# Hyperkomplexe Zahl

Hyperkomplexe Zahlen sind Verallgemeinerungen der komplexen Zahlen. In diesem Artikel werden hyperkomplexe Zahlen als algebraische Struktur betrachtet. Manchmal werden auch die Quaternionen als die hyperkomplexen Zahlen bezeichnet.

## Definition

Eine hyperkomplexe Zahl ist ein Element einer Algebra hyperkomplexer Zahlen. Eine Algebra $A$ über den reellen Zahlen heißt Algebra hyperkomplexer Zahlen oder hyperkomplexes System des Rangs $n$, wenn
* sie als Vektorraum endliche Dimension $n$ hat und wenn
* sie ein Einselement besitzt, das heißt, falls ein $e\in A$ existiert, so dass für alle $a\in A$ die Gleichung $e\cdot a=a\cdot e=a$ gilt.
Manche Autoren fordern zusätzlich, dass die Algebra $A$ bezüglich der Multiplikation assoziativ ist. Insbesondere sind die reellen Zahlen selbst eine Algebra hyperkomplexer Zahlen.

## Eigenschaften

* Für die Addition gelten das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz.
* Die Addition ist invertierbar.
* Das linksseitige und das rechtsseitige Distributivgesetz gilt.
* Die Multiplikation in einer hyperkomplexen Algebra $A$ ist bilinear über den reellen Zahlen, d. h., es gilt $(\alpha x)(\beta y)=\alpha \beta (xy)~~\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {R} ;~x,y\in A$
Folgende Eigenschaften werden nicht gefordert:
* Für die Multiplikation von hyperkomplexen Zahlen muss das Kommutativgesetz nicht gelten.
* Elemente müssen bezüglich der Multiplikation nicht notwendig invertierbar sein.
* Die Multiplikation braucht nicht nullteilerfrei zu sein.

## Konjugation

Hyperkomplexe Zahlen lassen sich wie folgt als Summe darstellen:
    $a=a_{0}1+a_{1}\mathrm {i} _{1}+\dotsb +a_{n}\mathrm {i} _{n}$.
Die Größen $\mathrm {i} _{k}$ für $k>0$ heißen imaginäre Einheiten. Die zu $a$ konjugierte Zahl entsteht, indem alle imaginären Einheiten durch ihr Negatives ersetzt werden ($\mathrm {i} _{k}\mapsto -\mathrm {i} _{k}$). Die zu $a$ konjugiert komplexe Zahl wird durch ${\bar {a}}$ oder $a^{*}$ dargestellt. Ihre Summendarstellung ist
    ${\bar {a}}=a_{0}1-a_{1}\mathrm {i} _{1}-\dotsb -a_{n}\mathrm {i} _{n}$.
Die Konjugation ist eine Involution auf den hyperkomplexen Zahlen, das heißt, dass
    ${\bar {\bar {a}}}=a$.

## Beispiele
### Komplexe Zahlen

Die komplexen Zahlen $\mathbb {C}$ sind ein hyperkomplexes Zahlensystem, definiert durch
    $z=a+b\mathrm {i}$  mit  $\mathrm {i} ^{2}=-1$.

### Anormal-komplexe Zahlen

Die anormal-komplexen Zahlen sind definiert durch
    $z=a+bj$  mit  $j^{2}=1$.

### Duale Zahlen

Die dualen Zahlen sind definiert durch
    $z=a+b\varepsilon$  mit  $\varepsilon ^{2}=0$.
Man beachte, dass sie nichts mit Dualzahlen (Darstellung von Zahlen im Zweiersystem) zu tun haben.

### Quaternionen

Die Quaternionen sind definiert durch
    $x_{0}+x_{1}\mathrm {i} +x_{2}\mathrm {j} +x_{3}\mathrm {k}$  mit  $\mathrm {i} ^{2}=\mathrm {j} ^{2}=\mathrm {k} ^{2}=\mathrm {i} \mathrm {j} \mathrm {k} =-1$.
Die Quaternionen (Symbol oft $\mathbb {H}$ nach ihrem Entdecker W. R. Hamilton) bilden eine vierdimensionale $\mathbb {R}$-Algebra mit Division und assoziativer (aber nicht kommutativer) Multiplikation. Es handelt sich bei den Quaternionen also um einen Schiefkörper.

### Biquaternionen

Die Biquaternionen sind als Quaternionen mit komplexen Koeffizienten definiert, d. h., sie bilden einen vierdimensionalen Vektorraum über $\mathbb {C}$ ebenso, wie die Quaternionen einen vierdimensionalen Vektorraum über $\mathbb {R}$ bilden.
Es gibt zwei unterschiedliche Biquaternion: Hamilton-Biquaternion und Clifford-Biquaternion.

### Oktonionen

Die Oktonionen (Symbol $\mathbb {O}$, auch Oktaven genannt) sind achtdimensionale hyperkomplexe Zahlen mit Division und alternativer Multiplikation.

### Sedenionen

Die Sedenionen (Symbol $\mathbb {S}$) sind sechzehndimensionale hyperkomplexe Zahlen. Ihre Multiplikation ist weder kommutativ, assoziativ noch alternativ. Auch besitzen sie keine Division; stattdessen haben sie Nullteiler.

### Quadratische Matrizen

Sei $n$ eine natürliche Zahl. Der $\mathbb {R} ^{n\times n}$ ist dann eine Algebra mit der $n\times n$-Einheitsmatrix als Einselement – also auch eine hyperkomplexe Algebra. Genauer ist sie eine assoziative hyperkomplexe Algebra und damit auch ein Ring und als solcher auch unitär. Die reellzahligen Vielfachen der Einheitsmatrix bilden eine zu $\mathbb {R}$ isomorphe Unteralgebra.
Im Fall $n=2$ gibt es Unteralgebren, die zu den oben genannten drei zweidimensionalen Algebren isomorph sind; sie zeichnen sich dadurch aus, dass die Hauptdiagonalelemente stets übereinstimmen (was dem Realteil entspricht) und für die Elemente der Nebendiagonalen Regeln gelten, die die dargestellte Algebra festlegen:
* Ein Nebendiagonalelement ist 0. → Die Algebra ist isomorph zu den Dualen Zahlen.
* Beide Nebendiagonalelemente stimmen überein. → Die Algebra ist isomorph zu den Binären Zahlen.
* Jedes Nebendiagonalelement ist das Negative des anderen. → Die Algebra ist isomorph zu den komplexen Zahlen.
Bemerkung: Jede Matrix des dritten Typs, durch die Determinante dividiert, ist eine Drehmatrix des zweidimensionalen Raums; jede Matrix des zweiten Typs durch ihre Determinante (falls diese von 0 verschieden ist) entspricht einer Lorentz-Transformation in einem 1+1-dimensionalen Minkowski-Raum.

## Bemerkungen

* Mit dem Verdopplungsverfahren (auch als Cayley-Dickson-Verfahren bekannt) lassen sich neue hyperkomplexe Zahlensysteme erzeugen, deren Dimension doppelt so groß ist wie die des Ausgangszahlensystems.
* Jede Clifford-Algebra ist ein assoziatives hyperkomplexes Zahlensystem.