# Kummer-Theorie

Im mathematischen Teilgebiet der Körpertheorie beschreibt die Kummer-Theorie bestimmte Körpererweiterungen, die man durch Adjunktion $n$-ter Wurzeln von Elementen des Grundkörpers erhält. Ursprünglich wurde die Theorie von Ernst Eduard Kummer bei seiner Beschäftigung mit der fermatschen Vermutung in den 1840er-Jahren entwickelt.
Die Hauptaussagen der Theorie hängen nicht vom speziellen Grundkörper ab, nur darf dessen Charakteristik kein Teiler von $n$ sein. Eine grundlegende Rolle spielt die Kummer-Theorie in der Klassenkörpertheorie, allgemein ist sie zum Verständnis abelscher Erweiterungen wichtig; sie besagt, dass zyklische Erweiterungen durch Wurzelziehen gewonnen werden können, sofern der Grundkörper genügend Einheitswurzeln enthält.

## Kummererweiterungen
### Definition

Sei $n>1$ eine natürliche Zahl. Eine Kummer-Erweiterung ist eine Körpererweiterung $L/K$, für die gilt:
* $K$ enthält $n$ verschiedene $n$-te Einheitswurzeln, also die Nullstellen des Polynoms $X^{n}-1$.
* $L/K$ hat eine abelsche Galoisgruppe vom Exponenten $n$. Letzteres bedeutet, dass für alle Elemente $\sigma$ der Galoisgruppe $\sigma ^{n}=\operatorname {Id}$ gilt und $n$ minimal mit dieser Eigenschaft ist.

### Beispiele

* Ist $n=2$, so ist die erste Bedingung immer erfüllt, falls $K$ nicht die Charakteristik 2 hat, die beiden Einheitswurzeln sind 1 und −1. Kummer-Erweiterungen sind in diesem Fall zunächst quadratische Erweiterungen $L=K({\sqrt {a}})$, wobei $a$ ein nichtquadratisches Element von $K$ ist. Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen zeigt, dass jede Erweiterung vom Grad 2 diese Gestalt besitzt. Ebenfalls Kummer-Erweiterungen für $n=2$ sind biquadratische (durch Adjunktion zweier Quadratwurzeln) und allgemeiner multiquatratische (durch Adjunktion mehrerer Quadratwurzeln) Erweiterungen. Hat $K$ die Charakteristik 2, gibt es keine Kummer-Erweiterungen, da in Charakteristik 2 die Gleichung $-1=1$ gilt, es also keine zwei verschiedenen Einheitswurzeln gibt.
* Für $n=3$ gibt es keine Kummer-Erweiterungen der rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$, da nicht alle drei dritten Einheitswurzeln rational sind. Sei $a$ eine beliebige rationale Zahl, die keine dritte Potenz ist, und $L$ der Zerfällungskörper von $X^{3}-a$ über $\mathbb {Q}$. Sind $\alpha$ und $\beta$ Nullstellen dieses kubischen Polynoms, so gilt $(\alpha /\beta )^{3}=\alpha ^{3}/\beta ^{3}=a/a=1$. Da das kubische Polynom ferner separabel ist, hat es drei verschiedene Nullstellen. Damit liegen auch die beiden nichttrivialen dritten Einheitswurzeln, nämlich $\alpha /\beta$ und $\beta /\alpha$, in $L$, sodass $L$ einen Unterkörper $K$ besitzt, der die drei Einheitswurzeln enthält. Dann ist $L/K$ eine Kummer-Erweiterung.
* Enthält $K$ allgemeiner $n$ verschiedene $n$-te Einheitswurzeln, woraus bereits folgt, dass die Charakteristik von $K$ kein Teiler von $n$ ist, so erhält man durch Adjunktion einer $n$-ten Wurzel eines Elements $a$ von $K$ zum Körper $K$ eine Kummer-Erweiterung. Ihr Grad $m$ ist dabei ein Teiler von $n$. Als Zerfällungskörper des Polynoms $X^{n}-a$ ist die Kummer-Erweiterung automatisch galoissch mit zyklischer Galoisgruppe der Ordnung $m$.

## Kummer-Theorie

Die Kummer-Theorie macht Aussagen der umgekehrten Richtung. Ist $K$ ein Körper, der $n$ verschiedene $n$-te Einheitswurzeln enthält, so besagt sie, dass jede zyklische Erweiterung von $K$ vom Grad $n$ durch das Ziehen einer $n$-ten Wurzel gewonnen werden kann. Bezeichnet man mit $K^{\times }$ die multiplikative Gruppe der von Null verschiedenen Elemente des Körpers $K$, so stehen die zyklischen Erweiterungen von $K$ vom Grad $n$, die in einem fest gewählten algebraischen Abschluss liegen, in Bijektion mit den zyklischen Untergruppen von $K^{\times }/(K^{\times })^{n}$, also der Faktorgruppe von $K^{\times }$ nach den $n$-ten Potenzen.
Die Bijektion kann explizit angegeben werden: Einer zyklischen Untergruppe $\Delta \subseteq K^{\times }/(K^{\times })^{n}$ wird die Erweiterung $K(\Delta ^{1/n})$ zugeordnet, die durch Adjunktion aller $n$-ten Wurzeln von Elementen aus $\Delta$ zu $K$ entsteht.
Umgekehrt ordnet man der Kummererweiterung $L/K$ die Untergruppe $\Delta =K^{\times }\cap (L^{\times })^{n}$ zu.
Ordnet diese Bijektion die Gruppe $\Delta$ und die Körpererweiterung $L/K$ einander zu, so gibt es einen Isomorphismus $\Delta \cong \operatorname {Hom} (\operatorname {Gal} (L/K),\mu _{n})$, der gegeben ist durch $a\mapsto (\sigma \mapsto {\tfrac {\sigma (\alpha )}{\alpha }})$. Dabei steht $\mu _{n}$ für die Gruppe der $n$-ten Einheitswurzeln und $\alpha$ für eine beliebige $n$-te Wurzel von $a\in \Delta$.

## Verallgemeinerungen

Die oben angegebene Korrespondenz setzt sich fort zu einer Bijektion zwischen Untergruppen $\Delta \subseteq K^{\times }/(K^{\times })^{n}$ und abelschen Erweiterungen vom Exponenten $n$. Diese allgemeine Fassung wurde erstmals von Ernst Witt angegeben.
In Charakteristik $p>0$ gibt es eine analoge Theorie für zyklische Erweiterungen vom Grad $p$, die Artin-Schreier-Theorie. Eine Verallgemeinerung für abelsche Erweiterungen vom Exponenten $p^{n}$ stammt ebenfalls von Witt. Sie verwendet die in derselben Arbeit eingeführten Wittvektoren.