# Laser-Linienbreite

Die Laser-Linienbreite ist die spektrale Linienbreite eines Laser-Strahls. In diesem Artikel werden die neuesten Erkenntnisse zur Entstehung der spektralen Kohärenz und Linienbreite eines Lasers dargestellt.

## Theorie
### Historie: Erste Herleitung der Laser-Linienbreite

Die erste von Menschenhand erschaffene kohärente Lichtquelle war ein „Maser“. Das Akronym MASER bedeutet „Microwave Amplification by Stimulated Emission of Radiation“ (auf Deutsch: Mikrowellen-Verstärkung durch stimulierte Emission von Strahlung). Genauer gesagt war es der Ammoniak-Maser, der auf einer Wellenlänge von 12,5 mm emittiert, welcher 1954 von Gordon, Zeiger und Townes erstmals betrieben wurde. Ein Jahr später leiteten dieselben Autoren theoretisch die Maser-Linienbreite her, indem sie die sinnvollen Näherungen machten, dass ihr Ammoniak-Maser
(i) im Dauerstrahl-Betrieb (englisch: „continuous-wave“, cw) arbeitet,
(ii) ein ideales Vier-Niveau-Energieschema besitzt, und
(iii) keine intrinsischen Resonatorverluste erleidet, sondern lediglich Auskoppelverluste durch die Spiegel.
Bemerkenswerterweise basiert diese Herleitung auf rein semi-klassischen Annahmen. Sie beschreibt die Ammoniak-Moleküle als Quanten-Emitter, während klassische elektromagnetische Felder angenommen werden (dagegen keine quantisierten Felder oder Quantenfluktuationen). Daraus resultiert die halbe Halbwertsbreite (englisch: „half-width-at-half-maximum“, HWHM) der Maser-Emission
    $\Delta \nu _{\rm {M}}^{*}={\frac {4\pi k_{\rm {B}}T(\Delta \nu _{\rm {c}}^{*})^{2}}{P_{\rm {aus}}}}\Leftrightarrow \Delta \nu _{\rm {M}}={\frac {2\pi k_{\rm {B}}T(\Delta \nu _{\rm {c}})^{2}}{P_{\rm {aus}}}},$
die hier mit einem Sternchen gekennzeichnet ist und auf die volle Halbwertsbreite (englisch: „full-width-at-half-maximum“, FWHM) $\Delta \nu _{\rm {M}}=2\Delta \nu _{\rm {M}}^{*}$ der Maser-Emission umgerechnet wird. $k_{\rm {B}}$ ist die Boltzmann-Konstante, $T$ ist die Temperatur, $P_{\rm {aus}}$ ist die Ausgangsleistung des Lasers, und $\Delta \nu _{\rm {c}}^{*}$ und $\Delta \nu _{\rm {c}}=2\Delta \nu _{\rm {c}}^{*}$ sind die passiven HWHM- und FWHM-Linienbreiten des verwendeten Mikrowellen-Resonators.
Im Jahr 1958, zwei Jahre bevor Maiman den ersten Laser baute (welcher zunächst als „optischer Maser“ bezeichnet wurde), transferierten Schawlow und Townes die Maser-Linienbreite in den sichtbaren und nah-infraroten Spektralbereich, indem sie die thermische Energie $k_{\rm {B}}T$ durch die Photonenenergie $h\nu _{\rm {L}}$ ersetzten. $h$ ist Plancks Wirkungsquantum, und $\nu _{\rm {L}}$ ist die Frequenz des Laserlichts. Dieser Transfer beinhaltet die Näherung, dass
(iv) während der Resonatorabklingzeit $\tau _{\rm {c}}$ ein Photon durch spontane Emission in die Laser-Mode eingekoppelt wird,
und führt zur Schawlow-Townes-Linienbreite:
    $\Delta \nu _{\rm {L,ST}}^{*}={\frac {4\pi h\nu _{\rm {L}}(\Delta \nu _{\rm {c}}^{*})^{2}}{P_{\rm {aus}}}}\Leftrightarrow \Delta \nu _{\rm {L,ST}}={\frac {2\pi h\nu _{\rm {L}}(\Delta \nu _{\rm {c}})^{2}}{P_{\rm {aus}}}}.$
Auch der Transfer vom Mikrowellen- zum optischen Spektralbereich beruht auf einer rein semi-klassischen Grundlage, ohne die Annahme von quantisierten Feldern oder Quanten-Fluktuationen. Daher basiert die ursprüngliche Schawlow-Townes-Gleichung komplett auf semi-klassischen physikalischen Annahmen und ist eine vierfache Näherung einer allgemeineren Laser-Linienbreite, die im Folgenden hergeleitet wird.

### Passive Resonator-Mode: Resonatorabklingzeit

Betrachtet wird ein aus zwei Spiegeln bestehender Fabry-Pérot-Resonator der geometrischen Länge $\ell$, der homogen ausgefüllt ist mit einem aktiven Laser-Medium, das einen Brechungsindex $n$ hat. Wir definieren als Referenz-Situation die passive Resonator-Mode, deren aktives Laser-Medium transparent ist, d. h., es bewirkt weder Verstärkung noch Absorption von Licht.
Licht bewegt sich im Resonator mit der Geschwindigkeit $c=c_{0}/n$ fort, wobei $c_{0}$ die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist. Somit sind die Resonator-Umlaufzeit $t_{\rm {RT}}$ und der freie Spektralbereich $\Delta \nu _{\rm {FSR}}$ gegeben durch
    $t_{\rm {RT}}={\frac {1}{\Delta \nu _{\rm {FSR}}}}={\frac {2\ell }{c}}.$
Licht in der uns interessierenden longitudinalen Resonator-Mode oszilliert auf der q-ten Resonanzfrequenz
    $\nu _{L}={\frac {q}{t_{\rm {RT}}}}=q\Delta \nu _{\rm {FSR}}.$
Die exponentielle Auskopplungszeit $\tau _{\rm {aus}}$ und die entsprechende Ratenkonstante $1/\tau _{\rm {aus}}$ ergeben sich aufgrund der Spiegelreflektionen $R_{i}$ der beiden Resonator-Spiegel $i=1,2$ zu
    $R_{1}R_{2}=e^{-t_{\rm {RT}}/\tau _{\rm {aus}}}\Rightarrow {\frac {1}{\tau _{\rm {aus}}}}={\frac {-\ln {(R_{1}R_{2})}}{t_{\rm {RT}}}}.$
Die exponentielle intrinsische Verlustzeit $\tau _{\rm {verl}}$ und die entsprechende Ratenkonstante $1/\tau _{\rm {verl}}$ ergeben sich aufgrund der intrinsischen Resonatorverluste $L_{\rm {RT}}$ pro Resonator-Umlauf zu
    $1-L_{\rm {RT}}=e^{-t_{\rm {RT}}/\tau _{\rm {verl}}}\Rightarrow {\frac {1}{\tau _{\rm {verl}}}}={\frac {-\ln {(1-L_{\rm {RT}})}}{t_{\rm {RT}}}}.$
Die resultierende exponentielle Resonatorabklingzeit $\tau _{c}$ und die entsprechende Ratenkonstante $1/\tau _{\rm {c}}$ betragen somit
    ${\frac {1}{\tau _{\rm {c}}}}={\frac {1}{\tau _{\rm {aus}}}}+{\frac {1}{\tau _{\rm {verl}}}}={\frac {-\ln {[R_{1}R_{2}(1-L_{\rm {RT}})]}}{t_{\rm {RT}}}}.$
Alle drei exponentiellen Zerfallszeiten mitteln über die Resonator-Umlaufzeit $t_{\rm {RT}}.$ Im Folgenden nehmen wir an, dass $\ell$, $n$, $R_{1}$, $R_{2}$ und $L_{\rm {RT}}$ und daher auch $\tau _{\rm {aus}}$, $\tau _{\rm {verl}}$ und $\tau _{\rm {c}}$ sich innerhalb des Spektralbereichs, der für die Laser-Linienbreite von Interesse ist, nicht wesentlich ändern.

### Passive Resonator-Mode: Lorentz-Linienbreite, Q-Faktor, Kohärenzzeit und -länge

Neben der Resonatorabklingzeit $\tau _{\rm {c}}$ kann man die spektralen Kohärenz-Eigenschaften der passiven Resonator-Mode äquivalent durch folgende Parameter ausdrücken. Die FWHM-Lorentz-Linienbreite $\Delta \nu _{\rm {c}}$ der passiven Resonator-Mode, die in der Schawlow-Townes-Gleichung auftritt, erhält man durch Fourier-Transformation der exponentiellen Resonatorabklingzeit $\tau _{\rm {c}}$ in den Frequenzraum,
    $\Delta \nu _{\rm {c}}={\frac {1}{2\pi \tau _{\rm {c}}}}.$
Der Qualitätsfaktor (Q-Faktor) $Q_{\rm {c}}$ ist definiert als die Energie $W_{\rm {speich}}$, die im Resonator gespeichert ist, geteilt durch die Energie $W_{\rm {lost}}$, die pro Oszillationszyklus des Lichts verloren geht,
    $Q_{\rm {c}}=2\pi {\frac {W_{\rm {speich}}(t)}{W_{\rm {lost}}(t)}}=2\pi {\frac {\varphi (t)}{-{\frac {1}{\nu _{L}}}{\frac {d}{dt}}\varphi (t)}}=2\pi \nu _{L}\tau _{\rm {c}}={\frac {\nu _{L}}{\Delta \nu _{\rm {c}}}},$
wobei $\varphi =W_{\rm {speich}}/h\nu _{L}$ die Zahl der Photonen in der Resonator-Mode ist. Die Kohärenzzeit $\tau _{\rm {c}}^{\rm {coh}}$ und die Kohärenzlänge $\ell _{\rm {c}}^{\rm {coh}}$ des Lichts, das aus der Resonator-Mode emittiert wird, sind gegeben durch die Gleichung
    $\tau _{\rm {c}}^{\rm {coh}}={\frac {1}{c}}\ell _{\rm {c}}^{\rm {coh}}=2\tau _{\rm {c}}.$

### Aktive Resonator-Mode: Verstärkung, Resonatorabklingzeit, Lorentz-Linienbreite, Q-Faktor, Kohärenzzeit und -länge

Unter Berücksichtigung der Besetzungsdichten $N_{2}$ und $N_{1}$ des oberen und unteren Laser-Niveaus und der effektiven Wirkungsquerschnitte $\sigma _{\rm {e}}$ und $\sigma _{\rm {a}}$ der stimulierten Emission und der Absorption auf der Resonanz-Frequenz $\nu _{L}$ ergibt sich die Verstärkung pro Längeneinheit im aktiven Laser-Medium auf der Resonanz-Frequenz $\nu _{L}$ zu
    $g=\sigma _{\rm {e}}N_{2}-\sigma _{\rm {a}}N_{1}.$
Ein Wert $g>0$ bedeutet Verstärkung auf der Resonanz-Frequenz $\nu _{L}$, während ein Wert $g<0$ Absorption bedeutet. Dies resultiert in einer entsprechend verlängerten oder verkürzten Resonatorabklingzeit $\tau _{\rm {L}}$, mit der die Photonen sich aus der aktiven Resonator-Mode entfernen:
    ${\frac {1}{\tau _{\rm {L}}}}={\frac {1}{\tau _{\rm {c}}}}-cg.$
Die anderen vier Eigenschaften der spektralen Kohärenz der aktiven Resonator-Mode erhält man in derselben Weise wie für die passive Resonator-Mode. Die Lorentz-Linienbreite ergibt sich durch Fourier-Transformation in den Frequenzraum,
    $\Delta \nu _{\rm {L}}={\frac {1}{2\pi \tau _{\rm {L}}}}.$
Ein Wert $g>0$ führt zu Verstärkungsreduzierung der Linienbreite, während ein Wert $g<0$ zu Absorptionsverbreiterung führt. Der Q-Faktor beträgt
    $Q_{\rm {L}}=2\pi {\frac {W_{\rm {speich}}(t)}{W_{\rm {lost}}(t)}}=2\pi {\frac {\varphi (t)}{-{\frac {1}{\nu _{L}}}{\frac {d}{dt}}\varphi (t)}}=2\pi \nu _{L}\tau _{\rm {L}}={\frac {\nu _{L}}{\Delta \nu _{\rm {L}}}}.$
Die Kohärenzzeit und -länge betragen
    $\tau _{\rm {L}}^{\rm {coh}}={\frac {1}{c}}\ell _{\rm {L}}^{\rm {coh}}=2\tau _{\rm {L}}.$

### Spektraler Kohärenzfaktor

Der Faktor, um den die Resonatorabklingzeit durch Verstärkung verlängert oder durch Absorption verkürzt wird, wird hier als sogenannter spektraler Kohärenzfaktor $\Lambda$ eingeführt:
    $\Lambda :={\frac {1}{1-cg\tau _{\rm {c}}}}.$
Alle fünf oben eingeführten Parameter, die gleichbedeutend die spektrale Kohärenz beschreiben, skalieren mit demselben spektralen Kohärenzfaktor $\Lambda$:
    $\tau _{\rm {L}}=\Lambda \tau _{\rm {c}},(\Delta \nu _{\rm {L}})^{-1}=\Lambda (\Delta \nu _{\rm {c}})^{-1},Q_{\rm {L}}=\Lambda Q_{\rm {c}},\tau _{\rm {L}}^{\rm {coh}}=\Lambda \tau _{\rm {c}}^{\rm {coh}},\ell _{\rm {L}}^{\rm {coh}}=\Lambda \ell _{\rm {c}}^{\rm {coh}}.$

### Lasende Resonator-Mode: Fundamentale Laser-Linienbreite

Für eine gegebene Zahl $\varphi$ an Photonen, die sich in der lasenden Resonator-Mode befinden, lauten die stimulierte Emissionsrate und Resonator-Abklingrate:
    $R_{\rm {stim}}=cg\varphi ,$
    $R_{\rm {abkling}}={\frac {1}{\tau _{\rm {c}}}}\varphi .$
Der spektrale Kohärenzfaktor beträgt somit
    $\Lambda ={\frac {R_{\rm {abkling}}}{R_{\rm {abkling}}-R_{\rm {stim}}}}.$
Die Resonatorabklingzeit der lasenden Resonator-Mode beträgt
    $\tau _{\rm {L}}=\Lambda \tau _{\rm {c}}={\frac {R_{\rm {abkling}}}{R_{\rm {abkling}}-R_{\rm {stim}}}}\tau _{\rm {c}}.$
Die fundamentale Laser-Linienbreite beträgt
    $\Delta \nu _{\rm {L}}={\frac {1}{\Lambda }}\Delta \nu _{\rm {c}}={\frac {R_{\rm {abkling}}-R_{\rm {stim}}}{R_{\rm {abkling}}}}\Delta \nu _{\rm {c}}.$
Diese fundamentale Linienbreite gilt für Laser mit beliebigem Energie-Niveau-Schema (Vier- oder Drei-Niveau-Schema oder irgendeine Situation zwischen diesen beiden Extremen), im Betrieb unterhalb, an, und oberhalb der Laser-Schwelle, einer Verstärkung, die kleiner, gleich, oder größer als die Verluste ist, und in einem CW- oder transienten Laser-Regime.
Aus dieser Herleitung wird deutlich, dass die fundamentale Linienbreite eines CW-Lasers auf dem semi-klassischen Effekt beruht, dass die Verstärkung die Resonatorabklingzeit verlängert.

### Dauerstrahl-Laser: Die Verstärkung ist kleiner als die Verluste

Die spontane Emissionsrate in die lasende Resonator-Mode hinein ist gegeben durch
    $R_{\rm {spon}}=c\sigma _{\rm {e}}N_{2}.$
Es ist zu beachten, dass $R_{\rm {spon}}$ grundsätzlich eine positive Rate ist, weil bei jedem einzelnen Emissionsprozess eine atomare Anregung in ein Photon in der Laser-Mode umgewandelt wird. Diese Rate ist der Quellterm der Laserstrahlung und darf keinesfalls als „Rauschen“ missinterpretiert werden. Die Photonen-Ratengleichung für eine einzelne Laser-Mode ergibt sich als
    ${\frac {d}{dt}}\varphi =R_{\rm {spon}}+R_{\rm {stim}}-R_{\rm {abkling}}=c\sigma _{\rm {e}}N_{2}+cg\varphi -{\frac {1}{\tau _{\rm {c}}}}\varphi .$
Ein CW-Laser zeichnet sich durch eine zeitlich konstante Photonenzahl in der Laser-Mode aus. Daher ist $d\varphi /dt=0$. In einem CW-Laser kompensieren die stimulierte und spontane Emissionsrate gemeinsam die Resonator-Abklingrate. Daher ist
    $R_{\rm {stim}}-R_{\rm {abkling}}=-R_{\rm {spon}}<0.$
Die stimulierte Emissionsrate ist kleiner als die Resonator-Abklingrate. Anders ausgedrückt: Die Verstärkung ist kleiner als die Verluste. Diese Tatsache ist seit Jahrzehnten bekannt und wurde dazu ausgenutzt, das Verhalten von Halbleiter-Lasern an der Laser-Schwelle quantitativ zu beschreiben. Selbst weit oberhalb der Laser-Schwelle ist die Verstärkung immer noch minimal kleiner als die Verluste. Es ist genau dieser extrem kleine Unterschied, der die endliche Linienbreite eines CW-Lasers hervorruft.
Aus dieser Herleitung wird klar, dass ein Laser grundlegend ein Verstärker spontaner Emission ist und die CW-Laser-Linienbreite durch den semi-klassischen Effekt hervorgerufen wird, dass die Verstärkung kleiner ist als die Verluste. Auch in quantenoptischen Beschreibungen der Laser-Linienbreite, die auf der Dichteoperator-Hauptgleichung beruhen, kann gezeigt werden, dass die Verstärkung kleiner ist als die Verluste.

### Schawlow-Townes-Näherung

Wie oben bereits erwähnt, wird aus ihrer historischen Herleitung klar, dass die ursprüngliche Schawlow-Townes-Gleichung eine vierfache Näherung der fundamentalen Laser-Linienbreite ist. Ausgehend von der fundamentalen Laser-Linienbreite $\Delta \nu _{\rm {L}}$, die oben hergeleitet wurde, erhält man durch explizite Anwendung der vier Näherungen (i)-(iv) genau die ursprüngliche Schawlow-Townes-Gleichung:
(i) Es ist ein reiner CW-Laser. Entsprechend gilt
    $R_{\rm {abkling}}-R_{\rm {stim}}=R_{\rm {spon}}\Rightarrow$
    $\Delta \nu _{\rm {L}}={\frac {1}{\Lambda }}\Delta \nu _{\rm {c}}={\frac {R_{\rm {abkling}}-R_{\rm {stim}}}{R_{\rm {abkling}}}}\Delta \nu _{\rm {c}}={\frac {R_{\rm {spon}}}{R_{\rm {abkling}}}}\Delta \nu _{\rm {c}}.$
(ii) Es ist ein idealer Vier-Niveau-Laser. Entsprechend gilt
    $N_{1}=0\Rightarrow cg=c(\sigma _{\rm {e}}N_{2}-\sigma _{\rm {a}}N_{1})=c\sigma _{\rm {e}}N_{2}=R_{\rm {spon}}\Rightarrow$
    $\Delta \nu _{\rm {L}}={\frac {R_{\rm {spon}}}{R_{\rm {abkling}}}}\Delta \nu _{\rm {c}}={\frac {cg}{{\frac {1}{\tau _{\rm {c}}}}\varphi }}\Delta \nu _{\rm {c}}.$
(iii) Intrinsische Resonator-Verluste sind vernachlässigbar. Entsprechend gilt
    ${\frac {1}{\tau _{\rm {verl}}}}=0\Rightarrow {\frac {1}{\tau _{\rm {c}}}}={\frac {1}{\tau _{\rm {aus}}}}\Rightarrow P_{\rm {aus}}=h\nu _{\rm {L}}{\frac {1}{\tau _{\rm {aus}}}}\varphi =h\nu _{\rm {L}}{\frac {1}{\tau _{\rm {c}}}}\varphi \Rightarrow$
    $\Delta \nu _{\rm {L}}={\frac {cg}{{\frac {1}{\tau _{\rm {c}}}}\varphi }}\Delta \nu _{\rm {c}}={\frac {cgh\nu _{\rm {L}}}{P_{\rm {aus}}}}\Delta \nu _{\rm {c}}.$
(iv) Genau ein Photon wird während der Resonatorabklingzeit $\tau _{\rm {c}}$ durch spontane Emission in die Laser-Mode eingekoppelt. Geschehen würde dies in einem idealen Vier-Niveau-CW-Laser genau an dem unerreichbaren Punkt, an dem der spektrale Kohärenz-Faktor $\Lambda$, die Photonenzahl $\varphi$ in der Resonator-Mode und die Ausgangsleistung $P_{\rm {aus}}$ unendlich groß werden, also an dem Punkt, an dem die Verstärkung gleich den Verlusten würde. Entsprechend gilt
    $R_{\rm {stim}}=R_{\rm {abkling}}\Rightarrow R_{\rm {spon}}=cg={\frac {1}{\tau _{\rm {c}}}}=2\pi \Delta \nu _{\rm {c}}\Rightarrow$
    $\Delta \nu _{\rm {L}}={\frac {cgh\nu _{\rm {L}}}{P_{\rm {aus}}}}\Delta \nu _{\rm {c}}={\frac {2\pi h\nu _{\rm {L}}(\Delta \nu _{\rm {c}})^{2}}{P_{\rm {aus}}}}=\Delta \nu _{\rm {L,ST}}.$
Das heißt, wenn man dieselben vier Näherungen (i)-(iv), die bereits in der ersten Herleitung benutzt wurden, auf die fundamentale Laser-Linienbreite $\Delta \nu _{\rm {L}}$ anwendet, erhält man konsequenterweise die ursprüngliche Schawlow-Townes-Gleichung.
Zusammenfassend lautet die fundamentale Laser-Linienbreite
    $\Delta \nu _{\rm {L}}={\frac {1}{\Lambda }}\Delta \nu _{\rm {c}}={\frac {R_{\rm {abkling}}-R_{\rm {stim}}}{R_{\rm {abkling}}}}\Delta \nu _{\rm {c}}=(1-cg\tau _{\rm {c}})\Delta \nu _{\rm {c}}=\Delta \nu _{\rm {c}}-{\frac {cg}{2\pi }},$
während die ursprüngliche Schawlow-Townes-Gleichung eine vierfache Näherung dieser fundamentalen Laser-Linienbreite und daher hauptsächlich von historischer Bedeutung ist.

### Zusätzliche Mechanismen der Linienverbreiterung und -verengung

Nach ihrer Veröffentlichung im Jahr 1958 wurde die ursprüngliche Schawlow-Townes-Gleichung auf verschiedene Weisen erweitert. Diese erweiterten Gleichungen werden oftmals mit demselben Namen bezeichnet, nämlich der Schawlow-Townes-Linienbreite. Dadurch ist in der publizierten Literatur zur Laser-Linienbreite durchaus Konfusion entstanden, da oft unklar ist, welche Erweiterung der ursprünglichen Schawlow-Townes-Gleichung die jeweiligen Autoren betrachten oder benutzen.
Einige semi-klassische Erweiterungen hatten zum Ziel, eine oder mehrere der oben genannten Näherungen (i)-(iv) zu eliminieren, wodurch diese erweiterten Gleichungen der oben hergeleiteten fundamentalen Laser-Linienbreite in ihrem physikalischen Gehalt ähnlicher wurden.
Folgende mögliche Erweiterungen der fundamentalen Laser-Linienbreite wurden vorgeschlagen:
* Hempstead und Lax, sowie unabhängig Hermann Haken, sagten quantenmechanisch vorher, dass nahe der Laser-Schwelle eine zusätzliche Reduzierung der Laser-Linienbreite um einen Faktor zwei auftritt. Allerdings wurde eine solche Reduzierung nur in ganz wenigen Fällen experimentell beobachtet.
* Petermann erklärte semi-klassisch eine zuvor experimentell beobachtete Linienverbreiterung in durch optische Verstärkung anstatt durch einen Brechungsindex-Unterschied wellenleitenden Halbleiter-Lasern. Siegman zeigte später, dass dieser Effekt durch die Nicht-Orthogonalität transversaler Moden hervorgerufen wird. Woerdman und Mitarbeiter erweiterten diese Idee auf longitudinale Moden und Polarizationsmoden. Daher wird manchmal der sogenannte „Petermann-K-Faktor“ der Gleichung für die Laser-Linienbreite hinzugefügt.
* Henry sagte quantenmechanisch eine zusätzliche Linienverbreiterung vorher, die dadurch auftritt, dass Variationen des Brechungsindex aufgrund von Elektron-Loch-Paar-Anregungen in Halbleiter-Lasern (aber natürlich auch in allen anderen Anregungsprozessen) Phasenvariationen im Resonator-Umlauf bewirken. Daher wird manchmal der sogenannte „Henry-$\alpha$-Faktor“ der Gleichung für die Laser-Linienbreite hinzugefügt.

## Messung der Laser-Linienbreite

Eine der ersten Methoden zur Messung der spektralen Kohärenz eines Lasers war die Interferometrie. Eine typische Methode zur Messung der Laser-Linienbreite ist selbst-heterodyne Interferometrie.

## Dauerstrich-Laser

Seltenerd-dotierte dielektrische oder Halbleiter-basierte Laser mit verteilter Rückkopplung durch integrierte Bragg-Spiegel haben typische Linienbreiten in der Größenordnung von 1 kHz. Die Laser-Linienbreite stabilisierter CW-Laser kann weit weniger als 1 kHz betragen. Beobachtete Linienbreiten sind größer als die fundamentale Laser-Linienbreite, da technische Einflüsse auftreten (z. B. zeitliche Fluktuationen der optischen oder elektrischen Pumpleistung, mechanische Vibrationen, Brechungsindex- und Längenänderungen aufgrund von Temperaturschwankungen usw.).