# Pseudoprimzahlen: Meta: Überblick

Vorwort

## Was soll das Buch bezwecken?

Das Buch soll das zeigen, was jenseits der Primzahlen kommt. Die faszinierende Welt der Pseudoprimzahlen.

## Warum dieses Buch?

In der deutschen Wikipedia sind einige interessante Artikel über den Bereich Pseudoprimzahlen, Primzahlen und Randbereiche entstanden. So die Artikel Carmichael-Zahl, Eulersche Pseudoprimzahl, Starke Pseudoprimzahl, Lucas-Folge u.s.w. . Nun ist die Wikipedia ja eine Enzyklopädie und kein Lehrbuch, was bedeutet, dass man weder in die Tiefe gehen kann, noch Zusammenhänge so vernetzen kann, wie man das gerne möchte.

## Für wen ist dieses Buch gedacht?

Dieses Buch ist für jene gedacht, die gerne tüfteln. Der Stoff ist vielleicht nicht einfach zugänglich, aber wer eine gewisse Hürde übersprungen hat, für den eröffnen sich Welten (auch in Bezug auf die Primzahlen). Was dieses Buch nicht ist, ist ein Lehrbuch, das den Leser von Punkt zu Punkt führt. Der Leser muß sich seine Ziele selber suchen. Wer sich nicht schon für die natürlichen Zahlen, und insbesondere für Primzahlen interessiert, der wird mit diesem Lehrbuch wenig Freude haben.

## Ein rechenintensives Thema

Da bei den Pseudoprimzahlen, insbesondere denen, die unter das Schema fermatsche Pseudoprimzahlen fallen, oft große Potenzen auftauchen, kommt man, wenn man das in diesem Buch geschriebene nachvollziehen möchte, nicht darum herum, selbst Programme zu schreiben. Manches läßt sich auch "zu Fuß" oder mit dem Taschenrechner nachrechnen, aber ohne Computer kommt man letztlich nicht aus. In dem Buch ist auch ein Kapitel mit fertigen Quellcodes, aber man läßt sich möglicherweise etwas entgehen, wenn man sich nicht selbst Gedanken macht, und die Programme selbst schreibt. Aber das muss der Leser letztendlich selber wissen.

## Unterscheidung

Wenn in dem Text über eine Zahl gesagt wird, sie sei eine Pseudoprimzahl, dann bedeutet das, dass diese Zahl zusammengesetzt ist, und sich nach irgendeinem Kriterium wie eine Primzahl verhält. Genauso bedeutet ein eine Zahl ist eine starke Pseudoprimzahl, dass eine Basis existiert, zu der sich diese zusammengesetzte Zahl, aufgrund des Kriteriums für starke Pseudoprimzahlen, wie eine Primzahl verhält.
Ist dagegen von einer fpsp(a) die Rede, also einer fermatschen Pseudoprimzahl zu einer bestimmten Basis $a$, dann ist klar, dass man sich genau auf diese Basis $a\$bezieht (abgesehen davon, dass diese fermatsche Pseudoprimzahl noch zu anderen Basen pseudoprim ist).

## Definition

Eine Pseudoprimzahl ist eine zusammengesetzte natürliche Zahl, die bestimmte Eigenschaften mit Primzahlen gemeinsam hat. Sie wird Pseudoprimzahl bezüglich dieser Eigenschaft genannt. Da es viele solche Eigenschaften gibt, ist der Begriff Pseudoprimzahl ohne Angabe der Eigenschaft nicht sinnvoll.

### Hintergrund

Die Beschäftigung mit Pseudoprimzahlen ist aus dem Bedürfnis entstanden, schnelle Primzahltests für große Zahlen zu finden.
Primzahlen sind natürliche Zahlen größer 1, die nur durch 1 und durch sich selbst teilbar sind. So sind sie definiert.
Allerdings lassen sich damit größere Zahlen schlecht darauf prüfen, ob sie Primzahlen sind. Wie unpraktisch diese Eigenschaft für den Primzahlentest ist, lässt sich daran ermessen, dass um eine Zahl der Größenordnung $\approx 10^{100}$ auf ihre Primalität zu testen, ihre Teilbarkeit durch $\approx 10^{50}$ Zahlen getestet werden müsste.
Aber Primzahlen haben noch viele andere Eigenschaften, Eigenschaften der Form: "Wenn $p\$eine Primzahl ist, dann hat $p\$ die Eigenschaft $x$".
Um aus dem Buch Prime Numbers - A Computational Perspective 1 zu zitieren: "Wenn $p\$eine Primzahl ist, dann ist $p\$ gleich 2, oder $p\$ ist eine ungerade Zahl". In dieser Richtung funktioniert die Aussage. Allerdings lässt sie sich nicht umkehren: "Wenn $p\$ gleich 2 oder eine ungerade Zahl ist, dann ist $p\$ eine Primzahl" ist ausgemachter Blödsinn. Es gibt weitere solcher "Wenn $p\$ eine Primzahl ist, dann hat $p\$ die Eigenschaft $x$", die sinnvoller sind, deren Umkehrung aber ebenfalls falsche Schlüsse wären:
    Wenn$\ p\$eine Primzahl und größer als 3 ist,
   * dann hat$\ p\$die Form $4n+1\$ oder $4n-1\$ (das gilt für alle ungeraden Zahlen)
   * dann hat$\ p\$die Form $6n+1\$ oder $6n-1\$ (ungerade und nicht durch 3 teilbar)
   * dann teilt$\ p\$jede Zahl der Form $\ a^{p}-a\$ mit $a\geq 2$
   * dann teilt$\ p\$den Ausdruck $L_{p}-1$, wobei$\ L_{p}\$ das p.te Glied der Lucas-Folge ist.
   * dann teilt$\ p\$das p.te Glied der Perrin-Folge
Vermeintliche Primzahlen, die man aus der Umkehrung solcher "Wenn $p\$ eine Primzahl ist, dann hat $p\$ die Eigenschaft $x$"-Regeln bekommt, nennt man Pseudoprimzahlen. Das allerdings mit einer gewissen Einschränkung:
    Zusammengesetze Zahlen werden nicht als Pseudoprimzahlen bezeichnet, nur weil sie den Formen $4n+1\$, $4n-1\$, $6n+1\$ bzw. $6n-1\$ entsprechen. Dazu sind schon striktere Eigenschaften wie beispielsweise $q\$ teilt $a^{q}-a$ oder $q\$ teilt $P_{q}\$ oder $q\$ teilt $L_{q}-1\$ nötig.
Zusammengesetze Zahlen, die dem Satz $a^{p}\equiv a{\pmod {p}}$ (kleiner fermatscher Satz) genügen, nennt man fermatsche Pseudoprimzahlen zur Basis $a$. Dies ist die bekannteste und wichtigste Klasse der Pseudoprimzahlen.
Allgemein sind Pseudoprimzahlen zusammengesetze Zahlen, die einen probabilistischen Primzahltest bestehen.

## Der Umkehrschluss

Wenn eine natürliche Zahl eine Eigenschaft, die alle Primzahlen haben, nicht hat, kann sie keine Primzahl sein; dieser Schluss ist immer zulässig. Wenn die Zahl eine solche Eigenschaft hat, und die Eigenschaft selten bei zusammengesetzten Zahlen auftritt, kann daraus nur geschlossen werden, dass sie wahrscheinlich eine Primzahl ist.

## Unterscheidung

Wenn im Text über eine Zahl gesagt wird, sie sei eine Pseudoprimzahl, dann bedeutet das, dass diese Zahl zusammengesetzt ist, und sich nach irgendeinem Kriterium wie eine Primzahl verhält. Genauso bedeutet ein eine Zahl ist eine starke Pseudoprimzahl, dass eine Basis existiert, zu der sich diese zusammengesetzte Zahl, aufgrund des Kriteriums für starke Pseudoprimzahlen, wie eine Primzahl verhält.
Ist dagegen von einer fpsp(a) die Rede, also einer fermatschen Pseudoprimzahl zu einer bestimmten Basis $a$, dann ist klar, dass man sich genau auf diese Basis $a\$bezieht (abgesehen davon, dass diese fermatsche Pseudoprimzahl noch zu anderen Basen pseudoprim ist).

### Absolute Pseudoprimzahlen

Absolute Pseudoprimzahlen bezüglich einer Eigenschaft sind zusammengesetze Zahlen, die mit allen Parametern, die bestimmte Bedingungen erfüllen, pseudoprim bezüglich dieser Eigenschaft sind; Bedingungen für Parameter sind zum Beispiel, dass bei Fermatschen Pseudoprimzahlen die Basis teilerfremd zu $n$ ist, oder bei Lucas-Pseudoprimzahlen die Diskriminante $D=P^{2}-4Q$ den gleichen Wert hat.

### Starke Pseudoprimzahlen

Starke Pseudoprimzahlen bezüglich einer Kongruenzbedingung sind zusammengesetzte Zahlen, die eine verschärfte Form derselben Kongruenzbedingung mit denselben Parametern erfüllen, z. B. statt $a^{n-1}\equiv 1{\pmod {n}}$:
* $a^{d}\equiv 1{\pmod {n}}$ oder
* $a^{d\cdot 2^{r}}\equiv -1{\pmod {n}}$ für ein $0<=r<s$, jeweils mit $n-1=d\cdot 2^{s}$.
Aus der Erfüllung der starken Kongruenzbedingung folgt die Erfüllung der ursprünglichen. Der Parameter $a$ bleibt dabei gleich.

## Ein paar Daten zu den fermatschen Pseudoprimzahlen

Zu jeder Basis $a\geq 2$ gibt es eine kleinste fermatsche Pseudoprimzahl. In der folgenden Tabelle sind die kleinsten Pseudoprimzahlen bis zur Basis 121 aufgeführt:
Die kleinste fermatsche Pseudoprimzahl zur Basis a :
| a | fpsp | a | fpsp | a | fpsp | a | fpsp | a | fpsp | a | fpsp |
| 2: | 341 | 22: | 69 | 42: | 205 | 62: | 91 | 82: | 91 | 102: | 133 |
| 3: | 91 | 23: | 33 | 43: | 77 | 63: | 341 | 83: | 105 | 103: | 133 |
| 4: | 15 | 24: | 115 | 44: | 65 | 64: | 85 | 84: | 415 | 104: | 145 |
| 5: | 124 | 25: | 28 | 45: | 76 | 65: | 112 | 85: | 129 | 105: | 451 |
| 6: | 35 | 26: | 45 | 46: | 133 | 66: | 91 | 86: | 145 | 106: | 133 |
| 7: | 25 | 27: | 65 | 47: | 65 | 67: | 85 | 87: | 91 | 107: | 133 |
| 8: | 21 | 28: | 45 | 48: | 91 | 68: | 91 | 88: | 91 | 108: | 341 |
| 9: | 28 | 29: | 35 | 49: | 66 | 69: | 85 | 89: | 99 | 109: | 117 |
| 10: | 33 | 30: | 49 | 50: | 119 | 70: | 169 | 90: | 623 | 110: | 259 |
| 11: | 15 | 31: | 49 | 51: | 65 | 71: | 105 | 91: | 115 | 111: | 190 |
| 12: | 65 | 32: | 93 | 52: | 85 | 72: | 65 | 92: | 105 | 112: | 121 |
| 13: | 21 | 33: | 85 | 53: | 65 | 73: | 111 | 93: | 301 | 113: | 133 |
| 14: | 39 | 34: | 55 | 54: | 265 | 74: | 91 | 94: | 121 | 114: | 205 |
| 15: | 341 | 35: | 51 | 55: | 63 | 75: | 91 | 95: | 141 | 115: | 133 |
| 16: | 51 | 36: | 91 | 56: | 95 | 76: | 105 | 96: | 133 | 116: | 195 |
| 17: | 45 | 37: | 45 | 57: | 65 | 77: | 247 | 97: | 105 | 117: | 145 |
| 18: | 25 | 38: | 65 | 58: | 133 | 78: | 341 | 98: | 153 | 118: | 121 |
| 19: | 45 | 39: | 95 | 59: | 87 | 79: | 91 | 99: | 145 | 119: | 177 |
| 20: | 57 | 40: | 91 | 60: | 341 | 80: | 169 | 100: | 153 | 120: | 187 |
| 21: | 55 | 41: | 105 | 61: | 91 | 81: | 85 | 101: | 175 | 121: | 133 |
Wenn man nun alle Pseudoprimzahlen aus der Tabelle, unter der Weglassung der doppelten Pseudoprimzahlen auflistet, bekommt man folgende Folge:
Das sind 52 Zahlen. Zum Vergleich: Bis 10 existieren 4 Primzahlen, hier sind es 0 Pseudoprimzahlen; bis 100 sind es 25 Primzahlen, hier sind es 24 Pseudoprimzahlen; bis 1000 sind es 168 Primzahlen, hier sind es 52. Allerdings muß man zugestehen, das noch gar nicht alle Pseudoprimzahlen berücksichtigt werden konnten. Wie aber verhält sich die Verteilung der Pseudoprimzahlen nun wirklich? Gibt es innerhab bestimmter Grenzen mehr Pseudoprimzahlen als Primzahlen, oder verhält es sich umgekehrt?
Dabei muß man Unterscheiden. Meint man die fermatschen Pseudoprimzahlen zu einer bestimmten Basis $a\$, so sind es, in definierten Grenzen, weniger Pseudoprimzahlen als Primzahlen:
| Basis | Fermatsche Pseudoprimzahlen |
| 2 | 341, 561, 645, 949, 1105, 1387, 1729, 1905, 2047, 2465, 2701, 2821, 3277, 4033, 4369, 4371, 4681, 5461, ... |
| 3 | 91, 121, 286, 671, 703, 949, 1105, 1541, 1729, 1891, 2465, 2665, 2701, 2821, 3281, 3367, 3751, ... |
| 4 | 15, 85, 91, 341, 435, 451, 561, 645, 703, 1105, 1247, 1271, 1387, 1581, 1695, 1729, 1891, ... |
| 5 | 124, 217, 561, 781, 1541, 1729, 1891, 2821, 4123, 5611, 5662, 5731, 7449, 7813, 8029, ... |
| 6 | 35, 185, 217, 301, 481, 1105, 1111, 1261, 1333, 1729, 2465, 2701, 2821, ... |
| 7 | 25, 325, 561, 703, 817, 1105, 1825, 2101, 2353, 2465, 3277, 4525, 4825, 6697, ... |
| 8 | 21, 45, 63, 65, 105, 117, 133, 153, 231, 273, 341, 481, 511, 561, 585, 645, 651, 861, 949, 1001, ... |
| 9 | 28, 52, 91, 121, 205, 286, 364, 511, 532, 616, 671, 697, 703, 946, 949, 1036, 1105, 1288, 1387, ... |
| 10 | 33, 91, 99, 259, 451, 481, 561, 657, 703, 909, 1233, 1729, 2409, 2821, 2981, 3333, 3367, ... |
Meint man dagegen die Menge aller fermatschen Pseudoprimzahlen, die zu irgendeiner Basis $a\geq 2$ pseudoprim ist, dann gibt es, in definierten Grenzen mehr Pseudoprimzahlen als Primzahlen:
Der kleine fermatsche Satz besagt, dass $\ a^{p}-a\$ für jede Primzahl$\ p\$und jede natürliche Zahl $a\geq 2\$durch$\ p\$teilbar ist.
Für jede Primzahl $\ p\$ gilt also
* $\ a^{p}\equiv a{\pmod {p}}\$ mit $a>1$
und
| $\ a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}$, wenn $a$ kein Vielfaches von $p$ ist. | (1) |

## Definition

Eine zusammengesetzte Zahl $q\$ ist fermatsche Pseudoprimzahl zur Basis $a$, wenn mit $\operatorname {ggT} (a,q)=1$ und $2\leq a\leq q-2\$ für $a\$ und $q\$ gilt:
* $a^{q-1}\equiv 1{\pmod {q}}$.
* Beispiel:
    $15=3\cdot 5$ ist eine zusammengesetze Zahl
    $4^{15-1}\$$\equiv 1{\pmod {15}}$ $11^{15-1}\$$\equiv 1{\pmod {15}}$

## Anzahl der Basen

Wenn die Primteiler$\ p_{i}\$einer Pseudoprimzahl $n$ bekannt sind, kann die Anzahl der Basen, zu denen sie pseudoprim ist, berechnet werden:
Mit der Faktorisierung
* $n=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{\alpha _{i}}$
ist die Anzahl der Basen $<n$ einschließlich 1 und bei ungeraden Zahlen n-1
* $\prod _{i=1}^{k}\gcd(n-1,p_{i}-1)$.

## Eigenschaften

Abgesehen von den Dreierpotenzen, also 9, 27, 81, 243, 729, ..., sind alle ungeraden zusammengesetzten Zahlen fermatsche Pseudoprimzahlen zu irgendeiner Basis. Bei den geraden zusammengesetzen Zahlen sieht das noch ein wenig anders als. Dort gibt es mehr zusammengesetzte Zahlen, die keine Fermatschen Pseudoprimzahlen sind.

### Zusammenhänge zwischen den Basen

Natürlich gibt es zu einer fermatschen Pseudoprimzahl $q\$ niemals nur eine Basis $a\$, zu der sie pseudoprim ist.
Das lässt sich an einer Pseudoprimzahl, sagen wir beispielsweise mal 21, zeigen:
Die 21 ist pseudoprim zur Basis 8.
* Wenn eine ungerade Zahl $\ q\$ zu einer Basis $\ a\$ mit $\ a<q\$ pseudoprim ist, so ist sie auch zur Basis $\ (q-a)\$ pseudoprim.
    Da 21 pseudoprim zur 8 ist, ist 21 auch pseudoprim zu (21 - 8) = 13.
* Wenn eine Zahl $\ q\$ zu einer Basis $\ a\$ mit $\ a<q\$ pseudoprim ist, so ist sie auch zu jeder Basis $\ a^{n}\$ mit ganzzahligem Exponenten $\ n>1\$ pseudoprim.
    Da 21 pseudoprim zu 8 und 13 ist, ist 21 auch zu $8^{2}=64,\ 13^{2}=169,\ 8^{3}=512,\ 13^{3}=2197,\ ...\$ pseudoprim.
* Wenn eine Zahl $\ q\$ zu einer Basis der Form $\ a^{n}\$ mit $\ n\geq 1\$ pseudoprim ist, so ist sie auch pseudoprim zu $\ a^{n}\operatorname {mod} \ q\$ mit $\ n\geq 1\$
* Wenn eine Zahl $\ q\$ zu den Basen $\ a\$ und $\ b\$ pseudoprim ist, so ist sie auch pseudoprim zu $\ a\cdot b\$: $a^{q-1}\equiv b^{q-1}\equiv 1{\pmod {q}}\quad \Rightarrow \quad a^{q-1}\cdot b^{q-1}=(a\cdot b)^{q-1}\equiv 1{\pmod {q}}$.
    Umgekehrt gilt das nicht: zum Beispiel ist 341 pseudoprim zur Basis 15, aber nicht zu 3 oder 5.

### Teiler

Für alle Primteiler $p$ einer Fermatschen Pseudoprimzahl $n\$gilt
* $n\equiv 1{\pmod {l_{a}(p)}}$ und damit
* $n\equiv p{\pmod {p\cdot l_{a}(p)}}$,
wobei $l_{a}(p)$ die multiplikative Ordnung von $p$ zur Basis $a$ ist.
| Fermatsche Pseudoprimzahlen | Eulersche Pseudoprimzahlen | Starke Pseudoprimzahlen |

## Ein paar Daten zu den fermatschen Pseudoprimzahlen

Zu jeder Basis $a\geq 2$ gibt es eine kleinste fermatsche Pseudoprimzahl. In der folgenden Tabelle sind die kleinsten Pseudoprimzahlen bis zur Basis 121 aufgeführt:
Die kleinste fermatsche Pseudoprimzahl zur Basis a :
| a | fpsp | a | fpsp | a | fpsp | a | fpsp | a | fpsp | a | fpsp |
| 2: | 341 | 22: | 69 | 42: | 205 | 62: | 91 | 82: | 91 | 102: | 133 |
| 3: | 91 | 23: | 33 | 43: | 77 | 63: | 341 | 83: | 105 | 103: | 133 |
| 4: | 15 | 24: | 115 | 44: | 65 | 64: | 85 | 84: | 415 | 104: | 145 |
| 5: | 124 | 25: | 28 | 45: | 76 | 65: | 112 | 85: | 129 | 105: | 451 |
| 6: | 35 | 26: | 45 | 46: | 133 | 66: | 91 | 86: | 145 | 106: | 133 |
| 7: | 25 | 27: | 65 | 47: | 65 | 67: | 85 | 87: | 91 | 107: | 133 |
| 8: | 21 | 28: | 45 | 48: | 91 | 68: | 91 | 88: | 91 | 108: | 341 |
| 9: | 28 | 29: | 35 | 49: | 66 | 69: | 85 | 89: | 99 | 109: | 117 |
| 10: | 33 | 30: | 49 | 50: | 119 | 70: | 169 | 90: | 623 | 110: | 259 |
| 11: | 15 | 31: | 49 | 51: | 65 | 71: | 105 | 91: | 115 | 111: | 190 |
| 12: | 65 | 32: | 93 | 52: | 85 | 72: | 65 | 92: | 105 | 112: | 121 |
| 13: | 21 | 33: | 85 | 53: | 65 | 73: | 111 | 93: | 301 | 113: | 133 |
| 14: | 39 | 34: | 55 | 54: | 265 | 74: | 91 | 94: | 121 | 114: | 205 |
| 15: | 341 | 35: | 51 | 55: | 63 | 75: | 91 | 95: | 141 | 115: | 133 |
| 16: | 51 | 36: | 91 | 56: | 95 | 76: | 105 | 96: | 133 | 116: | 195 |
| 17: | 45 | 37: | 45 | 57: | 65 | 77: | 247 | 97: | 105 | 117: | 145 |
| 18: | 25 | 38: | 65 | 58: | 133 | 78: | 341 | 98: | 153 | 118: | 121 |
| 19: | 45 | 39: | 95 | 59: | 87 | 79: | 91 | 99: | 145 | 119: | 177 |
| 20: | 57 | 40: | 91 | 60: | 341 | 80: | 169 | 100: | 153 | 120: | 187 |
| 21: | 55 | 41: | 105 | 61: | 91 | 81: | 85 | 101: | 175 | 121: | 133 |
Wenn man nun alle Pseudoprimzahlen aus der Tabelle, unter der Weglassung der doppelten Pseudoprimzahlen auflistet, bekommt man folgende Folge:
Das sind 52 Zahlen. Zum Vergleich: Bis 10 existieren 4 Primzahlen, hier sind es 0 Pseudoprimzahlen; bis 100 sind es 25 Primzahlen, hier sind es 24 Pseudoprimzahlen; bis 1000 sind es 168 Primzahlen, hier sind es 52. Allerdings muß man zugestehen, das noch gar nicht alle Pseudoprimzahlen berücksichtigt werden konnten. Wie aber verhält sich die Verteilung der Pseudoprimzahlen nun wirklich? Gibt es innerhab bestimmter Grenzen mehr Pseudoprimzahlen als Primzahlen, oder verhält es sich umgekehrt?
Dabei muß man Unterscheiden. Meint man die fermatschen Pseudoprimzahlen zu einer bestimmten Basis $a\$, so sind es, in definierten Grenzen, weniger Pseudoprimzahlen als Primzahlen:
| Basis | Fermatsche Pseudoprimzahlen |
| 2 | 341, 561, 645, 949, 1105, 1387, 1729, 1905, 2047, 2465, 2701, 2821, 3277, 4033, 4369, 4371, 4681, 5461, ... |
| 3 | 91, 121, 286, 671, 703, 949, 1105, 1541, 1729, 1891, 2465, 2665, 2701, 2821, 3281, 3367, 3751, ... |
| 4 | 15, 85, 91, 341, 435, 451, 561, 645, 703, 1105, 1247, 1271, 1387, 1581, 1695, 1729, 1891, ... |
| 5 | 124, 217, 561, 781, 1541, 1729, 1891, 2821, 4123, 5611, 5662, 5731, 7449, 7813, 8029, ... |
| 6 | 35, 185, 217, 301, 481, 1105, 1111, 1261, 1333, 1729, 2465, 2701, 2821, ... |
| 7 | 25, 325, 561, 703, 817, 1105, 1825, 2101, 2353, 2465, 3277, 4525, 4825, 6697, ... |
| 8 | 21, 45, 63, 65, 105, 117, 133, 153, 231, 273, 341, 481, 511, 561, 585, 645, 651, 861, 949, 1001, ... |
| 9 | 28, 52, 91, 121, 205, 286, 364, 511, 532, 616, 671, 697, 703, 946, 949, 1036, 1105, 1288, 1387, ... |
| 10 | 33, 91, 99, 259, 451, 481, 561, 657, 703, 909, 1233, 1729, 2409, 2821, 2981, 3333, 3367, ... |
Meint man dagegen die Menge aller fermatschen Pseudoprimzahlen, die zu irgendeiner Basis $a\geq 2$ pseudoprim ist, dann gibt es, in definierten Grenzen mehr Pseudoprimzahlen als Primzahlen:

## Quellen

* ↑ Lucas Pseudoprimes
* ↑ The pseudoprimes to 25 * 10^9
Für jede ungerade Primzahl $p$ gilt mit jeder teilerfremden Basis $a$ die Kongruenz
* $a^{\frac {n-1}{2}}\equiv \left({\frac {a}{n}}\right)=\pm 1{\pmod {n}}$.
Dabei bezeichnet $\left({\frac {a}{n}}\right)$ das Jacobi-Symbol.

## Eulersche Pseudoprimzahl

Eine zusammengesetzte Zahl n ist eine eulersche Pseudoprimzahl, wenn es mindestens eine natürliche Zahl $a$ im Bereich $1<a<n-1$ als Basis gibt, mit der entweder
| $a^{\frac {n-1}{2}}\equiv 1{\pmod {n}}$ | (1a) |
oder
| $a^{\frac {n-1}{2}}\equiv -1{\pmod {n}}$ | (1b) |
ist.
Eine solche Zahl nennt man eulersche Pseudoprimzahl zur Basis a, kurz: EPsP(a).

#### Eulersche Pseudoprimzahlen sind auch Fermatsche Pseudoprimzahlen

Es lässt sich ziemlich einfach, nämlich durch Quadrieren, zeigen, dass jede eulersche Pseudoprimzahl auch eine fermatsche Pseudoprimzahl ist. Es sei n eine eulersche Pseudoprimzahl zur Basis a. Es gilt also:
    $a^{\frac {n-1}{2}}\equiv \pm 1{\pmod {n}}.$
Folglich ist:
    $a^{n-1}=\left(a^{\frac {n-1}{2}}\right)^{2}\equiv (\pm 1)^{2}=1{\pmod {n}},$
und deshalb ist n auch eine fermatsche Pseudoprimzahl zur Basis a.
Daraus dass eine eulersche Pseudoprimzahl eine fermatsche Pseudoprimzahl ist, lässt sich nicht der Umkehrschluss ziehen, dass jede fermatsche Pseudoprimzahl auch eine eulersche Pseudoprimzahl ist. Das lässt sich anhand der fermatschen Pseudoprimzahl 15 zeigen:
    $11^{7}\equiv 11{\pmod {15}}$.
Die Zahl 15 ist also keine eulersche Pseudoprimzahl zur Basis 11. Aber
    $11^{14}\equiv 1{\pmod {15}},$
demzufolge ist 15 eine fermatsche Pseudoprimzahl zur Basis 11.

### Euler-Jacobi-Pseudoprimzahl

Eine ungerade zusammengesetzte natürliche Zahl $n$ heißt Euler-Jacobi-Pseudoprimzahl zur Basis a, wenn $n$ und $a$ teilerfremd sind und
| $a^{\frac {n-1}{2}}\equiv \left({\frac {a}{n}}\right){\pmod {n}}$ | (2) |
ist.
Euler-Jacobi-Pseudoprimzahlen werden oft auch "Eulersche Pseudoprimzahlen" genannt.
Da der Wert des Jacobi-Symbols mit teilerfremden Parametern nur 1 oder -1 sein kann, ist jede Euler-Jacobi-Pseudoprimzahl auch eine eulersche Pseudoprimzahl;
* für 1 gilt Kongruenz 1a,
* für -1 gilt 1b.

#### Anzahl der Basen

Wenn die Primteiler$\ p_{i}\$einer zusammengesetzten Zahl $n$ bekannt sind, kann die Anzahl der Basen, zu denen sie Euler-Jacobi-Pseudoprimzahl ist, berechnet werden:
Mit der Faktorisierung
* $n=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{\alpha _{i}}{\text{ und }}\ n-1=d\cdot 2^{s}{\text{ mit }}d{\text{ ungerade }}$
ist die Anzahl der Basen $<n$ einschließlich 1 und n-1
* $\prod _{i=1}^{k}\gcd \left({\frac {n-1}{2}},\ p_{i}^{'}\right)\cdot {\begin{cases}2&{\text{wenn }}\nu =s\\1/2&{\text{wenn }}\exists \ p_{i}{\text{ mit }}\nu _{2}(p_{i})<s{\text{ und }}\alpha _{i}{\text{ ungerade}}\\1&{\text{sonst }}\end{cases}}$
Dabei ist
* $\ s$ der größte Exponent, mit dem $\ 2^{s}|n-1\$gilt,, so dass $\ n-1=d\cdot 2^{s}\$ist,
* $\ p_{i}^{'}$ der größte ungerade Teiler von $\ p_{i}-1$,
* $\ \nu _{2}(p_{i})$ der größte Exponent, mit dem $\ 2^{\nu _{2}(p_{i})}|p_{i}-1\$gilt, so dass $\ p_{i}-1=2^{\nu _{2}(p_{i})}\cdot p_{i}^{'}\$ist und
* $\ \nu$ das Minimum aller $\nu _{2}(p_{i})$.

## Quellen

* ↑ On the number of false witnesses for a composite number, S. 270 (5.4)
| Fermatsche Pseudoprimzahlen | Pseudoprimzahlen | Starke Pseudoprimzahlen |
Jede ungerade Primzahl $n$ erfüllt mit jeder teilerfremden ganzzahligen Basis $a$ eine der Kongruenzen
| $a^{d}\equiv 1{\pmod {n}}\quad$mit $\ n-1=d\cdot 2^{s}\$ und $d\$ ungerade | (1) |
| $a^{d\cdot 2^{r}}\equiv -1{\pmod {n}}\quad$für ein $r$ mit $0\leqq r<s$ | (2) |
. Anmerkung: Kongruenz (2) ist gleichbedeutend mit $a^{d\cdot 2^{r}}\equiv n-1{\pmod {n}}$.

## Definition

Eine ungerade Zahl $n$ ist starke Pseudoprimzahl zur Basis $a$, wenn sie zusammengesetzt ist, und mit einer ganzzahligen Basis $a$, für die $1<a<n-1{\pmod {n}}$ gilt, eine der obengenannten Kongruenzen erfüllt ist. In dieser Hinsicht verhält sie sich wie eine Primzahl.
Die obengenannten Kongruenzen werden im Miller-Rabin-Test genutzt, um zu prüfen ob eine ungerade Zahl (wahrscheinlich) eine Primzahl oder sicher keine ist; dabei kann durch Tests mit mehreren Basen die Wahrscheinlichkeit, dass eine Pseudoprimzahl den Test besteht, reduziert werden.

## Eigenschaften

Im Gegensatz zu den Fermatschen Pseudoprimzahlen gibt es keine starken Pseudoprimzahlen, die zu jeder teilerfremden Basis pseudoprim sind; eine Entsprechung zu den Carmichael-Zahlen gibt es also nicht.
Alle zusammengesetzten Mersennezahlen ($2^{p}-1$ mit $\ p$ = prim) sind starke Pseudoprimzahlen zur Basis 2.
Alle zusammengesetzten Fermatzahlen ($2^{2^{n}}+1$) sind starke Pseudoprimzahlen zur Basis 2.
$(4^{p}+1)/5$ ist starke Pseudoprimzahl zur Basis 2, wenn $p>5$ und eine Primzahl ist.
Die Quadrate der Wieferich-Primzahlen sind starke Pseudoprimzahlen zur Basis 2.

### Bezug zu Eulerschen Pseudoprimzahlen

Jede starke Pseudoprimzahl $n\$ zur Basis $a\$ ist auch eine Eulersche Pseudoprimzahl zur Basis $a\$. Warum? Für eine eulersche Pseudoprimzahl zur Basis $a\$ gilt $a^{\frac {n-1}{2}}\equiv \pm 1{\pmod {n}}$.
$a^{\frac {n-1}{2}}$ lässt sich auch als $a^{d\cdot 2^{s-1}}$ schreiben. Wenn nun $a^{d}\equiv \pm 1{\pmod {n}}$ gilt, gilt auch $(a^{d})^{2^{s-1}}\equiv \pm 1{\pmod {n}}$ und damit auch $a^{\frac {n-1}{2}}=a^{d\cdot 2^{s-1}}\equiv \pm 1{\pmod {n}}$.
Jede eulersche Pseudoprimzahl der Form $\ n=4\cdot k+3\$ ist starke Pseudoprimzahl: in diesem Fall ist $\ d={\frac {n-1}{2}}$ und $\ s=1\$ und damit $\ a^{d}=a^{\frac {n-1}{2}}=a^{d\cdot 2^{r}}$; mit
$\ a^{\frac {n-1}{2}}\equiv \pm 1{\pmod {n}}\$ ist also eine der obengenannten Kongruenzen erfüllt.

### Teiler

Für alle Primteiler $p$ einer starken Pseudoprimzahl $n\$gilt
* $n\equiv 1{\pmod {l_{a}(p)}}$ und damit
* $n\equiv p{\pmod {p\cdot l_{a}(p)}}$,
wobei $l_{a}(p)$ die multiplikative Ordnung von $p$ zur Basis $a$ ist.
Die höchste Zweierpotenz, durch die die multiplikative Ordnung eines Primteilers teilbar ist, ist für alle Teiler einer starken Pseudoprimzahl gleich, d. h. alle multiplikativen Ordnungen der Primteiler derselben starken Pseudoprimzahl sind Produkt einer ungeraden Zahl und derselben Zweierpotenz (einschließlich $2^{0}$).
Starke Pseudoprimzahlen sind weitgehend quadratfrei; nur die Quadrate der Wieferich-Primzahlen zur Basis $a$ sind starke Pseudoprimzahlen zur Basis $a$ und können Teiler einer solchen sein. Mit der Basis 2 sind das die Wieferich-Primzahlen 1093 und 3511 (weitere sind bisher nicht bekannt).
Starke Pseudoprimzahlen lassen sich häufig als Produkte der Form
* $\ q=(2\cdot k\cdot x+1)\cdot (2\cdot m\cdot x+1)\$ mit
* $\quad x\in \mathbb {N}$,
* $\quad \gcd(k,m)=1\$und
* $\quad 0<k\ll q,\ 0<m\ll q\$
ausdrücken. Umgekehrt ist der Anteil starker Pseudoprimzahlen bei solchen Produkten deutlich höher als bei ungeraden Zahlen allgemein.

### Anzahl der Basen

Wenn die Primteiler$\ p_{i}\$einer zusammengesetzten Zahl $n$ bekannt sind, kann die Anzahl der Basen, zu denen sie starke Pseudoprimzahl ist, berechnet werden:
Mit der Faktorisierung
* $n=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{\alpha _{i}}$
ist die Anzahl der Basen $<n$ einschließlich 1 und n-1
* $\left(1+{\frac {2^{k\nu }-1}{2^{k}-1}}\right)\prod _{i=1}^{k}\gcd \left(d,\ p_{i}^{'}\right)$
Dabei ist
* $\ d$ der größte ungerade Teiler von $\ n-1$ (wie oben)
* $\ p_{i}^{'}$ der größte ungerade Teiler von $\ p_{i}-1$,
* $\ \nu _{2}(p_{i})$ der größte Exponent, mit dem $\ 2^{\nu _{2}(p_{i})}|p_{i}-1\$gilt, so dass $\ p_{i}-1=2^{\nu _{2}(p_{i})}\cdot p_{i}^{'}\$ist und
* $\ \nu$ das Minimum aller $\nu _{2}(p_{i})$.
Basen, zu denen eine zusammengesetze Zahl $n\$keine Pseudoprimzahl ist, werden Zeugen für die Zusammengesetztheit der Zahl genannt; solche zu denen sie pseudoprim ist, werden „falsche Zeugen“ genannt. Maximal ein Viertel der teilerfremden Basen zwischen 0 und n sind falsche Zeugen.

### Häufigkeit

Starke Pseudoprimzahlen zu einer festen Basis sind viel seltener als Primzahlen. Folgende Tabelle zeigt die Anzahl starker Pseudoprimzahlen zur Basis 2 im Vergleich zur Anzahl fermatscher Pseudoprimzahlen zur Basis 2 und der Primzahlen bis zur angegebenen Obergrenze.
Anzahl Starker Pseudoprimzahlen zur Basis 2 im Vergleich zu Primzahlen :
| Obergrenze | Primzahlen | Fermatsche Pseudoprimzahlen | Starke Pseudoprimzahlen |
| $10^{9}\$ | 50.847.534 | 5.597 | 1.282 |
| $10^{12}$ | 37.607.912.018 | 101.629 | 22.407 |
| $10^{15}$ | 29.844.570.422.669 | 1.801.533 | 419.489 |
| $10^{18}$ | 24.739.954.287.740.860 | 33.763.684 | 8.646.507 |

#### Restklassen

Starke Pseudoprimzahlen liegen wesentlich häufiger in der Restklasse 1 modulo kleiner Zahlen $(m)$ als in anderen Restklassen. Folgende Tabelle zeigt die Verteilung der starken Pseudoprimzahlen zur Basis 2 bis 10$^{15}$ auf Restklassen modulo m an ein paar Beispielen.
| | Anzahl starker Pseudoprimzahlen zur Basis 2 in Restklasse | Anzahl starker Pseudoprimzahlen zur Basis 2 in Restklasse | Anzahl starker Pseudoprimzahlen zur Basis 2 in Restklasse | Anzahl starker Pseudoprimzahlen zur Basis 2 in Restklasse | Anzahl starker Pseudoprimzahlen zur Basis 2 in Restklasse | Anzahl starker Pseudoprimzahlen zur Basis 2 in Restklasse | Anzahl starker Pseudoprimzahlen zur Basis 2 in Restklasse | Anzahl starker Pseudoprimzahlen zur Basis 2 in Restklasse |
| m | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 3 | 26 | 327193 | 92270 |
| 5 | 1373 | 199879 | 84716 | 74590 | 58931 |
| 7 | 370 | 142844 | 49224 | 62834 | 47482 | 57853 | 58882 |
| 8 | 0 | 207103 | 0 | 44885 | 0 | 122473 | 0 | 45028 |

## Beispiele

Um zu zeigen, wie unterschiedlich starke Pseudoprimzahlen ausfallen können, werden als Beispiele die drei Zahlen 781, 1541 und 25 gezeigt. An der Zahl 781 wird erstmal die Zerlegung gezeigt:
Zerlegung
Gesucht wird das $d\$ zu einer Zahl $n\$ so dass $n=d\cdot 2^{s}+1\$ mit ungeradem $d\$ gilt. Die Formel können wir umstellen:
* $n=d\cdot 2^{s}+1$
* $n-1=d\cdot 2^{s}$
* ${\frac {n-1}{2^{s}}}=d$
Am Beispiel der Zahl 781 sieht das so aus: Die Primfaktorzerlegung von $781-1=2^{2}\cdot 3\cdot 5\cdot 13\$. Wenn man die 2er-Potenzen entfernt, bleibt für $n=781\$ das $d=3\cdot 5\cdot 13=195\$ übrig.
781 zur Basis 5
$n=781\ \ \ d=195\$
$5^{195}\equiv 1{\pmod {781}}$ also ist 781 eine starke Pseudoprimzahl zur Basis 5.
1541 zur Basis 5
$n=1541\ \ \ d=385\$
$5^{385}\equiv 1540{\pmod {1541}}$ also ist 1541 eine starke Pseudoprimzahl zur Basis 5.
25 zur Basis 7
$n=25\ \ \ d=3\$
$7^{3}\equiv 18{\pmod {25}}$
$7^{6}\equiv 24{\pmod {25}}$ also ist 25 eine starke Pseudoprimzahl zur Basis 7.
305 zur Basis 11
Dies ist ein Gegenbeispiel.
$n=305\ \ \ d=19\$
$11^{19}\equiv 111{\pmod {305}}$
$11^{38}\equiv 121{\pmod {305}}$
$11^{76}\equiv 1{\pmod {305}}$
Somit ist 305 keine starke Pseudoprimzahl zur Basis 11.

## Quellen

* ↑ Miller-Rabin-Test
* ↑ Pseudoprimes and Fermat numbers
* ↑ Prime Numbers - A Computational Perspective, Richard Crandall & Carl Pomerance, Springer Verlag, ISBN 0-387-25282-7 http://thales.doa.fmph.uniba.sk/macaj/skola/teoriapoli/primes.pdf
* ↑ The pseudoprimes to 25 * 10^9
* ↑ Glossar
* ↑ Multiplicative order
* ↑ New Implementations for Tabulating Pseudoprimes and Liars.pdf
* ↑ On the number of false witnesses for a composite number, S. 270 (5.4)
* ↑ Primzahlsatz
* ↑ Pseudoprime Statistics, Tables
| Fermatsche Pseudoprimzahlen | Eulersche Pseudoprimzahlen | Starke Pseudoprimzahlen |

## Carmichael-Zahlen

Die Carmichael-Zahl ist eine besondere Form der fermatschen Pseudoprimzahl. In ihren Eigenschaften kommt sie der Primzahl am nächsten. Sowohl für Primzahlen als auch für Carmichael-Zahlen gilt der kleine Fermatsche Satz: Für jede ganze Zahl $a\$ gilt $n|a^{n}-a$. Erst wenn man diesen Satz modifiziert, ergibt sich ein Unterschied zwischen Primzahl und Carmichael-Zahl.
Carmichael-Zahlen haben folgende Eigenschaften:
* Eine Carmichael-Zahl ist quadratfrei.
* Eine Carmichael-Zahl hat mindestens drei Primfaktoren.
* Für jeden Primfaktor $p_{i}$ einer Carmichael-Zahl $c=p_{1}\cdot p_{2}\cdot ...\cdot p_{n}$ gilt $\ p_{i}-1\$ teilt $\ c-1$.
* Für alle Basen $a$, die zu einer Carmichael-Zahl $c\$ teilerfremd sind, ist $a^{c-1}\equiv 1{\pmod {c}}$.

### Quadratfreiheit

Warum muss eine Carmichael-Zahl quadratfrei sein? Angenommen es gibt eine Carmichael-Zahl, die nicht quadratfrei ist. Sie hat der Einfachheit halber die Form $c=p_{1}^{n}\cdot p_{2}$ mit $n\geq 2$. Außerdem sind $p_{1}\$ und $p_{2}\$ Primzahlen. Es gilt also $p_{1}\$ teilt $c$. Mit der Kenntnis der Faktorisierung von $c\$ kann man die Carmichael-Funktion $\lambda (c)$ berechnen:
    $\lambda (c)=\lambda (p_{1}^{n}\cdot p_{2})=\operatorname {kgV} \{\lambda (p_{1}^{n}),\lambda (p_{2})\}=\operatorname {kgV} \{(p_{1}-1)(p_{1}^{n-1}),p_{2}-1\}$
Da $c-1\$ durch $\lambda (c)\$ teilbar ist, ist $c-1\$ auch durch $(p_{1}-1)(p_{1}^{n-1})\$ teilbar, und damit gilt dadurch auch dass $c-1\$ durch $p_{1}\$ teilbar ist. Und das führt zu einem Widerspruch.
Es gilt nämlich $p_{1}\$ teilt $c\$ und $p_{1}\$ teilt $c-1$. Der Widerspruch liegt darin, dass $c\$ und $c-1\$ zueinander teilerfremd sind, also keinen gemeinsamen Teiler besitzen. Also ist es nicht möglich, dass eine Carmichael-Zahl nicht quadratfrei ist.

### mindestens drei Primfaktoren

Jede Carmichael-Zahl besitzt mindestens 3 voneinander verschiedene Primfaktoren.
Beweis: Durch Widerspruch.
Sei $n\$ eine Carmichael-Zahl. Angenommen, $n=p\cdot q$, wobei $p\$ und $q\$ Primfaktoren seien. Zunächst muss wegen der oben gezeigten Quadratfreiheit gelten, dass $p\neq q$. Wir können also annehmen, dass $p<q\$ (man kann die Schlüsse analog mit $p>q\$ ziehen). Nun gilt wegen Eigenschaft (3) $q-1|n-1\$ also $q-1|p\cdot q-1$.
Damit ist ${\frac {p\cdot q-1}{q-1}}=p+{\frac {p-1}{q-1}}\in \mathbb {Z}$. Das bedeutet aber, $(q-1)|(p-1)\$ im Widerspruch zu $p<q$. Also war die Annahme falsch. Carmichael-Zahlen mit nur einem Primfaktor kann es nach Definition nicht geben (denn sie sind keine Primzahlen), und dass es Carmichael-Zahlen mit 3 Primfaktoren gibt, zeigt bereits die allererste: $561=17\cdot 11\cdot 3$. Zusammen genommen ist also gezeigt worden, dass eine Carmichael-Zahl mindestens 3 Primfaktoren hat.

### Satz von Korselt

Der deutsche Mathematiker Alwin Reinhold Korselt hat 1899 ein Theorem über eine bestimmte Art von Pseudoprimzahlen, die später Carmichael-Zahlen genannt wurden, aufgestellt:
   * Es existieren ungerade, quadratfreie natürliche Zahlen $c$, so dass $a^{c}-a$ für alle natürlichen Zahlen $a$ ein Vielfaches von $c$ ist
   * Für alle Primteiler $p$ von $c$ gilt, dass $p-1$ die Zahl $c-1$ teilt.
* Beispiel
    $1105\$ ist das Produkt von $5\$, $13\$ und $17\$. Da $1105\$ eine Carmichael-Zahl ist, gilt nach dem Satz von Korselt:
| ${\frac {1104}{4}}=276$ | $\Rightarrow 4\$ teilt $1104\$ |
| ${\frac {1104}{12}}=92$ | $\Rightarrow 12\$ teilt $1104\$ und |
| ${\frac {1104}{16}}=69$ | $\Rightarrow 16\$ teilt $1104\$. |

### Pseudoprim zu allen zu c teilfremden Basen a

Unter den fermatschen Pseudoprimzahlen ist sie die Königin, denn für sie gilt, mit jeder natürlichen Zahl $a\geq 2$, zu der die Carmichael-Zahl $c\$ teilerfremd ist,
    $a^{c-1}\equiv 1{\pmod {c}}$.
* Beispiel
    Die Zahl $561=3\cdot 11\cdot 17$ ist eine Carmichael-Zahl.
    Die Zahlen $43\$, $49\$ und $65\$ sind teilerfremd zur $561\$, also gelten:
       $43^{560}\equiv 1\mod 561$
       $49^{560}\equiv 1\mod 561$
       $65^{560}\equiv 1\mod 561$
    Die Zahlen $51\$, $55\$ und $57\$ sind nicht teilerfremd zur $561\$, also gelten:
       $51^{560}\not \equiv 1\mod 561$
       $55^{560}\not \equiv 1\mod 561$
       $57^{560}\not \equiv 1\mod 561$

### Carmichael-Zahlen generieren

Es gibt zwei Wege, an Carmichael-Zahlen zu kommen. Der eine ist, sich zufällig natürliche Zahlen zu erzeugen, um dann auf $a^{c-1}\equiv 1{\pmod {c}}$ und $\operatorname {ggT} (a,c)=1$ für alle $2\leq a\leq c-2$ zu testen. Die Wahrscheinlichkeit, auf diese Weise Carmichael-Zahlen zu finden ist sehr gering. Will man allerdings Carmichael-Zahlen vermeiden, so ist dieser Weg vorzuziehen. Der andere Weg ist, konsequent das Produkt aus mindestens drei, zueinander teilerfremden Primzahlen zu bilden, um die so erzeugten Zahlen auf das Korselt-Kriterium zu prüfen.
Nicht jedes quadratfreie Produkt aus Primzahlen kann eine Carmichael-Zahl sein. Ansonsten gäbe es jede Menge Carmichael-Zahlen. Aber kann man bestimmte Primzahlkombinationen schon vorher ausschließen? Man kann! Es gilt nämlich, dass zwei natürliche Zahlen $n\$ und $n-1\$ zueinander teilerfremd sind. Das bedeutet, dass $n\$ und $n-1\$ keine gemeinsamen Teiler besitzen.
Es ist also wichtig, dass bei der generierten Zahl $n=p_{1}\cdot p_{2}\cdot p_{3}\cdot ...p_{n}$ alle $p_{i}\$ zu allen $p_{j}-1\$ teilerfremd sind. Das ist nicht selbstverständlich, wie das folgende Beispiel zeigt:
    $5\cdot 11\cdot 23\cdot 47=59455$
Wichtig an dem Beispiel ist, dass (11-1) durch 5 teilbar ist, (23-1) durch 11 und (47-1) durch 23. Ein solches Produkt kann keine Carmichael-Zahl sein.
Wenn also die Primzahl $p_{i}\$ Teiler einer Carmichael-Zahl sein soll, so sind alle Primzahlen der Form $m\cdot p_{i}+1$ als Teiler der Carmichael-Zahl ausgeschlossen.
| $p_{i}$ | $m\cdot p_{i}+1$ | $m\cdot p_{i}+1$ | $m\cdot p_{i}+1$ | $m\cdot p_{i}+1$ | $m\cdot p_{i}+1$ | $m\cdot p_{i}+1$ | $m\cdot p_{i}+1$ | $m\cdot p_{i}+1$ | $m\cdot p_{i}+1$ | $m\cdot p_{i}+1$ | $m\cdot p_{i}+1$ |
| 3 | 7 | 13 | 19 | 31 | 37 | 43 | 61 | 67 | 73 | 79 | ... |
| 5 | 11 | 31 | 41 | 61 | 71 | 101 | ... |
| 7 | 29 | 43 | 71 | ... |

### Carmichael-Zahlen nach Chernick

Wenn man sich auf eine spezielle Form der Carmichael-Zahlen beschränken will, dann gibt es noch die Carmichael-Zahlen nach Chernick. Diese haben die allgemeine Form:
    $M_{k}(m)=(6m+1)(12m+1)\prod _{i=1}^{k-2}(9\cdot 2^{i}m+1)$
wobei alle Faktoren Primzahlen sind, und für k > 4 die Zahl $m\$ durch $2^{k-4}\$ teilbar sein muss.
Für $M_{k}(3)\$ lautet die Formel $(6m+1)\cdot (12m+1)\cdot (18m+1)\$, die äquivalent zu der Formel $p\cdot (2p-1)\cdot (3p-2)\$ für $p>3\$ist.
Für $M_{k}(4)\$ lautet die Formel $(6m+1)\cdot (12m+1)\cdot (18m+1)\cdot (36m+1)\$.

#### Beweis der Äquivalenz

Warum sind die beiden Konstruktionsvorschriften:
* Eine Zahl $M_{3}(m)=(6m+1)(12m+1)(18m+1)$ ist dann eine Carmichael-Zahl,
* wenn alle 3 Faktoren $(6m+1)$, $(12m+1)$ und $(18m+1)$ Primzahlen sind.
und
* Sei p > 3 eine Primzahl derart, dass auch 2p-1 und 3p-2 Primzahlen sind,
* dann ist n = p(2p-1)(3p-2) eine Carmichael-Zahl
zueinander äquivalent? Es wäre doch möglich, das eine Primzahl $p\$, die nicht der Form $6m+1\$ entspricht, existiert, so daß $2p-1\$ und $3p-2\$ auch Primzahlen sind. Nun, so eine Primzahl existiert nicht.
Es gibt nur zwei Arten von Primzahlen $p\$ mit $p>3\$, nämlich Primzahlen der Form $6m+1\$ und Primzahlen der Form $6m-1\$. Wenn man $p\$ durch $6m-1\$ ersetzt, bekommt man statt $2p-1\$ den Ausdruck $2(6m-1)-1\$. Ausmultipliziert und zusammengefaßt macht das $12m-3\$. Dieser Ausdruck ist also stets durch drei teilbar. Nur mit einer Primzahl der Form $6m+1\$ kann man mit der Formel $p\cdot (2p-1)\cdot (3p-2)\$ für $p>3\$ eine Carmichael-Zahl bekommen.

## Absolute eulersche Pseudoprimzahlen

Eine absolute eulersche Pseudoprimzahl ist eine Carmichael-Zahl, die zu jeder, zu ihr teilerfremden, Basis $a$ euler-pseudoprim ist.
Für jeden Primteiler $p_{i}\$ einer absoluten Eulerschen Pseudoprimzahl $n\$ gilt:
    $p_{i}-1\$ teilt ${\frac {n-1}{2}}\$.
Die ersten absoluten Eulerschen Pseudoprimzahlen sind 1729, 2465, 15841, 41041, 46657, 75361.
Es gibt keine absoluten Euler-Jacobi-Pseudoprimzahlen.

## Häufigkeit und Überschneidung mit Lucas-Pseudoprimzahlen

Anzahl der Carmichael-Zahlen und Überschneidung mit starken und Lucas-Pseudoprimzahlen :
| | | | | gleichzeitig Carmichael- & | gleichzeitig Carmichael- & | gleichzeitig Carmichael- & |
| Obergrenze x | Carmichael | f(x)$^{(I)}$ | abs epsp | sPsp(2) | lpsp | Lucas3(7,*) |
| 10$^3$ | 1 | 0.014 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 10$^4$ | 7 | 0.072 | 2 | 0 | 0 | 0 |
| 10$^5$ | 16 | 0.054 | 6 | 3 | 0 | 0 |
| 10$^6$ | 43 | 0.047 | 16 | 5 | 0 | 0 |
| 10$^7$ | 105 | 0.050 | 45 | 11 | 0 | 0 |
| 10$^8$ | 255 | 0.042 | 124 | 19 | 0 | 0 |
| 10$^9$ | 646 | 0.036 | 306 | 43 | 0 | 0 |
| 10$^{10}$ | 1547 | 0.031 | 740 | 87 | 0 | 0 |
| 10$^{11}$ | 3605 | 0.024 | 1736 | 171 | 0 | 0 |
| 10$^{12}$ | 8241 | 0.019 | 4011 | 316 | 0 | 0 |
| 10$^{13}$ | 19279 | 0.015 | 9362 | 621 | 0 | 0 |
| 10$^{14}$ | 44706 | 0.012 | 21974 | 1153 | 0 | 0 |
| 10$^{15}$ | 105212 | 0.009 | 52221 | 2234 | 0 | 0 |
| 10$^{16}$ | 246683 | 0.007 | 122608 | 4185 | 0 | 0 |
$^{(I)}$Mittlerer Anteil falscher Zeugen beim Miller-Rabin-Test.

## Quellen

* ↑ http://www.s369624816.websitehome.co.uk/rgep/cartable.html Tables of Carmichael numbers
| Fermatsche Pseudoprimzahlen | Eulersche Pseudoprimzahlen |
Eine Pseudoprimzahl $q\$, die zu irgendeiner natürlichen Zahl $a\$ pseudoprim im Sinne des kleinen fermatschen Satz ist, zu konstruieren, ist recht einfach. Man nehme zwei beliebige Primzahlen $\ p_{i}\$ mit $\ p_{i}\geq 3$, und multipliziere sie miteinander. Das Produkt wird dann schon zu mindestens einer natürlichen Zahl $a\$ pseudoprim sein. Aber zu welcher Zahl $a$?
$a\$ und $\ q\$ müssen zueinander teilerfremd sein
Damit eine zusammengesetzte Zahl $\ q\$ zu einer natürlichen Zahl $a\$ pseudoprim sein kann, muss immerhin sichergestellt sein, dass $a\$ und $q\$ zueinander teilerfremd sind. Zu jeder solchen Fermatschen Pseudoprimzahl der Form $q=p_{1}\cdot p_{2}\$ lassen sich zwei Basen $a\$ finden, und zwar durch folgende Vorgehensweise:
    Man ermittelt die Vielfachen von $p_{1}\$ und $p_{2}\$:
    $p_{1},\ 2\cdot p_{1},\ 3\cdot p_{1},\ 4\cdot p_{1},\ 5\cdot p_{1},...$
    und
    $p_{2},\ 2\cdot p_{2},\ 3\cdot p_{2},\ 4\cdot p_{2},\ 5\cdot p_{2},...$
Dann sucht man jeweils ein Vielfaches $m\cdot p_{1}$ und $n\cdot p_{2}$ heraus, für die $|m\cdot p_{1}-n\cdot p_{2}|=2$ gilt. Die zwischen $m\cdot p_{1}$ und $n\cdot p_{2}$ liegende Zahl ist eine Basis, zu der die Zahl $q=p_{1}\cdot p_{2}$ pseudoprim ist (im Sinne des kleinen fermatschen Satzes), und sie ist teilerfremd zu $p_{1},\ p_{2},\ m$ und $n\$. Es gibt zu jeder Zahl $q=p_{1}\cdot p_{2}$ genau zwei Basen $a$, die sich auf diese Weise finden lassen und kleiner als $q\$ sind. Die Summe dieser beiden Basen $\ a_{1}\$ und $\ a_{2}\$ ist $\ q$. Alle Basen $a\$, die größer als $q\$ sind und sich nach dem beschriebenen Algorithmus konstruieren lassen, haben entweder die Form $a=a_{1}+m\cdot q$ oder $a=a_{2}+m\cdot q$.
Das Produkt $(a-1)(a+1)=(a^{2}-1)\$ist immer pseudoprim zur Basis $a$, wenn $a=2k>3$ ist, auch wenn $a+1$ oder $a-1$ zusammengesetzt ist.
Beweis: ${\begin{aligned}a^{(a+1)(a-1)-1}&=a^{a^{2}-2}\\&=a^{(2k)^{2}-2}\\&=(a^{2})^{2k^{2}-1}\\&=((a^{2}-1)+1)^{2k^{2}-1}\\&\equiv 1^{2k^{2}-1}\equiv 1{\pmod {(a^{2}-1)}}\equiv 1{\pmod {((a+1)(a-1))}}\end{aligned}}$

### Beispiel

$391=17\cdot 23$
Die Vielfachen von $17\$ sind: $17,\ 34,\ 51,\ 68,\ 85,\ 102,\ 119,\ 136,\ 153,\ 170,\ 187,\ 204,\ 221,\ 238,\ 255,\ 272,\ ...$
Die Vielfachen von $23\$ sind: $23,\ 46,\ 69,\ 92,\ 115,\ 138,\ 161,\ 184,\ 207,\ 230,\ 253,\ 276,\ ...$
Von diesen Vielfachen haben $136\$ und $138\$ beziehungsweise $253\$ und $255\$ eine Differenz von $2\$. Die zwischen $136\$ und $138\$ liegende Zahl $137\$ und die zwischen $253\$ und $255\$ liegende Zahl $254\$ sind Basen zu denen die Zahl $391\$ pseudoprim ist.
Die Summe von $137\$ und $254\$ ist $391\$.
Mit folgendem Verfahren hat der Mathematiker Lehmer gezeigt, dass unendlich viele fermatsche Pseudoprimzahlen existieren müssen:
    Man nimmt eine natürliche Zahl $k$, die größer oder gleich 5 ist. Mit dieser Zahl $k\$ bildet man die beiden Zahlen $2^{k}-1\$ und $2^{k}+1$. Von diesen beiden Zahlen nimmt man jeweils einen Primfaktor. Also je eine Primzahl $p\$ und $q$, so dass gilt: $p\$ teilt $2^{k}-1\$ und $q\$ teilt $2^{k}+1$. Das Produkt $p\cdot q$ ist dann eine fermatsche Pseudoprimzahl zur Basis $2^{k}$.

## Beispiel

Man nimmt $k=6$: $2^{k}\pm 1$ ist dann $2^{6}-1=63=3^{2}\cdot 7$ und $2^{6}+1=65=5\cdot 13$. Wenn man jetzt $p=7\$ und $q=5\$ wählt, bekommt man mit $5\cdot 7$ die Zahl 35, eine fermatsche Pseudoprimzahl zur Basis 64.
| k | 2$^k$-1 | 2$^k$+1 | Pseudoprimzahlen nach Lehmer |
| 5 | 31 | 3·11 | 93, 341 |
| 6 | 3$^2$·7 | 5·13 | 15, 35, 39, 91 |
| 7 | 127 | 3·43 | 381, 5461 |
| 8 | 3·5·17 | 257 | 771, 1285, 4369 |
| 9 | 7·73 | 3$^3$·19 | 21, 133, 219, 1387 |
| 10 | 3·11·31 | 5$^2$·41 | 15, 55, 123, 155, 451, 1221 |
| 11 | 23·89 | 3·683 | 69, 267, 15709, 60787 |
| 12 | 3$^2$·5·7·13 | 17·241 | 51, 85, 119, 221, 723, 1205, 1687, 3133 |
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## Fermatsche Pseudoprimzahlen zur Basis a nach Michele Cipolla

Michele Cipolla hat 1904 ein Verfahren zum Erzeugen beliebiger fermatscher Pseudoprimzahlen zu einer beliebigen, natürlichen Basis $a\geq 2\$ gefunden. Dazu benötigt man eine Primzahl, die $a(a^{2}-1)\$ nicht teilt. Warum, das wird weiter unten erklärt.
Mit der Basis $a\$ und der Primzahl $p\$ werden zwei Zahlen $n_{1}\$ und $n_{2}\$ erzeugt:
    $n_{1}={\frac {a^{p}-1}{a-1}},\ \ n_{2}={\frac {a^{p}+1}{a+1}}$
Das Produkt $n=n_{1}\cdot n_{2}\$ ist eine fermatsche Pseudoprimzahl zur Basis $a\$

### Erklärung

Die Bedingung, dass $p\$ teilerfremd zu $a(a^{2}-1)\$ sein soll, kann auch so formuliert werden: $p\$ soll eine Primzahl sein, die $(a-1)\cdot a\cdot (a+1)\$ nicht teilt, da nach der dritten binomischen Formel $(a^{2}-1)=(a-1)\cdot (a+1)\$ ist. Damit ist sichergestellt, dass $p\$ zu $a$, $(a-1)\$ und $(a+1)\$ teilerfremd ist.
${\frac {a^{p}-1}{a-1}}$ und ${\frac {a^{p}+1}{a+1}}$ sind beides Partialsummen geometrischer Reihen, nämlich:
    ${\frac {a^{p}-1}{a-1}}=a^{p-1}+a^{p-2}+...+a^{2}+a+1$ und
    ${\frac {a^{p}+1}{a+1}}=(-a)^{p-1}+(-a)^{p-2}+...+(-a)^{2}+(-a)+1$
Aus $n_{1}\equiv 1\mod 2p$ und $n_{2}\equiv 1\mod 2p$
    folgt, dass auch $n\equiv 1\mod 2p$ ist.
Aus $a^{2p}\equiv 1\mod n$
    folgt, dass $a^{n-1}\equiv 1\mod n$ ist,
so dass n eine Pseudoprimzahl zur Basis a sein muss. Da es unendlich viele Primzahlen gibt, muss es demnach auch unendlich viele Pseudoprimzahlen zu jeder Basis a geben.

### Liste fermatscher Pseudoprimzahlen zur Basis a nach Michele Cipolla

| a | p | n$_1$ | n$_2$ | n=n$_1$•n$_2$ | Faktoren |
| 2 | 5 | 31 | 11 | 341 | 11•31 |
| 2 | 7 | 127 | 43 | 5461 | 43•127 |
| 3 | 5 | 121 | 61 | 7381 | 11•11•61 |
| 3 | 7 | 1093 | 547 | 597871 | 547•1093 |
| 2 | 11 | 2047 | 683 | 1398101 | 23•89•683 |
| 7 | 5 | 2801 | 2101 | 5884901 | 11•191•2801 |
| 2 | 13 | 8191 | 2731 | 22369621 | 2731•8191 |
| 5 | 7 | 19531 | 13021 | 254313151 | 29•449•19531 |
| 13 | 5 | 30941 | 26521 | 809977861 | 11•2411•30941 |
| 3 | 11 | 88573 | 44287 | 3922632451 | 23•67•661•3851 |
| 2 | 17 | 131071 | 43691 | 5726623061 | 43691•131071 |
| 17 | 5 | 88741 | 78881 | 6999978821 | 11•71•101•88741 |
| 2 | 19 | 524287 | 174763 | 91625968981 | 174763•524287 |
| 3 | 13 | 797161 | 398581 | 317733228541 | 398581•797161 |
| 11 | 7 | 1948717 | 1623931 | 3164581946527 | 43•45319•1623931 |
| 2 | 23 | 8388608 | 2796203 | 23456248059221 | 47•178481•2796203 |
Die Zeisel-Zahl ist eine nach dem Mathematiker Helmut Zeisel benannte Zahl, die das Produkt wenigstens dreier Primzahlen ist, die einer bestimmten linearen Rekursion genügen. Eine besondere Bedeutung in der Mathematik haben sie nicht. Auf Grund gewisser Ähnlichkeiten mit den Carmichael-Zahlen sind sie hier aufgeführt.

## Definition

    p$_0$ = 1
    p$_n$ = a·p$_{n-1}$ + b
Dabei muss jedes p$_n$ mit $n\geq 1$ eine Primzahl ergeben, und sowohl a als auch b sind für alle p$_n$ konstant. Die Zeisel-Zahl z ist dann das Produkt $p_{1}\cdot p_{2}\cdot ...\cdot p_{n}$.

### Beispiel an der Zeisel-Zahl 1885

In diesem Beispiel ist a = 2 und b = 3.

## Zusammenhang zwischen den Zeisel-Zahlen und den Carmichael-Zahlen nach J.Chernick

Die Bildungsregel der Carmichael-Zahlen nach J. Chernick lautet (6n+1)*(12n+1)*(18n+1). Diese Bildungsregel ist identisch mit der Bildungsregel für Zeisel-Zahlen mit einem a=1 und b=6n. Demzufolge sind alle Carmichael-Zahlen nach Chernick, die ein Produkt aus drei Primzahlen bilden, auch Zeisel-Zahlen.

## Eine Liste von Zeisel-Zahlen

Die Carmichael-Zahlen sind fett geschrieben.
| a | b | z$_n$ | |
| 1 | 2 | 105 | 3*5*7 |
| 4 | -1 | 1419 | 3*11*43 |
| 1 | 6 | 1729 | 7*13*19 |
| 2 | 3 | 1885 | 5*13*29 |
| 3 | 2 | 4505 | 5*17*53 |
| 2 | 5 | 5719 | 7*19*43 |
| 10 | -7 | 15387 | 3*23*223 |
| 2 | 9 | 24211 | 11*31*71 |
| 6 | -1 | 25085 | 5*29*173 |
| 4 | 3 | 27559 | 7*31*127 |
| 13 | -10 | 31929 | 3*29*367 |
| 8 | -3 | 54205 | 5*37*293 |
| 3 | 8 | 59081 | 11*41*131 |
| 2 | 3 | 114985 | 5*13*29*61 |
| 25 | -22 | 207177 | 3*53*1303 |
| 5 | 6 | 208681 | 11*61*311 |
| 9 | -2 | 233569 | 7*61*547 |
| 28 | -25 | 287979 | 3*59*1627 |
| 1 | 36 | 294409 | 37*73*109 |
| 6 | 5 | 336611 | 11*71*431 |
| 5 | 8 | 353977 | 13*73*373 |
| 17 | -12 | 448585 | 5*73*1229 |
| a | b | z$_n$ | |
| 34 | -31 | 507579 | 3*71*2383 |
| 15 | -8 | 982513 | 7*97*1447 |
| 9 | 2 | 1012121 | 11*101*911 |
| 23 | -18 | 1073305 | 5*97*2213 |
| 8 | 5 | 1242709 | 13*109*877 |
| 49 | -46 | 1485609 | 3*101*4903 |
| 55 | -52 | 2089257 | 3*113*6163 |
| 12 | -1 | 2263811 | 11*131*1571 |
| 4 | 27 | 2953711 | 31*151*631 |
| 33 | -28 | 3077705 | 5*137*4493 |
| 14 | -3 | 3506371 | 11*151*2111 |
| 2 | 9 | 3655861 | 11*31*71*151 |
| 36 | -31 | 3973085 | 5*149*5333 |
| 2 | 59 | 4648261 | 61*181*421 |
| 4 | 33 | 5069629 | 37*181*757 |
| 2 | 65 | 6173179 | 67*199*463 |
| 42 | -37 | 6253085 | 5*173*7229 |
| 11 | 6 | 6985249 | 17*193*2129 |
| 8 | 15 | 7355239 | 23*199*1607 |
| 2 | 69 | 7355671 | 71*211*491 |
| 10 | 9 | 7558219 | 19*199*1999 |
| 4 | 39 | 8011459 | 43*211*883 |
| a | b | z$_n$ | |
| 88 | -85 | 8413179 | 3*179*15667 |
| 6 | 25 | 8444431 | 31*211*1291 |
| 47 | -42 | 8712985 | 5*193*9029 |
| 48 | -43 | 9271805 | 5*197*9413 |
| 20 | -9 | 9773731 | 11*211*4211 |
| 57 | -52 | 15411785 | 5*233*13229 |
| 3 | 68 | 18175361 | 71*281*911 |
| 5 | 42 | 18578113 | 47*277*1427 |
| 6 | 35 | 19827641 | 41*281*1721 |
| 9 | 20 | 20771801 | 29*281*2549 |
| 3 | 8 | 23691481 | 11*41*131*401 |
| 68 | -63 | 26000605 | 5*277*18773 |
| 5 | 48 | 26758057 | 53*313*1613 |
| 10 | 21 | 34179391 | 31*331*3331 |
| 14 | 9 | 35347159 | 23*331*4643 |
| 77 | -72 | 37605385 | 5*313*24029 |
| 20 | -3 | 38596273 | 17*337*6737 |
| 2 | 125 | 42501439 | 127*379*883 |
| 15 | 8 | 43055057 | 23*353*5303 |
| 83 | -78 | 46999705 | 5*337*27893 |
| 8 | 35 | 49982899 | 43*379*3067 |
| 3 | 98 | 52691801 | 101*401*1301 |
| a | b | z$_n$ | |
| 2 | 135 | 53399449 | 137*409*953 |
| 30 | -17 | 54177877 | 13*373*11173 |
| 3 | 100 | 55902529 | 103*409*1327 |
| 1 | 210 | 56052361 | 211*421*631 |
| 9 | 34 | 69207769 | 43*421*3823 |
| 65 | -58 | 71550913 | 7*397*25747 |
| 18 | 5 | 72730439 | 23*419*7547 |
| 11 | 26 | 76724569 | 37*433*4789 |
| 10 | 33 | 92835667 | 43*463*4663 |
| 2 | 165 | 96916279 | 167*499*1163 |
| 6 | 65 | 104966471 | 71*491*3011 |
| 1 | 270 | 118901521 | 271*541*811 |
| 8 | -1 | 126893905 | 5*37*293*2341 |
| 4 | 105 | 133800661 | 109*541*2269 |
| 29 | -10 | 161164441 | 19*541*15679 |
| 1 | 306 | 172947529 | 307*613*919 |
| 3 | 148 | 177055201 | 151*601*1951 |
| 15 | 22 | 185245273 | 37*577*8677 |
| 5 | 98 | 199708657 | 103*613*3163 |
| 4 | 123 | 212122639 | 127*631*2647 |
| 1 | 330 | 216821881 | 331*661*991 |
| 16 | 21 | 222931549 | 37*613*9829 |

## Geschichte

Der Name "Zeisel-Zahl" wurde vermutlich von Kevin Brown eingeführt, der Zahlen $k$ suchte, für die der Ausdruck $2^{k-1}+k$ eine Primzahl ergibt. In einem Posting in die Usenet-Newsgroup sci.math vom 24. Februar 1994 lieferte Helmut Zeisel die Zahl 1885 als eine weitere Lösung. Später wurde (durch Kevin Brown?) entdeckt, dass die Primfaktoren von 1885 die oben beschriebenene Eigenschaft haben. Ein Name der Art Brown-Zeisel-Zahlen wäre daher passender.

## Verallgemeinerung

Man muss sich bei der Bildung der Zeisel-Zahl nicht auf $p_{0}=1$ beschränken. Auch davon abweichende Werte sind möglich.

### Beispiele

* $p_{0}=4,\ a=2,\ b=5$
* $p_{0}=-1,\ a=8,\ b=27$
* $p_{0}=13,\ a=10,\ b=9$

## Weblinks

* Sloane Sequence A051015
* Zeisel Number from MathWorld (englisch)
* MathPages - Zeisel Numbers (englisch)
$_{Quelle:DieZeisel-ZahlensindausdemArtikelZeisel-Zahlderdeutsprachigende.wikipedia.orgentnommen.}$

## Carmichael-Zahlen

Ein Programm, das eine Liste von Carmichael-Zahlen ausgibt, ist geradezu trivial. Dass dem so ist, verdanken wir dem Kriterium von Korselt. Dieses Theorem besagt, dass eine Carmichel-Zahl $c\$eine quadratfreie, aus mindestens drei Primfaktoren bestehende, natürliche Zahl der Form $c=p_{1}\cdot p_{2}\cdot ...\cdot p_{n}\$ ist, so dass für jedes $p_{i}\$ gilt, dass $p_{i}-1\$ die Zahl $c-1\$ teilt. Daraus folgt, dass man sich um den kleinen Fermatschen Satz $a^{n-1}\equiv 1{\pmod {n}}$ nicht im geringsten zu kümmern braucht. Neben Korselts Kriterium gibt es auch noch Formeln zum Erzeugen spezieller Carmichael-Zahlen. Auch bei diesen Beispielen braucht man sich um den kleinen Fermatschen Satz nicht zu kümmern.

### zweiter Ansatz

Das folgende Programm benutzt drei ineinander verschachtelte Schleifen, durch die sichergestellt wird, dass drei zueinander teilerfremde Primzahlen ausgewählt werden. Aus diesen drei Primzahlen wird ein Produkt gebildet, das die zu testende Zahl darstellt. An dieser Zahl wird nun Korselts Kriterium getestet, was einfach ist, da dem Programm die Primteiler der zu testenden Zahl bekannt sind. Ist Korselt Kriterium erfüllt, dann handelt es sich bei der Zahl um eine Carmichael-Zahl, und die Zahl wird, samt Primzahlfaktoren als Carmichael-Zahl ausgegeben.
Details: Die Variable p.0 enthält die Anzahl der unterschiedlichen Primzahlen. In p.1 bis p.(p.0) sind die einzelnen Primzahlen abgelegt.
Das Programm kann man modifizieren, indem man die Anzahl der Primzahlen erhöht. Für Carmichael-Zahlen mit mehr als drei Primfaktoren muss man die Anzahl der Schleifen erhöhen, und die Prüfroutinen erweitern.

### Carmichael-Zahlen nach Chernick

Die Carmichel-Zahlen nach Chernick sind nur ein kleiner Ausschnitt aus den Carmichael-Zahlen. Sie lassen sich durch folgende Formel generieren: $M_{3}(n)=(6n+1)\cdot (12n+1)\cdot (18n+1)\$. Es gibt dabei allerdings eine Einschränkung:
* Jeder der drei Faktoren $(6n+1)\$, $(12n+1)\$ und $(18n+1)\$ muss eine Primzahl sein. Halt, hier gibt es eine Ausnahme: Wenn ein einziger der drei Faktoren selbst eine Carmichael-Zahl ist, so ist $M_{3}(n)\$ trotzdem eine Carmichael-Zahl.
Da alle Carmichael-Zahlen quadratfrei sind, ist dann auch jeder der drei Faktoren $(6n+1)$, $(12n+1)\$ und $(18n+1)\$ quadratfrei - auch wenn einer davon eine Carmichael-Zahl ist. Da die drei Faktoren paarweise teilerfremd sind, ist auch der Ausdruck $M_{3}(n)=(6n+1)\cdot (12n+1)\cdot (18n+1)\$quadratfrei.
Alle gültigen $n\$ für Carmichael-Zahlen nach Chernick enden im Dezimalsystem mit einer 0, einer 1 einer 5 oder einer 6.
Das Programm lässt sich entsprechend der Formeln für Carmichael-Zahlen nach Chernick, mit mehr als drei Primzahlfaktoren, nach der entsprechenden Formel erweitern.

## Absolute Eulersche Pseudoprimzahlen

Das Programm, mit dem oben Carmichael-Zahlen erzeugt werden, kann man mit einer kleinen Modifikation dazu bringen, absolute eulersche Pseudoprimzahlen zu erzeugen:
    statt
Das hierbei alle absoluten eulerschen Pseudoprimzahlen ausgegeben werden, ist eine andere Frage. Aber die Zahlen, die ausgegeben werden, sind absolute Eulersche Pseudoprimzahlen.

## Modulare Arithmetik

Da man es bei der Berechnung von fermatschen Pseudoprimzahlen häufig mit großen Potenzen großer Zahlen zu tun bekommt, hat man ein kleines Problem. Zum Beispiel für den Nachweis, dass 341 eine fermatsche Pseudoprimzahl zur Basis 2 ist, muss man die Zahl $2^{340}\$ berechnen. Diese Zahl heißt ausgeschrieben:
    2239744742177804210557442280568444278121645497234649534899989100963791871180160945380877493271607115776
Das ist für ein Programm wie MuPad wahrscheinlich kein Problem, für die meisten herkömmlichen Programmiersprachen aber sehr wohl. Durch eine Kombination von Multiplikation und Modulo kann man aber auch wesentlich größere Potenzen kleinhalten. Da bei Rechenoperationen Modulo $n$ nur Zahlen bis $\ n-1\$ auftreten, ist das Ergebnis einer Multiplikation vor der Modulooperation immer kleiner als $n^{2}$.
Beispiel: $5^{6}=15625$. Letztendlich interessiert uns ja aber nicht $5^{6}=15625\$, sondern vielmehr $5^{6}\operatorname {mod} n$ mit sagen wir mal $n=7$. Das ist $5^{6}\operatorname {mod} 7=1\$. Nun lässt sich $5^{6}\operatorname {mod} 7\$ auch so berechnen:
    $(((((((((5*5)\operatorname {mod} 7)*5)\operatorname {mod} 7)*5)\operatorname {mod} 7)*5)\operatorname {mod} 7)*5)\operatorname {mod} 7$
Dabei wird der Wert 7 niemals überschritten.

## Binäres Potenzieren

Für Primzahltests nach dem kleinen fermatsche Satz müssen große Potenzen berechnet werden; dabei wäre es extrem zeitaufwendig, x$^k$ durch k - 1 Multiplikationen zu berechnen. Ein effiziente Berechnung ist durch binäre Exponentiation möglich:
Gegeben seien die Basis x und der Exponent k.
Berechnungsschritte: :
| setze P = 1 (Produkt) und b = x |||
| wiederhole folgende Schritte solange k > 0 ist: |||
| | wenn k ungerade ist, multipliziere P mit b → P und vermindere k um 1 → k | P = P * b k = k - 1 |
| | quadriere b → b | b = b * b |
| | halbiere k → k | k = k / 2 |
| Ergebnis: P = x$^k$, wenn k = 0 ist |||
Bei Berechnung Modulo $n$ wird das Ergebnis jeder Multiplikation mod $n$ reduziert, wie im vorherigen Absatz beschrieben.
Insgesamt sind mit dieser Methode nur maximal 2 Multiplikationen pro Bit des Exponenten notwendig, also $2\cdot \lceil log_{2}k\rceil$.

## Liste zusammengesetzter Zahlen

Um Primzahltests zu prüfen bzw. Pseudoprimzahlen zu finden, wäre eine Funktion, die eine Liste (ungerader) zusammengesetzter Zahlen erstellt, nützlich. Sie spart zum einen die Überprüfung aller Zahlen, die den Test bestehen, mit einem im untersuchten Zahlenbereich sicheren Primzahltest, um Pseudoprimzahlen von Primzahlen zu unterscheiden, und zum anderen werden Primzahlen von vornherein nicht getestet.
Mit einem Algorithmus, der wie das Sieb des Eratosthenes funktioniert, lässt sich ein solches Hilfmittel realisieren:
* Erstelle eine leere Menge für das Ergebnis
* Für alle ungeraden n von 3 bis Obergrenze:
** wenn n nicht in der Menge enthalten ist:
*** nimm alle ungeraden Vielfachen von n (n² + 2k*n) von n² bis zur Obergrenze in die Menge auf
* Sortiere die Elemente der Menge aufsteigend

### Implementierung in Python

Die Funktion lässt sich leicht so erweitern, dass auch gerade Zahlen zurückgegeben werden; diese sind aber für Primzahltests weniger interessant.

## Fermatsche Pseudoprimzahlen

Bei Primzahlen ist im Gegensatz zu fermatschen Pseudoprimzahlen und Carmichael-Zahlen die Kongruenz $a^{n-1}\equiv 1{\pmod {n}}$ für alle Basen $a\$ mit $2\leq a<n$ erfüllt. Carmichael-Zahlen unterscheiden sich von anderen fermatschen Pseudoprimzahlen dadurch, dass der Anteil der Primbasen $a\$ mit $2\leq a<n$, für die $a^{n-1}\equiv 1{\pmod {n}}$ ist, größer als 97% ist. Der Einfachheit halber benutzt man als Basen $a\$ nur die Primzahlen, die kleiner als die zu testende Zahl $n\$ sind. Das Programm testet also zu jeder Primbasis $a\$, ob eine Zahl $n\$ die Bedingung $a^{n-1}\equiv 1{\pmod {n}}$ erfüllt. Erfüllt sie sie, wird die Variable tm1 = 1 gesetzt und gleichzeitig die Zählvariable tm3 um eins erhöht. Erfüllt die Zahl $n\$ die Bedingung nicht, wird die Variable tm2 = 2 gesetzt. Nach Ablauf der Tests wird die Variable gtm = tm1 + tm2 gesetzt. Aus gtm und dtm lässt sich ablesen, ob es sich bei der Zahl $n\$ um eine Primzahl, eine fermatsche Pseudoprimzahl oder eine Carmichael-Zahl handelt.
| gtm | dtm | Art der Zahl |
| 1 | - | Primzahl |
| 3 | tm3 < dtm | fermatsche Pseudoprimzahl |
| 3 | tm3 >= dtm | Carmichael-Zahl |
Nachteil des Programms: Es wird schnell sehr langsam. Außerdem ist es für einige Pseudoprimzahlen blind. So gibt es keine Primzahlen $p<39$, zu denen die 39 pseudoprim ist.
Der kleine Fermatsche Satz besagt, dass $\ a^{p}-a\$ für jede Primzahl$\ p\$und jede natürliche Zahl $a\geq 2\$durch$\ p\$teilbar ist.
Beispiel anhand der Primzahl 5:
* $2^{5}-2=5\cdot 6$
* $3^{5}-3=5\cdot 48$
* $4^{5}-4=5\cdot 204$

### Ableitungen

Statt der Aussage: "$a^{p}-a\$ ist (ohne Rest) durch $\ p\$ teilbar", kann man auch $\ a^{p}\equiv a{\pmod {p}}\$ schreiben. Wenn man $a\$ aus $a^{p}-a\$ ausklammert, kommt man auf einen Ausdruck $a\cdot (a^{p-1}-1)$. Da $a\cdot (a^{p-1}-1)\$ durch $\ p\$ teilbar ist, aber $\ a\$ nicht zwangsläufig durch $p\$ teilbar ist, muss es der Ausdruck $(a^{p-1}-1)\$ sein, der immer durch $p\$ teilbar ist. Aus der Aussage: "$a^{p-1}-1\$ ist durch $p\$ teilbar", kann man $a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}$ ableiten. Die Aussage: "$a^{p-1}-1\$ ist durch $p\$ teilbar" und die Formel $a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}$ gelten allerdings nur, wenn die Basis $\ a\$ teilerfremd zur Primzahl $\ p\$ ist.

## Was unterscheidet a$^n$ ≡ a (mod n) von a$^{n-1}$ ≡ 1 (mod n)

Für jede Primzahl $p\$ gilt, dass für jede natürliche Zahl $a\$ der Ausdruck $a^{p}-a\$durch $p\$ teilbar ist. Ebenso gilt für jede Carmichael-Zahl $c$, dass für jede natürliche Zahl $a\$der Ausdruck $a^{c}-a\$ durch $c\$ teilbar ist.
    Ja aber bitte wie unterscheidet man dann eine Primzahl von einer Carmichael-Zahl?
Es gibt natürlich noch andere Wege, um das Problem anzugehen, aber dafür hilft auch eine Modifikation des kleinen Fermatschen Satzes:
    Für jede Primzahl $p\$gilt: $a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}$ für jede natürliche Zahl $a$, die teilerfremd zu $p\$ist.
Das bedeutet, dass der kleine fermatsche Satz für $a=p\$ nicht gilt: $p^{p-1}\not \equiv 1\ {\pmod {p}}$. Ähnliches gilt für jede Carmichael-Zahl $c\$: $c^{c-1}\not \equiv 1\ {\pmod {c}}$. Aber es gilt genauso für alle Primteiler $p_{m}\$ der entsprechenden Carmichael-Zahl $c=p_{1}\cdot p_{2}\cdot ...\cdot p_{n}$: $\ p_{m}^{c-1}\not \equiv 1\ {\pmod {c}}$.

## Folgerung durch Euler

Auf den kleinen Fermatschen Satz lässt sich die dritte binomische Formel $a^{2}-b^{2}=(a+b)\cdot (a-b)$ anwenden:
$a^{p-1}-1=(a^{\frac {p-1}{2}}+1)\cdot (a^{\frac {p-1}{2}}-1)\equiv 0{\pmod {p}}$.
Das bedeutet, dass genau einer der beiden Faktoren durch $p\$teilbar sein muss, dass also $\ a^{\frac {p-1}{2}}+1$ oder $a^{\frac {p-1}{2}}-1$ durch $p\$teilbar ist. Das führt zu dem Satz, der Leonhard Euler zugesprochen wird:
Wenn $p\$ eine ungerade Primzahl ist, muss entweder
* $a^{\frac {p-1}{2}}\equiv 1{\pmod {p}}$ oder
* $a^{\frac {p-1}{2}}\equiv -1{\pmod {p}}$ gelten.

## Potenzen

Wenn man eine Zahl immer wieder mit sich selbst multipliziert, erhält man eine Potenz. Eine bekannte Folge von steigenden Potenzen ist die folgende Folge aus Zweierpotenzen:
    $2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,4096,8192,16384,32768,65536,...\$
Verallgemeinert sieht eine solche Folge für eine beliebige Basis so aus:
    $a,a^{2},a^{3},a^{4},a^{5},a^{6},...\$
Ein Feld solcher Zahlen sieht so aus:
| | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | ... |
| a | | | | | | | | | | |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ... |
| 2 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 | ... |
| 3 | 3 | 9 | 27 | 81 | 243 | 729 | 2187 | 6561 | 19683 | ... |
| 4 | 4 | 16 | 64 | 256 | 1024 | 4096 | 16384 | 65536 | 262144 | ... |
| 5 | 5 | 25 | 125 | 625 | 3125 | 15625 | 78125 | 390625 | 1953125 | ... |
| 6 | 6 | 36 | 216 | 1296 | 7776 | 46656 | 279936 | 1679616 | 10077696 | ... |
| 7 | 7 | 49 | 343 | 2401 | 16807 | 117649 | 823543 | 5764801 | 40353607 | ... |
| 8 | 8 | 64 | 512 | 4096 | 32768 | 262144 | 2097152 | 16777216 | 134217728 | ... |
| 9 | 9 | 81 | 729 | 6561 | 59049 | 531441 | 4782969 | 43046721 | 387420489 | ... |
| 10 | 10 | 100 | 1000 | 10000 | 100000 | 1000000 | 10000000 | 100000000 | 1000000000 | ... |
| 11 | 11 | 121 | 1331 | 14641 | 161051 | 1771561 | 19487171 | 214358881 | 2357947691 | ... |
| 12 | 12 | 144 | 1728 | 20736 | 248832 | 2985984 | 35831808 | 429981696 | 5159780352 | ... |
Die Struktur, die dahinter steckt, wird sichtbar, wenn man das ganze Feld eine mithilfe von Modulo und einem festen Faktor unterzieht:
* Beispiel: Modulo 7
| | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | ... |
| 1: | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ... |
| 2: | 2 | 4 | 1 | 2 | 4 | 1 | 2 | 4 | 1 | 2 | 4 | 1 | 2 | 4 | 1 | 2 | 4 | 1 | ... |
| 3: | 3 | 2 | 6 | 4 | 5 | 1 | 3 | 2 | 6 | 4 | 5 | 1 | 3 | 2 | 6 | 4 | 5 | 1 | ... |
| 4: | 4 | 2 | 1 | 4 | 2 | 1 | 4 | 2 | 1 | 4 | 2 | 1 | 4 | 2 | 1 | 4 | 2 | 1 | ... |
| 5: | 5 | 4 | 6 | 2 | 3 | 1 | 5 | 4 | 6 | 2 | 3 | 1 | 5 | 4 | 6 | 2 | 3 | 1 | ... |
| 6: | 6 | 1 | 6 | 1 | 6 | 1 | 6 | 1 | 6 | 1 | 6 | 1 | 6 | 1 | 6 | 1 | 6 | 1 | ... |
| 7: | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... |
| 8: | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ... |
| 9: | 2 | 4 | 1 | 2 | 4 | 1 | 2 | 4 | 1 | 2 | 4 | 1 | 2 | 4 | 1 | 2 | 4 | 1 | ... |
| 10: | 3 | 2 | 6 | 4 | 5 | 1 | 3 | 2 | 6 | 4 | 5 | 1 | 3 | 2 | 6 | 4 | 5 | 1 | ... |
| 11: | 4 | 2 | 1 | 4 | 2 | 1 | 4 | 2 | 1 | 4 | 2 | 1 | 4 | 2 | 1 | 4 | 2 | 1 | ... |
| 12: | 5 | 4 | 6 | 2 | 3 | 1 | 5 | 4 | 6 | 2 | 3 | 1 | 5 | 4 | 6 | 2 | 3 | 1 | ... |
| 13: | 6 | 1 | 6 | 1 | 6 | 1 | 6 | 1 | 6 | 1 | 6 | 1 | 6 | 1 | 6 | 1 | 6 | 1 | ... |
| 14: | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... |
| 15: | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ... |
| 16: | 2 | 4 | 1 | 2 | 4 | 1 | 2 | 4 | 1 | 2 | 4 | 1 | 2 | 4 | 1 | 2 | 4 | 1 | ... |
| 17: | 3 | 2 | 6 | 4 | 5 | 1 | 3 | 2 | 6 | 4 | 5 | 1 | 3 | 2 | 6 | 4 | 5 | 1 | ... |
| 18: | 4 | 2 | 1 | 4 | 2 | 1 | 4 | 2 | 1 | 4 | 2 | 1 | 4 | 2 | 1 | 4 | 2 | 1 | ... |
| 19: | 5 | 4 | 6 | 2 | 3 | 1 | 5 | 4 | 6 | 2 | 3 | 1 | 5 | 4 | 6 | 2 | 3 | 1 | ... |
| 20: | 6 | 1 | 6 | 1 | 6 | 1 | 6 | 1 | 6 | 1 | 6 | 1 | 6 | 1 | 6 | 1 | 6 | 1 | ... |
| 21: | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... |
Die kleinste Einheit wird durch zwei Größen festgelegt, nämlich einmal den Wert $n\$, zu dem man das Ganze Modulo nimmt und der die Einheit nach unten begrenzt, und andererseits die Carmichael-Funktion $\lambda (n)$, die der kleinste gemeinsame Faktor darstellt, zu der für jeden zu $n\$ teilerfremden Wert $a\$ gilt: $a^{\lambda (n)}\equiv 1\mod n$.

## Muster

Zu jeder natürlichen Zahl $n\$ gibt es ein individuelles Erscheinungsbild. Andererseits haben bestimmte Arten von Zahlen Gemeinsamkeiten. Um das, was Zahlen gemeinsam haben, geht es hier:

### natürliche Zahlen

Alle natürlichen Zahlen haben eine Gemeinsamkeit in ihrer Struktur:
| | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 1: | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| X: | X | X | X | X | X | X |
| X: | X | X | X | X | X | X |
| X: | X | X | X | X | X | X |
| X: | X | X | X | X | X | X |
| A: | A | 1 | A | 1 | A | 1 |
In der obersten Zeile befinden sich immer Einsen und in der untersten Zeile befinden sich immer im Wechsel A und 1, wobei A für $n-1\$ steht. Dies ist also keine Charakteristik, die für Primzahlen typisch ist.

### Primzahlen

Die für eine Primzahl typische Struktur sieht so aus:
| | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 1: | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| X: | X | X | 1 | X | X | 1 |
| X: | X | X | A | X | X | 1 |
| X: | X | X | 1 | X | X | 1 |
| X: | X | X | A | X | X | 1 |
| A: | A | 1 | A | 1 | A | 1 |
Zu der für jede natürliche Zahl typischen Zeilen kommen zwei Charaktaristika bei Primzahlen hinzu:
    Erstens die geschlossene Einserspalte
| 1 | 1 | 1 | ... |
in blau gefärbt. Die Einser sind die Werte, welche die Carmichael-Funktion $a^{\lambda (n)}$ zurückliefert.
Zweitens die, ebenfalls geschlossene, Zeile aus Einsern und Zahlen A die die Zahl (n-1) repräsentieren.
| 1 | A | ... |
Hier sind es die Werte, die die nach der nach Euler modifizierten Funktion $a^{\frac {\lambda (n)}{2}}$ zurückgeliefert werden.

#### Unterscheidung der Primzahlen in 4k-1 und 4k+1-Form

Die Struktur von Primzahlen der Form 4k-1 und 4k+1 unterscheidet sich in einer Spalte:
| 12345678910 1:1111111111 2:24851097361 3:3954139541 4:4593145931 5:5349153491 6:63791058421 7:75231046981 8:89641032571 9:9435194351 10:101101101101101 | 123456789101112 1:111111111111 2:248361211951071 3:391391391391 4:4312910143129101 5:512815128151281 6:610892127354111 7:710591112638421 8:812518125181251 9:931931931931 10:1091234110912341 11:114537122981061 12:121121121121121121 |
| Primzahl der Form 4k+3 | Primzahl der Form 4k+1 |
Wie man sehen kann, ist die violette Spalte bei Primzahlen der Form 4k+1 symmetrisch und bei Primzahlen der Form 4k+3 komplementär.

#### Abgrenzung der Primzahlen von anderen natürlichen Zahlen

Bei allen anderen Arten natürlicher Zahlen fehlt die Geschlossenheit der beiden senkrechten Spalten.
| 123456 1:111111 2:248751 3:300000 4:471471 5:578421 6:600000 7:741741 8:818181 | 1234 1:1111 2:2481 3:3926 4:4141 5:510510 6:6666 7:74131 8:8421 9:9696 10:10101010 11:111111 12:12936 13:13471 14:141141 |
| Neun | Fünfzehn |
Wie man bei der Neun sehen kann, ist der Mittelbalken noch, wenn auch unterbrochen, vorhanden. Bei der 15 fehlt er vollständig.

### Carmichael-Zahlen

Nachdem was bisher geschrieben worden ist, müßte die Neun, und damit alle Quadrate einer Primzahl, eine perfekte Fast-Primzahl sein. Dem ist aber nicht so. Damit eine Nichtprimzahl eine gute Fast-Primzahl sein kann, muß eines zutreffen: $n-1\$ muß durch $\lambda (n)\$ teilbar sein. Nichtprimzahlen mit dieser Eigenschaft nennt man Carmichael-Zahlen.
Was stimmt nun also an der Neun nicht? Die Einser liegen auf der blauen und, mit den Achten, auf der violetten Spalte.
Sie müßten allerdings auf der grünen Spalte liegen, und zusammen mit Achten auf der cyanen Spalte. Da ist aber weder eine Eins, noch eine Acht vorhanden. Einsen auf der grünen Spalte sind typisch für fermatsche Pseudoprimzahlen, und Einsen, bzw. (n-1) auf der cyanen Spalte sind typisch für eulersche Pseudoprimzahlen.
| | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 1: | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2: | 2 | 4 | 8 | 7 | 5 | 1 |
| 3: | 3 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 4: | 4 | 7 | 1 | 4 | 7 | 1 |
| 5: | 5 | 7 | 8 | 4 | 2 | 1 |
| 6: | 6 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7: | 7 | 4 | 1 | 7 | 4 | 1 |
| 8: | 8 | 1 | 8 | 1 | 8 | 1 |
Die weiter oben abgebildete 15 ist eine fermatsche Pseudoprimzahl zu den Basen 4 und 11.
Folgerichtig muß man die Struktur für eine typische Primzahl ergänzen:
| | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 1: | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| X: | X | X | 1 | X | X | 1 |
| X: | X | X | A | X | X | 1 |
| X: | X | X | 1 | X | X | 1 |
| X: | X | X | A | X | X | 1 |
| A: | A | 1 | A | 1 | A | 1 |

## Pseudoprimzahlen
### Selbstreferenzierende Spalte

Wie ja schon bekannt ist, gilt für eine Primzahl $p\$, das für jede zu $p\$ teilerfremde Basis $a\$ $a^{p-1}\equiv 1\mod p$ gilt (Siehe blaue Spalte in der unteren Tabelle).
| | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 1: | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2: | 2 | 4 | 8 | 3 | 6 | 12 | 11 | 9 | 5 | 10 | 7 | 1 |
| 3: | 3 | 9 | 1 | 3 | 9 | 1 | 3 | 9 | 1 | 3 | 9 | 1 |
| 4: | 4 | 3 | 12 | 9 | 10 | 1 | 4 | 3 | 12 | 9 | 10 | 1 |
| 5: | 5 | 12 | 8 | 1 | 5 | 12 | 8 | 1 | 5 | 12 | 8 | 1 |
| 6: | 6 | 10 | 8 | 9 | 2 | 12 | 7 | 3 | 5 | 4 | 11 | 1 |
| 7: | 7 | 10 | 5 | 9 | 11 | 12 | 6 | 3 | 8 | 4 | 2 | 1 |
| 8: | 8 | 12 | 5 | 1 | 8 | 12 | 5 | 1 | 8 | 12 | 5 | 1 |
| 9: | 9 | 3 | 1 | 9 | 3 | 1 | 9 | 3 | 1 | 9 | 3 | 1 |
| 10: | 10 | 9 | 12 | 3 | 4 | 1 | 10 | 9 | 12 | 3 | 4 | 1 |
| 11: | 11 | 4 | 5 | 3 | 7 | 12 | 2 | 9 | 8 | 10 | 6 | 1 |
| 12: | 12 | 1 | 12 | 1 | 12 | 1 | 12 | 1 | 12 | 1 | 12 | 1 |
Nun ist $p-1\$ aber keine Primzahl, sondern läßt sich in Faktoren zerlegen. So gilt für die unten stehende Tabelle für die Primzahl $p=13\$ das $(p-1)=12=2\cdot 2\cdot 3$ ist, sich also z.B. in $2\cdot 6$ und $3\cdot 4$ zerlegen läßt. Das bedeutet, wenn sich ein Exponent $n\$ in zwei Faktoren $r\$ uns $s\$ zerlegen läßt, das $(a^{r})^{s}=(a^{s})^{r}=a^{r\cdot s}=a^{n}$ gilt.
Beispiele:
* $(5^{3})^{4}=5^{3\cdot 4}=5^{12}$
* $(5^{2})^{6}=5^{2\cdot 6}=5^{12}$
| | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 1: | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2: | 2 | 4 | 8 | 3 | 6 | 12 | 11 | 9 | 5 | 10 | 7 | 1 |
| 3: | 3 | 9 | 1 | 3 | 9 | 1 | 3 | 9 | 1 | 3 | 9 | 1 |
| 4: | 4 | 3 | 12 | 9 | 10 | 1 | 4 | 3 | 12 | 9 | 10 | 1 |
| 5: | 5 | 12 | 8 | 1 | 5 | 12 | 8 | 1 | 5 | 12 | 8 | 1 |
| 6: | 6 | 10 | 8 | 9 | 2 | 12 | 7 | 3 | 5 | 4 | 11 | 1 |
| 7: | 7 | 10 | 5 | 9 | 11 | 12 | 6 | 3 | 8 | 4 | 2 | 1 |
| 8: | 8 | 12 | 5 | 1 | 8 | 12 | 5 | 1 | 8 | 12 | 5 | 1 |
| 9: | 9 | 3 | 1 | 9 | 3 | 1 | 9 | 3 | 1 | 9 | 3 | 1 |
| 10: | 10 | 9 | 12 | 3 | 4 | 1 | 10 | 9 | 12 | 3 | 4 | 1 |
| 11: | 11 | 4 | 5 | 3 | 7 | 12 | 2 | 9 | 8 | 10 | 6 | 1 |
| 12: | 12 | 1 | 12 | 1 | 12 | 1 | 12 | 1 | 12 | 1 | 12 | 1 |

### pure eulersche Pseudoprimzahl

Mit der puren eulerschen Pseudoprimzahl ist eine fermatsche Pseudoprimzahl gemeint, bei der jede Basis, zu der die Zahl eine fermatsche Pseuodoprimzahl ist, auch gilt, das die Zahl zu der gleichen Basis auch eine eulersche Pseudoprimzahl ist.
| | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| 1: | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2: | 2 | 4 | 8 | 16 | 7 | 14 | 3 | 6 | 12 | 24 | 23 | 21 | 17 | 9 | 18 | 11 | 22 | 19 | 13 | 1 |
| 3: | 3 | 9 | 2 | 6 | 18 | 4 | 12 | 11 | 8 | 24 | 22 | 16 | 23 | 19 | 7 | 21 | 13 | 14 | 17 | 1 |
| 4: | 4 | 16 | 14 | 6 | 24 | 21 | 9 | 11 | 19 | 1 | 4 | 16 | 14 | 6 | 24 | 21 | 9 | 11 | 19 | 1 |
| 5: | 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 6: | 6 | 11 | 16 | 21 | 1 | 6 | 11 | 16 | 21 | 1 | 6 | 11 | 16 | 21 | 1 | 6 | 11 | 16 | 21 | 1 |
| 7: | 7 | 24 | 18 | 1 | 7 | 24 | 18 | 1 | 7 | 24 | 18 | 1 | 7 | 24 | 18 | 1 | 7 | 24 | 18 | 1 |
| 8: | 8 | 14 | 12 | 21 | 18 | 19 | 2 | 16 | 3 | 24 | 17 | 11 | 13 | 4 | 7 | 6 | 23 | 9 | 22 | 1 |
| 9: | 9 | 6 | 4 | 11 | 24 | 16 | 19 | 21 | 14 | 1 | 9 | 6 | 4 | 11 | 24 | 16 | 19 | 21 | 14 | 1 |
| 10: | 10 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 11: | 11 | 21 | 6 | 16 | 1 | 11 | 21 | 6 | 16 | 1 | 11 | 21 | 6 | 16 | 1 | 11 | 21 | 6 | 16 | 1 |
| 12: | 12 | 19 | 3 | 11 | 7 | 9 | 8 | 21 | 2 | 24 | 13 | 6 | 22 | 14 | 18 | 16 | 17 | 4 | 23 | 1 |
| 13: | 13 | 19 | 22 | 11 | 18 | 9 | 17 | 21 | 23 | 24 | 12 | 6 | 3 | 14 | 7 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
| 14: | 14 | 21 | 19 | 16 | 24 | 11 | 4 | 6 | 9 | 1 | 14 | 21 | 19 | 16 | 24 | 11 | 4 | 6 | 9 | 1 |
| 15: | 15 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 16: | 16 | 6 | 21 | 11 | 1 | 16 | 6 | 21 | 11 | 1 | 16 | 6 | 21 | 11 | 1 | 16 | 6 | 21 | 11 | 1 |
| 17: | 17 | 14 | 13 | 21 | 7 | 19 | 23 | 16 | 22 | 24 | 8 | 11 | 12 | 4 | 18 | 6 | 2 | 9 | 3 | 1 |
| 18: | 18 | 24 | 7 | 1 | 18 | 24 | 7 | 1 | 18 | 24 | 7 | 1 | 18 | 24 | 7 | 1 | 18 | 24 | 7 | 1 |
| 19: | 19 | 11 | 9 | 21 | 24 | 6 | 14 | 16 | 4 | 1 | 19 | 11 | 9 | 21 | 24 | 6 | 14 | 16 | 4 | 1 |
| 20: | 20 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 21: | 21 | 16 | 11 | 6 | 1 | 21 | 16 | 11 | 6 | 1 | 21 | 16 | 11 | 6 | 1 | 21 | 16 | 11 | 6 | 1 |
| 22: | 22 | 9 | 23 | 6 | 7 | 4 | 13 | 11 | 17 | 24 | 3 | 16 | 2 | 19 | 18 | 21 | 12 | 14 | 8 | 1 |
| 23: | 23 | 4 | 17 | 16 | 18 | 14 | 22 | 6 | 13 | 24 | 2 | 21 | 8 | 9 | 7 | 11 | 3 | 19 | 12 | 1 |
| 24: | 24 | 1 | 24 | 1 | 24 | 1 | 24 | 1 | 24 | 1 | 24 | 1 | 24 | 1 | 24 | 1 | 24 | 1 | 24 | 1 |
| | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 1: | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2: | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 31 | 29 | 25 | 17 | 1 |
| 3: | 3 | 9 | 27 | 15 | 12 | 3 | 9 | 27 | 15 | 12 |
| 4: | 4 | 16 | 31 | 25 | 1 | 4 | 16 | 31 | 25 | 1 |
| 5: | 5 | 25 | 26 | 31 | 23 | 16 | 14 | 4 | 20 | 1 |
| 6: | 6 | 3 | 18 | 9 | 21 | 27 | 30 | 15 | 24 | 12 |
| 7: | 7 | 16 | 13 | 25 | 10 | 4 | 28 | 31 | 19 | 1 |
| 8: | 8 | 31 | 17 | 4 | 32 | 25 | 2 | 16 | 29 | 1 |
| 9: | 9 | 15 | 3 | 27 | 12 | 9 | 15 | 3 | 27 | 12 |
| 10: | 10 | 1 | 10 | 1 | 10 | 1 | 10 | 1 | 10 | 1 |
| 11: | 11 | 22 | 11 | 22 | 11 | 22 | 11 | 22 | 11 | 22 |
| 12: | 12 | 12 | 12 | 12 | 12 | 12 | 12 | 12 | 12 | 12 |
| 13: | 13 | 4 | 19 | 16 | 10 | 31 | 7 | 25 | 28 | 1 |
| 14: | 14 | 31 | 5 | 4 | 23 | 25 | 20 | 16 | 26 | 1 |
| 15: | 15 | 27 | 9 | 3 | 12 | 15 | 27 | 9 | 3 | 12 |
| 16: | 16 | 25 | 4 | 31 | 1 | 16 | 25 | 4 | 31 | 1 |
| 17: | 17 | 25 | 29 | 31 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
| 18: | 18 | 27 | 24 | 3 | 21 | 15 | 6 | 9 | 30 | 12 |
| 19: | 19 | 31 | 28 | 4 | 10 | 25 | 13 | 16 | 7 | 1 |
| 20: | 20 | 4 | 14 | 16 | 23 | 31 | 26 | 25 | 5 | 1 |
| 21: | 21 | 12 | 21 | 12 | 21 | 12 | 21 | 12 | 21 | 12 |
| 22: | 22 | 22 | 22 | 22 | 22 | 22 | 22 | 22 | 22 | 22 |
| 23: | 23 | 1 | 23 | 1 | 23 | 1 | 23 | 1 | 23 | 1 |
| 24: | 24 | 15 | 30 | 27 | 21 | 9 | 18 | 3 | 6 | 12 |
| 25: | 25 | 31 | 16 | 4 | 1 | 25 | 31 | 16 | 4 | 1 |
| 26: | 26 | 16 | 20 | 25 | 23 | 4 | 5 | 31 | 14 | 1 |
| 27: | 27 | 3 | 15 | 9 | 12 | 27 | 3 | 15 | 9 | 12 |
| 28: | 28 | 25 | 7 | 31 | 10 | 16 | 19 | 4 | 13 | 1 |
| 29: | 29 | 16 | 2 | 25 | 32 | 4 | 17 | 31 | 8 | 1 |
| 30: | 30 | 9 | 6 | 15 | 21 | 3 | 24 | 27 | 18 | 12 |
| 31: | 31 | 4 | 25 | 16 | 1 | 31 | 4 | 25 | 16 | 1 |
| 32: | 32 | 1 | 32 | 1 | 32 | 1 | 32 | 1 | 32 | 1 |
Es gibt auch fermatsche Pseudoprimzahlen, bei denen die Pseudoprimzahl keine eulersche Pseudoprimzahl ist. Zu diesen fermatschen Pseudoprimzahlen zählen u.a. die 45, 91 und 153.
Eine Primzahl hat viele Eigenschaften, an denen man sie als Primzahl erkennen kann. Dementsprechend gibt es viele Verfahren, um eine Zahl auf ihre Primalität zu prüfen. Ein Teil dieser Verfahren ist 100-prozentig sicher, dafür aber auch unheimlich zeitaufwendig. Für Zahlen mit hundert und mehr Stellen würde ein Menschenleben nicht ausreichen, sie nach diesen Verfahren auf Primalität zu testen. Der andere Teil der Verfahren kann relativ schnell ein Ergebnis ausgeben, ob eine Zahl wahrscheinlich eine Primzahl ist, oder sicher keine. Dafür sind solche Verfahren aber für Pseudoprimzahlen anfällig. Dabei sind die Pseudoprimzahlen aber nicht von gleicher Qualität. Einige Pseudoprimzahlen lassen sich leicht ausschließen, dafür sind andere richtig hartnäckig:
Pseudoprimzahlen $n$,
* die zu allen Basen $a$, zu denen sie fermatsche Pseudoprimzahlen sind, auch eulersche Pseudoprimzahlen sind (Pure eulersche Pseudoprimzahlen).
* die zu allen Basen $a$, zu denen sie teilerfremd sind, fermatsche Pseudoprimzahlen sind (Carmichael-Zahlen).
* die zu allen Basen $a$, zu denen sie teilerfremd sind, auch eulersche Pseudoprimzahlen sind (absolute eulersche Pseudoprimzahlen).
* Ich kenne von einer Pseudoprimzahl nur die Primzahlbasen zu denen die Pseudoprimzahl pseudoprim ist, möchte aber alle Basen bekommen, zu denen die Pseudoprimzahl pseudoprim ist, ohne jede natürliche Zahl $\leq 2$ zu testen.
Beispiel 65:
    die Primzahlbasen (a<65) zur Pseudoprimzahl 65 sind 31, 47 und 53.
Demzufolge ist 65 auch zu allen Potenzen dieser Primzahlen pseudoprim:
| n | 31 | mod 65 | 47 | mod 65 | 53 | mod 65 |
| 2 | 961 | 51 | 2209 | 64 | 2809 | 14 |
| 3 | 29791 | 21 | 103823 | 18 | 148877 | 27 |
| 4 | 923521 | 1 | 4789681 | 1 | 7890481 | 1 |
Damit haben wir als Basen (a<65), zu denen die Pseudoprimzahl 65 pseudoprim ist, die Zahlen 14, 18, 21, 27, 31, 47, 51, 53 und 64. Jetzt fehlen noch die Basen der Form (65 - a):
65 - 53 = 12; 65 - 51 = 14; 65 - 47 = 18; 65 - 31 = 34; 65 - 27 = 38; 65 - 21 = 44; 65 - 18 = 47; 65 - 14 = 51.
Nun haben wir alle Basen a mit a<65, zu denen die 65 Pseudoprim ist: 12, 14, 18, 21, 27, 31, 34, 38, 44, 47, 51, 53 und 64.
Halt: es fehlen noch 8 und 57.
Offene Fragen bezüglich der Pseudoprimzahlen
1. Existiert eine Pseudoprimzahl, die keine fermatsche Pseudoprimzahl ist?
    Diese Frage muß man aufspalten in mehrere Aspekte:
1.1. Existiert eine Pseudoprimzahl, die nicht gleichzeitig eine fermatsche Pseudoprimzahl ist?
1.2.a. Läßt sich jedes beliebige Kriterium aufgrund dessen Pseudoprimzahlen existieren, auf den kleinen fermatschen Satz zurückführen?
1.2.b. Gibt es ein noch stärkeres Kriterium, auf das sich der kleine fermatsche Satz zurückführen läßt und auf das sich noch andere Kriterien zurückführen lassen, die ansonsten aber keine Gemeinsamkeiten mit dem kleinen fermatschen Satz besitzen?
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Geschichte der Pseudoprimzahl

### 1640

Der französische Amateurmathematiker Pierre de Fermat schreibt Mersenne, dass wenn $p\$ eine Primzahl ist, $p\$ die Zahl $2^{n}-2\$ teilt. Fermat schrieb Mersenne auch, dass ein Beweis dieses Satzes zu lang wäre, als dass er ihm ihn zusenden könnte. Dieser Satz ist als kleiner fermatscher Satz bekannt geworden.

### 1819

Sarrus findet mit der Zahl $341=11\cdot 31$ ein Beispiel, dass es auch zusammengesetzte Zahlen gibt, die den kleinen fermatschen Satz erfüllen. Diese Zahl wird auch Sarrus-Zahl genannt, und ist die kleinste zusammengesetzte Zahl, die den kleinen fermatschen Satz zur Basis 2 erfüllt.

### Mitte 19. Jahrhundert

Der chinesische Mathematiker Li Shanlan (1811–1882) glaubte, für natürliche Zahlen $n\$, dass wenn $2\cdot (2^{n-1}-1)\$ durch $n\$ teilbar ist, dieses $n\$ eine Primzahl sein muss. Ausmultipliziert erhält man die Formel $2^{n}-2$.

### 1885

Der böhmische Mathematiker Václav Šimerka veröffentlicht in Zbytky z arithmetické posloupnosti die ersten 7 Carmichael-Zahlen (diese Bezeichnung wurde erst einige Jahre später vergeben); die Veröffentlichung blieb weitgehend unbekannt, nachfolgende Entdeckungen dieser Zahlen können also als unabhängig angesehen werden.

### 1899

Der deutsche Mathematiker Alwin Reinhold Korselt stellt das nach ihm benannte korseltsche Kriterium auf:
   * Es existieren ungerade, quadratfreie natürliche Zahlen $n$, so dass $a^{n}-a$ für alle natürlichen Zahlen $a$ ein Vielfaches von $n$ ist
   * Für alle Primteiler $p$ von $n$ gilt, dass $p-1$ die Zahl $n-1$ teilt.

### 1903

Der Mathematiker Malo, und ein Jahr später der Mathematiker Cipolla finden jeweils einen Beweis für die Existenz von unendlich vielen Pseudoprimzahlen.

### 1910

Robert Daniel Carmichael findet mit 561 als erster eine Zahl, die dem korseltschen Kriterium genügt. Nach ihm werden Zahlen dieser Art Carmichael-Zahlen genannt. 561 ist die kleinste Carmichael-Zahl.

### 1936

D.H Lehmer findet eine simple Methode, beliebig viele fermatsche Pseudoprimzahlen zu erzeugen:
       Man nehme eine natürliche Zahl $k\$ mit $k\geq 5$. Daraus ermittele man zwei natürliche Zahlen $p\$ und $q\$, wobei $p\$ ein Primfaktor von $2^{k}-1\$ und $q\$ ein Primfaktor von $2^{k}+1\$ ist. Das Prdukt $p\cdot q$ ist eine fermatsche Pseudoprimzahl.

### 1939

J.Chernik macht die Bemerkung, dass das Produkt $(6n+1)(12n+1)(18n+1)$ eine Carmichael-Zahl ist, wenn alle drei Faktoren Primzahlen sind.

### 1950

N.G.W.H. Beeger führt den Begriff der Carmichael-Zahl ein. Ein Jahr später findet Beeger einen Beweis für die Existenz von unendlich vielen geraden Pseudoprimzahlen.

### 1992

Die Mathematiker Alford, Granville und Pomerance finden einen Beweis für die Existenz von unendlich vielen Carmichael-Zahlen.
* ↑ en:w:Chinese hypothesis#History
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* Irrtümer zu den Pseudoprimzahlen
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* Quellen

## Robert Daniel Carmichael

(* 1. März 1879 in Goodwater, Alabama, USA, † 1967)

## Michele Cipolla

(* 28. Oktober 1880 in Palermo, † 7. September 1947 in Palermo)

## Leonhard Euler

(* 15. April 1707 in Riehen (Schweiz), † 18. September 1783 in St. Petersburg)

## Pierre de Fermat

Pierre de Fermat (* Ende 1607 oder Anfang 1608 in Beaumont-de-Lomagne, † 12. Januar 1665 in Castres) war ein französischer Jurist und Amateurmathematiker. Seine besonderen Leistungen liegen in dem kleinen fermatschen Satz und dem großen fermatschen Satz - der Behauptung, dass es für $n>2$ keine ganzzahlige Lösung der Gleichung $a^{n}+b^{n}=c^{n}$ gibt. Diese Vermutung wurde erst Ende des 20. Jahrhunderts, also nach mehr als 300 Jahren, bewiesen. Auf Pierre de Fermat geht auch die Vermutung, dass alle Zahlen der Form $F_{n}=2^{2^{n}}+1$ Primzahlen sind. Diese Vermutung wurde 1732 von Leonhard Euler widerlegt. Nach Fermat heißt diese Art von Zahl Fermat-Zahl. Der deutsche Mathematiker Christian Goldbach verwendete die Fermat-Zahlen in seinem Beweis, dass es unendlich viele Primzahlen geben muss.

## Alwin Reinhold Korselt

(* 17. März 1864 in Mittelherwigsdorf, † 4. Februar 1947 in Plauen)
Der deutsche Mathematiker Alwin Reinhold Korselt hat 1899 ein Kriterium für eine bestimmte Art von Pseudoprimzahlen aufgestellt, von denen er aber kein Exemplar finden konnte. Im Jahr 1910 veröffentlichte der Mathematiker Robert Daniel Carmichael die kleinste Zahl, auf die das Korselt-Kriterium zutrifft.
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* Tabellen
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* Irrtümer zu den Pseudoprimzahlen
* Glossar
* Quellen
* Legende und Beispieltabellen zum Kapitel Potenzen und Modulo
* Weak Pseudoprimzahlen zu einer bestimmten Basis a
* Fermatsche Pseudoprimzahlen zu einer bestimmten Basis a
* Eulersche Pseudoprimzahlen zu einer bestimmten Basis a
* Eulersche-Jacobi Pseudoprimzahlen zu einer bestimmten Basis a
* Starke Pseudoprimzahlen zu einer bestimmten Basis a
* Super-Eulersche Pseudoprimzahlen
* Pure eulersche Pseudoprimzahlen
* Carmichael-Zahlen
* Carmichael-Zahlen nach Chernick
* Absolute eulersche Pseudoprimzahlen
* Pseudoprimzahlen: Tabelle_Pseudoprimzahlen (15 - 4999)
* Pseudoprimzahlen: Tabelle_starke Pseudoprimzahlen (49 - 9999)
* Liste besonderer Pseudoprimzahlen
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* Irrtümer zu den Pseudoprimzahlen
* Glossar
* Quellen
Formelsammlung
Um die Pseudoprimzahlen zu verstehen, muss man ein paar Dinge wissen.

## Der kleine Fermatsche Satz

Für jede Primzahl$\ p\$und jede natürliche Zahl $a\geq 2\$ gilt
* $a^{p}\equiv a{\pmod {p}}\$.
Für jede Primzahl $\ p>2\$ und jede zu $p$ teilerfremde natürliche Zahl $a\geq 2\$ gilt
* $a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}$.

## Kongruenz

Zwei Zahlen, die bei Division durch den gleichen Divisor den gleichen Modulo zurückliefern, sind zueinander kongruent. Bei Addition von ganzzahligen Vielfachen des Divisors bleibt die Kongruenz erhalten:
* $(b\cdot n+m)\equiv n+m\equiv m{\pmod {n}}$
* $(b\cdot n-1)\equiv n-1\equiv -1{\pmod {n}}$.

## Eulersche φ-Funktion

Die Eulersche φ-Funktion $\varphi (n)$ gibt zu jeder natürlichen Zahl $n\$ die Anzahl der zu $n\$ teilerfremden Zahlen, die nicht größer als $n$ sind, an. Da die Eulersche φ-Funktion $\varphi (n)$ auch ein Vielfaches der Carmichael-Funktion $\lambda (n)\$ ist, gilt $a^{\varphi (n)}\equiv 1{\pmod {n}}$ für jedes zu $n\$ teilerfremde $a\$.
Die Eulersche φ-Funktion wird wie folgt berechnet:
* $\varphi (1)=1$
* $\varphi (p^{r})=p^{r-1}\cdot (p-1)\quad {\text{für }}p{\text{ prim}},r\geq 1$
* $\varphi (p_{1}^{r_{1}}\cdot p_{2}^{r_{2}}\cdot \dots \cdot p_{s}^{r_{s}})=\varphi (p_{1}^{r_{1}})\cdot \varphi (p_{2}^{r_{2}})\cdot \dots \cdot \varphi (p_{s}^{r_{s}})=\prod _{i=1}^{s}p_{i}^{r_{i}-1}(p_{i}-1)$

### Satz von Euler

* $a^{\varphi (n)}\equiv 1{\pmod {n}}\quad \forall \ a,n\in \mathbb {N} \ {\text{mit}}\ \gcd(a,n)=1$

## Carmichael-Funktion

Der Funktionswert der Carmichael-Funktion $\lambda (n)\$ einer natürlichen Zahl $n\$ ist die kleinste natürliche Zahl, mit der für jede zu $n\$ teilerfremde Basis $a\$ mit $a>1\$ gilt: $a^{\lambda (n)}\equiv 1{\pmod {n}}$.
Die Carmichael-Funktion wird wie folgt berechnet:
* $\lambda (1)=1,\$
* $\lambda (2)=1,$
* $\lambda (4)=2,$
* $\lambda (2^{r})=2^{r-2}{\text{ für }}r>2$
* $\lambda (p^{r})=p^{r-1}\cdot (p-1)\quad {\text{für }}p>2\ {\text{prim}},r\geq 1$
* $\lambda (p_{1}^{r_{1}}p_{2}^{r_{2}}\cdot \cdot \cdot p_{s}^{r_{s}})=\operatorname {kgV} \{\lambda (p_{1}^{r_{1}}),\lambda (p_{2}^{r_{2}}),\dots ,\lambda (p_{s}^{r_{s}})\}$

## Die allgemeinen Lucas-Folgen

Die beiden allgemeinen Lucas-Folgen $U(P,Q)\$ und $V(P,Q)\$, deren jeweilige einzelne Glieder
$U_{n}(P,Q)={\frac {a^{n}-b^{n}}{a-b}}$ und
$V_{n}(P,Q)=a^{n}+b^{n}\$
sind, lassen sich aus der quadratischen Gleichung
$x^{2}-Px+Q=0\$
ableiten, deren beide Lösungen
$a={\frac {P+{\sqrt {P^{2}-4Q}}}{2}}\$ und $\ b={\frac {P-{\sqrt {P^{2}-4Q}}}{2}}\$ sind.
Zwischen den Allgemeinen Lucas-Folgen und den Primzahlen gibt es einen Zusammenhang: Wenn die natürliche Zahl $n\$ eine Primzahl ist, dann teilt sie$\ V_{n}(P,Q)-P\$ für alle Folgen, deren $P>0\$ und $Q=\pm 1$ sind.
Wenn $n\$ eine zusammengesetze Zahl ist, und trotzdem $V_{n}(P,Q)-P\$ teilt, ist $n\$ eine Pseudoprimzahl zu $V_{n}(P,Q)$.

### Beziehungen zwischen den Folgegliedern

Einige Beziehungen zwischen den Folgegliedern der allgemeinen Lucas-Folgen, der Fibonacci-Zahlen $F_{n}=U_{n}(1,-1)$ und der Lucas-Zahlen $L_{n}=V_{n}(1,-1)$:
    ${\begin{array}{r|l}{\text{Allgemein}}&(P,Q)=(1,-1)\\\hline (P^{2}-4Q)U_{n}={V_{n+1}-QV_{n-1}}=2V_{n+1}-PV_{n}&5F_{n}={L_{n+1}+L_{n-1}}=2L_{n+1}-L_{n}\\V_{n}=U_{n+1}-QU_{n-1}=2U_{n+1}-PU_{n}&L_{n}=F_{n+1}+F_{n-1}=2F_{n+1}-F_{n}\\U_{2n}=U_{n}V_{n}&F_{2n}=F_{n}L_{n}\\V_{2n}=V_{n}^{2}-2Q^{n}&L_{2n}=L_{n}^{2}-2(-1)^{n}\\U_{m+n}=U_{n}U_{m+1}-QU_{m}U_{n-1}={\frac {U_{m}V_{n}+U_{n}V_{m}}{2}}&F_{m+n}=F_{n}F_{m+1}+F_{m}F_{n-1}={\frac {F_{m}L_{n}+F_{n}L_{m}}{2}}\\V_{m+n}=V_{m}V_{n}-Q^{n}V_{m-n}=DU_{m}U_{n}+Q^{n}V_{m-n}&L_{m+n}=L_{m}L_{n}-(-1)^{n}L_{m-n}=5F_{m}F_{n}+(-1)^{n}L_{m-n}\\V_{n}^{2}-DU_{n}^{2}=4Q^{n}&L_{n}^{2}-5F_{n}^{2}=4(-1)^{n}\\U_{n}^{2}-U_{n-1}U_{n+1}=Q^{n-1}&F_{n}^{2}-F_{n-1}F_{n+1}=(-1)^{n-1}\\V_{n}^{2}-V_{n-1}V_{n+1}=DQ^{n-1}&L_{n}^{2}-L_{n-1}L_{n+1}=5(-1)^{n-1}\\DU_{n}=V_{n+1}-QV_{n-1}&F_{n}={\frac {L_{n+1}+L_{n-1}}{5}}\\V_{m+n}={\frac {V_{m}V_{n}+DU_{m}U_{n}}{2}}&L_{m+n}={\frac {L_{m}L_{n}+5F_{m}F_{n}}{2}}\\U_{m+n}=U_{m}V_{n}-Q^{n}U_{m-n}&F_{n+m}=F_{m}L_{n}-(-1)^{n}F_{m-n}\\2^{n-1}U_{n}={n \choose 1}P^{n-1}+{n \choose 3}P^{n-3}D+\cdots &2^{n-1}F_{n}={n \choose 1}+5{n \choose 3}+\cdots \\2^{n-1}V_{n}=P^{n}+{n \choose 2}P^{n-2}D+{n \choose 4}P^{n-4}D^{2}+\cdots &2^{n-1}L_{n}=1+5{n \choose 2}+5^{2}{n \choose 4}+\cdots \end{array}}$

## Quellen

* ↑ en:w:Lucas_sequence#Other_relations
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* Geschichte
* Mathematiker
* Tabellen
* Formelsammlung
* Irrtümer zu den Pseudoprimzahlen
* Glossar
* Quellen
Irrtümer zu Pseudoprimzahlen
Wer sich mit Pseudoprimzahlen beschäftigt, wird früher oder später in die eine oder andere Falle laufen. Stärker als bei den Primzahlen scheint man immer wieder auf Muster zu stoßen, die sich aber bei genauerer Prüfung sich in Luft auflösen. Um solche Irrtümer geht es hier.

### Zu jeder fermatschen Pseudoprimzahl q existiert mindestens eine Primzahl p mit p kleiner als q, so daß q pseudoprim zu p ist

Die Zahl 39 ist ein Beispiel dafür, das dem nicht so ist. Denn die einzigen Zahlen kleiner 39, zu denen die 39 pseudoprim ist, sind die 14 und die 25. Die erste Primzahl zu der 39 pseudoprim ist, ist die 53.
Glossar
B
* Beweis
G
* Der größte gemeinsame Teiler (ggT) wird in Formeln als $gcd(a,b)$ (greatest common divisor) dargestellt; in der Literatur wird er oft auch nur $(a,b)$ geschrieben.
M
* Die multiplikative Ordnung $k=l_{a}(n)\$einer positiven ganzen Zahl $n$ zu einer teilerfremden Basis $a$ ist der kleinste positive ganzzahlige Exponent $k$, mit dem $a^{k}\ \equiv \ 1{\pmod {n}}$ ist.
N
* Natürliche Zahlen sind je nach Definition die nichtnegativen ganzen Zahlen oder die positiven ganzen Zahlen; als Mengensymbole werden dafür $\mathbb {N} _{0}$ bzw. $\mathbb {N}$ (ohne die 0) verwendet.
P
* Primzahl
    Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer 1, die nur durch 1 und sich selber teilbar ist.
S
* Symbole
| Symbol | Verwendung | Interpretation | Artikel |
| $\mid$ | $a\mid b$ | $a$ teilt $b$ | w:Teilbarkeit |
| $\parallel$ | $a^{k}\parallel b$ | $a^{k}$ teilt $b$ exakt, d. h. $a^{k+1}$ teilt $b$ nicht | w:Teilbarkeit |
| $\nmid$ | $a\nmid b$ | $a$ teilt $b$ nicht | w:Teilbarkeit |
| $\equiv$ | $a\equiv b{\pmod {m}}$ | $a$ und $b$ sind kongruent modulo $m$ | w:Kongruenz (Zahlentheorie) |
| $\forall$ | $\forall \,a$ | für alle $a$ | w:Allquantor |
| $\exists \,x$ | $\exists \,x$ | es existiert mindestens ein $x$ | w:Existenzquantor |
U
* Umkehrschluss
Legende :
| n,a | - | natürliche Zahlen |
| p | - | Primzahl |
| q | - | Pseudoprimzahl |
| c | - | Carmichael-Zahl |
| PsP(a) | - | fermatsche Pseudoprimzahl zur Basis a |
| ePsP(a) | - | eulersche Pseudoprimzahl zur Basis a |
| sPsP(a) | - | starke Pseudoprimzahl zur Basis a |
| lpsp | - | Lucas-Pseudoprimzahl |
| slpsp | - | starke Lucas-Pseudoprimzahl |
* Anhänge
* Geschichte
* Mathematiker
* Tabellen
* Formelsammlung
* Irrtümer zu den Pseudoprimzahlen
* Glossar
* Quellen
* Anhänge
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* Irrtümer zu den Pseudoprimzahlen
* Glossar
* Quellen

### Literatur

* The New Book of Prime Number Records, Paulo Ribenboim, Springer Verlag 1996, ISBN 0-387-94457-5
* Prime Numbers - A Computational Perspective, Richard Crandall & Carl Pomerance, Springer Verlag, ISBN 0-387-25282-7
** http://thales.doa.fmph.uniba.sk/macaj/skola/teoriapoli/primes.pdf

### Internet

* Wikipedia:
** Pseudoprimzahl
** Fermatsche Pseudoprimzahl
** Eulersche Pseudoprimzahl
** Starke Pseudoprimzahl
** Carmichael-Zahl
** Kleiner Fermatscher Satz
** Eulersche φ-Funktion
** Carmichael-Funktion
** Lucas-Folge
** Liste mathematischer Symbole
* andere Quellen
** Final Answers Modular Arithmetic
** Zeisel Number from MathWorld
** MathPages - Zeisel Numbers
** The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS) (Die Online-Enzyklopädie der Zahlenfolgen)
** Ergänzungen und Irrtümer zu dem Buch "The new Book of Prime Number Records" von Paolo Ribenboim
** New Implementations of Tabulating Strong Pseudoprimes and Liars, Wuyang Liu, Illinois Wesleyan University
** Daten, Statistiken:
*** Pseudoprime Statistics, Tables
*** Tabellen der Pseudoprimzahlen zur Basis 2 bis 2$^{64}$