# Mathe für Nicht-Freaks: Potenzen mit reellen Exponenten

* ↳ Projekt „Mathe für Nicht-Freaks“
* ↳ Analysis 1 Inhalte „Analysis 1“ Was ist Analysis?  Was sind reelle Zahlen?  Körperaxiome  Anordnungsaxiome  Vollständigkeit reeller Zahlen  Die komplexen Zahlen  Supremum und Infimum  Wurzel reeller Zahlen  Folgen  Konvergenz und Divergenz  Teilfolgen, Häufungspunkte und Cauchy-Folgen  Reihen  Konvergenzkriterien für Reihen  Potenzreihen  Exponential- und Logarithmusfunktion  Herleitung und Definition der Exponentialfunktion  Eigenschaften der Exponentialfunktion  Logarithmusfunktion  Verallgemeinerte Potenzen  Exponential- und Logarithmusfunktion in den komplexen Zahlen  Aufgaben  Trigonometrische und Hyperbolische Funktionen  Stetigkeit  Ableitung  Integrale
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## Potenzen mit beliebiger Basis

Einleitung
Definition (Potenz)
Sei $a\in \mathbb {R} ^{+}$ und $x\in \mathbb {R}$. Dann definieren wir
$a^{x}:=\exp(\ln(a)\cdot x)$
Übereinstimmung mit Definition für rationale Exponenten beweisen
Satz
Sei $a\in \mathbb {R} ^{+}$ und $r\in \mathbb {Q}$. Dann gilt
$a^{r}=\exp(\ln(a)\cdot r)$
Wie kommt man auf den Beweis?
Wir schreiben $r={\tfrac {p}{q}}$ mit $p\in \mathbb {Z}$ und $q\in \mathbb {N}$. Die Potenz $a^{r}$ haben wir definiert als ${\sqrt[{q}]{a^{p}}}$. Die $q$-te Wurzel ist als Umkehrfunktion der Funktion $\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ^{+},x\mapsto x^{q}$ definiert. Wenn wir zeigen wollen, dass $\exp(\ln(a)\cdot r)$ die $q$-te Wurzel aus $a^{p}$ ist, ist also zu überprüfen, ob
$\exp(\ln(a)\cdot r)^{q}=a^{p}$
gilt. Dazu verwenden wir die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion und erhalten
$\exp(\ln(a)\cdot r)^{q}=\exp \left(\ln(a)\cdot {\frac {p}{q}}\right)^{q}=\exp(\ln(a)\cdot {\frac {p}{q}}\cdot q)=\exp(\ln(a)\cdot p)$
Genauso können wir umgekehrt den Faktor $p$ im Argument der Exponentialfunktion in eine Potenz umwandeln:
$\exp(\ln(a)\cdot p)=\exp(\ln(a))^{p}=a^{p}$
Im letzten Schritt kam uns gelegen, dass $\ln$ die Umkehrfunktion von $\exp$ ist.
Beweis
Sei $r={\tfrac {p}{q}}$ mit $p\in \mathbb {Z}$ und $q\in \mathbb {N}$. Es gilt
$\exp(\ln(a)\cdot r)^{q}=\exp \left(\ln(a)\cdot {\frac {p}{q}}\right)^{q}=\exp(\ln(a)\cdot p)=\exp(\ln(a))^{p}=a^{p}$
Nach Definition der $q$-ten Wurzel gilt also
$\exp(\ln(a)\cdot r)={\sqrt[{q}]{a^{p}}}=a^{r}$

## Logarithmus zu beliebiger Basis

Exponential- und Logarithmusfunktion in den komplexen Zahlen →
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