# Plemelj-Smithies-Formeln

Die Plemelj-Smithies-Formeln (nach Josip Plemelj und Frank Smithies) sind Theoreme aus der Funktionalanalysis über die Darstellung von Operatordeterminanten wie der Fredholm-Determinante $\det(I+\lambda A)$ für Spurklasse-Operatoren $A\in {\mathcal {S}}_{1}$ und für den Spezialfall beschränkter linearer Operatoren mit endlichem Rang ${\mathcal {F}}({\mathcal {B}})$ auf einem Banachraum ${\mathcal {B}}$. Die Theoreme geben eine explizite Formel zur Berechnung der Koeffizienten der Taylorentwicklung von $\det(I+\lambda A)$ an.

## Aussage

Sei $A\in {\mathcal {S}}_{1}$ ein Operator der Spurklasse und $\lambda \in \mathbb {C}$, dann ist die Determinante $\det(I+\lambda A)$ eine ganze Funktion und es gilt
    $\det(I+\lambda A)=1+\sum _{k=1}^{\infty }C_{k}(A)\lambda ^{k}$
wobei sich die Koeffizienten $C_{k}(A)$ der Taylorentwicklung mit Hilfe von Determinanten
    $C_{k}(A)={\frac {1}{k!}}\;{\begin{vmatrix}\operatorname {tr} A&k-1&0&\cdots &0\\\operatorname {tr} A^{2}&\operatorname {tr} A&k-2&\ddots &\vdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &0\\\operatorname {tr} A^{k-1}&\operatorname {tr} A^{k-2}&\cdots &\operatorname {tr} A&1\\\operatorname {tr} A^{k}&\operatorname {tr} A^{k-1}&\cdots &\operatorname {tr} A^{2}&\operatorname {tr} A\end{vmatrix}}~.$
ausdrücken lassen.
Außerdem gilt für $|\lambda |<R$ und $R>0$ hinreichend klein die folgende Formel:
    $\det(I+\lambda A)=\exp \left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}\operatorname {tr} (A^{k})\lambda ^{k}\right)$

## Beweis-Skizze

Die Idee besteht darin, den Beweis zunächst für den oben erwähnten Spezialfall von beschränkten Operatoren mit endlichem Rang durchzuführen und dann den Gültigkeitsbereich durch einen geeigneten Grenzübergang auf ${\mathcal {S_{1}}}$ fortzusetzen.

### Lemma zur Verkettung der Exponentialfunktion mit einer speziellen analytischen Potenzreihe

Als Vorbereitung benötigen wir noch folgendes Lemma (siehe Gohberg et al. und Reed / Simon):
Seien $f$ und $g$ Funktionen, die in einer Umgebung von $\lambda =0$ holomorph sind mit folgenden Taylorentwicklungen:
$f(\lambda )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n!}}\lambda ^{n},\qquad g(\lambda )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}b_{n}\lambda ^{n}$
Sei weiterhin $f(\lambda )=\operatorname {exp} (g(\lambda ))$. Dann ist $a_{0}=1$ und für $n\geq 1$ gilt folgende Darstellung:
    $a_{n}=\operatorname {det} {\begin{pmatrix}b_{1}&n-1&0&\cdots &\cdots &0\\b_{2}&b_{1}&n-2&\ddots &&\vdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\b_{n-2}&\cdot &\cdots &b_{1}&2&0\\b_{n-1}&b_{n-2}&\cdots &\cdots &b_{1}&1\\b_{n}&b_{n-1}&b_{n-2}&\cdots &\cdots &b_{1}\end{pmatrix}}$
Begründung:
Da in einer Umgebung von 0 die Gleichung $f'(\lambda )=g'(\lambda )f(\lambda )$ gilt, kann man die Cauchy-Produktformel auf das Produkt der Potenzreihen von $g'$ und $f$ anwenden:
    $\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{(n-1)!}}\lambda ^{n-1}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\lambda ^{n-1}\left(\sum \limits _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}b_{k}{\frac {a_{n-k}}{(n-k)!}}\right)$
Also
    $a_{n}=\sum \limits _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}b_{k}a_{n-k}{\frac {(n-1)!}{(n-k)!}}\;\;\;\;n=1,2,\ldots$
Die Aussage des Lemmas zeigt man nun durch Induktion über $n$. Mit der Annahme, dass die Aussage des Lemmas für $a_{j},1\leq j\leq n$ richtig ist, folgt die Gültigkeit für $a_{n+1}$ durch den Laplaceschen Entwicklungssatz, da die Summenformel für $a_{n+1}$ gerade der Entwicklung der Determinante für $a_{n+1}$ nach der ersten Spalte entspricht.

### Beweis für Operatoren mit endlichem Rang

Mit Hilfe des obigen Lemmas können wir nun den Beweis für Operatoren mit endlichem Rang führen (vgl. Gohberg et al. und Reed / Simon):
Sei $A$ ein Operator aus der Algebra der beschränkten linearen Operatoren mit endlichem Rang ${\mathcal {F}}({\mathcal {B}})$ auf einem Banachraum ${\mathcal {B}}$.
Wenn wir die komplexen Eigenwerte von $A$ mit $\mu _{i}\;(i=1,\ldots ,n)$ bezeichnen, dann lässt sich die Determinante für $\lambda <1/{\bigl |}{\underset {i=1,\ldots ,n}{\operatorname {max} }}\mu _{i}{\bigr |}$ folgendermaßen darstellen:
    ${\begin{aligned}\det(I+\lambda A)=\prod _{i=1}^{n}(1+\lambda \mu _{i})=&\operatorname {exp} \left(\sum _{i=1}^{n}\operatorname {log} (1+\lambda \mu _{i})\right)\\=&\operatorname {exp} \left(\sum _{i=1}^{n}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}\mu _{i}^{k}\lambda ^{k}\right)\\=&\operatorname {exp} \left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}\lambda ^{k}\left(\sum _{i=1}^{n}\mu _{i}^{k}\right)\right)\\=&\operatorname {exp} \left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}\lambda ^{k}\operatorname {tr} (A^{k})\right)\end{aligned}}$
Durch Anwenden des obigen Lemmas auf die gerade hergeleitete Darstellung von $\det(I+\lambda A)$ folgt unmittelbar die Gültigkeit der Plemlj-Smithies Formeln für Operatoren mit endlichem Rang.

### Stetige Fortsetzung auf eingebettete Unteralgebren mit der Approximations-Eigenschaft

Wir bezeichnen mit
* ${\mathcal {L}}({\mathcal {B}})$ die Algebra aller beschränkten linearen Operatoren
* ${\mathcal {F}}({\mathcal {B}})$ die Algebra aller beschränkten linearen Operatoren mit endlichem Rang
auf einem komplexen Banachraum ${\mathcal {B}}$
Eine Unteralgebra ${\mathcal {D}}$ von ${\mathcal {L}}({\mathcal {B}})$ heißt stetig eingebettet in ${\mathcal {L}}({\mathcal {B}})$, falls es eine Norm $\|\cdot \|_{\mathcal {D}}$ auf ${\mathcal {D}}$ gibt, so dass
    $1.\;\|A\|_{{\mathcal {L}}(B)}\leq C\|A\|_{\mathcal {D}}$
Zusätzlich fordern wir
    $2.\;\|AB\|_{\mathcal {D}}\leq C\|A\|_{\mathcal {D}}\|B\|_{\mathcal {D}}$
* Der Einfachheit halber nennen wir eine Unteralgebra ${\mathcal {D}}$ eine eingebettete Unteralgebra, wenn die Norm auf ${\mathcal {D}}$ die Bedingungen 1. und 2. erfüllt.
* Falls zusätzlich ${\mathcal {F}}_{\mathcal {D}}={\mathcal {F}}\cap {\mathcal {D}}$ dicht in ${\mathcal {D}}$ bezüglich der Norm $\|\cdot \|_{\mathcal {D}}$ liegt, so sagen wir, dass ${\mathcal {D}}$ die Approximationseigenschaft hat.
Man kann zunächst allgemein nachweisen, dass sich unter gewissen Voraussetzungen die Funktion $\operatorname {det} (I+\lambda A)$ für eingebettete Unteralgebren ${\mathcal {D}}$ mit Approximationseigenschaft setig von ${\mathcal {F}}_{\mathcal {D}}$ nach ${\mathcal {D}}$ fortsetzen lässt (siehe z. B. Gohberg et al.).
Speziell lässt sich nun zeigen, dass
* die Menge ${\mathcal {S}}_{1}$der Operatoren der Spurklasse eine Unteralgebra von ${\mathcal {L}}({\mathcal {B}})$ mit der Approximationseigenschaft ist (vgl. Gohberg et al.)
* sich $\operatorname {det} (I+\lambda A)$ von ${\mathcal {F}}\cap {\mathcal {S}}_{1}$ stetig nach ${\mathcal {S}}_{1}$ fortsetzen lässt vgl. Gohberg et al.

## Alternative Formulierung der Plemelj-Smithies-Formeln mit Hilfe von Bell-Polynomen

Ein Spezialfall der Formel von Faà di Bruno besagt, dass sich die Exponentialfunktion einer formalen Potenzreihe mit Hilfe von vollständigen Bell-Polynomen ausdrücken lässt:
    $\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n!}}x^{n}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}(a_{1},\dots ,a_{n})}{n!}}x^{n}$
Wenn man dies anstelle des obigen Lemmas auf die Darstellung von $\operatorname {det} (I-\lambda A)$ anwendet, so erhält man folgende alternative Darstellung für die Taylorkoeffizienten $C_{k}(A)$:
    $C_{k}(A)={\frac {1}{k!}}\;{\mathcal {B}}_{k}{\Bigl0!~\operatorname {tr} A,-1!~\operatorname {tr} A^{2},2!~\operatorname {tr} A^{3},\ldots ,(-1)^{k-1}(k-1)!~\operatorname {tr} A^{k}{\Bigr )}.$

## Korollar: Charakteristisches Polynom einer endlich-dimensionalen Matrix

Ein besonders einfaches Anwendungsbeispiel sind endlich-dimensionale Matrizen $A\in \mathbb {C} ^{n\times n}$, da man für diese mit Hilfe der Plemlj-Smithies-Formeln unmittelbar explizite Formeln für die Koeffienten $c_{k}$ des durch
    $\chi _{A}(\lambda )=\det \left(\lambda I-A\right)=\sum _{k=1}^{n}c_{k}\lambda ^{k}$
definierten charakteristischen Polynoms der Matrix ableiten kann:
    ${\frac {1}{\lambda ^{n}}}\det \left(\lambda I-A\right)=\det \left(I+\left(-\;{\frac {1}{\lambda }}\right)A\right)=1+\sum _{k=1}^{\infty }C_{k}(A)(-1)^{k}{\frac {1}{\lambda ^{k}}}$.
Da das charakteristische Polynom vom Grad $n$ ist, muss $C_{k}(A)=0$ sein für $k>n$, d. h. die Laurententwicklung reduziert sich zu einer endlichen Summe von Termen, die Potenzen von $\lambda$ mit nicht-negativen Exponenten haben:
    $\det \left(\lambda I-A\right)=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}C_{k}(A)\lambda ^{n-k}$.
Durch Koeffizientenvergleich erkennt man:
    $c_{n-k}=(-1)^{k}C_{k}(A)$.