# CAR-Algebra

Die CAR-Algebra ist eine im mathematischen Gebiet der Funktionalanalysis betrachtete Algebra. Es handelt sich um eine C*-Algebra, die eng mit den in der Quantenmechanik untersuchten kanonischen Antivertauschungsrelationen (engl. canonical anticommutation relation, daher der Name CAR) verbunden ist und daher auch Fermionenalgebra genannt wird.

## Konstruktion

Bezeichnet $M_{n}$ die C*-Algebra der komplexen $n\times n$-Matrizen, so kann man $M_{2^{n}}$ vermöge des isometrischen *-Homomorphismus
$M_{2^{n}}\rightarrow M_{2^{n+1}},\quad X\mapsto {\begin{pmatrix}X&0\\0&X\end{pmatrix}}$
als Unteralgebra von $M_{2^{n+1}}$ auffassen. Auf der Vereinigung aller so ineinander liegenden Matrizenalgebren hat man dann eine Norm, die jede der C*-Normen auf $M_{2^{n}}$ fortsetzt und daher bis auf die Vollständigkeit alle Eigenschaften einer C*-Norm hat. Die Vervollständigung ist dann eine C*-Algebra, die man die CAR-Algebra nennt.

## Kanonische Antivertauschungsrelationen

Es seien $H$ ein separabler Hilbertraum und $\alpha :H\rightarrow L(H)$ eine lineare Abbildung in die C*-Algebra $L(H)$ der stetigen, linearen Operatoren auf $H$ mit folgenden Eigenschaften:
$\alpha (x)\alpha (y)+\alpha (y)\alpha (x)\,=\,0$
$\alpha (x)\alpha (y)^{*}+\alpha (y)^{*}\alpha (x)\,=\,\langle x,y\rangle \mathrm {id} _{H}$
für alle Vektoren $x,y\in H$.
Man sagt, $\alpha$ erfülle die kanonischen Antivertauschungsrelationen; diese werden von den in der Quantenmechanik betrachteten Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für Fermionen erfüllt. Solche Abbildungen $\alpha$ lassen sich beispielsweise auf dem Fockraum realisieren. Die Isomorphieklasse der von den Operatoren $\alpha (x)$ erzeugten C*-Algebra erweist sich als unabhängig von der speziellen Auswahl der Abbildung $\alpha$, denn es gilt:
* Die von allen Operatoren $\alpha (x),\,x\in H$ erzeugte C*-Algebra ist isomorph zur CAR-Algebra.
Ist $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Orthonormalbasis von $H$, so kann die Einbettung $C^{*}(\alpha (x_{1}),\ldots ,\alpha (x_{n}))\subset C^{*}(\alpha (x_{1}),\ldots ,\alpha (x_{n+1}))$ mit obiger Einbettung $M_{2^{n}}\rightarrow M_{2^{n+1}}$ identifiziert werden ($C^{*}(\ldots )$ steht hier für die von in den Klammern aufgelisteten Operatoren erzeugte C*-Algebra).

## Als UHF-Algebra und AF-Algebra

Ihrer Konstruktion nach ist die CAR-Algebra eine UHF-Algebra, und zwar diejenige zur übernatürlichen Zahl $2^{\infty }$ (siehe dazu den Artikel UHF-Algebra). Als UHF-Algebra ist sie auch eine AF-C*-Algebra und daher unter allen AF-C*-Algebren durch ihre geordnete skalierte $K_{0}$-Gruppe ausgezeichnet. Diese ist $\mathbb {Z} \left[{\frac {1}{2}}\right]$ mit der durch [0,1] gegebenen Skala. $\mathbb {Z} \left[{\frac {1}{2}}\right]$ steht dabei für die Menge aller rationalen Zahlen, deren Nenner eine Zweierpotenz ist.

## Produktzustände und Typ III-Faktoren

Zu jedem $\lambda \in [0,1]$ kann man rekursiv Zustände $\varphi _{\lambda }^{(n)}:M_{2^{n}}\rightarrow \mathbb {C}$ definieren, wobei
* $\varphi _{\lambda }^{(0)}:M_{2^{0}}\cong \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$ die identische Abbildung sei und
* $\varphi _{\lambda }^{(n)}(x)=\lambda \varphi _{\lambda }^{(n-1)}(x_{1,1})+(1-\lambda )\varphi _{\lambda }^{(n-1)}(x_{2,2})$ für jedes $n>0$, wobei $x=(x_{i,j})$ als $2\times 2$-Matrix mit Elementen aus $M_{2^{n-1}}$ geschrieben ist.
Dann ist die Einschränkung von $\varphi _{\lambda }^{(n)}$ auf $M_{2^{n-1}}$ gleich $\varphi _{\lambda }^{(n-1)}$, denn gemäß der hier betrachteten Einbettung von $M_{2^{n-1}}$ nach $M_{2^{n}}$ ist
    $(\varphi _{\lambda }^{(n)}|_{M_{2^{n-1}}})(x)=\varphi _{\lambda }^{(n)}\left({\begin{pmatrix}x&0\\0&x\end{pmatrix}}\right)=\lambda \varphi _{\lambda }^{(n-1)}(x)+(1-\lambda )\varphi _{\lambda }^{(n-1)}(x)=\varphi _{\lambda }^{(n-1)}(x)$.
Daher gibt es auf der CAR-Algebra einen eindeutigen Zustand $\varphi _{\lambda }$, der auf allen $M_{2^{n}}$ mit $\varphi _{\lambda }^{(n)}$ übereinstimmt. Dieser heißt der zu $\lambda$ gehörige Produktzustand. Die Bezeichnung Produktzustand rührt daher, dass man ihn auch über Tensorprodukt-Konstruktionen gewinnen kann, was hier aber nicht ausgeführt wird. Nach J. Glimm lassen sich mittels dieser Zustände wie folgt Faktoren vom Typ III konstruieren.
Zum Zustand $\varphi _{\lambda }$ gehört mittels GNS-Konstruktion eine Hilbertraum-Darstellung $\pi _{\lambda }:A\rightarrow L(H_{\lambda })$ auf einem Hilbertraum $H_{\lambda }$. Für $0<\lambda <{\frac {1}{2}}$ ist das Bild $\pi _{\lambda }(A)\subset L(H_{\lambda })$ eine C*-Algebra, deren Abschluss in der schwachen Operatortopologie ein Faktor vom Typ III ist. Je zwei solche Faktoren zu verschiedenen Zahlen aus dem offenen Intervall $\left(0,{\frac {1}{2}}\right)$ sind nicht isomorph.

## GICAR-Algebra

Sei $\alpha :H\rightarrow L(H)$ eine Abbildung, die den oben definierten kanonischen Antivertauschungsrelationen genügt. Ist $\mu \in \mathbb {C}$ mit $|\mu |=1$, so erfüllt auch $\beta :H\rightarrow L(H),\,x\mapsto \alpha (\mu x)$ die kanonischen Antivertauschungsrelationen, wie man leicht nachrechnen kann. Da die von den $\alpha (x)$ bzw. von den $\beta (x)$ erzeugte C*-Algebra, wobei $x$ den Hilbertraum durchläuft, in beiden Fällen die CAR-Algebra $A$ ist, kann man zeigen, dass man einen Automorphismus $\sigma _{\mu }:A\rightarrow A$ erhält, den man Eichautomorphismus nennt.
Die C*-Unteralgebra derjenigen Elemente von $A$, die unter allen Eichautomorphismen $\sigma _{\mu },|\mu |=1$ invariant sind, heißt GICAR-Algebra. Dabei steht GI für gauge-invariant (deutsch: eich-invariant). Man kann zeigen, dass die GICAR-Algebra eine AF-C*-Algebra ist. Während die CAR-Algebra einfach ist, das heißt, sie hat keine nicht-trivialen zweiseitigen Ideale, hat die GICAR-Algebra eine reiche Idealstruktur, die man an ihrem Bratteli-Diagramm ablesen kann. Dieses hat die Form des Pascalschen Dreiecks:
${\begin{matrix}&&&&&&1&\\&&&&&\nearrow &&\\&&&&1&&&\ldots \\&&&\nearrow &&\searrow &&\\&&1&&&&3&\\&\nearrow &&\searrow &&\nearrow &&\\1&&&&2&&&\ldots \\&\searrow &&\nearrow &&\searrow &&\\&&1&&&&3&\\&&&\searrow &&\nearrow &&\\&&&&1&&&\ldots \\&&&&&\searrow &&\\&&&&&&1&\end{matrix}}$