# Spinc-Gruppe

Eine Spinᶜ-Gruppe (oder komplexe Spin-Gruppe) ist im mathematischen Teilgebiet der Spin-Geometrie, wiederum ein Teilgebiet der Differentialgeometrie, eine Lie-Gruppe, welche durch Vertwistung der Spin-Gruppe mit der ersten unitären Gruppe entsteht. Das Symbol C steht dabei für die komplexen Zahlen, welche mit $\mathbb {C}$ notiert werden. Eine zentrale Anwendung finden Spinᶜ-Gruppen in der Definition von Spinᶜ-Strukturen, welche zentral für die Seiberg-Witten-Theorie sind.

## Definition

Die Spin-Gruppe $\operatorname {Spin} (n)$ ist eine doppelte Überlagerung der speziellen orthogonalen Gruppe $\operatorname {SO} (n)$ und entsprechend wirkt $\mathbb {Z} _{2}$ auf dieser mit $\operatorname {Spin} (n)/\mathbb {Z} _{2}\cong \operatorname {SO} (n)$. Auf der ersten unitären Gruppe $\operatorname {U} (1)\cong S^{1}\subset \mathbb {C}$ wirkt $\mathbb {Z} _{2}$ ebenfalls durch die antipodale Identifikation $y\sim -y$. Die Spinᶜ-Gruppe ist nun definiert durch:
    $\operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(n):=\left(\operatorname {Spin} (n)\times \operatorname {U} (1)\right)/\mathbb {Z} _{2}$
mit $(x,y)\sim (-x,-y)$. Üblich ist auch die Notation $\operatorname {Spin} ^{\mathbb {C} }(n)$. Mit dem exzeptionellen Isomorphismus $\operatorname {Spin} (2)\cong \operatorname {U} (1)$ gilt insbesondere $\operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(n)=\operatorname {Spin} ^{2}(n)$ mit:
    $\operatorname {Spin} ^{k}(n):=\left(\operatorname {Spin} (n)\times \operatorname {Spin} (k)\right)/\mathbb {Z} _{2}.$

## Niedrigdimensionale Beispiele

* $\operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(1)\cong \operatorname {U} (1)\cong \operatorname {SO} (2)$, induziert vom Isomorphismus $\operatorname {Spin} (1)\cong \operatorname {O} (1)\cong \mathbb {Z} _{2}$.
* $\operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(3)\cong \operatorname {U} (2)$, induziert vom exzeptionellen Isomorphismus $\operatorname {Spin} (3)\cong \operatorname {Sp} (1)\cong \operatorname {SU} (2)$. Da außerdem $\operatorname {Spin} (2)\cong \operatorname {U} (1)\cong \operatorname {SO} (2)$, ist auch $\operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(3)\cong \operatorname {Spin} ^{\mathrm {h} }(2)$.
* $\operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(4)\cong \operatorname {U} (2)\times _{\operatorname {U} (1)}\operatorname {U} (2)$, induziert vom exzeptionellen Isomorphismus $\operatorname {Spin} (4)\cong \operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)$. Dabei ist die Determinante $\det \colon \operatorname {U} (2)\rightarrow \operatorname {U} (1)$ die doppelt im Faserprodukt verwendete Abbildung. Daher besteht $\operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(4)$ aus Paaren von Matrizen aus der zweiten unitären Gruppe $\operatorname {U} (2)$ mit gleicher Determinante. In der Physik dienen diese Paare zur Beschreibung der negativen und positiven Chiralität von Spinoren in vier Dimensionen, siehe Spinᶜ-Struktur und Dirac-Gleichung.
* $\operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(6)\rightarrow \operatorname {U} (4)$ ist eine doppelte Überlagerung, induziert vom exeptionellen Isomorphismus $\operatorname {Spin} (6)\cong \operatorname {SU} (4)$.

## Eigenschaften

Die Homotopiegruppen der Spinᶜ-Gruppen lassen sich über die lange exakte Sequenz der Homotopiegruppen des Faserbündels $\mathbb {Z} _{2}\hookrightarrow \operatorname {Spin} (n)\times \operatorname {U} (1)\twoheadrightarrow \operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(n)$ berechnen und sind gegeben durch:
    $\pi _{k}\operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(n)\cong \pi _{k}\operatorname {Spin} (n)\times \pi _{k}\operatorname {U} (1)\cong \pi _{k}\operatorname {SO} (n)$
für $k\geq 2$. Dabei wurde genutzt, dass bei einer Überlagerung wie $\operatorname {Spin} (n)\twoheadrightarrow \operatorname {SO} (n)$ die höheren Homotopiegruppen über der Fundamentalgruppe übereinstimmen.