# Hyper-Operator

Der Hyper-Operator ist eine Familie von mathematischen Operatoren. Konkret ist der erste Operator die einstellige Verknüpfung, dann kommt die Addition, die Multiplikation, die Potenzierung usw. Der Hyper-Operator dient zur kurzen Darstellung großer Zahlen wie Potenztürmen. Es gibt verschiedene Schreibweisen:
    $\operatorname {hyper} {\mathit {n}}(a,b)=\operatorname {hyper} (a,n,b)=a^{(n)}b=a\uparrow ^{n-2}b.$

## Herleitung der Notation

Ausgehend von den Beobachtungen
* $a+(b+1)=1+\left(a+b\right)$
* $a\cdot (b+1)=a+\left(a\cdot b\right)$
* $a^{(b+1)}=a\cdot \left(a^{b}\right)$
definiert man rekursiv einen dreistelligen Operator (mit $a,b,n\geq 0$)
    $a^{(n)}b:={\begin{cases}b+1,&{\text{wenn }}n=0\\a,&{\text{wenn }}n=1,b=0\\0,&{\text{wenn }}n=2,b=0\\1,&{\text{wenn }}n>2,b=0\\a^{(n-1)}\left(a^{(n)}(b-1)\right)&{\text{sonst}}\end{cases}}$
und führt folgende Bezeichnungen ein:
    $\operatorname {hyper} {\mathit {n}}(a,b)=\operatorname {hyper} (a,n,b)=a^{(n)}b.$
(Zu beachten ist bei dieser Schreibweise, dass die Zusammenschreibung von $a^{(n)}$ und $b$ keine Multiplikation darstellt, also jede tatsächlich vorkommende Multiplikation mit dem expliziten Operator $\cdot$ zu notieren ist. Ebenso ist $a^{(n)}$ keine Potenzierung. Die Verwendung der Notation $\operatorname {hyper} (a,n,b)$ schließt demgegenüber solche Verwechslungsmöglichkeiten aus.)
Somit ist hyper1 die Addition, hyper2 die Multiplikation und hyper3 die Potenzierung. hyper4 wird auch bezeichnet als Tetration oder Superpotenz und kann folgendermaßen notiert werden:
    $\operatorname {hyper4} (a,b)=^{b}a$.
Allgemeinverständlicher könnte man auch sagen: Schreibe die Zahl $a$ $b$-mal hintereinander und füge jeweils dazwischen den Operator eine Stufe tiefer ein.
Die Familie wurde für $n>3$ nicht für reelle Zahlen erweitert, weil es mehrere „offensichtliche“ Wege dazu gibt, die jedoch nicht assoziativ sind.

## Knuths Pfeilnotation

Eine andere Schreibweise für den Hyperoperator wurde von Donald Knuth entwickelt, welche als Pfeilnotation bekannt ist. Die Definition ist
    $a\uparrow ^{k}b\;:=\;a\mathbin {\underbrace {\uparrow \dotsb \uparrow } _{k{\mbox{ mal}}}} b\;:=\left\{{\begin{matrix}a^{b}&{\mbox{falls }}k=1\\[1em]\underbrace {a\underbrace {\uparrow \dotsb \uparrow } _{k-1{\mbox{ mal}}}a\underbrace {\uparrow \dotsb \uparrow } _{k-1{\mbox{ mal}}}\dotsb \underbrace {\uparrow \dotsb \uparrow } _{k-1{\mbox{ mal}}}a} _{b{\mbox{ Kopien von }}a}&{\mbox{sonst}}\end{matrix}}\right.$
Eine andere Notation verwendet statt des Pfeils $\uparrow$ das Zeichen ${\hat {\hbox{ }}}$. Mit der Definition gilt gerade
    $a\uparrow ^{k}b=\operatorname {hyper} (a,k+2,b)=a^{(k+2)}b$.
Diese Notation wird für die Darstellung von sehr großen Zahlen wie etwa Grahams Zahl benutzt.

## Eine andere Erweiterung

Es gibt eine andere Möglichkeit, aus den Vorgaben eine allgemeinere Definition der Verknüpfung zu erhalten, denn es gilt auch
* $\,a+b=(a+(b-1))+1$
* $a\cdot b=(a\cdot (b-1))+a$
* $a^{b}=\left(a^{(b-1)}\right)\cdot a$,
weil die Verknüpfungen + und $\cdot$ kommutativ sind. Daraus ergibt sich die Definition
    $a_{(n)}b:={\begin{cases}a+b,&{\text{wenn }}n=1\\0,&{\text{wenn }}n=2,b=0\\1,&{\text{wenn }}n>2,b=0\\\left(a_{(n)}(b-1)\right)_{(n-1)}a,&{\text{sonst.}}\end{cases}}$
Diese Notation „kollabiert“ jedoch für $n=4$; sie ergibt im Gegensatz zu hyper4 keinen Potenzturm mehr:
    $a_{(4)}b=a^{\left(a^{(b-1)}\right)}$
Wie können sich $a^{(n)}b$ und $a_{(n)}b$ plötzlich für $n>3$ unterscheiden? Das liegt an der Assoziativität, einer Eigenschaft, die die Operatoren $+$ und $\cdot$ besitzen (siehe auch Körper), die aber dem Potenz-Operator fehlt. (Im Allgemeinen ist $a^{b^{c}}=a^{(b^{c})}\neq (a^{b})^{c}=a^{b\cdot c}$.)
Die anderen Ebenen kollabieren nicht auf diese Weise, weshalb auch diese Operatorenfamilie, genannt „niedere Hyper-Operatoren“ von Interesse ist.

## Beispiele
### Addition

$3^{(1)}3=3+3=6.$

### Multiplikation

$3^{(2)}3=3\cdot 3=3^{(1)}3^{(1)}3=3+3+3=9.$

### Potenzierung

$3^{(3)}3=3^{3}=3^{(2)}3^{(2)}3=3\cdot 3\cdot 3=27.$

### Tetration

${\begin{aligned}3^{(4)}3&=3^{3^{3}}\\&=3^{(3)}(3^{(4)}2)\\&=3^{(3)}(3^{(3)}(3^{(4)}1))\\&=3^{(3)}(3^{(3)}(3^{(3)}(3^{(4)}0)))\\&=3^{(3)}(3^{(3)}(3^{(3)}1))\\&=3^{3^{3^{1}}}\\&=3^{27}\\&=7.625.597.484.987.\end{aligned}}$
Zu beachten ist hier, dass $3^{3^{3}}=3^{(3^{3})}$ gilt, siehe hierzu auch bei Potenzturm.

## Weblinks (englisch)

* What Lies Beyond Exponentiation?
* The Tetration Forum