# Biegemoment

Als Biegemoment $M$ wird ein Moment bezeichnet, das ein schlankes (Stab, Balken, Welle o. ä.) oder dünnes Bauteil (Platte o. ä.) biegen kann.
Es tritt nicht nur, wie im Bild von den Händen ausgeübt, an den Enden des Bauteils, sondern als Schnittreaktion auch zwischen den Krafteinleitungsstellen auf. Diese Schnittlast bildet eine grundlegende Größe für die Auslegung von schlanken Bauteilen unter Momentenbelastung.$^{:83}$

## Biegemoment in der Balkentheorie

Das Verhalten eines schlanken Bauteils bzw. eines Balkens unter Belastung ist Gegenstand der Balkentheorie. Insbesondere wird mithilfe der Festigkeitslehre und der Elastizitätslehre sein Verhalten unter einem ihn belastenden Biegemoment untersucht. Anstatt von der Balkentheorie wird deshalb oft, bzw. im engeren Sinne von der Biegetheorie des Balkens gesprochen.
Das Biegemoment wird beim statisch bestimmten Balken aus den Gleichgewichtsbedingungen hergeleitet. Unter den Annahmen,$^{:43}$ dass
* alle Punkte eines Querschnitts dieselbe Verschiebung erfahren und die Balkenhöhe unverändert bleibt,
* Querschnitte, die vor der Deformation eben waren, auch danach eben sind, und dass
* Balkenquerschnitte, die vor der Deformation senkrecht auf der Balkenachse standen, auch nach der Deformation senkrecht auf der deformierten Balkenachse stehen
(die letzten beiden sind die Bernoullischen Annahmen$^{:109}$) können die Biegespannungen im Balkeninneren und die elastische Verbiegung (z. B. Durchbiegung) des Balkens berechnet und mit zulässigen Werten verglichen werden. Coulomb war der erste, der im Rahmen der von ihm 1773 vollendeten Balkentheorie die Biegespannungen zutreffend quantifizierte. Die Biegespannungen sollen kleiner als die für elastische Verformung zulässigen Materialwerte sein (Festigkeitsnachweis gegen plastische Verformung oder Bruch). Gelegentlich liegt eine zusätzliche Anforderung in Form einer zulässigen maximalen Verbiegung vor, die vom errechneten Wert nicht überschritten werden darf.
Die in einem Querschnitt des Balkens aufsummierte Biegespannung ist dem Biegemoment an dieser Stelle proportional. Im Querschnitt verläuft sie von maximaler Druck- am inneren Rand (konkave Biegung) über null in der neutralen Zone zu maximaler Zugspannung am äußeren Rand (konvexe Biegung). Der Festigkeitsnachweis wird i. d. R. mit der maximalen Zugspannung durchgeführt (die von einem Material ertragbare Druckspannung ist i. d. R. größer und damit unkritisch.)
Die Verbiegung des Balkens wird durch seine Krümmung repräsentiert, die an jeder Stelle im Balken proportional zum dort wirkenden Biegemoment ist, wobei der Proportionalitätsfaktor die Biegesteifigkeit des Balkens ist.$^{:104}$ Die aus der über die Balkenlänge veränderliche Krümmung ermittelte Biegelinie erlaubt eine Aussage über die Einhaltung oder Überschreitung einer zulässigen Durchbiegung.

## Beispiele für Biegemoment-Verlauf am Balken
### Kragbalken, Einzelkraft am freien Ende

Ein einseitig eingespannter Kragbalken wird am freien Ende im Abstand $L$ durch eine Kraft $P$ belastet (siehe nebenstehende Abbildung). Der Biegemoment-Verlauf ist
    $M(x)=P\cdot (L-x)$.
An der Einleitungsstelle ($x=L$) der Kraft ist es null. Bis zur Einspannstelle ($x=0$) steigt es linear auf seinen maximalen Wert $M=P\cdot L$.

### An den Enden abgestützter Balken, Einzelkraft dazwischen

Zur Berechnung der inneren Momente wird das Bauteil an der interessierenden Stelle $x$ gedanklich durchgeschnitten, und es werden diejenigen Momente betrachtet, die an einem Teilstück an seiner Schnittstelle wirken. Das Biegemoment an einer Stelle $x$ ist damit die Summe aller Drehmomente, die von Kräften auf einer Seite der Schnittstelle $x$ verursacht werden.
Im an seinen Enden gelagerten Balken mit Einzellast (siehe nebenstehende Abbildung) unterliegt das linke Teilstück einem rechtsdrehenden Drehmoment (in der technischen Mechanik kurz Moment genannt), welches mit Hilfe der Auflagekraft F$_L$ am linken Lager beschreibbar ist. Das Moment wächst von null am Auflager linear bis zum Maximalwert an der Stelle der Last F. Rechts davon kommt aus der Last F ein vom Wert null bis zum gleichen Maximalwert am rechten Auflager linear ansteigendes, linksdrehendes Moment hinzu, so dass die Momenten-Summe vom Maximalwert an der Last-Stelle bis null am rechten Ende linear abnimmt.
    $M(x)={\begin{cases}{\frac {F}{2}}\cdot x&{\text{(links der Mitte) }}x<{\frac {l}{2}}\\{\frac {F}{2}}\cdot (l-x)&{\text{(rechts der Mitte) }}x>{\frac {l}{2}}\end{cases}}$
Im Sonderfall der mittigen Last tritt bei $x=l/2$ das maximale Biegemoment
    $M_{\mathrm {max} }={\frac {F\cdot l}{4}}$
auf.

## Berechnung des Biegemoments

Die Berechnung des Biegemoments ist besonders einfach, wenn das Bauteil, wie in den Beispielen oben, statisch bestimmt gelagert ist, sodass die Schnittreaktionen aus den Gleichgewichts­bedingungen ableitbar sind. Unter der Voraussetzung, dass nur kleine Verformungen auftreten, kann ihr Einfluss auf die Hebelarme vernachlässigt werden. Bei statisch unbestimmten Problemen oder großen Verformungen müssen alle Gleichungen (Mechanisches Gleichgewicht, Kinematik, Elastizitätsgesetz) gleichzeitig gelöst werden,$^{:14f}$ beispielsweise mit der Finite-Elemente-Methode.
An dieser Stelle wird statische Bestimmtheit bei kleinen Verformungen vorausgesetzt, die in vielen Anwendungen, insbesondere im technischen Bereich, vorliegen. Die Ableitungsfunktion des Biegemoments nach der x-Koordinate in Richtung der Balkenachse liefert den Querkraftverlauf Q:$^{:184}$
    ${\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} x}}=Q$
und die zweite Ableitung liefert die Streckenlast q:
    ${\frac {\operatorname {d} ^{2}M}{\operatorname {d} x^{2}}}=-q$
Umgekehrt ergibt sich der Biegemomentenverlauf aus der Integration der verteilten Last und der Querkraft.$^{:185}$ An Stellen, wo
* abrupte Änderungen der verteilten Last (beispielsweise an den Enden ihrer Einwirkung),
* Querkräfte, insbesondere Lagerreaktionen,
* Einzelmomente oder
* Knicke
im Balken auftreten, weist der Momentenverlauf Knicke oder Sprünge auf, vgl. #An den Enden abgestützter Balken, Einzelkraft dazwischen. An diesen Stellen ist das Biegemoment nicht differenzierbar und die Streckenlast bzw. Querkraft nicht integrierbar.
Um obige Formeln trotzdem anwenden zu können, wird der Balken mittels des Schnittprinzips in Stücke zerlegt, in denen keine abrupten Änderungen stattfinden. In diesen Stücken wird das Biegemoment berechnet und mit Hilfe der Übergangsbedingungen an den Rändern zum kompletten Verlauf zusammengesetzt.
Die bereichsweise Integration ist schon bei zwei Feldern mit einigem Aufwand verbunden. Die Arbeit lässt sich jedoch mit der Föppl-Klammer $\langle \dots \rangle$ (englisch Macauley Brackets) vereinfachen. Mit ihrer Hilfe können Unstetigkeiten wie Sprünge oder Knicke einfach beschrieben werden.$^{:196}$ Im Beispiel oben schreibt sich der Querkraftverlauf damit
    $Q(x)=-{\frac {F}{2}}+F<x-l/2>^{0}$
und der Momentenverlauf
    $M(x)=-{\frac {F}{2}}\cdot x+F<x-l/2>^{1}$
An den Stellen $x=0$ und $x=l$ kann $M=0$ bestätigt werden.

## Biegemoment und Biegelinie

Die durch die Biegemoment-Belastung entstehende elastische Verformung wird mit der Biegelinie $w(x)$ beschrieben. Für einen Stab konstanten Querschnitts gilt für deren zweite Ableitung:$^{:110}$
    $w''(x)=-{\frac {M_{y}(x)}{E\cdot I_{y}}}$
mit
* der Variablen x in Balkenrichtung,
* dem Elastizitätsmodul $E$ (eine Materialeigenschaft)
* dem axialen Flächenträgheitsmoment $I_{y}=konstant$ (eine geometrische Größe des konstanten Balken-Querschnitts. Der Index y zeigt an, dass die Biegung um zur x-Achse senkrechten y-Achse erfolgt)
Das Produkt aus Elastizitätsmodul und Flächenträgheitsmoment ergibt die Biegesteifigkeit, die in obiger Formel im Nenner des Bruchs steht.
Die Krümmung der Balkenachse ist durch
    $\kappa ={\frac {w''}{(1+{w'}^{2})^{3/2}}}$
gegeben.$^{:110}$ Bei kleinen Verformungen kann ${w'}^{2}$ gegenüber der eins im Nenner vernachlässigt werden, sodass $\kappa =w''$ wird. Die Krümmung ist damit proportional zum Biegemoment $M_{y}$, was z. B. in der nebenstehend abgebildeten Biegelinie $w(x)$ erkennbar ist: Das Biegemoment M und die Krümmung sind in der Balkenmitte maximal und an den Enden minimal.
Die Auslenkung $w(x)$ der Biegelinie wird durch zweimaliges Integrieren des Krümmungsverlaufs $w''(x)$ ermittelt, was bei vorhandenen Unstetigkeitsstellen durch die Föppl-Klammer erleichtert wird.

## Biegemoment und Biegespannung

Die für den Festigkeitsnachweis zu ermittelnden Biegespannungen $\sigma _{x}(x,z)$ in einem Balkenquerschnitt sind dem dort wirkenden Biegemoment $M_{y}(x)$, wie in folgender Näherungs-Gleichung für einen Balken mit konstantem Querschnitt angegeben ist, proportional:
    $\sigma (x,z)={\frac {M_{y}(x)}{I_{y}}}\cdot z$  (Variable $x$ in Balkenrichtung, Variable $z$ in Richtung Balkenhöhe).
Die Proportionalität mit dem Abstand $z$ von der neutralen Balkenschicht zeigt an, dass die Biegespannung in den Randschichten am größten ist. Die dort herrschende Biegespannung ist:
    $\sigma _{\mathrm {max} }(x)\,={\frac {M_{y}(x)}{W_{y}}}$ mit  $W_{y}={\frac {I_{y}}{z_{\text{Rand}}}}$ (Widerstandsmoment im Balkenquerschnitt gegen Biegung um die y-Achse).