# Hodgkin-Huxley-Modell

Das Hodgkin-Huxley-Modell ist das berühmteste Modell zur Simulation von Neuronen. Es wurde 1952 von Alan Lloyd Hodgkin und Andrew Fielding Huxley, ursprünglich zur Beschreibung der Entstehung von Aktionspotentialen im Riesenaxon des Tintenfisches, entwickelt. Beide Wissenschaftler erhielten zusammen mit Sir John Carew Eccles 1963 den Nobelpreis für Physiologie oder Medizin „für ihre Entdeckungen über den Ionen-Mechanismus, der sich bei der Erregung und Hemmung in den peripheren und zentralen Bereichen der Nervenzellenmembran abspielt“.
Das Modell simuliert Neuronen nahe an den biologischen Gegebenheiten, z. B. werden einzelne Aktionspotentiale (Spikes) modelliert. Dieses Modell wird auch häufig als Grundmodell, Elektrisches Modell oder Kabelmodell bezeichnet. Das Hodgkin-Huxley-Modell ist allerdings zur Modellierung großer Netzwerke nur schlecht geeignet, da es aufwendig ist. Stattdessen wird dann ein unpräziseres, einfacheres Modell gewählt, zum Beispiel das FitzHugh-Nagumo-Modell.

## Modellierung durch einen Schaltkreis

Beim Hodgkin-Huxley-Modell werden die spannungsabhängigen Membranwiderstände für die Ionenströme innerhalb einer Membran mit Memristoren modelliert. Die elektrische Membrankapazität C wird durch einen Kondensator simuliert. Der Gesamtmembranstrom ist die Summe der Kalium-, Natrium- und Leck-Ströme I$_K$, I$_{Na}$ und I$_L$ und des externen Stroms I (z. B. ein durch eine externe Elektrode applizierter Strom), der die Membran auflädt. Das Membranpotential U gehorcht dann der Differentialgleichung
    $C\cdot {\frac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} t}}=I-I_{K}-I_{Na}-I_{L}$.
Die Ströme I$_K$, I$_{Na}$ und I$_L$ ergeben sich als Produkt aus der Differenz der Membranspannung zum jeweiligen Gleichgewichtspotential U$_x$ und der dazugehörigen Leitfähigkeit g$_x$:
    $I_{K}=g_{K}\cdot (U-U_{K})$,
    $I_{Na}=g_{Na}\cdot (U-U_{Na})$ und
    $I_{L}=g_{L}\cdot (U-U_{L})$.
Als Absolutwerte für die Gleichgewichtspotentiale wurden für Tintenfischneuronen die Werte U$_K$=-77mV, U$_{Na}$=50mV und U$_L$=-54mV gefunden.
Per Definition ist ein externer Strom (z. B. durch eine Elektrode) als positiver Einwärtsstrom definiert, während ein Membranstrom als positiver Auswärtsstrom gilt. Dies erklärt die Wahl der Vorzeichen.
Die Leitfähigkeiten g$_K$ und g$_{Na}$ sind zeitabhängig und somit für die Entstehung eines Aktionspotentiales verantwortlich, während die Leck-Leitfähigkeit g$_L$ konstant bleibt, da sich der Widerstand der Membran als unveränderlich annehmen lässt.

## Gatingvariablen

Hodgkin und Huxley postulierten Gatingvariablen (engl. Gate: Tor), welche die (probabilistischen) Dynamiken der Ionenkanäle nachbilden. Diese Variablen geben den Anteil der gerade geöffneten Kanäle an. Experimentelle Befunde ließen die Forscher auf drei Gatingvariablen schließen, die sie n, m und h nannten. Zusammen mit der maximalen Leitfähigkeit ${\hat {g}}_{x}$ für die Ionensorte $x$ pro Einheitsfläche der Membran beschreiben die Gatingvariablen den gerade durch die Einheitsfläche der Membran fließenden Strom:
    $I_{K}={\hat {g}}_{K}\cdot n^{4}\cdot (U-U_{K})$ und
    $I_{Na}={\hat {g}}_{Na}\cdot m^{3}\cdot h\cdot (U-U_{Na})$
Die drei Gatingvariablen sind folgenden Dynamiken unterworfen:
    ${\frac {\mathrm {d} n}{\mathrm {d} t}}=\alpha _{n}(U)\cdot (1-n)-\beta _{n}(U)\cdot n$ ,
    ${\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}=\alpha _{m}(U)\cdot (1-m)-\beta _{m}(U)\cdot m$ ,
    ${\frac {\mathrm {d} h}{\mathrm {d} t}}=\alpha _{h}(U)\cdot (1-h)-\beta _{h}(U)\cdot h$ .
Die Funktionen $\alpha _{n}(U),\alpha _{m}(U),\alpha _{h}(U),\beta _{n}(U),\beta _{m}(U),\beta _{h}(U)$ sind jeweils exponentielle Funktionen, deren Parameter wiederum durch Experimente justiert wurden. Das sich ergebende gekoppelte, nichtlineare Differentialgleichungssystem lässt sich im Allgemeinen nicht analytisch, sondern nur durch numerische Näherungsverfahren lösen.
Die postulierten Gatingvariablen haben sich später als echte Struktureigenschaft der spannungsabhängigen Ionenkanäle herausgestellt. Der Natriumkanal hat drei verschiedene Zustände, von denen nur einer Natriumionen hindurchlässt. Er unterliegt einer Aktivierung, die mit der Gatingvariablen m beschrieben wird und einer zeitlich versetzten Inaktivierung, die durch h beschrieben wird. Der Kanal kann sich in drei Zuständen befinden: geschlossen (inaktiv), geschlossen (aktiv), offen (aktiv).