# Mathematik: Analysis: Differentialrechnung

| A: Grundlagen | B: Reelle Zahlen | C: Folgen und Reihen | D: Stetigkeit | E: Differentialrechnung | F: Integralrechnung | G: Differentialgleichungen |

## Einleitung

Die Untersuchung einer Funktion auf Stetigkeit an einer Stelle zielt auf die Frage, ob eine "kleine" Änderung des Argumentwertes auch nur eine "kleine" Änderung des Funktionswertes zur Folge hat. In der Differentialrechnung wird diese Fragestellung verfeinert; man fragt, in welchem Verhältnis die "Kleinheit" der Änderung des Funktionswertes zur "Kleinheit" der Änderung des Argumentwertes steht. Hierzu nachfolgendes Beispiel.

### Beispiel

    Sei $f(x)=x^{2}$ und $a_{1}={\frac {1}{2}}$ und $a_{2}={\frac {3}{2}}$. Dann ist $f(a_{1})=f\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {1}{4}}$ und $f(a_{2})=f\left({\frac {3}{2}}\right)={\frac {9}{4}}$.
    Ändert man nun $a_{1}$ um ein "kleines" Stück $h={\frac {1}{4}}$, so ist $f(a_{1}+h)=f\left({\frac {3}{4}}\right)={\frac {9}{16}}$. Man erhält die Funktionswerteänderung $f(a_{1}+h)-f(a_{1})={\frac {5}{16}}$.
    Ändert man dagegen $a_{2}$ um das gleiche "kleine" Stück $h={\frac {1}{4}}$, so ist $f(a_{2}+h)=f\left({\frac {7}{4}}\right)={\frac {49}{16}}$, und jetzt ergibt sich die Funktionswerteänderung $f(a_{2}+h)-f(a_{2})={\frac {13}{16}}$.
Gleich große Änderung des Argumentwertes ruft in der Regel eine unterschiedlich große Änderung des Funktionswertes hervor. Man spricht hier von der "Änderungsgeschwindigkeit" , und diese genauer zu untersuchen, ist Gegenstand der Differentialrechnung.
Der Differentialrechnung liegt eine Anzahl physikalischer Probleme zugrunde, die alle eines gemeinsam haben: Es geht dabei stets um den Momentanwert einer zeitlich oder örtlich veränderlichen physikalischen Größe, also um Fragen wie
* Was versteht man unter der Momentangeschwindigkeit eines nicht gleichförmig bewegten Körpers?
* Was ist seine Momentanbeschleunigung?
* Was ist die momentane Stärke eines Flüssigkeits-oder eines elektrischen oder überhaupt eines Stromes?
* Was versteht man unter der Dichte eines inhomogenen Körpers in einem seiner Punkte?
Dabei geht es nicht nur um exakte Definitionen sondern auch um Methoden zur Berechnung solcher Größen. Dabei wird sich herausstellen, dass die hier genannten und viele weitere solche Größen zwar definiert und unter idealisierten Bedingungen berechnet, aber nicht gemessen werden können.
Die stets gleichartige Problematik lässt sich sehr anschaulich an der Steigung einer Kurve in einem ihrer Punkte erörtern.

## Die Steigung einer Kurve in einem ihrer Punkte
### Steigung einer Geraden
#### Definition

    Die Steigung einer Geraden ist der Tangens des Winkels, den sie mit der positiven x-Achse einschließt. Er ist gleich dem Quotienten der Koordinatendifferenzen zweier ihrer Punkte:
    $\tan(\alpha )={\frac {\Delta y}{\Delta x}}$.
Der Quotient Δy/Δx heißt Differenzenquotient.
Daraus folgt für die Steigung der Sekante eines Kurvenstücks:
    $\tan(\sigma )={\frac {\Delta y}{\Delta x}}$.
Die Steigung der Sekante wird auch als die „mittlere Steigung der Kurve im Intervall Δx“ bezeichnet.

### Steigung einer Kurve in einem ihrer Punkte
#### Definition

    Die Steigung $s=\tan(\tau )$ einer Kurve in einem ihrer Punkte ist der Grenzwert, dem der Differenzenquotient und damit auch $\tan(\sigma )$ für $\Delta x$ gegen $0$ zustrebt.
    $s=\tan(\tau )=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}\tan(\sigma )$.
Der Grenzwert existiert nur unter bestimmten Voraussetzungen, über die noch zu sprechen sein wird.
Diese Definition sagt nichts darüber aus, wie der Grenzwert ermittelt werden kann, aber das ist auch nicht ihre Aufgabe.

### Tangente in einem Kurvenpunkt
#### Definition

    Die Tangente im Punkt $P$ einer Kurve ist die Gerade durch $P(\xi ,\eta )$,, welche dieselbe Steigung $s=\tan(\tau )$ hat wie die Kurve in $P$. Ihre Gleichung (Punkt-Richtungs-Gleichung) lautet demnach:
    ${\frac {y-\eta }{x-\xi }}=\lim _{\Delta x\to 0}\left({\frac {\Delta y}{\Delta x}}\right)_{\xi }$.
Der Index $\xi$ bei der Klammer besagt, dass der Grenzwert an der Stelle $x=\xi$ zu bilden ist, d. h. dass das Intervall $\Delta x$ sich auf den Wert $\xi$ zusammenziehen lässt.
Selbst wenn die betrachtete Kurve „zusammenhängend“ ist, das heißt nirgendwo einen Sprung macht, können in einem Punkt $P$ der rechtsseitige $(\Delta x>0)$ und der linksseitige Grenzwert $(\Delta x<0)$ von einander verschiedene Werte haben. Die Kurve hat dann in $P$ zwei Tangenten.

### Differentialquotient und Differentiale

Der Grenzwert des Differenzenquotienten ${\frac {\Delta y}{\Delta x}}$ wird abkürzend als Differentialquotient ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}$ bezeichnet:
    $\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}\equiv {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}$.
Zu einer Zeit, als weder für den Kontinuumsbegriff noch für den Stetigkeitsbegriff exakte mathematische Definitionen zur Verfügung standen, wurden die so genannten Differentiale $\operatorname {d} y$ und $\operatorname {d} x$ als "verschwindend kleine" oder auch "unendlich kleine" Größen angesehen. Inzwischen hat sich aber herausgestellt, dass man mit Differentialen algebraisch sauber operieren kann, wenn man sie nur geeignet definiert:
* Das Differential $\operatorname {d} x$ ist identisch mit der Differenz $\Delta x$. Je nachdem, ob die damit gemeinte Größe zusammen mit $\operatorname {d} y$ oder $\Delta y$ auftritt, wird die eine oder die andere Bezeichnung gewählt.
* Das Differential $\operatorname {d} y$ ist der (positive oder negative) Anstieg der Kurventangente im Intervall $\operatorname {d} x$ (während $\Delta y$ der Anstieg der Kurve selbst ist).
Wie man erkennt, ist
    $\Delta y=\tan(\sigma )\cdot \Delta x\quad$ und $\quad \operatorname {d} y=\tan(\tau )\cdot \operatorname {d} x=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}\cdot \operatorname {d} x$.
Für hinreichend kleine $\Delta x=\operatorname {d} x$ gilt die wichtige Näherung:
    $\Delta y\approx \operatorname {d} y=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}\cdot \Delta x$.
Bei einigen wenigen Kurven kann die Tangente in einem beliebigen Kurvenpunkt exakt konstruiert werden. (Beispiel: Tangentenkonstruktion bei einem Kreis.) In einem solchen Fall kann auch ihre Steigung (also der Differentialquotient) graphisch ermittelt werden. Im Allgemeinen jedoch ist man auf die analytische Darstellung der Kurve – ihre Funktionsgleichung – angewiesen, wenn man den Grenzwert bestimmen will.
Die Bedeutung des Differentialquotienten reicht aber weit über das Tangentenproblem hinaus. Er spielt in Teilgebieten der Mathematik, insbesondere aber in der Physik eine bedeutende Rolle. Die mathematische Durchdringung der Physik ist ohne den Differentialquotienten undenkbar. Wir übertragen daher jetzt die oben eingeführten Begriffe auf mathematische Funktionen.

## Der Differentialquotient einer Funktion

          Zur Auffrischung: Funktion
          Die eindeutige Zuordnung der Elemente y einer Menge Y von Zahlen zu den Elementen x einer Menge X von Zahlen heißt Funktion.
          Anders ausgedrückt:
          Durch eine Funktion wird jedem Element x der Menge X genau ein Element y der Menge Y zugeordnet. (Es ist derzeit üblich, eine solche Zuordnung als "Abbildung" zu bezeichnen, obwohl der Sinn einer solchen Ausdrucksweise erst in der Funktionentheorie verständlich wird.)
          X heißt Definitionsbereich D, Y heißt Wertebereich W der Funktion.
          Der einem Wert x$_i$ zugeordnete Wert y$_i$ heißt der zu x$_i$ gehörige Funktionswert y$_i$ = f(x$_i$).
          Die analytische Darstellung einer Funktion geschieht durch ihre Funktionsgleichung. Diese kann verschiedene Formen haben:
          Explizite Form: y = f(x)
          Implizite Form: F(x, y) = 0
          Parameterdarstellung: x = φ(t), y = ψ(t)
          Mittelbare Funktion: y = f(φ(x))
          Beachte den Unterschied zwischen Funktion und Funktionsgleichung.
          Wenn nichts anderes verabredet wird, gilt als Definitionsbereich D einer Funktion die Menge aller reellen Zahlen, deren Funktionswert ebenfalls reell ist.
Die Funktionsgleichung der Funktion $f$ sei $y=f(x)$. Ferner sei die Funktion an der Stelle $x=\xi$ und in der Umgebung von $\xi$ definiert. Damit ist gemeint, dass $\xi$ nicht ein singulärer, isolierter Definitionspunkt sein darf, in dessen Nachbarschaft die Funktion nicht definiert ist. Die "Umgebung" kann sehr wohl eine einseitige Umgebung sein, sodass $\xi$ ein Randpunkt des Definitionsbereichs ist. Die Intervallbreite der "Umgebung" darf beliebig klein, jedoch nicht null sein. – Die Bedingung, dass die Funktion in einer gewissen Umgebung von $\xi$ definiert sein muss, ist notwendig, damit der Funktionswert nicht nur an der Stelle $\xi$, sondern auch an der Stelle $\xi +\Delta x$ angegeben werden kann.
Dann ist der an der Stelle $x=\xi$ gebildete Differenzenquotient der Funktion $f(x)$:
    $\left({\frac {\Delta y}{\Delta x}}\right)_{\xi }={\frac {f\left({\xi +\Delta x}\right)-f\left(\xi \right)}{\Delta x}}$.
Wenn der Grenzwert $\lim _{\Delta x\to 0}\left({\frac {\Delta y}{\Delta x}}\right)_{\xi }$ existiert, so sagt man, die Funktion $f(x)$ sei an der Stelle $\xi$ differenzierbar, oder sie besitze dort eine Ableitung.
Übliche Bezeichnungen für den Differentialquotienten und für die Ableitung an der Stelle $\xi$ sind:
    $\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)_{\xi },\quad \left({\frac {\operatorname {d} f(x)}{\operatorname {d} x}}\right)_{\xi },\quad \left({\frac {\operatorname {d} f}{\operatorname {d} x}}\right)_{\xi },\quad y'\left(\xi \right),\quad f'\left(\xi \right)$.

### Satz (1)

    Ist die Funktion $f(x)$ an der Stelle $\xi$ differenzierbar, so ist sie dort auch stetig.

### Beweis

    Wenn die Funktion $f(x)$ an der Stelle $\xi$ differenzierbar ist, so existiert dort der Grenzwert
    $\lim _{\Delta x\to 0}\left({\frac {\Delta y}{\Delta x}}\right)_{\xi }=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f\left({\xi +\Delta x}\right)-f\left(\xi \right)}{\Delta x}}$
    und hat dort einen bestimmten (endlich großen) Wert $s$. Dies setzt jedoch voraus, dass für $\Delta x$ gegen $0$ auch $\Delta y$ gegen $0$ strebt, also gilt
    $\lim _{\Delta x\to 0}\left[{f\left({\xi +\Delta x}\right)-f\left(\xi \right)}\right]=0\quad$ oder $\quad \lim _{\Delta x\to 0}f\left({\xi +\Delta x}\right)=f\left(\xi \right)$.
    Anderenfalls würde der Differenzenquotient für $\Delta x$ gegen $0$ unbeschränkt wachsen. Die rechte Gleichung ist aber nichts anderes als das Kriterium der Stetigkeit der Funktion $f$ an der Stelle $\xi$.

### Satz (2)

    Die Funktion $f(x)$ sei an der Stelle $\xi$ differenzierbar und daher auch in einer gewissen Umgebung dieser Stelle definiert. Setzt man nun für alle $\Delta x\neq 0$, für die $f(\xi +\Delta x)$ definiert ist,
    ${\frac {f\left({\xi +\Delta x}\right)-f\left(\xi \right)}{\Delta x}}-f'\left(\xi \right)=g\left({\Delta x}\right)\quad$ und $\quad g\left({\mbox{0}}\right)=0$,
    so ist $\lim _{\Delta x\to 0}g\left({\Delta x}\right)=0$ und $g(\Delta x)$ an der Stelle $0$ stetig.
Dieser Satz ist unmittelbar einleuchtend. Er kann – samt seiner Umkehrung – in der folgenden Form ausgesprochen werden:

### Satz (3)

    Eine an der Stelle $\xi$ und in einer Umgebung von $\xi$ definierte Funktion $f(x)$ ist dann und nur dann an dieser Stelle differenzierbar und hat dort die Ableitung $f(\xi )=s$, wenn die Differenz
    $\Delta y=f\left({\xi +\Delta x}\right)-f\left(\xi \right)$
    sich nach der Formel
    $\Delta y=f\left({\xi +\Delta x}\right)-f\left(\xi \right)=s\cdot \Delta x+g\left({\Delta x}\right)\cdot \Delta x$
in zwei Teile zerlegen lässt, wovon der erste proportional zu $\Delta x$ ist und der zweite so beschaffen ist, dass er auch nach Division durch $\Delta x$ für $\Delta x$ gegen $0$ ebenfalls gegen $0$ geht.

### Beweis

* Die Formel in Satz (3) ist nichts anderes als die mit $\Delta x$ multiplizierte und dann umgestellte Formel in Satz (2).
* Ist umgekehrt die Bedingung erfüllt, so ist nach Division durch $\Delta x$
    $\left({\frac {\Delta y}{\Delta x}}\right)_{\xi }=f'\left(\xi \right)+g\left({\Delta x}\right)\quad$ und $\quad \lim _{\Delta x\to 0}\left({\frac {\Delta y}{\Delta x}}\right)_{\xi }=f'\left(\xi \right)$.
Die Funktion $f(x)$ besitzt also an der Stelle $\xi$ eine Ableitung und diese hat den Wert $f(\xi )$.
Dieser wichtige Satz heißt Zerlegungssatz, und die obige Formel heißt Zerlegungsformel.

### Differenzierbarkeit einer Funktion in einem Intervall
#### Definition

    Eine Funktion $f(x)$ heißt im beiderseits offenen Intervall $(a,b)$ differenzierbar, wenn sie an jeder Stelle des Intervalls differenzierbar ist.
Ist eine Funktion $f(x)$ im Intervall $(a,b)$ differenzierbar, so hat ihre Ableitung in jedem Punkt des Intervalls einen genau bestimmten Wert, der mit $f'(x)$ bezeichnet wird, wobei $a<x<b$ ist. Folglich ist die Ableitung $f'(x)$ in dem angegebenen Intervall selbst wieder eine Funktion von $x$.
Diese Funktion $f'(x)$ wird die abgeleitete Funktion oder kurz Ableitung von $f(x)$ genannt. Übliche Schreibweisen für die abgeleitete Funktion sind
    $f'(x),\quad y'(x),\quad y',\quad {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}},\quad {\frac {\operatorname {d} f(x)}{\operatorname {d} x}},\quad {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} x}}f(x)$.

## Differentiationsregeln
### Einfachste Fälle

* Die konstante Funktion $y=c$ ($c$ reell) Der Graph dieser Funktion ist eine horizontale Gerade. Ihre Steigung ist null. Daher ist auch $y'=0$.
* Die Funktionen $y=a\cdot x$ und $y=a\cdot x+b$ ($a,b$ reell) Die Graphen beider Funktionen sind parallele Geraden mit der Steigung $a$. Folglich gilt für die Ableitungen beider Funktionen $y'=a$.

### Die Ableitung der Summe und Differenz zweier Funktionen

Es sei $f(x)=u(x)+v(x)$, und die Funktionen $u(x)$ und $v(x)$ seien für $a<x<b$ beide differenzierbar. (Dies soll künftig für alle auftretenden Funktionen gelten.)
Dann ist
    ${\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {f\left({x+\Delta x}\right)-f\left(x\right)}{\Delta x}}={\frac {u\left({x+\Delta x}\right)+v\left({x+\Delta x}\right)-\left[{u\left(x\right)+v\left(x\right)}\right]}{\Delta x}},$
    ${\frac {f\left({x+\Delta x}\right)-f\left(x\right)}{\Delta x}}={\frac {u\left({x+\Delta x}\right)-u\left(x\right)}{\Delta x}}+{\frac {v\left({x+\Delta x}\right)-v\left(x\right)}{\Delta x}},$
    $\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f\left({x+\Delta x}\right)-f\left(x\right)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {u\left({x+\Delta x}\right)-u\left(x\right)}{\Delta x}}+\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {v\left({x+\Delta x}\right)-v\left(x\right)}{\Delta x}},$
    $f'\left(x\right)=u'\left(x\right)+v'\left(x\right).$
Analog findet man
    $f\left(x\right)=u\left(x\right)-v\left(x\right)\quad \to \quad f'\left(x\right)=u'\left(x\right)-v'\left(x\right).$

### Ableitung des Produkts zweier Funktionen

Aus $f\left(x\right)=u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)$ folgt
    $f\left({x+\Delta x}\right)=u\left({x+\Delta x}\right)\cdot v\left({x+\Delta x}\right),$
    ${\frac {f\left({x+\Delta x}\right)-f\left(x\right)}{\Delta x}}={\frac {u\left({x+\Delta x}\right)\cdot v\left({x+\Delta x}\right)-u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)}{\Delta x}}$
und durch Subtraktion und Addition von $u\left(x\right)\cdot v\left({x+\Delta x}\right)$ im Zähler
    $={\frac {u\left({x+\Delta x}\right)\cdot v\left({x+\Delta x}\right)-u\left(x\right)\cdot v\left({x+\Delta x}\right)+u\left(x\right)\cdot v\left({x+\Delta x}\right)-u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)}{\Delta x}}$
    $={\frac {u\left({x+\Delta x}\right)-u\left(x\right)}{\Delta x}}v\left({x+\Delta x}\right)+u\left(x\right){\frac {v\left({x+\Delta x}\right)-v\left(x\right)}{\Delta x}}.$
Für $\Delta x$ gegen $0$ wird daraus:
    $f'\left(x\right)=u'\left(x\right)\cdot v\left(x\right)+u\left(x\right)\cdot v'\left(x\right).$
Als Sonderfall ergibt sich daraus für einen konstanten Faktor $c$
    $f\left(x\right)=c\cdot v\left(x\right)\quad \to \quad f'\left(x\right)=c\cdot v'\left(x\right).$
Die "Produktregel" ist besonders einprägsam in der Kurzform
    $\left({u\cdot v}\right)'=u'\cdot v+u\cdot v'$
oder
    ${\frac {\left({u\cdot v}\right)'}{u\cdot v}}={\frac {u'}{u}}+{\frac {v'}{v}}\quad \quad u,v\neq 0.$
In dieser Form lässt sich die Regel besonders leicht auf drei und mehr Faktoren übertragen:
    ${\frac {\left({u\cdot v\cdot w}\right)'}{u\cdot v\cdot w}}={\frac {u'}{u}}+{\frac {v'}{v}}+{\frac {w'}{w}}\quad$ usw .

### Ableitung des Quotienten zweier Funktionen

1. Wir betrachten zunächst einen einfachen Sonderfall:
    $f\left(x\right)={\frac {1}{v\left(x\right)}}.$
Dann ist
    ${\frac {f\left({x+\Delta x}\right)-f\left(x\right)}{\Delta x}}=\left[{{\frac {1}{v\left({x+\Delta x}\right)}}-{\frac {1}{v\left(x\right)}}}\right]:\Delta x=\left[{\frac {v\left(x\right)-v\cdot \left({x+\Delta x}\right)}{v\left({x+\Delta x}\right)\cdot v\left(x\right)}}\right]:\Delta x.$
Für $\Delta x$ gegen $0$ wird daraus:
    $f'\left(x\right)=-{\frac {v'\left(x\right)}{\left[{v\left(x\right)}\right]^{2}}}.$
2. Den allgemeinen Fall, nämlich
    $f\left(x\right)={\frac {u\left(x\right)}{v\left(x\right)}},$
fassen wir nun als Produkt auf, wenden darauf die "Produktregel" an und berücksichtigen dabei das soeben gewonnene Ergebnis:
    $f\left(x\right)=u\left(x\right)\cdot \left[{\frac {1}{v\left(x\right)}}\right],$
    $f'\left(x\right)=u'\left(x\right)\cdot \left[{\frac {1}{v\left(x\right)}}\right]+u\left(x\right)\cdot \left[{\frac {1}{v\left(x\right)}}\right]^{'}=u'\left(x\right)\left[{\frac {1}{v\left(x\right)}}\right]-u\left(x\right){\frac {v'\left(x\right)}{\left[{v\left(x\right)}\right]^{2}}},$
und schließlich
    $f'\left(x\right)={\frac {u'\left(x\right)\cdot v\left(x\right)-u\left(x\right)\cdot v'\left(x\right)}{\left[{v\left(x\right)}\right]^{2}}}.$

### Ableitung der Potenzfunktion

Es sei
    $f\left(x\right)=x^{n}\quad \quad n=2,\;3,\;4,\ldots$
Durch Anwendung der erweiterten Produktregel ergibt sich dann
    ${\frac {\left({x^{n}}\right)'}{x^{n}}}=\underbrace {{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{x}}+\ldots +{\frac {1}{x}}} _{n{\mbox{ Summanden}}}=n\cdot {\frac {1}{x}}\quad \to \quad \left({x^{n}}\right)'=n\cdot x^{n-1}.$

### Ableitung der rationalen Funktionen

Durch Kombination der bisher bewiesenen Sätze können alle ganzen und gebrochenen rationalen Funktionen differenziert werden.

### Ableitung einer inversen Funktion

Es sei $f(x)$ eine im abgeschlossenen Intervall $[a,b]$ stetige und streng monoton steigende Funktion. Ferner sei $f(a)=c$ und $f(b)=d$.
Dann ist im Intervall $[c,d]$ jedem Wert $y$ eindeutig ein Wert $x$ zugeordnet, sodass auch $x$ eine Funktion von $y$ ist:
    $x=\varphi (y).$
Die Funktion $\varphi$ heißt die Umkehrfunktion oder inverse Funktion zu $f$. Dabei vertauschen Definitionsbereich und Wertebereich ihre Rollen.
Charakteristisch für die Funktion und ihre Umkehrfunktion ist, dass für jeden Wert $\xi$ und für jeden Wert $\eta$ im jeweiligen Intervall
    $\varphi \left[{f\left(\xi \right)}\right]=\xi \quad$ und $\quad f\left[{\varphi \left(\eta \right)}\right]=\eta$
gilt.
Für die Steigungen der Tangente in einem beliebigen Punkt $P(x,y)$ gilt:
    $\tan \tau _{1}=f'(x)\quad$ und $\quad \tan \tau _{2}=\varphi '\left(y\right).$
Wegen
    $\tau _{2}={\frac {\pi }{2}}-\tau _{1}\quad \to \quad \tan \tau _{2}={\frac {1}{\tan \tau _{1}}}\quad \to \quad \varphi '\left(y\right)={\frac {1}{f'\left(x\right)}}.$
Dieses wichtige Ergebnis kann auch so geschrieben werden:
    ${\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} y}}={\frac {1}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}}.$

### Ableitung einer mittelbaren Funktion

Ein einfaches Beispiel einer mittelbaren Funktion ("Funktion einer Funktion") ist die Funktion
    $f(x)=\sin ^{2}x=\left({\sin x}\right)^{2}.$
Setzen wir
    $u=\varphi \left(x\right)=\sin x\quad$ und $\quad y=f(u)=u^{2},$
so wird
    $y=f\left[{\varphi \left(x\right)}\right]$
eine mittelbare Funktion von x.
Der Differenzenquotient der so genannten inneren Funktion (hier: $\sin(x)$) ist
    ${\frac {\Delta u}{\Delta x}}={\frac {\sin \left({x_{0}+\Delta x}\right)-\sin \left({x_{0}}\right)}{\Delta x}},$
der Differenzenquotient der so genannten äußeren Funktion (hier $u^{2}$) ist
    ${\frac {\Delta y}{\Delta u}}={\frac {\left({u_{0}+\Delta u}\right)^{2}-u_{0}^{2}}{\Delta u}}.$
Den Differentialquotienten ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}$ kann man dann schreiben
    ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}\left({{\frac {\Delta y}{\Delta u}}\cdot {\frac {\Delta u}{\Delta x}}}\right)=\lim _{\Delta u\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta u}}\cdot \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta u}{\Delta x}}={\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} u}}\cdot {\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} x}}.$
Dabei muss allerdings vorausgesetzt werden, dass $du$ ungleich $0$ ist, d. h. die Kurve der Funktion $u(x)$ darf an der Stelle $x_{0}$ keine horizontale Tangente haben. Eine detaillierte Untersuchung zeigt aber, dass diese Bedingung rein formaler Natur ist. Es gilt also ohne Einschränkung die so genannte Kettenregel:
    ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}={\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} u}}\cdot {\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} x}}\quad$ oder $\quad y'\left(x\right)=y'\left(u\right)\cdot u'\left(x\right).$
Diese Regel gilt auch für beliebig viele erkettete Funktionen.

### Ableitung der Logarithmusfunktion ln $x$

Es sei $f(x)=\ln x$. Diese Funktion ist für $x>0$ überall definiert und stetig.
Dann ist
    ${\frac {f\left({x+\Delta x}\right)-f\left(x\right)}{\Delta x}}={\frac {\ln \left(x+\Delta x\right)-\ln x}{\Delta x}}={\frac {\ln {\frac {x+\Delta x}{x}}}{\Delta x}}={\frac {\ln \left(1+{\frac {\Delta x}{x}}\right)}{\Delta x}}.$
Wir setzen nun ${\frac {\Delta x}{x}}={\frac {1}{n}}\quad \to \quad \Delta x={\frac {x}{n}}$, wobei $\lim _{n\to \infty }\Delta x=x\cdot \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0$ .
Dann wird
    ${\frac {f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)}{\Delta x}}={\frac {n\cdot \ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)}{x}}={\frac {\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}{x}}$
und
    $\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)}{\Delta x}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}{x}}={\frac {1}{x}}\lim _{n\to \infty }\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}={\frac {1}{x}}\ln \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.$
Nun ist aber
    $\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=e\quad$ und $\quad \ln e=1.$
Somit ist
    $\ln '(x)={\frac {1}{x}}.$
Die Funktion $x\mapsto \ln(x)$ ist für alle $x>0$ differenzierbar.

### Ableitung der Exponentialfunktion e$^x$

Die Exponentialfunktion ist meist über die Reihe
    $e^{x}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}=1+x+x^{2}/2+\dots$
gegeben. Da die einzelnen Summenglieder alle stetig und differenzierbar sind, dürfen wir gliedweise ableiten:
    $(e^{x})'=0+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {kx^{k-1}}{k!}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k-1}}{(k-1)!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}=e^{x}$
Alternativ können wir die Ableitung auch aus der Umkehrfunktion gewinnen, da die Funktion für alle reellen Zahlen definiert, stetig und streng monoton ist. Ihr Wertebereich ist $y>0$. Aus
    $y=e^{x}\quad \to \quad x=\ln y\quad \to \quad {\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} y}}={\frac {1}{y}}={\frac {1}{e^{x}}}\quad \to \quad {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=e^{x}.$
Also ist
    $\left({e^{x}}\right)'=e^{x}.$
Die Funktion $e^{x}$ ist für alle Werte $x$ differenzierbar.

### Wichtige Ableitungen

| f(x) | f ' (x) | f ' ' (x) | f ' ' ' (x) |
| e$^x$ | e$^x$ | e$^x$ | e$^x$ |
| ln(x) | (1/x) | (-1/x$^2$) | (2/x$^3$) |
| c*x | c | 0 | 0 |
| x$^c$ | c*x$^{(c-1)}$ | c(c-1)x$^{(c-2)}$ | c(c-1)(c-2)x$^{(c-3)}$ |
| x+c | 1 | 0 | 0 |
| sin(x) | cos(x) | –sin(x) | –cos(x) |
| cos(x) | –sin(x) | –cos(x) | sin(x) |

## Das Taylorpolynom

Sei $f:I\rightarrow \mathbb {R}$ $n$-mal differenzierbar im Intervall $I$, und sei $x_{0}\in I$. Dann gilt
    $f(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(x_{0})}{k!}}(x-x_{0})^{k}+R_{n}(x)$
mit
    $\lim _{n\to x_{0}}{\frac {R_{n}(x)}{(x-x_{0})^{n}}}=0$ .
Ist $f$ sogar $(n+1)$-mal differenzierbar, so kann man das Restglied (den Fehler) auch schreiben als
    $R_{n}(x)={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(x-x_{0})^{n+1}$
mit einem $\xi$ zwischen $x$ und $x_{0}$. Das Restglied in dieser Darstellung nennt man auch das Lagrangesche Restglied.
Das Taylorpolynom gibt die Möglichkeit, eine mehrfach differenzierbare Funktion in der Umgebung eines Entwicklungspunktes $x_{0}$ durch ein Polynom zu approximieren und deren Approximationfehler $R_{n}(x)$ qualitativ/quantitativ abzuschätzen.

### Taylorentwicklung von $f(x)=e^{x}$ im Entwicklungspunkt $x_{0}=0$ :

    $f(x)=e^{x}\rightarrow f(x_{0})=1$
    $f^{'}(x)=e^{x}\rightarrow f^{'}(x_{0})=1$
    $f^{''}(x)=e^{x}\rightarrow f^{''}(x_{0})=1$
    $f^{(n)}(x)=e^{x}\rightarrow f^{(n)}(x_{0})=1$
    $\Rightarrow f(x)=e^{x}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}x^{k}$