# Colpitts-Schaltung

Die Colpitts-Schaltung, auch Colpitts-Oszillator genannt, ist eine Oszillatorschaltung zur Erzeugung einer periodischen Wechselspannung (Sinusschwingung). Das wesentliche Merkmal der Schaltung besteht darin, dass die für die Schwingungserzeugung notwendige Rückkopplung über einen kapazitiven Spannungsteiler aus zwei Kondensatoren erfolgt, welche in diesem Zusammenhang auch als kapazitive Dreipunktschaltung bezeichnet wird. Ein Oszillator für VHF- oder UHF-Frequenzen benutzt oft die Colpitts-Schaltung mit einem Bipolartransistor in Basis-Schaltung oder einen Feldeffekttransistor in Gate-Schaltung.
Es gibt verschiedene Variationen der Colpitts-Schaltung, zum Beispiel die Clapp-, die Seiler- und die Vackář-Schaltung und die im Bereich der Digitaltechnik eingesetzte Pierce-Schaltung.

## Geschichte

Der Colpitts-Oszillator wurde von Edwin H. Colpitts 1918 zum Patent angemeldet. Als Verstärker wurde eine Elektronenröhre (Triode) in Kathodenbasisschaltung verwendet. 7 ist Kathode, 9 ist Gitter und 8 ist Anode der Röhre. Der Schwingkreis besteht aus den Drehkondensatoren 13, 16 und der Primärwicklung 20 des Übertragers 22. Die Betriebsspannung der Batterie 11 wird über die HF-Drossel 12 zugeführt, die verhindert, dass die Hochfrequenzspannung kurzgeschlossen wird. (Die Verbindungen 23 und 24 werden in der Beschreibung von Varianten benötigt). An der Wicklung 23 wird die erzeugte Schwingung abgenommen.
Das frequenzbestimmende Netzwerk besteht aus einem Schwingkreis mit geteilter Kapazität (13 und 16 in Patentzeichnung). Bei der Resonanzfrequenz des Schwingkreises ist die Phasenverschiebung zwischen den beiden Anschlüssen der Induktivität 180° (20 in der Patentzeichnung). Die Triode in Kathodenbasisschaltung hat auch eine Phasenverschiebung von 180° zwischen Eingang und Ausgang. Die Summe der Phasenverschiebungen ist 360°, und damit wird die Phasenbedingung des Stabilitätskriterium von Barkhausen erfüllt. Damit die Schaltung nach dem Einschalten mit der Erzeugung von Schwingungen beginnt, muss die Schleifenverstärkung größer 1 sein. Wenn die Schaltung die gewünschte Amplitude liefert, muss die Schleifenverstärkung auf 1 zurückgehen, damit eine Sinusschwingung mit wenig Oberwellen erzeugt wird. Elektronenröhren mit Wolfram Glühkathode können bis zu ihrem Sättigungsstrom ausgesteuert werden. In diesem Bereich sinkt die Steilheit, wie es die Kennlinie der Elektronenröhre RE064 in Bild 2 bei hoher Gitterspannung und hoher Anodenspannung zeigt. Der Arbeitspunkt der Triode wird so gewählt, dass bei der gewünschten Amplitude die Schleifenverstärkung auf 1 zurückgeht. Dadurch arbeitet die Schaltung mit Stromsättigung.

## Transistorschaltung

Der Schwingkreis in der Colpitts-Oszillatorschaltung in Bild 3 nach besteht aus den beiden Kondensatoren C$_1$, C$_2$, dem optionalen Kondensator C$_3$, und der Induktivität L$_1$. Der Verstärker J$_1$ arbeitet in Gate-Schaltung und dreht die Phase zwischen Eingang und Ausgang nicht, also um 0°. Die Hochfrequenzspannung an Drain (Ausgang) wird durch den kapazitiven Spannungsteiler C$_1$, C$_2$ geteilt und an Source (Eingang) eingespeist. Die Verstärkung von J$_1$ wird durch R$_1$ eingestellt. Aufgrund der Bauteile-Toleranzen ist es oft nötig R$_1$ einstellbar auszuführen um beide Ziele, sicheres Anschwingen und geringe Oberwellen, zu erreichen. Mit C$_4$ wird das Ausgangssignal des Oszillators ausgekoppelt. Der Kondensator C$_3$ ist ein variabler Kondensator für die Frequenzeinstellung. Das RC-Glied R$_2$, C$_5$ siebt die Betriebsspannung.
Der Lastwiderstand R$_L$ gehört nicht zum Oszillator, sondern bildet die Belastung des Oszillator durch die folgenden Stufen nach. Der Parallelwiderstand R$_P$ reduziert den Gütefaktor des Schwingkreises auf Q = 100. Die Werte von Lastwiderstand und Gütefaktor sind wichtig für die Dimensionierung oder die Schaltungssimulation. Der Hilfswiderstand R$_T$ ist nötig damit der Simulator die Parallel- und Serienschaltung von Kondensatoren korrekt verarbeitet.
Das frequenzbestimmende Netzwerk in Bild 4 besteht hier aus einem Parallelschwingkreis (L$_1$-C$_1$-C$_2$), der über den nicht sichtbaren differentiellen Ausgangswiderstand r$_a$ der Gate-Schaltung gespeist wird. Man erkennt den Schwingkreis, wenn man bedenkt, dass der Kondensator C$_5$ in Bild 3 für Wechselströme einen Kurzschluss darstellt und somit das obere Ende der Spule wechselstrommäßig an Masse liegt. Der nicht sichtbare differentielle Eingangswiderstand r$_e$ der Gate-Schaltung belastet den Schwingkreis. Da dieser kleine Widerstand wegen des kapazitiven Spannungsteilers nur an einer Teilspannung der Schwingkreisspannung liegt, ist die Dämpfung entsprechend reduziert.

## Ersatzschaltung

Die Oszillation beginnt durch das Wärmerauschen am Eingang des Verstärkers. Die Verstärkung dieser minimalen Spannungsschwankungen wird gut mit dem Kleinsignal-Modell des Transistors beschrieben. Die Amplitude der Wechselspannung am Schwingkreis wird größer, bis die Amplitudenbegrenzung aufgrund von Stromsättigung oder Spannungssättigung eintritt. Der Verstärker arbeitet nun im Großsignal-Betrieb. Für Resonanzfrequenzen bis in den Kurzwelle-Bereich ist die vorgestellte Berechnung nach nutzbar. Komplexe Zahlen werden für die Berechnung nicht benötigt. Bei der Resonanzfrequenz heben sich die Blindwiderstände von Kondensatoren und Induktivitäten im Schwingkreis gegenseitig auf. Bei der Gate-Schaltung wirkt die Millerkapazität zwischen Verstärker-Eingang und Ausgang nur als zusätzliche Schwingkreis-Kapazität und wird deshalb ebenfalls vernachlässigt.
Für die Berechnung werden in der Schaltung Colpitts-Oszillator mit Feldeffekttransistor (FET) zuerst die Widerstände am Verstärker-Eingang zu $R_{\mathrm {E} }$ und die Widerstände am Ausgang zu $R_{\mathrm {A} }$ zusammengefasst. Der kapazitive Spannungsteiler im Schwingkreis arbeitet als Impedanzwandler und hat ein Spannungsübersetzungs-Verhältnis von $N$. Widerstandswerte werden mit einem Widerstandsübersetzungs-Verhältnis von $N^{2}$ von einer Seite des kapazitiven Spannungsteilers auf die andere übertragen. Mit dem Widerstandsübersetzungs-Verhältnis wird der Widerstand $R_{\mathrm {A} }$ am Verstärker-Ausgang in einen Widerstand $R_{\mathrm {A} }'$ am Verstärker-Eingang umgerechnet. Alle Widerstände liegen nun am Verstärker-Eingang. Der Verstärker-Ausgang ist über den kapazitiven Spannungsteiler mit dem Eingang verbunden. Der Verstärker muss die Widerstands-Verluste genau ausgleichen um die Amplitudenbedingung zu erfüllen. Die Verstärkungswirkung des JFET wird durch die Steilheit $g_{\mathrm {m} }$ beschrieben. Das Übersetzungsverhältnis $N$ des kapazitiven Spannungsteilers ist eine abhängige Variable, welche mit der quadratischen Lösungsformel berechnet wird, um die Amplitudenbedingung zu erfüllen.
Am Verstärker-Eingang (Source) liegen die Widerstände $R_{1}$, $R_{\mathrm {L} }$ und der Verstärker-Eingangswiderstand $R_{\mathrm {i} }$ parallel. Nach ist $R_{i}={\frac {1}{g_{\mathrm {m} }}}$. Der Ersatzwiderstand $R_{\mathrm {E} }$ ist
    ${\frac {1}{R_{\mathrm {E} }}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{\mathrm {L} }}}+{\frac {1}{R_{i}}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{\mathrm {L} }}}+g_{\mathrm {m} }$
Am Verstärker-Ausgang (Drain) liegen die Widerstände $R_{\mathrm {P} }$ und der Verstärker-Ausgangswiderstand $R_{o}$ parallel. Der Verstärker-Ausgangswiderstand ist hochohmig und wird deshalb vernachlässigt. Der Widerstand $R_{\mathrm {P} }$ steht für die Schwingkreisverluste und hängt von der Resonanzfrequenz $f$, der Induktivität $L$ und dem Schwingkreis-Gütefaktor $Q$ ab. Mit $R_{\mathrm {P} }=2\pi fLQ$ ist
    ${\frac {1}{R_{\mathrm {A} }}}={\frac {1}{R_{\mathrm {P} }}}={\frac {1}{2\pi fLQ}}$
Am Verstärker-Eingang wirkt $R_{\mathrm {A} }$ um den Faktor $N^{2}$ geringer. Der umgerechnete Ausgangswiderstand $R_{\mathrm {A} }'$ ist
    ${\frac {1}{R_{\mathrm {A} }'}}={\frac {N^{2}}{R_{\mathrm {A} }}}={\frac {N^{2}}{2\pi fLQ}}$
Die Amplitudenbedingung ist erfüllt wenn $Ng_{\mathrm {m} }={\frac {1}{R_{\mathrm {E} }}}+{\frac {1}{R_{\mathrm {A} }'}}$ ist. Es folgt
    $N={\frac {1}{g_{\mathrm {m} }}}\left({\frac {1}{R_{\mathrm {E} }}}+{\frac {1}{R_{\mathrm {A} }'}}\right)={\frac {1}{g_{\mathrm {m} }}}\left({\frac {1}{R_{\mathrm {E} }}}+{\frac {N^{2}}{R_{\mathrm {A} }}}\right)$
Für die quadratische Lösungsformel wird die Gleichung umgestellt nach
    $0=N^{2}-Ng_{\mathrm {m} }'''R_{\mathrm {A} }'''+{\frac {R_{\mathrm {A} }}{R_{\mathrm {E} }}}$
Das Übersetzungsverhältnis $N$ ist
    $N_{1,2}={\frac {g_{\mathrm {m} }R_{\mathrm {A} }}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {g_{\mathrm {m} }R_{\mathrm {A} }}{2}}\right)^{2}-{\frac {R_{\mathrm {A} }}{R_{\mathrm {E} }}}}}$
Von den beiden Lösungen $N_{1,2}$ wird die kleinere benutzt. Je größer $N$ ist, umso mehr Oberwellen produziert der Oszillator. Bei $N>10$ sollte die Schaltung überarbeitet werden. Eine Erhöhung von $R_{1}$ und $R_{\mathrm {L} }$, ein höheres $g_{\mathrm {m} }$ durch einen anderen JFET oder ein höheres $Q$ durch eine andere Induktivität hilft, wie auch eine Erniedrigung von $L$. Zum Abschluss wird die Schwingkreiskapazität $C$ berechnet und in $C_{1}$ und $C_{2}$ aufgeteilt.
    $C={\frac {1}{\left({2\pi f}\right)^{2}L}}$
    $C_{1}=C\left({\frac {N+1}{N}}\right)$
    $C_{2}=NC_{1}$
Oft wird $N$ etwas größer gewählt für sicheres Anschwingen. Nach wird $N$ um 2 dB bis 4 dB erhöht, d. h., mit einem Faktor 1,2 bis 1,6 multipliziert. Mit dem hier gezeigten Verfahren können auch andere Oszillator-Schaltungen wie Clapp-Schaltung, Seiler-Oszillator, Hartley-Schaltung oder Meißner-Schaltung berechnet werden.

## Berechnungsbeispiel

Die Steilheit des JFET 2N5484 oder MMBF5484 liegt zwischen $g_{\mathrm {m} }=3\ \mathrm {\frac {mA}{V}}$ und $g_{\mathrm {m} }=6\ \mathrm {\frac {mA}{V}}$. Die gewünschte Resonanzfrequenz ist $f=30\ \mathrm {MHz}$, die Induktivität ist $L=470\ \mathrm {nH}$ und die Widerstände sind $R_{1}=220\ \Omega$ und $R_{\mathrm {L} }=200\ \Omega$. Die Berechnung mit $g_{\mathrm {m} }=3\ \mathrm {\frac {mA}{V}}$ ergibt $R_{i}=333\ \Omega$, $R_{\mathrm {E} }=79{,}7\ \Omega$, $R_{\mathrm {A} }=8{,}86\ \mathrm {k\Omega }$, $N_{1}=24{,}4$, $N_{2}=5{,}20$, $C=59{,}9\ \mathrm {pF}$, $C_{1}=71{,}4\ \mathrm {pF}$ und $C_{2}=371\mathrm {pF}$. Der Kondensator $C_{3}$ wird bei diesem Beispiel nicht benötigt.
Die Berechnung mit $g_{\mathrm {m} }=6\ \mathrm {\frac {mA}{V}}$ liefert die Ergebnisse $N_{1}=50{,}4$ und $N_{2}=2{,}73$. Das Übersetzungsverhältnis steigt auf $N=5{,}15$ wenn $R_{1}=59\ \Omega$ gemacht wird. Die großen Bauteile-Toleranzen von Transistoren machen oft einstellbare Widerstände nötig. Alternativ ersetzt eine Amplitudenregelung die Amplitudenbegrenzung.

## Abstimmung

Für einen Abstimmoszillator im Superhet-Empfänger ist der Colpitts-Oszillator gut geeignet, wenn die Induktivität variiert wird (Variometer-Abstimmung). Er ist weniger geeignet, wenn C$_1$ oder C$_2$ als Abstimmkondensator verwendet werden, weil dadurch das Teilerverhältnis und somit die Kreisverstärkung verändert wird bzw. der Abstimmbereich durch den anderen Kondensator eingeschränkt ist. Man kann allerdings C$_1$ und C$_2$ wesentlich kleiner als notwendig machen und den Abstimmkondensator C$_3$ parallel dazu schalten, wie in der JFET-Schaltung in Bild 3 geschehen. Alternativen für kapazitive Abstimmung sind die Clapp-Schaltung, Seiler-Oszillator, Hartley-Schaltung oder die Meißner-Schaltung.

## Frequenz der erzeugten Schwingung

Die erzeugte Frequenz wird durch die Induktivität der Spule und die Reihenschaltung der Kapazitäten der Kondensatoren C$_1$ und C$_2$ bestimmt (thomsonsche Resonanzformel):
    $f_{\mathrm {res} }={1 \over 2\pi {\sqrt {L_{1}\cdot \left({C_{1}\cdot C_{2} \over C_{1}+C_{2}}\right)}}}$
Die Zusatzkapazitäten der restlichen Bauelemente verringern diese berechnete Frequenz.