# Poisson-Gleichung

Die Poisson-Gleichung, benannt nach dem französischen Mathematiker und Physiker Siméon Denis Poisson, ist eine elliptische partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung, die als Teil von Randwertproblemen in weiten Teilen der Physik Anwendung findet.

## Mathematische Formulierung

Die Poisson-Gleichung lautet allgemein
    $-\Delta u=f$
Dabei bezeichnet
* $\Delta$ den Laplace-Operator
* $u$ die gesuchte Lösung
* $f$ eine Funktion. Ist $f\equiv 0$, so wird die Gleichung zur Laplace-Gleichung.
Um die Poisson-Gleichung zu lösen, müssen noch weitere Informationen gegeben sein, z. B. in Form einer Dirichlet-Randbedingung:
    ${\begin{cases}-\Delta u&=f&{\text{in}}&\Omega \\\quad u&=g&{\text{auf}}&\partial \Omega \end{cases}}$
mit $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ offen und beschränkt.
In diesem Fall konstruiert man eine Lösung mithilfe der Fundamentallösung $\Phi$ der Laplace-Gleichung:
    $\Phi (x):={\begin{cases}-{\dfrac {1}{2\pi }}\ln |x|&n=2\\{\dfrac {1}{(n-2)\omega _{n}}}\cdot {\dfrac {1}{|x|^{n-2}}}&n\geq 3\end{cases}}$
Dabei bezeichnet $\omega _{n}={\tfrac {2\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}$ den Flächeninhalt der Einheitssphäre im $n$-dimensionalen euklidischen Raum.
Durch die Faltung $(\Phi *f)$ erhält man eine Lösung der Poisson-Gleichung.
Um auch die Randwertbedingung zu erfüllen, kann man die greensche Funktion verwenden
    $G(x,y):=\Phi (y-x)-\phi ^{x}(y)$
$\phi ^{x}$ ist dabei eine Korrekturfunktion, die
       ${\begin{cases}\Delta \phi ^{x}=0&{\text{in}}\ \Omega \\\phi ^{x}=\Phi (y-x)&{\text{auf}}\ \partial \Omega \end{cases}}$
erfüllt. Sie ist im Allgemeinen von $\Omega$ abhängig und nur für einfache Gebiete leicht zu finden.
Kennt man $G(x,y)$, so ist eine Lösung des Randwertproblems von oben gegeben durch
    $u(x)=-\int _{\partial \Omega }g(y){\frac {\partial G(x,y)}{\partial n}}\mathrm {d} \sigma (y)+\int _{\Omega }f(y)G(x,y)\mathrm {d} y$
wobei $\sigma$ das Oberflächenmaß auf $\partial \Omega$ bezeichne.
Die Lösung kann man auch mithilfe des Perron-Verfahrens oder mittels Variationsrechnung finden.

## Anwendungen in der Physik

Der Poisson-Gleichung $\Delta \Phi (\mathbf {r} )=f(\mathbf {r} )$ genügen beispielsweise das elektrostatische Potential und das Gravitationspotential, jeweils mit Formelzeichen $\Phi$. Dabei ist die Funktion $f$ proportional zur elektrischen Ladungsdichte bzw. zur Massendichte $\rho (\mathbf {r} ).$
Ist $f(\mathbf {r} )$ überall bekannt, so ist die allgemeine Lösung der Poisson-Gleichung, die für große Abstände gegen Null geht, das Integral
    $\Phi (\mathbf {r} )=-{\frac {1}{4\,\pi }}\int \mathrm {d} ^{3}r'\,{\frac {f(\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}$.
In Worten: jede Ladung $\mathrm {d} ^{3}r'\,f(\mathbf {r} ')$ am Ort $\mathbf {r} '$ im kleinen Gebiet der Größe $\mathrm {d} ^{3}r'$ trägt additiv bei zum Potential $\Phi$ am Ort $\mathbf {r}$ mit ihrem elektrostatischen oder Gravitationspotential:
       $-{\frac {\mathrm {d} ^{3}r'\,f(\mathbf {r} ')}{4\,\pi \,|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}$

### Elektrostatik

Da das elektrostatische Feld ein konservatives Feld ist, kann es über den Gradienten ${\vec {\nabla }}\Phi$ eines Potentials $\Phi (\mathbf {r} )$ ausgedrückt werden:
    $\mathbf {E} (\mathbf {r} )=-{\vec {\nabla }}\Phi (\mathbf {r} ).$
Mit Anwendung der Divergenz ergibt sich
    ${\vec {\nabla }}\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )=-\Delta \Phi (\mathbf {r} )$
mit dem Laplace-Operator $\Delta$.
Gemäß der ersten Maxwellgleichung gilt jedoch auch
    ${\vec {\nabla }}\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {\rho (\mathbf {r} )}{\varepsilon }}$
mit
* der Ladungsdichte $\rho (\mathbf {r} )$
* der Permittivität $\varepsilon =\varepsilon _{\mathrm {r} }\cdot \varepsilon _{0}$.
Damit folgt für die Poisson-Gleichung des elektrischen Feldes
    $\Delta \Phi (\mathbf {r} )=-{\frac {\rho (\mathbf {r} )}{\varepsilon }}$
Der Spezialfall $\rho (\mathbf {r} )=0$ für jeden Ort im betrachteten Gebiet wird als Laplace-Gleichung der Elektrostatik bezeichnet.

### Elektrodynamik stationärer Ströme

Als Beispiel wird hier der Emitter einer Silizium-Solarzelle betrachtet, der in guter Näherung als rein zweidimensional beschrieben werden kann. Der Emitter befinde sich in der x-y-Ebene, die z-Achse zeige in die Basis hinein. Die laterale Flächenstromdichte $\mathbf {j} (x,y)$ im Emitter hängt von der am Emitter auftretenden z-Komponente der (Volumen-)Stromdichte $J_{z}(x,y,z=0)$ der Basis ab, was durch die Kontinuitätsgleichung in der Form
    ${\vec {\nabla }}_{2}\cdot \mathbf {j} (x,y)=-J_{z}(x,y,z=0)$
beschrieben werden kann (mit dem zweidimensionalen Nabla-Operator ${\vec {\nabla }}_{2}$). Die Flächenstromdichte hängt über das lokale ohmsche Gesetz mit dem lateralen elektrischen Feld im Emitter zusammen: $\mathbf {j} (x,y)=R_{\Box }^{-1}\mathbf {E} (x,y)$; hier ist $R_{\Box }$ der als homogen angenommene spezifische Flächenwiderstand des Emitters. Schreibt man (wie im Abschnitt zur Elektrostatik diskutiert) das elektrische Feld als Gradient des elektrischen Potentials, $\mathbf {E} (x,y)=-{\vec {\nabla }}_{2}\Phi (x,y)$, so erhält man für die Potentialverteilung im Emitter eine Poisson-Gleichung in der Form
    $\Delta _{2}\Phi (x,y)=R_{\Box }J_{z}(x,y,z=0).$

### Gravitation

Ebenso wie das elektrostatische Feld
$\mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\int \rho _{\mathrm {el} }\left(\mathbf {r} '\right){\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|^{3}}}\;dx'\,dy'\,dz'=-{\vec {\nabla }}\Phi _{\mathrm {el} }(\mathbf {r} )$,
ist auch das Gravitationsfeld g ein konservatives Feld:
    $\mathbf {g} (\mathbf {r} )=-G\int \rho _{\mathrm {m} }\left(\mathbf {r} '\right){\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|^{3}}}\;dx'\,dy'\,dz'=-{\vec {\nabla }}\Phi _{\mathrm {m} }(\mathbf {r} )$.
Dabei ist
* G die Gravitationskonstante
* $\rho _{\mathrm {m} }(\mathbf {r} ')$ die Massendichte.
Da nur die Ladungen durch Massen und ${\frac {1}{4\pi \varepsilon }}$ durch $-G$ ersetzt werden, gilt analog zur ersten Maxwellgleichung
    ${\vec {\nabla }}\cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho _{\mathrm {m} }(\mathbf {r} )$.
Damit ergibt sich die Poisson-Gleichung der Gravitation zu
    ${\vec {\nabla }}\cdot \mathbf {g} =-{\vec {\nabla }}\cdot ({\vec {\nabla }}\Phi _{\mathrm {m} }(\mathbf {r} ))=-4\pi G\rho _{\mathrm {m} }(\mathbf {r} )\Leftrightarrow$
    $\Delta \Phi _{\mathrm {m} }(\mathbf {r} )=4\pi G\rho _{\mathrm {m} }(\mathbf {r} )$.