# Freie Lie-Algebra

In der mathematischen Theorie der Lie-Algebren ist eine freie Lie-Algebra bzw. frei erzeugte Lie-Algebra eine Lie-Algebra, die frei in der Kategorie der Lie-Algebren und Lie-Homomorphismen ist. Damit lassen sich Lie-Algebren mit vorgegebenen Erzeugern und Relationen konstruieren.

## Definition

Wir betrachten einen festen Körper $K$ als Koeffizientenbereich. Zu einer vorgegebenen Menge $X\not =\emptyset$ sei $A(X)$ die frei erzeugte assoziative K-Algebra über $X$, $i\colon X\rightarrow A(X)$ sei die Inklusionsabbildung. Durch die Lie-Klammer
    $[a,b]:=a\cdot b-b\cdot a,\quad a,b\in A(X)$
wird $A(X)$ zu einer Lie-Algebra. Darin sei
    $FL(X):=\bigcap \{L|L\subset A(X){\text{ ist Lie-Unteralgebra mit }}i(X)\subset L\}$
der Durchschnitt aller $i(X)$ enthaltenden Lie-Unteralgebren von $A(X)$. Dies ist nicht der Durchschnitt über eine leere Menge, denn $A(X)$ ist eine Lie-Unteralgebra, die $i(X)$ enthält.
$FL(X)$ heißt freie Lie-Algebra über $X$.
Nach Konstruktion ist $i(X)\subset FL(X)$, das heißt wir können $i$ auch als Inklusionsabbildung $X\rightarrow FL(X)$ auffassen.

## Universelle Eigenschaft

Die freie Lie-Algebra $FL(X)$ über $X$ erfüllt folgende universelle Eigenschaft:
Sei $\theta \colon X\rightarrow L$ eine Abbildung von $X$ in eine Lie-Algebra $L$. Dann gibt es genau einen Lie-Algebren-Homomorphismus $\varphi \colon FL(X)\rightarrow L$ mit $\varphi \circ i=\theta$.
Dies rechtfertigt die Bezeichnung freie Lie-Algebra.

## Alternative Konstruktion

Bei Bourbaki findet sich eine alternative Konstruktion der freien Lie-Algebra. Für eine nicht-leere Menge $X$ sei $M(X)$ das freie Magma über $X$ und $\mathrm {Lib} (X)$ der frei über $M(X)$ erzeugte $K$-Vektorraum mit der linear von $M(X)$ fortgesetzten Multiplikation. Darin betrachte das Ideal $I\subset \mathrm {Lib} (X)$, das von allen Ausdrücken der Form
    $a\cdot a,\quad a\in \mathrm {Lib} (X)$
    $a\cdot (b\cdot c)+b\cdot (c\cdot a)+c\cdot (a\cdot b),\quad a,b,c\in \mathrm {Lib} (X)$
erzeugt wird. Dann heißt $\mathrm {Lib} (X)/I$ die frei über $X$ erzeugte Lie-Algebra. Durch den Übergang zur Quotientenalgebra werden die aufgezählten Elemente zum Nullelement, denn sie liegen ja definitionsgemäß im Ideal $I$. Daher gelten in $\mathrm {Lib} (X)/I$ die Antikommutativität und Jacobi-Identität, das heißt man erhält eine Lie-Algebra. Von dieser wird gezeigt, dass sie obige universelle Eigenschaft erfüllt. Da je zwei Lie-Algebren, die dieselbe universelle Eigenschaft in Bezug auf $X$ erfüllen, isomorph sein müssen, kann diese Konstruktion als Alternative zur oben angegebenen betrachtet werden.

## Beispiele

Ist $X=\{x\}$ einelementig, so ist $A(\{x\})$ isomorph zur kommutativen Polynomalgebra aller Polynome in der Unbestimmten $x$. Als Lie-Algebra ist $A(\{x\})$ daher abelsch, das heißt jeder Untervektorraum ist eine Lie-Unteralgebra. Damit ist $FL(\{x\})$ definitionsgemäß der kleinste Untervektorraum, der $i(x)$ enthält, und das ist $K\cdot i(x)$. Also ist
    $FL(\{x\})\cong K$ die triviale eindimensionale Lie-Algebra.
Die universelle einhüllende Algebra der freien Lie-Algebra $FL(X)$ ist isomorph zur freien assoziativen Algebra über $X$, in Formeln ${\mathcal {U}}(FL(X))\cong A(X)$.

## Erzeuger und Relationen
### Konstruktion

Sei wieder $X$ eine nicht-leere Menge. Ein Lie-Wort über $X$ ist eine endliche Linearkombination von endlichen Lie-Monomen, das heißt endlichen Lie-Produkten von Elementen aus $X$. Ein Beispiel für ein Lie-Monom ist
    $[[[x_{1},x_{2}],x_{1}],[x_{1},x_{3}]],\quad x_{1},x_{2},x_{3}\in X$,
ein Beispiel für ein Lie-Wort ist
    $7\cdot [[[x_{1},x_{2}],x_{1}],[x_{1},x_{3}]]-[[[[x_{1},x_{1}],x_{1}],x_{1}],x_{2}],\quad x_{1},x_{2},x_{3}\in X$.
Für eine Menge $R$ von Lie-Wörtern über $X$ sei $\langle R\rangle \subset FL(X)$ das von $R\subset FL(X)$ erzeugte Lie-Ideal. Dann heißt die Quotientenalgebra
    $L(X;R):=FL(X)/\langle R\rangle$
die von der Menge $X$ und den Relationen $R$ erzeugte Lie-Algebra.
Wie bei der in der Gruppentheorie betrachteten Präsentation einer Gruppe kann man auch hier Lie-Algebren mit vorgegebenen Eigenschaften konstruieren, genauer wird jedes Lie-Wort $w$ zu einer Gleichung $w=0$ in $L(X;R)$.

### Beispiele

* $L(X;\emptyset )=FL(X)$, denn das von der leeren Menge erzeugte Ideal ist $\{0\}$.
* Sei $R$ die Menge aller Lie-Wörter $[x_{1},x_{2}],\,x_{1},x_{2}\in X$. Dann ist $L(X;R)$ die von $X$ erzeugte abelsche Lie-Algebra, das heißt der von $X$ frei erzeugte K-Vektorraum mit der Nullmultiplikation als Lie-Klammer.
* Es seien $X=\{e_{1},\ldots ,e_{n},h_{1},\ldots ,h_{n},f_{1},\ldots ,f_{n}\}$ und $A_{i,j}$ gewisse reelle Konstanten, die bei verschiedenen Indizes kleiner gleich 0 sind.
    Es sei dann $R$ die Menge der Relationen
       $[h_{i},h_{j}]$
       $[h_{i},e_{j}]-A_{i,j}e_{j}$
       $[h_{i},f_{j}]+A_{i,j}f_{j}$
       $[e_{i},f_{i}]-h_{i}$
       $[e_{i},f_{j}]$ für $i\not =j$
       $[e_{i},[e_{i}[\ldots [e_{i},e_{j}]]]$ mit $i\not =j$ und $1-A_{i,j}$ Vorkommen von $e_{i}$
       $[f_{i},[f_{i}[\ldots [f_{i},f_{j}]]]$ mit $i\not =j$ und $1-A_{i,j}$ Vorkommen von $f_{i}$
    Dann spielt die Lie-Algebra $L(X;R)$ eine wichtige Rolle im Beweis des Existenzsatzes für halbeinfache Lie-Algebren. Sind die $A_{i,j}$ die Koeffizienten einer Cartan-Matrix, so ist $L(X;R)$ eine endlich-dimensionale Lie-Algebra mit ebendieser Cartan-Matrix. Das ist Serre’s Beweis des Existenzsatzes. Genau diese Techniken werden auch für die Definition von Kac-Moody-Algebren verwendet.