# Weierstraßscher Produktsatz

Der weierstraßsche Produktsatz für $\mathbb {C}$ besagt, dass zu einer vorgegebenen Nullstellenverteilung in $\mathbb {C}$ eine holomorphe Funktion mit genau diesen Nullstellen existiert. Die Funktion kann als sogenanntes Weierstraß-Produkt explizit konstruiert werden. Der Satz wurde 1876 von Karl Weierstraß gefunden.

## Motivation

Zu endlich vielen Nullstellen $a_{1},\dots a_{n}\;\in \mathbb {C}$ kann man sofort ein Polynom hinschreiben, welches das gestellte Problem löst, beispielsweise $\left(1-{\frac {z}{a_{1}}}\right)\cdots \left(1-{\frac {z}{a_{n}}}\right)$. Im Falle (abzählbar) unendlich vieler Nullstellen wird das Produkt im Allgemeinen nicht mehr konvergieren. Ausgehend von der Identität $1-z=\exp(\log(1-z))=\exp \left(-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k}}\right),\quad z\in \mathbb {C} ,|z|<1,$ führte Weierstraß deshalb "konvergenzerzeugende" Faktoren ein, indem er die Reihenentwicklung abbrach und Faktoren $E_{n}(z):=(1-z)\exp \left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {z^{k}}{k}}\right)$ definierte. $E_{n}$ hat nur eine Nullstelle bei $1$, kann aber im Gegensatz zu $1-z$ auf jeder kompakten Teilmenge des Einheitskreises beliebig nahe an $1$ liegen, sofern $n$ groß genug gewählt wird. Dadurch kann auch die Konvergenz eines unendlichen Produktes erreicht werden.

## Weierstraß-Produkt

Es sei $D$ ein positiver Divisor im Bereich $\Omega \subseteq \mathbb {C}$ und $a_{k}$ eine so gewählte Folge, dass $D=D(0)\cdot 0+\sum _{k}a_{k}$. Das heißt, die Folge durchläuft mit Ausnahme des Nullpunktes alle Punkte des Trägers von $D$ mit der nötigen Multiplizität. Sie heißt die zum Divisor $D$ gehörende Folge. Ein Produkt $z^{D(0)}\prod _{k\geq 1}f_{k}(z)$ heißt Weierstrass-Produkt zum Divisor $D$, falls gilt:
* $f_{k}$ holomorph in $\Omega$
* $f_{k}$ hat genau eine Nullstelle, und zwar in $a_{k}$ und von der Multiplizität $1$
* Das Produkt $\textstyle \prod _{k}f_{k}$ konvergiert normal auf jeder kompakten Teilmenge von $\Omega$.

## Produktsatz in ℂ

Zu jedem positiven Divisor $D$ in $\mathbb {C}$ existieren Weierstrass-Produkte der Form $z^{D(0)}\prod _{k\geq 1}E_{k-1}\left({\frac {z}{a_{k}}}\right)$. Dabei sei $a_{k}$ die zum Divisor $D$ gehörende Folge.

## Folgerungen in ℂ

* Zu jedem Divisor gibt es eine meromorphe Funktion mit den dadurch vorgegebenen Null- und Polstellen. Jeder Divisor ist ein Hauptdivisor.
* Zu jeder meromorphen Funktion $h$ gibt es zwei holomorphe Funktionen $f,g$ ohne gemeinsame Nullstellen derart, dass $h=f/g$. Insbesondere ist der Körper der meromorphen Funktionen der Quotientenkörper des Integritätsrings der holomorphen Funktionen.
* Im Ring der holomorphen Funktionen besitzt jede nicht-leere Teilmenge einen größten gemeinsamen Teiler, obwohl der Ring nicht faktoriell ist.

## Verallgemeinerung für beliebige Bereiche

Es sei $\Omega \subseteq \mathbb {C}$ ein Bereich und $D$ ein positiver Divisor auf $\Omega$ mit Träger $T$ und es bezeichne $T':={\overline {T}}\!\setminus \!T$ die Menge aller Häufungspunkte von $T$ in $\mathbb {C}$. Dann existieren zum Divisor $D$ Weierstraß-Produkte in $\mathbb {C} \!\setminus \!T'$. Sie konvergieren im Allgemeinen also auf einem größeren Bereich als $\Omega$.

## Verallgemeinerung für Steinsche Mannigfaltigkeiten

Eine erste Verallgemeinerung des Produktsatzes für andere komplexe Mannigfaltigkeiten gelang 1895 Pierre Cousin, der den Satz für Zylindergebiete im $\mathbb {C} ^{n}$ bewies. Aus diesem Grund wird die Frage, ob zu einem vorgegebenen Divisor eine passende meromorphe Funktion konstruiert werden kann, auch als Cousin-Problem bezeichnet.
Jean-Pierre Serre löste 1953 das Cousin-Problem endgültig und zeigte: In einer Steinschen Mannigfaltigkeit $X$ ist ein Divisor genau dann der Divisor einer meromorphen Funktion, wenn seine Chernsche Kohomologieklasse in $H^{2}(X,\mathbb {Z} )$ verschwindet. Insbesondere ist in einer Steinschen Mannigfaltigkeit mit $H^{2}(X,\mathbb {Z} )=0$ jeder Divisor ein Hauptdivisor. Dies ist die unmittelbare Folgerung daraus, dass in Steinschen Mannigfaltigkeiten folgende Sequenz exakt ist, wobei ${\mathcal {D}}$ die Garbe der Divisoren bezeichnet:
    $0\to {\mathcal {O}}^{*}(X)\to {\mathcal {M}}^{*}(X)\to {\mathcal {D}}(X)\rightarrow H^{2}(X,\mathbb {Z} )\to 0$