# Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/ Jordan-Inhalt

Formale Herleitung und wichtige Eigenschaften des w:Jordan-Maß

## Innerer und äußerer Peano-Jordan-Inhalt

Definition
Sei $A\subset \mathbb {R} ^{n}$.
* Der innere Peano-Jordan-Inhalt ist definiert als ${\begin{aligned}m_{\ast }(A):=\sup \left\{m(B):B\in F^{p},B\subseteq A\right\}\end{aligned}}$ Wir nehmen also das "Maximum" der Flächeninhalte von Quaderfiguren innerhalb von $A$. Da das Maximum eventuell durch Quaderfiguren nicht angenommen wird, wählen wir das Supremum, das immer existiert. Ausschöpfung eines Kreises mit Rechtecken
* Der äußere Peano-Jordan-Inhalt ist definiert als ${\begin{aligned}m^{\ast }(A):=\inf \left\{m(B):B\in F^{p},A\subseteq B\right\}\end{aligned}}$ Wir nehmen also das "Minimum" der Flächeninhalte von Quaderfiguren, die $A$ überdecken. Da das Minimum eventuell durch Quaderfiguren nicht angenommen wird, wählen wir das Infimum, das immer existiert. Überdeckung eines Kreises mit Rechtecken
* Die Menge $A$ heißt Peano-Jordan-messbar genau dann wenn innerer und äußerer Peano-Jordan-Inhalt gleich sind $m_{\ast }(A)=m^{\ast }(A)<\infty$

## Der innere Inhalt ist kleiner als der äußere

Da der innere Inhalt berechnet wird über Quaderfiguren, die innerhalb $A$ liegen, und der äußere berechnet wird über Quaderfiguren, die $A$ überdecken, sollte der äußere Peano-Jordan-Inhalt immer größer sein als der innere. Und das ist auch der Fall:
Satz
Es gilt für jedes $A\subset \mathbb {R} ^{n}$
${\begin{aligned}m_{\ast }(A)\leq m^{\ast }(A)\end{aligned}}$
Beweis
Es gilt
${\begin{aligned}\forall A\supset B\in F^{p}\quad \forall A\subset C\in F^{p}:\ B\subseteq A\subseteq C\end{aligned}}$
Wir haben im letzten Kapitel gezeigt, dass der Inhalt auf den Quaderfiguren monoton ist Mathe_für_Nicht-Freaks: Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/ Quader-_und_Rechtecksfiguren#Eigenschaft_eines_Inhalts:_Monotonie, daher folgt
${\begin{aligned}\forall A\supset B\in F^{p}\quad \forall A\subset C\in F^{p}:\ m(B)\leq m(C)\end{aligned}}$
Geht man links zum Supremum und rechts zum Infimum über, bleibt das Kleiner-Gleich-Zeichen erhalten.
${\begin{aligned}\sup _{A\supset B\in F^{p}}m(B)\leq \inf _{A\subset C\in F^{p}}m(C)\end{aligned}}$
Das ist aber genau die Definition von innerem und äußerem Peano-Jordan-Inhalt
${\begin{aligned}m_{\ast }(A)\leq m^{\ast }(A)\end{aligned}}$

## Quaderfiguren sind messbar mit bekanntem Inhalt

Für Quaderfiguren erwarten wir, dass sie messbar sind der Inhalt aus dem letzten Kapitel denselben Wert annimmt wie der Peano-Jordan-Inhalt. Das müssen wir dennoch kurz beweisen.
Satz
Quaderfiguren $A=\biguplus _{i=1}^{n}A_{i}\in F^{p}$ sind Peano-Jordan-messbar und ihr Peano-Jordan-Inhalt ist genau der Inhalt, den wir in letztem Kapitel festgelegt haben
${\begin{aligned}m(A)=\sum _{i=1}^{n}\prod _{j=1}^{p}(b_{ij}-a_{ij}).\end{aligned}}$
Beweis
Verwende $A$ selbst als echtes Maximum der Ausschöpfungen von $A$ mit Quaderfiguren und als echtes Minimum der Überdeckungen mit Quaderfiguren, das ergibt
${\begin{aligned}m_{\ast }(A)=&m(A)\\m^{\ast }(A)=&m(A)\end{aligned}}$
Damit liegt der Wert fest und insbesondere sind Quaderfiguren Peano-Jordan-messbar.

## Sub-/Superadditivität von äußerem/innerem Inhalt

Wir wollen im übernächsten Satz die Additivität des Peano-Jordan-Inhaltes zeigen und benötigen dazu folgende zwei Ungleichungen .
Satz
Seien $A_{1}\ldots A_{n}\in \mathbb {R} ^{p}$ beliebig. Dann gilt
* Der äußere Peano-Jordan-Inhalt ist subadditiv ${\begin{aligned}m^{\ast }\left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}m^{\ast }(A_{i})\end{aligned}}$ Wenn sich die Mengen überschneiden, ist anschaulich ihre Fläche kleiner als die Summe der Einzelflächen. Das sagt die Gleichung aus.
* Seien die $A_{i}$ zudem disjunkt. Dann ist der innere Peano-Jordan-Inhalt superadditiv ${\begin{aligned}m_{\ast }\left(\biguplus _{i=1}^{n}A_{i}\right)\geq \sum _{i=1}^{n}m_{\ast }(A_{i})\end{aligned}}$
Beweis
Sei $\varepsilon >0$. Da das äußere Maß als Infimum definiert ist, gibt es für jedes $1\leq i\leq n$ ein $B_{i}\in F^{p}$ sodass
${\begin{aligned}A_{i}\subset B_{i}\in F^{p}\\m^{\ast }(A_{i})+{\frac {\varepsilon }{n}}\geq m(B_{i})\end{aligned}}$
Weil die Vereinigung der $B_{i}$ wieder eine Quaderfigur ist Mathe_für_Nicht-Freaks: Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/_Quader-_und Rechtecksfiguren#Vereinigung_zweier_Quaderfiguren, die zudem $\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}$ enthält, gilt mit der Definition des äußeren Maßes als Infimum
${\begin{aligned}m^{\ast }\left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)\leq m\left(\bigcup _{i=1}^{n}B_{i}\right)\end{aligned}}$
Mit der Subadditivität des Inhaltes auf Quaderfiguren Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/ Quader-_und_Rechtecksfiguren#Eigenschaft_von_Inhalten: Subadditivität folgen dann
${\begin{aligned}m^{\ast }\left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)\leq &m\left(\bigcup _{i=1}^{n}B_{i}\right)\\\leq &\sum _{i=1}^{n}m(B_{i})\\\leq &\sum _{i=1}^{n}\left(m^{\ast }(A_{i})+{\frac {\varepsilon }{n}}\right)\\=&\varepsilon +\sum _{i=1}^{n}m^{\ast }(A_{i})\end{aligned}}$
Da $\varepsilon$ beliebig war, folgt die Behauptung.
Ganz analog folgt Superadditivität: Sei $\varepsilon >0$. Da das innere Maß als Supremum definiert ist, gibt es für jedes $1\leq i\leq n$ ein $B_{i}\in F^{p}$ sodass
${\begin{aligned}A_{i}\supset B_{i}\in F^{p}\\m_{\ast }(A_{i})-m(B_{i})\leq {\frac {\varepsilon }{n}}\end{aligned}}$
Weil die disjunkte Vereinigung der $B_{i}$ (da die $A_{i}$ schon disjunkt waren) wieder eine Quaderfigur ist, die zudem $\biguplus _{i=1}^{n}A_{i}$ enthält, gilt mit der Definition des inneren Maßes als Supremum
${\begin{aligned}m_{\ast }\left(\biguplus _{i=1}^{n}A_{i}\right)\geq m\left(\biguplus _{i=1}^{n}B_{i}\right)\end{aligned}}$
Mit der Additivität des Inhaltes auf Quaderfiguren Mathe_für_Nicht-Freaks: Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/ Quader-_und_Rechtecksfiguren#Inhaltsfunktion folgen dann
${\begin{aligned}m_{\ast }\left(\biguplus _{i=1}^{n}A_{i}\right)\geq &m\left(\biguplus _{i=1}^{n}B_{i}\right)\\=&\sum _{i=1}^{n}m(B_{i})\\\geq &\sum _{i=1}^{n}\left(m_{\ast }(A_{i})-{\frac {\varepsilon }{n}}\right)\\=&-\varepsilon +\sum _{i=1}^{n}m^{\ast }(A_{i})\end{aligned}}$
Da $\varepsilon$ beliebig war, folgt die Behauptung.

## Der Peano-Jordan-Inhalt ist additiv

Nun kommen wir zur entscheidenden Eigenschaft des Peano-Jordan-Imhaltes.
Satz
Seien $A_{1}\ldots A_{n}\in \mathbb {R} ^{p}$ Peano-Jordan-messbar und disjunkt. Dann ist $\biguplus _{i=1}^{n}A_{i}$ Peano-Jordan-messbar und es gilt
${\begin{aligned}m\left(\biguplus _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}m(A_{i})\end{aligned}}$
Beweis
Mit dem letzten Satz folgt die Behauptung.
${\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}m_{\ast }(A_{i})\leq m_{\ast }\left(\biguplus _{i=1}^{n}A_{i}\right)\leq m^{\ast }\left(\biguplus _{i=1}^{n}A_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}m^{\ast }(A_{i})\end{aligned}}$

## Eigenschaften des Jordanmaßes

Inhalt statt Maß
Ergänzung: Der Jordan-Inhalt ist Subadditiv (wurde im vorherigen Abschnitt für Quaderfiguren gezeigt)
Zeige: Positivität und Monotonie von innerem und äußerem Jordan- Inhalt
Zeige: Nullmengen des äußeren Maßes sind Jordan-messbar.
Zeige: $m_{\ast }(A)=m(B)-m^{\ast }(B\backslash A)$ für beschränkte Jordan-messbare $B$ und beliebige (!) $A\subset B$ Zeige : Sind $A,B$ beschränkt und Jordan messbar, so auch $A\cap B$ und $B\backslash A$
Zeige: Sei $D$ beschränkt und Jordan messbar. Dann ist die Klasse der Jordan-messbaren Teilmengen von $D$ eine Algebra
Topologie: $m^{\ast }(A)=m^{\ast }({\overline {A}})$ und $m_{\ast }(A)=m_{\ast }(A^{\circ })$ etc...
Zeige $\mathbb {Q} \cap [0,1]$ ist nicht Jordan-messbar.
Zeige die Menge $(0,1]\times (0,1]\uplus (0,1]\times (0,1/2]\uplus (0,1]\times (0,1/4]\uplus ...$ ist nicht Jordan-messbar, obwohl anschaulich der Flächeninhalt $2$ sein müsste.
warum können diese Mengen disjunkt vereinigt werden? Konstruiere die zu vereinigenden Mengen, sodass sie disjunkt sind: $A_{n}=(0,1]\times (0,1/2^{n}],\quad \bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}=\bigsqcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\setminus A_{n+1}$
Daher erweitern wir unsere Definition auf abzählbare Überdeckungen zum Lebesguemaß

## Literatur

* Eigenschaften: http://www.jkrieger.de/mathe/analysis/node66.html
* Zusammenfassung: https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Jordan_measure
* Skript, welches mit Jordan-Maß beginnt: https://www.alt.mathematik.uni-mainz.de/Members/froehli/skripte/ws2011/kapitel04.pdf