# Trilineare Koordinaten

Trilineare Koordinaten (genauer: homogene trilineare Koordinaten) sind in der Dreiecksgeometrie ein von Julius Plücker eingeführtes Hilfsmittel, um die Lage eines Punktes bezüglich eines Dreiecks zu beschreiben.

## Definition und Schreibweise

Gegeben sei ein Dreieck ABC. Für einen beliebigen Punkt P der Zeichenebene heißen drei reelle Zahlen $x$, $y$ und $z$ (homogene) trilineare Koordinaten von P, wenn es eine von 0 verschiedene reelle Zahl $r$ gibt, sodass
    $x\,=\,rd_{BC};\quad y\,=\,rd_{CA};\quad z\,=\,rd_{AB}$
gilt. Dabei bezeichnen $d_{BC}$, $d_{CA}$ und $d_{AB}$ die vorzeichenbehafteten Abstände des Punktes P von den Geraden BC, CA bzw. AB. Die Größe $d_{BC}$ erhält positives Vorzeichen, wenn P auf derselben Seite von BC liegt wie die Ecke A, und negatives Vorzeichen, wenn sich P und A auf verschiedenen Seiten von BC befinden. Entsprechend werden die beiden anderen Vorzeichen festgelegt.
Die Gesamtheit der trilinearen Koordinaten eines Punktes wird entweder als geordnetes Tripel $(x,y,z)$ geschrieben oder in der Form $x:y:z$.
Trilineare Koordinaten sind nicht eindeutig definiert: Multiplikation mit einer beliebigen reellen Zahl ungleich 0 liefert wieder trilineare Koordinaten des gegebenen Punktes.

## Beispiele

* Die Ecken A, B und C des gegebenen Dreiecks haben die trilinearen Koordinaten $(1,0,0)$, $(0,1,0)$ bzw. $(0,0,1)$.
* Der Inkreismittelpunkt eines Dreiecks hat die trilinearen Koordinaten $(1,1,1)$, da er von allen drei Seiten des Dreiecks den gleichen Abstand hat.
* Für den Schwerpunkt eines Dreiecks lauten die trilinearen Koordinaten gleichwertig $\left({\frac {1}{a}},\,{\frac {1}{b}},\,{\frac {1}{c}}\right)$ oder $\left(bc,\,ca,\,ab\right)$ oder $\left(\csc \alpha ,\,\csc \beta ,\,\csc \gamma \right)$. Dabei stehen $a$, $b$, $c$ für die Seitenlängen, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ für die Größen der Innenwinkel und $\csc$ für den Cosecans.

## Zusammenhang mit den baryzentrischen Koordinaten

Zwischen den trilinearen Koordinaten und den in der Dreiecksgeometrie ebenfalls häufig verwendeten baryzentrischen Koordinaten besteht ein einfacher Zusammenhang: Sind die trilinearen Koordinaten durch $\left(x,y,z\right)$ gegeben, so erhält man als baryzentrische Koordinaten $\left(ax,by,cz\right)$, wobei $a$, $b$ und $c$ für die Seitenlängen stehen.

## Berechnen der dritten Koordinate

Insbesondere sind die realen vorzeichenbehafteten Abstände geeignete Werte für die trilinearen Koordinaten, also $(d_{BC},d_{CA},d_{AB})$, man spricht dann von normalisierten trilinearen Koordinaten. Die zugehörigen baryzentrischen Koordinaten $(a\cdot d_{BC},b\cdot d_{CA},c\cdot d_{AB})$ genügen der Bedingung (das ist der Fall $k=1$ bei Punkt (6) und (7) in):
    $a\cdot d_{BC}+b\cdot d_{CA}+c\cdot d_{AB}=2\cdot {\text{Fläche}}(\triangle ABC)$
Sind zwei der drei Abstände bekannt, ist es mithilfe der obigen Formel problemlos möglich, den dritten Wert zu berechnen.
Die bekanntesten Spezialfälle:
* Inkreismittelpunkt, trilinear $(\rho ,\rho ,\rho )$: Umfang des Dreiecks * Radius des Inkreises = 2 * Fläche des Dreiecks.
* Eckpunkte, trilinear $(h_{a},0,0),(0,h_{b},0),(0,0,h_{c})$: Grundseite * Höhe = 2 * Fläche des Dreiecks.

## Formeln

Trilineare Koordinaten ermöglichen in vielen Fällen die Anwendung algebraischer Methoden in der Dreiecksgeometrie. Beispielsweise sind drei Punkte $P_{1}$, $P_{2}$ und $P_{3}$ mit den trilinearen Koordinaten
    $x_{1}:y_{1}:z_{1}$
    $x_{2}:y_{2}:z_{2}$
    $x_{3}:y_{3}:z_{3}$
genau dann kollinear, wenn die Determinante
    $D=\left|{\begin{matrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\\x_{3}&y_{3}&z_{3}\end{matrix}}\right|$
gleich 0 ist. Die zu diesem Satz duale Aussage ist ebenfalls richtig: Drei Geraden, die durch die Gleichungen
    $x_{1}\alpha +y_{1}\beta +z_{1}\gamma =0$,
    $x_{2}\alpha +y_{2}\beta +z_{2}\gamma =0$,
    $x_{3}\alpha +y_{3}\beta +z_{3}\gamma =0$
gegeben sind, haben genau dann einen gemeinsamen Punkt, wenn $D=0$ gilt.