# Term

In der Mathematik ist ein Term eine sinnvolle Kombination aus Zahlen, Variablen, Symbolen für mathematische Verknüpfungen und Klammern. Ausgangspunkt sind die atomaren Terme, zu denen alle Zahlen (Konstanten) und Variablen gehören. Terme können als die syntaktisch korrekt gebildeten Wörter oder Wortgruppen in der formalen Sprache der Mathematik gesehen werden.
In der Praxis wird der Begriff häufig benutzt, um über einzelne Bestandteile einer Formel oder eines größeren Terms zu reden. So redet man bspw. bei einer linearen Funktion $f(x)=mx+b$ von einem linearen Term $mx$ und einem konstanten Term $b$.

## Umgangssprachliche Erklärung

Der Begriff „Term“ wird umgangssprachlich für alles verwendet, das eine Bedeutung trägt. Im engeren Sinn sind mathematische Gebilde gemeint, die man prinzipiell ausrechnen kann, zumindest wenn man den darin enthaltenen Variablen Werte zugewiesen hat. So ist zum Beispiel $(x+y)^{2}$ ein Term, denn weist man den darin enthaltenen Variablen $x$ und $y$ jeweils einen Wert zu, so erhält auch der Term einen Wert. Statt Zahlen können hier auch andere mathematische Objekte in Betracht kommen, so ist etwa $(p_{1}\vee \neg p_{2})\wedge p_{3}$ ein Term, der einen Wert erhält, wenn man den booleschen Variablen $p_{1},p_{2},p_{3}$ einen Wahrheitswert zuordnet. Im Normalfall (einsortige Logik) nimmt die genaue mathematische Definition allerdings keinen Bezug auf die möglichen Wertzuweisungen, wie unten ausgeführt wird.
Grob kann man sagen, dass ein Term eine Seite einer Gleichung oder Relation, z. B. einer Ungleichung, ist. Die Gleichung oder Relation selbst ist kein Term, sie besteht aus Termen.
Mit Termen können üblicherweise folgende Operationen ausgeführt werden:
* ausrechnen (dabei löst man Klammern von innen nach außen auf): $(2+3)^{2}=5^{2}=25$
* nach bestimmten Rechenregeln umformen: $(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}$ durch Anwendung des Distributivgesetzes und einiger anderer „erlaubter“ Regeln.
* miteinander vergleichen, falls Relationen für die passenden Typen definiert sind: $2xy\leq x^{2}+y^{2}$
* ineinander einsetzen (oft wird ein Term anstelle einer Variable eines anderen Terms eingesetzt). Eine spezielle Form der Einsetzung ist die Substitution, bei der ein Term mit Variablen durch einen anderen Term mit Variablen (meist eine einzelne Variable) ersetzt wird: $(x+y)^{2}$ entsteht aus $z^{2}$ durch Ersetzung von $z$ durch $x+y$.
Häufig werden Terme oder Teilterme nach ihrer inhaltlichen Bedeutung benannt. Im Term ${\tfrac {1}{2}}mv^{2}+mgh$, der in der Physik die mechanische Energie eines Massenpunktes beschreibt, nennt man den ersten Summanden „Kinetische Energie“ und den zweiten „Potentielle Energie“. Oft werden auch charakteristische Eigenschaften zur Benennung herangezogen. So ist mit dem „quadratischen Term“ in $x^{3}+7x^{2}-2x+1$ der Teilterm $7x^{2}$ gemeint, weil dies der Teilterm ist, der die Variable $x$ in quadrierter Form enthält.

## Formale Definition

Die genaue mathematische Definition eines Terms, wie sie in der mathematischen Logik gegeben wird, benennt Regeln, nach denen Terme aufgebaut werden. Ein Term ist dann jede Zeichenkette, die durch Anwendung solcher Regeln entsteht:
* Jedes Variablensymbol $v$ ist ein Term.
* Jedes Konstantensymbol $c$ ist ein Term.
* Ist $f$ ein $k$-stelliges Funktionssymbol und sind $t_{1},\dotsc ,t_{k}$ Terme, so ist $f(t_{1},\dotsc ,t_{k})$ ein Term.
Die Menge aller Terme zu einer gegebenen Signatur ${\boldsymbol {S}}$ und Variablenmenge ${\mathcal {V}}$ sei ${\boldsymbol {\mathcal {T}}}_{{\boldsymbol {S}},{\mathcal {V}}}$, für Terme ohne Variablen (${\mathcal {V}}=\emptyset$) einfach ${\boldsymbol {\mathcal {T}}}_{\boldsymbol {S}}$. Durch die Funktionssymbole werden Verknüpfungen verschiedener Stelligkeit zwischen den Elementen von ${\boldsymbol {\mathcal {T}}}_{{\boldsymbol {S}},{\mathcal {V}}}$ bzw. ${\boldsymbol {\mathcal {T}}}_{\boldsymbol {S}}$ induziert, mit denen diese Mengen von Zeichenketten selbst zu einer algebraischen Struktur, der Termalgebra bzw. Grundtermalgebra werden. Siehe auch Elementare Sprache #Terme, Logische Formeln.