# Atkinson-Maß

Mit Atkinson-Maß (nach Anthony Atkinson [1944–2017]) werden eine Menge von Ungleichverteilungsmaßen bezeichnet, mit denen beispielsweise die Einkommens- oder Vermögensungleichheit in einer Gesellschaft berechnet werden kann.

## Ursprung/Geschichte

Der von Hugh Dalton eingeführte Dalton-Index $D$ ist nicht invariant gegenüber positiven linearen Transformationen der persönlichen Einkommenswohlfahrtsfunktionen.
Atkinson hat 1970 versucht, den Index so neu zu definieren, dass er die entsprechende Invarianz aufweist.

## Definition

Jedem Atkinson-Maß liegt eine konkave Nutzenfunktion zugrunde. Wie stark das Atkinson-Maß auf Ungleichheiten reagiert, wird von dieser zugrunde gelegten Nutzenfunktion bestimmt.
Üblicherweise wird eine Arrow-Wohlfahrtsfunktion verwendet, die durch einen die Ungleichheitsaversion angebenden Parameter $\varepsilon$ festlegt, wie groß der Wohlfahrtsunterschied eines zusätzlichen Euros zwischen einer Person mit einem hohen und einem niedrigen Einkommen ist. Je größer Epsilon ist, desto stärker reagiert das Atkinson-Maß auf Ungleichheit. Ist $\varepsilon =0$ bedeutet dies, dass die Verteilung der Einkommen gesellschaftlich gesehen unerheblich ist.
Dieser Atkinson-Index ist wie folgt definiert:
    $A=A_{\varepsilon }=A_{\varepsilon }(y_{1},\ldots ,y_{n})={\begin{cases}1&{\mbox{für}}\ \varepsilon =0\\1-{\frac {1}{\mu }}\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{1-\varepsilon }\right)^{1/(1-\varepsilon )}&{\mbox{für}}\ \varepsilon >0\land \varepsilon \neq 1\\1-{\frac {1}{\mu }}\left(\prod _{i=1}^{n}y_{i}\right)^{1/n}&{\mbox{für}}\ \varepsilon =1,\end{cases}}$
wobei $y_{i}$ das individuelle Einkommen (i = 1, 2, …, N) und $\mu$ das Durchschnittseinkommen ist.

## Eigenschaften

Der Atkinson-Index hat folgende Eigenschaften:
* Symmetrie in den Argumenten: $A_{\varepsilon }(y_{1},\ldots ,y_{N})=A_{\varepsilon }(y_{\sigma (1)},\ldots ,y_{\sigma (N)})$ für alle Permutationen $\sigma$.
* Der Index liegt zwischen Null und Eins. $0\leq A_{1}\leq 1$ und $0\leq A_{\varepsilon }\leq 1-n^{-\epsilon }<1$ für alle $\varepsilon \neq 1$
* Der Index ist nur bei Einkommensgleichheit Null: $A_{\varepsilon }(y_{1},\ldots ,y_{N})=0$ gdw. $y_{i}=\mu$ für alle $i$.
* Invarianz gegenüber Vervielfachung: Wird die Population (mehrfach) identisch repliziert, bleibt der Index gleich: $A_{\varepsilon }(\{y_{1},\ldots ,y_{N}\},\ldots ,\{y_{1},\ldots ,y_{N}\})=A_{\varepsilon }(y_{1},\ldots ,y_{N})$
* Invarianz gegenüber Inflation: Werden alle Einkommen mit einer positiven Konstante multipliziert, bleibt der Index gleich: $A_{\varepsilon }(y_{1},\ldots ,y_{N})=A_{\varepsilon }(ky_{1},\ldots ,ky_{N})$ für alle $k>0$
* Der Index lässt sich in Untergruppen zerlegen. Es gilt
$A_{\varepsilon }(y_{g,i_{g}}:i_{g}=1,\ldots ,n_{g};g=1,\ldots ,G)=\sum _{g=1}^{G}w_{g}A_{\varepsilon }(y_{g,1},\ldots ,y_{g,n_{g}})+A_{\varepsilon }(\mu _{1},\ldots ,\mu _{G})$, wobei $G$ die Anzahl der Untergruppen angibt, $\mu _{g}$ das Durchschnittseinkommen der Untergruppe $g$, und die Gewichte $w_{g}=f(\mu _{g},\mu ,N,N_{g})$ für eine von der konkreten Situation unabhängige Funktion f.

## Anwendung

Für den sich aus der „verallgemeinerten Entropie-Klasse“ mit $\varepsilon =1$ ergebenden Theil-Index $I_{1}$ gilt, dass er in ein von Atkinson entwickeltes Entropiemaß umgewandelt werden kann, das in der Literatur auch als „normalisierter Theil-Index“ auftrat. Das Maß errechnet sich aus der Funktion $1-e^{-T}$.