# Tensoralgebra

Die Tensoralgebra ist ein mathematischer Begriff, der in vielen Bereichen der Mathematik wie der linearen Algebra, der Algebra, der Differentialgeometrie sowie in der Physik verwendet wird. Sie fasst „alle Tensoren“ über einem Vektorraum in der Struktur einer graduierten Algebra zusammen.

## Definition

Es sei $V$ ein Vektorraum über einem Körper $K$ oder allgemeiner ein Modul über einem kommutativen Ring mit Einselement. Wir definieren die Tensorprodukteräume
    $V^{\otimes n}:=\underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{n{\text{-mal}}}$
für $n\in \mathbb {N}$ mit der Konvention $V^{\otimes 0}:=K$.
Dann ist die Tensoralgebra (als Vektorraum) definiert durch die direkte Summe aller Tensorprodukte des Raums mit sich selbst.
    $\mathrm {T} (V):=\bigoplus _{n\geq 0}V^{\otimes n}=K\oplus V\oplus (V\otimes V)\oplus (V\otimes V\otimes V)\oplus \ldots$
Mit der Multiplikation, die auf den homogenen Bestandteilen durch das Tensorprodukt gegeben ist, wird $\mathrm {T} (V)$ zu einer $\mathbb {N} _{0}$-graduierten, unitären, assoziativen Algebra.

### Verkürzte Tensoralgebra

Den Raum
    $\mathrm {T} ^{(n)}(V):=\bigoplus _{i=0}^{n}V^{\otimes i}$
nennt man auch verkürzte Tensoralgebra (englisch truncated tensor algebra).

### Erläuterungen

Wir betrachten somit folgenden Raum
    $\mathrm {T} (V)=\left\{(a_{0},a_{1},\dots ):a_{n}\in V^{\otimes n}\;\forall n\in \mathbb {N} _{0}\right\}.$

## Universelle Eigenschaft

Die Tensoralgebra erfüllt die folgende universelle Eigenschaft: Ist $A$ eine assoziative $K$-Algebra mit einem Einselement $e$, sowie $f\colon V\to A$ eine lineare Abbildung, so existiert genau ein Algebrenhomomorphismus ${\tilde {f}}\colon \mathrm {T} (V)\to A$, sodass das Diagramm
kommutiert. Dieser Algebrenhomomorphismus ist gegeben durch ${\tilde {f}}(v_{1}\otimes \dots \otimes v_{r})=f(v_{1})\dots f(v_{r})$ sowie ${\tilde {f}}(\lambda )=\lambda e$.

## T als Funktor

$\mathrm {T}$ ist ein Funktor von der Kategorie der $K$-Vektorräume in die Kategorie der $K$-Algebren. Für einen $K$-Vektorraumhomomorphismus (eine lineare Abbildung) $\varphi \colon V\to W$ ist $\mathrm {T} (\varphi ):\mathrm {T} (V)\to \mathrm {T} (W)$ durch den Algebrenhomomorphismus gegeben, der nach der universellen Eigenschaft der Tensoralgebra durch $i_{W}\circ \varphi :V\to \mathrm {T} (W)$ induziert wird (hierbei ist $i_{W}:W\to \mathrm {T} (W)$ die Einbettung).
Der Funktor $\mathrm {T}$ ist linksadjungiert zum Vergissfunktor, der einer $K$-Algebra, den zugrundeliegenden $K$-Vektorraum zuordnet. Daher wird $\mathrm {T} (V)$ auch als die freie Algebra über $V$ bezeichnet.

## Beispiel

Ist $V$ ein $n$-dimensionaler $K$-Vektorraum (bzw. ein freier Modul vom Rang $n$), so ist $\mathrm {T} (V)$ isomorph zur freien assoziativen Algebra über $K$ in $n$ Unbestimmten. Im Fall $n=1$ ist $\mathrm {T} (V)$ also isomorph zum Polynomring $K[X]$.
Ist allgemeiner $X$ eine beliebige nicht-leere Menge und ist $V_{X}$ der über $X$ erzeugte $K$-Vektorraum, das heißt der freie K-Modul über $X$, so ist $\mathrm {T} (V_{X})$ die frei über $X$ erzeugte assoziative Algebra.

## Quotientenräume der Tensoralgebra

Durch Herausteilen eines bestimmten Ideals kann man aus der Tensoralgebra beispielsweise die symmetrische Algebra, die äußere Algebra oder die Clifford-Algebra gewinnen. Diese Algebren sind in der Differentialgeometrie von Bedeutung.