# Mathematische Physik

Die mathematische Physik beschäftigt sich mit mathematischen Problemen, die ihre Motivation oder ihre Anwendung in der (theoretischen) Physik haben. Von besonderer Bedeutung sind dabei einerseits die mathematisch rigorose Formulierung physikalischer Theorien und die Analyse zugrundeliegender mathematischer Strukturen, und andererseits die Anwendung mathematischer Lösungsmethoden und Strategien auf physikalische Fragestellungen. Weiterhin werden im Rahmen der mathematischen Physik Ideen aus der (zumeist theoretischen) Physik aufgegriffen, die dann als Motivation zur Erstellung neuer mathematischer Konzepte dienen. Aufgrund dieser Natur kann die mathematische Physik sowohl als Teilgebiet der Mathematik als auch der Physik angesehen werden.

## Fragestellungen der mathematischen Physik

Die mathematische Physik befasst sich mit der mathematisch strengen Behandlung von Modellen physikalischer Phänomene. Die Übergänge zur theoretischen Physik sind dabei fließend.
Eine Liste offener Probleme veröffentlichte 1984 bzw. 2000 Barry Simon (siehe Simon-Probleme).
Wichtige Teilgebiete der mathematischen Physik sind:

### Klassische Mechanik

In der klassischen Mechanik finden vor allem Methoden der Differentialgeometrie und der Theorie von Lie-Gruppen Verwendung. Konkret wird der Phasenraum eines physikalischen Systems durch eine symplektische- oder eine Poisson-Mannigfaltigkeit modelliert, auf der unter Umständen eine Lie-Gruppe wirkt. So können beispielsweise die Auswirkungen von Symmetrien und Zwangsbedingungen eingehend studiert werden. Ein weiteres Forschungsfeld ist die Stabilitätstheorie dynamischer Systeme, wie etwa unseres Sonnensystems.

### Klassische Feldtheorien

Zum Verständnis der verschiedenen klassischen Feldtheorien wie Elektro- und Hydrodynamik oder klassischen Yang-Mills-Theorien ist ein breites Spektrum an mathematischen Grundlagen, insbesondere aus der Theorie partieller Differentialgleichungen, der Variationsrechnung, Distributionentheorie, Fourieranalysis sowie der Hauptfaserbündel erforderlich. Aus diesem Gebiet stammen einige der wichtigsten ungelösten Fragen der Mathematik: Die Frage nach Existenz und Regularität von Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen beispielsweise ist eines der sieben Millennium-Probleme des Clay Mathematics Institute.

### Allgemeine Relativitätstheorie

Die allgemeine Relativitätstheorie basiert auf der Pseudo-riemannschen Geometrie. Neben der Lösungstheorie der Einsteinschen Feldgleichungen werden differentialtopologische Methoden und Singularitäten-Theoreme aus der Mathematik benutzt, um Aussagen über die globale Topologie des Universums oder schwarze Löcher zu erhalten.

### Quantenphysik

Die Quantenphysik erlaubt die Beschreibung der Natur auf atomaren Skalen. Ihre mathematische Formulierung nutzt unter anderem die Spektraltheorie von unbeschränkten Operatoren auf Hilberträumen, insbesondere von Schrödingeroperatoren. Weiterhin sind C*-Algebren und die Darstellungstheorie von Lie-Gruppen und Lie-Algebren von zentraler Bedeutung. Die mathematische Physik beschäftigt sich weiterhin mit der mathematisch rigorosen Formulierung von axiomatischen Quantenfeldtheorien, wie der algebraischen Quantenfeldtheorie oder der konstruktiven Quantenfeldtheorie, sowie der Analyse verschiedener Quantisierungsmethoden, etwa in Bezug auf klassischen Limes oder Wohldefiniertheit.
Auch aus diesem Bereich stammt eines der Millennium-Probleme, nämlich das Yang-Mills-Existenz- und Massenlückeproblem, welches nach einem Beweis der Existenz einer Massenlücke in den quantisierten Versionen der Yang-Mills-Gleichungen sucht.
Ein aktives Gebiet der Forschung ist die "Deformationsquantisierung" (siehe Sternprodukt).

### Statistische Physik

Systeme vieler wechselwirkender Teilchen werden durch die statistische Physik beschrieben. Zentrale Fragestellungen sind Existenz und Eigenschaften von Phasenübergängen, Symmetriebrechung und, für Systeme endlicher Teilchenzahl, eines thermodynamischen Limes. Einige hier relevante Teilgebiete der Mathematik sind die Theorie stochastischer Prozesse oder Zufallsmatrizen.

### Ansätze für neue physikalische Theorien

Die mathematische Physik beschäftigt sich aber nicht nur mit der mathematischen Untersuchung bereits existierender physikalischer Modelle. Vielmehr ist auch die Suche nach neuen Theorien – beispielsweise eine quantenphysikalische Beschreibung der Gravitation – ein wichtiges Arbeitsgebiet, da hier sowohl physikalisches Wissen als auch mathematische Methoden nötig sind. Einige prominente Ansätze sind hier die Stringtheorie, Schleifenquantengravitation, Nichtkommutative Geometrie oder die topologische Quantenfeldtheorie.

## Unterscheidung (Mathematische) Methoden der Physik

Von der eigentlichen mathematischen Physik zu unterscheiden sind die an vielen Hochschulen angebotenen Lehrveranstaltungen und Lehrgänge für (Mathematische) Methoden der Physik, die den Physikern das notwendige mathematische Grundlagenwissen beibringen sollen. Der Schwerpunkt liegt dabei auf einer möglichst breiten und anwendungsbezogenen, speziell auf die Bedürfnisse der Physik zugeschnittenen Darstellung mathematischer Methoden und weniger auf Beweistechniken oder Beweisen von mathematischen Sätzen, wie es in den reinen Mathematik-Vorlesungen der Fall ist. Die jeweiligen Methoden entstammen dabei zum Beispiel aus den Themengebieten Vektorräume und Vektoralgebra, Tensorrechnung, Vektoranalysis und Potentialtheorie, Lineare Algebra, Funktionalanalysis, Funktionentheorie (Residuensatz), spezielle Funktionen (Kugelfunktionen, Legendre-Polynome usw.), gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen, Fourieranalyse und Wahrscheinlichkeitstheorie inklusive stochastischer Prozesse. Hingegen der genannten Methoden sind innerhalb des Fachgebiets der mathematischen Physik spezialisierte Methoden zentraler Schwerpunkt und Kernaufgabe der mathematischen Physik.

## Vereinigungen & Institutionen

Die internationale Organisation für mathematische Physik ist die International Association of Mathematical Physics (IAMP), die alle drei Jahre internationale Kongresse veranstaltet.
In Deutschland widmet sich das Max-Planck-Institut für Mathematik in den Naturwissenschaften in Leipzig einigen Aspekten der Mathematischen Physik. In Wien gibt es das Erwin-Schrödinger-Institut für Mathematische Physik auf Initiative von Walter Thirring, der in Wien eine starke Schule mathematischer Physik aufbaute. In Paris hat das Institut Henri Poincaré traditionell einen Schwerpunkt in mathematischer Physik. In England hat das Institute of Physics (IOP) eine eigenständige Special Interest Group (Fachgruppe) namens "Mathematical and Theoretical Physics".
Die ehemalige DMV-Fachgruppe „Mathematische Physik“ nannte es als Ziel, offen zu sein für alle Mathematiker/innen, die an der mathematischen Behandlung von physikalisch motivierten Fragestellungen interessiert sind. Sie förderte den Kontakt zwischen den mathematischen Physikern in Deutschland durch Aktivitäten wie Tagungen, Fachliteratur, Mailing-Liste usw.
Die Kooperation DMV – Deutsche Physikalische Gesellschaft (DPG) soll die Arbeiten in den jeweiligen Fachgebieten vertiefen und verbinden.
Analoge mathematische Fachgruppen (siehe dort) gibt es in anderen Ländern, bzw. auch im Rahmen der (theoretischen) Physik.

## Preise & Auszeichnungen

Die American Physical Society (APS) verleiht den Dannie-Heineman-Preis für mathematische Physik, welcher u. a. bereits an bekannte mathematische und theoretische Physiker wie Murray Gell-Mann, N. N. Bogoljubow, Freeman J. Dyson, Arthur Strong Wightman, Ludwig Dmitrijewitsch Faddejew usw. verliehen wurde.
Die International Association of Mathematical Physics (IAMP) verleiht den Henri-Poincaré-Preis, welcher u. a. vergeben wurde an Rudolf Haag, Elliott H. Lieb etc.
Von der Edinburgh Mathematical Society wird der Whittaker-Preis verliehen.
Das Erwin-Schrödinger-Institut für Mathematische Physik (ESI) der Universität Wien verleiht seit 2020 die Medal of the Erwin Schrödinger Institute for Mathematics and Physics (ESI Medal).
Die American Mathematical Society verleiht seit 2006 den Leonard Eisenbud Prize für Verdienste in der mathematischen Physik.

## Studium & Fachbereiche
### Studium

Ein Studium der mathematischen Physik ist in Deutschland (Stand 2022) an folgenden Universitäten möglich:
* Universität Bielefeld (Masterstudium)
* Universität Hamburg (Masterstudium, Englisch)
* Universität Leipzig (Master in Mathematical Physics seit 2019, Englisch)
* LMU München in Kooperation mit der TU München (Masterstudium, Englisch)
* Eberhard Karls Universität Tübingen (Master in Mathematical Physics seit 2017, Englisch)
* JMU Würzburg (Bachelor- und Masterstudium)
Hinweis: Die Studiengangsnamen können variieren und werden sowohl in Deutsch als auch in Englisch angeboten, z. B. "Mathematical Physics" oder "Mathematische und Theoretische Physik" oder "Theoretical and Mathematical Physics".
Diese Studiengänge beinhalten sowohl Lehrveranstaltungen aus der theoretischen Physik als auch der Mathematik und werden daher in der Regel in Kooperation der Fakultäten für Physik und Mathematik angeboten. Der Fokus liegt hierbei auf dem Wechselspiel beider Disziplinen, wobei der thematische Schwerpunkt allerdings, insbesondere in den Masterstudiengängen, von Universität zu Universität variieren kann. Absolventen dieser Studiengänge sollen idealerweise die Fähigkeit erworben haben, moderne mathematische Konzepte und Strukturen effektiv auf Problemstellungen der theoretischen Physik anzuwenden, was in der Praxis einen Einstieg in aktuelle Forschungsthemen beider Bereiche ermöglicht.

### Fachgruppen

Es existieren weltweit, nebst den genannten deutschen Universitäten, welche explizite Studiengänge in mathematischer Physik anbieten, auch spezialisierte Fachgruppen der mathematischen Physik.

### Weiterbildung (Schools)

Einzelne Universitäten bieten auch Winter- bzw. Sommerakademien an, z. B.
* Summer School in Mathematical Physics, TUM