# Arithmetische Gruppe

In der Mathematik spielen arithmetische Gruppen eine wichtige Rolle in der Zahlentheorie, Differentialgeometrie, Topologie, Algebraischen Geometrie und in der Theorie der Lie-Gruppen. Es handelt sich um arithmetisch definierte Gitter in Lie-Gruppen; klassische Beispiele sind die Modulgruppe $SL(2,\mathbb {Z} )$ und allgemein die Gruppen $SL(n,\mathbb {Z} )$ für $n\geq 2$. Arithmetizität ist stets in Bezug auf eine umgebende Lie-Gruppe definiert. Nach einem Satz von Margulis sind alle irreduziblen Gitter in halbeinfachen Lie-Gruppen vom Rang $\geq 2$ ohne kompakten Faktor immer arithmetische Untergruppen.

## Definition

Sei $G$ eine nichtkompakte halbeinfache Lie-Gruppe, $\Gamma \subset G$ eine Untergruppe. $\Gamma$ heißt arithmetisch, wenn es
* eine über $\mathbb {Q}$ definierte zusammenhängende lineare algebraische Gruppe $\mathrm {G} ^{\prime }\subset GL(n,\mathbb {C} )$ und
* einen Isomorphismus $\phi :G/K\rightarrow \mathrm {G} ^{\prime }(\mathbb {R} )_{0}/K^{\prime }$ (für geeignete kompakte Normalteiler $K,K^{\prime }$)
gibt, so dass $\phi (\Gamma K)$ kommensurabel zu $(\mathrm {G} (\mathbb {Z} )^{\prime }\cap \mathrm {G} ^{\prime }(\mathbb {R} )_{0})K^{\prime }$ ist.
Anmerkung: Eine über $\mathbb {Q}$ definierte lineare algebraische Gruppe ist – per Definition – eine durch Polynome mit rationalen Koeffizienten definierte Untergruppe $G\subset GL(n,\mathbb {C} )$. Wenn $\mathrm {G}$ eine über $\mathbb {Q}$ definierte lineare algebraische Gruppe ist, dann ist nach dem Satz von Borel und Harish-Chandra $\mathrm {G} (\mathbb {Z} )$ ein Gitter in $\mathrm {G} (\mathbb {R} )$. Folglich ist jede arithmetische Gruppe ein Gitter in der Zusammenhangskomponente der umgebenden Lie-Gruppe.

## Beispiele

* Nach Definition ist klar, dass $SL(n,\mathbb {Z} )\subset SL(n,\mathbb {R} )$ und auch zu $SL(n,\mathbb {Z} )$ kommensurable Gruppen arithmetisch sind.
* Bezeichne $\mathbb {Z} \left[i\right]\subset \mathbb {C}$ die Gruppe der ganzen Gaußschen Zahlen. $GL(n,\mathbb {Z} \left[i\right])$ ist eine arithmetische Untergruppe von $GL(n,\mathbb {C} )$, denn es ist $\phi (GL(n,\mathbb {Z} \left[i\right])=\phi (GL(n,\mathbb {C} ))\cap GL(2n,\mathbb {Z} )$ für die kanonische Einbettung $\phi :GL(n,\mathbb {C} )\rightarrow GL(2n,\mathbb {R} )$.
* Sei $SO(1,n)=\left\{g\in SL(n+1,\mathbb {R} ):gI_{1,n}g^{T}=I_{1,n}\right\}$, wobei $I_{1,n}$ die Diagonalmatrix $I_{1,n}=diag(1,-1,-1,\ldots ,-1)$ bezeichnet und sei $SO(1,n,\mathbb {Z} )=SO(1,n)\cap SL(n+1,\mathbb {Z} )$. Dann ist $SO(1,n,\mathbb {Z} )$ eine arithmetische Untergruppe von $SO(1,n)$, denn $SO(1,n)$ ist durch Polynome mit rationalen Koeffizienten definiert.
* Im Folgenden wollen wir die Definition auf eine Klasse von weniger offensichtlichen Beispielen anwenden, nämlich auf die Hilbertschen Modulgruppen.
Sei
    $k=Q\left[{\sqrt {D}}\right]=\left\{a+b{\sqrt {D}}:a,b\in \mathbb {Q} \right\}$
ein reeller quadratischer Zahlkörper – für eine quadratfreie ganze Zahl $D>0$ mit $D\cong 3\ mod\ 4$ – und $O_{k}\subset k$ sein Ganzheitsring. Es gibt zwei durch $\sigma _{\pm }(a+b{\sqrt {D}})=a\pm b{\sqrt {D}}$ definierte Einbettungen $\sigma _{\pm }:k\rightarrow \mathbb {R}$ und dementsprechend zwei Einbettungen $\sigma _{\pm }:SL(2,k)\rightarrow SL(2,\mathbb {R} )$.
Wir betrachten die halbeinfache Lie-Gruppe
    $G=SL(2,\mathbb {R} )\times SL(2,\mathbb {R} )$
und die Untergruppe
    $\Gamma =\left\{(\sigma _{+}(A),\sigma _{-}(A)):A\in SL(2,O_{k})\right\}\subset G$
und wollen zeigen, dass $\Gamma$ eine arithmetische Gruppe ist.
Wir betrachten zunächst die algebraische Varietät
    $\mathrm {H} :=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:d=a,c=bD\right\}\subset Mat(2,\mathbb {C} )$
und den durch
    $\psi (a+b{\sqrt {D}})={\begin{pmatrix}a&b\\bD&a\end{pmatrix}}$ definierten Homomorphismus :$\psi :k\rightarrow \mathrm {H} (\mathbb {Q} )\subset Mat(2,\mathbb {Q} )$.
Dann ist $\psi (O_{k})=\mathrm {H} (\mathbb {Z} )$.
Wir bemerken, dass es einen bijektiven (additiven und multiplikativen) Homomorphismus $\Psi :\mathbb {R} \times \mathbb {R} \rightarrow \mathrm {H} (\mathbb {R} )$ mit
    $\Psi \circ (\sigma _{+},\sigma _{-})=\psi$,
also $\Psi (a+b{\sqrt {D}},a-b{\sqrt {D}})=\psi (a+b{\sqrt {D}})$ für alle $a+b{\sqrt {D}}\in k$ gibt, nämlich $\Psi (x,y)={\begin{pmatrix}{\frac {x+y}{2}}&{\frac {x-y}{2{\sqrt {D}}}}\\{\frac {x-y}{2}}{\sqrt {D}}&{\frac {x+y}{2}}\end{pmatrix}}$.
Nun betrachten wir die lineare algebraische Gruppe
    $\mathrm {G} :=\left\{X={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}:A,B,C,D\in \mathrm {H} ,AD-BC={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\right\}\subset GL(4,\mathbb {C} )$.
(Hier sind $A,B,C,D$ 2x2-Blöcke in einer 4x4-Matrix.)
Wir definieren einen Gruppen-Homomorphismus
    $\phi :SL(2,\mathbb {R} )\times SL(2,\mathbb {R} )\rightarrow \mathrm {G} (\mathbb {R} )\subset GL(4,\mathbb {R} )$ durch $\phi \left({\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}a^{\prime }&b^{\prime }\\c^{\prime }&d^{\prime }\end{pmatrix}}\right)={\begin{pmatrix}\Psi (a,a^{\prime })&\Psi (b,b^{\prime })\\\Psi (c,c^{\prime })&\Psi (d,d^{\prime })\end{pmatrix}}$.
$\phi$ bildet tatsächlich nach $\mathrm {G} (\mathbb {R} )$ ab: offensichtlich liegen die Blöcke der Bildmatrizen in $\mathrm {H}$, außerdem ist $\Psi (a,a^{\prime })\Psi (d,d^{\prime })-\Psi (b,b^{\prime })\Psi (c,c^{\prime })={\begin{pmatrix}{\frac {\det(X)+\det(Y)}{2}}&{\frac {\det(X)-\det(Y)}{2{\sqrt {D}}}}\\{\frac {\det(X)-\det(Y)}{2}}{\sqrt {D}}&{\frac {\det(X)+\det(Y)}{2}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$ mit $X={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},Y={\begin{pmatrix}a^{\prime }&b^{\prime }\\c^{\prime }&d^{\prime }\end{pmatrix}}$.
Aus der Bijektivität von $\Psi$ folgt, dass auch $\phi$ bijektiv und mithin ein Isomorphismus ist.
Wegen $\phi (\Gamma )=\mathrm {G} (\mathbb {Z} )$ beweist das die Arithmetizität von $\Gamma$.

## Arithmetische Untergruppen von SL(n,R)

Alle arithmetischen Untergruppen von $SL(n,\mathbb {R} )$ kann man mittels Divisionsalgebren, mittels unitärer Gruppen oder mittels einer Kombination dieser beiden Methoden konstruieren.

### Divisionsalgebren

Sei $$ eine Körpererweiterung von $\mathbb {Q}$ mit $\left[F:\mathbb {Q} \right]=d$ und sei ${\mathcal {O}}$ der Ganzheitsring von $F$. Sei $j\in \mathbb {C}$ mit $j^{d}\in \mathbb {Z}$ und $jx=\eta (x)j$ für das nichttriviale Element $\eta \in Gal(F/\mathbb {Q} )$ und alle $x\in F$.
Wir betrachten die Divisionsalgebra $D=F+Fj+Fj^{2}+\ldots +Fj^{d-1}$ und $D_{\mathbb {Z} }={\mathcal {O}}+{\mathcal {O}}j+{\mathcal {O}}j^{2}+\ldots +{\mathcal {O}}j^{d-1}$.
Dann ist $SL(n,D_{\mathbb {Z} })$ eine arithmetische Untergruppe von $SL(dn,\mathbb {R} )$.

### Unitäre Gruppen

Sei $F=\mathbb {Q} \left[{\sqrt {r}}\right]$ mit $r\in \mathbb {Z}$ und sei $\eta \in Gal(F/\mathbb {Q} )$ das nichttriviale Element der Galoisgruppe. Sei $A\in GL(n,F)$ eine hermitesche Matrix.
Wir betrachten $SU(A,\eta ;F)=\left\{g\in SL(n,F):gA(\eta (g))^{T}=A\right\}$.
Dann ist $SU(A,\eta ;\mathbb {Z} \left[{\sqrt {r}}\right])=SU(A,\eta ;F)\cap SL(n,\mathbb {Z} \left[{\sqrt {r}}\right])$ eine arithmetische Untergruppe von $SL(n,\mathbb {C} )$.

### Kombination

Sei $F=\mathbb {Q} \left[{\sqrt {r}}\right]$ mit $r\in \mathbb {Z}$ und sei $\eta \in Gal(F/\mathbb {Q} )$ das nichttriviale Element. Sei $D$ eine Divisionsalgebra über $F$, so dass $\eta$ zu einem Antiautomorphismus von $D$ fortgesetzt werden kann. Sei $A\in GL(n,D)$ eine hermitesche Matrix, d. h. $(\eta (A))^{T}=A$.
Dann ist $SU(A,\eta ;D_{\mathbb {Z} })$ eine arithmetische Untergruppe von $SU(A,\eta ;D\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R} )$.

## Q-Rang und R-Rang
### Spaltende Tori

Sei $G\subset GL(n,\mathbb {C} )$ eine algebraische Gruppe. Ein Torus ist eine abgeschlossene, zusammenhängende Untergruppe $T\subset G$, die (über $\mathbb {C}$) diagonalisierbar ist, das heißt, es gibt einen Basiswechsel $B\in GL(n,\mathbb {C} )$, so dass $BTB^{-1}$ aus diagonalisierbaren Matrizen besteht.
Der Torus heißt $\mathbb {R}$-spaltend, wenn man $B\in GL(n,\mathbb {R} )$ wählen kann. Zum Beispiel ist $SO(2)$ kein $\mathbb {R}$-spaltender Torus in $SL(2,\mathbb {R} )$, die Gruppe der Diagonalmatrizen (mit Determinante 1) aber doch. Der $\mathbb {R}$-Rang einer algebraischen Gruppe ist die maximale Dimension eines $\mathbb {R}$-spaltenden Torus. Zum Beispiel ist $\mathbb {R} -rk(SL(n,\mathbb {R} ))=n-1$ oder $\mathbb {R} -rk(SO(n))=0$.
Ein Torus heißt $\mathbb {Q}$-spaltend, wenn er über $\mathbb {Q}$ definiert ist und man $B\in GL(n,\mathbb {Q} )$ wählen kann.

### Q-Rang

Für eine arithmetische Gruppe $\Gamma \subset G$ gibt es per Definition eine über $\mathbb {Q}$ definierte zusammenhängende lineare algebraische Gruppe $\mathrm {G}$ und einen Isomorphismus $\phi$, so dass (modulo kompakter Gruppen) das Bild von $\Gamma$ zu $\mathrm {G} (\mathbb {Z} )\cap \mathrm {G} (\mathbb {R} )_{0}$ isomorph ist. Der $\mathbb {Q}$-Rang von $\Gamma$ wird definiert als die Dimension eines maximalen $\mathbb {Q}$-spaltenden Torus in $\mathrm {G}$. (Man beachte, dass $\mathbb {Q} -rk(\Gamma )$ nur von $\mathrm {G}$ abhängt, dass aber verschiedene arithmetische Untergruppen $\Gamma _{1},\Gamma _{2}\subset G$ einer Lie-Gruppe $G$ unterschiedlichen $\mathbb {Q}$-Rang haben können, weil die zu wählenden algebraischen Gruppen $\mathrm {G} _{1},\mathrm {G} _{2}$ sich unterscheiden.)

### Beispiele

Man sieht leicht, dass $\mathbb {R} -rk(SL(2,\mathbb {R} )\times SL(2,\mathbb {R} ))=\mathbb {Q} -rk(SL(2,\mathbb {R} )\times SL(2,\mathbb {R} ))=2$. Die arithmetische Untergruppe $SL(2,\mathbb {Z} )\times SL(2,\mathbb {Z} )\subset SL(2,R)\times SL(2,\mathbb {R} )$ hat also $\mathbb {Q}$-Rang $2$. Der $\mathbb {Q}$-Rang der oben besprochenen Hilbertschen Modulgruppe ist hingegen der $\mathbb {Q}$-Rang der oben konstruierten Gruppe $\mathrm {G} :=\left\{X={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}:A,B,C,D\in \mathrm {H} ,\det(X)=1\right\}\subset GL(4,\mathbb {C} )$. Man kann zeigen, dass $\left\{diag(\lambda ,\lambda ,{\frac {1}{\lambda }},{\frac {1}{\lambda }}):\lambda \in \mathbb {R} ^{\times }\right\}$ ein maximaler $\mathbb {Q}$-spaltender Torus in $\mathrm {G} (\mathbb {R} )$ ist, mithin $\mathbb {Q} -rk(\Gamma )=\mathbb {Q} -rk(\mathrm {G} (\mathbb {R} ))=1$.

### Geometrische Interpretation

Sei $G$ eine nichtkompakte halbeinfache Lie-Gruppe ohne kompakten Faktor, $K$ eine maximal kompakte Untergruppe und $\Gamma \subset G$ ein arithmetisches Gitter. Die Killing-Form definiert eine riemannsche Metrik auf $G/K$, man erhält einen symmetrischen Raum. Der $\mathbb {R}$-Rang von $G$ lässt sich interpretieren als die Dimension eines maximalen flachen Unterraumes (d. h. einer einfach zusammenhängenden total-geodätischen Untermannigfaltigkeit mit Schnittkrümmung konstant $0$) in $G/K$.
Der Quotient $X=\Gamma \backslash G/K$ ist ein lokal symmetrischer Raum. Der $\mathbb {Q}$-Rang von $\Gamma$ lässt sich interpretieren als die maximale Dimension eines flachen Unterraumes in einer endlichen Überlagerung von $X$ oder als die kleinste Zahl $r$, so dass ganz $X$ in endlichem Abstand von einer endlichen Vereinigung $r$-dimensionaler flacher Unterräume ist. Insbesondere ist $\mathbb {Q} -rk(\Gamma )=0$, falls $X$ kompakt ist.

## Charakterisierung arithmetischer Gitter

Satz (Margulis): Ein irreduzibles Gitter $\Gamma \subset G$ in einer halbeinfachen Lie-Gruppe $G$ ist arithmetisch dann und nur dann, wenn $\Gamma$ unendlichen Index in seinem Kommensurator hat, also wenn $[\operatorname {comm} _{G}(\Gamma ):\Gamma ]=\infty$.

## Arithmetizitäts-Satz von Margulis

Satz: Sei $G$ eine halbeinfache Lie-Gruppe ohne kompakten Faktor mit $\mathbb {R} -rk(G)\geq 2$. Dann ist jedes irreduzible Gitter $\Gamma \subset G$ arithmetisch.
Erläuterungen: Ein Gitter ist eine diskrete Untergruppe $\Gamma \subset G$ mit $vol(\Gamma \backslash G)<\infty$, wobei das Volumen bzgl. des Haarmaßes berechnet wird. Ein Gitter heißt irreduzibel, falls es keine Zerlegung $G=G_{1}\times G_{2},\Gamma =\Gamma _{1}\times \Gamma _{2}$ mit Gittern $\Gamma _{1}\subset G_{1},\Gamma _{2}\subset G_{2}$ gibt.
Margulis bewies diesen Satz als eine Folgerung aus dem von ihm bewiesenen Superstarrheitssatz.