# Honigwaben-Vermutung

Der Honigwaben-Satz oder ehemals die Honigwaben-Vermutung besagt in der euklidischen Geometrie, dass bei einer Aufteilung der Ebene in Gebiete jeweils gleichen Flächeninhalts der Gesamtumfang der Ränder mindestens dem der regelmäßigen hexagonalen Bienenwaben-Aufteilung im Bild entspricht.
Die Vermutung wurde 1999 vom Mathematiker Thomas Hales bewiesen. Die Verallgemeinerung auf drei Dimensionen in Form von Kelvins Vermutung bleibt offen.

## Geschichte

Bereits der griechische Geometer Pappos von Alexandria wusste, dass die Bienen
   „von sich aus Waben zum Speichern des Honigs [bauen], die alle eine kongruente, zusammenpassende und hexagonale Form haben. … Die Bienen wissen also, was nützlich ist für sie, dass [bei gegebenem Umfang] das Sechseck größer ist als das Quadrat und das Dreieck und dass es bei gleichem Materialaufwand mehr Honig aufnehmen kann.“
Denn die Zellen ihrer Bienenwaben bilden eine regelmäßige sechseckige Kachelung der Ebene. Das Bild oben zeigt die Überlagerung von Bienenwaben mit einer regelmäßigen hexagonalen Aufteilung (blau), was die teilweise präzise Ausführung der Waben demonstriert.
Über die Jahrhunderte wurde das Problem vielfach diskutiert. Charles Darwin glaubte, dass die von Bienen verwendeten sechseckigen Zellen das Ergebnis natürlicher Selektion seien, bei der diejenigen Bienen gewinnen, die am wenigsten Wachs verbrauchen. Die Lösung eines bestimmten Falles dieses Satzes wird Hugo Steinhaus zugeschrieben, und der ungarische Mathematiker László Fejes Tóth bewies den Satz 1943 für konvexe Pflastersteine.

## Mathematische Formulierung des Problems

Wenn Γ ein System glatter Kurven in ℝ$^2$ ist, die die Ebene in Regionen unterteilt, die alle begrenzt sind und den Flächeninhalt eins haben, dann ist in einer Kreisscheibe B(0,r)⊂ℝ$^2$ mit Radius r um den Ursprung in der Ebene die Länge L(r) von Γ bezogen auf die Fläche A(r) von B mindestens so groß wie bei der Sechseck-Parkettierung:
    $\limsup _{r\to \infty }{\frac {L(r)}{A(r)}}\geq {\sqrt[{4}]{12}}.$
Der Wert auf der rechten Seite der Ungleichung ist die Grenzlänge pro Flächeneinheit bei der sechseckigen Parkettierung, siehe unten.

## Beispiele

Die Tabelle untermauert den Satz mit einigen Beispielen. Die gelb unterlegten Flächen haben den Inhalt eins. Blaue Ränder teilen sich zwei Zellen und zählen daher nur zu 50 %, während die schwarzen Ränder in der jeweiligen Zelle voll zu Buche schlagen.
| Beschreibung | Grenzlänge |
| Sechseck mit Kantenlänge $\ell ={\sqrt[{4}]{\tfrac {4}{27}}}$ | ${\sqrt[{4}]{12}}\approx 1{,}8612$ |
| Schuppenförmige Fläche mit $r={\sqrt[{4}]{\tfrac {4}{27}}}$ | $\pi {\sqrt[{4}]{\frac {4}{27}}}\approx 1{,}9491$ |
| Quadrat mit Kantenlänge $\ell =1$ | 2 |
| Raute mit Kantenlänge $\ell ={\sqrt[{4}]{\tfrac {4}{3}}}$ | ${\sqrt[{4}]{\frac {64}{3}}}\approx 2{,}1491$ |
| Gleichseitige Dreiecke mit Kantenlänge $\ell ={\tfrac {2}{\sqrt[{4}]{3}}}$ | $3^{\frac {3}{4}}\approx 2{,}2795$ |
| Kreise mit Fläche 1/2 und Radius $r={\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}$, die mit Linien der Länge $\ell =1-2r$ verbunden sind. Die kreuzförmigen Flächen zwischen den Kreisen haben denselben Inhalt wie die Kreise. | $2+(\pi -2){\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\approx 2{,}9109$ |