# Geometrische Verteilung

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Die geometrische Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Stochastik, die univariat ist und zu den diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen zählt. Sie wird aus unabhängigen Bernoulli-Experimenten abgeleitet und in zwei Varianten definiert:

## Variante A

    die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Anzahl $X$ der Bernoulli-Versuche, die notwendig sind, um einen Erfolg zu haben. Diese Verteilung ist auf der Menge $\mathbb {N}$ definiert.

## Variante B

    die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Anzahl $Y$ der Fehlversuche vor dem ersten Erfolg. Diese Verteilung ist auf der Menge $\mathbb {N} _{0}$ definiert.
Die beiden Varianten stehen in der Beziehung $X=Y+1$. Welche davon man „geometrische Verteilung“ nennt, wird entweder vorher festgelegt oder man wählt diejenige, die gerade zweckmäßiger ist.
Die geometrische Verteilung wird verwendet:
* bei der Analyse der Wartezeiten bis zum Eintreffen eines bestimmten Ereignisses.
** bei der Lebensdauerbestimmung von Geräten und Bauteilen, d. h. dem Warten bis zum ersten Ausfall
* bei der Bestimmung der Anzahl häufiger Ereignisse zwischen unmittelbar aufeinanderfolgenden seltenen Ereignissen wie zum Beispiel Fehlern:
** Bestimmung der Zuverlässigkeit von Geräten (MTBF)
** Bestimmung des Risikos in der Versicherungsmathematik
** Bestimmung der Fehlerrate in der Datenübertragung, zum Beispiel Anzahl der erfolgreich übertragenen TCP-Pakete zwischen zwei Paketen mit Retransmission

## Definition der geometrischen Verteilung

Eine diskrete Zufallsgröße $X$ oder $Y$ mit dem Parameter $p$ (Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg), $q=1-p$ (Wahrscheinlichkeit für einen Misserfolg) genügt der geometrischen Verteilung $G(p)$, wenn:

### Variante A

    Für die Wahrscheinlichkeit, dass man genau $n$ Versuche benötigt, um zum ersten Erfolg zu kommen, gilt
    $\operatorname {P} (X=n)=p(1-p)^{n-1}=pq^{n-1}\quad (n=1,2,\dotsc )$

### Variante B

    Für die Wahrscheinlichkeit, $n$ Fehlversuche vor dem ersten Erfolg zu haben, gilt
    $\operatorname {P} (Y=n)=p(1-p)^{n}=pq^{n}\quad (n=0,1,2,\dotsc )$
In beiden Fällen bilden die Werte für die Wahrscheinlichkeiten eine geometrische Folge.
Damit besitzt die geometrische Verteilung die folgenden Verteilungsfunktionen

### Variante A

    $F(n)=\operatorname {P} (X\leq n)=p\sum _{i=1}^{n}q^{i-1}=p\sum _{i=0}^{n-1}q^{i}=p{\frac {1-q^{n}}{1-q}}=1-q^{n}=1-(1-p)^{n}$

### Variante B

    $F(n)=\operatorname {P} (Y\leq n)=p\sum _{i=0}^{n}q^{i}=p{\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}=1-q^{n+1}=1-(1-p)^{n+1}$

## Eigenschaften
### Erwartungswert

Die Erwartungswerte der beiden geometrischen Verteilungen sind

#### Variante A

    $\operatorname {E} (X)={\frac {1}{p}}$

#### Variante B

    $\operatorname {E} (Y)=\operatorname {E} (X)-1={\frac {1-p}{p}}$.
Der Erwartungswert kann auf verschiedene Weisen hergeleitet werden:
* $\operatorname {E} (X)=p\sum _{k=1}^{\infty }k\,(1-p)^{k-1}=p\sum _{k=0}^{\infty }\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} p}}\left(-(1-p)^{k}\right)=-p{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} p}}\left(\sum _{k=0}^{\infty }\,(1-p)^{k}\right)=-p{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} p}}\left({\frac {1}{p}}\right)={\frac {1}{p}}$.
* $\operatorname {E} (X)=\sum _{k=1}^{\infty }kp(1-p)^{k-1}=\sum _{k=0}^{\infty }(k+1)p(1-p)^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }kp(1-p)^{k}+\sum _{k=1}^{\infty }p(1-p)^{k-1}=(1-p)\operatorname {E} (X)+1$
    $\Rightarrow \operatorname {E} (X)={\frac {1}{p}}$.
    Dabei ist $\sum _{k=1}^{\infty }p(1-p)^{k-1}=1$, da $p(1-p)^{k-1}$ die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist.
* Der Erwartungswert $\operatorname {E} (X)$ lässt sich per Fallunterscheidung zerlegen. Mit Wahrscheinlichkeit $p$ geht das erste Experiment erfolgreich aus, das heißt, $X$ wird mit 1 realisiert. Mit Wahrscheinlichkeit $1-p$ ist das erste Experiment erfolglos, aber der Erwartungswert für die Anzahl der dann noch folgenden Experimente ist wegen der Gedächtnislosigkeit wiederum $\operatorname {E} (X)$. Also gilt
    $\operatorname {E} (X)=p\cdot 1+(1-p)\cdot (1+\operatorname {E} (X))=1+(1-p)\cdot \operatorname {E} (X)$, also $\operatorname {E} (X)={\frac {1}{p}}$.
* Führt man $n$ Experimente durch, so ist der Erwartungswert für die Anzahl der erfolgreichen Experimente $n\cdot p$. Daher ist der zu erwartende Abstand zwischen zwei erfolgreichen Experimenten (einschließlich eines erfolgreichen Experimentes) ${\tfrac {n}{n\cdot p}}$, also $\operatorname {E} (X)={\tfrac {1}{p}}$.

### Varianz

Die Varianzen der beiden geometrischen Verteilungen sind
    $\operatorname {Var} (X)=\operatorname {Var} (Y)={\frac {1-p}{p^{2}}}={\frac {1}{p^{2}}}-{\frac {1}{p}}$.
Die Herleitung kann erfolgen über
* $=\operatorname {E} (X^{2})-\operatorname {E} (X)^{2}=p\sum _{k=1}^{\infty }k^{2}(1-p)^{k-1}-{\frac {1}{p^{2}}}$
* $=p\sum _{k=1}^{\infty }k(k+1)(1-p)^{k-1}-p\sum _{k=1}^{\infty }k(1-p)^{k-1}-{\frac {1}{p^{2}}}$
* $=p{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} p^{2}}}\sum _{k=1}^{\infty }(1-p)^{k+1}+p{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} p}}\sum _{k=1}^{\infty }(1-p)^{k}-{\frac {1}{p^{2}}}$
* $=p{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} p^{2}}}\left(\sum _{k=0}^{\infty }(1-p)^{k}\cdot (1-p)^{2}\right)+p{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} p}}\left(\sum _{k=0}^{\infty }(1-p)^{k}\cdot (1-p)\right)-{\frac {1}{p^{2}}}$
* $=p{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} p^{2}}}\left({\frac {1}{1-(1-p)}}\cdot (1-p)^{2}\right)+p{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} p}}\left({\frac {1}{1-(1-p)}}\cdot (1-p)\right)-{\frac {1}{p^{2}}}$
* $=p{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} p^{2}}}\left({\frac {(1-p)^{2}}{p}}\right)+p{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} p}}\left({\frac {1-p}{p}}\right)-{\frac {1}{p^{2}}}$
* $=p\cdot {\frac {2}{p^{3}}}-p\cdot {\frac {1}{p^{2}}}-{\frac {1}{p^{2}}}={\frac {2}{p^{2}}}-{\frac {1}{p}}-{\frac {1}{p^{2}}}={\frac {1}{p^{2}}}-{\frac {1}{p}}$.

### Gedächtnislosigkeit

Die geometrische Verteilung ist eine gedächtnislose Verteilung, d. h., es gilt für
Variante A
    $\operatorname {P} (X=n+k\,|\,X>n)=\operatorname {P} (X=k)\quad n,k=1,2,\dotsc$
Variante B
    $\operatorname {P} (Y=n+k\,|\,Y\geq n)=\operatorname {P} (Y=k)\quad n,k=0,1,2,\dotsc$
Ist also von einer geometrisch verteilten Zufallsvariablen bekannt, dass sie größer als der Wert $n$ ist (Variante A) bzw. mindestens den Wert $n$ hat (Variante B), so ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie diesen Wert um $k$ übertrifft, genau so groß wie die, dass eine identische Zufallsvariable überhaupt den Wert $k$ annimmt.
Die Gedächtnislosigkeit ist eine definierende Eigenschaft; die geometrische Verteilung ist also die einzig mögliche gedächtnislose diskrete Verteilung. Ihr stetiges Pendant hierbei ist die Exponentialverteilung.

### Bezug zur Reproduktivität

Die Summe $\textstyle X=\sum _{i=1}^{k}X_{i}$ unabhängiger geometrisch verteilter Zufallsgrößen $X_{1},\dotsc ,X_{k}$ mit demselben Parameter $p$ ist nicht geometrisch verteilt, sondern negativ binomialverteilt. Somit ist die Familie der geometrischen Wahrscheinlichkeitsverteilungen nicht reproduktiv.

### Schiefe

Die Schiefe ergibt sich für beide Varianten zu:
    $\operatorname {v} (X)=\operatorname {v} (Y)={\frac {2-p}{\sqrt {1-p}}}$.

### Wölbung

Die Wölbung lässt sich für beide Varianten ebenfalls geschlossen darstellen als
    $\beta _{2}=9+{\frac {p^{2}}{1-p}}$.
Damit ist der Exzess
    $\gamma =6+{\frac {p^{2}}{1-p}}$.

### Modus
#### Variante A

Bei Variante A ist der Modus 1.

#### Variante B

Bei Variante B ist der Modus 0.

### Median
#### Variante A

Bei Variante A ist der Median
    ${\tilde {m}}=\left\lceil {\frac {-1}{\log _{2}(1-p)}}\right\rceil \!$.
Hierbei ist $\lceil \cdot \rceil$ die Gaußklammer. Der Median ist nicht notwendigerweise eindeutig.

#### Variante B

Hier ist der Median
    ${\tilde {m}}=\left\lceil {\frac {-1}{\log _{2}(1-p)}}\right\rceil -1\!$.
Auch er muss nicht eindeutig sein.

### Entropie

Die Entropie beider Varianten ist
    $\mathrm {H} ={\frac {-(1-p)\log _{2}(1-p)-p\log _{2}p}{p}}$.

### Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion hat die Form

#### Variante A

    $\varphi _{X}(s)={\frac {pe^{is}}{1-(1-p)e^{is}}}$.

#### Variante B

    $\varphi _{Y}(s)={\frac {p}{1-(1-p)e^{is}}}$.

### Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion der geometrischen Verteilung ist

#### Variante A

    $M_{X}(s)={\frac {pe^{s}}{1-(1-p)e^{s}}}$

#### Variante B

    $M_{Y}(s)={\frac {p}{1-(1-p)e^{s}}}$.

### Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion

Die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion der geometrischen Verteilung ist

#### Variante A

    $m_{X}(t)={\frac {pt}{1-(1-p)t}}$

#### Variante B

    $m_{Y}(t)={\frac {p}{1-(1-p)t}}$.

## Beziehungen zu anderen Verteilungen
### Beziehung zur negativen Binomialverteilung

Verallgemeinerung auf mehrere Erfolge Eine Verallgemeinerung der geometrischen Verteilung stellt die negative Binomialverteilung dar, die die Wahrscheinlichkeit angibt, dass für $r$ Erfolge $n$ Versuche notwendig sind bzw. (in einer alternativen Darstellung) dass der $r$-te Erfolg eintritt, nachdem bereits $k=n-r$ Misserfolge eingetreten sind.
Umgekehrt ist die geometrische Verteilung eine negative Binomialverteilung mit $r=1$. Somit gilt für die Faltung der geometrische Verteilung $\operatorname {Geom} (p)*\operatorname {Geom} (p)=\operatorname {NegBin} (2,p)$.

### Beziehung zur Exponentialverteilung

Konvergenz der geometrischen Verteilung Für eine Folge $X_{1},X_{2},X_{3},\dotsc$ geometrisch verteilter Zufallsvariablen mit Parametern $p_{1},p_{2},p_{3},\dotsc$ gelte $\lim _{n\to \infty }np_{n}=\lambda$ mit einer positiven Konstante $\lambda$. Dann konvergiert die Folge ${\tfrac {X_{n}}{n}}$ für große $n$ gegen eine exponentialverteilte Zufallsvariable mit Parameter $\lambda$.
In Analogie zur diskreten geometrischen Verteilung bestimmt die stetige Exponentialverteilung die Wartezeit bis zum ersten Eintreffen eines seltenen Poisson-verteilten Ereignisses. Die Exponentialverteilung ist also das kontinuierliche Analogon zur diskreten geometrischen Verteilung.

### Beziehung zur zusammengesetzten Poisson-Verteilung

Die geometrische Verteilung in der Variante B entsteht als Spezialfall der zusammengesetzten Poisson-Verteilung in Kombination mit der logarithmischen Verteilung. Als Parameter wählt man $p_{\text{log}}=1-p_{\text{geom}}$ und $-\lambda =\ln(1-p_{\text{log}})$. Damit ist die geometrische Verteilung auch unendlich teilbar.

### Beziehung zum Urnenmodell

Die geometrische Verteilung lässt sich aus dem Urnenmodell herleiten, wenn
    $p={\frac {p_{1}}{p_{2}}}\in \mathbb {Q}$
ist. Dann entsteht die geometrische Verteilung beim Ziehen mit Zurücklegen aus einer Urne mit $p_{2}$ Kugeln, von denen $p_{1}$ markiert sind. Sie ist dann die Wartezeit auf den ersten Erfolg.

## Zufallszahlen

Zufallszahlen zur geometrischen Verteilung werden üblicherweise mit Hilfe der Inversionsmethode erzeugt. Diese Methode bietet sich bei der geometrischen Verteilung besonders an, da die Einzelwahrscheinlichkeiten der einfachen Rekursion $\operatorname {P} (X=k+1)=(1-p)\operatorname {P} (X=k)$ genügen. Die Inversionsmethode ist hier also nur mit rationalen Operationen (Addition, Multiplikation) und ohne die Verteilungsfunktion vorher zu berechnen und abzuspeichern durchführbar, was einen schnellen Algorithmus zur Simulation garantiert.