# Diskrete orthogonale Polynome

Diskrete orthogonale Polynome sind orthogonale Polynome bezüglich eines diskreten Maßes. Solche Polynome findet man unter anderem in der Stochastik und in der statistischen Physik, wo man mit diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu tun hat.
Beispiele sind die Meixner-Polynome, die Krawtschuk-Polynome, die diskreten Tschebyscheff-Polynome, die Hahn-Polynome und die Charlier-Polynome.

## Diskrete orthogonale Polynome
### Konstruktion eines diskreten Maßes mit Gewichtsfunktion

Sei
* $S\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}$, eine natürliche Zahl oder Unendlich,
* $a_{0},a_{1},a_{2},\dots$ eine positive Folge, das heißt $a_{i}>0\;\forall i$,
* $s_{0},s_{1},s_{2},\dots$ eine Folge reeller Zahlen, welche den Träger bilden werden,
* ${\mathcal {A}}$ eine σ-Algebra, welche mindestens alle Singletons $\{s_{i}\}$ enthält,
* $\delta _{s_{i}}$ das Diracmaß bezüglich $s_{i}$ auf der σ-Algebra ${\mathcal {A}}$, das bedeutet für eine Menge $A\in {\mathcal {A}}$ ist dieses Maß wie folgt definiert $\delta _{s_{i}}(A):=1_{A}(s_{i})={\begin{cases}1,&{\text{falls }}s_{i}\in A,\\0&{\text{sonst}}\end{cases}}$.
Nun definieren wir ein diskretes Maß auf ${\mathcal {A}}$ mit Hilfe der Diracmaße und der beiden Folgen
    $\mu =\sum \limits _{n=0}^{S}a_{n}\delta _{s_{n}}.$
Weiter soll gelten, dass $\mu$ endliche Momente hat (das bedeutet wenn eine Zufallsvariable $X\sim \mu$, dann gilt $\mathbb {E} [|X|^{n}]<\infty$ für alle $n=1,2,\dots$).
Für die Folge $(a_{n})$ können wir nun eine Gewichtsfunktion $\omega :\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{\geq 0}$ durch
    $\omega (s_{n})=a_{n}$
definieren.
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit wählen wir nun als Träger $s_{n}:=n$ für alle $n=0,1,2,\dots ,S$, dann ist die Gewichtsfunktion durch
    $\omega (n)=a_{n}$
und das diskrete Maß durch
    $\mu =\sum \limits _{n=0}^{S}a_{n}\delta _{n}.$
gegeben.

### Diskrete orthogonale Polynome

Eine Familie von orthogonalen Polynome $(p_{n}(x))_{n\geq 0}$ heißt diskret, wenn sie orthogonal bezüglich eines diskreten Maßes $\mu$ mit Gewichtsfunktion $\omega (x)$ sind, das heißt wenn
    $\sum \limits _{x=0}^{S}p_{n}(x)p_{m}(x)\omega (x)=\kappa _{n}\delta _{n,m}$
erfüllt ist, wobei $\delta _{n,m}$ das Kronecker-Delta bezeichnet. Die linke Seite dieser Formel beschreibt ein Skalarprodukt
    $\langle p_{n},p_{m}\rangle :=\sum \limits _{x=0}^{S}p_{n}(x)p_{m}(x)\omega (x)$

### Beispiele

* Meixner-Polynome (Negative Binomialverteilung):
       $M_{n}(x;\beta ,c)=_{2}F_{1}\left({\begin{matrix}-n,-x\\\beta \end{matrix}}{\bigg \vert }1-{\frac {1}{c}}\right),\quad$ $S=\infty ,\quad$ $\omega (x)={\frac {(\beta )_{x}}{x!}}c^{x}\quad$ und $\quad \kappa _{n}={\frac {n!(1-c)^{-\beta }}{c^{n}(\beta )_{n}}},$
    wobei die Orthogonalität nur für $\beta >0$ und $0<c<1$ gilt.
* Charlier-Polynome (Poisson-Verteilung):
       $C_{n}(x;a):=_{2}F_{0}\left({\begin{matrix}-n,-x\\-\end{matrix}}{\bigg \vert }-{\frac {1}{a}}\right),\quad$ $S=\infty ,\quad$ $\omega (x)={\frac {a^{x}}{x!}}\quad$ und $\quad \kappa _{n}={\frac {n!}{a^{n}}}e^{a}.$

### Sonstiges

Sei $u(x)$ eine Funktion definiert durch die Beziehung
    $\omega (x+1)-\omega (x)=-u(x+1)\omega (x+1).$
Betrachtet man allgemeine orthogonale Polynome mit einer Gewichtsfunktion $v(x)$ und sei $f(x)$ eine Funktion definiert durch die Beziehung
    $v(x)=\exp(-f(x)),$
so entspricht $u(x)$ dem diskreten Pendant der Funktion $f(x)$ respektive $-\log(v(x))$.

## Differenzengleichung

Es lässt sich beweisen, dass jedes diskrete orthogonale Polynom einer Differenzengleichung zweiter Ordnung genügt, wenn das Maß einen Träger über einer Halbgeraden mit äquidistanten Punkt besitzt (d. h. ein Gitter).

### Annahmen

Sei $\{p_{n}(x)\}$ eine Familie orthogonaler Polynome bezüglich eines diskreten Maßes $\mu$ mit Träger
    ${\mathcal {T}}=\{s,s+1,s+2,\dots ,t\}\subset \mathbb {R} ,\quad s\in \mathbb {R} ,\;t\in \mathbb {R} \cup \{\infty \}.$
Wir nehmen an, dass $p_{n}$ gerade vom Grad $n$ ist und die Gewichtsfunktion $\omega (l)$ normalisiert ist, d. h. es gilt
    $\sum \limits _{l=s}^{t}p_{m}(l)p_{n}(l)\omega (l)=\kappa _{m}\delta _{m,n}\quad$ und $\quad \sum \limits _{l=s}^{t}\omega (l)=1.$
Weiter nehmen wir an, dass auf $\mathbb {R} \setminus {\mathcal {T}}$ die Gewichtsfunktion $\omega (l)$ nicht konstant $0$ ist, aber für die Randpunkt gilt $\omega (s-1)=0$ und $\omega (t+1)=0$.
Weiter notieren wir mit $\Delta$ den Differenzoperator $\Delta f:=f(x+1)-f(x).$ Die Funktion $u(x)$ haben wir im vorherigen Abschnitt definiert.

### Aussage des Theorems

Sei
    $p_{n}=\gamma _{n}x^{n}+\dots$
ein diskretes orthogonales Polynom, welches die vorherigen Annahmen erfüllt. Dann gilt
    $\Delta p_{n}(x)=A_{n}(x)p_{n-1}(x)-B_{n}(x)p_{n}(x)$
wobei $A_{n}$ und $B_{n}$ wie folgt definiert sind
    $A_{n}(x)={\frac {\gamma _{n-1}}{\gamma _{n}\kappa _{n-1}}}{\frac {p_{n}(t+1)p_{n}(t)}{(t-x)}}\omega (t)+{\frac {\gamma _{n-1}}{\gamma _{n}\kappa _{n-1}}}\sum \limits _{l=s}^{t}p_{n}(l)p_{n}(l-1){\frac {u(x+1)-u(l)}{(x+1-l)}}\omega (l)$
und
    $B_{n}(x)={\frac {\gamma _{n-1}}{\gamma _{n}\kappa _{n-1}}}{\frac {p_{n}(t+1)p_{n-1}(t)}{(t-x)}}\omega (t)+{\frac {\gamma _{n-1}}{\gamma _{n}\kappa _{n-1}}}\sum \limits _{l=s}^{t}p_{n}(l)p_{n-1}(l-1){\frac {u(x+1)-u(l)}{(x+1-l)}}\omega (l).$