# Abbildungskegel

In dem mathematischen Teilgebiet der Topologie ist der Abbildungskegel eine Konstruktion, die einer stetigen Funktion zwischen zwei topologischen Räumen einen dritten solchen Raum zuordnet. Sie ist nah verwandt mit dem Konzept des Kegels über einem topologischen Raum; ebenso wie dieser wird der Abbildungskegel hauptsächlich in der algebraischen Topologie betrachtet. Allgemeiner gibt es in der homologischen Algebra den Abbildungskegel von Kettenabbildungen zwischen Kettenkomplexen.

## Definition

Seien $X,Y$ zwei topologische Räume und $f\colon X\to Y$ eine stetige Funktion zwischen diesen, sei weiter $CX=(X\times [0,1])/(X\times \{1\})$ der Kegel über $X$.
Den Abbildungskegel $Cf$ erhält man nun (wie in der Zeichnung angedeutet) durch Verkleben von $CX$ und $Y$ vermöge $f$.
Genauer bedeutet dies:
Identifiziert man in der disjunkten Vereinigung $CX\sqcup Y$ jeweils $[(x,0)]\in CX$ mit $f(x)\in Y$ für jedes $x\in X$, so ergibt sich implizit eine Äquivalenzrelation $\sim _{f}$.
Der Abbildungskegel ist dann der Faktorraum $(CX\sqcup Y)/\sim _{f}$ versehen mit der Quotiententopologie bezüglich der kanonischen Projektion $CX\sqcup Y\to Cf;z\mapsto [z]_{\sim _{f}}$.

## Reduzierter Abbildungskegel

In der Kategorie der punktierten topologischen Räume - sind also $(X;x_{0});(Y;y_{o})$ punktiert und gilt $f(x_{0})=y_{0}$ - betrachtet man meist den reduzierten Abbildungskegel $C_{*}f$. Dieser entsteht dadurch, dass man im Abbildungskegel $Cf$ auch noch das Intervall $x_{0}\times [0,1]$ - genauer sein Bild unter der Projektion $X\times [0,1]\to CX$ - identifiziert.
Analog kann bei der obigen Konstruktion des Abbildungskegels auch gleich vom reduzierten Kegel $C_{*}X$ ausgegangen werden.

## Eigenschaften

* Der Raum $Y$ ist in natürlicher Weise Teilraum von $Cf$, da jeder seiner Punkte unter der Projektion $CX\sqcup Y\to Cf$ erhalten bleibt.
* Ist $f$ injektiv und relativ offen, also ein Homöomorphismus auf sein Bild, so sind auch $CX$ und damit $X$ in $Cf$ enthalten.
* Betrachtet man die Identität $id\colon X\rightarrow X;x\mapsto x$, so gilt die Homöomorphie $C\,id\cong CX$.
Alle obigen Beziehungen gelten auch für den reduzierten Abbildungskegel im Falle punktierter Räume $X$ und $Y$ und basispunkterhaltendem $f$, gegebenenfalls muss dafür zum reduzierten Kegel $C_{*}X$ übergegangen werden.
* Ist $\textstyle f\colon \coprod _{i\in I}S_{i}^{n}\rightarrow X_{n}$ die anklebende Abbildung in einem CW-Komplex $X$ an das $n$-Skelett $X_{n}$, so ist der Abbildungskegel $Cf$ homöomorph zum $(n+1)$-Skelett $X_{n+1}$.
Dies ist eine der Hauptanwendungen des Abbildungskegels in der algebraischen Topologie. Speziell für den reduzierten Abbildungskegel gilt außerdem:
* Sind $X;Y$ punktiert und $f\equiv y_{0}$ konstant, so gilt $C_{*}f\cong \Sigma X\vee Y$, wobei $\Sigma X$ die reduzierte Einhängung von $X$ und $\vee$ das Wedge-Produkt bezeichne.
* Für einen wohlpunktierten Raum ist der reduzierte Abbildungskegel homotopieäquivalent zum normalen Abbildungskegel.
* Eine Abbildung $f\colon X\rightarrow Y$ induziert einen Isomorphismus $f_{*}\colon H_{*}(X)\rightarrow H_{*}(Y)$ für eine Homologietheorie $H_{*}$ genau dann wenn $H_{*}(C_{f},*)=0$.

## Rolle in der Homotopietheorie

Sind zwei stetige Abbildungen $f,g\colon X\rightarrow Y$ homotop, so sind ihre Abbildungskegel $Cf$ und $Cg$ homotopieäquivalent.
Wenn $A\subseteq X$ ein abgeschlossener Teilraum und die Inklusion $i\colon A\hookrightarrow X$ eine Kofaserung ist, so ist $C\,i$ homotopieäquivalent zum Quotientenraum $X/A$. Es lässt sich außerdem zeigen, dass die Inklusion $j\colon Y\hookrightarrow Cf$ stets eine abgeschlossene Kofaserung ist. Somit erhält man, dass der Abbildungskegel $Cj$ homotopieäquivalent zu $Cf/Y\cong SX$ ist, wobei hier $SX$ die Einhängung von $X$ bezeichne. Fährt man auf die gleiche Weise fort, so folgt, dass der Abbildungskegel der Inklusion von $Cf$ nach $SX$ die Einhängung von $Y$ ergibt usw.
Hat man weiter ein stetiges $h\colon Y\rightarrow Z$ in einen topologischen Raum $Z$, so ist die Komposition $h\circ f$ genau dann homotop zu einer konstanten Abbildung, wenn $h$ fortsetzbar ist zu einer Abbildung $h'\colon Cf\rightarrow Z$. Für den Fall, dass $f=id\colon X\rightarrow X$ ist das Resultat noch etwas anschaulicher: eine Abbildung $h\colon X\rightarrow Z$ ist genau dann homotop zu einer konstanten Abbildung, wenn sie fortsetzbar ist zu einer Abbildung $h'\colon CX\rightarrow Z$. Um die Abbildung $h'$ zu konstruieren, benutzt man einfach die Homotopie $H\colon X\times [0,1]\rightarrow Z$, die auf $X\times \{0\}$ konstant ist.
Wenn man punktierte Räume und basispunkterhaltende Abbildungen betrachtet, bedeutet dies, dass die folgende Sequenz exakt ist:
       $\dots \rightarrow [\Sigma Y,Z]\rightarrow [\Sigma X,Z]\rightarrow [C_{*}f,Z]\rightarrow [Y,Z]\rightarrow [X,Z]$
Diese exakte Sequenz nennt man auch Puppe-Folge.

## Abbildungskegel einer Kettenabbildung

Seien $A,B$ zwei Kettenkomplexe mit Differentialen $d_{A},d_{B};$ d. h.,
    $A=\dots \to A^{n-1}{\xrightarrow {d_{A}^{n-1}}}A^{n}{\xrightarrow {d_{A}^{n}}}A^{n+1}\to \cdots$
und entsprechend für $B.$
Für eine Kettenabbildung $f\colon A\to B,$ definiert man den Abbildungskegel $\operatorname {Cone} (f)$ oder $C(f)$ als den Kettenkomplex:
    $C(f)=A[1]\oplus B=\dots \to A^{n}\oplus B^{n-1}\to A^{n+1}\oplus B^{n}\to A^{n+2}\oplus B^{n+1}\to \cdots$
mit Differential
    $d_{C(f)}={\begin{pmatrix}d_{A[1]}&0\\f[1]&d_{B}\end{pmatrix}}$.
Hierbei bezeichnet $A[1]$ den Kettenkomplex mit $A[1]^{n}=A^{n+1}$ und $d_{A[1]}^{n}=-d_{A}^{n+1}$. Explizit berechnet sich das Differential wie folgt:
    ${\begin{array}{ccl}d_{C(f)}^{n}(a^{n+1},b^{n})&=&{\begin{pmatrix}d_{A[1]}^{n}&0\\f[1]^{n}&d_{B}^{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a^{n+1}\\b^{n}\end{pmatrix}}\\&=&{\begin{pmatrix}-d_{A}^{n+1}&0\\f^{n+1}&d_{B}^{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a^{n+1}\\b^{n}\end{pmatrix}}\\&=&{\begin{pmatrix}-d_{A}^{n+1}(a^{n+1})\\f^{n+1}(a^{n+1})+d_{B}^{n}(b^{n})\end{pmatrix}}\\&=&\left(-d_{A}^{n+1}(a^{n+1}),f^{n+1}(a^{n+1})+d_{B}^{n}(b^{n})\right).\end{array}}$
Wenn $f\colon X\rightarrow Y$ eine stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen und $f_{*}\colon C_{*}(X)\rightarrow C_{*}(Y)$ die induzierte Kettenabbildung zwischen den singulären Kettenkomplexen ist, dann ist
    $C_{*}(Cf)=C(f_{*})$.