# Bi-Yang-Mills-Gleichungen

Die Bi-Yang-Mills-Gleichungen (kurz Bi-YM-Gleichungen) sind in der Yang-Mills-Theorie eine Modifikation der Yang-Mills-Gleichungen. Ihre Lösungen werden Bi-Yang-Mills-Zusammenhänge (oder Bi-YM-Zusammenhänge) genannt. Vereinfacht ausgedrückt stehen Bi-Yang-Mills-Zusammenhänge zu Yang-Mills-Zusammenhängen wie diese zu flachen Zusammenhängen. Dies kommt daher, dass Yang-Mills-Zusammenhänge nicht unbedingt flach sind, aber zumindest lokal einen Extremwert der Krümmung annehmen, während Bi-Yang-Mills-Zusammenhänge nicht unbedingt Yang-Mills-Zusammenhänge sind, aber zumindest lokal einen Extremwert der linken Seite der Yang-Mills-Gleichungen annehmen. Während Yang-Mills-Zusammenhänge als nichtlineare Verallgemeinerungen von harmonischen Funktionen gesehen werden können, können Bi-Yang-Mills-Zusammenhänge als nichtlineare Verallgemeinerungen von biharmonischen Funktionen gesehen werden.

## Bi-Yang-Mills-Wirkung

Sei $G$ eine kompakte Lie-Gruppe mit Lie-Algebra ${\mathfrak {g}}$ und $E\twoheadrightarrow B$ ein $G$-Hauptfaserbündel, wobei $B$ eine kompakte orientierbare Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Metrik $g$ und Volumenform $\operatorname {vol} _{g}$ ist. Sei $\operatorname {Ad} (E):=E\times _{G}{\mathfrak {g}}\twoheadrightarrow B$ das adjungierte Bündel. $\Omega ^{1}(E,{\mathfrak {g}})\cong \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))$ ist der Raum der Zusammenhänge, welche entweder unter der adjungierten Darstellung $\operatorname {Ad}$ invariante Lie-Algebra-wertige oder vektorbündelwertige Differentialformen sind. Da der Hodge-Stern-Operator $\star$ mit der Metrik $g$ und der Volumenform $\operatorname {vol} _{g}$ auf der Basismannigfaltigkeit $B$ definiert ist, wird gewöhnlich der zweite Raum benutzt.
Die Bi-Yang-Mills-Wirkung ist gegeben durch:
    $\operatorname {BiYM} \colon \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))\rightarrow \mathbb {R} ,\operatorname {BiYM} (A):=\int _{B}\|\delta _{A}F_{A}\|^{2}\mathrm {d} \operatorname {vol} _{g}.$

## Bi-Yang-Mills-Zusammenhänge und -Gleichung

Ein Zusammenhang $A\in \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))$ wird Bi-Yang-Mills-Zusammenhang genannt, wenn dieser ein kritischer Punkt der Bi-Yang-Mills-Wirkung ist, also:
    ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\operatorname {BiYM} (A(t))\vert _{t=0}=0.$
für jede glatte Familie $A\colon (-\varepsilon ,\varepsilon )\rightarrow \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))$ mit $A(0)=A$ gilt. Das gilt genau dann, wenn die Bi-Yang-Mills-Gleichungen erfüllt sind:
    $(\delta _{A}\mathrm {d} _{A}+{\mathcal {R}}_{A})(\delta _{A}F_{A})=0.$
Für einen Bi-Yang-Mills-Zusammenhang $A\in \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))$ wird dessen Krümmung $F_{A}\in \Omega ^{2}(B,\operatorname {Ad} (E))$ als Bi-Yang-Mills-Feld bezeichnet.

## Stabile Bi-Yang-Mills-Zusammenhänge

Analog zu (schwach) stabilen Yang-Mills-Zusammenhängen lassen sich (schwach) stabile Bi-Yang-Mills-Zusammenhänge definieren. Ein Bi-Yang-Mills-Zusammenhang $A\in \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))$ wird stabil genannt, wenn:
    ${\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}\operatorname {BiYM} (A(t))\vert _{t=0}>0$
für jede glatte Familie $A\colon (-\varepsilon ,\varepsilon )\rightarrow \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))$ mit $A(0)=A$ gilt. $A$ wird schwach stabil genannt, wenn nur $\geq 0$ gilt. Ein Bi-Yang-Mills-Zusammenhang, welcher nicht schwach stabil ist, wird instabil genannt. Für ein (schwach) stabilen oder instabilen Bi-Yang-Mills-Zusammenhang $A\in \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))$ wird dessen Krümmung $F_{A}\in \Omega ^{2}(B,\operatorname {Ad} (E))$ zudem als (schwach) stabiles oder instabiles Bi-Yang-Mills-Feld bezeichnet.

## Eigenschaften

* Yang-Mills-Zusammenhänge sind schwach stabile Bi-Yang-Mills-Zusammenhänge.