# Novikov-Vermutung

In der Mathematik ist die Novikov-Vermutung eine für zahlreiche Gruppen $\pi$ bewiesene, aber im Allgemeinen offene Vermutung über die Topologie differenzierbarer Mannigfaltigkeiten mit Fundamentalgruppe $\pi$.
Sie hat zahlreiche Anwendungen in der Chirurgietheorie bei der Klassifikation der Differentialstrukturen zu einem gegebenen Homotopietyp.
Sie macht eine Aussage über die Homotopieinvarianz gewisser Kombinationen rationaler Pontrjagin-Klassen. Rationale Pontrjaginklassen sind Invarianten differenzierbarer Mannigfaltigkeiten, die nach einem Satz von Novikov invariant unter Homöomorphismen, aber im Allgemeinen nicht invariant unter Homotopieäquivalenzen sind. Für die aus den Pontrjaginklassen gebildete L-Klasse ist $\langle L(M),\left[M\right]\rangle$ nach dem Signatursatz von Hirzebruch die homotopieinvariante Signatur. Die Novikov-Vermutung gibt (in Abhängigkeit von der Fundamentalgruppe) weitere homotopieinvariante Kombinationen. Es wird vermutet, dass sich alle homotopieinvarianten Kombinationen rationaler Pontrjaginklassen aus den in der Novikov-Vermutung betrachteten höheren Signaturen ergeben.
Sie würde aus der Baum-Connes-Vermutung oder auch der Borel-Vermutung folgen.

## Formulierung der Vermutung

Sei $M$ eine geschlossene, orientierbare, $n$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit, $\pi :=\pi _{1}M$ ihre Fundamentalgruppe und $f\colon M\to B\pi$ deren klassifizierende Abbildung. Zu jeder Kohomologieklasse $\alpha \in H^{*}(B\pi ;\mathbb {Q} )$ definiert man eine höhere Signatur $\sigma _{\alpha }(M)$ durch
    $\sigma _{\alpha }(M):=\langle L(M)\cup f^{*}\alpha ,\left[M\right]\rangle$,
wobei $L(M)$ die L-Klasse von $M$, $\cup$ das Cup-Produkt, $\left[M\right]$ die Fundamentalklasse und $\langle .,.\rangle$ die Kronecker-Paarung bezeichnet.
Die Novikov-Vermutung besagt, dass für jedes gegebene $\alpha \in H^{*}(B\pi ;\mathbb {Q} )$ die höhere Signatur eine Homotopieinvariante geschlossener, orientierbarer Mannigfaltigkeiten mit Fundamentalgruppe $\pi$ ist, d. h. homotopieäquivalente, geschlossene, orientierbare Mannigfaltigkeiten haben dieselben höheren Signaturen.

## Bewiesene Fälle

Man sagt, dass die Novikov-Vermutung für eine Gruppe $\pi$ bewiesen ist, wenn sie für alle Mannigfaltigkeiten mit Fundamentalgruppe $\pi$ bewiesen wurde.
* Novikov bewies seine Vermutung für abelsche Gruppen.
* Kasparow bewies mittels KK-Theorie die Novikov-Vermutung für Gruppen, die eine eigentliche Wirkung als Isometrien einer einfach zusammenhängenden Mannigfaltigkeit nichtpositiver Krümmung besitzen, insbesondere also diskrete Untergruppen einer Lie-Gruppe mit endlich vielen Zusammenhangskomponenten.
* Connes und Moscovici bewiesen die Novikov-Vermutung für Gromov-hyperbolische Gruppen. Die im Beweis verwendete Surjektivität des Homomorphismus von beschränkter Kohomologie in die Gruppenkohomologie wurde von Mineyev bewiesen.
* Higson und Kasparow bewiesen die Novikov-Vermutung für Gruppen, die eine eigentliche Wirkung als Isometrien des Hilbertraums besitzen, insbesondere für mittelbare Gruppen.
* Yu bewies die Novikov-Vermutung für Gruppen endlicher asymptotischer Dimension und allgemeiner für Gruppen, die grob in den Hilbertraum eingebettet werden können. Letzteres trifft auf alle linearen Gruppen und auf Untergruppen von $Out(F_{n})$ zu.
* Hamenstädt bewies, dass Abbildungsklassengruppen exakt („boundary amenable“) sind, woraus für diese und alle ihre Untergruppen die Novikov-Vermutung folgt.