# Doob-Martingal

Ein Doob-Martingal ist ein spezieller stochastischer Prozess in der Stochastik. Dem Namen entsprechend gehören Doob-Martingale zur Klasse der Martingale. Doob-Martingale zeichnen sich durch ihre einfache Darstellung aus. Außerdem stehen sie in enger Verbindung zu den Martingalkonvergenzsätzen. Doob-Martingale selbst konvergieren bereits aufgrund ihrer Eigenschaften, die aus der Definition folgen. Die Martingalkonvergenzsätze beantworten dann die Frage, welche Martingale als Doob-Martingale dargestellt werden können.
Die Doob-Martingale sind nach Joseph L. Doob benannt.

## Definition

Gegeben sei eine Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$, eine Indexmenge $T\subset \mathbb {N} _{0}$ sowie eine Filtrierung $\mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T}$ in ${\mathcal {A}}$ und eine integrierbare Zufallsvariable $X$, das heißt $\operatorname {E} (|X|)<\infty$.
Dann heißt der stochastische Prozess, der durch
    $X_{n}:=\operatorname {E} (X|{\mathcal {F}}_{n})$
definiert wird, ein Doob-Martingal.
Dabei bezeichnet $\operatorname {E} (Y|{\mathcal {A}})$ den bedingten Erwartungswert der Zufallsvariable $Y$, gegeben die σ-Algebra ${\mathcal {A}}$.

## Nachweis der Martingal-Eigenschaft

Die Integrierbarkeit des Doob-Martingals folgt aus
    $\operatorname {E} (|X_{n}|)=\operatorname {E} (\left|\operatorname {E} (X|{\mathcal {F}}_{n})\right|)\leq \operatorname {E} (\operatorname {E} (\left|X\right||{\mathcal {F}}_{n}))=\operatorname {E} (|X|)$
nach der Definition, der Dreiecksungleichung für den bedingten Erwartungswert und der Regel über das Bilden des Erwartungswertes über den bedingten Erwartungswert.
Die Adaptiertheit des Doob-Martingals folgt daraus, das per Definition $X_{n}=\operatorname {E} (X|{\mathcal {F}}_{n})$ immer ${\mathcal {F}}_{n}$-messbar ist.
Der Nachweis der definierenden Eigenschaft für Martingale folgt aus der Turmeigenschaft des bedingten Erwartungswertes:
    $X_{n}=\operatorname {E} (X|{\mathcal {F}}_{n})=\operatorname {E} (\operatorname {E} (X|{\mathcal {F}}_{n})|{\mathcal {F}}_{n+1})=\operatorname {E} (\operatorname {E} (X|{\mathcal {F}}_{n+1})|{\mathcal {F}}_{n})=\operatorname {E} (X_{n+1}|{\mathcal {F}}_{n})$.

## Eigenschaften
### Gleichgradige Integrierbarkeit

Jedes Doob-Martingal ist immer gleichgradig integrierbar. Dies lässt sich zeigen, indem man von der Zufallsvariable $X$, welche gleichgradig integrierbar ist, über ein Kriterium für die gleichgradige Integrierbarkeit, welches konvexe Funktionen verwendet, mittels der Jensenschen Ungleichung für den bedingten Erwartungswert auf die gleichgradige Integrierbarkeit schließt.

### Als abgeschlossenes Martingal

Jedes abgeschlossene Martingal $X=(X_{n})_{n\in T}$ lässt sich als Doob-Martingal darstellen: Ist $X_{u}$ das letzte Element des abgeschlossenen Martingals, so ist
    $X_{n}=\operatorname {E} (X_{u}|{\mathcal {F}}_{n})$ für alle $n\leq u$.
Umgekehrt lässt sich jedes Doob-Martingal abschließen. Dazu setzt man $T'=T\cup u$ sowie als letztes Element
    $X_{u}:=X$ und ${\mathcal {F}}_{u}:={\mathcal {A}}$,
die σ-Algebra des zugrunde liegenden Wahrscheinlichkeitsraumes.

### Konvergenz

Setzt man
    ${\mathcal {F}}_{\infty }:=\sigma \left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }{\mathcal {F}}_{n}\right)$
so lässt sich aus dem Martingalkonvergenzsatz daraus folgende Aussage ableiten:
    Ist $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ein Martingal bezüglich $\mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, so lässt sich $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ genau dann als ein Doob-Martingal bezüglich einer Zufallsvariable $X$ darstellen, wenn eine der beiden folgenden äquivalenten Bedingung erfüllt sind:
   * $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ist gleichgradig integrierbar
   * $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ Konvergiert im ersten Mittel und fast sicher
    Ist dann $X_{\infty }$ der Grenzwert von $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, so gilt
       $X_{\infty }=\operatorname {E} (X|{\mathcal {F}}_{\infty })$

### Satz von Lévy

Teilweise wird ein Martingalkonvergenzsatz für Doob-Martingale beziehungsweise für den bedingten Erwartungswert auch als eigenständige Aussage formuliert und dann als Satz von Lévy (nach Paul Lévy) bezeichnet. Er lautet:
    Ist $X$ eine integrierbare Zufallsvariable, so konvergiert $\operatorname {E} (X|{\mathcal {F}}_{n})$ fast sicher und im ersten Mittel gegen $\operatorname {E} (X|{\mathcal {F}}_{\infty })$.
Je nach Quelle wird auch gefordert, dass die Zufallsvariable quadratintegrierbar ist. Die Konvergenz ist dann entsprechend im quadratischen Mittel.