# Formale Grammatik

Formale Grammatiken sind mathematische Modelle von Grammatiken, die zur eindeutigen Erzeugung und Beschreibung formaler Sprachen dienen. Sie werden in der theoretischen Informatik, insbesondere in der Berechenbarkeitstheorie, und im Compilerbau zum einen angewendet, um eindeutig festzulegen, ob ein Wort Element einer Sprache ist und zum anderen, um Eigenschaften dieser formalen Sprachen zu untersuchen bzw. zu beweisen. Formale Grammatiken werden mithilfe von Semi-Thue-Systemen angegeben in der Chomsky-Hierarchie klassifiziert.

## Beschreibung

Mit einer formalen Grammatik lassen sich ausgehend von einem Startsymbol $S$ (auch Startvariable genannt) Produktionsregeln aus einer Regelmenge $P$ anwenden, die aus dem Startsymbol neue Zeichenfolgen (Wörter) erzeugen, welche wiederum weiter ersetzt werden können. Diesen Vorgang nennt man auch Ableitung.
Das Vokabular $V$ einer Grammatik, bestehend aus der disjunkten Vereinigung eines Alphabets $T$ von Terminalsymbolen mit einer Menge von Nichtterminalsymbolen $N$, gibt dabei vor, welche Symbole dafür verwendet werden können. Die Menge der Terminalsymbole definiert, aus welchen Zeichen Wörter bestehen, die nicht weiter abgeleitet werden können. Diese Wörter ergeben zusammengenommen die von der Grammatik beschriebene formale Sprache. Das Startsymbol muss dagegen ein Nichtterminalsymbol sein. Zusätzliche Nichtterminalsymbole erlauben differenziertere Regeln.
Produktionsregeln sind definitionsgemäß geordnete Paare $(\alpha ,\beta )$, die auch $\alpha \rightarrow \beta$ geschrieben werden. Man wendet sie auf eine Zeichenfolge $w$ an, indem ein Vorkommen der Zeichenfolge $\alpha$ in $w$ durch $\beta$ ersetzt wird. Auf der linken Seite der Regel muss immer mindestens ein Nichtterminalsymbol stehen. Eine Menge von Regeln mit gleicher linker Seite, also $\alpha \rightarrow \beta _{1},\;\ldots ,\alpha \rightarrow \beta _{n}$, wird abkürzend auch als $\alpha \rightarrow \beta _{1}\;|\;\ldots \;|\;\beta _{n}$ geschrieben.
Zum Beispiel kann man mit der Regelmenge $X\rightarrow +\;|\;-$ die Zeichenfolge $1X2$ entweder zu $1+2$ oder zu $1-2$ ableiten.
Ebenso wie auf eine gegebene Zeichenfolge mehrere Regeln gleichzeitig anwendbar sein können, muss es nicht immer nur eine Stelle in der Zeichenfolge geben, auf die eine Regel passt. Formale Grammatiken schreiben keine Reihenfolge vor. Alle nur aus Terminalsymbolen bestehenden Wörter, die sich aus dem Startsymbol ableiten lassen, zählen zur von der Grammatik beschriebenen Sprache.

## Definition

Eine formale Grammatik wird dargestellt durch das 4-Tupel $G=(V,T,P,S)$, worin:
* $V$, einer endlichen Menge von Symbolen, welche als Symbolmenge oder Vokabular bezeichnet wird,
* $T\subset V$, einer Teilmenge von $V$, auch Alphabet genannt und deren Elemente Terminalsymbole heißen,
* $P\subset \left(V^{*}\setminus T^{*}\right)\times V^{*}$, einer endlichen Menge von Produktionsregeln, sowie
* $S\in V\setminus T$, dem Startsymbol.
Das 4-Tupel wird je nach Konvention auch so definiert, dass $V$ der Menge der Nichtterminalsymbole entspricht, sodass $V\cap T=\emptyset$ ist.
Hierbei bezeichnet $X^{*}$ die Kleenesche Hülle einer Menge $X$ von Zeichen (oder auch Wörtern).
Die Menge $N=V\setminus T$ ist die Menge von Nichtterminalsymbolen (auch Nonterminale oder Metasymbole genannt), insbesondere gehört das Startzeichen zu ihr. Das Wort auf der linken Seite der Regelpaare darf nicht ausschließlich aus Terminalzeichen bestehen, was man auch durch eine Konkatenation ausdrücken kann:
    $\left(V^{*}\setminus T^{*}\right)=V^{*}NV^{*}$.
Es ergibt wenig Sinn, wenn das Wort auf der rechten Seite das Startsymbol enthält. Manche Autoren berücksichtigen das, indem sie die zugehörige Menge entsprechend beschränken, d. h. $V^{*}$ durch $(V\setminus \{S\})^{*}$ ersetzen.
Manche Autoren bezeichnen alternativ das Quadrupel $(N,T,P,S)$ als Grammatik $G$. Es finden sich darüber hinaus folgende abweichenden Bezeichnungen:
* $\Sigma$ für die Terminalzeichen, hier $T$,
* $\Sigma$ für das gesamte Vokabular (Symbolmenge) aller Symbole, hier $V$,
* $V$ für die Nichtterminalzeichen (Variablen), hier $N$,
* $\lambda$ für das leere Wort, hier $\epsilon$.

## Die von einer Grammatik beschriebene Sprache

Eine Regel $R\rightarrow Q\in P$ einer gegebenen Grammatik $G$ besagt, dass in einem Wort $w\in V^{\ast }$ mit R als Infix, R durch Q ersetzt werden kann, so dass ein neues Wort $w^{\prime }$ mit $Q$ als Infix entsteht. Man spricht hierbei auch davon, dass $w$ in $w^{\prime }$ mit der Grammatik $G$ bzw. durch die Regel $R\rightarrow Q$ übergeht, oder auch, dass $w^{\prime }$ aus $w$ abgeleitet wurde. Dies kann durch $w\rightsquigarrow _{R\rightarrow Q}w^{\prime }$ notiert werden (häufig auch $\Rightarrow$ anstatt $\rightsquigarrow$). Soll nur ausgedrückt werden, dass in der Grammatik $G$ das Wort $w^{\prime }$ aus $w$ entstehen kann, ohne eine Regel zu benennen, schreibt man stattdessen $w\rightsquigarrow _{G}w^{\prime }$ (ist die Grammatik aus dem Kontext offensichtlich, auch einfach $w\rightsquigarrow w^{\prime }$). Demnach ist ein solcher Übergang von $w$ in $w^{\prime }$ eine Transitionsrelation, die eine natürliche Erweiterung von $P$ auf alle möglichen $V^{*}$-Kontexte darstellt, nämlich:
    $\rightsquigarrow \;:=\;\{(u\circ R\circ v,u\circ Q\circ v)|(R,Q)\in P,u,v\in V^{*}\}$,
wobei hier $\circ$ die Konkatenation von Wörtern bezeichnet.
Gibt es nun eine Folge von Wörtern $w_{0},w_{1},\ldots ,w_{n}\in V^{\ast }$, bei der gilt, dass für jede natürliche Zahl $i$ mit $0\leq i<n$ das Wort $w_{i}$ in $w_{i+1}$ übergeht ($w_{i}\rightsquigarrow _{G}w_{i+1}$), so ist $w_{n}$ in $n$ Schritten aus $w_{0}$ ableitbar, was durch $w_{0}\rightsquigarrow _{G}^{n}w_{n}$ dargestellt wird. Eine solche Wortfolge $w_{0},w_{1},\ldots ,w_{n}$ wird Ableitung oder Rechnung von $w_{0}$ in $w_{n}$ der Länge $n$ genannt. Weiterhin heißt $w$ in $w^{\prime }$ ableitbar, wenn es mindestens ein $n\in \mathbb {N} _{0}$ gibt, so dass $w^{\prime }$ in $n$ Schritten aus $w$ ableitbar ist. Wenn $w$ in $w^{\prime }$ ableitbar ist, so wird dies durch die Schreibweise $w\rightsquigarrow _{G}^{\ast }w^{\prime }$ dargestellt. Dabei wird zusätzlich definiert, dass für jedes Wort $w\in V^{\ast }$ gilt, dass $w\rightsquigarrow _{G}^{\ast }w$ ist, so dass die Relation $\rightsquigarrow _{G}^{\ast }$ die reflexiv-transitive Hülle der Relation $\rightsquigarrow _{G}$ ist.
Nun ist die von der Grammatik $G$ erzeugte formale Sprache $L(G)$ diejenige Sprache, die aus allen Wörtern besteht, die zum einen nur aus Terminalsymbolen bestehen und die zum anderen vom Startsymbol mit einer endlichen Anzahl von Schritten abgeleitet werden können:
$L\left(G\right):=\left\{w\in T^{*}|S\rightsquigarrow _{G}^{*}w\right\}$
Dabei ist es egal, in welcher Reihenfolge die Produktionsregeln auf die abgeleiteten Wörter angewandt werden, oder ob es mehrere Möglichkeiten gibt, um ein Wort $w$ aus $S$ abzuleiten. Zwei Grammatiken $G_{1}$ und $G_{2}$ sind genau dann äquivalent, wenn die durch $G_{1}$ und $G_{2}$ erzeugten Sprachen gleich sind:
    $G_{1}\mathrm {\ ist\ {\ddot {a}}quivalent\ zu\ } G_{2}:\Longleftrightarrow L(G_{1})=L(G_{2})$
Wenn alle Terminalzeichen in den Wörtern der formalen Sprachen vorkommen, dann müssen die Terminalzeichen übereinstimmen. Die Nichtterminalzeichen sind dagegen völlig frei.

## Beispiele

$G_{1}$ sei eine Grammatik mit den Terminalsymbolen $\{a,b\}$, den Nichtterminalsymbolen $\{S,A,B\}$, dem Startsymbol $S$ und mit den Regeln
    ${\begin{matrix}S&\to &ABS&\,(1)\\S&\to &\varepsilon &\,(2)\\BA&\to &AB&\,(3)\\BS&\to &b&\,(4)\\Bb&\to &bb&\,(5)\\Ab&\to &ab&\,(6)\\Aa&\to &aa&\,(7)\end{matrix}}$
Dabei ist $\varepsilon$ das leere Wort, welches ein Wort der Länge 0 ist. Diese Grammatik $G_{1}$ definiert die Sprache aller Wörter der Form $a^{n}b^{n}$ mit $n\in \mathbb {N} _{0}$. So sind auf Grund der folgenden Ableitungen die Wörter $\varepsilon$, $ab$ und $aabb$ Elemente der durch $G_{1}$ beschriebenen Sprache:
* $S\rightsquigarrow \varepsilon$, mittels Regel (2),
* $S\rightsquigarrow ABS\rightsquigarrow Ab\rightsquigarrow ab$, mittels der Regeln (1), (4) und (6),
* $S\rightsquigarrow ABS\rightsquigarrow ABABS\rightsquigarrow ABAb\rightsquigarrow AABb\rightsquigarrow AAbb\rightsquigarrow Aabb\rightsquigarrow aabb$, mittels der Regeln (1),(1),(4),(3), (5), (6) und (7).
Es gibt aber noch andere Möglichkeiten, um das Wort $aabb$ aus $S$ abzuleiten.
Eine weitere Grammatik, die dieselbe Sprache beschreibt, ist die kontextfreie Grammatik $G_{2}$ mit den Regeln: ${\begin{matrix}S&\to &aSb\ |\ \varepsilon \end{matrix}}$
Jede rekursiv aufzählbare Sprache wird von mehreren (und zwar abzählbar unendlich vielen) Grammatiken erzeugt. Allerdings gibt es auch Sprachen, die sich von keiner Grammatik erzeugen lassen.

## Klassen von Grammatiken

Grammatiken werden Klassen zugeordnet, die sich durch Gemeinsamkeiten auszeichnen. Die bekannteste Klassifikation beschrieben Noam Chomsky und Marcel Schützenberger mit der Chomsky-Hierarchie.

### Chomsky-Hierarchie

Die Chomsky-Hierarchie teilt die Grammatiken nach der Art der Produktionsregeln in Klassen vom Typ 0 bis Typ 3 ein:
* Typ-0-Grammatiken: Phrasenstrukturgrammatiken sind uneingeschränkte formale Grammatiken.
* Typ-1-Grammatiken: Kontextsensitive Grammatiken dürfen nur aus Regeln bestehen, in denen genau ein Nichtterminalsymbol durch eine Zeichenfolge ersetzt wird. Dieses Symbol darf auf der linken Seite der Regel auch von weiteren Symbolen umgeben sein, die einen Kontext angeben, innerhalb dessen die Ersetzung stattfinden muss.
* Typ-2-Grammatiken: In kontextfreien Grammatiken darf dagegen auf den linken Seiten der Regeln jeweils nur genau ein Nichtterminalsymbol stehen. Das Symbol kann dann unabhängig vom Kontext ersetzt werden.
* Typ-3-Grammatiken: Bei regulären Grammatiken enthalten die linken Seiten der Regeln ebenfalls nur genau ein Nichtterminalsymbol. Bei linksregulären Grammatiken darf die rechte Seite der Regel aus höchstens einem Nichtterminalsymbol bestehen, dem höchstens ein Terminalsymbol folgt (Bsp.: $X\to Ya$). Bei rechtsregulären Grammatiken darf hingegen die rechte Seite aus höchstens einem Terminalsymbol bestehen, dem höchstens ein Nichtterminal folgt (Bsp.: $X\to aY$).
Die zugehörigen Sprachklassen sind abnehmend umfangreich. Es besteht folgende echte Inklusionsbeziehung:
Für die Sprachklassen $L_{n}$ von Typ $n$ mit $n\in \{0,1,2,3\}$ gilt: $L_{3}\subset L_{2}\subset L_{1}\subset L_{0}$.

### Weitere Sprachklassen

Von der Chomsky-Hierarchie abgesehen haben sich weitere Klassen an Grammatiken etabliert:
* Monotone Grammatiken beschreiben die gleiche Sprachklasse wie die kontextsensitiven Grammatiken. Etwas strenger sind die wachsend kontextsensitiven Grammatiken, die eine Teilklasse der kontextsensitiven Sprachklasse beschreiben.
* Deterministisch kontextfreie Grammatiken beschreiben die deterministisch kontextfreien Sprachen. Sie werden auch durch die LR(k)-Grammatiken beschrieben, welche für den Compilerbau von Bedeutung sind. Andere im Compilerbau bekannte Grammatiken sind LL(k)-Grammatiken und LF(k)-Grammatiken.