# Snelliussches Brechungsgesetz

Das Brechungsgesetz, auch snelliussches Brechungsgesetz, snelliussches Gesetz oder Snellius-Gesetz beschreibt die Richtungsänderung der Ausbreitungsrichtung einer ebenen Welle beim Übergang in ein anderes Medium. Ursache der Brechung genannten Richtungsänderung ist die Änderung der materialabhängigen Phasengeschwindigkeit, die als Brechungsindex in das Brechungsgesetz eingeht. Das bekannteste Phänomen, welches durch das Brechungsgesetz beschrieben wird, ist die Richtungsablenkung eines Lichtstrahls beim Durchgang einer Mediengrenze. Das Gesetz ist aber nicht auf optische Phänomene begrenzt, sondern gültig für beliebige Wellen, insbesondere auch Ultraschallwellen.
Das Brechungsgesetz ist nach dem niederländischen Astronomen und Mathematiker Willebrord van Roijen Snell benannt, in einigen Sprachen nach der latinisierten Form „Snellius“, der es 1621 zwar nicht als Erster fand, aber als Erster veröffentlichte.

## Das Gesetz

Die Richtung des einfallenden Strahls und das Lot auf die Grenzfläche bestimmen die Einfallsebene. In dieser Ebene liegen auch der gebrochene und der reflektierte Strahl. Die Winkel werden zum Lot hin gemessen. Das Brechungsgesetz ist folgende Beziehung zwischen dem Einfallswinkel $\delta _{1}$ und dem Winkel $\delta _{2}$ des gebrochenen Strahls:
    $n_{1}\sin \delta _{1}=n_{2}\sin \delta _{2}$.
Darin sind $n_{1}$ und $n_{2}$ die Brechungsindizes der jeweiligen Medien. Luft hat einen Brechungsindex, der sehr nahe an $n=1$ liegt. Beim Übergang von Luft zu Glas kann daher das Brechungsgesetz genähert werden als:
    $\sin \delta _{\mathrm {Luft} }=n_{\mathrm {Glas} }\sin \delta _{\mathrm {Glas} }$.
Der Brechungsindex eines optischen Mediums ist im Allgemeinen abhängig von der Wellenlänge. Diese Dispersion geht in das Brechungsgesetz ein. Unterschiedliche Wellenlängen werden unterschiedlich stark gebrochen. Dies wird bei Dispersionsprismen zur Auftrennung des Lichts nach Farben ausgenutzt. Auch die Aufspaltung der Farben des Regenbogens lässt sich mit dem Brechungsgesetz herleiten.
Das Brechungsgesetz gilt nur für schwach absorbierende Medien.

## Geschichte

Brechung wurde von Ptolemäus in seinem Werk „Optik“ beschrieben. Sein lineares Gesetz gilt aber nur für kleine Winkel. Korrekt angegeben wurde das Brechungsgesetz zum ersten Mal im 10. Jahrhundert von Ibn Sahl. Das Gesetz wurde 1601 durch Thomas Harriot und um 1621 durch Willebrord van Roijen Snell wiederentdeckt, aber nicht veröffentlicht. Während Harriots Entdeckung erst 350 Jahre später publik wurde, wurde Snellius' Beitrag 1632 durch Jacob Golius bekannt gemacht. Fast zur gleichen Zeit und vermutlich unabhängig von Snellius veröffentlichte René Descartes 1637 in seiner Dioptrique einen ähnlichen Zusammenhang. Seine Ableitung war allerdings falsch, da er von einer höheren Lichtgeschwindigkeit im optisch dichteren Medium ausging (korrekt leitete es erst Pierre de Fermat ab).

## Herleitung

Der Brechungsindex $n$ eines Mediums gibt an, um wie viel dort die Phasengeschwindigkeit $c$ und die Wellenlänge $\lambda$ geringer bzw. kürzer sind als im Vakuum:
    $n={\frac {c}{c_{\rm {Medium}}}}={\frac {\lambda }{\lambda _{\rm {Medium}}}}\,.$
Von einem Medium in ein anderes ändert sich die Wellenlänge um den Faktor $n_{1}/n_{2}$, beim rechts dargestellten Übergang in ein optisch dichteres Medium ($n_{2}>n_{1}$) wird die Welle also gestaucht. Diese Stauchung führt zur Ablenkung.
Im 2. Bild ist der gleiche Vorgang schematisch dargestellt. Zwischen zwei parallel verlaufenden Strahlen ist an zwei besonderen Stellen eine Wellenfront eingezeichnet: Die Wellenfront hat auf dem einen Strahl die Grenzfläche gerade erreicht (A) und muss auf dem anderen Strahl noch die Strecke L$_1$ (= |BB'|) im Medium 1 zurücklegen, bis sie die Grenzfläche (bei B') berührt. Dazu benötigt der zweite Strahl im Medium 1 die Zeit $t$:
    $t={\frac {L_{\mathrm {1} }}{c_{\mathrm {Medium,1} }}}=L_{\mathrm {1} }{\frac {n_{1}}{c}}\,.$
Analog dazu durchläuft in dieser Zeit der erste Strahl die Strecke L$_2$ (= |AA'|) im Medium 2. Durch Umstellung und Gleichsetzung nach c ergibt sich, dass die Strecke $L_{2}$ um obigen Stauchungsfaktor $n_{1}/n_{2}$ kürzer ist als $L_{1}$.
Zwischen der Grenzfläche und den beiden Wellenfronten treten die gleichen Winkel $\delta _{1}$ und $\delta _{2}$ auf, wie zwischen dem Lot und den einfallenden bzw. gebrochenen Strahlen. Die Gegenkatheten dieser Winkel sind L$_1$ bzw. L$_2$, die in der Grenzfläche liegende Hypotenuse der Länge |AB'| haben sie gemeinsam. Folglich gilt
    $\sin \delta _{1}={\frac {L_{1}}{|AB'|}}$
und
    $\sin \delta _{2}={\frac {L_{2}}{|AB'|}}$.
Durch Umstellung und Gleichsetzung nach |AB'| ergibt sich daraus
    ${\frac {\sin \delta _{1}}{\sin \delta _{2}}}={\frac {L_{1}}{L_{2}}}\,,$
bzw. mit der oben genannten Beziehung zwischen Brechungsindex und den Strecken $L_{1}$ und $L_{2}$
    ${\frac {\sin \delta _{1}}{\sin \delta _{2}}}={\frac {L_{1}}{L_{2}}}={\frac {n_{2}}{n_{1}}}\,,$
was zum Brechungsgesetz äquivalent ist.

## Reflexion und Brechung von ebenen Wellen an Grenzflächen
### Ausbreitung der ebenen elektromagnetischen Welle in einem Medium

Eine ebene elektromagnetische Welle mit der Frequenz $\omega$, der Ortsabhängigkeit ${\vec {r}}$, dem räumlich konstanten Wellenvektor ${\vec {k}}$ und dem elektrischen Feldstärkevektor ${\vec {E}}$
    ${\vec {E}}(t)={\vec {E}}{\text{e}}^{{\text{i}}({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t)}$
erfüllt die Maxwell-Gleichungen
    ${\begin{aligned}{\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}&=\varepsilon \,{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\\-{\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}&=\mu \,{\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}\\\varepsilon \,{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}&=0\\\mu \,{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {H}}&=0\end{aligned}}$
ohne freie Ladungen und Ströme in einem nichtleitenden isotropen Medium mit räumlich konstanter magnetischer Permeabilität $\mu \,=\mu _{0}\mu _{\mathrm {r} }$ und elektrischer Permittivität $\varepsilon \,=\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r} }$. Dabei beträgt die magnetische Feldkonstante $\mu _{0}={\text{1,257}}\cdot 10^{-6}\mathrm {NA} ^{-2}$ und $\varepsilon _{0}={\text{8,854}}\cdot 10^{-12}\mathrm {As/\mathrm {(Vm} )}$ ist der Wert der elektrischen Feldkonstante. $\mu _{r}$ heißt die Permeabilitätszahl und $\varepsilon _{r}$ die Permittivitätszahl.
Die ebene Welle ${\vec {E}}\exp[{{\text{i}}({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t)}]$ löst die Wellengleichung
    $\Delta {\vec {E}}-\mu \varepsilon {\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}=0\qquad {\text{mit}}\qquad {\vec {k}}\cdot {\vec {k}}=\mu \varepsilon \,\omega ^{2}$     (1)
Die Lichtgeschwindigkeit $c=299\,792\,458{\text{ m/s}}$ von ebenen elektromagnetischen Wellen im Vakuum ist gemäß den Maxwell-Gleichungen der Kehrwert der Wurzel des Produkts der elektrischen Feldkonstanten $\varepsilon _{0}$ und der magnetischen Feldkonstanten $\mu _{0}\colon$
    $c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\,\mu _{0}}}}$
Aus der Phasengeschwindigkeit $v_{\text{p}}$
    $v_{\text{p}}={\frac {\omega }{k}}={\frac {1}{\sqrt {\mu \varepsilon }}}={\frac {c}{n}}\qquad \Rightarrow \qquad n=c\,{\sqrt {\mu \varepsilon }}={\sqrt {\frac {\mu \varepsilon }{\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}={\sqrt {\mu _{r}\varepsilon _{r}}}$
folgt der Brechungsindex $n$ des Mediums mittels der Wellengleichung $k={\sqrt {\mu \varepsilon }}\cdot \omega$ nach Gleichung (1).
Die verschwindende Divergenz ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}=0$ fordert ${\vec {k}}\cdot {\vec {E}}=0$ und erzwingt damit, dass das elektrische Feld ${\vec {E}}$ senkrecht auf der Ausbreitungsrichtung steht, die durch den Wellenvektor ${\vec {k}}$ gegeben ist. Das elektrische Feld ${\vec {E}}$ kann somit in Komponenten parallel ${\vec {E}}_{\|}$ und senkrecht ${\vec {E}}_{\bot }$ zur Einfallsebene zerlegt werden.
Für das Betragsquadrat ${\vec {k}}\cdot {\vec {k}}$ des Wellenvektors gilt gemäß der Wellengleichung (1) in einem Medium mit Brechungsindex $n$:
    ${\vec {k}}\cdot {\vec {k}}=\mu \varepsilon \,\omega ^{2}\qquad {\text{oder}}\qquad k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}=n^{2}{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}$

### Reflexion und Brechung an einer dielektrischen Grenzfläche

Ohne Einschränkung der Allgemeinheit sei die $yz$-Ebene die Grenzfläche. Im so gewählten Koordinatensystem zeigt die $x$-Richtung waagrecht nach rechts und die $y$-Richtung in der Grenzfläche nach oben. Die $z$-Richtung in der $yz$-Ebene steht senkrecht auf die Einfallsebene. Fällt eine ebene Welle mit dem elektrisches Feld
    ${\vec {E}}_{e}(t)={\vec {E}}_{e}{\text{e}}^{{\text{i}}({\vec {k}}_{e}\cdot {\vec {r}}-\omega _{e}t)}$
der Frequenz $\omega _{e}$ und dem Wellenvektor ${\vec {k}}_{e}=(k_{e,x},k_{e,y},0)=n_{1}{\textstyle {\frac {\omega _{e}}{c}}}(\cos \delta _{1},-\sin \delta _{1},0)$ in Ausbreitungsrichtung auf die Grenzfläche zweier Medien unterschiedlicher konstanter Brechungsindizes $n_{1}$ und $n_{2}$, so entsteht ein reflektiertes elektrisches Feld
    ${\vec {E}}_{r}(t)={\vec {E}}_{r}{\text{e}}^{{\text{i}}({\vec {k}}_{r}\cdot {\vec {r}}-\omega _{r}t)}$
in Richtung ${\vec {k}}_{r}=(k_{r,x},k_{r,y},k_{r,z})$ mit ${\vec {k}}_{r}\cdot {\vec {k}}_{r}=n_{1}^{2}{\textstyle {\frac {\omega _{r}^{2}}{c^{2}}}}$ und ein eindringendes elektrisches Feld
    ${\vec {E}}_{t}(t)={\vec {E}}_{t}{\text{e}}^{{\text{i}}({\vec {k}}_{t}\cdot {\vec {r}}-\omega _{t}t)}.$
in Richtung ${\vec {k}}_{t}=(k_{t,x},k_{t,y},k_{t,z})$ mit ${\vec {k}}_{t}\cdot {\vec {k}}_{t}=n_{2}^{2}{\textstyle {\frac {\omega _{t}^{2}}{c^{2}}}}$.
Die $E_{y}$-Komponente des elektrischen Feldes muss stetig an der Grenzfläche bei $x=0$ sein:
    $E_{e,y}{\text{e}}^{{\text{i}}(k_{e,y}y-\omega _{e}t)}+E_{r,y}{\text{e}}^{{\text{i}}(k_{r,y}y+k_{r,z}z-\omega _{r}t)}=E_{t,y}{\text{e}}^{{\text{i}}(k_{t,y}y+k_{t,z}z-\omega _{t}t)}$
Aus der Zeitabhängigkeit folgt sofort:
    $\omega _{e}=\omega _{r}=\omega _{t}=:\omega$
Der $z$-Term erzwingt
    $k_{r,z}=k_{t,z}=0$
Damit bleibt bei einer ebenen Grenzfläche die reflektierte und die transmittierte Welle in der Einfallsebene. Die $y$-Komponente des Wellenvektors und damit der Ausbreitungsrichtung im Medium mit Brechungsindex $n_{1}$ fordert mit
    $k_{e,y}=k_{r,y}\quad {\text{bzw.}}\quad -n_{1}{\textstyle {\frac {\omega }{c}}}\sin \delta _{1}=-n_{1}{\textstyle {\frac {\omega }{c}}}\sin \delta _{r}\qquad \Rightarrow \qquad \delta _{r}=\delta _{1}$
einen gleichen Einfalls- und Ausfallswinkel. Die Gleichheit der $y$-Komponente der Ausbreitungsrichtung der einfallenden Welle im Medium mit Brechungsindex $n_{1}$ und der transmittierten Welle im Medium mit Brechungsindex $n_{2}$ erzwingt
    $k_{e,y}=k_{t,y}\quad {\text{bzw.}}\quad -n_{1}{\textstyle {\frac {\omega }{c}}}\sin \delta _{1}=-n_{2}{\textstyle {\frac {\omega }{c}}}\sin \delta _{2}\qquad \Rightarrow \qquad n_{1}\sin \delta _{1}=n_{2}\sin \delta _{2}$
Das ist das snelliussche Brechungsgesetz. Zusammenfassend gilt für die elektrischen Felder der ebenen elektromagnetischen Wellen an dielektrischen Grenzflächen:
    ${\begin{aligned}{\vec {E}}_{e}(t)&={\vec {E}}_{e}{\text{e}}^{{\text{i}}[n_{1}{\frac {\omega }{c}}(x\cos \delta _{1}-y\sin \delta _{1})-\omega t]}\\{\vec {E}}_{r}(t)&={\vec {E}}_{r}{\text{e}}^{{\text{i}}[n_{1}{\frac {\omega }{c}}(-x\cos \delta _{1}-y\sin \delta _{1})-\omega t]}\\{\vec {E}}_{t}(t)&={\vec {E}}_{t}{\text{e}}^{{\text{i}}[n_{2}{\frac {\omega }{c}}(x\cos \delta _{2}-y\sin \delta _{2})-\omega t]}\end{aligned}}$     (2)
Die Fresnelschen Formeln beschreiben quantitativ die Amplituden der elektrischen Felder ${\vec {E}}_{r}$ der Reflexion und ${\vec {E}}_{t}$ der Transmission in Abhängigkeit der Amplitude der auf die ebene Grenzfläche einfallenden, ebenen, elektromagnetischen Welle ${\vec {E}}_{e}$.

## Beziehung zum fermatschen Prinzip

Das Brechungsgesetz kann auch aus dem fermatschen Prinzip gefolgert werden, das besagt, dass kleine Änderungen des Weges, den das Licht zwischen zwei Punkten P und Q nimmt, die optische Weglänge nicht ändern. Im Fall der Brechung wäre eine systematische Variation die Verschiebung des Knickpunktes innerhalb der Grenzfläche, etwa von A nach B' im vorstehenden Bild. Bei der Verschiebung, die so klein ist im Vergleich zur Entfernung zu den Punkten P und Q, dass sich dabei die Winkel nicht ändern, vergrößert sich der geometrische Weg im Medium 1 um L$_1$, während im Medium 2 L$_2$ hinzukommt. Wegen der verschiedenen Phasengeschwindigkeit ändert sich insgesamt die Phase nicht.

## Totalreflexion

Für $n_{1}>n_{2}$ und genügend große $\delta _{1}$ ist
    $\sin \delta _{2}={\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \delta _{1}>1\qquad \Rightarrow \qquad \cos \delta _{2}={\sqrt {1-\sin ^{2}\delta _{2}}}={\text{i}}{\sqrt {\sin ^{2}\delta _{2}-1}}$
und damit durch kein (reelles) $\delta _{2}$ erfüllbar. Die transmittierte Welle ${\vec {E}}_{t}(t)$ schreibt sich mit dem imaginären Kosinus $\cos \delta _{2}={\text{i}}{\sqrt {\sin ^{2}\delta _{2}-1}}$ nach Gleichung (2) mit dem snelliussche Brechungsgesetz $n_{2}\sin \delta _{2}=n_{1}\sin \delta _{1}$ zu
    ${\vec {E}}_{t}(t)={\vec {E}}_{t}{\text{e}}^{{\text{i}}[n_{2}{\frac {\omega }{c}}(x\cos \delta _{2}-y\sin \delta _{2})-\omega t]}={\vec {E}}_{t}{\text{e}}^{-n_{2}{\frac {\omega }{c}}x{\sqrt {\sin ^{2}\delta _{2}-1}}}\cdot {\text{e}}^{-{\text{i}}(n_{2}{\frac {\omega }{c}}y\sin \delta _{2}+\omega t)}={\vec {E}}_{t}{\text{e}}^{-x/d}\cdot {\text{e}}^{-{\text{i}}(n_{1}{\frac {\omega }{c}}y\sin \delta _{1}+\omega t)}$     (3)
Es tritt Totalreflexion auf. Der Term ${\text{e}}^{-{\text{i}}(n_{1}{\frac {\omega }{c}}y\sin \delta _{1}+\omega t)}$ der transmittierten Welle zeigt, dass sich diese längs der Grenzfläche in negativer $y$-Richtung ausbreitet. Zusätzlich beschreibt der andere Term ${\text{e}}^{-x/d}$ ein exponentielles Abklingen der transmittierten Welle in Richtung des optisch dünneren Mediums bei $x>0$.
Aus der Gleichung (3) liest man die Eindringtiefe $d$ ab, die mittels Snellius-Gesetz $n_{2}\sin \delta _{2}=n_{1}\sin \delta _{1}$ umgewandelt werden kann in:
    $d={\frac {c}{n_{2}\omega {\sqrt {\sin ^{2}\delta _{2}-1}}}}={\frac {c}{\omega {\sqrt {n_{1}^{2}\sin ^{2}\delta _{1}-n_{2}^{2}}}}}={\frac {c}{\omega n_{1}{\sqrt {\sin ^{2}\delta _{1}-\sin ^{2}\delta _{g}}}}}$     (4)
mit dem Grenzwinkel der Totalreflexion $\delta _{g}$:
    $\sin \delta _{g}={\frac {n_{2}}{n_{1}}}\,.$
Die Eindringtiefe $d\sim {\textstyle {\frac {c}{n_{1}\omega }}}\sim {\textstyle {\frac {\lambda }{n_{1}}}}$ ist im Bereich einiger Wellenlängen $\lambda$, falls das einfallende elektrische Feld mit seiner Ausbreitungsrichtung nicht zu nahe an den Grenzwinkel der Totalreflexion herankommt.
Dringt ein schmales Bündel einer ebenen Welle unter dem kritischen Winkel $\sin \delta _{g}=n_{2}/n_{1}$ der Totalreflexion in das optisch dünnere Medium ein, so erfährt der Lichtstrahl einen longitudinalen Versatz in der Einfallsebene. Nach dem Goos-Hänchen-Effekt wird die Welle nicht an der Grenzfläche reflektiert, sondern klingt an einer virtuellen dazu parallelen Ebene im optisch dünneren Medium $x>0$ exponentiell ab.
Totalreflexion wird zum Beispiel in Umkehrprismen von Ferngläsern genutzt.

### Totalreflexion für Röntgenstrahlen

Für Röntgenstrahlung ist der Brechungsindex von Festkörpern oder Flüssigkeiten $n_{2}=1-\delta <1$ mit $\delta \ll 1$. Damit ist es möglich, im streifenden Einfall ($\delta _{1}$ gegen 90°) eine äußere Totalreflexion beim Übergang vom Vakuum mit $n_{1}=1>1-\delta =n_{2}$ zu Materie (also von „optisch“ dichteren zum „optisch“ dünneren Medium) zu erreichen.
Somit kann für Röntgenstrahlung der Fall auftreten, dass für genügend hohe Winkel $\delta _{1}={\textstyle {\frac {1}{2}}}\pi -\psi$ nahe 90° der Winkel $\delta _{2}$ imaginär wird:
    ${\begin{aligned}\sin \delta _{2}&={\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \delta _{1}={\frac {1}{1-\delta }}\sin({\textstyle {\frac {1}{2}}}\pi -\psi )={\frac {1}{1-\delta }}\cos \psi \approx {\frac {1-\psi ^{2}/2}{1-\delta }}\approx (1-\psi ^{2}/2)(1+\delta )\approx 1+\delta -\psi ^{2}/2>1\quad {\text{für }}\psi <\psi _{g}={\sqrt {2\delta }}\\n_{2}\cos \delta _{2}&=n_{2}{\sqrt {1-\sin ^{2}\delta _{2}}}={\text{i}}\,n_{2}{\sqrt {\sin ^{2}\delta _{2}-1}}\approx {\text{i}}\,(1-\delta ){\sqrt {(1+\delta -\psi ^{2}/2)^{2}-1}}\approx {\text{i}}\,(1-\delta ){\sqrt {1+2\delta -\psi ^{2}-1}}\approx {\text{i}}\,{\sqrt {2\delta -\psi ^{2}}}\\n_{1}\sin \delta _{1}&=\sin({\textstyle {\frac {\pi }{2}}}-\psi )=\cos \psi \approx 1-\psi ^{2}/2+{\cal {O(\psi ^{4})}}\end{aligned}}$
Strahlt man also Röntgenlicht unter dem kleinen Winkel $\psi ={\text{90°}}-\delta _{1}$ vom optisch dichteren Medium $n_{1}=1$ gegen die Grenzfläche zum optisch dünneren Medium $n_{2}=1-\delta$ streifend ein, so erhält man Totalreflexion für Einfallswinkel $\psi$, die geringer sind als der Grenzwinkel $\psi _{g}={\sqrt {2\delta }}$ sind.
Die transmittierte Welle ${\vec {E}}_{t}(t)$ wird nach Gleichung (3) oben:
    ${\vec {E}}_{t}(t)={\vec {E}}_{t}{\text{e}}^{{\text{i}}[n_{2}{\frac {\omega }{c}}(x\cos \delta _{2}-y\sin \delta _{2})-\omega t]}={\vec {E}}_{t}{\text{e}}^{{\text{i}}n_{2}{\frac {\omega }{c}}x\cos \delta _{2}}\cdot {\text{e}}^{-{\text{i}}(n_{1}{\frac {\omega }{c}}y\sin \delta _{1}+\omega t)}\approx {\vec {E}}_{t}{\text{e}}^{-{\frac {\omega }{c}}x{\sqrt {2\delta -\psi ^{2}}}}\cdot {\text{e}}^{-{\text{i}}[{\frac {\omega }{c}}(1-\psi ^{2}/2)y+\omega t]}\approx {\vec {E}}_{t}{\text{e}}^{-x/d}\cdot {\text{e}}^{-{\text{i}}({\frac {\omega }{c}}y+\omega t)}$
mit dem snelliusschen Brechungsgesetz $n_{2}\sin \delta _{2}=n_{1}\sin \delta _{1}$ und $n_{2}\cos \delta _{2}={\text{i}}{\sqrt {2\delta -\psi ^{2}}}$, bzw. $n_{1}\sin \delta _{1}\approx 1-\psi ^{2}/2\approx 1$.
Es tritt Totalreflexion auf, bei der die Röntgenstrahlung vollständig reflektiert wird. Der zweite Faktor ${\text{e}}^{-{\text{i}}({\frac {\omega }{c}}y+\omega t)}$ der transmittierten Welle zeigt, dass sich diese längs der Grenzfläche in negativer $y$-Richtung ausbreitet. Außerdem klingt die transmittierte Welle ${\vec {E}}_{t}{\text{e}}^{-x/d}$ als erster Faktor in Richtung des optisch dünneren Mediums bei $x>0$ exponentiell ab.
Die Eindringtiefe $d$ lautet:
    $d={\frac {c}{\omega {\sqrt {2\delta -\psi ^{2}}}}}={\frac {\lambda }{2\pi {\sqrt {2\delta -\psi ^{2}}}}}<{\frac {\lambda }{2\pi {\sqrt {2\delta }}}}$
Für Einfallswinkel $\psi \rightarrow 0$ kann eine minimale Eindringtiefe erreicht werden. Diese Oberflächenempfindlichkeit bildet die Grundlage für die Diffraktometrie unter streifendem Einfall.
Werte von $\delta$, dem Grenzwinkel $\psi _{g}$ und der Eindringtiefe $d$ für Röntgenstrahlung in Silizium findet man auf den Wikipedia-Seiten Brechungsindex und Totalreflexion.
Mit $n_{1}\sin \delta _{1}=\sin({\textstyle {\frac {\pi }{2}}}-\psi )=\cos \psi \approx 1$ und $n_{1}\cos \delta _{1}=\cos({\textstyle {\frac {\pi }{2}}}-\psi )=\sin \psi \approx \psi$ werden die einfallende Welle ${\vec {E}}_{e}(t)$ und die reflektierte Welle ${\vec {E}}_{r}(t)$ nach Gleichung (2) oben:
    ${\begin{aligned}{\vec {E}}_{e}(t)&={\vec {E}}_{e}{\text{e}}^{{\text{i}}[n_{1}{\frac {\omega }{c}}(x\cos \delta _{1}-y\sin \delta _{1})-\omega t]}\approx {\vec {E}}_{e}{\text{e}}^{{\text{i}}[{\frac {\omega }{c}}(x\psi -y)-\omega t]}\\{\vec {E}}_{r}(t)&={\vec {E}}_{r}{\text{e}}^{{\text{i}}[n_{1}{\frac {\omega }{c}}(-x\cos \delta _{1}-y\sin \delta _{1})-\omega t]}\approx {\vec {E}}_{r}{\text{e}}^{{\text{i}}[{\frac {\omega }{c}}(-x\psi -y)-\omega t]}\end{aligned}}$

## Optische Hebung

Betrachtet man von außerhalb des Wassers Gegenstände, die sich unter Wasser befinden, so erscheinen sie in senkrechter Richtung gestaucht. Der Boden des Gefäßes erscheint höher als bei einem Bild derselben Szene ohne Wasser. Diese Erscheinung wird daher auch optische Hebung genannt. An einem geraden Stab, der schräg ins Wasser eintaucht, sieht man einen Knick an der Wasseroberfläche. Aufgrund unterschiedlicher Brechungsindizes von Wasser und Luft entsteht ein anderer Brechungswinkel der vom Stab ins Auge kommenden Lichtstrahlen über und unter der Wasseroberfläche an der Grenzfläche zum Glas. Das menschliche Gehirn berücksichtigt diese unterschiedlichen Brechungswinkel nicht und verlängert die Strahlen geradlinig nach hinten, so dass der Stab unter Wasser flacher erscheint als der Stab über Wasser.

## Akustik

Auch für mechanische Wellen, das heißt Druck- oder Scherwellen, gilt das Brechungsgesetz. Im Rahmen der Akustik bzw. Ultraschalltechnik wird das snelliussche Brechungsgesetz aber ohne Brechungsindizes formuliert, sondern mit Hilfe der Wellenzahl $k$. Es gilt (siehe nebenstehendes Bild für die Winkelbezeichnungen):
    $k=k_{P1}\sin \theta _{P1}=k_{S1}\sin \theta _{S1}=k_{P2}\sin \theta _{P2}=k_{S2}\sin \theta _{S2}.$
Mit der Definition $k_{i}={\frac {2\pi }{\lambda _{i}}}={\frac {2\pi f}{c_{i}}}$ mit $i=\{S1,S2,P1,P2\}$ erhält man das Brechungsgesetz in der Formulierung mit den Phasengeschwindigkeiten der betreffenden Wellentypen im betreffenden Medium und somit die gleiche Formulierung wie in der Optik (falls man dort die Vakuumlichtgeschwindigkeit herauskürzen würde). Die Herleitung des Gesetzes in der Akustik geschieht über die Forderung nach der Erfüllung der Kontinuitätsgleichung für mechanische Spannungen und Verschiebungen an der Mediengrenze. Das nebenstehende Bild zeigt eine einfallende Longitudinalwelle in einem Festkörper, die an einer Grenzfläche zu einem zweiten Festkörper teilweise reflektiert und transmittiert wird. Im Allgemeinen entstehen an der Grenzfläche aus der einfallenden Longitudinalwelle (P-Welle) neue Wellentypen, so dass zwei verschiedene Wellentypen reflektiert und transmittiert werden: P-Wellen und S-Wellen (Scherwelle). Beide Wellentypen breiten sich mit unterschiedlichen Phasengeschwindigkeiten in den beiden Medien aus, daher werden sie auch unter unterschiedlichen Winkeln gebrochen. Diese Winkel können mit obigem Gesetz berechnet werden, falls die einzelnen Phasengeschwindigkeiten $c_{P1},\,c_{S1},\,c_{P2},\,c_{S2}$ sowie der Einfallswinkel der Primärwelle $\theta _{P1}$ bekannt sind. Im Falle von schubspannungsfreien Medien (Flüssigkeiten und Gase) treten keine Scherwellen auf, so dass die einfallende P-Welle nur eine reflektierte und eine transmittierte P-Welle erzeugen würde.