# Mathe für Nicht-Freaks: Übersicht: Maßtheoretische Begriffe

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In den nachfolgenden Artikeln zur Maßtheorie werden wir nach und nach verschiedene Mathematische Begriffe einführen. Der Aufbau dieser Artikel ähnelt einer Geschichte, in der wir typische Überlegungen eines Mathematikers nachvollziehen werden und daher Begriffe erst dort einführen, wo wir sie tatsächlich benötigen.
Dieser Artikel fasst die Begriffe auf einer Seite zusammen, damit du sie einfach miteinander vergleichen kannst.

## Mengensysteme

Vitali-Mengen verlinken.
Grundlage der Maßtheorie ist immer eine "große" Grundmenge $\Omega$, für die wir möglichst geeigneten Teilmengen $A\subseteq \Omega$ ein Maß zuordnen wollen, sprich eine Zahl $\mu (A)$, die angibt wie groß $A$ ist. In vielen Fällen ist aber nicht jede Teilmenge $A$ für eine solche Zuordnung geeignet, wie z.B. das Banach-Tarski Paradoxon oder die Vitali-Mengen zeigen.
Diejenigen Mengen, denen wir aber sehr wohl ein Maß $\mu (A)$ zuordnen können nennen wir entsprechend messbar und stecken sie in ein Mengensystem ${\mathcal {A}}$. Das ${\mathcal {A}}$ ist also eine Menge, die Mengen enthält (wie eine Tüte in der sich weitere Tüten befinden), z.B. ${\mathcal {A}}=\{A_{1},A_{2},A_{3},...\}$ mit $A_{1},A_{2},A_{3}\subseteq \Omega$.
Um mit Maßen zu rechnen (Addition, Subtraktion), würde wir gerne mit den Mengen Operationen durchführen, wie z.B. Vereinigungen $A_{1}\cup A_{2}$, Schnitte $A_{1}\cap A_{2}$ oder Komplementbildung $A^{\complement }$. Und das, möglichst ohne "aus ${\mathcal {A}}$ zu fliegen". In der Mathematik gibt es daher eine Unterteilung von Mengensysteme ${\mathcal {A}}$ in verschiedene Typen, je nachdem wie viele Operationen wir ausführen dürfen, ohne aus ${\mathcal {A}}$ zu fliegen und welche weitere Eigenschaften sie erfüllen:
* Die $\sigma$-Algebra ist der speziellste und am häufigsten anzutreffende Mengensystem-Typ. Hier können wir uns "verhältnismäßig viele Operationen erlauben" was Probleme der Art "$\mu (A)$ ist auf dieser Menge nicht definiert" vermeidet. ${\mathcal {A}}$ ist eine $\sigma$-Algebra genau dann wenn
* $\Omega \in {\mathcal {A}}$
* $A,B\in {\mathcal {A}}\implies A\setminus B\in {\mathcal {A}}$
* Immer wenn eine Folge aus Mengen $(A_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ in ${\mathcal {A}}$ liegt, dann ist auch $\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\in {\mathcal {A}}$
* Eine Algebra (von Mengen) erfüllt ebenfalls diese 3 Axiome, allerdings muss 3. nur für endliche Abfolgen $(A_{n})_{n\in \{1,...,N\}}$ gelten. Das "$\sigma$" steht hier für die Möglichkeit, abzählbar unendliche Mengenfolgen vereinigen zu dürfen. Lässt man es weg, sind "nur" endliche Abfolgen erlaubt und man erhält ein allgemeineres Mengensystem. D.h., es gibt "mehr Algebren als $\sigma$-Algebren". Ein System ${\mathcal {A}}$ ist eine Algebra, genau dann wenn
* $\Omega \in {\mathcal {A}}$
* $A,B\in {\mathcal {A}}\implies A\setminus B\in {\mathcal {A}}$
* Immer wenn eine Folge aus Mengen $(A_{n})_{n\in \{1,\ldots ,N\}}$ in ${\mathcal {A}}$ liegt, dann ist auch $\bigcup _{n=1}^{N}A_{n}\in {\mathcal {A}}$
* Ein $\sigma$-Ring (auch ${\mathcal {R}}$ genannt) erfüllt alle Bedingungen der $\sigma$-Algebra, bis auf die 1. D.h., wir erlauben auch Mengensysteme, die "nur kleinere Mengen enthalten". Z.B. könnte es eine maximale Menge $\Omega _{R}\subset \Omega$ geben, die alle $A\in {\mathcal {R}}$ enthält. Ein System ${\mathcal {R}}$ ist ein $\sigma$-Ring, genau dann wenn
* $A,B\in {\mathcal {R}}\implies A\setminus B\in {\mathcal {R}}$
* Immer wenn eine Folge aus Mengen $(A_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ in ${\mathcal {R}}$ liegt, dann ist auch $\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\in {\mathcal {R}}$
Manchmal wird als zusätzliche Bedingung gefordert, dass ${\mathcal {R}}$ nicht leer ist, also ${\mathcal {R}}\neq \emptyset$. Sobald ein Ring ${\mathcal {R}}$ irgend eine Menge $A$ enthält, enthält er immer auch die leere Menge $\emptyset =A\setminus A$.
* Einen Ring (von Mengen) ${\mathcal {R}}$ bekommt man entsprechend, indem man vom $\sigma$-Ring das $\sigma$ wegnimmt, also nur noch endliche $(A_{n})_{n\in \{1,...,N\}}$ zulässt. Von den Axiomen der $\sigma$-Algebra gelten also nur die 2., sowie die 3. in "endlicher" Form:
* $A,B\in {\mathcal {R}}\implies A\setminus B\in {\mathcal {R}}$
* Immer wenn eine Folge aus Mengen $(A_{n})_{n\in \{1,\ldots ,N\}}$ in ${\mathcal {R}}$ liegt, dann ist auch $\bigcup _{n=1}^{N}A_{n}\in {\mathcal {R}}$
* Das Dynkin-System ${\mathcal {D}}$ ist ein eigener Typ von Mengensystemen. Wir benötigen es später um zu beschreiben, wann Maße übereinstimmen. Die 3 Axiome lauten:
* $\Omega \in {\mathcal {D}}$
* für je zwei Mengen $A,B\in {\mathcal {D}}$ mit $A\subseteq B$ ist $B\setminus A\in {\mathcal {D}}$
* für je abzählbar viele, paarweise disjunkte Mengen $A_{1},A_{2},\dots \in {\mathcal {D}}$ gilt $\biguplus _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\in {\mathcal {D}}$.
Weitere Mengensysteme, die nicht in den Artikeln vorkommen sind:
* Die Monotone Klasse ${\mathcal {M}}$: Ein Typ Mengensystem, der alle Grenzwerte von Monoton steigenden oder Fallenden Mengenfolgen $(A_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ enthält. Also:
* Bilden $A_{1},A_{2},\dots \in {\mathcal {M}}$ eine monoton steigende Folge, also $A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq ...$, so ist auch $\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\in {\mathcal {M}}$
* Bilden $A_{1},A_{2},\dots \in {\mathcal {M}}$ eine monoton fallende Folge, also $A_{1}\supseteq A_{2}\supseteq ...$, so ist auch $\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\in {\mathcal {M}}$
* Der Halbring ist eine Verallgemeinerung des Rings. Wesentlicher Punkt ist, dass $A\setminus B$ nicht mehr in ${\mathcal {R}}$ liegen, sondern nur noch über eine disjunkte Vereinigung von Mengen daraus dargestellt werden muss. Die Bedingung $\emptyset \in {\mathcal {R}}$ (welche in Ringen immer gilt) muss damit separat gefordert werden. Statt Vereinigungs- fordert man zudem Durchschnittsstabilität:
* $\emptyset \in {\mathcal {R}}$
* $A,B\in {\mathcal {R}}\implies A\cap B\in {\mathcal {R}}$
* Für $A,B\in {\mathcal {R}}$ gibt es disjunkte Mengen $C_{1},\ldots ,C_{n}\in {\mathcal {R}}$, sodass $A\setminus B=\bigcup _{n=1}^{N}C_{n}\in {\mathcal {R}}$

## Funktionen von Mengensystemen
### Additive Mengensysteme

Auf den oben definierten Mengensystemen versuchen wir nun, Funktionen $\mu$ (oder $\eta$) zu definieren, die intuitiv das "Volumen" einer Menge Messen. Die Intuition "Volumen messen" lässt sich in mehrere wünschenswerte Eigenschaften übersetzen. Zum Beispiel sollte eine leere Menge Volumen 0 haben, also $\mu (\emptyset )=0$. Je mehr dieser Eigenschaften gelten, desto mehr entspricht die Funktion $\mu$ unserer Intuition, das Volumen von Mengen zu messen.
Je nachdem, wie viele und welche dieser wünschenswerte Eigenschaften $\mu$ erfüllt, teilen wir diese Funktion in verschiedene Klassen ein. Die Speziellste Klasse ist das Maß, welches verhältnismäßig viele "gute" Eigenschaften hat und daher häufig in der Mathematik verwendet wird, z.B. in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik.
* Das Maß $\mu$ ist eine Mengenfunktion auf einer $\sigma$-Algebra ${\mathcal {A}}$ mit der recht intuitiven Eigenschaft, dass die leere Menge Maß 0 hat und beim Vereinigen von Mengen, die sich nicht überlappen, auch deren Maße addiert werden müssen:
* $\mu (\emptyset )=0$
* $\mu$ ist $\sigma$-additiv, also $\mu \left(\biguplus _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\right)=\sum _{n\in \mathbb {N} }\mu (A_{n})$
* Ein Prämaß $\mu$ ist im Prinzip das selbe wie ein Maß, muss aber nur auf einem $\sigma$-Ring ${\mathcal {R}}$ definiert sein. Die Menge $\Omega$ darf also in ${\mathcal {R}}$ sein, muss aber nicht. Es gilt also
* $\mu (\emptyset )=0$
* $\mu$ ist $\sigma$-additiv, also $\mu \left(\biguplus _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\right)=\sum _{n\in \mathbb {N} }\mu (A_{n})$
* Ein Inhalt $\mu$ auf einem Ring ${\mathcal {R}}$ ist eine Art "Maß ohne $\sigma$-Eigenschaft für die Additivität". Es wird also nur Additivität für endliche Vereinigungen gefordert
* $\mu (\emptyset )=0$
* $\mu$ ist additiv, also $\mu \left(\biguplus _{n=1}^{N}A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{N}\mu (A_{n})$
* Ein Stetiger Inhalt $\mu$ auf einem Ring ${\mathcal {R}}$ muss - wie der Name bereits andeutet - zusätzlich noch stetig sein:
* $\mu (\emptyset )=0$
* $\mu$ ist additiv
* $\lim _{n\to \infty }\mu (A_{n})=\mu (A)$, sobald eine Mengenfolge $(A_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ monoton steigend oder fallend gegen $A$ konvergiert. Für monoton fallende Folgen ist zudem $\mu (A_{n})<\infty$ nötig.
In gewissermaßen ist also ein Maß ein "$\sigma$-Inhalt". Da Maße in der Mathematik wesentlich häufiger als Inhalte auftauchen, bekommen sie allerdings einen eigenen Namen.

### Subadditive Mengensysteme

Die beiden nachfolgenden Klassen von Funktionen sind nicht additiv, sondern nur subadditiv und bekommen daher einen eigenen Buchstaben $\eta$. D.h. wenn man z.B. eine Menge $A$ mit $\eta (A)=3$ und eine Menge $B$ mit $\eta (B)=2$ vereinigt, könnte $\eta (A\cup B)=4$ (oder generell $\leq 5$) sein! Dieser Punkt widerspricht der Intuition des "Volumen Messens" - daher bekommt die Funktion von uns das separate Symbol $\eta$.
* Der Äußere Inhalt auf der Potenzmenge ${\mathcal {P}}(\Omega )$ ist analog zum Inhalt oben definiert. Allerdings hat man statt der Additivität nur Subadditivität:
* $\eta (\emptyset )=0$
* $\eta$ ist subadditiv, also aus $A\subseteq \bigcup _{n=1}^{N}A_{n}$ folgt $\eta (A)\leq \sum _{n=1}^{N}\eta (A_{n})$
* Ein Äußeres Maß auf der Potenzmenge ${\mathcal {P}}(\Omega )$ ist die $\sigma$-Version des Äußeren Inhalts. D.h. die Subadditivität wird statt für endliche Vereinigungen sogar für abzählbar unendliche Vereinigungen gefordert. Damit wird aus der Subadditivität eine $\sigma$-Subadditivität, wobei das $\sigma$ für "abzählbar unendlich" steht.
* $\eta (\emptyset )=0$
* $\eta$ ist $\sigma$-subadditiv, also aus $A\subseteq \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}$ folgt $\eta (A)\leq \sum _{n=1}^{\infty }\eta (A_{n})$

## Beispiele: Abgrenzung von Mengensystemen

Die Definitionen der Mengensysteme oben sind relativ abstrakt und es ist nicht offensichtlich, warum nicht einige davon äquivalent sein könnten. In den nachfolgenden Beispielen erfährst du, wie sich die Begriffe
${\text{Ring}}\leftrightarrow \sigma {\text{-Ring}}\leftrightarrow {\text{Algebra}}\leftrightarrow \sigma {\text{-Algebra}}$
gegeneinander abgrenzen lassen. Außerdem erhältst du dort einige (von sehr vielen möglichen) visuellen Darstellungen dieser Mengensysteme.
Beispiel (Ringe vs. $\sigma$-Ringe)
Wir konstruieren ein Mengensystem, in dem "Grenzmengen" nicht enthalten sind: Sei $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge von Zahlen mit $a_{n}=1-2^{-n+1}$. Diese liegen im Intervall $[0,1)$. Wir wählen die Basismenge $\Omega :=[0,2)$ etwas größer (das ist durchaus erlaubt) und definieren das Mengensystem
${\mathcal {R}}_{0}=\{[a_{j},a_{j+1}),\;j\in \mathbb {N} \},$
sprich alle halboffenen Intervalle zwischen Elementen aus der Folge. Dies ist noch kein Ring. Aber wir können es zu einem Ring machen:
Sei ${\mathcal {R}}$ das Mengensystem aller endlichen Vereinigungen und Schnitte von Intervallen aus ${\mathcal {R}}_{0}$ (das sind wieder endliche Vereinigungen von halboffenen Intervallen mit $a_{j}$ als Endpunkten). Das System ${\mathcal {R}}$ ist ein Ring (der "von ${\mathcal {R}}_{0}$ erzeugte Ring"), allerdings ist ${\mathcal {R}}$ kein $\sigma$-Ring: Die Grenzmengen
$[a_{j},1)=\lim _{k\to \infty }[a_{j},a_{k}),\;j\in \mathbb {N}$
sind nicht enthalten. Wir können ${\mathcal {R}}$ allerdings in einen $\sigma$-Ring verwandeln, indem wir die "Grenzmengen" $[a_{j},1)=\lim _{k\to \infty }[a_{j},a_{k})$ für alle $j\in \mathbb {N}$ hinzunehmen. Das Mengensystem
${\mathcal {R}}_{\sigma }={\mathcal {R}}\cup \{[a_{j},1)=\lim _{k\to \infty }[a_{j},a_{k}),\;j\in \mathbb {N} \}$
ist wiederum ein $\sigma$-Ring (und damit gleichzeitig ein Ring).
* Das System ${\mathcal {R}}$ ist "nur" ein Ring.
* Das System ${\mathcal {R}}_{\sigma }$ ist auch ein $\sigma$-Ring.
Beispiel ($\sigma$-Algebren vs. $\sigma$-Ringe)
Wir übernehmen das Setting aus dem vorherigen Beispiel: Das Mengensystem ${\mathcal {R}}_{0}$ besteht aus allen Intervallen $[a_{j},a_{j+1})$ mit Endpunkten in der Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }=1-2^{-n+1}$ . Die Basismenge wählen wir zu $\Omega :=[0,2)$ (siehe Abbildung)
* Das System ${\mathcal {A}}_{\sigma ,2}$ ist eine $\sigma$-Algebra.
* Das System ${\mathcal {R}}_{\sigma }$ ist "nur" ein $\sigma$-Ring.
Das Mengensystem ${\mathcal {R}}_{0}$ erzeugt einen Ring ${\mathcal {R}}$ (durch endliche Vereinigungen und Schnitte). Hinzunahme der Grenzmengen $[a_{j},1)=\lim _{k\to \infty }[a_{j},a_{k})$ ergibt einen $\sigma$-Ring
${\mathcal {R}}_{\sigma }={\mathcal {R}}\cup \{[a_{j},1)=\lim _{k\to \infty }[a_{j},a_{k}),\;j\in \mathbb {N} \}$
Das Mengensystem ${\mathcal {R}}_{\sigma }$ ist allerdings keine $\sigma$-Algebra, da es die Basismenge $\Omega$ nicht enthält. Das Mengensystem ist gewissermaßen "zu klein". Wir können es zu einer $\sigma$-Algebra machen: Dazu fügen wir $\Omega$ und die Komplementmengen $R^{\complement }:=\Omega \setminus R$ für alle $R\in {\mathcal {R}}_{\sigma }$ hinzu. Von diesen Mengen bilden wir wieder alle beliebige Vereinigungen uns Schnitte. und fügen sie zum Mengensystem hinzu.
Das Ergebnis ist eine $\sigma$-Algebra ${\mathcal {A}}_{\sigma }$, die aus beliebigen Vereinigungen von halboffenen Intervallen besteht, mit Endpunkten in $\{2,1,a_{1},a_{2},a_{3}...\}$.
Der einzige Unterschied zu ${\mathcal {R}}_{\sigma }$ ist, dass auch 2 als Endpunkt erlaubt ist. $\sigma$-Algebren sind also quasi größer als bloße $\sigma$-Ringe.
Wir können ${\mathcal {A}}_{\sigma }$ sogar noch größer machen, indem wir eine endliche Menge von beliebigen Punkten $\{b_{1},...,b_{n}\}$ zu den Endpunkten hinzufügen. Daraus können wir eine "noch größere $\sigma$-Algebra" ${\mathcal {A}}_{\sigma ,2}$ konstruieren, indem wir ${\mathcal {A}}_{\sigma ,2}$ als Mengensystem aus beliebigen Vereinigungen von halboffenen Intervallen zwischen den Endpunkten $\{2,1,b_{1},...,b_{n},a_{1},a_{2},a_{3}...\}$ wählen (siehe Abbildung).
Beispiel ($\sigma$-Algebren vs. Algebren)
Wir nutzen erneut das Setting der beiden Beispiele oben: Auf dem Intervall $\Omega =[0,2)$ definieren wir uns eine Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ von Endpunkten $a_{n}=1-2^{-n+1}$.
Das Mengensystem ${\mathcal {R}}$, welches aus beliebigen endlichen Vereinigungen von Intervallen der Form $[a_{j},a_{k}),j<k$ besteht ist ein Ring von Mengen. Allerdings kein $\sigma$-Ring.
Nehmen wir die 1 zu den möglichen Endpunkten $a_{1},a_{2},\ldots$ hinzu (das heißt, $1,a_{1},a_{2},\ldots$ sind als Endpunkte der halboffenen Intervalle erlaubt), und lassen wir ebenfalls abzählbar unendliche Vereinigungen zu, so erhalten wir einen $\sigma$-Ring ${\mathcal {R}}_{\sigma }$. Er ist allerdings keine $\sigma$-Algebra, da er $\Omega$ nicht enthält.
Nehmen wir zusätzlich 2 zu den möglichen Endpunkten hinzu, so erhalten wir eine $\sigma$-Algebra ${\mathcal {A}}_{\sigma ,2}$. Nach Hinzufügen endlich vieler beliebiger weiterer Endpunkte bekommen wir weitere, noch größere $\sigma$-Algebren, die wir mit dem allgemeinen Symbol ${\mathcal {A}}_{\sigma ,2}$ bezeichnet haben.
Die $\sigma$-Algebren ${\mathcal {A}}_{\sigma }$ und ${\mathcal {A}}_{\sigma ,2}$ lassen sich sehr einfach wieder in eine Algebra verwandeln, indem wir den zulässigen Endpunkt 1 herausnimmt.
Wir definieren das Mengensystem ${\mathcal {A}}$, so dass es beliebige abzählbare Vereinigungen von Intervallen mit den selben Endpunkten wie diejenigen aus ${\mathcal {A}}_{\sigma }$ enthält, außer der 1. Dann ist ${\mathcal {A}}$ eine Algebra, denn ${\mathcal {A}}$ enthält $\Omega$, allerdings geht durch das Herausnehmen die $\sigma$-Eigenschaft verloren. Sprich:eine abzählbare Vereinigung von Mengen (welche z.B. 1 als Grenzpunkt enthält) muss nicht mehr in ${\mathcal {A}}$ sein.
Analog können wir die $\sigma$-Algebra ${\mathcal {A}}_{\sigma ,2}$ in eine Algebra ${\mathcal {A}}_{\sigma ,2}$ verwandel, indem wir die 1 als erlaubten Grenzpunkt entfernen. Die $\sigma$-Eigenschaft geht dadurch verloren.
* Das System ${\mathcal {A}}_{\sigma ,2}$ ist eine $\sigma$-Algebra.
* Nimmt man die 1 als Grenzpunkt weg, bleibt "nur noch eine Algebra" übrig.
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