# Schwartz-Raum (allgemein)

Unter einem Schwartz-Raum versteht man in der Mathematik eine spezielle Klasse lokalkonvexer Vektorräume. Viele in den Anwendungen wichtige Räume, z. B. Räume differenzierbarer Funktionen, sind Schwartz-Räume. Der Raum ${\mathcal {S}}$ der schnell fallenden Funktionen (s. u.) wird in der Distributionstheorie manchmal als der Schwartz-Raum bezeichnet, obwohl es sich lediglich um einen Vertreter der hier zu besprechenden Raumklasse handelt. Die Bezeichnung Schwartz-Raum (nach Laurent Schwartz) geht auf Alexander Grothendieck zurück. In der Literatur ist auch die Bezeichnung $S$-Raum verbreitet; ein vollständiger Schwartz-Raum wird dann auch ein ${\overline {S}}$-Raum genannt.

## Definition

Ein lokalkonvexer Raum $E$ heißt ein Schwartz-Raum, wenn es zu jedem normierten Raum $F$ und jedem stetigen linearen Operator $A\colon E\rightarrow F$ eine Nullumgebung $V\subset E$ gibt, so dass das Bild $A(V)$ präkompakt ist.
Dies ist genau dann der Fall, wenn es zu jedem Banachraum $F$ und jedem stetigen linearen Operator $A:E\rightarrow F$ eine Nullumgebung $V\subset E$ gibt, so dass ${\overline {A(V)}}$ kompakt ist.
Eine innere Charakterisierung lautet:
Ein lokalkonvexer Raum $E$ ist genau dann ein Schwartz-Raum, wenn es zu jeder Nullumgebung $U\subset E$ eine Nullumgebung $V\subset E$ gibt, so dass man zu jedem $\epsilon >0$ endlich viele Punkte $x_{1},\ldots ,x_{n}\in E$ mit $\textstyle V\subset \bigcup _{j=1}^{n}(x_{j}+\epsilon U)$ finden kann.

## Präkompakte Halbnormen

Weiter lassen sich Schwartz-Räume über die stetigen Halbnormen charakterisieren. Eine Halbnorm $p$ auf einem lokalkonvexen Raum $E$ heißt präkompakt, falls es eine Nullfolge $(\zeta _{n})_{n}$ in $\mathbb {K}$ und eine gleichstetige Folge $(f_{n})_{n}$ im starken Dualraum $E\,'$ gibt, so dass für alle $x\in E$ die Ungleichung $\textstyle p(x)\leq \sup _{n\in \mathbb {N} }|\zeta _{n}f_{n}(x)|$ gilt. (Dabei heißt die Folge $(f_{n})_{n}$ gleichstetig, wenn es eine stetige Halbnorm $q$ auf $E$ gibt mit $|f_{n}(x)|\leq q(x)$ für alle $x\in E$ und $n\in {\mathbb {N} }$.)
Präkompakte Halbnormen sind stetig, denn mit obigen Bezeichnungen erhält man die Abschätzung $\textstyle p(x)\leq \sup _{n\in \mathbb {N} }|\zeta _{n}f_{n}(x)|\leq \sup _{n\in \mathbb {N} }|\zeta _{n}|\cdot q(x)$. Die Umkehrung ist im Allgemeinen nicht richtig, sie stellt vielmehr eine Charakterisierung der Schwartz-Räume dar, denn es gilt:
Ein lokalkonvexer Raum $E$ ist genau dann ein Schwartz-Raum, wenn jede stetige Halbnorm präkompakt ist.

## Beispiele

* Unter den normierten Räumen sind genau die endlich-dimensionalen Räume Schwartz-Räume.
* Jeder vollständige nukleare Raum ist ein Schwartz-Raum.
* Sei ${\mathcal {S}}({\mathbb {R} }^{n})$ der Raum aller Funktionen $f:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }$, für die alle Suprema $\textstyle p_{k,m}(f):=\sup _{|\alpha |\leq k}\sup _{x\in {\mathbb {R} }^{n}}|(1+|x|^{2})^{m}D^{\alpha }f(x)|$ endlich sind. Dabei wurde von der Multiindex-Schreibweise Gebrauch gemacht. Der Raum ${\mathcal {S}}({\mathbb {R} }^{n})$ mit den Halbnormen $\{p_{k,m};\,k,m\in {\mathbb {N} }_{0}\}$ heißt Raum der schnell fallenden Funktionen. Er ist ein Schwartz-Raum und wird manchmal auch als der Schwartz-Raum bezeichnet.
* Jede Folge $(a_{n})_{n}\in \ell ^{1}$ definiert durch die Festlegung $\textstyle (x_{n})_{n}\mapsto \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}x_{n}$ ein lineares Funktional auf dem Folgenraum $\ell ^{\infty }$ der beschränkten Folgen. Diesen Raum versehe man mit der feinsten lokalkonvexen Topologie, so dass der Dualraum bzgl. dieser Identifikation mit $\ell ^{1}$ zusammenfällt. Nach dem Satz von Mackey-Arens gibt es eine solche Topologie, die Mackey-Topologie $\tau (\ell ^{\infty },\ell ^{1})$. Der lokalkonvexe Raum $(\ell ^{\infty },\tau (\ell ^{\infty },\ell ^{1}))$ ist ein vollständiger Schwartz-Raum, der nicht nuklear ist.

## Eigenschaften

* Unterräume und Quotientenräume nach abgeschlossenen Unterräumen von Schwartz-Räumen sind wieder Schwartz-Räume.
* Beliebige Produkte von Schwartz-Räumen sind wieder Schwartz-Räume.
* Vollständige quasitonnelierte Schwartz-Räume sind Montel-Räume. Es gibt aber Fréchet-Montel-Räume, die keine Schwartz-Räume sind.
* Ein lokalkonvexer Raum $E$ ist genau dann ein Schwartz-Raum, wenn es eine Menge $I$ gibt, so dass $E$ topologisch isomorph zu einem Unterraum von $(\ell ^{\infty },\tau (\ell ^{\infty },\ell ^{1}))^{I}$ ist. In diesem Sinne ist $(\ell ^{\infty },\tau (\ell ^{\infty },\ell ^{1}))$ ein universeller Schwartz-Raum.

## Vollständige Schwartz-Räume

Vollständige Schwartz-Räume haben besondere Eigenschaften und lassen weitere Charakterisierungen zu. Ist $p$ eine stetige Halbnorm auf dem lokalkonvexen Raum $E$, so ist $N_{p}:=\{x\in E;p(x)=0\}$ ein abgeschlossener Unterraum von $E$ und durch $\|x+N_{p}\|_{p}:=p(x)$ wird eine Norm auf dem Faktorraum $E_{p}:=E/N_{p}$ erklärt. Die Vervollständigung dieses normierten Raums wird mit $B_{p}$ bezeichnet. Ist $q$ eine weitere stetige Halbnorm mit $p\leq q$, so definiert $x+N_{q}\mapsto x+N_{p}$ einen stetigen linearen Operator $E_{q}\rightarrow E_{p}$, der sich stetig zu einem linearen Operator $\kappa _{qp}:B_{q}\rightarrow B_{p}$ fortsetzen lässt. Die $B_{p}$ heißen die lokalen Banachräume und die Operatoren $\kappa _{qp}$ heißen kanonische Abbildungen von $E$. Mit diesen Begriffen können vollständige Schwartz-Räume wie folgt charakterisiert werden:
Ein lokalkonvexer Raum ist genau dann ein vollständiger Schwartz-Raum, wenn es zu jeder stetigen Halbnorm $p$ eine weitere stetige Halbnorm $q\geq p$ gibt, so dass die kanonische Abbildung $\kappa _{qp}:B_{q}\rightarrow B_{p}$ ein kompakter Operator ist.
Es genügt natürlich, sich auf ein gerichtetes System erzeugender Halbnormen zu beschränken.
In vollständigen Schwartz-Räumen gilt der Satz von Bolzano-Weierstraß, das heißt, eine Menge ist genau dann kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.