# Satz vom primitiven Element

Der Satz vom primitiven Element ist ein mathematischer Satz aus der Algebra, der hinreichende Bedingungen dafür angibt, dass eine Körpererweiterung eine einfache Körpererweiterung ist. Sind $K\subseteq L$ Körper, dann wird die Körpererweiterung einfach genannt, wenn sie durch Adjunktion eines einzelnen Elements erzeugt werden kann. Ein solches, im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmtes Element $a\in L$ mit $L=K(a)$, wird primitives Element genannt. Der Satz vom primitiven Element wurde von Galois vollständig bewiesen und findet sich in einer Publikation von Abel aus dem Jahre 1829, auf die sich Évariste Galois in seinem Mémoire sur les conditions [...] (neben Arbeiten von Lagrange und Gauß) gestützt hat.

## Satz

Es gibt zwei Sätze, die als Satz vom primitiven Element bezeichnet werden, wobei der zweite Satz eine Folgerung aus dem ersten ist.
* Eine Körpererweiterung $L/K$ ist einfach, wenn $L$ von der Form $L=K(a,c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n})$ mit einem über $K$ algebraischen Element $a$ und über $K$ separablen Elementen $c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n}$ ist.
* Jede endliche separable Körpererweiterung ist einfach.

## Bedeutung

Insbesondere sind endliche Galois-Erweiterungen von dieser Form und daher einfach. Ist $L=K(a)$ eine solche Erweiterung, so ist ein Element der Galoisgruppe, das heißt ein $K$-Automorphismus $\sigma$ von $L$, bereits eindeutig durch den Wert $\sigma (a)$ bestimmt. Mit Hilfe eines primitiven Elementes kann auch die Galoisgruppe eines Polynoms bzw. einer Körpererweiterung bestimmt werden. Darin liegt die Bedeutung dieses Satzes für die Galoistheorie.

## Beispiele

* $\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})$ ist eine Körpererweiterung über $\textstyle \mathbb {Q}$. Ein mögliches primitives Element $\textstyle t\in \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})$ ist
       $t={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$,
    denn mit
       $t^{2}=5+2{\sqrt {6}}$, $\quad t^{3}=11{\sqrt {2}}+9{\sqrt {3}}\quad$ und $\quad t^{4}=49+20{\sqrt {6}}$
    ergibt sich, dass t Nullstelle des Polynoms $\textstyle x^{4}-10x^{2}+1$ und damit algebraisch über $\textstyle \mathbb {Q}$ ist.
    Außerdem erhält man die Gleichungen:
       $t^{3}-9t=2{\sqrt {2}}\quad$ und $\quad t^{3}-11t=-2{\sqrt {3}}$.
    Damit lassen sich $\textstyle {\sqrt {2}}$ und $\textstyle {\sqrt {3}}$ durch Polynome mit der Variablen t ersetzen:
       ${\sqrt {2}}={\tfrac {1}{2}}(t^{3}-9t)$ und ${\sqrt {3}}=-{\tfrac {1}{2}}(t^{3}-11t)$.
    Also ist
       $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})$
    und {1, t, t$^2$, t$^3$} eine Basis von $\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})$ als Vektorraum über $\textstyle \mathbb {Q}$. Eine andere mögliche Basis ist {$\textstyle 1,{\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {6}}$}, d. h.
       $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})=\{a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}}\mid a,b,c,d\in \mathbb {Q} \}$ .
    Es handelt sich also um eine algebraische Körpererweiterung vom Grad vier.
* Das Polynom $\textstyle x^{4}-5x^{2}+6=(x^{2}-2)(x^{2}-3)$ hat die Nullstellen $\textstyle x_{1}={\sqrt {2}},\quad x_{2}=-{\sqrt {2}},\quad x_{3}={\sqrt {3}},\quad x_{4}=-{\sqrt {3}}$ und hat somit $\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})$ als Zerfällungskörper. Wie oben gezeigt, ist $\textstyle t_{1}={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$ ein primitives Element und die vier Nullstellen können somit als Polynome p$_1$, p$_2$, p$_3$, p$_4$ mit der Variablen t$_1$ dargestellt werden:
       $x_{1}=p_{1}(t_{1})={\tfrac {1}{2}}(t_{1}^{3}-9t_{1})$,
       $x_{2}=p_{2}(t_{1})=-{\tfrac {1}{2}}(t_{1}^{3}-9t_{1})$,
       $x_{3}=p_{3}(t_{1})=-{\tfrac {1}{2}}(t_{1}^{3}-11t_{1})$,
       $x_{4}=p_{4}(t_{1})={\tfrac {1}{2}}(t_{1}^{3}-11t_{1})$,
    Das primitive Element t$_1$ ist – wie oben berechnet – Nullstelle des über $\textstyle \mathbb {Q}$ irreduziblen Polynoms $\textstyle x^{4}-10x^{2}+1=\left(x^{2}-5\right)^{2}-24$. Die anderen Nullstellen dieses Polynoms erhält man durch zweimaliges Wurzelziehen – zusammen mit der Beziehung $5\pm 2{\sqrt {6}}=({\sqrt {2}}\pm {\sqrt {3}})^{2}$:
       $t_{2}=-{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}},\quad t_{3}={\sqrt {2}}-{\sqrt {3}},\quad t_{4}=-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}$.
    Ersetzt man nun in den Polynomen p$_1$, ... p$_4$ die Variable t$_1$ durch t$_2$, t$_3$ oder t$_4$, so ergeben sich wiederum die Nullstellen x$_1$, x$_2$, x$_3$, x$_4$ des Ausgangspolynoms, allerdings in einer anderen Reihenfolge. Diese Permutationen der Nullstellen entsprechen jeweils einer Operation eines Elementes der Galoisgruppe auf diesen Nullstellen.
    Einsetzen von t$_1$ liefert die Identität, die übrigen Beziehungen ergeben sich durch Nachrechnen:
       $p_{1}(t_{1})=x_{1},\quad p_{2}(t_{1})=x_{2},\quad p_{3}(t_{1})=x_{3},\quad p_{4}(t_{1})=x_{4},\quad \Longrightarrow \quad \sigma _{1}:\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)\mapsto \left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)$,
       $p_{1}(t_{2})=x_{2},\quad p_{2}(t_{2})=x_{1},\quad p_{3}(t_{2})=x_{3},\quad p_{4}(t_{2})=x_{4},\quad \Longrightarrow \quad \sigma _{2}:\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)\mapsto \left(x_{2},x_{1},x_{3},x_{4}\right)$,
       $p_{1}(t_{3})=x_{1},\quad p_{2}(t_{3})=x_{2},\quad p_{3}(t_{3})=x_{4},\quad p_{4}(t_{3})=x_{3},\quad \Longrightarrow \quad \sigma _{3}:\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)\mapsto \left(x_{1},x_{2},x_{4},x_{3}\right)$,
       $p_{1}(t_{4})=x_{2},\quad p_{2}(t_{4})=x_{1},\quad p_{3}(t_{4})=x_{4},\quad p_{4}(t_{4})=x_{3},\quad \Longrightarrow \quad \sigma _{4}:\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)\mapsto \left(x_{2},x_{1},x_{4},x_{3}\right)$.
    {$\textstyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3},\sigma _{4}$} ist die Galoisgruppe als Permutationsgruppe der Nullstellen, als Gruppe der Körperautomorphismen ergibt sie sich wie folgt:
    Unter $\textstyle \sigma _{2}$ werden $\textstyle {\sqrt {2}}$ und $-{\sqrt {2}}$ vertauscht werden, entsprechendes gilt bei $\textstyle \sigma _{3}$ für $\textstyle {\sqrt {3}}$ und $\textstyle -{\sqrt {3}}$. Unter $\textstyle \sigma _{4}$ ändert sich bei beiden Wurzeln das Vorzeichen. Die Elemente der Galoisgruppe als Körperautomorphismen sind somit:
       $\sigma _{1}':a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}}\mapsto a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}}$,
       $\sigma _{2}':a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}}\mapsto a-b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}-d{\sqrt {6}}$,
       $\sigma _{3}':a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}}\mapsto a+b{\sqrt {2}}-c{\sqrt {3}}-d{\sqrt {6}}$,
       $\sigma _{4}':a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}}\mapsto a-b{\sqrt {2}}-c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}}$.
    Man sieht, dass unter $\textstyle \sigma _{2}'$ neben dem Grundkörper $\textstyle \mathbb {Q}$ der Körper $\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {3}})$ elementweise fest bleibt. Bei $\textstyle \sigma _{3}'$ und $\textstyle \sigma _{4}'$ sind die Fixkörper $\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ bzw. $\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {6}})$.
    Weil das Ausgangspolynom $\textstyle x^{4}-5x^{2}+6=(x^{2}-2)(x^{2}-3)$ nicht irreduzibel über $\mathbb {Q}$ ist, operiert die Galoisgruppe nicht transitiv auf der Menge der Nullstellen dieses Polynoms: es gibt zum Beispiel kein Element der Galoisgruppe, das die Nullstelle ${\sqrt {2}}$ auf die Nullstelle ${\sqrt {3}}$ abbildet.
* Die algebraisch Konjugierten des primitiven Elementes $t_{1}={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$, also die Nullstellen
       $t_{2}=-{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$, $t_{3}={\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}$ und $t_{4}=-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}$,
    sind ebenfalls primitive Elemente, d. h. es gilt:
       $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})=\mathbb {Q} (-{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}}-{\sqrt {3}})=\mathbb {Q} (-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}})$.