# Satz von Banach-Steinhaus

Der Satz von Banach-Steinhaus ist eines der fundamentalen Ergebnisse der Funktionalanalysis, einem der Teilgebiete der Mathematik. In der Literatur werden häufig drei verschiedene, aber miteinander verwandte Sätze als Satz von Banach-Steinhaus bezeichnet. Die abstrakteste Fassung ist auch als Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit oder (uniform boundedness principle) bekannt, welches seinerseits aus dem Satz von Osgood folgt. Die beiden anderen Fassungen sind Folgerungen aus diesem. Ebenso wie der Satz über die offene Abbildung beruhen diese Sätze auf dem berühmten Kategoriensatz von Baire. Zusammen mit dem Satz von Hahn-Banach gelten all diese Sätze als Eckpfeiler des Gebiets.
Hugo Steinhaus und Stefan Banach veröffentlichten den Satz 1927. Er wurde jedoch unabhängig davon auch von Hans Hahn bewiesen. Er findet sich aber schon im Wesentlichen 1912 bei Eduard Helly.

## Satz von Banach-Steinhaus

Seien $X$ und $Y$ Banachräume und $(T_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ mit $T_{n}\colon X\to Y$ $(n\in \mathbb {N} )$ eine Folge stetiger linearer Operatoren.
Dann gilt: $(T_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert punktweise gegen einen stetigen linearen Operator genau dann, wenn die beiden nachstehenden Bedingungen erfüllt sind:
* Die Operatornormenfolge $(\|T_{n}\|)_{n\in \mathbb {N} }$ ist eine beschränkte Folge innerhalb der reellen Zahlen.
* Es existiert in $X$ eine dichte Teilmenge $X_{0}\subseteq X$, so dass für jedes $x_{0}\in X_{0}$ die Folge $({T_{n}}x_{0})_{n\in \mathbb {N} }$ innerhalb $Y$ konvergiert.

## Satz von Banach-Steinhaus (Variante)

Sei $X$ ein Banachraum, $Y$ ein normierter Raum und $(T_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ mit $T_{n}\colon X\to Y$ $(n\in \mathbb {N} )$ eine Folge stetiger linearer Operatoren.
Dann gilt: Falls $(T_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ punktweise konvergiert, so definiert $Tx:=\lim _{n\rightarrow \infty }{T_{n}}x$ $(x\in X)$ einen stetigen linearen Operator $T:X\rightarrow Y$ und es gilt $\left\|T\right\|\leq \liminf _{n\rightarrow \infty }{\left\|T_{n}\right\|}\leq \sup _{n\in \mathbb {N} }{\left\|T_{n}\right\|}<\infty .$

## Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit

Sei $X$ ein Banachraum, $N$ ein normierter Vektorraum und $F$ eine Familie stetiger, linearer Operatoren von $X$ nach $N$.
Dann folgt aus der punktweisen Beschränktheit
    $\sup \left\{\,\|T(x)\|:T\in F\,\right\}<\infty$ für alle $x\in X$
die gleichmäßige Beschränktheit
    $\sup \left\{\,\|T\|:T\in F\;\right\}<\infty .$

### Beweis des Prinzips der gleichmäßigen Beschränktheit

Setze $X_{n}:=\left\{x\in X\mid \forall {T\in F~:}\|T(x)\|\leq n\right\}$ für $n\in \mathbb {N}$. Diese Mengen sind offensichtlich abgeschlossen und nach Annahme gilt $X\subseteq \bigcup _{n\in \mathbb {N} }X_{n}$. Als Banach-Raum ist $X$ vollständig metrisierbar und damit ein Baire-Raum (siehe den Baire’schen Kategoriensatz), somit darf es nicht sein, dass alle $X_{n}$ mager sind. Es existiert also ein $n_{0}\in \mathbb {N}$, so dass $X_{n_{0}}$ nicht mager ist. Wegen Abgeschlossenheit heißt dies, $X_{n_{0}}$ ist irgendwo dicht. Das heißt, es gibt ein $\delta >0$ und ein $x_{0}\in X$, so dass ${\mathcal {B}}_{<\delta }(x_{0})\subseteq X_{n_{0}}$. Für jedes $T\in F$ und $x$ mit $\|x\|<\delta$ gilt nun
    $\|T(x)\|=\|T(x_{0}+x)-T(x_{0})\|\leq \|T(x_{0}+x)\|+\|T(x_{0})\|\leq n_{0}+n_{0}=2n_{0}$.
Folglich $\|T\|\leq {\tfrac {2n_{0}}{\delta }}$ für alle $T\in F$, sodass ${\tfrac {2n_{0}}{\delta }}$ eine gleichmäßige Schranke für die Menge $F$ ist.