# Instrumentvariablenschätzung

Die Instrumentvariablenschätzung (kurz: IV-Schätzung), auch Methode der Instrumentvariablen, oder Instrumentvariablenmethode ist ein Oberbegriff für bestimmte Schätzverfahren in der schließenden Statistik.
Ziel der IV-Methode ist es, bei einer Regressionsanalyse eine Korrelation zwischen den erklärenden Variablen und dem Fehlerterm auszuschließen. Dies geschieht, indem man die erklärenden Variablen durch andere Größen ersetzt, die zwar in engem Zusammenhang mit ihnen stehen, aber nicht mit dem Fehlerterm korrelieren oder eine Linearkombination anderer erklärender Variablen darstellen.

## Geschichte

Während Instrumentvariablen heutzutage vor allem in Situationen mit ausgelassenen Variablen angewandt werden, wurden sie historisch zunächst als Lösung für Probleme aufgrund von Gleichzeitigkeit benutzt. Bei der Schätzung von Angebots- und Nachfragekurven zum Beispiel ergibt sich das Problem, dass als Datenpunkte nur Gleichgewichtspreise- und mengen bereitstehen, also Mengen, bei denen Angebot und Nachfrage aufeinander abgestimmt sind. Der amerikanische Ökonom Philip G. Wright veröffentlichte 1928 ein Buch unter dem Titel The Tariff on Animal and Vegetable Oils. In einem der Anhänge zu diesem Buch stellte Wright eine Methode dar, mit der die Nachfrage- und Angebotselastizitäten von Butter und Leinsamenöl geschätzt werden können. Dies gilt als die erste Studie, die den Instrumentalvariablenansatz benutzte.
Später wurde herausgefunden, dass Instrumentvariablen auch Verzerrungen aufgrund von Messfehlern bereinigen können. Dies gilt auch für Verzerrungen aufgrund ausgelassener Variablen (englisch omitted variable bias).

## Idee

In vielen Situationen, in denen kausale Effekte untersucht und quantifiziert werden sollen, besteht eine Korrelation zwischen dem Fehlerterm und der erklärenden Variable. Möchte man zum Beispiel den Effekt von Bildung ($x$) auf das Arbeitseinkommen einer Person ($y$) untersuchen, so könnte man zum Beispiel ein Modell folgender Art schätzen (Lineare Einfachregression):
    $y_{i}=\alpha +\beta x_{i}+\epsilon _{i}$, wobei $\epsilon _{i}$ den einzelnen Fehlerterm darstellt.
Eine Möglichkeit zur Schätzung von $\beta$, also zur Ermittlung von ${\widehat {\beta }}$ wäre die Methode der kleinsten Fehlerquadrate (KQ-Schätzer). Diese beruht jedoch auf mehreren Annahmen, unter anderem darauf, dass der Fehlerterm und die erklärende Variable unkorreliert sind, also:
$Cov(x_{i},\epsilon _{i})=0$
Dies ist jedoch im genannten Beispiel sehr unwahrscheinlich. Es lassen sich leicht viele Variablen ermitteln, die nicht im Modell auftauchen, allerdings sowohl einen Effekt auf Bildung, als auch auf das Einkommen haben. Manche dieser Variablen sind obendrein kaum oder gar nicht messbar und können deswegen auch nicht als Kontrollvariablen mit in das Modell aufgenommen werden. So ist zum Beispiel der Fleiß einer Person mit großer Wahrscheinlichkeit sowohl mit dem Bildungsgrad dieser Person, als auch mit ihrem Einkommen korreliert; da der Fleiß auch nicht messbar ist und deswegen im Fehlerterm verbleibt, wird somit eben jene Korrelation zwischen der erklärenden Variable und dem Fehlerterm bestehen, die für die Validität der Methode der Kleinsten Quadrate nicht bestehen darf. In einem solchen Fall besteht ein Problem aufgrund ausgelassener Variablen (engl. omitted variables), und der KQ-Schätzer wird inkonsistent sein. Die Korrelation zwischen dem Fehlerterm und den erklärenden Variablen wird als Endogenität bezeichnet. Neben ausgelassenen Variablen kann dieses Problem auch entstehen, wenn die Variablen nicht genau, sondern nur mit Messfehler gemessen werden können und wenn eine beidseitige, simultane Kausalität besteht ($x$ hat einen kausalen Effekt auf $y$, $y$ hat einen kausalen Effekt auf $x$).
Weitere Ansätze zur Lösung von Endogenitätsproblemen sind Regressions-Diskontinuitäts-Analyse, Paneldaten und darauf aufbauende Schätzmethoden sowie das klassische Experiment.

## Mathematischer Hintergrund

Für den Kleinste-Quadrate-Schätzer (KQ-Schätzer) gilt (im einfachen linearen Regressionsmodell mit einer erklärenden Variable):
    ${\widehat {\beta }}_{\mathrm {KQ} }={\frac {\sum _{i}x_{i}y_{i}}{\sum _{i}x_{i}^{2}}}={\frac {\sum _{i}x_{i}(x_{i}\beta +\epsilon _{i})}{\sum _{i}x_{i}^{2}}}=\beta +{\frac {\sum _{i}x_{i}\epsilon _{i}}{\sum _{i}x_{i}^{2}}}.$
Wenn $x$ und $\epsilon$ nicht korreliert sind, geht der zweite Term bei unendlich vielen Beobachtungen gegen Null und der Schätzer ist konsistent für $\beta$. Wenn $x$ und $\epsilon$ korreliert sind, ist der Schätzer inkonsistent.
Eine Instrumentvariable $Z$ ist mit der erklärenden Variable $X$, aber nicht mit dem Fehlerterm $\epsilon$korreliert. Der Schätzer lautet:
    ${\widehat {\beta }}_{\mathrm {IV} }={\frac {\sum _{i}z_{i}y_{i}}{\sum _{i}z_{i}x_{i}}}={\frac {\sum _{i}z_{i}(x_{i}\beta +\epsilon _{i})}{\sum _{i}z_{i}x_{i}}}=\beta +{\frac {\sum _{i}z_{i}\epsilon _{i}}{\sum _{i}z_{i}x_{i}}}.$
Wenn $z$ und $\epsilon$ nicht korreliert sind, verschwindet der letzte Term und führt zu einem konsistenten Schätzer. Beachte: Ist $x$ nicht mit dem Fehlerterm korreliert, ist $x$ selbst eine Instrumentenvariable. In diesem Fall ist der KQ-Schätzer mit dem IV-Schätzer identisch.
Der Ansatz oben kann leicht zu einer Regression mit mehreren erklärenden Variablen verallgemeinert werden. $X$ sei eine $T\times K$ Matrix von erklärenden Variablen (Datenmatrix), die aus $T$ Beobachtungen von $K$ Variablen resultiert. $Z$ sei eine $T\times K$ Matrix von Instrumentvariablen. Dann folgt
    ${\hat {\beta }}_{\mathrm {IV} }=(Z'X)^{-1}Z'Y=(Z'X)^{-1}Z'(X\beta +\epsilon )=\beta +(Z'X)^{-1}Z'\epsilon .$

## Implementierung

Diese Technik wird häufig mittels einer zweistufigen Kleinste-Quadrate-Schätzung (engl. two stage least squares, kurz 2SLS) implementiert. Im ersten Schritt des zweistufigen Verfahrens wird jede endogene erklärende Variable auf alle gültigen Instrumente sowie alle exogenen Variablen regressiert. Da die Instrumente exogen sind, wird diese Approximation der endogenen Variablen nicht mit dem Fehlerterm korrelieren. Intuitiv bedeutet dies, dass die Beziehung zwischen $y$ und den endogenen erklärenden Variablen untersucht wird. Im zweiten Schritt wird die interessierende Regression wie gewohnt geschätzt, aber alle endogenen erklärenden Variablen werden durch die Näherungswerte aus Schritt 1 ersetzt.
Der so gewonnene Schätzer ist konsistent. Damit die Standardfehler richtig berechnet werden, muss nun nur noch die Summe der quadrierten Fehlerterme korrigiert werden:
    Schritt 1: ${\hat {X}}=Z(Z'Z)^{-1}Z'X$
    Schritt 2: ${\hat {B}}_{\mathrm {IV} }=({\hat {X}}'{\hat {X}})^{-1}{\hat {X}}'Y$

## Bedingungen

Ein gültiges Instrument muss folgende zwei Bedingungen erfüllen.

### Relevanzbedingung

Ein Problem tritt auf, wenn die Instrumente nur schwach mit der/den endogenen Variable(n) korreliert sind („schwaches“ Instrument). Überprüft wird diese Annahme üblicherweise durch einen F-Test in der ersten Stufe der 2SLS-Regression. Die abzulehnende Nullhypothese für diesen Test ist, dass die Instrumente gemeinsam keinen von null unterscheidbaren Einfluss auf die endogene Variable besitzen. Als Faustregel gilt, dass die resultierende F-Statistik größer als 10 sein sollte.

### Exogenität

Ein gültiges Instrument korreliert mit der endogenen Variable und mit der zu erklärenden Variable, aber nicht dem Fehlerterm. Schwierig ist hierbei, dass diese Annahme nicht auf Basis der vorhandenen Daten statistisch getestet werden kann, sondern argumentativ begründet werden muss.
Darüber hinaus sind Schätzer auf Basis von gültigen Instrumentvariablen zwar konsistent, aber in der Regel nicht unverzerrt, sodass größere Stichproben benötigt werden.

## Interpretation

Eine Schätzung basierend auf Instrumentalvariablen wird als lokaler Durchschnittlicher Behandlungseffekt (engl. local average treatment effect, kurz LATE) interpretiert. Dies bedeutet, dass die Instrumentvariablenschätzung nicht den durchschnittlichen Behandlungseffekt für die ganze Population schätzt, sondern nur für jene Subpopulation, für die das Instrument die endogene Variable beeinflusst. Der Grund hierfür ist, dass lediglich der durch das Instrument erklärbare Teil der Variation in der endogenen Variable für die Schätzung genutzt werden kann.