# Mechanik flüssiger und gasförmiger Körper

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## Gleichgewichtszustände flüssiger und gasförmiger Körper

Auch Flüssigkeiten und Gase können in der Mechanik als homogene Kontinua angesehen und behandelt werden. Allerdings ist zur Erklärung ihres unterschiedlichen Verhaltens (auch im Vergleich mit Festkörpern) das Wissen um ihren Aufbau aus einzelnen, diskreten Atomen oder Molekülen wichtig. Da die Moleküle in Flüssigkeiten und Gasen nicht (elastisch) an einen festen Ort gebunden, sondern frei beweglich sind, setzen diese Körper einer Veränderung ihrer Form keinen Widerstand entgegen und passen ihre Gestalt der Form ihres Gefäßes an. Dass Flüssigkeiten fast nicht kompressibel sind, lässt darauf schließen, dass ihre Moleküle nahezu dicht gepackt sind. Dass sie andererseits aber eine hautähnliche Oberfläche mit einer Oberflächenspannung bilden und nicht – wie Gase – jeden ihnen gebotenen Raum einnehmen, zeigt, dass zwischen den Molekülen noch beträchtliche anziehende Kräfte wirken. Gase dagegen sind leicht komprimierbar und expandieren andererseits in jeden ihnen gebotenen Raum und üben auf die Gefäßwände einen Druck aus. Die erste Eigenschaft erklärt sich daraus, dass die Abstände der Moleküle ein Vielfaches ihrer Abmessungen betragen und zwischen ihnen keine abstoßenden Kräfte wirken. Die unbegrenzte Expansion und der Druck auf die Wände (auch auf die Oberfläche eines im Inneren befindlichen Körpers) rühren her von der beträchtlichen Geschwindigkeit, mit der sich die Gasmoleküle bewegen und auf die Wände stoßen.
Auch im Innern einer Flüssigkeit herrscht ein bestimmter Druck, wobei (in einem Gravitationsfeld) der durch das Gewicht der jeweils darüber befindlichen Flüssigkeit ausgeübte Druck (hydrostatischer Druck) eine besondere Rolle spielt. Die gleiche Ursache hat in Gasen der – naturgemäß viel kleinere – aerostatische Druck.
Wenn wir im Folgenden sehr kleine Volumenelemente betrachten, so sollen deren Abmessungen noch immer sehr groß sein gegen die Abmessungen und Abstände der Moleküle, denn nur dann ist es möglich, von einem definierten Druck zu sprechen. (Wenn diese Bedingung nicht erfüllt ist, werden pro Sekunde nur noch sehr wenige Moleküle – oder auch einmal gar keine – auf die Oberfläche treffen, und dann kann man nicht mehr von einem bestimmten Druck sprechen.)
Wenn wir von Reibungskräften zunächst absehen, wirkt auf jedes Oberflächenelement eines Volumenelements ein Druck, der auf der Fläche stets senkrecht steht, weil von außen keine tangentialen Kräfte ausgeübt werden.
Im Allgemeinen herrscht im Innern einer Flüssigkeit und eines Gases (im Folgenden "Medium" genannt) ein von Ort zu Ort variierender Druck, der sich außerdem mit der Zeit verändern kann. Wir betrachten zunächst eine Momentaufnahme eines Volumenelements ΔV, sodass zeitliche Veränderungen keine Rolle spielen. Das Volumenelement sei ein Quader (seine Kanten parallel zu den Koordinatenachsen) mit den Seiten Δx, Δy und Δz. An der linken Seitenfläche sei der mittlere Druck gleich p$_1$, an der rechten Seitenfläche gleich p$_2$. Die von diesen Drucken ausgeübten Kräfte seien Δ F$_1$ und Δ F$_2$
Unter der Voraussetzung, dass die Druckverteilung wenigstens in der Umgebung des betrachteten Punktes P durch eine Funktion p(r) dargestellt werden kann, die stetig ist und stetige partielle Ableitungen besitzt, gelten folgende Überlegungen: Es ist
$p_{2}\approx p_{1}+{\frac {\partial p}{\partial x}}\Delta x,$
wobei die partielle Ableitung an der Stelle P zu bilden ist.
Die Druckkräfte auf die betrachteten Seitenflächen sind dann
$\Delta {\mathbf {F} }_{1}\approx p_{1}\,\Delta y\,\Delta z\,{\mathbf {i} }\quad {\mbox{und}}\quad \Delta {\mathbf {F} }_{\mathbf {2} }\approx -p_{2}\,\Delta y\,\Delta z\,{\mathbf {i} }\approx -\left({p_{1}+{\frac {\partial p}{\partial x}}\Delta x}\right)\Delta y\,\Delta z\,{\mathbf {i} }.$
$\Delta {\mathbf {F} }_{\mathbf {x} }=\Delta {\mathbf {F} }_{1}+\Delta {\mathbf {F} }_{2}\approx -{\frac {\partial p}{\partial x}}\Delta x\,\Delta y\,\Delta z\,{\mathbf {i} }=-{\frac {\partial p}{\partial x}}\Delta V\,{\mathbf {i} }.$
Analog findet man:
$\Delta {\mathbf {F} }_{\mathbf {y} }\approx -{\frac {\partial p}{\partial y}}\Delta V\,{\mathbf {j} }\quad {\mbox{und}}\quad \Delta {\mathbf {F} }_{\mathbf {z} }=-{\frac {\partial p}{\partial z}}\Delta V\,{\mathbf {k} }.$
Die Gesamtkraft auf das Volumenelement ist dann
$\Delta {\mathbf {F} }=\Delta {\mathbf {F} }_{\mathbf {x} }+\Delta {\mathbf {F} }_{\mathbf {y} }+\Delta {\mathbf {F} }_{\mathbf {z} }\approx -\left({{\frac {\partial p}{\partial x}}{\mathbf {i} }+{\frac {\partial p}{\partial y}}{\mathbf {j} }+{\frac {\partial p}{\partial z}}{\mathbf {k} }}\right)\Delta V=-\Delta V\operatorname {grad} \,p,$
und damit gilt für die "volumenbezogene Kraft" in P:
${\frac {\Delta {\mathbf {F} }}{\Delta V}}\approx -\operatorname {grad} \,p\quad {\mbox{und}}\quad \mathop {\mbox{lim}} _{\Delta V\to 0}{\frac {\Delta {\mathbf {F} }}{\Delta V}}={\frac {\operatorname {d} {\mathbf {F} }}{\operatorname {d} V}}=-\operatorname {grad} \,p.$
Dividiert man die Gleichung durch die Dichte ρ des Mediums, so erhält man die "massebezogene Kraft" in P:
${\frac {\operatorname {d} {\mathbf {F} }}{\rho \operatorname {d} V}}={\frac {\operatorname {d} {\mathbf {F} }}{\operatorname {d} m}}=-{\frac {1}{\rho }}\operatorname {grad} \,p.$
Die beiden "bezogenen Kräfte" sind also, wie zu erwarten, der Richtung von grad p, also der Richtung des stärksten Anstiegs von p, entgegengesetzt gerichtet.
Bei Anwendung der letzten Gleichung ist zu berücksichtigen, dass die Dichte ρ = ρ(p, T) eine Funktion der Temperatur und (bei Gasen) des Drucks ist.
Die nächste Frage ist: Was richten diese "bezogenen Kräfte" aus? Anders ausgedrückt: Nach dem Newtonschen Axiom "actio = reactio" muss es eine entgegengesetzt gleich große "bezogene Kraft" geben, die der ersten bezogenen Kraft das Gleichgewicht hält. Welche ist das?
Im statischen Zustand, d. h. wenn das Medium sich nicht bewegt, können die Kräfte nur vom Gewicht des Mediums herrühren. In diesem Fall ist das Gewicht des Mediums die Ursache des Druckanstiegs mit zunehmender Tiefe. Wenn sich das Medium bewegt (dynamischer Zustand), können die Gegenkräfte außerdem von Trägheitskräften (bei Beschleunigung des Mediums) stammen. Bezeichnen wir das Gewicht des Volumenelements mit dG und seine Trägheitskraft mit dT, so gilt
und
sowie
und mit
schließlich:
Das Minuszeichen bei der Trägheitskraft rührt daher, dass sie der Beschleunigung entgegengesetzt gerichtet ist.
g ist der Vektor der Erdbeschleunigung.
Bei Kenntnis der Größen auf der linken Seite kann grad p berechnet werden.

### Drei einfache Beispiele

1. Hydrostatischer Druck in einer Flüssigkeit
Hier gilt:
$\operatorname {grad} \,p=\rho \,{\mathbf {g} }=\rho \,g\,{\mathbf {k} },$
${\frac {\partial p}{\partial x}}{\mathbf {i} }+{\frac {\partial p}{\partial y}}{\mathbf {j} }+{\frac {\partial p}{\partial z}}{\mathbf {k} }=\rho \,g\,{\mathbf {k} }.$
Durch Vergleich findet man:
${\frac {\partial p}{\partial x}}={\frac {\partial p}{\partial y}}=0\quad \to \quad p=p\left(z\right).$
Der Druck p hängt also nur von z ab; d. h. die horizontalen Ebenen sind Flächen gleichen Drucks (Isobaren).
Also ist
${\frac {\partial p}{\partial z}}={\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} z}}=\rho \,g\quad \to \quad \operatorname {d} p=\rho \,g\,\operatorname {d} z.$
Durch Integration zwischen den Grenzen 0 und z ergibt sich:
$p\left(z\right)=\rho \,g\,z+p\left(0\right).$
2. Aerostatischer Druck (Barometrische Höhenformel)
Hier ist
$\operatorname {grad} \,p=-\,\rho \,g\,{\mathbf {k} }.$
(Das Gewicht ist nach unten gerichtet.) Also ist:
${\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} z}}=-\,\rho \,g.$
Bei konstanter Temperatur gilt das Boyle-Mariottesche Gesetz
${\frac {\rho }{\rho _{0}}}={\frac {p}{p_{0}}}\quad \to \quad {\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} z}}=-{\frac {\rho _{0}}{p_{0}}}g\,p\quad \to \quad {\frac {\operatorname {d} p}{p}}=-{\frac {\rho _{0}}{p_{0}}}g\,z.$
Durch Integration zwischen den Grenzen 0 und z ergibt sich:
$\ln {\frac {p}{p_{0}}}=-{\frac {\rho _{0}}{p_{0}}}g\,z\quad \to \quad p=p_{0}\operatorname {e} ^{-{\frac {\rho _{0}}{p_{0}}}g\,z}.$
3. Oberfläche einer rotierenden Flüssigkeit
Wegen der Rotationssymmetrie genügt eine zweidimensionale Betrachtung:
${\frac {1}{\rho }}\operatorname {grad} \,p={\frac {\operatorname {d} {\mathbf {G} }}{\operatorname {d} m}}+{\frac {\operatorname {d} {\mathbf {T} }}{\operatorname {d} m}}=-g\,{\mathbf {k} }+\omega ^{2}x\,{\mathbf {i} }\quad \to \quad {\frac {\partial p}{\partial x}}=\rho \omega ^{2}x\quad {\mbox{(1)}}$
und
${\frac {\partial p}{\partial z}}=-\rho \,g.\quad {\mbox{(2)}}$
Aus (1) folgt:
$p={\frac {\rho \omega ^{2}}{2}}x^{2}+f\left(z\right)\quad {\mbox{und}}\quad {\frac {\partial p}{\partial z}}=f'=-\,\rho \,g.$
Daraus folgt:
$f\left(z\right)=-\,\rho \,g\,z+K_{1}$
und
$p={\frac {\rho \omega ^{2}}{2}}x^{2}-\rho \,g\,z+K_{1}.$
Wir suchen nun die Flächen gleichen Drucks, wozu auch die Oberfläche gehört. Für p = konst. =K$_2$ ergibt sich:
$z={\frac {\omega ^{2}}{2g}}x^{2}+K$
Legen wir den Ursprung des Koordinatensystems in den tiefsten Punkt dieser Parabel, so wird K = 0 und
$z={\frac {\omega ^{2}}{2g}}x^{2}.$

## Die hydrodynamischen Grundgleichungen

Ich greife auf die Gleichung (1) im vorigen Kapitel zurück und schreibe sie in folgender Form:
${\frac {\operatorname {d} ^{2}{\mathbf {r} }}{\operatorname {d} t^{2}}}={\mathbf {g} }-{\frac {1}{\rho }}\operatorname {grad} \,\;p.$
Sie heißt hydrodynamische Grundgleichung.
Nun betrachten wir ein in seinem Inneren bewegtes, also strömendes Medium. Der Ort P(x, y, z) eines Volumen– oder Massenelements ist dann eine Funktion der Zeit:
$x=x\left(t\right),\quad y=y\left(t\right),\quad z=z\left(t\right).$
Seine Geschwindigkeit v = dr/dt und deren skalare Komponenten v$_x$, v$_y$, v$_z$ sind ebenfalls Funktionen des Ortes und damit auch indirekt Funktionen der Zeit:
$v_{x}=v_{x}\left[{x\left(t\right),\;y\left(t\right),\;z\left(t\right)}\right],\quad {\mbox{usw}}{\mbox{.}}$
Falls die Strömung nicht stationär ist, also sich auch am selben Ort im Laufe der Zeit verändert, sind die Geschwindigkeitskomponenten außerdem auch (unmittelbare) Funktionen der Zeit:
$v_{x}=v_{x}\left[{x\left(t\right),\;y\left(t\right),\;z\left(t\right),\;t}\right],\quad {\mbox{usw}}{\mbox{.}}$
Dasselbe gilt dann auch für die Komponenten der Beschleunigung
${\mathbf {a} }={\frac {\operatorname {d} {\mathbf {v} }}{\operatorname {d} t}}={\frac {\operatorname {d} ^{2}{\mathbf {r} }}{\operatorname {d} t^{2}}}.$
Diese wollen wir jetzt näher untersuchen.
Die vollständigen Differentiale der skalaren Komponenten der Geschwindigkeit sind dann:
$\operatorname {d} v_{x}={\frac {\partial v_{x}}{\partial t}}\operatorname {d} t+{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}\operatorname {d} x+{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}\operatorname {d} y+{\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}\operatorname {d} z,$
$\operatorname {d} v_{y}={\frac {\partial v_{y}}{\partial t}}\operatorname {d} t+{\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}\operatorname {d} x+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}\operatorname {d} y+{\frac {\partial v_{y}}{\partial z}}\operatorname {d} z,$
$\operatorname {d} v_{z}={\frac {\partial v_{z}}{\partial t}}\operatorname {d} t+{\frac {\partial v_{z}}{\partial x}}\operatorname {d} x+{\frac {\partial v_{z}}{\partial y}}\operatorname {d} y+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\operatorname {d} z.$
Division durch dt ergibt:
$a_{x}={\frac {{\operatorname {d} }v_{x}}{{\operatorname {d} }t}}={\frac {\partial v_{x}}{\partial t}}+{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}{\frac {{\operatorname {d} }x}{{\operatorname {d} }t}}+{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}{\frac {{\operatorname {d} }y}{{\operatorname {d} }t}}+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}{\frac {{\operatorname {d} }z}{{\operatorname {d} }t}}={\frac {\partial v_{x}}{\partial t}}+{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}v_{x}+{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}v_{y}+{\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}v_{z},\,\,{\operatorname {usw} }{\operatorname {.} }$
Damit lauten die "Eulerschen Gleichungen der Hydrodynamik" in Koordinatenform:
${\frac {\partial v_{x}}{\partial t}}+{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}v_{x}+{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}v_{y}+{\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}v_{z}=g_{x}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x}},$
${\frac {\partial v_{y}}{\partial t}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}v_{x}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}v_{y}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial z}}v_{z}=g_{y}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial y}},$
${\frac {\partial v_{z}}{\partial t}}+{\frac {\partial v_{z}}{\partial x}}v_{x}+{\frac {\partial v_{z}}{\partial y}}v_{y}+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}v_{z}=g_{z}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial z}},$
Dies sind drei Gleichungen für die skalaren Komponenten a$_x$, a$_y$, a$_z$ des Beschleunigungsvektors a. Der erste Summand jeder Gleichung gibt die (zeitabhängige) Beschleunigung an, die das Element auch dann erfährt, wenn sich sein Ort nicht ändert ("lokale Beschleunigung"), die übrigen Summanden geben die Beschleunigung an, die das Element infolge seiner Ortsveränderung erfährt, weil am neuen Ort das Element im Allgemeinen auch dann eine andere Geschwindigkeit hat, wenn die Strömung stationär ist. Diese Beschleunigung heißen "konvektiv".
Die rechten Seiten sind die entsprechenden Komponenten des Vektors
${\mathbf {g} }-{\frac {1}{\rho }}\operatorname {grad} \,\;p.$
Es liegt daher nahe, diese drei skalaren Gleichungen durch eine einzige Vektorgleichung zu ersetzen.
Bezeichnen wir den Vektor der lokalen Beschleunigung mit a$_{lok}$, den Vektor der konvektiven Beschleunigung mit a$_{kon}$, so ist
${\mathbf {a} }_{lok}={\frac {\partial {\mathbf {v} }}{\partial t}}={\frac {\partial v_{x}}{\partial t}}{\mathbf {i} }+{\frac {\partial v_{y}}{\partial t}}{\mathbf {j} }+{\frac {\partial v_{z}}{\partial t}}{\mathbf {k} }$
und
${\mathbf {a} }_{kon}=\left({v_{x}{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}}\right){\mathbf {i} }+\left({v_{x}{\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial v_{y}}{\partial z}}}\right){\mathbf {j} }+\left({v_{x}{\frac {\partial v_{z}}{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial v_{z}}{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}}\right){\mathbf {k} }.$
Damit können wir schreiben:
${\mathbf {a} }_{lok}+{\mathbf {a} }_{kon}={\mathbf {g} }-{\frac {1}{\rho }}\operatorname {grad} \,p.$
Wir wollen noch eine weitere Umformung vornehmen. Es ist
$v_{x}{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}={\mathbf {v} }\cdot \operatorname {grad} \,v_{x},$
$v_{x}{\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial v_{y}}{\partial z}}={\mathbf {v} }\cdot \operatorname {grad} \,v_{y},$
$v_{x}{\frac {\partial v_{z}}{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial v_{z}}{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}={\mathbf {v} }\cdot \operatorname {grad} \,v_{z},$
sodass wir schreiben können
${\mathbf {a} }_{kon}={\mathbf {v} }\cdot \operatorname {grad} \,v_{x}\,{\mathbf {i} }+{\mathbf {v} }\cdot \operatorname {grad} \,v_{y}\,{\mathbf {j} }+{\mathbf {v} }\cdot \operatorname {grad} \,v_{z}\,{\mathbf {k} }.$
Wir treffen nun folgende Verabredung:
Es bedeute "grad" so viel wie
$\left({{\frac {\partial }{\partial x}}{\mathbf {i} }+{\frac {\partial }{\partial y}}{\mathbf {j} }+{\frac {\partial }{\partial z}}{\mathbf {k} }}\right).$
Dies ist der so genannte Nabla-Operator, ein symbolischer Vektor mit den skalaren Komponenten
${\frac {\partial }{\partial x}},\;{\frac {\partial }{\partial y}},\;{\frac {\partial }{\partial z}}.$
Dieser "partielle Differentialoperator" wird dann auf die danach stehende Funktion angewendet.
Wenn wir diesen symbolischen Vektor skalar mit dem Vektor v multiplizieren, erhalten wir
${\mathbf {v} }\cdot \operatorname {grad} \,=\left({v_{x}{\mathbf {i} }+v_{y}{\mathbf {j} }+v_{z}{\mathbf {k} }}\right)\left({{\frac {\partial }{\partial x}}{\mathbf {i} }+{\frac {\partial }{\partial y}}{\mathbf {j} }+{\frac {\partial }{\partial z}}{\mathbf {k} }}\right)=v_{x}{\frac {\partial }{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial }{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial }{\partial z}}.$
Dieses Skalarprodukt multiplizieren wir nun mit dem Vektor v:
$({\mathbf {v} }\cdot \operatorname {grad} \,)\cdot {\mathbf {v} }=\left({v_{x}{\frac {\partial }{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial }{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial }{\partial z}}}\right){\mathbf {v} }=\left({v_{x}{\frac {\partial }{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial }{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial }{\partial z}}}\right)\left({v_{x}{\mathbf {i} }+v_{y}{\mathbf {j} }+v_{z}{\mathbf {k} }}\right)$
Das Ergebnis ist genau der Vektor a$_{kon}$:
${\mathbf {a} }_{kon}=\left({{\mathbf {v} }\cdot \operatorname {grad} \,}\right){\mathbf {v} }.$
Damit lautet die Eulersche Gleichung in Vektorform:
${\frac {\partial {\mathbf {v} }}{\partial t}}+\left({{\mathbf {v} }\cdot \operatorname {grad} \,}\right){\mathbf {v} }={\mathbf {g} }-{\frac {1}{\rho }}\operatorname {grad} \,p.$
Der Vektor g kann als negativer Gradient des Gravitationspotentials Φ dargestellt werden:
${\mathbf {g} }=-\operatorname {grad} \,\Phi .$
Damit wird
${\frac {\partial {\mathbf {v} }}{\partial t}}+\left({{\mathbf {v} }\cdot \operatorname {grad} \,}\right){\mathbf {v} }=-\operatorname {grad} \,\left({\Phi +{\frac {1}{\rho }}p}\right).$
Diese hydrodynamische Grundgleichung wird ergänzt durch eine zweite Gleichung, die sich mit der Massenänderung eines Volumenelements befasst.
Die Masse eines beliebigen Volumens V des Mediums ist
$m=\int _{V}{\rho \operatorname {d} V},$
und die Änderungsgeschwindigkeit der Masse ist
${\frac {\operatorname {d} m}{\operatorname {d} t}}={\frac {\partial }{\partial t}}\int _{V}{\rho \operatorname {d} V}.$
Die Dichte ρ des Mediums kann sich, falls es sich um ein Gas handelt, nur dadurch ändern, dass in das Volumen V, das als konstant betrachtet wird, Materie einströmt oder daraus ausströmt. Die Änderungsgeschwindigkeit bei ausströmender Materie ist
${\frac {\operatorname {d} m}{\operatorname {d} t}}=\oint _{\mathbf {A} }{\rho \,{\mathbf {v} }}\cdot \operatorname {d} {\mathbf {A} },$
wobei v der Geschwindigkeitsvektor und dA der nach außen gerichtete Normalenvektor eines Flächenelements ist. A ist die das Volumen V einschließende Fläche.
Unter Berücksichtigung des Vorzeichens ist dann
$\oint _{A}{\rho \,{\mathbf {v} }}\cdot \operatorname {d} {\mathbf {A} }=-{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{V}{\rho \,\operatorname {d} V}.$
Nach dem Gaußschen Integralsatz ist
$\oint _{\mathbf {A} }{\rho \,{\mathbf {v} }\cdot }\operatorname {d} {\mathbf {A} }=\int _{V}{\operatorname {div} \left({\rho {\mathbf {v} }}\right)}\operatorname {d} V=-{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{V}{\rho \operatorname {d} V}.$
Bei Anwendung auf ein einzelnes Volumenelement dV folgt daraus:
$\operatorname {div} \left({\rho {\mathbf {v} }}\right)=-{\frac {\partial \rho }{\partial t}},$
und für eine inkompressible Flüssigkeit (mit ρ = konst.) insbesondere
$\operatorname {div} {\mathbf {v} }=0.$
In Komponentenschreibweise:
${\frac {\partial \left({\rho v_{x}}\right)}{\partial x}}+{\frac {\partial \left({\rho v_{y}}\right)}{\partial y}}+{\frac {\partial \left({\rho v_{z}}\right)}{\partial z}}=-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\quad {\mbox{(bzw}}{\mbox{. }}0).$
Nach den Regeln der Vektoranalysis ist
${\mathbf {v} }\times \operatorname {rot} {\mathbf {w} }\equiv {\mathbf {v} }\times \left({\nabla \times {\mathbf {w} }}\right)\equiv \nabla \left({{\mathbf {v} }_{c}\cdot {\mathbf {w} }}\right)-\left({{\mathbf {v} }\cdot \nabla }\right){\mathbf {w} }\equiv \operatorname {grad} \,\left({{\mathbf {v} }_{c}\cdot {\mathbf {w} }}\right)-\left({{\mathbf {v} }\cdot \operatorname {grad} \,}\right){\mathbf {w} }.$
Dabei bedeutet der Index c, dass der indizierte Vektor bei der Differentialoperation als konstant zu behandeln ist.
Für w = v folgt daraus
${\mathbf {v} }\times \operatorname {rot} {\mathbf {v} }=\operatorname {grad} \,\left({{\mathbf {v} }_{c}\cdot {\mathbf {v} }}\right)-\left({{\mathbf {v} }\cdot \operatorname {grad} \,}\right){\mathbf {v} }={\frac {1}{2}}\operatorname {grad} \,{\mathbf {v} }^{\mathbf {2} }-\left({{\mathbf {v} }\cdot \operatorname {grad} \,}\right){\mathbf {v} }$
und
$\left({{\mathbf {v} }\cdot \operatorname {grad} \,}\right){\mathbf {v} }={\frac {1}{2}}\operatorname {grad} \,{\mathbf {v} }^{\mathbf {2} }-{\mathbf {v} }\times \operatorname {rot} {\mathbf {v} }.$
In die hydrodynamische Grundgleichung eingesetzt ergibt
${\frac {1}{2}}\operatorname {grad} \,{\mathbf {v} }^{\mathbf {2} }-{\mathbf {v} }\times \operatorname {rot} {\mathbf {v} }={\mathbf {g} }-{\frac {1}{\rho }}\operatorname {grad} \,p.$
Diese Gleichung wird erheblich vereinfacht und wesentlich leichter integrierbar, wenn im ganzen Raum rot v = 0 ist (wirbelfreie Strömung).

## Wirbelfreie stationäre Strömungen
### Stromlinien und Bahnlinien

Stromlinien sind (gedachte) Linien in einer Strömung, deren Tangenten die Richtung der Geschwindigkeit der strömenden Teilchen im jeweils betrachteten Punkt haben.
Die Bahnlinie eines Teilchens dagegen ist die Kurve, die das Teilchen im Laufe der Zeit durchläuft.
Bei einer stationären Strömung sind die Stromlinien zeitunabhängig; die Bahnlinien und die Stromlinien fallen zusammen.
Bei nicht stationären Strömungen verändern sich die Stromlinien im Laufe der Zeit ständig. Daher sind Stromlinienbilder dann nur Momentaufnahmen und haben keine den Augenblick überdauernde Bedeutung. Auch die Bahnlinien ändern sich im Laufe der Zeit, aber immerhin gelten sie für jeweils ein bestimmtes Teilchen für die Zeit seiner Bewegung im Strömungsfeld.

### Die Bernoullische Gleichung

Wir betrachten die zuletzt abgeleitet Gleichung und setzen für g wieder – grad Φ:
${\frac {1}{2}}\operatorname {grad} \,{\mathbf {v} }^{2}-{\mathbf {v} }\times \operatorname {rot} \,{\mathbf {v} }=-\operatorname {grad} \,\left({\Phi +{\frac {1}{\rho }}p}\right).$
Wir multiplizieren die Gleichung mit dr und integrieren zwischen zwei Punkten P$_0$ und P des Strömunmgsfeldes:
$\int _{{\mbox{P}}_{\mbox{0}}}^{\mbox{P}}{{\frac {1}{2}}\operatorname {grad} \,{\mathbf {v} }^{2}\operatorname {d} {\mathbf {r} }}-\int _{P_{0}}^{P}{\left({{\mathbf {v} }\times \operatorname {rot} \,{\mathbf {v} }}\right)\operatorname {d} {\mathbf {r} }}=-\int _{P_{0}}^{P}{\operatorname {grad} \left({\Phi +{\frac {1}{\rho }}p}\right)\operatorname {d} {\mathbf {r} }.}$
Nehmen wir die Integration längs einer Stromlinie vor, dann ist auf dem ganzen Weg
${\mathbf {v} }\times \operatorname {rot} \,{\mathbf {v} }\bot \operatorname {d} {\mathbf {r} }\quad {\mbox{und daher}}\quad \left({{\mathbf {v} }\times \operatorname {rot} \,{\mathbf {v} }}\right)\operatorname {d} {\mathbf {r} }=0.$
Für inkompressible Flüssigkeiten (mit ρ = konst.) folgt daraus die
Bernoullische Gleichung:
${\frac {v^{2}}{2}}+\Phi +{\frac {p}{\rho }}={\frac {v_{0}^{2}}{2}}+\Phi _{0}+{\frac {p_{0}}{\rho }}={\mbox{konst}}{\mbox{.}}$
Die Summe
${\frac {v^{2}}{2}}+\Phi +{\frac {p}{\rho }}$
hat also in allen Punkten einer Stromlinie denselben Wert.
Die Bernoullische Gleichung gilt (entlang einer Stromlinie) für jede Art von Strömungen, für wirbelfreie und nicht wirbelfreie. Der Wert der Konstanten ist dabei im Allgemeinen von Stromlinie zu Stromlinie verschieden. Ist die Strömung wirbelfrei, d. h. ist im ganzen Strömungsgebiet rot v = 0, so liefert die Integration auch dann immer denselben Wert, wenn nicht längs einer Stromlinie integriert wird. Das heißt: Die oben genannte Summe ist bei Wirbelfreiheit im ganzen Strömungsgebiet konstant.
Der Umkehrschluss von der Konstanz der Summe auf die Wirbelfreiheit des Gebiets ist nicht unbedingt zulässig, da v parallel zu rot v und daher das Vektorprodukt null sein könnte, obwohl rot v nicht null ist. Wohl aber kann geschlossen werden: Stammt die Strömung aus einem wirbelfreien Gebiet, in dem die oben genannte Summe für alle Stromlinien denselben Wert hat, dann bleibt die Strömung im ganzen Raum wirbelfrei.
Die Bernoullische Gleichung erlaubt zwei anschauliche Interpretationen:
1. Aus
${\frac {v^{2}}{2}}+\Phi +{\frac {p}{\rho }}={\mbox{konst}}{\mbox{.}}$
folgt mit dem Gravitationspotential Φ = g z
${\frac {v^{2}}{2g}}+{\frac {p}{\rho \,g}}+z={\mbox{konst}}{\mbox{.}}$
Alle drei Summanden haben die Dimension "Länge":
* v$^2$ / 2 g ist die Höhe, die ein Körper (hier ein Flüssigkeitsteilchen frei durchfallen muss, damit er die Geschwindigkeit v erlangt ("Geschwindigkeitshöhe"),
* p / ρ g ist die Höhe einer Flüssigkeitssäule, die an ihrem Fuß den hydrostatischen Druck p erzeugt ("Druckhöhe"), und
* z ist die "Ortshöhe" des betrachteten Flüssigkeitsteilchens.
Damit gilt für inkompressible Flüssigkeiten im Erdfeld: Die Summe aus Geschwindigkeitshöhe, Druckhöhe und Ortshöhe ist konstant.
2.In der Form
${\frac {\rho v^{2}}{2}}+\left({\rho \Phi +p}\right)={\mbox{konst}}{\mbox{.}}$
geschrieben, kann die Bernoullische Gleichung auch so interpretiert werden:
ρ v$^2$ /2 ist die volumenbezogene kinetische Energie in der Flüssigkeit,
ρ Φ + p ist die volumenbezogene potentielle Energie, die teils vom Druck, teils von äußeren Kräften herrührt.
In dieser Form drückt die Bernoullische Gleichung also den Energieerhaltungssatz aus.

### Berechnung von wirbelfreien (Potential-)Strömungen

Wenn in einem Strömungsgebiet überall rot v = 0 ist, lässt sich v als Gradient einer skalaren Größe U darstellen, welche Geschwindigkeitspotential heißt.
${\mathbf {v} }=\operatorname {grad} \,U.$
Damit lautet die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Flüssigkeiten:
$\operatorname {div} \,{\mathbf {v} }=\operatorname {div} \,\operatorname {grad} \,U=\nabla \nabla U=\Delta U.$
Dabei steht Δ hier für den
${\mbox{LAPLACE - Operator}}\;\;\Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}.$
Wie oben gezeigt wurde, lautet die hydrodynamische Grundgleichung für stationäre, wirbelfreie Strömungen
${\frac {1}{2}}\operatorname {grad} \,v^{2}=-\operatorname {grad} \,\left({\Phi +{\frac {p}{\rho }}}\right).$
Jede Funktion U, welche der Differentialgleichung ΔU = 0 genügt, kann also das Geschwindigkeitspotential einer wirbelfreien Strömung darstellen. Unter all diesen Funktionen muss diejenige gefunden werden, welche den jeweiligen physikalischen Gegebenheiten entspricht. Danach kann durch Gradientenbildung das Geschwindigkeitsfeld bestimmt werden. Zur Berechnung der Druckverteilung wird die hydrodynamische Grundgleichung benutzt.

#### Die kugelsymmetrische Strömung

Die einfachste (nicht-triviale) räumliche Potentialströmung ist eine kugelsymmetrische Strömung, bei der U nur von r abhängt:
$U=U\left(r\right)=U\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\right).$
Dann ist:
$\Delta U={\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}},$
${\frac {\partial U}{\partial x}}={\frac {\operatorname {d} U}{\operatorname {d} r}}{\frac {\partial r}{\partial x}},$
${\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}=\left({{\frac {\operatorname {d} ^{2}U}{\operatorname {d} r^{2}}}{\frac {\partial r}{\partial x}}}\right){\frac {\partial r}{\partial x}}+{\frac {\operatorname {d} U}{\operatorname {d} r}}{\frac {\partial ^{2}r}{\partial x^{2}}}={\frac {\operatorname {d} ^{2}U}{\operatorname {d} r^{2}}}\left({\frac {\partial r}{\partial x}}\right)^{2}+{\frac {\operatorname {d} U}{\operatorname {d} r}}{\frac {\partial ^{2}r}{\partial x^{2}}},\quad {\mbox{usw}}{\mbox{.}}$
So ergibt sich:
$\Delta U={\frac {\operatorname {d} ^{2}U}{\operatorname {d} r^{2}}}\left[{\left({\frac {\partial r}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial r}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial r}{\partial z}}\right)^{2}}\right]+{\frac {\operatorname {d} U}{\operatorname {d} r}}\left({{\frac {\partial ^{2}r}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}r}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}r}{\partial z^{2}}}}\right).$
Mit
${\frac {\partial r}{\partial x}}={\frac {x}{r}}\quad {\mbox{usw}}{\mbox{. und}}\quad {\frac {\partial ^{2}r}{\partial x^{2}}}={\frac {r-{\frac {x^{2}}{r}}}{r^{2}}}\quad {\mbox{usw}}{\mbox{.}}$
erhält man schließlich
$\Delta U={\frac {\operatorname {d} ^{2}U}{\operatorname {d} r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\operatorname {d} U}{\operatorname {d} r}}=0.$
Wie man durch Ableiten und Einsetzen bestätigen kann, ist
$U={\frac {a}{r}}+b$
eine Lösung (und zwar die allgemeine Lösung) dieser Differentialgleichung.
Durch Gradientenbildung erhält man daraus
${\mathbf {v} }=-{\frac {a}{r^{3}}}{\mathbf {r} }=-{\frac {a}{r^{2}}}{\mathbf {r} }_{0},$
wobei r$_0$ der Einheitsvektor in der Richtung von r ist.
Die Strömung verläuft also – je nach Vorzeichen von a – radial von O nach außen (für a < 0) oder nach innen auf O hin (für a > 0). Im ersten Fall befindet sich in O eine Quelle, im zweiten Fall eine Senke. Die Ergiebigkeit ("Schüttung") dV/dt der Quelle bestimmt die Konstante a: Die Ergiebigkeit ist nämlich gleich der zeitbezogenen Flüssigkeitsmenge, die durch die Oberfläche rgendeiner Kugel um O nach außen strömt, und diese ist
${\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} t}}=4\pi \,r^{2}\,v=-\,4\pi \,a.$
woraus folgt
$a=-{\frac {1}{4\pi }}{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} t}}.$
Die Konstante b ist für die Strömung belanglos, da sie bei der Gradientenbildung wegfällt. Sie hat aber Einfluss auf das Potential der Strömung. Wenn man dieses –wie üblich – so normiert, dass es im Unendlichen null wird, ist b = 0.
Interessant ist auch die vollkommene Analogie zum elektrischen Feld einer Punktladung.

#### Zerreißen eines Flüssigkeitsfadens

Wenn z. B. aus einem Wasserhahn ein Flüssigkeitsfaden austritt und eine Strecke herabfällt, wird er wegen der zunehmenden Geschwindigkeit zunächst dünner und zerreißt schließlich in einzelne Tropfen. Wir wollen diesen Vorgang genauer betrachten. Dazu schreibe ich die Bernoullische Gleichung zunächst so:
$p=C-\rho \,\Phi -{\frac {\rho v^{2}}{2}}.$
Für eine ruhende Flüssigkeit lautet die Gleichung:
$\quad p_{stat}=C-\rho \Phi .$
Der Index "stat" bedeutet, dass es sich jetzt um den hydrostatischen Druck handelt.
Aus den beiden Gleichungen folgt:
$p=p_{stat}-{\frac {\rho v^{2}}{2}}.$
Das bedeutet: Der hydrodynamische Druck p ist um ρ v$^2$/2 kleiner, als der hydrostatische Druck an derselben Stelle wäre, wenn sich die Flüssigkeit nicht bewegen würde, und nimmt mit zunehmender Geschwindigkeit ab. Da Flüssigkeiten keinen Zug aushalten können, ohne zu zerreißen, darf der hydrostatische Druck nicht kleiner als 0 werden, wenn die Flüssigkeit nicht zerreißen soll. Der höchste zulässige Wert für die Geschwindigkeit ist also
$v_{\max }={\sqrt {\frac {2p_{stat}}{\rho }}}.$

#### Das Theorem von Torricelli

Gegeben sei ein Gefäß, das bis zur Höhe h mit einer Flüssigkeit der Dichte ρ angefüllt ist. Im Boden des Gefäßes befindet sich ein Loch, dessen Querschnitt sehr klein ist gegenüber der Oberfläche der Flüssigkeit im Gefäß. Gesucht ist die Geschwindigkeit, mit der die Flüssigkeit ausströmt.
Da an der Oberfläche der Flüssigkeit überall derselbe Druck p$_0$ (der Atmosphärendruck) herrscht, die Flüssigkeitsteilchen an der Oberfläche alle dieselbe Geschwindigkeit v (praktisch gleich 0) haben und sie außerdem in derselben Höhe h liegen, hat für alle Punkte der Oberfläche die Summe
${\frac {v^{2}}{2}}+\Phi +{\frac {p}{\rho }}$
denselben Wert, nämlich
$0+g\,h+{\frac {p_{0}}{\rho }}.$
Außerdem ist das Gebiet der Oberfläche wirbelfrei. Da die Summe längs einer Stromlinie ihren Wert behält, muss rot v überall null sein. Wir können also die Bernoullische Gleichung anwenden.
In der Ebene der Öffnung unten ist die Geschwindigkeit v, der Druck ebenfalls p$_0$ und das Potential 0. Also ist
woraus folgt
$v={\sqrt {2g\,h}}\,.$
Das Ergebnis entspricht dem Energiesatz: Wenn unten das Volumen ΔV austritt, verschwindet an der Oberfläche eine gleiche Menge. Die Flüssigkeitsteilchen, die unten austreten, haben dieselbe Geschwindigkeit, als wenn sie die Höhe h frei durchfallen hätten. Für die oben verschwindende potentielle Energie tritt unten der gleiche Betrag an kinetischer Energie auf.

#### Prinzip der Wasserstrahlpumpe

Wir betrachten ein sich in der Mitte verengendes Rohr, das wirbelfrei von einer Flüssigkeit durchströmt wird.
Das Gravitationspotential sei für die drei Querschnitte A$_0$, A$_1$ und A$_2$ gleich oder (bei senkrechter Anordnung) annähernd gleich. Die Anwendung der Bernoullischen Gleichung auf die Querschnitte A$_0$ und A$_2$ ergibt:
${\frac {1}{2}}\left({v_{0}^{2}-v_{2}^{2}}\right)={\frac {p_{2}-p_{0}}{\rho }}.$
Da die Flüssigkeit nicht kompressibel ist, gilt:
$v_{0}\,A_{0}=v_{2}\,A_{2},$
womit man schließlich erhält
$p_{2}-p_{0}={\frac {\rho }{2}}v_{2}^{2}\left({{\frac {A_{2}^{2}}{A_{0}^{2}}}-1}\right).$
Wenn A$_2$ >> A$_0$ ist, dann ist (erst recht) p$_2$ >> p$_0$.
Wenn die Flüssigkeit in die freie Atmosphäre ausströmt, ist p$_2$ gleich dem Atmosphärendruck, und daher p$_0$ sehr viel kleiner als dieser. Daher: Bohrt man die Röhre an der engsten Stelle an, so saugt die vorbeiströmende Flüssigkeit dort Luft an.

### Zweidimensionale stationäre Strömungen

Zweidimensionale stationäre Strömungen inkompressibler Flüssigkeiten stehen in einem interessanten Zusammenhang mit den Funktionen einer komplexen Veränderlichen, die in der Funktionentheorie behandelt werden. Dieser Zusammenhang soll zunächst dargestellt werden.
Unter einer Funktion w(z) einer komplexen Variablen z = x + iy versteht man eine Funktion der beiden Variablen x und y, in der diese nur in der Verbindung (x + iy) vorkommen.
Die partiellen Ableitungen der Funktion w nach x und y sind dann
${\frac {\partial w}{\partial x}}={\frac {\operatorname {d} w}{\operatorname {d} z}}{\frac {\partial z}{\partial x}}=w'\left(z\right){\frac {\partial z}{\partial x}}=w'\left(z\right),\quad {\mbox{da}}\quad {\frac {\partial z}{\partial x}}=1,$
${\frac {\partial w}{\partial y}}={\frac {\operatorname {d} w}{\operatorname {d} z}}{\frac {\partial z}{\partial y}}=w'\left(z\right){\frac {\partial z}{\partial y}}=iw'\left(z\right),\quad {\mbox{da}}\quad {\frac {\partial z}{\partial y}}=i.$
Durch Eliminieren von w' ergibt sich daraus:
${\frac {\partial w}{\partial y}}=i{\frac {\partial w}{\partial x}}.\quad \quad {\mbox{(A)}}$
Die Werte, welche die Funktion w annimmt, sind selbst wieder eine komplexe Zahl, die wir in einen Realteil und einen Imaginärteil zerlegen können. Dies kann man so schreiben:
$w\left(z\right)=\varphi \left({x,y}\right)+i\,\psi \left({x,y}\right).$
Die Gleichung (A) kann dann wie folgt geschrieben werden:
${\frac {\partial \varphi }{\partial y}}+i{\frac {\partial \psi }{\partial y}}=i\left({{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}+i{\frac {\partial \psi }{\partial x}}}\right)=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}+i{\frac {\partial \varphi }{\partial x}},$
woraus folgt
${\frac {\partial \varphi }{\partial y}}=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\quad {\mbox{(B1)}}\quad \quad {\mbox{und}}\quad \quad {\frac {\partial \psi }{\partial y}}={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\quad {\mbox{(B2)}}$
Diese beiden Bedingungen gelten für den Realteil und den Imaginärteil einer jeden Funktion w(z) einer komplexen Veränderlichen.
Differenziert man (B1) partiell nach y und (B2) partiell nach x, so erhält man
${\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}=-{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y\,\partial x}}\quad {\mbox{und}}\quad {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x\,\partial y}}={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}.$
Nach dem Satz von SCHWARZ ist
${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y\,\partial x}}={\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x\,\partial y}}$
und daher
${\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}=0.$
Auf analoge Weise findet man
${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}=0.$
Diese beiden Gleichungen besagen, dass sowohl φ(x, y) als auch ψ(x, y) die Funktion des Geschwindigkeitspotentials einer zweidimensionalen Strömung sein kann.
Multipliziert man (B1) und (B2) mit einander, so erhält man
${\frac {\partial \varphi }{\partial x}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}=0\quad {\mbox{oder}}\quad \operatorname {grad} \,\varphi \cdot \operatorname {grad} \,\psi =0.$
Das bedeutet: Die Kurven φ = konst. und ψ = konst. stehen in jedem Punkt, den sie gemeinsam haben, aufeinander senkrecht (sie sind »Orthogonaltrajektorien«). Jede der beiden Kurvenscharen kann als die Schar der Stromlinien der betreffenden Strömung aufgefasst werden; die jeweils andere ist dann die Schar der Äquipotentiallinien (oder Niveaulinien) des Geschwindigkeitspotentials.
Zusammenfassung: Sowohl der reelle wie der imaginäre Bestandteil einer beliebigen Funktion einer komplexen Veränderlichen kann als Funktion des Geschwindigkeitspotentials einer zweidimensionalen stationären Flüssigkeitsströmung angesehen werden. Betrachten wir die Kurven φ = konst. als die Niveaulinien des Potentials, so sind die Kurven ψ = konst. die Stromlinien, und umgekehrt. Man erhält also mit jeder Funktion einer komplexen Veränderlichen gleich zwei mögliche Strömungsfelder.
Nun gibt es in der Realität keine ebenen Strömungen, aber es gibt Strömungen, die in Ebenen, die zu einander parallel sind, völlig gleich verlaufen, wo also die Geschwindigkeit v' und das Potential φ zum Beispiel nur Funktionen von x und y sind.

#### Beispiele

1. Ebene Quell- und Zirkulationsströmung
Es sei
$w(z)=a\ln z\equiv a\ln \left({x+iy}\right).$
Setzen wir
$a\ln \left({x+iy}\right)=\varphi +i\psi ,$
so ist
$x+ix=\operatorname {e} ^{\frac {\varphi +i\psi }{a}}=\operatorname {e} ^{\frac {\varphi }{a}}\cdot \operatorname {e} ^{\frac {i\psi }{a}}=\operatorname {e} ^{\frac {\varphi }{a}}\left({\cos {\frac {\psi }{a}}+i\sin {\frac {\psi }{a}}}\right)=\operatorname {e} ^{\frac {\varphi }{a}}\cos {\frac {\psi }{a}}+i\operatorname {e} ^{\frac {\varphi }{a}}\sin {\frac {\psi }{a}},$
also
$x=\operatorname {e} ^{\frac {\varphi }{a}}\cos {\frac {\psi }{a}}\quad {\mbox{und}}\quad y=\operatorname {e} ^{\frac {\varphi }{a}}\sin {\frac {\psi }{a}},\quad \to \quad \tan {\frac {\psi }{a}}={\frac {y}{x}}$
und
$x^{2}+y^{2}=\operatorname {e} {\frac {2\varphi }{a}}\quad \to \quad {\frac {2\varphi }{a}}=\ln \left({x^{2}+y^{2}}\right)=\ln r^{2}\quad {\mbox{und}}\quad \varphi =a\ln r.$
Aus ψ = konst. folgt dann y= c x, und aus φ = konst. folgt r = konst.
Wir erhalten also einerseits eine Schar von Geraden durch den Ursprung O, andererseits eine Schar von konzentrischen Kreisen um O. Betrachten wir die Geraden als Stromlinien, so erhalten wir das ebene Gegenstück zu der früher betrachteten Kugelströmung. Die Kreise sind dann die Niveaulinien des Geschwindigkeitspotentials.
Wir können aber auch die Kreise als Stromlinien betrachten. Wenn wir den Nullpunkt durch einen kleinen Kreis um ihn herum ausschließen, ist das ganze übrige Gebiet wirbelfrei. Die Flüssigkeitsteilchen bewegen sich allerdings im Kreis herum und das Linienintegral der Geschwindigkeit über einen solchen Kreis oder über eine andere geschlossene Linie um O ist nicht null. Eine solche "Zirkulationsströmung" findet sich zum Beispiel bei den magnetischen Feldlinien eines sehr langen Leiters.
1. Fall: Betrachten wir φ = a ln r als Funktion des Geschwindigkeitspotentials. Dann ist:
${\mathbf {v} }=\operatorname {grad} \,\varphi =\operatorname {grad} \,\left({a\ln r=}\right)=\operatorname {grad} \,\left({a\ln {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\right)={\frac {a}{r}}\left({{\frac {x}{r}}{\mathbf {i} }+{\frac {y}{r}}{\mathbf {j} }}\right)={\frac {a}{r^{2}}}{\mathbf {r} }={\frac {a}{r}}{\mathbf {r} }_{0}.$
Im Punkt O befindet sich eine Quelle oder Senke. Ihre (Flächen-)Ergiebigkeit ist
${\frac {\operatorname {d} A}{\operatorname {d} t}}=2\pi r\cdot v=2\pi a.$
2. Fall: Betrachten wir ψ = = arctan y/x als Funktion des Geschwindigkeitspotentials, dann ist
${\mathbf {v} }=\operatorname {grad} \psi ={\frac {a}{1+{\frac {y^{2}}{x^{2}}}}}\left({-{\frac {y}{x^{2}}}{\mathbf {i} }+{\frac {x}{x^{2}}}{\mathbf {j} }}\right)={\frac {a}{x^{2}+y^{2}}}\left({-y{\mathbf {i} }+x{\mathbf {j} }}\right).$
Der Geschwindigkeitsvektor steht also auf dem Radiusvektor senkrecht; sein Betrag ist
$v={\frac {a}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}={\frac {a}{r}}.$
Das Linienintegral über v ds längs einer beliebigen geschlossenen Kurve, die den Punkt O umschließt, hat den Wert
$\oint {{\mathbf {v} }\cdot \operatorname {d} {\mathbf {s} }}={\frac {a}{r}}2\pi r=2\pi a.$
2. Ebene Parallelströmung
Wir betrachten nun die sehr einfache Funktion
Hier ist
Die Kurven φ = konst. haben die Gleichung x = konst., und
die Kurven ψ = konst. haben die Gleichung y = konst.
Wir haben also, je nach Interpretation, eine Parallelströmung parallel zur X-Achse oder parallel zur Y-Achse. Die Niveaulinien sind dann die jeweils andere Kurvenschar.
3. Umströmter Kreiszylinder
Wir betrachten die Funktion w(z) = A z + B/z (A und B positive Konstanten)
oder
$w=A\left({x+iy}\right)+{\frac {B}{x+iy}}=A\left({x+iy}\right)+{\frac {B\left({x-iy}\right)}{x^{2}+y^{2}}}.$
Es ist also
$\varphi =Ax+{\frac {Bx}{x^{2}+y^{2}}},\quad \psi =Ay-{\frac {By}{x^{2}+y^{2}}}.$
Wir wollen nun φ = konst. als die Gleichung der Niveaulinien betrachten und ψ = konst. als die Gleichung der Stromlinien. Wegen v = grad φ ist dann
$v_{x}={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}=A+{\frac {B\left({y^{2}-x^{2}}\right)}{\left({x^{2}+y^{2}}\right)^{2}}}\quad {\mbox{und}}\quad v_{y}={\frac {\partial \varphi }{\partial y}}={\frac {2Bxy}{\left({x^{2}+y^{2}}\right)^{2}}}.$
Für
$x\to \pm \infty$
geht offensichtlich
$v_{x}\to A\quad {\mbox{und}}\quad v_{y}\to 0,$
das heißt, dort besteht eine Parallelströmung parallel zur X-Achse.
Betrachten wir nun die Stromlinie mit Ψ = 0. Deren Gleichung ist
$y\left({A-{\frac {B}{x^{2}+y^{2}}}}\right)=0.$
Diese Gleichung wird erfüllt durch die Funktionen
$y=0\quad {\mbox{und}}\quad x^{2}+y^{2}={\frac {B}{A}}.$
Die erste Lösung ist die X-Achse, die zweite der Kreis um O mit dem Radius sqrt (B/A). In den Kreis dringen keine Stromlinien ein, denn sowie Ψ auch nur ein wenig von null abweicht, verläuft die dazu gehörige Stromlinie außerhalb des Kreises. Und dort, wo die X-Achse auf den Kreis trifft, ist die Strömungsgeschwindigkeit null. Wir können daher den Kreis durch einen Festkörper ersetzen, ohne dass sich am Strömungsverlauf etwas ändert. Wir haben somit einen ebenen Schnitt durch eine räumliche, ursprünglich parallele Strömung vor uns, in die senkrecht zu den Stromlinien ein Kreiszylinder eingebracht wurde.

## Wirbel- und Zirkulationsströmungen
### Definition Zirkulation

Unter der Zirkulation Γ eines Feldvektors v längs einer geschlossenen Kurve C versteht man das Linienintegral über diesen Vektor längs der Kurve:
${\mbox{Zirkulation }}\Gamma =\oint _{C}{{\mathbf {v} }\cdot \operatorname {d} {\mathbf {s} }}.$
Nach dem Stokesschen Satz besteht zwischen der Zirkulation und der Rotation eines (beliebigen) Vektors folgender Zusammenhang:
$\oint _{C}{{\mathbf {v} }\cdot \operatorname {d} {\mathbf {s} }}=\int _{A}{\operatorname {rot} \,{\mathbf {v} }}\cdot \operatorname {d} {\mathbf {A} }.$
Dabei ist A irgendeine beliebige Fläche, deren Umrandung die Kurve C ist. (Die Fläche A muss jedoch "einfach zusammenhängend" sein, d. h. sie darf nur eine einzige Umrandung haben. Es darf also im Innern kein Flächenstück herausgeschnitten worden sein.) Das Integral über rot v df heißt Wirbelstärke.

### Der Thomsonsche Satz von der Erhaltung der Zirkulation

Da die Stromlinien in einer Strömung einander nicht überschneiden, bleiben Flüssigkeitsteilchen, die zu irgendeinem Zeitpunkt t$_0$ benachbart sind, ständig benachbart, solange die Flüssigkeit nicht zerreißt.
Wir betrachten nun eine geschlossenen Kurve C$_0$ in einer Strömung, die zur Zeit t$_0$ aus lauter benachbarten Teilchen gebildet wird, eine so genannte materielle Kurve. Zu irgendeiner Zeit t bilden diese Teilchen noch immer eine geschlossene Kurve C, die allerdings eine völlig andere Gestalt als C$_0$ haben kann.
Der Thomsonsche Satz von der Erhaltung der Zirkulation besagt nun, dass
$\oint _{C_{0}}{{\mathbf {v} }\cdot \operatorname {d} {\mathbf {s} }=\oint _{C}{{\mathbf {v} }\cdot \operatorname {d} {\mathbf {s} }}}={\mbox{ konst}}{\mbox{.}}$
wenn die äußeren Kräfte (das sind i. A: die Gravitationskräfte) ein Potential besitzen.

### Die Helmholtzschen Wirbelsätze

Wir betrachten nun das Feld des Vektors V = rot v, wobei v der Geschwindigkeitsvektor einer Flüssigkeitsströmung ist. Die Feldlinien des Vektors V = rot v sind dann die Kurven, deren Tangenten in jedem Punkt die Richtung von rot v haben, also die Richtung der Drehachsen der Flüssigkeitsteilchen.
Diese Feldlinien nennen wir Wirbellinien.
Da nach einem Satz der Vektoranalysis stets div rot v = 0 ist, gibt es in der Flüssigkeit keine Quellen oder Senken der Wirbellinien, also Stellen, in denen Wirbellinien beginnen oder enden. Die Wirbellinien sind also entweder geschlossene Linien oder sie beginnen oder enden bei einer begrenzten Flüssigkeit an den Grenzflächen.
Eine schlauchartige Fläche, deren Oberfläche von Wirbellinien gebildet wird, heißt Wirbelröhre. Eine Wirbelröhre von so geringem Querschnitt, dass auf ihm rot v als konstant angesehen werden kann, heißt Wirbelfaden. Die Wirbelstärke eines Wirbelfadens ist dann einfach das Produkt aus seinem Querschnitt q und dem Betrag von rot v.
Die Wirbelstärke eines Wirbelfadens und einer Wirbelröhre ist längs des ganzen Fadens bzw. der Röhre konstant.
Beweis: Da im Innern der Wirbelröhre keine Wirbellinien entstehen oder enden können, auch keine Wirbellinien die Seitenflächen durchdringen oder dort enden, bleibt die Anzahl der Wirbellinien in einer Röhre unverändert.
Außerdem gelten: folgende Sätze:
Eine Wirbelröhre besteht immer aus denselben Flüssigkeitsteilchen.
In einer reibungslosen Flüssigkeit sind die Wirbelstärken der Wirbelröhren auch zeitlich konstant.

### Das Biot-Savartsche Gesetz der Hydrodynamik

Der durch den Stokeschen Satz ausgedrückte Zusammenhang zwischen v' und rot v ist nicht nur ein quantitativer, sondern ein kausaler: Eine Wirbelröhre e r z e u g t um sich herum ein Strömungsfeld, dessen Zirkulation gleich der Wirbelstärke der Wirbelröhre ist. Ist der Vektor rot v als Funktion des Ortes gegeben, so lässt sich im Prinzip daraus das Strömungsfeld berechnen.
Der einfachste Fall ist das Feld eines einzelnen Wirbelfadens der Wirbelstärke Γ. Hier gilt (wegen rot v = konstant längs des Querschnitts q):
$\left|{\operatorname {rot} \,{\mathbf {v} }}\right|\cdot q=\Gamma .$
Das Problem ist völlig analog der Berechnung des magnetischen Feldes eines dünnen Leiters, in dem ein Strom I fließt. Hier lautet die entsprechende Gleichung:
$\left|{\operatorname {rot} \,{\mathbf {H} }}\right|\cdot q=I.$
Für das magnetische Feld aber ist die Lösung bekannt:
${\mathbf {H} }={\frac {\mathbf {I} }{{\mathbf {4} }\pi }}\int _{s}{\frac {\operatorname {d} {\mathbf {s} }\times {\mathbf {r} }}{r^{3}}},$
woraus geschlossen werden kann, dass der Beitrag dH eines einzelnen Leiterelements ds zur Feldstärke
$\operatorname {d} {\mathbf {H} }={\frac {I}{4\pi }}{\frac {\operatorname {d} {\mathbf {s} }\times {\mathbf {r} }}{r^{3}}}$
beträgt. Entsprechend gilt dann
${\mathbf {v} }={\frac {\Gamma }{4\pi }}\int _{C}{\frac {\operatorname {d} {\mathbf {s} }\times {\mathbf {r} }}{r^{3}}}$
und
$\operatorname {d} {\mathbf {v} }={\frac {\Gamma }{4\pi }}{\frac {\operatorname {d} {\mathbf {s} }\times {\mathbf {r} }}{r^{3}}}.$

## Schallwellen in Flüssigkeiten und Gasen

Bei der Ausbreitung von Schallwellen in Flüssigkeiten und Gasen sind die auftretenden Teilchengeschwindigkeiten und Dichteänderungen so klein, dass alle Produkte dieser Größen vernachlässigt werden können. (Dies gilt nicht für die Ausbreitung von Schockwellen, wie sie z. B. bei Explosionen entstehen. Sie bedürfen einer eigenen Behandlung.) So kann in der Eulerschen Gleichung von dem Term (v grad)v abgesehen werden. Auch die Wirkung äußerer Kräfte (Schwerkraft) kann vernachlässigt werden. Damit vereinfacht sich die Eulersche Gleichung zu:
${\frac {\partial {\mathbf {v} }}{\partial t}}=-{\frac {1}{\rho }}\operatorname {grad} \,p.\quad \quad {\mbox{(1)}}$
Ferner benötigen wir die Kontinuitätsgleichung:
$\operatorname {div} \,\left({\rho {\mathbf {v} }}\right)=-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}.\quad \quad {\mbox{(2)}}$
Nun fehlt uns noch eine Beziehung zwischen p und ρ. Hier bietet sich zunächst wieder das für konstante Temperatur gültige Boyle-Mariottesche Gesetz an, das jedoch zu falschen Ergebnissen führt, so z. B. zu einer Schallgeschwindigkeit in Luft bei 0 °C von ca. 280 m/s. Erst Laplace hat erkannt, dass wegen der Schnelligkeit der Druckschwankungen im Medium kein Temperaturausgleich stattfinden kann und der Vorgang nicht als isotherm, sondern als adiabatisch angesehen werden muss. Das einschlägige Gesetz lautet dann:
${\frac {p}{\bar {p}}}=\left({\frac {\rho }{\bar {\rho }}}\right)^{\kappa }.$
Dabei bedeuten:
κ = c$_p$ / c$_v$,
c$_p$ = spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck,
c$_V$ = spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen
Wir setzen nun
$\rho ={\bar {\rho }}\left({1+\sigma }\right),$
wobei 1+σ = 1+σ(x,y,z,t) die relative Abweichung der Dichte vom Durchschnittswert ist. Damit wird
$\left({\frac {\rho }{\bar {\rho }}}\right)^{\kappa }=\left({1+\sigma }\right)^{\kappa }\approx 1+\kappa \sigma$
und
$p\approx {\bar {p}}\left({1+\kappa \sigma }\right).$
Daraus folgt
$\operatorname {grad} \,p\approx {\bar {p}}\kappa \operatorname {grad} \,\sigma$
und mit
$\rho \approx {\bar {\rho }}$
${\frac {1}{\rho }}\operatorname {grad} \,p\approx {\frac {{\bar {p}}\kappa }{\bar {\rho }}}\operatorname {grad} \,\sigma .$
In die vereinfachte hydrodynamische Grundgleichung (1) eingesetzt:
${\frac {\partial {\mathbf {v} }}{\partial t}}\approx -{\frac {{\bar {p}}\kappa }{\bar {\rho }}}\operatorname {grad} \,\sigma \quad \quad {\mbox{(3)}}$
Aus Gleichung (2) wird mit den entsprechenden Vernachlässigungen
$\operatorname {div} \,{\mathbf {v} }=-{\frac {\partial \sigma }{\partial t}}.$
Zur Eliminierung von v wird diese Gleichung nochmals nach t differenziert:
${\frac {\partial }{\partial t}}\operatorname {div} \,{\mathbf {v} }=-{\frac {\partial ^{2}\sigma }{\partial t^{2}}},$
und von Gleichung (3) die Divergenz gebildet (zeitliche und örtliche Ableitungen dürfen vertauscht werden):
${\frac {\partial }{\partial t}}\operatorname {div} \,{\mathbf {v} }=-{\frac {{\bar {p}}\kappa }{\bar {\rho }}}\operatorname {div} \,\operatorname {grad} \,\sigma .$
Folglich ist
$\operatorname {div} \,\operatorname {grad} \,\sigma \equiv \Delta \sigma ={\frac {\bar {\rho }}{{\bar {p}}\kappa }}{\frac {\partial ^{2}\sigma }{\partial t^{2}}}.$
Dies ist eine Differentialgleichung für σ, welches (siehe oben) angibt, um wie viel die relative Abweichung der Dichte vom Mittelwert von 1 differiert. Eine Lösung dieser Differentialgleichung ist eine sich um O mit der Phasengeschwindigkeit
$v={\sqrt {\frac {{\bar {p}}\kappa }{\bar {\rho }}}}$
ausbreitende Kugelwelle. Dieses Ergebnis erhält man am einfachsten, indem man sich auf eine lineare Welle beschränkt und ansetzt:
$\sigma ={\bar {\sigma }}\left({\sin \omega t-{\frac {2\pi }{\lambda }}x}\right),$
mit ω = 2 π / T, λ = v T, T Schwingungsdauer.
Die mittlere Dichte ist temperaturabhängig:
${\bar {\rho }}={\frac {\rho _{0}}{1+\gamma \vartheta }},$
wobei ρ$_0$ = Dichte bei 0°C, θ = Temperatur /°C, γ = 1/273 .
Damit ergibt sich:
$v={\sqrt {\frac {{\bar {p}}\kappa \left({1+\gamma \vartheta }\right)}{\rho _{0}}}}.$
Da die Dichte dem Druck proportional ist, ist die Schallgeschwindigkeit vom Druck unabhängig.

## Hydrodynamik zäher Flüssigkeiten
### Einfache lineare Laminarströmung, das Hagen-Poisseuillesche Gesetz

Von einer Laminarströmung spricht man, wenn sich die Flüssigkeit in Schichten mit verschiedener Geschwindigkeit unterteilen lässt, die aneinander vorbeigleiten. Infolge der inneren Reibung sucht die schneller fließende Schicht die angrenzende langsamere mitzunehmen und zu beschleunigen. Umgekehrt wirkt die langsamere Schicht auf die schnellere verzögernd, wobei wieder "actio gleich reactio" ist. Für diese Kräfte hat schon Newton eine Annahme gemacht, die sich als richtig erwiesen hat: Jede der beiden Kräfte ist proportional der Größe der Berührungsfläche A und proportional dem Geschwindigkeitsgefälle senkrecht zur Strömungsrichtung.
Im einfachsten Fall (lineare Laminarströmung) verläuft die Strömung geradlinig, z. B. parallel der X-Achse. Nimmt die Geschwindigkeit v in Richtung der positiven Z-Achse zu, so ist der Betrag der (Tangential-) Kraft zwischen zwei benachbarten Schichten
$F_{x}=\eta \,A{\frac {\operatorname {d} v}{\operatorname {d} z}}.$
Der Proportionalitätsfaktor η heißt Zähigkeits- oder Viskositätskoeffizient der Flüssigkeit.
Wir betrachten nun die in Richtung der positiven X-Achse gerichtete laminare Strömung in einem kreiszylindrischen Rohr.
Als Volumenelement nehmen wir einen Hohlzylinder mit den Radien r und r + dr. Die nach innen benachbarte Schicht hat eine größere Geschwindigkeit und übt daher eine Kraft in Richtung der +X-Achse aus:
$F_{1}=-\eta \,l\,2\pi \,r{\frac {\operatorname {d} v}{\operatorname {d} r}}.$
Durch das Minuszeichen wird berücksichtigt, dass dv/dr negativ ist , weil die Geschwindigkeit mit zunehmendem r abnimmt.
Die außen angrenzende Schicht dagegen ist langsamer und wirkt auf das betrachtete Volumenelement hemmend. Die von ihm ausgeübte Kraft ist
$F_{2}=\eta \,l\,2\pi \left({r+\operatorname {d} r}\right)\left({{\frac {\operatorname {d} v}{\operatorname {d} r}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}v}{\operatorname {d} r^{2}}}\operatorname {d} r}\right),$
wobei berücksichtigt wurde, dass sich auf der Strecke dr auch das Geschwindigkeitsgefälle geändert hat. Es ist F$_2$ < 0 und dem Betrag nach größer als F$_1$.
Herrscht an einem Ende des Rohres der Druck p$_1$, am anderen Ende (d. h. am Ausfluss) der Druck p$_0$, so ist die Summe der an dem Hohlzylinder angreifenden Druckkräfte unter Berücksichtigung ihrer Richtung 2π r dr (p$_1$ –p$_0$). Im stationären Zustand dient diese Kraft nur dazu, die resultierende Reibungskraft F$_1$ + F$_2$ zu kompensieren. Unter Berücksichtigung des Vorzeichens ist also:
$F_{1}+F_{2}=-2\pi \,r\,\operatorname {d} r\left({p_{1}-p_{0}}\right)=-2\pi \,r\,\operatorname {d} r\,\Delta p,$
und unter Vernachlässigung von Größen höherer Ordnung
$\eta \,l\,2\pi \,\operatorname {d} r\left({{\frac {\operatorname {d} v}{\operatorname {d} r}}+r{\frac {\operatorname {d} ^{2}v}{\operatorname {d} r^{2}}}}\right)=-2\pi \,r\,\Delta p\quad \to \quad \eta \,l{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} r}}\left({r{\frac {\operatorname {d} v}{\operatorname {d} r}}}\right)=-r\,\Delta p.$
Diese Gleichung kann leicht integriert werden:
$r{\frac {\operatorname {d} v}{\operatorname {d} r}}=-{\frac {\Delta p\,r^{2}}{2\eta \,l}}+C\quad \to \quad {\frac {\operatorname {d} v}{\operatorname {d} r}}=-{\frac {\Delta p\,r}{2\eta \,l}}+{\frac {C}{r}}.$
Nochmals integriert:
$v=-{\frac {\Delta p\,r^{2}}{4\eta \,l}}+C\ln r+D.$
Bestimmung der Integrationskonstanten:
1. Für r = 0 (d. h. in der Achse) muss v endlich bleiben, also muss C = 0 sein.
2. Für r = a (d. h. an der Rohrwand) muss v = 0 sein, da die Flüssigkeit erfahrungsgemäß an der Wand haftet. Daraus folgt:
$D={\frac {\Delta p}{4\eta \,l}}a^{2},$
und somit
$v={\frac {\Delta p}{4\eta \,l}}\left({a^{2}-r^{2}}\right).$
Die Stärke des Stromes durch das betrachtete Volumenelement ist
$\operatorname {d} I=v\,2\pi \,r\,\operatorname {d} r={\frac {\Delta p}{4\eta \,l}}\left({a^{2}-r^{2}}\right)2\pi \,r\,\operatorname {d} r.$
Die Integration über den Querschnitt des Rohres ergibt
$I=\int _{0}^{a}{{\frac {\Delta p}{4\eta \,l}}\left({a^{2}-r^{2}}\right)2\pi \,r\,\operatorname {d} r}={\frac {\pi \,\Delta p\,a^{4}}{8\eta \,l}}.$
Dies ist das Hagen-Poisseuillesche Gesetz mit der in der Physik selten auftretenden 4. Potenz, die bedeutet, dass unter sonst gleichen Bedingungen eine Verdoppelung des Rohrdurchmessers zur 16-fachen Durchflussmenge führt.
Erwähnenswert ist noch das parabolische Geschwindigkeitsprofil im Rohr: