# Lie-Klammer

Die Lie-Klammer ist ein Objekt aus der Mathematik, insbesondere aus dem Bereich der Algebra und der Differentialgeometrie. Die Lie-Klammer ist die multiplikative Verknüpfung in einer Lie-Algebra, also eine Art Multiplikation auf einer Menge mit einer besonderen algebraischen Struktur. Beispiele für eine solche Verknüpfung sind die triviale Lie-Klammer, der Matrix-Kommutator, das Kreuzprodukt oder die Poisson-Klammer. Benannt sind die Lie-Klammer und die Lie-Algebra nach dem Mathematiker Sophus Lie.

## Definition

Sei $V$ ein Vektorraum über dem Körper $K$. Eine innere Verknüpfung
    $[\cdot ,\cdot ]\colon V\times V\rightarrow V,\quad (x,y)\mapsto [x,y],$
heißt Lie-Klammer, falls sie die folgenden drei Eigenschaften besitzt:
* Sie ist bilinear, das heißt linear in beiden Argumenten. Es gilt also
       $[ax+by,z]=a[x,z]+b[y,z]$
    und
       $[z,ax+by]=a[z,x]+b[z,y]$
    für alle $a,b\in K$ und alle $x,y,z\in V$.
* Es gilt $[x,x]=0$ für alle $x\in V$.
* Sie genügt der Jacobi-Identität, das heißt, es gilt
       $[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0$
    für alle $x,y,z\in V$.
Ein Vektorraum zusammen mit einer Lie-Klammer wird Lie-Algebra genannt.

## Eigenschaften
### Antisymmetrie

Aus der ersten und der zweiten Eigenschaft der Definition folgt die Antisymmetrie der Lie-Klammer, das heißt $[x,y]=-[y,x]$ für alle $x,y\in V$. Hat der Körper $K$ nicht die Charakteristik $2$, so kann man aus der Antisymmetrie alleine wieder die Eigenschaft $[x,x]=0$ herleiten. Dazu setzt man $y=x$.

### Flexibilität

Lie-Klammern sind im Allgemeinen nicht assoziativ, das heißt der Term $[[x,y],z]$ muss nicht gleich dem Term $[x,[y,z]]$ sein. Jedoch erfüllt die Lie-Klammer das Flexibilitätsgesetz, es gilt also $[[x,y],x]=[x,[y,x]]$ für alle Elemente $x,y\in V$.

## Beispiele
### Triviale Lie-Klammer

Ist $V$ ein beliebiger Vektorraum und sind $a$ und $b$ zwei Elemente des Raums, dann kann durch
    $[a,b]:=0$
immer eine Lie-Klammer definiert werden. Vektorräume mit einer trivialen Lie-Klammer werden auch als abelsche Lie-Algebren bezeichnet.

### Matrix-Kommutator

Seien $A$, $B$ und $C$ drei $n\times n$-Matrizen mit Einträgen in einem Körper $K$ (zum Beispiel dem Körper $\mathbb {R}$ der reellen oder dem Körper $\mathbb {C}$ der komplexen Zahlen). Der Kommutator $[\cdot ,\cdot ]$ für quadratische Matrizen ist definiert durch
    $[A,B]:=A\cdot B-B\cdot A$,
wobei mit $\cdot$ die Matrixmultiplikation bezeichnet wird. Für $\lambda ,\mu \in K$ gelten für den Kommutator die Rechenregeln
    ${\begin{aligned}\left[\lambda A+\mu B,C\right]&=(\lambda A+\mu B)\cdot C-C\cdot (\lambda A+\mu B)\\&=\lambda (A\cdot C-C\cdot A)+\mu (B\cdot C-C\cdot B)\\&=\lambda [A,C]+\mu [B,C]\,,\end{aligned}}$
    $[A,A]=A\cdot A-A\cdot A=0$ und
    ${\begin{aligned}\left[A,[B,C]\right]+\left[B,[C,A]\right]+\left[C,[A,B]\right]=&[A,B\cdot C-C\cdot B]+[B,C\cdot A-A\cdot C]+[C,A\cdot B-B\cdot A]\\=&A\cdot (B\cdot C-C\cdot B)-(B\cdot C-C\cdot B)\cdot A+B\cdot (C\cdot A-A\cdot C)\\&-(C\cdot A-A\cdot C)\cdot B+C\cdot (A\cdot B-B\cdot A)-(A\cdot B-B\cdot A)\cdot C\\=&0\,.\end{aligned}}$
Daher ist der Kommutator auf dem Raum der $n\times n$-Matrizen eine Lie-Klammer.
Als konkretes Beispiel werden nun noch die Pauli-Matrizen
    $\sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-\mathrm {i} \\\mathrm {i} &0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.$
über dem Körper $\mathbb {C}$ der komplexen Zahlen betrachtet. Bildet man den Kommutator von $\sigma _{1}$ und $\sigma _{3}$, so gilt
    ${\begin{aligned}\left[\sigma _{1},\sigma _{3}\right]&=\sigma _{1}\cdot \sigma _{3}-\sigma _{3}\cdot \sigma _{1}\\&={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}\\&=-2\mathrm {i} {\begin{pmatrix}0&-\mathrm {i} \\\mathrm {i} &0\end{pmatrix}}\\&=-2\mathrm {i} \,\sigma _{2}\,.\end{aligned}}$

### Kreuzprodukt

Für $a,b\in \mathbb {R} ^{3}$ ist das Kreuzprodukt
    $a\times b={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}:={\begin{pmatrix}a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\end{pmatrix}}$
eine Lie-Klammer. Im Vergleich zu den Beispielen zuvor wird diese Multiplikation normalerweise nicht mit Klammern notiert. Die Bilinearität und die Identität $a\times a=0$ können direkt an der Definition abgelesen werden. Um die Jacobi-Identität zu erkennen, muss der Term
    $a\times \left(b\times c\right)+b\times \left(c\times a\right)+c\times \left(a\times b\right)$
komponentenweise ausgerechnet werden.

### Lie-Klammer von Vektorfeldern

Seien $X$ und $Y$ zwei Vektorfelder auf der $n$-dimensionalen glatten Mannigfaltigkeit $M$. Die Lie-Ableitung ist dann definiert durch
    $({\mathcal {L}}_{X}Y)f=X(Y(f))-Y(X(f))$.
Dieser Operator $(X,Y)\mapsto {\mathcal {L}}_{X}Y$ erfüllt die definierenden Eigenschaften einer Lie-Klammer. Daher schreibt man auch $[X,Y]:={\mathcal {L}}_{X}Y$.

### Jacobi-Klammer

Seien $A$ ein kommutativer Ring, $B$ eine kommutative Algebra über $A$ und $\delta _{1},\delta _{2}\in \operatorname {Der} (B)$ zwei Derivationen von $B$. Dann ist die durch
    $[\delta _{1},\delta _{2}]:=\delta _{1}\delta _{2}-\delta _{2}\delta _{1}$
definierte Operation eine Lie-Klammer auf dem Raum der Derivationen. Sie wird Jacobi-Klammer genannt. Da die Vektorfelder aus dem vorigen Beispiel spezielle Derivationen sind und ihre Lie-Klammer entsprechend definiert ist, ist diese Lie-Klammer ein konkretes Beispiel für eine Jacobi-Klammer.

### Poisson-Klammer

Die Poisson-Klammer $\{\cdot ,\cdot \}$ ist eine zweistellige Operation, die auf der Algebra der glatten Funktionen operiert. Sie erfüllt die definierenden Eigenschaften einer Lie-Klammer und darüber hinaus noch die Produktregel
    $\{fg,h\}=f\{g,h\}+\{f,h\}g$
für alle glatten Funktionen $f$, $g$ und $h$. Oftmals werden Poisson-Klammern auf Funktionen angewandt, die von einer glatten Mannigfaltigkeit in die reellen Zahlen abbilden. Solche Mannigfaltigkeiten mit festgelegter Poisson-Klammer werden Poisson-Mannigfaltigkeiten genannt. Beispielsweise kann jede symplektische Mannigfaltigkeit auf natürliche Weise mit einer Poisson-Klammer versehen werden. In lokalen Koordinaten $(q_{1},\ldots ,q_{n},p_{1},\ldots ,p_{n})$ hat die Poisson-Klammer die Darstellung
    $\{f,g\}=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}\right)$.