# Fermat-Catalan-Vermutung

Die Fermat-Catalan-Vermutung ist eine offene Vermutung der Zahlentheorie.
Sie hat ihren Namen daher, dass ihre Formulierung Ideen der Fermat-Vermutung und Catalanschen Vermutung umfasst. Die Vermutung besagt, dass es nur endlich viele Lösungen $a,b,c,m,n,k\in \mathbb {N}$ gibt mit
    $a^{m}+b^{n}=c^{k}$,
wobei $a,b,c$ koprim zueinander sind und
    ${\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{k}}<1$.
Letztere Bedingung schließt die pythagoräischen Tripel ($m=n=k=2$ mit unendlich vielen Lösungen) aus und einige weitere Fälle mit unendlich vielen Lösungen. Die Ungleichung ${\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{k}}>1$ wird genau erfüllt von $(m,n,k)=(2,2,k),(2,3,3),(2,3,4),(2,3,5)$ und Permutationen, jeweils mit unendlich vielen Lösungen, und ${\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{k}}=1$ von $(m,n,k)=(2,4,4),(2,3,6),(3,3,3)$ (mit Permutationen), mit jeweils endlich vielen Lösungen.
Der Fall der inzwischen bewiesenen Catalan-Vermutung ist der, bei dem eines der $a,b,c$ gleich $1$ ist. Die einzige Lösung ist nach der Vermutung
    $1^{m}+2^{3}=3^{2}\;$.
Streng genommen liefern unendlich viele $m>6$ eine Lösung, doch wird dies ebenfalls als trivialer Sonderfall ausgeschlossen.

## Nichttriviale Lösungen der Fermat-Catalan-Gleichung

Bekannt sind die nach dem Stand von 2015 die folgenden Lösungen:
    $2^{5}+7^{2}=3^{4}\;$
    $13^{2}+7^{3}=2^{9}\;$
    $2^{7}+17^{3}=71^{2}\;$
    $3^{5}+11^{4}=122^{2}\;$
    $33^{8}+1549034^{2}=15613^{3}\;$
    $1414^{3}+2213459^{2}=65^{7}\;$
    $9262^{3}+15312283^{2}=113^{7}\;$
    $17^{7}+76271^{3}=21063928^{2}\;$
    $43^{8}+96222^{3}=30042907^{2}\;$
Die letzten und größten fünf Lösungen der Liste stammen von Frits Beukers und Don Zagier.

## Gesicherte Resultate

Nach einem auf dem Satz von Faltings beruhenden Satz von Henri Darmon und Andrew Granville gibt es zu festen $n,m,k$ nur endlich viele Lösungen. Die Fermat-Catalan-Vermutung behauptet die Endlichkeit aber auch für unendlich viele mögliche Exponenten.
Die Fermat-Catalan-Vermutung folgt aus der abc-Vermutung.
Nach der Vermutung von Andrew Beal muss einer der Exponenten in der Fermat-Catalan-Vermutung $2$ sein.

## Spezielle Werte der Exponenten

Die Endlichkeit der Lösungen wurde für spezielle Kombinationen von Exponenten $(m,n,k)$ der Vermutung untersucht, darunter:
* (2, 3, 7) von Bjorn Poonen u. a. (2005)
* Die von Andrew Wiles bewiesene Fermatvermutung behandelt den Fall (k, k, k) mit keiner Lösung für $k\geq 3$
* Henri Darmon und Loïc Merel behandelten den Fall (k,k,2) und (k, k, 3) und zeigten, dass es keine Lösungen für (k, k, 3), $k\geq 3$ gibt und für (k, k, 2) für $k\geq 4$.
* (2n, 2n, 5) von Michael Bennett
* (2,4,n) von Jordan S. Ellenberg, Ellenberg/Bennett/Ng und Bruin und (2, n, 4) von Bennett und Bennett/Skinner
* (2,6,n) von Bennett/Chen und Bruin
* (2, n, 6), (3,3,2n), (3,6,n), (2, 2n, k) für k= 9, 10 oder 15, (4, 2n, 3) von Bennett, I. Chen, S. Dahmen, S. Yazdani
* (2,4,7) von Ghioca
* (2,3,8), (2,3,9), (2,4,5), (2,4,6), (3,3,4), (3,3,5) von Bruin (2004)
* (5,5,7), (7,7,5) von Dahmen/Siksek
* (3,4,5) Siksek/Stoll
Henri Darmon (2012) verfolgt ein Programm der Verallgemeinerung der Frey-Kurve des Fermatproblems (zu Frey-Abel-Varietäten), um die verallgemeinerten Fermat-Gleichungen $(p,p,r)$ zu untersuchen (mit $r>3$).