# Montel-Raum

Der mathematische Begriff Montel-Raum bezeichnet eine spezielle Klasse lokalkonvexer Räume. Ihren Namen tragen sie nach dem Satz von Montel aus der Funktionentheorie. Viele lokalkonvexe Räume aus der Theorie der Distributionen sind Montelräume.

## Definition

Ein lokalkonvexer Raum heißt Montel-Raum, wenn er quasitonneliert ist und der Abschluss jeder beschränkten Menge kompakt ist.

## Beispiele

* Ein normierter Raum ist genau dann Montelraum, wenn er endlich-dimensional ist.
* Ist $G\subset {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und ist $H(G)$ der Raum der holomorphen Funktionen auf G mit den Halbnormen $\textstyle p_{K}(f):=\sup _{z\in K}|f(z)|$, wobei $K\subset G$ die kompakten Teilmengen von G durchläuft, so hat nach dem Satz von Montel jede in $H(G)$ beschränkte Menge einen kompakten Abschluss. Da $H(G)$ als Fréchet-Raum auch quasitonneliert ist, erweist sich $H(G)$ als Montel-Raum.
* Sei $\Omega \subset {\mathbb {R} }^{n}$ offen und ${\mathcal {E}}(\Omega )$ der Raum der beliebig oft differenzierbaren Funktionen $f\colon \Omega \rightarrow {\mathbb {R} }$ mit den Halbnormen $\textstyle p_{K,m}(f):=\sup _{|\alpha |\leq m}\sup _{x\in K}|D^{\alpha }f(x)|$, so ist ${\mathcal {E}}(\Omega )$ ein Montel-Raum. Dabei wurde für $\alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})$ die Multiindex-Schreibweise verwendet.
* Sei $\Omega \subset {\mathbb {R} }^{n}$ offen und ${\mathcal {D}}(\Omega )\subset {\mathcal {E}}(\Omega )$ der Unterraum der beliebig oft differenzierbaren Funktionen mit einem kompakten Träger in $\Omega$. Für kompaktes $K\subset \Omega$ sei ${\mathcal {D}}_{K}(\Omega )$ der Raum der Funktionen mit Träger in K mit der von ${\mathcal {E}}(\Omega )$ induzierten Teilraumtopologie. Dann gibt es eine feinste lokalkonvexe Topologie auf ${\mathcal {D}}(\Omega )$, die alle Einbettungen ${\mathcal {D}}_{K}(\Omega )\subset {\mathcal {D}}(\Omega )$ stetig macht. ${\mathcal {D}}(\Omega )$ mit dieser Topologie ist der Raum der Testfunktionen und ist ein Beispiel für einen nicht-metrisierbaren Montel-Raum.
* Sei ${\mathcal {S}}({\mathbb {R} }^{n})$ der Raum aller Funktionen $f\colon {\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }$, für die alle Suprema $\textstyle p_{k,m}(f):=\sup _{|\alpha |\leq k}\sup _{x\in {\mathbb {R} }^{n}}|(1+|x|^{2})^{m}D^{\alpha }f(x)|$ endlich sind. Dabei wurde wieder von der Multiindex-Schreibweise Gebrauch gemacht. Der Raum ${\mathcal {S}}({\mathbb {R} }^{n})$ mit den Halbnormen $\{p_{k,m};\,k,m\in {\mathbb {N} }_{0}\}$ heißt Raum der schnell fallenden Funktionen und ist ein Montel-Raum.
* Vollständige quasitonnelierte Schwartz-Räume sind Montel-Räume.
* Jeder lokalkonvexe Raum mit der feinsten lokalkonvexen Topologie, das heißt mit der von allen absolutkonvexen, absorbierenden Mengen als Nullumgebungsbasis erzeugten Topologie, ist ein Montel-Raum.

## Eigenschaften von Montelräumen

* Montel-Räume sind reflexiv und daher tonneliert.
* Montel-Räume sind quasivollständig, d. h. jedes beschränkte Cauchy-Netz konvergiert. Es gibt unvollständige Montel-Räume.
* Direkte Produkte (mit der Produkttopologie) und direkte Summen (mit der Finaltopologie) von Montel-Räumen sind wieder Montel-Räume.
* Im Allgemeinen sind weder abgeschlossene Unterräume noch Quotienten von Montel-Räumen wieder Montel-Räume.
* Ist E ein Montel-Raum, so auch der starke Dualraum E'. Insbesondere sind also die in der Distributionstheorie auftretenden Räume ${\mathcal {E}}'(\Omega )$, ${\mathcal {D}}'(\Omega )$ und ${\mathcal {S}}'({\mathbb {R} }^{n})$ Montel-Räume.

## Quellen

* Klaus Floret, Joseph Wloka: Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume (= Lecture Notes in Mathematics. Bd. 56, ISSN 0075-8434). Springer, Berlin u. a. 1968, doi:10.1007/BFb0098549.
* H. H. Schaefer: Topological Vector Spaces, Springer, 1971 ISBN 0-387-98726-6
* H. Jarchow: Locally Convex Spaces, Teubner, Stuttgart 1981 ISBN 3-519-02224-9
* R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8