# ∞-Chern-Weil-Theorie

∞-Chern-Weil-Theorie ist eine verallgemeinerte Formulierung der Chern-Weil-Theorie aus dem mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie mit den Methoden der Höheren Kategorietheorie. Benannt ist die Theorie nach Shiing-Shen Chern und André Weil, welche in den 1940er Jahren erstmals den Chern-Weil-Homomorphismus konstruiert haben, obwohl die Verallgemeinerung nicht von ihnen stammt.

## Verallgemeinerung

Es gibt drei verschiedene äquivalente Beschreibungen der $k$-ten Chern-Klasse von komplexen Vektorbündeln vom Rang $n$, nämlich als:
* (1-kategorielle) natürliche Transformation $[-,\operatorname {BU} (n)]\Rightarrow [-,K(\mathbb {Z} ,2k)]$
* Homotopieklasse einer stetigen Abbildung $\operatorname {BU} (n)\rightarrow K(\mathbb {Z} ,2k)$
* singuläre Kohomologieklasse in $H^{2k}(\operatorname {BU} (n),\mathbb {Z} )$
Dabei ist $\operatorname {BU} (n)$ der klassifizierende Raum der unitären Gruppe $\operatorname {U} (n)$ und $K(\mathbb {Z} ,2k)$ ein Eilenberg-MacLane-Raum, welche die Menge der komplexen Vektorbündel vom Rang $n$ durch $[-,\operatorname {BU} (n)]\cong \operatorname {Vect} _{\mathbb {C} }^{n}(-)$ und die singuläre Kohomologie durch $[-,K(\mathbb {Z} ,2k)]\cong H^{2k}(-,\mathbb {Z} )$ darstellen. Die Äquivalenz zwischen den vorderen beiden Beschreibungen ist durch das Yoneda-Lemma gegeben. Die Äquivalenz zwischen den hinteren beiden Bedingungen ist wieder durch die Klassifikation von singulärer Kohomologie durch Eilenberg-MacLane-Räume gegeben. Die der Chern-Klasse entsprechende singuläre Kohomologieklasse ist die des universellen Vektorbündels, also $c_{k}(\gamma _{\mathbb {C} }^{n})\in H^{2k}(\operatorname {BU} (n),\mathbb {Z} )$.
Ein einfaches Beispiel, welches die Notwendigkeit für eine weitere Sicht und die Beschreibung durch höhere Strukturen motiviert, ist der klassifizierende Raum $\operatorname {BU} (1)\cong \mathbb {C} P^{\infty }$. Dieser hat eine H-Raum-Struktur, welche bis auf Homotopie eindeutig ist, wodurch sich erneut der klassifizierende Raum betrachten lässt, welcher mit $\operatorname {B^{2}U} (1)$ notiert wird. Wegen dieser Eigenschaft ist $\operatorname {U} (1)\cong S^{1}$ eine 2-Gruppe und $\operatorname {B^{2}U} (1)$ ein Lie-2-Gruppoid. Die Bildung des klassifizierenden Raumes verschiebt die Homotopiegruppen eins hinauf, also sind $\operatorname {U} (1)$, $\operatorname {BU} (1)$ und $\operatorname {B^{2}U} (1)$ jeweils die Eilenberg-MacLane-Räume $K(\mathbb {Z} ,1)$, $K(\mathbb {Z} ,2)$ und $K(\mathbb {Z} ,3)$. Dadurch benötigt die Beschreibung des Eilenberg-MacLane-Raumes $K(\mathbb {Z} ,2k)$ die Wiederholung dieses Prozesses, wofür der Wechsel zu ∞-Gruppen nötig ist. Da Schleifenräume die Homotopiegruppen eins hinab verschieben, ist der klassifizierende Raum in der ∞-Kategorie $\operatorname {Top}$ der topologischen Räume allgemeiner als Entschleifung bekannt. Im ∞-Topos $\infty \operatorname {Grpd}$ der ∞-Gruppoide korrespondiert diese mit der Bildung der ∞-Kategorie mit einem Objekt.

## ∞-Chern-Weil-Homomorphismus

Sei $\mathbf {H}$ ein ∞-Topos. Das fundamentale ∞-Gruppoid $\Pi \colon \mathbf {H} \rightarrow \infty \operatorname {Grpd}$ hat einen rechtsadjungierten Funktor $\operatorname {Disc} \colon \infty \operatorname {Grpd} \rightarrow \mathbf {H}$, welcher wieder einen rechtsadjungierten Funktor $\Gamma \colon \mathbf {H} \rightarrow \infty \operatorname {Grpd}$ hat, sodass $\Pi \dashv \operatorname {Disc} \dashv \Gamma$. Seien $\textstyle \int :=\operatorname {Disc} \circ \Pi \colon \mathbf {H} \rightarrow \mathbf {H}$ und $\flat :=\operatorname {Disc} \circ \Gamma \colon \mathbf {H} \rightarrow \mathbf {H}$, dann gibt es eine Adjunktion $\textstyle \int \dashv \flat$.
Seien $G$ ein ∞-Gruppoid und $\mathbf {B} G$ dessen Entschleifung. Eine charakteristische Klasse ist ein Morphismus $c\colon \mathbf {B} G\rightarrow \mathbf {B} ^{n}\operatorname {U} (1)$. Die Koeinheit von $\operatorname {Disc} \dashv \Gamma$ erzeugt eine kanonische Abbildung $\flat \mathbf {B} G\rightarrow \mathbf {B} G$. Dessen Homotopiefaser, welche die Obstruktion für die Existenz von flachen Hebungen angibt, wird mit $\flat _{\mathrm {dR} }\mathbf {B} G$ notiert (wobei dR für de Rham steht), womit es eine Sequenz $\flat _{\mathrm {dR} }\mathbf {B} G\rightarrow \flat \mathbf {B} G\rightarrow \mathbf {B} G$ gibt. Im Fall von $G=\mathbf {B} ^{n-1}\operatorname {U} (1)$ gibt es einen als Krümmung bezeichneten verbindenden Morphismus $\operatorname {curv} \colon \mathbf {B} ^{n}\operatorname {U} (1)\rightarrow \flat _{\mathrm {dR} }\mathbf {B} ^{n+1}\operatorname {U} (1)$, welcher die Sequenz erweitert und sogar alle miteinander verbindet. Für ein ∞-Gruppoid $G$ ist die Komposition:
    $\operatorname {curv} \circ c\colon \mathbf {B} G\rightarrow \flat _{\mathrm {dR} }\mathbf {B} ^{n+1}\operatorname {U} (1)$
der ∞-Chern-Weil-Homomorphism. Durch Nachkomposition ordnet dieser einem $G$-∞-Hauptfaserbündel $X\rightarrow \mathbf {B} G$ eine de Rham-Kohomologieklasse $X\rightarrow \flat _{\mathrm {dR} }\mathbf {B} ^{n+1}\operatorname {U} (1)$ zu, alternativ geschrieben als Morphismus $H(X,G)\rightarrow H_{\mathrm {dR} }^{n+1}(X)$ mit intrinsischer und de Rham-Kohomologie:
    $H(X,G):=\pi _{0}\mathbf {H} (X,\mathbf {B} G);$
    $H_{\mathrm {dR} }^{n}(X,G):=\pi _{0}\mathbf {H} (X,\flat _{\mathrm {dR} }\mathbf {B} G).$
Zusätzlich gibt es ebenfalls die flache differentielle $G$-wertige Kohomologie:
    $H_{\mathrm {flat} }(X,G):=\pi _{0}\mathbf {H} (X,\flat \mathbf {B} G)\cong \pi _{0}\mathbf {H} (\textstyle \int X,\mathbf {B} G)$
wobei der kanonische Morphismus $\flat \mathbf {B} G\rightarrow \mathbf {B} G$ einen Vergissmorphismus $H_{\mathrm {flat} }(X,G)\rightarrow H(X,G)$ induziert.