# Lemma von Riemann-Lebesgue

Das Lemma von Riemann-Lebesgue, auch Satz von Riemann-Lebesgue, ist ein nach Bernhard Riemann und Henri Lebesgue benannter mathematischer Satz aus der Analysis. Er besagt, dass die Fourier-Transformationen von absolut integrablen Funktionen im Unendlichen verschwinden.

## Formulierung des Satzes

Sei $f\in L^{1}(\mathbb {R} )$, also $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C}$ eine messbare Funktion mit
    $\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|\mathrm {d} x<\infty$
und ${\hat {f}}$ die Fourier-Transformierte von $f$, also
    ${\hat {f}}\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} ,\xi \mapsto {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ix\xi }\mathrm {d} x$.
Dann verschwindet ${\hat {f}}$ im Unendlichen, das heißt $|{\hat {f}}(\xi )|{\xrightarrow {\xi \to \pm \infty }}0$ oder formaler, dass es zu jedem $\varepsilon >0$ eine reelle Zahl $R>0$ gibt, so dass $|{\hat {f}}(\xi )|<\varepsilon$ für alle $|\xi |>R$.
Da die Fourier-Transformationen von integrablen Funktionen stetig sind, handelt es sich bei ${\hat {f}}$ um eine stetige Funktion, die im Unendlichen verschwindet. Bezeichnet man den Vektorraum der im Unendlichen verschwindenden Funktionen mit $C_{0}(\mathbb {R} )$, so lässt sich das Lemma von Riemann-Lebesgue auch folgendermaßen formulieren: Die Fourier-Transformation auf $L^{1}(\mathbb {R} )$ ist eine Abbildung von $L^{1}(\mathbb {R} )$ nach $C_{0}(\mathbb {R} )$.

## Beweis

Der Beweis soll hier in groben Zügen vorgestellt werden. Wir nehmen zunächst vereinfachend an, dass $f$ stetig ist. Für $\xi \not =0$ liefert die Substitution $\textstyle x\to x+{\frac {\pi }{\xi }}$
    ${\hat {f}}(\xi )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ix\xi }\mathrm {d} x={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f\left(x+{\frac {\pi }{\xi }}\right)e^{-ix\xi }e^{-i\pi }\mathrm {d} x={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }-f\left(x+{\frac {\pi }{\xi }}\right)e^{-ix\xi }\mathrm {d} x$,
und wir haben eine zweite Formel für ${\hat {f}}(\xi )$. Bildet man nun den Mittelwert aus beiden Formeln und nimmt Beträge, zieht diese unter das Integral, was den Exponentialterm zu 1 macht, so folgt
    $|{\hat {f}}(\xi )|\leq {\frac {1}{2}}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\left|f(x)-f\left(x+{\frac {\pi }{\xi }}\right)\right|\mathrm {d} x$.
Aufgrund der Stetigkeit von $f$ konvergiert $f(x)-f(x+{\tfrac {\pi }{\xi }})$ gegen $0$ für alle $x\in \mathbb {R}$ und $|\xi |\to \infty$. Außerdem gilt
    $\int _{-\infty }^{\infty }\left|f(x)-f\left(x+{\frac {\pi }{\xi }}\right)\right|\mathrm {d} x\leq 2\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|\mathrm {d} x$.
Nach dem Satz von der majorisierten Konvergenz konvergiert $|{\hat {f}}(\xi )|$ also für $|\xi |\to \infty$ gegen 0.
Die Annahme der Stetigkeit von $f$ kann auf Grund eines Dichtheitsarguments fallen gelassen werden. In der Tat liegen die absolut integrablen stetigen Funktionen dicht in $L^{1}(\mathbb {R} )$. Für jedes $\varepsilon >0$ und jede Funktion $f\in L^{1}(\mathbb {R} )$ existiert also eine stetige Funktion $g\in L^{1}(\mathbb {R} )$, sodass $\|f-g\|_{L^{1}}<\varepsilon$ gilt. Aufgrund der Eigenschaften der Fourier-Transformation folgt, dass dann auch $\textstyle \sup _{\xi \in \mathbb {R} }|{\hat {f}}(\xi )-{\hat {g}}(\xi )|<{\frac {\varepsilon }{\sqrt {2\pi }}}$ gilt. Wie vorher gezeigt, verschwindet ${\hat {g}}(\xi )$ für $|\xi |\to \infty$, und da $\varepsilon$ beliebig gewählt werden kann, folgt die gleiche Aussage für $f$.

## Verallgemeinerungen
### Funktionen mehrerer Veränderlicher

Das Lemma von Riemann-Lebesgue lässt sich auf Funktionen $f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {C}$ verallgemeinern:
Es sei $f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {C}$ eine integrable Funktion, das heißt
    $\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }\ |f(x_{1},\ldots ,x_{n})|\,\mathrm {d} x_{1}\ldots \mathrm {d} x_{n}<\infty$.
Ist ${\hat {f}}\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ die Fourier-Transformierte
    ${\hat {f}}(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }f(x_{1},\ldots ,x_{n})e^{-ix_{1}\xi _{1}\ldots -ix_{n}\xi _{n}}\mathrm {d} x_{1}\ldots \mathrm {d} x_{n}$,
so gilt $|{\hat {f}}(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})|\rightarrow 0$ für $\|(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})\|\to \infty$.
Dabei ist $\|\cdot \|$ irgendeine Norm auf dem $\mathbb {R} ^{n}$, zum Beispiel die euklidische Norm.

### Banachalgebren

Die Menge der integrablen Funktionen, das heißt die Menge der L$^1$-Funktionen, bildet mit der Faltung als Multiplikation und der 1-Norm eine Banachalgebra. In der harmonischen Analyse zeigt man, dass die Fourier-Transformation ein Spezialfall der abstrakten Gelfand-Transformation wird. Das Lemma von Riemann-Lebesgue folgt dann aus der Tatsache, dass die Gelfand-Transformation in den Raum der C$_0$-Funktionen abbildet und der Gelfand-Raum von $L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ mit $\mathbb {R} ^{n}$ identifiziert werden kann. Gleichzeitig wird dadurch das Lemma von Riemann-Lebesgue auf lokalkompakte abelsche Gruppen verallgemeinert.