# Primzahlzwillings-Bi-Kette

In der Zahlentheorie ist eine Primzahlzwillings-Bi-Kette der Länge $k+1$ eine Primzahlenfolge der Form
    $(n-1,n+1),(2n-1,2n+1),\ldots (2^{k}\cdot n-1,2^{k}\cdot n+1)$
(der Ausdruck kommt vom englischen Bi-twin chain bzw. Bitwin chain).

## Beispiele

* Die kleinsten $n$, welche eine Primzahlzwillings-Bi-Kette der Länge 2 generieren (also auf die beiden Paare $(n-1,n+1),(2n-1,2n+1)$ führen), sind die folgenden:
       6, 30, 660, 810, 2130, 2550, 3330, 3390, 5850, 6270, 10530, 33180, 41610, 44130, 53550, 55440, 57330, 63840, 65100, 70380, 70980, 72270, 74100, 74760, 78780, 80670, 81930, 87540, 93240, 102300, 115470, 124770, 133980, 136950, 156420, … (Folge A066388 in OEIS)
* Die kleinsten Primzahlzwillings-Bi-Ketten der Länge $k+1$ sind die folgenden (dabei ist $n\#=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\ldots \cdot n$ das Produkt aller Primzahlen bis $n$ (Primfakultät)):
| $k+1$ | kleinste bekannte Primzahlzwillings-Bi-Kette der Länge $k+1$ (Stand: 20. Juni 2017) | Dezimal- stellen | Entdeckungs- datum | Entdecker |
| $1$ | $2\#\cdot 2\pm 1$ (also $(3,5)$) | $1$ | --- | --- |
| $2$ | $3\#\cdot 2^{n}\pm 1$ mit $n=0,1$ (also $(5,7),(11,13)$) | $1$ und $2$ | --- | --- |
| $3$ | $1005\cdot 7\#\cdot 2^{n}\pm 1$ mit $n=0,1,2$ | $6$ | September 1998 | Henri Lifchitz |
| $4$ | $151\cdot 7\#\cdot 2^{n}\pm 1$ mit $n=3,4,5,6$ | $6$ bis $7$ | September 1998 | Henri Lifchitz |
| $5$ | $1394847\cdot 13\#\cdot 2^{n}\pm 1$ mit $n=0,1,2,3,4$ | $11$ bis $12$ | Dezember 1998 | Jack Brennen |
| $6$ | $1228253271\cdot 13\#\cdot 2^{n}\pm 1$ mit $n=1,2,3,4,5,6$ | $14$ bis $16$ | Dezember 1998 | Jack Brennen |
| $7$ | $11228462199623\cdot 13\#\cdot 2^{n}\pm 1$ mit $n=0,1,2,3,4,5,6$ | $18$ bis $20$ | Oktober 1999 | Paul Jobling |
| $8$ | $21033215071024191\cdot 13\#\cdot 2^{n}\pm 1$ mit $n=0,1,2,3,4,5,6,7$ | $21$ bis $23$ | Februar 2002 | Paul Jobling, Phil Carmody |
| $9$ | $1873321386459914635\cdot 13\#\cdot 2^{n}\pm 1$ mit $n=1,2,3,4,5,6,7,8,9$ | $24$ bis $26$ | Dezember 2008 | Jaroslaw Wroblewski |
* Die größten Primzahlzwillings-Bi-Ketten der Länge $k+1$ sind die folgenden:
| $k+1$ | größte bekannte Primzahlzwillings-Bi-Kette der Länge $k+1$ (Stand: 20. Juni 2017) | Dezimal- stellen | Entdeckungs- datum | Entdecker |
| $1$ | $2996863034895\cdot 2^{1290000}\pm 1$ | $388342$ | September 2016 | Tom Greer |
| $2$ | $117864619517\cdot 6907\#\cdot 2^{n}\pm 1$ mit $n=1,2$ | $2971$ und $2972$ | Juni 2017 | Oscar Östlin |
| $3$ | $204035674219\cdot 1609\#\cdot 2^{n}\pm 1$ mit $n=0,1,2$ | $695,695$ und $695$ | Juli 2016 | Didier Boivin |
| $4$ | $9185178409925\cdot 487\#\cdot 2^{n}\pm 1$ mit $n=0,1,2,3$ | $214,214,215$ und $215$ | Februar 2017 | Didier Boivin |
| $5$ | $4423253751167971164005\cdot 307\#\cdot 2^{n}\pm 1$ mit $n=15,16,17,18,19$ | $149,150,150,150$ und $151$ | April 2015 | Andrey Balyakin |
| $6$ | $386727562407905441323542867468313504832835283009085268004408453725770596763660073\cdot 61\#\cdot 2^{n}\pm 1$ mit $n=45,46,47,48,49,50$ | $118,118,118,119,$ $119$ und $119$ | April 2014 | Primecoin |
| $7$ | $1165654412459516061933\cdot 73\#\cdot 2^{n}\pm 1$ mit $n=7,8,9,10,11,12,13$ | $52,53,53,53,$ $53,54$ und $54$ | April 2015 | Andrey Balyakin |
| $8$ | $10739718035045524715\cdot 13\#\cdot 2^{n}\pm 1$ mit $n=0,1,2,3,4,5,6,7$ | $24,24,25,25,25,$ $26,26$ und $26$ | Dezember 2008 | Jaroslaw Wroblewski |
| $9$ | $1873321386459914635\cdot 13\#\cdot 2^{n}\pm 1$ mit $n=1,2,3,4,5,6,7,8,9$ | $24,24,24,24,25,$ $25,25,26$ und $26$ | Dezember 2008 | Jaroslaw Wroblewski |
    Die Primzahlzwillings-Bi-Kette der Länge 9 ist momentan (Stand: 20. Juni 2017) die längste bekannte Kette. Es ist auch gleichzeitig die einzige bekannte Kette dieser Länge.

## Eigenschaften

* Eine Primzahlzwillings-Bi-Kette der Länge 1 hat die Form $(n-1,n+1)$. Man nennt sie Primzahlzwilling.
* Jedes der Paare $(2^{i}\cdot n-1,2^{i}\cdot n+1)$ mit $0\leq i\leq k$ ist ein Primzahlzwilling.
* Die Zahlen $n-1,2n-1,\ldots ,2^{k}n-1$ bilden eine Cunningham-Kette der ersten Art mit $k+1$ Gliedern.
* Die Zahlen $n+1,2n+1,\ldots ,2^{k}n+1$ bilden eine Cunningham-Kette der zweiten Art mit $k+1$ Gliedern.
* Jede Primzahl der Form $2^{i}\cdot n-1$ mit $0\leq i\leq k-1$ ist eine Sophie-Germain-Primzahl.
* Jede Primzahl der Form $2^{i}\cdot n-1$ mit $1\leq i\leq k$ ist eine sichere Primzahl.
* Sei $n\in \mathbb {N}$ mit $n>6$, sodass $(n-1,n+1),(2n-1,2n+1)$ mindestens eine Primzahlzwillings-Bi-Kette der Länge 2 ist. Dann gilt:
       $n=30k$ mit $k\in \mathbb {N}$

## Verallgemeinerung

Eine verallgemeinerte Primzahlzwillings-Bi-Kette der Länge $k+1$ ist eine Primzahlenfolge der Form
    $(n-1,n+1),(b\cdot n-1,b\cdot n+1),\ldots (b^{k}\cdot n-1,b^{k}\cdot n+1)$ mit $b\in \mathbb {N}$

### Beispiele

* Die größten verallgemeinerten Primzahlzwillings-Bi-Ketten der Länge $k+1$ sind die folgenden:
| $k+1$ | größte bekannte verallgemeinerte Primzahlzwillings-Bi-Kette der Länge $k+1$ (Stand: 20. Juni 2017) | Dezimal- stellen | Entdeckungs- datum | Entdecker |
| $1$ | $570323880\cdot {\frac {16500\#}{673949}}\cdot b^{n}\pm 1$ mit $b=8087388$ und $n=1,2$ | $7120$ und $7127$ | September 2004 | Phil Carmody, Jens K. Andersen |
| $2$ | $2203\#\cdot 2^{161}\cdot 3^{66}\cdot 5^{69}\cdot 7^{73}\cdot 11^{23}\cdot 13^{23}\cdot 17^{26}\cdot 19^{23}\cdot 23^{22}\cdot 29^{22}\cdot 31^{22}\cdot 37^{25}\cdot 41^{23}\cdot 43^{25}\cdot 47^{25}\cdot 53^{26}\cdot 59^{25}\cdot 61^{23}\cdot b^{n}\pm 1$ mit $b=2^{21}\cdot 3^{12}\cdot 5^{11}\cdot 7^{9}\cdot 11^{3}\cdot 13^{3}\cdot 17^{2}\cdot 19^{3}\cdot 23^{4}\cdot 29^{4}\cdot 31^{4}\cdot 37^{3}\cdot 41^{3}\cdot 43^{3}\cdot 47^{3}\cdot 53^{2}\cdot 59^{3}\cdot 61^{3}$ und $n=1,2,3$ | $1702,1793$ und $1884$ | Oktober 2004 | Ralph Twain |
| $3$ | ${\frac {66\cdot 630^{5}\cdot 22218733^{2}\cdot 19\#\cdot 317\#}{561857}}\cdot b^{n}\pm 1$ mit $b={\frac {8084448001600\cdot (13\#)^{3}\cdot 197\#}{12863477}}$ und $n=1,2,3,4$ | $261,360,459$ und $558$ | August 2004 | Jens K. Andersen |
| $4$ | $(1250561\cdot 151\#+423642234015)\cdot b^{n}\pm 1$ mit $b=4$ und $n=1,2,3,4,5$ | $67,67,68,68$ und $69$ | August 2004 | Jens K. Andersen |
| $5$ | ${\frac {526583\cdot 83\#+27663009\cdot 19\#}{4}}\cdot b^{n}\pm 1$ mit $b=4$ und $n=1,2,3,4,5,6$ | $39,39,40,40,41$ und $42$ | August 2004 | Jens K. Andersen |
| $6$ | $1394855870347655081\cdot 13\#\cdot b^{n}\pm 1$ mit $b=4$ und $n=2,3,4,5,6,7,8$ | $24,25,26,26,27,27$ und $28$ | August 2004 | Jens K. Andersen |