# W*-dynamisches System

W*-dynamische Systeme werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht. Es handelt sich um eine Konstruktion, mit der man aus einer Von-Neumann-Algebra und einer lokalkompakten Gruppe, die in gewisser Weise auf der Von-Neumann-Algebra operiert, eine neue Von-Neumann-Algebra gewinnt.

## Definition

Ein W*-dynamisches System ist ein Tripel $(A,G,\alpha )$ bestehend aus einer Von-Neumann-Algebra $A$ über einem Hilbertraum $H$, einer lokalkompakten Gruppe $G$ und einem Homomorphismus $\alpha :G\rightarrow \mathrm {Aut} (A),s\mapsto \alpha _{s}$ von $G$ in die Gruppe der *-Automorphismen von $A$, der punktweise stark stetig ist, das heißt, dass alle Abbildungen $G\rightarrow H,s\mapsto \alpha _{s}(a)\xi ,\,a\in A,\xi \in H$ normstetig sind.
Man kann die starke Operatortopologie durch die schwache oder ultraschwache Operatortopologie ersetzen und erhält dabei denselben Begriff.

## Konstruktion des Kreuzproduktes

Zu einem W*-dynamischen System $(A,G,\alpha )$ konstruieren wir wie folgt eine Von-Neumann-Algebra $A\ltimes _{\alpha }G$. Wir geben hier die in vorgestellte Konstruktion wieder. Als erstes beschreiben wir den Hilbertraum, auf dem die neue Von-Neumann-Algebra operieren soll.
$A$ operiere auf dem Hilbertraum $H$ und L$^2$(G) sei der Hilbertraum der bzgl. des Haarmaßes quadratintegrablen Funktionen. Das Hilbertraum-Tensorprodukt $H\otimes L^{2}(G)$ kann man mit dem Raum $L^{2}(G,H)$ der messbaren Funktionen $\xi :G\rightarrow H$ mit $\textstyle \int _{G}\|\xi (s)\|^{2}\mathrm {d} s<\infty$ identifizieren. Die Abbildung, die einem Elementartensor $\xi _{0}\otimes h$ die Funktion $s\mapsto h(s)\xi _{0}$ zuordnet, kann zu einem unitären Operator
    $H\otimes L^{2}(G)\rightarrow L^{2}(G,H)$
fortgesetzt werden.
Nun zu den Operatoren der zu definierenden Von-Neumann-Algebra. Da der Raum $C_{c}(G,H)$ der stetigen Funktionen $G\rightarrow H$ mit kompaktem Träger dicht in $L^{2}(G,H)$ liegt, genügt es, die Wirkung der Operatoren auf $C_{c}(G,H)$ anzugeben. Zu jedem $x\in A$ definieren wir den Operator $\pi (x)$ auf $L^{2}(G,H)$ durch
    $(\pi (x)f)(s):=\alpha _{s^{-1}}(x)f(s),\quad f\in C_{c}(G,H),s\in G$
und für jedes $t\in G$ den Operator $\lambda (t)$ auf $L^{2}(G,H)$ durch
    $(\lambda (t)f)(s):=f(t^{-1}s),\quad f\in C_{c}(G,H),s\in G$.
Dann ist $\pi$ ist eine Hilbertraum-Darstellung von $A$ und $\lambda$ eine Gruppendarstellung von $G$ auf dem Hilbertraum $L^{2}(G,H)$ und es gilt
    $\lambda (t)\pi (x)\lambda (t)^{*}:=\pi (\alpha _{t}(x))$ für alle $x\in A,t\in G$.
Daher ist die lineare Hülle der Operatoren $\pi (x)\lambda (t)$ eine bzgl. der Involution abgeschlossene Teilalgebra von $L(L^{2}(G,H))$, der beschränkten, linearen Operatoren auf $L^{2}(G,H)$, deren schwacher Abschluss eine Von-Neumann-Algebra ist. Diese heißt die Von-Neumann-Algebra des W*-dynamischen Systems $(A,G,\alpha )$ oder das Kreuzprodukt aus $A$ und $G$ (vermöge $\alpha$) und wird mit $A\ltimes _{\alpha }G$ bezeichnet. Alternative Bezeichnungen sind $A\otimes _{\alpha }G$, $A\times _{\alpha }G$ oder $W^{*}(A,G,\alpha )$.
Beachtet man die oben angegebene Isomorphie $H\otimes L^{2}(G)\cong L^{2}(G,H)$, so kann man zeigen, dass $A\ltimes _{\alpha }G$ im Tensorprodukt $A{\overline {\otimes }}L(L^{2}(G))$ enthalten ist.

## Dualität

Sei $G$ eine kommutative, lokalkompakte Gruppe. Dann gibt es dazu die Dualgruppe ${\hat {G}}$ der stetigen Gruppenhomomorphismen $G\rightarrow \{z\in \mathbb {C} ;\,|z|=1\}$. Diese ist mit der Topologie der kompakten Konvergenz wieder eine kommutative, lokalkompakte Gruppe. Für einen solchen Gruppenhomomorphismus $\chi \in {\hat {G}}$ definieren wir den unitären Operator $v_{\chi }$ auf $L^{2}(G)$ durch die Formel
    $(v_{\chi }f)(s):={\overline {\chi (s)}}f(s),\quad f\in C_{c}(G),s\in G$.
Dann ist $1_{H}\otimes v_{\chi }$ ein unitärer Operator über $H\otimes L^{2}(G)$ und man kann zeigen, dass $(1\otimes v_{\chi })\,A\ltimes _{\alpha }G\,(1\otimes v_{\chi })^{*}=A\ltimes _{\alpha }G$ gilt, das heißt, dass durch
    ${\hat {\alpha }}_{\chi }(y):=(1\otimes v_{\chi })y(1\otimes v_{\chi })^{*}$
ein Automorphismus auf $A\ltimes _{\alpha }G$ definiert wird, der $(A\ltimes _{\alpha }G,{\hat {G}},{\hat {\alpha }})$ zu einem W*-dynamischen System macht. Man kann also das Kreuzprodukt $(A\ltimes _{\alpha }G)\ltimes _{\hat {\alpha }}{\hat {G}}$ bilden und zeigen, dass dieses isomorph zu $A{\overline {\otimes }}L(L^{2}(G))$ ist.

## Anwendungen
### Konstruktion von Faktoren

Es sei $T$ ein Borel-Raum, der Borel-isomorph zu [0,1] ist, und $\mu$ ein σ-endliches Maß auf $T$ ohne Atome, das heißt, es ist $\mu (\{t\})=0$ für alle $t\in T$. Wir betrachten injektive Gruppenhomomorphismen
    $\alpha ':G\rightarrow \mathrm {Iso} (T,\mu )$
einer diskreten Gruppe $G$ in die Gruppe der Borel-Isomorphismen auf $(T,\mu )$, so dass folgendes gilt:
* Aus $\mu (N)=0$ folgt für alle $g\in G$ auch $\mu (\alpha '_{g}(N))=0$.
* $G$ operiere frei auf $(T,\mu )$, das heißt $\mu (\{t\in T;\,\alpha '_{g}(t)=t\})=0$ für alle vom neutralen Element verschiedenen $g\in G$.
* $G$ operiere ergodisch auf $(T,\mu )$, das heißt ist $N\subset T$ mit $\mu (\alpha '_{g}(N)\setminus N)=0$ für ein vom neutralen Element verschiedenes $g\in G$, so ist $\mu (N)=0$ oder $\mu (T\setminus N)=0$.
Aus $\alpha ':G\rightarrow \mathrm {Iso} (T,\mu )$ erhält man einen Gruppenhomomorphismus
    $\alpha :G\rightarrow \mathrm {Aut} (L^{\infty }(T,\mu )),\quad (\alpha _{g}(f))(t):=f(\alpha '_{g^{-1}}(t))$
in die Automorphismengruppe der abelschen Von-Neumann-Algebra $L^{\infty }(T,\mu )$ und man erhält ein W*-dynamisches System $(L^{\infty }(T,\mu ),G,\alpha )$. Daher kann man das Kreuzprodukt $L^{\infty }(T,\mu )\ltimes _{\alpha }G$ bilden. Für dieses gilt:
* Ist $\mu$ nun $G$-invariant, das heißt $\mu (\alpha '_{g}(N))=\mu (N)$ für alle messbaren Teilmengen $N\subset T$, so ist $L^{\infty }(T,\mu )\ltimes _{\alpha }G$ ein Typ II Faktor, und zwar ein Typ II$_1$ Faktor, falls $\mu (T)<\infty$, und anderenfalls ein Typ II$_∞$ Faktor.
* Ist $\mu$ nicht $G$-invariant, wohl aber invariant bzgl. einer Untergruppe von $G$, die ebenfalls ergodisch auf $(T,\mu )$ operiert, so ist $L^{\infty }(T,\mu )\ltimes _{\alpha }G$ ein Typ III Faktor.
Dafür lassen sich folgende konkrete Beispiele angeben:

### Konkrete Beispiele

(i) Sei $T=\mathbb {T} :=\{z\in \mathbb {C} ;\,|z|=1\}=\{e^{2\pi it};t\in [0,1]\}$ die Kreislinie mit dem Haarmaß $\mu$. Es sei $G=\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ und
    $\alpha ':G\rightarrow \mathrm {Iso} (\mathbb {T} ,\mu ),\quad \alpha '_{q+\mathbb {Z} }(e^{2\pi it}):=e^{2\pi i(t+q)}$.
Dies erfüllt die Voraussetzungen obigen Satzes, und es folgt, dass $L^{\infty }(\mathbb {T} ,\mu )\ltimes _{\alpha }\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ ein Typ II$_1$-Faktor ist.
(ii) Sei $T=\mathbb {R}$ mit dem Lebesguemaß $\lambda$.
    $\alpha ':\mathbb {Q} \rightarrow \mathrm {Iso} (\mathbb {R} ,\lambda ),\quad \alpha '_{q}(t):=t+q$.
Dies erfüllt die Voraussetzungen obigen Satzes, und es folgt, dass $L^{\infty }(\mathbb {R} ,\lambda )\ltimes _{\alpha }\mathbb {Q}$ ein Typ II$_∞$-Faktor ist.
(iii) Sei $T=\mathbb {R}$ mit dem Lebesguemaß $\lambda$ und $G$ sei die multiplikative Matrizengruppe $G=\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}};\,a,b\in \mathbb {Q} \}$. Für $g={\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}$ sei $\alpha '_{g}(t):=at+b$. Dann erfüllt $\alpha ':G\rightarrow \mathrm {Iso} (\mathbb {R} ,\lambda )$ die Voraussetzungen obigen Satzes, und es folgt, dass $L^{\infty }(\mathbb {R} ,\lambda )\ltimes _{\alpha }G$ ein Typ III -Faktor ist.

### Die modulare Gruppe

Für σ-endliche Von-Neumann-Algebren $A$ liefert die Tomita-Takesaki-Theorie zu jedem treuen, normalen Zustand ein W*-dynamisches System $(A,\mathbb {R} ,\sigma )$. Die Abhängigkeit vom Zustand wird durch einen sogenannten Connes-Kozykel beschrieben, woraus sich ergibt, dass die Kreuzprodukte der W*-dynamischen Systeme zu verschiedenen Zuständen isomorph sind. Man kann daher von dem Kreuzprodukt $A\ltimes _{\sigma }\mathbb {R}$ mit der modularen Gruppe sprechen.
Die Dualität $(A\ltimes _{\sigma }\mathbb {R} )\ltimes _{\hat {\sigma }}\mathbb {R} \cong A\otimes L(L^{2}(\mathbb {R} ))$ spielt eine wichtige Rolle im Satz von Takesaki über die Struktur der Typ III Von-Neumann-Algebren.