# Summe von drei Kubikzahlen

In der Mathematik bzw. der Zahlentheorie ist es ein ungelöstes Problem, unter welchen Voraussetzungen eine ganze Zahl als Summe von drei Kubikzahlen darstellbar ist. So lässt sich die Zahl $10$ als Summe der drei Kubikzahlen $1^{3}=1$, $\,1^{3}=1$ und $2^{3}=8$ darstellen, für die Zahl $13$ existiert dagegen nachweislich keine solche Zerlegung. Ist also $n$ eine beliebige ganze Zahl, so geht es um die Lösbarkeit der diophantischen Gleichung $x^{3}+y^{3}+z^{3}=n$.
Die Lösungen dieser diophantischen Gleichung für gegebene $n$ ist ein seit 200 Jahren (1825) ungelöstes Problem der Zahlentheorie. Seit mehr als 70 Jahren sind durch Einsatz von Computern und Brute-Force-Suche viele einzelne Lösungen (bis in den Bereich von 10$^{20}$) gefunden worden, eine grundlegend analytische Lösung steht aber weiterhin aus.

## Lösungen der Gleichung
### Darstellungen für n = 0

Die einfachste triviale Darstellung für $n=0$ als Summe dreier Kubikzahlen lautet:
    $0=0^{3}+0^{3}+0^{3}$.
Weitere triviale Darstellungen lauten:
    $0=0^{3}+(-a)^{3}+\;a^{3}$  mit  $a\in \mathbb {Z}$.
Nichttriviale Darstellungen existieren nicht.
    Beweis:
       Angenommen, es existiert eine nichttriviale Darstellung der Form $0=x^{3}+y^{3}+z^{3}$ mit $x,y,z\not =0$ . Genau eine oder zwei der Variablen $x,y,z$ müssen negativ sein, denn sie können nicht alle drei gleichzeitig positiv oder negativ sein. Ohne Bedingung der Allgemeinheit kann angenommen werden, dass $x>0,y>0,z<0$ (Im Fall von zwei negativen Variablen, betrachtet man die Lösung $-x,-y,-z$). Bringt man $z^{3}$ auf die rechte Seite, erhält man mit $x^{3}+y^{3}=-z^{3}$ eine ganzzahlige Lösung für die Gleichung $x^{3}+y^{3}=z'^{3}$ mit $z'=-z>0$. Dies steht aber im Widerspruch zum auf Kubikzahlen angewendeten Großen Fermatscher Satz, der besagt, dass die Gleichung $x^{3}+y^{3}=z^{3}$ für positive ganze Zahlen $x,y,z\in \mathbb {N}$ keine Lösungen besitzt. Somit muss die Annahme fallengelassen werden, was bedeutet, dass es keine nichttriviale Darstellung der Form $x^{3}+y^{3}+z^{3}=0$ geben kann.  ∎

### Darstellungen für n = 1

Die triviale Darstellung für $n=1$ als Summe dreier Kubikzahlen lautet:
    $1=0^{3}+0^{3}+1^{3}$.
Neben dieser existieren aber auch weitere Darstellungen, wie z. B.:
    $1=(-6)^{3}+(-8)^{3}+\;9^{3}$
    $1=11980^{3}+\;131769^{3}+(-131802)^{3}$.
Neben diesen Einzellösungen existieren aber auch ganze Familien von Darstellungen. Die einfachste lautet:
    $1=c^{3}+(-c)^{3}+1^{3}$  mit  $c\in \mathbb {Z}$.
Zwei kompliziertere Lösungsfamilien wurden im Jahr 1936 vom Mathematiker Kurt Mahler entdeckt:
    $1=(9c^{4})^{3}+(\pm 3c-9c^{4})^{3}+(1\mp 9c^{3})^{3}$  mit  $c\in \mathbb {Z}$
    $\ \ =\underbrace {\color {gray}{\bcancel {729c^{12}}}} _{4}\quad \pm \underbrace {\color {gray}{\bcancel {27c^{3}}}} _{1}-\underbrace {\color {gray}{\bcancel {243c^{6}}}} _{2}\pm \underbrace {\color {gray}{\bcancel {729c^{9}}}} _{3}-\underbrace {\color {gray}{\bcancel {729c^{12}}}} _{4}\quad +1\mp \underbrace {\color {gray}{\bcancel {27c^{3}}}} _{1}+\underbrace {\color {gray}{\bcancel {243c^{6}}}} _{2}\mp \underbrace {\color {gray}{\bcancel {729c^{9}}}} _{3}=1$
wie auch folgende:
    $1=(-135c^{4}+3888c^{10})^{3}+(3c-81c^{4}-1296c^{7}-3888c^{10})^{3}+(1-9c^{3}+648c^{6}+3888c^{9})^{3}$  mit  $c\in \mathbb {Z}$.
Für $n=1$ lieferte Lehmer unendlich viele polynomische Lösungsfamilien. Neben
    $(x_{c,0},y_{c,0},z_{c,0})=(9c^{4},+3c-9c^{4},1-9c^{3})$,
    $(x_{c,1},y_{c,1},z_{c,1})=(9c^{4},-3c-9c^{4},1+9c^{3})$
lassen sich für jedes einzelne $c\in \mathbb {Z}$ unendlich viele weitere Tripel $(x_{c,k},y_{c,k},z_{c,k})$ mit $k\geq 2$ rekursiv mittels
    $x_{c,k}=2\,(216c^{6}-1)x_{c,k-1}-x_{c,k-2}-108c^{4}$,
    $y_{c,k}=2\,(216c^{6}-1)y_{c,k-1}-y_{c,k-2}-108c^{4}$ und
    $z_{c,k}=2\,(216c^{6}-1)z_{c,k-1}-z_{c,k-2}+216c^{6}+4$
konstruieren. Für $k=0$ und $1$ erhält man die einfachen Lösungen von Kurt Mahler, für $k=2$ die kompliziertere.

### Darstellungen für n = 2

Die triviale Darstellung für $n=2$ als Summe dreier Kubikzahlen lautet:
    $2=0^{3}+1^{3}+1^{3}$.
Eine im Jahr 1908 entdeckte nichttriviale Darstellungs-Familie lautet
    $2=(1+6c^{3})^{3}+(1-6c^{3})^{3}+(-6c^{2})^{3}$  mit  $c\in \mathbb {Z}$.
Weitere bekannte Darstellungen, die nicht der obigen Familie angehören, sind:
    $2=$$1.214.928^{3}\ \$$+$$3.480.205^{3}\ \$$+$$(-3.528.875)^{3}$ $2=$$(-25.282.289.375)^{3}$$+$$(-33.071.554.596)^{3}$$+$$37.404.275.617^{3}\ \$ $2=$$1.490.220.318.001^{3}\ \$$+$$3.737.830.626.090^{3}\ \$$+$$(-3.815.176.160.999)^{3}$

### Darstellungen für n = 3

Bis September 2019 waren die einzigen bekannten Darstellungen für $n=3$ als Summe dreier Kubikzahlen folgende:
    $3=1^{3}+1^{3}+\quad 1^{3}$  und
    $3=4^{3}+4^{3}+(-5)^{3}$
Überraschenderweise wurde im September 2019 eine weitere Darstellung entdeckt:
    $3=(-472.715.493.453.327.032)^{3}+(-569.936.821.113.563.493.509)^{3}+\;569.936.821.221.962.380.720^{3}$
Damit konnte schließlich eine 1953 von L. Mordell gestellte Frage nach 66 Jahren (47 Jahre nach seinem Tod) beantwortet werden:
    Are there any solutions for  n = 3  other than permutations of  (1, 1, 1)  and  (4, 4, −5) ?
Allerdings steht nach Kenntnis dieser drei Lösungen die Frage
    Gibt es mehr als diese drei Lösungen ?
im Raum, denn es ist weiterhin unbekannt, ob es nun drei, vier, zweiundvierzig, endlich viele oder unendlich viele Darstellungen für $n=3$ gibt oder ob die Frage im Sinne von Gödel nicht entscheidbar ist.

### Darstellungen für n = 4 und 5

Für $n=4$ und $5$ gibt es keine Lösungen.

### Darstellungen für n = 6

Es gibt mehrere Darstellungen; die für $|x|\leq |y|\leq |z|\leq 1000$ lauten:
    $6=$$(-1)^{3}$$+$$(-1)^{3}$$+$$2^{3}$ $6=$$(-43)^{3}$$+$$(-58)^{3}$$+$$65^{3}$ $6=$$(-55)^{3}$$+$$(-235)^{3}$$+$$236^{3}$ $6=$$(-205)^{3}$$+$$(-637)^{3}$$+$$644^{3}$

### Darstellungen für n = 7

Es gibt mehrere Darstellungen; die für $|x|\leq |y|\leq |z|\leq 1000$ lauten:
    $7=$$0^{3}\ \$$+$$(-1)^{3}$$+$$2^{3}\ \$ $7=$$32^{3}\ \$$+$$104^{3}\ \$$+$$(-105)^{3}$ $7=$$44^{3}\ \$$+$$168^{3}\ \$$+$$(-169)^{3}$

### Konstruierbare Lösungen für n = k$^3$m

Lässt sich $n$ als Produkt einer Kubikzahl $k^{3}$ und einer Zahl $m$ darstellen, erbt diese Zahl $n$ alle Lösungen der Zahl $m$ auf folgende Weise:
    $m=x^{3}+y^{3}+z^{3}\quad \longrightarrow \quad n=k^{3}m=k^{3}(x^{3}+y^{3}+z^{3})\quad \longrightarrow \quad n=k^{3}m=(kx)^{3}+(ky)^{3}+(kz)^{3}$

#### Beispiel

    $1=(-6)^{3}+(-8)^{3}+\;9^{3}\quad \longrightarrow \quad 8=(-12)^{3}+(-16)^{3}+\;18^{3}$

### Jeweils kleinste Darstellungen für n = 0 bis 134

Folgende Tabelle enthält für $0\leq n\leq 134,\ n\in \mathbb {N} _{0}$ die jeweils kleinsten (in Klammern, kursiv und in blau, wenn existent und abweichend, die kleinsten nichttrivialen) Lösungen der Gleichung $n=x^{3}+y^{3}+z^{3}$ mit $|x|\leq |y|\leq |z|$, $\ x,y,z\in \mathbb {Z}$:
$0\leq n\leq 134,\ n\in \mathbb {N} _{0}$
$n=x^{3}+y^{3}+z^{3}$
$|x|\leq |y|\leq |z|$
$\ x,y,z\in \mathbb {Z}$
für $0\leq n\leq 26$ :
| $n$ | $x$ | $y$ | $z$ |
| 0 | 0  (N) | 0  (N) | 0  (N) |
| 1 | 0  (−1) | 0  (1) | 1  (1) |
| 2 | 0  (−5) | 1  (−6) | 1  (7) |
| 3 | 1 | 1 | 1 |
| 4 | keine Lösung N | keine Lösung N | keine Lösung N |
| 5 | keine Lösung N | keine Lösung N | keine Lösung N |
| 6 | −1 | −1 | 2 |
| 7 | 0  (32) | −1  (104) | 2  (−105) |
| 8 | 0  (−1) | 0  (1) | 2  (2) |
| 9 | 0  (−52) | 1  (−216) | 2  (217) |
| 10 | 1 | 1 | 2 |
| 11 | −2 | −2 | 3 |
| 12 | 7 | 10 | −11 |
| 13 | keine Lösung N | keine Lösung N | keine Lösung N |
| 14 | keine Lösung N | keine Lösung N | keine Lösung N |
| 15 | −1 | 2 | 2 |
| 16 | 0  (−10) | 2  (−12) | 2  (14) |
| 17 | 1 | 2 | 2 |
| 18 | −1 | −2 | 3 |
| 19 | 0  (−14) | −2  (−16) | 3  (19) |
| 20 | 1 | −2 | 3 |
| 21 | −11 | −14 | 16 |
| 22 | keine Lösung N | keine Lösung N | keine Lösung N |
| 23 | keine Lösung N | keine Lösung N | keine Lösung N |
| 24 | 2 | 2 | 2 |
| 25 | −1 | −1 | 3 |
| 26 | 0  (161) | −1  (297) | 3  (−312) |
für $27\leq n\leq 53$ :
| $n$ | $x$ | $y$ | $z$ |
| 27 | 0  (−1) | 0  (1) | 3  (3) |
| 28 | 0  (13) | 1  (14) | 3  (−17) |
| 29 | 1 | 1 | 3 |
| 30 | −283059965 | −2218888517 | 2220422932 |
| 31 | Es existiert keine Lösung. N | Es existiert keine Lösung. N | Es existiert keine Lösung. N |
| 32 | Es existiert keine Lösung. N | Es existiert keine Lösung. N | Es existiert keine Lösung. N |
| 33 | −2736111468807040 | −8778405442862239 | 8866128975287528 |
| 34 | −1 | 2 | 3 |
| 35 | 0  (−8) | 2  (−13) | 3  (14) |
| 36 | 1 | 2 | 3 |
| 37 | 0  (37) | −3  (50) | 4  (−56) |
| 38 | 1 | −3 | 4 |
| 39 | 117367 | 134476 | −159380 |
| 40 | Es existiert keine Lösung. N | Es existiert keine Lösung. N | Es existiert keine Lösung. N |
| 41 | Es existiert keine Lösung. N | Es existiert keine Lösung. N | Es existiert keine Lösung. N |
| 42 | 12602123297335631 | 80435758145817515 | −80538738812075974 |
| 43 | 2 | 2 | 3 |
| 44 | −5 | −7 | 8 |
| 45 | 2 | −3 | 4 |
| 46 | −2 | 3 | 3 |
| 47 | 6 | 7 | −8 |
| 48 | −2 | −2 | 4 |
| 49 | Es existiert keine Lösung. N | Es existiert keine Lösung. N | Es existiert keine Lösung. N |
| 50 | Es existiert keine Lösung. N | Es existiert keine Lösung. N | Es existiert keine Lösung. N |
| 51 | 602 | 659 | −796 |
| 52 | 23961292454 | 60702901317 | −61922712865 |
| 53 | −1 | 3 | 3 |
für $54\leq n\leq 80$ :
| $n$ | $x$ | $y$ | $z$ |
| 54 | 0  (−7) | 3  (−11) | 3  (12) |
| 55 | 1 | 3 | 3 |
| 56 | 0  (−11) | −2  (−21) | 4  (22) |
| 57 | 1 | −2 | 4 |
| 58 | Es existiert keine Lösung. N | Es existiert keine Lösung. N | Es existiert keine Lösung. N |
| 59 | Es existiert keine Lösung. N | Es existiert keine Lösung. N | Es existiert keine Lösung. N |
| 60 | −1 | −4 | 5 |
| 61 | 0  (668) | −4  (845) | 5  (−966) |
| 62 | 2 | 3 | 3 |
| 63 | 0  (−4) | −1  (−6) | 4  (7) |
| 64 | 0  (−1) | 0  (1) | 4  (4) |
| 65 | 0  (85) | 1  (91) | 4  (−111) |
| 66 | 1 | 1 | 4 |
| 67 | Es existiert keine Lösung. N | Es existiert keine Lösung. N | Es existiert keine Lösung. N |
| 68 | Es existiert keine Lösung. N | Es existiert keine Lösung. N | Es existiert keine Lösung. N |
| 69 | 2 | −4 | 5 |
| 70 | 11 | 20 | −21 |
| 71 | −1 | 2 | 4 |
| 72 | 0  (7) | 2  (9) | 4  (−10) |
| 73 | 1 | 2 | 4 |
| 74 | 66229832190556 | 283450105697727 | −284650292555885 |
| 75 | 4381159 | 435203083 | −435203231 |
| 76 | Es existiert keine Lösung. N | Es existiert keine Lösung. N | Es existiert keine Lösung. N |
| 77 | Es existiert keine Lösung. N | Es existiert keine Lösung. N | Es existiert keine Lösung. N |
| 78 | 26 | 53 | −55 |
| 79 | −19 | −33 | 35 |
| 80 | 2 | 2 | 4 |
für $81\leq n\leq 107$ :
| $n$ | $x$ | $y$ | $z$ |
| 81 | 3 | 3 | 3 |
| 82 | −11 | −11 | 14 |
| 83 | −2 | 3 | 4 |
| 84 | −8241191 | −41531726 | 41639611 |
| 85 | Es existiert keine Lösung. N | Es existiert keine Lösung. N | Es existiert keine Lösung. N |
| 86 | Es existiert keine Lösung. N | Es existiert keine Lösung. N | Es existiert keine Lösung. N |
| 87 | −1972 | −4126 | 4271 |
| 88 | 3 | −4 | 5 |
| 89 | 6 | 6 | −7 |
| 90 | −1 | 3 | 4 |
| 91 | 0  (192) | 3  (364) | 4  (−381) |
| 92 | 1 | 3 | 4 |
| 93 | −5 | −5 | 7 |
| 94 | Es existiert keine Lösung. N | Es existiert keine Lösung. N | Es existiert keine Lösung. N |
| 95 | Es existiert keine Lösung. N | Es existiert keine Lösung. N | Es existiert keine Lösung. N |
| 96 | 14 | 20 | −22 |
| 97 | −1 | −3 | 5 |
| 98 | 0  (9) | −3  (14) | 5  (−15) |
| 99 | 2 | 3 | 4 |
| 100 | −3 | −6 | 7 |
| 101 | −3 | 4 | 4 |
| 102 | 118 | 229 | −239 |
| 103 | Es existiert keine Lösung. N | Es existiert keine Lösung. N | Es existiert keine Lösung. N |
| 104 | Es existiert keine Lösung. N | Es existiert keine Lösung. N | Es existiert keine Lösung. N |
| 105 | −4 | −7 | 8 |
| 106 | 2 | −3 | 5 |
| 107 | −28 | −48 | 51 |
für $108\leq n\leq 134$ :
| $n$ | $x$ | $y$ | $z$ |
| 108 | −948 | −1165 | 1345 |
| 109 | −2 | −2 | 5 |
| 110 | 109938919 | 16540290030 | −16540291649 |
| 111 | 148 | 1039 | −1040 |
| 112 | Es existiert keine Lösung. N | Es existiert keine Lösung. N | Es existiert keine Lösung. N |
| 113 | Es existiert keine Lösung. N | Es existiert keine Lösung. N | Es existiert keine Lösung. N |
| 114 | derzeit keine Lösung bekannt | derzeit keine Lösung bekannt | derzeit keine Lösung bekannt |
| 115 | 8 | 11 | −12 |
| 116 | −1 | −2 | 5 |
| 117 | 0  (−555) | −2  (−896) | 5  (962) |
| 118 | 3 | 3 | 4 |
| 119 | −2 | −6 | 7 |
| 120 | 946 | 1531 | −1643 |
| 121 | Es existiert keine Lösung. N | Es existiert keine Lösung. N | Es existiert keine Lösung. N |
| 122 | Es existiert keine Lösung. N | Es existiert keine Lösung. N | Es existiert keine Lösung. N |
| 123 | −1 | −1 | 5 |
| 124 | 0  (1865) | −1  (46500) | 5  (−46501) |
| 125 | 0  (−1) | 0  (1) | 5  (5) |
| 126 | 0  (−1) | 1  (−6) | 5  (7) |
| 127 | 1 | 1 | 5 |
| 128 | 1 | −6 | 7 |
| 129 | 1 | 4 | 4 |
| 130 | Es existiert keine Lösung. N | Es existiert keine Lösung. N | Es existiert keine Lösung. N |
| 131 | Es existiert keine Lösung. N | Es existiert keine Lösung. N | Es existiert keine Lösung. N |
| 132 | 95309 | 101783 | −124294 |
| 133 | 0  (14) | 2  (29) | 5  (−30) |
| 134 | 1 | 2 | 5 |

## Chronologie der Entdeckungen
### 1825

    S. Ryley, ein Schullehrer aus Leeds, beschäftigt sich mit dem Thema und findet eine generische Lösung für rationale Zahlen.

### 1908

    A. S. Verebrusov findet parametrische, ganzzahlige Lösungen für $n=2$.

### 1936

    Kurt Mahler findet parametrische, ganzzahlige Lösungen für $n=1$.

### 1942 und 1953

    Louis Joel Mordell beschäftigt sich mit dem Thema. Die Ergebnisse findet man in seinem Buch „Diophantine Equations (1969)“

### 1954

    Miller und Woollet fanden 69 der 78 möglichen Lösungen für $1\leq n\leq 100$ per Brute-Force-Suche aller Kombinationen $|x|\leq |y|\leq |z|\leq 3164$.
    Die Berechnungen wurden auf einer Electronic Delay Storage Automatic Calculator in Cambridge durchgeführt.
    Unbekannt blieben die Lösungen der neun Zahlen $30,\ 33,\ 39,\ 42,\ 52,\ 74,\ 75,\ 84$ und $87$.
    Die letzten 5 der 69 gefundenen Zerlegungen lauten:
       $70=$$11^{3}\ \$$+$$20^{3}\ \$$+$$(-21)^{3}$ $96=$$14^{3}\ \$$+$$20^{3}\ \$$+$$(-22)^{3}$ $79=$$(-19)^{3}$$+$$(-33)^{3}$$+$$35^{3}\ \$ $78=$$26^{3}\ \$$+$$53^{3}\ \$$+$$(-55)^{3}$ $51=$$602^{3}\ \$$+$$659^{3}\ \$$+$$(-796)^{3}$

### 1963

    Gardiner, Lazarus und Stein suchten weitere Lösungen für $1\leq n\leq 1000$ mit $|x|\leq |y|\leq 2^{16}$ und $0\leq z-x\leq 2^{16}$.
    Für $n\leq 100$ fanden sie folgende weitere Lösung:
       $87=(-1.972)^{3}+(-4.126)^{3}+\;4.271^{3}$
    Für $n\leq 1000$ fanden sie 708 der 778 Lösungen.
    Die letzten 5 der 708 gefundenen Zerlegungen lauten:
       $978=$$8.666^{3}\ \$$+$$40.169^{3}\ \$$+$$(-40.303)^{3}$ $402=$$37.685^{3}\ \$$+$$41.378^{3}\ \$$+$$(-49.915)^{3}$ $583=$$(-17.419)^{3}$$+$$(-48.223)^{3}$$+$$48.969^{3}\ \$ $227=$$24.579^{3}\ \$$+$$51.748^{3}\ \$$+$$(-53.534)^{3}$ $971=$$7.423^{3}\ \$$+$$55.643^{3}\ \$$+$$(-55.687)^{3}$

### 1992

    Heath-Brown, Lioen und te Riele fanden folgende weitere Lösung:
       $39=\;117.367^{3}+\;134.476^{3}+(-159.380)^{3}$

### 1994

    Conn und Vaseršteĭn fanden folgende weitere Lösung:
       $84=(-8.241.191)^{3}+(-41.531.726)^{3}+\;41.639.611^{3}$

### 1999

    Durch Finden weiterer drei Lösungen waren für $n\leq 100$ bereits für 75 verschiedene $n$ Lösungen bekannt. Die neuen Lösungen waren:
       $75=$$4.381.159^{3}\ \$$+$$435.203.083^{3}\ \$$+$$(-435.203.231)^{3}$ $30=$$(-283.059.965)^{3}$$+$$(-2.218.888.517)^{3}$$+$$2.220.422.932^{3}\ \$ $52=$$23.961.292.454^{3}\ \$$+$$60.702.901.317^{3}\;$$+$$(-61.922.712.865)^{3}$
    Damit fehlten nur noch die Lösungen für $n=33,\ 42$ und $74$.
    Für $n\leq 1000$ fanden sie 751 der 778 Lösungen.

### 2007

    fehlten nur noch für folgende $n$ zwischen $1$ und $1000$ obige Darstellungen:
       $33,\ 42,\ 74,\ \ 114,\ 165,\ 390,\ 579,\ 627,\ 633,\ 732,\ 795,\ 906,\ 921$ und $975$

### 26. April 2016

    wurde das Problem für $n=74$ von Sander Huisman gelöst:
       $74=\;66.229.832.190.556^{3}+\;283.450.105.697.727^{3}+(-284.650.292.555.885)^{3}$

### 28. April 2019

    wurde das Problem für $n=33$ vom Mathematiker Andrew Booker mittels massivem Computer-Einsatz gelöst:
       $33=(-2.736.111.468.807.040)^{3}+(-8.778.405.442.862.239)^{3}+\;8.866.128.975.287.528^{3}$

### 6. September 2019

    wurde das Problem für die letzte verbliebene Zahl $n\leq 100$, nämlich für $n=42$ ebenfalls von Andrew Booker und dem Mathematiker Andrew Sutherland gelöst:
       $42=\;12.602.123.297.335.631^{3}+\;80.435.758.145.817.515^{3}+(-80.538.738.812.075.974)^{3}$
    Da $n=42$ das letzte ungelöste Problem bis $n\leq 100$ für diese Art von Gleichung war und das Ergebnis „42“ schon vorher feststand, wurde spaßeshalber ein Zusammenhang mit der Antwort 42 aus der mehrfach verfilmten Roman- und Hörspielreihe Per Anhalter durch die Galaxis des englischen Autors Douglas Adams hergestellt.
    Die Suche findet dabei auf bis zu einer halben Million Rechnern von Freiwilligen statt.

### 24. Oktober 2019

    wurden, ebenfalls von Andrew Booker und Andrew Sutherland, drei weitere Fälle gelöst:
       $165=$$\;98.422.560.467.622.814^{3}$$+$$\;383.344.975.542.639.445^{3}$$+$$(-385.495.523.231.271.884)^{3}$ $795=$$\;2.337.348.783.323.923^{3}$$+$$\;14.197.965.759.741.571^{3}$$+$$(-14.219.049.725.358.227)^{3}$ $906=$$\;35.961.979.615.356.503^{3}$$+$$\;72.054.089.679.353.378^{3}$$+$$(-74.924.259.395.610.397)^{3}$
    Eine Darstellung als Summe von drei Kubikzahlen war somit nur noch für die folgenden acht Werte für $n\leq 1000$ unbekannt:
       $114,\ 390,\ 579,\ 627,\ 633,\ 732,\ 921$ und $975$

### 5. Januar 2021

    wurde, ebenfalls von Andrew Booker und Andrew Sutherland, ein weiterer Fall gelöst:
       $759=(-6.941.531.883.806.363.291)^{3}+(-143.070.303.856.622.169.975)^{3}+\;143.075.750.505.019.222.645^{3}$
    Eine Darstellung als Summe von drei Kubikzahlen ist somit nur noch für die folgenden sieben Werte für $n\leq 1000$ unbekannt (Stand: 5. Januar 2021):
       $114,\ 390,\ 627,\ 633,\ 732,\ 921$ und $975$
Momentan ist also die Gleichung $114=x^{3}+y^{3}+z^{3}$ diejenige mit dem kleinsten natürlichen $n\in \mathbb {N} _{0}$, für die noch keine ganzzahlige Lösung bekannt ist.

## Eigenschaften

* Sei $n=x^{3}+y^{3}+z^{3}$ ganzzahlig lösbar. Dann ist eine notwendige Bedingung für $n$ die folgende:
       $n\not \equiv \pm 4{\pmod {9}}$
Für den Beweis benötigen wir zuerst folgenden Hilfssatz:
    Für jede Kubikzahl $x^{3}$ mit $x\in \mathbb {Z}$ gilt:
       $x^{3}\equiv -1,\ 0\ {\text{ oder }}+1{\pmod {9}}$
    Beweis dieses Hilfssatzes:
       Wir testen alle neun möglichen Varianten $x\equiv 0\ldots 8{\pmod {9}}$ durch:
          ${\begin{array}{rlr}{\text{Für }}x\equiv 0{\pmod {9}}{\text{ gilt: }}&x^{3}\equiv 0^{3}=0&0{\pmod {9}}\\{\text{Für }}x\equiv 1{\pmod {9}}{\text{ gilt: }}&x^{3}\equiv 1^{3}=1&+1{\pmod {9}}\\{\text{Für }}x\equiv 2{\pmod {9}}{\text{ gilt: }}&x^{3}\equiv 2^{3}=8&-1{\pmod {9}}\\{\text{Für }}x\equiv 3{\pmod {9}}{\text{ gilt: }}&x^{3}\equiv 3^{3}=27\equiv &\ 0{\pmod {9}}\\{\text{Für }}x\equiv 4{\pmod {9}}{\text{ gilt: }}&x^{3}\equiv 4^{3}=64\equiv &+1{\pmod {9}}\\{\text{Für }}x\equiv 5{\pmod {9}}{\text{ gilt: }}&x^{3}\equiv 5^{3}=125\equiv &-1{\pmod {9}}\\{\text{Für }}x\equiv 6{\pmod {9}}{\text{ gilt: }}&x^{3}\equiv 6^{3}=216\equiv &\ 0{\pmod {9}}\\{\text{Für }}x\equiv 7{\pmod {9}}{\text{ gilt: }}&x^{3}\equiv 7^{3}=343\equiv &+1{\pmod {9}}\\{\text{Für }}x\equiv 8{\pmod {9}}{\text{ gilt: }}&x^{3}\equiv 8^{3}=512\equiv &-1{\pmod {9}}\end{array}}$
       Somit gilt für alle $x\in \mathbb {Z}$, dass nur $x^{3}\equiv -1,\ 0\ {\text{ oder }}+1{\pmod {9}}$ sein kann,
       womit dieser Hilfssatz bewiesen ist.
Beweis des Hauptsatzes:
    Nun muss bewiesen werden, dass die Summe $n$ dreier Kubikzahlen nie $n\equiv 4{\text{ oder }}5{\pmod {9}}$ sein kann.
    Dazu addieren wir drei Zahlen $x^{3},y^{3}{\text{ und }}z^{3}$ mit jeweils der Eigenschaft
       $x^{3},y^{3},z^{3}\equiv -1,\ 0\ {\text{ oder }}{+1}{\pmod {9}}$.
    Dabei sind für $n=x^{3}+y^{3}+z^{3}\equiv -3,\ \ldots ,+3$ erreichbar, da
       maximal drei positive Gewichte $+1$ (ergibt dann $+3$) oder
       maximal drei negative Gewichte $-1$ (ergibt dann $-3$) addiert werden können.
    Da $n\equiv \pm 4\equiv -5{\pmod {9}}$
    nicht $n\equiv -3,\ \ldots ,+3{\pmod {9}}$ erfüllen, sind sie durch keine der möglichen Summen erreichbar.
    Somit ist immer $n\not \equiv \pm 4{\pmod {9}}$, was zu zeigen war.  ∎
    Es ist nicht bekannt, ob diese Eigenschaft für $n$ auch hinreichend ist (dann wäre nämlich das bis dato ungelöste Problem der Zahlentheorie, dem dieser Artikel gewidmet ist, gelöst). Es wurde jedoch von Heath-Brown vermutet, dass die diophantische Gleichung $n=x^{3}+y^{3}+z^{3}$ für alle $n\not \equiv \pm 4{\pmod {9}}$ unendlich viele ganzzahlige Lösungen hat.
* Es gibt einige spezielle Beziehungen zwischen $x$ und $n$, wie zum Beispiel die folgenden:
    Sei $n=x^{3}+y^{3}+z^{3}$ ganzzahlig lösbar. Bei gegebenem $n$ gelten die folgenden Bedingungen für $x$:
       Wenn $n\equiv +2{\pmod {7}}$ ist, muss gelten: $x\equiv 0,+1,+2$ oder $+4{\pmod {7}}$.
       Wenn $n\equiv -2{\pmod {7}}$ ist, muss gelten: $x\equiv 0,-1,-2$ oder $-4{\pmod {7}}$.
       Wenn $n\equiv +3{\pmod {7}}$ ist, muss gelten: $x\equiv +1,+2$ oder $+4{\pmod {7}}$.
       Wenn $n\equiv -3{\pmod {7}}$ ist, muss gelten: $x\equiv -1,-2$ oder $-4{\pmod {7}}$.
       Wenn $n\equiv +2{\pmod {9}}$ ist, muss gelten: $x,y,z\not \equiv +2{\pmod {3}}$.
       Wenn $n\equiv -2{\pmod {9}}$ ist, muss gelten: $x,y,z\not \equiv -2{\pmod {3}}$.
       Wenn $n\equiv +3{\pmod {9}}$ ist, muss gelten: $x,y,z\equiv +1{\pmod {3}}$.
       Wenn $n\equiv -3{\pmod {9}}$ ist, muss gelten: $x,y,z\equiv -1{\pmod {3}}$.

## Verwandte Probleme
### Gleichung für rationale Zahlen

Für $\,x,y,z\in \mathbb {Q}$ existieren für $n\in \mathbb {Q}$ unendlich viele Lösungen. Für eine gegebene Zahl $n>0$ und einen frei wählbaren Parameter $b=\mathbb {Q} \setminus \{0\}$ erhält man Lösungen z. B. durch:
       $x={\frac {(9b^{6}-30n^{2}b^{3}+n^{4})(3b^{3}+n^{2})+72n^{4}b^{3}}{6bn\ (3b^{3}+n^{2})^{2}}}\in \mathbb {Q}$
       $y={\frac {30n^{2}b^{3}-9b^{6}-n^{4}}{6bn\ (3b^{3}+n^{2})}}\qquad \qquad \qquad \qquad \quad \;\in \mathbb {Q}$
       $z={\frac {18nb^{5}-6n^{3}b^{2}}{(3b^{3}+n^{2})^{2}}}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \in \mathbb {Q}$
    $x^{3}+y^{3}+z^{3}$ ergibt nach längerer Rechnung und finalem Kürzen unabhängig von $b$ (solange $\neq 0$) genau den Wert von $n$:
       ${\begin{aligned}x^{3}+y^{3}+z^{3}=&\;{\frac {{\big(9b^{6}-30n^{2}b^{3}+n^{4})(3b^{3}+n^{2})+72n^{4}b^{3}{\big )}^{3}+{\big(30n^{2}b^{3}-9b^{6}-n^{4})(3b^{3}+n^{2}){\big )}^{3}+{\big6bn\ (18nb^{5}-6n^{3}b^{2}){\big )}^{3}}{{\big6bn\ (3b^{3}+n^{2})^{2}{\big )}^{3}}}\\[1ex]=&\;{\text{ ... sehr viel Rechenaufwand und Möglichkeiten des sich Verrechnens bei Bewunderung an den Autor dieser Formel ...}}\\[1ex]=&\;{\frac {157464\ b^{21}n^{4}+314928\ b^{18}n^{6}+262440\ b^{15}n^{8}+116640\ b^{12}n^{10}+29160\ b^{9}n^{12}+3888\ b^{6}n^{14}+216\ b^{3}n^{16}}{157464\ b^{21}n^{3}+314928\ b^{18}n^{5}+262440\ b^{15}n^{7}+116640\ b^{12}n^{9\;}+29160\ b^{9}n^{11}+3888\ b^{6}n^{13}+216\ b^{3}n^{15}}}\\[1ex]=&\;n\\\end{aligned}}$
Sobald eine der Basen $x,y,z$ $\in \mathbb {R}$ sein darf, sind beliebige Lösungen direkt ohne Umwege konstruierbar. Für $x\in \mathbb {R}$ z. B.:
       $x^{3}+y^{3}+z^{3}=n\quad \longrightarrow \quad x={\sqrt[{3}]{n-y^{3}-z^{3}}}$,   $n$ gegeben; $\ y,z$ beliebig wählbar

### Summe von fünf Kubikzahlen

Jede ganze Zahl kann als Summe von fünf Kubikzahlen geschrieben werden.

#### Beweis

    ${\begin{array}{lllllllllll}6k+0&=&(k+1)^{3}&+&(k-1)^{3}&+&(-k)^{3}&+&(-k)^{3}&+&(0)^{3}\\6k+1&=&(k+1)^{3}&+&(k-1)^{3}&+&(-k)^{3}&+&(-k)^{3}&+&(1)^{3}\\6k+2&=&(k)^{3}&+&(k-2)^{3}&+&(-k+1)^{3}&+&(-k+1)^{3}&+&(2)^{3}\\6k+3&=&(k-3)^{3}&+&(k-5)^{3}&+&(-k+4)^{3}&+&(-k+4)^{3}&+&(3)^{3}\\6k+4&=&(k+3)^{3}&+&(k+1)^{3}&+&(-k-2)^{3}&+&(-k-2)^{3}&+&(-2)^{3}\\6k+5&=&(k+2)^{3}&+&(k)^{3}&+&(-k-1)^{3}&+&(-k-1)^{3}&+&(-1)^{3}\\\end{array}}$
Da jede Zahl als $6k+0\ldots 5$ geschrieben werden kann, folgt daraus der Satz.  ∎

### Summe von vier Kubikzahlen

Ähnlich offen wie das Problem der Summe von drei Kubikzahlen ist (wider Erwarten) das von vier Kubikzahlen. Bisher konnten nur Konstruktionsvorschriften für Zahlen der Form $n=9k\pm 0\ldots 3$ gefunden werden, aber nicht für $n=9k\pm 4$. Die Vermutung konnte bisher weder widerlegt noch bewiesen werden.