# Kretschmann-Skalar

Der Kretschmann-Skalar $K$ (auch Kretschmann-Invariante oder Riemannsche Invariante; nach Erich Kretschmann, der ihn einführte) bezeichnet eine skalare Invariante im Bereich der Lorentzschen Mannigfaltigkeiten. Er kann als Maß für die Krümmung der Raumzeit in der allgemeinen Relativitätstheorie gedeutet werden.

## Definition

Der Kretschmann-Skalar $K$ ist unter Verwendung der Einsteinschen Summenkonvention definiert als
    $K=R_{\kappa \lambda \mu \nu }\,R^{\kappa \lambda \mu \nu }=\sum _{\kappa =0}^{3}\sum _{\lambda =0}^{3}\sum _{\mu =0}^{3}\sum _{\nu =0}^{3}R_{\kappa \lambda \mu \nu }\,R^{\kappa \lambda \mu \nu }$.
Hierbei bezeichnet $R_{\kappa \lambda \mu \nu }$ den Riemannschen Krümmungstensor und $\,R^{\kappa \lambda \mu \nu }=\sum _{i=0}^{3}g^{\kappa i}\,\sum _{j=0}^{3}g^{\lambda j}\,\sum _{k=0}^{3}g^{\mu k}\,\sum _{l=0}^{3}g^{\nu l}\,R_{ijkl}\,$.
Für die vierdimensionale Raumzeit kann der Kretschmann-Skalar weiterhin durch den Weyl-Tensor $C_{\kappa \lambda \mu \nu }$, den Ricci-Tensor $R_{\kappa \lambda }$ sowie den Ricci-Skalar $R$ wie folgt ausgedrückt werden:
    $K=C_{\kappa \lambda \mu \nu }\,C^{\kappa \lambda \mu \nu }+2R_{\kappa \lambda }\,R^{\kappa \lambda }-{\frac {1}{3}}R^{2}$

## Beispiele
### Kretschmann-Skalar der Schwarzschild-Metrik

Für die Schwarzschild-Metrik
    $\mathrm {d} s^{2}=g_{\mu \nu }\mathrm {d} x^{\mu }\mathrm {d} x^{\nu }=\textstyle -\left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\right)c^{2}\mathrm {d} t^{2}+{\frac {1}{1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}}}\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\mathrm {d} \vartheta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\vartheta \mathrm {d} \varphi ^{2}$
mit der Zeitkoordinate $t$, den Kugelkoordinaten $(r,\vartheta ,\varphi )$ und dem Schwarzschild-Radius $r_{\mathrm {s} }=2GM/c^{2}$ ist der Kretschmann-Skalar mit dem Schwarzschild-Radius $r_{s}$ gegeben durch:
    $K_{\text{Schwarzschild}}=R_{\kappa \lambda \mu \nu }\,R^{\kappa \lambda \mu \nu }=\textstyle {\frac {12{r_{s}}^{2}}{r^{6}}}={\frac {48G^{2}M^{2}}{c^{4}r^{6}}}$
Der Kretschmann-Skalar verhält sich am Schwarzschild-Radius $r_{\mathrm {s} }$ völlig harmlos. Die Divergenz von $R_{\kappa \lambda \mu \nu }\,R^{\kappa \lambda \mu \nu }$ bei $r=0$ zeigt, dass hier eine echte physikalische Singularität lauert: Die Raumzeit ist hier unendlich gekrümmt.

### Kretschmann-Skalar der Kerr-Metrik

Für die Kerr-Metrik eines rotierenden Schwarzen Lochs der Masse $M$ und des Drehimpulses $J$ lautet die Metrik mit dem Drehimpulsparameter $a=\textstyle {\frac {J}{Mc}}$ in Boyer-Lindquist Koordinaten mit $r_{\mathrm {s} }=2GM/c^{2}$
    ${\text{d}}s^{2}=\textstyle -\left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }r}{\rho ^{2}}}\right)c^{2}{\text{d}}t^{2}-{\frac {2r_{\mathrm {s} }ra\sin ^{2}\vartheta }{\rho ^{2}}}c{\text{d}}t{\text{d}}\varphi +{\frac {A}{\rho ^{2}}}\sin ^{2}\vartheta {\text{d}}\varphi ^{2}+{\frac {\rho ^{2}}{\Delta }}{\text{d}}r^{2}+\rho ^{2}{\text{d}}\vartheta ^{2}$
mit den Größen $\Delta =r^{2}-r_{\mathrm {s} }r+a^{2}$, $\rho ^{2}=r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\vartheta$ und $A=(r^{2}+a^{2})^{2}-a^{2}\Delta \sin ^{2}\vartheta$. Dabei ist $r=r_{z}$ der fiktive Radius einer Referenzkugel mit dem kartesischen Polradius $r_{z}$. Dann ist der Kretschmann-Skalar
    ${\begin{aligned}K_{\text{Kerr}}&=R_{\kappa \lambda \mu \nu }\,R^{\kappa \lambda \mu \nu }=\textstyle {\frac {12r_{\mathrm {s} }^{2}}{(r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\vartheta )^{6}}}(r^{6}-15a^{2}r^{4}\cos ^{2}\vartheta +15a^{4}r^{2}\cos ^{4}\vartheta -a^{6}\cos ^{6}\vartheta )\\&=\textstyle {\frac {12r_{\mathrm {s} }^{2}}{(r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\vartheta )^{6}}}(r^{2}-a^{2}\cos ^{2}\vartheta )(r^{4}-14a^{2}r^{2}\cos ^{2}\vartheta +a^{4}\cos ^{4}\vartheta )\\&=\textstyle {\frac {48G^{2}M^{2}}{c^{4}(r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\vartheta )^{6}}}(r^{2}-a^{2}\cos ^{2}\vartheta )[(r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\vartheta )^{2}-16a^{2}r^{2}\cos ^{2}\vartheta ]\end{aligned}}$
Der Kretschmann-Skalar $K_{\text{Kerr}}$ geht für die verschwindende Rotation $a=0$ über in $K_{\text{Schwarzschild}}$!
$K_{\text{Kerr}}$ hat eine echte koordinatenunabhängige Singularität bei
    $\rho ^{2}=r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\vartheta =0$
Bei dieser Singularität wird $r=0=\cos \vartheta$. In den kartesischen Kerr-Schild Koordinaten $x+{\text{i}}y=(r-{\text{i}}a){\text{e}}^{{\text{i}}\varphi }\sin \vartheta$ und $z=r\cos \vartheta$ gilt
    $x^{2}+y^{2}=(x+{\text{i}}y)(x-{\text{i}}y)=(r-{\text{i}}a)(r+{\text{i}}a)\sin ^{2}\vartheta =(r^{2}+a^{2})(1-\cos ^{2}\vartheta )\quad \Rightarrow \quad x^{2}+y^{2}=a^{2}\quad {\text{und }}z=0\quad {\text{für }}r=0=\cos \vartheta$
Diese Gleichung beschreibt einen Ring mit dem Radius $a$, der in der $x$-$y$-Ebene liegt. Die analytische Fortsetzung für $r>0$ und $r<0$ diskutieren Stephen Hawking und George Ellis.
Die Größe $\Delta =r^{2}-r_{\mathrm {s} }r+a^{2}=0$ ist eine Koordinatensingularität der Kerr-Metrik, die nicht im Kretschmann-Skalar $K_{\text{Kerr}}$ vorkommt.