# Vierdimensionale Yang-Mills-Theorie

Vierdimensionale Yang-Mills-Theorie (auch D = 4 Yang-Mills-Theorie, kurz D = 4 YM) ist in der Differentialgeometrie der Spezialfall der Yang-Mills-Theorie über einer Basismannigfaltigkeit mit vier Dimensionen. Dieser Spezialfall erlaubt die Reduktion der Yang-Mills-Gleichungen zweiter Ordnung auf die einfacheren (anti)selbstdualen Yang-Mills-Gleichungen erster Ordnung. Eine zentrale Anwendung findet die vierdimensionale Yang-Mills-Theorie in der mathematischen Formulierung der Quantenchromodynamik, welche die starke Wechselwirkung beschreibt.

## Grundlagen

Sei $G$ eine Lie-Gruppe mit Lie-Algebra ${\mathfrak {g}}$ und $E\twoheadrightarrow B$ ein $G$-Hauptfaserbündel, wobei $B$ eine orientierbare Riemannsche 4-Mannigfaltigkeit ist. Es sei $A\in \Omega _{\operatorname {Ad} }^{1}(E,{\mathfrak {g}})\cong \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))$ ein Zusammenhang und $F_{A}:=\mathrm {d} _{A}A=\mathrm {d} A+[A\wedge A]\in \Omega _{\operatorname {Ad} }^{2}(E,{\mathfrak {g}})\cong \Omega ^{2}(B,\operatorname {Ad} (E))$ dessen Krümmungsform. Da $B$ vierdimensional ist, kann $\operatorname {tr} (F_{A}\wedge F_{A})\in \Omega ^{4}(B)$ (auch notiert als $\langle F_{A}\wedge F_{A}\rangle$), wobei $\operatorname {tr}$ die Spur (englisch trace) notiert und die Differentialform wieder reellwertig macht, über dieser integriert werden (wofür die Riemannsche Struktur notwendig ist). Gemäß der Chern-Weil-Theorie ergibt dies für $G<\operatorname {U} (n)$ (was für jedes kompakte $G$ wegen des Satzes von Peter-Weyl erfüllt ist) die zweite Chern-Klasse des Hauptfaserbündels (definiert als die des assoziierten Vektorbündels $E\times _{G}\mathbb {C} ^{n}$):
    $\langle c_{2}(E),[B]\rangle =\langle c_{2}(E\times _{G}\mathbb {C} ^{n}),[B]\rangle =-{\frac {1}{8\pi ^{2}}}\int _{B}\operatorname {tr} (F_{A}\wedge F_{A})\in \mathbb {Z} .$
Die Kronecker-Paarung der zweiten Chern-Klasse $c_{2}(E)\in H^{4}(B;\mathbb {Z} )$ mit der durch die (ebenso im Integral eingehende) Orientierung gegebenen Fundamentalklasse $[B]\in H_{4}(B,\mathbb {Z} )$ wird dabei zur Vereinfachung auch oft weggelassen. In diesem Fall vergleicht die Gleichung jedoch eine Kohomologieklasse mit einer ganzen Zahl.
Ist $A$ flach ($F_{A}=0$), dann ist also $c_{2}(E)=0$. Daher ist die zweite Chern-Klasse eine Obstruktion für die Existenz von flachen Zusammenhängen auf vierdimensionalen Mannigfaltigkeiten. Yang-Mills-Zusammenhänge ($\mathrm {d} _{A}\star F_{A}=0$) sind dadurch nicht nur eine Verallgemeinerung von flachen Zusammenhängen, sondern ebenfalls eine Alternative für Hauptfaserbündel, auf denen diese nicht existieren.

## Spezialfall

In den Yang-Mills-Gleichungen $\mathrm {d} _{A}\star F_{A}=0$ wird noch zusätzlich der Hodge-Stern-Operator $\star$ auf die Krümmungsform $F_{A}$ angewendet. Da $B$ eine 4-Mannigfaltigkeit ist, ergibt dies wieder eine 2-Form $\star F_{A}\in \Omega ^{2}(B,\operatorname {Ad} (E))$. Daher ist der Grad nur in dieser Dimension identisch mit dem der Krümmungsform $F_{A}$, wodurch sich eine spezielle Eigenschaft ergibt. Ein Zusammenhang $A$, welcher eine Lösung der:
* selbstdualen Yang–Mills-Gleichungen (SDYM-Gleichungen) $\star F_{A}=F_{A}$ ist, wird selbstdual
* antiselbstdualen Yang–Mills-Gleichungen (ASDYM-Gleichungen) $\star F_{A}=-F_{A}$ ist, wird antiselbstdual
genannt. Solche Zusammenhänge sind trivialerweise Lösungen der Yang–Mills-Gleichungen $\mathrm {d} _{A}\star F_{A}=0$, da diese dann einfach auf die Bianchi-Identität $\mathrm {d} _{A}F_{A}=0$ zurückfallen. Zudem kann die Krümmungsform $F_{A}=F_{A}^{-}+F_{A}^{+}$ immer in eindeutig in einen selbstdualen Anteil $F_{A}^{+}$ (mit $\star F_{A}^{+}=F_{A}^{+}$), welcher etwa in den Seiberg-Witten-Gleichungen verwendet wird, und einen antiselbstdualen Anteil $F_{A}^{-}$ (mit $\star F_{A}^{-}=-F_{A}^{-}$) zerlegt werden durch:
    $F_{A}^{\pm }:={\frac {1}{2}}(F_{A}\pm \star F_{A}).$
So lassen sich die SDYM-Gleichungen auch als $F_{A}^{-}=0$ und die ASDYM-Gleichungen auch als $F_{A}^{+}=0$ schreiben.
Alle schwach stabilen Yang-Mills-Zusammenhänge auf $S^{4}$ mit Eichgruppe $\operatorname {SU} (2)$, $\operatorname {SU} (3)$ oder $\operatorname {U} (2)$ sind entweder selbstdual oder antiselbstdual.

## Anwendung auf die 4-Sphäre

Eine einfache 4-Mannigfaltigkeit ist die 4-Sphäre $S^{4}$. Die quaternionische Hopf-Faserung $\mathbb {H} ^{2}\cong \mathbb {R} ^{8}\supset S^{7}\rightarrow S^{4}\cong \mathbb {H} P^{1},(q,p)\mapsto [q:p]$ ist etwa ein $\operatorname {Sp} (1)$-Hauptfaserbündel über $S^{4}$. Zudem korrespondieren derartige Hauptfaserbündel mit der Quantisierung der Ladung eines magnetischen Monopols in fünf Dimensionen (auch Wu-Yang-Monopol genannt). Dies entspricht ihrer Klassifikation durch die ganzen Zahlen:
    $\operatorname {Prin} _{\operatorname {Sp} (1)}(S^{4})\cong [S^{4},\operatorname {BSp} (1)]=\pi _{4}\operatorname {BSp} (1)\cong \pi _{3}\operatorname {Sp} (1)\cong \pi _{3}S^{3}\cong \mathbb {Z}$
Dabei ist $\operatorname {BSp} (1)\cong \operatorname {BSU} (2)\cong \mathbb {H} P^{\infty }$ der klassifizierende Raum der Eichgruppe $\operatorname {Sp} (1)\cong \operatorname {SU} (2)$. Das triviale Hauptfaserbündel entspricht $0\in \mathbb {Z}$ und die quaternionische Hopf-Faserung entspricht $1\in \mathbb {Z}$.
Sei $A$ ein Yang-Mills-Zusammenhang über $S^{4}$ (mit beliebigem Hauptfaserbündel). Ist $\|F_{A}^{-}\|^{2}<3$, dann ist $A$ selbstdual ($F_{A}^{-}=0$). Ist $\|F_{A}^{+}\|^{2}<3$, dann ist $A$ antiselbstdual ($F_{A}^{+}=0$).