# Young-Tableau

Ein Young-Tableau oder Young-Diagramm (auch Ferrers Diagram wenn Punkte verwendet werden), benannt nach Alfred Young, ist ein grafisches Objekt, das in der Darstellungstheorie der symmetrischen Gruppe $S_{n}$ verwendet wird. Ein Young-Tableau ist eine Sammlung einer endlichen Anzahl von Zellen (meist symbolisiert durch Quadrate), die von oben nach unten und linksbündig so angeordnet sind, dass deren Anzahl in jeder neuen Zeile nicht zunimmt.
Beispiele für Young-Tableaux:
Folgende grafische Objekte sind keine Young-Tableaux:
Die Partition eines Young-Tableau ist die Aufzählung der Zahl der Zellen jeder Zeile und dient der kompakten Beschreibung seiner Struktur. In den gezeigten Beispielen ergeben sich folgenden Partitionen: a) $(4,2,2,1)$ b) $(1)$ c) $(1,1,1,1)$ und d) $(4)$, wobei die Klammer in diesem Beispiel nicht die weiter unten verwendete Zyklusschreibweise meint. Die Ordnung $n$ des Tableaux bezeichnet die Zahl aller Zellen. Die Anzahl gültiger Tableaux mit der Ordnung $n$ kann durch die Partitionsfunktion $P(n)$ angegeben werden.

## Eigenschaften

Die wichtigsten Zusammenhänge zwischen den irreduziblen Darstellungen der $S_{n}$ und den Young-Tableaux der Ordnung $n$ seien hier skizziert.

### Young-Schema und die Projektoren der irreduziblen Darstellungen

Ein Young-Schema ist ein Young-Tableau, dessen $n$ Zellen mit den Zahlen von $1$ bis $n$ zunächst willkürlich besetzt sind. Beispiele für Young-Schemata:
Nun werden Operatoren aus diesen Schemata gebildet. Dabei bilden die Zeilen im Schema die Grundlage zur Bildung eines Operators $P$. Pro Zeile werden aus allen Kombinationen der Zellenindizes Permutationen gebildet und summiert. Die so entstehenden Summen von Permutationen werden multipliziert. Ganz analog bilden die Spalten im Schema die Grundlage zur Bildung eines Operators $Q$. Pro Spalte werden aus allen Kombinationen der Spaltenindizes Permutationen gebildet und summiert. Bei der Summation wird aber ein negatives Vorzeichen verwendet, wenn die Permutation ungerade ist. Die so entstehenden Summen von Permutationen werden multipliziert.
Beispiel:
Hier gilt (in der Zyklennotation)
       P = P$_1$ P$_2$ P$_3$ = (1 + (3,1) + (3,6) + (1,6) + (3,1,6) + (1,3,6)) (1 + (5,4)) 1
und
       Q = Q$_1$ Q$_2$ Q$_3$ = (1 - (3,5) - (3,2) - (5,2) + (3,5,2) + (3,2,5)) (1 - (1,4)) 1

### Standardschema

Ein Standardschema ist ein Young-Schema, bei dem die Nummerierung der Zellen derart durchgeführt wird, dass in jeder Spalte von oben nach unten und in jeder Zeile von links nach rechts die Zahlen größer werden.
Beispiele für Standardschemata:

### Wichtige Sätze

Für die Schemata lässt sich Folgendes zeigen
* Der Operator $R=PQ$ ist ein skalares Vielfaches eines Projektors. Das heißt: $RR=kR$, wobei $k$ eine von $0$ verschiedene Konstante ist, die gleichzeitig die Normierung für $R$ vorgibt ($R/k$ ist normierter Projektor). Im Folgenden sollen immer die normierten Projektoren gemeint sein.
* Die Projektoren zu den Schemata unterschiedlicher Tableaux sind orthogonal: $R_{i}R_{j}=0$.
* Die Projektoren zu allen Schemata gleicher Tableaux sind nicht linear unabhängig - jedoch solche zu allen möglichen Standardschemata eines gegebenen Tableau. Aus diesen lässt sich dann ein System orthogonaler Projektoren $R_{ik}R_{im}=0$ konstruieren.
* Das System aller Projektoren $R_{ik}$ zu allen $i$ Tableaux mit allen möglichen $k$ Standardschemata ist vollständig, das heißt: Die Summe aller (normierter)$R_{ik}$ ist $1$.
* Die Zahl der orthogonalen Projektoren $R_{ik}$ (zu Standardschemata), die sich so aus Tableaux der Ordnung $n$ konstruieren lassen, und die Summe der Dimensionen der irreduziblen Darstellungen der $S_{n}$ ist gleich.
Damit sind die $R_{ik}$ die Projektoren der irreduziblen Darstellungen der $S_{n}$.

## Hakenlängenformel

Die von J. Sutherland Frame, Gilbert de Beauregard Robinson und Robert M. Thrall 1954 hergeleitete Hakenlängenformel gibt die Anzahl $f^{\lambda }$ der Young-Diagramme des Typs $\lambda$ an (mit $k$ Reihen der Längen $\lambda _{i}$ mit $i=1\cdots k$). Sei $(i,j)$ die Zelle der $i$-ten Reihe und $j$-ten Spalte im Young-Diagramm. Dieser wird ein sogenannter Haken $H_{\lambda }(i,j)$ zugeordnet, der gleich der Menge der Zellen $(a,b)$ ist mit $a\geq i$ und $b=j$ oder mit $a=i$ und $b\geq j$. Die Hakenlänge $h_{\lambda }(i,j)$ ist die Anzahl der Zellen in $H_{\lambda }(i,j)$. Dann ist die Hakenlängenformel:
    $f^{\lambda }={\frac {n!}{\prod h_{\lambda }(i,j)}}$
wobei das Produkt im Nenner über alle Zellen $(i,j)$ geht.
Da ein Young-Diagramm einer irreduziblen Darstellung der symmetrischen Gruppe entspricht gibt die Hakenformel die jeweilige Dimension der irreduziblen Darstellungen an, die durch das Young-Diagramm repräsentiert werden. Deshalb hat die Formel auch viele Anwendungen in der Physik.
Ältere kompliziertere Formeln von Ferdinand Georg Frobenius (1900) und Alfred Young (1902) verwendeten Determinanten und ein Beweis von Percy Alexander MacMahon von 1916 Differenzenmethoden. Der Beweis von Frame, de Robinson und Thrall wurde vielfach als noch zu komplex empfunden und einfachere Beweise entwickelt (unter anderem Albert Nijenhuis und Herbert Wilf, Doron Zeilberger und D. S. Franzblau 1982, es gibt auch ein heuristisches Argument von Donald Knuth).

## Das äußere Tensorprodukt von Darstellungen symmetrischer Gruppen: Littlewood-Richardson-Koeffizienten
### Das äußere Tensorprodukt

Zwei Darstellungen von zwei (im Allgemeinen verschiedenen) symmetrischen Gruppen $S_{n}$ und $S_{m}$ kann man zu einer Darstellung der symmetrischen Gruppe $S_{n+m}$ "verknüpfen", dem sogenannten äußeren Tensorprodukt dieser beiden Darstellungen. Die genaue Definition dieser Darstellung verläuft folgendermaßen:
Für je zwei Permutationen $\sigma \in S_{n}$ und $\pi \in S_{m}$ definieren wir das "äußere Produkt" $\sigma \times \pi \in S_{n+m}$ als die Permutation der Menge $\left\{1,2,...,n+m\right\}$, welche jedes $i\in \left\{1,2,...,n\right\}$ auf $\sigma \left(i\right)$ abbildet und jedes $j\in \left\{n+1,n+2,...,n+m\right\}$ auf $\pi \left(j-n\right)+n$ abbildet. Anschaulich gesprochen ist also $\sigma \times \pi$ die Permutation, die auf den ersten $n$ Zahlen wie $\sigma$ wirkt und auf den letzten $m$ Zahlen wie (eine um $n$ verschobene Permutation) $\pi$ wirkt.
Wir können die Gruppe $S_{n}\times S_{m}$ als Untergruppe von $S_{n+m}$ ansehen (vermöge der Einbettung $S_{n}\times S_{m}\to S_{n+m},\ \left(\sigma ,\pi \right)\mapsto \sigma \times \pi$).
Für jede Darstellung $V$ von $S_{n}$ und jede Darstellung $W$ von $S_{m}$ definieren wir nun das äußere Tensorprodukt von $V$ und $W$ als die Darstellung $\mathrm {Ind} _{S_{n}\times S_{m}}^{S_{n+m}}\left(V\otimes W\right)$ (hierbei ist $V\otimes W$ auf kanonische Weise eine Darstellung der Gruppe $S_{n}\times S_{m}$: die Gruppe $S_{n}$ wirkt auf dem ersten Tensoranden, während die Gruppe $S_{m}$ auf dem zweiten Tensoranden wirkt).
Das äußere Produkt der $S_{n}$ verknüpft Permutationen der $S_{i}$, die auf die Indizes $1$ bis $i$ wirken, mit Permutationen der $S_{j}$, die auf Indizes $i+1$ bis $i+j$ wirken und zusammen Permutationen der $S_{i+j}$ beschreiben. Dabei stellt sich die Frage, in welche irreduziblen Darstellungen der $S_{i+j}$ das äußere Produkt einer irreduziblen Darstellung von $S_{i}$ und $S_{j}$ zerfällt. Im Folgenden wird das äußere Produkt mit dem Symbol $\otimes$ dargestellt.

#### Beispiel

Als Beispiel wählen wir $n=m=2$. Sei $V$ die triviale Darstellung von $S_{2}$ (also der eindimensionale Vektorraum, auf dem jedes Element von $S_{2}$ als Identität wirkt) und sei $W$ die alternierende Darstellung (auch Signum-Darstellung oder Signatur-Darstellung genannt) von $S_{2}$ (also der eindimensionale Vektorraum, auf dem jede gerade Permutation als Identität und jede ungerade Permutation als Punktspiegelung am Ursprung wirkt). Dann ist $V\otimes W$ eine eindimensionale Darstellung der Gruppe $S_{2}\times S_{2}$, und das äußere Produkt von $V$ und $W$ ist eine sechsdimensionale Darstellung $\mathrm {Ind} _{S_{2}\times S_{2}}^{S_{4}}\left(V\otimes W\right)$ von $S_{4}$.

### Die Frage nach der Zerlegung

Nun stellt sich die Frage, wie das äußere Tensorprodukt zweier irreduzibler Darstellungen in irreduzible Darstellungen zerlegt werden kann (dieses Tensorprodukt ist selber nur selten irreduzibel, aber nach dem Satz von Maschke zerfällt es in eine direkte Summe irreduzibler Darstellungen). Da die irreduziblen Darstellungen von $S_{k}$ (bis auf Isomorphie) eindeutig den Young-Tableaux der Ordnung $k$ entsprechen, können wir also folgende Frage stellen:
Seien $T$ und $S$ zwei Young-Tableaux der Ordnungen $n$ bzw. $m$. Seien $V$ und $W$ die irreduziblen Darstellungen von $S_{n}$ bzw. $S_{m}$, die zu diesen Young-Tableaux gehören. Das äußere Produkt $\mathrm {Ind} _{S_{n}\times S_{m}}^{S_{n+m}}\left(V\otimes W\right)$ von $V$ und $W$ ist dann eine Darstellung von $S_{n+m}$, und somit eine direkte Summe irreduzibler Darstellungen von $S_{n+m}$. Diese irreduziblen Darstellungen entsprechen wiederum Young-Tableaux der Ordnung $n+m$. Welche Young-Tableaux sind diese? Wir schreiben kurz
$T\otimes S=P_{1}+P_{2}+...+P_{l}$
um zu sagen, dass $P_{1},\ P_{2},\ ...,\ P_{l}$ die Young-Tableaux zu den irreduziblen Darstellungen von $S_{n+m}$ sind, in welche das äußere Produkt von $V$ und $W$ zerfällt. Dabei kann unter den Young-Tableaux $P_{1},\ P_{2},\ ...,\ P_{l}$ auch ein und das gleiche Tableau mehrfach vorkommen - nämlich dann, wenn in der Zerlegung des äußeren Produktes von $V$ und $W$ eine irreduzible Darstellung mehrfach vorkommt. Manchmal fasst man in diesem Fall diese gleichen Tableaux zusammen (statt $P_{2}+P_{3}$ schreibt man also $2P_{2}$, falls $P_{2}=P_{3}$ ist). Dadurch wird aus der Summe $P_{1}+P_{2}+...+P_{l}$ eine Summe paarweise verschiedener Young-Tableaux mit Koeffizienten - diese Koeffizienten nennt man Littlewood-Richardson-Koeffizienten.
Die Frage ist nun, wie man anhand von $T$ und $S$ die Young-Tableaux $P_{1},\ P_{2},\ ...,\ P_{l}$ bestimmt. Es gibt unterschiedliche Antworten auf diese Frage; sie werden allgemein als Littlewood-Richardson-Regeln (nach Dudley Littlewood und A. R. Richardson) bezeichnet. Wir geben im Folgenden eine solche Regel, die rekursiv ist (es gibt auch explizite Regeln, die allerdings eine langwierige kombinatorische Formulierung haben).

#### Beispiel

Zuerst ein Beispiel: Seien $T$ und $S$ die Young-Tableaux
Die zu $T$ bzw. $S$ gehörenden irreduziblen Darstellungen $V$ und $W$ sind dann die triviale Darstellung von $S_{2}$ (als $V$) und die alternierende Darstellung von $S_{2}$ (als $W$). Wir sind also in dem Beispiel weiter oben, wo wir festgestellt haben, dass das äußere Produkt von $V$ und $W$ eine $6$-dimensionale Darstellung von $S_{4}$ ist. Man kann feststellen (z. B. mit Charaktertheorie), dass diese Darstellung sich als direkte Summe $U_{1}\oplus U_{2}$ schreiben lässt, wobei $U_{1}$ die irreduzible Darstellung von $S_{4}$ zum Young-Tableau
ist, und $U_{2}$ die irreduzible Darstellung von $S_{4}$ zum Young-Tableau
ist. Wir können also schreiben:
wobei wir P (X) Q für $P\otimes Q$ schreiben.

### Ein Berechnungsverfahren für T ⨂ S

Seien nun die Young-Tableaux $T$ und $S$ gegeben. Wir wollen die Summanden $P_{1},\ P_{2},\ ...,\ P_{l}$ in der Zerlegung $T\otimes S=P_{1}+P_{2}+...+P_{l}$ bestimmen (im obigen Beispiel konnte man dies noch recht leicht per Hand erledigen, vor allem mit Charaktertheorie, aber für größere Tableaux wird dies schnell sehr mühsam).
Die sogenannte Pieri-Regel erledigt dies im Sonderfall, wenn das Tableau $S$ nur aus einer Zeile besteht: In diesem Fall ist $T\otimes S$ die Summe aller Young-Tableaux, die aus dem Young-Tableau $T$ durch Anfügen von insgesamt $m$ neuer Zellen entstehen (wobei $m$ die Ordnung von $S$ ist), und zwar höchstens einer neuen Zelle pro Spalte.
Beispiel (der Stern dient nur als Orientierung bei der Zuordnung der Zellen):
Eine Kombination wie
kommt in der Entwicklung nicht vor, weil in ihr die erste Spalte zwei hinzugefügte Zellen [*] enthält.
Zur Bildung des äußeren Produkts $(X)$ zwischen beliebigen Tableaux zerlegt man zunächst eines der beiden Tableaux in eine alternierende Summe von äußeren Produkten von einzeiligen Tableaux nach folgender Vorschrift: Haben wir ein Tableau der Form $(i,j,...,n,m)$ vor uns, dann berechnen wir das äußere Produkt $(i,j,...,n)(X)(m)$. Wir bekommen eine Summe von Tableaux, darunter unser Ausgangs-Tableau $(i,j,...,n,m)$, aber auch einige weitere Tableaux. Diese weiteren Tableaux werden nun abgezogen:
$(i,j,...,n,m)=(i,j,...,n)(X)(m)-({\mbox{einige weitere Tableaux}})$.
Auf die so entstandene Summe wird die Prozedur rekursiv angewandt. Diese Rekursion kommt immer zu einem Ende, weil mit jedem Schritt Tableaux entstehen, die in der letzten Zeile mindestens eine Zelle weniger haben.
Beispiel (der Stern dient nur als Orientierung bei der Zuordnung der Zellen):
Nach dieser Zerlegung kann man unter Ausnutzung der Assoziativität des äußeren Produktes und mithilfe der Pieri-Regel die eigentliche Multiplikation durchführen. Eine Anwendung des äußeren Produkts findet man bei der Zerlegung der Tensordarstellung eines Vielteilchensystems.

### Warnung

Das äußere Tensorprodukt zweier Darstellungen $V$ und $W$ zweier symmetrischer Gruppen $S_{n}$ und $S_{m}$ ist nicht zu verwechseln mit dem inneren Tensorprodukt zweier Darstellungen $V$ und $W$ einer und der gleichen symmetrischen Gruppe $S_{k}$. Letzteres ist (wie gesagt) nur für zwei Darstellungen der gleichen symmetrischen Gruppe definiert, und auch dann unterscheidet es sich vom äußeren Tensorprodukt (es ist eine Darstellung von $S_{k}$, während das äußere Tensorprodukt eine Darstellung von $S_{2k}$ ist). Die Zerlegung dieses inneren Tensorproduktes in irreduzible Darstellungen ist noch um einiges schwieriger als die des äußeren Tensorproduktes. Statt der Littlewood-Richardson-Koeffizienten kommen hier sogenannte Kronecker-Koeffizienten ins Spiel.

## Bedeutung

Der Einsatz von Young-Tableaux ist vielfältig. Sie dienen unter anderem
* zur Ermittlung der Dimensionalitäten der irreduziblen Darstellungen der symmetrischen Gruppe
* zur Konstruktion von Projektoren auf die Teilräume der irreduziblen Darstellungen der symmetrischen Gruppe
* als Hilfe beim Beweis von Sätzen im Zusammenhang mit der symmetrischen Gruppe
* zur Dekomposition des äußeren Produkts in seine irreduziblen Bestandteile
Darüber hinaus wird zum Beispiel in der Elementarteilchenphysik mit der Technik der Young-Tableaux eine Dekomposition der Tensordarstellung von Mehrteilchensystemen ermöglicht. Unter anderem wurden sie benutzt, um die Quark-Struktur von Hadronen aufzuklären. Quarks wurden anfangs nicht durch Hochenergiestreuexperimente direkt beobachtet, sondern mussten zunächst aus der Systematik der als Darstellungen der zugrundeliegenden Gruppe realisierten zusammengesetzten Teilchen erschlossen werden.