# Studentsche t-Verteilung

Die studentsche t-Verteilung (auch Student-t-Verteilung oder kurz t-Verteilung) ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die 1908 von William Sealy Gosset entwickelt und nach seinem Pseudonym Student benannt wurde.
Gosset hatte festgestellt, dass die standardisierte Schätzfunktion des Stichproben-Mittelwerts normalverteilter Daten nicht mehr normalverteilt, sondern $t$-verteilt ist, wenn die zur Standardisierung des Mittelwerts benötigte Varianz des Merkmals unbekannt ist und mit der Stichprobenvarianz geschätzt werden muss. Seine $t$-Verteilung erlaubt – insbesondere für kleine Stichprobenumfänge – die Berechnung der Verteilung der Differenz vom Mittelwert der Stichprobe zum wahren Mittelwert der Grundgesamtheit.
Die $t$-Werte hängen vom Signifikanzniveau sowie von der Stichprobengröße $n$ ab und bestimmen das Vertrauensintervall und damit die Aussagekraft der Schätzung des Mittelwertes. Die $t$-Verteilung wird mit wachsendem $n$ schmaler und geht für $n\to \infty$ in die Standardnormalverteilung über (siehe Grafik rechts). Hypothesentests, bei denen die $t$-Verteilung Verwendung findet, bezeichnet man als t-Tests.
Die Herleitung wurde erstmals 1908 veröffentlicht, als Gosset in der Dubliner Guinness-Brauerei arbeitete. Da sein Arbeitgeber die Veröffentlichung nicht gestattete, veröffentlichte Gosset sie unter dem Pseudonym Student. Der t-Faktor und die zugehörige Theorie wurden erst durch die Arbeiten von R. A. Fisher belegt, der die Verteilung Student’s distribution (Student'sche Verteilung) nannte.
Die $t$-Verteilung kommt allerdings auch schon in früheren Publikationen anderer Autoren vor. Zuerst wurde sie 1876 von Jacob Lüroth als A-posteriori-Verteilung bei der Behandlung eines Problems der Ausgleichsrechnung hergeleitet, 1883 in einem ähnlichen Zusammenhang von Edgeworth.

## Definition

Eine stetige Zufallsvariable $X$ genügt der studentschen $t$-Verteilung mit $n>0$ Freiheitsgraden, wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte
    $f_{n}(x)={\frac {\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}{{\sqrt {n\pi }}~\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}\left(1+{\frac {x^{2}}{n}}\right)^{-{\frac {n+1}{2}}}\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad -\infty <x<+\infty$
besitzt. Dabei ist
    $\Gamma (x)=\int \limits _{0}^{+\infty }t^{x-1}e^{-t}\operatorname {d} t$
die Gammafunktion. Für natürliche Zahlen $n$ gilt insbesondere (hierbei bezeichnet $n!$ die Fakultät von $n$)
    $\Gamma (n+1)=n!,\quad \Gamma \left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {(2n)!}{n!\,4^{n}}}\,{\sqrt {\pi }}.$
Alternativ lässt sich die $t$-Verteilung mit $n$ Freiheitsgraden auch definieren als die Verteilung der Größe
    $t_{n}\equiv {\frac {Z}{\sqrt {\chi _{n}^{2}/n}}}$,
wobei $Z$ eine standardnormalverteilte Zufallsvariable und $\chi _{n}^{2}$ eine von $Z$ unabhängige Chi-Quadrat-verteilte Zufallsvariable mit $n$ Freiheitsgraden ist.

## Verteilung

Die Verteilungsfunktion lässt sich geschlossen ausdrücken als
    $F_{n}(t)=I\left({\frac {t+{\sqrt {t^{2}+n}}}{2{\sqrt {t^{2}+n}}}},{\frac {n}{2}},{\frac {n}{2}}\right)$
oder als
    $F_{n}(t)={\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {t}{|t|}}I\left({\frac {t^{2}}{t^{2}+n}},{\frac {1}{2}},{\frac {n}{2}}\right)\right)$
mit
    $I(z,a,b)={\frac {1}{B(a,b)}}\int _{0}^{z}t^{a-1}(1-t)^{b-1}\mathrm {d} t,$
wobei $B$ die Betafunktion darstellt.
$F_{n}(t)$ berechnet die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine gemäß $f_{n}(x)$ verteilte Zufallsvariable $X$ einen Wert kleiner oder gleich $t$ erhält.

## Eigenschaften

Es sei $X$ eine $t$-verteilte Zufallsvariable mit $n$ Freiheitsgraden und Dichte $f_{n}(x)$.

### Wendepunkte

Die Dichte besitzt Wendepunkte bei
    $x=\pm \,{\sqrt {\frac {n}{n+2}}}.$

### Median

Der Median ist
    ${\tilde {x}}=0.$

### Modus

Der Modus ergibt sich zu
    $x_{D}=0.$

### Symmetrie

Die Studentsche $t$-Verteilung ist symmetrisch um die 0.

### Erwartungswert

Für den Erwartungswert erhält man für $n>1$
    $\operatorname {E} (X)=0.$
Der Erwartungswert für $n=1$ existiert nicht.

### Varianz

Die Varianz ergibt sich für $n>2$ zu
    $\operatorname {Var} (X)={\frac {n}{n-2}}.$

### Schiefe

Die Schiefe ist für $n>3$
    $\operatorname {v} (X)=0.$

### Wölbungen

Für die Kurtosis-Wölbung $\beta _{2}$ und die Exzess-Wölbung $\gamma _{2}$ erhält man für $n>4$
    $\operatorname {\beta _{2}} (X)={\frac {\mu _{4}}{\mu _{2}^{2}}}={\frac {3n-6}{n-4}},\qquad \operatorname {\gamma _{2}} (X)={\frac {\mu _{4}}{\mu _{2}^{2}}}-3={\frac {6}{n-4}}.$

### Momente

Für die $k$-ten Momente $m_{k}=\operatorname {E} (X^{k})$ und die $k$-ten zentralen Momente $\mu _{k}=\operatorname {E} ([X-\operatorname {E} (X)]^{k})$ gilt:
    $m_{k}=\mu _{k}=0,{\text{ falls }}n>k{\text{ und }}k{\text{ ungerade}}$
    $m_{k}=\mu _{k}=n^{k/2}\cdot {\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\dotsm (k-1)}{(n-2)\cdot (n-4)\cdot (n-6)\dotsm (n-k)}},{\text{ falls }}n>k{\text{ und }}k{\text{ gerade}}$

### Beziehung zur Betaverteilung

Das Integral
    $\int _{0}^{z}t^{a-1}(1-t)^{b-1}\mathrm {d} t$
ist die unvollständige Betafunktion
    $B(z;a,b),$
wobei
    $B(a,b)=B(1;a,b)$ den Zusammenhang zur vollständigen Betafunktion herstellt. Dann ist für $t>0$
    $F_{n}(t)={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}I(z,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {n}{2}})={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}{\frac {B(z_{t};{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {n}{2}})}{B(1;{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {n}{2}})}}$
mit
    $z_{t}={\frac {t^{2}}{t^{2}+n}}.$
Wenn t gegen unendlich geht, strebt $z_{t}$ gegen 1. Im Grenzfall steht im Zähler und Nenner obigen Bruches also dasselbe, das heißt, man erhält:
    $F_{n}(t)={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}I(z_{t},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {n}{2}})\rightarrow {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}=1$

## Nichtzentrale t-Verteilung

Die Größe
    ${\frac {Z+\delta }{\sqrt {\chi _{n}^{2}/n}}}$
mit $Z\sim {\mathcal {N}}(0,1)$ und $\delta$ als Nichtzentralitätsparameter folgt der sogenannten nichtzentralen $t$-Verteilung. Diese Verteilung wird vor allem zur Bestimmung des β-Fehlers bei Hypothesentests mit $t$-verteilter Prüfgröße verwendet. Ihre Wahrscheinlichkeitsdichte lautet:
    $f(x)={\frac {n^{n/2}n!e^{-\delta ^{2}/2}}{2^{n}\Gamma \left(n/2\right)(x^{2}+n)^{(n+1)/2}}}\left({\frac {{\sqrt {2}}\delta x}{\sqrt {x^{2}+n}}}{\frac {_{1}{\mathcal {F}}_{1}\left(n/2+1,3/2,{\frac {(\delta x)^{2}}{2(x^{2}+n)}}\right)}{\Gamma \left((n+1)/2\right)}}+{\frac {_{1}{\mathcal {F}}_{1}\left((n+1)/2,1/2,{\frac {(\delta x)^{2}}{2(x^{2}+n)}}\right)}{\Gamma \left(n/2+1\right)}}\right)$
Die Klammer mit der Summe hypergeometrischer Funktionen lässt sich noch etwas einfacher schreiben, sodass ein kürzerer alternativer Ausdruck für die Dichte entsteht:
    $f(x)={\frac {2^{n}n^{n/2+1}\Gamma \left((n+1)/2\right)}{\pi (x^{2}+n)^{(n+1)/2}}}e^{-\delta ^{2}/2}H_{-n-1}\left(-{\frac {\delta x}{{\sqrt {2}}{\sqrt {x^{2}+n}}}}\right),$
wobei $H_{-n-1}\left(z\right)$ ein Hermitesches Polynom mit negativem Index darstellt mit $H_{-n-1}\left(0\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{n+1}\Gamma \left(n/2+1\right)}}$.
Der Erwartungswert liegt für $n>1$ bei
    ${\frac {\delta {\sqrt {n}}\Gamma \left((n-1)/2\right)}{{\sqrt {2}}\Gamma \left(n/2\right)}}$
und die Varianz (für $n>2$) bei
    ${\frac {(1+\delta ^{2})n}{n-2}}-{\frac {\delta ^{2}n\Gamma \left((n-1)/2\right)^{2}}{2\Gamma \left(n/2\right)^{2}}}.$
Mit $\delta =0$ erhält man die Kennwerte der zentralen $t$-Verteilung.

## Beziehung zu anderen Verteilungen
### Beziehung zur Cauchy-Verteilung

Für $n=1$ und mit $\Gamma (1/2)={\sqrt {\pi }}$ ergibt sich die Cauchy-Verteilung als Spezialfall aus der Studentschen $t$-Verteilung.

### Beziehung zur Chi-Quadrat-Verteilung und Standardnormalverteilung

Die $t$-Verteilung beschreibt die Verteilung eines Ausdruckes
    $t_{n}\equiv {\frac {{\mathcal {N}}(0,1)}{\sqrt {\frac {\chi _{n}^{2}}{n}}}},$
wobei ${\mathcal {N}}(0,1)$ eine standardnormalverteilte und $\chi _{n}^{2}$ eine Chi-Quadrat-verteilte Zufallsvariable mit $n$ Freiheitsgraden bedeutet. Die Zählervariable muss unabhängig von der Nennervariable sein. Die Dichtefunktion der $t$-Verteilung ist dann symmetrisch bezüglich ihres Erwartungswertes $0$. Die Werte der Verteilungsfunktion liegen in der Regel tabelliert vor.

### Verteilung mit schweren Rändern

Die Verteilung gehört zu den Verteilungen mit schweren Rändern.

### Näherung durch die Normalverteilung

Mit steigender Zahl von Freiheitsgraden kann man die Verteilungswerte der $t$-Verteilung mit Hilfe der Normalverteilung annähern. Als Faustregel gilt, dass ab 30 Freiheitsgraden die $t$-Verteilungsfunktion durch die Normalverteilung approximiert werden kann.

## Verwendung in der mathematischen Statistik

Verschiedene Schätzfunktionen sind $t$-verteilt.
Wenn die unabhängigen Zufallsvariablen $X_{1},X_{2},\dotsc ,X_{n}$ identisch normalverteilt sind mit Erwartungswert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma$, kann bewiesen werden, dass der Stichprobenmittelwert
    ${\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}$
und die Stichprobenvarianz
    $S^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}$
stochastisch unabhängig sind.
Weil die Zufallsgröße ${\tfrac {{\overline {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}$ eine Standardnormalverteilung hat und $(n-1)\,S^{2}/\sigma ^{2}$ einer Chi-Quadrat-Verteilung mit $n-1$ Freiheitsgraden folgt, ergibt sich, dass die Größe
    $t_{n-1}={\frac {{\overline {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}={\frac {{\overline {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}\cdot {\frac {\sigma }{\sigma }}={\frac {{\overline {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}\cdot {\frac {\sigma }{S}}={\frac {{\overline {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}/\left({\frac {S}{\sigma }}\right)={\frac {{\overline {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}/{\sqrt {\chi _{n-1}^{2}/(n-1)}}$
nach Definition $t$-verteilt ist mit $n-1$ Freiheitsgraden.
Also ist der Abstand des gemessenen Mittelwertes vom Mittelwert der Grundgesamtheit verteilt wie $t_{n-1}S/{\sqrt {n}}$. Damit berechnet man dann das 95-%-Konfidenzintervall für den Mittelwert $\mu$ zu
    ${\overline {x}}-t\cdot S/{\sqrt {n}}\leq \mu \leq {\overline {x}}+t\cdot S/{\sqrt {n}},$
wobei der Wert für $t$ implizit durch $F_{n-1}(t)=0{,}975$ bestimmt ist, wobei $F_{n-1}$ die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen bezeichnet, die $t$-verteilt ist mit $n-1$ Freiheitsgraden ist. Dieses Intervall ist für $n<\infty$ etwas größer als dasjenige, welches sich mit bekanntem $\sigma$ aus der Verteilungsfunktion der Normalverteilung bei gleichem Konfidenzniveau ergeben hätte $\left(\mu \in \left[{\overline {x}}\pm 1{,}96\cdot {\tfrac {\sigma }{\sqrt {n}}}\right]\right)$.

## Herleitung der Dichte

Die Wahrscheinlichkeitsdichte der $t$-Verteilung lässt sich herleiten aus der gemeinsamen Dichte der beiden unabhängigen Zufallsvariablen $Z$ und $\chi _{n}^{2}$, die standardnormal beziehungsweise Chi-Quadrat-verteilt sind:
    $f_{Z,\chi _{n}^{2}}(z,y)={\frac {e^{-{\frac {1}{2}}z^{2}}}{\sqrt {2\pi }}}\cdot {\frac {y^{{\frac {n}{2}}-1}e^{-{\frac {1}{2}}y}}{2^{\frac {n}{2}}\Gamma ({\frac {n}{2}})}}$
Mit der Transformation
    $t=z/{\sqrt {y/n}},v=y$
bekommt man die gemeinsame Dichte von $T=Z/{\sqrt {\chi _{n}^{2}/n}}$ und $\chi _{n}^{2}$, wobei $-\infty <t<\infty$ und $0\leq v<\infty$.
Die Jacobideterminante dieser Transformation ist:
    $\det {\frac {\partial (z,y)}{\partial (t,v)}}={\begin{vmatrix}{\sqrt {\frac {v}{n}}}&0\\\Diamond &1\end{vmatrix}}={\sqrt {\frac {v}{n}}}$
Der Wert $\Diamond$ ist unwichtig, weil er bei der Berechnung der Determinante mit 0 multipliziert wird. Die neue Dichtefunktion schreibt sich also
    $f_{T,\chi _{n}^{2}}(t,v)={\frac {e^{-{\frac {1}{2}}v{\frac {t^{2}}{n}}}}{\sqrt {2\pi }}}\cdot {\frac {1}{2^{\frac {n}{2}}\Gamma ({\frac {n}{2}})}}v^{{\frac {n}{2}}-1}e^{-{\frac {1}{2}}v}\cdot {\sqrt {\frac {v}{n}}}.$
Gesucht ist nun die Randverteilung $f_{n}(t)$ als Integral über die nicht interessierende Variable $v$:
    $f_{n}(t)=\int \limits _{0}^{\infty }f_{T,\chi _{n}^{2}}(t,v)\,dv={\frac {1}{{\sqrt {n\pi }}\,2^{(n+1)/2}\Gamma (n/2)}}\int \limits _{0}^{\infty }v^{(n-1)/2}e^{-v(1+t^{2}/n)/2}\,dv={\frac {\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}{{\sqrt {n\pi }}\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}\left(1+{\frac {t^{2}}{n}}\right)^{-{\frac {n+1}{2}}}$

## Ausgewählte Quantile der t-Verteilung

Tabelliert sind $t$-Werte für verschiedene Freiheitsgrade $n$ und gebräuchliche Wahrscheinlichkeiten $P$ (0,75 bis 0,999), wofür gilt:
    $P_{\text{einseitig}}=F_{n}(t)=P(T_{n}\leq t)$
Aufgrund der Spiegelsymmetrie der Dichte braucht man für den Fall des beidseitig symmetrisch begrenzten Intervalls nur die Wahrscheinlichkeitsskala anzupassen. Dabei verringern sich die Wahrscheinlichkeiten bei gleichem $t$, denn das Integrationsintervall wird durch Wegschneiden des Bereichs von $-\infty$ bis $-t$ reduziert:
    $P_{\text{zweiseitig}}=F_{n}(t)-F_{n}(-t)=P(-t<T_{n}\leq t)=2P_{\text{einseitig}}-1$
Werden bei einer Stichprobe $N$ Beobachtungen durchgeführt und aus der Stichprobe $m$ Parameter geschätzt, so ist $n=N-m$ die Anzahl der Freiheitsgrade.
Zu der Anzahl von Freiheitsgraden $n$ in der ersten Spalte und dem Signifikanzniveau $\alpha$ (dargestellt als $1-\alpha$ in der zweiten Zeile) wird in jeder Zelle der folgenden Tabelle der Wert des (einseitigen) Quantils $t_{n,\alpha }$, entsprechend DIN 1319-3, angegeben. Dies erfüllt für die Dichte $f_{n}$ der $t_{n}$-Verteilung die folgenden Gleichungen:
    Einseitig: $\int _{-\infty }^{t_{n,\alpha }}f_{n}(x)\,\mathrm {d} x=1-\alpha$
    Zweiseitig: $\int _{-t_{n,\alpha /2}}^{t_{n,\alpha /2}}f_{n}(x)\,\mathrm {d} x=1-\alpha$
Also findet man beispielsweise mit $n=4$ und $\alpha =0{,}05$ die $t$-Werte von 2,776 (zweiseitig) oder 2,132 (einseitig).
Die Quantilfunktion der $t$-Verteilung $x_{p}$ ist die Lösung der Gleichung $p=F(x_{p}|m,\,n)$ und damit prinzipiell über die Umkehrfunktion zu berechnen. Konkret gilt hier
    $x_{p}={\frac {{\sqrt {n}}\left(2I^{-1}(p,{\frac {n}{2}},{\frac {n}{2}})-1\right)}{2{\sqrt {\left(1-I^{-1}(p,{\frac {n}{2}},{\frac {n}{2}})\right)\cdot I^{-1}(p,{\frac {n}{2}},{\frac {n}{2}})}}}}$
mit $I^{-1}$ als Inverse der regularisierten unvollständigen Betafunktion. Dieser Wert $x_{p}$ ist in der Quantiltabelle unter den Koordinaten p und n eingetragen.
Für wenige Werte $n$ (1,2,4) vereinfacht sich die Quantilfunktion:
    $n=1:x_{p}=\operatorname {tan} (\pi (p-1/2))$
    $n=2:x_{p}=(p-1/2){\sqrt {\frac {2}{p(1-p)}}}$
    $n=4:x_{p}={\sqrt {{\frac {2\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left(2{\sqrt {p(1-p)}}\,\right)\right)}{\sqrt {p(1-p)}}}-4}}$

### Tabelle einiger t-Quantile

| Anzahl Freiheitsgrade n | P für zweiseitigen Vertrauensbereich | P für zweiseitigen Vertrauensbereich | P für zweiseitigen Vertrauensbereich | P für zweiseitigen Vertrauensbereich | P für zweiseitigen Vertrauensbereich | P für zweiseitigen Vertrauensbereich | P für zweiseitigen Vertrauensbereich | P für zweiseitigen Vertrauensbereich |
| Anzahl Freiheitsgrade n | 0,5 | 0,75 | 0,8 | 0,9 | 0,95 | 0,98 | 0,99 | 0,998 |
| P für einseitigen Vertrauensbereich ||||||||
| Anzahl Freiheitsgrade n | 0,75 | 0,875 | 0,90 | 0,95 | 0,975 | 0,99 | 0,995 | 0,999 |
| 1 | 1,000 | 2,414 | 3,078 | 6,314 | 12,706 | 31,821 | 63,657 | 318,309 |
| 2 | 0,816 | 1,604 | 1,886 | 2,920 | 4,303 | 6,965 | 9,925 | 22,327 |
| 3 | 0,765 | 1,423 | 1,638 | 2,353 | 3,182 | 4,541 | 5,841 | 10,215 |
| 4 | 0,741 | 1,344 | 1,533 | 2,132 | 2,776 | 3,747 | 4,604 | 7,173 |
| 5 | 0,727 | 1,301 | 1,476 | 2,015 | 2,571 | 3,365 | 4,032 | 5,893 |
| 6 | 0,718 | 1,273 | 1,440 | 1,943 | 2,447 | 3,143 | 3,707 | 5,208 |
| 7 | 0,711 | 1,254 | 1,415 | 1,895 | 2,365 | 2,998 | 3,499 | 4,785 |
| 8 | 0,706 | 1,240 | 1,397 | 1,860 | 2,306 | 2,896 | 3,355 | 4,501 |
| 9 | 0,703 | 1,230 | 1,383 | 1,833 | 2,262 | 2,821 | 3,250 | 4,297 |
| 10 | 0,700 | 1,221 | 1,372 | 1,812 | 2,228 | 2,764 | 3,169 | 4,144 |
| 11 | 0,697 | 1,214 | 1,363 | 1,796 | 2,201 | 2,718 | 3,106 | 4,025 |
| 12 | 0,695 | 1,209 | 1,356 | 1,782 | 2,179 | 2,681 | 3,055 | 3,930 |
| 13 | 0,694 | 1,204 | 1,350 | 1,771 | 2,160 | 2,650 | 3,012 | 3,852 |
| 14 | 0,692 | 1,200 | 1,345 | 1,761 | 2,145 | 2,624 | 2,977 | 3,787 |
| 15 | 0,691 | 1,197 | 1,341 | 1,753 | 2,131 | 2,602 | 2,947 | 3,733 |
| 16 | 0,690 | 1,194 | 1,337 | 1,746 | 2,120 | 2,583 | 2,921 | 3,686 |
| 17 | 0,689 | 1,191 | 1,333 | 1,740 | 2,110 | 2,567 | 2,898 | 3,646 |
| 18 | 0,688 | 1,189 | 1,330 | 1,734 | 2,101 | 2,552 | 2,878 | 3,610 |
| 19 | 0,688 | 1,187 | 1,328 | 1,729 | 2,093 | 2,539 | 2,861 | 3,579 |
| 20 | 0,687 | 1,185 | 1,325 | 1,725 | 2,086 | 2,528 | 2,845 | 3,552 |
| 21 | 0,686 | 1,183 | 1,323 | 1,721 | 2,080 | 2,518 | 2,831 | 3,527 |
| 22 | 0,686 | 1,182 | 1,321 | 1,717 | 2,074 | 2,508 | 2,819 | 3,505 |
| 23 | 0,685 | 1,180 | 1,319 | 1,714 | 2,069 | 2,500 | 2,807 | 3,485 |
| 24 | 0,685 | 1,179 | 1,318 | 1,711 | 2,064 | 2,492 | 2,797 | 3,467 |
| 25 | 0,684 | 1,178 | 1,316 | 1,708 | 2,060 | 2,485 | 2,787 | 3,450 |
| 26 | 0,684 | 1,177 | 1,315 | 1,706 | 2,056 | 2,479 | 2,779 | 3,435 |
| 27 | 0,684 | 1,176 | 1,314 | 1,703 | 2,052 | 2,473 | 2,771 | 3,421 |
| 28 | 0,683 | 1,175 | 1,313 | 1,701 | 2,048 | 2,467 | 2,763 | 3,408 |
| 29 | 0,683 | 1,174 | 1,311 | 1,699 | 2,045 | 2,462 | 2,756 | 3,396 |
| 30 | 0,683 | 1,173 | 1,310 | 1,697 | 2,042 | 2,457 | 2,750 | 3,385 |
| 40 | 0,681 | 1,167 | 1,303 | 1,684 | 2,021 | 2,423 | 2,704 | 3,307 |
| 50 | 0,679 | 1,164 | 1,299 | 1,676 | 2,009 | 2,403 | 2,678 | 3,261 |
| 60 | 0,679 | 1,162 | 1,296 | 1,671 | 2,000 | 2,390 | 2,660 | 3,232 |
| 70 | 0,678 | 1,160 | 1,294 | 1,667 | 1,994 | 2,381 | 2,648 | 3,211 |
| 80 | 0,678 | 1,159 | 1,292 | 1,664 | 1,990 | 2,374 | 2,639 | 3,195 |
| 90 | 0,677 | 1,158 | 1,291 | 1,662 | 1,987 | 2,368 | 2,632 | 3,183 |
| 100 | 0,677 | 1,157 | 1,290 | 1,660 | 1,984 | 2,364 | 2,626 | 3,174 |
| 200 | 0,676 | 1,154 | 1,286 | 1,653 | 1,972 | 2,345 | 2,601 | 3,131 |
| 300 | 0,675 | 1,153 | 1,284 | 1,650 | 1,968 | 2,339 | 2,592 | 3,118 |
| 400 | 0,675 | 1,152 | 1,284 | 1,649 | 1,966 | 2,336 | 2,588 | 3,111 |
| 500 | 0,675 | 1,152 | 1,283 | 1,648 | 1,965 | 2,334 | 2,586 | 3,107 |
| $\infty$ | 0,674 | 1,150 | 1,282 | 1,645 | 1,960 | 2,326 | 2,576 | 3,090 |