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# Marcus Wyatt (Musiker)

Marcus Wyatt (* 1971 in Kapstadt) ist ein südafrikanischer Jazzmusiker (Trompete, Komposition) und Musikproduzent.

## Leben und Wirken

Wyatt, der in Port Elizabeth aufwuchs, wurde zunächst durch Folk und Blues geprägt, da sein Vater der Vorsitzende des örtlichen Folkclubs war. Mit elf Jahren begann er Trompete zu lernen und spielte während der Highschool-Zeit in der Schulband. Er konzentrierte sich zunächst auf klassische Musik und spielte in Orchestern der Region. Erst während der Militärzeit, wo er in der Naval Band spielte, wurde sein Interesse für Jazz geweckt. Er setzte seine Studien auf dem College of Music der University of Cape Town fort, wo er mit einem Master in Komposition und Arrangement abschloss. Er spielte dann mit dem eigenen Quartett, aber auch mit den Blues Broers und dem Cape Town Jazz Orchestra. Sein erstes Album Gathering wurde für den South African Music Award nominiert. 2001 lebte er in Amsterdam, wo er unter anderem mit Clarence Beckton, Fra Fra Sound, Monica Akihary, Paul Stocker, Sean Bergin und The Red Hot Chili Peppers arbeitete. Zurück in Südafrika legte er das Album Africans in Space vor, das Zacks Nkosi gewidmet war. Daneben arbeitete er als Produzent für die Heavy Spirits und das Quintett Voice. Er trat auf allen südafrikanischen Festivals und auf dem North Sea Jazz Festival auf. Ab 2006 konzentrierte er sich auf die Arbeit mit Language 12. 2010 trat er mit den Prisoners of Strange um Carlo Mombelli auf dem mœrs festival auf, mit dem er auch mehrere Alben einspielte. Auch ist er an Aufnahmen von Winston Mankunku Ngozi, Paul Hanmer, Jimmy Dludlu, Sibongile Khumalo, Hotep Idris Galeta, Vusi Mahlasela, McCoy Mrubata, Zim Ngqawana und Thandi Ntuli beteiligt.

## Diskographische Hinweise

* Gathering (2000)
* Africans in Space (2002)
* Language 12 (2006)
* Marcus Wyatt & Language 12: Live @ House of Nsako (2009) DVD
* ZAR
# Dietmar Gummel

Dietmar Gummel (* 13. September 1949 in Leipzig) ist ein deutscher Architekt, Stadtplaner, Denkmalpfleger, Architekturhistoriker und Autor.

## Leben

Dietmar Gummel studierte Architektur und Städtebau an der Hochschule für Architektur und Bauwesen (1968–1972) in Weimar.
1972 bis 1975 arbeitete er als Architekt für Stadtplanung im Büro Städtebau des Rates des BezirkesKarl-Marx-Stadt. Als wissenschaftlicher Assistent in der Sektion Städtebau an der Hochschule für Architektur und Bauwesen Weimar, lehrte er von 1975 bis 1978 auf dem Gebiet der städtebauliche-architektonischen Gestaltung und kollaborierte an wissenschaftlichen Forschungsvorhaben zur Entwicklung von Klein- und Mittelstädten. Weitere Architektenanstellungen folgten, als auch die Leitung der Holzrestaurierungswerkstatt in Wohlsborn von 1980 bis 1985 und der Restaurierungswerkstatt des Museums für Ur- und Frühgeschichte Thüringens von 1986 bis 1988.
In den nächsten drei Jahrzehnten wirkte er als Architekt, als Stadtplaner mit dem besonderen Augenmerk auf Denkmalpflege sowie als Architekturhistoriker in Weimar. Durch seine Untersuchungen sicherte er architekturhistorische Befunde bedeutender Gebäude und Plätze in Weimar.

## Bauten und Projekte (Auswahl)

* 2013–2017: Jenergasse 3–5 in Jena, Neubau Mehrfamilienhaus, Sicherung der historischen Kelleranlage
* 2011–2012: Zeughof (Kloster) in Weimar: Denkmalpflegerische Untersuchung, Veröffentlichung sowie Erarbeitung neues Nutzungskonzept
* 2008: Hansahaus am Frauenplan 6 in Weimar, bauhistorische Untersuchung zu „Wohnstätten in Weimar“
* 2007–2009: Herderplatz in Weimar, Bauhistorische Untersuchung, Publikation
* 2006–2007: Coudraysches Torhaus, Erfurter Straße in Weimar, Sanierung unter denkmalpflegerischer Zielstellung
* 2003: Herderkirche in Weimar, Denkmalpflegerische Untersuchung der Innenraumgestaltung
* 1993–1995, 2000–2001: Hansahaus am Frauenplan 6 in Weimar, Sanierung, Fassadenkonstruktion, Erdgeschossumgestaltung 1993–1995, Rekonstruktion der Jugendstil-Kuppel, 2000–2001
* 1993–2001: Bad- und Stadtapotheke in Bad Sulza, Sanierung
* 1998–2000: Gebäudekomplex aus dem 10.–16. Jh. sowie Anfang 20. Jh. in der Kaufstraße 9–11 in Weimar, Sanierung und denkmalpflegerische Arbeiten
* 1997–1998: Umgestaltung des "Asbachgrünzug" in einen Kinderspielplatz im Park an der Weimarhalle in Weimar
* 1996–1997: Fassadenkonstruktion „mon ami“ Goetheplatz in Weimar
* 1993: Bauhaus-Museum#Museum am Theaterplatz in Weimar, ehemaliges Bauhaus-Museum, heute das Haus der Weimarer Republik, Sanierung und denkmalpflegerisches Gutachten

## Publikationen zu einzelnen Projekten

* Der Herderplatz – Weimars „Alte Mitte“: Geschichte; bauhistorische Untersuchung. Weimar, 2008.
# Sabon

Non Plus Ultra (2 Punkt)
Microscopique (2,5 Punkt)
Brilliant (3 Punkt)
Diamant (4 Punkt)
Perl (5 Punkt)
Nonpareille (6 Punkt)
Insertio (6,5 Punkt)
Kolonel (7 Punkt)
Petit (8 Punkt)
Borgis (9 Punkt)
Korpus (10 Punkt)
Rheinländer (11 Punkt)
Cicero (12 Punkt)
Mittel (14 Punkt)
Tertia (16 Punkt)
Paragon (18 Punkt)
Text (20 Punkt)
Kanon (36 Punkt)
Konkordanz (48 Punkt)
Sabon (60 Punkt)
Das Sabon ist ein Maß für einen Schriftgrad mit einer Kegelhöhe von fünf Cicero, das entspricht 60 Didot-Punkten, also 22,56 mm. Die Entsprechung in 60 DTP-Punkten, also fünf Pica, misst 21,16 mm, siehe Größenvergleich unten.
Das Maß wurde nach Jacques Sabon benannt, der um 1590 eine Schrift dieser Größe geschnitten haben soll.
Sabon ist auch der Name einer von Jan Tschichold geschaffenen Drucktype.

## Größe

| Sabon | Sabon |
| 60 Punkt | 60 DTP-Punkt |
Bei größeren Schriftgraden sind die Benennungen und Angaben jedoch unsicher und oft widersprüchlich.
Nach anderer Quelle lauten die Maßverhältnisse daher:
| Kleine Sabon | = | 5 $^1$⁄$_2$ Cicero | = | 66 typografische Punkte | = | 24,820 Millimeter |
| Sabon | = | 6 Cicero | = | 72 typografische Punkte | = | 27,077 Millimeter |
| Grobe Sabon | = | 7 Cicero | = | 84 typografische Punkte | = | 31,589 Millimeter |
# Messerblock

Ein Messerblock ist ein Aufbewahrungsmittel für Küchenmesser nebst weiteren Küchenutensilien.

## Beschreibung

Werden Messer in einer Schublade aufbewahrt, stoßen die Klingen der Messer aneinander, was deren Klingen abstumpft oder die Messer beschädigt. In einem Messerblock hingegen berühren sich die Klingen nicht. Zudem sind Messer in einem Messerblock griffbereiter als in einer Schublade. Dabei kann der Messerblock flexibel an der geeigneten Stelle aufgestellt werden.
Grundsätzlich gibt es drei Typen von Messerblöcken:
* Der häufigste Messerblocktyp hat Schlitze in verschiedenen Größen, in die unterschiedliche Messer gesteckt werden. Bei manchen Modellen sind zudem Aufbewahrungsmöglichkeiten für Messerschärfer (Wetzstab) oder Scheren vorhanden. Meistens werden Messerblöcke mit Messern als Set angeboten, denn die Schlitze sind auf diese Messer abgestimmt.
* Messerblocktyp mit einem Bürsten- bzw. Borsteneinsatz statt einzelner Schlitze. Dieser Bürsteneinsatz ist in der Regel zwecks Reinigung herausnehmbar. Die weichen Bürsten sind besonders schonend zu den Messerklingen, dafür besteht aber das Risiko, dass sich die Klingen berühren. In diesem Messerblocktyp ist es möglich, beliebige Messer flexibel anzuordnen.
* Magnetmesserblock. Bei diesem Messerblock sind starke Magnete integriert. Dadurch kann man die Messer an den entsprechenden Flächen frei positionieren. Dabei sind die Klingen sichtbar, was die Wahl des richtigen Messers erleichtert. Jedoch können nur Messer bzw. sonstige Utensilien verwendet werden, die genügend magnetische Wirkung entfalten und dabei nicht zu schwer sind, ansonsten können diese leicht vom Block rutschen. Deshalb eignet sich dieser Messerblocktyp z. B. für Keramikmesser nicht.
Viele Messerblöcke bestehen aus Holz; die verwendeten Holzarten sind oft Eiche, Buche oder Bambus. Daneben gibt es Modelle aus Edelstahl, Kunststoff, Glas und Beton. Holz und Kunststoff haben eine weiche und klingenschonende Oberfläche. Messerblöcke aus Edelstahl und Kunststoff lassen sich hingegen leichter reinigen. Modelle aus schweren Materialien gewährleisten bessere Standfestigkeit. Neben dem reinen Gebrauchswert bieten Messerblöcke Gestaltungsmöglichkeiten für ein dekoratives Design.
Bei den Messerblöcken, bei denen die Klinge komplett in den Messerblock gesteckt wird, sind sie dort sicher verstaut, was aber hat den Nachteil, dass man nicht sieht was für ein Klingentyp zu dem Messergriff gehört. Manche Messerblöcke sind mit einer Kindersicherung ausgestattet; ist diese aktiviert, kann kein Messer aus dem Block gezogen werden. Um ein Wegrutschen des Messerblocks auf der Arbeitsfläche zu verhindern, sind viele Messerblöcke mit einem Anti-Rutsch-Beschichtung versehen.

## Hygienegefahr

Der Messerblock ist oft einer der schmutzigsten Gegenstände in der Küche. Auch wenn die Messer immer nur sauber und trocken in den Messerblock gesteckt werden, neigen diese mit der Zeit zur Verschmutzung, denn Krümel und Staub lassen sich in einer Küche nicht verhindern. In diesen engen und dunklen Räumen können sich deshalb Schimmelpilze bilden. Abhilfe schafft eine regelmäßige und gründliche Reinigung.
# NGC 3628

NGC 3628 ist eine aktive Spiralgalaxie mit ausgedehnten Sternentstehungsgebieten vom Hubble-Typ Sc im Sternbild Löwe auf der Ekliptik. Sie hat eine scheinbare visuelle Helligkeit von 9,5 mag. Die Galaxie ist schätzungsweise 34 Millionen Lichtjahre von der Milchstraße entfernt und hat einen Durchmesser von etwa 145.000 Lichtjahren. Bei dem Objekt handelt es sich um eine sogenannte Edge-On-Galaxie, d. h. wir sehen sie genau in Kantenstellung. Die Spiralarme erscheinen hier nur als dunkle staubhaltige Wolken, beleuchtet vom hellen Zentrum der Galaxie.
Das Objekt wurde am 8. April 1784 von dem deutsch-britischen Astronomen Wilhelm Herschel entdeckt.
Zusammen mit Messier 66 und Messier 65 bildet diese Galaxie das Leo-Triplett auch als Arp 317 oder Holm 246 bekannt, den Kern der M66-Galaxiengruppe. Halton Arp gliederte seinen Katalog ungewöhnlicher Galaxien nach rein morphologischen Kriterien in Gruppen. Dieses Galaxientriplett gehört zu der Klasse Gruppen von Galaxien. Auf länger belichteten Aufnahmen ist ein Gezeitenschweif zu sehen, der von der Galaxie ausgeht. Wahrscheinlich entstand er durch die Wechselwirkungen mit den Gravitationsfeldern der beiden Nachbargalaxien M 65 und M 66. Aufnahmen des Very Large Telescope aus dem Jahr 2010 zeigten zudem eine nahegelegene diffuse Satellitengalaxie und in dem Gezeitenschweif wurde im Jahr 2014 die Ultra Compact Dwarf Galaxy NGC 3628-UCD1 entdeckt.
* Das Leo-Triplett, aufgenommen mit dem VLT Survey Telescope
* Aufnahme mithilfe des Very Large Telescope. Unter­halb der Bild­mitte ist eine diffuse Satelliten­galaxie als bläu­liche Wolke zu erkennen.
* Umrahmt ist der Gezeiten­schweif und die darin enthaltene Ultra Compact Dwarf Galaxy NGC 3628-UCD1; auch die diffuse Satelliten­galaxie ist erkennbar.
# Nachlauf (Lenkung)

Als Nachlauf oder Nachlaufstrecke, bei Zweirädern auch Trail (engl.), wird bei Straßenfahrzeugen (DIN ISO 8855) der Abstand zwischen dem Schnittpunkt der Lenkachse mit der Fahrbahnfläche (Spurpunkt) und dem Radaufstandspunkt in der Seitenansicht auf das Rad bezeichnet. Der Radaufstandspunkt liegt üblicherweise in Längsrichtung hinter dem Spurpunkt (positiver Nachlauf), so dass das Rad der Lenkachse nachläuft. Es läuft daher auch ohne Lenkkräfte stabil – wie zum Beispiel beim Schieben eines Einkaufswagens oder beim Freihändigfahren mit einem Zweirad.
Die Lenkachse ist bei gelenkten Rädern in der Regel nach vorne unten geneigt. Diese Achsneigung wird bei Zweiradfahrzeugen Lenkkopfwinkel und bei Automobilen Nachlaufwinkel genannt. Nachlaufstrecke und Nachlaufwinkel sind zwei von mehreren geometrischen Größen, die das Lenk- und Fahrverhalten bestimmen. Sie sind unabhängig voneinander wählbar.

## Zweck

Durch die Nachlaufstrecke entsteht bei einer Seitenkraft ein Drehmoment um die Lenkachse (im Automobilbau Spreizachse). Dieses Rückstellmoment versucht das Rad so auszurichten, dass die Seitenkraft geringer wird. Wird das Rad nicht festgehalten (z. B. beim Einkaufswagen), stellt sich ein seitenkraftfreier Zustand ein.
Lässt man bei zweispurigen Fahrzeugen das Lenkrad los, lenkt das rollende Fahrzeug selbständig zurück bis (fast) zur Geradeausstellung. Eine große Nachlaufstrecke bewirkt eine gute Rückstellung, verursacht jedoch hohe Lenkkräfte. Das Rückstellmoment bei Kurvenfahrt ist am Lenkrad spürbar. Es gibt dem Fahrer gemeinsam mit der Querbeschleunigung eine Rückmeldung über die Kurvenfahrt und über den Kontakt zwischen Reifen und Straße. Im Grenzbereich oder bei geringem Reibwert zwischen Reifen und Straße verringert sich der Reifennachlauf und damit das Rückstellmoment. Über das Lenkrad erhält der Fahrer so eine Rückmeldung zum Reifen-Fahrbahn-Kontakt.
Die Nachlaufstrecke ist wegen des Nachlaufwinkels eine Funktion des Radeinschlags. Bei Fahrrädern ist z. B. bei 90 Grad Radeinschlag die Nachlaufstrecke negativ.

## Verwandte Größen

* Die „Nachlaufstrecke“ in einer Ebene parallel zur Fahrbahnebene durch die Radmitte, wird als Nachlaufversatz bezeichnet. Er ist positiv, wenn die Spreizachse vor der Radmitte liegt.
* Liegt die Spreizachse nicht in der Radebene, wie beispielsweise bei PKW, so ist der Abstand zwischen dem Spurpunkt und dem Radaufstandspunkt in der Ansicht von hinten der Lenkrollradius.

## Reifennachlauf

Der Gummireifen hat unabhängig vom geometrischen Nachlauf einen zusätzlich wirkenden, den sogenannten Reifennachlauf. Die Profilteilchen verformen sich entsprechend dem Schräglaufwinkel elastisch, da die sie beim Einlaufen in den Latsch zunächst auf der Straße haften, und erst am Latschende wieder in die Ausgangslage zurückkehren. Es entsteht eine dreiecksförmige Verspannung. Der Schwerpunkt dieser Verspannung ist im linearen Bereich des Reifens gegenüber dem Radaufstandspunkt etwa ein Sechstel der Latschlänge nach hinten verschoben.
# Christian Berndt (Designer)

Christian Berndt (* 23. November 1935 in Großschönau) ist ein deutscher Industriedesigner.

## Leben und Werk

Berndt absolvierte ab 1952 eine Lehre als Möbeltischler und arbeitete dann bis 1955 in seinem Beruf. Von 1955 bis 1962 studierte er an der Kunsthochschule Berlin-Weißensee Formgestaltung, u. a. bei Rudi Högner. Nach dem Diplom arbeitete er bis 1978 in Karl-Marx-Stadt als Designer im VEB Elektronische Rechenmaschinen.
Danach war er bis 1983 Stellvertretender Direktor der Fachschule für angewandte Kunst Schneeberg. Ab 1984 arbeitete er bis zum Eintritt in die Rente als Wissenschaftlicher Mitarbeiter des Bezirkskunstzentrums Karl-Marx-Stadt und danach noch als freischaffender Designer.
Berndt war bis 1990 Mitglied des Verbands Bildender Künstler der DDR.

## Von Berndt designte Produkte (Auswahl)

* Tischfernsprecher W 58 (mit Ekkehardt Bartsch; Produktion ab 1963)
* Datenverarbeitungsanlage ROBOTRON 21 (mit weiteren Designern; Produktion von 1971 bis 1973)

## Publizierter Fachaufsatz (Auswahl)

* Gestaltung von Lochkartenanlagen in der Büromaschinenindustrie der DDR. In: Form + Zweck, Berlin, 1/1967, S. 18–22

## Teilnahme an zentralen und wichtigen regionalen Ausstellungen in der DDR

* 1962/1963 und 1972 bis 1988: Dresden, Fünfte Deutsche Kunstausstellung und VII. bis X. Kunstausstellung der DDR
* 1985: Karl-Marx-Stadt, Bezirkskunstausstellung
# Detlef Merbd

Detlef Merbd (* 19. Mai 1948 in Radebeul; † 4. Oktober 2019 in Dresden) war ein deutscher Schriftsteller.

## Leben

Merbd besuchte die Polytechnische Oberschule und absolvierte eine Lehre als Gärtner. Nach drei Jahren Militärdienst in der Nationalen Volksarmee wurde er Redakteur und war in der Öffentlichkeits- und Kulturarbeit tätig. Von 1975 bis 1978 studierte Merbd am Leipziger Literaturinstitut „Johannes R. Becher“ und war ab 1982 freischaffend als Autor tätig. Er schrieb mehrere Kabarettstücke, darunter das Stück Organisiert euch! (1974) und, zusammen mit Wolfgang Schaller, die Stücke Ich wandre ja so gerne (1976) und Nicht nur eine Akte (1983). Es entstanden Kabaretttexte unter anderem für die Lachkarte und die Dresdner Herkuleskeule, Hörspiele sowie Drehbücher, unter anderem für die DDR-Fernsehserie Schauspielereien. Sein Debütroman Risiko, der die Abschlussübung einer Reservistenkompanie der Nationalen Volksarmee zum Thema hat, erschien 1988 im Militärverlag der DDR.
Von 1986 bis 1990 leitete Merbd das Bezirksliteraturzentrum Dresden. Nach der Wende veröffentlichte er mehrere satirische Erzählungen um die Figuren Faust, Mephistopheles und den Schriftsteller Dietmar Herbst, darunter Faust, erster Teil, Der Angriff der Zwerge auf den Nudelturm zu Dresden und Pantheon. Zudem entstanden mehrere Hefte mit Sammlungen regionaler Sagen. In seinem 2017 erschienenen Roman Abwegiges vom Franziskusweg verarbeitete er eine Pilgerwanderung von Florenz nach Assisi, die er 2014 unternommen hatte.
Merbd war Inhaber des Verlages Das Besondere. Verlag Dresden Johannstadt.
Merbd war ab 1992 rund 20 Jahre Mitglied im Verband deutscher Schriftsteller. Er lebte und arbeitete in Dresden, wo er 2019 verstarb. Sein Grab befindet sich auf dem Striesener Friedhof.

## Werke
### Belletristik

* 1987: Die Geschichte vom ängstlichen Bärenkind – Kinderbuchverlag Berlin
* 1988: Risiko – Militärverlag der DDR
* 1998: Faust, erster Teil – Edition Reintzsch, Radebeul
* 2001: Bachauers Keller – Notschriften-Verlag, Radebeul
* 2002: Der Angriff der Zwerge auf den Nudelturm zu Dresden – Gryphon, München
* 2009: Pantheon – BoD, Norderstedt
* 2013: Der Alberich-Code – Verlag Das Besondere, Dresden
* 2017: Abwegiges vom Franziskusweg – Verlag Das Besondere, Dresden

### Weitere

* 1985: Die Brücke, Hörspiel
* 1987: Schauspielereien – Die Versuchung (TV-Serie, Drehbuch)
* 1990: Schauspielereien – Am Morgen danach (TV-Serie, Drehbuch)
# Gabriele Juen

Gabriele Juen (* 8. März 1963 in Schruns, geborene Gabriele Wurzel) ist eine österreichische Politikerin (ÖVP). Juen war von 2007 bis 2009 Abgeordnete zum Vorarlberger Landtag.

## Leben

Juen ist die Tochter des Maschinenschlossers Klaus Wurzel (1937–2009) und dessen Ehefrau Anneliese (* 1928). Sie besuchte die Hauptschule in Gortipohl, einem Ortsteil der Vorarlberger Gemeinde St. Gallenkirch, und das Gymnasium in Feldkirch, wo sie 1981 maturierte, bevor sie den Beruf der Einzelhandelskauffrau erlernte.
1983 heiratete sie Elmar Juen (1947–2008), aus der Ehe gingen zwei Söhne hervor. Juen lebt in St. Gallenkirch.

## Politik

Anfang der 1990er Jahre engagierte sich Juen in der Gemeindevertretung und war in der Folge auch als Regionsprecherin des Frauennetzwerkes Montafon tätig. Nach dem Rückzug von Adolf Concin wurde Juen am 11. April 2007 als Abgeordnete des Wahlbezirks Bludenz im 28. Vorarlberger Landtag angelobt. In dieser Funktion war sie innerhalb des ÖVP-Landtagsklubs als Bereichssprecherin für Ehrenamt und Vereinswesen, Musikschulwesen und Entwicklungszusammenarbeit tätig.
Bei der Landtagswahl am 20. September 2009 trat Juen in weiterer Folge nicht mehr an. Sie schied mit der Angelobung der Abgeordneten der 29. Legislaturperiode zum 14. Oktober 2009 aus dem Landtag aus.
# Satz von Euler

Der Satz von Euler, auch als Satz von Euler-Fermat benannt nach Leonhard Euler und Pierre de Fermat, stellt eine Verallgemeinerung des kleinen fermatschen Satzes auf beliebige (nicht notwendigerweise prime) Moduli $n\in \mathbb {N}$ dar.

## Aussage

Der Satz von Euler lautet: Für alle $a,n\in \mathbb {N}$ mit $\operatorname {ggT} (a,n)=1$ gilt
    $a^{\varphi (n)}\equiv 1{\pmod {n}}$.
Dabei ist $\operatorname {ggT}$ der größte gemeinsame Teiler der beiden natürlichen Zahlen $a$ und $n$, und $\varphi (n)$ die eulersche φ-Funktion, nämlich die Anzahl der zu $n$ teilerfremden Reste modulo $n$.
Für prime Moduli $p$ gilt $\varphi (p)=p-1$, also geht für sie der Satz von Euler in den kleinen Satz von Fermat über.

## Anwendungen

Der Satz von Euler dient der Reduktion großer Exponenten modulo $n$. Aus ihm folgt für ganze Zahlen $k$, dass $a^{x}\equiv a^{x+k\cdot \varphi (n)}{\pmod {n}}$. Praktische Anwendung findet er in dieser Eigenschaft in der computergestützten Kryptographie, beispielsweise im RSA-Verschlüsselungsverfahren.

### Beispiel

Was ist die letzte Ziffer im Dezimalsystem von 7$^{222}$, also welche Dezimalziffer ist 7$^{222}$ kongruent modulo 10?
Zunächst bemerken wir, dass ggT(7,10) = 1 und dass φ(10) = 4. Also liefert der Satz von Euler
$7^{4}\equiv 1{\pmod {10}}$
und wir erhalten
$7^{222}=7^{4\cdot 55+2}=(7^{4})^{55}\cdot 7^{2}\equiv 1^{55}\cdot 7^{2}{\pmod {10}}\equiv 49{\pmod {10}}\equiv 9{\pmod {10}}$.
Allgemein gilt:
    $a^{b}\equiv a^{b{\bmod {\varphi }}(n)}{\pmod {n}}\qquad a,b,n\in \mathbb {N} \wedge \operatorname {ggT} (a,n)=1$

## Beweis des Satzes von Euler

Sei $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }=\{r_{1},\dots ,r_{\varphi (n)}\}$ die Menge der multiplikativ modulo $n$ invertierbaren Elemente. Für jedes $a$ mit $\operatorname {ggT} (a,n)=1$ ist dann $x\mapsto ax$ eine Permutation von $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$, denn aus $ax\equiv ay{\pmod {n}}$ folgt $x\equiv y{\pmod {n}}$.
Weil die Multiplikation kommutativ ist, folgt
    $r_{1}\cdots r_{\varphi (n)}\equiv (ar_{1})\cdots (ar_{\varphi (n)})\equiv r_{1}\cdots r_{\varphi (n)}a^{\varphi (n)}{\pmod {n}}$,
und da die $r_{i}$ invertierbar sind für alle $i$, gilt
    $1\equiv a^{\varphi (n)}{\pmod {n}}$.

## Alternativbeweis

Der Satz von Euler ist eine direkte Folgerung aus dem Satz von Lagrange aus der Gruppentheorie: In jeder Gruppe $G$ mit endlicher Ordnung $m$ ist die $m$-te Potenz jedes Elements das Einselement. Hier ist $G=\{1\leq a\leq n\mid \operatorname {ggT} (a,n)=1\}=(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$ also $|G|=\varphi (n)$, wobei die Operation von $G$ die Multiplikation modulo $n$ ist.
# Angelsbruck (Fraunberg)

Angelsbruck ist ein Ortsteil der Gemeinde Fraunberg, Landkreis Erding, Oberbayern.

## Lage

Der Weiler liegt rund zwei Kilometer südwestlich von Fraunberg.
# Callicebus

Callicebus ist eine Affengattung aus der Unterfamilie der Springaffen (Callicebinae). Der wissenschaftliche Name setzt sich aus „Calli“ (Gr.: „kalos“ = schön) und „Cebus“ (früher allgemein für langschwänzige südamerikanische Affen verwendeter Gattungsname) zusammen.

## Merkmale

Im Vergleich zu anderen Springaffenarten sind die Callicebus-Arten relativ groß. Es sind meist graue, hellbraune oder ockerfarbene Tiere mit dunklem Gesicht, Ohren und dunklen Händen und Füßen. Die Schwanz hat die Farbe des übrigen Körpers oder ist rötlich. Das Rückenhaar ist zottig und wollig und oft agutiähnlich durch zwei bis vier dunkle Bänder geringelt. Dadurch kann der Rücken ein streifiges Erscheinungsbild haben. Die Oberfläche der oberen Backenzähne ist sehr uneben und haben unter allen Springaffenbackenzähnen die größte Anzahl von Höckern.

## Verbreitung

Callicebus-Arten leben ausschließlich im östlichen Brasilien, im Atlantischen Regenwald und in Waldinseln im Caatinga südlich des Rio São Francisco. Das Verbreitungsgebiet liegt in den Bundesstaaten Bahia, Espírito Santo, Minas Gerais, Rio de Janeiro und São Paulo. Westlich reicht es bis zum Oberlauf des Río Paraná.

## Systematik

Die Gattung Callicebus wurde 1903 durch den britischen Zoologen Oldfield Thomas eingeführt. Ursprünglich gehörten alle Springaffenarten zu dieser Gattung. Im März 2016 wurden zwei weitere Gattungen für die amazonischen Springaffenarten eingeführt, Cheracebus und Plecturocebus. Die Gattung Callicebus umfasst heute nur noch die ehemalige C. personatus-Gruppe. Sie leben als einzige Springaffen in Ost- und Südostbrasilien. Die Trennung der drei Springaffengattungen erfolgte im mittleren und späten Miozän.

## Arten

Zur Gattung Callicebus gehören fünf Arten.
* Nordbahia-Springaffe (Callicebus barbarabrownae)
* Coimbra-Springaffe (Callicebus coimbrai)
* Südbahia-Springaffe (Callicebus melanochir)
* Schwarzstirn-Springaffe (Callicebus nigrifrons)
* Maskenspringaffe (Callicebus personatus)