# Gelfand-Transformation

Die Gelfand-Transformation (nach Israel Gelfand) ist das wichtigste Instrument in der Theorie der kommutativen Banach-Algebren. Sie bildet eine kommutative $\mathbb {C}$-Banachalgebra A in eine Algebra stetiger Funktionen ab. Jedem $a$ aus $A$ wird eine stetige Funktion ${\hat {a}}\colon X\to {\mathbb {C} }$ zugeordnet, wobei $X$ ein geeigneter lokalkompakter Hausdorff-Raum ist. Die Zuordnung $a\mapsto {\hat {a}}$ ist dabei ein stetiger Algebren-Homomorphismus.

## Motivation, Gelfand-Raum

Betrachtet man eine kommutative $\mathbb {C}$-Banachalgebra $A$ nur als normierten Raum mit Dualraum $A'$ und Bidualraum $A''=(A')'$, so lassen sich die Elemente von $A$ folgendermaßen auf stetige Funktionen abbilden: Man ordne jedem $a$ die Funktion ${\hat {a}}\colon A'\rightarrow {\mathbb {C} },{\hat {a}}(\varphi ):=\varphi (a)$ zu. Dabei handelt es sich um die bekannte isometrische Einbettung von $A$ in den Bidualraum, denn jedes ${\hat {a}}$ ist ein Element aus $A''$. Jedes ${\hat {a}}$ ist auch stetig. Dabei erweist sich die Normtopologie als unnötig stark. Aus diesem Grunde betrachtet man auf $A'$ die schwach-*-Topologie, diese ist gerade definiert als die gröbste Topologie, die alle Abbildungen ${\hat {a}}$ stetig macht.
Wenden wir uns wieder der Algebra $A$ zu, so müssen wir feststellen, dass die Zuordnung $a\mapsto {\hat {a}}$ kein Homomorphismus ist; sie ist nicht multiplikativ, d. h. es gilt nicht ${\widehat {ab}}={\hat {a}}{\hat {b}}$. Dazu müsste nämlich ${\widehat {ab}}(\varphi )={\hat {a}}(\varphi ){\hat {b}}(\varphi )$ und damit $\varphi (ab)=\varphi (a)\varphi (b)$ für alle $\varphi \in A'$ gelten, aber ein lineares Funktional ist in der Regel nicht multiplikativ. Diese Beobachtung gibt aber einen Hinweis, wie man einen Homomorphismus der gewünschten Art konstruieren kann. Man verwendet statt ganz $A'$ nur die multiplikativen Funktionale in $A'$, und genau das ist die Gelfand-Transformation.
Wir setzen daher $X_{A}:=\{\varphi \in A';\varphi \,{\text{multiplikativ}},\varphi \not =0\}$. Diese Menge nennt man das Spektrum (Gelfand-Spektrum) von $A$ oder auch den Gelfand-Raum von $A$. Man beachte, dass der Nullhomomorphismus herausgenommen wurde. Es gibt Banach-Algebren mit leerem Spektrum, z. B. eine Banachalgebra $A$ mit der Nullmultiplikation, d. h. $a\cdot b=0$ für alle $a,b\in A$. Ist aber $X_{A}\not =\emptyset$, so kann man zeigen, dass $X_{A}$ mit der relativen schwach-*-Topologie ein lokalkompakter Hausdorff-Raum ist. Nach obigen Ausführungen ist
    ${\mathcal {G}}:A\rightarrow C_{0}(X_{A}),\,a\mapsto {\hat {a}},\,{\hat {a}}(\varphi )=\varphi (a)$
ein stetiger Homomorphismus mit Norm $\leq 1$. $C_{0}(X_{A})$ ist dabei die Algebra der stetigen, komplexwertigen Funktionen auf $X_{A}$, die im Unendlichen verschwinden. Dieser Homomorphismus heißt Gelfand-Transformation, ${\hat {a}}$ nennt man die Gelfand-Transformierte von $a$.

## Beispiel C$_0$(Z)

Sei Z ein lokalkompakter Hausdorffraum und $A=C_{0}(Z)$, so ist A bereits eine Algebra von der Art, auf die die Gelfand-Transformation abbildet. Um die Gelfand-Transformation für diesen Fall zu bestimmen, müssen wir uns einen Überblick über die multiplikativen Funktionale auf $A$ verschaffen. Ist $z\in Z$, so ist die Punktauswertung $\delta _{z}:A\rightarrow {\mathbb {C} },\,\delta _{z}(f):=f(z)$ offenbar ein multiplikatives Funktional, und man kann zeigen, dass dies bereits alle sind, d. h., dass $X_{A}=\{\delta _{z};z\in Z\}$ gilt. Z kann also mittels der Abbildung $z\mapsto \delta _{z}$ mit $X_{A}$ identifiziert werden, zumindest als Menge. Man kann zeigen, dass diese Abbildung sogar ein Homöomorphismus ist, so dass man Z und $X_{A}$ auch als topologische Räume identifizieren kann. In diesem Fall ist also ${\mathcal {G}}:A\rightarrow C_{0}(X_{A})=C_{0}(Z)$ nichts weiter als die Identität. Für $A=C_{0}(Z)$ bietet die Gelfand-Transformation nichts Neues.

## Beispiel L$^1$(ℝ)

Der Banachraum $A=L^{1}(\mathbb {R} )$ ist mit der Faltung als Multiplikation und der 1-Norm eine kommutative $\mathbb {C}$-Banachalgebra. Für $f,g\in L^{1}(\mathbb {R} )$ gilt dabei
    $f*g(t):=\int _{-\infty }^{\infty }f(s)g(t-s)\mathrm {d} s$
    $\|f\|_{1}=\int _{-\infty }^{\infty }|f(s)|\mathrm {d} s$
Wie sehen die multiplikativen Funktionale auf $A$ aus? Die Punktauswertungen des $C_{0}(Z)$-Beispiels kommen nicht in Frage, denn für $L^{1}$-Funktionen ist der Funktionswert an einer Stelle gar nicht definiert. Man kann zeigen, dass für $z\in {\mathbb {R} }$ durch
    $\varphi _{z}(f):=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-itz}\mathrm {d} t$
ein multiplikatives Funktional auf $A=L^{1}(\mathbb {R} )$ erklärt ist, und dass umgekehrt jedes multiplikative Funktional von dieser Form ist. Es gilt also $X_{A}=\{\varphi _{z};z\in \mathbb {R} \}$ und man kann weiter zeigen, dass die Abbildung $z\mapsto \varphi _{z}$ ein Homöomorphismus von $\mathbb {R}$ auf $X_{A}$ ist. Identifiziert man daher ${\mathbb {R} }$ und $X_{A}$ mittels dieser Abbildung, so hat die Gelfand-Transformation die Gestalt:
    ${\mathcal {G}}:L^{1}(\mathbb {R} )\rightarrow C_{0}(\mathbb {R} ),\,f\mapsto {\hat {f}},\,{\hat {f}}(z)=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-itz}\mathrm {d} t$.
Die Gelfand-Transformation erweist sich damit als eine Abstraktion der Fourier-Transformation.

## Beispiel 'holomorphe Fortsetzung'

Es sei $Z$ die Kreislinie $\{z\in \mathbb {C} ;|z|=1\}$. Dann ist $C_{0}(Z)$ eine kommutative Banachalgebra mit 1. Sei $A$ die Diskalgebra, das heißt die Unteralgebra aller Funktionen, die eine holomorphe Fortsetzung ins Innere $\{z\in \mathbb {C} ;|z|<1\}$ besitzen. Mit ein wenig Funktionentheorie (Maximumprinzip) zeigt man, dass $A$ eine Unter-Banachalgebra von $C_{0}(Z)$ ist. Wie sehen die multiplikativen Funktionale auf $A$ aus? Zunächst sind die Punktauswertungen $\delta _{z},|z|=1$, die ja schon multiplikative Funktionale auf $C_{0}(Z)$ sind, natürlich auch multiplikative Funktionale auf $A$. Es gibt aber weitere. Da die holomorphe Fortsetzung einer Funktion ins Innere eindeutig ist, sind auch alle Punktauswertungen $\delta _{z},|z|<1$, multiplikative Funktionale auf $A$. Man zeigt, dass $X_{A}=\{\delta _{z};|z|\leq 1\}$ und dass man $X_{A}$ mittels $z\mapsto \delta _{z}$ auch topologisch mit der Kreisfläche $K=\{z\in \mathbb {C} ;|z|\leq 1\}$ identifizieren kann. In diesem Beispiel ist daher
    ${\mathcal {G}}\colon A\rightarrow C_{0}(K),\,f\mapsto {\hat {f}},\,{\hat {f}}=$ holomorphe Fortsetzung von $f$,
d. h. die Gelfand-Transformation spielt hier die Rolle eines Fortsetzungsoperators.

## Bedeutung

Ist $A$ eine kommutative C*-Algebra, so ist die Gelfand-Transformation der isometrische Isomorphismus aus dem Satz von Gelfand-Neumark für kommutative C*-Algebren. Das ist der Ausgangspunkt der Spektraltheorie.
Das $L^{1}({\mathbb {R} })$-Beispiel verallgemeinert sich auf lokalkompakte, abelsche Gruppen $G$. Der Gelfand-Raum von $L^{1}(G)$ wird mit ${\hat {G}}$ bezeichnet und kann wieder mit einer Gruppenstruktur versehen werden. Man nennt ${\hat {G}}$ dann die Dualgruppe von $G$. Das ist ein Ausgangspunkt der abstrakten harmonischen Analyse.
Die Stone-Čech-Kompaktifizierung eines vollständig regulären Hausdorffraums $X$ kann als Anwendung der Gelfand-Transformation auf die kommutative C*-Algebra $C_{b}(X)$ der stetigen und beschränkten Funktionen auf $X$ erhalten werden.
Der Kern der Gelfand-Transformation ist im Falle einer kommutativen Banachalgebra das Jacobson-Radikal, insbesondere ist das Jacobson-Radikal stets abgeschlossen. Hier zeigt sich wieder, wie algebraische und topologische Begriffe in der Theorie der Banachalgebren ineinandergreifen.