# Mechanik realer Körper

Hier gibt es eine (aktualisierte) PDF-Version..

## Der Massenmittelpunkt und seine Bewegungsgleichung

Nun wird die Mechanik realistischer: Wir wenden die an idealen Massenpunkten gewonnenen Ergebnisse auf reale Körper an.
Die Atome – und im Allgemeinen auch die Moleküle – aus denen reale Körper aufgebaut sind, kommen unserem Ideal des Massenpunktes außerordentlich und völlig hinreichend nahe. Daher können wir reale Körper als Systeme zahlreicher Massenpunkte auffassen. Die im Folgenden hergeleiteten Sätze über Systeme von Massenpunkten gelten folglich für reale Körper. Dies müssen nicht unbedingt Festkörper oder gar starre Körper sein; die hier abzuleitenden Sätze gelten ganz allgemein für jedes irgendwie klar definierte System von Massenpunkten: für die Flüssigkeit oder das Gas in einem Behälter (einschließlich oder ausschließlich des Behälters), für eine in einem Raumfahrzeug frei schwebende Kugel aus Wasser, für eine Gaswolke im Weltall, ja sogar für eine Galaxie aus Fixsternen, die wegen der riesigen Entfernung uns als Punkte erscheinen.
Als Erstes treffen wir eine wichtige Unterscheidung: Kräfte, die zwischen zwei Massenpunkten des Systems wirken, heißen innere Kräfte. Dagegen heißen Kräfte, die ihren Ursprung außerhalb des Systems haben, äußere Kräfte.
Wir betrachten nun ein System von beliebig vielen Massenpunkten. Auf einen von ihnen (den k-ten Massenpunkt) wirke eine Anzahl äußerer Kräfte, die wir durch ihre Resultante F$_k$ ersetzen. Ferner wirke vom ersten Massenpunkt her auf ihn die (innere) Kraft F$_{1k}$ ein, vom zweiten Massenpunkt die Kraft F$_{2k}$, allgemein vom i-ten Massenpunkt die Kraft F$_{ik}$. Dann lautet die Bewegungsgleichung für den k-ten Massenpunkt
$m_{k}{\frac {\operatorname {d} ^{2}{\mathbf {r} }_{k}}{\operatorname {d} t^{2}}}={\mathbf {F} }_{k}+\sum _{i}{{\mathbf {F} }_{ik}}.$
Denken wir uns die Bewegungsgleichungen sämtlicher Massenpunkte des Systems addiert, so erhalten wir
$\sum _{k}{m_{k}{\frac {\operatorname {d} ^{2}{\mathbf {r} }}{\operatorname {d} t^{2}}}}=\sum _{k}{{\mathbf {F} }_{k}}+\sum _{i\neq k}{\sum _{k}{{\mathbf {F} }_{ik}}}.$
Nun gibt es aber nach Newtons 3. Axiom (actio = reactio) zu jeder inneren Kraft eine gleich große, entgegengesetzt gerichtete: Wenn der i-te Massenpunkt auf den k-ten Massenpunkt die Kraft F$_{ik}$ ausübt, dann übt der k-te Massenpunkt auf den i-ten Massenpunkt die Kraft F$_{ki}$ = – F$_{ik}$ aus. Alle inneren Kräfte treten daher in entgegengesetzt gleichen Paaren auf. Daher ist die doppelte Summe auf der rechten Seite der Gleichung gleich null. Also ist
$\sum _{k}{m_{k}{\frac {\operatorname {d} ^{2}{\mathbf {r} }}{\operatorname {d} t^{2}}}}=\sum _{k}{{\mathbf {F} }_{k}}\quad \quad \quad \quad {\mbox{(1)}}$
Die folgende Abbildung zeigt ein System von Massenpunkten mit ihren Ortsvektoren, die von einem beliebig gewählten Nullpunkt O ausgehen:
Die Summe der Massen aller Massenpunkte sei M. Wir bestimmen nun einen Punkt S mit dem Ortsvektor r$_S$ so, dass
$M\;{\mathbf {r} }_{S}=\sum _{k}{m_{k}{\mathbf {r} }_{k}}\quad \quad \quad \quad {\mbox{(2)}}$
Den so definierten Punkt S nennen wir den Massenmittelpunkt oder Schwerpunkt des Systems. Durch Aufspaltung der Vektorgleichung (2) in die Komponenten findet man für die Koordinaten des Schwerpunkts:
$x_{S}={\frac {1}{M}}\sum _{k}{m_{k}x_{k}},$
$y_{S}={\frac {1}{M}}\sum _{k}{m_{k}y_{k},}$
$z_{S}={\frac {1}{M}}\sum _{k}{m_{k}z_{k}.}$
Die Koordinaten des Schwerpunkts sind die Mittelwerte der mit ihren Massen gewichteten Koordinaten der Massenpunkte des Systems. Um den Schwerpunkt zweier Massenpunkte m$_1$ und m$_2$ zu ermitteln, legen wir den Nullpunkt der Ortsvektoren bequemerweise in m$_1$:
Dann ist definitionsgemäß
$\left({m\,_{1}+m\,_{2}}\right){\mathbf {r} }_{S}=m_{\,2}{\mathbf {r} }_{2}\quad {\mbox{und}}$
${\mathbf {r} }_{S}={\frac {m\,_{2}}{m\,_{1}+m\,_{2}}}{\mathbf {r} }_{2}.$
Der Schwerpunkt liegt also auf der Strecke m$_1$ m$_2$ und teilt sie im Verhältnis m$_2$: m$_1$.
Differenzieren wir die Gleichung (2) zweimal nach der Zeit und setzen das Ergebnis in Gleichung (1) ein, so erhalten wir die wichtige Gleichung
$M{\frac {\operatorname {d} ^{2}{\mathbf {r} }_{S}}{\operatorname {d} t^{2}}}=\sum _{\mathbf {k} }{{\mathbf {F} }_{\mathbf {k} }}={\mathbf {F} }_{\mathbf {R} }.\quad \quad \quad \quad {\mbox{(3)}}$
Diese Gleichung entspricht genau der Newtonschen Bewegungsgleichung für einen Körper der Masse M, an dem die Kraft F$_R$ angreift. Das bedeutet:
Der Massenmittelpunkt eines Systems bewegt sich so, als ob sich in ihm die gesamte Masse des Systems befände und an ihm die Summe (Resultante) aller äußeren Kräfte angriffe.
(Aus dieser Eigenschaft des Massenmittelpunktes erklärt sich auch sein Name "Schwerpunkt": Im Schwerefeld der Erde verhält sich der Schwerpunkt eines Körpers so, als wirke auf ihn die Summe der Gewichtskräfte der einzelnen Massenpunkte, also das Gesamtgewicht des Systems ein.)
Falls keine äußeren Kräfte einwirken, bleibt der Massenmittelpunkt in Ruhe oder bewegt sich gleichförmig geradlinig.
Beispiel: Zwei Massenpunkte m$_1$ und m$_2$ sind durch eine Schraubenfeder, die sowohl gedehnt wie gestaucht werden kann, miteinander verbunden und befinden sich in der Entfernung a voneinander im Gleichgewicht. Wird die Entfernung um eine kleine Strecke x verändert, treten Rückstellkräfte auf, die der Strecke x proportional sind. Wie lauten die Schwingungsgleichungen der beiden Massenpunkte?
Wir nehmen an, dass die Änderung der Entfernung entweder durch innere Kräfte oder durch zwei entgegengesetzt gleiche äußere Kräfte geschieht, sodass der Schwerpunkt S in Ruhe bleibt. Dann bleibt er auch bei der nachfolgenden Schwingbewegung in Ruhe, und es ist zweckmäßig, ihn zum Ursprung des Koordinatensystems zu machen. Die Koordinaten der beiden Massenpunkte seien x$_1$ und x$_2$, in der Ruhelage x$_1$ $^{(0)}$ und x$_2$ $^{(0)}$.
Aus der Definition des Schwerpunkts folgt wegen x$_S$ = 0, dass stets
$m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}=0\quad \quad {\mbox{(B1)}}$
Ferner ist
$x_{1}-x_{2}=a+x\quad$
und daher
$x=x_{1}-x_{2}-a\quad \quad {\mbox{(B2)}}$
Damit lautet die Bewegungsgleichung für m$_1$:
$m_{1}{\frac {\operatorname {d} ^{2}x_{1}}{\operatorname {d} t^{2}}}+k\left({x_{1}-x_{2}-a}\right)=0\quad \quad {\mbox{(B3)}}$
Eliminiert man mittels Gleichung (B1) x$_2$, so erhält man
${\frac {\operatorname {d} ^{2}x_{1}}{\operatorname {d} t^{2}}}+k\left({{\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}}\right)x_{1}={\frac {ka}{m_{1}}}.$
Setzt man
${\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}={\frac {1}{\mu }},$
so wird daraus
${\frac {\operatorname {d} ^{2}x_{1}}{\operatorname {d} t^{2}}}+{\frac {k}{\mu }}x_{1}={\frac {ka}{m_{1}}}.$
Dies ist eine gewöhnliche Schwingungsgleichung mit einem konstanten Glied auf der rechten Seite. Ein partikuläres Integral findet man mit dem Ansatz x$_1$$^{(0)}$ = konst.
Durch Einsetzen in die Differentialgleichung ergibt sich
$x_{1}^{(0)}={\frac {a\,\mu }{m_{1}}}={\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}a.$
Die allgemeine Lösung lautet dann
$x_{1}=x_{1}^{\left(0\right)}+A\sin \left({\omega t+\delta }\right),\quad {\mbox{mit}}\;\omega ={\sqrt {\frac {k}{\mu }}}.$
Die Bewegungsgleichung für m$_2$ findet man am einfachsten durch Anwendung von Gleichung (B1):
$x_{2}=-{\frac {m_{1}}{m_{2}}}x_{1}=-{\frac {m_{1}}{m_{2}}}\left[{x_{1}^{\left(0\right)}+A\sin \left({\omega t+\delta }\right)}\right],$
$x_{2}=-{\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}a-{\frac {m_{1}}{m_{2}}}A\sin \left({\omega t+\delta }\right).$
Die beiden Massenpunkte schwingen also im Gegentakt um ihre Ruhelage; ihre Amplituden verhalten sich umgekehrt wie die Massen. Die Kreisfrequenz ist gleich der eines einfachen harmonischen Oszillators mit der Masse μ, welche die »reduzierte Masse« genannt wird.

## Der Impulssatz

Den Impuls p eines Massenpunktes haben wir definiert als das Produkt aus seiner Masse m und seiner Geschwindigkeit v:
Durch diese Definition als skalares Vielfaches eines Vektors ist der Impuls selbst ein Vektor.
Den Impuls eines Systems von Massenpunkten definieren wir entsprechend:
${\mathbf {p} }=\sum {m_{k}{\mathbf {v} }_{k}.}$
Haben alle Massenpunkte des Systems dieselbe Geschwindigkeit, vereinfacht sich die Gleichung zu:
${\mathbf {p} }={\mathbf {v} }\sum {m_{k}=M\,{\mathbf {v} }}.$
Nach Gleichung (1) ist
$\sum {{\mathbf {F} }_{k}=\sum {m_{k}{\frac {\operatorname {d} ^{2}{\mathbf {r} }_{k}}{\operatorname {d} t^{2}}}=\sum {m_{k}{\frac {\operatorname {d} {\mathbf {v} }_{k}}{\operatorname {d} t}}.}}}$
Wenn alle m$_k$ konstant sind, kann diese Gleichung einfach zwischen zwei beliebigen Grenzen t$_1$ und t$_2$ integriert werden:
$\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sum {{\mathbf {F} }_{k}\operatorname {d} t}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sum {m_{k}{\frac {\operatorname {d} {\mathbf {v} }_{k}}{\operatorname {d} t}}\operatorname {d} t}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sum {m_{k}\operatorname {d} {\mathbf {v} }_{k}}},$
$\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sum {{\mathbf {F} }_{k}\operatorname {d} t}}=\left[{\sum {m_{k}{\mathbf {v} }_{\mathbf {k} }}}\right]_{t_{2}}-\left[{\sum {m_{k}{\mathbf {v} }_{\mathbf {k} }}}\right]_{t_{1}}.$
Auf die linke Seite der Gleichung wenden wir den Satz an, dass das Integral über eine Summe gleich der Summe der Integrale über die einzelnen Summanden ist.
Auf der rechten Seite der Gleichung steht die Änderung des Impulses des Systems im Zeitintervall von t$_1$ bis t$_2$. Also gilt:
$\sum {\int _{t_{1}}^{t_{2}}{{\mathbf {F} }_{k}\operatorname {d} t}={\mathbf {p} }\left({t_{2}}\right)-{\mathbf {p} }\left({t_{1}}\right)}.$
Auf der linken Seite steht nun die Summe aller "Kraftstöße", die in der Zeit von t$_1$ bis t$_2$ auf die Massenpunkte des Systems einwirken. Also gilt:
Die Summe aller Kraftstöße, die in einem Zeitintervall auf die Massenpunkte eines Systems einwirken, ist gleich der Änderung des Impulses des Systems in diesem Zeitintervall.
Wirkt auf ein System keine äußeren Kraftstöße ein, bleibt der Impuls des Systems konstant. (Satz von der Erhaltung des Impulses.)

## Das Drehmoment

Wir betrachten zunächst einen Massenpunkt m$_k$ in einem kartesischen Koordinatensystem, auf den eine Kraft F$_k$ wirkt.
Stellen wir uns zunächst einmal (und nur vorübergehend) die X-Achse als Drehachse vor, mit der der Massenpunkt m (hier einmal alles ohne Indices k geschrieben) starr verbunden ist. Der Abstand des Massenpunktes von der Drehachse ist
Für die Drehwirkung bezüglich der X-Achse zählt nur die auf r$_{yz}$ senkrechte Komponente von F, nämlich
und zwar derart, dass auf r$_y$ nur F$_z$ wirkt und auf r$_z$ nur F$_y$, die jeweils senkrecht aufeinander stehen. Die Drehwirkung setzt sich also zusammen aus den Produkten
Die gesamte Drehwirkung oder der Betrag des Drehmoments der Kraft bezüglich der X-Achse ist daher
Entsprechend findet man die Drehmomente der Kraft bezüglich der beiden anderen Achsen:
und
Wir können uns nun vorstellen, dass der Massenpunkt um alle drei Achsen drehbar wäre, etwa durch eine kardanische Aufhängung mit dem Zentrum in O. Dann führen wir drei Vektoren ein, welche die Richtungen der Koordinatenachsen haben:
Die Summe dieser drei Vektoren ist der Vektor
${\mathbf {M} }_{O}={\mathbf {M} }_{x}+{\mathbf {M} }_{y}+{\mathbf {M} }_{z}=\left({r_{y}\cdot F_{z}-r_{z}\cdot F_{y}}\right){\mathbf {i} }+\left({r_{z}\cdot F_{x}-r_{x}\cdot F_{z}}\right){\mathbf {j} }+\left({{\mathbf {r} }_{x}\cdot F_{y}-r_{y}\cdot F_{x}}\right){\mathbf {k} }.$
Wir erkennen in diesem Vektor das Vektorprodukt der beiden Vektoren r und F:
Führen wir ein anderes Koordinatensystem mit demselben Ursprung O ein, so bleiben r und F davon unberührt. Der Vektor M$_O$ bleibt also bei einer Drehung des Koordinatensystems um O unverändert. Wir bezeichnen ihn als das Drehmoment der in m angreifenden Kraft bezüglich des Punktes O. Er gibt hinsichtlich einer Drehung um O die Richtung der durch O gehenden Drehachse und den Betrag des Drehmoments an, das F auf m ausübt. Sein Betrag ist gleich r F sin α , wobei α der von r und F eingeschlossene Winkel ist. Das Drehmoment ist daher gleich dem Produkt aus dem Hebelarm bezüglich O und der dazu senkrechten Kraftkomponente.
Dieses Ergebnis übertragen wir nun wieder auf ein System von Massenpunkten und bezeichnen die Summe aller auf die Massenpunkte des Systems ausgeübten Drehmomente als das auf das System bezüglich O ausgeübte Drehmoment:
${\mathbf {M} }_{O}=\sum {\left({{\mathbf {r} }_{k}\times {\mathbf {F} }_{k}}\right).}$

## Der Drehimpuls

Analog zum Impuls p = m v eines Massenpunktes wird – zunächst anscheinend etwas willkürlich – der Drehimpuls eines Massenpunktes bezüglich einer Drehachse (in der Abbildung: O) definiert als ein Vektor, dessen Betrag gleich dem Produkt aus dem Trägheitsmoment J = m r $^2$ des Massenpunktes (bezüglich O) und dem Betrag ω seiner Winkelgeschwindigkeit:
Der Grund für diese Definition ist ihre Zweckmäßigkeit. Außerdem ergibt sich eine schöne Analogie: In der Impulsgleichung tritt anstelle des Impulses der Drehimpuls, anstelle der Masse das Trägheitsmoment und anstelle der Geschwindigkeit die Winkelgeschwindigkeit. (Daneben gibt es noch weitere Analogien.)
Als Richtung des Vektors L wählen wir die Richtung des Vektors ω und somit die Richtung der Drehachse. Somit wird:
Zerlegen wir die Geschwindigkeit v in eine Radialkomponente v$_{rad}$ und in eine Tangentialkomponente v$_{tan}$, so ist
Die Tangentialkomponente der Geschwindigkeit ergibt sich als die Projektion des Vektors v auf die zu r senkrechte Richtung:
$v_{\tan }={\frac {\left|{{\mathbf {r} }\times {\mathbf {v} }}\right|}{r}}={\frac {\left|{{\mathbf {r} }\times {\mathbf {\dot {r}} }}\right|}{r}}.$
Wegen
$\omega ={\frac {v_{tan}}{r}}$
und da der Vektor der Winkelgeschwindigkeit dieselbe Richtung hat wie das obige Vektorprodukt, ist
${\vec {\omega }}={\frac {{\mathbf {r} }\times {\mathbf {\dot {r}} }}{r^{2}}}.$
Damit ergibt sich für den Drehimpuls L schließlich:
${\mathbf {L} }=J\left({{\mathbf {r} }\times {\mathbf {\dot {r}} }}\right).$
Wir übertragen das Ergebnis auf ein System von Massenpunkten, indem wir verabreden:
Unter dem Drehimpuls eines Systems von Massenpunkten bezüglich O verstehen wir den Summenvektor
${\mathbf {L} }_{O}=\sum {J_{k}\left({{\mathbf {r} }_{k}\times {\mathbf {\dot {r}} }_{k}}\right).}$

## Drehmoment und Drehimpuls

Um den Zusammenhang zwischen diesen beiden Größen zu ermitteln, bilden wir die Ableitung der Impulsgleichung nach t: Aus
${\mathbf {L} }_{O}=\sum {m_{k}\left({{\mathbf {r} }_{k}\times {\mathbf {\dot {r}} }_{k}}\right)}$
folgt so:
${\frac {\operatorname {d} {\mathbf {L} }_{O}}{\operatorname {d} t}}=\sum {m_{k}\left[{\left({{\mathbf {\dot {r}} }_{k}\times {\mathbf {\dot {r}} }_{k}}\right)+\left({{\mathbf {r} }_{k}\times {\mathbf {\ddot {r}} }_{k}}\right)}\right]=\sum {\left({{\mathbf {r} }_{k}\times m_{k}{\mathbf {\ddot {r}} }_{k}}\right)}},$
da das erste der beiden Vektorprodukte null ist. Nach der Bewegungsgleichung (siehe die erste Gleichung auf S. 1) ist
$m_{k}{\mathbf {\ddot {r}} }_{k}={\mathbf {F} }_{k}+\sum _{\mathbf {i} }{{\mathbf {F} }_{ik}},$
wobei F$_k$ die Resultierende aller Kräfte ist, die von außen auf m$_k$ einwirken, während der zweite Term die Summe aller auf m$_k$ einwirkenden inneren Kräfte ist.
Oben eingesetzt ergibt das:
${\frac {\operatorname {d} {\mathbf {L} }_{O}}{\operatorname {d} t}}=\sum {\left[{{\mathbf {r} }_{k}\times \left({{\mathbf {F} }_{k}+\sum _{i}{{\mathbf {F} }_{ik}}}\right)}\right]}=\sum {\left({{\mathbf {r} }_{k}\times {\mathbf {F} }_{k}}\right)+\sum _{k}{\sum _{i\neq k}{\left({{\mathbf {r} }_{k}\times {\mathbf {F} }_{ik}}\right)}}}.$
Die erste Summe ist die Resultierende M$_O$ der Drehmomente der äußeren Kräfte, die zweite Summe ist die Resultierende der Drehmomente der inneren Kräfte. Es lässt sich zeigen, dass diese Summe null wird, wenn die Kräfte zwischen zwei Massenpunkten die Richtung der Verbindungsgeraden der Massenpunkte haben, also Zentralkräfte sind, was jedoch stets der Fall ist. Dann ist F$_{ki}$ = - F$_{ik}$, und die Summe der Drehmomente auf ein beliebiges Paar von Massenpunkten ist
${\mathbf {r} }_{k}\times {\mathbf {F} }_{ik}+{\mathbf {r} }_{i}\times {\mathbf {F} }_{ki}=\left({{\mathbf {r} }_{k}-{\mathbf {r} }_{i}}\right)\times {\mathbf {F} }_{ik}.$
Dieses Vektorprodukt ist aber null, wenn F$_{ik}$ die Richtung von (r$_k$ - r$_i$), nämlich die Richtung der Verbindungsgeraden hat. Es bleibt dann
${\frac {\operatorname {d} {\mathbf {L} }_{O}}{\operatorname {d} t}}=\sum {\left({{\mathbf {r} }_{k}\times {\mathbf {F} }_{k}}\right)={\mathbf {M} }_{O},}$
was bedeutet:
Die Änderungsgeschwindigkeit des Drehimpulses eines Systems ist gleich dem von außen wirkenden Drehmoment.
Durch Integration zwischen den Grenzen t$_1$ und t$_2$ folgt:
$\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\operatorname {d} {\mathbf {L} }_{O}}={\mathbf {L} }_{O}\left({t_{2}}\right)-{\mathbf {L} }_{O}\left({t_{1}}\right)=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{{\mathbf {M} }_{O}\operatorname {d} t}.$
Das bedeutet: Die Änderung des Drehimpulses eines Systems in einem Zeitintervall ist gleich dem auf das System in diesem Intervall ausgeübten »Drehmomentstoß« (das ist das Zeitintegral des Drehmoments).
Ferner:
Wirkt auf das System kein äußeres Drehmoment, so bleibt sein Drehimpuls konstant. (Satz von der Erhaltung des Drehimpulses.)

## Die Energie eines Systems von Massenpunkten

Wir gehen wieder von der Bewegungsgleichung eines einzelnen Massenpunktes aus:
$m_{k}{\frac {\operatorname {d} ^{2}{\mathbf {r} }_{k}}{\operatorname {d} t^{2}}}={\mathbf {F} }_{k}+\sum _{i}{{\mathbf {F} }_{ik}}\quad \quad \quad {\mbox{(1)}}$
Durch skalare Multiplikation mit dr$_k$/dt und Summation über alle Massenpunkte des Systems ergibt sich (zusammen mit einer identischen Umformung der linken Seite):
$\sum _{k}{m_{k}{\frac {\operatorname {d} ^{2}{\mathbf {r} }_{k}}{\operatorname {d} t^{2}}}{\frac {\operatorname {d} {\mathbf {r} }_{\mathbf {k} }}{\operatorname {d} t}}\equiv {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}\left[{{\frac {1}{2}}\sum _{k}{m_{k}\left({\frac {\operatorname {d} {\mathbf {r} }_{\mathbf {k} }}{\operatorname {d} t}}\right)}^{2}}\right]}=\sum _{k}{{\mathbf {F} }_{k}{\frac {\operatorname {d} {\mathbf {r} }_{k}}{\operatorname {d} t}}}+\sum _{k}{\sum _{i\neq k}{{\mathbf {F} }_{ik}{\frac {\operatorname {d} {\mathbf {r} }_{k}}{\operatorname {d} t}}.}}$
Wir multiplizieren die Gleichung mit dt und integrieren sie dann zwischen den Grenzen t$_1$ und t$_2$:
$\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\left[{{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}{\frac {1}{2}}\sum _{k}{m_{k}\left({\frac {\operatorname {d} {\mathbf {r} }_{k}}{\operatorname {d} t}}\right)^{2}}}\right]}\operatorname {d} t=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\left({\sum _{k}{{\mathbf {F} }_{k}{\frac {\operatorname {d} {\mathbf {r} }_{k}}{\operatorname {d} t}}+\sum _{k}{\sum _{i\neq k}{{\mathbf {F} }_{\mathbf {ik} }{\frac {\operatorname {d} {\mathbf {r} }_{k}}{\operatorname {d} t}}}}}}\right)}\operatorname {d} t$
$\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\left[{{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}{\frac {1}{2}}\sum _{k}{m_{k}\left({\frac {\operatorname {d} {\mathbf {r} }_{k}}{\operatorname {d} t}}\right)^{2}}}\right]}\operatorname {d} t=\int _{r\left({t_{1}}\right)}^{r\left({t_{2}}\right)}{\left({\sum _{k}{{\mathbf {F} }_{k}\operatorname {d} {\mathbf {r} }_{k}+\sum _{k}{\sum _{i\neq k}{{\mathbf {F} }_{ik}\operatorname {d} {\mathbf {r} }_{k}}}}}\right)}$
$\left|{{\frac {1}{2}}\sum _{k}{m_{k}\left({\frac {\operatorname {d} {\mathbf {r} }_{k}}{\operatorname {d} t}}\right)^{2}}}\right|_{t_{1}}^{t_{2}}=\int _{r\left({t_{1}}\right)}^{r\left({t_{2}}\right)}{\sum _{k}{{\mathbf {F} }_{k}\operatorname {d} {\mathbf {r} }_{k}}+\int _{r\left({t_{1}}\right)}^{r\left({t_{2}}\right)}{\sum _{k}{\sum _{i\neq k}{{\mathbf {F} }_{ik}\operatorname {d} {\mathbf {r} }_{k}}}}}$
und mit
${\frac {\operatorname {d} {\mathbf {r} }_{\mathbf {k} }}{\operatorname {d} t}}={\mathbf {v} }_{k}$
${\frac {1}{2}}\sum _{k}{m_{k}\left[{{\mathbf {v} }_{k}\left({t_{2}}\right)}\right]^{2}}-{\frac {1}{2}}\sum _{k}{m_{k}\left[{{\mathbf {v} }_{k}\left({t_{1}}\right)}\right]^{2}}=\int _{r\left({t_{1}}\right)}^{r\left({t_{2}}\right)}{\sum _{k}{{\mathbf {F} }_{k}\operatorname {d} {\mathbf {r} }_{k}}+\int _{r\left({t_{1}}\right)}^{r\left({t_{2}}\right)}{\sum _{k}{\sum _{i\neq k}{{\mathbf {F} }_{ik}\operatorname {d} {\mathbf {r} }_{k}}}}}\quad {\mbox{(A)}}$
Auf der linken Seite der Gleichung steht die Änderung der kinetischen Energie des Systems, rechts die Summe der Arbeit der äußeren und der der inneren Kräfte im betrachteten Zeitintervall. Die aufgewendeten Arbeiten führen also zu einer gleich großen Veränderung der kinetischen Energie des Systems. (Dies ist ein spezieller Fall des Satzes von der Erhaltung der Energie.)
Mit der kinetischen Energie kann man nun folgende Umformung vornehmen: Wir führen ein weiteres Koordinatensystem ein, dessen Ursprung O' im Schwerpunkt liegt. Dieser habe im ersten Koordinatensystem den Ortsvektor r*. Der Ortsvektor des Massenpunktes m$_k$ im neuen System sei r' $_k$. Dann ist
${\mathbf {r} }_{k}=r^{*}+{\mathbf {r} }'_{k}$
und
${\frac {\operatorname {d} {\mathbf {r} }_{k}}{\operatorname {d} t}}={\frac {\operatorname {d} {\mathbf {r} }^{*}}{\operatorname {d} t}}+{\frac {\operatorname {d} {\mathbf {r} }'_{k}}{\operatorname {d} t}},\quad \left({\frac {\operatorname {d} {\mathbf {r} }_{k}}{\operatorname {d} t}}\right)^{2}=\left({\frac {\operatorname {d} {\mathbf {r} }^{*}}{\operatorname {d} t}}\right)+2{\frac {\operatorname {d} {\mathbf {r} }^{*}}{\operatorname {d} t}}{\frac {\operatorname {d} {\mathbf {r} }'_{k}}{\operatorname {d} t}}+\left({\frac {\operatorname {d} {\mathbf {r} }'_{k}}{\operatorname {d} t}}\right),$
und damit
${\frac {1}{2}}\sum _{k}{m_{k}\left({\frac {\operatorname {d} {\mathbf {r} }_{k}}{\operatorname {d} t}}\right)^{2}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\operatorname {d} {\mathbf {r} }^{*}}{\operatorname {d} t}}\right)^{2}\sum _{k}{m_{k}}+{\frac {\operatorname {d} {\mathbf {r} }^{*}}{\operatorname {d} t}}\sum _{k}{m_{k}}{\frac {\operatorname {d} {\mathbf {r} }'}{\operatorname {d} t}}+{\frac {1}{2}}\sum _{k}{m_{k}}\left({\frac {\operatorname {d} {\mathbf {r} }'_{k}}{\operatorname {d} t}}\right)^{2}.$
Nach der Definition des Schwerpunkts ist
${\frac {1}{M}}\sum _{k}{m_{k}{\mathbf {r} }'_{k}}=\left({{\mathbf {r} }^{*}}\right)',$
wobei (r*)' die Koordinate des Schwerpunkts im zweiten (dem "gestrichenen") System ist. Diese ist hier gleich null, und damit wird auch der zweite Term auf der rechten Seite null. Damit wird:
${\frac {1}{2}}\sum _{k}{m_{k}\left({\frac {\operatorname {d} {\mathbf {r} }_{k}}{\operatorname {d} t}}\right)^{2}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\operatorname {d} {\mathbf {r} }*}{\operatorname {d} t}}\right)^{2}\sum _{k}{m_{k}}+{\frac {1}{2}}\sum _{k}{m_{k}\left({\frac {\operatorname {d} {\mathbf {r} }'_{k}}{\operatorname {d} t}}\right)^{2}}.$
Das bedeutet: Die kinetische Energie des Systems ist gleich der Summe aus der kinetischen Energie der im Schwerpunkt vereint gedachten Masse des Systems und der kinetischen Energie, welche die Massenpunkte des Systems infolge ihrer Bewegung relativ zum Schwerpunkt haben.
Wir wollen nun von den inneren Kräften annehmen, dass zu ihnen ein Potentialfeld gehört. (Die Kräfte seien also – wie man auch sagt – konservative Kräfte.) Das Potential der Kraft F$_{ik}$ auf m$_k$ ist eine Funktion der Entfernung d$_{ik}$ und damit eine Funktion der Koordinaten der beiden Punkte (und natürlich eine Funktion der Masse m$_i$), also:
$\Phi _{ik}=\Phi _{ik}\left({d_{ik}}\right)=\Phi _{ik}\left({\sqrt {\left({x_{i}-x_{k}}\right)^{2}+\left({y_{i}-y_{k}}\right)^{2}+\left({z_{i}-z_{k}}\right)^{2}}}\right).\quad \quad {\mbox{(B)}}$
(Lies: Φ$_{ik}$ ist gleich Φ$_{ik}$ von d$_{ik}$ ist gleich Φ$_{ik}$ von ...)
Mit Hilfe einer Anleihe aus der Vektoranalysis ergibt sich daraus die Kraft, die von der Masse m$_i$ auf die Masse m$_k$ ausgeübt wird:
${\mathbf {F} }_{ik}=-\left({{\frac {\partial \Phi _{ik}}{\partial x_{k}}}{\mathbf {i} }+{\frac {\partial \Phi _{ik}}{\partial y_{k}}}{\mathbf {j} }+{\frac {\partial \Phi _{ik}}{\partial z_{k}}}{\mathbf {k} }}\right).$
Analog ergibt sich die von der Masse m$_k$ auf die Masse m$_i$ ausgeübte Kraft:
${\mathbf {F} }_{ki}=-\left({{\frac {\partial \Phi _{ik}}{\partial x_{i}}}{\mathbf {i} }+{\frac {\partial \Phi _{ik}}{\partial y_{i}}}{\mathbf {j} }+{\frac {\partial \Phi _{ik}}{\partial z_{i}}}{\mathbf {k} }}\right).$
Nehmen wir nun an, mit den beiden Massen werden verschwinden kleine Verschiebungen dr$_k$ bzw. dr$_i$ vorgenommen. Die dabei zu verrichtende Arbeit ist
${\mathbf {F} }_{\mathbf {ik} }\cdot \operatorname {d} {\mathbf {r} }_{k}+{\mathbf {F} }_{\mathbf {ki} }\cdot \operatorname {d} {\mathbf {r} }_{\mathbf {i} }=-\left({{\frac {\partial \Phi _{ik}}{\partial x_{k}}}\operatorname {d} x_{k}+{\frac {\partial \Phi _{ik}}{\partial y_{k}}}\operatorname {d} y_{k}+{\frac {\partial \Phi _{ik}}{\partial z_{k}}}\operatorname {d} z_{k}+{\frac {\partial \Phi _{ik}}{\partial x_{i}}}\operatorname {d} x_{i}+{\frac {\partial \Phi _{ik}}{\partial y_{i}}}\operatorname {d} y_{i}+{\frac {\partial \Phi _{ik}}{\partial z_{i}}}\operatorname {d} z_{i}}\right).$
Der Ausdruck in der Klammer ist das vollständige Differential der Funktion Φ$_{ik}$ mit ihren sechs Variablen, also ist
${\mathbf {F} }_{\mathbf {ik} }\cdot \operatorname {d} {\mathbf {r} }_{k}+{\mathbf {F} }_{\mathbf {ki} }\cdot \operatorname {d} {\mathbf {r} }_{\mathbf {i} }=-\operatorname {d} \Phi _{ik}.$
Wir können nun in Gleichung (A) im ganz rechts stehenden Term das Produkt F$_{ik}$ dr$_k$ durch das Differential –dΦ$_{ik}$ ersetzen. Bei der Summierung müssen wir jedoch beachten, dass –dΦ$_{ik}$ schon zwei der Summanden enthält, weshalb bei der Summierung jeder Summand doppelt vorkommt. Dies muss durch einen Faktor ½ berücksichtigt werden:
$\sum _{\mathbf {k} }{\sum _{{\mathbf {i} }\neq {\mathbf {k} }}{{\mathbf {F} }_{ik}\cdot \operatorname {d} {\mathbf {r} }_{\mathbf {k} }=-{\frac {1}{2}}\sum _{k}{\sum _{i\neq k}{\operatorname {d} \Phi _{ik}}}}}.$
Das über diese Doppelsumme zu bildende Integral ist in einem Potentialfeld vom Weg unabhängig und hat den Wert
$-{\frac {1}{2}}\sum _{k}{\sum _{i\neq k}{\Phi _{ik}\left({{\mathbf {r} }_{2}}\right)+{\frac {1}{2}}}}\sum _{k}{\sum _{i\neq k}{\Phi _{ik}\left({{\mathbf {r} }_{1}}\right).}}$
Wenn wir nun zusätzlich annehmen, dass auch zu den äußeren Kräften ein Potentialfeld gehört, dann wird auch das erste Integral vom Weg unabhängig und kann so geschrieben werden:
$-\sum _{k}{\Phi _{k}\left({{\mathbf {r} }_{2}}\right)}+\sum _{k}{\Phi _{k}\left({{\mathbf {r} }_{1}}\right).}$
Dann nimmt Gleichung (A) folgende Form an:
$E_{kin}\left({t_{2}}\right)+\sum _{k}{\Phi _{k}\left({t_{2}}\right)}+{\frac {1}{2}}\sum _{k}{\sum _{i\neq k}{\Phi _{ik}\left({t_{2}}\right)}}=E_{kin}\left({t_{1}}\right)+\sum _{k}{\Phi _{k}\left({t_{1}}\right)}+{\frac {1}{2}}\sum _{k}{\sum _{i\neq k}{\Phi _{ik}\left({t_{1}}\right)}}$
Die Summe aus der kinetischen Energie, der äußeren potentiellen Energie und der inneren potentiellen Energie eines Systems von Massenpunkten ist also konstant, wenn sowohl die äußeren wie die inneren Kräfte ein Potentialfeld besitzen (konservative Kräfte sind). Dies ist eine erweiterte Form des Satzes von der Erhaltung der Energie.