# Bose-Einstein-Statistik

Die Bose-Einstein-Statistik oder auch Bose-Einstein-Verteilung, benannt nach Satyendranath Bose (1894–1974) und Albert Einstein (1879–1955), ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Quantenstatistik (dort auch die Herleitung). Sie beschreibt die mittlere Besetzungszahl $\langle n(E)\rangle$ eines Quantenzustands der Energie $E\,$ im thermodynamischen Gleichgewicht bei der absoluten Temperatur $T$ für identische Bosonen als besetzende Teilchen.
Analog existiert für Fermionen die Fermi-Dirac-Statistik, die ebenso wie die Bose-Einstein-Statistik im Grenzfall großer Energie $E$ in die Boltzmann-Statistik übergeht.
Kernpunkt der Bose-Einstein-Statistik ist, dass bei gleichzeitiger Vertauschung aller vier Variablen $x,y,z,m\,$ zweier Bosonen ($x,y\,$ und $z\,$: Ortsvariable; $m\,$: Spinvariable) die Wellenfunktion $\psi \,$ bzw. der Zustandsvektor eines Vielteilchensystems nicht das Vorzeichen wechselt $(\psi \rightarrow \psi )$, während es in der Fermi-Dirac-Statistik sehr wohl wechselt $(\psi \rightarrow -\psi )$. Im Gegensatz zu Fermionen können deshalb mehrere Bosonen im gleichen Ein-Teilchen-Zustand sein, also die gleichen Quantenzahlen haben.

## Bei Wechselwirkungsfreiheit

Bei Wechselwirkungsfreiheit (Bosegas) ergibt sich für Bosonen die folgende Formel:
    $\langle n(E)\rangle ={\frac {1}{e^{\beta (E-\mu )}-1}}$
mit
* dem chemischen Potential $\mu$, welches für Bosonen stets kleiner als der niedrigste mögliche Energiewert ist: $\mu <E$; daher ist die Bose-Einstein-Statistik nur für Energiewerte $E-\mu >0$ definiert.
* der Energienormierung $\beta$. Die Wahl von $\beta$ hängt von der verwendeten Temperaturskala ab:
** üblicherweise wird sie gewählt zu $\beta =1/(k_{\mathrm {B} }T)$ mit der Boltzmann-Konstanten $k_{\mathrm {B} }$;
** sie beträgt $\beta =1/T$, wenn die Temperatur in Energieeinheiten, etwa Joule, gemessen wird; dies geschieht, wenn $k_{\mathrm {B} }$ auch in der Definition der Entropie – welche dann einheitenlos ist – nicht auftaucht.
Unterhalb einer sehr tiefen kritischen Temperatur $T_{\lambda }$ erhält man bei Wechselwirkungsfreiheit – unter der Annahme, dass $\mu \,$ gegen das Energie-Minimum strebt – die Bose-Einstein-Kondensation.
Man beachte, dass es sich bei $\langle n(E)\rangle$ um die Besetzungszahl eines Quantenzustandes handelt. Benötigt man die Besetzungszahl eines entarteten Energieniveaus, so ist obiger Ausdruck zusätzlich mit dem entsprechenden Entartungsgrad $g_{i}=2s+1$ zu multiplizieren ($s\,$: Spin, bei Bosonen immer ganzzahlig), vgl. auch Multiplizität.

## Herleitung aus einem Minimum der freien Energie

Aus der Bedingung, dass im thermischen Gleichgewicht (bei konstanter Temperatur $T$, Teilchenzahl $N$ und Volumen $V$) die freie Energie
    $F=E-TS\qquad (1)$
ein Minimum annimmt, kann die Bose-Einstein-Statistik mit wenigen Annahmen hergeleitet werden. Es sei $N$ die Gesamtzahl aller Bosonen und $N_{i}$ die Anzahl Bosonen im Energieniveau $E_{i}$ mit $i=1,2,\dots ,I$, d. h. die $N$ Bosonen seien über die Energieniveaus $E_{i}$ verteilt. $D_{i}$ sei die Anzahl der möglichen Zustände im Energieniveau $E_{i}$, d. h. die Energieniveaus $E_{1},E_{2},\dots ,E_{I}$ seien jeweils $D_{1},D_{2},\dots ,D_{I}$ -fach entartet. Für den Makrozustand des Systems ist es unerheblich, welche der $N$ Bosonen sich im $i$-ten Energieniveau befinden und welche der $D_{i}$ Zustände sie darin besetzen. Der Makrozustand wird daher vollständig durch $N_{1},N_{2},\dots ,N_{I}$ bestimmt.
Für eine beliebige Verteilung der Bosonen auf die Energieniveaus gilt:
    ${\begin{aligned}N&=\sum _{i=1}^{I}N_{i}&\qquad (2)\\E&=\sum _{i=1}^{I}N_{i}E_{i}&\qquad (3)\\S&=k_{\rm {B}}\ln W.&\qquad (4)&\end{aligned}}$
Gleichung (2) gibt die Gesamtzahl der Bosonen wieder, die konstant gehalten werden soll, während die einzelnen $N_{i}$ variiert werden, um das Minimum von $F$ zu erreichen. Gleichung (3) gibt die zur vorliegenden Verteilung gehörende Energie $E$ des Systems an. Gleichung (4) ist (nach Ludwig Boltzmann) die Entropie des Zustands des Systems (Makrozustand), wobei $\textstyle W=\prod _{i=1}^{I}W_{i}$ die Wahrscheinlichkeit für die Besetzungszahlen $N_{1},N_{2},\dots ,N_{I}$ angibt, d. h. die Anzahl der möglichen Verteilungen (Mikrozustände) von jeweils $N_{i}$ Bosonen auf die Plätze $D_{i}$ für alle Energieniveaus $i=1,2,\dots ,I$. Aus Gleichung (4) folgt damit:
    $S=k_{\rm {B}}\ln \prod _{i=1}^{I}W_{i}=k_{\rm {B}}\sum _{i=1}^{I}\ln W_{i}.\qquad (5)$
Dabei gibt der Binomialkoeffizient
    $W_{i}={\binom {N_{i}+D_{i}-1}{N_{i}}}={\frac {(N_{i}+D_{i}-1)!}{N_{i}!(D_{i}-1)!}}$
die Anzahl der Möglichkeiten an, dass $N_{i}$ Teilchen ohne Beachtung der Reihenfolge das $D_{i}$-fach entartete Energieniveau $E_{i}$ zu besetzen (Kombination mit Wiederholung von $N_{i}$ Teilchen).
Mit Hilfe der beiden ersten dominierenden Glieder der Stirling-Reihe ($\ln k!\approx k\ln k-k$ für $k\to \infty$) und $N_{i}>>1,D_{i}>>1$ ergibt sich weiter
    ${\begin{aligned}\ln W_{i}&=\ln(N_{i}+D_{i}-1)!-\ln N_{i}!-\ln(D_{i}-1)!\\&\approx (N_{i}+D_{i}-1)\ln(N_{i}+D_{i}-1)-(N_{i}+D_{i}-1)-N_{i}\ln N_{i}+N_{i}-(D_{i}-1)\ln(D_{i}-1)+(D_{i}-1)\\&=(N_{i}+D_{i}-1)\ln(N_{i}+D_{i}-1)-N_{i}\ln N_{i}-(D_{i}-1)\ln(D_{i}-1).\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (6)\\\end{aligned}}$
Um die Verteilung zu finden, bei der die freie Energie $F$ unter der Nebenbedingung $N=\mathrm {const}$, aber $N_{i}$ variabel, minimal wird, kann die Methode der Lagrange-Multiplikatoren benutzt werden:
    ${\frac {\partial F}{\partial N_{i}}}-\lambda {\frac {\partial N}{\partial N_{i}}}=0\qquad$ für $i=1,2,3\dots I.\qquad (7)$
Darin ist $\lambda$ der (von $i$ unabhängige) Lagrange-Multiplikator. Hierbei gilt für die partiellen Ableitungen ${\frac {\partial N}{\partial N_{i}}}=1$ und ${\frac {\partial E}{\partial N_{i}}}=E_{i}$, da jedes $N_{i}$ genau einmal linear in der Summe von Gleichung (2) bzw. (3) vorkommt. Da $N_{i}$ nur Variable von $W_{i}$, aber nicht von $W_{j}$ mit $j\neq i$ ist, vereinfacht sich die Summe von Gleichung (5) durch die partielle Ableitung nach $N_{i}$ wie folgt: ${\frac {\partial S}{\partial N_{i}}}=k_{\rm {B}}{\frac {\partial \ln W_{i}}{\partial N_{i}}}$.
Damit ergibt sich aus Gleichung (1) und (7):
    $\lambda ={\frac {\partial F}{\partial N_{i}}}={\frac {\partial E}{\partial N_{i}}}-T{\frac {\partial S}{\partial N_{i}}}=E_{i}-k_{\rm {B}}T{\frac {\partial \ln W_{i}}{\partial N_{i}}}.\qquad (8)$
Die partielle Ableitung ${\frac {\partial \ln W_{i}}{\partial N_{i}}}$ kann aus Gl. (6) mit $N_{i}>>1$ berechnet werden:
    ${\begin{aligned}{\frac {\partial \ln W_{i}}{\partial N_{i}}}&\approx \ln(N_{i}+D_{i}-1)+1-\ln N_{i}-1\\&=\ln(N_{i}+D_{i}-1)-\ln N_{i}\\&=\ln(D_{i}/N_{i}+1-1/N_{i})\\&\approx \ln(D_{i}/N_{i}+1).\\\end{aligned}}$
Damit ergibt sich aus Gleichung (8)
    $\lambda =E_{i}-k_{\rm {B}}T\ln(D_{i}/N_{i}+1)$.
Einsetzen der durch $f_{i}:={\frac {N_{i}}{D_{i}}}$ gegebenen Besetzungswahrscheinlichkeit $f_{i}$ und Umstellung ergibt
    $f_{i}={\frac {1}{\exp {\frac {E_{i}-\lambda }{k_{\rm {B}}T}}-1}}$.
Dies ist die Bose-Einstein-Statistik. Der Lagrange-Multiplikator erweist sich als ihr chemisches Potential $\mu =\lambda$.