# Jacobi-Matrix

Die Jacobi-Matrix (benannt nach Carl Gustav Jacob Jacobi; auch Funktionalmatrix, Ableitungsmatrix oder Jacobische genannt) einer differenzierbaren Funktion $f\colon {\mathbb {R} ^{n}}\to {\mathbb {R} ^{m}}\,\!$ ist die $m\times n$-Matrix sämtlicher erster partieller Ableitungen. Im Falle der totalen Differenzierbarkeit bildet sie die Matrix-Darstellung der als lineare Abbildung aufgefassten ersten Ableitung der Funktion $f$ bezüglich der Standardbasen des $\mathbb {R} ^{n}$ und des $\mathbb {R} ^{m}$.
Genutzt wird die Jacobi-Matrix zum Beispiel zur annähernden Berechnung (Approximation) oder Minimierung mehrdimensionaler Funktionen in der Mathematik.

## Definition

Sei $f\colon U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ eine Funktion, deren Komponentenfunktionen mit $f_{1},\ldots ,f_{m}$ bezeichnet seien und deren partielle Ableitungen alle existieren sollen. Für einen Raumpunkt $x$ im Urbildraum $\mathbb {R} ^{n}$ seien $x_{1},\dots ,x_{n}$ die jeweils zugehörigen Koordinaten.
Dann ist für $a\in U$ die Jacobi-Matrix im Punkt $a$ durch
    $J_{f}(a):=\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(a)\right)_{i=1,\ldots ,m;\ j=1,\ldots ,n}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(a)&{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{2}}}(a)&\ldots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(a)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(a)&{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{2}}}(a)&\ldots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(a)\end{pmatrix}}$
definiert.
In den Zeilen der Jacobi-Matrix stehen also gerade die (transponierten) Gradienten der Komponentenfunktionen $f_{1},\dots ,f_{m}$ von $f$.
Andere übliche Schreibweisen für die Jacobi-Matrix $J_{f}(a)$ von $f$ an der Stelle $a$ sind $Df(a)$, ${\frac {\partial f}{\partial x}}(a)$ und $\textstyle {\frac {\partial (f_{1},\ldots ,f_{m})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}(a)$.

## Beispiel

Die Funktion $f\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2}$ sei gegeben durch
    $f(x,y,z)={\binom {x^{2}+y^{2}+z\cdot \sin x}{z^{2}+z\cdot \sin y}}$
Dann ist
    ${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,y,z)&={\binom {2x+z\cdot \cos x}{0}}\\{\frac {\partial }{\partial y}}f(x,y,z)&={\binom {2y}{z\cdot \cos y}}\\{\frac {\partial }{\partial z}}f(x,y,z)&={\binom {\sin x}{2z+\sin y}}\end{aligned}}$
und damit die Jacobi-Matrix
    $J_{f}(x,y,z)=\left({\begin{array}{ccc}2x+z\cdot \cos x&2y&\sin x\\0&z\cdot \cos y\,&2z+\sin y\end{array}}\right)$

## Anwendungen

* Ist die Funktion $f\colon U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ total differenzierbar, dann ist ihr totales Differential $Df_{a}$ an der Stelle $a=(a_{1},\dots ,a_{n})\in U$ die lineare Abbildung
       $Df_{a}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m},\quad Df_{a}(h)=J_{f}(a)\cdot h$.
    Die Jacobi-Matrix an der Stelle $a$ ist also die Abbildungsmatrix von $Df_{a}$.
* Für $m=1$ entspricht die Jacobi-Matrix dem transponierten Gradienten von $f$. Manchmal wird der Gradient auch als Zeilenvektor definiert. In diesem Fall sind Gradient und Jacobi-Matrix gleich.
* Die Jacobi-Matrix kann, wenn man sie für eine Stelle $a=(a_{1},\dots ,a_{n})$ ausrechnet, zur Näherung der Funktionswerte von $f$ in der Nähe von $a$ verwendet werden:
       $f(x)\approx f(a)+J_{f}(a)\cdot (x-a).$
    Diese affine Abbildung entspricht der Taylor-Approximation erster Ordnung (Linearisierung).
* Die Fortpflanzung von Messfehlern in Form einer Kovarianzmatrix geschieht durch die Jacobi-Matrix: $V_{f}=J\cdot V_{x}\cdot J^{\text{T}}$

## Determinante der Jacobi-Matrix

Sei $m=n$, es wird also eine differenzierbare Funktion $f\colon U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ betrachtet. Dann ist deren Jacobi-Matrix $J_{f}(a)$ am Punkt $a\in U$ eine quadratische $n\times n$-Matrix. In diesem Fall kann man die Determinante der Jacobi-Matrix $\det(J_{f}(a))$ bestimmen. Die Determinante der Jacobi-Matrix wird Jacobi-Determinante oder Funktionaldeterminante genannt. Ist die Jacobi-Determinante im Punkt $a$ ungleich null, so ist die Funktion $f$ in einer Umgebung von $a$ invertierbar. Dies besagt der Satz von der Umkehrabbildung. Außerdem spielt die Jacobi-Determinante eine wichtige Rolle beim Transformationssatz für Integrale. Ist $m\neq n$, so kann man definitionsgemäß keine Determinante der $m\times n$-Jacobi-Matrix bilden. Jedoch gibt es in diesem Fall ein ähnliches Konzept. Dieses wird Gramsche Determinante genannt.

## Jacobi-Matrix einer holomorphen Funktion

Neben Funktionen $f\colon U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ kann man auch Funktionen $h\colon V\subset \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{m}$ auf (komplexe) Differenzierbarkeit untersuchen. Funktionen, die komplex differenzierbar sind, werden holomorph genannt, denn sie haben andere Eigenschaften als die (reell) differenzierbaren Funktionen. Auch für die holomorphe Funktion $h:=(h_{1},\ldots ,h_{m})\colon V\subset \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{m}$ kann man Jacobi-Matrizen bestimmen. Hier gibt es zwei unterschiedliche Varianten. Zum einen eine $m\times n$ mit komplexwertigen Einträgen und zum anderen eine $2m\times 2n$-Matrix mit reellwertigen Einträgen. Die $m\times n$-Jacobi-Matrix $J_{h}^{\mathbb {C} }(z)$ am Punkt $z:=(z_{1},\ldots ,z_{n})\in V\subset \mathbb {C} ^{n}$ ist durch
    $J_{h}^{\mathbb {C} }(z):={\begin{pmatrix}{\frac {\partial h_{1}(z)}{\partial z_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial h_{1}(z)}{\partial z_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial h_{m}(z)}{\partial z_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial h_{m}(z)}{\partial z_{n}}}\end{pmatrix}}$
definiert.
Jede komplexwertige Funktion kann in zwei reellwertige Funktionen aufgespalten werden. Das heißt, es existieren Funktionen $u,v\colon \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$, sodass $h=u+iv$ gilt. Die Funktionen $u$ und $v$ kann man nun wieder gewöhnlich partiell differenzieren und in einer Matrix anordnen. Seien $z:=(z_{1},\ldots ,z_{n})$ die Koordinaten in $\mathbb {C} ^{n}$ und setze $z_{j}:=x_{j}+iy_{j}$ für alle $j$. Die $2m\times 2n$-Jacobi-Matrix $J_{h}^{\mathbb {R} }(z)$ der holomorphen Funktion $h$ am Punkt $z\in V$ ist dann definiert durch
    $J_{h}^{\mathbb {R} }(z):={\begin{pmatrix}{\frac {\partial u_{1}(z)}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial u_{1}(z)}{\partial x_{n}}}&{\frac {\partial u_{1}(z)}{\partial y_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial u_{1}(z)}{\partial y_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial u_{m}(z)}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial u_{m}(z)}{\partial x_{n}}}&{\frac {\partial u_{m}(z)}{\partial y_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial u_{m}(z)}{\partial y_{n}}}\\{\frac {\partial v_{1}(z)}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial v_{1}(z)}{\partial x_{n}}}&{\frac {\partial v_{1}(z)}{\partial y_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial v_{1}(z)}{\partial y_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial v_{m}(z)}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial v_{m}(z)}{\partial x_{n}}}&{\frac {\partial v_{m}(z)}{\partial y_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial v_{m}(z)}{\partial y_{n}}}\end{pmatrix}}$.
Gilt bei den Jacobi-Matrizen für holomorphe Funktionen $m=n$, so kann man natürlich die Determinanten der beiden Matrizen betrachten. Diese beiden Determinanten stehen in Beziehung zueinander. Es gilt nämlich
    $\det \left(J_{h}^{\mathbb {R} }(z)\right)=\left|\det(J_{h}^{\mathbb {C} }(z))\right|^{2}$.