# Schläfli-Symbol

Das Schläfli-Symbol, benannt nach dem Schweizer Mathematiker Ludwig Schläfli, wird in der Form $\left\{p,q,r,\dots \right\}$ benutzt, um reguläre Polygone, Polyeder und andere Vielflächner, auch in höheren Dimensionen, zu beschreiben.
Wenn $p$ eine natürliche Zahl ist, beschreibt das Symbol ${p}$ ein regelmäßiges Polygon ($p$-Eck).
Ist $p$ ein nicht notwendig gekürzter Bruch, dann beschreibt es einen Stern.
Das Symbol $\left\{p,q\right\}$ beschreibt eine Pflasterung mittels regelmäßiger $p$-Ecke, wobei $q$ angibt, wie viele solcher Polygone an jeder Ecke zusammenstoßen.
Die Inversion eines Schläfli-Symbols liefert das dazu duale Polygon.

## Beispiele
### Punkt

$\left(\right)$ bezeichnet einen Punkt.

### Strecke

$\left\{\right\}$ bezeichnet eine Strecke.

### Regelmäßige Polygone

$\left\{n\right\}$ bezeichnet ein regelmäßiges $n$-Eck$.$

### Sterne

Notiert werden solche regelmäßigen Sterne mit Schläfli-Symbolen $\left\{n/k\right\}$, wobei $n$ die Anzahl der Eckpunkte angibt und jeder $k$-te Punkt verbunden wird.

#### Beispiel

Der Fünfstrahlstern ergibt sich, wenn beim Verbinden der fünf Eckpunkte jedes Mal
* immer einer (beim $\left\{5/2\right\}$) oder
* immer zwei Punkte (beim $\left\{5/3\right\}$) übersprungen werden und dadurch die erzeugten Sehnen gleich lang sind.
keine vom Dreieck :
| keine vom Viereck |||
| 1 Pentagramm vom Fünfeck | $\left\{5/2\right\}$ oder $\left\{5/3\right\}$ | $$ |
| keine vom Sechseck |||
| 2 Heptagramme vom Siebeneck | $\left\{7/2\right\}$ oder $\left\{7/5\right\}$ | |
| 2 Heptagramme vom Siebeneck | $\left\{7/3\right\}$ oder $\left\{7/4\right\}$ | |
| 1 Oktogramm vom Achteck | $\left\{8/3\right\}$ oder $\left\{8/5\right\}$ | |
| 2 Ennea- gramme vom Neuneck | $\left\{9/2\right\}$ oder $\left\{9/7\right\}$ | |
| 2 Ennea- gramme vom Neuneck | $\left\{9/4\right\}$ oder $\left\{9/5\right\}$ | |
| 1 Dekagramm vom Zehneck | $\left\{10/3\right\}$ oder $\left\{10/7\right\}$ | |
| 4 Hendeka- gramme vom Elfeck | $\left\{11/2\right\}$ oder $\left\{11/9\right\}$ | |
| 4 Hendeka- gramme vom Elfeck | $\left\{11/3\right\}$ oder $\left\{11/8\right\}$ | |
| 4 Hendeka- gramme vom Elfeck | $\left\{11/4\right\}$ oder $\left\{11/7\right\}$ | |
| 4 Hendeka- gramme vom Elfeck | $\left\{11/5\right\}$ oder $\left\{11/6\right\}$ | |
| 1 Dodeka- gramm vom Zwölfeck | $\left\{12/5\right\}$ oder $\left\{12/7\right\}$ | |
| 5 Trideka- gramme vom 13-Eck | $\left\{13/2\right\}$ oder $\left\{13/11\right\}$ | |
| 5 Trideka- gramme vom 13-Eck | $\left\{13/3\right\}$ oder $\left\{13/10\right\}$ | |
| 5 Trideka- gramme vom 13-Eck | $\left\{13/4\right\}$ oder $\left\{13/9\right\}$ | |
| 5 Trideka- gramme vom 13-Eck | $\left\{13/5\right\}$ oder $\left\{13/8\right\}$ | |
| 5 Trideka- gramme vom 13-Eck | $\left\{13/6\right\}$ oder $\left\{13/7\right\}$ | |
| 2 Tetradeka- gramme vom 14-Eck | $\left\{14/3\right\}$ oder $\left\{14/11\right\}$ | |
| 2 Tetradeka- gramme vom 14-Eck | $\left\{14/5\right\}$ oder $\left\{14/9\right\}$ | |
| 3 Pentadeka- gramme vom 15-Eck | $\left\{15/2\right\}$ oder $\left\{15/13\right\}$ | |
| 3 Pentadeka- gramme vom 15-Eck | $\left\{15/4\right\}$ oder $\left\{15/11\right\}$ | |
| 3 Pentadeka- gramme vom 15-Eck | $\left\{15/7\right\}$ oder $\left\{15/8\right\}$ | |
| 3 Hexadeka- gramme vom 16-Eck | $\left\{16/3\right\}$ oder $\left\{16/13\right\}$ | |
| 3 Hexadeka- gramme vom 16-Eck | $\left\{16/5\right\}$ oder $\left\{16/11\right\}$ | |
| 3 Hexadeka- gramme vom 16-Eck | $\left\{16/7\right\}$ oder $\left\{16/9\right\}$ | |
| 7 Heptadeka- gramme vom 17-Eck | $\left\{17/2\right\}$ oder $\left\{17/15\right\}$ |
| 7 Heptadeka- gramme vom 17-Eck | $\left\{17/3\right\}$ oder $\left\{17/14\right\}$ |
| 7 Heptadeka- gramme vom 17-Eck | $\left\{17/4\right\}$ oder $\left\{17/13\right\}$ |
| 7 Heptadeka- gramme vom 17-Eck | $\left\{17/5\right\}$ oder $\left\{17/12\right\}$ |
| 7 Heptadeka- gramme vom 17-Eck | $\left\{17/6\right\}$ oder $\left\{17/11\right\}$ |
| 7 Heptadeka- gramme vom 17-Eck | $\left\{17/7\right\}$ oder $\left\{17/10\right\}$ |
| 7 Heptadeka- gramme vom 17-Eck | $\left\{17/8\right\}$ oder $\left\{17/9\right\}$ |
| 2 Oktodeka- gramme vom 18-Eck | $\left\{18/5\right\}$ oder $\left\{18/13\right\}$ |
| 2 Oktodeka- gramme vom 18-Eck | $\left\{18/7\right\}$ oder $\left\{18/11\right\}$ |
| 8 Enneadeka- gramme vom 19-Eck | $\left\{19/2\right\}$ oder $\left\{19/17\right\}$ |
| 8 Enneadeka- gramme vom 19-Eck | $\left\{19/3\right\}$ oder $\left\{19/16\right\}$ |
| 8 Enneadeka- gramme vom 19-Eck | $\left\{19/4\right\}$ oder $\left\{19/15\right\}$ |
| 8 Enneadeka- gramme vom 19-Eck | $\left\{19/5\right\}$ oder $\left\{19/14\right\}$ |
| 8 Enneadeka- gramme vom 19-Eck | $\left\{19/6\right\}$ oder $\left\{19/13\right\}$ |
| 8 Enneadeka- gramme vom 19-Eck | $\left\{19/7\right\}$ oder $\left\{19/12\right\}$ |
| 8 Enneadeka- gramme vom 19-Eck | $\left\{19/8\right\}$ oder $\left\{19/11\right\}$ |
| 8 Enneadeka- gramme vom 19-Eck | $\left\{19/9\right\}$ oder $\left\{19/10\right\}$ |
| 3 Ikosa- gramme vom 20-Eck | $\left\{20/3\right\}$ oder $\left\{20/17\right\}$ |
| 3 Ikosa- gramme vom 20-Eck | $\left\{20/7\right\}$ oder $\left\{20/13\right\}$ |
| 3 Ikosa- gramme vom 20-Eck | $\left\{20/9\right\}$ oder $\left\{20/11\right\}$ |
| 5 Ikosihen- gramme vom 21-Eck | $\left\{21/2\right\}$ oder $\left\{21/19\right\}$ |
| 5 Ikosihen- gramme vom 21-Eck | $\left\{21/4\right\}$ oder $\left\{21/17\right\}$ |
| 5 Ikosihen- gramme vom 21-Eck | $\left\{21/5\right\}$ oder $\left\{21/16\right\}$ |
| 5 Ikosihen- gramme vom 21-Eck | $\left\{21/8\right\}$ oder $\left\{21/13\right\}$ |
| 5 Ikosihen- gramme vom 21-Eck | $\left\{21/10\right\}$ oder $\left\{21/11\right\}$ |
| 04 Doikosagramme vom 22-Eck |||
| 10 Trikosagramme vom 23-Eck |||
| 03 Tetraikosagramme vom Vierundzwanzigeck |||

### Platonische Körper

$\left\{p,q\right\}$: p ist die Zahl der Ecken des verwendeten Polygons; q ist die Zahl der an einer Ecke zusammenstoßender Polygone
$\left\{3,3\right\}$ bezeichnet das selbstduale Tetraeder.
$\left\{3,4\right\}$ bezeichnet das Oktaeder, die Inversion $\left\{4,3\right\}$ den zum Oktaeder dualen Würfel.
$\left\{3,5\right\}$ bezeichnet das Ikosaeder, die Inversion $\left\{5,3\right\}$ das zum Ikosaeder duale Dodekaeder.

### Platonische Parkette

$\left\{3,6\right\}$ bezeichnet die Dreieckparkettierung, die Inversion $\left\{6,3\right\}$ die zur Dreieckparkettierung duale Sechseckparkettierung.
$\left\{4,4\right\}$ bezeichnet die selbstduale Quadratparkettierung.
* Das entscheidende Merkmal, worin sich das Schläfli-Symbol eines Platonischen Körpers $\left\{m,n\right\}$ von dem eines Platonischen Parketts $\left\{m,n\right\}$ unterscheidet, ist, dass für einen Körper $2\cdot (m+n)>m\cdot n$ gilt, für ein Parkett hingegen $2\cdot (m+n)=m\cdot n$.

### Kepler-Poinsot-Körper

$\left\{3,5/2\right\}$ bezeichnet das Große Ikosaeder, die Inversion $\left\{5/2,3\right\}$ das zum Großen Ikosaeder duale Große Sterndodekaeder.
$\left\{5,5/2\right\}$ bezeichnet das Große Dodekaeder, die Inversion $\left\{5/2,5\right\}$ das zum Großen Dodekaeder duale Kleine Sterndodekaeder.

### Vierdimensionale Körper

$\left\{3,3,3\right\}$ bezeichnet das Pentachoron,
$\left\{4,3,3\right\}$ den vierdimensionalen Würfel (Tesserakt), das Duale $\left\{3,3,4\right\}$ dazu den regulären 16-Zeller (Hexadekachor),
$\left\{3,4,3\right\}$ den regulären 24-Zeller (Ikositetrachor).

### Mehrdimensionale Körper

$\left\{3,3,3,3\right\}$ oder $\left\{3^{4}\right\}$ bezeichnet das 5-Simplex ${\mathfrak {S}}_{5}$.
$\left\{3,3,3,3,3\right\}$ oder $\left\{3^{5}\right\}$ bezeichnet das 6-Simplex ${\mathfrak {S}}_{6}$.
$\left\{3^{d-1}\right\}$ bezeichnet das d-Simplex ${\mathfrak {S}}_{\;\!\!d}$.