# Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/ Intervalle, Rechtecke und Quader
## Motivation

Um den Inhalt einer Fläche zu bestimmen, können wir diese von innen und von außen mit Rechtecken ausschöpfen bzw. überdecken:
* Ausschöpfung eines Kreises mit Rechtecken
* Überdeckung eines Kreises mit Rechtecken
Der Flächeninhalt jeder Ausschöpfung und Überdeckung ergibt sich aus der Summe der Flächeninhalte der jeweiligen Einzelrechtecke. Dabei ist jede Ausschöpfung eine Abschätzung des tatsächlichen Flächeninhalts nach unten und jede Überdeckung eine Abschätzung nach oben. Stimmt der Grenzwert des Inhalts bei immer feinerer Ausschöpfung mit dem bei immer feinerer Überdeckung überein, so nennen wir diesen Grenzwert den Flächeninhalt.
Rechtecke sind also die Grundelemente, um den Inhalt einer Fläche zu bestimmen. Sie können gut zusammengelegt werden und ihr Flächeninhalt ist einfach bestimmbar:
Im Folgenden wollen wir formal definieren, was Rechtecke sind und ihre Eigenschaften kennenlernen. Diese werden wir im nächsten Abschnitt verwenden, um aus ihnen Eigenschaften von allgemeineren Quaderfiguren abzuleiten, durch welche wiederum allgemeinere Flächen durch Grenzübergänge angenähert werden können.
Da wir das Maß in beliebigen Räumen des $\mathbb {R} ^{n}$ definieren wollen, werden wir das Konzept des Rechtecks allgemein für beliebig dimensionale Räume einführen. Auf der Gerade $\mathbb {R}$ sind dies Intervalle, in der Ebene $\mathbb {R} ^{2}$ Rechtecke und im Raum $\mathbb {R} ^{3}$ Quader. Diese Vorstellung können wir leider nicht für höhere Dimensionen fortführen, das Konzept jedoch schon.

## Intervalle, Rechtecke und Quader
### Herleitung der Definition

Nehmen wir ein Rechteck in der Ebene:
Bild eines Rechtecks $[1,3]\times [1,2]$ in der Ebene in einem Koordinatensystem
Dieses Rechteck ist die Menge aller Punkte $(x,y)$ mit $1\leq x\leq 3$ und $1\leq y\leq 2$. Anders ausgedrückt, können wir das Rechteck als die Menge der Punkte $(x,y)$ definieren, bei den $x\in [1,3]$ und $y\in [1,2]$ ist. Eine solche Menge $R$ wird über das kartesische Produkt definiert:
$R=\{(x,y):x\in [1,3],y\in [1,2]\}=[1,3]\times [1,2]$
Damit ermöglicht das kartesische Produkt die Definition eines Rechtecks in der Ebene. Allgemein sind es Mengen der Form $[a,b]\times [c,d]$. Jedoch hat diese Definition einen Nachteil. Da die Ränder des Rechtecks zum Rechteck dazugehören, können wir die Rechtecke nicht überlappungsfrei aneinanderlegen. Wenn wir nämlich zwei Rechtecke aneinanderlegen, so liegen die Punkte der gemeinsamen Seite auf beiden Rechtecken (der dicke schwarze Balken in der Mitte):
Die Lösung hierzu ist, in der Definition nur halboffene Rechtecke zu betrachten, bei denen die linke und die untere Seite nicht zum Rechteck dazugehören. Dabei sollen im Bild die schwarz markierten Ränder zum halboffenen Rechteck hinzugehören, die nicht markierten Ränder nicht.

### Vorteile halboffener Intervalle und Quader in der Definition

Erklärende Graphiken zu den genannten Vorteilen einfügen, die das Gesagte illustrieren
Als Grundintervall benutzen wir in den reellen Zahlen $\mathbb {R}$ das halboffene Intervall $(a,b]$. Dies hat einige Vorteile:
* Die halboffenen Intervalle können lückenlos und ohne Überschneidung aneinandergelegt werden. Dies gilt auch für n-dimensionale Quader der Form $(a_{1},b_{1}]\times \ldots \times (a_{n},b_{n}]$. Dies macht Überdeckungen und Ausschöpfungen durch Quader einfacher.
* Der Schnitt des Intervalls $(a,b]$ mit einem anderen Intervall $(c,d]$ ist $(\max(a,c),\min(b,d)]$. Dies ist (wenn die beiden Intervalle nicht disjunkt sind) wieder ein linksseitig offenes und rechtsseitig abgeschlossenes Intervall. Durch Schnitte erhält man also wieder ein Intervall desselben Typs. Auch dies gilt nicht nur für eindimensionale Intervalle, sondern auch für mehrdimensionale Quader der Form $(a_{1},b_{1}]\times \ldots \times (a_{n},b_{n}]$.
* Schneidet man aus einem Intervall $(a,b]$ ein anderes Intervall $(c,d]$ heraus, ist der Rest eine disjunkte Vereinigung von ein oder zwei halboffenen Intervallen der Form $(a,\max(a,c)]$ und $(\min(b,d),b]$ (wenn $(c,d]$ die Menge $(a,b]$ beinhaltet, so ist die Differenz die leere Menge).
* Die Vereinigung zweier halboffener Intervalle $(a,b]$ und $(c,d]$ ist wieder ein halboffenes Intervall für den Fall $c\leq b$ (im Fall $c>b$ ergeben sich wieder die beiden halboffenen Intervalle $(a,b]$ und $(c,d]$).
Halboffene Intervalle können also lückenlos zusammengelegt werden. Würden wir abgeschlossene Intervalle $[a,b]$ oder offene Intervalle $(a,b)$ betrachten, hätten wir diese schöne Eigenschaft nicht: Schneidet man aus einem Intervall $[a,b]$ ein Intervall $[c,d]$ heraus, so erhält man die leere Menge oder ein beziehungsweise zwei Intervalle der Form $[a,\max(a,c))$ und $(\min(b,d),b]$, welche nicht abgeschlossen sind.
Ähnliches gilt für Quader höherer Dimension und deswegen betrachten wir linksseitig offene und rechtsseitig abgeschlossene Quader im $R^{n}$, d.h Mengen der Form $(a_{1},b_{1}]\times \ldots \times (a_{n},b_{n}]$. Beispielsweise ist $(1,3]\times (1,2]$ ein solches halboffenes Rechteck im $\mathbb {R} ^{2}$. Rechtecke dieser Form werden wir „verallgemeinerte Quader“ oder kurz „Quader“ nennen. In der Geraden $\mathbb {R}$ sind unsere Quader von der Form $(a_{1},b_{1}]$, in der Ebene $\mathbb {R} ^{2}$ von der Form $(a_{1},b_{1}]\times (a_{2},b_{2}]$, im Raum $\mathbb {R} ^{3}$ von der Form $(a_{1},b_{1}]\times (a_{2},b_{2}]\times (a_{3},b_{3}]$.
In der Literatur findet man auch andere Definitionen von Quadern, in denen auch offene und abgeschlossene Intervalle als Quader zugelassen sind. Das kommt daher, dass der "Flächeninhalt" des Randes einer Fläche normalwerweise null und somit irrelevant für die Flächenbestimmung ist. Die Reduktion auf halboffene Intervalle hat für Beweise aber große Vorteile, sie erspart uns umfangreiche Fallunterscheidungen.

### Definition

Definition (Verallgemeinerte Quader)
Ein verallgemeinerter Quader im $\mathbb {R} ^{n}$ ist eine Menge der Form $(a_{1},b_{1}]\times (a_{2},b_{2}]\times \ldots \times (a_{n},b_{n}]$ mit $a_{i},b_{i}\in \mathbb {R}$ $\forall i\in \{1,...,n\}$. Dabei sehen wir die leere Menge auch als Quader an, die wir erhalten, wenn mindestens eines der halboffenen Intervalle $(a_{i},b_{i}]$ leer ist, also $a_{i}\geq b_{i}$ gilt. Für die Menge $I^{n}$ aller verallgemeinertern Quader im $\mathbb {R} ^{n}$ gilt also:
$I^{n}=\left\{(a_{1},b_{1}]\times \ldots \times (a_{n},b_{n}]:a_{i},b_{i}\in \mathbb {R} ,a_{i}<b_{i}\right\}\cup \{\emptyset \}$
Wir folgen in unserer Definition der Konvention, die leere Menge auch als Quader zu betrachten. Gerade in Beweisen ist dies hilfreich, da dort häufiger die leere Menge auftritt (beispielsweise beim Schnitt von Mengen) und wir so Fallunterscheidungen vermeiden können.

### Inhalt eines Quaders

Der Inhalt eines Quaders ist naheliegend das Produkt der Seitenlängen. Dabei ist bei einem Quader $(a_{1},b_{1}]\times \ldots \times (a_{n},b_{n}]$ die Differenz $b_{i}-a_{i}$ die Seitenlänge der $i$-ten Seite:
Definition (Inhalt eines Quaders)
Die Inhaltsfunktion $m$ auf der Menge der Quader $I^{n}$ bildet auf die positiven reellen Zahlen ab, indem sie das Produkt der Seitenlängen des Quaders berechnet.
$m:I^{n}\rightarrow [0,\infty ),(a_{1},b_{1}]\times \ldots \times (a_{n},b_{n}]\mapsto \prod _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i})$

## Quader sind durchschnittsstabil

Ausführlicher motivieren, was uns diese Eigenschaft nützt/nützen wird:
* die Stabilität von ${\mathcal {I}}^{n}$ gegenüber endlichen Schnitten werden wir schon im nächsten Abschnitt nutzen, um die Unabhängigkeits des Inhalts von Quaderfiguren von der gewählten Darstellung als endliche Vereinigung von halboffenen Quadern zu zeigen

### Motivation

Das Besondere an halboffenen Rechtecken ist, dass der Schnitt zweier halboffener Rechtecke wieder ein halboffenes Rechteck ist, im Bild das violette Rechteck in der Mitte.
Dabei sind der obere und der rechte Rand mit einem schwarzen Balken markiert, um zu verdeutlichen, dass dieser Teil noch zum Rechteck gehört. Diese Eigenschaft wird im nächsten Kapitel benötigt, um die Eindeutigkeit des Inhaltes von Quaderfiguren (und somit auch die des Lebesguemaßes) zu garantieren.

### Satz

Satz
Der Schnitt zweier Quader ist wieder ein Quader:
$\forall A,B\in I^{p}:\ A\cap B\in I^{p}$
Beweis
Die Darstellungen von $A,B$ seien wie folgt
${\begin{aligned}A=&(a_{11},b_{11}]\times \ldots \times (a_{1n},b_{1n}]\\B=&(a_{21},b_{21}]\times \ldots \times (a_{2n},b_{2n}]\end{aligned}}$
Fall 1: $\exists j\in \{1,...,n\}:\max _{i\in \{1,2\}}a_{i,j}\geq \min _{i\in \{1,2\}}b_{i,j}$. Dann sind die beiden Quader disjunkt, ihr Schnitt ist also leer und liegt damit in $I^{n}$:
${\begin{aligned}(a_{11},b_{11}]\times \ldots \times (a_{1n},b_{1p}]\ \cap \ (a_{21},b_{21}]\times \ldots \times (a_{2n},b_{2n}]\\=(a_{11},b_{11}]\cap (a_{21},b_{21}]\times \ldots \times (a_{1j},b_{1j}]\cap (a_{2j},b_{2j}]\ldots \times (a_{1n},b_{1n}]\cap (a_{2n},b_{2n}]\\=(a_{11},b_{11}]\cap (a_{21},b_{21}]\times \ldots \times \emptyset \times \ldots (a_{1n},b_{1n}]\cap (a_{2n},b_{2n}]=\emptyset \in I^{n}\end{aligned}}$
Fall 2: Der Schnitt beider Quader ist nichtleer, es gilt also $\forall j:\max _{i\in \{1,2\}}a_{i,j}<\min _{i\in \{1,2\}}b_{i,j}$:
${\begin{aligned}&(a_{11},b_{11}]\times \ldots \times (a_{1p},b_{1p}]\ \cap \ (a_{21},b_{21}]\times \ldots \times (a_{2p},b_{2p}]\\=&(a_{11},b_{11}]\cap (a_{21},b_{21}]\times \ldots \times (a_{1n},b_{1n}]\cap (a_{2n},b_{2n}]\\=&(\max _{i\in \{1,2\}}a_{i1},\min _{i\in \{1,2\}}b_{i1}]\times \ldots \times (\max _{i\in \{1,2\}}a_{in},\min _{i\in \{1,2\}}b_{in}]\in I^{n}\end{aligned}}$

## Differenz von Quadern
### Motivation

ausführlichere Motivation: was wird uns dieser Satz nützen? Die Eigenschaft, dass die Differenz halboffener Rechtecke $A\backslash B$ eine disjunkte Vereinigung von halboffenen Rechtecken ist, werden wir im nächsten Abschnitt nutzen um zu zeigen, dass die Differenz zweier Quaderfiguren wieder eine endliche Quaderfigur ist
Bei der Differenz halboffener Rechtecke $A\backslash B$ erhalten wir eine disjunkte Vereinigung von halboffenen Rechtecken:
* Ein Rechteck aus einem Rechteck herausgeschnitten ergibt 2 kleine disjunkte Rechtecke
* Ein Rechteck aus einem Rechteck herausgeschnitten ergibt 3 kleine disjunkte Rechtecke
* Ein Rechteck aus einem Rechteck herausgeschnitten ergibt 4 kleine disjunkte Rechtecke
Diese Eigenschaft wird schon im nächsten Kapitel benötigt, um zwei Quaderfiguren vereinigen zu können. Diese Vereinigung können wir durch Differenzbildung als disjunkte Vereinigung von Quadern schreiben. Das setzt voraus, dass die Differenz von Quadern einfach zu handhaben ist.
Zudem benötigen wir die Differenz, um zu zeigen, dass der Inhalt von Quaderfiguren monoton ist. Das wiederum geht ein in die Definition des Peano-Jordan-Inhaltes.

### Die Differenz von Quadern

Satz (Eigenschaften von Quadern)
Schneidet man einen Quader $B$ aus einem Quader $A$ heraus, so erhält man eine disjunkte Vereinigung von Quadern. In mathematischer Formulierung: Für alle Quader $A,B$ gibt es eine natürliche Zahl $m$, sodass sich die Differenz $A\backslash B$ schreiben lässt als disjunkte Vereinigung von $m$ Quadern $C_{j}$
$A\backslash B=\biguplus _{i=1}^{m}C_{j}$
Beweis (Eigenschaften von Quadern)
Wir führen den Beweis mittels Induktion nach der Dimension $n$ des Raumes.
Aussageform, deren Allgemeingültigkeit für $n\in \mathbb {N}$ bewiesen werden soll:
Für alle Quader $A,B\in I^{n}$ gibt es eine natürliche Zahl $m$, sodass sich die Differenz $A\backslash B$ schreiben lässt als disjunkte Vereinigung von $m$ Quadern $C_{j}$
$A\backslash B=\biguplus _{i=1}^{m}C_{j}$
1. Induktionsanfang:
(für n=2): Das Komplement des roten Rechtecks ${\color {Red}B=(a_{21},b_{21}]\times (a_{22},b_{22}]}$ lässt sich darstellen durch folgende vier bunte Bereiche als eine disjunkte Vereinigung
* ${\color {VioletRed}{\text{aller Punkte, die in der 1. Koordinate links von }}a_{21}{\text{ sind}}}$
* ${\color {Orange}{\text{aller Punkte, die in der 1. Koordinate rechts von }}b_{21}{\text{ sind}}}$
* ${\color {LimeGreen}{\text{aller Punkte, die in der 1. Koordinate in }}(a_{21},b_{21}]{\text{ liegen, }}}$ ${\color {LimeGreen}{\text{ aber in der 2. Koordinate links (unterhalb) von }}a_{22}{\text{ sind}}}$
* ${\color {RoyalBlue}{\text{aller Punkte, die in der 1. Koordinate in }}(a_{21},b_{21}]{\text{ liegen, }}}$ ${\color {RoyalBlue}{\text{ aber in der 2. Koordinate rechts (oberhalb) von }}b_{22}{\text{ sind}}}$
In Formelschreibweise ist das
${\begin{array}{cll}&&\left({\color {Red}(a_{21},b_{21}]\times (a_{22},b_{22}]}\right)^{C}\\=&&{\color {VioletRed}(-\infty ,a_{21}]\times \mathbb {R} }\\&\uplus &{\color {Orange}(b_{21},\infty )\times \mathbb {R} }\\&\uplus &{\color {LimeGreen}(a_{21},b_{21}]\times (-\infty ,a_{22}]}\\&\uplus &{\color {RoyalBlue}(a_{21},b_{21}]\times (b_{22},\infty )}\end{array}}$
Diese 4 disjunkten Mengen werden bei der Berechnung von $A\backslash {\color {Red}B}$ geschnitten mit $(a_{11},b_{11}]\times (a_{12},b_{12}]$. Das ergibt wieder 4 disjunkte Rechtecke $C_{1},\ldots ,C_{4}$.
${\begin{array}{rclll}A\backslash {\color {Red}B}&=&&A\cap {\color {Red}B^{C}}\\&=&&(a_{11},b_{11}]\times (a_{12},b_{12}]\ \cap \ {\color {Red}\left((a_{21},b_{21}]\times (a_{22},b_{22}]\right)}^{C}\\&=&&(a_{11},\min(b_{11},{\color {VioletRed}a_{21}})]\times (a_{12},b_{12}]\\&&\uplus &(\max(a_{11},{\color {Orange}b_{21}}),b_{11})\times (a_{12},b_{12}]\\&&\uplus &(\max(a_{11},{\color {LimeGreen}a_{21}}),\min(b_{11},{\color {LimeGreen}b_{21}})]\times (a_{12},\min(b_{12},{\color {LimeGreen}a_{22}})]\\&&\uplus &(\max(a_{11},{\color {RoyalBlue}a_{21}}),\min(b_{11},{\color {RoyalBlue}b_{21}})]\times (\max({\color {RoyalBlue}b_{22}},a_{12}),b_{12}]\\&=&&\biguplus _{j=1}^{4}C_{j}{\text{ mit }}C_{j}\in I^{2}\end{array}}$
2. Induktionsschritt:
2a. Induktionsvoraussetzung:
In Dimension $n$ gilt
$A\backslash B=\biguplus _{i=1}^{m}C_{j}$
2b. Induktionsbehauptung:
Für $A,B\in I^{n+1}$ gibt es ebenfalls ein $m'\in \mathbb {N}$, das obige Gleichung erfüllt.
2c. Beweis des Induktionsschritts:
Das Komplement des Quaders $(a_{21},b_{21}]\times \ldots \times (a_{2,n+1},b_{2,n+1}]$ lässt sich darstellen durch die disjunkte Vereinigung von
* allen Punkten, die in den ersten n Koordinaten in $(a_{21},b_{21}]\times \ldots \times (a_{2n},b_{2n}]$ liegen und in der n+1-ten Koordinate rechts von $b_{2,n+1}$ liegen
* allen Punkten, die in den ersten n Koordinaten in $(a_{21},b_{21}]\times \ldots \times (a_{2n},b_{2n}]$ liegen und in der n+1-ten Koordinate kleiner gleich $a_{2,n+1}$ sind
* allen Punkten, die in den ersten n Koordinaten im Komplement von $(a_{21},b_{21}]\times \ldots \times (a_{2n},b_{2n}]$ liegen und in der n+1-ten Koordinate in $(a_{2,n+1},b_{2,n+1}]$ liegen
In Formelschreibweise ist das:
${\begin{array}{cll}&&\left((a_{21},b_{21}]\times \ldots \times (a_{2,n+1},b_{2,n+1}]\right)^{C}\\=&&(a_{21},b_{21}]\times \ldots \times (a_{2n},b_{2n}]\times (b_{2,n+1},\infty )\\&\uplus &(a_{21},b_{21}]\times \ldots \times (a_{2n},b_{2n}]\times (-\infty ,a_{2,n+1}]\\&\uplus &\left((a_{21},b_{21}]\times \ldots \times (a_{2,n},b_{2,n}]\right)^{C}\times (a_{2,n+1},b_{2,n+1}]\\\end{array}}$
Damit erhalten wir drei disjunkte Mengen, die wir mit $(a_{11},b_{11}]\times \ldots \times (a_{1,n+1},b_{1,n+1}]$ schneiden. Für die dritte entstehende Menge benutzen wir die Induktionsvoraussetzung, das ergibt
${\begin{array}{cllll}&&A\backslash B=A\cap B^{C}\\=&&(a_{11},b_{11}]\times \ldots \times (a_{1,n+1},b_{1,n+1}]\cap \left((a_{21},b_{21}]\times \ldots \times (a_{2,n+1},b_{2,n+1}]\right)^{C}\\=&&(a_{11},b_{11}]\times \ldots \times (a_{1,n+1},b_{1,n+1}]\cap (a_{21},b_{21}]\times \ldots \times (a_{2n},b_{2n}]\times (b_{2,n+1},\infty )\\&\uplus &(a_{11},b_{11}]\times \ldots \times (a_{1,n+1},b_{1,n+1}]\cap (a_{21},b_{21}]\times \ldots \times (a_{2n},b_{2n}]\times (-\infty ,a_{2,n+1}]\\&\uplus &(a_{11},b_{11}]\times \ldots \times (a_{1,n+1},b_{1,n+1}]\cap ((a_{21},b_{21}]\times \ldots \times (a_{2,n},b_{2,n}])^{C}\times (a_{2,n+1},b_{2,n+1}]\\{\stackrel {\text{Induktionsannahme}}{=}}&&C_{1}\uplus C_{2}\\&\uplus &\underbrace {(a_{11},b_{11}]\times \ldots \times (a_{1n},b_{1n}]\backslash ((a_{21},b_{21}]\times \ldots \times (a_{2,n},b_{2,n}])} _{={\text{ endlich viele Elemente aus }}I^{n}}\ \times (\max _{i\in \{1,2\}}a_{i,n+1},\min _{i\in \{1,2\}}b_{i,n+1}]\\{\stackrel {\text{Induktionsanfang}}{=}}&&\underbrace {C_{1}} _{\in I^{n+1}}\uplus \underbrace {C_{2}} _{\in I^{n+1}}\uplus \biguplus _{j=3}^{m'}\left(\underbrace {D_{j}} _{\in I^{n}}\times \underbrace {D_{0}} _{\in I^{1}}\right)\\=&&\biguplus _{j=1}^{m'}\underbrace {C_{j}} _{\in I^{n+1}}\end{array}}$

### Mehrfache Differenz von Quadern

Im Folgenden verwenden wir $p$ für die Dimension des Quaderraumes $I^{p}$, um $n$ als typische Variable für die Induktion beizubehalten. Wenn wir mehrfach aus einem Quader andere Quader herausschneiden, sollte nichts Ungewöhnliches passieren, außer dass wir sehr viele kleine Quader erhalten. Und genauso ist es auch:
Satz
Seien $A,B_{1}\ldots B_{n}\in I^{p}$ Quader. Dann gibt es endlich viele disjunkte Quader $C_{1},\ldots ,C_{m}$ , sodass gilt
$A\backslash \bigcup _{i=1}^{n}B_{i}=\biguplus _{j=1}^{m}C_{j}$
Beweis
Wir verwenden Induktion nach $n$.
Aussageform, deren Allgemeingültigkeit für $n\in \mathbb {N}$ bewiesen werden soll:
$A\backslash \bigcup _{i=1}^{n}B_{i}=\biguplus _{j=1}^{m}C_{j}$
1. Induktionsanfang:
Der Induktionsanfang hentspricht der Aussage des letzten Satzes.
2. Induktionsschritt:
2a. Induktionsvoraussetzung:
$A\backslash \bigcup _{i=1}^{n}B_{i}=\biguplus _{j=1}^{m}C_{j}$
2b. Induktionsbehauptung:
$A\backslash \bigcup _{i=1}^{n+1}B_{i}=\biguplus _{j=1}^{m}\biguplus _{k=1}^{l}D_{j,k}$
2c. Beweis des Induktionsschritts:
Den Induktionsschritt von $n$ nach $n+1$ erarbeiten wir uns wie folgt: Statt $n+1$ Quader herauszuschneiden aus $A$, schneiden wir erst $n$ Quader heraus und wissen nach Induktionsvoraussetzung, was das ergibt. In einem nächsten Schritt schneiden wir aus dem erhaltenen Ergebnis durch Umschreiben einen Quader heraus, nach Induktionsanfang wissen wir, was wir dann erhalten, d.h. wir verwenden in mathematischer Schreibweise
$A\backslash \bigcup _{i=1}^{n+1}B_{i}=\left(A\backslash \bigcup _{i=1}^{n}B_{i}\right)\backslash B_{n+1}$
Den Wert der Formel in Klammern kennen wir nach Induktionsvoraussetzung $A\backslash \bigcup _{i=1}^{n}B_{i}=\biguplus _{j=1}^{m}C_{j}$. Das setzen wir ein und formen um
$A\backslash \bigcup _{i=1}^{n+1}B_{i}=\left(\biguplus _{j=1}^{m}C_{j}\right)\backslash B_{n+1}=\biguplus _{j=1}^{m}\left(C_{j}\backslash B_{n+1}\right)$
Nun kennen wir den Wert in Klammern aus dem Induktionsanfang, es gibt also endlich viele kleine Quader, sodass $C_{j}\backslash B_{n+1}=\biguplus _{k=1}^{l}D_{j,k}$. Das setzen wir ein und erhalten
$A\backslash \bigcup _{i=1}^{n+1}B_{i}=\biguplus _{j=1}^{m}\biguplus _{k=1}^{l}D_{j,k}$
Das ergibt die gewünschte Darstellung als disjunkte Vereinigung kleiner Quader.

## Additivität des Inhalts
### Motivation

Die zentrale Eigenschaft des Peano-Jordan-Inhaltes ist die Additivität und die leiten wir uns nun schrittweise in jedem Kapitel her: hier für Quader, im nächsten Kapitel für Quaderfiguren und im darauffolgenden Kapitel für Peano-Jordan-Mengen. Das ist neben der Messbarkeit ein wichtiges Thema in der Maßtheorie.
Zerlegt man ein Rechteck in endlich viele Rechtecke, so ist die Summe der Flächen der einzelnen Rechtecke gleich der Fläche des großen Rechtecks. Dies entspricht genau unserer Intuition, muss jedoch formal bewiesen werden. So soll sich bei komplizierteren Mengen auch der Peano-Jordan-Inhalt verhalten, was er aber nur für die Peano-Jordan-messbare Mengen tut.

### Satz

Satz
Unsere Flächen- bzw Volumenfunktion auf den Intervallen, Rechtecken und Quadern $I^{2}$ bzw. $I^{n}$
${\begin{array}{rcl}&&m:I^{p}\rightarrow [0,\infty ),(a_{1},b_{1}]\times \ldots \times (a_{p},b_{p}]\mapsto \prod _{i=1}^{p}(b_{i}-a_{i})\\&&m(\emptyset )=0\end{array}}$
ist additiv.
Beweis
Wir müssen die Additivität zeigen. Wir wissen, dass wir das Rechteck in endlich vielen Schritten unterteilt haben. Also verwenden wir Induktion nach der Anzahl $n$ der Unterteilungen, um die Additivität zu zeigen.
Aussageform, deren Allgemeingültigkeit für bewiesen werden soll:
1. Induktionsanfang:
$n=1$: Wenn genau eine Unterteilung in zwei Rechtecke (oder verallgemeinerte Quader) vorliegt, dann wird genau eines der $p$ Intervalle geteilt, d.h.
$(a_{j},b_{j}]=(a_{j},c_{j}]\uplus (c_{j},b_{j}]$
und man erhält aus $U=(a_{1},b_{1}]\times \ldots \times (a_{p},b_{p}]$ die zwei Rechtecke (oder verallgemeinerten Quader)
${\begin{array}{rcl}V&=&(a_{1},b_{1}]\times \ldots \times (a_{j},c_{j}]\times \ldots \times (a_{p},b_{p}]\\W&=&(a_{1},b_{1}]\times \ldots \times (c_{j},b_{j}]\times \ldots \times (a_{p},b_{p}]\end{array}}$
Deren Fläche bzw. verallgemeinertes Volumen wollen wir berechnen.
${\begin{array}{rcl}m(V)&=&(c_{j}-a_{j})\cdot \prod _{i=1,i\neq j}^{p}(b_{i}-a_{i})\\m(W)&=&(b_{j}-c_{j})\cdot \prod _{i=1,i\neq j}^{p}(b_{i}-a_{i})\end{array}}$
Addiert man die beiden und rechnet weiter, erhält man genau die Fläche (das Volumen) der Ausgangsmenge
${\begin{array}{rcl}m(V)+m(W)&=&(c_{j}-a_{j}+b_{j}-c_{j})\cdot \prod _{i=1,i\neq j}^{p}(b_{i}-a_{i})\\&=&\prod _{i=1}^{p}(b_{i}-a_{i})=m(U)\end{array}}$
2. Induktionsschritt:
2a. Induktionsvoraussetzung:
Für $n$ Unterteilungen, ist die Funktion additiv.
2b. Induktionsbehauptung:
Das gilt auch für $n+1$ Unterteilungen
2c. Beweis des Induktionsschritts:
Wir wissen schon, dass wir mit $n$ Unterteilungen erreichen
$m(U)=m\left(\biguplus _{k=1}^{n}A_{k}\right)=\sum _{k=1}^{n}m(A_{k})$
Nun kommt eine weitere Unterteilung eines $A_{m}=A_{n+1}\uplus A_{n+2}$ hinzu. Das kennen wir schon aus dem Induktionsanfang:
$m(A_{m})=m(A_{n+1})+m(A_{n+2})$
Eingesetzt in die Formel folgt
$m(U)=m\left(\biguplus _{k=1,k\neq m}^{n+2}A_{i}\right)=\sum _{k=1,k\neq m}^{n+2}m(A_{k})$

## Ausblick: Halbringe

Die Eigenschaften der halboffenen Quader, dass Schnitte wieder halboffene Quader sind und dass die Differenz eine endliche disjunkte Vereinigung von halboffenen Quadern ist, nennt man Halbring. Wir beweisen später die Maßtheorie gleich abstrakt für Halbringe und haben hier schon nachgerechnet, dass diese Eigenschaften erfüllt sind.