# F-Yang-Mills-Gleichungen

Die $F$-Yang-Mills-Gleichungen (kurz $F$-YM-Gleichungen) sind in der Yang-Mills-Theorie eine Verallgemeinerung der Yang-Mills-Gleichungen. Ihre Lösungen werden $F$-Yang-Mills-Zusammenhänge (oder $F$-YM-Zusammenhänge) genannt. Einfache und wichtige Spezialfälle von $F$-Yang-Mills-Zusammenhängen sind exponentielle Yang-Mills-Zusammenhänge mit der Exponentialfunktion als $F$ sowie $p$-Yang-Mills-Zusammenhänge mit $p$ als Exponent einer Potenz der Norm der Krümmung ähnlich zur $p$-Norm. Ebenfalls oft betrachtet werden Yang-Mills-Born-Infeld-Zusammenhänge (kurz YMBI-Zusammenhänge) mit negativem oder positiven Vorzeichen in einer Funktion $F$ mit der Quadratwurzel. Dies macht die Yang-Mills-Born-Infeld-Gleichung ähnlich zur Minimalflächengleichung.

## F-Yang-Mills-Wirkung

Sei $F\colon \mathbb {R} _{0}^{+}\rightarrow \mathbb {R} _{0}^{+}$eine streng monoton steigende $C^{2}$-Funktion (also mit $F'>0$) mit $F(0)=0$. Sei:
    $d_{F}:=\sup _{t\geq 0}{\frac {tF'(t)}{F(t)}}.$
Da $F$ eine $C^{2}$-Funktion ist, kann ebenfalls die folgende Konstante betrachtet werden:
    $d_{F'}=\sup _{t\geq 0}{\frac {tF''(t)}{F'(t)}}.$
Sei $G$ eine kompakte Lie-Gruppe mit Lie-Algebra ${\mathfrak {g}}$ und $E\twoheadrightarrow B$ ein $G$-Hauptfaserbündel, wobei $B$ eine orientierbare Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Metrik $g$ und Volumenform $\operatorname {vol} _{g}$ ist. Sei $\operatorname {Ad} (E):=E\times _{G}{\mathfrak {g}}\twoheadrightarrow B$ das adjungierte Bündel. $\Omega ^{1}(E,{\mathfrak {g}})\cong \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))$ ist der Raum der Zusammenhänge, welche entweder unter der adjungierten Darstellung $\operatorname {Ad}$ invariante Lie-Algebra-wertige oder vektorbündelwertige Differentialformen sind. Da der Hodge-Stern-Operator $\star$ mit der Metrik $g$ und der Volumenform $\operatorname {vol} _{g}$ auf der Basismannigfaltigkeit $B$ definiert ist, wird gewöhnlich der zweite Raum benutzt.
Die $F$-Yang-Mills-Wirkung ist gegeben durch:
    $\operatorname {YM} _{F}\colon \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))\rightarrow \mathbb {R} ,\operatorname {YM} _{F}(A):=\int _{B}F\left({\frac {1}{2}}\|F_{A}\|^{2}\right)\mathrm {d} \operatorname {vol} _{g}.$
Für einen flachen Zusammenhang $A\in \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))$ (mit $F_{A}=0$) ist $\operatorname {YM} _{F}(A)=F(0)\operatorname {vol} (M)$. Daher wird $F(0)=0$ gefordert, um eine Divergenz für eine nicht kompakte Mannigfaltigkeit $B$ zu verhindern, obwohl die Bedingung auch weggelassen werden kann, da lediglich $F'$ von weiterem Interesse ist.

## F-Yang-Mills-Zusammenhänge und -Gleichung

Ein Zusammenhang $A\in \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))$ wird $F$-Yang-Mills-Zusammenhang genannt, wenn dieser ein kritischer Punkt der $F$-Yang-Mills-Wirkung ist, also:
    ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\operatorname {YM} _{F}(A(t))\vert _{t=0}=0.$
für jede glatte Familie $A\colon (-\varepsilon ,\varepsilon )\rightarrow \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))$ mit $A(0)=A$ gilt. Das gilt genau dann, wenn die $F$-Yang-Mills-Gleichungen erfüllt sind:
    $\mathrm {d} _{A}\star \left(F'\left({\frac {1}{2}}\|F_{A}\|^{2}\right)F_{A}\right)=0.$
Für einen $F$-Yang-Mills-Zusammenhang $A\in \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))$ wird dessen Krümmung $F_{A}\in \Omega ^{2}(B,\operatorname {Ad} (E))$ als $F$-Yang-Mills-Feld bezeichnet.
Ein $F$-Yang-Mills-Zusammenhang mit:
* $F(t)=t$ ist einfach ein gewöhnlicher Yang-Mills-Zusammenhang. In diesem Fall ist $d_{F'}=0$.
* $F(t)=\exp(t)$ wird exponentieller Yang-Mills-Zusammenhang genannt. In diesem Fall ist $d_{F'}=\infty$. Die exponentielle und normierte exponentielle Yang-Mills-Wirkung werden jeweils mit $\operatorname {YM} _{\mathrm {e} }$ und $\operatorname {YM} _{\mathrm {e} }^{0}$ bezeichnet.
* $F(t)={\frac {1}{p}}(2t)^{\frac {p}{2}}$ wird $p$-Yang-Mills-Zusammenhang genannt. In diesem Fall ist $d_{F'}={\frac {p}{2}}-1$. Gewöhnliche Yang-Mills-Zusammenhänge sind genau die $2$-Yang-Mills-Zusammenhänge. Die $p$-Yang-Mills-Wirkung wird mit $\operatorname {YM} _{p}$ bezeichnet.
* $F(t)=1-{\sqrt {1-2t}}$ bzw. $F(t)={\sqrt {1+2t}}-1$ wird Yang-Mills-Born-Infeld-Zusammenhang (oder YMBI-Zusammenhang) mit negativem bzw. positiven Vorzeichen genannt. In diesem Fall ist $d_{F'}=\infty$ bzw. $d_{F'}=0$. Die Yang-Mills-Born-Infeld-Wirkungen mit negativem und positivem Vorzeichen werden jeweils mit $\operatorname {YMBI} ^{-}$ und $\operatorname {YMBI} ^{+}$ bezeichnet. Die Yang-Mills-Born-Infeld-Gleichungen mit positivem Vorzeichen sind verwandt mit der Minimalflächengleichung:
    $\mathrm {d} _{A}{\frac {\star F_{A}}{\sqrt {1+\|F_{A}\|^{2}}}}=0.$

## Stabile F-Yang-Mills-Zusammenhänge

Analog zu (schwach) stabilen Yang-Mills-Zusammenhängen lassen sich (schwach) stabile $F$-Yang-Mills-Zusammenhänge definieren. Ein $F$-Yang-Mills-Zusammenhang $A_{0}\in \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))$ wird stabil genannt, wenn:
    ${\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}\operatorname {YM} _{F}(A(t))\vert _{t=0}>0$
für jede glatte Familie $A\colon (-\varepsilon ,\varepsilon )\rightarrow \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))$ mit $A(0)=A$ gilt. $A$ wird schwach stabil genannt, wenn nur $\geq 0$ gilt. Ein $F$-Yang-Mills-Zusammenhang, welcher nicht schwach stabil ist, wird instabil genannt. Für ein (schwach) stabilen oder instabilen $F$-Yang-Mills-Zusammenhang $A\in \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))$ wird dessen Krümmung $F_{A}\in \Omega ^{2}(B,\operatorname {Ad} (E))$ zudem als (schwach) stabiles oder instabiles $F$-Yang-Mills-Feld bezeichnet.

## Eigenschaften

* Für einen Yang-Mills-Zusammenhang mit konstanter Krümmung impliziert die Stabilität als Yang-Mills-Zusammenhang die Stabilität als exponentiellen Yang-Mills-Zusammenhang.
* Alle nichtflachen exponentiellen Yang-Mills-Zusammenhänge über $S^{n}$ mit $n\geq 5$ und:
    $\|F_{A}\|\leq {\sqrt {\frac {n-4}{2}}}$
    sind instabil.
* Alle nichtflachen Yang-Mills-Born-Infeld-Zusammenhänge mit negativem Vorzeichen über $S^{n}$ mit $n\geq 5$ und:
    $\|F_{A}\|\leq {\sqrt {\frac {n-4}{n-2}}}$
    sind instabil.
* Alle nichtflachen $F$-Yang-Mills-Zusammenhänge über $S^{n}$ mit $n>4(d_{F'}+1)$ sind instabil. Dieses Resultat beinhaltet die folgenden Spezialfälle:
** Alle nichtflachen Yang-Mills-Zusammenhänge über $S^{n}$ mit $n>4$ sind instabil. James Simons präsentierte dieses Resultat ohne schriftliche Publikation in Tokio im September 1977 während eines Symposiums zu „Minimal Submanifolds and Geodesics“.
** Alle nichtflachen $p$-Yang-Mills-Zusammenhänge über $S^{n}$ mit $n>2p$ sind instabil.
** Alle nichtflachen Yang-Mills-Born-Infeld-Zusammenhänge mit positivem Vorzeichen über $S^{n}$ mit $n>4$ sind instabil.
* Für $0\leq d_{F'}\leq {\frac {1}{6}}$ sind alle nichtflachen $F$-Yang-Mills-Zusammenhänge über der Cayley-Ebene $F_{4}/\operatorname {Spin} (9)$ instabil.