# Kolmogorow-Smirnow-Test

Der Kolmogorow-Smirnow-Test (KS-Test) (nach Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow und Nikolai Wassiljewitsch Smirnow) ist ein statistischer Test auf Übereinstimmung zweier Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
Mit seiner Hilfe kann anhand von Zufallsstichproben geprüft werden, ob
* zwei Zufallsvariablen eine identische Verteilung besitzen oder
* eine Zufallsvariable einer zuvor angenommenen Wahrscheinlichkeitsverteilung folgt.
Im Rahmen des letzteren (Einstichproben-)Anwendungsproblems spricht man auch vom Kolmogorow-Smirnow-Anpassungstest (KSA-Test). Einige (parametrische) statistische Verfahren setzen voraus, dass die untersuchten Variablen in der Grundgesamtheit normalverteilt sind. Der KSA-Test kann genutzt werden, um zu testen, ob diese Annahme verworfen werden muss oder (unter Beachtung des $\beta \,$-Fehlers) beibehalten werden kann.

## Konzeption

Das Konzept wird anhand des Kolmogorow-Smirnow-Anpassungstests erläutert, wobei der Vergleich zweier Merkmale analog ist. Man betrachtet ein statistisches Merkmal $X$, dessen Verteilung in der Grundgesamtheit unbekannt ist und eine stetige Verteilungsfunktion $F_{X}$ besitzt. Die zweiseitig formulierten Hypothesen lauten dann:
Nullhypothese: $H_{0}\colon F_{X}=F_{0}$
Alternativhypothese: $H_{1}\colon F_{X}\neq F_{0}$
Die Nullhypothese postuliert also, dass die Zufallsvariable $X$ die Verteilungsfunktion $F_{0}$ besitzt, während die Alternativhypothese besagt, dass $X$ eine andere Verteilungsfunktion besitzt.
Es liegen $n$ beobachtete Werte $x_{1},\dots ,x_{n}$ als Realisierungen von stochastisch unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen $X_{1},\dots ,X_{n}$ vor, die jeweils dieselbe stetige Verteilungsfunktion $F_{X}$ haben. Der Kolmogorow-Smirnow-Anpassungstest basiert auf der Abweichung der zufälligen empirischen Verteilungsfunktion
    ${\tilde {F}}_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{(-\infty ,x]}(X_{i}),\quad x\in \mathbb {R}$
von der durch die Nullhypothese behaupteten Verteilungsfunktion $F_{0}$. Dazu wird die Teststatistik
    $D_{n}=\sup _{x\in \mathbb {R} }|{\tilde {F}}_{n}(x)-F_{0}(x)|$
gebildet, wobei sup das Supremum bezeichnet. (Das Supremum anstelle des Maximums ist erforderlich, da der größte Abstand an einer Sprungstelle der empirischen Verteilungsfunktion auftreten kann, wobei der linksseitige Grenzwert der empirischen Verteilungsfunktion an der Sprungstelle zum größten Abstand führen kann, der durch Maximum nicht erreicht würde. Mithilfe der Supremumsnorm $\|\cdot \|$ kann die Teststatistik in der Form $D_{n}=\|{\tilde {F}}_{n}-F_{0}\|$ geschrieben werden.) $D_{n}$ ist eine Zufallsvariable mit einer Wahrscheinlichkeitsverteilung, die im Allgemeinen von $F_{X}$ und von $F_{0}$ abhängt. Wenn die Nullhypothese richtig ist, hängt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $D_{n}$ nur von $F_{0}$ ab. Falls zusätzlich die Verteilungsfunktion $F_{0}$ stetig ist, hängt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $D_{n}$ nicht von $F_{0}$ ab. Die Teststatistik $D_{n}$ ist dann eine verteilungsfreie Statistik bezüglich der Klasse aller Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit stetiger Verteilungsfunktion.

### Testdurchführung

Aus den beobachteten Werten ergibt sich eine konkrete empirische Verteilungsfunktion
    $F_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{(-\infty ,x]}(x_{i}),\quad x\in \mathbb {R} ,$
und mit dieser ein realisierter Wert $d_{n}$ der Teststatistik $D_{n}$. Bei einer Verletzung der Nullhypothese rechnet man mit eher größeren Werten der Teststatistik als bei Richtigkeit der Nullhypothese. Daher wird die Nullhypothese für große Werte von $d_{n}$ abgelehnt. Genauer wird zu vorgegebenem Signifikanzniveau $\alpha$ die Nullhypothese zugunsten der Alternativhypothese abgelehnt, falls der Wert $d_{n}$ größer als das $(1-\alpha )$-Quantil der Verteilung von $D_{n}$ ist. Das benötigte $(1-\alpha )$-Quantil kann numerisch ermittelt oder aus Tabellen abgelesen werden.
Anstelle der Teststatistik $D_{n}$ wird auch die Teststatistik $K_{n}={\sqrt {n}}\,D_{n}$ verwendet. Dies ist eine mögliche Fehlerquelle bei der Testdurchführung, da in der Literatur sowohl Tabellen mit Quantilen der Verteilung von $D_{n}$ als auch von $K_{n}$ vorliegen.

### Asymptotik und approximativer Test

Wenn die Nullhypothese richtig ist, konvergiert $D_{n}$ für über alle Grenzen wachsenden Stichprobenumfang fast sicher gegen Null (Satz von Gliwenko-Cantelli). Dagegen konvergiert die modifizierte Teststatistik
    $K_{n}={\sqrt {n}}\,D_{n}$
für wachsenden Stichprobenumfang gegen die so genannte Kolmogorow-Verteilung, die von Kolmogorow im Jahr 1933 veröffentlicht wurde. Für hinreichend große Stichprobenumfänge kann die Kolomogorow-Verteilung als Approximation der Verteilung von $K_{n}$ verwendet werden. Wenn man nun den Test mit Hilfe der $(1-\alpha )$-Quantile der Kolmogorow-Verteilung durchführt, erhält man einen Test mit approximativem Signifikanzniveau $\alpha$.

## Vorgehensweise beim Einstichprobenproblem (Anpassungstest)

Von einer reellen Zufallsvariablen $X$ liegen $n$ Beobachtungswerte $x_{i}$ ($i=1,\dotsc ,n$) vor, die bereits aufsteigend sortiert seien, d. h. $x_{1}\leq x_{2}\leq \dotsb \leq x_{n}$. Von diesen Beobachtungen wird die relative Summenfunktion (Summenhäufigkeit, empirische Verteilungsfunktion) $S(x_{i})$ ermittelt. Diese empirische Verteilung wird nun mit der entsprechenden hypothetischen Verteilung der Grundgesamtheit verglichen; es wird also der Wert der Wahrscheinlichkeitsverteilung an der Stelle $x_{i}$ bestimmt, $F_{0}(x_{i})$. Wenn $X$ tatsächlich dieser Verteilung gehorchte, müssten die beobachtete Häufigkeit $S(x_{i})$ und die erwartete Häufigkeit $F_{0}(x_{i})$ in etwa gleich sein.
Falls $F_{0}$ stetig ist, kann die Teststatistik auf folgende Weise berechnet werden: Es werden für jedes $i=1,\dotsc ,n$ die absoluten Differenzen
    $d_{{\text{o}},i}=|S(x_{i})-F_{0}(x_{i})|$
und
    $d_{{\text{u}},i}=|S(x_{i-1})-F_{0}(x_{i})|$
berechnet („o“ für oben, „u“ für unten), wobei $S(x_{0}):=0$ gesetzt wird. Es wird sodann die absolut größte Differenz $d_{\max }$ aus allen Differenzen $d_{{\text{o}},i}$, $d_{{\text{u}},i}$ ermittelt. Wenn $d_{\max }$ einen kritischen Wert $d_{\alpha }$ übersteigt, wird die Hypothese bei einem Signifikanzniveau $\alpha$ abgelehnt.
Bis $n=35$ liegen die kritischen Werte tabelliert vor. Für größere $n$ können sie näherungsweise mit Hilfe der Formel
    $d_{\alpha }={\frac {\sqrt {-{\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {\alpha }{2}}\right)}}{\sqrt {n}}}$
bestimmt werden. Aus dieser Näherungsformel ergeben sich die in der unten stehenden Tabelle aufgeführten Werte für den Bereich $n>35$.
| ${\textbf {Signifikanzniveau}}{\text{ }}{\boldsymbol {\alpha }}$ | ${\boldsymbol {d_{\alpha }}}$ |
| $20{,}00\,\%$ | ${\frac {1{,}073}{\sqrt {n}}}$ |
| $10{,}00\,\%$ | ${\frac {1{,}224}{\sqrt {n}}}$ |
| $5{,}00\,\%$ | ${\frac {1{,}358}{\sqrt {n}}}$ |
| $2{,}00\,\%$ | ${\frac {1{,}517}{\sqrt {n}}}$ |
| $1{,}00\,\%$ | ${\frac {1{,}628}{\sqrt {n}}}$ |
| $0{,}10\,\%$ | ${\frac {1{,}949}{\sqrt {n}}}$ |

## Vorgehensweise beim Zweistichprobenproblem

Liegt nun zusätzlich zur obigen Zufallsvariablen $X$ eine entsprechende Zufallsvariable $Y$ vor (mit $m$ geordneten Werten $y_{i}$), so kann durch den Zweistichprobentest überprüft werden, ob $X$ und $Y$ derselben Verteilungsfunktion folgen. Die Hypothesen lauten:
Nullhypothese:
    $H_{0}\colon F_{X}=F_{Y}$
(Die Zufallsvariablen $X$ und $Y$ besitzen die gleiche Wahrscheinlichkeitsverteilung.)
Alternativhypothese:
    $H_{1}\colon F_{X}\neq F_{Y}$
(Die Zufallsvariable $X$ besitzt eine andere Wahrscheinlichkeitsverteilung als $Y$.)
Der Kolmogorow-Smirnow-Test vergleicht die empirischen Verteilungsfunktionen (relativen Summenfunktionen) $F_{X,n}$ und $F_{Y,m}$ analog zum Einstichprobentest anhand ihrer absoluten Differenzen mittels der Teststatistik
    $d_{n,m}=\|F_{X,n}-F_{Y,m}\|=\sup _{x\in \mathbb {R} }|F_{X,n}(x)-F_{Y,m}(x)|$.
Die Nullhypothese wird bei einem Signifikanzniveau $\alpha$ abgelehnt, falls $d_{n,m}$ den kritischen Wert $d_{\text{krit}}(\alpha ,n,m)$ überschreitet. Für kleine Werte von $n$ und $m$ liegen die kritischen Werte tabelliert vor. Für große Werte von $n$ und $m$ wird die Nullhypothese abgelehnt, falls
    ${\sqrt {\frac {nm}{n+m}}}\,d_{n,m}>K_{\alpha }$,
wobei $K_{\alpha }$ für große $n$ und $m$ näherungsweise als
    $K_{\alpha }={\sqrt {{\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {2}{\alpha }}\right)}}$
berechnet werden kann.

## Zahlenbeispiel

In einem Unternehmen, das hochwertige Parfüms herstellt, wurde im Rahmen der Qualitätssicherung an einer Abfüllanlage die abgefüllte Menge für $n=8$ Flakons gemessen. Es ist das Merkmal $x$: Abgefüllte Menge in ml.
Es soll geprüft werden, ob noch die bekannten Parameter der Verteilung von $X$ gelten.
Zunächst soll bei einem Signifikanzniveau $\alpha =0{,}05$ getestet werden, ob das Merkmal $X$ in der Grundgesamtheit überhaupt normalverteilt mit den bekannten Parametern $\mu =11$ und $\sigma ^{2}=\sigma =1$ ist, also
    $H_{0}\colon F(x)=F_{0}(x)=\Phi (x|11;1)$
mit $\Phi$ als Normalverteilungssymbol. Es ergibt sich folgende Tabelle:
| $i$ | $x_{i}$ | $S(x_{i})$ | $F_{0}(x_{i})$ | $S(x_{i-1})-F_{0}(x_{i})$ | $S(x_{i})-F_{0}(x_{i})$ |
| $1$ | $9{,}41$ | $0{,}125$ | $0{,}056$ | $-0{,}056$ | $0{,}069$ |
| $2$ | $9{,}92$ | $0{,}250$ | $0{,}140$ | $-0{,}015$ | $0{,}110$ |
| $3$ | $11{,}55$ | $0{,}375$ | $0{,}709$ | $\mathbf {-0{,}459}$ | $-0{,}334$ |
| $4$ | $11{,}60$ | $0{,}500$ | $0{,}726$ | $-0{,}351$ | $-0{,}226$ |
| $5$ | $11{,}73$ | $0{,}625$ | $0{,}767$ | $-0{,}267$ | $-0{,}142$ |
| $6$ | $12{,}00$ | $0{,}750$ | $0{,}841$ | $-0{,}216$ | $-0{,}091$ |
| $7$ | $12{,}06$ | $0{,}875$ | $0{,}855$ | $-0{,}105$ | $0{,}020$ |
| $8$ | $13{,}02$ | $1{,}000$ | $0{,}978$ | $-0{,}103$ | $0{,}022$ |
Hier bezeichnen $x_{i}$ die $i$-te Beobachtung, $S(x_{i})$ den Wert der Summenfunktion der $i$-ten Beobachtung und $F_{0}(x_{i})$ den Wert der Normalverteilungsfunktion an der Stelle $x_{i}$ mit den genannten Parametern. Die nächsten Spalten geben die oben angeführten Differenzen an. Der kritische Wert, der bei $n=8$ und $\alpha =0{,}05$ zur Ablehnung führte, wäre der Betrag $0{,}454$. Die größte absolute Abweichung in der Tabelle ist $0{,}459$ in der 3. Zeile. Dieser Wert ist größer als der kritische Wert, daher wird die Hypothese abgelehnt. Es ist also zu vermuten, dass die Verteilungshypothese falsch ist. Das kann bedeuten, dass die abgefüllte Menge nicht mehr normalverteilt ist, dass sich die durchschnittliche Abfüllmenge $\mu$ verschoben hat oder auch, dass sich die Varianz $\sigma ^{2}$ der Abfüllmenge verändert hat.

## Eigenschaften des KS-Tests

Beim Einstichprobenproblem ist der KS-Test im Gegensatz etwa zum $\chi ^{2}$-Test auch für kleine Stichproben geeignet.
Der Kolmogorow-Smirnow-Test ist als nichtparametrischer Test sehr stabil und unanfällig. Ursprünglich wurde der Test für stetig verteilte metrische Merkmale entwickelt; er kann aber auch für diskrete und sogar rangskalierte Merkmale verwendet werden. In diesen Fällen ist der Test etwas weniger trennscharf, d. h., die Nullhypothese wird seltener abgelehnt als im stetigen Fall.
Ein großer Vorteil besteht darin, dass die zugrundeliegende Zufallsvariable keiner Normalverteilung folgen muss. Dies macht den Test vielseitig einsetzbar, bedingt aber auch seinen Nachteil, denn der KS-Test hat allgemein eine geringe Teststärke.

## Alternative Tests

Der Lilliefors-Test ist eine Anpassung des Kolmogorow-Smirnow-Tests für die Testung auf Normalverteilung mit unbekanntem Mittelwert und unbekannter Varianz. Mögliche Alternativen zum KS-Test sind der Cramér-von-Mises-Test, der für beide Anwendungsfälle geeignet ist, sowie der Anderson-Darling-Test für den Vergleich einer Stichprobe mit einer hypothetischen Wahrscheinlichkeitsverteilung.