# Brocard-Punkte

Brocard-Punkte sind spezielle Punkte im Dreieck; benannt nach dem französischen Mathematiker Henri Brocard (1845–1922), der bei ihrer Definition auftretende spezielle Winkel wird als Brocard-Winkel bezeichnet.

## Definition

Brocard wurde am bekanntesten für den folgenden Satz:
In einem Dreieck $\Delta ABC$ mit den Seiten $a,b,c$ gibt es genau einen Punkt $P$ derart, dass die Strecken ${\overline {AP}},{\overline {BP}},{\overline {CP}}$ der Reihe nach mit den Seiten $c,a,b$ den gleichen Winkel $\omega$ einschließen, d. h., dass die Winkelgleichung $\angle PBC=\angle PCA=\angle PAB$ gilt. Dieser Punkt $P$ heißt der erste Brocard-Punkt und der Winkel $\omega$ heißt der Brocard-Winkel des Dreiecks $\Delta ABC$.
Es gibt noch einen zweiten Brocard-Punkt des Dreiecks ABC; das ist derjenige Punkt Q, für den die Strecken AQ, BQ, CQ der Reihe nach mit den Seiten b, c, a gleiche Winkel einschließen, d. h. für den $\angle QCB=\angle QBA=\angle QAC$ gilt. Merkwürdigerweise entspricht diesem zweiten Brocard-Punkt derselbe Brocard-Winkel wie dem ersten Brocard-Punkt, d. h. der Winkel $\angle PBC=\angle PCA=\angle PAB$ ist dem Winkel $\angle QCB=\angle QBA=\angle QAC$ gleich.
Die zwei Brocard-Punkte sind eng miteinander verwandt; in der Tat hängt die Unterscheidung des ersten von dem zweiten davon ab, in welcher Reihenfolge man die Ecken des Dreiecks ABC nimmt! So ist z. B. der erste Brocard-Punkt des Dreiecks ABC gleichzeitig der zweite Brocard-Punkt des Dreiecks ACB.
Vor Brocard wurden sie schon von August Leopold Crelle (1817) und Karl Friedrich Andreas Jacobi (1825) untersucht.

## Konstruktion

Die eleganteste Konstruktion der Brocard-Punkte, im Folgenden an dem Beispiel des ersten Brocard-Punktes P beschrieben (in der nebenstehenden Abbildung wurden aus Platzgründen die Kreise durch Kreisbögen ersetzt), geht folgendermaßen:
Man schneidet die Mittelsenkrechte ms$_1$ der Seite AB mit der Senkrechten s$_1$ zu der Seite BC durch den Punkt B. Um den Schnittpunkt zeichnet man einen Kreis so, dass er durch den Punkt B geht. Dann geht dieser Kreis auch durch den Punkt A und berührt die Seite BC im Punkt B. Analog konstruieren wir einen Kreis durch die Punkte C und B, der die Seite CA im Punkt C berührt, und einen Kreis durch die Punkte A und C, der die Seite AB im Punkt A berührt. Diese drei Kreise haben einen gemeinsamen Punkt P – den ersten Brocard-Punkt des Dreiecks ABC!
Die drei soeben konstruierten Kreise werden auch als Beikreise des Dreiecks ABC bezeichnet. Analog konstruiert man den zweiten Brocard-Punkt Q (grün gestrichelte Linien).

## Formeln für den Brocard-Winkel

Schreibt man $A_{\Delta }$ für den Flächeninhalt des Dreiecks ABC, so lässt sich der Brocard-Winkel mit folgenden Formeln berechnen:
* $\tan \omega ={\frac {4A_{\Delta }}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$.
* $\cot \omega =\cot \alpha +\cot \beta +\cot \gamma$.
* $\sin \omega ={\frac {2A_{\Delta }}{\sqrt {b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2}+a^{2}b^{2}}}}$
Für jedes Dreieck gilt $\omega \leq 30^{\circ }$.

## Eigenschaften

* Die beiden Brocard-Punkte eines Dreiecks ABC sind stets zueinander isogonal konjugiert.
* Der Mittelpunkt der beiden Brocard-Punkte (Kimberling-Nummer X(39)) liegt auf der sogenannten Brocard-Achse, die den Umkreismittelpunkt und den Lemoine-Punkt verbindet. Die Verbindungsgerade der beiden Brocard-Punkte ist senkrecht zur Brocard-Achse.

## Koordinaten

Die trilinearen Koordinaten des ersten bzw. zweiten Brocard-Punkts sind
    ${\frac {c}{b}}\,:\,{\frac {a}{c}}\,:\,{\frac {b}{a}}\quad {\text{bzw.}}\quad {\frac {b}{c}}\,:\,{\frac {c}{a}}\,:\,{\frac {a}{b}}$.
Die baryzentrischen Koordinaten sind
    ${\frac {1}{b^{2}}}\,:\,{\frac {1}{c^{2}}}\,:\,{\frac {1}{a^{2}}}\quad {\text{bzw.}}\quad {\frac {1}{c^{2}}}\,:\,{\frac {1}{a^{2}}}\,:\,{\frac {1}{b^{2}}}$.
Dabei sind $a,b,c$ die Seitenlängen des Dreiecks.

## Dritter Brocard-Punkt

Gelegentlich wird der Punkt mit trilinearen Koordinaten $(a^{-3},b^{-3},c^{-3})$ als „dritter“ Brocard-Punkt bezeichnet. Er hat die Kimberling-Nummer $X_{76}$ und die baryzentrischen Koordinaten $(a^{-2},b^{-2},c^{-2})$. Damit schließt er die Permutation mit den ersten beiden Brocard-Punkten mit den baryzentrischen Koordinaten $(b^{-2},c^{-2},a^{-2})$ bzw. $(c^{-2},a^{-2},b^{-2})$.