# Kreisteilungskörper

Kreisteilungskörper (auch: zyklotomische Körper) sind Studienobjekte des mathematischen Teilgebietes der algebraischen Zahlentheorie. Sie sind in gewisser Hinsicht besonders einfache Verallgemeinerungen des Körpers der rationalen Zahlen.

## Definition

Es sei $n>2$ eine natürliche Zahl. Dann ist der $n$-te Kreisteilungskörper diejenige Körpererweiterung $\mathbb {Q} (\mu _{n})$ von $\mathbb {Q}$, die durch Adjunktion der Menge $\mu _{n}$ aller $n$-ten Einheitswurzeln entsteht.

## Eigenschaften

* Ist $\zeta _{n}$ eine primitive $n$-te Einheitswurzel, so ist das Minimalpolynom von $\zeta _{n}$ das $n$-te Kreisteilungspolynom $\Phi _{n}$, deshalb ist
       $\mathbb {Q} (\mu _{n})=\mathbb {Q} (\zeta _{n})\cong \mathbb {Q} [T]/(\Phi _{n}(T)).$
    Insbesondere ist der Erweiterungsgrad $[\mathbb {Q} (\mu _{n}):\mathbb {Q} ]=\varphi (n)$ mit der eulerschen φ-Funktion.
* Zwei Kreisteilungskörper $\mathbb {Q} (\mu _{n})$ und $\mathbb {Q} \mathbb { \mu _{m})$ mit $n<m$ sind genau dann gleich, wenn $n$ ungerade ist und $m=2n$ gilt.
* Die Adjunktion der $m$-ten Einheitswurzeln zu $\mathbb {Q} (\mu _{n})$ ergibt $\mathbb {Q} (\mu _{N})$ mit $N=\mathrm {kgV} (m,n).$
* Die Erweiterung $\mathbb {Q} (\mu _{n})|\mathbb {Q}$ ist galoissch. Die Galoisgruppe ist isomorph zu $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times };$ ist $\zeta _{n}$ eine primitive $n$-te Einheitswurzel, so entspricht einem Element $k\in (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$ der durch
       $\zeta _{n}\mapsto \zeta _{n}^{k}$
    definierte Automorphismus von $\mathbb {Q} (\mu _{n}).$
* Der Ganzheitsring von $\mathbb {Q} (\mu _{n})$ ist $\mathbb {Z} [\zeta _{n}]$ mit einer beliebigen primitiven $n$-ten Einheitswurzel $\zeta _{n}$.
   * Insbesondere ist der Ganzheitsring von $\mathbb {Q} (\mu _{4})=\mathbb {Q} ({\sqrt {-1}})$ gleich dem Ring der ganzen gaußschen Zahlen, der Ganzheitsring von $\mathbb {Q} (\mu _{3})=\mathbb {Q} (\mu _{6})=\mathbb {Q} ({\sqrt {-3}})$ ist gleich dem Ring der Eisenstein-Zahlen. Diese beiden Zahlkörper sind die einzigen algebraischen Erweiterungen der rationalen Zahlen, die sowohl Kreisteilungskörper als auch quadratische Erweiterungskörper sind.

## Diskriminante und Verzweigung

Die Diskriminante von $\mathbb {Q} (\zeta _{n})$ für $n>2$ ist
    $\Delta _{\mathbb {Q} (\zeta _{n})}=(-1)^{\frac {\varphi (n)}{2}}{\frac {n^{\varphi (n)}}{\prod _{p\mid n}p^{\frac {\varphi (n)}{p-1}}}}.$
Die in $\mathbb {Q} (\zeta _{n})$ verzweigten Primzahlen sind gerade die Primteiler der Diskriminante. Insbesondere ist eine ungerade Primzahl genau dann verzweigt in $\mathbb {Q} (\zeta _{n})$, wenn sie ein Teiler von $n$ ist. Die $2$ ist genau dann verzweigt, wenn $4\mid n$. Eine Primzahl $p$ ist genau dann voll zerlegt, wenn $p\equiv 1{\pmod {n}}$ gilt.
Ist $n=\ell ^{\nu }>2$ eine Primzahlpotenz, so ist $\ell$ die einzige verzweigte Primzahl in $\mathbb {Q} (\zeta _{\ell ^{\nu }})$. $\ell$ ist dann unzerlegt und vollständig verzweigt. Man kann zeigen, dass $1-\zeta _{\ell ^{\nu }}$ ein Element mit Norm $\ell$ ist. Das einzige Primideal über $\ell$ ist also das Hauptideal, das von $1-\zeta _{\ell ^{\nu }}$ erzeugt wird:
    $(\ell )=(1-\zeta _{\ell ^{\nu }})^{\ell ^{\nu -1}(\ell -1)}.$
Für die Diskriminante ergibt sich $\Delta _{\mathbb {Q} (\zeta _{\ell ^{\nu }})}=\pm \ell ^{\ell ^{\nu -1}(\nu \ell -\nu -1)}$.

## Satz von Kronecker-Weber

Der Satz von Kronecker-Weber (nach L. Kronecker und H. Weber) besagt, dass jeder algebraische Zahlkörper mit abelscher Galoisgruppe in einem Kreisteilungskörper enthalten ist. Die maximale abelsche Erweiterung von $\mathbb {Q}$ entsteht also durch Adjunktion aller Einheitswurzeln.

## Idealklassengruppe

Die Klassenzahl $h_{n}$ von $\mathbb {Q} (\zeta _{n})$ besteht aus zwei ganzzahligen Faktoren $h_{n}^{+}$ und $h_{n}^{-}$. Hierbei ist $h_{n}^{+}$ die Klassenzahl des maximalen reellen Teilkörpers $\mathbb {Q} (\zeta _{n})^{+}=\mathbb {Q} (\zeta _{n}+\zeta _{n}^{-1})$ und $h_{n}^{-}:=h_{n}/h_{n}^{+}$ die Relativklassenzahl. Die Idealklassengruppe $C_{n}^{+}$ von $\mathbb {Q} (\zeta _{n})^{+}$ kann als Untergruppe der Idealklassengruppe $C_{n}$ von $\mathbb {Q} (\zeta _{n})$ aufgefasst werden.
Die Relativklassenzahl $h_{n}^{-}$ kann mithilfe von Dirichlet-Charakteren und Bernoulli-Zahlen explizit bestimmt werden.
Die Klassenzahl $h_{n}$ von $\mathbb {Q} (\zeta _{n})$ zu bestimmen, ist im Allgemeinen schwierig. Aus dem Satz von Brauer-Siegel, der eine Aussage über das asymptotische Verhalten der Klassenzahl macht, lässt sich folgern, dass $h_{n}\to \infty$ für $n\to \infty$. Insbesondere gibt es nur endlich viele Kreisteilungskörper mit Klassenzahl $1$. Die vollständige Liste aller $n$ mit $h_{n}=1$ lautet
    $1,2,3,\dots ,22,24,25,26,27,28,30,32,33,34,35,36,38,40,42,44,45,48,50,54,60,66,70,84,90.$
In genau diesen Fällen ist $\mathbb {Z} [\zeta _{n}]$ ein Hauptidealring und es gibt eine eindeutige Primfaktorzerlegung von Elementen.
Die ungelöste Vandiver-Vermutung sagt voraus, dass die Primzahl $p$ kein Teiler von $h_{p}^{+}$ ist.