# Item-Response-Theorie

Die Item-Response-Theorie (IRT; früher, aber unpräzise auch als „probabilistische“ oder „moderne“ Testtheorie bezeichnet) ist ein Teilgebiet der psychologischen Testtheorie und dabei der „latent trait theory“ zuzuordnen (latent von [lat.] latere = verborgen sein, trait [engl.] = Eigenschaft) und diese wiederum der Psychometrie.
Die zugehörigen mathematisch-statistischen Modelle „modellieren“ (erklären) das Zustandekommen der Antwort einer Testperson auf eine (Test-)Aufgabe („Item“) in einem psychologischen Test. Dabei liegt die Annahme zugrunde, dass dem beobachtbaren, also manifesten Verhalten (Antwort) einer Person eine nicht beobachtbare, also latente Eigenschaftsausprägung zugrunde liegt. Erstere steht mit letzterer in bestimmtem wahrscheinlichkeitsfunktionalen Zusammenhang; auch die „Charakteristik“ (insbesondere die Schwierigkeit) der jeweiligen Aufgabe fließt in diese Funktion ein. In der Regel wird ein logistischer Funktionstyp verwendet, um diesen Zusammenhang zu modellieren.

## 3-PL Modell

Im Fall, dass nur zwischen zwei Antwortmöglichkeiten unterschieden wird (richtig = 1 oder falsch = 0), gibt es folgendes recht allgemeine Modell (sog. 3-PL Modell, weil es drei sog. Item-Parameter enthält - L für logistic) – es beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass Person $v$ Aufgabe $i$ löst, in Abhängigkeit vom Fähigkeitsparameter $\xi _{v}$, das ist das (wahre) Fähigkeitsausmaß von Person $v$, sowie von drei sog. Itemparametern, und zwar $\sigma _{i}$, das ist der (wahre) Schwierigkeitsgrad von Aufgabe $i$, $\alpha _{i}$, das ist die Diskriminationsstärke von Aufgabe $i$ (zwischen unterschiedlichen Fähigkeitsausmaßen), und $\beta _{i}$, das ist das Erfolgsausmaß beim Versuch des Lösungerratens:
    $P(x_{vi}=1)=1-P(x_{vi}=0)=\beta _{i}+(1-\beta _{i}){\frac {\exp(\alpha _{i}(\xi _{v}-\sigma _{i}))}{1+\exp(\alpha _{i}(\xi _{v}-\sigma _{i}))}}=$
    $={\frac {\beta _{i}+\exp(\alpha _{i}(\xi _{v}-\sigma _{i}))}{1+\exp(\alpha _{i}(\xi _{v}-\sigma _{i}))}}$
Postuliert man für alle Aufgaben den „Rateparameter“ $\beta _{i}=0$, so vereinfacht sich das 3-PL zum 2-PL Modell, welches notwendigerweise gelten muss, wenn die Testleistungen in einem Test als gewichtete Summe der gelösten Aufgaben verrechnet werden sollen; dabei müssen die Gewichte den „Diskriminationsparametern“ $\alpha _{i}$ entsprechen.
Postuliert man anstatt für alle Aufgaben $\beta _{i}=0$ für alle Aufgaben den Diskriminationsparameter $\alpha _{i}=1$, vereinfacht sich das 3-PL Modell zum sog. Difficulty plus Guessing-PL Modell.
Postuliert man für alle Aufgaben den Rateparameter $\beta _{i}=0$ und gleichzeitig den Diskriminationsparameter $\alpha _{i}=1$, so vereinfacht sich das 3-PL zum 1-PL Modell (sog. Rasch-Modell).
Alle diese Modelle setzen voraus, dass – vom Zufall abgesehen – bei der Bearbeitung jeder Aufgabe eines bestimmten Tests eine einzige (Eigenschafts-/) Fähigkeitsdimension über den Erfolg entscheidet. Und sie setzen voraus, dass die Lösungswahrscheinlichkeit einer Aufgabe unabhängig davon ist, welche anderen Aufgaben die Testperson bereits gelöst hat bzw. noch lösen wird: Lernprozesse während der Testbearbeitung werden ausgeschlossen bzw. wird davon ausgegangen, dass die einzelnen Aufgaben nicht aufeinander aufbauen, indem die Lösung einer Aufgabe die Lösung bei einer vorausgehenden Aufgabe voraussetzt (sog. lokale stochastische Unabhängigkeit der Antworten).

## Unterscheidung

Zu unterscheiden ist zwischen Modellen, die „spezifisch objektive Vergleiche“ ermöglichen, und solchen, die das nicht tun. Vereinfacht bedeutet das, dass für den Vergleich beliebiger Objekte (Aufgaben bzw. Personen) jeweils nur spezifisch diejenige Information der Daten eingeht, welche dafür auch relevant ist, und nicht auch Daten von nicht involvierten Objekten (Aufgaben bzw. Personen). Erlaubt ein Modell „spezifisch objektive Vergleiche“, dann ist seine Gültigkeit für den Pool interessierender Aufgaben empirisch-inferenzstatistisch mit Hilfe eines Modelltests zu prüfen; dem gegenüber ist bei anderen Modellen nur die Feststellung der Güte der Passung von Daten an das Modell möglich (u. zw. mittels sog. goodness-of-fit Indizes).
In diesem Zusammenhang nimmt das Rasch-Modell eine wissenschaftstheoretisch beachtenswerte Ausnahmestellung ein: Es gibt nicht nur etliche Modelltests, sondern es existiert auch ein „Notwendigkeitsbeweis“: Wenn als Testwert eines psychologischen Tests die Anzahl gelöster Aufgaben verwendet wird, dann ist die Geltung des Rasch-Modells für den betreffenden Aufgabenpool notwendig. D.h., verwendet ein psychologischer Test diesen Verrechnungsmodus, seine Aufgaben entsprechen aber nicht alle dem Rasch-Modell, so bildet er die empirisch beobachtbaren Verhaltensrelationen (innerhalb einer Person sowie) zwischen verschiedenen Personen nicht adäquat ab; so kann es z. B. vorkommen, dass dann grundsätzlich leistungsstärkere Personen gegenüber grundsätzlich leistungsschwächeren bei einer bestimmten Aufgabe systematisch schlechter abschneiden.
Demgegenüber gibt es Modelle der Item-Response-Theorie, deren Geltung lediglich hinreichend für einen bestimmten Verrechnungsmodus der Testleistungen zu einem Testwert ist, um letzteren empirische Angemessenheit betreffs beobachtbarer Verhaltensrelationen zu attestieren.
Im Fall, dass zwischen mehr als zwei Antwortmöglichkeiten unterschieden wird (z. B. vollständig richtig, teilrichtig und falsch), kommen verschiedene Verallgemeinerungen des Rasch-Modells in Frage, insbesondere das sog. Partial-Credit-Modell (von Masters). Für den Fall besonders vieler, also sehr fein abgestufter Antwortmöglichkeiten gibt es das sog. kontinuierliche Rasch-Modell (von Müller). Für beide ist ihre Geltung hinreichend, um den zugrunde liegenden Verrechnungsmodus als empirisch angemessen zu qualifizieren.
Alle genannten Modelle eigenen sich für adaptives Testen, bei dem der Testperson nicht alle Aufgaben, sondern nur diejenigen gestellt werden, die ihrem Leistungsniveau entsprechen.
Zum Rasch-Modell gibt es vielfache Verallgemeinerungen, auch solche zu mehrdimensionalen Fähigkeiten; in der Praxis der Konstruktion psychologischer Tests finden sich dabei vor allem Anwendungen des sog. Linearen Logistischen Test-Modells (von Fischer, LLTM).