# Levi-Civita-Körper

Der Levi-Civita-Körper ist ein Körper, der von Tullio Levi-Civita erfunden wurde. Die reellen Zahlen bzw. die komplexen Zahlen sind ein Unterkörper des Levi-Civita-Körpers. Der Levi-Civita-Körper findet Anwendung in der effizienten symbolischen Berechnung von Werten von höheren Ableitungen von Funktionen.

## Definition
### Grundmenge des Körpers

Die Grundmenge des Levi-Civita-Körpers sind alle Funktionen $x\colon \mathbb {Q} \to \mathbb {R}$ (bzw. $x\colon \mathbb {Q} \to \mathbb {C}$), die einen linksendlichen Träger haben.

### Notation

* So wie die reellen Zahlen mit $\mathbb {R}$ abgekürzt werden, kann man den Levi-Civita-Körper mit ${\mathcal {R}}$ oder mit ${\mathcal {C}}$ abkürzen, je nachdem, ob die Grundmenge aus reellen oder komplexen Funktionen besteht.
* Falls $x$ im Levi-Civita-Körper ist und einen nichtleeren Träger hat, so bezeichnet man mit $\lambda (x)$ das Minimum des Trägers, das wegen Linksendlichkeit existiert.
* Man schreibt für $x,y\in {\mathcal {R}}$ bzw. $x,y\in {\mathcal {C}}$ und $r\in \mathbb {Q}$, dass $x=_{r}y:\Leftrightarrow \forall q\in \mathbb {Q} ,q\leq r,x(q)=y(q)$.

### Addition

Die Addition von zwei Elementen der Grundmenge $x$ und $y$ wird folgendermaßen definiert:
    $(x+y)(q):=x(q)+y(q)$
Das additive Inverse lautet wie folgt:
    $(-x)(q):=-x(q)$
Das Nullelement lautet:
    $0(q):=0\in \mathbb {R}$ bzw. $0(q):=0\in \mathbb {C}$

### Multiplikation

Die Multiplikation von zwei Elementen der Grundmenge $x$ und $y$ wird folgendermaßen definiert:
    $(x\cdot y)(q):=\sum _{q_{x},q_{y}\in \mathbb {Q} \atop q=q_{x}+q_{y}}x(q_{x})\cdot y(q_{y})$

#### Einselement

Das Einselement des Levi-Civita-Körpers ist die Funktion
    $1(q)=\left\{{\begin{array}{ll}1&{\mbox{falls }}q=0\\0&{\mbox{sonst }}\end{array}}\right.$.

#### Multiplikatives Inverses

Wenn $z$ ein Element des Levi-Civita-Körpers ist, so kann man ein multiplikatives Inverses wie folgt konstruieren: Man wählt ${\tilde {z}}(q)=z(q-a)\cdot {\frac {1}{b}}$, wobei $a\in \mathbb {Q}$ die kleinste Zahl mit $z(a)\neq 0$ ist und $b=z(a)$. Wenn der Träger von ${\tilde {z}}$ nur die 0 enthält, dann ist $({\tilde {z}})^{-1}={\tilde {z}}$. Sonst ist $z=y+1$ für ein $y$ im Levi-Civita-Körper und man sucht erst nach einem $x$ mit $(x+1)\cdot (y+1)=1$. Man definiert die Folge $(y_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ durch $y_{0}=y$ und $y_{i+1}=-y\cdot y_{i}-y$. Dann erfüllt $x=\lim \limits _{n\to \infty }y_{n}$ die gewünschte Eigenschaft. Dann ist $({\tilde {z}})^{-1}=x+1$. Nun findet man das multiplikative Inverse von $z$ durch $z^{-1}(q)={\tilde {z}}^{-1}(q+a)\cdot {\frac {1}{b}}$.

## Fixpunktsatz

Die obige Definition des multiplikativen Inversen ergibt sich aus dem Beweis des Fixpunktsatzes (siehe in der ersten Quelle), der garantiert, dass der Limes der Folge $(y_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ existiert und die gewünschte Eigenschaft erfüllt. Der Fixpunktsatz lautet wie folgt:
Sei $q_{M}\in \mathbb {Q}$. Sei $M\subset {\mathcal {R}}$ bzw. $M\subset {\mathcal {C}}$ die Menge der Elemente $x$, sodass $\lambda (x)\geq q_{M}$. Sei ferner $f\colon M\to {\mathcal {R}}$ bzw. $f\colon M\to {\mathcal {C}}$ eine Funktion mit den Eigenschaften
* $f(M)\subset M$
* $\exists k\in \mathbb {Q} ,k>0:\forall x_{1},x_{2}\in {\mathcal {R}}$ (bzw. $x_{1},x_{2}\in {\mathcal {C}}$) $:\forall q\in \mathbb {Q} :x_{1}=_{q}x_{2}\Rightarrow f(x_{1})=_{q+k}f(x_{2})$
Dann existiert genau ein $x\in {\mathcal {R}}$ bzw. $x\in {\mathcal {C}}$, sodass:
    $x=f(x)$

## Einbettung der reellen bzw. komplexen Zahlen

Um die reellen bzw. komplexen Zahlen in den Levi-Civita-Körper einzubetten, bedient man sich folgender Funktion:
    $\Pi \colon \mathbb {R} \to {\mathcal {R}}$ bzw. $\Pi \colon \mathbb {C} \to {\mathcal {C}}$
    $\Pi (x)(q)=\left\{{\begin{array}{ll}x&{\mbox{falls }}q=0\\0&{\mbox{sonst }}\end{array}}\right.$.
Hierbei wird das Einselement von $\mathbb {R}$ bzw. $\mathbb {C}$ auf das Einselement von ${\mathcal {R}}$ bzw. ${\mathcal {C}}$ abgebildet. Ferner ist $\Pi$ ein Homomorphismus bezüglich der Addition und der Multiplikation. Daher können die reellen und komplexen Zahlen als Unterkörper des Levi-Civita-Körpers angesehen werden.

## Ordnung des reellen Levi-Civita-Körpers

Seien $x,y\in {\mathcal {R}}$. Man sagt $x>y$, wenn $x-y\neq 0$ und $(x-y)(\lambda (x-y))>0$. Dadurch wird der Levi-Civita-Körper der reellen Funktionen zu einem geordneten Körper.
Mit dieser Ordnung ist zum Beispiel die Zahl
    $d(q)=\left\{{\begin{array}{ll}1&{\mbox{falls }}q=1\\0&{\mbox{sonst }}\end{array}}\right.$
kleiner als jede positive reelle Zahl.
Das Archimedische Axiom ist für den Levi-Civita-Körper nicht erfüllt. Beispielsweise gilt $\forall n\in \mathbb {N} \colon \epsilon \in \mathbb {R} _{+}\Rightarrow n\cdot d<\epsilon$.

## Wurzeln

Bezüglich der oben definierten Multiplikation hat jedes $y\in {\mathcal {C}}$ immer genau $n$ verschiedene $n$-te Wurzeln. Für ein $x\in {\mathcal {R}}$ existieren die folgenden Anzahlen von $n$-ten Wurzeln von $x$:
| | n ungerade | n gerade |
| x negativ | 1 | 0 |
| x positiv | 1 | 2 |
| x null | 1 | 1 |

## Betrag
### Levi-Civita-Körper der reellen Funktionen

Sei $x\in {\mathcal {R}}$. Der Betrag von x ist definiert durch:
    $|x|:=\left\{{\begin{array}{ll}-x&{\mbox{falls }}x<0\\x&{\mbox{sonst }}\end{array}}\right.$

### Levi-Civita-Körper der komplexen Funktionen

Sei $x\in {\mathcal {C}},x=a+ib$, wobei $i$ die imaginäre Zahl ist. Der Betrag von x ist definiert durch:
    $|x|:={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$
Hierbei ist die Wurzel bezüglich der oben definierten Multiplikation des Levi-Civita-Körpers gemeint.

### Halbnorm

Sei $r\in \mathbb {Q}$. Dann kann man die folgende Halbnorm auf dem Levi-Civita-Körper definieren:
    $\|x\|_{r}=\sup _{q\leq r}|x(q)|$,
wobei $|\cdot |$ der Betrag der reellen bzw. komplexen Zahlen ist.

## Topologien
### Ordnungstopologie

Sei $M\subset {\mathcal {R}}$ bzw. $M\subset {\mathcal {C}}$. Sei
    $O(x_{0},\epsilon ):=\{x\in {\mathcal {R}}:|x-x_{0}|<\epsilon \}$ bzw. $O(x_{0},\epsilon ):=\{x\in {\mathcal {C}}:|x-x_{0}|<\epsilon \}$.
Für die Ordnungstopologie definiert man als offene Menge, sofern
    $\forall x_{0}\in M:\exists \epsilon >0:O(x_{0},\epsilon )\subset M$.
Diese Topologie hat die folgenden Eigenschaften:
* Sie macht ${\mathcal {R}}$ und ${\mathcal {C}}$ zu nichtzusammenhängenden Hausdorff-Räumen.
* Mit dieser Definition von offenen Mengen sind ${\mathcal {R}}$ und ${\mathcal {C}}$ keine lokalkompakten Räume.
* Auf $\mathbb {R}$ stimmt diese Topologie von ${\mathcal {R}}$ mit der diskreten Topologie überein.

### Halbnormtopologie

Sei $\|\cdot \|_{r}$ die Halbnorm des Levi-Civita-Körpers. Sei $M\subset {\mathcal {R}}$ bzw. $M\subset {\mathcal {C}}$. Sei
    $S(x_{0},\epsilon ):=\{x\in {\mathcal {R}}:\|x-x_{0}\|_{1/\epsilon }<\epsilon \}$.
Für die Halbnormtopologie definiert man M als offene Menge, sofern
    $\forall x_{0}\in M:\exists \epsilon >0:S(x_{0},\epsilon )\subset M$.
Diese Topologie hat die folgenden Eigenschaften:
* Sie macht ${\mathcal {R}}$ und ${\mathcal {C}}$ zu Hausdorff-Räumen mit abzählbaren Basen.
* Die durch sie definierte Topologie ist eingeschränkt auf die reellen bzw. komplexen Zahlen die Standardtopologie.

## Derivation

Man kann auf dem Levi-Civita-Körper eine Derivation $\partial$ definieren:
    $(\partial x)(q):=(q+1)x(q+1)$
Für diese Derivation gilt:
* $\partial 0=0$
* $\forall x\in {\mathcal {R}},x\neq 0:\lambda (\partial x)=\lambda (x)-1$

## Anwendungen

Der Levi-Civita-Körper ermöglicht die effiziente Berechnung höherer Ableitungen von Funktionen wie zum Beispiel
    $x\mapsto {\frac {\sin(x^{3}+2x+1)+{\frac {3+\cos(\sin(\ln |1+x|))}{\exp(\tanh(\sinh(\cosh({\frac {\sin(\cos(\tan(\exp(x))))}{\cos(\sin(\exp(\tan(x+2))))}}))))}}}{2+\sin(\sinh(\cos(\tan ^{-1}(\ln(\exp(x)+x^{2}+3)))))}}$.
Es gibt ein auf dem Levi-Civita-Körper basierendes Programm, welches den Wert der 19. Ableitung dieser Funktion an der Stelle 0 innerhalb von weniger als einer Sekunde berechnet. Mathematica benötigt hingegen zur Berechnung des Wertes der 6. Ableitung dieser Funktion an der Stelle 0 mehr als 6 Minuten.

## Quellen

* Martin Berz: Calculus and Numerics on Levi-Civita Fields. In: Martin Berz, Christian Bischof, George Corliss, Andreas Griewank (Hrsg.): Computational differentiation. Techniques, applications, and tools. Proceedings of the 2nd International Workshop held in Santa Fe, NM, February 12–14, 1996. 1996, ISBN 0-89871-385-4, Kap. 2 (Online [PDF; abgerufen am 6. Juni 2013]).
* Khodr Shamseddine, Martin Berz: The Differential Algebraic Structure of the Levi-Civita Field and Applications. (Online [PDF; 199 kB; abgerufen am 15. August 2013]).