# Maxwell-Gleichungen in der klassischen Elektrodynamik

„Maxwell-Gleichungen in der klassischen Elektrodynamik“ ist nach Einschätzung seiner Autoren zu 60 % fertig
In vorangegangenen Kapiteln wurden bereits die wesentlichsten Resultate der Elektrostatik und Elektrodynamik vorgestellt. Aus diesen kristallisierten sich insbesondere die sog. »Maxwell'schen Gleichungen« der Elektrodynamik heraus. Im Folgenden soll der umgekehrte Weg beschritten werden: Ausgehend von den Maxwell-Gleichungen wird gezeigt, wie sich aus ihnen die Gesetze der klassischen Elektrodynamik und Elektrostatik ergeben. Der Begriff »klassisch« bedeute hier »nicht quantenmechanisch«. Auf eine (speziell-) relativistische Formulierung der Maxwell-Gleichungen wird hingegen eingegangen.

## Mikroskopische Maxwellgleichungen

Die Maxwell-Gleichungen geben Beziehungen zwischen folgenden physikalischen Größen an, die wir als bekannt voraussetzen, da sie bereits in den früheren Kapiteln über Elektrodynamik und Elektrostatik vorgestellt und diskutiert wurden:
* Ladung q: Neben der Masse m kann ein mechanischer Körper auch
eine Ladung besitzen. Ladungen können im Gegensatz zu Massen auch negativ sein;
* eine Ladungsdichte $\rho$ ist von der Dimension
»Ladung pro Volumen«, d.h. $q=\int d^{3}x\,\rho$, wobei wir hier über das Volumen des Körpers integriert haben;
* die Stromdichte ${\vec {J}}$ gibt Auskunft über die
Ladungsmenge, die durch eine Fläche je Zeiteinheit fließt, und hängt daher mit dem sog. (elektrischen) Strom I zusammen: $I=\int d^{2}{\vec {a}}\cdot {\vec {J}}$, wobei wir hier über z.B. die Querschnittsfläche eines Leiters integriert haben;
* In einem elektrisches Feld ${\vec {E}}$ erfahren geladene
Körper Kräfte. Diese Körper können dabei auch durchaus ruhen;
* In einem magnetischen Feld erfahren bewegte geladene Körper Kräfte.
In Abwesenheit von sog. »Dielektrika« oder »Magnetika« brauchen wir nicht zwischen der magnetische Induktion/ Flussdichte ${\vec {B}}$ und dem Magnetfeld (später mit ${\vec {H}}$ bezeichnet) unterscheiden;
Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum werde zudem mit c bezeichnet.
Wenn keine dielektrische oder (z.B. dia-, para-, ferro-)magnetische Materialien vorhanden sind, lauten die somit »mikroskopischen« Maxwell-Gleichungen (in ihrer differenziellen Formulierung):
* ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}=0$: Diese Gleichung sagt
u.a. etwas darüber aus, dass es keine magnetischen Monopole gibt, während die folgende Gleichung zeigt, dass elektrische Monopole hingegen möglich sind.
* ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}=4\pi \rho$: Hieraus lässt
sich nämlich u.a. das bekannte Coulomb-Gesetz der Elektrostatik herleiten. Eine Ladungsdichte ist also die Quelle eines elektrischen Feldes.
* ${\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {J}}+{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {E}}$:
Diese Gleichung enthält das gleichermaßen bereits als bekannt vorausgesetzte Ampère'sches Durchflutungsgesetz und ist zudem noch um den sog. Maxwell'schen Verschiebungsstrom-Term erweitert. D.h. sowohl Ströme (bzw. wie hier: Stromdichten) als auch ein sich zeitlich änderndes elektrisches Feld bewirken ein magnetisches Wirbelfeld.
* ${\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {B}}$:
Jedes sich ändernde Magnetfeld erzeugt ein elektrisches Wirbelfeld. Diese Gleichung beschreibt also Faradays Induktionsgesetz. Im Minuszeichen vor der (partiellen) Zeitableitung der magnetischen Induktion liegt die Ursache der sog. Lentz'schen Regel.

## Makroskopische Maxwellgleichungen

Bei Anwesenheit von Dielektrika oder Magnetika werden vom elektrischen Feld ${\vec {E}}$ und von der magnetischen Flussdichte ${\vec {B}}$ noch die elektrische Flussdichte ${\vec {D}}$ bzw. das magnetisches Feld ${\vec {H}}$ unterschieden. Die somit makroskopischen Maxwell'schen Gleichungen lauten dann:
* ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}=0$ (keine magnet. Monopole),
* ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {D}}=4\pi \rho$ (Coulomb-Gesetz),
* ${\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {J}}+{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {D}}$
(Ampère'sches Durchflutungsgesetz, Verschiebungsstrom),
* ${\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {B}}$
(Induktionsgesetz; Minuszeichen: Lentz'sche Regel).
Die elektrische Flussdichte hängt dabei mit dem elektrischen Feld über die elektrische Polarisation ${\vec {P}}$ zusammen:
${\vec {D}}={\vec {E}}+4\pi {\vec {P}}$
Die magnetische Flussdichte wird mit dem magnetischen Feld über die magnetische Polarisation ${\vec {M}}$ verknüpft:
${\vec {B}}={\vec {H}}+4\pi {\vec {M}}$
Man bezeichnet manchmal die Dielektrika bzw. Magnetika auch als polarisierbare Medien.
In sog. isotropen Dielektrika gilt
${\vec {D}}=\varepsilon {\vec {E}}\,\Rightarrow \,{\vec {P}}={\frac {1}{4\pi }}\left(\varepsilon -1\right){\vec {E}}=\chi _{E}{\vec {E}}$
und in isotropen Magnetika gilt entsprechend:
${\vec {B}}=\mu {\vec {H}}\,\Rightarrow \,{\vec {M}}={\frac {1}{4\pi }}\left(\mu -1\right){\vec {H}}=\chi _{M}{\vec {H}}$
wobei wir zudem die elektrische Suszeptibilität
$\chi _{E}={\frac {1}{4\pi }}\left(\varepsilon -1\right)$
und die magnetische Suszeptibilität
$\chi _{M}={\frac {1}{4\pi }}\left(\mu -1\right)$
eingeführt haben.
Im nicht isotropen Fall existiert somit folgender Zusammenhang zwischen den mikroskopischen und den makroskopischen Maxwellgleichungen:
${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}=4\pi {\tilde {\rho }}$, ${\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}={\frac {4\pi }{c}}{\tilde {\vec {J}}}+{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {E}}$ mit ${\tilde {\rho }}=\rho -{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {P}}$, ${\tilde {\vec {J}}}={\vec {J}}+c{\vec {\nabla }}\times {\vec {M}}+\partial _{t}{\vec {P}}$ .
Im isotropen Fall erhalten wir für diesen hingegen:
${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}=4\pi {\tilde {\rho }}$, ${\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}={\frac {4\pi \varepsilon \mu }{c}}{\tilde {\vec {J}}}+{\frac {\varepsilon \mu }{c}}\partial _{t}{\vec {E}}$
mit ${\tilde {\rho }}={\frac {1}{\varepsilon }}\rho$, ${\tilde {\vec {J}}}={\frac {1}{\varepsilon }}{\vec {J}}$, der Lichtgeschwindigkeit im Medium $c_{n}={\frac {c}{n}}$ und dem Brechungsindex $n={\sqrt {\varepsilon \mu }}$ .
Die homogenen Maxwellgleichungen, d.h. ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}=0$ und ${\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}+{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {B}}=0$ (also jene ohne Quellterme wie Ladungs- bzw. Stromdichten), bleiben hingegen bei Anwesenheit polarisierbarer Medien unverändert.

## Induktionsgesetz

Mit Hilfe des Stokes'schen Integralsatzes können wir die Maxwell-Gleichung ${\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {B}}$ in eine Integralgleichung umwandeln:
${\underset {C=\partial A}{\int }}d{\vec {x}}\cdot {\vec {E}}={\underset {A}{\int }}d{\vec {a}}\cdot \left({\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}\right)=-{\frac {1}{c}}{\underset {A}{\int }}d{\vec {a}}\cdot \partial _{t}{\vec {B}}=-{\frac {1}{c}}{\underset {A}{{\frac {d}{dt}}\int }}d{\vec {a}}\cdot {\vec {B}}+{\frac {1}{c}}{\underset {A}{\int }}d{\vec {a}}\cdot \left[\left({\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}\right){\vec {B}}\right]$
weil ${\frac {d}{dt}}{\vec {B}}\left(t,{\vec {x}}\left(t\right)\right)=\partial _{t}{\vec {B}}+\left({\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}\right){\vec {B}}$ mit ${\vec {v}}={\dot {\overrightarrow {x}}}$ gilt. Mit den folgenden weiteren Umformungen (über gleiche Indizes werde dabei von 1 bis 3 summiert)
$\left[{\vec {\nabla }}\times \left({\vec {v}}\times {\vec {B}}\right)\right]_{i}=\varepsilon _{ikl}\partial _{k}\left[{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right]_{l}=\varepsilon _{ikl}\varepsilon _{lmn}\partial _{k}v_{m}B_{n}=\left(\delta _{im}\delta _{kn}-\delta _{in}\delta _{kn}\right)\partial _{k}v_{m}B_{n}={\vec {\nabla }}\cdot \left(v_{i}{\vec {B}}\right)-\left({\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}\right)B_{i}=-\left({\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}\right)B_{i}$
weil ${\vec {\nabla }}\cdot \left(v_{i}{\vec {B}}\right)=\left({\vec {\nabla }}v_{i}\right)\cdot {\vec {B}}+v_{i}\left({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}\right)=0$ mit ${\vec {\nabla }}v_{i}=0$ und ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}=0$ gilt,
erhalten wir schließlich durch erneutes Anwenden des Stokes'schen Satzes das Induktionsgesetz in Integralform:
${\underset {C=\partial A}{\int }}d{\vec {x}}\cdot {\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}{\underset {A}{{\frac {d}{dt}}\int }}d{\vec {a}}\cdot {\vec {B}}-{\frac {1}{c}}{\underset {A}{\int }}d{\vec {a}}\cdot \left[{\vec {\nabla }}\times \left({\vec {v}}\times {\vec {B}}\right)\right]=-{\frac {1}{c}}{\underset {A}{{\frac {d}{dt}}\int }}d{\vec {a}}\cdot {\vec {B}}-{\frac {1}{c}}{\underset {C=\partial A}{\int }}d{\vec {x}}\cdot \left({\vec {v}}\times {\vec {B}}\right)$
Hierin führen wir die Induktionsspannung U und den magnetische Fluss $\Phi _{M}$ ein:
$U={\underset {C=\partial A}{\int }}d{\vec {x}}\cdot {\vec {\bar {E}}}={\underset {C=\partial A}{\int }}d{\vec {x}}\cdot \left({\vec {E}}+{\frac {1}{c}}\left({\vec {v}}\times {\vec {B}}\right)\right)=-{\frac {1}{c}}{\underset {A}{{\frac {d}{dt}}\int }}d{\vec {a}}\cdot {\vec {B}}=-{\frac {1}{c}}{\frac {d}{dt}}\Phi _{M}$
Multiplizieren wir das dort auftretende elektrische Feld ${\vec {\bar {E}}}$ mit einer Ladung q, so ergibt sich offensichtlich die bekannte Lorentzkraft auf eine mit der Geschwindigkeit ${\vec {v}}$ bewegten Ladung:
${\vec {F}}=q{\vec {\bar {E}}}=q{\vec {E}}+{\frac {q}{c}}\left({\vec {v}}\times {\vec {B}}\right)$

## Wellengleichung für die elektrische Feldstärke

Für die elektrische Feldstärke lässt sich aus den mikroskopischen Maxwell-Gleichungen folgendermaßen eine Wellengleichung gewinnen:
Durch Einsetzen von
${\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {B}}\,$
in jene inhomogene Maxwell-Gleichung mit der Stromdichte,
${\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {J}}+{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {E}}$
die zusätzlich noch partiell nach der Zeit abgeleitet wurde,
$-{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}=-{\frac {4\pi }{c^{2}}}\partial _{t}{\vec {J}}-{\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}{\vec {E}}$
d.h.
$-{\frac {4\pi }{c^{2}}}\partial _{t}{\vec {J}}-{\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}{\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times \left({\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}\right)={\vec {\nabla }}\underbrace {\left({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}\right)} _{4\pi \rho }-{\vec {\nabla }}^{2}{\vec {E}}$
weil
$\left[{\vec {\nabla }}\times \left({\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}\right)\right]_{i}=\varepsilon _{ikl}\partial _{k}\left[{\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}\right]_{l}=\varepsilon _{ikl}\varepsilon _{lmn}\partial _{k}\partial _{m}E_{n}$
$=\left(\delta _{im}\delta _{kn}-\delta _{in}\delta _{km}\right)\partial _{k}\partial _{m}E_{n}=\partial _{i}\left({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}\right)-{\vec {\nabla }}^{2}E_{i}$
Die sich somit ergebende Wellengleichung lautet:
$\left({\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}^{2}\right){\vec {E}}=-4\pi {\vec {\nabla }}\rho -{\frac {4\pi }{c^{2}}}\partial _{t}{\vec {J}}$
Wenn weder Ladungen noch Ströme vorhanden sind, gilt:
$\left({\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}^{2}\right){\vec {E}}=0$
Eine allgemeine Lösung der letzteren Wellengleichung ist
${\vec {E}}\left(t,{\vec {x}}\right)=\int {\frac {d^{3}k}{\left(2\pi \right)^{3}}}\,\left({\vec {E}}_{0}e^{-i\omega t+i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}}+{\vec {E}}_{0}^{\star }e^{+i\omega t-i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}}\right)$
wobei $\omega =kc$. Die Lösung ${\vec {E}}$ ist reell, während die Amplitude ${\vec {E}}_{0}$ aber im Allg. komplex sein kann.

## Wellengleichung für das magnetische Feld

Für die magnetische Flussdichte ergibt sich aus den mikroskopischen Maxwellgleichungen wie beim elektrischen Feld eine Wellengleichung:
${\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {J}}+{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {E}}\,\Rightarrow \,$
${\frac {4\pi }{c}}{\vec {\nabla }}\times {\vec {J}}+{\frac {1}{c}}\partial _{t}\underbrace {{\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}} _{-{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {B}}}={\vec {\nabla }}\times \left({\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}\right)={\vec {\nabla }}\underbrace {\left({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}\right)} _{0}-{\vec {\nabla }}^{2}{\vec {B}}$
Diese lautet also:
$\left({\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}^{2}\right){\vec {B}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {\nabla }}\times {\vec {J}}$

## Kontinuitätsgleichung

Auch die Kontinuitätsgleichung ist nur eine Folge der Maxwell-Gleichungen. Wir bilden die Divergenz von folgender Gleichung:
${\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {J}}+{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {E}}\,\Rightarrow \,$
$0={\vec {\nabla }}\cdot \left({\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}\right)={\frac {4\pi }{c}}{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {J}}+{\frac {1}{c}}\partial _{t}\underbrace {{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}} _{4\pi \rho }$
D.h.
$\partial _{t}\rho +{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {J}}=0$
Anm.: Hingegen ergibt sich durch Divergenzbildung von ${\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {B}}$ mit $0={\vec {\nabla }}\cdot \left({\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}\right)=-{\frac {1}{c}}\partial _{t}\underbrace {{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}} _{=0}$ nichts Neues. Letzteres gilt, weil
${\vec {\nabla }}\cdot \left({\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}\right)=\varepsilon _{ikl}\partial _{i}\partial _{k}E_{l}={\frac {1}{2}}\left(\varepsilon _{ikl}+\varepsilon _{ikl}\right)\partial _{i}\partial _{k}E_{l}={\frac {1}{2}}\left(\varepsilon _{ikl}\partial _{i}\partial _{k}E_{l}+\varepsilon _{kil}\partial _{k}\partial _{i}E_{l}\right)$
$={\frac {1}{2}}\left(\varepsilon _{ikl}+\varepsilon _{kil}\right)\partial _{i}\partial _{k}E_{l}={\frac {1}{2}}\left(\varepsilon _{ikl}-\varepsilon _{ikl}\right)\partial _{i}\partial _{k}E_{l}=0$.

## Leistungsdichte der Joule'schen Wärme

Für eine Punktladung q mit Stromdichte ${\vec {J}}\left(t,{\vec {x}}\right)=\rho \left({\vec {x}}\right){\dot {\vec {x}}}$ und Ladungsdichte $\rho \left({\vec {x}}\right)=q\delta ^{3}\left({\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right)$ im elektrischen Feld ${\vec {E}}$ lässt sich die Leistung der Joule'schen Wärme wie folgt angeben:
$-{\frac {dW}{dt}}={\vec {F}}\cdot {\dot {\vec {x}}}=q{\vec {E}}\cdot {\dot {\vec {x}}}={\vec {E}}\cdot q{\dot {\vec {x}}}=\int d^{3}x^{\prime }\,{\vec {E}}\left(t,{\vec {x}}^{\prime }\right)\cdot q\delta ^{3}\left({\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right){\dot {\vec {x}}}^{\prime }$
$=\int d^{3}x^{\prime }\,{\vec {E}}\left(t,{\vec {x}}^{\prime }\right)\cdot \rho \left({\vec {x}}^{\prime }\right){\dot {\vec {x}}}^{\prime }=\int d^{3}x^{\prime }\,{\vec {E}}\left(t,{\vec {x}}^{\prime }\right)\cdot {\vec {J}}\left({\vec {x}}^{\prime }\right)$
Verwenden wir folgenden Zusammenhang zwischen elektrischen Strom I' und Stromdichte ${\vec {J}}$,
$I\int d{\vec {x}}^{\prime }\cdot ...=\int d^{3}x^{\prime }\,{\vec {J}}\left({\vec {x}}^{\prime }\right)...$
dann erhalten wir für die als Joule'sche Wärme erzeugte Leistung:
$-{\frac {dW}{dt}}=\int d^{3}x^{\prime }\,{\vec {E}}\left(t,{\vec {x}}^{\prime }\right)\cdot {\vec {J}}\left({\vec {x}}^{\prime }\right)=I\int d{\vec {x}}^{\prime }\cdot {\vec {E}}\left(t,{\vec {x}}^{\prime }\right)=IU$
mit der Spannung
$U=\int d{\vec {x}}^{\prime }\cdot {\vec {E}}\left(t,{\vec {x}}^{\prime }\right)$
Die Leistungsdichte der Joule'schen Wärme ist somit $-{\vec {J}}\cdot {\vec {E}}$.

## Poynting-Vektor

Die Leistungsdichte der Joule'schen Wärme $-{\vec {J}}\cdot {\vec {E}}$ lässt sich mittels ${\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {J}}+{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {D}}$ folgendermaßen angeben:
$-{\vec {J}}\cdot {\vec {E}}=-{\frac {c}{4\pi }}\left({\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}\right)\cdot {\vec {E}}-{\frac {1}{4\pi }}{\vec {E}}\cdot \partial _{t}{\vec {D}}$
Verwenden wir hierin
${\vec {\nabla }}\cdot \left({\vec {E}}\times {\vec {H}}\right)=\varepsilon _{jkl}\partial _{j}\left(E_{k}\,H_{l}\right)=\varepsilon _{jkl}\,H_{l}\,\partial _{j}E_{k}+\varepsilon _{jkl}\,E_{k}\,\partial _{j}H_{l}={\vec {H}}\cdot \underbrace {\left({\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}\right)} _{=-{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {B}}}-{\vec {E}}\cdot \left({\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}\right)$
dann resultiert daraus
$-{\vec {J}}\cdot {\vec {E}}={\frac {c}{4\pi }}{\vec {\nabla }}\cdot \underbrace {\left({\vec {E}}\times {\vec {H}}\right)} _{=:{\frac {4\pi }{c}}{\vec {S}}}\cdot {\vec {E}}+{\frac {1}{4\pi }}\underbrace {\left({\vec {E}}\cdot \partial _{t}{\vec {D}}+{\vec {H}}\cdot \partial _{t}{\vec {B}}\right)} _{=:\partial _{t}w}$
d.h.
$\partial _{t}w+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {S}}=-{\vec {J}}\cdot {\vec {E}}$
mit dem Poynting-Vektor ${\vec {S}}={\frac {c}{4\pi }}\left({\vec {E}}\times {\vec {H}}\right)$ und der Energiedichte w.

## Poynting-Vektor für Felder mit harmonischer Zeitabhängigkeit

Wir nehmen Felder mit harmonischer Zeitabhängigkeit $e^{-i\omega t}$ an:
${\vec {E}}\left(t,{\vec {x}}\right)=\Re \left({\vec {E}}\left({\vec {x}}\right)e^{-i\omega t}\right)={\frac {1}{2}}\left[{\vec {E}}\left({\vec {x}}\right)e^{-i\omega t}+{\vec {E}}^{\star }\left({\vec {x}}\right)e^{i\omega t}\right]$
${\vec {H}}\left(t,{\vec {x}}\right)=\Re \left({\vec {H}}\left({\vec {x}}\right)e^{-i\omega t}\right)={\frac {1}{2}}\left[{\vec {H}}\left({\vec {x}}\right)e^{-i\omega t}+{\vec {H}}^{\star }\left({\vec {x}}\right)e^{i\omega t}\right]$
Mit diesen lässt sich der Poynting-Vektor angeben:
${\vec {S}}\left(t,{\vec {x}}\right)={\frac {c}{4\pi }}{\vec {E}}\left(t,{\vec {x}}\right)\times {\vec {H}}\left(t,{\vec {x}}\right)$
$={\frac {c}{16\pi }}\left[{\vec {E}}\left({\vec {x}}\right)\times {\vec {H}}\left({\vec {x}}\right)e^{-i2\omega t}+{\vec {E}}^{\star }\left({\vec {x}}\right)\times {\vec {H}}^{\star }\left({\vec {x}}\right)e^{i2\omega t}+{\vec {E}}^{\star }\left({\vec {x}}\right)\times {\vec {H}}\left({\vec {x}}\right)+{\vec {E}}\left({\vec {x}}\right)\times {\vec {H}}^{\star }\left({\vec {x}}\right)\right]$.
Hieraus resultiert der zeitliche Mittelwert des Poynting-Vektors:
$\left\langle {\vec {S}}\left(t,{\vec {x}}\right)\right\rangle ={\underset {T\rightarrow \infty }{\lim }}{\frac {1}{2T}}{\underset {-T}{\overset {T}{\int }}}dt\,{\vec {S}}\left(t,{\vec {x}}\right)={\frac {c}{16\pi }}\left[{\vec {E}}^{\star }\left({\vec {x}}\right)\times {\vec {H}}\left({\vec {x}}\right)+{\vec {E}}\left({\vec {x}}\right)\times {\vec {H}}^{\star }\left({\vec {x}}\right)\right]={\frac {c}{8\pi }}\Re \left({\vec {E}}\left({\vec {x}}\right)\times {\vec {H}}^{\star }\left({\vec {x}}\right)\right)$
weil
${\frac {1}{2T}}{\underset {-T}{\overset {T}{\int }}}dt\,e^{\pm i2\omega t}=\pm {\frac {1}{4i\omega T}}\left(e^{\pm i2\omega T}-e^{\mp i2\omega T}\right)={\frac {\sin 2\omega T}{2\omega T}}{\underset {T\rightarrow \infty }{\longrightarrow }}0$,
$\Re \left(z\right)={\frac {1}{2}}\left(z+z^{\star }\right)$.
Wenn wir in
${\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {B}}$
die zuvor bereits präsentierte Darstellung von ${\vec {E}}$ und ${\vec {B}}$ mit ${\vec {E}}\left({\vec {x}}\right)={\vec {E}}_{0}e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}}$ bzw. ${\vec {B}}\left({\vec {x}}\right)={\vec {B}}_{0}e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}}$ einsetzen, wobei ${\vec {B}}=\mu {\vec {H}}$ gilt, dann erhalten wir:
${\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}\left(t,{\vec {x}}\right)={\frac {1}{2}}\left[{\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}\left({\vec {x}}\right)e^{-i\omega t}+{\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}^{\star }\left({\vec {x}}\right)e^{i\omega t}\right]={\frac {1}{2}}\left[{\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}_{0}e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}}e^{-i\omega t}+{\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}_{0}^{\star }e^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}}e^{i\omega t}\right]=$
$={\frac {1}{2}}\left[i{\vec {k}}\times {\vec {E}}_{0}e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}}e^{-i\omega t}-i{\vec {k}}\times {\vec {E}}_{0}^{\star }e^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}}e^{i\omega t}\right]=-{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {B}}\left(t,{\vec {x}}\right)={\frac {1}{2}}\left[-{\vec {B}}\left({\vec {x}}\right){\frac {1}{c}}\partial _{t}e^{-i\omega t}-{\vec {B}}^{\star }\left({\vec {x}}\right){\frac {1}{c}}\partial _{t}e^{i\omega t}\right]=$
$={\frac {1}{2}}\left[{\vec {B}}\left({\vec {x}}\right)i{\frac {\omega }{c}}e^{-i\omega t}-{\vec {B}}^{\star }\left({\vec {x}}\right)i{\frac {\omega }{c}}e^{i\omega t}\right]={\frac {1}{2}}\left[i{\frac {\omega }{c}}{\vec {B}}_{0}e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}}e^{-i\omega t}-i{\frac {\omega }{c}}{\vec {B}}_{0}^{\star }e^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}}e^{i\omega t}\right]\;\Rightarrow$
${\frac {\omega }{c}}{\vec {B}}_{0}={\vec {k}}\times {\vec {E}}_{0}\;\Rightarrow \;{\vec {B}}\left({\vec {x}}\right)={\frac {c}{\omega }}{\vec {k}}\times {\vec {E}}\left({\vec {x}}\right)$ .
Bei verschwindenden Ladungen und Strömen (d.h. im Vakuum, aber bei Anwesenheit polarisierbarer, isotroper Medien) gilt zudem:
${\vec {D}}=\varepsilon {\vec {E}},\;{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {D}}=0\;\Rightarrow \;{\vec {k}}\cdot {\vec {E}}\left({\vec {x}}\right)=0$
Somit erhalten wir
${\vec {E}}\times {\vec {B}}^{\star }={\frac {c}{\omega }}{\vec {E}}\times \left({\vec {k}}\times {\vec {E}}^{\star }\right)={\frac {c}{\omega }}\left(\left|{\vec {E}}\right|^{2}{\vec {k}}-\underbrace {\left({\vec {k}}\cdot {\vec {E}}\right)} _{=0}{\vec {E}}^{\star }\right)={\frac {c}{\omega }}{\vec {k}}\left|{\vec {E}}\right|^{2}$
und daraus wiederum
$\left\langle {\vec {S}}\left(t,{\vec {x}}\right)\right\rangle ={\frac {c}{8\pi }}\Re \left({\vec {E}}\left({\vec {x}}\right)\times {\vec {H}}^{\star }\left({\vec {x}}\right)\right)={\frac {c^{2}}{8\pi \mu \omega }}{\vec {k}}\left|{\vec {E}}\right|^{2}{\underset {\left|{\vec {k}}\right|={\frac {\omega }{c_{n}}},\,n={\sqrt {\varepsilon \mu }},\,c_{n}=c/n}{=}}{\frac {c_{n}}{8\pi }}\varepsilon \left|{\vec {E}}\right|^{2}{\frac {\vec {k}}{\left|{\vec {k}}\right|}}$
Jetzt berechnen wir noch die mittlere Energie,
$\left\langle u\left(t,{\vec {x}}\right)\right\rangle ={\underset {T\rightarrow \infty }{\lim }}{\frac {1}{2T}}{\underset {-T}{\overset {T}{\int }}}dt\,u\left(t,{\vec {x}}\right),u={\frac {1}{8\pi }}\left({\vec {E}}\cdot {\vec {D}}+{\vec {H}}\cdot {\vec {B}}\right)$
Hierzu benötigen wir
${\vec {E}}\left(t,{\vec {x}}\right)\cdot {\vec {D}}\left(t,{\vec {x}}\right)={\frac {1}{4}}\left[{\vec {E}}\left({\vec {x}}\right)\cdot {\vec {D}}\left({\vec {x}}\right)e^{-i2\omega t}+{\vec {E}}^{\star }\left({\vec {x}}\right)\cdot {\vec {D}}^{\star }\left({\vec {x}}\right)e^{i2\omega t}+{\vec {E}}^{\star }\left({\vec {x}}\right)\cdot {\vec {D}}\left({\vec {x}}\right)+{\vec {E}}\left({\vec {x}}\right)\cdot {\vec {D}}^{\star }\left({\vec {x}}\right)\right]$
also
$\left\langle {\vec {E}}\left(t,{\vec {x}}\right)\cdot {\vec {D}}\left(t,{\vec {x}}\right)\right\rangle ={\frac {1}{4}}\left[{\vec {E}}^{\star }\left({\vec {x}}\right)\cdot {\vec {D}}\left({\vec {x}}\right)+{\vec {E}}\left({\vec {x}}\right)\cdot {\vec {D}}^{\star }\left({\vec {x}}\right)\right]={\frac {1}{2}}\varepsilon \left|{\vec {E}}\left({\vec {x}}\right)\right|^{2}$
und dazu analog:
$\left\langle {\vec {H}}\left(t,{\vec {x}}\right)\cdot {\vec {B}}\left(t,{\vec {x}}\right)\right\rangle ={\frac {1}{4}}\left[{\vec {H}}^{\star }\left({\vec {x}}\right)\cdot {\vec {B}}\left({\vec {x}}\right)+{\vec {H}}\left({\vec {x}}\right)\cdot {\vec {B}}^{\star }\left({\vec {x}}\right)\right]={\frac {1}{2\mu }}\left|{\vec {B}}\left({\vec {x}}\right)\right|^{2}$
Wegen
${\vec {B}}={\frac {c}{\omega }}{\vec {k}}\times {\vec {E}},\;{\vec {k}}\cdot {\vec {E}}=0\;\Rightarrow$
$\left|{\vec {B}}\right|^{2}={\vec {B}}\cdot {\vec {B}}^{\star }=\left({\frac {c}{\omega }}\right)^{2}\left({\vec {k}}\times {\vec {E}}\right)\cdot \left({\vec {k}}\times {\vec {E}}^{\star }\right)=\left({\frac {c}{\omega }}\right)^{2}{\vec {k}}\cdot \left({\vec {E}}\times \left({\vec {k}}\times {\vec {E}}^{\star }\right)\right)=\left({\frac {c}{\omega }}\right)^{2}{\vec {k}}\cdot \left(\left|{\vec {E}}\right|^{2}{\vec {k}}-\underbrace {\left({\vec {k}}\cdot {\vec {E}}\right)} _{=0}{\vec {E}}^{\star }\right)=\left({\frac {c}{\omega }}\right)^{2}{\vec {k}}^{2}\left|{\vec {E}}\right|^{2}$
erhalten wir somit folgenden Ausdruck für die mittlere Energie:
$\left\langle u\left(t,{\vec {x}}\right)\right\rangle ={\frac {1}{2}}\varepsilon \left|{\vec {E}}\left({\vec {x}}\right)\right|^{2}+{\frac {1}{2\mu }}\left|{\vec {B}}\left({\vec {x}}\right)\right|^{2}={\frac {1}{16\pi }}\left(\varepsilon \left|{\vec {E}}\left({\vec {x}}\right)\right|^{2}+{\frac {1}{\mu }}\left({\frac {c}{\omega }}\right)^{2}{\vec {k}}^{2}\left|{\vec {E}}\right|^{2}\right){\underset {\left|{\vec {k}}\right|={\frac {\omega }{c_{n}}},\,n={\sqrt {\varepsilon \mu }},\,c_{n}=c/n}{={\frac {\varepsilon }{8\pi }}\left|{\vec {E}}\left({\vec {x}}\right)\right|^{2}}}$
Der Zusammenhang zwischen dem Mittelwert des Poyntingvektors und der elektromagnetischen Energie lautet daher
$\left\langle {\vec {S}}\left(t,{\vec {x}}\right)\right\rangle ={\frac {c_{n}}{8\pi }}\varepsilon \left|{\vec {E}}\right|^{2}{\frac {\vec {k}}{\left|{\vec {k}}\right|}}=c_{n}\left\langle u\left(t,{\vec {x}}\right)\right\rangle {\frac {\vec {k}}{\left|{\vec {k}}\right|}}$
mit der Lichtgeschwindigkeit $c_{n}=c/n$ in einem Medium mit dem Brechungsindex $n={\sqrt {\varepsilon \mu }}$.

## Polarisation

Im Vakuum, d.h. bei Abwesenheit von Quellen wie Ladungen und Ströme, sind bereits ebene Wellen Lösungen der Maxwell-Gleichungen:
${\vec {E}}\left(t,{\vec {x}}\right)=\Re \left({\vec {E}}\left({\vec {x}}\right)e^{-i\omega t}\right)={\frac {1}{2}}\left[{\vec {E}}\left({\vec {x}}\right)e^{-i\omega t}+{\vec {E}}^{\star }\left({\vec {x}}\right)e^{i\omega t}\right]$
${\vec {E}}\left({\vec {x}}\right)={\vec {E}}_{0}e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}}$
Zudem gilt für die Wellen die Transversalität im Vakuum:
${\vec {k}}\cdot {\vec {E}}_{0}=0\;\Rightarrow \;{\vec {E}}_{0}=E_{1}{\hat {e}}_{1}+E_{2}{\hat {e}}_{2},\;{\vec {k}}\cdot {\hat {e}}_{i}=0,\;{\hat {e}}_{i}^{2}=1\,\left(i=1,2\right),\;{\hat {e}}_{1}\cdot {\hat {e}}_{2}=0,\;\Rightarrow \;{\hat {e}}_{1}\times {\hat {e}}_{2}={\frac {\vec {k}}{k}}$
${\vec {E}}_{0}$ ist hierbei im Allg. komplex: $E_{j}=\left|E_{j}\right|e^{i\varphi _{j}},\,\left(i=1,2\right)$.
Mit letzterer Gleichung und mit Hilfe der Euler-Formel $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ ($\Rightarrow e^{\pm i{\frac {\pi }{2}}}=\pm i$) können wir die ebene Welle umschreiben:
${\vec {E}}\left(t,{\vec {x}}\right)=\Re \left({\vec {E}}\left({\vec {x}}\right)e^{-i\omega t}\right)=\Re \left({\vec {E}}_{0}e^{-i\omega t+i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}}\right)$
$=\Re \left({\hat {e}}_{1}\left|E_{1}\right|e^{-i\omega t+i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}+i\varphi _{1}}+{\hat {e}}_{2}\left|E_{2}\right|e^{-i\omega t+i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}+i\varphi _{2}}\right)$
$={\hat {e}}_{1}\left|E_{1}\right|\cos \left(\omega t-{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}-\varphi _{1}\right)+{\hat {e}}_{2}\left|E_{2}\right|\cos \left(\omega t-{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}-\varphi _{2}\right)$
Je nach der gegenseitigen Beziehung der Phasen $\varphi _{1}$ bzw. $\varphi _{2}$ werden gerne folgende Formen der sog. Polarisation unterschieden:
* Lineare Polarisation: $E_{1}$ und $E_{2}$
sind in Phase, d.h. $\varphi _{1}=\varphi _{2}$, z.B. $\varphi _{1}=\varphi _{2}=0$.
* Zirkulare Polarisation: $\left|E_{1}\right|=\left|E_{2}\right|=E_{0}$,
$\left|\varphi _{1}-\varphi _{2}\right|={\frac {\pi }{2}}$, z.B. $\varphi _{1}=0,\;\varphi _{2}=\pm {\frac {\pi }{2}}$:
${\vec {E}}\left(t,{\vec {x}}\right)={\hat {e}}_{1}E_{0}\cos \left(\omega t-{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}\right)\pm {\hat {e}}_{2}E_{0}\sin \left(\omega t-{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}\right)$ erfüllt die Kreisgleichung $\left({\hat {e}}_{1}\cdot {\vec {E}}\left(t,{\vec {x}}\right)\right)^{2}+\left({\hat {e}}_{2}\cdot {\vec {E}}\left(t,{\vec {x}}\right)\right)^{2}=E_{0}^{2}=const.$;
${\vec {E}}_{0}=E_{1}{\hat {e}}_{1}+E_{2}{\hat {e}}_{2}=E_{0}\left({\hat {e}}_{1}\pm i{\hat {e}}_{2}\right)$, woraus die Definition der zirkularen Einheitsvektoren folgt:
${\hat {\epsilon }}_{\pm }={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\hat {e}}_{1}\pm i{\hat {e}}_{2}\right),\;\epsilon _{3}={\frac {\vec {k}}{k}}\;\Rightarrow \;{\hat {\epsilon }}_{\pm }\cdot \epsilon _{3}=0,\;{\hat {\epsilon }}_{\pm }\cdot {\hat {\epsilon }}_{\pm }^{\star }={\hat {\epsilon }}_{\pm }\cdot {\hat {\epsilon }}_{\mp }=1,\;{\hat {\epsilon }}_{\pm }\cdot {\hat {\epsilon }}_{\mp }^{\star }={\hat {\epsilon }}_{\pm }\cdot {\hat {\epsilon }}_{\pm }=0$
Eine Zerlegung von ${\vec {E}}_{0}$ ist daher auch bezüglich der ${\hat {\epsilon }}_{\pm }$ möglich: ${\vec {E}}_{0}=E_{+}{\hat {\epsilon }}_{+}+E_{-}{\hat {\epsilon }}_{-}$.
Die sog. Helizität ist der Drehsinn der Welle parallel zum Wellenvektor ${\vec {k}}:{\hat {\epsilon }}_{\pm }$ gehören zu den Helizitäten $\pm 1$ .

## Impuls des Strahlungsfeldes

Ausgehend von der Lorentz-Kraft können wir eine Größe gewinnen, die etwas über den Impuls eines Strahlungsfeldes ausdrückt:
${\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {P}}_{M}={\vec {F}}=\int d^{3}x\,\left(\underbrace {\rho \left(t,{\vec {x}}\right)} _{={\frac {1}{4\pi }}{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {D}}}{\vec {E}}\left(t,{\vec {x}}\right)+{\frac {1}{c}}\underbrace {{\vec {J}}\left(t,{\vec {x}}\right)} _{={\frac {c}{4\pi }}{\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}-{\frac {1}{4\pi }}\partial _{t}{\vec {D}}}\times {\vec {B}}\left(t,{\vec {x}}\right)\right)$
$={\frac {1}{4\pi }}\int d^{3}x\,\left({\vec {E}}\left({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {D}}\right)+\left({\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}\right)\times {\vec {B}}-{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {D}}\times {\vec {B}}\right)$
Hierin verwenden wir
${\frac {1}{c}}\partial _{t}\left({\vec {D}}\times {\vec {B}}\right)={\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {D}}\times {\vec {B}}+{\vec {D}}\times \underbrace {{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {B}}} _{=-{\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}}={\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {D}}\times {\vec {B}}-{\vec {D}}\times \left({\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}\right)$
sodass
${\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {P}}_{M}+{\frac {1}{c}}\partial _{t}\underbrace {\int d^{3}x\,{\frac {1}{4\pi }}{\vec {D}}\times {\vec {B}}} _{={\vec {P}}_{F}}$
$={\frac {1}{4\pi }}\int d^{3}x\,\left({\vec {E}}\left({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {D}}\right)+{\vec {H}}\underbrace {\left({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}\right)} _{=0}-{\vec {B}}\times \left({\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}\right)-{\vec {D}}\times \left({\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}\right)\right)$
${\vec {D}}\times \left({\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}\right)={\underset {k,l,m,n}{\sum }}\varepsilon _{ikl}\varepsilon _{lmn}D_{k}\partial _{m}E_{n}={\underset {k,l,m,n}{\sum }}\left(\delta _{im}\delta _{kn}-\delta _{in}\delta _{km}\right)D_{k}\partial _{m}E_{n}={\vec {D}}\cdot \partial _{i}{\vec {E}}-\left({\vec {D}}\cdot {\vec {\nabla }}\right)E_{i}$
$\left({\vec {D}}\cdot {\vec {\nabla }}\right)E_{i}={\vec {\nabla }}\cdot \left({\vec {D}}E_{i}\right)-E_{i}\left({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {D}}\right)$
Außerdem nehmen wir einen linearen Zusammenhang zwischen ${\vec {E}}$ und ${\vec {D}}$ (wie z.B. isotrope Dielektrika: ${\underline {\varepsilon }}=\varepsilon {\underline {1}}$) an:
${\vec {D}}={\underline {\varepsilon }}{\vec {E}}\;\Rightarrow$
$\partial _{i}\left({\vec {D}}\cdot {\vec {E}}\right)=\partial _{i}\left({\vec {D}}^{T}\cdot {\vec {E}}\right)=\partial _{i}\left({\vec {E}}^{T}{\underline {\varepsilon }}^{T}{\vec {E}}\right)$
$=\left(\partial _{i}{\vec {E}}\right)^{T}{\underline {\varepsilon }}^{T}{\vec {E}}+{\vec {E}}^{T}{\underline {\varepsilon }}^{T}\partial _{i}{\vec {E}}=\left(\partial _{i}{\vec {E}}\right)^{T}\left({\vec {E}}^{T}{\underline {\varepsilon }}\right)^{T}+{\vec {D}}\cdot \partial _{i}{\vec {E}}$
Skalarprodukt: ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\vec {a}}^{T}{\vec {b}}={\vec {b}}\cdot {\vec {a}}={\vec {b}}^{T}{\vec {a}}\;\Rightarrow$
Wenn ${\underline {\varepsilon }}$ symmetrisch ist, d.h.
${\underline {\varepsilon }}^{T}={\underline {\varepsilon }}$
    $\left(\partial _{i}{\vec {E}}\right)^{T}\left({\vec {E}}^{T}{\underline {\varepsilon }}\right)^{T}={\vec {E}}^{T}{\underline {\varepsilon }}\partial _{i}{\vec {E}}=\left({\underline {\varepsilon }}^{T}{\vec {E}}\right)^{T}\partial _{i}{\vec {E}}=\left({\underline {\varepsilon }}{\vec {E}}\right)^{T}\partial _{i}{\vec {E}}={\vec {D}}\cdot \partial _{i}{\vec {E}}\;\Rightarrow$
$\partial _{i}\left({\vec {D}}\cdot {\vec {E}}\right)=2{\vec {D}}\cdot \partial _{i}{\vec {E}}$
Somit erhalten wir :
$\left[{\vec {D}}\times \left({\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}\right)\right]_{i}={\underset {k}{\sum }}\partial _{k}\left({\frac {1}{2}}\delta _{ki}{\vec {D}}\cdot {\vec {E}}-E_{i}D_{k}\right)+{\vec {E}}\left({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {D}}\right)$
Ganz analog hierzu nehmen wir einen linearen Zusammenhang zwischen ${\vec {B}}$ und ${\vec {H}}$ (wie z.B. isotrope Magnetika: ${\underline {\mu }}=\mu {\underline {1}}$) an:
${\vec {B}}={\underline {\mu }}{\vec {H}}$
${\underline {\mu }}$ sei symmetrisch: ${\underline {\mu }}^{T}={\underline {\mu }}$:
$\left[{\vec {B}}\times \left({\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}\right)\right]_{i}={\underset {k}{\sum }}\partial _{k}\left({\frac {1}{2}}\delta _{ki}{\vec {B}}\cdot {\vec {H}}-B_{i}H_{k}\right)+{\vec {H}}\left({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}\right)$
Somit ergibt sich folgender Zusammenhang,
${\frac {1}{c}}\partial _{t}\left[{\vec {P}}_{M}\right]_{i}+{\frac {1}{c}}\partial _{t}\left[{\vec {P}}_{F}\right]_{i}={\underset {k}{\sum }}\int d^{3}x\,\partial _{k}T^{ik}$
zwischen dem mechanischen Impuls ${\vec {P}}_{M}$ und dem Impuls des elektromagnetischen Feldes ${\vec {P}}_{F}=\int d^{3}x\,{\frac {1}{4\pi }}{\vec {D}}\times {\vec {B}}$.
Hierin kommt der Maxwell'sche Spannungstensor $T^{ik}=\delta _{ik}w-{\frac {1}{4\pi }}\left(E_{i}\,D_{k}+H_{i}\,B_{k}\right)$ mit der Energiedichte $w={\frac {1}{8\pi }}\left({\vec {D}}\cdot {\vec {E}}+{\vec {B}}\cdot {\vec {H}}\right)$ vor.

## Elektromagnetische Potentiale

Die elektromagnetischen Feldvektoren lassen sich mittels sog. Potentiale darstellen, wie z.B. die magnetische Flussdichte als Rotation eines Vektorpotentials ${\vec {A}}$:
${\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}$
weil dies automatisch die Maxwell-Gleichung ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}=0$ erfüllt. Für das elektrische Feld schließen wir hieraus auf die Existenz eines Skalarpotentials $A_{0}$:
${\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {B}}\,\Rightarrow \,0={\vec {\nabla }}\times \left({\vec {E}}+{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {A}}\right)=-{\vec {\nabla }}\times {\vec {\nabla }}A_{0}$
weil:
$\left[{\vec {\nabla }}\times {\vec {\nabla }}A_{0}\right]_{i}=\varepsilon _{ikl}\partial _{k}\partial _{l}A_{0}={\frac {1}{2}}\left(\varepsilon _{ikl}+\varepsilon _{ikl}\right)\partial _{k}\partial _{l}A_{0}={\frac {1}{2}}\left(\varepsilon _{ikl}\partial _{k}\partial _{l}A_{0}+\varepsilon _{ilk}\partial _{l}\partial _{k}A_{0}\right)$
$={\frac {1}{2}}\left(\varepsilon _{ikl}+\varepsilon _{ilk}\right)\partial _{k}\partial _{l}A_{0}={\frac {1}{2}}\left(\varepsilon _{ikl}-\varepsilon _{ikl}\right)\partial _{k}\partial _{l}A_{0}=0$
Das elektrische Feld lässt sich also wie folgt mit Hilfe des Skalarpotentials $A_{0}$ und des Vektorpotentials ${\vec {A}}$ angeben:
${\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}A_{0}-{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {A}}$

## Wellengleichungen für elektromagnetische Potentiale

Genau so wie die elektromagnetischen Felder Wellengleichungen erfüllen, ist dies auch für die elektromagnetischen Potentiale der Fall, aus denen sie berechnet werden können.
(1) Wellengleichung für das Vektorpotential:
${\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {J}}+{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {E}},\;{\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}},\;{\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}A_{0}-{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {A}}\,\Rightarrow$
${\vec {\nabla }}\left({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}\right)-{\vec {\nabla }}^{2}{\vec {A}}={\vec {\nabla }}\times \left({\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}\right)={\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}$
$={\frac {4\pi }{c}}{\vec {J}}+{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {E}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {J}}-{\vec {\nabla }}{\frac {1}{c}}\partial _{t}A_{0}-{\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}{\vec {A}}$
D.h. wir erhalten die Wellengleichung
$\left({\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}^{2}\right){\vec {A}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {J}}-{\vec {\nabla }}\left({\frac {1}{c}}\partial _{t}A_{0}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}\right)$
Anm.: Die Schlussfolgerungen aus folgenden analogen Operationen sind hingegen eher trivial:
${\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {B}},\;{\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}},\;{\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}A_{0}-{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {A}}\,\Rightarrow$
$-{\vec {\nabla }}\times {\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {A}}=-{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-\underbrace {{\vec {\nabla }}\times {\vec {\nabla }}A_{0}} _{=0}-{\vec {\nabla }}\times {\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {A}}=-{\vec {\nabla }}\times {\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {A}}$
Bei Anwesenheit isotroper Magnetika bzw. Dielektrika müssen wir statt ${\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {J}}+{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {E}}$ die Gleichung ${\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}={\frac {4\pi \varepsilon \mu }{c}}{\tilde {\vec {J}}}+{\frac {\varepsilon \mu }{c}}\partial _{t}{\vec {E}}$ mit ${\tilde {\vec {J}}}={\frac {1}{\varepsilon }}{\vec {J}}$ verwenden und erhalten daher:
$\left({\frac {1}{c_{n}^{2}}}\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}^{2}\right){\vec {A}}={\frac {4\pi n}{c_{n}\varepsilon }}{\vec {J}}-{\vec {\nabla }}\left({\frac {n}{c_{n}}}\partial _{t}A_{0}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}\right)$
mit der Lichtgeschwindigkeit im Medium $c_{n}={\frac {c}{n}}$ und dem Brechungsindex $n={\sqrt {\varepsilon \mu }}$.
(2) Wellengleichung für das skalare Potential:
${\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}A_{0}-{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {A}}\;\Rightarrow$
$-{\vec {\nabla }}^{2}A_{0}-{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}=4\pi \rho$
Bei Anwesenheit isotroper Magnetika bzw. Dielektrika müssen wir statt ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}=4\pi \rho$ die Gleichung ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}={\frac {4\pi }{\varepsilon }}\rho$ verwenden:
$-{\vec {\nabla }}^{2}A_{0}-{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}={\frac {4\pi }{\varepsilon }}\rho$

## Eichfreiheit

Bei Abwesenheit von Ladungen und Strömen gilt ja
$\left({\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}^{2}\right){\vec {E}}=0$
wobei die allgemeine Lösung
${\vec {E}}\left(t,{\vec {x}}\right)=\int {\frac {d^{3}k}{\left(2\pi \right)^{3}}}\,\left({\vec {E}}_{0}e^{-i\omega t+i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}}+{\vec {E}}_{0}^{\star }e^{+i\omega t-i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}}\right)$
mit $\omega =kc$ lautet (die Lösung ${\vec {E}}$ ist reell, aber die Amplitude ${\vec {E}}_{0}$ wird im Allg. komplex sein).
Analoges gilt für ${\vec {B}}$:
$\left({\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}^{2}\right){\vec {B}}=0$
Hieraus folgt auch der Spezialfall ebener Wellen:
${\vec {E}}\left(t,{\vec {x}}\right)={\vec {E}}_{0}e^{-i\omega t+i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}}$
${\vec {B}}\left(t,{\vec {x}}\right)={\vec {B}}_{0}e^{-i\omega t+i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}}$
Mit ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}=0$ und ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}=0$ (d.h. es sind keine Ladung vorhanden) folgt hieraus:
${\vec {k}}\cdot {\vec {B}}_{0}=0$
und
${\vec {k}}\cdot {\vec {E}}_{0}=0$
d.h. die Wellen sind transversal. $A_{0}$ und ${\vec {A}}$ besitzen zusammen vier Komponenten. Wegen der beiden Transversalitätsbedingung sind also zwei Komponenten zuviel, um die Welle beschreiben zu wollen: Es sind vier Komponenten vorhanden, es werden aber wegen der Transversalität der elektromagnetischen Wellen nur zwei benötigt. Die überschüssigen Freiheitsgrade werden daher »weggeeicht« .
Eine Transformation
$A_{0}\rightarrow A_{0}-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\Lambda ,{\vec {A}}\rightarrow {\vec {A}}+{\vec {\nabla }}\Lambda$
ändert ${\vec {E}}$ und ${\vec {B}}$ nicht (und heißt »Eichtransformation«):
${\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}A_{0}-{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {A}}\,\rightarrow -{\vec {\nabla }}A_{0}-{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {A}}+{\vec {\nabla }}{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\Lambda -{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {\nabla }}\Lambda ={\vec {E}}$
${\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}\rightarrow {\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}+\underbrace {{\vec {\nabla }}\times {\vec {\nabla }}\Lambda } _{=0}={\vec {B}}$
Letzteres weil $rot\,grad\equiv 0$. Folgender Term aus den Wellengleichungen verhält sich unter dieser Transformation hingegen wie:
${\frac {1}{c}}\partial _{t}A_{0}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}\rightarrow {\frac {1}{c}}\partial _{t}A_{0}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}-\left({\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}^{2}\right)\Lambda$
Die bekanntesten Beispiele für Eichungen sind:
* Lorenz-Eichung: Wähle $\Lambda$ so, dass unter
der Transformation ${\frac {1}{c}}\partial _{t}A_{0}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}\rightarrow 0$ gilt, d.h.
$\left({\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}^{2}\right)\Lambda ={\frac {1}{c}}\partial _{t}A_{0}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}$
* Coulomb-Eichung: Wähle $\Lambda$ so, dass unter der Transformation
${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}\rightarrow 0$ gilt, d.h.
$\left({\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}^{2}\right)\Lambda ={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}$
In den folgenden beiden Kapiteln möchten wir gerne diese beiden Sorten von Eichungen auf die mikroskopischen Wellengleichungen anwenden.

## Mikroskopische Wellengleichungen in Coulomb-Eichung

Die mikroskopische Wellengleichung für Skalar- und Vektorpotential möchten wir hier in der Coulomb-Eichung, d.h.
${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}=0$
betrachten. Für das Vektorpotential gilt dann:
$\left({\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}^{2}\right){\vec {A}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {J}}-{\vec {\nabla }}\left({\frac {1}{c}}\partial _{t}A_{0}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}\right)\;\Rightarrow \;$
$\left({\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}^{2}\right){\vec {A}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {J}}-{\vec {\nabla }}{\frac {1}{c}}\partial _{t}A_{0}=:{\frac {4\pi }{c}}{\vec {J}}_{\perp }$
Für das Skalarpotential erhalten wir die Gleichung:
$-{\vec {\nabla }}^{2}A_{0}-{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}=4\pi \rho \;\Rightarrow \;{\vec {\nabla }}^{2}A_{0}=-4\pi \rho$
woraus wir wie folgt das Skalarpotential bestimmen können:
${\vec {\nabla }}^{2}A_{0}\left(t,{\vec {x}}\right)=-4\pi \rho \left(t,{\vec {x}}\right)=\int d^{3}x^{\prime }\,\rho \left(t,{\vec {x}}^{\prime }\right)\underbrace {\left(-4\pi \delta ^{3}\left({\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right)\right)} _{{\vec {\nabla }}^{2}{\frac {1}{\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|}}}$
$=\int d^{3}x^{\prime }\,\rho \left(t,{\vec {x}}^{\prime }\right){\vec {\nabla }}^{2}{\frac {1}{\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|}}={\vec {\nabla }}^{2}\int d^{3}x^{\prime }\,{\frac {\rho \left(t,{\vec {x}}^{\prime }\right)}{\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|}}$
d.h.
$A_{0}\left(t,{\vec {x}}\right)=\int d^{3}x^{\prime }\,{\frac {\rho \left(t,{\vec {x}}^{\prime }\right)}{\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|}}$
Hieraus und aus der Kontinuitätsgleichung $\partial _{t}\rho +{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {J}}=0$ folgt zum einen
$\partial _{t}A_{0}\left(t,{\vec {x}}\right)=\int d^{3}x^{\prime }\,{\frac {\partial _{t}\rho \left(t,{\vec {x}}^{\prime }\right)}{\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|}}=-\int d^{3}x^{\prime }\,{\frac {{\vec {\nabla }}^{\prime }\cdot {\vec {J}}\left(t,{\vec {x}}^{\prime }\right)}{\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|}}$
und die Transversalität von ${\vec {J}}_{\perp }$:
${\frac {4\pi }{c}}{\vec {J}}_{\perp }={\frac {4\pi }{c}}{\vec {J}}-{\vec {\nabla }}{\frac {1}{c}}\partial _{t}A_{0}\,\Rightarrow$
${\frac {4\pi }{c}}{\vec {\nabla }}\times {\vec {J}}_{\perp }={\frac {4\pi }{c}}{\vec {\nabla }}\times {\vec {J}}$
${\frac {4\pi }{c}}{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {J}}_{\perp }={\frac {4\pi }{c}}{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {J}}-{\frac {1}{c}}\partial _{t}\underbrace {{\vec {\nabla }}^{2}A_{0}} _{-4\pi \rho }={\frac {4\pi }{c}}\left({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {J}}+\partial _{t}\rho \right)=0$
Die Stromdichte können wir daher in einen transversalen und einen longitudinalen Anteil zerlegen:
${\vec {J}}={\vec {J}}_{\perp }+{\vec {J}}_{\parallel },\;{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {J}}_{\perp }=0,\;{\vec {\nabla }}\times {\vec {J}}_{\parallel }:=0\;\Rightarrow$
${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {J}}={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {J}}_{\parallel },\;{\vec {\nabla }}\times {\vec {J}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {J}}_{\perp }$
mit dem longitudinalen Anteil
${\vec {J}}_{\parallel }={\frac {1}{4\pi }}{\vec {\nabla }}\partial _{t}A_{0}\left(t,{\vec {x}}\right)$

## Mikroskopische Wellengleichungen in Lorenz-Eichung

Die mikroskopische Wellengleichung für Skalar- und Vektorpotential möchten wir hier in der Lorenz-Eichung,
${\frac {1}{c}}\partial _{t}A_{0}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}=0$
diskutieren. Für das Vektorpotential erhalten wir
$\left({\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}^{2}\right){\vec {A}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {J}}-{\vec {\nabla }}\left({\frac {1}{c}}\partial _{t}A_{0}-{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}\right)\;\Rightarrow \;$
$\left({\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}^{2}\right){\vec {A}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {J}}$
während für das Skalarpotential Folgendes gilt:
$4\pi \rho =-{\vec {\nabla }}^{2}A_{0}-{\frac {1}{c}}\partial _{t}\underbrace {{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}} _{=-{\frac {1}{c}}\partial _{t}A_{0}}=\left({\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}^{2}\right)A_{0}$
Zusammengefasst zu einer Gleichung mittels (der. sog. »Vierervektoren«) $A^{\mu }=\left(A_{0},{\vec {A}}\right)$, $J^{\mu }=\left(J_{0},{\vec {J}}\right)=\left(c\rho ,{\vec {J}}\right)$, $x=\left(x_{0},{\vec {x}}\right)=\left(ct,{\vec {x}}\right)$, wobei hier und in Zukunft griechische Indizes immer Werte von 0 bis 3 annehmen sollen, $\mu =0,1,2,3$, (während wir vereinbaren, dass römische Indizes nur die Werte von 1 bis 3 durchlaufen) erhalten wir
$\square A^{\mu }=\left({\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}^{2}\right)A^{\mu }={\frac {4\pi }{c}}J^{\mu }$
Mit der »Vierer-Ableitung«,
$\partial _{\mu }=\left(\partial _{0},{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {1}{c}}\partial _{t},{\vec {\nabla }}\right)$
können wir auch die Lorenz-Eichbedingung folgendermaßen schreiben:
${\underset {\mu =0}{\overset {4}{\sum }}}\partial _{\mu }A^{\mu }={\frac {1}{c}}\partial _{t}A_{0}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}=0$

## Lösungen der mikroskopischen Wellengleichungen

Mit Hilfe der zuvor bereits vorgestellten Greensfunktion der Elektrodynamik können wir jetzt sogar eine Lösung der Wellengleichungen in Lorenz-Eichung (${\frac {1}{c}}\partial _{t}A_{0}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}=0$), d.h.
$\square A^{\mu }=\left({\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}^{2}\right)A^{\mu }={\frac {4\pi }{c}}J^{\mu }$
bzw. in Coulomb-Eichung (${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}=0$), d.h.
$\square {\vec {A}}=\left({\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}^{2}\right){\vec {A}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {J}}-{\vec {\nabla }}{\frac {1}{c}}\partial _{t}A_{0}=:{\frac {4\pi }{c}}{\vec {J}}_{\perp }$
${\vec {\nabla }}^{2}A_{0}=-4\pi \rho$ (mit der bereits bekannten Lösung $A_{0}\left(t,{\vec {x}}\right)=\int d^{3}x^{\prime }\,{\frac {\rho \left(t,{\vec {x}}^{\prime }\right)}{\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|}}$)
angeben. Für die Greensfunktion gilt ja:
$\square G\left(x-x^{\prime }\right)=4\pi \delta ^{4}\left(x-x^{\prime }\right)$
Am Beispiel der Lorenz-Eichung folgt hieraus:
$\square A^{\mu }\left(x\right)={\frac {4\pi }{c}}J^{\mu }\left(x\right)={\frac {1}{c}}\int d^{4}x^{\prime }\,J^{\mu }\left(x^{\prime }\right)4\pi \delta ^{4}\left(x-x^{\prime }\right)={\frac {1}{c}}\int d^{4}x^{\prime }\,J^{\mu }\left(x^{\prime }\right)\square G\left(x-x^{\prime }\right)\;\Rightarrow$
$A^{\mu }\left(x\right)={\frac {1}{c}}\int d^{4}x^{\prime }\,G\left(x-x^{\prime }\right)J^{\mu }\left(x^{\prime }\right)$
Im nächsten Kapitel werden wir diese formale Lösung verbunden mit der bereits bekannten Gestalt der Greensfunktion verwenden, um Strahlungssysteme zu betrachten.

## Strahlungssysteme

Strahlungsquellen, d.h. Ladungen und Ströme, sollen (als Spezialfall einer Fourier-Zerlegung) eine harmonische Zeitabhängigkeit besitzen:
$\rho \left(t,{\vec {x}}\right)=\rho \left({\vec {x}}\right)e^{-i\omega t}$
${\vec {J}}\left(t,{\vec {x}}\right)={\vec {J}}\left({\vec {x}}\right)e^{-i\omega t}$
d.h.
$J^{\mu }\left(t,{\vec {x}}\right)=J^{\mu }\left({\vec {x}}\right)e^{-i\omega t}$
In $A^{\mu }\left(x\right)={\frac {1}{c}}\int d^{4}x^{\prime }\,G\left(x-x^{\prime }\right)J^{\mu }\left(x^{\prime }\right)$ verwenden wir die retardierte Greensfunktion $G_{+}\left(x_{0},{\vec {x}}\right)=\Theta \left(x_{0}\right){\frac {1}{r}}\delta \left(x_{0}-r\right)$, weil nur bei ihr die Wirkung auf der Ursache folgt (und nicht umgekehrt, wie dies bei der avancierten Greensfunktion der Fall ist):
$A^{\mu }\left(x\right)={\frac {1}{c}}\int d^{4}x^{\prime }\,G\left(x-x^{\prime }\right)J^{\mu }\left(x^{\prime }\right)=$
$\int d^{3}x^{\prime }\int dt^{\prime }\,{\frac {J^{\mu }\left({\vec {x}}^{\prime }\right)e^{-i\omega t^{\prime }}}{\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|}}\underbrace {\delta \left(c\left(t-t^{\prime }\right)-\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|\right)} _{={\frac {1}{c}}\delta \left(t-t^{\prime }-\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|/c\right)}\Theta \left(t-t^{\prime }\right)$
$={\frac {1}{c}}\int d^{3}x^{\prime }\,{\frac {J^{\mu }\left({\vec {x}}^{\prime }\right)e^{i{\frac {\omega }{c}}\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|}}{\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|}}\underbrace {\Theta \left(\overbrace {{\frac {1}{c}}\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|} ^{\geq 0}\right)} _{=1}e^{-i\omega t}=A^{\mu }\left({\vec {x}}\right)e^{-i\omega t}$
Somit gilt bei ${\vec {A}}\left(t,{\vec {x}}\right)={\vec {A}}\left({\vec {x}}\right)e^{-i\omega t}$:
${\vec {A}}\left({\vec {x}}\right)={\frac {1}{c}}\int d^{3}x^{\prime }\,{\frac {{\vec {J}}\left({\vec {x}}^{\prime }\right)e^{ik\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|}}{\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|}}$
mit $k={\frac {\omega }{c}}$.
Die lineare Ausdehnung d der Quelle sei viel kleiner als die Wellenlänge $\lambda$ der von einer zeitlich veränderlichen Ladungs- und Stromverteilung erzeugten Strahlung: $d\ll \lambda$ (bzw. wegen $k={\frac {2\pi }{\lambda }}:kd\ll 1$). Der Beobachter befinde sich im Abstand r von der Strahlungsquelle. Wir betrachten im Folgenden zwei Fälle:
(1) Nahzone: $d\ll r\ll \lambda$, $k={\frac {2\pi }{\lambda }}\;\Rightarrow \;kr\ll 1\;\Rightarrow \;e^{ik\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|}\approx 1$.
Wir können ${\frac {1}{\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|}}$ in Kugelfunktionen $Y_{lm}\left({\hat {x}}\right)=Y_{lm}\left(\vartheta ,\varphi \right)$ entwickeln:
${\frac {1}{\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|}}={\underset {l=0}{\overset {\infty }{\sum }}}{\underset {m=-l}{\overset {l}{\sum }}}{\frac {4\pi }{2l+1}}{\frac {r_{<}^{l}}{r_{>}^{l+1}}}Y_{lm}\left({\hat {x}}\right)Y_{lm}^{\star }\left({\hat {x}}^{\prime }\right)$
$r_{<}=r^{\prime }$, $r_{>}=r$ , so dass sich in der Nahzone für das Vektorpotential
${\vec {A}}\left({\vec {x}}\right){\underset {kr\ll 1}{\approx }}{\frac {1}{c}}{\underset {l=0}{\overset {\infty }{\sum }}}{\underset {m=-l}{\overset {l}{\sum }}}{\frac {4\pi }{2l+1}}{\frac {Y_{lm}\left({\hat {x}}\right)}{r^{l+1}}}\underbrace {\int d^{3}x^{\prime }\,{\vec {J}}\left({\vec {x}}^{\prime }\right)r^{\prime l}Y_{lm}^{\star }\left({\hat {x}}^{\prime }\right)} _{=\mu _{lm}}$
mit dem Multipolmoment der Stromdichte,
$\mu _{lm}=\int d^{3}x^{\prime }\,{\vec {J}}\left({\vec {x}}^{\prime }\right)r^{\prime l}Y_{lm}^{\star }\left({\hat {x}}^{\prime }\right)$
ergibt.
(2) Fernzone: $d\ll \lambda \ll r$, $k={\frac {2\pi }{\lambda }}\;\Rightarrow \;kr\gg 1$.
Wir können somit $\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|$ nach Taylor entwickeln:
$\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|{\underset {{\vec {n}}={\frac {\vec {x}}{r}}}{=}}r{\sqrt {1+\left({\frac {r^{\prime }}{r}}\right)^{2}-2{\frac {{\vec {x}}^{\prime }\cdot {\vec {n}}}{r}}}}{\underset {r\gg r^{\prime }\approx d}{\approx }}r\left(1-{\frac {{\vec {x}}^{\prime }\cdot {\vec {n}}}{r}}\right)\;\Rightarrow \;$
${\frac {1}{\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|}}\approx {\frac {1}{r}}\left(1+\underbrace {\frac {{\vec {x}}^{\prime }\cdot {\vec {n}}}{r}} _{{\underset {r\rightarrow \infty }{\longrightarrow }}0}\right)\approx {\frac {1}{r}}$
$e^{-ik{\vec {n}}\cdot {\vec {x}}^{\prime }}={\underset {l=1}{\overset {\infty }{\sum }}}{\frac {\left(-ik\right)^{l}}{l!}}\left({\vec {n}}\cdot {\vec {x}}^{\prime }\right)^{l}$ konvergiert zudem schnell, da $r^{\prime }\approx d$ und $kd\ll 1$. In der Fernzone erhalten wir daher für das Vektorpotential:
${\vec {A}}\left({\vec {x}}\right){\underset {kr\gg 1}{\approx }}{\frac {e^{ikr}}{cr}}\int d^{3}x^{\prime }\,{\vec {J}}\left({\vec {x}}^{\prime }\right)e^{-ik{\vec {n}}\cdot {\vec {x}}^{\prime }}\approx {\frac {e^{ikr}}{cr}}{\underset {l=1}{\overset {\infty }{\sum }}}{\frac {\left(-ik\right)^{l}}{l!}}\int d^{3}x^{\prime }\,{\vec {J}}\left({\vec {x}}^{\prime }\right)\left({\vec {n}}\cdot {\vec {x}}^{\prime }\right)^{l}$
Hierin ist ${\frac {e^{ikr}}{r}}$ eine auslaufende Kugelwelle.
In niedrigster Ordnung dieser Entwicklung erhalten wir einen elektrischen Dipol. Für die Dipolnäherung (die sowohl in der Nah- als auch der Fernzone gültig ist) gilt wegen $r^{\prime }\approx d$, $kd\ll 1\;\Rightarrow \;\left({\vec {n}}\cdot {\vec {x}}^{\prime }\right)^{l}\approx 0\;\left(l\neq 0\right)$:
${\vec {A}}\left({\vec {x}}\right)\approx {\frac {e^{ikr}}{cr}}\int d^{3}x^{\prime }\,{\vec {J}}\left({\vec {x}}^{\prime }\right)$
Das Integral über die Stromdichte werden wir umzuformen versuchen:
$\int d^{3}x^{\prime }\,J_{l}\left({\vec {x}}^{\prime }\right)=\int d^{3}x^{\prime }\,{\hat {e}}_{l}\cdot {\vec {J}}\left({\vec {x}}^{\prime }\right)=\int d^{3}x^{\prime }\,{\vec {J}}\left({\vec {x}}^{\prime }\right)\cdot {\vec {\nabla }}^{\prime }x_{l}^{\prime }$
$=\int d^{3}x^{\prime }\,{\vec {\nabla }}^{\prime }\cdot \left({\vec {J}}\left({\vec {x}}^{\prime }\right)x_{l}^{\prime }\right)-\int d^{3}x^{\prime }\,x_{l}^{\prime }{\vec {\nabla }}^{\prime }\cdot {\vec {J}}\left({\vec {x}}^{\prime }\right)$
Hierin verwenden wir den Gauß'schen Integralsatz und die Annahme, dass im Unendlichen die Ströme verschwinden:
${\underset {\mathbb {R} ^{3}}{\int }}d^{3}x^{\prime }\,{\vec {\nabla }}^{\prime }\cdot \left({\vec {J}}\left({\vec {x}}^{\prime }\right)x_{l}^{\prime }\right)={\underset {\partial \mathbb {R} ^{3}}{\int }}d{\vec {a}}\cdot {\vec {J}}\left({\vec {x}}^{\prime }\right)x_{l}^{\prime }\longrightarrow 0$
Dann machen wir noch von der Kontinuitätsgleichung Gebrauch:
${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {J}}\left({\vec {x}}\right)e^{-i\omega t}={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {J}}\left(t,{\vec {x}}\right)=$
$-\partial _{t}\rho \left(t,{\vec {x}}\right)=-\partial _{t}\left(\rho \left({\vec {x}}\right)e^{-i\omega t}\right)=i\omega \rho \left({\vec {x}}\right)e^{-i\omega t}$
d.h. ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {J}}\left({\vec {x}}\right)=i\omega \rho \left({\vec {x}}\right)$.
Somit ergibt sich schließlich
$\int d^{3}x^{\prime }\,{\vec {J}}\left({\vec {x}}^{\prime }\right)=-i\omega \int d^{3}x^{\prime }\,\rho \left({\vec {x}}^{\prime }\right){\vec {x}}^{\prime }=-i\omega {\vec {p}}$
wobei wir das sog. Dipolmoment
${\vec {p}}=\int d^{3}x^{\prime }\,\rho \left({\vec {x}}^{\prime }\right){\vec {x}}^{\prime }$
(das offensichtlich konstant in t und ${\vec {x}}$ ist) eingeführt haben. Mit der Definition
$k={\frac {2\pi }{\lambda }}={\frac {\omega }{c}}$
resultiert daher für das Vektorpotential:
${\vec {A}}\left({\vec {x}}\right)=-ik\,{\vec {p}}\,{\frac {e^{ikr}}{r}}$
Hieraus können wir wieder auf gewohnte Weise die magnetische Flussdichte bestimmen:
${\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}=k^{2}\left({\vec {n}}\times {\vec {p}}\right)\,{\frac {e^{ikr}}{r}}\left(1-{\frac {1}{ikr}}\right)$
wegen ${\vec {\nabla }}r={\frac {\vec {x}}{r}}={\vec {n}}$, ${\vec {\nabla }}{\frac {1}{r}}=-{\frac {\vec {x}}{r^{3}}}$.
Weit entfernt von den Strahlungsquellen, d.h. ${\vec {J}}\approx {\vec {0}}$, und bei Abwesenheit von Dielektrika oder Magnetika, d.h. u.a. ${\vec {B}}={\vec {H}}$, sowie einer gleichermaßen harmonische Zeitabhängigkeit von ${\vec {E}}$, gilt:
${\vec {E}}={\frac {i}{k}}{\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}=k^{2}\left({\vec {n}}\times {\vec {p}}\right)\times {\vec {n}}{\frac {e^{ikr}}{r}}+\left(3{\vec {n}}\left({\vec {n}}\cdot {\vec {p}}\right)-{\vec {p}}\right)\left({\frac {1}{r^{3}}}-{\frac {ik}{r^{2}}}\right)e^{ikr}$
* In der Fernzone, d.h. $kr\gg 1\;\Rightarrow \;{\frac {1}{kr}}\ll 1$,
wo jedoch ${\frac {e^{ikr}}{kr}}\neq 0$ gilt, da $e^{ikr}$ schneller wächst als ${\frac {1}{kr}}$ fällt, erhalten wir daher
${\vec {B}}=k^{2}\left({\vec {n}}\times {\vec {p}}\right)\,{\frac {e^{ikr}}{r}}$
${\vec {E}}=k^{2}\left({\vec {n}}\times {\vec {p}}\right)\times {\vec {n}}{\frac {e^{ikr}}{r}}={\vec {B}}\times {\vec {n}}$
Für die in ein Raumwinkelelement $d\Omega$ abgestrahlte Leistung
$dP=\left({\vec {S}}\cdot {\vec {n}}\right)r^{2}d\Omega$
mit dem Poynting-Vektor
${\vec {S}}={\frac {c}{8\pi }}\Re \left({\vec {E}}\left({\vec {x}}\right)\times {\vec {B}}^{\star }\left({\vec {x}}\right)\right)$
ergibt sich mittels
${\vec {n}}\cdot \left[\left(\left({\vec {n}}\times {\vec {p}}\right)\times {\vec {n}}\right)\times \left({\vec {n}}\times {\vec {p}}\right)\right]=\left[\left({\vec {n}}\times {\vec {p}}\right)\times {\vec {n}}\right]^{2}$
und ${\vec {p}}\cdot {\vec {n}}=\left|{\vec {p}}\right|\cos \vartheta$:
${\frac {dP}{d\Omega }}={\frac {c}{8\pi }}k^{4}\left|{\vec {p}}\right|^{2}\sin ^{2}\vartheta$
Dies über den gesamten Raumwinkel integriert, resultiert in der gesamten abgestrahlten Leistung
$P=\int d\Omega \,{\frac {dP}{d\Omega }}={\frac {c}{8\pi }}k^{4}\left|{\vec {p}}\right|^{2}2\pi {\underset {-1}{\overset {1}{\int }}}d\cos \vartheta \,\left(1-\cos ^{2}\vartheta \right)={\frac {ck^{4}}{3}}\left|{\vec {p}}\right|^{2}$
* In der Nahzone, d.h. $kr\ll 1\;\Rightarrow \;{\frac {1}{kr}}\gg 1,\;e^{ikr}\approx 1$,
erhalten wir hingegen die üblichen Dipol-Formeln, die wir auch noch in der Elektrostatik herleiten werden:
${\vec {B}}=ik\left({\vec {n}}\times {\vec {p}}\right){\frac {1}{r^{2}}}$
${\vec {E}}=\left(3{\vec {n}}\left({\vec {n}}\cdot {\vec {p}}\right)-{\vec {p}}\right){\frac {1}{r^{3}}}$
Hierin überwiegt das statische elektrische Dipolfeld ${\vec {E}}\sim {\frac {1}{r^{3}}}$ gegenüber ${\vec {B}}\sim {\frac {1}{r^{2}}}$.

## Referenzen

* F. Scheck, Theoretische Physik 1: Mechanik. Von den Newton'schen Gesetzen zum deterministischen Chaos (Springer, 2007).
* A. Sommerfeld, Band III: Elektrodynamik (Harri Deutsch, 1988).
* A. Lindner, Grundkurs Theoretische Physik (Teubner, 1997).
* J.D. Jackson, Klassische Elektrodynamik (de Gruyter, 1985).