# Faserung

Der Begriff der Faserung verallgemeinert den Begriff eines Faserbündels und spielt in der algebraischen Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik eine wichtige Rolle.
Anwendung finden Faserungen zum Beispiel in Postnikow-Systemen oder der Obstruktionstheorie.
In diesem Artikel sind alle Abbildungen stetige Abbildungen zwischen topologischen Räumen.

## Definitionen
### Homotopie-Hochhebungseigenschaft

Eine Abbildung $p\colon E\to B$ erfüllt die Homotopie-Hochhebungseigenschaft für einen Raum $X$, falls:
* für jede Homotopie $h\colon X\times [0,1]\to B$ und
* für jede Abbildung (auch Lift genannt) ${\tilde {h}}_{0}\colon X\to E,$ die $h_{0}=h|_{X\times {0}}$ hochhebt (bzw. liftet) (d. h. $h_{0}=p\circ {\tilde {h}}_{0}$),
existiert eine Homotopie ${\tilde {h}}\colon X\times [0,1]\to E,$ die $h$ hochhebt (d. h. $h=p\circ {\tilde {h}}$) mit ${\tilde {h}}_{0}={\tilde {h}}|_{X\times {0}}.$
Das folgende kommutative Diagramm zeigt die Situation:$^{[4]S.66}$

### Faserung

Eine Faserung (oder auch Hurewicz-Faserung) ist eine Abbildung $p\colon E\to B,$ welche die Homotopie-Hochhebungseigenschaft für alle Räume $X$ erfüllt. Der Raum $B$ wird Basisraum und der Raum $E$ wird Totalraum genannt. Als Faser über $b\in B$ bezeichnet man den Unterraum $p^{-1}(b)=F_{b}\subseteq E.$$^{[4]S.66}$

### Serre-Faserung

Eine Serre-Faserung (auch schwache Faserung genannt) ist eine Abbildung $p\colon E\to B,$ welche die Homotopie-Hochhebungseigenschaft für alle CW-Komplexe erfüllt.$^{[1]S.375-376}$
Jede Hurewicz-Faserung ist eine Serre-Faserung.

### Quasifaserung

Eine Abbildung $p\colon E\to B$ wird Quasifaserung genannt, falls für jedes $b\in B,$ $e\in p^{-1}(b)$ and $i\geq 0$ gilt, dass die induzierte Abbildung $p_{*}\colon \pi _{i}(E,p^{-1}(b),e)\to \pi _{i}(B,b)$ ein Isomorphismus ist.
Jede Serre-Faserung ist eine Quasifaserung.$^{[5]S.241-242}$

## Beispiele

* Die Projektion auf den ersten Faktor $p\colon B\times F\to B$ ist eine Faserung.
* Jede Überlagerung $p\colon E\to B$ erfüllt die Homotopie-Hochhebungseigenschaft für jeden Raum $X.$ Speziell gibt es für jede Homotopie $h\colon X\times [0,1]\to B$ und jeden Lift ${\tilde {h}}_{0}\colon X\to E$ einen eindeutig definierten Lift ${\tilde {h}}\colon X\to B$ mit $p\circ {\tilde {h}}=h.$$^{[2]S.159}$$^{[3]S.50}$
* Faserbündel $p\colon E\to B$ erfüllen die Homotopie-Hochhebungseigenschaft für alle CW-Komplexe.$^{[1]S.379}$
* Ein Faserbündel mit parakompaktem Hausdorff Basisraum erfüllt die Homotopie-Hochhebungseigenschaft für alle Räume.$^{[1]S.379}$
* Eine Faserung, welche kein Faserbündel ist, ist die von der Inklusion $i\colon \partial I^{k}\to I^{k}$ induzierte Abbildung $i^{*}\colon X^{I^{k}}\to X^{\partial I^{k}},$ wobei $k\in \mathbb {N} ,$ $X$ ein topologischer Raum und $X^{A}=\{f\colon A\to X\}$ der Raum aller stetigen Abbildungen mit der Kompakt-Offen-Topologie ist.$^{[2]S.198}$
* Die Hopf-Faserung $S^{1}\to S^{3}\to S^{2}$ ist ein nicht triviales Faserbündel und speziell eine Serre-Faserung.

## Grundlegende Konzepte
### Faser-Homotopieäquivalenz

Eine Abbildung $f\colon E_{1}\to E_{2}$ zwischen Totalräumen von zwei Faserungen $p_{1}\colon E_{1}\to B$ und $p_{2}\colon E_{2}\to B$ mit gleichem Basisraum ist ein Faserungs-Homomorphismus, falls das Diagramm
kommutiert. Die Abbildung $f$ ist eine Faser-Homotopieäquivalenz, falls zusätzlich ein Faserungs-Homomorphismus $g\colon E_{2}\to E_{1}$ existiert, sodass die Verknüpfungen $f\circ g$ bzw. $g\circ f$ homotop, durch Faserungs-Homomorphismen, zu den Identitäten $Id_{E_{2}}$ bzw. $Id_{E_{1}}$sind.

### Pullback-Faserung

Gegeben seien eine Faserung $p\colon E\to B$ und eine Abbildung $f\colon A\to B$. Die Abbildung $p_{f}\colon f^{*}(E)\to A$ ist eine Faserung, wobei $f^{*}(E)=\{(a,e)\in A\times E|f(a)=p(e)\}$ der Pullback ist und die Projektionen von $f^{*}(E)$ auf $A$ und $E$ das kommutative Diagramm liefern:
Die Faserung $p_{f}$ wird Pullback-Faserung oder auch induzierte Faserung genannt.

### Wegeraum-Faserung

Mit der Wegeraumkonstruktion kann jede stetige Abbildung zu einer Faserung erweitert werden, indem man den Definitionsbereich der Abbildung zu einem homotopieäquivalenten Raum vergrößert. Diese Faserung wird dann Wegeraum-Faserung genannt.
Der Totalraum $E_{f}$ der Wegeraum-Faserung für eine stetige Abbildung $f\colon A\to B$ zwischen topologischen Räumen besteht aus Paaren $(a,\gamma )$ mit $a\in A$ und Wegen $\gamma \colon I\to B$ mit Startpunkt $\gamma (0)=f(a)~$, wobei $I=[0,1]$ das Einheitsintervall ist. Der Raum $E_{f}=\{(a,\gamma )\in A\times B^{I}|\gamma (0)=f(a)\}$ trägt die Teilraumtopologie von $A\times B^{I},$ wobei $B^{I}$ den Raum aller Abbildungen $I\to B$ beschreibt und die Kompakt-Offen-Topologie trägt.
Die Wegeraum-Faserung ist durch die Abbildung $p\colon E_{f}\to B$ mit der Abbildungsvorschrift $p(a,\gamma )=\gamma (1)$ gegeben. Die Faser $F_{f}$ wird auch Homotopie-Faser von $f$ genannt und besteht aus den Paaren $(a,\gamma )$ mit $a\in A$ und Wegen $\gamma \colon [0,1]\to B,$ wobei $\gamma (0)=f(a)$ und $\gamma (1)=b_{0}\in B$ gilt.
Für den Spezialfall der Inklusion des Basispunktes $i\colon b_{0}\to B,$ ergibt sich ein wichtiges Beispiel der Wegeraum-Faserung. Der Totalraum $E_{i}$ besteht aus allen Wegen in $B,$ die am Punkt $b_{0}$ starten. Dieser Raum wird mit $PB$ gekennzeichnet und Wegeraum genannt. Die Wege-Faserung $p\colon PB\to B$ ordnet jedem Weg seinen Endpunkt zu, weshalb die Faser $p^{-1}(b_{0})$ aus allen geschlossenen Wegen besteht. Die Faser wird mit $\Omega B$ gekennzeichnet und Schleifenraum genannt.$^{[1]S.407-408}$

## Eigenschaften

* Die Fasern $p^{-1}(b)$ über $b\in B$ sind für die einzelnen Wegzusammenhangskomponenten von $B$ homotopieäquivalent.$^{[1]S.405}$
* Für eine Homotopie $f\colon [0,1]\times A\to B$ sind die Pullback Faserungen $f_{0}^{*}(E)\to A$ und $f_{1}^{*}(E)\to A$ Faser homotopieäquivalent.$^{[1]S.406}$
* Ist der Basisraum $B$ zusammenziehbar, dann ist $p\colon E\to B$ Faser homotopieäquivalent zu einer Produkt Faserung $B\times F\to B.$$^{[1]S.406}$
* Die Wegeraum-Faserung von $p$ ist sich selbst sehr ähnlich. Genauer gilt: Die Inklusion $E\hookrightarrow E_{p}$ ist eine Faser-Homotopieäquivalenz.$^{[1]S.408}$
* Ist der Totalraum $E$ zusammenziehbar, dann gibt es eine schwache Homotopieäquivalenz $F\to \Omega B.$$^{[1]S.408}$

## Puppe-Sequenz

Für eine Faserung $p\colon E\to B$ mit Faser $F$ und Basispunkt $b_{0}\in B$ ist die Inklusion $F\hookrightarrow F_{p}$ der Faser in die Homotopie-Faser eine Homotopieäquivalenz. Die Abbildung $i\colon F_{p}\to E$ mit $i(e,\gamma )=e,$ wobei $e\in E$ und $\gamma \colon I\to B$ ein Weg von $p(e)$ nach $b_{0}$ im Basisraum sind, ist eine Faserung. Sie ist die Pullback-Faserung der Wege-Faserung $PB\to B.$ Dieses Vorgehen kann nun wieder auf die Faserung $i$ angewandt und iteriert werden. Dies führt zu einer langen Sequenz:
    $\cdots \to F_{j}\to F_{i}\xrightarrow {j} F_{p}\xrightarrow {i} E\xrightarrow {p} B.$
Die Faser von $i$ über einem Punkt $e_{0}\in p^{-1}(b_{0})$ besteht aus genau den Paaren $(e_{0},\gamma )$ mit geschlossenen Wegen $\gamma$ und Startpunkt $b_{0}$, also dem Schleifenraum $\Omega B.$ Die Inklusion $\Omega B\to F$ ist eine Homotopieäquivalenz und durch Iteration ergibt sich die Sequenz:
    $\cdots \Omega ^{2}B\to \Omega F\to \Omega E\to \Omega B\to F\to E\to B.$
Durch die Dualität von Faserung und Kofaserung existiert auch eine Sequenz von Kofaserungen. Diese beiden Sequenzen sind unter dem Namen Puppe-Sequenzen oder auch Sequenz von Faserungen bzw. Kofaserungen bekannt.$^{[1]S.407-409}$

## Hauptfaserung

Eine Faserung $p\colon E\to B$ mit Faser $F$ wird Hauptfaserung genannt, falls ein kommutatives Diagramm existiert:
Die untere Zeile ist eine Sequenz von Faserungen und die vertikalen Abbildungen sind schwache Homotopieäquivalenzen. Hauptfaserungen spielen eine wichtige Rolle bei Postnikow-Türmen.$^{[1]p.412}$

## Lange exakte Homotopiesequenz

Für eine Serre-Faserung $p\colon E\to B$ existiert eine lange exakte Sequenz von Homotopiegruppen. Für Basispunkte $b_{0}\in B$ und $x_{0}\in F=p^{-1}(b_{0})$ ist diese gegeben durch:
    $\cdots \rightarrow \pi _{n}(F,x_{0})\rightarrow \pi _{n}(E,x_{0})\rightarrow \pi _{n}(B,b_{0})\rightarrow \pi _{n-1}(F,x_{0})\rightarrow \cdots \rightarrow \pi _{0}(F,x_{0})\rightarrow \pi _{0}(E,x_{0}).$
Die Homomorphismen $\pi _{n}(F,x_{0})\rightarrow \pi _{n}(E,x_{0})$ und $\pi _{n}(E,x_{0})\rightarrow \pi _{n}(B,b_{0})$ sind die induzierten Homomorphismen der Inklusion $i\colon F\hookrightarrow E$ und der Projektion $p\colon E\rightarrow B.$$^{[1]S.376}$

### Hopf-Faserungen

Unter den Hopf-Faserungen versteht man eine Familie von Faserbündeln, deren Faser, Totalraum und Basisraum Sphären sind:
    $S^{0}\hookrightarrow S^{1}\rightarrow S^{1},$
    $S^{1}\hookrightarrow S^{3}\rightarrow S^{2},$
    $S^{3}\hookrightarrow S^{7}\rightarrow S^{4},$
    $S^{7}\hookrightarrow S^{15}\rightarrow S^{8}.$
Die lange exakte Homotopiesequenz der Hopf-Faserung $S^{1}\hookrightarrow S^{3}\rightarrow S^{2}$ liefert:
    $\cdots \rightarrow \pi _{n}(S^{1},x_{0})\rightarrow \pi _{n}(S^{3},x_{0})\rightarrow \pi _{n}(S^{2},b_{0})\rightarrow \pi _{n-1}(S^{1},x_{0})\rightarrow \cdots \rightarrow \pi _{1}(S^{1},x_{0})\rightarrow \pi _{1}(S^{3},x_{0})\rightarrow \pi _{1}(S^{2},b_{0}).$
Die Sequenz zerfällt in kurze exakte Sequenzen, da die Faser $S^{1}$ in $S^{3}$ zu einem Punkt zusammengezogen werden kann:
    $0\rightarrow \pi _{i}(S^{3})\rightarrow \pi _{i}(S^{2})\rightarrow \pi _{i-1}(S^{1})\rightarrow 0.$
Diese kurze exakte Sequenz zerfällt wegen des Einhängungshomomorphismus $\phi \colon \pi _{i-1}(S^{1})\to \pi _{i}(S^{2})~$und es gibt Isomorphismen:
    $\pi _{i}(S^{2})\cong \pi _{i}(S^{3})\oplus \pi _{i-1}(S^{1}).$
Die Homotopiegruppen $\pi _{i-1}(S^{1})$ sind für $i\geq 3$ trivial, weshalb es Isomorphismen zwischen $\pi _{i}(S^{2})$ und $\pi _{i}(S^{3})$ ab $i=3$ gibt. Analog kann die Faser $S^{3}$ in $S^{7}$ und die Faser $S^{7}$ in $S^{15}$ zu einem Punkt zusammengezogen werden. Die kurzen exakten Sequenzen zerfallen weiter, wodurch es Familien von Isomorphismen gibt:
    $\pi _{i}(S^{4})\cong \pi _{i}(S^{7})\oplus \pi _{i-1}(S^{3})$ und $\pi _{i}(S^{8})\cong \pi _{i}(S^{15})\oplus \pi _{i-1}(S^{7}).$$^{[6]S.111}$

## Spektralsequenz

Spektralsequenzen sind wichtige Hilfsmittel in der algebraischen Topologie zur Berechnung von (Ko-)Homologiegruppen.
Die Leray-Serre-Spektralsequenz stellt einen Zusammenhang zwischen der (Ko-)Homologie von Totalraum und Faser mit der (Ko-)Homologie des Basisraums einer Faserung her. Für eine Faserung $p\colon E\to B$ mit Faser $F$, wobei der Basisraum ein wegzusammenhängender CW-Komplex ist, und einer additiven Homologietheorie $G_{*}$ existiert eine Spektralsequenz:
    $H_{k}(B;G_{q}(F))\cong E_{k,q}^{2}\implies G_{k+q}(E).$$^{[7]S.242}$
Faserungen liefern in der Homologie keine langen exakten Sequenzen, wie in der Homotopie. Aber unter bestimmten Bedingungen, liefern Faserungen exakte Sequenzen in der Homologie. Für eine Faserung $p\colon E\to B$ mit Faser $F$, wobei Basisraum und Faser wegzusammenhängend sind, die Fundamentalgruppe $\pi _{1}(B)$ auf $H_{*}(F)$ trivial operiert und zusätzlich die Bedingungen $H_{p}(B)=0$ für $0<p<m$ und $H_{q}(F)=0$ für $0<q<n$ gelten, existiert eine exakte Sequenz:
    $H_{m+n-1}(F)\xrightarrow {i_{*}} H_{m+n-1}(E)\xrightarrow {f_{*}} H_{m+n-1}(B)\xrightarrow {\tau } H_{m+n-2}(F)\xrightarrow {i^{*}} \cdots \xrightarrow {f_{*}} H_{1}(B)\to 0.$$^{[7]S.250}$
Diese Sequenz kann z. B. benutzt werden, um den Satz von Hurewicz zu beweisen oder um die Homologiegruppen von Schleifenräumen der Form $\Omega S^{n}$ zu berechnen:
    $H_{k}(\Omega S^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} &\exists q\in \mathbb {Z} \colon k=q(n-1)\\0&sonst\end{cases}}.$$^{[8]S.162}$
Für den Spezialfall einer Faserung $p\colon E\to S^{n},$ bei welcher der Basisraum eine $n$-Sphäre mit Faser $F$ ist, existieren exakte Sequenzen (auch Wang Sequenzen genannt) für Homologie und Kohomologie:
    $\cdots \to H_{q}(F)\xrightarrow {i_{*}} H_{q}(E)\to H_{q-n}(F)\to H_{q-1}(F)\to \cdots$
    $\cdots \to H^{q}(E)\xrightarrow {i^{*}} H^{q}(F)\to H^{q-n+1}(F)\to H^{q+1}(E)\to \cdots$$^{[4]S.456}$

## Orientierbarkeit

Für eine Faserung $p\colon E\to B$ mit Faser $F$ und einem festen kommutativen Ring $R$ mit Eins existiert ein kontravarianter Funktor von dem Fundamentalgruppoid von $B$ zur Kategorie von graduierten $R$-Moduln, welcher jedem $b\in B$ den Modul $H_{*}(F_{b},R)$ und der Wegeklasse $[\omega ]$ den Homomorphismus $h[\omega ]_{*}\colon H_{*}(F_{\omega (0)},R)\to H_{*}(F_{\omega (1)},R)$ zuordnet, wobei $h[\omega ]$ eine Homotopieklasse in $[F_{\omega (0)},F_{\omega (1)}]$ ist.
Eine Faserung wird orientierbar über $R$ genannt, falls für jeden geschlossenen Weg $\omega$ in $B$ gilt: $h[\omega ]_{*}=1.$$^{[4]S.476}$

## Euler-Charakteristik

Für eine über einem Körper $\mathbb {K}$ orientierbare Faserung $p\colon E\to B$ mit Faser $F$ und wegzusammenhängendem Basisraum ist die Euler-Charakteristik des Totalraums definiert durch:
    $\chi (E)=\chi (B)\chi (F).$
Die Euler-Charakteristiken des Basisraums und der Faser sind dabei über dem Körper $\mathbb {K}$ definiert.$^{[4]S.481}$