# Lippmann-Schwinger-Gleichung

Die Lippmann-Schwinger-Gleichung (nach Bernard Lippmann und Julian Schwinger) verwendet man in der quantenmechanischen Störungstheorie und speziell in der Streutheorie. Sie hat die Form einer Integralgleichung für die gesuchte Wellenfunktion $\psi$ und ist eine Alternative zur direkten Lösung der Schrödingergleichung, wobei die Randbedingungen in der Definition der verwendeten Greenschen Funktionen stecken.

## In der quantenmechanischen Störungstheorie

Allgemein wird in der Störungstheorie der Hamiltonoperator $H$ zerlegt in den „freien Hamiltonoperator“ $H_{0}$, zu dem eine Lösung bekannt ist, und einen als kleine Störung behandelten Teil (Potential) $V$:
    $H=H_{0}+V$
Eigenfunktionen $|\phi _{0}\rangle$ des freien Hamiltonoperators erfüllen die Gleichung
    $\left(E-H_{0}\right)|\phi _{0}\rangle =0$
wobei $E$ der zugehörige Eigenwert ist.
Als „freie Greensche Funktion“ bezeichnet man einen Operator $G_{0}$, für den gilt:
    $G_{0}\left(E-H_{0}\right)|\phi _{0}\rangle =|\phi _{0}\rangle$
Dieser Operator ist also gewissermaßen eine Umkehrfunktion zum freien Hamiltonoperator. Eine mathematisch korrekte Darstellung erfordert die Betrachtung von $G_{0}$ als Distribution.
Nun werden in analoger Weise die unbekannten Eigenfunktionen $|\psi \rangle$ des vollständigen Hamiltonoperators sowie seine Greensche Funktion $G$ definiert.
Damit gilt die Lippmann-Schwinger-Gleichung:
    $|\psi \rangle =|\phi _{0}\rangle +G_{0}V|\psi \rangle$
Diese Gleichung wird üblicherweise iterativ gelöst, wobei die Beschränkung auf die erste nichttriviale Ordnung als Bornsche Näherung bezeichnet wird.

## In der Streutheorie

Die Lippmann-Schwinger-Gleichung findet entsprechend vor allem in der Streutheorie Anwendung. Hierbei wird berechnet, wie sich die Wellenfunktion eines Teilchens bei der Streuung an einem Potential V ändert, wobei als freier Hamiltonoperator der kinetische Anteil für ein freies Teilchen verwendet wird:
    ${\hat {H}}_{0}={\frac {{\hat {\mathbf {p} }}^{2}}{2m}}$
mit dem Impulsoperator ${\hat {\mathbf {p} }}$.
Zur Herleitung der Lippmann-Schwinger-Gleichung für ein stationäres Streuproblem geht man von der Schrödingergleichung aus:
    $\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta +V({\vec {r}})\right]\psi _{k}=E_{k}\psi _{k}$
mit
* der kinetischen Energie $E_{k}={\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}^{2}}{2m}}$ eines freien Teilchens
* seiner Einschußrichtung ${\frac {\vec {k}}{k}}$
* seiner Streurichtung ${\frac {\vec {k^{\prime }}}{k}}={\frac {\vec {r}}{r}}={\vec {n}}$
wobei zu beachten ist, dass es sich um eine elastische Streuung handelt, d. h. der Betrag des Impulsvektors wird nicht geändert: $k^{\prime }=k$ und für alle Vektoren $|{\vec {v}}|=v$.
Umgestellt und mit der Forderung $E\geq 0$ ergibt sich:
    $\left[\Delta +k^{2}\right]\psi _{k}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}V({\vec {r}})\psi _{k}=:U({\vec {r}})\psi _{k}$
Dies lässt sich mit der Methode der Greenschen Funktionen lösen:
    ${\begin{aligned}\left[\Delta +k^{2}\right]\phi _{0}=0\quad &\Rightarrow \quad \phi _{0}={\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}e^{i{\vec {k}}{\vec {r}}}\\\left[\Delta +k^{2}\right]G({\vec {r}})=\delta {({\vec {r}})}\quad &\Rightarrow \quad G({\vec {r}})=-{\frac {1}{4\pi }}{\frac {e^{ikr}}{r}}\\\psi _{k}({\vec {r}})=\phi _{0}&+\int d^{3}{\vec {r}}^{\prime }G({\vec {r}}-{\vec {r}}^{\prime })\cdot U({\vec {r}}^{\prime })\psi _{k}({\vec {r}}^{\prime })\\\end{aligned}}$
Daraus ergibt sich die Lippmann-Schwinger-Gleichung der Streutheorie:
    $\psi _{k}({\vec {r}})={\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}-{\frac {2m}{4\pi \hbar ^{2}}}\int d^{3}{\vec {r}}^{\prime }\cdot {\frac {e^{ik|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{\prime }|}}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{\prime }|}}V({\vec {r}}^{\prime })\psi _{k}({\vec {r}}^{\prime })$
Hier wurde explizit die Ortsdarstellung gewählt.
Diese Gleichung lässt sich iterativ lösen, indem man auf der rechten Seite $\psi _{k}({\vec {r}})$ durch die bis dahin gewonnene Lösung ersetzt und als Startwert der Iteration etwa wählt:
    $\psi _{k}^{(0)}({\vec {r}})=\phi _{0}({\vec {r}})$
Die erste Iteration
    $\psi _{k}^{(1)}({\vec {r}})={\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}e^{i{\vec {k}}{\vec {r}}}-{\frac {2m}{4\pi \hbar ^{2}}}\int d^{3}{\vec {r}}^{\prime }\cdot {\frac {e^{ik|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{\prime }|}}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{\prime }|}}V({\vec {r}}^{\prime }){\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}e^{i{\vec {k}}{\vec {r}}^{\prime }}$
ist dann die bereits oben erwähnte Bornsche Näherung in Ortsdarstellung.