# Spinorbündel

Ein Spinorbündel – auch Spinbündel genannt – ist ein mathematisches Objekt aus der Differentialgeometrie beziehungsweise der globalen Analysis. Es ist eine spezielle Art eines Vektorbündels über einer Mannigfaltigkeit. Spinorbündel können nur für Spin-Mannigfaltigkeiten definiert werden. Dies sind spezielle riemannsche Mannigfaltigkeiten mit einer Spinstruktur auf dem Tangentialbündel. Ob ein Tangentialbündel mit einer Spinstruktur ausgestattet werden kann, kann durch die zweite Stiefel-Whitney-Klasse gemessen werden.
Der Raum der glatten Schnitte eines Spinorbündels wird auch als Raum der Spinoren oder Spinorfelder bezeichnet und dient als eine natürliche Definitionsmenge für den Dirac-Operator.
Das mathematische Teilgebiet, das sich mit Spinorbündeln und Spin-Mannigfaltigkeiten sowie mit verwandten Themen, wie zum Beispiel Dirac-Operatoren und deren Indextheorie beschäftigt, wird als Spin-Geometrie bezeichnet.

## Spinstruktur

Sei $(M,g)$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit und $\pi _{E}\colon E\to M$ ein orientiertes hermitesches Vektorbündel der Dimension $n$. Mit $\operatorname {Spin} (n)$ wird die Spin-Gruppe von $C\ell _{n}$ bezeichnet. Sie kann als eine zweiblättrige Überlagerung $\tau _{0}\colon \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)$ der orthogonalen Gruppe $\operatorname {SO} (n)$ aufgefasst werden. Eine Spinstruktur auf $E$ ist ein $\operatorname {Spin} (n)$-Hauptfaserbündel $P_{\operatorname {Spin} }(E)\to E$ zusammen mit einer zweiblättrigen Überlagerung
    $\tau \colon P_{\operatorname {Spin} }(E)\to P_{\operatorname {SO} }(E)$
des $\operatorname {SO} (n)$-Hauptfaserbündels $P_{\operatorname {SO} }(E)$, so dass $\tau (pg)=\tau (p)\tau _{0}(g)$ für alle $p\in P_{\operatorname {Spin} }(E)$ und alle $g\in \operatorname {Spin} (n)$ gilt.

## Spin-Mannigfaltigkeit

Eine Spin-Mannigfaltigkeit ist eine orientierbare riemannsche Mannigfaltigkeit, die eine Spinstruktur auf ihrem Tangentialbündel erlaubt.
Da die Stiefel-Whitney-Klasse einer Mannigfaltigkeit definiert ist als die Stiefel-Whitney-Klasse ihres Tangentialbündels ist, bedeutet das, dass eine orientierbare riemannsche Mannigfaltigkeit genau dann eine Spinstruktur zulässt, wenn $\omega _{\text{2}}(X)=0$ gilt. Dann werden die verschiedenen Spinstrukturen von den Elementen von $H^{1}(X;\mathbb {Z} _{\text{2}})$ bestimmt.

## Definition des Spinorbündels

Sei $(M,g)$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit mit gerader Dimension und einer Spinstruktur $\pi \colon P_{\operatorname {Spin} }(M)\to TM$ auf dem Tangentialbündel $TM$, also kurz eine Spin-Mannigfaltigkeit mit gerader Dimension. Sei $S$ die Darstellung der komplexen Clifford-Algebra $\mathbb {C} l(n)$ (auch Spinor-Modul genannt). Die $\operatorname {Spin} (n)$-Gruppe hat als Teilmenge von $\mathbb {C} l(n)$ ebenfalls eine Darstellung $\rho \colon \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {End} (S)$.
Das Spinorbündel ${\mathcal {S}}$ über der Mannigfaltigkeit $M$ ist definiert als das assoziierte komplexe Vektorbündel
    ${\mathcal {S}}:=P_{\operatorname {Spin} }(M)\times _{\operatorname {Spin} (n)}S\,.$
Hierbei bezeichnet $\times _{\operatorname {Spin} (n)}$ das Faserprodukt von $P_{\operatorname {Spin} }(M)$ mit $S$ über $\operatorname {Spin} (n)$. In diesem konkreten Fall bedeutet dies
    $P_{\operatorname {Spin} }(M)\times _{\operatorname {Spin} (n)}S=P_{\operatorname {Spin} }(M)\times S/\{(p\cdot g,f)\sim (p,\rho (g)f\}$
für $p\in P_{\operatorname {Spin} }(M)$, $g\in \operatorname {Spin} (n)$ und $f\in S$.

## Verallgemeinerung

Statt der Spin-Gruppe $\operatorname {Spin} (n)$ können ebenso die Spinᶜ-Gruppe $\operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(n)$ und Spinʰ-Gruppe $\operatorname {Spin} ^{\mathrm {h} }(n)$ betrachtet werden, welche aus dieser durch Vertwistung entstehen. Auch diese sind von großem Interesse. Etwa ergeben sich aus einer $\operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(4)$-Struktur zwei komplexe Ebenenbündel, welche gleiches Determinantenbündel und daher auch gleiche erste Chern-Klasse haben. Zusammen bilden diese ein Spinorbündel, dessen beide Teile jeweils negative und positive Chiralität von Spinoren beschreiben. Dadurch kann etwa die Dirac-Gleichung aus der relativistischen Quantenfeldtheorie betrachtet werden. Eine ganz andere Anwendung ergibt sich in der Seiberg-Witten-Theorie, bei welcher $\operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(4)$-Strukturen allgemeiner zur Untersuchung von 4-Mannigfaltigkeiten dienen können.
Wegen der kanonischen Inklusionen $\operatorname {Spin} (n)\hookrightarrow \operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(n)\hookrightarrow \operatorname {Spin} ^{\mathrm {h} }(n)$ (welche mit den Projektionen auf $\operatorname {SO} (n)$ kompatibel sind) ist jede Spin- eine Spinᶜ-Struktur und jede Spinᶜ- eine Spinʰ-Struktur. Für beide Implikationen gelten die Umkehrungen nicht unbedingt. Im ersten Fall ist der zweite komplexe projektive Raum $\mathbb {C} P^{2}$ und im zweiten Fall ist die Wu-Mannigfaltigkeit $\operatorname {SU} (3)/\operatorname {SO} (3)$ ein Gegenbeispiel. Da Orientierbarkeit äquivalent zu einer verschwindenden ersten Stiefel-Whitney-Klasse und die Existenz einer Spin-Struktur äquivalent zu einer zusätzlich (zur Orientierbarkeit) verschwindenden zweiten Stiefel-Whitney-Klasse sind, lässt sich auch bei Spinᶜ- und Spinʰ-Strukturen untersuchen, welche charakteristischen Klassen eine Obstruktion darstellen. Im Falle der Spinᶜ-Struktur ist dies eine zusätzlich (zur Orientierbarkeit) verschwindende dritte integrale Stiefel-Whitney-Klasse, welche sich durch Komposition mit dem Bockstein-Homomorphismus ergibt. Im Falle der Spinʰ-Struktur kann keine einzelne Kohomologieklasse über deren Existenz entscheiden, da die Homotopiefaser von $\operatorname {Spin} ^{\mathrm {h} }(n)\twoheadrightarrow \operatorname {SO} (n)$ kein Eilenberg-MacLane-Raum ist. Ein Teil der Obstruktion ist jedoch eine verschwindende fünfte integrale Stiefel-Whitney-Klasse. Beide Beispiele zeigen, dass auch diese Strukturen weitreichende Verbindungen ausweisen.