# Postliminale C*-Algebra

Postliminale C*-Algebren bilden eine in der Mathematik betrachtete Klasse von C*-Algebren. Alternative Bezeichnungen, die weiter unten motiviert werden, sind GCR-Algebra oder Typ-I-C*-Algebra. Es handelt sich um eine Verallgemeinerung der Klasse der liminalen C*-Algebren.

## Definition

Eine C*-Algebra $A$ heißt postliminal, wenn für jedes echte, abgeschlossene, zweiseitige Ideal $I\subset A$ die Quotientenalgebra $A/I$ ein von $\{0\}$ verschiedenes liminales Ideal enthält.
Damit ist der Begriff der postliminalen C*-Algebra auf den der liminalen C*-Algebra zurückgeführt und stellt offenbar eine Verallgemeinerung dar. Das wird auch durch die erste der folgenden Charakterisierungen deutlich.

## Charakterisierungen
### Bilder irreduzibler Darstellungen

Ist $\pi$ eine irreduzible Darstellung der C*-Algebra $A$ auf dem Hilbertraum $H$, so enthält $A/{\mbox{ker}}(\pi )$ nach Definition ein von $\{0\}$ verschiedenes liminales Ideal. Man kann zeigen, dass durch ${\tilde {\pi }}(a+{\mbox{ker}}(\pi )):=\pi (a)$ eine irreduzible Darstellung ${\tilde {\pi }}$ dieses Ideals definiert wird. Da $I$ liminal ist, fällt das Bild ${\tilde {\pi }}(I)$ mit der Algebra $K(H)$ der kompakten Operatoren zusammen und daraus folgt $\pi (A)\supset K(H)$. Das Bild einer jeden irreduziblen Darstellung umfasst also die kompakten Operatoren und davon gilt sogar die Umkehrung:
* Eine C*-Algebra $A$ ist genau dann postliminal, wenn $\pi (A)\supset K(H)$ für jede irreduzible Darstellung $\pi :A\rightarrow L(H)$ von $A$.
Für liminale C*-Algebren hat man eine fast gleich lautende Charakterisierung, die Inklusion ist lediglich durch eine Gleichheit ersetzt (siehe Artikel liminale C*-Algebra). Da man liminale C*-Algebren wegen dieser Beziehung zu den kompakten Operatoren auch CCR-Algebren nennt (CCR=completely continuous representations), heißen postliminale C*-Algebren aus demselben Grunde auch GCR-Algebren (GCR = generalized completely continuous representations).

### Kompositionsreihen

Eine Kompositionsreihe einer C*-Algebra $A$ ist eine Familie $(I_{\beta })_{0\leq \beta \leq \alpha }$ von abgeschlossenen, zweiseitigen Idealen $I_{\beta }\subset A$, wobei
* $\alpha$ ist eine Ordinalzahl ($\beta$ durchläuft also alle Ordinalzahlen bis $\alpha$ einschließlich.)
* $I_{0}\,=\,\{0\}$ und $I_{\alpha }\,=\,A$.
* Für $0\leq \beta \leq \gamma \leq \alpha$ gilt $I_{\beta }\subset I_{\gamma }$
* Ist $\gamma \in [0,\alpha ]$ eine Limeszahl, so ist $I_{\gamma }$ der Abschluss von $\bigcup _{0\leq \beta <\gamma }I_{\beta }$.
Mit dieser Begriffsbildung kann man folgende Charakterisierung beweisen:
* Eine C*-Algebra $A$ ist genau dann postliminal, wenn es eine Kompositionsreihe $(I_{\beta })_{0\leq \beta \leq \alpha }$ von $A$ gibt, so dass alle Quotienten $I_{\beta +1}/I_{\beta }$ liminal sind.

### Typ I

Eine Darstellung $\pi :A\rightarrow L(H)$ einer C*-Algebra $A$ heißt vom Typ I, falls die vom Bild $\pi (A)$ erzeugte Von-Neumann-Algebra vom Typ I ist, das heißt wenn der Bikommutant $\pi (A)''\subset L(H)$ eine Typ I Von-Neumann-Algebra ist.
* Eine C*-Algebra $A$ ist genau dann postliminal, wenn jede Darstellung vom Typ I ist.
Daher nennt man postliminale C*-Algebren auch Typ-I-C*-Algebren. Diese Bezeichnung kann aber zur Verwirrung Anlass geben, denn eine Typ I Von-Neumann-Algebra, die ja auch eine C*-Algebra ist, ist im Allgemeinen keine Typ-I-C*-Algebra, wie das Beispiel $A=L(H)$ mit unendlich-dimensionalem Hilbertraum $H$ zeigt.

### Spektrum

Ist $[\pi ]$ eine Äquivalenzklasse irreduzibler Darstellungen von $A$, also ein Element des Spektrums ${\hat {A}}$, so hängt das Ideal ${\mbox{ker}}(\pi )$ nur von der Äquivalenzklasse $[\pi ]$ und nicht von der konkreten Darstellung $\pi$ ab. Da die Kerne irreduzibler Darstellungen definitionsgemäß die primitiven Ideale sind, ist die Kernbildung, $[\pi ]\mapsto \ker(\pi )$, eine Abbildung ${\hat {A}}\to {\mbox{Prim}}(A)$ vom Spektrum in den Raum der primitiven Ideale. Diese ist nach Konstruktion surjektiv, im Allgemeinen aber nicht injektiv.
* Ist $A$ eine postliminale C*-Algebra, so ist die Kernabbildung ${\hat {A}}\to {\mbox{Prim}}(A)$ injektiv. Ist $A$ separabel, so gilt hiervon die Umkehrung.
Eine mögliche Umkehrung dieser Aussage auch im Falle nicht-separabler C*-Algebren ist offen, jedenfalls wäre sie im Rahmen der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre mit Auswahlaxiom nicht beweisbar, wie die Konsistenz eines Gegenbeispiels zum Naimark-Problem zeigt.

## Beispiele

* Liminale C*-Algebren sind postliminal.
* Es sei $T$ die vom Shiftoperator $s\in L(\ell ^{2})$ erzeugte C*-Algebra, die sogenannte Toeplitz-Algebra (nach Otto Toeplitz). Da $1-s^{n}s^{*n}$ die Orthogonalprojektion auf den von den Basisvektoren $e_{1},\ldots e_{n}\in \ell ^{2}$ erzeugten Unterraum und damit ein kompakter Operator ist, kann man zeigen, dass $K(H)\subset T$. Weiter gilt, dass $T/K(H)\cong C(S^{1})$, wobei $S^{1}\subset \mathbb {C}$ die Kreislinie ist, denn $T/K(H)$ wird von der Restklasse $s+K(H)$ erzeugt, und diese hat die Kreislinie als Spektrum. Man hat sogar eine exakte Sequenz
$\{0\}\rightarrow K(H)\rightarrow T\rightarrow C(S^{1})\rightarrow \{0\}$
    Jedenfalls ist durch $I_{0}:=\{0\},I_{1}:=K(H),I_{2}:=T$ eine Kompositionsreihe von $T$ gegeben, und die Quotienten $T/K(H)\cong C(S^{1})$ und $K(H)/\{0\}\cong K(H)$ sind liminal. Daher ist T postliminal, aber nicht liminal, denn ${\mbox{id}}_{T}:T\rightarrow L(\ell ^{2})$ ist eine irreduzible Darstellung, die den nicht-kompakten Operator $s$ im Bild enthält.
* $L(\ell ^{2})$ ist ein Beispiel für eine C*-Algebra, die nicht postliminal ist. Die Calkin-Algebra ist ein weiteres Beispiel einer nicht-postliminalen C*-Algebra.

## Eigenschaften

* Eine Unter-C*-Algebra einer postliminalen C*-Algebra ist wieder postliminal.
* Ist $I\subset A$ ein abgeschlossenes, zweiseitiges Ideal in der postliminalen C*-Algebra $A$, so ist auch $A/I$ postliminal.
* Ist $I\subset A$ ein abgeschlossenes, zweiseitiges Ideal in der C*-Algebra $A$ und sind $I$ und $A/I$ postliminal, so ist auch $A$ postliminal.
* Postliminale C*-Algebren sind nuklear.
* Ist $A$ postliminal, so besitzt $A$ eine Kompositionsreihe $(I_{\beta })_{0\leq \beta \leq \alpha }$, so dass alle Quotienten $I_{\beta +1}/I_{\beta }$ C*-Algebren mit stetiger Spur sind. Das verschärft die oben mittels Kompositionsreihen gegebene Charakterisierung.
* Eine postliminale C*-Algebra $A$ ist genau dann liminal, wenn jeder Punkt in ${\hat {A}}\cong {\mbox{Prim}}(A)$ abgeschlossen bzgl. der Zariski-Topologie ist, das heißt wenn das Spektrum ${\hat {A}}$ ein T$_1$-Raum ist.

## Quellen

* W. Arveson: Invitation to C*-algebras, Springer-Verlag (1976), ISBN 0-387-90176-0.
* J. Dixmier: Les C*-algèbres et leurs représentations, Gauthier-Villars, 1969