# Verallgemeinerter Laplace-Operator

Verallgemeinerte Laplace-Operatoren sind mathematische Objekte, welche in der Differentialgeometrie insbesondere in der Globalen Analysis untersucht werden. Die hier behandelten Operatoren sind Verallgemeinerungen des aus der reellen Analysis bekannten Laplace-Operators. Diese Verallgemeinerungen sind notwendig, um den Laplace-Operator auf riemannsche Mannigfaltigkeit definieren zu können. Eine wichtige Rolle spielen diese Operatoren in den Beweisen für den Atiyah-Singer-Indexsatz und den Atiyah-Bott-Fixpunktsatz.

## Definition

Sei $(M,g)$ eine n-dimensionale riemannsche Mannigfaltigkeit, $\pi \colon E\to M$ ein hermitesches Vektorbündel und $H\colon \Gamma ^{\infty }(M,E)\to \Gamma ^{\infty }(M,E)$ ein geometrischer Differentialoperator zweiter Ordnung. Dieser heißt verallgemeinerter Laplace-Operator, falls für sein Hauptsymbol
    $\sigma _{H}^{2}(x,\xi )=\|\xi \|^{2}$
für $x\in M$ und $\xi \in T_{x}^{*}M$ gilt. Die Norm wird durch die riemannsche Metrik induziert und daher ist auch die Definition abhängig von der Metrik.

## Beispiele

Im Folgenden werden einige bekannte Beispiele verallgemeinerter Laplace-Operatoren vorgestellt. Dazu sei wieder wie in der Definition $(M,g)$ eine $n$-dimensionale, kompakte riemannsche Mannigfaltigkeit und $\pi \colon E\to M$ ein Vektorbündel.

### Laplace-Beltrami-Operator
#### Definition

Der Laplace-Beltrami-Operator ist definiert durch
    $\Delta f:=\operatorname {div} (\operatorname {grad} f).$
für zweimal stetig differenzierbare Funktionen $f\colon M\to \mathbb {R}$. Dabei bezeichnet $\operatorname {grad} f$ den Gradienten der Funktion $f$, ein Vektorfeld auf $M$. Die Divergenz eines Vektorfeldes $X$ auf $M$ an der Stelle $p\in M$ ist definiert als die Spur der linearen Abbildung $\nabla X\colon T_{p}M\to T_{p}M$, $\xi \mapsto \nabla _{\xi }X$, wobei $\nabla$ der Levi-Civita-Zusammenhang auf $M$ ist. Hat man als Definitionsbereich eine offene Teilmenge des $\mathbb {R} ^{n}$, betrachtet als Mannigfaltigkeit über sich, so ist der Zusammenhang $\nabla$ die gewöhnliche Richtungsableitung und $\operatorname {div}$ die aus der reellen Analysis bekannte Divergenz eines Vektorfeldes. In diesem Fall erhält man den bekannten Laplace-Operator.

#### Lokale Koordinaten

Es seien $(x_{1},\dots ,x_{n})$ lokale Koordinaten auf $M$ und ${\tfrac {\partial }{\partial x_{1}}},\dots ,{\tfrac {\partial }{\partial x_{n}}}$ die zugehörigen Basisfelder des Tangentialbündels. Mit $g_{ij}$ für $1\leq i,j\leq n$ seien die Komponenten der riemannschen Metrik $g$ bezüglich dieser Basis bezeichnet.
Die Darstellung des Gradienten $\operatorname {grad}$ in lokalen Koordinaten lautet dann
    $\operatorname {grad} f=\sum _{i,j}\left(g^{ij}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\right){\frac {\partial }{\partial x_{i}}}$.
Hierbei ist $(g^{ij})$ die inverse Matrix der Matrix $(g_{ij})$.
Die Darstellung der Divergenz eines Vektorfelds $\textstyle X=\sum \limits _{i}X^{i}{\tfrac {\partial }{\partial x_{i}}}$ ist
    $\operatorname {div} X={\frac {1}{\sqrt {\det g}}}\sum _{i}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left({\sqrt {\det g}}X^{i}\right)$,
wobei $\det g$ die Determinante der Matrix $(g_{ij})$ ist.
Setzt man diese Gleichungen zusammen, so erhält man die lokale Darstellung
    $\Delta f=\operatorname {div} (\nabla f)={\frac {1}{\sqrt {\det g}}}\sum _{i,j}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left({\sqrt {\det g}}\,g^{ij}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\right)$
des Laplace-Beltrami-Operators bezüglich der Metrik $g$. Setzt man in dieser Formel für den Laplace-Beltrami-Operator die Darstellung des euklidischen metrischen Tensors in Polar-, Zylinder- oder Kugelkoordinaten ein, so erhält man die Darstellung des üblichen Laplace-Operators in diesen Koordinatensystemen.

### Hodge-Laplace-Operator

Sei $\textstyle {\mathcal {A}}(M):=\bigoplus _{i=1}^{n}{\mathcal {A}}^{i}(M)$ der Raum der Differentialformen über $M$ und $\mathrm {d} :{\mathcal {A}}^{i}(M)\to {\mathcal {A}}^{i+1}(M)$ die äußere Ableitung. Die adjungierte äußere Ableitung wird mit $\delta$ bezeichnet. Dann heißt der Operator
    $\Delta :=\mathrm {d} \delta +\delta \mathrm {d} =(\mathrm {d} +\delta )^{2}$
Hodge-Laplace- oder Laplace-de-Rham-Operator und ist ein verallgemeinerter Laplace-Operator. Die Namen stammen daher, dass dieser Operator in der klassischen Hodge-Theorie und dem damit eng verbundenen De-Rham-Komplex Anwendung findet.

### Dirac-Laplace-Operator

Ein Dirac-Operator
    $D:\Gamma ^{\infty }(M,E)\to \Gamma ^{\infty }(M,E)$
ist gerade so definiert, dass er durch quadrieren einen verallgemeinerten Laplace-Operator induziert. Das heißt, $D^{2}:\Gamma ^{\infty }(M,E)\to \Gamma ^{\infty }(M,E)$ ist ein verallgemeinerter Laplace-Operator und wird Dirac-Laplace-Operator genannt. Diese Laplace-Operatoren spielen eine wichtige Rolle im Beweis des Indexsatzes.

### Bochner-Laplace-Operator
#### Definition

Der Bochner-Laplace-Operator wird mit dem metrischen Zusammenhang $\nabla ^{E}\colon \Gamma (M,E)\to \Gamma (T^{*}M\otimes E)$ auf dem Vektorbündel $E$ definiert. Sei außerdem $\nabla ^{T^{*}M}\colon \Gamma (M,T^{*}M)\to \Gamma (T^{*}M\otimes T^{*}M)$ der Levi-Civita-Zusammenhang und $\nabla ^{T^{*}M\otimes E}$ der durch $\nabla ^{E}$ und $\nabla ^{T^{*}M}$ induzierte Zusammenhang auf dem Bündel $T^{*}M\otimes E$
dann ist der Bochner-Laplace-Operator durch
    $\Delta ^{E}\cdot :=-\operatorname {Tr} _{g}\left(\nabla ^{T^{*}M\otimes E}\nabla ^{E}\cdot \right)\,.$
definiert. Die Abbildung $\operatorname {Tr} _{g}$ ist dabei die Tensorverjüngung bezüglich der riemannschen Metrik.
Eine äquivalente Definition des Bochner-Laplace-Operators ist
    $\Delta ^{E}:=-(\nabla ^{E})^{*}\nabla ^{E}.$
Dabei ist $(\nabla ^{E})^{*}$ der adjungierte Operator bezüglich der riemannschen Metrik $g$.

#### Lokale Darstellung

Wählt man als Zusammenhang den Levi-Civita-Zusammenhang so erhält man in lokalen Koordinaten mit dem orthonormalen Rahmen $e_{1},\ldots ,e_{n}$ die Darstellung
    $\Delta ^{E}=-\sum _{i=1}^{n}\left(\nabla _{e_{i}}^{E}\nabla _{e_{i}}^{E}-\nabla _{\nabla _{e_{i}}e_{i}}^{E}\right)\,.$

## Eigenschaften

* Ein verallgemeinerter Laplace-Operator ist ein geometrischer Differentialoperator der Ordnung zwei.
* Da ein verallgemeinerter Laplace-Operator, wie in der Definition gefordert, das Hauptsymbol $|\xi |^{2}$ hat, ist er ein elliptischer Differentialoperator.
* Jeder Differentialoperator zweiter Ordnung mit positiv definitem Hauptsymbol ist ein verallgemeinerter Laplace-Operator bezüglich einer geeigneten riemannschen Metrik auf der Mannigfaltigkeit und einer geeigneten hermiteschen Metrik auf dem Vektorbündel.
* Sind $\phi ,\psi \in \Gamma ^{\infty }(M,E)$ glatte Schnitte, so gilt
       $g(\Delta ^{E}\phi ,\psi )=g(\nabla ^{E}\phi ,\nabla ^{E}\psi )$.
* Der Operator $\Delta ^{E}$ ist nichtnegativ und wesentlich selbstadjungiert bezüglich $L^{2}(X,E)$. Die Definition des $L^{2}$ auf Mannigfaltigkeiten kann in dem Artikel über Dichtebündel nachgelesen werden.
* Jeder verallgemeinerte Laplace-Operator $H$ bestimmt eindeutig einen Zusammenhang $\nabla ^{E}$ auf dem Vektorbündel $E$ und einen Schnitt $B\in \Gamma ^{\infty }(M,\operatorname {End} (E))$, so dass $H=\Delta ^{E}-B$ gilt, wobei $\Delta ^{E}$ der Bochner-Laplace-Operator ist. Jeder verallgemeinerte Laplace-Operator stimmt also mit dem Bochner-Laplace-Operator bis auf eine Störung der Ordnung Null überein.

## Quellen

* Isaac Chavel: Eigenvalues in Riemannian Geometry (= Pure and Applied Mathematics 115). Academic Press, Orlando FL u. a. 1984, ISBN 0-12-170640-0.
* Liviu I. Nicolaescu: Lectures on the geometry of manifolds. 2nd edition. World Scientific Pub Co., Singapore u. a. 2007, ISBN 978-981-270853-3.
* Martin Schottenloher: Geometrie und Symmetrie in der Physik. Leitmotiv der Mathematischen Physik (= Vieweg-Lehrbuch Mathematische Physik). Vieweg, Braunschweig u. a. 1995, ISBN 3-528-06565-6.