# Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/ Der Satz über majorisierte Konvergenz
## Motivation

In der Maßtheorie hatten wir den Begriff der Länge, Fläche und des Volumens geklärt: sie werden durch Maße auf Sigma-Algebren beschrieben. In der Integrationstheorie wollen wir auf der Basis der Maße einen Integralbegriff herleiten und dessen Eigenschaften untersuchen.

## Wo stehen wir

Wir hatten nachgerechnet, dass die Umkehrabbildung mit Mengenoperationen vertauscht. Seien $(W,S),(V,T)$ Messräume. Wir definierten eine Abbildung $X:W\rightarrow V$ als "messbar", wenn sie alle Mengen aus der Sigma-Algebra $T$ auf Mengen der Sigma-Algebra $S$ abbildete. Es genügte, die Messbarkeit auf dem Erzeugendensystem zu testen. Wir konstruierten uns durch Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Grenzwertbildung von numerischen Funktionen neue numerische Funktionen. Wir zeigten, dass sich alle nicht-negativen messbaren numerischen Funktionen $f:(W,S)\rightarrow ({\overline {\mathbb {R} }},{\overline {\mathbb {B} }})$ als Grenzwert einer monoton steigenden Folge von primitiven Funktionen darstellen lassen. Damit konnten wir das Integral einer nicht-negativen numerischen Funktion definieren als Grenzwert von Integralen primitiver Funktion. Wir bewiesen den Satz übr monotone Konvergenz: Ist die Folge der nicht-negativen, messbaren numerischen Funktionen $f_{n}\in P^{\ast }$ monoton steigend, so lassen sich Grenzwert und Integral vertauschen. Wir haben das Integral für numerische Funktionen eingeführt als Differenz des Integrals des Positivteiles und des Negativteiles und nachgerechnet, dass dieses Integral linear und monoton ist.
In diesem Kapitel zeigen wir den Satz über majorisierte Konvergenz: Wenn es eine integrierbare Majorante $g$ zu der messbaren Funktionenfolge $(f_{n})_{n}$ gibt, d.h. $\forall n\in \mathbb {N} :\ |f_{n}|\leq g$, dann lassen sich Grenzwert und Integral vertauschen. Dazu beweisen wir vorher einen Hilfssatz, für dessen Beweis wir wie erwartet den Satz über monotone Konvergenz benutzen.

## Das Lemma von Fatou

Satz (Lemma von Fatou)
Seien $g$ und für alle $n\in \mathbb {N} :f_{n}$ integrierbar.
a) Für $(f_{n})_{n}$ gelte $\forall n\in \mathbb {N} :f_{n}\geq 0$. Dann folgt
$\int \liminf _{n\rightarrow \infty }f_{n}dm\leq \liminf _{n\rightarrow \infty }\int f_{n}dm$
b) Ist $\liminf _{n\rightarrow \infty }f_{n}$ integrierbar und $f_{n}\geq g$, gilt ebenfalls
$\int \liminf _{n\rightarrow \infty }f_{n}dm\leq \liminf _{n\rightarrow \infty }\int f_{n}dm$
c) Für $(f_{n})_{n}$ gelte $\forall n\in \mathbb {N} :f_{n}\leq 0$. Dann folgt
$\int \limsup _{n\rightarrow \infty }f_{n}dm\geq \limsup _{n\rightarrow \infty }\int f_{n}dm$
d) Ist $\limsup _{n\rightarrow \infty }f_{n}$ integrierbar und $f_{n}\leq g$, gilt ebenfalls
$\int \limsup _{n\rightarrow \infty }f_{n}dm\geq \limsup _{n\rightarrow \infty }\int f_{n}dm$
Beweis (Lemma von Fatou)
a):
Da das Infiumum über eine Menge immer kleiner gleich einem seiner Elemente ist
$\forall k\geq n:\inf _{k\geq n}f_{k}\leq f_{k}$
ergibt sich mit der Monotonie des Integrales
${\begin{aligned}\forall k\geq n:\ \int \inf _{k\geq n}f_{k}dm&\leq &\int f_{k}dm\end{aligned}}$
Das Kleiner-Gleich-Zeichen gilt für alle $k\in \mathbb {N}$, also bleibt es erhalten, wenn man rechts zum Infiumum übergeht und auch wenn man zum Grenzwert übergeht
${\begin{aligned}\int \inf _{k\geq n}f_{k}dm&\leq &\inf _{k\geq n}\int f_{k}dm\\\lim _{n\rightarrow \infty }\int \inf _{k\geq n}f_{k}dm&\leq &\lim _{n\rightarrow \infty }\inf _{k\geq n}\int f_{k}dm\end{aligned}}$
Da das Infiumum über eine größere Menge automatisch kleiner gleich dem Infimum über die darin enthaltene kleinere Menge ist
$\forall n\in \mathbb {N} :\ \inf\{f_{k}(x):k\geq n\}\leq \inf\{f_{k}(x):k\geq n+1\}$
ist $(\inf _{k\geq n}f_{k})_{n}$ monoton steigend. Zudem ist es größer gleich Null und wir können den Satz über monotone Konvergenz anwenden Mathe_für_Nicht-Freaks:_Der_Satz_über_monotone_Konvergenz und Grenzwert und Integral vertauschen. Zudem setzen wir obige Formel ein und erhalten
${\begin{aligned}\int \lim _{n\rightarrow \infty }\inf _{k\geq n}f_{k}dm&{\stackrel {\text{monoton steigend}}{=}}&\lim _{n\rightarrow \infty }\int \inf _{k\geq n}f_{k}dm\\&{\stackrel {\text{siehe oben}}{\leq }}&\lim _{n\rightarrow \infty }\inf _{k\geq n}\int f_{k}dm\\&=&\liminf _{k\rightarrow \infty }\int f_{k}dm\end{aligned}}$
b):
Wir wollen a) anwenden und benötigen dazu nicht-negative Funktionen. Diese erhalten wir, indem wir die integrierbaren $f_{n}-g\geq 0$ betrachten. a) ergibt gemeinsam mit der Additivität des Integrales für integrierbare Funktionen, da $\liminf _{n\rightarrow \infty }f_{n}$ integrierbar nach Voraussetzung
${\begin{aligned}&\underbrace {\int \liminf _{n\rightarrow \infty }f_{n}dm} _{\text{integrierbar nach Vor.}}-\underbrace {\int gdm} _{\in \mathbb {R} }\\=&\int (\liminf _{n\rightarrow \infty }f_{n}-g)dm\\=&\int \liminf _{n\rightarrow \infty }(\underbrace {f_{n}-g} _{\geq 0})dm\\{\stackrel {a)}{\leq }}&\liminf _{n\rightarrow \infty }\int (f_{n}-g)dm\\=&\liminf _{n\rightarrow \infty }\int f_{n}dm-\underbrace {\int gdm} _{\in \mathbb {R} }\end{aligned}}$
Addieren von $\int gdm$ auf beiden Seiten ergibt
$\int \liminf _{n\rightarrow \infty }f_{n}dm\leq \liminf _{n\rightarrow \infty }\int f_{n}dm$
c):
Auch hier wollen wir a) anwenden und betrachten deshalb $-f_{n}\geq 0$. Wegen der Rechenregel
$-\limsup _{n\rightarrow \infty }f_{n}=\liminf _{n\rightarrow \infty }(-f_{n})$
und da $-f_{n}\geq 0$ gilt mit a) und da man für integrierbare Funktionen den Skalar $-1$ mit dem Integral vertauschen kann
${\begin{aligned}-\int \underbrace {\limsup _{n\rightarrow \infty }f_{n}} _{\leq 0}dm=&\int \liminf _{n\rightarrow \infty }\underbrace {(-f_{n})} _{\geq 0}dm\\{\stackrel {a)}{\leq }}&\liminf _{n\rightarrow \infty }\int (-f_{n})dm\\=&-\limsup _{n\rightarrow \infty }\int f_{n}dm\end{aligned}}$
d):
Wir wollen b) anwenden. Betrachte dazu $-f_{n}$. Die Funktionen $-g,-f_{n}$ sind integrierbar und es gilt $-f_{n}\geq -g$. Zudem ist
${\begin{aligned}\liminf _{n\rightarrow \infty }(-f_{n})=-\limsup _{n\rightarrow \infty }f_{n}\end{aligned}}$
nach Voraussetzung ebenfalls integrierbar. Weil man für integrierbare FUnktionen den Skalar $-1$ mit dem Integral vertauschen kann, folgt mit b)
${\begin{aligned}-\int \limsup _{n\rightarrow \infty }f_{n}dm=&\int \liminf _{n\rightarrow \infty }(-f_{n})dm\\{\stackrel {b)}{\leq }}&\liminf _{n\rightarrow \infty }\int (-f_{n})dm\\=&-\limsup _{n\rightarrow \infty }\int f_{n}dm\end{aligned}}$

## Der Satz über majorisierte Konvergenz

Und jetzt der wichtigste Grenzwertsatz für das Maßintegral.
Satz (Satz über majorisierte Konvergenz)
Ist $g$ integrierbar und $f_{n}$ messbar mit $\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}=f$ und $|f_{n}|\leq g$, d.h. g Majorante, so existiert der Grenzwert der Integrale $\lim _{n\rightarrow \infty }\int f_{n}dm$ und Integral und Grenzwert lassen sich vertauschen
$\lim _{n\rightarrow \infty }\int f_{n}dm=\int \lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}dm$
Beweis (Satz über majorisierte Konvergenz)
Wir wenden das Lemma von Fatou an, d.h. indirekt den Satz über monotone Konvergenz.
Wegen $|f_{n}|\leq g$ sind alle $\pm f_{n}$ und $\liminf _{n\rightarrow \infty }f_{n},\limsup _{n\rightarrow \infty }f_{n}$ integrierbar, da
${\begin{aligned}(\liminf _{n\rightarrow \infty }f_{n})^{\pm },(\limsup _{n\rightarrow \infty }f_{n})^{\pm }&\leq |g|\\\int (\liminf _{n\rightarrow \infty }f_{n})^{\pm }dm&\leq \int |g|dm<\infty \\\int (\limsup _{n\rightarrow \infty }f_{n})^{\pm }dm&\leq \int |g|dm<\infty \end{aligned}}$
Damit lässt sich der gerade gezeigte Satz einfach anwenden, da $\liminf \leq \limsup$ allgemein gilt
${\begin{aligned}\int \lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}dm&=&\int \liminf _{n\rightarrow \infty }f_{n}dm\\&{\stackrel {f_{n}\geq -g}{\leq }}&\liminf _{n\rightarrow \infty }\int f_{n}dm\\&\leq &\limsup _{n\rightarrow \infty }\int f_{n}dm\\&{\stackrel {f_{n}\leq g}{\leq }}&\int \limsup _{n\rightarrow \infty }f_{n}dm\\&=&\int \lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}dm\end{aligned}}$

## Aufgabe: Gleichmäßige Konvergenz

Aufgabe (Ein Grenzwertsatz bei gleichmäßiger Konvergenz)
Sei $(W,S,m)$ Maßraum und $m$ endlich. Seien $\forall n\in \mathbb {N} :f_{n}$ integrierbar und $(f_{n})_{n}$ gehe gleichmäßig gegen $f$.
a) Dann ist $f$ integrierbar und $\int fdm=\lim _{n\rightarrow \infty }\int f_{n}dm$
b) Die Endlichkeits-Bedingung an $m$ ist notwendig.
c) Welche Bedingung vom Satz über majorisierte Konvergenz ist bei b) verletzt?
Wie kommt man auf den Beweis? (Ein Grenzwertsatz bei gleichmäßiger Konvergenz)
b) Betrachte ein wanderndes zerfließendes Rechteck und nutze die Sigma-Endlichkeit von $(\mathbb {R} ,\mathbb {B} ,l)$.
Beweis (Ein Grenzwertsatz bei gleichmäßiger Konvergenz)
a) Da $(f_{n})_{n}$ gleichmäßg gegen $f$ geht, gibt es ein $n_{0}$ mit
${\begin{aligned}\forall n\geq n_{0}:\sup _{w\in W}|f_{n}-f_{n_{0}}|<1\end{aligned}}$
Damit folgt mit $|f|\leq |f-f_{n_{0}}|+|f_{n_{0}}|$
${\begin{aligned}\int |f|dm\leq &\int (|f-f_{n_{0}}|+|f_{n_{0}}|)dm\\\leq &\int |f-f_{n_{0}}|dm+\int |f_{n_{0}}|dm\\\leq &\int \sup _{w\in W}|f-f_{n_{0}}|dm+\int |f_{n_{0}}|dm\\\leq &\sup _{w\in W}|f-f_{n_{0}}|\int dm+\int |f_{n_{0}}|dm\\<&1\cdot m(W)+\int |f_{n_{0}}|dm<\infty \end{aligned}}$
und somit ist $f$ integrierbar. Wegen
${\begin{aligned}\left|\int fdm-\int f_{n}dm\right|\leq &\left|\int (f-f_{n})dm\right|\\\leq &\int |f-f_{n}|dm\\\leq &\int \sup _{w\in W}|f-f_{n}|dm\\\leq &\sup _{w\in W}|f-f_{n}|\int dm\\=&\sup _{w\in W}|f-f_{n}|m(W)\rightarrow 0\end{aligned}}$
gilt $\int fdm=\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}dm$.
b) Betrachte $\forall n\in \mathbb {N}$
${\begin{aligned}f_{n}:={\frac {1}{n}}1_{\left(\sum _{k=0}^{n-1}k,\sum _{k=0}^{n}k\right\rbrack }\end{aligned}}$
Bild einfügen?
Das ist ein nach rechts wanderndes Rechteck, das immer flacher, aber auch immer breiter wird, sodass die Fläche darunter $1$ bleibt (man könnte die Fläche darunter auch gegen Unendlich streben lassen, indem man es schneller breiter werden lässt). Dann gilt
${\begin{aligned}\int f_{n}dm=&{\frac {1}{n}}m\left(\left(\sum _{k=0}^{n-1}k,\sum _{k=0}^{n}k\right\rbrack \right)=1\\\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}dm=&1\end{aligned}}$
Die $f_{n}$ gehen punktweise gegen $f\equiv 0$, da das Rechteck irgendwann an jedem festen $w\in W$ vorbeizieht. Sie gehen gleichmäßig dagegen, da $\sup _{n\geq k}|f_{n}-f|={\frac {1}{k}}\rightarrow 0$. Damit ist $f$ integrierbar, aber
${\begin{aligned}\int fdm=0\neq 1=\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}dm\end{aligned}}$
c) Es gibt keine integrierbare Majorante. Die Majorante wäre mindestens $\sum _{n\in \mathbb {N} }f_{n}$ und deren Integral ist unendlich, da die $f_{n}$ auf disjunkten Mengen Werte ungleich Null haben.