# Strophoide

Die Strophoide (adjektivisches Kunstwort von griechisch στροφή, strofí – die Strophe, Wendung, Kurve, Drehung, Biegung), genauer die gerade Strophoide, ist eine spezielle ebene algebraische Kurve 3. Ordnung.

## Gleichungen der geraden Strophoide

Im Folgenden ist $a$ eine positive reelle Zahl. In der Grafik der Strophoide am rechten Rand wird $(-a,0)$ als $S$ bezeichnet. In kartesischen Koordinaten ist die Strophoide definiert durch
    $(a+x)x^{2}-(a-x)y^{2}=0\,.$
Eine Parameterdarstellung dieser Kurve lautet
    $x={\frac {a(t^{2}-1)}{1+t^{2}}};\qquad y={\frac {at(t^{2}-1)}{1+t^{2}}}\,.$
Betrachtet man die Strophoide in Polarkoordinaten, so lautet ihre definierende Gleichung
    $r=-{\frac {a\cos(2\varphi )}{\cos \varphi }}\,.$

## Eigenschaften der geraden Strophoide

Im Folgenden wird jeweils vorausgesetzt, dass die Koordinatenachsen so liegen wie in der Skizze.
* Die Punkte der geraden Strophoide sind gekennzeichnet durch die folgende geometrische Eigenschaft: Es seien S der Scheitelpunkt der Kurve und P ein beliebiger Kurvenpunkt, der von S verschieden ist. Bezeichnet man den von S und P verschiedenen Schnittpunkt der Geraden SP mit der Kurve als Q und den Schnittpunkt mit der y-Achse als R, so ist R von P und Q sowie vom Ursprung O gleich weit entfernt.
* Die gerade Strophoide ist achsensymmetrisch bezüglich der x-Achse. Genau zwei Punkte der Kurve liegen auf der Symmetrieachse, nämlich der Ursprung und der Scheitel S mit den Koordinaten $(-a;0)$.
* Der Ursprung des Koordinatensystems ist ein Doppelpunkt der Kurve, d. h., er wird zweimal durchlaufen. Die beiden Winkelhalbierenden der Quadranten des Koordinatensystems stimmen mit den beiden Tangenten im Ursprung überein.
* Die Gerade mit der Gleichung $x=a$ (in der Skizze gestrichelt) ist Asymptote der Kurve.
* Die Schleife der geraden Strophoide schließt eine Fläche mit dem Inhalt $a^{2}\cdot \left(2-{\tfrac {\pi }{2}}\right)$ ein.
* Die Fläche, die von der Kurve und der Asymptote begrenzt wird und sich ins Unendliche erstreckt, hat den Flächeninhalt $a^{2}\cdot \left(2+{\tfrac {\pi }{2}}\right)$.
* Die Strophoide ist außerdem unter den Namen Ala, Fokale, harmonische Kurve (nach Werth), Kukumaide und Pteroides torricellana bekannt.

## Verallgemeinerung

Eine Strophoide im allgemeinen Sinn lässt sich folgendermaßen definieren mithilfe einer gegebenen Kurve C, eines festen Punktes A und eines weiteren Punktes O (Pol): Es sei L eine variable Gerade durch O, welche die gegebene Kurve C im Punkt K schneidet. P$_1$ und P$_2$ seien die beiden Punkte auf L, deren Abstand von K mit dem Abstand zwischen A und K übereinstimmt. Der geometrische Ort solcher Punkte P$_1$ und P$_2$ ist dann die Strophoide von C in Bezug auf den Pol O und den festen Punkt A. Man beachte, dass AP$_1$ und AP$_2$ bei dieser Konstruktion einen rechten Winkel einschließen (Thaleskreis).
Im speziellen Fall, in dem C eine Gerade ist, A auf C liegt und O außerhalb von C, spricht man von einer schiefen Strophoide. Ist außerdem OA senkrecht zu C, nennt man die Kurve eine gerade Strophoide, oft auch nur Strophoide (siehe oben).

### Gleichung in Polarkoordinaten

Die Kurve C sei gegeben durch $r=f(\varphi )$, wobei der Punkt O als Ursprung gewählt wird. Außerdem sei A der Punkt (a, b). Ist $K=(r\cos \varphi ,\ r\sin \varphi )$ ein Punkt auf der Kurve, so beträgt der Abstand zwischen K und A
    $d={\sqrt {(r\cos \varphi -a)^{2}+(r\sin \varphi -b)^{2}}}={\sqrt {(f(\varphi )\cos \varphi -a)^{2}+(f(\varphi )\sin \varphi -b)^{2}}}$.
Der Punkt auf der Geraden OK hat den Polarwinkel $\varphi$, und die Punkte im Abstand d von K auf dieser Geraden haben den Abstand $f(\varphi )\pm d$ vom Ursprung. Daher ist die Gleichung der Strophoide gegeben durch
    $r=f(\varphi )\pm {\sqrt {(f(\varphi )\cos \varphi -a)^{2}+(f(\varphi )\sin \varphi -b)^{2}}}$

### Gleichung in kartesischen Koordinaten

C sei gegeben durch die Parameterdarstellung (x(t), y(t)). Außerdem sei A der Punkt (a,b) und O der Punkt (p, q). Durch Anwendung der Polarkoordinaten-Darstellung erhält man unmittelbar:
    $u(t)=p+(x(t)-p)(1\pm n(t)),\ v(t)=q+(y(t)-q)(1\pm n(t))$,
wobei
    $n(t)={\sqrt {\frac {(x(t)-a)^{2}+(y(t)-b)^{2}}{(x(t)-p)^{2}+(y(t)-q)^{2}}}}$.