# Reeller projektiver Raum

Ein reeller projektiver Raum ist in der Mathematik der projektive Raum eines reellen Vektorraumes, welcher als Punkte sämtliche reelle Ursprungsgeraden (eindimensionale Untervektorräume) von diesem enthält. $\mathbb {R} P^{n}$ notiert dabei den projektiven Raum von $\mathbb {R} ^{n+1}$ und wird $n$-ter reeller projektiver Raum genannt. Ein reeller projektiver Raum ist ein Spezialfall einer Graßmann-Mannigfaltigkeit durch $\mathbb {R} P^{n}=\operatorname {Gr} _{1}(\mathbb {R} ^{n+1})$.

## Konstruktion

Auf dem reellen euklidischen Raum $\mathbb {R} ^{n+1}\setminus \{0\}$ ohne Ursprung ist die Relation $x\sim y$, wenn es einen reellen Skalar $\lambda \in \mathbb {R} \setminus \{0\}$ mit $x=\lambda y$ gibt, eine Äquivalenzrelation. $\mathbb {R} P^{n}$ ist der Faktorraum von $\mathbb {R} ^{n+1}\setminus \{0\}$ unter dieser Äquivalenzrelation. Die Äquivalenzklasse einer Koordinate $(x_{0},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n+1}\setminus \{0\}$ wird als $[x_{0}:\ldots :x_{n}]\in \mathbb {R} P^{n}$ notiert. Dieser Raum ist eine (reelle) Mannigfaltigkeit, was an der alternativen Definition durch die eindimensionalen Untervektorräume von $\mathbb {R} ^{n+1}$, also als Graßmann-Mannigfaltigkeit $\mathbb {R} P^{n}=\operatorname {Gr} _{1}(\mathbb {R} ^{n+1})$, erkennbar ist. Dabei gilt:
    $\dim _{\mathbb {R} }\mathbb {R} P^{n}=n.$
Eine alternative Konstruktion ist die Einschränkung auf die Sphären $S^{n}\subset \mathbb {R} ^{n+1}\setminus \{0\}$ und $S^{0}\subset \mathbb {R} \setminus \{0\}$ bei der Betrachtung dieser Äquivalenzrelation. Dadurch ergibt sich ein Faserbündel:
    $S^{0}\rightarrow S^{n}\rightarrow \mathbb {R} P^{n}.$
Da die Faser $S^{0}\cong \mathbb {Z} _{2}$ diskret ist, ist die Abbildung $S^{n}\rightarrow \mathbb {R} P^{n}$ eine doppelte Überlagerung.

## Niedrigdimensionale Beispiele

* $\mathbb {R} P^{0}$ ist der einpunktige Raum.
* $\mathbb {R} P^{1}$ wird reelle projektive Linie genannt und ist homöomorph zur $1$-Sphäre $S^{1}$. Die zusammen mit der kanonischen Projektion $\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} P^{1}$ erzeugte Abbildung $\mathbb {R} ^{2}\supset S^{1}\rightarrow S^{1}\cong \mathbb {R} P^{1}$ zwischen Sphären ist die reelle Hopf-Faserung $h_{\mathbb {R} }$.
* $\mathbb {R} P^{2}$ wird reelle projektive Ebene genannt. Ihre Immersion in $\mathbb {R} ^{3}$ ist bekannt als Boysche Fläche und es gibt eine Einbettung in $\mathbb {R} ^{4}$. Das Problem von Immersion und Einbettung des reellen projektiven Raumes $\mathbb {R} P^{n}$ ist bereits gut untersucht.
* $\mathbb {R} P^{3}$ ist diffeomorph zur Drehgruppe $\operatorname {SO} (3)$ und besitzt daher eine Gruppenstruktur. Die doppelte Überlagerung $S^{3}\rightarrow \mathbb {R} P^{3}$ ist dabei topologisch zugrundeliegend für die doppelte Überlagerung $\operatorname {Spin} (3)\rightarrow \operatorname {SO} (3)$. (Entsprechend ist $S^{3}$ diffeomorph zur Spingruppe $\operatorname {Spin} (3)$ und besitzt daher ebenfalls eine Gruppenstruktur.)

## Eigenschaften

* Jede stetige Abbildung $\mathbb {R} P^{n}\rightarrow \mathbb {R} P^{n}$ mit $n$ gerade hat einen Fixpunkt (also $\mathbb {R} P^{n}$ die Fixpunkteigenschaft für $n$ gerade). Für $n$ ungerade gilt dies nicht, da dann die Abbildung $\mathbb {R} P^{n}\rightarrow \mathbb {R} P^{n},[x_{0}:x_{1}:....:x_{n-1}:x_{n}]\mapsto [x_{1}:-x_{0}:....:x_{n}:-x_{n-1}]$ keinen Fixpunkt hat.
* Die reelle projektive Ebene $\mathbb {RP} ^{2}$ ist der Moore-Raum $M(\mathbb {Z} _{2},1)$. Ihre $n$-fache Einhängung $\Sigma ^{n}\mathbb {R} P^{2}$ ist daher der Moore-Raum $M(\mathbb {Z} _{2},n+1)$.
* Die kleinste natürliche Zahl $k\in \mathbb {N}$, sodass $\mathbb {R} P^{n}$ mit $n\neq 1,3,7$ eine Einbettung in $\mathbb {R} ^{k-1}$ besitzt, ist genau die topologische Komplexität $\operatorname {TC} (\mathbb {R} P^{n})$ (mit der Konvention $\operatorname {TC} (\{*\})=1$).
* Für $n=1,3,7$ ist $\operatorname {TC} (\mathbb {R} P^{n})=n+1$.

## CW-Struktur

Der reelle projektive Raum $\mathbb {R} P^{n}$ ist ein CW-Komplex. $\mathbb {R} P^{n}$ entsteht aus $\mathbb {R} P^{n-1}$ durch Anklebung einer $n$-Zelle. Da $\mathbb {R} P^{0}$ aus einer $0$-Zelle besteht, hat die CW-Struktur auf $\mathbb {R} P^{n}$ daher eine Zelle in jeder Dimension $k$ von $0\leq k\leq n$.

## Algebraische Topologie
### Homotopie

Die Homotopiegruppen des reellen projektiven Raumes $\mathbb {R} P^{n}$ lassen sich über die lange exakte Sequenz von Homotopiegruppen des Faserbündels $S^{0}\rightarrow S^{n}\rightarrow \mathbb {R} P^{n}$ berechnen und sind gegeben durch:
    $\pi _{k}(\mathbb {R} P^{n})={\begin{cases}0&;k=0\\\mathbb {Z} &;k=1,n=1\\\mathbb {Z} _{2}&;k=1,n>1\\\pi _{k}(S^{n})&;k>1,n>0\end{cases}}.$

### Homologie

Die Homologiegruppen des reellen projektiven Raumes $\mathbb {R} P^{n}$ lassen sich über zelluläre Homologie aus dessen CW-Struktur berechnen und sind gegeben durch:
    $H_{k}(\mathbb {R} P^{n})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &;k=0{\text{ oder }}k=n{\text{ wenn ungerade}}\\\mathbb {Z} _{2}&;k{\text{ ungerade}},0<k<n\\1&;{\text{sonst.}}\end{cases}}.$
Es ist also $H_{n-1}(\mathbb {R} P^{n})\cong \mathbb {Z} _{2}$ für $n$ gerade und $H_{n-1}(\mathbb {R} P^{n})\cong 1$ für $n$ ungerade. Daraus folgt, dass $\mathbb {R} P^{n}$ genau dann orientierbar ist, wenn $n$ ungerade ist.

### Kohomologie

Die Kohomologiegruppen des reellen projektiven Raumes $\mathbb {R} P^{n}$ sind gegeben durch:
    $H^{k}(\mathbb {R} P^{n})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &;k=0{\text{ oder }}k=n{\text{ wenn ungerade}}\\\mathbb {Z} _{2}&;k{\text{ ungerade}},0<k<n\\1&;{\text{sonst.}}\end{cases}}.$
Für den Kohomologiering gilt:
    $H^{*}(\mathbb {R} P^{n};\mathbb {Z} _{2})=\mathbb {Z} _{2}[w_{1}]/(w_{1}^{n+1}),$
wobei $w_{1}$ die erste Stiefel–Whitney-Klasse ist.

## K-Theorie
### Tautologisches Linienbündel

Es gibt ein kanonisches Linienbündel über dem reellen projektiven Raum $\mathbb {R} P^{n}$, da dessen Punkte per Konstruktion aus eindimensionalen Untervektorräumen bestehen, definiert durch:
    $\gamma _{\mathbb {R} }^{1,n}:=\{(x,V)\in \mathbb {R} ^{n+1}\times \mathbb {R} P^{n}|x\in V\}$
    $\pi _{\mathbb {R} }^{1,n}\colon \gamma _{\mathbb {R} }^{1,n}\rightarrow \mathbb {R} P^{n},(x,V)\mapsto V.$
Das ist ein Spezialfall des tautologischen Vektorbündels über Graßmann-Mannigfaltigkeiten.

### Tangentialbündel

Für das Tangentialbündel des reellen projektiven Raumes $\mathbb {R} P^{n}$ gilt:
    $T\mathbb {R} P^{n}\oplus {\underline {\mathbb {R} }}\cong (\gamma _{\mathbb {R} }^{1,n})^{n+1}.$

## Unendlicher reeller projektiver Raum

Die kanonische Inklusion $\mathbb {R} ^{n+1}\hookrightarrow \mathbb {R} ^{n+2},x\mapsto (x,0)$ erzeugt eine wohldefinierte kanonische Inklusion $\mathbb {R} P^{n}\hookrightarrow \mathbb {R} P^{n+1},[x]\mapsto [(x,0)]$. Der direkte Limes dieser Kette an Inklusionen wird als:
    $\mathbb {R} P^{\infty }:=\lim _{n\rightarrow \infty }\mathbb {R} P^{n}$
bezeichnet und unendlicher reeller projektiver Raum genannt.
Das obige Faserbündel $S^{0}\rightarrow S^{n}\rightarrow \mathbb {R} P^{n}$ erzeugt durch direkten Limes ein Faserbündel $S^{0}\rightarrow S^{\infty }\rightarrow \mathbb {R} P^{\infty }$. Da die unendlich-dimensionale Sphäre $S^{\infty }$ zusammenziehbar ist (also alle Homotopiegruppen verschwinden), folgt aus der langen exakten Sequenz von Homotopiegruppen für die des unendlich reellen projektiven Raumes $\mathbb {R} P^{\infty }$:
    $\pi _{k}(\mathbb {R} P^{\infty })\cong \pi _{k-1}(S^{0})={\begin{cases}\mathbb {Z} _{2}&;k=1\\1&;{\text{sonst.}}\end{cases}}.$
Die CW-Struktur überträgt sich ebenfalls durch den direkten Limes, sodass der unendliche reelle projektive Raum $\mathbb {R} P^{\infty }$ eine CW-Struktur mit einer Zelle in jeder Dimension hat.
Das tautologische Linienbündel lässt sich durch den direkten Limes $\gamma _{\mathbb {R} }^{1}:=\lim _{n\rightarrow \infty }\gamma _{\mathbb {R} }^{1,n}$ über die kanonischen Inklusionen $\gamma _{\mathbb {R} }^{1,n}\hookrightarrow \gamma _{\mathbb {R} }^{1,n+1},(x,V)\mapsto ((x,0),V\times \{0\})$ auf $\mathbb {R} P^{\infty }$ fortsetzen und ist ein Spezialfall eines universellen Vektorbündels. Die Namensgebung kommt daher, dass sich jedes reelle Linienbündel als zurückgezogenes Vektorbündel aus diesem erhalten lässt, also für jedes reelle Linienbündel $\pi \colon E\rightarrow B$ mit $B$ parakompakt (bis auf Homotopie) eine klassifizierende Abbildung $f\colon B\rightarrow \mathbb {R} P^{\infty }$ existiert, sodass $\pi =f^{*}\pi _{\mathbb {R} }^{1}$. Es gibt daher eine Isomorphie von Mengen:
    $\operatorname {Vect} _{\mathbb {R} }^{1}(B)\cong [B,\mathbb {R} P^{\infty }].$
Etwa ist der Rückzug des universellen Vektorbündels $\gamma _{\mathbb {R} }^{1}$ entlang der kanonischen Inklusion $\mathbb {R} P^{n}\hookrightarrow \mathbb {R} P^{\infty }$ (also $B=\mathbb {R} P^{n}$) wieder das tautologische Linienbündel $\gamma _{\mathbb {R} }^{1,n}$.
$\mathbb {R} P^{\infty }$ ist $\operatorname {BO} (1)$, der klassifizierende Raum von $\operatorname {O} (1)$, der ersten orthogonalen Gruppe, und dadurch ebenso $K(\mathbb {Z} _{2},1)$, der erste Eilenberg–MacLane-Raum von $\pi _{0}\operatorname {O} (1)\cong \mathbb {Z} _{2}$ wie oben bereits gezeigt. Das bedeutet, dass $\mathbb {R} P^{\infty }$ die erste singuläre Kohomologie mit Koeffizienten in $\mathbb {Z} _{2}$ darstellt (vergleiche mit dem Brownschen Darstellungssatz), also für topologische Räume $B$ mit dem Homotopietyp eines CW-Komplexes (also insbesondere parakompakt) sogar spezieller gilt:
    $\operatorname {Vect} _{\mathbb {R} }^{1}(B)\cong [B,\mathbb {R} P^{\infty }]\cong H^{1}(B;\mathbb {Z} _{2}).$
Dabei ist der Isomorphismus (Homomorphismus, falls $B$ nicht vom Homotopietyp eines CW-Komplexes ist) durch die erste Stiefel–Whitney-Klasse $w_{1}\colon \operatorname {Vect} _{\mathbb {R} }^{1}(B)\rightarrow H^{1}(B;\mathbb {Z} _{2})$ gegeben.
Der Kohomologiering des unendlich reellen projektiven Raumes $\mathbb {R} P^{\infty }$ mit Koeffizienten in $\mathbb {Z} _{2}$ ist gegeben durch:
    $H^{*}(\mathbb {R} P^{\infty };\mathbb {Z} _{2})=\mathbb {Z} _{2}[w_{1}],$
wobei $w_{1}$ die erste Stiefel–Whitney-Klasse ist. Das folgt direkt aus dem allgemeineren Resultat für den klassifizierenden Raum von $\operatorname {O} (n)$:
    $H^{*}(\operatorname {BO} (n);\mathbb {Z} _{2})=\mathbb {Z} _{2}[w_{1},\ldots ,w_{n}].$