# Projektive Gerade

In der Mathematik, insbesondere der projektiven Geometrie, ist die projektive Gerade ein eindimensionaler projektiver Raum.

## Definition

Es sei $K$ ein Körper, zum Beispiel der Körper der reellen oder komplexen Zahlen oder ein endlicher Körper. Es sei $V=K^{2}$ der (bis auf Isomorphie eindeutige) zweidimensionale $K$-Vektorraum. Die projektive Gerade $P^{1}K$ ist die Menge der eindimensionalen Untervektorräume von $V$.
Mit anderen Worten: die projektive Gerade ist der Quotientenraum
    $P^{1}K=(K^{2}\setminus \left\{0\right\})/\sim$
bezüglich der Äquivalenzrelation
    $(x_{1},y_{1})\sim (x_{2},y_{2})\Longleftrightarrow \exists \lambda \in K\setminus \{0\}:x_{1}=\lambda x_{2},y_{1}=\lambda y_{2}$.
Diese Äquivalenzrelation identifiziert zwei Punkte genau dann, wenn sie im selben eindimensionalen Untervektorraum, also auf derselben Gerade durch den Nullpunkt liegen.

## Homogene Koordinaten

Jeder Punkt der projektiven Gerade kann in homogenen Koordinaten als
    $\left[x:y\right]$
mit $x,y\in K,(x,y)\not =(0,0)$ dargestellt werden, wobei $\left[x:y\right]=\left[\lambda x:\lambda y\right]$ für alle $\lambda \in K\setminus \{0\}$ gilt.

## Zahlengerade erweitert um den Punkt im Unendlichen

Die projektive Gerade $P^{1}K$ kann mit $K\cup \left\{\infty \right\}$, der um einen "Punkt im Unendlichen" erweiterten Gerade $K^{1}$ identifiziert werden. Man kann nämlich die Gerade $K=K^{1}$ mit der in homogenen Koordinaten durch
    $\left\{[x:1]\in \mathbf {P} ^{1}(K)\mid x\in K\right\}$
gegebenen Teilmenge der $P^{1}K$ identifizieren. Diese Teilmenge enthält dann alle Punkte der $P^{1}K$ bis auf einen, den sogenannten "Punkt im Unendlichen":
    $\infty =[1:0].$

## Beispiele

* Die reelle projektive Gerade $P^{1}\mathbb {R}$ ist homöomorph zum Kreis $S^{1}$.
* Die komplexe projektive Gerade $P^{1}\mathbb {C}$ wird als Riemannsche Zahlenkugel bezeichnet, sie ist homöomorph zur 2-Sphäre $S^{2}$.
* Die projektive Gerade $P^{1}F_{q}$ über dem endlichen Körper $F_{q}$ hat $q+1$ Elemente.

## Automorphismen

Die allgemeine lineare Gruppe $\operatorname {GL} (2,K)$ wirkt auf $K^{2}$ durch lineare Abbildungen. Die projektive lineare Gruppe $\operatorname {PGL} (2,K)$ ist die Faktorgruppe $\operatorname {GL} (2,K)/K^{\times }$, wobei $K^{\times }$ die normale (sogar zentrale) Untergruppe der skalaren Vielfachen $k\cdot \mathrm {id} _{K^{2}}$ der Identität $\mathrm {id} :K^{2}\rightarrow K^{2}$ ist mit $k$ aus $K\setminus \{0\}$. Die Wirkung von $\operatorname {GL} (2,K)$ auf $K^{2}$ induziert eine wohldefinierte Wirkung von $\operatorname {PGL} (2,K)$ auf $P^{1}K$. Die Automorphismen von $P^{1}K$ sind per Definition die durch Elemente von $\operatorname {PGL} (2,K)$ beschriebenen Abbildungen $P^{1}K\to P^{1}K$.
In homogenen Koordinaten wirken die Matrizen als gebrochen-lineare Transformationen:
    $\left({\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right)z={\frac {az+b}{cz+d}}$
nach der Identifizierung $\left[x_{0}:x_{1}\right]\simeq z:={\frac {x_{0}}{x_{1}}}\in K\cup \left\{\infty \right\}$.
Die Automorphismengruppe wirkt transitiv auf Tripeln paarweise unterschiedlicher Punkte.
Eine fundamentale Invariante der projektiven Geometrie ist das Doppelverhältnis von 4-Tupeln paarweise unterschiedlicher Punkte. Falls K algebraisch abgeschlossen ist, lassen sich zwei solche 4-Tupel genau dann durch einen Automorphismus ineinander überführen, wenn ihr Doppelverhältnis übereinstimmt.
Im Fall $K=\mathbb {C}$ bezeichnet man die Automorphismen von $P^{1}\mathbb {C}$ als Möbiustransformationen.

## Projektive Geraden in der projektiven Ebene

Die projektive Gerade durch zwei gegebene Punkte $\left[x_{1}:y_{1}:z_{1}\right]$ und $\left[x_{2}:y_{2}:z_{2}\right]$ der projektiven Ebene bestimmt man, indem man die beiden Punkte als Geraden im $K^{3}$ auffasst (und durch ihre Geradengleichung beschreibt), die sie enthaltende Ebene im $K^{3}$ berechnet (siehe Ebenengleichung) und diese Ebene dann auf eine projektive Gerade in $P^{2}K$ projiziert.
Analog bestimmt man projektive Geraden durch zwei gegebene Punkte in einem höherdimensionalen projektiven Raum.