# Einsetzungshomomorphismus

Im mathematischen Teilgebiet der Ringtheorie bezeichnet der Einsetzungshomomorphismus (auch Substitutions- oder Auswertungshomomorphismus) die eindeutige Fortsetzung eines Ringhomomorphismus zwischen zwei kommutativen Ringen mit Eins zu einem Homomorphismus des zum Definitionsbereich gehörigen Polynomrings in einer oder mehreren Veränderlichen.

## Definition

Es sei $\varphi \colon A\to B$ ein Homomorphismus von kommutativen Ringen mit Eins. Des Weiteren bezeichne $A[X]$ den zu $A$ gehörigen Polynomring in einer Veränderlichen.
Zu jedem $b\in B$ lässt sich nun eine Abbildung $\varphi _{b}\colon A[X]\to B$ definieren, welche ein Polynom
    $f=\sum _{i\geq 0}a_{i}X^{i}$
abbildet auf
    $\varphi _{b}(f):=\sum _{i\geq 0}\varphi (a_{i})b^{i}$.
Man bezeichnet den so definierten Homomorphismus als Einsetzungshomomorphismus.

## Eigenschaften

Im Einzelnen gilt $\varphi _{b}(a)=\varphi (a)$ für alle $a\in A$, es setzt also $\varphi _{b}$ den Homomorphismus $\varphi$ auf den Polynomring $A[X]$ fort, wenn man konstante Polynome mit ihrem aus $A$ stammenden Koeffizienten identifiziert. Des Weiteren gilt $\varphi _{b}(X)=b$, was den Namen Einsetzungshomomorphismus motiviert: Man setzt das konkrete Ringelement $b\in B$ für die durch $X\in A[X]$ symbolisierte Veränderliche ein.
Dass der so definierte Homomorphismus unter den gegebenen Voraussetzungen immer existiert und zudem eindeutig bestimmt ist, besagt gerade der Satz über den Einsetzungshomomorphismus.

## Verallgemeinerung auf Polynomringe in mehreren Veränderlichen
### Polynomringe in endlich vielen Veränderlichen

Ist $A$ ein kommutativer Ring mit Eins so lassen sich induktiv Polynomringe in endlich vielen Veränderlichen definieren: Ausgehend vom Polynomring $A[X_{1}]$ entsteht so anfangs $A[X_{1},X_{2}]:=A[X_{1}][X_{2}]$, indem man nun Polynome mit Koeffizienten aus $A[X_{1}]$ zulässt. Die weiteren Schritte erfolgen analog.
Ist nun $\varphi \colon A\to B$ ein Homomorphismus von kommutativen Ringen mit Eins und $A[X_{1},\dots ,X_{n}]$ der zu $A$ gehörigen Polynomring in $n$ Veränderlichen, so lässt sich zu jedem $n$-Tupel $(b_{1},\dots ,b_{n})$ in $B$ eine Abbildung $\varphi _{(b_{1},\dots ,b_{n})}\colon A[X_{1},\dots ,X_{n}]\to B$ definieren, die ein Polynom
    $f=\sum _{i_{1},i_{2},\dots ,i_{n}\geq 0}a_{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}X_{1}^{i_{1}}X_{2}^{i_{2}}\dots X_{n}^{i_{n}}$
abbildet auf
    $\varphi _{(b_{1},\dots ,b_{n})}(f):=\sum _{i\geq 0}\varphi (a_{i_{1}i_{2}\dots i_{n}})b_{1}^{i_{1}}b_{2}^{i_{2}}\dots b_{n}^{i_{n}}$.

### Polynomringe in unendlich vielen Veränderlichen

Für einen kommutativen Ring mit Eins $A$ lassen sich Polynome in unendlich vielen Veränderlichen auffassen als Abbildungen
    $f\colon \mathbb {N} ^{I}\to A$,
wobei $I$ eine beliebige Indexmenge sei und $\mathbb {N} ^{(I)}$ die Menge aller Abbildungen von $I$ nach $\mathbb {N}$ mit endlicher Trägermenge. Man bezeichnet den Ring der Polynome über $A$ in unendlich vielen Veränderlichen mit $A[(X_{i})_{i\in I}]$.
Für einen Homomorphismus $\varphi \colon A\to B$ zwischen kommutativen Ringen mit Eins lässt sich zu jeder Familie $\beta :=(b_{i})_{i\in I}$ in $B$ eine Abbildung $\varphi _{\beta }\colon A[(X_{i})_{i\in I}]\to B$ definieren, welche ein Polynom $f\in A[(X_{i})_{i\in I}]$ abbildet auf
    $\varphi _{\beta }(f):=\sum _{\alpha }\varphi \left(f(\alpha )\right)b_{\alpha }$,
wobei $\alpha :=(a_{i})_{i\in I}\in \mathbb {N} ^{(I)}$ und $b_{\alpha }:=\prod _{i\in I}b_{i}^{(a_{i})}$.
Dieser Fall beinhaltet die Fälle für Polynome in einer bzw. endlich vielen Veränderlichen. Man betrachtet hierzu eine einelementige bzw. eine endliche Indexmenge $I$.

## Punktauswertung als Spezialfall

Existiert ein injektiver Ringhomomorphismus $\iota \colon A\to B$, ist also $B$ eine Ringerweiterung von $A$, so nennt man für ein $b\in B$ in diesem Spezialfall den zu $\iota$ gehörigen Einsetzungshomomorphismus auch Punktauswertung $\iota _{b}$. Man schreibt in diesem Fall häufig $f(b):=\iota _{b}(f)$ für den Wert von $f$ an der Stelle $b$.
Man bezeichnet das Bild $\iota _{b}(A)$ oft mit $A[b]$. Das Bild ist der kleinste Unterring von $B$, welcher sowohl das Bild $\iota (A)\cong A$ als auch $b$ enthält. Er besteht aus allen polynomialen Ausdrücken der Form $a_{0}+a_{1}b+\cdots +a_{n}b^{n}$.
Existiert für ein $f\in A[X]$ ein $a\in A$, sodass $\iota _{a}(f)=0$ gilt, so bezeichnet man $a$ als Nullstelle von $f$. Von besonderer Bedeutung für die Theorie algebraischer Gleichungen ist der Kern der Abbildung $\iota _{b}$ für ein Element $b$ aus $B$, welches nicht notwendigerweise in $A$ liegt. Ist $\iota _{b}$ injektiv, gilt also $\iota _{b}(f)=0$ genau dann, wenn $f$ das Nullpolynom ist, so bezeichnet man $b$ auch als transzendent über $A$ und es ist $A[X]$ isomorph zu $A[b]$. Andernfalls nennt man $b$ algebraisch über $A$, was gleichbedeutend damit ist, dass $b$ als Nullstelle eines Polynoms ungleich dem Nullpolynom mit Koeffizienten aus $A$ auftritt.
Wie im Falle des Existenz- und Eindeutigkeitssatzes existieren auch für die Punktauswertung und alle damit zusammenhängenden Begriffe direkte Verallgemeinerungen auf Polynomringe in mehreren Veränderlichen.

## Beispiele

Ist $I$ ein Ideal in einem Ring $A$ (kommutativ und mit Einselement), so induziert der Homomorphismus $\varphi \colon A\to A/I\hookrightarrow (A/I)[X]$, welcher sich aus der Projektion auf den Faktorring $A/I$ und der Einbettung in den zugehörigen Polynomring $(A/I)[X]$ zusammensetzt, einen Ringhomomorphismus $\varphi _{X}\colon A[X]\to (A/I)[X]$. Die Koeffizienten eines Polynoms $f\in A[X]$ werden also modulo $I$ reduziert. Hierbei wird das Monom $X\in A[X]$ durch das entsprechende Monom $(1+I)X$ aus $(A/I)[X]$ substituiert.