# Doppeloperatorintegral

Doppeloperatorintegrale (DOI, englisch Double Operator Integrals) sind in der Funktionalanalysis und der Störungstheorie Integrale der Form
    $\operatorname {Q} _{\varphi }:=\int _{N}\int _{M}\varphi (x,y)\mathrm {d} E(x)\operatorname {T} \mathrm {d} F(y),$
wobei $\operatorname {T} :G\to H$ ein beschränkter linearer Operator zwischen zwei separablen Hilberträumen ist,
    $E:(N,{\mathcal {A}})\to P(H),$
    $F:(M,{\mathcal {B}})\to P(G)$
zwei Spektralmaße sind, wobei $P(H)$ hier für die Menge der orthogonalen Projektionen über $H$ steht, und $\varphi$ eine messbare skalarwertige Funktion ist, welche Symbol des DOI genannt wird. Die Integrale sind hier in Form von Stieltjes-Integralen zu verstehen.
DOI tauchten das erste Mal 1956 in einer Arbeit von Yuri L. Daletskii und Selim G. Krein auf, welche zwei selbstadjungierte Operatoren $A$ und $K$ auf Hilberträumen untersuchten (wobei $K$ die Perturbation von $A$ ist) und die Ableitung für bestimmte operatorwertige Funktionen
    $t\mapsto f(A+tK),\quad f:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$
in folgender Form
    ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(f(A+tK)\right){\bigr \vert }_{t=0}=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} }{\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}\mathrm {d} E_{A}(x)K\mathrm {d} E_{A}(y)$
fanden, wobei hier $E_{A}(\cdot )$ das Spektralmaß von $A$ ist. Die Theorie der Doppeloperatorintegrale wurde im Wesentlichen von Michail Schljomowitsch Birman und Mikhail Zakharovich Solomyak in den späten 1960ern und 1970ern entwickelt. DOI können verwendet werden, um Normen von Operatoren-Differenzen
    $\|f(A)-f(B)\|$
für operator-lipschitzstetige Funktionen $f$ abzuschätzen und sind dadurch wichtig in der Störungstheorie.
DOI sind Spezialfälle der Multipleoperatorintegralen
    $\int \cdots \int \varphi (x_{1},\dots ,x_{n})\mathrm {d} E_{1}(x_{1})\operatorname {T_{1}} \mathrm {d} E_{2}(x_{2})\operatorname {T_{2}} \cdots \operatorname {T} _{n-1}\mathrm {d} E_{n}(x_{n}).$

## Doppeloperatorintegral

Die Definition des Integrales induziert direkt eine weitere Abbildung
    $\operatorname {Q} _{\varphi }=\operatorname {J} _{\varphi }^{E,F}\operatorname {T} ,$
welche Transformator genannt wird.
Wie sich herausstellt, hängt die Definition solcher DOI sowie die Klasse der zulässigen Symbolen $\varphi$ von der Wahl der betrachteten Operatorenräumen ab. In der ursprünglichen Betrachtung von Birman-Solomyak wurde der Operator $T$ auf die Klasse der Hilbert-Schmidt-Operatoren ${\mathcal {S}}_{2}$ eingeschränkt. Die Definition kann aber auf weitere Schatten-von-Neumann-Klassen respektive auf allgemeine beschränkte Operatoren $T$ erweitert werden, so lange $\operatorname {Q} _{\varphi }$ auch beschränkt bleibt.
Birman-Solomyak definierten nun folgendes Spektralproduktmaß ${\mathcal {E}}$ durch
    ${\mathcal {E}}(\Lambda \times \Delta )\operatorname {T} :=E(\Lambda )\operatorname {T} F(\Delta ),\quad \operatorname {T} \in {\mathcal {S}}_{2},$
für messbare Mengen $\Lambda \times \Delta \subset N\times M$, wo durch $\operatorname {Q} _{\varphi }$ durch
    $\operatorname {Q} _{\varphi }:=\left(\int _{N\times M}\varphi (\lambda ,\mu )\;\mathrm {d} {\mathcal {E}}(\lambda ,\mu )\right)\operatorname {T}$
für beschränkte und messbare Funktionen $\varphi$ definiert werden kann.

## Anwendungsbeispiel aus der Störungstheorie

Wir betrachten nur einen Hilbertraum $H=G$ und zwei beschränkte, selbstadjungierte Operatoren $A,B$ auf $H$. Sei nun $\operatorname {T} :=B-A$ und $f$ eine Funktion auf einer Menge, die die Spektra von $A,B$ enthält. Weiter sei $\operatorname {J} _{f}:=\operatorname {J} _{f}^{E,F}$ der Transformator und $I$ der Identitätsoperator. Es gilt nach dem Spektralsatz $\operatorname {J} _{\lambda }I=A$ und $\operatorname {J} _{\mu }I=B$ und $\operatorname {J} _{\mu -\lambda }I=\operatorname {T}$, daraus folgt
    $f(B)-f(A)=\operatorname {J} _{f(\mu )-f(\lambda )}I=\operatorname {J} _{\frac {f(\mu )-f(\lambda )}{\mu -\lambda }}\operatorname {J} _{\mu -\lambda }I=\operatorname {J} _{\frac {f(\mu )-f(\lambda )}{\mu -\lambda }}\operatorname {T} =\operatorname {Q} _{\varphi }$
und somit
    $f(B)-f(A)=\int _{\sigma (A)}\int _{\sigma (B)}{\frac {f(\mu )-f(\lambda )}{\mu -\lambda }}(\mu -\lambda )\mathrm {d} E_{A}(\lambda )\mathrm {d} F_{B}(\mu )=\int _{\sigma (A)}\int _{\sigma (B)}{\frac {f(\mu )-f(\lambda )}{\mu -\lambda }}\mathrm {d} E_{A}(\lambda )\operatorname {T} \mathrm {d} F_{B}(\mu ).$