# Beweisarchiv

Dieses Buch steht im Regal Mathematik.

## Inhalt

Beweisarchiv: Algebra
    Halbgruppen: Linksneutrale und rechtsneutrale Elemente
    Gruppen: Bahnensatz · Elementordnung 2 und Kommutativität · Untergruppenordnung teilt Gruppenordnung · Klassifikation endlicher abelscher Gruppen · Klassifikation endlich erzeugter abelscher Gruppen · Sylow-Sätze · Archimedische Eigenschaft der reellen Zahlen · Lineare Abbildungen und Matrizen
    Ringe: Binomischer Lehrsatz · Boolesche Ringe · Chinesischer Restsatz
    Körper: Endlicher Integritätsbereich · Approximationssatz von Liouville· Transzendenz von e und π · Zahlencharakter von e· Die Existenz der reellen Wurzel
    Moduln: freie Moduln sind projektiv
Beweisarchiv: Analysis
    Ungleichungen: Grönwall'sche Ungleichung · Young'sche Ungleichung
    Konvergenz: Herleitung des WALLIS-Produktes · Produktformel von Vieta · 1/n ist eine Nullfolge · Grundeigenschaften konvergenter Folgen
    Differentialrechnung: Differentiation der Sinusfunktion · Kriterien für lokale Extrema · Satz von Rolle · Mittelwertsatz · L'Hospitalsche Regel · Taylor-Reihe mit Konvergenzradius Null · Charakterisierung konstanter Funktionen · Festlegbarkeit der Stammfunktion · Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
    Integralrechnung: Gaußsches Integral
    Konvexität und Stetigkeit
Beweisarchiv: Arithmetik
    Erklärungsversuch zu einer ramanujanschen Bruchnäherung zur Kreiszahl π
    Erweiterte Rechenarten
       Logarithmus: Logarithmengesetze ·
    Lösungen von Gleichungen
       Gleichungen höheren Grades mit einer Variablen: Quadratische Gleichungen ·
Beweisarchiv: Funktionalanalysis
    Hilberträume: · Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung · Parallelogrammgleichung · Über eine Abschwächung der heisenbergschen Vertauschungsrelation
    Ein Supremumsprinzip im Zusammenhang mit drei Sätzen von Krein–Milman, Klee–Straszewicz und Bauer ·
Beweisarchiv: Funktionentheorie
    Anwendungen im Umfeld des Cauchy'schen Integralsatzes: Fundamentalsatz der Algebra
Beweisarchiv: Geometrie
    Schwerpunktsätze von Leibniz
    Planimetrie
       Kreis: Mittelpunktswinkel-Umfangswinkel · Satz des Ptolemäus · Sehnensatz · Sehnentangentenwinkel · Sehnenviereck · Sekantensatz · Tangentenviereck · Japanischer Satz für konzyklische Vierecke · Satz des Thales
       Rechtwinkliges Dreieck: Satz des Pythagoras
       Ellipse: Satz vom Flüstergewölbe · Konjugierte Durchmesser
       Regelmäßige Vielecke: Dreieck · Viereck · Fünfeck · Sechseck ·
       Dreieck: Satz des Heron · Berechnung des Flächeninhalts des Diagonalendreiecks im Quader · Elementarer Satz zur Charakterisierung des Schwerpunkts im Dreieck via Flächeninhalte
       Viereck: Flächenformel von Bretschneider
    Inzidenzgeometrie ·
       affine Geometrie: einfache Hilfssätze · Homothetien und Translationen · Desarguesche affine Ebenen sind Vektorräume
    Trigonometrie
       Additionstheoreme: Sinus · Kosinus · Tangens · Kotangens
       Trigonometriesätze: Sinussatz · Kosinussatz · Neue Folgerungen aus dem Projektionssatz der Dreiecksgeometrie
       Trigonometrie in der komplexen Ebene: Tangens und Kotangens in rechtwinkligen Dreiecken aus komplexen Zahlen
Beweisarchiv: Gewöhnliche Differentialgleichungen
    Eindeutigkeitstheorie: Lokale Lipschitz-Stetigkeit
    Existenztheorie: Existenz nicht-fortsetzbarer Lösungen · Satz von Picard-Lindelöf
    Lineare Theorie: Liouville'sche Formel
Beweisarchiv: Kombinatorik
    Eine verallgemeinerte LYM-Ungleichung
Beweisarchiv: Kryptografie
    Sicherheitsdefinitionen: Äquivalente Definitionen informationstheoretischer Sicherheit
    Kryptosysteme: Korrektheit des RSA-Kryptosystems · Sicherheit des GMR-Signatursystems
    Pseudozufall: Sicherheit des s²-mod-n-Generators
Beweisarchiv: Lie-Algebren
    Wurzelsysteme: Klassifikation von Wurzelsystemen
Beweisarchiv: Lineare Algebra
    Endomorphismen: Satz von Cayley-Hamilton · Korrektheit des Algorithmus von Faddejew-Leverrier · Kreisesatz von Gerschgorin
    Vektorräume: Jeder Vektorraum hat eine Basis
Beweisarchiv: Mengenlehre
    Charakteristikum unendlicher Mengen
    Injektivität Surjektivität Bijektivität: Faktoren · Komposition · Linksinverse · Linkskürzbarkeit · Rechtsinverse · Rechtskürzbarkeit
    Verkettungen: Assoziativgesetz der Hintereinanderausführung
    Mächtigkeiten (Kardinalzahlen): lineare Ordnung · Kardinalität und Bijektionen · Potenzmenge
    Deskriptive Mengenlehre: Satz von Young
    Rechenregeln für Mengenoperationen: Assoziativgesetze · Distributivgesetze · Differenzgesetze · Grundeigenschaften der Inklusion · De Morgansche Regeln für Mengen · Bild und Urbild
    Ordinalzahlen: Ordinalzahlen enthalten sich nicht selbst als Element · Elemente von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Durchschnitte von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Wohlordnung der Klasse aller Ordinalzahlen · Ordinalzahlen bilden eine echte Klasse · Der Nachfolger einer Ordinalzahl ist Ordinalzahl · Vereinigungen von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Limes- und Nachfolgerzahlen · Äquivalenz verschiedener Definitionen
    Sätze die in ZF Äquivalent zum Auswahlaxiom sind: Alternative Darstellung des Auswahlaxioms · Wohlordnungssatz · Lemma von Zorn
Beweisarchiv: Stochastik
    Statistik: Arithmetisches Mittel zweier Zahlen · Eindeutigkeit der Methode der kleinsten Fehlerquadrate
    Wahrscheinlichkeitstheorie: Bernstein-Ungleichung · Satz von Moivre-Laplace · Approximationssatz von Stone-Weierstrass
    Kombinatorik: Kombinatorische Eigenschaft des Binomialkoeffizienten
Beweisarchiv: Theoretische Informatik
    Sprachen: Pumping-Lemma
    Berechenbarkeit: Halteproblem
Beweisarchiv: Topologie
    Grundlagen: Stetige Bijektion von kompakt nach Hausdorff · Top hat Limites · Produkt von Hausdorffräumen · Limes von Hausdorffräumen · Limes von kompakten Hausdorffräumen
    Satz von Tychonoff · Über den weierstraßschen Satz vom Maximum und Minimum · Kompaktheit und Zusammenhang reeller Intervalle · Analogon zum Satz von Baire für endlich viele abgeschlossene Teilmengen · Der Satz von Poincaré-Bohl impliziert den Satz von Poincaré-Brouwer.
Beweisarchiv: Zahlentheorie
    Elementare Zahlentheorie: Kleiner Satz von Fermat · Satz von Euklid · Satz von Wilson · Vollständige Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung
    Algebraische Zahlentheorie: Pythagoraszahl nicht-reeller Körper · Korrespondenzsatz der algebraischen Zahlentheorie · Zerlegungsgesetz
    Analytische Zahlentheorie: Irrationalität von $\zeta (3)$ · Primzahlsatz

## Zusammenfassung des Projekts

* Zielgruppe: Alle Personen, die mathematische Beweise nachschlagen wollen, also Schüler, Schülerinnen, Studierende und andere.
* Projektumfang: Beweise jeglicher Art, also aus der Mathematik, aus der Mengenlehre, aus der Physik, aus der theoretischen Informatik usw. Man beachte, dass keine weitere Beschränkung auf eine bestimmte Kategorie gelten soll, und dass jeder, der Lust hat, beliebig Erweiterungen vornehmen kann.
* Themenbeschreibung: Zusammenstellung von Beweisen aus Mathematik, Mengentheorie, Theoretischer Informatik – und gerne auch aus anderen naturwissenschaftlichen Gebieten.
* Lernziele: Beweise verstehen und lernen. Dazu diene dieses Nachschlagewerk, in denen solche vorgehalten werden.
* Abgrenzung zu anderen Wikibooks: Hier sollen nur und alleine Beweise eingestellt werden, also keine Einführungen in die Grundlagen und deren Diskussion. Das Beweisarchiv soll eine reine Zusammenstellung von Beweisen sein, auf die auch von anderen mathematischen oder EDV-Büchern aus verlinkt werden kann.
* Regeln:
   * Man führe die Beweise möglichst allgemein.
   * Um die Einheitlichkeit zu wahren, sollte man die folgende Gliederung benutzen:
   ** Kurze Beschreibung des zu behandelnden Problems.
   ** Danach die Behauptung.
   ** Danach die Beweisführung.
   * Alles sollte stets kurz und knapp ausgedrückt werden.
   * Trotzdem sollten alle Schritte des Beweises allgemeinverständlich sein.
   * Wenn in einem Beweis Hilfsätze oder andere mathematisch beweisbare Aussagen verwendet werden, sollten immer Links auf den zugehörigen Beweis verweisen.
   * Jeder einzelne Beweis sollte auf einer eigenen Seite geführt werden.
   * Zu einem Satz dürfen durchaus mehrere Beweise aufgeführt werden (z.B. direkter und indirekter Beweis).
* Aufbau des Buches:
   * Beweisarchiv
   ** Kategorie (z.B. Mengenlehre, Geometrie, Numerik...)
   *** Unterkategorie (z.B. Problemklassen wie Assoziativgesetze, Funktionen usw.)
   **** Die Beweise, jedes Problem auf einer eigenen Seite
Ich bitte darum, dass möglichst viele Leute sich am Wachsen des Buches beteiligen! --Patrixx 16:48, 17. Dez 2005 (UTC)