# Gelfand-Tripel

Das Gelfand-Tripel (auch Gelfandscher Dreier, Banach-Gelfand-Tripel oder ausgerüsteter Hilbert-Raum) bezeichnet in der Funktionalanalysis ein Raum-Tripel $(V,H,V'),$ bestehend aus einem Hilbert-Raum $H$, einem topologischen Vektorraum $V$ (zum Beispiel ein Banach-Raum) und seinem topologische Dualraums $V'$. Der Raum $V$ wird so gewählt, dass $V$ ein dicht liegender Unterraum von $H$ ist und seine Inklusion stetig ist. Diese Konstruktion hat nun den Vorteil, dass sich Elemente aus $H$ mittels des Darstellungssatzes von Fréchet-Riesz als Elemente des Dualraumes $V'$ identifizieren lassen.
Das Gelfand-Tripel ist nach Israel Gelfand benannt.

## Definition

Sei $(H,\langle \cdot ,\cdot \rangle _{H})$ ein separabler Hilbert-Raum und $V\subset H$ ein darin dicht liegender topologischer Vektorraum und die Inklusion $i_{1}:V\hookrightarrow H$ sei stetig. $H'$ und $V'$ bezeichnen die dazugehörigen Dualräume.
Dann gilt die dichte Inklusion
    $V\subset H\subset V',$
in dem wir $H$ mit $H'$ über die Fréchet-Riesz-Darstellung identifizieren. Daraus folgt, dass die Abbildung $i_{2}:H'\to V'$ stetig ist. Das Tripel $(V,H,V')$ nennt man Gelfand-Tripel.
Der Schlüsselaspekt des Gelfand-Tripels ist nun die Beziehung zwischen der dualen Paarung auf $V\times V'$ und dem Hilbert-Skalarprodukt auf $H\times H$, den es gilt nun für $v\in V\subset H$ und $h\in H\subset V'$ die Gleichung
    $_{V'}\langle h,v\rangle _{V}=\langle h,v\rangle _{H}$

### Herleitung im Fall wenn V ein reflexiver Banach-Raum ist

Sei $(H,\langle \cdot ,\cdot \rangle _{H})$ ein separabler Hilbert-Raum, $V\subset H$ ein darin dicht liegender reflexiver Banach-Raum und die Inklusion $i_{1}:V\hookrightarrow H$ sei stetig. Die Separabilität von $H$ garantiert uns die Existenz eines in $H$ dicht liegenden Unterraumes.
Es folgt aus diesen Eigenschaften, dass folgende dichte Inklusion gilt
    $V\subset H\subset V',$
in dem wir $H$ mit $H'$ identifizieren.
Es gilt nun für alle $h\in H,v\in V$
    $\langle h,v\rangle _{H}=_{V'}\langle h,v\rangle _{V}$
wobei die rechte Seite die duale Paarung bezeichnet. Das Tripel $(V,H,V')$ ist ein Gelfand-Tripel.

#### Herleitung der Inklusion

Es lässt sich zeigen, dass auch $H'\subset V'$ dicht liegt und die Inklusion $i_{2}:H'\hookrightarrow V'$ stetig ist (folgt direkt aus der Reflexivität von $V$). Für ein $\varphi \in H'$ und $x\in H$ definieren wir die duale Paarung
    $_{H'}\langle \varphi ,x\rangle _{H}:=\varphi (x).$
Für jedes $\varphi \in H'$ existiert eine eindeutige Riesz-Darstellung $h_{\varphi }\in H$, so dass
    $_{H'}\langle \varphi ,x\rangle _{H}=\langle x,h_{\varphi }\rangle _{H}$
für alle $x\in H$ gilt. Deshalb können wir $H'$ mit $H$ identifizieren $H\cong H'$ und daraus folgt die Inklusion
    $V\subset H\subset V'$
und auch $i_{3}:H\hookrightarrow V'$ ist stetig.

## Beispiele und Anwendungen

* Sei $L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ ein Lp-Raum, ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ der Schwartz-Raum und ${\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})$ der Raum der temperierten Distributionen. Dann ist das Tripel $({\mathcal {S}},L^{2},{\mathcal {S}}')$ ein Gelfand-Tripel.
* Seien $\ell ^{1},\ell ^{2},\ell ^{\infty }$ die Folgenräume der beschränkten Folgen. Dann ist das Tripel $(\ell ^{1},\ell ^{2},\ell ^{\infty })$ ein Gelfand-Tripel.
* Sei $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ offen, $L^{2}(\Omega )$ ein Lp-Raum. Mit $H_{0}^{1,p}(\Omega )$ für $p\in [2,\infty )$ wird der (beschränkte) Sobolew-Raum $H_{0}^{1,p}(\Omega )={\overline {C_{c}^{\infty }(\Omega )}}$ und mit $H^{-1,p}:=(H_{0}^{1,p}(\Omega ))'$ sein Dualraum bezeichnet. Dann ist $(H_{0}^{1,p},L^{2},H^{-1,p})$ ein Gelfand-Tripel.
* In der White-Noise-Analysis: sei $S_{1}$ der Kondratiew-Raum der stochastischen Test-Funktionen, ${\mathcal {W}}$ der Raum des weißen Rauschen, $S_{-1}$ der Kondratiew-Raum der stochastischen Distributionen. Dann ist $(S_{1},{\mathcal {W}},S_{-1})$ ein Gelfand-Tripel.

## Anwendungen

Sei $(H_{0}^{1,p},L^{2},H^{-1,p})$ das Gelfand-Tripel aus dem vorigen Beispiel. Der Laplace-Operator $\Delta \colon C_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\to L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ ist nicht stetig. Sei $A=\Delta$ die Fortsetzung des Operators auf dem Gelfand-Tripel mit $A\colon H_{0}^{1,p}\to H^{-1,p}$, dann ist $A$ stetig.

## Negative Norm

Ein Gelfandscher Dreier $(V,H,V')$ erlaubt die Konstruktion einer sogenannten negativen Norm. Die negative Norm eines Elementes $y\in H$ wird durch
    $\|y\|_{-1}:=\sup _{x\in V}{\frac {|\langle x,y\rangle _{H}|}{\|x\|_{V}}}$
definiert und wir notieren den Dualraum ausgestattet mit dieser Norm als $V^{-1}$.
Es lässt sich folgende Ungleichung für $y\in V$ herleiten
    $\|y\|_{-1}\leq K\|y\|_{H}\leq C\|y\|_{V}$
für feste Konstanten $K,C>0$.