# Lagrangesche Inversionsformel

Die Lagrangesche Inversionsformel in der Mathematik entwickelt zu einer gegebenen analytischen Funktion die Potenzreihe der Umkehrfunktion.

## Aussage

Gegeben sei eine Gleichung
    $z=f(w)$
mit einer am Punkt $a$ analytischen Funktion $f$ und $f^{\prime }(a)\neq 0$. Dann ist es möglich, $f$ zu invertieren, also die Gleichung nach $w$ in Form einer formalen Potenzreihe $w=g(z)$ aufzulösen:
    $g(z)=a+\sum _{n=1}^{\infty }g_{n}{\frac {(z-f(a))^{n}}{n!}}$
mit
    $g_{n}=\lim _{w\to a}\left[{\frac {d^{n-1}}{dw^{n-1}}}\left({\frac {w-a}{f(w)-f(a)}}\right)^{n}\right].$
Die Potenzreihe $g(z)$ hat einen von 0 verschiedenen Konvergenzradius, d. h., sie ist eine analytische Funktion in einer Umgebung des Punktes $z=f(a)$. Die Formel invertiert $f$ als formale Potenzreihe in $z$. Sie kann zu einer Formel für $H(g(z))$ mit einer beliebigen formalen Potenzreihe $H$ erweitert und in vielen Fällen mit $f^{\prime }(a)=0$ (dann eine „mehrwertige“ Funktion) verallgemeinert werden.
Der Satz wurde von Lagrange bewiesen und von Hans Heinrich Bürmann verallgemeinert, beides im späten 18. Jahrhundert. Es gibt Weiterentwicklungen in Richtung komplexe Analysis und Kurvenintegrale.

## Taylorreihe

Die obige Formel gibt für eine formale Potenzreihe $f$ nicht direkt die Koeffizienten der formalen Umkehrfunktion $g$ ausgedrückt in den Koeffizienten von $f$. Kann man die Funktionen $f$ und $g$ als formale Potenzreihe
    $f(w)=\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}{\frac {w^{k}}{k!}}\qquad \mathrm {und} \qquad g(z)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}{\frac {z^{k}}{k!}}$
mit $b_{0}=0$ und $b_{1}\neq 0$ ausdrücken, dann können die Koeffizienten der Inversen $g$ mithilfe von Bell-Polynomen angegeben werden:
    $c_{n}={\frac {1}{b_{1}^{n}}}\sum _{k=1}^{n-1}(-1)^{k}n^{(k)}B_{n-1,k}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n-k})\qquad (n\geq 2)$ ,
mit $a_{k}={\frac {b_{k+1}}{(k+1)b_{1}}},$ $c_{1}={\frac {1}{b_{1}}}$ und $n^{(k)}=n(n+1)\cdots (n+k-1)$ als steigender Faktorielle.

## Explizite Formel

Die folgende explizite Formel gilt nicht nur für analytische Funktionen (über $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$), sondern für alle formalen Potenzreihen über einem Ring $R$ mit Eins. Ist nämlich
    $A(X)=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}X^{k}\in R[[X]]$
eine formale Potenzreihe, dann hat $A$ genau dann eine (formale) Umkehrfunktion (ein formales kompositionelles Inverses)
    $B(X)=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}X^{n}\in R[[X]]$ ,
wenn der Koeffizient $a_{1}=A^{\prime }(0)$ invertierbar (eine Einheit) in $R$ ist.
Der einfacheren Rechnung halber substituieren wir $X$ durch $a_{1}^{-1}Y$ und schreiben
    $C(Y):=A(a_{1}^{-1}Y)=:Y+\sum _{k=2}^{\infty }c_{k}Y^{k}$
mit $c_{k}:=a_{1}^{-k}a_{k}$ für $k\geq 2$.
Die zugehörige formale Umkehrfunktion sei
    $D(Y):=Y+\sum _{n=2}^{\infty }d_{n}Y^{n}$,
so dass $C{\biglD(Y){\bigr )}=D(Y)+\sum _{k=2}^{\infty }c_{k}{\biglD(Y){\bigr )}^{k}=Y$ ist. Die Koeffizienten von $D$ lassen sich durch Koeffizientenvergleich in der Gleichung
    $D(Y)=Y-\sum _{k=2}^{\infty }c_{k}{\biglD(Y){\bigr )}^{k}$
für $n\geq 2$ sofort zu
    ${\begin{array}{llll}d_{n}\!\!\!\!&=-\left[Y^{n}\right]&\displaystyle \sum _{k=2}^{\infty }c_{k}{\biglD(Y){\bigr )}^{k}\end{array}}$
    $\left.{\begin{array}{llllrr}\;&=-\left[Y^{n}\right]&{\Bigl&c_{2}(1\;Y^{1}&+\,d_{2}Y^{2}&+\dotsb +&d_{n-1}Y^{n-1})^{2}\\&&+&c_{3}&(1\;Y^{1}&+\dotsb +&d_{n-2}Y^{n-2})^{3}\\&&\,\vdots \\&&+&c_{n-1}&&(1\;Y^{1}+&d_{2}\,Y^{2})^{n-1}\\&&+&c_{n}&&&(1\;Y^{1})^{n}\;\;\;\\&&{\Bigr )}\end{array}}\qquad \qquad \right\rbrace {\text{ (RF)}}$
ausrechnen mit dem Operator $\left[Y^{n}\right]$ für Koeffizientenextraktion. Da die Formel ${\text{(RF)}}$ auf ihrer rechten Seite nur Koeffizienten $d_{j}$ mit Indizes $j<n$ enthält, stellt sie eine rekursive Spezifikation der $d_{n}(n\geq 2)$ dar.

### Bemerkung

    Da die Formel ${\text{(RF)}}$ nur Ringoperationen (nur Additionen und Multiplikationen und keine Division) enthält, sind die Koeffizienten $d_{n}$ ganzzahlige Polynome in den $c_{k}$; das hat zur Folge, dass ${\text{(RF)}}$ über allen kommutativen unitären Ringen unabhängig von der Charakteristik und also gewissermaßen universell gültig ist.
Eine Herleitung der expliziten Auflösung
    $d_{n}$$=$$\sum (-1)^{i_{2}+i_{3}+\cdots }$${\frac {(n-1+i_{2}+i_{3}+\cdots )!}{n!\;\;i_{2}!\,i_{3}!\,\cdots }}$$c_{2}^{\,i_{2}}c_{3}^{\,i_{3}}\cdots$ $=$$\sum (-1)^{\sum _{\nu =2}^{\infty }i_{\nu }}$${\frac {(n-1+\sum _{\nu =2}^{\infty }i_{\nu })!}{\;n!\quad \prod _{\nu =2}^{\infty }i_{\nu }!}}$$\prod _{\nu =2}^{\infty }c_{\nu }^{\,i_{\nu }}$ ,
bei der über alle Kombinationen $i_{2},i_{3},\ldots \in \mathbb {N} _{0}$ mit $1\,i_{2}+2\,i_{3}+\cdots =\textstyle \sum _{\nu =2}^{\infty }(\nu -1)\,i_{\nu }=n-1$ zu summieren ist, findet sich bei Morse und Feshbach.
Die ersten paar Koeffizienten von $D$ sind:
    $d_{1}$$=\;1$ $d_{2}$$=\,-c_{2}$ $d_{3}$$=\,-c_{3}$$+2\,c_{2}^{\,2}$$(=\,-{\tfrac {(2+1+0)!}{3!\;1!\;0!}}c_{3}^{\,1}c_{2}^{\,0}+\!{\tfrac {(2+0+2)!}{3!\;0!\;2!}}c_{3}^{\,0}c_{2}^{\,2})$  $d_{4}$$=\,-c_{4}$$+5\,c_{3}c_{2}$$-5\,c_{2}^{\,3}$$(=\,-{\tfrac {(3+1+0+0)!}{4!\;1!\;0!\;0!}}c_{4}^{\,1}c_{3}^{\,0}c_{2}^{\,0}+\!{\tfrac {(3+0+1+1)!}{4!\;0!\;1!\;1!}}\,c_{4}^{\,0}c_{3}^{\,1}c_{2}^{\,1}-\!{\tfrac {(3+0+0+3)!}{4!\;0!\;0!\;3!}}\,c_{4}^{\,0}c_{3}^{\,0}c_{2}^{\,3})$ $d_{5}$$=\,-c_{5}$$+6\,c_{4}c_{2}$$+3\,c_{3}^{\,2}$$-21\,c_{3}c_{2}^{\,2}$$+14\,c_{2}^{\,4}$ $d_{6}$$=\,-c_{6}$$+7\,c_{5}c_{2}$$+7\,c_{4}c_{3}$$-28\,c_{4}c_{2}^{\,2}$$-28\,c_{3}^{\,2}c_{2}$$+84\,c_{3}c_{2}^{\,3}$$-42\,c_{2}^{\,5}$ $d_{7}$$=\,-c_{7}$$+8\,c_{6}c_{2}$$+8\,c_{5}c_{3}$$-36\,c_{5}c_{2}^{\,2}$$+4\,c_{4}^{\,2}$$-72\,c_{4}c_{3}c_{2}$$+120\,c_{4}c_{2}^{\,3}$$-12\,c_{3}^{\,3}$$+180\,c_{3}^{\,2}c_{2}^{\,2}$$-330\,c_{3}c_{2}^{\,4}$$+132\,c_{2}^{\,6}$
Die Monome sind hier in den Zeilen lexikographisch absteigend geordnet, d. h., $c_{3}^{\,2}=c_{3}c_{3}$ kommt vor $c_{3}c_{2}$ kommt vor $c_{3}$ kommt vor $c_{2}^{\,2}$. Die (ganzzahligen) Koeffizienten dieser Polynome sind in dieser Anordnung zusammengestellt in der Folge A304462 in OEIS. Die Folge A000041 in OEIS enthält die Anzahl der Monome in der $n$-ten Zeile (= Anzahl der Partitionen einer $n$-elementigen Menge).
Mit der Substitution $D(X):=a_{1}\,B(X)$ ergibt sich
    $X=C{\biglD(X){\bigr )}=A{\bigla_{1}^{-1}D(X){\bigr )}=A{\biglB(X){\bigr )}$,
so dass $B(X)=a_{1}^{-1}D(X)$ die gesuchte Umkehrfunktion von $A(X)$ ist. Sie hat die Koeffizienten
    $b_{k}=a_{1}^{-1}d_{k}$,
die allesamt ganzzahlige Polynome in $a_{1}^{-1}$ und den $a_{n}$ ($n\geq 2$) sind.

## Formel von Lagrange-Bürmann

Ein Sonderfall der Lagrangeschen Inversionsformel, die in der Kombinatorik benutzt wird, gilt für $f(w)=w/\phi (w)$ mit analytischem $\phi (w)$ und $\phi (0)\neq 0.$ Durch die Setzung $a=0$ wird $f(a)=f(0)=0.$ Dann ist für die Inverse $g(z):=f^{-1}(z)$
    ${\begin{aligned}g(z)&=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\lim _{w\to 0}\left({\frac {\operatorname {d} ^{n-1}}{\operatorname {d} w^{n-1}}}\left({\frac {w}{w/\phi (w)}}\right)^{n}\right){\frac {z^{n}}{n!}}\right)\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\left({\frac {1}{(n-1)!}}\lim _{w\to 0}\left({\frac {\operatorname {d} ^{n-1}}{\operatorname {d} w^{n-1}}}\phi (w)^{n}\right)\right)z^{n},\end{aligned}}$
welches auch als
    $[z^{n}]g(z)={\frac {1}{n}}[w^{n-1}]\phi (w)^{n}$
geschrieben werden kann mit dem Operator $[w^{r}]$, der den Koeffizienten des Terms $w^{r}$ in der rechts davon stehenden formalen Potenzreihe in $w$ extrahiert.
Eine nützliche Verallgemeinerung ist bekannt als Formel von Lagrange-Bürmann:
    $[z^{n}]H(g(z))={\frac {1}{n}}[w^{n-1}]{\biglH^{\prime }(w)\phi (w)^{n}{\bigr )}$
mit einer beliebigen analytischen Funktion $H$.
Die Ableitung $H^{\prime }(w)$ kann eine sehr komplizierte Form annehmen, wann es durch $H(w)(1-\phi ^{\prime }(w)/\phi (w))$ ersetzt werden kann, um
    $[z^{n}]H(g(z))=[w^{n}]H(w)\phi (w)^{n-1}{\bigl\phi (w)-w\phi ^{\prime }(w){\bigr )}$
zu erhalten, welches auf $\phi ^{\prime }(w)$ anstelle von $H^{\prime }(w)$ Bezug nimmt.

## Anwendungen
### Die Lambertsche W-Funktion

Die Lambertsche W-Funktion ist die durch die implizite Gleichung
    $W(z)e^{W(z)}=z$
definierte Funktion $W(z)$ .
Mithilfe der Lagrangesche Inversionsformel errechnet man für die Taylor-Reihe von $W(z)$ am Punkt $z=0$ wegen $f(w)=w\mathrm {e} ^{w}$ und $a=b=0$ zuerst
    ${\frac {\operatorname {d} ^{n}}{\operatorname {d} x^{n}}}\ \mathrm {e} ^{\alpha \,x}\,=\,\alpha ^{n}\,\mathrm {e} ^{\alpha \,x}$ ,
woraus
    $W(z)=\sum _{n=1}^{\infty }\lim _{w\to 0}\left({\frac {\operatorname {d} ^{\,n-1}}{\operatorname {d} w^{\,n-1}}}\ \mathrm {e} ^{-nw}\right){\frac {z^{n}}{n!}}\,=\,\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{n-1}\,{\frac {z^{n}}{n!}}=x-x^{2}+{\frac {3}{2}}x^{3}-{\frac {8}{3}}x^{4}+{\frac {125}{24}}x^{5}-\dotsb .$
Der Konvergenzradius dieser Reihe ist $\mathrm {e} ^{-1}$ .
Einen größeren Konvergenzradius erhält man auf ähnliche Weise: Die Funktion $f(z)=W(e^{z})-1\,$ erfüllt die Gleichung
    $1+f(z)+\ln(1+f(z))=z$ .
Entwickelt man $z+\ln(1+z)\,$ in eine Potenzreihe und invertiert, dann erhält man für $f(z+1)=W(e^{z+1})-1$ :
    $W(e^{1+z})=1+{\frac {z}{2}}+{\frac {z^{2}}{16}}-{\frac {z^{3}}{192}}-{\frac {z^{4}}{3072}}+{\frac {13z^{5}}{61440}}-{\frac {47z^{6}}{1474560}}-{\frac {73z^{7}}{41287680}}+{\frac {2447z^{8}}{1321205760}}+{\mathcal {O}}(x^{9}).$
Man kann daraus $W(x)$ ableiten, indem man $\ln x-1$ durch $z$ in dieser Reihe substituiert. Bspw. findet man $W(1)=0{,}567143\dotsc$ bei $z=-1$.

### Binärbäume

Sei ${\mathcal {B}}$ die Menge der Binärbäume mit NIL-Knoten. Ein Baum aus ${\mathcal {B}}$ ist entweder ein NIL-Knoten oder ein Knoten mit zwei Teilbäumen.
Die Anzahl solcher Binärbäume mit $n$ (echten) Knoten sei mit $B_{n}$ bezeichnet.
Die Entfernung der Wurzel spaltet den Binärbaum in zwei kleinere Teilbäume. Daraus folgt für die erzeugende Funktion $B(z)=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}z^{n}$:
    $B(z)=1+zB(z)^{2}.$
Nun sei $C(z)=B(z)-1$, und damit $C(z)=z(C(z)+1)^{2}$ .
Die Anwendung der Lagrangeschen Inversionsformel mit $\phi (w)=(w+1)^{2}$ ergibt:
    $B_{n}=[z^{n}]C(z)={\frac {1}{n}}[w^{n-1}](w+1)^{2n}={\frac {1}{n}}{\binom {2n}{n-1}}={\frac {1}{n+1}}{\binom {2n}{n}}.$
und das ist die $n$-te Catalan-Zahl.