# Ternärsystem und ternäre Multiplikation

Die ternäre Multiplikation ist eine Multiplikation im Ternärsystem.
Ternäre Arithmetik findet Anwendung bei frühen Computersystemen wie dem Setun, aber auch bei einigen mathematischen Fragestellungen.

## Arithmetik im gewöhnlichen Ternärsystem

Die Grundrechenarten der Addition und Multiplikation basieren auf den Regeln für einstellige ternäre Ziffern.
| „+“ | 0 | 1 | 2 |
| 0 | 0 | 1 | 2 |
| 1 | 1 | 2 | 10 |
| 2 | 2 | 10 | 11 |
| „*“ | 0 | 1 | 2 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 2 |
| 2 | 0 | 2 | 11 |
und damit die Addition mit Übertrag analog
| | 2 0 1 0 |
| „+“ | 2 2 1 0 |
| Übertrag | 1 |
| | 1 1 2 2 0 |
und die Multiplikation mit Übertrag ebenso
* 2 0 1 0 × 2 2 1 0 =
* 1 1 0 2 0    1 1 0 2 0          2 0 1 0             0 0 0 0
* 1 2 2 1 2 1 0 0

## Ternäre Multiplikation

Auch für das balancierte Ternärsystem bestehen spezielle Additions- und Multiplikationsregeln.$^{(5)}$
Analog zur russischen Bauernmultiplikation (indirekte Nutzung des binären Zahlensystems) existiert auch ein Verfahren für das ternäre Zahlensystem, welches mit Additionen, Subtraktionen und Streichungen eine Multiplikation auszuführen vermag.

### Verfahren (Multiplikation unter indirekter Nutzung des Dreierzahlensystems)

* Den linken Faktor des Produkts dritteln, den rechten verdreifachen. Hier reichen auch ungefähre Werte (z. B. 23 gedrittelt sind 8)
* Das Ergebnis bildet eine neue Zeile
* Eine Zeile mit einer Zahl kleiner als 0,5 in der linken Spalte wird gestrichen und führt zum Abbruch des Drittelns bzw. des Verdreifachens.
* Ist der linke Faktor der Zeile ohne Rest durch drei teilbar, wird die Zeile gestrichen
* Ist der Rest bei der Division des linken Faktors durch drei gleich 1 wird im Folgenden der rechte Faktor addiert
* Ist der Rest bei der Division des linken Faktors durch drei gleich 2 wird im Folgenden der rechte Faktor subtrahiert
* Der letzte Wert des rechten Faktors gilt als Ausgangspunkt. Von diesem werden je nach den o. g. Regeln die anderen Werte entweder addiert, abgezogen oder ignoriert.
Bsp.:
23 * 7 ( 7 subtrahieren ( n * 3 + 2 ) )
8 21 ( 21 subtrahieren ( n * 3 + 2 ) )
3 63 (diese Zeile streichen (n * 3) )
1 189 (Anfangswert für Schlussrechnung)
________________
==> 189 – 21 -7 = 161
Bsp.:
12 * 11 (diese Zeile streichen (n * 3) )
4 33 ( 33 addieren ( n * 3 + 1 ) )
1 99 (Anfangswert für Schlussrechnung)
________________
==> 99 + 33 = 132
Beispiel
Das Produkt aus 27 und 82 wird folgendermaßen errechnet:
Multiplikator Multiplikand zu addieren Multiplikator ternär Multiplikand ternär zu addieren
27 82 --- 1000 10001 ---
9 246 --- 100 100010 ---
3 738 --- 10 1000100 ---
1 2214 2214 1 10001000 10001000
Produkt: 2214 Produkt ternär: 10001000
Erklärung
Die ternäre Multiplikation kann durch Zerlegung des Multiplikators in Dreierpotenzen nachvollzogen werden:
82 * 27 = 82 * ( 0 * 3^0 + 0 * 3^1 + 0 * 3^2 + 3^3 )
= 82 * 0 + 82 * 0 + 82 * 0 + 82 * 3^3
= 0 + 0 + 0 + 2214
= 2214
Die Summanden, die den Faktor null enthalten, entsprechen den Zeilen, die gestrichen werden.
In der ternären Repräsentation erkennt man eine Zahl, die ein Vielfaches von drei ist, an der 0 an der rechten Stelle in der ternären Schreibweise (3er-System) – der niederwertigsten Einheit im Dreiersystem, dem Trit.
Ein Induktionsbeweis könnte die Korrektheit des Verfahrens der ternären Multiplikation nachweisen.
Weiterhin existieren auch die grundlegenden Rechenoperationen im gewöhnlichen Ternärsystem, welche hier jeweils anhand eines Beispiels dargestellt werden:
Addition im Dreiersystem: $^{(3)}$
42 + 17 = 59 (Zehnersystem)
1120 (Dreiersystem)
+ 122
____
2012 Die Zahl 2012(3) entspricht im Zehnersystem der Zahl 59.
Subtraktion im Dreiersystem:
42 – 17 = 25 (Zehnersystem)
1120 (Dreiersystem)
- 122
____
221 Die Zahl 221(3) entspricht im Zehnersystem der Zahl 25.
Multiplikation im Dreiersystem: $^{(3)}$
17 * 25 = 425 (Zehnersystem)
122 * 221 (Dreiersystem)
________
102100
10210
122
________
120202 Die Zahl 120202(3) entspricht im Zehnersystem der Zahl 425.
Division im Dreiersystem:
99 : 9 = 11 (Zehnersystem)
10200 : 100 = 102 (Dreiersystem)
100
____
20
0
____
200
200
____
0 Die Zahl 102(3) entspricht im Zehnersystem der Zahl 11.
Ternäres Potenzieren
Verfahren: (Potenzieren unter indirekter Nutzung des Dreierzahlensystems)
* Exponent dritteln (gerundete Werte genügen), Basis mit 3 potenzieren, also hoch drei nehmen.
* Eine Zeile mit einem gerundeten Exponenten 1 führt zum Abbruch des Drittelns.
* Eine Zeile mit einer Basis, welche ein Vielfaches von drei (gerundet) ist, wird herausgestrichen.
(Die Teilbarkeit einer Zahl durch 3 lässt sich leicht mit der Quersumme der zu untersuchenden Zahl überprüfen. Bsp.: 246 ==> 2 + 4 + 6 = 12; 12 ist durch 3 teilbar, also ist auch 246 durch 3 teilbar)
* ;Die verbliebenen Basen werden nach einem bestimmten Muster (Rechenzeichen ist abhängig von dem gerundeten Wert des Exponenten) miteinander multipliziert bzw. dividiert.
* 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 …
* ,Es folgt hieraus das Ergebnis der Potenzaufgabe.
Beispiel 1: 3^4 (die Rechnung ergibt 81, was hier gezeigt werden soll)
27^1 (Abbruch des ternären Verfahrens, den Exponenten zu dritteln)
27 * 3 = 81
Beispiel 2: 2^10 (die Rechnung ergibt 1024, was hier gezeigt werden soll)
8^3 (gerundeter Exponent ist ein Vielfaches von 3, deshalb diese Zeile für Schlussrechnung streichen)
512^1 (Abbruch des ternären Verfahrens, den Exponenten zu dritteln)
512 * 2 = 1024
Beispiel 3: 3^8 (die Rechnung ergibt 6561, was hier gezeigt werden soll)
27^3 (gerundeter Exponent ist ein Vielfaches von 3, daher wird Zeile gestrichen)
19683^1 (Abbruch des ternären Verfahrens, den Exponenten zu dritteln)
19683 : 3 = 6561