# Elektrostatik

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## Elektrische Ladungen

In den Atomen aller chemischen Elemente gibt es »Elementarteilchen«, nämlich Protonen und Elektronen, die anziehende oder abstoßende Kräfte aufeinander ausüben. Diese Kräfte werden als »elektrostatische Kräfte«; bezeichnet. Ihre Ursache ist eine besondere Eigenschaft der Protonen und Elektronen, die man »elektrische Ladung« nennt. Es gibt genau zwei Arten von elektrischer Ladung, die man positiv und negativ genannt hat, weil sie einander teilweise oder ganz kompensieren können. Ganz willkürlich und – wie sich später herausgestellt hat – nicht besonders glücklich wurde die Protonenladung als positiv, die Elektronenladung als negativ bezeichnet. Beide Ladungen sind – vom Vorzeichen abgesehen – gleich groß und können einander zu null kompensieren. Da es die kleinsten Ladungen sind, die in der Natur vorkommen, heißen sie Elementarladungen.
Wie man schon mit sehr einfachen Experimenten zeigen kann, stoßen Ladungen gleichen Vorzeichens einander ab, während Ladungen entgegengesetzten Vorzeichens einander anziehen.
Die so genannte Erzeugung größerer elektrischer Ladungsmengen beruht in Wirklichkeit nicht auf Neuschöpfung elektrischer Ladungen, sondern auf einer Trennung der positiven und der negativen Ladungen, die in der Materie ja immer in gleicher Menge auftreten. Diese Trennung kann z. B. durch intensive Berührung zweier verschiedenartiger Körper geschehen (so genannte Reibungselektrizität) – die älteste und einfachste Form der Ladungstrennung.
Die SI-Einheit der elektrischen Ladung (oder Elektrizitätsmenge) ist das Coulomb (C). 1 Coulomb = 1 Amperesekunde (As).
Reibt man einen Stab aus Glas oder Kunststoff mit einem Stück Stoff, so fließen Elektronen entweder vom Stab auf den Stoff oder umgekehrt. (Die positiv geladenen Protonen befinden sich in den Atomkernen und können diese nicht verlassen.) Je nachdem hat der Stab dann ein Defizit oder einen Überschuss an negativen elektrischen Ladungen und ist dann positiv oder negativ »geladen«. Durch Berührung des Stabes mit einer isoliert aufgehängten Metallkugel kann diese dann ebenfalls positiv oder negativ aufgeladen werden. Wegen der gegenseitigen Abstoßung befindet sich das Defizit bzw. der Überschuss an Elektronen unmittelbar an der Oberfläche der Kugel, und zwar wegen der Symmetrie der Kugel gleichmäßig verteilt. (Bei einem anderen, weniger regelmäßig geformten Körper wäre die Verteilung ungleichmäßig, aber auch dann befänden sich die Ladungen nur an der Oberfläche. Man kann daher für diese Versuche auch metallische oder dünn metallisierte Hohlkörper benutzen.) Nähert man zwei derart geladene Kugeln einander an, so wird die Gleichmäßigkeit der Ladungsverteilung durch die Kräfte zwischen den Ladungen sofort zerstört. Es ist dann schwer, den Abstand der beiden »Kugelladungen« richtig zu bestimmen. Zu diesem Zweck müsste man die Kugeln möglichst klein machen, aber das wiederum schränkt die Größe der Ladungen ein, weil bei größerer Ladungsdichte eine »Sprühentladung« einsetzt (»Sankt-Elms-Feuer«). Daher hatte COULOMB bei seinen Bemühungen, das Gesetz für die Kraft zwischen zwei Ladungen zu bestimmen, große Schwierigkeiten.

## Das COULOMB-Gesetz

So wurde denn das Grundgesetz der Elektrostatik 1785 von COULOMB eher erraten und behauptet als experimentell bestätigt. Es besagt, dass die Kraft zwischen zwei elektrischen »Punktladungen« (eigentlich: Ladungen auf hinreichend kleinen kugelförmigen Körpern) Q$_1$ und Q$_2$ proportional dem Produkt der beiden Ladungen und umgekehrt proportional dem Quadrat ihres Abstandes r ist. (Als Abstand gilt angenähert der Abstand der Kugelmittelpunkte.)
Das COULOMB-Gesetz entspricht somit formal genau dem Gravitationsgesetz.
Die Kraft hat die Richtung der Verbindungsgeraden der beiden Ladungen, ist also eine »Zentralkraft«. Legt man die Ladung Q$_1$ in den Ursprung O des Koordinatensystems und bezeichnet den Ortsvektor von Q$_2$ mit r, so kann man das COULOMB-Gesetz als Vektorgleichung wie folgt schreiben. (Dabei ist F$_2$ die Kraft auf Q$_2$.)
    ${\overrightarrow {F_{2}}}=k{\frac {Q_{1}\,Q_{2}}{r^{2}}}{\frac {\overrightarrow {r}}{|{\overrightarrow {r}}|}},$
Für die Kraft F$_1$ gilt wegen »actio = reactio« :
Ist das Produkt Q$_1$Q$_2$ negativ (d. h. ist genau eine der beiden Ladungen negativ), ist F$_2$ auf Q$_1$ hin gerichtet.
(Anmerkung zur Schreibweise: Im Text werden Vektoren kursiv und fett dargestellt, in den mit TeX geschriebenen Formeln und Gleichungen durch einen Pfeil über dem Formelzeichen.)

## Die elektrische Feldstärke

Der elektrischen Feldtheorie liegt die Vorstellung zugrunde, dass jede elektrische Ladung den Raum in ihrer Umgebung verändert, indem sie ein »elektrisches Feld« um sich herum aufbaut. Worin die Veränderung des Raumes dabei besteht, ist noch immer ein Geheimnis. Wir können lediglich sagen: Ein elektrisches Feld ist ein Raum, in dem eine elektrische Ladung eine Kraft erfährt. Das Feld wird beschrieben durch den Vektor E der elektrischen Feldstärke.
Definition: Die elektrische Feldstärke E in einem Punkt des Raumes ist der Quotient aus der Kraft F, die eine »Probeladung« q in diesem Punkt erfährt und dieser Ladung:
    ${\overrightarrow {E}}={\frac {\overrightarrow {F}}{q}}.$
Für q > 0 haben E und F dieselbe Richtung, für q < 0 die entgegengesetzte.
Aus dem COULOMB-Gesetz ergibt sich mit Q$_1$ = Q und Q$_2$ = q für die Feldstärke einer »Punktladung« Q:
    ${\overrightarrow {E}}=k{\frac {Q}{r^{2}}}{\frac {\overrightarrow {r}}{|{\overrightarrow {r}}|}}.$
Aus historischen Gründen wird der Proportionalitätsfaktor k in der Form
    $k={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}$
geschrieben.
Die Konstante ε$_0$ = 8,85419 10$^{-12}$ A s / V m heißt elektrische Feldkonstante.
Die Einheit der elektrischen Feldstärke ist das Newton/Coulomb = Volt/Meter.
Im COULOMB-Gesetz und in der Gleichung für die Feldstärke einer Kugelladung taucht der Radius R der Kugel, auf der die Ladung gleichmäßig verteilt ist, nicht auf. Er hat also keinen Einfluss auf das Feld, außer dass dieses an der Oberfläche der Kugel, also im Abstand R vom Mittelpunkt, beginnt oder endet. Man kann theoretisch(!) den Radius der Kugel beliebig klein machen und so zum Ergebnis kommen:
Außerhalb einer Kugel, auf der eine Ladung Q gleichmäßig verteilt ist, verhält sich das Feld so, als ob die gesamte Ladung im Mittelpunkt vereinigt wäre.
Daher können »Punktladungen«, die es ja nicht gibt, durch »Kugelladungen« ersetzt werden.
Das oben beschriebene Gesetz für die Feldstärke gilt nur für den Raum außerhalb der Kugel, welche die Ladung trägt. Im Innern der Kugel ist der Raum feldfrei.
Begründung: Betrachten wir zunächst eine massive geladene Metallkugel. Wäre im Inneren ein elektrisches Feld vorhanden, dann würde dort auf die freien Elektronen des Metalls je eine Kraft ausgeübt und die Elektronen bewegt. Dies würde Wärme erzeugen, für deren Energie es keine Quelle gäbe. (Widerspruch zum Energiesatz.) Also ordnen sich die Elektronen so an, dass im Inneren kein Feld vorhanden ist. Dann kann man aber auch das Innere der Kugel aushöhlen, ohne dass sich an der Ladungsverteilung etwas ändern würde. Folglich existiert im Inneren auch dann kein Feld, wenn die Kugel hohl ist.
Es gibt aber auch noch einen anderen Beweis, der dann auch dazu dienen kann, das COULOMB-Gesetz zu verifizieren. Betrachten wir einen beliebigen Punkt P im Inneren der Hohlkugel. Drei eng beisammen liegende Gerade durch diesen Punkt bilden zusammen mit zwei Teilen der Kugelfläche zwei schlanke Tetraeder.
Man denke sich nun die Grundflächen der beiden Tetraeder auf einen Punkt hin schrumpfend. Dann wirken in P praktisch zwei elektrische Kräfte und zwei elektrische Felder in entgegengesetzter Richtung. Die Ladungen auf den beiden Flächen verhalten sich dabei stets wie a$^2$ / b$^2$, die Quadrate der Abstände der Ladungen zu P (= Höhen der Tetraeder) ebenfalls. Folglich sind die Kräfte und die Feldstärken in P entgegengesetzt gleich. Denkt man sich die ganze Kugel derart in ähnliche Tetraeder zerlegt, so erkennt man, dass die gesamte Feldstärke in P gleich null sein muss.
Elektrische Felder können durch Feldlinien anschaulich gemacht werden. Das sind Linien, deren Tangenten in jedem Punkt die Richtung der Kraft haben, die eine positive Ladung dort erfahren würde. So sind die Feldlinien einer positiven Punktladung radial nach außen gerichtet, die Feldlinien einer negativen Ladung radial nach innen. Die elektrischen Feldlinien gehen also von positiven Ladungen (»Quellen«) aus und enden in negativen Ladungen (»Senken«).
Wie man am Feld einer Punktladung erkennen kann, ist die Flächendichte der Feldlinien proportional der Feldstärke.
Die Darstellung des elektrischen Feldes durch Feldlinien ist zwar recht anschaulich und einprägsam, hat aber einen gravierenden Mangel: Einerseits muss man annehmen, dass durch jeden Punkt eines Feldes eine Feldlinie geht. Die Flächendichte der Feldlinien wäre dann unendlich. Andererseits aber laufen die Feldlinien einer Kugelladung nach außen immer weiter auseinander, und ihre Flächendichte nimmt ab. Dieser Widerspruch bleibt unauflösbar. Darum wird für strenge Untersuchungen das Feldlinienkonzept durch eine andere Betrachtungsweise ergänzt, die im Folgenden vorgestellt wird.

## Fluss und Flussdichte des elektrischen Feldvektors E

Betrachten wir zunächst ein homogenes Feld. Hier ist der Feldvektor E unabhängig vom Ort. In einem solchen Feld liege ein ebenes Flächenstück vom Größenwert ΔA, das auf dem Feldvektor senkrecht steht. Sein Flächenvektor ΔA sei also parallel zum Feldvektor E. Dann bezeichnet man das Produkt aus dem Größenwert E der Feldstärke und dem Größenwert ΔA der Fläche als den elektrischen Fluss Ψ des Feldvektors durch die Fläche:
    $\Delta \Psi =E\;\Delta A.$
Eine nützliche Analogie dazu ist der Fluss v ΔA einer Flüssigkeits- oder Gas-Strömung mit dem Geschwindigkeitsvektor v durch ein Flächenstück. Die Dimension dieses Flusses ist Volumen/Zeit. Die Dimension des elektrischen Flusses ist Feldstärke mal Fläche.
Der auf die (senkrecht zum Feld stehende) Fläche bezogene Fluss, also der Quotient ΔΨ / ΔA heißt »Flussdichte« des Feldvektors. Er ist in unserem Fall nichts anderes als der Betrag der Feldstärke.
    ${\mbox{Flussdichte}}\;{\frac {\Delta \Psi }{\Delta A}}=E.$
Bildet der Feldvektor E mit dem Flächenvektor ΔA den Winkel α, so ist
    $\Delta \Psi =E\;\Delta A\;\cos \alpha \;.$
Der Term auf der rechten Seite ist das Skalarprodukt der Vektoren E und ΔA, also ist
    $\Delta \Psi ={\overrightarrow {E}}\;\Delta {\overrightarrow {A}}\,.$
Für α = 90° ist ΔΨ = 0, für 90° < α < 270° ist ΔΨ < 0.
Im inhomogenen Feld gilt für ein hinreichend kleines Flächenstück
    $\Delta \Psi \approx {\overrightarrow {E}}_{m}\;\Delta {\overrightarrow {A}}\;,$
wobei E$_m$ die Feldstärke in der Mitte des Flächenstücks ist.
Für eine beliebig große Fläche A ergibt sich daraus nach Zerlegung der Fläche in hinreichen kleine Teile:
    $\Psi _{A}=\sum _{A}{\Delta \Psi }\approx \sum _{A}{\overrightarrow {E}}\,\Delta {\overrightarrow {A}}\;.$
Für alle ΔA gegen 0 wird daraus
    $\Psi _{A}=\lim _{\Delta A\to 0}\sum {\overrightarrow {E}}\,\Delta {\overrightarrow {A}}=\int _{A}{{\overrightarrow {E}}\,\operatorname {d} {\overrightarrow {A}}}\,.$
Wir untersuchen nun den Fluss des Feldes einer Kugelladung Q. Als Fläche A benutzen wir eine mit der Ladung konzentrische Kugelfläche vom Radius r. Der Feldvektor E steht überall auf dieser Fläche senkrecht. Außerdem ist sein Betrag dort konstant:
    $E={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}\,.$
Weil die Vektoren E und dA parallel sind, ist ihr Skalarprodukt gleich dem Produkt ihrer Beträge. Somit wird:
    $\Psi _{A}=\oint _{A}{{\overrightarrow {E}}\,\operatorname {d} {\overrightarrow {A}}}=\oint _{A}{E\,\operatorname {d} A}={\frac {Q}{4\pi \,\varepsilon _{0}r^{2}}}\oint _{A}{\operatorname {d} A}={\frac {Q}{4\pi \,\varepsilon _{0}r^{2}}}4\pi r^{2}={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}.$
Der Ring im Integralzeichen bedeutet, dass sich die Integration über eine geschlossene Linie, über eine geschlossene Fläche (Hüllfläche) oder über ein durch eine Hüllfläche umschlossenes Volumen erstreckt. (Die letzten beiden Integraltypen werden in der deutschen Literatur meist als Doppel- bzw. Dreifachintegrale dargestellt, was mit TeX nicht möglich ist.)
Der von der Ladung Q ausgehende Fluss des Feldvektors E ist also gleich Q/ε$_0$. Dieses Ergebnis ist von der Gestalt der »Hüllfläche« unabhängig und gilt für jede die Ladung umschließende geschlossene Fläche. Dies wird spätestens dann erkennbar, wenn man sich um die Ladung zwei (blaue) Kugeln gelegt denkt, von denen eine ganz innerhalb der (schwarzen) Hüllfläche liegt und die andere diese ganz umschließt. Der Fluss durch die beiden blauen Kugeln ist gleich groß. Also muss er in gleicher Größe auch durch alle Flächen gehen, die dazwischen liegen. Dies gilt selbst dann, wenn die unregelmäßige Fläche in einzelnen Bereichen nach innen gekrümmt ist. (Man bedenke, dass die Flächennormale in einem Teil der Fläche mit dem Feldstärkevektor einen stumpfen Winkel bildet und das Skalarprodukt negativ ist. – Siehe Abbildung.)

## Das elektrische Feld mehrerer Kugelladungen

Wie Messungen zeigen, erfährt eine Ladung q im Feld zweier Kugelladungen Q$_1$ und Q$_2$ eine Kraft F, die so groß ist wie die Vektorsumme der beiden Kräfte F$_1$ und F$_2$, welche die beiden Ladungen Q$_1$ und Q$_2$ je einzeln auf die Ladung q ausüben.
    ${\overrightarrow {F}}={\overrightarrow {F}}_{1}+{\overrightarrow {F}}_{2}$
Durch Division mit q folgt daraus
    ${\overrightarrow {E}}={\frac {\overrightarrow {F}}{q}}={\frac {{\overrightarrow {F}}_{1}+{\overrightarrow {F}}_{2}}{q}}={\frac {{\overrightarrow {F}}_{1}}{q}}+{\frac {{\overrightarrow {F}}_{2}}{q}}={\overrightarrow {E}}_{1}+{\overrightarrow {E}}_{2}.$
Bei der Überlagerung der beiden Felder addieren sich die Feldstärken vektoriell.
Für den Fluss Ψ$_A$ des Gesamtfeldes durch eine Fläche A ergibt sich daraus:
    $\Psi _{A}=\int _{A}{{\overrightarrow {E}}\,\operatorname {d} {\overrightarrow {A}}}=\int _{A}{\left({{\overrightarrow {E}}_{1}+{\overrightarrow {E}}_{2}}\right)\operatorname {d} {\overrightarrow {A}}}=\int _{A}{{\overrightarrow {E}}_{1}\,\operatorname {d} {\overrightarrow {A}}}+\int _{A}{{\overrightarrow {E}}_{2}\,\operatorname {d} {\overrightarrow {A}}}$
          $\,=\Psi _{1,A}+\Psi _{2,A}.$
Die Flüsse der beiden Feldvektoren summieren sich also skalar.
Schließt man die beiden felderzeugenden Ladungen Q$_1$ und Q$_2$ durch eine gemeinsame Hüllfläche ein, so gilt für den Fluss durch diese Fläche:
    $\Psi _{\mathrm {H} }=\Psi _{1,\mathrm {H} }+\Psi _{2,\mathrm {H} }={\frac {Q_{1}}{\varepsilon _{0}}}+{\frac {Q_{2}}{\varepsilon _{0}}}={\frac {Q_{1}+Q_{2}}{\varepsilon _{0}}}.$
Also gilt: Der Fluss des Feldvektors E durch eine Hüllfläche ist gleich der Summe der umschlossenen Ladungen dividiert durch ε$_0$.
Die gefundenen Gesetze für die Feldstärke und für den Fluss des elektrischen Feldvektors durch eine Hüllfläche lassen sich nun für beliebig viele Ladungen verallgemeinern:
    ${\overrightarrow {E}}=\sum \nolimits _{i=1}^{n}{{\overrightarrow {E}}_{i}}\;,$
    $\Psi _{\mathrm {H} }=\sum _{i=1}^{n}{\Psi _{i,\mathrm {H} }}={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\sum \nolimits _{i=1}^{n}{Q_{i}}\;.$

### Kontinuierliche Ladungsverteilung

In einem Raumstück sei eine elektrische Ladung kontinuierlich – wenn auch nicht unbedingt gleichmäßig – verteilt. Man spricht dann von einer »Raumladung«. (Da elektrische Ladungen aus einzelnen Protonen und Elektronen bestehen, ist eine kontinuierliche Ladungsverteilung streng genommen nicht möglich: die Ladung ist »körnig«. Da aber die »Körner« und ihre Abstände sehr klein sind, kann man fast immer eine kontinuierliche Ladungsverteilung annehmen.)
Befindet sich in einem Teil des Raumes mit dem Volumen ΔV die Ladung ΔQ, so ist die mittlere Raumladungsdichte in diesem Teil
    $\rho _{m}={\frac {\Delta Q}{\Delta V}}.$
Für ΔV gegen null ergibt sich daraus die Raumladungsdichte im Punkt P, auf den hin ΔV geschrumpft ist:
    $\rho =\lim _{\Delta V\to 0}{\frac {\Delta Q}{\Delta V}}={\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} V}}\,.$
Kennt man in dem betrachteten Raumstück mit dem Volumen V die Raumladungsdichte als Funktion des Ortes, so findet man die in V befindliche Ladung:
    $Q_{V}=\oint _{V}{\operatorname {d} Q}=\oint _{V}{\rho \,\operatorname {d} V\,.}$
Betrachten wir nun eine das Raumstück umfassende Hüllfläche H. Der durch diese Hüllfläche tretende Fluss des Feldvektors E ist
    $\psi _{\mathrm {H} }={\frac {Q_{V}}{\varepsilon _{0}}}={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\oint _{V}{\rho \,\operatorname {d} V}\,.$
Andererseits ist
    $\psi _{\mathrm {H} }=\oint _{\mathrm {H} }{{\overrightarrow {E}}\,\operatorname {d} {\overrightarrow {A}}}\,,$
also
    $\oint _{\mathrm {H} }{{\overrightarrow {E}}\,\operatorname {d} {\overrightarrow {A}}}={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\oint _{\rho \,\operatorname {d} V\,.}$
Dieses Ergebnis entspricht dem Integralsatz von GAUSS:
    $\oint _{\mathrm {H} }{{\overrightarrow {E}}\,\operatorname {d} {\overrightarrow {A}}}=\oint _{V}{\operatorname {div} \,{\overrightarrow {E}}}\;\operatorname {d} V$
Er besagt Folgendes: Ist der Fluss eines Feldvektors durch eine Hüllfläche ungleich null, dann gibt es in dem von der Hüllfläche umschlossenen Raumstück einen Überschuss entweder an Quellen oder Senken des Feldvektors (hier: positive oder negative Ladungen). Der Fluss durch die Hüllfläche ist gleich der Summe der Ergiebigkeiten aller in der Hüllfläche liegenden Quellen und Senken. Bei kontinuierlicher Verteilung der Quellen und Senken im Raum wird die »Ergiebigkeitsdichte« oder »Quelldichte« durch die Divergenz ausgedrückt. (Siehe dazu Wikibook Vektoranalysis: Teil III)
Der Vergleich der beiden oben stehenden Gleichungen ergibt:
    $\operatorname {div} \,{\overrightarrow {E}}={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\,.$
Die »Quelldichte« des Feldvektors E bei kontinuierlicher Ladungsverteilung ist also gleich ρ / ε$_0$.
Beispiel:
Gegeben sei eine kugelförmige »Raumladungswolke« vom Radius R mit der konstanten Raumladungsdichte ρ und ein beliebiger Punkt im Abstand r vom Mittelpunkt M.
Erste Betrachtungsweise:
Auf Grund unserer bisher erworbenen Kenntnisse können wir sagen:
1. Liegt P außerhalb der Kugel (r > R), so verhält sich das Feld in P so, also ob die gesamte Ladung in M vereinigt wäre. Es ist also
    $E_{1}={\frac {Q}{4\pi \,\varepsilon _{0}r^{2}}}={\frac {{\frac {4}{3}}\pi \,R^{3}\rho }{4\pi \,\varepsilon _{0}r^{2}}}={\frac {\rho \,R^{3}}{3\,\varepsilon _{0}r^{2}}}.$
2. Liegt P innerhalb der Kugel (r < R), so gilt:
a) Die Ladung in der Kugelschale mit den Radien r und R, auf deren Innenfläche P liegt, erzeugt in P kein Feld.
b) Die Ladung der Kugel mit dem Radius r, auf deren Oberfläche der Punkt P liegt, erzeugt in P dasselbe Feld, wie wenn die ganze Ladung dieser Kugel im M vereinigt wäre. Also ist
    $E_{2}={\frac {Q}{4\pi \,\varepsilon _{0}r^{2}}}={\frac {{\frac {4}{3}}\pi \,r^{3}\rho }{4\pi \,\varepsilon _{0}r^{2}}}={\frac {\rho \,r}{3\,\varepsilon _{0}}}.$
Zweite Betrachtungsweise:
1. Liegt P außerhalb der Kugel, so ist der Fluss des Feldvektors E durch eine kugelförmige Hüllfläche durch P:
    $\Psi _{\mathrm {H} }=\oint _{\mathrm {H} }{{\overrightarrow {E}}\,\operatorname {d} {\overrightarrow {A}}}=E\oint _{\mathrm {H} }{\operatorname {d} A}=E\,4\pi \,r^{2}={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}={\frac {{\frac {4}{3}}\pi R^{3}\rho }{\varepsilon _{0}}},$
woraus folgt
    $E_{1}={\frac {\rho R^{3}}{3\,\varepsilon _{0}r^{2}}}.$
2. Liegt P innerhalb der Kugel, dann ist der Fluss durch eine kugelförmige Hüllfläche durch P:
    $\Psi _{\mathrm {H} }=E\,4\pi \,r^{2}={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}={\frac {{\frac {4}{3}}\pi r^{3}\rho }{\varepsilon _{0}}},$
woraus folgt
    $E_{2}={\frac {\rho \,r}{3\,\varepsilon _{0}}}.$
Als Vektoren geschrieben sind
    ${\overrightarrow {E}}_{1}={\frac {\rho R^{3}}{3\,\varepsilon _{0}r^{3}}}{\overrightarrow {r}}\,,\quad \quad {\overrightarrow {E}}_{2}={\frac {\rho }{3\,\varepsilon _{0}}}{\overrightarrow {r}}\,.$
Wir berechnen noch für beide Feldvektoren die Divergenz.
    $\operatorname {div} \,{\overrightarrow {E}}={\frac {\partial E_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial E_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial E_{z}}{\partial z}}.$
Es ist
    ${\overrightarrow {E}}_{1}=c{\frac {\overrightarrow {r}}{r^{3}}}=c{\frac {x{\overrightarrow {i}}+y{\overrightarrow {j}}+z{\overrightarrow {k}}}{\left({x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)^{\frac {3}{2}}}}\quad {\text{mit}}\quad c={\frac {\rho R^{3}}{3\,\varepsilon _{0}}}.$
    $E_{x}=c{\frac {x}{\left({x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)^{\frac {3}{2}}}},$
    ${\frac {\partial E_{x}}{\partial x}}=c{\frac {\left({x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)^{\frac {3}{2}}-x{\frac {3}{2}}\left({x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)^{\frac {1}{2}}2x}{\left({x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)^{3}}},$
    ${\frac {\partial E_{x}}{\partial x}}=c{\frac {\left({x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)^{\frac {3}{2}}-3x^{2}\left({x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)^{\frac {1}{2}}}{\left({x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)^{3}}},$
und analog
    ${\frac {\partial E_{y}}{\partial y}}=c{\frac {\left({x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)^{\frac {3}{2}}-3y^{2}\left({x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)^{\frac {1}{2}}}{\left({x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)^{3}}},$
    ${\frac {\partial E_{z}}{\partial z}}=c{\frac {\left({x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)^{\frac {3}{2}}-3z^{2}\left({x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)^{\frac {1}{2}}}{\left({x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)^{3}}}.$
Daraus folgt
    ${\frac {\partial E_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial E_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial E_{z}}{\partial z}}=c{\frac {3\left({x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)^{\frac {3}{2}}-3\left({x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)\left({x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)^{\frac {1}{2}}}{\left({x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)^{3}}}=0$
Also ist
    $\operatorname {div} \,{\overrightarrow {E}}_{1}=0$
Ferner ist
    ${\overrightarrow {E}}_{2}={\frac {\rho }{3\,\varepsilon _{0}}}{\overrightarrow {r}}=c\left({x{\overrightarrow {i}}+y{\overrightarrow {j}}+z{\overrightarrow {k}}}\right),$
    ${\frac {\partial E_{x}}{\partial x}}={\frac {\partial E_{y}}{\partial y}}={\frac {\partial E_{z}}{\partial z}}=c,$
    $\operatorname {div} \,{\overrightarrow {E}}_{2}=3c={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}.$
Diese Resultate entsprechen genau unseren Erwartungen.

## Das elektrostatische Potential

Im elektrostatischen Feld (das ist das Feld unbewegter Ladungen) gelten folgende Gesetze:
1. Es gibt im elektrostatischen Feld auch bei beliebiger Ladungsverteilung keine geschlossenen Feldlinien.
Beweis: Gäbe es im Feld eine geschlossene Feldlinie, so könnte eine elektrische Ladung unter der Wirkung der elektrischen Kraft beliebig oft darauf umhergeführt und dabei Arbeit gewonnen werden, ohne dass dafür an einer anderen Stelle Arbeit aufgewendet werden müsste. Dies wäre ein Verstoß gegen den Energieerhaltungssatz.
2. Die Arbeit W, die aufzuwenden ist, wenn in einem elektrostatischen Feld eine Ladung q von einem Punkt P$_1$ zu einem anderen Punkt P$_2$ bewegt wird, ist vom Weg unabhängig.
Beweis: Wenn dies nicht so wäre, so könnte man mit einer Ladung q einen geschlossenen Umlauf P$_1$ – P$_2$ – P$_1$ machen und dabei durch geschickte Wahl der Wege Arbeit gewinnen.
Die Arbeit, die bei Bewegung einer Ladung q in einem elektrischen Feld aufzuwenden ist, beträgt
    $W=\int _{P_{1}}^{P_{2}}{{\overrightarrow {F}}\;\operatorname {d} {\overrightarrow {s}}}=-q\int _{P_{1}}^{P_{2}}{{\overrightarrow {E}}\;\operatorname {d} {\overrightarrow {s}}}\,.$
Berechnet man das Arbeitsintegral über einen geschlossenen Weg, so ist W = 0 und daher
    $\oint {{\overrightarrow {E}}\;\operatorname {d} {\overrightarrow {s}}=0\,.}$
3. Da der Wert des Arbeitsintegrals vom Weg zwischen P$_1$ und P$_2$ unabhängig ist, ist auch die Arbeit W, die aufzuwenden ist, um eine Ladung q aus dem Unendlichen (d. h. aus sehr großer Entfernung) zu einem Punkt P zu bringen, vom Weg unabhängig. Diese Arbeit hängt also nur von q und von der Lage des Punktes P ab. Sie ist proportional zu q, weil die Kraft auf die Ladung an jeder Stelle proportional zu q ist. Der Quotient W/q hängt dann nur noch von der Lage des Punktes P ab, ist also allein eine Funktion des Ortes und wird das Potential φ des Punktes P genannt.
    $\mathrm {Potential} \;\varphi ={\frac {W}{q}}\,.$
Durch diese Definition ist das Potential im Unendlichen gleich null; im Feld einer positiven Ladung ist es positiv, im Feld einer negativen Ladung negativ.
Die SI-Einheit des Potentials ist das Volt (V). 1 V = 1 Nm/As.
Aus der Definition des Potentials folgt:
Um eine Ladung q von einem Punkt mit dem Potential φ$_1$ zu einem Punkt mit dem Potential φ$_2$ zu bringen, ist die Arbeit
    $W=q\left({\varphi _{2}-\varphi _{1}}\right)=q\,\Delta \varphi _{2,1}$
aufzuwenden.

### Das Potential des Feldes einer Kugelladung

Es soll nun das Potential eines Punktes P im Abstand r von einer Kugelladung Q berechnet werden. Dazu berechnen wir zunächst die Arbeit W, die nötig ist, um eine Ladung q aus dem Unendlichen nach P zu bringen. Da diese Arbeit vom Weg unabhängig ist, machen wir es uns bequem und bewegen die Ladung aus dem Unendlichen radial auf Q zu. Dann hat die aufzuwendende Kraft stets dieselbe Richtung wie der Weg und es wird daher:
    $W=\int _{\infty }^{P}{{\overrightarrow {F}}\;\operatorname {d} {\overrightarrow {s}}}=\int _{\infty }^{P}{F\;\operatorname {d} s}={\frac {Q\,q}{4\pi \,\varepsilon _{0}}}\int _{\infty }^{P}{{\frac {1}{r^{2}}}\;\operatorname {d} s}\,.$
Da r und s entgegengesetzt gerichtet sind, ist ds = - dr und daher
    $W=-{\frac {Q\,q}{4\pi \,\varepsilon _{0}}}\int _{\infty }^{P}{{\frac {1}{r^{2}}}\,\operatorname {d} r}=-{\frac {Q\,q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left|{-{\frac {1}{r}}}\right|_{\infty }^{r}={\frac {Q\,q}{4\pi \varepsilon _{0}r}}.$
Folglich ist
    $\varphi ={\frac {W}{q}}={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}r}}\,.$
Das Potential des Feldes hat also das gleiche Vorzeichen wie die felderzeugende Ladung.
Da im Innern einer geladenen Kugelfläche die Feldstärke null ist, ist das Potential konstant: zum Bewegen einer Ladung ist keine Kraft und daher auch keine Arbeit erforderlich.
Wir berechnen nun noch den Gradienten des Potentials in diesem Feld. Es ist
    $\operatorname {grad} \;\varphi ={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}{\overrightarrow {i}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}{\overrightarrow {j}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}{\overrightarrow {k}}.$
Die partiellen Ableitungen von φ nach x, y und z werden nach der Kettenregel berechnet.
    ${\frac {\partial \varphi }{\partial x}}={\frac {\operatorname {d} \varphi }{\operatorname {d} r}}{\frac {\partial r}{\partial x}},\quad {\frac {\operatorname {d} \varphi }{\operatorname {d} r}}=-{\frac {Q}{4\pi \,\varepsilon _{0}r^{2}}}.$
Die partielle Ableitung ${\frac {\partial r}{\partial x}}$ findet man am bequemsten so:
    $r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2},\quad \Rightarrow \quad 2r{\frac {\partial r}{\partial x}}=2x,\quad \Rightarrow \quad {\frac {\partial r}{\partial x}}={\frac {x}{r}}\,.$
So erhält man
    ${\frac {\partial \varphi }{\partial x}}={\frac {\operatorname {d} \varphi }{\operatorname {d} r}}{\frac {\partial r}{\partial x}}=-{\frac {Q}{4\pi \,\varepsilon _{0}r^{2}}}{\frac {x}{r}};\quad {\frac {\partial \varphi }{\partial y}}=-{\frac {Q}{4\pi \,\varepsilon _{0}r^{2}}}{\frac {y}{r}};\quad {\frac {\partial \varphi }{\partial z}}=-{\frac {Q}{4\pi \,\varepsilon _{0}r^{2}}}{\frac {z}{r}};$
und folglich
    $\operatorname {grad} \,\varphi =-{\frac {Q}{4\pi \,\varepsilon _{0}r^{3}}}\left({x{\overrightarrow {i}}+y{\overrightarrow {j}}+z{\overrightarrow {k}}}\right)=-{\frac {Q}{4\pi \,\varepsilon _{0}r^{3}}}{\overrightarrow {r}}=-{\overrightarrow {E\,,}}$
und daher
    ${\overrightarrow {E}}=-\operatorname {grad} \,\varphi \,.$
Diese wichtige Beziehung gilt in jedem beliebigen Potentialfeld. (Siehe unten: Potential und Feldstärke in einem beliebigen Feld.)

### Das Potential des Feldes mehrerer Kugelladungen

Wie oben schon erklärt, addieren sich die Feldstärken diskreter Kugelladungen vektoriell:
    ${\overrightarrow {E}}=\sum \nolimits _{i=1}^{n}{{\overrightarrow {E}}_{i}}.$
Bewegt man in einem solchen Feld eine Probeladung aus sehr großer (unendlicher) Entfernung zu einem Punkt P, so muss dabei die Kraft F = -q E aufgewendet werden. Die Arbeit ist daher
    $W=-q\int _{\infty }^{P}{{\overrightarrow {E}}\,\operatorname {d} {\overrightarrow {s}}}=-q\int _{\infty }^{P}{\left({{\overrightarrow {E}}_{1}+{\overrightarrow {E}}_{2}+...+{\overrightarrow {E}}_{n}}\right)\operatorname {d} {\overrightarrow {s}}}.$
Das elektrostatische Potential des Punkts P ist dann
    $\varphi ={\frac {W}{q}}=-\int _{\infty }^{P}{\left({{\overrightarrow {E}}_{1}+{\overrightarrow {E}}_{2}+...+{\overrightarrow {E}}_{n}}\right)}\operatorname {d} {\overrightarrow {s}}$
             $=-\int _{\infty }^{P}{{\overrightarrow {E}}_{1}\operatorname {d} {\overrightarrow {s}}}-\cdots -\int _{\infty }^{P}{{\overrightarrow {E}}_{n}\operatorname {d} {\overrightarrow {s}}}.$
Die n Summanden sind aber nichts anderes als die von den einzelnen Ladungen in P erzeugten Potentiale. Also ist
    $\varphi =\varphi _{1}+\varphi _{2}+\cdots +\varphi _{n}.$
Das Gesamtpotential ist die Summe der Potentiale der einzelnen Felder.

### Das Potential im Feld einer kugelförmigen Raumladung

Die Feldstärke dieses Feldes wurde schon im Beispiel des Kapitels 5.1 Kontinuierliche Ladungsverteilung berechnet.
Im Außenraum verhält sich das Feld wie das einer Kugel- oder Punktladung. Dort ist
    $E_{1}={\frac {Q}{4\pi \,\varepsilon _{0}r^{2}}}={\frac {\rho \,R^{3}}{3\,\varepsilon _{0}r^{2}}}.$
Für das Potential gilt dann entsprechend
    $\varphi _{1}={\frac {Q}{4\pi \,\varepsilon _{0}r}}={\frac {\rho R^{3}}{3\,\varepsilon _{0}r}}.$
An der Oberfläche der kugelförmigen Raumladung ist dann mit r = R
    $\varphi _{R}={\frac {\rho \,R^{2}}{3\,\varepsilon _{0}}}.$
Im Innenraum (r < R) kommt zu diesem Potential noch die ladungsbezogene Arbeit hinzu, die auf dem Weg vom Abstand R bis r aufzubringen ist. Es ist also
    $\varphi _{r}=\varphi _{R}+\int _{R}^{r}{{\overrightarrow {E}}_{2}\operatorname {d} {\overrightarrow {s}}},$
wobei (siehe Kapitel 5.1)
    $E_{2}={\frac {\rho \,r}{3\,\varepsilon _{0}}}$
ist. Damit ergibt sich weiter
$\varphi _{r}=\varphi _{R}+\int _{R}^{r}{{\overrightarrow {E}}\,\operatorname {d} {\overrightarrow {s}}}=\varphi _{R}-\int _{R}^{r}{E\,\operatorname {d} r}=\varphi _{R}+\int _{r}^{R}{{\frac {\rho \,r}{3\,\varepsilon _{0}}}\operatorname {d} r}=\varphi _{R}+\left|{\frac {\rho r^{2}}{6\,\varepsilon _{0}}}\right|_{r}^{R},$
und schließlich
    $\varphi _{r}={\frac {\rho }{2\,\varepsilon _{0}}}\left({R^{2}-{\frac {r^{2}}{3}}}\right).$

### Potential und Feldstärke in einem beliebigen Feld

Das Differential dW der Arbeit, das aufzuwenden ist, um die Ladung q in einem Punkt mit der Feldstärke E um die gerichtete Strecke ds zu bewegen, ist
    $\operatorname {d} W=-q\,{\overrightarrow {E}}\,\operatorname {d} {\overrightarrow {s}}\,,$
und das Differential dφ des Potentials im Fußpunkt des Vektors ds ist
    $\operatorname {d} \varphi ={\frac {\operatorname {d} {W}}{q}}=-{\overrightarrow {E}}\,\operatorname {d} {\overrightarrow {s}}.\quad \quad (\mathrm {A} )$
Das vollständige Differential dU einer skalaren Ortsfunktion U(x, y, z) ist
    $\operatorname {d} U={\frac {\partial U}{\partial x}}\operatorname {d} x+{\frac {\partial U}{\partial y}}\operatorname {d} y+{\frac {\partial U}{\partial z}}\operatorname {d} z.$
Die rechts stehende Summe kann dargestellt werden als das Skalarprodukt zweier Vektoren:
    $\operatorname {d} U=\left({{\frac {\partial U}{\partial x}}{\overrightarrow {i}}+{\frac {\partial U}{\partial y}}{\overrightarrow {j}}+{\frac {\partial U}{\partial z}}{\overrightarrow {k}}}\right)\left({\operatorname {d} x\,{\overrightarrow {i}}+\operatorname {d} y{\overrightarrow {j}}+\operatorname {d} z{\overrightarrow {\,k}}}\right).$
Der erste Faktor ist der Vektor grad U, der zweite Faktor ist der Vektor ds. Folglich ist
    $\operatorname {d} U=\operatorname {grad} \,U\,\operatorname {d} {\overrightarrow {s}}.$
(Zur Erinnerung: Der Vektor grad U einer skalaren Ortsfunktion U hat die Richtung des maximalen Anstiegs der Funktion U im jeweils betrachteten Punkt P; sein Betrag ist gleich dem Größenwert dieses maximalen Anstiegs. Der Vektor grad U steht auf der Tangentenebene der Fläche U = konst. in P senkrecht.)
Wendet man dieses Ergebnis auf das Potential φ an, erhält man
    $\operatorname {d} \varphi =\operatorname {grad} \,\varphi \;\operatorname {d} {\overrightarrow {s}}.$
Durch Vergleich mit Gleichung (A) ergibt sich
    $\operatorname {grad} \,\varphi =-{\overrightarrow {E}}.$
Die Feldstärke eines jeden Potentialfeldes (das ist ein Feld, in dem jeder Punkt ein definiertes Potential hat) ist also der Gradient des Potentials des Feldes.
Wegen
    $\operatorname {div} \,{\overrightarrow {E}}={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\quad {\mbox{und}}\quad {\overrightarrow {E}}=-\operatorname {grad} \,\varphi$
ist
$\operatorname {div} \;\operatorname {grad} \,\varphi \equiv \nabla \nabla \varphi \equiv \Delta \varphi =-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\quad \quad \mathrm {POISSON-Differentialgleichung}$
wobei $\nabla$ (Nabla) der HAMILTON- Differentialoperator und $\Delta =\nabla \nabla$ der LAPLACE-Differentialoperator ist.
Es ist
    $\nabla ={\frac {\partial }{\partial x}}{\overrightarrow {i}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\overrightarrow {j}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\overrightarrow {k}}\quad \operatorname {und} \quad \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}.$
Die POISSON-Differentialgleichung ist die Differentialgleichung des elektrostatischen Potentials φ.
Im ladungsfreien Raum ist überall
$\Delta \varphi =0\quad \quad \mathrm {LAPLACE-Differentialgleichung}$
Befinden sich insbesondere in einem Raumstück mehrere Kugelladungen, so summieren sich in jedem Punkt deren Potentiale wie Skalare, ihre Feldstärken dagegen wie Vektoren. (Hier zeigt sich die erhebliche Vereinfachung durch die Einführung des Potentials.)
    $\varphi =\sum \nolimits _{i=1}^{n}{{\frac {Q_{i}}{4\pi \,\varepsilon _{0}r_{i}}}.}$
Bei kontinuierlicher Ladungsverteilung (Raumladung mit der Raumladungsdichte ρ oder Flächenladung mit der Flächenladungsdichte σ) ist
    $\varphi =\int _{V}{\frac {\rho \,\operatorname {d} V}{4\pi \varepsilon _{0}r}}\quad {\mathrm {bzw} }{\mbox{.}}\quad \varphi =\int _{A}{\frac {\sigma \,\operatorname {d} A}{4\pi \varepsilon _{0}r}}.$
Aus der mit dem Energiesatz begründeten Aussage, dass das Linienintegral der elektrischen Feldstärke über eine geschlossene Linie gleich null ist,
    $\oint {\overrightarrow {E}}\,\operatorname {d} {\overrightarrow {s}}=0,$
folgt mit dem Integralsatz von STOKES (siehe Wikibook Vektoranalysis: Teil IV), dass im ganzen Feld
    $\operatorname {rot} \,{\overrightarrow {E}}=0$
ist: Das elektrostatische Feld ist wirbelfrei. Die Wirbelfreiheit wiederum erweist sich (siehe a. a. O.) als die mathematische Voraussetzung dafür, dass ein Vektorfeld ein Potentialfeld besitzt. (Das bedeutet, dass jedem Punkt des Feldes eindeutig ein Potential zugeordnet werden kann.)

## Spezielle elektrostatische Potentialfelder
### Elektrischer Dipol

Ein elektrischer Dipol besteht aus zwei entgegengesetzt gleichen Ladungen Q und –Q im Abstand l. Das Produkt Q l heißt Dipolmoment m. Es ist ein Vektor von der Richtung des Vektors l.
Das Potential in P ist die Summe der einzelnen Potentiale:
$\varphi ={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({{\frac {1}{a}}-{\frac {1}{b}}}\right)={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {b-a}{ab}}.$
Für r >> l ist
$b-a\approx l\cos \delta \quad {\mbox{und}}\quad ab\approx r^{2}.$
Dann ist annähernd:
$\varphi ={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {l\cos \delta }{r^{2}}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {{\overrightarrow {m}}{\overrightarrow {r}}}{r^{3}}}.$
Das Dipolpotential nimmt also mit 1/r$^2$ ab und hängt außerdem vom Winkel zwischen l und r ab. Es ist auf der Mittelsenkrechten des Dipols überall null und hat bei konstantem r in der Dipolachse den größten Betrag. Auf der Seite der positiven Ladung ist es positiv, auf der anderen negativ. Das Feld ist nicht mehr kugelsymmetrisch (radialsymmetrisch), sondern lediglich rotationssymmetrisch.

### Elektrische Doppelschicht

Eine elektrische Doppelschicht ist eine Fläche, die mit Dipolen belegt ist, deren Achsen überall die Richtung der Flächennormalen n haben. Die Flächendichte des Dipolmoments sei m*= dm/dA. Dann ist das Potential in P:
$\varphi ={\frac {1}{4\pi \,\varepsilon _{0}}}\int _{A}{\frac {m^{*}\cos \left({\angle {\overrightarrow {n}},{\overrightarrow {r}}}\right)}{r^{2}}}\operatorname {d} A\,.$
Ist die Schicht homogen, d. h. ist m* = konst., dann ist
$\varphi ={\frac {m^{*}}{4\pi \,\varepsilon _{0}}}\int _{A}{\frac {\cos(\angle {\overrightarrow {n}},{\overrightarrow {r}})}{r^{2}}}\operatorname {d} A\,.$
Der räumliche Winkel dΩ, unter dem das Flächenelement dA von P aus erscheint, ist definiert als die Fläche, die der von P aus nach dem Rand von dA sich erstreckende Körper aus der Einheitskugel um P ausschneidet:
Der Betrag von dΩ ist daher gleich dem Integranden des obigen Integrals. Durch Integration ergibt sich also:
$\varphi ={\frac {m^{*}\,\Omega }{4\pi \varepsilon _{0}}}.$
Unmittelbar vor einer ausgedehnten ebenen Doppelschicht ist Ω = 2 π und daher φ = m*/2 ε$_0$, unmittelbar dahinter ist φ = –m*/2 ε$_0$ Es findet also auf einer möglicherweise sehr kurzen Strecke ein beträchtlicher Potentialsprung statt.

### Kugelkondensator

Gegeben sind zwei konzentrische, leitende Kugelflächen mit den Radien a und b. Auf die innere Kugelfläche wird (mittels einer isolierten Durchführung durch die äußere Fläche) die Ladung Q gebracht. Die äußere Kugelfläche wird mit der Erde verbunden (»geerdet«) und nimmt so deren Potential an, das wir gleich null setzen.
Für den Raum zwischen den beiden Kugelflächen finden wir mit Hilfe des Hüllenintegrals und der von der Ladung Q ausgehendem Fluss für den Betrag der Feldstärke wieder
    $E={\frac {Q}{4\pi \,\varepsilon _{0}r^{2}}}.$
Das Potential finden wir durch folgende Überlegung: Wegen der Radialsymmetrie des Feldes ist
    $E=-{\frac {\operatorname {d} \varphi }{\operatorname {d} r}}\quad \to \quad \operatorname {d} \varphi =-E\,\operatorname {d} r=-{\frac {Q}{4\pi \,\varepsilon _{0}r^{2}}}\operatorname {d} r$
und
    $\varphi =-{\frac {Q}{4\pi \,\varepsilon _{0}}}\int {{\frac {\operatorname {d} r}{r^{2}}}={\frac {Q}{4\pi \,\varepsilon _{0}r}}+k\,.}$
Für r = b muss φ = φ$_b$ = 0 sein. Daraus folgt
    $k=-{\frac {Q}{4\pi \,\varepsilon _{0}b}}$
und
    $\varphi ={\frac {Q}{4\pi \,\varepsilon _{0}}}\left({{\frac {1}{r}}-{\frac {1}{b}}}\right).$
Das Potential der inneren Kugel ergibt sich mit r = a zu
    $\varphi _{a}={\frac {Q}{4\pi \,\varepsilon _{0}}}\left({{\frac {1}{a}}-{\frac {1}{b}}}\right).$
Die Potentialdifferenz φ$_a$ – φ$_b$ = φ$_a$ zwischen den beiden Flächen des »Kugelkondensators« heißt elektrische Spannung U des Kondensators. Sie wird wie das Potential in Volt (V = N m/A s) gemessen und ist der Ladung Q proportional. Die spannungsbezogene Ladung Q/U ist ein Maß für das elektrische Fassungsvermögen des Kondensators und wird Kapazität C des Kondensators genannt und in A s / V = Farad (F) gemessen.
Für den Kugelkondensator gilt:
    $C={\frac {4\pi \varepsilon _{0}\,a\,b}{b-a}}$
Für b gegen unendlich erhält man daraus die Kapazität einer freistehenden Kugel vom Radius a:
    $C=4\pi \varepsilon _{0}a.$
Farad ist eine sehr große Einheit. Beispiel: Die Kapazität der Erdkugel beträgt 0,7 mF.

### Influenzladungen

Es lohnt sich, den Kugelkondensator noch etwas genauer zu betrachten.
Außerhalb der äußeren Kugel ist überall E = 0, und daher muss die von einer im Außenraum befindlichen geschlossenen Hülle umfasste Ladung ebenfalls null sein. Wie ist das möglich?
Ferner: Die von der inneren Ladung Q ausgehenden Feldlinien müssen – da der Außenraum feldfrei ist – auf der äußeren Kugel enden. Als Senken der Feldlinien kommen aber nur negative Ladungen in Frage. Also muss auf der Innenfläche der äußeren Kugel die Ladung –Q gleichmäßig verteilt sein. Dann ist auch die von der geschlossenen Hülle insgesamt umfasste Ladung gleich null.
Es fragt sich nun: Wo kommt diese Ladung her? Hier treffen wir auf das Phänomen der »Influenzladungen« oder »influenzierten Ladungen«. Die negative Ladung wurde von der positiven Ladung aus der Erde angezogen. Diese Influenzladung kann mit geeigneten Mitteln nachgewiesen werden, wenn man zuvor die Verbindung der äußeren Kugel mit der Erde trennt und so der influenzierten Ladung den Rückzug abschneidet. Verbindet man dann die beiden Kugeln miteinander, erweisen sie sich als ungeladen.
Wenn man die innere Kugel auflädt, ohne dass die äußere zuvor geerdet wurde, geschieht etwas ganz anderes: Auf der äußeren Kugel findet durch Influenz eine Ladungstrennung statt. Auf ihrer Innenfläche erscheint die Ladung –Q, auf der Außenfläche die Ladung Q. Das hat zur Folge, dass nun auch im Außenraum ein elektrisches Feld entsteht, und zwar von gleicher Art, als wenn die Ladung Q im Mittelpunkt vereinigt wäre.

### Punktladung über einer unendlich ausgedehnten leitenden Ebene

Auf der Z-Achse befinde sich im Punkt z = a eine Punktladung Q. Die XY-Ebene sei eine leitende Ebene, der wir das Potential 0 zuschreiben. Da die XY-Ebene eine Äquipotentialfläche ist, stehen die Feldlinien auf ihr senkrecht.
Im Raum oberhalb der leitenden Ebene gilt für jede die Ladung Q umschließende Fläche:
    $\oint _{A}{{\overrightarrow {E}}\;\operatorname {d} {\overrightarrow {A}}}=-\oint _{A}{\operatorname {grad} \,\varphi \;\operatorname {d} {\overrightarrow {A}}}={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}\,.$
Für z gegen null muss auch φ gegen null gehen.
Letzteres gilt auch für den Raum unterhalb der Ebene. Außerdem hat dort jedes Hüllenintegral den Wert null. Folglich muss dort überall E = 0 und daher φ = konst., also ebenfalls null sein.
Da die Feldlinien alle auf der leitenden Ebene enden, muss es dort negative Influenzladungen mit nach außen abnehmender Ladungsdichte geben.
Stellen wir uns nun vor, es würde symmetrisch zu Q auf der negativen Z-Achse eine Ladung –Q angebracht. Es entstünde dann im unteren Raum ein spiegelsymmetrisches Feld, allerdings mit Feldlinien, die auf die Ladung –Q zu laufen. In der XY-Ebene würden durch Influenz positive Ladungen erzeugt, die sich mit den negativen Influenzladungen kompensieren würden. Die leitende Ebene könnte also entfernt werden, ohne dass sich am Feld etwas ändern würde. Übrig bliebe ein elektrischer Dipol mit dem Dipolmoment m* = 2 a Q in Richtung der +Z-Achse. Dieses Feld ist uns aber bereits bekannt und wir können für jeden Punkt das Potential und die Feldstärke berechnen:
    $\varphi ={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({{\frac {1}{r_{+}}}-{\frac {1}{r_{-}}}}\right)\;,$
    ${\overrightarrow {E}}=-{\frac {Q}{4\pi \,\varepsilon _{0}}}\left({{\frac {\overrightarrow {r_{+}}}{r_{+}^{3}}}-{\frac {\overrightarrow {r_{-}}}{r_{-}^{3}}}}\right)\,.$
Für den Betrag der Feldstärke in der XY-Ebene, die senkrecht nach unten gerichtet ist, gilt insbesondere:
    $E_{0}={\frac {Q}{2\pi \varepsilon _{0}r^{3}}}a\,.$
Aus dieser Feldstärke finden wir die Ladungsdichte σ der Influenzladung auf der XY-Ebene , indem wir ein Flächenelement der Ebene durch eine quaderförmige Fläche von der Grundfläche dA und verschwindend kleiner Höhe einhüllen:
Das Hüllenintegral besteht dann nur aus zwei Anteilen. An der Oberseite ist die Feldstärke gleich E$_0$, an der Unterseite null. Folglich ist
    $\oint _{A}{{\overrightarrow {E}}\;\operatorname {d} {\overrightarrow {A}}}=-E_{0}\operatorname {d} A={\frac {\operatorname {d} q}{\varepsilon _{0}}}={\frac {\sigma \,\operatorname {d} A}{\varepsilon _{0}}}\,,$
wobei dq die Ladung des Flächenelements dA und σ die Flächenladungsdichte ist.
Daraus folgt:
    $\sigma =-\varepsilon _{0}\,E_{0}=-{\frac {Q}{2\pi r^{3}}}a\,.$
Durch Integration über die ganze Ebene findet man, dass die influenzierte Ladung gleich –Q ist, entsprechend der Tatsache, dass die influenzierte Ladung die Senke des von Q erzeugten Feldes ist.

## Isolatoren (Dielektrika) im elektrischen Feld
### Definition Plattenkondensator

Ein Plattenkondensator besteht aus zwei parallelen ebenen Metallplatten in geringem Abstand zu einander. Im Folgenden soll die Plattenfläche A mindestens einige Quadratdezimeter betragen und der Plattenabstand d nicht größer als einige Millimeter sein. Dann kann man von den Störungen am Rand des Kondensators absehen und das Feld als insgesamt homogen betrachten. Für den Betrag E$_0$ der Feldstärke des Kondensators im Vakuum (und praktisch auch in Luft) findet man mit dem Hüllenintegral über eine der Kondensatorplatten:
    $E_{0}={\frac {Q}{\varepsilon _{0}A}}.$
Im Allgemeinen wird eine der beiden Platten des Kondensators geerdet und hat dann das Potential null. Die andere Platte kann man z. B. mit einem geriebenen Glas- oder Hartgummistab aufladen und ihr Potential φ (identisch mit ihrer Spannung U, da die andere Platte geerdet ist) mit einem Elektrometer messen. (Wird auf die Platte die Ladung Q aufgebracht, so influenziert diese Ladung auf der anderen Platte die Ladung –Q. Dies ergibt sich auch mit dem Hüllenintegral über diese Platte und mit der bekannten Feldstärke.) Wegen der Homogenität des Feldes (E$_0$ = konst.) ist:
    $U=\varphi =E_{0}\operatorname {d} \quad \Rightarrow \quad E_{0}={\frac {U}{\operatorname {d} }}.$

### Dielektrikum im elektrischen Feld

Füllt man nun den Raum zwischen den Platten mit einem Dielektrikum (einem Isolator), so sinkt die Spannung U und damit auch die Feldstärke E$_0$ drastisch auf einen Bruchteil des ursprünglichen Wertes, obwohl die Ladung des Kondensators offensichtlich unverändert geblieben ist. (Entfernt man das Dielektrikum wieder, stellen sich die ursprünglichen Werte wieder ein.) Es gilt nun für die neue Feldstärke E:
    $E={\frac {E_{0}}{\varepsilon _{r}}}.$
Der Nenner ε$_r$ ist vom Material des Dielektrikums abhängig und heißt relative Permittivität, Permittivitätszahl oder (veraltend) relative Dielektrizitätskonstante des Materials.
Die Abnahme der Feldstärke erklärt sich dadurch, dass das Dielektrikum durch das elektrische Feld »polarisiert« worden ist, d. h. dass seine Endflächen – ähnlich wie bei der Influenz, jedoch in verringertem Maß – nun elektrische Ladungen tragen.
Für die Herkunft dieser Ladungen kann es zwei Ursachen geben: 1. Falls die Moleküle des Dielektrikums elektrische Dipole sind, die normalerweise regellos angeordnet sind, werden diese nun im Feld graduell ausgerichtet. 2. Wenn die Moleküle keine Dipole sind, kommt es im Feld zu einer (sehr geringen) Verformung der Elektronenhüllen und damit zu einer Ladungsverschiebung. – In beiden Fällen ist die Wirkung dieselbe: Im Inneren des Dielektrikums ist die Verteilung der positiven und negativen Ladungen noch immer gleichmäßig. An den Endflächen überwiegen jedoch nun auf der einen Seite die positiven Ladungen, auf der anderen Seite die negativen. Es entsteht also jeweils eine Flächenladung.
Das von diesen Ladungen erzeugte Feld wirkt dem angelegten Feld entgegen, was zu einer Herabsetzung der Feldstärke führt.
Die Ladungsdichte der Polarisationsladung sei σ = P. Dann ist der Betrag der Polarisationsfeldstärke E$_{pol}$ = P/ε$_0$ und der Betrag der neuen Feldstärke
    $E=E_{0}-E_{pol}=E_{0}-{\frac {P}{\varepsilon _{0}}}\quad {\mbox{und mit}}\quad E_{0}=\varepsilon _{r}E\to P=\varepsilon _{0}\left({\varepsilon _{r}-1}\right)E.$
Der dazu gehörige Vektor P heißt Polarisation des Dielektrikums:
    ${\overrightarrow {P}}=\varepsilon _{0}\left({\varepsilon _{r}-1}\right){\overrightarrow {E}}.$

### Das Brechungsgesetz für elektrische Feldlinien

An der Trennungsfläche zweier verschiedener Dielektrika mit ε$_r$ = ε$_1$ bzw. ε$_2$ werden die elektrischen Feldlinien gebrochen, wenn sie nicht gerade senkrecht zur Trennungsfläche verlaufen. Der Grund dafür ist, dass sich die Tangentialkomponenten der Feldstärken an der Grenzschicht anders verhalten als die Normalkomponenten. Für die Normalkomponenten gilt:
    $E_{n}^{\left(1\right)}={\frac {E_{0}}{\varepsilon _{1}}}\quad {\mbox{und}}\quad E_{n}^{\left(2\right)}={\frac {E_{0}}{\varepsilon _{2}}}.$
Dagegen gilt für die Tangentialkomponenten:
    $E_{\tan }^{\left(1\right)}=E_{\tan }^{\left(2\right)}.$
Begründung: Erfahrungsgemäß sind elektrostatische Felder auch in Dielektrika wirbelfrei. So muss das Linienintegral über die Feldstärke entlang der Trennfläche null sein (siehe Abbildung). Daraus folgt die Gleichheit der Tangentialkomponenten.
Für die beiden Winkel gilt daher:
    ${\frac {\tan \alpha _{1}}{\tan \alpha _{2}}}={\frac {\varepsilon _{1}}{\varepsilon _{2}}}.$

## Die Energie des elektrischen Feldes
### Potential eines Systems von Punktladungen

Wir gehen aus von dem Potentialfeld einer Punktladung. Für das Potential φ in einem Punkt P im Abstand r von der Ladung Q gilt:
$\varphi ={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}r}}.$
Wir denken uns nun sukzessive ein System von Punktladungen Q$_1$, Q$_2$,Q$_3$ usw. zusammengebaut.
Das Potential am Ort von Q$_2$, das von Q$_1$ erzeugt wird, ist
$\varphi _{1,2}={\frac {Q_{1}}{4\pi \varepsilon _{0}r_{1,2}}}.$
Um Q$_2$ aus dem Unendlichen an ihren Ort zu bringen, ist die Arbeit W$_2$ nötig:
$W_{2}=\varphi _{1,2}Q_{2}={\frac {Q_{1}}{4\pi \varepsilon _{0}r_{1,2}}}Q_{2}.$
Q$_1$ und Q$_2$ erzeugen am Ort der Ladung Q$_3$ zusammen das Potential
$\varphi _{1,3}+\varphi _{2,3}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({{\frac {Q_{1}}{r_{1,3}}}+{\frac {Q_{2}}{r_{2,3}}}}\right).$
Um Q$_3$ aus dem Unendlichen an ihren Ort zu bringen, ist die Arbeit W$_3$ nötig:
$W_{3}=\left({\varphi _{1,3}+\varphi _{2,3}}\right)Q_{3}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({{\frac {Q_{1}}{r_{1,3}}}+{\frac {Q_{2}}{r_{2,3}}}}\right)Q_{3}\,,\quad {\mbox{usw}}{\mbox{.}}$
Dies ist die Arbeit, die nötig ist, um die jeweilige Anordnung der vorgegebenen, also bereits als vorhanden angenommenen Punktladungen herzustellen. Nicht berücksichtigt sind dabei jedoch die Arbeiten, die nötig sind, um Q$_1$ an ihrem Ort und alle übrigen Ladungen im Unendlichen aus einzelnen Elementarladungen zusammenzusetzen. Wenn wir den Begriff »Punktladungen« wörtlich nähmen, wäre dazu jeweils eine unendlich große Arbeit nötig. Nun gibt es aber in der Realität keine Punktladungen, weshalb wir entweder kugelförmige Raumladungen oder kugelschalenförmige Flächenladungen entsprechender Größe benutzen müssen. Deshalb ist unsere nächste Aufgabe, die Energie zu berechnen, die zur Herstellung einer solchen Ladung erforderlich ist.

### Die Energie einer geladenen Kugel

Das Potential einer geladenen Kugel vom Radius R ist
    $\varphi ={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}R}}.$
Um nun die zusätzliche Ladung dQ auf die Kugel zu bringen, braucht man die Arbeit
    $\operatorname {d} W=\varphi \;\operatorname {d} Q={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}R}}\operatorname {d} Q.$
Um die Kugel vom ursprünglich ungeladenen Zustand (Q = 0) in den Endzustand (Q = Q$_E$) zu bringen, braucht man die Arbeit
    $W={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}R}}\int _{0}^{Q_{E}}{Q\,\operatorname {d} Q}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}R}}{\frac {Q_{E}^{2}}{2}}.$
Dieses Ergebnis entspricht der Tatsache, dass das mittlere Potential der Kugel während des Ladevorgangs gleich dem halben Endpotential ist.

### Wo befindet sich die elektrische Energie eines geladenen Körpers?

Auf diese Frage gab es in der Physik lange Zeit zwei gegensätzliche Antworten. Nach der so genannten Nahewirkungstheorie (auf die hier nicht näher eingegangen werden soll) sollte sich die Energie auf dem geladenen Körper und gleichsam in den Ladungen befinden. Nach der Fernwirkungstheorie, die sich schließlich aus zwingenden Gründen durchgesetzt hat, befindet sich die Energie im elektrischen Feld, das den geladenen Körper umgibt. Dabei ist zu erwarten, dass die Energiedichte dW/dV eine Funktion der Feldstärke ist. Um diesen Zusammenhang zu klären, betrachten wir das homogene Feld eines Plattenkondensators mit der Plattenfläche A, dem Plattenabstand d und der Ladung Q. Der Betrag seiner Feldstärke ist dann
    $E={\frac {Q}{\varepsilon _{0}A}},$
und der Potentialunterschied seiner Platten
    $\varphi =U=Ed={\frac {Qd}{\varepsilon _{0}A}}.$
Seinen Energieinhalt W findet man durch eine Integration wie oben:
    $W={\frac {Q^{2}d}{2\varepsilon _{0}A}}.$
Daraus ergibt sich die Energiedichte des Feldes:
    $w\equiv {\frac {\operatorname {d} W}{\operatorname {d} V}}={\frac {W}{V}}={\frac {Q^{2}}{2\varepsilon _{0}}}{\frac {d}{A}}{\frac {1}{Ad}}=\varepsilon _{0}{\frac {E^{2}}{2}}.$
Analog findet man für einen mit Dielektrikum gefüllten Kondensator:
    $w=\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}{\frac {E^{2}}{2}}.$
Diese wichtige Beziehung gilt jedoch nicht nur für das homogene Feld eines Plattenkondensators, sondern ganz allgemein. In hinreichend kleinen Bereichen kann man nämlich jedes Feld als homogen betrachten und es durch einen Plattenkondensator erzeugt denken.
Wir wenden diese Beziehung nun auf das radialsymmetrische Feld einer geladenen Kugel an und überprüfen die Übereinstimmung mit dem oben gefundenen Wert für deren Energie.
Wir zerlegen das Feld in konzentrische Kugelschalen der Fläche 4πr$^2$ und der Dicke dr, berechnen aus der Energiedichte deren Energiegehalt und integrieren über das Volumen des gesamten Feldes, d. h. von r = R bis r gleich unendlich.
    $W=\int _{V}{w\operatorname {d} V}={\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int _{R}^{\infty }{E^{2}4\pi r^{2}\operatorname {d} r}\quad {\mbox{und mit}}\quad E={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}$
    $W={\frac {Q^{2}}{8\pi \varepsilon _{0}R}}\,,$
was mit dem oben gefundenen Wert übereinstimmt.
Zum Schluss noch eine etwas vertrackte Aufgabe:
Man kann die Energiedichte des elektrischen Feldes auch mittels einer Kugelladung finden, indem man zunächst die Arbeit berechnet, die nötig ist, um die Ladung Q auf eine Kugel vom Radius R zu bringen, sodann die Arbeit, die man braucht, um die gleiche Ladung auf eine Kugel vom Radius R – dR zu bringen. Die Differenz der beiden Arbeiten muss gleich der Energie sein, die in dem hinzugekommenen Volumen steckt. Auf diese Weise findet man das richtige Ergebnis.
Dann denken wir uns nun die Kugelladung Q aus einer großen Zahl sehr kleiner Ladungen q zusammengesetzt. Jede dieser Ladungen befindet sich in dem elektrischen Feld, das von der Ladung Q an der Oberfläche der Kugel erzeugt wird und erfährt eine entsprechende Kraft. Verschiebt man jede der kleinen Ladungen um die Strecke dR nach innen, so braucht man dazu eine bestimmte Arbeit und erhält dafür ein größeres Feld mit einer entsprechend höheren Energie. Die Durchführung der Rechnung liefert für die Energiedichte genau das Doppelte des richtigen Wertes. Wo liegt der Fehler?
Und noch eine Anmerkung:
Vielleicht hat jemand hier die "Verschiebungsdichte D " vermisst. Nun, ich habe bemerkt, dass sie im Rahmen der Elektrostatik überhaupt nicht benötigt wird. Ich werde sie erst dann einführen, wenn sie gebraucht wird.