# Sinus lemniscatus und Cosinus lemniscatus

Der Lemniskatische Sinus und der Lemniskatische Cosinus (kurz sinlemn und coslemn oder $\operatorname {sl}$ und $\operatorname {cl}$) sind zwei spezielle, von dem Mathematiker Carl Friedrich Gauß eingeführte mathematische Funktionen aus der Gruppe der elliptischen Funktionen. Der Sinus lemniscatus und Cosinus lemniscatus entsprechen denjenigen Funktionen für die Lemniskate, welche der Sinus und Cosinus für den Kreis sind. Der lemniskatische Cosinus leitet sich direkt vom lemniskatischen Sinus ab. Denn indem die Funktion $\operatorname {sl}$ um den Wert $\varpi \div 2$ nach links verschoben wird, entsteht die Funktion $\operatorname {cl}$ exakt. Beides sind die historisch ersten, heute so genannten elliptischen Funktionen. Nach der Definition durch Jacobi ist der Kehrwert der Quadratwurzel aus Zwei der elliptische Modul der lemniskatischen Funktionen.

## Geschichte

Der 19-jährige Gauß beschäftigte sich 1796 (in erst nach seinem Tod veröffentlichten Notizen) mit der Frage, wie man aus einer gegebenen Bogenlänge $s$ einer Lemniskate den Abstand $r\in (-1,1)$ des entsprechenden Punktes auf der Kurve vom Koordinatenursprung $r=0$ berechnen kann. Mathematisch führt das auf die Umkehrfunktion $r=r(s)$ des elliptischen Integrals
    $s(r)=\int _{0}^{r}{\frac {\mathrm {d} \,\rho }{\sqrt {1-\rho ^{4}}}}.$
Beweis:
Für den ersten und dritten Quadranten kann die Lemniskate von Bernoulli auf folgende Weise parametrisiert werden: x und y als Koordinaten eines Punktes auf der Kurve im Abstand r vom Ursprung (Pythagoras) erfüllen die Lemniskatengleichung. Aus diesen zwei Gleichungen ergeben sich
    $x(r)=r{\sqrt {1+r^{2}}}/{\sqrt {2}}$ und $y(r)=r{\sqrt {1-r^{2}}}/{\sqrt {2}}$
Für die Berechnung der vom Ursprung ausgehenden Kurvenlänge s wird der Pythagoras der ersten Ableitungen von x und y gebildet und dieser integriert:
    $s(r)=\int _{0}^{r}{\sqrt {\left[{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} r}}x(r)(r=\rho )\right]^{2}+\left[{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} r}}y(r)(r=\rho )\right]^{2}}}\mathrm {d} \rho =$
    $=\int _{0}^{r}{\sqrt {\left[{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \rho }}\rho {\sqrt {1+\rho ^{2}}}/{\sqrt {2}}\right]^{2}+\left[{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \rho }}\rho {\sqrt {1-\rho ^{2}}}/{\sqrt {2}}\right]^{2}}}\mathrm {d} \rho =$
    $=\int _{0}^{r}{\sqrt {{\frac {(1+2\rho ^{2})^{2}}{2(1+\rho ^{2})}}+{\frac {(1-2\rho ^{2})^{2}}{2(1-\rho ^{2})}}}}\mathrm {d} \rho =\int _{0}^{r}{\frac {1}{\sqrt {1-\rho ^{4}}}}\mathrm {d} \rho$
Gauß nannte diese Umkehrfunktion Sinus lemniscatus und bezeichnete sie mit $\operatorname {sl}$, also
    $r=\operatorname {sl} \,s$
Entsprechend definierte er den Cosinus lemniscatus $\operatorname {cl} \,s=\operatorname {sl} \,({\tfrac {\varpi }{2}}-s)$, wobei $\varpi$ die Länge des Halbbogens der Lemniskate ist, also
    $\varpi =2\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} \,\rho }{\sqrt {1-\rho ^{4}}}}\approx 2{,}62205\ 75542\ 92119\ 81046\,48395\ 89891\ldots$ (Folge A062539 in OEIS)
Gauß ließ sich bei diesen Bezeichnungen von der Analogie zu den Kreisfunktionen leiten, denn der Sinus ist die Umkehrfunktion des Integrals
    $s(r)=\int _{0}^{r}{\frac {\mathrm {d} \,\rho }{\sqrt {1-\rho ^{2}}}},\qquad {\mbox{und}}\qquad 2\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} \,\rho }{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}=\pi .$
also $r=\sin s$ und $\cos s=\sin({\tfrac {\pi }{2}}-s)$. Seine weitere entscheidende Idee war es nun, die Funktionen $\operatorname {sl}$ und $\operatorname {cl}$ nicht nur für reelle Zahlen zu definieren, sondern sie ins Komplexe fortzusetzen. Er bewies dann die Periodizitätsrelationen
    $\operatorname {sl} \,(s+2\varpi )=\operatorname {sl} \,s,\qquad \operatorname {sl} \,(s+2\mathrm {i} \varpi )=\operatorname {sl} \,s.$
Im Gegensatz zum Sinus hat also der lemniskatische Sinus $\operatorname {sl}$ zwei Perioden $2\varpi$ und $2\mathrm {i} \varpi$, ebenso die Funktion $\operatorname {cl}$. Die lemniskatischen Funktionen sind also elliptisch. Carl Gustav Jacobi führte um 1830 die jacobischen elliptischen Funktionen ein und verallgemeinerte damit die beiden lemniskatischen Funktionen. Diese lassen sich auf folgende Weise durch die Jacobi-Funktionen mit dem Modul λ*(1) = 1/sqrt(2) ausdrücken:
    $\operatorname {sl} \,(s)=\operatorname {sd} ({\sqrt {2}}s;1/{\sqrt {2}})/{\sqrt {2}}$ und $\operatorname {cl} \,(s)=\operatorname {cn} ({\sqrt {2}}s;1/{\sqrt {2}})$
Somit sind der lemniskatische Sinus und der lemniskatische Cosinus auch über die Thetafunktionen auf folgende Weise definierbar:
    $\operatorname {sl} \,(s)={\frac {\vartheta _{10}(\pi /2-\pi s/\varpi ;\operatorname {e} ^{-\pi })}{\vartheta _{01}(\pi /2-\pi s/\varpi ;\operatorname {e} ^{-\pi })}}$ und $\operatorname {cl} \,(s)={\frac {\vartheta _{10}(\pi s/\varpi ;\operatorname {e} ^{-\pi })}{\vartheta _{01}(\pi s/\varpi ;\operatorname {e} ^{-\pi })}}$

## Algebraische Beziehungen

Folgende algebraische Beziehung gilt für die lemniskatischen Funktionen:
    $[1+\operatorname {sl} (x)^{2}]\cdot [1+\operatorname {cl} (x)^{2}]=2$
Die Additionstheoreme für die lemniskatischen Funktionen lauten wie folgt:
    $\operatorname {sl} (a+b)={\frac {\operatorname {sl} (a)\cdot \operatorname {cl} (b)+\operatorname {cl} (a)\cdot \operatorname {sl} (b)}{1-\operatorname {sl} (a)\cdot \operatorname {cl} (a)\cdot \operatorname {sl} (b)\cdot \operatorname {cl} (b)}}$
    $\operatorname {cl} (a+b)={\frac {\operatorname {cl} (a)\cdot \operatorname {cl} (b)-\operatorname {sl} (a)\cdot \operatorname {sl} (b)}{1+\operatorname {sl} (a)\cdot \operatorname {cl} (a)\cdot \operatorname {sl} (b)\cdot \operatorname {cl} (b)}}$
Alternative Darstellungen für die Additionstheoreme:
    $\operatorname {sl} (a+b)={\frac {\operatorname {sl} (a)\cdot \operatorname {sl} '(b)+\operatorname {sl} '(a)\cdot \operatorname {sl} (b)}{1+\operatorname {sl} (a)^{2}\cdot \operatorname {sl} (b)^{2}}}$
    $\operatorname {cl} (a+b)={\frac {\operatorname {sl} '(a)\cdot \operatorname {sl} '(b)-2\cdot \operatorname {sl} (a)\cdot \operatorname {sl} (b)}{1+\operatorname {sl} (a)^{2}+\operatorname {sl} (b)^{2}-\operatorname {sl} (a)^{2}\cdot \operatorname {sl} (b)^{2}}}$
Dabei gilt die Beziehung sl' = cl*(1+sl^2).
Darstellung über den Arkustangens:
    $\arctan[\operatorname {sl} (a+b)]=\arctan[\operatorname {sl} (a)\cdot \operatorname {cl} (b)]+\arctan[\operatorname {cl} (a)\cdot \operatorname {sl} (b)]$
    $\arctan[\operatorname {cl} (a+b)]=\arctan[\operatorname {cl} (a)\cdot \operatorname {cl} (b)]-\arctan[\operatorname {sl} (a)\cdot \operatorname {sl} (b)]$
Für die Verdopplung gelten diese Formeln:
    $\operatorname {sl} (2x)=2\,\operatorname {sl} (x)\operatorname {cl} (x){\frac {1+\operatorname {sl} (x)^{2}}{1+\operatorname {sl} (x)^{4}}}$
    $\operatorname {cl} (2x)={\frac {-1+2\,\operatorname {cl} (x)^{2}+\operatorname {cl} (x)^{4}}{1+2\,\operatorname {cl} (x)^{2}-\operatorname {cl} (x)^{4}}}$
Dementsprechend gelten folgende Formeln für die Halbierung:
    $\operatorname {sl} \left({\frac {x}{2}}\right)^{2}={\frac {1-\operatorname {cl} (x){\sqrt {1+\operatorname {sl} (x)^{2}}}}{{\sqrt {1+\operatorname {sl} (x)^{2}}}+1}}$
    $\operatorname {cl} \left({\frac {x}{2}}\right)^{2}={\frac {1+\operatorname {cl} (x){\sqrt {1+\operatorname {sl} (x)^{2}}}}{{\sqrt {1+\operatorname {sl} (x)^{2}}}+1}}$
Für die Verdreifachung gilt Folgendes:
    $\operatorname {sl} (3x)={\frac {3\,\operatorname {sl} (x)-6\,\operatorname {sl} (x)^{5}-\operatorname {sl} (x)^{9}}{1+6\,\operatorname {sl} (x)^{4}-3\,\operatorname {sl} (x)^{8}}}$
Diese alternativen Darstellungen ermöglichen eine Umkehrung durch Lösen kubischer Gleichungen:
    $\operatorname {sl} (3x)={\frac {{\sqrt[{4}]{27}}({\sqrt {3}}+1)y-{\sqrt {2}}y^{3}}{{\sqrt {2}}+{\sqrt[{4}]{27}}({\sqrt {3}}+1)y^{2}}}\left[y={\frac {{\sqrt[{4}]{3}}({\sqrt {3}}-1)\operatorname {sl} (x)+{\sqrt {2}}\operatorname {sl} (x)^{3}}{{\sqrt {2}}-{\sqrt[{4}]{3}}({\sqrt {3}}-1)\operatorname {sl} (x)^{2}}}\right]$
    $\operatorname {sl} (3x)={\frac {{\sqrt[{4}]{27}}({\sqrt {3}}+1)z+{\sqrt {2}}z^{3}}{{\sqrt {2}}-{\sqrt[{4}]{27}}({\sqrt {3}}+1)z^{2}}}\left[z={\frac {{\sqrt[{4}]{3}}({\sqrt {3}}-1)\operatorname {sl} (x)-{\sqrt {2}}\operatorname {sl} (x)^{3}}{{\sqrt {2}}+{\sqrt[{4}]{3}}({\sqrt {3}}-1)\operatorname {sl} (x)^{2}}}\right]$
Der Cosinus Lemniscatus ergibt sich als negatives Analogon zum Sinus Lemniscatus:
    $\operatorname {cl} (3x)={\frac {-3\,\operatorname {cl} (x)+6\,\operatorname {cl} (x)^{5}+\operatorname {cl} (x)^{9}}{1+6\,\operatorname {cl} (x)^{4}-3\,\operatorname {cl} (x)^{8}}}$

## Ableitungen

Die lemniskatischen Funktionen haben folgende Ableitungen:
    ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {sl} (x)=\operatorname {cl} (x)\cdot [1+\operatorname {sl} (x)^{2}]$
    ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {cl} (x)=-\operatorname {sl} (x)\cdot [1+\operatorname {cl} (x)^{2}]$
Daraus folgt die Tatsache, dass die zweite Ableitung das negative doppelte vom Kubus ist.
    ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {sl} (x)=-2\cdot \operatorname {sl} (x)^{3}$
    ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {cl} (x)=-2\cdot \operatorname {cl} (x)^{3}$
Über die Formeln der Ableitungen lassen sich ebenso die Stammfunktionen von Sinus Lemniscatus und Cosinus lemniscatus ermitteln.
    $\operatorname {cl} (x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arctan[\operatorname {sl} (x)]$
    $\operatorname {sl} (x)=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arctan[\operatorname {cl} (x)]$

## Spezielle Werte

Einzelne Funktionswerte für die lemniskatischen Funktionen:
    $\operatorname {sl} \left(0\right)=0=\operatorname {cl} \left({\frac {\varpi }{2}}\right)$
    $\operatorname {sl} \left({\frac {\varpi }{2}}\right)=1=\operatorname {cl} \left(0\right)$
    $\operatorname {sl} \left({\frac {\varpi }{4}}\right)={\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}=\operatorname {cl} \left({\frac {\varpi }{4}}\right)$
    $\operatorname {sl} \left({\frac {\varpi }{6}}\right)={\frac {1}{2}}\cdot \left({\sqrt {3}}+1-{\sqrt[{4}]{12}}\right)=\operatorname {cl} \left({\frac {\varpi }{3}}\right)$
    $\operatorname {sl} \left({\frac {\varpi }{3}}\right)={\frac {\sqrt[{8}]{3}}{\sqrt[{4}]{2}}}\cdot {\sqrt {{\sqrt {3}}-1}}=\operatorname {cl} \left({\frac {\varpi }{6}}\right)$
    $\operatorname {sl} \left({\frac {\varpi }{8}}\right)={\sqrt {\left({\sqrt[{4}]{2}}-1\right)\cdot \left({\sqrt {2}}+1-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right)}}=\operatorname {cl} \left({\frac {3\cdot \varpi }{8}}\right)$
    $\operatorname {sl} \left({\frac {3\cdot \varpi }{8}}\right)={\sqrt {\left({\sqrt[{4}]{2}}-1\right)\cdot \left({\sqrt {2}}+1+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right)}}=\operatorname {cl} \left({\frac {\varpi }{8}}\right)$
    $\operatorname {sl} \left({\frac {\varpi }{5}}\right)={\frac {1}{2\cdot {\sqrt[{4}]{2}}}}\cdot ({\sqrt {5}}-1)\cdot {\sqrt {{\sqrt[{4}]{20}}-{\sqrt {{\sqrt {5}}-1}}}}=\operatorname {cl} \left({\frac {3\cdot \varpi }{10}}\right)$
    $\operatorname {sl} \left({\frac {2\cdot \varpi }{5}}\right)={\frac {1}{2\cdot {\sqrt[{4}]{2}}}}\cdot ({\sqrt {5}}-1)\cdot {\sqrt {{\sqrt[{4}]{20}}+{\sqrt {{\sqrt {5}}-1}}}}=\operatorname {cl} \left({\frac {\varpi }{10}}\right)$
    $\operatorname {sl} \left({\frac {\varpi }{10}}\right)={\frac {1}{2}}\cdot \left({\sqrt[{4}]{5}}-1\right)\cdot \left({\sqrt {{\sqrt {5}}+2}}-1\right)=\operatorname {cl} \left({\frac {2\cdot \varpi }{5}}\right)$
    $\operatorname {sl} \left({\frac {3\cdot \varpi }{10}}\right)={\frac {1}{2}}\cdot \left({\sqrt[{4}]{5}}-1\right)\cdot \left({\sqrt {{\sqrt {5}}+2}}+1\right)=\operatorname {cl} \left({\frac {\varpi }{5}}\right)$
Weitere lemniskatische Funktionswerte in trigonometrischer Darstellung:
    $\operatorname {sl} {\bigl{\tfrac {1}{12}}\varpi {\bigr )}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{4}]{8}}\left[\sin \left({\tfrac {5}{24}}\pi \right)-{\sqrt[{4}]{3}}\sin \left({\tfrac {1}{24}}\pi \right)\right]\left({\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}}+3}}-1\right)=\operatorname {cl} {\bigl{\tfrac {5}{12}}\varpi {\bigr )}$
    $\operatorname {sl} {\bigl{\tfrac {5}{12}}\varpi {\bigr )}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{4}]{8}}\left[\sin \left({\tfrac {5}{24}}\pi \right)-{\sqrt[{4}]{3}}\sin \left({\tfrac {1}{24}}\pi \right)\right]\left({\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}}+3}}+1\right)=\operatorname {cl} {\bigl{\tfrac {1}{12}}\varpi {\bigr )}$
    $\operatorname {sl} {\bigl{\tfrac {1}{14}}\varpi {\bigr )}=\tanh {\bigl \{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcoth} {\bigl{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2\cos({\tfrac {3}{14}}\pi )\cot({\tfrac {1}{28}}\pi )}}+\cos({\tfrac {1}{7}}\pi ){\bigr ]}{\bigr \}}=\operatorname {cl} {\bigl{\tfrac {3}{7}}\varpi {\bigr )}$
    $\operatorname {sl} {\bigl{\tfrac {3}{14}}\varpi {\bigr )}=\tanh {\bigl \{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcoth} {\bigl{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2\cos({\tfrac {1}{14}}\pi )\tan({\tfrac {5}{28}}\pi )}}+\sin({\tfrac {3}{14}}\pi ){\bigr ]}{\bigr \}}=\operatorname {cl} {\bigl{\tfrac {2}{7}}\varpi {\bigr )}$
    $\operatorname {sl} {\bigl{\tfrac {5}{14}}\varpi {\bigr )}=\tanh {\bigl \{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcoth} {\bigl{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2\sin({\tfrac {1}{7}}\pi )\cot({\tfrac {3}{28}}\pi )}}+\sin({\tfrac {1}{14}}\pi ){\bigr ]}{\bigr \}}=\operatorname {cl} {\bigl{\tfrac {1}{7}}\varpi {\bigr )}$

## Reihenentwicklungen
### Produktreihen nach Whittaker und Watson

Folgende Produktreihen für die lemniskatischen Funktionen konvergieren schnell:
    $\operatorname {sl} (x)=2\exp \left(-{\tfrac {1}{4}}\pi \right)\sin(\pi x/\varpi )\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1-2\cos(2\pi x/\varpi )\exp(-2k\pi )+\exp(-4k\pi )}{1+2\cos(2\pi x/\varpi )\exp[-(2k-1)\pi ]+\exp[-(4k-2)\pi ]}}$
    $\operatorname {cl} (x)=2\exp \left(-{\tfrac {1}{4}}\pi \right)\cos(\pi x/\varpi )\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1+2\cos(2\pi x/\varpi )\exp(-2k\pi )+\exp(-4k\pi )}{1-2\cos(2\pi x/\varpi )\exp[-(2k-1)\pi ]+\exp[-(4k-2)\pi ]}}$
Auf den Forschungsresultaten Edmund Taylor Whittaker und George Neville Watson basieren die nun genannten Produktreihen.

### Trigonometrisch Hyperbolische Summenreihen

Diese Summen stellen schnell konvergierende Reihen zur numerischen Berechnung des lemniskatischen Sinus und Cosinus dar:
    $\operatorname {sl} (x)={\frac {4\pi }{\varpi }}\sin \left({\frac {\pi x}{\varpi }}\right)\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\sinh[(k+1/2)\pi ]}{\cosh[(2k+1)\pi ]+\cos \left(2\pi x/\varpi \right)}},$
    $\operatorname {cl} (x)={\frac {4\pi }{\varpi }}\cos \left({\frac {\pi x}{\varpi }}\right)\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\sinh[(k+1/2)\pi ]}{\cosh[(2k+1)\pi ]-\cos(2\pi x/\varpi )}},$
Hierbei verläuft die Präzision der Annäherung mit endlichem oberen Index $m$ wie $10^{-3m/2}$ und somit linear.
Beide Reihen zeigen deutlich den Zusammenhang mit den Kreisfunktionen, indem die nach der lemniskatischen Form ausgestreckten Kreisfunktionen als Summanden in den genannten Differenzen gezeigt werden.
Basierend auf der Summendefinition der Jacobischen Zetafunktion können diese nicht alternierenden Summen aufgestellt werden:
    $\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arctan {\bigl\operatorname {sl} (x){\bigr ]}\right\}={\frac {4\pi }{\varpi }}\sin(\pi x/\varpi )\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cosh[(2k-1)\pi ]}{\cosh[(2k-1)\pi ]^{2}-\cos(\pi x/\varpi )^{2}}}$
    $\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arctan {\bigl\operatorname {cl} (x){\bigr ]}\right\}={\frac {4\pi }{\varpi }}\cos(\pi x/\varpi )\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cosh[(2k-1)\pi ]}{\cosh[(2k-1)\pi ]^{2}-\sin(\pi x/\varpi )^{2}}}$
Zusatzinformation:
Die Tangenshalbierungen von Sinus lemniscatus und Cosinus lemniscatus führen zu den Jacobi-Funktionen mit dem Modul λ*(4):
    $\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arctan {\bigl\operatorname {sl} (x){\bigr ]}\right\}=({\sqrt {2}}-1)\operatorname {sn} \left[{\tfrac {1}{2}}({\sqrt {2}}+1)x;({\sqrt {2}}-1)^{2}\right]$
    $\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arctan {\bigl\operatorname {cl} (x){\bigr ]}\right\}=({\sqrt {2}}-1)\operatorname {cd} \left[{\tfrac {1}{2}}({\sqrt {2}}+1)x;({\sqrt {2}}-1)^{2}\right]$

### Rein Hyperbolische Summenreihen

Weitere Reihendarstellungen über alternierende Summen des Secans hyperbolicus lauten so:
    ${\frac {\varpi }{\pi }}\operatorname {cl} (\varpi x)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }(-1)^{k}\operatorname {sech} [\pi (k+x)]$
    ${\frac {\varpi }{\pi }}\operatorname {sl} (\varpi x)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }(-1)^{k}\operatorname {sech} [\pi (k-{\frac {1}{2}}+x)]$

### Definition mit der Ramanujanschen Thetafunktion

Die Ramanujansche Thetafunktion hat diese Definition:
    $\vartheta _{R}(v;w)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }v^{n(n+1)/2}\,w^{n(n-1)/2}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }v^{\bigtriangleup (n)}\,w^{\bigtriangleup (n-1)}$
Der korrespondierende Ausdruck aus einer Summe mit dem Index Eins lautet demnach so:
    $\vartheta _{R}(v;w)=1+v+w+\sum _{n=1}^{\infty }(vw)^{\bigtriangleup (n)}(v^{n+1}+w^{n+1})$
So können darauf basierend folgende Identitäten hervorgebracht werden:
    $1+\tan {\biggl \{\frac {1}{8}}\pi -{\frac {1}{2}}\arctan {\bigl\mathrm {sl} (x){\bigr ]}{\biggr \}}={\sqrt {2}}\exp {\bigl-{\frac {x}{G}}{\bigr )}\,{\frac {\vartheta _{R}{\bigl\exp(x\div G-{\tfrac {1}{2}}\pi );\exp(-x\div G-{\tfrac {3}{2}}\pi ){\bigr ]}^{2}}{\vartheta _{R}{\bigl\exp(x\div G-{\tfrac {3}{2}}\pi );\exp(-x\div G-{\tfrac {1}{2}}\pi ){\bigr ]}^{2}}}$
    $1+\tan {\biggl \{\frac {1}{8}}\pi -{\frac {1}{2}}\arctan {\bigl\mathrm {cl} (x){\bigr ]}{\biggr \}}={\sqrt {2}}\exp {\bigl{\frac {x}{G}}-{\frac {\pi }{2}}{\bigr )}\,{\frac {\vartheta _{R}{\bigl\exp(-x\div G);\exp(x\div G-2\pi ){\bigr ]}^{2}}{\vartheta _{R}{\bigl\exp(-x\div G-\pi );\exp(x\div G-\pi ){\bigr ]}^{2}}}$
Noch viel schneller als die Reihen der vorherigen Abschnitte konvergieren somit folgende zwei Reihen für die lemniskatischen Funktionen, welche sich direkt aus den Formeln mit der Ramanujanschen Thetafunktion herleiten lassen:
    $1+\tan \left\{{\frac {1}{8}}\pi -{\frac {1}{2}}\arctan {\bigl\operatorname {sl} (x){\bigr ]}\right\}={\sqrt {2}}\,\left\{\sum _{k=-\infty }^{\infty }\exp \left[-\pi \left(k+{\frac {1}{4}}+{\frac {x}{2\varpi }}\right)^{2}\right]\right\}^{2}\left\{\sum _{k=-\infty }^{\infty }\exp \left[-\pi \left(k-{\frac {1}{4}}+{\frac {x}{2\varpi }}\right)^{2}\right]\right\}^{-2}$
    $1+\tan \left\{{\frac {1}{8}}\pi -{\frac {1}{2}}\arctan {\bigl\operatorname {cl} (x){\bigr ]}\right\}={\sqrt {2}}\,\left\{\sum _{k=-\infty }^{\infty }\exp \left[-\pi \left(k+{\frac {1}{2}}+{\frac {x}{2\varpi }}\right)^{2}\right]\right\}^{2}\left\{\sum _{k=-\infty }^{\infty }\exp \left[-\pi \left(k+{\frac {x}{2\varpi }}\right)^{2}\right]\right\}^{-2}$

## Elliptische Lambdafunktion

Diejenigen elliptischen Module, welche die Lambda-Stern-Funktionswerte von den Doppelten der ungeraden natürlichen Zahlen sind, können vereinfacht mit dem Halbierungstheorem als Sinus-Lemniscatus-Quadrat dargestellt werden:
| Muttermodul (Mm) | Tochtermodul (Tm) | Pythagoräisches Gegenstück vom Tm | Pythagoräisches Gegenstück vom Mm = Tangentielles Gegenstück vom Tm |
| $\lambda ^{*}({\tfrac {3}{2}})=\operatorname {cl} '[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}})]$ | $\lambda ^{*}(6)=\operatorname {sl} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}})]^{2}$ | $\lambda ^{*}({\tfrac {1}{6}})=\operatorname {sl} '[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}})]$ | $\lambda ^{*}({\tfrac {2}{3}})=\operatorname {cl} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}})]^{2}$ |
| $\lambda ^{*}({\tfrac {5}{2}})=\operatorname {cl} '[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{3}})]$ | $\lambda ^{*}(10)=\operatorname {sl} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{3}})]^{2}$ | $\lambda ^{*}({\tfrac {1}{10}})=\operatorname {sl} '[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{3}})]$ | $\lambda ^{*}({\tfrac {2}{5}})=\operatorname {cl} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{3}})]^{2}$ |
| $\lambda ^{*}({\tfrac {11}{2}})=\operatorname {cl} '[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{33}}{\sqrt {11}})]$ | $\lambda ^{*}(22)=\operatorname {sl} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{33}}{\sqrt {11}})]^{2}$ | $\lambda ^{*}({\tfrac {1}{22}})=\operatorname {sl} '[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{33}}{\sqrt {11}})]$ | $\lambda ^{*}({\tfrac {2}{11}})=\operatorname {cl} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{33}}{\sqrt {11}})]^{2}$ |
| $\lambda ^{*}({\tfrac {17}{2}})=\operatorname {cl} '\{{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} [{\tfrac {1}{3}}({\sqrt {17}}-4)]\}$ | $\lambda ^{*}(34)=\operatorname {sl} \{{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} [{\tfrac {1}{3}}({\sqrt {17}}-4)]\}^{2}$ | $\lambda ^{*}({\tfrac {1}{34}})=\operatorname {sl} '\{{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} [{\tfrac {1}{3}}({\sqrt {17}}-4)]\}$ | $\lambda ^{*}({\tfrac {2}{17}})=\operatorname {cl} \{{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} [{\tfrac {1}{3}}({\sqrt {17}}-4)]\}^{2}$ |
| $\lambda ^{*}({\tfrac {29}{2}})=\operatorname {cl} '[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{99}})]$ | $\lambda ^{*}(58)=\operatorname {sl} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{99}})]^{2}$ | $\lambda ^{*}({\tfrac {1}{58}})=\operatorname {sl} '[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{99}})]$ | $\lambda ^{*}({\tfrac {2}{29}})=\operatorname {cl} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{99}})]^{2}$ |
| $\lambda ^{*}({\tfrac {41}{2}})=\operatorname {cl} '\{{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} [{\tfrac {1}{69}}(8{\sqrt {41}}-51)]\}$ | $\lambda ^{*}(82)=\operatorname {sl} \{{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} [{\tfrac {1}{69}}(8{\sqrt {41}}-51)]\}^{2}$ | $\lambda ^{*}({\tfrac {1}{82}})=\operatorname {sl} '\{{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} [{\tfrac {1}{69}}(8{\sqrt {41}}-51)]\}$ | $\lambda ^{*}({\tfrac {2}{41}})=\operatorname {cl} \{{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} [{\tfrac {1}{69}}(8{\sqrt {41}}-51)]\}^{2}$ |
Weitere Werte:
    $\lambda ^{*}(14)=\operatorname {sl} \left\{{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} \left[(8{\sqrt {2}}+11)^{-1/2}\right]\right\}^{2}$
    $\lambda ^{*}(26)=\operatorname {sl} \left\{{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} \left[{\tfrac {1}{33}}\left(2{\sqrt[{3}]{132{\sqrt {78}}+837}}-2{\sqrt[{3}]{132{\sqrt {78}}-837}}-9\right)\right]\right\}^{2}$
    $\lambda ^{*}(38)=\operatorname {sl} \left\{{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} \left[{\tfrac {1}{627}}{\sqrt {19}}\left(2{\sqrt[{3}]{3300{\sqrt {114}}+27323}}-2{\sqrt[{3}]{3300{\sqrt {114}}-27323}}-35\right)\right]\right\}^{2}$
    $\lambda ^{*}(46)=\operatorname {sl} \left\{{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} \left[{\tfrac {1}{3}}(104{\sqrt {2}}+147)^{-1/2}\right]\right\}^{2}$
    $\lambda ^{*}(66)=\operatorname {sl} \left\{{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} \left[\left({\tfrac {75}{2}}+{\tfrac {13}{2}}{\sqrt {33}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {1842{\sqrt {33}}+10578}}\right)^{-1}\right]\right\}^{2}$