# Elektromagnetische Welle

$\lambda$
${\vec {E}}$
${\vec {B}}$
Eine elektromagnetische Welle ist eine Welle aus gekoppelten elektrischen und magnetischen Feldern, die sich im Raum ausbreiten. Den damit verbundenen Energietransport bezeichnet man als elektromagnetische Strahlung. Beispiele für elektromagnetische Wellen sind Radiowellen, Mikrowellen, Infrarotstrahlung, Licht, Röntgenstrahlung und Gammastrahlung (Aufzählung nach aufsteigender Frequenz über 20 Größenordnungen hinweg; ab Infrarot bevorzugt man das Wort „Strahlung“.). Die Wechselwirkung elektromagnetischer Wellen mit Materie hängt von ihrer Frequenz ab.
Anders als zum Beispiel Schallwellen benötigen elektromagnetische Wellen kein Medium, um sich fortzupflanzen. Sie können sich daher auch über weiteste Entfernungen im Weltraum ausbreiten. Sie bewegen sich im Vakuum unabhängig von ihrer Frequenz mit Lichtgeschwindigkeit fort. Elektromagnetische Wellen können sich aber auch in Materie ausbreiten (etwa einem Gas oder einer Flüssigkeit), ihre Phasengeschwindigkeit ist dann verringert und hängt vom Brechungsindex ab.
Freie elektromagnetische Wellen im leeren Raum sind Transversalwellen und zeigen daher das Phänomen der Polarisation. Ihre Vektoren des elektrischen und des magnetischen Feldes stehen senkrecht aufeinander und auf der Ausbreitungsrichtung. Bewegliche Ladungsträger beeinflussen die Form der Welle, wobei auch die Transversalität verletzt wird.

## Entstehung

Elektromagnetische Wellen können durch unterschiedliche Ursachen entstehen:
* Spontane Emission, wenn sich die Energie eines Atoms verringert. Dabei sind Energieänderungen der Atomhülle meist um Größenordnungen geringer als Energieänderungen des Atomkerns. Wird das Atom während der Zeitdauer der Energieabstrahlung aus der Hülle „in Ruhe gelassen“ (wie in verdünnten Gasen), entsteht ein scharfes Linienspektrum. Das ist bei hohem Druck, wie in Höchstdrucklampen und beim Xenonlicht oder bei Atomen in Festkörpern nicht der Fall. Dort können wegen Druckverbreiterung keine wohldefinierten Spektrallinien mehr gemessen werden.
* Bremsstrahlung: Elektromagnetische Wellen entstehen auch, wenn Ladungsträger beschleunigt werden. Das geschieht beispielsweise im Plasma der Sonne oder in der Röntgenröhre.
* Molekülschwingungen (periodische Bewegungen von benachbarten Atomen in einem Molekül)
* Larmorpräzession eines Teilchens mit einem magnetischen Dipolmoment um die Richtung eines von außen angelegten Magnetfelds.
* Eine Bewegung von elektrisch geladenen Teilchen mit hoher Geschwindigkeit durch ein Medium. Wenn die Geschwindigkeit der Teilchen größer ist als die Phasengeschwindigkeit elektromagnetischer Wellen in diesem Medium, entsteht Tscherenkow-Strahlung.
* Ein zeitlich veränderlicher elektrischer Strom gibt elektromagnetische Wellen ab. Im einfachsten Fall handelt es sich um einen hochfrequenten Wechselstrom in einem geraden elektrischen Leiter, dem Hertzschen Dipol. In der Funktechnik nutzt man dies mit Sende-Antennen zur drahtlosen Übertragung von Signalen.
* Bei der Paarvernichtung wird Materie in elektromagnetische Strahlung verwandelt. Die Energie der Strahlung ergibt sich dabei aus der Masse und der kinetischen Energie der Teilchen.

## Eigenschaften
### Vorhandene elektromagnetische Wellen feststellen und messen

Empfänger für elektromagnetische Strahlung nennt man Sensoren oder Detektoren, bei Lebewesen Photorezeptoren. Radio-, Fernseh- und Mobilfunkwellen können mittels Antennen detektiert werden.
An einer elektromagnetischen Welle lässt sich (unter anderem) die Wellengeschwindigkeit messen, einerseits die im Vakuum universale Konstante Lichtgeschwindigkeit $c$, sowie davon abweichende Werte für die Phasengeschwindigkeit $c_{\mathrm {med} }$ in einem durchlässigen (durchsichtigen) Medium. Messbar ist ferner die Intensität, gleichbedeutend mit der Leistung, bzw. mit der pro Zeit durch einen bestimmten Querschnitt transportierten Energie.
Um die Wellenlänge und Frequenz zu messen, gibt es je nach Wertebereich unterschiedliche Methoden. Wellenlänge $\lambda$ und Frequenz $\nu$ lassen sich durch
    $\nu ={\frac {c_{\mathrm {med} }}{\lambda }}$
ineinander umrechnen.

### Wellencharakter

Physikalisch betrachtet handelt es sich bei elektromagnetischen Wellen um sich ausbreitende Schwingungen des elektromagnetischen Feldes. Hierbei stehen elektrisches und magnetisches Feld bei linear polarisierten Wellen senkrecht aufeinander und haben ein festes Größenverhältnis, welches durch die Wellenimpedanz gegeben ist. Insbesondere verschwinden elektrisches und magnetisches Feld an denselben Orten zur selben Zeit, so dass die häufig gelesene Darstellung, dass sich elektrische und magnetische Energie zyklisch ineinander umwandeln, im Fernfeld nicht richtig ist. Sie stimmt allerdings zum Beispiel für das Nahfeld eines elektromagnetische Wellen erzeugenden elektrischen Dipols oder Schwingkreises.
Die Entstehung elektromagnetischer Wellen erklärt sich aus den maxwellschen Gleichungen: Die zeitliche Änderung des elektrischen Feldes ist stets mit einer räumlichen Änderung des magnetischen Feldes verknüpft. Ebenso ist wiederum die zeitliche Änderung des magnetischen Feldes mit einer räumlichen Änderung des elektrischen Feldes verknüpft. Für periodisch (insbesondere sinusförmig) wechselnde Felder ergeben diese Effekte zusammen eine fortschreitende Welle.
Beispiele für Experimente, in denen der Wellencharakter zum Tragen kommt:
* Erscheinungen wie Kohärenz und Interferenz lassen sich nur mit dem Wellenmodell erklären, weil dafür die Phase der Welle gebraucht wird.
* Antennen für die von Rundfunksendern emittierte Strahlung sind auf die Größe der Wellenlänge abgestimmt. Beispielsweise ist eine effiziente Dipolantenne halb so lang wie die Wellenlänge. Eine Beschreibung der Strahlung als sehr große Anzahl an Photonen bietet keinen Vorteil, da es kein Messgerät gibt, um derart energiearme Photonen einzeln nachzuweisen.

### Teilchencharakter

Für bestimmte Eigenschaften elektromagnetischer Wellen (z. B. photoelektrischer Effekt) genügt das oben beschriebene Wellenmodell nicht, um alle beobachtbaren Phänomene zu beschreiben, vielmehr treten die Teilcheneigenschaften einzelner Photonen, der Quanten des elektromagnetischen Feldes, in den Vordergrund. Der Wellencharakter (etwa Interferenz) bleibt aber voll erhalten. Man spricht deshalb vom Dualismus von Teilchen und Welle.
Im Rahmen dieser Teilchenvorstellung des Lichtes werden einer Welle der Frequenz $\nu$ Photonen der Energie $h\cdot \nu$ zugeordnet, wobei $h$ die Planck-Konstante ist. Umgekehrt haben auch Teilchen wie zum Beispiel Elektronen Welleneigenschaften (siehe auch Elektrischer Strom). Beide Aspekte elektromagnetischer Wellen lassen sich im Rahmen der Quantenelektrodynamik erklären.
Beispiele für Wirkungen, in denen der Teilchencharakter zum Tragen kommt:
* Beim Compton-Effekt trifft eine elektromagnetische Welle aus einer bestimmten Richtung auf ein Elektron und fliegt dann in anderer Richtung und mit anderer Wellenlänge weiter. Bei jedem Ablenkwinkel entspricht die Änderung der Wellenlänge genau dem Energieverlust, den ein Photon der ankommenden Welle erleidet, wenn es wie ein elastischer Körper mit dem Elektron zusammengestoßen ist. Zur Beschreibung dieser Wechselwirkung muss also der Teilchencharakter des Lichts herangezogen werden. Jeder Versuch, die beobachtete Änderung der Wellenlänge mit dem Wellenmodell zu erklären, scheitert.
* Beim photoelektrischen Effekt ist die kinetische Energie der herausgeschlagenen Elektronen nicht von der Amplitude der Strahlung abhängig, sondern wächst linear mit der Frequenz. Dies ist nur über den Teilchencharakter erklärbar.
* Photonen mit genügender Energie (etwa von einigen Elektronvolt aufwärts) wirken auf Materie ionisierend, wenn ihre Energie die Bindungsenergie der Elektronen überschreitet (Fotochemie). Sie können chemische (photochemische) Wirkungen auslösen, was auch als Aktinität bezeichnet wird.

### Wellen im Medium

Die Phasengeschwindigkeit $c_{\text{med}}$ mit der sich eine monochromatische Welle in einem Medium bewegt, ist typischerweise geringer als im Vakuum. Sie hängt in linearer Näherung von der Permittivität $\varepsilon$ und der Permeabilität $\mu$ des Stoffes ab,
    $c_{\text{med}}={\frac {1}{\sqrt {\mu \varepsilon }}}\,,$
und ist damit abhängig von der Frequenz der Welle (siehe Dispersion) und bei doppelbrechenden Medien auch von ihrer Polarisation und Ausbreitungsrichtung. Die Beeinflussung der optischen Eigenschaften eines Mediums durch statische Felder führt zur Elektrooptik bzw. Magnetooptik.
Eine direkte Krafteinwirkung (z. B. Richtungsänderung) auf eine sich ausbreitende elektromagnetische Welle kann nur durch das Ausbreitungsmedium erfolgen (siehe Brechung, Reflexion, Streuung und Absorption) bzw. vermittelt werden (siehe Nichtlineare Optik und Akustooptischer Modulator).

### Spektrum

Elektromagnetische Wellen sind im elektromagnetischen Spektrum nach der Wellenlänge eingeteilt. Eine Liste von Frequenzen und Beispiele elektromagnetischer Wellen gibt es im entsprechenden Artikel.
Das sichtbare Licht stellt nur einen geringen Teil des gesamten Spektrums dar und ist, mit Ausnahme der Infrarotstrahlung (Wärme), der einzige Bereich, der von Menschen ohne technische Hilfsmittel wahrgenommen werden kann. Bei niedrigeren Frequenzen ist die Energie der Photonen zu gering, um chemische Prozesse auslösen zu können. Bei höheren Frequenzen hingegen beginnt der Bereich der ionisierenden Strahlung (Radioaktivität), bei der ein einziges Photon Moleküle zerstören kann. Dieser Effekt tritt bereits bei Ultraviolett-Strahlung auf und ist für die Bildung von Hautkrebs bei übermäßiger Sonnenexposition verantwortlich.
Beim Eintritt in ein optisch dichteres oder dünneres Medium ändert sich die Wellenlänge, während die Frequenz unverändert bleibt. Daher bestimmt nicht die Wellenlänge, sondern die Frequenz die Farbe von Licht und generell die Zugehörigkeit zu einem Spektralbereich. In Spektren wird aus historischen Gründen aber meist die Wellenlänge als charakteristische Eigenschaft angegeben. Gemeint ist dabei die Wellenlänge im Vakuum; die Wellenlänge von sichtbarem Licht ist in Luft um ca. 0,03 % kürzer. Die Farben von monochromatischem, also Licht mit nur einer einzigen Wellenlänge, nennt man Spektralfarben.

## Biologische und chemische Wirkung

Bei der Wechselwirkung von elektromagnetischer Strahlung mit biologischer Materie muss zwischen ionisierender Strahlung (größer 5 eV) und nicht-ionisierender Strahlung unterschieden werden. Bei der ionisierenden Strahlung reicht die Energie aus, um Atome oder Moleküle zu ionisieren, d. h. Elektronen herauszuschlagen. Dadurch werden freie Radikale erzeugt, die biologisch schädliche Reaktionen hervorrufen. Erreicht oder übersteigt die Energie von Photonen die Bindungsenergie eines Moleküls, kann jedes Photon ein Molekül zerstören, sodass beispielsweise eine beschleunigte Alterung der Haut oder Hautkrebs auftreten kann. Chemische Bindungsenergien stabiler Moleküle liegen oberhalb von etwa 3 eV pro Bindung. Soll es zu Moleküländerungen kommen, müssen Photonen mindestens diese Energie besitzen, was violettem Licht oder höherfrequenter Strahlung entspricht.
Bei der Wechselwirkung von nicht-ionisierender Strahlung unterscheidet man zwischen thermischen Effekten (Strahlung wirkt erwärmend, weil sie durch das Gewebe absorbiert wird), direkten Feldeffekten (induzierte Dipolmomente, Änderung von Membran-Potentialen), Quanten-Effekten und Resonanzeffekten (Synchronisation mit Schwingung der Zellstruktur).
Ein Photon mit einer Wellenlänge von 700 nm oder kürzer kann im Molekül Rhodopsin die Änderung der Konformation hervorrufen. Im Auge wird diese Änderung aufgenommen und als Signal vom Nervensystem weiter verarbeitet. Die Empfindlichkeit für eine bestimmte Wellenlänge ändert sich bei Modifikationen des Rhodopsins. Dies ist die biochemische Grundlage des Farbsinns. Photonen von Licht mit einer Wellenlänge über 0,7 μm haben eine Energie unter 1,7 eV. Diese Wellen können keine chemischen Reaktionen an Molekülen bewirken, die bei Zimmertemperatur stabil sind. Aus diesem Grund können Tieraugen normalerweise keine Infrarot- oder Wärmestrahlung sehen. 2013 entdeckten Forscher jedoch, dass der Buntbarsch Pelvicachromis taeniatus im Nah-Infrarotbereich sehen kann. Es gibt außerdem andere Sinnesorgane für Infrarotstrahlung, wie das Grubenorgan bei Schlangen.
Photonen können Schwingungen von Molekülen oder im Kristallgitter eines Festkörpers anregen. Diese Schwingungen machen sich im Material als thermische Energie bemerkbar. Zusätzliche durch elektromagnetische Wellen angeregte Schwingungen erhöhen die Temperatur des Materials. Anders als bei der Wirkung von einzelnen Photonen auf chemischen Bindungen, kommt es hierbei nicht auf die Energie der einzelnen Photonen an, sondern auf die Summe der Energie aller Photonen, also auf die Intensität der Strahlung. Durch Hitzedenaturierung kann langwellige elektromagnetische Strahlung auf indirekte Weise biologische Stoffe ändern.

## Ausbreitungsgeschwindigkeit
### Ausbreitungsgeschwindigkeit als Konsequenz der Maxwellschen Gleichungen

Wie schnell sich Licht ungefähr ausbreitet, war seit 1676 bekannt. Allerdings fehlte bis 1865 jeder Zusammenhang zu anderen physikalischen Erscheinungen. Diesen konnte James Clerk Maxwell in den Jahren 1861 bis 1862 durch die von ihm gefundenen Maxwell-Gleichungen herstellen, welche die Existenz elektromagnetischer Wellen vorhersagen. Deren Geschwindigkeit stimmte mit der damals bekannten Lichtgeschwindigkeit so gut überein, dass sofort ein Zusammenhang hergestellt wurde. Diese Wellen konnte Heinrich Hertz in den 1880er-Jahren experimentell nachweisen.
In der klassischen Mechanik werden Wellen (in Ausbreitungsrichtung $x$) durch die Wellengleichung
    ${\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}{\vec {f}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}{\vec {f}}$
beschrieben. Hierbei bezeichnet ${\vec {f}}$ die Auslenkung der Welle und $c$ ihre Phasengeschwindigkeit, die hier als Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle interpretiert werden kann.
Aus den Maxwellgleichungen lässt sich im Vakuum für die elektrische Feldstärke ${\vec {E}}$ die Beziehung:
    ${\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}{\vec {E}}={\frac {1}{\varepsilon _{0}\mu _{0}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}{\vec {E}}$
herleiten (in SI-Einheiten; siehe Abschnitt Mathematische Beschreibung). Die elektrische Feldstärke verhält sich in dieser Beziehung also wie eine Welle; die Größe
    $c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}$
tritt als Ausbreitungsgeschwindigkeit auf.

### Lichtgeschwindigkeit und spezielle Relativitätstheorie

Grundlage der klassischen Mechanik ist das galileische Relativitätsprinzip, das besagt, dass die Naturgesetze in allen Inertialsystemen dieselbe Form haben (Galilei-Invarianz). Ein sich zu einem Inertialsystem mit konstanter Geschwindigkeit fortbewegendes Bezugssystem ist ebenfalls ein Inertialsystem. Insbesondere gilt, dass bei einem Wechsel des Bezugssystems die Relativgeschwindigkeit zwischen den beiden Systemen bei jeder beobachteten Bewegung subtrahiert werden muss.
Nach den Maxwellschen Gleichungen breitet sich eine elektromagnetische Welle mit einer vom Bewegungszustand der Lichtquelle unabhängigen Geschwindigkeit aus. Bewegt sich ein Beobachter relativ zur Lichtquelle, so müsste er, wenn man die Galilei-Transformation auf die Maxwell-Gleichungen anwendet, eine veränderte Lichtgeschwindigkeit messen. Dies steht einerseits im Widerspruch zum Relativitätsprinzip, demzufolge in allen Inertialsystemen dieselben physikalischen Gesetze gelten sollten. Andererseits ließ sich eine solche Abhängigkeit der Lichtgeschwindigkeit vom Bezugssystem experimentell nicht nachweisen (siehe Michelson-Morley-Experiment).
Albert Einstein löste diesen scheinbaren Widerspruch mit der speziellen Relativitätstheorie auf, die er im Jahr 1905 veröffentlichte. Er gab die Vorstellung eines absoluten, für alle Beobachter gleichen Bezugsrahmens auf, wie er in Form des so genannten Lichtäthers in der Physik des 19. Jahrhunderts angenommen wurde. An dessen Stelle setzte er zwei Postulate: Das Relativitätsprinzip und die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit, also die Unabhängigkeit der Lichtgeschwindigkeit vom Bewegungszustand der Lichtquelle. Aus beiden Postulaten folgte unmittelbar, dass die Lichtgeschwindigkeit in allen Inertialsystemen denselben Wert hat, allerdings um den Preis, dass Längen und Zeiten nun bezugssystemabhängig sind. An Stelle der Galilei-Transformation tritt die sogenannte Lorentz-Transformation.

### Ausbreitungsgeschwindigkeit in einem Medium

In einem Medium werden die beiden Feldkonstanten durch das Material geändert, was durch die Faktoren relative Permittivität $\varepsilon _{\mathrm {r} }$ und relative Permeabilität $\mu _{\mathrm {r} }$ berücksichtigt wird. Beide hängen von der Frequenz $\omega$ ab. Die Lichtgeschwindigkeit im Medium ist dementsprechend
    $c_{\text{medium}}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon (\omega )\,\mu (\omega )}}}={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\,\varepsilon _{\mathrm {r} }(\omega )\,\mu _{0}\,\mu _{\mathrm {r} }(\omega )}}}={\frac {c}{\sqrt {\varepsilon _{\mathrm {r} }(\omega )\,\mu _{\mathrm {r} }(\omega )}}}$.
Das Verhältnis der Lichtgeschwindigkeit in Vakuum zu der in einem Medium ist der (frequenzabhängige) Brechungsindex $n$ des Mediums. Der Zusammenhang des Brechungsindex mit der relativen Permittivität und der relativen Permeabilität heißt auch maxwellsche Relation:
    $n(\omega )={\frac {c}{c_{\text{medium}}(\omega )}}={\sqrt {\varepsilon _{\mathrm {r} }(\omega )\,\mu _{\mathrm {r} }(\omega )}}$
Wegen der im Allgemeinen gegebenen Abhängigkeit von $\varepsilon _{\mathrm {r} }$ und $\mu _{\mathrm {r} }$ von der Frequenz der Welle ist zu beachten, dass $c_{\mathrm {medium} }$ die Phasengeschwindigkeit im Medium bezeichnet, mit der Punkte gleicher Phase (z. B. Minima oder Maxima) einer ebenen Welle mit konstanter Amplitude fortschreiten. Die Hüllkurve eines räumlich begrenzten Wellenpakets pflanzt sich hingegen mit der Gruppengeschwindigkeit fort. In Medien weichen diese beiden Geschwindigkeiten mehr oder weniger voneinander ab. Insbesondere bedeutet ein Brechungsindex $n<1$ lediglich, dass sich die Wellenberge schneller als $c$ ausbreiten. Wellenpakete, mit denen Information und Energie transportiert werden, sind weiterhin langsamer als $c$.

### Transversal modulierte Welle im Vakuum

Nach den Maxwell-Gleichungen ergibt sich die von der Wellenlänge unabhängige Lichtgeschwindigkeit $c=1/{\sqrt {\varepsilon _{0}\,\mu _{0}}}$ u. a. für den Fall einer im Vakuum unendlich ausgedehnten ebenen Welle mit einer wohldefinierten Fortpflanzungsrichtung. Demgegenüber hat jede praktisch realisierbare Lichtwelle immer ein gewisses Strahlprofil. Wird dies als Überlagerung von ebenen Wellen mit leicht veränderten Fortpflanzungsrichtungen dargestellt, haben die einzelnen ebenen Wellen zwar alle die Vakuumlichtgeschwindigkeit $c$, jedoch gilt dies nicht notwendig für die durch die Überlagerung entstehende Welle. Es resultiert eine leicht verlangsamte Welle. Das konnte an speziell geformten Bessel-Strahlen von Mikrowellen und sichtbarem Licht auch nachgewiesen werden, sogar für die Geschwindigkeit einzelner Photonen. Bei allen praktisch realisierbaren Lichtwellen, auch bei scharf gebündelten Laserstrahlen, ist dieser Effekt aber vernachlässigbar klein.

## Mathematische Beschreibung

Die elektromagnetische Wellengleichung ergibt sich direkt aus den Maxwellgleichungen sowie der Divergenzfreiheit elektromagnetischer Wellen und lautet im Vakuum
    $\left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right){\vec {E}}({\vec {r}},t)=0$.
Betrachtet man die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen in polarisierbaren Medien, so muss zusätzlich die Polarisation ${\vec {P}}$ betrachtet werden:
    $\left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right){\vec {E}}({\vec {r}},t)={\frac {1}{\varepsilon _{0}c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}{\vec {P}}$

### Herleitung der elektromagnetischen Wellengleichung

Die zur Wellenausbreitung gehörigen mathematischen Beziehungen lassen sich auf Basis der maxwellschen Gleichungen nachvollziehen. Insbesondere lässt sich dieselbe Form der Wellengleichung herleiten, mit der sich andere Arten von Wellen, beispielsweise Schallwellen, ausbreiten.
Im Vakuum, also im ladungsfreien Raum unter Ausschluss von dielektrischen, dia- und paramagnetischen Effekten sind die Materialgleichungen der Elektrodynamik ${\vec {D}}=\varepsilon _{0}{\vec {E}}$ und ${\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {H}}$. Außerdem sind die Stromdichte ${\vec {\jmath }}$ und Ladungsdichte $\varrho$ null.
Ausgehend von der dritten maxwellschen Gleichung
wendet man auf beide Seiten den Rotationsoperator an. Dadurch erhält man:
    $\nabla \times (\nabla \times {\vec {E}})=-\nabla \times \left({\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\right)=-\mu _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times {\vec {H}}\right)$.
Setzt man darin die vierte maxwellsche Gleichung (mit ${\vec {\jmath }}=0$) ein,
    $\nabla \times {\vec {H}}={\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}$,
ergibt sich
Dazu gilt ganz allgemein die vektoranalytische Beziehung
    $\nabla \times (\nabla \times {\vec {A}})=\nabla (\nabla \cdot {\vec {A}})-\Delta {\vec {A}}$.
Dabei ist mit $\Delta {\vec {A}}$ die Anwendung des vektoriellen Laplace-Operators auf das Vektorfeld ${\vec {A}}$ gemeint. In kartesischen Koordinaten wirkt der vektorielle Laplace-Operator wie der skalare Laplace-Operator $\textstyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}$ auf jede Komponente von ${\vec {A}}$.
Wendet man diese Beziehung auf ${\vec {E}}$ an und berücksichtigt, dass der ladungsfreie Raum betrachtet wird, in dem nach der ersten maxwellschen Gleichung die Divergenz von ${\vec {D}}$ null beträgt, so folgt:
Setzt man nun (2) und (3) zusammen, ergibt sich folgende Wellengleichung:
Fast alle Wellen lassen sich durch Gleichungen der Form
    ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}}=v^{2}\Delta f$
beschreiben, wobei $v$ die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle ist. Für die Ausbreitungsgeschwindigkeit elektromagnetischer Wellen, die Lichtgeschwindigkeit $c$, gilt daher:
    $c^{2}={\frac {1}{\mu _{0}\varepsilon _{0}}}$.
Damit erhält man aus (4) die Gleichung
    ${\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}=c^{2}\Delta {\vec {E}}$.
Analog kann man für die magnetische Flussdichte ${\vec {B}}$ die Beziehung
    ${\frac {\partial ^{2}{\vec {B}}}{\partial t^{2}}}=c^{2}\Delta {\vec {B}}$
herleiten. Die Lösungen dieser Gleichungen beschreiben Wellen, die sich im Vakuum mit Lichtgeschwindigkeit $c$ ausbreiten. Breitet sich die elektromagnetische Welle in isotropem Material mit der Dielektrizitätskonstante $\varepsilon$ und der Permeabilität $\mu$ aus, beträgt die Ausbreitungsgeschwindigkeit
    $c_{\text{med}}={\frac {1}{\sqrt {\mu \varepsilon }}}$.
Darin sind aber im Allgemeinen die Materialkonstanten nicht linear, sondern können von der Feldstärke oder der Frequenz abhängen. Während Licht sich in der Luft fast mit Vakuumlichtgeschwindigkeit $c$ ausbreitet (die Materialkonstanten sind in guter Näherung 1), gilt das für die Ausbreitung in Wasser nicht, was unter anderem den Tscherenkow-Effekt ermöglicht.
Das Verhältnis der Vakuumlichtgeschwindigkeit zur Geschwindigkeit im Medium wird als Brechungsindex $n$ bezeichnet.
    $n={\sqrt {\frac {\mu \varepsilon }{\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}={\sqrt {\mu _{r}\varepsilon _{r}}}$,
wo $\mu _{r}$ und $\varepsilon _{r}$ die relative Permeabilität und die relative Permittivität des Mediums bezeichnen.

### Ausbreitung elektromagnetischer Wellen

Mit Hilfe der Maxwellgleichungen lassen sich aus der Wellengleichung noch weitere Schlüsse ziehen. Betrachten wir eine allgemeine ebene Welle für das elektrische Feld
    ${\vec {E}}={\vec {E}}_{0}f({\hat {k}}\cdot {\vec {x}}-ct)$,
wo ${\vec {E}}_{0}$ die (konstante) Amplitude ist, $f$ eine beliebige zweimal differenzierbare Funktion, ${\hat {k}}$ ein Einheitsvektor, der in Propagationsrichtung zeigt, und ${\vec {x}}$ ein Ortsvektor. Zunächst sieht man durch Einsetzen in die Wellengleichung, dass $f({\hat {k}}\cdot {\vec {x}}-ct)$ die Wellengleichung erfüllt, dass also
    $\Delta f({\hat {k}}\cdot {\vec {x}}-ct)={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}f({\hat {k}}\cdot {\vec {x}}-ct)$.
Damit ${\vec {E}}$ nun eine elektromagnetische Welle beschreibt, muss es aber nicht nur die Wellengleichung erfüllen, sondern auch die Maxwellgleichungen. Das bedeutet
    $\nabla \cdot {\vec {E}}={\hat {k}}\cdot {\vec {E}}_{0}{\frac {\partial f({\hat {k}}\cdot {\vec {x}}-ct)}{\partial ({\hat {k}}\cdot {\vec {x}})}}=0$,
    ${\vec {E}}\cdot {\hat {k}}=0$.
Das elektrische Feld steht also stets senkrecht zur Propagationsrichtung, es handelt sich somit um eine Transversalwelle. Einsetzen von ${\vec {E}}$ in eine weitere Maxwellgleichung ergibt
    $\nabla \times {\vec {E}}={\hat {k}}\times {\vec {E}}_{0}{\frac {\partial f({\hat {k}}\cdot {\vec {x}}-ct)}{\partial ({\hat {k}}\cdot {\vec {x}})}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}$
und da $\textstyle -{\frac {\partial f({\hat {k}}\cdot {\vec {x}}-ct)}{\partial ({\hat {k}}\cdot {\vec {x}})}}={\frac {\partial f({\hat {k}}\cdot {\vec {x}}-ct)}{\partial (ct)}}$ ist, folgt daraus
    ${\vec {B}}={\frac {1}{c}}{\hat {k}}\times {\vec {E}}$.
Die magnetische Flussdichte in der elektromagnetischen Welle steht also ebenfalls senkrecht zur Propagationsrichtung und auch senkrecht zum elektrischen Feld. Außerdem stehen ihre Amplituden in einem festen Verhältnis. Ihr Quotient ist die Lichtgeschwindigkeit $c$
    ${\frac {E_{0}}{B_{0}}}\;=\;c$.
In natürlichen Einheiten ($c=1$) haben beide Amplituden den gleichen Wert.
Mit dieser Beziehung lässt sich eine Aussage über die Energiedichte
    $w_{\mathrm {em} }={\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}(E^{2}+c^{2}B^{2})$
des elektromagnetischen Felds für den Fall der elektromagnetischen Welle herleiten:
    $w_{\mathrm {em} }=\varepsilon _{0}E^{2}={\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}$.
Nicht jede elektromagnetische Welle hat die Eigenschaft, dass ihre Ausbreitungsrichtung sowie die Richtungen des elektrischen als auch des magnetischen Feldes paarweise orthogonal zueinander sind, die Welle also eine reine Transversalwelle ist, auch TEM-Welle genannt. Die hier demonstrierten ebenen Wellen sind von diesem Typ, daneben existieren aber auch Wellen, in denen nur einer der beiden Feldvektoren senkrecht auf der Ausbreitungsrichtung steht, der andere aber eine Komponente in Ausbreitungsrichtung hat (TM- und TE-Wellen). Ein wichtiger Anwendungsfall für solche nicht rein transversale elektromagnetische Wellen sind zylindrische Wellenleiter. Das Gesagte gilt aber vor allem in Kristallen mit Doppelbrechung. Allerdings gibt es keine rein longitudinalen elektromagnetischen Wellen.