# Einsteinkoeffizienten

In Einsteins Ratenbild werden die Einsteinkoeffizienten $B_{12},B_{21},A_{21}$ zur Berechnung der Absorption und der stimulierten (induzierten) und spontanen Emission verwendet. Sie werden neben der statistischen Physik u. a. in der Spektroskopie und in der Laserphysik angewendet und wurden 1916 von Albert Einstein eingeführt. $B_{12}$ und $B_{21}$ haben die Einheiten $\mathrm {\frac {m}{kg}}$ und $A_{21}$ hat die Einheit $\mathrm {\frac {1}{s}}$.
Die Einsteinkoeffizienten beschreiben im Strahlungsgleichgewicht drei Prozesse in der Elektronenkonfiguration bspw. eines Atoms oder Moleküls.
* die Absorption eines Photons aus einem elektromagnetischen Feld, durch die ein Übergang in einen angeregten Zustand ausgelöst wird.
* die stimulierte Emission eines Photons in eine bereits besetzte Mode eines elektromagnetischen Feldes, wobei das Atom vom angeregten in den Grundzustand übergeht.
* die spontane Emission eines Photons in eine unbesetzte Mode.
Im Folgenden bezeichnen wir den Grundzustand als Zustand 1 und den angeregten Zustand als Zustand 2. Die Wahrscheinlichkeit der drei Prozesse hängt offensichtlich von der Anzahl $N_{i}$ der Atome im ausgehenden Zustand ab. Daneben hängen die stimulierten Prozesse von der Besetzung der Moden des elektromagnetischen Feldes ab (spektrale Energiedichte nach Frequenz $u$). Einstein führte die Koeffizienten $B_{12}$, $B_{21}$ und $A_{21}$ als zunächst unbestimmte Proportionalitätskonstanten ein, sodass
* die Wahrscheinlichkeit der Absorption durch $B_{12}\cdot N_{1}\cdot u$
* die Wahrscheinlichkeit der stimulierten Emission durch $B_{21}\cdot N_{2}\cdot u$ und
* die Wahrscheinlichkeit der spontanen Emission durch $A_{21}\cdot N_{2}$
gegeben ist.
Die Zunahme der Teilchenanzahl im Grundzustand und die Abnahme der Teilchenzahl im angeregten Zustand ist dann gegeben durch:
       ${\frac {{\mathrm {d} }N_{1}}{{\mathrm {d} }t}}=-{\frac {{\mathrm {d} }N_{2}}{{\mathrm {d} }t}}=-N_{1}\cdot B_{12}\cdot u+N_{2}\cdot B_{21}\cdot u+N_{2}\cdot A_{21}$
Im thermodynamischen Gleichgewicht ist diese Summe null:
       ${\frac {{\mathrm {d} }N_{1}}{{\mathrm {d} }t}}={\frac {{\mathrm {d} }N_{2}}{{\mathrm {d} }t}}=0\Rightarrow {\frac {N_{2}}{N_{1}}}={\frac {B_{12}\cdot u}{A_{21}+B_{21}\cdot u}}$
Aus der Boltzmann-Verteilung weiß man, dass die Besetzung der Zustände mit ihren Energien wie folgt zusammenhängen:
       ${\frac {N_{2}}{N_{1}}}={\frac {g_{2}}{g_{1}}}\cdot {\frac {{\mathrm {e} }^{-E_{2}/(k_{\mathrm {B} }\cdot T)}}{{\mathrm {e} }^{-E_{1}/(k_{\mathrm {B} }\cdot T)}}}={\frac {g_{2}}{g_{1}}}\cdot \mathrm {e} ^{-\Delta E/(k_{\mathrm {B} }\cdot T)}\,,$
wobei die $g_{i}$ die statistischen Gewichte bzw. den Entartungsgrad der Zustände $i=1,2$ darstellen.
Gleichsetzen und Auflösen nach der spektralen Energiedichte der Strahlung liefert:
    $u={\frac {A_{21}}{B_{21}}}\cdot {\frac {1}{{\frac {B_{12}}{B_{21}}}\cdot {\frac {g_{1}}{g_{2}}}{\mathrm {e} }^{\Delta E/(k_{\mathrm {B} }\cdot T)}-1}}$
Durch Koeffizientenvergleich mit dem Planckschen Strahlungsgesetz oder dem Rayleigh-Jeans-Gesetz – bei letzterer unter Verwendung der Grenzbedingungen und einer Reihenentwicklung der Exponentialfunktion – erhält man folgende Beziehungen zwischen den drei Einsteinkoeffizienten:
    $g_{1}\cdot B_{12}=g_{2}\cdot B_{21}$
    $B_{21}=A_{21}\cdot {\frac {\lambda ^{3}}{8\pi h}}$
mit
* der Wellenlänge $\lambda$
* der Planck-Konstante $h$.
Sind die Zustände nicht entartet, also $g_{1}=g_{2}=1$, so ist $B_{12}=B_{21}=:B$.
Die Lebensdauer des angeregten Zustands, also die durchschnittliche Dauer, bis ein Atom ohne äußere Einwirkung durch spontanen Zerfall in den Grundzustand übergeht, beträgt
    $\tau ={\frac {1}{A_{21}}}.$
Der Einsteinkoeffizient $A_{21}$ ist eine stoffspezifische Eigenschaft des Übergangs und kann quantenmechanisch mit Hilfe des Übergangsdipolmoment ${\vec {M}}_{ik}$ bestimmt werden.
Die Einsteinkoeffizienten hängen nicht von der Temperatur ab. Die Temperaturabhängigkeit der Energieverteilung der Wärmestrahlung ist stattdessen eine Folge der Temperaturabhängigkeit der Besetzungswahrscheinlichkeiten $N_{1}$ und $N_{2}$, die in der Regel durch die Boltzmann-Verteilung beschrieben wird.