# Lemniskatische Konstante

Die lemniskatische Konstante ist eine 1798 von Carl Friedrich Gauß eingeführte mathematische Konstante. Sie ist definiert als der Wert des elliptischen Integrals
    $\varpi =2\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}$ = 2,62205 75542 92119 81046 48395 89891 11941 36827 54951 43162 … (Folge A062539 in OEIS)
und tritt bei der Berechnung der Bogenlänge der gesamten Lemniskate von Bernoulli auf. Derzeit (Stand: 18. Juli 2022) sind 1.200.000.000.100 Nachkommastellen der lemniskatischen Konstante bekannt. Sie wurden von Seungmin Kim berechnet.

## Bezeichnung

Gauß wählte für die lemniskatische Konstante bewusst die griechische Minuskel $\varpi$ (gesprochen: Skript-Pi oder Varpi), eine alternative Schreibweise von $\pi$, um an die Analogie zum Kreis mit seinem halben Umfang
    $\pi =2\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{2}}}}$
zu erinnern. Den Ursprung dieser Bezeichnung bei Gauß klärte vermutlich zuerst Ludwig Schlesinger auf: Zunächst verwendete Gauß zur Bezeichnung der lemniskatischen Periode das Zeichen $\Pi$, und ab Juli 1798 verwendete er für diese Größe konsequent ${\tfrac {\varpi }{2}}$.
Im Englischen findet sich für die Minuskel $\varpi$ auch die (irreführende) Bezeichnung pomega, ein Kofferwort aus den Buchstabennamen für π und ω.
Im englischen Sprachraum wird
    $G=\varpi /\pi$ = 0,83462 68416 74073 18628 14297 32799 04680 89939 93013 49034 … (Folge A014549 in OEIS)
als Gaußkonstante bezeichnet.

## Herleitung der Integraldefinition

Folgende kartesische Koordinatengleichung ist für die Lemniskate von Bernoulli mit der Brennweite f gültig:
    $(x^{2}+y^{2})^{2}=2f^{2}(x^{2}-y^{2})$
Daraus resultiert nachfolgende Parametergleichung für die Lemniskate mit dieser Brennweite:
    $x(t)={\frac {{\sqrt {2}}f\sin(t)}{\cos(t)^{2}+1}}\quad \cap \quad y(t)={\frac {{\sqrt {2}}f\sin(t)\cos(t)}{\cos(t)^{2}+1}}\quad {\text{ mit }}\ 0\leq t<2\pi$
Für das gegebene Intervall von t wird die gesamte Kurve der Lemniskate genau einmal parametrisiert. Der Umfang wird durch Integration von denselben Grenzen für t von der Pythagoräischen Summe der ersten Ableitungen bezüglich t berechnet:
    ${\begin{aligned}U&=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {{\biggl{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x(t){\biggr )}^{2}+{\biggl{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}y(t){\biggr )}^{2}}}\ \mathrm {d} t\\&=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {{\biggl{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\cdot {\frac {{\sqrt {2}}f\sin(t)}{\cos(t)^{2}+1}}{\biggr )}^{2}+{\biggl{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\cdot {\frac {{\sqrt {2}}f\sin(t)\cos(t)}{\cos(t)^{2}+1}}{\biggr )}^{2}}}\ \mathrm {d} t\\&=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {{\biggl{\frac {{\sqrt {2}}f\cos(t)[3-\cos(t)^{2}]}{[\cos(t)^{2}+1]^{2}}}{\biggr )}^{2}+{\biggl{\frac {{\sqrt {2}}f[3\cos(t)^{2}-1]}{[\cos(t)^{2}+1]^{2}}}{\biggr )}^{2}}}\ \mathrm {d} t\\&=\int _{0}^{2\pi }{\frac {{\sqrt {2}}f}{\sqrt {\cos(t)^{2}+1}}}\ \mathrm {d} t=4\int _{0}^{\pi /2}{\frac {{\sqrt {2}}f}{\sqrt {\cos(t)^{2}+1}}}\ \mathrm {d} t=4\int _{0}^{\pi /2}{\frac {{\sqrt {2}}f}{\sqrt {\sin(t)^{2}+1}}}\ \mathrm {d} t\\&=4\int _{0}^{1}{\biggl{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arcsin(x){\biggr ]}{\frac {{\sqrt {2}}f}{\sqrt {1+x^{2}}}}\ \mathrm {d} x=4\int _{0}^{1}{\frac {{\sqrt {2}}f}{\sqrt {1-x^{4}}}}\ \mathrm {d} x\end{aligned}}$
Der maximale Durchmesser der Lemniskate von Bernoulli beträgt $2{\sqrt {2}}f$ und die lemniskatische Konstante ist als Quotient des Vollumfangs dividiert durch den maximalen Durchmesser definiert:
    $\varpi ={\frac {U}{2{\sqrt {2}}f}}=2\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}\,\mathrm {d} x$

## Eigenschaften
### Eulersche Betafunktion

Mit der Eulerschen Betafunktion $\mathrm {B}$ und der Gammafunktion $\Gamma$ gilt
    $\varpi ={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2}}\,\mathrm {B} ({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{4}})={\tfrac {1}{2}}\,\mathrm {B} ({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}})=\Gamma ({\tfrac {1}{4}})^{2}/{\bigl2{\sqrt {2\pi }}{\bigr )}.$
Deswegen gilt auch das Folgende:
    $\int _{0}^{\infty }e^{-x^{4}}\mathrm {d} x={\frac {{\sqrt[{4}]{\pi }}\cdot {\sqrt {\varpi }}}{2\cdot {\sqrt[{4}]{2}}}}$

### Dirichletsche Betafunktion

Ebenso kann die lemniskatische Konstante mit der Ableitung der Dirichletschen Betafunktion auf folgende zwei Weisen dargestellt werden:
    $\varpi =\pi ^{1/2}\exp {\bigl\beta '(0){\bigr ]}$
    $\varpi =2^{-1/2}\pi \exp \left[{\frac {1}{2}}\,\gamma -{\frac {2}{\pi }}\beta '(1)\right]$
Das Kürzel $\gamma$ drückt hierbei die Euler-Mascheroni-Konstante aus.
Dabei gilt nach der Abel-Plana-Formeldefinition für die Dirichletsche Betafunktion:
    $\beta (x)={\frac {1}{2}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin[x\arctan(y)]}{2\,(y^{2}+1)^{x/2}}}\operatorname {csch} {\bigl{\frac {\pi }{2}}\,y{\bigr )}\,\mathrm {d} y$
Und somit gilt für die Ableitung der Dirichletschen Betafunktion:
    $\beta '(x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan(y)\cos[x\arctan(y)]-\ln(y^{2}+1)\sin[x\arctan(y)]}{4\,(y^{2}+1)^{x/2}}}\operatorname {csch} {\bigl{\frac {\pi }{2}}\,y{\bigr )}\,\mathrm {d} y$

### Unendliche Summen

Gauß fand die Beziehung
    $\varpi =\pi /\operatorname {agm} (1;{\sqrt {2}})$
mit dem arithmetisch-geometrischen Mittel agm und gab auch eine schnell konvergierende Reihe
    $\varpi ={\frac {\pi }{\sqrt {2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {2k}{k}}^{\!2}{\frac {1}{2^{5k}}}$
mit Summanden der Größenordnung ${\frac {1}{k2^{k}}}$ an.
Außerdem erkannte Carl Friedrich Gauß folgenden Zusammenhang:
    $\varpi =4\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{2}})+2\operatorname {arcsl} ({\tfrac {7}{23}})$
    $\varpi =\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {2k}{k}}{\frac {1}{4^{k}(4k+1)}}{\biggl4\left({\frac {1}{2}}\right)^{4k+1}+2\left({\frac {7}{23}}\right)^{4k+1}{\biggr ]}$
Dabei wird mit $\operatorname {arcsl}$ der Lemniskatische Arkussinus ausgedrückt.
Weitere Arcussinus-Lemniscatus-Summen von diesem Schema können so erzeugt werden:
    $\varpi =4\operatorname {arcsl} (a)+2\operatorname {arcsl} \{\tan[{\tfrac {1}{4}}\pi -2\arctan(a^{2})]\}$ mit $0\leq a\leq 1$
Die Auswertung
    $\varpi =2\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {2k}{k}}{\frac {1}{(4k+1)2^{2k}}}$
des elliptischen Integrals ergibt eine ähnliche Reihe, die jedoch sehr viel langsamer konvergiert, da die Glieder von der Größenordnung ${\frac {1}{k^{3/2}}}$ sind. Sehr schnell konvergiert die Reihe in
    $\varpi =\pi {\biggl\sum _{k=-\infty }^{\infty }(-1)^{k}\,e^{-\pi k^{2}}{\biggr ]}^{2}={\frac {\pi }{\sqrt {2}}}{\biggl\sum _{k=-\infty }^{\infty }\,e^{-\pi k^{2}}{\biggr ]}^{2}$
mit Summanden der Größenordnung $e^{-\pi k^{2}}$.
Auch sehr schnell konvergiert folgende Reihe:
    $\varpi ={\frac {\pi }{\sqrt {2}}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} (\pi k)$
Niels Nielsen stellte 1906 mit Hilfe der Kummerschen Reihe der Gammafunktion einen Zusammenhang mit der Eulerschen Konstante $\gamma$ her:
    $\log \varpi ={\tfrac {1}{2}}\gamma -{\tfrac {1}{2}}\log 2+\log \pi +{\frac {2}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\log(2k+1)}{2k+1}}$
Theodor Schneider bewies 1937 die Transzendenz von $\varpi$. Gregory Chudnovsky zeigte 1975, dass $\Gamma (1/4)$ und somit auch $\varpi$ algebraisch unabhängig von $\pi$ ist.

### Unendliche Produkte

Analog zum Wallisschen Produkt lassen sich für die lemniskatische Konstante folgende Produktreihen entwickeln:
    $\varpi =2\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k+3)(4k+4)}{(4k+2)(4k+5)}}={\sqrt {2}}\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k+2)(4k+4)}{(4k+1)(4k+5)}}$
Folgende Produktreihen konvergieren sehr schnell:
    $\varpi =\pi \prod _{k=1}^{\infty }\tanh(\pi k/2)^{2}={\frac {\pi }{\sqrt[{4}]{2}}}\prod _{k=1}^{\infty }\tanh(\pi k)^{2}$

## Elliptische Integrale
### Vollständige elliptische Integrale K und E

Mit dem vollständigen elliptischen Integral erster Art lässt sich die lemniskatische Konstante auf verschiedene Weise darstellen:
    $\varpi ={\sqrt {2}}K\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)=4({\sqrt {2}}-1)K[({\sqrt {2}}-1)^{2}]={\sqrt[{4}]{27}}({\sqrt {3}}-1)K\left[{\frac {1}{2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {2}}-{\sqrt[{4}]{3}})\right]=$
    $=8({\sqrt {2}}+1)^{2}({\sqrt[{4}]{2}}-1)^{2}K[({\sqrt {2}}+1)^{2}({\sqrt[{4}]{2}}-1)^{4}]=5{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-2)K\left[{\frac {1}{\sqrt {2}}}({\sqrt {5}}-2)(3-2{\sqrt[{4}]{5}})\right]$
Die lemniskatische Konstante kann auch ausschließlich mit Ellipsenumfängen und somit mit elliptischen Integralen zweiter Art dargestellt werden:
    $\varpi =(2+{\sqrt {2}})E[({\sqrt {2}}-1)^{2}]-2E\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)=$
    $={\frac {3}{2}}(2{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}-{\sqrt[{4}]{27}}-{\sqrt[{4}]{3}})E\left[{\frac {1}{2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {2}}-{\sqrt[{4}]{3}})\right]-{\frac {1}{2}}(3{\sqrt[{4}]{3}}+{\sqrt[{4}]{27}}-3{\sqrt {2}})E\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)$
Dabei ist E(k) das Verhältnis des Viertelumfangs zur längeren Halbachse bei derjenigen Ellipse, bei welcher die numerische Exzentrizität den Wert k annimmt.

### Liste bestimmter elliptischer Integrale erster Art

Folgende weitere Integrale involvieren die lemniskatische Konstante:
    $\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {x^{4}+1}}}\,\mathrm {d} x={\frac {\varpi }{2{\sqrt {2}}}}$
    $\int _{0}^{1}{\frac {1}{(1-x^{4})^{3/4}}}\,\mathrm {d} x={\frac {\varpi }{\sqrt {2}}}$
    $\int _{0}^{1}{\frac {1}{(1-x^{2})^{3/4}}}\,\mathrm {d} x=\varpi$
    $\int _{0}^{\infty }{\sqrt {\operatorname {sech} (x)}}\,\mathrm {d} x=\varpi$
    $\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {\operatorname {sec} (x)}}\,\mathrm {d} x=\varpi$

### Herleitung der elliptischen Integrale zweiter Art

Nach der Kettenregel gelten folgende vier Ableitungen:
    ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\biggl\int _{0}^{1}{\frac {x}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\,\mathrm {d} y{\biggr )}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}$
    ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\biggl\int _{0}^{1}{\frac {x^{3}y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\mathrm {d} y{\biggr )}={\frac {x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}$
    ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\biggl \{\frac {y^{2}+1}{2y^{2}}}{\biggl{\text{artanh}}{\bigly^{2}{\bigr )}-{\text{artanh}}{\biggl{\frac {{\sqrt {1-x^{4}}}\,y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}{\biggr )}{\biggr ]}{\biggr \}}={\frac {x^{3}(y^{2}+1)}{\sqrt {(1-x^{4})(1-x^{4}y^{4})}}}$
    ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}{\biggl\arctan(y)-{\frac {1-y^{2}}{2y}}{\text{artanh}}(y^{2}){\biggr ]}={\frac {y^{2}+1}{2y^{2}}}\operatorname {artanh} (y^{2})$
Im Folgenden werden zwei Gleichungsketten synthetisiert und danach gleichgesetzt:
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung wird auf folgende Weise angewendet:
    $\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\biggl\int _{0}^{1}{\frac {x}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\mathrm {d} y\int _{0}^{1}{\frac {x^{3}y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\mathrm {d} y{\biggr )}\mathrm {d} x=$
    $={\biggl\int _{0}^{1}{\frac {x}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\mathrm {d} y\int _{0}^{1}{\frac {x^{3}y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\mathrm {d} y{\biggr ]}_{x=0}^{x=1}=$
    $=\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-y^{4}}}}\mathrm {d} y\int _{0}^{1}{\frac {y^{2}}{\sqrt {1-y^{4}}}}\mathrm {d} y={\frac {\varpi }{2}}\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}\mathrm {d} x$
Das Produkt folgender zwei Integrale lässt sich dann mit der Produktregel und dem Satz von Fubini auf folgende Weise umformen:
    $\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\biggl\int _{0}^{1}{\frac {x}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\mathrm {d} y\int _{0}^{1}{\frac {x^{3}y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\mathrm {d} y{\biggr )}\mathrm {d} x=$
    $=\int _{0}^{1}{\biggl{\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}\int _{0}^{1}{\frac {x^{3}y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\mathrm {d} y+{\frac {x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}\int _{0}^{1}{\frac {x}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\mathrm {d} y{\biggr )}\mathrm {d} x=$
    $=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x^{3}(y^{2}+1)}{\sqrt {(1-x^{4})(1-x^{4}y^{4})}}}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x^{3}(y^{2}+1)}{\sqrt {(1-x^{4})(1-x^{4}y^{4})}}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=$
    $=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\biggl \{\frac {y^{2}+1}{2y^{2}}}{\biggl{\text{artanh}}{\bigly^{2}{\bigr )}-{\text{artanh}}{\biggl{\frac {{\sqrt {1-x^{4}}}\,y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}{\biggr )}{\biggr ]}{\biggr \}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=$
    $=\int _{0}^{1}{\frac {y^{2}+1}{2y^{2}}}\operatorname {artanh} (y^{2})\,\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}{\biggl\arctan(y)-{\frac {1-y^{2}}{2y}}{\text{artanh}}(y^{2}){\biggr ]}\mathrm {d} y=$
    $={\biggl\arctan(y)-{\frac {1-y^{2}}{2y}}{\text{artanh}}(y^{2}){\biggr ]}_{y=0}^{y=1}=\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}$
Denn nach der Regel von de L’Hospital gilt:
    $\lim _{y\rightarrow 0}{\frac {1-y^{2}}{2y}}{\text{artanh}}(y^{2})=0$
    $\lim _{y\rightarrow 1}{\frac {1-y^{2}}{2y}}{\text{artanh}}(y^{2})=0$
Durch Gleichsetzung der beiden aufgestellten Gleichungsketten folgt:
    ${\frac {\varpi }{2}}\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}\mathrm {d} x={\frac {\pi }{4}}$
    $\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2\varpi }}$

### Liste bestimmter elliptischer Integrale zweiter Art

Aus dem soeben gezeigten Endresultat lassen sich folgende Integrale herleiten:
    $\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {x^{4}+1}}{(x^{2}+1)^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{4{\sqrt {2}}}}\left(\varpi +{\frac {\pi }{\varpi }}\right)$
    $\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}}{(x^{4}+1)^{3/2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi }{4{\sqrt {2}}\,\varpi }}$
    $\int _{0}^{1}{\frac {1}{(1-x^{2})^{1/4}}}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi }{\varpi }}$
    $\int _{0}^{\infty }{\sqrt {\operatorname {sech} (x)^{3}}}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi }{\varpi }}$

### Weitere bestimmte elliptische Integrale

Diese beiden elliptischen Integrale dritter Art sind zueinander identisch:
    $\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2}}{(x^{2}+1){\sqrt {x^{4}+1}}}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{(x^{2}+1){\sqrt {x^{4}+1}}}}\,\mathrm {d} x$
In der Stammfunktion von der ersten Funktion bewirkt die Substitution von x durch die Kehrwertfunktion 1/x und die anschließende Negativsetzung die Bildung der Stammfunktion von der zweiten Funktion. Außerdem gilt folgende Aufsummierung:
    $\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2}}{(x^{2}+1){\sqrt {x^{4}+1}}}}\,\mathrm {d} x+\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{(x^{2}+1){\sqrt {x^{4}+1}}}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {x^{4}+1}}}\,\mathrm {d} x={\frac {\varpi }{\sqrt {2}}}$
Daraus folgt:
    $\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2}}{(x^{2}+1){\sqrt {x^{4}+1}}}}\,\mathrm {d} x={\frac {\varpi }{2{\sqrt {2}}}}$
    $\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{(x^{2}+1){\sqrt {x^{4}+1}}}}\,\mathrm {d} x={\frac {\varpi }{2{\sqrt {2}}}}$
Wie bereits oben erwähnt ist diese Integralformel gültig:
    $\Gamma ({\frac {5}{4}})=\int _{0}^{\infty }\exp(-x^{4})\,\mathrm {d} x=2^{-5/4}\pi ^{1/4}\varpi ^{1/2}$
Basierend auf dem Eulerschen Ergänzungssatz über die Gammafunktion hat folgendes Integralprodukt den nachfolgenden Wert:
    ${\biggl\int _{0}^{\infty }\exp(-x^{4})\,\mathrm {d} x{\biggr ]}{\biggl\int _{0}^{\infty }x^{2}\exp(-x^{4})\,\mathrm {d} x{\biggr ]}={\frac {\pi }{8{\sqrt {2}}}}$
Im Zusammenhang mit der Gammafunktion gilt somit jenes Integral:
    ${\frac {1}{4}}\Gamma ({\frac {3}{4}})=\int _{0}^{\infty }x^{2}\exp(-x^{4})\,\mathrm {d} x=2^{-9/4}\pi ^{3/4}\varpi ^{-1/2}$

### Ellipsenumfang

Bei einer Ellipse, in welcher sich die größere Halbachse zur kleineren Halbachse in der Quadratwurzel aus Zwei verhält, nimmt das Verhältnis des Ellipsenumfangs zur kleineren Halbachse den Wert 2ϖ + 2π/ϖ an. Diese Tatsache wird im nun Folgenden bewiesen:
    $U/b=4{\sqrt {2}}E{\bigl{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\bigr )}=4\int _{0}^{1}{\sqrt {{\bigl{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\sqrt {2-2x^{2}}}{\bigr )}^{2}+1}}\,\mathrm {d} x=4\int _{0}^{1}{\sqrt {{\frac {2x^{2}}{1-x^{2}}}+1}}\,\mathrm {d} x=4\int _{0}^{1}{\frac {1+x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}\mathrm {d} x=$
    $=4\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}\mathrm {d} x+4\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}\mathrm {d} x=2\varpi +{\frac {2\pi }{\varpi }}$
Somit gilt für diese Ellipse:
    $U=({\sqrt {2}}\varpi +{\sqrt {2}}\pi \varpi ^{-1})a=(2\varpi +2\pi \varpi ^{-1})b$
In dieser Tabelle werden mehrere Ellipsen mit ihren Umfangsverhältnissen aufgelistet:
| Kleinere Halbachse/Größere Halbachse | Umfang/Größere Halbachse |
| ${\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}$ | ${\sqrt {2}}\varpi +{\sqrt {2}}\pi \varpi ^{-1}$ |
| $2{\sqrt[{4}]{2}}({\sqrt {2}}-1)$ | $2\varpi +2({\sqrt {2}}-1)\pi \varpi ^{-1}$ |
| $2^{13/8}({\sqrt {2}}+1)^{5/2}({\sqrt[{4}]{2}}-1)^{2}$ | $2({\sqrt {2}}+1)^{2}({\sqrt[{4}]{2}}-1)\varpi +2({\sqrt {2}}+1)^{2}({\sqrt[{4}]{2}}-1)^{2}\pi \varpi ^{-1}$ |