# Adjunktion (Kategorientheorie)

Adjunktion ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie. Zwei Funktoren $F:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}$ und $G:{\mathcal {D}}\rightarrow {\mathcal {C}}$ zwischen Kategorien ${\mathcal {C}}$ und ${\mathcal {D}}$ heißen adjungiert, wenn sie eine gewisse Beziehung zwischen Morphismenmengen vermitteln. Dieser Begriff wurde von D. M. Kan eingeführt.

## Definition

Zwei Funktoren $F\colon {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}$ und $G\colon {\mathcal {D}}\rightarrow {\mathcal {C}}$ zwischen Kategorien ${\mathcal {C}}$ und ${\mathcal {D}}$ bilden ein adjungiertes Funktorpaar, wenn die Funktoren
    $(X,Y)\mapsto \operatorname {Mor} _{\mathcal {D}}(X,FY)$
und
    $(X,Y)\mapsto \operatorname {Mor} _{\mathcal {C}}(GX,Y)$
von ${\mathcal {D}}^{\operatorname {op} }\times {\mathcal {C}}$ in die Kategorie der Mengen Set natürlich äquivalent sind. (Zusammen mit den beiden Kategorien und den beiden Funktoren bildet die natürliche Äquivalenz eine Adjunktion.)
$F$ heißt rechtsadjungiert zu $G$, $G$ heißt linksadjungiert zu $F$. Man schreibt dies kurz als $G\dashv F$ oder $F\vdash G$, das Turnstile-Symbol zeigt auf den linksadjungierten Funktor. In Diagrammen wird dieses Symbol ebenfalls zur Kennzeichnung einer Adjunktionsbeziehung verwendet.

## Einheit und Koeinheit der Adjunktion

Ist $t$ die natürliche Äquivalenz $\operatorname {Mor} _{\mathcal {D}}(\cdot _{1},F(\cdot _{2}))\to \operatorname {Mor} _{\mathcal {C}}(G(\cdot _{1}),\cdot _{2})$, so heißen die natürlichen Transformationen
    $\eta \colon \operatorname {id} _{\mathcal {D}}\to FG$
    $X\mapsto t_{(X,GX)}^{-1}(\operatorname {id} _{GX})$
und
    $\varepsilon \colon GF\to \operatorname {id} _{\mathcal {C}}$
    $Y\mapsto t_{(FY,Y)}(\operatorname {id} _{FY})$
Einheit bzw. Koeinheit der Adjunktion.
Einheit und Koeinheit haben die Eigenschaft, dass die beiden induzierten Transformationen
    $G\rightarrow GFG\rightarrow G$ und $F\rightarrow FGF\rightarrow F$
jeweils die Identität ergeben. Genauer sollen folgende Diagramme kommutativ sein:
Dabei sind $1_{G}$ und $1_{F}$ die identischen Transformationen und die natürlichen Transformationen $G\eta ,\varepsilon G,\eta F,F\varepsilon$ sind definiert durch $(G\eta )_{X}:=G(\eta _{X}),(\varepsilon G)_{X}:=\varepsilon _{G(X)},(\eta F)_{Y}:=\eta _{F(Y)},(F\varepsilon )_{Y}:=F(\varepsilon _{Y})$ für Objekte $X$ aus ${\mathcal {D}}$ und $Y$ aus ${\mathcal {C}}$. Wegen der Form dieser kommutativen Diagramme nennt man die Beziehungen $1_{G}=\varepsilon G\circ G\eta$ und $1_{F}=F\varepsilon \circ \eta F$ auch die Dreiecksgleichungen.
Umgekehrt kann man zeigen, dass zwei derartige natürliche Transformationen, die diese Dreiecksgleichungen erfüllen, eine Adjunktion bestimmen, deren Einheit und Koeinheit sie sind.

## Eigenschaften

* Sind $F$ und $G$ quasi-invers zueinander, so ist $F$ rechts- und linksadjungiert zu $G$.
* Rechtsadjungierte Funktoren erhalten Limites (sind also linksexakt), linksadjungierte Funktoren erhalten Kolimites (sie sind rechtsexakt).
* Ist $F$ rechtsadjungiert zu $G$, $\eta \colon \mathrm {id} _{\mathcal {D}}\to FG$ die Einheit, und $\varepsilon \colon GF\to \mathrm {id} _{\mathcal {C}}$ die Koeinheit der Adjunktion, so ist $(FG,\eta ,\mu )$ mit $\mu _{X}:=F(\varepsilon _{GX})$ eine Monade in ${\mathcal {D}}$.

## Beispiele

* Der Funktor $F\colon \mathbf {Set} \to \mathbf {Vec} _{K}$, der eine Menge $I$ auf $F(I)$, den freien $K$-Vektorraum über $I$, dessen Elemente formale $K$-Linearkombinationen sind, abbildet, ist linksadjungiert zum Vergissfunktor $U\colon \mathbf {Vec} _{K}\to \mathbf {Set}$, der Vektorräumen ihre zugrundeliegende Menge zuordnet. Die $I$-Komponente der Einheit dieser Adjunktion, $\eta _{I}\colon I\to U(F(I))$, ist gerade die Familie der kanonischen Basisvektoren von $F(I)$. Die $V$-Komponente der Koeinheit, $\varepsilon _{V}\colon F(U(V))\to V$, ist die lineare Abbildung, die formale $K$-Linearkombinationen von Elementen von $V$ mit den konkreten Operationen von $V$ auswertet.
* Der Funktor „freie abelsche Gruppe über einer Menge“ ist linksadjungiert zum Vergissfunktor Ab → Set.
* Der Funktor „statte eine Menge mit der diskreten Topologie aus“ ist linksadjungiert zum Vergissfunktor Top → Set.
* Der Funktor „statte eine Menge mit der trivialen Topologie aus“ ist rechtsadjungiert zum Vergissfunktor Top → Set.
* Der Funktor „disjunkte Vereinigung mit einem einpunktigen Raum“ ist linksadjungiert zum Vergissfunktor Top$^*$ → Top.
* Der Funktor „Stone-Čech-Kompaktifizierung“ ist linksadjungiert zum Vergissfunktor von der Kategorie der kompakten Hausdorffräume in die Kategorie aller topologischer Räume.
* Der Funktor „Vervollständigung“ ist linksadjungiert zum Vergissfunktor von der Kategorie der vollständigen metrischen Räume in die Kategorie aller metrischen Räume.
* Die reduzierte Einhängung ist linksadjungiert zum Schleifenraum; beide Kategorien sind dabei die punktierten topologischen Räume mit den Homotopieklassen von punktierten Abbildungen als Morphismen.
* In einer kartesisch abgeschlossenen Kategorie ${\mathcal {C}}$ ist für jedes Objekt $S$ der Funktor $(-)\times S\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}$ linksadjungiert zum Funktor $(-)^{S}\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}$. Die sich durch diese Funktoren ergebende Monade, bei der die Objektabbildung $A\mapsto (A\times S)^{S}$ ist, ist gerade die Zustandsmonade mit Zustandsobjekt $S$.
* Fasst man Funktionen als spezielle Relationen auf, so ergibt sich ein Vergissfunktor $G\colon \mathbf {Set} \to \mathbf {Rel}$, mit $G(X)=X$ für Mengen $X$ und $G(f)=\{(x,f(x))\mid x\in X\}\subseteq X\times Y$ für Funktionen $f\colon X\to Y$. Der zu $G$ rechtsadjungierte Funktor $F\colon \mathbf {Rel} \to \mathbf {Set}$ ordnet Mengen ihre Potenzmenge und Relationen $r\subseteq X\times Y$ die Funktion $M\mapsto \{y\mid (x,y)\in r,x\in M\}$ zu. Die $X$-Komponente der Einheit der Adjunktion, $\eta _{X}\colon X\to {\mathcal {P}}X$, ist $x\mapsto \{x\}$. Die $Y$-Komponente der Koeinheit der Adjunktion, $\varepsilon _{Y}\subseteq {\mathcal {P}}Y\times Y$, ist gerade die auf ${\mathcal {P}}Y$ beschränkte Elementrelation.