# Verzweigung (Algebra)

Verzweigung ist ein mathematischer Begriff, der die Gebiete Algebra, algebraische Geometrie, algebraische Zahlentheorie und komplexe Analysis miteinander verbindet.

## Namengebendes Beispiel

Es sei $n>1$ eine natürliche Zahl und $f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C}$ die Funktion $z\mapsto w=z^{n}$. Ist nun $w\neq 0$ und $U$ eine (hinreichend kleine) Umgebung von $w$, so besteht das Urbild von $U$ aus $n$ Zusammenhangskomponenten, die durch eine Rotation um $2\pi /n$, also Multiplikation mit einer $n$-ten Einheitswurzel auseinander hervorgehen. Bewegt sich $w\to 0$, so bewegen sich auch die Urbilder gegen 0, um dann für $w_{0}=0$ zu einem einzigen Urbild $\{0\}$ zu verschmelzen. 0 ist also gewissermaßen der Verzweigungspunkt für die $n$ Zweige. (Man beachte, dass die Zweige lokal bei 0 nicht getrennt sind, auch wenn man die 0 entfernt.)
Für den Übergang zu einer algebraischen Sichtweise sei nun $g(w)$ eine holomorphe Funktion, die in einer Umgebung der 0 definiert ist. Hat $g$ bei 0 eine $k$-fache Nullstelle, so hat die zurückgezogene Funktion
    $f^{*}(g)=g\circ f,\quad z\mapsto g(z^{n})$
eine $nk$-fache Nullstelle. Dieses Zurückziehen lokal definierter holomorpher Funktionen entspricht einem Ringhomomorphismus
    $f^{*}\colon \mathbb {C} \{w\}\to \mathbb {C} \{z\},\quad w\mapsto z^{n}.$
(Dabei bezeichnet $\mathbb {C} \{w\}$ den Ring der Potenzreihen, deren Konvergenzradius positiv ist.) Die Nullstellenordnung ist eine diskrete Bewertung auf den beteiligten Ringen, und es gilt wie gesagt
    $\operatorname {ord} _{z=0}f^{*}(g)=n\cdot \operatorname {ord} _{w=0}g.$
Diese Eigenschaft ist charakteristisch für Verzweigungspunkte.

## Verzweigung im Kontext von Erweiterungen bewerteter Körper

Es sei $K$ ein Körper mit einer diskreten (Exponential-)Bewertung $v\colon K^{\times }\to \mathbb {R}$. Weiter seien
    ${\mathcal {O}}_{K}=\{x\in K\mid v(x)\geq 0\}$ bzw. ${\mathfrak {m}}_{K}=\{x\in K\mid v(x)>0\}$
der Bewertungsring bzw. das Bewertungsideal von $K$, $\pi _{K}$ eine Uniformisierende, d. h. ein Erzeuger von ${\mathfrak {m}}_{K}$, und $\kappa ={\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {m}}_{K}$ der Restklassenkörper. Weiter sei $L$ eine endliche Erweiterung von $K$ mit diskreter Bewertung $w\colon L^{\times }\to \mathbb {R}$, die $v$ fortsetzt, d. h. $w|_{K}=v$. Schließlich seien ${\mathcal {O}}_{L},{\mathfrak {m}}_{L},\pi _{L},\lambda$ analog zu oben.
Der Verzweigungsindex von $L/K$ ist definiert als
    $e_{w/v}={\frac {v(\pi _{K})}{w(\pi _{L})}}=(w(L^{\times }):v(K^{\times }))$
Ist er gleich 1, so heißt die Erweiterung unverzweigt. Sein Gegenstück ist der Trägheitsgrad $f_{w/v}=[\lambda :\kappa ]$.

### Eigenschaften

* Ist die Erweiterung $L/K$ separabel, und durchläuft $w$ alle möglichen Fortsetzungen von $v$, so gilt die fundamentale Gleichung
       $\sum _{w/v}e_{w/v}f_{w/v}=[L:K].$
* Ist $K$ darüber hinaus vollständig, so ist $w$ eindeutig bestimmt als
       $w(x)={\frac {1}{[L:K]}}v(N_{L/K}(x)),$
    und es gilt
       $e_{w/v}f_{w/v}=[L:K].$
* Es seien nun $K$ vollständig und $L/K$ galoissch, und außerdem sei $\lambda /\kappa$ separabel. (Diese Voraussetzungen sind beispielsweise für lokale Körper erfüllt.) Dann ist $\lambda /\kappa$ sogar galoissch, und es gibt eine kurze exakte Sequenz
       $1\to I\to \mathrm {Gal} (L/K)\to \mathrm {Gal} (\lambda /\kappa )\to 1;$
    dabei bezeichnet man den Kern $I$ als Trägheitsgruppe. Ihr Fixkörper $T$ ist die maximale unverzweigte Teilerweiterung von $L/K$, und im Fall endlicher Erweiterungen gilt
       $[L:T]=\#I=e,\quad [T:K]=f.$
    Insbesondere gilt: Ist $L/K$ unverzweigt, so ist
       $\mathrm {Gal} (L/K)\cong \mathrm {Gal} (\lambda /\kappa ).$
    Ist $K^{\mathrm {nr} }$ die maximale unverzweigte Erweiterung (in einem separablen Abschluss $K^{\mathrm {sep} }$ von $K$), so gilt entsprechend
       $\mathrm {Gal} (K^{\mathrm {nr} }/K)\cong \mathrm {Gal} (\kappa ^{\mathrm {sep} }/\kappa ).$
    Im Fall lokaler Körper ist letztere Gruppe kanonisch isomorph zu ${\hat {\mathbb {Z} }}$, hat also eine besonders einfache Struktur. Da die Galoisgruppe $\mathrm {Gal} (\kappa ^{\mathrm {sep} }/\kappa )$ im Frobenius-Automorphismus
       $x\mapsto x^{q}$ mit $q=\#\kappa$
    einen kanonischen Erzeuger besitzt, gibt es auch in $\mathrm {Gal} (K^{\mathrm {nr} }/K)$ ein kanonisches Element, das ebenfalls als Frobenius-Automorphismus bezeichnet wird.

## Verzweigung im Kontext von Erweiterungen von Dedekindringen

Es sei $A$ ein Dedekindring mit Quotientenkörper $K$, $L$ eine endliche separable Erweiterung von $K$ und $B$ der ganze Abschluss von $A$ in $L$; $B$ ist wieder ein Dedekindring.
Einer der wichtigsten Spezialfälle ist $A=\mathbb {Z}$, $K=\mathbb {Q}$, $L$ ein Zahlkörper und $B$ sein Ganzheitsring.
Weiter sei ${\mathfrak {p}}$ ein maximales Ideal von $A$. Dann lässt sich ${\mathfrak {p}}B$ auf eindeutige Weise als Produkt von Potenzen verschiedener Primideale von $B$ schreiben:
    ${\mathfrak {p}}B={\mathfrak {P}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {P}}_{k}^{e_{k}}.$
Die Zahlen $e_{i}$ heißen Verzweigungsindizes, die Grade der Restklassenkörpererweiterungen $f_{i}=[B/{\mathfrak {P}}_{i}:A/{\mathfrak {p}}]$ Trägheitsgrade.
* Ist $e_{i}=1$ und die Erweiterung der Restklassenkörper separabel, so heißt ${\mathfrak {P}}_{i}$ unverzweigt. (Im Fall von Zahlkörpern und Funktionenkörpern über endlichen Körpern ist die Restklassenkörperweiterung stets separabel.)
* Ist $f_{i}=1$, so heißt ${\mathfrak {P}}_{i}$ rein verzweigt.
* Sind alle ${\mathfrak {P}}_{i}$ unverzweigt, so heißt ${\mathfrak {p}}$ unverzweigt. ${\mathfrak {p}}$ zerfällt dann in ein Produkt verschiedener Primideale.
* Sind alle Primideale (ungleich null) von $K$ unverzweigt, so heißt die Erweiterung $L/K$ unverzweigt.

### Eigenschaften

* Ein Primideal ${\mathfrak {P}}$ von $L$ über einem Primideal ${\mathfrak {p}}$ von $K$ ist genau dann unverzweigt in dem hier definierten Sinne, wenn die Erweiterung $L/K$ mit den durch ${\mathfrak {P}}$ bzw. ${\mathfrak {p}}$ definierten Bewertungen unverzweigt im bewertungstheoretischen Sinne ist.
* Es gilt die fundamentale Gleichung
       $[L:K]=\sum _{i=1}^{k}e_{i}f_{i}.$
* Es gibt stets nur endlich viele verzweigte Primideale in $K$. Ein Primideal in $K$ ist genau dann verzweigt, wenn es die Diskriminante teilt; ein Primideal in $L$ ist genau dann verzweigt, wenn es die Differente teilt.
* Die einzige unverzweigte Erweiterung von $\mathbb {Q}$ ist $\mathbb {Q}$ selbst.
* Ist $L/K$ eine Galoiserweiterung globaler Körper und ${\mathfrak {p}}$ unverzweigt, so gibt es analog zum lokalen Fall für jedes Primideal ${\mathfrak {P}}$ über ${\mathfrak {p}}$ einen Frobenius-Automorphismus $\varphi _{\mathfrak {P}}\in \mathrm {Gal} (L/K)$, der die Zerlegungsgruppe von ${\mathfrak {P}}$ erzeugt. Er ist die Grundlage für das Artinsymbol der Klassenkörpertheorie.

### Beispiel

Ein verhältnismäßig einfacher Dedekindring ist der Ring der Eisensteinzahlen. Betrachtet man sie, wie üblich, als Erweiterung der ganzen Zahlen, dann ist hier genau das von der Primzahl 3 (im Ring der ganzen Zahlen) erzeugte Primideal verzweigt.

## Unverzweigte Schemamorphismen

Es seien $X$ und $Y$ Schemata und $f\colon X\to Y$ ein Morphismus lokal endlicher Präsentation. Dann heißt $f$ unverzweigt, falls eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:
* $\Omega _{X/Y}^{1}=0$
* Für einen (und damit für jeden) Morphismus $g\colon Y\to Z$ ist
       $f^{*}\colon \Omega _{Y/Z}^{1}\to \Omega _{X/Z}^{1}$
    surjektiv.
* Die Fasern von $f$ über Punkten $y\in Y$ sind disjunkte Vereinigungen von Spektren endlicher separabler Körpererweiterungen von $\kappa (y)$.
* Die Diagonale $X\to X\times _{Y}X$ ist eine offene Einbettung.
* Ist $T$ ein affines Schema und $T_{0}$ ein abgeschlossenes Unterschema, das durch eine nilpotente Idealgarbe definiert wird, so ist die induzierte Abbildung
       $\mathrm {Hom} _{Y}(T,X)\to \mathrm {Hom} _{Y}(T_{0},X)$
    injektiv.
Der Morphismus $f$ heißt unverzweigt im Punkt $x\in X$, wenn es eine offene Umgebung $U$ von $x$ in $X$ gibt, so dass $f|_{U}$ unverzweigt ist. Unverzweigtheit in einem Punkt $x$ kann auch anders charakterisiert werden (es sei $y=f(x)$):
* $\Omega _{X/Y,x}^{1}=0$
* Die Diagonale $X\to X\times _{Y}X$ ist ein lokaler Isomorphismus bei $x$.
* ${\mathcal {O}}_{X,x}/{\mathfrak {m}}_{y}{\mathcal {O}}_{X,x}$ ist ein Körper, der eine endliche separable Erweiterung von $\kappa (y)$ ist.
Die Unverzweigtheit von $f$ im Punkt $x$ hängt nur von der Faser $f^{-1}(y)$ ab.

### Eigenschaften

* Unverzweigte Morphismen sind lokal quasiendlich.
* Ist $Y$ zusammenhängend und $f\colon X\to Y$ unverzweigt und separiert, so entsprechen die Schnitte von $f$ eineindeutig den Zusammenhangskomponenten von $X$, die durch $f$ isomorph auf $Y$ abgebildet werden.

## Bedeutung
### Algebraische Geometrie

Ist $X$ ein Schema über einem diskret bewerteten Körper $K$ mit Bewertungsring $V$, so werden häufig Modelle von $X$ über $V$ betrachtet, d. h. Schemata ${\mathcal {X}}$ über $V$ mit $X\cong {\mathcal {X}}\otimes _{V}K$. Ist nun $L/K$ eine unverzweigte Erweiterung und $W$ der Bewertungsring von $L$, so ist der Morphismus $\mathrm {Spec} \,W\to \mathrm {Spec} \,V$ und damit auch der Morphismus ${\mathcal {X}}_{W}:={\mathcal {X}}\otimes _{V}W\to {\mathcal {X}}$ étale und surjektiv, folglich übertragen sich viele Eigenschaften von ${\mathcal {X}}$ auf das Modell ${\mathcal {X}}_{W}$ von $X_{L}$.