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# Ober-Lembach

BW
Ober-Lembach ist eine Ortschaft und als Oberlembach eine Katastralgemeinde der Gemeinde Unserfrau-Altweitra im Bezirk Gmünd in Niederösterreich mit 82 Einwohnern (Stand 1. Jänner 2024). Bis Ende 1970 war Oberlembach eine eigenständige Gemeinde.

## Geografie

Die Rotte am Lembach befindet sich an der Straße zwischen Unterlembach und Heinreichs bei Weitra. Am 1. April 2020 umfasste die Ortschaft 44 Adressen.

## Geschichte

Im Jahr 1822 wurde der Ort als Dorf mit 30 Häusern genannt, das nach Heinrichs eingepfarrt war, wohin auch die Kinder eingeschult wurden. Die Herrschaft Weitra besaß die Ortsobrigkeit, übte die Landgerichtsbarkeit aus und besorgte die Konskription. Die Untertanen und Grundholde des Ortes gehörten den Herrschaften Weitra und Engelstein sowie der Pfarre Waidhofen.
Laut Adressbuch von Österreich waren im Jahr 1938 in der Ortsgemeinde Ober-Lembach ein Gastwirt, ein Sägewerk, ein Schmied, ein Schneider und mehrere Landwirte ansässig. Im Rahmen der Niederösterreichischen Kommunalstrukturverbesserung trat die damalige Ortsgemeinde Oberlembach per 1. Jänner 1971 der Gemeinde Unserfrau-Altweitra bei.

## Siedlungsentwicklung

Zum Jahreswechsel 1979/1980 befanden sich in der Katastralgemeinde Oberlembach insgesamt 47 Bauflächen mit 21.812 m² und 11 Gärten auf 3.301 m², 1989/1990 gab es 47 Bauflächen. 1999/2000 war die Zahl der Bauflächen auf 157 angewachsen und 2009/2010 bestanden 100 Gebäude auf 157 Bauflächen.

## Bauwerke

Die Ortskapelle Oberlembach wurde 1856 errichtet und steht unter Denkmalschutz (Listeneintrag).

## Bodennutzung

Die Katastralgemeinde ist land- und forstwirtschaftlich geprägt. 320 Hektar wurden zum Jahreswechsel 1979/1980 landwirtschaftlich genutzt und 217 Hektar waren forstwirtschaftlich geführte Waldflächen. 1999/2000 wurde auf 311 Hektar Landwirtschaft betrieben und 226 Hektar waren als forstwirtschaftlich genutzte Flächen ausgewiesen. Ende 2018 waren 306 Hektar als landwirtschaftliche Flächen genutzt und Forstwirtschaft wurde auf 229 Hektar betrieben. Die durchschnittliche Bodenklimazahl von Oberlembach beträgt 20,3 (Stand 2010).
# Friedmannsdorf (Seelingstädt)

Friedmannsdorf ist ein Ortsteil von Seelingstädt im Landkreis Greiz in Thüringen.

## Lage

Friedmannsdorf liegt mit im östlichen Zipfel des Freistaates Thüringen, südwestlich von Seelingstädt, direkt an der Grenze zum Bundesland Sachsen. Die Böden gehören noch zum Thüringer Schiefergebirge. Das Dorf ist über die Bundesstraße 175 gut zu erreichen.

## Geschichte

Am 10. April 1432 wurde das Dorf erstmals urkundlich genannt. Zur Volkszählung 1964 lebten 214, heute ca. 100 Einwohner in dem landwirtschaftlich geprägten Ortsteil. Friedmannsdorf gehörte früher zum Kreis Greiz im DDR-Bezirk Gera und kam am 1. Juli 1968 zum Nachbarkreis Gera. Zum gleichen Zeitpunkt wurde auch die Gemeinde Culmitzsch eingemeindet, die später durch den Uranbergbau der Wismut devastiert wurde.
# Karl von Lanckoroński-Brzezie

Graf Karl von Lanckoroński-Brzezie (* 16. November 1799; † 17. Mai 1863 in Wien) war k.k. Oberstkämmerer, oberster Hoftheaterdirektor, Kunstförderer und Ritter des goldenen Vlieses. Er war Besitzer der Herrschaften Rozdol, Strussow und Jagelnica in Galizien.

## Leben

Er entstammt der alten, ursprünglich französischen, später nach Polen ausgewanderten Familie Lanckoroński, welche in der polnischen Geschichte eine hervorragende Rolle spielte. Seine Eltern waren der Graf Anton von Lanckoroński-Brzezie (1760–1830) und dessen Ehefrau, die Gräfin Ludovica vom Rzewuska († 20. April 1839).
Der Graf wurde 1849 der Nachfolger des Oberstkämmerers Graf Moritz von Dietrichstein. In dieser Position beaufsichtigte er die Schatzkammer, die naturwissenschaftlichen Kabinette (das zoologische, botanische, mineralogische und das physikalisch-astronomische), das Münz- und Antikenkabinett, die Ambraser-Sammlung, die Gemälde-Galerie und die beiden Hoftheater, das Hofburg- und Hofoperntheater. In dieser Position förderte der Graf – so weit möglich – die Kunst, aber besonders die Hofbühne. Diese nahm unter Heinrich Laube einen neuen Aufschwung.
1852 wurde er in den Orden vom Goldenen Vließ aufgenommen.

## Familie

Der Graf heiratete am 1. Dezember 1832 die Gräfin Maria Charlotte Adelheid von Stadion (* 28. März 1804; † 13. März 1885), einer Schwester des Ministers Graf Franz Seraph von Stadion († 1853). Die Ehe blieb kinderlos.
# Christian Dietz (Schiedsrichter)

Christian Dietz (* 27. Juli 1984 in Kronach) ist ein deutscher Fußballschiedsrichter.

## Karriere

Dietz ist DFB-Schiedsrichter und pfeift für den FC Kronach 08. In den Saisons 2012/13 bis 2018/19 war er Schiedsrichter in der 2. Bundesliga und leitete dort insgesamt 57 Spiele. Seit der Saison 2019/20 wird Dietz nur noch als Schiedsrichterassistent eingesetzt. In der Bundesliga agiert er in dieser Funktion bereits seit der Saison 2012/13. Dietz leitete zudem Spiele im Juniorenbereich, in der Deutschen A-Juniorenmeisterschaft 2018/19 pfiff er dabei das Finalspiel zwischen den Nachwuchsmannschaften von Borussia Dortmund und dem VfB Stuttgart.
Am 27. November 2015 war Dietz als Assistent in der Partie zwischen dem SV Darmstadt 98 und dem 1. FC Köln eingesetzt, als sich Schiedsrichter Deniz Aytekin verletzte. Dietz löste ihn in der Pause ab, was seinen ersten und einzigen Einsatz als Schiedsrichter in der Bundesliga darstellt.
Dietz wurde am 27. Mai 2017 im DFB-Pokalfinale 2016/17 zwischen Eintracht Frankfurt und Borussia Dortmund im Team um Hauptschiedsrichter Deniz Aytekin eingesetzt.
Seit 2021 ist Dietz FIFA-Schiedsrichterassistent und kommt auch bei internationalen Spielen zum Einsatz.

## Privates

Dietz ist Realschullehrer, hat drei Kinder und wohnt in Hausen.
# Isla Mujeres

Die Isla Mujeres ['isla mʊ'xeɾɛs] (‚Fraueninsel‘) ist eine Insel an der mexikanischen Karibikküste im Bundesstaat Quintana Roo. Die Isla Mujeres liegt etwa 13 km nördlich des Ferienorts Cancún. Sie hat eine Bevölkerung von 12.642 (2010). Haupterwerbsquelle ist der Tourismus. Die Insel hat eine Ausdehnung von etwa 7 km Länge und 650 Meter Breite, mit einer Fläche von 4,2 km². Die Westküste ist seit 1996 Teil des Nationalparks Costa Occidental de Isla Mujeres, Punta Cancún y Punta Nizuc.
Isla Mujeres ist zudem seit der Eingliederung mehrerer anderer Ortschaften im Jahr 2011 die einzige Ortschaft der Insel, außerdem Verwaltungssitz und größter Ort des Municipio Isla Mujeres. Seit dem Jahr 2015 ist der Ort als Pueblo Mágico anerkannt.

## Geschichte

Die Insel wurde schon seit 550 v. Chr. von den Maya genutzt. Zu dieser Zeit war die Insel allerdings nicht dauerhaft besiedelt, sondern auf ihr befand sich ein Heiligtum zu Ehren der Mayagöttin Ixchel.
Der spanische Konquistador Francisco Hernández de Córdoba entdeckte die Insel im März 1517.
Während des Krieges der Kasten im Jahre 1850 wurde die Insel von rebellierenden Maya eingenommen.

## Infrastruktur

Mit dem Festland ist die Insel über Schnellfähren verbunden, die in Puerto Juárez starten.

## Kunst

Jason deCaires Taylor hat vor der Küste der Insel mehrere Unterwasserskulpturen installiert. Diese sollen sich als künstliche Riffe auch zur Attraktion für Taucher entwickeln. Dieses Museo Subacuático de Arte (MUSA) enthält etwa 500 Figuren, von denen viele stehende Menschen darstellen.

## Bildergalerie

* Der Strand „Playa Norte“ auf der Isla Mujeres
* Luftbild der Isla Mujeres in Mexiko
* Park Punta Sur am südlichsten Punkt der Isla Mujeres
* Isla Mujeres
* Die Insel Mujeres ist bekannt für ihre Strände
* Ruinen des Maya-Tempels für die Göttin Ixchel

## Städtepartnerschaften

* Argentinien Mar del Plata, Argentinien
# Wahlkreis Greiz – Gera, Land II

Der Wahlkreis Greiz – Gera, Land II war ein Landtagswahlkreis zur Landtagswahl in Thüringen 1990, der ersten Landtagswahl nach der Wiedergründung des Landes Thüringen. Er hatte die Wahlkreisnummer 29.
Der Wahlkreis umfasste den kompletten damaligen Landkreises Greiz mit folgenden Städten und Gemeinden: Berga/Elster, Clodra, Cossengrün, Daßlitz, Elsterberg, Geißendorf, Görschnitz, Gottesgrün, Greiz, Großkundorf, Hohndorf, Kahmer, Kleinreinsdorf, Kühdorf, Leiningen, Lunzig, Mohlsdorf, Naitschau, Neugernsdorf, Neumühle/Elster, Nitschareuth, Reinsdorf, Reudnitz, Schönbach, Teichwolframsdorf, Tremnitz, Tschirma Waltersdorf, Wellsdorf, Wildetaube, Wolfersdorf und Zoghaus sowie Teile des damaligen Landkreises Gera-Land mit folgenden Städten und Gemeinden: Bethenhausen, Brahmenau, Braunichswalde, Endschütz, Friedmannsdorf, Gauern, Großenstein, Hermsdorf, Hilbersdorf, Hirschfeld, Korbußen, Linda, Pölzig, Reichstädt, Ronneburg, Rückersdorf, Schwaara, Seelingstädt und Söllmnitz.

## Ergebnisse

Die Landtagswahl 1990 fand am 14. Oktober 1990 statt und hatte folgendes Ergebnis für den Wahlkreis Greiz – Gera, Land II:
| Direktkandidat | Partei (Kürzel) | Erststimmen (%) | Zweitstimmen (%) |
| Roland Meyer | CDU | 46,1 | 46,7 |
| | Chr. L | - | 00,4 |
| | DFD | 01,8 | 00,8 |
| | REP | - | 01,0 |
| | DBU | 00,6 | 00,4 |
| | DSU | 07,1 | 04,4 |
| | F.D.P. | 09,7 | 10,3 |
| | LL-PDS | 08,0 | 08,1 |
| | NPD | - | 00,5 |
| | NFGRDJ | 06,3 | 05,3 |
| | SPD | 19,7 | 21,7 |
| | UFV | 00,6 | 00,4 |
Es waren 55.950 Personen wahlberechtigt. Die Wahlbeteiligung lag bei 73,1 %. Als Direktkandidat wurde Roland Meyer (CDU) gewählt. Er erreichte 46,1 % aller gültigen Stimmen.
# Onelio Jorge Cardoso

Onelio Jorge Cardoso (* 11. Mai 1914 in Calabazar de Sagua, Kuba; † 29. Mai 1986 in Havanna) war ein kubanischer Schriftsteller und Journalist.

## Leben

Cardoso studierte auf dem Zweiten Bildungsweg Literaturwissenschaft in Santa Clara, konnte aber aus Geldmangel das Studium nicht zu Ende führen. 1936 gewann er seinen ersten Literaturpreis. Er arbeitete als Landschullehrer, Straßenverkäufer, Vertreter für Medikamente und zwölf Jahre lang als Texteschreiber für Radio und Fernsehen in Kuba.
1945 erhielt er einen Literaturpreis für seine Erzählung Die Köhler (Los carboneros). 1948 zog Cardoso nach Havanna. Er war Chefredakteur einer Filmzeitschrift. 1952 erhielt er den Nationalen Friedenspreis für seine Erzählung Altes Eisen (Hierro Viejo).
Von 1961 bis 1966 saß Cardoso im Beirat für Literatur der UNEAC (Kubanischer Schriftsteller- und Künstlerverband). Er schrieb zahlreiche Artikel für kubanische Zeitschriften und arbeitete an Filmen mit.
1976 wurde er Kulturattaché an der Kubanischen Botschaft in Peru und danach Präsident der Sektion Literatur der UNEAC.

## Rezeption

Herausragend sind seine Leistungen als Erzähler. Seine Erzählungen handeln von einfachen Menschen und ihren Problemen. Mit seinem sehr eigenen Erzählstil, der nur im strukturellen Aufbau an Hemingway erinnert, gelingt es ihm philosophische Transzendenz aus Alltagssituationen herauszuarbeiten. Erzählungen von Cardoso wurden in 12 Sprachen übersetzt.

## Werke (Auswahl)
### Kinder- und Jugendbücher

* Die drei Vögelein. J. Martí, Havanna 1987.
* Das Korallenpferd und andere Erzählungen. Aufbau-Verlag, Berlin 1972 (bb, Billige Bücher; 257).
* Negrita. Ein Roman für Kinder („Negrita“). Beltz & Gelberg, Weinheim 1984, ISBN 3-407-78347-7.

### Erzählungen

* Cuentos completos. De La Torre, Madrid 1981 (Libro compacto; 49).
* Cuentos cubanos. Editorial Popular, Madrid 2001, ISBN 84-7884-191-1 (Letras grande; 50).
* Cuentos escogidos. Letras Cubanos, Havanna 1989, ISBN 978-959-100826-8.
# Edoardo Lamberti

Edoardo Lamberti (* 31. März 1895 in Turin, Italien; † 6. März 1968 in Rom, Italien) war ein italienischer Kameramann beim heimischen, deutschen und portugiesischen Film.

## Leben und Wirken

Lamberti kam kurz nach Ende des Ersten Weltkriegs zur Turiner Filmproduktionsfirma Ambrosio und begann dort als einfacher Kameramann zu arbeiten. Bereits 1920 begann er seine Tätigkeit als Chefkameramann. Schon ein Jahr darauf verließ Lamberti seine italienische Heimat und ging – gemeinsam mit seinem Kollegen Giovanni Vitrotti und dem italienischen Schauspieler Luciano Albertini – nach Deutschland. Das Trio arbeitete bei Lambertis ersten beiden Filmen zusammen, den von Joseph Delmont inszenierten Abenteuergeschichten Julot, der Apache und Der König der Manege. Lamberti stand in der Folgezeit vor allem bei minder bedeutsamen Inszenierungen des Lamberti-Landsmannes Nunzio Malasomma und von dessen deutschen Kollegen Rudolf Walther-Fein, Max Obal und Victor Janson hinter der Kamera.
Beim deutschen Tonfilm fand Lamberti kaum mehr Arbeit, und so kehrte er nach einer Reihe von meist kurzen Dokumentarfilmen kurz nach Beginn des Zweiten Weltkriegs endgültig nach Italien zurück. Dort und in Portugal, wohin Lamberti seit 1948 regelmäßig zu Dreharbeiten reiste, wurde er nur noch für nahezu unbekannt gebliebene Spielfilme herangezogen. In späteren Jahren konzentrierte sich der aufgrund einer Erkrankung zeitweilig gelähmte Lamberti oft nur noch auf die Fotografie von Dokumentarfilmen.

## Filmografie

* 1920: La rondina
* 1921: L’immortale
* 1921: La madonna della Robbia
* 1921: Julot, der Apache
* 1921: Der König der Manege
* 1923: Im Rausche der Leidenschaft
* 1923: Das Spiel der Liebe
* 1924: Mister Radio
* 1924: Auf Befehl der Pompadour
* 1926: Jagd auf Menschen
* 1927: Rinaldo Rinaldini
* 1927: Ich habe im Mai von der Liebe geträumt
* 1927: Der größte Gauner des Jahrhunderts
* 1927: Der Bettelstudent
* 1927: Wochenendzauber
* 1927: Mein Freund Harry
* 1928: Dragonerliebchen
* 1928: Großstadtjugend
* 1928: Heiratsfieber
* 1928: Der moderne Casanova
* 1928: Der Unüberwindliche
* 1928: Die Zirkusprinzessin
* 1929: Das närrische Glück
* 1929: Es flüstert die Nacht …
* 1929: Der schwarze Domino
* 1929: Tempo! Tempo!
* 1929: Die fidele Herrenpartie
* 1930: Die Jagd nach der Million
* 1930: Der Korvettenkapitän
* 1934: Der blaue Diamant
* 1935: La luce del mondo
* 1936: O trevo de quatro folhas
* 1936/38: Olympia (zweiteiliger Dokumentarfilm)
* 1939: Alt-Berlin (Dokumentarkurzfilm)
* 1939: Wir fischten im nördlichen Eismeer (Dokumentarkurzfilm)
* 1941: C’é un fantasma nel castello
* 1941: La pantera nera
* 1943: Due cuori
* 1947: Un mese di onestà
* 1948: Serra Brava
* 1948: Uma vida para dois
* 1949: Cantiga da rua
* 1949: Heróis do mar
* 1949: A volta de José do Telhado
* 1950: Passione fatale
* 1950: Mater dei
* 1951: La valle di Caino
* 1952: O commissário de polícia
* 1954: Assi alla ribalta
* 1956: Vidas sem rumo
* 1957: Il sole tornerà
* 1959: O cantor e a bailarina
* 1959: A luz vem do alto
# Mount Fitzsimmons (British Columbia)

Der Mount Fitzsimmons ist ein 2603 m hoher Berg mit einem vergletscherten Gipfel und einer Schartenhöhe von 133 m im Südwesten der kanadischen Provinz British Columbia, im Squamish-Lillooet Regional District.

## Geographie

Der Mount Fitzsimmons liegt in den Garibaldi Ranges der Coast Mountains im Garibaldi Provincial Park. Sein Gipfel ist der dritthöchste Punkt in der Fitzsimmons Range, einer Teilkette der Garibaldi Ranges. Er liegt 15 km südöstlich von Whistler. Der nächsthöhere Berg ist der Mount Benvolio (2613 m), 0,5 km westsüdwestlich. Beide gehören zum Massiv des Overlord Mountain (2625 m). Der Diavolo Glacier erstreckt sich bis unterhalb der Südostflanke des Gipfels, und der Fitzsimmons Glacier bedeckt die Nordwesthänge. Die Abflüsse der Niederschläge vom Berg und das Schmelzwasser seiner Gletscher fließen in Zuflüsse des Cheakamus River.

## Geschichte

Die Erstbesteigung wurde am 19. August 1924 von einer Seilschaft des British Columbia Mountaineering Club ausgeführt. Der Berg wurde nach dem Prospektor James Fitzsimmons benannt, der einen Pfad entlang des Fitzsimmons Creek anlegte, um Gerätschaften zu einer kleinen Kupfermine zu transportieren, die er ausrüstete und in der er arbeitete. Der Name wurde am 2. September 1930 vom Geographical Names Board of Canada offiziell anerkannt.

## Klima

In Bezug auf die Klimaklassifikation nach Köppen und Geiger herrscht am Mount Fitzsimmons ein Westseiten-Seeklima. Die meisten Wetterfronten stammen vom Pazifik und bewegen sich ostwärts auf die Coast Mountains zu, wo sie durch die Berge zum Aufsteigen (Windstau) gezwungen werden, was wiederum dazu führt, dass die enthaltene Feuchtigkeit in Form von Regen oder Schnee abgegeben wird. Im Ergebnis führt das zu hohen Niederschlägen in den Coast Mountains, insbesondere zu starken Schneefällen im Winter. Die Temperaturen können unter −20 °C fallen, unter Berücksichtigung von Windchill-Einfluss unter −30 °C. Die Monate Juli bis September bieten die besten Wetterbedingungen für einen Aufstieg.

## Kletterrouten

Folgende Kletterrouten sind am Mount Fitzsimmons etabliert:
* Südseite – YDS-Klasse 2–3 – erstmals begangen 1924
* Westgrat – YDS-Klasse 3 – erstmals begangen 1964
* Nordseite – YDS-Klasse 3 – erstmals begangen 1981
# Belait (Fluss)

Der Belait (mal.:Sungai Belait) ist der längste Fluss in Brunei. Er entspringt im Dreiländereck der beiden Distrikte Belait und Tutong mit Malaysia und hat eine Länge von 209 Kilometern. Sein Einzugsgebiet von 2.700 km² umfasst praktisch den Distrikt Belait, der auch nach ihm benannt ist. Er mündet in der Distrikt-Hauptstadt Kuala Belait als kaffeefarbener Schwarzwasserfluss in das Südchinesische Meer.
# Mount Shideler

Mount Shideler ist ein 820 m hoher Berg in der antarktischen Ross Dependency. Auf der Edward-VII-Halbinsel ragt er in den Rockefeller Mountains 1,5 km südöstlich des Mount Fitzsimmons auf.
Entdeckt wurde er am 27. Januar 1929 während eines Überfluges bei der ersten Antarktisexpedition (1928–1930) des US-amerikanischen Polarforschers Richard Evelyn Byrd. Die Benennung erfolgte bei der ebenfalls von Byrd geleiteten United States Antarctic Service Expedition (1939–1941). Namensgeber ist der US-amerikanische Geologe William Henry Shideler (1886–1958), Gründer des Lehrstuhls für Geologie an der Miami University in Oxford, Ohio.
# Erzbistum Lubumbashi

Das Erzbistum Lubumbashi (lat.: Archidioecesis Lubumbashiensis, frz.: Archidiocèse de Lubumbashi) ist eine römisch-katholische Erzdiözese mit Sitz in der Provinzhauptstadt Lubumbashi in der Provinz Katanga im Südosten der Demokratischen Republik Kongo.

## Geschichte

Das Erzbistum Lubumbashi wurde am 5. August 1910 durch Papst Pius X. aus Gebietsabtretungen des Apostolischen Vikariates Léopoldville als Apostolische Präfektur Katanga errichtet. Am 12. Mai 1925 gab die Apostolische Präfektur Katanga Teile seines Territoriums zur Gründung der Apostolischen Präfektur Luapula Superiore ab. Die Apostolische Präfektur Katanga wurde am 22. März 1932 durch Papst Pius XI. mit der Apostolischen Konstitution Magna cum delectatione zum Apostolischen Vikariat erhoben.
Am 10. November 1959 erließ Papst Johannes XXIII. die Apostolischen Konstitution Cum parvulum, mit der er die Jurisdiktionen im damaligen Belgisch-Kongo im Blick auf die bevorstehende Unabhängigkeit der Kolonie neu ordnete und die sechs Kirchenprovinzen schuf, die bis heute bestehen (Stand 2025). Dabei wurde unter anderem das Apostolische Vikariat Katanga zum Erzbistum Elisabethville erhoben. Nachdem die Stadt Elisabethville in Lubumbashi umbenannt worden war, zog der Heilige Stuhl nach und benannte das Erzbistum demgemäß am 30. Mai 1966 in Erzbistum Lubumbashi um.
2010 wurde das 100-jährige Jubiläums der Evangelisierung in der Provinz Katanga gefeiert. Die örtlichen Behörden beschlossen, eine Straße in Lubumbashi, nach dem ersten Bischof Jean-Félix Hemptine OSB zu benennen und unter Beisein von Erzbischof Floribert Songasonga Mwitwa einzuweihen.

## Ordinarien
### Apostolische Präfekten von Katanga

* Jean-Félix de Hemptinne OSB, 1910–1932

### Apostolische Vikare von Katanga

* Jean-Félix de Hemptinne OSB, 1932–1958
* José Floriberto Cornelis OSB, 1958–1959

### Erzbischöfe von Elisabethville

* José Floriberto Cornelis OSB, 1959–1966

### Erzbischöfe von Lubumbashi

* José Floriberto Cornelis OSB, 1966–1967
* Eugène Kabanga Songasonga, 1967–1998
* Floribert Songasonga Mwitwa, 1998–2010
* Jean-Pierre Tafunga Mbayo SDB, 2010–2021
* Fulgence Muteba Mugalu, seit 2021
# Induktive Menge

Als induktive Mengen werden in der Mathematik Mengen $M$ bezeichnet, die die leere Menge $\emptyset$ enthalten und wo für jede Menge $x$ auch deren Nachfolgemenge $x'=x\cup \{x\}$ enthalten ist. Das Unendlichkeitsaxiom besagt, dass es eine induktive Menge gibt.

## Definition

Eine Menge $M$ ist genau dann eine induktive Menge, wenn sie die zwei folgenden Eigenschaften
* $\emptyset \in M$
* $\forall x\in M:x'\in M$
erfüllt, wobei $x':=x\cup \{x\}$ den Nachfolger von $x$ bezeichnet.

## Bedeutung in der Mathematik
### Natürliche Zahlen

Mit Hilfe der induktiven Mengen wird in der Mengenlehre die Menge der natürlichen Zahlen definiert nach einer Idee von Richard Dedekind:
    ${\begin{aligned}\mathbb {N} :=\bigcap \{x\mid x\;{\text{induktiv}}\}.\end{aligned}}$
Da der Schnitt von induktiven Mengen wieder induktiv ist, ist die Menge der natürlichen Zahlen die kleinste induktive Menge. $\mathbb {N}$ besteht also aus den iterierten Nachfolgern der leeren Menge:
    $\mathbb {N} =\{\emptyset ,\emptyset ',\emptyset '',\emptyset ''',\ldots \}=\{0,1,2,3,\ldots \}$
Um die natürlichen Zahlen so definieren zu können, benötigt man zwei Axiome: Das Unendlichkeitsaxiom und das Aussonderungsaxiom: Das Unendlichkeitsaxiom stellt sicher, dass es mindestens eine induktive Menge gibt. Wenn man nun jedoch den Schnitt über alle induktiven Mengen bildet, erhält man damit die Klasse der natürlichen Zahlen. Das Aussonderungsaxiom stellt sicher, dass der Schnitt über Mengen ebenfalls eine Menge ist und dass die Klasse der Natürlichen Zahlen damit auch wirklich eine Menge ist.
Innerhalb der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre kann gezeigt werden, dass die so konstruierte Menge $\mathbb {N}$ die Peano-Axiome erfüllt. $\mathbb {N}$ fängt also den intuitiven Begriff der natürlichen Zahl mengentheoretisch exakt ein. Statt $x'$ und $\emptyset$ schreibt man daher wie in der Arithmetik meist $x+1$ bzw. $0$.
Mithilfe der Definition über induktive Mengen lässt sich die Beweismethode der vollständigen Induktion rechtfertigen (daher auch der Name induktiv): Soll gezeigt werden, dass alle natürlichen Zahlen eine bestimmte Eigenschaft $e$ haben, so betrachte die Menge $E:=\{n\in \mathbb {N} \mid e(n)\}\subseteq \mathbb {N}$. Zeigt man nun, dass $e(0)$ gilt und aus $e(n)$ auch $e(n+1)$ folgt, so ist $E$ induktiv. Da $\mathbb {N}$ kleinste induktive Menge ist, gilt $\mathbb {N} \subseteq E$ und somit $\mathbb {N} =E$. Also hat jede natürliche Zahl die Eigenschaft $e$.

### Transfinite Ordinalzahlen

Weitere induktive Mengen sind die transfiniten Ordinalzahlen, beispielsweise $\omega +\omega =\{0,1,2,\ldots ,n,n+1,\ldots ,\omega ,\omega +1,\omega +2,\ldots \}$. Hier sind die natürlichen Zahlen als Teilmenge enthalten, jedoch ist $\omega$ eine unendliche Ordinalzahl, d. h. größer als jede natürliche Zahl.