# Poisson-Klammer

Die Poisson-Klammer, benannt nach Siméon Denis Poisson, ist ein bilinearer Differentialoperator in der kanonischen (hamiltonschen) Mechanik. Sie ist ein Beispiel für eine Lie-Klammer, also für eine Multiplikation in einer Lie-Algebra.

## Definition

Die Poisson-Klammer ist definiert als
    $\left\{f,g\right\}:=\sum _{k=1}^{s}{\left({\frac {\partial f}{\partial q_{k}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{k}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{k}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{k}}}\right)}$
mit
* $f$ und $g$ Funktionen der generalisierten Koordinaten $q_{k}$ und der kanonisch konjugierten Impulse $p_{k}$
* $s$ Anzahl der Freiheitsgrade.
Allgemein kann die Poisson-Klammer auch für Funktionen $F$ und $G$ definiert werden, die nicht von generalisierten Koordinaten und kanonischen Impulsen abhängen. Zur Verdeutlichung, auf welche Variablen sich die Poisson-Klammer beziehen soll, werden diese als Indizes an die Klammer geschrieben:
    $\{F,G\}_{ab}:=\sum _{k=1}^{s}\left({\frac {\partial F}{\partial a_{k}}}{\frac {\partial G}{\partial b_{k}}}-{\frac {\partial F}{\partial b_{k}}}{\frac {\partial G}{\partial a_{k}}}\right)$.

## Eigenschaften

* Bilinearität
    $\,\{c_{1}f_{1}+c_{2}f_{2},g\}=c_{1}\{f_{1},g\}+c_{2}\{f_{2},g\}$
* Antisymmetrie
    $\{f,g\}=-\{g,f\}$, insbesondere $\{f,f\}=0$
* Produktregel
    $\,\{f,gh\}=\{f,g\}h+g\{f,h\}$
* Jacobi-Identität
    $\,\{f,\{g,h\}\}+\{h,\{f,g\}\}+\{g,\{h,f\}\}=0$
* Invarianz unter kanonischen Transformationen
    Physikalisch liegt es nahe, anzunehmen, dass die Zeitentwicklung einer Eigenschaft eines Systems nicht von den verwendeten Koordinaten abhängen sollte; damit sollten auch die Poisson-Klammern unabhängig von den verwendeten kanonischen Koordinaten sein. Seien $(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )$ und $(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )$ zwei verschiedene Sätze von Koordinaten, die durch kanonische Transformationen ineinander übergehen, so gilt:
       $\{f,g\}_{\mathbf {qp} }=\{f,g\}_{\mathbf {QP} }=\{f,g\}$.

### Fundamentale Poisson-Klammern

Für die kanonische Mechanik wichtig sind die fundamentalen Poisson-Klammern
    $\left\{q_{k},q_{l}\right\}=0$
    $\left\{p_{k},p_{l}\right\}=0$
    $\left\{q_{k},p_{l}\right\}=\delta _{kl}$ (Kronecker-Delta)
Sie folgen aus den trivialen Beziehungen
    ${\begin{alignedat}{2}&{\frac {\partial q_{k}}{\partial q_{l}}}=\delta _{kl}\quad &&{\frac {\partial p_{k}}{\partial q_{l}}}=0\\&{\frac {\partial q_{k}}{\partial p_{l}}}=0\quad &&{\frac {\partial p_{k}}{\partial p_{l}}}=\delta _{kl}\end{alignedat}}$

## Anwendung

* Mithilfe der Poisson-Klammer kann die Zeitevolution einer beliebigen Observablen $f(q_{k},p_{k},t)$ eines Hamiltonschen Systems $H(q_{k},p_{k})$ ausgedrückt werden (Hamiltonsche Bewegungsgleichungen):
       ${\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}=\{f,H\}+{\frac {\partial f}{\partial t}}$.
* Dual zur Bewegungsgleichung der Observablen ist die Liouville-Gleichung, die die Dynamik der Verteilungsdichte in der statistischen Mechanik beschreibt:
       ${\dot {\rho }}=\{H,\rho \}.$
* In der Quantenmechanik wird im Rahmen der kanonischen Quantisierung die Poisson-Klammer ersetzt durch $\textstyle \left(-{\frac {\rm {i}}{\hbar }}\right)$ mal den Kommutator:
       $\{H,f\}\rightarrow -{\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},{\hat {f}}]$
    Außerdem werden Observablen durch Operatoren dargestellt. Die oben angeführte Gleichung der Zeitevolution einer Observablen führt so auf die Zeitevolution von Operatoren eines quantenmechanischen Systems mit Hamiltonoperator ${\hat {H}}$ im Heisenberg-Bild. Diese Bewegungsgleichung heißt Heisenbergsche Bewegungsgleichung. Die Liouville-Gleichung findet ihre Entsprechung dabei in der Von-Neumann’schen Bewegungsgleichung.
* Sowohl die Phasenraumfunktionen der kanonischen Mechanik als auch die Operatoren der Quantenmechanik bilden mit ihren Klammern jeweils eine Lie-Algebra.
* Allgemein definiert man auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit mit symplektischer Form, die in lokalen Koordinaten gegeben ist durch $\textstyle \omega =\sum _{ij}\omega _{ij}\,\mathrm {d} x^{i}\wedge \mathrm {d} x^{j}$, die Poisson-Klammer der Funktionen $f$ und $g$ durch:
    $\{f,g\}=\sum _{ij}\omega ^{ij}\,\partial _{i}f\,\partial _{j}g\,.$
* Koordinatenunabhängig lässt sich die Poisson-Klammer wie folgt darstellen: es sei $J:T^{*}M\rightarrow TM$ der durch $J^{-1}(v)(w)=\omega (v,w)$ beschriebene Isomorphismus. Weiter sei für eine Funktion $f$ das Vektorfeld $X_{f}$ definiert als $J(\mathrm {d} f)$. Damit gilt dann
    $\{f,g\}=\omega (X_{f},X_{g}).$