# HNN-Erweiterung

In der Mathematik ist die HNN-Erweiterung eine Konstruktion aus der Gruppentheorie. Die Theorie der HNN-Erweiterungen ist von grundlegender Bedeutung in der kombinatorischen und geometrischen Untersuchung von Gruppen. HNN-Erweiterungen und amalgamierte Produkte bilden die Grundlage der Bass-Serre-Theorie. Sie wurden von Graham Higman, Bernhard Neumann und Hanna Neumann 1949 in dem Artikel „Embedding Theorems for Groups“ eingeführt, wo auch einige grundlegende Eigenschaften bewiesen wurden.
Eine HNN-Erweiterung ist eine Inklusion einer gegebenen Gruppe $G$ in eine andere Gruppe $G_{\alpha }$, so dass ein gegebener Isomorphismus zweier Untergruppen $J$ und $K$ von $G$ in $G_{\alpha }$ durch Konjugation mit einem Element $t\in G_{\alpha }$ realisiert wird.
Man spricht in diesem Fall von einer HNN-Erweiterung über der Gruppe $J$, und man spricht von einer nichttrivialen HNN-Erweiterung falls $J\not =G$ ist.

## Definition

Gegeben seien eine Gruppe $G$, zwei Untergruppen $J,K\subset G$ und ein Isomorphismus $\alpha \colon J\to K$.
Wenn $G$ die Präsentierung $\langle S|R\rangle$ hat, dann wird $G_{\alpha }$, die HNN-Erweiterung von $G$ durch $\alpha$, durch folgende Präsentierung definiert:
    $\langle S,t\ |\ R,\ tjt^{-1}=\alpha (j)\ \forall j\in J\rangle$
Weil die Gruppe $G_{\alpha }$ die Erzeuger und Relationen von $G$ enthält, ist es klar, dass es einen kanonischen Homomorphismus von $G$ nach $G_{\alpha }$ gibt. Higman, Neumann und Neumann bewiesen, dass dieser Morphismus injektiv ist.

## Normalformen und Lemma von Britton

Für Berechnungen ist es oft nützlich, Elemente von $G_{\alpha }$ in eine Normalform bringen zu können. Diese Normalform ist nicht eindeutig, das Lemma von Britton beschreibt exakt, wann zwei Normalformen demselben Element entsprechen.
Normalform:
Jedes Element $w\in G_{\alpha }$ kann geschrieben werden als:
$w=g_{0}t^{\varepsilon _{1}}g_{1}t^{\varepsilon _{2}}\cdots g_{n-1}t^{\varepsilon _{n}}g_{N},\qquad g_{i}\in G,\varepsilon _{i}=\pm 1$
Das Lemma von Britton, bewiesen 1963 in „The word problem“ bietet eine Möglichkeit, die nichttrivialen Elemente einer HNN-Erweiterung zu beschreiben:
    Lemma von Britton: Sei $w\in G_{\alpha }$ in obiger Normalform, so dass * entweder $N=0$ und $g_{0}\not =1\in G$, * oder $N>0$ und in w kommen keine Teilwörter der Form $tjt^{-1}$ mit $j\in J$ oder $tkt^{-1}$ mit $k\in K$ vor,
    dann ist $w\not =1$ in $G_{\alpha }$.

## Eigenschaften

Sei $G$ eine Gruppe und $G_{\alpha }$ ihre HNN-Erweiterung mittels eines Isomorphismus $\alpha \colon J\to K$ zweier Untergruppen.
* Wenn $G$ abzählbar ist, dann auch $G_{\alpha }$.
* Wenn $G$ endlich erzeugt ist, dann auch $G_{\alpha }$.
* Wenn $G$ torsionsfrei ist, dann auch $G_{\alpha }$.

## Topologische Interpretation

Es sei $X$ ein zusammenhängender Raum mit zwei zusammenhängenden Teilmengen $A,B\subset X$, für die es einen Homöomorphismus $\phi \colon A\to B$ gibt. Wir definieren auf $X$ eine Äquivalenzrelation durch
    $x\sim y\Longleftrightarrow x\in A,y\in B,y=\phi (x)$ oder $x\in B,y\in A,y=\phi ^{-1}(x)$
und bezeichnen mit $Y=X/\sim$ den Quotientenraum dieser Äquivalenzrelation. Dann ist die Fundamentalgruppe von $Y$ eine HNN-Erweiterung der Fundamentalgruppe von $X$.
Genauer: sei $x_{0}\in X$ ein Basispunkt, $y_{0}=\left[x_{0}\right]\in X$ und für Basispunkte $a_{0}\in A,b_{0}=\phi (a_{0})\in B$ wähle Wege von $a_{0}$ bzw. $b_{0}$ nach $x_{0}$ und entsprechende Identifizierungen von $\pi _{1}(A,a_{0}),\pi _{1}(B,b_{0})$ mit Untergruppen $J,K\in \pi _{1}(X,x_{0})$. Der Homöomorphismus $\phi$ induziert einen Isomorphismus $\phi _{*}\colon \pi _{1}(A,a_{0})\to \pi _{1}(B,b_{0})$ und damit einen Isomorphismus $\alpha \colon J\to K$. Dann ist
    $\pi _{1}(Y,y_{0})=\pi _{1}(X,x_{0})*_{\alpha }$.
Der Beweis benutzt den Satz von Seifert und van Kampen.

## Bass-Serre-Theorie

Die HNN-Erweiterung $G_{\alpha }$ kann interpretiert werden als Fundamentalgruppe des Gruppengraphen mit einer Ecke v und einer Kante e, Kantengruppe $G_{e}:=G$, Eckengruppe $G_{v}:=J$ und Monomorphismen
    $\alpha _{0},\alpha _{1}\colon G_{e}\to G_{v}$
gegeben durch $\alpha _{0}=id$ und $\alpha _{1}=\alpha$.