# Digitale Signalverarbeitung

Dieses Buch steht im Regal Elektrotechnik sowie im Regal Technik.
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## Zusammenfassung des Projekts

* Zielgruppe: Setzt Grundwissen Elektrotechnik voraus.
* Lernziele: Grundlagenvermittlung
* Buchpatenschaft / Ansprechperson: Flexxo
* Sind Co-Autoren gegenwärtig erwünscht? Ja gerne.
* Richtlinien für Co-Autoren:
* Projektumfang und Abgrenzung zu anderen Wikibooks:
* Themenbeschreibung:
* Aufbau des Buches:
Dieses Buch steht im Regal Technik sowie im Regal Elektrotechnik.

## Einleitung

Mit dem Wandel analoger hin zu digitalen Übertragungs- und Verarbeitungssysteme spielen Kenntnisse der digitalen Signalverarbeitung für Studenten, Auszubildende und Interessierte der Informations- und Kommunikationstechnik eine zentrale Rolle. Dies betrifft zum einen Algorithmen digitaler Informations- und Kommunikationssysteme, primär Audio-, Bild- und Videosignalverarbeitung, als auch Hardware-Architekturen, die spezielle Eigenschaften erfüllen sollten, um digitale Signalverarbeitung zu beschleunigen.
In diesem Buch soll nach einer Einführung in die Theorie digitaler Signale, deren Beschreibung und Transformationen im Zeit- und im Frequenzbereich und die algorithmische Verarbeitung anhand einiger zentraler Probleme (Filterung, Fehlerreduktion etc.) beispielhaft erläutert werden.
Im Anschluss werden noch Hardware-Aspekte moderner Datenverarbeitungs-Einheiten diskutiert.

## Signale und Systeme
### Was ist ein Signal?

Ein Signal ist die Physikalische Repräsentation von Information, meist ist es eine physikalische Größe als Funktion der Zeit und/oder des Orts. Ein Signal wird als analog bezeichnet, wenn die Amplitude kontinuierlich jeden Wert zwischen einem Minimum und Maximum annehmen kann. Ein Beispiel für ein analoges Signal ist eine Spannung in Abhängigkeit zur Zeit u(t), da sowohl die Zeit als auch die Spannung jeden reellen Wert annehmen kann. Prinzipiell kann jede Information analog übertragen werden, jedoch sind der Verarbeitung von analogen Signalen enge Grenzen gesetzt.
Diskrete Signale erhält man meist durch Abtasten eines kontinuierlichen Signals. Dazu wird in äquidistanten Abständen der Wert des kontinuierlichen Signals gemessen.
Zur Datenübertragung werden die Rohdaten meist in elektrische Signale umgewandelt. Das kann analog geschehen, indem z.B. der von einem Mikrofon erzeugte Strom direkt über ein Kabel zum Verstärker übertragen wird, oder digital, wobei die Daten erst abgetastet und in diskrete (häufig binär codierte) Werte umgesetzt werden, die dann als Stromstöße oder harmonische Wellen unterschiedlicher Frequenz über das Medium geschickt werden.
Die sich daraus ergebenden Signale werden nach verschiedenen Gesichtspunkten klassifiziert, so unterscheidet man periodische (sich in regelmäßigen Abständen wiederholende) und nichtperiodische Signale oder Leistungssignale (mit einer endlichen elektrischen Leistung und rechnerisch unendlicher Energie) und Energiesignale (mit einer endlichen Energie und ohne übertragene Leistung). Bei Signalen, die konkrete Daten repräsentieren, unterscheidet man in der Praxis auch je nach verwendeter Codierung zwischen RZ- (Return to Zero) und NRZ-Signalen (No Return to Zero).
Werden so erzeugte Signale über einen Leiter übertragen, wirkt dieser mit seinem Ohmschen Widerstand, seiner Kapazität und seiner Induktivität auf das Signal ein, so dass es sich durch die Übertragung verändert. Gerade in modernen miniaturisierten Schaltungen können auch Signale auf benachbarten Leitungen durch Übersprechen das Signal verändern. Die mathematische Beschreibung dieser Vorgänge ist ebenfalls Gegenstand der Signaltheorie. Dabei betrachtet man ganz allgemein Zweipole, das heißt Systeme mit zwei Anschlüssen, an die man ein Eingangssignal anlegt und an deren Ausgang man ein (i.d.R. verändertes) Ausgangssignal erhält.
Alle für die Signalübertragung relevanten Eigenschaften eines beliebigen Zweipols, sei es ein einfacher Draht oder ein Netzwerk verschiedener Bauelemente, können durch die Betrachtung zweier spezieller Ausgangssignale ermittelt werden: Der Sprungantwort und der Impulsantwort. Die Sprungantwort ist das Ausgangssignal, das ein System liefert, wenn es als Eingangssignal die Sprungfunktion erhält. Die Impulsantwort ist die Systemantwort auf den Dirac-Impuls.
Entsprechend ihrer Eigenschaften unterscheidet man folgende Systemarten:
* Für lineare Systeme müssen das Verstärkungsprinzip und das Überlagerungsprinzip, auch Additivität oder Superposition genannt, gelten.
* Bei kausalen Systemen kann man erst dann eine Systemreaktion am Ausgang feststellen, wenn ein Eingangssignal angelegt wird (nichtkausale Systeme, bei denen die Reaktion vor der Erregung eintritt, sind nicht realisierbar, sondern können nur als mathematisches Modell betrachtet werden).
* Zeitinvariante Systeme ändern ihre Eigenschaften (zumindest während der betrachteten Zeitspanne) nicht. Wird dasselbe Eingangssignal wiederholt angelegt, erhält man immer dieselbe Systemreaktion.
* Dispersive Systeme führen zu Phasenverschiebungen in Abhängigkeit von den Frequenzen.
Für die Praxis von besonderer Bedeutung sind also lineare zeitinvariante Systeme oder LTI-Systeme (LTI: linear time invariant). Dass die Systeme kausal sein sollen, wird nicht ausdrücklich gefordert, da alle realen Systeme zeitlich kausal sind. Die meisten elektronischen Standardschaltungen aus Widerständen, Kondensatoren, Spulen und Transistoren stellen näherungsweise LTI-Systeme dar.

### Analoge Signale

Ein analoges Signal ist sowohl wert- als auch zeitkontinuierlich. Das bedeutet, dass jedem beliebigen Zeitpunkt ein Funktionswert zugeordnet werden (Zeitkontinuität) und dass das Signal sämtliche Werte eines vorgegebenen Intervalls annehmen kann (Wertkontinuität). Beispiel für ein solches analoges Signal ist die sinusförmige Wechselspannung im 230V-Stromnetz.

### Grundlegende Signale

Zur Beschreibung zeitdiskreter Systeme sind einige Signale von besonderer Bedeutung.

#### Impulsfolge

Ein grundlegendes Signal ist die Impulsfolge.
$\delta \left(k\right)=\left(\right)$

### Zeitdiskrete Signale

Die Übertragung von Information geschieht durch ein physikalisches Medium in dem sich das analoge Signal in Form einer Welle ausbreitet. In Luft wird das Signal durch die kontinuierliche Veränderung des Luftdrucks über die Zeit repräsentiert. Zur Übertragung oder Speicherung ist es sinnvoll, das Signal z.B. mit einem Mikrophon in ein elektrisches umzuwandeln. Es entsteht eine kontinuierliche Veränderung der Spannung $u$ in Abhängigkeit von der Zeit $t$.
Doch damit ist es üblicherweise nicht getan, das Signal wird in der Zeit diskretisiert. Wir betrachten nun nicht mehr die Veränderung einer Größe über einer kontinuierlichen Zeit, sondern es interessieren uns nur noch die Werte des Signals zu bestimmten Zeitpunkten. Meistens werden die Zeitpunkte in regelmäßigen Abständen gewählt. Man nennt diesen Vorgang auch Abtasten. Dabei geht natürlich Information verloren.
Jedenfalls liegt das Signal nun als eine Folge von Werten vor. Wir ersetzen die Zeit durch eine Indexmenge von ganzen Zahlen.
Wir könnten also die Spannung nun als u[n] schreiben um diese Veränderung auszudrücken.
Für die Theorie der Signalverarbeitung spielen derartige Signale eine große Rolle. In der Praxis wird oft mit Digitalen Signalen gearbeitet. Die Theorie der Zeitdiskreten Signale ist dennoch wertvoll, da viele Zusammenhänge auch für zeit- und wertdiskrete Signale gelten.

## Wertdiskretes Signal

Wenn man den Wertebereich anstatt der Zeitachse in (gleichgroße) Stücke aufteilt erhält man ein wertdiskretes Signal. Ein solches erscheint zum Beispiel am Ausgang mancher Analog/Digital-Umsetzer.

## Digitales Signal

Ein digitales Signal ist zeit- und wertediskret. Nur solche Signale können z.B. von einem DSP (Digitalen Signalprozessor) verarbeitet werden. In der Praxis ist diese Darstellung sehr häufig, weil die Verarbeitung solcher Signale (heute) sehr preiswert ist.
Signale werden hier entweder als Ganzzahlen (Integers), Festkommazahlen oder als Gleitkommazahlen (Floating Point Numbers) dargestellt. Ganzzahlen und Festkommazahlen lassen sich leichter verarbeiten, dafür entstehen größere relative Rundungsfehler, wenn mit kleinen Zahlen operiert wird. Deshalb werden dort wo ausreichende Ressourcen vorhanden sind möglichst Gleitkommazahlen benützt.
Das binäre Signal kann nur 1 oder 0 annehmen und nicht wie das analoge jeden beliebigen Wert zwischen Min und Max.

## Systeme

Jedes physikalische System, das in beliebiger Form Signale verändert, verarbeitet oder weiterleitet, kann als "System" oder "Filter" im Sinne der Signalverarbeitung bezeichnet werden. Gegenstand der Betrachtungen ist erstens, in welcher Weise der Zustand eines Systems von verschiedenen Eingangssignalen abhängt und zweitens, wie sich diese Zustandsänderung auf die beobachteten Ausgangsgrößen auswirkt.
Sehr oft ist der innere Zustand des Systems unerheblich, und nur der Zusammenhang zwischen Ein- und Ausgang interessant.

## Lineare Zeitinvariante Systeme

Systeme mit den Eigenschaften linear und zeitinvariant sind von großer Bedeutung. Sie werden meist LTI-Systeme genannt (englisch "linear time invariant" - gelegentlich findet man in der Literatur auch den Begriff des LZI-Systems). LTI-Systeme lassen sich durch relativ einfache Methoden analysieren. In der Praxis sind Systeme leider selten linear und zeitinvariant. Es lassen sich jedoch häufig Teilbereiche finden, auf welche die Analysemethoden von LTI-System anwendbar sind. Der Hauptvorteil eines LTI-Systems besteht mit Sicherheit darin, dass sich LTI-Systeme aufgrund der Linearität in Teilsysteme zerlegen lassen.

### Eigenschaften von LTI-Systemen

Die Abkürzung LTI-Systeme steht für "linear time invariant systems", zu deutsch lineare zeitinvariante Systeme. Zeitinvariante Systeme haben ein konstantes Übertragungsverhalten. Die Übertragung des Signals ist unabhängig vom Zeitpunkt, an dem es an das System angelegt wird. Es wird zu jedem Zeitpunkt das gleiche Ausgangssignal erzeugt. Als Beispiel kann hier ein CD-Spieler dienen. Ein CD-Spieler ist ein zeitinvariantes System. Egal wann man das Lied 1 der CD XY abspielt, so hört man doch immer das gleiche Lied. Eine Zeitvarianz ist hier natürlich nicht erwünscht, da die Funktion des CD-Spielers die Rekonstruktion (aus zeit- und wertediskrete Signale) des ursprünglich aufgezeichneten Liedes ist. Als lineare Systeme bezeichnet man Systeme, für welche das Überlagerungsprinzip gilt. Das bedeutet, dass sich die Antwort auf die Summe mehrerer Eingangssignale als die Summe der Antworten auf die einzelnen Eingangssignale darstellen lässt.
Unter bestimmten Voraussetzungen (immer?) kann man zeigen, dass die Anwendung eines LTI-Systems auf ein Signal äquivalent zur Faltung des Signals mit einer bestimmten Wertereihe ist. Die Faltung ist extrem einfach zu implementieren und hat eine Reihe von wünschenswerten Eigenschaften für die Signalverarbeitung.

### Abtastung

Abtastung ist der Vorgang, mit dem man ein kontinuierliches Signal in ein zeit- und wertdiskretes Signal umwandelt. Diese wird durch A/D-Wandler realisiert. Um wert- bzw. zeitdiskrete Signale in das entsprechende kontinuierliche Signal zu überführen, benötigt man ein Hilfsmittel, das als Wandler zwischen diesen Signalen dient. Als Beispiel sei hier eine normale Musik-CD angeführt. Die Daten auf der CD liegen in digitaler (sprich diskreter) Form vor. Um nun die Aufzeichnung auf der CD hören zu können, muss das digitale Signal in ein analoges (kontinuierliches) Signal überführt werden. Umgekehrt war es bei der Aufzeichnung der CD im Tonstudio. Dort lagen die Informationen als analoges Signal vor und mussten in digitale Signale umgewandelt werden.
Verbindungsglieder dieser beiden Welten sind:
* A/D-Umsetzer
* D/A-Umsetzer

## Abtasttheorem

Um ein zeitkontinuierliches Signal nach einer idealen Abtastung mit einem idealen Rekonstruktionsfilter vollständig wiederherstellen zu können, muss die Abtastfrequenz mehr als doppelt so hoch sein wie die höchste im Signal vorkommende Frequenz. Da es aber weder ideale Abtastung noch ideale Rekonstruktionsfilter gibt, gelten in der Praxis meist strengere Anforderungen.
Auszug aus dem Artikel Nyquist-Shannon-Abtasttheorem des Online-Lexikons Wikipedia :
Das Abtasttheorem besagt, dass ein kontinuierliches, bandbegrenztes Signal mit einer Minimalfrequenz von 0 Hz und einer Maximalfrequenz f$_{max}$ mit einer Frequenz größer als 2 · f$_{max}$ abgetastet werden muss, damit man aus dem so erhaltenen zeitdiskreten Signal das Ursprungssignal ohne Informationsverlust (aber mit unendlich großem Aufwand) rekonstruieren bzw. (mit endlichem Aufwand) beliebig genau approximieren kann.
Für Nicht-Basisband-Signale, die eine minimale Frequenz größer 0 Hz haben, gilt das Abtasttheorem in einer verallgemeinerten Form, die Abtastfrequenz muss dann größer als zweimal die Bandbreite (= zweimal die Grenzfrequenz) des Signals sein.
Für untere Grenzfrequenz gleich 0:
    $f_{\rm {abtast}}>2\,f_{\rm {max}}$
und allgemein (auch für untere Grenzfrequenz größer als 0):
    $f_{\rm {abtast}}>2(\,f_{\rm {obereGrenzfrequenz}}-f_{\rm {untereGrenzfrequenz}})$
Der unendlich große Aufwand der in diesem Artikel genannt ist, bezieht sich auf ein ideales Rekonstruktionsfilter, einen Tiefpass (wenn die niedrigste vorkommende Frequenz f$_{min}$ = 0 ist) bzw. im allgemeinen Fall einen Bandpass.

## Fourieranalyse

Im Allgemeinen lassen sich Signale in Bestandteile verschiedener Frequenz zerlegen. Dies wird bei den verschiedenen Fouriertransformationen ausgenutzt.
Man unterscheidet zwischen folgenden Varianten:
* Fourier-Reihen von periodischen Signalen
* Fourier-Transformation von nicht periodischen Signalen
* Zeitdiskrete Fourier-Transformation von zeitdiskreten Signalen
* Diskrete Fourier-Transformation von zeitdiskreten Signalen
Für die zeitdiskrete digitale Signalverarbeitung sind primär die beiden letzteren wichtig.

### Zeitdiskrete Fourier-Transformation

Die Zeitdiskrete Fourier-Transformation bildet ein zeitdiskretes Signal auf ein kontinuierliches Frequenzspektrum ab.
Dabei errechnet sich das Spektrum $X(e^{j\omega })$ folgendermaßen:
$X(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]e^{j\omega n}$

### Diskrete Fourier-Transformation

Die Diskrete Fourier-Transformation bildet ein zeitdiskretes Signal auf ein diskretes Frequenzspektrum ab. Zeitdiskrete Signale lassen sich nämlich als Summe von komplexen Exponentialfunktionen darstellen:

## Laplace Transformation

Siehe auch: w:Laplace-Transformation

## z-Transformation

Siehe auch: w:Z-Transformation

## IIR- und FIR-Filter

Allgemein lassen sich LTI-Systeme mit folgender Gleichung beschreiben.
$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}*y[n-k]=\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}*x[n-k]$
FIR-Filter sind meist Filter mit großer Filterordnung (bis zu tausendster Ordnung). Aufgrund der Lage ihrer Polstellen sind FIR-Filter immer stabil und können nie instabil werden. Bei diesem Filter liegen alle Polstellen direkt im Nullpunkt des Einheitskreises im Z-Bereich. Ein typischer Vertreter der FIR-Filter ist der gleitende Mittelwert.
IIR-Filter haben im Vergleich zu FIR-Filtern eine niedrige Ordnung, d.h. wenige Polstellen. Allerdings können IIR-Filter instabil werden, da deren Polstellen auch außerhalb des Einheitskreises liegen können. Das wohl einfachste IIR-Filter ist das PT1-Glied (Tiefpass erster Ordnung).
Alternativ bietet sich die Darstellung als Faltung an:
$Filter[x](n)=\sum _{k\in \mathbb {Z} }^{\infty }x(k)y(n-k)$ wobei y die Repräsentation des Filters ist. In dieser Schreibweise ist ein FIR-Filter ein Filter mit endlich vielen Koeffizienten $\neq 0$ (F für finite), und ein IIR ein Filter mit unendlich vielen solchen (I für infinite).

## Literatur

* The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing, Steven W. Smith, http://www.dspguide.com/