# Mathe für Nicht-Freaks: Körper

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Ein Körper ist eine algebraische Struktur mit Addition und Multiplikation. Körper sind Ringe, bei denen jedes Element außer der Null ein multiplikatives Inverses bestitzt.

## Einführung

Wir haben bereits die algebraische Struktur der Ringe kennengelernt. Zwei wichtige Beispiele für Ringe sind die ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$ und die rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$. Diese beiden haben jedoch einen entscheidenden Unterschied. Dazu betrachten wir die Gleichung $2x=3$. Diese Gleichung ist nicht mit $x\in \mathbb {Z}$ lösbar. Lassen wir aber zu, dass $x$ eine rationale Zahl ist, so ist die Gleichung auf einmal lösbar! Wir können nämlich die Gleichung umstellen zu $x=3/2\in \mathbb {Q}$. Allgemein ist die Gleichung $ax=b$ mit $a,b\in \mathbb {Q}$ und $a\neq 0$ immer über $\mathbb {Q}$ lösbar, indem wir $x=b/a$ setzen.
Was ist hier der entscheidende Unterschied zwischen $\mathbb {Z}$ und $\mathbb {Q}$? Die Antwort lautet: Ist $a\neq 0$, so dürfen wir in $\mathbb {Q}$ durch $a$ teilen. In $\mathbb {Z}$ ist das zwar manchmal möglich, aber nicht immer. Deshalb teilt man in der Grundschule mit Rest.
Teilen dürfen bedeutet dabei: Für alle $a\in \mathbb {Q}$, $a\neq 0$ existiert ein $b\in \mathbb {Q}$, sodass $ab=1$. Durch $a$ zu teilen ist nichts anderes, als mit $b$ zu multiplizieren. Statt $b$ schreiben wir auch oft $a^{-1}$ oder ${\frac {1}{a}}$.
Allgemeiner nennen wir Ringe, in denen man durch jedes Element ungleich $0$ teilen darf, Körper.

## Definition

Definition (Körper)
Ein Ring $(R,\boxplus ,\boxdot )$ heißt Körper, falls $1_{R}\neq 0_{R}$ ist und für alle $a\in R\setminus \{0\}$ ein $b\in R$ existiert, sodass $a\boxdot b=1_{R}$.
Wir schreiben dann $a^{-1}$ für $b$.
Hinweis
Um die Schreibweise $a^{-1}$ zu rechtfertigen, müssen wir noch beweisen, dass es nur ein solches $b$ gibt. Dies geschieht im übernächsten Abschnitt.
Warum fordern wir, dass $1_{R}\neq 0_{R}$ gilt? Der einzige Ring, bei dem $1_{R}=0_{R}$ gilt, ist der Nullring. Wir wollen nicht, dass der Nullring ein Körper ist.
Hinweis
Wenn klar ist, in welchem Körper wir rechnen, schreiben wir oft wie in $\mathbb {Q}$ einfach nur $0$ statt $0_{K}$, $1$ statt $1_{K}$, $+$ statt $\boxplus$ und $\cdot$ statt $\boxdot$.

## Äquivalente Charakterisierung

Satz (Alternative Charakterisierungen eines Körpers)
Folgende Aussagen sind äquivalent:
* $K$ bildet unter den Verknüfungen $\boxplus$ und $\boxdot$ einen Körper
* Unter der Addition $\boxplus$ bildet $K$ die abelsche Gruppe $(K,\boxplus )$ und unter der Multiplikation $*$ bildet $K\setminus \lbrace 0\rbrace$ die abelsche Gruppe $(K\setminus \lbrace 0\rbrace ,*)$. Es existiert eine wohldefinierte Erweiterung der Multiplikation $*$ zu einer Abbildung $\boxdot :K\times K\to K$, sodass $\boxplus$ und $\boxdot$ sich distributiv verhalten.
Beweis (Alternative Charakterisierungen eines Körpers)
Wir beweisen $1\implies 2$ und $2\implies 1$.
Beweisschritt: $1\implies 2$
Sei $K$ eine Menge und seien $\boxplus$, $\boxdot$ zwei Verknüpfungen auf $K$, sodass $K$ unter den beiden Verknüpfungen einen kommutativen Ring bildet. Weiterhin existieren für alle Elemente $x\in K\setminus \{0_{K}\}$ multiplikative Inverse. Aus Punkt 1 der Definition des Rings folgt, dass $(K,\boxplus )$ eine abelsche Gruppe ist. Nach Punkt 2 der Definition ist $K$ unter der Multiplikation ebenfalls abgeschlossen, die Multiplikation ist assoziativ und kommutativ, und es gibt ein unter der Multiplikation neutrales Element $1_{K}\neq 0_{K}$. Seien $a,b\in K\setminus 0_{K}$ beliebig. Sei $c=a\boxdot b$. Da es ein zu $b$ multiplikatives Inverses $b^{-1}$ in $K\setminus 0_{K}$ geben muss, gilt $a=c\boxdot b^{-1}$ und folglich $c\neq 0_{K}$. Das Produkt $a\boxdot b$ muss also in $\in K\setminus 0_{K}$ liegen. Wir können daher die Multiplikation zu einer Abbildung $*:K\setminus 0_{K}\times K\setminus 0_{K}\to 0_{K}$ einschränken. Die Multiplikation * ist gemäß unserer Annahme assoziativ und kommutativ, denn$(K,\boxplus ,\boxdot )$ bildet einen kommutativen Ring. Da $1_{K}\neq 0_{k}$ haben wir in $K\setminus \{0_{K}\}$ ebenfalls ein neutrales Element bezüglich der Multiplikation. Außerdem existieren nach unserer Annahme für alle Elemente aus $K\setminus 0_{K}$ multiplikative Inverse. Folglich ist $(K\setminus 0_{K},*)$ eine abelsche Gruppe. Da $(K,\boxplus ,\boxdot )$ ein Ring ist, verhalten sich $\boxplus$ und die Erweiterung von $*$ zu $\boxdot$ distributiv.
Beweisschritt: $2\implies 1$
Sei $K$ eine Menge und seien $\boxplus$, $\boxdot$ Operationen auf $K$, die folgende Eigenschaften erfüllen:
* Unter $\boxplus$ bildet $K$ eine abelsche Gruppe
* $K\setminus \lbrace 0_{K}\rbrace$ ist mit der Verknüpfung $\boxdot$ eine abelsche Gruppe.
* Außerdem existiert eine Erweiterung der Multiplikation zu einer Abbildung$\boxdot :K\times K\to K$, und diese ist distributiv bezüglich der Addition in $K$.
Wir wollen zeigen, dass $K$ unter $\boxplus$ und $\boxdot$ einen Körper bildet und sich jedes Element $a\in K\setminus \{0\}$ ein multiplikatives Inverses gibt.
Beweis fertig schreiben

## Eigenschaften

Wir haben bereits gesehen, dass die rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ einen Körper bilden. In den rationalen Zahlen gelten einige Rechenregeln. Zum Beispiel verhalten sich Addition und Multiplikation assoziativ, kommutativ und distributiv. Diese gelten für alle Ringe und somit für alle Körper. Wir wollen jetzt noch einige weitere Eigenschaften betrachten, die nicht nur für $\mathbb {Q}$, sondern für alle Körper gelten.

### Eindeutigkeit der neutralen Elemente

In $\mathbb {Q}$ sind die Zahlen $0$ bzw. $1$ dadurch ausgezeichnet, dass die Addition bzw. Multiplikation mit ihnen "nichts tut". Sie haben diese Eigenschaft und sind jeweils die einzigen rationalen Zahlen mit dieser Eigenschaft. Ähnliche Eigenschaften sind etwa für Gruppen und Ringe bekannt. Sie gelten analog auch für Körper:
Satz (Eindeutigkeit der neutralen Elemente)
In einem Körper sind das neutrale Element $0_{K}$ der Addition sowie das neutrale Element $1_{K}$ der Multiplikation eindeutig bestimmt. In anderen Worten: $0_{K}$ ist das einzige Element von $K$, sodass $0_{K}+x=x+0_{K}=x$ für alle $x\in K$. Und $1_{K}$ ist das einzige Element von $K$, sodass $1_{K}\cdot x=x\cdot 1_{K}=x$ für alle $x\in K$.
Beweis (Eindeutigkeit der neutralen Elemente)
Jeder Körper ist ein Ring. Die Aussage folgt also aus der entsprechenden Aussage für Ringe für die Addition und Multiplikation.

### Multiplikation mit Null ergibt Null

Die rationale Zahl $0$ hat nicht nur die Eigenschaft, dass sie durch Addition "nichts tut", sondern auch, dass $0\cdot x=x\cdot 0=0$ für alle $x\in \mathbb {Q}$ gilt. Multiplikation mit $0$ "annuliert" also alle rationalen Zahlen. Analoges gilt in allen Körpern:
Satz (Multiplikation mit Null ergibt Null)
Für alle Elemente $x$ eines Körpers $K$ gilt $x\cdot 0=0\cdot x=0$.
Beweis (Multiplikation mit Null ergibt Null)
Dies folgt aus der äquivalenten Aussage für Ringe.

### Existenz und Eindeutigkeit von inversen Elementen

Satz (Existenz und Eindeutigkeit der additiv Inversen)
Zu jedem Element eines Körpers existiert genau ein unter der Addition inverses Element.
Beweis (Existenz und Eindeutigkeit der additiv Inversen)
Ein Körper ist ein Ring und somit eine Gruppe bezüglich der Addition. Die Aussage gilt also, da in Gruppen jedes Element genau ein Inverses hat.
Satz (Existenz und Eindeutigkeit der multiplikativ Inversen)
Zu jedem Nicht-Null-Element eines Körpers existiert genau ein multiplikativ Inverses.
Beweis (Existenz und Eindeutigkeit der multiplikativ Inversen)
Wir wissen aus der alternativen Charakterisierung, dass die Nicht-Null-Elemente eine Gruppe bezüglich der Multiplikation bilden. Die Aussage gilt also, da in Gruppen jedes Element genau ein Inverses hat.
Satz (Die Null besitzt kein multiplikativ Inverses)
Das Nullelement eines Körpers ist nicht multiplikativ invertierbar.
Beweis (Die Null besitzt kein multiplikativ Inverses)
Es gilt für alle $x\in K$: $0\cdot x=0$ (dies haben wir oben gesehen). Da in Körpern $0$ ungleich $1$ ist, kann $0$ also kein multiplikativ Inverses haben.

### Körper sind Integritätsbereiche

Integritätsbereiche sind Ringe, die die schöne Eigenschaft haben, dass ein Produkt von zwei Elementen nur dann Null ergeben kann, wenn bereits einer der Faktoren gleich Null ist. Körper sind ebenfalls Ringe mit einer schönen Eigenschaft, nämlich, dass man durch jedes Element ungleich Null teilen darf. Es stellt sich die Frage, wie diese schönen Eigenschaften zusammenhängen. Ist eine Eigenschaft vielleicht schöner als die andere?
Die Antwort lautet: Die Körpereigenschaft ist schöner als die Integritätsbereicheigenschaft, denn jeder Körper ist Integritätsbereich, aber nicht umgekehrt. Wir wollen dies nun beweisen.
Satz (Körper sind Integritätsbereiche)
Sei $K$ ein Körper. Dann gilt für zwei Elemente $a,b\in K$, dass aus $a\boxdot b=0$ bereits $a=0$ oder $b=0$ folgt. Körper sind also insbesondere Integritätsbereiche.
Beweis (Körper sind Integritätsbereiche)
Seien $a,b\in K$ mit $a\boxdot b=0_{K}$. Falls $a=0_{K}$, so sind wir fertig. Im Falle $a\neq 0_{K}$ existiert ein zu $a$ bezüglich der Multiplikation inverses Element $a^{-1}$. Damit erhalten wir
${\begin{aligned}0_{K}=a^{-1}\boxdot 0_{K}=a^{-1}\boxdot (a\boxdot b)=(a^{-1}\boxdot a)\boxdot b=1_{K}\boxdot b=b.\end{aligned}}$
Somit folgt aus $a\neq 0_{K}$, dass $b=0_{K}$ ist.
Ein Beispiel für einen Integritätsbereich, der kein Körper ist, sind die ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$. Tatsächlich haben wir die Existenz von $\mathbb {Q}$ und die Definition von Körpern dadurch motiviert, dass man in $\mathbb {Z}$ eben nicht immer teilen darf. Im Abschnitt über Quotientenkörper zeigen wir allerdings, dass man jedem Integritätsbereich zu einem Körper erweitern kann. Dies verläuft analog dazu, wie man $\mathbb {Z}$ zu $\mathbb {Q}$ erweitert.

## Beispiele
### Aus der Schule bekannte Körper und Nicht-Körper

Aus der Schule sind die Zahlenbereiche der natürlichen Zahlen $\mathbb {N}$, der ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$, der rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ und der reellen Zahlen $\mathbb {R}$ bekannt. Wir wissen bereits, dass $\mathbb {N}$ kein Ring ist. Daher kann es insbesondere kein Körper sein. Im Ringartikel haben wir gesehen, dass $\mathbb {Z}$ ein Ring ist. Allerdings haben wir in der Einleitung gesehen, dass nicht alle Elemente von $\mathbb {Z}$ in $\mathbb {Z}$ invertierbar sind. Tatsächlich sind die einzigen Einheiten von $\mathbb {Z}$ die Elemente $1$ und $-1$.
Die rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ sind die kleinste "Erweiterung" von $\mathbb {Z}$, die ein Körper ist. Darauf werden wir im Abschnitt über Quotientenkörper noch näher eingehen.
Die reellen Zahlen bilden ebenfalls einen Körper. Um dies zu beweisen, muss man die sehr analytische Definition von $\mathbb {R}$ verwenden. Wir verweisen deshalb auf Standardwerke zur Analysis wie etwa "Analysis 1" aus der beliebten Lehrbuchreihe "Mathe für Nicht-Freaks".

### Restklassenkörper von $\mathbb {Z}$

Wir haben im Artikel über Ringe gesehen, dass $\mathbb {Z} /m\mathbb {Z}$ einen Ring bildet für alle $m\in \mathbb {N}$. Aber wann ist $\mathbb {Z} /m\mathbb {Z}$ ein Körper? Die Antwort lautet:
Satz (Wann ist $\mathbb {Z} /m\mathbb {Z}$ ein Körper?)
$\mathbb {Z} /m\mathbb {Z}$ ist genau dann ein Körper, wenn $m$ eine Primzahl ist.
Beweis (Wann ist $\mathbb {Z} /m\mathbb {Z}$ ein Körper?)
Beweisschritt: $\implies$
Sei also $m=ab$ mit $a,b\in \mathbb {N}$. Wir müssen zeigen, dass $a=1$ oder $b=1$ gilt. Da $m=ab$ gilt, gilt in $\mathbb {Z} /m\mathbb {Z}$:
${\begin{aligned}{\overline {a}}{\overline {b}}={\overline {m}}={\overline {0}}.\end{aligned}}$
$\mathbb {Z} /m\mathbb {Z}$ ist ein Körper, also insbesondere ein Integritätsbereich. Also gilt in $\mathbb {Z} /m\mathbb {Z}$, dass ${\overline {a}}={\overline {0}}$ oder ${\overline {b}}={\overline {0}}$. Ohne Einschränkung ist ${\overline {a}}={\overline {0}}$. Daraus folgt, dass $m$ ein Teiler von $a$ ist. Andererseits ist aber $a$ ein Teiler von $m$ und beide Zahlen sind positiv. Also gilt $a=m$ und somit $b=1$.
Da $a$ und $b$ beliebig waren, folgt, dass $m$ eine Primzahl ist.
Beweisschritt: $\Longleftarrow$
Sei $m$ eine Primzahl. Wir schreiben deshalb von nun an $p$ statt $m$. Wir wissen bereits, dass $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ ein Ring ist. Nach der Definition von Körpern müssen wir also zeigen, dass ${\overline {1}}\neq {\overline {0}}$ in $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$, und dass jedes Nicht-Null-Element von $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ ein multiplikatives Inverses besitzt.
Es gilt ${\overline {1}}\neq {\overline {0}}$, da $p$ kein Teiler von $1-0$ ist (Primzahlen sind ungleich $1$).
Sei nun ${\overline {a}}\in \mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ beliebig mit ${\overline {a}}\neq {\overline {0}}$. Wir definieren
${\begin{aligned}\varphi \colon \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} &\to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} ,\\{\overline {b}}&\mapsto {\overline {a}}{\overline {b}}.\end{aligned}}$
Unser Ziel ist zu zeigen, dass $\varphi$ surjektiv ist. Denn dann liegt insbesondere ${\overline {1}}$ im Bild, d.h. es existiert ein ${\overline {b}}\in \mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$, sodass ${\overline {a}}\cdot {\overline {b}}={\overline {1}}$. Dieses ${\overline {b}}$ ist dann das Inverse zu ${\overline {a}}$.
Da Definitions- und Wertebereich von $\varphi$ endlich und gleichmächtig sind, reicht es zu zeigen, dass $\varphi$ injektiv ist.
Dazu: Seien ${\overline {b}}$ und ${\overline {c}}$ aus $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ mit $\varphi ({\overline {b}})=\varphi ({\overline {c}})$. Das heißt, dass ${\overline {a}}{\overline {b}}={\overline {a}}{\overline {c}}$. Das ist per Definition äquivalent dazu, dass $p$ ein Teiler von $ab-ac=a(b-c)$ ist. Da $p$ eine Primzahl ist, folgt, dass $p$ ein Teiler von $a$ oder von $b-c$ ist. Wir wissen aber, dass nach Voraussetzung ${\overline {a}}\neq {\overline {0}}={\overline {p}}$ gilt. Also teilt $p$ nicht $a$. Somit muss $p$ ein Teiler von $b-c$ sein. Das heißt ${\overline {b}}={\overline {c}}$ und wir haben die Injektivität gezeigt.

### Quotientenkörper von Integritätsbereichen

Wir haben in der Einleitung gesehen, dass $\mathbb {Q}$ einen großen Vorteil gegenüber $\mathbb {Z}$ besitzt. Genauer gesagt sind Gleichung wie $ax=b$ mit festen Werten $a\neq 0$ und $b$ über $\mathbb {Q}$ stets lösbar. Wir konstruieren dafür die Lösung $x={\frac {b}{a}}$.
Da eine ganze Zahl $n$ gleich der rationalen Zahl ${\frac {n}{1}}$ ist, ist $\mathbb {Z}$ eine Teilmenge von $\mathbb {Q}$. Außerdem kann man jede rationale Zahl als Bruch von zwei ganzen Zahlen auffassen. Wir erzeugen also $\mathbb {Q}$ aus $\mathbb {Z}$. Gleichzeitig erweitern wir dadurch $\mathbb {Z}$ zu $\mathbb {Q}$. Dies hat den Sinn, dass alle linearen Gleichungen lösbar werden.
Diese Darstellung von rationalen Zahlen als Brüche ganzer Zahlen ist aber bekanntlich nicht eindeutig, denn wir können Brüche kürzen und erweitern. Für $a,b\in \mathbb {Z}$ mit $b\neq 0$ gilt ${\frac {ka}{kb}}={\frac {a}{b}}$ für alle $k\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}$. Zwei Brüche ${\frac {a}{b}}$ und ${\frac {c}{d}}$ sind gleich genau dann, wenn wir ${\frac {a}{b}}$ zu ${\frac {c}{d}}$ erweitern können. Wenn wir ${\frac {a}{b}}$ zu ${\frac {c}{d}}$ erweitern können, finden wir ein $k\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}$, sodass $k\cdot a=c$ und $k\cdot b=d$. Es gilt dann $c\cdot b=(k\cdot a)\cdot b=a\cdot d$. Umgekehrt gilt auch, dass ${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$, falls $ad=bc$ (weil dann ${\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}={\frac {ad-bc}{bd}}=0$. Ganz allgemein gilt also: Zwei Brüche ${\frac {a}{b}}$ und ${\frac {c}{d}}$ (mit $a,b,c,d\in \mathbb {Z}$ sind genau dann gleich, wenn $ad=bc$ gilt. Daher kann man $\mathbb {Q}$ auffassen als die Menge $\{(a,b)\in \mathbb {Z} ^{2}|b\neq 0\}$ versehen mit der Äquivalenzrelation $(a,b)\sim (c,d):\iff ad=bc$.
Die Summe von zwei Brüchen ${\frac {a}{b}}$ und ${\frac {c}{d}}$ ergibt ${\frac {ad+bc}{bd}}$.
Wir wollen dieses Konzept jetzt von $\mathbb {Z}$ auf allgemeine Integritätsbereiche verallgemeinern. Wir tun dies nur für Integritätsbereiche, damit der Nenner des Produktes zweier Brüche ungleich $0$ ist. Genauer: Seien $R$ irgendein Ring und $a,b,c,d\in R$ mit $b,d\neq 0$. Dann wollen wir natürlich definieren:
${\begin{aligned}{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}.\end{aligned}}$
Die Zahlen $b$ und $d$ sind nach Voraussetzung ungleich $0$. Damit das Objekt rechts wieder ein valider Bruch ist, muss $bd\neq 0$ gelten. Das ist genau dann sichergestellt, wenn $R$ Integritätsbereich ist.
Wir wollen die allgemeine Konstruktion nun formal aufschreiben. Zunächst müssen wir die Menge der "Brüche" von Elementen von $R$ definieren. Ein Bruch besteht aus einem Zähler und einem Nenner, die beide aus $R$ stammen. Allerdings soll der Nenner ungleich Null sein. Eine erste Idee wäre also, Brüche einfach also Paare aus $R\times R\setminus \{0\}$ zu definieren. Wir müssen allerdings beachten, dass Brüche, die durch Kürzen oder Erweitern auseinander hervorgehen, als gleich aufgefasst werden. Dies motiviert folgende Definition.
Satz (Eine Äquivalenzrelation)
Sei $R$ ein Integritätsbereich. Wir definieren eine Relation auf $R\times (R\setminus \{0\})$ via $(a,b)\sim (a',b')\colon \iff ab'=a'b$.
Dies ist eine Äquivalenzrelation.
Beweis (Eine Äquivalenzrelation)
Wir müssen zeigen, dass $\sim$ reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
Beweisschritt: $\sim$ ist reflexiv
Sei $(a,b)\in R\times (R\setminus \{0\})$. Dann ist $ab=ab$, also folgt $(a,b)\sim (a,b)$. Damit ist die Reflexivität von $\sim$ gezeigt.
Beweisschritt: $\sim$ ist symmetrisch
Seien $(a,b),(a',b')\in R\times (R\setminus \{0\})$ sodass $(a,b)\sim (a',b')$. Dann ist nach Definition $ab'=a'b$, also auch $a'b=ab'$. Das bedeutet aber, dass $(a',b')\sim (a,b)$. Damit ist die Symmetrie von $\sim$ gezeigt.
Beweisschritt: $\sim$ ist transitiv
Seien $(a,b),(a',b'),(a'',b'')\in R\times (R\setminus (\{0\}))$, sodass $(a,b)\sim (a',b'),(a',b')\sim (a'',b'')$. Dies bedeutet, dass $ab'=a'b$ und $a'b''=a''b'$. Dann ist aber $b'(ab'')=(b'a)b''=(ba')b''=b(a'b'')=b(a''b')=b'(a''b)$. Da $R$ ein Integritätsbereich ist, und $b'\neq 0$, können wir kürzen, und es gilt $ab''=a''b$. Daher gilt $(a,b)\sim (a'',b'')$. Damit ist die Transitivität von $\sim$ gezeigt.
Die Menge der Brüche soll die Grundlage des Quotientenkörpers werden. Auf der Menge der Brüche wollen wir nun eine Addition und die Multiplikation definieren. Diese orientieren sich an den entsprechenden Operationen auf $\mathbb {Q}$ wie oben dargestellt.
Definition (Quotientenkörper)
Sei $(R,+,\cdot )$ ein Integritätsbereich mit der oben definierten Äquivalenzrelation $\sim$. Wir definieren (als Menge)
${\begin{aligned}\operatorname {Quot} (R):=(R\times (R\setminus \{0\}))/\sim .\end{aligned}}$
Weiterhin definieren wir zwei Operationen auf $\operatorname {Quot} (R)$ wie folgt. Seien $[(a,b)],[(a',b')]\in \operatorname {Quot} (R)$. Definiere
${\begin{aligned}\![(a,b)]\boxplus [(a',b')]:=[(ab'+a'b,bb')]\end{aligned}}$
und
${\begin{aligned}\![(a,b)]\boxdot [(a',b')]:=[(aa',bb')].\end{aligned}}$
Nun zeigen wir, dass die Menge der Brüche mit diesen Operationen tatsächlich einen Körper bildet. Dabei müssen wir insbesondere darauf achten, dass die Operationen wohldefiniert sind. In unserem Fall heißt das, dass die Operationen unabhängig von der Darstellung eines Bruches als Paar von Zähler und Nenner sind.
Satz (Der Quotientenkörper ist ein Körper)
Sei $R$ ein Integritätsbereich. Dann ist $(\operatorname {Quot} (R),\boxplus ,\boxdot )$ ein Körper.
Beweis (Der Quotientenkörper ist ein Körper)
Wir zeigen zunächst die Wohldefiniertheit der Operationen und zeigen dann die Körperaxiome.
Beweisschritt: Wohldefiniertheit von $\boxplus$
Wir zeigen nur die Wohldefinierheit "im ersten Argument". Die Wohldefiniertheit "im zweiten Argument" folgt analog. Seien dazu $[(a,b)],[(a',b')],[(c,d)]\in \operatorname {Quot}$ und $[(a,b)]\sim [(c,d)]$. Dies bedeutet $ad=cb$. Wir müssen zeigen:
${\begin{aligned}(ab'+a'b,bb')\sim (cb'+a'd,db').\end{aligned}}$
Dies ist per Definition äquivalent zu
${\begin{aligned}(ab'+a'b)db'=(cb'+a'd)bb'.\end{aligned}}$
Da $b'\neq 0$ und $R$ ein Integritätsbereich ist dürfen wir $b'$ kürzen. Die Aussage ist also äquivalent zu
${\begin{aligned}(ab'+a'b)d=(cb'+a'd)b.\end{aligned}}$
Ausmultiplizieren liefert
${\begin{aligned}ab'd+a'bd=cb'b+a'db.\end{aligned}}$
Ersetzen wir nun $ad$ auf der linken Seite durch $cb$ erhalten wir
${\begin{aligned}cb'b+a'bd=cb'b+a'db.\end{aligned}}$
Dies ist eine wahre Aussage. Alle Umformungen waren Äquivalenzumformungen. Also haben wir die Aussage gezeigt.
Beweisschritt: Wohldefiniertheit von $\boxdot$
Wir zeigen wieder nur die Wohldefinierheit "im ersten Argument". Die Wohldefiniertheit "im zweiten Argument" folgt wieder analog. Seien dazu $[(a,b)],[(a',b')],[(c,d)]\in \operatorname {Quot}$ und $[(a,b)]\sim [(c,d)]$. Dies bedeutet $ad=cb$. Wir müssen zeigen:
${\begin{aligned}(aa',bb')\sim (ca',db').\end{aligned}}$
Dies ist per Definition äquivalent zu
${\begin{aligned}aa'db'=ca'bb'.\end{aligned}}$
Ersetzen wir nun $ad$ auf der linken Seite durch $cb$ erhalten wir
${\begin{aligned}ca'bb'=ca'bb'.\end{aligned}}$
Dies ist eine wahre Aussage. Alle Umformungen waren Äquivalenzumformungen. Also haben wir die Aussage gezeigt.
Beweisschritt: Assoziativität von $\boxplus$
Seien $[(a,b)],[(a',b')],[(a'',b'')]\in \operatorname {Quot} (R)$. Es gilt
${\begin{aligned}([(a,b)]\boxplus [(a',b')])\boxplus [(a'',b'')]=[(ab'+a'b,bb')]\boxdot [(a'',b'')]=[((ab'+a'b)b''+a''bb',bb'b'')].\end{aligned}}$
Andererseits ist
${\begin{aligned}\![(a,b)]\boxplus ([(a',b')]\boxplus [(a'',b'')])=[(a,b)]\boxdot [(a'b''+a''b',b'b'')]=[(ab'b''+(a'b''+a''b')b,bb'b'')].\end{aligned}}$
Wir müssen zeigen, dass die Elemente ganz rechts in den beiden Formeln gleich sind. Das heißt wir müssen zeigen:
${\begin{aligned}((ab'+a'b)b''+a''bb')bb'b''=(ab'b''+(a'b''+a''b')b)bb'b''.\end{aligned}}$
Dafür reicht es wiederum zu zeigen:
${\begin{aligned}(ab'+a'b)b''+a''bb'=ab'b''+(a'b''+a''b')b.\end{aligned}}$
Multipliziert man aus, so sieht man, dass beide Seiten gleich sind. Dies zeigt die Assozitativität von $\boxplus$.
Beweisschritt: Kommutativität von $\boxplus$
Seien $[(a,b)],[(a',b')]\in \operatorname {Quot} (R)$. Es gilt
${\begin{aligned}\![(a,b)]\boxplus [(a',b')]=[(ab'+a'b,bb')]=[(a'b+ab',b'b)]=[(a',b')]\boxplus [(a,b)].\end{aligned}}$
Dies zeigt die Kommutativität von $\boxplus$.
Beweisschritt: $[(0,1)]$ ist neutrales Element von $\boxplus$
Sei $[(a,b)]\in \operatorname {Quot} (R)$. Dann gilt
${\begin{aligned}\![(a,b)]\boxplus [(0,1)]=[(a\cdot 1+0\cdot b,b\cdot 1)]=[(a,b)].\end{aligned}}$
Also ist $[(0,1)]$ neutrales Element bezüglich $\boxplus$.
Beweisschritt: $[(-a,b)]$ ist inverses Element von $[(a,b)]$ bezüglich $\boxplus$
Sei $[(a,b)]\in \operatorname {Quot} (R)$. Dann gilt
${\begin{aligned}\![(a,b)]\boxplus [(-a,b)]=[(ab-ab,bb)]=[(0,bb)].\end{aligned}}$
Es gilt aber $[(0,bb)]=[(0,1)]$, da $0\cdot 1=0=0\cdot bb$. Also ist $[(-a,b)]$ Inverses zu $[(a,b)]$ bezüglich $\boxplus$.
Beweisschritt: Assoziativität von $\boxdot$
Seien $[(a,b)],[(a',b')],[(a'',b'')]\in \operatorname {Quot} (R)$. Dann gilt
${\begin{aligned}([(a,b)]\boxdot [(a',b')])\boxdot [(a'',b'')]&=[(aa',bb')]\boxdot [(a'',b'')]\\&=[((aa')a'',(bb')b'')]\\&=[(a(a'a''),b(b'b''))]\\&=[(a,b)]\boxdot [(a'a'',b'b'')]\\&=[(a,b)]\boxdot ([(a',b')]\boxdot [(a'',b'')]).\end{aligned}}$
Damit ist die Assoziativität gezeigt.
Beweisschritt: Kommutativität von $\boxdot$
Seien $[(a,b)],[(a',b')],[(a'',b'')]\in \operatorname {Quot} (R)$. Dann gilt
${\begin{aligned}\![(a,b)]\boxdot [(a',b')]=[(aa',bb')]=[(a'a,b'b)]=[(a',b')]\boxdot [(a,b)].\end{aligned}}$
Damit ist die Kommutativität gezeigt.
Beweisschritt: $[(1,1)]$ ist neutrales Element von $\boxdot$
Sei $[(a,b)]\in \operatorname {Quot} (R)$. Dann gilt
${\begin{aligned}\![(1,1)]\boxdot [(a,b)]=[(1\cdot a,1\cdot b)]=[(a,b)].\end{aligned}}$
Also ist $[(1,1)]$ neutrales Element bezüglich $\boxdot$.
Beweisschritt: $[(b,a)]$ ist inverses Element von $[(a,b)]$ bezüglich $\boxdot$
Sei $[(a,b)]\in \operatorname {Quot} (R)$. Dann ist
${\begin{aligned}\![(a,b)]\boxdot [(b,a)]=[(ab,ab)].\end{aligned}}$
Es ist aber $ab\cdot 1=1\cdot ab$, also $[(ab,ab)]=[(1,1)]$. Also ist $[(b,a)]$ Inverses von $[(a,b)]$ bezüglich $\boxdot$.
Beweisschritt: Distributivität von $\boxdot$ über $\boxplus$
Seien $[(a,b)],[(a',b')],[(a'',b'')]\in \operatorname {Quot} (R)$. Es gilt
${\begin{aligned}\![(a,b)]\boxdot ([(a',b')]\boxplus [(a'',b'')])=[(a,b)]\boxdot [(a'b''+a''b',b'b'')]=[(aa'b''+aa''b',bb'b'')].\end{aligned}}$
Andererseits gilt
${\begin{aligned}([(a,b)]\boxdot [(a',b')])\boxplus ([(a,b)]\boxdot [(a'',b'')])=[(aa',bb')]\boxplus [(aa'',bb'')]=[(aa'bb''+aa''bb',bbb'b'')].\end{aligned}}$
Damit Gleichheit gilt, muss gelten:
${\begin{aligned}(aa'b''+aa''b')bbb'b''=(aa'bb''+a''bb')bb'b''.\end{aligned}}$
Nach Ausmultiplizieren sieht man das sofort. Also ist $\boxdot$ distributiv über $\boxplus$.
Damit ist gezeigt, dass $\operatorname {Quot} (R)$ ein Körper ist.
Die Äquivalenzklassen von Tupeln wollen wir nun auch in der altbekannten Bruchschreibweise schreiben: Statt $[(a,b)]$ schreiben wir von nun an also einfach ${\frac {a}{b}}$.
Wir erinnern uns außerdem daran, dass wir eine ganze Zahl $n$ als rationale Zahl ${\frac {n}{1}}$ auffassen können. Genauso fassen wir ein Element $r\in R$ als das Element ${\frac {r}{1}}$ von $\operatorname {Quot} (R)$ auf. Das "verträgt" sich mit den Operationen von $R$ und $\operatorname {Quot} (R)$. Es ist zum Beispiel ${\frac {r}{1}}+{\frac {s}{1}}$ dasselbe wie ${\frac {r+s}{1}}$. Es ist also egal, ob wir "in $R$" addieren und dann den Bruch bilden, oder erst die Brüche bilden und diese dann addieren.
Um auf unsere Motivation zurückzukommen, können wir den Körper $\mathbb {Q}$ der rationalen Zahlen neu definieren:
${\begin{aligned}\mathbb {Q} :=\operatorname {Quot} (\mathbb {Z} ).\end{aligned}}$

## Charakteristik

Wir haben den Körperbegriff am Beispiel $\mathbb {Q}$ motiviert. Im Abschnitt Eigenschaften haben wir auch gesehen, dass in jedem Körper gewisse Eigenschaften gelten, die wir vom Rechnen in $\mathbb {Q}$ gewohnt sind. Allerdings haben manche Körper auch Eigenschaften, die auf den ersten Blick etwas seltsam erscheinen.
Ein Beispiel dafür sind Restklassenkörper. Wir haben oben gezeigt, dass $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ ein Körper ist, falls $p$ eine Primzahl ist. In diesem Körper gilt dann, dass $\underbrace {{\overline {1}}+\dots +{\overline {1}}} _{p{\text{ mal}}}=0$. In $\mathbb {Q}$ oder $\mathbb {R}$ ist sowas natürlich nicht der Fall. Dies motiviert den Begriff der Charakteristik.
Definition (Charakteristik eines Körpers)
Sei $K$ ein Körper. Die Charakteristik $\operatorname {char} (K)$ von $K$ ist die kleinste die kleinste natürliche Zahl $n>0$, sodass $\underbrace {1_{K}+\dots +1_{K}} _{n{\text{ Summanden}}}=0$, sofern solch eine Zahl existiert. Falls eine solche Zahl nicht existiert, so setzen wir $\operatorname {char} (K)=0$.
Satz (Die Charakteristik ist Null oder eine Primzahl)
Sei $K$ ein Körper. Dann gilt $\operatorname {char} (K)=0$ oder $\operatorname {char} (K)$ ist eine Primzahl.
Beweis (Die Charakteristik ist Null oder eine Primzahl)
Falls $\operatorname {char} (K)=0$, so sind wir fertig. Sei also $n:=\operatorname {char} (K)>0$. Wir wollen zeigen, dass $n$ eine Primzahl ist. Es gilt $n>1$, da per Definition $1_{K}\neq 0_{K}$ gilt. Schreibe $n=ab$ mit $a,b\in \mathbb {N}$. Wir müssen zeigen, dass $a=1$ oder $b=1$. Setze $x=\underbrace {1_{K}+\dots +1_{K}} _{a{\text{ Summanden}}}$ und $y=\underbrace {1_{K}+\dots +1_{K}} _{b{\text{ Summanden}}}$. Dann ist $0=\underbrace {1_{K}+\dots +1_{K}} _{n{\text{ Summanden}}}=(\underbrace {1_{K}+\dots +1_{K}} _{a{\text{ Summanden}}})\boxdot (\underbrace {1_{K}+\dots +1_{K}} _{b{\text{ Summanden}}})=xy$.
Da $K$ ein Körper, und somit insbesondere Integritätsbereich ist, gilt $x=0$ oder $y=0$. Ohne Einschränkung sei $x=0$. Da nach Definition $n$ die kleinste Zahl ist, sodass $\underbrace {1_{K}+\dots +1_{K}} _{n{\text{ Summanden}}}=0$, folgt $n\leq a$. Andererseits gilt $a\leq n$, denn $ab=n$ und $b\geq 1$. Also gilt $a=n$ und $b=1$.
Da $a$ und $b$ beliebig waren, ist $n$ also eine Primzahl.
Beispiel (Beispiele für die Charakteristik von Körpern)
Die Körper $\mathbb {Q}$, $\mathbb {R}$ und $\mathbb {C}$ haben Charakteristik $0$. Für $\mathbb {Q}$ haben wir das bereits angemerkt. Für $K=\mathbb {R}$ oder $K=\mathbb {C}$ ist das auch nicht überraschend, da wir $\mathbb {Q}$ als Teilmenge (streng genommen als "Teilkörper") von $K$ auffassen können. Wenn wir also die $1$ in $K$ mehrmals aufaddieren, rechnen wir eigentlich nur in $\mathbb {Q}$. Und da $\operatorname {char} (\mathbb {Q} )=0$, wird diese Summe niemals $0$.
Für die Restklassenkörper $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ (mit $p$ Primzahl) gilt $\operatorname {char} (\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )=p$. Das liegt daran, dass $\underbrace {1+\dots +1} _{p{\text{ Summanden}}}=p\cdot 1=p$ durch $p$ teilbar ist. Also gilt $\underbrace {1+\dots +1} _{p{\text{ Summanden}}}\equiv 0\mod p$.

## Körperbeweise führen

Wir haben Körper definiert als Ringe, die besondere Eigenschaften erfüllen. Um also nachzuweisen, dass eine Menge zusammen mit zwei Operationen einen Körper bildet, müssen wir also die Ringaxiome zeigen und diese Eigenschaften. Wir wollen hier nochmal auf einen Blick zusammenfassen, welche Eigenschaften das alles umfasst.
Ein Körper ist eine Struktur, die aus einer Menge $K$ und zwei verschiedenen inneren Verknüpfungen besteht:
${\begin{aligned}\boxplus &:K\times K\to K;(x,y)\mapsto x\boxplus y\\\boxdot &:K\times K\to K;(x,y)\mapsto x\boxdot y\end{aligned}}$
Die Verknüpfungen sind Abbildungen von $K\times K$ nach $K$, sie bilden Paare von Elementen aus $K$ auf Elemente aus $K$ ab. Wir bezeichnen sie mit „$\boxplus$" und „$\boxdot$" und nennen sie Addition und Multiplikation.
Die Struktur muss dabei folgende Bedingungen erfüllen:
* $K$ bildet unter der Verknüpfung $\boxplus$ eine abelsche Gruppe, das heißt
** $K$ ist abgeschlossen unter $\boxplus$
** $\boxplus$ ist assoziativ und kommutativ.
** Es existiert ein additives neutrales Element $0_{K}$, sodass für alle $k\in K$ gilt: $0_{K}\boxplus k=k\boxplus 0_{K}=k$
** Für alle Elemente $k\in K$ existiert ein additives inverses Element $-k$ in $K$, sodass gilt: $k\boxplus (-k)=(-k)\boxplus k=0_{K}$.
* Die Multiplikation $\boxdot$ erfüllt folgende Eigenschaften:
** $K$ ist abgeschlossen unter $\boxdot$.
** Die Verknüpfung $\boxdot$ ist assoziativ und kommutativ
** Es existiert ein multiplikatives neutrales Element $1_{K}\in K$, sodass für alle $m\in K$ gilt:$1_{K}\boxdot k=k\boxdot 1_{K}=k$. Es muss dabei gelten $1_{K}\neq 0_{K}$. Man kann zeigen, dass das neutrale Element eindeutig bestimmt ist.
** Zu jedem Element $k\in K$, außer dem additiven neutralen Element $0_{K}$, existiert ein multiplikatives Inverses Element $k^{-1}$ in $K$, sodass gilt $k\boxdot k^{-1}=k^{-1}\boxdot k=1_{K}$.
* Man kann $\boxplus$ und $\boxdot$ miteinander verknüpfen, dabei verhalten sie sich distributiv. Das heißt für alle Elemente $x,y,z\in K$ gilt: $x\boxdot (y\boxplus z)=(x\boxdot y)\boxplus (x\boxdot z)$ und $(y\boxplus z)\boxdot x=(y\boxdot x)\boxplus (z\boxdot x)$
Vektorbegriff aus der Schule →
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