# Laguerre-Polynome

Laguerre-Polynome (benannt nach Edmond Laguerre) sind spezielle Polynome, die auf dem Intervall $[0,\infty ]$ ein orthogonales Funktionensystem bilden. Sie sind die Lösungen der laguerreschen Differentialgleichung. Eine wichtige Rolle spielen die Laguerre-Polynome in der theoretischen Physik, insbesondere in der Quantenmechanik.

## Differentialgleichung und Polynome
### Laguerresche Differentialgleichung

Die laguerresche Differentialgleichung
    $x\,y''(x)+(1-x)\,y'(x)+n\,y(x)=0$,
ist eine gewöhnliche lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung für $x>0$ und $n=0,1,2,\ldots$
Sie ist ein Spezialfall der Sturm-Liouville-Differentialgleichung
    $-\mathrm {e} ^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x{\mathrm {e} }^{-x}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)=ny$

### Erste Polynome

Die ersten fünf Laguerre-Polynome lauten
    ${\begin{aligned}L_{0}(x)&=1\\L_{1}(x)&=-x+1\\L_{2}(x)&={\tfrac {1}{2}}(x^{2}-4x+2)\\L_{3}(x)&={\tfrac {1}{6}}(-x^{3}+9x^{2}-18x+6)\\L_{4}(x)&={\tfrac {1}{24}}(x^{4}-16x^{3}+72x^{2}-96x+24)\end{aligned}}$
In der Physik wird üblicherweise eine Definition verwendet, nach der die Laguerre-Polynome um einen Faktor $n!$ größer sind.

## Eigenschaften
### Rekursionsformeln

Das Laguerre-Polynom $L_{n+1}(x)$ lässt sich mit den ersten beiden Polynomen
    $L_{0}(x)=1$
    $L_{1}(x)=1-x$
über die folgende Rekursionsformel berechnen
    $(n+1)L_{n+1}(x)={\big(2n+1-x)L_{n}(x)-nL_{n-1}(x){\big )}.$
Des Weiteren gelten folgende Rekursionsformeln:
    $L_{n}'(x)=L_{n-1}'(x)-L_{n-1}(x)$,
    $(x-n-1)L_{n}'(x)=-(n+1)L_{n+1}'(x)-(2n+2-x)L_{n}(x)+(n+1)L_{n+1}(x)$,
    $xL_{n}'(x)=nL_{n}(x)-nL_{n-1}(x)$.
Eine explizite Formel für die Laguerre-Polynome lautet
    $L_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}x^{k}$.

#### Beispiel

Es wird das Polynom $L_{3}(x)$ für $n=2$ berechnet. Also
    $L_{3}(x)={\tfrac {1}{3}}{\big(4+1-x)L_{2}(x)-2L_{1}(x){\big )}$.
Um dieses Polynom zu erhalten, ist es notwendig, das Polynom $L_{2}(x)$ für $n=1$ zu bestimmen. Es ergibt sich
    $L_{2}(x)={\tfrac {1}{2}}{\big(2+1-x)L_{1}(x)-1L_{0}(x){\big )}={\tfrac {1}{2}}{\big(3-x)(1-x)-1{\big )}={\tfrac {1}{2}}(3-4x+x^{2}-1)={\tfrac {1}{2}}{\big2-4x+x^{2}{\big )}$
Somit lautet das Polynom $L_{3}(x)$
    ${\begin{aligned}L_{3}(x)&={\tfrac {1}{3}}{\big(4+1-x){\tfrac {1}{2}}(2-4x+x^{2})-2(1-x){\big )}={\tfrac {1}{6}}{\big(5-x)(2-4x+x^{2})-4+4x{\big )}\\&={\tfrac {1}{6}}(10-20x+5x^{2}-2x+4x^{2}-x^{3}-4+4x)={\tfrac {1}{6}}(6-18x+9x^{2}-x^{3}).\end{aligned}}$

### Rodrigues-Formel

Das $n$-te Laguerre-Polynom lässt sich mit der Rodrigues-Formel wie folgt darstellen
    $L_{n}(x)={\frac {\mathrm {e} ^{x}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}{\biggx^{n}\mathrm {e} ^{-x}{\bigg )}$
und
    $L_{n}(x)={\frac {1}{n!}}{\bigg{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}-1{\bigg )}^{n}x^{n}.$
Aus der ersten Gleichung berechnet sich das Laguerre-Polynom mit der Produktregel für höhere Ableitungen und den Identitäten $\textstyle {\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}{\big\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\big )}={\big\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\big )}^{(n)}$, $\left(\mathrm {e} ^{-x}\right)^{(k)}=(-1)^{k}\mathrm {e} ^{-x}$ sowie ${\bigx^{n}{\big )}^{(n-k)}={\tfrac {n!}{k!}}x^{k}$ gemäß
    ${\begin{aligned}L_{n}(x)&={\frac {\mathrm {e} ^{x}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}{\bigg\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\bigg )}={\frac {\mathrm {e} ^{x}}{n!}}{\bigg\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\bigg )}^{(n)}={\frac {\mathrm {e} ^{x}}{n!}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\big\mathrm {e} ^{-x}{\big )}^{(k)}{\bigx^{n}{\big )}^{(n-k)}\\\\&={\frac {\mathrm {e} ^{x}}{n!}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{k}\mathrm {e} ^{-x}{\frac {n!}{k!}}x^{k}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}x^{k}.\end{aligned}}$
Aus der zweiten Gleichung ergibt sich das Laguerre-Polynom mit dem binomischen Lehrsatz und der Identität ${\big{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\big )}^{(n-k)}x^{n}={\bigx^{n}{\big )}^{(n-k)}={\tfrac {n!}{k!}}x^{k}$ wie folgt
    ${\begin{aligned}L_{n}(x)&={\frac {1}{n!}}{\bigg{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}-1{\bigg )}^{n}x^{n}={\frac {1}{n!}}{\bigg-1+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigg )}^{n}x^{n}={\frac {1}{n!}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{k}{\bigg{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigg )}^{(n-k)}x^{n}\\\\&={\frac {1}{n!}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{k}{\bigx^{n}{\big )}^{(n-k)}={\frac {1}{n!}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{k}{\frac {n!}{k!}}x^{k}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}x^{k}.\end{aligned}}$

### Orthogonale Polynome

Da die Laguerre-Polynome für $n\to \infty$ und/oder $x\to \infty$ divergent sind, bilden sie keinen Prähilbertraum und keinen Hilbertraum. Deshalb wird eine Gewichtsfunktion eingeführt, welche die Lösung der Differentialgleichung ungeändert lässt und welche dafür sorgt, dass die Laguerre-Polynome quadratintegrierbar werden. Unter diesen Voraussetzungen bilden die Eigenfunktionen $L_{n}$ eine Orthonormalbasis im Hilbertraum $L^{2}([0,\infty ],w(x)\mathrm {d} x)$ der quadratintegrierbaren Funktionen mit der Gewichtsfunktion $w(x)=\mathrm {e} ^{-x}$. Demzufolge gilt
    $\langle L_{n},L_{m}\rangle =\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}L_{n}(x)L_{m}(x)\mathrm {d} x=\delta _{nm}.$
Hierbei bedeutet $\delta _{nm}$ das Kronecker-Delta.

#### Beweis

Teil 1: Zunächst wird gezeigt, dass die Laguerre-Polynome mit dem Gewicht $w(x)=\mathrm {e} ^{-x}$ orthogonal sind, für $n\neq m$ gilt demnach $\langle L_{n},L_{m}\rangle =\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}L_{n}(x)L_{m}(x)\mathrm {d} x=0.$
Mit dem Sturm-Liouville-Operator $\textstyle {\mathcal {L}}=-\mathrm {e} ^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x{\mathrm {e} }^{-x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)$ ergeben sich für die Laguerre-Polynome $L_{n},L_{m}$ folgende Ausgangsgleichungen:
    (1) $\quad {\mathcal {L}}L_{n}=-\mathrm {e} ^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x{\mathrm {e} }^{-x}{\frac {\mathrm {d} L_{n}}{\mathrm {d} x}}\right)=nL_{n}$
und
    (2) $\quad {\mathcal {L}}L_{m}=-\mathrm {e} ^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x{\mathrm {e} }^{-x}{\frac {\mathrm {d} L_{m}}{\mathrm {d} x}}\right)=mL_{m}$.
Wird Gleichung (1) von links mit $L_{m}$ multipliziert und von Gleichung (2), welche ebenfalls von links mit $L_{n}$ multipliziert wird, subtrahiert, so ergeben sich die beiden Gleichungen:
    (3) $\quad L_{n}{\mathcal {L}}L_{m}-L_{m}{\mathcal {L}}L_{n}=-L_{n}\mathrm {e} ^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x{\mathrm {e} }^{-x}{\frac {\mathrm {d} L_{m}}{\mathrm {d} x}}\right)+L_{m}\mathrm {e} ^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x{\mathrm {e} }^{-x}{\frac {\mathrm {d} L_{n}}{\mathrm {d} x}}\right)$
und
    (4) $\quad L_{n}{\mathcal {L}}L_{m}-L_{m}{\mathcal {L}}L_{n}=(m-n)L_{m}L_{n}$.
Zunächst wird Gleichung (3) zusammengefasst. Mit der Produktregel für Ableitungen, der Term $\textstyle -\mathrm {e} ^{x}$ bleibt hierbei unberücksichtigt, ergeben sich folgende Darstellungen
    $\textstyle L_{n}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x{\mathrm {e} }^{-x}{\frac {\mathrm {d} L_{m}}{\mathrm {d} x}}\right)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x{\mathrm {e} }^{-x}L_{n}{\frac {\mathrm {d} L_{m}}{\mathrm {d} x}}\right)-\left(x{\mathrm {e} }^{-x}{\frac {\mathrm {d} L_{m}}{\mathrm {d} x}}\right){\frac {\mathrm {d} L_{n}}{\mathrm {d} x}}$
und
    $\textstyle L_{m}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x{\mathrm {e} }^{-x}{\frac {\mathrm {d} L_{n}}{\mathrm {d} x}}\right)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x{\mathrm {e} }^{-x}L_{m}{\frac {\mathrm {d} L_{n}}{\mathrm {d} x}}\right)-\left(x{\mathrm {e} }^{-x}{\frac {\mathrm {d} L_{n}}{\mathrm {d} x}}\right){\frac {\mathrm {d} L_{m}}{\mathrm {d} x}}$.
Auf diese Weise wird erkennbar, dass der zweite Term in beiden Ableitungen gleich ist und bei der Differenzenbildung verschwindet, also:
    (5) ${\begin{aligned}\quad L_{n}{\mathcal {L}}L_{m}-L_{m}{\mathcal {L}}L_{n}&=-\mathrm {e} ^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x{\mathrm {e} }^{-x}L_{n}{\frac {\mathrm {d} L_{m}}{\mathrm {d} x}}\right)+\mathrm {e} ^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x{\mathrm {e} }^{-x}L_{m}{\frac {\mathrm {d} L_{n}}{\mathrm {d} x}}\right)\\\\&=-\mathrm {e} ^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\biggx{\mathrm {e} }^{-x}\left(L_{n}{\frac {\mathrm {d} L_{m}}{\mathrm {d} x}}-L_{m}{\frac {\mathrm {d} L_{n}}{\mathrm {d} x}}\right){\bigg )}\\\\&=-\mathrm {e} ^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\biggx{\mathrm {e} }^{-x}W(L_{n},L_{m}){\bigg )},\\\end{aligned}}$
wobei $W(L_{n},L_{m})=\left|{\begin{smallmatrix}L_{n}&L_{m}\\L_{n}'&L_{m}'\end{smallmatrix}}\right|$ die Wronski-Determinante der Funktionen $L_{n},L_{m}$ bedeutet.
Zur Berechnung der Wronski-Determinante mittels der Abelschen Identität wird die Differentialgleichung $\textstyle {\mathcal {L}}y=-\mathrm {e} ^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x\mathrm {e} ^{-x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)y=-xy''-\mathrm {e} ^{x}{\bigx\mathrm {e} ^{-x}{\big )}'y'=-xy''-{\big1-x{\big )}y'=0$ oder $\textstyle y''+{\frac {1-x}{x}}y'=0$ betrachtet, so dass eine hebbare Singularität bei $x=0$ entsteht. Die Koeffizientenmatrix des Fundamentalsystems lautet dann $\left({\begin{smallmatrix}0&1\\0&-{\tfrac {1-x}{x}}\end{smallmatrix}}\right)$ und deren Spur ist $\mathrm {Spur} {\Bigg\left({\begin{smallmatrix}0&1\\0&-{\tfrac {1-x}{x}}\end{smallmatrix}}\right){\Bigg )}=-{\frac {1-x}{x}}$. Somit lautet die Abelsche Identität:
    $W(L_{n},L_{m})(x)=W(L_{n},L_{m})(0)\exp \left(\int _{0}^{x}{\bigg1-{\frac {1}{\xi }}{\bigg )}\mathrm {d} \xi \right)$.
Da $L_{n}$ und $L_{m}$ linear unabhängig sind, ist $W(L_{n},L_{m})(0)>0$ – bei genauer Betrachtung ist $W(L_{n},L_{m})(0)=1$ – und es ergibt sich folgendes Resultat:
    ${\begin{aligned}W(L_{n},L_{m})(x)&=W(L_{n},L_{m})(0)\exp \left(\int _{0}^{x}{\bigg1-{\frac {1}{\xi }}{\bigg )}\mathrm {d} \xi \right)=W(L_{n},L_{m})(0)\exp {\Bigg{\bigg\xi -\ln \xi {\bigg ]}_{0}^{x}{\Bigg )}\\&=\lim _{\xi \to x}W(L_{n},L_{m})(0)\exp {\Big\xi -\ln \xi {\Big )}-\lim _{\xi \to 0}W(L_{n},L_{m})(0)\exp {\Big\xi -\ln \xi {\Big )}\\&=\lim _{\xi \to x}W(L_{n},L_{m})(0){\frac {\exp(\xi )}{\exp(\ln \xi )}}-\lim _{\xi \to 0}W(L_{n},L_{m})(0){\frac {\exp(\xi )}{\exp(\ln \xi )}}\\&=\lim _{\xi \to x}W(L_{n},L_{m})(0){\frac {\mathrm {e} ^{\xi }}{\xi }}+\lim _{\xi \to 0}W(L_{n},L_{m})(0){\frac {\mathrm {e} ^{\xi }}{\xi }}\\&=W(L_{n},L_{m})(0){\frac {\mathrm {e} ^{x}}{x}}+\lim _{\xi \to 0}W(L_{n},L_{m})(0){\frac {\mathrm {e} ^{\xi }}{\xi }}+C.\end{aligned}}$
Die Integrationskonstante wird $C=-\lim _{\xi \to 0}W(L_{n},L_{m})(0){\frac {\mathrm {e} ^{\xi }}{\xi }}$ gewählt und Gleichung (5) wird mit $\mathrm {e} ^{-x}$ multipliziert, so dass folgt:
    ${\begin{aligned}\mathrm {e} ^{-x}{\bigL_{n}{\mathcal {L}}L_{m}-L_{m}{\mathcal {L}}L_{n}{\big )}&=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\biggx{\mathrm {e} }^{-x}W(L_{n},L_{m})(0){\frac {\mathrm {e} ^{x}}{x}}{\bigg )}\\&=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\biggW(L_{n},L_{m})(0){\bigg )}\end{aligned}}$
Nach Umformen und Trennung der Variablen lautet die Gleichung nun:
    $-\mathrm {e} ^{-x}{\bigL_{n}{\mathcal {L}}L_{m}-L_{m}{\mathcal {L}}L_{n}{\big )}\mathrm {d} x=\mathrm {d} {\biggW(L_{n},L_{m})(0){\bigg )}$
Auf beiden Seiten der Gleichung stehen nun eindimensionale Pfaffsche Formen und da $W(L_{n},L_{m})(0)$ eine konstante Funktion ist, gilt $\mathrm {d} {\BigW(L_{n},L_{m})(0){\Big )}=0$. Für die Berechnung der verbleibenden Pfaffschen Form ist eine geeignete Parametrisierung $\varphi (t)=t,\varphi (t_{0})=0,\varphi (t_{1})=\infty ,{\dot {\varphi }}(t)=1$ zu wählen. Das Integral lautet nun:
    $\int _{\varphi }\omega =\int _{0}^{\infty }\omega _{\varphi (t)}({\dot {\varphi }}(t))\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{\infty }w{\BigL_{n}{\mathcal {L}}L_{m}-L_{m}{\mathcal {L}}L_{n}{\Big )}\mathrm {d} t=0$.
Demnach verschwindet das Integral längs dem Intervall $[0,\infty ]$, so dass unter Verwendung von Gleichung (4) gilt:
    $0=(m-n)\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}L_{m}L_{n}\mathrm {d} t$
Diese Bedingung kann nur erfüllt werden, wenn:
    $\langle L_{n},L_{m}\rangle =\langle L_{m},L_{n}\rangle =0$.
Teil 2: Im Folgenden wird gezeigt, dass die Laguerre-Polynome mit dem Gewicht $w(x)=\mathrm {e} ^{-x}$ beschränkt sind, für $n=m$ gilt demnach $\langle L_{n},L_{m}\rangle =\int \mathrm {e} ^{-x}L_{n}(x)L_{m}(x)\mathrm {d} x=1$, oder abkürzend $\langle L_{n},L_{n}\rangle =1$.
Für den Beweis wird einerseits die Reihendarstellung $L_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}x^{k}$ und anderseits die Rodrigues-Formel $L_{n}(x)={\frac {\mathrm {e} ^{x}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}{\bigg\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\bigg )}$ benutzt. Es gilt:
    $\langle L_{n},L_{n}\rangle =\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}x^{k}{\frac {\mathrm {e} ^{x}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}{\bigg\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\bigg )}\mathrm {d} x=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}\int _{0}^{\infty }x^{k}{\frac {1}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}{\bigg\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\bigg )}\mathrm {d} x$.
Für $n=0$ mit $\textstyle {\frac {\mathrm {d} ^{n=0}}{\mathrm {d} x^{n=0}}}{\big\mathrm {e} ^{-x}x^{0}{\big )}=\mathrm {e} ^{-x}x^{0}$ ergibt sich:
    $\langle L_{n},L_{n}\rangle =\int _{0}^{\infty }x^{0}{\bigg\mathrm {e} ^{-x}x^{0}{\bigg )}\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}\mathrm {d} x=-{\bigg\mathrm {e} ^{-x}{\bigg ]}_{0}^{\infty }=1$.
Wird nun für $n>0$ das Laguerre-Polynom zerlegt, so folgt:
    $\langle L_{n},L_{n}\rangle =\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}\int _{0}^{\infty }x^{k}{\frac {1}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}{\bigg\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\bigg )}\mathrm {d} x+{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\int _{0}^{\infty }x^{n}{\frac {1}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}{\bigg\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\bigg )}\mathrm {d} x.$
Durch diese Zerlegung wird der Grad des Polynoms in der Summe um 1 reduziert und in der Folge gilt $\langle L_{(n-1)},L_{n}\rangle =0$, wie in Teil 1 gezeigt. Es verbleibt somit lediglich der zweite Term, der mit partieller Integration berechnet wird, also:
    ${\begin{aligned}\langle L_{n},L_{n}\rangle &={\frac {(-1)^{n}}{n!}}\int _{0}^{\infty }x^{n}{\frac {1}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}{\bigg\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\bigg )}\mathrm {d} x\\&={\frac {(-1)^{n}}{n!}}{\biggx^{n}{\frac {1}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{(n-1)}}{\mathrm {d} x^{(n-1)}}}{\bigg\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\bigg )}{\bigg ]}_{0}^{\infty }-n{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\int _{0}^{\infty }x^{(n-1)}{\frac {1}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{(n-1)}}{\mathrm {d} x^{(n-1)}}}{\bigg\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\bigg )}\mathrm {d} x\end{aligned}}$
Die Stammfunktion wurde mithilfe der Produktregel berechnet und es ergibt sich im Grenzwert $\textstyle \lim _{x\to 0}x^{n}{\frac {1}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{(n-1)}}{\mathrm {d} x^{(n-1)}}}{\big\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\big )}=\sum _{k=0}^{n-1}\lim _{x\to 0}x^{n}{\frac {1}{n!}}{\binom {n}{k}}{\big\mathrm {e} ^{-x}{\big )}^{k}{\bigx^{n}{\big )}^{(n-k)}=0$. Dasselbe Resultat wird im Grenzwert $\textstyle \lim _{x\to \infty }$ erhalten. Da dieses Ergebnis für alle $n$ partiellen Integrationen gilt, folgt:
    ${\begin{aligned}\langle L_{n},L_{n}\rangle &=(-1)^{1}n{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\int _{0}^{\infty }x^{(n-1)}{\frac {1}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{(n-1)}}{\mathrm {d} x^{(n-1)}}}{\bigg\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\bigg )}\mathrm {d} x\\&=(-1)^{2}n(n-1){\frac {(-1)^{n}}{n!}}\int _{0}^{\infty }x^{(n-2)}{\frac {1}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{(n-2)}}{\mathrm {d} x^{(n-2)}}}{\bigg\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\bigg )}\mathrm {d} x\\&\;\;\vdots \\&=(-1)^{n}n!{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\int _{0}^{\infty }x^{(n-n)}{\frac {1}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{(n-n)}}{\mathrm {d} x^{(n-n)}}}{\bigg\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\bigg )}\mathrm {d} x\\&={\frac {(-1)^{2n}}{n!}}\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{n}\mathrm {d} x\\&={\frac {1}{n!}}\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{n}\mathrm {d} x\end{aligned}}$
Mittels weiterer $n$-facher partieller Integration oder Integrationstabelle folgt $\textstyle \int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{n}\mathrm {d} x=n!$ und somit:
    $\langle L_{n},L_{n}\rangle =1$.
Aus Teil 1 und Teil 2 ergibt sich:
    $\langle L_{n},L_{m}\rangle =\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}L_{n}(x)L_{m}(x)\mathrm {d} x=\delta _{nm}.$
$\Box$

### Erzeugende Funktion

Eine erzeugende Funktion für das Laguerre-Polynom lautet
    $\sum _{n=0}^{\infty }L_{n}(x)\,t^{n}={\frac {1}{1-t}}e^{-{\frac {tx}{1-t}}}$

## Zugeordnete Laguerre-Polynome

Die zugeordneten (verallgemeinerten) Laguerre-Polynome hängen mit den gewöhnlichen Laguerre-Polynomen über
    $L_{n}^{k}(x)=(-1)^{k}\,{\frac {{\rm {d}}^{k}}{{\rm {d}}x^{k}}}\,L_{n+k}(x)\qquad k=0,1,\dotsc$
zusammen. Ihre Rodrigues-Formel lautet
    $L_{n}^{k}(x)={\frac {\mathrm {e} ^{x}\,x^{-k}}{n!}}\,{\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}\,(\mathrm {e} ^{-x}\,x^{n+k}).$
Die zugeordneten Laguerre-Polynome erfüllen die zugeordnete Laguerre-Gleichung
    $x\,y''(x)+(k+1-x)\,y'(x)+n\,y(x)=0,\qquad n=0,1,\dotsc$
Die ersten zugeordneten Laguerre-Polynome lauten:
    $L_{0}^{k}(x)=1$
    $L_{1}^{k}(x)=-x+k+1$
    $L_{2}^{k}(x)={\frac {1}{2}}\,\left[x^{2}-2\,(k+2)\,x+(k+1)(k+2)\right]$
    $L_{3}^{k}(x)={\frac {1}{6}}\,\left[-x^{3}+3\,(k+3)\,x^{2}-3\,(k+2)\,(k+3)\,x+(k+1)\,(k+2)\,(k+3)\right]$
Zur Berechnung lässt sich die Rekursionsformel
    $(n+1)L_{n+1}^{k}(x)=(2n+1+k-x)L_{n}^{k}(x)-(n+k)L_{n-1}^{k}(x)$
verwenden.
Der Sturm-Liouville-Operator lautet
    ${\mathcal {L}}=-\mathrm {e} ^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x^{k+1}\mathrm {e} ^{-x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)$
und mit der Gewichtsfunktion $\mathrm {e} ^{-x}$ gilt:
    $\int \limits _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{k}L_{m}^{k}(x)L_{n}^{k}(x)\mathrm {d} x=0\qquad m\neq n$
    $\int \limits _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{k}\left(L_{n}^{k}(x)\right)^{2}\mathrm {d} x={\frac {\Gamma (n+k+1)}{n!}}\qquad n=0,1,\dotsc$
Zugeordnete Laguerre-Polynome lassen sich als Wegintegrale ausdrücken:
    $L_{n}^{k}(x)={\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{C}{\frac {\mathrm {e} ^{-{\frac {xt}{1-t}}}}{(1-t)^{k+1}\,t^{n+1}}}\;dt,$
Dabei ist $C$ ein Weg, der den Ursprung einmal im Gegenuhrzeigersinn umrundet und die wesentliche Singularität bei 1 nicht einschließt.

## Asymptotische Analysis

* Asymptotische Entwicklungen vom Plancherel-Rotach-Typ

## Wasserstoffatom

Die Laguerre-Polynome haben eine Anwendung in der Quantenmechanik bei der Lösung der Schrödinger-Gleichung für das Wasserstoffatom bzw. im allgemeinen Fall für ein Coulomb-Potential. Mittels der zugeordneten Laguerre-Polynome lässt sich der Radialanteil der Wellenfunktion schreiben als
    $R_{nl}(r)=D_{nl}\,\mathrm {e} ^{-\kappa \,r}\,(2\,\kappa \,r)^{l}\,L_{n-l-1}^{2\,l+1}(2\,\kappa \,r)$
(Normierungskonstante $D_{nl}$, charakteristische Länge $\kappa$, Hauptquantenzahl $n$, Bahndrehimpulsquantenzahl $l$). Die zugeordneten Laguerre-Polynome haben hier also eine entscheidende Rolle. Die normierte Gesamtwellenfunktion ist durch
    $\Psi _{n,l,m}(r,\vartheta ,\varphi )={\sqrt {\frac {4\,(n-l-1)!}{(n+l)!\;n\,(na_{0}/Z)^{3}}}}\left[{\frac {2r}{na_{0}/Z}}\right]^{l}\exp {\left\{-{\frac {r}{na_{0}/Z}}\right\}}\;L_{n-l-1}^{2l+1}\left({\frac {2r}{na_{0}/Z}}\right)\;Y_{l,m}(\vartheta ,\varphi )$
gegeben, mit der Hauptquantenzahl $n$, der Bahndrehimpulsquantenzahl $l$, der magnetischen Quantenzahl $m$, dem bohrschen Radius $a_{0}$ und der Kernladungszahl $Z$. Die Funktionen $L_{n}^{l}(r)$ sind die zugeordneten Laguerre-Polynome, $Y_{l,m}(\vartheta ,\varphi )$ die Kugelflächenfunktionen.