# Amalgamiertes Produkt

Das amalgamierte (freie) Produkt von Gruppen $G_{i}$ nach der Gruppe $U$ oder das freie Produkt der Gruppen $G_{i}$ mit der amalgamierten Untergruppe $U$ ist eine mit dem freien Produkt von Gruppen verwandte mathematische Konstruktion. Dabei wird das freie Produkt der Gruppen $G_{i}$ gebildet, die alle eine zur Gruppe $U$ isomorphe Untergruppe enthalten. Über die Gruppenisomorphie zu $U$ werden die einzelnen Elemente der verschiedenen Untergruppen miteinander identifiziert und dadurch die Untergruppen »amalgamiert« (so viel wie »verschmolzen«). Die Gruppenverknüpfung wird entsprechend angepasst, sodass das Ergebnis eine Gruppe ist, die dem freien Produkt der $G_{i}$ bis auf Identifikation über $U$ isomorpher Elemente entspricht.

## Definition (konstruktiv)
### Voraussetzungen

Sei $I\mathrel {:=} \{1,2,\ldots ,n\},n\in \mathbb {N}$ eine Indexmenge und $\{G_{i}\}_{i\in I}$ eine Familie von Gruppen. Weiter beinhalte jede dieser Gruppen eine Untergruppe $U_{i},$ die isomorph zu einer weiteren Gruppe $U$ sei. Der zugehörige Gruppenisomorphismus, der diese Isomorphie vermittelt, sei mit $\varphi _{i}\colon U_{i}{\xrightarrow {\cong }}U$ bezeichnet.
Für ein beliebiges $t\in \mathbb {N}$ sei dann ein Wort über den $G_{i}$ eine Hintereinanderschreibung
$\qquad a_{1}a_{2}\ldots a_{t}$
von Elementen aus den $G_{i}.$ Das Wort sei entweder
* leer (für $t=0$), dann geschrieben $1$ oder $\epsilon ,$ oder
* für jedes $i=1,\ldots ,t$ gebe es ein $j_{i}\in I,$ sodass gelte: $a_{i}\in G_{j_{i}}.$ D. h. die Gruppen der Familie $\{G_{i}\}_{i\in I}$ kommen unter den $a_{i}$ in beliebiger Reihenfolge und beliebig oft (auch wiederholt) vor.
Im Folgenden schreiben wir sowohl für das leere Wort wie auch für die neutralen Elemente $1_{j}$ der Gruppen $G_{j}$ ohne Unterschied $1.$

### Äquivalenzrelation

Analog zum Vorgehen bei der Bildung des gewöhnlichen freien Produktes der Gruppen $G_{i}$ betrachten wir Wörter aus Elementen aus den $G_{i}$ und definieren sogenannte elementare Äquivalenzen (Ä1–Ä3) zwischen ihnen. Ä1 und Ä2 entstammen der Konstruktion des gewöhnlichen freien Produktes, Ä3 bewirkt die »Amalgamierung«.

#### (Ä1)

    »Neutrale Elemente können weggelassen werden.«
    Falls $a_{i}=1,$ dann sei $a_{1}\ldots a_{i-1}{\color {RawSienna}a_{i}}a_{i+1}\ldots a_{t}$ (elementar) äquivalent zu $a_{1}\ldots {\overset {{\color {RawSienna}a_{i}}\!\!\!\!\diagup }{\overset {\uparrow }{a_{i-1}a_{i+1}}}}\ldots a_{t}.$

#### (Ä2)

    »Zwei Elemente können durch ihr Produkt ersetzt werden.«
    Falls $a_{i}$ und $a_{i+1}$ aus derselben Gruppe $G_{j}$ sind und $a_{i}a_{i+1}=a^{*}$ in $G_{j}$ gilt, dann sei $a_{1}\ldots {\color {RawSienna}a_{i}a_{i+1}}\ldots a_{t}$ (elementar) äquivalent zu $a_{1}\ldots {\color {RawSienna}a^{*}}\ldots a_{t}.$

#### (Ä3)

    »Elemente können durch zugehörige Elemente ersetzt werden.«
    Falls $a_{i}=u_{j}\in U_{j}\subseteq G_{j}$ und $b_{i}=u_{k}\in U_{k}\subseteq G_{k}$ mit $j,k\in I$ und die Elemente $u_{j}$ und $u_{k}$ einander zugehörig sind, dann sei $a_{1}\ldots a_{i-1}{\color {RawSienna}a_{i}}a_{i+1}\ldots a_{t}$ (elementar) äquivalent zu $a_{1}\ldots a_{i-1}{\color {RawSienna}b_{i}}a_{i+1}\ldots a_{t}.$
Auf Grundlage der elementaren Äquivalenzen erklären wir wortweise Äquivalenz.
$G$ sei die Menge aller Wörter über den $G_{i}.$ Zwei Wörter $x$ und $y$ aus $G$ seien (wortweise) äquivalent, falls es eine Folge
$\qquad x_{1},\ x_{2},\ \ldots ,\ x_{m}$
von Wörtern aus $G$ mit $m\in \mathbb {N} ,$ $x_{1}\mathrel {=} x$ und $x_{m}\mathrel {=} y$ gibt, in welcher je zwei aufeinanderfolgende Glieder elementar äquivalent sind. Wir schreiben dann: $x\sim y.$
Die wortweise Äquivalenz entspricht der transitiven Hülle bzw. der reflexiv-transitiven Hülle der elementaren Äquivalenz.

### Gruppen-Verknüpfung

Für $x\in G$ sei
$\qquad [x]=\{y\in G\mid y\sim x\}$
die Menge aller zu $x$ äquivalenten Wörter in $G.$ $[x]$ heißt Äquivalenzklasse von $x.$ Mit $G/{\sim }$ (sprich: „Ge nach Tilde“) bezeichnen wir die Menge aller möglichen Äquivalenzklassen von Elementen $x\in G,$ sie heißt Quotientenmenge von $G$ nach der Äquivalenzrelation $\sim .$
Auf der Menge $G$ ist durch die Hintereinanderschreibung von Wörtern $x=a_{1}\ldots a_{t}$ und $y=b_{1}\ldots b_{s}$ eine Verknüpfung
$\qquad xy\mathrel {=} a_{1}\ldots a_{t}b_{1}\ldots b_{s}$
gegeben. Wir übertragen diese Verknüpfung in natürlicher Weise auf $G/{\sim },$ indem wir definieren:
$\qquad [x]\ast [y]\mathrel {:=} [xy].$
D. h. das Produkt der Äquivalenzklassen wird definiert als die Äquivalenzklasse des Produktes $xy$ der beiden Repräsentanten $x$ und $y.$ Dieses Produkt wird auch das kanonische Produkt auf $G/{\sim }$ genannt.

### Amalgamiertes Produkt

Die Quotientenmenge $G/{\sim }$ bildet zusammen mit dem eben definierten Produkt eine Gruppe $\left(G/{\sim },\ast \right),$ sie heißt das amalgamierte Produkt der Gruppen $G_{i}$ oder das freie Produkt der Gruppen $G_{i}$ mit der amalgamierten Untergruppe $U.$
Man spricht vom nichttrivialen amalgamierten Produkt zweier Gruppen $G_{1}$ und $G_{2},$ wenn $U\not =G_{1}$ und $U\not =G_{2}.$ (Beleg?)

## Eigenschaften

Das amalgamierte Produkt von zwei Gruppen $G_{1}$ und $G_{2}$ mit einer gemeinsamen Untergruppe $U$ ist ein Beispiel für ein Pushout.
Das freie Produkt ist eine Anwendung bzw. ein Spezialfall des amalgamierten Produktes, da jedes freie Produkt vermöge der Amalgamierung nach der trivialen Untergruppe $\{1\}$ seiner Faktoren als amalgamiertes Produkt aufgefasst werden kann.