# Weingartenabbildung

Die Weingartenabbildung (nach dem deutschen Mathematiker Julius Weingarten), auch Formoperator genannt, ist eine Funktion aus der Theorie der Flächen im dreidimensionalen euklidischen Raum ($\mathbb {R} ^{3}$), einem Teilgebiet der klassischen Differentialgeometrie.

## Vorbereitung

Eine reguläre Fläche sei durch die Parameterdarstellung
    ${\begin{aligned}X\colon \mathbb {R} ^{2}\supset A&\to \mathbb {R} ^{3}\\(u,v)&\mapsto X(u,v)\end{aligned}}$
gegeben. Dabei sei $X$ mindestens zweimal stetig differenzierbar und in jedem Punkt $(u,v)$ habe die Ableitung $DX_{(u,v)}$, eine lineare Abbildung von $\mathbb {R} ^{2}$ nach $\mathbb {R} ^{3}$, vollen Rang. Das Bild dieser linearen Abbildung ist dann ein zweidimensionaler Unterraum des $\mathbb {R} ^{3}$, der Tangentialraum der Fläche im Punkt $p=X(u,v)$. Dabei denkt man sich die Bildvektoren im Punkt $p=X(u,v)$ angeheftet. Der Tangentialraum wird von den beiden Vektoren
    $X_{1}(u,v)=X_{u}(u,v)={\tfrac {\partial X}{\partial u}}(u,v)=DX_{(u,v)}(e_{1})$ und
    $X_{2}(u,v)=X_{v}(u,v)={\tfrac {\partial X}{\partial v}}(u,v)=DX_{(u,v)}(e_{2})$
aufgespannt. (Hierbei bezeichnen $e_{1}$ und $e_{2}$ die Einheitsvektoren der Standardbasis des $\mathbb {R} ^{2}$.)
Die Einheitsnormale $N(u,v)$ im Punkt $p=X(u,v)$ der Fläche kann mit Hilfe des Vektorprodukts berechnet werden:
    $N(u,v)={\frac {X_{u}(u,v)\times X_{v}(u,v)}{|X_{u}(u,v)\times X_{v}(u,v)|}}$
Somit ist $N$ eine differenzierbare Abbildung vom Parameterbereich $A\subset \mathbb {R} ^{2}$ in den Vektorraum $\mathbb {R} ^{3}$. Den Bildvektor $N(u,v)$ denkt man sich angeheftet an den Punkt $p=X(u,v)$. Die Ableitung $DN_{(u,v)}$ im Punkt $(u,v)$ ist eine lineare Abbildung von $\mathbb {R} ^{2}$ nach $\mathbb {R} ^{3}$. Aus der Bedingung, dass $N(u,v)$ ein Einheitsvektor ist, folgt, dass für jedes Parameterpaar $(u,v)$ das Bild der Abbildung $DN_{(u,v)}$ im Tangentialraum der Fläche im Punkt $p=X(u,v)$ liegt und somit im Bild der Abbildung $DX_{(u,v)}$. Da $DX_{(u,v)}$ injektiv ist, existiert die Umkehrabbildung $(DX_{(u,v)})^{-1}$ als Abbildung auf dem Tangentialraum im Punkt $X(u,v)$.

## Definition

Man kann nun die Weingartenabbildung als lineare Abbildung im Parameterbereich (klassische Sichtweise) oder auf dem Tangentialraum (moderne Sichtweise) definieren.

### Im Parameterbereich

Die Abbildung $DN_{(u,v)}$ bildet den $\mathbb {R} ^{2}$ auf den Tangentialraum der Fläche im Punkt $X(u,v)$ ab. Die Abbildung $(DX_{(u,v)})^{-1}$ bildet diesen Tangentialraum wieder auf den $\mathbb {R} ^{2}$ ab. Die durch Verkettung und Vorzeichenwechsel daraus entstehende lineare Abbildung
    $L_{(u,v)}=-(DX_{(u,v)})^{-1}\circ DN_{(u,v)}$
von $\mathbb {R} ^{2}$ nach $\mathbb {R} ^{2}$ heißt Weingartenabbildung an der Stelle $(u,v)$.

### Auf der Fläche

Die Abbildung $(DX_{(u,v)})^{-1}$ bildet einen Vektor des Tangentialraums der Fläche im Punkt $p=X(u,v)$ in den $\mathbb {R} ^{2}$ ab. Die Abbildung $DN_{(u,v)}$ bildet den Bildvektor wieder in den Tangentialraum ab. Die durch Verkettung und Vorzeichenwechsel daraus entstehende lineare Abbildung
    $L_{X(u,v)}=-DN_{(u,v)}\circ (DX_{(u,v)})^{-1}$
bildet den Tangentialraum im Punkt $p=X(u,v)$ auf sich ab und heißt Weingartenabbildung am Punkt $p=X(u,v)$. Es gilt also
    $L_{X(u,v)}X_{i}(u,v)=-N_{i}(u,v)$ für $i=1,2$.

## Koordinatendarstellung

Die beiden Versionen der Weingartenabbildung sind auf völlig verschiedenen Vektorräumen definiert. Wählt man jedoch im Parameterbereich die Standardbasis und im Tangentialraum die Basis $X_{u}(u,v)$, $X_{v}(u,v)$, so stimmen die zugehörigen Abbildungsmatrizen
    ${\begin{pmatrix}h^{1}{_{1}}(u,v)&h^{1}{_{2}}(u,v)\\h^{2}{_{1}}(u,v)&h^{2}{_{2}}(u,v)\end{pmatrix}}$
überein. Sie sind durch die Gleichungen
    $L_{X(u,v)}(X_{u}(u,v))=-N_{u}(u,v)=h^{1}{_{1}}(u,v)X_{u}(u,v)+h^{2}{_{1}}(u,v)X_{v}(u,v)$
    $L_{X(u,v)}(X_{v}(u,v))=-N_{v}(u,v)=h^{1}{_{2}}(u,v)X_{u}(u,v)+h^{2}{_{2}}(u,v)X_{v}(u,v)$
charakterisiert. In Einsteinscher Summenkonvention, mit $X_{1}=X_{u}$, $X_{2}=X_{v}$, $N_{1}=N_{u}=DN_{(u,v)}(e_{1})$, $N_{2}=N_{v}=DN_{(u,v)}(e_{2})$ und unter Weglassung des Arguments:
    $L(X_{j})=-N_{j}=h^{i}_{j}X_{i}$

## Zusammenhang mit der zweiten Fundamentalform

Für jedes Parameterpaar $(u,v)$ ist die erste Fundamentalform $g_{(u,v)}$ ein Skalarprodukt im $\mathbb {R} ^{2}$ und die zweite Fundamentalform $h_{(u,v)}$ eine symmetrische Bilinearform. Diese sind durch die Weingartenabbildung wie folgt verbunden: Für Vektoren $w_{1},w_{2}\in \mathbb {R} ^{2}$ gilt
    $h(w_{1},w_{2})=g(w_{1},Lw_{2})$.
Für die zugehörigen Matrixdarstellungen gilt in Einsteinscher Summenkonvention
    $h_{ik}=g_{ij}h^{j}{_{k}}$
und
    $h^{i}_{k}=g^{ij}h_{jk}.$

## Eigenschaften

* Die Weingartenabbildung $L$ ist selbstadjungiert bezüglich der ersten Fundamentalform $g$, das heißt, für alle $w_{1},w_{2}\in \mathbb {R} ^{2}$ gilt $g(w_{1},Lw_{2})=g(Lw_{1},w_{2})\,.$ In jedem Punkt der Fläche existiert deshalb eine Basis aus Eigenvektoren von $L$, die orthonormal bezüglich $g$ ist.
* Die Richtungen der Eigenvektoren heißen Hauptkrümmungsrichtungen.
* Die Eigenwerte der Weingartenabbildung geben die Hauptkrümmungen der Fläche an.
* Für einen Vektor $w\in T_{(u,v)}\mathbb {R} ^{2}$ beschreibt $Lw$ die Änderung der Flächennormalen in dieser Richtung an diesem Punkt.
* Die Weingartenabbildung ist die Ableitung der Gauß-Abbildung.

## Beispiel

Dem Beispiel aus den Artikeln erste Fundamentalform und zweite Fundamentalform folgend, wird wieder die Oberfläche einer Kugel vom Radius $r>0$ betrachtet. Diese Fläche wird wieder durch
    $X(u,v)={\begin{pmatrix}r\sin u\cos v\\r\sin u\sin v\\r\cos u\end{pmatrix}}$ parametrisiert.
Die Matrixdarstellung der ersten Fundamentalform besteht aus den Komponenten $g_{uu}=r^{2}$, $g_{uv}=g_{vu}=0$, sowie $g_{vv}=r^{2}\sin ^{2}u$.
Die Matrixdarstellung der zweiten Fundamentalform besteht aus den Komponenten $h_{uu}=-r$, $h_{uv}=h_{vu}=0$, sowie $h_{vv}=-r\sin ^{2}u$.
Beide sind durch die Gleichung $h_{ik}=g_{ij}h^{j}{_{k}}$ miteinander verbunden. Diese liefert durch Ausschreiben der Einsteinschen Summenkonvention folgende vier Gleichungen:
    $h_{uu}=g_{uu}h^{u}{_{u}}+g_{uv}h^{v}{_{u}}$
    $h_{uv}=g_{uu}h^{u}{_{v}}+g_{uv}h^{v}{_{v}}$
    $h_{vu}=g_{vu}h^{u}{_{u}}+g_{vv}h^{v}{_{u}}$
    $h_{vv}=g_{vu}h^{u}{_{v}}+g_{vv}h^{v}{_{v}}$
Durch Einsetzen der Komponenten der Matrixdarstellungen erhält man die Komponenten der Weingartenabbildung:
    $h^{u}{_{u}}=h^{v}{_{v}}=-{\frac {1}{r}}$
    $h^{u}{_{v}}=h^{v}{_{u}}=0$
Alternativ hätte auch die explizite Formel $h^{i}_{k}=g^{ij}h_{jk}$ genutzt werden können. Dazu hätte allerdings die Matrix der ersten Fundamentalform invertiert werden müssen, um die $g^{ij}$ zu erhalten.