# Kähler-Mannigfaltigkeit

In der Mathematik bezeichnet man mit Kähler-Mannigfaltigkeit (nach Erich Kähler) eine glatte Mannigfaltigkeit zusammen mit einer komplexen Struktur und einer riemannschen Metrik (im Sinne einer riemannschen Mannigfaltigkeit), die miteinander verträglich sind.
Der Begriff der Kähler-Mannigfaltigkeit findet Anwendung in der Darstellungstheorie von Lie-Gruppen und ist ein zentraler Begriff der geometrischen Quantisierung. Ein auch in der Stringtheorie wichtiges Beispiel für Kähler-Mannigfaltigkeiten sind Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten.

## Definitionen
### Symplektische Sichtweise

Eine Kähler-Mannigfaltigkeit ist eine symplektische Mannigfaltigkeit $(X,\omega )$ ausgestattet mit einer integrierbaren fast komplexen Struktur $J$, welche mit der symplektischen Form $\omega$ kompatibel ist, was bedeutet, dass die bilineare Form
$g(u,v)=\omega (u,Jv)$
auf dem Tangentialraum von $X$ an jedem Punkt symmetrisch und positiv definit ist.

### Komplexe Sichtweise

Eine Kähler-Mannigfaltigkeit ist eine komplexe Mannigfaltigkeit $X$ mit einer hermitischen Metrik $h$, deren zugehörige 2-Form $\omega$ geschlossen ist. Genauer gesagt, gibt $h$ eine positive bestimmte hermitische Form auf dem Tangentialraum $TX$ an jedem Punkt von $X$ und die 2-Form $\omega$ ist definiert durch
    $\omega (u,v)=\operatorname {Re} h(iu,v)=\operatorname {Im} h(u,v)$
für Tangentialvektoren $u$ und $v$. Eine Kähler-Mannigfaltigkeit kann auch als Riemannsche Mannigfaltigkeit mit der Riemannschen Metrik $g$ angesehen werden definiert durch
    $g(u,v)=\operatorname {Re} h(u,v).$

### Riemannsche Sichtweise

Sei $M$ eine glatte Mannigfaltigkeit, $J\colon TM\to TM$ eine komplexe Struktur, das heißt eine glatte Abbildung $J\colon TM\to TM$ mit $J^{2}=-Id$ und $g\colon {\mathcal {V}}(M)\times {\mathcal {V}}(M)\to C^{\infty }(M;\mathbb {R} )$ eine riemannsche Metrik, wobei ${\mathcal {V}}(M)$ den Raum der glatten Vektorfelder auf $M$ bezeichnet. Das Tripel $(M,J,g)$ heißt Kähler-Mannigfaltigkeit, wenn
* $g(JX,JY)=g(X,Y)$
für alle Vektorfelder $X,Y\in {\mathcal {V}}(M)$ gilt und
* $\omega (X,Y):=g(JX,Y)$ eine symplektische Form
ist. Die 2-Form $\omega$ heißt dann die Kähler-Form von $M$ und $g$ die Kähler-Metrik.
Falls der Ricci-Tensor proportional zur riemannschen Metrik ist, so spricht man auch von einer Kähler-Einstein- (oder Einstein-Kähler)-Mannigfaltigkeit. Für weitere Details vgl. den Artikel einsteinsche Mannigfaltigkeit.

## Hodge-Theorie für Kähler-Mannigfaltigkeiten

Auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit der Dimension $N$, ist der Verallgemeinerte Laplace-Operator auf glatten $r$-Formen als $\Delta _{d}:=dd^{*}+d^{*}d$ definiert, wobei $d$ die äußere Ableitung und $d^{*}:=-(-1)^{Nr}\star d\star$ ist und $\star$ den Hodge-Stern-Operator bezeichnet. Für eine hermitesche Mannigfaltigkeit $X$ werden $d$ und $d^{*}$ zerlegt als
    $d=\partial +{\bar {\partial }},\quad d^{*}=\partial ^{*}+{\bar {\partial }}^{*},$
und es werden zwei weitere Laplace-Operatoren definiert:
    $\Delta _{\bar {\partial }}:={\bar {\partial }}{\bar {\partial }}^{*}+{\bar {\partial }}^{*}{\bar {\partial }},\quad \Delta _{\partial }:=\partial \partial ^{*}+\partial ^{*}\partial .$
Wenn $X$ Kähler-Struktur besitzt, dann sind diese verallgemeinerten Laplace-Operatoren bis auf eine Konstante identisch:
    $\Delta _{d}=2\Delta _{\bar {\partial }}=2\Delta _{\partial }.$
Daraus folgt, dass auf einer Kähler-Mannigfaltigkeit $X$ die Gleichheit
    ${\mathcal {H}}^{r}(X)=\bigoplus _{p+q=r}{\mathcal {H}}^{p,q}(X)$
gilt, wobei ${\mathcal {H}}^{r}$ der Raum harmonischer $r$-Formen auf $X$ (Formen $\alpha$ mit $\Delta \alpha =0$) und ${\mathcal {H}}^{p,q}$ der Raum harmonischer $(p,q)$-Formen ist. Das heißt also, dass eine Differentialform $\alpha$ harmonisch ist, wenn alle ihre $(p,q)$-Komponenten harmonisch sind.
Für eine kompakte Kähler-Mannigfaltigkeit $X$, gibt die Hodge-Theorie eine Interpretation der obigen Zerlegung, welche nicht von der Wahl der Kähler-Metrik abhängt. Nämlich teilt sich die Kohomologie $H^{r}(X,\mathbb {C} )$ von $X$ mit komplexen Koeffizienten als direkte Summe von gewissen kohärenten Garbenkohomologiegruppen:
    $H^{r}(X,\mathbf {C} )\cong \bigoplus _{p+q=r}H^{q}(X,\Omega ^{p})$.
Die Gruppe auf der linken Seite ist nur von $X$ als topologischer Raum abhängig, während die Gruppen auf der rechten Seiten von $X$ als eine komplexe Mannigfaltigkeit abhängen. Also verbindet der Hodge-Zerlegungs-Satz Topologie und komplexe Geometrie für kompakte Kähler-Mannigfaltigkeiten.

## Beispiele

* Der komplexe Raum $\mathbb {C} ^{n}$.
* Ein kompakt komplexer Torus $\mathbb {C} \setminus \Lambda$.
* Jede Riemannsche Metrik auf einer orientierten 2-Mannigfaltigkeit.
* Der komplexe projektive Raum $\mathbb {C} P^{n}$ und projektive Varietäten $X\subset \mathbb {C} ^{n}$.
* Die induzierte Metrik auf einer komplexen Untermannigfaltigkeit einer Kähler-Mannigfaltigkeit ist Kähler. Jede Steinsche Mannigfaltigkeit oder glatte projektive algebraische Varietät ist Kähler.
* Hermitesche symmetrische Räume.
* Jede K3-Fläche ist Kähler.
* Bahnen der koadjungierten Darstellung halb-einfacher Lie-Gruppen.