# Elektromagnetische Induktion

Unter elektromagnetischer Induktion (auch Faradayscher Induktion, nach Michael Faraday, kurz Induktion) versteht man das Entstehen eines elektrischen Feldes bei einer Änderung der magnetischen Flussdichte.
In vielen Fällen lässt sich das elektrische Feld durch Messung einer elektrischen Spannung mit einer Spule direkt nachweisen. Ein typisches Beispiel hierfür zeigt das nebenstehende Bild: Durch die Bewegung des Magneten wird eine elektrische Spannung induziert, die an den Klemmen der Spule messbar ist und für weitere Anwendungen bereitsteht.
Die elektromagnetische Induktion wurde 1831 von Michael Faraday bei dem Bemühen entdeckt, die Funktionsweise eines Elektromagneten (Strom erzeugt Magnetfeld) umzukehren (Magnetfeld erzeugt Strom). Der Zusammenhang ist eine der vier maxwellschen Gleichungen. Die Induktionswirkung wird technisch vor allem bei elektrischen Maschinen wie Generatoren, Elektromotoren und Transformatoren genutzt. Bei diesen Anwendungen treten stets Wechselspannungen auf.

## Geschichtliche Entwicklung

Die elektromagnetische Induktion als Teil der maxwellschen Gleichungen und der klassischen Elektrodynamik spiegelt den Kenntnisstand zum Ende des 19. Jahrhunderts wider. Zum damaligen Zeitpunkt wurden teilweise andere Begriffe und Formelzeichen benutzt, die grundlegenden Vorstellungen über den Induktionsvorgang wurden jedoch zu dieser Zeit geschaffen.
Als Entdecker des Induktionsgesetzes gelten Michael Faraday, Joseph Henry und Hans Christian Ørsted, die das Induktionsgesetz im Jahr 1831 unabhängig voneinander formulierten, wobei Faraday, der von 1830 bis 1850 seine Hauptstudien über die Induktion und die elektromagnetischen Erscheinungen durchführte, seine Ergebnisse als Erster veröffentlichte.
In Faradays erstem Demonstrationsaufbau zur Induktion vom 29. August 1831 wickelte er zwei Leiterdrähte auf die gegenüberliegenden Seiten eines Eisenkerns – eine Anordnung, die modernen Ringkerntransformatoren ähnelt. Er erwartete aufgrund seiner Kenntnisse über Permanentmagnete, dass sich – sobald in einer der beiden Leitungen ein Strom zu fließen beginnt – eine Welle entlang des Rings ausbreitet und zu einem Stromfluss in der Leitung auf der anderen Seite des Rings führt. Im Experiment schloss er an einer der beiden Leitungen ein Galvanometer an und beobachtete jedes Mal einen kurzen Zeigerausschlag, wenn er den anderen Draht an eine Batterie anschloss. Die Ursache dieser Induktionserscheinung war die Änderung des magnetischen Flusses in der von der Leiterschleife aufgespannten Fläche. In der folgenden Zeit identifizierte Faraday weitere Beispiele elektromagnetischer Induktion. So beobachtete er Ströme wechselnder Richtung, wenn er einen Permanentmagneten rasch in eine Spule hinein und wieder heraus bewegte. Aus den historischen Untersuchungen ging auch die sogenannte Faradayscheibe (ein Gleichstromgenerator) hervor, deren Funktionsprinzip aus heutiger Sicht als sogenannte Bewegungsinduktion beschrieben wird und seine Ursache in der Bewegung des Leiters und der mitgeführten Ladungen im magnetischen Feld hat. Faraday veröffentlichte das Gesetz, beginnend mit “The relation which holds between the magnetic pole, the moving wire or metal, and the direction of the current evolved, i. e. the law which governs the evolution of electricity by magneto-electric induction, is very simple, although rather difficult to express.” (deutsch: „Die Beziehung, die zwischen dem magnetischen Pol, dem sich bewegenden Draht oder Metall und der Richtung des fließenden Stroms besteht, d. h. das Gesetz, das die Entstehung der Elektrizität durch magnetisch-elektrische Induktion beherrscht, ist sehr einfach, jedoch ziemlich schwer auszudrücken.“)
Bedeutende Beiträge stammten auch von Emil Lenz (lenzsche Regel), Franz Ernst Neumann und Riccardo Felici.
Anfang des 20. Jahrhunderts erfolgte die relativistische Eingliederung des Induktionsgesetzes im Rahmen der speziellen Relativitätstheorie. Anders als in der Mechanik, bei der sich die spezielle Relativitätstheorie erst bei Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit merklich auswirkt, sind relativistische Effekte in der Elektrodynamik schon bei sehr kleinen Geschwindigkeiten zu beobachten. So konnte im Rahmen der Relativitätstheorie beschrieben werden, wie sich beispielsweise die Beträge der elektrischen und magnetischen Feldkomponenten in Abhängigkeit von der Bewegung zwischen einem Beobachter und einer beobachteten elektrischen Ladung verändern. Diese Abhängigkeiten in der relativen Bewegung zueinander zwischen verschiedenen Bezugssystemen werden durch die Lorentz-Transformation beschrieben. Dabei zeigt sich, dass das Induktionsgesetz in Kombination mit den restlichen maxwellschen Gleichungen „lorentzinvariant“ ist. Das heißt, die Struktur der Gleichungen wird durch die Lorentztransformation zwischen verschiedenen Bezugssystemen nicht verändert. Dabei wird deutlich, dass die elektrischen und magnetischen Felder nur zwei Erscheinungsformen desselben Phänomens sind.

## Allgemeines

Bei der durch Induktion infolge einer magnetischen Flussdichteänderung entstehenden elektrischen Spannung handelt es sich um eine sogenannte Umlaufspannung. Eine solche Umlaufspannung tritt nur in Feldern mit einem sogenannten Wirbelanteil auf, d. h. in Feldern, bei denen Feldlinien nicht an einem bestimmten Punkt im Raum enden, sondern beispielsweise kreisförmig sind oder „im Unendlichen“ verschwinden. Hierdurch unterscheidet sich die Induktionsspannung von Spannungen, wie sie beispielsweise bei einer Batterie vorkommen (Potentialfeld). Die Feldlinien der Leerlaufspannung einer Batterie (siehe Elektrische Spannung) verlaufen stets von positiven zu negativen Ladungen und sind daher niemals geschlossen.
In mathematischer Form lässt sich das Induktionsgesetz durch jede der folgenden drei Gleichungen beschreiben:
Induktionsgesetz in SI-Einheiten :
| Differentielle Form | Integralform I | Integralform II |
| $\operatorname {rot} {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}$ | $\,\,\oint \limits _{\partial {\mathcal {\mathcal {A}}}(t)}{{\vec {E}}\cdot {\text{d}}{\vec {s}}}=-\int \limits _{{\mathcal {A}}(t)}{{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\cdot {\text{d}}{\vec {A}}}$ | $\,\,\oint \limits _{\partial {\mathcal {A}}(t)}{({\vec {E}}+{\vec {u}}\times {\vec {B}}(t))\cdot {\text{d}}{\vec {s}}}=-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\int \limits _{{\mathcal {A}}(t)}{\vec {B}}(t)\cdot {\text{d}}{\vec {A}}$ |
In den Gleichungen steht ${\vec {E}}$ für die elektrische Feldstärke und ${\vec {B}}$ für die magnetische Flussdichte. Die Größe ${\text{d}}{\vec {A}}$ ist das orientierte Flächenelement und $\partial {\mathcal {A}}$ der Rand (die Konturlinie) der betrachteten Integrationsfläche ${\mathcal {A}}$; ${\vec {u}}$ ist die lokale Geschwindigkeit der Konturlinie relativ zum zugrundeliegenden Bezugssystem. Das auftretende Linienintegral führt entlang einer geschlossenen Linie $\partial {\mathcal {A}}$ und endet daher am Startpunkt. Ein Multiplikationspunkt zwischen zwei Vektoren markiert deren Skalarprodukt.
Alle Größen müssen sich auf dasselbe Bezugssystem beziehen.

## Grundlegende Experimente

Im Folgenden werden mehrere beliebte Experimente zur Demonstration der elektromagnetischen Induktion beschrieben.
Ein grundlegendes Induktionsexperiment wird schon im Einleitungstext aufgegriffen. Bewegt man den im Einleitungstext dargestellten Permanentmagneten in der Spule auf und ab, lässt sich an den Klemmen der Spule mit dem Oszilloskop eine elektrische Spannung abgreifen.
Dieses Prinzip wird beim Transformator genutzt, dessen Funktionsprinzip im nebenstehenden Bild skizziert wird: Schließt man den Batteriestromkreis in der linken Wicklung (Primärwicklung), so entstehen kurzzeitig im Eisenkern ein sich veränderndes magnetisches Feld und in der rechten Wicklung (Sekundärwicklung) eine elektrische Spannung, die beispielsweise mithilfe eines Voltmeters oder einer Glühlampe nachgewiesen werden kann. Öffnet man den Batteriestromkreis auf der linken Seite wieder, entsteht in der rechten Wicklung erneut eine elektrische Spannung. Diese hat jedoch ein umgekehrtes Vorzeichen.
Sofern der Eisenkern elektrisch leitfähig ist, können schon im Kern elektrische Ströme induziert werden, die den Eisenkern erhitzen (siehe Bild Induktive Erwärmung einer Metallstange). Dies versucht man bei Transformatoren zu vermeiden, indem man geblechte Kerne verwendet.
Die Erzeugung einer elektrischen Spannung lässt sich auch durch Bewegung der Leiter erzeugen. So lässt sich an den Klemmen einer Leiterschleife oder einer Spule eine elektrische Wechselspannung abgreifen, wenn man die Leiterschleife in einem zeitlich konstanten Magnetfeld dreht, wie im Abschnitt Leiterschleife im Magnetfeld gezeigt. Nach dem dort gezeigten Prinzip (aber einer grundlegend verbesserten Anordnung) funktionieren die in Kraftwerken eingesetzten Generatoren zur Bereitstellung elektrischer Energie im Stromversorgungsnetz. In dem gezeigten Experiment kann die Wirkungsrichtung grundsätzlich umgedreht werden: Legt man an die Klemmen der drehbar gelagerten Leiterschleife eine elektrische Wechselspannung, so dreht sich die Leiterschleife um ihre Achse im magnetischen Feld (Synchronmotor).
Die Bewegung eines Leiters im Magnetfeld kann auch genutzt werden, um eine elektrische Gleichspannung zu erzeugen. Dies ist beispielhaft im Abschnitt Induktion durch Bewegung des Leiters gezeigt. Bewegt man den Leiterstab entlang der Schienen, die durch einen Schleifkontakt oder durch Räder elektrisch mit dem Leiterstab verbunden sind, so lässt sich am Voltmeter eine Gleichspannung messen, die von der Geschwindigkeit des Leiterstabes, der magnetischen Flussdichte und dem Abstand der Schienen abhängt.
Anstelle einer Linearbewegung lässt sich das Experiment auch mit einer Drehbewegung demonstrieren, wie am Beispiel der Faradayscheibe (Bild rechts) gezeigt. Im dargestellten Experiment übernimmt die Aluminiumscheibe die Funktion des bewegten Leiterstabes aus dem Experiment mit dem bewegten Leiterstab im Magnetfeld.
Dreht man die Aluminiumscheibe im magnetischen Feld, so lässt sich zwischen dem Schleifkontakt am äußeren Rand der Aluminiumscheibe und der Drehachse eine elektrische Spannung nachweisen, mit der sich beispielsweise auch eine Glühlampe betreiben lässt. Die Spannung an den Klemmen hängt dabei von der Stärke der magnetischen Flussdichte, der Drehgeschwindigkeit $\omega _{1}$ und dem Durchmesser der Scheibe ab.
Zum großen Erstaunen Faradays weist ein solcher Unipolargenerator jedoch unerwartete Eigenschaften auf, die in der Literatur noch lange nach Faradays Entdeckung diskutiert wurden und zu einer lange anhaltenden Kontroverse um die Frage führte, ob man dem Magnetfeld gleichsam wie einem materiellen Objekt eine Geschwindigkeit zuordnen könne und konkret, ob sich das Magnetfeld mit dem Magneten mitdreht. Die wesentliche Entdeckung war, dass die Spannung entgegen einer naheliegenden intuitiven Annahme nachweislich nicht von der Relativbewegung zwischen dem Permanentmagneten und der Aluminiumscheibe abhängt. Denn dreht man im dargestellten Experiment beispielsweise nur den Permanentmagneten und lässt die Aluminiumscheibe ruhen $(\omega _{1}=0,\,\omega _{2}\neq 0)$, so ist trotz der vorhandenen Relativbewegung zwischen Magnet und Leiter keine Spannung zu beobachten. Dreht man hingegen beide Scheiben mit der gleichen Geschwindigkeit $(\omega _{1}=\omega _{2}\neq 0)$, so wird eine Spannung angezeigt, obwohl sich die beiden Scheiben relativ zueinander nicht bewegen. Ebenso ist eine Spannungsanzeige zu beobachten, wenn man die Spannung anstelle an der Aluminiumscheibe direkt an dem als elektrisch leitfähig angenommenen Permanentmagneten abgreift.
Das Prinzip ist ebenfalls umkehrbar und lässt stromdurchflossene Magnetscheiben kreiseln, siehe Homopolarmotor.
Obwohl die Kontroverse um diese Frage im Rahmen der speziellen Relativitätstheorie Einsteins aufgeklärt werden kann und es erwiesenermaßen nicht auf die Relativgeschwindigkeit zwischen Magnet und Leiter ankommt, wird im schulischen Unterricht auch heute teilweise noch das sogenannte Igelmodell des Magnetfeldes verwendet, dem zufolge die magnetischen Feldlinien wie Igelstacheln an dem Magneten befestigt seien. Induktion trete diesem Modell entsprechend immer dann ein, wenn der Leiter die Feldlinien „schneide“ (Relativbewegung zwischen Leiter und Magnetfeld). Im Rahmen der Seminarlehrertagung „Physik“ in Dillingen 2002 wies Hübel ausdrücklich auf die mit dem Igelmodell verbundenen Schwierigkeiten hin und betonte, das Igelmodell solle nicht als kausale Erklärung der Induktion missverstanden werden; es sei vielmehr nicht haltbar und könne zu falschen Vorstellungen führen.
Eine ähnlich häufige Fehlvorstellung wie das Igelstachelmodell betrifft die Annahme, induktive Vorgänge ließen sich mit der Kirchhoff’schen Maschengleichung erklären. Diese besagt, dass die Summe aller Spannungen in einem Stromkreis „einmal im Kreis herum“ immer null ergibt. Aus dem Induktionsgesetz lässt sich für ruhende Stromkreise hingegen folgern, dass die Summe aller Spannungen „einmal im Kreis herum“ der Änderung des magnetischen Flusses entspricht, die in der vom Stromkreis aufgespannten Fläche auftritt.
Das nebenstehende Bild zeigt zur Verdeutlichung eine Leiterschleife bestehend aus einem guten Leiter (schwarze Linie) und einem Widerstand R, der zur Messung der Spannung zwischen den Klemmen A und B genutzt wird. Im Bereich innerhalb des Rechtecks (bestehend aus dem Leiter und der gestrichelten Verbindung zwischen den Punkten A und B) existiert ein Magnetfeld, dessen zeitliche Ableitung ${\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}$ eine Zeitlang homogen und zeitlich konstant ist.
Misst man die Spannung zwischen den Klemmen A und B entlang einer Strecke durch die Luft, so ergibt sich ein von Null verschiedener Wert, der von der Flussänderung der umschlossenen Fläche abhängt:
    $u_{\mathrm {AB,Luft} }\neq 0$
Misst man die Spannung zwischen den Klemmen A und B hingegen entlang einer Strecke durch den Draht, so ergibt sich der Wert null:
    $u_{\mathrm {AB,Draht} }=u_{1}+u_{2}+\dotsb +u_{15}=0$,
da im Draht aufgrund des geringen Stromflusses und der guten Leitfähigkeit ein verschwindendes E-Feld herrscht und somit gilt:
    $u_{1}=u_{2}=\dotsb =u_{15}=0$
Der Begriff der „Spannung zwischen zwei Punkten“ ist bei Induktion nicht mehr eindeutig und muss durch die Angabe des Weges ergänzt werden (vgl. Wirbelfeld).

## Induktion bei einer Leiterschleife
### Allgemeine Formulierung des Induktionsgesetzes für eine Leiterschleife

Obwohl die allgemeine Formulierung des Induktionsgesetzes keine Leiterschleife erfordert, soll zunächst wie in vielen einführenden Lehrbüchern üblich die Induktion an einer aus dünnem, gut leitfähigem Draht bestehenden Leiterschleife betrachtet werden. Hierdurch lassen sich eine große Anzahl technischer Anwendungen wie beispielsweise Motoren und Generatoren für Dreh- und Wechselstrom beschreiben und verstehen, ohne dass dazu eine Behandlung der relativistischen Aspekte der Feldtheorie oder die Anwendung der Lorentztransformation erforderlich wäre.
Für die zwischen beiden Drahtenden mit einem im Laborsystem ruhenden Messgerät (beispielsweise mit einem Oszilloskop) messbare elektrische Spannung $U$ ergibt sich unter den Voraussetzungen, die im nebenstehenden Bild gekennzeichnet sind:
    $U=+{\frac {{\text{d}}\Phi }{{\text{d}}t}}$
Hierbei ist $\Phi$ der magnetische Fluss
    $\Phi =\int \limits _{{\mathcal {A}}(t)}{\vec {B}}\cdot {\text{d}}{\vec {A}},$
der durch eine (beliebige) von der Leiterschleife, den Zuleitungen zum Messgerät und den Leitungen im Messgerät begrenzte Fläche ${\mathcal {A}}(t)$ hindurchtritt. Bei der Berechnung des Flusses kommt es nicht auf die Form der Fläche, sondern ausschließlich auf deren Berandung an. Ebenso ist es bei der Rechnung nicht notwendig zu unterscheiden, ob die elektrische Spannung der Anordnung durch eine Änderung der Flussdichte oder durch eine Bewegung des Leiters erzeugt wird.
Bei der Festlegung des Vorzeichens in der Gleichung $U=+{\tfrac {{\text{d}}\Phi }{{\text{d}}t}}$ ist zu beachten, dass das Vorzeichen sowohl von der Einbaurichtung des Messgerätes, als auch von der Flächenorientierung abhängt. Die Flächenorientierung ist im Schaltbild durch den eingezeichneten Pfeil beim Flächenelement ${\text{d}}{\vec {A}}$ gekennzeichnet. Der Pfeil bei der Spannungsangabe $U$ definiert wiederum die Einbaurichtung des Messgerätes. Die vorliegende Bepfeilung bei der Spannung (Pfeil zeigt von oben nach unten) bedeutet, dass an der oberen Anschlussklemme das rote Anschlusskabel des Digitalvoltmeters und an der unteren Anschlussklemme das schwarze Anschlusskabel des Digitalvoltmeters angeschlossen wird. Mit der im Bild definierten positiven Orientierung der Fläche sowie der durch den Zählpfeil bei der Spannung definierten Einbaurichtung ergibt sich ein positives Vorzeichen. Würde man das Messgerät umdrehen (Spannungspfeil von unten nach oben) oder die Flächenorientierung umgekehrt wählen, so würde sich in der Gleichung ein negatives Vorzeichen ergeben. Ein positives Vorzeichen ergäbe sich hingegen wiederum, wenn man sowohl die Orientierung des Spannungspfeils als auch die Flächenorientierung umkehren würde.

### Beispiel: Induktion durch Bewegung des Leiters

Der im nebenstehenden Bild skizzierte Messaufbau besteht aus einer ruhenden elektrisch leitfähigen Schienenanordnung, über die mit der Geschwindigkeit $v$ ein Leiterstab gleitet. Die Anordnung befindet sich in einem örtlich und zeitlich konstanten magnetischen Feld mit der Flussdichte ${\vec {B}}_{0}$, das durch einen ruhenden Permanentmagneten oder eine ruhende mit Gleichstrom betriebene Spulenanordnung hervorgerufen wird. Die Spannung zwischen den beiden Schienen wird mit einem Voltmeter gemessen.
Die Spannung $U$ hängt von der Stärke der magnetischen Flussdichte $B$, der Geschwindigkeit $v$ und dem Schienenabstand $L$ ab:
    $U=L\cdot B_{0}\cdot v$
Diese Spannung kann mithilfe des zuvor formulierten Induktionsgesetzes für eine Leiterschleife verstanden werden. Da die magnetischen Feldlinien die aufgespannte Fläche senkrecht durchstoßen, kann der magnetische Fluss berechnet werden als
    $\Phi =B_{0}\cdot A,$
wobei die Fläche eine rechteckige Fläche mit dem Flächeninhalt
    $A=L\cdot x$
ist.
Der von den Leitern eingeschlossene magnetische Fluss beträgt folglich:
    $\Phi =B_{0}\cdot A=B_{0}\cdot \underbrace {L\cdot x} _{=A}$
Da die Geschwindigkeit definiert ist als
    $v={\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}t}},$
kann man auch schreiben:
    $U={\frac {{\text{d}}\Phi }{{\text{d}}t}}=B_{0}\cdot L\cdot {\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}t}}=B_{0}\cdot L\cdot v$
Man spricht in diesem Fall von der sogenannten Bewegungsinduktion, da die Spannung einzig durch die Bewegung des Leiters entstanden ist und die zeitliche Änderung der Flussdichte keine Rolle spielte.
Bei Bewegungsinduktion lässt sich die Entstehung der Spannung immer als Folge der Lorentzkraft auf die im Leiterstab vorhandenen Leitungselektronen verstehen. Im vorliegenden Beispiel erklärt sich die Entstehung der Spannung wie folgt:
* Die Lorentzkraft übt auf die Elektronen eine Kraft F$^→$$_L$=q⋅(v$^→$×B$^→$$_0$){\textstyle {\vec {F}}_{\mathrm {L} }=q\cdot \left({\vec {v}}\times {\vec {B}}_{0}\right)} aus, wobei $q=-1{,}602\cdot 10^{-19}\ \mathrm {C}$ die Ladung eines Elektrons und ${\vec {v}}$ die Geschwindigkeit des Elektrons ist.
* Die Richtung der Kraft lässt sich mit der UVW-Regel oder der Rechte-Hand-Regel nachvollziehen. In der Zeichnung wird der Leiter von links nach rechts bewegt ($\Rightarrow$ Daumen der rechten Hand zeigt nach rechts). Das schwachgraue Muster im Hintergrund des Bildes symbolisiert Feldlinien des Magnetfeldes ${\vec {B}}_{0}$, die senkrecht zur Ebene der Schienenanordnung vom Betrachter weg verlaufen ($\Rightarrow$ Zeigefinger zeigt in die Zeichenebene hinein). Der Mittelfinger zeigt dementsprechend in Richtung der Kraftrichtung, die auf positive Ladungsträger ausgeübt würde ($\Rightarrow$ Mittelfinger zeigt von der unteren Schiene auf die obere Schiene). Folglich werden negativ geladene Elektronen zur unteren Schiene hin verschoben.
* Aufgrund der Lorentzkraft verschieben sich die Elektronen so, dass auf der oberen Schiene ein Elektronenmangel und auf der unteren Schiene ein Elektronenüberschuss entsteht.
* Aus der ungleichmäßigen Ladungsverteilung ergibt sich ein elektrisches Feld, das der Lorentzkraft entgegenwirkt.
* Im Gleichgewichtsfall sind die Lorentzkraft ${\vec {F}}_{\mathrm {L} }$ und die Coulombkraft ${\vec {F}}_{\mathrm {C} }$ entgegengesetzt gleich, und es gilt:
    ${\vec {E}}=-{\vec {v}}\times {\vec {B}}_{0}$
Die elektrische Feldstärke zeigt in Richtung auf die untere Schiene und erklärt die auftretende Klemmenspannung.

### Beispiel: Induktion durch Flussdichteänderung

Eine Änderung des magnetischen Flusses lässt sich auch dadurch erreichen, dass man die magnetische Flussdichte ändert. Dies geschieht im nebenstehenden Beispiel dadurch, dass man einen Magneten von links kommend unter der Leiterschleife hindurchschiebt. Die Darstellung wurde so gewählt, dass sich die gleiche Flussänderung wie beim Beispiel „Induktion durch Bewegung des Leiters“ ergibt. Folglich ergibt sich an den Klemmen der Anordnung auch die gleiche Spannung:
    $U={\frac {{\text{d}}\Phi }{{\text{d}}t}}=B_{0}\cdot L{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}t}}=B_{0}\cdot L\cdot v$
Obwohl bei beiden Experimenten die gleiche Flussänderung und die gleiche Spannung auftreten, unterscheiden sich beide Experimente ansonsten sehr stark. Dies gilt insbesondere im Hinblick auf das elektrische Feld: Beim Beispiel „Induktion durch Bewegung des Leiters“ liegt ein elektrostatisches Feld vor, während beim Beispiel „Induktion durch Flussdichteänderung“ ein elektrisches Feld mit starken Wirbelanteilen vorliegt.

### Technische Anwendungen

In der Technik findet das Induktionsgesetz in vielfacher Hinsicht Anwendung. Allen Beispielen ist gemein, dass durch Änderung des magnetischen Flusses eine stromtreibende Wirkung erzielt wird. Dies geschieht entweder durch Bewegung eines Leiters in einem magnetischen Feld (Bewegungsinduktion) oder durch Änderungen des Magnetfeldes:
* Induktionsschleife für Kfz zur Steuerung von Verkehrsampelanlagen und Schranken
* Dynamisches Mikrofon
* Dynamisches (Magnet-)Tonabnehmersystem für Plattenspieler
* Tonabnehmer für elektrische Saiteninstrumente (z. B. E-Gitarre und E-Bass)
* Tonkopf zur Abtastung von Magnetbändern
* Generator = Dynamo = Lichtmaschine
* RFID-Tag (beispielsweise Ski-Pass)
* Transkranielle Magnetstimulation
* Induktionsgeber (auch induktiver Impulsgeber) als Drehzahlsensor (z. B. im Kfz-Bereich)
* Induktionshärten
* Induktionslampe
* Induktionssender
* Transformator
* Ringschleifenanlage für die Übertragung von Audiosignalen in Hörgeräte
* Aufwärtswandler
* Betatron
* Induktions-Linearbeschleuniger
* Induktive Erwärmung durch Wirbelströme: Induktionsofen, Induktionshärten, das Induktionsfeld, Induktionskochfeld

### Erkennen der Flussänderung

Wenn an den Klemmen einer starren Leiterschleife eine Spannung abgreifbar ist, so kann diese dem Induktionsgesetz für Leiterschleifen entsprechend immer auf eine Flussänderung in der Leiterschleife zurückgeführt werden.
* Bei der Bewegung der Leiterschleife tritt eine Flussänderung auf.
* Bei der Bewegung der Leiterschleife tritt ebenfalls eine Flussänderung auf, die aber oft nicht erkannt wird.
* Die magnetische Flussdichte in den Schenkeln des Hufeisenmagneten ist nicht konstant.
Hübel weist unter dem Stichwort „Hufeisenparadoxon“ darauf hin, dass diese Flussänderung in manchen Fällen dem ungeübten Auge verborgen bleibt und diskutiert die Probleme anhand verschiedener Anordnungen mit Hufeisenmagneten, wie sie typischerweise im Schulunterricht verwendet werden (vgl. nebenstehende Bilder).
Während die Flussänderung in der Leiterschleife in der ersten Anordnung für Anfänger normalerweise leicht erkennbar ist, misslingt dies vielen Lernenden beim zweiten Bild. Die Lernenden konzentrieren sich auf den mit Luft erfüllten Bereich der Anordnung und berücksichtigen nicht, dass die Flussdichte zum Pol des Permanentmagneten hin nur im Innenbereich kontinuierlich zunimmt, während sie maßgeblich zu den Polen hin im Magneten abnimmt (siehe drittes Bild).

### Anordnung mit Rollkontakten – Versuch von Hering

Im nebenstehenden Video ist ein geschlitzter Eisenkern zu sehen. Eine mit einem Gleichstrom gespeiste Spule erzeugt im Kern und in seinem Schlitz ein zeitlich konstantes magnetisches Feld.
Das Video zeigt parallel zwei unterschiedliche Experimente und ihren Ausgang an:
* Im unteren Teil führt man eine gewöhnliche Leiterschleife durch den Schlitz des Eisenkerns. Da in diesem Schlitz ein magnetisches Feld herrscht, entsteht an den Enden der Leiterschleife eine Spannung, die verstärkt und im unteren Oszilloskopbild angezeigt wird.
* Im oberen Teil wird eine modifizierte Leiterschleife realisiert. Dabei wird die Leiterschleife an einer Stelle aufgetrennt und die aufgetrennten Enden werden mit einem Metallrädchen versehen. Während des Experiments umfahren die Metallrädchen den magnetischen Kern und üben dabei jeweils einen gewissen Anpressdruck aufeinander oder auf den Kern aus. Da der magnetische Kern elektrisch leitfähig ist, besteht so zu jedem Zeitpunkt eine elektrische Verbindung zwischen den Rädchen und damit zwischen den aufgetrennten Enden der Schleife. Das Oszilloskop zeigt trotz ansonsten gleicher Bedingungen keine Spannung an.
Paradoxon: Bei beiden Experimenten tritt die gleiche Flussänderung in der gleichen Zeit auf. Das Oszilloskop zeigt aber nur in einem Experiment eine Spannung an, obwohl man in beiden Experimenten das Vorhandensein einer induzierten Spannung erwarten würde. Dieses unerwartete Ergebnis heißt Heringsches Paradoxon, benannt nach Carl Hering.
Das Experiment soll im Folgenden aus einem Bezugssystem heraus betrachtet werden, bei dem das Oszilloskop und die Leitungen ruhen und sich ein elektrisch leitfähiger Permanentmagnet mit der Geschwindigkeit $v$ in eine Leiterschleife hineinbewegt. Die obere und die untere Kontaktfläche des Magneten sind über feststehende Rollen elektrisch leitend mit den eingezeichneten Leiterdrähten verbunden.
Für die verschiedenen Abschnitte der Leiterschleife ergeben sich dann die folgenden elektrischen Feldstärken:
| Strecke ${\overline {AB}}$ (Leiter) | Strecke ${\overline {BC}}$ (Magnet) | Strecke ${\overline {CD}}$ (Leiter) | Strecke ${\overline {DA}}$ (Oszilloskop) |
| $E=0$ | ${\vec {E}}=-{\vec {v}}\times {\vec {B}}=v\cdot B\cdot {\vec {e}}_{y}$ | $E=0$ | $E=0$ |
Wesentlich zur Auflösung des Paradoxons ist die Erkenntnis, dass das Innere des leitfähigen bewegten Magneten nicht feldfrei ist, sondern dass dort eine von null verschiedene elektrische Feldstärke ${\vec {E}}=-{\vec {v}}\times {\vec {B}}$ herrscht. Integriert man diese Feldstärke entlang der Strecke ${\overline {BC}}$ auf, ergibt sich gerade die gesuchte induzierte Spannung. Diese ist aber nicht – wie erwartet – im Oszilloskop lokalisiert, sondern im Magneten.
Die Gleichung ${\vec {E}}=-{\vec {v}}\times {\vec {B}}$ lässt sich aus der Überlegung herleiten, dass offensichtlich an keinem Abschnitt des Stromkreises eine stromtreibende Kraft wirkt. Da die Kräftefreiheit insbesondere auch für das Innere des Magneten gilt, lässt sich für eine innerhalb des Magneten befindliche Ladung $q$ die elektromagnetische Gesamtkraft: ${\vec {F}}_{q}=q\cdot ({\vec {E}}+{\vec {v}}_{q}\times {\vec {B}})={\vec {0}}$ ansetzen. Nimmt man an, dass sich die Ladung $q$ „schlupffrei“ mit dem Magneten mitbewegt (${\vec {v}}_{q}={\vec {v}}$), gilt auch $q\cdot ({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}})={\vec {0}}$, was nach einer leichten Formelumstellung zu ${\vec {E}}=-{\vec {v}}\times {\vec {B}}$ führt.
Der scheinbare Widerspruch des Experimentes zum Induktionsgesetz ist auch durch eine formale Betrachtung auflösbar. Dabei führen Form I und Form II mit ruhender oder auch konvektiver (im Magneten mitwandernder) Umlaufkurve zum (gemessenen) Ergebnis, dass am Voltmeter keine Spannung angezeigt wird. Die Tabelle gibt exemplarisch die Terme an, die bei Form II anfallen.
Anordnung von C. Hering – Zwei Varianten der Spannungsberechnung :
| Induktionsgesetz Form II | $\textstyle \partial {\mathcal {A}}$ | $\textstyle {\vec {u}}$ | $\textstyle \int _{\mathrm {C} DAB}{\vec {E}}\cdot {\text{d}}{\vec {s}}$ | $\textstyle \int _{\mathrm {B} C}{\vec {E}}\cdot {\text{d}}{\vec {s}}$ | $\textstyle \int \limits _{\mathrm {B} C}{\vec {u}}\times {\vec {B}}\cdot {\text{d}}{\vec {s}}$ | $\textstyle -{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\int \limits _{{\mathcal {A}}(t)}{\vec {B}}\cdot {\text{d}}{\vec {A}}$ |
| $\textstyle \oint \limits _{\partial {\mathcal {A}}}{({\vec {E}}+{\vec {u}}\times {\vec {B}})\cdot {\text{d}}{\vec {s}}}=-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\int \limits _{\mathcal {A}}{\vec {B}}\cdot {\text{d}}{\vec {A}}\quad \quad$ | ruhend | $\textstyle 0$ | $\textstyle U$ | $\textstyle -vBL$ | $\textstyle 0$ | $\textstyle -vBL$ |
| $\textstyle \oint \limits _{\partial {\mathcal {A}}(t)}{({\vec {E}}+{\vec {u}}\times {\vec {B}})\cdot {\text{d}}{\vec {s}}}=-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\int \limits _{{\mathcal {A}}(t)}{\vec {B}}\cdot {\text{d}}{\vec {A}}\quad \quad$ | konvektiv | $\textstyle {\vec {v}}$ | $\textstyle U$ | $\textstyle -vBL$ | $\textstyle +vBL$ | $\textstyle 0$ |
Gegenüber dem hohen Innenwiderstand des Spannungsmessers sind die auf die ruhende Messleitung und den bewegten Magneten entfallenden Widerstände vernachlässigbar. Deshalb kann im ruhenden Teil CDAB nur im Spannungsmesser eine elektrische Feldstärke existieren, sodass dort der Beitrag zum Umlaufintegral von $\textstyle {\vec {E}}$ gleich $\textstyle U$ ist (4. Spalte der Tabelle). Der Term $\textstyle -vLB$ in der 5. Spalte rührt daher, dass der bewegte magnetisierte Körper im Laborsystem elektrisch polarisiert erscheint. Der Term gibt die entsprechende elektrische Spannung an. Zum gleichen Resultat führt auch die Transformationsbeziehung zwischen elektrischer Feldstärke und magnetischer Flussdichte $\textstyle {\vec {E}}'={\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}}$ nach Lorentz bei $\textstyle {\vec {E}}'=0$. In den magnetischen Schwund in der Spalte rechts außen geht die Bewegung der Randlinie ein. Bei bewegtem Abschnitt BC bleibt der Fluss konstant. Ruhende oder bewegte Randlinie führen mit den angegebenen Termen zum (auch gemessenen) Resultat $\textstyle U=0$.

## Allgemeines Induktionsgesetz in differentieller Form und in Integralform

Das Gesetz der elektromagnetischen Induktion, kurz Induktionsgesetz, beschreibt einen Zusammenhang zwischen elektrischen und magnetischen Feldern (der andere ist das Ampèresches Gesetz). Es besagt, dass bei einer Änderung des magnetischen Flusses durch eine Fläche am Rand dieser Fläche eine Ringspannung entsteht. In besonders häufig verwendeten Formulierungen wird das Induktionsgesetz beschrieben, indem die Randlinie der Fläche als unterbrochene Leiterschleife dargestellt wird, an deren offenen Enden die Spannung gemessen werden kann.
Die zum Verständnis sinnvolle Beschreibung gliedert sich in zwei mögliche Darstellungsformen:
* Die Integralform oder auch globale Form des Induktionsgesetzes: Dabei werden die globalen Eigenschaften eines räumlich ausgedehnten Feldgebietes (über den Integrationsweg) beschrieben.
* Die differentielle Form oder auch lokale Form des Induktionsgesetzes: Dabei werden die Eigenschaften einzelner lokaler Feldpunkte in Form von Dichten beschrieben. Die Volumina der globalen Form streben gegen null, und die auftretenden Feldstärken werden differenziert.
Beide Darstellungsformen beschreiben denselben Sachverhalt. Je nach konkretem Anwendungsfall und Problemstellung kann es sinnvoll sein, die eine oder die andere Form zu benutzen.
Bei der Anwendung des Induktionsgesetzes ist zu beachten, dass alle in den Gleichungen auftretenden Größen, d. h. die elektrische Feldstärke ${\vec {E}}$, die magnetische Flussdichte ${\vec {B}}$, die orientierte Fläche ${\mathcal {A}}$, die Konturlinie $\partial {\mathcal {A}}$ dieser Fläche und die lokale Geschwindigkeit ${\vec {u}}$ eines Punktes auf der Konturlinie von einem beliebigen, aber für alle Größen gleichen, Bezugssystem (Inertialsystem) aus beschrieben werden.
Führt die Konturlinie durch Materie, ist zudem zu beachten:
* Die Konturlinie $\partial {\mathcal {A}}$ ist eine gedachte Linie. Da sie keine physikalische Entsprechung hat, hat eine eventuelle zeitliche Bewegung der Konturlinie grundsätzlich keinen Einfluss auf die stattfindenden physikalischen Prozesse. Insbesondere verändert eine Bewegung der Konturlinie nicht die Feldgrößen ${\vec {E}}$ und ${\vec {B}}$. In der Integralform I wird die Bewegung der Konturlinie daher überhaupt nicht berücksichtigt. In der Integralform II beeinflusst die Bewegung der gedachten Konturlinie beide Seiten der Gleichung in gleichem Maße, sodass man bei der Berechnung beispielsweise einer elektrischen Spannung mit Integralform I zum gleichen Ergebnis kommt wie bei der Berechnung derselben Spannung mithilfe von Integralform II.
* Grundsätzlich darf die Geschwindigkeit der Konturlinie von der Geschwindigkeit der im Experiment verwendeten Körper (z. B. Leiterschleife, Magnete) abweichen. Die Geschwindigkeit der Konturlinie in Bezug auf den Beobachter wird im Rahmen des Artikels mit ${\vec {u}}$ gekennzeichnet, während die Geschwindigkeit von Objekten mit dem Buchstaben ${\vec {v}}$ beschrieben wird.
* Im Gegensatz zur Bewegung der Konturlinie hat die Geschwindigkeit der Körper im Allgemeinen einen Einfluss auf die stattfindenden physikalischen Vorgänge. Das gilt insbesondere für die Feldgrößen ${\vec {E}}$ und ${\vec {B}}$, die der jeweilige Beobachter misst.

### Induktionsgesetz in differentieller Form

Das Induktionsgesetz in differentieller Form lautet:
    $\operatorname {rot} {\vec {E}}=-{\dot {\vec {B}}}$
Das Vorhandensein von elektrischen Wirbeln bzw. einer zeitveränderlichen magnetischen Flussdichte ist das wesentliche Kennzeichen von Induktion. In elektrischen Feldern ohne Induktion (z. B. in dem Feld unbewegter Ladungen) existieren keine geschlossenen Feldlinien der elektrischen Feldstärke $E$, und das Umlaufintegral der elektrischen Feldstärke ergibt immer null.
Seine Hauptanwendung findet das Induktionsgesetz in differentieller Form einerseits bei theoretischen Herleitungen und in der numerischen Feldberechnung, andererseits (jedoch seltener) in der analytischen Berechnung konkreter technischer Fragestellungen.
Wie Einstein in seinem ersten Werk über die spezielle Relativitätstheorie zeigte, stehen die Maxwellgleichungen in differentieller Form in Übereinstimmung mit der speziellen Relativitätstheorie. Eine an den heutigen Sprachgebrauch angepasste Herleitung hierzu findet sich in dem inzwischen vergriffenen Lehrbuch von Simonyi.

### Übergang von der differentiellen Form zur Integralform

Der Zusammenhang zwischen der Integralform und der differentiellen Form kann mithilfe des Satzes von Stokes mathematisch beschrieben werden. Dabei werden die globalen Wirbel- und Quellenstärken in lokale, diskrete Wirbel- bzw. Quellendichten, die einzelnen Raumpunkten (Punkten eines Vektorfeldes) zugeordnet sind, übergeführt.
Ausgangspunkt ist das Induktionsgesetz in differentieller Form:
    $\operatorname {rot} {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}$
Zur Überführung in die integrale Form wird der Satz von Stokes verwendet, der aus naheliegenden Gründen mit der Variablen ${\vec {E}}$ formuliert wird:
    $\oint \limits _{\partial {\mathcal {A}}}{\vec {E}}\cdot {\text{d}}{\vec {s}}=\int \limits _{\mathcal {A}}\operatorname {rot} {\vec {E}}\cdot {\text{d}}{\vec {A}}$
Ersetzt man im rechten Term des Stokesschen Gesetzes das Vektorfeld ${\vec {E}}$ entsprechend dem Induktionsgesetz in differentieller Form durch den Term $-{\tfrac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}$, so ergibt sich:
    $\oint \limits _{\partial {\mathcal {A}}}{\vec {E}}\cdot {\text{d}}{\vec {s}}=-\int \limits _{\mathcal {A}}{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\cdot {\text{d}}{\vec {A}}$
Das ist eine mögliche allgemeine Form des Induktionsgesetzes in Integralform, die entgegen vielen anderslautenden Behauptungen sowohl für Konturlinien in ruhenden Körpern als auch in bewegten Körpern angewendet werden kann.
Um eine Formulierung zu erhalten, die den magnetischen Fluss $\Phi =\int \limits _{\mathcal {A}}{\vec {B}}\cdot {\text{d}}{\vec {A}}$ enthält, addiert man auf beiden Seiten der Gleichung den Term $\oint \limits _{\partial {\mathcal {A}}}({\vec {u}}\times {\vec {B}})\cdot {\text{d}}{\vec {s}}$. Dabei ergibt sich:
    $\oint \limits _{\partial {\mathcal {A}}}\left({\vec {E}}+{\vec {u}}\times {\vec {B}}\right)\cdot {\text{d}}{\vec {s}}=-\int \limits _{\mathcal {A}}{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\cdot {\text{d}}{\vec {A}}+\oint \limits _{\partial {\mathcal {A}}}({\vec {u}}\times {\vec {B}})\cdot {\text{d}}{\vec {s}}$
Der rechte Teil der Gleichung entspricht wegen $\operatorname {div} {\vec {B}}=0$ der negativen zeitlichen Änderung des magnetischen Flusses, sodass das Induktionsgesetz in Integralform in voller Allgemeingültigkeit auch folgendermaßen notiert werden kann:
    $\oint \limits _{\partial {\mathcal {A}}}\left({\vec {E}}+{\vec {u}}\times {\vec {B}}\right)\,{\text{d}}{\vec {s}}=-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\int \limits _{\mathcal {A}}{\vec {B}}\,{\text{d}}{\vec {A}}$
In vielen Lehrbüchern werden diese Zusammenhänge leider nicht richtig notiert, was daran erkennbar ist, dass der auf der linken Gleichungsseite notierte Term ${\vec {u}}\times {\vec {B}}$ fehlt. In der neuen Auflage ist der Fehler behoben. Richtig notiert wird das Induktionsgesetz hingegen beispielsweise bei Fließbach.
Der Irrtum besteht wahrscheinlich darin, dass der fehlende Term irrtümlich der elektrischen Feldstärke zugeschlagen wird (manche Autoren sprechen in diesem Zusammenhang auch von einer effektiven elektrischen Feldstärke). In seiner Konsequenz führt das Weglassen des Terms ${\vec {u}}\times {\vec {B}}$ dazu, dass die Größe $E$ inkonsistent verwendet wird und je nach Zusammenhang eine unterschiedliche Bedeutung hat.

### Induktionsgesetz in Integralform

Im folgenden Abschnitt wird die erste Integralform des Induktionsgesetzes betrachtet:
    $\oint \limits _{\partial {\mathcal {A}}}{\vec {E}}\,\mathrm {d} {\vec {s}}=-\int \limits _{\mathcal {A}}{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} {\vec {A}}$
Entsprechend der mathematischen Formulierung des Integrals wird die Fläche ${\mathcal {A}}$ zu einem konstanten Zeitpunkt betrachtet und deren zeitliche Änderung nicht berücksichtigt.
Im Hinblick auf den Begriff der induzierten Spannung – das Integral über die elektrische Feldstärke – wird zunächst die im nebenstehenden Bild eingezeichnete Verbindungslinie zwischen den Punkten A und B in einem elektrischen Feld betrachtet.
Die Spannung zwischen den Punkten A und B („äußerer Pole“ einer „Steckdose“) kann man näherungsweise berechnen, indem man den Weg in viele kleine Wegelemente ${\text{d}}{\vec {r}}$ unterteilt. Da man aufgrund der nur geringen Länge näherungsweise von einer konstanten elektrischen Feldstärke entlang eines solchen Wegstückes ausgehen kann, ergibt sich für die Teilspannung entlang eines Wegelementes im Innern der Wert
    ${\text{d}}U\approx +{\vec {E}}(x,y,z)\cdot {\text{d}}{\vec {r}}=+E_{\text{tan}}\,{\text{d}}r.$
Als Gesamtspannung zwischen beiden Punkten ergibt sich somit
    $\Delta U\approx +{\vec {E}}(x_{1},y_{1},z_{1})\cdot {\text{d}}{\vec {r}}_{1}+{\vec {E}}(x_{2},y_{2},z_{2})\cdot {\text{d}}{\vec {r}}_{2}+\dotsb +{\vec {E}}(x_{n},y_{n},z_{n})\cdot {\text{d}}{\vec {r}}_{n}.$
Die exakte Darstellung wird mithilfe eines Integrals definiert. Dieses kann man sich als Grenzwert für unendlich viele Wegstücke mit unendlich kleiner Länge $\left|{\text{d}}{\vec {r}}\right|\to 0$ vorstellen. Zur Berechnung definiert man i. A. eine von einem Parameter $\xi$ abhängige Funktion ${\vec {r}}(\xi )$, die im Bereich $\xi =0\dots 1$ die Punkte entlang der Wegstrecke beschreibt (im Innern also in Pfeilrichtung). Die Spannung zwischen beiden Punkten kann dann über ein Kurvenintegral formal erfasst werden:
    $\Delta U=\int _{\xi =0}^{1}{\vec {E}}({\vec {r}})\cdot {\frac {\partial {\vec {r}}(\xi )}{\partial \xi }}{\text{d}}\xi =:\int _{A}^{B}{\vec {E}}\cdot {\text{d}}{\vec {r}}\,,$ berechnet in Pfeilrichtung
Lässt man nun den Punkt entlang der Kontur $C=\partial {\mathcal {A}}$ eines Gesamtumlaufes weiterwandern, bis er die eingeschlossene Fläche genau einmal umrundet hat und wieder mit dem Ausgangspunkt identisch wird $(B=A),$ ergibt sich als Gesamtwert die in der geschlossenen Leiterschleife induzierte Umlaufspannung $U_{\text{ind}}$:
    $U_{\text{ind}}=\oint _{C}E_{\text{tan}}{\text{d}}r=\oint _{C}{\vec {E}}\cdot {\text{d}}{\vec {r}}$
Hinsichtlich des Vorzeichens ist zu berücksichtigen, dass die Kontur die Fläche dabei im Sinne der Rechte-Hand-Regel umrundet.
Der dritte Ausdruck obiger Gleichungen ist dabei die dem zweiten Ausdruck gleichwertige vektorielle Darstellung des tangentialen Feldstärkeanteils mithilfe des Skalarproduktes, und die beiden Integrale sind sogenannte Ringintegrale, die immer dann verwendet werden, wenn (wie hier) längs eines geschlossenen Weges integriert wird, in diesem Fall entlang der Kontur der Leiterschleife $C.$
Die induzierte Spannung lässt sich bei einer nichtbewegten Leiterschleife näherungsweise als Spannungsabfall mit einem Spannungsmessgerät messen, wenn man entlang der geschlossenen Linie eine Leiterschleife anbringt und diese an einer Stelle auftrennt. Da über dem Leiterdraht nahezu keine elektrische Spannung abfällt, liegt die ganze induzierte Spannung zwischen den Klemmen.

## Relativistische Aspekte

In Messsystemen mit bewegten Komponenten treten auch schon bei kleinen Geschwindigkeiten $v\ll c$ relativistische Effekte auf. Diese grundsätzliche Tatsache wird durch ein einfaches Gedankenexperiment deutlich:
* Ein Beobachter, der eine (relativ zu ihm nicht bewegte) Ladung beobachtet, wird ein elektrisches Feld messen, jedoch aufgrund des fehlenden Stromflusses kein magnetisches Feld.
* Bewegt sich der Beobachter hingegen auf die Ladung zu oder von ihr weg, so wird er einerseits bemerken, dass sich aufgrund der Bewegung das elektrische Feld verändert. Das bedeutet, dass der Beobachter bei gleicher Entfernung von der Ladung, aber anderer Relativgeschwindigkeit zur Ladung ein unterschiedliches $E$-Feld misst. Andererseits interpretiert der Beobachter die Ladung aber auch als einen Strom, der sich von ihm fort oder auf ihn zubewegt. Der Beobachter wird also zusätzlich zum elektrischen Feld ein magnetisches Feld erkennen.
Damit bei Messungen mit bewegten Komponenten keine Missverständnisse auftreten, ist die Angabe des Bezugssystems, relativ zu dem die Beobachtungen beschrieben werden, unbedingt erforderlich. Ebenso ist es erforderlich, Größen, die in einem anderen als dem zugrunde gelegten Bezugssystem gemessen werden, mithilfe der Lorentztransformation umzurechnen.
Besonders wichtig ist die Anwendung der Lorentztransformation bei der Betrachtung elektrischer Feldstärken. Dies ist entgegen einer weit verbreiteten Ansicht schon bei Geschwindigkeiten weit unterhalb der Lichtgeschwindigkeit (beispielsweise einige mm/s) erforderlich und in praktisch allen Experimenten mit bewegten Leitern von Bedeutung.
Zur Erläuterung betrachten wir erneut den bewegten Leiterstab im zeitlich konstanten $B$-Feld.
Da die Leiterschleife geöffnet ist, beträgt die stromtreibende Kraft ${\vec {F}}$ auf eine Ladung $q$
    ${\vec {F}}=q\cdot ({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}}_{0})=0.$
In dem mit der Geschwindigkeit ${\vec {v}}$ bewegten Leiterstab ergibt sich somit aus Sicht eines Beobachters im Laborsystem die Feldstärke
    ${\vec {E}}=-{\vec {v}}\times {\vec {B}}_{0}\neq 0,$
während im Bereich des ruhenden Leiters mit ${\vec {v}}=0$ eine Feldstärke von
    ${\vec {E}}=0$
herrscht.
Die Unterschiede in der Feldstärke zwischen den bewegten und den ruhenden Leiterabschnitten ergeben sich direkt aus der Lorentztransformation für die elektrische Feldstärke: Ein Beobachter, der sich mit dem bewegten Leiterstab mitbewegt, wird innerhalb des Leiterstabes eine (Eigen-)Feldstärke von
    ${\vec {E}}'={\vec {0}}$
messen. Setzt man die (gestrichene) Eigenfeldstärke in die passende Transformationsgleichung ein, so ergibt sich für die entsprechende Größe im Laborsystem:
    ${\vec {E}}'=\gamma \left({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}}_{0}\right)+(1-\gamma ){\frac {{\vec {E}}\cdot {\vec {v}}}{v^{2}}}{\vec {v}}={\vec {0}}$
Wegen ${\vec {v}}\perp {\vec {E}}$ entfällt der gesamte rechte Term und damit auch die Relevanz des Faktors $\gamma$, der gewissermaßen „in die Null hineindividiert“ werden kann. Wie erwartet ergibt sich dabei für die elektrische Feldstärke aus Sicht des Laborsystems der Wert
    ${\vec {E}}=-{\vec {v}}\times {\vec {B}}.$
Mithilfe dieses Experimentes kann man demzufolge Relativitätstheorie mit einfachen Vorlesungsexperimenten demonstrieren. Da das genannte Experiment in vielen Darstellungen als ein Beispiel für elektromagnetische Induktion dargestellt wird, soll ausdrücklich bekräftigt werden, dass die Klemmenspannung nicht auf Wirbel des elektrischen Feldes zurückgeführt werden kann, da wegen $\operatorname {rot} {\vec {E}}={\dot {\vec {B}}}=0$ solche nicht vorhanden sind. Wie das Feldlinienbild zeigt, liegt ein reines Potentialfeld vor. Diese zeigen von positiven Ladungen auf der Oberfläche der oberen Schiene zu negativen Ladungen auf der Oberfläche der unteren Schienen. In diesem Sinne kann der physikalische Vorgang, der bei diesem Experiment stattfindet, mit dem Aufladen eines Kondensators verglichen werden.

## Betrachtungen spezieller Fragestellungen
### Induktionsbeispiel: Bewegter Leiterstab im Magnetfeld (mit Stromfluss)

In Abänderung des weiter oben diskutierten Beispiels eines „bewegten Leiterstabes im homogenen Magnetfeld“ wird hier ein Stromkreis mit endlichem Widerstand betrachtet, sodass es bei der Bewegung des Leiterstabes im Magnetfeld zu einem Stromfluss kommt. Für die Stromstärke gilt:
    $I={\frac {U}{R}}={\frac {\frac {{\text{d}}\Phi }{{\text{d}}t}}{R}}$
Hierbei wird die gesamte Flussänderung in der Leiterschleife betrachtet. Da aber die Induktivität $L_{\Phi }\approx 0$ für eine Leiteranordnung wie hier genähert werden kann, sind auch der stromabhängige magnetische Fluss $\Phi _{L}=L_{\Phi }I\approx 0$ und die dazugehörige Flussänderung ${\tfrac {{\text{d}}\Phi _{L}}{{\text{d}}t}}=L_{\Phi }{\tfrac {{\text{d}}I}{{\text{d}}t}}\approx 0$ vernachlässigbar. Die induzierte Stromstärke ist damit:
    $I={\frac {vLB_{0}}{R}}$
Wird der Leiterstab mit der konstanten Geschwindigkeit $v$ bewegt, wird mechanische Arbeit verrichtet. Die Kraft ist die Lorentzkraft auf einen stromdurchflossenen Leiter der Länge $L$ im Magnetfeld der Flussdichte $B_{0}$:
    ${\vec {F}}=I{\vec {L}}\times {\vec {B}}_{0},$ hier: $F=I\,L\,B_{0}$
Für die elektrische Leistung, die im Widerstand umgesetzt wird, gilt $P=UI$ und für die mechanische Leistung einer solchen gleichförmigen Bewegung gilt $P=vF=vILB_{0}={\frac {U}{LB_{0}}}ILB_{0}=UI$, nachdem man die entsprechenden Größen von oben eingesetzt hat. Es wird also mechanische Arbeit in elektrische umgewandelt.

### Induktionsbeispiel: Leiterschleife im Magnetfeld

Dreht sich eine Leiterschleife mit der Winkelgeschwindigkeit $\omega =2\pi f$ in einem aus dem Laborsystem betrachtet zeitlich konstanten Magnetfeld, so verändert sich aus Sicht der Leiterschleife die magnetische Flussdichte ständig, und es ergibt sich ein veränderter magnetischer Fluss durch die Leiterschleife.
Die an den Klemmen im sich drehenden System gemessene Spannung kann folgendermaßen berechnet werden:
* Die durch die Leiterschleife berandete ebene Fläche hat den Flächeninhalt $A=l_{1}l_{2}$.
* Die magnetische Flussdichte ändert im Koordinatensystem des mitbewegten Beobachters ständig ihren Betrag und ihre Richtung. Nimmt man an, dass das Bild die Fläche zum Zeitpunkt $t=0$ zeigt, so beträgt der senkrecht auf die Fläche auftretende Anteil der Flussdichte $B_{\mathrm {senkr} }(t)=\cos(2\pi ft)B$.
* Der durch die Fläche $A$ hindurchstoßende magnetische Fluss beträgt dementsprechend $\Phi (t)=BA\cos(2\pi ft)$.
* Für die Spannung $U$ folgt somit mit Hilfe der Kettenregel:
       $U={\frac {{\text{d}}\Phi }{{\text{d}}t}}=BA(-2\pi f)\sin(2\pi ft)$

### Induktionsbeispiel: Induktion bei einer elektrischen Spule mit mehreren Windungen

Das Induktionsgesetz ist auch für elektrische Spulen mit mehreren Windungen anwendbar. Die zur Berechnung des magnetischen Flusses erforderliche Fläche wird im nebenstehenden Bild veranschaulicht. Das Induktionsgesetz in seiner allgemeinen Form erfordert daher keinen Faktor $N$ für die Windungszahl der Spule, auch wenn der Spulendraht im konkreten Fall einen Zylinder mehrfach umläuft.
In den meisten Veröffentlichungen zur elektromagnetischen Induktion bei elektrischen Spulen wird der Einfachheit halber der Faktor $N$ für die Windungszahl eingeführt, und das Induktionsgesetz wird in der Form
    $U={\frac {{\text{d}}\Psi }{{\text{d}}t}}\approx N{\frac {{\text{d}}\Phi _{\text{w}}}{{\text{d}}t}}$
angegeben. Hierbei bezeichnet $\Psi$ den Fluss durch eine von dem Spulendraht und den Anschlüssen berandete Fläche, $\Phi _{\text{w}}$ den von einer einzelnen Windung umschlossenen magnetischen Fluss und $U$ die gemessene Spannung.

### Formulierungsvariante: ohmsches Gesetz für bewegte Leiter

Die Zusammenhänge bei Bewegungsinduktion lassen sich relativ leicht auch über das ohmsche Gesetz für bewegte Leiter erfassen. Im Unterschied zu einem ruhenden Leiter, bei dem ausschließlich die elektrische Feldstärke stromtreibend wirkt, wirkt auf die Ladungen in einem bewegten Leiter die komplette Lorentzkraft
    ${\vec {F}}_{\mathrm {L} }=q({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}}).$
Für nichtrelativistische Geschwindigkeiten $v\ll c$ ist die im ruhenden Bezugssystem gemessene Lorentzkraft gleich groß wie die Kraft, die die Ladung im mitbewegten System erfährt.
Für bewegte Materialien, für die das ohmsche Gesetz gilt, kann die spezifische Leitfähigkeit $\kappa$ durch die Gleichung
    ${\vec {J}}=\kappa ({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}})$
mit der elektrischen Feldstärke ${\vec {E}}$, der Geschwindigkeit ${\vec {v}}$ des jeweiligen Leiterelements und der magnetischen Flussdichte ${\vec {B}}$ definiert werden. Das ohmsche Gesetz lautet dann wie im Falle unbewegter Materialien
    $\kappa ={\text{konstant}}.$

### Formulierungsvariante: Zeitlich integrierte Form, Spannungszeitfläche

Durch Integration über die Zeit lässt sich das Induktionsgesetz für Leiterschleifen folgendermaßen umformen:
    $\Phi _{\text{w}}(t)=\Phi _{\text{w}}(0)+{\frac {1}{N}}\cdot \int \limits _{0}^{t}U_{\mathrm {i} }(\tau )\,{\text{d}}\tau$
Diese Beziehung beschreibt den Flussverlauf als Integralfunktion des Spannungsverlaufs.
Betrachtet man den Vorgang in einem Zeitintervall von $0$ bis $T$ bei konstanter Fläche, durch die der magnetische Fluss tritt – das Zeitintervall kann sich beispielsweise über eine Halbperiode einer Wechselspannung erstrecken –, so folgt daraus für den sich dann ergebenden Fluss
    $\Phi _{\mathrm {w} }(T)-\Phi _{\mathrm {w} }(0)={\frac {1}{N}}\cdot \int _{0}^{T}U_{\mathrm {i} }(\tau )\,\mathrm {d} \tau .$
Für den Fall $\Phi _{\mathrm {w} }(0)=0$ bedeutet das, dass der magnetische Fluss durch eine Leiterschleife bzw. eine Flussänderung in dieser, wie sie sich durch Anlegen einer Spannung nach der gegebenen Zeit $T$ dort einstellt, immer von dem Spannungszeitintegral in den angegebenen Grenzen $0$ bis $T$ verursacht sein und diesem auch entsprechen muss. Die dafür relevante Spannung ist jeweils die induzierte Spannung $U_{\mathrm {i} }$. Diese entspricht der angelegten Spannung abzüglich ohmscher Spannungsabfälle $(I\cdot R),$ soweit diese nicht zu vernachlässigen sind.
Zu veranschaulichen ist das Spannungszeitintegral auch als Fläche zwischen dem Spannungsgraphen und der Zeitachse über dem Intervall $[0;T],$ weshalb man es bisweilen auch als Spannungszeitfläche oder Spannungszeitsumme bezeichnet, in meist älterer Literatur in Anlehnung an den Begriff des Kraftstoßes auch als Spannungsstoß. Ursächlich hierfür ist der Umstand, dass messtechnisch früher die Integration von induzierten Spannungsimpulsen mittels ballistischer Galvanometer durchgeführt wurde, vgl. auch Veranschaulichung des magnetischen Kraftflusses.
Beispiel für 50 Hz bei $U_{\text{eff}}=230\,{\text{V}}$: Auf grafische Weise durch Auszählen der kleinen Quadrate ermittelt, erhält man das Ergebnis von ca. 1,05 Voltsekunden zum Bild rechts oben, für eine Sinushalbschwingung folglich 2,1 Voltsekunden. Das ist die Spannungszeitfläche, welche die Induktion im Eisenkern eines Transformators von einem Ende der Hysteresekurve zum anderen Ende transportiert. Wenn ein Transformator passend zu den 230 V bei 50 Hz ausgelegt ist, läuft die Induktion im Dauerbetrieb hauptsächlich im senkrechten Bereich der Hysteresekurve. Höhere Spannung oder niedrigere Frequenz führt zum Übersteuern der Hysteresekurve in die waagerecht verlaufenden Bereiche, zur Kernsättigung, was dann auch in der Praxis durch den Anstieg des Magnetisierungsstromes anschaulich beobachtbar ist.
Als weiteres Beispiel kann ein vielfach praktiziertes Messprinzip für den magnetischen Fluss dienen: Hier wird der zu messende Fluss von einer Messspule erfasst und die Spannung an der Spule auf einen Integrator gegeben, der an seinem Ausgang als Ergebnis unmittelbar den Fluss anzeigt.

### Formulierungsvariante: Flussregel

Die Flussregel $U_{i}=-{\dot {\Phi }}$ formuliert das Induktionsgesetz in Integralform für den Spezialfall einer Leiterschleife: Sie gilt für geschlossene Umlaufwege, die ganz in elektrisch leitendem (auch bewegtem) Material im (auch zeit- und ortsveränderlichen) Magnetfeld verlaufen, vorzugsweise in Leiterschleifen mit geringem Querschnitt. Im Fall bewegter Leiterschleifen muss sich die festgelegte Umlaufkurve zeitlich stetig und konvektiv (s. u.) ohne Unterbrechungen entwickeln. Die Geschwindigkeiten in der Anordnung müssen deutlich kleiner als die Lichtgeschwindigkeit sein.
Herleitung: Über den Umlaufweg im Induktionsgesetz Form II kann weitgehend frei verfügt werden. Im zur Flussregel führenden Ansatz wird allen Elementen ${\text{d}}{\vec {s}}$ des Umlaufwegs die lokale Stoffgeschwindigkeit ${\vec {v}}$ vorgegeben (konvektive Linienelemente, ${\vec {u}}={\vec {v}}$). Damit gilt:
    $\oint \limits _{\partial {\mathcal {A}}(t)}{({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}})\cdot {\text{d}}{\vec {s}}}=-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\int \limits _{{\mathcal {A}}(t)}{\vec {B}}\cdot {\text{d}}{\vec {A}}$
Der Integrand des Linksterms ist nach den Transformationsgleichungen von Lorentz gleich der elektrischen Feldstärke ${\vec {E}}'$ im Ruhesystem jedes Linienelements, sodass auch
    $\oint \limits _{\partial {\mathcal {A}}(t)}{{\vec {E}}'\cdot {\text{d}}{\vec {s}}}=-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\int \limits _{{\mathcal {A}}(t)}{\vec {B}}(t)\cdot {\text{d}}{\vec {A}}\quad (*)$
oder kürzer
    $U_{i}=-{\dot {\Phi }}$
geschrieben werden kann. Die letzten beiden gleichwertigen Gleichungen sind zunächst für die oben genannten Voraussetzungen zugeschnittene Formen des Induktionsgesetzes. Die letzte Gleichung wird als Flussregel bezeichnet, wenn sie auf einen unverzweigten Stromkreis angewandt wird. Die als induzierte Spannung bezeichnete, stromtreibend wirkende, elektromagnetische Größe $U_{i}$ – ihrer Definition nach eine Ringspannung – erweist sich als wertgleich mit dem magnetischen Schwund $-{\dot {\Phi }}$. Ein irgendwo im Leiterkreis eingebauter Spannungsmesser, dessen Innenwiderstand groß gegen den Widerstand des restlichen Kreises ist, zeigt den Wert von $U_{i}$ an.
Dass der magnetische Schwund $-{\dot {\Phi }}$ (in Gl. ($*$) der Rechtsterm) einen elektrischen Strom durch den elektrischen Widerstand in der Leiterschleife antreiben kann, illustriert die Form des Linksterms: Dort steht die ladungsbezogene Arbeit, welche die Lorentzkraft an der Ladung bei einem Schleifenumlauf verrichtet. Der Anwendungskomfort der Flussregel liegt darin, dass die stromtreibende induzierte Spannung $U_{i}$ in einer ruhenden oder auch bewegten Leiterschleife allein aus dem Magnetfeld bestimmt werden kann: Die elektrische Feldstärke im Laborsystem ${\vec {E}}$ und jene im Ruhesystem der Linienelemente ${\vec {E}}'$ kommt in der Formel nicht vor.
Die Wicklungen von Transformatoren, Elektromotoren und Generatoren zur Stromerzeugung sind Leiterschleifen im Sinne der Flussregel.

#### Beispiel Atmende Leiterschleife

Die rechts skizzierte kreisringförmige (elastisch gedachte) Leiterschleife mit zeitveränderlichem Radius $r(t)$ befindet sich in einem homogenen, zeitabhängigen Magnetfeld ${\vec {B}}=B(t){\vec {e}}_{z}$. Der Leiterquerschnitt $A$ und die elektrische Leitfähigkeit $\kappa$ können längs des Umfangs variieren. Die zeitliche Ableitung ${\dot {r}}=v$ des Radius $r$ erweist sich als die lokale, radial gerichtete Geschwindigkeit $v$ der Ringelemente. Die Schleifenebene liegt normal zur $z$-Achse und bleibt parallel zu sich selbst. In der Skizze bezeichnen die Pfeile für den radialen, peripheren und axialen Einheitsvektor ${\vec {e}}_{\rho }$, ${\vec {e}}_{\varphi }$ bzw. ${\vec {e}}_{z}$ auch die Bezugsrichtungen für die in Frage kommenden skalaren Größen. Alle im Folgenden angegebenen Feldgrößen sind zeitabhängig, was die Notation nicht jedes Mal wiederholt.
Die in der Schleife induzierte Spannung $U_{i}=-{\dot {\Phi }}=-{\tfrac {\text{d}}{{\text{d}}t}}(B{\vec {e}}_{z}\cdot \pi r^{2}{\vec {e}}_{z})=-{\dot {B}}\pi r^{2}-B\pi 2rv$ treibt darin einen elektrischen Strom $I=U_{i}/R$ an mit $R=\oint _{\partial {\mathcal {A}}}{\tfrac {{\text{d}}s}{\kappa A}}$. Dessen felderzeugende Wirkung ist als vernachlässigbar oder schon in ${\vec {B}}(t)$ enthalten vorausgesetzt.
Die elektrischen Feldgrößen, die aus der Flussregel eliminiert sind, werden im Folgenden nur zur Information angegeben. Für die Stromdichte und die elektrische Feldstärke im Ruhesystem der Ringelemente gilt
    ${\vec {S}}={\vec {e}}_{\varphi }I/A$ bzw. ${\vec {E}}'={\vec {S}}/\kappa$.
Für die elektrische Feldstärke im Ruhesystem des Schleifenzentrums erhält man mit ${\vec {E}}={\vec {E}}'-{\vec {v}}\times {\vec {B}}$ das Resultat
    ${\vec {E}}=(S/\kappa +vB){\vec {e}}_{\varphi }$.
Die letzte Gleichung folgt mit ${\vec {v}}\times {\vec {B}}=v{\vec {e}}_{\rho }\times B{\vec {e}}_{z}=-Bv{\vec {e}}_{\varphi }$. Für den Fall, dass der Leiterquerschnitt und die Leitfähigkeit am Umfang konstant sind, spiegelt sich die Rotationssymmetrie der Anordnung auch in den Feldgrößen. Man erhält dann die Feldkoordinaten
    $E'=U_{i}/(2\pi r)=-{\dot {B}}r/2-Bv$ und $E=-{\dot {B}}r/2$.

#### Beispiel Spannung im Wirbelfeld

Die Anordnung rechts illustriert auf Basis der Flussregel, dass die an einer (mit einem zeitveränderlichen Magnetfeld verketteten) Leiterschleife abgegriffene Spannung von der Platzierung der Messleitungen abhängt. Die Spannung zwischen zwei Punkten ist dann kein eindeutiger Begriff mehr.
In dem Messaufbau kontaktieren zwei gleich gepolte Spannungsmesser die Punkte A und B eines leitenden Rahmens in der Form eines regelmäßigen Fünfecks. Sein ohmscher Widerstand beträgt $5R$. In der Leiterschleife treibt die induzierte Spannung $U_{i}=-{\dot {\Phi }}$ den Strom $I=U_{i}/(5R)$ an. Mit dem Umlaufweg durch das Messgerät 1 und die Rahmenseite AB ist kein Fluss verkettet. Der Spannungsmesser 1 zeigt entsprechend der Spannungsgleichung $-U_{1}-RI=0$ den Wert $U_{1}=-U_{i}/5$ an. Mit dem alternativen Umlauf A–C–B–Voltmeter1 zur Berechnung von $U_{1}$ ist der zeitveränderliche magnetische Fluss $\Phi (t)$ verkettet, sodass die Spannungsgleichung $4RI-U_{1}=U_{i}\,(=-{\dot {\Phi }})$ gilt. Daraus folgt mit $RI=U_{i}/5$ wieder $U_{1}=-U_{i}/5$.
Für den Spannungsmesser 2 gelten entsprechende Gleichungen: Jene ohne verketteten Fluss entlang A–Voltmeter2–B–C–A lautet $U_{2}-4RI=0$. Der alternative Umlauf A–Voltmeter2–B–A mit der Spannungsgleichung $U_{2}+RI=U_{i}$ ist mit dem Fluss $\Phi (t)$ verkettet. Aus beiden Umläufen errechnet man $U_{2}=(4/5)U_{i}$.
Der kein Rahmenteil durchlaufende (Vergleichs-)Umlauf nur über die beiden Spannungsmesser liefert die Gleichung $-U_{1}+U_{2}=U_{i}$, die mit den oben angegebenen Termen für $U_{1}$ und $U_{2}$ erfüllt ist.