# Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/ primitive Funktionen
## Motivation

In der Maßtheorie hatten wir den Begriff der Länge, Fläche und des Volumens geklärt: sie werden durch Maße auf Sigma-Algebren beschrieben. In der Integrationstheorie wollen wir auf der Basis der Maße einen Integralbegriff herleiten und dessen Eigenschaften untersuchen.

## Wo stehen wir

Wir hatten nachgerechnet, dass die Umkehrabbildung mit Mengenoperationen vertauscht. Seien $(W,S),(V,T)$ Messräume. Wir definierten eine Abbildung $X:W\rightarrow V$ als "messbar", wenn sie alle Mengen aus der Sigma-Algebra $T$ auf Mengen der Sigma-Algebra $S$ abbildete. Es genügte, die Messbarkeit auf dem Erzeugendensystem zu testen. Wir konstruierten uns durch Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Grenzwertbildung von numerischen Funktionen neue numerische Funktionen. Jetzt zeigen wir, dass sich alle nicht-negativen messbaren numerischen Funktionen $f:(W,S)\rightarrow ({\overline {\mathbb {R} }},{\overline {\mathbb {B} }})$ als Grenzwert einer monoton steigenden Folge von primitiven Funktionen darstellen lassen. Ganz entscheidend dafür ist die Voraussetzung der Messbarkeit.

## Noch einmal die Indikatorfunktion

Unsere einfachste primitive Funktion ist die Indikatorfunktion $1_{A}$, die auf einem $A\in S$ den Wert $1$ annimmt und auf $A^{C}$ den Wert Null.
Im Bild die Indikatorfunktion zu $A=(0,5\ ,\ 1\rbrack \cup (2\ ,\ 4\rbrack \cup (4,5\ ,\ 5\rbrack$.
Satz
Für $A\in S$ ist die Funktion
$1_{A}:W\rightarrow {\overline {\mathbb {R} }},w\mapsto {\begin{cases}1&{\text{ für }}w\in A\\0&{\text{ sonst}}\\\end{cases}}$
messbar.
Beweis
Wir rechnen die Definition der Messbarkeit nach
Sei $B\in {\overline {\mathbb {B} }}$. Ist die $1$ in $B$, so werden alle $w\in A$ auf $B$ abgebildet, ist die $0$ in $B$, so werden alle $w\in A^{C}$ auf $B$ abgebildet
$1_{A}^{-1}(B)={\begin{cases}A\in S&{\text{ für }}1\in B,0\not \in B\\A^{C}\in S&{\text{ für }}0\in B,1\not \in B\\W\in S&{\text{ für }}0,1\in B\\\emptyset \in S&{\text{ für }}0,1\not \in B\\\end{cases}}$

## Die primitiven Funktionen P

Aus den Indikatorfunktionen konstruieren wir bei disjunkten $A_{i}$ durch Addition und Multiplikation mit Konstanten unsere primitiven Funktionen.
Bild einfügen
Definition
Seien $A_{i}\in S$ mit $\biguplus _{i=1}^{n}A_{i}=W$ und $a_{i}\geq 0$
$f:(W,S)\rightarrow ({\overline {\mathbb {R} }},{\overline {\mathbb {B} }}),w\mapsto \sum _{i=1}^{n}a_{i}1_{A_{i}}(w)$
heißt primitive Funktion auf $(W,S)$. Sei
$P:=\left\{\sum _{i=1}^{n}a_{i}1_{A_{i}}(w):a_{i}\geq 0,A_{i}\in S,n\in \mathbb {N} ,\biguplus _{i=1}^{n}A_{i}=W\right\}$
die Menge dieser primitiven Funktionen.
Beweis
$f$ ist messbar, da die Indikatorfunktionen und die konstanten Funktionen
${\begin{aligned}&1_{A_{i}}:(W,S)\rightarrow (\mathbb {R} ,\mathbb {B} )\\&a_{i}:(W,S)\rightarrow (\mathbb {R} ,\mathbb {B} ),w\mapsto a_{i}\end{aligned}}$
messbar sind. Im letzten Kapitel haben wir gezeigt, dass dann auch das Produkt und die Summe messbar sind.

## Eigenschaften primitiver Funktionen

Die primitiven Funktionen sind der Ersatz für die Treppenfunktionen beim Riemannintegral. Beachte, dass die primitiven Funktionen immer nicht-negativ sind.
Satz
Seien $u,v\in P$ und $c\in [0,\infty )$. Dann sind die Summe zweier primitiver Funktionen, das Produkt einer primitiven Funktion mit einer Konstanten, das Maximum und das Minimum zweier primitiver Funktionen wieder eine primitve Funktion
$cu,u+v,\max(u,v),\min(u,v)\in P$
Beweis
Sei $u=\sum _{i=1}^{n}a_{i}1_{A_{i}}$ und $v=\sum _{j=1}^{k}b_{j}1_{B_{j}}$. Es gilt
$cu=\sum _{i=1}^{n}(c\cdot a_{i})1_{A_{i}}(w)\in P$
Wir verfeinern die beiden disjunkten Zerlegungen zu einer neuen disjunkten Zerlegung, indem wir die Schnitte der $A_{i}$ und $B_{j}$ betrachten
$\biguplus _{i=1}^{n}\biguplus _{j=1}^{k}\underbrace {(A_{i}\cap B_{j})} _{\in S}=\biguplus _{i=1}^{n}A_{i}\cap \biguplus _{j=1}^{k}B_{j}=W\cap W=W$
$u$ und $v$ lassen sich in dieser disjunkten Zerlegung schreiben als
${\begin{aligned}u=&\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{k}a_{i}1_{A_{i}\cap B_{j}}\in P\\v=&\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{k}b_{j}1_{A_{i}\cap B_{j}}\in P\end{aligned}}$
Damit lassen sich die Summe, Maximum und Minimum schreiben als
${\begin{aligned}u+v=&\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{k}(a_{i}+b_{j})1_{A_{i}\cap B_{j}}\in P\\\max(u,v)=&\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{k}\max(a_{i},b_{j})1_{A_{i}\cap B_{j}}\in P\\\min(u,v)=&\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{k}\min(a_{i},b_{j})1_{A_{i}\cap B_{j}}\in P\end{aligned}}$

## Die nicht-negativen messbaren numerischen Funktionen P*

Da wir gleich zeigen, dass sich nicht-negative Funktionen als Grenzwert monoton steigender Folgen primitiver Funktionen $u_{n}\in P$ darstellen lassen, definieren wir
Definition
Die Menge der nicht-negativen messbaren Funktionen ist
$P^{\ast }=\{f:W\rightarrow [0,\infty ]{\text{ messbar}}\}$
Damit $f=\sup f_{n}$ definiert ist, benötigt man, dass $f$ Werte in $\pm \infty$ annehmen kann.

## P* ist der Grenzwert primitiver Funktionen!

Nun zeigen wir die Gleichheit nicht-negativer Funktionen und der Grenzwerte monoton steigender primitiven Funktionenfolgen. Beachte, dass wir bei der Konstruktion den Wertebereich zerlegen, nicht den Definitionsbereich. Das ganze funktioniert nur, weil wir durch die Voraussetzung der Messbarkeit uns Ausschnitte aus dem Wertebereich beliebig auswählen können und mit der Umkehrabbildung zurückblicken können, welche Elemente aus dem Ursprungsraum dorthin abgebildet wurden. Hilfreich ist, dass die Sigma-Algebra, aus der wir im Bildbereich auswählen, sehr groß ist. Ohne die Messbarkeitsbedingung wäre die ganze Idee der Zerlegung im Wertebereich zum Scheitern verurteilt.
Mit welchem Programm wurden die Bilder für die Unterteilung des Riemannintegrales gemacht? Mathe_für_Nicht-Freaks:_Riemannintegral das könnte man hier gut verwenden
Satz
Es gilt
$f\in P^{\ast }\iff \exists {\text{ monoton steigende Folge }}(u_{n})_{n}{\text{ in }}P:f=\sup _{n}u_{n}$
Beweis
"$\Leftarrow$":
Da $u_{n}\geq 0$ messbar ist, ist $\sup _{n}u_{n}$ messbar und $\sup _{n}u_{n}\geq 0$.
"$\Rightarrow$": 1.) Konstruktion der u_n:
Betrachte im ersten Schritt die $w\in W$, die von $f$ auf das Intervall $[0,1/2)$ bzw. $[1/2,1)$ abgebildet werden
${\begin{aligned}A_{0,1}=&\left\{0\leq f<1/2\right\}\\A_{1,1}=&\left\{1/2\leq f<1\right\}\\\end{aligned}}$
Da $f\geq 0$ nach Voraussetzung erhalten wir die disjunkte Zerlegung von $W$
$W=\left\{0\leq f<1/2\right\}\uplus \left\{1/2\leq f<1\right\}\uplus \{f\geq 1\}$
Setze die Werte von $u_{1}(w)$ auf $A_{0,1}$, $A_{1,1}$ bzw. $\{f\geq 1\}$ fest als das dortige Minimum von $f$, d.h. also $0$, $1/2$ bzw. $1$
$u_{1}={\frac {1}{2}}\cdot 1_{A_{1,1}}+1_{\{f\geq 1\}}$
Da $f$ messbar ist, gilt
${\begin{aligned}A_{1,1}=\left\{1/2\leq f\right\}\cap \left\{f<1\right\}\in S\\\{f\geq 1\}\in S\end{aligned}}$
Somit ist $u_{1}$ messbar und in $P$.
Unterteile den Wertebereich im $n$-ten Schritt in Abschnitte der Länge ${\frac {1}{2^{n}}}$. Damit $u_{n}$ endlich bleibt, schneide ab bei $n$. Das ergibt $n\cdot 2^{n}-1$ Intervalle.
Wegen $f\geq 0$ wird jedes $w$ auf $[0,\infty ]$ abgebildet und $W$ lässt sich schreiben als disjunkte Vereinigung
$W=\left\{0\leq f<{\frac {1}{2^{n}}}\right\}\uplus \ldots \uplus \left\{{\frac {n\cdot 2^{m}-1}{2^{n}}}\leq f<n\right\}\uplus \{f\geq n\}$
Setze
$A_{i,n}=\left\{{\frac {i}{2^{n}}}\leq f<{\frac {i+1}{2^{n}}}\right\}$
Zur Konstruktion von $u_{n}\in P$ wähle in jedem dieser $A_{i,n}$ als Funktionswert der zu konstruierenden primitiven Funktion den kleinsten Wert von $f$ auf der Menge, d.h. den Wert ${\frac {i}{2^{n}}}$. Auf der Menge $\{f\geq n\}$ wähle als Funktionswert von $u_{n}$ den Wert $n$. Das ergibt die Darstellung
$u_{n}=\sum _{i=0}^{n2^{n}-1}{\frac {i}{2^{n}}}1_{A_{i,n}}+n1_{\{f\geq n\}}$
Da $f$ messbar ist, sind die $A_{i,n}$ in $S$, denn
$\left\{{\frac {i}{2^{n}}}\leq f<{\frac {i+1}{2^{n}}}\right\}=\underbrace {\left\{{\frac {i}{2^{n}}}\leq f\right\}} _{\in S}\cap \underbrace {\left\{f<{\frac {i+1}{2^{n}}}\right\}} _{\in S}\in S$
Damit sind die $u_{n}\in P$.
Im $n+1$-ten Schritt werden die Intervalle $\left\{{\frac {i}{2^{n}}}\leq f<{\frac {i+1}{2^{n}}}\right\}$ im Wertebereich genau halbiert. Für $0\leq i\leq (n+1)2^{n+1}-1$ setze
$A_{i,n+1}=\left\{{\frac {i}{2^{n+1}}}\leq f<{\frac {i+1}{2^{n+1}}}\right\}$
Auf den kleineren Mengen $A_{i,n+1}$ wählt man als Funktionswert von $u_{n+1}\in P$ erneut den kleinsten Wert von $f$, d.h. ${\frac {i}{2^{n+1}}}$, auf der (gegenüber $\{f\geq n\}$) kleineren Menge $\{f\geq n+1\}$ wählt man den Funktionswert $n+1$ und erhält die Darstellung von $u_{n+1}$
$u_{n+1}=\sum _{i=0}^{(n+1)2^{n+1}-1}{\frac {i}{2^{n+1}}}1_{A_{i,n+1}}+(n+1)1_{\{f\geq n+1\}}$
2. Die Folge $(u_{n})_{n}$ ist monoton wachsend:
Wir müssen nun zeigen, dass diese Folge $(u_{n})_{n}$ monoton steigend ist. Betrachte dazu die Zerlegung von $W$ durch die $A_{i,n+1}$: Für $0\leq i\leq n2^{n+1}-2$ sind sie eine Verfeinerung von den $A_{i,n}$: wegen
${\begin{aligned}A_{2i,n+1}=&\left\{{\frac {2i}{2^{n+1}}}\leq f<{\frac {2i+1}{2^{n+1}}}\right\}\\A_{2i+1,n+1}=&\left\{{\frac {2i+1}{2^{n+1}}}\leq f<{\frac {2i+2}{2^{n+1}}}\right\}\\\end{aligned}}$
gilt
${\begin{aligned}A_{2i,n+1}\uplus A_{2i+1,n+1}=&\left\{{\frac {2i}{2^{n+1}}}\leq f<{\frac {2i+2}{2^{n+1}}}\right\}\\=&\left\{{\frac {i}{2^{n}}}\leq f<{\frac {i+1}{2^{n}}}\right\}\\=&A_{i,n}\end{aligned}}$
Für die Funktionswerte gilt auf $A_{2i,n+1}$ und $A_{2i+1,n+1}$ dass $u_{n+1}(w)\geq u_{n}(w)$
${\begin{aligned}u_{n+1}(w)=&{\frac {2i}{2^{n+1}}}={\frac {i}{2^{n}}}=u_{n}(w){\text{ auf }}A_{2i,n+1},0\leq 2i\leq n2^{n+1}-2\\u_{n+1}(w)=&{\frac {2i+1}{2^{n+1}}}>{\frac {i}{2^{n}}}=u_{n}(w){\text{ auf }}A_{2i+1,n+1},0\leq 2i+1\leq n2^{n+1}-2\\\end{aligned}}$
Nun prüfen wir die Funktionswerte auf der Menge $\{n\leq f<n+1\}$. Diese lässt sch disjunkt zerlegen in
${\begin{aligned}\{n\leq f<n+1\}=&\left\{n\leq f<{\frac {n2^{n+1}+1}{2^{n+1}}}\right\}\uplus \ldots \uplus \left\{{\frac {(n+1)2^{n+1}-1}{2^{n+1}}}\leq f<n+1\right\}\\=&\biguplus _{i=n2^{n+1}}^{(n+1)2^{n+1}-1}A_{i,n+1}\end{aligned}}$
Auf den $A_{i,n+1}$ gilt für $n2^{n+1}\leq i\leq (n+1)2^{n+1}-1$ dass $u_{n+1}(w)\geq u_{n}(w)$
$u_{n+1}(w)={\frac {i}{2^{n+1}}}\geq {\frac {n2^{n+1}}{2^{n+1}}}=n=u_{n}(w)$
Nun prüfen wir die Funktionswerte auf der Menge $\{f\geq n+1\}$. Dort gilt ebenfalls $u_{n+1}(w)\geq u_{n}(w)$
$u_{n+1}(w)=n+1>n=u_{n}(w){\text{ auf }}\{f\geq n+1\}$
Damit ist für alle $w\in W\ u_{n+1}(w)$ größer oder gleich dem Wert von $u_{n}(w)$ . Damit ist die Folge primitiver Funktionen $(u_{n})_{n}$ monoton steigend.
3. Der Grenzwert der $u_{n}$ ist $f$:
Zeige
$\sup _{n}u_{n}=\lim _{n}u_{n}=f$
Sei $w\in W$ beliebig. Für $f(w)\in \mathbb {R}$ ist der Funktionswert kleiner gleich einem $n_{0}\in \mathbb {N}$
$\exists n_{0}\in \mathbb {N} :f(w)\leq n_{0}$
Für alle $n>n_{0}$ liegt $w$ in einem $A_{i,n}$, d.h. es gibt ein $0\leq i\leq n2^{n}-1$ mit
$w\in \left\{{\frac {i}{2^{n}}}\leq f<{\frac {i+1}{2^{n}}}\right\}$
Dort ist der Funktionswert
$u_{n}={\frac {i}{2^{n}}}$
und es folgt
$|u_{n}(w)-f(w)|\leq {\frac {1}{2^{n}}}$
Im Grenzwert folgt $\lim _{n\rightarrow \infty }u_{n}(w)=f(w)$.
Für $f(w)=\infty$ ist der Funktonswert für alle $n\in \mathbb {N}$ größer $n$
$\forall n\in \mathbb {N} :\ w\in \{f\geq n\}$
und somit
$\lim _{n\rightarrow \infty }u_{n}(w)=\lim _{n\rightarrow \infty }n=\infty =f(w)$
Insgesamt ergibt sich
$\forall w\in W:\lim _{n\rightarrow \infty }u_{n}(w)=f(w)$

## Eigenschaften von Funktionen aus P*

Satz
Für $f,g\in P^{\ast }$ und $c\in [0,\infty )$ gilt
$cf,f+g,f\cdot g,\min(f,g),\max(f,g)\in P^{\ast }$
Beweis
Alle sind messbar gemäß dem letzten Kapitel und größer gleich Null.