# Lie-Ableitung

In der Analysis bezeichnet die Lie-Ableitung (nach Sophus Lie) die Ableitung eines Vektorfeldes oder allgemeiner eines Tensorfeldes entlang eines Vektorfeldes. Auf dem Raum der Vektorfelder wird durch die Lie-Ableitung eine Lie-Klammer definiert, die Jacobi-Lie-Klammer genannt wird. Der Raum der Vektorfelder wird durch diese Operation zu einer Lie-Algebra.

## Motivation

In der Allgemeinen Relativitätstheorie und in der geometrischen Formulierung der Hamiltonschen Mechanik wird die Lie-Ableitung verwendet, um Symmetrien aufzudecken, diese zur Lösung von Problemen auszunutzen und beispielsweise Konstanten der Bewegung zu finden.
Die Definition der Lie-Ableitung ist wie folgt motiviert: $T$ sei ein Feld auf einer Mannigfaltigkeit $M$, dessen Symmetrie untersucht werden soll. Die Punkte $P_{0}$ aus $M$ mögen in einem Koordinatensystem $K_{0}$ die Koordinaten ${{\boldsymbol {x}}_{0}}_{K_{0}}$ haben. Es möge eine glatte Verschiebung (Fluss) $\phi :{M\times R}\rightarrow M$ geben, die in Abhängigkeit eines Parameters $t$ jedem beliebigen Punkt $P_{0}$, in glatter Weise Punkte $P_{t}$ mit den Koordinaten ${{\boldsymbol {x}}_{t}}_{K_{0}}$ zuordnet. Weiterhin führen wir Koordinatensysteme $K_{t}$ ein, so dass die Punkte $P_{t}$ in $K_{t}$ die gleichen Koordinatenwerte haben, wie die Punkte $P_{0}$ in $K_{0}$. Diese Koordinatensysteme sind demnach durch die Koordinatentransformation ${{\boldsymbol {x}}_{0}}_{K_{0}}={{\boldsymbol {x}}_{t}}_{K_{t}}$ definiert.
Eine Symmetrie des Feldes $T$ liegt dann vor, wenn bei der Verschiebung $P_{0}\rightarrow P_{t}$ die Komponenten ${\boldsymbol {T}}_{K_{t}}(P_{t})$ des Feldes $T$ am Punkt $P_{t}$, ausgedrückt in den Koordinaten $K_{t}$ die gleichen Werte haben, wie die Komponenten von $T$ am Punkt $P_{0}$ ausgedrückt im Koordinatensystem $K_{0}$ . Die Bedingungsgleichung für die Symmetrie des Feldes ist demnach ${\boldsymbol {T}}_{K_{0}}(P_{0})={\boldsymbol {T}}_{K_{t}}(P_{t})$.
Setzt man dieses Konzept für infinitesimale Verschiebungen um, so lässt sich mit Hilfe des Tangentialvektorenfeldes ${\boldsymbol {X}}$ zum Fluss $\phi$ die Verschiebung eines Punktes $P_{0}\rightarrow P_{\varepsilon }$ in Koordinaten als ${{\boldsymbol {x}}_{\varepsilon }}={\boldsymbol {x}}_{0}+\varepsilon {\boldsymbol {X}}$ schreiben.
Das Koordinatensystem $K_{\varepsilon }$ in seinen geforderten Eigenschaften wird durch die Koordinatentransformation ${{\boldsymbol {x}}_{\varepsilon }}={\boldsymbol {x}}_{0}-\varepsilon {\boldsymbol {X}}$ definiert. Die Symmetriebedingung des Vektorfeldes $T$ ist dann ${\boldsymbol {T}}_{K_{\varepsilon }}(P_{\varepsilon })-{\boldsymbol {T}}_{K_{0}}(P_{0})=0$. Der Koeffizient des in $\varepsilon$ linearen Gliedes ist per Definition die Lie-Ableitung von $T$ in Richtung ${\boldsymbol {X}}$
    ${\mathcal {L}}_{X}T:=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}{\frac {{\boldsymbol {T}}_{K_{\varepsilon }}(P_{\varepsilon })-{\boldsymbol {T}}_{K_{0}}(P_{0})}{\varepsilon }}$.
Für Felder $T$ mit einer zu ${\boldsymbol {X}}$ gehörigen Symmetrie verschwindet die Lie-Ableitung. In dem Sinne liefert der Ausdruck ${\mathcal {L}}_{X}T=0$ ein Kriterium für die Symmetrie eines Vektorfeldes $T$.

## Lie-Ableitung für Funktionen

Ist $X$ ein Vektorfeld, so ist die Lie-Ableitung einer differenzierbaren Funktion $f$ die Anwendung von $X$ auf $f$:
    ${\mathcal {L}}_{X}f=Xf$.
Genauer: Es seien $M$ eine $n$-dimensionale ${\mathcal {C}}^{\infty }$-Mannigfaltigkeit, $f\colon M\to \mathbb {R}$ eine glatte Funktion und $X$ ein glattes Vektorfeld auf $M$. Die Lie-Ableitung ${\mathcal {L}}_{X}f(p)$ der Funktion $f$ nach $X$ im Punkt $p\in M$ ist definiert als die Richtungsableitung von $f$ nach $X(p)$:
    ${\mathcal {L}}_{X}f(p):=X_{p}(f)=d_{p}f(X(p))$
In lokalen Koordinaten $(x_{1},\ldots ,x_{n})\colon U\subseteq M\to \mathbb {R} ^{n}$ lässt sich das Vektorfeld darstellen als
    $X=\sum _{j=1}^{n}X_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}$, mit $X_{j}\colon U\to \mathbb {R}$.
Für die Lie-Ableitung ergibt sich dann
    ${\mathcal {L}}_{X}f(p)=\sum _{j=1}^{n}X_{j}(p){\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}(p)$.

## Lie-Ableitung von Vektorfeldern
### Definition

Seien $X$ und $Y$ zwei Vektorfelder an der $n$-dimensionalen glatten Mannigfaltigkeit $M$ und $F_{t}$ der Fluss des Vektorfelds $X$. Dann ist die Lie-Ableitung ${\mathcal {L}}_{X}Y$ von $Y$ in Richtung $X$ definiert durch
    ${\mathcal {L}}_{X}Y=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}(F_{t}^{*}Y)$,
wobei $F_{t}^{*}$ den Rücktransport des Flusses $F_{t}$ meint.

### Eigenschaften
#### Lie-Klammer

Sind $X$ und $Y$ wieder zwei Vektorfelder, dann gilt für die Lie-Ableitung die Identität
    $({\mathcal {L}}_{X}Y)f=X(Y(f))-Y(X(f))$,
wobei $f$ eine glatte Funktion auf einer offenen Teilmenge der zugrundeliegenden Mannigfaltigkeit ist. Aus dieser Gleichung kann gezeigt werden, dass $(X,Y)\mapsto {\mathcal {L}}_{X}Y$ die Eigenschaften einer Lie-Klammer erfüllt. Daher schreibt man auch $[X,Y]:={\mathcal {L}}_{X}Y$. Insbesondere bildet also die Menge der Vektorfelder mit der Lie-Ableitung eine Lie-Algebra und ihre Lie-Klammer $[\cdot ,\cdot ]$ wird Jacobi-Lie-Klammer genannt.
Manchmal definiert man die Lie-Ableitung beziehungsweise Lie-Klammer direkt durch den Term $X(Y(f))-Y(X(f))$. Dabei wird manchmal auch die Umgekehrte Vorzeichenkonvention, also $[X,Y]:=Y\circ X-X\circ Y$ verwendet.

#### Lokale Koordinaten

In lokalen Koordinaten haben die Vektorfelder $X$ beziehungsweise $Y$ die Darstellungen
    $X=\sum _{j=1}^{n}X_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}$
beziehungsweise
    $Y=\sum _{j=1}^{n}Y_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}$.
Für die Lie-Ableitung beziehungsweise Lie-Klammer gilt dann
    $[X,Y]=\sum _{j=1}^{n}\left(\sum _{k=1}^{n}X_{k}{\frac {\partial Y_{j}}{\partial x_{k}}}-\sum _{k=1}^{n}Y_{k}{\frac {\partial X_{j}}{\partial x_{k}}}\right){\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\,.$

## Eigenschaften und Lie-Algebra

Der Vektorraum ${\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )$ aller glatten Funktionen $M\to \mathbb {R}$ ist bezüglich der punktweisen Multiplikation eine Algebra. Die Lie-Ableitung bezüglich eines Vektorfeldes $X$ ist dann eine $\mathbb {R}$-lineare Derivation ${\mathcal {L}}_{X}:{\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )\to {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )$, d. h., sie hat die Eigenschaften
* ${\mathcal {L}}_{X}$ ist $\mathbb {R}$-linear
* ${\mathcal {L}}_{X}(fg)=({\mathcal {L}}_{X}f)g+f{\mathcal {L}}_{X}g$ (Leibniz-Regel)
Bezeichne ${\mathcal {X}}(M)$ die Menge aller glatten Vektorfelder auf $M$, dann ist die Lie-Ableitung auch eine $\mathbb {R}$-lineare Derivation auf ${\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )\times {\mathcal {X}}(M)$, und es gilt:
* ${\mathcal {L}}_{X}(fY)=({\mathcal {L}}_{X}f)Y+f{\mathcal {L}}_{X}Y$ (Leibniz-Regel)
* $[X,[Y,Z]]={\mathcal {L}}_{X}[Y,Z]=[{\mathcal {L}}_{X}Y,Z]+[Y,{\mathcal {L}}_{X}Z]=[[X,Y],Z]+[Y,[X,Z]]$ (Jacobi-Identität)
Dadurch wird ${\mathcal {X}}(M)$ zu einer Lie-Algebra.

## Lie-Ableitung von Tensorfeldern
### Definition

Für ein Tensorfeld $T$ und ein Vektorfeld $X$ mit lokalem Fluss $\Phi _{t}$ ist die Lie-Ableitung von $T$ bezüglich $X$ definiert als
    ${\mathcal {L}}_{X}T={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\Phi _{t}^{*}T|_{t=0}\,.$

### Eigenschaften

Die Lie-Ableitung ${\mathcal {L}}_{X}$ ist $\mathbb {R}$-linear in $X$ und für festes $X$ eine Derivation der Tensoralgebra, die mit der Kontraktion verträglich ist. Die Lie-Ableitung ist dadurch und durch ihre Werte auf Funktionen und Vektorfeldern bereits eindeutig charakterisiert.
Im Unterschied zu einem Zusammenhang ist ${\mathcal {L}}_{X}$ nicht ${\mathcal {C}}^{\infty }$-linear in $X$.

### Differentialformen

Sei $M$ eine ${\mathcal {C}}^{\infty }$-Mannigfaltigkeit, $X$ ein Vektorfeld auf $M$ und $\alpha \in \Lambda ^{k+1}(M)$ eine $(k+1)$-Differentialform auf $M$. Durch Evaluation kann man eine Art inneres Produkt zwischen $X$ und $\alpha$ definieren:
    $(i_{X}\alpha )(X_{1},\ldots ,X_{k})=\alpha (X,X_{1},\ldots ,X_{k})\,$
und erhält die Abbildung:
    $i_{X}:\Lambda ^{k+1}(M)\to \Lambda ^{k}(M),\;\alpha \mapsto i_{X}\alpha$
Diese Abbildung hat die folgenden Eigenschaften:
* $i_{X}$ ist $\mathbb {R}$-linear,
* für beliebiges $f\in \Lambda ^{0}(M)$ gilt $i_{fX}\alpha =fi_{X}\alpha$,
* für eine beliebige Differentialform $\beta$ über $M$ und $\alpha \in \Lambda ^{k}(M)$ gilt
       $i_{X}(\alpha \wedge \beta )=(i_{X}\alpha )\wedge \beta +(-1)^{k}\alpha \wedge (i_{X}\beta )$.
Weiter oben wurde die Lie-Ableitung bezüglich eines Vektorfeldes $X$ für Funktionen über $M$ definiert:
    ${\mathcal {L}}_{X}f=i_{X}df$.
Für echte Differentialformen kann die Lie-Ableitung bezüglich eines Vektorfeldes $X$ durch
    ${\mathcal {L}}_{X}\alpha =\left(i_{X}\circ d\ +d\circ i_{X}\right)\alpha$
berechnet werden. Diese Gleichung kann aus der Definition der Lie-Ableitung für Tensorfelder hergeleitet werden. Sie trägt den Namen Cartan-Formel.
Sie hat die folgenden Eigenschaften:
* ${\mathcal {L}}_{fX}\alpha =f{\mathcal {L}}_{X}\alpha +df\wedge i_{X}\alpha$
* ${\mathcal {L}}_{X}(\alpha \wedge \beta )=({\mathcal {L}}_{X}\alpha )\wedge \beta +\alpha \wedge ({\mathcal {L}}_{X}\beta )$
* $[{\mathcal {L}}_{X},{\mathcal {L}}_{Y}]\alpha :={\mathcal {L}}_{X}{\mathcal {L}}_{Y}\alpha -{\mathcal {L}}_{Y}{\mathcal {L}}_{X}\alpha ={\mathcal {L}}_{[X,Y]}\alpha$
* $[{\mathcal {L}}_{X},i_{Y}]\alpha =[i_{X},{\mathcal {L}}_{Y}]\alpha =i_{[X,Y]}\alpha$