# Catalansche Vermutung

Die catalansche Vermutung ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie. Sie geht von der Beobachtung aus, dass man außer den Potenzen $2^{3}=8$ und $3^{2}=9$ keine weiteren ganzzahligen Potenzen kennt, die sich um genau 1 unterscheiden. Eugène Charles Catalan stellte 1844 die nach ihm benannte catalansche Vermutung auf, wonach es keine weiteren echten Potenzen mit dieser Eigenschaft gibt:
    Die einzige ganzzahlige Lösung der Gleichung $x^{p}-y^{q}=1$ mit $x,p,y,q>1$ lautet $x=3$, $p=2$, $y=2$ und $q=3$.
Erst nach über 150 Jahren wurde diese Vermutung 2002 von Preda Mihăilescu bewiesen.

## Geschichte

Schon vor Catalan beschäftigte man sich mit verwandten Problemen. Um 1320 bewies Levi ben Gershon:
    Wenn Potenzen von 2 und 3 sich um 1 unterscheiden, dann sind 8 und 9 die einzigen Lösungen.
Leonhard Euler (1707–1783) zeigte, dass es für $a^{2}-b^{3}=1$ nur die Lösung $a=3$ und $b=2$ gibt.
Catalans Vermutung verallgemeinert Eulers Gleichung auf allgemeine Potenzen. Seine Vermutung wurde 1844 im Journal für die reine und angewandte Mathematik als Leserbrief veröffentlicht.
Später fand man einige Teilergebnisse für den Fall, dass Catalans Behauptung nicht zutrifft, d. h., dass es weitere nichttriviale Lösungen der Gleichung gibt.
So bewies 1976 Robert Tijdeman den Satz von Tijdeman, demzufolge höchstens endlich viele ganzzahlige Lösungen der catalanschen Gleichung existieren können.
1998 zeigte Ray Steiner folgende Eigenschaft für eine mögliche Lösung: Entweder $p$ und $q$ erfüllen gewisse Teilbarkeitsbedingungen (class number condition) oder $p$ und $q$ sind doppelte Wieferich-Primzahlen, d. h., sie genügen der Bedingung
    $p^{q-1}\equiv 1\ {\rm {mod}}\ q^{2}$ und $q^{p-1}\equiv 1\ {\rm {mod}}\ p^{2}$
Maurice Mignotte gab im Jahr 2000 eine obere Grenze für Lösungen $q$ und $p$ an:
    $q<7{,}15\cdot 10^{11},\ p<7{,}78\cdot 10^{16}$
Im April 2002 gelang dem damals an der Universität Paderborn beschäftigten Preda Mihăilescu schließlich der Beweis der catalanschen Vermutung, womit diese den Status eines mathematischen Satzes erhielt.

## Verallgemeinerung

Man kann die mittlerweile bewiesene catalansche Vermutung erweitern, indem man die Gleichung
    $x^{p}-y^{q}=n$  mit natürlichen $x,y>0,\;p,q,n>1$
betrachtet. Es wird vermutet, dass auch diese Gleichung für jede gegebene natürliche Zahl $n\in \mathbb {N} ^{+}$ nur endlich viele Lösungen mit $x,y>0,\;p,q>1$ hat, das heißt, dass es nur endlich viele Paare ganzzahliger Potenzen gibt, deren Differenz jeweils $n$ ist.
Die folgende Liste gibt bis $n\leq 115$ alle Lösungen dieser Gleichung an, wobei $x^{p},y^{q}<2^{64}\approx 1{,}84\cdot 10^{19}$ ist. Der größte dabei auftretende Wert für $y^{q}$ ist $542\,939\,080\,312\;(\approx 5{,}43\cdot 10^{11})$ in $736844^{2}-8158^{3}=24$, im Bereich von $5{,}43\cdot 10^{11}$ bis $2^{64}-1\approx 1{,}84\cdot 10^{19}$ sind für $n\leq 206$ keine weiteren Lösungen zu finden.

### Hinweis zur Anzahl der Lösungen

Angegeben ist die Anzahl der Lösungen $x^{p},y^{q}$, d. h. der Werte der Potenzen. Wenn $p$ und/oder $q$ keine Primzahlen sind, sind für die Werte $x^{p},y^{q}$ verschiedene Potenz-Zerlegungen möglich, z. B. für $n=17$:
* Die fünf Lösungen $5^{2}-2^{3}=17,\;7^{2}-2^{5}=17,\;282^{2}-43^{3}=17,\;375^{2}-52^{3}=17,\;378661^{2}-5234^{3}=17$ haben Primfaktoren als Exponenten, damit sind das fünf Einfachlösungen.
* Die Lösung $23^{2}-2^{9}=17$ hat $q=3\cdot 3$ als Exponenten, das erlaubt $\sigma _{0}(q)-1=2$ verschiedene Darstellungen für $512=2^{9}=8^{3}$. Daher ist dies eine Doppellösung, bezogen auf die Werte von $x,y,p,q$.
* Die Lösung $3^{4}-2^{6}=17$ hat $p=2\cdot 2$ und $q=2\cdot 3$ als Exponenten, das erlaubt $\sigma _{0}(p)-1=2$ verschiedene Darstellungen für $81=3^{4}=9^{2}$ und $\sigma _{0}(q)-1=3$ verschiedene Darstellungen für $64=2^{6}=4^{3}=8^{2}$. Daher ist dies eine Sechsfachlösung, bezogen auf die Werte von $x,y,p,q$.
* Insgesamt sind dies dann fünf Einfachlösungen, eine Doppellösung und eine Sechsfachlösung, insgesamt zwölf Lösungen bezogen auf die Werte von $x,y,p,q$:
       $(5,2,2,3),\ (7,2,2,5),\ (282,43,2,3),\ (375,52,2,3),\ (378661,5234,2,2)$, $(23,2,2,9),\ (32,8,2,3)$ und $(3,2,4,6),\ (3,4,4,3),\ (3,8,4,2),\ (9,2,2,6),\ (9,4,2,3),\ (9,8,2,2)$
$x^{p}-y^{q}=n$
$1\leq n\leq 115$
$1\leq \{x^{p},y^{q}\}<2^{64}$
$p,q\geq 2$
| $n$ | Anz. der Lsg. | $x^{p}-y^{q}=n$ (als Potenz) | $y^{q}$ (als Zahl) |
| 1 | 1 | $3^{2}-2^{3}=1$ | $8$ |
| 2 | 1 | $3^{3}-5^{2}=2$ | $25$ |
| 3 | 2 | $2^{2}-1^{q}=3$ $2^{7}-5^{3}=3$ | $1$ $125$ |
| 4 | 3 | $2^{3}-2^{2}=4$ $6^{2}-2^{5}=4$ $5^{3}-11^{2}=4$ | $4$ $32$ $121$ |
| 5 | 2 | $3^{2}-2^{2}=5$ $2^{5}-3^{3}=5$ | $4$ $27$ |
| 6 | Es existiert keine Lösung. | Es existiert keine Lösung. | Es existiert keine Lösung. |
| 7 | 5 | $2^{3}-1^{q}=7$ $2^{4}-3^{2}=7$ $2^{5}-5^{2}=7$ $2^{7}-11^{2}=7$ $2^{15}-181^{2}=7$ | $1$ $9$ $25$ $121$ $32761$ |
| 8 | 3 | $3^{2}-1^{q}=8$ $2^{4}-2^{3}=8$ $312^{2}-46^{3}=8$ | $1$ $8$ $97336$ |
| 9 | 4 | $5^{2}-2^{4}=9$ $6^{2}-3^{3}=9$ $15^{2}-6^{3}=9$ $253^{2}-40^{3}=9$ | $16$ $27$ $216$ $64000$ |
| 10 | 1 | $13^{3}-3^{7}=10$ | $2187$ |
| 11 | 4 | $3^{3}-2^{4}=11$ $6^{2}-5^{2}=11$ $56^{2}-5^{5}=11$ $15^{3}-58^{2}=11$ | $16$ $25$ $3125$ $3364$ |
| 12 | 2 | $2^{4}-2^{2}=12$ $47^{2}-13^{3}=12$ | $4$ $2197$ |
| 13 | 3 | $7^{2}-6^{2}=13$ $2^{8}-3^{5}=13$ $17^{3}-70^{2}=13$ | $36$ $243$ $4900$ |
| 14 | Es existiert keine Lösung. | Es existiert keine Lösung. | Es existiert keine Lösung. |
| 15 | 3 | $2^{4}-1^{q}=15$ $2^{6}-7^{2}=15$ $1138^{2}-109^{3}=15$ | $1$ $49$ $1295029$ |
| 16 | 3 | $5^{2}-3^{2}=16$ $2^{5}-2^{4}=16$ $12^{2}-2^{7}=16$ | $9$ $16$ $128$ |
| 17 | 7 | $5^{2}-2^{3}=17$ $7^{2}-2^{5}=17$ $3^{4}-2^{6}=17$ $23^{2}-2^{9}=17$ $282^{2}-43^{3}=17$ $375^{2}-52^{3}=17$ $378661^{2}-5234^{3}=17$ | $8$ $32$ $64$ $512$ $79507$ $140608$ $143384152904$ |
| 18 | 3 | $3^{3}-3^{2}=18$ $3^{5}-15^{2}=18$ $19^{2}-7^{3}=18$ | $9$ $225$ $343$ |
| 19 | 5 | $3^{3}-2^{3}=19$ $10^{2}-3^{4}=19$ $12^{2}-5^{3}=19$ $7^{3}-18^{2}=19$ $55^{5}-22434^{2}=19$ | $8$ $81$ $125$ $324$ $503284356$ |
| 20 | 2 | $6^{2}-2^{4}=20$ $6^{3}-14^{2}=20$ | $16$ $196$ |
| $n$ | Anz. der Lsg. | $x^{p}-y^{q}=n$ (als Potenz) | $y^{q}$ (als Zahl) |
| 21 | 2 | $5^{2}-2^{2}=21$ $11^{2}-10^{2}=21$ | $4$ $100$ |
| 22 | 2 | $7^{2}-3^{3}=22$ $47^{2}-3^{7}=22$ | $27$ $2187$ |
| 23 | 4 | $3^{3}-2^{2}=23$ $2^{5}-3^{2}=23$ $12^{2}-11^{2}=23$ $2^{11}-45^{2}=23$ | $4$ $9$ $121$ $2025$ |
| 24 | 5 | $5^{2}-1^{q}=24$ $2^{5}-2^{3}=24$ $7^{2}-5^{2}=24$ $2^{10}-10^{3}=24$ $736844^{2}-8158^{3}=24$ | $1$ $8$ $25$ $1000$ $542939080312$ |
| 25 | 2 | $5^{3}-10^{2}=25$ $13^{2}-12^{2}=25$ | $100$ $144$ |
| 26 | 3 | $3^{3}-1^{q}=26$ $35^{3}-207^{2}=26$ $2537^{2}-23^{5}=26$ | $1$ $42849$ $6436343$ |
| 27 | 3 | $6^{2}-3^{2}=27$ $14^{2}-13^{2}=27$ $3^{5}-6^{3}=27$ | $9$ $169$ $216$ |
| 28 | 7 | $2^{5}-2^{2}=28$ $6^{2}-2^{3}=28$ $2^{6}-6^{2}=28$ $2^{7}-10^{2}=28$ $2^{9}-22^{2}=28$ $37^{3}-15^{4}=28$ $2^{17}-362^{2}=28$ | $4$ $8$ $36$ $100$ $484$ $50625$ $131044$ |
| 29 | 1 | $15^{2}-14^{2}=29$ | $196$ |
| 30 | 1 | $83^{2}-19^{3}=30$ | $6859$ |
| 31 | 2 | $2^{5}-1^{q}=31$ $2^{8}-15^{2}=31$ | $1$ $225$ |
| 32 | 4 | $6^{2}-2^{2}=32$ $2^{6}-2^{5}=32$ $3^{4}-7^{2}=32$ $6^{5}-88^{2}=32$ | $4$ $32$ $49$ $7744$ |
| 33 | 2 | $7^{2}-2^{4}=33$ $17^{2}-2^{8}=33$ | $16$ $256$ |
| 34 | Es existiert keine Lösung. | Es existiert keine Lösung. | Es existiert keine Lösung. |
| 35 | 3 | $6^{2}-1^{q}=35$ $18^{2}-17^{2}=35$ $11^{3}-6^{4}=35$ | $1$ $289$ $1296$ |
| 36 | 2 | $10^{2}-2^{6}=36$ $42^{2}-12^{3}=36$ | $64$ $1728$ |
| 37 | 3 | $2^{6}-3^{3}=37$ $19^{2}-18^{2}=37$ $3788^{2}-3^{15}=37$ | $27$ $324$ $14348907$ |
| 38 | 1 | $37^{2}-11^{3}=38$ | $1331$ |
| 39 | 4 | $2^{6}-5^{2}=39$ $20^{2}-19^{2}=39$ $10^{3}-31^{2}=39$ $22^{3}-103^{2}=39$ | $25$ $361$ $961$ $10609$ |
| 40 | 4 | $7^{2}-3^{2}=40$ $11^{2}-3^{4}=40$ $2^{8}-6^{3}=40$ $14^{3}-52^{2}=40$ | $9$ $81$ $216$ $2704$ |
| $n$ | Anz. der Lsg. | $x^{p}-y^{q}=n$ (als Potenz) | $y^{q}$ (als Zahl) |
| 41 | 3 | $7^{2}-2^{3}=41$ $13^{2}-2^{7}=41$ $21^{2}-20^{2}=41$ | $8$ $128$ $400$ |
| 42 | Es existiert keine Lösung. | Es existiert keine Lösung. | Es existiert keine Lösung. |
| 43 | 1 | $22^{2}-21^{2}=43$ | $441$ |
| 44 | 3 | $5^{3}-3^{4}=44$ $12^{2}-10^{2}=44$ $13^{2}-5^{3}=44$ | $81$ $100$ $125$ |
| 45 | 4 | $7^{2}-2^{2}=45$ $3^{4}-6^{2}=45$ $23^{2}-22^{2}=45$ $21^{3}-96^{2}=45$ | $4$ $36$ $484$ $9216$ |
| 46 | 1 | $17^{2}-3^{5}=46$ | $243$ |
| 47 | 6 | $2^{7}-3^{4}=47$ $6^{3}-13^{2}=47$ $3^{5}-14^{2}=47$ $24^{2}-23^{2}=47$ $12^{3}-41^{2}=47$ $63^{3}-500^{2}=47$ | $81$ $169$ $196$ $529$ $1681$ $250000$ |
| 48 | 4 | $7^{2}-1^{q}=48$ $2^{6}-2^{4}=48$ $13^{2}-11^{2}=48$ $28^{3}-148^{2}=48$ | $1$ $16$ $121$ $21904$ |
| 49 | 3 | $3^{4}-2^{5}=49$ $5^{4}-24^{2}=49$ $65^{3}-524^{2}=49$ | $32$ $576$ $274576$ |
| 50 | Es existiert keine Lösung. | Es existiert keine Lösung. | Es existiert keine Lösung. |
| 51 | 2 | $10^{2}-7^{2}=51$ $26^{2}-5^{4}=51$ | $49$ $625$ |
| 52 | 1 | $14^{2}-12^{2}=52$ | $144$ |
| 53 | 2 | $3^{6}-26^{2}=53$ $29^{3}-156^{2}=53$ | $676$ $24336$ |
| 54 | 2 | $3^{4}-3^{3}=54$ $7^{3}-17^{2}=54$ | $27$ $289$ |
| 55 | 3 | $2^{6}-3^{2}=55$ $28^{2}-3^{6}=55$ $56^{3}-419^{2}=55$ | $9$ $729$ $175561$ |
| 56 | 4 | $2^{6}-2^{3}=56$ $3^{4}-5^{2}=56$ $15^{2}-13^{2}=56$ $18^{3}-76^{2}=56$ | $8$ $25$ $169$ $5776$ |
| 57 | 3 | $11^{2}-2^{6}=57$ $20^{2}-7^{3}=57$ $29^{2}-28^{2}=57$ | $64$ $343$ $784$ |
| 58 | Es existiert keine Lösung. | Es existiert keine Lösung. | Es existiert keine Lösung. |
| 59 | 1 | $30^{2}-29^{2}=59$ | $841$ |
| 60 | 4 | $2^{6}-2^{2}=60$ $2^{8}-14^{2}=60$ $136^{3}-1586^{2}=60$ $76^{5}-50354^{2}=60$ | $4$ $196$ $2515396$ $2535525316$ |
| 61 | 2 | $5^{3}-2^{6}=61$ $31^{2}-30^{2}=61$ | $64$ $900$ |
| 62 | Es existiert keine Lösung. | Es existiert keine Lösung. | Es existiert keine Lösung. |
| $n$ | Anz. der Lsg. | $x^{p}-y^{q}=n$ (als Potenz) | $y^{q}$ (als Zahl) |
| 63 | 4 | $2^{6}-1^{q}=63$ $12^{2}-3^{4}=63$ $2^{10}-31^{2}=63$ $568^{3}-13537^{2}=63$ | $1$ $81$ $961$ $183250369$ |
| 64 | 4 | $10^{2}-6^{2}=64$ $2^{7}-2^{6}=64$ $17^{2}-15^{2}=64$ $24^{2}-2^{9}=64$ | $36$ $64$ $225$ $512$ |
| 65 | 4 | $3^{4}-2^{4}=65$ $33^{2}-2^{10}=65$ $53^{2}-14^{3}=65$ $14113^{2}-584^{3}=65$ | $16$ $1024$ $2744$ $199176704$ |
| 66 | Es existiert keine Lösung. | Es existiert keine Lösung. | Es existiert keine Lösung. |
| 67 | 2 | $34^{2}-33^{2}=67$ $23^{3}-110^{2}=67$ | $1089$ $12100$ |
| 68 | 5 | $10^{2}-2^{5}=68$ $14^{2}-2^{7}=68$ $18^{2}-2^{8}=68$ $46^{2}-2^{11}=68$ $1874^{2}-152^{3}=68$ | $32$ $128$ $256$ $2048$ $3511808$ |
| 69 | 2 | $13^{2}-10^{2}=69$ $35^{2}-34^{2}=69$ | $100$ $1156$ |
| 70 | Es existiert keine Lösung. | Es existiert keine Lösung. | Es existiert keine Lösung. |
| 71 | 4 | $14^{2}-5^{3}=71$ $2^{9}-21^{2}=71$ $6^{4}-35^{2}=71$ $3^{7}-46^{2}=71$ | $125$ $441$ $1225$ $2116$ |
| 72 | 4 | $3^{4}-3^{2}=72$ $11^{2}-7^{2}=72$ $6^{3}-12^{2}=72$ $19^{2}-17^{2}=72$ | $9$ $49$ $144$ $289$ |
| 73 | 6 | $3^{4}-2^{3}=73$ $10^{2}-3^{3}=73$ $17^{2}-6^{3}=73$ $37^{2}-6^{4}=73$ $611^{2}-72^{3}=73$ $6717^{2}-356^{3}=73$ | $8$ $27$ $216$ $1296$ $373248$ $45118016$ |
| 74 | 2 | $3^{5}-13^{2}=74$ $99^{3}-985^{2}=74$ | $169$ $970225$ |
| 75 | 3 | $10^{2}-5^{2}=75$ $14^{2}-11^{2}=75$ $38^{2}-37^{2}=75$ | $25$ $121$ $1369$ |
| 76 | 3 | $5^{3}-7^{2}=76$ $20^{2}-18^{2}=76$ $101^{3}-1015^{2}=76$ | $49$ $324$ $1030225$ |
| 77 | 2 | $3^{4}-2^{2}=77$ $39^{2}-38^{2}=77$ | $4$ $1444$ |
| 78 | Es existiert keine Lösung. | Es existiert keine Lösung. | Es existiert keine Lösung. |
| 79 | 4 | $2^{7}-7^{2}=79$ $40^{2}-39^{2}=79$ $20^{3}-89^{2}=79$ $302^{2}-45^{3}=79$ | $49$ $1521$ $7921$ $91125$ |
| 80 | 4 | $3^{4}-1^{q}=80$ $12^{2}-2^{6}=80$ $21^{2}-19^{2}=80$ $292^{2}-44^{3}=80$ | $1$ $64$ $361$ $85184$ |
| $n$ | Anz. der Lsg. | $x^{p}-y^{q}=n$ (als Potenz) | $y^{q}$ (als Zahl) |
| 81 | 4 | $15^{2}-12^{2}=81$ $18^{2}-3^{5}=81$ $41^{2}-40^{2}=81$ $13^{3}-46^{2}=81$ | $144$ $243$ $1600$ $2116$ |
| 82 | Es existiert keine Lösung. | Es existiert keine Lösung. | Es existiert keine Lösung. |
| 83 | 2 | $42^{2}-41^{2}=83$ $3^{9}-140^{2}=83$ | $1681$ $19600$ |
| 84 | 2 | $10^{2}-2^{4}=84$ $22^{2}-20^{2}=84$ | $16$ $400$ |
| 85 | 2 | $11^{2}-6^{2}=85$ $43^{2}-42^{2}=85$ | $36$ $1764$ |
| 86 | Es existiert keine Lösung. | Es existiert keine Lösung. | Es existiert keine Lösung. |
| 87 | 3 | $2^{8}-13^{2}=87$ $7^{3}-2^{8}=87$ $44^{2}-43^{2}=87$ | $169$ $256$ $1849$ |
| 88 | 3 | $13^{2}-3^{4}=88$ $6^{3}-2^{7}=88$ $23^{2}-21^{2}=88$ | $81$ $128$ $441$ |
| 89 | 6 | $11^{2}-2^{5}=89$ $5^{3}-6^{2}=89$ $33^{2}-10^{3}=89$ $45^{2}-44^{2}=89$ $91^{2}-2^{13}=89$ $408^{2}-55^{3}=89$ | $32$ $36$ $1000$ $1936$ $8192$ $166375$ |
| 90 | Es existiert keine Lösung. | Es existiert keine Lösung. | Es existiert keine Lösung. |
| 91 | 3 | $10^{2}-3^{2}=91$ $6^{3}-5^{3}=91$ $46^{2}-45^{2}=91$ | $9$ $125$ $2025$ |
| 92 | 4 | $10^{2}-2^{3}=92$ $2^{7}-6^{2}=92$ $24^{2}-22^{2}=92$ $2^{13}-90^{2}=92$ | $8$ $36$ $484$ $8100$ |
| 93 | 4 | $5^{3}-2^{5}=93$ $17^{2}-14^{2}=93$ $47^{2}-46^{2}=93$ $130^{2}-7^{5}=93$ | $32$ $196$ $2116$ $16807$ |
| 94 | 2 | $11^{2}-3^{3}=94$ $421^{2}-3^{11}=94$ | $27$ $177147$ |
| 95 | 4 | $12^{2}-7^{2}=95$ $6^{3}-11^{2}=95$ $48^{2}-47^{2}=95$ $6^{7}-23^{4}=95$ | $49$ $121$ $2209$ $279841$ |
| 96 | 5 | $10^{2}-2^{2}=96$ $11^{2}-5^{2}=96$ $2^{7}-2^{5}=96$ $14^{2}-10^{2}=96$ $5^{4}-23^{2}=96$ | $4$ $25$ $32$ $100$ $529$ |
| 97 | 3 | $15^{2}-2^{7}=97$ $7^{4}-48^{2}=97$ $77^{2}-18^{3}=97$ | $128$ $2304$ $5832$ |
| 98 | 2 | $5^{3}-3^{3}=98$ $21^{2}-7^{3}=98$ | $27$ $343$ |
| 99 | 4 | $10^{2}-1^{q}=99$ $3^{5}-12^{2}=99$ $18^{2}-15^{2}=99$ $50^{2}-7^{4}=99$ | $1$ $144$ $225$ $2401$ |
| $n$ | Anz. der Lsg. | $x^{p}-y^{q}=n$ (als Potenz) | $y^{q}$ (als Zahl) |
| 100 | 10 | $5^{3}-5^{2}=100$ $15^{2}-5^{3}=100$ $7^{3}-3^{5}=100$ $26^{2}-24^{2}=100$ $10^{3}-30^{2}=100$ $5^{5}-55^{2}=100$ $90^{2}-20^{3}=100$ $118^{2}-24^{3}=100$ $34^{3}-198^{2}=100$ $137190^{2}-2660^{3}=100$ | $25$ $125$ $243$ $576$ $900$ $3025$ $8000$ $13824$ $39204$ $18821096000$ |
| 101 | 3 | $2^{7}-3^{3}=101$ $51^{2}-50^{2}=101$ $926^{2}-95^{3}=101$ | $27$ $2500$ $857375$ |
| 102 | Es existiert keine Lösung. | Es existiert keine Lösung. | Es existiert keine Lösung. |
| 103 | 2 | $2^{7}-5^{2}=103$ $52^{2}-51^{2}=103$ | $25$ $2601$ |
| 104 | 4 | $15^{2}-11^{2}=104$ $3^{6}-5^{4}=104$ $30^{3}-164^{2}=104$ $42^{3}-272^{2}=104$ | $121$ $625$ $26896$ $73984$ |
| 105 | 4 | $11^{2}-2^{4}=105$ $13^{2}-2^{6}=105$ $19^{2}-2^{8}=105$ $53^{2}-52^{2}=105$ | $16$ $64$ $256$ $2704$ |
| 106 | 2 | $11^{3}-35^{2}=106$ $59^{2}-15^{3}=106$ | $1225$ $3375$ |
| 107 | 3 | $48^{2}-13^{3}=107$ $54^{2}-53^{2}=107$ $143^{3}-1710^{2}=107$ | $2197$ $2809$ $2924100$ |
| 108 | 4 | $12^{2}-6^{2}=108$ $18^{2}-6^{3}=108$ $28^{2}-26^{2}=108$ $7002^{2}-366^{3}=108$ | $36$ $216$ $676$ $49027896$ |
| 109 | 3 | $5^{3}-2^{4}=109$ $55^{2}-54^{2}=109$ $145^{3}-1746^{2}=109$ | $16$ $2916$ $3048516$ |
| 110 | Es existiert keine Lösung. | Es existiert keine Lösung. | Es existiert keine Lösung. |
| 111 | 2 | $20^{2}-17^{2}=111$ $56^{2}-55^{2}=111$ | $289$ $3025$ |
| 112 | 8 | $11^{2}-3^{2}=112$ $2^{7}-2^{4}=112$ $12^{2}-2^{5}=112$ $2^{8}-12^{2}=112$ $2^{9}-20^{2}=112$ $29^{2}-3^{6}=112$ $2^{11}-44^{2}=112$ $2^{19}-724^{2}=112$ | $9$ $16$ $32$ $144$ $400$ $729$ $1936$ $524176$ |
| 113 | 6 | $11^{2}-2^{3}=113$ $5^{4}-2^{9}=113$ $38^{2}-11^{3}=113$ $57^{2}-56^{2}=113$ $133^{2}-26^{3}=113$ $8669^{2}-422^{3}=113$ | $8$ $512$ $1331$ $3136$ $17576$ $75151448$ |
| 114 | Es existiert keine Lösung. | Es existiert keine Lösung. | Es existiert keine Lösung. |
| 115 | 3 | $14^{2}-3^{4}=115$ $3^{5}-2^{7}=115$ $58^{2}-57^{2}=115$ | $81$ $128$ $3249$ |

### Anzahl der Lösungen

Jeweils größte Anzahl von Lösungen (bei der Suche bis $2^{64}$):
| n | Lsg. | n | Lsg. | n | Lsg. |
| 1 | 1 | 17 | 7 | 1792 | 14 |
| 3 | 2 | 100 | 10 | 2160 | 15 |
| 4 | 3 | 207 | 12 | 2880 | 16 |
| 7 | 5 | 225 | 13 | 4032 | 17 |
$x^{p}-y^{q}=n$
$1\leq n\leq 1000$
$1\leq \{x^{p},y^{q}\}<2^{64}$
$p,q\geq 2$
| | 01 | 02 | 03 | 04 | 05 | 06 | 07 | 08 | 09 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 |
| 1…50 | 1 | 1 | 2 | 3 | 2 | – | 5 | 3 | 4 | 1 | 4 | 2 | 3 | – | 3 | 3 | 7 | 3 | 5 | 2 | 2 | 2 | 4 | 5 | 2 | 3 | 3 | 7 | 1 | 1 | 2 | 4 | 2 | – | 3 | 2 | 3 | 1 | 4 | 4 | 3 | – | 1 | 3 | 4 | 1 | 6 | 4 | 3 | 0 |
| 51…100 | 2 | 1 | 2 | 2 | 3 | 4 | 3 | – | 1 | 4 | 2 | – | 4 | 4 | 4 | – | 2 | 5 | 2 | – | 4 | 4 | 6 | 2 | 3 | 3 | 2 | – | 4 | 4 | 4 | – | 2 | 2 | 2 | – | 3 | 3 | 6 | – | 3 | 4 | 4 | 2 | 4 | 5 | 3 | 2 | 4 | 10 |
| 101…150 | 3 | – | 2 | 4 | 4 | 2 | 3 | 4 | 3 | – | 2 | 8 | 6 | – | 3 | 5 | 6 | 3 | 4 | 5 | 3 | 1 | 2 | 4 | 2 | 1 | 3 | 6 | 2 | – | 2 | 2 | 2 | – | 7 | 3 | 2 | 1 | 3 | 2 | 4 | 1 | 4 | 5 | 5 | 1 | 5 | 3 | 2 | 1 |
| 151…200 | 3 | 5 | 3 | 1 | 3 | 3 | 2 | – | 3 | 4 | 6 | 2 | 2 | 4 | 4 | 1 | 2 | 5 | 5 | 1 | 4 | 3 | 1 | 3 | 4 | 3 | 2 | – | 2 | 5 | 1 | – | 2 | 5 | 2 | 2 | 2 | 3 | 5 | 1 | 4 | 6 | 3 | 1 | 4 | 3 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 201…250 | 2 | – | 2 | 3 | 2 | – | 12 | 5 | 3 | – | 2 | 3 | 2 | 1 | 5 | 7 | 6 | 2 | 2 | 3 | 2 | 1 | 2 | 6 | 13 | – | 2 | 2 | 2 | – | 4 | 2 | 5 | 1 | 4 | 3 | 2 | – | 4 | 6 | 2 | 3 | 4 | 4 | 3 | – | 2 | 4 | 3 | 2 |
| 251…300 | 3 | 6 | 2 | – | 4 | 6 | 2 | – | 2 | 3 | 4 | 2 | 1 | 4 | 2 | – | 2 | 2 | 3 | 1 | 4 | 6 | 4 | – | 5 | 2 | 3 | – | 4 | 4 | 4 | 1 | 1 | 4 | 4 | 2 | 3 | 6 | 3 | – | 2 | 3 | 2 | 2 | 2 | 4 | 10 | 1 | 3 | 3 |
| 301…350 | 3 | – | 3 | 3 | 2 | – | 5 | 3 | 2 | – | 2 | 4 | 4 | – | 6 | 9 | 1 | 1 | 2 | 6 | 2 | – | 2 | 4 | 3 | – | 3 | 2 | 4 | – | 2 | 1 | 6 | 2 | 3 | 6 | 2 | 1 | 3 | 3 | 3 | 1 | 7 | 2 | 4 | 2 | 1 | 3 | 1 | 2 |
| 351…400 | 4 | 4 | 5 | 1 | 3 | 5 | 4 | – | 4 | 8 | 1 | 2 | 3 | 4 | 2 | 2 | 2 | 11 | 4 | 1 | 3 | 2 | 2 | – | 5 | 2 | 5 | – | 1 | 4 | 3 | 1 | 1 | 7 | 4 | 1 | 4 | 6 | 2 | – | 4 | 5 | 2 | – | 2 | 4 | 2 | – | 4 | 4 |
| 401…450 | 2 | – | 2 | 3 | 6 | 1 | 2 | 4 | 4 | – | 2 | 3 | 2 | 3 | 3 | 6 | 2 | – | 1 | 4 | 2 | – | 6 | 5 | 4 | – | 3 | 1 | 4 | – | 9 | 7 | 7 | – | 4 | 1 | 2 | – | 2 | 6 | 6 | – | 2 | 3 | 2 | – | 3 | 10 | 3 | 0 |
| 451…500 | 3 | 3 | 2 | – | 5 | 4 | 3 | – | 8 | 3 | 1 | – | 2 | 5 | 4 | – | 1 | 3 | 4 | – | 4 | 2 | 2 | – | 4 | 5 | 4 | – | 1 | 9 | 4 | – | 4 | 1 | 4 | 1 | 2 | 3 | 3 | 1 | 1 | 3 | 2 | – | 7 | 7 | 4 | 1 | 2 | 3 |
| 501…550 | 2 | 1 | 9 | 7 | 5 | 3 | 4 | 5 | 1 | – | 4 | 6 | 6 | – | 3 | 8 | 3 | 1 | 3 | 4 | 5 | – | 1 | 3 | 6 | – | 3 | 7 | 1 | – | 4 | 2 | 2 | – | 5 | 2 | 4 | – | 3 | 5 | 2 | – | 2 | 6 | 3 | 1 | 3 | 5 | 4 | 1 |
| 551…600 | 4 | 4 | 4 | – | 4 | 2 | 4 | – | 3 | 6 | 4 | – | 2 | 2 | 2 | 1 | 5 | 8 | 1 | – | 1 | 3 | 2 | 1 | 4 | 10 | 2 | – | 2 | 3 | 2 | 1 | 3 | 2 | 6 | 1 | 3 | 4 | 3 | – | 2 | 3 | 5 | 1 | 4 | 3 | 3 | 2 | 2 | 8 |
| 601…650 | 2 | 2 | 3 | 4 | 4 | – | 1 | 5 | 4 | – | 2 | 5 | 1 | – | 5 | 4 | 3 | 3 | 1 | 3 | 4 | 3 | 3 | 6 | 5 | – | 4 | 2 | 2 | – | 4 | 2 | 3 | – | 3 | 3 | 3 | 1 | 7 | 6 | 1 | – | 1 | 5 | 4 | – | 2 | 10 | 6 | 0 |
| 651…700 | 4 | 2 | 1 | – | 3 | 6 | 5 | – | 3 | 4 | 1 | – | 5 | 2 | 5 | 1 | 3 | 2 | 2 | – | 3 | 8 | 3 | 2 | 6 | 7 | 1 | 1 | 3 | 5 | 5 | – | 2 | 5 | 2 | 1 | 2 | 5 | 2 | – | 1 | 2 | 6 | 1 | 2 | 6 | 4 | – | 2 | 3 |
| 701…750 | 2 | 3 | 3 | 7 | 4 | 2 | 2 | 2 | 1 | 1 | 4 | 3 | 4 | – | 4 | 3 | 3 | 2 | 4 | 10 | 5 | – | 2 | 2 | 3 | 1 | 2 | 6 | 5 | 1 | 2 | 5 | 1 | 1 | 7 | 4 | 4 | – | 2 | 4 | 4 | – | 2 | 5 | 4 | 1 | 4 | 3 | 2 | 0 |
| 751…800 | 2 | 5 | 3 | – | 5 | 5 | 4 | – | 4 | 5 | 2 | – | 2 | 3 | 6 | 2 | 4 | 8 | 3 | – | 2 | 3 | 1 | 1 | 13 | 4 | 4 | – | 2 | 4 | 3 | 2 | 4 | 7 | 3 | – | 1 | 1 | 2 | – | 3 | 7 | 3 | – | 4 | 2 | 2 | – | 2 | 7 |
| 801…850 | 4 | 2 | 2 | 6 | 4 | 1 | 3 | 4 | 2 | – | 1 | 3 | 3 | 1 | 2 | 6 | 4 | 1 | 7 | 2 | 2 | – | 2 | 3 | 6 | – | 1 | 10 | 2 | – | 4 | 6 | 6 | 1 | 2 | 6 | 4 | 1 | 1 | 8 | 3 | – | 2 | 2 | 3 | 2 | 9 | 3 | 4 | 2 |
| 851…900 | 2 | 2 | 1 | – | 6 | 6 | 3 | – | 2 | 2 | 4 | – | 2 | 8 | 2 | 2 | 3 | 5 | 2 | – | 2 | 3 | 11 | – | 7 | 3 | 1 | 1 | 3 | 6 | 1 | 3 | 1 | 2 | 6 | – | 3 | 7 | 3 | 2 | 7 | 7 | 2 | 1 | 4 | 7 | 4 | – | 4 | 6 |
| 901…950 | 4 | – | 4 | 2 | 2 | 1 | 1 | 2 | 3 | – | 1 | 6 | 3 | 2 | 4 | 2 | 3 | – | 3 | 5 | 3 | – | 2 | 5 | 3 | – | 5 | 5 | 2 | 1 | 6 | 4 | 2 | 1 | 5 | 8 | 2 | 1 | 3 | 5 | 1 | – | 2 | 8 | 9 | – | 1 | 2 | 3 | 0 |
| 951…1000 | 3 | 4 | 3 | 2 | 2 | 1 | 4 | – | 3 | 11 | 2 | 1 | 3 | 8 | 2 | – | 3 | 5 | 4 | 1 | 4 | 4 | 5 | 1 | 8 | 4 | 3 | – | 2 | 8 | 4 | 1 | 1 | 6 | 3 | – | 4 | 4 | 2 | – | 3 | 6 | 2 | – | 2 | 4 | 2 | – | 10 | 5 |