# Lindblad-Gleichung

In der Quantenmechanik bezeichnet die Kossakowski-Lindblad-Gleichung (benannt nach Andrzej Kossakowski und Göran Lindblad) oder Mastergleichung in Lindblad-Form den allgemeinsten Typ einer zeit-homogenen Mastergleichung. Sie beschreibt eine nicht-unitäre Evolution des Dichteoperators $\rho$, welche spurerhaltend und komplett positiv für jede Anfangsbedingung ist.

## Hintergrund

Die Lindblad-Gleichung für eine auf das $N$-dimensionale (Teil-)System reduzierte Dichtematrix $\rho$ kann geschrieben werden als:
    ${\dot {\rho }}=-{\frac {\mathrm {i} }{\hbar }}[H,\rho ]+\sum _{n,m=1}^{N^{2}-1}h_{n,m}\left(L_{n}\,\rho \,L_{m}^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\left(\rho \,L_{m}^{\dagger }\,L_{n}+L_{m}^{\dagger }\,L_{n}\,\rho \right)\right)$
Dabei bezeichnet
* der erste Summand den reversiblen Teil der Zeitentwicklung mit
** der imaginären Einheit $\mathrm {i}$
** der reduzierten Planck-Konstante $\hbar$
** einem (hermiteschen) Hamilton-Operator $H$; $H$ ist jedoch nicht notwendigerweise gleich dem Hamilton-Operator des Systems, sondern beinhaltet zusätzlich die effektive unitäre Dynamik der Wechselwirkung zwischen System und Umgebung.
* die Summe $\sum$ den irreversiblen Teil mit
** den Konstanten $h_{n,m}$, die die Dynamik festlegen. Sie bilden eine Koeffizientenmatrix $h=(h_{n,m})$, die positiv semidefinit sein muss, um sicherzustellen, dass die Gleichung spurerhaltend und komplett positiv ist.
** den Operatoren $L_{m}$, die eine beliebige lineare Basis im Hilbertraum des Systems bilden.
Die Summation läuft nur über $N^{2}-1$, weil wir $L_{N^{2}}$ proportional zum Identitätsoperator genommen haben, wodurch der Summand verschwindet. Unsere Konvention impliziert, dass die $L_{m}$ für $m<N^{2}$ spurlos sind.
Die Terme in der Summation, bei denen $m=n$ gilt, können mit Lindblad-Superoperatoren beschrieben werden:
       $L(C)\,\rho =C\,\rho \,C^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\left(C^{\dagger }\,C\,\rho +\rho \,C^{\dagger }\,C\right).$
Falls die Terme $h_{m,n}$ alle Null sind, reduziert sich die Lindblad-Gleichung auf die Von-Neumann-Gleichung, das Quanten-Analogon der klassischen Liouville-Gleichung. Eine verwandte Gleichung, das Ehrenfest-Theorem, beschreibt die zeitliche Entwicklung der Erwartungswerte der Observablen.
Auch die folgenden Gleichungen für Quantenobservablen $A$ werden Lindblad-Gleichungen genannt:
    ${\dot {A}}=-{\frac {1}{\mathrm {i} \hbar }}[H,A]+{\frac {1}{2\hbar }}\sum _{k=1}^{\infty }{\bigV_{k}^{\dagger }[A,V_{k}]+[V_{k}^{\dagger },A]V_{k}{\big )}$

## Diagonalisierung

Da die Matrix $h=(h_{n,m})$ positiv semidefinit ist, kann sie mit einer unitären Transformation $u$ diagonalisiert werden:
       $u^{\dagger }hu={\begin{bmatrix}\gamma _{1}&0&\cdots &0\\0&\gamma _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\gamma _{N^{2}-1}\end{bmatrix}}$
wobei die Eigenwerte $\gamma _{i}$ nicht negativ sind.
Wenn wir eine andere orthonormale Operator-Basis $A$ definieren:
       $A_{i}=\sum _{j=1}^{N^{2}-1}u_{j,i}\,L_{j}$
können wir die Lindblad-Gleichung in diagonaler Form umschreiben:
    ${\dot {\rho }}=-{\frac {\mathrm {i} }{\hbar }}[H,\rho ]+\sum _{i=1}^{N^{2}-1}\gamma _{i}\left(A_{i}\,\rho \,A_{i}^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\left(\rho \,A_{i}^{\dagger }\,A_{i}+A_{i}^{\dagger }\,A_{i}\,\rho \right)\right).$
Diese Gleichung ist invariant unter unitärer Transformation der Lindblad-Operatoren und -Konstanten,
    ${\sqrt {\gamma _{i}}}A_{i}\to {\sqrt {\gamma _{i}'}}A_{i}'=\sum _{j=1}^{N^{2}-1}v_{j,i}{\sqrt {\delta _{i}}}A_{j},$
und auch unter inhomogener Transformation
    $A_{i}\to A_{i}'=A_{i}+a_{i},$
    $H\to H'=H+{\frac {1}{2\mathrm {i} }}\sum _{j=1}^{N^{2}-1}\gamma _{j}\left(a_{j}^{*}A_{j}-a_{j}A_{j}^{\dagger }\right).$
Allerdings zerstört die erste Transformation die Orthonormalität der Operatoren $A_{i}$ (solange nicht alle $\gamma _{i}$ identisch sind) und die zweite die Spurlosigkeit. Folglich, bis auf Entartung der $\gamma _{i}$, sind die $A_{i}$ der Diagonalform der Lindblad-Gleichung eindeutig bestimmt durch die Dynamik, solange wir von ihnen fordern orthonormal und spurlos zu sein.

## Beispiel Harmonischer Oszillator

Ein häufiges Beispiel ist die Beschreibung der Dämpfung eines quantenmechanischen harmonischen Oszillators. Für diesen gilt
    ${\begin{aligned}L_{1}&=a\\L_{2}&=a^{\dagger }\\h_{n,m}&={\begin{cases}{\tfrac {\gamma }{2}}\left({\bar {n}}+1\right)&n=m=1\\{\tfrac {\gamma }{2}}{\bar {n}}&n=m=2\\0&{\text{sonst}}\end{cases}}\end{aligned}}$
Hier ist
* ${\bar {n}}$ die mittlere Anzahl von Anregungen im Reservoir, die den Oszillator dämpfen, und
* $\gamma$ die Zerfallsrate.
Zusätzliche Lindblad-Operatoren können hinzugefügt werden, um diverse Formen von Dephasierung und Vibrationsdämpfung (vibrational relaxation) zu modellieren. Diese Methoden sind in gitterbasierte Dichteoperator-Propagationsmethoden zur Beschreibung offener Quantensysteme aufgenommen.