# Shunting-yard-Algorithmus

Der Shunting-yard-Algorithmus (deutsch: Rangierbahnhof-Algorithmus) ist eine Methode, um mathematische Terme von der Infixnotation in die umgekehrte polnische Notation oder in einen abstrakten Syntaxbaum zu überführen. Der Algorithmus wurde von Edsger W. Dijkstra erfunden und mit englisch shunting yard ‚Rangierbahnhof‘ benannt, weil er in seiner Arbeitsweise an einen Rangierbahnhof erinnert.

## Funktionsweise

Der Shunting-yard-Algorithmus benötigt für die Konversion sowohl eine Input- als auch eine Outputqueue sowie einen Stack, der für das Zwischenspeichern der Operatoren benötigt wird. Der Inputstring wird zeichenweise gelesen, wobei alle Zahlen direkt und in derselben Reihenfolge in die Ausgabevariable geschrieben werden. Falls das anstehende Zeichen ein Operationszeichen ist, wird es auf den Operatorenstack gelegt. Falls bereits ein Operator auf dem Stack liegt, wird anhand der Operatorrangfolge und der Operatorassoziativität entschieden, ob der neue Operator direkt auf den Stack gelegt wird oder ob der Stack zuerst in den Output geleert wird.
Öffnende Klammern werden ebenfalls auf den Operatorstack gelegt, allerdings werden sie beim Entfernen nicht in den Outputstream geschrieben. Bei schließenden Klammern wird der Stack bis zum Antreffen einer öffnenden Klammer geleert; sollte keine öffnende Klammer gefunden werden, ist der Inputstring unvollständig, wobei allerdings die Fehlerbehandlung nicht durch den Algorithmus definiert wird.

## Im Detail

Es folgt ein deutscher Pseudocode, der in die meisten Programmiersprachen einfach übersetzt und angepasst werden kann.
Dieser Algorithmus setzt voraus, dass alle Tokens vom Parser richtig erkannt werden und gültig sind. Insbesondere die Überlagerung (Vorzeichen versus Operator) der Zeichen „+“ und „−“ übernimmt dieser Algorithmus nicht. Ein Konflikt von rechts- und linksassoziativen Operatoren mit gleicher Präzedenz wird nicht abgefangen.
Der „lesende“ Zugriff auf den Stack (z. B. bei „Stack-Spitze IST“) und der „nehmende“ (bei „Stack-Spitze ZU“) werden vorausgesetzt.
Vorausgesetzte Funktionen sind:
* Erkennen von (vorzeichenbehafteten) Zahlen
* Erkennen von Funktionen
* Erkennen von Argumenttrennzeichen
* Erkennen von Operatoren
* Feststellen der Operatorassoziativität
* Feststellen der Operatorpräzedenz (hier bedeutet höhere Präzedenz eine stärkere Bindung), die Präzedenz einer Funktion ist maximal

## Beispiele

Die folgenden in Infixnotation gegebenen Rechnungen sollen umgeformt werden. Es wird dokumentiert, was geschieht.
Präzedenzen: (+,−) < (·,:) < (^) < Funktionen

### (3 + 4)(5 − 6)

* Tokens zusammenfassen: (3+4)(5−6) (Hier: Jedes Zeichen ist ein Token)
* ( auf den Stack
* 3 zur Ausgabe
* + auf den Stack
* 4 zur Ausgabe
** + zur Ausgabe
** ( vom Stack entfernen
* Operator erwartet, aber ( gefunden:
** implizites · auf den Stack
** ( auf den Stack
* 5 zur Ausgabe
* − auf den Stack
* 6 zur Ausgabe
** − zur Ausgabe
** ( vom Stack entfernen
* Ende: · zur Ausgabe
Ausgabe:34+56−·

### 1 + 2 − 3 · 4 + 5^6^7 · 8 − 9

* Tokens zusammenfassen: 1+2−3·4+5^6^7·8−9 (Hier: Jedes Zeichen ist ein Token)
* 1 zur Ausgabe
* + auf den Stack
* 2 zur Ausgabe
** + zur Ausgabe
** − auf den Stack
* 3 zur Ausgabe
* · auf den Stack
* 4 zur Ausgabe
** · zur Ausgabe
** − zur Ausgabe
** + auf den Stack
* 5 zur Ausgabe
* ^ auf den Stack
* 6 zur Ausgabe
* ^ auf den Stack (^ ist rechtsassoziativ)
* 7 zur Ausgabe
** ^ zur Ausgabe
** ^ zur Ausgabe
** · auf den Stack
* 8 zur Ausgabe
** · zur Ausgabe
** + zur Ausgabe
** − auf Stack
* 9 zur Ausgabe
* Ende: − zur Ausgabe
Ausgabe: 12+34·−567^^8·+9−
Explizit geklammert ([(1 + 2) − (3·4)] + {[5^(6^7)]·8}) − 9 ist dies möglicherweise einfacher nachzuvollziehen.

### cos(1 + sin(ln(5) − exp(8))^2)

* Tokens zusammenfassen: cos ( 1 + sin ( ln ( 5 ) − exp ( 8 ) ) ^ 2 )
* cos auf den Stack
* ( auf den Stack
* 1 zur Ausgabe
* + auf den Stack
* sin auf den Stack
* ( auf den Stack
* ln auf den Stack
* ( auf den Stack
* 5 zur Ausgabe
** oberste ( vom Stack entfernen
** ln zur Ausgabe
* – auf den Stack
* exp auf den Stack
* ( auf den Stack
* 8 zur Ausgabe
** oberste ( vom Stack entfernen
** exp zur Ausgabe
** – zur Ausgabe
** oberste ( vom Stack entfernen
** sin zur Ausgabe
* ^ auf den Stack
* 2 zur Ausgabe
** ^ zur Ausgabe
** + zur Ausgabe
** oberste ( vom Stack entfernen
** cos zur Ausgabe
* Ende: Keine übrigen Elemente im Stack, also fertig!
Ausgabe: 15ln8exp−sin2^+cos