# Mathematische Beschreibung des Bipolartransistors

Das physikalische Verhalten des Bipolartransistors basiert im Wesentlichen auf dem der Diode, wodurch die entsprechenden Formeln (in einer etwas abgewandelten Form) auch auf den Bipolartransistor angewandt werden können. Zusätzlich gilt es, einige weitere Effekte wie die Stromverstärkung zu berücksichtigen.

## Formelzeichen

Im Folgenden werden die hier verwendeten Formelzeichen verwendet. Für weitere Formelzeichen siehe auch „Ersatzschaltungen des Bipolartransistors“.

### Ströme

| | -Strom | -Dauer- strom | -Spitzen- strom |
| Kollektor- | I$_C$ | $I_{CM}$ | $I_{C,\mathrm {max} }$ |
| Basis- | I$_B$ | $I_{BM}$ | $I_{B,\mathrm {max} }$ |
| Emitter- | I$_E$ | $I_{EM}$ | $I_{E,\mathrm {max} }$ |
* Sättigungssperrstrom: $I_{S}\approx 10^{-16}\dots 10^{-12}\,\mathrm {A}$
* Kollektor-Basis-Sperrstrom: $I_{CBO}$
* Emitter-Basis-Sperrstrom: $I_{EBO}$
* Kollektor-Emitter-Sperrstrom: $I_{CEO}$ bzw. $I_{CES}$

### Spannungen

* Kollektor-Emitter Spannung: $U_{\mathrm {CE} }$
* Basis-Emitter Spannung: $U_{\mathrm {BE} }$
* Kollektor-Basis-Spannung: $U_{\mathrm {CB} }$
* Early-Spannung: $U_{A}$
    $U_{A,\mathrm {pnp} }\approx 30\dots 75\,\mathrm {V}$
    $U_{A,\mathrm {npn} }\approx 30\dots 150\,\mathrm {V}$
* Emitter-Basis Durchbruchsspannung: $U_{(BR)EBO}\approx 5\dots 7\,\mathrm {V}$
* Kollektor-Basis Durchbruchsspannung: $U_{(BR)CBO}$
    $U_{(BR)CBO}\approx 20\dots 80\,\mathrm {V}$ bei Niederspannungstransistoren
    $U_{(BR)CBO}<1{,}3\,\mathrm {kV}$ bei Hochspannungstransistoren

### Widerstände

* Kleinsignalausgangswiderstand: $r_{CE}$
* Kleinsignaleingangswiderstand: $r_{BE}$

### Leistungen

* Verlustleistung: P$_V$
* Maximale Verlustleistung:
    P$_{tot}$ oder P$_{max}$ (allgemein)
    P$_{V,25(A)}$ (Umgebungsluftgekühlt; bei 25 °C)
    P$_{V,25(C)}$ (mit zusätzlicher Kühlung; bei 25 °C)

### Andere

* Großsignalverstärkung: B
    $B\approx 10\dots 100$ bei Leistungstransistoren
    $B\approx 100\dots 500$ bei Kleinleistungstransistoren
    $B\approx 500\dots 10^{4}$ bei Darlington-Transistoren
* Kleinsignalverstärkung: $\beta$
* Steilheit: S
* Rückwärtssteilheit: $S_{r}$
* Arbeitspunkt: AP
* Umgebungstemperatur: T$_A$
* Gehäusetemperatur: T$_C$

## Stromverstärkungsfaktor

Man unterscheidet beim Bipolartransistor den Gleichstromverstärkungsfaktor B (auch $h_{FE}$) und die differentielle Stromverstärkung β (auch $h_{fe}$). Beide können sehr unterschiedlich sein (je nach Aufbau und Dotierung des Transistors). Sollten im Datenblatt keine anderen Angaben zu β zu finden sein, kann man die Näherung $\beta =B$ verwenden.
Die Formel für den Gleichstrom-Verstärkungsfaktor lautet:
    $B=h_{FE}={\frac {I_{\mathrm {C} }}{I_{\mathrm {B} }}}$
Diese Formel kann für die meisten Berechnungen eingesetzt werden, da sich die durch den Early-Effekt verursachte Abhängigkeit des Gleichstromverstärkungsfaktors B von $U_{CE}$ nur geringfügig auswirkt.
Unter Berücksichtigung des Early-Effekts erhält man:
    $B\left(U_{BE},U_{CE}\right)=B_{0}\left(U_{BE}\right)\,\left(1+{\frac {U_{CE}}{U_{A}}}\right)$
wobei $B_{0}$ die ideale Stromverstärkung ohne Early-Effekt darstellt.
Bei Wechselstrom tritt die differenzielle Stromverstärkung auf. Diese ergibt sich aus:
    $\beta ={\frac {\partial I_{\mathrm {C} }}{\partial I_{\mathrm {B} }}}$ mit $U_{\mathrm {CE} }={\text{konst.}}$
Durch Einsetzen erhält man den Zusammenhang zwischen B und β:
    $\beta ={\frac {\partial I_{C}}{\partial \left({\frac {I_{C}}{B\left(I_{C},U_{CE}\right)}}\right)}}={\frac {B}{1-{\frac {I_{C}}{B}}\,{\frac {\partial B}{\partial I_{C}}}}}$
Man bezeichnet B auch als Großsignalverstärkung und $\beta$ als Kleinsignalverstärkung.

## Großsignalgleichungen

Über die Gleichungen der Diode zeigt sich eine exponentielle Abhängigkeit der Ströme $I_{B}$ und $I_{C}$ von der Spannung $U_{BE}$. Für den Normalbetrieb ergibt sich somit:
    $I_{C}=I_{S}\,e^{\frac {U_{BE}}{U_{T}}}\,\left(1+{\frac {U_{CE}}{U_{A}}}\right)$
    $I_{B}={\frac {I_{C}}{B\left(U_{BE},U_{CE}\right)}}={\frac {I_{S}}{B_{0}}}\left(\,e^{\frac {U_{BE}}{U_{T}}}-1\right)$

## Kleinsignalparameter

Die partiellen Ableitungen im Arbeitspunkt werden als Kleinsignalparameter bezeichnet. Diese können aus der Kennlinie ermittelt werden, allerdings ergibt sich aus dem Ablesefehler unter Verwendung von Datenblättern normalerweise kein brauchbares Ergebnis. Zudem sind die entsprechenden Kennlinien meist auch nicht angegeben.

### Steilheit

Die Steilheit beschreibt die differenzielle Änderung des Kollektorstromes $I_{C}$ und der Spannung $U_{BE}$.
    $S={\frac {\partial I_{C}}{\partial U_{BE}}}\forall {AP}={\frac {I_{C,AP}}{U_{T}}}$

### Kleinsignaleingangswiderstand

Der Kleinsignaleingangswiderstand $r_{BE}$ beschreibt die differenzielle Änderung der Spannung $U_{BE}$ und mit dem Basistrom $I_{B}$.
    $r_{BE}={\frac {\partial U_{BE}}{\partial I_{B}}}\forall {AP}$
$r_{BE}$ kann durch eine Umwandlung dieser Formel auch aus der Steilheit abgeleitet werden:
    $r_{BE}={\frac {\partial U_{BE}}{\partial I_{C}}}\forall {AP}\cdot {\frac {\partial I_{C}}{\partial I_{B}}}\forall {AP}=\beta {\frac {\partial U_{BE}}{\partial I_{C}}}\forall {AP}={\frac {\beta }{S}}$

### Kleinsignalausgangswiderstand

Der Kleinsignalausgangswiderstand $r_{CE}$ gibt die differenzielle Änderung zwischen der Emitterspannung $U_{CE}$ und dem Kollektorstrom $I_{C}$ an.
    $r_{CE}={\frac {\partial U_{CE}}{\partial I_{C}}}\forall {AP}={\frac {U_{A}+U_{CE,AP}}{I_{C,AP}}}{\stackrel {\quad U_{CE,AP}\ll U_{A}\quad }{\approx }}{\frac {U_{A}}{I_{C,AP}}}$

### Rückwärtssteilheit

Die Rückwärtssteilheit $S_{r}$ beschreibt die differenzielle Änderung zwischen dem Basisstrom $I_{B}$ und der Kollektor-Emitter-Spannung $U_{CE}$.
    $S_{r}={\frac {\partial I_{B}}{\partial U_{CE}}}\forall {AP}$
Die Rückwärtssteilheit ist nur sehr gering und kann daher meist vernachlässigt werden.
    $S_{r}\approx 0$

## Kleinsignalgleichungen

Aus den Kleinsignalparametern erhält man die Kleinsignalgleichungen:
    $i_{B}={\frac {1}{r_{BE}}}\,u_{BE}+S_{r}\,u_{CE}$
    $i_{C}=S\,u_{BE}+{\frac {1}{r_{CE}}}\,u_{CE}$

## Kühlung

Die Berechnung der Kühlung eines Transistors entspringt der Wärmelehre. Die entstehende Wärme in der Sperrschicht (junction) $T_{J}$ muss über das Substrat an das Gehäuse (case) mit der Temperatur $T_{C}$, danach über den Kühlkörper (heatsink) mit der Temperatur $T_{H}$ und danach an die Umgebung (ambient) mit der Temperatur $T_{A}$ abgeleitet werden. Der dabei entstehende Wärmestrom (Φ) entspricht hierbei der im Transistor umgesetzten Leistung $P_{V}$.
    $P_{V}=U_{CE}\,I_{C}=\Phi ={\frac {T_{J}-T_{A}}{R_{th,JA}}}$
Die in den einzelnen Körpern (Substrat, Gehäuse, Kühlkörper, Umgebung) enthaltene Wärmemenge $Q_{\mathrm {th} }$ ergibt sich aus:
    $Q_{\mathrm {th} }=C_{\mathrm {th} }\,T_{\mathrm {th} }$
Wobei $C_{\mathrm {th} }$ die Wärmekapazität der jeweiligen Körper darstellt, in der die Wärme gespeichert wird. Wird im Transistor zu viel Leistung umgesetzt, kann die Wärme nicht schnell genug abfließen und die Temperatur der einzelnen Schichten erhöht sich. Zudem darf die Umgebungstemperatur nicht zu hoch sein, damit die Wärme abfließen kann. Im Pulsbetrieb wird die maximale Leistung kurzfristig überschritten, da jedoch die Schichten die Möglichkeit zur Abkühlung haben, wird die maximal zulässige Temperatur dabei nicht überschritten.
    $P_{V,\mathrm {max} ,\mathrm {puls} }\left(t_{P},D\right)={\frac {T_{J,\mathrm {max} }-T_{A,\mathrm {max} }}{R_{\mathrm {th} ,JA,\mathrm {puls} }\left(t_{p},D\right)}}$
Hierbei ist $t_{p}$ die Pulsdauer, $f_{w}$ die Wiederholfrequenz und D das Tastverhältnis.
    $\lim _{t_{p}\to 0}{\frac {P_{V,\mathrm {max} ,\mathrm {puls} }}{P_{V,\mathrm {max} ,\mathrm {stat} }}}={\frac {1}{D}}={\frac {1}{t_{p}\,f_{w}}}$

## Grenzdaten

Ein Transistor besitzt verschiedene Kenndaten, die im Betrieb nicht überschritten werden dürfen. Dazu gehören Grenzspannungen, Grenzströme und die maximal zulässige Verlustleistung. Werden diese Werte überschritten, tritt ein Durchbruch auf, bei dem das Halbleitermaterial im Transistor schmilzt und dadurch dauerhaft leitfähig wird bzw. verdampft. Wenn Halbleitermaterial verdampft, kann durch den entstehenden Gasdruck das Transistorgehäuse aufgesprengt werden. Die Werte von pnp- und npn-Transistoren unterscheiden sich im Vorzeichen, jedoch nicht in den Beträgen.
Die Bezeichnung der Durchbruchsspannungen und -ströme setzen sich zusammen aus dem jeweiligen Formelzeichen (Spannung = U; Strom = I), der Bezeichnung BR für Durchbruch (breakdown), der Angabe der Anschlüsse, auf die sich der Wert bezieht (C; B; E), und einem Zusatz, welcher für den Belastungstyp des Transistors steht.
| Zusatz | Bedeutung | Ausgang |
| S | shorted | kurzgeschlossen |
| O | offen; open | unbelastet |
| R | resistor | belastet |

### Arbeitsbereich

Ein Bipolartransistor hat einen Arbeitsbereich (engl.: SOA, Safe Operation Area), der im Wesentlichen durch folgende Größen begrenzt wird:
* maximal zulässiger Kollektorstrom $I_{C,\mathrm {max} }$
* maximale Kollektor-Emitterspannung $U_{CE,O}$ (Leerlauffall), auch als $U_{CE,\mathrm {max} }$ bezeichnet
* maximale Sperrschichttemperatur $\vartheta _{j,\mathrm {max} }$
Da die Sperrschichttemperatur nicht direkt messbar ist, wird in Datenblättern die maximale Verlustleistung $P_{\mathrm {tot,max} }$ bei gegebener Umgebungs- bzw. Gehäusetemperatur angegeben.
Insbesondere bei Leistungstransistoren existiert noch eine weitere Grenze, der Durchbruch 2. Art (engl.: second breakdown oder secondary breakdown). Bei Leistungstransistoren hat das Halbleitermaterial notwendigerweise ein größeres Volumen als z. B. bei Kleinsignaltransistoren. Innerhalb des Halbleitermaterials treten daher vermehrt Inhomogenitäten auf, was dazu führt, dass in einigen Volumenelementen eine höhere Verlustleistung in Wärme umgesetzt wird als in anderen Volumenelementen. Bei hinreichend großer Verlustleistung, die aber noch unterhalb des maximalen Wertes $P_{\mathrm {tot,max} }$ liegt, steigt in einigen Volumenelementen die Temperatur so weit an, dass das Halbleitermaterial in den betroffenen Volumenelementen instabil wird. Bei hinreichend großer Kollektor-Emitterspannung erfolgt in den betroffenen Volumenelementen ein lokaler Durchbruch, wodurch diese zerstört werden. Durch den Ausfall einzelner Volumenelemente steigen die Verlustleistung und damit die Temperatur in allen anderen Volumenelementen an. Es erfolgen weitere lokale Durchbrüche mit Zerstörung der betroffenen Volumenelemente. Der Effekt setzt sich kaskadenartig fort und führt schließlich zur Zerstörung des Halbleitermaterials.

### Spannungen
#### Basis-Emitter-Durchbruchsspannung

    Stellt die maximale Basis-Emitter Sperrspannung $U_{(BR)BEO}$ dar und ist werkstoffabhängig. Die Bipolartransistoren basierend auf Silicium liegt sie im Bereich um 5 V, bei Germanium nahe 20 V.

#### Kollektor-Basis-Durchbruchsspannung

    Die Kollektor-Basis-Durchbruchsspannung $U_{(BR)CBO}$ gibt an, wann die Kollektor-Diode im Sperrbetrieb durchbricht. Da die Kollektor-Diode im Normalbetrieb gesperrt sein muss, darf diese Spannung im Normalbetrieb nicht überschritten werden. Diese Spannung ist die größte Grenzspannung eines Transistors.

#### Kollektor-Emitter-Spannung

    In der Praxis ist die maximale Kollektor-Emitter-Spannung $U_{CE}$ besonders wichtig. Ab einer bestimmten Kollektor-Emitter-Spannung tritt ein Durchbruch auf, durch den der Kollektorstrom sehr stark ansteigt und damit die Zerstörung des Transistors verursacht.
Allgemein gilt:
    $U_{(BR)CEO}<U_{(BR)CER}<U_{(BR)CES}<U_{(BR)CBO}$
für npn-Transistoren (U$_{BR}$ > 0 V) und umgekehrt
    $U_{(BR)CEO}>U_{(BR)CER}>U_{(BR)CES}>U_{(BR)CBO}$
für pnp-Transistoren (U$_{BR}$ < 0 V).

### Ströme

Bei den Grenzströmen unterscheidet man zwischen den maximalen Dauerströmen (continuous currents) und Spitzenströmen (peak currents). Die maximalen Dauerströme werden $I_{B,\mathrm {max} }$, $I_{C,\mathrm {max} }$ und $I_{E,\mathrm {max} }$ genannt. Die Spitzenströme werden $I_{CM}$, $I_{BM}$ und $I_{EM}$ genannt und gelten jeweils für bestimmte, im Datenblatt angegebene, Pulsdauern und Pulswiederholraten. Die Spitzenströme sind üblicherweise 1,2 bis 2 mal so groß wie die Dauerströme.
Die Sperrströme (cut-off currents) werden mit $I_{EBO}$ und $I_{CBO}$ sowie mit $I_{CEO}$ bzw. $I_{CES}$ bezeichnet. Diese Ströme treten an der Emitter- bzw. Kollektor-Diode auf, wenn an dieser etwas weniger als die jeweiligen Diffusionsspannungen anliegen (d. h. die Diode gerade nicht durchschaltet). Hierbei gilt:
    $I_{CES}<I_{CEO}$

### Leistung

Die Verlustleistung des Transistors ergibt sich aus:
    $P_{V}=U_{CE}\,I_{C}+U_{BE}\,I_{B}\approx U_{CE}\,I_{C}$
Die maximale Verlustleistung $P_{\mathrm {tot} }$ bzw. $P_{\mathrm {max} }$ ist eine der wichtigsten Kenndaten eines Transistors. Die Temperatur in der Sperrschicht erhöht sich um den Wert, bei dem die Wärme über das Gehäuse und den Kühlkörper an die Umgebung abgegeben werden kann. Diese Temperatur darf den materialabhängigen Grenzwert nicht überschreiten. Für Silicium gilt hierbei:
    $T_{\mathrm {max,SI} }=175\ \mathrm {^{\circ }C}$
In der Praxis rechnet man hierbei sicherheitshalber mit einem Grenzwert von 150 °C, um ein vorzeitiges Schmelzen des Siliciums zu verhindern.
Im Datenblatt wird die maximale Verlustleistung für zwei Fälle angegeben:
* $P_{V,25(A)}$
    Umgebungsluftgekühlter (free-air cooled) Betrieb bei stehender Montage auf einer Leiterplatte bei einer Umgebungstemperatur (ambient temperature) von $T_{A}=25\ \mathrm {^{\circ }C}$. Bei Kleinleistungstransistoren ohne Befestigung für einen zusätzlichen Kühlkörper wird nur dieser Wert im Datenblatt angegeben, da in diesem Fall $P_{\mathrm {tot} }=P_{V,25(A)}$ gilt.
* $P_{V,25(C)}$
    Betrieb bei einer Gehäusetemperatur (case temperature) von $T_{C}=25\ \mathrm {^{\circ }C}$. Die notwendigen Kühlmaßnahmen werden hierbei meist nicht mit angegeben. Bei Leistungstransistoren, die nur mit einem Kühlkörper betrieben werden dürfen, wird nur dieser Wert im Datenblatt als $P_{\mathrm {tot} }=P_{V,25(C)}$ angeben.
Da die maximal zulässige Leistung $P_{\mathrm {tot} }$ mit zunehmender Temperatur abnimmt, wird im Datenblatt oft die sog. power derating curve angegeben, die $P_{\mathrm {tot} }$ in Abhängigkeit von $T_{A}$ bzw. $T_{C}$ angibt.

### Temperaturabhängigkeit

Die Kenndaten eines Transistors sind stark von der Temperatur des Transistors abhängig. Die Abhängigkeit des Zusammenhangs zwischen Kollektorstrom $I_{C}$ und Basis-Emitter-Spannung $U_{BE}$ von der Temperatur T ist hierbei besonders wichtig:
    $I_{C}\left(U_{BE},T\right)=I_{S}\left(T\right)\,e^{\frac {U_{BE}}{U_{T}\left(T\right)}}\,\left(1+{\frac {U_{CE}}{U_{A}}}\right)$
Der Grund dafür ist die Temperaturabhängigkeit vom Sperrstrom $I_{S}$ und der Temperaturspannung $U_{T}$:
    $U_{T}(T)={\frac {k\,T}{q}}=86{,}142\cdot 10^{-6}\,{\frac {\rm {V}}{\rm {K}}}\,T$
    $I_{S}(T)=I_{S}\left(T_{0}\right)\,e^{\left({\frac {T}{T_{0}}}-1\right)\,{\frac {U_{G}\left(T\right)}{U_{T}\left(T\right)}}}\,{\left({\frac {T}{T_{0}}}\right)}^{x_{T,I}}$ mit $x_{T,I}\approx 3$
Hierbei ist k die Boltzmannkonstante, q die Elementarladung und $U_{G}={\tfrac {1{,}12\,\mathrm {eV} }{q}}=1{,}12\,\mathrm {V}$ die Bandabstandsspannung von Silizium bei 300K. Da die Temperaturabhängigkeit von U$_G$ nur sehr gering ist, wird diese in der Praxis nicht berücksichtigt.
Durch Differentiation erhält man:
    ${\frac {1}{I_{S}}}\,{\frac {\delta I_{S}}{\delta T}}={\frac {1}{T}}\,\left(3+{\frac {U_{G}}{U_{T}}}\right){\begin{matrix}_{T=300\,\mathrm {K} }\\\approx \\\,\end{matrix}}0{,}15\,\mathrm {K} ^{-1}$
    ${\frac {1}{I_{C}}}\,{\frac {\delta I_{C}}{\delta T}}\forall \left(U_{BE}={const.}\right)={\frac {1}{T}}\,\left(3+{\frac {U_{G}-U_{BE}}{U_{T}}}\right){\begin{matrix}_{T=300\,\mathrm {K} }\\_{U_{BE}=0{,}7\,\mathrm {V} }\\\approx \\\,\\\,\end{matrix}}0{,}065\,\mathrm {K} ^{-1}$
Das bedeutet, dass $I_{C}$ bei einer Temperaturerhöhung von nur $1\,\mathrm {K}$ bereits auf das 1,065-fache ansteigt. Zudem verdoppelt sich der Kollektorstrom $I_{C}$, sobald die Temperatur um ca. $15\,\mathrm {K}$ gestiegen ist. Der Arbeitspunkt kann daher nicht über $U_{BE,A}$ eingestellt werden, da $I_{C,A}$ bei Temperaturänderung möglichst konstant gehalten werden muss.
Für den Fall, dass $I_{C,A}$ nur schwach temperaturabhängig ist, kann man näherungsweise die Temperaturabhängigkeit von $U_{BE}$ ermitteln:
    ${\frac {\delta U_{BE}}{\delta T}}\forall \left(I_{C}={const.}\right)={\frac {U_{BE}-U_{G}-3\,U_{T}}{T}}{\begin{matrix}_{T=300\,\mathrm {K} }\\_{U_{BE}=0{,}7\,\mathrm {V} }\\\approx \\\,\\\,\end{matrix}}-1{,}7\cdot 10^{-3}\,{\frac {V}{K}}$
Die Stromverstärkung ist ebenfalls temperaturabhängig. Hierbei gilt der Zusammenhang:
    $B(T)=B\left(T_{0}\right)\,e^{\left({\frac {T}{T_{0}}}-1\right)\,{\frac {\Delta U_{\mathrm {dot} }}{U_{T}\left(T\right)}}}\approx B\left(T_{0}\right)\,{\left({\frac {T}{T_{0}}}\right)}^{x_{T,B}}$ mit $x_{T,B}\approx 1{,}5$
Hierbei ist $U_{\mathrm {dot} }$ eine vom Material abhängige Konstante. Bei Silicium gilt $U_{\mathrm {dot} }\approx 44\,\mathrm {mV}$. In der Praxis ergibt sich bei T=300 K:
    ${\frac {1}{B}}\,{\frac {\delta B}{\delta T}}={\frac {\Delta U_{\mathrm {dot} }}{U_{T}\,T}}\approx 5{,}6\cdot 10^{-3}\,\mathrm {K} ^{-1}$
Und für die Näherung:
    ${\frac {1}{B}}\,{\frac {\delta B}{\delta T}}={\frac {x_{T,B}}{T}}\approx 5\cdot 10^{-3}\,\mathrm {K} ^{-1}$

## Vierpoldarstellung

Gemäß der Vierpoltheorie kann man jedes elektronische Bauelement als Vierpol behandeln. Im Fall des Transistors stellt man die Kleinsignalgleichungen in Matrizenform dar:
    ${\begin{pmatrix}i_{B}\\I_{C}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{r_{BE}}}&S_{r}\\S&{\frac {1}{r_{CE}}}\end{pmatrix}}\,{\begin{pmatrix}u_{BE}\\u_{CE}\end{pmatrix}}$
oder in der Leitwertdarstellung mit der Y-Matrix Y$_e$:
    ${\begin{pmatrix}i_{B}\\I_{C}\end{pmatrix}}=\mathbf {Y} _{e}\,{\begin{pmatrix}u_{BE}\\u_{CE}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}y_{11,e}&y_{12,e}\\y_{21,e}&y_{22,e}\end{pmatrix}}\,{\begin{pmatrix}u_{BE}\\u_{CE}\end{pmatrix}}$
Alternativ kann man auch die Hybrid-Darstellung mit der H-Matrix H$_e$ verwenden:
    ${\begin{pmatrix}u_{BE}\\I_{C}\end{pmatrix}}=\mathbf {H} _{e}\,{\begin{pmatrix}i_{B}\\u_{CE}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}h_{11,e}&h_{12,e}\\h_{21,e}&h_{22,e}\end{pmatrix}}\,{\begin{pmatrix}i_{B}\\u_{CE}\end{pmatrix}}$
Der Index e bedeutet hierbei, dass der Transistor in einer Emitterschaltung betrieben wird.
Für die Umwandlung gilt:
    $r_{BE}=h_{11,e}={\frac {1}{y_{11,e}}}$
    $\beta =h_{21,e}={\frac {y_{21,e}}{y_{11,e}}}$
    $S={\frac {h_{21,e}}{h_{11,e}}}=y_{21,e}$
    $S_{r}=-{\frac {h_{12,e}}{h_{11,e}}}=y_{12,e}$
    $r_{CE}={\frac {h_{11,e}}{h_{11,e}\,h_{22,e}-h_{12,e}\,h_{21,e}}}={\frac {1}{y_{22,e}}}$

### Hybrid-Ersatzschaltbild

Die h-Parameter können wie folgt ermittelt werden:
   * Kurzschluss-Eingangsimpedanz bei $u_{2}=0$, bzw. $r_{BE}$.
       $h_{11,e}={\frac {u_{1}}{i_{1}}}={\operatorname {d} \!U_{1} \over \operatorname {d} \!I_{1}}{\bigg |}_{AP}$
   * Leerlauf-Spannungsrückwirkung bei $i_{1}=0$,
       $h_{12,e}={\frac {u_{1}}{u_{2}}}={\operatorname {d} \!U_{1} \over \operatorname {d} \!U_{2}}{\bigg |}_{AP}$
   * Kurzschluss-Stromverstärkung bei $u_{2}=0$, wird in Datenblättern eher als $h_{FE}$(Forward-Emitter) angegeben.
       $h_{21,e}={\frac {i_{2}}{i_{1}}}={\operatorname {d} \!I_{2} \over \operatorname {d} \!I_{1}}{\bigg |}_{AP}$
   * Leerlauf-Ausgangsleitwert bei $i_{1}=0$.
       $h_{22,e}={\frac {i_{2}}{u_{2}}}={\operatorname {d} \!I_{2} \over \operatorname {d} \!U_{2}}{\bigg |}_{AP}$ Im Vierquadrantenkennlinienfeld können die Werte direkt aus den Diagrammen abgelesen werden.

#### Interpretation mithilfe der Kirchhoff’schen Gleichungen

    $u_{1}=h_{11}\cdot i_{i}+h_{12}\cdot u_{2}$
    $i_{2}=h_{21}\cdot i_{1}+h_{22}\cdot u_{2}$

#### Anwendung Emitterschaltung ohne Gegenkopplung

Der Emitter liegt in diesem Fall satt auf GND, der Kollektorwiderstand kann im Kleinsignal-Ersatzschaltbild auch nach GND gezeichnet werden und muss mit einem eventuell vorhandenen Lastwiderstand parallelgeschaltet werden. Dieser Summenwiderstand wird als $R_{L}$ bezeichnet. An diesem Widerstand liegt die Spannung $u_{2}$ an, somit gilt $u_{2}=-i_{2}\cdot R_{L}$.
Die betriebliche Stromverstärkung kann mit Umformen der oben genannten Gleichungen berechnet werden:
    $v_{I}={\frac {i_{2}}{i_{1}}}={\frac {h_{21}}{1+h_{22}\cdot R_{L}}}$
Die betriebliche Spannungsverstärkung kann ebenfalls aus den oberen Gleichungen errechnet werden:
    $v_{U}={\frac {u_{2}}{u_{1}}}=-{\frac {h_{21}\cdot R_{L}}{(h_{11}\cdot h_{22}-h_{12}\cdot h_{21})\cdot R_{L}+h_{11}}}$
In gewisser Literatur wird noch die Vereinfachung $\Delta h=h_{11}\cdot h_{22}-h_{12}\cdot h_{21}$ getroffen, somit:
    $v_{U}=-{\frac {h_{21}\cdot R_{L}}{\Delta h\cdot R_{L}+h_{11}}}$