# Symbolklasse

Symbolklassen sind mathematische Objekte aus dem Bereich der partiellen Differentialgleichungen. Sie wurden von Lars Hörmander eingeführt und werden deshalb manchmal auch Hörmander-Klassen genannt. Ihre Elemente sind eine Verallgemeinerung des Symbols eines Differentialoperators.

## Symbolklassen

Möchte man Verallgemeinerungen von Differentialoperatoren wie zum Beispiel Pseudodifferentialoperatoren oder Fourier-Integraloperatoren betrachten, so kann man auch Symbole von reellem Grad verwenden beziehungsweise untersuchen. Zu diesem Zweck wurden die Symbolklassen von Lars Hörmander eingeführt.

### Definition

Seien $n,N\in \mathbb {N}$ natürliche Zahlen, $X\subset \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge und $m,\rho ,\delta$ reelle Zahlen mit $0<\rho \leq 1$ und $0\leq \delta <1$. Dann versteht man unter $S_{\rho ,\,\delta }^{m}(X\times \mathbb {R} ^{N})$ die Menge aller glatten Funktionen $a\in C^{\infty }(X\times \mathbb {R} ^{N})$, so dass für jede kompakte Menge $K\subset X$ und alle $\alpha ,\beta \in \mathbb {N} \cup \{0\}$ die Ungleichung
    $\left|{\frac {\partial ^{\beta }}{\partial x^{\beta }}}{\frac {\partial ^{\alpha }}{\partial \xi ^{\alpha }}}a(x,\xi )\right|\leq C_{\alpha ,\beta ,K}(1+|\xi |)^{m-\rho |\alpha |+\delta |\beta |}$
für eine Konstante $C_{\alpha ,\beta ,K}$ erfüllt ist. Die Elemente von $S_{\rho ,\,\delta }^{m}$ werden Symbole der Ordnung $m$ und des Typs $(\rho ,\delta )$ genannt. Außerdem werden die Symbolklassen $S^{-\infty }$ und $S^{\infty }$ durch
    ${\begin{aligned}S^{-\infty }&:=\bigcap _{m\in \mathbb {R} }S_{\rho ,\delta }^{m}\\S_{\rho ,\delta }^{\infty }&:=\bigcup _{m\in \mathbb {R} }S_{\rho ,\delta }^{m}\end{aligned}}$
definiert.

### Topologisierung

Die besten Konstanten der Ungleichung
    $\left|{\frac {\partial ^{\beta }}{\partial x^{\beta }}}{\frac {\partial ^{\alpha }}{\partial \xi ^{\alpha }}}a(x,\xi )\right|\leq C_{\alpha ,\beta ,K}(1+|\xi |)^{m-\rho |\alpha |+\delta |\beta |}$
das heißt die Konstanten
    $p_{K,\alpha ,\beta }(a):=\sup _{x\in K;\ \xi \in \mathbb {R} ^{n}}{\frac {\partial ^{\beta }}{\partial x^{\beta }}}{\frac {\partial ^{\alpha }}{\partial \xi ^{\alpha }}}a(x,\xi )(1+|\xi |)^{-m+\rho |\alpha |-\delta |\beta |}$
sind Halbnormen. Diese machen die Räume $S^{m}(X\times \mathbb {R} ^{n})$ zu Fréchet-Räumen. Da $\textstyle S^{-\infty }:=\bigcap _{m\in \mathbb {R} }S_{\rho ,\delta }^{m}=\bigcap _{m\in \mathbb {Z} }S_{\rho ,\delta }^{m}$ gilt und der abzählbare Durchschnitt von Fréchet-Räumen wieder ein Fréchet-Raum ist, ist auch $S^{-\infty }$ ein Fréchetraum.

## Beispiele

Sei $X\subset \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge.
* Identifiziert man den Raum der reellen Zahlen $\mathbb {R}$ mit dem Raum der konstanten Funktionen, so ist dieser ein Teilraum von $S_{1,0}^{0}(X\times \mathbb {R} ^{N})$.
* Sei
       $p(x,\xi )=\sum _{|\alpha |\leq k}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }$
    mit Koeffizientenfunktionen $a_{\alpha }\in C^{\infty }(X)$ ein Symbol eines Differentialoperators der Ordnung $k\in \mathbb {N} _{0}$. Dann gilt $p\in S_{1,0}^{k}(X\times \mathbb {R} ^{N})$.
* Sei $p(\xi )=(1+|\xi |^{2})^{m/2}$ mit $-\infty <m<\infty$. Dann gilt $p\in S_{1,0}^{m}(X\times \mathbb {R} ^{N})$.

## Eigenschaften

* Die Symbolklassen $S_{\rho ,\delta }^{m}(X\times \mathbb {R} ^{N})$ sind für alle $m\in \mathbb {R} \cup \{-\infty ,\infty \}$, $0<\rho \leq 1$ und $0\leq \delta <1$ Montel-Räume.
* Differenzieren des Symbols nach der zweiten Variablen verbessert (also verringert) die Ordnung. Präzise bedeutet dies, dass die Abbildung
       $p\mapsto {\frac {\partial ^{\beta }}{\partial x^{\beta }}}{\frac {\partial ^{\alpha }}{\partial \xi ^{\alpha }}}p(x,\xi )\colon S_{\rho ,\delta }^{m}(X\times \mathbb {R} ^{N})\to S_{\rho ,\delta }^{m-\rho |\alpha |}(X\times \mathbb {R} ^{N})$
    linear und stetig ist.
* Multiplizieren zweier Symbole ergibt wieder ein Symbol, es gilt nämlich
       $(p,{\tilde {p}})\mapsto p(x,\xi ){\tilde {p}}(x,\xi )\colon S_{\rho ,\delta }^{m}(X\times \mathbb {R} ^{N})\times S_{\rho ,\delta }^{m'}(X\times \mathbb {R} ^{N})\to S_{\rho ,\delta }^{m+m'}(X\times \mathbb {R} ^{N})\,.$
    Diese Abbildung ist bilinear und stetig.
* Für $m\leq m'$ gilt $S_{1,0}^{m}\subset S_{1,0}^{m'}$.
* Sei $a\in C^{\infty }(X\times \mathbb {R} ^{N})$ positiv homogen vom Grad m für $|\xi |\geq 1$, das heißt
       $a(x,\lambda \xi )=\lambda ^{m}a(x,\xi )$
    für $\lambda \geq 1$ und $|\xi |\geq 1$. Dann gilt $a\in S_{1,0}^{m}(X\times \mathbb {R} ^{N})$.
* Sei $X\subset \mathbb {R} ^{N}$ offen und $m<m'$. Auf beschränkten Teilmengen von $S_{1,0}^{m}(X\times \mathbb {R} ^{N})$ ist die durch $S_{1,0}^{m'}(X\times \mathbb {R} ^{N})$ induzierte Topologie die Topologie der punktweisen Konvergenz.
* Sei $m<m'$. Dann ist $S^{-\infty }(X\times \mathbb {R} ^{N})$ in der $S_{1,0}^{m'}$-Topologie dicht in $S_{1,0}^{m}(X\times \mathbb {R} ^{N})$.

## Asymptotische Entwicklung eines Symbols
### Definition

Sei $a\in S_{\rho ,\delta }^{m}(X\times \mathbb {R} ^{N})$ ein Symbol. Existieren $a_{i}\in S_{\rho ,\delta }^{m_{i}}(X\times \mathbb {R} ^{N})$ mit
    $m=m_{0}>m_{1}>\ldots >m_{i}\to -\infty \quad i\to \infty \,,$
so dass
    $a-\sum _{j=0}^{N-1}a_{j}\in S_{\rho ,\delta }^{m_{N}}(X\times \mathbb {R} ^{N})$
für jede positive Zahl $N\in \mathbb {N}$ gilt. Die formale Reihe $\textstyle \sum _{j=0}^{\infty }a_{j}$ ist eine asymptotische Entwicklung von $a$ und man schreibt
    $a\sim \sum _{j=0}^{\infty }a_{j}\,.$

### Eindeutigkeit

Die asymptotisch Entwicklung eines Symbols ist eindeutig modulo Symbole der Klasse $S^{-\infty }(X\times \mathbb {R} ^{N})$. Präzise formuliert heißt das:
Sei $m_{0}>m_{1}>\ldots >m_{i}\to \infty$ eine Zerlegung mit $i\to \infty$ und sei $a_{i}\in S_{\rho ,\delta }^{m_{i}}(X\times \mathbb {R} ^{N})$. Dann existiert ein Symbol $a\in S_{\rho ,\delta }^{m_{0}}(X\times \mathbb {R} ^{N})$, so dass
    $a\sim \sum _{j=0}^{\infty }a_{j}$
gilt. Gibt es ein weiteres Symbol $b$ mit der gleichen asymptotischen Entwicklung, dann gilt $a-b\in S^{-\infty }(X\times \mathbb {R} ^{N})$.

## Klassisches Symbol

Ein klassisches Symbol ist ein Spezialfall eines Symbols aus dem Raum $S_{1,0}^{m}.$ Diese erweisen sich im Zusammenhang mit Pseudo-Differentialoperatoren als einfacher zu handhaben. Eingeführt wurde diese Klasse von Funktionen von den Mathematikern Joseph Kohn und Louis Nirenberg.
Ein Symbol $a\in S_{1,0}^{m}(X\times \mathbb {R} ^{N})$ heißt klassisches Symbol und man schreibt dafür $a\in S_{cl}^{m}(X\times \mathbb {R} ^{N})$, wenn es eine Ausschälfunktion $\phi \in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{N})$ gibt und Funktionen $a_{j}\in C^{\infty }(X\times (\mathbb {R} ^{N}\backslash \{0\}))$, so dass jedes $a_{j}$ positiv homogen von der Ordnung $m-j$ in der Variablen $\xi$ ist. Es muss also
    $a_{j}(x,t\xi )=t^{m-j}a_{j}(x,\xi )\qquad \forall (x,t,\xi )\in X\times \mathbb {R} ^{N}\times \mathbb {R} _{+}$
gelten und außerdem muss
    $a(x,\xi )-\sum _{j=0}^{k-1}\phi (x)a_{j}(x,\xi )\in S^{m-k}(X\times \mathbb {R} ^{N})$
für alle $k\in \mathbb {N}$ gelten. Dies liefert eine asymptotische Entwicklung von $a$.