# Bochner-Integral

Das Bochner-Integral, benannt nach Salomon Bochner, ist eine Verallgemeinerung des Lebesgue-Integrals auf Banachraum-wertige Funktionen.

## Definition

Es seien $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher, vollständiger Maßraum und $(B,\|\cdot \|)$ ein Banachraum.
Das Bochner-Integral $\int _{\Omega }f\,{\rm {d}}\mu$ einer Funktion $f\colon \Omega \to B$ ist nun folgendermaßen definiert:
Als einfache Funktion bezeichnen wir Funktionen der Gestalt
    $s(x)=\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}\chi _{X_{i}}(x)$
mit Faktoren $\alpha _{i}\in B$ und messbaren Mengen $X_{i}\in {\mathcal {A}}$, wobei $\chi _{X_{i}}$ deren Indikatorfunktion bezeichnet. Das Integral einer einfachen Funktion ist nun auf naheliegende Weise definiert:
    $\int _{\Omega }s\,{\rm {d}}\mu :=\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}\mu (X_{i})$,
wobei dies wohldefiniert, also unabhängig von der konkreten Zerlegung von $s$ ist.
Eine Funktion $f\colon \Omega \rightarrow B$ heißt $\mu$-messbar oder Bochner-messbar, wenn es eine Folge $(s_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ einfacher Funktionen gibt, so dass $\textstyle \lim _{n\to \infty }s_{n}(x)=f(x)$ für $\mu$-fast alle $x\in \Omega$ gilt.
Eine $\mu$-messbare Funktion $f\colon \Omega \rightarrow B$ heißt Bochner-integrierbar, falls es eine Folge $(s_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ einfacher Funktionen gibt, so dass
* $\lim _{n\to \infty }s_{n}(x)=f(x)$ für $\mu$-fast alle $x\in \Omega$ gilt und
* zu jedem $\varepsilon >0$ ein $n_{0}=n_{0}(\varepsilon )\in \mathbb {N}$ existiert mit
       $\int _{\Omega }\|s_{n}-s_{k}\|{\rm {d}}\mu <\varepsilon$ für alle $n,k\geq n_{0}$.
In diesem Fall ist
    $\int _{\Omega }f\,{\rm {d}}\mu :=\lim _{n\to \infty }\int _{\Omega }s_{n}\,{\rm {d}}\mu$
wohldefiniert, das heißt unabhängig von der Wahl der konkreten Folge $(s_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ mit obigen Eigenschaften. Falls $M\in {\mathcal {A}}$ und $f\colon M\rightarrow B$, so schreibt man
    $\int _{M}f{\rm {d}}\mu :=\int _{\Omega }{\tilde {f}}{\rm {d}}\mu$ mit ${\tilde {f}}(x):=\left\{{\begin{array}{ll}f(x)\ ,&{\rm {falls}}\ x\in M\ ,\\0\ ,&{\rm {falls}}\ x\in \Omega \setminus M,\\\end{array}}\right.$
sofern ${\tilde {f}}$ Bochner-integrierbar ist.

## Messbarkeitssatz von Pettis

Der folgende auf Billy James Pettis zurückgehende Satz charakterisiert die $\mu$-Messbarkeit:
Die Funktion $f\colon \Omega \to B$ ist genau dann $\mu$-messbar, wenn die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind:
* Für jedes stetige lineare Funktional $\phi \in B'$ ist $\phi \circ f\colon \Omega \to {\mathbb {K} }$ $\mu$-messbar.
* Es gibt eine $\mu$-Nullmenge $N\subset \Omega$, so dass $f(\Omega \setminus N)\subset B$ separabel bzgl. der Normtopologie ist.
Ist $B$ ein separabler Banachraum, so ist die zweite Bedingung automatisch erfüllt und damit entbehrlich. Insgesamt ist die $\mu$-Messbarkeit $B$-wertiger Funktionen mit diesem Satz auf die $\mu$-Messbarkeit skalarer Funktionen zurückgeführt.

## Bochner-Integrierbarkeit

Die folgende von Bochner gefundene äquivalente Charakterisierung Bochner-integrierbarer Funktionen erlaubt es, einige klassische Resultate der lebesgueschen Integrationstheorie wie z. B. den Satz von der majorisierten Konvergenz auf das Bochner-Integral zu übertragen:
Eine $\mu$-messbare Funktion $f\colon \Omega \to B$ ist genau dann Bochner-integrierbar, wenn $\|f\|:\Omega \to \mathbb {R}$ Lebesgue-integrierbar ist.

## Eigenschaften

In diesem Abschnitt ist $B$ ein Banachraum und $f,g\colon \Omega \rightarrow B$ sind integrierbare Funktionen.

### Linearität

Das Bochner-Integral ist linear, das heißt, für Bochner-integrierbare Funktionen $f,g\colon \Omega \rightarrow B$ und beliebige $\alpha ,\beta \in \mathbb {K}$ ist auch $\alpha f+\beta g$ integrierbar, und es gilt:
    $\int _{\Omega }(\alpha f+\beta g)\,\mathrm {d} \mu =\alpha \int _{\Omega }f\,\mathrm {d} \mu +\beta \int _{\Omega }g\,\mathrm {d} \mu$.

### Verkettung mit einem stetigen Operator

Es sei $D$ ein Banachraum und $T\in L(B,D)$ ein stetiger linearer Operator. Dann ist $Tf\colon \Omega \to D$ eine integrierbare Funktion und es gilt
    $T\left(\int _{\Omega }f(x)\mathrm {d} \mu (x)\right)=\int _{\Omega }T(f(x))\mathrm {d} \mu (x)$.

### Radon–Nikodym-Eigenschaft

Der Satz von Radon-Nikodým gilt für das Bochner-Integral im Allgemeinen nicht. Banachräume, für die dieser Satz gilt, bezeichnet man als Banachräume mit der Radon-Nikodym-Eigenschaft. Reflexive Räume besitzen stets die Radon-Nikodym-Eigenschaft.

## Bochner-Lebesgue-Räume

Ist $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$ ein $\sigma$-endlicher, vollständiger Maßraum und $(B,\|\cdot \|)$ ein Banachraum, so nennt man für $1\leq p\leq \infty$ den Raum $L^{p}(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu ,B)$ der Bochner-integrierbaren Funktionen $\Omega \rightarrow B$ einen Bochner-Lebesgue-Raum, wobei wie üblich $\mu$-fast gleiche Funktionen identifiziert werden durch Äquivalenzklassen. Man erhält mit der Norm
    $\|f\|_{p}:=\left(\int _{\Omega }\|f(\omega )\|^{p}\mathrm {d} \mu (\omega )\right)^{1/p},\quad 1\leq p<\infty$
    $\|f\|_{\infty }:=\mathrm {ess} \sup \|f(\omega )\|,\quad \quad p=\infty$
einen Banachraum. Dieser lässt sich für $p=1$ wie folgt als Tensorprodukt beschreiben. Man rechnet nach, dass durch
    $L^{1}(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )\times B\rightarrow L^{1}(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu ,B),\,(f,\alpha )\mapsto f(\cdot )\alpha$
eine bilineare Abbildung gegeben ist, die einen isometrischen Isomorphismus
    $L^{1}(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )\mathbin {{\hat {\otimes }}_{\pi }} B\cong L^{1}(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu ,B)$
definiert, wobei ${\hat {\otimes }}_{\pi }$ das projektive Tensorprodukt bezeichne.