefragt, welche Matrizenmengen von kleinster Dimension bilden eine irreduzible Darstellung der Gruppe? Ist ein beliebiger Darstellungsraum zerlegbar in eine direkte Summe von irreduziblen Komponenten?
Bei den endlichen Gruppen stellt sich heraus, dass man ihre irreduziblen Darstellungen alle aus einer natürlichen Darstellung herausklauben kann. Die reguläre Darstellung einer Gruppe G der Ordnung n (Zahl der Elemente von G, |G|=n) nimmt einen n-dimensionalen Vektorraum und schenkt jedem $g\in G$ ein Element $v_{g}$ der Basis des Raums. Jedes $f\in G$ bewirkt dann eine Permutation dieser Basis nach der Vorschrift $R(f)(v_{g})=v_{f\cdot g}$. Als n-mal-n Matrix ausgeschrieben hat R(f) in jeder Zeile genau eine 1 und sonst Nullen.
Quadratische Matrizen $\{A_{ik}\}$ haben eine brauchbare Kennziffer, die Spur, also die Summe der Diagonalelemente ${\text{tr}}(A)=\sum \nolimits _{i}A_{ii}$. Sie bleibt unverändert bei vertauschter Matrixmultiplikation, denn:
${\text{tr}}(AB)=\sum \nolimits _{i}\sum \nolimits _{k}A_{ik}B_{ki}=\sum \nolimits _{k}\sum \nolimits _{i}B_{ki}A_{ik}={\text{tr}}(BA)$
Daraus folgt, dass sie bei Ähnlichkeitstransformationen erhalten bleibt, ${\text{tr}}(ABA^{-1})={\text{tr}}(B)$. Und weiter, dass unabhängig von der Wahl der Basis die Spur der Matrizen einer gegebenen linearen Abbildung dieselbe ist. Die Spur ist eine Funktion der linearen Abbildung, ohne überhaupt eine Basis festzulegen.
Was passiert mit der Spur von Darstellungen von Gruppen? Zu einer Darstellung R definiert man ihren Charakter, eine reellwertige oder komplexwertige Funktion auf der Gruppe, als $\chi (g)={\text{tr}}(R(g))$. Wegen der Eigenschaften von Homomorphismen und von Spuren gilt $\chi (hgh^{-1})=\chi (g)$. Man sagt dazu, der Charakter ist invariant unter Konjugation. Für das Einselement der Gruppe ist $\chi (1)={\text{tr}}(R(1))=\dim V(R)$ die Dimension des Darstellungsraums. Direkte Summen und Tensorprodukte von Darstellungen, die man aus entsprechenden Summen und Tensorprodukten der Darstellungsräume herstellt, haben als Charaktere die Summen bzw. Produkte aus den Komponenten.
Ein Charakter definiert eine Darstellung bis auf Isomorphie vollständig! Die mathematische Theorie, beruhend auf dem Skalarprodukt zwischen Charakteren,
    $\langle \chi |\psi \rangle =(1/|G|)\cdot \sum \nolimits _{g\in G}{\bar {\chi }}(g)\psi (g);\quad ({\bar {\chi }}(g)=\chi (g^{-1}))$
beweist nun, dass die reguläre Darstellung eine direkte Summe ist aus allen irreduziblen Darstellungen $R_{k}$, deren jede $n_{k}=\dim V(R_{k})$ mal vorkommt, mit der Dimension ihres Darstellungsraums. Also gilt $|G|=n=\sum \nolimits _{k}n_{k}^{2}$. Wenn die Charaktere einer Gruppe eingedampft werden zu Funktionen der Konjugationsklassen $\{hgh^{-1}|h\in G\}$ statt der Gruppenelemente, findet die Darstellungstheorie eine quadratische Tabelle aller möglichen Charaktere und damit aller Darstellungen einer Gruppe. Genauer, aller Äquivalenzklassen von solchen irreduziblen Darstellungen. Bei den Charakteren der irreduziblen Darstellungen hat das Produkt mit sich selbst den Betrag Eins. Darstellungen sind nicht äquivalent (nicht isomorph), wenn das Skalarprodukt der Charaktere verschwindet. Es gibt genauso viele irreduzible Darstellungen wie Konjugationsklassen der Gruppe.
Unterschlagen wir die Frage, wann der Körper $\mathbb {C}$ oder $\mathbb {R}$ der Darstellung unterliegt, damit die Dimensionsformel stimmt. Hier genügen reelle Darstellungen.
In abelschen Gruppen ist jedes Element eine Klasse für sich. Doch welche Konjugationsklassen, kurz Klassen, hat eine Diedergruppe $D_{2n}$?
Das Einselement steht für sich alleine, wie bei jeder Gruppe.
Die Drehungen $g^{p}\;(p=0,1,...n-1);\;g^{n}=1$, vertauschen untereinander. Aber mit der Spiegelung r gilt:
    $r^{2}=1{\text{ und }}(r\;g^{p})=(g^{n-p}\;r)\;\Rightarrow \;r(g^{p})r^{-1}=g^{n-p}.$
Die Paare $\{g^{p},g^{n-p}\}$ sind Klassen, eventuell kommt in der Mitte ein Einzelexemplar bei geradem n, das ist die Drehung um π, um 180 Grad.
Die Spiegelungen $\{rg^{p}\}$ formen zusammen eine oder zwei Klassen, denn:
    $g(rg^{p})g^{-1}=rg^{n-1}g^{p-1}=rg^{p-2};\;r(rg^{p})r^{-1}=g^{p}r=rg^{n-p}.$
Bei geradem n bleiben die Spiegelungen mit geradem und ungeradem p unter sich, bei n ungerade gibt es keine Aufspaltung. Klassenlisten:
    ${\begin{array}{l|lllll}D_{4}&\{1\}&\{g\}&&\{r\}&\{rg\}\\D_{6}&\{1\}&\{g,g^{2}\}&&\{r,rg,rg^{2}\}&\\D_{8}&\{1\}&\{g,g^{3}\}&\{g^{2}\}&\{r,rg^{2}\}&\{rg,rg^{3}\}\\D_{10}&\{1\}&\{g,g^{4}\}&\{g^{2},g^{3}\}&\{r,...,rg^{4}\}&\end{array}}$
Welche Darstellungen der Diedergruppen lassen sich leicht erraten?
Die triviale Darstellung T bildet alles auf die Zahl 1 ab, bei jeder Gruppe.
Die Vorzeichendarstellung V wirft die Drehungen auf 1, die Spiegelungen auf -1. Bei Gruppen von linearen Transformationen (speziell Matrizen) ist allgemein das Vorzeichen dasjenige der Determinante. Bei positiver Determinante bleibt die Orientierung des Koordinatensystems erhalten, bei negativer klappt sie um.
Die geometrische Darstellung G gibt der Rotation und Spiegelung ihre angestammten Matrizen, mit $\alpha =(2\pi )/n{\text{ bei }}D_{2n}$.
    $g\mapsto G(g)={\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{pmatrix}};\quad r\mapsto G(r)={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.$
Ist sie irreduzibel?
Die "Potenzen" dieser Matrixdarstellung mit k von 2 bis n-1 geben eventuell andere Darstellungen ab:
    $G^{k}:g^{j}\mapsto G(g^{j})^{k};\;r\mapsto G(r)$.
An den Rechenregeln zu prüfen als Übung: diese Vorschrift erweitert sich wirklich zu einem Gruppenhomomorphismus. Wirklich Neues kommt nur vor, wenn k nicht größer als (n/2) wird, denn es gilt eine Äquivalenz:
    $\forall z\in D_{2n}:\;G^{k}(z)=G^{n-k}(rzr^{-1}).$ (Übung)
Charakter-Tabelle der Diedergruppe $D_{4}$, (T=trivial, V=Vorzeichen, G=geometrisch).
    ${\begin{array}{l|cccc}D_{4}&\{1\}&\{g\}&\{r\}&\{rg\}\\T&1&1&1&-1\\V&1&1&-1&1\\G&2&2&0&0\end{array}}$
Problem: die Quadratsumme der Charakter-Werte der Spalte {1} ist größer als 4. Folglich muss die Darstellung G reduzibel sein. Tatsächlich sind es nur Diagonalmatrizen und die zwei Koordinaten bleiben eindimensional unter sich. Berichtigte Tabelle:
    ${\begin{array}{l|cccc}D_{4}&\{1\}&\{g\}&\{r\}&\{rg\}\\T&1&1&1&-1\\V&1&1&-1&1\\G_{x}&1&-1&1&-1\\G_{y}&1&-1&-1&1\end{array}}$
Also gibt es vier eindimensionale Darstellungen.
Charakter-Tabelle von $D_{6}$, mit $z=2\cos(2\pi /3)=-1$.
    ${\begin{array}{l|ccc}D_{6}&\{1\}&\{g,g^{2}\}&\{r,rg,rg^{2}\}\\T&1&1&1\\V&1&1&-1\\G&2&z&0\end{array}}$
Hier stimmt die Summenregel: Die Quadrate der Dimensionen der Darstellungen addieren sich zu 6. Die Gruppe des Dreiecks hat zwei eindimensionale und eine zweidimensionale irreduzible Darstellung.
Vorläufige Charakter-Tabelle von $D_{8}$ mit ($g={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}};\;r={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$).
    ${\begin{array}{l|ccccc}D_{8}&\{1\}&\{g,g^{3}\}&\{g^{2}\}&\{r,rg^{2}\}&\{rg,rg^{3}\}\\T&1&1&1&1&1\\V&1&1&1&-1&-1\\G&2&0&-2&0&0\\G^{2}&2&-2&2&0&0\end{array}}$
Wieder ist die Quadratsumme der ersten Spalte zu hoch, denn $G^{2}(D_{8})$ ist reduzibel zu zwei eindimensionalen Darstellungen. Auch daran zu erkennen, dass die Norm ihres Charakters zu groß ist. Als Matrixmenge ist die Darstellung diagonal wie beim reduziblen $G(D_{4})$ von vorhin. Zwei Zeilen ersetzen also $G^{2}$ in der korrekten Tabelle:
    ${\begin{array}{l|ccccc}D_{8}&\{1\}&\{g,g^{3}\}&\{g^{2}\}&\{r,rg^{2}\}&\{rg,rg^{3}\}\\T&1&1&1&1&1\\V&1&1&1&-1&-1\\G&2&0&-2&0&0\\G_{2x}&1&-1&1&1&-1\\G_{2y}&1&-1&1&-1&1\end{array}}$
Bei den höheren Diedergruppen geht es nach dem Muster weiter. Es kommen immer mehr Darstellungen vom Typ $G^{k}$ hinzu, von denen eine bei geradzahligen N-Ecken um den Winkel π dreht, also diagonal ist und in zwei eindimensionale zerfällt.
Die Gruppe eines quadratischen Objekts hat also vier eindimensionale Darstellungen und eine zweidimensionale. Wie müssen Funktionen von Punkten p auf der Ebene aussehen, die solchen Darstellungen gehorchen?
    ${\begin{array}{l|ll}T:&f(p)=f(rg^{3}.p)=f(r.p)&f(x,y)=f(y,x)=f(x,-y)\\V:&f(p)=-f(rg^{3}.p)=-f(r.p)&f(x,y)=-f(y,x)=-f(x,-y)\\G_{2x}:&f(p)=-f(rg^{3}.p)=f(r.p)&f(x,y)=-f(y,x)=f(x,-y)\\G_{2y}:&f(p)=f(rg^{3}.p)=-f(r.p)&f(x,y)=f(y,x)=-f(x,-y)\\G:&f(p)=-f(-p);\;f(r.p)=\pm f(p)&f(-x,-y)=-f(x,y);\;f(x,-y)=\pm f(x,y)\end{array}}$
In Worten, die Eigenschaften von f:
       T: xy-symmetrisch, beide Paritäten +.
       V: xy-antisymmetrisch, beide Paritäten -.
       G2x: xy-antisymmetrisch, Paritäten +.
       G2y: xy-symmetrisch, Paritäten -.
       G: Linearkombination aus 2 Typen von f mit x-Parität ungleich y-Parität.
Diese fünf Fälle sind genau die Schwingungsarten, die Walter Ritz getrennt behandelt hat. Diejenigen mit isolierten Eigenwerten sind genau die vier eindimensionalen Darstellungen der Gruppe. Der Fall mit entarteten Eigenwerten betrifft die zweidimensionalen irreduziblen Unterräume von Funktionen.
Ein schlagendes mathematisches Argument für die Multiplizität, mit der manche Eigenwerte entartet sind, kommt aus dem Lemma von Schur. Dieses besagt, dass unter vernünftigen Umständen jede lineare Abbildung, die mit allen Abbildungen einer irreduziblen Menge vertauschbar ist, auf dem betroffenen irreduziblen Unterraum ein Vielfaches der Eins-Abbildung ist. Hier ist es der Operator eines Eigenwertproblems, der unsere lineare Abbildung vermittelt. Diese vertauscht mit allen Symmetrie-Abbildungen von $D_{8}$. Der Unterraum, der von den Funktionen mit verschiedener x- und y-Parität aufgespannt wird, zerfällt in zweidimensionale irreduzible Darstellungen mit der oben angegebenen Isomorphieklasse G. Ein Eigenwert des Symmetrie-invarianten Operators muss nach Schur auf einem solchen Unterraum einheitlich sein, wenn er existiert.
Daraus folgt der Entartungsgrad 2 der Eigenschwingungen gemischter Parität. Es gibt da kontinuierliche Familien von Klangfiguren bei derselben Frequenz. Sobald aber die Symmetrie gebrochen wird, zum Beispiel wenn das Quadrat zum Rechteck wird und daher $D_{8}$ zu $D_{4}$ schrumpft, trennen solche Eigenschwingungen sich auf in Dubletts. Man sagt, der Bruch der Symmetrie hebt die Entartung auf.
Obige Ausschweifungen über Gruppendarstellungen, um die Chladni-Figuren des Quadrats etwas einzuordnen, waren eigentlich nicht nötig. Denn kluge Autoren haben die Gruppierung ohne solchen Hintergrund richtig ermittelt. Allerdings für beliebige andere Symmetrien liefert die Gruppentheorie uns weniger Gewieften Werkzeuge an die Hand, um eine Klassifikation vom Symmetrieverhalten nachzuvollziehen. Sei hingewiesen auf die Quantenmechanik der Moleküle, der Kristalle.

## Anmerkungen

* ↑ Walter Ritz (1909). Theorie der Transversalschwingungen einer quadratischen Platte mit freien Rändern.

# Anhang
#### Kurzbeschreibung

Die Skripte sind auf Systemen wie dem Raspberry Pi lauffähig und sind autonom. Sie benutzen absolut keine speziellen Bibliotheken. Die Listings verzichten auf die farbenfrohe Auszeichnung von Syntax, damit man sie einfach aus der Webseite ausschneiden kann.
Das Skript ritz.py berechnet mit den Formeln von Ritz (sollten alle fehlerfrei abgetippt sein?) die Serien von Chladni-Klangfiguren als Svg-Dateien. Die lange Laufzeit von 1 Min wird in einem behinderten Algorithmus verbraucht, der Punktmengen zu Linien vereinen will und das nur schlecht hinkriegt. Lohnt sich kaum, den zu verbessern. Es entstehen 'single-xy.svg' für Einzelfiguren, sowie dekorativ bunte aber sonst nutzlose Ueberlagerungen 'multi-x.svg'. Massen von unverständlichen Debug-Zeilen werden aufs Terminal gespuckt. Alles ignorieren.
Angebaut wurde eine vollständige Neuberechnung der stehenden Wellen von Grund auf. Der Grad der Approximation wurde um Eins angehoben, denn wir haben Mahlwerke für Zahlen, von denen ein Autor vor 100 Jahren nur träumen konnte. Die Matrixelemente des Potenzial-Operators werden zwischen orthonormalen Sätzen von Basisfunktionen errechnet und die Eigenwerte/Eigenvektoren der symmetrischen Matrizen komplett rausgeholt. Der Algorithmus der Jacobi-Rotationen tut es blitzartig und genau; die Dimension der Matrizen bleibt unter 16. Es gibt mehr Graphen und deswegen 2 Minuten Laufzeit. Die Ergebnis-Datei "ritzmodes.txt" enthält alle Basisfamilien, Eigenwerte, Eigenvektoren. Nur wenige Graphen haben subtile Unterschiede zwischen beiden Versionen.
Das Skript chladni.py rechnet eine Approximation der Klangfiguren mit einem anderen Orthonormalsystem durch, nämlich mit den Polynomen an Stelle der physikalisch besser motivierten Balkenfunktionen. Aber mit einer etwas höheren Dimension der Matrizen kommt man auch hier zu ganz brauchbaren Ergebnissen. Die Integralrechnung für die Matrixelemente ist leichter. Chladni.py importiert Funktionen aus Ritz.py.
Un die Versionen im Vergleich anzuschauen, gibt es dieses Shellskript, das die Bilder paarweise verschmilzt und anzeigt. Man benutze Alt-F4, um weiter zu gehen.