# Hilbert-C*-Modul

Hilbert-C*-Moduln werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachtet. Sie spielen eine wichtige Rolle im Aufbau der KK-Theorie, die Elemente der dort auftretenden Gruppen sind solche Moduln mit einer gewissen Zusatzstruktur. Hilbert-C*-Moduln sind in Analogie zu Hilberträumen definiert, wobei das innere Produkt Werte in einer C*-Algebra annimmt. Sie wurden 1953 von Irving Kaplansky für den Fall kommutativer C*-Algebren eingeführt und 1973 von William Paschke für den allgemeinen Fall.

## Definition

Es sei $B$ eine C*-Algebra. Ein Prä-Hilbert-$B$-Modul ist ein Rechts-B-Modul $E$ zusammen mit einer Abbildung $\langle \cdot ,\cdot \rangle :E\times E\rightarrow B$, so dass
* $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ ist sesquilinear (konjugiert linear in der ersten Variablen)
* $\langle x,yb\rangle =\langle x,y\rangle b$ für alle $x,y\in E,b\in B$
* $\langle x,y\rangle ^{*}=\langle y,x\rangle$ für alle $x,y\in E$
* $\langle x,x\rangle \geq 0$ für alle $x\in E$, wobei $\geq$ die durch die positiven Elemente definierte Ordnung auf $B$ sei.
* $\langle x,x\rangle =0\Leftrightarrow x=0$ für alle $x\in E$.
Die offenbare Analogie zur Definition eines Hilbertraums lässt sich weiter ausbauen. Man zeigt die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung
    $\|\langle x,y\rangle \|\leq \|\langle x,x\rangle \|^{1/2}\|\langle y,y\rangle \|^{1/2}$ für alle $x,y\in E$ (ohne Verwendung der fünften Bedingung)
und erhält so eine Halbnorm
    $\|x\|:=\|\langle x,x\rangle \|^{1/2}$
auf $E$, die wegen der 5. Bedingung sogar eine Norm ist. Ist der Prä-Hilbert-$B$-Modul bezüglich dieser Norm vollständig, so nennt man ihn einen Hilbert-$B$-Modul. Der wesentliche Unterschied zu Hilberträumen besteht darin, dass man keinen Projektionssatz beweisen kann, das heißt, es gibt Unter-Hilbert-$B$-Moduln, die nicht stetig projizierbar sind.

## Beispiele

* Eine C*-Algebra $B$ ist mit der Definition $\langle x,y\rangle :=x^{*}y$ ein Hilbert-$B$-Modul. Dessen Unter-Hilbert-B-Moduln sind die abgeschlossenen Rechtsideale. $B$ ist als Hilbert-$B$-Modul genau dann abzählbar erzeugt, das heißt, es gibt eine abzählbare Teilmenge, so dass $B$ der kleinste diese Menge umfassende Untermodul ist, wenn $B$ σ-unital ist.
* Ein Hilbertraum ist ein Hilbert-$\mathbb {C}$-Modul.
* Für eine C*-Algebra $B$ sei $H_{B}$ der Raum aller Folgen $(b_{n})_{n}\in B^{\mathbb {N} }$, für die $\textstyle \sum _{n\in \mathbb {N} }b_{n}^{*}b_{n}\in B$ konvergiert. Mit der Definition $\textstyle \langle (a_{n})_{n},(b_{n})_{n}\rangle :=\sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}^{*}b_{n}$ wird $H_{B}$ zu einem Hilbert-$B$-Modul. Offenbar ist $H_{\mathbb {C} }=\ell ^{2}$ der separable Folgenraum der quadratsummieren Folgen.

## Konstruktionen
### Direkte Summen

Direkte Summen $E_{1}\oplus \ldots \oplus E_{n}$ von Hilbert-$B$-Moduln sind mit der Definition $\textstyle \langle (x_{i})_{i},(y_{i})_{i}\rangle :=\sum _{i=1}^{n}\langle x_{i},y_{i}\rangle$ offenbar wieder Hilbert-$B$-Moduln.

### Algebren von Operatoren

Für zwei Hilbert-$B$-Moduln $E$ und $F$ sei $L_{B}(E,F)$ die Menge aller Operatoren $T:E\rightarrow F$, für die es einen Operator $T^{*}:F\rightarrow E$ gibt, so dass $\langle Tx,y\rangle _{F}=\langle x,T^{*}y\rangle _{E}$ gilt für alle $x\in E$ und $y\in F$. Man zeigt, dass solche Operatoren $B$-linear sind und einen abgeschlossenen Unterraum der stetigen, linearen Operatoren $E\rightarrow F$ bilden. $L_{B}(E):=L_{B}(E,E)$ ist mit der Operatornorm und der Involution $T\mapsto T^{*}$ eine C*-Algebra. Im Spezialfall $E=B$ ist $L_{B}(B)=M(B)$ isomorph zur Multiplikatorenalgebra von $B$.
Gewisse Operatoren aus $L_{B}(E,F)$ lassen sich wie folgt in Analogie zu den eindimensionalen Operatoren auf Hilberträumen definieren. Sind $x\in F$ und $y\in E$, so sei $\theta _{x,y}:E\rightarrow F,\,\theta _{x,y}(z):=x\langle y,z\rangle$. Man bestätigt leicht die Formel $\theta _{x,y}^{*}=\theta _{y,x}$ und somit $\theta _{x,y}\in L_{B}(E,F)$. Den von diesen Operatoren erzeugten, abgeschlossenen Unterraum bezeichnet man mit $K_{B}(E,F)$ und nennt seine Elemente die kompakten Operatoren von $E$ nach $F$, auch wenn es sich im Allgemeinen nicht um kompakte Operatoren im Sinne der Banachraumtheorie handelt. Leicht bestätigt man $T\theta _{x,y}=\theta _{Tx,y}$ für ein $T\in L_{B}(F)$, woraus $L_{B}(F)K_{B}(E,F)\subset K_{B}(E,F)$ folgt, und ganz ähnlich auch $K_{B}(E,F)L_{B}(E)\subset K_{B}(E,F)$. Damit ist $K_{B}(E)\subset L_{B}(E)$ ein zweiseitiges Ideal. Offenbar ist $K_{\mathbb {C} }(H_{\mathbb {C} })$ das Ideal der kompakten Operatoren auf $\ell ^{2}$.
Diese Konstruktionen hängen wie folgt zusammen: Für jede C*-Algebra $B$ und jeden Hilbert-$B$-Modul $E$ ist $L_{B}(E)$ isomorph zur Multiplikatorenalgebra $M(K_{B}(E))$. Insbesondere gibt es einen *-Isomorphismus $L_{B}(H_{B})\cong M(K_{\mathbb {C} }\otimes B)$, der $K_{B}(H_{B})$ auf $K_{\mathbb {C} }\otimes B$ abbildet.

### Unitäre Äquivalenz

Zwei Hilbert-$B$-Moduln $E$ und $F$ heißen unitär äquivalent, in Zeichen $E\cong F$, wenn eine bijektive, lineare Abbildung $U\in L_{B}(E,F)$ gibt mit $\langle U(x),U(y)\rangle _{F}=\langle x,y\rangle _{E}$ für alle $x,y\in E$.

### Innere Tensorprodukte

Es seien $E$ ein Hilbert-$B$-Modul, $F$ ein Hilbert-$A$-Modul und $\varphi :B\rightarrow L_{B}(F)$ ein *-Homomorphismus. Durch die Formel $by:=\varphi (b)(y)$ wird $F$ zu einem Links-$B$-Modul und man kann daher das algebraische Tensorprodukt $E\otimes _{B}F$ bilden, das durch die Definition $(x\otimes _{B}y)a:=x\otimes _{B}ya$ zu einem Rechts-$A$-Modul wird. Durch die Formel
    $\langle x_{1}\otimes _{B}y_{1},x_{2}\otimes _{B}y_{2}\rangle :=\langle y_{1},\varphi (\langle x_{1},x_{2}\rangle _{E})(y_{2})\rangle _{F}$
erhalten wir mittels linearer Ausdehnung eine Sesquilinearform auf $E\otimes _{B}F$, die alle Regeln aus der Definition des Prä-Hilbert-$A$-Moduls erfüllt bis auf eventuell Punkt 5, das heißt, es kann Vektoren der Länge 0 geben. Indem man den Raum $N:=\{z\in E\otimes _{B}F;\langle z,z\rangle =0\}$ der Vektoren der Länge herausdividiert, das heißt zum Faktorraum nach $E\otimes _{B}F/N$ übergeht, und anschließend vervollständigt, erhält man einen Hilbert-$A$-Modul, den man mit $E\otimes _{\varphi }F$ bezeichnet und das innere Tensorprodukt der Hilbert-C*-Moduln nennt.

### Äußeres Tensorprodukt

Es seien wieder $E$ ein Hilbert-$B$-Modul und $F$ ein Hilbert-$A$-Modul. Dann ist das algebraische Tensorprodukt $E\otimes _{\mathbb {C} }F$ mittels der Definition
    $(x\otimes y)\cdot (b\otimes a):=xb\otimes ya,\quad x\in E,y\in F,a\in A,b\in B$
ein Rechts-$B\otimes A$-Modul und man erhält mittels linearer Ausdehnung aus
    $\langle x_{1}\otimes _{\mathbb {C} }y_{1},x_{2}\otimes _{C}y_{2}\rangle :=\langle x_{1},x_{2}\rangle \otimes \langle y_{1},y_{2}\rangle$
eine Sesquilinearform. Ist $B{\hat {\otimes }}A$ das räumliche Tensorprodukt der C*-Algebren, so konstruiert man durch Herausdividieren von Vektoren der Länge 0 und durch Ausdehnen auf die Vervollständigungen einen Hilbert-$B{\hat {\otimes }}A$-Modul, den man mit $E{\hat {\otimes }}F$ bezeichnet und das äußere Tensorprodukt der Hilbert-C*-Moduln nennt.

### Pushout

Ist $E$ ein Hilbert-$B$-Modul und $\varphi :B\rightarrow A$ ein surjektiver *-Homomorphismus, so definiere $N_{\varphi }:=\{x\in E;\varphi (\langle x,x\rangle )=0\}$. Ist $q:E\rightarrow E_{\varphi }:=E/N_{\varphi }$ die Quotientenabbildung, so wird $E_{\varphi }$ durch die Definitionen
    $q(x)a:=q(xb)$, wobei $b\in B$ mit $\varphi (b)=a$
    $\langle q(x),q(y)\rangle :=\varphi (\langle x,y\rangle )$,
deren Wohldefiniertheit zu zeigen ist, ein Hilbert-$A$-Modul, den man den Pushout von $E$ bzgl. $\varphi$ nennt. Man kann zeigen, dass $E_{\varphi }\cong E\otimes _{\varphi }A$, indem man $A$ als Unteralgebra von $M(A)\cong L_{B}(A)$ auffasst.

## Graduierte Hilbert-C*-Moduln

Besonders für die KK-Theorie werden Hilbert-C*-Algebren mit einer Zusatz-Struktur, einer sogenannten Graduierung, genauer einer $\mathbb {Z} /2$-Graduierung verwendet. Es sei $B$ eine graduierte C*-Algebra mit Graduierungsautomorphismus $\alpha :B\rightarrow B$, das heißt, es ist
    $\alpha \circ \alpha =\mathrm {id} _{B}$
    $B_{0}:=\{b\in B;\alpha (b)=b\}$
    $B_{1}:=\{b\in B;\alpha (b)=-b\}$
Dann ist $B=B_{0}\oplus B_{1}$ die direkte Summenzerlegung zur $\mathbb {Z} /2$-Graduierung. Ein graduierter Hilbert-$B$-Modul ist ein Hilbert-$B$-Modul $E$ zusammen mit einer linearen Bijektion $S_{E}:E\rightarrow E$, so dass
    $S_{E}\circ S_{E}=\mathrm {id} _{E}$
    $S_{E}(xb)=S_{E}(x)\alpha (b)$ für alle $x\in E,b\in B$
    $\langle S_{E}(x),S_{E}(y)\rangle =\alpha (\langle x,y\rangle )$ für alle $x,y\in E$
Wieder erhält man eine direkte Summenzerlegung $E=E_{0}\oplus E_{1}$, wobei
    $E_{0}:=\{x\in E;S_{E}(x)=x\}$
    $E_{1}:=\{x\in E;S_{E}(x)=-x\}$
und es folgt
    $E_{i}B_{j}\subset E_{i+j}$ und $\langle E_{i},E_{j}\rangle \subset B_{i+j}$ für alle $i,j\in \mathbb {Z} /2=\{0,1\}$.
Durch den Automorphismus $T\mapsto S_{E}TS_{E}^{-1}$ erhalten dann auch $L_{B}(E)$ und $K_{B}(E)$ eine Graduierung.
Graduierte Hilbert-C*-Moduln heißen unitär äquivalent, wenn sie als Hilbert-C*-Moduln unitär äquivalent sind mit einem unitären Operator, der die Graduierung erhält.
Dies verallgemeinert die oben eingeführten Begriffe ohne Graduierung, denn jede C*-Algebra kann mittels $\alpha =\mathrm {id} _{A}$ trivial graduiert werden und ebenso jeder Hilbert-$B$-Modul mittels $S_{E}=\mathrm {id} _{E}$.
Um auch $H_{B}$ zu graduieren, hat man zwei Möglichkeiten, nämlich $S(b_{1},b_{2},b_{3},\ldots ):=(\alpha (b_{1}),\alpha (b_{2}),\alpha (b_{3}),\ldots )$ und $-S(b_{1},b_{2},b_{3},\ldots )=(-\alpha (b_{1}),-\alpha (b_{2}),-\alpha (b_{3}),\ldots )$. Wir definieren daher
    ${\hat {H}}_{B}:=H_{B}\oplus H_{B}$ mit der Graduierung $S\oplus -S$.
Die oben angeführten Konstruktionen lassen sich auch für graduierte Hilbert-C*-Moduln definieren, wobei das graduierte Tensorprodukt zu nehmen ist und alle auftretenden Morphismen mit den Graduierungen verträglich sein müssen. Die hiermit zusammenhängenden Einzelheiten sind sehr technisch und werden hier übergangen.

## Stabilisierungssatz von Kasparow

Für die KK-Theorie erweist sich der sogenannte Stabilisierungssatz von Kasparow als wichtig. Dieser Satz gilt für graduierte und nicht-graduierte Hilbert-C*-Moduln, er sagt aus, dass $H_{B}$ bereits alle abzählbar erzeugten Hilbert-C*-Moduln als direkte Summanden enthält, und analog für graduierte Moduln. Es gilt sogar etwas mehr:
* Ist $E$ ein abzählbar erzeugter Hilbert-$B$-Modul über einer C*-Algebra $B$, so ist $E\oplus H_{B}\cong H_{B}$.
* Ist $E$ ein abzählbar erzeugter, graduierter Hilbert-$B$-Modul über einer graduierten C*-Algebra $B$, so ist $E\oplus {\hat {H}}_{B}\cong {\hat {H}}_{B}$.