# Smarandache-Konstanten

In der Zahlentheorie spricht man von Smarandache-Konstanten (nach Florentin Smarandache) in zwei Zusammenhängen, einmal bei der Andricaschen Vermutung, andererseits bei der Smarandache-Funktion. Die beiden Definitionen haben außer ihrem Namensgeber nichts gemein.
    1.ext Bezeichnet $p_{n}$ die $n$-te Primzahl, so besagt die Andricasche Vermutung, dass für alle $n$ ${\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}<1.$ Diese Vermutung lässt sich wie folgt verallgemeinern: $p_{n+1}^{a}-p_{n}^{a}<1\qquad \quad \mathrm {f{\ddot {u}}r\;alle} \;a<a_{0}.$ Diese Obergrenze für $a_{0}$, ungefähr $0{,}56714813...$, wird oft als die Smarandache-Konstante bezeichnet. $a_{0}$ ist Lösung der Gleichung $p_{31}^{x}-p_{30}^{x}=127^{x}-113^{x}=1$. 2. Die Smarandache-Funktion $\mu (n)$ ist wie folgt definiert: $\mu (n)$ ist die kleinste natürliche Zahl, für die $\mu (n)!$ durch $n$ teilbar ist. Ist zum Beispiel der Wert $\mu (8)$ gesucht, ist die kleinste der Zahlen 1!, 2!, 3!, ... zu suchen, die durch 8 teilbar ist; das ist 4!=24=3·8, daher ist $\mu (8)=4$. Es wurden nun diverse konvergente Reihen untersucht, die die Werte dieser Funktion verwenden. Derartige Grenzwerte werden dann erste, zweite, ... Smarandache-Konstanten genannt.

## Smarandache-Konstanten

Die erste Smarandache-Konstante ist definiert durch
    $s_{1}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{\mu (n)!}}=1{,}093170459...$
Deren Konvergenz ist mit $\mu (n)\leq n$ und der eulerschen Zahl als Obergrenze leicht einzusehen: $\sum {\frac {1}{\mu (n)!}}<\sum {\frac {1}{n!}}=e$.
Die Nachkommastellen bilden Folge A048799 in OEIS.
Die zweite Smarandache-Konstante ist
    $s_{2}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n!}}=1{,}7140062935916...$
Für diese ist außerdem beweisen, dass sie irrational ist; sie ist Folge A048834 in OEIS.
Die dritte Smarandache-Konstante ist dann
    $s_{3}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{\mu (2)\cdot \mu (3)\cdots \mu (n)}}=0{,}7199607000437...$
Ihre Nachkommastellen ergeben die Folge A048835 in OEIS.
Ferner konvergiert folgende Reihe für alle reellen Zahlen $\alpha \geq 1$:
    $s_{4}(\alpha )=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {n^{\alpha }}{\mu (2)\cdot \mu (3)\cdots \mu (n)}}$
Die ersten Werte für natürliche $\alpha$:
    $\alpha$ $S_{4}(\alpha )$ 1 1,7287576053... (Folge A048836 in OEIS) 2 4,5025120061... (Folge A048837 in OEIS) 3 13,011144194... (Folge A048838 in OEIS)
Andere Autoren bewiesen, dass
    $s_{5}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}\mu (n)}{n!}}$
ebenfalls einen Grenzwert hat. Die nächste Konstante,
    $s_{6}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{(n+1)!}},$
konvergiert gegen einen Wert $0{,}218282<s_{6}<0{,}5$.
Allgemeiner konvergieren sogar
    $s_{7}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{(n+k)!}}\quad {\text{und}}\quad s_{8}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{(n-k)!}}$
für natürliche (bzw. ganze) $k\not =0$.
Außerdem konvergiert
    $s_{9}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{{\frac {\mu (2)}{2!}}+{\frac {\mu (3)}{3!}}+\cdots +{\frac {\mu (n)}{n!}}}}.$
Zwei weitere Reihen sind
    $s_{10}(\alpha )=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{\mu (n)^{\alpha }{\sqrt {\mu (n)!}}}}$
und
    $s_{11}(\alpha )=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{\mu (n)^{\alpha }{\sqrt {(\mu (n)+1)!}}}}$
Diese konvergieren für alle $a>1$.
Sei $f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {R}$ eine Funktion, für die gilt
    $f(t)\leq {\frac {c}{t^{\alpha }\cdot d(t!)-d((n-1)!)}}$
wobei $t>0$ natürlich und $\alpha >1,c>12$ konstant sein sollen; $d(n)$ bezeichne die Anzahl der Teiler von $n$. Dann gilt:
    $s_{12}(f)=\sum _{n=1}^{\infty }f(\mu (n))$
ist konvergent.
Außerdem ist auch
    $s_{13}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\mu (1)!\cdot \mu (2)!\cdots \mu (n)!}}$
konvergent, ebenso wie
    $s_{14}(\alpha )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\mu (n)!\cdot {\sqrt {\mu (n)!}}\cdot \log \left(\mu (n)\right)^{\alpha }}}$
für $\alpha >1$.
Eine weitere konvergente Reihe ist
    $s_{15}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{n}}{\mu (2^{n})!}}.$
Schließlich konvergiert auch
    $s_{16}(\alpha )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{\alpha +1}}}$
für alle $\alpha >1$.

## Referenzen

Einen Überblick geben
* Eric W. Weisstein: Smarandache Constants. In: MathWorld (englisch).
* Smarandache Function in PlanetMath
* Constant involving the Smarandache Function: http://fs.gallup.unm.edu//CONSTANT.TXT
Detaillierte Arbeiten sind
* I.Cojocaru, S. Cojocaru: The First Constant of Smarandache. in: Smarandache Notions Journal 7 (1996) (PDF; 5,4 MB) S. 116–118.
* dies. ebd. The Second Constant of Smarandache: S. 119–120; und The Third and Fourth Constants of Smarandache: S. 121–126.
* E. Burton: On Some Series Involving the Smarandache Function. In: Smarandache Function Journal 6 (1995) (PDF; 2,6 MB), S. 13–15.
* E. Burton: On Some Convergent Series. In: Smarandache Notions Journal 7 (1996) (PDF; 5,4 MB): S. 7–9.
* A.J. Kempner: Miscellanea, in: The American Mathematical Monthly, Vol. 25, No. 5 (Mai 1918), S. 201–210. jstor
* J. Sandor: On The Irrationality Of Certain Alternative Smarandache Series In: Smarandache Notions Journal 8 (1997) (PDF; 8,8 MB) S. 143–144.