# Mathe für Nicht-Freaks: Eigenschaften des Riemannintegrals

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## Übersicht: Eigenschaften des Riemannintegrals

* Stetige Funktionen sind riemannintegrierbar.
* Monotonie: Aus $f(x)\leq g(x)$ für alle $x\in [a,b]$ folgt ∫$_a$$^b$f(x)dx≤∫$_a$$^b$g(x)dx{\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\leq \int _{a}^{b}g(x)\mathrm {d} x}.
* Summenregel: Wenn $f$ und $g$ riemannintegrierbar sind, dann sind auch $f+g$ riemannintegrierbar und es gilt ∫$_a$$^b$(f(x)+g(x))dx=∫$_a$$^b$f(x)dx+∫$_a$$^b$g(x)dx{\textstyle \int _{a}^{b}\left(f(x)+g(x)\right)\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x+\int _{a}^{b}g(x)\mathrm {d} x}.
* Faktorregel: Wenn $f$ riemannintegrierbar ist, dann ist es auch die Funktion $\lambda \cdot f$ mit $\lambda \in \mathbb {R}$ und es gilt ∫$_a$$^b$λf(x)dx=λ∫$_a$$^b$f(x)dx{\textstyle \int _{a}^{b}\lambda f(x)\mathrm {d} x=\lambda \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x}.
* Additivität der Grenzen: Seien $a,b,c\in \mathbb {R}$ mit $a\leq c\leq b$ und sei $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ eine Funktion. Dann ist $f$ genau dann riemannintegrierbar auf dem Intervall $[a,b]$, wenn $f$ auf den Intervallen $[a,c]$ und $[c,b]$ jeweils riemannintegrierbar ist. In diesem Fall gilt ∫$_a$$^b$f(x)dx=∫$_a$$^c$f(x)dx+∫$_c$$^b$f(x)dx{\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=\int _{a}^{c}f(x)\mathrm {d} x+\int _{c}^{b}f(x)\mathrm {d} x}.
* Dreiecksungleichung: Sei $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ eine riemannintegrierbare Funktion, wobei $a$ und $b$ reelle Zahlen mit $a\leq b$ sind. Dann ist die Funktion $|f|:[a,b]\to \mathbb {R} ,x\mapsto |f(x)|$ riemannintegrierbar und es gilt |∫$_a$$^b$f(x)dx|≤∫$_a$$^b$|f(x)|dx{\textstyle \left|\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\right|\leq \int _{a}^{b}|f(x)|\mathrm {d} x}.
* Produktregel: Seien $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ und $g:[a,b]\to \mathbb {R}$ zwei riemannintegrierbare Funktionen, wobei $a$ und $b$ reelle Zahlen mit $a\leq b$ sind. Dann ist die Funktion $(f\cdot g):[a,b]\to \mathbb {R} ,x\mapsto f(x)\cdot g(x)$ riemannintegrierbar.
* Monotone Funktionen sind riemannintegrierbar.
* Wenn sich eine Funktion von einer riemannintegrierbaren Funktion nur an endlich vielen Stellen unterscheidet, dann ist auch sie riemannintegrierbar und ihr Integral ist gleich dem Integral der anderen Funktion.

## Herleitung und Beweis der Eigenschaften
### Stetige Funktionen sind riemannintegrierbar

Anschaulich ist das Integral einer Funktion $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ der Flächeninhalt zwischen dem Graphen der Funktion und der $x$-Achse. Es macht Sinn, dass man diesen Flächeninhalt bei einer stetigen Funktion ausrechnen kann, d.h., dass das Integral $\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x$ existiert. Das wollen wir nun beweisen.
Satz (Stetige Funktionen sind riemannintegrierbar)
Seien $a,b\in \mathbb {R}$ und $a\leq b$. Sei $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ stetig. Dann ist $f$ riemannintegrierbar.
Beweis (Stetige Funktionen sind riemannintegrierbar)
$f$ ist stetig auf dem kompakten Intervall $[a,b]$. Also ist $f$ beschränkt und gleichmäßig stetig. Das heißt, für alle $\epsilon >0$ gibt es ein $\delta >0$, so dass für alle $x,y\in [a,b]$ mit $|x-y|<\delta$ gilt $|f(x)-f(y)|<{\tfrac {\epsilon }{b-a}}$. Sei $\Delta =(x_{0},\ldots ,x_{n})$ eine Zerlegung von $[a,b]$. Wenn $|\Delta |<\delta$, dann gilt für alle $k\in \{0,\ldots ,n-1\}$, dass
${\begin{aligned}&\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)-\inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ f{\text{ ist stetig}}\right.}\\[0.3em]=\ &\max _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)-\min _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Für alle }}x,y\in [x_{k},x_{k+1}]{\text{ gilt }}|x-y|<\delta \right.}\\[0.3em]<\ &{\frac {\epsilon }{b-a}}\end{aligned}}$
Folglich gilt
${\begin{aligned}&O(\Delta ,f)-U(\Delta ,f)\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)-\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\left(\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)-\inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)\right)\\[0.3em]<\ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k}){\frac {\epsilon }{b-a}}\\[0.3em]=\ &(b-a){\frac {\epsilon }{b-a}}\\[0.3em]=\ &\epsilon \end{aligned}}$
Damit ist $f$ riemannintegrierbar.

### Monotonie des Riemannintegrals

Nun betrachten wir zwei riemannintegrierbare Funktionen $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ und $g:[a,b]\to \mathbb {R}$ mit $f\leq g$, d.h. $f(x)\leq g(x)$ für alle $x\in [a,b]$, wobei $a,b\in \mathbb {R}$ mit $a\leq b$.
Bild von $f$ und $g$, Funktionen müssen nicht stetig sein
Anschaulich macht es Sinn, dass $\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\leq \int _{a}^{b}g(x)\mathrm {d} x$ gilt. Denn die Fläche unter dem Graphen von $f$ ist kleiner oder gleich der Fläche unter dem Graphen von $g$.
Dass $\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\leq \int _{a}^{b}g(x)\mathrm {d} x$, können wir auch folgendermaßen begründen:
Wir betrachten die Ober- und die Untersumme für eine beliebige Zerlegung ${\tilde {\Delta }}$ des Intervalls $[a,b]$.
Bild von davor mit Ober- und Untersummen
Wir sehen, dass
${\begin{aligned}&O({\tilde {\Delta }},f)\leq O({\tilde {\Delta }},g)\\[0.3em]&U({\tilde {\Delta }},f)\leq U({\tilde {\Delta }},g)\\[0.3em]\end{aligned}}$
Da dies für alle Zerlegungen ${\tilde {\Delta }}$ gilt, folgt $I_{+}(f,[a,b])\leq I_{+}(g,[a,b])$ und $I_{-}(f,[a,b])\leq I_{-}(g,[a,b])$. Also gilt $\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\leq \int _{a}^{b}g(x)\mathrm {d} x$.
Wir haben uns gerade anschaulich überlegt, warum der folgende Satz gilt. Nun werden wir diesen auch beweisen.
Satz (Monotonie des Riemannintegrals)
Seien $f,g:[a,b]\to \mathbb {R}$ zwei riemannintegrierbare Funktionen und $a,b\in \mathbb {R}$ mit $a\leq b$. Weiter gelte $f\leq g$, d.h. für alle $x\in [a,b]$ ist $f(x)\leq g(x)$. Dann gilt
$\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\leq \int _{a}^{b}g(x)\mathrm {d} x$
Beweis (Monotonie des Riemannintegrals)
Es sei ${\tilde {\Delta }}=(x_{0},\ldots ,x_{n})$ eine beliebige Zerlegung des Intervalls $[a,b]$. Wir vergleichen $O({\tilde {\Delta }},f)$ und $O({\tilde {\Delta }},g)$.
${\begin{aligned}&O({\tilde {\Delta }},f)\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ f(x)\leq g(x){\text{ für alle }}x\in [a,b]\right.}\\[0.3em]\leq \ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}g(x)\\[0.3em]=\ &O({\tilde {\Delta }},g)\\[0.3em]\end{aligned}}$
Folglich gilt
${\begin{aligned}&I_{+}(f,[a,b])\\[0.3em]=\ &\inf _{\Delta {\text{ Zerlegung}}}O(\Delta ,f)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ O(\Delta ,f)\leq O(\Delta ,g){\text{ für alle Zerlegungen }}\Delta \right.}\\[0.3em]\leq \ &\inf _{\Delta {\text{ Zerlegung}}}O(\Delta ,g)\\[0.3em]=\ &I_{+}(g,[a,b])\end{aligned}}$
Somit ist
${\begin{aligned}&\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ f{\text{ riemannintegrierbar}}\right.}\\[0.3em]=\ &I_{+}(f,[a,b])\\[0.3em]\leq \ &I_{+}(g,[a,b])\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ g{\text{ riemannintegrierbar}}\right.}\\[0.3em]=\ &\int _{a}^{b}g(x)\mathrm {d} x\\[0.3em]\end{aligned}}$

### Die Summe zweier riemannintegrierbarer Funktionen ist riemannintegrierbar

Satz
Seien $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ und $g:[a,b]\to \mathbb {R}$ zwei riemannintegrierbare Funktionen, wobei $a$ und $b$ reelle Zahlen mit $a\leq b$ sind. Dann ist die Funktion $(f+g):[a,b]\to \mathbb {R} ,x\mapsto f(x)+g(x)$ riemannintegrierbar und es gilt
$\int _{a}^{b}\left(f(x)+g(x)\right)\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x+\int _{a}^{b}g(x)\mathrm {d} x$
Beweis
Seien $\Delta _{1}$ und $\Delta _{2}$ Zerlegungen des Intervalls $[a,b]$. Bezeichnet ${\tilde {\Delta }}=(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})$ eine gemeinsame Verfeinerung von $\Delta _{1}$ und $\Delta _{2}$, so gilt
${\begin{aligned}&O(\Delta _{1},f)+O(\Delta _{2},g)\\[0.3em]\geq \ &O({\tilde {\Delta }},f)+O({\tilde {\Delta }},g)\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)+\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}g(x)\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\left(\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)+\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}g(x)\right)\\[0.3em]\geq \ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}(f(x)+g(x))\\[0.3em]=\ &O({\tilde {\Delta }},f+g)\\[0.3em]\geq \ &I_{+}(f+g,[a,b])\end{aligned}}$
sowie
${\begin{aligned}&U(\Delta _{1},f)+U(\Delta _{2},g)\\[0.3em]\leq \ &U({\tilde {\Delta }},f)+U({\tilde {\Delta }},g)\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)+\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}g(x)\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\left(\inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)+\inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}g(x)\right)\\[0.3em]\leq \ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}(f(x)+g(x))\\[0.3em]=\ &U({\tilde {\Delta }},f+g)\\[0.3em]\leq \ &I_{-}(f+g,[a,b])\end{aligned}}$
Folglich gilt
${\begin{aligned}&I_{+}(f,[a,b])+I_{+}(g,[a,b])\\[0.3em]=\ &\inf _{\Delta _{1}{\text{ Zerlegung}}}O(\Delta _{1},f)+\inf _{\Delta _{2}{\text{ Zerlegung}}}O(\Delta _{2},g)\\[0.3em]=\ &\inf _{\Delta _{1},\Delta _{2}{\text{ Zerlegungen}}}\left(O(\Delta _{1},f)+O(\Delta _{2},g)\right)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ O(\Delta _{1},f)+O(\Delta _{2},g)\geq I_{+}(f+g,[a,b]){\text{ für alle Zerlegungen }}\Delta _{1},\Delta _{2}\right.}\\[0.3em]\geq \ &I_{+}(f+g,[a,b])\end{aligned}}$
Genauso zeigen wir $I_{-}(f+g,[a,b])\geq I_{-}(f,[a,b])+I_{-}(g,[a,b])$:
${\begin{aligned}&I_{-}(f,[a,b])+I_{-}(g,[a,b])\\[0.3em]=\ &\sup _{\Delta _{1}{\text{ Zerlegung}}}U(\Delta _{1},f)+\sup _{\Delta _{2}{\text{ Zerlegung}}}U(\Delta _{2},g)\\[0.3em]=\ &\sup _{\Delta _{1},\Delta _{2}{\text{ Zerlegungen}}}\left(U(\Delta _{1},f)+U(\Delta _{2},g)\right)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ U(\Delta _{1},f)+U(\Delta _{2},g)\leq I_{-}(f+g,[a,b]){\text{ für alle Zerlegungen }}\Delta _{1},\Delta _{2}\right.}\\[0.3em]\leq \ &I_{-}(f+g,[a,b])\end{aligned}}$
Bisher haben wir damit folgendes bewiesen:
${\begin{aligned}I_{+}(f+g,[a,b])&\leq I_{+}(f,[a,b])+I_{+}(g,[a,b])\\[0.3em]I_{-}(f+g,[a,b])&\geq I_{-}(f,[a,b])+I_{-}(g,[a,b])\\[0.3em]\end{aligned}}$
Nach Voraussetzung sind die Funktionen $f$ und $g$ riemannintegrierbar. Also gilt:
${\begin{aligned}&I_{+}(f+g,[a,b])\\[0.3em]\leq \ &I_{+}(f,[a,b])+I_{+}(g,[a,b])\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ I_{+}(f,[a,b])=I_{-}(f,[a,b]){\text{ und }}I_{+}(g,[a,b])=I_{-}(g,[a,b])\right.}\\[0.3em]=\ &I_{-}(f,[a,b])+I_{-}(g,[a,b])\\[0.3em]\leq \ &I_{-}(f+g,[a,b])\\[0.3em]\end{aligned}}$
Außerdem wissen wir, dass $I_{+}(f+g,[a,b])\geq I_{-}(f+g,[a,b])$ und somit gilt $I_{+}(f+g,[a,b])=I_{-}(f+g,[a,b])$. Also ist $f+g$ riemannintegrierbar. Weiter gilt
$\int _{a}^{b}\left(f(x)+g(x)\right)\mathrm {d} x=I_{+}(f+g,[a,b])=I_{+}(f,[a,b])+I_{+}(g,[a,b])=\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x+\int _{a}^{b}g(x)\mathrm {d} x$

### Faktorregel

Satz (Faktorregel)
Sei $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ eine riemannintegrierbare Funktion, wobei $a$ und $b$ reelle Zahlen mit $a\leq b$ sind. Sei weiter $\lambda \in \mathbb {R}$. Dann ist die Funktion $(\lambda f):[a,b]\to \mathbb {R} ,x\mapsto \lambda \cdot f(x)$ riemannintegrierbar und es gilt
$\int _{a}^{b}\lambda f(x)\mathrm {d} x=\lambda \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x$
Beweis (Faktorregel)
Sei ${\tilde {\Delta }}=(x_{0},\ldots ,x_{n})$ eine beliebige Zerlegung des Intervalls $[a,b]$. Wir betrachten zwei Fälle:
* $\lambda \geq 0$
* $\lambda <0$
Fall 1: $\lambda \geq 0$
Es gilt:
${\begin{aligned}&O({\tilde {\Delta }},\lambda f)\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}\lambda \cdot f(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ \lambda \geq 0\right.}\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\cdot \lambda \cdot \sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)\\[0.3em]=\ &\lambda \cdot \sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)\\[0.3em]=\ &\lambda \cdot O({\tilde {\Delta }},f)\\[0.3em]\end{aligned}}$
und
${\begin{aligned}&U({\tilde {\Delta }},\lambda f)\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}\lambda \cdot f(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ \lambda \geq 0\right.}\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\cdot \lambda \cdot \inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)\\[0.3em]=\ &\lambda \cdot \sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)\\[0.3em]=\ &\lambda \cdot U({\tilde {\Delta }},f)\\[0.3em]\end{aligned}}$
Somit gilt
${\begin{aligned}&I_{+}(\lambda f,[a,b])\\[0.3em]=\ &\inf _{\Delta {\text{ Zerlegung}}}O(\Delta ,\lambda f)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ O({\tilde {\Delta }},\lambda f)=\lambda O({\tilde {\Delta }},f){\text{ für alle Zerlegungen }}{\tilde {\Delta }}\right.}\\[0.3em]=\ &\inf _{\Delta {\text{ Zerlegung}}}\lambda O(\Delta ,f)\\[0.3em]=\ &\lambda \inf _{\Delta {\text{ Zerlegung}}}O(\Delta ,f)\\[0.3em]=\ &\lambda \cdot I_{+}(f,[a,b])\end{aligned}}$
und
${\begin{aligned}&I_{-}(\lambda f,[a,b])\\[0.3em]=\ &\sup _{\Delta {\text{ Zerlegung}}}U(\Delta ,\lambda f)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ U({\tilde {\Delta }},\lambda f)=\lambda U({\tilde {\Delta }},f){\text{ für alle Zerlegungen }}{\tilde {\Delta }}\right.}\\[0.3em]=\ &\sup _{\Delta {\text{ Zerlegung}}}\lambda U(\Delta ,f)\\[0.3em]=\ &\lambda \sup _{\Delta {\text{ Zerlegung}}}U(\Delta ,f)\\[0.3em]=\ &\lambda \cdot I_{-}(f,[a,b])\end{aligned}}$
Also:
${\begin{aligned}&I_{+}(\lambda f,[a,b])\\[0.3em]=\ &\lambda \cdot I_{+}(f,[a,b])\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ f{\text{ ist riemannintegrierbar, d.h. }}I_{+}(f,[a,b])=I_{-}(f,[a,b])\right.}\\[0.3em]=\ &\lambda \cdot I_{-}(f,[a,b])\\[0.3em]=\ &I_{-}(\lambda f,[a,b])\\[0.3em]\end{aligned}}$
Damit ist die Funktion $\lambda f$ riemannintegrierbar und es gilt
${\begin{aligned}&\int _{a}^{b}\lambda f(x)\mathrm {d} x\\[0.3em]=\ &I_{+}(\lambda f,[a,b])\\[0.3em]=\ &\lambda \cdot I_{+}(f,[a,b])\\[0.3em]=\ &\lambda \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\end{aligned}}$
Fall 2: $\lambda <0$
Es gilt:
${\begin{aligned}&O({\tilde {\Delta }},\lambda f)\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}\lambda \cdot f(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ \lambda <0\right.}\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\cdot \lambda \cdot \inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)\\[0.3em]=\ &\lambda \cdot \sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)\\[0.3em]=\ &\lambda \cdot U({\tilde {\Delta }},f)\\[0.3em]\end{aligned}}$
und
${\begin{aligned}&U({\tilde {\Delta }},\lambda f)\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}\lambda \cdot f(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ \lambda <0\right.}\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\cdot \lambda \cdot \sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)\\[0.3em]=\ &\lambda \cdot \sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)\\[0.3em]=\ &\lambda \cdot O({\tilde {\Delta }},f)\\[0.3em]\end{aligned}}$
Somit gilt
${\begin{aligned}&I_{+}(\lambda f,[a,b])\\[0.3em]=\ &\inf _{\Delta {\text{ Zerlegung}}}O(\Delta ,\lambda f)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ O({\tilde {\Delta }},\lambda f)=\lambda U({\tilde {\Delta }},f){\text{ für alle Zerlegungen }}{\tilde {\Delta }}\right.}\\[0.3em]=\ &\inf _{\Delta {\text{ Zerlegung}}}\lambda U(\Delta ,f)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ \lambda <0\right.}\\[0.3em]=\ &\lambda \sup _{\Delta {\text{ Zerlegung}}}U(\Delta ,f)\\[0.3em]=\ &\lambda \cdot I_{-}(f,[a,b])\end{aligned}}$
und
${\begin{aligned}&I_{-}(\lambda f,[a,b])\\[0.3em]=\ &\sup _{\Delta {\text{ Zerlegung}}}U(\Delta ,\lambda f)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ U({\tilde {\Delta }},\lambda f)=\lambda O({\tilde {\Delta }},f){\text{ für alle Zerlegungen }}{\tilde {\Delta }}\right.}\\[0.3em]=\ &\sup _{\Delta {\text{ Zerlegung}}}\lambda O(\Delta ,f)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ \lambda <0\right.}\\[0.3em]=\ &\lambda \inf _{\Delta {\text{ Zerlegung}}}O(\Delta ,f)\\[0.3em]=\ &\lambda \cdot I_{+}(f,[a,b])\end{aligned}}$
Also:
${\begin{aligned}&I_{+}(\lambda f,[a,b])\\[0.3em]=\ &\lambda \cdot I_{-}(f,[a,b])\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ f{\text{ ist riemannintegrierbar, d.h. }}I_{+}(f,[a,b])=I_{-}(f,[a,b])\right.}\\[0.3em]=\ &\lambda \cdot I_{+}(f,[a,b])\\[0.3em]=\ &I_{-}(\lambda f,[a,b])\\[0.3em]\end{aligned}}$
Damit ist die Funktion $\lambda f$ riemannintegrierbar und es gilt
${\begin{aligned}&\int _{a}^{b}\lambda f(x)\mathrm {d} x\\[0.3em]=\ &I_{+}(\lambda f,[a,b])\\[0.3em]=\ &\lambda \cdot I_{-}(f,[a,b])\\[0.3em]=\ &\lambda \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\end{aligned}}$

### Additivität der Grenzen beim Riemannintegral

Satz
Seien $a,b,c\in \mathbb {R}$ mit $a\leq c\leq b$. Sei weiter $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ eine Funktion. Dann ist $f$ genau dann riemannintegrierbar auf dem Intervall $[a,b]$, wenn $f$ auf den Intervallen $[a,c]$ und $[c,b]$ jeweils riemannintegrierbar ist. In diesem Fall gilt
$\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=\int _{a}^{c}f(x)\mathrm {d} x+\int _{c}^{b}f(x)\mathrm {d} x$
Beweis
Wir beweisen zunächst $I_{+}(f,[a,c])+I_{+}(f,[c,b])\geq I_{+}(f,[a,b])$ und $I_{-}(f,[a,c])+I_{-}(f,[c,b])\leq I_{-}(f,[a,b])$. Sei $\Delta _{1}=(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})$ eine Zerlegung des Intervalls $[a,c]$ und $\Delta _{2}=(w_{0},\ldots ,w_{l})$ eine Zerlegung des Intervalls $[c,b]$. Es gelten also $a=x_{0}$, $x_{n}=c=w_{0}$ und $w_{l}=b$. Damit ist $\Delta :=(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n},w_{1},\ldots ,w_{l})$ eine Zerlegung des Intervalls $[a,b]$. Es gilt
${\begin{aligned}&O(\Delta _{1},f)+O(\Delta _{2},f)\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)+\sum _{k=0}^{l-1}(w_{k+1}-w_{k})\sup _{x\in [w_{k},w_{k+1}]}f(x)\\[0.3em]=\ &O(\Delta ,f)\\[0.3em]\geq \ &I_{+}(f,[a,b])\end{aligned}}$
sowie
${\begin{aligned}&U(\Delta _{1},f)+U(\Delta _{2},f)\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)+\sum _{k=0}^{l-1}(w_{k+1}-w_{k})\inf _{x\in [w_{k},w_{k+1}]}f(x)\\[0.3em]=\ &U(\Delta ,f)\\[0.3em]\leq \ &I_{-}(f,[a,b])\end{aligned}}$
Folglich gilt
${\begin{aligned}&I_{+}(f,[a,c])+I_{+}(f,[c,b])\\[0.3em]=\ &\left(\inf _{\Delta _{1}{\text{ Zerlegung}}}O(\Delta _{1},f)\right)+\left(\inf _{\Delta _{2}{\text{ Zerlegung}}}O(\Delta _{2},f)\right)\\[0.3em]=\ &\inf _{\Delta _{1},\Delta _{2}{\text{ Zerlegungen}}}\left(O(\Delta _{1},f)+O(\Delta _{2},f)\right)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ O(\Delta _{1},f)+O(\Delta _{2},f)\geq I_{+}(f,[a,b]){\text{ für alle Zerlegungen }}\Delta _{1},\Delta _{2}{\text{ von }}[a,c]{\text{ bzw. }}[c,b]\right.}\\[0.3em]\geq \ &I_{+}(f,[a,b])\end{aligned}}$
und
${\begin{aligned}&I_{-}(f,[a,c])+I_{-}(f,[c,b])\\[0.3em]=\ &\left(\sup _{\Delta _{1}{\text{ Zerlegung}}}U(\Delta _{1},f)\right)+\left(\sup _{\Delta _{2}{\text{ Zerlegung}}}U(\Delta _{2},f)\right)\\[0.3em]=\ &\sup _{\Delta _{1},\Delta _{2}{\text{ Zerlegungen}}}\left(U(\Delta _{1},f)+U(\Delta _{2},f)\right)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ U(\Delta _{1},f)+U(\Delta _{2},f)\leq I_{-}(f,[a,b]){\text{ für alle Zerlegungen }}\Delta _{1},\Delta _{2}{\text{ von }}[a,c]{\text{ bzw. }}[c,b]\right.}\\[0.3em]\leq \ &I_{-}(f,[a,b])\end{aligned}}$
Als Nächstes zeigen wir $I_{+}(f,[a,b])\geq I_{+}(f,[a,c])+I_{+}(f,[c,b])$ und $I_{-}(f,[a,b])\leq I_{-}(f,[a,c])+I_{-}(f,[c,b])$. Sei $\Delta =(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})$ eine beliebige Zerlegung des Intervalls $[a,b]$. Wir wollen eine Verfeinerung ${\tilde {\Delta }}=(y_{0},y_{1},\ldots ,y_{m})$ von $\Delta$ finden, in der $c$ vorkommt, also $c=y_{i}$ für ein $0\leq i\leq m$ gilt. Falls $c$ bereits in der Zerlegung $\Delta$ vorkommt, so können wir einfach ${\tilde {\Delta }}=\Delta$ wählen. Andernfalls gibt es ein $0\leq i<n$ mit $x_{i}<c<x_{i+1}$ und dann ist ${\tilde {\Delta }}=(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{i},c,x_{i+1},\ldots ,x_{n})$ eine Verfeinerung mit der gewünschten Eigenschaft (in diesem Fall gilt $m=n+1$). Sei nun also ${\tilde {\Delta }}=(y_{0},y_{1},\ldots ,y_{m})$ eine Verfeinerung von $\Delta$ mit $c=y_{i}$. Dann sind $\Delta _{1}:=(y_{0},y_{1},\ldots ,y_{i})$ und $\Delta _{2}:=(y_{i},y_{i+1},\ldots ,y_{m})$ Zerlegungen der Intervalle $[a,c]$ bzw. $[c,b]$. Da ${\tilde {\Delta }}$ eine Verfeinerung von $\Delta$ ist, gilt
${\begin{aligned}&O(\Delta ,f)\\[0.3em]\geq \ &O({\tilde {\Delta }},f)\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{m-1}(y_{k+1}-y_{k})\sup _{x\in [y_{k},y_{k+1}]}f(x)\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{i-1}(y_{k+1}-y_{k})\sup _{x\in [y_{k},y_{k+1}]}f(x)+\sum _{k=i}^{m-1}(y_{k+1}-y_{k})\sup _{x\in [y_{k},y_{k+1}]}f(x)\\[0.3em]=\ &O(\Delta _{1},f)+O(\Delta _{2},f)\\[0.3em]\geq \ &I_{+}(f,[a,c])+I_{+}(f,[c,b])\end{aligned}}$
Genauso ist
${\begin{aligned}&U(\Delta ,f)\\[0.3em]\leq \ &U({\tilde {\Delta }},f)\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{m-1}(y_{k+1}-y_{k})\inf _{x\in [y_{k},y_{k+1}]}f(x)\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{i-1}(y_{k+1}-y_{k})\inf _{x\in [y_{k},y_{k+1}]}f(x)+\sum _{k=i}^{m-1}(y_{k+1}-y_{k})\inf _{x\in [y_{k},y_{k+1}]}f(x)\\[0.3em]=\ &U(\Delta _{1},f)+U(\Delta _{2},f)\\[0.3em]\leq \ &I_{-}(f,[a,c])+I_{-}(f,[c,b])\end{aligned}}$
Folglich gilt
${\begin{aligned}&I_{+}(f,[a,b])\\[0.3em]=\ &\inf _{\Delta {\text{ Zerlegung}}}O(\Delta ,f)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ O(\Delta ,f)\geq I_{+}(f,[a,c])+I_{+}(f,[c,b]){\text{ für alle Zerlegungen }}\Delta {\text{ von }}[a,b]\right.}\\[0.3em]\geq \ &I_{+}(f,[a,c])+I_{+}(f,[c,b])\end{aligned}}$
und
${\begin{aligned}&I_{-}(f,[a,b])\\[0.3em]=\ &\sup _{\Delta {\text{ Zerlegung}}}U(\Delta ,f)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ U(\Delta ,f)\leq I_{-}(f,[a,c])+I_{-}(f,[c,b]){\text{ für alle Zerlegungen }}\Delta {\text{ von }}[a,b]\right.}\\[0.3em]\leq \ &I_{-}(f,[a,c])+I_{-}(f,[c,b])\end{aligned}}$
Insgesamt haben wir $I_{+}(f,[a,b])=I_{+}(f,[a,c])+I_{+}(f,[c,b])$ und $I_{-}(f,[a,b])=I_{-}(f,[a,c])+I_{-}(f,[c,b])$ gezeigt.
Ist nun $f$ riemannintegrierbar auf den Intervallen $[a,c]$ und $[c,b]$, so wissen wir $I_{+}(f,[a,c])=I_{-}(f,[a,c])$ und $I_{+}(f,[c,b])=I_{-}(f,[c,b])$. Daraus folgt $I_{+}(f,[a,b])=I_{-}(f,[a,b])$, d.h. $f$ ist riemannintegrierbar auf $[a,b]$. Ist hingegen $f$ auf $[a,c]$ oder $[c,b]$ nicht riemannintegrierbar, so gilt $I_{+}(f,[a,c])>I_{-}(f,[a,c])$ oder $I_{+}(f,[c,b])>I_{-}(f,[c,b])$, da die Ungleichungen $I_{+}(f,[a,c])\geq I_{-}(f,[a,c])$ und $I_{+}(f,[c,b])\geq I_{-}(f,[c,b])$ stets erfüllt sind. Daraus folgt $I_{+}(f,[a,b])>I_{-}(f,[a,b])$, d.h. $f$ ist nicht riemannintegrierbar auf $[a,b]$. Hiermit wurde die zu zeigende Äquivalenz bewiesen.
Im Falle der Integrierbarkeit gilt zudem
$\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=I_{+}(f,[a,b])=I_{+}(f,[a,c])+I_{+}(f,[c,b])=\int _{a}^{c}f(x)\mathrm {d} x+\int _{c}^{b}f(x)\mathrm {d} x$

### Dreiecksungleichung für das Riemannintegral

Satz
Sei $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ eine riemannintegrierbare Funktion, wobei $a$ und $b$ reelle Zahlen mit $a\leq b$ sind. Dann ist die Funktion $|f|:[a,b]\to \mathbb {R} ,x\mapsto |f(x)|$ riemannintegrierbar und es gilt
$\left|\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\right|\leq \int _{a}^{b}|f(x)|\mathrm {d} x$
Beweis
Um zu zeigen, dass $|f|$ riemannintegrierbar ist, verwenden wir das dazu äquivalente $\epsilon$-Kriterium, welches wir bereits bewiesen haben. Sei also $\epsilon >0$. Wir müssen eine Zerlegung ${\tilde {\Delta }}$ mit $O({\tilde {\Delta }},|f|)-U({\tilde {\Delta }},|f|)<\epsilon$ finden. Weil $f$ riemannintegrierbar ist, gibt es eine Zerlegung ${\tilde {\Delta }}=(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})$ mit $O({\tilde {\Delta }},f)-U({\tilde {\Delta }},f)<\epsilon$. Wir wollen zeigen, dass für diese Zerlegung ${\tilde {\Delta }}$ auch $O({\tilde {\Delta }},|f|)-U({\tilde {\Delta }},|f|)<\epsilon$ gilt. Dazu beweisen wir zunächst $\sup _{x\in [c,d]}|f(x)|-\inf _{x\in [c,d]}|f(x)|\leq \sup _{x\in [c,d]}f(x)-\inf _{x\in [c,d]}f(x)$ für jedes Intervall $[c,d]\subseteq [a,b]$ mit $c\leq d$. Wir führen die Abkürzungen $A:=\inf _{x\in [c,d]}f(x)$, $B:=\sup _{x\in [c,d]}f(x)$, $C:=\inf _{x\in [c,d]}|f(x)|$ und $D:=\sup _{x\in [c,d]}|f(x)|$ ein und unterscheiden zwischen drei Fällen:
* $0\leq A\leq B$
* $A<0\leq B$
* $A\leq B<0$
Zu zeigen ist jeweils $D-C\leq B-A$.
Fall 1: $0\leq A\leq B$
Für alle $x\in [c,d]$ gilt $f(x)\geq \inf _{x\in [c,d]}f(x)=A\geq 0$ und daher $|f(x)|=f(x)$. Somit ist $C=A$ und $D=B$, also $D-C=B-A$.
Fall 2: $A<0\leq B$
Für alle $x\in [c,d]$ gilt $0\leq |f(x)|=\max\{f(x),-f(x)\}\leq \max\{B,-A\}$. Daher ist $C\geq 0$ und $D\leq \max\{B,-A\}$. Wegen $B,-A\geq 0$ gilt $\max\{B,-A\}\leq B-A$. Folglich erhalten wir $D-C\leq \max\{B,-A\}-0\leq B-A$.
Fall 3: $A\leq B<0$
Für alle $x\in [c,d]$ gilt $f(x)\leq \sup _{x\in [c,d]}f(x)=B<0$ und daher $|f(x)|=-f(x)$. Somit ist $C=-B$ und $D=-A$, also $D-C=B-A$.
Damit ist $\sup _{x\in [c,d]}|f(x)|-\inf _{x\in [c,d]}|f(x)|\leq \sup _{x\in [c,d]}f(x)-\inf _{x\in [c,d]}f(x)$ für alle Intervalle $[c,d]\subseteq [a,b]$ mit $c\leq d$ gezeigt. Dies wenden wir jetzt auf die Intervalle $[x_{k},x_{k+1}]$ unserer Zerlegung ${\tilde {\Delta }}$ an:
${\begin{aligned}&O({\tilde {\Delta }},|f|)-U({\tilde {\Delta }},|f|)\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}|f(x)|-\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}|f(x)|\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\left(\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}|f(x)|-\inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}|f(x)|\right)\\[0.3em]\leq \ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\left(\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)-\inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)\right)\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)-\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)\\[0.3em]=\ &O({\tilde {\Delta }},f)-U({\tilde {\Delta }},f)\\[0.3em]<\ &\epsilon \end{aligned}}$
Nun haben wir gezeigt, dass die Funktion $|f|$ riemannintegrierbar ist. Da $f(x)\leq |f(x)|$ für alle $x\in [a,b]$ gilt, können wir die Monotonie des Riemannintegrals auf die riemannintegrierbaren Funktionen $f$ und $|f|$ anwenden und erhalten
$\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\leq \int _{a}^{b}|f(x)|\mathrm {d} x$
Gemäß der Faktorregel ist die Funktion $-f:[a,b]\to \mathbb {R} ,x\mapsto -f(x)$ ebenfalls riemannintegrierbar und es gilt
$\int _{a}^{b}-f(x)\mathrm {d} x=-\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x$
Für alle $x\in [a,b]$ gilt $-f(x)\leq |f(x)|$, sodass wir die Monotonie des Riemannintegrals auch auf die riemannintegrierbaren Funktionen $-f$ und $|f|$ anwenden können:
$\int _{a}^{b}-f(x)\mathrm {d} x\leq \int _{a}^{b}|f(x)|\mathrm {d} x$
Schließlich ist
$\left|\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\right|=\max \left\{\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x,-\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\right\}=\max \left\{\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x,\int _{a}^{b}-f(x)\mathrm {d} x\right\}\leq \int _{a}^{b}|f(x)|\mathrm {d} x$
Hinweis
Aus der Riemannintegrierbarkeit von $|f|$ kann im Allgemeinen nicht die Riemannintegrierbarkeit von $f$ geschlossen werden.
Beispiel
Sei $f:[0,1]\to \mathbb {R}$ definiert durch
$f(x)={\begin{cases}+1&x\in \mathbb {Q} \\-1&x\notin \mathbb {Q} \end{cases}}$
Dann gilt $|f(x)|=1$ für alle $x\in [0,1]$. Deshalb ist die Funktion $|f|$ riemannintegrierbar (denn konstante Funktionen sind stetig). Jedoch ist die Funktion $f$ nicht riemannintegrierbar, da in jedem Intervall $[c,d]\subseteq [0,1]$ mit $c<d$ sowohl rationale als auch irrationale Zahlen liegen und daher $O(\Delta ,f)=1$, aber $U(\Delta ,f)=-1$ für alle Zerlegungen $\Delta$ des Intervalls $[0,1]$ gilt.

### Das Produkt zweier riemannintegrierbarer Funktionen ist riemannintegrierbar

Satz
Seien $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ und $g:[a,b]\to \mathbb {R}$ zwei riemannintegrierbare Funktionen, wobei $a$ und $b$ reelle Zahlen mit $a\leq b$ sind. Dann ist die Funktion $(f\cdot g):[a,b]\to \mathbb {R} ,x\mapsto f(x)\cdot g(x)$ riemannintegrierbar.
Im Allgemeinen gibt es keine einfache Möglichkeit, das Integral $\int _{a}^{b}f(x)g(x)\mathrm {d} x$ aus den Integralen $\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x$ und $\int _{a}^{b}g(x)\mathrm {d} x$ auszurechnen. Dennoch ist dieser Satz hilfreich, um die Integrierbarkeit einer Funktion nachzuweisen.
Beweis
Um zu zeigen, dass $fg$ riemannintegrierbar ist, verwenden wir das dazu äquivalente $\epsilon$-Kriterium, welches wir bereits bewiesen haben. Sei also $\epsilon >0$. Wir müssen eine Zerlegung ${\tilde {\Delta }}$ mit $O({\tilde {\Delta }},fg)-U({\tilde {\Delta }},fg)<\epsilon$ finden. Da die Funktionen $f$ und $g$ beschränkt sind, existieren reelle Zahlen $S,T>0$ mit $|f(x)|\leq S$ und $|g(x)|\leq T$ für alle $x\in [a,b]$. Weil $f$ und $g$ riemannintegrierbar sind, gibt es Zerlegungen $\Delta _{1}$ und $\Delta _{2}$ mit $O(\Delta _{1},f)-U(\Delta _{1},f)<{\tfrac {\epsilon }{2T}}$ und $O(\Delta _{2},g)-U(\Delta _{2},g)<{\tfrac {\epsilon }{2S}}$. Sei ${\tilde {\Delta }}=(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})$ eine gemeinsame Verfeinerung von $\Delta _{1}$ und $\Delta _{2}$. Wir wollen zeigen, dass $O({\tilde {\Delta }},fg)-U({\tilde {\Delta }},fg)<\epsilon$ gilt. Dazu beweisen wir zunächst $\sup _{x\in [c,d]}f(x)g(x)-\inf _{x\in [c,d]}f(x)g(x)\leq S\left(\sup _{x\in [c,d]}g(x)-\inf _{x\in [c,d]}g(x)\right)+T\left(\sup _{x\in [c,d]}f(x)-\inf _{x\in [c,d]}f(x)\right)$ für jedes Intervall $[c,d]\subseteq [a,b]$ mit $c\leq d$. Es gilt
${\begin{aligned}&\sup _{x\in [c,d]}f(x)g(x)-\inf _{x\in [c,d]}f(x)g(x)\\[0.3em]=\ &\sup _{x,y\in [c,d]}\left(f(x)g(x)-f(y)g(y)\right)\\[0.3em]=\ &\sup _{x,y\in [c,d]}\left(f(x)(g(x)-g(y))+g(y)(f(x)-f(y))\right)\\[0.3em]\leq \ &\sup _{x,y\in [c,d]}\left(f(x)(g(x)-g(y))\right)+\sup _{x,y\in [c,d]}\left(g(y)(f(x)-f(y))\right)\\[0.3em]\leq \ &S\sup _{x,y\in [c,d]}\left(g(x)-g(y)\right)+T\sup _{x,y\in [c,d]}\left(f(x)-f(y)\right)\\[0.3em]=\ &S\left(\sup _{x\in [c,d]}g(x)-\inf _{x\in [c,d]}g(x)\right)+T\left(\sup _{x\in [c,d]}f(x)-\inf _{x\in [c,d]}f(x)\right)\end{aligned}}$
Dies wenden wir jetzt auf die Intervalle $[x_{k},x_{k+1}]$ unserer Zerlegung ${\tilde {\Delta }}$ an:
${\begin{aligned}&O({\tilde {\Delta }},fg)-U({\tilde {\Delta }},fg)\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)g(x)-\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)g(x)\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\left(\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)g(x)-\inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)g(x)\right)\\[0.3em]\leq \ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\left(S\left(\sup _{x\in [c,d]}g(x)-\inf _{x\in [c,d]}g(x)\right)+T\left(\sup _{x\in [c,d]}f(x)-\inf _{x\in [c,d]}f(x)\right)\right)\\[0.3em]=\ &S\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\left(\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}g(x)-\inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}g(x)\right)+T\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\left(\sup _{x\in [c,d]}f(x)-\inf _{x\in [c,d]}f(x)\right)\\[0.3em]=\ &S\left(\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}g(x)-\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}g(x)\right)\\&\qquad+T\left(\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)-\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)\right)\\[0.3em]=\ &S\left(O({\tilde {\Delta }},g)-U({\tilde {\Delta }},g)\right)+T\left(O({\tilde {\Delta }},f)-U({\tilde {\Delta }},f)\right)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\tilde {\Delta }}{\text{ ist Verfeinerung von }}\Delta _{1}{\text{ und }}\Delta _{2}\right.}\\[0.3em]\leq \ &S\left(O(\Delta _{2},g)-U(\Delta _{2},g)\right)+T\left(O(\Delta _{1},f)-U(\Delta _{1},f)\right)\\[0.3em]<\ &S\cdot {\tfrac {\epsilon }{2S}}+T\cdot {\tfrac {\epsilon }{2T}}\\[0.3em]=\ &\epsilon \end{aligned}}$
Somit ist $fg$ riemannintegrierbar.

### Monotone Funktionen sind riemannintegrierbar

Ist unsere Funktion $f$ monoton, so werden die Suprema und Infima auf den Teilintervallen einer Zerlegung stets am Rand der Teilintervalle angenommen. In der Abbildung sieht man, dass die Fläche zwischen Ober- und Untersumme deshalb aus Rechtecken zusammengesetzt ist, die sich nur über Eck berühren. Haben alle Rechtecke die gleiche Breite $h$, können wir sie zu einem einzigen Rechteck mit Breite $h$ und Höhe $f(b)-f(a)$ zusammenschieben. Das bedeutet, die Differenz zwischen Ober- und Untersumme kann beliebig klein gemacht werden, wenn wir die Breite $h$ genügend klein wählen. Damit haben wir uns anschaulich überlegt, dass die monotone Funktion $f$ riemannintegrierbar sein muss. Dies wollen wir nun beweisen.
Satz
Sei $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ eine monoton steigende oder monoton fallende Funktion, wobei $a$ und $b$ reelle Zahlen mit $a\leq b$ sind. Dann ist $f$ riemannintegrierbar.
Beweis
Wir nehmen an, dass $f$ monoton steigend ist. Wäre $f$ monoton fallend, so können wir stattdessen die monoton steigende Funktion $-f$ betrachten und anschließend die Faktorregel mit dem Faktor $-1$ anwenden. Weil $f$ monoton steigend ist, gilt $\inf _{x\in [c,d]}f(x)=f(c)$ sowie $\sup _{x\in [c,d]}f(x)=f(d)$ für alle Intervalle $[c,d]\subseteq [a,b]$ mit $c\leq d$. Ist $a=b$, so ist $f$ konstant und daher riemannintegrierbar. Andernfalls ist $\Delta _{n}:=(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})$ mit $x_{k}:=a+k{\tfrac {b-a}{n}}$ für jedes $n\in \mathbb {N}$ eine Zerlegung des Intervalls $[a,b]$. Anschaulich handelt es sich dabei um die Zerlegung von $[a,b]$ in $n$ gleich große Teilintervalle. Wir berechnen die zugehörige Ober- und Untersumme:
${\begin{aligned}O(\Delta _{n},f)&=\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)\\[0.3em]&=\sum _{k=0}^{n-1}{\tfrac {b-a}{n}}f(x_{k+1})\\[0.3em]&={\tfrac {b-a}{n}}\left(f(x_{1})+\ldots +f(x_{n-1})+f(b)\right)\\[0.3em]U(\Delta _{n},f)&=\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)\\[0.3em]&=\sum _{k=0}^{n-1}{\tfrac {b-a}{n}}f(x_{k})\\[0.3em]&={\tfrac {b-a}{n}}\left(f(a)+f(x_{1})+\ldots +f(x_{n-1})\right)\end{aligned}}$
Wir stellen fest:
$O(\Delta _{n},f)-U(\Delta _{n},f)={\tfrac {b-a}{n}}\left(f(b)-f(a)\right)$
Daraus folgt die Riemannintegrierbarkeit von $f$ mithilfe des $\epsilon$-Kriteriums, denn für alle $\epsilon >0$ können wir ein $n\in \mathbb {N}$ mit ${\tfrac {b-a}{n}}\left(f(b)-f(a)\right)<\epsilon$ finden. Für die zugehörige Zerlegung $\Delta _{n}$ gilt also $O(\Delta _{n},f)-U(\Delta _{n},f)<\epsilon$.

### Fast überall gleiche Funktionen haben das gleiche Riemannintegral

Satz
Seien $f,g:[a,b]\to \mathbb {R}$ zwei Funktionen, die fast überall übereinstimmen, d.h. es gibt nur endlich viele $x\in [a,b]$ mit $f(x)\neq g(x)$. Dann gilt: Ist $f$ riemannintegrierbar, so ist auch $g$ riemannintegrierbar. Ferner ist dann
$\int _{a}^{b}g(x)\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x$
Beweis
Wir dürfen annehmen, dass $f\equiv 0$ gilt. Andernfalls können wir nämlich $f$ durch die Nullfunktion und $g$ durch $g-f$ ersetzen. Wenn wir gezeigt haben, dass $g-f$ riemannintegrierbar ist mit $\int _{a}^{b}(g(x)-f(x))\mathrm {d} x=0$, folgt aus der Summenregel, dass $g=(g-f)+f$ riemannintegrierbar ist mit
$\int _{a}^{b}g(x)\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}(g(x)-f(x))\mathrm {d} x+\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x$
Sei nun also $f\equiv 0$. Die Stellen, an denen sich $g$ von $f$ unterscheidet, nennen wir $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$. Es gilt also
$g(x)={\begin{cases}0&x\neq x_{k}{\text{ für alle }}k\in \{1,2,\ldots ,n\}\\y_{k}&x=x_{k}{\text{ für ein }}k\in \{1,2,\ldots ,n\}\end{cases}}$
wobei $y_{k}:=g(x_{k})\neq 0$ irgendwelche Funktionswerte sind. Wir sehen, dass sich $g$ als Summe der $n$ Funktionen $g_{1},\ldots ,g_{n}$ schreiben lässt, die durch
$g_{k}(x)={\begin{cases}0&x\neq x_{k}\\y_{k}&x=x_{k}\end{cases}}$
definiert sind. Indem wir erneut auf die Summenregel zurückgreifen, können wir uns also auf den Fall $k=1$ beschränken. Haben wir nämlich bereits gezeigt, dass jede der Funktionen $g_{k}$, die sich nur an der einen Stelle $x_{k}$ von der Nullfunktion unterscheidet, riemannintegrierbar ist und ihr Integral gleich $0$ ist, so gilt genau das gleiche auch für ihre Summe $g$. Sei daher $g=g_{1}$. Wir dürfen ferner voraussetzen, dass $x_{1}\in \{a,b\}$ ist. Falls nämlich $a<x_{1}<b$ wäre, so können wir die Aussage zunächst separat auf den beiden Intervallen $[a,x_{1}]$ und $[x_{1},b]$ beweisen, wo $x_{1}$ jeweils eine der Intervallgrenzen ist, und anschließend die Additivität der Grenzen beim Riemannintegral benützen. Sei nun also $x_{1}\in \{a,b\}$. Wir können uns auf den Fall $y_{1}>0$ beschränken. Denn andernfalls betrachten wir stattdessen die Funktion $-g$ und wenden danach die Faktorregel für den Faktor $-1$ an. Sei daher $y_{1}>0$. Auch dürfen wir annehmen, dass $a<b$ ist, da für $a=b$ die einzige Zerlegung durch $\Delta =(a)$ gegeben ist und deshalb die einzige Ober- und Untersumme zu einer beliebigen Funktion stets leer ist und daher den Wert $0$ hat. Wir unterscheiden jetzt zwei Fälle:
Fall 1: $x_{1}=a$
Wir betrachten die Zerlegungen $\Delta _{n}=(a,a+{\tfrac {b-a}{2^{n}}},b)$ für $n\in \mathbb {N}$. Es gilt
${\begin{aligned}&O(\Delta _{n},g)\\[0.3em]=\ &{\frac {b-a}{2^{n}}}\cdot \sup _{x\in [a,a+{\frac {b-a}{2^{n}}}]}g(x)+\left(b-a-{\frac {b-a}{2^{n}}}\right)\cdot \sup _{x\in [a+{\frac {b-a}{2^{n}}},b]}g(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ g(a)=y_{1}>0=g(x){\text{ für }}x>a\right.}\\[0.3em]=\ &{\frac {b-a}{2^{n}}}\cdot y_{1}+\left(b-a-{\frac {b-a}{2^{n}}}\right)\cdot 0\\[0.3em]=\ &{\frac {(b-a)y_{1}}{2^{n}}}\end{aligned}}$
sowie
${\begin{aligned}&U(\Delta _{n},g)\\[0.3em]=\ &{\frac {b-a}{2^{n}}}\cdot \inf _{x\in [a,a+{\frac {b-a}{2^{n}}}]}g(x)+\left(b-a-{\frac {b-a}{2^{n}}}\right)\cdot \inf _{x\in [a+{\frac {b-a}{2^{n}}},b]}g(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ g(a)=y_{1}>0=g(x){\text{ für }}x>a\right.}\\[0.3em]=\ &{\frac {b-a}{2^{n}}}\cdot 0+\left(b-a-{\frac {b-a}{2^{n}}}\right)\cdot 0\\[0.3em]=\ &0\end{aligned}}$
Fall 2: $x_{1}=b$
Wir betrachten die Zerlegungen $\Delta _{n}=(a,b-{\tfrac {b-a}{2^{n}}},b)$ für $n\in \mathbb {N}$. Es gilt
${\begin{aligned}&O(\Delta _{n},g)\\[0.3em]=\ &\left(b-{\frac {b-a}{2^{n}}}-a\right)\cdot \sup _{x\in [a,b-{\frac {b-a}{2^{n}}}]}g(x)+{\frac {b-a}{2^{n}}}\cdot \sup _{x\in [b-{\frac {b-a}{2^{n}}},b]}g(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ g(b)=y_{1}>0=g(x){\text{ für }}x<b\right.}\\[0.3em]=\ &\left(b-{\frac {b-a}{2^{n}}}-a\right)\cdot 0+{\frac {b-a}{2^{n}}}\cdot y_{1}\\[0.3em]=\ &{\frac {(b-a)y_{1}}{2^{n}}}\end{aligned}}$
sowie
${\begin{aligned}&U(\Delta _{n},g)\\[0.3em]=\ &\left(b-{\frac {b-a}{2^{n}}}-a\right)\cdot \inf _{x\in [a,b-{\frac {b-a}{2^{n}}}]}g(x)+{\frac {b-a}{2^{n}}}\cdot \inf _{x\in [b-{\frac {b-a}{2^{n}}},b]}g(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ g(b)=y_{1}>0=g(x){\text{ für }}x<b\right.}\\[0.3em]=\ &\left(b-{\frac {b-a}{2^{n}}}-a\right)\cdot 0+{\frac {b-a}{2^{n}}}\cdot 0\\[0.3em]=\ &0\end{aligned}}$
In beiden Fällen erkennen wir, dass
$I_{+}(g,[a,b])=\inf _{\Delta {\text{ Zerlegung}}}O(\Delta ,g)\leq \inf _{n\in \mathbb {N} }O(\Delta _{n},g)=0$
und
$I_{-}(g,[a,b])=\sup _{\Delta {\text{ Zerlegung}}}U(\Delta ,g)\geq \sup _{n\in \mathbb {N} }U(\Delta _{n},g)=0$
gelten. Folglich ist $g$ riemannintegrierbar mit $\int _{a}^{b}g(x)\mathrm {d} x=0$.
Regelintegral →
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