# Topologische Kategorie

Eine topologische Kategorie (auch topologisch angereicherte Kategorie) ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie eine über der Kategorie der kompakt generierten Hausdorff-Räume angereicherte Kategorie. In der höheren Kategorientheorie können diese als eine mögliche Modellierung von ∞-Kategorien benutzt werden. Zu anderen Möglichkeiten gehören simpliziale Mengen, simplizial angereicherte Kategorien, Segal-Räume und Segal-Kategorien.

## Definition

Eine topologische Kategorie ${\mathcal {C}}$ ist eine lokal kleine über der Kategorie $\mathbf {cgHaus}$ der kompakt generierten Hausdorff-Räume angereicherte Kategorie, also vereinfacht dass für alle Objekte $X,Y\in \operatorname {Ob} {\mathcal {C}}$ die Hom-Mengen $\operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y)$ jeweils kompakt generierte Hausdorff-Räume sind (also in $\operatorname {Ob} \mathbf {cgHaus}$ liegen) und die durch Komposition auf diesen induzierte Morphismen stetig sind (also in $\operatorname {Ar} \mathbf {cgHaus}$ liegen). Die (nicht mehr lokal kleine) Kategorie der topologischen Kategorien wird als $\mathbf {Cat} _{\mathbf {cgHaus} }$ notiert.

## Beispiele

* $\mathbf {cgHaus}$ ist selbst eine topologische Kategorie. Deren interner Hom-Funktor ist für topologische Räume $X,Y\in \operatorname {Ob} \mathbf {cgHaus}$ gegeben durch die Kompakt-Offen-Topologie:
    $\mathbf {Hom} _{\mathbf {cgHaus} }(Y,Z):=C_{\mathrm {co} }(Y,Z).$

## Verbindung zu simplizial angereicherten Kategorien

Sei $\mathbf {sSet}$ die Kategorie der simplizialen Mengen, dann bilden die geometrische Realisierung $|-|\colon \mathbf {sSet} \rightarrow \mathbf {cgHaus}$ und der singuläre Funktor $\operatorname {Sing} \colon \mathbf {cgHaus} \rightarrow \mathbf {sSet}$ eine Adjunktion $|-|\colon \mathbf {sSet} \leftrightarrows \mathbf {cgHaus} \colon \operatorname {Sing}$ mit $|-|\dashv \operatorname {Sing}$. Beide Funktoren können auch auf sämtliche Hom-Mengen einer entsprechend angereicherten Kategorie angewendet werden. Eine simplizial angereicherte Kategorie ${\mathcal {C}}$ erzeugt damit eine topologische Kategorie $|{\mathcal {C}}|$ durch:
    $\forall X,Y\in \operatorname {Ob} {\mathcal {C}}\colon \operatorname {Hom} _{|{\mathcal {C}}|}(X,Y):=|\operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y)|.$
Eine topologische Kategorie ${\mathcal {C}}$ erzeugt damit eine simplizial angereicherte Kategorie $\operatorname {Sing} ({\mathcal {C}})$ durch:
    $\forall X,Y\in \operatorname {Ob} {\mathcal {C}}\colon \operatorname {Hom} _{\operatorname {Sing} ({\mathcal {C}})}(X,Y):=\operatorname {Sing} (\operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y)).$
Dadurch ergeben sich induzierte Funktoren und eine induzierte Adjunktion $|-|\colon \mathbf {Cat} _{\mathbf {sSet} }\leftrightarrows \mathbf {Cat} _{\mathbf {cgHaus} }\colon \operatorname {Sing}$ mit $|-|\dashv \operatorname {Sing}$.

## Homotopiekategorie einer topologischen Kategorie

Die Homotopiekategorie einer topologischen Kategorie ${\mathcal {C}}$ ist die Kategorie $\operatorname {Ho} ({\mathcal {C}})$ mit:
    $\operatorname {Ob} \operatorname {Ho} ({\mathcal {C}})=\operatorname {Ob} {\mathcal {C}}$
    $\forall X,Y\in \operatorname {Ob} \operatorname {Ho} ({\mathcal {C}})=\operatorname {Ob} {\mathcal {C}}\colon \operatorname {Hom} _{\operatorname {Ho} ({\mathcal {C}})}(X,Y)=\pi _{0}\operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y)\cong \pi _{0}\operatorname {Sing} (\operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y))$
Dabei sind $\pi _{0}\colon \mathbf {cgHaus} \rightarrow \mathbf {Set}$ die Wegzusammenhangskomponenten eines topologischen Raumes und $\pi _{0}\colon \mathbf {sSet} \rightarrow \mathbf {Set}$ die Zusammenhangskomponenten einer simplizialen Menge, wobei $\pi _{0}=\pi _{0}\circ \operatorname {Sing}$.
Zusammen mit der Homotopiekategorie einer simplizial angereicherten Kategorie ist diese Operation verträglich mit den obigen Umwandlungen von topologischen und simplizial angereicherten Kategorien ineinander: Für eine topologische Kategorie ${\mathcal {C}}$ gibt es also einen kanonischen Isomorphismus $\operatorname {Ho} ({\mathcal {C}})\cong \operatorname {Ho} (\operatorname {Sing} ({\mathcal {C}}))$ und für eine simplizial angereicherte Kategorie ${\mathcal {C}}$ einen kanonischen Isomorphismus $\operatorname {Ho} ({\mathcal {C}})\cong \operatorname {Ho} (|{\mathcal {C}}|)$.