# Hexagonale Kreispackung

Die hexagonale Kreispackung der zweidimensionalen Ebene ist eine Ansammlung nicht überlappender, in der Ebene liegender Kreise, die sämtlich genau sechs (altgriechisch ἕξ hex) andere Kreise berühren. Verbindet man die Mittelpunkte dieser sechs Kreise, ergibt sich ein Sechseck (Hexagon).
Das Bild rechts zeigt eine hexagonale Kreispackung, die bei den Blütenkörbchen der Echten Kamille und Magerwiesen-Margerite beobachtet wurde. Die äußeren Teile wachsen schneller als die inneren Teile, mit der Tendenz, die Verzweigungen zu den Einzelblüten auf der gestauchten Sprossachse um den Pol zu drehen. In hexagonalen Kreispackungen liegen die Mittelpunkte aller Kreise auf Kreisen, Geraden oder Spiralen, von denen im Bild eine hervorgehoben ist. Die Radien der auf den Spiralen aufeinander folgenden Kreise stehen immer im selben Verhältnis zueinander. Weil Peter Doyle vermutlich der Erste war, der diese Spiralen konstruierte, werden sie Doyle-Spiralen genannt.
* Hexagonale Kreispackungen
* A: (4,7)
* B: (9,15)
* C: (3,6)
* D: (5,5)
Hexagonale Kreispackungen werden bis auf Ähnlichkeit durch zwei Parameter p und q eindeutig$^{:40}$$^{:146}$ bestimmt, die bei den Bildern in Klammern angegeben sind. Nach Drehungen mit dem p-ten Teil einer Volldrehung gehen die in den Bildern blau gezeichneten Spiralen ineinander über. Entsprechendes gilt für q und die roten Spiralen sowie für (q−p) und die gelb-grünen Spiralen. Teilerfremde p und q führen zu unsymmetrischen Packungen (A). Wenn p und q nicht teilerfremd sind, entsteht eine drehsymmetrische Packung (B,C),$^{:56}$ und wenn q=2p, entarteten einige Spiralen zu Geraden (C). Bei gleichem p und q, wie im Bild D, werden einige Spiralen zu Kreisen.
Eine Gruppe von sieben Kreisen, von denen sechs einen siebten zentralen umgeben, werden Blüten genannt, und die sechs äußeren Kreise bilden ihre Blätter.$^{:39–40}$ In jedem Kreismittelpunkt einer unsymmetrischen Packung treffen sich drei Spiralen, auf denen die Verhältnisse der Radien aufeinander folgender Kreise jeweils gleich sind, siehe #Eigenschaften der Blüten. Wenn die Verhältnisse der Radien auf zwei der Spiralen a bzw. b sind, dann nehmen die Radien auf der dritten Spirale im Verhältnis a/b oder a·b zu. Damit das möglich ist, müssen die Kreismittelpunkte der Blätter einer Blüte auf einem kartesischen Oval liegen, siehe das Bild in #Berechnung der Packung. Die Kreise auf sich nicht schneidenden Spiralen folgen lückenlos und überschneidungsfrei aufeinander, wenn a$^p$=b$^q$ ist, woraus die Zahlen a und b bestimmt werden können, siehe #Eigenschaften der Spiralen. Allerdings sind nur in wenigen Fällen exakte Werte bekannt, siehe #Berechnung der Packung, weswegen im Allgemeinen die Zahlen a und b numerisch ermittelt werden müssen.

## Geschichte

Die im ersten Bild oben gezeigte Zeichnung gibt eine Beobachtung wieder, die 1910 bei der Magerwiesen-Margerite gemacht wurde. Peter Doyle war möglicherweise der Erste, der hexagonale Kreispackungen konstruierte. László Fejes Tóth stellte 1977 die Vermutung auf, dass in hexagonalen Kreispackungen das Verhältnis des Radius des kleinsten vorkommenden Kreises zum größten entweder eins ist (in der gleichmäßigen Packung im Bild) oder null sonst. Diese Vermutung wurde 1983 von Imre Bárány, Zoltán Füredi und János Pach bewiesen. Die bis auf Ähnlichkeit eindeutige Bestimmung durch zwei ganzzahlige Parameter, die Orte der Kreise und ihrer Radien sowie der Zusammenhang mit der Exponentialfunktion wurde 1994 von Beardon, Dubejko und Stephenson gezeigt.

## Definitionen

Im Artikel von Beardon, Dubejko und Stephenson werden folgende Begriffe definiert, die auch in diesem Artikel benutzt werden:$^{:39–40}$
* Eine Gruppe von sieben Kreisen, von denen sechs einen siebten inneren Kreis umgeben, heißt Blüte (englisch flower), wo der innere Kreis das Zentrum (englisch center) und die umgebenden Kreise Blütenblätter (englisch petals), im Folgenden kurz Blätter, sind.
* Eine hexagonale Kreispackung ist eine Menge von Kreisen,
** in der jeder Kreis das Zentrum einer Blüte ist,
** in der bei aufeinander folgenden Blättern B$_1$, B$_2$, und B$_3$ um das Zentrum C auch B$_3$, C, B$_1$ Blätter mit Zentrum B$_2$ sind und
** in der zwei beliebige Kreise durch eine endliche Kette von Kreisen verbunden werden kann, in der jeder Kreis Blatt seines Vorgängers ist.
* Eine Kreispackung aus identischen oder nicht überlappenden Kreisen ist kohärent (englisch coherent); es können auch Packungen mit überlappenden Kreisen oder mit zusätzlichen Berührungspunkten definiert werden.
* Eine Gruppe dreier Kreise, die sich paarweise berühren und nicht durchdringen, ist eine Zelle (einer Elementarzelle in der Kristallographie entsprechend.)
* Eine Zelle oder eine Blüte ist eine erzeugende (englisch generic), wenn sie zu einer hexagonalen Kreispackung gehört und nicht alle Radien der Kreise gleich sind.
* In der gleichmäßigen Kreispackung (englisch regular) sind alle Kreise gleich groß.
Außer im nächsten Abschnitt wird die gleichmäßige Kreispackung nur am Rand erwähnt und eine ungleichmäßige Kreispackung mit unterschiedlich großen Radien vorausgesetzt.
Durchgängig wird die komplexe Zahlenebene benutzt, in der jeder Punkt X durch eine komplexe Zahl z$_X$=x+i·y, x,y∈ℝ und i$^2$=−1 repräsentiert wird.

## Allgemeines zu Kreispackungen

Die gleichmäßige Kreispackung im Bild ist der Spezialfall einer hexagonalen Kreispackung, in der alle Kreise gleich groß sind. Diese Packung füllt die Ebene dichtest möglich aus, denn das Verhältnis der von den Kreisen bedeckten Fläche zur Gesamtfläche, die Packungsdichte
    $P={\frac {\pi \cdot {\sqrt {3}}}{6}}\approx 0{,}907$,
wird von keiner anderen Kreispackung aus gleichgroßen Kreisen erreicht. Der gleichmäßigen Kreispackung werden die Parameter p=q=0 zugeordnet. Indem alle Zentren einen Knoten bekommen und diese mit ihren Blättern über Kanten verbunden werden, entsteht ein Kontaktgraph, mit dem eine Verbindung zur Graphentheorie hergestellt werden kann, siehe Hauptartikel.

## Berechnung der Packung

Eine hexagonale Kreispackung wird durch zwei Parameter p,q∈ℕ beschrieben, die die Ungleichungen$^{:55,69}$
    0 < p ≤ q ≤ 2p, q > 2
erfüllen und die Anzahl der Doyle-Spiralen in der Kreispackung festlegen. Dann gibt es eine hexagonale Kreispackung, in der die Mittelpunkte der Kreise in den Punkten
    z = α$^j$·β$^k$ = α$^{j+k}$·γ$^k$ für j, k ∈ ℤ, γ := β/α
liegen, wobei α und β zwei komplexe Zahlen sind. Die Doyle-Spiralen gehören zu konstantem k (rot in den Bildern), konstantem j (blau) und konstantem (j+k) (gelb-grün). Die Parameter α und β bestimmen sich aus den Bedingungen$^{:47f}$$^{:318}$
    ${\frac {|\alpha -1|}{1+|\alpha |}}={\frac {|\gamma -1|}{1+|\gamma |}}={\frac {|\alpha \gamma -1|}{1+|\alpha \gamma |}}={\frac {|\alpha -\beta |}{|\alpha |+|\beta |}}$
und$^{:54}$
    p·log(α) − q·log(β) = i·2·π·n für ein n ∈ ℤ.
Die Lösungen α und β dieser Gleichungen sind algebraische Zahlen.$^{:314}$ Der Radius eines Kreises mit Mittelpunkt in z ist$^{:313}$
    $r=|z|{\frac {|\alpha -1|}{1+|\alpha |}}$
In diesen normalisierten Kreispackungen
* ist der Radius eines Kreises proportional zum Abstand des Kreismittelpunkts vom Ursprung,
* konvergieren die Doyle-Spiralen mit kleiner werdendem j und k gegen den Ursprung bei z=0, und es
* hat ein Zentrum den Mittelpunkt bei z=1 und die Mittelpunkte seiner Blätter liegen auf einem kartesischen Oval, das eine Niveaulinie der Funktion$^{:47}$
       $k(z)={\frac {|z-1|}{1+|z|}}$
    ist.
Andere ähnliche hexagonale Kreispackungen entstehen durch zentrische Streckung, Verschiebung und/oder Drehung.
Die Tabelle enthält Spezialfälle, in denen analytische Lösungen obiger Gleichungen bekannt sind.$^{:318}$ Im Allgemeinen müssen Lösungen numerisch ermittelt werden. Benutzt werden die Funktionen tan, cos, sec, exp und der Überstrich bedeutet die komplexe Konjugation.
| p | q | α, β | Bemerkung |
| 0 | 0 | | Gleichmäßige Kreispackung |
| 2 | 3 | ${\begin{aligned}\tau =&-(1+{\sqrt {\Phi _{1}}})+{\rm {i}}\,(1+{\sqrt {\Phi _{2}}}),\;\Phi _{1,2}={\frac {{\sqrt {5}}\mp 1}{2}}\\\alpha =&\tau ^{3},\;\beta =\tau ^{2}\end{aligned}}$ | siehe Coxeters loxodromische Folge von tangierenden Kreisen |
| p | p | ${\begin{aligned}w=&\tan \left({\frac {\pi }{p}}\right)^{2}+\sec \left({\frac {\pi }{p}}\right)\\\alpha =&(w+{\sqrt {w^{2}-1}})\exp \left({\rm {i}}{\frac {\pi }{p}}\right),\beta ={\overline {\alpha }}\end{aligned}}$ | Die Kreismittelpunkte γ$^j$·α$^{j+k}$ mit j+k = const. liegen auf konzentrischen Kreisen um den Fixpunkt. |
| p | 2p | ${\begin{aligned}c=&\cos \left({\frac {\pi }{p}}\right)\\w=&{\sqrt {\frac {{\sqrt {5+4c}}-2c-1}{2}}},\;b={\frac {1+w}{c+w^{2}}}\\\alpha =&b^{2},\;\beta =b\exp \left({\rm {i}}{\frac {\pi }{p}}\right)\end{aligned}}$ | Die zu α$^j$·β$^k$, k=const. gehörenden Kreismittelpunkte liegen auf Geraden durch den Fixpunkt. |

## Eigenschaften der Blüten

Peter Doyle entdeckte$^{:41}$, dass um einen Zentrumskreis sechs tangierende Kreise gelegt werden können, deren Radien r$_{0,…,5}$ nacheinander in den Verhältnissen a, b, b/a, 1/a, 1/b und a/b zum Radius r des Zentrums stehen, siehe Bild.
Die aufeinander folgenden Blätter werden von null bis fünf nummeriert. Bei drei aufeinander folgenden Blättern um das Zentrum mit Radius r gilt:$^{:47}$
    r = r$_{j−1}$·r$_{j+1}$/r$_j$
und außerdem$^{:146}$
    r$^2$ = r$_j$·r$_{j+3}$, r$^3$ = r$_j$·r$_{j+2}$·r$_{j+4}$
Hier wie im Folgenden ist bei den Indizes, sofern sie außerhalb des Bereichs null bis fünf liegen, ihr Rest bei Division durch sechs zu nehmen. Ist beispielsweise j+3=7, dann ist oben r$_{j+3}$=r$_1$ einzusetzen.
Zu jedem Blatt gibt es einen Kreis, der
* durch die beiden Berührungspunkte mit seinen Nachbarblättern und
* durch die beiden Berührungspunkte seiner Nachbarblätter mit dem Zentrumskreis
führt. Alle diese Kreise einer Blüte schneiden sich zudem in einem Punkt.$^{:143}$
Besitzt jedes Blatt k den Berührungspunkt z$_k$ mit dem Zentrum sowie die Berührungspunkte w$_k$ mit seinem Nachfolger und w$_{k−1}$ mit seinem Vorgänger, dann wird hiermit die Kennzahl
    ${\mathsf {s_{k}=q(z_{k},z_{k-1},w_{k-1},w_{k}),\quad q(a,b,c,d):={\frac {(a-b)\,(c-d)}{(b-c)\,(d-a)}}}}$
verbunden. Dann gilt für k=0,…,5:$^{:144}$
    ${\begin{aligned}{\mathsf {s_{k}}}=&{\mathsf {-q(z_{k+1},z_{k-1},w_{k-1},z_{k})=q(z_{k},w_{k},z_{k+1},z_{k-1})}}\\{\mathsf {s_{k}^{2}}}=&{\mathsf {q(z_{k+1},z_{k-1},w_{k-1},w_{k})}}\\0=&{\mathsf {s_{k}+s_{k+2}+s_{k+4}+s_{k}s_{k+1}s_{k+2}}}\end{aligned}}$

## Eigenschaften der Spiralen

Im Viereck ABCD im Bild werden lineare Abbildungen der Form f(z)=m$_f$·z+n$_f$ und g(z)=m$_g$·z+n$_g$ definiert, sodass$^{:44}$
    f(z$_A$)=z$_B$, f(z$_D$)=z$_C$, g(z$_A$)=z$_D$, g(z$_B$)=z$_C$
Diese Abbildungen erzeugen eine Gruppe G, deren Elemente durch diese Abbildungen miteinander verknüpft sind. Die Mittelpunkte der Kreise der hexagonalen Kreisfüllung sind die Elemente dieser Gruppe. Die Abbildungen haben denselben Fixpunkt
    ${\mathsf {\zeta :=f(\zeta )=g(\zeta )={\frac {z_{A}\,z_{C}-z_{B}\,z_{D}}{z_{A}+z_{C}-z_{B}-z_{D}}}}}$,
der der Ursprung der Doyle-Spiralen ist, die ihn jedoch nie erreichen: Der Fixpunkt ist kein Element der Gruppe G. Normalisierung der Kreise und Radien der Blüte mittels
    ${\mathsf {z_{j}\mapsto {\frac {z_{j}-\zeta }{z_{A}-\zeta }},\;r_{j}\mapsto {\frac {r_{j}}{|z_{A}-\zeta |}}}}$
ergibt eine Blüte mit Fixpunkt ζ = 0 und z$_A$ = 1, wo die Funktionen f und g reine Proportionalitäten darstellen: f(z) = αz und g(z) = γz, γ=β/α. Mit den Beträgen a=|α| und b=|β| zeigen die Radien die im Bild angegebenen Verhältnisse. Dadurch ist$^{:45}$
    z$_A$=1, z$_B$=α, z$_C$=αγ=β, z$_D$=γ=β/α, z$_E$=1/α, z$_F$=1/(αγ)=1/β und z$_G$=1/γ=α/β.
Im Viereck ABCD gilt außerdem mit a=|α|, b=|β| und g=|γ|=b/a:
    |z$_B$−z$_A$|=ar+r, |z$_C$−z$_A$|=br+r sowie |z$_D$−z$_A$|=gr+r
Daraus folgt:
    |z$_B$−z$_A$|=|α−1|=r(1+|α|), |z$_C$−z$_A$|=|αγ−1|=r(1+|αγ|), |z$_D$−z$_A$|=|γ−1|=r(1+|γ|)
und daher
    ${\mathsf {r}}={\frac {|\alpha -1|}{1+|\alpha |}}={\frac {|\alpha \gamma -1|}{1+|\alpha \gamma |}}={\frac {|\gamma -1|}{1+|\gamma |}}={\frac {|\alpha -\beta |}{|\alpha |+|\beta |}},\;\beta =\alpha \gamma$
Die Mittelpunkte z der Kreise der Packung haben die Form z=α$^j$·β$^k$ mit j,k∈ℤ.$^{:46}$ Festes j liefert die Punkte auf den im Bild blau gezeichneten Spiralen, die Punkte auf den im Bild grün gezeichneten Spiralen haben gleiches j+k, und ein festes k ergibt Punkte auf den roten Spiralen. Speziell haben die Kreise auf der Spirale S$_1$ die Mittelpunkte z=α$^j$ und die auf S$_2$ Mittelpunkte in z=α$^j$·β. In einer hexagonalen Kreispackung schließt sich daran die Spirale S$_3$ mit Mittelpunkten α$^j$·β$^2$ an, und so fort, bis sich die Spirale S$_q$ mit Mittelpunkten z=α$^j$·β$^{q−1}$ an S$_1$ anschließt. Die Mittelpunkte auf S$_1$ haben somit die beiden Darstellungen z=α$^j$=α$^m$·β$^q$, j,m∈ℤ, mit der Konsequenz, dass mit p=j−m für ein n∈ℤ
    α$^{−p}$·β$^q$ = 1 = exp(i·2·π·n)
folgt. Der komplexe Logarithmus log als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion exp liefert schließlich
    q·log(β) − p·log(α) = i·2·π·n
Das erklärt die Bestimmungsgleichungen in #Berechnung der Packung.

## Programmierung der Bilderstellung

Die gegebene Beschreibung einer hexagonalen Kreispackung lässt sich ohne Weiteres in ein Computerprogramm zur Erstellung von Bildern hexagonaler Kreispackungen umsetzen, siehe auch #Weblinks. Die Python-Klasse HexagonaleKreispackung erstellt aus den Parametern p, q und einem Dateinamen eine SVG-Datei mit einer hexagonalen Kreispackung.
Die in den Bildern oben verwendeten Parameter sind in der Tabelle angegeben.
| p | q | a=α | b=β |
| 3 | 5 | 4.758594984134-0.790055569443j | 1.031428347538+2.354570863015j |
| 3 | 6 | 3.632004438734 | 0.952890922238+1.650455491387j |
| 4 | 7 | 2.929120952429-0.248993184422j | 1.223371443969+1.390189218045j |
| 5 | 5 | 2.602621487710+1.890915195122j | 2.602621487710-1.890915195122j |
| 9 | 15 | 1.616804175669-0.089196924845j | 1.237179552586+0.502501389737j |