# Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Partielle Differentialgleichungen by Richard4321/ Regularität von Lösungen der Laplacegleichung
## Wo stehen wir

Wir hatten die Transportgleichung betrachtet und danach die Fundamentallösung der Laplacegleichung hergeleitet. Mit dieser konnten wir im Ganzraum die Lösung der Poissongleichung beweisen. Dann hatten wir die Mittelwerteigenschaft harmonischer Funktionen gezeigt und das Maximumprinzip harmonischer Funktionen eingeführt. Im letzten Kapitel hatten wir die Harnacksche Ungleichung eingeführt, die wir nun benötigen.
Wir definieren uns eine unendlich oft differenzierbare "Buckelfunktion" mit Träger in $B(0,\varepsilon )$, die zum Rand der Kugel hin Null wird. Mit dieser und einer sogenannten Faltung zeigen wir, dass jede Funktion, die die sphärische Mittelwerteigenschaft oder die Mittelwerteigenschaft auf Kugeln erfüllt, automatisch unendlich oft differenzierbar ist! Insbesondere ist jede harmonische Funktion unendlich oft differenzierbar.
Am Ende zeigen wir, dass Harmonizität bei gleichmäßiger Konvergenz erhalten bleibt und dass wegen der im vorigen Kapitel bewiesenen Harnack-Ungleichung Konvergenz der Funktionenfolge dabei in einem Punkt genügt.

## Der Standard-Glätter

Satz
Die Funktion
$s:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow [0,C],x\mapsto \left\{{\begin{matrix}C\exp \left({\dfrac {1}{|x|^{2}-1}}\right)&{\text{ für }}|x|<1\\0&{\text{ für }}|x|\geq 1\end{matrix}}\right.$
ist unendlich oft differenzierbar (wir sagen auch glatt) mit kompaktem Träger $supp(s)={\overline {B(0,1)}}$, Schreibweise $C_{0}^{\infty }$.
Man wählt $C$, sodass $\int _{B(0,1)}s(x)dV=1$
Daraus konstruieren wir für $\varepsilon >0$ die Funktionen
$s_{\varepsilon }:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \left[0,{\frac {C}{\varepsilon ^{n}}}\right],x\mapsto {\frac {1}{\varepsilon ^{n}}}s\left({\frac {x}{\varepsilon }}\right)$
Diese haben den kompakten Träger $supp(s_{\varepsilon })={\overline {B(0,\varepsilon )}}$ und ihr Integral ist wieder Eins. Ihr Träger schrumpft also und damit die Fläche unter dem Integral gleich bleibt, erhöht man den Funktinswert.
Bild einfügen
Beweis
Die Funktion $x\mapsto |x|^{2}-1$ ist unendlich oft differenzierbar auf ganz $\mathbb {R} ^{n}$.
Die Funktion $x\mapsto e^{x}$ ist unendlich oft differenzierbar auf ganz $\mathbb {R}$.
Die Funktion $x\mapsto 1/x$ ist nur auf $\mathbb {R} \backslash \{0\}$ unendlich oft differenzierbar.
Die Verknüpfung dieser drei Funktionen ist unendlich oft differenzierbar auf $\mathbb {R} ^{n}\backslash \partial B(0,1)$. Wir müssen also nur die beliebig häufige Differenzierbarkeit in $|x|=1$ nachrechnen.
Behauptung: Für $|a|=N$ gilt
${\frac {D^{a}s}{dx^{a}}}=s\cdot \sum _{i=1}^{I}{\frac {\sum _{k_{1}=1}^{N}\ldots \sum _{k_{n}=1}^{N}b_{i,k_{1},\ldots ,k_{n}}\prod _{m=1}^{M}x_{m}^{k_{m}}}{(|x|^{2}-1)^{i}}}$
mit $\sum _{j=1}k_{j}\leq N$
$n=1:$ Induktionsanfang: Mit der Kettenregel ergibt sich
${\begin{aligned}{\frac {\partial s}{\partial x_{j}}}&=s{\frac {-1}{(|x|^{2}-1)^{2}}}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}-1\right)\\&=s{\frac {2x_{j}}{(|x|^{2}-1)^{2}}}\end{aligned}}$
$n\rightarrow n+1:$ Induktionsschritt: Erneut mit der Kettenregel und der Induktionsvoraussetzung gilt
${\begin{aligned}&{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\frac {D^{a}s}{dx^{a}}}\\=&{\frac {\partial s}{\partial x_{j}}}\cdot \sum _{i=1}^{I}{\frac {\sum _{k_{1}=1}^{N}\ldots \sum _{k_{n}=1}^{N}b_{i,k_{1},\ldots ,k_{n}}\prod _{m=1}^{M}x_{m}^{k_{m}}}{(|x|^{2}-1)^{i}}}\\+&s\cdot \sum _{i=1}^{I}{\frac {1}{(|x|^{2}-1)^{i}}}\sum _{k_{1}=1}^{N}\ldots \sum _{k_{n}=1}^{N}b_{i,k_{1},\ldots ,k_{n}}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\prod _{m=1}^{M}x_{m}^{k_{m}}\\+&s\cdot \sum _{i=1}^{I}\sum _{k_{1}=1}^{N}\ldots \sum _{k_{n}=1}^{N}b_{i,k_{1},\ldots ,k_{n}}\prod _{m=1}^{M}x_{m}^{k_{m}}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\frac {1}{(|x|^{2}-1)^{i}}}\\\end{aligned}}$
und das ist wieder von der Form oben. Da die Exponentialfunktion schneller steigt als jede Potenzfunktion gilt gemäß Mathe_für_Nicht-Freaks:_Regel_von_L'Hospital#Wachstumsverhalten_von_Exponential-_und_Logarithmusfunktion
$\lim _{y\rightarrow \infty }y^{n}e^{-y}=\lim _{y\rightarrow \infty }{\frac {y^{n}}{e^{y}}}=0$
und es folgt
$\lim _{y\rightarrow 1}exp^{\frac {-1}{1-y^{2}}}{\frac {1}{(1-y^{2})^{n}}}=0$
Damit ist die Ableitung stetig in $0$ und $s$ auf ganz $\mathbb {R} ^{n}$ differenzierbar.
Nur für $|x|<1$ ist $s$ ungleich Null und somit $supp(s)={\overline {B(0,1)}}$ nach Definition.
Da die Funktionen $s,x\mapsto \varepsilon x$ und $y\mapsto {\frac {1}{\varepsilon ^{n}}}y$ unendlich oft differenzierbar sind, ist ihre Verknüpfung ebenfalls unendlich oft differenzierbar. Wegen
$s\neq 0\Leftrightarrow |x|<1$
folgt
$s_{\varepsilon }\neq 0\Leftrightarrow {\frac {|x|}{\varepsilon }}<1\Leftrightarrow |x|<\varepsilon$
und somit $supp(s_{\varepsilon })={\overline {B(0,\varepsilon )}}$.
Das Integral ändert sich nicht gemäß der Transformationsformel: wir betrachten die Abbildung
$T_{\varepsilon }:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n},x\mapsto {\frac {x}{\varepsilon }}$
Ihre partielle Ableitung ist
${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}(T_{\varepsilon })_{i}=&{\frac {\delta _{ij}}{\varepsilon }}\end{aligned}}$
wobei $\delta _{ij}$ Eins wird für $i=j$ und Null sonst. Das ergibt für die Determinante des Differentials das Produkt der Diagonaleinträge (alle anderen Einträge der Matrix sind Null)
${\begin{aligned}\det(DT_{\varepsilon })=\prod _{i=1}^{n}\delta _{ii}{\frac {1}{\varepsilon }}={\frac {1}{\varepsilon ^{n}}}\end{aligned}}$
Mit der Transformationsformel folgt
${\begin{aligned}1=&\int _{B(0,1)}s(x)dx\\{\stackrel {\text{Trafo-Formel}}{=}}&\int _{B(0,\varepsilon )}s\circ T_{\varepsilon }|\det(DT_{\varepsilon })|dx\\=&\int s_{\varepsilon }(x)dx\end{aligned}}$

## Glättungen

Wir glätten nun eine lokal integrierbare beliebige Funktion jeweils lokal mit dem Glätter s, indem wir die Mittelung durch Integration verwenden.
Satz
Sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, $\varepsilon >0$ und
$U_{\varepsilon }:=\{x\in U|dist(x,\partial U)>\varepsilon \}$
alle $x$, die Abstand größer $\varepsilon$ vom Rand von $U$ haben. Für $f\in L_{loc}^{1}(U)$, d.h. eine auf allen kompakten Teilmengen von $U$ integrierbare Funktion, definiert man die Glättung von $f$ als
$f_{\varepsilon }:U_{\varepsilon }\rightarrow \mathbb {R} ,x\mapsto \int _{U}s_{\varepsilon }(x-y)f(y)dy$
Sie ist unendlich oft differenzierbar und für beliebige Multiindizes $a\in \mathbb {N} _{0}^{n}$ gilt
$D^{a}f_{\varepsilon }(x)=\int _{U}D^{a}s_{\varepsilon }(x-y)f(y)dy$
Beweis
Da alle Ableitungen von $s_{\varepsilon }$ auf dem kompakten ${\overline {B(x,\varepsilon )}}$ beschränkt (da stetig) sind und da $f(y)$ lokal integrierbar ist über $supp(s_{\varepsilon })={\overline {B(x,\varepsilon )}}$ lassen sich Integral und Ableitung vertauschen, auch mehrmals gemäß Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/ Vertauschen_von_Integral_und_Ableitung#Vertauschen_von_Integral_und_Ableitung

## Regularität und sphärische Mittelwerteigenschaft

Satz
Sei $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und $u\in L_{loc}^{1}(U)$ erfülle die sphärische Mittelwerteigenschaft für alle ${\overline {B(r,x_{0})}}\subseteq U$, d.h.
$u(x_{0})={\frac {1}{Vol(\partial B(0,1))r^{n-1}}}\int _{\partial B(x_{0},r)}udS$
Dann gilt für alle $x_{0}\in U_{\varepsilon }:=\{x\in U|dist(x,\partial U)>\varepsilon \}$
$u(x_{0})=u_{\varepsilon }(x_{0})$
mit der $\varepsilon$-Glättung von $u$ d.h. $u$ ist unendlich oft differenzierbar und harmonisch auf $U$.
Beweis
Sei $x_{0}\in U_{\varepsilon }$. Da $s_{\varepsilon }$ nur von $|x|$ abhängt, gilt mit der sphärischen Mittelwerteigenschaft und damit, dass das Integral über $s_{\varepsilon }$ gleich Eins ist:
${\begin{aligned}u_{\varepsilon }(x_{0})&=\int _{B(x_{0},_{\varepsilon })}s_{\varepsilon }(x_{0}-y)u(y)dy\\&=\int _{0}^{\varepsilon }\int _{\partial B(x_{0},r)}s_{\varepsilon }(\underbrace {x_{0}-y} _{=r})u(y)dS(y)dr\\&=\int _{0}^{\varepsilon }s_{\varepsilon }(r)\underbrace {\int _{\partial B(x_{0},r)}u(y)dS} _{=u(x_{0})\cdot Vol(\partial B(0,r))}dr\\&{\stackrel {\text{Mittelwerteig.}}{=}}u(x_{0})\underbrace {\int _{B(x_{0},\varepsilon )}s_{\varepsilon }(x_{0}-x)dx} _{=1}\\&=u(x_{0})\end{aligned}}$
Damit ist $u$ unendlich oft differenzierbar auf ganz $U$. Mit der Mittelwerteigenschaft folgt, dass es harmonisch ist $\Delta u=0$.

## Regularität und Mittelwerteigenschaft auf Kugeln

Satz
Sei $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ offen und $u\in C(U)$ erfülle die Mittelwerteigenschaft auf Kugeln, d.h. für alle ${\overline {B(x_{0},r)}}\subseteq U$ gelte
$u(x_{0})={\frac {1}{Vol(B(0,1))r^{n-1}}}\int _{B(x_{0},r)}udx$
dann gilt für alle $x_{0}\in U_{\varepsilon }:=\{x\in U|dist(x,\partial U)>\varepsilon \}$
$u(x_{0})=u_{\varepsilon }(x_{0})$
und $u$ ist unendlich oft differenzierbar und harmonisch.
Beweis
Zeige, dass die sphärische Mittelwerteigenschaft erfüllt ist und wende den vorigen Satz an.
Sei ${\overline {B(x_{0},{\tilde {R}})}}\subset U$, definiere das Integral über die Kugeloberflächen
$f:(0,{\tilde {R}})\rightarrow \mathbb {R} ,r\mapsto \int _{\partial B(x_{0},r)}(u(x)-u(x_{0}))dS(x)$
Da $u$ stetig ist und auf dem kompakten ${\overline {B(x_{0},{\tilde {R}})}}$ beschränkt ist, kann man Grenzwert und Integral vertauschen mit dem Satz über majorisierte Konvergenz und $f$ ist stetig gemäß Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/ Vertauschen_von_Integral_und_Ableitung#Vertauschen_von_Grenzwert_und_Integral Damit ist $f$ integrierbar und es gilt für $0<R<{\tilde {R}}$
${\begin{aligned}\int _{0}^{R}f(r)dr&=\int _{0}^{R}\int _{\partial B(x_{0},r)}(u(y)-u(x_{0}))dSdr\\&=\int _{B(x_{0},R)}(u(x)-u(x_{0}))dx=\int _{B(x_{0},R)}u(x)dx-Vol(B(x_{0},R))\cdot u(x_{0})\\&{\stackrel {Vor}{=}}0\end{aligned}}$
Ableiten der konstanten Funktion ergibt
$f\equiv 0{\text{ auf }}(0,{\tilde {R}})$
d.h.
$u(x_{0})={\frac {1}{Vol(\partial B(0,1))r^{n-1}}}\int _{\partial B(x_{0},r)}udS$
Mit dem vorangehenden Satz folgen die Aussagen.

## Konvergenzsatz von Weierstraß

Satz (Harmonizität und gleichmäßige Konvergenz)
Harmonizität bleibt unter gleichmäßiger Konvergenz erhalten:
Sei $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ offen und zusammenhängend. Sei $(u_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ eine Folge harmonischer Funktionen auf $U$, die lokal gleichmäßig gegen ein $u$ konvergiert. Dann ist $u$ harmonisch auf $U$.
Beweis (Harmonizität und gleichmäßige Konvergenz)
Für jede Kugel ${\overline {B(x_{0},r)}}\subset U$ gilt
${\begin{aligned}u(x_{0})&=\lim _{k\rightarrow \infty }u_{k}(x_{0})\\&=\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {1}{Vol(B(0,1))r^{n-1}}}\int _{B(x_{0},r)}u_{k}dx\\&={\frac {1}{Vol(B(0,1))r^{n-1}}}\int _{B(x_{0},r)}udx\end{aligned}}$
wobei $u$ als lokal gleichmäßiger Grenzwert stetiger Funktionen stetig ist und man wegen der gleichmäßigen Konvergenz Grenzwert und Integral vertauschen kann, da nur über eine Kugel endlichem Maßes integriert wird, siehe Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/ Der_Satz_über_majorisierte_Konvergenz#Aufgabe:_Gleichmäßige_Konvergenz
Da $u$ die Mittelwerteigenschaft auf Kugeln erfüllt, ist $u$ harmonisch auf ganz $U$.

## Harnackscher Konvergenzsatz

Satz
Sei $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ offen und zusammenhängend. Sei $(u_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ eine monoton wachsende Folge harmonischer Funktionen. Gibt es ein $x_{0}$, sodaß $(u_{k}(x_{0}))_{k\in \mathbb {N} }$ beschränkt und konvergent ist, so konvergiert $(u_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ auf jeder zusammenhängenden offenen Menge $V$, mit ${\overline {V}}\subset U$ gleichmäßig gegen eine harmonische Fumktion auf $U$.
Beweis
Wegen der Monotonie ist $u_{k}-u_{j}$ für $k>j$ eine nicht-negative harmonische Funktion wegen
$\Delta (u_{k}-u_{j})=\Delta u_{k}-\Delta u_{j}=0$
Konstruktion einer Menge W:
Sei $V$ offen und zusammenhängend und ${\overline {V}}\subset U$ kompakt. Sei $x_{0}\in U$ beliebig. Da $U$ offen und zusammenhängend ist, lässt sich ein $W$ mit $V\subset W\subset {\overline {W}}\subset U$ mit $x_{0}\in W$ konstruieren:
Da $U$ zusammenhängend ist, ist $U$ wegzusammenhängend. Wähle einen Weg $c$ von $x_{0}$ zu einem beliebigen Punkt $y\in V$. Das Bild dieser Kurve ist kompakt. Insbesondere ist sein Abstand $r$ vom abgeschlossenen Rand von $U$ echt größer Null, siehe das Kapitel
Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/_Der_Satz_von_Stokes
Überdecke jeden Punkt der Kurve mit einer abgeschlossenen Kugel mit Radius ${\frac {r}{2}}$. Wegen der Kompaktheit der Kurve genügen endlich viele Kugeln und ihr Abschluss ist wieder in $U$ mit Abstand größer ${\frac {r}{3}}$. Füge diese Kugeln zu $V$ hinzu zu $W$: dann ist das Ganze wegzusammenhängend in $\mathbb {R} ^{n}$ und somit zusammenhängend und der Abschluss ist nach Konstruktion in $U$ und beschränkt und somit kompakt.
Wende die Harnacksche Ungleichung in W an:
Es gilt mit der Harnackungleichung des letzten Kapitels
${\begin{aligned}0&\leq \sup _{W}(u_{k}-u_{j})\\&{\stackrel {\text{Harnack}}{\leq }}c(W)\inf _{W}(u_{k}-u_{j})\\&{\stackrel {x_{0}\in W}{\leq }}c(W)(u_{k}(x_{0})-u_{j}(x_{0}))\end{aligned}}$
Da $(u_{k}(x_{0}))_{k\in \mathbb {N} }$ konvergent ist, ist es eine Cauchyfolge und somit ist $(u_{k})_{k}$ eine Cauchyfolge bzgl. der Supremumsnorm auf $W$ und ist damit gleichmäßig konvergent $W$.
Mit dem Konvergenzsatz von Weierstraß ist der Grenzwert eine harmonische Funktion.