# Hardy-Raum

In der Funktionentheorie ist ein Hardy-Raum $H^{p}$ ein Funktionenraum holomorpher Funktionen auf bestimmten Teilmengen von $\mathbb {C}$. Hardy-Räume sind die Entsprechungen der $L^{p}$-Räume in der Funktionalanalysis. Sie werden nach Godfrey Harold Hardy benannt, der sie 1914 einführte.

## Definition

Üblicherweise werden zwei Klassen von Hardy-Räumen definiert, abhängig von dem Gebiet $D\subset \mathbb {C}$ in der komplexen Ebene, auf dem ihre Funktionen definiert sind.

### Hardy-Räume auf der Einheitskreisscheibe

Sei $\mathbb {D} =\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}$ die Einheitskreisscheibe in $\mathbb {C}$. Dann besteht für $p>0$ der Hardy-Raum $H^{p}(\mathbb {D} )$ aus allen holomorphen Funktionen $F:\mathbb {D} \to \mathbb {C}$, für die gilt
    $\sup _{0<r<1}\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left|F(re^{i\theta })\right|^{p}\;{\rm {d}}\theta \right)^{1/p}<\infty .$
Der Wert des Terms auf der linken Seite dieser Ungleichung wird als „$H^{p}$-Norm“ von $F$ bezeichnet, in Symbolen $\|F\|_{H^{p}}$.
Für $p=\infty$ setzt man $\textstyle \|F\|_{H^{\infty }(\mathbb {D} )}=\textstyle \|F\|_{\infty }=\sup _{z\in \mathbb {D} }|F(z)|$ und versteht unter $H^{\infty }(\mathbb {D} )$ den Funktionenraum der beschränkten holomorphen Funktionen $F:\mathbb {D} \to \mathbb {C}$, also den Raum, für den diese Supremumsnorm der darin liegenden Funktionen $<\infty$ ist.

### Hardy-Räume auf der oberen Halbebene

Sei $\mathbb {H} =\{x+iy\in \mathbb {C} :y>0\}$ die obere Halbebene in $\mathbb {C}$. Dann besteht für $p>0$ der Hardy-Raum $H^{p}(\mathbb {H} )$ aus allen holomorphen Funktionen $F:\mathbb {H} \to \mathbb {C}$, für die gilt
    $\sup _{y>0}\left(\int _{0}^{\infty }\left|F(x+iy)\right|^{p}\;{\rm {d}}x\right)^{1/p}<\infty .$
Der Wert des Terms auf der linken Seite dieser Ungleichung wird ebenfalls als „$H^{p}$-Norm“ von $F$ bezeichnet, in Symbolen $\|F\|_{H^{p}(\mathbb {H} )}$.
Für $p=\infty$ setzt man $\textstyle \|F\|_{H^{\infty }(\mathbb {H} )}=\sup _{z\in \mathbb {H} }|F(z)|$ und definiert $H^{\infty }(\mathbb {H} )$ als Raum aller holomorphen Funktionen $F:\mathbb {H} \to \mathbb {C}$, für die dieser Wert endlich ist.
Wenn allgemein von Hardy-Räumen $H^{p}$ die Rede ist, ist in der Regel klar, welche der beiden Klassen gemeint ist (also ob $D=\mathbb {D}$ oder $D=\mathbb {H}$); üblicherweise ist es der Raum $H^{p}(\mathbb {D} )$ von Funktionen auf der Einheitskreisscheibe $\mathbb {D}$.

## Faktorisierung

Für $p\geq 1$ kann jede Funktion $f\in H^{p}$ als Produkt $f=Gh$ geschrieben werden, worin $G$ eine äußere Funktion und $h$ eine innere Funktion ist.
Für $H^{p}=H^{p}(\mathbb {D} )$ auf der Einheitsscheibe beispielsweise ist $h$ eine innere Funktion genau dann, wenn $|h(z)|\leq 1$ auf der Einheitskreisscheibe gilt und der Grenzwert
    $\lim _{r\rightarrow 1^{-}}h(re^{i\theta })$
für fast alle $\theta$ existiert und sein absoluter Betrag gleich 1 ist. $G$ ist eine äußere Funktion, wenn
    $G(z)=\exp \left(i\phi +{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {e^{i\theta }+z}{e^{i\theta }-z}}g(e^{i\theta }){\rm {d}}\theta \right)$
für einen reellen Wert $\phi$ und eine reellwertige und auf dem Einheitskreis integrable Funktion $g$.

## Weitere Eigenschaften

* Für $1\leq p\leq \infty$ sind die Räume $H^{p}$ Banachräume.
* Für $p>1$ gilt $H^{p}(\mathbb {D} )\cong L^{p}([0,1])$ und $H^{p}(\mathbb {H} )\cong L^{p}(\mathbb {R} )$.
* Für $1<p<q<\infty$ gilt $H^{\infty }(\mathbb {D} )\subset H^{q}(\mathbb {D} )\subset H^{p}(\mathbb {D} )\subset H^{1}(\mathbb {D} )$. Dabei sind alle diese Inklusionen echt.

## Reelle Hardy-Räume

Aus den Hardy-Räumen der oberen Halbebene entwickelten Elias Stein und Guido Weiss die Theorie der reellen Hardy-Räume ${\mathcal {H}}^{p}(\mathbb {R} ^{n})$.

### Definition

Sei $\phi \in S$ eine Schwartz-Funktion auf $\mathbb {R} ^{n}$ und $\phi _{t}(x)=t^{-n}\phi (t^{-1}x)$ für t > 0 eine Dirac-Folge. Sei $f\in S'$ eine temperierte Distribution, so sind die radiale Maximalfunktion $m_{\phi }(f)$ und die nicht-tangentiale Maximalfunktion $M_{\phi }(f)$ definiert durch
    ${\begin{aligned}m_{\phi }(f)(x)=&\sup _{t>0}|f*\phi _{t}(x)|,\\M_{\phi }(f)(x)=&\sup _{|y-x|<t<\infty }|f*\phi _{t}(y)|.\end{aligned}}$
Hierbei bezeichnet $*$ die Faltung zwischen einer temperierten Distribution und einer Schwartz-Funktion.
Charles Fefferman und Elias M. Stein bewiesen für $f\in S'(\mathbb {R} ^{n})$ und $0<p\leq \infty$, dass die folgenden drei Bedingungen äquivalent sind:
* $m_{\phi }(f)\in L^{p}$ für ein $\phi \in S$ mit $\int _{\mathbb {R} ^{n}}\phi \neq 0$,
* $M_{\phi }(f)\in L^{p}$ für ein $\phi \in S$ mit $\int _{\mathbb {R} ^{n}}\phi \neq 0$,
* $M_{\phi }(f)\in L^{p}$ für jedes $\phi \in S$ und $M_{\phi }(f)$ ist in einer geeigneten Teilmenge $U\subset S$ gleichmäßig beschränkt in $\phi$.
Man definiert den reellen Hardy-Raum ${\mathcal {H}}^{p}(\mathbb {R} ^{n})$ als den Raum, welcher alle temperierten Distributionen enthält, die die obigen Bedingungen erfüllen.

### Atomare Zerlegung

Insbesondere ${\mathcal {H}}^{1}(\mathbb {R} ^{n})$-Funktionen haben die Eigenschaft, dass man sie in eine Reihe "kleiner" Funktionen sogenannter Atome zerlegen kann. Ein ${\mathcal {H}}^{p}$-Atom ist für $p\leq 1$ eine Funktion $a$, so dass gilt:
* $a$ hat ihren Träger in einem Ball $B$;
* $|a|\leq \mu (B)^{-1/p}$ fast überall; und
* $\int _{B}x^{\beta }a(x)\mathrm {d} \mu (x)\,=\,0$ für alle $\beta$ mit $|\beta |\leq n(p^{-1}-1)$.
Die Forderungen 1 und 2 garantieren die Ungleichung $\textstyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}|a(x)|^{p}\mathrm {d} x\leq 1$ und die Forderung 3 bringt die stärkere Ungleichung
    $\int _{\mathbb {R} ^{n}}(M_{\Phi }(a)(x))^{p}\mathrm {d} x\leq c$.
Der Satz über die atomare Zerlegung sagt nun, für $f\in {\mathcal {H}}^{p}(\mathbb {R} ^{n})$ mit $p\leq 1$ kann $f$ als Reihe von ${\mathcal {H}}^{p}$-Atomen $a_{k}$
    $f=\sum _{k=1}^{\infty }\lambda _{k}a_{k}$
geschrieben werden. Dabei ist $(\lambda _{k})_{k}$ eine Folge komplexer Zahlen mit $\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }|\lambda _{k}|^{p}<\infty$. Die Reihe $\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }\lambda _{k}a_{k}$ konvergiert im Distributionensinne und es gilt weiter
    $\|f\|_{{\mathcal {H}}^{p}}\leq c\left(\sum _{k=1}^{\infty }|\lambda _{k}|^{p}\right)^{1/p}$.

### Verbindung zu den Hardy-Räumen

Wie oben schon erwähnt, sind die reellen Hardy-Räume aus den Hardy-Räumen der Funktionentheorie heraus entwickelt worden. Dies wird im folgenden Abschnitt erläutert, jedoch beschränken wir uns hier auf den Fall $1-1/n<p<\infty$. Der interessante Fall $p=1$ wird also mit abgehandelt und für $n=1$ erhält man die ganze Spanne $0<p<\infty$.
Seien
    $u_{0},u_{1},\ldots ,u_{n}:\mathbb {R} _{+}^{n+1}\to \mathbb {R}$
Funktionen auf der oberen Halbebene, welche die verallgemeinerten Cauchy-Riemann'schen Differentialgleichungen
    $\sum _{j=0}^{n}{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{j}}}=0$ und
    ${\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{k}}}={\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{j}}}$
für $0\leq j,k\leq n$ erfüllen.
Jede Funktion $u_{j}$ ist also eine harmonische Funktion und im Fall $n=1$ entsprechen die verallgemeinerten Cauchy-Riemann'schen Differentialgleichungen genau den normalen Cauchy-Riemann-Gleichungen. Somit gibt es also eine holomorphe Funktion $f=u_{0}+iu_{1}$ bezüglich der Variablen $x_{1}+ix_{0}$.
Nach einem weiteren Satz von Fefferman und Stein erfüllt eine harmonische Funktion $u$ genau dann eine der drei äquivalenten $H^{p}$-Bedingungen, falls eine Funktion $F=(u,u_{1},\ldots ,u_{n})$ existiert, welche den verallgemeinerten Cauchy-Riemann'schen Differentialgleichungen genügt und welche $L^{p}$-beschränkt ist, was
    $\sup _{x_{0}>0}\int _{\mathbb {R} ^{n}}|F(x,x_{0})|^{p}\mathrm {d} x<\infty$
bedeutet.

### Weitere Eigenschaften

* Für $1<p\leq \infty$ gilt analog ${\mathcal {H}}^{p}(\mathbb {R} ^{n})\cong L^{p}(\mathbb {R} ^{n})$. Also auch die reellen Hardy-Räume können für diese p mit den entsprechenden $L^{p}(\mathbb {R} ^{n})$-Räumen identifiziert werden.
* Für den Fall $p=1$ kann man ${\mathcal {H}}^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ als echte Teilmenge von $L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ auffassen.
* ${\mathcal {H}}^{p}(\mathbb {R} ^{n})\cap L_{loc}^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ liegt für $0<p<\infty$ dicht in ${\mathcal {H}}^{p}(\mathbb {R} ^{n})$.
* Der Hardy-Raum ${\mathcal {H}}^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ ist nicht reflexiv, der Funktionenraum BMO ist sein Dualraum.

## Anwendungen

Hardy-Räume finden Anwendung in der Funktionalanalysis selbst, aber ebenso in der Kontrolltheorie und in der Streutheorie. Sie spielen auch in der Signalverarbeitung eine grundlegende Rolle. Einem reellwertigen Signal $f$, das für alle $t\in \mathbb {R}$ von endlicher Energie ist, ordnet man das analytische Signal $F$ zu, so dass $f(t)=\Re F(t)$. Ist $f\in L^{2}(\mathbb {R} )$, so ist $F\in H^{2}(\mathbb {H} )$ und
    $F(t)=f(t)+ig(t).$
(Die Funktion $g$ ist die Hilberttransformierte von $f$). Beispielsweise ist für ein Signal $f(t)=A(t)\cos \varphi (t)$, dessen zugeordnetes analytisches Signal $F\in H^{2}(\mathbb {H} )$ ist, durch $F(t)=A(t)e^{i\varphi (t)}$ gegeben.