# Zylindrische σ-Algebra

Die zylindrische σ-Algebra ist eine σ-Algebra, welche durch die Zylindermengen eines Vektorraumes erzeugt wird. Die Zylindermengen hängen von einem Raum von linearen Funktionalen ab, dies kann zum Beispiel der topologische Dualraum sein, die zylindrische σ-Algebra ist dann die kleinste σ-Algebra, so dass diese Funktionen messbar sind. Die zylindrische σ-Algebra ist eine Teilmenge der borelschen σ-Algebra und im Allgemeinen nicht gleich.

## Definition

Sei $X$ ein reeller Vektorraum und $X^{*}$ sein algebraischer Dualraum. Weiter sei $F\subseteq X^{*}$ ein Vektorraum von linearen Funktionalen auf $X$ und ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})$ die borelsche σ-Algebra auf $\mathbb {R} ^{n}$.
Wir nennen eine Menge der Form
    $Z_{f_{1},\dots ,f_{n},B}:=\{x\in X:(f_{1}(x),\dots ,f_{n}(x))\in B\}$
für $f_{1},\dots ,f_{n}\in F$ und $B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})$ eine $F$-Zylindermenge.
Man nennt $B$ die Basis des Zylinders und $f_{1},\dots ,f_{n}$ seine Erzeuger.
Die Familie aller $F$-Zylindermengen notieren wir mit ${\mathcal {Zyl}}(X,F)$, das ist die Menge
    ${\mathcal {Zyl}}(X,F)=\bigotimes _{n}{\mathfrak {A}}_{f_{1},\dots ,f_{n}}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\bigcup _{f_{1},\dots ,f_{n},B}Z_{f_{1},\dots ,f_{n},B},$
wobei ${\mathfrak {A}}_{f_{1},\dots ,f_{n}}$ σ-Algebren sind. Diese ist im Allgemeinen nur eine Algebra und wird zylindrische Algebra genannt. Die kleinste σ-Algebra, die ${\mathcal {Zyl}}(X,F)$ enthält, ist die σ-Algebra
    ${\mathcal {E}}(X,F):=\sigma (F)=\sigma ({\mathcal {Zyl}}(X,F))$
und wird zylindrische σ-Algebra oder auch $F$-zylindrische σ-Algebra genannt. Weiter gilt
    ${\mathcal {E}}(X,F)\subseteq {\mathcal {B}}(X).$
Schreibt man nur ${\mathcal {E}}(X),$ dann meint man in der Regel einfach die σ-Algebra aller Zylindermengen von $X$.

### Wichtiger Spezialfall

Der wichtigste Spezialfall ist wenn $X$ ein lokalkonvexer Raum und $X'$ der topologische Dualraum ist. Die zylindrische σ-Algebra ${\mathcal {E}}(X,X')$ ist gerade die kleinste σ-Algebra, so dass alle stetigen linearen Funktionale messbar sind.
Oder in anderen Worten, die σ-Algebra wird durch die Mengen der Form
    $\{x\in X:f(x)<c\}$
mit $f\in X'$ und $c\in \mathbb {R}$ erzeugt.

## Vergleich zu anderen σ-Algebren

Im Allgemeinen gilt
    ${\mathcal {E}}(X,F)\subseteq {\mathcal {B}}_{0}(X)\subseteq {\mathcal {B}}(X),$
wobei ${\mathcal {B}}_{0}(X)$ die bairesche σ-Algebra ist.
Ist zum Beispiel $X=\mathbb {R} ^{T}$ und $T$ überabzählbar, dann gilt ${\mathcal {E}}(X,F)<{\mathcal {B}}(X)$.
Für den topologischen Dualraum gilt
    ${\mathcal {E}}(X',X)\subseteq {\mathcal {E}}(X',X'')\subseteq {\mathcal {B}}(X').$
Seien $X$ und $Y$ zwei lokalkonvexe Räume. Dann gilt im Allgemeinen für nicht separable Räume und die borelsche σ-Algebra ${\mathcal {B}}(X)\otimes {\mathcal {B}}(Y)\subset {\mathcal {B}}(X\times Y)$, deshalb kann es passieren, dass die Vektoraddition bezüglich ${\mathcal {B}}(X)\otimes {\mathcal {B}}(Y)$ nicht messbar ist. Für die zylindrische σ-Algebra gibt es solche messbaren Probleme nicht, denn es gilt ${\mathcal {E}}(X,X')\otimes {\mathcal {E}}(Y,Y')={\mathcal {E}}(X\times Y,X'\times Y')$.

### Gleichheit zur borelschen σ-Algebra

* Ein Lindelöf-Raum $X$ heißt erblich, wenn jeder seiner offenen Unterräume auch ein Lindelöf-Raum ist. Sei $X$ ein lokalkonvexer Raum, der hausdorff und auch ein erblicher Lindelöf-Raum ist. Dann gilt folgende Gleichheit
       ${\mathcal {E}}(X,X')={\mathcal {B}}(X).$
* Ist $X$ ein separabler Fréchet-Raum (insbesondere jeder separable Banach-Raum) und $\Gamma \subseteq X'$ eine Menge, welche die Punkte in $X$ trennt (d. h. für jedes $x\neq 0$ existiert ein $f\in \Gamma$ mit $f(x)\neq 0$), so gilt
       ${\mathcal {E}}(X,\Gamma )={\mathcal {B}}(X).$
    Insbesondere gilt wegen des Satzes von Hahn-Banach für einen separablen Fréchet-Raum
       ${\mathcal {E}}(X,X')={\mathcal {B}}(X).$
* Ist $X$ ein polnischer Raum und $\Gamma \subseteq X'$ eine Menge, welche die Punkte in $X$ trennt, so gilt auch Gleichheit
       ${\mathcal {E}}(X,X')={\mathcal {B}}(X).$

### Gleichheit zur baireschen σ-Algebra

Es gilt
    ${\mathcal {B}}_{0}(X)={\mathcal {E}}(X,C_{b}(X,\mathbb {R} )),$
wobei $C_{b}(X,\mathbb {R} )$ der Raum der stetigen und beschränkten Funktionen ist.