# Kac-Moody-Algebra

Kac-Moody-Algebren, benannt nach Victor Kac und Robert Moody, sind in der mathematischen Theorie der Lie-Algebren untersuchte Algebren. Man geht von einer Matrix mit bestimmten Eigenschaften aus und wendet darauf ein Verfahren an, das an die klassische Konstruktion einer endlichdimensionalen halbeinfachen Lie-Algebra aus einer vorgegebenen Cartan-Matrix angelehnt ist. Man kann dann drei Typen solcher Kac-Moody-Algebren ausmachen. Die Algebren vom endlichen Typ (s. u.) sind die aus der klassischen Theorie bekannten endlichdimensionalen halbeinfachen Lie-Algebren, so dass die Theorie der Kac-Moody-Algebren als eine Verallgemeinerung der klassischen Theorie angesehen werden kann. Dazu kommen zwei weitere Typen, der affine Typ und der indefinite Typ (s. u.), die weder endlichdimensional noch halbeinfach sind.

## Konstruktion
### Verallgemeinerte Cartan-Matrizen

Eine $n\times n$-Matrix $A=(A_{i,j})$ heißt verallgemeinerte Cartan-Matrix, falls
* Alle Koeffizienten sind ganzzahlig, das heißt $A_{i,j}\in \mathbb {Z}$ für alle $i,j=1,\ldots ,n$
* $A_{i,i}=2$ für alle $i=1,\ldots ,n$
* $A_{i,j}\leq 0$ für alle $i,j=1,\ldots ,n,\,i\not =j$
* Aus $A_{i,j}=0$ folgt stets $A_{j,i}=0$ für alle $i,j=1,\ldots ,n$.
Offenbar sind Cartan-Matrizen Beispiele für verallgemeinerte Cartan-Matrizen.
Zwei verallgemeinerte $n\times n$-Cartan-Matrizen $A=(A_{i,j})$ und $A'=(A'_{i,j})$ heißen äquivalent, wenn es eine Permutation $\sigma$ auf $\{1,\ldots ,n\}$ gibt mit $A'_{i,j}=A_{\sigma (i),\sigma (j)}$ gibt.
Eine verallgemeinerte Cartan-Matrix heißt zerlegbar, wenn sie zu einer Matrix der Form
    ${\begin{pmatrix}A_{1}&0\\0&A_{2}\end{pmatrix}}$
mit Untermatrizen $A_{1}$ und $A_{2}$ äquivalent ist, sonst unzerlegbar.

### Realisierungen einer Matrix

Zu einer vorgegebenen verallgemeinerten $n\times n$-Cartan-Matrix $A=(A_{i,j})$ gibt es
* einen endlichdimensionalen $\mathbb {C}$-Vektorraum $H$
* eine linear unabhängige Teilmenge $\Pi ^{\vee }=\{h_{1},\ldots ,h_{n}\}\subset H$,
* eine linear unabhängige Teilmenge $\Pi =\{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\}\subset H^{*}$, wobei $H^{*}$ der Dualraum von $H$ ist,
so dass $A_{i,j}=\alpha _{j}(h_{i})$ für alle $i,j=1,\ldots ,n$
Die Daten $(H,\Pi ^{\vee },\Pi )$ nennt man eine Realisierung von $A$. Man kann zeigen, dass die Dimension von $H$ mindestens $2n-\mathrm {rang} (A)$ ist, wobei $\mathrm {rang} (A)$ der Rang der Matrix ist, dass dieses Minimum angenommen wird, und dass es zu je zwei Realisierungen $(H_{1},\Pi _{1}^{\vee },\Pi _{1})$ und $(H_{2},\Pi _{2}^{\vee },\Pi _{2})$ minimaler Dimension einen Vektorraumisomorphismus $\varphi :H_{1}\rightarrow H_{2}$ gibt, der $\Pi _{1}^{\vee }$ auf $\Pi _{2}^{\vee }$ abbildet und dessen duale Abbildung $\Pi _{2}$ auf $\Pi _{1}$ abbildet. Diese sogenannten minimalen Realisierungen sind also bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.

### Eine Lie-Algebra aus Erzeugern und Relationen

Bislang haben wir zu einer verallgemeinerten $n\times n$-Cartan-Matrix $A=(A_{i,j})$ eine minimale Realisierung $(H,\Pi ^{\vee }=\{h_{1},\ldots ,h_{n}\},\Pi =\{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\})$ konstruiert. Diese Daten verwenden wir nun, um eine Lie-Algebra ${\tilde {L}}(A)$ aus Erzeugern und Relationen zu definieren. Die Menge der Erzeuger ist
    $X=\{e_{1},\ldots ,e_{n},f_{1},\ldots ,f_{n}\}\cup \{{\tilde {x}}\mid x\in H\}$.
Die Elemente sind nur Symbole, lediglich die Matrizengröße $n$ und der Vektorraum $H$ gehen hier ein. Die Relationen sind
* ${\tilde {x}}-\lambda {\tilde {y}}-\mu {\tilde {z}}$ für alle $x,y,z\in H,\,\lambda ,\mu \in \mathbb {C}$ mit $x=\lambda x+\mu z$
* $[{\tilde {x}}{\tilde {y}}]$ für alle $x,y\in H$
* $[e_{i}f_{i}]-{\tilde {h_{i}}}$ für alle $i=1,\ldots ,n$
* $[e_{i}f_{j}]$ für alle $i,j=1,\ldots ,n,\,i\not =j$
* $[{\tilde {x}}e_{i}]-\alpha _{i}(x)$ für alle $i=1,\ldots ,n,\,x\in H$
* $[{\tilde {x}}f_{i}]+\alpha _{i}(x)$ für alle $i=1,\ldots ,n,\,x\in H$
Bezeichnet $R$ die Menge dieser Relationen, so setzen wir
    ${\tilde {L}}(A):=L(X;R)$, wobei letztere die durch die Erzeuger $X$ und Relationen $R$ definierte Lie-Algebra sei.
Die ersten beiden Gruppen von Relationen führen offensichtlich dazu, dass $H\mapsto {\tilde {H}}:=\{{\tilde {x}}\mid x\in H\},\,x\mapsto {\tilde {x}}$ ein Lie-Algebren-Homomorphismus zwischen abelschen Lie-Algebren ist. Man kann sogar zeigen, dass dieser ein Isomorphismus ist.

### Definition der Kac-Moody-Algebren

Zu einer verallgemeinerten Cartan-Matrix $A=(A_{i,j})$ haben wir eine Lie-Algebra ${\tilde {L}}(A)$ mit einer darin enthaltenen abelschen Unteralgebra ${\tilde {H}}$ konstruiert. Man kann nun zeigen, dass
    $I:=\sum \{J\mid \,J\subset {\tilde {L}}(A){\text{ Lie-Ideal mit }}J\cap {\tilde {H}}=\{0\}\}$
wieder ein Ideal mit $I\cap {\tilde {H}}=\{0\}$ ist. Man nennt
    $L(A):={\tilde {L}}(A)/I$
die Kac-Moody-Algebra zur verallgemeinerten Cartan-Matrix $A$.
Man kann zeigen, dass die Isomorphieklasse von $L(A)$ nur von der Äquivalenzklasse der verallgemeinerten Cartan-Matrix abhängt, insbesondere nicht von der Wahl einer minimalen Realisierung. Ist $A$ sogar eine Cartan-Matrix, so ist die Kac-Moody-Algebra zu $A$ isomorph zur endlichdimensionalen halbeinfachen Lie-Algebra mit dieser Cartan-Matrix.

## Drei Typen von Kac-Moody-Algebren

Die Kac-Moody-Algebren zu unzerlegbaren verallgemeinerten Cartan-Matrizen zerfallen in drei Typen. Sie werden durch Eigenschaften der zugrunde liegenden verallgemeinerten Cartan-Matrix definiert. Dazu beachte, dass solche Matrizen ganzzahlige und damit reellwertige Koeffizienten haben und daher auf dem $\mathbb {R} ^{n}$, dem Vektorraum der Spaltenvektoren, operieren. Auf dem $\mathbb {R} ^{n}$ sei die komponentenweise Ordnung $\leq$ gegeben, das heißt $u\leq v$, falls komponentenweise $u_{i}\leq v_{i}$ gilt. Wir schreiben entsprechend $u<v$, falls komponentenweise $u_{i}<v_{i}$ gilt.
Man verwendet die folgenden Typbezeichnungen, für die $A$ eine unzerlegbare verallgemeinerte $n\times n$-Cartan-Matrix sei, sowohl für $A$ als auch für die Kac-Moody-Algebra $L(A)$.

### Kac-Moody-Algebren endlichen Typs

$A$ und damit auch $L(A)$ hat endlichen Typ, falls
* $\det(A)\not =0$,
* Es gibt $u\in \mathbb {R} ^{n}$ mit $u>0$ und $Au>0$,
* Aus $Au\geq 0$ folgt $u>0$ oder $u=0$.

### Kac-Moody-Algebren affinen Typs

$A$ und damit auch $L(A)$ hat affinen Typ, falls
* $\mathrm {rang} (A)=n-1$, das heißt der Korang ist 1,
* Es gibt $u\in \mathbb {R} ^{n}$ mit $u>0$ und $Au=0$,
* Aus $Au\geq 0$ folgt $Au=0$.

### Kac-Moody-Algebren indefiniten Typs

$A$ und damit auch $L(A)$ hat indefiniten Typ, falls
* Es gibt $u\in \mathbb {R} ^{n}$ mit $u>0$ und $Au<0$,
* Aus $Au\geq 0$ und $u\geq 0$ folgt $u=0$.

### Bemerkungen

Es ist nicht offensichtlich, dass dies tatsächlich eine Dreiteilung der unzerlegbaren verallgemeinerten Cartan-Matrizen darstellt. Alternativ kann man diese drei Typen für unzerlegbare verallgemeinerte Cartan-Matrizen wie folgt charakterisieren:
* $A$ hat endlichen Typ genau dann, wenn es $u\in \mathbb {R} ^{n}$ gibt mit $u>0$ und $Au>0$
* $A$ hat affinen Typ genau dann, wenn es $u\in \mathbb {R} ^{n}$ gibt mit $u>0$ und $Au=0$
* $A$ hat indefiniten Typ genau dann, wenn es $u\in \mathbb {R} ^{n}$ gibt mit $u>0$ und $Au<0$
Man kann zeigen, dass Kac-Moody-Algebren endlichen Typs genau die endlichdimensionalen einfachen Lie-Algebren sind. Die Kac-Moody-Algebren affinen oder indefiniten Typs sind weder halbeinfach, sie haben ein nicht-triviales Zentrum, noch endlichdimensional.

## Dynkin-Diagramme

Man kann, ganz ähnlich wie in der Theorie der endlich-dimensionalen halbeinfachen Lie-Algebren, jeder verallgemeinerten Cartan-Matrix ein Dynkin-Diagramm zuordnen, dies geschieht nach folgenden Regeln: Das Dynkin-Diagramm zur verallgemeinerten $n\times n$-Cartan-Matrix $A=(A_{i,j})$ ist ein Graph aus $n$ Knoten, die mit $1,\ldots ,n$ bezeichnet werden. Für die Kanten zwischen diesen Knoten verfährt man wie folgt:
* Ist $A_{i,j}A_{j,i}=0$, so werden die Knoten $i$ und $j$ nicht verbunden.
* Ist $A_{i,j}A_{j,i}=1$, so werden die Knoten $i$ und $j$ durch eine einzelne Kante verbunden.
* Ist $A_{i,j}A_{j,i}=2$, so werden die Knoten $i$ und $j$ durch zwei Kanten verbunden. Ein >-Zeichen durch diese Kanten zeigt mit der Spitze auf $i$, wenn $A_{i,j}=-2$, sonst nach $j$.
* Ist $A_{i,j}A_{j,i}=3$, so werden die Knoten $i$ und $j$ durch drei Kanten verbunden. Ein >-Zeichen durch diese Kanten zeigt mit der Spitze auf $i$, wenn $A_{i,j}=-3$, sonst nach $j$.
* Ist $A_{i,j}A_{j,i}=4$ und $|A_{i,j}|\not =|A_{j,i}|$, so werden die Knoten $i$ und $j$ durch vier Kanten verbunden. Ein >-Zeichen durch diese Kanten zeigt mit der Spitze auf $i$, wenn $A_{i,j}=-4$, sonst nach $j$.
* Ist $A_{i,j}A_{j,i}=4$ und $A_{i,j}=A_{j,i}=-2$, so werden die Knoten $i$ und $j$ durch zwei Kanten verbunden. Ein >- und ein <-Zeichen werden durch diese Kanten gezeichnet, sie zeigen mit ihren Spitzen aufeinander.
* Ist $A_{i,j}A_{j,i}\geq 5$, so werden die Knoten $i$ und $j$ durch eine einzelne Kante verbunden und die ganzen Zahlen $|A_{i,j}|$ und $|A_{j,i}|$ wird an dieser Kante vermerkt.
Es ist klar, dass man aus dem Dynkin-Diagramm die verallgemeinerte Cartan-Matrix zurückgewinnen kann, ebenso, dass eine verallgemeinerte Cartan-Matrix genau dann unzerlegbar ist, wenn ihr Dynkin-Diagramm zusammenhängend ist.
In der klassischen Theorie, das heißt für unzerlegbare verallgemeinerte Cartan-Matrizen endlichen Typs, erhält man die bekannte Liste der Dynkin-Diagramme $A_{n},B_{n},C_{n},D_{n},E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}$, die eine vollständige Klassifikation der endlichdimensionalen einfachen Lie-Algebren darstellt. Für unzerlegbare verallgemeinerte Cartan-Matrizen affinen Typs gelingt ebenfalls eine vollständige Klassifikation, auch hier erhält man eine überschaubare Liste. Die zuletzt genannte Regel zur Erstellung des Dynkin-Diagramms findet im affinen Fall keine Anwendung, das kommt erst bei unzerlegbaren verallgemeinerten Cartan-Matrizen indefiniten Typs vor.
Als Beispiel für eine verallgemeinerte Cartan-Matrix affinen Typs betrachten wir
    ${\tilde {G}}_{2}={\begin{pmatrix}2&-1&0\\-1&2&-1\\0&-3&2\end{pmatrix}}$.
Die Bezeichnung ${\tilde {G}}_{2}$ stammt von einer Klassifikation der unzerlegbaren Cartan-Matrizen affinen Typs. Da
    ${\begin{pmatrix}2&-1&0\\-1&2&-1\\0&-3&2\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}$,
liegt nach oben genannten Kriterien tatsächlich ein affiner Typ vor: Es gibt ein $u>0$ mit ${\tilde {G}}_{2}u=0$. Das zugehörige Dynkin-Diagramm wird in nebenstehender Zeichnung wiedergegeben.
Ein weiteres Beispiel für eine verallgemeinerte Cartan-Matrix affinen Typs ist
    ${\tilde {A}}_{1}={\begin{pmatrix}2&-2\\-2&2\end{pmatrix}}$.
Zur Erstellung des Dynkin-Diagramms findet die vorletzte Regel Anwendung.
Hier ist die vollständige Liste aller Dynkin-Diagramme zu unzerlegbaren, verallgemeinerten Cartan-Matrizen affinen Typs:
Die angegebenen Bezeichnungen der Dynkin-Diagramme sind Standardbezeichnungen. Die verwendete Tilde weist auf eine gewisse Affinisierung hin, das heißt auf einen Prozess, mit dem man aus gegebenen Lie-Algebren weitere erzeugen kann. Die zu diesen Dynkin-Diagrammen gehörigen Kac-Moody-Algebren werden genauso bezeichnet, das heißt man spricht von Kac-Moody-Algebren ${\tilde {A}}_{1}'$, ${\tilde {A}}_{n}$, ${\tilde {B}}_{n}$, ${\tilde {B}}_{n}^{t}$, ${\tilde {C}}_{n}$, ${\tilde {C}}_{n}^{t}$, ${\tilde {C}}_{n}'$, ${\tilde {D}}_{n}$, ${\tilde {E}}_{6}$, ${\tilde {E}}_{7}$, ${\tilde {E}}_{8}$, ${\tilde {F}}_{4}$, ${\tilde {F}}_{4}^{t}$, ${\tilde {G}}_{2}$, ${\tilde {G}}_{2}^{t}$.

## Weitere Bemerkungen

Für Kac-Moody-Algebren kann man weite Teile der auf Wurzelsystemen beruhenden Theorie endlichdimensionaler halbeinfacher Lie-Algebren analog aufstellen. Als Ersatz für die Cartan-Unteralgebra dient das Bild von ${\tilde {H}}$ in der Quotientenalgebra $L(A)$. Man kann zeigen, dass die Abbildung $H\rightarrow L(A),\,x\mapsto {\tilde {x}}+I$ injektiv ist. Man kann also $H$ als Unteralgebra von $L(A)$ auffassen. Damit ist eine Darstellung der Form
    $L(A):=H\oplus \sum _{\alpha \in Q}L_{\alpha }$  mit
    $L_{\alpha }:=\{y\in L(A)\mid \,[xy]=\alpha (x)y{\text{ für alle }}x\in H\}$
möglich, wobei die $\alpha \in Q\subset H^{*}$ wie üblich Gewichte heißen und sich ganzzahlig aus den $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\in \Pi \subset H^{*}$ linear kombinieren lassen. Die Grundlagen dieser Theorie sind im mehrfach zitierten Lehrbuch von Roger Carter ausgearbeitet.