# SIS-Modell

Als SIS-Model bezeichnet man in der mathematischen Epidemiologie, einem Teilgebiet der Theoretischen Biologie, einen semi-realistischen Ansatz zur Beschreibung der Ausbreitung von ansteckenden Krankheiten ohne Immunitätsbildung. Dieser Artikel benutzt die Differentialgleichungen. Ein einführender Artikel mit elementarer Mathematik findet sich bei Mathematische Modellierung der Epidemiologie.

## Voraussetzungen

Beim SIS-Modell werden zwei Gruppen von Individuen unterschieden: Zum Zeitpunkt $t$ bezeichnet $S(t)$ die Anzahl der Gesunden (susceptible individuals) und $I(t)$ die Zahl der Infizierten (infectious individuals). Weiterhin sei $N$ die Gesamtzahl der Individuen. Das SIS-Modell kann dann für Krankheiten verwendet werden, die folgende Eigenschaften aufweisen:
* Jedes Individuum geht nach der Heilung der Krankheit sofort wieder in die Gruppe der Gesunden über und kann erneut angesteckt werden.
* Infizierte sind sofort ansteckend.
* Gesunde erkranken mit der linearen Rate $c$.
* Infizierte genesen mit der linearen Rate $\omega$.
* Jede Gruppe interagiert miteinander mit derselben Wahrscheinlichkeit. Dies rechtfertigt die Annahme linearer Zusammenhänge.
* Alle Parameter bleiben im biologisch sinnvollen Bereich, also $S(t),I(t)\in [0,\infty )$.

## Differentialgleichungen des SIS-Modells

Die Ausbreitung der betrachteten Krankheit wird meist in Form von gewöhnlichen Differentialgleichungen formuliert:
${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} S}{\mathrm {d} t}}&=-cIS+\omega I\\{\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}&=cIS-\omega I.\end{aligned}}$Aus den Gleichungen folgt die Erhaltung der Populationsgröße:
${\frac {\mathrm {d} N}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\mathrm {d} S}{\mathrm {d} t}}=0\Rightarrow N=I(t)+S(t)={\text{const.}}$
Wegen $S(t)=N-I(t)$ lässt sich das SIS-Modell vollständig durch
${\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}=cI(N-I)-\omega I=(cN-\omega )I-cI^{2}$beschreiben. Definiere $A=cN-\omega$, wodurch sich die DGL als ${\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}=(A-cI)I$ schreiben lässt.

### Lösungen der Differentialgleichung

Durch Trennung der Variablen folgt: ${\frac {\mathrm {d} I}{(A-cI)I}}=\mathrm {d} t$, woraus durch eine einfache Partialbruchzerlegung und Integration die Funktion $I(t)$ mit der Anfangsbedingung $I(0)=I_{0}>0$ folgt:$I(t)={\frac {AI_{0}e^{At}}{A+cI_{0}\left(e^{At}-1\right)}}.$Die Zahl der Gesunden $S(t)$ folgt durch $S(t)=N-I(t)$ aus der Lösung für $I(t)$.

### Analyse der DGLs durch dimensionslose Größen

Zur Vereinfachung der Analyse geht man zu dimensionslosen Größen über: $u_{1}:={\frac {S}{N}},u_{2}:={\frac {I}{N}},\theta =\omega t,r:={\frac {cN}{\omega }}$${\begin{aligned}{\frac {du_{1}}{d\theta }}&=-ru_{1}u_{2}+u_{2}\\{\frac {du_{2}}{d\theta }}&=ru_{1}u_{2}-u_{2}\end{aligned}}$
Die Änderung ${\frac {du_{2}}{d\theta }}$ kann nach oben abgeschätzt werden durch: ${\frac {du_{2}}{d\theta }}=ru_{2}-u_{2}=(r-1)u_{2}$.
Diese vereinfachte Differentialgleichung führt für r < 1 auf einen exponentiellen Abfall, damit verschwindet die Krankheit vollständig aus der Population. Für r > 1 wird auf lange Sicht der Fixpunkt $({\frac {1}{r}},1-{\frac {1}{r}})$ angestrebt. Die Krankheit bleibt verbreitet.

## Abgrenzungen zu weiteren Modellen

Neben dem SIS-Modell gibt es in der Epidemiologie weitere einfache Modelle, die mit gewöhnlichen Differentialgleichungen beschrieben werden können. Das sind insbesondere die folgenden:
* Das SIS-Modell stellt eine Erweiterung zum SI-Modell dar, bei dem Individuen nicht gesunden können.
* Eine alternative Erweiterung ist das SIR-Modell, bei dem Individuen immun gegen die Krankheit werden.