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# Hadaaftimo

Hadaaftimo (auch Hadaftimo geschrieben) ist ein Ort und ein Distrikt in der Region Sanaag im Norden Somalias mit etwa 2400 Einwohnern, die größtenteils dem Somali-Clan der Warsangeli angehören, einer Clanfamilie der Harti-Darod.
Das Gebiet wird sowohl vom de facto unabhängigen Somaliland, als auch vom de facto autonomen Puntland beansprucht.

## Geschichte und Politik

Die Wurzeln der Ansiedlung reichen Jahrhunderte zurück und die Stadt besitzt archäologische Stätten und historische Gebäude. Diese befinden sich jedoch überwiegend im Verfall.
Der Ort zählte zum Kerngebiet des ehemals sehr einflussreichen und vom 13. bis ins 19. Jahrhundert existierenden Warsangali Sultanat. Der Enkel und Erbe des letzten regierenden Sultan, 'Siciid Sultan Abdisalaan' betrachtet die Stadt heute als seinen Sitz.

### Die 'Erklärung von Hadaaftimo'

Im Jahr 1989, noch vor Ausbruch des somalischen Bürgerkriegs, besetzten Rebellen der Somalischen Nationalbewegung den Ort. Durch aktive Unterstützung der Bevölkerung konnte die Somalische Armee Hadaaftimo jedoch schnell wieder unter eigene Kontrolle bringen. Vier Jahre später, also nach zwei Jahren Bürgerkrieg, fand in der Stadt eine Konferenz statt, an der führende Warsangeli und auch Sultan Abdisalam beteiligt waren. Das Ergebnis war ein Versprechen, dass die Warsangeli keine Organisationen oder autonomen Verwaltungen anerkennen, sondern immer an der Einheit Somalias festhalten werden.

### Maakhir

Zwischen 2007 und 2009 zählte Hadaaftimo zum autonomen Teilstaat Maakhir, mit dessen Gründung der Warsangeli-Clan die Verwaltung des Gebiets selbst übernehmen wollte, weil ohne eine funktionierende Zentralregierung die staatliche Verwaltung schon vor Jahren zusammengebrochen war und auch um klarzustellen, dass die Region weiterhin am Gedanken eines gemeinsamen somalischen Staates festhalten wird und nicht bereit ist, als Teil von Somaliland an dessen Kampf um Unabhängigkeit mitzuwirken. Februar 2008 kam es zu einer Belagerung von Hadaaftimo durch Truppen aus Somaliland, die sich jedoch vor Eintreffen bewaffneter Verteidiger wieder zurückzogen.

### Situation heute

Die Zugehörigkeit ist heute (Oktober 2012) schwer zu beurteilen. Anfang 2009 schloss sich Maakhir offiziell an die autonome Republik Puntland an. Jedoch hat Somaliland seine Ansprüche nie aufgegeben und zwischenzeitlich wurde der Northland State of Somalia bzw. Khaatumo State of Somalia ausgerufen, mit Gebietsansprüchen weiter südlich, die aber auch tief in die Verwaltungsregion Sanaag hineinreichen.
# Ruddock

Ruddock ist der Familienname folgender Personen:
* Dean Ruddock (* 1992), deutscher Spoken Word Poet, Schriftsteller, Workshopleiter, Veranstalter, Herausgeber und Musiker
* Donovan Ruddock (Razor Ruddock; * 1963), kanadischer Boxer jamaikanischer Herkunft
* Joan Mary Ruddock (* 1943), walisische Politikerin (Labour Party)
* Neil Ruddock (Razor Ruddock; * 1968), englischer Fußballspieler
* Paul Ruddock, britischer Finanzmanager und Kunstförderer
* Rhys Ruddock (* 1990), irischer Rugby-Union-Spieler
# Joan Greenwood

Joan Greenwood (* 4. März 1921 in Chelsea; † 27. Februar 1987 in London) war eine britische Schauspielerin.

## Biografie

Joan Greenwood wurde in Chelsea geboren und studierte an der Royal Academy of Dramatic Art. Auch nach ersten Auftritten im Film war sie zunächst hauptsächlich im Theater tätig, bis sie ab Ende der 1940er Jahre regelmäßig im Kino zu sehen war. Besonders lag ihr die Rolle der verführerischen Schönheit, so auch in ihrer heute wohl bekanntesten Rolle als Sibella in der schwarzen Komödie Adel verpflichtet von 1949. Nach etlichen populären Filmen der Ealing Studios wie Freut euch des Lebens und Der Mann im weißen Anzug trat Joan Greenwood auch in französischen und ab 1954 auch in US-amerikanischen Produktionen auf, darunter ein Auftritt in Fritz Langs Kostümfilm Das Schloß im Schatten. An die Erfolge der englischen Filme konnten die US-Produktionen aber nicht anknüpfen und so kehrte sie in ihre Heimat zurück. Sie verlegte sich in späteren Jahren auf Nebenrollen sowie Fernsehauftritte und blieb bis in ihr Todesjahr schauspielerisch tätig.
1960 lernte sie bei Dreharbeiten André Morell kennen und heiratete ihn. Die Ehe hielt bis zu Morells Tod 1978. Aus der Ehe ging ein Sohn Jason Morell hervor. Greenwood starb 1987 an einem Herzinfarkt.

## Filmografie (Auswahl)

* 1939: Little Ladyship (Fernsehfilm)
* 1941: My Wife’s Family
* 1943: The Gentle Sex
* 1947: Zwielicht (The October Man)
* 1948: Königsliebe (Saraband for Dead Lovers)
* 1949: Adel verpflichtet (Kind hearts and Coronets)
* 1949: Freut euch des Lebens (Whiskey Galore)
* 1949: Vom sündigen Poeten (The Bad Lord Byron)
* 1951: Der Mann im weißen Anzug (The Man in the White Suit)
* 1952: Ernst sein ist alles (The Importance of being Earnest)
* 1954: Die seltsamen Wege des Pater Brown (Father Brown)
* 1954: Liebling der Frauen (Monsieur Ripois)
* 1955: Das Schloß im Schatten (Moonfleet)
* 1958: Eines Tages öffnet sich die Tür (Stage Struck)
* 1961: Die geheimnisvolle Insel (Mysterious Island)
* 1963: Tom Jones – Zwischen Bett und Galgen (Tom Jones)
* 1964: Der Millionenschatz (The Moon-Spinners)
* 1966: Geheimauftrag für John Drake (Danger Man; Fernsehserie, 1 Folge)
* 1968: Barbarella (nur Stimme)
* 1977: Das Unheimliche (The Uncanny)
* 1978: Der Hund von Baskerville (The Hound of the Baskervilles)
* 1982–1983: Triangle (Fernsehserie, 27 Folgen)
* 1983: Wagner – Das Leben und Werk Richard Wagners (Miniserie, 1 Folge)
* 1985–1986: Girls on Top (Fernsehserie, 13 Folgen)
* 1987: Klein Dorrit (Little Dorrit)
# Moirones

Moirones ist eine Ortschaft in Uruguay.

## Geographie

Sie befindet sich im Sektor 7 des Departamento Rivera. Dort liegt sie südlich von Lapuente, östlich von Amarillo und westlich des Ortes Arroyo Blanco am östlichen Ufer des Arroyo Yaguarí.

## Infrastruktur

Nördlich der Ortschaft verläuft die Ruta 27.

## Einwohner

Der Ort hatte bei der Volkszählung im Jahr 2011 211 Einwohner, davon 113 männliche und 98 weibliche.
| Jahr | Einwohner |
| 1996 | - |
| 2004 | 158 |
| 2011 | 211 |
Quelle: Instituto Nacional de Estadística de Uruguay
# Wahram

Wahram ist unter anderem der Name
* mehrerer persischer Könige aus dem Hause der Sassaniden, siehe Bahram
* des armenischen Musikers Wahram Babajan (* 1948)
# Yuʿfiriden

Die Yuʿfiriden, arabisch بنو يعفر, DMG Banū Yuʿfir, waren eine muslimische Lokaldynastie, die von 847 bis 997 im jemenitischen Hochland herrschte. Sie erkannte die Oberhoheit der Abbasidenkalifen formal an; Ihre Zentren waren Sanaa und Dschanad.
Mit dem Niedergang der direkten Abbasiden-Herrschaft im Jemen begannen die Yuʿfiriden von Schibam aus, ihre Macht im jemenitischen Hochland auszudehnen. Erstmals in der islamischen Geschichte des Jemen griff damit eine aus dem Land selbst stammende Dynastie nach der Herrschaft. Allerdings scheiterten ihre ersten Angriffe auf Sanaa, da der abbasidische Statthalter Truppenunterstützung aus dem Irak erhielt. Die Yuʿfiriden konnten sich aber der Gegenangriffe auf ihren Stützpunkt Schibam erfolgreich erwehren. 847 eroberten sie die Gebiete zwischen Saʿda und Taizz und erhoben 872 Schibam zur Hauptstadt ihres Fürstentums. Gleichzeitig übergab der Begründer der Dynastie, Yuʿfir ibn ʿAbd ar-Raḥmān al-Ḥiwālī al-Ḥimyārī die Regierungsgeschäfte an seinen Sohn Muḥammad, der hierüber auch eine Bestätigungsurkunde vom abbasidischen Kalifen erhielt. Eine Flutwelle, die Sanaa übergoss, nahm er zum Anlass, nach Mekka zu pilgern und sich ab diesem Zeitpunkt der Religion zu verschreiben. Die Regierungsgeschäfte wechselten auf seinen Sohn Ibrāhīm, der auf Veranlassung seines Großvaters Vater und Onkel ermorden ließ, um gewiss zu sein, dass von diesen keine Machtansprüche mehr ausgehen.
Zu Beginn des 10. Jahrhunderts kam es zu Kämpfen mit den Zaiditen, die 901 zeitweise Sanaa erobern konnten. Gleichzeitig verbreiteten Ibn Hauschab und ʿAlī ibn al-Fadl die Lehre der Ismailiten unter den Stämmen des Berglandes und gewannen so eine große Anhängerschaft. Sie konnten 905 sogar Sanaa erobern und das Reich der Yuʿfiriden auf Schibam und Kaukaban begrenzen. 916 gelang jedoch der Sieg über die Anhänger der Fatimiden sowie die Rückeroberung Sanaas. 944 starb der letzte bedeutende Yuʿfiriden-Herrscher Abū Ḥassān Asʿad ibn Ibrāhīm; In der Mitte des 10. Jahrhunderts begann schließlich der Zerfall des Reiches und nach 997 hatte die Dynastie keine nennenswerte Bedeutung mehr.

## Anmerkungen und Einzelnachweise

* ↑ Oft fälschlich als Yaʿfuriden vokalisiert
* ↑ G. Rex Smith, S. 136–154 (137)
* ↑ G. Rex Smith, S. 136–154 (138)
# Yuzuru Yoshimura

Yuzuru Yoshimura (japanisch 吉村 弦 Yoshimura Yuzuru; * 21. Mai 1996 in der Präfektur Osaka) ist ein japanischer Fußballspieler.

## Karriere

Yoshimura erlernte das Fußballspielen in der Jugendmannschaft von Gamba Osaka und der Universitätsmannschaft der Dōshisha-Universität. Seinen ersten Vertrag unterschrieb er 2019 beim AC Nagano Parceiro. Der Verein aus Nagano spielte in der dritten japanischen Liga, der J3 League. Für Nagano bestritt er 64 Drittligaspiele. Im Januar 2022 wechselte er in die zweite Liga. Hier schloss er sich Blaublitz Akita aus Akita an.
# Oberleitungsbus Kathmandu

Oberleitungsbus Kathmandu :
Ein Shanghai SK541 in Kathmandu, August 1993Ein Shanghai SK541 in Kathmandu, August 1993 :
Der Oberleitungsbus Kathmandu war der einzige Oberleitungsbus-Betrieb in Nepal. Der Obus-Verkehr in der nepalesischen Hauptstadt Kathmandu wurde am 28. Dezember 1975 eröffnet und im November 2008 eingestellt.

## Geschichte

Die Linie war ursprünglich rund 13 Kilometer lang und wurde zeitweise alle sechs Minuten bedient. Sie begann an der Endstelle Tripureshwor in Kathmandu, folgte dem Kathmandutal in die Nachbarstadt Madhyapur Thimi und endete an der Endstelle Surya Binak in der Königsstadt Bhaktapur.
Zur Eröffnung wurden 22 zweiachsige Solo-Obusse des Typs Shanghai SK541 mit den Nummern 001 bis 022 aus der benachbarten Volksrepublik China beschafft, 1997 folgten weitere zehn Wagen des moderneren Typs Shenfeng SY-D60C mit den Nummern 023 bis 032.
Zwischen dem 15. Dezember 2001 und dem 1. September 2003 war der Obusbetrieb eingestellt. Zunächst wurde ein nur drei Kilometer langer Abschnitt wiedereröffnet, im Oktober 2003 wurden weitere zwei Kilometer reaktiviert. Die verbliebene Strecke endete an der Endstelle Koteswor an der Stadtgrenze von Kathmandu, in der Nähe des Flughafens Kathmandu. Dessen Terminal wurde jedoch nicht angefahren. Die nicht mehr benötigte Oberleitung auf dem stillgelegten Abschnitt nach Madhyapur Thimi und Bhaktapur wurde abgebaut.
Im Einsatz waren zum Schluss nur noch fünf der ursprünglich 32 Wagen – nur Fahrzeuge des älteren Typs aus den 1970er Jahren. Diese wurden bis Februar 2004 aufgearbeitet. Die Obuslinie in Kathmandu wurde zuletzt alle 20 bis 25 Minuten bedient, es waren dabei maximal drei Kurse gleichzeitig im Einsatz. Der Betrieb befand sich in einem desolaten Zustand und musste im März 2004 und im Juli 2006 zwei weitere Male ausgesetzt werden. Die endgültige Stilllegung im November 2008 erfolgte aufgrund ausgebliebener Stromzahlungen an die Elektrizitätsgesellschaft.
Projekte zur Vergrößerung des Obusnetzes wurden aus finanziellen Gründen nicht weiterverfolgt.
Neben dem mittlerweile auch stillgelegten Oberleitungsbus Wellington in Neuseeland, dem Tateyama Tunnel Trolleybus und dem Kanden Tunnel Trolleybus in Japan war der Betrieb in Kathmandu das weltweit viertletzte Obusnetz, das im Linksverkehr betrieben wurde.
# Oel- und Fettwerke SAIS

Die Oel- und Fettwerke SAIS waren ein Schweizer Lebensmittelhersteller mit Sitz in Horn im Kanton Thurgau, der von 1916 bis 2001 existierte. Die Marke Sais für Speiseöl und -fett existiert weiterhin.

## Geschichte

1916 gründete eine Gruppe von Unternehmern die Oel- und Fettwerke SAIS im thurgauischen Horn. Die italienische Abkürzung stand für Società anonima italo-svizzera per la produzione degli olii vegetali, auf Deutsch «Italienisch-schweizerische Aktiengesellschaft für die Produktion von Pflanzenölen». Ursprünglicher Gründungszweck war der Import von Pflanzenölen und -fetten, die in der Schweiz während des Ersten Weltkriegs fehlten, aus Italien. Das Aktienkapital brachten zu ca. 60 % der Schicht-Konzern mit Sitz in Aussig (heute Ústí nad Labem) in Böhmen, die italienische Oleifici nazionali und der Unternehmer Jakob Schmidheiny auf. 1917 startete SAIS Pressversuche mit Leinsamen in einer beim Ufer des Bodensees gelegenen Produktionsstätte, 1921 verlegte sie den Firmensitz nach Zürich.
Die Schicht-Gruppe schloss sich 1928 der niederländischen Margarine Unie N.V. an, aus der 1929 der Unilever-Konzern entstand. Stets bestanden Absprachen zwischen der SAIS und der ebenfalls zu Unilever gehörenden Astra Fett- und Oelwerke in Steffisburg: 1963 legte man unter anderem die Verkaufsabteilungen zusammen und rationalisierte die Fabrikation, wobei SAIS die Marken Dorina, Planta und ab 1987 Linea herstellte. 1976 ging Astra in den Besitz von SAIS über. 1993 erfolgte die Fusion zu Lipton-SAIS. Die Fusion zu Unilever Bestfoods im Jahr 2001 hatte die Werkschliessung in Horn zur Folge. 2003 erwarb die Firma Oleifici Sabo mit Sitz in Lugano Teile des Horner Werks von Unilever und produziert dort seither in deren Auftrag Margarine.
Die Marke Sais gehört heute zur Upfield Schweiz GmbH, die sie als «eine Marke von Rama» bezeichnet.
# Herbert Kränzlein

Herbert Kränzlein (* 14. Mai 1950 in München) ist ein deutscher Jurist, Politiker und ehemaliger Abgeordneter im Bayerischen Landtag (SPD).

## Leben

Kränzlein absolvierte nach dem Schulbesuch zunächst von 1966 bis 1968 eine Verwaltungsausbildung bei der Stadtverwaltung München. Nach einem Freiwilligen Sozialen Jahr schloss er den Besuch des Münchenkolleg mit Abitur 1972 ab. Ein Jurastudium mit Zweitem Staatsexamen und Promotion 1979 über Ausführung und Beendigung von freiwilliger Erziehungshilfe und Fürsorgeerziehung schloss sich an. Anschließend war er bis 1986 als Staatsanwalt in München und dann bis 1988 als Richter am Amtsgericht Fürstenfeldbruck tätig. Von 1988 bis 2012 amtierte er in Puchheim als Erster Bürgermeister. Er war Mitglied im Finanzausschuss des Bayerischen Städtetages, ist Verwaltungsrat im Klinikum Fürstenfeldbruck und war Aufsichtsrat der KommEnergie GmbH. Er wohnt in Eichenau.

## Politik

Kränzlein ist der SPD im Jahr 1971 beigetreten. Er war Mitglied und längere Zeit Fraktionssprecher im Kreistag des Landkreises Fürstenfeldbruck von 1990–2019. 1988 wurde er als Gegenkandidat zum langjährigen CSU-Bürgermeister Pürkner erstmals und danach noch dreimal zum 1. Bürgermeister gewählt. Unter ihm wurde Puchheim 2010 zur Stadt erhoben. Er kandidierte bei der Landtagswahl in Bayern 2013 ein Abgeordnetenmandat im Stimmkreis Landsberg am Lech, Fürstenfeldbruck-West und erhielt ein Mandat über die SPD-Bezirksliste im Wahlkreis Oberbayern. Er war Mitglied im Haushalts- und Finanzausschuss des Bayerischen Landtages. Schwerpunkte seiner Politik sind öffentliche Finanzen, die zügige Weiterentwicklung des öffentlichen Nahverkehrs im Großraum München, Hilfen für Menschen mit Behinderung und bezahlbarer Wohnraum in der Metropolregion München. Er tritt für eine bayernweite Landesbaugesellschaft ein, die Städte, Gemeinden und Kreise bei der Finanzierung von Wohnbauprogrammen unterstützt. Bei der Landtagswahl in Bayern 2018 trat er nicht mehr an und schied so aus dem Parlament aus.

## Familie

Seine Tochter ist die Musikerin Anna Katharina Kränzlein.
# Dimitrios Kallergis

Dimitrios Kallergis (griechisch Δημήτριος Καλλέργης, * um 1803 auf Kreta; † 24. April 1867 in Athen) war ein griechischer General und Staatsmann.
Kallergis wurde in Sankt Petersburg erzogen und studierte in Wien Medizin. Im griechischen Befreiungskampf kämpfte er unter Georgios Karaiskakis, später wurde er Adjutant des Obersten Fabvier und dann des Präsidenten Ioannis Kapodistrias. Als Befehlshaber einer Kavallerieabteilung half er wesentlich bei der unblutigen Revolution des 3. September 1843 (15. September 1843). Anschließend wurde Kallergis zum General ernannt und zum Adjutanten des Königs erhoben.
1845 legte er die Adjutantenstelle nieder, nahm seinen Abschied und ging nach Korfu, von dort aus nach London. Unter Alexandros Mavrokordatos wurde er ins Kabinett berufen und erhielt den Posten des Kriegsministers. Doch trat er bereits 1855 wieder zurück. Er lebte dann eine Zeit lang in Athen.
Ab 1861 war er Gesandter in Paris.
# Scharfe Biester im Gruselschloss

Scharfe Biester im Gruselschloss ist eine Pornofilm-Parodie des Regisseurs Jim Enright, die zunächst als Video im Jahr 2001 vom Studio Sin City und später von dem Studio Blue Movie im Jahr 2018 als DVD veröffentlicht wurde.

## Handlung

Der erfolglose Tierarzt William (Willy) Wankenstein erfährt, dass er Nachkomme einer legendären Wissenschaftlerlinie ist und dadurch ein Schloss in Osteuropa geerbt hat. Dort erwarten ihn nicht nur der buckelige Diener Egon, sondern auch die scharfe Assistentin Inga, die sexuell ausgehungerte Haushälterin Frau Schupter und die halbmenschliche Sexmaschine Mel. Es kommt zu diversen aufregenden Experimenten.

## Hintergrund

Der Film enthält Anleihen an die Frankenstein-Filme, insbesondere eine Parodie auf Mel Brooks’ Young Frankenstein aus dem Jahr 1974. Es ist eine parodistische Mischung aus Sex- und Gruselfilm, die im Originaltitel Hung Wankenstein mehrere Wortspiele enthält. In dem Buch Pornography: Film and Culture aus dem Jahr 2006 wird der Film auf den Seiten 197–199 im Kapitel „Comedy and Porn“ und die komödiantischen Elemente im Kontext von Pornokonventionen ausführlich besprochen.

## Rezeption
### Kritik

Der Filmdienst beurteilt den Film als „‚Trash‘-Mischung aus Erotik- und Gruselfilm.“

### Auszeichnungen

* 2001 – Editor’s Pick Adult DVD Empire
# Zabice

Zabice heißen folgende geographische Objekte:
Żabice heißen folgende geographische Objekte:
* Żabice (Górzyca), Ort bei Górzyca im Powiat Słubice, Woiwodschaft Lebus, Polen (deutsch Säpzig)
* Żabice (Grębocice), Ort bei Grębocice im Powiat Polkowice, Woiwodschaft Niederschlesien, Polen (deutsch Roggenfelde-Schabitzen)
* Żabice (Chocianów), Ort bei Chocianów im Powiat Polkowice, Woiwodschaft Niederschlesien, Polen (deutsch Sabitz)
* Karte mit allen verlinkten Seiten:
* OSM |
* WikiMap
# Zahar

Zahar ist ein männlicher Vorname.

## Herkunft und Bedeutung

Bei Zahar handelt es sich um eine alternative Schreibweise des Namens Zahaar, arabisch زَهّار zahāʾr. Der Name bedeutet „Florist“, „Blumenverkäufer“.

## Varianten

Varianten des Namens sind Zahaar, Zahhar und Zahhaar.
# Zaha

Zaha ist der Familienname folgender Personen:
* Max Zaha (1913–1997), deutscher Jurist, Regierungsvizepräsident der Oberpfalz und Präsident des Oberpfälzer Kulturbundes
* Wilfried Zaha (* 1992), englisch-ivorischer Fußballspieler
# Route nationale 376

Die Route nationale 376, kurz N 376 oder RN 376, war eine französische Nationalstraße.
Die Straßennummer wurde erstmals 1933 in das Nationalstraßennetz aufgenommen.
Die Streckenführung verlief von einer Kreuzung mit der Nationalstraße N5 in Pont-sur-Yonne aus nach Norden zum Ort Jutigny, wo die Nationalstraße in die Nationalstraße N375 mündete. Die Gesamtlänge betrug 25 Kilometer.
Für wenige Jahre wurde die Straßennummer für eine Straße innerhalb von Melun verwendet. Diese Straße wurde im Jahr 2000 zur Département-Straße D376 des Départements Seine-et-Marne herabgestuft.
# Satz von Casey

Der Satz von Casey ist ein nach dem irischen Mathematiker John Casey benannter Satz der Elementargeometrie. Er stellt eine Erweiterung des Satzes von Ptolemäus dar und beschreibt, wie sich die Tangentenabschnitte von vier Kreisen in einer bestimmten Konfiguration verhalten.
    Seien $O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}$ vier im Uhrzeigersinn nummerierte Kreise, die alle einen fünften Kreis $O$ berühren. Wenn die Kreise $O_{i}$ und $O_{j}$ dann $O$ beide von innen oder beide von außen berühren, so sei $t_{ij}$ die Länge eines äußeren Tangentenabschnittes, der die Kreise $O_{i}$ und $O_{j}$ verbindet. Wenn die beiden Kreise stattdessen $O$ von innen und außen berühren, dann sei $t_{ij}$ die Länge eines inneren Tangentenabschnittes. Es gilt nun die folgende Beziehung: $\,t_{12}\cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}=t_{13}\cdot t_{24}$
Fasst man die Tangentenabschnitte von in der Nummerierung benachbarten Kreise als „Tangenten-Außenseiten“ (schwarz) und die nicht benachbarten als „Tangenten-Diagonalen“ (rot) auf, so lässt sich der Satz auch so formulieren:
    Die Summe der Produkte der gegenüberliegenden Tangenten-Außenseiten entspricht dem Produkt der Tangenten-Diagonalen.
Die Gleichung $t_{12}\cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}=t_{13}\cdot t_{24}$ wird als Casey-Bedingung bezeichnet.

## Erweiterungen und Anwendungen

Lässt man die Radien der Kreise $O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}$ gegen Null gehen, so gehen sie im Grenzfall zu Punkten auf dem Kreis $O$ über und die Tangentenabschnitte werden zu den Seiten und Diagonalen eines Sehnenvierecks. Man erhält also den Satz des Ptolemäus als Grenzfall.
Der Satz von Casey bleibt auch gültig, wenn es sich bei $O$ um einen entarteten Kreis, d. h. einen Punkt (Radius null) oder eine Gerade (Radius unendlich), handelt. Es gelten somit die beiden folgenden Sätze:
| Schneiden sich 4 Kreise in einem Punkt, so gilt die Casey-Bedingung: $t_{12}\cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}=t_{13}\cdot t_{24}$ | Besitzen 4 Kreise eine gemeinsame Tangente, so gilt die Casey-Bedingung: $t_{12}\cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}=t_{13}\cdot t_{24}$ |
Die Umkehrung des Satzes von Casey ist ebenfalls richtig, das heißt, es gilt der folgende Satz:
    Erfüllen 4 Kreise die Casey-Bedingung, so trifft einer der drei folgenden Fälle zu:
   * alle 4 Kreise haben einen gemeinsamen Berührkreis
   * alle 4 Kreise haben eine gemeinsame Tangente
   * alle 4 Kreise schneiden sich in einem Punkt.

## Geschichte

Innerhalb der westlichen Mathematik wurde der Satz zuerst von John Casey publiziert, allerdings war ein Spezialfall des Satzes, bei dem die 4 berührenden Kreis zusätzlich in ein Quadrat eingeschrieben sind, auch in der japanischen Mathematik der Edo-Periode (Wasan) bekannt. Er ist unter anderem in Form eines Sangaku-Problems von 1874 aus der Gunma-Präfektur erhalten geblieben und war auch schon um 1820 dem Mathematiker Chochu Siraishi bekannt.
# Satz von Cartan-Hadamard

In der Mathematik ist der Satz von Cartan-Hadamard ein Satz der riemannschen Geometrie, der die Topologie von Mannigfaltigkeiten nichtpositiver Schnittkrümmung beschreibt. Benannt ist die Aussage nach den Mathematikern Élie Cartan und Jacques Hadamard. Hadamard hatte ihn 1898 für Flächen bewiesen, Cartan dann 1928 allgemein für Riemannsche Mannigfaltigkeiten.

## Aussage

Sei $M$ eine vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit nichtpositiver Schnittkrümmung, dann ist für jedes $x\in M$ die Exponentialabbildung
    $\exp _{x}:T_{x}M\rightarrow M$
eine Überlagerung.
Korollar: Sei $M$ eine vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit nichtpositiver Schnittkrümmung, dann ist $M$ asphärisch, d. h. die höheren Homotopiegruppen verschwinden:
    $\pi _{j}(M)=0\ \ \forall j\geq 2$.

## Verallgemeinerung (Metrische Räume)

Sei $X$ ein Hadamard-Raum. Dann gibt es für alle $x,y\in X$ eine eindeutige Geodäte
    $\sigma _{xy}:\left[0,1\right]\rightarrow X$
mit $\sigma _{xy}(0)=x,\sigma _{xy}(1)=y$, und $\sigma _{xy}$ hängt stetig von $x$ und $y$ ab.

## Lokale CAT(0)-Räume

Ein vollständiger, zusammenhängender, metrischer Raum heißt lokal CAT(0), wenn jeder Punkt eine Umgebung besitzt, die (mit der eingeschränkten Metrik) ein CAT(0)-Raum ist.
Eine Verallgemeinerung des Satzes von Cartan-Hadamard besagt: wenn $X$ ein lokaler CAT(0)-Raum ist, dann gibt es auf der universellen Überlagerung ${\widetilde {X}}$ eine eindeutige Metrik ${\tilde {d}}$ so dass
* die Überlagerung ${\widetilde {X}}\to X$ eine lokale Isometrie ist, und
* $({\widetilde {X}},{\tilde {d}})$ ein CAT(0)-Raum ist.