# Faltung (Stochastik)

Als Faltung bezeichnet man in der Stochastik eine Operation, die zwei Wahrscheinlichkeitsmaße zu einem neuen Wahrscheinlichkeitsmaß kombiniert. Sie ermöglicht es, bei Werten, die dem Zufall unterliegen, der Summe dieser Werte eine sinnvolle Wahrscheinlichkeit zuzuordnen. So ist die Verteilung der Summe zweier unabhängiger Zufallsvariablen genau die Faltung der Verteilung der einzelnen Zufallsvariablen.
Besitzen die betrachteten Wahrscheinlichkeitsmaße eine Wahrscheinlichkeitsfunktion oder eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, so kann die Faltung der Wahrscheinlichkeitsmaße auf die Faltung (von Funktionen) der Wahrscheinlichkeitsfunktionen oder Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen zurückgeführt werden.

## Wahrscheinlichkeitsmaße auf den ganzen Zahlen
### Definition

Gegeben seien zwei diskrete Wahrscheinlichkeitsmaße $P,Q$ auf den ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$ mit Wahrscheinlichkeitsfunktionen $f_{P}$ und $f_{Q}$. Die Faltung $P*Q$ der Wahrscheinlichkeitsmaße $P$ und $Q$ ist dann dasjenige Wahrscheinlichkeitsmaß auf $\mathbb {Z}$, das die Wahrscheinlichkeitsfunktion
    $f_{P*Q}(k):=\sum _{(i,j)\in \mathbb {Z} ^{2} \atop i+j=k}f_{P}(i)f_{Q}(j)=\sum _{i=-\infty }^{\infty }f_{P}(i)f_{Q}(k-i)$
besitzt. Es ist also
    $f_{P*Q}=f_{P}*f_{Q}$,
wobei $f_{P}*f_{Q}$ die Faltung der Funktionen $f_{P}$ und $f_{Q}$ bezeichnet.

### Bemerkung

Sind die Wahrscheinlichkeitsfunktionen nur auf einer Teilmenge der ganzen Zahlen wie zum Beispiel $\mathbb {N}$ oder $\{0,1,\dots ,n\}$ definiert, so setzt man sie außerhalb dieser Mengen durch den Wert null fort, also mit $f(i)=0$. Für den Spezialfall, dass beide Wahrscheinlichkeitsmaße auf den natürlichen Zahlen definiert sind, gilt dann für die Faltung
    $f_{P*Q}(k)=\sum _{i=0}^{k}f_{P}(i)f_{Q}(k-i)$.
Des Weiteren ist die Faltung durch die Angabe der Wahrscheinlichkeitsfunktionen eindeutig bestimmt, da ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum durch die Angabe der Wahrscheinlichkeitsfunktion eindeutig bestimmt ist.

### Beispiel

Es sei $P$ die Bernoulli-Verteilung zum Parameter $p$, also mit Wahrscheinlichkeitsfunktion
    $f_{P}(0)=1-p{\text{ und }}f_{P}(1)=p$
und $Q$ die Binomialverteilung zu den Parametern 2 und $p$, also mit Wahrscheinlichkeitsfunktion
    $f_{Q}(j)={\binom {2}{j}}p^{j}(1-p)^{2-j}$
für $j=0,1,2$.
Um die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Faltung an der Stelle $k$ zu bestimmen, erstellt man nun alle Paare $(i,j)$, für die $i+j=k$ gilt und für die sowohl $f_{P}(i)$ als auch $f_{Q}(j)$ ungleich null sind. Im angegebenen Fall sind dies:
    ${\begin{aligned}k=0:&\quad (i,j)=(0,0)\\k=1:&\quad (i,j)=(0,1);(1,0)\\k=2:&\quad (i,j)=(0,2);(1,1)\\k=3:&\quad (i,j)=(1,2)\end{aligned}}$
Nun bildet man für jedes $k$ das Produkt $f_{P}(i)\cdot f_{Q}(j)$ der entsprechenden $(i,j)$ und summiert dieses auf: Für $k=0$ ist somit
    $f_{P*Q}(0)=f_{P}(0)f_{Q}(0)=(1-p)^{3}$.
Für die anderen Werte folgt dann
    $f_{P*Q}(1)=f_{P}(0)f_{Q}(1)+f_{P}(1)f_{Q}(0)=3p(1-p)^{2}$
    $f_{P*Q}(2)=f_{P}(0)f_{Q}(2)+f_{P}(1)f_{Q}(1)=3p^{2}(1-p)$
    $f_{P*Q}(3)=f_{P}(1)f_{Q}(2)=p^{3}$
Dies ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Binomialverteilung zu den Parametern 3 und $p$, somit gilt
    $\operatorname {Ber} (p)*\operatorname {Bin} (2,p)=\operatorname {Bin} (3,p)$.
Ebenso lässt sich eine geschlossene Darstellung der Wahrscheinlichkeitsfunktion auch durch die direkte Faltung der Wahrscheinlichkeitsfunktionen herleiten.

## Stetige Wahrscheinlichkeitsmaße auf den reellen Zahlen
### Definition

Gegeben seien zwei Wahrscheinlichkeitsmaße $P,Q$ auf den reellen Zahlen, versehen mit der Borelschen σ-Algebra. $P$ und $Q$ besitzen außerdem Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen $f_{P}$ und $f_{Q}$.
Dann heißt dasjenige Wahrscheinlichkeitsmaß auf $\mathbb {R}$ mit der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
    $f_{P*Q}(z)=\int _{\mathbb {R} }f_{P}(x)f_{Q}(z-x)\mathrm {d} \lambda (x)$
die Faltung der Wahrscheinlichkeitsmaße $P$ und $Q$ und wird mit $P*Q$ bezeichnet. Häufig kann das Lebesgue-Integral durch ein Riemann-Integral ersetzt werden, man schreibt dann $\mathrm {d} x$ anstelle von $\mathrm {d} \lambda (x)$.
Es gilt dann also
    $f_{P*Q}=f_{P}*f_{Q}$,
wobei $f_{P}*f_{Q}$ die Faltung der Funktionen $f_{P}$ und $f_{Q}$ bezeichnet.

### Bemerkung

Auch für Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf den reellen Zahlen, die keine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion besitzen (wie zum Beispiel die Cantor-Verteilung), ist die Faltung definiert. Sie ist dann durch den unten angegebenen allgemeinen Fall gegeben.
Wichtige Ausnahme hiervon ist die Faltung mit der Dirac-Verteilung $\delta _{a}$: Besitzt $P$ die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f_{P}(x)$, so besitzt $\delta _{a}*P$ die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f_{\delta _{a}*P}(x)=f_{P}(x-a)$.

### Beispiel

Seien $P,Q$ Exponentialverteilungen zum identischen Parameter $\lambda$, also mit Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
    $f_{P}(x)=f_{Q}(x)=\lambda \exp(-\lambda x)\mathbf {1} _{x\geq 0}$
Dabei ist $\mathbf {1} _{A}$ die Indikatorfunktion auf der Menge $A$. Dann gilt für $z\geq 0$
    ${\begin{aligned}f_{P*Q}(z)&=\int _{\mathbb {R} }\lambda \exp(-\lambda x)\mathbf {1} _{x\geq 0}\lambda \exp(-\lambda (z-x))\mathbf {1} _{z-x\geq 0}\mathrm {d} x\\&=\lambda ^{2}\int _{0}^{\infty }\exp(-\lambda x-\lambda (z-x))\mathbf {1} _{z\geq x}\mathrm {d} x\\&=\lambda ^{2}\int _{0}^{z}\exp(-\lambda z)\mathrm {d} x\\&=\lambda ^{2}z\exp(-\lambda z).\end{aligned}}$
Dies ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion einer Erlang-Verteilung beziehungsweise einer Gammaverteilung zu den Parametern 2 und $\lambda$. Somit ergibt die Faltung zweier Exponentialverteilungen eine Erlang- beziehungsweise eine Gammaverteilung.

## Allgemeiner Fall
### Definition

Sei $\Omega$ eine Menge, auf der mindestens die Addition erklärt ist. Sei ${\mathcal {A}}$ eine σ-Algebra und ${\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {A}}$ die Produkt-σ-Algebra auf $\Omega \times \Omega$. Des Weiteren seien zwei Wahrscheinlichkeitsmaße $P_{1},P_{2}$ auf $(\Omega ,{\mathcal {A}})$ gegeben und $P_{1}\otimes P_{2}$ das entsprechende Produktmaß.
Ist dann die Abbildung
    $A:\Omega \times \Omega \to \Omega$
definiert durch
    $(x,y)\mapsto x+y$
eine ${\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {A}}$-${\mathcal {A}}$-messbare Funktion (und damit eine Zufallsvariable), so heißt das Bildmaß von $P_{1}\otimes P_{2}$ unter $A$ (bzw. die Verteilung der Zufallsvariable $A$) die Faltung der Wahrscheinlichkeitsmaße $P_{1}$ und $P_{2}$. Somit ist
    $P_{1}*P_{2}:=(P_{1}\otimes P_{2})\circ A^{-1}$
oder analog
    $(P_{1}*P_{2})(B)=(P_{1}\otimes P_{2})(\{(x,y)\in \Omega \times \Omega \,|\,x+y\in B\})$.
Die obigen Messbarkeitsbedingungen sind beispielsweise immer erfüllt, wenn $\Omega$ ein topologischer Vektorraum ist und ${\mathcal {A}}$ die borelsche σ-Algebra. Dies ist insbesondere der Fall, wenn $\Omega =\mathbb {R} ^{d}$ und ${\mathcal {A}}={\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{d})$.

### Herleitung der obigen Spezialfälle

Für Wahrscheinlichkeitsmaße auf $\mathbb {Z}$ genügt es, die Aussage für die Mengen $\{k\}$ zu zeigen, da diese ein Erzeuger der σ-Algebra (hier der Potenzmenge) bilden. Es ist
    ${\begin{aligned}(P*Q)(\{k\})&=(P\otimes Q)(A^{-1}(\{k\}))=(P\otimes Q)(\{(i,j)\in \mathbb {Z} ^{2}\,|\,i+j=k\})\\&=\sum _{(i,j)\in \mathbb {Z} ^{2} \atop i+j=k}(P\otimes Q)(\{(i,j)\})=\sum _{(i,j)\in \mathbb {Z} ^{2} \atop i+j=k}P(\{i\})Q(\{j\})\\&=\sum _{(i,j)\in \mathbb {Z} ^{2} \atop i+j=k}f_{P}(i)f_{Q}(j)\end{aligned}}$.
Dabei sind die ersten beiden Schritte Umformulierungen der Bildmaße der Verteilungen, der dritte folgt aus der σ-Additivität und der Disjunktheit der $\{(i,j)\}$, der vierte aus der Definition des Produktmaßes und der letzte schließlich aufgrund der eindeutigen Charakterisierung der Wahrscheinlichkeitsmaße durch ihre Wahrscheinlichkeitsfunktionen.
Somit ist die in obigem Abschnitt angegebene Wahrscheinlichkeitsfunktion $f_{P*Q}$ die Wahrscheinlichkeitsfunktion der gefalteten Wahrscheinlichkeitsmaße $P*Q$, die Definitionen stimmen also überein.
Analog folgt für Wahrscheinlichkeitsmaße auf $\mathbb {R}$
    ${\begin{aligned}(P*Q)((-\infty ,c])&=\iint _{x+y\leq c}f_{P}(x)f_{Q}(y)\mathrm {d} \lambda (x)\otimes \lambda (y)=\int _{\mathbb {R} }f_{P}(x)\int f_{Q}(y-x)\mathbf {1} _{y\leq c}\mathrm {d} \lambda (y)\mathrm {d} \lambda (x)\\&=\int _{-\infty }^{c}\int _{\mathbb {R} }f_{P}(x)f_{Q}(y-x)\mathrm {d} \lambda (x)\mathrm {d} \lambda (y)\end{aligned}}$
durch Substitution und den Satz von Fubini.

## Eigenschaften
### Summe unabhängiger Zufallsvariablen

Eine wichtige Eigenschaft der Faltung von Wahrscheinlichkeitsmaßen ist, dass sich mit ihr die Verteilung der Summe von stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen bestimmen lässt. Sind $X$ und $Y$ stochastisch unabhängige Zufallsvariablen mit Verteilungen $P_{X}$ und $P_{Y}$, so ist die Verteilung der Summe der Zufallsvariablen die Faltung der Verteilungen der Zufallsvariablen, also
    $P_{X+Y}=P_{X}*P_{Y}$.
Diese zentrale Eigenschaft folgt direkt aus der Definition der Faltung als Bildmaß der Addition. Dabei folgt die stochastische Unabhängigkeit der Konstruktion aus dem Produktmaß.

### Wahrscheinlichkeitserzeugende, Momenterzeugende und Charakteristische Funktionen

Für Wahrscheinlichkeitsmaße $P,Q$ auf $\mathbb {N}$ lässt sich die Faltung mit den wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktionen $m_{P},m_{Q}$ in Beziehung setzen. Es gilt dann
    $m_{P*Q}(t)=m_{P}(t)\cdot m_{Q}(t)$.
Die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion der Faltung zweier Wahrscheinlichkeitsmaße ist also das Produkt der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktionen der Maße.
Analoges gilt für die momenterzeugende Funktion $M_{P}$ und die charakteristische Funktion $\varphi _{P}$:
    $M_{P*Q}(t)=M_{P}(t)\cdot M_{Q}(t)$ und $\varphi _{P*Q}(t)=\varphi _{P}(t)\cdot \varphi _{Q}(t)$
Daraus folgen die Additionsidentitäten für unabhängige Zufallsvariablen:
    $m_{X+Y}(t)=m_{X}(t)\cdot m_{Y}(t)$
    $M_{X+Y}(t)=M_{X}(t)\cdot M_{Y}(t)$
    $\varphi _{X+Y}(t)=\varphi _{X}(t)\cdot \varphi _{Y}(t)$

## Aufbauende Begriffe
### Faltungshalbgruppen

Eine Faltungshalbgruppe ist eine Menge von Wahrscheinlichkeitsmaßen, die abgeschlossen bezüglich der Faltung ist. Das bedeutet, dass die Faltung zweier Wahrscheinlichkeitsmaße aus der Faltungshalbgruppe wieder in der Faltungshalbgruppe enthalten ist. Faltungshalbgruppen treten beispielsweise bei der Untersuchung von charakteristischen Funktionen oder als Hilfsmittel zur Konstruktion von stochastischen Prozessen mit bestimmten Eigenschaften, wie dem Wiener-Prozess, auf. Beispiele für Faltungshalbgruppen sind die Binomialverteilungen zu einem festen Parameter $p$ oder die Cauchy-Verteilung.

### Unendliche Teilbarkeit

Ein Wahrscheinlichkeitsmaß $P$ heißt unendlich teilbar, wenn zu jedem $n\in \mathbb {N}$ ein weiteres Wahrscheinlichkeitsmaß $Q$ existiert, für das
    $P=Q^{*n}$
gilt. Hierbei bezeichnet
    $Q^{*n}:=\underbrace {Q*Q*\dots *Q} _{n{\text{ mal}}}$
die $n$-fache Hintereinanderausführung der Faltung. $P$ lässt sich also immer als $n$-te Faltungspotenz eines weiteren Wahrscheinlichkeitsmaßes darstellen. Die äquivalente Formulierung für Verteilungen lautet, dass $P$ immer die Verteilung der Summe von $n$ unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen ist.

## Faltungsidentitäten

Die folgende Liste enthält wichtige Faltungsidentitäten, erhebt aber keinen Anspruch auf Vollständigkeit. Weitere Faltungsidenditäten finden sich in den entsprechenden Hauptartikeln zu den Wahrscheinlichkeitsmaßen.
| Verteilung | Faltung | Faltungshalbgruppe | Unendlich teilbar |
| Diskrete Verteilungen ||
| Bernoulli-Verteilung $\operatorname {Ber} (p)$ | $\operatorname {Ber} (p)*\operatorname {Ber} (p)=\operatorname {Bin} (2,p)$ | Nein | Nein |
| Binomialverteilung $\operatorname {Bin} (n,p)$ | $\operatorname {Bin} (n,p)*\operatorname {Bin} (m,p)=\operatorname {Bin} (n+m,p)$ | Ja, auf $\mathbb {N} ^{+}$ | Nein |
| Poisson-Verteilung $\operatorname {Poi} (\lambda )$ | $\operatorname {Poi} (\lambda _{1})*\operatorname {Poi} (\lambda _{2})=\operatorname {Poi} (\lambda _{1}+\lambda _{2})$ | Ja, auf $\mathbb {R} _{>0}$ | Ja, durch $\operatorname {Poi} (\lambda /n)$ |
| Geometrische Verteilung $\operatorname {Geom} (p)$ | $\operatorname {Geom} (p)*\operatorname {Geom} (p)=\operatorname {NegBin} (2,p)$ | Nein | Ja, durch $\operatorname {NegBin} (1/n,p)$ |
| Negative Binomialverteilung $\operatorname {NegBin} (r,p)$ | $\operatorname {NegBin} (r,p)*\operatorname {NegBin} (s,p)=\operatorname {NegBin} (r+s,p)$ | Ja, je nach Definition auf $\mathbb {N} ^{+}$ oder auf $\mathbb {R} _{>0}$ | ja, durch $\operatorname {NegBin} (r/n,p)$ |
| Dirac-Verteilung $\delta _{x}$ | $\delta _{x}*\delta _{y}=\delta _{x+y}$ | Auf $\mathbb {R}$ | Ja, durch $\delta _{x/n}$ |
| Absolutstetige Verteilungen ||
| Standardnormalverteilung ${\mathcal {N}}(0,1)$ | ${\mathcal {N}}(0,1)*{\mathcal {N}}(0,1)={\mathcal {N}}(0,2)$ | Nein | Ja, durch ${\mathcal {N}}(0,1/n)$ |
| Normalverteilung ${\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ | ${\mathcal {N}}(\mu _{1},\sigma _{1}^{2})*{\mathcal {N}}(\mu _{2},\sigma _{2}^{2})={\mathcal {N}}(\mu _{1}+\mu _{2},\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2})$ | Auf $\mathbb {R} \times \mathbb {R} _{>0}$ | Ja, durch ${\mathcal {N}}(\mu /n,\sigma ^{2}/n)$ |
| Cauchy-Verteilung $\operatorname {Cau} (a)$ | $\operatorname {Cau} (a)*\operatorname {Cau} (b)=\operatorname {Cau} (a+b)$ | Ja | |
| Exponentialverteilung $\operatorname {Exp} (\lambda )$ | $\operatorname {Exp} (\lambda )*\operatorname {Exp} (\lambda )=\operatorname {Erl} (\lambda ,2)=\Gamma (\lambda ,2)$ | Nein | ja, durch $\Gamma (\lambda ,1/n)$ |
| Erlang-Verteilung $\operatorname {Erl} (\lambda ,m)$ | $\operatorname {Erl} (\lambda ,m_{1})*\operatorname {Erl} (\lambda ,m_{2})=\operatorname {Erl} (\lambda ,m_{1}+m_{2})$ | Ja, auf $\mathbb {N} ^{+}$ | Ja, durch $\Gamma (\lambda ,m/n)$ |
| Gammaverteilung $\Gamma (p,r)$ | $\Gamma (p,r)*\Gamma (p,s)=\Gamma (p,r+s)$ | Ja, auf $\mathbb {R} _{>0}$ | Ja, durch $\Gamma (p,r/n)$ |
| Chi-Quadrat-Verteilung $\chi ^{2}(m)$ | $\chi ^{2}(m_{1})*\chi ^{2}(m_{2})=\chi ^{2}(m_{1}+m_{2})$ | Ja, auf $\mathbb {N} ^{+}$ | |