# Adischer Raum

Ein adischer Raum ist in der algebraischen Geometrie eine Verallgemeinerung von formalen Schemata und rigid-analytischen Räumen. Adische Räume wurden 1993 von Roland Huber eingeführt. Seit 2012 rückten adische Räume durch die Entwicklung perfektoider Räume von Peter Scholze ins Zentrum aktueller Forschung.

## Formale Definition

Wir fassen zuerst die umfangreiche Definition von adischen Räumen in Einzelschritten zusammen. Sie läuft im Wesentlichen analog zur Definition von Schemata.
* Die Grundbausteine von adischen Räumen sind durch Huber-Paare gegeben. Das sind bestimmte Paare topologischer Ringe $(A,A^{+})$, wobei $A^{+}\subseteq A$ ein mit der Teilraumtopologie ausgestatteter Teilring ist.
* Jedem Huber-Paar $(A,A^{+})$ wird ein adisches Spektrum $\mathrm {Spa} (A,A^{+})=(X,{\mathcal {O}}_{X},(v_{x})_{x\in X})$ zugeordnet. Es besteht aus einem topologischen Raum $X$, einer Prägarbe topologischer Ringe ${\mathcal {O}}_{X}$, deren Halme lokale Ringe sind, und einer Familie $(v_{x})_{x\in X}$ von Äquivalenzklassen von Bewertungen auf ${\mathcal {O}}_{X,x}$.
* Wir definieren eine Kategorie von Tripeln $(X,{\mathcal {O}}_{X},(v_{x})_{x\in X})$, die wir mit ${\mathcal {V}}$ bezeichnen. In diesem Kontext definieren wir Einschränkung auf offene Teilmengen von $X$.
* Ein adischer Raum ist schließlich ein Objekt aus ${\mathcal {V}}$, das eine Überdeckung durch adische Spektren hat.

### Bewertungstheorie

Eine nicht-archimedische Bewertung $v$ eines topologischen Ringes $A$ mit Bewertungsgruppe $\Gamma$ ist stetig, wenn für alle $\gamma \in \Gamma$ die Teilmenge $\{a\in A\mid v(a)<\gamma \}$ offen in $A$ ist.

### Huber-Paare

Ein Huber-Paar ist ein Paar $(A,A^{+})$, wobei $A$ ein topologischer Ring und $A^{+}\subseteq A$ ein Teilring ist, sodass die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:
* $A$ ist ein Huber-Ring.
* $A^{+}$ ist offen in $A$.
* $A^{+}$ ist ganzabgeschlossen in $A$.
* Jedes Element von $A^{+}$ ist potenzbeschränkt (in $A$).

### Lokalisierungen

Sei $A$ ein Huber-Ring. Wir definieren nun eine Art von topologischer Lokalisierung von $A$, mithilfe derer später eine Strukturprägarbe definiert werden kann.
Sei dazu $s\in A$ und sei $T=\{t_{1},\dots ,t_{n}\}$, sodass $T\cdot A:=\{t_{1}a_{1}+\dots +t_{n}a_{n}\mid a_{1},\dots ,a_{n}\in A\}$ offen in $A$ ist.
Auf der algebraischen Lokalisierung $A_{s}:=A[s^{-1}]$ definieren wir eine Topologie wie folgt.
Sei $(A_{0},I)$ ein Definitionspaar für $A$. Definiere einen Teilring
    $D:=A_{0}[{\tfrac {t_{1}}{s}},\dots ,{\tfrac {t_{n}}{s}}]\subseteq A_{s}$
Die Familie $(I^{n}\cdot D)_{n\geq 0}$ definiert eine Topologie auf $A_{s}$. Der resultierende topologische Ring werde mit $A({\tfrac {T}{s}})$ bezeichnet. Die Vervollständigung von $A({\tfrac {T}{s}})$ werde mit $A\langle {\tfrac {T}{s}}\rangle$ notiert.
Sei nun $(A,A^{+})$ ein Huber-Paar. Wir bezeichnen mit $A({\tfrac {T}{s}})^{+}$ den ganzen Abschluss von $A^{+}[{\tfrac {t_{1}}{s}},\dots ,{\tfrac {t_{n}}{s}}]$ in $A_{s}$ ausgestattet mit der Teilraumtopologie von $A({\tfrac {T}{s}})$. Wir bezeichnen die Vervollständigung von $A({\tfrac {T}{s}})^{+}$ mit $A\langle {\tfrac {T}{s}}\rangle ^{+}$. Das Paar $(A\langle {\tfrac {T}{s}}\rangle ,A\langle {\tfrac {T}{s}}\rangle ^{+})$ ist wieder ein Huber-Paar und wird auch Vervollständigung von $(A({\tfrac {T}{s}}),A({\tfrac {T}{s}})^{+})$ genannt.

### Adisches Spektrum

Sei $(A,A^{+})$ ein Huber-Paar.
Wir definieren eine Menge
    $X:=\{v\in \mathrm {Cont} (A)\mid \forall f\in A^{+}:v(f)\leq 1\}$
wobei $\mathrm {Cont} (A)$ die Menge der stetigen Bewertungen von $A$ ist.
Für $s\in A$ und eine endliche Teilmenge $T\subset A$, sodass $T\cdot A$ offen ist, sei
    $R({\tfrac {T}{s}}):=\{v\in X\mid \forall t\in T:v(t)\leq v(s)\neq 0\}$
die zugehörige rationale Teilmenge. Von den rationalen Teilmengen werde eine Topologie auf $X$ erzeugt.
Durch
    ${\mathcal {O}}_{X}(R({\tfrac {T}{s}})):=A\langle {\tfrac {T}{s}}\rangle$
ist eine Prägarbe vollständiger topologischer Ringe auf den rationalen Teilmengen von $X$ definiert.
Für eine beliebige offene Teilmenge $V\subseteq X$ definieren wir
    ${\mathcal {O}}_{X}(V):=\lim \limits _{U\subseteq V}{\mathcal {O}}_{X}(U)$
Hierbei durchläuft $U$ alle rationalen Teilmengen von $V$ und der Limes werde mit der Limes-Topologie ausgestattet. Das definiert eine Prägarbe ${\mathcal {O}}_{X}$ vollständiger topologischer Ringe auf $X$.
Jede Bewertung $x\colon A\to \Gamma _{x}\cup \{0\}$ mit $x\in X$ lässt sich auf eindeutige Weise auf die abstrakte Lokalisierung ${\mathcal {O}}_{X,x}$ zu einer Bewertung $v_{x}\colon {\mathcal {O}}_{X,x}\to \Gamma _{x}\cup \{0\}$ fortsetzen.
Das adische Spektrum von $(A,A^{+})$ ist das Tripel $(X,{\mathcal {O}}_{X},(v_{x})_{x\in X})$ und wird mit $\mathrm {Spa} (A,A^{+})$ bezeichnet.
Ist ${\mathcal {O}}_{X}$ eine Garbe topologischer Ringe, so nennen wir $(A,A^{+})$ garbig.

### Die Kategorie von Tripeln

Die Kategorie adischer Räume wird als volle Unterkategorie einer Kategorie ${\mathcal {V}}$ definiert.
Die Objekte von ${\mathcal {V}}$ sind Tripel $(X,{\mathcal {O}}_{X},(v_{x})_{x\in X})$, sodass folgendes gilt:
* $X$ ist ein topologischer Raum.
* ${\mathcal {O}}_{X}$ ist eine Garbe vollständiger topologischer Ringe auf $X$.
* Für alle $x\in X$ ist der Halm ${\mathcal {O}}_{X,x}$ von ${\mathcal {O}}_{X}$ in $x$ ein lokaler Ring.
* Für alle $x\in X$ ist $v_{x}$ ist eine Äquivalenzklasse von Bewertungen von ${\mathcal {O}}_{X,x}$, sodass der Träger $\mathrm {supp} (v_{x})$ das maximale Ideal von ${\mathcal {O}}_{X,x}$ ist.
Ein Morphismus $(X,{\mathcal {O}}_{X},(v_{x})_{x\in X})\to (Y,{\mathcal {O}}_{Y},(v_{y})_{y\in Y})$ ist ein Paar $(f,f^{\sharp })$, sodass:
* $f\colon X\to Y$ ist eine stetige Abbildung.
* $f^{\sharp }\colon {\mathcal {O}}_{Y}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{X}$ ist ein Morphismus von Prägarben topologischer Ringe. Das bedeutet, dass für alle offenen Teilmengen $U\subseteq Y$ der Ringhomomorphismus ${\mathcal {O}}_{Y}(U)\to {\mathcal {O}}_{X}(f^{-1}(U))$ stetig ist.
* Für alle $x\in X$ gilt $v_{f(x)}=v_{x}\circ f_{x}^{\flat }$ für den von $f^{\flat }\colon f^{-1}{\mathcal {O}}_{Y}\to {\mathcal {O}}_{X}$ induzierten Ringhomomorphismus $f_{x}^{\flat }\colon {\mathcal {O}}_{Y,f(x)}\to {\mathcal {O}}_{X,x}$. Beachte, dass die Gleichheit sinnvoll ist, da $v_{x}\circ f_{x}^{\flat }$ eine eindeutige Äquivalenzklasse von Bewertungen auf ${\mathcal {O}}_{Y,f(x)}$ bezeichnet.
Aus der letzten Bedingung folgt, dass $f_{x}^{\flat }$ ein lokaler Homomorphismus ist.
Die Verkettung zweier Morphismen $(g,g^{\sharp })$ und $(f,f^{\sharp })$ ist durch $(g\circ f,g_{*}f^{\sharp }\circ g^{\sharp })$ gegeben.
Sei $U\subseteq X$ eine offene Teilmenge. Dann definieren wir die Einschränkung $(X,{\mathcal {O}}_{X},(v_{x})_{x\in X})|_{U}$ durch $(U,{\mathcal {O}}_{X}|_{U},(v_{x})_{x\in U})$.

### Adische Räume

Ein affinoider adischer Raum ist ein Objekt von ${\mathcal {V}}$, das isomorph zu $\mathrm {Spa} (A,A^{+})$ für ein garbiges Huber-Paar $(A,A^{+})$ ist.
Ein adischer Raum ist ein Objekt $(X,{\mathcal {O}}_{X},(v_{x})_{x\in X})$ von ${\mathcal {V}}$, das eine offene Überdeckung $(U_{i})_{i\in I}$ besitzt, sodass $(U_{i},{\mathcal {O}}_{X}|_{U_{i}},(v_{x})_{x\in U_{i}})$ für alle $i\in I$ ein affinoider adischer Raum ist.

## Übergangsfunktoren
### Formale Schemata als adische Räume

Es gibt einen kanonischen Funktor $(-)^{\mathrm {ad} }$ von der Kategorie der garbigen formalen Schemata in die Kategorie der adischen Räume. Dieser ist volltreu auf der vollen Unterkategorie lokal noetherscher formaler Schemata.