# Laplace-Operator

Der Laplace-Operator ist ein mathematischer Operator, der zuerst von Pierre-Simon Laplace eingeführt wurde. Es handelt sich um einen linearen Differentialoperator innerhalb der mehrdimensionalen Analysis. Er wird meist durch das Zeichen $\Delta$, den Großbuchstaben Delta des griechischen Alphabets, notiert.
Der Laplace-Operator kommt in vielen Differentialgleichungen vor, die das Verhalten physikalischer Felder beschreiben. Beispiele sind die Poisson-Gleichung der Elektrostatik, die Navier-Stokes-Gleichungen für Strömungen von Flüssigkeiten oder Gasen und die Diffusionsgleichung für die Wärmeleitung.

## Definition

Der Laplace-Operator ordnet einem zweimal differenzierbaren Skalarfeld $f$ die Divergenz seines Gradienten zu,
    $\Delta f=\operatorname {div} \left(\operatorname {grad} \,f\right),$
oder mit dem Nabla-Operator notiert
    $\Delta f=\nabla \cdot (\nabla f)=(\nabla \cdot \nabla )f=\nabla ^{2}f.$
Das formale „Skalarprodukt“ des Nabla-Operators mit sich selbst ergibt also den Laplace-Operator. Vor allem im englischsprachigen Raum ist für den Laplace-Operator oft die Schreibweise $\nabla ^{2}$ zu finden.
Da der Divergenz-Operator $\operatorname {div}$ und der Gradient-Operator $\operatorname {grad}$ unabhängig vom gewählten Koordinatensystem sind, ist auch der Laplace-Operator unabhängig vom gewählten Koordinatensystem. Die Darstellung des Laplace-Operators in anderen Koordinatensystemen ergibt sich mit der Kettenregel aus der Koordinatentransformation.
Im $n$-dimensionalen euklidischen Raum ergibt sich in kartesischen Koordinaten
    $\Delta f=\sum _{k=1}^{n}{\partial ^{2}f \over \partial x_{k}^{2}}.$
In einer Dimension reduziert sich der Laplace-Operator somit auf die zweite Ableitung:
    $\Delta f=f''$
Der Laplace-Operator einer Funktion kann auch als Spur ihrer Hesse-Matrix dargestellt werden:
    $\Delta f=\mathrm {Spur} (H(f))$
Der Laplace-Operator kann auch auf Vektorfelder angewendet werden. Mit dem dyadischen Produkt „$\otimes$“ wird mit dem Nabla-Operator $\nabla$
    $\Delta {\vec {v}}:=(\nabla \cdot \nabla ){\vec {v}}=\nabla \cdot (\nabla \otimes {\vec {v}})=\operatorname {div(grad} ({\vec {v}})^{\top })$
definiert. Das Superskript $^{\top }$ steht für Transponierung. In der Literatur findet sich auch ein Divergenz-Operator, der sein Argument gemäß $\operatorname {\widetilde {div}} T=\operatorname {div} (T^{\top })$ transponiert. Mit diesem Operator schreibt sich analog zum Skalarfeld:
    $\Delta {\vec {v}}=\operatorname {{\widetilde {div}}(grad} \,{\vec {v}})$
Speziell in drei Dimensionen gilt mit dem Rotationsoperator $\operatorname {rot}$
    $\Delta {\vec {v}}=(\nabla \cdot \nabla ){\vec {v}}=\nabla (\nabla \cdot {\vec {v}})-\nabla \times (\nabla \times {\vec {v}})=\operatorname {grad(div} ({\vec {v}}))-\operatorname {rot(rot} ({\vec {v}})),$
was mit der Graßmann-Identität begründet werden kann. Letztere Formel definiert den sogenannten vektoriellen Laplace-Operator.

## Darstellung
### In zwei Dimensionen

Für eine Funktion $f$ in kartesischen Koordinaten $(x,y)$ ergibt die Anwendung des Laplace-Operators
    $\Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}.$
In Polarkoordinaten $(r,\varphi )$ ergibt sich
    $\Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}$
oder
    $\Delta f={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r\,{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}.$

### In drei Dimensionen

Für eine Funktion $f$ mit drei Variablen ergibt sich in kartesischen Koordinaten $(x,y,z)$
    $\Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.$
In Zylinderkoordinaten $(\rho ,\varphi ,z)$ ergibt sich
    $\Delta f={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho \,{\frac {\partial f}{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}$
und in Kugelkoordinaten $(r,\theta ,\varphi )$
    $\Delta f={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}\,{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta \,{\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}.$
Die Ableitungen der Produkte in dieser Darstellung können noch entwickelt werden, wobei sich der erste und zweite Term ändern. Der erste (radiale) Term kann in drei äquivalenten Formen geschrieben werden:
    ${\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}\,{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}{\Bigrf(r){\Big )}$
Entsprechend gilt für den zweiten Term:
    ${\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta \,{\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {\cot \theta }{r^{2}}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}$
Diese Darstellungen des Laplace-Operators in Zylinder- und Kugelkoordinaten gelten nur für den skalaren Laplace-Operator. Für den Laplace-Operator, der auf vektorwertige Funktionen wirkt, müssen noch weitere Terme berücksichtigt werden, siehe weiter unten den Abschnitt „Anwendung auf Vektorfelder“.

### In krummlinigen Orthogonalkoordinaten

In beliebigen krummlinigen Orthogonalkoordinaten, zum Beispiel in sphärischen Polarkoordinaten, Zylinderkoordinaten oder elliptischen Koordinaten gilt dagegen für den Laplace-Operator die allgemeinere Beziehung
    $\Delta f={\rm {div\,\,grad\,\,}}f={\frac {1}{a_{1}a_{2}a_{3}}}\,\,{\frac {\partial }{\partial u_{1}}}\left({\frac {a_{2}a_{3}\,\partial f}{a_{1}\,\partial u_{1}}}\right)+{\frac {1}{a_{1}a_{2}a_{3}}}\,\,{\frac {\partial }{\partial u_{2}}}\left({\frac {a_{1}a_{3}\,\partial f}{a_{2}\,\partial u_{2}}}\right)+{\frac {1}{a_{1}a_{2}a_{3}}}\,\,{\frac {\partial }{\partial u_{3}}}\left({\frac {a_{1}a_{2}\,\partial f}{a_{3}\,\partial u_{3}}}\right)$
mit den durch
    $\mathrm {d} {\vec {r}}=\sum _{i=1}^{3}\,a_{i}\,{\hat {e}}_{i}(u_{1},u_{2},u_{3})\,\mathrm {d} u_{i}$
    ${\rm {grad\,\,}}f=\sum _{i=1}^{3}\,{\frac {\partial f}{a_{i}\,\partial u_{i}}}\,{\hat {e}}_{i}$
    ${\hat {e}}_{i}\cdot {\hat {e}}_{k}=\delta _{i,k}={\begin{cases}1&{\text{für }}i=k\\0&{\text{für }}i\neq k\end{cases}}$
impliziert definierten Größen $a_{i},u_{i},{\hat {e}}_{i}$. Dabei haben nicht die $\mathrm {d} u_{i}$, sondern die Größen $\mathrm {d} l_{i}:=a_{i}\cdot \mathrm {d} u_{i}$ die physikalische Dimension einer „Länge“, wobei zu beachten ist, dass die $a_{i}$ nicht konstant sind, sondern von $u_{1}$, $u_{2}$ und $u_{3}$ abhängen können.
Für noch allgemeinere Koordinaten gilt die Laplace-Beltrami-Beziehung.

### Anwendung auf Vektorfelder

In einem kartesischen Koordinatensystem mit $x$-, $y$- und $z$-Koordinaten und Basisvektoren ${\hat {e}}_{x,y,z}$ gilt:
    $\Delta {\vec {v}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}{\vec {v}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}{\vec {v}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}{\vec {v}}=\Delta v_{x}{\hat {e}}_{x}+\Delta v_{y}{\hat {e}}_{y}+\Delta v_{z}{\hat {e}}_{z}$
Bei Verwendung von Zylinder- bzw. Kugelkoordinaten ist die Differentiation der Basisvektoren zu beachten. Es ergibt sich in Zylinderkoordinaten $(\rho ,\varphi ,z)$
    $\Delta {\vec {v}}=\left(\Delta v_{\rho }-{\frac {1}{\rho ^{2}}}v_{\rho }-{\frac {2}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial v_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right){\hat {e}}_{\rho }+\left(\Delta v_{\varphi }-{\frac {1}{\rho ^{2}}}v_{\varphi }+{\frac {2}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial v_{\rho }}{\partial \varphi }}\right){\hat {e}}_{\varphi }+\Delta v_{z}{\hat {e}}_{z}$
und in Kugelkoordinaten $(r,\theta ,\varphi )$
    ${\begin{aligned}\Delta {\vec {v}}=&\left(\Delta v_{r}-{\frac {2}{r^{2}}}v_{r}-{\frac {2}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial v_{\varphi }}{\partial \varphi }}-{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial \theta }}-{\frac {2}{r^{2}\tan \theta }}v_{\theta }\right){\hat {e}}_{r}\\&+\left(\Delta v_{\theta }+{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial v_{r}}{\partial \theta }}-{\frac {2\cos \theta }{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial v_{\varphi }}{\partial \varphi }}-{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}v_{\theta }\right){\hat {e}}_{\theta }\\&+\left(\Delta v_{\varphi }+{\frac {2}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial v_{r}}{\partial \varphi }}-{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}v_{\varphi }+{\frac {2\cos \theta }{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial \varphi }}\right){\hat {e}}_{\varphi }\,.\end{aligned}}$
Die zu den Laplace-Ableitungen der Vektorkomponenten hinzu kommenden Terme resultieren aus den Ableitungen der Basisvektoren.
* Beweis
* In Zylinderkoordinaten $(\rho ,\varphi ,z)$ werden
* ${\hat {e}}_{\rho }={\begin{pmatrix}\cos \varphi \\\sin \varphi \\0\end{pmatrix}},\quad {\hat {e}}_{\varphi }={\begin{pmatrix}-\sin \varphi \\\cos \varphi \\0\end{pmatrix}},\quad {\hat {e}}_{z}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$
* als orthonormale Basisvektoren genommen. Ihre Ableitungen lauten:
* ${\hat {e}}_{\rho ,\varphi }={\hat {e}}_{\varphi }\quad {\text{und}}\quad {\hat {e}}_{\varphi ,\varphi }=-{\hat {e}}_{\rho }$
* Hier wie im Folgenden bedeutet ein Index nach einem Komma eine Ableitung nach der angegebenen Koordinate, beispielsweise
* ${\hat {e}}_{\rho ,\varphi }:={\frac {\partial }{\partial \varphi }}{\hat {e}}_{\rho }.$
* Die Anwendung des Laplace-Operators
* $\Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial \rho ^{2}}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}$
* auf ein Vektorfeld ergibt:
* ${\begin{aligned}&\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \rho ^{2}}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)(v_{\rho }{\hat {e}}_{\rho }+v_{\varphi }{\hat {e}}_{\varphi }+v_{z}{\hat {e}}_{z})\\=&{\frac {\partial ^{2}}{\partial \rho ^{2}}}(v_{\rho }{\hat {e}}_{\rho }+v_{\varphi }{\hat {e}}_{\varphi }+v_{z}{\hat {e}}_{z})+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}(v_{\rho }{\hat {e}}_{\rho }+v_{\varphi }{\hat {e}}_{\varphi }+v_{z}{\hat {e}}_{z})\\&+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}(v_{\rho }{\hat {e}}_{\rho }+v_{\varphi }{\hat {e}}_{\varphi }+v_{z}{\hat {e}}_{z})+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}(v_{\rho }{\hat {e}}_{\rho }+v_{\varphi }{\hat {e}}_{\varphi }+v_{z}{\hat {e}}_{z})\\=&v_{\rho ,\rho \rho }{\hat {e}}_{\rho }+v_{\varphi ,\rho \rho }{\hat {e}}_{\varphi }+v_{z,\rho \rho }{\hat {e}}_{z}+{\frac {1}{\rho }}(v_{\rho ,\rho }{\hat {e}}_{\rho }+v_{\varphi ,\rho }{\hat {e}}_{\varphi }+v_{z,\rho }{\hat {e}}_{z})\\&+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \varphi }}(v_{\rho ,\varphi }{\hat {e}}_{\rho }+v_{\rho }{\hat {e}}_{\varphi }+v_{\varphi ,\varphi }{\hat {e}}_{\varphi }-v_{\varphi }{\hat {e}}_{\rho }+v_{z,\varphi }{\hat {e}}_{z})\\&+v_{\rho ,zz}{\hat {e}}_{\rho }+v_{\varphi ,zz}{\hat {e}}_{\varphi }+v_{z,zz}{\hat {e}}_{z}\\=&v_{\rho ,\rho \rho }{\hat {e}}_{\rho }+v_{\varphi ,\rho \rho }{\hat {e}}_{\varphi }+v_{z,\rho \rho }{\hat {e}}_{z}+{\frac {1}{\rho }}(v_{\rho ,\rho }{\hat {e}}_{\rho }+v_{\varphi ,\rho }{\hat {e}}_{\varphi }+v_{z,\rho }{\hat {e}}_{z})\\&+{\frac {1}{\rho ^{2}}}(v_{\rho ,\varphi \varphi }{\hat {e}}_{\rho }+2v_{\rho ,\varphi }{\hat {e}}_{\varphi }-v_{\rho }{\hat {e}}_{\rho }+v_{\varphi ,\varphi \varphi }{\hat {e}}_{\varphi }-2v_{\varphi ,\varphi }{\hat {e}}_{\rho }-v_{\varphi }{\hat {e}}_{\varphi }+v_{z,\varphi \varphi }{\hat {e}}_{z})\\&+v_{\rho ,zz}{\hat {e}}_{\rho }+v_{\varphi ,zz}{\hat {e}}_{\varphi }+v_{z,zz}{\hat {e}}_{z}\\=&+\left(\Delta v_{\rho }-{\frac {1}{\rho ^{2}}}v_{\rho }-{\frac {2}{\rho ^{2}}}v_{\varphi ,\varphi }\right){\hat {e}}_{\rho }+\left(\Delta v_{\varphi }-{\frac {1}{\rho ^{2}}}v_{\varphi }+{\frac {2}{\rho ^{2}}}v_{\rho ,\varphi }\right){\hat {e}}_{\varphi }+\Delta v_{z}{\hat {e}}_{z},\end{aligned}}$
* also die im Text angegebene Formel.
* In Kugelkoordinaten können die Basisvektoren
* ${\hat {e}}_{r}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi \\\sin \theta \sin \varphi \\\cos \theta \end{pmatrix}},\qquad {\hat {e}}_{\theta }={\begin{pmatrix}\cos \theta \cos \varphi \\\cos \theta \sin \varphi \\-\sin \theta \end{pmatrix}},\qquad {\hat {e}}_{\varphi }={\begin{pmatrix}-\sin \varphi \\\cos \varphi \\0\end{pmatrix}}$
* verwendet werden. Diese Vektoren haben die Ableitungen
* ${\begin{aligned}{\hat {e}}_{r,\theta }=&{\begin{pmatrix}\cos \theta \cos \varphi \\\cos \theta \sin \varphi \\-\sin \theta \end{pmatrix}}={\hat {e}}_{\theta }\,,\quad {\hat {e}}_{r,\varphi }={\begin{pmatrix}-\sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \cos \varphi \\0\end{pmatrix}}=\sin \theta {\hat {e}}_{\varphi }\\{\hat {e}}_{\theta ,\theta }=&{\begin{pmatrix}-\sin \theta \cos \varphi \\-\sin \theta \sin \varphi \\-\cos \theta \end{pmatrix}}=-{\hat {e}}_{r}\,,\quad {\hat {e}}_{\theta ,\varphi }={\begin{pmatrix}-\cos \theta \sin \varphi \\\cos \theta \cos \varphi \\0\end{pmatrix}}=\cos \theta {\hat {e}}_{\varphi }\\{\hat {e}}_{\varphi ,\varphi }=&{\begin{pmatrix}-\cos \varphi \\-\sin \varphi \\0\end{pmatrix}}={\hat {e}}_{z}\times {\hat {e}}_{\varphi }=-\sin \theta {\hat {e}}_{r}-\cos \theta {\hat {e}}_{\theta }\end{aligned}}$
* Anwendung des Laplace-Operators
* $\Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}\tan \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}$
* auf ein Vektorfeld ergibt:
* ${\begin{aligned}&\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}\tan \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\right)\cdot (v_{r}{\hat {e}}_{r}+v_{\theta }{\hat {e}}_{\theta }+v_{\varphi }{\hat {e}}_{\varphi })\\=&{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}(v_{r}{\hat {e}}_{r}+v_{\theta }{\hat {e}}_{\theta }+v_{\varphi }{\hat {e}}_{\varphi })+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}(v_{r}{\hat {e}}_{r}+v_{\theta }{\hat {e}}_{\theta }+v_{\varphi }{\hat {e}}_{\varphi })+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}(v_{r}{\hat {e}}_{r}+v_{\theta }{\hat {e}}_{\theta }+v_{\varphi }{\hat {e}}_{\varphi })\\&+{\frac {1}{r^{2}\tan \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(v_{r}{\hat {e}}_{r}+v_{\theta }{\hat {e}}_{\theta }+v_{\varphi }{\hat {e}}_{\varphi })+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}(v_{r}{\hat {e}}_{r}+v_{\theta }{\hat {e}}_{\theta }+v_{\varphi }{\hat {e}}_{\varphi })\\=&v_{r,rr}{\hat {e}}_{r}+v_{\theta ,rr}{\hat {e}}_{\theta }+v_{\varphi ,rr}{\hat {e}}_{\varphi }+{\frac {2}{r}}v_{r,r}{\hat {e}}_{r}+{\frac {2}{r}}v_{\theta ,r}{\hat {e}}_{\theta }+{\frac {2}{r}}v_{\varphi ,r}{\hat {e}}_{\varphi }\\&+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(v_{r,\theta }{\hat {e}}_{r}+v_{r}{\hat {e}}_{\theta }+v_{\theta ,\theta }{\hat {e}}_{\theta }-v_{\theta }{\hat {e}}_{r}+v_{\varphi ,\theta }{\hat {e}}_{\varphi })\\&+{\frac {1}{r^{2}\tan \theta }}(v_{r,\theta }{\hat {e}}_{r}+v_{r}{\hat {e}}_{\theta }+v_{\theta ,\theta }{\hat {e}}_{\theta }-v_{\theta }{\hat {e}}_{r}+v_{\varphi ,\theta }{\hat {e}}_{\varphi })\\&+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial }{\partial \varphi }}(v_{r,\varphi }{\hat {e}}_{r}+\sin \theta v_{r}{\hat {e}}_{\varphi }+v_{\theta ,\varphi }{\hat {e}}_{\theta }+\cos \theta v_{\theta }{\hat {e}}_{\varphi }+v_{\varphi ,\varphi }{\hat {e}}_{\varphi }-\sin \theta v_{\varphi }{\hat {e}}_{r}-\cos \theta v_{\varphi }{\hat {e}}_{\theta })\\=&v_{r,rr}{\hat {e}}_{r}+v_{\theta ,rr}{\hat {e}}_{\theta }+v_{\varphi ,rr}{\hat {e}}_{\varphi }+{\frac {2}{r}}v_{r,r}{\hat {e}}_{r}+{\frac {2}{r}}v_{\theta ,r}{\hat {e}}_{\theta }+{\frac {2}{r}}v_{\varphi ,r}{\hat {e}}_{\varphi }\\&+{\frac {1}{r^{2}}}(v_{r,\theta \theta }{\hat {e}}_{r}+v_{r,\theta }{\hat {e}}_{\theta }+v_{r,\theta }{\hat {e}}_{\theta }-v_{r}{\hat {e}}_{r}+v_{\theta ,\theta \theta }{\hat {e}}_{\theta }-v_{\theta ,\theta }{\hat {e}}_{r}-v_{\theta ,\theta }{\hat {e}}_{r}-v_{\theta }{\hat {e}}_{\theta }+v_{\varphi ,\theta \theta }{\hat {e}}_{\varphi })\\&+{\frac {1}{r^{2}\tan \theta }}(v_{r,\theta }{\hat {e}}_{r}+v_{r}{\hat {e}}_{\theta }+v_{\theta ,\theta }{\hat {e}}_{\theta }-v_{\theta }{\hat {e}}_{r}+v_{\varphi ,\theta }{\hat {e}}_{\varphi })\\&+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}(v_{r,\varphi \varphi }{\hat {e}}_{r}+\sin \theta v_{r,\varphi }{\hat {e}}_{\varphi }+\sin \theta v_{r,\varphi }{\hat {e}}_{\varphi }-\sin ^{2}\theta v_{r}{\hat {e}}_{r}-\sin \theta \cos \theta v_{r}{\hat {e}}_{\theta }\\&+v_{\theta ,\varphi \varphi }{\hat {e}}_{\theta }+\cos \theta v_{\theta ,\varphi }{\hat {e}}_{\varphi }+\cos \theta v_{\theta ,\varphi }{\hat {e}}_{\varphi }-\sin \theta \cos \theta v_{\theta }{\hat {e}}_{r}-\cos ^{2}\theta v_{\theta }{\hat {e}}_{\theta }\\&+v_{\varphi ,\varphi \varphi }{\hat {e}}_{\varphi }-\sin \theta v_{\varphi ,\varphi }{\hat {e}}_{r}-\cos \theta v_{\varphi ,\varphi }{\hat {e}}_{\theta }-\sin \theta v_{\varphi ,\varphi }{\hat {e}}_{r}-\sin ^{2}\theta v_{\varphi }{\hat {e}}_{\varphi }\\&-\cos \theta v_{\varphi ,\varphi }{\hat {e}}_{\theta }-\cos ^{2}\theta v_{\varphi }{\hat {e}}_{\varphi })\\=&{\Biglv_{r,rr}+{\frac {2}{r}}v_{r,r}+{\frac {1}{r^{2}}}v_{r,\theta \theta }+{\frac {1}{r^{2}\tan \theta }}v_{r,\theta }+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}v_{r,\varphi \varphi }\\&\qquad -{\frac {1}{r^{2}}}v_{r}-{\frac {1}{r^{2}}}v_{\theta ,\theta }-{\frac {1}{r^{2}}}v_{\theta ,\theta }-{\frac {1}{r^{2}\tan \theta }}v_{\theta }-{\frac {1}{r^{2}}}v_{r}-{\frac {\cos \theta }{r^{2}\sin \theta }}v_{\theta }-{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}v_{\varphi ,\varphi }-{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}v_{\varphi ,\varphi }{\Bigr )}{\hat {e}}_{r}\\&+{\Biglv_{\theta ,rr}+{\frac {2}{r}}v_{\theta ,r}+{\frac {1}{r^{2}}}v_{\theta ,\theta \theta }+{\frac {1}{r^{2}\tan \theta }}v_{\theta ,\theta }+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}v_{\theta ,\varphi \varphi }\\&\qquad +{\frac {2}{r^{2}}}v_{r,\theta }-{\frac {1}{r^{2}}}v_{\theta }+{\frac {1}{r^{2}\tan \theta }}v_{r}-{\frac {\cos \theta }{r^{2}\sin \theta }}v_{r}-{\frac {\cos ^{2}\theta }{r^{2}\sin ^{2}\theta }}v_{\theta }-{\frac {2\cos \theta }{r^{2}\sin ^{2}\theta }}v_{\varphi ,\varphi }{\Bigr )}{\hat {e}}_{\theta }\\&+{\Biglv_{\varphi ,rr}+{\frac {2}{r}}v_{\varphi ,r}+{\frac {1}{r^{2}}}v_{\varphi ,\theta \theta }+{\frac {1}{r^{2}\tan \theta }}v_{\varphi ,\theta }+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}v_{\varphi ,\varphi \varphi }\\&\qquad +{\frac {2}{r^{2}\sin \theta }}v_{r,\varphi }+{\frac {2\cos \theta }{r^{2}\sin ^{2}\theta }}v_{\theta ,\varphi }-{\frac {\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta }{r^{2}\sin ^{2}\theta }}v_{\varphi }{\Bigr )}{\hat {e}}_{\varphi }\\=&\left(\Delta v_{r}-{\frac {2}{r^{2}}}v_{r}-{\frac {2}{r^{2}}}v_{\theta ,\theta }-{\frac {2}{r^{2}\tan \theta }}v_{\theta }-{\frac {2}{r^{2}\sin \theta }}v_{\varphi ,\varphi }\right){\hat {e}}_{r}\\&+\left(\Delta v_{\theta }+{\frac {2}{r^{2}}}v_{r,\theta }-{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}v_{\theta }-{\frac {2\cos \theta }{r^{2}\sin ^{2}\theta }}v_{\varphi ,\varphi }\right){\hat {e}}_{\theta }\\&+\left(\Delta v_{\varphi }+{\frac {2\cos \theta }{r^{2}\sin ^{2}\theta }}v_{\theta ,\varphi }-{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}v_{\varphi }+{\frac {2}{r^{2}\sin \theta }}v_{r,\varphi }\right){\hat {e}}_{\varphi }\end{aligned}},$
* also dasselbe Ergebnis wie im Text angegeben.

## Eigenschaften

Der Laplace-Operator ist ein linearer Operator, das heißt: Sind $f$ und $g$ zweimal differenzierbare Funktionen und $a$ und $b$ Konstanten, so gilt
    $\Delta (a\cdot f+b\cdot g)=a\cdot (\Delta f)+b\cdot (\Delta g).$
Wie für andere lineare Differentialoperatoren auch, gilt für den Laplace-Operator eine verallgemeinerte Produktregel. Diese lautet
    $\Delta (fg)=f\Delta g+2\langle \nabla f,\nabla g\rangle +g\Delta f,$
wobei $f,g\colon U\to \mathbb {R}$ zwei zweimal stetig differenzierbare Funktionen mit $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ sind und $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ das euklidische Standardskalarprodukt ist.
Der Laplace-Operator ist drehsymmetrisch, das heißt: Ist $f$ eine zweimal differenzierbare Funktion und $R$ eine Drehung, so gilt
    $\left(\Delta f\right)\circ R=\Delta \left(f\circ R\right),$
wobei „$\circ$“ für die Verkettung von Abbildungen steht.
Das Hauptsymbol des Laplace-Operators ist $-\|\xi \|^{2}$. Er ist also ein elliptischer Differentialoperator zweiter Ordnung. Daraus folgt, dass er ein Fredholm-Operator ist und mittels des Satzes von Atkinson folgt, dass er modulo eines kompakten Operators rechts- und linksinvertierbar ist.
Der Laplace-Operator
    $-\Delta \colon {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})\rightarrow L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$
auf dem Schwartz-Raum ist wesentlich selbstadjungiert. Er hat daher einen Abschluss
    $-\Delta \colon H^{2}(\mathbb {R} ^{n})\rightarrow L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$
zu einem selbstadjungierten Operator auf dem Sobolev-Raum $H^{2}(\mathbb {R} ^{n})\subset L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$. Dieser Operator ist zudem nichtnegativ, sein Spektrum befindet sich also auf der nichtnegativen reellen Achse, das heißt:
    $\sigma (-\Delta )\subset \mathbb {R} _{0}^{+}$
Die Eigenwertgleichung
    $-\Delta f=\lambda f$
des Laplace-Operators wird Helmholtz-Gleichung genannt. Ist $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ ein beschränktes Gebiet und $H_{0}^{2}(\Omega )$ der Sobolev-Raum mit den Randwerten $f=0$ in $\partial \Omega$, dann bilden die Eigenfunktionen des Laplace-Operators $-\Delta \colon H_{0}^{2}(\Omega )\rightarrow L^{2}(\Omega )$ ein vollständiges Orthonormalsystem von $L^{2}(\Omega )$ und sein Spektrum besteht aus einem rein diskreten, reellen Punktspektrum, das nur in $\infty$ einen Häufungspunkt haben kann. Dies folgt aus dem Spektralsatz für selbstadjungierte elliptische Differentialoperatoren.
Anschaulich gibt $\Delta f(p)$ für eine Funktion $f$ an einem Punkt $p$ an, wie sich der Mittelwert von $f$ über konzentrische Kugelschalen um $p$ mit wachsendem Kugelradius gegenüber $f(p)$ verändert.

## Poisson- und Laplace-Gleichung
### Definition

Der Laplace-Operator tritt in einer Reihe wichtiger Differentialgleichungen auf. Die homogene Differentialgleichung
    $\Delta \varphi =0$
wird Laplace-Gleichung genannt und zweimal stetig differenzierbare Lösungen dieser Gleichung heißen harmonische Funktionen. Die entsprechende inhomogene Gleichung
    $\Delta \varphi =f$
heißt Poisson-Gleichung.

### Fundamentallösung

Die Fundamentallösung $G({\vec {x}},{\vec {x}}^{\,\prime })$ des Laplace-Operators erfüllt die Poisson-Gleichung
    $\Delta \,G({\vec {x}},{\vec {x}}^{\,\prime })=\delta ({\vec {x}}-{\vec {x}}^{\,\prime })$
mit der Delta-Distribution $\delta$ auf der rechten Seite. Diese Funktion ist von der Anzahl der Raumdimensionen abhängig.
Im Dreidimensionalen lautet sie:
    $G({\vec {x}},{\vec {x}}^{\,\prime })=-{\frac {1}{4\pi \|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\,\prime }\|}}+F({\vec {x}},{\vec {x}}^{\,\prime })$ mit $\Delta \,F({\vec {x}},{\vec {x}}^{\,\prime })=0$
Diese Fundamentallösung wird in der Elektrodynamik als Hilfsmittel zur Lösung von Randwertproblemen benötigt.
Im Zweidimensionalen lautet sie:
    $G({\vec {x}},{\vec {x}}^{\,\prime })={\frac {\ln(\|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\,\prime }\|)}{2\pi }}+F({\vec {x}},{\vec {x}}^{\,\prime })$ mit $\Delta \,F({\vec {x}},{\vec {x}}^{\,\prime })=0$

## Verallgemeinerungen
### D’Alembert-Operator

Der Laplace-Operator ergibt zusammen mit der zweiten Zeitableitung den D’Alembert-Operator:
    $\square ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\Delta$
Dieser Operator kann als eine Verallgemeinerung des Laplace-Operators $\Delta$ auf den Minkowski-Raum betrachtet werden.

### Verallgemeinerter Laplace-Operator

Für den Laplace-Operator, der ursprünglich stets als Operator des euklidischen Raumes verstanden wurde, gab es mit der Formulierung der riemannschen Geometrie die Möglichkeit der Verallgemeinerung auf gekrümmte Flächen und riemannsche beziehungsweise pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeiten. Dieser allgemeinere Operator wird als verallgemeinerter Laplace-Operator bezeichnet.

## Diskreter Laplace-Operator

Auf eine diskrete Eingangsfunktion g$_n$ bzw. g$_{nm}$ wird der Laplace-Operator über eine Faltung angewendet. Dabei kann man folgende einfache Faltungsmasken verwenden:
    1D-Filter $\quad {\vec {D}}_{x}^{2}\;={\begin{bmatrix}1&-2&1\end{bmatrix}}$
    2D-Filter: $\quad \mathbf {D} _{xy}^{2}={\begin{bmatrix}0&1&0\\1&-4&1\\0&1&0\end{bmatrix}}$
Für zwei Dimensionen gibt es noch alternative Varianten, die zusätzlich auch diagonale Kanten berücksichtigen, beispielsweise:
    2D-Filter: $\quad \mathbf {D} _{xy}^{2}={\begin{bmatrix}1&1&1\\1&-8&1\\1&1&1\end{bmatrix}}$
Diese Faltungsmasken erhält man durch die Diskretisierung der Differenzenquotienten. Dabei entspricht der Laplace-Operator einer gewichteten Summe über den Wert an benachbarten Punkten. Die Kantendetektion in der Bildverarbeitung (siehe Laplace-Filter) ist ein mögliches Anwendungsgebiet diskreter Laplace-Operatoren. Dort taucht eine Kante als Nulldurchgang der zweiten Ableitung des Signals auf. Auch bei der Diskretisierung von Differentialgleichungen oder in der Graphentheorie werden diskrete Laplace-Operatoren genutzt.