# Generator (Markow-Prozesse)

Der Erzeuger, Generator, infinitesimale Erzeuger oder infinitesimale Generator der Übergangshalbgruppe eines zeithomogenen Markow-Prozesses in stetiger Zeit ist ein Operator, welcher das stochastische Verhalten des Prozesses in infinitesimaler Zeit erfasst. Aufgrund der Markow-Eigenschaft und der zeitlichen Homogenität wird der Prozess unter bestimmten Voraussetzungen durch seinen infinitesimalen Erzeuger bestimmt bzw. generiert.

## Allgemeiner Fall (nach Breiman)

Gegeben sei ein zeithomogener Markow-Prozess $(M_{t})_{t\geq 0}$ auf einem Zustandsraum $(E,{\mathfrak {E}})$ mit Übergangshalbgruppe $(P^{t})_{t\geq 0}$, das heißt für alle $t\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ ist $P^{t}$ der entsprechende Übergangskern. Ferner sei $X$ der Raum der beschränkten, borelmessbaren Funktionen $f\colon E\rightarrow \mathbb {R}$, dann kann jeder Übergangskern als Abbildung $P^{t}\colon X\to X$ aufgefasst werden.
Der infinitesimale Erzeuger $A$ des Prozesses ist der Operator mit Definitionsbereich
    ${\mathcal {D}}(A):=\left\{f\in X\;\left|\;\forall x\in E{\text{ existiert }}\lim _{t\downarrow 0}{\frac {P^{t}f(x)-f(x)}{t}}\right.\right\}$,
der für alle $f\in {\mathcal {D}}(A)$ gegeben ist durch
    $Af=\lim _{t\downarrow 0}{\frac {P^{t}f-f}{t}}$.
Ausführlich bedeutet das, dass für alle $x\in E$ gilt
    $Af(x)=\lim _{t\downarrow 0}{\frac {P^{t}f(x)-f(x)}{t}}=\lim _{t\downarrow 0}{\frac {\operatorname {E} _{x}[f(M_{t})]-f(x)}{t}}$
mit
    $P^{t}f(x)=\int f(y)P^{t}(x,dy)=\int f(y)\operatorname {P} _{x}^{M_{t}}(dy)=\operatorname {E} _{x}[f(M_{t})]$.
Dabei bezeichnet $\operatorname {P} _{x}^{M_{t}}$ die Verteilung von $M_{t}$ und $\operatorname {E} _{x}$ den Erwartungswert bedingt auf den Startwert $M_{0}=x\in E$.

## Spezialfall abzählbarer Zustandsraum

Sei $(M_{t})_{t\geq 0}$ ein zeitlich homogener Markow-Prozess mit kontinuierlicher Zeit, diskretem Zustandsraum $E$ und Übergangshalbgruppe $(P^{t})_{t\geq 0}$ mit Übergangsmatrix $P^{t}:=(p_{ij}(t))_{(i,j)\in E^{2}}$ für alle $t\geq 0$.

### Halbgruppe, Intensitätsmatrix, Q-Matrix

Die Übergangsfunktion bzw. Übergangsmatrizen $(P^{t})_{t\geq 0}$ bilden wegen der Chapman-Kolmogorow-Gleichungen eine Halbgruppe. Sie können wie oben aufgefasst werden als Abbildungen $P^{t}\colon X\to X$ wobei $X$ den Raum der beschränkten, borelmessbaren Funktionen $f:E\rightarrow \mathbb {R}$ bezeichnet.
$(P^{t})_{t\geq 0}$ besitzt die Standard-Eigenschaft bzw. wird Standard-Übergangsfunktion genannt, wenn
    $\lim _{t\downarrow 0}p_{ij}(t)=p_{ij}(0)\;\;\;\forall (i,j)\in E^{2}$
bzw. kurz
    $\lim _{t\downarrow 0}P^{t}=I$
mit der Einheitsmatrix $I$.
Besitzt $(P^{t})_{t\geq 0}$ die Standard-Eigenschaft, so gilt für alle $(i,j)\in E^{2}$: Die Abbildungen $t\mapsto p_{ij}(t)$ sind gleichmäßig stetig, für alle $t>0$ differenzierbar und besitzen im Punkt 0 die rechtsseitige Ableitung
    $q_{ij}:=\lim _{t\downarrow 0}{\frac {p_{ij}(t)-p_{ij}(0)}{t}}\;\;\;\forall (i,j)\in E^{2}.$
Kurz geschrieben, definiert man dies durch
    $Q:=\lim _{t\downarrow 0}{\frac {P^{t}-I}{t}}.$
$Q=(q_{ij})_{ij}$ heißt Intensitätsmatrix oder einfach Q-Matrix.
Für alle $i\in E$ gilt $q_{ii}\in [-\infty ,0]$, und für alle $i,j\in E$ mit $i\neq j$ gilt $q_{ij}\in [0,\infty [$.
Ein Zustand $i\in E$ heißt stabil, wenn $q_{ii}>-\infty$, sonst augenblicklich.
Die Übergangsfunktion $(P^{t})_{t\geq 0}$ heißt stabil, wenn alle Zustände stabil sind; in diesem Fall sind alle Einträge der zugehörigen Intensitätsmatrix endlich.
Ein Zustand $i\in E$ heißt absorbierend, wenn $q_{ii}=0$ gilt, was genau dann der Fall ist, wenn $p_{ii}(t)=1$ für alle $t\geq 0$ gilt.
Die Matrix $Q$ und der zugehörige Markov-Prozess werden als konservativ bezeichnet, wenn alle Zeilensummen von $Q$ null sind; dies ist genau dann der Fall, wenn $\sum _{i\neq j}q_{ij}=-q_{ii}<\infty$ für alle $i\in E$ gilt.
Ist $Q$ konservativ, der Prozess stabil und divergiert die Folge der Sprungzeiten vor Erreichen eines absorbierenden Zustands fast sicher, so wird der Prozess als regulär bezeichnet.
Die Einträge $q_{ij}$ lassen sich wie folgt interpretieren:
* Betrachtet man den zu $P_{t}$ gehörigen Prozess, kann man mit Hilfe von $q_{ii}$ die Verweilzeit in einem Zustand $i\in E$ angeben. Diese ist exponentialverteilt mit Erwartungswert $-{\tfrac {1}{q_{ii}}}$, das heißt für $t,h>0,q_{ii}>-\infty$ gilt $P(X_{s}=i,\forall s\colon t<s<t+h\mid X_{t}=i)=e^{hq_{ii}}$. Ein absorbierender Zustand hat dann entsprechend eine unendliche Verweilzeit.
* Es gilt $\quad p_{ij}(h)=q_{ij}h+o(h)$, der Prozess ist also „lokal poisson“ und $q_{ij}$ gibt für kleine $h>0$ die Rate an, mit der Prozess aus $i$ in den Zustand $j$ springt ($i,j\in E,i\neq j$).
Über diese Interpretation ist es in der Praxis oft leichter, eine geeignete Q-Matrix aus den Modellannahmen herzuleiten, als $P_{t}$ direkt anzugeben, zum Beispiel bei M/M/1/∞-Systemen.

### Gleichmäßig stetige Halbgruppe mit infinitesimalem Erzeuger

Ist die Übergangsfunktion $(P^{t})_{t\geq 0}$ stabil, so ist sie eine gleichmäßig stetige Halbgruppe deren infinitesimaler Erzeuger $Q$ ist. Dann kann aus dem Verhalten in infinitesimaler Zeit $Q$ das langfristige Verhalten zurückgewonnen werden:
    $P(t)=e^{tQ}\quad {\text{für alle}}\quad t\geq 0$,
wobei $e$ das Matrixexponential bezeichnet. Dies ist zum Beispiel der Fall für endliche Zustandsräume. Die stationäre Verteilung $\pi$ von $(P^{t})_{t\geq 0}$ lässt sich dann als Lösung des folgenden Gleichungssystems
    $\pi \cdot Q={\vec {0}}$
bestimmen, wobei $\pi$ als Zeilenvektor aufgefasst wird.

## Generatoren von Feller-Prozessen

Feller-Prozesse sind Markow-Prozesse, bei denen die Übergangswahrscheinlichkeiten $P^{t}(x,A)$ qua $(P^{t}f)(x):=\int P^{t}(x,dy)f(y)=\operatorname {E} _{x}f(M_{t})$ einer stark stetigen Halbgruppe auf dem Raum $C_{0}(E)$ der stetigen, im Unendlichen verschwindenden Funktionen entsprechen. In diesem Fall kann der Generator der entsprechenden Halbgruppe
    $Af={\underset {t\downarrow 0}{\operatorname {s-lim} }}{\frac {P^{t}f-f}{t}}$
(definiert für alle $f\in C_{0}(E)$ für die der Grenzwert bezüglich der Supremumsnorm existiert) betrachtet und der Satz von Hille-Yosida angewendet werden.

## Dynkins charakteristischer Operator

Der charakteristische Operator ist eine probabilistische Entsprechung des analytischen Generators $A$, mit dem oft leichter zu arbeiten ist. Während in obiger Definition der Erwartungswert von $f(X_{t})$ zu einem festen Zeitpunkt $t$ gebildet wird (und anschließend $t$ gegen 0 geht), wird hier der Erwartungswert von $f(X_{\tau })$ an den unterschiedlichen (zufälligen) Zeitpunkten $\tau =\tau (B)$ gebildet, zu denen der Prozess einen festgelegten räumlichen Bereich $B$, zum Beispiel eine Kugel $B_{\nu ,x}$ um $x=X_{0}$ mit Radius $\nu$, verlässt. Für nicht absorbierendes $x$ setzt man
    $(Uf)(x):=\lim _{\nu \to 0}{\frac {\operatorname {E} _{x}[f(X_{\tau (B_{\nu ,x})})]-f(x)}{\operatorname {E} _{x}[\tau (B_{\nu ,x})]}},$
für absorbierendes $x$ setzt man $(Uf)(x)=0$. Für große Klasse von Feller-Prozessen gilt $Af=Uf$ für stetige, im Unendlichen verschwindende Funktionen $f$ aufgrund von Dynkins Maximum-Prinzip.
Die Definition und der genannte Zusammenhang gehen auf eine Arbeit von E. B. Dynkin aus dem Jahr 1955 zurück.