# Poincaré-Ungleichung

In der Analysis bezeichnet man als Poincaré-Ungleichung eine nach dem französischen Mathematiker Henri Poincaré benannte Ungleichung aus der Theorie der Sobolev-Räume. Die Ungleichung ermöglicht es, Schranken für eine Funktion aus Schranken der Ableitungen und der Geometrie des Definitionsbereichs herzuleiten. Solche Schranken spielen in der Variationsrechnung eine große Rolle.

## Formulierung der Ungleichung
### Die klassische Poincaré-Ungleichung

Sei $1\leq p<\infty$ und $\Omega$ eine beschränkte zusammenhängende offene Teilmenge des $n$-dimensionalen euklidischen Raumes $\mathbb {R} ^{n}$ mit Lipschitz-Rand (d. h. $\Omega$ ist ein Lipschitz-Gebiet). Dann gibt es eine Konstante $C$, die nur von $\Omega$ und $p$ abhängt, so dass für jede Funktion $u$ im Sobolev-Raum $W^{1,p}(\Omega )$ die Ungleichung
    $\|u-u_{\Omega }\|_{L^{p}(\Omega )}\leq C\|\nabla u\|_{L^{p}(\Omega )}$
gilt, wobei
    $u_{\Omega }={\frac {1}{|\Omega |}}\int _{\Omega }u(y)\,\mathrm {d} y$
der Mittelwert von $u$ über $\Omega$ ist, $|\Omega |$ bezeichnet das Lebesgue-Maß des Gebietes $\Omega$.
Mit Hilfe der Hölder-Ungleichung kann man zeigen, dass die $L^{2}$-Poincaré-Ungleichung aus der $L^{1}$-Poincaré-Ungleichung folgt. Allgemein: Wenn für ein Gebiet $\Omega$ die Poincaré-Ungleichung für ein $p^{\prime }$ gilt, dann gilt sie auch für alle $p>p^{\prime }$, eventuell mit einer anderen Konstanten $C$.

### Eindimensionales Beispiel

Sei f eine stetig differenzierbare Funktion mit Fourierreihe
    $f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{inx}$,
dann ist unter Benutzung der Parsevalschen Gleichung
    $\|f-f_{[0,2\pi ]}\|_{L^{2}[0,2\pi ]}=\sum _{n\not =0}|a_{n}|^{2}\leq \sum _{n}n^{2}|a_{n}|^{2}=\|f'\|_{L^{2}[0,2\pi ]}$.

### Mannigfaltigkeiten

Für Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit nichtnegativer Ricci-Krümmung (zum Beispiel nichtnegativer Schnittkrümmung) gilt die Poincaré-Ungleichung. Es gibt eine nur von der Dimension n abhängende Konstante $C_{n}$, so dass für alle $p\in M,r>0,u\in W_{loc}^{2,1}(M)$ gilt:
    $\|u-u_{B(p,r)}\|_{L^{2}(B(p,r))}\leq C_{n}r\|\nabla u\|_{L^{2}(B(p,r))}$

### Metrische Räume

Bruce Kleiner bewies 2007 eine Poincaré-Ungleichung für die Cayley-Graphen endlich erzeugter Gruppen:
    $\int _{B_{R}}\|f-f_{R}\|^{2}\leq 8\|S\|^{2}R^{2}{\frac {\|B(2R)\|}{\|B(R)\|}}\int _{B_{3R}}\|\nabla f\|^{2},$
wobei $f$ eine stückweise glatte Funktion, $f_{R}$ ihr Mittelwert über den Ball $B_{R}$ und $S$ das den Cayley-Graphen definierende Erzeugendensystem ist. Mit Hilfe dieser Ungleichung gab er einen vereinfachten Beweis von Gromows Satz über Gruppen polynomialen Wachstums.
Für metrische Räume mit nichtnegativer Ricci-Krümmung im Sinne von Lott-Villani-Sturm wurde die schwache lokale $L^{1}$-Poincaré-Ungleichung 2012 von Rajala bewiesen.

### Verallgemeinerungen

Es gibt Verallgemeinerungen der Poincaré-Ungleichung für andere Sobolev-Räume, zum Beispiel die folgende Poincaré-Ungleichung für den Sobolev-Raum $H^{\frac {1}{2}}(T^{2})$, d. h. den Raum der Funktionen $u$ im $L^{2}$-Raum des Torus $T^{2}$, deren Fourier-Transformierte ${\hat {u}}$ die Bedingung
    $[u]_{H^{1/2}(\mathbf {T} ^{2})}^{2}=\sum _{k\in \mathbf {Z} ^{2}}|k|{\big |}{\hat {u}}(k){\big |}^{2}<+\infty$
erfüllt: Es gibt eine Konstante $C$, so dass für jedes $u\in H^{\frac {1}{2}}(T^{2})$ mit $u$ identisch 0 auf einer offenen Menge $E\subset T^{2}$ folgende Ungleichung gilt:
    $\int _{\mathbf {T} ^{2}}|u(x)|^{2}\,\mathrm {d} x\leq C\left(1+{\frac {1}{\operatorname {cap} (E\times \{0\})}}\right)[u]_{H^{1/2}(\mathbf {T} ^{2})}^{2},$
wobei $\operatorname {cap} (E\times \left\{0\right\})$ die harmonische Kapazität von $E\times \left\{0\right\}$ als Teilmenge von $\mathbb {R} ^{3}$ bedeutet.

## Sobolev Slobodeckji-Räume und Poincaré-Ungleichung

Sei $0<s<1$ und $p\in [1,\infty )$. Der Sobolev Slobodeckji-Raum $W^{s,p}(\Omega )$ ist definiert als die Menge aller Funktionen $u$, für die gilt: $u\in L^{p}(\Omega )$ und die Seminorm $[u]_{s,p}$ ist endlich. Die Seminorm $[u]_{s,p}$ wird definiert durch:
    $[u]_{s,p}=\left(\int _{\Omega }\int _{\Omega }{\frac {|u(x)-u(y)|^{p}}{|x-y|^{n+sp}}}\,dx\,dy\right)^{1/p}$
Die Poincaré-Ungleichung in diesem Kontext kann wie folgt verallgemeinert werden:
    $\|u-u_{\Omega }\|_{L^{p}(\Omega )}\leq C[u]_{s,p}$
wobei $u_{\Omega }$ der Mittelwert von $u$ über $\Omega$ ist und $C$ eine von $s,p$ und $\Omega$ abhängige Konstante darstellt. Diese Ungleichung gilt für jedes beschränkte $\Omega$.

### Beweis der Poincaré-Ungleichung

Der Beweis folgt dem Beweis von Irene Drelichman und Ricardo G. Durán. Sei $\textstyle f_{\Omega }={\frac {1}{|\Omega |}}\int _{\Omega }f(x)\,dx$. Durch Anwendung der Jensen-Ungleichung erhalten wir:
    $\|f-f_{\Omega }\|_{L^{p}(\Omega )}^{p}=\left\|{\frac {1}{|\Omega |}}\int _{\Omega }(f(y)-f(x))\,dx\right\|_{L^{p}}^{p}=\int _{\Omega }\left|{\frac {1}{|\Omega |}}\int _{\Omega }f(y)-f(x)\,dy\right|^{p}\,dx$
    $\leq {\frac {1}{|\Omega |}}\int _{\Omega }\int _{\Omega }|f(y)-f(x)|^{p}\,dy\,dx$.
Durch Ausnutzung der Beschränktheit von $\Omega$ und weitere Abschätzungen folgt:
    ${\frac {1}{|\Omega |}}\int _{\Omega }\int _{\Omega }|f(y)-f(x)|^{p}\,dy\,dx$
    $\leq {\frac {{\text{diam}}(\Omega )^{n+sp}}{|\Omega |}}\int _{\Omega }\int _{\Omega }{\frac {|f(y)-f(x)|^{p}}{|y-x|^{n+sp}}}\,dy\,dx$.
Hieraus ergibt sich, dass die Konstante $C$ als $\textstyle C={\frac {{\text{diam}}(\Omega )^{{\frac {n}{p}}+s}}{|\Omega |^{\frac {1}{p}}}}$ gegeben ist. Jedoch weist die Referenz
mit Theorem 1 darauf hin, dass dies nicht die optimale Konstante ist.

## Die Poincaré-Konstante

Die optimale Konstante $C$ in der Poincaré-Ungleichung wird als Poincaré-Konstante des Gebietes $\Omega$ bezeichnet. Es ist im Allgemeinen sehr schwer, die Poincaré-Konstante zu bestimmen, abhängig von $p$ und der Geometrie des Gebietes $\Omega$. Gewisse Spezialfälle sind aber behandelbar. Zum Beispiel für beschränkte, konvexe Lipschitz-Gebiete $\Omega$ mit Durchmesser $d$ ist die Poincaré-Konstante höchstens $d/2$ falls $p=1$, und höchstens $d/\pi$ falls $p=2$ und das ist die bestmögliche nur vom Durchmesser abhängende Abschätzung für die Poincaré-Konstante. Für glatte Funktionen erhält man das als eine Anwendung der isoperimetrischen Ungleichung auf die Levelmengen der Funktion. Im Eindimensionalen ist das die Wirtinger-Ungleichung für Funktionen.
Es gibt Spezialfälle, in denen die Konstante $C$ explizit bestimmt werden kann. Zum Beispiel für $p=2$ ist bekannt, dass für das Gebiet des gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks mit Katheten der Länge 1 die Poincaré-Konstante $C=1/\pi$ ist (und damit kleiner als $d/\pi$ für den Durchmesser $d={\sqrt {2}}$).