# Serlo: EN: Real exponents

* ↳ Project "Serlo"
* ↳ Real Analysis Contents "Real Analysis" Help Introduction  Complex numbers  Supremum and infimum  Sequences  Convergence and divergence  Subsequences, Accumulation points and Cauchy sequences  Series  Convergence criteria for series  Exponential and Logarithm functions  Derivation and definition of the exponential series  Properties of the exponential series  Logarithmic function  Real exponents  Exp and log functions for complex numbers  Exercises  Trigonometric and Hyperbolic functions  Continuity  Differential Calculus
Dieser Abschnitt ist noch im Entstehen und noch nicht offizieller Bestandteil des Buchs. Gib den Autoren Zeit, den Inhalt anzupassen!

## Potenzen mit beliebiger Basis

Einleitung
Definition (Potenz)
Sei $a\in \mathbb {R} ^{+}$ und $x\in \mathbb {R}$. Dann definieren wir
$a^{x}:=\exp(\ln(a)\cdot x)$
Übereinstimmung mit Definition für rationale Exponenten beweisen
Theorem
Sei $a\in \mathbb {R} ^{+}$ und $r\in \mathbb {Q}$. Dann gilt
$a^{r}=\exp(\ln(a)\cdot r)$
How to get to the proof?
Wir schreiben $r={\tfrac {p}{q}}$ mit $p\in \mathbb {Z}$ und $q\in \mathbb {N}$. Die Potenz $a^{r}$ haben wir definiert als ${\sqrt[{q}]{a^{p}}}$. Die $q$-te Wurzel ist als Umkehrfunktion der Funktion $\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ^{+},x\mapsto x^{q}$ definiert. Wenn wir zeigen wollen, dass $\exp(\ln(a)\cdot r)$ die $q$-te Wurzel aus $a^{p}$ ist, ist also zu überprüfen, ob
$\exp(\ln(a)\cdot r)^{q}=a^{p}$
gilt. Dazu verwenden wir die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion und erhalten
$\exp(\ln(a)\cdot r)^{q}=\exp \left(\ln(a)\cdot {\frac {p}{q}}\right)^{q}=\exp(\ln(a)\cdot {\frac {p}{q}}\cdot q)=\exp(\ln(a)\cdot p)$
Genauso können wir umgekehrt den Faktor $p$ im Argument der Exponentialfunktion in eine Potenz umwandeln:
$\exp(\ln(a)\cdot p)=\exp(\ln(a))^{p}=a^{p}$
Im letzten Schritt kam uns gelegen, dass $\ln$ die Umkehrfunktion von $\exp$ ist.
Proof
Sei $r={\tfrac {p}{q}}$ mit $p\in \mathbb {Z}$ und $q\in \mathbb {N}$. Es gilt
$\exp(\ln(a)\cdot r)^{q}=\exp \left(\ln(a)\cdot {\frac {p}{q}}\right)^{q}=\exp(\ln(a)\cdot p)=\exp(\ln(a))^{p}=a^{p}$
Nach Definition der $q$-ten Wurzel gilt also
$\exp(\ln(a)\cdot r)={\sqrt[{q}]{a^{p}}}=a^{r}$

## Logarithmus zu beliebiger Basis

Exp and log functions for complex numbers →
We believe that anyone can understand higher level maths - with the right explanation! That's why we - a group of passionate students and teachers of mathematics - are translating our legendary co-created textbook for real analysis (“Analysis 1”) from German into English. If you know German and want to help us to make higher level maths accessible to everyone, then we look forward to hearing from you at en@serlo.org.
Feedback? Do you want to join?
If you have questions concerning the content, or didn't understand something, the feel free to contact us! We would love to answer your questions! Also we are thankful for critics and/or comments! If you share our vision to explain university math in an comprehensible way, then contact us under:
E-Mail: en@serlo.org
This article is licensed under the free license CC-BY-SA 3.0. With that you can use it, modify it or share it freely, as long as you name „Serlo“ as source and put you changes under the same CC-BY-SA 3.0 oder an compatible license. On the page „Kopier uns!“ we explain you what you have to pay attention to, when using our texts, picture or videos.