# Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/ Konstruktion messbarer Funktionen
## Motivation

In der Maßtheorie hatten wir den Begriff der Länge, Fläche und des Volumens geklärt: sie werden durch Maße auf Sigma-Algebren beschrieben. In der Integrationstheorie wollen wir auf der Basis der Maße einen Integralbegriff herleiten und dessen Eigenschaften untersuchen.

## Wo stehen wir

Wir hatten nachgerechnet, dass die Umkehrabbildung mit Mengenoperationen vertauscht. Seien $(W,S),(V,T)$ Messräume. Wir definierten eine Abbildung $X:W\rightarrow V$ als "messbar", wenn sie alle Mengen aus der Sigma-Algebra $T$ auf Mengen der Sigma-Algebra $S$ abbildete. Es genügte, die Messbarkeit auf dem Erzeugendensystem zu testen. Jetzt konstruieren wir uns durch Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Grenzwertbildung von numerischen Funktionen neue numerische Funktionen.
Andere Herleitung für Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division ?

## Vergleich von Funktionen und Messbarkeit

Wir wollen messbare Funktionen vergleichen und sicherstellen, dass die resultierende Menge wieder messbar ist. Das ist der Fall, wie der folgende Hilfssatz zeigt.
Satz
Wir benötigen die Aussagen, wann der Vergleich von $f$ und $g$ wieder in $S$ ist. Für $f,g:(W,S)\rightarrow ({\overline {\mathbb {R} }},{\overline {\mathbb {B} }})$ sind die folgenden Mengen messbar, d.h. wieder in der Sigma-Algebra.
$\{f<g\},\{f>g\},\{f\leq g\},\{f\geq g\},\{f=g\},\{f\neq g\}\in S$
Beweis
a) Wegen $f(x)<g(x)$ und da die rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ dicht liegen in $\mathbb {R}$, existiert ein $q\in \mathbb {Q}$ das dazwischen liegt und umgekehrt
$f(x)<g(x)\iff \exists q\in \mathbb {Q} :f(x)<q<g(x)$
Rechts stehen zwei Bedingungen, die erfüllt sein müssen, das ist gleichwertig zu
$f(x)<g(x)\iff \exists q\in \mathbb {Q} :x\in \underbrace {\{f<q\}} _{=\{x\in X:f(x)<q\}}\cap \underbrace {\{q<g\}} _{=\{x\in X:q<g(x)\}}$
Die Menge der $x$, für die das erfüllt ist, ist also
$\{f<g\}=\{x\in X:f(x)<g(x)\}=\{x\in X:\exists q\in \mathbb {Q} :x\in \{f<q\}\cap \{q<g\}\}$
Rechts steht genau die Bedingung für die abzählbare Vereinigung über $\mathbb {Q}$, d.h.
$\{f<g\}=\bigcup _{q\in \mathbb {Q} }\underbrace {\{f<q\}} _{\in S}\cap \underbrace {\{q<g\}} _{\in S}\in S$
Da abzählbare Vereinigungen und Schnitte wieder in $S$ sind, folgt
$\{f<g\}\in S$
b) Ganz analog mit vertauschten Rollen von $f$ und $g$ zeigt man
$\{g<f\}=\bigcup _{q\in \mathbb {Q} }\{g<q\}\cap \{q<f\}\in S$
c) Wir haben schon in b) gezeigt, dass $\{f>g\}\in S$. Da $S$ abgeschlossen ist über Komplementbildung folgt
$\{f\leq g\}=\{f>g\}^{C}\in S$
d) Wir haben schon in a) gezeigt, dass $\{f<g\}\in S$. Da $S$ abgeschlossen ist über Komplementbildung folgt
$\{g\leq f\}=\{g>f\}^{C}\in S$
e) Wir haben in c) und d) gezeigt, dass $\{f\leq g\},\{f\geq g\}\in S$. Da $S$ abgeschlossen ist unter Schnitten folgt
$\{f=g\}=\{g\leq f\}\cap \{f\leq g\}\in S$
f) Wir haben gerade gezeigt, dass $\{f=g\}\in S$. Da $S$ abgeschlossen ist unter Komplementen folgt
$\{f\neq g\}=\{f=g\}^{C}\in S$

## Konstruktion neuer numerischer Funktionen

Wie bei den stetigen Funktionen konstruieren wir aus messbaren Funktionen neue messbare Funktionen.
Satz
* Die konstante Funktion $f:W\rightarrow {\overline {\mathbb {R} }},t\mapsto c$ ist messbar.
* Die Identität $id:{\overline {\mathbb {R} }}\rightarrow {\overline {\mathbb {R} }},t\mapsto t$ ist $({\overline {\mathbb {B} }},{\overline {\mathbb {B} }})$-messbar.
* Seien $f,g:W\rightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$ numerischer Funktionen. Dann sind $f\pm g$, $f\cdot g$ und $f/g$ messbar, wenn sie definiert sind.
Beweis
1.):
Wir schauen mit $f^{-1}$ zurück nach $W$ für das Erzeugendenssystem von ${\overline {\mathbb {B} }}$:
Ist $c$ in $[t,\infty ]$, so werden alle $w\in W$ auf $\lbrack t,\infty ]$ abgebildet.
Ist $c$ nicht in $\lbrack t,\infty ]$, so wird kein $w\in W$ auf $\lbrack t,\infty ]$ abgebildet, d.h. man landet mit $\emptyset ,W$ jeweils wieder in $S$.
${\begin{aligned}f^{-1}\{[t,\infty ]\}=&{\begin{cases}W&{\text{für }}c\in [t,\infty ]\\\emptyset &{\text{für }}c\not \in [t,\infty ]\\\end{cases}}\\\in &S\end{aligned}}$
Damit ist $f$ messbar für beliebige $S$, da $\emptyset ,W$ in jeder Sigma-Algebra über $W$ enthalten sind.
2.):
Erneut betrachten wir, ob $id^{-1}$ angewendet auf das Erzeugendensystem in $\mathbb {B}$ liegt. Das ist der Fall
${\begin{aligned}id^{-1}([t,\infty ])=[t,\infty ]\in {\overline {\mathbb {B} }}\end{aligned}}$
und damit ist $id$ messbar.
3.):
Wir verwenden die Ergebnisse des letzten Satzes des vorherigen Kapitels.
${\begin{aligned}\forall t\in \mathbb {R} :\ \{f\geq t\}\in S\iff \forall t\in \mathbb {R} :\ \{f>t\}\in S\\\iff \forall t\in \mathbb {R} :\ \{f\leq t\}\in S\iff \forall t\in \mathbb {R} :\ \{f<t\}\in S\end{aligned}}$
-g ist messbar: Sei $g$ messbar. Ddann folgt für alle $t\in \mathbb {R}$
$\{-g\geq t\}=\{g\leq -t\}\in S$
und $-g$ ist messbar.
g+c ist messbar: Sei $\forall c\in \mathbb {R}$ eine beliebige Konstante. Da für alle $t\in \mathbb {R}$ gilt
$\{g+c\geq t\}=\{g\geq t-c\}\in S$
ist $g+c$ messbar.
f +- g ist messbar: $f+g$ ist definiert genau dann wenn $\infty -\infty$ nicht auftritt, d.h. für kein $w\in W$ erscheint $\infty -\infty$, in Formeln
$(\{f=\infty \}\cap \{g=-\infty \})\uplus (\{f=-\infty \}\cap \{g=\infty \})=\emptyset$
Es gilt
$f(x)+g(x)\geq t\iff f(x)\geq -g(x)+t$
Wir haben im vorherigen Satz gezeigt, dass für messbare $f$ und $-g+t$ folgt
$\{f+g\geq t\}=\{f\geq -g+t\}\in S$
Somit ist $f+g$ messbar, wenn es definiert ist.
Ganz analog für $f-g$.
f² ist messbar Sei $f$ messbar. Dann gilt mit dem letzten Satz des vorherigen Kapitels $\forall t\in \mathbb {R} ,t\geq 0$
${\begin{aligned}\{f\geq {\sqrt {t}}\}\in S\\\{f\leq -{\sqrt {t}}\}\in S\end{aligned}}$
und somit
$\{f^{2}\geq t\}=\{f\geq {\sqrt {t}}\}\cup \{f\leq -{\sqrt {t}}\}\in S$
f*g ist messbar $f\cdot g$ ist immer definiert. Es gilt die Gleichung
$f\cdot g={\frac {(f+g)^{2}+(f-g)^{2}}{4}}$
Die rechte Seite ist mit den oben gezeigten Bedingungen messbar.
Nehmen f,g gleichzeitig den Wert +- Unendlich an, so ist die rechte Seite nicht definiert. Nimm eine Fallunterscheidung vor, da sie danndas Produkt konstant ist und somit messbar.
1/g ist messbar: ${\frac {1}{g}}$ ist definiert genau dann wenn $\{g=0\}\uplus \{g=\pm \infty \}=\emptyset$.
Ist $g$ messbar und ${\frac {1}{g}}$ definiert, so folgt wie oben für alle $t\in \mathbb {R} \backslash \{0\}$ mit dem letzten Satz des vorherigen Kapitels
$\left\{{\frac {1}{g}}\geq t\right\}=\left\{g\leq {\frac {1}{t}}\right\}\in S$

## Numerische Funktionen als Grenzwerte

Folgende Grenzwerte von Funktionenfolgen sind ebenfalls messbar. Da das Supremum $\infty$ und das Infimum $-\infty$ werden kann, mussten wir in ${\overline {\mathbb {R} }}$ rechnen.
Satz
Sind $f,f_{n}:W\rightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$ messbar, so sind
$\sup f_{n},\inf f_{n},\limsup f_{n},\liminf f_{n},|f|$
messbar und
$\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}$
ist messbar, wenn es definiert ist.
Beweis
$\sup f_{n},\inf f_{n},\limsup f_{n},\liminf f_{n}$ sind messbar Nach Definition des Supremums und des Infimums gilt für alle $t\in \mathbb {R}$
${\begin{aligned}\{\sup _{n}f_{n}\geq t\}=&=\{\exists n\in \mathbb {N} :\ f_{n}\geq t\}=\bigcup _{n=1}^{\infty }\{f_{n}\geq t\}\in S\\\{\inf _{n}f_{n}\geq t\}=&\{\forall n\in \mathbb {N} :\ f_{n}\geq t\}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\{f_{n}\leq t\}\in S\end{aligned}}$
und $\inf f_{n}$ und $\sup f_{n}$ sind messbar. Damit sind
${\begin{aligned}\limsup _{n}f_{n}=&\inf _{n}\sup _{m\geq n}f_{m}\\\liminf _{n}f_{n}=&\sup _{n}\inf _{m\geq n}f_{m}\\\end{aligned}}$
als Verknüpfung von Supremum und Infimum messbar.
$|f|$ ist messbar Wegen der Darstellung des Betrages als
${\begin{aligned}|f|=&f_{+}-f_{-}\\=&\max(f,0)-\max(-f,0)\\=&\sup(f,0)-\sup(-f,0)\end{aligned}}$
ist mit den gezeigten Formeln auch der Betrag messbar. (Wir setzen alle gezeigten Beziehungen so langsam zusammen).
$\lim f_{n}$ ist messbar Gilt
$\liminf _{n}f_{n}=\limsup _{n}f_{n}$
so ist $\lim f_{n}$ definiert und messbar, da
$\lim _{n}f_{n}=\liminf _{n}f_{n}=\limsup _{n}f_{n}$

## Aufgabe 1: Messbare Mengen

Aufgabe
Sei $f_{n}:(\mathbb {R} ,\mathbb {B} )\rightarrow ([0,\infty ),\mathbb {B} \cap [0,\infty )$ eine Folge messbarer Funktionen. Zeige:
a) $\left\{x\in \mathbb {R} :\ \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)<\infty \right\}\in \mathbb {B}$.
Seien $\forall n\in \mathbb {N} :\ f_{n}:(\mathbb {R} ,\mathbb {B} )\rightarrow (\mathbb {R} ,\mathbb {B} )$ gegeben.
b) $\left\{x\in \mathbb {R} :\ \lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x){\text{ existiert}}\right\}\in \mathbb {B}$
c) Zeige $\{x\in \mathbb {R} :\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)=5\}\in \mathbb {B}$
Lösung
a) Alle Funktionen $f_{n}$ sind größer gleich Null, lassen sich also problemlos summieren. Die Summe zweier messbarer Funktionen ist messbar. Durch Induktion ist auch die Summe endlich vieler Funktionen messbar. Wegen
$\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}=\lim _{k\rightarrow \infty }\sum _{n=1}^{k}f_{n}$
und da auch der Grenzwert messbar ist, ist $\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}$ messbar. Obige Menge lässt sich aber anders schreiben als
$\left\{\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}<\infty \right\}$
und das liegt in $\mathbb {B}$.
b) Da $\limsup _{n}f_{n}$ und $\liminf f_{n}$ messbar sind, gilt mit obigen Satz
$\left\{x\in \mathbb {R} :\ \lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x){\text{ existiert}}\right\}=\left\{\liminf _{n\rightarrow \infty }f_{n}=\limsup _{n\rightarrow \infty }f_{n}\right\}\in \mathbb {B}$
Das war der kurze Beweis mittels obiger Theorie. Zum Interesse zeigen wir noch den Weg ohne Theorie: Die Folge $(f_{n}(x))_{n}$ hat in $\mathbb {R}$ einen Grenzwert, genau dann wenn sie Cauchy-Folge ist, d.h.
$\forall k\in \mathbb {N} \ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall m,n\geq N:\ |f_{n}(x)-f_{m}(x)|<{\frac {1}{k}}$
Da $|f_{n}-f_{m}|$ messbar ist, ist $\left\{|f_{n}-f_{m}|<{\frac {1}{k}}\right\}\in \mathbb {B}$. Nun müssen wir die Cauchybedingung umschreiben zu
$\{x\in \mathbb {R} :\ (f_{n}(x))_{n}{\text{ ist Cauchyfolge }}\}\iff \bigcap _{k\in \mathbb {N} }\bigcup _{N\in \mathbb {N} }\bigcap _{m\geq N}\bigcap _{n\geq N}\left\{|f_{n}-f_{m}|<{\frac {1}{k}}\right\}$
Die rechte Seite ist aber wieder in $\mathbb {B}$.
c) Die Folge $(f_{n}(x))_{n}$ hat in $\mathbb {R}$ den Grenzwert $5$, genau dann wenn gilt
$\forall k\in \mathbb {N} \ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall n\geq N:\ |f_{n}(x)-5|<{\frac {1}{k}}$
Da $|f_{n}-5|$ messbar ist, ist $\left\{x\in \mathbb {R} :\ |f_{n}(x)-5|<{\frac {1}{k}}\right\}\in \mathbb {B}$. Nun müssen wir die Grenzwertbedingung umschreiben zu
$\{x\in \mathbb {R} :\ (f_{n}(x))_{n}{\text{ hat Grenzwert }}5\}\iff \bigcap _{k\in \mathbb {N} }\bigcup _{N\in \mathbb {N} }\bigcap _{n\geq N}\left\{|f_{n}-5|<{\frac {1}{k}}\right\}$
Die rechte Seite ist aber wieder in $\mathbb {B}$.

## Aufgabe 2: Messbare Funktionen

Aufgabe
a) Zeige: Aus $f^{2}$ messbar folgt nicht, dass $f$ messbar ist.
b) Aus $f=g$ $m$-fast überall und $f$ messbar folgt nicht $g$ messbar.
Lösung
a) Setze $W=[0,1],S=\{\emptyset ,[0,1]\}$ und
$f:W\rightarrow \mathbb {R} ,x\mapsto {\begin{cases}1&x\geq 0,5\\-1&x<0,5\\\end{cases}}$
Für $A=\{1\}\in \mathbb {B}$ gilt $f^{-1}(A)=[0,5,1]\not \in S$, somit ist $f$ nicht messbar.
$f^{2}$ ist konstant und damit automatisch messbar.
b) Sei $(W=\{1,2,3\},S=\{\emptyset ,\{1\},\{2,3\},\{1,2,3\}\},m)$ Maßraum mit $m(\{1\})=1,m(\{2,3\})=0$ und
${\begin{aligned}f(1)=&0\\f(2)=&f(3)=1\\g(1)=&0=g(2)\\g(3)=&1\end{aligned}}$
Dann gilt
$\{f\neq g\}=\{2\}\subset \{2,3\}$
und $\{2,3\}$ ist $m$-Nullmenge. D.h. $f=g$ $m$-fast überall.
$f$ ist messbar als Indikatorfunktion auf $\{2,3\}\in S$.
$g$ ist nicht messbar, da
$g^{-1}(0)=\{1,2\}\not \in S$