# Grahams Zahl

Grahams Zahl (nach Ronald L. Graham) ist eine spezielle natürliche Zahl. Sie ist eine obere Grenze für ein Problem der Ramsey-Theorie.
Laut dem Guinness-Buch der Rekorde ist sie die größte jemals in einem mathematischen Beweis verwendete Zahl. In der Zwischenzeit kamen aber in einigen ernsthaften mathematischen Beweisen noch wesentlich größere Zahlen vor, zum Beispiel im Zusammenhang mit Kruskals Baum-Theorem.

## Grahams Problemstellung

In einem n-dimensionalen Hyperwürfel (Einheitswürfel im n-dimensionalen Euklidischen Raum) seien alle $2^{n}$ Ecken (Knoten) je paarweise durch eine Linie (Kante) verbunden, so dass ein vollständiger Graph auf $2^{n}$ Knoten mit ${\tbinom {2^{n}}{2}}=(2^{n-1})(2^{n}-1)$ Kanten entsteht.
Diese Kanten werden nun mit jeweils einer von zwei Farben eingefärbt, das sind $2^{(2^{n-1})(2^{n}-1)}$ verschiedene Kantenfärbungen. Die Frage ist dann, ob es für jede mögliche Kantenfärbung einen vollständigen Teilgraphen aus vier in einer Ebene des Euklidischen Raums liegenden Knoten gibt, dessen sechs Kanten alle die gleiche Farbe haben.
In niedrigen Dimensionen ist dies nicht der Fall. Bei $n=2$ besteht der Gesamtgraph nur aus einer Ebene mit vier Knoten. Färbt man dessen Kanten mit unterschiedlichen Farben, so besteht der einzige Teilgraph, nämlich der Gesamtgraph selbst, nicht aus sechs Kanten gleicher Farbe. Existiert andererseits eine Dimension $n_{0}$, in der für jede mögliche Kantenfärbung des Hyperwürfels ein einfarbiger ebener 4-Knoten-Teilgraph existiert, so gilt dies auch für jede höhere Dimension $n>n_{0}$, da der Hyperwürfel einer höheren Dimension einen Hyperwürfel der Dimension $n_{0}$ als Teilgraphen enthält, in dem es stets einen Teilgraphen mit sechs gleichfarbigen Kanten gibt.
Daraus ergibt sich die eigentliche Problemstellung: Wie groß ist das $n_{0}$, mit dem für alle $n\geq n_{0}$ für jede mögliche Kantenfärbung ein solcher Teilgraph existiert, während es für alle $n<n_{0}$ eine Kantenfärbung gibt, mit der jeder ebene Teilgraph mit vier Knoten verschiedenfarbige Kanten hat?
Das Problem wurde noch nicht gelöst. Graham und Rothschild haben 1971 gezeigt, dass es einen solchen Wert $n_{0}$ gibt, und dass $6\leq n_{0}\leq g_{7}$ ist. Die Zahl $g_{7}$ wird im nächsten Kapitel definiert. Der Mathematiker Geoffrey Exoo von der Indiana State University zeigte 2003, dass es noch in der Dimension $n=10$ eine Kantenfärbung gibt, die keinen ebenen Teilgraph mit sechs gleichfarbigen Kanten zulässt. 2008 konnte die Untergrenze auf $n_{0}\geq 13$ verbessert werden, und 2014 die Obergrenze auf eine Zahl kleiner als $2\uparrow \uparrow \uparrow 6=2\uparrow \uparrow 2\uparrow \uparrow 2\uparrow \uparrow 65536.$
Basierend auf unveröffentlichtem Material von Graham, aus dem sich ein Beweis der schwächeren (größeren) oberen Schranke $n_{0}\leq G_{64}$ ergibt, bezeichnete Martin Gardner die Zahl $G_{64}$ als „Grahams Zahl“.

## Definition

Grahams Zahl $G_{64}$, und auch die viel kleinere $g_{7}$, sind so extrem groß, dass nicht einmal Hilfsmittel wie der Hyperpotenz-Operator ausreichen, um diese Zahlen direkt anzugeben. Die Definition der Zahlen ist aber über eine Folge möglich, die zum Beispiel mit Knuths Pfeilschreibweise dargestellt werden kann. Für natürliche Zahlen $a,b\in \mathbb {N}$ definiert man:
    ${\begin{matrix}a\uparrow b&:=&a^{b}&=&\underbrace {a\cdot a\cdot a\cdot \ldots \cdot a\cdot a} \\&&&&{b\;\mathrm {mal} }\\a\uparrow \uparrow b&:=&a\uparrow ^{2}b&:=&\underbrace {a\uparrow a\uparrow a\uparrow \ldots \uparrow a\uparrow a} \\&&&&{b\;\mathrm {mal} }\\a\uparrow \uparrow \uparrow b&:=&a\uparrow ^{3}b&:=&\underbrace {a\uparrow \uparrow a\uparrow \uparrow a\uparrow \uparrow \ldots \uparrow \uparrow a\uparrow \uparrow a} \\&&&&{b\;\mathrm {mal} }\\\vdots &&\vdots &&\vdots \\a\underbrace {\uparrow \uparrow \ldots \uparrow } b&:=&a\uparrow ^{n}b&:=&\underbrace {a\uparrow ^{n-1}a\uparrow ^{n-1}a\uparrow ^{n-1}\ldots \uparrow ^{n-1}a} \\{n\;\mathrm {mal} }&&&&{b\;\mathrm {mal} }\\\end{matrix}}$
In der ersten Zeile wird hierbei die übliche Potenz erklärt. Man beachte, dass der Pfeiloperator $\uparrow ^{n}$ nicht assoziativ ist. Der klammerfrei notierte Ausdruck $a\uparrow ^{n}a\uparrow ^{n}\ldots a\uparrow ^{n}a$ ist – so die Konvention – von rechts nach links abzuarbeiten. Somit ist $a\uparrow ^{n}a\uparrow ^{n}a=a\uparrow ^{n}(a\uparrow ^{n}a)$. Diese Reihenfolge ist auch die, bei der die größten Endergebnisse hervorgebracht werden.
Außerdem definiert man $a\uparrow ^{n}0:=1$. Statt $\uparrow$ wird auch das Symbol ^ verwendet.
Mit dieser Notation kann man die Folgen $(G_{k})$ und $(g_{k})$ durch folgende Regeln rekursiv definieren:
    $G_{0}\!\,=4$
    ${\begin{matrix}G_{k}&=&3\ \underbrace {\uparrow \uparrow \uparrow \cdots \uparrow } \ 3&\;=\;3\uparrow ^{G_{k-1}}3\\&&{G_{k-1}\;\mathrm {mal} }&\end{matrix}}$
    $g_{0}\!\,=12$
    ${\begin{matrix}g_{k}&=&2\ \underbrace {\uparrow \uparrow \uparrow \cdots \uparrow } \ 3&\;=\;2\uparrow ^{g_{k-1}}3\\&&{g_{k-1}\;\mathrm {mal} }&\end{matrix}}$
$G_{64}$ aus der ersten Folge ist Grahams Zahl, und $g_{7}$ aus der zweiten ist die beste bis 2014 bekannte obere Schranke für $n_{0}$.
Anders ausgedrückt:
    ${\begin{matrix}G_{64}&=F^{64}(4)&\mathrm {mit} &F(n)=3\uparrow ^{n}3\\g_{7}&=f^{7}(12)&\mathrm {mit} &f(n)=2\uparrow ^{n}3\\\end{matrix}}$
Zur besseren Veranschaulichung, wie extrem groß Grahams Zahl ist, werden die ersten Schritte zur Berechnung von $G_{1}$ gezeigt:
    $3\uparrow 3=3^{3}=27$
    $3\uparrow \uparrow 3=3\uparrow (3\uparrow 3)=3^{3^{3}}=3^{27}=7.625.597.484.987$
    ${\begin{matrix}3\uparrow \uparrow \uparrow 3&=&3\uparrow \uparrow (3\uparrow \uparrow 3)&=&3\uparrow \uparrow 7.625.597.484.987&=&\underbrace {3\uparrow (3\uparrow \ldots \uparrow (3\uparrow 3))} \\&&&&&&{7.625.597.484.987\;\mathrm {mal} }\end{matrix}}$
    ${\begin{matrix}G_{1}=3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3&=&3\uparrow \uparrow \uparrow (3\uparrow \uparrow \uparrow 3)&=&\underbrace {3\uparrow \uparrow 3\uparrow \uparrow \ldots \uparrow \uparrow 3} \\&&&&{3\uparrow \uparrow \uparrow 3\;\mathrm {mal} }\end{matrix}}$
Bereits $3\uparrow \uparrow \uparrow 3$ lässt sich nicht mehr vernünftig in der üblichen Exponentialdarstellung ($r\cdot 10^{z}$) oder als Potenzturm ausdrücken. Dazu wäre bereits ein Potenzturm mit 7.625.597.484.986 Exponenten erforderlich.

## Eigenschaften

Trotz ihrer unvorstellbaren Größe kann man die letzten Stellen von Grahams Zahl $G_{64}$ mit elementarer Zahlentheorie bestimmen. Die letzten 500 Stellen von Grahams Zahl lauten:
Man kann zeigen, dass Grahams Zahl in der verketteten Pfeilschreibweise zwischen
$3\rightarrow 3\rightarrow 64\rightarrow 2$
und
$3\rightarrow 3\rightarrow 65\rightarrow 2$ liegt.