# Magnetisches Vektorpotential

Das magnetische Vektorpotential ${\vec {A}}$, oft auch nur als Vektorpotential bezeichnet, ist in der klassischen Elektrodynamik ein Vektorfeld, dessen Rotation die magnetische Flussdichte ${\vec {B}}({\vec {r}})$ ergibt:
    $\nabla \times {\vec {A}}({\vec {r}})={\vec {B}}({\vec {r}})$.
Historisch wurde es als mathematisches Hilfsmittel entwickelt, um die magnetische Flussdichte leichter zu beschreiben. Es lässt sich u. a. auch dazu verwenden, die zur Beschreibung des elektromagnetischen Felds verwendeten Maxwell-Gleichungen zu entkoppeln und dadurch leichter lösbar zu machen.
Obwohl es zunächst nur als mathematisches Hilfsmittel eingeführt wurde, kommt ihm in der Quantenmechanik physikalische Realität zu, wie das Aharonov-Bohm-Experiment zeigt.
Das magnetische Vektorpotential hat die SI-Einheit $[A]=\mathrm {T\cdot m} =\mathrm {\frac {V\,s}{m}}$.

## Definition

Das magnetische Vektorpotential ${\vec {A}}({\vec {r}},t)$ ist ein Vektorfeld, das zusammen mit dem elektrischen Potential $\Phi ({\vec {r}},t)$ durch die Gleichungen
    ${\vec {B}}=\nabla \times {\vec {A}}({\vec {r}},t)\qquad {\vec {E}}=-\nabla \Phi ({\vec {r}},t)-{\frac {\partial {\vec {A}}({\vec {r}},t)}{\partial t}}$
definiert ist. ${\vec {B}}$ steht für die magnetische Flussdichte, ${\vec {E}}$ für das elektrische Feld. In der Magnetostatik ist das magnetische Vektorpotential ${\vec {A}}({\vec {r}})$ nicht zeitabhängig. Es ist deshalb vollständig durch die erste Gleichung unabhängig vom elektrischen Potential definiert.
    ${\vec {B}}=\nabla \times {\vec {A}}({\vec {r}})$
Das magnetische Vektorpotential ist eine Anwendung des rein mathematischen Vektorpotentials.

## Berechnung
### Magnetostatik

In der Magnetostatik erfüllt das Vektorpotential die Poisson-Gleichung (mit der Vakuumpermeabilität $\mu _{0}$):
    $\nabla ^{2}{\vec {A}}({\vec {r}})=-\mu _{0}{\vec {j}}$.
Diese Differentialgleichung kann mit einer Faltung (siehe Greensche Funktion) gelöst werden, um das magnetische Vektorpotential zu erhalten:
    ${\vec {A}}({\vec {r}})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {{\vec {j}}({\vec {r}}')}{\left|{\vec {r}}-{\vec {r}}'\right|}}\mathrm {d} ^{3}r'\,,$
Diese Beziehung gilt nur, wenn die Stromdichte ${\vec {j}}$ im Unendlichen verschwindet und dabei mindestens so schnell wie $1/r$ gegen null geht.

### Elektrodynamik

In der Elektrodynamik erweitert sich die Poisson-Gleichung zur (inhomogenen) Wellengleichung für das Vektorpotential
    $\Box {\vec {A}}({\vec {r}},t)={\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}{\vec {A}}({\vec {r}},t)-\nabla ^{2}{\vec {A}}({\vec {r}},t)=\mu _{0}{\vec {j}}$,
wobei $\Box$ der D’Alembert-Operator ist.
Die inhomogenen Lösungen dieser Gleichung sind das retardierte bzw. avancierte Vektorpotential
    ${\vec {A}}({\vec {r}},t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {{\vec {j}}({\vec {r}}',t')}{\left|{\vec {r}}-{\vec {r}}'\right|}}\mathrm {d} ^{3}r'$, mit $t'=t\mp {\frac {|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}{c}}$.

## Eigenschaften

Weil die Divergenz einer Rotation immer Null ist, gilt
    ${\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {B} &=\nabla \cdot \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)=0\\\nabla \times \mathbf {E} &=\nabla \times \left(-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right)=-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.\end{aligned}}$
Die Definition sorgt so dafür, dass Induktionsgesetz und das Gaußsches Gesetz für Magnetfelder, also zwei der Maxwell-Gleichungen, automatisch erfüllt sind.
Das magnetische Vektorpotential ist als Vektorfeld außerdem nicht konservativ. Andernfalls wäre es durch den Gradienten eines skalaren Feldes $\alpha$ darstellbar und es würde gelten:
    ${\vec {B}}({\vec {r}})=\nabla \times {\vec {A}}({\vec {r}})=\nabla \times \nabla \alpha \equiv 0\,\,.$
Skalares Potential und Vektorpotential werden in der Relativitätstheorie und der Quantenelektrodynamik zum Viererpotential
    $A^{\mu }=\left(\Phi /c,{\vec {A}}\right)$
zusammengefasst.

## Eichungen

* Das Vektorpotential ist nur bis auf ein Gradientenfeld bestimmt, weil die Rotation eines Gradientenfeldes immer verschwindet. Für jede skalare Funktion $\chi ({\vec {r}},t)$ gilt also
       ${\begin{aligned}{\vec {A}}({\vec {r}},t)'&={\vec {A}}({\vec {r}},t)+\nabla \chi ({\vec {r}},t)\\\Rightarrow \;\;{\vec {B}}({\vec {r}},t)'&=\nabla \times {\vec {A}}({\vec {r}},t)'=\nabla \times {\vec {A}}({\vec {r}},t)+\nabla \times \nabla \chi =\nabla \times {\vec {A}}({\vec {r}},t)={\vec {B}}({\vec {r}},t)\,.\end{aligned}}$
    Verschieden geeichte Vektorpotentiale führen also auf dasselbe magnetische Feld. Dies wird als Eichinvarianz bezeichnet.
* In der Magnetostatik kann das Vektorpotential über die Coulomb-Eichung quellfrei gemacht werden, das bedeutet
       $\nabla \cdot {\vec {A}}({\vec {r}})=0$.
* In der Elektrodynamik, d. h. bei nicht-statischen Verhältnissen, benutzt man dagegen meist die folgende Lorenz-Eichung, die für die Berechnung elektromagnetischer Wellenfelder nützlich ist:
       $\nabla \cdot {\vec {A}}({\vec {r}},t)+{\frac {1}{\ c^{2}}}\partial _{t}\Phi ({\vec {r}},t)=0\,.$ Dabei ist $\Phi ({\vec {r}},t)$ das skalare Potential (s. u.) und $c$ die Lichtgeschwindigkeit.

## Elektrisches Vektorpotential

Bei der Berechnung von Feldern in ladungs- und leitungsstromfreien Gebieten, z. B. in Hohlleitern begegnet man dem elektrischen Vektorpotential ${\vec {F}}$, es hat die Einheit einer Linienladungsdichte ${\frac {C}{m}}$.
Aufgrund der Quellenfreiheit der betrachteten Felder gilt
    $\operatorname {div} {\vec {D}}=0$   bzw.
    $\operatorname {div} {\vec {E}}=0$   sowie
    $\operatorname {div} \operatorname {rot} {\vec {F}}=0$.
Um einen funktionalen Zusammenhang zwischen ${\vec {D}}(r)$ und ${\vec {F}}(r)$ zu erhalten, subtrahiert man die Gleichungen $\operatorname {div} {\vec {D}}=0$ und $\operatorname {div} \operatorname {rot} {\vec {F}}=0$ voneinander und erhält:
    $\operatorname {div} ({\vec {D}}-\operatorname {rot} {\vec {F}})=0$
Das Wirbelfeld ${\vec {F}}$ nennt man elektrisches Vektorpotential. Es beschreibt nur zeitlich veränderliche elektrische Felder.

## Beziehungen zwischen Vektor- und Skalarpotential

Gemäß dem helmholtzschen Theorem kann (fast) jedes Vektorfeld ${\vec {K}}({\vec {r}})$ als Superposition zweier Komponenten ${\vec {F}}({\vec {r}})$ und ${\vec {G}}({\vec {r}})$ aufgefasst werden, deren erste der Gradient eines Skalarpotentials $\Phi ({\vec {r}})$ ist, die zweite dagegen die Rotation eines Vektorpotentials ${\vec {\Gamma }}({\vec {r}})$:
    ${\vec {K}}({\vec {r}})={\vec {F}}({\vec {r}})+{\vec {G}}({\vec {r}})=\operatorname {grad} \,\Phi ({\vec {r}})+\operatorname {rot} \,{\vec {\Gamma }}({\vec {r}})=\nabla \Phi ({\vec {r}})+\nabla \times {\vec {\Gamma }}({\vec {r}})$
Ist ${\vec {F}}({\vec {r}})\,$ ein konservatives Kraftfeld, in dem die Kraft ${\vec {F}}\,$ dem Prinzip des kleinsten Zwanges folgend stets der Richtung des maximalen Anstiegs des Potentials $\Phi \$ entgegengerichtet ist, gilt alternativ die Schreibweise
    ${\vec {K}}({\vec {r}})={\vec {F}}({\vec {r}})+{\vec {G}}({\vec {r}})=-\operatorname {grad} \,\Phi ({\vec {r}})+\operatorname {rot} \,{\vec {\Gamma }}({\vec {r}})=-\nabla \Phi ({\vec {r}})+\nabla \times {\vec {\Gamma }}({\vec {r}}).$