# Angeordnete Gruppe

In der Gruppentheorie, einer Teildisziplin der Mathematik, ist eine angeordnete Gruppe (engl. left-orderable group) eine Gruppe zusammen mit einer totalen Ordnung „$<$“, die mit der durch die Multiplikation gegebenen Linkstranslation verträglich ist. Bekannte Beispiele sind die Gruppen der ganzen und reellen Zahlen.

## Definition

Sei $G$ eine Gruppe. Eine links-invariante Anordnung auf $G$ ist eine totale Ordnung, so dass für alle $a,b,c\in G$ gilt:
    $a<b\Longleftrightarrow ca<cb$.
Eine angeordnete Gruppe ist eine Gruppe mit einer links-invarianten Ordnung.
Äquivalent kann man eine links-invariante Ordnung charakterisieren durch eine disjunkte Zerlegung
    $G=P\cup N\cup \left\{Id\right\}$
mit $P\cdot P\subset P$ und $P^{-1}=N$.
Die Anordnung ergibt sich aus der Zerlegung via
    $a<b\Longleftrightarrow a^{-1}b\in P$.

## Beispiele

* $\mathbb {Z}$ und $\mathbb {R}$ sind angeordnete Gruppen.
* Wenn es in einer Gruppe Torsionselemente (d. h. Elemente endlicher Ordnung) gibt, dann kann die Gruppe keine links-invariante Anordnung haben.
* Jede torsionsfreie abelsche Gruppe ist eine angeordnete Gruppe.
* Freie Gruppen sind angeordnet.
* $SL(2,\mathbb {R} )$ und $SL(2,\mathbb {Z} \left[{\frac {1}{p}}\right])$ besitzen keine links-invariante Anordnung.
* Satz von Dehornoy: Zopfgruppen sind angeordnet.
* Satz von Rourke-Wiest: Abbildungsklassengruppen von Flächen mit nichtleerem Rand sind angeordnet.
* Satz von Boyer-Rolfsen-Wiest: Fundamentalgruppen $\pi _{1}M$ von kompakten, $P^{2}$-irreduziblen 3-Mannigfaltigkeiten $M$ mit $b_{1}(M)>0$ sind angeordnet.
* Wenn $K$ und $H$ angeordnete Gruppen sind und
    $0\rightarrow K\rightarrow G\rightarrow H\rightarrow 0$
    eine kurze exakte Sequenz ist, dann besitzt $G$ eine links-invariante Anordnung, die mit der von $K$ kompatibel ist und für die die Abbildung $G\rightarrow H$ monoton ist.
* Satz von Burns-Hale: Eine Gruppe $G$ besitzt eine links-invariante Anordnung, wenn es zu jeder endlich erzeugten Untergruppe $H\subset G$ einen surjektiven Homomorphismus $\phi :H\rightarrow L_{H}$ auf eine angeordnete Gruppe $L_{H}\not =1$ gibt. Insbesondere besitzt $G$ eine links-invariante Anordnung, wenn für jede endlich erzeugte Untergruppe $H\subset G$ gilt: $H^{1}(H,\mathbb {Z} )\not =0$.
* Die universelle Überlagerung von $SL(2,\mathbb {R} )$ ist eine angeordnete Gruppe, obwohl $H^{1}(H,\mathbb {Z} )=0$ für alle ihre endlich erzeugten Untergruppen $H$ gilt.
* Eine abzählbare Gruppe besitzt eine links-invariante Anordnung dann und nur dann, wenn sie isomorph zu einer Untergruppe von $Homeo^{+}(\mathbb {R} )$, der Gruppe der orientierungs-erhaltenden Homöomorphismen des $\mathbb {R} ^{1}$, ist.
* Satz von Hölder: Eine Gruppe besitzt eine links-invariante archimedische Anordnung dann und nur dann, wenn sie isomorph zu einer Untergruppe von $\mathbb {R}$ ist.

## Bi-invariante Anordnungen

Eine rechts-invariante Anordnung auf einer Gruppe $G$ ist eine totale Ordnung, so dass für alle $a,b,c\in G$ gilt:
    $a<b\Longleftrightarrow ac<bc$.
Jede angeordnete Gruppe besitzt auch eine rechts-invariante Anordnung, die aber im Allgemeinen nicht mit der links-invarianten Anordnung übereinstimmt.
Eine bi-invariante Anordnung ist eine Anordnung, die gleichzeitig links- und rechts-invariant ist. Zum Beispiel besitzen torsionsfreie abelsche Gruppen oder die reine Zopfgruppe eine bi-invariante Anordnung.