# Fixpunktsatz von Ryll-Nardzewski

Der Fixpunktsatz von Ryll-Nardzewski, benannt nach Czesław Ryll-Nardzewski, ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis. Der Satz sichert die Existenz eines gemeinsamen Fixpunktes einer Familie gewisser Abbildungen einer kompakten, konvexen Menge in sich.

## Formulierung des Satzes

Sei $E$ ein lokalkonvexer Raum, zum Beispiel ein normierter Raum, und $C\subset E$ sei eine nicht-leere schwach-kompakte konvexe Menge. Weiter sei ${\mathcal {S}}$ eine nicht-leere Familie von Abbildungen $T:C\rightarrow C$ mit folgenden Eigenschaften:
* ${\mathcal {S}}$ ist eine Halbgruppe, das heißt: Für alle $T_{1},T_{2}\in {\mathcal {S}}$ gilt $T_{1}\circ T_{2}\in {\mathcal {S}}$.
* Jedes $T\in {\mathcal {S}}$ ist schwach-stetig und affin, Letzteres heißt für $x,y\in C$ und $\alpha \in [0,1]$ gilt $T(\alpha x+(1-\alpha )y)=\alpha T(x)+(1-\alpha )T(y)$.
* ${\mathcal {S}}$ ist nicht-kontrahierend, das heißt für zwei verschiedene Punkte $x,y\in C$ liegt 0 nicht im Abschluss von $\{T(x)-T(y);T\in {\mathcal {S}}\}$.
Dann gibt es mindestens einen gemeinsamen Fixpunkt von ${\mathcal {S}}$, das heißt: Es gibt ein $x_{0}\in C$, so dass $T(x_{0})=x_{0}$ für alle $T\in {\mathcal {S}}$.

## Bemerkungen

* Zum Beweis zeigt man zunächst, dass jede endliche Teilmenge aus ${\mathcal {S}}$ einen Fixpunkt hat, und schließt dann mit einem Kompaktheitsargument auf die Behauptung.
* Die Voraussetzung, dass ${\mathcal {S}}$ nicht-kontrahierend sein soll, ist automatisch erfüllt, wenn alle Elemente aus ${\mathcal {S}}$ Isometrien eines normierten Raumes sind. Diesen Spezialfall nennt man ebenfalls den Fixpunktsatz von Ryll-Nardzewski: Jede Halbgruppe schwach-stetiger affiner Isometrien einer schwach-kompakten konvexen Menge in sich hat einen Fixpunkt.

## Anwendung

Die bekannteste Anwendung ist die Herleitung der Existenz des Haar-Maßes auf einer kompakten Gruppe $G$. Der Raum $E=M(G)$ der endlichen Borel-Maße auf $G$ ist der Dualraum des Raumes $C(G)$ der stetigen Funktionen auf $G$ und trägt daher die schwach-*-Topologie, die $M(G)$ zu einem lokalkonvexen Raum macht, dessen schwache Topologie genau diese schwach-*-Topologie ist. Als konvexe Menge nimmt man $C:=\{\mu \in M(G);\mu \geq 0,\mu (1)=1\}$. Für $f\in C(G)$ und $x\in G$ seien ${\tilde {f}},_{x}f,f_{x}\in C(G)$ durch die Formeln ${\tilde {f}}(y):=f(y^{-1}),_{x}f(y):=f(xy),f_{x}(y):=f(yx)$ erklärt. Definiere weiter $S_{0},S_{1},L_{x},R_{x}:M(G)\rightarrow M(G)$ durch
* $S_{0}\,:=\,id_{M(G)}$
* $S_{1}(\mu )(f)\,:=\,\mu ({\tilde {f}})$
* $L_{x}(\mu )(f)\,:=\,\mu (_{x}f)$
* $R_{x}(\mu )(f)\,:=\,\mu (f_{x})$
Dann ist ${\mathcal {S}}:=\{S_{i}L_{x}R_{y};i\in \{0,1\},x,y\in G\}$ eine Halbgruppe von Isometrien, die $C$ in sich abbildet. Wendet man auf diese Situation den Fixpunktsatz von Ryll-Nardzewski an, so erhält man ein Maß, das leicht als Haar-Maß nachgewiesen werden kann.

## Quellen

* John B. Conway: A Course in Functional Analysis, Springer-Verlag (1994), ISBN 0387972455
* C. Ryll-Nardzewski: On fixed points of semigroups of endomorphisms of linear spaces, Proc. Fifth Berkeley Sympos. Math. Statist. and Probability, Univ. California Press, Berkeley (1967), Seiten 55–61