# Toeplitz-Algebra

Die Toeplitz-Algebra ist eine im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersuchte C*-Algebra, die eng mit Toeplitz-Operatoren zusammenhängt.

## Definition

Sei $S\colon \ell ^{2}\rightarrow \ell ^{2}$ der unilaterale Shiftoperator auf dem Hilbertraum $\ell ^{2}$ mit der kanonischen Orthonormalbasis $e_{n}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots ),\,n=0,1,2,\ldots$, wobei die 1 an der $n$-ten Stelle steht. $S$ ist als stetiger, linearer Operator durch die Bedingungen $Se_{n}=e_{n+1}$ festgelegt.
Die Toeplitz-Algebra ${\mathcal {T}}$ ist definiert als die von $S$ erzeugte C*-Algebra.

## Bemerkungen

* Da $S$ kein normaler Operator ist, ist ${\mathcal {T}}$ nicht kommutativ.
* ${\mathcal {T}}$ enthält die eindimensionale Orthogonalprojektion $\langle \cdot ,e_{0}\rangle e_{0}=1_{\ell ^{2}}-SS^{*}$, also einen kompakten Operator. Man kann zeigen, dass ${\mathcal {T}}$ irreduzibel auf $\ell ^{2}$ operiert und daher die Menge ${\mathcal {K}}(\ell ^{2})$ aller kompakten Operatoren auf $\ell ^{2}$ enthalten muss. Insbesondere ist ${\mathcal {K}}(\ell ^{2})$ ein abgeschlossenes, zweiseitiges Ideal in ${\mathcal {T}}$.

## Toeplitz-Operatoren

Nimmt man statt des Folgenraums $\ell ^{2}$ mit der kanonischen Orthonormalbasis den Hardy-Raum $H^{2}$ mit der Orthonormalbasis $e_{n}:\mathbb {T} =\{z\in \mathbb {C} \mid |z|=1\}\rightarrow \mathbb {C}$, $z\mapsto z^{n}$, $n=0,1,2,\ldots$, so ist der Shiftoperator nichts anderes als die Multiplikation mit $z$, denn $z\cdot z^{n}=z^{n+1}$.
Für eine wesentlich beschränkte, messbare Funktion $f\colon \mathbb {T} \rightarrow \mathbb {C}$ wird die Kompression des Multiplikationsoperators $L^{2}(\mathbb {T} )\rightarrow L^{2}(\mathbb {T} ),\varphi \mapsto f\cdot \varphi$ auf den Unterraum $H^{2}$ mit $T_{f}$ bezeichnet, solche Operatoren heißen Toeplitz-Operatoren. Damit ist der Shiftoperator der Toeplitz-Operator $T_{\mathrm {id} _{\mathbb {T} }}$. Die davon erzeugte C*-Algebra ist mittels der unitären Abbildung $\ell ^{2}\rightarrow H^{2}$, die die angegebenen Orthonormalbasen aufeinander abbildet, unitär äquivalent zu ${\mathcal {T}}$, sie wird daher ebenfalls als die Toeplitz-Algebra ${\mathcal {T}}$ angesprochen. Man erhält folgende Gleichung
    ${\mathcal {T}}=\{T_{f}+K\mid f\in C(\mathbb {T} ),K\in {\mathcal {K}}(H^{2})\}$.
Dabei ist $C(\mathbb {T} )$ die Funktionenalgebra der stetigen Funktionen $\mathbb {T} \rightarrow \mathbb {C}$. Das Symbol $f$ des Toeplitz-Operators ist dabei eindeutig bestimmt. Man erhält folgende kurze exakte Sequenz
    $\{0\}\rightarrow {\mathcal {K}}(H^{2})\,{\xrightarrow[]{\quad \subset \quad }}\,{\mathcal {T}}\,{\xrightarrow[]{T_{f}+K\to f}}\,C(\mathbb {T} )\rightarrow \{0\}$
von C*-Algebren und *-Homomorphismen. Da $C(\mathbb {T} )$ als kommutative C*-Algebra liminal ist, ergibt sich aus dieser Sequenz, dass die Toeplitz-Algebra postliminal, aber nicht liminal ist.

## Satz von Coburn

Der Satz von Coburn kennzeichnet die Toeplitz-Algebra als eine C*-Algebren, die von einer echten Isometrie, das heißt einem Element $V$ mit $V^{*}V=1,VV^{*}\not =1$, erzeugt wird:
* Ist ${\mathcal {A}}$ eine C*-Algebra, die von einer echten Isometrie $V$ erzeugt wird, so gibt es genau einen *-Isomorphismus $\varphi \colon {\mathcal {T}}\rightarrow {\mathcal {A}}$ mit $\varphi (S)=V$.
Für den Beweis ist es wesentlich, dass die Isometrie echt ist. Ist die Isometrie $V$ nicht echt, also unitär, so ist die von $V$ erzeugte C*-Algebra kommutativ und kann daher nicht isomorph zu ${\mathcal {T}}$ sein.

## K-Gruppen

Die K-Theorie für die Toepolitz-Algebra ${\mathcal {T}}$ sieht wie folgt aus. $K_{0}({\mathcal {T}})\cong \mathbb {Z}$ und ein erzeugendes Element ist durch die Äquivalenzklasse einer eindimensionalen Orthogonalprojektion gegeben. Die $K_{1}$-Gruppe verschwindet, das heißt $K_{1}({\mathcal {T}})\cong \{0\}$.

## Verallgemeinerung

Bei Nikolski findet sich eine etwas allgemeinere Definition. Dort ist die Toeplitz-Algebra die Unteralgebra von $L(H^{2})$, die von allen Toeplitz-Operatoren erzeugt wird. Der Autor räumt ein, dass diese Algebra für Untersuchungen zu groß sei, auch wenn sie nicht mit $L(H^{2})$, der Algebra aller stetigen, linearen Operatoren auf $H^{2}$, zusammenfällt. Ist $X\subset L^{\infty }(\mathbb {T} )$ eine abgeschlossene Unteralgebra, so sei $\mathrm {alg} {\mathcal {T}}_{X}$ die von $\{T_{f}\mid f\in X\}$ erzeugte abgeschlossene Unteralgebra von $L(H^{2})$. Die allgemeinere Toeplitz-Algebra im Sinne Nikolskis ist damit gleich $\mathrm {alg} {\mathcal {T}}_{L^{\infty }(\mathbb {T} )}$, die oben in diesem Artikel betrachtete Toeplitz-Algebra ${\mathcal {T}}$ ist gleich. $\mathrm {alg} {\mathcal {T}}_{C(\mathbb {T} )}$.