# Satz von Steiner (Geometrie)

Der Satz von Steiner, auch Steiner-Erzeugung eines Kegelschnitts genannt, nach dem Schweizer Mathematiker Jakob Steiner, ist eine alternative Möglichkeit, einen nicht ausgearteten Kegelschnitt in einer projektiven Ebene über einem Körper (pappussche Ebene) zu definieren:
Unter einer perspektiven Abbildung $\pi$ eines Geradenbüschels eines Punktes $U$ auf das Geradenbüschel in einem Punkt $V$ versteht man eine Bijektion (eineindeutige Zuordnung) der Geraden in $U$ auf die Geraden in $V$ so, dass sich zugeordnete Geraden auf einer festen Gerade $a$ schneiden. $a$ heißt die Achse der perspektiven Abbildung $\pi$ (s. 2. Bild).
Unter einer projektiven Abbildung versteht man die Hintereinanderausführung endlich vieler perspektiver Abbildungen eines Geradenbüschels.
Als Körper kann man sich z. B. die reellen Zahlen $\mathbb {R}$, die rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ oder die komplexen Zahlen $\mathbb {C}$ vorstellen. Aber auch endliche Körper sind als Koordinatenbereiche erlaubt.
Bemerkung: Der Fundamentalsatz für projektive Ebenen sagt aus, dass eine projektive Abbildung in einer pappusschen projektiven Ebene durch die Vorgabe der Bilder von 3 Geraden schon eindeutig bestimmt ist. Dies bedeutet, dass man bei der Steiner-Erzeugung eines Kegelschnitts außer den Grundpunkten $U,V$ nur die Bilder dreier Geraden vorgeben muss. Durch diese 5 Bestimmungsstücke ist der Kegelschnitt dann schon eindeutig bestimmt.
Bemerkung: Die Bezeichnung „perspektiv“ stammt von der dualen Aussage her: Projiziert man die Punkte einer Gerade $u$ von einem Punkt $Z$ (Zentrum) aus auf eine Gerade $v$, so nennt man diese Abbildung perspektiv (siehe dualen Fall).
Einfaches Beispiel: Verschiebt man im 1. Bild den Punkt $U$ und sein Geradenbüschel in den Punkt $V$ und dreht anschließend das Büschel in $V$ um einen festen Winkel $\varphi$, so erzeugt die Verschiebung zusammen mit der Drehung eine projektive Abbildung des Geradenbüschels in $U$ auf das Geradenbüschel in $V$. Der entstehende Kegelschnitt ist wegen des Peripheriewinkelsatzes ein Kreis.

## Beispiel

In dem folgenden Beispiel sind die Bilder der Geraden $a,u,w$ vorgegeben: $\pi (a)=b,\pi (u)=w,\pi (w)=v$. Die projektive Abbildung $\pi$ lässt sich als Produkt (Hintereinanderausführung) der folgenden perspektiven Abbildungen $\pi _{b},\pi _{a}$ darstellen:
    1) $\pi _{b}$ ist die perspektive Abbildung des Büschels in $U$ auf das Büschel in $O$ mit der Achse $b$.
    2) $\pi _{a}$ ist die perspektive Abbildung des Büschels in $O$ auf das Büschel in $V$ mit der Achse $a$.
Man überzeugt sich, dass die projektive Abbildung $\pi =\pi _{a}\pi _{b}$ tatsächlich die behauptete Eigenschaft $\pi (a)=b,\pi (u)=w,\pi (w)=v$ hat. Damit lässt sich für jede beliebige Gerade $g$ das Bild $\pi (g)=\pi _{a}\pi _{b}(g)$ und damit beliebig viele Punkte des Kegelschnitts konstruieren. Da auf der Gerade $u$ bzw. $v$ nur der Kegelschnittpunkt $U$ bzw. $V$ liegt, sind $u$ und $v$ Tangenten des Kegelschnitts.
Den Beweis, dass durch diese Konstruktion ein Kegelschnitt entsteht, führt man am einfachsten durch den Übergang zu einer affinen Einschränkung mit der Gerade $w$ als Ferngerade, dem Punkt $O$ als Nullpunkt eines Koordinatensystems mit den Punkten $U,V$ als Fernpunkte der x- bzw. y-Achse und dem Punkt $E=(1,1)$. Der affine Teil des Kegelschnitts ist dann die Hyperbel $y=1/x$.
Bemerkung:
* Die Steiner-Erzeugung eines Kegelschnitts hat konkrete praktische Bedeutung bei der Konstruktion von Ellipsen, Hyperbeln und Parabeln.
* Die Figur zur Konstruktion eines Punktes (3. Bild) ist die 4-Punkte Ausartung des Satzes von Pascal.
* Die Erzeugung der Parabel $y=x^{2}$ findet man in projektiver Kegelschnitt.

## Steinererzeugung eines dualen Kegelschnitts
### Definitionen und die duale Erzeugung

Dualisiert (s. Dualitätsprinzip) man einen nicht ausgearteten Kegelschnitt einer projektiven Ebene, so übernehmen die Tangenten die Rolle der Punkte:
    Ein nichtausgearteter dualer Kegelschnitt besteht aus der Gesamtheit der Tangenten eines nichtausgearteten Kegelschnitts.
Auch ein dualer Kegelschnitt lässt sich nach der Steiner’schen Methode erzeugen:
* Hat man für zwei Punktreihen zweier Geraden $u,v$ eine projektive, aber nicht perspektive Abbildung $\pi$ der einen Punktreihe auf die andere, so bilden die Verbindungsgeraden zugeordneter Punkte einen nicht ausgearteten dualen Kegelschnitt.
Unter einer perspektiven Abbildung $\pi$ einer Punktreihe einer Gerade $u$ auf die Punktreihe einer Geraden $v$ versteht man eine Bijektion (eineindeutige Zuordnung) der Punkte von $u$ zu den Punkten von $v$ so, dass die Verbindungsgeraden zugeordneter Punkte sich in einem festen Punkt $Z$ schneiden. $Z$ heißt das Zentrum der perspektiven Abbildung $\pi$ (s. Bild).
Unter einer projektiven Abbildung versteht man die Hintereinanderausführung endlich vieler perspektiver Abbildungen.
Die Gültigkeit der Erzeugung eines dualen Kegelschnitts ergibt sich aus dem Dualitätsprinzip für projektive Ebenen.

### Beispiele

1: Zwei perspektive Abbildungen: Gegeben: (1) Zwei Geraden $u,v$,
(2) eine perspektive Abbildung $\pi _{A}$ mit Zentrum $A$, die $u$ auf eine dritte Gerade $o$ abbildet, und (3) eine perspektive Abbildung $\pi _{B}$ mit Zentrum $B$, die $o$ auf $v$ abbildet.
(4) Die Geraden $AB$ und $o$ dürfen nicht durch den Schnittpunkt $W$ der Geraden $u,v$ gehen !
Die Projektive Abbildung $\pi =\pi _{B}\pi _{A}$ der Punktreihe von $u$ auf die Punktreihe von $v$ ist nicht perspektiv. Damit ist für jeden Punkt $X$ die Gerade $x={\overline {X\pi (X)}}$ ein Element eines durch die Vorgaben bestimmten nicht ausgearteten dualen Kegelschnitts.
(Falls (4) nicht gilt, ist $W$ ein Fixpunkt und die Abbildung $\pi$ perspektiv !)
2: Drei Punkte und ihre Bilder sind gegeben: Das folgende Beispiel ist die Dualisierung des obigen Beispiels für die Steinererzeugung eines Kegelschnitts. Die Bilder der Punkte $A,U,W$ sind vorgegeben: $\pi (A)=B,\,\pi (U)=W,\,\pi (W)=V$. Die projektive Abbildung $\pi$ lässt sich als Produkt (Hintereinanderausführung) der folgenden perspektiven Abbildungen $\pi _{B},\pi _{A}$ darstellen:
    1) $\pi _{B}$ ist die perspektive Abbildung der Punktreihe von $u$ auf die Punktreihe von $o$ mit dem Zentrum $B$.
    2) $\pi _{A}$ ist die perspektive Abbildung der Punktreihe auf $o$ auf die Punktreihe auf $v$ mit dem Zentrum $A$.
Man überzeugt sich, dass die projektive Abbildung $\pi =\pi _{A}\pi _{B}$ tatsächlich die behauptete Eigenschaft $\pi (A)=B,\,\pi (U)=W,\,\pi (W)=V$ besitzt. Damit lässt sich für jeden beliebigen Punkt $G$ das Bild $\pi (G)=\pi _{A}\pi _{B}(G)$ und damit beliebig viele Tangenten des Kegelschnitts konstruieren. Da durch den Punkt $U$ bzw. $V$ nur die Kegelschnittgerade $u$ bzw. $v$ geht, sind $U$ und $V$ Punkte des Kegelschnitts und die Geraden $u,v$ Tangenten in $U,V$.