# Milnor-Sphäre

Eine Milnor-Sphäre ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialtopologie eine siebendimensionale glatte Mannigfaltigkeit, welche homöomorph, aber nicht diffeomorph zur siebendimensionalen Sphäre ist. Es gibt 27 Milnor-Sphären. Konstruiert wurden diese erstmals von John Milnor im Jahr 1956 und waren historisch die ersten Beispiele für exotische Sphären.

## Sieben Dimensionen

Die gewöhnliche $7$-Sphäre $S^{7}$ ist ein $S^{3}$-Faserbündel über $S^{4}$, bekannt als quaternionische Hopf-Faserung.
Da der orientierte Bordismusring $\Omega _{7}^{\operatorname {SO} }$ (dessen Elemente die Bordismusklassen siebendimensionaler glatter Mannigfaltigkeiten sind) trivial ist (was mithilfe des Thom-Spektrums gezeigt werden kann), ist jede siebendimensionale glatte Mannigfaltigkeit der Rand einer achtdimensionalen Mannigfaltigkeit, denn eine solche ist orientiert bordant zur $7$-Sphäre $S^{7}$, welche der Rand der $8$-Scheibe $D^{8}$ ist.

## Konstruktion

Ein $S^{3}$-Faserbündel lässt sich allgemein als Sphärenbündel eines vierdimensionalen reellen Vektorbündels darstellen. Über der $4$-Sphäre $S^{4}$ (welche sich als Verklebung von zwei $4$-Scheiben $D^{4}$, der Nord- und Südhalbkugel, an ihrem Rand $S^{3}$, dem Äquator, darstellen lässt), ergibt sich jedes vierdimensionale reelle Vektorbündel als Verklebung von zwei trivialen vierdimensionalen reellen Vektorbündeln über den beiden $4$-Scheiben $D^{4}$ (nicht trivial ist nicht möglich, da $D^{4}$ zusammenziehbar ist) entsprechend einer Abbildung $S^{3}\rightarrow \operatorname {GL} _{4}(\mathbb {R} )$ an ihrem Rand $S^{3}$. Das dadurch konstruierte Vektorbündel hängt nur von der Homotopieklasse der Abbildung ab. Es besteht sogar eine Bijektion:
    $\operatorname {Vect} _{\mathbb {R} }^{4}(S^{4})\cong \pi _{3}\operatorname {GL} _{4}(\mathbb {R} )$.
In englischer Literatur ist diese Konstruktion (mit Vektorbündeln allgemeinen Ranges über Sphären allgemeiner Dimension, wofür $\operatorname {Vect} _{\mathbb {R} }^{n}(S^{k})\cong \pi _{k-1}\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {R} )$) als Clutching Construction bekannt.
Für jedes Paar $(h,k)\in \mathbb {Z} ^{2}$ ganzer Zahlen gibt es daher bis auf Isomorphie ein vierdimensionales reelles Vektorbündel $\xi _{h,k}\colon E_{h,k}\rightarrow S^{4}$ über $S^{4}$. Für die Euler-Klasse und erste Pontrjagin-Klasse dieses Vektorbündels gilt:
    $e(\xi _{h,k})=(h+k)e(\gamma _{\mathbb {H} }^{1,1})$
    $p_{1}(\xi _{h,k})=2(h-k)e(\gamma _{\mathbb {H} }^{1,1})$,
wobei $\gamma _{\mathbb {H} }^{1,1}$ das tautologische Linienbündel über der quaternionischen projektiven Gerade $\mathbb {H} P^{1}\cong S^{4}$ ist.
Das Sphärenbündel $S(E_{h,k})$, eine siebendimensionale glatte Mannigfaltigkeit, ist nun der Rand des Scheibenbündels $D(E_{h,k})$, einer achtdimensionalen glatten Mannigfaltigkeit. Mithilfe von Morse-Theorie lässt sich zeigen, dass $S(E_{h,k})$ für $|h+k|=1$ homöomorph zur $7$-Sphäre $S^{7}$ ist. Wäre $S(E_{h,k})$ ebenfalls diffeomorph zur $7$-Sphäre $S^{7}$, ließe sich das Kofaserprodukt $M_{h,k}=D(E_{h,k})+_{S(E_{h,k})}D^{8}$ betrachten. Wird $D^{8}$ in dieser auf einen Punkt kollabiert, ergibt sich der Thom-Raum $\operatorname {Th} (E_{h,k})=D(E_{h,k})/S(E_{h,k})=M_{h,k}/D^{8}$. Mithilfe des Thom-Theorems folgt daraus, dass $H^{4}(M_{h,k},\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z}$ und $H^{8}(M_{h,k},\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z}$, weshalb die Schnittform eine $1\times 1$-Matrix ist und die Signatur nur die Werte $\sigma (M_{h,k})=\pm 1$ annehmen kann. Da $M_{h,k}$ achtdimensional ist, lässt sich ebenfalls der Hirzebruchsche Signatursatz zur Berechnung der Signatur anwenden. Es gilt
    $\sigma (M_{h,k})=\langle L_{2}(p_{1}(M_{h,k}),p_{2}(M_{h,k})),[M_{h,k}]\rangle$
mit dem L-Geschlecht:
    $L_{2}(p_{1}(M_{h,k}),p_{2}(M_{h,k}))={\frac {1}{45}}\left(7p_{2}(M_{h,k})-p_{1}^{2}(M_{h,k})\right).$
Die Unkenntnis der zweiten Pontrjagin-Klasse $p_{2}(M_{h,k})$ kann (nach Multiplikation beider Seiten mit $45$) durch den Übergang der Werte auf die Restklasse $\mathbb {Z} /7\mathbb {Z}$ umgangen werden, da der entsprechende Summand dann verschwindet. Es ergibt sich:
    $\pm 3\equiv 4(h-k)^{2}\operatorname {mod} 7\Rightarrow (h-k)^{2}\equiv 1\operatorname {mod} 7.$
Für Paare $(h,k)\in \mathbb {Z} ^{2}$ mit $|h+k|=1$ und $(h-k)^{2}\not \equiv 1\operatorname {mod} 7$ ergibt sich ein Widerspruch, welcher nur dadurch gelöst werden kann, dass die glatte Verklebung von $S(E_{h,k})$ mit $S^{7}$ in der Konstruktion von $M_{h,k}$ nicht möglich ist, also diese nicht diffeomorph sind. $S(E_{h,k})$ ist dann eine exotische Sphäre. Ein Beispiel ist $S(E_{2,-3})$.