# Till Eulenspiegels lustige Serie/ Stimmung
### Zur Stimmung der Musikinstrumente

In diesem Abschnitt geht es um den physikalischen Hintergrund des konventionellen Tonsystems der europäischen Musik. Zu den künstlerischen Aspekten wird nichts Kluges gesagt und auch wer sich als unmusikalisch ansieht, darf anfangen zu lesen.
Der vorliegende Text verwendet einige Begriffe aus diesem Abschnitt:
    Till Eulenspiegels lustige Serie / Musiktheoretischer Hintergrund

#### Schwebungen

Die Schwebungen sind ein Phänomen bei Schwingungen, das für die Stimmung von Instrumenten eine große Rolle spielt. In diesem Abschnitt gilt der Begriff "Frequenz" als Synonym für "Tonhöhe"; er beschreibt sie physikalisch. Außerdem haben technisch vorbelastete Leute die Angewohnheit, Töne, Klänge und Wellenformen als "Signal" zu bezeichnen.
Das Bild zeigt oben zwei periodische Kurven, cyan und magenta, die eine leicht verschiedene Frequenz haben. Die horizontale Achse ist als die Zeit anzusehen. Am Anfang sind beide Kurven in Phase, beide gleichzeitig am Maximum. Nach etwa 9 Perioden haben sie eine entgegengesetzte Phase, später wieder die gleiche Phase. Die untere Kurve ist die Summe, also die Überlagerung, der zwei Schwingungen. Das Ergebnis ist eine schnelle Schwingung, deren Amplitude langsam zwischen Null und dem Maximalwert pendelt. Diese Wellenform heißt eine Schwebung. Ein anderer technischer Name spricht von einer Amplitudenmodulation. Die Amplitude der Schwingung wird mit einer sinusförmigen Hüllkurve moduliert. Eine künstlerisch angehauchte Bezeichnung sieht in der Kurve ein Tremolo.
Machen wir ein einfaches mathematisches Modell der Schwebungen. Wie sich herausstellt, gibt es sie auch beim Zusammenklang von zwei Tönen, die beinahe harmonisch zueinander sind, wenn also ihre Frequenzen ungefähr in einem einfachen Zahlenverhältnis stehen. Gleichungsallergiker dürfen die Berechnungen überspringen. Wir tun uns einen Block von trigonometrischen Formeln an.
    $\cos(a+b)=\cos a\cdot \cos b-\sin a\cdot \sin b$
    $\cos(a-b)=\cos a\cdot \cos b+\sin a\cdot \sin b$
    $\sin(a+b)=\cos a\cdot \sin b+\sin a\cdot \cos b$
    $\sin(a-b)=-\cos a\cdot \sin b+\sin a\cdot \cos b$
Herleitung:
    $\exp(i(a+b))=\cos(a+b)+i\sin(a+b)=$
    $=\exp(ia)\exp(ib)=(\cos(a)+i\sin(a))(\cos(b)+i\sin(b))$
    $=(\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b))+i(\cos(a)\sin(b)+\sin(a)\cos(b))$
    $\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$
    $\cos x=\cos(-x);\quad \sin x=-\sin(-x)$
    $\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$
    $\sin(a+b)=\cos a\sin b+\sin a\cos b$
    $\sin(a-b)=-\cos a\sin b+\sin a\cos b$
Umkehrungen:
    $2\cos a\cos b=\cos(a+b)+\cos(a-b)$
    $a+b=A;\;a-b=B;\;a=(A+B)/2;\;b=(A-B)/2$
    $\cos(A)+\cos(B)=2\cos((A+B)/2)\cos((A-B)/2)$
    $2\sin a\sin b=\cos(a-b)-\cos(a+b)$
    $\cos(A)-\cos(B)=-2\sin((A+B)/2)\sin((A-B)/2)$
    $\sin a\cos b=(1/2)\cdot (\sin(a+b)+\sin(a-b))$
    $\sin(A)+\sin(B)=2\sin((A+B)/2)\cos((A-B)/2)$
Ergebnis:
    $\cos A+\cos B=2\cdot \cos((A+B)/2)\cdot \cos((A-B)/2)$
    $\cos A-\cos B=-2\cdot \sin((A+B)/2)\cdot \sin((A-B)/2)$
    $\sin A+\sin B=2\cdot \sin((A+B)/2)\cdot \cos((A-B)/2)$
    $\sin A-\sin B=2\cdot \cos((A+B)/2)\cdot \sin((A-B)/2)$
Die letzten vier Gleichungen beschreiben alle möglichen Überlagerungen von zwei Schwingungen der Frequenzen $f$ und $g,$ wenn gesetzt wird:
    $A=2\pi ft;\;B=2\pi gt.\;t$ ist die Zeit.
Eine allgemeine Überlagerung ist eine Linearkombination dieser vier Terme.
Die rechten Seiten sagen dann folgendes aus: so ein Signal ist ein Produkt aus der Schwingung mit dem Mittelwert der Frequenzen, $(f+g)/2$, und der Schwingung mit der halben Differenzfrequenz $(f-g)/2$. Das ergibt genau eine Amplitudenmodulation mit einem langsamen Faktor, wenn $f$ und $g$ zwei eng benachbarte Frequenzen sind.
Der Absolutbetrag der Amplitude hat nun zwei 'Bäuche' pro Periode des langsam modulierenden Faktors. Das Ohr hört das Vibrato also mit der ganzen Frequenzdifferenz $(f-g)$. Wenn die Frequenz dieser Differenz im Hörbereich liegt, wird ein sogenannter Kombinationston wahrgenommen, insbesondere wenn die Amplituden hoch sind und die Perzeption durch Nichtlinearitäten im Innenohr noch deutlicher wird. Solche Töne werden nach dem italienischen Geigenvirtuosen Guiseppe Tartini (* 1692; † 1770) auch Tartini-Töne genannt, da dieser sie bei laut gespielten Doppelgriffen auf seiner Geige wahrgenommen und 1754 beschrieben hatte. Bereits 1745 wurden sie vom deutschen Organisten, Komponisten und Musiktheoretiker Georg Andreas Sorge (* 1703; † 1778) entdeckt.
Summen/Differenzen von Schwingungen wurden hier in Produkte verwandelt. Die resultierende Schwingung mit dem Mittelwert der Frequenz bekommt dabei eine Modulation, also eine einhüllende Sinuskurve. Die Modulation vibriert mit der halben Differenz der Frequenzen und die Hüllkurve pulsiert mit der Differenz.
Vielfach wird in der Technik die andere Richtung der Gleichungen benutzt: man liefert zwei Frequenzen an und erzeugt zuerst ihr Produkt. Das nennt sich eine Mischung, nicht eine Überlagerung. Am Ausgang finden sich die Summe und die Differenz der Frequenzen. Besonders die (niederfrequente) Differenz ist wichtig, wenn die hohen schwierig zu handhaben sind. Man hat dann ein Signal runtergemischt auf eine komfortable "Zwischenfrequenz". Das Ohr hat einen eingebauten Mischer, wie die Tartini-Töne zeigen. Allgemeine Mischprodukte zweier Frequenzen $(n\cdot f_{1}\pm m\cdot f_{2})$ heißen im technischen Jargon Intermodulationen, vielleicht auch Kombinationstöne.
Kuriosität. Es gab früher (gibt?) bei grottenschlechten Lautsprecherboxen einen billigen Trick, um die Illusion von guten Basstönen zu erwecken. Wenn die Box eine tiefe Frequenz F nicht wiedergeben kann, werden einfach die zwei Obertöne 2*F und 3*F durch Klirren, also nichtlineares Scheppern irgendwelcher Bauteile, erzeugt. Das Ohr denkt sich den fehlenden Grundton dazu, also die Differenz dieser zwei Harmonischen. Aus dem gleichen Grund kann man bei kleinen Orgeln etwa im Pedal diskret ein Register in Quintenlage zuschalten, um den satten Bass eine Oktave tiefer anzudeuten, um nicht zu sagen vorzutäuschen. Wer weiß, wieviel Jahrhunderte der Trick schon dauert. Ein akustischer Bass von "32-Fuß" kommt an als Residualton, wenn offene Pfeifen (16 Fuß) kombiniert werden mit gedeckten Pfeifen (10-2/3 Fuß). Der Komponist und Organist Abt Vogler (1749-1814) setzte solche "akustischen" Register ein.
Behauptung 1: Haben zwei Frequenzen $f,g$ ein exaktes Zahlenverhältnis $(f=nF,\;g=mF)$ dann kann es in der Überlagerung keine tieffrequente Schwebung geben.
Denn beispielsweise:
    $\cos((nF)2\pi t)+\cos((mF)2\pi t)=2\cos(((n+m)F/2)2\pi t)\cos(((n-m)F/2)2\pi t).$
Diese Formel enthält nur relativ "hohe" Frequenzen im Produkt. Zum Beispiel $F=100{\text{ Hz }},\;n=2,\;m=3$ macht aus 200 Hz und 300 Hz in den Faktoren die Frequenzen 250 Hz und 50 Hz. Selbes Argument ist anzuwenden für die drei anderen Fälle der Überlagerung.
Behauptung 2: Wenn eine kleine Abweichung $2s$ der Frequenzen vom exakten Verhältnis vorliegt $(f=nF+s,\;g=mF-s),$ dann zerfällt die Überlagerung in Terme vom Typ: Reiner Zweiklang mal Amplitudenmodulation mit der Frequenz $s.$ Eine Schwebung mit der langsamen Frequenz $s$ ist hörbar.
Zum Beweis werde gesetzt:
    $a=(nF+s)(2\pi t);\;b=(mF-s)(2\pi t);\;u=2\pi st;$
    $(a+b)/2=((n+m)F/2)(2\pi t)=A;\;(a-b)/2=((n-m)F/2)(2\pi t)+u=B+u.$
    $\cos a+\cos b=Q(u)=2\cos A\cos(B+u)$
    $\sin a-\sin b=R(u)=2\cos A\sin(B+u)$
Die Ausdrücke $Q(0)$ und $R(0)$ sind schwebungsfreie reine Überlagerungen nach der Behauptung 1.
    $Q(u)=2\cos A[\cos B\cos u-\sin B\sin u]=Q(0)\cos(u)-R(0)\sin(u)$
Das allgemeine $Q(u)$ ist also die Linearkombination aus den reinen Zweiklängen mal je eine langsame Amplitudenmodulation mit der Frequenz $s$. Die Ausrechnung verläuft genauso für jede von vier Summen/Differenzen der Cosinus und Sinus. Also gilt sie für allgemeine Überlagerungen.
Damit ist gezeigt, dass bei den Terzen, Quarten, Quinten das Phänomen der Schwebung vorkommt. Deren Modulationsfrequenz ist gleich der halben Abweichung der Frequenzdifferenz $(f-g)$ vom Sollwert für rein gestimmte Intervalle. Die Frequenz eines Tremolos ist gleich dieser Abweichung.
Einen Haken hat die Sache noch, weil bei so einer Schwebung die Differenz von zwei Produkten, nicht ein Produkt, anfällt. Die zwei Terme fressen sich im Mittel auf, genauer, sie liefern sich ein Tauziehen. Der langsame Faktor sin(u) geht durch Null, wenn der andere, cos(u), betragsmäßig maximal wird. Und umgekehrt. Kombiniert kommt nur eine schwache Amplitudenmodulation (Hüllkurve) heraus. Wenn allerdings die zwei Schwingungen statt der Sinusform eine komplexere periodische Form haben, wie die Schallwellen aus interessanten Instrumenten, dann verstärkt sich der Schwebungseffekt. Dann sind die Obertöne da, die Vielfachen der zwei überlagerten Frequenzen. Bei der Quinte etwa gleichen sich der zweite des einen und der dritte des anderen Tons. Die tragen dann gehörig zum Tremolo-Effekt bei.
Folgerung. Um eine Quinte, Quarte oder Terz rein zu stimmen, wird eine der Saiten oder Pfeifen usw. so manipuliert, dass der Zweiklang ohne Tremolo (Schwebung) stehen bleibt. Um sie um Cent-Beträge enger oder weiter zu stimmen, wird die langsame Frequenz der Schwebung ausgezählt und je nach Frequenz der Töne auf bestimmte Zielwerte eingepegelt.
Überlagern sich zwei Töne mit ungefährem Frequenzverhältnis f:g = n:m, dann können der Oberton mf und der Oberton ng sich periodisch auslöschen, man hört die Schwebungsfrequenz | mf - ng |.
Eine andere, häufig auch in Synthesizern vorkommende Schwingungsform ist die Frequenzmodulation. Dabei hat die schnelle Schwingung eine konstante Amplitude, doch ihre Frequenz ändert sich im langsamen Rhythmus. Musikalisch entspricht das einem Vibrato. Ein ganzer Kamm von Nebenfrequenzen wäre nötig, um die FM aus einer Überlagerung zu erzeugen.

#### Andere Herleitung: Schwebung bei harmonischen Frequenzen

Mit etwas umständlichen Argumenten soll dieser Abschnitt ein Paar von Tönen analysieren. Angenommen wird nur, dass es periodische Signale sind, die Zerlegung in Obertöne wird nicht hinzugezogen. Die intuitiv leicht zu merkende Obertonregel wird doch wieder herauskommen.
Zwei Töne mit Frequenzen f und g sollen nahe daran sein, im harmonischen Verhältnis f:g = n:m zu stehen. Anders gesagt, es gibt einen gemeinsamen Unterton mit der Frequenz u, sowie eine Abweichung s, so dass gilt: f = nu + s/2 und g = mu - s/2.
    Es folgt: | mf - ng | = (m+n) s/2 =: S.
Die Zahlen n,m mit n<m haben keinen gemeinsamen Teiler.
Nun soll herausgefunden werden, warum man eine Schwebung mit der Frequenz S wahrnehmen kann. Dieser Wert S ist größer als der minimale Wert s, der für Sinuswellen im vorigen Abschnitt ausgerechnet wurde. Auch bei den Letzteren kommt die Schwebefrequenz S vor, etwa wenn man aufmerksam den Verlauf der Spitzen der Signalsumme verfolgt.
Wenn die Harmonie perfekt ist, also mf = ng, dann kann der Klang der Summe beider Töne nur davon abhängen, in welcher Phase sie zueinander liegen.
Zum Beispiel mit f:g = 2:3 gibt es in einer Periode T = 1/u des Untertons u zwei Maxima von f und drei Maxima von g.
    Phase Null: Maxima von f bei 0 und T/2, Maxima von g bei 0, T/3, 2T/3.
    Phase verschoben: Maxima von f bei T/4 und 3T/4, Maxima von g unverändert.
In zweiten Fall gibt es keine gemeinsamen Maxima, die Summe klingt anders.
Allgemein mit n<m, f:g = n:m passen ins Intervall T, n bzw. m Perioden:
    f hat seine Maxima bei kT/n + p (k = 0...n-1; p= Phasenverschiebung).
    g hat seine Maxima bei jT/m + q (j = 0...m-1; q= Verschiebung).
Hier sind j,k ganze Zahlen. Welchen Wertebereich kann die Phasenverschiebung haben, so dass der Klang variiert?
Halten wir etwa p=0 fest und verändern wir q im Intervall von 0 bis T/m, das heißt, wir spielen alle Phasen der Frequenz g durch. Das ist aber viel zu viel, denn es passiert folgendes: Bei q=0 haben f und g ihr gemeinsames Maximum zur Zeit 0, aber schon bei q = (T/n - T/m) trifft das nächste Maximum von g auf das nächste von f und die Töne klingen wie bei q=0. Der sinnvolle Phasenspielraum von Frequenz g ist höchstens T/n - T/m = (T/m)(m-n)/n, also ein Bruchteil der vollen Periode von g.
Ist das nicht immer noch zu viel? Gibt es nicht ein Paar von Positionen auf dem Raster T, wofür eine noch kleinere Verschiebung die Signalspitzen deckungsgleich macht? Mit optimaler Wahl von Zahlen j,k soll jT/m + q = kT/n; q = (jn-km)T/(nm) minimal werden, aber nicht Null. n und m sind teilerfremd, m>n. Ist vielleicht jn-km = 1 lösbar mit j>0, k>0? Das wäre der bestmögliche Fall.
Vorbemerkung: jn-km = 0 hat m als kleinste Lösung für j: j=m,k=n. Denn jn = km; n/m = k/j. Es kann also weder k<n noch j<m sein, sonst hätten n,m einen Teiler (zerlege alle n,m,j,k in Primzahlen).
Nun durchlaufe j den interessanten Bereich 1...m-1.
    Behauptung. In dieser Menge gibt es keine zwei gleichen Differenzen
    $j_{1}m-k_{1}n=x_{1};\;j_{2}m-k_{2}n=x_{2};\;j_{2}>j_{1}.$
Wegen n<m könen die k$_1$,k$_2$ so gewählt werden, dass x$_1$,x$_2$ positiv und kleiner als m sind. Warum sind die x-Werte verschieden?
Wäre x$_1$=x$_2$, dann $(j_{2}-j_{1})m-(k_{2}-k_{1})n=0{\text{ und }}(j_{2}-j_{1})<m.$ Im Widerspruch zur Teilerfremdheit. Den Werten $j\in \{1...m-1\}$ werden also verschiedene Werte $x\in \{1...m-1\}$ zugeordnet. Daher kommt irgendwann der Wert x=1 vor.
Folglich ist die minimale Zeitverschiebung:
    U = min(q) = T/(nm).
Nach diesem Betrag wiederholen sich die Klangfarben mit periodischer Verschiebung und sind mit reellen Zahlen 0<p<U zu unterscheiden.
    Bei perfekter Harmonie gilt T = n/f = m/g, also U = 1/(mf) = 1/(ng).
Pro Sekunde ist die Zahl der Perioden U gleich: N(f) = N(g); mf = ng.
Eine Schwebung mit Frequenz S kommt vor, wenn die Periodenzahlen N(f) = mf und N(g) = ng sich um S Zyklen unterscheiden. So viele Perioden der Klangveränderung gibt es dann nämlich. Also gilt wie erwartet: S = | mf - ng |. Ende des Beweises, endlich.
Die Schwebung bei harmonischen Intervallen ist nicht einfach eine Amplitudenmodulation, sondern eine allgemeinere Modulation der Wellenform, der Klangfarbe. Die nichtlineare Komponente des Hörens kann dabei helfen, sie wahrzunehmen.
Beispiel: Geübte Ohren nehmen wahr, dass bei der verstimmten Quinte ~(2/3)·F über der Grundfrequenz F, die Oktave zur Quinte, also das Dreifache der tiefen und das Doppelte der höheren Frequenz, entscheidend zur Schwebung beiträgt.
Zitate aus der Musikalischen Bibliothek von Lorenz Mizler werden mit Mus.Bib. markiert. Die Schwebung erklärt nach Werckmeister, "Kurtzer Unterricht Wie man ein Clavier stimmen und wohl temperiren könne."
   "Da nun eine Consonantia gegen die andere etwa zu hoch oder zu niedrig stehet, so nennet man dasselbe eine Schwebung. Dieser Nahme kommt fürnehmlich von den Orgelmachern her, denn wenn sie zwo Pfeiffen zusammen stimmen, und dieselben bald reine sind, so machen solche Pfeiffen, wenn sie zugleich mit einander angehalten werden, einen Tremorem, oder Zittern, je näher nun die Zusammen-Stimmung ist, je langsamer wird der Tremor, wenn sie aber endlich zusammen gestimmt sind, so lässet sich der Tremor oder daß Beben nicht mehr hören, und klingen solche zwo Pfeiffen ofte, als wenn es eine Pfeiffe wäre. Wenn der oberste Clavis gegen den andern zu hoch ist, so heist man es, in die Höhe schweben, ist er zu niedrig, nennet man dasselbe niedrig schweben." (Mus.Bib. I.2 S.160)

#### Die reine oder natürliche Stimmung

Gut gesungene mehrstimmige a-cappella-Chormusik sollte rein gestimmt erklingen, genauso wie Streicher-Ensembles. Wir reden hier von altmodischer tonaler Musik. Eine Musik, der streckenweise die eine oder andere Tonart anheftet.
In der reinen C-Dur-Tonleiter sind alle Intervalle zum Grundton rational.
| Note | Frequenzverhältnis | Intervall |
| C | 1:1 | Prime |
| D | 9:8 | große Sekunde |
| E | 5:4 | große Terz |
| F | 4:3 | Quarte |
| G | 3:2 | Quinte |
| A | 5:3 | große Sexte |
| H | 15:8 | große Septime |
| C | 2:1 | Oktave |
Zwischen den Nachbarn gibt es große (9/8) oder kleine (10/9) Ganztöne und bei E-F und H-C den diatonischen Halbton (16/15). Die Dreiklänge auf Tonika C, Dominante G und Subdominante F sind rein.
Soll das Prinzip der reinen Akkorde und Intervalle beim Wechsel in eine benachbarte Tonart zu C-Dur beibehalten werden (Modulation), dann passiert mehr als nur eine schwarze Taste einzubauen. Es müssen auch manche Tonhöhen der weißen Tasten angepasst werden!
Indiz dafür: die Quinte D-A ist in Rein-C-Dur verstimmt. D wäre die Molltonart parallel zur Subdominante. Die Modulation in Richtung Subdominante braucht in der Tat zwei Alterationen für ein reines F-Dur. H wird zu B und D wird um ein syntonisches Komma gedrückt.
Eine Modulation nach a-Moll braucht zwar keine "schwarze Taste", aber auch hier muss D etwas sinken, um zur reinen Subdominante von A zu werden.
Eine Modulation von der reinen Tonleiter in C-Dur zur derjenigen in G-Dur braucht auch zwei Änderungen: aus F wird Fis und A wird um ein syntonisches Komma angehoben, von 440 Hz nach 445,5 Hz.
Die Terzen im reinen C-Dur sind rein bis auf D-F. Taucht diese auf, sollte wieder eine Modulation im Spiel sein und der Ton D abgesenkt werden.
Was ist das syntonische Komma? Das Verhältnis von zwei pythagoreischen Ganztönen (9/8) zu einer reinen großen Terz (5/4),
    SK = $\left({\frac {9}{8}}\right)^{2}/\left({\frac {5}{4}}\right)$ = 81/80 = 1,0125 = 21,51 Cent.
Dieses Komma tritt auf, weil die reine Terz aus einem großen und einem kleinen Ganzton besteht: $(5/4)=(9/8)\cdot (10/9).$
Gleichwertig definiert man das syntonische Komma als den Unterschied zwischen vier reinen Quinten und zwei Oktaven plus großer Terz:
    SK = $\left({\frac {3}{2}}\right)^{4}/\left(2\cdot 2\cdot {\frac {5}{4}}\right)=81/80.$
Weiter unten wird eine Methode der Stimmung erwähnt, die Terzen dadurch rein macht, dass Quinten im Vierergespann gleichmäßig gestaucht werden.
Fazit: eine reine Intonation benutzt viel mehr Töne als zwölf. Nicht nur sind beispielsweise As und Gis verschiedene Noten und Frequenzen, sondern diese und auch alle 'weißen Tasten' kommen in Varianten vor, die sich um das syntonische Komma unterscheiden.
    Rechenübung zum Wechsel der Tonart.
Nichts befiehlt einem, dass ein Lied in C-Dur zu sein hat, also auf dem ersten Ton beginnt und endet. Mit der gleichen Folge von ganzen und halben Tönen können Melodien sich um jeden anderen Ton als Ruhepol entwickeln. Das Lied Greensleeves zum Beispiel sitzt auf dem zweiten Ton (hier bezogen auf F-Dur). Solche Melodien sind modal auf dem zweiten, dritten, vierten, fünften ... Ton; auch genannt Dorisch, Phrygisch, Lydisch, Mixolydisch usw. Unzählige traditionelle und volkstümliche Lieder haben modale Tonarten.
Die Vorherrschaft von Dur und Moll brach erst mit der Renaissance allmählich aus. Welche Besonderheit haben die Stufen 1 und 6, also Dur und natürliches Moll? Bei ihnen gibt es die nächstverwandten Töne (Quinte=Dominante und Quarte=Subdominante) und sie haben denselben perfekten Dreiklang wie der Grundton. Vielleicht wurden damit die vielstimmige Polyphonie und die schriftlich fixierte Musik besser machbar. Ging nicht auch im zwanzigsten Jahrhundert die Dur-Moll-Ära zu Ende?
Zum Vergleich der Tonleitern auf dem ersten, vierten und fünften Ton (Tonika, Subdominante, Dominante) rechnen wir die jeweiligen Frequenzen im Verhältnis zum Anfang aus.
| C | D | E | F | G | A | H | C |
| 1:1 | 9:8 | 5:4 | 4:3 | 3:2 | 5:3 | 15:8 | 2:1 |
| F | G | A | H | C | D | E | F |
| 1:1 | 9:8 | 5:4 | 45:32 | 3:2 | 27:32 | 15:8 | 2:1 |
| G | A | H | C | D | E | F | G |
| 1:1 | 10:9 | 5:4 | 4:3 | 3:2 | 5:3 | 16:9 | 2:1 |
Nun werde verlangt, warum auch immer, die Skalen nach Dur zu verbiegen. Die Tonleiter auf F hat zwei Unterschiede zur Dur-Skala, die Töne H und D. Um folgende Intervalle muss abgesenkt werden, um ein F-Dur zu erzwingen:
    $H\to B:\quad$ (45/32) / (4/3) = 135/128
    $D\to ,D:\quad$ (27/32) / (5/3) = 81/80
Die Tonleiter auf G hat die Töne A und F, die von Dur abweichen.
Zwei Anhebungen erzeugen ein G-Dur:
    $,A\to A:\quad$ (9/8) / (10/9) = 81/80
    $F\to Fis:\quad$ (15/8) / (16/9) = 135/128
Das syntonische Komma 81/80=1,0125 taucht jedes Mal auf. Neu ist ein Halbtonschritt, der einen Leitton entweder abschafft oder herstellt. Die halbtönige Alteration ist kleiner, um ein Prozent, also etwa ein Komma, als ein diatonischer Halbton. Denn: (16/15) / (135/128) = 1,011...

#### Die gleichstufige Stimmung

Die Begriffe temperierte, gleichstufige oder gleichschwebende Stimmung bezeichnen die gleiche Technik, die bei Tasteninstrumenten vorherrscht. Man teilt die Oktave streng in zwölf gleiche Intervalle auf. Das bringt eine brutale Vereinfachung, die
* erstens die Unterschiede zwischen As und Gis und Kollegen ausradiert (enharmonische Verwechslung),
* zweitens alle Feinstruktur (Verschiebung ums syntonische Komma) unterdrückt.
Weil zwölf temperierte Halbton-Intervalle I eine Oktave ausmachen, gilt:
    $I^{12}=2\quad \Rightarrow \quad I={\sqrt[{12}]{2}}=e^{\ln(2)/12}=1,059463...=$ 100 Cent.
Das pythagoreische Komma ist der Fehlbetrag, der herauskommt, wenn zwölf Intervallschritte von reinen Quinten verglichen werden mit einem Intervall von sieben Oktaven:
    PK = $\left({\frac {3}{2}}\right)^{12}/2^{7}=3^{12}/2^{19}$ = 1,01364 = 23,46 Cent.
Die Folge reiner Quinten schießt um einen Achtel Ton (Erinnerung, ein Halbton = 100 Cent) über die Oktaven hinaus. Die Kette von 12 Quinten heißt der Quintenzirkel. Zu schön wäre es, wenn er wieder beim Ausgangston ankäme. Töne, die sich um Oktaven (Faktoren zwei) unterscheiden, sind hier äquivalent. In der reinen Stimmung wäre der Quintenzirkel eine Quintenspirale. Der Kreis schließt sich nur wegen leicht unsauberer Quinten.
   "Aus der Erfahrung weiß man, daß, wenn man z.E. alle Quinten etc. rein stimmet, bey der Fortschreitung die Tone zu hoch kommen, und mit andern Tonen eine unleidliche Dissonanz verursachen. Diesem Uebel abzuhelffen, nimmt man einer Consonanz bald etwas ab, oder leget ihr bald etwas zu, und temperiret die Verhältnisse der Tone so gegeneinander, daß sie das Gehöre alle wohl vertragen kan, welches Temperatur heist, und zur Absicht hat, daß man aus allen 24 Tonarten, ohne die Ohren zu beleidigen, spielen kan." (Mus.Bib. I.3 S.237)
Bei der gleichstufigen Stimmung wird jede Quinte nur um knapp 2 Cent eingeengt, so dass die Folge passgenau und gleichmäßig eine Oktave mit zwölf Tönen bevölkert. Der Fehler erklingt als eine dezente Schwebung der Quinten, ein Tremolo, das nicht weiter schockiert. Beim Klavierstimmen stellt man die langsamen Perioden dieser Schwebungen auf Sollwerte ein. Daher auch der Name gleichschwebende Stimmung.
Eine gleichwertige Definition des pythagoreischen Kommas ist das Verhältnis von sechs 'großen' Ganztönen zu einer Oktave,
    PK = $\left({\frac {9}{8}}\right)^{6}/2.$
Diese Zahl wurde zuerst von Euklid erwähnt.
Es kam Kritik auf. Die gleichstufig großen und kleinen Terzen weichen hörbar von den reinen Vertretern der Gattung ab. Um die 15 Cent beträgt der Fehler.
| Intervall | gleichstufig | rein |
| kleine Terz | 300 Cent | 315,5 Cent |
| große Terz | 400 Cent | 386,5 Cent |
Die gleichschwebend gestimmten Terzen klingen also kratzig wegen schneller Schwebungen. Die großen Terzen sind "scharf".
    Rechenbeispiel.
Den Kammerton A = 440 Hertz nennen wir a', er gehört zur Oktave von c' bis h'. Die Töne in der Oktave darunter bezeichnen wir ohne Strich. Die Frequenz vom Ton c' folgt aus der von a', wenn neunmal durchs Halbtonintervall I geteilt wird. Die Frequenz von c ist dann die Hälfte.
Was macht die Schwebung zwischen den temperierten Tönen
    c = 130,812 Hz,
    e = 164,813 Hz ?
Das Intervall c-e ist eine große Terz, das ideale Verhältnis wäre 4:5.
Die Obertöne $5\cdot c$ und $4\cdot e$ liegen also sehr nahe zusammen. Ein Tremolo mit der Differenzfrequenz dieser Obertöne soll wahrnehmbar sein.
    $F=|5\cdot c-4\cdot e|\simeq 5.2$
Diese gleichstufig gestimmte Terz vibriert mit der Frequenz 5 Hertz.
Die Stimmung ist ein Kompromiss, der für Tasteninstrumente erfunden wurde. Gute Streicher und Sänger neigen spontan dazu, mit den reinen Intervallen aufzuwarten.
Früher wurden daher noch andere Kompromisse bevorzugt, in der Richtung: Wir geben die Hälfte der möglichen Tonarten auf. Dafür verschönern wir aber viele der Terzen.
Schon im 16. Jahrhundert und Anfang des 17. Jahrhunderts haben sich viele gebildete Leute mit dem Problemen der ungleichschwebenden Stimmung beschäftigt und verschiedene Vorschläge erarbeitet, wie diese abgemildert werden kann. Zu diese Gelehrten zählen unter anderen Johannes Kepler (* 1571; † 1630), Leonhard Euler (* 1707; † 1783), Wolfgang Caspar Printz (* 1641; † 1717), Andreas Werckmeister (* 1645; † 1706) und Gottfried Silbermann (* 1683; † 1753). In der Mitte des 17. Jahrhunderts machte vor allen anderen Johann Philipp Kirnberger (* 1721; † 1783) von sich reden. Bis zum Ende des 17. Jahrhunderts wurde auf dieser Basis schließlich die gleichschwebende Temperatur entwickelt, wobei sich untern vielen anderen die folgenden Personen bei der Umsetzung und Einführung hervorgetan haben: Johann Georg Neidhardt (* 1680; † 1739), Georg Andreas Sorge (* 1703; † 1778), Johann Heinrich Lambert (* 1728; † 1777), Christoph Gottlieb Schröter (* 1699; † 1782), Barthold Fritze (* 1697; † 1766), Jean-Philippe Rameau (* 1683; † 1764), Jean-Baptiste le Rond d'Alembert (* 1717; † 1783), Friedrich Wilhelm Marpurg (* 1718; † 1795) und Moses Mendelssohn (* 1729; † 1786).

#### Mehr zur natürlichen Stimmung

Die Dur-Tonleiter ist ein Quint-Terz-System. Abgesehen von Transpositionen um Oktaven, erreicht man die Töne mit der kleinstmöglichen Zahl von Sprüngen mit Quinten, Faktor (3/2), und großen Terzen, Faktor (4/5), vom Grundton aus. Eine Quinte nach unten gleicht dabei einer Quarte aufwärts.
Will man die Skala noch einfacher nur mit reinen Quinten nachbilden, bekommt das System die pythagoreische Stimmung und hat unreine Terzen, denn vier Quinten modulo Oktaven übertreiben die Terz um ein syntonisches Komma. Die so gestimmte Terz wäre mit 408 Cent noch schriller als die temperierte.
Dogmatische Theoretiker des Mittelalters hatten tatsächlich die Terz zur Dissonanz erklärt, Pythagoras erlaube sie nicht. Wer dem Ukas folgte, machte sterbenslangweilige mittelalterliche Musik mit nur Quinten als Harmonie.
Symbolisch erzeugen die Algorithmen die Tonleitern, modulo Oktaven:
| Ton | C | D | E | F | G | A | H |
| Quint/Terz-System | 0 | 2Q | T | -Q | Q | -Q+T | Q+T |
| Quinten-System | 0 | 2Q | 4Q | -Q | Q | 3Q | 5Q |
Das Rechnen sei mit Logarithmen definiert. Werte von Oktave, Quinte, großer Terz:
    $O_{k}:=\ln(2);\quad Q:=\ln(3/2);\quad T:=\ln(5/4).$
Alle Töne haben Werte zwischen 0 und $O_{k}.$ Intervalle werden kombiniert durch Addition und Subtraktion modulo Oktave; also Summen/Differenzen um Oktaven verschoben, so dass das Ergebnis im halboffenen Intervall $[0,O_{k})$ liegt. Mathematisch sind die Töne und Intervalle eine kommutative Gruppe und isomorph zum Einheitskreis. Der Ton C sei das Null-Element. Das Inverse einer Quinte ist die Quarte, also die Umkehrung. Terzen sind invers zu Sexten, Sekunden invers zu Septimen. Die Gruppenverknüpfung "+" ist die Addition modulo Oktave, bei Negation "-" erfolgt auch die Oktaven-Verschiebung danach. Die Symbole $Q,T,P,S,I,...$ sind Gruppenelemente, und wie bei jeder abelschen Gruppe ist die Multiplikation derselben mit ganzen Zahlen möglich.
* Das Pythagoreische Komma $P:=12Q=\ln(531441/524288)=$ 23,46 Cent
* Das Syntonische Komma $S:=4Q-T=\ln(81/80)=$ 21,51 Cent
Ein System aus 13 reinen Quinten kann so notiert werden:
    As-Es-B-F-C-G-D-A-E-H-Fis-Cis-Gis
As hat den Wert -4Q und Gis den Wert 7Q.
Ausgehend vom Quintensystem können wir die Terzen bereinigen, indem wir den Überschuss abziehen, den 4 Quinten gegenüber der großen Terz haben, modulo 2 Oktaven. Er beträgt ein syntonisches Komma. Eine Tiefkomma-Notation dokumentiert, wie die Dur-Skala vom pythagoreischen Quintensystem abweicht:
    { C D ,E F G ,A ,H C } = {0, 2Q, 4Q-S, -Q, Q, 3Q-S, 5Q-S, 0}
Auch ein Hochkomma-Präfix wird benutzt, um positive S-Verschiebungen anzuzeigen. Allgemein, wenn Note X den Wert x hat:
    $X\mapsto x\quad \Rightarrow \quad ,X\mapsto (x-S)\qquad 'X\mapsto (x+S).$
Alle Dur-Tonleitern haben das Muster mit Kommata an denselben drei Stellen.
Beispiele:
    Des-Dur: { Des Es ,F Ges As ,B ,C Des}
    As-Dur: { As B ,C Des Es ,F ,G As}
    Cis-Dur: { Cis Dis ,Eis Fis Gis ,Ais ,His Cis}
Weil $Cis\mapsto 6Q,\quad Des\mapsto -6Q,$ ist ihre Differenz ein pythagoreisches Komma. Dagegen ist der Unterschied von ,Cis und Des weniger als 2 Cent.
Mittelalterlich konnte durch 12 wiederholte Quintensprünge die Tonleiter gefüllt werden mit den 'pythagoreischen' Halbtönen. Nachdem endlich rein klingende Terzen eingeführt wurden, brachten geordnete Modulationen zu den Nachbartönen der Quintenreihe immer neue Korrekturen ums syntonische Komma ein.

#### Zulässige Ungenauigkeit der Tonhöhe

Die Differenz zwischen dem Pythagoreischem und Syntonischen Komma (P-S) ist kleiner als 2 Cent. P-S heißt ein Schisma. Genauso klein ist der zwölfte Teil (P/12), um den die reinen Quinten in der temperierten Stimmung reduziert werden.
Die Ungenauigkeit bei der Tonhöhe darf relativ groß sein, wenn ein Ton nur kurze Zeit dauert. Das Produkt aus Frequenzbreite und Dauer ist von der Größenordnung Eins: $(\Delta f)(\Delta t)\simeq 1.$ An der Schwebung ist es zu sehen: Zwei Frequenzen mit Abstand $\Delta f$ machen eine Schwebung mit der Frequenz $s=\Delta f/2.$ Der Ton kommt in Hüllkurven an, die mindestens eine Periode von der Schwebung dauern,
    $\Delta t={\frac {1}{2\pi s}}={\frac {1}{\pi \;\Delta f}}.$
Das Produkt aus Frequenzverbreiterung und Zeitdauer des Tremolos ist in der Gegend von Eins.
Bemerkung: In der Quantenphysik regiert Heisenbergs Unschärfe. Bezogen aufs Produkt aus Energie und Zeit spielt sich da genau das Gleiche ab. Denn die Energie ist das Produkt einer Frequenz mit dem Wirkungsquantum.
Wieviel Zeit dauert es denn nach dieser Unschärferelation, wenn man einen Reinheitsfehler von 2 Cent beim Kammerton A messen will?
    $\Delta f=440Hz\cdot {\big2^{2/1200}-1{\big )}=440(\exp(\ln(2)/600)-1)=0,5\;{\text{ Hz }}\;\Rightarrow \;\Delta t=2s$
So etwa 2 Sekunden, schneller ist der Fehler weder messbar noch wahrnehmbar.
Die lange gängige Theorie (Hermann von Helmholtz) sah im Ohr einen linearen Detektor, der auf Resonatoren beruhe. Sie ergab einen Widerspruch. Auf der einen Seite hat das Gehör eine hohe Auflösung für Frequenzen, etwa 1,5 Hz. Auf der anderen Seite eine hohe Zeitauflösung, genannt Trillerempfindlichkeit, bis zu 18 Amplitudenspitzen pro Sekunde. Also $(\Delta f)\cdot (\Delta t)=1,5\cdot 0,05<0,1,$ erheblich unter der Einheit. Mit einem linearen System ist das nicht gleichzeitig möglich. Es wird verständlicher, wenn ein Detektor abhängig vom Inhalt des "Signals" seine Arbeitsweise in Echtzeit anpassen kann. Schon an den Tartini-Tönen waren nichtlineare Fähigkeiten des Gehörs zu erkennen.

#### Herleitung der Tonleitern

Die drei verwandten Frequenzen f, (3/2)·f und (4/3)·f heißen traditionell Tonika, Dominante und Subdominante. Abgesehen von der Oktave, sind diese Quinte und Quarte die rationalen Töne über der Tonika mit dem kleinsten Nenner. Die große und die kleine Terz setzen die Reihe fort, (5/4)·f und (6/5)·f.
Die reine Dur-Tonleiter ist eindeutig dadurch bestimmt, dass über den drei Stufen Tonika, Dominante und Subdominante jeweils ein reiner Dur-Akkord existiert: Quinte = große + kleine Terz. Die reine Moll-Tonleiter wird genauso eindeutig erzeugt, wenn diese drei Stufen den reinen Moll-Dreiklang tragen: kleine + große Terz. Dur und Moll sind die zwei Grundmengen von Tönen mit der höchstmöglichen Symmetrie. Sie haben je 7 Töne; ein "Ton" wird als gleich angesehen in allen Oktaven.
Aus der Definition folgt mit etwas Rechenfleiß die Frequenztabelle. In beiden diatonischen Leitern kommen drei elementare Intervalle vor, ein Halbton H=(16/15), ein großer Ganzton G=(9/8) und ein kaum davon verschiedener kleiner Ganzton K=(10/9). Die Intervall-Formeln der Leitern sind:
Beide Folgen schließen sich im Kreis und durchlaufen so viele Oktaven wie gewünscht. Die Kreise sind Spiegelbilder, wenn der Anfangspunkt mitten in der Teilfolge GHG sitzt.
Zum Nachrechnen: das Produkt aller Intervalle ergibt 2, die Oktave. Produkte GK = KG sind große Terzen, GH = HG sind kleine Terzen. Die Dur-Frequenzen sind Vielfache eines Bruchteils 1/24, die Moll-Frequenzen brauchen den größeren Teiler 120.
Die Moll-Skala ist fast, aber nicht ganz eine zyklisch verschobene Dur-Tonleiter:
Die Leiter, die zwei Töne tiefer unter dem Dur-Schema anfängt, wird zu reinem Moll, wenn die zwei Intervalle G,K am Anfang des Durs vertauscht werden. Das Mikro-Intervall zwischen G und K beträgt G/K = (9/8)/(10/9) = (81/80), ein Komma. Um diesen Betrag wird die zweite Stufe vom Dur verschoben, damit alle definierenden Dreiklänge der gewünschten Moll-Tonleiter haargenau stimmen.
Wer also von C-Dur nach a-Moll wechselt und theoretische Reinheit anstrebt, muss dabei den Ton D um ein Komma absenken. Geht es weiter in reinstem F-Dur, ist noch H rauszuwerfen und durch B zu ersetzen. In Terzen aufwärts muss die reine Stimmung symmetrisch die Töne manipulieren. Von C-Dur nach e-Moll, indem F zu Fis mutiert. Weiter nach G-Dur bleibt nur noch A um ein Komma zu heben.
In 24 Schritten terzweise hinauf könnte man so alle reinen Tonarten durchlaufen, im Wechsel Dur und Moll, alle zwei Schritte eine Komma-Korrektur. Am Ende kommt ein His-Dur an, wo das His (H#) um ein Komma über dem C liegt. Wegen dieses Fehlbetrags schließt der reine Quintenzirkel sich nicht richtig. Um die Quälerei mit solcher Unstimmigkeit zu umgehen, wurden pragmatisch die unreinen Stimmungen entwickelt. Mehr Freiheit für die Künstler bei etwas schwebenden Harmonien, deren Abweichung vom mathematischen Ideal problemlos überhört wird. Wir tolerieren in großer Mehrheit ja auch technisch schlechte MP3-Quellen und die brutale Kompression von Dynamik.
Selbstverständlich benutzt die praktische Musik außer Dur und Moll alle möglichen anderen, weniger symmetrischen Skalen. Gemische sind beliebt. Moll (melodisch aufsteigend) etwa ist ein leicht alteriertes Dur: nur die erste Terz wird verkleinert. Moll (harmonisch) hebt nur die siebte Stufe des reinen Moll an zu einem Leitton, dem Halbton unter der Tonika. Der interessante Vierklang Gis-H-D-F der verminderten Septime zerlegt dann praktisch die Oktave in vier kleine Terzen; er gehört bei gleichschwebender Stimmung zu vier Tonarten gleichzeitig. In so viele Richtungen hin kann er "aufgelöst" werden.
Noch eine pingelige Haarspalterei. Nach der beschriebenen Reise auf Terzen durch den Quintenzirkel ist der Faktor, um den das 'His' über das 'C' hinaus schießt, nicht genau das erwähnte syntonische Komma (G/K) = 81/80, sondern etwas verschieden. Begründung: Anfangs liegt H unter C mit dem Halbton-Faktor (1/H). An einer Stelle wird Note H um das Komma angehoben, an einer zweiten wird es erhöht zum His mit dem Faktor (G/H), drittens erfährt diesem His irgendwann auch der Komma-Schub. Der Faktor des reinstimmig verschleppten His über C ist daher:
    [His/C] = (1/H)·(G/K)·(G/H)·(G/K).
Ergebnis $3^{12}/2^{19}$. Um diesen Multiplikator, das pythagoreische Komma, ragen 12 reine Quinten über 7 Oktaven hinaus.

#### Die Harmonische Teilung

Eine Art von Gesetz zeigt, wie aus vielen Zweiklängen ein Dreiklang entsteht. Zuerst die Beispiele:
    Die Oktave als Produkt Quinte mal Quarte: (2/1)= (3/2)·(4/3)
    Die große Sexte aus Quarte und großer Terz: (8/5)= (4/3)·(5/4)
    Die Quinte das Produkt großer und kleiner Terz: (3/2)=(5/4)·(6/5)
    Die große Terz aus großem und kleinem Ton: (5/4)= (9/8)·(10/9)
Auf der rechten Seite erscheinen nur Tripel ganzer aufeinanderfolgender Zahlen:
    2:3:4, 3:4:5, 4:5:6, 8:9:10.
Offenbar ist da immer der Mittelwert eingerahmt. Diese Tripel sind nämlich die Frequenz-Verhältnisse:
    2:3:4 Grundton:Quinte:Oktave,
    3:4:5 Grundton:Quarte:Sexte,
    4:5:6 Grundton:Terz:Quinte und
    8:9:10 Grundton:Sekunde:Terz.
Es handelt sich physikalisch um Ausschnitte aus der Reihe der 'Harmonischen', also der Vielfachen oder Obertöne, einer tieferen Grundfrequenz. Tripel, die die Zahl 7 enthalten, mögen wir hier nicht.
Die antike Wissenschaft sortierte die Töne statt nach Frequenzen nach den Längen von (gleich gespannten) Saiten, welche zum Kehrwert der Frequenz proportional sind. Ausgedrückt in solchen Saitenlängen und auf ganze Zahlen skaliert, ergeben sich die vier Tripel:
    12:8:6 Teilung der Oktave
    20:15:12 Teilung der Sexte
    15:12:10 Teilung der Quinte
    45:40:36 Teilung der Terz
Die Längenverhältnisse hier sind Paare von 'ungleichen Rationen', etwa 12:8 und 8:6, in altmodischer Sprache.
Man entdeckte die passende Regel zur "harmonischen" Aufteilung der Intervalle von Tönen mit Hilfe der Saite. Die Regel setzt die arithmetische Mittelung der Frequenzen in die Teilung der Längen um.
Definition:
Die mittlere ganze Zahl b in (a > b > c) heißt das harmonisches Mittel der Eckwerte a,c, wenn gilt:
    (a/c) = (a-b) / (b-c)
In Worten: das Verhältnis der Werte a/c ist gleich dem Verhältnis der Differenzen zwischen a,c und b, also gleich dem Verhältnis der Abstände zum gesuchten Zwischenwert.
Äquivalent ist die Aussage: der Kehrwert von b ist der Mittelwert der Kehrwerte von a und c (Beweis Übung). Notation der harmonischen Teilung: a:b:c.
Gemessen in Saitenlängen am Monochord, gehorchen viele der musikalischen Aufteilungen von Intervallen also exakt der Formel für Harmonische Mittelung, wie die oben angegebenen vier Fälle.
Folgendes Buch war im 18. Jahrhundert das Standardwerk der Kompositionslehre. Keine Geringeren als Haydn, Mozart und Beethoven haben es studiert.
   GRADVS AD PARNASSVM oder
   Anführung zur Regelmäßigen Musikalischen Composition
   Auf eine neue, gewisse, und bishero noch niehmals in so deutlicher Ordnung and das Licht gebrachte Art ausgearbeitet
   von Johann Joseph Fux, Weil. Gr. Kayserl.und Königl.Cathol.Majest.Carls des VI.Ober Capellmeister.
   Aus dem Lateinischen ins Teutsche übersetzt, mit nöthigen und nützlichen Anmerckungen versehen und herausgegeben von Lorenz Mizlern,
   Der freyen Künste Lehrer auf der Academie zu Leipzig. (1742)
Die Intervalle und die harmonische Teilung werden darin behandelt, und zwar weniger trocken als in vorliegendem Text. Guter Stil war, Dialoge von Lehrmeister und Alumnus zu schreiben. Wir lernen folgende Definition samt Algorithmus nach Fux trad. Mizler:
   "Die harmonische Theilung geschiehet durch die mittlere Grösse, oder den Theiler, wodurch die Rationen als ungleich entstehen, und da die grössere Ration in den grössern Zahlen, die kleinere in den kleinern stecket; also, daß die Unterscheide auf gleiche Art ungleich sind. Durch ein Exempel wird die Beschreibung deutlicher werden. Man nehme die schon arithmetisch getheilte Octave, dergestalt: 4:3:2. Man vervielfältige die zwey äussern Grössen durch die Mittlere, 4 durch 3, so kommt 12 heraus; hernach 2 durch eben dieselbe mittlere Zahl 3, so entstehet die andere äussere Grösse der harmonischen Ration 12:6.
   Ferner vervielfältige man die äussere Grössen der arithmetischen Ration untereinander, nemlich 4 durch 2, wodurch 8 heraus kömmt, welches der wahre harmonische Theiler ist, so die doppelte Ration auf diese Art theilet 12:8:6 und zwey ungleiche Rationen hervorbringet."
Mizler trug eine Fußnote bei, damit die Sache noch klarer wird:
   "Die Erklärung der harmonischen Theilung ist also diese:
   Eine harmonische Theilung ist, wenn die gefundenen Grössen eine harmonische Verhältniß unter einander haben, das ist: wenn die Unterscheide der ungleichen Rationen sich so verhalten als die äussern Grössen der gefundenen Rationen."

#### Approximation des reinen Tonsystems

Die Näherungsmethode geht so: Wird eine Oktave in 53 gleiche Stufen eingeteilt, kann man mit solchen Tönen alle reinen Dur- und Moll-Tonleitern hinreichend genau annähern und alle Modulationen streng nach Regel durchführen. Der Fehler zur theoretischen Reinheit bleibt kleiner als 2 Cent.
Gioseffo Zarlino (1517-1590), genannt der Vater der modernen Musiktheorie, hat im 16. Jahrhundert folgende Rechenaufgabe gelöst:
    Finde zwei ganze Zahlen $i,j$ so dass:
* die Oktave in $i$ gleiche Intervalle $O_{k}=i\cdot H$ geteilt ist,
* die reine Quinte möglichst gut in $j$ gleiche Intervalle $Q=j\cdot H$ zerfällt,
* das Intervall $H$ möglichst nahe am syntonischen Komma liegt.
    Die Lösung lautet: $\;i=53,\;j=31,\;H={\sqrt[{53}]{2}}=\exp(\ln(2)/53).$
    Zarlinos Komma $H:\quad$ 22.6415 Cent. Er liegt wunderbar mitten zwischen den folgenden.
    Syntonisches Komma $S:\quad$ 21.5063 Cent
    Pythagoreisches Komma $P:\quad$ 23.46 Cent
Das Intervall bekam im englischen Sprachraum den Namen Holdersches Komma, nach William Holder (1616-1698), der sich offenbar den Vortritt erschlichen hat. Der Fehler zwischen der reinen Quinte und der Approximation mit $j\cdot H$ beträgt $F=Q-31H=0,0682$ Cent. Also bei zwölf Quinten immer noch unter 1 Cent, sehr klein verglichen mit den Kommata. Das Syntonische Komma bekommt mit $H$ einen gut angenäherten Wert, auch mit einem Fehler um 1 Cent.
Mit dem Mikro-Intervall $H$ sind die Dur-Tonleitern im Raster der 53 Töne zuhause. Denn die Töne dieser Skala sind Linearkombinationen aus $Q$ und $H$ mit ganzen Koeffizienten. Die Töne sind durch ganze Zahlen als Vielfache des Intervalls $H$ gegeben.
    Tonleiter n = {nj,(n+2)j,(n+4)j-1, (n-1)j, (n+1)j, (n+3)j-1, (n+5)j-1, nj+i} modulo i; j=31, i=53.
Mit n von -6 bis 6 werden 13 Tonleitern erfasst.
    C-Dur hat zum Beispiel den Code {0,9,17,22,31,39,24,53}.
Der große Ganzton beträgt $9H,$ der kleine Ganzton $8H,$ der diatonische Halbton $5H.$
Wenn n um 12 erhöht wird, kommt der Grundton $(nj\cdot H)$ um ein pythagoreisches Komma höher wieder an. Das wird angenähert durch eine Verschiebung $H$ ausgedrückt, und der Anordnung, dass n modulo 12 zu nehmen ist.
Insgesamt gibt es ein Raster von Tonleitern mit zwei Indizes und den Tönen:
    L(n,k)= {nj+k,(n+2)j+k,(n+4)j+k-1, (n-1)j+k, (n+1)j+k, (n+3)j+k-1, (n+5)j+k-1} modulo i, mit ganzen Zahlen n,k.
Durch genügend viele Modulationen kann man das ganze Netz durchwandern. Der Wertebereich von k braucht nicht sehr groß zu sein, denn wenn n 13 Werte bekommt, ist schon ein Raster von Halbtönen mit Schritten von $5H$ vorhanden. Also wird mit k von 0 bis 5 alles was geht erfasst. Notieren kann man die so fein abgestuften Töne etwa als ",,,,B" mit dem oben erwähnten Komma-Präfix.
Die voll ausgebaute natürliche Stimmung hat angenähert 53 Töne pro Oktave. Die Fehler dieses Systems sind kleiner als 2 Cent und damit unhörbar.
Wandert man in einem Raster von großen Terzen, kommt ein anderer minimaler Fehlbetrag vor, das Kleisma $(6T-5Q)$ modulo Oktave, von etwa 8 Cent. Dies erlaubt die kleismatische Verwechslung von Tönen.
Die Moll-Tonarten werden hier nicht behandelt, sie passen ebenfalls nahtlos in die Skala aus 53 Tönen. Auch die temperierte und andere Stimmungen lassen sich hinreichend gut hineinpressen. Sogar Tonsysteme, die nicht in Europa entstanden, wie die traditionelle türkische Musik, kommen mit der Mikrotonleiter klar.

#### Mitteltönige Stimmungen

Nur ein Beispiel dieser Rezepturen, die besonders auf reine Terzen Wert legen. In der Viertelkomma-mitteltönigen Stimmung werden Quinten um ein Viertel des syntonischen Kommas verengt, damit große Terzen rein herauskommen. Jede schwarze Taste drûckt auf eine erhöhte oder eine erniedrigte Note, nicht beide.
Regel: Es werden schwarze Tasten Cis, Es, Fis, Gis und B so intoniert, dass ihre Abweichung vom Stammton einen kleinen Halbton von K=76,049 Cent ausmacht. Alle anderen Schritte in der Zwölftonreihe sind große Halbtöne, G=117,108 Cent. Wer möchte, kann nachprüfen, $5\cdot K+7\cdot G=1200$. Gestimmt wird mit Hilfe der Schwebungen bei Quinten; nach vier engen Quinten wird die Reinheit einer Terz geprüft.
In leichter Abwandlung wird das Gis geopfert und durch ein As ersetzt. Der Unterschied zwischen Gis und As beträgt der Regel nach (G-K) = 41 Cent, knapp einen Viertelton! Mit As statt Gis gibt es sechs spielbare Dur-Tonarten (und die parallelen Moll-Tonarten):
    C F G B D Es. Für Kirchenmusik reichte das allemal aus.
Mit dem Gis kommt A-Dur herein und ersetzt Es-Dur. Im Endeffekt erhält man eine Menge guter Terzen, 11 verkleinerte aber noch wohlklingende Quinten und einen Problemfall: die zu große Quinte Gis-Es. Diese Wolfsquinte sollte die Organistin tunlichst vermeiden.
Mitteltönig heißt die Stimmtechnik, weil in den großen Terzen nicht mehr verschieden große, sondern zwei gleichartige Ganztöne vorkommen.
    Herleitung der Frequenzen.
Die mitteltönige Stimmung gibt einer diatonischen Leiter nur zwei elementare Intervalle, den Tonschritt T und den Halbton H. Die zwei verschiedenen Ganztöne der reinen Stimmung sollen nivelliert werden. Logarithmisch gilt 5T+2H= ln(2), aus den weißen Tasten abzulesen.
Nun gibt es beim Wechsel der Tonart neue Halbtöne, so dass zum Beispiel das Intervall F-G (T) zu Fis-G (H) wird. Die Alteration von F zu Fis macht dann einen "kleinen" Halbton h aus, etwas weniger als H. Die Ganztöne erfüllen alle T=H+h. Ein Spielraum kommt bei der Frage, auf welcher Seite der kleine Schritt liegt, wenn die schwarzen Tasten gestimmt werden. Es gilt die Gleichung 5H+7h= ln(2) sowie die Forderung, dass alle großen Terzen (2T) sauber sind: 2H+2h = ln(5/4). Aus beiden Gleichungen folgen H und h und damit die ganze Stimmung, nachdem man entscheidet, zum Beispiel Gis gegenüber As zu privilegieren.
    In Cent gemessen: H=117,108, h=76,049.
Das System hat bessere Terzen, aber noch schlechtere Quinten als die gleichschwebende Temperatur. Und Tonfolgen oder Akkorde mit viel "Schwarz" dabei verbieten sich hier. Die schwarzen Tasten sind teils linkslastig, teils rechtslastig und können sich beißen. Findige Tüftler vermehrten deshalb die Tasten, doch die praktischen Musiker zogen nicht mit.
Aufgabe 1.
Der Ton a'=440 Hz soll eine Quinte e" bekommen, die um ein Viertel des syntonischen Kommas verengt ist. Welche Frequenz hat die Schwebung?
    $A=440;\quad E=440\cdot (3/2)/{\sqrt[{4}]{81/80}}=440\cdot {\sqrt[{4}]{5}}=657.9535$
    Frequenz der Schwebung: $\;3\cdot A-2\cdot E\simeq 4,1.$
Das Tremolo muss auf 4,1 Hertz abgeglichen werden.
Aufgabe 2.
Die Werte des großen und des kleinen Halbtons sollen hergeleitet werden. Im Quintenzirkel gehen 5 Schritte von C nach H, 7 Schritte von B nach H. Jede enge Quinte bekommt den Faktor $q={\sqrt[{4}]{5}}$ aus Aufgabe 1. Daher folgt mit der Berichtigung um Oktaven:
    der große Halbton H-C ist $\;q^{-5}$ mal eine Potenz von 2, Ergebnis 1,06998 = 117,11 Cent,
    der kleine Halbton B-H ist $\;q^{7}$ geteilt durch eine Potenz von 2, Ergebnis 1,04491 = 76,05 Cent.
Aufgabe 3.
Wie unrein ist die Wolfsquinte?
Von Es nach Gis braucht man im Zirkel 11 Faktoren der Quinte, also ergibt sich Gis-Es, geteilt durch den Faktor der reinen Quinte,
    $q^{-11}/({\tfrac {3}{2}})\;$ mal eine Potenz von 2, Ergebnis 1.0208 = 35.68 Cent.
Gis-Es ist zu groß um ein doppeltes Komma, etwa ein Drittel vom Halbton.

#### Wohltemperierte Stimmungen

Das Adjektiv "wohltemperiert" wird nicht nur für die gleichstufige Stimmung verwendet, sondern allgemeiner für eine Sammlung von Vorschriften, die gut ausgeglichen sind. So gut, dass das betroffene Tasteninstrument in allen 24 Dur- und Moll-Tonarten gespielt werden kann, ohne dass die ganz sensiblen Hörer weglaufen. Ein Pionier dieser Technik war der Musiker und Theoretiker Andreas Werckmeister (1645-1706). Er erarbeitete vier und mehr von solchen Algorithmen. Im Spezialfall der heute üblichen gleichen Halbtonschritte klingt die Musik in allen Transpositionen gleich. Bei einer der subtileren Stimmungen behalten bestimmte Tonarten aber eine charakteristische Färbung. (Jedoch sinkt man niemals auf das Niveau des Pianos im Wild-West-Saloon.) Je gebräuchlicher eine Tonart ist, um so reiner soll sie klingen.
* Gleichstufige Stimmung: alle 12 Dur-Tonleitern gleichen sich.
* Mitteltönige Stimmung: alle 6 "erlaubten" Dur-Tonleitern gleichen sich.
* Reine Stimmung: Nur eine Tonleiter ist wirklich einwandfrei.
* Wohltemperierte Stimmung: alle Tonleitern sind möglich, doch sie haben verschiedenen Charakter.
Beispiel: In der Werckmeisterschen Stimmung Nummer III werden sieben der zwölf Quinten des Quintenzirkels rein gestimmt und vier Quinten werden um ein Viertel des pythagoreischen Kommas verengt.
* Reine Quinten: A-E E-H Fis-Cis Cis-Gis Gis-Es Es-B B-F F-C
* Enge Quinten: C-G G-D D-A H-Fis
Trotz seiner Erfindungen trat Werckmeister in seiner letzten Veröffentlichung als Befürworter der gleichstufigen Stimmung auf. Es ist leider nicht überliefert, welche Art der Stimmung der geniale Johann Sebastian Bach benutzt hat. Diesbezügliche Vermutungen, Hypothesen, Theorien, Annahmen, Spekulationen, können Bände füllen. Einzelheiten kommen in einem Abschnitt weiter unten.
Folgende Tabelle zeigt, wie die Oktave bei verschiedenen Stimmungen in Cent aufgeteilt wird.
| Temperament/Ton: | C | Cis | D | Es | E | F | Fis | G | Gis | A | B | H | C |
| Mitteltönig | 0 | 75.5 | 193 | 310.5 | 386 | 503.5 | 579 | 696.5 | 772 | 889.5 | 1007 | 1082.5 | 1200 |
| Gleichstufig | 0 | 100 | 200 | 300 | 400 | 500 | 600 | 700 | 800 | 900 | 1000 | 1100 | 1200 |
| Vallotti | 0 | 94 | 196 | 298 | 392 | 502 | 592 | 698 | 796 | 894 | 1000 | 1090 | 1200 |
| Werckmeister-III | 0 | 92 | 193 | 294 | 391.5 | 498 | 590 | 696.5 | 793 | 889.5 | 996 | 1093.5 | 1200 |
| Kirnberger-III | 0 | 90 | 193 | 294 | 386 | 498 | 590 | 696.5 | 792 | 889.5 | 996 | 1088 | 1200 |
Die Tabelle wurde aus alten Informationen bei archive.org gebaut: piano_repair/temperaments
Aufgabe. Ein Skript soll die Werckmeister-Skala ausrechnen.
Zahlen dazu:
    Das pythagoreische Komma: $\;p=3^{12}/2^{19}$
    Seine vierte Wurzel: $\;q=(27/32)\cdot {\sqrt[{4}]{2}}$
    Die reine Quinte: $\;r=3/2$
    Die enge Quinte: $\;k=r/q=(16/9)\cdot 2^{-1/4}$
Das Ergebnis stimmt nur ungefähr mit der Tabelle überein.
Entschieden missbilligte Werckmeister die mitteltönige Stimmung:
   "Die letzte Quinta volte den Hunden und Raben zu Theile werden. Uber dieses dissoniren die Quinten so 1/4 Com. zu klein ist, sonderlich wenn sie allein, ohne Zuthuung der Tertien angeschlagen und ein wenig zu niedrig gestimmet werden, so heßlich, daß man sie kaum vertragen kan, kein gesundes Ohr wird solche lahme und faule Quinten wohl billigen. Eine Tertia, so 2/3 biß 3/4 Com. zu groß ist, klinget dem Gehör angenehmer, als eine solche faule Quinta." (Mus.Bib. I.2 S.169)

#### Dynamische Stimmungen

Mit der Computertechnik gab es neue Perspektiven für Orgeln, Synthesizer, Tasteninstrumente. Eine Software erkennt, welche Tonart gerade gespielt wird und stimmt in Echtzeit die Töne so um, dass optimal reine Akkorde und Melodien zu hören sind. Elektronisch unterstützt sollte ein Instrument, sogar eine aufwändig ausgestattete Pfeifenorgel, so gut intonieren wie ein professionelles Streichorchester.
Kuriosität.
Ein futuristisches Instrument, das Archicembalo wurde im 16. Jahrhundert entworfen. Auf zwei Manualen hatte die Oktave jeweils über 20 Tasten für insgesamt 31 gleichmäßig verteilte Töne. Die Begründung dafür war: so wird die Viertelkomma-mitteltönige Stimmung zu einem Zirkel geschlossen, statt an einer Wolfsquinte anzuecken. Genauer, 31 Mal die verengte Quinte ergibt praktisch ein Vielfaches der Oktave. $({\sqrt[{4}]{5}})^{31}\;/\;2^{18}=0,9965...$
Der größere Tonraum sollte weitreichende Modulationen mit immer sauberen Terzen und Quinten ermöglichen. Denn in jeder Tonart ist symmetrisch dasselbe Umfeld wie in C-Dur vorhanden. In der Praxis waren die Prototypen so gut wie unspielbar und landeten wohlverdient im Museum. Das Gerät war vor fast 500 Jahren eine technische und intellektuelle Meisterleistung. Im Geist der Renaissance lag der Wunsch, damit auch antike Musik wieder zu beleben. Kein Original ist erhalten. Das Foto zeigt ein etwas späteres Exemplar.
Insgesamt wären mindestens drei interessante gleichmäßige Aufteilungen der Oktave auf elektronischen Instrumenten ohne Schwierigkeiten machbar: mit 12, 31 oder 53 Stufen. Das Orthotonophonium (in Anlehnung an die griechischen Wörter ορθός = richtig, τόνος = Ton und φωνή = Klang) von 1914 ist ein Harmonium, das sogar mit 72 Tonstufen pro Oktave ausgestattet ist. Darauf können in allen diatonischen Tonarten reine Intervalle und Akkorde gespielt werden.
Das erweiterte mitteltönige System.
    Berechnung in natürlichen Logarithmen der Archicembalo-Tonskala.
Die Oktave hat 31 gleiche Stufen B, also 31*B = ln(2). Es soll die diatonische Leiter 5 gleiche Ganztöne und 2 gleiche Halbtöne haben, nur Vielfache von B. Mit Ganzton G und Halbton H: 5*G+2*H = 31*B. G muss ungerade sein, G>H und H~G/2.
    Die Lösung lautet: G = 5*B, H = 3*B.
Für Modulationen wird alteriert mit dem kleinen Halbton K = G-H = 2*B. Der Unterschied zwischen Gis und As beträgt D = H-K = B. Die Quinte hat den Wert Q = 3*G+H = 18*B. Die Oktave hat ein Raster von 31 Mikrotönen mit dem Intervall B.
Vergleichen wir die Intervalle in Cent mit der Original-mitteltönigen Stimmung, deren Quinte den Logarithmus Q = ln(5)/4 hat. Unhörbarer Unterschied.
| Stimmung | Gis-As | Kl.Halbton | Gr.Halbton | Ganzton | Quinte |
| Archicembalo | 38.71 | 77.42 | 116.13 | 193.55 | 696.77 |
| Mitteltönig | 41.06 | 76.05 | 117.11 | 193.16 | 696.58 |
    Code-Punkte der Dur-Tonleiter: {C,D,E,F,G,A,H,c} = {0,5,10,13,18,23,28,31}.
Jeder dieser Töne X braucht noch eine erhöhte Variante Xis (+2 Punkte) und eine erniedrigte Xes (-2 Punkte), insgesamt schon 21 Tasten pro Oktave. Wenn besonders energiegeladene Musik stellenweise doppelt erhöht oder erniedrigt, werden auch die restlichen 10 Töne des Rasters angefordert.
    Zum Beispiel {F,Geses,Fis,Ges,Fisis,G} = {13,14,15,16,17,18}.
In der Halbton-Gegend zeigen sich die ersten Verwechslungen, Hisis gleich Deses ungleich C.
Die Vierklänge mit einer natürlichen Septime können auch gut im 31-Ton-System dargestellt werden. Der Akkord "c-e-g-ais" etwa entspricht gut den Harmonischen 4:5:6:7 aus der Obertonreihe des Tons "C," zwei Oktaven tiefer.
Das so erweiterte mitteltönige System setzt also die geschriebenen Noten Eins-zu-Eins um ohne die enharmonischen Verwechslungen. Spielt jemand eine angelernte Komposition mit nur 12 Tasten, wüsste ein Instrument mit Datenspeicher automatisch, was gemeint ist. Nur die Tonhöhe würde geschaltet, ohne sonst den Künstler zu gängeln.

### Die Stimmung in der Vokalmusik

Die Ergebnisse eines klassischen Artikels (1893), kurz zusammengefasst:
* Max Planck: Die natürliche Stimmung in der modernen Vokalmusik
Max Planck (1858-1974), der berühmte Begründer der Quantentheorie, war auch ein ausgezeichneter Musiker mit absolutem Gehör und konnte Töne mit Unterschieden von einem Komma in einer Polyphonie heraushören. Er hatte Zugriff auf ein Harmonium mit 104 Tonhöhen pro Oktave. Das Instrument erlaubte ihm, alle Stimmungen, Intervalle, Akkorde zu testen und seine Wahrnehmung zu schulen.
Planck untersuchte nach Gehör die Praxis des Chorgesangs und fand, dass je nach den Umständen in reiner oder temperierter Stimmung gesungen wird. Mehrere psychoakustische Effekte kommen ins Spiel.
* Akkommodation:
Wenn ein Intervall wenig vom reinen Zahlenverhältnis abweicht, zieht das Ohr die Abweichung ab und täuscht sich die Reinheit vor (etwa wie im Einfangbereich einer PLL-Elektronik, pardon für die technische Analogie). Nur Kritiker und Dirigenten stellen bewusst die Bandbreite der Toleranz ganz klein. Viel Akkommodation leisten zu müssen, ermüdet die Hörer:innen. Was die Oktave angeht, herrscht praktisch Null-Toleranz.
Beiläufig wird erwähnt, dass die Natur-Septime mit Frequenzen im Verhältnis 4:7, die in unseren Tonleitern nie vorkommt (vereinzelt in Orgel-Registern?) einen ganz angenehmen Zusammenklang hat.
* Gedächtnis:
Das Gehör braucht eine gewisse Verzögerung, um sich eine neue Klangfarbe anzueignen. Man empfindet den zuerst gehörten Akkord bei einem Wechsel als angenehmer. Das um so mehr, je weniger ähnlich oder verwandt die zwei Klänge sind.
    Max Planck: „So finde ich bei der Vergleichung des Molldreiklangs in temperirter und in natürlicher Stimmung, daß dieser Dreiklang immer in derjenigen Stimmung besser klingt, in welcher er zuerst angegeben und lange genug ausgehalten wird.“
* Gewöhnung:
Die Macht der Gewohnheit lässt die seit Jahrhunderten vom Klavier vorgegebene temperierte Stimmung den Sängern in Fleisch und Blut übergehen. In A-cappella-Chören wurden laut der Studie die Dur-Dreiklänge überwiegend temperiert gesungen. Tonleitern intonierten die Sänger auch lieber temperiert.
* Entspannung:
Je weniger konsonant die Zusammenklänge sind, umso mehr Konzentration und Anstrengung brauchen die Sänger, um sie zu halten. Bei langen und harmonisch perfekten Akkorden stellt sich von selbst die ermüdungsfreie reine Stimmung ein. Am besten, wenn pianissimo gesungen wird.
An einer Folge von Dur-Akkorden, bei denen jeder mit dem nächsten einen Ton gemeinsam hat, zeigte sich theoretisch und praktisch, dass die Tonhöhe des Chors vom Anfang zum Ende absinkt. Nicht weil der Chor schlecht ist, sondern weil wiederholt bei den eingebauten Modulationen die Töne in reiner Stimmung sich um Komma-Beträge verschieben.
Der technische Trick besteht darin, eine Folge perfekter Dreiklänge zu bauen mit einem Strang von Tönen, der bei jedem Schritt eine Terz nach unten fällt (modulo Oktave). Wie bei der reinen Stimmung erläutert, erzwingt eine solche Terzfolge regelmäßig einen Rutsch gewisser Töne um ein Komma. Daher hält der Chor nicht die Stimmung. Die Einschlaf-Motette von Schütz enthält dem Thema gemäß so eine laufende Bewegung abwärts.
In einem Chorstück von Heinrich Schütz sinkt so bei langsamer Harmonie über die Worte "So schlaf ich ein und ruhe fein" die Tonlage automatisch um ein Komma. Die darauf folgende lebhafte Passage mit dissonanten Klängen gibt dann dem Chor die Gelegenheit, wieder auf das Soll-Niveau zu klettern. Die Komposition setzt bewusst auf die reine Stimmung, die einen stärkeren Kontrast von Konsonanzen zu Dissonanzen bietet als die temperierte.
    Max Planck: „Denn die Kunst findet ihre Begründung in sich selbst, und kein theoretisches System der Musik, wäre es noch so logisch begründet und konsequent durchgeführt, ist im Stande, alle Forderungen der zugleich mit dem menschlichen Geiste ewig wechselnden Kunst ein für alle Mal zu fixiren. In dieser Beziehung hat das natürliche System durchaus keinen Vorzug vor dem temperirten, und es ist daher auch durch Nichts gerechtfertigt, bekannte Kompositionen ohne Weiteres in natürliche Stimmung zu übertragen.“
Fazit. Die Stimmung ist eines der Ausdrucksmittel der Musik und gibt ihr verschiedene Klangfarben. Zur Wahl der Stimmung bestehen keine dogmatischen Heilslehren und die Kunst sollte das letzte Wort haben. Kein Theoretiker soll den Komponisten irgendwas vorschreiben.

### Welche wohltemperierte Stimmung hatte J.S. Bach?

Im achtzehnten Jahrhundert fühlten sich die Musiker wie von Fesseln befreit. Sie konnten unbeschränkt modulieren, ohne wie bei den vorher üblichen mitteltönigen Stimmungen auf allzu falsche Intervalle zu stoßen. Die Zeit der gleichstufigen und der wohltemperierten Tasteninstrumente war angebrochen. Johann Sebastian Bach feierte diesen Fortschritt mit seiner Sammlung von Präludien und Fugen durch alle Tonarten: Das Wohltemperirte Clavier.
Der Komponist hat die Titelseite eigenhändig geschrieben und verziert. Kontroverse Interpretationen umranken die Figur am Kopf als Stimmanleitung. Die Girlande hat zwölf Bögen, die nach oben gerichtet sind. Sie sollen den zwölf Tönen des Quintenzirkels entsprechen. Zwischen den Bögen kommen drei Typen von Schnörkeln vor: mit eins, zwei oder drei Schleifen. Man stelle sich das rechte Ende zum linken hin geschlossen vor, dann enthält der Zirkelschluss auch explizit gezeichnet drei Schleifen zusammen. Sind die Schnörkel die Codes für die Art der Verstimmung der Quinten? Je mehr Schleifen, umso enger sind die Quinten zu nehmen. Bedeuten die Stellen etwas, wo die Buchstaben D und C die Verzierung berühren?
Johann Sebastian Bach gefiel es ja, seinen Mitmenschen Rätsel aufzugeben, die er in den Partituren verpackte. So ist auch nicht unwahrscheinlich, dass er sein Rezept zur Stimmung der Tasteninstrumente graphisch verkleidete.
Andreas Sparschuh war der Erste, der dies 1999 vermutete. Er schrieb den Code etwa so:
    {Start=1}-1-1-1-0-0-0-2-2-2-2-2-{End=2}.
Aber meinen die Variablen konkret Bruchteile vom Komma, oder meinen sie die Periode der Schwebungen (in Sekunden) in einer Bezugs-Oktave um 400 Hertz? Mit welchem Ton fangen wir an? Ist die Reihe von rechts nach links oder von links nach rechts zu lesen? In Quarten oder Quinten fortschreitend?

#### Andere Stimmungen

Bevor wir den Bach-Code versuchsweise und haarklein interpretieren, einiges zu historisch dokumentierten wohltemperierten Stimmungen. Viele Informationen enthält die musikwissenschaftliche Dissertation von Sergio Martínez Ruiz.
Bei der Stimmung kämpfen Quinten und große Terzen gegeneinander, was die Reinheit betrifft. Vier reine Quinten ergeben eine Terz, die um ein syntonisches Komma zu groß ist. Eine reine Terz entsteht aus vier Quinten, die um ein Viertelkomma zu klein sind. Im Quintenzirkel gibt es grob gesehen den nahen Halbkreis F-C-G-D-A-E-H, der die diatonische Leiter von C-Dur enthält, und den entfernten Halbkreis H-Fis-Cis-[Gis=As]-[Dis=Es]-B-F, in dem die anderen der zwölf Töne stecken. Ungleichmäßige, aber wohltemperierte Skalen haben die Tendenz, in Fernbereich reine oder sogar leicht überhöhte Quinten, und damit sehr scharfe Terzen, unterzubringen. Im nahen Sektor aber soll das beste Gleichgewicht zwischen wenig verengten Quinten und nicht zu hoch schwebenden großen Terzen entstehen. Die Randbedingung ist immer, dass die Summe aller Quintenfehler (Erinnerung, es wird mit Logarithmen gerechnet) genau ein Pythagoräisches Komma kompensiert. Die besten großen Terzen sollten die drei im Nahbereich sein, nämlich F-A, C-E, G-H. In Richtung "Fis-Ais" dürfen die Terzen sich gleichmäßig monoton verschlechtern.
Die Methode Kirnberger-II, die man oberflächlich als quick-and-dirty ansehen könnte, verdient besondere Aufmerksamkeit. Kirnberger war ein Schüler Bachs und war viel damit beschäftigt, die Instrumente in seinem Umkreis zu stimmen. So geht das Rezept:
Mache neun von zwölf Quinten alle rein. Abgesehen von D-A und A-E, die je um ein halbes syntonisches Komma S/2 verengt werden. Das geht recht schnell, man braucht nur die umklammernde Terz G-H auf totale Reinheit zu prüfen. Die etwas entfernte Quinte Fis-Cis wird um einen Restbetrag verengt, ein Elftel des syntonischen Kommas S. Denn (12/11)*S ist praktisch gleich P, dem Pythagoräischen Komma.
Übrigens wurde Bach bewundert für die Geschwindigkeit, mit der er selbst sein Clavichord stimmte, eine Viertelstunde. Nahm er Kirnberger-II, und war das eigentlich seine Erfindung? Den Erwartungen zum Trotz – zwei nach Werckmeister ganz faule Quinten – lassen alle Tonarten sich spielen.
Werckmeister-Typ: Hier die Disposition einiger der Stimmungen, die mit Werckmeister-III verwandt sind: Man verengt vier bis sieben Quinten im diatonischen Sektor, alle anderen sind rein. Die Daten sind Bruchteile des Pythagoräischen Kommas P, ihre Summe ergibt P.
| Stimmung | Quintenfolge | Komma-Bruchteile |
| Werckmeister-III | C-G-D-A-E-H-Fis | -{P/4, P/4, P/4, 0, 0, P/4} |
| Tartini-Vallotti | C-G-D-A-E-H-Fis | -{P/6, P/6, P/6, P/6, P/6, P/6} |
| Kellner | C-D-G-A-E-H-Fis | -{P/5, P/5, P/5, P/5, 0, P/5} |
| Billeter | F-C-G-D-A-E-H-Fis | -{P/11, P/12, P/12, P/3, P/3, P/12, P/12} |
| Barnes | F-C-G-D-A-E-H-Fis | -{P/6, P/6, P/6, P/6, P/6, 0, P/6} |
| Kelletat | F-C-G-D-A-E | -{P/12, P/4, P/4, P/4, P/6} |

#### Stimmung nach dem Titelblatt des WTC

Sparschuh (Variante von Zapf) legt links an der Bach-Girlande den ersten Ton C=250 Hertz fest. Ab dort kommen Quintengruppen mit drei verschiedenen Verkleinerungen, die durch Schwebung (statt Komma-Bruchteilen) definiert sind:
    C-G-D-A : drei Quinten, Schwebungsfrequenz 1 Hertz.
    A-E-H-Fis : drei Quinten, keine Schwebung.
    Fis-Cis-Gis-Dis-B-F : fünf Quinten, höhere Schwebungfrequenz 2 Hertz.
    F-C : Zirkel geschlossen, rein oder schwebend bis maximal 1 Hertz.
Alternativ kann das Pythagoräische Komma P durch 14 geteilt werden. Die drei ersten und die letzte Quinte werden um -P/14 verkleinert, die fünf anderen unreinen mit -P/7.
Die Praxis der Schwebung sieht hier zum Beispiel so aus: Es wird in der Oktave C-c von 250 bis 500 Hertz Quintaufwärts eng gestimmt. Wenn zu einem Ton die nächsthöhere Quinte aus der Oktave ausbricht, wird stattdessen die Quarte unter dem Ton vergrößert gestimmt. Aber die anzupeilende Schwebungsfrequenz ist genau dieselbe! Wieso?
Beispiel Quinte von G nach d. Geforderte Schwebungsfrequenz f= 3*f[G] - 2*f[d]. Die gespreizte Quarte D-G darunter schwebt mit (-f') = 4*f[D] - 3*f[G]. Also ist f=f' genau dann, wenn f[d] = 2*f[D] gilt, wie gefordert.
Nach jeder Quinte oder Quarte werden die Oktaven über und unter den neuen Tönen rein gestimmt. Wo das Rezept nach der Schwebefrequenz 2 Hertz verlangt, kann die Stimmung eine Oktave tiefer mit der Frequenz 1 Hertz erfolgen. Insgesamt gilt also ein "gleichschwebender" Algorithmus, der mit immer der gleichen Periode der Schwebung funktioniert. Trotzdem keine gleichstufige Stimmung, aber doch unkomplizierte Vorschriften.
Rechnet man die Zwölfton-Skalen mit einem kleinen Python-Skript nach, sowohl nach dem Rezept Komma-durch-14 als auch der Vorschrift Eine-Sekunde-Schwebung, so kommt praktisch ununterscheidbar dieselbe Stimmung heraus. [Anhang?]

#### Vergleichstest der wohltemperierten Stimmungen

Die Arbeit von Martínez Ruiz analysiert mit Hilfe eines gezielt angefertigten Software-Pakets, welche Klang-Unterschiede auftreten, wenn das Wohltemperierte Klavier in einer großen Menge verschiedener Stimmungen durchgespielt wird.
Der Ansatz dieser Untersuchung ist, einer vorgegebenen Musik ein quantitatives Maß von "Schönheit" oder "Wohlklang" zuzuordnen. Danach wird über eine Sammlung wie die 48 Präludien und Fugen eines Bandes vom "Wohltemperirten Clavier" Statistik getrieben; der Mittelwert und die Streuung (Standardabweichung) des "Wohlklangs" kommen heraus. Die Komposition geht ein zum Beispiel als MIDI-Datei, zerlegt in eine Reihe von Zusammenklängen. Die Elemente der Reihe bekommen alle Gewichtsfaktoren je nach Tonlagen, Längen, Betonung im Takt, Auffälligkeit usw. Die Einzeltöne jedes Akkords haben Modelle von je etwa zehn Amplituden und Oberton-Frequenzen. Alle Paare von vorkommenden Frequenzen werden dann mit einer Dissonanzquote bewertet, die Null ist bei gleichen Frequenzen und typisch bei Differenzfrequenzen von 10 bis 50 Hertz durch ein Maximum geht. Die Form der Dissonanzfunktion soll die subjektive Empfindung simulieren. Die gewichtete Summe all dieser Werte über das ganze Stück beziffert dann den Wohlklang, beziehungsweise den Mangel desselben -- nur eine Sache des Vorzeichens.
Für jede der getesteten historischen und modernen rekonstruierten wohltemperierten Zwölftonskalen rechnet der Computer die ganze Statistik durch. Fallen gewisse Stimmungen auf durch besonders hohen oder besonders breit gestreuten "Wohlklang"?
Ja. Den höchsten mittleren Wohlklang hat Kirnberger-II, hat aber auch die höchste Standardabweichung. Die Musik klingt damit halt kontrastreich. Danach kommt mit gutem Wohlklang zum Beispiel Kelletat, gefolgt von Kellner, Tartini-Vallotti et cetera. Die vermuteten Stimmungen mit der Gruppierung 3-3-5 aus Bachs Girlande haben schlechtere Werte.
Der Autor legt zwar das Ergebnis vor, dass einige Indizien für Kirnberger-II sprechen als die wahrscheinlichste Temperatur im Umfeld von Bach. Aber er hat auch Zweifel, dass die bisherige Definition und Computersimulation des Wohlklangs überhaupt künstlerisch relevant ist und eine Liste der Testsieger ermitteln kann. Wie so viele akademische Arbeiten schließt das Dokument mit einem Ausblick darauf, welche weiteren Forschungen nötig sind.

## Einzelnachweise

* ↑ Carl Gottfried Wilhelm Vollmer (* 1797; † 1864, alias W. F. A. Zimmermann): Der Tartinisch'sche Ton, in: Naturkräfte und Naturgesetze - Populäres Handbuch der Physik zum Selbstunterricht für die Gebildeten jeden Standes, Band 2: Akustik, Kalorik, Optik, Gustav Hempel, 1857
* ↑ Lorenz Christoph Mizler (* 1711, † 1778), Musikalische Bibliothek; Veröffentlicht in 4 Bänden, I - IV von 1736 bis 1754. Seitenangaben für das Digitalisat des Internet Archive.
* ↑ Arrey von Dommer(* 1828; † 1905): Handbuch der Musik-Geschichte von den ersten Anfängen bis zum Tode Beethovens in gemeinfasslicher Darstellung, XVI. Kapitel Theoretiker und Schriftsteller bis um 1800, Friedrich Wilhelm Grunow, Leipzig, 1878
* ↑ Max Planck: Die natürliche Stimmung in der modernen Vokalmusik, Vierteljahrsschrift für Musikwissenschaft, 1893, Seiten 418 bis 440
* ↑ Sergio Martínez Ruiz: Temperament in Bach's Well-Tempered Clavier - A historical survey and a new evaluation according to dissonance theory, Doktorarbeit, Universitat Autònoma de Barcelona, Facultat de Filosofia i Lletres, Departament d’Art i de Musicologia, July 2011