# Wittvektor

Wittvektoren sind eine von dem Mathematiker Ernst Witt eingeführte Verallgemeinerung der Konstruktion der (ganzen) p-adischen Zahlen auf beliebige perfekte Restklassenkörper. Neben diesen $p$-typischen Wittvektoren gibt es die großen Wittvektoren, aus denen sich die $p$-typischen Wittvektoren für beliebiges $p$ rekonstruieren lassen.

## p-typische Wittvektoren

Sei $p$ eine feste Primzahl. Für einen Ring $A$ (kommutativ, mit Einselement) bilden die Wittvektoren einen von $p$ abhängenden Ring $W_{p}(A)$. Er ist vor allem für Ringe $A$ der Charakteristik $p$ interessant, die Konstruktion macht es aber erforderlich, auch andere Ringe zuzulassen.

### Motivation

Sei $n>1$ eine ganze Zahl. Als Approximation an eine alternative Konstruktion der $p$-adischen Zahlen $\mathbb {Z} _{p}$ soll zunächst nur unter Verwendung der Addition und Multiplikation im Körper $\mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ ein zum Restklassenring $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ isomorpher Ring, bezeichnet mit $W_{p,n}(\mathbb {F} _{p})$, konstruiert werden.
Der erste, naive Ansatz dazu wäre die Verwendung der Abbildung $\sigma :\mathbb {F} _{p}\to \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$, die für ganze Zahlen $0\leq k<p$ die Restklasse von $k$ in $\mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ auf die Restklasse von $k$ in $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ abbildet. Die Bijektion
    $\mathbb {F} _{p}^{n}\to \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} ,\ \ (x_{0},x_{1},\dots ,x_{n-1})\mapsto \sigma (x_{0})+p\sigma (x_{1})+\dots +p^{n-1}\sigma (x_{n-1})$
entspricht der Darstellung von ganzen Zahlen in $\{0,1,\dots ,p^{n}-1\}$ im Stellenwertsystem zur Basis $p$. Die von $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ übertragene Addition ist dann im Fall $n=2$:
    $(x_{0},x_{1})+(y_{0},y_{1})=(x_{0}+y_{0},x_{1}+y_{1}+c(x_{0},y_{0})),$
wobei $c(x_{0},y_{0})$ der Übertrag ist. Diese Konstruktion lässt sich nicht gut auf andere Körper als $\mathbb {F} _{p}$ verallgemeinern, auch weil die Definition von $\sigma$ von dem aus algebraischer Sicht ungünstigen Vertretersystem $\{0,1,\dots ,p-1\}\subset \mathbb {Z}$ Gebrauch macht.
Der korrekte Ansatz basiert auf der folgenden Aussage aus der elementaren Zahlentheorie: Für ganze Zahlen $u,v$ gilt:
    $u\equiv v\mod p\implies u^{p^{n-1}}\equiv v^{p^{n-1}}\mod p^{n}$
(siehe Kongruenz (Zahlentheorie)). Das bedeutet: Ist $x\in \mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ und $u\in \mathbb {Z}$ ein Vertreter von $x$, dann hängt die Restklasse von $u^{p^{n-1}}$ in $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ nur von $x$, nicht jedoch von der Wahl von $u$ ab. Wir schreiben suggestiv $x^{p^{n-1}}$ für dieses Element von $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$. (Diese Abbildung $\mathbb {F} _{p}\to \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ ist im Wesentlichen das Teichmüller-Vertretersystem für die $p$-adischen Zahlen $\mathbb {Z} _{p}$.) Allgemeiner hängt auch die Restklasse von $p^{k}u^{p^{n-1-k}}$ nicht von $u$ selbst ab, wir scheiben $p^{k}x^{p^{n-1-k}}$.
Weil jeweils $\mathbb {F} _{p}\to p^{k}\mathbb {Z} /p^{k+1}\mathbb {Z}$, $x\mapsto p^{k}x^{p^{n-1-k}}$ bijektiv ist, erhalten wir durch Aufaddieren eine bijektive Abbildung:
    ${\begin{aligned}w_{n-1}{:}\ &\mathbb {F} _{p}^{n}\to \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} ,\\&(x_{0},x_{1},\dots ,x_{n-1})\mapsto x_{0}^{p^{n-1}}+px_{1}^{p^{n-2}}+\dots +p^{k}x_{k}^{p^{n-1-k}}+\dots +p^{n-1}x_{n-1}\end{aligned}}$
Sei $W_{p,n}(\mathbb {F} _{p})$ die Menge $\mathbb {F} _{p}^{n}$ zusammen mit derjenigen Addition und Multiplikation, die $w_{n-1}$ zu einem Isomorphismus machen.
Sei nun speziell $n=2$ und damit $w_{1}(x_{0},x_{1})=x_{0}^{p}+px_{1}$. Sollen zwei Vektoren $(x_{0},x_{1})$ und $(y_{0},y_{1})$ addiert werden, also $(x_{0},x_{1})+(y_{0},y_{1})=(z_{0},z_{1})$, dann erhält man modulo $p$ die Gleichung $z_{0}^{p}=x_{0}^{p}+y_{0}^{p}$, also $z_{0}=x_{0}+y_{0}$. Damit ist
    $pz_{1}=px_{1}+py_{1}+x_{0}^{p}+y_{0}^{p}-(x_{0}+y_{0})^{p}$
Das Polynom
    $X^{p}+Y^{p}-(X+Y)^{p}\in \mathbb {Z} [X,Y]$
hat durch $p$ teilbare Koeffizienten, ist also gleich $p\cdot S_{1}'(X,Y)$ mit einem Polynom $S_{1}'(X,Y)\in \mathbb {Z} [X,Y]$. Damit ist
    $pz_{1}=p(x_{1}+y_{1}+S_{1}'(x_{0},y_{0}))$
also insgesamt
    $(x_{0},x_{1})+(y_{0},y_{1})=(x_{0}+y_{0},x_{1}+y_{1}+S_{1}'(x_{0},y_{0}))$
Die Assoziativität der Addition übersetzt sich in eine Gleichung
    $S_{1}'(x_{0},y_{0})+S_{1}'(x_{0}+y_{0},z_{0})=S_{1}'(x_{0},y_{0}+z_{0})+S_{1}'(y_{0},z_{0})$
Man überzeugt sich leicht davon, dass diese Gleichung bereits entsprechend in $\mathbb {Z} [X,Y,Z]$ gilt. Das bedeutet, dass man für einen beliebigen kommutativen Ring $A$ durch die Festlegung
    $(x_{0},x_{1})+(y_{0},y_{1})=(x_{0}+y_{0},x_{1}+y_{1}+S_{1}'(x_{0},y_{0}))$
die Struktur einer abelschen Gruppe auf $W_{p,2}(A)=A^{2}$ definieren kann. Entsprechendes gilt für
    $(x_{0},x_{1})\cdot (y_{0},y_{1})=(x_{0}y_{0},P_{1}(x_{0},x_{1},y_{0},y_{1}))$
mit $P_{1}(X_{0},X_{1},Y_{0},Y_{1})=X_{0}^{p}Y_{1}+X_{1}Y_{0}^{p}+pX_{1}Y_{1}$, so dass $W_{p,2}(A)$ zu einem kommutativen Ring mit Einselement $(1,0)$ wird.

### Definition

Bezeichne $\mathbb {N} _{0}$ die Menge der nichtnegativen ganzen Zahlen. Weiterhin ist $p$ eine fest gewählte Primzahl.
Es gibt eindeutig bestimmte Polynome $S_{i},P_{i}\in \mathbb {Z} [X_{0},\dots ,X_{i},Y_{0},\dots ,Y_{i}]$ für jedes $i\in \mathbb {N} _{0}$ derart, dass für jeden kommutativen Ring mit Einselement $A$ gilt: $W_{p}(A)=A^{\mathbb {N} _{0}}$ ist ein Ring mit Addition:
    $x+y=(S_{0}(x_{0},y_{0}),S_{1}(x_{0},x_{1},y_{0},y_{1}),S_{2}(x_{0},x_{1},x_{2},y_{0},y_{1},y_{2}),\dots )$
und Multiplikation
    $x\cdot y=(P_{0}(x_{0},y_{0}),P_{1}(x_{0},x_{1},y_{0},y_{1}),\dots )$
und für jedes $n\in \mathbb {N} _{0}$ ist die Abbildung
    $W_{p}(A)\to A,\ \ x\mapsto x_{0}^{p^{n}}+px_{1}^{p^{n-1}}+\dots +p^{k}x_{k}^{p^{n-k}}+\dots +p^{n}x_{n}$
ein Ringhomomorphismus. $W_{p}(A)$ heißt Ring der $p$-typischen Wittvektoren mit Einträgen aus $A$. Ist nur die Rede von $p$-typischen Wittvektoren, wird nur $W(A)$ geschrieben.
Für $n\in \mathbb {N} _{1}$ ist $W_{p,n}(A)=A^{n}$ mit der entsprechend abgeschnittenen Addition und Multiplikation ebenfalls ein kommutativer Ring mit Einselement, der Ring der $p$-typischen Wittvektoren der Länge $n$.
Das Ringelement
    $x^{(n)}=x_{0}^{p^{n}}+px_{1}^{p^{n-1}}+\dots +p^{k}x_{k}^{p^{n-k}}+\dots +p^{n}x_{n}\in A$
wird als $n$-te Geisterkomponente oder Nebenkomponente von $x\in W_{p}(A)$ bezeichnet. Mit den Witt-Polynomen
    $w_{p,n}(X)=X_{0}^{p^{n}}+pX_{1}^{p^{n-1}}+\dots +p^{n}X_{n}$
kann man $S_{n}$ und $P_{n}$ rekursiv berechnen:
    ${\begin{aligned}S_{n}(X,Y)&={\frac {1}{p^{n}}}\left(w_{p,n}(X)+w_{p,n}(Y)-\sum _{k=0}^{n-1}p^{k}S_{k}^{p^{n-k}}(X,Y)\right)\\P_{n}(X,Y)&={\frac {1}{p^{n}}}\left(w_{p,n}(X)\cdot w_{p,n}(Y)-\sum _{k=0}^{n-1}p^{k}P_{k}^{p^{n-k}}(X,Y)\right)\end{aligned}}$
Beispiele:
    ${\begin{aligned}S_{0}(X,Y)&=X_{0}+Y_{0}\\S_{1}(X,Y)&=X_{1}+Y_{1}-\sum _{k=1}^{p-1}{\frac {1}{p}}{\binom {p}{k}}X_{0}^{k}Y_{0}^{p-k}\\P_{0}(X,Y)&=X_{0}Y_{0}\\P_{1}(X,Y)&=X_{0}^{p}Y_{1}+X_{1}Y_{0}^{p}+pX_{1}Y_{1}\end{aligned}}$
Auch die Negation $x\mapsto -x$ im Ring $W_{p}(A)$ ist durch universelle Polynome gegeben. Für $p\neq 2$ ist:
    $-(x_{0},x_{1},x_{2},\dots )=(-x_{0},-x_{1},-x_{2},\dots )$
Für $p=2$ ist dagegen $-(x_{0},x_{1},x_{2},\dots )=(I_{0}(X),I_{1}(X),I_{2}(X),\dots )$ mit
    ${\begin{aligned}I_{0}(X)&=-X_{0}\\I_{1}(X)&=-X_{0}^{2}-X_{1}\\I_{2}(X)&=-X_{0}^{4}-X_{0}^{2}X_{1}-X_{1}^{2}-X_{2}\end{aligned}}$
Die Abbildung $\tau \colon A\to W_{p}(A),\ a\mapsto (a,0,0,\dots )$ ist multiplikativ und heißt Teichmüller-Vertretersystem (nach Oswald Teichmüller).

### Beweisskizze

Die rekursive Beschreibung liefert $S_{n},P_{n}\in \mathbb {Q} [X,Y]$. Um einerseits die Ganzzahligkeit, andererseits die Ringeigenschaften nachzuweisen, zeigt der klassische Beweisansatz allgemeiner:
Lemma. Ist $\phi \in \mathbb {Z} [X,Y]$ ein Polynom (z. B. $\phi (X,Y)=X+Y$), dann gibt es eindeutig bestimmte ganzzahlige Polynome $\phi _{n}\in \mathbb {Z} [X_{0},\dots ,X_{n},Y_{0},\dots ,Y_{n}]$ mit
    $w_{p,n}(\phi _{0},\dots ,\phi _{n})=\phi (w_{p,n}(X_{0},\dots ,X_{n}),w_{p,n}(Y_{0},\dots ,Y_{n}))$
für alle $n$. Entsprechende Versionen dieser Aussage gelten auch für $X,Y,Z$ statt $X,Y$ oder auch nur $X$.
Rationale Eindeutigkeit ist klar, der Ganzzahligkeitsbeweis beruht auf den Eigenschaften $w_{p,n}(X)\equiv w_{p,n-1}(X^{p})\mod p$ und $f(X^{p})\equiv f(X)^{p}\mod p$ sowie der oben erwähnten Implikation
    $u\equiv v\mod p\implies u^{p^{n-1}}\equiv v^{p^{n-1}}\mod p^{n}$
Die Ringeigenschaften von $W_{p}(A)$ folgen aus der Eindeutigkeitsaussage des Lemmas: Sowohl $x+(y+z)$ als auch $(x+y)+z$ sind durch Polynome gegeben, die Lösungen der folgenden Gleichung sind:
    $w_{p,n}(\phi _{0},\dots ,\phi _{n})=w_{p,n}(X_{0},\dots ,X_{n})+w_{p,n}(Y_{0},\dots ,Y_{n})+w_{p,n}(Z_{0},\dots ,Z_{n})$
Also sind diese Polynome gleich.
Ein anderer Beweisansatz verwendet die Identifikation des Rings der großen Wittvektoren mit dem Ring $\Lambda (A)$, siehe unten.

### Einfache Eigenschaften

* $W_{p,1}(A)$ kann mit $A$ identifiziert werden, und $w_{p,0}:W_{p}(A)\to A$ mit der Projektion $x\mapsto x_{0}$. Alle Projektionen $W_{p}(A)\to W_{p,n}(A)$ sind surjektive Ringhomomorphismen, und
       $W_{p}(A)=\varprojlim _{n}W_{p,n}(A)$
    (siehe Projektiver Limes)
* $W_{p}(\mathbb {F} _{p})=\mathbb {Z} _{p}$ und $W_{p,n}(\mathbb {F} _{p})=\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$
* Wenn $p$ in $A$ invertierbar ist, dann ist die Abbildung auf die Geisterkomponenten $w_{p}:W_{p}(A)\to A^{\mathbb {N} _{0}}$ ein Ringisomorphismus.
* Weitere Beispiele (unter beiden Isomorphismen entspricht $X$ dem Vektor $(0,1)$):
       ${\begin{aligned}&W_{p,2}(\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} [X]/(X^{2}-pX)\\&W_{p,2}(\mathbb {Z} /p^{2}\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} /p^{3}\mathbb {Z} [X]/(X^{2}-pX,pX-p^{2})\end{aligned}}$

### W(k) für perfekte Körper k

Sei $k$ ein perfekter Körper der Charakteristik $p$. Dann ist $W_{p}(k)$ ein vollständiger diskreter Bewertungsring gemischter Charakteristik (d. h. ${\text{char}}(W_{p}(k))=0$), dessen maximales Ideal von $p$ erzeugt wird. Diese Eigenschaft charakterisiert $W_{p}(k)$ bis auf Isomorphie.
Wittvektoren spielen eine wichtige Rolle in der Strukturtheorie vollständiger lokaler Ringe (nach I. S. Cohen):
* Satz von Teichmüller-Witt: Ist $(A,{\mathfrak {m}})$ ein vollständiger noetherscher lokaler Ring mit Restklassenkörper $k$, dann gibt es genau einen Homomorphismus $W_{p}(k)\to A$, so dass die Verkettung mit der Projektion $A\to k$ gleich der Projektion $W_{p}(k)\to k$ ist. Es gibt genau einen multiplikativen Schnitt $\tau _{A}\colon k\to A$ der Projektion $A\to k$, genannt Teichmüller-Vertretersystem, und die Abbildung $W_{p}(k)\to A$ ist:
       $x\mapsto \sum _{n=0}^{\infty }p^{n}\cdot \tau _{A}(x_{n}^{1/p^{n}})$
* $A$ ist als $W_{p}(k)$-Algebra isomorph zu einem Quotienten von $W_{p}(k)[[T_{1},\dots ,T_{m}]]$ mit $m=\dim _{k}({\mathfrak {m}}/({\mathfrak {m}}^{2}+pA))$.
* Ist $p$ kein Nullteiler in $A$, dann gibt es Elemente $t_{1},\dots ,t_{d-1}$ mit $d=\dim(A)$, so dass der induzierte Homomorphismus $W_{p}(k)[[T_{1},\dots ,T_{d-1}]]\to A$ injektiv ist und $A$ als $W_{p}(k)[[T_{1},\dots ,T_{d-1}]]$-Modul endlich erzeugt ist.
* Im Spezialfall $d=1$ bedeutet das genauer: Ist $(A,{\mathfrak {m}})$ ein vollständiger diskreter Bewertungsring der Charakteristik 0 mit Restklassenkörper $k$, dann ist $A$ eine endliche Erweiterung von $W_{p}(k)$ vom Grad $e$, wenn $e$ die normalisierte Bewertung von $p$ ist, also $pA={\mathfrak {m}}^{e}$ gilt.
Für nicht perfekte Körper übernehmen Cohen-Ringe die Rolle von $W_{p}(k)$.

### Frobenius und Verschiebung
#### In Charakteristik p

Sei $A$ ein Ring der Charakteristik $p$. Die Verschiebung ist die Abbildung
    ${\begin{aligned}V{:}\ &W_{p}(A)\to W_{p}(A),\\&(x_{0},x_{1},x_{2},\dots )\mapsto (0,x_{0},x_{1},x_{2},\dots )\end{aligned}}$
Sie ist ein Homomorphismus der additiven Gruppen. Durch Abschneiden erhält man induzierte Homomorphismen
    ${\begin{aligned}&W_{p,n}(A)\to W_{p,n+1}(A),\\&(x_{0},x_{1},\dots ,x_{n-1})\mapsto (0,x_{0},x_{1},\dots ,x_{n-1})\end{aligned}}$
Der Frobeniushomomorphismus (in Anlehnung an den Frobeniushomomorphismus von Körpern der Charakteristik $p$) ist die Abbildung
    ${\begin{aligned}F{:}\ &W_{p}(A)\to W_{p}(A),\\&(x_{0},x_{1},x_{2},\dots )\mapsto (x_{0}^{p},x_{1}^{p},x_{2}^{p},\dots )\end{aligned}}$
Sie ist ein Ringhomomorphismus, der sich zu Ringhomomorphismen $W_{p,n}(A)\to W_{p,n}(A)$ einschränkt. Sei $[p]$ die Multiplikation mit $p$ auf $W_{p}(A)$. Dann ist
    $F\circ V=V\circ F=[p]$
somit
    $[p](x_{0},x_{1},x_{2},\dots )=(0,x_{0}^{p},x_{1}^{p},\dots )$
insbesondere
    $p\cdot 1_{W_{p}(A)}=(0,1,0,0,0,\dots )$
Außerdem ist
    $V(a\cdot F(b))=V(a)\cdot b$
Frobenius und Verschiebung sind Spezialfälle einer allgemeineren Konstruktion, siehe Frobeniushomomorphismus#Verschiebung.
Sei $K$ der Quotientenkörper von $W_{p}(\mathbb {F} _{q})$. Dann ist $F$ der (arithmetische) Frobeniusautomorphismus für die Körpererweiterung $K/\mathbb {Q} _{p}$.

#### Dieudonné-Ring

Sei $k$ ein perfekter Körper der Charakteristik $p$. Schreibt man $W=W_{p}(k)$ und $W^{\sigma }$ für den $W$-Modul $W$, bei dem die Modulstruktur durch $F$ gegeben ist, dann erhält man Modulhomomorphismen
    $F\colon W\to W^{\sigma },\ \ V\colon W^{\sigma }\to W$
in Analogie zu Frobenius und Verschiebung für algebraische Gruppen in Charakteristik $p$. Ist allgemeiner $M$ ein $W$-Modul zusammen mit zwei Modulhomomorphismen $F\colon M\to M^{\sigma }$ und $V\colon M^{\sigma }\to M$, kann man diese Struktur zusammenfassen als Modul für den Dieudonné-Ring $D_{k}$ (nach Jean Dieudonné), den nichtkommutativen Ring, der von $W_{p}(k)$ und zwei Symbolen $\mathbf {F} ,\mathbf {V}$ erzeugt wird, mit den Relationen
    ${\begin{aligned}&\mathbf {V} \cdot \mathbf {F} =\mathbf {F} \cdot \mathbf {V} =p\\&\mathbf {V} \cdot F(a)=a\cdot \mathbf {V} \\&\mathbf {F} \cdot a=F(a)\cdot \mathbf {F} \end{aligned}}$
Die klassische Dieudonné-Theorie ist eine Äquivalenz von Kategorien zwischen kommutativen unipotenten algebraischen Gruppen und bestimmten $D_{k}$-Moduln. Siehe auch unten.

#### Allgemein

Für beliebige Ringe $A$ muss die Definition des Frobeniushomomorphismus modifiziert werden: er ist durch die Gleichung $w_{p,n+1}=w_{p,n}\circ F$ charakterisiert. Insbesondere ist die 0-te Komponente $F_{0}(x)=x_{0}^{p}+px_{1}$. Der Frobeniushomomorphismus ist auch im allgemeinen Fall ein Ringhomomorphismus. Es gilt
    $Fx\equiv x^{p}\mod pW(A)$
Durch Abschneiden erhält man Ringhomomorphismen
    $W_{p,n}(A)\to W_{p,n-1}(A)$
(also nicht mehr mit Ziel $W_{p,n}(A)$ wie im Fall der Charakteristik $p$). Allgemein gilt immer noch
    $FV=[p]$
und
    $V(a\cdot F(b))=V(a)\cdot b$

#### Frobeniuslifts und Komonadenstruktur

Sei $A$ ein $p$-torsionsfreier Ring. Ein Frobeniuslift ist ein Ringhomomorphismus $\sigma \colon A\to A$ mit $\sigma (a)\equiv a^{p}\mod pA$. Für einen Frobeniuslift existiert nach Dieudonné-Cartier eine eindeutig bestimmte Fortsetzung $s\colon A\to W_{p}(A)$, für die $w_{p,n}\circ s=\sigma ^{n}$ für alle $n$ gilt. Sie erfüllt $F\circ s=s\circ \sigma$. Da $W_{p}(A)$ selbst über den Frobeniuslift $F$ verfügt, erhält man zunächst für $p$-torsionsfreie Ringe und durch universelle Formeln für beliebige Ringe eine natürliche Transformation $\mu \colon W_{p}\to W_{p}\circ W_{p}$, die durch $w_{p,n}\circ \mu =F^{n}$ charakterisiert ist. Sie wird auch Artin-Hasse-Exponentialfunktion genannt, siehe auch unten, und definiert eine Komonade $(W_{p},\mu ,w_{0})$.
Die Restriktion auf $p$-torsionsfreie Ringe lässt sich dadurch beseitigen, dass man zu $p$-Derivationen übergeht: Für einen Ring $A$ ist eine $p$-Derivation eine Abbildung $\delta \colon A\to A$, für die die Abbildung
    $s_{2,\delta }\colon A\to W_{p,2}(A),\ a\mapsto (a,\delta (a))$
ein Ringhomomorphismus ist. Konkret bedeutet das, dass $\delta$ die folgenden Gleichungen erfüllt:
    ${\begin{aligned}&\delta (1)=0\\&\delta (a+b)=S_{1}(a,\delta (a),b,\delta (b))=\delta (a)+\delta (b)+\sum _{k=1}^{p-1}{\frac {1}{p}}{\binom {p}{k}}a^{k}b^{p-k}\\&\delta (ab)=P_{1}(a,\delta (a),b,\delta (b))=a^{p}\delta (b)+\delta (a)b^{p}+p\cdot \delta (a)\delta (b)\end{aligned}}$
Eine $p$-Derivation $\delta$ definiert durch $w_{p,1}\circ s_{2,\delta }\colon a\mapsto a^{p}+p\cdot \delta (a)$ einen Frobeniuslift auf $A$. Ist $A$ torsionsfrei, erhält man umgekehrt aus einem Frobeniuslift $\sigma$ eine $p$-Derivation
    $\delta \colon A\to A,\ \delta (a)={\frac {\sigma (a)-a^{p}}{p}}$
Ein Ring zusammen mit einer $p$-Derivation wird als δ-Ring bezeichnet.
Die Situation ist insofern analog zu gewöhnlichen Derivationen $d\colon A\to A$, als diese sich dadurch charakterisieren lassen, dass $A\to A[T]/T^{2},\ a\mapsto (a,d(a))$ ein Ringhomomorphismus ist.
Die Koalgebren für die oben definierte Komonade können mit den δ-Ringen identifiziert werden. Insbesondere ist $W_{p}$ rechtsadjungiert zum Vergissfunktor von der Kategorie der δ-Ringe in die Kategorie der Ringe. Es existiert auch eine duale Beschreibung basierend auf der „Plethorie“ $\Lambda _{p}$, die $W_{p}$ als Endofunktor der Kategorie der Ringe darstellt.

### Weitere Eigenschaften in Charakteristik p

Sei $A$ ein Ring mit $pA=0$.
* Wenn $A$ ein Integritätsbereich ist, dann auch $W_{p}(A)$, und es gilt ${\text{char}}(W_{p}(A))=0$.
* Die Einheiten von $W_{p}(A)$ sind genau die Elemente $x$ mit $x_{0}\in A^{*}$.
* Wenn $A$ ein Körper ist, dann ist $W_{p}(A)$ ein lokaler Ring mit maximalem Ideal $V(W_{p}(A))$. Außerdem ist $W_{p}(A)$ genau dann noethersch, wenn $A$ perfekt ist.
* Wenn $A\to A,\ a\mapsto a^{p}$ surjektiv ist, dann ist $V(W_{p}(A))=pW_{p}(A)$ und somit $W_{p}(A)/pW_{p}(A)\cong A$.
* Ist $A$ perfekt, d. h. $a\mapsto a^{p}$ bijektiv, dann lässt sich ein Wittvektor $x=(x_{0},x_{1},x_{2},\dots )$ mit der Teichmüller-Abbildung $\tau \colon A\to W_{p}(A)$ als $p$-adisch konvergente Reihe schreiben:
       $x=\sum _{n=0}^{\infty }V^{n}\tau (x_{n})=\sum _{n=0}^{\infty }p^{n}\cdot \tau (x_{n}^{1/p^{n}})$
* Ist $A$ ein Integritätsbereich, und sind alle Primzahlen $\neq p$ in $A$ invertierbar (z. B. wenn $A$ ein Körper ist), dann kann man die Einheitengruppen $A[[T]]^{*}$ und $A((T))^{*}$ (formale Potenzreihen bzw. Laurentreihen) sowie $(A[T]/T^{n}A[T])^{*}$ durch $W_{p}(A)$ beschreiben, siehe unten.

### Weitere Anwendungen

* Artin-Schreier-Witt-Theorie: Ist $K$ ein Körper der Charakteristik $p$, können abelsche Erweiterungen vom Exponenten $p^{n}$ von $K$ mit Hilfe der Wittvektoren $W_{p,n}$ klassifiziert werden.
* Ist $X$ ein Schema über einem Körper $k$ der Charakteristik $p$, dann gibt es nicht immer ein flaches Schema ${\tilde {X}}$ über $W_{p}(k)$ mit ${\tilde {X}}\times _{{\text{Spec }}W_{p}(k)}{\text{Spec }}k\cong X$. Die Existenz eines Lifts nach $W_{p,2}(k)$ spielt eine Rolle im Beweis der Degeneration der Hodge-de-Rham-Spektralsequenz von Pierre Deligne und Luc Illusie.
* Ist $X/k$ glatt, existieren Lifts lokal. Stattet man die lokalen Lifts noch mit einer PD-Struktur aus, die bewirkt, dass ein Analogon des Poincaré-Lemmas gilt, erhält man die kristalline Kohomologie. Die kristallinen Kohomologiegruppen sind $W(k)$-Moduln. Tensoriert man mit dem Quotientenkörper, erhält man eine Weil-Kohomologie, welche die l-adische Kohomologie für $l\neq p$ ergänzt.
* Ist $X$ ein Schema über $\mathbb {F} _{p}$, so ist der topologische Raum $X$ mit der Garbe $W_{n}{\mathcal {O}}_{X}$ wieder ein Schema $W_{n}(X)$. Der De-Rham-Witt-Komplex $W_{n}\Omega _{X}^{\cdot }$ ist ein geeigneter Quotient von $\Omega _{W_{n}{\mathcal {O}}_{X}}^{\cdot }$. Für $X$ glatt ist die kristalline Kohomologie $H^{*}(X/W_{n})$ isomorph zur Hyperkohomologie von $W_{n}\Omega _{X}^{\cdot }$.
* Es gibt Ansätze, Wittvektoren auf die Analyse des Verschlüsselungsverfahrens NTRUEncrypt anzuwenden.

### Wittvektoren als algebraische Gruppe

Sei $k$ ein perfekter Körper der Charakteristik $p$. Die Wittvektoren der Länge $n$ bilden eine kommutative algebraische Gruppe $W_{n}$ über $k$, die als Varietät isomorph zum affinen Raum $\mathbb {A} _{k}^{n}$ ist. $W_{n}$ ist eine unipotente Gruppe: Das folgt aus der Filtrierung $V^{k}W_{n}$ mit Subquotienten $\cong \mathbb {G} _{a}$ oder der Artin-Hasse-Einbettung $W_{n}(A)\to (A[T]/(T^{p^{n}+1}))^{*}$.
In Charakteristik 0 ist jede kommutative unipotente Gruppe isomorph zu $\mathbb {G} _{a}^{d}$. In positiver Charakteristik ist die Theorie wesentlich komplexer: Es gibt nichttriviale Erweiterungen, und außer $\mathbb {G} _{a}$ gibt es noch die möglichen Kompositionsfaktoren ${\underline {\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }}$ und $\alpha _{p}$ (der Kern des Frobeniusmorphismus auf $\mathbb {G} _{a}$, explizit $\alpha _{p}(A)=\{a\in A:a^{p}=0\}$).
Jede kommutative unipotente Gruppe über $k$ ist isogen zu einem Produkt von Wittvektorgruppen. Der Hauptsatz der klassischen Dieudonné-Theorie besagt: Der Funktor
    $M(G)=\varinjlim _{n}{\text{Hom}}(G,W_{n})$
definiert eine Äquivalenz zwischen der Kategorie der kommutativen unipotenten algebraischen Gruppen über $k$ und der Kategorie der endlich erzeugten $D_{k}$-Moduln, auf denen $V$ nilpotent wirkt. Mit Hilfe der Cartier-Dualität oder mit Witt-Kovektoren kann man eine analoge Äquivalenz für endliche $p$-Gruppen sowie für p-divisible Gruppen konstruieren.
Für eine abelsche Varietät $X/k$ gibt es einen kanonischen Isomorphismus von $D_{k}$-Moduln $M(_{p}X)\cong H_{\text{DR}}^{1}(X)$. Dabei ist $_{p}X$ der Kern der Multiplikation mit $p$ auf $X$ und $H_{\text{DR}}^{1}(X)$ die algebraische De-Rham-Kohomologie von $X$. Der Dieudonné-Modul der $p$-divisiblen Gruppe von $X$ ist isomorph zur kristallinen Kohomologie $H_{\text{cris}}^{1}(X/W)$.

### Witt-Kovektoren

Wie Wittvektoren eine Verallgemeinerung der $p$-adischen Zahlen $W_{p}(\mathbb {F} _{p})=\mathbb {Z} _{p}=\varprojlim _{n}\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ sind, so sind Witt-Kovektoren eine Verallgemeinerung der Prüfergruppe $CW(\mathbb {F} _{p})=\mathbb {Q} _{p}/\mathbb {Z} _{p}=\varinjlim _{n}{\tfrac {1}{p^{n}}}\mathbb {Z} /\mathbb {Z}$. Der Funktor $M(G)={\text{Hom}}(G,CW)$ erlaubt eine einheitliche Darstellung der Dieudonné-Theorie für endliche kommutative $p$-Gruppen und $p$-divisible Gruppen über einem perfekten Körper.
Für einen Ring $A$ sei $CW^{u}(A)$ der direkte Limes von
    $W_{p,1}(A){\stackrel {V}{\longrightarrow }}W_{p,2}(A){\stackrel {V}{\longrightarrow }}W_{p,3}(A){\stackrel {V}{\longrightarrow }}\dots$
Damit wird $CW^{u}$ zu einem Ind-Gruppenschema. In älterer Literatur wird auch das Symbol $\mathop {W} _{\to }$ verwendet. $CW^{u}(A)$ heißt Gruppe der unipotenten Witt-Kovektoren.
Die Konstruktion der topologischen Gruppe $CW(A)$ aller Witt-Kovektoren ist komplizierter: Elemente in $CW^{u}(A)$ können mit Folgen $(x_{0},x_{-1},x_{-2},\dots )$ identifiziert werden, die ab einem Index null sind. Mit denselben universellen Formeln kann man für Folgen, die ab einem festen Index $r$ Werte in einem festen nilpotenten Ideal ${\mathfrak {n}}$ haben, eine Addition erklären. Statte diese Gruppen $CW(A,{\mathfrak {n}},r)$ mit der Produkttopologie von $A^{r}\times {\mathfrak {n}}^{\mathbb {N} }$ mit diskreten Faktoren aus und setze $CW(A)=\varinjlim _{{\mathfrak {n}},r}CW(A,{\mathfrak {n}},r)$. Die unipotenten Kovektoren $CW^{u}(A)$ bilden eine dichte Untergruppe von $CW(A)$.
Sei $A$ ein perfekter Ring der Charakteristik $p$ und $f\colon A\to B$ eine $A$-Algebra. Die Abbildung
    $W_{p}(A)\times W_{p,n}(B)\to W_{p,n}(B),\ \ (a,b)\mapsto W(f)(F^{1-n}a)\cdot b$
macht $W_{p,n}(B)$ zu einem $W_{p}(A)$-Modul (abweichend von der weiter oben definierten Modulstruktur), und mit dem Frobenius und der Verschiebung wird $W_{p,n}(B)$ zu einem $D_{A}$-Modul. Die Verschiebung $W_{p,n}(B)\to W_{p,n+1}(B)$ ist $D_{A}$-linear, und man erhält eine $D_{A}$-Modulstruktur auf $CW^{u}(B)$ und $CW(B)$.

### Verzweigte Wittvektoren

Sei $A$ ein vollständiger diskreter Bewertungsring der Charakteristik 0 mit Uniformisierender $\pi$, dessen Restklassenkörper ein endlicher Körper mit $q$ Elementen ist. Dann gibt es genau eine funktorielle $A$-Algebra-Struktur auf $W_{\pi }^{A}(B)=B^{\mathbb {N} _{0}}$ für $A$-Algebren $B$, so dass
    $w_{\pi ,n}:W_{\pi }^{A}(B)\to B,\ \ (x_{0},x_{1},\dots )\mapsto \sum _{k=0}^{n}\pi ^{k}x_{k}^{q^{n-k}}$
für jedes $n\in \mathbb {N} _{0}$ ein Homomorphismus von $A$-Algebren ist. Es gibt Frobenius- und Verschiebungsoperatoren $F_{\pi },V_{\pi }$, die durch
    $w_{\pi ,n}\circ V_{\pi }=\pi \cdot w_{\pi ,n-1},\ \ w_{\pi ,n}\circ F_{\pi }=w_{\pi ,n+1}$
charakterisiert sind. Für eine endliche Erweiterung $\lambda /\mathbb {F} _{q}$ des Restklassenkörpers von $A$ ist $W_{\pi }^{A}(\lambda )$ eine unverzweigte Erweiterung von $A$ vom Grad $[\lambda :\mathbb {F} _{q}]$. Verzweigte Wittvektoren übernehmen die Rolle der gewöhnlichen Wittvektoren bei der Übertragung der Cartier-Theorie auf formale $A$-Moduln.

## Große Wittvektoren
### Definition

Bezeichne $\mathbb {N} _{1}$ die Menge der positiven ganzen Zahlen.
Es gibt eindeutig bestimmte Polynome $S_{i},P_{i}\in \mathbb {Z} [X_{1},\dots ,X_{i},Y_{1},\dots ,Y_{i}]$ derart, dass für jeden kommutativen Ring mit Einselement $A$ gilt: $W(A)=A^{\mathbb {N} _{1}}$ ist ein Ring mit Addition
    $x+y=(S_{1}(x_{1},y_{1}),S_{2}(x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}),S_{3}(x_{1},x_{2},x_{3},y_{1},y_{2},y_{3}),\dots )$
und Multiplikation
    $x\cdot y=(P_{1}(x_{1},y_{1}),P_{2}(x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}),\dots )$
und für jedes $n\in \mathbb {N} _{1}$ ist die Abbildung
    $W(A)\to A,\ \ x\mapsto \sum _{d|n}dx_{d}^{n/d}$
ein Ringhomomorphismus. Auch das additiv Inverse $-x$ ist durch universelle Polynome gegeben. $W(A)$ heißt der Ring der großen oder universellen Wittvektoren mit Einträgen aus $A$.
Ist $S\subseteq \mathbb {N} _{1}$ eine Teilmenge, so dass für $n\in S$ auch jeder Teiler von $n$ in $S$ liegt, dann ist $W_{S}(A)=A^{S}$ mit der entsprechend abgeschnittenen Addition und Multiplikation von $W(A)$ ebenfalls ein kommutativer Ring mit Einselement. Für $S=\{1,\dots ,n\}$ erhält man den Ring $W_{[n]}(A)$ der großen Wittvektoren der Länge $n$, für $S=\{1,p,p^{2},\dots \}$ mit einer Primzahl $p$ erhält man bis auf Umindizierung den Ring der $p$-typischen Wittvektoren, siehe unten.
Das Ringelement
    $x^{(n)}=\sum _{d|n}dx_{d}^{n/d}$
wird als $n$-te Geisterkomponente oder Nebenkomponente von $x\in W(A)$ bezeichnet. Mit den Witt-Polynomen
    $w_{n}(X)=\sum _{d|n}dX_{d}^{n/d}$
kann man $S_{n}$ und $P_{n}$ rekursiv berechnen:
    ${\begin{aligned}S_{n}(X,Y)&={\frac {1}{n}}\left(w_{n}(X)+w_{n}(Y)-\sum _{d|n,\ d<n}dS_{d}^{n/d}(X,Y)\right)\\P_{n}(X,Y)&={\frac {1}{n}}\left(w_{n}(X)\cdot w_{n}(Y)-\sum _{d|n,\ d<n}dP_{d}^{n/d}(X,Y)\right)\end{aligned}}$
Die Abbildung $\tau \colon A\to W(A),\ a\mapsto (a,0,0,\dots )$ ist multiplikativ und heißt Teichmüller-Vertretersystem.
$W$ ist als mengenwertiger Funktor darstellbar durch einen Polynomring in abzählbar unendlich vielen Unbestimmten. In der Praxis verwendet man konkret den Ring der symmetrischen Polynome, und Strukturen von $W$ zu übertragen.

### Alternative Definition mit Potenzreihen

Sei $\Lambda (A)=1+T\cdot A[[T]]\subseteq A[[T]]^{*}$ die multiplikative Gruppe der formalen Potenzreihen mit konstantem Term 1. Die Abbildung
    ${\begin{aligned}&W(A)\to \Lambda (A)\\&x\mapsto \prod _{n\geq 1}(1-x_{n}(-T)^{n})\end{aligned}}$
ist ein Isomorphismus von Gruppen $(W(A),{+})\cong (\Lambda (A),{\cdot })$. Für $x\in W(A)$ hat
    $-T\cdot {\frac {\partial }{\partial T}}\log \prod _{n\geq 1}(1-x_{n}(-T)^{n})=\sum _{n\geq 1}x^{(n)}(-T)^{n}$
als Koeffizienten die Geisterkomponenten von $x$.
Unter dem Isomorphismus wird das Produkt zweier Wittvektoren $x,y\in W(A)$ abgebildet auf:
    $\prod _{d,e\geq 1}(1-x_{d}^{m/d}y_{e}^{m/e}(-T)^{m})^{de/m}$
wobei jeweils $m={\text{kgV}}(d,e)$. Schreibe $*$ für die der Multiplikation in $W(A)$ entsprechende Verknüpfung auf $\Lambda (A)$, so dass $(W(A),{+},{\cdot },0,1)\cong (\Lambda (A),{\cdot },{*},1,1+T)$ ein Isomorphismus von Ringen ist. Als Spezialfall der Multiplikationsformel ergibt sich
    $(1+x_{1}T)*(1+y_{1}T)=1+x_{1}y_{1}T$

### Frobenius und Verschiebung

Zu jeder natürlichen Zahl $n\in \mathbb {N} _{1}$ gibt es Operatoren $F_{n}$ und $V_{n}$. Ihre Wirkung auf den Geisterkomponenten ist:
    ${\begin{aligned}&w_{m}(V_{n}(x))={\begin{cases}n\cdot w_{m/n}(x)&{\text{falls }}n|m\\0&{\text{sonst}}\end{cases}}\\&w_{m}(F_{n}(x))=w_{mn}(x)\end{aligned}}$
In $\Lambda (A)$ ist
    ${\begin{aligned}&V_{n}(f(T))=f((-1)^{n+1}T^{n})\\&F_{n}(f)((-1)^{n+1}T^{n})=\prod _{k=1}^{n}f(\zeta ^{k}T)=N_{A[[T]]/A[[T^{n}]]}(f(T))\end{aligned}}$
Dabei ist $\zeta$ eine formale primitive $n$-te Einheitswurzel und $N$ die Norm. Insbesondere gilt
    $F_{n}(1+aT)=1+a^{n}T$
Für $n\in \mathbb {Z}$ sei $[n]$ die Multiplikation mit $n$ auf $W(A)$, also
    ${\begin{aligned}&w_{m}([n](x))=n\cdot w_{m}(x)\\&[n](f(T))=f(T)^{n}\end{aligned}}$
Ist $A$ eine $R$-Algebra (insbesondere $R=\mathbb {Z}$), dann gibt es für jedes $r\in R$ einen Operator $\langle r\rangle \colon W(A)\to W(A)$:
    ${\begin{aligned}&w_{m}(\langle r\rangle (x))=r^{m}\cdot w_{m}(x)\\&\langle r\rangle (f(T))=f(rT)\end{aligned}}$
Es gilt für $m,n\in \mathbb {N} _{1}$, $r,q\in R$:
    ${\begin{aligned}V_{m}V_{n}&=V_{mn}\\F_{m}F_{n}&=F_{mn}\\V_{m}F_{n}&=F_{n}V_{m}{\text{ falls ggT}}(m,n)=1\\F_{n}V_{n}&=[n]\\\langle r\rangle \langle s\rangle &=\langle rs\rangle \\\langle r\rangle V_{n}&=V_{n}\langle r^{n}\rangle \\F_{n}\langle r\rangle &=\langle r^{n}\rangle F_{n}\\\langle r\rangle +\langle q\rangle &=\sum _{n=1}^{\infty }V_{n}\langle s_{n}(r,q)\rangle F_{n}\end{aligned}}$
In der letzten Formel steht $s_{n}(r,q)$ für die $n$-te Komponente von $\tau (r)+\tau (q)\in W(R)$.

### Beziehung zu den p-typischen Wittvektoren, Artin-Hasse-Exponentialfunktion

Sei $p$ eine Primzahl. Die Abbildung $W(A)\to W_{p}(A)$, $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} _{1}}\mapsto (x_{p^{n}})_{n\in \mathbb {N} _{0}}$, ist ein surjektiver Ringhomomorphismus. Die $p$-typischen Wittpolynome $w_{p,n}$ sind unter dieser Umindizierung gleich den großen Wittpolynomen $w_{p^{n}}$, dasselbe gilt damit auch für die Geisterkomponenten.
Die Teilmenge $\{x\in W(A):x_{k}\neq 0\Rightarrow k=p^{n}\}$ ist kein Unterring von $W(A)$. In bestimmten Fällen kann man jedoch $W_{p}(A)$ in $W(A)$ einbetten.
Die Artin-Hasse-Exponentialfunktion
    $E_{0}(X)=\exp \left(\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {X^{p^{m}}}{p^{m}}}\right)=\prod _{p\nmid m}(1-X^{m})^{-\mu (m)/m}$
kann als Element von $\mathbb {Z} _{(p)}[[X]]$ aufgefasst werden (d. h. die Koeffizienten haben nicht durch $p$ teilbare Nenner, siehe Lokalisierung; $\mu$ ist die Möbius-Funktion).
Ist $A$ eine $\mathbb {Z} _{(p)}$-Algebra, d. h. sind alle Primzahlen $\neq p$ in $A$ invertierbar, dann ist für einen Wittvektor $x\in W_{p}(A)$ das Element
    $E(x)=\prod _{n=0}^{\infty }E_{0}(x_{n}T^{p^{n}})=\exp \left(\sum _{n}w_{p,n}(x){\frac {T^{p^{n}}}{p^{n}}}\right)\in \Lambda (A)$
wohldefiniert. $e=E(1)=E_{0}(T)$ ist ein Idempotent in $\Lambda (A)$, und $E:W_{p}(A)\to \Lambda (A)\cong W(A)$ induziert einen Ringisomorphismus $W_{p}(A)\to e*\Lambda (A)$. Bezeichne die $e*\Lambda (A)$ entsprechende Untergruppe von $W(A)$ mit $W_{(p)}(A)$. Dann gilt:
    $W_{(p)}(A)=\{x\in W(A):p\nmid n\implies F_{n}x=0\}$
Der Ring $W(A)$ zerfällt als direktes Produkt der ${\tfrac {1}{m}}V_{m}W_{(p)}(A)$ für $p\nmid m$. Für beliebige Ringe $A$ ist $W(A)\cong W^{p}(W_{p}(A))$, wenn $W^{p}(R)$ den Quotienten von $W(A)$ bezeichnet, den man durch Projektion auf die Komponenten mit nicht durch $p$ teilbarem Index erhält.
Frobenius $F_{p}$ und Verschiebung $V_{p}$ schränken sich zu Operatoren auf $W_{(p)}$ ein und stimmen dort mit den auf $W_{p}$ erklärten Operatoren $F$ bzw. $V$ überein.
Für einen Körper $k$ der Charakteristik $p$ ist $\Lambda (k)$ die Einseinheitengruppe von $k((T))$, und so erhält man den Isomorphismus
    $k((T))^{*}\cong k^{*}\times \mathbb {Z} \times W_{p}(k)^{I(p)}$ mit $I(p)=\{n\in \mathbb {N} :p\nmid n\}$
Für jede $k$-Algebra $A$ ist
    $W_{[n]}(A)\cong \Lambda _{[n]}(A)=\{1+a_{1}T+\dots +a_{n}T^{n}\in (A[T]/T^{n+1}A[T])^{*}\}$
Das Abschneiden bei $n$ reduziert den Faktor ${\tfrac {1}{m}}V_{m}W_{(p)}(A)$ auf ${\tfrac {1}{m}}V_{m}W_{p,r_{m}}(A)$, wobei $r_{m}$ die kleinste ganze Zahl mit $m\cdot p^{r_{m}}\geq n+1$ ist. Man erhält also einen Isomorphismus von algebraischen Gruppen (über $k$)
    $\Lambda _{[n]}\cong \prod _{m\leq n,\ p\nmid m}W_{p,r_{m}}$
Die Artin-Hasse-Exponentialabbildung hängt auch mit der Komonadenstruktur $\mu \colon W_{p}\to W_{p}\circ W_{p}$ zusammen: Für einen perfekten Körper $k$ der Charakteristik $p$ ist die Verkettung von
    $W_{p}(k)\to \Lambda (W_{p}(k)),\ \ x\mapsto \prod _{i=0}^{\infty }E_{0}(\tau (x_{i}^{p^{-i}})\cdot T)^{p^{i}}$
mit der Projektion $\Lambda (W_{p}(k))\cong W(W_{p}(k))\to W_{p}(W_{p}(k))$ gleich $\mu$.

### λ-Ringe

Es gibt einen kanonischen Ringhomomorphismus $\mu _{A}\colon W(A)\to W(W(A))$, der $w_{n}\circ \mu =F_{n}$ erfüllt. Wenn $A$ als abelsche Gruppe torsionsfrei ist, ist $\mu$ durch diese Bedingung eindeutig bestimmt, und für andere Ringe ist $\mu$ dadurch charakterisiert, dass für eine Surjektion $f\colon A'\to A$ mit einem torsionsfreien Ring $A'$ die Gleichung $\mu _{A}\circ W(f)=W(W(f))\circ \mu _{A'}$ gilt. Zusammen mit $w_{1}\colon W(A)\to A$ wird $W$ zu einer Komonade. Überträgt man die Koalgebren zu dieser Komonade auf $\Lambda (A)$, erhält man die so genannten λ-Ringe.
Die erste Geisterkomponente $w_{1}\colon W(A)\to A$ entspricht in $\Lambda (A)$ dem ersten Koeffizienten:
    $w_{1}\colon \Lambda (A)\to A,\ 1+a_{1}T+a_{2}T^{2}+\dots \mapsto a_{1}$
Ein Prä-λ-Ring ist ein Ring $A$ zusammen mit einem Gruppenhomomorphismus $\lambda \colon A\to \Lambda (A)$ mit $w_{1}\circ \lambda ={\text{id}}_{A}$. Diese Bedingung ist die Kompatibilität mit der Koeins der Komonade. Bezeichnet man die Koeffizienten von $\lambda (a)$ mit $\lambda ^{n}(a)$, also
    $\lambda (a)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda ^{n}(a)T^{n}$
dann ist eine Prä-λ-Struktur äquivalent zur Angabe von Abbildungen $\lambda ^{n}\colon A\to A$ für $n\in \mathbb {N} _{0}$, die die folgenden Gleichungen erfüllen:
    ${\begin{aligned}&\lambda ^{0}(a)=1\\&\lambda ^{1}(a)=a\\&\lambda ^{n}(a+b)=\sum _{k=0}^{n}\lambda ^{k}(a)\lambda ^{n-k}(b)\end{aligned}}$
Ein λ-Homomorphismus $(A,\lambda _{A})\to (B,\lambda _{B})$ ist ein Ringhomomorphismus $f\colon A\to B$ mit $\Lambda (f)\circ \lambda _{A}=\lambda _{B}\circ f$, d. h. das folgende Diagramm kommutiert:
    ${\begin{matrix}A&\rightarrow &B\\\downarrow &&\downarrow \\\Lambda (A)&\rightarrow &\Lambda (B)\end{matrix}}$
Der Ring $\Lambda (A)$ besitzt wie oben ausgeführt für jeden Ring $A$ eine kanonische Prä-λ-Struktur. Ein λ-Ring ist ein Prä-λ-Ring, für den $\lambda \colon A\to \Lambda (A)$ ein λ-Homomorphismus ist. Das obige Diagramm ist für $B=\Lambda (A)$ gerade die Kompatibilität mit der Komultiplikation der Komonade. Übersetzt in die $\lambda ^{n}$ sind das zusätzliche Bedingungen der folgenden Form:
    ${\begin{aligned}&\lambda ^{n}(1)=0{\text{ falls }}n>1\\&\lambda ^{n}(ab)=P_{n}(\lambda ^{1}(a),\dots ,\lambda ^{n}(a),\lambda ^{1}(b),\dots ,\lambda ^{n}(b))\\&\lambda ^{m}(\lambda ^{n}(a))=Q_{n,m}(\lambda ^{1}(a),\dots ,\lambda ^{mn}(a))\end{aligned}}$
Die (universellen) Polynome $P_{n}$ beschreiben die $*$-Multiplikation auf $\Lambda (A)$ und besitzen wie die Polynome $Q_{n,m}$ eine Beschreibung mit Hilfe von elementarsymmetrischen Polynomen.
Die Koassoziativität der Komonade $\Lambda$ besagt, dass $\Lambda (A)$ selbst ein λ-Ring ist. Der Funktor $\Lambda$ ist rechtsadjungiert zum Vergissfunktor von der Kategorie der λ-Ringe in die Kategorie der Ringe.
Ist $(A,\lambda )$ ein λ-Ring, dann ist der Ringhomomorphismus
    $A{\stackrel {\lambda }{\longrightarrow }}\Lambda (A)\cong W(A){\stackrel {w_{n}}{\longrightarrow }}A$
die $n$-te Adams-Operation $\psi _{n}$ auf $A$. Es gilt $\psi _{n}\circ \psi _{m}=\psi _{mn}$. Für eine Primzahl $p$ ist $w_{p}=X_{1}^{p}+pX_{p}$, also $\psi _{p}(a)\equiv a^{p}\mod pA$, d. h. $\psi _{p}$ ist ein Frobeniuslift. Ist $A$ ein beliebiger Ring, dann ist die Adams-Operation $\psi _{n}$ auf dem λ-Ring $\Lambda (A)$ der Frobenius $F_{n}$.

### Cartier-Theorie

Die Cartier-Theorie (nach Pierre Cartier) ist eine Äquivalenz von Kategorien zwischen einer geeigneten Kategorie kommutativer formaler Gruppen über einem Ring $k$ und einer Unterkategorie der Moduln über dem Cartier-Ring ${\text{Cart}}(k)$.
Sei ${\text{Nil}}(k)$ die Kategorie der kommutativen $k$-Algebren ohne Einselement, die nur aus nilpotenten Elementen bestehen. Für die Zwecke der Theorie werden kommutative formale Gruppen mit Funktoren ${\text{Nil}}(k)\to {\text{Ab}}$ identifiziert. Ist $F\in k[[X,Y]]$ ein formales Gruppengesetz, ordnet der entsprechende Funktor einer Algebra $A$ die Menge $A$ mit der Gruppenstruktur $(a,b)\mapsto F(a,b)$ zu. Die formale Gruppe $A\mapsto (A,{+})$ ist die formale affine Gerade ${\widehat {\mathbb {A} }}^{1}$. Die Funktoren können auf natürliche Weise auf die Kategorie der Algebren fortgesetzt werden, die filtrierende projektive Limites von Algebren in ${\text{Nil}}(k)$ sind.
Die formale Gruppe der Wittvektoren ist der Funktor ${\widehat {W}}$, der einer Algebra $A$ die Untergruppe der Wittvektoren in $W(A)$ zuordnet, die nur endlich viele von 0 verschiedene Komponenten haben. Die entsprechende Untergruppe ${\widehat {\Lambda }}(A)\subseteq \Lambda (A)$ besteht aus den Elementen, die bezüglich $T$ ein Polynom sind. Der Ring ${\text{End}}({\widehat {W}})^{\text{op}}$ wird mit ${\text{Cart}}(k)$ bezeichnet und Cartier-Ring genannt. Die Operatoren $F_{n},V_{n},\langle r\rangle$ schränken sich zu Endomorphismen von ${\widehat {W}}$ ein und definieren damit Elemente $V_{n},F_{n},\langle r\rangle \in {\text{Cart}}(k)$. Dabei werden die Bezeichnungen von $F_{n}$ und $V_{n}$ vertauscht, so dass die obigen Relationen wegen der vertauschten Multiplikationsreihenfolge wieder gelten. Die Abbildung $W(k)\to {\text{Cart}}(k)$, $\textstyle a\mapsto \sum _{n\geq 1}V_{n}\langle a_{n}\rangle F_{n}$ ist ein injektiver Ringhomomorphismus.
Sei $G$ eine formale Gruppe. Die folgenden Gruppen sind natürlich isomorph:
* $G(X\ k[[X]])=\varprojlim _{n}G(X\ k[X]/X^{n}\ k[X])$
* die Gruppe der Morphismen ${\widehat {\mathbb {A} }}^{1}\to G$ (nicht Gruppenhomomorphismen, d. h. natürliche Transformationen nur als mengenwertige Funktoren). Die Gruppenstruktur wird von der Gruppenstruktur auf $G$ induziert.
* die Gruppe der Homomorphismen ${\widehat {W}}\to G$
Ihre Elemente werden Kurven in $G$ genannt, die Gruppe mit $C(G)$ bezeichnet. Aus der letzten Beschreibung ergibt sich eine kanonische ${\text{Cart}}(k)$-Linksmodulstruktur auf $C(G)$.
Die Potenzreihengruppe $\Lambda (k)$ kann mit $C({\widehat {\mathbb {G} }}_{m})$ identifiziert werden. Die Witt-Polynome entsprechen dem Gruppenhomomorphismus $C({\widehat {\mathbb {G} }}_{m})\to C({\widehat {\mathbb {G} }}_{a})$, der von der logarithmischen Ableitung auf $X\ k[[X]]$ induziert wird.
In $C(G)=G(X\ k[[X]])$ wird die Operation von $V_{n}\in {\text{Cart}}(k)$ von $X\mapsto X^{n}$ induziert, die Operation von $\langle r\rangle$ von $X\mapsto rX$. Für $F_{n}$ betrachte wieder eine formale $n$-te Einheitswurzel $\zeta$ und bilde in $G$ die Summe der Kurven, die man durch $X\mapsto \zeta ^{i}X^{1/n}$ für $i=0,1,\dots ,n-1$ erhält. Für $G={\widehat {\mathbb {G} }}_{m}$ ist eine Kurve durch das Bild $f\in X\ k[[X]]$ der Koordinate bestimmt. Identifiziert man $1+f$ mit dem entsprechenden Element in $\Lambda (k)$, stimmen die Wirkungen von $F_{n},V_{n},\langle r\rangle$ mit den oben definierten überein (ohne Vertauschung von $F_{n}$ und $V_{n}$).
Sowohl ${\text{Cart}}(k)$ als auch $C(G)$ tragen natürliche Topologien. Der Hauptsatz der Cartier-Theorie besagt, dass $C$ eine Äquivalenz zwischen einer Kategorie formaler Gruppen über $k$ und einer Kategorie topologischer ${\text{Cart}}(k)$-Moduln induziert. Der inverse Funktor ordnet einem ${\text{Cart}}(k)$-Modul $M$ ein geeignet konstruiertes Tensorprodukt ${\widehat {W}}\otimes _{{\text{Cart}}(k)}M$ zu.
Sei $p$ eine Primzahl und $k$ eine $\mathbb {Z} _{(p)}$-Algebra, d. h. jede Primzahl $\neq p$ ist in $k$ invertierbar. Dann ist $\textstyle \epsilon _{p}=\sum _{p\nmid n}{\frac {\mu (n)}{n}}V_{n}F_{n}$ ein Idempotent in ${\text{Cart}}(k)$, setze ${\text{Cart}}_{p}(k)=\epsilon _{p}{\text{Cart}}(k)\epsilon _{p}$. Für einen ${\text{Cart}}(k)$-Modul $M$ ist $\epsilon _{p}M\subseteq M$ die Untergruppe der Elemente $m\in M$ mit $F_{n}m=0$ für alle $p\nmid n$. Solche Elemente heißen $p$-typisch.
Für eine formale Gruppe $G$ sei $C_{p}(G)=\epsilon _{p}C(G)\cong {\text{Hom}}({\widehat {W}}_{p},G)$ die Gruppe der $p$-typischen Kurven (dabei ${\widehat {W}}_{p}$ die formale Gruppe zu den $p$-typischen Wittvektoren $W_{p}$, analog zu ${\widehat {W}}$). Dann induziert $C_{p}$ eine Äquivalenz zwischen der Kategorie formaler Gruppen über $k$ wie oben und einer Kategorie topologischer ${\text{Cart}}_{p}(k)$-Moduln. Der inverse Funktor ist wie vorher ein Tensorprodukt ${\widehat {W}}_{p}\otimes _{{\text{Cart}}_{p}(k)}M$.
Für einen perfekten Körper $k$ der Charakteristik $p$ kann der Dieudonné-Ring $D_{k}$ mit einem dichten Unterring in ${\text{Cart}}_{p}(k)$ identifiziert werden. Unter geeigneten Voraussetzungen ist der Dieudonné-Modul dual zum Modul der $p$-typischen Kurven, ${\text{Hom}}_{W_{p}(k)}(M(G),W_{p}(k))\cong C_{p}(G)$.

## Verallgemeinerungen

* Colette Schoeller hat Teile der $p$-typischen Theorie, nämlich die Konstruktion des Cohen-Rings und der Klassifikation der unipotenten Gruppen, auf nicht perfekte Körper ausgedehnt.
* Andreas Dress und Christian Siebeneicher haben die Konstruktion eines Rings $W_{G}(A)$ aus einer proendlichen Gruppe $G$ und einem Ring $A$ angegeben, so dass $W_{G}(\mathbb {Z} )$ isomorph zum komplettierten Burnside-Ring von $G$ ist. Für $G=\mathbb {Z} _{p}$ ergibt sich $W_{p}(A)$, für $G={\widehat {\mathbb {Z} }}$ ergibt sich $W(A)$.