# Carnot-Methode

Die Carnot-Methode oder Carnotisierung ist ein Verfahren, um bei energetischen Kuppelprodukten den Brennstoffeinsatz (Primärenergie), aber auch andere Inputfaktoren wie CO$_2$-Emissionen oder variable Kosten, auf die Kuppelprodukte aufzuteilen. Sie bedient sich dabei der Arbeitsfähigkeit der energetischen Kuppelprodukte gemäß dem Carnot'schen Wirkungsgrad als Aufteilungsschlüssel. Damit entspricht sie einer exergetischen Äquivalenzziffermethode, da gleicher Exergiegehalt gleich bewertet wird. Primäres Anwendungsgebiet ist die Kraft-Wärme-Kopplung, es sind aber auch andere energetische Kuppelprodukte denkbar, wie z. B. die Erzeugung von Kälte unter Nutzung der Abwärme zu Heizzwecken oder die Erzeugung von Druckluft und Wärme. Sie hat den Vorteil, dass keine externen Referenzwerte für die Aufteilung des Inputstromes auf die Outputströme notwendig ist, sondern dass hierfür nur endogene Prozessparameter benötigt werden.

## Allokationsfaktor für den Brennstoff

Der Anteil des Brennstoffs, der jeweils für die Erzeugung der Kuppelprodukte Strom A und Wärme H benötigt wird, lässt sich unter Beachtung des ersten und zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik wie folgt berechnen:
a$_{el}$= (1 · η$_{el}$) / (η$_{el}$ + η$_c$ · η$_{th}$) a$_{th}$= (η$_c$ · η$_{th}$) / (η$_{el}$ + η$_c$ · η$_{th}$) Anm.: a$_{el}$ + a$_{th}$ = 1
mit a$_{el}$: Allokationsfaktor für elektrische Energie, d. h. der Anteil am Brennstoff, der für die Stromerzeugung benötigt wird a$_{th}$: Allokationsfaktor für thermische Energie, d. h. der Anteil am Brennstoff, der für die Wärmeerzeugung benötigt wird
η$_{el}$ = A/Q$_{BS}$ η$_{th}$ = H/Q$_{BS}$ A: elektrische Arbeit H: abgegebene Nutzwärme Q$_{BS}$: zugeführte Brennstoffwärme
und η$_c$: Carnot-Faktor 1-T$_i$/T$_s$ (Carnot-Faktor für elektrische Energie ist 1) T$_i$: untere Temperatur, inferior (Umgebung) T$_s$: obere Temperatur, superior (Nutzwärme)
Die obere Temperatur ist bei Heizsystemen mit unterschiedlichen Vorlauf- und Rücklauftemperaturen annäherungsweise die Mitteltemperatur der Heizwärme. T$_s$ = (T$_{VL}$+T$_{RL}$) / 2
Bei höheren thermodynamischen Genauigkeitsanforderungen wird das logarithmische Mittel benutzt.
T$_s$=(T$_{VL}$−T$_{RL}$)/ln⁡(T$_{VL}$/T$_{RL}$)=T$_{VL}$−T$_{RL}$/ln⁡(T$_{VL}$)−ln⁡(T$_{RL}$) {\textstyle T_{s}=(T_{VL}-T_{RL})/\ln(T_{VL}/T_{RL})={\frac {T_{VL}-T_{RL}}{\ln(T_{VL})-\ln(T_{RL})}}}

## Brennstofffaktor

Die Brennstoffintensität oder -faktor für Elektroenergie f$_{BS,el}$ bzw. thermische Energie f$_{BS,th}$ ist das Verhältnis von spezifischem Input zu Output.
f$_{BS,el}$= a$_{el}$ / η$_{el}$ = 1 / (η$_{el}$ + η$_c$ · η$_{th}$)
f$_{BS,th}$= a$_{th}$ / η$_{th}$ = η$_c$ / (η$_{el}$ + η$_c$ · η$_{th}$)

## Primärenergiefaktor

Zur Bestimmung der Primärenergiefaktoren muss noch die Vorkette des genutzten Brennstoffes mit einbezogen werden.
f$_{PE,el}$ = f$_{BS,el}$ · f$_{PE,BS}$ f$_{PE,th}$ = f$_{BS,th}$ · f$_{PE,BS}$
mit f$_{PE,BS}$: Primärenergiefaktor des Brennstoffs

## Effektiver Wirkungsgrad

Der Kehrwert der Brennstofffaktors (BS-Intensität) beschreibt den Wirkungsgrad des angenommenen Teilprozesses, der für die Erzeugung nur für elektrische oder nur für thermische Energie zuständig ist. Dieser äquivalente Wirkungsgrad entspricht somit dem effektiven Wirkungsgrad des „virtuellen Kessels“ oder des „virtuellen Kraftwerks“ innerhalb einer KWK-Anlage.
η$_{el,eff}$ = η$_{el}$ / a$_{el}$ = 1 / f$_{BS,el}$ η$_{th,eff}$ = η$_{th}$ / a$_{th}$ = 1 / f$_{BS,th}$
mit η$_{el,eff}$: effektiver Wirkungsgrad der Stromerzeugung im KWK-Prozess η$_{th,eff}$: effektiver Wirkungsgrad der Wärmeerzeugung im KWK-Prozess

## Gütegrad der Energiewandlung

Neben dem Wirkungsgrad, der die Quantität der nutzbaren Endenergien beschreibt, ist auch die Qualität der Energiewandlung gemäß dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik von besonderer Bedeutung. Mit zunehmender Entropie nimmt die Exergie ab. Bei der Exergie wird die Qualität der Energie und nicht nur die Quantität betrachtet. Darum sollte eine Energiewandlung auch nach ihrem exergetischen Gütegrad beurteilt werden. Bei dem Produkt „thermische Energie“ spielt es eine wesentliche Rolle, auf welchem Temperaturniveau diese vorliegt. Der exergetische Wirkungsgrad η$_x$ beschreibt somit, wie viel von der Arbeitsfähigkeit des Energieinputs nach dem Wandlungsprozess noch in den energetischen Kuppelprodukten verbleibt. Am Beispiel der KWK ergibt sich folgender Zusammenhang:
η$_{x,total}$ = η$_{el}$ + η$_c$ · η$_{th}$
Die Allokation gemäß der Carnot-Methode ergibt stets: η$_{x,total}$ = η$_{x,el}$ = η$_{x,th}$
mit η$_{x,total}$ = exergetische Effizienz der Kuppelprozesses η$_{x,el}$ = exergetische Effizienz des virtuellen Kessels η$_{x,th}$ = exergetische Effizienz des virtuellen Generators

## Herleitung

Die Herleitung erfolgt am Beispiel einer zweidimensionalen Kuppelproduktion mit Input I und dem ersten Produkt O$_1$ und dem zweiten Produkt O$_2$. f seien die jeweiligen aufzuteilenden Faktoren (Primärenergie, CO$_2$-Emissionen, variable Kosten etc.).
    ${\text{Bewertung des Inputs}}={\text{Bewertung des Outputs}}$
    $f_{i}\cdot I=f_{1}\cdot O_{1}+f_{2}\cdot O_{2}$
f$_i$, I, O$_1$, O$_2$ sind bekannt. Man erhält eine Gleichung mit zwei Unbekannten f$_1$ und f$_2$, die mit einer Vielzahl von Tupeln (f$_1$,f$_2$) lösbar ist. Als zweite Gleichung wird die Transformierbarkeit von Produkt O$_1$ in O$_2$ und umgekehrt genutzt.
    $O_{1}=\eta _{21}\cdot O_{2}$
η$_{21}$ ist der Umwandlungsfaktor von O$_2$ in O$_1$, der Kehrwert 1/η$_{21}$=η$_{12}$ beschreibt die Rücktransformation. Es wird eine reversible Wandlung angenommen, um keine der beiden Richtungen zu bevorzugen. Die Bewertung beider Seiten durch die Faktoren f$_1$ und f$_2$ ist somit aufgrund der Austauschbarkeit ebenfalls äquivalent. Output O$_2$ bewertet mit f$_2$ muss dasselbe ergeben wie der daraus wandelbare Output O$_1$ bewertet mit f$_1$.
    $f_{1}\cdot (\eta _{21}\cdot O_{2})=f_{2}\cdot O_{2}$
Dies lässt sich in die erste Gleichung oben einsetzen und weiter umformen:
    $f_{i}\cdot I=f_{1}\cdot O_{1}+f_{1}\cdot (\eta _{21}\cdot O_{2})$
    $f_{i}\cdot I=f_{1}\cdot (O_{1}+\eta _{21}\cdot O_{2})$
    $f_{i}=f_{1}\cdot (O_{1}/I+\eta _{21}\cdot O_{2}/I)$
    $f_{i}=f_{1}\cdot (\eta _{1}+\eta _{21}\cdot \eta _{2})$
    $f_{1}=f_{i}/(\eta _{1}+\eta _{21}\cdot \eta _{2})$
mit η$_1$ = O$_1$/I und η$_2$ = O$_2$/I