# Frobeniushomomorphismus

Der Frobeniushomomorphismus oder Frobenius-Endomorphismus ist in der Algebra ein Endomorphismus von Ringen, deren Charakteristik eine Primzahl ist. Der Frobeniushomomorphismus ist nach dem deutschen Mathematiker Ferdinand Georg Frobenius benannt.

## Frobeniusendomorphismus eines Rings
### Definition

Es sei $R$ ein kommutativer unitärer Ring mit der Charakteristik $p$, wobei $p$ eine Primzahl ist. Als Frobeniushomomorphismus wird die Abbildung
    $\phi _{p}\colon R\to R,\ \ x\mapsto x^{p}$
bezeichnet. Sie ist ein Ringhomomorphismus.
Ist $q=p^{e}$, dann ist auch
    $\phi _{q}=\phi _{p^{e}}\colon R\to R,\ \ x\mapsto x^{q}$
ein Ringhomomorphismus.

### Beweis der Homomorphieeigenschaft

Die Abbildung $\phi _{p}$ ist verträglich mit der Multiplikation in $R$, da aufgrund der Potenzgesetze
    $\phi _{p}(x\cdot y)=(x\cdot y)^{p}=x^{p}\cdot y^{p}=\phi _{p}(x)\cdot \phi _{p}(y)$
gilt. Ebenso gilt $\phi _{p}(1)=1^{p}=1.$ Interessanterweise ist die Abbildung zudem mit der Addition in $R$ verträglich, das heißt, es gilt $\phi _{p}(x+y)=\phi _{p}(x)+\phi _{p}(y)$. Mit Hilfe des Binomialsatzes folgt nämlich
    $(x+y)^{p}=x^{p}+\left(\sum _{k=1}^{p-1}{\binom {p}{k}}x^{p-k}y^{k}\right)+y^{p}$
Da $p$ eine Primzahl ist, teilt $p$ zwar $p!$, aber nicht $m!$ für $m<p$. Da die Charakteristik $p$ deshalb den Zähler, aber nicht den Nenner der Binomialkoeffizienten
    ${\binom {p}{k}}={\frac {p!}{k!(p-k)!}}$
teilt, verschwinden die Binomialkoeffizienten in der obigen Formel. Die Addition vereinfacht sich zu
    $(x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}.$
Daher ist der Frobeniushomomorphismus verträglich mit der Addition in $R$. Diese Gleichung wird im englischsprachigen Raum als Freshman’s Dream (der Traum des Anfängers) bezeichnet.

### Verwendung

Im Folgenden ist $p$ stets eine Primzahl und $q$ eine Potenz von $p$. Alle vorkommenden Ringe oder Körper haben Charakteristik $p$.
* Nach dem Kleinen Satz von Fermat ist $\phi _{p}$ auf dem Restklassenring $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} =\mathbb {F} _{p}$ die Identität. Allgemeiner: Ist $\mathbb {F} _{q}$ ein endlicher Körper, dann ist $\phi _{q}$ die Identität.
* Ist $K$ ein Körper, dann ist $\{x\in K:\phi _{p}(x)=x\}=\mathbb {F} _{p}$.
* Ist $\mathbb {F} _{q^{n}}/\mathbb {F} _{q}$ eine Erweiterung endlicher Körper, dann ist $\phi _{q}$ ein Automorphismus von $\mathbb {F} _{q^{n}}$, der $\mathbb {F} _{q}$ elementweise fest lässt. Die Galoisgruppe ${\text{Gal}}(\mathbb {F} _{q^{n}}/\mathbb {F} _{q})$ ist zyklisch und wird von $\phi _{q}$ erzeugt.
* Ist $A$ ein Ring, dann ist $\phi _{p}\colon A\to A$ genau dann injektiv, wenn $A$ keine nichttrivialen nilpotenten Elemente enthält. (Der Kern von $\phi _{p}$ ist $\{a\in A:a^{p}=0\}$.)
* Ist $A$ ein Ring und ist $\phi _{p}\colon A\to A$ bijektiv, dann heißt der Ring perfekt (oder vollkommen). In einem perfekten Ring besitzt jedes Element eine eindeutig bestimmte $p$-te Wurzel. Perfekte Körper zeichnen sich dadurch aus, dass sie keine inseparablen Erweiterungen besitzen.
* Der perfekte Abschluss eines Rings $A$ lässt sich als induktiver Limes darstellen:
       $A^{p^{-\infty }}=\varinjlim \left(A{\stackrel {\phi _{p}}{\longrightarrow }}A{\stackrel {\phi _{p}}{\longrightarrow }}A{\stackrel {\phi _{p}}{\longrightarrow }}\dots \right)$
* Die Additivität der Abbildung $x\mapsto x^{p}$ wird auch in der Artin-Schreier-Theorie ausgenutzt.

## Frobeniusautomorphismen von lokalen und globalen Körpern

Die folgenden Annahmen dienen dazu, sowohl den Fall einer endlichen Galoiserweiterung algebraischer Zahlkörper als auch lokaler Körper zu beschreiben. Sei $A$ ein Dedekindring, $K$ sein Quotientenkörper, $L/K$ eine endliche Galoiserweiterung, $B$ der ganze Abschluss von $A$ in $L$. Dann ist $B$ ein Dedekindring. Sei weiter ${\mathfrak {P}}$ ein maximales Ideal in $B$ mit endlichem Restklassenkörper $\lambda =B/{\mathfrak {P}}$, außerdem ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {P}}\cap A$ und $\kappa =A/{\mathfrak {p}}$. Die Körpererweiterung $\lambda /\kappa$ ist galoissch. Sei $G$ die Galoisgruppe von $L/K$. Sie operiert transitiv auf den über ${\mathfrak {p}}$ liegenden Primidealen von $B$. Sei $G_{\mathfrak {P}}$ die Zerlegungsgruppe, d. h. der Stabilisator von ${\mathfrak {P}}$. Der induzierte Homomorphismus
    $r:G_{\mathfrak {P}}\to {\text{Gal}}(\lambda /\kappa )$
ist surjektiv. Sein Kern ist die Trägheitsgruppe.
Es sei nun ${\mathfrak {P}}$ unverzweigt, d. h. ${\mathfrak {p}}B_{\mathfrak {P}}={\mathfrak {P}}$. Dann ist der Homomorphismus $r$ ein Isomorphismus. Der Frobeniusautomorphismus ${\text{Frob}}_{\mathfrak {P}}\in {\text{Gal}}(L/K)$ (auch Frobeniuselement) ist das Urbild des Frobeniusautomorphismus $\phi _{|\kappa |}\in {\text{Gal}}(\lambda /\kappa )$ unter $r$. Er ist durch die folgende Eigenschaft eindeutig charakterisiert:
    ${\text{Frob}}_{\mathfrak {P}}b\equiv b^{|\kappa |}\mod {\mathfrak {P}}$
Weil $G$ auf den Primidealen über ${\mathfrak {p}}$ transitiv operiert, sind die Frobeniusautomorphismen zu ihnen konjugiert, so dass ihre Konjugationsklasse durch ${\mathfrak {p}}$ eindeutig festgelegt ist. Falls die Erweiterung $L/K$ abelsch ist, erhält man einen eindeutigen Frobeniusautomorphismus ${\text{Frob}}_{\mathfrak {p}}\in {\text{Gal}}(L/K)$.
Frobeniusautomorphismen sind von zentraler Bedeutung für die Klassenkörpertheorie: In der idealtheoretischen Formulierung wird die Reziprozitätsabbildung von der Zuordnung ${\mathfrak {p}}\mapsto {\text{Frob}}_{\mathfrak {p}}$ induziert. Konjugationsklassen von Frobeniusautomorphismen sind der Gegenstand des tschebotarjowschen Dichtigkeitssatzes. Ferdinand Georg Frobenius hatte die Aussage des Dichtigkeitssatzes bereits 1880 vermutet, deshalb sind die Automorphismen nach ihm benannt.

## Absoluter und relativer Frobenius für Schemata
### Definition

Sei $p$ eine Primzahl und $X$ ein Schema über $\mathbb {F} _{p}$. Der absolute Frobenius $\phi _{X}\colon X\to X$ ist definiert als Identität auf dem topologischen Raum und $p$-Potenzierung auf der Strukturgarbe. Auf einem affinen Schema ${\text{Spec }}A$ ist der absolute Frobenius durch den Frobenius des zugrundeliegenden Ringes gegeben, wie man an den globalen Schnitten ablesen kann. Dass die Primideale fest bleiben, übersetzt sich in die Äquivalenz $a\in {\mathfrak {p}}\iff a^{p}\in {\mathfrak {p}}$.
Sei nun $X\to S$ ein Morphismus von Schemata über $\mathbb {F} _{p}$. Das Diagramm
    ${\begin{matrix}X&{\stackrel {\phi _{X}}{\longrightarrow }}&X\\\downarrow &&\downarrow \\S&{\stackrel {\phi _{S}}{\longrightarrow }}&S\end{matrix}}$
kommutiert und induziert den relativen Frobeniusmorphismus
    $F_{X/S}\colon X\to X^{(p/S)}=S\times _{\phi _{S},S}X$
der ein Morphismus über $S$ ist. Ist $S={\text{Spec }}A$ das Spektrum eines perfekten Rings $A$, dann ist $\phi _{S}$ ein Isomorphismus, also $X^{(p/S)}\cong X$, aber dieser Isomorphismus ist im Allgemeinen kein Morphismus über $S$.

### Beispiel

* Mit $X=S[T_{1},\dots ,T_{n}]$ ist $X^{(p)}\cong S[T_{1},\dots ,T_{n}]$ (über $S$), und der relative Frobenius ist in Koordinaten gegeben durch:
       $T_{i}\mapsto T_{i}^{p}$
* Ist $B=A[T_{1},\dots ,T_{n}]/(f_{1},\dots ,f_{m})$, dann ist $({\text{Spec }}B)^{(p/{\text{Spec }}A)}=A[T_{1}^{p},\dots ,T_{n}^{p}]/({\tilde {f}}_{1},\dots ,{\tilde {f}}_{m})$, wobei ${\tilde {f}}$ bedeuten soll, dass die Koeffizienten in die $p$-te Potenz erhoben werden. Der relative Frobenius $({\text{Spec }}B)^{(p/{\text{Spec }}A)}\to B$ wird von $T_{i}\mapsto T_{i}^{p}$ induziert.

### Eigenschaften

* $F_{X/S}$ ist ganz, surjektiv und radiziell. Für $X/S$ lokal von endlicher Präsentation ist $F_{X/S}$ genau dann ein Isomorphismus, wenn $X/S$ étale ist.
* Wenn $X/S$ flach ist, besitzt $X^{(p/S)}$ die folgende lokale Beschreibung: Sei ${\text{Spec }}A$ eine offene affine Karte von $X$. Mit der symmetrischen Gruppe $S_{p}$ und $\textstyle N=\sum _{\sigma \in S_{p}}\sigma$ setze $A^{(p)}=(A^{\otimes p})^{S_{p}}/N\cdot A^{\otimes p}$. Die Multiplikation definiert einen Ringhomomorphismus $A^{(p)}\to A$, und durch Verkleben von ${\text{Spec }}A^{(p)}$ erhält man das Schema $X^{(p)}$.

### Satz von Lang

Ein Satz von Serge Lang besagt: Sei $G$ ein algebraisches oder affines zusammenhängendes Gruppenschema über einem endlichen Körper $\mathbb {F} _{q}$. Dann ist der Morphismus
    $L:x\mapsto x^{-1}\cdot F_{q}(x)$
treuflach. Ist $G$ algebraisch und kommutativ, ist $L$ also eine Isogenie mit Kern $G(\mathbb {F} _{q})$, die Lang-Isogenie. Ein Korollar ist, dass jeder $G$-Torsor trivial ist.
Beispiele:
* Für $G=\mathbb {G} _{a}$ erhält man den Artin-Schreier-Morphismus.
* Für $G={\text{GL}}_{n}$ erhält man die Aussage, dass jede zentrale einfache Algebra vom Rang $n$ über einem endlichen Körper eine Matrizenalgebra ist, für alle $n$ zusammengenommen also den Satz von Wedderburn.

### Frobenius und Verschiebung für kommutative Gruppen

Sei $S$ ein Schema und $G/S$ ein flaches kommutatives Gruppenschema. Die obige Konstruktion realisiert $G^{(p/S)}$ als Unterschema des symmetrischen Produkts $G^{p}/S_{p}$ (falls dieses existiert, andernfalls muss man mit einem kleineren Unterschema von $G^{p}$ arbeiten), und durch Verkettung mit der Gruppenmultiplikation erhält man einen kanonischen Morphismus $V_{G/S}\colon G^{(p/S)}\to G$, die Verschiebung. Der Name kommt daher, dass die Verschiebung bei Wittvektoren die Abbildung
    $(x_{0},x_{1},x_{2},\dots )\mapsto (0,x_{0},x_{1},\dots )$
ist.
Es gilt:
    $V_{G/S}\circ F_{G/S}=p,\ \ F_{G/S}\circ V_{G/S}=p$
    (Multiplikation mit $p$ in der Gruppe $G$ bzw. $G^{(p)}$).
* ${\text{Lie}}(G/S)={\text{Lie}}(\ker(F_{G/S})/S)$
* Ist $G/S$ ein endliches flaches kommutatives Gruppenschema, dann vertauscht die Cartier-Dualität Frobenius und Verschiebung:
       $F_{D(G)/S}=D(V_{G/S}),\ \ V_{D(G)/S}=D(F_{G/S})$
Eine endliche kommutative Gruppe $G$ über einem Körper ist genau dann
* vom multiplikativen Typ, wenn $V$ ein Isomorphismus ist.
* étale, wenn $F$ ein Isomorphismus ist.
* infinitesimal, wenn $F^{n}=0\colon G\to G^{(p^{n})}=((G^{(p)})\dots )^{(p)}$ für $n$ groß.
* unipotent, wenn $V^{n}=0\colon G^{(p^{n})}\to G$ für $n$ groß.
Die Charakterisierung von Gruppen durch Eigenschaften von $F$ und $V$ ist der Ausgangspunkt der Dieudonné-Theorie.
Beispiele:
* Für konstante Gruppen ist $F={\text{id}}$ und $V=p$.
* Für diagonalisierbare Gruppen ist $F=p$ und $V={\text{id}}$.
* Für $G=\mathbb {G} _{a}$ ist $F$ der gewöhnliche Frobeniushomomorphismus $\phi _{p}\colon A\to A$ für Ringe $A=\mathbb {G} _{a}(A)$. (Da der Frobeniusmorphismus ohne Rückgriff auf die Gruppenstruktur definiert ist, ist die Inklusion $\mathbb {G} _{m}(A)\subseteq \mathbb {G} _{a}(A)$ mit ihm kompatibel.) Die Verschiebung ist trivial: $V=0$.
* Ist $X$ eine abelsche Varietät über einem Körper der Charakteristik $p$ (allgemeiner ein abelsches Schema), dann ist die folgende Sequenz exakt, wenn $_{F}X$ jeweils für den Kern des entsprechenden Morphismus $F\colon X\to Y$ steht:
       $0\to_{F^{n}}X\to_{p^{n}}X{\stackrel {F^{n}}{\longrightarrow }}_{V^{n}}X^{(p^{n})}\to 0$

## Arithmetischer und geometrischer Frobenius

Sei $X$ ein Schema über $k=\mathbb {F} _{q}$, weiter ${\bar {k}}$ ein algebraischer Abschluss von $k$ und ${\overline {X}}=X\times _{{\text{Spec }}k}{\text{Spec }}{\bar {k}}$. Der Frobeniusautomorphismus $\phi _{q}\in {\text{Gal}}({\bar {k}}/k)$ wird in diesem Kontext arithmetischer Frobenius genannt, der inverse Automorphismus $\phi _{q}^{-1}$ geometrischer Frobenius. Weil ${\overline {X}}$ über $k$ definiert ist, ist ${\overline {X}}^{(q/{\bar {k}})}\cong {\overline {X}}$, und der relative Frobenius ist $F_{{\overline {X}}/{\bar {k}}}=\phi _{q,X}\times {\text{id}}_{\bar {k}}$. Es gilt (auch nach der definierenden Gleichung des relativen Frobenius)
    $\phi _{q,{\overline {X}}}=({\text{id}}_{X}\times \phi _{q,{\bar {k}}})\circ (\phi _{q,X}\times {\text{id}}_{\bar {k}})$
Ist $G$ eine konstante Garbe auf ${\overline {X}}_{\text{et}}$, induziert $\phi _{q,{\overline {X}}}$ die Identität auf der Kohomologie von $G$, so dass nach der obigen Gleichung der relative Frobenius $\phi _{q,X}\times {\text{id}}_{\bar {k}}$ mit seiner aus der Geometrie kommenden Komponente $\phi _{q,X}$ und der geometrische Frobenius ${\text{id}}_{X}\times \phi _{q,{\bar {k}}}^{-1}$ dieselbe Wirkung haben.