# Komonade

Eine Komonade ist in der Kategorientheorie eine Struktur dual zu der der Monade.

## Definition

Eine Komonade ist ein Tripel $(T,\varepsilon ,\psi )$ bestehend aus
* einem Endofunktor $T\colon C\to C$,
* einer natürlichen Transformation $\varepsilon \colon T\to 1_{C}$ und
* einer natürlichen Transformation $\psi \colon T\to T^{2}$,
das folgende Bedingungen erfüllt:
* $T\psi \circ \psi =\psi T\circ \psi$ und
* $\varepsilon T\circ \psi =T\varepsilon \circ \psi =1_{T}$.
Explizit auf der Ebene von Morphismen von $C$ bedeutet dies, dass für jedes Objekt $X$ aus $C$ gilt
* $T(\psi _{X})\circ \psi _{X}=\psi _{T(X)}\circ \psi _{X}$ und
* $\varepsilon _{T(X)}\circ \psi _{X}=T(\varepsilon _{X})\circ \psi _{X}=1_{T(X)}$.

## Koalgebren

Eine Koalgebra für eine Komonade $(T,\varepsilon ,\psi )$ auf einer Kategorie $C$ ist ein Paar $(X,\alpha )$ bestehend aus einem Objekt $X$ von $C$ und einem Morphismus $\alpha \colon X\to TX$, so dass $T\alpha \circ \alpha =\psi _{X}\circ \alpha$ und $\varepsilon _{X}\circ \alpha =1_{X}$. Ein Homomorphismus von Koalgebren $(X,\alpha )\to (Y,\beta )$ ist ein Morphismus $f\colon X\to Y$ in $C$, der $Tf\circ \alpha =\beta \circ f$ erfüllt. Die Koalgebren bilden eine Kategorie $C^{T}$.
Es gibt einen kanonischen Funktor $A_{T}\colon C\to C^{T}$, der auf Objekten $X\mapsto (TX,\psi _{X})$ ist. Er ist rechtsadjungiert zum Vergissfunktor $U_{T}\colon C^{T}\to C$.

## Komonade zu einem adjungierten Funktorpaar

Es seien $C,D$ Kategorien und $F\colon C\to D$, $G\colon D\to C$ Funktoren, so dass $F$ rechtsadjungiert zu $G$ ist. Eins bzw. Koeins der Adjunktion seien $\eta \colon 1\to FG$ bzw. $\varepsilon \colon GF\to 1$. Dann ist $T=(GF,\varepsilon ,G\eta F)$ eine Komonade auf $C$.
Man erhält einen induzierten Funktor $A\colon D\to C^{T}$, so dass $U_{T}\circ A=G$ und $A\circ F=A_{T}$ gilt. Der Funktor $G$ heißt komonadisch, wenn $A$ eine Äquivalenz von Kategorien ist. Der Monadizitätssatz von Jonathan Mock Beck gibt Kriterien dafür an, wann ein Funktor komonadisch ist.
Ist $T$ eine Komonade auf einer Kategorie $C$, dann ist die zum adjungierten Funktorpaar $(U_{T}\colon C^{T}\to C,A_{T}\colon C\to C^{T})$ assoziierte Komonade wieder $T$.

## Beispiel

In der Kategorie Set sei der Endofunktor $T$ derjenige der Bildung von $\mathbb {N}$-indizierten Folgen, d. h. für jede Menge $X$ ist $T(X)=X^{\mathbb {N} }$, und für Mengen $A$ und $B$ sowie Abbildungen $f\colon A\to B$ ist $T(f)\colon A^{\mathbb {N} }\to B^{\mathbb {N} }$ gegeben durch $T(f)(s):=f\circ s$.
Die natürlichen Transformationen $\varepsilon$ und $\psi$ seien durch die Familien von Abbildungen $\varepsilon _{X}$ und $\psi _{X}$,
* $\varepsilon _{X}\colon X^{\mathbb {N} }\to X,\varepsilon _{X}(s):=s(0)$
* $\psi _{X}\colon X^{\mathbb {N} }\to (X^{\mathbb {N} })^{\mathbb {N} },\psi _{X}(s)(n)(m):=s(n+m)$
für beliebige Mengen $X$ gegeben.
Das Tripel $(T,\varepsilon ,\psi )$ ist nun eine Komonade in Set.
Die Koalgebren für $(T,\varepsilon ,\psi )$ sind die Abbildungen $\alpha \colon X\to X^{\mathbb {N} }$, die $\alpha (x)(0)=x$ und $\alpha (x)(n+m)=\alpha (\alpha (x)(n))(m)$ erfüllen. Mit $\alpha _{1}\colon X\to X$, $x\mapsto \alpha (x)(1)$ ist $\alpha (x)(n)=\alpha _{1}^{n}(x)$, und man kann die Koalgebren mit Paaren $(X,\alpha _{1})$ mit einer beliebigen Abbildung $\alpha _{1}\colon X\to X$ identifizieren.
Ist $M$ eine beliebige Menge, dann entsprechen Komonadenstrukturen auf $T(X)=X^{M}$ bijektiv den Monoidstrukturen auf $M$. Die Multiplikation auf $M$ ist $\psi _{M}(1_{M})\in (M^{M})^{M}$. Für ein Monoid $M$ kann die Strukturabbildung $X\to X^{M}$ einer Koalgebra unter dem Potenzgesetz $(A^{B})^{C}=A^{B\times C}=(A^{C})^{B}$ mit anderen Abbildungen identifiziert werden:
* einer Abbildung $X\times M\to X$, die eine Algebra für die Monade $T^{*}(X)=X\times M$ ist
* einem Monoidhomomorphismus $M\to X^{X}$, d. h. einer Operation von $M$ auf $X$.