# Warum fliegt ein Flugzeug/ Druckversion

* Druckversion des Buches Warum fliegt ein Flugzeug
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# Was wir von einer Milchbüchse über den Luftdruck lernen
## Luftdruck wirkt stets in alle Richtungen

Das erste Kapitel dieser Betrachtung zum Fliegen beschäftigt sich mit den Eigenschaften der Luft, in der das Fliegen stattfindet. Die Eigenschaft, die hier als erstes interessiert, ist der sogenannte Luftdruck. Vom Wetterbericht kennt man Hochdruck- und Tiefdruckgebiete, die meist mit schönem oder schlechtem Wetter verbunden werden. Aber wo sonst begegnet man dem Luftdruck im Alltag?
Folgende Situation ist vielen Kaffeetrinkern bekannt: Wie bekommt man die Milch aus der Milchdose in den Kaffee? Das Bild rechts weist mit dem seltenen Beispiel des Doppellochers schon auf eine Besonderheit hin, aber auch zwei gegenüberliegende Löcher in der Milchdose reichen nicht zur befriedigenden Lösung der Aufgabe, wie Friedrich Copei, 1931 Dozent an der Pädagogischen Akademie Dortmund, in seiner Dissertationsschrift beschreibt:

### Das Milchdosenbeispiel

Auf eine Schulwanderung hat einer der Jungen eine Büchse kondensierte Milch mitgebracht, die, den meisten Landkindern etwas Neues, schon mit Interesse betrachtet wird. Feierlich öffnet der Besitzer die Büchse, indem er an einer Stelle ein Loch in den Büchsendeckel bohrt. Er will die Milch ausgießen – aber keine Milch fließt heraus! Nur beim Schütteln spritzen einige Tropfen. Alles staunt: Wie kommt das nur? Die anderen raten ihm: „Du musst das Loch größer machen.“ Er tut‘s – ohne merklichen Erfolg. Einer vermutet: „Die Milch ist wohl dick geworden, vielleicht ist das Loch verstopft“ – aber eine Verstopfung ist nicht zu entdecken. Die anderen wenden auch ein: „Wir haben ja ganz flüssige Milchtropfen herausspringen sehen!“ Der Junge beharrt: „Da muss aber doch etwas davorsitzen, sonst flösse die Milch doch heraus!“ Andere sagen ihm: „Aber es sitzt doch nichts davor.“ Der Lehrer wirft ein: „Nichts?“ ein. Antwort: „Nur Luft, sonst nichts, wir haben‘s ja probiert.“ Da meldet sich einer der Jungen zu Hilfe. Er schlägt ein zweites Loch in die Büchse, so wie er das schon irgendwo gesehen hat. Allgemeines Staunen, denn plötzlich fließt die Milch in schönem Strahl glatt aus der einen Öffnung. Aber doch nur, solange die Büchse schräg gehalten wird, als man die Büchse senkrecht hinstellt, damit die Milch zugleich aus beiden Löchern kommen solle, hört das Fließen wieder auf, und nur wenige Tropfen kommen.
Die Erklärung führt zur grundlegenden Erkenntnis, dass der Luftdruck allseitig wirkt und die Milch, entgegen der Gewichtskraft und dem Druck der eingeschlossen Luft, in die Dose drückt - zumindest solange sich die Öffnungen auf gleicher Höhe befinden. Bei einer Schräglage ist die Gewichtskraft über dem höher gelegenen Loch verringert und durch den Luftdruck gelangen Luftblasen in dem Maße in die Dose, wie die Milch aus der tiefer gelegenen Öffnung fließt.
Auch das nebenstehendes Bild verdeutlicht die Allseitigkeit des Luftdrucks. Eine bei Normaldruck am Boden verschlossene Plastikverpackung bläht sich auf, wenn sie sich in der Druckkabine eines Verkehrsflugzeuges befindet. Mit zunehmender Höhe nimmt der Luftdruck ab, in der Druckkabine eines Verkehrsflugzeuges im Reiseflug (ca. 10 km) herrscht ungefähr der Druck der Luft in 2,5 km Höhe. Dies ist ein Kompromiss zwischen dem Wunsch, die mechanische Belastung der Flugzeughülle zu verringern (Überdruck innen gegenüber dem geringen Luftdruck außen, wie die abgebildete aufgeblasene Verpackung) und die ausreichende Sauerstoffzufuhr zu gewährleisten, denn bei geringerem Druck verringert sich auch die enthaltene Sauerstoffmenge zum Atmen. Würde man den Kabinendruck noch weiter verringern, stiege die Gefahr der Höhenkrankheit.

## Weiterführende Gedanken
### Die Größe des Luftdrucks

Interessant ist noch die Frage, wie „hoch“ eine Milchsäule sein müsste, bis der Druck durch ihre Gewichtskraft ausreicht, den Luftdruck zu überwinden?
Mit dieser Frage haben sich im 17. Jahrhundert bereits G.Galilei beschäftigt und 1641 führte Gasparo Berti (ca. 1600–1643) in Rom einen Versuch durch, um die maximale Höhe einer Wassersäule zu demonstrieren. Bertis Versuch lässt sich heute deutlich einfacher nachstellen. Hierzu wird ein 12 bis 15 m langer, durchsichtiger Schlauch ganz mit Wasser gefüllt, an der Oberseite verschlossen und diese dann in einem Treppenhaus nach oben transportiert, bis die Wassersäule bei etwa zehn Metern stehenbleibt – selbst wenn man das Schlauchende weiter anhebt.
Taucher kennen diese Zahl, bei einer Tauchtiefe von ungefähr 10 m ist der Taucher zusätzlich dem Druck ausgesetzt wie außerhalb des Wassers durch die Erdatmosphäre. D.h. die Gewichtskraft einer 10 m hohen Wassersäule entspricht der Gewichtskraft der Luftsäule über uns. Deswegen bleibt das Wasser im Schlauch bei einer Höhe von ca. 10 m stehen, weil dann der Druck durch die Gewichtskraft der Wassersäule im Gleichgewicht mit dem Luftdruck ist.
Nimmt man eine Flüssigkeit mit größerer Dichte als Wasser oder Milch, wird die notwendige Höhe der Flüssigkeitssäule geringer. Ein typisches Quecksilberbarometer hat bei normalem Luftdruck eine Höhe der Quecksilbersäule von 760 mm (heute 1013 hPa). Das entspricht der alten Einheit für Druckmessungen, dem Torr. In einem ausgeprägten Hochdruckgebiet werden Werte bis 782 mm (1043 hPa) erreicht, in einem stürmischen Tiefdruckgebiet fällt der Luftdruck bis auf 743 mm (990 hPa). Die benötigte Flüssigkeit wird jeweils vom Reservoir zur Verfügung gestellt bzw. aufgenommen. Würde das Reservoir weggenommen, würde das Quecksilber – wie bei der Milchbüchse oder dem Schlauch – im Rohr verbleiben.

### Ein häufiges Misskonzept

Der Luftdruck wird oft mit dem Gewicht der über uns befindlichen Luftsäule begründet. In der Tat kann die Größe des Luftdrucks auf diese Weise bestimmt werden. Durch diese Herleitung gerät aber das Bewusstsein über die Allseitigkeit des Luftdrucks leicht verloren. Aber genau diese allseitige Wirkung des Druckes in Gasen ist es, die uns dieses Gewicht überhaupt nicht spüren lässt, weil auch in unserem Gewebe Luft- bzw Gasblasen sind, deren allseitiger Druck mit dem allseitigen Luftdruck im Gleichgewicht stehen, ganz so wie in der Milchbüchse.
Die Allseitigkeit des Luftdrucks und seine Stärke verdeutlicht auch dieser ehemals rechteckige Würfel vor der Kunsthalle in Bremen. Der Edelstahl-Kubus hatte die Ausgangsmaße 2 x 2 x 2 m und wurde in einer öffentlichen "Implosions-Aktion" anlässlich der Langen Nacht der Museen am 24. Mai 2014 verformt: hierfür entzog Ewerdt Hilgemann dem Kubus mithilfe einer Vakuumpumpe die Binnenluft, der sich verringernde Druck im Inneren des Kubus und der allseitige Luftdruck außerhalb des Kubus führten dazu, dass der Würfel sich allseitig verformte und zusammengestaucht wurde.

# Wie ein Botaniker die Griechen bestätigt
## Mikroskopisch ist alles in Bewegung

In Folge der Entwicklung des Mikroskops tauchen gegen Ende des 18. Jahrhunderts erste Berichte auf über die Beobachtung, dass kleinste Teilchen, unter einem Mikroskop betrachtet, sich in ständiger und ungeordneter Bewegung befinden. Heute wird diese Entdeckung dem schottischen Botaniker Robert Brown zugeschrieben, der sie 1827 veröffentlichte. Das nebenstehende Video zeigt die Brownsche Bewegung fluoreszierender Latex-Kügelchen (20 nm Durchmesser) in Wasser. Schnell wurde klar, dass die Heftigkeit dieser ungeordneten Bewegung zunimmt,
* je kleiner die Teilchen sind und
* je höher die Temperatur ist.
Genauere Untersuchungen mit quantitativen Messungen führte Christian Wiener 1863 durch. Noch heute ist die Demonstration der Brownschen Bewegung eines der Standardexperimente jeder physikalischen Grundausbildung
Die Beobachtung der Brownschen Bewegung beeinflusste nachhaltig die Vorstellung von der Natur der Gase, insbesondere die Frage, ob Gase ein Kontinuum darstellen oder aus diskreten, kleinsten Teilchen bestehen, die sich in ständiger Bewegung befinden.

## Weiterführender Gedanke
### Der Wettstreit der physikalischen Schulen

Bei der Interpretation dieser fundamentalen Beobachtung gab es lange zwei grundverschiedene Vorgehensweisen bei der Erkenntnisgewinnung. Steht am Anfang der Erkenntnis eine konkrete Vorstellung von der Welt, oder verschiedene Sinneseindrücke aus der Welt?

#### Atomismus als Beispiel einer konkreten Vorstellung

Die eine Schule baute auf die Vorstellung von Demokrit (ca. 460 – 370 v.u.Z.), nach der die gesamte Natur aus kleinsten unsichtbaren, unteilbaren Atomen zusammengesetzt sei. Demokrits zentrale Aussage dazu lautet „Nur scheinbar hat ein Ding eine Farbe, nur scheinbar ist es süß oder bitter, in Wirklichkeit gibt es nur Atome im leeren Raum.“ Demokrit nahm an, dass jedes Atom die Form eines regelmäßigen geometrischen Körpers hat, wie Kugel, Zylinder, Pyramide, Würfel. Wenn diese sich einander näherten, zusammenfielen oder miteinander verflöchten, erschienen die einen als Wasser, andere als Feuer, als Pflanze oder als Mensch.
Demnach war die beobachtbare Brownsche Bewegung kleiner Teilchen die Folge von Stößen mit sich ungeordnet bewegenden Atomen, die selbst unsichtbar blieben. In diesem Bild war die Temperatur - oder wie man damals sagte die "Wärme" - ein Ausdruck für die Heftigkeit der Bewegung von Atomen.

#### Sinneseindrücke als Quelle von Erkenntnis

Die andere Schule wurde u.a. von dem Physiker und Philosophen Ernst Mach (1838 – 1916) vertreten. Sie lehnte "unsichtbare Ursachen" als Erklärung physikalischer Phänomene ab. Die Quelle aller menschlichen Erkenntnis ist nur eine Mannigfaltigkeit von Sinneseindrücken. Dementsprechend sollte eine Theorie nur Objekte enthalten, die der direkten Sinneserfahrung zugänglich sind.
Diese Forderung steht im klaren Gegensatz zu einer Theorie auf der Basis unsichtbarer Atome. Deswegen soll eine Standardantwort von Mach auf die Frage nach der Existenz von Atomen auch gewesen sein: "Ham se welche gesehen?" In dieser Schule wurden der Wärme eher stoffliche Qualitäten zugeschrieben. Das sogenannte "Phlogiston" konnte z.B. sehr anschaulich die Volumenzunahme bei Erwärmung erklären.
Eine Entscheidung zwischen diesen widerstreitenden Konzepten erfolgte im vorliegenden Fall zu Beginn des 20. Jahrhunderts im Sinne des Atomismus.

# Wie Einstein mal wieder die Welt erklärt
## Das mittlere Verschiebungsquadrat

Anfang des 20. Jahrhunderts entwickelten unabhängig voneinander die Physiker A. Einstein (1879-1955) und M. Smoluchowski (1872-1917) eine mathematische Theorie zur Beschreibung der Verschiebung größerer Teilchen in einem System von kleinen Teilchen in ungeordneter Bewegung. Der Kernbegriff ist das "mittlere Verschiebungsquadrat". In der abgebildeten Simulation ist dies das Quadrat des geradlinigen Abstands zwischen Anfangs- und Endpunkt der Bewegung des gelben Teilchens.
Man betrachte ein System von vielen kleinen Teilchen in ständiger ungeordneter Bewegung (grau). In diesem befindet sich ein größeres Teilchen (gelb). Ist das große Teilchen hinreichend klein, so werden die Stöße durch die kleineren Teilchen zunehmend unausgeglichen sein, mal werden die Stöße von der einen Seite überwiegen, im nächsten Moment die von einer anderen Seite. Auf diese Weise wird das große Teilchen Stück für Stück von seinem Ursprungsort verschoben.
Nach den Theorien von Einstein, Smoluchowski und später noch einmal von P. Langevin (1872-1946) ist die Länge dieses Verschiebung je größer, desto kleiner das beobachtete Teilchen ist, desto länger der Prozess andauert und desto höher die Temperatur ist, bei dem der Prozess beobachtet wird. Diese mathematische Theorie ließ sich perfekt auf das Phänomen der Brownschen Bewegung anwenden. Es begann eine Zeit der Experimente - vor allem durch J.B. Perrin (1870-1942) - in denen man den Radius kleiner (gelber) Teichen zu bestimmen suchte und ihr mittleres Verschiebungsquadrat vermaß, um so auf Anzahl, Masse und Geschwindigkeit der unsichtbaren (grauen) Atome zu schließen. Die Ergebnisse passten gut zu anderen, weiter unten beschriebenen, Erkenntnissen, was letztlich der Vorstellung von unsichtbaren Atomen als kleinste Teilchen eines Gases zum Durchbruch verhalf.

### Die kinetische Gastheorie

Die Descart'sche Vorstellung von Atomen in Gestalt verschiedener geometrischer Formen mit Haken und Ösen, wurde ersetzt durch das Bild von kleinsten Kugeln in ständiger ungeordneter Bewegung. Mit der nunmehr akzeptierten Deutung der Brownschen Bewegung, verursacht durch die ständige ungeordnete Bewegung von unsichtbaren Atomen, wurde die kinetische Gastheorie entwickelt. Die kinetischen Gastheorie beschreibt ein Ideales Gas auf der Grundlage folgender Annahmen:
* Die Atome verhalten sich wie kleine elastische Kugeln.
* Sie sind in ständiger ungeordneter Bewegung, obwohl das Gas äußerlich in Ruhe bleibt.
* Die einzige Wechselwirkung sind elastische Stöße untereinander und mit den Begrenzungsflächen (sie verhalten sich anschaulich wie Billardkugeln auf einem Billardtisch).
* Elektrische, magnetische, chemische Wechselwirkungen finden nicht statt.
* Das Volumen der Atome ist vernachlässigbar klein, mathematisch werden sie als punktförmig angenommen.
Mit diesem einfachen Modell eines Idealen Gases lassen sich viele Phänomene erklären, beobachtbare Gesetzmäßigkeiten herleiten und physikalische Größen quantitativ berechnen. Obwohl die Atome der meisten Gase nicht die Form von Kugeln haben und z.B. elektrische Kräfte zwischen ihnen wirken, verhalten sich viele reale Gase in guter Näherung wie ein Ideales Gas.

### Der Gasdruck (qualitativ erklärt)

Die oben gezeigte Animation verdeutlicht die ungeordnete Bewegung der kleinsten Teilchen in einem Idealen Gas. Einige Teilchen sind rot dargestellt, um deren Bewegung besser nachverfolgen zu können. Die Teilchen bewegen sich mit unterschiedlicher Geschwindigkeit in unterschiedliche Richtungen. Wenn sie zusammenstoßen ändern sich Geschwindigkeit und Richtung der Teilchen. Stoßen Teilchen an die Wand so werden sie reflektiert. Diese Reflexion von Teilchen bewirken den Gasdruck auf die Begrenzungsflächen eines Gasvolumens. Man nennt diesen Gasdruck auch "statischen Druck". Man erkennt sofort eine charakteristische Eigenschaft des statischen Drucks, er wirkt gleichmäßig in alle Richtungen, wie es schon das Milchbüchsenbeispiel gezeigt hat.
Es gibt zwei Möglichkeiten, diesen statischen Druck in einem Gas zu verändern.
* Beim Aufblasen eines Luftballon oder Autoreifens werden viel mehr Teilchen pro Volumen zusammengebracht, als sich normalerweise in der Umgebungsluft pro Volumen befinden. Man vergleiche die Teilchendichte in den beiden Animationen, die obere Animation entspricht z.B. einem aufgeblasenen Luftballon, die untere z.B. der Umgebungsluft. Eine andere Möglichkeit die Teilchendichte zu erhöhen besteht übrigens darin, ein abgeschlossenes Volumen zu verkleinern, also zu komprimieren.
    Bei einer erhöhten Teilchendichte stoßen im gleichen Zeitraum viel mehr Teilchen von innen gegen die Begrenzungswand als von außen, d.h. im Volumen herrscht ein größerer statischer Druck im Vergleich zum umgebenden Luftdruck, also ein Überdruck.
* Beim Erwärmen eines abgeschlossenen Gasvolumens bleibt die Teilchenzahl konstant, aber es wird deren Energie erhöht. Von außen betrachtet erhöht die Energiezufuhr beim Erwärmen die Temperatur, aus Sicht der kinetischen Gastheorie erhöht sich die kinetische Energie der ungeordneten Bewegung.
    Bei einer erhöhten kinetischen Energie der Teilchen stoßen diese heftiger von innen gegen die Begrenzungswand als von außen, d.h. im Volumen herrscht ein größerer statischer Druck im Vergleich zum umgebenden Luftdruck, also auch ein Überdruck.

## Weiterführende Gedanken
### Der Gasdruck (quantitativ hergeleitet)

Die in der kinetischen Gastheorie gemachten Annahmen können zu Herleitung einer Formel für den inneren Druck $p$ eines Gases benutzt werden. Dazu muss man wissen, welche Kraft eine Begrenzungswand erfährt, wenn ein Teilchen gegen sie stößt und reflektiert wird. Diese Kraftwirkung ist abhängig von der Masse und der Geschwindigkeit eines Teilchens. Der entscheidende Begriff ist hier der des Impulses (= Produkt aus Masse und Geschwindigkeit). Dazu vereinfacht man zuerst die ungeordnete Bewegung gemäß dem folgendem Bild. Wir betrachten ein quaderförmiges Volumen der Kantenlänge x, in dem sich $N$ Teilchen der Masse $m$ mit der mittleren Geschwindigkeit ${\bar {v}}$ bewegen, und zwar je 1/6 der Teilchen in jede der 6 Raumrichtungen. Wie groß ist der mittlere Impulsübertrag pro Zeit, wenn alle $1/6N$ Teilchen einmal gegen die Fläche $A$ gestoßen sind?
Ein Teilchen, welches mit ${\bar {v}}$ gegen die Fläche $A$ stößt, wird mit $-{\bar {v}}$ von der Fläche reflektiert. Der Impulsübertrag eines Teilchens durch die Reflexion an der Fläche $A$ ist also
    $2m{\bar {v}}$
In dem Volumen bewegen sich 1/6 aller Teilchen in Richtung auf die Fläche $A$. Der Gesamtimpulsübertrag dieser Teilchen ist demnach
    ${1 \over 6}N\cdot 2m{\bar {v}}$
Diese Impulsänderung erfolgt in der Zeit $t$, die das am weitest entfernte Teilchen (an der gegenüberliegenden Wand) braucht, um zur Fläche $A$ zu gelangen. Diese Zeit, die das Teilchen mit der Geschwindigkeit ${\bar {v}}$ braucht, um die Strecke $x$ zurückzulegen ist
    $t={x \over {\bar {v}}}$.
Die Kraft $F$, welche die Fläche $A$ erfährt, ist so groß wie der gesamte Impulsübertrag $1/6N2m{\bar {v}}$ dividiert durch die dafür benötigte Zeit $t=x/{\bar {v}}$. Berücksichtigt man, dass man durch einen Bruch dividiert, indem man mit dem Kehrwert multipliziert, erhält man für die Kraft
    $F={1 \over 6}N\cdot 2m{\bar {v}}\cdot {1 \over t}={1 \over 6}N\cdot 2m{\bar {v}}\cdot {{\bar {v}} \over x}={1 \over 6}N\cdot {2m{\bar {v}}^{2} \over x}$
Der Druck $p$, der von dem Gas auf die Fläche $A$ ausgeübt wird, berechnet sich nach
    $p={F \over A}$
Damit erhält man
    $p={1 \over 6}N\cdot {2m{\bar {v}}^{2} \over x\cdot A}$
Der Teiler entspricht dem Volumen $V=x\cdot A$ des Würfels
    $p={1 \over 6}N\cdot {2m{\bar {v}}^{2} \over V}$
Nach Multiplikation mit $V$
    $p\,V={1 \over 6}N\cdot 2m{\bar {v}}^{2}$
Für eine bessere Interpretation formt man die rechte Seite um zu
    $p\,V={2 \over 6}N\cdot m{\bar {v}}^{2}={1 \over 3}N\cdot m{\bar {v}}^{2}=={2 \over 3}N\cdot {1 \over 2}m{\bar {v}}^{2}={2 \over 3}N\cdot {\bar {E}}_{kin}$ (GL. 1)
Diese Betrachtung zeigt, das Produkt aus Gasdruck $p$ und Gasvolumen $V$ ist proportional zur mittleren kinetischen Energie der ungeordneten Bewegung ${\bar {E}}_{kin}$ und zu der Anzahl der Teilchen $N$, vermittelt durch einen Proportionalitätsfaktor 2/3.
Interessant ist an dieser Stelle, dass der Gasdruck $p$ in einem gegebenen Volumen unabhängig von der Masse $m$ der Gasteilchen ist. Der Gasdruck ist nicht proportional zur Dichte $\rho$ des Gases, sondern proportional zur Anzahl $N$ von kleinsten Teilchen, d.h. der Menge des Gases. Schon weit vor der allgemeinen Akzeptanz der kinetischen Gastheorie formulierte A. Avrogado (1776–1856) das nach ihm benannte Avogadrosches Gesetz, wonach alle Gase in gleichen Volumina (bei gleicher Temperatur und gleichem Druck) dieselbe Anzahl kleinster Teilchen enthalten. Das ist nicht selbstverständlich, denn es hat zur Konsequenz, dass gleiche Volumina unterschiedlicher Gase sich in physikalischer Hinsicht gleich verhalten. D.h. in erster Näherung verhalten sich 1 l Sauerstoff oder 1 l Stickstoff oder 1 l Luft - bei gleichem Druck und gleicher Temperatur - physikalisch gleich. Man braucht z.B. zwischen reinen Gasen und Gasgemischen nicht zu unterscheiden, zumindest solange die Annahmen der kinetischen Gastheorie hinreichend erfüllt werden. Die kinetische Gastheorie zeigt als weitere Konsequenz, dass sich schwerere Teilchen bei gleicher Temperatur entsprechend langsamer bewegen müssen als leichte Gasteilchen, und zwar so, dass sie bei ihren Stößen auf eine Begrenzungswand denselben Druck ausüben.
Um die gefundene Beziehung weiter zu interpretieren und mit der beobachtbaren Erfahrung zu verknüpfen, braucht man einen Zusammenhang zwischen der mikroskopisch mittleren kinetischen Energie der ungeordneten Teilchenbewegung ${\bar {E}}_{kin}$ und der makroskopisch messbaren Temperatur $T$.

### Die Verknüpfung von innerer Energie und Temperatur eines Gases

Insbesondere J.C. Maxwell (1831-1879) beschäftigte sich mit der Geschwindigkeitsverteilung der kleinsten Teilchen in einem Idealen Gas und formulierte, dass bei gegebener Temperatur die gesamte kinetische Energie eines Idealen Gases das Produkt der Freiheitsgrade eines Systems mit einer universellen Konstante sein müsse. Ein Gas mit als kugelförmig betrachteten Teilchen besitzt z.B. 3 Freiheitsgrade, weil sich die Energie auf 3 Bewegungsrichtungen verteilen kann. L. Boltzmann (1844-1906) entwickelte diese statistische Betrachtung weiter und stellte für die mittlere kinetische Energie eines einatomigen Gases den Zusammenhang mit der makroskopisch messbaren Temperatur T fest.
    ${1 \over 2}m{\bar {v}}^{2}=3\cdot {1 \over 2}k_{B}T$ (Gl. 2)
Die Boltzmann-Konstante $k_{B}$ ist der Proportionalitätsfaktor zwischen der mikroskopischen Energie und der makroskopischen Temperatur und gehört zu den Fundamentalkonstanten in der Physik. Die Summe der kinetischen Energie der ungeordneten Bewegung bezeichnet man als die „innere Energie“ $U$ des Systems. Sie ist proportional zu der Temperatur T des Systems und der Menge N an Gasteilchen.
    $U=N\cdot {1 \over 2}m{\bar {v}}^{2}={3 \over 2}Nk_{B}T$

### Zustandsgleichung von Gasen

Die aus der kinetischen Gastheorie hergeleiteten Gl. 1 und Gl. 2 kann man verknüpfen und erhält eine Gleichung in der nur noch makroskopische (messbare) Größen enthalten sind
    $p\,V=N\,k_{B}\,T$ (Gl. 3)
       dabei ist
       $p$ = statischer Druck, innerer allseitiger Druck des Gases
       $V$ = Volumen des Gases
       $N$ = Anzahl der Gasteilchen im Volumen
       $T$ = Temperatur in °Kelvin
       $k_{B}\,T$ = Größe des typischen zufälligen Energieaustauschs zwischen zwei stoßenden Teilchen
Diese Gleichung beschreibt ganz allgemein das Verhältnis von Druck, Volumen und Temperatur einer gegebenen Menge von N Gasteilchen. Diese Gleichung ist unabhängig von der konkreten Gasart, solange das Gas den Annahmen des Idealen Gases hinreichend entspricht. Weil die Anzahl der Teilchen sehr groß ist benutzt man im Allgemeinen die größere Einheit $mol$ für die Stoffmenge. Ein $mol$ eines Gases nimmt bei Normalbedingungen ($p_{0}$ = 1013,25 hPa und $T_{0}$ = 273,15 K, bzw. 0°C) ein Volumen von 22,414 l ein und enthält darin
    $N_{A}=6{,}022\,140\,76\cdot 10^{23}\,\,[\mathrm {mol} ^{-1}]$
Teilchen. Diese Zahl wird auch Avogadro-Konstante genannt. Man bezeichnet mit $n$ die Anzahl der $mole$, also
    $n={\frac {N}{N_{A}}}\,\,[\mathrm {mol} ]$ bzw. $N=n\,N_{A}\,\,[\mathrm {mol} ]$
Damit erhält man die oft verwendete Schreibweise für die thermische Zustandsgleichung idealer Gase, die sogenannte allgemeine Gasgleichung
    $p\,V=n\,N_{a}\,k_{B}\,T$
    $p\,V=n\,R\,T$ (Gl. 4)
       dabei ist
       $R=N_{A}\,k_{B}=8{,}31447~[{\frac {\mathrm {J} }{{\mathrm {mol} }\cdot \mathrm {K} }}]$
       n = Anzahl der Mole
Der entstandene Proportionalitätsfaktor wird universelle Gaskonstante $R$ genannt. Er bezeichnet anschaulich die Energiemenge pro $mol$ und ° Temperaturänderung. $R$ hat für alle Gase denselben Wert, welche den Annahmen der kinetischen Gastheorie entsprechen. Die universelle Gaskonstante kann für viele reale Gase in einem großem Druck- und Temperaturbereich mit guter Genauigkeit angewandt werden.
Die allgemeine Gasgleichung beschreibt das Verhalten vieler Gase, weil sie sich auf gleiche Mengen bezieht, d.h. - bei derselben Temperatur und demselben Druck - auf gleiche Volumina bzw. gleiche Teilchenanzahl. Konkret heißt das, dass bei gleichem Druck (z.B. Umgebungsdruck) und gleicher Temperatur (z.B. 127 °C (ca. 400 K) sich 1 l Wasserstoffgas - in physikalischer Hinsicht - genauso verhält wie 1 l Wasserdampf weil 1 l Wasserstoffgas genauso viele Teilchen enthält wie 1 l Wasserdampf.
Das gilt aber nicht, wenn man sich stattdessen auf gleiche Massen bezieht. Z.B. hat 1 kg Wasserstoffgas bei 100 °C (ca. 373 K) und Umgebungsdruck ein Volumen von ca. 17.000 l, während 1 kg Wasserdampf unter denselben Bedingungen nur ein Volumen von ca. 1.600 l einnimmt, also aus viel weniger aber schwereren Teilchen besteht. Um aus der allgemeinen Gasgleichung die thermische Zustandsgleichung eines speziellen Gases zu erhalten, ersetzt man die Anzahl der Mole n durch die aktuelle Masse $m$, dividiert durch die Masse eines Mols $M$
    $p\,V=n\,R\,T$
    $p\,V={\frac {m}{M}}\,R\,T$
    $p\,V=m\,{\frac {R}{M}}\,T$
Damit erhält man die thermische Zustandsgleichung eines speziellen Gases
    $p\,V=m\,R_{s}\,T$ (Gl. 5)
       dabei ist
       $R_{s}={\frac {R}{M}}$ = stoffspezifische Gaskonstante
Der Proportionalitätsfaktor $R_{s}$ wird spezielle Gaskonstante bezeichnet. $R_{s}$ hat für jedes Gas einen anderen Wert. Die spezifische Gaskonstante eines Gases erhält man durch Division der universellen Gaskonstante $R$ mit der Molaren Masse $M$ des Gases. Die universellen Gaskonstante $R$ bezeichnet anschaulich die Energiemenge pro $kg$ und ° Temperaturänderung.

# Was uns ein Autostau über Luftströmungen verrät
## Die Kontinuitätsgleichung

1797 veröffentlicht Giovanni Battista Venturi (1746-1822) seine Untersuchungen zur Fließgeschwindigkeit von Wasser in Rohren mit veränderlichen Querschnitten
. Daraus entstand die Kontinuitätsgleichung für die Strömung von kompressiblen und inkompressiblen Flüssigkeiten und Gasen (Fluiden). Die Kontinuitätsgleichung soll an einer Betrachtung zum Autoverkehr verdeutlicht werden.
Man stelle sich eine vierspurige Autobahn vor, auf der es wegen einer Baustelle zu einer Verengung auf zwei Fahrspuren kommt. Wie müssen sich die Autofahrer bei der Halbierung dieser Fahrbahn verhalten um einen Stau zu vermeiden? Es gibt grundsätzlich zwei Möglichkeiten:
* Bei gleichem Abstand fahren die Autos doppelt so schnell (Vergrößerung der Geschwindigkeit).
* Bei gleicher Geschwindigkeit verringern die Autos den Abstand untereinander auf die Hälfte (Vergrößerung der Verkehrsdichte).
Natürlich gibt es auch die Kombination aus erhöhter Geschwindigkeit und verringertem Abstand. Ob es Autofahrern auf diese Weise gelingt einen konstanten Verkehrsfluss aufrechtzuerhalten, hängt außerdem vom Sicherheitsabstand und der erreichbaren Höchstgeschwindigkeit ab. Ist die Fahrgeschwindigkeit vor der Baustelle schon nahe der Höchstgeschwindigkeit, kann bei gleichem Abstand die Geschwindigkeit nicht mehr verdoppelt werden. Ist auf der anderen Seite die Verkehrsdichte vor der Baustelle schon sehr hoch, kann der Abstand nicht ausreichend verringert werden, zumindest nicht von verantwortungsvollen Autofahrern, die den Sicherheitsabstand einhalten wollen. D.h. in der Verengung wird der Verkehrsfluss langsamer und vor der Verengung kommt es zu zähfließendem Verkehr oder sogar zu einem Stau mit Stillstand.

### Die Luft kennt keinen Stau

Die Luftteilchen dagegen benutzen die beiden oben genannten Möglichkeiten bei der Umströmung eines Hindernisses voll aus. In der Natur gibt es bei Strömungen keinen Stau wie beim Autoverkehr. Was hereinfließt, fließt genauso wieder heraus. Dafür verändert die strömende Luft ihre Geschwindigkeit und Dichte. Das ist die Grundaussage der Kontinuitätsgleichung. In einer Gleichung zusammengefasst sieht das so aus:
    $\rho _{1}\cdot v_{1}\cdot A_{1}=\rho _{2}\cdot v_{2}\cdot A_{2}=\rho _{3}\cdot v_{3}\cdot A_{3}$
       mit
       $\rho$ = Dichte
       $v$ = Strömungsgeschwindigkeit
       $A$ =Strömungsquerschnittsfläche
Bei einer Luftströmung verhält es sich so, dass bei kleinen Geschwindigkeiten im Vergleich zur Wellenausbreitungsgeschwindigkeit (Schallgeschwindigkeit) vor allem der 1. Effekt (Vergrößerung der Strömungsgeschwindigkeit) bei weitem überwiegt, d.h. die Dichte in der Luftströmung bleibt konstant. Eine Luftströmung verhält sich also ähnlich wie eine Wasserströmung. Das ist nicht selbstverständlich, weil (ruhende) Luft im Gegensatz zu Wasser leicht komprimiert werden kann. Aber strömende Luft verhält sich ungefähr so inkompressibel wie Wasser. Dadurch vereinfacht sich die Kontinuitätsgleichung hin zu der Formulierung durch Venturi, dass sich bei einer Verkleinerung der Strömungsquerschnittsfläche die Strömungsgeschwindigkeit entsprechend vergrößert und umgekehrt. Die Kontinuitätsgleichung einer inkompressiblen Strömung lautet:
    $v_{1}\cdot A_{1}=v_{2}\cdot A_{2}=v_{3}\cdot A_{3}$
Erst bei höheren Geschwindigkeiten bekommt der 2. Effekt der Kompressibilität (Vergrößerung der Dichte) zunehmend Einfluss. Um z.B. das Verhalten einer Strömungen nahe der Schallgeschwindigkeit zu beschreiben, ist die Berücksichtigung der Kompressibilität in der Strömung von unverzichtbarer Bedeutung.

## Weiterführender Gedanke

Die Schallgeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit, mit der sich Schallwellen ausbreiten. In der Luft am Erdboden beträgt die Schallgeschwindigkeit 1.236 km/h. Die Schallgeschwindigkeit nimmt mit der Höhe in der Atmosphäre ab und beträgt z.B. in einer typischen Reiseflughöhe von 10 km nur noch 1076 km/h
Die Schallgeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit, mit der sich Druckänderungen oder Störungen in einem Körper oder Fluid fortbewegen. Von daher kann man sich vorstellen, dass mit zunehmender Strömungsgeschwindigkeit die Information einer Verengung (d.h. die damit verbundene Veränderung der Druck- und Strömungsverhältnisse) immer kurzfristiger bei einem anströmenden Gasvolumen ankommt. Im Fall einer Strömung mit Schallgeschwindigkeit „bemerkt“ ein Gasvolumen erst unmittelbar vor einem Hindernis dessen Existenz. Ein Effekt davon ist die sogenannte Schallmauer.
Aber auch bei Bewegungen unterhalb der Schallgeschwindigkeit treten schon Kompressibilitätseffekte auf, d.h. beim Auftreffen auf ein Hindernis und dem Umströmen wird die Luft nicht nur beschleunigt, sondern sie wird auch komprimiert, wie es in der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung enthalten ist. In der Fliegerei geht man i. Allg. davon aus, dass für langsame Kleinflugzeuge bis ca. 300 km/h der inkommpressible Ansatz die Strömungsverhältnisse ausreichend genau beschreibt. Mit zunehmender Geschwindigkeit hat die Kompression der Luft einen immer größer werdenden Einfluss. Für die Beschreibung der Strömungsverhältnisse bei Verkehrsflugzeugen mit ca. 900 km/h Reisegeschwindigkeit müssen deswegen stets Kompressibilitätseffekte berücksichtigt werden.

# Woher kommt der Auftrieb bei einer Umströmung?
## Die umströmende Luft beschleunigt sich selber

Dieses Kapitel kombiniert die grundlegenden Erkenntnisse der vorangegangenen Betrachtungen und führt zu einem zentralen Teil der Erklärung des Auftriebs. Welche grundlegenden Erkenntnisse werden hier benutzt:
* Der Druck in einem ruhenden Gas wirkt in alle Richtungen gleich (=statische Druck).
* Ein Gas besteht aus kleinsten Teilchen, die sich in ständiger ungeordneter Bewegung befinden (Brown'sche Molekularbewegung)
* In der kinetischen Gastheorie wird der statische Druck durch Reflexion der kleinsten Teilchen an den Begrenzungswänden erklärt.
* Die Kontinuitätsgleichung besagt, dass bei einer Verengung des Strömungsquerschnitts die strömende Luft eine höhere Geschwindigkeit besitzt.
Diese 4 Erkenntnisse werden nun zusammengebracht. Die Kontinuitätsgleichung beschreibt im allgemeinen das Verhalten von Rohrströmungen bei einer Verengung. Die Aussage der Kontinuitätsgleichung wird hier auf die qualitativ ähnliche Situation beim Umströmen von Hindernissen übertragen, denn auch hier gibt es eine Verengung des Strömungsquerschnitts.
Die zentrale Frage dieses Kapitels ist nun: Woher kommt die zusätzliche kinetische Energie bei einer verengten Umströmung? Energie ist eine Erhaltungsgröße und kann nicht einfach erzeugt oder vernichtet werden, sie wird entweder von außen zugeführt oder ist schon im System vorhanden und macht sich nur anders bemerkbar.
Man betrachte die Situation des abgebildeten LKWs im Windkanal. Oberhalb des LKW hat der Luftstrom eine geringere Querschnittsfläche zur Verfügung, dort wird die Luft gemäß der Kontinuitätsgleichung also schneller strömen. Dies entspricht einer höheren kinetischen Energie. Der ruhende LKW kann schwerlich zusätzliche kinetische Energie an den Luftstrom übertragen, welche Kraft sollte das bewirken? Es gibt in dieser Situation auch kein anderes System, welches die notwendige Energie dem Luftstrom von außen hinzufügen könnte. So bleibt nur eine Schlussfolgerung: Bei einem verringerten Strömungsquerschnitt beschleunigt sich die Luft selbst und deswegen kommt die benötigte Energie aus dem Energievorrat der Luftströmung selber. Es wird hier keine Betrachtung über den Mechanismus der Beschleunigung angestellt, die Aussage bezieht sich nur auf die Quelle der dazu benötigten Energie.
Im Windkanal besitzt die strömende Luft kinetische Energie, die ihr zuvor, z.B. durch einen Propeller zugeführt wurde (Im Bild angedeutet durch den gelben Geschwindigkeitspfeil in Strömungsrichtung). Das kinetische Gasmodell zeigt, dass die strömende Luft im Windkanal darüber hinaus stets auch kinetische Energie in der ungeordneten Teilchenbewegung besitzt, angedeutet durch die Größe des Kreises mit den gleichverteilten Geschwindigkeiten in den 6 Raumrichtungen. Diese Energie wird auch als Innere Energie oder Druckenergie bezeichnet. Es ist dieser Energievorrat, der für die Beschleunigung der Luft in einer Verengung während der Umströmung benutzt wird .
Es bleibt hier die Frage offen, wie die Luft ihre Beschleunigung anstellt aber es soll festgestellt werden, dass in der Umströmung die kinetische Energie der ungeordneten Bewegung abgenommen hat (kleinerer Kreis) zugunsten einer zusätzlichen Geschwindigkeit (weißer Pfeil) in Strömungsrichtung. Man könnte auch sagen, die Energie der ungeordneten Bewegung ist konstant geblieben aber die Gleichverteilung der Energie der ungeordneten Bewegung ist während der Umströmung gestört und wird am Ende der Umströmung wieder hergestellt.

## Druckverhältnisse in der Umströmung von Hindernissen

Die höhere Strömungsgeschwindigkeit bei der Umströmung von Hindernissen kann in der Realität beobachtet und mit geeigneten Instrumenten gemessen werden. Interpretiert man das Verhalten der umströmenden Luft durch eine Umverteilung der inneren Energie, gibt es noch eine zweite Konsequenz, welche für die Frage nach der Ursache des Auftriebs einen entscheidenden Baustein liefert.
Aus dem kinetischen Gasmodell wurde als Folge der ungeordneten Bewegung eine Gesetzmäßigkeit für den statischen Druck eines Gases abgeleitet. Diese Betrachtung zeigt, dass der Druck u.a. von der kinetischen Energie der Teilchen abhängig ist, mit denen diese gegen Begrenzungswände stoßen. Als notwendige Konsequenz wird in einer Umströmung in Strömungsrichtung ein höherer Druck herrschen (den Zuwachs nennt man auch dynamischer Druck), während sich senkrecht zur Strömungsrichtung ein geringerer (statischer) Druck einstellt, und zwar geringer als der statische Druck der ruhenden Luft.
So wie die Geschwindigkeitszunahme bei einer Umströmung kann auch die veränderte Druckverteilung bei der Umströmung von Hindernissen in der Realität beobachtet und mit geeigneten Instrumenten gemessen werden . Eine unmittelbare Folge zeigt der fahrende LKW mit einer Plane anstatt eines festen Aufbaus. Durch das Umströmen des LKW herrscht senkrecht zur Fahrtrichtung ein geringerer Druck, der das Herauswölben der Plane unmittelbar hinter der Fahrerkabine erklärt.

## Weiterführende Gedanken
### Bernoulli's grundlegende Beobachtung

D. Bernoulli (1700-1782) beschäftigte sich in seinem wichtigen Hauptwerk „Hydrodynamica" mit dem Fließverhalten von Wasser in Kanälen und Rohrsystemen. Er erkannte und beschrieb das zum Beispiel anhand des nebenstehend skizzierten Experiments . Sind die Rohröffnungen l und o zum Ende des waagerechten Rohres verschlossen, steigt das Wasser in der schmalen senkrechten Röhre g auf die Höhe m, d.h. so hoch wie die Linie AB im großen Behälter links. Die Situation entspricht der der Kommunizierenden Röhren. Die Sorgfalt, mit der Bernoulli seine Beobachtungen durchführte zeigt sich u.a. auch darin, dass er den Einfluss von Kapilarkräften auf seine Messungen berücksichtigte.
Wird nun die Öffnung o geöffnet, wird das vormals ruhende Wasser ausströmen. Dabei verringert sich der Druck des strömenden Wassers senkrecht zur Rohrwand, in der Skizze sinkt das Wasser in der schmalen senkrechten Röhre g auf den Punkt h; das Wasser steigt in einer Fontäne durch die Öffnung l nur noch bis zur selben Höhe h. Bei den Experimenten wird das ausströmende Wasser im großen Behälter ABCGE stetig nachgefüllt, so dass der Wasserstand AB konstant erhalten bleibt. Bernoulli betonte, dass die Öffnung l sehr klein gegenüber der Öffnung o ist, d.h. dass durch die Öffnung bei l nur sehr wenig Wasser austritt im Vergleich zur Öffnung o. Die Strömungsgeschwindigkeit im waagerechten Rohrabschnitt wird also im wesentlichen durch die Größe der Öffnung o bestimmt. Die Höhe der Fontäne bei l repräsentiert nur den Druck an der Rohrwandung der Wasserleitung. Bernoulli experimentierte mit verschiedenen Größen der Öffnung o, also mit verschiedenen Strömungsgeschwindigkeiten. Entspricht die Öffnung o dem gesamten Rohrquerschnitt EG, so steigt kein Wasser mehr in der Röhre g hoch, d.h. senkrecht zur Rohrwand herrscht nur noch ein Druck von der Größe des umgebenden Luftdrucks.

### Herleitung der Bernoulli Gleichung

Das Diagramm benutzt das Experiment von Bernoulli und betrachtet die Energieverhältnisse eines Volumens (hellblaues Rechteck) an 2 Stellen der Strömung.
In der oberen Position befindet sich das Volumen $V_{1}$ auf der Höhe $h_{1}$ und bewegt sich mit der Geschwindigkeit $v_{1}$ nach unten. In dem Volumen herrscht der (allseitig statische) Druck $p_{1}$. Dieser Druck entspricht dem Luftdruck plus dem hydrostatischen Druck der darüber befindlichen Wassersäule.
Im Ausflussrohr hat das Volumen $V_{2}$ die geringere Höhe $h_{2}$, durch die Querschnittsverringerung auf $A_{2}$ erhöht sich die Geschwindigkeit auf $v_{2}$. Der (allseitige statische) Druck $p_{2}$ ist gegenüber $p_{1}$ verringert. Für die Größe der Volumina gilt $V_{2}=V_{1}$, da hier von einer inkompressiblen Strömung ausgegangen wird. Zu Zeiten von Bernoulli war der Energiebegriff noch nicht in der heutigen Klarheit definiert. Insbesondere zur kinetischen Energie konkurrierten unterschiedliche Vorstellungen. Mit dem heute zur Verfügung stehenden Begriffsrepertoire ist es viel einfacher, die Erkenntnisse aus Bernoullis Beobachtungen in eine Gleichung zu überführen.

#### Aufstellung der Energiebilanz

Aus der Mechanik ist die potentielle Energie $(m\,g\,h)$ und die kinetische Energie $({\tfrac {1}{2}}m\;v^{2})$ bekannt. In der Kontinuumsmechanik strömender Medien kommt noch die sogenannte elastische Energie $(p\,V)$ hinzu, sie wird auch Druckenergie genannt. Letzterer Begriff lässt sich gut mit der kinetischen Gastheorie verbinden, in der $(p\,V)$ der Energie entspricht, welche im Mittel durch alle Stöße der kleinsten Teilchen ausgetauscht wird. Diese Stöße verursachen den Druck in einem Idealen Gas.
Die Summe dieser 3 Energiebeiträge ist bei einer reibungsfreien Strömung entlang einer Stromröhre konstant.
    $m_{1}\;g\;h_{1}+{\tfrac {1}{2}}m\;v_{1}^{2}+p_{1}\;V_{1}=m_{2}\;g\;h_{2}+{\tfrac {1}{2}}m\;v_{2}^{2}+p_{2}\;V_{2}=constant$

#### Aufstellung der Druckgleichung

Damit diese Energiebilanz unabhängig wird von der Größe des betrachteten Volumens $(V_{1}=V_{2})$, dividiert man sie durch dieses Volumen $V$. Mit der Dichte $\rho ={\tfrac {m}{V}}$ erhält man so aus der Energiebilanz die folgende Gleichung
    $\rho \;g\;h_{1}+{\tfrac {1}{2}}\rho \;v_{1}^{2}+p_{1}=\rho \;g\;h_{2}+{\tfrac {1}{2}}\rho \;v_{2}^{2}+p_{2}=constant$
Daraus folgt die Schreibweise der sogenannten Druckgleichung
    $\rho \;g\;h+{\tfrac {1}{2}}\rho \;v^{2}+p=p_{total}$
       mit
       $\rho \;g\;h$ = hydrostatischer Druck des Fluids am betrachteten Ort der Höhe $h$
       $p$ = statischer Druck im Fluid am betrachteten Ort ($p_{stat}$ = Luftdruck + hydrostatischer Druck oberhalb von $h$)
       ${\tfrac {1}{2}}\rho \;v^{2}$ = dynamischer Druck am betrachteten Ort (nur in Strömungsrichtung, $p_{dyn}$)
       $p_{total}$ = konstanter Gesamtdruck (unabhängig vom Ort, aber nur in Strömungsrichtung)

### Anwendung der Bernoulli-Gleichung für die Feuerwehr

Besitzt ein Feuerlöschwagen eine Pumpe vom Typ FPN10-2000, so erreicht diese Pumpe bei einem Totaldruck von 10 bar die maximale Förderleistung von 2000 l/min. Bei einem B-Rohr mit dem Innendurchmesser 75 mm beträgt die Strömungsgeschwindigkeit $v$ dann ca. 4 m/s. Beim Einsatz einer modernen Drehleiter wird eine Einsatzhöhe von ca. $h=23\;m$ erreicht. Mit diesen Daten kann die Druckgleichung nach Bernoulli aufgestellt werden. Es ist:
    $p_{total}=10\;bar=1{.}000{.}000\;Pa$
    $\rho gh=1{.}000{\tfrac {kg}{m^{3}}}\cdot 10{\tfrac {m}{s^{2}}}\cdot 23\;m=230{.}000\;Pa$
    $p_{dyn}={\tfrac {1}{2}}\rho v^{2}={\tfrac {1}{2}}\cdot 1{.}000{\tfrac {kg}{m^{3}}}\cdot 16{\tfrac {m^{2}}{s^{2}}}\ \approx 6.000\;Pa$
Daraus ergibt sich aus der Druckgleichung ein Betriebsdruck von:
    $p_{stat}\approx 764.000\;Pa$
Das ist der Druck, dem die Schlauchwände mindestens standhalten müssen. Er wird höher, wenn die Förderleistung gedrosselt oder ganz abgestellt wird und der dynamische Druck entsprechend kleiner oder Null ist. An der Spritze am Schlauchende steht der Druck $p_{dyn}+p_{stat}$ zur Verfügung, welcher das Löschwasser mit 39 m/s aus der Spritze herausschießen lässt. Diese Geschwindigkeit $v_{A}$ berechnet sich nach derselben Formel wie der dynamische Druck, d.h.:
    ${\tfrac {1}{2}}\rho v_{Schlauch}^{2}+p_{stat}={\tfrac {1}{2}}\rho v_{Ausgang}^{2}$
    $6{.}000+764{.}000={\tfrac {1}{2}}1000\;v_{Ausgang}^{2}$
    $v_{A}={\sqrt {\frac {770{.}000\cdot 2}{1000}}}=39{\frac {m}{s}}$
Mit dieser Ausströmgeschwindigkeit $v_{A}$ kann noch mal eine Höhe von 77 m erreicht werden. Zusammen mit den 23 m Leiterhöhe ergibt sich eine maximale Gesamthöhe des Wasserstrahls von 100 m, entsprechend der maximalen Pumpleistung von 10 bar. Man sieht, diese Rechnung beruht auf der Annahme der Reibungsfreiheit. Die tatsächlich erreichbaren Werte unter Berücksichtigung der Reibung an der Rohrinnenwand kann man hier berechnen lassen.

### Anwendung der Bernoulli-Gleichung für einen Windkanal

Die Abbildung rechts zeigt den prinzipiellen Druckverlauf (oben) in einem Windkanal (unten). Die Strömung wird wieder als reibungsfrei angenommen. Das Druckdiagramm zeigt den dynamischen Druck in Strömungsrichtung (hellblau) und den statischen Druck senkrecht zur Strömung (dunkelblau). Die Summe beider Drücke entspricht dem totalen Druck (in Strömungsrichtung).
* Vor und hinter dem Windkanal herrscht jeweils der Luftdruck (statischer Druck der ruhenden Luft).
* Am Beginn des Windkanals wird durch eine Turbine die Luft beschleunigt. Dadurch hat die Luft im ersten Drittel des Windkanals eine konstante Strömungsgeschwindigkeit. In Strömungsrichtung kann man einen zusätzlichen dynamischen Druck messen neben dem unveränderten statischen Druck der vormals ruhenden Luft.
* Im mittleren Drittel des Windkanals befindet sich eine Verengung. Hier hat die Luft eine höhere Strömungsgeschwindigkeit. Diese Erhöhung kommt nicht durch den Propeller am Anfang des Windkanals, sondern weil sich die Luft hier selbst beschleunigt. Die zusätzliche kinetische Energie kommt aus der Druckenergie der Luft. Entsprechend sinkt der statische Druck senkrecht zur Strömung während der dynamische Druck in Strömungsrichtung zunimmt.
* Im letzten Drittel hat der Windkanal wieder seinen ursprünglichen Querschnitt. Entsprechend ist die Strömungsgeschwindigkeit wie im ersten Drittel. Die zusätzliche kinetische Energie in der Verengung ist wieder zur Druckenergie geworden. Der statische Druck entspricht wieder dem der ruhenden Luft.
* Am Ende des Windkanals nimmt die gerichtete Strömungsgeschwindigkeit ab, die durch den Propeller erhöhte kinetische Energie verteilt sich in der Umgebung und führt zu einer unmerklichen Erhöhung des statischen Drucks der ruhenden Luft.
Während bei einem Windkanal des Eiffel-Typs an der verengten Messstelle stets ein Unterdruck herrscht, benutzt man heute zumeist Windkanäle in der sogenannten Göttinger Bauform, bei denen die Luft am Ende nicht einfach in die Umgebung strömt sondern in einem Kreislauf wieder der Turbine zugeführt wird. In Verbindung mit Vergrößerungen und Verkleinerungen des Strömungsquerschnitts kann bei der Göttinger Bauform der statische Druck an der Messstelle kontrolliert werden und entspricht dort meist dem Druck der ruhenden Luft; letzteres ermöglicht dann eine offene, begehbare Messstelle.

### Herleitung des Dynamischen Drucks

Der sogenannte dynamische Druck bezeichnet die Beziehung zwischen einer Druckdifferenz $\Delta p$ und der damit verbundenen Geschwindigkeitsänderung $\Delta v$ in einem Fluid (Flüssigkeit oder Gas). Diese grundlegende Beziehung wird im folgenden hergeleitet.
Man betrachte z.B. ein zylindrisches Fluidvolumen (in der Abb. blau gezeichnet) mit der Querschnittsfläche $A$ und der Länge $x$. An der linken Stirnfläche herrscht ein größerer Druck $p_{1}$, an der rechten Stirnfläche ein geringerer Druck $p_{2}$, entsprechend wirkt von links eine größere Kraft $F_{1}$ als von rechts $F_{2}$. Die Differenz ist
    $\Delta F=F_{1}-F_{2}=p_{1}\cdot A-p_{2}\cdot A=\Delta p\cdot A$
Durch die resultierende Kraft $\Delta F$ wird das Fluidvolumen verschoben. Man betrachte den Fall, dass es gerade um seine Länge x verschoben wird. Dabei wird die Beschleunigungsarbeit $\Delta F\cdot x$ geleistet, welche zu einer Zunahme der kinetischen Energie ${\tfrac {1}{2}}m\;\Delta v^{2}$des Fluidvolumens führt.
    $\Delta F\cdot x={\tfrac {1}{2}}m\;\Delta v^{2}$
Durch diese Verschiebung ist das Fluidvolumen nun vollständig in dem Bereich, in dem $p_{2}$ herrscht. Es bewegt sich mit einer konstanten - um $\Delta v$ erhöhten - Geschwindigkeit reibungsfrei weiter. Man kombiniert die beiden obigen Gleichungen um die Beziehung zwischen Druck und Geschwindigkeit zu erhalten
    $\Delta F\cdot x=\Delta p\cdot A\cdot x={\tfrac {1}{2}}m\;\Delta v^{2}$
und berücksichtigt, dass $A\cdot x$ dem Volumen $V$ des betrachteten Fluidvolumens entspricht.
    $\Delta p\;V={\tfrac {1}{2}}m\;\Delta v^{2}$
Man teilt beide Seiten durch das Volumen $V$, um die beschleunigende Druckdifferenz $\Delta p$ allein auf der linken Seite der Beziehung zu haben
    $\Delta p={\tfrac {1}{2}}{\tfrac {m}{V}}\;\Delta v^{2}$
Nun interpretiert man den Quotienten ${\tfrac {m}{V}}$ als die Dichte $\rho$ im Fluidvolumen und erhält die gesuchte Beziehung zwischen Druckdifferenz und Geschwindigkeitsänderung, unabhängig von der Größe des ursprünglich betrachteten Fluidvolumens.
    $\Delta p={\tfrac {1}{2}}\rho \;\Delta v^{2}$
Diese grundlegende Beziehung zwischen Druckdifferenz und Geschwindigkeitsänderung wird meist als dynamischer Druck $p_{dyn}$ bezeichnet und in folgender Form abgekürzt geschrieben
    $p_{dyn}={\tfrac {1}{2}}\rho v^{2}$
Darin bezeichnet $p_{dyn}$ den notwendigen Überdruck (Druckdifferenz zum Umgebungsdruck}, um ein Fluid der Dichte $\rho$ auf die Geschwindigkeit $v$ zu beschleunigen. Typische Anwendungen dieser Beziehung sind die Berechnung...
* ...der Geschwindigkeitszunahme von Fluiden durch eine von außen anliegende Druckdifferenz, z.B. Ausflussgeschwindigkeit aus dem Loch in einer Gefäßwand, Feuerwehrspritze, etc.
* ...des Staudrucks, d.h. der Druckerhöhung beim Abbremsen einer Strömung, z.B. dem Winddruck. Das bedeutet nicht, dass die Strömung dabei vollständig zur Ruhe kommen muss, sie kann auch nur abgelenkt sein. In ursprünglicher Richtung ist die Strömungsgeschwindigkeit aber verringert oder gleich 0.
* ...der Druckveränderung durch die Veränderung der Geschwindigkeit durch einen veränderten Strömungsquerschnitt; Beispiele dafür sind Rohrsysteme, Windkanal, Venturidüse, Umströmung von Hindernissen, etc.
Der "dynamische Druck" als Druckdifferenz hat einige Eigenschaften, die ihn vom dem bekannten "statischen Druck" in ruhenden Fluiden unterscheiden:
* Den statische Druck herrscht ständig in dem Fluidvolumen,
    der dynamische Druck macht sich dagegen nur bei Geschwindigkeitsänderungen bemerkbar.
* Der statische Druck wirkt in alle Richtungen gleich stark,
    der dynamische Druck existiert nur in Richtung der zugeordneten Geschwindigkeitsänderung.
* Der statische Druck kann an einem Punkt im Fluid gemessen werden,
    für die Messung des dynamischen Drucks müssen die Druckmessungen an zwei Punkten verglichen werden.

### Messprinzip für den dynamischen Druck

In der Praxis wird der dynamische Druck benutzt um die Geschwindigkeit in einer Strömung zu messen. Für die Messung des dynamischen Drucks müssen stets 2 Messpunkte verglichen werden.
Will man an einem beliebigen Ort einer Strömung die Geschwindigkeit ermitteln, benutzt man z.B. die Prandtlsonde. An ihrem 1. Messpunkt kommt die Strömung vollständig zur Ruhe (Staupunkt), am 2. Messpunkt strömt das Fluid möglichst ungestört vorbei.
Bei einem Flugzeug wird dieses Messprinzip durch eine Kombination von Pitotrohr und Statik Port verwirklicht. Das Pitotrohr misst den Druck in Bewegungsrichtung und ist meist vorne an der Flugzeugnase plaziert. Der Statik Port misst den Druck senkrecht zur Bewegungsrichtung, meist im vorderen Drittel des Flugzeugrumpfes an einer Stelle, wo die Luft möglichst ungestört vorbeiströmt. Meist werden Statik Ports auf beiden Seiten des Flugzeugs angebracht um Seitenwindeinflüsse auszugleichen. Aus dem so gemessenen dynamischen Druck wird u.a. die Geschwindigkeit eines Flugzeugs gegenüber der Luft ermittelt.
Für die Messung des dynamischen Drucks in gefüllten Rohren oder Kanalsystemen werden z.B. Venturidüsen eingesetzt und die Differenz des statischen Drucks vor und in der Verengung gemessen. Daraus kann die Strömungsgeschwindigkeit bestimmt und die Durchflussmenge berechnet werden .

# Wie Otto Lilienthal das Geheimnis des Vogelfluges lüftet
## Was hält den Vogel in der Luft?

    "Tausendfältig hat der Mensch versucht, es den Vögeln gleich zu thun. Flügel ohne Zahl sind von dem Menschengeschlechte gefertigt, geprobt und -- verworfen. Alles, alles vergeblich und ohne Nutzen für die Erreichung dieses heissersehnten Zieles."
Otto Lilienthal (1848 – 1896) veröffentlichte 1889 - nach 23 Jahren andauernden Forschungsarbeiten - sein Buch „Der Vogelflug als Grundlage der Fliegekunst“ als Beitrag zur Systematik der Flugtechnik. Es enthält in der Tat bahnbrechende Entdeckungen und Erfindungen, die der Entwicklung der Fliegerei die entscheidenden Voraussetzungen lieferte. Zu diesem Zweck beobachtete er sehr genau verschiedene Aspekte des Vogelfluges und hielt sich sogar eine eigene kleine Storchenzucht. Dies ermöglichte ihm wichtige Beobachtungen des Vogelflugs und wurde zur Grundlage seiner gezielten Experimente und Messversuche zum Auftrieb.
Lilienthal gilt als der erste Mensch, dem mit seinen selbstkonstruierten Flugapparaten wiederholbare Gleitflüge bis 250 m Länge gelangen. Aus vielen Fotos seiner Flugversuche ist ein kurzer Film erstellt worden, der einen spannenden Eindruck von den gewagten Flugmanövern Lilienthals vermittelt. Auch auf der anderen Seite des Atlantiks benutzten z.B. die Gebrüder Wright (1867-1948) die Erkenntnisse Lilienthals, mit denen 1903 ihr Erfolg des ersten motorgetriebenen Fluges gelang .

### Drei grundlegende Beobachtungen von Otto Lilienthal
#### Die Bedeutung des Flügelschlags

Zur Zeit Lilienthals galt vielen der auffällige Flügelschlag als wichtige Voraussetzung für den Flug der Vögel. Auch Lilienthal unternimmt vielfältige Messungen und Berechnungen zum Flügelschlag und kommt zu dem Ergebnis, dass die durch einfachen Flügelschlag nach unten bewegte Luft nicht ausreicht, das Gewicht eines Vogels auszugleichen. Der Flügelschlag dient viel mehr dem Vortrieb als dem Aufrieb. Lilienthal gelang es, sich von den hervorstechenden Eigenschaften des Vogelflügels, dem Flügelschlag und dem Federkleid zu lösen und im Laborversuch die verborgenen, aber für den Auftrieb entscheidenden Eigenschaften des Flügels zu ermitteln..
    "Wie aber fliegt die Möwe? Gewöhnlich ist die Luft an der See bewegt, und meistens hat daher die Möwe Gelegenheit, sich segelnd in der Luft fortzubewegen, nur dann und wann mit einigen Flügelschlägen nachhelfend, selten kreisend, bald rechts oder links umbiegend, bald steigend, bald sinkend, den Kopf geneigt und immer mit den Augen die futterspendende Wasserfläche durchsuchend."(S.137)

#### Die Flügelwölbung

Als entscheidende Leistung Lilienthals zur Erklärung des Auftriebs gilt seine Erkenntnis der Bedeutung der Flügelwölbung. Eine gewölbte Fläche erzeugt bereits Auftrieb, die eine ebene Fläche erst durch eine schräge Anströmung erreicht. Zu diesem Zweck sammelt und vermisst Lilienthal die Flügel und einzelne Flügelfedern verschiedener Vögel.
    "Bei gut fliegenden Vögeln findet man nur eine schwache Wölbung des Flügelquerschnittes, deren Pfeilhöhe h in Fig. 37 1/12—1/15 der Flügelbreite A B ausmacht. Schlechtfliegende Vögel, wie alle Laufvögel, haben sehr stark gewölbte, die gut und schnell fliegenden Seevögel dagegen sehr schwach gewölbte Flügel"(S.92).
Das Prinzip der Wölbung von Vogelflügeln kann man bei genauem Hinsehen in jeder einzelnen Feder entdecken. So kann man z.B. bei einer gefunden Vogelfeder einschätzen, ob diese eher aus dem Federkleid des Körpers oder dem linken oder rechten Flügel stammt. Mit dieser Erkenntnis konstruierte Lilienthal Gleiter, mit denen wiederholbare, erfolgreiche Gleitflüge bis zu 250 m durchgeführt werden konnten. Er gilt daher gemeinhin als erster erfolgreicher Flieger der Zeitgeschichte. Auch die Gebrüder Wright benutzten Lilienthals Erkenntnis u.a. zur Optimierung der Propeller für ihren ersten Motorflug über 37 m.
Am Beginn der kontrollierten Fliegerei zu Beginn des 19. Jhd. wurden wegen ihres geringen Gewichts stoffbespannte gewölbte Flächen als Flügel verwendet. Heute haben die Flügelprofile immer noch die typische asymmetrische Wölbung, aber eine ausgedehntere Form.

#### Stromlinienform

Auf der Suche nach den Voraussetzungen für einen erfolgreichen Segelflug erkennt Lilienthal auch die Bedeutung der Stromlinienform zur Verringerung des Widerstandes den ein bewegter Körper durch die Luft erfährt.
Die Stromlinienform ist typischerweise vorne rund und dick und hinten schmal und spitz. Diese Form hat einen fast 10-fach geringeren Luftwiderstand als ein Ball gleicher Querschnittsfläche und ist daher eine wesentliche Voraussetzung dafür, dass Vögel mit Hilfe ihrer Muskelkraft fliegen können.
Mehr als 30 Jahre später wird im Rahmen des Zeppelinbaus die Stromlinienform im Windkanal optimiert und die Erkenntnisse daraus auch auf den Auto- und Lokomotivbau übertragen. Zur Erreichung von immer höheren Geschwindigkeiten bekommt der Reduzierung des Luftwiderstandes durch eine optimale Formgebung größte Bedeutung zu .

## Weiterführende Gedanken
### Die Asymmetrie beim Flugzeugflügel

In Anlehnung an Otto Lilienthal kann man sagen, dass die Auftriebswirkung eines gewölbten Flügels durch die asymmetrische Umströmung des Profils verursacht wird. In gewissen Grenzen gilt dabei:
    Je ausgeprägter die Asymmetrie des Flügelprofils (Wölbung), desto größer die Auftriebskraft.
Der Nachteil einer ausgeprägte Wölbung ist jedoch der höhere Luftwiderstand einer solchen Form. Deswegen kann man diesen Parameter nicht beliebig einsetzen. Daneben gibt es vor allem 2 weitere Einflussfaktoren für den Auftrieb. Zum einen ist da die Strömungsgeschwindigkeit, zum anderen der Anstellwinkel.
    Je höher die Umströmungsgeschwindigkeit eines asymmetrisch gewölbten Flügelprofils, desto größer die Auftriebskraft.
Allerdings bedeutet eine höhere Geschwindigkeit auch einen höheren Luftwiderstand des Flugzeugs, was eine entsprechende Triebwerksleistung erfordert. Dabei steigt der Luftwiderstand sogar mit dem Quadrat der Geschwindigkeit. Der andere wichtige Einflussfaktor ist der sogenannte Anstellwinkel. In gewissen Grenzen gilt:
    Je größer der Anstellwinkel, desto größer die Auftriebskraft.
Ein schräg angeströmtes Profil verstärkt eine asymmetrische Umströmung und entspricht so auch einer Form der Asymmetrie. Aber auch hier ist es so, dass sich mit größerem Anstellwinkel der Luftwiderstand vergrößert, so dass man diesen Parameter im Reiseflug klein halten will.
D.h. ein gutes Flügelprofil zeigt eine asymmetrische Wölbung, möglichst nah an der Stromlinienform, die bei minimalen Anstellwinkel oder bei einem Anstellwinkel von 0° ausreichend Auftrieb erzeugt.

#### Segelflug

Will man ein asymmetrisches Profil optimal nutzen, wählt man eine Geschwindigkeit, bei der die erzeugte Auftriebskraft ausreicht, ohne dass zusätzlich eine schräge Anströmung benötigt wird, der Luftwiderstand also möglichst gering ist. Für alle Flugzeuge wird praktischerweise eine solche "Geschwindigkeit des besten Gleitens" definiert. Das gilt nicht nur für Segelflugzeuge sondern auch für motorgetriebene Flugzeuge im Fall eines Motorschadens. Bei dieser Geschwindigkeit segelt ein Flugzeug - leicht abwärts geneigt - am weitesten. Ein modernes Verkehrsflugzeug in Reiseflughöhe (ca. 11 km) kann ohne jegliche Triebwerkunterstützung noch ca. 200 km im Segelflug zurücklegen und z.B. in Deutschland fast alle großen Verkehsflughäfen erreichen. Dies demonstriert eindrücklich der spektakuläre Flug von Flugkapitän C.B. Sullenberger 2009. Durch Vogelschlag fielen in nur 1 km Flughöhe beide Triebwerke aus, das Flugzeug legte im Segelflug noch ca. 14 km zurück, ehe es im Hudson River notlandete.

#### Motorflug

Beim Motorflug wird die Sache etwas komplizierter weil ein Motorflugzeug, im Gegensatz zu einem Segelflugzeug, ständig sein Gewicht verändert. Ein Motorflugzeug ist beim Start immer schwerer als bei der Landung, weil es zwischendurch Sprit verbraucht. Der Gewichtsunterschied ist mitunter erheblich. Ein A380 hat beim Start eine Masse von ca. 560.000 kg, davon sind ca, 45% Kraftstoff (ca. 250.000 kg oder 310.000 l Kerosin), die bei der Landung größtenteils verbraucht ist. Während des Fluges nimmt also die Gewichtskraft stetig ab und damit auch der notwendige Auftrieb. Wie aber passt man den Auftrieb eines Flugzeugflügels an die sich verändernden Gegebenheiten an? Eine Möglichkeit wäre, mit dem immer leichter werdenden Flugzeug auch immer langsamer zu fliegen weil man ja nicht mehr soviel Auftrieb benötigt. Es ist leicht einzusehen, dass dies im Sinne der Transportfunktion unerwünscht ist. Man benutzt stattdessen 2 andere Methoden, um den Auftrieb durch die asymmetrische Umströmung anzupassen.

#### Anstellwinkel

Die einfachste Methode zur Anpassung des Auftriebs bei einem Flügels ist der Anstellwinkel. In einem weiten Bereich kann damit die Asymmetrie der Umströmung und die damit erzeugte Auftriebskraft bei einem konstanten Flügelprofil der Geschwindigkeit angepasst werden.
Alle Motorflugzeuge benutzten diese Methode. Besonders auffällig ist das bei der Landung zu sehen, wo man die geringste der möglichen Fluggeschwindigkeiten anstrebt. Bei der hier abgebildeten Concorde war für die Landung ein so extremer Anstellwinkel notwendig, so dass die Flugzeugkonstrukteure eine für die Landung absenkbare Flugzeugnase konstruiert hatten, um den Piloten ausreichend Bodensicht zu ermöglichen. Im Unterschied zu teilweise hohen Anstellwinkeln bei der Landung betragen typische Anstellwinkel im Reiseflug nur wenige Grad.

#### Vorflügel und Landeklappen

Wer in einem Verkehrsflugzeug auf einem Fensterplatz nahe dem Flügel sitzt, kann bei Start und Landung eine weitere Methode beobachten, mit der Piloten den Auftrieb der gegebenen Geschwindigkeit anpassen. Sie verändern die asymmetrische Form des Flügelprofils, indem Vorflügel und Landeklappen ausgefahren werden. Durch die erhöhte Asymmetrie wird schon bei geringer Geschwindigkeit der Auftrieb erzeugt, der die Gewichtskraft des Flugzeugs ausgleicht.
Dadurch erhöht sich natürlich auch der Luftwiderstand, was bei der Landung aber unbedeutend ist. Im lang andauernden Reiseflug möchte man natürlich den Luftwiderstand so gering wie möglich halten. Deswegen sind die Flügelprofile so konstruiert, dass sie im Reiseflug - mit eingefahrenen Klappensystemen - bei geringem Luftwiderstand ausreichend Auftrieb produzieren. Bei geringen Geschwindigkeiten während des Landeanflugs - und im geringen Maße auch beim Start - wird der notwendige Auftrieb u.a. durch die Klappenstruktur hergestellt, die die Asymmetrie des Flügelprofils erhöht, oft kombiniert mit einem erhöhten Anstellwinkel.

### Anstellwinkel ist hilfreich aber nicht notwendig

Ein manchmal anzutreffendes Misskonzept für die Erklärung des Auftriebs eines Flugzeugflügels ist, dass ein positiver Anstellwinkel notwendig für die Erzeugung von Auftrieb ist. Manchmal wird dieses Konzept mit der Vorstellung verbunden, der Luftstrom werden durch die „Reflexion“ an der Flügelunterseite umgelenkt und damit erklärt sich die Auftriebskraft auf der Grndlage des 3. Newtonschen Axioms von Actio und Reactio. Dieses Konzept ist zwar sehr anschaulich und man fühlt es scheinbar bei jedem Kinderdrachen. Aber es übersieht 2 wichtige Aspekte
* ein asymmetrisches Flügelprofil erzeugt auch ohne Anstellwinkel Auftrieb (vgl. Segelflug)
* die Oberseite eines Flügels trägt ebenso – ja sogar überwiegend - zum Auftrieb bei wie die Unterseite.
Richtig ist, dass man einen Anstellwinkel braucht, wenn es sich um ein symmetrisches Flügelprofil handelt, oder z.B. um eine ebene Platte wie beim Kinderdrachen.
Weiterhin richtig ist, dass in der praktischen Flugdurchführung mit Motorflugzeugen stets ein angepasster positiver Anstellwinkel benutzt wird, um den Auftrieb bei veränderten Flugparametern (z.B. Gewicht, Geschwindigkeit) im notwendigen Maß aufrechtzuerhalten. Aber auch eine auf dem Boden liegende Halbkugel erfährt durch eine zum Boden parallel verlaufenden Strömung einen Auftrieb. Im folgenden Kapitel werden alltägliche und technische Beispiele vorgestellt, bei denen Auftrieb entsteht. Sie alle eint die phänomenologische Erklärung, dass die Asymmetrie bei einer Umströmung mit einer resultierenden Kraft senkrecht zur Strömung (=Auftrieb) einhergeht.

# Wo man im Alltag, in der Natur und Technik Auftrieb erleben kann
## Die Asymmetrie ist entscheidend

Im vorhergehenden Kapitel wurde gezeigt, wie bei der Umströmung eines Hindernisses wegen der sich beschleunigenden Luft der Druck senkrecht zur Strömung abnimmt. Bei einer vollkommen symmetrischen Umströmung (Kugel, ebene Platte, stromlinienförmiger Körper) heben sich diese senkrechten Kräfte gegeneinander auf. Dies verdeutlich die nebenstehende Abbildung. Sie zeigt den Verlauf der Stromlinien bei einer vollkommen symmetrischen, idealen Umströmung einer Kugel. Man sieht ober- und unterhalb der Kugel, dass dort die Stromlinien enger beieinander liegen als im ungestörten Teil der Strömung. In dem Bereich mit enger beieinanderliegenden Stromlinien ist die Strömungsgeschwindigkeit erhöht und der statische Druck entsprechend verringert. Durch die symmetrische Umströmung gibt es aber keine resultierende Druckdifferenz und deshalb keine resultierende Kraft senkrecht zur Strömung.
Das Modell der Strömung deutet an: Nur bei einer Asymmetrie in der Umströmungssituation entsteht eine resultierende Kraft senkrecht zur Strömungsrichtung. Diese Kraft ist abhängig von der Relativgeschwindigkeit und der Ausprägung der Asymmetrie. Ursachen für Asymmetrie können vielfältig sein:
* Unsymmetrische Form des umströmten Körpers
* Schräge Anströmung des Körpers (Anstellwinkel)
* Rotation bei einem symmetrischen Körper
* Unsymmetrische (divergierende) Strömung
Das wird im Folgenden durch unterschiedliche Beispiele illustriert.

### Wäsche im Wind

Lilienthal benennt in seinem Buch folgende alltägliche, aber doch erstaunliche Beobachtung zum Aufrieb:
    Die auf freiem Platze im Winde zum Trocknen auf der Leine hängende Wäsche belehrt uns ebenso wie die an horizontaler Stange wehende Fahne, daſs alle nach oben gewölbten Flächen einen starken Auftrieb im Winde erfahren und trotz ihres Eigengewichtes gern über die Horizontale hinaussteigen. Das kleine Bildchen Fig. 55 wird manchen an einen oft gehabten Anblick erinnern.(S.127)

### Fahne im Wind

Lilienthal wendet seine Erkenntnis des Auftriebs gewölbter Flächen auch auf die vertikale Situation einer Stofffahne an.
    Auch das immerwährende Flattern der Fahnen an vertikaler Stange im starken Winde ist auf die genannten Eigenschaften gewölbter Flächen zurückzuführen. Die steife Wetterfahne aus Blech stellt sich ruhig in die Windrichtung. Nicht so die Fahne aus Stoff. ...(sie) flattert in groſsen Wellenwindungen hin und her. Die Erklärung ist folgendermaſsen zu denken: Bei der Fahne aus Stoff bildet sich ein labiles Verhältnis, denn die geringste entstehende Wölbung nach einer Seite verstärkt den Winddruck nach dieser Seite eben auf Grund der uns jetzt bekannten Eigenschaften gewölbter Flächen, wodurch die Wölbung sich vergröſsert...bis der Winddruck...die Wölbung durchklappt...Dieses Hin- und Herklappen der Wölbung von rechts nach links ruft das Flattern der Fahnen hervor und ihre immer gleichen Wellenbewegungen.(S.128)
Die Fahne ist ein Beispiel dafür, dass Auftrieb auch waagerecht wirken kann, und zwar senkrecht zur asymmetrischen Strömung.

### Segelboot

Bei der entsprechend gewählten Anordnung auf einem Segelboot wird der "waagerechte Auftrieb" zum Vortrieb genutzt. Lilienthal schreibt dazu:
    Nachdem wir gesehen haben, welche gewaltigen Unterschiede sich einstellen, wenn eine vom Winde schräg unter spitzem Winkel getroffene Fläche nur wenig aus der Ebene sich durchwölbt, so ist es erklärlich, daſs man nur schwache Annäherungen an die Wirklichkeit erhalten kann, wenn man die Segelleistung der Schiffe unter Annahme ebener Segel berechnet, und daſs man sich nicht wundern darf, wenn der Segeleffekt derartige Berechnungen weit übertrifft.(S.144)

### Papierdrachen

Anders als Vogelflügel, Wäsche im Wind oder Segel haben die meisten Papierdrachen keinerlei Wölbung. Der Auftrieb wird hier hauptsächlich durch eine schräge Anströmung erreicht. Oft findet man die Erklärung, dass es sich hierbei um eine Art „Reflexion“ des Windes an der schrägen Ebene handelt. Im Bild der asymmetrischen Umströmung dagegen lautet die Erklärung, dass durch den Anstellwinkel eine asymmetrische Umströmung um Ober- und Unterseite den Auftrieb bewirkt, ganz so wie man auch bei einem Flugzeug den Auftrieb durch eine Vergrößerung des Anstellwinkels vergrößern kann.(S.80)

### Rotation eines Balles

Während bei der symmetrischen Umströmung eines ruhenden Balles sich die Kräfte senkrecht zur Strömung aufheben, ändert sich dies bei einem rotierenden Ball. Die nebenstehende Grafik illustriert, wie die Drehung einer Kugel oder eines Zylinders die Symmetrie der Umströmung verändert und zu einer resultierenden Kraft senkrecht zur Strömung führt. Dieser Effekt wurde 1852 ausführlich von Heinrich Gustav Magnus (1802–1870) erklärt und trägt daher seinen Namen. Bei allen professionellen Ballspielen ist die Drehung des Balles oder der Kugel von entscheidender Bedeutung für die Flugbahn oder das Verhalten beim Aufprall. Im Ballsport finden sich dafür verschiedene Namen
* "Bananenflanke" im Fussball
* "Topspin" und "Slice" beim Tennis
* „Spin“ beim Tischtennis
* „Drive“ beim Golf
usw.

### Flettner Rotor

Neben dem Sport gab es auch Versuche der technischen Anwendung des Magnus-Effektes zur Erzeugung von Vortrieb, vor allem in der Seefahrt. Das Bild zeigt eine Rotor-Yacht mit dem imposanten Aufbau des Flettner-Rotors auf den Gewässern des Wannsees 1931. Diese Konstruktion ist nach ihrem Erfinder Anton Flettner (1885 - 1961) benannt. Auch wenn jeweils nur die Seitenwindkomponente für den Vortrieb genutzt werden kann, hat diese Konstruktion einen guten Wirkungsgrad zwischen eingesetzter Energie für die Rotation und erzielbarer Vortriebsleistung.
Das Prinzip rotierender Zylinder wurde deswegen auch versuchsweise in Flugzeugen eingesetzt. Gegenüber einer vergleichbaren Flügelfläche hat ein Flettner-Rotor einen ca 10 fach höheren Auftrieb. Der Ersatz der Flügelfläche durch einen Flettner-Rotor hat aber einen gravierenden Nachteil, nämlich die fehlenden Segelflugeigenschaften im Falle eines Motorausfalls!

### Asymmetrischer Luftstrom

In allen bisherigen Beispielen war die Ursache der asymmetrischen Strömung eine Asymmetrie der umströmten Körper, entweder durch ihre Form oder durch Rotation. Als letztes Beispiel für asymmetrische Umströmung soll noch einmal die symmetrische, ruhende Kugel vom Anfang dieses Kapitels betrachtet werden. Diese vollkommen symmetrische Form kann auch ohne Drehung einen Auftrieb erfahren, wenn die Strömung eine Asymmetrie aufweist. , also z.B. im divergierenden Luftstrahl eines Föns. Dass der Ball - anders als beim Magnus-Effekt - hier keine Rotation aufweisen muss (auch wenn diese sich manchmal einstellt), demonstrieren folgende Experimente mit asymmetrischen Strömungen:
* Video der Weber State University mit Ping-Pong Bällen.
* Experimente mit einem kräftigen Laubbläser und einem richtigen Ball.
* UNIVERSITÄT KASSEL - INSTITUT FÜR PHYSIK, Bernoulli-Effekt mit einer leeren Plastikflasche und einem Schraubenzieher!
Die asymmetrische, einseitige Umströmung von Hindernissen erklärt nicht nur die obigen Beispiele, sondern auch die Art von Sturmschäden, wenn kräftige, horizontale Winde einzelne Dachziegel oder ganze Hausdächer abdecken. Bei der Umströmung eines Hausdaches beschleunigt sich die Luft und entsprechend sinkt der Druck. So herrscht über dem umströmten Dach ein geringerer Druck als der Luftdruck (der ruhenden Luft) im Haus. Diese Druckdifferenz kann das Dach "abheben" lassen. In der Realität haben aber noch weitere Faktoren einen Einfluss auf Sturmschäden, z.B. Gebäudehöhe, Gebäudeöffnungen, Art der Dachdeckung, Dachform und -neigung etc. .

## Weiterführender Gedanke

Insbesondere für den "schwebenden Ping-Pong-Ball" findet sich gelegentlich die Erklärung durch den Coanda-Effekt. Dieser tritt aber nur bei Flüssigkeiten wegen ihrer Eigenschaft der Adhäsion auf und nicht bei Luftströmungen, weil Gase keine Adhäsion zeigen.

# Wie der Wind einen Flügel umströmt
## Ideale Stromlinienfelder um symmetrische und asymmetrische Flügelprofile

Im Folgenden werden sogenannte Stromlinienbilder interpretiert. Dabei zeigt der Verlauf der Stromlinien den Weg von Luftteilchen in einer Strömung. In einer Idealen Strömung zeigt ein Zusammenrücken von Stromlinien eine höhere Strömungsgeschwindigkeit an, ein Auseinanderrücken eine langsamere Strömungsgeschwindigkeit. Die hier verwendeten Bilder sind berechnete Stromlinien einer Idealen Strömung unter Verwendung des NASA Educational Programm "Foilsim III" . Einen Eindruck von Stromlinien einer realen Strömung in einem Windkanal bekommt man z. B. durch ein Video der Cambridge University
Ein Flügelprofil wird u.a. durch folgende Charakteristika beschrieben, die wir für die nachfolgende Betrachtung benötigen.
* Profilnase = Kleinster Krümmungsradius vorne
* Hinterkante = Spitzes Ende
* Sehne = Gradlinige Verbindung von der Nase zur Hinterkante
* Anstellwinkel = Winkel zwischen Strömungsrichtung und Sehne

### Umströmung eines symmetrischen Profils mit Anstellwinkel 0°

Man kann an dieser berechneten idealen Umströmung 2 Dinge erkennen
* An der Profilnase verteilt sich die Strömung gleichmäßig oberhalb und unterhalb des Profils. Allgemein definiert man den Staupunkt als den Punkt, an dem der Luftstrom nach oben bzw. nach unten aufgeteilt wird. Im Staupunkt selber ist die Strömung zur Ruhe gekommen, d.h. die Geschwindigkeit in Richtung der Strömung ist 0. In diesem Beispiel sind Staupunkt und Profilnase identisch. Bei einer idealen, inkompressiblen Strömung bleibt dabei die kinetische Energie der Strömung vollständig erhalten, d.h. Luft wird nicht komprimiert, sondern sie nimmt die kinetische Energie mit, während sie ober- und unterhalb der Profils strömt.
* Der Abstand der Stromlinien untereinander ist ober- und unterhalb des Profils geringer als in der ungestörten Strömung. Dies zeigt eine höhere Strömungsgeschwindigkeit an und zwar gleichermaßen ober- als auch unterhalb des Profils.
Dies entspricht der Kontinutitätsgleichung, nach der die Strömungsgeschwindigkeit bei einer Verringerung des Strömungsquerschnitt zunimmt. Gemäß der Bernoulli-Gleichung und dem ihr zu Grunde liegenden Energieerhaltungssatz ist der statische Druck senkrecht zur Strömung hier entsprechend geringer als der statische Druck in der ungestörten Strömung. Der Effekt ist symmetrisch, d.h. es gibt keine resultierende Kraft senkrecht zur Strömung.
Der statische Druck in der ungestörten Luftströmung entspricht dem Luftdruck der ruhenden Luft. Das ist verständlich, wenn man sich vorstellt, das Profil würde nicht im Windkanal umströmt, sondern stattdessen mit derselben Geschwindigkeit durch ruhende Luft bewegt. Das sind zunächst zwei unterschiedliche Situationen aber die Erfahrung lehrt, dass es bei den beobachtbaren Effekten wie Auftrieb und Luftwiderstand dabei keinen Unterschied gibt.

### Umströmung eines symmetrischen Profils mit Anstellwinkel 10°

Was hat sich durch den positiven Anstellwinkel verändert?
* Der Staupunkt ist gewandert und befindet sich nun unterhalb der Profilnase, d.h. ein größerer Teil des Luftstroms bewegt sich oberhalb des Flügels, entsprechend strömt ein kleinerer Teil unterhalb des Profils entlang.
* Die Geschwindigkeitsverteilung hat sich verändert.
Oberhalb des Profils ist die Strömungsgeschwindigkeit im Vergleich zum 0° Anstellwinkel noch gestiegen, weil nun ein größerer Anteil des Luftstroms über die Flügeloberseite strömt. Man erkennt dies an dem geringeren Abstand der Stromlinien oberhalb des Profils im Vergleich zum ersten Bild. Unterhalb des Profils ist die Strömungsgeschwindigkeit kleiner geworden, vor allem im vorderen Bereich der Flügelunterseite. Hier erfährt der kleinere Anteil des Luftstroms eine Erweiterung. Man erkennt dies an dem größeren Abstand der Stromlinien im Vergleich zur ungestörten Strömung.
Gemäß der Bernoulli-Beziehung hat sich der statische Druck im Vergleich zum statischen Druck der ungestörten Strömung (Luftdruck) verändert. Oberhalb des Profils ist er deutlich verringert und unterhalb des Profils etwas erhöht. Es gibt eine nach oben gerichtete resultierende Kraft senkrecht zur Strömung. In dieser Berechnung beträgt die durchschnittliche Druckdifferenz zwischen Ober- und Unterseite des Profils ca. 74 hPa (bei 100 m/s Strömungsgeschwindigkeit der ungestörten Strömung).

### Umströmung eines asymmetrischen Profils mit Anstellwinkel 0°

Hier betrachten wir die Umströmung eines typischen asymmetrischen Flügelprofils parallel zur Sehne (Achse Profilnase – Profilhinterkante), also bei einem Anstellwinkel von 0°. Wir sehen eine Mischung aus den ersten beiden Strömungsbildern
* Der Staupunkt liegt bei der Profilnase, wie im ersten Beispiel. Der Luftstrom verteilt sich gleichmäßig ober- und unterhalb des Profils.
* Der obere Luftstrom erfährt durch die Profiloberseite eine Verengung und beschleunigt sich. Der untere Luftstrom erfährt durch die spezielle Profilform im hinteren Teil eine kleine Erweiterung und strömt dort mit etwas langsamerer Geschwindigkeit im Vergleich zur ungestörten Strömung. Die Drucksituation entspricht ungefähr dem 2. Beispiel.
Entsprechend der Bernoulli-Gleichung herrscht oberhalb des Profils ein geringerer statischer Druck und unterhalb ein etwas größerer. Die Druckabnahme oberhalb ist dabei größer als die Druckzunahme unterhalb. Es gibt eine nach oben gerichtete resultierende Kraft senkrecht zur Strömung. In dieser Berechnung beträgt die durchschnittliche Druckdifferenz zwischen Ober- und Unterseite des Profils ca. 76 hPa ( bei 100 m/s Strömungsgeschwindigkeit der ungestörten Strömung). Dieses asymmetrische Profil erzeugt bei 0° Anstellwinkel also fast soviel Auftrieb wie das symmetrische Profil bei einem Anstellwinkel von 10°.

### Umströmung eines asymmetrischen Profils mit Anstellwinkel 10°

Mit diesem Bild können wir den aerodynamischen Auftrieb eines symmetrischen und eines asymmetrischen Profils bei gleichem Anstellwinkel vergleichen.
* Der Staupunkt liegt wieder unterhalb der Profilnase, d.h. ein größerer Teil des Luftstroms bewegt sich oberhalb des Flügels, ein kleinerer Teil unterhalb.
Allgemein kann man sagen, dass je größer der Anstellwinkel ist, desto weiter wandert der Staupunkt Richtung Profilunterseite.
* Die Strömungsgeschwindigkeit oberhalb des Flügelprofils ist deutlich größer und unterhalb etwas kleiner als die Geschwindigkeit der ungestörten Strömung.
Die Erklärung auf Grundlage der Kontinutitätsgleichung lautet, dass das (schräge) Profil sowohl ober- als auch unterhalb eine Verengung des Strömungsquerschnittes darstellt. Zur Erklärung der unterschiedlichen Geschwindigkeiten ober- und unterhalb des schräg angeströmten Profils ist zu berücksichtigen, dass durch die schräge Anströmung ein größerer Teil des Luftstroms oberhalb und nur ein kleinerer Teil unterhalb des Profils vorbeiströmt. Für den kleineren Teil des Luftstroms unterhalb des Profils erweitert sich der Strömungsquerschnitt, entsprechend verlangsamt sich dort die Strömungsgeschwindigkeit im Vergleich zur ungestörten Strömung. Je nach Profilform und Anstellwinkel ist die Luft oberhalb des Profils ca 30 % schneller als die ungestörte Strömungsgeschwindigkeit, während sie unterhalb des Proflis ca. 15 % langsamer ist als in der ungestörten Strömung .
Entsprechend der Bernoulli-Gleichung ist deswegen der statische Druck oberhalb des Profils geringer und unterhalb etwas größer als der Luftdruck der ruhenden Luft. Es gibt eine nach oben gerichtete resultierende Kraft senkrecht zur Strömung. In dieser Berechnung beträgt die durchschnittliche Druckdifferenz zwischen Ober und Unterseite des Profils ca. 149 hPa (bei 100 m/s Strömungsgeschwindigkeit der ungestörten Strömung). Dieses asymmetrische Profil erzeugt bei vergleichbaren Bedingungen (Anstellwinkel 10°, gleiche Strömungsgeschwindigkeit) also fast doppelt soviel Auftrieb wie das symmetrische Profil.

## Weiterführende Gedanken
### Bernoulli kontra Newton

Betrachtet man die 3 Beispiele für eine asymmetrische Umströmung genauer (insbesondere das letzte Beispiel mit dem höchsten Auftrieb), stellt man folgendes fest: Am Beginn der ungestörten Strömung gibt es nur eine horizontale Strömung. Durch die Umströmung des Flügelprofils bekommt die Strömung eine zusätzliche Geschwindigkeitskomponente nach unten. D.h. der Luftstrom wird durch die Asymmetrie der Umströmung - in dieser Anordnung - nach unten abgelenkt. Die Strömung erhält durch das Profil einen gekrümmten Verlauf. Schon Lilienthal hat diesen Aspekt des Strömungsverlaufs aufgrund seiner Analysen beschrieben, obwohl zu seiner Zeit entsprechende Beobachtungen noch gar nicht möglich waren. Er schreibt auf S. 81:
    "Die hier vorgeführte Darstellung mag nun wohl der Wirklichkeit bei derartigen unsichtbaren Vorgängen in der Luft nicht genau entsprechen, es genügt aber, wenn die charakteristischen Unterschiede so weit zutreffen, als es für die Anknüpfung der nötigen Überlegungen erforderlich ist".
Die durch den Flügel erzeugte abwärts gekrümmte Strömung entspricht einer ständigen Impulsänderung der vorbeiströmenden Luft, d.h. der Flügel überträgt einen nach unten gerichteten Impulsstrom auf die vorbeiströmende Luft. Nach dem 3. Newtonschen Axiom (Actio = Reactio) wirkt auf den verursachenden Flügel eine gleich große entgegengesetzte Impulssänderung. D.h. anschaulich, der Abwärtsbewegung der Luft entspricht eine Aufwärtsbewegung (Auftrieb) des Flügels. In der Tat kann man über die Menge und das Ausmaß der abwärts gelenkten Luft pro Zeit ermitteln, welche Auftriebskraft der Flügel erfährt.
Gelegentlich wird die Abwärtsbewegung der Luft mit einer Art „Reflexion“ der Luftströmung an der schräg angeströmten Unterseite des Profils erklärt. Das ist zwar sehr anschaulich aber z.B. schwierig anzuwenden auf das Beispiel der asymmetrische Umströmung bei einem Anstellwinkel von 0°, die – wie wir gesehen haben – ebenfalls Auftrieb erzeugt.
Auch ist es schwierig zu erklären, wie die Oberseite des Flügelprofils zu dieser beobachteten Abwärtsbewegung beiträgt, zumal die Oberseite einen größeren Beitrag zum Auftrieb leistet als die Unterseite. Eher selten findet sich für die Oberseite die Erklärung, dass die Luft an der Flügeloberseite "hafte" und deswegen der Form folge, so ähnlich wie Flüssigkeiten aufgrund der Adhäsion an Oberflächen haften (Coandă-Effekt).
Richtig ist, dass die asymmetrische Umströmung eines Flügels dazu führt, dass Luft senkrecht zur Strömung nach unten beschleunigt wird, und es entspricht dem 3. Newtonschen Axiom, dass der Flügel eine gleich große Reactio erfährt. Darauf wird noch im nächsten Kapitel eingegangen.

### Zusammenfassung mit Venturi und Bernoulli

Die hier versuchte populärwissenschaftliche Erklärung zum Auftrieb an einem Tragflügel als Beispiel einer asymmetrischen Umströmung beruht auf zwei bekannten Gesetzmäßigkeiten und einer grundlegenden Beobachtung.

#### Kontinuitätsgleichung

In den vorangehenden Kapiteln wurde anhand der Venturidüse die Beobachtung der konstanten Stromdichte zur Formulierung der Kontinuitätsgleichung benutzt. Für eine inkompressible Luftströmung gilt:
* „Je kleiner der Strömungsquerschnitt, desto größer die Strömungsgeschwindigkeit“.
An Stelle der Kontinuitätsgleichung findet sich gelegentlich als Begründung für die unterschiedlichen Strömungsgeschwindigkeiten, dass der obere und der untere Luftstrom hinter dem Profil wieder zusammen kommen müssen. Für die höhere Strömungsgeschwindigkeit wird dann der längere Weg auf der Oberseite eines Flügels angeführt. Das widerspricht aber der Beobachtung. Zudem reichen die Wegunterschiede ober- und unterhalb des Flügels nicht aus, um die beobachtbaren Geschwindigkeits- und Druckunterschiede hervorzurufen. Das Argument der Wegstrecken ist falsch.

#### Bernoulli-Gleichung

Die Betrachtung der Bernoulli-Gleichung für eine ideale Strömung ohne Energiezufuhr zeigt m.E., warum die höhere Geschwindigkeit bei einem kleineren Strömungsquerschnitt zu einer Verringerung des statischen Drucks führt, mit dem Ergebnis:
* „Je größer die Geschwindigkeitszunahme in einer Verengung, desto geringer der statische Druck“,
Für das richtige Verständnis der Bernoulli-Gleichung soll hier betont werden, dass der dynamische Druck (und entsprechend der totale Druck) nur in Strömungsrichtung wirkt, während der statische Druck allseitig wirkt. Für die Anwendung auf eine Strömung nicht notwendig, wohl aber für das Verständnis hilfreich ist der Hinweis, dass in den betrachteten Beispielen der statische Druck der ungestörten Strömung der normale Luftdruck der ruhenden Luft $p_{Luft}$ ist.

#### Grundlegende Beobachtung

Für die Erklärung des Auftriebs wird die Umströmung eines Profils als Verengung des Strömungsquerschnitts interpretiert. Bei einer asymmetrischen Umströmung beobachtet man im Stromlinienbild eine ungleiche Aufteilung der Strömung um das Profil, die für die Anwendung von Kontinuitäts- und Bernoulli-Gleichung ausschlaggebend ist.
* Eine Asymmetrie in der Umströmung führt zu einer asymmetrischen Aufteilung des Luftstroms auf den beiden umströmten Seiten des Flügelprofils.
* Für den oberen größeren Anteil des Luftstromes stellt das Flügelprofil einer Verringerung des Strömungsquerschnitts dar.
* Für den kleineren unteren Anteil des Luftstromes steht dagegen ein größerer Strömungsquerschnitt zur Verfügung.

#### Ergebnis

Mit diesen 3 Aussagen können folgende grundlegende Aspekte des Auftriebs qualitativ erklärt werden
* Oberhalb des Flügels herrscht ein geringerer statischer Druck (<$p_{Luft}$).
* Unterhalb des Flügels herrscht ein größerer statischer Druck (>$p_{Luft}$).
* Der Unterdruck oberhalb des Flügels ist stärker ausgeprägt als der Überdruck unterhalb.
* Auftrieb entsteht bei einer asymmetrischen Umströmung als resultierende Kraft durch den unterschiedlichen statischen Druck unter- und oberhalb des Flügels.
* Die ungleichen Strömungsgeschwindigkeiten führen dazu, dass am Profilende obere und untere Strömung zueinander versetzt sind.

### Grenzen der Betrachtung

Das Modell der Idealen Strömung beruht auf mehreren Voraussetzungen, die in der Realität nicht erfüllt werden, z.B.:
* Das Gas bewegt sich reibungsfrei, d.h. die Wechselwirkung der Gasteilchen mit den Begrenzungswänden beschränkt sich ausschließlich auf elastische Stöße.
* Die Strömung ist wirbelfrei.
* Die Strömung ist laminar, d.h. die Stromlinien kreuzen sich nie.
* Die Strömung ist inkompressibel, d.h. in Verbindung mit der Konstanz der Energie herrscht überall dieselbe Dichte.
Die oben erläuterten Beispiele zeigen, dass trotz der starken Vereinfachung dieses Modells der Idealen Strömung der Aspekt des Auftriebs und einige andere Strömungseffekte am Flügel qualitativ gut beschrieben werden können.
Folgende Aspekte können jedoch nicht erklärt werden:
* Die Ablenkung der Luftströmung am Ende des Profils (= gekrümmte Strömung) nach unten.
* Die Bewegung eines Flügels durch ruhende Luft führt zwar zu denselben beobachtbaren Druckunterschieden, aber es liegt keine Strömung vor.
* Weil eine reibungsfreie Strömung betrachtet wird, findet der Luftwiderstand in Form von Druck- und Oberflächenwiderstand sowie induziertem Widerstand keine Beachtung. Auftrieb geschieht quasi ohne Energieaufwand.
Die verschiedenen Formen des Luftwiderstandes sind aber bedeutungsvoll. Während eine ideale Umströmung dem umströmten Körper keinen Luftwiderstand entgegensetzt, wird doch in der Realität jede Bewegung durch den Luftwiderstand abgebremst.
Die Situation ist ähnlich wie bei der Betrachtung des freien Falls. Sieht man von der Reibung (und dem hydrostatischen Auftrieb) ab, fallen alle Körper im Prinzip gleich schnell zu Boden. Erst wenn man Reibung (und hydrostatischen Auftrieb) berücksichtigt, ergeben sich unterschiedliche Fallverhalten, die auch in der Realität beobachtet werden. Übertragen auf die Ideale Strömung heißt das, das Prinzip des Auftriebs wird richtig beschrieben, aber erst mit Berücksichtigung der Reibung kommt man der exakten Beschreibung der beobachtbaren Realität näher. Für eine exakte Beschreibung des Luftwiderstandes muss das Modell erweitert werden. Dies hat als erster Ludwig Prandtl (1875 – 1953) getan, der 1904 seine Grenzschichttheorie veröffentlicht hat. Mit dieser Theorie ist es z.B. möglich, den Druck- und Oberflächenwiderstand von umströmten Körpern zu berechnen, welche der wirklichen Bewegung in Luft entgegenwirken.
Darüber hinaus gibt es noch eine weitere Form des Luftwiderstandes, den sogenannten induzierten Luftwiderstand, der auch die Fortbewegung bremst, aber nur bei einer asymmetrischen Umströmung auftritt. Der induzierte Widerstand kann deswegen als eine unmittelbare Voraussetzung für Auftrieb betrachtet werden. Der induzierte Widerstand liefert auch die Erklärung, warum der Spritverbrauch eines Flugzeugs - bei gleicher Form und Geschwindigkeit - von seinem Beladungszustand abhängt. Das nächste Kapitel geht genauer darauf ein.

# In Wahrheit fliegt ein Flugzeug durch ruhende Luft
## Wie sich die Luft wirklich bewegt

Die bisherigen Beispiele beschreiben überwiegend Situationen, in denen ruhende Körper von einem Wind umströmt werden, der klassischen Situation in einem Windkanal. In der Wirklichkeit des Fliegens, dem hier das Hauptinteresse gilt, ist es aber genau umgekehrt: Es ist das Flugzeug, welches sich bewegt und es ist die Luft, die ruht. Dieser Umstand wird meist übersehen, und der Eindruck, den ein Passagier im Flugzeug angesichts vorbei rasender Wolkenfetzen bekommt, tut sein übriges. Aber die Kontinuitätsgleichung und die Gleichung von Bernoulli sind aus der Beobachtung bewegter Fluide entstanden und es ist fraglich, inwieweit sie auf Bewegung durch ruhende Luft angewandt werden können.
So entsteht die Frage, was passiert eigentlich bei der Bewegung eines Flügels durch ruhende Luft? Das nebenstehende Bild gibt einen ersten Eindruck von der Bewegung der Luft. Es zeigt einen Businessjet im Flug knapp über einer Wolkenschicht. Man erkennt, dass unterhalb des Flugzeugs die Luft eine Abwärtsbewegung erfährt, durch welche die Wolkenschicht eingedrückt wird, den sogenannten Downwash. Diese beeindruckende Aufnahme hat der Fotograf Paul Bowen gefertigt. Er saß dazu am Platz des ehemaligen Heckschützen einer North_American_B-25 mit Sicht nach hinten.
Das zweite Foto verdeutlicht die Luftbewegung in Bodennähe beim Durchfliegen einer rot gefärbten, aufsteigenden Rauchwand. Man erkennt den sogenannten Randwirbel (Vortex).
Beide Fotos liefern in der Tat einen völlig anderen Eindruck als die Stromlinien im Windkanal. Bevor die Bewegung ruhender Luft um einen bewegten Flügel genauer analysiert wird, hier Beispiele mit eindrucksvollen optischen Eindrücken von Downwash und Randwirbel bei der Bewegung von Flugzeugen durch ruhende Luft
   * Die ersten beiden Videos zeigen je ein Beispiel für eine „umgekehrte“ Windkanalaufnahme, in der durch ein bewegtes Flugzeugmodell eine Abwärtsbewegung der Luft erzeugt wird. Wie auf dem Foto wird der Downwash auch hier durch eine Rauchwolke sichtbar gemacht. Der Downwash kombiniert sich mit zwei gegenläufigen Randwirbeln an den Flügelspitzen.
       1) Ein Flugmodell fliegt durch Rauch
       2) French Aerospace Lab ONERA.
   * Die zweiten Videos zeigen dasselbe bei einem Verkehrsflugzeug im Landeanflug durch eine Wolkenschicht.
       3) Awesome view of a Emirates Airbus A380 creating huge wake vortices in clouds at Sunset
       4) noch ein Airbus A380 erzeugt Downwash und Randwirbel
   * Das Zentrum der Randwirbel liegt im Bereich der Flügelspitzen (Vortex), dies zeigt das letzte Video eindrucksvoll.
       5) Randwirbel in einem sehr tiefen Vorbeiflug

### Erläuterung der Luftbewegung

Sowohl im Windkanal an einem ruhenden Flügel als auch am bewegten Flügel durch ruhende Luft stellt man denselben Zustand fest: Oberhalb des Flügels herrscht Unterdruck, unterhalb Überdruck.
In der Windkanalsituation kann man die Druckverhältnisse qualitativ mit dem Bernoulli-Effekt, d.h. mit einer vergrößerten Strömungsgeschwindigkeit oberhalb und einer verringerten Strömungsgeschwindigkeit unterhalb erklären. In der Situation des bewegten Flügels gibt es keine Strömung à la Bernoulli. Stattdessen stellt sich die Frage, wie reagiert ruhende Luft auf die um den bewegten Flügel herrschenden Druckverhältnisse?
Grundsätzlich gilt, dass Luft entlang eines Druckgefälles in Richtung des niedrigeren Drucks beschleunigt wird. Im Rahmen der Bernoulli-Gleichung wurde die grundlegende Beziehung zwischen Druckdifferenz und Geschwindigkeitsänderung bereits hergeleitet. Wenn eine Druckdifferenz nicht aufrechterhalten wird, z.B. in einer stationären Strömung, bedeutet die durch eine Druckdifferenz hervorgerufene Luftbewegung nichts anderes als den selbsttätigen Ausgleich von Druckunterschieden, so wie sich auch Temperaturunterschiede von selbst ausgleichen.
Mit dieser Vorbemerkung kann man in der ruhenden Luft im Umfeld eines bewegten Flügels 2 Luftbewegungen unterscheiden, die beide der Tendenz zum Druckausgleich entspringen.
* Die ersten vier Videos zeigen insbesondere, wie im Flügelbereich die Luft vertikal nach unten beschleunigt wird (Downwash). Diese Luftbewegung entsteht durch eine Kombination der Druckausgleiche oberhalb und unterhalb des Flügels.
       Oberhalb strömt Luft aus dem Bereich des normalen Luftdrucks nach unten in Richtung des Unterdrucks auf der Flügeloberseite.
       Unterhalb strömt Luft vom Überdruck der Flügelunterseite nach unten in Richtung des geringeren normalen Luftdrucks (In der Animation grün eingezeichnet).
* Das 5. Video zeigt eindrucksvoll den Druckausgleich an dem linken und rechten Flügelende (Vortex). Hier strömt die Luft aus dem Überdruckgebiet unterhalb des Flügels in das Unterdruckgebiet oberhalb des Flügels. Es entsteht ein sogenannter Randwirbel. Im Video sieht man, wie der in Flugrichtung rechte Randwirbel sich durch einen leichten Seitenwind über dem Kopf des Filmenden hinwegbewegt, mit Drehrichtung entgegen dem Uhrzeigersinn (in der Animation für beide Flügelspitzen rot eingezeichnet).
Sowohl beim Downwash als auch bei den Randwirbeln wird der Luft kinetische Energie zugeführt, die durch die Bewegung des verursachenden Flügels aufgebracht werden muss. Diese Energie, welche der Luft zugeführt wird, geht dem Flugzeug verloren. D.h. die beschriebenen Luftbewegungen zum Ausgleich der erzeugten Druckunterschiede stellen eine Art Luftwiderstand entgegen der Bewegung des Flügels bzw. Fugzeugs dar. Man nennt dies auch den induzierten Widerstand. Andere Widerstände sind der Formwiderstand (abhängig von Formgebung und Querschnittsfläche) und der Reibungswiderstand (abhängig von Größe und Beschaffenheit der Flügeloberfläche).
Die durch die Bewegung des Flügels erzeugte Abwärtsbewegung der Luft erklärt den Auftrieb am Flügel. Denn nach den Grundsätzen der Mechanik erfordert die Bewegung der Luft nach unten eine beschleunigende Kraft, und der die Beschleunigung verursachende Körper erfährt eine ebensolche Kraft, aber in entgegengesetzter Richtung (Actio gleich Reactio). D.h. in dem Maße wie der bewegte Flügel Luft nach unten beschleunigt, erfährt er Auftrieb nach oben. Man bezeichnet diese auftriebserzeugende Abwärtsbewegung der Luft auch als Downwash. Der Downwash als Teil des durch die Flügelbewegung induzierten Widerstandes ist also prinzipiell notwendig. Das steht etwas im Widerspruch zum üblichen physikalischen Verständnis des Wortes Widerstand, mit dem man i.d.R. etwas Negatives bezeichnet, was möglichst vermieden werden soll.
Der Randwirbel als ein anderer Teil des induzierten Widerstandes trägt allerdings nicht zu diesem Auftrieb bei und wird deswegen auch als schädlicher (induzierter) Widerstand bezeichnet.

### Gewichtsabhängiger Spritverbrauch

Die hier vorgestellte Erklärung des Auftriebs ist in einem wichtigen Punkt näher an der Realität als die Erklärung über den Bernoulli-Effekt. Die Erklärung über Bernoulli geht von einer reibungsfreien Strömung aus. Entsprechend erscheint es nach Bernoulli, als wenn der Auftrieb durch die Druckdifferenz sozusagen ohne extra Aufwand entsteht.
Die Erklärung über den Downwash zeigt, dass der Auftrieb der Menge und Geschwindigkeit der nach unten beschleunigten Luft entspricht und dass die darin enthaltene Energie durch den Antrieb des Flugzeugs zugeführt werden muss. Das erklärt viel besser die Realität, in der ein vollbeladenes Flugzeug bei gleicher Geschwindigkeit mehr Sprit verbraucht als ein unbeladenes. Bei großer Beladung muss der Flügel in derselben Zeit mehr Luft oder dieselbe Luftmenge schneller nach unten beschleunigen als bei geringerer Beladung und diese größere Energiemenge, welche von dem Flügel an die Luft abgegeben wird, muss in Form von erhöhter Triebwerksleistung zur Verfügung gestellt werden.

## Weiterführende Gedanken
### Relativbewegung

Rückblickend betrachtet zeigt sich, dass die Mehrzahl der in diesem Buch behandelten Beispiele keinen Unterschied macht zwischen der Situation, in der ein Wind um ein stehendes Hindernis strömt und der Situation, in der sich ein Hindernis durch ruhende Luft bewegt. In der Realität des Fliegens hat man meist eine Kombination beider Fälle, d.h. man bewegt sich während gleichzeitig ein Wind weht.
Aus Sicht der klassischen Mechanik macht es keinen Unterschied, ob etwas in Ruhe oder in gleichförmiger geradliniger Bewegung ist. Es gibt kein absolutes Koordinatensystem (z.B. das Weltall), in dem man sagen könnte: Was hier ruht, ruht wirklich. Statt dessen zeigt die Erfahrung, alle mechanischen physikalischen Phänomene hängen nur von der Relativgeschwindigkeit ab. Mechanische Kräfte gehen stets mit einer Änderung der Geschwindigkeit einher, eine etwaige vorhandene konstante Geschwindigkeit ist dagegen ohne Belang. Anschaulich heißt das z.B., dass sich der Flugbegleiter beim Eingießen eines Glases keine Gedanken darüber machen muss, ob das Flugzeug am Boden steht oder sich mit hoher Geschwindigkeit durch die Luft bewegt, man hält das Glas einfach unter die Flaschenöffnung und kann darauf vertrauen, dass die Flüssigkeit senkrecht nach unten ausströmt.
Einstein hat dieses Prinzip über die Mechanik hinaus auf die gesamte Physik übertragen. Die von ihm entwickelte Relativitätstheorie fordert, physikalische Gesetze zur Beschreibung der Natur so zu formulieren, dass ausschließlich die Relativgeschwindigkeit der beteiligten Systeme berücksichtigt werden muss.
D.h. für die Messung physikalischer Größen (z.B. Änderung der Strömungsgeschwindigkeiten und der Druckverhältnisse um einen Flügel) ist es gleichgültig, ob diese Messung an einem bewegten Flugzeug oder in einem Windkanal durchgeführt wird. Dennoch soll betont werden, dass für die beiden Situationen gänzlich unterschiedliche Modelle benutzt werden. Die Bernoulli-Beziehung ist ein sehr einfaches Modell zur Beschreibung der Windkanalsituation und wird deswegen gerne zur Erläuterung des Auftriebs herangezogen. Um die in diesem Kapitel gezeigten Luftbewegungen um ein bewegtes Flugzeug zu beschreiben, sind kompliziertere mathematische Gleichungen anzuwenden, welche vor allem die Reibungseffekte berücksichtigen, was i.d.R. dem Aerodynamiker überlassen bleibt.

# Was wir am Beispiel Auftrieb über Physik lernen können

Dieses Buch steht im Regal Physik.

## Der Modellcharakter der Physik

Die hier vorgenommene Betrachtung zum dynamischen Auftrieb an Flugzeugen, aber auch die dabei verwendeten Konzepte wie "kinetische Gastheorie", "ideale Strömung" oder Prinzipien wie die "Bernoulli-Gleichung" ermöglichen einen Blick auf das Verhältnis von Physik und Wirklichkeit. Eine solche Betrachtung soll dieses Buch abrunden.
Zur Beschreibung des Phänomens "innerer Druck" in Gasen hat sich im Laufe der wissenschaftlichen Diskussion am Ende das Modell des Idealen Gases durchgesetzt. Es ist verständlich, dass dieses Modell nicht der Wirklichkeit entspricht. Besonders deutlich wird das am Modell der idealen, reibungsfreien Strömung. Mit seiner Hilfe kann man die Grundlagen des Auftriebs verstehen, andererseits ist dieses Modell aber nicht in der Lage, den Luftwiderstand in einer Strömung zu erklären.
Die in der Physik (und anderen Wissenschaften) typische Methode „Wissen zu schaffen“, d.h. Erklärungen zu finden und technische Anwendungen zu ermöglichen, hat sehr schön der Physiker Heinrich Hertz (1857 – 1894) in seinem Buch „Die Prinzipien der Mechanik (1894)“ mit folgenden Worten beschrieben:
    "Wir machen uns innere Scheinbilder oder Symbole der äußeren Gegenstände, und zwar machen wir sie von solcher Art, dass die denknotwendigen Folgen der Bilder stets wieder Bilder seien von den abgebildeten Gegenständen.“(S.1).

### Beispiel Gas

* In der Wirklichkeit existieren reale Gase und Gasgemische mit Atomen und Molekülen
* Das Modell ist das "Ideale Gas" mit kleinen Kugeln
* Die denknotwendige Folge ist die allg. Zustandsgleichung $p=n\;R\;T$
* Sie entspricht der beobachtbaren Folge, dass bei gleichen Volumina (d.h. gleicher Menge $n$) der Druck $p$ in verschiedenen realen Gasen derselbe ist und in einem großen Bereich nur von der Temperatur $T$ abhängt.
Dabei bilden unsere Modelle von einem wirklichen Gegenstand meist nur einen Aspekt dieses Gegenstandes ab, und zwar so, dass logische Folgen, die wir aus unserem Modell ziehen, als Konsequenz in der Wirklichkeit beobachtbar sind. Darüber hinaus muss es keine weitere Übereinstimmung zwischen Modell und wirklichem Gegenstand geben. Die in der Wirklichkeit beobachtbaren Konsequenzen müssen nicht unbedingt einer natürlichen Situation entspringen sondern können auch (und werden meist) erst durch entsprechende Experimente hervorgerufen.
Letztlich bleibt es ein Geheimnis, warum Modellvorstellungen - innere Bilder in Verbindung mit mathematischer Logik - mit dem Mechanismus der experimentellen Überprüfung so erfolgreich sind. Mit dieser Methode haben Wissenschaft und Technik den Menschen sogar bis zum Mond fliegen lassen.

### Beispiel Strömung

In Bezug auf das Thema dieses Buches kann die Hertz'sche Beschreibung der Modellvorstellung in der Physik folgendermaßen angewendet werden:
* Die Wirklichkeit ist die Bewegung eines Flugzeugs durch Luft
* Das Modell ist die asymmetrische "Ideale Strömung" (reibungsfrei, wirbelfrei, etc...)
* Die denknotwendige Folge ist ein Druckunterschied senkrecht zur Strömung
* Sie entspricht der beobachtbaren Folge des Auftriebs
In diesem Prozess sind laut Hertz stets
„Verschiedene Bilder derselben Gegenstände ... möglich, und diese Bilder können sich nach verschiedenen Richtungen unterscheiden“ (S.2) Bei der Auswahl eines geeigneten Modells kommen zwei Kriterien zum Einsatz. Ein Modell soll...
* ...mit möglichst wenigen Annahmen auskommen
* ...möglichst viele beobachtbare Folgen beschreiben
Weil diese beiden Kriterien nicht immer gleich gut erfüllt werden können, werden in der Physik oft verschiedene Modelle und Erklärungen für denselben Gegenstand parallel benutzt. Es kommt darauf an, was man erreichen möchte. Will man z.B. eine einfache anschauliche Erklärung für den Auftrieb finden, wählt man eher ein einfaches Modell mit wenigen Annahmen. In diesem Buch wurde z.B. dazu die ideale Strömung nach Bernoulli benutzt. Möchte man dagegen bei der Neukonstruktion eines Flugzeuges ein optimales Flügelprofil entwerfen, wählt man eher ein Modell, welches möglichst viele beobachtbare Folgen beschreibt und genaue Rechnungen ermöglicht. Dies ist im vorliegenden Fall das Modell des "induzierten Widerstandes".
* ↑ Friedrich Copei, Der fruchtbare Moment im Bildungsprozess (Diss. phil. Berlin), Quelle & Meyer, Leipzig 1930 (VII, 134 S., mit Fig.); 5., unveränderte Aufl., eingel. und hrsg. von Hans Sprenger, Quelle & Meyer, Heidelberg 1960
* ↑ Malte Brinkmann, Der fruchtbare Mmoment im Bildungsprozess - Friedrich Copei 1902-1945, vom 23.8.2017, Phänomenologische Erziehungswissenschaft, abgerufen am 2. Februar 2022
* 1 2 Das Schlauchexperiment, Landschulheim Steinmühle, 2017, Wikipedia:Pascals Barometer, abgerufen am 9. Februar 2022
* ↑ Messwert 2021 für Donauwörth, Werner Neudecks Wetterpage, abgerufen am 29. Januar 2022
* ↑ Performance vor der Kunsthalle Bremen in 2014, Ewerdt Hilgemann, abgerufen Dez 2021
* ↑ Rene Matzdorf, UNIVERSITÄT KASSEL - INSTITUT FÜR PHYSIK, Brownsche Bewegung von Rauchteilchen unter dem Mikroskop, erstellt 17.04.2020, Brownsche Molekularbewegung Experiment (youtube video), abgerufen 30. Dezember 2021
* ↑ Wilhelm Capelle: Die Vorsokratiker, Leipzig 1935, S. 399.
* ↑ Wikiquote
* ↑ L. Boltzmann, Vorlesungen über Gastheorie, Leipzig, 1896, archive.org
* ↑ J.B. Venturi, Experimental researches concerning the principle of the lateral communication of motion in fluids, applied to the explanation of various hydraulic phenomena, (Übersetzung aus dem Französischen von W. Nicholson), in M.Taylor, Tracts on Hydraulics, London 1836, S.123-184, archive.org
* ↑ Abbildungen zur Übersetzung aus der Orginalarbeit von J.B. Venturi, gallica.bnf.fr
* ↑ Die Internationale Standardatmosphäre, vgl. Normatmosphäre, abgerufen am 5. Februar 2022
* ↑ Windlast und -sog am geneigten Dach, Baunetz Wissen, abgerufen am 6. Februar 2022
* ↑ Experiment mit dem Venturi-Rohr, Physik Online der Universität Würzburg, abgerufen 14.Januar 2022
* ↑ DANIEL BERNOULLI'S Hydrodynamicae, Translated and annotated by Ian Bruce, 2014, Section XII, S.503, Fig.73, http://www.17centurymaths.com/contents/dbernoullicontents.htm
* ↑ Feuerwehr innovativ, Berechnungen für Einsatz und Übung, Druckverlust am Feuerwehrschlauch, Druckverlust Schlauch
* ↑ Die wesentlichen Windkanaltypen, DLR Magazin 141 "Die Windmaschinen", März 2014, Sonderdruck (Magazin 141 - 150), abgerufen am 11.Feb 2020
* ↑ Durchfluss Messtechnik, Apparaturen und Industrieanlagen AG, abgerufen am 4. Februar 2022]
* 1 2 3 Otto Lilienthal, Der Vogelflug als Grundlage der Fliegekunst als Beitrag zur Systematik der Flugtechnik, 1889, Deutsches Textarchiv
* ↑ Lebenslauf von Otto Lilienthal
* ↑ Otto Lilienthal’s In-Flight Movie From the 1890s, AIR & SPACE MAGAZINE, 26.2.2016, www.smithsonianmag.com, abgerufen am 21.Feb 2022
* ↑ Wilbur Wright, Otto Lilienthal, Aero Club of America Bulletin, September 1912 (posthum veröffentlicht), online-Archiv des Otto-Lilienthal-Museums
* ↑ http://www.lilienthal-museum.de/olma/soest.htm
* ↑ https://www.spektrum.de/lexikon/physik/stromlinienform/14074
* ↑ https://blog.zeppelin-museum.de/2018/07/19/vom-zeppelin-zum-auto/
* 1 2 3 4 Otto Lilienthal, Der Vogelflug als Grundlage der Fliegekunst als Beitrag zur Systematik der Flugtechnik, 1889, Deutsches Textarchiv
* ↑ Whirling Spools Lift This Plane, Popular Science Monthly, Nov 1930, S.26, googlebooks
* ↑ Windschäden am geneigten Dach, Baunetz Wissen, abgerufen am 6. Februar 2022
* ↑ NASA, Glenn Research Center, 16.4.2019, FoilSim Student JS, abgerufen am 15. Dezember 2021
* 1 2 How Wings work? Smoke streamlines around an airfoil, Department of Engineering, University of Cambridge, multimedia video from Physics Education, 2003, by Holger Babinsky, youtube video, abgerufen 2. Februar 2022
* ↑ Warum kann ein Flugzeug fliegen? (Luftfahrt verständlich erklärt), Frank Dreyer, Kapitän A380, 14. 12.2020, youtube video, abgerufen am 4. Februar 2022
* ↑ Otto Lilienthal, Der Vogelflug als Grundlage der Fliegekunst als Beitrag zur Systematik der Flugtechnik, 1889, Deutsches Textarchiv
* 1 2 H.Hertz, Gesammelte Werke, Bd. III, Die Prinzipien der Mechanik, Leipzig 1894, archive org, abgerufen am 2. Februar 2022