# Holomorphe Funktion

In der Mathematik sind holomorphe Funktionen (von altgriechisch ὅλος holos „ganz, vollständig“ und μορφή morphē „Form, Gestalt“) komplexwertige Funktionen (Abbildungen von komplexen Zahlen in komplexe Zahlen), die in der Funktionentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, untersucht werden. Eine komplexwertige Funktion mit Definitionsbereich $U$ heißt holomorph, falls sie an jeder Stelle von $U$ komplex differenzierbar ist.
Die aus der Schulmathematik bekannten Rechenregeln zum Ableiten vormals reeller Funktionen gelten dabei weiterhin für komplexe Funktionen, obgleich der Holomorphiebegriff viel weitreichendere Konsequenzen nach sich zieht. Anschaulich bedeutet Holomorphie, dass sich die betroffene Funktion an jeder Stelle „fast“ wie eine aus mathematischer Sicht leicht zu verstehende (komplexwertige) lineare Funktion verhält. Erstmals eingeführt und studiert wurden holomorphe Funktionen im 19. Jahrhundert von Augustin-Louis Cauchy, Bernhard Riemann und Karl Weierstraß, obgleich sich die Terminologie der Holomorphie erst im 20. Jahrhundert flächendeckend durchsetzte. Besonders in älterer Literatur werden solche Funktionen auch „regulär“ genannt. Aufgrund ihrer breiten Anwendungsmöglichkeiten zählen sie zu den wichtigsten Funktionstypen innerhalb der Mathematik.
Durch die Möglichkeit der Linearisierung in jedem Punkt ihres Definitionsbereichs $U$ können für holomorphe Funktionen $f\colon U\to \mathbb {C}$, wobei $\mathbb {C}$ die Menge der komplexen Zahlen bezeichnet, sehr fruchtbare Resultate hervorgebracht werden. Anschaulich kann die mathematische Rechenvorschrift $z\mapsto f(z)$ in der Nähe jedes Wertes $w$ ihres Definitionsbereichs $U$ sehr gut durch die lineare Funktion $z\mapsto f(w)+f'(w)(z-w)$ angenähert werden. Die Annäherung ist dabei so gut, dass sie für die lokale Analyse der Funktion bzw. der Rechenvorschrift ausreicht. Das Symbol $f'(w)$ bezeichnet dabei die komplexe Ableitung von $f$ in $w$. Auch wenn diese Definition analog zur reellen Differenzierbarkeit ist, zeigt sich in der Funktionentheorie, dass die Holomorphie eine sehr starke Eigenschaft ist. Sie produziert eine Vielzahl von Phänomenen, die im Reellen kein Pendant besitzen. Beispielsweise ist jede holomorphe Funktion bereits beliebig oft differenzierbar und lässt sich lokal in jedem Punkt in eine Potenzreihe entwickeln. Das bedeutet, dass man die betreffende Funktion in ihrem Definitionsbereich lokal durch Polynome annähern kann, also unter Verwendung nur der vier Grundrechenarten, wobei zur Konstruktion dieser Polynome nur die Ableitungen der Funktion in einem einzigen Punkt, dem Entwicklungspunkt, benötigt werden. Besonders bei transzendenten holomorphen Funktionen, wie Exponentialfunktionen, trigonometrischen Funktionen (etwa Sinus und Kosinus) und Logarithmen, aber auch bei Wurzelfunktionen, ist dies eine sehr nützliche Eigenschaft, etwa dann, wenn man diese Funktionen und ihre Ableitungen im Entwicklungspunkt gut versteht. Dabei ist zu beachten, dass die genannten Funktionen natürliche Fortsetzungen von den reellen in die komplexen Zahlen besitzen.
Hintergrund der Begriffsstärke der Holomorphie ist, dass die Differenzierbarkeit im Komplexen auf einer offenen „Fläche“ statt nur einem offenen Intervall gelten muss. Dabei müssen beim Grenzübergang zum Differentialquotienten unendlich viele Richtungen (alle Kombinationen aus Nord, Ost, West und Süd) betrachtet werden – eine höhere Anforderung als nur die beiden Richtungen „positiv“ und „negativ“ auf dem reellen Zahlenstrahl. Im Laufe des 19. und 20. Jahrhunderts wurde darauf aufbauend im Rahmen der Funktionentheorie ein eigener Rechenkalkül für holomorphe Funktionen entwickelt. Während Begriffe wie Ableitung, Differenzenquotient und Integral weiterhin existieren, kommen zusätzliche Eigenschaften zum Tragen. Dies betrifft das Abbildungsverhalten holomorpher Funktionen, zusätzliche Techniken in der Integrationstheorie oder auch das Konvergenzverhalten von Funktionenfolgen.
In vielen Teilgebieten der Mathematik bedient man sich der starken Eigenschaften holomorpher Funktionen, um Probleme zu lösen. Beispiele sind die analytische Zahlentheorie, in der über holomorphe Funktionen auf Zahlen rückgeschlossen wird, sowie die komplexe Geometrie oder auch die theoretische Physik. Besonders im Rahmen der Theorie der Modulformen nehmen holomorphe Funktionen eine wichtige Position ein, wobei tiefe Verbindungen zur Darstellungstheorie und zu elliptischen Kurven aufgebaut werden können. Gleich zwei Millennium-Probleme der Mathematik, die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer und die Riemannsche Vermutung, drehen sich um das Nullstellenverhalten gewisser holomorpher Funktionen.

## Einführung
### Komplexe Zahlen

Komplexe Zahlen erweitern den Bereich der reellen Zahlen durch Hinzunehmen sog. imaginärer Zahlen. Diese sollen die Eigenschaft haben, algebraische Gleichungen zu lösen, die im Reellen nicht lösbar sind. Ein Beispiel ist die quadratische Gleichung $x^{2}+1=0$. Sie hat keine reelle Lösung, da das Quadrat einer reellen Zahl stets nicht-negativ ist. Fügt man jedoch den reellen Zahlen eine imaginäre Zahl $i$ mit der Eigenschaft $i^{2}=-1$ hinzu, so kann die obige Gleichung gelöst werden.
Während die reellen Zahlen eine Zahlengerade aufspannen, breiten die komplexen Zahlen eine Ebene aus. Jede komplexe Zahl $z$ ist von der Form $z=x+iy$ mit reellen Zahlen $x$ und $y$. Geht man $x$ Schritte in „reelle Richtung“ und $y$ Schritte in „imaginäre Richtung“, so wird die komplexe Zahl $x+iy$ mit dem Punkt $(x,y)$ in der Euklidischen Ebene identifiziert. Dabei wird $x$ als Realteil und $y$ als Imaginärteil von $z$ bezeichnet.
Eine wichtige Eigenschaft komplexer Zahlen ist, dass man mit ihnen, wie im Falle der reellen Zahlen, rechnen kann. Damit ist gemeint, dass Plus, Minus, Mal und Geteilt auch für komplexe Zahlen definiert ist. Um dies umzusetzen, ist lediglich das Beherrschen der reellen Rechenregeln sowie die Regel $i^{2}=-1$ vonnöten. Die Addition wird in Real- und Imaginärteil separat ausgeführt, also zum Beispiel $(-3+2i)+(4+10i)=1+12i$, und beim Multiplizieren müssen die Klammern verrechnet werden:
    $(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.$
Dabei entsteht der Term $-bd$ beim Ausmultiplizieren aus dem Produkt $bidi$. Auch die Division ist möglich, etwa dadurch, den Nenner durch passendes Erweitern und die dritte binomische Formel reell zu machen:
    ${\frac {1+i}{1-2i}}={\frac {(1+i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}}={\frac {-1+3i}{5}}=-{\frac {1}{5}}+{\frac {3}{5}}i.$
Somit bilden auch die komplexen Zahlen eine Zahlenstruktur, in der algebraisch gerechnet werden kann. Man sagt auch, dass die Menge der komplexen Zahlen $\mathbb {C}$, genau wie die reellen Zahlen $\mathbb {R}$, einen Körper bilden.

### Komplexe Funktionen

Die Holomorphie ist eine Eigenschaft komplexer Funktionen. Dabei stellt eine Funktion ganz allgemein eine Beziehung zwischen zwei Mengen $M$ und $N$ über eine Abbildungsvorschrift her. Funktionen $f\colon M\rightarrow N$ müssen die Regel erfüllen, dass jedem Element aus $M$ genau ein Element in $N$ zugeordnet wird.
Einige Beispiele reeller Funktionen lassen sich direkt auf die komplexen Zahlen übertragen. Dazu zählt etwa die quadratische Funktion $f(z)=z^{2}$.
Reelle Funktionen induzieren Tabellendaten der Form $(x,f(x))$, wobei die Eingabewerte $x$ den Definitionsbereich von $f$ durchlaufen. Die Analogie zu einer Tabelle entsteht dadurch, dass Daten $x$ und $f(x)$ in Zeilen- oder Spaltenform zusammengestellt werden können. Es ist jedoch nicht möglich, alle Werte einer reellen Funktion in eine Tabelle einzutragen, da es zum Beispiel bereits nicht möglich ist, alle Werte $0<x<1$ aufzulisten. Alle nicht leeren, echten Intervalle der reellen Zahlen sind überabzählbar. Daher ist die Darstellung einer reellen Funktion anhand eines Schaubildes üblich. Dabei macht man sich zunutze, dass der Definitionsbereich ein Teil eines Zahlenstrahles ist, ebenso der Wertebereich. Ergo sammeln sich die Informationen $(x,f(x))$ zu Punkten $(x,y)$ in einer zweidimensionalen Ebene. Hebt man diese in der Ebene hervor, bekommt man einen Überblick über das Verhalten einer reellen Funktion.
Für komplexe Funktionen ist die Situation anders. Hier ist bereits der Eingangsbereich eine Fläche. Von daher müsste ein Schaubild nach Art reeller Funktionen vierdimensional sein, was nicht verständlich darstellbar ist. Ein Weg, komplexe, insbesondere holomorphe, Funktionen darzustellen, bedient sich eines Farbschlüssels. Einer komplexen Zahl wird je nach „Himmelsrichtung“ eine Farbe zugeordnet, wobei der Ursprung, also die Null, den Orientierungspunkt bildet. Zusätzlich wird mit der Helligkeit des Farbtons die Größe im Sinne des Abstands zum Ursprung visualisiert. Dabei bedeutet „dunkel“ nahe bei Null, und „hell“ nahe bei „Unendlich“.
* Der Farbschlüssel, gezeigt durch das Schaubild der Selbstabbildung $z\mapsto z$. In etwa stehen rötliche Farben für komplexe Zahlen, die annähernd positiv reell sind.
* Schaubild der komplexen Quadratfunktion. Im Zentrum ist ihr Wert 0. Von dort aus nimmt sie links und rechts, also auf der reellen Achse, rote Werte an, denn Quadrate reeller Zahlen sind nie negativ. Von der Mitte startend nach Nord oder Süd ist Türkis präsent: Die Quadrate rein imaginärer Zahlen sind negativ.
* Die komplexe Fortsetzung der Exponentialfunktion. Ihre Beträge werden mit wachsendem Realteil schnell größer, das Schaubild also heller, und für fallende Realteile kleiner, das Schaubild also dunkler. Parallel zur imaginären Achse des Eingabebereichs ist sie eine periodische Funktion.
Die Darstellung komplexer Funktionen durch Kolorierung ist besonders zur Hervorhebung von Null- oder Polstellen sowie anderer Singularitäten einer Funktion üblich. Die Software Wolfram Mathematica bietet seit Version 12 ein entsprechendes Werkzeug an.
Im Englischen trägt eine solche Art der Visualisierung die Bezeichnung domain coloring. Diese wurde von Frank Farris geprägt. Es gab viele frühere Verwendungen von Farbe zur Visualisierung komplexer Funktionen, typischerweise die Zuordnung von Argumenten (Phasen) zu Farbtönen. Larry Crone verwendete die Methode in den späten 1980er Jahren. Die Technik der Verwendung kontinuierlicher Farbe zur Abbildung von Punkten des Definitionsbereiches in die Zielmenge wurde 1999 von George Abdo und Paul Godfrey verwendet, und farbige Raster wurden in Grafiken von Doug Arnold benutzt, die er auf 1997 datiert. Menschen, die farbenblind sind, können jedoch Schwierigkeiten haben, solche Diagramme zu interpretieren, wenn sie mit Standard-Farbkarten erstellt werden. Dieses Problem kann möglicherweise durch die Erstellung alternativer Versionen unter Verwendung von Farbkarten behoben werden, die in den Farbraum passen, der für Menschen mit Farbenblindheit erkennbar ist. Zum Beispiel kann eine Farbkarte, die auf Blau/Grau/Gelb basiert, für Menschen mit vollständiger Deuteranopie besser lesbar sein als das herkömmliche Schaubild, das auf Blau/Grün/Rot basiert.

### Von reeller zu komplexer Differenzierbarkeit

Da mit komplexen Zahlen im Wesentlichen genau wie mit reellen Zahlen gerechnet werden kann, stellt sich die Frage, inwieweit sich die reelle Analysis, mit Begriffen wie Funktionen, Ableitung oder auch Integral, auf die komplexen Zahlen ausweiten lässt.
Im Reellen ist eine Funktion $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ in einem Punkt $a$ differenzierbar, wenn sie dort linearisiert werden kann. Das bedeutet, dass sie sich um $a$ herum sehr ähnlich zu einer linearen Funktion $x\mapsto m(x-a)+c$ verhält. Es gilt also für sehr kleine Werte $h$ die Approximation $f(a+h)\approx mh+c$, wobei man mit $h=0$ auch $c=f(a)$ erhält. Um die Begriffe „Linearisierung“, „sehr ähnlich“ und „Approximation“ präzise zu fassen, bedient man sich des Konzepts des Grenzwertes. Demnach ist $f$ in $a$ genau dann differenzierbar, wenn der Differentialquotient
    $\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}=f'(a)$
existiert, der auch als Ableitung von $f$ an der Stelle $a$ bezeichnet wird. Da bei der Berechnung dieses Quotienten nur die Grundrechenarten Addition, Subtraktion und Division verwendet werden, stellt sich die Frage nach einem Analogon im Komplexen. Da die komplexen Zahlen diese Rechnungen auch zulassen, kann die Bedingung
    $\lim _{h\to 0}{\frac {f(z+h)-f(z)}{h}}=:f'(z)\,\,\,$ existiert
eins zu eins übernommen werden. Der entscheidende Unterschied ist hier aber, dass bei der Berechnung des komplexen Differenzenquotienten das kleiner werdende $h$ eine komplexe Zahl sein kann. Es kann sich also aus jeder Richtung in der komplexen Ebene genähert werden. Im Gegensatz dazu sind im Reellen nur endlich viele, nämlich zwei, Richtungen möglich, von links ($h<0$) und von rechts ($h>0$).
Für das Verständnis der komplexen Differenzierbarkeit ist essentiell, den Definitionsbereich der komplexen Funktion auch geometrisch wahrzunehmen. Eingabewerte in die Funktion sind somit nicht bloß komplexe Zahlen, sondern auch Punkte einer Ebene. Auf dieser Ebene ist ein Abstandsbegriff definiert, also können Punkte „nah“ und „weit weg“ zu anderen Punkten liegen. Erst diese Vorstellung erlaubt die Formulierung des für die Differenzierbarkeit essentiellen Lokalitätsbegriffs: Eine in einem Punkt $z$ komplex differenzierbare Funktion sieht an Punkten sehr nahe zu $z$ einer linearen Funktion „sehr ähnlich“. Genau diese Aussage wird durch den Differentialquotienten analytisch präzisiert. Nach Umformung des Differentialquotienten erhält man
    $f(z+h)\approx f'(z)h+f(z),$
wobei der Fehler in dieser Annäherung „viel kleiner“ ist als der „kleine“ Wert $h$.

### Veranschaulichung
#### Zum Holomorphiebegriff

Ist eine komplexe Funktion $f$ in ihrem Definitionsbereich holomorph, bedeutet dies, dass sie in jedem Punkt komplex differenzierbar ist. Wegen der ohnehin restriktiveren Bedingung der komplexen (statt nur reellen) Differenzierbarkeit, gepaart mit deren Gültigkeit für alle Punkte auf einer Fläche statt nur eines Intervalls (einer Linie), ist die Holomorphie eine sehr starke Eigenschaft.

#### Analytische Motivation

Ein zentrales Problem der Analysis besteht darin, „komplizierte“ Funktionen zu studieren. Dabei bedeutet „kompliziert“ zum Beispiel, dass die Rechenvorschrift nicht aus einer endlichen Abfolge aus Anwendungen der vier Grundrechenarten besteht. Eine in diesem Sinne „einfache“ Vorschrift wäre: Nimm die Eingangszahl mal Zwei, dann das Ergebnis plus Eins, multipliziere dies mit sich selbst, teile dann alles durch die Drei. In Kurzform: $\textstyle z\mapsto {\frac {1}{3}}(2z+1)^{2}$. Jedoch lassen sich sehr viele Phänomene in der Natur nicht so einfach beschreiben. Die Mathematik ist demnach bestrebt, Analyseverfahren nichttrivialer Funktionen zu entwickeln. Solche Verfahren kommen zum Beispiel dann zum Einsatz, wenn Änderungsraten bei Naturgesetzen oder Bilanzen in der Wirtschaft erstellt werden müssen. Eine Möglichkeit besteht darin, die Funktion zunächst sehr stark einzuschränken, also nur Eingabewerte aus einem sehr „kleinen“ Vorrat einzusetzen. Klein bedeutet in diesem Kontext, dass die betrachteten Eingabewerte sehr nahe beieinander liegen. Soll eine Funktion etwa um 0 herum studiert werden, würden Werte wie 0,000001 möglicherweise noch in Betracht gezogen, möglicherweise aber nicht mehr 1, geschweige denn 100. In diesem Kontext nennt man die 0 auch den Entwicklungspunkt. Phänomene wie die Holomorphie besagen nun, dass betroffene Funktionen in sehr kleinen Bereichen deutlich verständlicheren Funktionen sehr stark ähneln. Diese verständlicheren Funktionen sind Vorschriften, die sich nur aus den vier Grundrechenarten zusammensetzen. Hinter diesem Prinzip steckt eine gewisse Form der „Stetigkeit“: Wurde eine holomorphe Funktion im Punkt 0 gut verstanden, so lässt sich daraus schon auf ihr Verhalten in z. B. 0,000001 schließen, und das nur anhand der vier Grundrechenarten. Präziser wird die Annäherung über Polynome realisiert, also Ausdrücke wie $z+2$, $z^{3}-4z^{2}+3z-1$ und ganz allgemein
    $a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{0}.$
Eine holomorphe Funktion kann also um jeden Wert ihres Definitionsbereichs durch Anwendung der Grundrechenarten entwickelt werden. Dabei ist zu beachten, dass es sich bei hinreichend „komplizierten“ Funktionen nur um eine Näherung handelt. Eine zentrale Eigenschaft der Holomorphie ist aber, dass für solche komplizierten Funktionen beliebig lange Polynomketten, also addierte $z^{n}$-Terme, zur Annäherung gefunden werden können. Je länger diese Terme sind, desto besser. Lässt man diesen Prozess gegen Unendlich streben, ist die Annäherung in den umliegenden Punkten perfekt, es herrscht also Gleichheit. In diesem Sinne sind also holomorphe Funktionen, zumindest lokal, gerade „unendlich lange Polynome“. Obwohl dabei unendlich viele Terme addiert werden, kann Konvergenz vorliegen, wenn das Funktionsargument nahe genug am Entwicklungspunkt liegt. Wählt man zum Beispiel den Entwicklungspunkt 0 und für die Koeffizienten die Dezimalstellen der Kreiszahl $\pi$, also
    $f(z):=3+z+4z^{2}+z^{3}+5z^{4}+9z^{5}+2z^{6}+6z^{7}+\cdots ,$
so gilt
    $f\left({\frac {1}{10}}\right)=3+{\frac {1}{10}}+{\frac {4}{100}}+{\frac {1}{1000}}+{\frac {5}{10000}}+\cdots =3{,}1415926\dotsc =\pi .$
Für Werte $|z|<{\tfrac {1}{10}}$ wird dann $f(z)$ „erst recht“ endlich sein. Dabei bezeichnet $|z|$ die Euklidische Länge der Zahl $z$ in der Ebene, was dem Abstand zum Punkt 0 entspricht. Diesem Gedanken folgend kann man zeigen, dass Potenzreihen entweder überall oder innerhalb von Kreisscheiben konvergieren. Dennoch kann es sein, dass im Falle der Potenzreihen nicht immer Holomorphie auf ganz $\mathbb {C}$ vorliegt. Ein Beispiel ist die Funktion $f(z)={\tfrac {1}{1-z}}$, die an der Stelle $z=1$ nicht komplex differenzierbar (ja nicht mal definiert) ist. Jedoch liegt Holomorphie im Bereich aller $z$ mit $|z|<1$ vor, und es gilt mit der geometrischen Reihe
    $1+z+z^{2}+z^{3}+z^{4}+z^{5}+\cdots ={\frac {1}{1-z}}.$
Demnach ist Holomorphie stets zunächst nur eine lokale Eigenschaft.
Es folgen einige Beispiele für holomorphe Funktionen.
* Eine in der Schule behandelte Funktion, die sich im Allgemeinen nicht durch nur endlichfache Anwendung der vier Grundrechenarten berechnen lässt, ist der Sinus, also die Vorschrift $z\mapsto \sin(z)$. Hier wird die Vorschrift im Reellen zunächst nicht über eine Zahlenrechnung, sondern geometrisch erklärt. Zur Länge eines Kreisbogens soll die zugehörige gerade Strecke gefunden werden, die den Endpunkt des Bogens mit der Grundachse verbindet, analog beim Kosinus (siehe Bild). Alle betrachteten Strecken haben Längen, im Verhältnis zur Einheit dimensionslos, also entspricht dies einer Abbildung von Zahlen auf Zahlen. Krumme Kreislinien („komplizierte Strecken“) werden auf ungleich lange gerade Linien („einfache Strecken“) abgebildet, was vermuten lässt, dass sich diese Umrechnung nicht in einfacher Weise mit den vier Grundrechenarten darstellen lässt. Es zeigt sich jedoch, dass der Sinus eine holomorphe Funktion ist, weshalb eine Annäherung durch einfache Terme möglich ist. Es gilt zum Beispiel für sehr kleine Werte von $z$
       $\sin(z)\approx z-{\frac {z^{3}}{6}}.$
    Dies entspricht einem „Studium“ der Sinusfunktion in oben erklärtem Sinne, da die komplizierte Sinusfunktion durch eine einfache Abbildung $\textstyle z\mapsto z-{\frac {z^{3}}{6}}$ angenähert wurde. Dabei war der Entwicklungspunkt 0, in der Tat ist wegen $\sin(0)=0$ die Annäherung hier perfekt, doch auch für umliegende Werte ist sie brauchbar. Es gilt zum Beispiel $\sin(0{,}2)=0{,}1986693308\dots$ und $\textstyle 0{,}2-{\frac {0{,}2^{3}}{6}}=0{,}1986666\dots$. Für eine exakte Berechnung erhält man für den Sinus
       $\sin(z)=z-{\frac {z^{3}}{6}}+{\frac {z^{5}}{120}}-{\frac {z^{7}}{5040}}+{\frac {z^{9}}{362880}}-{\frac {z^{11}}{39916800}}+{\frac {z^{13}}{6227020800}}-{\frac {z^{15}}{1307674368000}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{(2n+1)!}},$
    wobei $!$ die Fakultät bezeichnet und $\Sigma$ das Summenzeichen. Die Formel erweitert sich auf alle komplexen Zahlen und setzt den Sinus dort als Funktion fort, wobei dort keine geometrische Interpretation über Dreiecke mehr zur Verfügung steht.
* Für das lokale Verständnis holomorpher Funktionen werden Polynome herangezogen, jedoch ist die Frage entscheidend, wie man auf die Koeffizienten dieser Polynome schließt, also auf die Zahlen vor den Termen $z^{n}$. Dafür werden die komplexen Ableitungen der Funktionen am Entwicklungspunkt benötigt. Genau gesagt gilt eine Formel, die in der Mathematik Taylorreihe genannt wird:
       $f(z)=f(c)+f'(c)(z-c)+{\frac {f''(c)}{2}}(z-c)^{2}+{\frac {f'''(c)}{6}}(z-c)^{3}+\cdots$
    Hier ist $z$ eine Zahl, die nahe am Entwicklungspunkt $c$ liegen sollte. Dies lässt sich zum Beispiel an der Wurzelfunktion $z\mapsto {\sqrt {z}}$ demonstrieren, etwa um den Punkt $c=25$. Diese ist dort holomorph, man hat die Ableitungen $\textstyle ({\sqrt {z}})'={\frac {1}{2{\sqrt {z}}}}$ und $\textstyle ({\sqrt {z}})''=-{\frac {1}{4{\sqrt {z}}^{3}}}$. Also gilt mit der Taylor-Formel die Approximation
       ${\sqrt {z}}\approx {\sqrt {25}}+{\frac {1}{2{\sqrt {25}}}}(z-25)-{\frac {1}{8\cdot {\sqrt {25}}^{3}}}(z-25)^{2}=5+{\frac {1}{10}}(z-25)-{\frac {1}{1000}}(z-25)^{2}$
    für komplexe Zahlen $z$, die nahe an $25$ liegen. Der Ausdruck $\textstyle 5+{\tfrac {1}{10}}(z-25)-{\tfrac {1}{1000}}(z-25)^{2}$ auf der rechten Seite kann, wie oben, durch Anwendung nur der vier Grundrechenarten schnell berechnet werden. Er stimmt nach Einsetzen von $z=25$ exakt mit dem Funktionswert $5$ überein, doch auch in der näheren Umgebung von $25$ ist die Annäherung noch sehr genau. Man hat etwa
       ${\sqrt {26}}\approx 5+{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{1000}}=5{,}099$
    und es gilt für den exakten Wert ${\sqrt {26}}=5{,}0990195\dots$. Da Holomorphie eine Eigenschaft komplexer Funktionen ist, gilt die Annäherung auch für nicht-reelle Zahlen in der Nähe von 25. Für $25+0{,}4i$ erhält man zum Beispiel $5{,}00016+0{,}04i$ als Näherung für ${\sqrt {25+0{,}4i}}$, und es gilt rückwirkend $(5{,}00016+0{,}04i)^{2}=25{,}0000000256+0{,}4000128i$.

#### Bedeutung

Die Stärke des Holomorphiebegriffs stützt sich auf folgende Säulen.
* Einfache Handhabung der Taylorpolynome: Durch die Eigenschaft einer holomorphen Funktion, durch Polynome, also Summen von Termen $z^{n}$, lokal beliebig gut angenähert werden zu können, ist das Betreiben von Analysis für diesen Funktionstyp besonders einfach. So können etwa sowohl Ableitungen als auch Stammfunktionen der einzelnen Ausdrücke $z^{n}$ schnell bestimmt werden. Weiß man, dass $nz^{n-1}$ die Ableitung von $z^{n}$ ist, so kann man aus $1+z+z^{2}+z^{3}+\cdots ={\frac {1}{1-z}}$ bereits $1+2z+3z^{2}+4z^{3}+\cdots ={\frac {1}{(1-z)^{2}}}$ folgern.
    Dies ermöglicht es, komplizierte Ableitungen oder Stammfunktionen erneut durch Polynome anzunähern und lokal zu beschreiben.
* Jede Ableitung ist holomorph: Ist eine Funktion holomorph, so auch wieder ihre komplexe Ableitungsfunktion. Wie in einer Kettenreaktion kann gefolgert werden, dass jede holomorphe Funktion bereits unendlich oft komplex differenzierbar ist. Zu dieser Aussage gibt es im Reellen überhaupt keine Entsprechung. So gibt es etwa reelle Funktionen, die zweimal, aber nicht dreimal differenzierbar sind.
* Gleichmäßige Approximation: Die lokale Approximation durch die Polynome erfolgt nicht „willkürlich“, sondern gleichmäßig. Zum Beispiel soll eine holomorphe Funktion $f$ auf einer Kreisfläche inklusive Rand bis auf einen Fehler von $0{,}001$ durch Polynome $p$ angenähert werden. Es soll also $|f(z)-p(z)|<0{,}001$ gelten. Nach Abbruch einer gewissen Schranke im Grad des Polynoms gilt dann für jeden Wert $z$ aus der Kreisfläche $|f(z)-p(z)|<0{,}001$. Die Annäherung vollzieht sich also nicht unkontrolliert, sondern breitet sich mit „gleicher Geschwindigkeit“ auf Flächen aus. Die untere Bildserie illustriert diese Gleichmäßigkeit bei der Approximation des Sinus um den Nullpunkt anhand seiner Taylorpolynome $\textstyle p_{k}(z):=\sum _{n=0}^{k}{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{(2n+1)!}}.$ Bereits im Fall $p_{0}(z)$ ist um die Null (schwarzer Punkt im Zentrum) eine lokale Ähnlichkeit zu sehen. Erkennbar ist dies an der Farbverteilung und Intensität, die um das Zentrum herum $\sin(z)$ (ganz linkes Bild) sehr ähnelt, etwa „gelb in Nord-Ost“.
* Komplexer Graph der Sinusfunktion
* $p_{0}(z)=z$
* $p_{1}(z)=z-{\tfrac {z^{3}}{6}}$
* $p_{2}(z)=z-{\tfrac {z^{3}}{6}}+{\tfrac {z^{5}}{120}}$
* $p_{3}(z)$
* $p_{4}(z)$
* $p_{5}(z)$
* $p_{6}(z)$
    Zu beachten ist, dass der ausgesuchte Fehler immer größer als 0 sein muss und die Approximation in der Nähe des Entwicklungspunktes grundsätzlich besser ist. Diese Eigenschaft der gleichmäßigen Konvergenz ist in der Mathematik enorm nützlich. Sie erlaubt es zum Beispiel, dass es bei der Ausführung nichttrivialer Prozesse, wie Ableiten, Integrieren oder unendliches Summieren holomorpher Funktionen, die Reihenfolge vertauscht werden darf. Im Falle unendlich vieler Terme ist dies mathematisch nicht trivial. Beispielsweise erhält man unter Kenntnis der Stammfunktionen ${\tfrac {z^{n+1}}{n+1}}$ von $z^{n}$ für die Logarithmusfunktion $\textstyle -\log(1-z)=\int \!{\frac {1}{1-z}}\,\mathrm {d} z$:
       $\int \!\left(1+z+z^{2}+z^{3}+z^{4}+\cdots \right)\,\mathrm {d} z=\int \!{\frac {1}{1-z}}\,\mathrm {d} z{\overset {(*)}{\implies }}z+{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{4}}{4}}+\cdots =-\log(1-z).$
    Aus der geometrischen Reihe kann also die Taylorreihe der Logarithmusfunktion in der Nähe von 1 bestimmt werden. In der Umformung $(*)$ wurde der Prozess „die Summe wird integriert“ durch „die integrierten Terme werden summiert“, ersetzt. Dies entspricht der Vertauschung $\textstyle \int (1+z+z^{2}+\cdots )=\int 1+\int z+\int z^{2}+\cdots$, was wegen der gleichmäßigen Konvergenz der Taylorreihe aber erlaubt ist.
* Wenige Daten reichen aus: Die Regel, dass zwei Punkte eine „Gerade“, also eine lineare Funktion $z\mapsto az+b$ eindeutig bestimmen, gilt auch im Komplexen. Weiter sind es drei Punkte für quadratische Funktionen, vier Punkte für kubische Funktionen, und so weiter. Da holomorphe Funktionen lokal wie „unendlich lange Polynome“ aussehen, besagt dies heuristisch, dass auch hier „verhältnismäßig wenige“ Funktionswerte ausreichen sollten, die Funktion eindeutig zu charakterisieren. Stimmen zwei holomorphe Funktionen auf einer Menge von Zahlen $z_{1},z_{2},z_{3},\dots ,z_{n},\dots$ überein, die sich einer Zahl $z_{\infty }$ beliebig stark annähern, und gilt auch Gleichheit in $z_{\infty }$, dann sind diese schon lokal identisch. Sie sehen also um den Punkt $z_{\infty }$ herum absolut gleich aus. Die Bedingung der Übereinstimmung in unendlich vielen Zahlen wirkt zunächst schwach, es ist jedoch zu beachten, dass es möglich ist, diese Stellen wie $1,2,3,4,\dots$ aufzulisten. Im Gegensatz dazu kann der Definitionsbereich einer holomorphen Funktion niemals aufgelistet werden, da es sich dabei um zu viele Zahlen handelt. Dazu müssen zwei verschiedene Unendlichkeitsstufen unterschieden werden, nämlich Abzählbarkeit und Überabzählbarkeit. Besonders in Definitionsbereichen, in denen es möglich ist, jeden Punkt durch einen Weg „zu Fuß zu erreichen“, ohne dabei die Fläche zu verlassen, entpuppt sich Holomorphie als sehr stark. Hier genügt die Kenntnis der Funktion in einem lokalen „Ballungsraum“ $z_{1},z_{2},\dotsc \to z_{\infty }$, um die Funktion im gesamten Bereich eindeutig zu charakterisieren. Würde eine Funktion etwa jedem Punkt des deutschen Festlandes – hier kann man zu Fuß jeden Ort von jedem Startpunkt aus erreichen, ohne Deutschland zu verlassen – einen komplexen Wert zuordnen, und wäre diese überall holomorph, so reichte die Kenntnis im Ballungsraum Hamburg aus, um ihr Verhalten in München oder Passau zu rekonstruieren, obwohl diese Orte weit weg liegen.

### Einordnung der Anwendungsmöglichkeiten
#### Berechnung reeller Integrale

Bedeutsam sind holomorphe Funktionen auch in Anwendungen für reelle Integrale. Es lassen sich einige wichtige Integrale berechnen, ohne eine Stammfunktion angeben zu müssen. Dazu zählt zum Beispiel
    $\int _{-\infty }^{\infty }\!\mathrm {e} ^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t={\sqrt {\pi }}$,
und es ist zu beachten, dass zu $t\mapsto \mathrm {e} ^{-t^{2}}$ keine geschlossene elementare Stammfunktion angegeben werden kann. Integrale wie das obige spielen eine Rolle in der Wahrscheinlichkeitstheorie, hier im Kontext mit der Gaußschen Normalverteilung.

#### Geschlossene Formeln für unendliche Reihen

In der Analysis, die sich mit Grenzwerten von Funktionen oder Zahlenfolgen beschäftigt, treten auch Reihen auf. Diese sind spezielle Folgen, und werden durch unendliche Summen $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots$ ausgedrückt. Wenn die Summanden $a_{n}$ schnell genug klein werden, hat die betroffene Reihe einen Grenzwert. Ein Beispiel ist
    $1+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{10^{2}}}+{\frac {1}{10^{3}}}+{\frac {1}{10^{4}}}+\cdots =1+0{,}1+0{,}01+0{,}001+0{,}0001+\cdots =1{,}11111\ldots ={\frac {10}{9}}.$
Mit holomorphen Funktionen können in manchen Fällen Grenzwerte weit komplizierterer Reihen bestimmt werden. Beispiele sind
    $1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}$ (siehe auch Basler Problem),
    $1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+{\frac {1}{5^{3}}}+\cdots ={\frac {7\pi ^{3}}{180}}-2\left({\frac {1}{\mathrm {e} ^{2\pi }-1}}+{\frac {1/8}{\mathrm {e} ^{4\pi }-1}}+{\frac {1/27}{\mathrm {e} ^{6\pi }-1}}+\cdots \right)$ (siehe auch Apéry-Konstante),
aber auch Identitäten wie zum Beispiel die für alle $x>0$ gültige Transformation
    $\sum _{n=-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-\pi xn^{2}}=1+2\mathrm {e} ^{-\pi x}+2\mathrm {e} ^{-4\pi x}+2\mathrm {e} ^{-9\pi x}+\cdots ={\frac {1}{\sqrt {x}}}\left(1+2\mathrm {e} ^{-\pi /x}+2\mathrm {e} ^{-4\pi /x}+2\mathrm {e} ^{-9\pi /x}+\cdots \right)={\frac {1}{\sqrt {x}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-\pi n^{2}/x}.$
Es bezeichnen dabei $e$ die Eulersche Zahl und $\pi$ die Kreiszahl. Die letzte Identität geht auf den Mathematiker Carl Gustav Jacobi zurück und hat weitreichende Konsequenzen in der Zahlentheorie. So lässt sich jede positive ganze Zahl als Summe von vier Quadratzahlen schreiben, zum Beispiel ist $78=8^{2}+3^{2}+2^{2}+1^{2}$, siehe auch Satz von Jacobi.

#### In der Zahlentheorie

Holomorphe Funktionen treten in der Zahlentheorie besonders dann in Erscheinung, wenn eine Folge von Zahlen studiert werden soll. Eine Folge ist wie eine Tabelle, wobei den Zahlen $0,1,2,3,4,\dots ,n,\dots$ jeweils Zahlen $a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},\dots ,a_{n},\dots$ zugeordnet werden. Berühmte Beispiele für Folgen sind die Folge der Quadratzahlen $0,1,4,9,16,25,\dots$, die Folge der Primzahlen $2,3,5,7,\dots$ oder auch die Fibonacci-Folge $1,1,2,3,5,8,\dots$ Möchte man eine Zahlenfolge $a_{0},a_{1},a_{2},\dots$ mit analytischen Mitteln, also holomorphen Funktionen, untersuchen, kann es helfen, die zugehörige Potenzreihe
    $f(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+a_{3}z^{3}+\cdots +a_{n}z^{n}+\cdots$
zu betrachten. Wie oben gesehen, handelt es sich dabei um eine um 0 holomorphe Funktion, zumindest dann, wenn die $a_{n}$ nicht zu schnell anwachsen. $f$ ist durch die $a_{n}$ eindeutig festgelegt, und umgekehrt. Das bedeutet, dass die erzeugte Funktion $f$ gewissermaßen charakteristisch für die Zahlenfolge $a_{n}$ ist, sie also Eigenschaften der Folge „kodieren“ sollte. Im Allgemeinen ist es jedoch schwer oder nahezu unmöglich, daraus exakte Informationen zu erhalten. Allerdings kann in einigen Fällen das Wachstumsverhalten der $a_{n}$ für größer werdende $n$ ermittelt werden.
Historisches Beispiel ist die Analyse der Partitionsfunktion $p$. Diese ordnet einer natürlichen Zahl die Anzahl der Möglichkeiten zu, diese als Summe kleinerer natürlicher Zahlen zu schreiben. Wegen
    ${\begin{aligned}4&=4\\&=3+1\\&=2+2\\&=2+1+1\\&=1+1+1+1\end{aligned}}$
gilt $p(4)=5$. Die Folge der Partitionen wächst schnell an. So gilt bereits $p(100)=190\ 569\ 292$ und
    $p(1000)=24\ 061\ 467\ 864\ 032\ 622\ 473\ 692\ 149\ 727\ 991.$
Lange Zeit galt ein „geschlossenes Verständnis“ dieser Folge als unerreichbar. Godfrey Harold Hardy und Srinivasa Ramanujan studierten intensiv die von den Partitionen (formal setzt man $p(0)=1$) erzeugte holomorphe Funktion
    $P(z)=\sum _{n=0}^{\infty }p(n)z^{n}=1+z+2z^{2}+3z^{3}+5z^{4}+{\color {red}{7}}z^{\color {blue}{5}}+11z^{6}+15z^{7}+22z^{8}+\cdots$
* Die Zahl 5 (blau markiert in obiger Reihe) hat genau 7 Partitionen (rot markiert in obiger Reihe)
* Allgemeinere schematische Übersicht der ersten Partitionen. Man vergleiche mit den ersten Koeffizienten der Potenzreihe $P.$
* Komplexes Schaubild der Funktion $P$. Am Rand zeichnen sich Bereiche starken Wachstums ab. Diese können genutzt werden, auf die Natur der Koeffizienten $p(n)$ der Potenzreihe rückzuschließen
Für jede komplexe Zahl $z$ mit $|z|<1$ ist diese Reihe im Grenzwert endlich (siehe oberes Bild). Es ist keine holomorphe Fortsetzung in den Bereich $|z|>1$ möglich, dieser Bereich ist in Grau gehalten. Hardy und Ramanujan konnten das Verhalten der Funktion nahe an der Kreislinie mit Radius 1 und Mittelpunkt 0, wo also Konvergenz endet, detailliert beschreiben, und rekonstruierten aus ihren Analysen die asymptotische Schätzformel
    $p(n)\approx {\frac {1}{4{\sqrt {3}}n}}\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {\frac {2n}{3}}}},$
die prozentual immer genauer wird, wenn $n$ anwächst. Es bezeichnet dabei $e^{x}$ die natürliche Exponentialfunktion, $\pi =3{,}14159\dots$ die Kreiszahl und ${\sqrt {3}}$ die Quadratwurzel von 3.

#### In der Algebra

Viele Anwendungen machen sich die starken Eigenschaften holomorpher Funktionen zu Nutze. So kann zum Beispiel anhand logischer Argumente, die sich auf die grundlegenden Eigenschaften der Holomorphie gründen, bewiesen werden, dass jede in allen komplexen Zahlen holomorphe Funktion, die global beschränkt ist, bereits konstant sein muss. Interessanterweise ist die analoge Aussage im Reellen falsch. So ist zum Beispiel die Funktion $x\mapsto {\tfrac {1}{x^{2}+1}}$ in ganz $\mathbb {R}$ differenzierbar und außerdem beschränkt (da der Nenner niemals kleiner und der Zähler niemals größer als 1 wird), aber ganz offensichtlich keine konstante Funktion $x\mapsto c$. Für reelle Eingaben beschränkte Funktionen wie der Sinus, die überall komplex differenzierbar sind, müssen folglich durch Eingabe beliebiger komplexer Werte über alle Grenzen hinauswachsen. Es gilt zum Beispiel $\sin(2+10i)=10014{,}30435528\ldots +4583{,}12202096\dots i.$
Mit Hilfe dieser Aussage kann man logisch begründen, dass jede Gleichung der Form
    $a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0}=0$
mit $a_{n}\not =0$ und $n\in \mathbb {N}$, eine komplexe Lösung besitzt. Das Argument kann exemplarisch am Beispiel
    $z^{4}-z^{3}+2z^{2}+17z+20=0$
nachvollzogen werden. Die Funktion $f(z)=z^{4}-z^{3}+2z^{2}+17z+20$ ist, da sie ein Polynom ist, holomorph für alle komplexen Zahlen. Wegen der Quotientenregel ist auch ihr Kehrwert $z\mapsto {\tfrac {1}{f(z)}}$ komplex differenzierbar an Punkten $z$ mit $f(z)\not =0$, da sonst durch 0 geteilt wird. Geht man davon aus, dass die Gleichung $z^{4}-z^{3}+2z^{2}+17z+20=0$ nicht lösbar ist, so ist
    $z\mapsto {\frac {1}{f(z)}}={\frac {1}{z^{4}-z^{3}+2z^{2}+17z+20}}$
ebenfalls auf ganz $\mathbb {C}$ holomorph. Da $f(z)$ als Polynom aber in jeder Richtung für wachsende $z$ langfristig beliebig anwächst, kann man folgern, dass ${\tfrac {1}{f(z)}}$ beschränkt ist. Damit ist es als global holomorphe Funktion konstant. Das ist offenbar falsch, somit ist ein Widerspruch gefunden, und die Gleichung muss über den komplexen Zahlen lösbar sein.
Dieses Resultat wird auch als der Fundamentalsatz der Algebra bezeichnet.

#### In der theoretischen Physik

Auch in der theoretischen Physik treten holomorphe Funktionen auf. Ein Anwendungsgebiet betrifft die sogenannte Stringtheorie. Der Ausgangsgedanke dieser Theorie entspringt der „klassischen“ Quantenfeldtheorie (QFT). In der QFT sind die grundlegenden Objekte Teilchen. Während sie sich durch den Raum ausbreiten und miteinander interagieren, beschreiben sie einen Graphen, der als Feynman-Diagramm bezeichnet wird. Diese Diagramme dienen also der Veranschaulichung von Wechselwirkungen zwischen Teilchen, die unsere bekannte Welt aufbauen. In der Stringtheorie sind die grundlegenden Objekte 1-dimensional (Linien bzw. Strings) und nicht 0-dimensional (Punkte bzw. Teilchen). Sie können sich durch den Raum ausbreiten und interagieren, genau wie Punktpartikel, aber anstatt einen Graphen aufzufächern, fächern sie eine Oberfläche auf. Diese Oberflächen können mit Hilfe der Theorie der Riemannschen Flächen beschrieben werden. Das sind zweidimensionale Strukturen im Raum, die lokal wie eine flache Ebene aussehen, deren Koordinaten sich also durch komplexe Zahlen $x+iy$ beschreiben lassen. Auf diesen Ebenen können holomorphe Funktionen definiert werden. Diese helfen dabei, alle möglichen Flächen eines Typs zu charakterisieren, wobei nur „geschlossene Flächen mit Henkeln“ interessant sind.
* Eine Sphäre: Geschlecht 0, also ohne Löcher bzw. „Henkel“
* Ein Torus: Geschlecht 1
* Geschlecht 2
* Geschlecht 3
* Aus rein topologischer Sicht sieht jeder Torus gleich aus. Sogar eine stetige Umformung in eine Tasse ist möglich.
* Veranschaulichung der Interaktion zweier Strings auf einem Torus
Obwohl etwa verschiedene Tori (Donuts), Flächen vom Geschlecht 1, aus Sicht der Topologie („Theorie der Formen“) nicht zu unterscheiden sind, können sie als Riemannsche Flächen aufgefasst in eine sehr große Schar verschiedener Klassen unterteilt werden. In diesem Sinne „ungleiche“ Riemannsche Flächen können allgemein durch sogenannte Moduli unterschieden werden. Anschaulich sind Moduli Parameter, in etwa Zahlen, die ohne Doppelungen alle Riemannschen Flächen eines Geschlechts bis auf „holomorphe Äquivalenz“ auflisten. Alle Riemannschen Flächen mit ihren zugehörigen Moduli zu konstruieren, ist ein schwieriges mathematisches Problem. Untersuchungen der Stringwechselwirkungen liefern jedoch deutliche Hinweise darauf, dass die sogenannten world-sheets (dt.: „Weltblätter“) der wechselwirkenden Strings genau diese Konstruktion wiedergeben. Bei world-sheets handelt es sich um Einbettungen von Strings in die Raumzeit.

## Historisches zum Begriff

Die Redeweise „holomorph in (einer offenen Menge) $U$“ für „komplex differenzierbar in allen Punkten in $U$“ hat sich in der deutschen Literatur erst in den letzten Jahrzehnten etabliert. Etwa noch bei Marvin Knopp war der Begriff „regulär“ bzw. „analytisch“ üblich. Letzterer wird jedoch in manchen Lehrbüchern bis heute konsequent verwendet, etwa bei Eberhard Freitag. Das Wort „holomorph“ wurde im Jahr 1875 von den Mathematikern Charles Briot und Jean-Claude Bouquet im Rahmen ihres Werkes „Théorie des fonctions elliptiques“ eingeführt. Dabei handelt es sich um das erste Lehrbuch zur Funktionentheorie. Allerdings tauchte „holomorph“ erst in der zweiten Auflage auf; in der ersten Auflage verwendeten sie noch die auf Cauchy zurückgehende Bezeichnung „synectisch“.

## Notation

Es werden durchweg folgende Bezeichnungen verwendet:
* $\mathbb {N}$, $\mathbb {Z}$, $\mathbb {Q}$, $\mathbb {R}$ und $\mathbb {C}$ bezeichnen die natürlichen, ganzen, rationalen, reellen bzw. komplexen Zahlen. Zudem bedeutet $\mathbb {E} :=\{z\in \mathbb {C} \colon |z|<1\}$ die offene Einheitskreisscheibe.
* Es bezeichnen $\mathrm {Re} (z)$ bzw. $\mathrm {Im} (z)$ den Real- bzw. Imaginärteil der komplexen Zahl $z$.
* $U\subset \mathbb {C}$ ist eine (nicht leere) offene Menge, speziell $D\subset \mathbb {C}$ ist ein Gebiet und $B_{r}(c):=\{z\in \mathbb {C} \colon |z-c|<r\}$ die offene Kreisscheibe um $c$ mit Radius $r>0$.
* Es bezeichnet ${\mathcal {O}}(U)$ den Ring der holomorphen Funktionen auf der offenen Menge $U\subseteq \mathbb {C}$.
* Das Symbol $\partial M$ bezeichnet den Rand der (offenen) Menge $M$.
* Das Symbol $\textstyle \oint _{\gamma }$ bezeichnet ein geschlossenes Integral, also ein Integral gebildet über eine geschlossene Kurve $\gamma$.
* Es bezeichnet $f^{(n)}$ die $n$-te (komplexe) Ableitung der (holomorphen) Funktion $f$. In den Fällen $n=1$, $n=2$ bzw. $n=3$ werden auch die Kurzschreibweisen $f',f''$ bzw. $f'''$ benutzt.

## Komplexe Differenzierbarkeit
### ℂ als topologischer Raum

Die Euklidische Norm induziert auf den komplexen Zahlen eine Topologie. Analog wie in $\mathbb {R} ^{2}$ gilt für die Norm $|x+iy|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$. Eine Menge $U\subset \mathbb {C}$ heißt offen, wenn jeder Punkt $z_{0}\in U$ innerer Punkt ist. Für jedes $z_{0}\in U$ gibt es also ein $\varepsilon >0$, sodass die Kreisscheibe $B_{\varepsilon }(z)$ ganz in $U$ liegt. Es gilt also
    $B_{\varepsilon }(z):=\{w\in \mathbb {C} \mid |w-z|<\varepsilon \}\subset U.$
Für die Definition der komplexen Differenzierbarkeit ist der Begriff der offenen Menge essentiell. Er stellt sicher, dass für jeden Punkt des Definitionsbereichs das Verhalten der Funktion in einer Umgebung dieses Punktes studiert werden kann.

### Definition

Es sei $U\subseteq \mathbb {C}$ eine offene Teilmenge der komplexen Ebene und $z_{0}\in U$ ein Punkt dieser Teilmenge. Eine Funktion $f\colon U\to \mathbb {C}$ heißt komplex differenzierbar im Punkt $z_{0}$, falls der Grenzwert
    $\lim _{h\to 0}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}$
existiert. Man bezeichnet ihn dann als $f'(z_{0})$. Bei dieser Definition ist zu beachten, dass der Limes $\textstyle \lim _{h\to 0}$ eine Annäherung aus beliebiger Richtung in der komplexen Ebene darstellt. Äquivalent ist also, dass für jede komplexe Nullfolge $h_{n}$, mit $h_{n}\not =0$ für alle $n$, der Wert
    $\lim _{n\to \infty }{\frac {f(z_{0}+h_{n})-f(z_{0})}{h_{n}}}$
existiert und das Ergebnis unabhängig von der gewählten Folge $h_{n}$ ist.
Zu bemerken ist, dass der Differentialquotient von allen Richtungen gebildet werden kann, da $U$ offen ist und somit um jeden Punkt aus $U$ eine umliegende Kreisscheibe auch noch in $U$ enthalten ist. Ist $h$ hinreichend klein, liegt also $z+h$ in $U$, egal welches komplexe Argument $h$ besitzt.

### Vergleich zur reellen Differenzierbarkeit und die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen

Jede komplexwertige Funktion $f$ lässt sich in der Form $f(z)=\operatorname {Re} (f(z))+i\operatorname {Im} (f(z))=u(x,y)+i\ v(x,y)$ schreiben. Dabei sind $u,v\colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ reellwertige Abbildungen. Man sagt, dass $f$ genau dann reell differenzierbar in einem Punkt $z_{0}=x_{0}+i\ y_{0}$ ist, wenn
    $u(x,y)=u(x_{0},y_{0})+a\Delta x+b\Delta y+o(\Delta x,\Delta y),$
    $v(x,y)=v(x_{0},y_{0})+c\Delta x+d\Delta y+o(\Delta x,\Delta y),$
wobei die $o$-Fehlerterme, siehe Landau-Symbol, für kleiner werdende $\Delta x,\Delta y$ gegen 0 gehen. Es gilt also
    ${\frac {o(\Delta x,\Delta y)}{\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}}\rightarrow 0$ für $(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}\rightarrow 0.$
Dabei handelt es sich bei $a,b,c,d$ um reelle Zahlen, die sich über die partiellen Ableitungen der Funktionen $u$ und $v$ bestimmen lassen. Präziser gesagt, bilden sie die sog. Jacobi-Matrix von $f$ als Abbildung von $\mathbb {R} ^{2}$ in sich selbst aufgefasst, via
    ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial u}{\partial x}}&{\frac {\partial u}{\partial y}}\\{\frac {\partial v}{\partial x}}&{\frac {\partial v}{\partial y}}\end{pmatrix}}.$
Die reelle Differenzierbarkeit impliziert unter anderem, dass Differentialquotienten existieren, wenn separat die reellen Variablendifferenzen $\Delta x$ und $\Delta y$ in $f(x_{0}+iy_{0}+i\Delta y)$ bzw. $f(x_{0}+\Delta x+iy_{0})$ betrachtet werden. Die Richtungsableitungen können sich indes, je nach Gewichtung von $\Delta x$ und $\Delta y$, unterscheiden.
Bei der komplexen Differenzierbarkeit liegt insbesondere reelle Differenzierbarkeit vor, allerdings kommt hinzu, dass die Richtungsableitungen alle identisch sein müssen. Es werden also die Komponenten $\Delta x$ und $\Delta y$ zu Gunsten einer zusammenfassenden Komponente $\Delta z$ „vergessen“. Es gilt im Falle komplexer Differenzierbarkeit an einer Stelle $z_{0}$ also
    $f(z)=f(z_{0})+\omega \Delta z+o(\Delta z),$ mit $\Delta z:=z-z_{0}$.
Die Körperstruktur von $\mathbb {C}$ erlaubt es, diesen Sachverhalt nach gewohntem Rechenverfahren in die Gleichung
    ${\frac {f(z)-f(z_{0})}{\Delta z}}=\omega +{\frac {o(\Delta z)}{\Delta z}}$, wobei $\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {o(\Delta z)}{\Delta z}}=0$,
umzuwandeln. Spaltet man dies nun rückwirkend in den reellen Fall auf, so ergibt sich mit $\Delta z=\Delta x+i\Delta y$ und $\omega =\operatorname {Re} (\omega )+i\operatorname {Im} (\omega )$ die Gleichheit:
    $\omega \Delta z=(\operatorname {Re} (\omega )+i\operatorname {Im} (\omega ))(\Delta x+i\Delta y)=(\operatorname {Re} (\omega )\Delta x-\operatorname {Im} (\omega )\Delta y)+i(\operatorname {Im} (\omega )\Delta x+\operatorname {Re} (\omega )\Delta y)$.
Es folgt für die Jacobi-Matrix zwingend die Gleichheit
    ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\operatorname {Re} (\omega )&-\operatorname {Im} (\omega )\\\operatorname {Im} (\omega )&\operatorname {Re} (\omega )\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial u}{\partial x}}&{\frac {\partial u}{\partial y}}\\{\frac {\partial v}{\partial x}}&{\frac {\partial v}{\partial y}}\end{pmatrix}}.$
Dies impliziert
    ${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}$ und ${\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}$
was den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen entspricht. Eine Funktion $f\colon U\rightarrow \mathbb {C}$ ist also genau dann komplex differenzierbar an einer Stelle $z_{0}\in U$, wenn sie dort reell stetig differenzierbar ist und zusätzlich die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllt. Es ergibt sich daraus, dass die Funktion $f=u+iv$ genau dann holomorph auf $U$ ist, wenn sowohl Realteil $u$ als auch Imaginärteil $v$ überall in $U$ stetig partiell differenzierbar sind und die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllen.

### Holomorphie

Die komplexe Differenzierbarkeit in einem einzelnen Punkt bietet noch nicht viel Struktur. Wichtig für die Funktionentheorie ist der Fall, wenn eine Funktion in ihrer Gänze komplex differenzierbar ist. Die Funktion $f$ heißt holomorph in $U$, falls sie in jedem Punkt $z\in U$ komplex differenzierbar ist. Ist zudem sogar $U=\mathbb {C}$, so nennt man $f$ eine ganze Funktion.
In der Fachliteratur werden die Begriffe holomorph und analytisch häufig synonym verwendet. Dies hat den keinesfalls trivialen Hintergrund, dass eine in $U$ holomorphe Funktion eine in $U$ analytische Funktion ist, und umgekehrt.
Die Menge der auf einer offenen Menge $U$ holomorphen Funktionen wird in der Literatur häufig mit ${\mathcal {O}}(U)$ bezeichnet. Diese Schreibweise wird etwa seit 1952 von der französischen Schule um Henri Cartan vor allem in der Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher verwendet. Aussagen, es handele sich bei ${\mathcal {O}}$ um eine Ehrung des japanischen Mathematikers Oka Kiyoshi, oder eine Reflexion der französischen Aussprache des Wortes holomorph, sind unbestätigt. Vielmehr sei die Notation laut Reinhold Remmert „rein zufällig“, und es heißt in einem Brief von Cartan an Remmert vom 22. März aus dem Jahr 1982:
   „Je m’étais simplement inspiré d’une notation utilisée par van der Waerden dans son classique traité ‘Moderne Algebra’“
   „Ich habe mich einfach von einer Notation inspirieren lassen, die van der Waerden in seiner klassischen Abhandlung ‚Moderne Algebra‘ verwendet.“

### Ableitungsregeln

Sind $f,g\colon U\to \mathbb {C}$ an einer Stelle $z\in U$ komplex differenzierbar, so auch $f+g$, $f-g$ und $f\cdot g$. Das gilt auch für ${\tfrac {f}{g}}$, wenn $z$ keine Nullstelle von $g$ ist. Es gelten ferner Summen-, Produkt-, Quotienten- und Kettenregel.

### Winkel- und Orientierungstreue

Eine komplexe Abbildung ist winkeltreu, wenn sie zwei sich in einem Punkt schneidende Geradenstücke auf wiederum zwei Geradenstücke abbildet, die sich im gleichen Winkel schneiden. So sind etwa Drehungen winkeltreue Abbildungen. Nicht-lokalkonstante holomorphe Funktionen sind in, bis auf eine diskrete Teilmenge, allen Punkten ihres Definitionsbereichs winkeltreu. Es sind durch diese Eigenschaft im Wesentlichen sogar holomorphe Funktionen charakterisiert. Verlangt man zusätzlich noch Orientierungstreue, d. h., dass für $f=u+iv$ die Funktionaldeterminante
    $\operatorname {det} {\begin{pmatrix}u_{x}&u_{y}\\v_{x}&v_{y}\end{pmatrix}}$
in, bis auf eine diskrete Menge, allen Punkten positiv ist, so ist $f$ bereits holomorph.
Die Winkeltreue holomorpher Funktionen in einem Punkt lässt sich zudem anhand ihrer Jacobi-Matrix an der entsprechenden Stelle erklären. Dazu muss bekannt sein, dass die Abbildung
    $\Phi \colon \mathbb {C} \to \mathbb {R} ^{2\times 2}$
    $\Phi (a+ib):={\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}$
nach Einschränkung ihrer Zielmenge auf ihr Bild einen Isomorphismus zwischen Körpern induziert. Wegen Eulers Formel gilt zudem für $r>0$ und $0\leq \theta <2\pi$ die Relation
    $\Phi (r\mathrm {e} ^{i\theta })=r{\begin{pmatrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{pmatrix}}.$
Eine komplexe Zahl kann demzufolge als lineare Abbildung gedeutet werden, nämlich als eine Drehstreckung, wie die rechte Form als Verkettung von Skalierung und Rotationsmatrix verdeutlicht. Die Cauchy-Riemann-Gleichungen verlangen nichts anderes, als dass die Jacobi-Matrix von dieser Struktur sein soll, wobei dann $Df(x,y)=\Phi (f'(z))$ mit $z=x+iy$ gilt. Darin liegt die Verbindung zu konformen Abbildungen: Winkeltreue bedeutet schlicht, dass die Jacobi-Matrix eine nichtverschwindende Drehstreckung ist.
In Punkten, in denen die Ableitung einer holomorphen Funktion verschwindet, liegt keine Winkeltreue vor, wie man am Beispiel der Funktion $f(z)=z^{n}$ mit $n\geq 2$ sieht. Im Nullpunkt werden die Winkel ver-$n$-facht.

### Analoga zur reellen Analysis

Einige klassische Resultate der reellen Analysis besitzen Pendants im Komplexen.

#### Mittelwertsatz

Sei $f\colon D\to \mathbb {C}$ eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet $D$, und $a,b\in D$ mit $a\not =b$. Dann existieren
    $z_{1},z_{2}\in (a,b):=\{z=at+b(1-t)\colon t\in (0,1)\}\subset D$
so dass
    $\operatorname {Re} \left({\frac {f(a)-f(b)}{a-b}}\right)=\operatorname {Re} (f'(z_{1}))$
und
    $\operatorname {Im} \left({\frac {f(a)-f(b)}{a-b}}\right)=\operatorname {Im} (f'(z_{2})).$
Auf gewisse Weise lässt sich dies auf die komplexe Ebene ausweiten, wobei jedoch auf intervallförmige Strukturen verzichtet werden muss. Ist $f$ holomorph auf einer offenen Teilmenge $U\subseteq \mathbb {C}$ und $z_{0}\in U$ ein (innerer) Punkt, so existieren in jeder Umgebung $z_{0}\in V\subseteq U$ ein Paar $z_{2}\not =z_{1}$, so dass
    ${\frac {f(z_{2})-f(z_{1})}{z_{2}-z_{1}}}=f'(z_{0}).$
Damit garantiert ist, dass diese mit $z_{0}$ auf einer Geraden liegen, ist es im Allgemeinen hinreichend aber auch notwendig, dass $f$ eine konstante, lineare oder quadratische Funktion ist.

#### Satz von Rolle

Sei $f\colon D\to \mathbb {C}$ eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet $D$, und $a,b\in D$ mit $a\not =b$, so dass $f(a)=f(b)=0$. Dann existieren
    $z_{1},z_{2}\in (a,b):=\{z=at+b(1-t)\colon t\in (0,1)\}\subset D$
so dass $\operatorname {Re} (f'(z_{1}))=\operatorname {Im} (f'(z_{2}))=0.$

#### Regel von de L’Hospital

Seien $f,g\colon U\to \mathbb {C}$ holomorphe Funktionen sowie $a\in U$ und $f(a)=f'(a)=\cdots =f^{(n-1)}(a)=0$ und $g(a)=g'(a)=\cdots =g^{(n-1)}(a)=0$, sowie $f^{(n)}(a)\not =0\not =g^{(n)}(a)$ mit einem $n\in \mathbb {N}$. Dann gilt
    $\lim _{z\to a}{\frac {f(z)}{g(z)}}={\frac {f^{(n)}(a)}{g^{(n)}(a)}}.$

## Integrationstheorie
### Komplexe Kurvenintegrale

Die Integrationstheorie im Komplexen unterscheidet sich in einigen Punkten von der im Reellen. Wichtigstes Merkmal ist das Problem, dass es auf einer Ebene unendlich viele Möglichkeiten gibt, sich von einem Punkt $a$ zu einem Punkt $b$ zu „bewegen“. Im Reellen gibt es (sieht man von nichtigen Rückwärtsbewegungen ab) stets nur eine Möglichkeit entlang des Zahlenstrahls. Die hohe Anzahl an Integrationswegen zwischen $a$ und $b$ zwingt dazu, den Integralbegriff zum sog. Kurvenintegral auszuweiten. Das bedeutet, dass ein Integral zunächst nicht nur von Anfangs- und Endpunkt, sondern auch von der Wahl der Kurve abhängt.
* Es gibt wegen des eindimensionalen Zahlenstrahls im Reellen nur eine Möglichkeit, sich von a nach b zu bewegen
* Bei Kurven in flächenförmigen Definitionsbereichen gibt es viele Möglichkeiten, von a nach b zu gelangen.
* Im Fall a = b spricht man von einer geschlossenen Kurve. Das Integral wird hier auch mit $\textstyle \oint$ bezeichnet.
Ist $D\subset \mathbb {C}$ ein Gebiet, $f\colon D\to \mathbb {C}$ stetig und $\gamma \colon [0,1]\to D$ eine unendlich oft differenzierbare (also glatte) Kurve, so definiert man
    $\int _{\gamma }\!f(z)\,\mathrm {d} z:=\int _{0}^{1}\!f(\gamma (t))\gamma '(t)\,\mathrm {d} t.$
Das hintere Integral kann nun analog wie im Reellen berechnet werden, etwa durch Aufspalten in die ebenfalls stetigen Komponenten $\operatorname {Re} (f)+i\operatorname {Im} (f)$. Hinter dem Differential $\gamma '(t)\mathrm {d} t$ verbirgt sich die Umformung $\mathrm {d} \gamma (t)$, die bereits andeutet, dass der Integrationsweg in kleine Intervalle $\gamma ({\tfrac {1}{n}})-\gamma (0),\gamma ({\tfrac {2}{n}})-\gamma ({\tfrac {1}{n}}),\ldots ,\gamma (1)-\gamma ({\tfrac {n-1}{n}})$ mit $n\to \infty$ unterteilt wird, was den anschaulichen Bogen zur klassischen Integralrechnung schließt.

### Integralrechnung

Der Wert eines Integrals
    $\int _{\gamma }\!f(z)\,\mathrm {d} z$
wird bei Endpunkten $\gamma (0)=a$ und $\gamma (1)=b$ im Allgemeinen nicht nur von $f$, sondern auch von der Wahl der Kurve $\gamma$ abhängen. Dies ist dann der Fall, wenn die Funktion $f$ nicht über eine komplexe Stammfunktion $F$ verfügt. Liegt andererseits eine solche vor, gilt
    $\int _{\gamma }\!f(z)\,\mathrm {d} z=F(\gamma (1))-F(\gamma (0))=F(b)-F(a),$
und die letzte Gleichheit zeigt, dass der Wert des Integrals jetzt nicht mehr von $\gamma$ abhängt. Analog zum Reellen zeigt es sich, dass der Begriff der Stammfunktion erneut als Umkehrung zum Ableiten gefasst werden kann. Da jedoch der Ausgangspunkt ein Gebiet $D$ ist, also eine „Fläche“, muss die Stammfunktion $F$ in ganz $D$ komplex differenzierbar, also holomorph, sein. Damit ist $F$ bereits unendlich oft komplex differenzierbar und es zeigt sich, dass notwendigerweise auch ihre Ableitung $f$ eine in $D$ holomorphe Funktion gewesen sein muss. Es zeigt sich wieder die Stärke des Holomorphiebegriffes. Aufgrund der „richtungsunabhängigen“ Existenz des Differenzenquotienten ergibt die Berechnung eines Kurvenintegrals ungeachtet der Richtungswahl immer denselben Wert. Man kann dann schreiben
    $\int _{\gamma }\!f(z)\,\mathrm {d} z=\int _{a}^{b}\!f(z)\,\mathrm {d} z$.
Zwar muss zur Existenz einer Stammfunktion die Funktion $f$ notwendigerweise holomorph sein, jedoch ist Holomorphie nicht hinreichend für die Existenz einer Stammfunktion. Wählt man zum Beispiel $D=\mathbb {C} \setminus \{0\}$ und $f(z)={\tfrac {1}{z}}$, so kann zu $f$ keine Stammfunktion gefunden werden. Hintergrund ist, dass es eine „Lücke“ in $D$ gibt, in der $f$ nicht holomorph ist und daher situationsbedingt Schwierigkeiten bereiten kann. In der Tat besitzt die Logarithmusfunktion kein global holomorphes Pendant in den komplexen Zahlen. Unter zusätzlichen Voraussetzungen an $D$ ist jedoch auch die Rückrichtung korrekt. Ganz allgemein dann, wenn $D$ ein Elementargebiet ist, besitzt jede holomorphe Funktion $f\colon D\to \mathbb {C}$ eine holomorphe Stammfunktion. In etwa ist jedes Sterngebiet ein Elementargebiet, d. h., es gibt einen zentralen Punkt $z_{0}\in D$, von dem aus jeder Punkt $z\in D$ durch eine gerade Linie erreicht werden kann, ohne dabei $D$ zu verlassen. Beispiel für ein Sterngebiet ist das Innere eines Kreises mit irgendeinem seiner Punkte als Zentrum. Eine Stammfunktion kann dann über
    $F(z):=\int _{z_{0}}^{z}\!f(w)\,\mathrm {d} w$
bestimmt werden, wobei hier als Integrationskurve die gerade Verbindungslinie zwischen $z_{0}$ und $z$ gewählt wird.
Es gelten auch im Komplexen die aus der reellen Analysis bekannten Rechenregeln, wie die partielle Integration und die Integration durch Substitution.

### Cauchyscher Integralsatz

Ist $D\subseteq \mathbb {C}$ einfach zusammenhängend, also ein Elementargebiet, und $\gamma$ ein Zyklus in $D$, so gilt der Cauchysche Integralsatz
    $\int _{\gamma }\!f(z)\,\mathrm {d} z=0.$
Der Satz gilt also insbesondere dann, wenn $D$ ein Sterngebiet und $\gamma$ ein geschlossener Weg ist.

### Satz von Morera

Nicht jede auf einer offenen Menge holomorphe Funktion besitzt eine Stammfunktion. Allerdings besitzt jede holomorphe Funktion eine lokale Stammfunktion. Dies ist gleichzeitig ein hinreichendes Kriterium für globale Holomorphie. Es stellt zudem eine Umkehrung des Integralsatzes von Cauchy dar, wenn auch in abgeschwächter Form. Ist $D\subset \mathbb {C}$ offen und $f\colon D\to \mathbb {C}$ stetig und gilt für jeden Dreiecksweg $\langle z_{1},z_{2},z_{3}\rangle$, dessen Dreiecksfläche $\Delta$ ganz in $D$ enthalten ist,
    $\oint _{\langle z_{1},z_{2},z_{3}\rangle }\!f(z)\,\mathrm {d} z=0,$
so ist $f$ holomorph.

### Elementare Folgerungen

Mit Hilfe der Integrationstheorie holomorpher Funktionen kann etwas über die Struktur holomorpher Funktionen auf Elementargebieten ausgesagt werden. Ist $f\colon D\to \mathbb {C}$ auf dem Elementargebiet $D$ etwa holomorph und nullstellenfrei, existiert eine holomorphe Funktion $g\colon D\to \mathbb {C}$ mit der Eigenschaft $f=e^{g}$. Ein solches $g$ wird auch als analytischer Zweig des Logarithmus von $f$ bezeichnet.
Eine unmittelbare Folgerung ist die Aussage, dass $f$ ebenso eine $n$-te Wurzel, mit $n\in \mathbb {N}$, auf $D$ besitzt, es gibt also ein holomorphes $h\colon D\to \mathbb {C}$ mit $f=h^{n}$.

### Cauchysche Integralformel

Im Jahr 1831 fand Augustin-Louis Cauchy in seinem Exil in Turin eine Integralformel, die erlaubt, eine holomorphe Funktion mit Hilfe der „Randwerte ihres Definitionsbereichs“ zu rekonstruieren. Sie ist von großer Bedeutung in der Theorie holomorpher Funktionen.

#### Formulierung

Sei $U$ offen, $B_{r}(a)$ die offene Kreisscheibe mit Radius $r$ um den Punkt $a\in U$ und $f\colon U\to \mathbb {C}$ eine holomorphe Funktion. Liegt dann der Abschluss von $B_{r}(a)$ noch ganz in $U$, so gilt für alle $z\in D$ die Cauchysche Integralformel
    $f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial B_{r}(a)}\!{\frac {f(w)}{w-z}}\,\mathrm {d} w.$
Dabei wird die Integrationskurve in mathematisch positivem Sinn, also gegen den Uhrzeigersinn, einfach durchlaufen. Die (stärkere) Version, die alle Ableitungen behandelt, besagt für alle $k\in \mathbb {N} _{0}$
    $f^{(k)}(z)={\frac {k!}{2\pi i}}\oint _{\partial B_{r}(a)}\!{\frac {f(w)}{(w-z)^{k+1}}}\,\mathrm {d} w.$
Dabei bedeutet $k!$ die Fakultät von $k$. Der Wert der Funktion (und jeder ihrer Ableitungen) eines Punktes in einem Gebiet hängt also nur von den Funktionswerten am Rand dieses Gebietes ab.

#### Konsequenzen

Eine Folgerung aus der Cauchyschen Integralformel ist, dass in der komplexen Ebene der Begriff der Analytizität äquivalent zur Holomorphie ist: Jede in $z_{0}$ holomorphe Funktion ist in $z_{0}$ analytisch. Umgekehrt stellt jede in $z_{0}$ analytische Funktion eine in $z_{0}$ holomorphe Funktion dar.
Eine weitere Folgerung ist die Mittelwertsgleichung
    $f(a)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\!f(a+re^{i\varphi })\,\mathrm {d} \varphi ,$
die unter oberen Voraussetzungen gilt. Aus dieser folgt über die Standardabschätzung für Kurvenintegrale
    $|f(a)|\leq \sup _{|z-a|=r}|f(z)|$,
ein Vorläufer des Maximumprinzips der Funktionentheorie. Sie spielt zudem eine wichtige Rolle bei den Beweisen tieferer funktionentheoretischer Sätze, wie zum Beispiel des Satzes von Liouville oder des Residuensatzes.

#### Varianten

Die Cauchysche Integralformel lässt sich mannigfach umformulieren. Ist etwa $f$ holomorph in einer Umgebung von ${\overline {B_{r}(0)}}$, so gilt bereits für alle $z\in B_{r}(0)$
    $f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial B_{r}(0)}\!{\frac {f(w)}{w}}{\frac {r^{2}-|z|^{2}}{|w-z|^{2}}}\,\mathrm {d} w,$
wobei die Kreiskurve in mathematisch positiver Richtung den Ursprung einfach umläuft. Diese Version wird auch als Schwarzsche Integralformel bezeichnet. Des Weiteren gilt die Formel
    $f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial B_{r}(0)}\!{\frac {\operatorname {Re} (f(w))}{w}}{\frac {w+z}{w-z}}\,\mathrm {d} w+i\operatorname {Im} (f(0))$
unter denselben Voraussetzungen wie oben. Erneut ist zu beachten, dass als Mittelpunkt der Kreisscheibe der Ursprung gewählt wurde.
Diese Integrale lassen sich auch in Polarform schreiben. Ist $f$ holomorph auf ${\overline {B_{R}(0)}}$, dann gilt für $0<r<R$ die Poissonsche Formel
    $f(re^{i\theta })={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(Re^{i\Theta }){\frac {R^{2}-r^{2}}{R^{2}-2Rr\cos(\Theta -\theta )+r^{2}}}\mathrm {d} \Theta .$
Diese Formel betont die Beziehung zwischen der Integrationstheorie von Cauchy und harmonischen Analysis.

## Potenzreihen im Kontext holomorpher Funktionen
### Holomorphie und Analytizität

Ein zentrales Resultat der Funktionentheorie ist, dass holomorphe Funktionen analytisch sind. Das bedeutet, dass sie in jedem Punkt ihres (offenen) Definitionsbereichs in eine Potenzreihe entwickelt werden können, die in einer offenen Kreisscheibe konvergiert und dort die Funktion darstellt. Präziser gilt der Cauchysche Entwicklungssatz: Ist $c\in U$ mit offenem $U$, $B_{r}(c)$ die größte Kreisscheibe um $c$ in $U$ und $f\colon U\to \mathbb {C}$ holomorph, so ist $f$ um $c$ in eine Taylorreihe $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}$ entwickelbar, die in $B_{r}(c)$ auf kompakten Teilmengen absolut und gleichmäßig konvergiert. Die Koeffizienten sind gegeben durch
    $a_{n}={\frac {f^{(n)}(c)}{n!}}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial B_{d}(c)}{\frac {f(w)}{(w-c)^{n+1}}}\mathrm {d} w$, wobei $0<d<r.$
Dabei wird der Integrationsweg in mathematisch positiver Richtung einfach durchlaufen. Bemerkenswert ist die Tatsache, dass für den Beweis des Entwicklungssatzes lediglich die Reihenentwicklungen der Funktionen $z\mapsto (z-c)^{-k-1}$ benötigt werden (siehe auch geometrische Reihe), sowie Vertauschbarkeit von Summation und Integration. Für den Fall $k=0$ wurde dies bereits 1831 von Cauchy durchgeführt.
Da jede holomorphe Funktion analytisch ist und umgekehrt, lassen sich Eigenschaften von Potenzreihen direkt auf holomorphe Funktionen übertragen. Dies stellt gleichzeitig den Weierstraßschen Zugang zur Funktionentheorie dar, der die Darstellbarkeit von Funktionen als Potenzreihen zum Ausgangspunkt hat.
Da Potenzreihen beliebig oft komplex differenzierbar sind (und zwar durch gliedweise Differentiation), erhält man insbesondere, dass holomorphe Funktionen beliebig oft differenzierbar und alle ihre Ableitungen wiederum holomorphe Funktionen sind. Hieran erkennt man deutliche Unterschiede zur reellen Differentialrechnung.

### Berechnung des Konvergenzradius

Der Konvergenzradius einer außerhalb ihres Entwicklungspunktes irgendwo konvergenten Potenzreihe $\textstyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}$ ist definiert als die Zahl $R>0$, sodass $f(z)$ für alle $|z-c|<R$ konvergiert und für alle $|z-c|>R$ divergiert. Über das Konvergenzverhalten auf dem Rand der Kreisscheibe kann die Zahl $R$ keine Aussage treffen, es kann sehr unterschiedlich sein. In den folgenden Beispielen haben alle Potenzreihen den Konvergenzradius 1, aber ein unterschiedliches Verhalten am Rand des Konvergenzbereichs:
* Es konvergiert die geometrische Reihe $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{n}$ in keinem Punkt $|z|=1$.
* Es konvergiert die Reihe $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n}}$ in jedem Punkt $|z|=1$ mit $z\not =1$ (siehe harmonische Reihe).
* Es konvergiert die Reihe $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n^{2}}}$ in jedem Punkt $|z|=1$.
Es gilt die Formel von Cauchy-Hadamard
    $R={\frac {1}{\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}}}.$
Nach dem Quotientenkriterium hat man im Falle $a_{n}\not =0$ für fast alle $n\in \mathbb {N}$:
    $\liminf _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|\leq R\leq \limsup _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|.$
Dabei darf der Wert $+\infty$ ebenfalls durch die Limiten angenommen werden. In den Fällen $R=\infty$ bzw. $\infty \leq R$ ist die betroffene Funktion ganz.

### Restgliedabschätzung

Im Falle holomorpher Funktionen kann der Satz von Taylor „effektiv“ gemacht werden. Ist $f$ innerhalb einer offenen Menge, die die Kreisscheibe ${\overline {B_{R}(0)}}$ enthält, holomorph, so gilt für alle $|z|<R$
    $f(z)=\sum _{k=0}^{N-1}{\frac {f^{(k)}(0)}{k!}}z^{k}+{\frac {z^{N}}{2\pi i}}\oint _{\partial B_{R}(0)}{\frac {f(w)}{w^{N}(w-z)}}\mathrm {d} w.$
Damit folgt für $|z|<R$ die Restgliedabschätzung
    $\left|\sum _{k=N}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(0)}{k!}}z^{k}\right|\leq {\frac {|z|^{N}}{2\pi }}\oint _{\partial B_{R}(0)}\left|{\frac {f(w)}{w^{N}(w-z)}}\mathrm {d} w\right|\leq \left({\frac {|z|}{R}}\right)^{N}R\max _{|w|=R}\left|{\frac {f(w)}{w-z}}\right|$.
Ist insbesondere $z$ hinreichend klein, etwa $|z|<{\tfrac {R}{2}}$, so kann dies vereinfacht durch
    $\left|\sum _{k=N}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(0)}{k!}}z^{k}\right|\ll _{R,N}z^{N}\max _{|w|=R}|f(w)|$
ausgedrückt werden, wobei die implizite Konstante von $R$ und $N$, aber nicht von $z$ und $f$ abhängt.

### Konvergenz und Holomorphiebereich
#### Grenzen der Darstellbarkeit

Die Lokalität besagt, dass es nicht sein muss, dass die Potenzreihe die Funktion in ihrem gesamten Definitionsbereich darstellt. Zum Beispiel ist
    $f(z):={\frac {1}{1-z}}=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n},$
mit Entwicklungspunkt 0, aber die Reihe konvergiert nur für Werte $|z|<1$. In der Tat besitzt die Funktion zur Linken eine Singularität in $z=1$ und ist sonst holomorph in $\mathbb {C} \setminus \{1\}$, weshalb der Konvergenzradius der Reihe genau $R=1$ ist. Obwohl also $f(2)=-1$ definiert ist, wird die Reihe die Funktion an der Stelle $z=2$ nicht mehr darstellen. Es ist bei dieser Eigenschaft von Potenzreihen auch stets auf die genaue Funktionsvorschrift zu achten. Nur weil die Reihe für solche Werte $z$ konvergiert, die nahe genug am Entwicklungspunkt liegen, heißt das nicht, dass dort die Funktion noch nach der ursprünglichen (holomorphen) Vorschrift definiert ist. Zum Beispiel stellt für $f\colon B_{1}(0)\cup B_{1}(3)\to \mathbb {C}$ mit
    $f(z)={\begin{cases}e^{z},&\quad z\in B_{1}(0)\\0,&\quad z\in B_{1}(3)\end{cases}}$
die Reihe
    $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}$
die holomorphe Funktion $f$ nur im Bereich $B_{1}(0)$ dar, nicht aber in $z=3$, obwohl sie dort konvergiert. Ein weiteres Beispiel ist $f\colon \mathbb {C} \setminus \mathbb {R} _{\leq 0}\to \mathbb {C}$ mit $f(z):=\mathrm {Log} (z)$. Zwar konvergiert die zugehörige Potenzreihe um $z_{0}=-5+i$ mit Radius $R={\sqrt {26}}$, doch stellt sie die Funktion zum Beispiel an $-5-i$ nicht mehr dar, obwohl $|-5+i-(-5-i)|=2<{\sqrt {26}}$. Hintergrund ist die Festlegung auf den Hauptwert des Logarithmus, der entlang der negativen reellen Achse unstetig verläuft (siehe Bild).

#### Singuläre Punkte

Es wird eine Potenzreihe
    $f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}$
mit Konvergenzradius $0<R<\infty$ betrachtet. Ein Randpunkt $w\in \partial B_{R}(c)$ heißt singulärer Punkt, wenn es keine Umgebung $W$ von $w$ zusammen mit einer holomorphen Funktion ${\widehat {f}}\colon W\to \mathbb {C}$ gibt, sodass $f|_{B_{R}(c)\cap W}={\widehat {f}}|_{B_{R}(c)\cap W}$. Die Menge der singulären Punkte auf $\partial B_{R}(c)$ bezüglich $f$ ist stets abgeschlossen. Ist jeder Punkt in $\partial B_{R}(c)$ bezüglich $f$ ein singulärer Punkt, so entspricht $B_{R}(c)$ dem Holomorphiegebiet von $f$. Außerdem ist die Menge der singulären Punkte auf dem Rand der Konvergenzkreisscheibe niemals leer; es gibt also stets mindestens einen singulären Punkt. Zu beachten ist, dass die Potenzreihe in jedem Punkt am Rand ihres Konvergenzbereichs durchaus konvergieren kann. Lediglich eine holomorphe Fortsetzung ist nicht um jeden Punkt des Randes möglich.

#### Der Lückensatz

Der Lückensatz liefert ein hinreichendes Kriterium dafür, dass die offene Konvergenzkreisscheibe einer Potenzreihe das Holomorphiegebiet der dargestellten holomorphen Funktion ist. Die Potenzreihe
    $f(z)=\sum _{\nu =0}^{\infty }b_{\nu }z^{\lambda _{\nu }}$, wobei $0\leq \lambda _{0}<\lambda _{1}<\cdots ,$
habe den Konvergenzradius $0<R<\infty$. Es gebe eine feste Zahl $\delta >0$, sodass die Lückenbedingung
    $\lambda _{\nu +1}-\lambda _{\nu }\geq \delta \lambda _{\nu }$
für alle $\nu \in \mathbb {N} _{0}$ erfüllt ist. Dann ist $B_{R}(0)$ das Holomorphiegebiet von $f$. Dieser Satz wurde erstmals von Jacques Hadamard im Jahr 1892 gezeigt, wobei der Beweis durch Louis Mordell 1927 stark vereinfacht wurde. Mittlerweile gibt es umfangreiche Literatur und Verallgemeinerungen zum Lückensatz. Bemerkenswerterweise besitzt jede Potenzreihe
    $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$
mit Konvergenzradius $R=1$ die „Fähigkeit“, zu einer holomorphen Funktion mit Holomorphiegebiet $\mathbb {E}$ abgewandelt zu werden. Nach einem von Pierre Fatou vermuteten und von Adolf Hurwitz bewiesenen Satz gibt es stets eine Folge $\varepsilon _{n}\in \{-1,1\}$, sodass
    $z\mapsto \sum _{n=0}^{\infty }\varepsilon _{n}a_{n}z^{n}$
das Holomorphiegebiet $\mathbb {E}$ besitzt.

## Laurent- und Fourier-Reihen
### Satz von der Laurententwicklung

Die Laurent-Reihe verallgemeinert den Begriff der Potenzreihe dahingehend, dass auch negative Exponenten zugelassen werden. Es kann mit dem Cauchyschen Integralsatz für Sterngebiete gezeigt werden, dass sich holomorphe Funktionen auf Ringgebieten in Laurent-Reihen entwickeln lassen. Jede auf einem Ringgebiet
    ${\mathcal {R}}=\{z\in \mathbb {C} \mid 0\leq r<|z|<R\leq \infty \}$
holomorphe Funktion $f$ gestattet eine Zerlegung
    $f(z)=g(z)+h\left({\frac {1}{z}}\right)$,
wobei $g\colon B_{R}(0)\to \mathbb {C}$ und $\textstyle h\colon B_{\frac {1}{r}}(0)\to \mathbb {C}$ holomorphe Funktionen sind. Mit der Forderung $h(0)=0$ wird diese Zerlegung eindeutig. Insbesondere lassen sich holomorphe Funktionen auf Ringgebieten mit Radien $0\leq r<R\leq \infty$ und Zentrum $c$ in Laurent-Reihen entwickeln:
    $f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}.$
Die Reihe konvergiert dabei absolut und lokal gleichmäßig. Eine Berechnung der Koeffizienten ist über die Formel
    $a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial B_{\rho }(c)}{\frac {f(w)}{(w-c)^{n+1}}}\mathrm {d} w,\qquad r<\rho <R,$
möglich.

### Komplexe Fourier-Reihen

Ein besonderer Fall tritt auf, wenn eine holomorphe Funktion gleichzeitig eine periodische Funktion ist. Dabei reicht es aus, die Periode 1 zu betrachten. Ist $f$ auf dem offenen Streifen
    $D=\{z\in \mathbb {C} \mid a<\operatorname {Im} (z)<b\},$
holomorph und 1-periodisch, gilt also stets $f(z+1)=f(z)$, so besitzt $f$ eine Fourier-Entwicklung
    $f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{2\pi izn}.$
Dies ist auf ganz $D$ absolut und lokal gleichmäßig konvergent. Eine Berechnung der Koeffizienten ist für jedes $a<y<b$ durch
    $a_{n}=\int _{0}^{1}f(x+iy)e^{-2\pi in(x+iy)}\mathrm {d} x$
möglich. Entscheidend für die Herleitung der Existenz einer Fourier-Reihe auf horizontalen Streifen ist das Abbildungsverhalten der komplexen Exponentialfunktion $z\mapsto e^{2\pi iz}$ sowie die Existenz der Laurent-Reihe. Die Entwicklung in Fourier-Reihen spielt eine große Rolle in der Theorie der Modulformen.

## Beispiele

Beispiele für holomorphe Funktionen sind Polynome, da diese aus einfachen algebraischen Operationen (Addition und Multiplikation) gewonnen werden. Zum Beispiel ist für die Funktion $f(z)=z^{2}$ der Differentialquotient
    $\lim _{h\to 0}{\frac {f(z+h)-f(z)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {(z+h)^{2}-z^{2}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {2zh+h^{2}}{h}}=\lim _{h\to 0}(2z+h)=2z=f'(z).$
Es sind diesem Prinzip folgend alle Polynome holomorphe Funktionen. Es stellt sich jedoch die Frage, ob es darüber hinaus noch holomorphe Funktionen gibt und wie diese aussehen. Viele im Reellen differenzierbare Funktionen, wie (außer an der Stelle 0) die Betragsfunktion, sind nicht holomorph. Zum Beispiel gilt
    $\lim _{h\to 0 \atop h\in \mathbb {R} }{\frac {|1+h|-1}{h}}\not =\lim _{h\to 0 \atop h\in \mathbb {R} }{\frac {|1+ih|-1}{ih}},$
da die rechte Seite, falls existent, keine reelle Zahl ist, die linke jedoch schon.
Jede Polynomfunktion $p(z)=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0}$ ist eine in ganz $\mathbb {C}$ holomorphe Funktion. Die Polynomfunktionen sind gerade die Potenzreihen, deren Koeffizienten fast alle verschwinden. Als solche sind sie auch die einzigen ganzen Funktionen, die, falls nicht konstant, im unendlich fernen Punkt eine Polstelle und keine wesentliche Singularität besitzen.

### Exponentialfunktion

Die zunächst über den reellen Zahlen definierte natürliche Exponentialfunktion $x\mapsto e^{x}$ besitzt eine holomorphe Fortsetzung auf ganz $\mathbb {C}$. Dort kann sie, wie auch im Reellen, über ihre Potenzreihe definiert werden:
    $e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}=1+z+{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{6}}+\cdots .$
Sie erfüllt für alle $z,w\in \mathbb {C}$ die Funktionalgleichung $e^{z+w}=e^{z}e^{w}$ und es gilt $(e^{z})'=e^{z}$, sie ist also gleich ihrer eigenen Ableitung.
Erst über den komplexen Zahlen wird die enge Beziehung zwischen der Exponentialfunktion und den trigonometrischen Funktionen sichtbar. Diese kann mittels der Potenzreihenentwicklungen und einem Vergleich der Koeffizienten hergeleitet werden und zieht wichtige Konsequenzen für die Geometrie der komplexen Zahlen und ganz allgemein in der Mathematik nach sich. Die erstmals von Leonhard Euler gefundene Beziehung, auch Eulersche Formel genannt, lautet
    $e^{iw}=\cos(w)+i\sin(w),$
wobei $w$ in vielen Anwendungen eine reelle Zahl ist, jedoch auch beliebige komplexe Werte annehmen darf. Daraus folgt insbesondere, dass sie als Funktion $2\pi i$-periodisch ist. Es gilt also für alle $z\in \mathbb {C}$
    $e^{z+2\pi i}=e^{z}$.

### Logarithmus

Die komplexe Exponentialfunktion $z\mapsto \exp(z)$ ist global betrachtet nicht injektiv, weshalb sie als ganze Funktion nicht umkehrbar ist. Jedoch kann bei Einschränkung auf den Bereich $-\pi <\operatorname {Im} (z)\leq \pi$ die Injektivität wieder hergestellt werden. Da dieser Bereich nicht offen ist, so ist etwa $z=\pi i$ kein innerer Punkt, ist es zweckmäßig, auf den offenen Streifen
    $S:=\{z\in \mathbb {C} \mid -\pi <\operatorname {Im} (z)<\pi \}$
überzugehen. Es gilt dann
    $\exp(S)=\mathbb {C} \setminus \mathbb {R} _{\leq 0}=:\mathbb {C} _{-},$
das Bild der Einschränkung entspricht also genau der komplexen Ebene mit Ausnahme der nicht positiven reellen Zahlen. Als bijektive holomorphe Funktion zwischen zwei offenen Mengen ist die Umkehrfunktion, die als Hauptzweig des Logarithmus bekannt ist, wieder holomorph. Diese wird als $\mathrm {Log} \colon \mathbb {C} _{-}\rightarrow S$ geschrieben, und es gilt $\exp(\mathrm {Log} (z))=z$ im gesamten Bereich $\mathbb {C} _{-}$. Der Begriff Hauptzweig motiviert sich daraus, dass die Wahl des Streifens $S$ naheliegend, aber keinesfalls eindeutig ist. Es hätte etwa auch der Streifen $\pi <\operatorname {Im} (z)<3\pi$ gewählt werden können – dies liegt in der $2\pi i$-Periodizität der komplexen Exponentialfunktion begründet. Der komplexe Logarithmus ist wegen der Eulerschen Formel verwandt zum Hauptzweig des Arguments $\mathrm {Arg} (z)$ über die Relation
    $\mathrm {Log} (z)=\log |z|+i\mathrm {Arg} (z)$.
Dabei bezeichnet $\log(x)$ den reellen natürlichen Logarithmus. Daraus folgt insbesondere für reelle Zahlen $a<0$
    $\lim _{z\to a \atop \operatorname {sgn}(\operatorname {Im} (z))=\pm 1}\mathrm {Log} (z)=\log |a|\pm \pi i,$
und die Signumfunktion $\operatorname {sgn}(x)$ deutet an, ob sich der Limes von oben oder unten nähert. Es gilt in ganz $\mathbb {C} _{-}$ die Ableitungsformel
    $\mathrm {Log} '(z)={\frac {1}{z}}.$

### Trigonometrische und hyperbolische Funktionen

Als Kompositionen aus Exponentialfunktionen sind Sinus und Kosinus bzw. Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus ganze Funktionen. Exemplarisch gilt
    $\sin(z)={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}$
und dies ist eine ganze Funktion. Im Gegensatz dazu sind die Funktionen Tangens und Kotangens bzw. Tangens hyperbolicus und Kotangens hyperbolicus keine ganzen Funktionen, jedoch in ganz $\mathbb {C}$ meromorph, also holomorph bis auf eine diskrete Menge von Polstellen. Zum Beispiel hat der Tangens hyperbolicus im Komplexen die Polstellenmenge $\{{\tfrac {2k+1}{2}}\pi i\mid k\in \mathbb {Z} \}$.

### Arkus- und Areafunktionen

Die Arkusfunktionen lassen sich, betrachtet um den Punkt $z=0$, holomorph in die Einheitskreisscheibe fortsetzen. Man definiert etwa
    $\arcsin(z):=\int _{0}^{z}{\frac {\mathrm {d} w}{\sqrt {1-w^{2}}}},\qquad |z|<1.$
Der Integrand ist eine in der offenen Einheitskreisscheibe holomorphe Funktion, weshalb das Integral erneut eine holomorphe Funktion darstellt.

### Beliebige Potenzfunktionen

Über den komplexen Logarithmus lassen sich beliebige Potenzfunktionen auch im Komplexen verstehen. Diese stellen im Allgemeinen jedoch keine ganzen Funktionen dar.
Ist $s\in \mathbb {C}$ beliebig, so definiert man für $z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$
    $z^{s}:=e^{s\operatorname {Log} (z)}.$
Dies stellt als Verkettung holomorpher Funktionen eine auf dem Elementargebiet $\mathbb {C} \setminus \mathbb {R} _{\leq 0}$ holomorphe Funktion dar. In manchen Anwendungen ist es jedoch von Vorteil, die Unstetigkeitsgerade als die positive reelle Achse zu wählen. Dann setzt man alternativ
    $z^{s}=e^{s(\pi i+\operatorname {Log} (-z))}.$

### Nirgends komplex differenzierbare Funktionen

In keinem $z\in \mathbb {C}$ komplex differenzierbar und damit auch nirgendwo holomorph sind beispielsweise
* die Betragsfunktion $z\mapsto |z|$,
* die Projektionen auf den Realteil $z\mapsto \operatorname {Re} (z)$ beziehungsweise auf den Imaginärteil $z\mapsto \operatorname {Im} (z)$,
* die komplexe Konjugation $z\mapsto {\overline {z}}$.
Die Funktion $z\mapsto |z|^{2}$ ist nur an der Stelle $z=0$ komplex differenzierbar, aber dort nicht holomorph, da sie nicht in einer ganzen Umgebung von $0$ komplex differenzierbar ist.

## Charakterisierungen des Holomorphiebegriffs

Ist $U\subseteq \mathbb {C}$ offen, so sind folgende Eigenschaften komplexer Funktionen $f\colon U\to \mathbb {C}$ gleichwertig:
* Die Funktion ist in ganz $U$ einmal komplex differenzierbar.
* Die Funktion ist in ganz $U$ beliebig oft komplex differenzierbar.
* Real- und Imaginärteil erfüllen die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen und sind zumindest einmal stetig reell differenzierbar.
* Die Funktion lässt sich überall in $U$ lokal in eine komplexe Potenzreihe entwickeln.
* Die Funktion ist stetig und das Wegintegral der Funktion über einen beliebigen geschlossenen zusammenziehbaren Weg verschwindet.
* Die Funktion besitzt lokal eine Stammfunktion, d. h., für jedes $a\in U$ gibt es eine Umgebung $U(a)\subset U$, sodass $f|_{U(a)}$ eine Stammfunktion besitzt.
* Die Funktionswerte im Inneren einer Kreisscheibe, deren Abschluss in $U$ liegt, lassen sich aus den Funktionswerten am Rand mit Hilfe der Cauchyschen Integralformel ermitteln.
* Die Funktion $f$ ist reell differenzierbar und es gilt
       $\quad {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=0,$
       wobei ${\tfrac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}$ der Cauchy-Riemann-Operator ist, der durch ${\tfrac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}:={\tfrac {1}{2}}\left({\tfrac {\partial }{\partial x}}+i{\tfrac {\partial }{\partial y}}\right)$ definiert ist.

## Nullstellen

Im Gegensatz zu beliebigen reell differenzierbaren Funktionen haben holomorphe Funktionen ein sehr kontrolliertes Nullstellenverhalten. Hintergrund ist der sog. Identitätssatz für holomorphe Funktionen, der sicherstellt, dass eine auf einem Gebiet $D$ nicht konstante holomorphe Funktion in dessen Innerem keine Werte häufen kann. Insbesondere gilt: Ist $a\in \mathbb {C}$ und $f\colon D\to \mathbb {C}$ holomorph und nicht konstant, so ist jede der Fasern genannten Urbilder
    $f^{-1}(\{a\}):=\{z\in D\mid f(z)=a\}$
lokal endlich in $D$, und es folgt, dass $f$ nur höchstens abzählbar viele sog. $a$-Stellen besitzt. Von besonderem Interesse ist $a=0$, also gerade die Nullstellen von $f$.

### Satz von Rouché

Es seien $f,g$ holomorphe Funktionen auf einem Elementargebiet $D$ und $\gamma$ eine stückweise glatte geschlossene Kurve in $D$, sodass diese jeden Punkt in deren Innerem genau einmal positiv umläuft. Es gelte $|g(z)|<|f(z)|$ für alle $z\in \gamma ([0,1])$. Dann haben die Funktionen $f$ und $f+g$ keine Nullstellen auf $\gamma ([0,1])$ und, mit Vielfachheit gerechnet, gleich viele Nullstellen im Innern der Kurve.
Der Satz von Rouché kann auch auf meromorphe Funktionen ausgeweitet werden.

### Jensensche Formel

Die Jensensche Formel stellt einen Zusammenhang zwischen dem Wachstum einer holomorphen Funktion auf Kreisrändern und deren Nullstellenverteilung her. Ist $f\not =0$ eine auf einem Gebiet $D$ holomorphe Funktion, sodass $D$ die Kreisscheibe ${\overline {B_{r}(0)}}$ enthält, und sind $z_{1},z_{2},\dots ,z_{n}$ die Nullstellen von $f$ in $B_{r}(0)$ (bei Vielfachheit mehrfach wiederholt), so gilt mit $f(0)\not =0$ bereits
    $\log |f(0)|=-\sum _{k=1}^{n}\log \left({\frac {r}{|z_{k}|}}\right)+{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |f(re^{i\theta })|\mathrm {d} \theta .$
Eine Verallgemeinerung stellt die Poisson-Jensen-Formel dar, die unter obigen Voraussetzungen für jedes $|z|<r$ mit $f(z)\not =0$ anwendbar ist:
    $\log |f(z)|=-\sum _{k=1}^{n}\log \left|{\frac {r^{2}-{\overline {z_{k}}}z}{r(z-z_{k})}}\right|+{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\operatorname {Re} \left({\frac {re^{i\theta }+z}{re^{i\theta }-z}}\right)\log |f(re^{i\theta })|\mathrm {d} \theta .$
Sie spielt eine wichtige Rolle beim Beweis des Produktsatzes von Hadamard für holomorphe Funktionen, zum Beispiel im Umfeld von L-Funktionen.

## Singularitäten

Holomorphie einer Funktion auf einer offenen Menge ist eine starke Eigenschaft und zieht viele Konsequenzen hinsichtlich Integrationstheorie oder Abbildungseigenschaften nach sich. So strahlt die Analytizität in einem Punkt stets auf umliegende Punkte aus. Es kann die Frage gestellt werden, was ausgehend von einem bestimmten Punkt $a\in U$ einer offenen Menge über das Verhalten einer holomorphen Funktion $f\colon U\setminus \{a\}\rightarrow \mathbb {C}$ ausgesagt werden kann. Dabei befindet sich $a$ im Innern von $U$ und liegt damit isoliert in einer lückenlosen Menge von Punkten, auf denen $f$ ein aus analytischer Sicht sehr starkes Verhalten hat. Man bezeichnet ein solches $a$ auch als isolierte Singularität.
Es ist ein wichtiges Resultat, dass die holomorphe Funktion $f\colon U\setminus \{a\}\rightarrow \mathbb {C}$ „um $a$ herum“ nur drei verschiedene Arten von Verhalten aufweisen kann. Exemplarisch sind die Funktionen
    $z\mapsto {\frac {\sin(z)}{z}}$, $z\mapsto {\frac {1}{z}}$ und $z\mapsto \exp \left({\frac {1}{z}}\right)$
allesamt holomorph in $\mathbb {C} \setminus \{0\}$, weisen aber um den Nullpunkt herum ein sehr unterschiedliches Verhalten auf.
Der Typ einer Singularität lässt sich eindeutig aus den Koeffizienten der in ihr entwickelten Laurent-Reihe der Funktion $f$ ablesen.

### Hebbare Singularität

Eine hebbare Singularität in einem Punkt $a\in U$ liegt vor, wenn die holomorphe Funktion $f\colon U\setminus \{a\}\to \mathbb {C}$ um $a$ herum beschränkt ist, also „ganz normales“ Verhalten aufweist. Es ist also $|f(z)|\leq M$ für alle $z$ in einer hinreichend kleinen punktierten Umgebung von $a$ in $U$. Nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz kann $f$ in einem solchen Fall immer stetig, ja sogar holomorph, auf ganz $U$ fortgesetzt werden. Es gibt also eine holomorphe Funktion ${\widehat {f}}\colon U\rightarrow \mathbb {C}$, die auf ganz $U\setminus \{a\}$ mit $f$ übereinstimmt.
Beispiele für Funktionen mit hebbaren Singularitäten sind
    $f(z)={\frac {z^{2}-1}{z-1}}$ an der Stelle $a=1$, holomorphe Fortsetzung ist ${\widehat {f}}(z)=z+1$,
oder auch
    $f(z)={\frac {\sin(z)}{z}}$ an der Stelle $a=0$, holomorphe Fortsetzung ist der Kardinalsinus, mit der Potenzreihenentwicklung $1-{\tfrac {z^{2}}{6}}+{\tfrac {z^{4}}{120}}-\cdots$.

### Polstelle

Eine holomorphe Funktion $f\colon U\setminus \{a\}\rightarrow \mathbb {C}$ hat eine Polstelle der Ordnung $m\in \mathbb {N}$ in $a$, falls sie in einer Umgebung von $a$ als Quotient
    $f(z)={\frac {h(z)}{(z-a)^{m}}}$
mit einem holomorphen $h$ mit $h(a)\not =0$ geschrieben werden kann. Eine Polstelle beliebiger Ordnung lässt sich zudem durch das lokale Abbildungsverhalten von $f$ charakterisieren. Es hat $f$ genau dann einen Pol in $a$, falls gilt
    $\lim _{z\to a}|f(z)|=\infty$.
Das Merkmal einer Polstelle ist also, dass sich die Punkte in einer Umgebung nicht chaotisch verhalten, sondern in einem gewissen Sinne gleichmäßig gegen Unendlich streben.
Ist $a$ eine Polstelle der Ordnung $m$ von $f(z)$, so hat die Laurent-Entwicklung von $f$ um diese notwendigerweise die Gestalt
    $f(z)={\frac {a_{-m}}{(z-a)^{m}}}+{\frac {a_{-m+1}}{(z-a)^{m-1}}}+\cdots =\sum _{n=-m}^{\infty }a_{n}(z-a)^{n},\qquad a_{-m}\not =0.$
Eine solche Entwicklung ist gleichzeitig hinreichend für die Existenz eines Pols der Ordnung $m$.
Beispielsweise hat die auf $\mathbb {C} \setminus \{0\}$ holomorphe Funktion $f(z)={\tfrac {e^{z}}{z^{4}}}$ einen Pol vierter Ordnung in $z=0$.

### Wesentliche Singularität

Eine Singularität wird als wesentlich bezeichnet, wenn sie weder hebbar noch Polstelle ist. Sie lässt sich über den Satz von Casorati-Weierstraß charakterisieren, der besagt, dass eine holomorphe Funktion in jeder punktierten Umgebung einer wesentlichen Singularität jeder beliebigen komplexen Zahl beliebig nahe kommt. Zu jeder punktierten Umgebung $V\setminus \{a\}$ im Definitionsbereich von $f$ und zu jedem $\varepsilon >0$ gibt es also für alle $v\in \mathbb {C}$ ein $w\in V\setminus \{a\}$ mit $|f(w)-v|<\varepsilon$.
Alternativ lässt sich eine wesentliche Singularität $a$ an den Koeffizienten der Laurent-Reihe ablesen. Genau dann wenn $f$ um $a$ die Laurent-Reihe
    $f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-a)^{n}$
mit $a_{n}\not =0$ für unendlich viele $n<0$ besitzt, ist $a$ eine wesentliche Singularität.

### Meromorphe Funktionen

Formal wird das Symbol $\infty :={\tfrac {1}{0}}$ definiert. Eine Abbildung $f\colon D\to \mathbb {C} \cup \{\infty \}$ heißt meromorphe Funktion, falls die Menge $S(f):=f^{-1}(\{\infty \})$ diskret in $D$ liegt, die Einschränkung $f_{0}\colon D\setminus S(f)\to \mathbb {C}$ holomorph ist und jeder der Punkte aus $S(f)$ eine Polstelle von $f$ ist.
Nimmt man also die isolierten Polstellen einer holomorphen Funktion „mit in den Definitionsbereich auf“, so spricht man allgemein auch von einer meromorphen Funktion. Der Zusammenschluss aller auf einem Gebiet meromorpher Funktionen bildet einen Körper. Dabei werden Polstellen als Kehrwerte von Nullstellen aufgefasst, wobei der Wert Unendlich mittels der stereographischen Projektion auf die Riemannsche Zahlenkugel als „Nordpol“ interpretiert werden kann.
In einigen Anwendungen ist die Voraussetzung der Holomorphie zu restriktiv. Zum Beispiel sind alle holomorphen elliptischen Funktionen zu einem beliebigen Gitter bereits konstant. Erst beim Übergang zu auf ganz $\mathbb {C}$ meromorphen elliptischen Funktionen erhält man nichttriviale Beispiele, wie etwa die Weierstraßschen p-Funktionen. Auch einige andere sehr wichtige Funktionen, wie die Riemannsche Zetafunktion und die Gammafunktion, sind auf $\mathbb {C}$ nicht holomoroph, sondern lediglich meromorph.
Für meromorphe Funktionen $0\not \equiv f\colon D\to {\overline {\mathbb {C} }}$ auf einem Gebiet $D$, also solche mit nur außerwesentlichen Singularitäten, können zudem Ordnungen in jedem Punkt des Definitionsbereichs angegeben werden. Es existiert stets eine kleinste ganze Zahl, so dass $g(z):=(z-a)^{k}f(z)$ hebbar in $a$ ist. Die Ordnung von $f$ in $a\in D$ ist dann definiert durch
    $\mathrm {ord} (f;a):=-k.$
Hat zum Beispiel $f$ eine dreifache Nullstelle in $a=1$, zum Beispiel bei $f(z)={\tfrac {z(z-1)^{3}}{(z+i)^{5}}}$, so entspricht dies der Ordnung 3 in $a=1$. Negative Ordnungen entstehen durch Polstellen. Zum Beispiel gilt mit dem eben gegebenen Beispiel auch
    $\mathrm {ord} (f;-i)=-5.$
Zu beachten ist dabei, dass keine Verwirrung mit der ebenfalls korrekten Bezeichnung „Pol fünfter Ordnung“ entsteht (hat eine Funktion also die Ordnung $m<0$ in $a$, handelt es sich um einen Pol $|m|$-ter Ordnung in $a$). Im Körper der meromorphen Funktionen ${\mathcal {M}}(D)$ gelten dann für alle $f,g\in {\mathcal {M}}(D)^{\times }$ die Rechenregeln
    ${\begin{aligned}\mathrm {ord} (f+g;a)&\geq \min\{\mathrm {ord} (f;a),\mathrm {ord} (g;a)\},\\\mathrm {ord} (fg;a)&=\mathrm {ord} (f;a)+\mathrm {ord} (g;a),\\\mathrm {ord} \left({\frac {f}{g}};a\right)&=\mathrm {ord} (f;a)-\mathrm {ord} (g;a).\end{aligned}}$
Für die konstante Nullfunktion wird gelegentlich formal
    $\mathrm {ord} (0;a):=\infty$
gesetzt.

## Residuenkalkül
### Das Residuum

Ist die Funktion $f$ auf einer punktierten Kreisscheibe ${\dot {U}}_{\delta }(c)$ holomorph, so kann sie um $c$ in eine Laurent-Reihe
    $f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}$
entwickelt werden. Das Residuum bezieht sich auf den Term in dieser Reihe, der keine Stammfunktion auf ${\dot {U}}_{\delta }(c)$ besitzt, nämlich ${\tfrac {a_{-1}}{z-c}}.$ Es definiert jedoch nicht diesen Term, sondern lediglich den zugehörigen Koeffizienten, man schreibt
    $\mathrm {Res} (f;c):=a_{-1}.$
Das Residuum ist ein Funktional, d. h. eine lineare Abbildung vom Raum der holomorphen Funktionen in die komplexen Zahlen.

### Residuensatz

Der Residuensatz gehört zu den zentralen Sätzen der Funktionentheorie. Er besagt, dass das geschlossene Kurvenintegral einer holomorphen Funktion in einem Elementargebiet ohne eine diskrete Menge an Singularitäten nur von den isolierten Singularitäten des Integranden und den Windungszahlen der Integrationskurve abhängt. Damit wird durch ihn die Integralformel von Cauchy verallgemeinert. Da in vielen Fällen die Behandlung der isolierten Singularitäten unkompliziert ist, kann er zu einer schnellen Berechnung von Integralen beitragen, selbst wenn keine Stammfunktion gefunden werden kann.
Präzise besagt der Residuensatz, dass, falls $D$ ein Elementargebiet ist, $\{a_{1},\dots ,a_{n}\}\subset D$ eine $n$-elementige Teilmenge, $f\colon D\setminus \{a_{1},\dots ,a_{n}\}\to \mathbb {C}$ holomorph, und $\gamma \colon [0,1]\to D\setminus \{a_{1},\dots ,a_{n}\}$ eine stückweise glatte, geschlossene Kurve, dann gilt die Residuenformel
    ${\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }f(z)\mathrm {d} z=\sum _{j=1}^{n}\chi (\gamma ;a_{j})\operatorname {Res} (f;a_{j}),$
wobei $\chi (\gamma ;a_{j})$ die Umlaufzahl von $\gamma$ rund um $a_{j}$ bezeichnet. Der Wert des Integrals hängt also nur von den Residuen der Funktion $f$ und deren Umlaufzahl ab.

### Bedeutung

Der Residuensatz zieht einige wichtige Folgerungen für die Funktionentheorie nach sich. Es werden ein paar in der Literatur übliche Anwendungen angeführt.

#### Null- und Polstellen zählendes Integral

Ist $f$ eine auf einem Elementargebiet $D$ meromorphe Funktion und umschließt die stückweise glatte geschlossene Kurve $\gamma$ alle Null- und Polstellen von $f$ genau einmal in mathematisch positiver Richtung, so gilt für die Anzahl von Null- und Polstellen $N(0)$ bzw. $N(\infty )$ die exakte Formel
    ${\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f'(z)}{f(z)}}\mathrm {d} z=N(0)-N(\infty ).$

#### Explizite Berechnung von Integralen

Der Residuensatz kann in manchen Fällen zur Berechnung von Integralen, zum Beispiel über rationale Funktionen, dienen. Ein Beispiel ist die für ganze Zahlen $0\leq k<n$ gültige Formel
    $\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {t^{2k}}{1+t^{2n}}}\mathrm {d} t={\frac {\pi }{n\sin \left({\frac {(2k+1)\pi }{2n}}\right)}}.$
Auch kann er zur Berechnung der Partialbruchzerlegung des Kotangens, zur Lösung des Basler Problems und zum Beweis der Formel
    $\int _{-\infty }^{\infty }e^{-t^{2}}\mathrm {d} t={\sqrt {\pi }}$
herangezogen werden. Auch die explizite Berechnung Fresnelscher Integrale ist mit dem Residuensatz möglich.

## Abbildungseigenschaften
### Identitätssatz

Es zeigt sich, dass eine holomorphe Funktion schon durch sehr wenig Information eindeutig bestimmt ist. So genügt es bereits, dass zwei auf einem Gebiet $D$ holomorphe Funktionen $f$ und $g$ auf einer Teilmenge übereinstimmen, die einen Häufungspunkt in $D$ hat, um global $f=g$ zu folgern. Dabei ist ein $z\in D$ Häufungspunkt der Teilmenge $M\subset D$, falls in jeder noch so kleinen offenen Umgebung von $z$ unendlich viele Elemente von $M$ liegen. Betont sei an dieser Stelle die Bedingung, dass sich der Häufungspunkt innerhalb des Gebietes befinden muss. Wird dies nicht gefordert, ist die obere Aussage im Allgemeinen falsch.
Präziser lässt sich zeigen, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
* $f=g$.
* Die Koinzidenzmenge $\{z\in D\mid f(z)=g(z)\}$ hat einen Häufungspunkt in $D$.
* Es gibt einen Punkt $z_{0}\in D$, sodass für alle ganzen Zahlen $n\geq 0$ die Gleichheit $f^{(n)}(z_{0})=g^{(n)}(z_{0})$ gilt.
Beim Identitätssatz ist die Bedingung an $D$, ein Gebiet zu sein, wichtig, da Holomorphie eine lokale Eigenschaft ist. Zum Beispiel stimmen die beiden holomorphen Funktionen
    $f(z)={\begin{cases}0,&\quad z\in B_{1}(0)\\1,&\quad z\in B_{1}(42)\end{cases}}$
und
    $g(z)={\begin{cases}0,&\quad z\in B_{1}(0)\\2,&\quad z\in B_{1}(42)\end{cases}}$
sogar auf ganz $B_{1}(0)$ überein, sind jedoch global betrachtet nicht gleich, da $f(42)\not =g(42)$. Es ist $D=B_{1}(0)\cup B_{1}(42)$ kein Gebiet, da es als disjunkte Vereinigung nicht leerer offener Mengen geschrieben werden kann. Ebenfalls wichtig ist, dass der Häufungspunkt ein Teil des Gebietes ist. So ist etwa die Funktion $z\mapsto \sin \left({\tfrac {\pi }{z}}\right)$ holomorph in $\mathbb {C} \setminus \{0\}$ und nimmt den Wert 0 für alle $z=1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\dots ,{\tfrac {1}{n}},\dots$ an, stimmt aber nicht mit der Nullfunktion überein. Es ist zu beachten, dass der Häufungspunkt 0 der Folge $n\mapsto {\tfrac {1}{n}}$ nicht Teil von $\mathbb {C} \setminus \{0\}$ ist. Wird jedoch $f(z_{j})=g(z_{j})$ für eine überabzählbare Familie paarweise verschiedener Punkte $z_{j}\in D$ gefordert, kann die Bedingung eines Häufungspunktes in $D$ weggelassen werden (da sie sich automatisch ergibt).

### Satz von der Gebietstreue

Einfach gesprochen sagt der Satz von der Gebietstreue, dass eine auf einem Gebiet definierte, nicht konstante holomorphe Funktion offene Mengen in offene Mengen, also insbesondere Gebiete in Gebiete, überführt.
Ist $D\subseteq \mathbb {C}$ ein Gebiet und $f\colon D\rightarrow \mathbb {C}$ holomorph und nicht konstant, so ist $f(D)\subseteq \mathbb {C}$ wieder ein Gebiet. Damit ist $f$ eine offene Abbildung. Dieses Offenheitsprinzip ist für stetige Funktionen, bei denen lediglich Urbilder offener Mengen offen sein müssen, im Allgemeinen nicht richtig. Es scheitert beispielsweise bereits bei differenzierbaren Funktionen in den reellen Zahlen, wo der Sinus den nicht offenen Wertevorrat $\sin(\mathbb {R} )=[-1,1]$ besitzt.
Beim Beweis des Satzes von der Gebietstreue geht als wichtiger Zwischenschritt das lokale Abbildungsverhalten nichtkonstanter holomorpher Funktionen ein, siehe unten. Im Reellen scheitert die Aussage, dass $z\mapsto z^{n}$ eine Umgebung von 0 auf eine Umgebung von 0 abbildet, zum Beispiel ist hier stets $x^{2}\geq 0$.
Als einfache Folgerungen des Satzes der Gebietstreue ergibt sich, dass eine auf einem Gebiet holomorphe Funktion $f$, für die entweder $z\mapsto \operatorname {Re} (f(z))$, $z\mapsto \operatorname {Im} (f(z))$ oder $z\mapsto |f(z)|$ konstant ist, bereits konstant sein muss.
Es existiert auch eine quantitative Version des Satzes der Gebietstreue.

### Lokales Abbildungsverhalten

Jede nichtkonstante holomorphe Funktion $f$ verhält sich im Wesentlichen wie eine Potenz. Genauer gesagt gilt: Ist $f$ nichtkonstant und holomorph in einem Gebiet um 0 und gilt $f(0)=0$, so existiert eine natürliche Zahl $n$, eine kleine Umgebung $U$ um die 0, eine biholomorphe Abbildung $\varphi \colon U\to V$ mit $\varphi (0)=0$, sodass
    $f(z)=\varphi (z)^{n}$
für alle $z\in U$. Insbesondere folgt nach dem Variablenwechsel $z=\varphi ^{-1}(w)$ die Identität
    $f(\varphi ^{-1}(w))=w^{n}$
für alle $w\in V$. Die Zahl $n$ ist dabei eindeutig bestimmt. Insbesondere ist $f$ genau dann lokal biholomorph, wenn $n=1$ gilt.

### Maximumprinzip und verwandte Aussagen
#### Maximum- und Minimumprinzip

Eine Folgerung des Satzes über die Gebietstreue ist das sog. Maximumprinzip. Dieses sagt aus, dass eine auf einem Gebiet $D$ holomorphe Funktion $f$, die im Innern von $D$ ein lokales Maximum bei $z$ annimmt, bereits konstant sein muss. Existiert zu $z\in D$ also eine offene Umgebung $U$, sodass $|f(a)|\leq |f(z)|$ für alle $a\in U$, so ist $f$ konstant. Dieses Prinzip kann auch anders formuliert werden: Jede nichtkonstante holomorphe Funktion auf einem beschränkten Gebiet $D$ mit stetiger Fortsetzung auf den Rand $\partial D$ nimmt auf diesem ihr Maximum an. Dabei ist die Beschränktheit des Gebietes von zentraler Bedeutung. Ist $D$ nämlich unbeschränkt, so ist die Aussage in dieser Form nicht mehr gültig. Betrachtet man beispielsweise die Funktion $g(z)=e^{e^{z}}$, so gilt
    $\left|e^{e^{z}}\right|=e^{\operatorname {Re} (e^{x+iy})}=e^{e^{x}\cdot \cos(y)},$
wobei $z=x+iy$. Damit stellt man fest, dass $g(z)$ zwar auf dem Rand des Streifens $\{z\in \mathbb {C} \mid -{\tfrac {\pi }{2}}<\operatorname {Im} (z)<{\tfrac {\pi }{2}}\}$ beschränkt ist, jedoch in dessen Innerem für $\operatorname {Re} (z)\to \infty$ über alle Grenzen hinauswächst. Als Beweis des Maximumsprinzips reicht die Erkenntnis, dass nach dem Satz der Gebietstreue jeder Punkt $f(z)$ in $f(D)$ ein innerer Punkt ist, womit es in seiner Umgebung aber stets Punkte gibt, deren Betrag größer als $|f(z)|$ ist.
Verwandt zum Maximumsprinzip ist das Minimumprinzip. Ist $f$ wie oben nicht konstant und hat es ein Betragsminimum $z$ in $D$, so muss $z$ notwendigerweise eine Nullstelle von $f$ sein.

#### Satz von Phragmén-Lindelöf

Der Satz von Phragmén-Lindelöf, von Lars Phragmén und Ernst Lindelöf im Jahr 1908 publiziert, kann als eine Erweiterung des Maximumprinzips angesehen werden. Er gibt nun ein Kriterium, mit dessen Hilfe Beschränktheit der Funktion innerhalb ihres unbeschränkten Definitionsgebiets gefolgert werden kann. Sei $D$ ein Elementargebiet und $f\colon D\rightarrow \mathbb {C}$ holomorph. Es gebe eine holomorphe Funktion $\varphi \colon D\rightarrow \mathbb {C}$, die keine Nullstellen hat und zudem beschränkt ist. Der Rand, einschließlich eines unendlich fernen Punktes $\infty$, zerfalle in Teile $\partial _{\infty }D=A\cup B$, sodass für eine Konstante $M>0$ gilt:
* Für jedes $a\in A$ ist $\limsup _{z\to a}|f(z)|\leq M$.
* Für jedes $b\in B$ und ein festes $\mu >0$ gilt $\limsup _{z\to b}|f(z)||\varphi (z)|^{\mu }\leq M$.
Dann gilt bereits $|f(z)|\leq M$ für alle $z\in D$. Das Symbol $\limsup$ bezeichnet den Limes superior.
Eine andere Variante des Satzes besagt: Sei $f$ stetig auf dem Streifen $-{\tfrac {\pi }{2}}\leq \operatorname {Re} (z)\leq {\tfrac {\pi }{2}}$ und holomorph in dessen Innerem. Es gelte $|f(z)|\leq 1$ für alle Randwerte $z$, also mit $\operatorname {Re} (z)={\tfrac {\pi }{2}}$ oder $\operatorname {Re} (z)=-{\tfrac {\pi }{2}}$, und es gebe Konstanten $0<\alpha <1$ und $C>0$ mit
    $|f(z)|\leq \exp \left(Ce^{\alpha |z|}\right).$
Dann gilt $|f(z)|\leq 1$ auch im Innern des Streifens. Dass der Satz für $\alpha =1$ nicht mehr stimmt, zeigt das weiter oben angeführte Beispiel $z\mapsto e^{e^{z}}$.
Es existiert eine Variante des Satzes für Kreissektoren. Es sei dafür $f$ holomorph auf dem Kreissektor $S:=\{z\in \mathbb {C} \colon -{\tfrac {\pi }{4}}<\mathrm {Arg} (z)<{\tfrac {\pi }{4}}\}$, mit stetiger Fortsetzung auf ${\overline {S}}$. Ferner gelte $|f(z)|\leq 1$ auf dem Rand von $S$ und es gebe Konstanten $c,C>0$ mit $|f(z)|\leq Ce^{c|z|}$ für alle $z\in S$. Dann gilt bereits $|f(z)|\leq 1$ für alle $z\in S$.
Der Satz von Phragmén-Lindelöf hat Anwendung unter anderem in der Theorie der L-Funktionen. Mit seiner Hilfe kann deren Wachstumsverhalten im sog. kritischen Streifen analysiert werden, etwa im Rahmen des Heckeschen Umkehrsatzes.

#### Hadamardscher Dreikreisesatz

Das Verhalten der Betragsmaxima einer holomorphen Funktion auf Kreislinien innerhalb eines Ringgebiets ist konvex bezüglich der logarithmierten Radien. Ist also $f$ holomorph auf dem abgeschlossenen Ringgebiet $0<\alpha \leq |z|\leq \beta$, mit dem Ursprung als Mittelpunkt, und definiert man
    $M(r):=\sup _{|z|=r}|f(z)|,$
so gilt stets
    $\log \left({\frac {\beta }{\alpha }}\right)\log M(r)\leq \log \left({\frac {\beta }{r}}\right)\log M(\alpha )+\log \left({\frac {r}{\alpha }}\right)\log M(\beta ).$
Diese als Hadamardscher Dreikreisesatz benannte Aussage ist verwandt zu Sätzen über holomorphe Funktionen auf Streifen. Ist $f$ holomorph und beschränkt auf einem Streifen $a\leq \operatorname {Re} (z)\leq b$, so ist die Funktion
    $M(\sigma ):=\sup _{t\in \mathbb {R} }|f(\sigma +it)|$
konvex. Diese Feststellung lässt sich auf den Fall höchstens polynomiell wachsender Funktionen weiter übertragen. Sei $f$ in dieser Situation durch ein Polynom beschränkt, und bezeichne $\psi (\sigma )$ zu jedem $a\leq \sigma \leq b$ die kleinste Zahl mit
    $|f(\sigma +it)|\ll |t|^{\psi (\sigma )+\varepsilon }$
für alle $\varepsilon >0$. Dann ist $\psi (\sigma )$ eine konvexe und insbesondere stetige Funktion auf $[a,b]$, sofern $f$ endliche Ordnung auf dem Streifen hat.
Diese Aussagen sind zum Beispiel im Umkreis der Lindelöfschen Vermutung bezüglich der Riemannschen Zeta-Funktion von Interesse.

### Werteverteilungen
#### Ganze Funktionen
##### Satz von Liouville

Der Satz von Liouville besagt, dass jede beschränkte ganze Funktion bereits konstant ist. Im Umkehrschluss bedeutet dies, dass jede nicht-konstante ganze Funktion bereits unbeschränkt sein muss, langfristig also, im Absolutbetrag $|f|$ betrachtet, über alle Schranken wachsen wird. Zwar ist zum Beispiel die Funktion $z\mapsto \cos(z)$ im Reellen beschränkt, wird aber auf ganz $\mathbb {C}$ betrachtet beliebig anwachsen. Der Satz wurde erstmals von Joseph Liouville im Jahr 1847, damals allerdings nur im Rahmen der Liouvilleschen Sätze im Spezialfall für elliptische Funktionen, bewiesen.
Der Satz von Liouville ist eine Folgerung aus der verallgemeinerten Cauchyschen Integralformel. Gilt $\textstyle \sup _{z\in \mathbb {C} }|f(z)|\leq C$, so folgt mittels der Standardabschätzung für Integrale für alle $z\in \mathbb {C}$ und Radien $R>|z|$:
    $|f'(z)|=\left|{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{|w-z|=R}{\frac {f(w)}{(w-z)^{2}}}\mathrm {d} w\right|\leq {\frac {2\pi R}{2\pi }}{\frac {C}{R^{2}}}={\frac {C}{R}}.$
Dabei entstammt der Term $2\pi R$ der Bogenlänge des kreisförmigen Integrationsweges. Durch beliebig große Wahl von $R>0$ folgt bereits $f'\equiv 0$, und da $\mathbb {C}$ ein Gebiet ist, ist $f$ konstant.
Eine einfache Folgerung des Satzes von Liouville ist der Fundamentalsatz der Algebra. Dieser besagt, dass jedes nicht-konstante Polynom über den komplexen Zahlen eine Nullstelle hat. Im Reellen gilt dies nicht, da zum Beispiel $x\mapsto x^{2}+1$ dort nie Null wird. Für den Beweis wird unter der Annahme, ein nicht-konstantes Polynom $P$ habe keine Nullstelle, gefolgert, dass $z\mapsto {\tfrac {1}{P(z)}}$ eine beschränkte ganze Funktion ist, also konstant. Dies erzeugt dann einen Widerspruch.
Eine Variante des Satzes von Liouville sagt aus, dass jede holomorphe Funktion $f\colon {\overline {\mathbb {C} }}\rightarrow \mathbb {C}$ konstant ist. Dabei bezeichnet ${\overline {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ die Riemannsche Zahlenkugel. Auch kann die Beschränktheitsbedingung abgeschwächt werden. Gilt stets $|f(z)|\leq 1+|z|^{\frac {1}{2}}$ für eine ganze Funktion $f$, so ist $f$ konstant. Der Satz von Liouville kann ferner auf Polynome verallgemeinert werden. Eine Variante von Hadamard kommt lediglich mit dem Realteil der betrachteten Funktion aus. Ist $f$ ganz, für die reelle Zahlen $R,B$ und $K$ existieren mit
    $\operatorname {Re} (f(z))\leq B|z|^{K}$
für alle $|z|\geq R>0$, dann ist $f$ ein Polynom dessen Grad $K$ nicht übersteigt.
Eine Folgerung des Satzes von Liouville ist, dass das Bild $f(\mathbb {C} )$ einer nicht konstanten ganzen Funktion $f$ stets dicht in $\mathbb {C}$ ist.

##### Kleiner Satz von Picard

Der kleine Satz von Picard stellt eine äußerst starke Verschärfung des Satzes von Liouville dar. Er sagt aus, dass jede nicht konstante ganze Funktion $f\colon \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$ bis auf eine mögliche Ausnahme jeden komplexen Wert annehmen muss. Es gilt für eine beliebige ganze Funktion also entweder $f(\mathbb {C} )=\mathbb {C}$, $f(\mathbb {C} )=\mathbb {C} \setminus \{a\}$ oder $f(\mathbb {C} )=\{a\}$ mit einer Zahl $a\in \mathbb {C}$. Dabei kann auf den Fall der einen Ausnahme nicht verzichtet werden, da zum Beispiel die Exponentialfunktion $z\mapsto e^{z}$ nicht konstant ist und niemals Null wird.
Obwohl der Satz bei weitem stärker ist als der Satz von Liouville, kann letzterer als Zwischenschritt für den Beweis des Kleinen Satzes von Picard verwendet werden.

#### Kreisscheiben und Ringgebiete
##### Lemma von Schwarz

Eine nützliche Anwendung des Maximumsprinzips ist der Beweis des Schwarzschen Lemmas: Ist $f\colon \mathbb {E} \rightarrow \mathbb {E}$ eine holomorphe Selbstabbildung der offenen Einheitskreisscheibe $\mathbb {E}$ mit der Fixierung des Ursprungs $f(0)=0$, so gilt $|f(z)|\leq |z|$ für alle $z\in \mathbb {E}$ und insbesondere $|f'(0)|\leq 1$.
Eine Verallgemeinerung des Schwarzschen Lemmas ist das Lemma von Schwarz-Pick.

##### Konvexe Abbildungen, die Pólya-Schoenberg-Vermutung und der Satz von Study

Eine holomorphe Funktion $f\colon \mathbb {E} \to \mathbb {C}$ mit $f(0)=0$ und $f'(0)=1$ heißt konvex, wenn sie $\mathbb {E}$ injektiv auf ein konvexes Gebiet abbildet. Ist ihr Bild sogar ein Sterngebiet, so ist $f$ starlike („sternartig“). Es ist $f\colon \mathbb {E} \to \mathbb {C}$ genau dann konvex, falls entweder $z\mapsto zf'(z)$ starlike ist, oder für alle $z\in \mathbb {E}$ die Ungleichung
    $\operatorname {Re} \left(1+{\frac {zf''(z)}{f'(z)}}\right)>0$
erfüllt ist. Sind $\textstyle f(z)=\sum _{n\geq 1}a_{n}z^{n}$ and $\textstyle g(z)=\sum _{n\geq 1}b_{n}z^{n}$ beide konvex, so besagt eine Vermutung von Pólya-Schoenberg, dass auch $\textstyle (f*g)(z):=\sum _{n\geq 1}a_{n}b_{n}z^{n}$ konvex ist. Diese Vermutung wurde 1973 von Ruscheweyh und Sheil-Small bewiesen. John L. Lewis verwendete sie, um zu zeigen, dass jeder Polylogarithmus $\operatorname {Li} _{\alpha }(z)$ für $\alpha \geq 0$ eine konvexe Funktion ist. Keineswegs muss eine starlike-Funktion $f$ sämtliche geschlossenen Kurven $\gamma \subset \mathbb {E}$, die Sterngebiete umschließen, in solche überführen, die ebenfalls Sterngebiete umschließen. Gegenbeispiele stammen von A. W. Goodman. Goodman zeigte jedoch, dass eine starlike Funktion $f$ diese Eigenschaft, genannt uniformly starlike, besitzt, genau dann wenn
    $\operatorname {Re} \left({\frac {f(z)-f(\zeta )}{(z-\zeta )f'(z)}}\right)\geq 0$
für alle $(z,\zeta )\in \mathbb {E} \times \mathbb {E}$.
Eine wenig bekannte Anwendung des Schwarzschen Lemmas auf konvexe Funktionen führt zum Satz von Study. Ist $f\colon \mathbb {E} \to D$ biholomorph und das Gebiet $D$ konvex, so ist jedes der Gebiete $D_{r}:=f(B_{r}(0))$ konvex, wobei $0<r<1$. Ist zudem $D$ ein Sterngebiet mit Zentrum $f(0)$, so ist für alle $0<r<1$ auch $D_{r}$ ein Sterngebiet mit Zentrum $f(0)$.
Ist $f\colon \mathbb {E} \to \mathbb {C}$ holomorph, mit $f(0)=0$ und $|f'(0)|\geq 1$, sowie $f(\mathbb {E} )$ konvex, gilt bereits $B_{\frac {1}{2}}(0)\subset f(\mathbb {E} )$.

##### Satz von Bloch

Der Satz von Bloch, bewiesen 1925 von André Bloch, gibt eine Grenze für die Komplexität des Bildgebiets holomorpher Funktionen an.
In der von Bloch gezeigten Version besagt der Satz, dass, wenn die offene Menge $U\subset \mathbb {C}$ die abgeschlossene Einheitskreisscheibe $\{z\in \mathbb {C} \mid |z|\leq 1\}$ enthält und $f\colon U\rightarrow \mathbb {C}$ eine holomorphe Funktion mit den Eigenschaften $f(0)=0$ und $f'(0)=1$ ist, es dann eine Kreisscheibe $S\subset U$ gibt, sodass die Einschränkung $f|_{S}\colon S\rightarrow \mathbb {C}$ injektiv ist und das Bild $f(S)$ eine Kreisscheibe mit Radius mindestens ${\tfrac {1}{72}}$ enthält.
Man kann zur Verschärfung des Satzes für eine holomorphe Funktion unter obigen Voraussetzungen das Supremum $\beta (f)$ aller Radien $r$ definieren, sodass $f|_{S}\colon S\rightarrow \mathbb {C}$ injektiv für eine Kreisscheibe $S\subset U$ ist und $f(S)$ eine Kreisscheibe mit Radius $r$ enthält. Bildet man nun das Infimum all dieser Zahlen $\beta (f)$, wenn $f$ die obigen Eigenschaften hat, kann man die Blochsche Konstante definieren durch
    $B:=\inf\{\beta (f)\mid f\in {\mathcal {O}}(V),\{z\in \mathbb {C} \mid |z|\leq 1\}\subset V\}.$
Der Satz von Bloch impliziert $B\geq {\tfrac {1}{72}}$, aber die Funktion $f(z)=z$ zeigt, dass auch $B\leq 1$. Es wurde bereits bewiesen, dass
    $0{,}43\leq B\leq {\frac {\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)\Gamma \left({\frac {11}{12}}\right)}{{\sqrt {1+{\sqrt {3}}}}\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}}=0{,}47186165\ldots$
gilt. Dabei bezeichnet $\Gamma (s)$ die Gammafunktion. Die Abschätzung nach oben stammt von Lars Ahlfors und Helmut Grunsky aus dem Jahr 1937. Beide vermuteten zudem, dass ihre obere Schranke sogar der wahre Wert von $B$ ist, was jedoch unbewiesen ist.

##### Satz von Schottky

Der Satz von Schottky macht eine Aussage über die Werteverteilung einer holomorphen Funktion, die zwei Werte in ihrem Bildbereich auslässt.
Der Satz besagt, dass für alle Werte $0<\alpha <\infty$ und $0\leq \beta \leq 1$ eine Konstante $C(\alpha ,\beta )$ existiert, mit folgender Eigenschaft: Ist $D\subset \mathbb {C}$ ein Elementargebiet, das die abgeschlossene Kreisscheibe $\{z\in \mathbb {C} \mid |z|\leq 1\}$ enthält, und $f\colon D\rightarrow \mathbb {C}$ eine beliebige holomorphe Funktion, welche die Werte 0 und 1 nicht annimmt und $|f(0)|\leq \alpha$ erfüllt, so gilt $|f(z)|\leq C(\alpha ,\beta )$ für alle $|z|\leq \beta$.
Daraus kann eine Aussage mit abgeschlossenen Kreisscheiben ${\overline {B_{R}(0)}}=\{z\in \mathbb {C} \mid |z|\leq R\}$ mit beliebigem Radius $R>0$ gefolgert werden. Enthält das Elementargebiet $D$ die Menge ${\overline {B_{R}(0)}}$ und lässt die holomorphe Funktion $f\colon D\rightarrow \mathbb {C}$ die Werte 0 und 1 aus, so gilt im Falle $|f(0)|\leq \alpha$ für die Konstante $C(\alpha ,\beta )$ aus Schottkys Satz die Abschätzung $|f(z)|\leq C(\alpha ,\beta )$ für alle $|z|\leq \beta R$.

##### Satz von Koebe

Für holomorphe und injektive Funktionen $f\colon \mathbb {E} \to \mathbb {C}$ mit $f(0)=0$ und $f'(0)=1$ besagt Satz von Koebe, dass stets $B_{\frac {1}{4}}(0)\subset f(\mathbb {E} )$. Dabei ist der Wert ${\tfrac {1}{4}}$ bestmöglich, wie das Beispiel $f(z)={\tfrac {z}{(1-z)^{2}}}$ zeigt.

##### Volumina von Bildern

Es sei $\textstyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}z^{n}$ holomorph und injektiv auf dem Kreisrand $|z|=r$. Es führe diesen auf eine geschlossene Kurve $L$ über. Der Inhalt des durch $L$ umschlossenen Gebiets ist dann
    $\pi \sum _{n=-\infty }^{\infty }n|a_{n}|^{2}r^{2n}.$
Der Inhalt wird positiv oder negativ gerechnet, je nachdem ob bei positivem Umlaufen des Kreises $|z|=r$ der mitbewegte Bildpunkt $w=f(z)$ das durch $L$ umschlossene Gebiet links oder rechts lässt.
Für Kreisringe $r\leq |z|\leq R$ gilt entsprechend für das Volumen dessen Bildes (mehrfach überdeckte Teile mehrfach gezählt)
    $\pi \sum _{n=-\infty }^{\infty }n|a_{n}|^{2}(R^{2n}-r^{2n}).$

##### Monotonie

Um Beträge holomorpher Funktionen auf Kreislinien auf Monotonie zu untersuchen, ist das Konzept der Folgendifferenzen von Bedeutung. Für reelle Zahlen $a_{1},a_{2},...$ setzt man $\Delta ^{1}(a_{n}):=a_{n}-a_{n+1}$, $\Delta ^{2}(a_{n}):=\Delta ^{1}(\Delta ^{1}(a_{n}))$ usw. Es gilt allgemein die Formel
    $\Delta ^{r}(a_{n})=\sum _{j=0}^{r}{\binom {r}{j}}(-1)^{j}a_{n+j}.$
Eine monoton fallende Nullfolge $b_{n}$ bezeichnet man als $k$-fach monoton, falls $\Delta ^{r}(b_{n})\geq 0$ für alle $n$ und $1\leq r\leq k$. Ist $\textstyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}z^{n}$ holomorph auf der Einheitskreisscheibe $\mathbb {E}$, konvergiert zudem für $|z|=1$ und ist $b_{n}$ vierfach monoton, so ist $g(\theta )=|f(e^{i\theta })|^{2}$ eine auf dem Intervall $[0,\pi ]$ fallende Funktion.

##### Bohr-Radius

Im Jahr 1914 konnte Harald Bohr zeigen, dass falls die Potenzreihe $\textstyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ in der Einheitskreisscheibe $\mathbb {E}$ konvergiert und die holomorphe Funktion $|f(z)|<1$ in $\mathbb {E}$ erfüllt, bereits
    $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {|a_{n}|}{6^{n}}}\leq 1$
gilt. Das sogar $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {|a_{n}|}{3^{n}}}\leq 1$ gilt und $r={\tfrac {1}{3}}$ der größtmögliche Bohr-Radius ist, konnte unabhängig von Friedrich Wilhelm Wiener, Marcel Riesz und Issai Schur gezeigt werden.

#### Um wesentliche Singularitäten
##### Satz von Casorati-Weierstraß

Sei $z_{0}$ ein Punkt des Gebietes $D$. Dann ist $z_{0}$ eine wesentliche Singularität der auf $D\setminus \{z_{0}\}$ holomorphen Funktion $f$ genau dann, wenn für jede in $D$ liegende Umgebung $U$ von $z_{0}$ das Bild $f(U\setminus \{z_{0}\})$ dicht in $\mathbb {C}$ liegt.
Anders formuliert: Eine holomorphe Funktion hat genau dann in $z_{0}$ eine wesentliche Singularität, wenn in jeder Umgebung von $z_{0}$ jede komplexe Zahl beliebig genau als ein Bild von $f$ approximiert werden kann.

##### Großer Satz von Picard

Sei $U$ offen und $c\in U$ eine wesentliche Singularität der holomorphen Funktion $f\colon U\setminus \{c\}\rightarrow \mathbb {C}$. Der große Satz von Picard besagt, dass dann nur zwei Fälle möglich sind:
* Für jede punktierte Umgebung ${\dot {V}}\subset U$ von $c$ gilt $f({\dot {V}})=\mathbb {C}$.
* Für jede punktierte Umgebung ${\dot {V}}\subset U$ von $c$ gilt $f({\dot {V}})=\mathbb {C} \setminus \{a\}$ mit einem geeigneten $a\in \mathbb {C}$.
Demnach kommt die Funktion nahe ihrer wesentlichen Singularität nicht nur jedem Wert beliebig nahe, sondern nimmt, bis auf eine mögliche Ausnahme, jeden beliebigen Wert unendlich oft an.

## Folgen und Reihen holomorpher Funktionen
### Weierstraßscher Konvergenzsatz

Es sei $U\subset \mathbb {C}$ offen und $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge auf $U$ holomorpher Funktionen. Wird angenommen, dass $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ gleichmäßig auf kompakten Teilmengen $K\subset U$ gegen eine Funktion $f$ konvergiert, so besagt der Satz von Weierstraß, dass die Grenzfunktion $f$ wieder holomorph ist und man Limesbildung und Differentiation vertauschen kann. Das heißt, die Folge $(f'_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert ebenfalls kompakt gegen $f'$.
Der Beweis des Satzes ergibt sich unmittelbar aus der Tatsache, dass sich die komplexe Differenzierbarkeit nach dem Satz von Morera durch ein Integralkriterium ausdrücken lässt und dass das betroffene Kurvenintegral stabil unter gleichmäßiger Konvergenz ist. Die Aussage über die Folge $(f'_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ergibt sich aus der Cauchyschen Integralformel.
Der Satz kann weiter verschärft werden. Es sei $D$ ein beschränktes Gebiet und $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $D$ holomorpher Funktionen mit stetiger Fortsetzung nach $\partial D$, sodass die Einschränkung $(f_{n}|_{\partial D})_{n\in \mathbb {N} }$ auf $\partial D$ gleichmäßig konvergiert. Dann konvergiert $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ gleichmäßig gegen eine in $D$ holomorphe Funktion, die sich stetig nach $\partial D$ fortsetzt.
Die analoge Aussage im Reellen ist falsch. Nach dem Approximationssatz von Weierstraß ist jede stetige Funktion $f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ der Grenzwert einer gleichmäßig konvergenten Folge von Polynomen. Allerdings gibt es auch einen Stabilitätssatz im Reellen, der unter Bedingungen an die Folge $(f'_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ richtig ist.

### Unendliche Reihen

Der Satz von Weierstraß lässt sich auf unendliche Reihen anwenden. Ist $f_{n}\colon U\to \mathbb {C}$ eine Folge holomorpher Funktionen, so konvergiert $\textstyle f=\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}$ gegen eine holomorphe Funktion $f\colon U\to \mathbb {C}$, falls sie in $U$ normal konvergiert, d. h. für jeden Punkt $z\in U$ gibt es eine Umgebung $z\in V\subset U$, so dass
    $\sum _{n=1}^{\infty }\sup _{w\in V}|f_{n}(w)|<\infty .$

### Integralfolgen

Einige holomorphe Funktionen treten als Integrale in Erscheinung. Es gilt dabei Folgendes. Es sei $a<b$, $(z,t)\mapsto F(z,t)$ eine stetige komplexwertige Funktion auf $U\times [a,b]$, wobei $U\subset \mathbb {C}$ eine offene Menge bezeichnet. Ferner sei $z\mapsto F(z,t)$ für jedes fixierte $t$ eine holomorphe Funktion. Dann ist die Funktion
    $f(z)=\int _{a}^{b}F(z,t)\mathrm {d} t$
holomorph in $U$. In Kombination mit dem Weierstraßschen Konvergenzsatz können damit auch Integrale mit unendlichen Grenzen behandelt werden. Ein wichtiges Beispiel ist die Gammafunktion. Die Integrale
    $\Gamma _{n}(z):=\int _{\frac {1}{n}}^{n}e^{-t}t^{z-1}\mathrm {d} t$
stellen nach eben genanntem Kriterium eine Funktionenfolge holomorpher Funktionen dar. Es lässt sich zeigen, dass auf Kompakta in $\{z\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Re} (z)>0\}$ gleichmäßige Konvergenz für $n\to \infty$ vorliegt. Damit ist die Grenzfunktion
    $\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z-1}\mathrm {d} t$
eine in ganz $\{z\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Re} (z)>0\}$ holomorphe Funktion.

### Satz von Hurwitz

Der Satz von Hurwitz trifft eine Aussage über das lokale Nullstellenverhalten einer holomorphen Funktionenfolge, deren Grenzfunktion wieder holomorph ist.
Sei $D$ ein Gebiet und $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge holomorpher Funktionen $f_{n}\colon D\rightarrow \mathbb {C}$ mit nicht konstanter holomorpher Grenzfunktion $f$. Es gelte zudem $f(z_{0})=0$ für ein $z_{0}\in D$. Dann gibt es zu jeder Kreisscheibe $B_{r}(z_{0})\subset D$ ein $N$, sodass jede der Funktionen $f_{n}$ mit $n\geq N$ eine Nullstelle in $B_{r}(z_{0})$ hat.
Mit anderen Worten, konvergiert eine Folge auf einem Gebiet holomorpher Funktionen gegen eine holomorphe Grenzfunktion mit Nullstelle, so werden fast alle Folgeglieder beliebig nahe an der Nullstelle verschwinden.
Eine wichtige Folgerung des Satzes von Hurwitz betrifft Folgen injektiver holomorpher Funktionen. Besteht die konvergente Folge $f_{n}\colon D\rightarrow \mathbb {C}$ aus injektiven holomorphen Funktionen und ist die holomorphe Grenzfunktion nicht konstant, so ist diese wieder injektiv. Diese Aussage kann in einem gewissen Sinn umgekehrt werden: Konvergieren die holomorphen Funktionen $f_{n}\colon D\to \mathbb {C}$ lokal gleichmäßig gegen eine injektive (holomorphe) Funktion $f\colon D\to \mathbb {C}$, so existiert zu jedem Kompaktum $K\subset D$ ein Index $N$, so dass für alle $n\geq N$ die Einschränkungen $f_{n}|_{K}$ injektiv sind.
Beachtenswert ist, dass in manchen Fällen sogar die Stetigkeit der Folgeglieder ausreicht, um etwas über das Bild der Grenzfunktion zu sagen. Ist $D$ ein Gebiet und $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge stetiger Funktionen $f_{n}\colon D\to Z\subset \mathbb {C}$, die lokal gleichmäßig gegen eine auf $D$ holomorphe Grenzfunktion konvergieren. Dann ist entweder $f$ konstant oder $f(D)\subseteq Z$.

### Satz von Montel

Ist eine Folge $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ holomorpher Funktionen auf $U$ lokal beschränkt, so existiert eine kompakt konvergente Teilfolge. Der Beweis dieses Satzes wird mit Hilfe des Satzes von Bolzano-Weierstraß geführt und beim Beweis des Riemannschen Abbildungssatzes verwendet.
Dienlich für den Beweis ist ebenfalls folgender Hilfssatz. Ist $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine beschränkte Folge auf $U$ holomorpher Funktionen, die auf einer dichten Teilmenge $S\subset U$ punktweise konvergiert, so konvergiert sie sogar in ganz $U$, und zwar lokal gleichmäßig.

### Punktweise konvergente Folgen
#### Satz von Vitali

Folgende Aussagen über eine im Gebiet $D$ lokal beschränkte Folge $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ holomorpher Funktionen sind äquivalent:
* Die Folge ist in $D$ kompakt konvergent.
* Es existiert ein Punkt $c\in D$, sodass für alle $k\in \mathbb {N} _{0}$ die Zahlenfolge $f_{1}^{(k)}(c),f_{2}^{(k)}(c),f_{3}^{(k)}(c),\dots$ konvergiert.
* Die Menge $A:=\{z\in D\mid \lim _{n\to \infty }f_{n}(z)\in \mathbb {C} \}$ der Konvergenzpunkte hat einen Häufungspunkt in $D$.
Gewisse Informationen über die Nullstellen der Folgeglieder $f_{n}$ bringen ebenfalls starke Vorteile mit sich, denn sie erlauben es dass punktweise Konvergenz in nur einem Punkt ausreicht. Ist $D$ ein Gebiet und $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge holomorpher, lokal gleichmäßig beschränkter und nullstellenfreier Funktionen auf $D$, so folgt aus $\lim _{n\to \infty }f_{n}(z_{0})=0$ mit einem $z_{0}\in D$ bereits $f_{n}\to 0$ in $D$ mit lokal gleichmäßiger Konvergenz.
Die Frage, ob im Satz von Vitali die Voraussetzung der lokalen Beschränktheit durch punktweise Konvergenz in allen Punkten ersetzt werden kann, kann negativ beantwortet werden. Gegenbeispiele liegen alles andere als auf der Hand, können aber zum Beispiel durch Runge-Theorie erzeugt werden. Jedoch zeigte William Fogg Osgood, dass im Falle punktweiser Konvergenz in allen Punkten ohne weitere Voraussetzungen zumindest Holomorphie der Grenzfunktion auf einer dichten Teilmenge des Gebietes vorliegen muss. Ist also $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge holomorpher Funktionen auf einem Gebiet $D$, die punktweise gegen eine Grenzfunktion $f$ konvergiert, so ist $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ auf einer dichten, offenen Teilmenge $D'\subset D$ kompakt konvergent. Insbesondere ist die Grenzfunktion $f$ holomorph auf $D'$. Für den Fall, dass die Funktionen $f_{n}$ zusätzlich injektiv sind, liegt bei lediglich punktweiser Konvergenz jedoch wieder Holomorphie der Grenzfunktion$f$ im gesamten Gebiet vor.

#### Satz von Blaschke

Unter gewissen Zusatzvoraussetzungen ist punktweise Konvergenz, sogar nur an bestimmten Stellen, wieder hinreichend für eine holomorphe Grenzfunktion. Der Satz von Blaschke aus dem Jahr 1915 besagt, dass falls $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine gleichmäßig beschränkte holomorphe Funktionenfolge auf dem Einheitskreis $\mathbb {E}$ ist und $(z_{j})_{j\in \mathbb {N} }$ eine Folge paarweise verschiedener Punkte in $\mathbb {E}$ mit
    $\sum _{j=1}^{\infty }(1-|z_{j}|)=\infty ,$
so dass $\lim _{n\to \infty }f_{n}(z_{j})$ für jedes $j\in \mathbb {N}$ existiert, $f_{n}$ gleichmäßig auf Kompakta in $\mathbb {E}$ konvergiert, und die Grenzfunktion insbesondere holomorph ist.

#### Satz von Carathéodory-Landau

Es seien $a,b\in \mathbb {C}$ mit $a\not =b$ und $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge holomorpher Funktionen $f_{n}\colon D\to \mathbb {C} \setminus \{a,b\}$. Es existiere $\lim _{n\to \infty }f_{n}(w)$ für eine Menge von Punkten $w$ in $D$, die in $D$ einen Häufungspunkt hat. Dann konvergiert die Folge $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ kompakt in $D$, hat also eine holomorphe Grenzfunktion.

## Zusammenhang mit harmonischen Funktionen

Eine auf einem Gebiet $D$ zweimal stetig partiell differenzierbare Funktion $u(x,y)$ mit der Eigenschaft
    ${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0$
auf ganz $D$ nennt man harmonisch. Es ist $\Delta ={\tfrac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\tfrac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}$ der sogenannte Laplace-Operator in Dimension 2, und alternativ gilt die Kurzschreibweise $\Delta u=0$. Zwischen harmonischen Funktionen und holomorphen Funktionen existieren enge Verbindungen. Aufgrund der Tatsache, dass Real- und Imaginärteil einer holomorphen Funktion die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllen, kann man etwa zeigen, dass diese bereits harmonische Funktionen sind. Es gilt lokal sogar die Umkehrung: Zu jeder auf einem Elementargebiet harmonischen Funktion $u$ gibt es eine dort holomorphe Funktion $f$, die diese als Realteil hat. Dies sieht man erneut mit Hilfe der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen: Es ist die Hilfsfunktion $g(z):={\tfrac {\partial u}{\partial x}}-i{\tfrac {\partial u}{\partial y}}$ holomorph. Da der Definitionsbereich ein Elementargebiet ist, existiert zu $g$ eine holomorphe Stammfunktion, deren Realteil bis auf eine Konstante mit $u$ übereinstimmt. Die in $f=u+iv$ zum Realteil $u$ zugehörige harmonische Funktion $v$ wird als konjugiert harmonisch zu $u$ bezeichnet. Sie ist bis auf eine additive Konstante eindeutig bestimmt.

## Konstruktion, Approximation und Existenzaussagen
### Produktsatz von Weierstraß

Es kann gefragt werden, ob es zu einer gegebenen Nullstellenverteilung eine ganze Funktion gibt, die diese erfüllt. So erfüllt etwa $z\mapsto \sin(\pi z)$ die Nullstellenverteilung $\mathbb {Z}$. Der Produktsatz von Weierstraß, bewiesen 1876, beantwortet diese Frage. Ist $S\subset \mathbb {C}$ eine diskrete Teilmenge, und es sei eine Abbildung $m\colon S\to \mathbb {N}$ mit $s\mapsto m_{s}$ gegeben, dann existiert eine ganze Funktion $f$ mit folgenden Eigenschaften:
* $S=N(f):=\{z\in \mathbb {C} \mid f(z)=0\}$
* $m_{s}=\operatorname {ord} (f;s)$ für alle $s\in S$.
Mit anderen Worten gibt es zu jeder diskreten Menge $S$ und jeder „Gewichtung“ der Punkte $s\in S$ durch natürliche Zahlen eine ganze Funktion $f$, die ihre Nullstellen genau an den Stellen $s\in S$ hat und deren Vielfachheit auch der entsprechenden Gewichtung entspricht.
Ein bedeutendes Beispiel ist das bereits von Leonhard Euler im Jahr 1734 entdeckte Sinus-Produkt
    $\sin(\pi z)=\pi z\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{k^{2}}}\right),$
das in ganz $\mathbb {C}$ konvergiert.
Der Produktsatz kann auf beliebige Gebiete ausgeweitet werden. Ist $D$ ein Gebiet, $z_{1},z_{2},...$ eine Folge paarweise verschiedener Punkte in $D$, die sich in $D$ nicht häuft, sowie $m_{1},m_{2},...$ eine Folge positiver ganzer Zahlen, so gibt es stets eine holomorphe Funktion $f\colon D\to \mathbb {C}$, die ihre Nullstellen genau in den $z_{n}$ hat, wobei die Ordnung von $z_{n}$ genau $m_{n}$ ist. Eine wichtige Folgerung dieser Tatsache ist, dass sich jede meromorphe Funktion $h\colon D\to {\overline {\mathbb {C} }}$ als Quotient zweier auf $D$ holomorpher Funktionen schreiben lässt.

### Satz von Mittag-Leffler

Es sei $S\subset \mathbb {C}$ eine diskrete Menge. Der Satz von Mittag-Leffler garantiert die Existenz einer auf ganz $\mathbb {C} \setminus S$ holomorphen Funktion, die bestimmte Laurent-Entwicklungen an den Stellen $s\in S$ hat. Ist präzise zu jedem $s\in S$ eine ganze Funktion $h_{s}\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C}$ vorgegeben mit $h_{s}(0)=0$, so gibt es eine holomorphe Funktion $f\colon \mathbb {C} \setminus S\to \mathbb {C}$, deren Hauptteil in $s\in S$ gegeben ist durch $h_{s}$, d. h.,
    $z\mapsto f(z)-h_{s}\left({\frac {1}{z-s}}\right)$
hat in $z=s$ eine hebbare Singularität. Ist $S$ endlich, so ist
    $f(z)=\sum _{s\in S}h_{s}\left({\frac {1}{z-s}}\right)$
eine Lösung des Mittag-Leffler-Problems. Für unendliche $S$ wird eine solche Reihe aber im Allgemeinen nicht mehr konvergieren. Ähnlich wie beim Produktsatz von Weierstraß kann hier jedoch mit konvergenzerzeugenden Summanden Konvergenz erzwungen werden.

### Satz von Runge

Der Satz von Taylor besagt, dass sich holomorphe Funktionen innerhalb von Kreisscheiben gleichmäßig auf Kompakta durch Polynome approximieren lassen. Der Satz von Runge verallgemeinert dieses Resultat auf beliebige kompakte Teilmengen, wobei die Annäherung zumindest über rationale Funktionen gelingt. Ist $K\subset \mathbb {C}$ eine kompakte Teilmenge und $f$ eine Funktion, die holomorph in einer offenen Menge ist, die $K$ vollständig beinhaltet, so ist es möglich, $f$ innerhalb von $K$ gleichmäßig durch rationale Funktionen $(r_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ zu approximieren. Dabei liegen alle Polstellen der $r_{n}$ außerhalb von $K$.
Der Satz von Runge existiert auch in einer Version für Polynome. Sei $U\subset \mathbb {C}$ offen. Dann ist der Zusammenhang des Komplements ${\overline {\mathbb {C} }}\setminus U$ (mit der auf der Riemannschen Zahlenkugel ${\overline {\mathbb {C} }}$ üblichen Topologie) notwendig und hinreichend für die folgende Aussage: Für jede auf $U$ holomorphe Funktion $f$, für jedes $\varepsilon >0$ und für jede kompakte Teilmenge $K\subset U$ gibt es ein Polynom $p$, so dass
    $|f(z)-p(z)|<\varepsilon$
für alle $z\in K$.

### Partialbruchzerlegungen

Ist $f$ eine ganze Funktion, die für Konstanten $C,\varrho >0$ stets die Ungleichung
    $|f(z)|<Ce^{\varrho |\operatorname {Im} (z)|}$
erfüllt, so gilt bereits
    ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\left({\frac {f(z)}{\sin(\varrho z)}}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {\varrho (-1)^{n+1}f\left({\frac {\pi n}{\varrho }}\right)}{(\varrho z-n\pi )^{2}}}.$
Ist $f$ zusätzlich eine ungerade Funktion, ist also stets $f(-z)=-f(z)$, gilt
    ${\frac {f(z)}{2\varrho z\cos(\varrho z)}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}f\left({\frac {\pi (n+{\frac {1}{2}})}{\varrho }}\right)}{(\pi (n+{\frac {1}{2}}))^{2}-\varrho ^{2}z^{2}}}.$
Für $f(z)=\sin(\varrho z)$ führt dies, nach einem Shift im Argument, zur Partialbruchzerlegung des Kotangens.
Eine Quelle von Partialbruchzerlegungen sind logarithmisch abgeleitete Weierstraß- oder auch Hadamard-Produkte. Sie können auch zu einer Approximation dienen: Sei $f$ eine holomorphe Funktion in der geschlossenen Kreisscheibe ${\overline {B_{R}(0)}}$ mit $f(0)=1$, so dass $|f(z)|\leq M$ für alle $|z|=R$. Es sei $z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n}$ die Liste der Nullstellen von $f$ (gezählt mit Vielfachheit), in der Kreisscheibe ${\overline {B_{\tfrac {R}{2}}(0)}}$. Dann gilt für alle $z$ mit $|z|<{\tfrac {R}{2}}$
    $\left|{\frac {f'(z)}{f(z)}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{z-z_{j}}}\right|\leq {\frac {4R\log(M)}{(R-2|z|)^{2}}}.$

### Interpolation

Es seien $z_{1},z_{2},...,z_{n}$ beliebige voneinander verschiedene komplexe Zahlen, $L$ eine geschlossene, injektive stetige Kurve, die sämtliche Punkte $z_{1},z_{2},...,z_{n}$ im Innern enthält. Die Funktion $f$ sei holomorph im Innern von $L$ und auf $L$. Setzt man $\textstyle \omega (z)=\prod _{j=1}^{n}(z-z_{j})$, so stellt
    $P(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{L}{\frac {f(\zeta )}{\omega (\zeta )}}{\frac {\omega (\zeta )-\omega (z)}{\zeta -z}}\mathrm {d} \zeta$
das eindeutige Polynom $n-1$-ten Grades dar, das an den Stellen $z=z_{1},...,z_{n}$ mit $f(z)$ übereinstimmt. Dabei wird die Integrationskurve wie üblich einmalig in mathematisch positiver Richtung durchlaufen.

## Ungleichungen
### Cauchysche Ungleichung

Ist $\textstyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}$ eine Potenzreihe mit Konvergenzradius $R$ und definiert man für ein $r$ mit $0<r<R$ die Konstante $\textstyle M(r):=\max _{|z-c|=r}|f(z)|$, so gilt für die Koeffizienten die Abschätzung
    $|a_{n}|=\left|{\frac {f^{(n)}(c)}{n!}}\right|\leq {\frac {M(r)}{r^{n}}}.$
Dies ist eine unmittelbare Folgerung aus der Cauchyschen Integralformel. Diese Aussage lässt sich zu einem Abschätzungsprinzip für Ableitungen auf kompakten Mengen erweitern. Ist $U$ offen und $K\subset D$ ein Kompaktum, dann gibt es zu jeder kompakten Umgebung $K\subsetneq L\subset U$ (es existiert um jedes $z\in \partial K$ eine Umgebung, die ganz in $L$ liegt) und zu jedem $k\in \mathbb {N}$ eine Konstante $M_{k,L}>0$, sodass
    $||f^{(k)}||_{K}\leq M_{k,L}||f||_{L},$ für alle $f\in {\mathcal {O}}(U)$.
Hierbei ist $||.||$ die Supremumsnorm. Es ist zu beachten, dass nicht $K=L$ gewählt werden darf, wie das Beispiel $K=L={\overline {\mathbb {E} }}$ sowie $f_{n}(z):=z^{n}$ zeigt.
Es kann der Fall für beliebige Ableitungen explizit gemacht werden, und zwar für beliebige Punkte innerhalb von Kreisscheiben. Ist $f\colon B_{R}(c)\rightarrow \mathbb {C}$ holomorph und beschränkt, also $M:=\sup _{z\in B_{R}(c)}|f(z)|$ existiert, so gilt für alle $z\in B_{R}(c)$ und $k\in \mathbb {N}$:
    $|f^{(k)}(z)|\leq {\frac {k!MR}{(R-|z-c|)^{k+1}}}.$
Die Cauchysche Ungleichung zeigt, dass das Wachstum der Taylor-Koeffizienten nicht beliebig starke Züge annehmen kann. So existiert etwa keine lokal um 0 holomorphe Funktion mit der Eigenschaft
    $f^{(n)}(0)=n!^{2}$.
Im Gegensatz dazu existiert zu jeder reellen Folge $r_{0},r_{1},r_{2},\dots$ eine unendlich oft differenzierbare reelle Funktion $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ mit $f^{(n)}(0)=r_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N} _{0}$.

### Borel-Carathéodory-Lemma

Sei $f$ eine auf einem Gebiet $D$ holomorphe Funktion, sodass ${\overline {B_{R}(a)}}\subset D$, und
    $A(r):=\max _{|z-a|=r}\operatorname {Re} (f(z)).$
Dann gilt
    $|f(z)|\leq {\frac {2|z-a|}{R-|z-a|}}A(R)+{\frac {R+|z-a|}{R-|z-a|}}|f(a)|$
und
    $|f^{(n)}(z)|\leq {\frac {2^{n+2}n!R}{(R-|z-a|)^{n+1}}}(A(R)+|f(a)|)$
für $n\in \mathbb {N}$ und $0\leq |z-a|<R$.

### Gutzmersche Ungleichung

Ist $f$ eine in einer Umgebung $U$ von $0$ holomorphe Funktion mit Potenzreihe $\textstyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ mit dem Konvergenzradius $r>0$, dann gilt für jedes $0<\varrho <r$ mit $B_{\varrho }(0)\subset U$ die Ungleichung
    $\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|^{2}\varrho ^{2n}\leq \left(\max _{|z|=\varrho }|f(z)|\right)^{2}.$
Die Ungleichung geht auf August Gutzmer aus dem Jahr 1888 zurück.

### Differenzenquotient

Sei $f$ eine in $U$ holomorphe Funktion und ${\overline {B_{r}(c)}}\subset U$ mit $r>0$. Dann gilt gleichmäßig für alle $z_{1}\not =z_{2}$ aus $B_{r}(c)$
    $\left|{\frac {f(z_{1})-f(z_{2})}{z_{1}-z_{2}}}\right|\leq \max _{|z-c|=r}|f'(z)|.$
Dies folgt aus der Standardabschätzung für Integrale:
    $|f(z_{1})-f(z_{2})|=\left|\int _{z_{2}}^{z_{1}}f'(z)\mathrm {d} z\right|\leq |z_{1}-z_{2}|\max _{z\in [z_{1},z_{2}]}|f'(z)|\leq |z_{1}-z_{2}|\max _{|z-c|=r}|f'(z)|.$
Dabei wurde im letzten Schritt das Maximumprinzip verwendet. Die Konstante $\max _{|z-c|=r}|f'(z)|$ kann im Allgemeinen nicht verbessert werden, wie das Beispiel $f(z)=az+b$ aufzeigt. Der letzte Schritt kann jedoch auch unter Verzicht der Gleichmäßigkeit weggelassen werden. Mehr noch, ist die Funktion (nur) in einer Umgebung von $[z_{1},z_{2}]$ holomorph, so gilt immer noch
    $\left|{\frac {f(z_{1})-f(z_{2})}{z_{1}-z_{2}}}\right|\leq \max _{z\in [z_{1},z_{2}]}|f'(z)|.$

### Fejér-Riesz- und Hilbert-Ungleichung

Ist $\textstyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ auf der abgeschlossenen Einheitskreisscheibe ${\overline {\mathbb {E} }}$ holomorph, so gilt bereits
    $\int _{-1}^{1}|f(x)|\mathrm {d} x\leq {\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }|f(e^{it})|\mathrm {d} t.$
Dies bleibt auch dann gültig, wenn $f$ lediglich im Hardy-Raum $H^{1}(\mathbb {E} )$ liegt. Insbesondere gilt dann $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|^{2}<\infty$, und die Hilbert-Ungleichung
    $\sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {|a_{m}||a_{n}|}{m+n+1}}\leq \pi \sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|^{2}.$

### Grunsky-Ungleichungen

Es sei $f$ eine injektive holomorphe Funktion auf der offenen Einheitskreisscheibe, mit $f(0)=0$ sowie $f'(0)=1$. Definiere
    $g(z)={\frac {1}{f\left({\frac {1}{z}}\right)}}.$
Diese besitzt eine Laurent-Entwicklung um $z=\infty$:
    $g(z)=z+\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}z^{-n},$
die für $|z|>1$ konvergiert. Nun definiert man Zahlen $c_{m,n}$ durch
    $\mathrm {Log} \left({\frac {g(\zeta )-g(z)}{\zeta -z}}\right)=-\sum _{m,n>0}{\frac {c_{n,m}}{n}}z^{-m}\zeta ^{-n},\qquad |z|,|\zeta |\gg 1.$
Dann sagen die starken Grunsky-Ungleichungen, dass für jede endliche Folge komplexer Zahlen $\lambda _{1},...,\lambda _{N}$
    $\sum _{n=1}^{\infty }n\left|\sum _{m=1}^{N}c_{m,n}\lambda _{m}\right|^{2}\leq \sum _{n=1}^{N}n|\lambda _{n}|^{2}.$
Die schwachen Grunsky-Ungleichungen besagen ferner, dass
    $\left|\sum _{1\leq m,n\leq N}nc_{m,n}\lambda _{m}\lambda _{n}\right|\leq \sum _{n=1}^{N}n|\lambda _{n}|^{2}$
gilt.

### Lebedev–Milin-Ungleichungen

Ist $\textstyle \varphi (z)=\sum _{n=1}^{\infty }\alpha _{n}z^{n}$ eine holomorphe Funktion auf einer Kreisscheibe $B_{r}(0)$ mit $\varphi (0)=0$. Dann ist die Verkettung mit der Exponentialfunktion $\psi (z)=\exp(\varphi (z))$ wieder holomorph auf $B_{r}(0)$ und hat dort eine Potenzreihenentwicklung
    $\psi (z)=\sum _{k=0}^{\infty }\beta _{k}z^{k}.$
Nun gelten die drei Lebedev–Milin Ungleichungen:
1. Falls $\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }k|\alpha _{k}|^{2}<\infty$, dann
    $\sum _{k=0}^{\infty }|\beta _{k}|^{2}\leq \exp \left(\sum _{k=1}^{\infty }k|\alpha _{k}|^{2}\right),$
wobei Gleichheit genau dann gilt falls $\alpha _{k}={\tfrac {\omega ^{k}}{k}}$ für alle $k\in \mathbb {N}$ mit einem komplexen $|\omega |<1$.
2. Für $n=1,2,...$ gilt
    $\sum _{k=0}^{n}|\beta _{k}|^{2}\leq (n+1)\exp \left({\frac {1}{n+1}}\sum _{m=1}^{n}\sum _{k=1}^{m}\left(k|\alpha _{k}|^{2}-{\frac {1}{k}}\right)\right),$
wobei Gleichheit genau dann gilt falls $\alpha _{k}={\tfrac {\omega ^{k}}{k}}$ für alle $1\leq k\leq n$ mit einem komplexen $|\omega |=1$.
3. Für $n=1,2,...$ gilt
    $|\beta _{n}|^{2}\leq \exp \left(\sum _{k=1}^{n}\left(k|\alpha _{k}|^{2}-{\frac {1}{k}}\right)\right),$
wobei Gleichheit genau dann gilt falls $\alpha _{k}={\tfrac {\omega ^{k}}{k}}$ für alle $1\leq k\leq n$ mit einem komplexen $|\omega |=1$.

## Kriterien für Konstanz

Durch ihre starken Eigenschaften sind holomorphe Funktionen auf gewisse Weise „selten“. Dementsprechend können einige Kriterien erarbeitet werden, um zu erzwingen, dass eine holomorphe Funktion bereits konstant sein muss.

### Klassische Kriterien

Beschränkte ganze Funktionen sind nach dem Satz von Liouville konstant. Mehr noch, lässt eine ganze Funktion zwei Werte in ihrem Bildbereich aus, so ist sie nach dem kleinen Satz von Picard bereits konstant.
Bildet zudem eine holomorphe Funktion eine offene Teilmenge ihres zusammenhängenden Definitionsbereichs nicht auf ein Gebiet ab, ist sie konstant. Sind entsprechend $\operatorname {Re} (f)$, $\operatorname {Im} (f)$ bzw. $|f|$ konstant, so auch $f$.

### Wachstum und Nullstellen

Es sei $f$ eine auf der abgeschlossenen oberen Halbebene $\{z\in \mathbb {C} \colon \operatorname {Re} (z)\geq 0\}$ holomorphe Funktion mit folgenden Eigenschaften:
* Es existieren zwei Konstanten $A,B>0$ mit $|f(z)|<Ae^{B|z|}$ für alle $z$ mit $\operatorname {Re} (z)\geq 0$.
* Es existieren zwei Konstanten $C,\gamma >0$, so dass $|f(\pm ir)|\leq Ce^{(\pi -\gamma )r}$ für alle $r\geq 0$.
* Es gilt $f(n)=0$ für alle $n\in \mathbb {N} _{0}$.
Dann gilt bereits $f\equiv 0$. In diesem Sinne ist $f(z)=\sin(\pi z)$ die „kleinste“ ganze Funktion, die an (nichtnegativen) ganzen Werten verschwindet. Unter Weglassen von Bedingung 3. kann, wenn 2. zu $|f(\pm ir)|\leq Ce^{-\gamma r}$ für $r\geq 0$ abgewandelt wird, ebenfalls $f\equiv 0$ gefolgert werden.

### Verhalten am Rand der Einheitskreisscheibe

Ist $f$ eine auf der Einheitskreisscheibe $\mathbb {E}$ holomorphe Funktion, so dass für alle $k\in \mathbb {N} _{0}$:
    $\lim _{t\to 1^{-} \atop t\in \mathbb {R} }f^{(k)}(t)=0.$
Ist ferner $z=1$ kein singulärer Punkt von $f$, so ist bereits $f\equiv 0$. Die Annahme, dass $z=1$ kein singulärer Punkt ist, kann durch
    $\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log |{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}|}{\sqrt {n}}}<0$
ersetzt werden.
Folgende Aussage aus dem Jahr 1913 geht auf Paul Koebe zurück: Ist $f\colon \mathbb {E} \to \mathbb {C}$ holomorph und beschränkt, und Randpunkte $a\not =b$ mit $|a|=|b|=1$ gegeben, sowie $\gamma _{n}$ eine Kollektion von Kurven in $\mathbb {E}$ mit Endpunkten $a_{n}\to a$ und $b_{n}\to b$ mit
    $\sup |f(\gamma _{n})|\to 0$
so folgt bereits $f\equiv 0$.
Tibor Radó zeigte 1924, dass eine beschränkte holomorphe Funktion $f\colon \mathbb {E} \to \mathbb {C}$ mit der Eigenschaft
    $\lim _{z\to z'}f(z)=0$ für alle $z'\in V\cap \partial \mathbb {E}$
für eine offene Umgebung $V$ von einem $|z_{0}|=1$ bereits $f\equiv 0$ erfüllt.

### Obere Halbebene
#### Invarianten

Es besitze eine holomorphe Funktion $f$ auf der oberen Halbebene $\mathbb {H} :=\{z\in \mathbb {C} \colon \operatorname {Im} (z)>0\}$ die folgenden Eigenschaften:
* Es gilt $f(z+2)=f(z)$ für alle $z\in \mathbb {H}$,
* Es gilt $f(-{\tfrac {1}{z}})=f(z)$ für alle $z\in \mathbb {H}$,
* Es ist $f$ auf $\mathbb {H}$ beschränkt.
Dann ist $f$ bereits konstant. Diese Aussage kann unter Zuhilfenahme des Maximumprinzips und der Tatsache, dass die Gruppe $\operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ durch Möbiustransformation auf der oberen Halbebene operiert, erhalten werden. Allgemeiner folgt sie aus der Theorie der Modulformen bzw. der Theorie kompakter Riemannscher Flächen.
Anwendungen der oberen Aussage betreffen analytische Beweise des Zwei-Quadrate-Satz und Vier-Quadrate-Satz.

#### Lage von Nullstellen

Es sei $f$ eine auf der oberen Halbebene $\mathbb {H} :=\{z\in \mathbb {C} \colon \operatorname {Im} (z)>0\}$ holomorphe Funktion, die folgende Eigenschaften erfüllt:
* Es ist $f(z_{k})=0$, wobei $z_{k}=x_{k}+iy_{k}$ mit $|x_{k}|\leq 1$ und $\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }y_{k}=\infty$.
* Es ist $f$ beschränkt.
Dann ist bereits $f\equiv 0$.

## Weitere Eigenschaften ganzer Funktionen
### Ordnung einer ganzen Funktion

Die Ordnung (im Sinne einer „Wachstumsordnung“) einer ganzen Funktion, falls existent, ist definiert durch die reelle Zahl $\alpha$ mit
    $\alpha =\operatorname {inf} \{c\in \mathbb {R} \mid |f(z)|\ll _{c}\exp(|z|^{c})\}.$
Es gibt Funktionen endlicher Ordnung, die nicht verschwinden, zum Beispiel $e^{z},e^{-3z^{2}},\dots$ usw. In gewissem Sinne sind dies bereits die allgemeinsten Beispiele, denn hat $f$ keine Nullstelle, so ist $\log(f)$ wieder ganz und es gilt $\operatorname {Re} (\log(f(z)))\ll C|z|^{\alpha +\varepsilon }$ mit einem $\varepsilon >0$. Demnach ist jede ganze Funktion ohne Nullstelle und endlicher Ordnung bereits von der Form $e^{g}$ mit einem Polynom $g$.
Ein Wachstumsgesetz kann auch an den Koeffizienten der Taylorreihe abgelesen werden. Gilt $\textstyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}z^{k}$ und
    $\limsup _{n\to \infty }n|c_{n}|^{\frac {1}{n}}\leq ce$,
so gilt bereits, dass $f(z)^{-(c+\varepsilon )|z|}$ global durch eine von $f$ und $\varepsilon >0$ abhängige Konstante beschränkt ist. Setzt man im Falle $f\not =0$ ferner $M(r):=\sup\{|f(z)|\colon |z|=r\}$ für jedes $r\geq 0$, so folgt
    $\limsup _{r\to \infty }{\frac {\log(M(r))}{r}}=\limsup _{n\to \infty }\left({\frac {n}{e}}\right)|c_{n}|^{\frac {1}{n}}=\limsup _{n\to \infty }\left|f^{(n)}(0)\right|^{\frac {1}{n}}$.

### Produktsatz von Hadamard

Der Produktsatz von Hadamard stellt eine Verschärfung des Produktsatzes von Weierstraß für den Fall ganzer Funktionen mit endlicher Ordnung $\alpha$ dar. Es bezeichnen $(z_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ die Nullstellen von $f$ in aufsteigender Betragsgröße sortiert, wobei $z_{n}\not =0$. Man definiert $P_{1}\equiv 0$ und für $k>1$
    $P_{k}(z)=z+{\frac {z^{2}}{2}}+\cdots +{\frac {z^{k-1}}{k-1}}.$
Ist nun $k$ die kleinste ganze Zahl mit $k>\alpha$, so gibt es ein Polynom $h$ vom Grade höchstens $\alpha$, sodass
    $f(z)=z^{m}e^{h(z)}\prod \left(1-{\frac {z}{z_{n}}}\right)e^{P_{k}\left({\tfrac {z}{z_{n}}}\right)}.$
Dabei ist $m$ die Nullstellenordnung von $f$ in 0. Das Produkt erstreckt sich im Falle endlich vieler Nullstellen nur über endlich viele Werte.

### Approximation stetiger Funktionen

Die Reichhaltigkeit der Menge ${\mathcal {O}}({\mathcal {\mathbb {C} }})$ der ganzen Funktionen im Gegensatz zum Polynomring $\mathbb {C} [z]\subset {\mathcal {O}}({\mathcal {\mathbb {C} }})$ wird unter anderem durch folgenden Satz von Torsten Carleman aus dem Jahr 1927 deutlich: Sei $\varepsilon \colon \mathbb {R} \to (0,\infty )$ eine stetige Funktion („Fehlerfunktion“). Dann gibt es zu jeder stetigen Funktion $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C}$ eine ganze Funktion $g$, sodass für alle $x\in \mathbb {R}$ gilt
    $|f(x)-g(x)|<\varepsilon (x).$
Für eine solche Approximationsstärke reicht die Auswahl an Polynomen nicht aus. So ist etwa die reelle Funktion $x\to \sin(x)$ keinesfalls auf ganz $\mathbb {R}$ durch Polynome mit Güte einer beliebigen Fehlerfunktion approximierbar. Nach einem Satz von Weierstraß ist dies jedoch auf kompakten Intervallen sehr wohl möglich.

### Transzendente Funktionen

Für den Fall endlicher Ordnung ist die Menge der rationalen Stellen, die zwei algebraisch unabhängige ganze Funktionen annehmen können, limitiert. Es bezeichnen $f_{1},\dots ,f_{n}$ ganze Funktionen mit der Eigenschaft $|f(z)|\leq C^{|z|^{\alpha }}$ für ein $C>1$ (im englischen strict order $\alpha$). Dabei sind mindestens zwei hiervon algebraisch unabhängig (also gehen nicht durch die vier Grundrechenarten auseinander hervor). Zudem wird verlangt, dass der Ring $\mathbb {Q} [f_{1},\dots ,f_{n}]$ bezüglich des Differentialoperators $\partial :={\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}$ sich selbst abbildet, es gibt also stets ein Polynom $P_{j}$ mit rationalen Koeffizienten, sodass
    $\partial f_{j}=P_{j}(f_{1},\dots ,f_{n}).$
Sind nun $w_{1},\dots ,w_{N}$ paarweise verschiedene komplexe Zahlen mit $f_{j}(w_{\ell })\in \mathbb {Q}$ für $j=1,\dots ,n$ und $\ell =1,\dots ,N$, gilt bereits $N\leq 4\alpha$. Eine klassische Anwendung dieses Satzes betrifft den Ring $\mathbb {Q} [z,e^{z}]$, der unter $\partial$ abgeschlossen ist. Dann besagt der Satz, dass keiner der Werte $e^{w}$ mit ganzen Zahlen $w\not =0$ rational sein kann, da es sonst alle Werte $e^{w},e^{2w},e^{3w},\dots$ wären. Analoge Resultate existieren für den Fall algebraischer und nicht bloß rationaler Zahlen. Eine wichtige Anwendung dieser Theorie ist der Satz von Gelfond-Schneider.

## Analytische Fortsetzung

Ist $f$ in einem Gebiet $D$ holomorph und entwickelt man $f$ um einen Punkt $c\in D$ in seine Taylor-Reihe, so ist deren Konvergenzradius $R>0$ mindestens gleich dem Abstand von $c$ zum Rand von $D$, er kann jedoch auch größer sein. In diesem Fall sagt man, dass $f$ über $D$ hinaus „analytisch fortgesetzt“ ist.

### Fortsetzung reeller Funktionen

Ist $f\colon I\to \mathbb {R}$ eine reelle Funktion auf einem echten Intervall $I=(a,b)$, so besitzt $f$ genau dann eine analytische Fortsetzung auf ein Gebiet $D\supset I$, falls $f$ reell-analytisch ist.

### Eindeutigkeit der analytischen Fortsetzung

Sei $D\subset \mathbb {C}$ ein Gebiet, $M\subset D$ eine Menge mit mindestens einem Häufungspunkt in $D$ und $f\colon M\to \mathbb {C}$ eine Funktion. Wenn eine holomorphe Funktion ${\widetilde {f}}\colon D\to \mathbb {C}$ existiert, die $f$ fortsetzt, d. h. ${\widetilde {f}}|_{M}=f$, so ist diese eindeutig bestimmt. Dieses Resultat ist eine einfache, aber sehr wichtige Folgerung des Identitätssatzes für holomorphe Funktionen. Ist zum Beispiel $M=\mathbb {R}$, $D=\mathbb {C}$ sowie $f(x)=e^{x}$, so besagt es, dass die Exponentialfunktion nur eine einzige Fortsetzung zu einer in ganz $\mathbb {C}$ holomorphen Funktion besitzt. Es gilt dann
    ${\widetilde {(e^{z})}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.$

### Monodromiesatz

Ein wichtiger Ansatz, eine zunächst lokal holomorphe Funktion auf größere Bereiche fortzusetzen, ist das Prinzip der analytischen Fortsetzung entlang einer Kurve. Ist $f$ holomorph in einem Punkt $z_{0}$, so kann sie dort in eine Taylor-Reihe entwickelt werden. Geht man nun vom Entwicklungspunkt weg, können am Rande des Konvergenzbereichs alle Ableitungen von $f$ bestimmt werden, womit eine erneute Taylor-Entwicklung möglich wird, deren Konvergenzbereich eventuell aus dem Bereich der ursprünglichen Entwicklung hinausreicht. Verfährt man so fort, kann $f$ eventuell entlang eines Weges bis zu einem Punkt $z_{1}$, der möglicherweise weit weg von $z_{0}$ liegt, fortgesetzt werden. Der Monodromiesatz besagt, dass wenn $z_{0}$ und $z_{1}$ durch zwei Wege $\gamma _{0}$ und $\gamma _{1}$ verbunden sind, die durch eine Abbildung $t\mapsto \gamma _{t}$ mit $0\leq t\leq 1$ stetig ineinander übergeführt werden können, sodass sich $f$ entlang jeden der Wege $\gamma _{t}$ analytisch fortsetzen lässt, dass dann die Fortsetzungen $f_{0}$ und $f_{1}$ von $f$ entlang $\gamma _{0}$ und $\gamma _{1}$ in $z_{1}$ beide übereinstimmen.

### Schwarzsches Spiegelungsprinzip

Das Schwarzsche Spiegelungsprinzip erlaubt unter gewissen Symmetrievoraussetzungen eine analytische Fortsetzung. Sei $D\not =\emptyset$ ein zu $\mathbb {R}$ symmetrisches Gebiet, das heißt $z\in D\implies {\overline {z}}\in D$, und man setze
    $D_{\pm }:=\{z\in D\mid \pm \operatorname {Im} (z)>0\}$, sowie $D_{0}:=D\cap \mathbb {R}$.
Dann gilt: Ist $f\colon D_{+}\cup D_{0}\to \mathbb {C}$ stetig, $f|_{D_{+}}\colon D_{+}\to \mathbb {C}$ holomorph und $f(D_{0})\subset \mathbb {R}$, dann ist die durch
    ${\widetilde {f}}(z):={\begin{cases}f(z),&\qquad z\in D_{+}\cup D_{0},\\{\overline {f({\overline {z}})}},&\qquad z\in D_{-}\end{cases}}$
definierte Funktion ${\widetilde {f}}\colon D\to \mathbb {C}$ holomorph. Dabei bezeichnet $z\mapsto {\overline {z}}$ die komplexe Konjugation.

### Holomorphiegebiete

Ein Gebiet $D$ heißt das Holomorphiegebiet einer in $D$ holomorphen Funktion $f$, wenn für jeden Punkt $c\in D$ die Konvergenzkreisscheibe der Taylorreihe von $f$ um $c$ in $D$ liegt. Dann folgt sofort: Ist $D$ das Holomorphiegebiet von $f$, so ist $D$ das „maximale Existenzgebiet“ von $f$, d. h. jedes Gebiet $D'\supseteq D$, in dem es eine Funktion ${\widehat {f}}\in {\mathcal {O}}(D')$ mit ${\widehat {f}}|_{D}=f$ gibt, stimmt mit $D$ überein. Es kann eine (auf einem Gebiet) holomorphe Funktion also niemals über ihr Holomorphiegebiet hinaus analytisch fortgesetzt werden. Im Allgemeinen besagt Holomorphiegebiet aber mehr als maximales Existenzgebiet. Die geschlitzte Ebene $\mathbb {C} _{-}$ ist z. B. das maximale Existenzgebiet der dort holomorphen Funktionen $z\mapsto {\sqrt {z}}$ und $z\mapsto \log(z)$, jedoch nicht deren Holomorphiegebiet: die Taylor-Reihen von $z\mapsto {\sqrt {z}}$ und $z\mapsto \log(z)$ um $c\in \mathbb {C} _{-}$ haben $B_{|c|}(c)$ als Konvergenzkreis, und es gilt $B_{|c|}(c)\not \subset \mathbb {C} _{-}$, falls $\operatorname {Re} (c)<0$. Die Funktionen $z\mapsto {\sqrt {z}}$ und $z\mapsto \log(z)$ sind „von oben und unten“ in jedem Punkt auf der negativen reellen Achse holomorph fortsetzbar, alle Randpunkte in $\mathbb {C} _{-}$ sind aber „singulär“ für $z\mapsto {\sqrt {z}}$ und $z\to \log(z)$ in dem Sinne, dass keiner eine Umgebung $U$ mit einer Funktion $f\in {\mathcal {O}}(U)$ hat, die in $U\cap \mathbb {C} _{-}$ mit $z\mapsto {\sqrt {z}}$ bzw. $z\to \log(z)$ übereinstimmt.
Es sind die Gebiete $\mathbb {C}$, $\mathbb {C} ^{\times }$ bzw. $\mathbb {E}$ die Holomorphiegebiete der Funktionen $z\mapsto z$, $z\mapsto {\tfrac {1}{z}}$ bzw.
    $z\mapsto \sum _{n=0}^{\infty }z^{2^{n}}$.
Der Existenzsatz für Holomorphiegebiete besagt, dass jedes Gebiet $D$ das Holomorphiegebiet irgendeiner dort holomorphen Funktion ist.

## Biholomorphe und schlichte Funktionen

Eine Funktion, die holomorph, bijektiv und deren Umkehrfunktion holomorph ist, nennt man biholomorph. In der Literatur wird statt biholomorph gelegentlich auch der Begriff konform verwendet. Aus dem Satz über implizite Funktionen folgt für holomorphe Funktionen einer Veränderlicher schon, dass eine bijektive, holomorphe Funktion stets eine holomorphe Umkehrabbildung besitzt.
Auch im Fall mehrerer Veränderlicher garantiert der Satz von Osgood die Eigenschaft, dass Bijektivität und Holomorphie automatisch Holomorphie der Umkehrabbildung impliziert. Somit kann man sagen, dass bijektive, holomorphe Abbildungen biholomorph sind.

### Inverse Funktion

Ist $f\colon U\rightarrow \mathbb {C}$ eine holomorphe Funktion und gilt $f'(a)\not =0$ für ein $a\in U$, so ist $f$ dort lokal biholomorph. Das heißt, dass es eine Umgebung $a\in V\subset U$ gibt, sodass die Einschränkung $f|_{V}\colon V\rightarrow f(V)$ biholomorph ist. Zu beachten ist die Lokalität der Biholomorphie. So verschwindet die Ableitung der komplexen Exponentialfunktion – sie selbst – an keiner Stelle, jedoch ist sie nicht injektiv, da zum Beispiel $e^{0}=e^{2\pi i}=1$. Andersherum verschwindet die Ableitung einer injektiven holomorphen Funktion an keiner Stelle ihres Definitionsbereichs. Trotz dieser Restriktion kann manchmal in einem gewissen Sinne nach unten hin quantifiziert werden, welche Kreisscheiben lokal injektiv abgebildet werden. Ist $f$ holomorph auf $\mathbb {E}$, $f(0)=0$ und $f'(0)=1$, sowie
    $\sup _{|z|<1}|f'(z)|<M<\infty$
existent, bildet $f$ die Kreisscheibe $B_{\frac {1}{M}}(0)$ biholomorph auf eine Menge ab, welche die Scheibe $B_{\frac {1}{2M}}(0)$ enthält.
Für die Umkehrfunktion einer biholomorphen Funktion kann mittels des Residuensatzes eine lokal gültige Darstellung hergeleitet werden. Ist $D$ ein Gebiet, $f\colon D\rightarrow f(D)$ biholomorph und ${\overline {B_{r}(a)}}\subset D$ eine abgeschlossene Kreisscheibe, dann gilt für alle $w\in f(B_{r}(a))$ die Formel:
    $f^{-1}(w)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial B_{r}(a)}{\frac {\zeta f'(\zeta )}{f(\zeta )-w}}\mathrm {d} \zeta .$
Dieser Ansatz kann verwendet werden, um Potenzreihen lokal umzukehren. Besitzt die biholomorphe Funktion $f$ – ohne Einschränkung der Allgemeinheit gelte $f(0)=0$ – um $0$ die lokale Entwicklung
    $f(z)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}z^{n},$ mit $a_{1}=f'(0)\not =0$,
so geben Philip M. Morse und Herman Feshbach die folgende Reihe für die Umkehrfunktion an:
    $f^{-1}(w)=\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}w^{k}$
mit
    $b_{k}={\frac {1}{ka_{1}^{k}}}\sum _{\ell _{1},\ell _{2},\ell _{3},\dots \geq 0 \atop \ell _{1}+2\ell _{2}+3\ell _{3}+\cdots =k-1}(-1)^{\ell _{1}+\ell _{2}+\ell _{3}+\cdots }{\frac {k(k+1)\cdots (k-1+\ell _{1}+\ell _{2}+\cdots )}{\ell _{1}!\ell _{2}!\ell _{3}!\cdots }}\left({\frac {a_{2}}{a_{1}}}\right)^{\ell _{1}}\left({\frac {a_{3}}{a_{1}}}\right)^{\ell _{2}}\cdots .$
Dabei bezeichnet das Symbol $!$ die Fakultät. Die ersten Werte sind
    $b_{1}={\frac {1}{a_{1}}}$, $b_{2}=-{\frac {a_{2}}{a_{1}^{3}}}$, $b_{3}={\frac {2a_{2}^{2}-a_{1}a_{3}}{a_{1}^{5}}}$ und $b_{4}={\frac {5a_{1}a_{2}a_{3}-a_{1}^{2}a_{4}-5a_{2}^{3}}{a_{1}^{7}}}$.
Die lokale Umkehrung von Potenzreihen ist auch Gegenstand der Lagrangeschen Inversionsformel.

### Riemannscher Abbildungssatz

Eine Klassifikation aller Elementargebiete liefert der Riemannsche Abbildungssatz. Dieser sagt aus, dass zwischen zwei Elementargebieten, die beide nicht ganz $\mathbb {C}$ umfassen, stets eine biholomorphe Abbildung existiert. Somit ist jedes Elementargebiet, das nicht ganz $\mathbb {C}$ ist, zur Einheitskreisscheibe biholomorph äquivalent. Es gibt daher aus der Sicht analytischer Abbildungen nur „zwei Typen“ von Elementargebieten, nämlich $\mathbb {C}$ und $\mathbb {E}$. Es ist aber zu beachten, dass $\mathbb {C}$ und $\mathbb {E}$ als topologische Räume homöomorph sind über die nichtholomorphe Abbildung $h\colon \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {E}$ mit
    $h(z)={\frac {z}{1+|z|}}.$
In einer Verallgemeinerung – dem Uniformisierungssatz – sagt der Riemannsche Abbildungssatz, dass jedes Elementargebiet in ${\overline {\mathbb {C} }}$ biholomorph äquivalent entweder zu $\mathbb {E}$, $\mathbb {C}$ oder ganz ${\overline {\mathbb {C} }}$ ist.

### Theorem von Carathéodory

Über das sog. Fortsetzungslemma kann eine Randaussage von auf dem Einheitskreis definierten biholomorphen Funktionen $f\colon \mathbb {E} \to D$ in ein Gebiet $D$ getroffen werden. Es kann $f$ genau dann zu einer in ganz ${\overline {\mathbb {E} }}$ stetigen Funktion nach ${\overline {D}}$ fortgesetzt werden, wenn der Rand von $D$ ein geschlossener Weg ist, d. h., es gibt eine stetige Abbildung $\varphi \colon \partial \mathbb {E} \to \mathbb {C}$ mit $\varphi (\partial E)=\partial D$. Constantin Carathéodory konnte diese Aussage präzisieren: Es lässt sich $f$ genau dann zu einem Homöomorphismus von ${\overline {\mathbb {E} }}$ nach ${\overline {D}}$ fortsetzen, wenn $\partial D$ eine geschlossene Jordan-Kurve ist, also $\varphi$ den Rand von $\mathbb {E}$ homöomorph auf den Rand von $D$ abbildet.

### Automorphismen

Bei Automorphismengruppen handelt es sich im Kontext holomorpher Funktionen um Kollektionen biholomorpher Selbstabbildungen. Für eine offene Menge $U\subset \mathbb {C}$ bezeichnet $\operatorname {Aut} (U)$ die Menge aller biholomorphen Abbildungen $f\colon U\rightarrow U$. Die Verknüpfung der Gruppe ist hierbei durch Verkettung gegeben. Beispielsweise enthält die Gruppe $\operatorname {Aut} (\mathbb {C} )$ als Elemente alle biholomorphen ganzen Funktionen.
Die Automorphismengruppe eines Gebietes $D$ enthält wichtige Informationen über dessen Funktionentheorie. So können zwei Gebiete nur dann biholomorph äquivalent sein, wenn ihre Automorphismengruppen isomorph sind.

#### Komplexe Zahlenebene

Jeder Automorphismus von $\mathbb {C}$ entspricht einer nichtkonstanten affin-linearen Abbildung, hat also die Form $f(z)=az+b$ mit $a\not =0$. Umgekehrt ist jede solche Funktion ein Automorphismus. Damit gilt
    $\operatorname {Aut} (\mathbb {C} )=\{f(z)=az+b\mid a,b\in \mathbb {C} ,a\not =0\}.$
Der Beweis zur Klassifikation benutzt die Tatsache, dass jeder Automorphismus $f$ eine ganze Funktion sein muss, aber in $\infty$ keine wesentliche Singularität haben kann, da andernfalls nach dem Satz von Casorati-Weierstraß die Umkehrfunktion $f^{-1}$ nicht stetig in $0$ wäre (alternativ kann man mit dem großen Satz von Picard direkt zeigen, dass $f$ nicht injektiv sein kann). Somit besitzt $f$ einen Pol in $\infty$ und ist ein Polynom, das Grad 1 haben muss, da jedes höhere Polynom nach dem Fundamentalsatz der Algebra als ganze Funktion nicht injektiv ist.

#### Gelochte Zahlenebene

Setzt man $\mathbb {C} ^{\times }:=\mathbb {C} \setminus \{0\}$, so gilt
    $\operatorname {Aut} (\mathbb {C} ^{\times })=\{f(z)=az\mid a\in \mathbb {C} ^{\times }\}\cup \{f(z)=az^{-1}\mid a\in \mathbb {C} ^{\times }\}.$
Die Gruppe $\operatorname {Aut} (\mathbb {C} ^{\times })$ ist nicht abelsch: Sie zerfällt in zwei zu $\mathbb {C} ^{\times }$ isomorphe Zusammenhangskomponenten.

#### Einheitskreisscheibe

Die Automorphismengruppe der Einheitskreisscheibe hat die Gestalt
    $\operatorname {Aut} (\mathbb {E} )=\left\{f(z)=\zeta {\frac {z-a}{1-{\overline {a}}z}}\colon |a|<1,|\zeta |=1\right\}.$
Betrachtet man die Untergruppe aller Abbildungen $f\in \operatorname {Aut} (\mathbb {E} )$ mit der Eigenschaft $f(0)=0$, so ergibt sich, dass diese genau von der Form $f(z)=\zeta z$ mit einem $|\zeta |=1$ sind. Es handelt sich also genau um alle Drehungen. Diese Aussage kann als Vorbereitung zur Bestimmung von ganz $\operatorname {Aut} (\mathbb {E} )$ dienen.

#### Gelochte Einheitskreisscheibe

Für $\mathbb {E} ^{\times }:=\mathbb {E} \setminus \{0\}$ gilt
    $\operatorname {Aut} (\mathbb {E} ^{\times })=\{f(z)=az\ \colon |a|=1\}$.
Damit ist $\operatorname {Aut} (\mathbb {E} ^{\times })$ zur Kreisgruppe isomorph.

#### Obere Halbebene

Obwohl die obere Halbebene der komplexen Zahlen biholomorph äquivalent zur Einheitskreisscheibe ist, nämlich über die Abbildung $\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {E} ,z\mapsto {\tfrac {z-i}{z+i}}$, ist es von Interesse, ihre Automorphismengruppe separat anzugeben. Grund hierfür ist der Zusammenhang zur hyperbolischen Geometrie sowie zur Theorie der Modulfunktionen.
Die Automorphismengruppe ist
    $\operatorname {Aut} (\mathbb {H} )=\left\{f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}\ \colon a,b,c,d\in \mathbb {R} ,ad-bc=1\right\}.$
Jedes $f\in \operatorname {Aut} (\mathbb {H} )$ korrespondiert also zu einer Matrix
    $M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {R} )$
und für zwei $f,g\in \operatorname {Aut} (\mathbb {H} )$ gilt $f=g$ genau dann, wenn für die zugehörigen Matrizen $M_{f}$ und $M_{g}$ gilt $M_{f}=\pm M_{g}$. Dabei bezeichnet $\operatorname {SL} _{2}(\mathbb {R} )$ die spezielle lineare Gruppe der reellen $2\times 2$-Matrizen. Ferner sind sogar die Gruppen $\operatorname {Aut} (\mathbb {H} )$ und $\operatorname {SL} _{2}(\mathbb {R} )/\{\pm E_{2}\}$ zueinander isomorph vermöge $f\mapsto [M_{f}]$. Dabei bezeichnet $E_{2}$ die $2\times 2$-Einheitsmatrix.

#### Starre Gebiete

Bei starren Gebieten $D$ handelt es sich um Gebiete mit der Eigenschaft $\operatorname {Aut} (D)=\{\mathrm {id} \colon D\to D\}$. Die Gruppe der Automorphismen von $D$ ist also trivial. Beispiel eines starren Gebietes ist $\mathbb {E} \setminus \{0,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{4}}\}$.

## Asymptotische Analysis holomorpher Funktionen
### Definitionen und elementare Eigenschaften

Eine formale Potenzreihe $\Sigma \ a_{n}z^{n}$ heißt asymptotische Entwicklung einer holomorphen Funktion $f\colon D\to \mathbb {C}$ auf einem Gebiet mit $0\in \partial D$, falls für alle $k\in \mathbb {N} _{0}$ gilt
    $\lim _{z\to 0 \atop z\in D}z^{-k}\left(f(z)-\sum _{n=0}^{k}a_{n}z^{n}\right)=0.$
So ein $f$ hat stets höchstens eine asymptotische Entwicklung. Die Existenz einer asymptotischen Entwicklung hängt empfindlich von der Art des Gebietes ab. So besitzt die Funktion $f(z)=\exp({\tfrac {1}{z}})$ für $D=\mathbb {C} ^{\times }$ keine asymptotische Entwicklung, jedoch für jeden Kreissektor $D=S_{\varepsilon }:=\{z\in \mathbb {C} \mid {\tfrac {\pi }{2}}+\varepsilon <\mathrm {arg} (z)<{\tfrac {3\pi }{2}}-\varepsilon \}$ mit $0<\varepsilon <{\tfrac {\pi }{2}}.$ Hat $f\in {\mathcal {O}}(D)$ eine holomorphe Fortsetzung ${\widehat {f}}\in {\mathcal {O}}({\widehat {D}})$ in ein Gebiet ${\widehat {D}}$ mit $0\in {\widehat {D}}\supset D$, so entspricht die asymptotische Entwicklung der Funktion $f$ der Taylorentwicklung von ${\widehat {f}}$ um 0.
Ist $f$ holomorph und $\textstyle f(z)\sim \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ für $z\to 0$ gleichmäßig auf einem Kreissektor $S=\{z\in \mathbb {C} \colon \alpha \leq \mathrm {Arg} (z)\leq \beta ,0<|z|<R\}$, so folgt bereits
    $f'(z)\sim \sum _{n=1}^{\infty }na_{n}z^{n-1}$
auf $S$. Dabei bedeutet gleichmäßig, dass
    $f(z)-\sum _{n=0}^{N}a_{n}z^{n}=O_{N}(z^{N+1})$
für $z\to 0$ in $S$ und $N\in \mathbb {N}$, wobei die $O$-Konstante aber nicht von der Wahl des Weges von $z$ abhängt.

### Existenz asymptotischer Entwicklungen

Folgendes Kriterium ist für die Existenz asymptotischer Entwicklungen hinreichend. Sei $D$ ein Gebiet mit $0\in \partial D$, sodass es zu jedem Punkt $z\in D$ eine Nullfolge $c_{\nu }$ gibt mit der Eigenschaft, dass jede Strecke $[c_{\nu },z]$ in $D$ liegt. Ist dann $f$ eine in $D$ holomorphe Funktion, für die alle Limites $f^{(n)}(0):=\lim _{z\to 0}f^{(n)}(z)$ existieren, so hat $f$ die asymptotische Entwicklung
    $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}z^{n}.$
Zu beachten ist, dass die an $D$ gestellten Voraussetzungen für alle Kreissektoren um 0 erfüllt sind.

### Satz von Ritt

Die Frage, welche Bedingungen Potenzreihen erfüllen müssen, um als asymptotische Entwicklung holomorpher Funktionen aufzutreten, hat für Kreissektoren um 0 eine einfache Antwort: Es gibt keine solchen Bedingungen. Genauer gilt der Satz von Ritt: Ist $S$ ein echter Kreissektor um 0, so existiert zu jeder formalen Potenzreihe $\Sigma \ a_{n}z^{n}$ eine in $S$ holomorphe Funktion $f$, sodass gilt:
    $f\sim _{S}\sum a_{\nu }z^{\nu }.$

### Summenformeln

In manchen Anwendungen ist es vonnöten, Summen der Gestalt $\textstyle g(z)=\sum _{n=1}^{\infty }f(nz)$ für $z\to 0^{+}$ (in einem Winkelbereich) zu verstehen. Erfüllt $f$ gewisse Eigenschaften, darunter Holomorphie, kann dies bewerkstelligt werden. Im Folgenden sei stets $D_{\theta }:=\{re^{i\alpha }\colon r\geq 0,|\alpha |\leq \theta \}$ mit einem $0\leq \theta <{\tfrac {\pi }{2}}$.
Es sei nun $f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C}$ eine Funktion, die in einer Umgebung von $D_{\theta }$ holomorph ist, insbesondere im Ursprung. Ferner gebe es für jedes $k\in \mathbb {N} _{0}$ ein $\varepsilon >0$, so dass $f(w)=O(w^{-1-\varepsilon })$ wenn $|w|\to \infty$ in $D_{\theta }$. Dann gilt für alle $a\in \mathbb {R}$ und $N\in \mathbb {N} _{0}$:
    $\sum _{m=0}^{\infty }f(w(m+a))={\frac {1}{w}}\int _{0}^{\infty }f(x)\mathrm {d} x-\sum _{n=0}^{N-1}{\frac {B_{n+1}(a)f^{(n)}(0)}{(n+1)!}}w^{n}+O_{N}(w^{N})$
gleichmäßig, sofern $w\to 0$ in $D_{\theta }$. Dabei bezeichnen $B_{n}(x)$ die Bernoulli-Polynome. Die Aussage lässt sich sogar auf den Fall verallgemeinern, dass $f$ einen einfachen Pol im Ursprung mit Residuum $b_{-1}$ hat. Gelten sonst alle Voraussetzungen wie oben, so gilt in dieser Situation für $a\in \mathbb {R} \setminus (-\mathbb {N} _{0})$
    $\sum _{m=0}^{\infty }f(w(m+a))={\frac {b_{-1}\operatorname {Log} ({\frac {1}{w}})}{w}}+{\frac {b_{-1}(1-a)}{w}}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{(m+a)(m+1)}}+{\frac {1}{w}}\int _{0}^{\infty }\left(f(x)-{\frac {b_{-1}e^{-x}}{x}}\right)\mathrm {d} x-\sum _{n=0}^{N-1}{\frac {B_{n+1}(a)f^{(n)}(0)}{(n+1)!}}w^{n}+O_{N}(w^{N})$
gleichmäßig, sofern $w\to 0$ in $D_{\theta }$. Es bezeichnet $O$ das Landau-Symbol.

### Holomorphie als Bedingung in Taubersätzen

Taubersätze nutzen Eigenschaften von Potenz- oder Dirichlet-Reihen, um Aussagen über das Verhalten bestimmter Summen zu erhalten. Jedoch gelten diese oft nur unter technischen Bedingungen an die Funktion, die mit der zu untersuchenden Summe zusammenhängt. Holomorphie kann dabei helfen, die Bedingungen eines Taubersatzes zu erfüllen. Dies betrifft etwa einen Taubersatz von Donald Newman, der sich auf Dirichlet-Reihen bezieht: Ist
    $F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}},$ wobei $\operatorname {Re} (s)>1$,
mit $|a_{n}|\leq C$ für alle $n\in \mathbb {N}$, und lässt sich $F(s)$ holomorph auf die Gerade $\operatorname {Re} (s)=1$ fortsetzen, so gilt bereits
    $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n}}=F(1).$
Dieser Satz kann dazu verwendet werden, den Primzahlsatz mit einfachen funktionentheoretischen Methoden zu beweisen. Ähnliche Aussagen gelten unter abgeschwächten Bedingungen, also ohne Holomorphie auf dem Rand, wie beim Satz von Wiener-Ikehara, doch dieser ist aus analytischer Sicht schwerer zu beweisen.
Zu beachten ist, dass die analoge Aussage für Potenzreihen trivialerweise gilt. Ist also $\textstyle z\mapsto \sum \ a_{n}z^{n}$ konvergent für $|z|<1$ und besitzt eine holomorphe Fortsetzung auf den Rand $\partial \mathbb {E}$, so ist $\textstyle \sum \ a_{n}$ sogar absolut konvergent.

## Integraltransformationen

In einigen Anwendungen zu holomorphen Funktionen tauchen Integraltransformationen auf. Diese sind von der Form
    $f(z)=\int _{C}k(w,z)g(w)\mathrm {d} w,$
wobei $C$ ein bestimmter Weg in der komplexen Ebene und $g$ eine geeignete, zu transformierende Funktion ist. Es ist $k$ der für die Art der Transformation eigentümliche Integralkern.

### Allgemeine Holomorphieaussagen

In vielen Fällen ist der Integrationsweg in einer Integraltransformation unendlich lang, weshalb neben der Leibnizschen Regel auch hier Kriterien geschaffen werden müssen, dass die Transformierte eine holomorphe Funktion ist. Dabei hilft: Es sei $a\in \mathbb {C}$, $U$ eine offene Menge und $f\colon [a,\infty )\times U\to \mathbb {C}$ eine stetige Funktion. Man bezeichnet das Integral
    $F(z):=\int _{a}^{\infty }f(t,z)\mathrm {d} t$
als gleichmäßig konvergent auf Kompakta in $U$, falls $\textstyle \lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(t,z)\mathrm {d} t$ existiert und gleichmäßig auf Kompakta in $U$ konvergiert. Trifft dies nun zu, und ist zudem $z\mapsto f(t,z)$ für jedes $t\in (a,\infty )$ holomorph, so ist $F$ holomorph auf $U$, und es gilt
    $F^{(k)}(z)=\int _{a}^{\infty }{\frac {\partial ^{k}}{\partial z^{k}}}f(t,z)\mathrm {d} t$
für alle $k\in \mathbb {N}$.

### Holomorphie im Kontext bedeutender Integraltransformationen
#### Fourier-Transformation

Für den Fall, dass eine Funktion $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C}$ passende Bedingungen hinsichtlich Stetigkeit und Wachstum für $|x|\to \infty$ erfüllt, kann ihre Fourier-Transformierte ${\hat {f}}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C}$ durch
    ${\hat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\xi }\mathrm {d} x$
definiert werden. Es gilt dann die Rücktransformation
    $f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi i\xi x}\mathrm {d} \xi .$
Erfüllt ${\hat {f}}$ die Wachstumsbedingung $|{\hat {f}}(\xi )|\leq Ae^{-2\pi a|\xi |}$ für Konstanten $a,A>0$, so ist $f$ die Einschränkung auf $\mathbb {R}$ einer auf dem Streifen $\{z\in \mathbb {C} \colon |\operatorname {Im} (z)|<a\}$ holomorphen Funktion. Der Satz von Paley-Wiener besagt ferner, dass wenn $f$ stetig ist und $|f(x)|\leq {\tfrac {B}{1+x^{1+\varepsilon }}}$ für $B,\varepsilon >0$ für alle $x\in \mathbb {R}$ (d. h. moderat abklingt), sich $f$ zu einer ganzen Funktion fortsetzt mit $|f(z)|\leq Ae^{2\pi M|z|}$ für $A,M>0$ und alle $z\in \mathbb {C}$, genau dann wenn der Träger von ${\hat {f}}$ im Intervall $[-M,M]$ liegt. Klingen $f$ und ${\hat {f}}$ beide moderat ab, so gilt ${\hat {f}}(\xi )=0$ für alle $\xi <0$ genau dann, wenn sich $f$ stetig auf die abgeschlossene obere Halbebene $\{z\in \mathbb {C} \colon \operatorname {Im} (z)\geq 0\}$ fortsetzt, dort beschränkt und in deren Innern zudem holomorph ist.
Unter Ausnutzung, dass $x\mapsto e^{-\pi x^{2}}$ ihre eigene Fourier-Transformierte ist, kann zudem Folgendes gezeigt werden: Ist $f$ eine ganze Funktion mit $|f(x+iy)|\leq e^{-ax^{2}+by^{2}}$ mit $a,b>0$, so lässt sich auch ${\hat {f}}$ zu einer ganzen Funktion fortsetzen, und es gilt $|{\hat {f}}(\xi +i\eta )|\leq c'e^{-a'\xi ^{2}+b'\eta ^{2}}$ für irgendwelche $a',b',c'>0$.

#### Mellin-Transformation

Eng verwandt zur Fourier-Transformation ist die Mellin-Transformation, die definiert ist durch
    ${\mathcal {M}}(f)(s):=\int _{0}^{\infty }f(t)t^{s-1}\mathrm {d} t.$
Ist $f$ stückweise stetig auf $(0,\infty )$, erfüllt $f(t)=O(t^{-\alpha })$ für $t\to 0^{+}$ und $f(t)=O(t^{-\beta })$ für $t\to \infty$, so ist $s\mapsto {\mathcal {M}}(f)(s)$ eine im Streifen $\{s\in \mathbb {C} \colon \alpha <\operatorname {Re} (s)<\beta \}$ holomorphe Funktion. Für den Fall, dass $f$ für $t\to \infty$ schnell abklingt (etwa exponentiell), und zudem eine asymptotische Entwicklung der Form
    $f(t)\sim \sum _{n=0}^{\infty }t^{\alpha _{n}}\log ^{m_{n}}(t),\qquad \alpha _{1}<\alpha _{2}<\cdots \to \infty ,m_{n}\in \mathbb {N} _{0},$
für $t\to 0^{+}$ besitzt, lässt sich ${\mathcal {M}}(f)$ holomorph nach ganz $\mathbb {C} \setminus \{-\alpha _{1},-\alpha _{2},-\alpha _{3},...\}$ fortsetzen mit Polen $m_{n}+1$-ter Ordnung in $s=-\alpha _{n}$ und Hauptterm
    ${\frac {(-1)^{m_{n}}m_{n}!}{(s+\alpha _{n})^{m_{n}}}}.$
Besonders diese Eigenschaft macht die Mellin-Transformation bei der analytischen Fortsetzung von (verallgemeinerten) Dirichlet-Reihen zu einem nützlichen Werkzeug.
Für eine im Streifen $\{s\in \mathbb {C} \colon \alpha <\operatorname {Re} (s)<\beta \}$ holomorphe Mellin-Transformierte ${\mathcal {M}}(f)$ gilt für alle $0<t<\infty$ die Umkehrformel
    $f(t)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\mathcal {M}}(f)(s)t^{-s}\mathrm {d} s,$
wobei $\alpha <c<\beta$ nach Belieben gewählt werden darf.

#### Laplace-Transformation

Ist $f\colon [0,\infty )\to \mathbb {C}$ eine stückweise stetige Funktion, so ist ihre Laplace-Transformierte definiert durch
    ${\mathcal {L}}(f)(z):=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-zt}\mathrm {d} t.$
Ist für alle $t\geq 0$ die Abschätzung $|f(t)|\leq Ae^{Bt}$ für ein $A>0$ und ein $B\in \mathbb {R}$, so ist $z\mapsto {\mathcal {L}}(f)(z)$ eine auf der Halbebene $\{z\in \mathbb {C} \colon \operatorname {Re} (z)>B\}$ holomorphe Funktion. Gilt zusätzlich die Entwicklung
    $f(t)=b_{0}+b_{1}t+{\frac {b_{2}}{2!}}t^{2}+\cdots +{\frac {b_{N-1}}{(N-1)!}}t^{N-1}+O(t^{N})$
für $t\to 0^{+}$, so folgt bereits
    ${\mathcal {L}}(f)(z)={\frac {b_{0}}{z}}+{\frac {b_{1}}{z^{2}}}+{\frac {b_{2}}{z^{3}}}+\cdots +{\frac {b_{N-1}}{z^{N}}}+O\left({\frac {1}{\operatorname {Re} (z)^{N+1}}}\right)$
für $\operatorname {Re} (z)\to \infty$. Dieses Prinzip erweist sich zum Beispiel für den Beweis der Stirling-Formel, einer Approximation der natürlichen holomorphen Fortsetzung der Fakultätsfunktion durch einen geschlossenen Funktionsterm, als nützlich.
Ist $f\colon [0,\infty )\to \mathbb {C}$ stückweise stetig und außerdem beschränkt, so folgt aus der holomorphen Fortsetzbarkeit von ${\mathcal {L}}(f)$ auf $\{z\in \mathbb {C} \colon \operatorname {Re} (z)\geq 0\}$ bereits, dass
    $\int _{0}^{\infty }f(t)\mathrm {d} t={\mathcal {L}}(f)(0).$
Ist $f\colon [0,\infty )\to \mathbb {R}$ nichtnegativ und nichtfallend, und ist ${\mathcal {L}}(f)$ holomorph auf $\{z\in \mathbb {C} \colon \operatorname {Re} (z)>1\}$, und gibt es eine Konstante $C$, so dass
    $z\mapsto {\mathcal {L}}(f)(z)-{\frac {C}{z-1}}$
auf $\{z\in \mathbb {C} \colon \operatorname {Re} (z)\geq 1\}$ holomorph fortgesetzt werden kann, folgt
    $f(t)e^{-t}\,\,\,{\overset {t\to \infty }{\longrightarrow }}\,\,\,C.$
Dies ist eine „holomorphe Variante“ des Satzes von Wiener-Ikehara, der auch für stetige Fortsetzungen funktioniert, jedoch unter diesen Umständen weitaus schwerer zu beweisen ist, wobei abkürzende Beweise im holomorphen Fall von Donald Newman und Jacob Korevaar gegeben wurden, die die durch die holomorphe Struktur verfügbare Cauchysche Integralformel benutzen. Die holomorphe Variante reicht in vielen Fällen bereits aus. Es kann mit ihrer Hilfe schon der Primzahlsatz gezeigt werden.

## Algebraische Eigenschaften
### Der Ring O(D) mit Gebiet D

Durch komponentenweise Addition und Multiplikation wird die Menge ${\mathcal {O}}(D)$ zu einem kommutativen Ring mit 1 (nach Zulassen einer skalaren Multiplikation sogar zu einer $\mathbb {C}$-Algebra). Über den Identitätssatz für holomorphe Funktionen lässt sich zeigen, dass ${\mathcal {O}}(D)$ nullteilerfrei ist. Es ist der Körper der meromorphen Funktionen ${\mathcal {M}}(D)$ gerade der Quotientenkörper von ${\mathcal {O}}(D)$.
Aus idealtheoretischer Sicht sind die Ringe ${\mathcal {O}}(D)$ schwieriger zu behandeln als zum Beispiel $\mathbb {Z}$ oder $\mathbb {Z} [i]$. Definiert man zu einer unendlich mächtigen, aber lokal endlichen Menge $A\subset D$ zum Beispiel das Ideal
    ${\mathfrak {a}}:=\{f\in {\mathcal {O}}(D)\mid f\ {\text{verschwindet fast überall auf}}\ A\},$
so kann man folgern, dass ${\mathcal {O}}(D)$ nicht noethersch ist, also insbesondere niemals ein Hauptidealring. Aus dem Produktsatz für allgemeine Gebiete lässt sich sogar folgern, dass ${\mathcal {O}}(D)$ nicht faktoriell ist. Nichtsdestotrotz existieren gewisse Strukturen, so kann etwa nach dem Lemma von Wedderburn die 1 erzeugt werden: Sind $u,v$ zwei zueinander teilerfremde holomorphe Funktionen (d. h., es gibt keine Nicht-Einheit $\omega \in {\mathcal {O}}(D)$, sodass $u\omega ^{-1},v\omega ^{-1}\in {\mathcal {O}}(D)$), so gibt es $a,b\in {\mathcal {O}}(D)$ mit
    $au+bv=1.$
Daraus kann gefolgert werden, dass zumindest jedes endlich erzeugte Ideal ${\mathfrak {b}}\subset {\mathcal {O}}(D)$ bereits ein Hauptideal ist. Nach dem Hauptsatz der Idealtheorie in ${\mathcal {O}}(D)$ sind für ein Ideal ${\mathfrak {b}}\subset {\mathcal {O}}(D)$ sogar folgende Aussagen äquivalent:
* ${\mathfrak {b}}$ ist endlich erzeugt.
* ${\mathfrak {b}}$ ist ein Hauptideal.
* ${\mathfrak {b}}$ ist abgeschlossen.
Dabei bedeutet Abgeschlossenheit, dass die Grenzfunktion jeder kompakt konvergenten Folge $f_{n}\in {\mathfrak {b}}$ wieder in ${\mathfrak {b}}$ liegt.

### Die Sätze von Bers und Iss’sa

Der Satz von Bers charakterisiert alle $\mathbb {C}$-Algebren-Homomorphismen zwischen $\mathbb {C}$-Algebren auf Gebieten holomorpher Funktionen.
Es seien $D,{\widehat {D}}$ Gebiete. Dann besagt der Satz von Bers: Zu jedem $\mathbb {C}$-Algebra-Homomorphismus $\varphi \colon {\mathcal {O}}(D)\to {\mathcal {O}}({\widehat {D}})$ gibt es genau eine Abbildung $h\colon {\widehat {D}}\to D$, sodass $\varphi (f)=f\circ h$ für alle $f\in {\mathcal {O}}(D)$. Es gilt $h=\varphi (\mathrm {id} _{D})\in {\mathcal {O}}({\widehat {D}})$ und es ist $\varphi$ genau dann bijektiv, wenn $h$ biholomorph ist.
Es ist demnach $D$ biholomorph äquivalent zu ${\widehat {D}}$ genau dann, wenn ${\mathcal {O}}(D)\cong {\mathcal {O}}({\widehat {D}})$ (als $\mathbb {C}$-Algebren). Zudem ist jeder $\mathbb {C}$-Algebra-Homomorphismus $\varphi \colon {\mathcal {O}}(D)\to {\mathcal {O}}({\widehat {D}})$ von selbst stetig in dem Sinne, dass wenn $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in {\mathcal {O}}(D)$ kompakt konvergiert, bereits $\varphi (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in {\mathcal {O}}({\widehat {D}})$ kompakt konvergiert.
Ausgeweitet wird dieses Resultat durch den Satz von Iss’sa, da hier sogar der Körper der in $D$ bzw. ${\widehat {D}}$ meromorphen Funktionen betrachtet wird. Ist also $\varphi \colon {\mathcal {M}}(D)\to {\mathcal {M}}({\widehat {D}})$ ein Homomorphismus von $\mathbb {C}$-Algebren, so gibt es ein $h\in {\mathcal {O}}({\widehat {D}})$, sodass stets $\varphi (f)=f\circ h$.

## Anwendungen

Holomorphe Funktionen werden systematisch im Rahmen der mathematischen Disziplin Funktionentheorie untersucht. Sie kommen zudem im Umfeld der reellen Analysis, theoretischen Physik, algebraischen Geometrie, Darstellungstheorie (im Kontext zu Modulformen), Kombinatorik, transzendenten Zahlen und analytischen Zahlentheorie zum Einsatz.

### Bedeutung für die Physik

In der theoretischen Physik treten holomorphe Funktionen unter anderem im Kontext zu Riemannschen Flächen auf. So spielt etwa der Raum aller holomorphen Funktionen von einer Riemannschen Fläche in eine $n$-dimensionale Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit eine wichtige Rolle in Mirror Symmetry, die in der Stringtheorie Anwendung findet.

### Anwendung in der Zahlentheorie
#### Dirichlet-Reihen

Wächst eine zahlentheoretische Funktion $a_{n}$ nicht zu schnell, also $a_{n}=O(n^{A})$ für eine reelle Konstante $A$, so wird für alle komplexen Werte $s$ mit $\operatorname {Re} (s)>A+1$ die Reihe
    $F(s):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}$
absolut konvergieren. Man bezeichnet diesen Typ Reihe auch als Dirichlet-Reihe. Es gibt dann eine Konstante $\sigma _{0}$, die Konvergenzabszisse, sodass die Reihe für alle Werte $\operatorname {Re} (s)>\sigma _{0}$ bedingt konvergiert und für $\operatorname {Re} (s)<\sigma _{0}$ divergiert. Die Reihe konvergiert auf kompakten Teilmengen gleichmäßig, womit sie eine auf der Halbebene $\operatorname {Re} (s)>\sigma _{0}$ holomorphe Funktion ist.
Ähnlich wie Potenzreihen dienen Dirichlet-Reihen dazu, zahlentheoretische Funktionen zu untersuchen. Etwa kann die Holomorphie von Dirichlet-Reihen dazu verwendet werden, die Perronschen Formeln zu zeigen, um summatorische Funktionen $\textstyle \sum _{0<n\leq x}a_{n}$ zu studieren. Während Potenzreihen besonders in der additiven Zahlentheorie Anwendung finden, treten Dirichlet-Reihen vor allem in der multiplikativen Zahlentheorie auf. Ein wichtiges Beispiel ist die Riemannsche Zeta-Funktion
    $\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},\qquad \operatorname {Re} (s)>1,$
die sogar auf ganz $\mathbb {C} \setminus \{1\}$ holomorph fortgesetzt werden kann. Durch ihre Verbindung zu den Primzahlen (siehe Euler-Produkt) spielt sie eine Schlüsselrolle in der analytischen Zahlentheorie. Aufgrund ihrer Holomorphie ist es möglich, exakte Informationen über Primzahlen aus ihrem Verhalten als Funktion, wie zum Beispiel der Verteilung ihrer Nullstellen, abzuleiten. Dies betrifft zum Beispiel den Primzahlsatz, der jedoch unter Annahme der Riemannschen Vermutung deutlich verbessert werden kann. Die weitaus allgemeineren L-Funktionen sind ebenso von großer Wichtigkeit in der Zahlentheorie. Dies betrifft etwa den Modularitätssatz, aber auch die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer.

#### Modulformen und q-Reihen

Klassische Modulformen sind auf der oberen Halbebene $\{z\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Im} (z)>0\}$ holomorphe Funktionen $f$, die bestimmte Transformationsgestze bezüglich Untergruppen $\Gamma \subset \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ endlichen Indexes erfüllen und ein „holomorphes Verhalten“ in den Randpunkten $\mathbb {Q} \cup \{i\infty \}$ aufweisen, zum Beispiel durch Besitz eine Fourier-Entwicklung der Form
    $f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}q^{\frac {n}{N}},\qquad q:=e^{2\pi iz}$ mit einer natürlichen Zahl $N$.
Die Bedingung der Holomorphie liefert dabei eine entscheidende Zutat für die Seltenheit von Modulformen, da sie im Beweis der Valenzformel (in Form des Null- und Polstellen zählenden Integrals) eingeht. Aus dieser kann gefolgert werden, dass der Raum aller Modulformen eines festen Gewichts $k\in \mathbb {Z}$ bezüglich einer Kongruenzuntergruppe stets endlichdimensional ist, was weitreichende Konsequenzen nach sich zieht.

#### Kreismethode

Die Kreismethode gehört zu den wichtigsten Anwendungen holomorpher Funktionen in der Zahlentheorie. Ausgangspunkt ist eine Folge ganzer Zahlen $a_{n}$, die nicht zu schnell anwachsen, und deren Wachstumsverhalten man verstehen möchte. Betrachtet wird dann die Funktion
    $F(q)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}q^{n},$
wobei die Reihe für $|q|<1$ konvergieren, und für $|q|>1$ divergieren soll. Dies ist zum Beispiel dann der Fall, wenn die $a(n)$ mit polynomieller Geschwindigkeit wachsen oder bis auf eine Konstante kleiner als $e^{n^{\delta }}$ für ein $0<\delta <1$ sind. Über die Cauchysche Integralformel erhält man
    $a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {F(q)}{q^{n+1}}}\mathrm {d} q,$
wenn der geschlossene Weg, etwa ein Kreis mit Radius $0<r<1$, die 0 einfach in mathematisch positiver Richtung umschließt. Dabei ist es üblich, den Radius der Integrationskurve in Abhängigkeit von $n$ zu wählen, also $r=r_{n}$, und $r_{n}\to 1$ für $n\to \infty$ mit richtiger Konvergenzgeschwindigkeit zu fordern. Ist die Folge $a_{n}$ positiv und monoton steigend, ist davon auszugehen, dass $F(q)$ in der Nähe von $q=1$ unendlich groß wird und dieses Wachstum das Verhalten an allen anderen Randpunkten dominiert. Daher sollte der Integrationsabschnitt in der Nähe von $q=1$ auch den ausschlaggebenden Beitrag für den Wert der $a_{n}$ liefern. Ein detailliertes Studium der Funktion $F(q)$ in der Nähe von $q=1$, aber auch ggf. anderer Randwerte, kann also zu einem Verständnis der $a_{n}$ führen.
Erstmals wurde die Kreismethode von Godfrey Harold Hardy und Srinivasa Ramanujan angewandt, um die Partitionsfunktion $p$ zu untersuchen. Ihnen gelang mit ihrer Hilfe die asymptotische Schätzung
    $p(n)\sim {\frac {1}{4{\sqrt {3}}n}}\exp \left(\pi {\sqrt {\frac {2n}{3}}}\right),\qquad n\to \infty .$
Als Ausgangspunkt diente die für alle $|q|<1$ gültige, von Leonhard Euler gefundene, Identität
    $\sum _{n=0}^{\infty }p(n)q^{n}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{1-q^{n}}}.$
Hans Rademacher konnte mit ähnlichen Methoden sogar eine exakte Formel für $p(n)$ ableiten. Seine Methode nutzt die Modularität der Dedekindschen Etafunktion. Weitere Anwendungen liegen im Umfeld des Waringschen Problems und allgemein Lösungsanzahlen diophantischer Gleichungen.

### Komplexe Geometrie

Auch in der komplexen Geometrie werden holomorphe Abbildungen betrachtet. So kann man holomorphe Abbildungen zwischen Riemannschen Flächen oder zwischen komplexen Mannigfaltigkeiten analog zu differenzierbaren Funktionen zwischen glatten Mannigfaltigkeiten definieren. Außerdem gibt es ein für die Integrationstheorie wichtiges Pendant zu den glatten Differentialformen, das holomorphe Differentialform heißt.

## Holomorphe Funktionen mehrerer Veränderlicher

Sei $D\subseteq \mathbb {C} ^{n}$ eine offene Teilmenge. Eine Abbildung $f\colon D\to \mathbb {C}$ heißt holomorph, falls sie sich um jeden Punkt des Definitionsbereichs in eine Potenzreihe entwickeln lässt, das heißt, zu jedem $w=(w_{1},\dotsc ,w_{n})\in D$ gibt es einen Polykreis $\Delta (w;r_{1},\dotsc ,r_{n})\subset D$, sodass
    $f(z)=\sum _{k_{1},\dotsc ,k_{n}=0}^{\infty }a_{k_{1},\dotsc ,k_{n}}(z_{1}-w_{1})^{k_{1}}\cdots (z_{n}-w_{n})^{k_{n}}$
für alle $z\in \Delta (w;r_{1},\dotsc ,r_{n})$ mit von $z$ unabhängigen Koeffizienten $a_{k_{1},\dotsc ,k_{n}}\in \mathbb {C}$ gilt. Eine Funktion $f\colon D\to \mathbb {C}$ heißt holomorph in der $j$-ten Variablen, wenn sie als Funktion von $z_{j}$ bei festgehaltenen übrigen Variablen holomorph ist. Holomorphe Funktionen sind natürlich in jeder Variablen holomorph. Für die Umkehrung siehe die untenstehenden äquivalenten Charakterisierungen.
Mit dem Wirtinger-Kalkül $\textstyle {\frac {\partial }{\partial z^{j}}}$ und $\textstyle {\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}^{j}}}$ steht ein Kalkül zur Verfügung, mit dem man die partiellen Ableitungen einer komplexen Funktion wie bei Funktionen einer Veränderlichen behandeln kann.
Für eine Funktion $f\colon D\to \mathbb {C}$, $D\subseteq \mathbb {C} ^{n}$ offen, sind folgende Aussagen äquivalent:
* $f$ ist holomorph.
* $f$ ist stetig und holomorph in jeder Variablen (Lemma von Osgood)
* $f$ ist holomorph in jeder Variablen (Satz von Hartogs)
* $f$ ist stetig differenzierbar und genügt den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen $\textstyle {\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}^{j}}}f=0$ für $j=1,\dotsc ,n$.
Für mehrere Dimensionen im Bildbereich definiert man Holomorphie wie folgt: Eine Abbildung $f=(f_{1},\dotsc ,f_{m})\colon D\to \mathbb {C} ^{m}$, $D\subseteq \mathbb {C} ^{n}$ offen, heißt holomorph, wenn jede der Teilfunktionen $f_{j}\colon D\to \mathbb {C}$ holomorph ist.
Viele Eigenschaften holomorpher Funktionen einer Veränderlichen lassen sich, teils in abgeschwächter Form, auf den Fall mehrerer Veränderlicher übertragen. So gilt für Funktionen $f\colon D\to \mathbb {C} ^{m}$ der Cauchysche Integralsatz nicht und der Identitätssatz ist nur noch in einer abgeschwächten Version gültig. Für holomorphe Funktionen $f\colon U\to \mathbb {C}$ kann allerdings die Integralformel von Cauchy durch Induktion auf $n$ Dimensionen verallgemeinert werden. Salomon Bochner konnte 1944 sogar noch eine Verallgemeinerung der $n$-dimensionalen Cauchyschen Integralformel beweisen. Diese trägt den Namen Bochner-Martinelli-Formel.