# Fréchet-Ableitung

Die Fréchet-Ableitung (nach Maurice René Fréchet) verallgemeinert den Begriff der Ableitung aus der üblichen Differentialrechnung im $\mathbb {R} ^{n}$ auf normierte Räume. Bei Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Räumen ergibt sich aus diesem Differenzierbarkeitsbegriff der übliche Begriff der totalen Differenzierbarkeit.

## Definition

Es seien $(X,\|{\cdot }\|_{X})$ und $(Y,\|{\cdot }\|_{Y})$ zwei normierte Räume und $U\subset X$ eine offene Teilmenge. Ein Operator $A\colon U\to Y$ heißt Fréchet-differenzierbar an der Stelle $\varphi \in U$, wenn es einen beschränkten linearen Operator $A'(\varphi )\colon X\to Y$ derart gibt, dass
    $\lim _{\|h\|_{X}\to 0}\;\;\,{\frac {1}{\|h\|_{X}}}\,\left\|A(\varphi +h)-A(\varphi )-A'(\varphi )h\right\|_{Y}=0$
gilt. Der Operator $A'(\varphi )$ heißt Fréchet-Ableitung von $A$ an der Stelle $\varphi$. Existiert die Fréchet-Ableitung für alle $\varphi \in U$, dann heißt die Abbildung $A'\colon U\to L(X,Y)$ mit $\varphi \mapsto A'(\varphi )$ die Fréchet-Ableitung von $A$ auf $U$. Mit $L(X,Y)$ wird der Raum der stetigen linearen Abbildungen von $X$ nach $Y$ bezeichnet.
Hinweis zur Notation: Im klassischen Fall für $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ wird meist der Repräsentant $f'(x_{0})\in \mathbb {R} ^{n\times m}$ des Ableitungsoperators Ableitung genannt. Hier wird aber der daraus resultierende lineare Operator $x\mapsto f'(x_{0})\,x$ Ableitung genannt. Bspw. für eine lineare Funktion $f(x)=C\,x$ ist der Ableitungsoperator $x\mapsto f'(x_{0})x=C\,x=f(x)$, aber es gilt trotzdem $f'(x_{0})\neq f(x_{0})$.

### Äquivalente Definition

Eine äquivalente Definition ist:
Zu jedem $\varepsilon >0$ gibt es ein $\delta >0$ so, dass für alle $h\in X$ mit $\|h\|\leq \delta$ gilt
    $\|A(\varphi +h)-A(\varphi )-A'(\varphi )h\|_{Y}\leq \varepsilon \|h\|_{X}$.
Dies lässt sich auch kurz mit Hilfe der Landau-Symbole schreiben:
    $A(\varphi +h)-A(\varphi )=A'(\varphi )h+o(\|h\|_{X})$ für $h\to 0$.

## Beispiele
### Lineare Operatoren

Für endlichdimensionale normierte Räume $X,Y$ sind alle linearen Operatoren $A\colon X\to Y$ Fréchet-differenzierbar mit konstanter Ableitung. An jedem Punkt ist der Ableitungsoperator der lineare Operator selbst: $A'(\varphi )=A$ für alle $\varphi \in X$, da sofort gilt: $A(\varphi +h)-A(\varphi )-A'(\varphi )h=0$.
Im unendlichdimensionalen Fall sind unter den linearen Operatoren genau die beschränkten (=stetigen) Fréchet-differenzierbar. Unbeschränkte lineare Operatoren sind nicht Fréchet-differenzierbar.

### Reellwertige Funktionen

Ist $f\colon U\to \mathbb {R}$ eine reellwertige Funktion, die auf einer offenen Menge $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ definiert ist, und besitzt $f$ stetige partielle Ableitungen, dann ist $f$ auch Fréchet-differenzierbar. Die Ableitung an der Stelle $x$ wird durch den üblichen Gradienten von $f$ gegeben gemäß:
    $f'(x)\colon h\mapsto {\mbox{grad}}f(x)\cdot h=\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x)\,h_{i}$
Dieses Beispiel zeigt den Zusammenhang zur üblichen Differentialrechnung im $\mathbb {R} ^{n}$. Die Fréchet-Ableitung ist also tatsächlich eine Verallgemeinerung der Differentialrechnung für normierte Räume.

### Integraloperator

Sei $J=[a,b]\subset \mathbb {R}$, $k\colon J\times J\to \mathbb {R}$ stetig und $f\colon J\times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ stetig und im zweiten Argument stetig differenzierbar. Der nichtlineare Integraloperator $F\colon C(J)\to C(J)$ definiert durch
    $(Fx)(t)=\int _{a}^{b}k(t,s)f(s,x(s))\mathrm {d} s$
ist fréchet-differenzierbar. Seine Ableitung $F^{\prime }$ lautet
    $(F^{\prime }(x)h)(t)=\int _{a}^{b}k(t,s){\frac {\partial f}{\partial x}}(s,x(s))\,h(s)\mathrm {d} s.$
Aufgrund des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung gilt nämlich
    $f(s,x(s)+h(s))-f(s,x(s))={\frac {\partial f}{\partial x}}(s,x(s)+\rho (s)h(s))\,h(s)$
mit $0<\rho (s)<1$ und wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von ${\tfrac {\partial f}{\partial x}}$ auf $J\times \{z\in \mathbb {R} :|z|\leq \sup |x|+1\}$ gilt
    $\sup _{s\in J}\left|{\frac {\partial f}{\partial x}}(s,x(s)+\rho (s)h(s))-{\frac {\partial f}{\partial x}}(s,x(s))\right|\leq \epsilon$
für $\sup |h|\leq \delta$. Für $\sup |h|\leq \delta$ gilt also
    $\sup \left|F(x+h)-F(x)-\int _{a}^{b}k(\cdot ,s){\frac {\partial f}{\partial x}}(s,x(s))h(s)\mathrm {d} s\right|\leq \epsilon \,\sup |h|\,\max _{(t,s)\in J\times J}|k(t,s)|(b-a),$
was die Darstellung der Ableitung beweist.

## Rechenregeln

Es lassen sich die üblichen Rechenregeln für die totale Ableitung im $\mathbb {R} ^{n}$ auch für die Fréchet-Ableitung zeigen. Folgende Gleichungen gelten, sofern sie im Sinne obiger Definition sinnvoll sind, insbesondere also die vorkommenden Abbildungen an den entsprechenden Stellen differenzierbar sind:
* $(A+B)'(\varphi )=A'(\varphi )+B'(\varphi )$
* $(\lambda A)'(\varphi )=\lambda A'(\varphi )$.
* Kettenregel: $(A\circ B)'(\varphi )=(A'\circ B)(\varphi )\,B'(\varphi )$. Das Produkt $(A'\circ B)(\varphi )\,B'(\varphi )$ ist hierbei im Sinne der Multiplikation (Hintereinanderausführung) linearer Abbildungen zu verstehen.
* Ist $A$ ein stetiger, linearer Operator, so ist A überall differenzierbar und es gilt $A'(\varphi )=A$. Zusammen mit der Kettenregel ergibt sich daraus die Folgerung, dass man stetige, lineare Operatoren aus der Ableitung herausziehen darf: $(A\circ B)'(\varphi )=A\,B'(\varphi )$ und $(B\circ A)'(\varphi )=B'(A(\varphi ))\,A$.
* Produktregel: Ist $A:X_{1}\times \ldots \times X_{n}\to Y$ eine stetige, n-fach lineare Abbildung, so ist $A'(\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}):(h_{1},\ldots ,h_{n})\mapsto A(h_{1},\varphi _{2},\ldots ,\varphi _{n})+\ldots +A(\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n-1},h_{n})$

## Zusammenhang zwischen Fréchet- und Gâteaux-Ableitung

Sei $A$ an der Stelle $\varphi$ Fréchet-differenzierbar, dann existiert für jede beliebige Richtung $h\in X$ das Gâteaux-Differential $\delta A(\varphi ,h)$ und es gilt:
    $\delta A(\varphi ,h)=A'(\varphi )h$.
Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht.
Außerdem existiert dann die Gâteaux-Ableitung von $A$ an der Stelle $\varphi$, die im Folgenden mit $A'_{s}(\varphi )$ bezeichnet wird, und es gilt:
    $A'_{s}(\varphi )=A'(\varphi )$.
Auch hier gilt die Umkehrung im Allgemeinen nicht. Unter folgenden Bedingungen gilt auch die Umkehrung:
Falls $A$ in einer Umgebung $U$ von $\varphi$ Gâteaux-differenzierbar ist, das heißt das Gâteaux-Differential in jedem Punkt der Umgebung stetig und linear ist, und die Abbildung
    $A'_{s}(.)\colon U\to {\mathcal {L}}(X,Y)$ gegeben durch $\psi \mapsto A'_{s}(\psi )$
im Punkt $\varphi$ stetig ist bezüglich der Operatornorm auf ${\mathcal {L}}(X,Y)$, so ist $A$ im Punkt $\varphi$ Fréchet-differenzierbar.
Diese Bedingung ist nicht notwendig. Etwa existieren schon im Eindimensionalen total differenzierbare Funktionen, die nicht stetig differenzierbar sind.

## Anwendungsbeispiel

Die Fréchet-Ableitung kann z. B. zur Lösung sogenannter inverser Randwertprobleme im Rahmen eines Newton-Verfahrens verwendet werden. Als Beispiel für diese Anwendung betrachten wir ein inverses Randwertproblem zur Laplace-Gleichung:
Es sei $D\subset \mathbb {R} ^{2}$ ein unbekanntes Gebiet. Wir betrachten das äußere Dirichlet-Problem, bei dem die Randwerte auf $\partial D$ durch eine Quelle im Punkt $z\in \mathbb {R} ^{2}\setminus {\bar {D}}$ gegeben sind. Dann erfüllt die beschränkte und zweimal stetig differenzierbare Funktion $u$ in $\mathbb {R} ^{2}\setminus {\bar {D}}$ die Laplace-Gleichung:
    $\Delta u=0\quad {\mbox{in}}\,\,\mathbb {R} ^{2}\setminus {\bar {D}}$
und die Dirichlet-Randbedingung:
    $u=-\Phi (\cdot ,z)\quad {\mbox{auf}}\,\,\partial D.$
Mit $\Phi$ bezeichnen wir die Fundamentallösung zur Laplace-Gleichung, die eine Punktquelle im Punkt $z$ beschreibt.
Beim inversen Randwertproblem gehen wir von einem zweiten (bekannten) Gebiet $B\subset \mathbb {R} ^{2}$ aus, welches $D$ enthält. Auf dem Rand $\partial B$ von $B$ messen wir die Werte der Lösung $u$ des direkten Dirichlet-Problems. Wir kennen also die Spur $u|_{\partial B}$. Unser Ziel ist nun den unbekannten Rand $\partial D$ von $D$ aus der Kenntnis dieser Spur zu rekonstruieren.
Dieses Problem lässt sich formal durch einen Operator $F$ beschreiben, der den unbekannten Rand $\partial D$ auf die bekannte Spur $u|_{\partial B}$ abbildet. Wir müssen also folgende nichtlineare Gleichung lösen:
    $F(\partial D)=u|_{\partial B}$
Diese Gleichung kann z. B. mit Hilfe des Newton-Verfahrens linearisiert werden. Dazu schränken wir uns auf Gebiete $D$ ein, dessen Rand wie folgt dargestellt werden kann:
    $\displaystyle x(t)=r(t)(\cos(t),\sin(t))$
Wir suchen nun also die unbekannte Radiusfunktion $r$. Die linearisierte Gleichung (das Newton-Verfahren) sieht dann wie folgt aus:
    $F(r)+F'(r,q)=u|_{\partial B}$
Hierbei bezeichnet $\displaystyle F'$ die Fréchet-Ableitung des Operators $\displaystyle F$ (die Existenz der Fréchet-Ableitung für $\displaystyle F$ kann gezeigt werden und $\displaystyle F'$ kann über ein direktes Randwertproblem bestimmt werden). Diese Gleichung wird dann nach $q$ aufgelöst, wobei wir mit $r+q$ eine neue Näherung an den unbekannten gesuchten Rand gefunden haben. Anschließend kann mit dieser Näherung das Verfahren iteriert werden.