# Serlo: EN: Polar representation

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Dieser Abschnitt ist noch im Entstehen und noch nicht offizieller Bestandteil des Buchs. Gib den Autoren Zeit, den Inhalt anzupassen!

## Motivation

Das Rechnen mit komplexen Zahlen der Form $a+b\,\mathrm {i}$ ist uns bereits bekannt. Die Multiplikation komplexer Zahlen kann jedoch zeitaufwändig sein, da zunächst Klammern aufgelöst werden müssen. So ergibt sich folgender Rechenweg, um das Produkt $(1+\mathrm {i} )\cdot (-1-\mathrm {i} )$ zu bestimmen:
${\begin{aligned}(1+\mathrm {i} )\cdot (-1-\mathrm {i} )&=1\cdot (-1)+1\cdot (-\mathrm {i} )+\mathrm {i} \cdot (-1)+\mathrm {i} \cdot (-\mathrm {i} )\\&=-1-\mathrm {i} -\mathrm {i} +1=-2\mathrm {i} \end{aligned}}$
Es ist nicht direkt ersichtlich, was das Produkt zweier komplexer Zahlen der Form $a+b\,\mathrm {i}$ ist. Man muss zuerst die Klammern auflösen und dann die Produkte zusammenfassen. Damit eng verknüpft ist auch die Wurzelbestimmung ${\sqrt {a+b\,\mathrm {i} }}$ schwierig. Da dieser Ausdruck eine Wurzel einer Summe ist, kann er nicht vereinfacht werden.
Mit der Polardarstellung gibt es eine andere Form, mit der komplexe Zahlen aufgeschrieben werden können. In dieser Darstellung können komplexe Zahlen schneller multipliziert werden und es kann leichter eine Wurzel gezogen werden. Das durch die Änderung der Darstellung Berechnungen leichter durchgeführt werden können, sieht man am Beispiel der Primfaktorzerlegung. Während man beispielsweise bei den Zahlen $90$ und $135$ nicht direkt sieht, was ihr größter gemeinsamer Teiler ist, ist dies in der Primfaktorzerlegung beider Zahlen einfacher. Mit $90={\color {OliveGreen}5}\cdot {\color {NavyBlue}3}\cdot 3\cdot 2$ und $135=7\cdot {\color {OliveGreen}5}\cdot {\color {NavyBlue}3}$ ist der größte gemeinsame Teiler gleich ${\color {OliveGreen}5}\cdot {\color {NavyBlue}3}=15$, da ${\color {OliveGreen}5}$ und ${\color {NavyBlue}3}$ die gemeinsamen Teiler sind. Ähnlich vereinfacht die Polardarstellung die Multiplikation und das Wurzelziehen komplexer Zahlen.

## Was macht die Multiplikation?

* e-Darstellung motivieren
* (Um die Multiplikation komplexer Zahlen besser zu verstehen, kann man sich einige Beispiele anschauen.)
* Bild zeichnen mit fester Zahl $-1-\mathrm {i}$ und den Multiplikationen (farbig):
** $(-1+\mathrm {i} )\cdot (-1-\mathrm {i} )$
** $(1+\mathrm {i} )\cdot (-1-\mathrm {i} )$
** $\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathrm {i} \right)\cdot (-1-\mathrm {i} )$
Abschnitt überarbeiten und formatieren
Wie wir bereits oben gesehen haben, ist nicht direkt ersichtlich, was das Ergebnis ist, wenn wir zwei komplexe Zahlen multiplizieren. Nehmen wir als Beispiel die Zahlen 1+i und 2+i. Das Ergebnis der Multiplikation ist 1+3i. Doch wie kommt man darauf und hat dies für eine Bedeutung? In diesem Abschnitt wollen wir dir anschaulich zeigen, was die Multiplikation zweier komplexer Zahlen ist und wie dies mathematisch begründet werden kann.
Nehmen wir eine beliebige reelle Zahl, zum Beispiel 2. Wir haben bereits im Artikel Komplexe Zahlen: Einleitung und Motivation gesehen wie wir diese Zahl auf der Gausschen Zahlenebene darstellen können (siehe Bildergallerie unten). Nun multiplizieren wir diese Zahl mit i. Das Ergebnis ist $2i$ und kann ebenfalls auf der Gausschen Zahlenebene dargestellt werden. Auffällig dabei ist, dass es zu einer 90°-Drehung im mathematisch positiven Drehsinn kommt. Multipliziert man das Ergebnis der ersten Rechnung erneut mit $i$, also $2i\cdot i=-2$, so erhält man eine reelle Zahl, da $i\cdot i=-1$. Ein Blick auf die Darstellung in der Gausschen Zahlenebene verrät: Es hat erneut eine Drehung um 90° stattgefunden. Dieses Spiel kann beliebig fortgeführt werden, $2\cdot i\cdot i\cdot i=-2i$, $2\cdot i\cdot i\cdot i\cdot i=2$, und so weiter.
* Die Zahl 2 auf der Gausschen Zahlenebene
* Die Zahl zwei wird mit i multipliziert, was einer Drehung um 90° im mathematisch positiven Sinn entspricht.
* Erneute Multiplikation mit -i führt zu einer erneuten Drehung mit der Zahl -2 als Ergebnis.
* Eine dritte Drehung -2*i=-2i
* Durch eine vierte Drehung um 90° haben insgesamt um 360° Grad gedreht und landen wieder bei der 2.
Doch was passiert, wenn eine komplexe Zahl mit i multipliziert wird? Nehmen wir uns eine beliebige komplexe Zahl $z=a+bi$ mit $a,b\in \mathbb {R}$, beispielsweise $z=3+i$, und multiplizieren diese mit $i$. Wir erhalten: $(3+i)i=3i+i^{2}=-1+3i$. Stellt man diese Multiplikation in der Gausschen Zahlenebene dar, so wird schnell ersichtlich, dass auch hier eine 90°-Drehung stattgefunden hat.
Multipliziert man eine komplexe Zahl mit einer reellen Zahl, so kommt es zu einer Streckung/Stauchung der komplexen Zahl um den jeweiligen Multiplikationsfaktor (die reelle Zahl, mir der multipliziert wird). Beispiel: $2(3+i)=6+2i$.
Bild einfügen: Streckung/Stauchung einer komplexen Zahl in der Zahlenebene durch Multiplikation mit einer reellen Zahl
Was geschieht nun, wenn wir diese beiden Vorgänge miteinander kombinieren, also zwei komplexe Zahlen miteinander multiplizieren?
Betrachten wir allgemein die Multiplikation einer komplexen Zahl $z$ mit einer anderen Zahl $w=a+ib$. Das Ergebnis können folgendermaßen als Summe zweier komplexer Zahlen darstellen und so auf die schon betrachteten Fälle zurückführen: $w\cdot z=(a+ib)z=az+ibz$.
Hier wird $z$ um den Faktor $a$ gestreckt sowie um 90 Grad gedreht und um den Faktor $b$ gestreckt. Die Summe der beiden entstehenden Vektoren ist das Ergebnis $wz$, wie in der Abbildung zu sehen.
Bild einfügen: Multiplikation zweier kompl. Zahlen als Drehstreckung; insbesondere die einzelnen Schritte der Streckung und Drehung zeigen; Drehstreckung und Winkeladdition auszeigen für w=3+2i und z=4+i die Vektoren 3*z und 2i*z zeichnen, den resultierenden Vektor w*z darstellen und das zur Addition der beiden einzelnen Vektoren gehörende Rechteck andeuten; $\alpha =\arg(z)$, $\beta =\arg(w)$ und $\gamma =\arg(w*z)$ einzeichnen
Mit dem Satz des Pythagoras erhalten wir für den Betrag des Ergebnisses $\left|wz\right|$:
$\left|zw\right|={\sqrt {\left|az\right|^{2}+\left|ibz\right|^{2}}}={\sqrt {a^{2}\left|z\right|^{2}+b^{2}\left|z\right|^{2}}}=\left|z\right|{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}=\left|z\right|\left|w\right|$. Also ist der Betrag des Produktes zweier komplexer Zahlen das Produkt der Beträge.
Wie aus obenstehender Abbildung ersichtlich ist, setzt sich der Winkel $\gamma$ des aus der Multiplikation resultierenden Vektors aus zwei Winkeln $\alpha$ und $\beta$ zusammen: $\gamma =\alpha +\beta$. Der Winkel $\alpha$ ist offensichtlich einfach der zur ursprünglichen Zahl $z$ gehörende Winkel, also $\alpha =\arg(z)$. Für den Winkel $\beta$ gilt aufgrund der im rechtwinkligen Dreieck geltenden Beziehung $\tan(\beta )={\frac {\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}}$:
$\tan(\beta )={\frac {\left|ibz\right|}{\left|az\right|}}={\frac {\left|b\right|\left|z\right|}{\left|a\right|\left|z\right|}}={\frac {\left|b\right|}{\left|a\right|}}$
Das ist doch aber genau der Tangens des Winkels von $w$! Also gilt offenbar $\beta =\arg(w)$, und somit auch $\arg(wz)=\gamma =\alpha +\beta =\arg(z)+\arg(w)$. Bei der Multiplikation zweier komplexer Zahlen addieren sich also die Winkel.
Evtl. mit Grafik verdeutlichen: Bei Rotation um den Ursprung (Multiplikation versch. komplexer Zahlen) ändern sich die Beziehungen nicht, das Rechteck zwischen den Vektoren bleibt erhalten
Insgesamt haben wir so herausgefunden: Die Multplikation einer komplexen Zahl $z$ mit einer komplexen Zahl $w$ ist eine Drehstreckung, genauer eine Streckung um $\left|w\right|$ und eine Drehung um $\arg(w)$. Bei der Multiplikation zweier komplexer Zahlen werden also die Beträge multipliziert und die Winkel addiert.
Wir haben bereits festgestellt, dass die Darstellung $a+ib$ nicht besonders geeignet ist, um komplexe Zahlen zu multiplizieren: Es muss das Distributivgesetz bemüht werden, und vor allem bei wiederholten Multiplikationen oder Potenzen von komplexen Zahlen ist das umständlich. Anschaulich ist klar, dass eine komplexe Zahl bereits mithilfe ihres Betrags und ihres Winkels in der Zahlenebene lokalisiert werden kann. Daher würden uns diese beiden Informationen schon genügen, um das Ergebnis einer komplexen Multiplikation zu bestimmen. Es stellt sich also die Frage, ob wir eine geeignetere Darstellung von komplexen Zahlen finden können, die es ermöglicht, die gefundenen Beziehungen für den Betrag und den Winkel für die Berechnung zu nutzen. Das wollen wir im nächsten Abschnitt untersuchen.

## Trigonometrische Polardarstellung
### Was ist die trigonometrische Polardarstellung?

Die Multiplikation von komplexen Zahlen ist eine Drehstreckung in der komplexen Ebene. Für $z,w\in \mathbb {C}$ wird $z$ um $|w|$ gestreckt und um den Winkel, den $w$ und die $x$-Achse einschließen, gedreht. Für die Multiplikation wäre es hilfreich, wenn wir $w$ mithilfe seines Betrags $r$ und seines Winkels $\varphi$ darstellen können. Wir kennen bisher nur die Darstellung $w=a+b\,\mathrm {i}$, wobei $a$ der Realteil und $b$ der Imaginärteil ist. Wir werden nun diese Darstellung umformen, sodass wir $w$ in Abhängigkeit vom Winkel und Betrag schreiben können. Dafür können wir $a$ und $b$ durch $r$ und $\varphi$ ausdrücken. Wir schauen uns $w$ in der komplexen Ebene an.
Bild der komplexen Ebene mit $w$ mit eingezeichnetem Winkel $\varphi$, Betrag $r$ und $a$ und $b$ (in einem Dreieck) einfügen
Wir können $a,b$ und den Betrag $r$ so einzeichnen, dass ein rechtwinkliges Dreieck mit Winkel $\varphi$ zwischen den Seiten der Länge $a$ und $r$. Wir wissen schon, dass $r=|w|$ die Hypotenuse dieses Dreiecks ist. Da dies ein rechtwinkliges Dreieck ist, können wir einfach $\varphi$ mit $a,b$ und $r$ in Beziehung setzen. Wir wissen:
${\begin{array}{rll}\sin(\varphi )&={\frac {\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}}&={\frac {b}{r}}\\[0.5em]\cos(\varphi )&={\frac {\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}}&={\frac {a}{r}}\end{array}}$
Also folgt $b=r\sin(\varphi )$ sowie $a=r\cos(\varphi )$. Für $w$ ergibt sich dann
$w=a+b\,\mathrm {i} =r\cos(\varphi )+r\sin(\varphi )\,\mathrm {i} =r\cdot (\cos(\varphi )+\sin(\varphi )\,\mathrm {i} )$
Definition (trigonometrische Polardarstellung)
Sei $z\in \mathbb {C}$. Wir nennen $z=r\cdot (\cos(\varphi )+\sin(\varphi )\,\mathrm {i} )$ für $r\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ und $\varphi \in \mathbb {R}$ die trigonometrische Polardarstellung.
Das $\varphi$ einen Winkel angibt, können wir ihn sogar in $[0,2\pi [$ wählen.
Ist diese Darstellung eine gute Alternative zu $z=a+b\,\mathrm {i}$? Dafür müssen wir zeigen, dass jede komplexe Zahl eine trigonometrische Polardarstellung hat. Also für jede komplexe Zahl $z\in \mathbb {C}$ gibt es $r\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ und $\varphi \in [0,2\pi [$, so dass $z=r\cdot (\cos(\varphi )+\sin(\varphi )\,\mathrm {i} )$. Dann können wir in Beweisen und Rechenaufgaben über komplexe Zahlen die Polardarstellung nutzen. Aber das reicht noch nicht, damit es eine gute Alternative ist. Wir wollen auch Zahlen, die in trigonometrischer Polardarstellung gegeben sind, in unsere alte Darstellung umrechnen können. Dafür müssen wir beweisen, dass es für alle $r\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ und $\varphi \in [0,2\pi [$ reelle Zahlen $a$ und $b\in \mathbb {C}$ gibt mit $z=r\cdot (\cos(\varphi )+\sin(\varphi )\,\mathrm {i} )=a+b\,\mathrm {i}$. Wenn wir das gezeigt haben können wir die trigonometrische Polardarstellung komplexer Zahlen $r\cdot (\cos(\varphi )+\sin(\varphi )\,\mathrm {i} )$ genauso wie die kartesische Darstellung $a+b\,\mathrm {i}$ verwenden. Diese Umrechnungen wollen wir nun beweisen.

### Berechnung der trigonometrischen Polardarstellung aus der kartesischen Darstellung

Theorem (Umformung zur Polardarstellung)
Jede komplexe Zahl $z=a+b\,\mathrm {i}$ kann in der trigonometrischen Polardarstellung $z=r\cdot (\cos(\varphi )+\sin(\varphi )\mathrm {i} )$ umgeformt werden. Dabei kann $r\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ eine nicht negative Zahl und $\varphi$ eine Zahl mit $0\leq \varphi <2\pi$ werden. Für $z\neq 0$ ist $r$ und $\varphi$ eindeutig.
Proof (Umformung zur Polardarstellung)
Wir müssen Existenz der Darstellung für alle $z\in \mathbb {C}$ und Eindeutigkeit im Fall $z\neq 0$ zeigen.
Proof step: Existenz der trigonometrischen Darstellung
Sei $z=a+b\,\mathrm {i}$. Um die trigonometrische Polardarstellung von $z$ zu berechnen, bestimmen wir zunächst den Betrag $r$ der komplexen Zahl:
$r=|z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$
Die Berechnung des Betrags ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras. Nach diesem ist nämlich $r^{2}=a^{2}+b^{2}=\operatorname {Re} (z)^{2}+\operatorname {Im} (z)^{2}$:
Im Spezialfall $z=0$ ist $r=0$. Hier kann $\varphi$ beliebig gewählt werden, denn es ist $z=0=0\cdot (\cos(\varphi )+\sin(\varphi )\mathrm {i} )$ für alle $\varphi \in \mathbb {R}$. Gehen wir nun davon aus, dass $z\neq 0$ und damit $r=|z|>0$ ist. Der Winkel $\varphi$ kann aus folgenden Beziehungen bestimmt werden:
${\begin{aligned}\cos(\varphi )&={\frac {\operatorname {Re} (z)}{|z|}}={\frac {a}{r}}\in [-1,1]\\[0.3em]\sin(\varphi )&={\frac {\operatorname {Im} (z)}{|z|}}={\frac {b}{r}}\in [-1,1]\end{aligned}}$
Zur Berechnung von $\varphi$ benutzen wir die erste Gleichung und $\arccos \colon [-1,1]\to [0,\pi ]$. Bei der Umstellung nach $\varphi$ muss man darauf achten, in welchen Quadranten die komplexe Zahlen liegt. Der Wertebereich von $\arccos$ ist $[0,\pi ]$. Unser gesuchtes $\varphi$ liegt in $[0,\pi ]$, wenn die komplexe Zahl oberhalb der $x$-Achse liegt bzw. wenn $\operatorname {Im} (z)=b\geq 0$, ist $\varphi =\arccos \left({\tfrac {a}{r}}\right)$. Für $\operatorname {Im} (z)=b<0$ kann der Winkel über $\varphi =2\pi -\arccos \left({\tfrac {a}{r}}\right)$ bestimmt werden. Denn dann gilt
$\cos(\varphi )=\cos(2\pi -\arccos \left({\tfrac {a}{r}}\right))=\cos(-\arccos \left({\tfrac {a}{r}}\right))=\cos(\arccos \left({\tfrac {a}{r}}\right))={\frac {a}{r}}$
Außerdem gilt auch $\varphi =2\pi -\arccos \left({\tfrac {a}{r}}\right)\in [\pi ,2\pi ]$. So wie wir das wollen. Insgesamt ergibt sich für den Winkel:
$\varphi =\operatorname {arg} (z)={\begin{cases}\,\arccos \left({\frac {a}{r}}\right)&;\ b\geq 0\\\,2\pi -\arccos \left({\frac {a}{r}}\right)&;\ b<0\end{cases}}$
Alternativ kann der Winkel auch über $\tan(\varphi )={\tfrac {b}{a}}$ berechnet werden. Es ist
$\varphi =\operatorname {arg} (z)={\begin{cases}\arctan \left({\frac {b}{a}}\right)&{\text{; }}a>0\\\arctan \left({\frac {b}{a}}\right)+\pi &{\text{; }}a<0,b\geq 0\\\arctan \left({\frac {b}{a}}\right)-\pi &{\text{; }}a<0,b<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\text{; }}a=0,b>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\text{; }}a=0,b<0\end{cases}}$
Mit den so berechneten Werten ergibt sich
${\begin{aligned}z&=a+b\,\mathrm {i} ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cdot \left({\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}+{\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathrm {i} \right)\\[0.3em]&=r\cdot \left({\frac {a}{r}}+{\frac {b}{r}}\mathrm {i} \right)=r\cdot \left(\cos(\varphi )+\sin(\varphi )\,\mathrm {i} \right)\end{aligned}}$
Proof step: Eindeutigkeit für $z\neq 0$
Nun wollen wir noch die Eindeutigkeit von $r$ und $\varphi$ im Fall von $z\neq 0$ zeigen. Sei $z\in \mathbb {C}$ mit $z\neq 0$. Dann gilt $r=|z|\neq 0$ ist eindeutig bestimmt. Seien $\varphi$ und ${\tilde {\varphi }}\in [0,2\pi [$ mit $z=r\cdot (\cos(\varphi )+\sin(\varphi )\,\mathrm {i} )=r\cdot (\cos({\tilde {\varphi }})+\sin({\tilde {\varphi }})\,\mathrm {i} )$. Dann $\operatorname {Re} (z)=r\cos(\varphi )=r\cos({\tilde {\varphi }})$ und $\operatorname {Im} (z)=r\sin(\varphi )=r\sin({\tilde {\varphi }})$. Wegen $r\neq 0$ folgt auch $\cos(\varphi )=\cos({\tilde {\varphi }})$ sowie $\sin(\varphi )=\sin({\tilde {\varphi }})$. Nun multiplizieren wir die beiden Gleichungen:
${\begin{aligned}&\sin(\varphi )\cdot \cos({\tilde {\varphi }})=\sin({\tilde {\varphi }})\cdot \cos(\varphi )\\[0.3em]&\ {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ \cos(x)=\cos(-x){\text{ für alle }}x\in \mathbb {R} \right.}\\[0.3em]\iff&\sin(\varphi )\cdot \cos(-{\tilde {\varphi }})=\sin({\tilde {\varphi }})\cdot \cos(-\varphi )\\[0.3em]&\ {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Additionstheorem}}\right.}\\[0.3em]\iff&{\tfrac {1}{2}}\sin(\varphi -{\tilde {\varphi }})={\tfrac {1}{2}}\sin({\tilde {\varphi }}-\varphi )\\[0.3em]\iff&\sin(\varphi -{\tilde {\varphi }})=\sin(-(\varphi -{\tilde {\varphi }}))\\[0.3em]&\ {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ \sin(-x)=-\sin(x){\text{ für alle }}x\in \mathbb {R} \right.}\\[0.3em]\iff&\sin(\varphi -{\tilde {\varphi }})=-\sin(\varphi -{\tilde {\varphi }})\\[0.3em]\iff&\sin(\varphi -{\tilde {\varphi }})=0\\[0.3em]&\ {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Nullstellen von }}\sin \right.}\\[0.3em]\iff&\exists k\in \mathbb {Z} \colon \varphi -{\tilde {\varphi }}=2\pi k\end{aligned}}$
Also gibt es ein $k\in \mathbb {Z}$ mit $\varphi -{\tilde {\varphi }}=2\pi k$. Wegen $\varphi ,{\tilde {\varphi }}\in [0,2\pi [$ folgt $2\pi k=\varphi -{\tilde {\varphi }}\in ]-2\pi ,2\pi [$. Folglich muss $k=0$ und damit $\varphi ={\tilde {\varphi }}$. Damit haben wir die Eindeutigkeit von $\varphi$ bewiesen.

### Kartesische Darstellung aus der trigonometrischen Polardarstellung

Theorem (Umformung in kartesische Darstellung)
Sei $r$ der Betrag einer komplexen Zahl $z$ und $\varphi$ der Winkel zwischen der $x$-Achse und der komplexen Zahl. Der Realteil von $z$ ist dann $r\cos(\varphi )$ und der Imaginärteil gleich $r\sin(\varphi )$. Insgesamt erhalten wir $z=r\cos(\varphi )+r\sin(\varphi )\,\mathrm {i}$.
Example (Umformung in kartesische Darstellung)
Mit $r={\sqrt {2}}$ und $\varphi ={\tfrac {\pi }{4}}$ erhalten wir
${\begin{aligned}z&={\sqrt {2}}\cdot \cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)+{\sqrt {2}}\cdot \sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)\cdot \mathrm {i} \\&={\sqrt {2}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {2}}}+{\sqrt {2}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {2}}}\cdot \mathrm {i} =1+\mathrm {i} \end{aligned}}$
Proof (Umformung in kartesische Darstellung)
Zum einen ergibt sich diese Zusammenhang direkt aus der folgenden Schreibweise für die trigonometrische Polardarstellung:
${\begin{aligned}z&=r\cdot (\cos(\varphi )+\sin(\varphi )\,\mathrm {i} )\\&=\underbrace {r\cos(\varphi )} _{\text{Realteil}}+\underbrace {r\sin(\varphi )} _{\text{Imaginärteil}}\,\mathrm {i} \end{aligned}}$
Diesen Zusammenhang können wir auch direkt aus dem Diagramm für die Polardarstellung herleiten:
Der Sinus und der Kosinus von $\varphi$ ergibt sich über:
${\begin{array}{rll}\sin(\varphi )&={\frac {\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}}&={\frac {\operatorname {Im} (z)}{|z|}}={\frac {\operatorname {Im} (z)}{r}}\\[0.5em]\cos(\varphi )&={\frac {\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}}&={\frac {\operatorname {Re} (z)}{|z|}}={\frac {\operatorname {Re} (z)}{r}}\end{array}}$
Durch Umstellung beider Formeln erhalten wir
${\begin{aligned}\operatorname {Re} (z)&=r\cdot \cos(\varphi )\\\operatorname {Im} (z)&=r\cdot \sin(\varphi )\end{aligned}}$
Damit können wir auch die kartesische Darstellung aus $r$ und $\varphi$ herleiten:
$z=\operatorname {Re} (z)+\operatorname {Im} (z)\cdot \mathrm {i} =r\cdot \cos(\varphi )+r\cdot \sin(\varphi )\cdot \mathrm {i}$

## Wirkung der komplexen Multiplikation

Wir wollen nun versuchen die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen mithilfe dieser neuen Darstellung auszudrücken. Hierfür multiplizieren wir zwei komplexe Zahlen $z=r(\cos(\varphi )+\mathrm {i} \sin(\varphi ))$ und $w=s(\cos(\theta )+\mathrm {i} \sin(\theta ))$ mit $r,s\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ und $0\leq \varphi ,\theta <2\pi$:
${\begin{aligned}z\cdot w&=r(\cos(\varphi )+\mathrm {i} \sin(\varphi ))\cdot s(\cos(\theta )+\mathrm {i} \sin(\theta ))\\&=rs(\cos(\varphi )\cdot \cos(\theta )+\cos(\varphi )\cdot \mathrm {i} \sin(\theta )+\mathrm {i} \sin(\varphi )\cdot \cos(\theta )+\mathrm {i} \sin(\varphi )\cdot \mathrm {i} \sin(\theta ))\\&=rs(\cos(\varphi )\cos(\theta )-\sin(\varphi )\sin(\theta )+\mathrm {i} \cdot (\cos(\varphi )\sin(\theta )+\sin(\varphi )\cos(\theta ))\end{aligned}}$
Die bekannten Additionstheoreme für Sinus und Cosinus lauten
${\begin{aligned}\sin(\varphi +\theta )&=\sin(\varphi )\cos(\theta )+\cos(\varphi )\sin(\theta )\\\cos(\varphi +\theta )&=\cos(\varphi )\cos(\theta )-\sin(\varphi )\sin(\theta )\end{aligned}}$
Setzen wir das in die obige Rechnung ein, erhalten wir
$z\cdot w=rs(\cos(\varphi +\theta )+\mathrm {i} \sin(\varphi +\theta ))$
Wir sehen also, dass die Radien von $z$ und $w$ multipliziert und die Winkel addiert wurden. Durch die Multiplikation mit $w$ wurde die komplexe Zahl $z$ also um den Winkel von $w$ gedreht und um den Radius von $w$ gestreckt.

## Exponentielle Polardarstellung
### Potenzdarstellung auf dem Einheitskreis

Wir kennen nun die Polardarstellung $z=r\left(\cos(\varphi )+i\sin(\varphi )\right)$ einer komplexen Zahl $z\in \mathbb {C}$. Außerdem haben wir die Multiplikation mit einer komplexen Zahl $z$ als Drehstreckung kennengelernt (Streckung um $r=|z|$, Drehung um $\arg(z)$). Die Abbildung
${\begin{aligned}f:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} ,\quad x\mapsto x\left(\cos(\varphi )+i\sin(\varphi )\right)\end{aligned}}$
bewirkt also die Drehung einer gegebenen komplexen Zahl $x\in \mathbb {C}$ um den Winkel $\varphi$ gegen den Uhrzeigersinn. Eine Streckung wird nicht bewirkt, da gilt:
${\begin{aligned}|\cos(\varphi )+i\sin(\varphi )|={\sqrt {\cos(\varphi )^{2}+\sin(\varphi )^{2}}}={\sqrt {1}}=1\end{aligned}}$
Die Abbildung $z\mapsto (\cos(\phi )+i\sin(\phi ))\cdot z$ dreht also die komplexe Zahl $z$ um den Winkel $\phi$:
Abbildung: Bei der Multiplikation $z\mapsto (\cos(\phi )+i\sin(\phi ))\cdot z$ wird $x$ um den Winkel $\phi$ entgegen des Uhrzeigerzinns gedreht
Wählen wir $x=1$ fest und variieren wir den Winkel $\varphi$, so erhalten wir Punkte, die auf dem Einheitskreis mit Radius $r=1$ liegen. Wir können so die Drehung von $1$ um den Ursprung als Funktion des Winkels $\varphi \in \mathbb {R}$ auffassen:
$\operatorname {cis} :\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} ,\quad \operatorname {cis} (\varphi )=\cos(\varphi )+i\sin(\varphi )$
Diese Funktion wird komplexe Funktion genannt.
Was geschieht, wenn wir nacheinander um den Winkel $\varphi$ und anschließend um den Winkel $\theta$ drehen? Nach den vorherigen Überlegungen wird die Drehung durch Multiplikation mit $\operatorname {cis} (\varphi )$ bzw. $\operatorname {cis} (\theta )$ bewirkt. Somit sind zwei aufeinanderfolgende Drehungen um $\varphi$ bzw. $\theta$ gleichbedeutend mit der Multiplikation mit $\operatorname {cis} (\varphi )\cdot \operatorname {cis} (\theta )$. Anschaulich ist außerdem klar, dass die Hintereinanderausführung zweier Drehungen um $\varphi$ und $\theta$ das gleiche Ergebnis liefern muss wie eine einzelne Drehung um $\varphi +\theta$. Aus dieser Überlegung folgt die Gleichheit
$\operatorname {cis} (\varphi )\cdot \operatorname {cis} (\theta )=\operatorname {cis} (\varphi +\theta )$
Wir sehen, dass $\operatorname {cis}$ die charakteristische Gleichung $a^{x}\cdot a^{y}=a^{x+y}$ einer Potenz erfüllt. Es sollte also ein geeignetes $a$ existieren, sodass die Gleichung
$\operatorname {cis} (\varphi )=a^{\varphi }$
erfüllt ist. Wie können wir $a$ bestimmen? Leiten wir $\operatorname {cis}$ ab, so erhalten wir:
${\begin{aligned}(\operatorname {cis} (\varphi ))'&=(\cos(\varphi ))'+i(\sin(\varphi ))'\\&=-\sin(\varphi )+i\cos(\varphi )\\&=i\left(\cos(\varphi )+i\sin(\varphi )\right)\\&=i\operatorname {cis} (\varphi )\end{aligned}}$
Die Funktion $\operatorname {cis}$ entspricht also ihrer eigenen Ableitung, multipliziert mit dem Faktor $i$. Mit der Produktregel der Ableitung und der Eigenschaft der Exponentialfunktion $\exp(bx)'=b\exp(x)$ folgt $a=\exp(i)$. Wir erhalten so:
$\exp(i\varphi )=\cos(\varphi )+i\sin(\varphi )$
Diese Gleichung heißt eulersche Formel. Mit $\varphi =\pi$ folgt daraus die sogenannte eulersche Identität:
$e^{i\pi }+1=0$

### Definition der exponentiellen Polarform

* ausgehend vom Einheitskreis nun die Darstellung der komplexen Zahlen entwickeln: Multiplikation mit Betrag/Radius r ergibt den richtigen Punkt auf der Zahlenebene (wurde schon am Anfang des Artikels erklärt, deshalb reicht es kurz)
* Definition der exponentiellen Polarform

### Ausblick: Formaler Beweis der eulerschen Formel

* Warum ist die Herleitung oben kein Formaler Beweis?
* Wie kann man die Formel $e^{\mathrm {i} \varphi }=\cos(\varphi )+\mathrm {i} \sin(\varphi )$ formal beweisen?
* Wie sind die Begriffe überhaupt definiert
* Man kann sinus und kosinus über die e funktion definieren. Aber dann drehen wir uns im Kreis bzw. die Formel gilt per definition
* Oft Definition über (Potenz-)Reihe. Potenzreihe ist eine unendliche verallgemeinerung von Polynomen. (Potenzreihen von sin, cos, e evtl angeben) Dann kann man durch Rechnen die Gleichung herleiten (muss hier nicht gemacht werden)

### Herleitung über Ableitung

Inhalte in die Herleitung des Zusammenhangs $exp(i\cdot x)=cos(x)+i\cdot sin(x)$ im Abschnitt Potenzdarstellung auf dem Einheitskreis platzieren (wurden dort schon zur Herleitung benutzt)
$f(x)=e^{\lambda x}$ hat die beiden charakteristischen Eigenschaften:
* $f(0)=1$
* $f'(x)=\lambda \cdot f(x)$
Die momentane Änderung von $f(x)$ ist also nichts anderes als die Streckung von $f(x)$ mit dem Wert $\lambda$. Damit kann auch die Formel $cis(\phi )=...=e^{i\phi }$ hergeleitet werden
Nachprüfung der Eigenschaften

### Eigenschaften der exponentiellen Polarform

* Die komplexe e-Funktion $e^{\mathrm {i} \phi }$ ist periodisch. Das lässt sich intuitiv verstehen, wenn man Kosinus und Sinus betrachtet, die ebenfalls periodisch sind.
** Die komplexe e-Funktion ist periodisch, das lässt sich intuitiv verstehen, wenn man Kosinus und Sinus betrachtet, die (bei reellen Argumenten) ebenfalls periodisch sind. $e^{\mathrm {i} \phi }=r[\cos(\phi )+\mathrm {i} \sin(\phi )]$
Das Bild veranschaulicht die Funktion $f(t)=e^{\mathrm {i} t}$. Da $e^{\mathrm {i} t}$ periodisch verläuft, muss der Graph von $f$ auch periodisch sein. Durch die Polardarstellung komplexer Zahlen wissen wir, dass $e^{\mathrm {i} t}$ genau alle komplexen Zahlen mit Betrag $1$ durchläuft. Also zeigt das Bild, wie der Einheitskreis gezeichnet wird. (Kopiert von Darstellung von komplexen Funktionen)
Drawing complex-valued functions →
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