# Kausalmenge

Eine Kausalmenge (englisch causal set oder kurz causet) ist definiert als eine „lokal endliche (finite)“ Halbordnung (englisch locally finite poset), d. h. als eine Menge $C$ versehen mit einem speziellen Typ von Teilordnungsrelation $\prec$ (bzw. äquivalent $\preceq$), gekennzeichnet durch das spezielle Axiom der „lokalen Endlichkeit (Finitheit)“. Dieses stellt sicher, dass sich „zwischen“ zwei beliebigen Elementen (wenn überhaupt) maximal endlich viele andere befinden. Da es für die Trägermenge $C$ als Ganzes jedoch keine Einschränkungen bezüglich ihrer Mächtigkeit (Mathematik) gibt, verhält sich eine Kausalmenge nur „lokal diskret“.
Der Begriff ist zu unterscheiden vom englischen causal state set, cause set, ‚Ursachenmenge‘ – einem Begriff, der als Gegensatz zu effect set, ‚Effektmenge‘, verstanden wird, aber im Englischen manchmal auch mit dem Terminus causal set bezeichnet wird.
Die Kausalmengentheorie (englisch causal set theory, CST) ist ein bedeutender Ansatz für eine moderne Theorie der Quantengravitation und beruht auf dem Konzept der Kausalmengen:
* Die Grundannahme ist dabei, dass die Raumzeit tatsächlich kein Kontinuum im Sinn der Physik (also Modell eines mathematischen Kontinuums) ist, sondern diskret ist, d. h. eine Zusammenfassung diskreter Raumzeitpunkte (Ereignissen, englisch events). Diese werden interpretiert als die Elemente der Kausalmenge (genauer ihrer Trägermenge $C$).
* Diese Raumzeitereignisse sind durch die genannte lokal endliche Halbordnungsrelation miteinander verbunden, die ein mathematisches Modell der Kausalitätsbeziehungen zwischen ihnen darstellt.

## Intention

Nach früheren Vorschlägen von Gerard ’t Hooft und Jan Myrheim aus dem Jahr 1978. wurden Kausalmengen 1987 von Rafael D. Sorkin definiert und von ihm und seinen Mitarbeitern im Hinblick auf ihre physikalisch/kosmologische Anwendung (Quantengravitation) untersucht. Diese Studien basieren auf dem Theorem von Malament (David B. Malament, 1977, s. u.). Sorkin ist nach wie vor Hauptbefürworter dieses Ansatzes und hat den Slogan „Ordnung + Zahl = Geometrie“ (en. Order + Number = Geometry) geprägt, um diese These zu charakterisieren. Nach dieser ist die Raumzeit grundsätzlich diskret, während die lokale Lorentzinvarianz erhalten bleibt.
Die Motivation für diesen Ansatz beruht u. a. auf der Beobachtung, dass man, wenn man eine hinreichend dichte Menge gleichmäßig verteilter Zufallspunkte in eine Mannigfaltigkeit „einstreut“, auf Größenordnungen wesentlich größer als die (durch die Punktdichte vorgegebenen) Abstände der Punkte, die Raumzeit-Geometrie wiederherstellen kann, indem man einfach die hier definierte „kausale“ Ordnungsstruktur der Punkte verwendet.
Die Idee besteht konkret darin, zunächst die den Begriff der Kausalmenge als (lokal) diskrete relationale Struktur zu axiomatisieren. Anschließend versucht man, aus dieser Struktur die geometrische Struktur der kontinuierlichen Raumzeit als eine Lorentz-Mannigfaltigkeit (bzw. Einstein-Mannigfaltigkeit) zu gewinnen. Dabei gibt es zwei im Detail unterschiedliche Ansätze:
* Schwache Kausalmengen-Hypothese: die Geometrie des Raums wird durch die kausalen Beziehungen zwischen den Ereignissen bestimmt.
* Starke Kausalmengen-Hypothese: der Raum (und die durch seine Geometrie bestimmte Materie) ist nichts anderes ist als das Muster der Kausalbeziehungen.
Bemerkenswert ist, dass diese Methode nur „gutartige“ Raumzeiten liefert, in denen keine geschlossenen Weltlinien auftreten (siehe Gödel-Universum, Großvaterparadoxon).
Im Folgenden werden Kausalmengen als Halbordnungen definiert, in denen alle beidseitig beschränkten Intervalle endlich sind (lokal endliche Halbordnungen).

## Formale Definition

Kausalmengen (englisch causal sets, causets) werden definiert als lokal endliche Halbordnungen (englisch locally finite posets). Die in der Literatur üblichen Definitionen der Kausalmengen fassen diese (genauso wie die Halbordnungen) entweder als irreflexiv oder reflexiv auf. Je nach Kontext ist die eine oder die andere der beiden Konventionen praktischer. Wie bei Halbordnungen sind beide Varianten jedoch äquivalent und können ineinander übergeführt werden.
Die Kausalbeziehung einer Lorentzschen Mannigfaltigkeit (ohne geschlossene Kausalkurven) erfüllt als Halbordnung alle Bedingungen bis auf die jeweils letzte. Es ist die Bedingung der lokalen Endlichkeit, die die Diskretheit der Raumzeit einführt.

### Irreflexive Kausalmengen

Eine irreflexive Kausalmenge oder kausale Menge $(C,\prec )$ ist eine Menge $C$ mit einer binären Relation $\prec$, so dass folgende Axiome erfüllt sind:
* Irreflexivität: $\quad \forall x\in C\colon \;x\nprec x$, 00d. h.: $\neg (x\prec x)$;
* Transitivität: $\quad \forall x,y,z\in C\colon \;x\prec y\prec z\Rightarrow x\prec z$;
* Lokale Endlichkeit: $\quad \forall x,z\in C\colon \;\{y\in C|x\prec y\prec z\}$ ist eine endliche Menge, formal: $\operatorname {card} (x,z)<\infty$.
Die ersten beiden Axiome definieren eine strikte (strenge) partielle Ordnung (strenge Halbordnung, en. strict partial order / poset).
In diesem Fall ist per Definition $x\preceq y$ eine Abkürzung für $x\prec y$ ‚oder‘ $x=y$ (formal: $x\prec y\lor x=y$).
Wenn zwei voneinander verschiedene Elemente $x,y\in C$ bzgl. $\prec$ in keiner solchen Relation zueinander stehen, d. h. wenn weder $x=y$, noch $x\prec y$ oder $y\prec x$, dann drückt man dies gelegentlich durch $x\natural y$ aus.
Statt $y\prec x$ schreibt man oft auch $x\succ y$ (Umkehrrelation).

### Reflexive Kausalmengen

Eine reflexive Kausalmenge oder kausale Menge $(C,\preceq )$ ist eine Menge $C$ mit einer binären Relation $\preceq$, so dass folgende Axiome erfüllt sind:
* Reflexivität: $\quad \forall x\in C\colon \;x\preceq x$;
* Antisymmetrie: $\quad \forall x,y\in C\colon \;x\preceq y$ und $y\preceq x$ impliziert $x=y$, formal: $(x\preceq y\land y\preceq x)\Rightarrow x=y$;
* Transitivität: $\quad \forall x,y,z\in C\colon \;x\preceq y\preceq z\Rightarrow x\preceq z$;
* Lokale Endlichkeit: $\quad \forall x,z\in C\colon \;\{y\in C|x\preceq y\preceq z\}$ ist eine endliche Menge, formal etwa: $|[x,z]|<\aleph _{0}\;$.
Die ersten drei Axiome definieren eine reflexive partielle Ordnung (Halbordnung, en. reflexive partial order / poset).
In diesem Fall ist per Definition $y\prec y$ eine Abkürzung für $x\preceq y$ ‚und‘ $x\neq y$ (formal $x\preceq y\land x\neq y$).
In diesem Fall ist $x\natural y$ gleichbedeutend mit ‚weder‘ $x\preceq y$ ‚noch‘ $y\preceq x$.
Statt $y\preceq x$ schreibt man oft auch $x\succeq y$ (Umkehrrelation).

### Ordnungskegel

Die Vergangenheit (en. past) $P(x)$ und Zukunft (en. future) $F(x)$ eines Elementes $x\in C$ definiert man
    $P(x):=\{y\in C\mid y\prec x\}$
und
    $F(x):=\{y\in C\mid x\prec y\}$
Ordnungstheoretisch handelt es sich dabei um Ordnungskegel.
Wie bei Lorentz-Mannigfaltigkeiten (siehe Kausalstruktur) definiert man als Alexandrow-Mengen (en. Alexandrov sets) die Intervalle der Art
    $I(x,z):=\{y\in C\mid x\prec y\prec z\}\equiv{x,z}$
Für Teilmengen $A\subseteq C$ sei in Analogie zur Notation bei Lorentz-Mannigfaltigkeiten
    $P[A]:=\{y\in C\mid \exists x\in A\colon y\prec x\}$
und
    $F[A]:=\{y\in C\mid \exists x\in A\colon x\prec y\}$
Per Definition ist $P(x)=P[\{x\}]$ und $F(x)=F[\{x\}]$ (Einermengen).

### Weitere Begriffsbildungen

Weitere Begriffsbildungen gemäß Fay Dowker (2017):
Eine Vergangenheitsmenge ist eine Teilmenge $A\subseteq C$, die ihre eigene Vergangenheit enthält. Es gilt dann $A=\{y\in C|\exists x\in A\colon y\preceq x\}$
Eine Zukunftsmenge ist eine Teilmenge $A\subseteq C$, die ihre eigene Zukunft enthält. Es gilt dann $A=\{y\in C|\exists x\in A\colon x\preceq y\}$.
Ein Teilstamm (en. partial stem) ist eine endliche Vergangenheitsmenge (Vergangenheitsmenge mit endlicher Mächtigkeit).
Ein Post ist ein Element, das mit jedem anderen Element der Menge kausal verbunden ist.
Weitere Begriffe wie partieller Post und partieller Break findet man bei F. Dowker (2017).

## Theorem von Malament

Der Kausalmengen-Ansatz der Quantengravitation basiert auf einem Theorem von David B. Malament (genauer: Malament, Hawking-McCarthy-King, Levichev), das folgendes besagt: Wenn es eine bijektive Abbildung $f\colon M_{1}\to M_{2}$ zwischen zwei Raumzeiten $(M_{1},g_{1})$ und $(M_{2},g_{2})$ mit Dimension > 2 gibt, die bzgl. der Kausalstruktur treu ist (sie erhält), d. h. für die gilt:
    $X\ll Y\Leftrightarrow f(X)\ll f(Y)$ für alle $X,Y\in M_{1}$ (oder analog mit ${<}$ statt$\ll$),
dann sind $(M_{1},g_{1})$ und $(M_{2},g_{2})$ konform isometrisch und $f$ ein konformer Isomorphismus.
Der konforme Faktor bleibt dabei zunächst unbestimmt. Er hängt mit dem Volumen der Regionen in der Raumzeit zusammen. Dieser Volumenfaktor lässt sich ermitteln, indem für jeden Raumzeitpunkt ein Volumenelement angegeben wird. Das Volumen einer Raumzeitregion könnte dann durch Zählen der Anzahl der Punkte in dieser Region ermittelt werden, wenn eine lokal diskrete Kausalmenge zugrunde gelegt wird.

## Einbettung in ein Kontinuum

Ein wesentlicher Schritt in der Theorie ist die Einbettung von Kausalmengen in eine Lorentzsche Mannigfaltigkeit. Eine solche Einbettung wäre eine Karte, die Elemente der Kausalmenge in Punkte der Mannigfaltigkeit abbildet, so dass die Ordnungsbeziehung der Kausalmenge mit der kausalen Ordnung (Kausalstruktur) der Mannigfaltigkeit übereinstimmt (Ordnungshomomorphismus).
Im Gegensatz zu gewöhnlichen Halbordnungen ist bei Kausalmengen aber noch ein weiteres Kriterium erforderlich, damit die Einbettung wirklich geeignet ist. Nur wenn die Anzahl der Elemente der Kausalmenge, die auf eine Region der Mannigfaltigkeit abgebildet werden, im Durchschnitt proportional zum Volumen der Region ist, wird die Einbettung als treu oder getreu (en. faithful, vgl. strukturtreu, verträglich) bezeichnet. In diesem Fall kann man die Kausalmenge als „mannigfaltig“ bezeichnen. Die Modellierung der Raumzeit als Kausalmenge verlangt daher einen Fokus auf diejenigen Kausalmengen zu setzen, die „mannigfaltig“ sind. Allerdings ist dies eine schwer zu bestimmende Eigenschaft.
Eine zentrale Vermutung des Kausalmengenprogramms ist, dass dieselbe Kausalmenge nicht getreu in zwei verschiedene Raumzeiten eingebettet werden kann, wenn diese sich nicht „auf großen Skalen ähnlich“ sind. Diese wird als Hauptvermutung (d. h. grundlegende Vermutung, en. fundamental conjecture) bezeichnet. Weil man dazu eindeutige Kriterien braucht, um zu entscheiden, wann zwei Raumzeiten „auf großen Skalen ähnlich“" sind, ist es jedoch schwierig, diese Vermutung genau zu definieren.

### Sprinkling

Das Problem, zu bestimmen, ob eine Kausalmenge in eine Mannigfaltigkeit eingebettet werden kann, lässt sich auch von der anderen Seite her angehen. Man kann eine kausale Menge erzeugen, indem man Punkte in eine Lorentzsche Mannigfaltigkeit einstreut, was englisch „Sprinkling“ genannt wird. Indem man Punkte proportional zum Volumen der Raumzeitregionen streut und die kausalen Ordnungsbeziehungen in der Mannigfaltigkeit auf die Menge der gestreuten Punkte überträgt, induziert man eine Ordnungsrelation zwischen den Punkten. Diese ist dann eine lokal finite Halbordnung, also eine Kausalmenge, und kann konstruktionsbedingt getreu in die Mannigfaltigkeit eingebettet werden.
Um die Lorentzinvarianz zu gewährleisten, muss diese Streuung der Punkte zufällig mit Hilfe eines Poisson-Prozesses erfolgen. Die Wahrscheinlichkeit, dass $n$ Punkte in eine Region mit dem Volumen $V$ gestreut werden, ist dabei
$P(n)={\frac {(\rho V)^{n}e^{-\rho V}}{n!}}$00(Poisson-Verteilung),
wobei $\rho$ die Dichte der Berieselung ist. Bei der Verteilung von Punkten in Form eines regelmäßigen Gitters wäre die Anzahl der Punkte nicht proportional zum Volumen der Region.

## Geometrie

Einige geometrische Konstrukte in Mannigfaltigkeiten lassen sich auf Kausalmengen übertragen. Einen Überblick über diese Konstruktionen findet man bei Brightwell (1991).

### Geodäten

Ein Link in einer Kausalmenge nennt man ein Paar $(x,y)$ von Elementen $x,y\in C$, so dass $y$ ein direkter Nachfolger (oberer Nachbar) von $x$ (oder umgekehrt ausgedrückt, $x$ ein direkter Vorgänger (unterer Nachbar) von $y$) ist. D. h. es gilt $x\prec y$, aber ohne dass es ein $z\in C$ gäbe mit $x\prec z\prec \,$ $y$. Für Links $(x,y)$ ist daher das abgeschlossene Intervall $[a,b]=\{a,b\}$, das offene $a,b=\emptyset$. Näheres zu den Begriffen siehe Ordnungsrelation §Vorgänger und Nachfolger und Vorgänger und Nachfolger (Mathematik) §Definitionen.
Eine Kette ist eine Sequenz (endliche Folge) von Elementen $x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}$, sodass $x_{i}\prec x_{i+1}$ für $i=0,\ldots ,n-1$. Die Länge einer Kette ist die Anzahl der Mitglieder $k$. Wenn jedes $x_{i},x_{i+1}$ in der Kette ein Link ist, dann heißt die Kette ein Pfad (en. path).
Auf diese Weise lässt sich der Begriff der Geodäte (en. geodesic) zwischen zwei Elementen einer Kausalmenge definieren. Voraussetzung ist, dass sie in dieser Ordnung „vergleichbar“ (en. comparable), d. h. kausal miteinander verbunden sind. Physikalisch (in der Lorentz-Mannigfaltigkeit $(M,g)$) bedeutet dies, dass zwei Raumzeitpunkte $X,Y$ kausal miteinander verbunden sind, d. h. einer in der kausalen Zukunft oder kausalen Vergangenheit des anderen liegt, in Zeichen $X\prec Y$ oder $X\prec Y$.
Eine Geodäte (en. geodesic) zwischen zwei Elementen $x\preceq z\in C$ ist eine Kette $y_{0},y_{1},\ldots ,y_{k}$ in $C$, sodass
* $y_{0}=x$ und $y_{k}=z$
* Die Länge der Kette $n$ ist maximal unter allen Ketten von $x$ bis $z$.
Im Allgemeinen kann es mehr als eine Geodäte zwischen zwei vergleichbaren Elementen geben.
Bei einer Lorentzschen Mannigfaltigkeit (zum Vergleich) ist – im Unterschied zur Riemannschen Geometrie – das Infimum der lorentzschen Länge aller glatten Kurven zwischen zwei zeitartig auseinanderliegenden (Raumzeit-)Punkten immer null. Jedoch hat eine zeitartige Geodäte zwischen diesen beiden Punkten, wenn sie existiert, die größte lorentzsche Länge unter allen kausalen Kurven zwischen diesen beiden.
Jan Myrheim schlug 1978 erstmals vor, dass die Länge einer solchen Geodäte direkt proportional zur Eigenzeit entlang einer zeitartigen Geodäte sein sollte, die die beiden Raumzeitpunkte verbindet. Diese Vermutung wurde anhand von Kausalmengen getestet, die aus Sprinklings in ebenen Minkowski-Raumzeiten erzeugt wurden. Die Proportionalität ist unter diesen (trivialen) Umständen erwiesen, sie gilt aber vermutlich auch für Sprinklings in gekrümmten Raumzeiten.

### Abschätzungen der Dimension

Es wurde viel Arbeit in die Schätzung investiert, welche Dimension die Lorentzsche Mannigfaltigkeit haben muss, in die eine „mannigfaltige“ Kausalmenge getreu eingebettet werden kann. Dazu gehören Algorithmen, die die Kausalmenge als Input benutzen mit dem Ziel, die Dimension der Lorentzschen Mannigfaltigkeit zu bestimmen, in die sie getreu eingebettet werden kann. Die bisher entwickelten Algorithmen basieren allerdings ebenfalls nur auf der Ermittlung der Dimension einer ebenen Minkowski-Raumzeit, in die die Kausalmenge getreu eingebettet werden kann.
* Myrheim–Meyer-Dimension
Dieser Ansatz beruht auf der Schätzung der Anzahl von Ketten der Länge $k$, die in einem Sprinkling in der $d$-dimensionalen Minkowski-Raumzeit vorhanden sind. Die Zählung der Anzahl von Ketten der Länge k in der Kausalmenge ermöglicht dann eine Schätzung für $d$.
* Midpoint-scaling-Dimension
Dieser Ansatz stützt sich auf die Beziehung zwischen der Eigenzeit zwischen zwei Punkten in der Minkowski-Raumzeit einerseits und dem Volumen des Raumzeitintervalls zwischen ihnen andererseits. Durch Berechnung der maximalen Kettenlänge (zur Abschätzung der Eigenzeit) zwischen zwei Punkten $x$ und $y$ und durch Zählen der Anzahl der Elemente $y$ zwischen $x$ und $z$ (formal: $x\prec y\prec z$ oder $y\inx,z$) zur Abschätzung des Volumens des Raumzeitintervalls, kann die Dimension der Raumzeit berechnet werden.
Diese Schätzgrößen sollten die korrekte Dimension für Kausalmengen ergeben, die durch Sprinkling mit hoher Dichte in einer $d$-dimensionalen Minkowski-Raumzeit erzeugt werden. Tests in konform ebenen Raumzeiten haben gezeigt, dass diese beiden Methoden genau sind.

## Dynamik

Eine laufende Aufgabe besteht darin, die richtige Dynamik für Kausalmengen zu entwickeln. Diese sollte eine Reihe von Regeln liefern, die vorhersagen, welche Kausalmengen physikalisch realistischen Raumzeiten entsprechen. Dies schließt eine „Impulsraumdiffusion“ aufgrund der CST-Diskretion (en. momentum space diffusion coming from CST discreteness, swerves, deutsch wörtlich ‚Ausweichen‘) mit ein, sowie Auswirkungen der Nichtlokalität auf die Quantenfeldtheorie (Sorkin 2007), einschließlich eines Vorschlags für dunkle Materie (Saravani und Afshordi 2017). Am bemerkenswertesten ist die 1987 von Sorkin gemachte Vorhersage für den Wert der kosmologischen Konstante
Der populärste Ansatz zur Entwicklung der Dynamik von Kausalmengen basiert auf dem Pfadintegral-Formalismus der Quantenmechanik, auch als sum-over-histories-Methode bezeichnet.
Dazu erweitert man eine Kausalmenge um ein Element nach dem anderen, was dann ein sum-over-causal sets hergibt. Die Elemente müssen gemäß quantenmechanischen Regeln hinzugefügt werden, die Interferenz würde dann dafür sorgen, dass die Beiträge von einer großen, mannigfaltig-artigen Raumzeit dominiert werden. Das beste Modell für die Dynamik ist derzeit ein klassisches Modell, bei dem die Elemente nach Wahrscheinlichkeitskriterien hinzugefügt werden. Dieses Modell, das auf David Rideout und Rafael Sorkin (2008) zurückgeht, wird als „klassische sequentielle Wachstumsdynamik“ (en. classical sequential growth, CSG) bezeichnet. Das klassische sequentielle Wachstumsmodell ist eine Möglichkeit, kausale Mengen zu erzeugen, indem neue Elemente nacheinander hinzugefügt werden. Es werden Regeln festgelegt, wie neue Elemente hinzugefügt werden. Je nach den Parametern des Modells ergeben sich unterschiedliche Kausalmengen. Ihre Quanten-Versionen werden englisch quantum sequential growth (QSG) genannt.
In Analogie zur Pfadintegralformulierung der Quantenmechanik bestand ein Ansatz zur Entwicklung einer Quantendynamik für Kausalmengen in der Anwendung eines Prinzip der kleinsten Wirkung im Rahmen des Ansatzes der sum-over-causal sets. R. Sorkin hat 2007 ein diskretes Analogon für das d'Alembertsche Prinzip vorgeschlagen, das wiederum zur Definition des Ricci-Krümmungsskalars und damit der Benincasa-Dowker-Aktion (en. Benincasa-Dowker action, BD action) auf einer Kausalmenge verwendet werden kann. Monte-Carlo-Simulationen (en. Markov Chain Monte Carlo, MCMC) haben Beweise für eine Kontinuumsphase in zwei Dimensionen unter Verwendung der Benincasa-Dowker-Aktion geliefert.

## Anwendungen

Nach Fay Dowker et al. (2017) sollte es möglich sein, die Geburt von Baby-Universen (kosmologische Vererbung) aus Schwarzen Löchern heraus zu modellieren.
Im Jahr 2021 wurde bestätigt, dass es mithilfe dieser Theorie möglich, die Singularität des Urknalls zu überwinden und so eine Kosmologie zu erhalten, in der die Zeit keinen Anfang hat, ähnlich wie dies mit Hilfe der Schleifenquantengravitation (SQG) und der (klassischen, nicht-quantisierten) Einstein-Cartan-Theorie (ECT) möglich ist.