# Satz von Nikomachos

Der Satz von Nikomachos aus der Zahlentheorie besagt, dass das Quadrat der Summe der ersten $n$ natürlichen Zahlen gleich der Summe ihrer Kubikzahlen ist, beispielsweise bei $n=4$ Zahlen:
    $(1+2+3+4)^{2}=10^{2}=100=1+8+27+64=1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}$
Die Summe in der Klammer ist eine Dreieckszahl. Nikomachos selbst entdeckte, dass jede Kubikzahl $n^{3}$ eine Summe von $n$ aufeinander folgenden ungeraden Zahlen ist und sich diese Zahlen bei wachsendem $n$ direkt aneinander anschließen. Indem diese Summen addiert werden, ergibt sich der obige Satz.

## Nikomachos’ Entdeckung

Nikomachos weist in seinem Buch Arithmetik II,20 auf eine von ihm gemachte Entdeckung hin:
   „Denn wenn die aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen von 1 beginnend bis ins Unendliche aufgestellt werden, beobachte dies: Die erste bildet den potentiellen Kubus; die nächsten beiden, summiert, (bilden) den zweiten; die nächsten drei den dritten; die vier danach folgenden den vierten; die sich anschließenden fünf den fünften; die nächsten sechs den sechsten und so fort.“
Nikomachos gibt also die ersten sechs Kubikzahlen als Beispiele
| $1$ | = $1$ | = $1^{3}$ |
| $3+5$ | = $8$ | = $2^{3}$ |
| $7+9+11$ | = $27$ | = $3^{3}$ |
| $13+15+17+19$ | = $64$ | = $4^{3}$ |
| $21+23+25+27+29$ | = $125$ | = $5^{3}$ |
| $31+33+35+37+39+41$ | = $216$ | = $6^{3}$ |
| $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ |
für die Regel
    $(n^{2}-n+1)+(n^{2}-n+3)+\dots +(n^{2}+n-1)=\sum _{j=1}^{n}(n^{2}-n-1+2j)=n^{3}$
Die hier auftretenden Summen erstrecken sich über aufeinander im gleichen Abstand folgende Zahlen, deren Mittelwert die Hälfte der Summe der größten und der kleinsten summierten Zahl ist. Wenn $n$ Zahlen mit bekanntem Mittelwert addiert werden, dann ist nach der Definition des Mittelwerts die Summe gleich dem $n$-fachen Mittelwert, siehe auch Gaußsche Summenformel.
Auf der linken Seite in obiger Regel steht die Summe der ungeraden Zahlen von $n^{2}-n+1$ bis $n^{2}+n-1$, deren Mittelwert $n^{2}$ ist und von denen $n$ addiert werden. Somit ergibt ihre Summe die Kubikzahl $n^{3}$ auf der rechten Seite.
Nach Addition der ersten $n$ dieser Identitäten steht, wie aus der Tabelle abzuleiten ist, rechts die Summe der ersten $n$ Kubikzahlen $1^{3}$ bis $n^{3}$ und links die Summe der ersten $(n^{2}+n)/2$ ungeraden Zahlen $1,3,\ldots n^{2}+n-1$. Deren Mittelwert ist die Hälfte der Summe aus der kleinsten und der größten Zahl, also $(n^{2}+n)/2$, und genauso viele Zahlen werden addiert, sodass die Summe dieser ungeraden Zahlen gleich dem Quadrat $[(n^{2}+n)/2]^{2}$ entspricht.
Der Mittelwert der ganzen Zahlen $1,2,\ldots n$ ist $(n+1)/2$ und in deren Summe werden $n$ Zahlen addiert, sodass die Summe der ersten $n$ Zahlen gleich $n(n+1)/2=(n^{2}+n)/2$ ist.
Daher entspricht das Quadrat der Summe der ersten $n$ Zahlen der Summe der ersten $n$ Kubikzahlen.

## Geometrischer Beweis

Die folgende Ableitung benutzt Quader der Dicke eins, sodass ihr Volumen zahlenmäßig gleich dem Inhalt ihrer Deckfläche ist. Betrachtet werden die einfarbigen Winkel der Breite $n$, die für $n=1$ (rot), $n=2$ (gelb), $n=3$ (grün), $n=4$ (blau) und $n=5$ (lila) im Bild dargestellt sind. Die Deckfläche eines solchen einfarbigen Winkels der Breite $n$ besteht aus $n$ Quadraten der Kantenlänge $n$, wobei bei geradem $n$ ein Quadrat in zwei Hälften geteilt wird (gelb und blau). Die Deckfläche des Winkels ist also $n\cdot n^{2}=n^{3}$, und die quadratischen Quader der Kantenlänge $n$ und Dicke $1$ können zu den Würfeln mit Volumen $n^{3}$ am oberen Rand des Bildes aufgestapelt werden. Von einem Schritt zum nächsten nimmt die Breite des Winkels um eine Einheit zu, sodass sich der Winkel der Breite $n$ in einen quadratischen Quader einpasst (bunte Fläche unter den Würfeln), dessen Kantenlänge die $n$-te Dreieckszahl
    $\Delta _{n}:=1+2+\ldots +n$
ist. Also ist das Volumen des Quaders
* einerseits gleich $(\Delta _{n})^{2}=(1+2+\ldots +n)^{2}$,
* andererseits gleich der Summe der Kuben $1^{3}$ bis $n^{3}$.

## Algebraischer Beweis

Man zeigt mittels vollständiger Induktion die Summenformeln
    $\sum _{j=1}^{n}j={\frac {n(n+1)}{2}},\quad \sum _{j=1}^{n}j^{3}={\frac {n^{2}(n+1)^{2}}{4}}$
und liest ohne Mühe ab, dass die zweite Summe gleich dem Quadrat der ersten ist.
Dieser Beweis ist zwar sehr viel kürzer, bietet aber keinerlei geometrische Einsicht.