# Projektive Abbildung

Projektive Abbildungen sind Abbildungen, welche Geraden in Geraden überführen. Sie sind in der projektiven Geometrie das Analogon zu den linearen Abbildungen der linearen Algebra.

## Definition

Der projektive Raum $P(V)$ zu einem $K$-Vektorraum $V$ ist die Menge aller Geraden durch den Nullpunkt in $V$, das heißt der Quotientenraum $V\setminus \{0\}/\sim$ bezüglich der Äquivalenzrelation $x\sim y\Leftrightarrow \exists \lambda \in K\setminus \{0\}\colon x=\lambda y$. Seien nun $V_{1}$ und $V_{2}$ Vektorräume und $P(V_{1})$ und $P(V_{2})$ die zugehörigen projektiven Räume, dann heißt eine Abbildung
    $\pi \colon P(V_{1})\longrightarrow P(V_{2})$
projektiv oder projektiv-linear, wenn es eine injektive lineare Abbildung
    ${\tilde {\pi }}\colon V_{1}\longrightarrow V_{2}$
mit
    $\pi (\langle x\rangle )=\langle {\tilde {\pi }}(x)\rangle$ für alle $\langle x\rangle \in P(V_{1})$
gibt.
Bei einzelnen Autoren findet man auch folgende (nicht äquivalente) Definition: Seien $P(V_{1})$ und $P(V_{2})$ projektive Räume und $Z$ ein projektiver Unterraum von $P(V_{1})$, dann heißt eine Abbildung
    $\pi \colon P(V_{1})\setminus Z\longrightarrow P(V_{2})$
projektiv, wenn es eine lineare Abbildung
    ${\tilde {\pi }}\colon V_{1}\longrightarrow V_{2}$
mit
    $\pi (\langle x\rangle )=\langle {\tilde {\pi }}(x)\rangle$ für alle $\langle x\rangle \in P(V_{1})\setminus Z$
und $P(\operatorname {Kern} ({\tilde {\pi }}))=Z$ gibt. Der Unterraum $Z$ wird als der Ausnahmeraum bezeichnet.
Dieser Artikel bezieht sich im Folgenden auf die erste Definition.

### Beispiel

Ein Beispiel einer projektiven Abbildung (zwischen projektiven Räumen unterschiedlicher Dimension) ist die Veronese-Einbettung $i:P(K^{2})\rightarrow P(K^{3})$.
    $i([x:y])=[x^{2}:xy:y^{2}]$.

## Projektive lineare Gruppe

Die invertierbaren projektiven Abbildungen eines projektiven Raumes $P(V)$ auf sich bilden eine Gruppe, die als projektive lineare Gruppe $\mathrm {PGL} (V)$ bezeichnet wird. Die Elemente dieser Gruppe sind insbesondere geradentreu, also Kollineationen.
Die projektive lineare Gruppe $\mathrm {PGL} (V)$ über einem Vektorraum $V$ über einem Körper $K$ ist die Faktorgruppe $\mathrm {GL} (V)/K^{\times }$, wobei $K^{\times }$ die normale (sogar zentrale) Untergruppe der skalaren Vielfachen $k\cdot \mathrm {id} _{V}$ der Identität $\mathrm {id} :V\rightarrow V$ ist mit $k$ aus $K\setminus \{0\}$. Die Bezeichnungen $\mathrm {PGL} (n,K)$ usw. entsprechen denen der allgemeinen linearen Gruppe. Wenn $K$ ein endlicher Körper ist, sind $\mathrm {PGL} (n,K)$ und $\mathrm {SL} (n,K)$ gleichmächtig, aber im Allgemeinen nicht isomorph.
Projektive Abbildungen erhalten die Inzidenzstruktur.
Der Name stammt aus der projektiven Geometrie, wo das Analogon zur allgemeinen linearen Gruppe die projektive lineare Gruppe ist, zum $n$-dimensionalen projektiven Raum über $K$ gehört dabei die Gruppe $\mathrm {PGL} (n+1,K)$, sie ist die Gruppe aller Projektivitäten des Raumes.

### Gebrochen-lineare Transformationen

Im Fall der projektiven Gerade $KP^{1}:=P(K^{2})$ handelt es sich bei den projektiven Abbildungen genau um die gebrochen-linearen Transformationen.
Nach der Identifikation von $P(K^{2})$ mit $K\cup \left\{\infty \right\}$ (durch $[x_{0}:x_{1}]\leftrightarrow x_{0}x_{1}^{-1}$) wirkt $PGL(2,K)$ auf $P(K^{2})$ durch $\left({\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right)z={\frac {az+b}{cz+d}}$.

### Möbiustransformationen

Ein Spezialfall ist die Gruppe der Möbiustransformationen, die $\mathrm {PGL} (2,\mathbb {C} )$. Dies sind die projektiven Abbildungen des $P(\mathbb {C} ^{2})$. Diskrete Gruppen von Möbiustransformationen werden als Kleinsche Gruppen bezeichnet. Fuchssche Gruppen sind Kleinsche Gruppen, welche den projektiven Unterraum $P(\mathbb {R} ^{2})\subset P(\mathbb {C} ^{2})$ auf sich abbilden.

## Eigenschaften

Projektive Abbildungen bilden projektive Teilräume auf projektive Teilräume ab.
Projektive Abbildungen erhalten das Doppelverhältnis von 4-Tupeln kollinearer Punkte. Diese Eigenschaft kann als kennzeichnendes Merkmal der projektiven Geometrie angesehen werden. Siehe dazu: Erlanger Programm. Diese Zusammenhänge waren schon im Altertum bekannt und finden sich z. B. bei Pappos. Sie sind der entscheidende Grund dafür, dass der Begriff Doppelverhältnis überhaupt entwickelt wurde.