# Mächtigkeit (Mathematik)

In der Mathematik verwendet man den aus der Mengenlehre von Georg Cantor stammenden Begriff der Mächtigkeit oder Kardinalität, um den für endliche Mengen verwendeten Begriff der „Anzahl der Elemente einer Menge“ auf unendliche Mengen zu verallgemeinern.
Für endliche Mengen ist die Mächtigkeit gleich der Anzahl der Elemente der Menge, das ist eine natürliche Zahl einschließlich der Null. Für unendliche Mengen benötigt man etwas Vorarbeit, um ihre Mächtigkeiten zu charakterisieren. Die im Folgenden gemachten Definitionen und Folgerungen sind aber auch im Falle unendlicher Mengen gültig.

## Mächtigkeit bei endlichen Mengen

Bei einer endlichen Menge $X$ bezeichnet die Mächtigkeit die Anzahl der Elemente von $X$. Man notiert die Mächtigkeit von $X$ durch $|X|$ oder alternativ mit voranstehendem Rautezeichen: $\#X$.
Beispiele:
    $A=\{1,3,7,21\}\Rightarrow |A|=4$
    $B=\{{\mbox{Tetraeder, Hexaeder, Oktaeder, Dodekaeder, Ikosaeder}}\}\Rightarrow |B|=5$
    $C=\{{\mbox{rot, gelb, blau, orange, violett, schwarz}}\}\Rightarrow |C|=6$
Die Potenzmenge ${\mathcal {P}}(X)$ einer endlichen Menge $X$ hat genau $2^{|X|}$ Elemente: Die Wahl einer Teilmenge entspricht den $|X|$ unabhängigen Wahlen zwischen den zwei Möglichkeiten, ob ein bestimmtes Element von $X$ in der Teilmenge liegen soll oder nicht.

## Gleichmächtigkeit, Mächtigkeit

Man definiert zunächst den Begriff der Gleichmächtigkeit zweier beliebiger Mengen $A$ und $B$:
Eine Menge $A$ heißt gleichmächtig (bei Cantor: äquivalent) zu einer Menge $B$, wenn es eine Bijektion $f\colon A\to B$ gibt. Man schreibt dann $|A|=|B|$ oder $A\sim B$. Die Gleichmächtigkeit $\sim$ ist eine Äquivalenzrelation auf der Klasse aller Mengen, deren Äquivalenzklassen (bis auf die der Leermenge) echte Klassen sind. Näheres siehe unten (§Kardinalzahlen) und Kardinalzahlen §Definition.
Ist $A$ gleichmächtig zu $B$ und $f$ eine Bijektion zwischen $A$ und $B$, dann ist auch die Umkehrfunktion von $f$ eine Bijektion, also ist auch $B$ gleichmächtig zu $A$. Endliche Mengen sind genau dann gleichmächtig, wenn sie gleich viele Elemente haben. Unendliche Mengen sind Mengen, die zu sich gleichmächtige echte Teilmengen besitzen.
Man nennt eine Menge, die gleichmächtig zur unendlichen Menge $\mathbb {N}$ der natürlichen Zahlen oder einer Teilmenge von ihr ist, die also mit natürlichen Zahlen (einschließlich 0) „abgezählt“ werden kann, eine abzählbare Menge.
Bisweilen versteht man auch abzählbar nur im Sinne von abzählbar unendlich (= gleichmächtig zu $\mathbb {N}$) und spricht dann an Stelle von abzählbar im Sinne der oben zuerst eingeführten Definition von höchstens abzählbar, die die Formulierung vieler Beweise etwas einfacher macht, und eher dem deutschen Sprachgebrauch entspricht.
Besondere Ergebnisse:
* Gleichmächtig sind: $\mathbb {N}$, $\mathbb {Z}$ und $\mathbb {Q}$ (also die Mengen der natürlichen, der ganzen und der rationalen Zahlen).
* Gleichmächtig sind: $\mathbb {R}$, $\left]0,1\right[$, $C$ und ${\mathcal {P}}(\mathbb {N} )$, wobei $C$ die Cantor-Menge ist.
* Die Menge $\mathbb {R}$ der reellen Zahlen ist mächtiger als $\mathbb {N}$ (also überabzählbar).

## Kardinalzahlen

Da man leicht zeigen kann, dass die Gleichmächtigkeit von Mengen eine Äquivalenzrelation ist, ergibt die folgende Definition einen Sinn:
    Die Äquivalenzklassen der Mengen bezüglich der Relation der Gleichmächtigkeit nennt man Kardinalzahlen.
Aus technischen Gründen muss man aber ein geeignetes Repräsentantensystem finden: Indem man zeigt, dass jede Menge gleichmächtig zu einer wohlgeordneten Menge ist (dies ist die Aussage des Wohlordnungssatzes), kann man jede Kardinalzahl mit der kleinsten ihr gleichmächtigen Ordinalzahl gleichsetzen.
Aleph ($\aleph$) ist der erste Buchstabe des hebräischen Alphabets, er wird mit einem Index verwendet, um Kardinalzahlen unendlicher Mengen zu benennen, siehe Aleph-Funktion.
Liegt eine Menge A in der Äquivalenzklasse (= Kardinalzahl) $\aleph _{i}$, dann sagt man, A hat die Mächtigkeit $\aleph _{i}$. Man schreibt dann:
    $|A|=\aleph _{i}$.
Die Kardinalzahl einer endlichen Menge mit n Elementen wird mit der natürlichen Zahl n gleichgesetzt.
Man kann sich nun fragen, ob alle unendlichen Mengen einander gleichmächtig sind – in dem Fall wären alle unendlichen Mengen abzählbar. Es stellt sich jedoch heraus, dass es unendliche Mengen gibt, die nicht gleichmächtig zueinander sind, so ist etwa die Menge der natürlichen Zahlen nicht gleichmächtig zur Menge der reellen Zahlen. Das kann man zum Beispiel mit dem so genannten „Cantorschen Diagonalbeweis“ zeigen, siehe dazu den Artikel überabzählbar.
Weiter unten wird gezeigt, dass es unendlich viele verschiedene Kardinalzahlen gibt. Cantor selbst zeigte mit der ersten Cantorschen Antinomie, dass die Kardinalzahlen eine echte Klasse bilden.

## Vergleich der Mächtigkeit

Um die Mächtigkeiten ungleichmächtiger Mengen vergleichen zu können, legt man fest, wann eine Menge $B$ mächtiger als eine Menge $A$ sein soll:
* Wenn es eine Bijektion $f$ von $A$ auf eine Teilmenge von $B$ gibt, dann heißt $A$ höchstens gleichmächtig zu $B$. Man schreibt dann $|A|\leq |B|$.
* Wenn es eine Bijektion $f$ von $A$ auf eine Teilmenge von $B$ gibt, aber keine Bijektion von $A$ nach $B$ existiert, dann heißt $A$ weniger mächtig als $B$ und $B$ mächtiger als $A$. Man schreibt dann $|A|<|B|$. Offenbar gilt $|A|<|B|$ genau dann, wenn $|A|\leq |B|$, aber nicht $|A|=|B|$ ist.
Nun stellt sich aber die Frage nach der Vergleichbarkeit zweier beliebiger Mengen, ob also die bloße Eigenschaft, eine Menge zu sein, eine solche Vergleichsmöglichkeit impliziert. Und tatsächlich kann man für zwei beliebige Mengen im Allgemeinen zeigen (unter Verwendung des Auswahlaxioms):
* Sind $A$ und $B$ Mengen, dann gilt $|A|\leq |B|$ oder $|B|\leq |A|$ (Vergleichbarkeitssatz).
Des Weiteren kann man zeigen, dass jede abzählbare Menge entweder endlich oder gleichmächtig zu $\mathbb {N}$ ist. Außerdem kann man zeigen, dass jede unendliche Menge eine zu $\mathbb {N}$ gleichmächtige Teilmenge enthält.
Damit ist die Mächtigkeit von $\mathbb {N}$ die kleinste unendliche Kardinalzahl. Man bezeichnet sie mit $\aleph _{0}$:
    $\aleph _{0}:=|\mathbb {N} |$.
Die Kontinuumhypothese (CH) besagt, dass es keine Menge gibt, die mächtiger ist als $\mathbb {N}$, aber weniger mächtig als $\mathbb {R}$ . Wie der Name jedoch schon vermuten lässt, ist dies kein Satz in dem Sinne, dass er sich beweisen lässt. Weder die Kontinuumhypothese noch ihre Verneinung lässt sich aus den üblichen Axiomensystemen herleiten, zum Beispiel der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre mit Auswahlaxiom. Die Kontinuumhypothese besagt also, dass $|\mathbb {R} |=|{\mathcal {P}}(\mathbb {N} )|=2^{\aleph _{0}}$ die zweitkleinste unendliche Kardinalzahl $\aleph _{1}$ ist.

## Totale Ordnung der Mächtigkeiten

Bei naiver Betrachtung der Schreibweise könnte man vermuten, dass für Mengen $A$ und $B$ mit $|A|\leq |B|$ und $|B|\leq |A|$ stets $|A|=|B|$ gilt. Dass das tatsächlich so ist, wird vom folgenden Satz ausgesagt:
    Cantor-Bernstein-Schröder-Theorem: Ist $A$ höchstens gleichmächtig zu $B$ und $B$ höchstens gleichmächtig zu $A$, dann sind $A$ und $B$ gleichmächtig.
Fassen wir einige Eigenschaften der Mächtigkeiten zusammen:
* Es gilt stets $|A|=|A|$ (man nehme die Identität als Bijektion).
* Aus $|A|\leq |B|$ und $|B|\leq |A|$ folgt $|A|=|B|$.
* Aus $|A|\leq |B|$ und $|B|\leq |C|$ folgt $|A|\leq |C|$ (folgt sofort aus der Definition).
* Für zwei Mengen $A$ und $B$ gilt stets $|A|\leq |B|$ oder $|B|\leq |A|$ (das ist äquivalent zum Auswahlaxiom).
Damit ist gezeigt, dass die Kardinalzahlen total geordnet sind.

## Rechenregeln bei endlichen Kardinalitäten

Es seien $M,N$ sowie $N_{1},\ldots ,N_{k}$ endliche Mengen. Dann gelten folgende Regeln:
* Bijektions- oder Isomorphieregel $M$ ist bijektiv auf $N$ abbildbar $\Leftrightarrow$ $|M|=|N|$.
* Summenregel $M\cap N=\emptyset \Leftrightarrow |M\cup N|=|M|+|N|$ Allgemein gilt $|M\cup N|+|M\cap N|=|M|+|N|$. Eine weitere Verallgemeinerung der Summenregel auf endlich viele endliche Menge ist das Prinzip von Inklusion und Exklusion.
* Differenzenregel $M\subseteq N\Leftrightarrow |N\setminus M|=|N|-|M|$
* Produktregel $|M\times N|=|M|\cdot |N|$
* Quotientenregel Ist $M=N_{1}\;\;\!\!{\dot {\cup }}\;\;\!\!\!\cdots \;\;\!\!\!{\dot {\cup }}\;\;\!\!N_{k}$ und gilt $\forall i:|N_{i}|=n>0$, so folgt $k={\tfrac {|M|}{n}}$ bzw. $|M|=k\cdot n$
* Subadditivität von Mengen ${\Big |}\bigcup _{i=1}^{k}N_{i}{\Big |}\leq \sum _{i=1}^{k}|N_{i}|$ Falls die $N_{i}$ paarweise disjunkt sind, so gilt die Gleichheit: $\textstyle |\bigcup _{i=1}^{k}N_{i}|=\sum _{i=1}^{k}|N_{i}|$. Das heißt also, dass bei disjunkten Mengen die Anzahl der Elemente in der Vereinigung der Mengen $N_{i}$ gleich der Summe der einzelnen Anzahlen von Elementen in jeder dieser Mengen ist.
* Prinzip von Inklusion und Exklusion Die Mächtigkeit der Vereinigung $\bigcup _{i=1}^{k}N_{i}$ der Mengen $N_{1},N_{2},\dotsc ,N_{k}$ lässt sich als alternierende Summe der Mächtigkeiten all ihrer verschiedenstufigen Durchschnitte darstellen; mit den Indexmengen $I\subseteq \{1,2,\dotsc ,k\}$ gilt
    $|\bigcup _{i=1}^{k}N_{i}|=\sum _{\emptyset \not =I\subseteq \{1,\dotsc ,k\}}\left(-1\right)^{|I|+1}|\bigcap _{i\in I}N_{i}|$,
    oder mit $\bigcap _{i\in \emptyset }N_{i}=\bigcup _{i=1}^{k}N_{i}$ gleichwertig
    $\sum _{I\subseteq \{1,\dotsc ,n\}}\left(-1\right)^{|I|}|\bigcap _{i\in I}N_{i}|=0$.
* Potenzregel Bezeichnet $N^{M}$ die Menge aller Abbildungen $f\colon M\to N$, dann gilt $|N^{M}|=|N|^{|M|}$.

### Beispiele

$M=\{1,2,3\}$ und $N=\{1,3,5,7\}$. Dann
* existiert keine bijektive Abbildung zwischen $M$ und $N$,
* ist $|M\cup N|=|\{1,2,3,5,7\}|=5$,
* lässt sich die Mächtigkeit der Differenz nicht mit obigem Satz bestimmen,
* beträgt die Mächtigkeit des kartesischen Produkts $|M|\cdot |N|=|\{(1,1);(1,3);\ldots \}|=12$.
In einem weiteren Beispiel sei $M=\{1,2,3,4\}$ und $N_{1}=\{1\},N_{2}=\{2\},N_{3}=\{3\},N_{4}=\{4\},N=\{1,2,3,4\}$. Dann
* existieren bijektive Abbildungen (identische Abbildung) zwischen den beiden Mengen $M$ und $N$,
* ist $|M\cup N|=|N|=4$, da die beiden Mengen identisch sind,
* ist $M$ eine Teilmenge von $N$ und somit gilt: $|N\setminus M|=|N|-|M|=0$,
* die Mächtigkeit des kartesischen Produkts beträgt $16$ und
* da $n=|N_{1}|=\dots =|N_{4}|=1$ erhalten wir $k=4$ bzw. $|M|=4\cdot 1=4$

## Mächtigkeit der Potenzmenge, größte Mächtigkeit

Die Frage nach der größten Mächtigkeit einer Menge beantwortet der Satz von Cantor:
    Für jede Menge $A$ ist die Potenzmenge ${\mathcal {P}}(A)$ mächtiger als $A$.
Für die Mächtigkeit von ${\mathcal {P}}(A)$ gibt es auch folgende Schreibweise:
    $|{\mathcal {P}}(A)|=2^{|A|}$
Zu beachten ist, dass der entsprechende Ausdruck für unendliche Ordinalzahlen einen anderen Wert liefert, und z. B. $2^{|\mathbb {N} |}$ nicht als ein „Grenzwert“ einer Folge $(2^{n})$ angesehen werden kann.
Bestimmt man nun die Mächtigkeiten der Potenzmengen von Potenzmengen von Potenzmengen usw., dann sieht man, dass es unendlich viele Kardinalzahlen gibt, und keine mächtigste Menge existiert.