# Newmark-beta-Verfahren

Newmark-beta-Verfahren sind Methoden zur impliziten numerischen Integration von Differenzialgleichungen. Die Verfahren gehören zu den Einschrittverfahren, da zur Berechnung der Werte zur Zeit t$_{n+1}$ nur die Werte des vorangegangenen Zeitschritts zur Zeit t$_n$ benötigt werden. Dabei werden zwei Parameter β (beta) und γ eingeführt, mit denen die Stabilität und die Genauigkeit des Verfahrens gesteuert werden. Die Verfahrensklasse ist in der numerischen Analyse der Dynamik von Festkörpern wie in der Finite-Elemente-Methode weit verbreitet. Benannt ist sie nach Nathan M. Newmark, der sie 1959 für die Anwendung in der Strukturdynamik entwickelte.

## Herleitung

Im Zeitintervall $[t_{0},t_{e}]$, in dem eine Lösung $x(t)$ einer Differenzial­gleichung zweiter Ordnung in der Zeit gesucht wird, sei eine streng monoton steigende Folge von Zeitpunkten $\{t_{0},t_{1},\dotsc ,t_{e}\}$ vorgegeben, zu denen die Lösung $x(t)$ berechnet werden soll. Der Wert der Variable $x_{n}$, ihre Rate ${\dot {x}}_{n}$ und Beschleunigung ${\ddot {x}}_{n}$ seien zur Zeit t$_n$ bekannt. Die Beschleunigung wird im Intervall $t\in [t_{n},t_{n+1}]$ linear interpoliert, siehe Bild:
worin $x^{h}$ eine Näherungslösung der gesuchten Funktion $x$ bezeichnet. Integration über die Zeit liefert mit $\Delta t=t-t_{n}$:
Mit
    β = 1/6 und γ = 1/2
sind diese Formeln exakt und liefern das lineare Beschleunigungsverfahren. Unter der Voraussetzung, dass die Extremwerte der Beschleunigung im Intervall [t$_n$,t$_{n+1}$] an den Grenzen des Intervalls auftreten, stellen die Integrale in Gleichungen (II) und (III) eine abgebrochene Taylorreihe mit Restglied dar, wobei mit 0≤β≤1 und 0≤γ≤1 andere Approximationen $x^{h}$ gefunden werden. So können auch andere Werte für die Konstanten β und γ motiviert werden.

## Start der Berechnung

Der Newmark-Algorithmus startet zur Zeit t=t$_0$ mit n=0. Zumeist wird angenommen, dass für t≤t$_0$ die Beschleunigungen verschwinden. Mit dieser Annahme ist der Algorithmus unter Vorgabe der Anfangswerte x$_0$ und Anfangsgeschwindigkeit ẋ$_0$ selbststartend, d. h. die Anfangsbeschleunigungen brauchen nicht in einem ersten Schritt berechnet zu werden.

## Aktualisierung der Variablen

Mit dem Newmark-Algorithmus werden aus gegebenen Werten $x_{n},{\dot {x}}_{n}$ und ${\ddot {x}}_{n}$ zur Zeit t$_n$ die entsprechenden Werte zur Zeit t$_{n+1}$ berechnet. Die im Intervall $[t_{n},t_{n+1}]$ liegenden Werte können mit den #Gleichungen (I) bis (III) interpoliert werden. Mit $t=t_{n+1}$ und ${\ddot {x}}^{h}(t_{n+1})={\ddot {x}}_{n+1}$ bekommt man aus Gleichungen (II) und (III):
Die beiden Gleichungen (IV) und (V) enthalten drei Unbekannte $x_{n+1},{\dot {x}}_{n+1}$ und ${\ddot {x}}_{n+1}$. Die dritte zum Abschluss benötigte Gleichung liefert die zu lösende Differenzial­gleichung. Bei $\beta \neq 0$ kann auch $x_{n+1}$ als primäre Unbekannte gewählt werden:
    ${\ddot {x}}_{n+1}={\frac {1}{\beta \Delta t^{2}}}(x_{n+1}-x_{n})-{\frac {1}{\beta \Delta t}}{\dot {x}}_{n}-{\frac {{\frac {1}{2}}-\beta }{\beta }}{\ddot {x}}_{n}$
    ${\dot {x}}_{n+1}={\frac {\gamma }{\beta \Delta t}}(x_{n+1}-x_{n})+\left(1-{\frac {\gamma }{\beta }}\right){\dot {x}}_{n}+\Delta t{\frac {\beta -{\frac {1}{2}}\gamma }{\beta }}{\ddot {x}}_{n}$.
Sind einmal die Werte $x_{n+1},{\dot {x}}_{n+1}$ und ${\ddot {x}}_{n+1}$ berechnet, wird der Zähler $n$ inkrementiert und die Berechnung fortgesetzt, bis das Ende des interessierenden Zeitintervalls erreicht ist.

## Spezialfälle
### Konstante Durchschnittsbeschleunigungsverfahren

Die ursprüngliche Form des Newmark-Verfahrens entspricht einer konstanten mittleren Beschleunigung
    ${\ddot {x}}^{h}(t)={\frac {1}{2}}({\ddot {x}}_{n+1}+{\ddot {x}}_{n})$
siehe Bild in der #Herleitung. Vergleich mit den obigen #Gleichungen (IV) und (V) führt auf
    $\beta ={\frac {1}{4}}$ und $\gamma ={\frac {1}{2}}$
| Gleichung | Folgerung |
| ${\dot {x}}_{n+1}={\dot {x}}_{n}+\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}{\ddot {x}}^{h}(\tau )\,\mathrm {d} \tau ={\dot {x}}_{n}+{\frac {\Delta t}{2}}({\ddot {x}}_{n}+{\ddot {x}}_{n+1})$ | $\gamma ={\frac {1}{2}}$ |
| ${\begin{aligned}x_{n+1}=&x_{n}+\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}{\dot {x}}^{h}\,\mathrm {d} \tau \\=&x_{n}+\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}\left({\dot {x}}_{n}+{\frac {\tau -t_{n}}{2}}({\ddot {x}}_{n}+{\ddot {x}}_{n+1})\right)\mathrm {d} \tau \\=&x_{n}+\Delta t\,{\dot {x}}_{n}+{\frac {\Delta t^{2}}{4}}({\ddot {x}}_{n}+{\ddot {x}}_{n+1})\end{aligned}}$ | $\beta ={\frac {1}{4}}$ |

### Zentrale Differenzenquotienten

Die zentralen Differenzenquotienten
entsprechen den obigen #Gleichungen (IV) und (V) mit
    $\beta =0$ und $\gamma ={\frac {1}{2}}$.
| Gleichung | Folgerung |
| ${\begin{array}{lcl}{\ddot {x}}_{n}&=&{\frac {1}{\Delta t^{2}}}(x_{n+1}-2\,x_{n}+x_{n-1})\\[1ex]\rightarrow x_{n-1}&=&\Delta t^{2}{\ddot {x}}_{n}-x_{n+1}+2\,x_{n}\\[1ex]{\dot {x}}_{n}&=&{\frac {1}{2\Delta t}}(x_{n+1}-x_{n-1})\\[1ex]\rightarrow \Delta t{\dot {x}}_{n}&=&{\frac {1}{2}}(x_{n+1}-x_{n-1})=x_{n+1}-{\frac {\Delta t^{2}}{2}}{\ddot {x}}_{n}-x_{n}\\[1ex]\rightarrow x_{n+1}&=&x_{n}+\Delta t{\dot {x}}_{n}+{\frac {\Delta t^{2}}{2}}{\ddot {x}}_{n}\end{array}}$ | $\beta =0$ |
| ${\begin{array}{lcl}{\frac {\Delta t}{2}}{\ddot {x}}_{n}&=&{\frac {1}{2\Delta t}}(x_{n+1}-2\,x_{n}+x_{n-1})\\[1ex]{\frac {\Delta t}{2}}{\ddot {x}}_{n+1}&=&{\frac {1}{2\Delta t}}(x_{n+2}-2\,x_{n+1}+x_{n})\\[2ex]{\dot {x}}_{n}&=&{\frac {1}{2\Delta t}}(x_{n+1}-x_{n-1})\\[1ex]{\dot {x}}_{n+1}&=&{\frac {1}{2\Delta t}}(x_{n+2}-x_{n})\\[1ex]\rightarrow {\frac {\Delta t}{2}}({\ddot {x}}_{n}+{\ddot {x}}_{n+1})&=&{\frac {1}{2\Delta t}}(x_{n+2}-x_{n}-x_{n+1}+x_{n-1})={\dot {x}}_{n+1}-{\dot {x}}_{n}\\[1ex]\rightarrow {\dot {x}}_{n+1}&=&{\dot {x}}_{n}+{\frac {\Delta t}{2}}({\ddot {x}}_{n}+{\ddot {x}}_{n+1})\end{array}}$ | $\gamma ={\frac {1}{2}}$ |

## Explizite Zeitintegration

Das explizite Zeitintegrationsverfahren gehört nicht zur Familie der (impliziten!) Newmark-beta Algorithmen und wird hier nur zu Vergleichszwecken angegeben. Die obigen Gleichungen (VI) und (VII) für die zentralen Differenzenquotienten sind äquivalent zu
    ${\begin{aligned}{\dot {x}}_{n+1/2}=&{\frac {1}{\Delta t}}(x_{n+1}-x_{n})\\{\ddot {x}}_{n}=&{\frac {1}{\Delta t}}({\dot {x}}_{n+1/2}-{\dot {x}}_{n-1/2})\end{aligned}}$.
Hier fällt auf, dass die Geschwindigkeiten immer in der Mitte der Zeitintervalle berechnet werden. Mit der Annahme
    ${\begin{array}{lcl}{\dot {x}}_{n+1}&\approx &{\dot {x}}_{n+1/2}={\dot {x}}_{n-1/2}+\Delta t\,{\ddot {x}}_{n}\\x_{n+1}&=&x_{n}+\Delta t\,{\dot {x}}_{n+1/2}=x_{n}+\Delta t\,({\dot {x}}_{n-1/2}+\Delta t\,{\ddot {x}}_{n})\end{array}}$
können die Werte $x_{n+1}$ und die Geschwindigkeiten ${\dot {x}}_{n+1}$ zum Zeitpunkt t$_{n+1}$ auf bereits bekannte Ergebnisse $x_{n},{\dot {x}}_{n-1/2},{\ddot {x}}_{n}$ zurückgeführt werden und die Differenzial­gleichung liefert die Bestimmungsgleichung für die nunmehr einzige Unbekannte ${\ddot {x}}_{n+1}$.

## Beispiel

Ein einfacher Schwinger gehorche in Abwesenheit einer Erregung der homogenen Differenzial­gleichung
    ${\ddot {x}}(t)+2\,D\,{\dot {x}}(t)+x(t)=0$.
mit Dämpfungsgrad D. Die analytische Lösung dieser Gleichung lautet
    ${\begin{aligned}x(t)=\exp(-D\,t)[&A\sin(\omega t)+B\cos(\omega t)]\\{\dot {x}}(t)=\exp(-D\,t)[&(A\omega -B\,D)\cos(\omega t)\\&-(A\,D+B\omega )\sin(\omega t)]\end{aligned}}$
mit $\omega ={\sqrt {1-D^{2}}}$, der Exponentialfunktion exp sowie dem Sinus und Cosinus sin bzw. cos. Mit den Parametern aus der Tabelle
| Parameter | A | B | D | ω |
| Wert | 13 | 84 | $^{13}$⁄$_{85}$ | $^{84}$⁄$_{85}$ |
resultieren die Anfangsauslenkung und -geschwindigkeit
    $x(t=0)=x_{0}=84,\quad {\dot {x}}(t=0)={\dot {x}}_{0}=0$
sowie eine Anfangsbeschleunigung
    ${\ddot {x}}(t=0)={\ddot {x}}_{0}=-x_{0}-2\,D\,{\dot {x}}_{0}=-84$
Die Differenzialgleichung liefert eine Gleichung für die aktuellen Unbekannten zur Zeit t$_{n+1}$:
    ${\ddot {x}}_{n+1}+2\,D\,{\dot {x}}_{n+1}+x_{n+1}=0$
Zusammen mit obigen Gleichungen (IV) und (V) resultiert ein geschlossenes System von drei Gleichungen für drei Unbekannte, das von
    ${\begin{aligned}{\ddot {x}}_{n+1}=&{\frac {[2\,D\,(\gamma -1)+(\beta -1/2)\,\Delta t]\,{\ddot {x}}_{n}\,\Delta t-(2\,D+\Delta t)\,{\dot {x}}_{n}-x_{n}}{1+2\,D\,\gamma \,\Delta t+\beta \,\Delta t^{2}}}\\{\dot {x}}_{n+1}=&{\dot {x}}_{n}+[(1-\gamma )\,{\ddot {x}}_{n}+\gamma \,{\ddot {x}}_{n+1}]\Delta t\\x_{n+1}=&-{\ddot {x}}_{n+1}-2\,D\,{\dot {x}}_{n+1}\end{aligned}}$
gelöst wird. Die Zeitintegration mit dem Newmark-Verfahren im Intervall t∈[0,10π] und 𝚫t=0,5 liefert die Verläufe im Bild. Die mittlere Abweichung über N Zeitschritte
    $e={\sqrt {\frac {\sum _{n=1}^{N}{(x_{n}-x(t_{n}))}^{2}}{N}}}$
als Maß für die Genauigkeit enthält die Tabelle mit vier signifikanten Stellen:
| Verfahren | β | γ | Mittlere Abweichung $e$ | Mittlere Abweichung $e$ | Mittlere Abweichung $e$ |
| Verfahren | β | γ | 𝚫t=0,5, N=64 | 𝚫t=0,05, N=630, | 𝚫t=0,005, N=6285 |
| Lineare Beschleunigung | 1/6 | 1/2 | 0,8780 | 8,839e-03 | 8,850e-05 |
| Zentrale Differenzen | 0 | 1/2 | 1,262 | 1,239e-02 | 1,241e-04 |
| Konstante mittlere Beschleunigung | 1/4 | 1/2 | 1,859 | 1,861e-02 | 1,863e-04 |
| Explizite Integration | – | – | 8,478 | 7,644e-01 | 7,577e-02 |
In diesem Beispiel ergibt eine zehntel so große Zeitschrittweite eine etwa hundertfache Genauigkeit bei Benutzung der Newmark-beta-Verfahren und eine etwa zehnfache Genauigkeit der expliziten Integration.