# Euler-Maruyama-Verfahren

Das Euler-Maruyama-Verfahren, oft auch Euler-Maruyama-Schema oder stochastisches Euler-Schema genannt, ist das einfachste Verfahren zur numerischen Lösung von stochastischen Differentialgleichungen. Es wurde erstmals in den 1950er-Jahren durch den japanischen Mathematiker Gisiro Maruyama untersucht und basiert auf dem von Leonhard Euler stammenden expliziten Euler-Verfahren zur Lösung gewöhnlicher (deterministischer) Differentialgleichungen.
Während das explizite Euler-Verfahren seit seiner Erfindung ständig verbessert und weiterentwickelt wurde (implizites Euler-Verfahren, Runge-Kutta-Verfahren, Mehrschrittverfahren) und selbst dadurch an praktischer Bedeutung verloren hat, ist Euler-Maruyama mangels entsprechender Alternativen noch immer das in der Praxis dominierende Verfahren.

## Formulierung

Gegeben sei ein Wiener-Prozess $(W_{t})_{t\geq 0}$ sowie dazu folgendes stochastisches Anfangswertproblem (S-AWP):
    $\mathrm {d} S_{t}=a(t,S_{t})\,\mathrm {d} t+b(t,S_{t})\,\mathrm {d} W_{t},\quad S_{0}=A$.
Zur Berechnung einer numerischen Näherungslösung auf dem Intervall $[0,T]$ mit $T>0$ werden wie beim gewöhnlichen Euler-Verfahren diskrete Zeitpunkte
    $0=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{n}=T$
mit $t_{k}=kh$ und Schrittweite $h={\tfrac {T}{n}}$, $n\in \mathbb {N}$ gewählt. Zusätzlich wird das stochastische Differential $\mathrm {d} W_{t}$ durch die Zuwächse
    $\Delta W_{k}:=W_{t_{k+1}}-W_{t_{k}},\quad k=0,\ldots ,n-1$
ersetzt. Aus den Eigenschaften des Wiener-Prozesses folgt, dass die $\Delta W_{k}$ unabhängig und normalverteilt mit Erwartungswert $0$ und Varianz $h$ sind.
Das Euler-Maruyama-Verfahren berechnet damit eine Approximation ${\hat {S}}$ von $S$ folgendermaßen:
    ${\begin{aligned}{\hat {S}}_{0}&=A\,,\\{\hat {S}}_{k+1}&={\hat {S}}_{k}+a(t_{k},{\hat {S}}_{k})\cdot h+b(t_{k},{\hat {S}}_{k})\cdot \Delta W_{k}\quad k=0,\ldots ,n-1\,.\end{aligned}}$
Dann ist ${\hat {S}}_{k}$ eine Näherung für $S_{t_{k}}$.

## Konvergenz des Verfahrens

Das wichtigste theoretische Resultat bezüglich des Maruyama-Schemas beschreibt dessen starke Konvergenz (oder stochastische Konvergenz) gegen die gesuchte Lösung $S$: Eine Folge von stochastischen Prozessen $\left(S_{t}^{(n)}\right),\;0\leq t\leq T,\;n\in \mathbb {N}$ auf einem gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsraum konvergiert definitionsgemäß stark mit Ordnung $q$ gegen einen Prozess $(S_{t}),\;0\leq t\leq T$, wenn es eine Konstante $c$ gibt, so dass für alle $t\in [0,T]$:
    $E(|S_{t}^{(n)}-S_{t}|)\leq cn^{-q}\;\;\forall t\in [0,T]$.
Im Falle des Maruyama-Schemas kann nun gezeigt werden: Die Diskretisierung $({\hat {S}}_{t})$ konvergiert für $n\to \infty$ stark mit Ordnung ${\tfrac {1}{2}}$ gegen die Lösung $S$ des S-AWP, wenn für alle reellen Zahlen $x$ und alle positiven $s,t$ die folgende Schranke gilt:
    $|a(s,x)-a(t,x)|+|b(s,x)-b(t,x)|\leq K(1+|x|){\sqrt {(|t-s|)}}$.
Von schwacher oder Verteilungskonvergenz mit Ordnung $q$ spricht man hingegen, wenn für eine Konstante $c$ gilt:
    $|E(f(S_{t}^{(n)}))-E(f(S_{t}))|\leq cn^{-q}\;\;\forall t\in [0,T]$
für alle Funktionen $f$, die mindestens $(2q+2)$-mal stetig differenzierbar sind und deren sämtliche Ableitungen durch Polynome beschränkt sind.
Für hinreichend glatte Koeffizientenfunktionen $a$ und $b$ hat das Euler-Maruyama-Verfahren typischerweise die schwache Konvergenzordnung $q=1$.

## Bemerkungen

* Es gibt auch Lösungsverfahren höherer starker Ordnung als das Euler-Maruyama-Verfahren, etwa das Milstein-Verfahren, das meist Ordnung 1 erreicht. Diese Verfahren sind aber numerisch aufwändiger und resultieren nicht immer in einer schnelleren Konvergenz.
* Die oben angeführte Bedingung für die starke Konvergenz mit Ordnung 0,5 ist nur wenig strenger als die Bedingung an a und b, die die Existenz der Lösung S sicherstellt. Sie ist also beinahe immer erfüllt.
* An starker Konvergenz ist man in der Praxis nur sehr selten interessiert, da zumeist nicht eine spezielle Lösung zu einem speziellen Wiener-Prozess gesucht wird, sondern vielmehr eine Stichprobe aus der Wahrscheinlichkeitsverteilung des Prozesses, wie man sie beispielsweise für Monte-Carlo-Verfahren benötigt.
* Ein implizites Maruyama-Schema als Analogon zum impliziten Euler-Verfahren ist nicht möglich; dies liegt an der Definition des (stochastischen) Ito-Integrals, über das stochastische Differentialgleichungen definiert sind und das Funktionen immer am Anfang eines Intervalls auswertet (siehe dort). Implizite Verfahren konvergieren also hier gegen teilweise völlig falsche Ergebnisse.
* Die übliche Simulation einer brownschen Bewegung durch eine Gaußsche Irrfahrt kann als Anwendung des Euler-Maruyama-Schemas auf die triviale Differentialgleichung $\mathrm {d} S_{t}=1\,\mathrm {d} W_{t},\;\;S_{0}=0$ interpretiert werden.

## Beispiel

Der folgende Beispielcode zeigt die Implementierung des Euler-Maruyama-Verfahrens zur Berechnung des Ornstein-Uhlenbeck-Prozesses als Lösung des Anfangswertproblems $dY_{t}=\theta \cdot (\mu -Y_{t})dt+\sigma dW_{t},\;\;Y_{0}=IC$ in Python (3.x):