# Zyklische Zahl

Eine zyklische Zahl (auch: Phönixzahl) ist eine $n$-stellige natürliche Zahl, deren Produkt bei Multiplikation mit einer natürlichen Zahl von 1 bis $n$ die gleichen Ziffern wie die Ausgangszahl in derselben zyklischen Reihenfolge enthält.
Die kleinste nichttriviale zyklische Zahl im Dezimalsystem ist 142857:
    ${\begin{array}{rrr}1\cdot 142.857&=&{\mathtt {142.857}}.\\2\cdot 142.857&=&{\mathtt {285.714}}.\\3\cdot 142.857&=&{\mathtt {428.571}}.\\4\cdot 142.857&=&{\mathtt {571.428}}.\\5\cdot 142.857&=&{\mathtt {714.285}}.\\6\cdot 142.857&=&{\mathtt {857.142}}.\\7\cdot 142.857&=&{\mathtt {999.999}}.\\\end{array}}$

## Generierung

Leonard E. Dickson fand heraus, dass alle zyklischen Zahlen Perioden von periodischen Zahlen sind, die man als Kehrwert bestimmter Primzahlen gewinnen kann. So ist der Kehrwert von 7 gleich 0,142857142857… und enthält genau die erste zyklische Zahl als Periode: ${\overline {142857}}$. Solche Zahlen, die Perioden einer zyklischen Zahl erzeugen, werden auch Generatorzahlen genannt:
    7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 263, 269, 313 … (Folge A001913 in OEIS)
Generatorzahlen im Dezimalsystem sind genau die Primzahlen $p$, welche die folgenden Bedingungen erfüllen:
1. Die Zahlenbasis 10 ist kein Vielfaches von $p$.
2. Für natürliche Zahlen $0<n<p-1$ ist $10^{n}-1$ kein Vielfaches von $p$.
3. $p$ teilt die Zahl $10^{p-1}-1$, das heißt $10^{p-1}-1$ ist Vielfaches von $p$ bzw. es gilt $10^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}$.
Die 486-stellige zyklische Zahl, die bei 487 entsteht, ist (bisher) die einzige bekannte, die selber durch ihre Generatorzahl teilbar ist. Damit hat die Periode von ${\tfrac {1}{487^{2}}}$ auch nur so viele Stellen wie die von ${\tfrac {1}{487}}$, eben 486 und nicht die sonst zu erwartenden 486 × 487 = 236682. Dementsprechend erscheint auch bei der Primfaktorzerlegung der Zahl mit 486 Neunen bzw. Einsen (Repunitzahl) der Faktor 487 im Quadrat.

## Werte

Triviale zyklische Zahlen sind alle einstelligen Zahlen ($n=1$). Die ersten nicht-trivialen zyklischen Zahlen sind:
* 142857 (6-stellig, erzeugt aus 1/7)
* 0588235294117647 (16-stellig, erzeugt aus 1/17)
* 052631578947368421 (18-stellig, erzeugt aus 1/19)
* 0434782608695652173913 (22-stellig, erzeugt aus 1/23)
* 0344827586206896551724137931 (28-stellig, erzeugt aus 1/29)

## Eigenschaften

* Jede nicht-triviale zyklische Zahl (im Dezimalsystem) ist durch 9 teilbar, z. B. 142857 / 9 = 15873.
* Multiplikation mit der Generatorzahl ergibt eine Folge von Neunen, z. B. 142857 × 7 = 999999.
* Gruppenweises Summieren ergibt eine Folge von Neunen, z. B. 142 + 857 = 999 und 14 + 28 + 57 = 99 (Midy's Theorem). Dafür muss die Gruppenlänge hinreichend groß sein. Ist die Anzahl der Stellen durch eine Zahl beginnend bei 1 nicht teilbar, so sind für Aufteilungen in eine größere Anzahl an Gruppen keine Neunen-Folge mehr zu erwarten.
* Emil Artin stellte im Jahr 1927 die Vermutung auf, dass der Anteil der Generatorzahlen an der Menge aller Primzahlen gleich der Artin-Konstante C = 0,3739558136192… (Folge A005596 in OEIS) ist. Diese ist über die Lucas-Zahlen mit der Primzetafunktion verknüpft und bestimmbar.

## Andere Zahlenbasen

Zyklische Zahlen lassen sich in fast allen Zahlensystemen bilden, sofern deren Zahlenbasis keine Quadratzahl ist; im Quaternärsystem (Basis 4 = 2²) oder im Hexadezimalsystem (Basis 16 = 4²) gibt es daher keine zyklischen Zahlen.
Beispiel: Zur Zahlenbasis $B=2$ ist für $p=11$ die Zahl
    $z:={\frac {B^{p-1}-1}{p}}={\frac {2^{10}-1}{11}}={\frac {1023}{11}}=93=0001011101_{2}$
eine zyklische Zahl. Denn es ist:
    ${\begin{array}{rrrrr}1\cdot 93&=&0001_{2}\cdot 0001011101_{2}&=&{\mathtt {0001011101}}_{2}.\\2\cdot 93&=&0010_{2}\cdot 0001011101_{2}&=&{\mathtt {0010111010}}_{2}.\\3\cdot 93&=&0011_{2}\cdot 0001011101_{2}&=&{\mathtt {0100010111}}_{2}.\\4\cdot 93&=&0100_{2}\cdot 0001011101_{2}&=&{\mathtt {0101110100}}_{2}.\\5\cdot 93&=&0101_{2}\cdot 0001011101_{2}&=&{\mathtt {0111010001}}_{2}.\\6\cdot 93&=&0110_{2}\cdot 0001011101_{2}&=&{\mathtt {1000101110}}_{2}.\\7\cdot 93&=&0111_{2}\cdot 0001011101_{2}&=&{\mathtt {1010001011}}_{2}.\\8\cdot 93&=&1000_{2}\cdot 0001011101_{2}&=&{\mathtt {1011101000}}_{2}.\\9\cdot 93&=&1001_{2}\cdot 0001011101_{2}&=&{\mathtt {1101000101}}_{2}.\\10\cdot 93&=&1010_{2}\cdot 0001011101_{2}&=&{\mathtt {1110100010}}_{2}.\\11\cdot 93&=&1011_{2}\cdot 0001011101_{2}&=&{\mathtt {1111111111}}_{2}.\end{array}}$
Deshalb wird die Primzahl $p=11$ eine lange Primzahl im Dualsystem (d. h. zur Basis $B=2$) genannt.
In vielen Zahlenbasen kann man zyklische Zahlen $z$ nach der Formel $z={\frac {B^{q-1}-1}{q}}$ (mit der Zahlenbasis $B$ und dem Teiler $q$) darstellen, sofern $B$ und $q$ ( $0<q<B$ ) teilerfremd sind und die Modulzahl ($B$ modulo $q$) nicht $0$, $1$ oder größer $3$ sind. Schöne zyklische Zahlen enthalten jede Ziffer nur einmal. Hier ist eine Tabelle aus jüngster Zeit:
* $B=5$, $q=3$: 13
* $B=7$, $q=5$: 1254
* $B=8$, $q=5$: 1463
* $B=10$, $q=7$: 142857
* $B=12$, $q=7$: 186A35
* $B=13$, $q=11$: 12495BA837
* $B=20$, $q=17$: 13ABF5HCIG984E27
* $B=22$, $q=19$: 13A95H826KIBCG4DJF
* $B=31$, $q=29$: 248H36CPK9J7ETSQMDROI5ALBNG
* $B=32$, $q=29$: 139TPC4D7N5GHKUSM26JRIO8QFEB
* $B=34$, $q=31$: 139TKSHILVRE8QAWUO4D5GFC26JP7N
* $B=39$, $q=37$: 1248GXSHZWQDRFVO9IbaYUM5AL36CPBN7ETK
* $B=46$, $q=43$: 139SeThdQYAW4CcNORbKEigaH5G26JBZDfX7MLI8PV
* $B=50$, $q=47$: 139Sa8PQTdI4CcEiY26J7MH139Sa8PQTdI4CcEiY26J7MH
* $B=56$, $q=53$: 139STWgEiL7MAVd5FlUZphHrnasqkRQNDfBYmXjOGoe8PK4Cc26J
* $B=63$, $q=61$: 1248GX36COna9IbBMjRtmY5AKfJdFUzywskTxuocDQriPpeHZ7ESvqgLhNlW
Dabei werden die Buchstaben A, B, C, ... für die Ziffernwerte 10, 11, 12, ... verwendet sowie a, b, c, ... für die Ziffernwerte 36, 37, 38, ...