# Chern-Simons-Form

Die Chern-Simons-Formen sind bei der Definition von sekundären charakteristischen Klassen verwendete Differentialformen, die in der Mathematik in Differentialgeometrie und Differentialtopologie in verschiedenen Zusammenhängen vorkommen, insbesondere in Eichtheorien. Die Chern-Simons-3-Form definiert das Wirkungsfunktional der Chern-Simons-Theorie. Sie sind benannt nach Shiing-Shen Chern und James Harris Simons, den Autoren der 1974 veröffentlichten Arbeit Characteristic Forms and Geometric Invariants.

## Definition

Sei M eine Riemannsche Mannigfaltigkeit. Der Riemannsche Zusammenhang
    $A\in \Omega ^{1}(P(M),{\mathfrak {gl}}(n))$
ist eine Lie-Algebra-wertige 1-Form auf dem Rahmenbündel $P(M)$.
Die Chern-Simons-1-Form wird definiert durch
    $\operatorname {Tr} [\mathbf {A} ]$,
wobei Tr die Spur von Matrizen bezeichnet.
Die Chern-Simons-3-Form wird definiert durch
    $\operatorname {Tr} \left[\mathbf {F} \wedge \mathbf {A} -{\frac {1}{3}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \right].$
Die Chern-Simons-5-Form wird definiert durch
    $\operatorname {Tr} \left[\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} \wedge \mathbf {A} -{\frac {1}{2}}\mathbf {F} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} +{\frac {1}{10}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \right]$
wobei die Krümmung $\mathbf {F}$ definiert ist durch
    $\mathbf {F} =d\mathbf {A} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} .$
Die allgemeine Chern-Simons-Form $\omega _{2k-1}$ ist definiert, so dass
    $d\omega _{2k-1}=\operatorname {Tr} \left(\mathbf {F} ^{k}\right),$
wobei $\mathbf {F} ^{k}$ durch das äußere Produkt von Differentialformen definiert wird.
Falls $M$ eine parallelisierbare 2k-1-dimensionale Mannigfaltigkeit ist (zum Beispiele eine orientierbare 3-Mannigfaltigkeit), dann gibt es einen Schnitt $s:M\rightarrow P(M)$ und das Integral von $s^{*}\omega _{2k-1}$ über die Mannigfaltigkeit $M$ ist eine globale Invariante, die modulo der Addition ganzer Zahlen wohldefiniert ist. (Für verschiedene Schnitte unterscheiden sich die Integrale nur um ganze Zahlen.) Die so definierte Invariante ist die Chern-Simons-Invariante
    $\operatorname {cs} (M)\in \mathbb {R} /\mathbb {Z}$.

## Allgemeine Definition für Prinzipalbündel und invariante Polynome

Sei $G$ eine Lie-Gruppe mit Lie-Algebra ${\mathfrak {g}}$ und $f\in I^{k}({\mathfrak {g}})$ ein invariantes Polynom.
Jedem invarianten Polynom $f$ entspricht eine Chern-Simons-Form von $G$-Prinzipalbündeln wie folgt.
Sei $\pi :P\rightarrow M$ ein Prinzipalbündel mit Strukturgruppe $G$. Man wähle eine Zusammenhangsform $\omega \in \Omega ^{1}(P,{\mathfrak {g}})$ und bezeichne mit $\Omega \in \Omega ^{2}(P,{\mathfrak {g}})$ ihre Krümmungsform. Dann ist die Chern-Simons-Form $Tf\in \Omega ^{2k-1}(P,\mathbb {R} )$ definiert durch
    $Tf=\sum _{i=0}^{k-1}A_{i}f\left(\omega \wedge [\omega ,\omega ]^{i}\wedge \Omega ^{k-i-1}\right)$
mit $A_{i}:=(-1)^{i}{\frac {k!(k-1)!}{2^{i}(k+i)!(k-1-i)!}}$.
Im Fall flacher Bündel vereinfacht sich diese Formel zu $(-1)^{k-1}{\frac {k!(k-1)!}{2^{k-1}(2k-1)!}}f\left(\omega \wedge [\omega ,\omega ]^{k-1}\right)$.
Es gilt die Gleichung
    $dTf=f(\Omega ,\ldots ,\Omega )$,
im Fall flacher Bündel also $dTf=0$.
Bekanntlich entspricht jede charakteristische Klasse $u\in H^{*}(BG,\mathbb {Z} )$ einem invarianten Polynom, siehe Chern-Weil-Theorie. Falls $f(\Omega ,\ldots ,\Omega )=0$, dann verschwindet nach Chern-Weil-Theorie die entsprechende charakteristische Klasse $u_{f}$ in reeller Kohomologie. Die Form $Tf$ ist in diesem Fall geschlossen und definiert zunächst eine Klasse in der Kohomologie von $P$. Zurückziehen mittels eines Schnittes definiert eine Kohomologieklasse von $M$, welche modulo ganzer Zahlen wohldefiniert ist. Die so definierte Kohomologieklasse in $H^{*}(M,\mathbb {R} /\mathbb {Z} )$ passt in die Bockstein-Folge
    $H^{2k-1}(M,\mathbb {R} /\mathbb {Z} )\rightarrow H^{2k}(M,\mathbb {Z} )\rightarrow H^{2k}(M,\mathbb {R} )$,
wo sie auf die charakteristische Klasse $u_{f}$ abgebildet wird, deren Bild in reeller Kohomologie verschwindet.