# Delta-Distribution

Die Delta-Distribution (auch δ-Funktion; Dirac-Funktion, -Impuls, -Puls, -Stoß (nach Paul Dirac), Stoßfunktion, Nadelimpuls, Impulsfunktion oder Einheitsimpulsfunktion genannt) als mathematischer Begriff ist eine spezielle singuläre Distribution mit kompaktem Träger. Ihr übliches Formelsymbol ist δ (kleines Delta).

## Definition

Die Delta-Distribution ist eine stetige lineare Abbildung von einem Funktionenraum der Testfunktionen ${\mathcal {E}}$ in den zugrunde liegenden Körper $\mathbb {K}$:
    $\delta \colon \,{\mathcal {E}}\to \mathbb {K} \,,\,f\mapsto f(0)$.
Der Testfunktionenraum für die Delta-Distribution ist der Raum der beliebig oft differenzierbaren Funktionen $C^{\infty }(\Omega )$ mit $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ bzw. $\Omega \subset \mathbb {C} ^{n}$ offen und $0\in \Omega$. Somit entspricht $\mathbb {K}$ entweder den reellen $\mathbb {R}$ oder den komplexen Zahlen $\mathbb {C}$.
Die Delta-Distribution ordnet jeder beliebig oft differenzierbaren Funktion $f$ eine reelle bzw. komplexe Zahl $\delta (f)=f(0)$ zu, nämlich die Auswertung der Funktion an der Stelle 0. Der Wert, den die Delta-Distribution nach Anwendung auf eine Testfunktion $f\in {\mathcal {E}}$ liefert, schreibt man (mit der Notation der dualen Paarung) auch als
    $\delta (f)=\langle \delta ,f\rangle =f(0)$
beziehungsweise auch als
    $\delta (f)=\int _{\Omega }\delta (x)\,f(x)\,\mathrm {d} x=f(0)\,.$
Diese Schreibweise ist eigentlich nicht richtig und nur symbolisch zu verstehen, weil die Delta-Distribution eine singuläre Distribution ist, das heißt, sie lässt sich nicht durch eine lokal integrierbare Funktion in obiger Weise darstellen. Es gibt also keine Funktion $\delta$, welche der obigen Definition genügt. Insbesondere bei technisch orientierten Anwendungen des Konzepts sind dennoch mathematisch nicht präzise Bezeichnungen wie „Delta-Funktion“, „Dirac-Funktion“ oder „Impulsfunktion“ gebräuchlich. Bei Verwendung der Integral-Schreibweise ist zu beachten, dass es sich nicht um ein Riemann-Integral oder Lebesgue-Integral bzgl. des Lebesgue-Maßes, sondern um die Auswertung des Funktionals $\delta$ an der Stelle $f$, also $\delta (f)=f(0)$, handelt.

## Definition über Dirac-Maß

Das durch ein positives Radon-Maß $\mu$ erzeugte Funktional $\textstyle \langle \mu ,f\rangle =\int f(x)\,\mathrm {d} \mu$ (für $f\in {\mathcal {D}}$) ist eine Distribution. Die Delta-Distribution wird von folgendem Radon-Maß – man spricht hier speziell vom Diracmaß – erzeugt:
    $\delta (A)={\begin{cases}1,\ &{\text{ falls }}0\in A,\\0,\ &{\text{ sonst,}}\end{cases}}$
wobei $A\subseteq \mathbb {R}$. Ein Maß lässt sich physikalisch interpretieren, z. B. als Massenverteilung oder Ladungsverteilung des Raums. Dann entspricht die Delta-Distribution einem Massenpunkt der Masse 1 oder einer Punktladung der Ladung 1 im Ursprung.
    $\langle \delta ,f\rangle =\int f(x)\,\mathrm {d} \delta =f(0).$
Befinden sich an den Stellen $x_{i}\in \mathbb {R}$ Punktladungen $q_{i}$, wobei die Summe über alle Ladungen endlich bleibt, dann wird für $A\subset \mathbb {R}$ ein Maß auf der $\sigma$-Algebra aller Teilmengen von $\mathbb {R}$ definiert, das der Ladungsverteilung entspricht ($i_{A}$ durchlaufe alle $i$ mit $x_{i}\in A$):
    $\rho (A):=\sum _{i_{A}}q_{i}.$
Für dieses Maß ist dann die zugehörige Distribution:
    $\langle \rho ,f\rangle =\int f(x)\,\mathrm {d} \rho =\sum _{i_{A}}f(x_{i})q_{i}.$

## Approximation der Delta-Distribution

Man kann die Delta-Distribution wie alle anderen Distributionen auch als Grenzwert einer Funktionenfolge darstellen. Die Menge der Dirac-Folgen ist die wichtigste Klasse von Funktionenfolgen, mit denen die Delta-Distribution dargestellt werden kann. Jedoch gibt es noch weitere Folgen, die gegen die Delta-Distribution konvergieren.

### Dirac-Folge

Eine Folge $(\delta _{k})_{k\in \mathbb {N} }$ integrierbarer Funktionen $\delta _{k}\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ wird Dirac-Folge genannt, falls
* für alle $x\in \mathbb {R} ^{n}$ und alle $k\in \mathbb {N}$ die Bedingung $\delta _{k}(x)\geq 0\,,$
* für alle $k\in \mathbb {N}$ die Identität $\int _{\mathbb {R} ^{n}}\delta _{k}(x)\,\mathrm {d} x=1$ und
* für alle $\epsilon >0$ die Gleichheit $\lim _{k\to \infty }\int _{\mathbb {R} ^{n}\setminus B_{\epsilon }(0)}\delta _{k}(x)\mathrm {d} x=0$
gilt. Manchmal versteht man unter einer Dirac-Folge auch nur einen Spezialfall der hier definierten Dirac-Folge. Wählt man nämlich eine Funktion $\phi \in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ mit $\phi (x)\geq 0$ für alle $x\in \mathbb {R} ^{n}$ und $\textstyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\phi (x)\mathrm {d} x=1$ und setzt $\delta _{\epsilon }(x):=\epsilon ^{-n}\phi ({\tfrac {x}{\epsilon }})$ für $\epsilon >0$, dann erfüllt diese Funktionenschar die Eigenschaften 1 und 2. Betrachtet man den Grenzwert $\epsilon \to 0$ anstatt $k\to \infty$, so ist auch Eigenschaft 3 erfüllt. Daher nennt man die Funktionenschar $\delta _{\epsilon }$ ebenfalls Dirac-Folge.

### Bemerkungen

Die Funktion $\delta _{k}$ kann man nun mit einer regulären Distribution
    $\delta _{k}(f):=\langle \delta _{k},f\rangle :=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\delta _{k}(x)\,f(x)\,\mathrm {d} x$
identifizieren. Nur im Limes $k\to \infty$ erhält man das ungewöhnliche Verhalten der Delta-Distribution
    $\lim _{k\to \infty }\delta _{k}(f)=\lim _{k\to \infty }\langle \delta _{k},f\rangle =f(0)=\langle \delta ,f\rangle$
wobei zu beachten ist, dass die Limes-Bildung nicht unter dem Integral, sondern davor erfolgt. Würde man den Limes unter das Integral ziehen, so wäre $\delta _{\epsilon }$ fast überall Null, nur nicht bei $x=0$. Ein einzelner Punkt hat jedoch das Lebesgue-Maß Null und das ganze Integral würde verschwinden.
Anschaulich stellt man sich die Delta-Distribution als eine beliebig hohe und beliebig schmale Funktion vor, die über der x-Achse eine Fläche mit Größe 1 Flächeneinheit einschließt. Man lässt nun die Funktion immer schmaler und dafür immer höher werden – die Fläche darunter muss konstant 1 bleiben. Es existieren auch mehrdimensionale Dirac-Distributionen, diese werden anschaulich zu mehrdimensionalen „Keulen“ mit dem Volumen 1.

### Beispiele für Dirac-Folgen

Im Folgenden werden verschiedene Approximationen (Dirac-Folgen) $\delta _{\epsilon }(x)$ angegeben, zunächst stetig differenzierbare:
* Glockenfunktionen (Normalverteilungen)
    $\delta _{\epsilon }(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \epsilon }}}\,\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\epsilon }}\right)$
    Die angegebenen Funktionen besitzen ein sehr schmales und sehr hohes Maximum bei $x=0$, die Breite ist etwa ${\sqrt {\epsilon }}\to 0$ und die Höhe etwa $1/{\sqrt {\epsilon }}\to \infty$. Für alle $\epsilon$ ist der Flächeninhalt unter der Funktion 1.
* Lorentzkurven
    $\delta _{\epsilon }(x)={\frac {1}{\pi }}{\frac {\epsilon }{x^{2}+\epsilon ^{2}}}$
* Fresnel-Darstellung
    $\delta _{\epsilon }(x)={\frac {1}{\sqrt {\mathrm {i} \pi \epsilon }}}\,\exp \left({\frac {\mathrm {i} x^{2}}{\epsilon }}\right)$
    die man sich vorstellen kann als eine Linie, die auf einen Zylinder gewickelt ist, und deren Wicklungen durch das $x^{2}$ immer enger werden; die Grundfläche (in $x$-$y$-Ausrichtung) des Zylinders wird aus dem Imaginär- und Realteil der Funktion gebildet, die Funktion entwickelt sich dann in $z$-Richtung.
Es sind aber auch Approximationen möglich, die nur stückweise stetig differenzierbar sind:
* Rechteckfunktion
    $\delta _{\epsilon }(x)={\frac {\operatorname {rect} (x/\epsilon )}{\epsilon }}={\begin{cases}{\frac {1}{\epsilon }}&\ |x|\leq {\frac {\epsilon }{2}}\\0&\ {\text{sonst}}\end{cases}}$
* Dreiecksfunktion
    $\delta _{\epsilon }(x)={\begin{cases}{\frac {\epsilon +x}{\epsilon ^{2}}}&\ -\epsilon \leq x\leq 0\\{\frac {\epsilon -x}{\epsilon ^{2}}}&\ 0<x\leq \epsilon \\0&\ {\text{sonst}}\end{cases}}$
* Exponentialfunktion um Ursprung abfallend
    $\delta _{\epsilon }(x)={\frac {1}{2\epsilon }}\exp \left(-{\frac {|x|}{\epsilon }}\right)$

### Weitere Beispiele

* Die Funktionenfolge der Sinc-Funktionen
    $\delta _{\epsilon }(x)={\frac {1}{\pi x}}\sin \left({\frac {x}{\epsilon }}\right)$ ist keine Dirac-Folge, da ihre Folgenglieder auch negative Werte annehmen. Betrachtet man allerdings den Ausdruck
    $\lim _{\epsilon \to 0}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\pi x}}\sin \left({\frac {x}{\epsilon }}\right)\phi (x)\mathrm {d} x$
    so konvergiert für alle $\phi \in {\mathcal {D}}$ diese Folge im distributionellen Sinn gegen die Delta-Distribution.

## Eigenschaften

* Definierende Eigenschaft der Delta-Distribution: Faltungseigenschaft, auch Ausblendeigenschaft, Siebeigenschaft genannt
       $\langle \delta ,f\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\,f(x)\,\mathrm {d} x=f(0)$
    bzw. mit den Eigenschaften Translation und Skalierung (siehe unten) folgt:
       $\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (x-a)\,\mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (a-x)\,\mathrm {d} x=f(a),$
    speziell für den Fall der konstanten Funktion 1:
       $\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-a)\,\mathrm {d} x=1$
* Linearität:
       $\langle \delta ,f+g\rangle =\langle \delta ,f\rangle +\langle \delta ,g\rangle =f(0)+g(0)$
* Translation:
       $\langle \delta (\cdot -a),f\rangle =\langle \delta ,f(\cdot +a)\rangle =f(a)$
    für $\delta (\cdot -a)$ ist auch die Bezeichnung $\delta _{a}$ gebräuchlich.
* Skalierung:
       $\langle \delta (a\cdot ),f\rangle ={\frac {1}{|a|}}\langle \delta ,f({\tfrac {\cdot }{a}})\rangle ={\frac {1}{|a|}}f(0)$
    und
       $\delta (\alpha x)={\frac {1}{|\alpha |}}\delta (x)$
    das heißt die Delta-Distribution ist positiv homogen vom Grad −1.
* Dimension
    Eine direkte Folgerung aus der Skalierungseigenschaft ist die Dimension bzw. Maßeinheit der Delta-Distribution. Sie entspricht genau der reziproken Dimension ihres Arguments. Hat $x$ beispielsweise die Dimension einer Länge, so hat $\delta (x)$ die Dimension (1/Länge).
* Hintereinanderausführung:
       $\int _{-\infty }^{\infty }\phi (x)\,\delta (g(x))\,\mathrm {d} x=\sum _{i=1}^{n}\int _{-\infty }^{\infty }\phi (x){\frac {\delta (x-x_{i})}{|g'(x_{i})|}}\,\mathrm {d} x=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\phi (x_{i})}{|g'(x_{i})|}},$
       $\delta (g(x))=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\delta (x-x_{i})}{|g^{\prime }(x_{i})|}}$
    wobei $x_{i}$ die einfachen Nullstellen von $g(x)$ sind (sofern $g(x)$ nur endlich viele und nur einfache Nullstellen hat). Damit folgt als ein Spezialfall die Rechenregel
       $\delta (x^{2}-\alpha ^{2})={\frac {1}{2|\alpha |}}[\delta (x-\alpha )+\delta (x+\alpha )].$

### Singularität

Die Singularität der Delta-Distribution lässt sich mit einem Widerspruchsbeweis zeigen:
Angenommen $\delta$ wäre regulär, dann gäbe es eine lokal integrierbare Funktion $\delta (x)\in L_{\text{lok}}^{1}$, also eine Funktion, die über jedes kompakte Intervall $[a,b]$ bzgl. des Lebesgue-Maßes integrierbar ist
    $\int _{a}^{b}|\delta (x)|\mathrm {d} x<\infty$
so dass für alle Testfunktionen $f(x)$ gilt:
    $\langle \delta ,f\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\,f(x)\,\mathrm {d} x=f(0).$
Wähle zunächst $b\in \mathbb {R}$ derart, dass $\textstyle \int _{-b}^{b}|\delta (x)|\mathrm {d} x<1$ gilt. Betrachte dann die folgende Testfunktion $\phi _{b}(x)$ mit kompaktem Träger $[-b,b]$:
    $\phi _{b}(x)={\begin{cases}\exp {\Big{\frac {b^{2}}{x^{2}-b^{2}}}{\Big )}&|x|<b\\0&|x|\geq b.\end{cases}}$
Die Wirkung der Delta-Distribution auf diese ist:
    $\langle \delta ,\phi _{b}\rangle =\phi _{b}(0)=\exp(-1)={\frac {1}{e}}.$
Mit der angenommenen regulären Distribution
    $\langle \delta ,\phi _{b}\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\,\phi _{b}(x)\,\mathrm {d} x=\int _{-b}^{b}\delta (x)\,\phi _{b}(x)\,\mathrm {d} x$
lässt sich folgende Abschätzung durchführen:
    ${\frac {1}{e}}=|\langle \delta ,\phi _{b}\rangle |=\left|\int _{-b}^{b}\delta (x)\,\phi _{b}(x)\,\mathrm {d} x\right|\leq \underbrace {\|\phi _{b}(x)\|_{\infty }} _{\phi _{b}(0)}\,\int _{-b}^{b}|\delta (x)|\,\mathrm {d} x<{\frac {1}{e}}.$
Man erhält also einen Widerspruch; somit ist die Delta-Distribution nicht durch eine lokal integrierbare Funktion darstellbar. Der Widerspruch ergibt sich, weil die Menge {0} für das Lebesgue-Maß vernachlässigbar ist, nicht aber für das Dirac-Maß.

### Ableitungen
#### Ableitung der Delta-Distribution

Die Delta-Distribution kann wie jede Distribution beliebig oft distributiv differenziert werden:
    $\langle \delta ',f\rangle =-\langle \delta ,f'\rangle =-f'(0).$
Dies gilt auch für die $n$-te distributive Ableitung:
    $\langle \delta ^{(n)},f\rangle =(-1)^{n}\langle \delta ,f^{(n)}\rangle =(-1)^{n}f^{(n)}(0).$

#### Ableitung der Dirac-Folge

Die Ableitungen der regulären Distributionen $\delta _{\epsilon }$ können mittels partieller Integration berechnet werden (hier exemplarisch für erste Ableitung, analog für höhere)
    ${\begin{aligned}\langle \delta _{\epsilon }^{\prime },f\rangle &=\int _{-\infty }^{\infty }\delta _{\epsilon }^{\prime }(x)\,f(x)\,\mathrm {d} x\\&=\underbrace {\left[\delta _{\epsilon }(x)\,f(x)\right]_{-\infty }^{\infty }} _{=0}-\int _{-\infty }^{\infty }\delta _{\epsilon }(x)\,f^{\prime }(x)\,\mathrm {d} x\\&=-\int _{-\infty }^{\infty }\delta _{\epsilon }(x)\,f^{\prime }(x)\,\mathrm {d} x\\&=-\langle \delta _{\epsilon },f^{\prime }\rangle \end{aligned}}$
und ergeben im Limes $\epsilon \to 0$ das Verhalten der distributiven Ableitung:
    $\lim _{\epsilon \to 0}\langle \delta _{\epsilon }^{\prime },f\rangle =-f^{\prime }(0)=\langle \delta ^{\prime },f\rangle .$

#### Ableitung der Heaviside-Distribution

Die Heaviside-Funktion $\Theta (x)$ ist nicht stetig differenzierbar, aber die distributive Ableitung existiert, diese ist nämlich die Delta-Distribution:
    $\langle \Theta ',f\rangle =-\langle \Theta ,f'\rangle =-\int _{-\infty }^{\infty }\Theta (x)\,f'(x)\,\mathrm {d} x=-\int _{0}^{\infty }f'(x)\,\mathrm {d} x=-\underbrace {f(\infty )} _{=0}+f(0)=\langle \delta ,f\rangle .$
Da die Heaviside-Distribution keinen kompakten Träger hat, müssen hier die Testfunktionen beliebig oft differenzierbare Funktionen mit kompaktem Träger sein $f\in C_{0}^{\infty }\cong {\mathcal {D}}$, das heißt $f$ muss im Unendlichen verschwinden.

### Fourier-Laplace-Transformation

Da die Delta-Distribution einen kompakten Träger hat, ist es möglich, die Fourier-Laplace-Transformation dieser zu bilden. Für diese gilt
    ${\hat {\delta }}=1\,.$

#### Fourier-Transformation

Die Fourier-Laplace-Transformation ist ein Spezialfall der Fourier-Transformation und somit gilt auch
    ${\mathcal {F}}(\delta )(\phi )=\delta ({\mathcal {F}}(\phi ))=\delta \left(\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x\xi }\phi (x)\mathrm {d} x\right)=\langle 1,\phi \rangle \,.$
Es gibt auch die Konvention, den Faktor ${\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}$ mit der Fourier-Transformation zu multiplizieren. In dem Fall ist ${\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}$ ebenfalls das Ergebnis der Fourier-Transformation der Delta-Distribution. Anschaulich bedeutet das Resultat der Transformation, dass in der Delta-Distribution alle Frequenzen enthalten sind, und zwar mit gleicher Stärke. Die Darstellung $\delta (x)={\mathcal {F}}^{-1}(1)$ (beziehungsweise $\delta (x)={\mathcal {F}}^{-1}({\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}})$ bei der anderen Konvention für den Vorfaktor) ist eine in der Physik wichtige Darstellung der Delta-Distribution.

#### Laplace-Transformation

Die Laplace-Transformation ${\mathcal {L}}$ der Delta-Distribution erhält man als Spezialfall der Fourier-Laplace-Transformation. Es gilt nämlich auch hier
    ${\mathcal {L}}(\delta )=1\,.$
Im Gegensatz zur Fourier-Transformation gibt es hier keine anderen Konventionen.

#### Anmerkung bezüglich der Darstellung

Oftmals werden die Fourier beziehungsweise die Laplace-Transformation durch die gewöhnliche Integralschreibweise dargestellt. Jedoch sind diese Darstellungen
    ${\mathcal {F}}(\delta )(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \xi x}\,\delta (x)\,\mathrm {d} x$
für die Fourier-Transformation beziehungsweise
    ${\mathcal {L}}(\delta )(\xi )=\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-\xi x}\,\delta (x)\,\mathrm {d} x$
für die Laplace-Transformation nur symbolisch zu verstehen und mathematisch nicht definiert.

#### Transformation der verschobenen Delta-Distribution

Es ist ebenfalls möglich die Fourier-Transformation beziehungsweise die Laplace-Transformation für die um $a>0$ verschobene Delta-Distribution $\delta _{a}$ zu berechnen. Es gilt
    ${\begin{aligned}{\mathcal {F}}(\delta _{a})&=\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \xi a}\\{\mathcal {L}}(\delta _{a})&=\mathrm {e} ^{-\xi a}.\end{aligned}}$

## Praktische Anwendung

Praktische Bedeutung hat der Dirac-Stoß bei der Ermittlung der Impulsantwort in der Akustik (in anderen Sparten der Physik spricht man auch von einer $\delta$-Größe, wenn man meint, dass die betreffende Größe einer schmalst-möglichen Verteilung genügt). So hat jeder Raum ein eigenes Schallverhalten. Mit einem Dirac-Impuls (angenähert durch ein Klatschen mit den Händen) kann dieses Verhalten (durch Messen des „Echos“, also der Systemantwort) ermittelt werden.
Typische, technisch realisierbare Dirac-Werte:
* Hochspannungstechnik ca. 1–100 ns Halbwertsbreite
* Hochfrequenztechnik ca. 10–100 ps Halbwertsbreite
* Pulslasertechnik ca. 10–100 fs Halbwertsbreite
Eine wichtige Anwendung der Delta-Distribution ist die Lösung inhomogener linearer gewöhnlicher und partieller Differentialgleichungen mit der Methode der Greenschen Funktion.

## Mehrdimensionale Delta-Distribution
### Definition

Im Mehrdimensionalen ist der Raum der Testfunktionen ${\mathcal {E}}$ gleich $C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$, der Raum der beliebig oft total differenzierbaren Funktionen $f\colon \,\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$.
Die Delta-Distribution hat auf die Testfunktion $f\colon \,\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ die folgende Wirkung:
    $\delta \colon \,{\mathcal {E}}\to \mathbb {R} \,,\ f\mapsto f({\vec {0}})$
In der informellen Integralschreibweise unter Verwendung von Translation und Skalierung:
    $\int f({\vec {x}})\,\delta ({\vec {x}}-{\vec {a}})\,\mathrm {d} ^{n}x=\int f({\vec {x}})\,\delta ({\vec {a}}-{\vec {x}})\,\mathrm {d} ^{n}x=f({\vec {a}})$.

### Eigenschaften

Die „mehrdimensionale“ Delta-Distribution lässt sich als Produkt von „eindimensionalen“ Delta-Distributionen schreiben:
    $\delta ({\vec {x}}-{\vec {a}})=\delta (x_{1}-a_{1})\,\delta (x_{2}-a_{2})\,\dots \,\delta (x_{n}-a_{n})$.
Speziell im Dreidimensionalen gibt es eine Darstellung der Delta-Distribution, die häufig in der Elektrodynamik eingesetzt wird, um Punktladungen darzustellen:
    $\delta ({\vec {x}}-{\vec {a}})=-{\frac {1}{4\pi }}\Delta {\frac {1}{\|{\vec {x}}-{\vec {a}}\|_{2}}}$.

### Delta-Distribution in krummlinigen Koordinatensystemen

In krummlinigen Koordinatensystemen muss die Funktionaldeterminante
    $\mathrm {d} ^{3}r=\mathrm {d} x~\mathrm {d} y~\mathrm {d} z=\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (a,b,c)}}~\mathrm {d} a~\mathrm {d} b~\mathrm {d} c$
berücksichtigt werden.
Der Ansatz
    $\delta ({{\vec {r}}-{\vec {r}}_{0}})=\gamma (a,b,c)~\delta (a-a_{0})~\delta (b-b_{0})~\delta (c-c_{0})$
mit ${\vec {r}}=(a,b,c)$ und ${\vec {r}}_{0}=(a_{0},b_{0},c_{0})$ führt dabei auf die Gleichung
    $\int _{V}\delta ({\vec {r}}-{\vec {r}}_{0})~\mathrm {d} ^{3}r=\iiint _{V}\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (a,b,c)}}~\gamma (a,b,c)~\delta (a-a_{0})~\delta (b-b_{0})~\delta (c-c_{0})~\mathrm {d} a~\mathrm {d} b~\mathrm {d} c~{\stackrel {!}{=}}~1$, falls ${\vec {r}}_{0}\in V$.
Daran lässt sich ablesen, dass gelten muss
    $\gamma =\left(\left.\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (a,b,c)}}\right|_{{\vec {r}}_{0}}\right)^{-1}$.
In krummlinigen Koordinatensystem muss die Delta-Distribution also mit einem Vorfaktor versehen werden, der dem Kehrwert der Funktionaldeterminante entspricht.

#### Beispiele

In Kugelkoordinaten mit ${\vec {r}}=(r,\theta ,\phi )$ und ${\vec {r}}_{0}=(r_{0},\theta _{0},\phi _{0})$ gilt:
    $\delta ({\vec {r}}-{\vec {r}}_{0})={\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}~\delta (r-r_{0})~\delta (\theta -\theta _{0})~\delta (\phi -\phi _{0})$
In Zylinderkoordinaten mit ${\vec {r}}=(\rho ,\phi ,z)$ und ${\vec {r}}_{0}=(\rho _{0},\phi _{0},z_{0})$ gilt:
    $\delta ({\vec {r}}-{\vec {r}}_{0})={\frac {1}{\rho }}~\delta (\rho -\rho _{0})~\delta (\phi -\phi _{0})~\delta (z-z_{0})$